close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Akopov 02B9AD81D0

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
В. С. Акопов
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ
В MATLAB
Лабораторный практикум
Санкт-Петербург
2012
УДК 004.42
ББК 32.873
А40
Рецензент
кандидат технических наук, доцент И. А. Салова
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве лабораторного практикума
Акопов, В. С.
А40 Моделирование систем в MATLAB: лабораторный практикум / В. С. Акопов. – СПб.: ГУАП, 2012. – 64 с.: ил.
Приведены теоретические и методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Моделирование систем» на персональных ЭВМ
с использованием программного пакета MATLAB. Лабораторный практикум
предназначен студентам дневного обучения по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах», направлению 22040062Ф
«Управление в технических системах».
УДК 004.42
ББК 32.873
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
© В. С. Акопов, 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Все большее значение для практической жизни приобретают
фундаментальные знания, на базе которых формируются новые информационные ресурсы общества. Учебная дисциплина «Моделирование систем» изучается в большинстве высших технических учебных заведений. Дисциплина охватывает широкий круг вопросов от
методов моделирования до особенностей применения и построения
моделей. Современный этап развития человечества отличается тем,
что на смену века энергетики пришел век информатики. Возможности изучения сложных объектов с помощью теории моделирования
многообразны как по используемым формальным моделям, так и по
способам реализации методов моделирования.
Сложные системы, обладающие большим числом элементов
и внутренних связей, трудно подаются физическому способу моделирования. Зачастую для исследования таких систем переходят
к имитационным моделям. Совершенствование вычислительной
техники привело к широкому развитию и внедрению имитационных методов моделирования, прекрасно приспособленных для изучения и построения больших и сложных систем. Дисциплина
«Моделирование систем» стала базовой при подготовке бакалавров,
магистров и специалистов по специальности 220201 «Управление
и информатика в технических системах».
Целью выполнения лабораторных работ является закрепление
теоретического материала по курсу лекций и получение практических навыков компьютерного моделирования.
3
Лабораторная работа № 1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДИНАМИКИ ОБЪЕКТА
Цель работы: изучение и сопоставление аналитического и имитационного методов математического моделирования.
1. Основные теоретические сведения
В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место только при замене
одного объекта оригинала другим точно таким же. Однако двух оригиналов не бывает, они обязательно будут отличаться.
Для исследования характеристик процесса функционирования
любой системы или какого-либо объекта необходимо выполнить те
или иные исследования и эксперименты. Однако часто это может
оказаться очень дорогим либо вообще принципиально не реализуемым. В таких случаях исследования объекта-оригинала заменяют
на исследования объекта заместителя или аналога. Другими словами модель – это объект заместитель объекта-оригинала. Замещение
одного объекта другим с целью изучения свойств объекта-оригинала с помощью объекта модели называется моделированием. Теория
замещения одних объектов (оригиналов) другими (моделями) и исследование свойств объектов с помощью их моделей называется теорией моделирования. К наиболее часто используемым видам моделирования относятся следующие: натурное, физическое и математическое моделирования. Натурным моделированием называют
проведение необходимых исследований на самом объекте. Этот вид
исследований обладает самой высокой степенью достоверности.
Физическое моделирование в отличие от натурного проводится
на установках, которые сохраняют физическую природу процессов
и явлений, свойственных оригиналу, поэтому называются соответственно физическими.
Под математическим моделированием понимают процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. Математическое моделирование принято делить на виды : аналитическое, имитационное и комбинированное.
Для аналитического моделирования характерно следующее.
Процессы функционирования элементов системы записываются
в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических,
4
интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т. д.) или логических условий.
При имитационном моделировании алгоритм, реализующий модель, воспроизводит процесс функционирования исследуемой системы во времени. При этом имитируются элементарные явления,
составляющие процесс с сохранением их логической структуры и
последовательности их протекания во времени. Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие
факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные
случайные воздействия и ряд других, которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный, а порой и единственно доступный метод исследования сложных или больших систем [1, 2].
Что касается комбинированного моделирования, то в данном
случае под этим термином понимается математическое моделирование, сочетающее в себе элементы аналитического и имитационного
моделирований.
В лабораторной работе в качестве объекта исследования выбрана
система автоматического регулирования, структурная схема которой приведена на рис. 1.1. Приведенная структура содержит звенья,
типичные [3] для большинства САР: регулятор (W1), исполнительный механизм (W2), объект регулирования (W3), измеритель (датчик) (W4).
Выполним сначала имитационное моделирование на ЭВМ и получим переходный процесс на выходе системы, рассматриваемой
в примере.
+
_
W1(p)
W2(p)
W3 (p)
W4(p)
Рис. 1.1. Обобщенная структурная схема системы управления
5
Для этого целесообразно воспользоваться прикладным пакетом
программ MATLAB [1, 2, 4]. Загрузив этот пакет программ, открываем браузер Simulink Libraru, берем файл (File), новый (New), модель
(Model). Далее выбираем Continius. После этого с помощью стандартных блоков: усилитель (Gain), сумматор (Sum), интегратор (Integrator), передаточная функция (Transfer Fcn), а при необходимости
и других блоков собирается свой вариант исследуемой системы.
В качестве источника входного сигнала используются возможности пакета (Sources). При этом при исследовании переходных процессов, как правило, используется скачок (Step) на входе в систему.
Сигнал на выходе системы регистрируется осциллографом (Scope)
в директории Sinks.
Аналитическое моделирование, как уже отмечалось, относится,
так же как и имитационное, к категории «математическое моделирование».
Методика выполнения такого моделирования подразумевает
следующее.
1. Исходная структура исследуемой системы преобразовывается
по известной методике [3] до уровня, когда остается лишь один блок
(прямоугольник) с некоторой эквивалентной передаточной функцией WЭ(р) (рис. 1.2).
Для этого используются основные правила преобразования
структурных схем [3], приведенные в табл. 1.1.
2. Если передаточная функция WЭ(р) достаточна проста и дифференциальное уравнение, соответствующее ей, решаемо, то аналитическим путем находится решение дифференциального уравнения
(с учетом заданных начальных условий), тем самым находится реакция системы на единичный скачок и завершается аналитическое
моделирование исследуемой системы.
Если выполнение предыдущего пункта вызывает значительные
сложности, связанные с решением дифференциального уравнения,
надо перейти к имитационному моделированию системы (по изложенной выше методике). Тем самым, осуществляется переход от
аналитического моделирования к комбинированному, содержащему элементы имитационного и аналитического моделирования.
WЭ(р)
Рис. 1.2. Эквивалентная структурная схема системы управления
6
Таблица 1.1
Основные правила преобразования структурных схем
Структурная схема
Преобразование
Свертывание
последовательного
соединения
исходная
W
u
Wn
W2
W1
u
эквивалентная
y
y
W = W1W2…Wn
W1
Свертывание
параллельного соединения
Свертывание
обратной
связи
u
W = W1 + W2 + … + Wn
W1
_
+
W=
u
W
u
W
u
y
W2
Перенос узла
через звено
вперед
y
y
Wn
u
W
u
W2
y
W1
1 ± W1W2
y
W
x
W1 =
Перенос узла
через звено
назад
u
x
W1
y
1
W
W
W
u
y
W
y
y
7
Продолжение табл. 1.1
Структурная схема
Преобразование
исходная
эквивалентная
u1
W
±
Перенос сумматора через
звено назад
W
u1
W1
y
±
u2
W1 =
Перенос прямой связи
через звено
u2
1
W
W4
W3
±
±
u
y
W2
W1
y
W2
W1
u
y
W4 = W3 · W2
x1
Перенос узла
через сумматор вперед
x1
x1
y
+
x2
–
–
x1
x2
+
+
y
y
x1
y
+
x
+
–
+
x2
y
Перенос узла
через сумматор назад
y
+
–
–
x2
1.2. Пример расчета
В качестве примера для изучения способов математического моделирования рассмотрим моделирование системы автоматического регулирования, исходная структурная схема которой приведена
выше на рис. 1.1, а передаточные функции равны
W1( p) = 1; W 2( p) =
8
0.1 p + 1
5
; W 3( p) =
; W 4( p) = 0.1.
p +1
p +1
Имитационная модель системы (см. рис. 1.1), построенная с помощью пакета программ MATLAB по изложенной выше методике
с использованием пакета программ MATLAB+ Simulink имеет вид,
приведенный на рис. 1.3.
Переходный процесс, иллюстрирующий реакцию этой системы
на скачкообразное входное воздействие, приведен на рис. 1.4.
При исследовании линейных систем настоятельно рекомендуется пользоваться более удобным внутренним пакетом Simulink под
названием «Линейный анализ» (Linear analysis), на который можно
выйти через клавишу Tools (см. рис. 1.5).
Рис. 1.3. Имитационная модель рассматриваемой системы
Рис. 1.4. Вид переходного процесса на выходе рассматриваемой системы
9
Переходный процесс, иллюстрирующий реакцию той же системы
на единичное скачкообразное входное воздействие, полученный
с помощью пакета Linear analysis приведен на рис. 1.6.
Переходим к методу аналитического моделирования.
Аналитическое моделирование, как уже отмечалось, относится,
так же как и имитационное, к категории математического модели-
Рис. 1.5. Имитационная модель,
полученная с помощью пакета Linear analysis
Рис. 1.6. Переходный процесс на выходе рассматриваемой системы,
полученный с помощью пакета Linear analysis
10
рования. Для аналитического моделирования исходная структура
исследуемой системы преобразовывается до уровня, когда остается
лишь один блок (см. рис 1.2) с некоторой эквивалентной передаточной функцией WЭ(р)
Покажем, как поэтапно можно выполнить подобное преобразование.
Этап 1: выполняем свертывание последовательного соединения
звеньев с передаточными функциями W1(р)-W3(р), заменив их в соответствии с правилами в табл. 1 эквивалентным звеном с передаточной функцией W5(p). Получим
W 5( p) = W1( p)W 2( p)W 3( p).
После такой эквивалентной замены исходная система (см. рис 1.1)
превращается в следующую, эквивалентную ей (рис. 1.7).
Этап 2: для дальнейшего преобразования последней структуры
и превращения ее в один блок, выполним сворачивание обратной
связи по правилу, приведенному в третьей строке табл. 1.1. При
этом получим эквивалентную передаточную функцию
WÝ( p) =
0.5 p + 5
W 5( p)
=
.
1 + W 5( p)W 4( p). p2 + 2.05 p + 1.5
Эквивалентная система при этом будет иметь вид, показанный
на рис. 1.8.
Чтобы закончить аналитическое моделирование исследуемого
объекта, надо выполнить анализ переходного процесса на выходе
+
_
W5(p)
W4(p)
Рис. 1.7. Структурная схема системы после первого этапа
эквивалентных преобразований
WЭ(p)
Рис. 1.8. Предельно упрощенная структурная схема исходной системы
11
эквивалентной системы. Для этого надо построить имитационную
модель эквивалентной системы (рис. 1.9).
Перейдя к анализу динамики эквивалентной системы, получим
переходный процесс в виде, приведенном на рис. 1.10.
Воспользовавшись внутренним пакетом Simulink под названием
линейный анализ (Linear analysis), получим эквивалентную имитационную модель (рис. 1.11).
Рис. 1.9. Имитационная модель эквивалентной системы
Рис. 1.10. Переходный процесс в эквивалентной системе
Рис. 1.11.Имитационная модель эквивалентной системы
(пакет Linear analysis)
12
Рис. 1.12. Переходной процесс на выходе эквивалентной системы
(пакет Linear analysis)
Переходной процесс на выходе системы имеет вид, приведенный
на рис. 1.12.
Как видно из рис. 1.4, 1.6, 1.10, 1.12, все полученные переходные
процессы имеют одинаковые численные характеристики, то есть
они совпадают.
1.3. Методика выполнения лабораторной работы
1. Ознакомиться с целью работы, изучить теоретическую часть,
приведенную выше в разделе 1.
2. Определить свой вариант индивидуального задания: название,
структурную схему и параметры исследуемой системы (табл. 1.1
и 1.2, рис. 1.13–1.15).
3. Выполнить имитационное моделирование:
разработать имитационную модель;
подать единичный скачок на вход системы и получить переходный процесс на ее выходе.
13
4. Выполнить математическое моделирование:
разработать сначала саму математическую модель. Для этого
проделать эквивалентные преобразования исходной структурной
схемы, доведя ее до одного блока, эквивалентного всей исходной
структуре;
подать единичный скачок на вход системы и получить переходный процесс на ее выходе.
5. Сформулировать выводы: сопоставить обе методики моделирования, а также полученные результаты по каждому из способов
моделирования.
1.4. Варианты индивидуальных заданий
С помощью табл. 1.2 определить свой вариант индивидуального
задания (вариант моделируемого привода).
Таблица 1.2
Выбор варианта привода и его передаточного отношения i
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Название
привода
РП
ПА ПЛМ РП
ПА ПЛМ РП
ПА ПЛМ РП
Передаточное
отношение i
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Номер
варианта
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Название
привода
ПА ПЛМ РП
ПА ПЛМ РП
ПА ПЛМ РП
ПА
Передаточное
отношение i
110
140
170
200
120
130
150
160
180
190
Структурные схемы вариантов приводов, фигурирующих в табл. 1.2,
приведены ниже (на рис. 1.13–1.15). Значения параметров, присутствующих на этих рисунках, приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
Значения параметров, приведенных на схемах приводов РП, ПА, ПЛМ
14
СФ
RЯ,
Ом
Qн,
НмС
Кш,
Нм/рад
J,
кГм2
LЯ,
Гн
Км,
Нм/А
Кn,
Вс/рад
η
0.04
5
1.0
20.0
0.01
0.0005
0.002
0.1
0.8
1
iη
+
KM
_
+
KШ
_
1
p
1
i
1
Jp
СФ
Рис. 1.13. Рулевой привод (РП)
gH
iη
+
_
СФ
LЯ p + RЯ
+
_
1
Jp
1
i
СФ
Рис. 1.14. Привод скорости вращения антенны (ПА)
+
_
СФ
LЯ p + RЯ
1
Jp
1
i
СФ
Рис. 1.15. Привод лентопротяжного механизма (ПЛМ)
15
1.5. Отчет по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
цель работы;
исходные данные;
материалы разработки имитационной и аналитической моделей;
графики переходных процессов, полученных с использованием
имитационной и аналитической моделей;
оценки количественных характеристик параметров переходного
процесса;
выводы.
1.6. Контрольные вопросы
1. Чем отличается имитационное моделирование объектов и систем от аналитического?
2. Какова область применения имитационного и математического моделирований?
3. Каковы основные правила эквивалентных преобразований
структурных схем исследуемых систем?
4. Как выполнить математическое моделирование без применения средств вычислительной техники?
5. Какой блок прикладного пакета программ MATLAB+ Simulink
учитывает начальные условия исследуемых процессов?
6. Какова разница между переходной функцией и переходным
процессом?
7. Приведите примеры линейных и нелинейных систем.
8. Нарисуйте вид выходного сигнала интегратора с нулевыми начальными условиями, если на его вход подаются:
а) g(t) = 1(t); б) g(t) = sin t; в) g(t) = cos t; г) g(t) = et ; д) g(t) = e-t ;
е) g(t) = t.
9. Приведите примеры линейных и нелинейных блоков и систем.
16
Лабораторная работа № 2
ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАТОРА НЕПРЕРЫВНОЙ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
Цель работы: разработка имитационной модели генератора заданной функции.
2.1. Основные теоретические сведения
Математическое описание разрабатываемых и исследуемых систем может содержать дифференциальные уравнения с нелинейными коэффициентами в виде тригонометрических, экспоненциальных, степенных и некоторых других функций. При моделировании
таких систем возникает вопрос: как формировать эти нелинейные
коэффициенты в виде нелинейных функций? Отмеченные выше
нелинейные функции могут быть получены (сгенерированы) в результате решения соответствующих дифференциальных уравнений, которые принято называть определяющими дифференциальными уравнениями (ОДУ). Если включить в разрабатываемую модель соответствующие ОДУ, можно воспроизводить (генерировать)
эти функции в модели объекта одновременно с моделированием динамики исследуемого объекта. Такие определяющие дифференциальные уравнения будем называть генераторами соответствующих
функций.
Данный метод можно использовать в тех случаях, когда генерируемая функция представлена в виде аналитического выражения,
причем функция и ее производные должны быть непрерывны и дифференцируемы.
Методика получения генератора функции методом ОДУ такова:
последовательно дифференцируя [5] генерируемую функцию,
пытаются составить определяющее дифференциальное уравнение
(ОДУ), содержащее функцию f(t) и ее производные, но, что очень
важно, не содержащее само аналитическое выражение генерируемой нелинейной функции (синус, косинус или экспоненту и др.);
полученное ОДУ программируют, например, методом понижения порядка и получают генератор заданной функции f(t).
2.1. Пример расчета
В качестве примера выполним разработку генератора функции
f(t) = Asin(ωt) методом определяющих дифференциальных уравнений.
17
Итак, генерируемая функция
f (t) = A sin(ωt), (2.1)
зададим коэффициенты этой функции: А = 5, ω = 2.
Согласно приведенной выше методике продифференцируем это
выражение (2.1)
p(f (t)) = ωA cos(ωt), (2.2)
где р – оператор дифференцирования.
Из выражений (2.1) и (2.2) не составить дифференциальное уравнение, не содержащее аналитическое выражение генерируемой
функции (синус, косинус или экспоненту и др.). Поэтому, продолжим процедуру дифференцирования, выполнив теперь дифференцирование выражения (2.2)
p2 (f (t)) = -ω2 A sin(ωt).
p2 (f (t)) + ω2f (t) = 0. (2.3)
Теперь видно, что из (1) и (3) можно составить удобное дифференциальное уравнение, решением которого будет функция f(t). Это
уравнение и есть определяющее дифференциальное уравнение (ОДУ)
(2.4)
Прежде, чем перейти к составлению модели генератора функции,
оценим значения начальных условий, число которых должно быть
столько, каков порядок ОДУ (2.4). В данном случае это выражение
является дифференциальным уравнением второго порядка. Сформулируем два начальных условия:
для нулевой производной, то есть самой исходной функции
f (t = 0) = A sin(0t) = 0,
для первой производной
p(f (t = 0)) = ωA cos(ω0) = ωA.
Этому определяющему дифференциальному уравнению, полученным начальным условиям и исходным данным А = 5, ω = 2 в пакете MATLAB [1, 2, 6, 7] соответствует генератор, составленный по
схеме на рис. 2.1.
Экспорт этой схемы из пакета МАТLAB может быть выполнен по
команде Edit → Copy model to clipboard.
Отметим, что на интеграторах должны быть выставлены вычисленные ранее начальные условия.
18
Рис. 2.1. Имитационная модель генератора функции f(t)= 5sin(2t)
Рис. 2.2. График функции f(t) = 5sin(2t),
полученный на осциллографе Skope, приведенном на рис. 2.1
19
Генерируемая функция f(t) на выходе модели генератора, как
видно из рис. 2.2, вполне соответствует аналитическому выражению f(t)=5sin(2t), как по частоте колебаний, так и по амплитуде.
2.3. Методика выполнения лабораторной работы
1. Определить свой вариант индивидуального задания – генерируемую функцию f(t) согласно таблице вариантов генерируемых
функций, приведенной в разделе 4.
2. Разработать математическую модель генератора функции f(t)
методом определяющих дифференциальных уравнений (ОДУ). Выполнить вычисление начальных условий.
3. Построить в пакете MATLAB имитационную модель для решения полученного ОДУ методом понижения порядка.
4. Выполнить решение разработанного ОДУ и проанализировать
функцию на выходе разработанного генератора на предмет ее соответствия условиям индивидуального задания.
5. Сформулировать выводы.
2.4. Варианты индивидуальных заданий
Разработать определяющее дифференциальное уравнение, рассчитать начальные условия, построить имитационную модель в пакете
MATLAB. Сопоставить функцию на выходе разработанного генератора нелинейной функции с содержанием индивидуального задания.
Варианты генерируемых функций
Номер
варианта
20
Построить имитационную модель
генератора функции у(t)
Исходные данные
1
f(t) = Aеxp(–αt)
a = 1, A = 1
2
f(t) = Atn
n = 2, А = 2
3
f(t) = Aln(bt), t ≥ 1
b = 3, A = 3
4
f(t) = Asin(ωt)
ω = 4, A = 4
5
f(t) = Asin(ωt) + t
ω = 5, A = 5
6
f(t) = Acos(ωt)
ω = 6, A = 6
7
f(t) = Acos(ωt) + t
ω = 7, A = 7
8
f(t) = A(1 – еxp(–αt))
α = 8, A = 8
9
f(t) = Asin(ωt + β)
ω = 9, A = 9, β = п/4
Окончание
Номер
варианта
Построить имитационную модель
генератора функции у(t)
Исходные данные
10
f(t) = A(1 – ln(bt)), t ≥ 1
b = 10, A = 10
11
f(t) = Acos(ωt + β)
ω = 11, A = 11, β = п/4
12
f(t) = Atn
n = 3, A = 12
13
f(t) = Acos(ωt) + 1
ω = 13, A = 13
14
f(t) = A(1 – sin(ωt))
ω = 14, A = 14
15
f(t) = A(1 – еxp(–αt)) – Asin(ωt)
α = 8, ω = 15, A = 15
16
f(t) = Acos(ωt) + ωt
ω = 16, A = 16
17
f(t) = A(cos(ωt) + t)
ω = 17, A = 17
18
f(t) = Aеxp(–αt)
α = 18, A = 18
19
f(t) = A(1+ ln(bt)), t ≥ 1
b = 19, A = 19
20
f(t) =
Atn
n = 4, A = 12
2.5. Отчет по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
цель работы;
исходные данные;
материалы разработки математической модели генератора функции (методом определяющих дифференциальных уравнений) для
своего варианта индивидуального задания. Вычисление начальных
условий;
имитационную модель для получения решения полученного ОДУ;
результаты работы разработанного регулятора функции, заданной в индивидуальном задании;
выводы.
2.6. Контрольные вопросы
1. Зачем нужен генератор той или иной функции и как можно его
использовать в моделировании объекта или системы?
2. Что такое определяющее дифференциальное уравнение (ОДУ)?
3. Сколько начальных условий и по каким фазовым координатам необходимо вычислять и выставлять в модели при построении
генератора функции?
21
4. Какова методика применения метода определяющих дифференциальных уравнений?
5. Каким условиям должно соответствовать генерируемая функция, чтобы к ней можно было бы применить метод ОДУ?
6. Получить определяющее дифференциальное уравнение для
генерирования следующих функций:
б) f (t) = t(1.5) - 1;
a) f (t) = t(0.5) ; в) f (t) = sin t cos t; г) f (t) = t(sin2 + cos2 ).
7. В каких системах переходный процесс имеет место в отсутствии
входного задающего воздействия?
8. Для каких нелинейных функций неприменим метод определяющих дифференциальных уравнений?
22
Лабораторная работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ОБЪЕКТА,
ЗАДАННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ
Цель работы: методом имитационного моделирования выполнить анализ динамики объекта, заданного дифференциальным
уравнением.
3.1. Основные теоретические сведения
Для описания объекта чаще других используются следующие
два типа его математического задания:
1) дифференциальные уравнения;
2) передаточные функции.
В данной лабораторной работе рассматривается математическое
описание объекта в виде дифференциального уравнения.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка
называют уравнения вида
F (y(õ), y ¢(õ), y ¢¢(õ),..., y(n) (õ), x) = 0, (3.1)
содержащее неизвестную функцию у(х), ее производные и аргумент х.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно относительно неизвестной функции и ее производных, то
есть имеет вид
An y(n) (õ) + An-1y(n-1) (õ) + ... + A2 y ¢¢(õ) + A1y ¢(õ) + A0 y(õ) = f (x),(3.2)
Если функция f(t), то есть правая часть уравнения (3.2) равна
нулю, то дифференциальное уравнение называется однородным,
в противном случае – неоднородным.
В зависимости от того, являются ли коэффициенты À1,..., Àn
постоянными величинами или функциями аргумента x дифференциальные уравнения называются с постоянными или с переменными
коэффициентами соответственно.
Функция ó = ϕ(õ) называется решением дифференциального
уравнения, если после подстановки этой функции и ее производных
в исходное дифференциальное уравнение, это уравнение обращается
в тождество.
Если независимой переменной x является время t, то система, описываемая дифференциальным уравнением (3.1) или (3.2)
23
называется динамической системой. Соответственно, исследование
процессов в такой системе называется исследованием динамики
системы.
Как известно, решение дифференциального уравнения аналитическим путем не всегда возможно, что касается их решения с помощью имитационного моделирования, оно прекрасно приспособлено
для решения дифференциальных уравнений.
Для превращения заданного дифференциального уравнения
(3.1) или (3.2) в такое, которое можно моделировать необходимо
иметь следующие данные:
само дифференциальное уравнение и значения его коэффициентов;
начальные значения переменных дифференциального уравнения;
заданные возмущающие воздействия (в случае неоднородного
дифференциального уравнения).
Для имитационного моделирования, которое рассматривается
в данной лабораторной работе, возможны два основных метода решения дифференциального уравнения. Один из них основан на применении дифференцирующих устройств, так как требует повышения порядка производных. Второй метод – метод понижения порядка производной. В силу того, что дифференцирующие устройства
усиливают помехи (шумы), первый метод практически никогда не
применяется. Поэтому далее при решении дифференциальных
уравнений для анализа динамки объектов будем рассматривать метод понижения порядка.
3.2. Пример расчета
В качестве примера, выполним исследование динамики объекта,
заданного линейным дифференциальным уравнением второго порядка при этом используем метод понижения порядка.
Пример 1
Дано математическое описание некоторой системы в виде дифференциального уравнения
À2 ó ¢¢(t) + À1ó ¢(t) + À0 ó(t) = f (t), (3.3)
где A2 , A1, A0 – постоянные числа, f(t) некая вынуждающая
функция.
24
Приведем дифференциальное уравнение к виду, удобному для
моделирования, то есть производную высшего порядка выразим
через остальные слагаемые выражения (3.3). Получим
ó ¢¢(t) =
A
A
1
1
(f (t) - A1y ¢(t) - A0 y(t)) =
f (t) - 1 y ¢(t) - 0 y(t).
À2
À2
A2
A2
И далее
ó ¢¢(t) =
A
A
1
f (t) - 1 y ¢(t) - 0 y(t). À2
A2
A2
(3.4)
Анализ выражения (3.4) показывает, что если бы были известны
слагаемые левой части, то вторая производная ó ¢¢(t) была бы известна. С другой стороны, знание второй производной ó ¢¢(t) , нам бы
позволило после ее интегрирования получить и первую производную ó ¢(t) и саму функцию у(t) по следующей схеме имитационного
моделирования (рис. 3.1).
À
À
1
.
На рис. 3.1 обозначено: Ê1 = 1 , Ê2 = 0 , Ê3 =
À2
À2
À2
Для большей наглядности решим рассмотренный выше пример
при следующих конкретных исходных данных:
À0 = 6; À1 = 4; À2 = 2; f (t) = 9.
f
K1
Н.У.
Н.У.
+
_
y ′′
_
1
р
y′
1
р
y
K1
K2
Рис. 3.1. Имитационная модель
для решения дифференциального уравнения (3.3)
25
Вычислим значения коэффициентов Ê1, Ê2 , Ê3 :
Ê1 =
À1 4
= = 2;
À2 2
Ê2 =
À0 6
= = 3;
À2 2
Ê3 =
1
1
= = 0.5.
À2 2
С учетом приведенных исходных данных и вычисленных коэффициентов К1, К2, и К3 уравнение (3.4) превращается в следующее:
ó ¢¢(t) = 4,5 - 2y ¢(t) - 3y(t). (3.5)
Построим имитационную модель, соответствующую выражению
(3.5). Для этого воспользуемся системой моделирования динамики
объектов Simulink, входящей в пакета MATLAB [6, 7].
Выбрав начальные условия в виде: ó(0) = 0, ó ¢(0) = 0 и выставив
их на соответствующих интеграторах, получим приведенную ниже
структуру и параметры модели (рис. 3.2 и 3.3).
Рис. 3.2. Имитационная модель для исследования
динамики системы в реальном масштабе времени
с параметрами, приведенными в примере 1
26
Рис. 3.3. Динамика системы,
имитационная модель которой приведена на рис. 3.2
Разработка имитационной модели
с учетом масштабов переменных модели
В процессе разработки и исследования систем довольно часто
возникает необходимость изменения масштабов как самих фазовых
координат (в данном случае ó ¢¢, ó ¢, ó), так и времени t, в течение
которого развивается процесс (идет речь о моделировании в ускоренном, замедленном и в натуральном масштабах времени). Это
связано с тем, что некоторые исследуемые процессы могут протекать
настолько быстро (например, процессы в камере двигателя внутреннего сгорания), что при моделировании в натуральном масштабе
времени трудно рассмотреть все интересующие детали исследуемого
процесса. В этом случае применяют моделирование в замедленном
масштабе. И наоборот, иногда реальные процессы протекают настолько медленно, что возникает необходимость ускорять исследуемые при моделирование процессы (например, процессы, сопровождающие жизнь и цветение растений).
Преобразование исходной математической модели с целью проведения исследований в удобном или допустимом диапазоне изменения
27
переменных (в рассматриваемом примере это переменные ó ¢¢, ó ¢, ó
и t) будем называть масштабированием уравнений модели.
Масштабирование выполняется по следующей методике.
1. В общем случае масштаб той или иной физической переменной mÔÏ определяется как отношении максимальных допустимых значений моделируемой переменной (ÌÏ)max в данной модели к максимальному значению физической переменной (ÔÏ)max ,
которое имеет место в реальном объекте или процессе. Этот масштаб вычисляется по выражению
mÔÏ =
ÌÏ max
ÔÏ max
.
(3.6)
Из последнего выражения следует, что физическая переменная
(ФП) может быть заменена на переменную модели (МП) по выражению
(ÔÏ) = (ÌÏ) mÔÏ . (3.7)
2. Для разработки модели, работающей в измененном (замедленном или ускоренном) масштабе времени по отношению ко времени
протекания реального процесса необходимо определить или назначить новый масштаб времени по выражению
mt =
tÌÏ
tÔÏ
max .
(3.8)
max
В случае необходимости изменить(ускорить или заменить) время
развития исследуемых процессов по отношению к реальному вычисляется mt по выражению (3.8). Затем в выражении (3.5) время
физическое заменяется на время модели, используя выражение
tÔÏ =
(tÌÏ )
.
mt
(3.9)
Пример 2
Решим, в качестве второго примера, задачу разработки имитационной модели, которая работала бы в замедленном масштабе времени по сравнению с процессами в реальном объекте. Допустим, что
объект по-прежнему задан дифференциальным уравнением (3.3)
или преобразованным его вариантом (3.4).
Выполним масштабирование всех переменных, используя выражения (3.6) и (3.8) для конкретных переменных( ó ¢¢, ó ¢, ó и t) урав28
нения (3.4). Как отмечалось раньше, под масштабированием понимается определение масштабов (коэффициентов), связывающих
численные значения моделируемых в данной модели переменных
(МП) и численные значения физических переменных (ФП), которые
имеют место в реальном объекте или процессе. Эти масштабы для
рассматриваемой в примере 2 задачи вычисляются по выражениям:
my =
my¢ =
my¢¢ =
mt =
yÌÏ
óÔÏ
¢
yÌÏ
¢
óÔÏ
¢¢
yÌÏ
¢¢
óÔÏ
tÌÏ
tÔÏ
max ;
(3.10)
max
max ;
max
(3.11)
max ;
(3.12)
max
max .
(3.13)
max
Соответствующие физические переменные и переменные модели
после введения масштабов оказываются связанными следующими
соотношениями:
ó
óÔÏ = ÌÏ ;
(3.14)
my
¢
óÌÏ
¢ =
(3.15)
;
óÔÏ
my¢
ó ¢¢
¢¢ = ÌÏ ;
(3.16)
óÔÏ
my¢¢
tÌÏ
tÔÏ =
. (3.17)
mt
Преобразуем дифференциальное уравнение (3.4) объекта в моделируемое, воспользовавшись выражениями (3.14)–(3.17) и исходными данными примера 1:
À0 = 6; À1 = 4; À2 = 2; f (t) = 9.
¢¢ (t) =
óÔÏ
A
A
1
¢ (t) - 0 yÔÏ (t). f (t) - 1 yÔÏ
À2
A2
A2
(3.18)
29
Используя соотношения (3.14)–(3.16) преобразуем (3.18):
или
¢¢ (t) 9 4 yÌÏ
¢ (t) 6 yÌÏ (t)
óÌÏ
ó¢
y
= = 4.5 - 2 ÌÏ - 3 ÌÏ (3.19)
2 2 my¢
2 my
my¢¢
my¢
my
é
ù
d2 yÌÏ (t)
2 dyÌÏ (t)
3
= my¢¢ ê4.5 yÌÏ (t)ú . ê
ú
dtÔÏ
my¢ dtÔÏ
my
ëê
ûú
(3.20)
Теперь надо отмасштабировать еще и время, заменив время физическое на время модели согласно (3.17)
mt2
d2 yÌÏ (t)
é
ù
dy (t)
2
3
= my¢¢ ê4.5 mt ÌÏ yÌÏ (t)ú .
ê
ú
my¢
dtÌÏ
my
dt ÌÏ
ëê
ûú
2
Упрощая это выражение, получим окончательное для моделирования
d2 yÌÏ (t)
dt2ÌÏ
=
my¢¢ é
ù
dy (t)
2
3
ê4.5 mt ÌÏ yÌÏ (t)ú . (3.21)
2 ê
ú
my¢
dtÌÏ
my
m t ëê
ûú
Теперь, выбрав те или иные значения масштабов, получим желаемый диапазон изменения переменных (ó ¢¢, ó ¢, ó) в модели, а также ускоренное (mt < 1) или замедленное (mt > 1) моделирование.
Поскольку в решаемом примере 2 предлагается выполнить замедленное моделирование ( пусть mt = 10), а требования к диапазону изменения переменных ó ¢¢, ó ¢, ó не сформулированы, будем считать, для простоты, что желаемый диапазон изменения переменных
в модели и в объекте совпадают, то есть my = my¢ = my¢¢ = 1.
Тогда выражение (3.21) превратится в следующее:
d2 yÌÏ (t)
dt
2
ÌÏ
=
ù
1 é
2 dy (t) 3
ê4.5 - 10 ÌÏ - yÌÏ (t)ú . úû
100 êë
1
dtÌÏ
1
(3.22)
Построим имитационную модель, соответствующую выражению
(3.22). Для этого опять воспользуемся системой моделирования
динамики объектов Simulink, входящей в пакета MATLAB [6, 7].
Выбрав начальные условия снова в виде: ó(0) = 0, ó ¢(0) = 0, и
выставив их на соответствующих интеграторах, получим приведенную ниже структуру и параметры имитационной модели исходной системы (рис. 3.4 и 3.5).
30
Рис. 3.4. Имитационная модель для замедленного исследования
динамики системы с параметрами, приведенными в примере 2
Рис. 3.5. Динамика системы с учетом замедленного масштаба времени
Как видно из рис. 3.5, время переходного процесса увеличилось
в 10 раз по сравнению с рис. 3.3 (процессы замедлились в 10 раз),
а характер самой переходной характеристики остался прежним.
31
3.3. Методика выполнения лабораторной работы
1. Определить свой вариант индивидуального задания – дифференциальное уравнение объекта, анализ динамики которого следует выполнить. Варианты дифференциальных уравнений объектов
представлены в разделе 3.4.
2. Преобразовать исходное дифференциальное уравнение к виду,
удобному для моделирования, то есть производную высшего порядка оставить в левой части, все остальные слагаемые исходного уравнения перенести в правую часть. Рассчитать коэффициенты перед
переменными в правой части.
3. Построить имитационную модель для решения приведенного
дифференциального уравнения в пакете MATLAB и анализа динамики объекта, соответствующего этому уравнению.
4. Запустить решение дифференциального уравнения и получить графики переходных процессов в исследуемой системе.
5. Рассмотреть моделирование в ускоренном или замедленном
масштабах, если это указано в варианте индивидуального задания.
6. Сформулировать выводы.
3.4. Варианты индивидуальных заданий
Методом имитационного моделирования в пакете MATLAB выполнить анализ динамики объекта, заданного дифференциальным
уравнением.
Варианты дифференциальных уравнений объектов
Номер
варианта
Исследовать динамику объекта,
описываемого следующим
дифференциальным уравнением
Исходные данные
(начальные условия)
1
ó ¢¢(t) + 4y ¢(t) + 4y(t) = 0
y(0) = 3; y ¢(0) = -1;
2
ó ¢¢(t) + 4y ¢(t) + 29y(t) = 0
y(0) = 0; y ¢(0) = 15;
3
ó ¢¢(t) + 2y ¢(t) + y(t) = 0
y(0) = 4; y ¢(0) = 2;
4
ó ¢¢(t) + 2y ¢(t) = åt (t2 + t - 3)
y(0) = 2; y ¢(0) = 2;
5
ó ¢¢(t) + y(t) = –sin(2t)
y(π) = 1; y ¢(0) = 1.
6
ó ¢¢(t) + y ¢(t) = 2(1 - t)
y(0) = 1; y ¢(0) = 1;
32
Окончание
Номер
варианта
Исследовать динамику объекта,
описываемого следующим
дифференциальным уравнением
7
ó ¢¢¢(t) + y ¢(t) = 0
8
ó
(5)
Исходные данные
(начальные условия)
y(0) = 2; y ¢(0) = 0;
ó ¢¢(0) = -1;
y(0) = ó ¢¢(0) = 0; y ¢(0) = 1;
(t) + y ¢(t) = 0
ó ¢¢¢(0) = 1; ó(4) (0) = 2.
9
ó ¢¢¢(t) + 2ó ¢¢(t) + 10y ¢(t) = 0
10
ó ¢¢¢(t) + 2ó ¢¢(t) + y ¢(t) = 4(sin t + cos t)
- 2t
y(0) = 2; y ¢(0) = 1;
ó ¢¢(0) = 1;
y(0) = 1; y ¢(0) = 0;
ó ¢¢(0) = -1;
y(0) = 2; y ¢(0) = 1;
11
ó ¢¢¢(t) + 2ó ¢¢(t) + y ¢(t) = -2e
12
ó ¢¢¢(t) + 3y ¢(t) = 3(2 - t2 )
y(0) = y ¢(0) = ó ¢¢(0) = 1;
13
ó3 (t) ó ¢¢(t) = 1
y(-2) = 1; y ¢(-2) = -1;
14
2ó(t) ó ¢¢(t) = (ó ¢)2
y(-1) = 4; y ¢(-1) = 1;
ó ¢¢(0) = 1;
3.5. Отчет по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
цель работы;
исходные данные;
материалы соответствующих преобразований исходной математической модели и построения имитационной модели;
имитационную модель;
результаты анализа динамики исходного объекта, заданного
дифференциальным уравнением;
выводы.
33
3.6. Контрольные вопросы
1. Какие способы математического описания объектов применяются в автоматическом управлении?
2. Какие известные способы решения дифференциальных уравнений применяются при имитационном моделировании? Преимущества и недостатки этих способов.
3. Какие исходные данные надо знать, чтобы получить график
переходного процесса в исследуемой системе или объекте?
4. Какова методика решения дифференциального уравнения методом понижения порядка производной?
5. Как выполняется моделирование в ускоренном или замедленном масштабах времени?
6. Как выполняется масштабирование физических переменных
в имитационных моделях?
7. Как можно проверить результат решения дифференциального
уравнения?
8. Почему на практике не применяется метод повышения порядка при решении дифференциальных уравнений?
9. Построить имитационную модель для решения дифференциального уравнения:
а) y ¢(t) - y(t) = 1; б) y ¢(t) = 3; в) y ¢¢(t) -1 = 0; г) y ¢(t) = 2 sin t.
34
Лабораторная работа № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ АДЕКВАТНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ
И ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ САР
Цель работы: по заданной эталонной системе автоматического
регулирования разработать дискретную модель и оценить их адекватность.
4.1. Основные теоретические сведения
Бурное развитие микропроцессорной техники в последние годы
повсеместно привело к использованию цифровых вычислительных
машин (ЦВМ) и контроллеров в качестве корректирующих и управляющих устройств систем автоматического регулирования. Программируемость ЦВМ значительно облегчает создателям систем
автоматического управления (САУ) решение проблемы по обеспечению требуемых параметров систем особенно в условиях меняющегося характера их эксплуатации.
По принципу организации действий ЦВМ является вычислительным устройством дискретного действия, вследствие чего вся система регулирования при включении в ее контур ЦВМ становится
дискретной системой. В процессе функционирования ЦВМ производит необходимые вычислительные операции в дискретные моменты
времени t = 0, T, 2t, 3T и т. д., где T – такт дискретизации. В период между решениями на выходе ЦВМ или сохраняется то решение,
которое было получено в начале рассматриваемого интервала, или
это решение экстраполируется по линейной, квадратичной и т.д. зависимостям. В любом случае непрерывная функция управления f(t)
заменяется на выходе ЦВМ ступенчатой функцией f[nT].
Процесс превращения непрерывной функции в ступенчатую соответствует квантованию по времени. Вследствие цифрового представления непрерывной величины в ЦВМ имеет место также процесс квантования по уровню. Последнее объясняется тем, что
цифровое представление допускает только вполне определенные
фиксированные уровни сигналов, отличающиеся друг от друга на
единицу младшего разряда.
Квантование по времени делает всю систему регулирования дискретной, а квантование по уровню – нелинейной. Разработанные
в рамках теории автоматического управления аналитические методы исследований ограниченно пригодны для цифровых систем.
35
Поэтому одним из основных методов исследования цифровых систем управления следует считать их моделирование на вычислительных машинах различного класса.
В лабораторной работе в качестве объекта исследования выбрана
система автоматического регулирования, структурная схема которой приведена на рис. 4.1.
Приведенная структура содержит звенья, типичные для большинства САУ [8, 9]: измеритель (датчик) рассогласования (ИР), регулятор, исполнительный механизм (ИМ), объект регулирования
(ОР), корректирующее звено в цепи местной обратной связи (КОС).
Передаточные функции звеньев:
W1( p) = k11;
k
W 2( p) = 21 ;
p
W 3( p) =
k31
;
T31 p + 1
W 4( p) =
k41
;
T41 p + 1
W 5( p) = k51.
В данной лабораторной работе вектор выходных сопоставляемых
параметров эталонной непрерывной САУ и ее дискретной модели
предлагается ограничить двумя величинами: tП – временем переходного процесса (время регулирования) и ординатой y переходной
характеристики.
ИР
+
–
W1(p)
Регулятор
W2(p)
+
–
ИМ
ОР
W3(p)
W4(p)
W1(p)
КОС
W5(p)
W5(p) регулирования
Рис. 4.1. Типовая схема системы автоматического
36
При этом должны выполняться условия адекватности:
1) разность координат переходных процессов в эталонной системе yЭ и в модели yМ должна быть меньше заданной величины yЗ, то
есть должно выполняться
óÝ (t) - yM (T) £ yÇ, (4.1)
2) разность между временем переходного процесса в эталонной
системе tПЭ и в модели tПМ должна быть меньше заданной величины tЗ, то есть должно выполняться
tÏÝ - tÏÌ £ tÇ . (4.2)
В данной работе yЗ и tЗ задаются равными 0.05.
После несложных преобразований передаточная функция исследуемой САУ может быть представлена в виде:
W ( p) =
b0
3
a3 p + a2 p2 + a1 p + a0
a0 = b0 =
где
a1 =
a2 =
;
k11k21k31k41
;
T31T41
1 + k31k51
;
T31T41
T41 (k31k51 + 1) + T31
T31T41
(4.4)
(4.5)
;
a3 = 1 .
(4.3)
(4.6)
(4.7)
4.2. Пример расчета
Исходные данные:
K11 = 0.15; K21 = 8; K31 = 0.45; K41 = 5; K51 = 13.75;
T31 = 2; T41 = 0.25.
Вычисляем коэффициенты передаточной функции (4.3) по выражениям (4.4–4.7)
>>
>>
>>
>>
K11=0.15;
K21=8;
K31=0.45;
K41=5;
37
>>
>>
>>
>>
a0
>>
K51=13.75;
T31=2;
T41=0.25;
a0=K11*K21*K31*K41/(T31*T41)
= 5.4000
a1=(1+K31*K51)/(T31*T41)
a1 = 14.3750
>> a2=((K31*K51+1)*T41+T31)/(T31*T41)
a2 = 7.5938
>> a3=1;
>> b0=a0
b0 = 5.4000
>> w=tf([b0],[a3 a2 a1 a0])
Transfer function:
5.4
------------------------------s^3 + 7.594 s^2 + 14.38 s + 5.4
Теперь переходим от передаточной функции непрерывной
системы к передаточной функции ее дискретной модели, используя
команду c2d пакета программ MATLAB. Выбираем шаг дискретизации в пять и более раз меньшим, чем меньшая постоянная времени непрерывной системы.
>> t=0.2;
>> dw=c2d(w,t)
Transfer function:
0.0001024 z^2 + 0.0003729 z + 8.47e-005
--------------------------------------z^3 – 2.654 z^2 + 2.339 z – 0.6841
Sampling time: 0.5
Строим в одной системе координат все необходимые графики для
проверки
>> t=[0:0.2:15];
38
Готовим коридор для определения времени переходного процесса
>> w1=tf([1.05],[1])
Transfer function:
1.05
>> w2=tf([0.95],[1])
Transfer function:
0.95
Строим все четыре переходные функции в одной координатной
системе
>> step(w,dw,w1,w2)
Наносим сетку
>> grid
>>
В результате получим рис. 4.2.
Рис. 4.2. Переходные функции в исходной системе (непрерывная
плавная линия) и в ее дискретной модели (ступенчатая линия)
39
4.3. Методика выполнения лабораторной работы
1. Имеем эталонную непрерывную систему, заданную в виде
структурной схемы и известных передаточных функций.
2. Создаем ее дискретную модель (с помощью оператора dw=c2d(w,t)
см. выше).
3. Моделируем дискретную систему для выбранного значения
шага дискретизации t. Рекомендация: t надо выбирать наибольшим,
но меньше, меньшей постоянной времени в 5 и более раз (очень
маленький шаг – это увеличение времени счета).
4. Построить в одной системе координат общую картину взаимного расположения четырех графиков: графики переходных процессов (переходных функций) в исходной системе и ее дискретной
модели, а также графики линий ó = 1.05 и ó = 0.95 ( для определения времени окончания переходных процессов). Нанести сетку
(команда grid).
5. Проверить выполнение условий адекватности (4.1) и (4.2):
по разности координат переходных процессов;
по разности между временем переходного процесса в эталонной
системе и в модели.
Если хотя бы одно из них не выполняется вернуться к пункту 3 данной методики и изменить шаг дискретизации в меньшую
сторону.
6. Командой (Cntrl-Alt-PrtScr) или иной аналогичной по смыслу
командой снять копию графиков по п. 4 для дальнейшего перенесения в отчет по лабораторной работе.
7. Сформулировать выводы.
4.4. Задание на лабораторную работу
Определить свой вариант индивидуального задания, воспользовавшись таблицей.
Таблица
Коэффициенты передачи и постоянные времени структурных звеньев
Номер
варианта
K11
K21
K31
K41
K51
T31
T41
1
0.4
4
6
0.9
1
0.7
1
2
0.5
3
1.5
2
4.83
2
0.38
3
3
0.65
1
2
1.1
1
0.15
4
1
2
1
3
3.5
1
1
40
Окончание табл.
Номер
варианта
K11
K21
K31
K41
K51
T31
T41
5
2
1
1.8
1
5
1
0.45
6
0.18
7
0.65
5
15
2
0.25
7
2
3
1
2
14.55
1.72
0.56
8
4
0.8
2
1
3
1
1
9
2.75
0.8
0.25
4
0.7
0.9
0.5
10
1.5
1.5
0.5
2
0.8
0.6
0.7
11
1
0.2
0.5
2
1.9
0.5
1.1
12
1.1
2.5
1.9
2
1
0.4
0.7
13
4
0.1
0.37
1.45
0.4
0.55
0.85
14
4
2.1
0.15
0.75
1
0.5
0.9
15
3
2
0.35
1
3.15
1.2
0.6
16
0.5
2
3
0.9
1
0.5
1.1
17
0.6
3
1.6
2
4.67
1
0.35
18
4
0.45
1
2
1.5
1
0.25
19
1
3
1
2
1
0.5
1
20
2
1
1.3
1
5
2
0.75
21
0.15
8
0.45
5
13.75
2
0.25
22
2
2
2
1
12.58
1.75
0.59
23
4
0.5
3
1
2
1
1
24
2.75
0.8
0.25
4
0.6
0.9
0.5
25
2.5
1.2
0.355
3
0.8
0.5
0.4
26
1
0.25
0.8
2.5
1.3
0.85
1.1
27
1.25
2
1.4
4
1
0.45
0.7
28
5
0.1
0.35
1.15
0.45
0.69
0.85
29
3
2.1
1.15
0.255
1
0.83
0.7
30
1
2
1.25
1.5
1.15
1
0.6
41
4.5. Отчет по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
цель работы;
исходные данные;
материалы разработки дискретной модели исходной системы регулирования;
графики переходных процессов в исходной системе и ее дискретной модели, построенные в одной системе координат;
результаты проверки выполнения условия адекватности;
выводы.
4.6. Контрольные вопросы
1. Чем отличаются дискретные системы от непрерывных систем?
2. Какой математический аппарат может быть применен для
описания дискретной системы?
3. Как из передаточной функции непрерывной системы в пакете
МАТLAB получить передаточную функцию дискретной системы?
4. Как выбирается шаг дискретизации в дискретной системе?
5. Какова разница между переходной функцией и переходным
процессом?
6. Приведите примеры дискретных систем.
7. Присутствие каких элементов в системе управления означает,
что рассматриваемая система дискретная?
42
Лабораторная работа № 5
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.
ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ
Цель работы: определение степени адекватности модели реальному объекту, у которого параметры получили приращения.
5.1. Основные теоретические сведения
После разработки модели, как правило, возникает вопрос о точности данной модели, то есть насколько ей можно доверять. В общем случае это весьма сложная задача, особенно в тех случаях, когда имеем дело с нелинейными системами. Для линейных систем
существуют методики оценки точности как временных характеристик модели объекта, так и ее частотных характеристик.
Из-за целого ряда причин реальные значения параметров системы всегда отличаются от расчетных (недостаток информации о реальных параметрах системы, старение элементов системы, влияние температуры и других факторов). С другой стороны, в процессе
разработки модели всегда возникает вопрос, какие элементы системы являются важными, а поэтому подлежат моделированию, а какие – нет.
Ответ на этот важный вопрос для линейных систем можно получить, если воспользоваться аппаратом теории чувствительности.
Под чувствительностью будем понимать свойство системы изменять свои выходные характеристики (показатели качества) при отклонении тех или иных параметров от своих расчетных значений.
Количественно это свойство системы или ее модели оценивается
с помощью функций, а в простых системах, – коэффициентов чувствительности.
Разберем понятие «функция чувствительности» и методику ее
получения на примере простейшей системы в виде апериодического
звена первого порядка.
Дифференциальное уравнение такой системы
T
dy(t)
+ y(t) = Kg(t). dt
(5.1)
Передаточная функция
Ô(s) =
Y (s)
K
=
.
G (s) 1 + Ts
(5.2)
43
Если на вход системы подать входной сигнал в виде единичного
скачка 1(t), на выходе получим переходную функцию системы h(t).
Получим аналитическое выражение для переходной функции на
выходе рассматриваемой системы в виде рассматриваемого апериодического звена. Для этого воспользуемся известным из литературы
[9, 10] операторным методом решения дифференциального уравнения (5.1).
Как известно, передаточная функция это не что иное, как отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины при нулевых начальных условиях,
то есть
Ô(s) =
поэтому
L{y(t)}
,
L{ g(t)}
L{y(t)} = Ô(s)L{ g(t)} (5.3)
Если в качестве входной величины g(t) рассмотреть единичный
скачок 1(t), преобразование Лапласа которого [8, 9]
1
L{y(t)} = ,
s
то выходная координата системы – переходная функция, точнее ее
преобразование Лапласа
K 1
1
L{y(t)} = h(s) = Ô(s)L{1(t)} = Ô(s) =
.
s (1 + Ts) s
(5.4)
Тогда оригинал переходной функции можно получить после следующего обратного преобразования
t
ì
ü
ï
ï
K
ï
h(t) = L-1 ï
í
ý = K(1 - å T ). ï
ï (1 + Ts)s ï
ï
î
þ
(5.5)
В выражении (5.5) К и Т – это коэффициент усиления и постоянная времени. Величины К и Т – это номинальные (расчетные)
значения этих параметров. Однако в процессе изготовления системы или ее эксплуатации эти параметры, как правило, получают
отклонения ΔK и ΔT от номинальных значений.
С учетом наличия этих отклонений естественно представить переходную функцию в виде двух слагаемых
44
h(t, K + ΔK,T + ΔT) = h(t, K,T) + Δh(t, ΔK, ΔT), (5.6)
где Δh(t, ΔK, ΔT) – составляющая реакции системы, обусловленная
существованием отклонений ΔK, ΔT . Первое слагаемое в правой
части выражения (5.6) называется основным движением системы,
а второе – дополнительным.
С другой стороны, если разложить функцию h(t) в ряд Тейлора
вокруг точки h(t,K,T), получим
h(t, K + ΔK,T + ΔT) =
¶h(t, K + ΔK,T + ΔT)
ΔK + ¶K
= h(t, K,T) +
+
(5.7)
¶h(t, K + ΔK,T + ΔT)
ΔT + R (t, ΔK, ΔT),
¶T
где частные производные в (5.7) вычисляются при равных нулю
отклонениях ΔK, ΔT , а R (t, ΔK, ΔT) – остаток ряда.
Частные производные
µ K (t) =
¶h(t, K + ΔK,T + ΔT
¶h(t, K + ΔK,T + ΔT)
и µT (t) =
(5.8)
¶K
¶T
также вычисляются при равных нулю отклонениях ΔK, ΔT и в
теории чувствительности [8, 10] называются функциями чувствительности первого порядка.
Для системы с передаточной функцией (5.2) на основании (5.5)
справедлива запись
-
t
h(t, K + ΔK,T + ΔT) = (K + ΔK)(1 - å T +ΔT ). (5.9)
Тогда функции чувствительности (5.8) выражения (5.9) будут
иметь вид
-
µ K (t) = 1 - å
t
T;,
µT (t) = K(-
t
T2
-
å
t
T ). (5.10)
Из выражений (5.6),(5.7) и (5.10) ясно, что дополнительное движение выходной координаты Δh(t) при условии, что остаток ряда
(5.7) близок к нулю определяется выражением
Δh(t, ΔK, ΔT) = µ K (t) ΔK + µT (t) ΔT. (5.11)
Построить график ошибки предсказания поведения объекта по
выражению
y(t) = 100 * ((y4(t) - y3(t)) / y4(t).
45
5.2. Примеры построения графиков
Задаем следующие исходные данные К = 10; Т = 1с; ΔK =AK = 2
и ΔT = AT =0.2c.
Программа построения графиков функций в пакете MATLAB 6.5
[3,4] такова:
>> t=0:0.1:10;
>> K=10;
>> T=1;
>> AK=2;
>> AT=0.2;
>>y1=K*(1-exp(-t/T));
>> y2=(1-exp(-t/T))*AK+K*(-t/(T*T).*exp(-t/T))*AT;
>> y3=y1+y2;
>> y4=(K+AK)*(1-exp(-t/(T+AT)));
>> plot(t,y1,t,y2,t,y3,t,y4)
>>grid on
>>y5=100*(y4-y3)/y4;
>>plot(t,y5)
>>grid on
Графики, построенные по этой программе, имеют вид, показанный на рис. 5.1 и 5.2.
Рис. 5.1. Графики функций: у2(t) – нижний график; у1(t) – второй снизу
график; у3(t) и у4(t) – два верхних графика (практически совпали)
46
Рис. 5.2. График ошибки предсказания динамики объекта
5.3. Методика выполнения лабораторной работы
1. Определить свой номер варианта индивидуального задания.
2. Значения К, Т, ΔK и ΔT, указанные в заданном преподавателем
варианте задания, подставить в передаточную функцию (5.2).
3. Получить выражение изображения Лапласа переходной функции соответствующей выражению (5.2) (выражение (5.4)).
4. Получить оригинал переходной функции (выражение (5.5)).
5. Разложить оригинал переходной функции в ряд Тейлора в окрестности номинальных значений параметров (выражение (5.7)).
6. Получить функции чувствительности первого порядка от переходной функции по заданным параметрам (выражения (5.8)–(5.10)).
7.Построить в одной системе координат 4 графика (с использованием MATLAB или MATCAD):
у1= h(t) – исходная переходная функция (выражение (5.5));
у2 = Δh(t, ΔK, ΔT) – предсказываемое отклонение исходной переходной функции (выражение (5.11));
у3 = h(t, K + ΔK, T + ΔT) – вид переходной функции, предсказываемый с помощью аппарата теории чувствительности (если параметры К и Т получат приращения, выражения (5.6) с учетом (5.5),
(5.10) и (5.11));
47
у4 = h(t,K + ΔK,T + ΔT) – аналитически рассчитанный вид переходной функции (если параметры К и Т получат приращения, выражение (5.9).
7. Построить график ошибки предсказания по выражению
y(t)=100 * (y4(t) – y3(t))/y4(t).
8. Выводы:
сопоставить у1, у3 и у4;
подобрать по технической литературе устройство, у которого
либо дифференциальное уравнение имеет вид, аналогичный выражению (5.1), либо передаточная функция соответствует выражению (5.2).
Разобраться и объяснить, как у данного устройства вычисляются
параметры, аналогичные К и Т в выражениях (5.1) и (5.2).
5.4. Варианты индивидуальных заданий
Таблица
Исходные данные к лабораторным работам № 5 и № 6
Номер
варианта
К
Т
Приращение ΔÊ
Приращение ΔÒ
1
10
1
1
0
2
10
1
0
0.2
3
10
1
1
0.2
4
10
1
–1
0.2
5
5
1
0.5
0
6
5
1
0
–0.2
7
5
1
0.5
–0.2
8
5
1
–0.5
–0.2
9
–10
0.5
1
0
10
–10
0.5
0
0.1
11
–10
0.5
1
0.1
12
–10
0.5
–1
0.1
48
Окончание табл.
Номер
варианта
К
Т
Приращение ΔÊ
Приращение ΔÒ
13
–5
0.5
0.5
0
14
–5
0.5
1.0
–0.1
15
–5
0.5
0.5
–0.1
16
–5
0.5
–0.5
–0.1
17
50
5
–5
1
18
–50
5
5
–1
19
50
5
5
–1
20
–50
5
–5
1
5.5. Отчет по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
цель работы;
исходные данные;
вывод выражений (5.1)–(5.11) для построения графиков изменения соответствующих координат исследуемых процессов;
графики сопоставляемых и анализируемых процессов y(t), у1(t),
y2(t), y3(t)–у4(t);
построить график ошибки предсказания по выражению y(t) =
= ((y4(t) – y3(t)) : y4(t)*100;
описание технического устройства, у которого либо дифференциальное уравнение имеет вид, аналогичный выражению (5.1), либо передаточная функция соответствует выражению (5.2);
выводы.
5.6. Контрольные вопросы
1. Какие способы оценки адекватности модели и объекта существуют?
2. Какая связь между дифференциальным уравнением и передаточной функцией?
3. Что такое функции чувствительности и как они получаются?
4. Какова методика применения операторного метода решения
дифференциальных уравнений?
49
5. Прокомментируйте полученный в работе график ошибки предсказания поведения объекта по его модели?
6. Какая разница между весовой функции и переходной функции?
7. Что понимается под дополнительным движением в системе
управления?
8. Какая разница между абсолютной ошибкой и относительной?
9. Получите функции чувствительности для объекта с передаточной функцией Ф(t) = K/Ts.
10. Получите функции чувствительности для объекта с передаточной функцией Ф(t) = (Ks + 1)/(Ts + 1).
50
Лабораторная работа № 6
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ.
ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТЬ
Цель работы: определение степени адекватности модели реальному объекту, у которого параметры получили приращения (частотная область).
6.1. Основные теоретические сведения
Для линейных систем существуют методики оценки точности
как временных характеристик модели объекта, так и ее частотных
характеристик. Один из наиболее эффективных аппаратов, применяемый для оценки точности – аппарат теории чувствительности,
подробно рассмотренный ранее в лабораторной работе «Анализ точности математической модели. Временная область» может быть распространен и на частотную область.
По аналогии с рассмотренными ранее функциями чувствительности временных характеристик существуют функции чувствительности частотных характеристик.
К основным частотным характеристикам систем и их звеньев относят [1] амплитудные частотные характеристики (АЧХ) и фазовые
частотные характеристики (ФЧХ). Выражения для их вычисления
получаются из частотной передаточной функции звена. Рассмотрим
процедуру получения АЧХ и ФЧХ на конкретном примере.
Пусть имеем апериодическое звено с передаточной функцией
Ô(s) =
Y (s)
K
=
.
G (s) 1 + Ts
(6.1)
Прежде чем анализировать частотные характеристики такой системы, получим выражения, по которым эти частотные характеристики обычно вычисляются.
Для этого из выражения (6.1) получают частотную передаточную
функцию, заменив оператор s на произведение jω.
K
W ( jω) =
.
(6.2)
1 + Tjω
В свою очередь, частотная передаточная функция может быть
представлена в виде [3]
W ( jω) = U (ω) + jV (ω) = A (ω)å jθ , (6.3)
51
где U(ω) и V(ω) вещественная и мнимая составляющие частотной
передаточной функции, одновременно А(ω) – модуль частотной характеристики, θ (ω) – аргумент или фаза частотной характеристики.
Для вычисления А(ω) и θ (ω) справедливы следующие выражения:
À (ω) = U (ω)2 + V (ω)2 ; θ(ω) = arctg
(6.4)
V (ω)
.
U (ω)
(6.5)
Если построить графики зависимостей А(ω) и θ (ω), получим соответственно амплитудную (АЧХ) и фазовую (ФЧХ) частотные характеристики.
Получим отмеченные выше частотные характеристики (А(ω) и
θ (ω)) для рассматриваемого примера с передаточной функцией (6.1).
Чтобы выделить в этом выражении мнимую и комплексную части
умножают числитель и знаменатель на сопряженный знаменатель.
После некоторых преобразований можно получить выражение
W ( jω) =
K
2 2
1+T ω
-j
TKω
1 + T 2 ω2
.
(6.6)
Сопоставив выражения для частотных передаточных функций
(6.4) и (6.6) становится очевидным, что
U (ω) =
K
1 + T 2 ω2
V (ω) = ;
(6.7)
.
(6.8)
TKω
1 + T 2 ω2
Тогда с помощью формул (6.4) и (6.5) и после некоторых преобразований получим следующие формулы для вычисления частотных
характеристик применительно к рассматриваемому примеру (6.1)
À (ω) =
K
1 + T 2 ω2
,
θ(ω) = -arctgTω. (6.9)
(6.10)
Таким образом, выше получены выражения для вычисления
соответственно амплитудной (АЧХ) и фазовой (ФЧХ) частотных
характеристик.
52
В выражении (6.9) и (6.10) К и Т – это коэффициент усиления и
постоянная времени. Величины К и Т – это номинальные (расчетные)
значения этих параметров. Однако в процессе изготовления системы
или ее эксплуатации эти параметры, как правило, получают
отклонения ΔK и ΔT от номинальных значений.
С учетом наличия этих отклонений естественно предполагать
(предсказать), что и амплитудная и фазовая частотные характеристики тоже получат отклонения или иначе приращения. Для
предсказания возможных приращений частотных характеристик А(ω) и θ(ω) при наличии приращений ΔK и ΔT выражения (6.9) и (6.10) должны быть преобразованы к виду
AÏ (ω, K + ΔK,T + Δ) = A (ω) + ΔA (ω); (6.11)
θÏ (ω, K + ΔK,T + ΔT) = θ(ω) + Δθ(ω). (6.12)
где ΔA, Δθ – это приращения соответственно амплитудных и фазовых частотных характеристик, возникшие из-за приращений ΔK
и ΔT параметров K и T передаточной функции (6.1).
Как известно из теории чувствительности [8, 10], возможные
(предсказываемые) теорией чувствительности отклонения ΔA, Δθ
могут быть определены по следующим выражениям:
ΔÀ (ω) = µ kA (ω) ΔK + µTA (ω) ΔT; (6.13)
θ
Δθ(ω) = µθK (ω) ΔK + µT
(ω) ΔT, (6.14)
A
, µTA – функции чувствительности от амплитудной частотной
где µ K
θ
–
характеристики по параметрам К и Т соответственно; µθÊ , µÒ
функции чувствительности от фазовой частотной характеристики
по параметрам К и Т соответственно; ΔÊ, ΔÒ – отклонения параметров К и Т от их номинальных значений.
Сами функции чувствительности представляют собой [8, 9, 10]
соответствующие частные производные от АЧХ и ФЧХ (формулы (6.11)
и (6.12)), вычисленные при равных нулю ΔK , ΔT . Выражения для
этих функций чувствительности после преобразований имеют вид
¶À
1
=
;
¶Ê
1 + T 2 ω2
(6.15)
¶À
KTω2
=;
¶Ò
(1 + T2ω2 )3
(6.16)
A
µK
(ω) =
µTA (ω) =
53
¶θ
= 0; ¶Ê
(6.17)
¶θ
ω
=.
¶Ò
1 + T 2 ω2
(6.18)
µθK (ω) =
θ
µT
(ω) =
Таким образом, выражения (6.11)–(6.14) вместе с (6.15)–(6.18)
позволяют определять предполагаемые значения амплитудной
частотной А(ω) и фазовой частотной θ(ω) характеристик при возникновении вариаций ΔK, ΔT. .
В данной лабораторной работе предполагаемые (прогнозируемые)
значения амплитудной частотной А(ω) и фазовой частотной θ(ω)
характеристик должны быть сопоставлены с реальными их значениями(также вычисленными для случая, когда параметры К и Т
получили отклонения ΔK и ΔT ). Последние вычисляются по
выражениям, аналогичным (6.9) и (6.10), однако, параметры К и Т
в этих выражениях необходимо заменить на К + ΔK и Т + ΔT, то
есть по выражениям
À (ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ) =
K + ΔÊ
1 + (T + ΔÒ)2 ω2
;
θ(ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ) = -arctg(T + ΔÒ)ω. (6.19)
(6.20)
Для того чтобы сопоставление прогнозируемых АЧХ и ФЧХ
(с учетом наличия ΔK, ΔT) и теоретических их значений (тоже
с учетом наличия ΔK, ΔT, формулы (6.19) и (6.20)) носило объективный характер вычисляются оценки погрешностей предсказания по
формулам:
а) погрешность вычисления амплитудной частотной характеристики
δ À (ω) = ÀÏ (ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ) - À (ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ); (6.21)
б) погрешность вычисления фазовой частотной характеристики
δ θ (ω) = θÏ (ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ) - θ(ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ). (6.22)
Таким образом, предложена математическая модель (6.11)–(6.14)
для вычисления частотных характеристик рассматриваемого объекта (1) с учетом возможных изменений его параметров К и Т. Оценка ошибок этой модели (оценка точности) может быть выполнена по
выражениям (6.21) и (6.22).
54
6.2. Пример выполнения расчетов и построения графиков
Задаем следующие исходные данные К = 10; Т = 1с; ΔK = AK = 2
и ΔT = AT = 0.2c.
Ведем следующие обозначения для написания программы вычислений в пакете MATLAB по формулам (приведенным выше):
АМК, АМТ, GMK,GMT функции чувствительности, вычисляемые
по выражениям (6.15) – (6.18) соответственно.
Программа для построения графиков функций в пакете
MATLAB 6.5 [3,4] и сами графики приведены ниже.
Исходные данные
>>
>>
>>
>>
>>
K=10;
T=1;
AK=2;
AT=0.2;
ω=0:1:500;
Полученные ранее функции:
W ( jω) =
K
2 2
1+T ω
À (ω) =
µTA (ω) =
1 + T 2 ω2
K
1 + T 2 ω2
;
;
(6.6)
(6.9)
(6.10)
¶À
1
=
;
¶Ê
1 + T 2 ω2 (6.15)
¶À
KTω2
=;
¶Ò
(1 + T2ω2 )3
(6.16)
¶θ
= 0; ¶Ê
(6.17)
¶θ
ω
=.
¶Ò
1 + T 2 ω2
(6.18)
TKω
θ(ω) = -arctgTω; A
µK
(ω) =
-j
µθK (ω) =
θ
µT
(ω) =
55
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
T=1;
K=10;
AT=0.2;
AK=2;
w=0:1:50;
A1=K./sqrt(1+(T*w).^2); |
Q1=-atan(T*w);
plot(w,A1,w,Q1);
grid on
Рис. 6.1. Исходные амплитудная (верхняя) и фазовая (нижняя)
частотные характеристики
>>
>>
>>
>>
>>
AMK=1./sqrt(1+(T*w).^2);
AMT=-(K*T*(w).^2)./sqrt((1+(T*w).^2).^3);
QMK=0;
QMT=-w./(1+(T*w).^2);
A2=1./sqrt(1+(T*w).^2)*AK-(K*T*(w).^2)./
sqrt((1+(T*w).^2).^3).*AT;
>> plot(w,A1,w,A2);
>> Q2=-w./(1+(T*w).^2).*AT;
>> plot(w,Q1,w,Q2);
>>A3=A1+A2;
>> A4=(K+AK)./sqrt(1+((T+AT)*w).^2);
>> plot(w,A1,w,A2,w,A3,w,A4);
>> grid
56
Рис. 6.2. Амплитудные частотные характеристики А2(ω) – нижний
график, А1(ω) – средний график и А3(ω), А4(ω) – два верхних графика,
практически совпадающих, графика
>>Q3=Q1+Q2;
>> Q4=-atan((T+AT)*w);
>> plot(w,Q1,w,Q2,w,Q3,w,Q4);
>> grid
Рис. 6.3. Фазовые частотные характеристики Q2(ω) – верхний график,
Q1(ω) – средний график и Q3(ω), Q4(ω) – два нижних, практически
совпадающих, графика
57
>> d1=(A4-A3)
>> plot(w,d1);
>> grid
Рис. 6.4. График абсолютной ошибки по АЧХ
>> d2=Q4-Q3;
>> plot(w,d2);
>> grid
Рис. 6.5. График абсолютной ошибки по ФЧХ
58
Вывод
Отклонения рассмотренных характеристик лежат в пределах 5%.
Следовательно, вариация параметра T не приводит к значительным
изменениям частотных характеристик системы. Модель обладает
хорошей точностью, что подтверждает результаты, полученные при
исследовании переходного процесса.
6.3. Методика выполнения работы
1. Определить свой номер варианта индивидуального задания.
Значения К, Т, ΔK и ΔT , указанные в заданном преподавателем
варианте задания, подставить в передаточную функцию (6.1).
2. Получить комплексную частотную передаточную функцию
(6.6) САУ из передаточной функции (6.1).
3. Получить выражение для АЧХ – амплитудной частотной
характеристики А(ω) (выражение (6.9)).
4. Получить выражение для ФЧХ – фазовой частотной
характеристики θ(ω) (выражение (6.10)).
5. Получить функции чувствительности первого порядка от АЧХ
и ФЧХ по заданным параметрам (выражения (6.15)–(6.18)).
6. Построить в одной системе координат 3 следующих графика
(с использованием MATLAB или MATCAD):
у1(ω) = А(ω) – исходная АЧХ, вычисленная по выражению (6.9);
у2(ω) = Ап(ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ)) – предсказываемая АЧХ, вычисленная по выражению по (6.11) с учетом (6.13), (6.15) и (6.16);
у3(ω) = А(ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ)) – реальная АЧХ (если параметры
К и Т получат приращения ΔK и ΔT) , вычисленная по выражению (6.19).
7. Построить в одной системе координат 3 следующих графика
(с использованием MATLAB или MATCAD):
у4(ω) = θ(ω) – исходная ФЧХ, вычисленная по выражению (6.10);
у5(ω) = θÏ (ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ) – предсказываемая ФЧХ, вычисленная по выражению (6.12) с учетом (6.14), (6.17) и (6.18);
у6(ω) = θ(ω, Ê + ΔÊ,Ò + ΔÒ) – реальная ФЧХ (если параметры К
и Т получат приращения ΔK и ΔT), вычисленная по выражению (6.20).
8. Построить графики ошибок предсказания по выражениям
(6.21) и (6.22):
y7(ω) = y3(ω) – y2(ω);
y8(ω) = y6(ω) – y5(ω).
9. Сформулировать выводы.
59
6.4. Варианты индивидуальных заданий
Исходные данные приведены в табл. 5.1 лабораторной работы № 5.
6.5. Отчет по лабораторной работе
Отчет должен содержать:
цель работы;
исходные данные;
материалы вывода выражений ((6.1)–(6.10)) для построения графиков соответствующих координат исследуемых процессов;
графики сопоставляемых и анализируемых процессов, полученных по выражениям (6.9), (6.10), (6.13), (6.14), (6.19), (6.20), (6.21),
(6.22);
выводы.
6.6. Контрольные вопросы
1. Какие способы оценки адекватности модели и объекта существуют?
2. Какая связь между дифференциальным уравнением и передаточной функцией и частотными характеристиками?
3. Что такое функции чувствительности и как они получаются?
4. Какова методика получения частотных характеристик системы по ее передаточной функции?
5. Прокомментируйте полученный в работе график ошибки предсказания поведения объекта по его модели.
6. Какая разница между амплитудной и фазовой частотными характеристиками?
7. Что понимается под дополнительным движением в системе
управления?
8. Какая разница между абсолютной и относительнойошибкой?
9. Получите функции чувствительности для объекта с передаточной функцией Ф(t) = K/Ts.
10. Получите функции чувствительности для объекта с передаточной функцией Ф(t) = (Ks + 1)/(Ts + 1).
60
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ список
1. Дъяконов В. П. МАТЛАБ 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике
и моделировании. М.: СОЛОН Пресс, 2003. 576 с.
2. Курбатова Е. А. MATLAB 7. Самоучитель. М.: Издательский
дом «Вильямс», 2006. 256 с.
3. Юревич Е. И. Теория автоматического управления: Учебник.
СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 560 с.
4. Дэбни Дж. Simulink 4. Секреты мастерства / Пер. с англ. М. Л. Симонова. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 403 с.
5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике
для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1998. 608 с.
6. МАТLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5 в математике и моделировании. Полное руководство пользователя. М.: СОЛОН-Пресс, 2003.
576 с.
7. Мироновский Л. А., Петрова К. Ю. Введение в MATLAB: учеб.
пособие. СПб.: СПбГУАР, 2006. 68 с.
8. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.
9. Дорф П., Бишоп Р. Современные системы управления. М.:
Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 832 с.
10. Пономарев М. В., Литвинов А. П. Основы автоматического
регулирования: учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1974. 439 с.
61
Содержание
Предисловие............................................................... 3
Лабораторная работа № 1. Математическое моделирование
динамики объекта....................................................... 4
Лабораторная работа № 2. Имитационная модель генератора
непрерывной дифференцируемой функции...................... 17
Лабораторная работа № 3. Исследование поведения объекта,
заданного дифференциальным уравнением ..................... 23
Лабораторная работа № 4. Исследование адекватности непрерывных и дискретных линейных сар............................. 35
Лабораторная работа № 5. Анализ точности математической
модели. Временная область........................................... 43
Лабораторная работа № 6. Анализ точности математической
модели. Частотная область............................................ 51
Библиографический список........................................... 61
62
Учебное издание
Акопов Владимир Сергеевич
моделирование систем
в matlab
Лабораторный практикум
Редактор А. В. Подчепаева
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 19.10.12. Подписано к печати 20.12.12.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,72.
Уч.-изд. л. 4,0. Тираж 100 экз. Заказ № 685.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
63
Для заметок
64
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
3 231 Кб
Теги
02b9ad81d0, akopov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа