close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

alekseev 0C18B1210E

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
Компьютерная обработка
результатов эксперимента
(КОРЭ)
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Санкт-Петербург
2009
Составитель кандидат технических наук А. В. Алексеев
Рецензент доктор технических наук Э. А. Пиль
Методические указания по подготовке и проведению цикла лабораторных работ по дисциплине «КОРЭ» (компьютерная обработка
результатов эксперимента) излагают методы идентификации вероятностных моделей случайных процессов и построения авторегрессионной модели для стационарных случайных процессов.
Предназначены для студентов специальности 230104 «Системы
автоматизированного проектирования» всех форм обучения.
Подготовлены кафедрой системного анализа и логистики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом СанктПетербургского государственного университета аэрокосмического
приборостроения.
Редактор А. Г. Ларионова
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 09.10.09. Подписано к печати 26.10.09.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печ. л. 1,9.
Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 50 экз. Заказ № 684.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2009
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
В практике анализа различных физических явлений при проведении испытаний (исследовательских, проверочных и т. д.) технических систем на современном этапе научно-технического прогресса получили широкое распространение методы теории вероятности
и математической статистики.
Весьма важной является задача статистического анализа при
автоматизации исследований и испытаний сложных систем автоматического управления, сложность которых и требования по точности, надежности и долговечности непрерывно возрастают. Оказывается уже недостаточным оценивать их поведение при системе
действующих сил, моментов и возмущений, пользуясь детерминированными и вероятностными математическими моделями, основанными только на теории стационарных случайных процессов
(СП). Неучет нестационарности СП, проявляющейся, как правило,
в зависимости среднего значения и дисперсии процесса от времени
при оценивании значений вероятностных характеристик (ВХ) процесса, зачастую приводит к возникновению сколь угодно больших
погрешностей измерения и неправильной интерпретации полученных результатов.
Трудности анализа нестационарных случайных процессов (НСП)
при проведении испытаний технических систем и их компонентов
связаны, прежде всего, с тем, что, как правило, имеется одна выборочная реализация процесса в силу сложности или невозможности
повторения эксперимента. Отсутствует достаточно полная априорная информация об исследуемом процессе. В этих условиях применение физических моделей объекта для получения ВХ затруднительно, и поэтому используются вероятностные модели.
Нестационарные случайные процессы удобно описывать с помощью феноменологической аддитивно-мультипликативной вероятностной модели вида
3
Y(t) = j1(t)·X(t) + j2(t), t Î [0,T ],
где j1(t) и j2(t) – тренды – неслучайные, детерминированные функции времени, определяющие законы изменения математического
ожидания и дисперсии процесса Y(t); X(t) – cтационарный эргодический процесс с вероятностными характеристиками: μx = 0,
Dx = 1, Rx(τ), Sx(ω).
Большое распространение на практике получили модели, являющиеся частными случаями аддитивно-мультипликативной феноменологической модели НСП:
– аддитивная, составляющая класс процессов, нестационарных
по математическому ожиданию:
Y(t) = X(t) + j2(t);
– мультипликативная, составляющая класс процессов, нестационарных по дисперсии:
Y(t) = j1(t)·X(t).
При проведении научно-технического эксперимента с помощью
ПЭВМ комплекс программных средств должен базироваться на методах, позволяющих при наличии всего одной выборочной реализации исследуемого процесса:
– обеспечить допустимую погрешность вычисления ВХ;
– выявить законы изменения присутствующих в процессе детерминированных составляющих;
– произвести статистическую обработку в условиях априорной
неопределенности относительно вида некоторых ВХ;
– произвести оперативный анализ ВХ.
4
Лабораторная работа № 1
Идентификация модели процесса
при обработке результатов эксперимента
Цель работы: изучение методов идентификации класса модели
случайного процесса с использованием ПЭВМ и статистических пакетов обработки результатов эксперимента.
Методические указания по подготовке к работе
При вычислении ВХ по одной реализации СП первая задача, которую необходимо решить, заключается в выборе модели процесса. При этом можно выдвинуть модели стационарного, локальностационарного или нестационарного процесса. Большинство результатов теории вероятности и математической статистики относятся к исследованию ССП или, другими словами, процессов,
достигших статистического равновесия.
Для ССП X(t) выполняются следующие условия.
1. Математическое ожидание μx(t) и дисперсия Dx(t) процесса
X(t) постоянны во времени:
μx(t) = μx, Dx(t) = Dx = σ2x для t Î [0,T ],
где σ2x – среднеквадратическое отклонение.
2. Корреляция между любыми двумя элементами процесса зависит только от расстояния во времени между этими наблюдениями
или от разности между их номерами:
Rx(t1, t2 – t1) = Rx(τ = 0) = Dx ≥ 0 для t Î [0,T ];
Rx(τ) = Rx(–τ), Rx(τ) < Dx.
В настоящее время хорошо разработан аппарат анализа ССП.
Отклонение от стационарности, например нестационарность по
математическому ожиданию или нестационарность по дисперсии,
приводит к погрешностям расчетов ВХ: корреляционная функция,
спектральная плотность мощности и т. д. Исходя из этого необходимо предварительно идентифицировать класс модели процесса.
В результате идентификации должна быть принята одна из моделей: процесс стационарный – ССП, процесс нестационарный по математическому ожиданию – аддитивный НСП, процесс нестационарный по дисперсии – мультипликативный НСП.
Один из возможных путей решения проблемы идентификации
вида модели связан с применением набора решающих правил (ста5
тистических гипотез) к исходному процессу X(t). Статистическая
гипотеза – это утверждение о некоторой ВХ исследуемого процесса. Примерами статистических гипотез являются предположения
о типе закона распределения наблюдаемой случайной величины,
о числовых значениях параметров распределения, о типе зависимости между наблюдаемыми величинами и др. Выдвинутую гипотезу называют нулевой или основной и обозначают H0, а противоположную ей гипотезу H1 называют альтернативной или конкурирующей. Методы проверки статистических гипотез называются
статистическими критериями.
Пусть выдвигается некоторая гипотеза H0 относительно модели
исследуемого процесса. Решение задачи заключается в вычислении
некоторой статистики критерия, которая имеет свое распределение
и правило принятия или отклонения гипотезы H0 с некой условной
вероятностью.

Предположим, что выборочное значение Z, являющееся
оцен
кой параметра Z, имеет плотность вероятности P(Z). Для простоты
возьмем нормальное (гауссово)
 распределение. Теперь, если гипотеза H0: Z = Z0 верна, то P(Z) должна иметь среднее значение
Z0

(рис. 1). Обычно представляет интерес
оценка
значения
Z
,
в
тер

минах некоторого интервала Z1< Z, < Z2, в который Z попадает с
заданной степенью достоверности, характеризуемой параметром α.
Такой интервал можно построить, если известно выборочное рас
пределение рассматриваемой оценки. Вероятность того, что Z,
окажется меньше нижней границы Z1, равна

P(Z < Z1 ) =
Z1
ò
-¥
  α
P(Z)dZ = ,
2

а вероятность того, что Z превзойдет верхнюю границу Z2, равна
1;
¨ÄÇÒ¹½ÕA
¨ÄÇÒ¹½ÕA ¨ÄÇÒ¹½ÕsA
;
;
Рис. 1
6
;
;
¥

  α
P(Z > Z2 ) = ò P(Z)dZ = .
2
Z2

Следовательно, вероятность того, что Z окажется вне интервала
[Z1, Z2], равна α.
Пусть теперь α настолько
мала, что представляется крайне не
правдоподобным выход Z, за пределы интервала [Z1, Z2]. Если вы
борка была такой, что вычисленное по ней значение Z оказалось
вне интервала, то появились бы серьезные основания сомневаться в
истинности исходной гипотезы
Z = Z0, поскольку в случае ее истин
ности такое значение Z было бы крайне неправдоподобным. Поэтому гипотезу Z = Z0 необходимо отвергнуть. С другой стороны, если

значение Z попадает в интервал, то нет никаких серьезных оснований для того, чтобы ставить под сомнение истинность исходной
гипотезы. Следовательно, гипотеза Z = Z0 может быть принята.
Вероятность α называется уровнем значимости критерия. Область значений Z, при которых гипотеза должна быть отвергнута,
называется областью отклонения гипотезы или критической областью.
Описанный выше простой критерий испытания называется
двухсторонним критерием, так как в том случае, когда гипотеза
неверна, значение Z может быть либо больше Z0, либо меньше. Следовательно, нужно проверять значимость отклонений Z от Z0 в обе
стороны. В других случаях достаточно бывает односторонних критериев. Например, пусть гипотеза состоит в том, что Z≥Z0. Следовательно, в критерии должна использоваться только
нижняя грани
ца, определяемая по плотности вероятности P(Z).
При проверке гипотез возможны два типа ошибок. Во-первых,
гипотеза может быть отклонена, хотя фактически она верна. Такая ошибка называется ошибкой первого рода. Во-вторых, гипотеза
может быть принята, хотя фактически она неверна. Такая ошибка называется ошибкой второго рода. На рис. 1 видно, что ошибка
первого рода
 происходит в том случае, когда при справедливости
гипотезы Z попадает в область ее отклонения. Следовательно, вероятность ошибки первого рода равна α, т. е. уровню значимости
критерия.
Для определения вероятности ошибки второго рода следует уточнить отклонение истинного значения параметра от постулируемого гипотезой и подлежащего проверке значения Z0. Предположим,
7
что истинный параметр равен либо Z = Z0+d, либо Z = Z0–d (рис. 2).
Если гипотеза состоит в том, что Z = Z0, тогда как
 на самом деле
Z= Z0+d или Z = Z0–d, то вероятность того, что Z попадает в область принятия гипотезы, заключенную между Z1 и Z2, равна β.
Следовательно, вероятность ошибки второго рода равна β при выявлении отклонений величиной +d или –d от гипотетического значения Z0.
Вероятность β называется мощностью критерия. Очевидно,
при любом заданном значении выборки N вероятность ошибки
первого рода может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения уровня значимости α. Однако при этом возрастает вероятность ошибки второго рода β, т. е. уменьшается мощность критерия. Единственный способ одновременно уменьшить и α и β состоит в увеличении
объема выборки N, используемой для вычисления

оценки Z. Такие соображения лежат в основе выбора нужного объема выборки в статистических экспериментах.
Статистическая гипотеза, являющаяся утверждением о параметрах конкретного вероятностного распределения, например о
среднем, дисперсии, коэффициенте корреляции и др., называется
параметрической.
Статистическая гипотеза называется непараметрической в случае, когда она является:
– утверждением о некоторых свойствах вероятностных распределений исследуемых процессов. Например, симметричности распределения, совпадении функций распределения двух или более
случайных величин, принадлежности выборки данному классу вероятностных распределений и т. д.;
– независимым от вида вероятностного распределения утверждением о параметрах случайных величин. Например, о равенстве двух
1;
¨ÄÇÒ¹½ÕB
¨ÄÇÒ¹½ÕsB
¨ÄÇÒ¹½ÕsB
;sE ;
;
Рис. 2
8
; ;E
;
и более средних арифметических или дисперсий при неизвестных
вероятностных распределениях этих случайных величин и т. д.
Если априори известно, что закон распределения исследуемого СП гауссов, то при идентификации класса НСП целесообразно
применять параметрические критерии с использованием принципа сложного критерия. Принцип сложного критерия заключается
в последовательной проверке гипотезы о стационарности относительно каждой его ВХ, а решение о классе СП выносится на основании результатов проверки ряда гипотез.
¦¾È¹É¹Å¾ËÉÁоÊÃÁ¾ÃÉÁ˾ÉÁÁ
¥ÆǼǻԺÇÉÇÐÆÔ¾
»ÌλԺÇÉÇÐÆÔ¾
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
Êɾ½Æ¾¼Ç
£ÉÁ˾ÉÁÁÇÊÆÇ»¹Æ
ÆԾƹɹƼǻÔÎ
ɹƼǻÔÎ
ÊÌÅŹέÉÁ½Å¹Æ¹
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
Êɾ½Æ¾¼Ç
£ÉÁ˾ÉÁÁÇÊÆÇ»¹Æ
ÆԾƹÀƹÃÇ»ÔÎ
ɹƼ¹Î¬ÁÄÃÇÃÊÇƹ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
Ëɾƽ¹
£ÉÁ˾ÉÁÂ
ªÁ½¿¾Ä¹s
«Õ×ÃÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
™ÆʹÉÁs
šÉÖ½ÄÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
£ÇÃʹs
«ÖÂĹ
ªËÕ×¹É˹
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
½ÁÊȾÉÊÁÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
„ÊÃĹ½ÆǼÇ
ÆÇ¿¹¥ÁÄľɹ”
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
½ÁÊȾÉÊÁÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
ÀƹÃÇ»s
™ºº¾
ɹÀÆÇÊËÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂÅÆÇ¿¾ÊË»¾ÆÆÔÎÊɹ»Æ¾
ÆÁÂÇÊÆÇ»¹ÆÆÔÂƹÊÌÅŹÎ
ɹƼǻ£É¹ÃÊþĹs¬ÇÄѹ
©¹Æ¼Ç»Ô¾
ÃÉÁ˾ÉÁÁ
§½ÆǻԺÇÉÇÐÆÔ¾
£ÉÁ˾ÉÁÂ
ɹÊʾØÆÁØ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
ÀƹÃÇ»
­ÁѾɹ
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
Êɾ½Æ¾¼Ç
ƹÃǻԾ
ÃÉÁ˾ÉÁÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
ʽ»Á¼¹
©¹Æ¼Ç»Ô¾
ÃÉÁ˾ÉÁÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
ÀƹÃÇ»ÔÎ
ɹƼǻ
¬ÁÄÃÇÃÊÇƹ
£ÉÁ˾ÉÁÂ
ɹƼǻÔÎ
ÊÌÅÅ
¬ÁÄÃÇÃÊÇƹ
Рис. 3
9
¨¹É¹Å¾ËÉÁоÊÃÁ¾ÃÉÁ˾ÉÁÁ
¥ÆǼǻԺÇÉÇÐÆÔ¾
§½ÆǻԺÇÉÇÐÆÔ¾
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
Êɾ½Æ¾¼Ç
'ÃÉÁ˾ÉÁÂ
ǽÆÇ͹ÃËÇÉÆǼÇ
½ÁÊȾÉÊÁÇÆÆǼÇ
¹Æ¹ÄÁÀ¹
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
½ÁÊȾÉÊÁÁ
£ÉÁ˾ÉÁÂÅÆÇ
¿¾ÊË»¾ÆÆÔÎ
Êɹ»Æ¾ÆÁÂÊɾ½
ÆÁΫÕ×ÃÁ®Ç
ÌÄĹs¿¾Âʹ
«¹ÎŹƹ
»ÌλԺÇÉÇÐÆÔ¾
£ÉÁ˾ÉÁÁƹÈɹ»Ä¾Æ
ÆԾƹÈÉÇ»¾ÉÃÌÃÇÆ
ÃɾËÆÔÎȹɹžËÉÇ»
£ÉÁ˾ÉÁÁš¹ÉËľË˹s £ÉÁ˾ÉÁÁ£ÇÃɾƹ
£¾Æ½¹ÄĹÃ̺Áо
Áš¹ÉËľË˹ÁÊ
ÊÃǼÇÃÇÉÆØÁÊ
ÈÇÄÕÀÌ×ÒÁ¾»ÔºÇ
ÈÇÄÕÀÌ×ÒÁ¾Ê˹ËÁ
ÉÇÐÆÔ¾½ÁÊȾÉÊÁÁ
ÊËÁÃÁËÁȹÎÁ
û¹½É¹ËÁ'ÇËÆÇ
ѾÆÁÂ
£ÉÁ˾ÉÁÂȹÉÆÔÎ
Êɹ»Æ¾ÆÁÂÊɾ½ÆÁÎ
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
Êɾ½Æ¾¼Ç
ªË¹ÏÁÇƹÉÆÇÊËÁ
½ÁÊȾÉÊÁÁ
£Ä¹ÊÊÁоÊÃÁÂ
ÃÉÁ˾ÉÁ­ÁѾɹ
£ÉÁ˾ÉÁªËÕ×
½¾Æ˹ÈÉÁž
ÆؾÅÔÂÈÉÁɹ
»¾ÆÊË»¾½ÁÊȾÉ
ÊÁÂÁƾÀ¹»ÁÊÁ
ÅÔλԺÇÉùÎ
£ÉÁ˾ÉÁ¬ÖÄй
ÈÉÁžÆؾÅÔÂ
ÈÉÁƾɹ»¾ÆÊË»¾
½ÁÊȾÉÊÁÂÁƾ
À¹»ÁÊÁÅÔλÔ
ºÇÉùÎ
£ÉÁ˾ÉÁªËÕ×
½¾Æ˹ÈÉÁž
ÆؾÅÔÂÈÉÁƾ
ɹ»¾ÆÊË»¾½ÁÊ
ȾÉÊÁÂÁÀ¹»ÁÊÁ
ÅÔλԺÇÉùÎ
;&5ÃÉÁ˾ÉÁÂ
ÈÉÁžÆؾÅÔ»ÊÄÌй¾
ÁÀ»¾ÊËÆÔνÁÊȾÉÊÁÂ
Рис. 4
Классификации наиболее распространенных непараметрических и параметрических критериев проверки статистических
гипотез о стационарности среднего и дисперсии представлены на
рис. 3 и 4 соответственно. Рассмотрим некоторые из этих критериев.
10
Критерии проверки гипотез о стационарности среднего
Критерий Аббе.
Критерий Аббе, называемый иногда критерием среднего квадрата последовательных разностей, применяется для проверки гипотезы H0 о стационарности среднего значения одинаково нормально
распределенных случайных величин Xi , i = 1, N. Параметры распределения μx и Dx неизвестны.
По имеющейся выборке Xi , i = 1, N оценивается Dx = σ2x двумя
способами.
Сначала рассматривается несмещенная оценка
S2 =
1 N-1
å (Xi - X2 ).
N -1 i=1
d2
Во втором способе для оценки σ2x применяется величина
,
2
где
d2 =
1 N
å (Xi+1 - Xi )2 .
N -1 i=1
Если гипотеза H0 верна, то
M (d2 ) =
1 N-1
å [D(Xi+1 ) - 2R(Xi+1, Xi ) + D(Xi )] = 2σ2x ,
N -1 i=1
где M – математическое ожидание, а D – дисперсия.
Если гипотеза H0 верна, то математическое ожидание и дисперсию статистики q =
d2
2S2
можно представить формулами
M (q) = 1, D(q) =
N -2
N2 -1
.
Причем, если N→∞, то статистика (q -1) (N 2 -1) / (N - 2)
распределена асимптотически по нормальному закону с параметрами μx = 0 и Dx = 1. Сокращенно обозначают N(0, 1). Сходимость к стандартному нормальному закону улучшается, если
воспользоваться нелинейным относительно q преобразованием
(q -1) (2N + 1) / (2 - (q -1)2 ).
В качестве альтернативы H0 часто рассматривают гипотезу H1,
по которой каждое последующее наблюдение положительно коррелировано с предыдущим, т. е. имеется тренд.
11
Если верна гипотеза H1, то знаменатель q больше числителя, и
поэтому значения этой статистики будут, как правило, меньше значений, наблюдаемых при справедливости гипотезы H0. Поэтому
для приближенных расчетов можно воспользоваться следующим
правилом:
– если последовательные значения независимы, то справедливо
соотношение q @ 2;
– если имеется тренд, то q<2, так как соседние значения ближе
друг к другу, чем отдаленные.
В случае, когда N>60, для вычисления qN(α) рекомендуется воспользоваться приближенной формулой
qN (α) @ 1 +
Uα
N + 0,5(1 + Uα2 )
,
где Uα – квантиль уровня значимости α стандартного нормального
распределения. Если q< qN(α), то гипотеза H0 отвергается. Если q≥
≥qN(α), то можно допустить, что наблюдения не содержат систематического сдвига математического ожидания. Случайная величина
T = (q -1) (2N + 1) / (2 - (q -1)2 )
при N→∞ распределена приближенно по нормальному закону с параметрами N(0, 1). Поэтому если T>Uα, то гипотезу H0 следует отвергнуть.
Критерий Стьюдента.
Критерий Стьюдента основан на анализе двух выборок:
X1i , i = 1, N1 и X2 j , j = 1, N 2 . Предположим, что они получены из
одной и той же нормальной генеральной совокупности. Проверим
эту гипотезу. На практике для проверки гипотезы о двух средних
нормальных генеральных совокупностях используется t-критерий
Стьюдента. Однако часто его применение некорректно, поскольку
предположение о дисперсии распределения опускается. Если же
принять во внимание имеющиеся данные о дисперсии, то математические выражения для вычисления t-критерия будут различными.
Различаются также необходимые в этом случае степени свободы.
Остановимся на этом более подробно. Обозначим μx1, μx2 и
σ2x1, σ2x2 – математические ожидания и дисперсии генеральных
совокупностей соответственно. Рассмотрим несколько случаев.
1. Гипотеза H0 : µ x2 = µ0 ; H1: µ x2 ¹ µ0 .
12
Пусть X2 – оценка μx2 и положим N1 = 1. Вычисляем
Т-статистику критерия:
T=
X2 - µ0
N2 .
S2
Степень свободы ν = N2 -1.
2. Гипотеза H0 : µ x1 = µ x2 , σ x1 = σ x2 ;
Вычисляем Т-статистику критерия:
T=
X2 - X1
S
1 / N1 + 1 / N2
, где S =
H1: µ x1 ¹ µ x2 .
(N1 -1)S12 + (N2 -1)S22
.
N1 + N2 - 2
Степень свободы ν = N1 + N2 - 2.
3. Гипотеза H0 : µ x1 = µ x2 , σ x1 ¹ σ x2 ;
Вычисляем Т-статистику критерия:
T=
H1: µ x1 ¹ µ x2 .
X2 - X1
S12 / N1 + S22 / N2
.
ïì
ïüï
(S12 / N1 + S22 / N2 )2
Степень свободы ν = íï 2
ý,
ïï (S / N )2 / (N + 1) + (S2 / N )2 / (N + 1) ïï
1
1
1
2
2
2
î
þ
где {W} – целая часть числа W.
4. Гипотеза H0 : µ x1 = µ x2 , никаких предположений о σ, N1, N2 ;
H1: µ x1 ¹ µ x2 .
Вычисляем Т-статистику критерия:
N2
T=
(X2 - X1 ) N2
S
å (X2i - X1i - (X2 - X1 ))2
, где S =
i=1
N2 -1
.
Степень свободы ν = N2–1.
В условиях справедливости гипотезы H0 статистика критерия T
подчинена t-распределению Стьюдента с ν степенями свободы. Если
вычисленное по выборкам значение статистики T принадлежит
критической области, т. е. | Ò |> t1-α /2 (ν), где t1-α /2 (ν) – квантиль
уровня (1–α/2) t-распределения Стьюдента, то гипотеза о равенстве
средних двух нормальных генеральных совокупностей отвергается, в противном случае гипотеза принимается.
13
Критерий серий.
Критерий серий, основанный на проверке знаковой последовательности на случайность, позволяет проверить гипотезу о стационарности среднего. Рассмотрим последовательность, состоящую из
M элементов ++…+++ и N элементов -- ...... --- . Назовем сериями части последовательности, каждая из которых состоит из элементов одного вида. Если последовательность получена как резульM
тат эксперимента, в котором появление всех возможных CM
+N
(предполагаем M<N) вариантов одинаково вероятно, то отмечают,
что элементы ++…+++ и -- ...... --- в последовательности расположены случайно.
Пусть ν – общее количество серий в данной последовательности.
Гипотезы: H0 – элементы ++…+++ и -- ...... --- расположены
случайно; H1 – в расположении элементов наблюдается закономерность, т. е. появление более длинных серий из элементов какогото типа, например -- ...... --- . В этом случае число серий будет
меньше, чем при выполнении гипотезы H0.
Для больших значений M и N распределение величины ν аппроксимируется нормальным распределением со средним и дисперсией
µν = 1+
2MN
2MN (2MN - M - N)
; σ2ν =
.
M+N
(M + N)2 (M + N -1)
В этом случае статистика критерия
T=
ν - µ ν + 0,5
(0,5 – поправка на непрерывность)
σν
подчиняется нормальному закону: N(0, 1). Если отношение M/N
мало, то нормальная аппроксимация распределения количества серий может оказаться ненадежной.
Критерии проверки гипотез о стационарности дисперсии
Критерий Фишера.
Критерий Фишера применяется для проверки гипотезы о равенстве дисперсий. Пусть S12 и S22 – две независимые оценки дисперсий σ12 и σ22 по выборочным данным объемами N1 и N2 соответственно. С помощью этих двух выборочных дисперсий проверяется
гипотеза H0 : σ12 = σ22 против альтернативной гипотезы H1: σ12 ¹ σ22
14
при заданном уровне значимости α. В зависимости от объемов выборочных данных возможны различные случаи.
1. При малых (десятки значений) и средних (сотни) объемах выборок статистика критерия для проверки гипотезы H0 против гипотезы H1 имеет вид
T=
S12
S22
, где S12 > S22 .
В условиях справедливости гипотезы H0 статистика критерия
подчинена F-распределению с ν1 = N1 -1 и ν2 = N2 -1 степенями
свободы. Если вычисленное по выборочным дисперсиям значение статистики T (дисперсионное отношение) принадлежит критической области, т. е. Ò £ Fα /2 (ν1, ν2 ) или Ò £ F1-α /2 (ν1, ν2 ), где
Fα (ν1, ν2 ) – квантиль уровня значимости α F-распределения с ν1
и ν2 степенями свободы, то гипотеза H0 отвергается, в противном
случае гипотеза принимается.
2. При средних и больших объемах выборок статистика критерия для проверки гипотезы H0 против гипотезы H1 имеет вид
T1 =
1 / 2·ln(T) + 1 / 2·(1 / ν1 -1 / ν2 )
1 / 2·(1 / ν1 + 1 / ν2 )
.
Статистика T1 в условиях справедливости гипотезы H0 подчиняется нормальному распределению N(0, 1), т. е. | T1 |< U1-α /2 .
3. При больших и очень больших объемах выборок (N1, N2 >100)
статистика критерия для проверки гипотезы H0 против гипотезы
H1 имеет следующий вид:
T2 =
| S1 - S2 |
S12 / 2N1 + S22 / 2N2
.
Статистика T2 в условиях справедливости гипотезы H0 подчиняется нормальному распределению N(0, 1), т. е. | T2 |< U1-α /2 .
Для идентификации класса СП в случае, когда распределение исследуемой выборочной реализации отлично от нормального (гауссова) или о нем априори ничего не известно, неоспоримы
преимущества непараметрических методов проверки гипотез о
стационарности. Это обусловлено тем, что они не предназначены
для какого-либо конкретного параметрического семейства распределений.
15
Критерий Ансари–Бредли.
Критерий Ансари–Бредли предназначен для проверки гипотезы
о стационарности дисперсии. Предположим, что выборки объемами M и N имеют одну и ту же медиану или их медианы известны.
Необходимо выполнить следующие процедуры.
1. Объединить две выборки и упорядочить k = M+N наблюдений
в вариационный ряд.
2. Присвоить наблюдениям ранги Ri = 1, k / 2 следующим образом. Наименьшему и наибольшему из наблюдений в объединенной
выборке присвоить ранг 1. Следующей паре – ранг 2 и т. д. Если k
четно, то расположение рангов таково: 1, 2, 3, …, k/2, k/2, …, 3, 2, 1,
если k нечетно, то 1, 2, 3, …, (k–1)/2, (k+1)/2, …, 3, 2, 1. Если среди
k наблюдений есть одинаковые, то заменить их связанными рангами.
3. Вычислить сумму рангов (статистику)
æ M k +1
k + 1 ö÷÷
- | Ri T = çççå
|÷.
çèi=1 2
2 ÷ø÷
4. Для выборок большого объема используется аппроксимация
статистики T нормальным распределением:
T1 =
T1 =
T - 0,25M (M + N + 2) / 4
MN (M + N + 2)(M + N - 2) / (48(M + N -1))
T - M (M + N + 1)2 / (4(M + N))
MN (M + N + 1)(3 + (M + N)2 ) / (48(M + N)2 )
, где k – четное;
, где k – нечетное.
Для двухстороннего критерия гипотеза H0 с уровнем значимости
α принимается, если T1 < U1-α /2 , и отвергается, если T1 ³ U1-α /2 ,
где U1-α /2 – квантиль нормального распределения уровня значимости 1–α/2.
Описание лабораторного стенда
В качестве лабораторного стенда может использоваться ПЭВМ
с установленным статистическим пакетом прикладных программ
(ППП), например STAT (разработка доцента СПбГУАП А. В. Алексеева).
Пакет прикладных программ должен позволять моделировать
НСП заданной структуры; должен формировать ССП с требуемой
корреляционной функцией и заданной плотностью распределения
16
и аддитивные и мультипликативные тренды различного вида (гармонические, монотонно возрастающие, монотонно убывающие).
Пакет прикладных программ должен включать набор методов
по идентификации класса СП, а также методы для расчета оценок
вероятностных характеристик СП.
Порядок выполнения лабораторной работы
Пользуясь настоящими методическими указаниями, рекомендованной литературой и описаниями критериев используемого статистического ППП, ознакомьтесь с критериями проверки гипотез,
заданных преподавателем для будущих исследований.
Пользуясь документацией по используемому статистическому
ППП, ознакомьтесь с возможностями подсистемы моделирования
СП.
1. Идентификация аддитивного нестационарного процесса.
1.1. Смоделируйте N значений СП X(t) – ССП («белый шум»),
используя определенный закон плотности распределения с различными вариантами базового датчика: системный, Дэвиса, универсальный. Величина N и закон плотности распределения задается
преподавателем.
1.2. Произведите анализ полученных СП с помощью статистических критериев проверки гипотезы о стационарности среднего.
Уровень значимости α задается преподавателем.
1.3. В качестве окончательного варианта ССП X(t) выберите тот
случайный процесс, для которого число статистических критериев
проверки гипотез о стационарности среднего, показавших случайность процесса, было максимальным. Эти критерии будут образовывать группу робастных критериев и использоваться в дальнейших исследованиях.
1.4. Смоделируйте N значений НСП аддитивного вида с монотонно возрастающим трендом:
Y (i) = X(i) + j2 (i), i = 1, N,
где j2 (t) = k2t – линейная зависимость; X(t) – ССП («белый шум»),
выбранный в п. 1.3. Значения коэффициента k2 задаются преподавателем.
1.5. Произведите анализ полученного СП с помощью группы
робастных статистических критериев проверки гипотезы о стационарности среднего.
17
1.6. Выберите один из группы робастных критериев и найдите
порог его срабатывания, изменяя значение k2.
1.7. Смоделируйте N значений НСП аддитивного вида с периодическим (гармоническим) трендом вида
æ 2π ö
j2 (i) = k2ñosçç i÷÷÷, i = 1, N,
çè Ò ø
где T – период. Значения коэффициента k2 и периода T задаются
преподавателем.
1.8. Произведите анализ полученного СП с помощью группы
робастных статистических критериев проверки гипотезы о стационарности среднего.
2. Идентификация мультипликативного нестационарного
процесса.
2.1. Смоделируйте N значений НСП мультипликативного вида
Y (i) = j1 (i)· X(i), i = 1, N,
где j1 (t) = k1t – линейная зависимость; X(t) – ССП («белый шум»),
выбранный в п. 1.3. Значения коэффициента k1 задаются преподавателем. Создайте для результатов моделирования файл NSPMUL.
DAT в каталоге STAT.
2.2. Напишите программу на алгоритмическом языке высокого уровня, реализующую критерии Фишера и Ансари–Бредли.
Квантиль нормального распределения уровня значимости U1-α /2
берется из соответствующей таблицы справочника по прикладной
статистике, например [7]. Программы должны считывать данные о
процессе из файла NSPMUL.DAT каталога STAT.
2.3. Произведите анализ полученного СП.
Содержание отчета по лабораторной работе
Отчет должен оформляться по установленной форме и содержать­:
1. Цель работы.
2. НСП аддитивного вида. Результаты анализа проверки статистических гипотез на наличие монотонно возрастающего линейного тренда при различных значениях коэффициента наклона k2 для
заданного уровня значимости α критериев и величины N.
3. Выводы по результатам проверки на наличие монотонно возрастающего аддитивного тренда исследуемого НСП.
18
4. Вывод по порогу срабатывания (значение k2) выбранного Вами
робастного критерия.
5. НСП аддитивного вида. Результаты анализа проверки статистических гипотез на наличие гармонического тренда при различных значениях коэффициента k2 и периода T для заданного уровня
значимости α критериев и величины N.
6. Выводы по результатам проверки на наличие периодического
(гармонического) аддитивного тренда исследуемого НСП.
7. НСП мультипликативного вида. Программы на алгоритмическом языке высокого уровня, реализующие критерии Фишера и
Ансари–Бредли.
8. Результаты анализа проверки статистических гипотез на наличие монотонно возрастающего линейного тренда при различных
значениях коэффициента k1 для заданного уровня значимости α
критериев и величины N.
9. Выводы по результатам проверки на наличие монотонно возрастающего мультипликативного тренда исследуемого НСП.
Контрольные вопросы
1. Какие модели используются для представления СП?
2. Для чего используются статистические критерии?
3. Что такое уровень значимости?
4. Чем отличаются ошибки первого и второго рода?
5. Чем отличаются параметрические критерии от непараметрических критериев?
6. Как проверить гипотезу о стационарности среднего?
7. Как проверить гипотезу о стационарности дисперсии?
Рекомендуемая литература
1. Бендат. Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 540 с.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и
управление. Вып. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 406 с.
3. Кендалл М. Временные ряды: Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1981. 218 с.
4. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя:
Пер. с англ. М.: Наука, 1991, 432с.
5. Марпл С. Цифровой спектральный анализ и его приложения:
Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.
19
6. Петрович М. Л., Давидович М. И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1989.
191 с.
7. Справочник по прикладной статистике: Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, Т. 1. 1989. 510 с.; Т. 2. 1990. 526 с.
20
Лабораторная работа № 2
Построение авторегрессионной модели процесса
по результатам эксперимента
Цель работы: изучение практических методов построения авторегрессионной модели СП на ПЭВМ с использованием статистических пакетов обработки данных.
Методические указания по подготовке к работе
Одной из основных задач при анализе результатов эксперимента является получение модели СП, обладающей максимальной
простотой, минимальным числом параметров и при этом адекватно описывающей наблюдение. Получение таких моделей важно по
следующим причинам.
1. Модели могут помочь понять природу системы, генерирующей временные процессы.
2. Модели можно использовать для оптимального прогнозирования будущих значений временных процессов.
3. Если исследуются два или несколько временных процессов,
то можно расширить модели так, чтобы они описывали динамические взаимосвязи между ними.
4. Модели могут быть использованы для выработки стратегии
оптимального управления. Эта стратегия указывает, каким образом надо изменять регулируемую переменную для того, чтобы минимизировать возмущение некоторой зависимой переменной.
Рассмотрим процесс построения моделей. Он заключается в
установлении соответствия выбранного класса статистических моделей с имеющимися данными эксперимента и существенно более
сложен, чем простая подгонка моделей.
Сначала необходимо применять методы идентификации, предназначенные для определения требуемого класса моделей. Эти методы используют корреляционные и автокорреляционные функции. Подгонка идентифицированной модели к временному ряду
при помощи функции максимального правдоподобия или метода
наименьших квадратов не обязательно дает адекватное описание
процесса. Поэтому необходимо провести диагностическую проверку для выявления неадекватности модели и выработки подходящих изменений. В случае необходимости может быть проведен еще
один или несколько итеративных циклов идентификации, подгонки и диагностической проверки. Очевидно, что важным инстру21
ментальным средством решения этой итеративной задачи является
диалоговое программное обеспечение.
Многие встречающиеся на практике СП можно описать с помощью модели авторегрессии порядка p: AP(p). В этой модели текущее значение процесса выражается через конечную линейную
совокупность предыдущих значений процесса и величины Zt – независимых случайных значений с фиксированным распределением. Обычно распределение гауссово (нормальное) с параметрами
Mz = 0 и Dz = σ2z = 1 , сокращенно обозначают N(0, 1). Такая последовательность случайных значений Zt , Zt-1, Zt-2 , ... называется
«белым шумом». Таким образом, процесс авторегрессии порядка p
можно представить в следующем виде:
Xt = φ1 Xt-1 + φ2 Xt-2 + ... + φ p Xt- p + Zt .
(1)
Введем авторегрессионный оператор порядка p
φ(B) = 1 - φ1β - φ2β2 - φ3β3 - ... - φ pβ p ,
где B – оператор сдвига назад.
BXt = Xt-1, ..., B p Xt = Xt- p . (2)
(3)
Тогда модель (1) может быть записана более экономно
φ(B) Xt = Zt . (4)
В этой модели p+2 неизвестных параметра: μ, φ1, φ2 , ..., φ p ,
σ2z , – которые должны быть оценены по имеющимся экспериментальным данным об изучаемом процессе. Если последовательно
раскрыть Xt–1, Xt–2, Xt–3, … через Zt–1, Zt–2, Zt–3, …, то получим
эквивалентную запись через бесконечную взвешенную сумму реализаций «белого шума»
Xt = φ(B) Zt . (5)
Однако здесь количество неизвестных параметров модели оказывается бесконечным и форма модели (4) будет явно предпочтительнее. Из форм моделей (4) и (5) следует, что
φ(B) = φ-1 (B). (6)
Авторегрессионные процессы могут быть стационарными и нестационарными. Для того чтобы процесс был стационарным, коэф22
фициенты φ должны быть выбраны так, чтобы веса φ1, φ2 , φ3 , ...
в модели (6) образовывали сходящийся ряд.
Автокорреляционная функция является одним из основных
элементов при построении модели авторегрессии вида (1).
Умножим выражение (1) на Xt–k. Берем математическое ожидание и получаем разностное уравнение для автоковариаций γ
γ k = φ1 γ k-1 + φ2 γ k-2 + ... + φ p γ k- p , k > p. (7)
Отметим, что M(Xt-k , Zt ) ® 0, когда k>0, так как Xt–k может
включать реализации «белого шума», имевшие место лишь до момента t–k, а они некоррелированы с Zt. Разделив обе части разностного уравнения на γ 0 , получим, что автокорреляционная функция
удовлетворяет разностному уравнению того же вида
ρk = φ1ρk-1 + φ2ρk-2 + ... + φ p ρk- p . (8)
Заметим, что уравнение аналогично разностному уравнению,
которому удовлетворяет сам процесс Xt. Таким образом, уравнение
(8) можно записать в виде
φ(B)ρk = 0. (9)
Если подставить в уравнение (9) значения k = 1, 2, 3, …, p, то получим систему линейных уравнений для φ1, φ2 , φ3 , ..., φ p со свободными членами ρ1,ρ2 ,ρ3 , ..., ρ p
ïìï ρ1 = φ1 + φ2ρ1 +... + φ p ρ p-1
ïï
ï ρ2 = φ1ρ1 + φ2 +... + φ p ρ p-2
.
í
ïï ...
...
...
...
...
ïï
ïïîρ p = φ1ρ p-1 + φ2ρ p-2 +... + φ p
Это уравнения Юла–Уокера. Заменив теоретические автокорреляции ρk на их оценки rk , получим оценки Юла–Уокера для параметров модели. Для выбора порядка AP-модели предложено много
различных критериев – своего рода целевых функций.
Два подобных критерия были предложены Акаике.
Первый из критериев Акаике – это окончательная ошибка предсказания (OOП). Согласно этому критерию, выбор порядка APпроцесса осуществляется таким образом, чтобы минимизировать
среднюю дисперсию ошибки на каждом шаге предсказания. Окончательная ошибка предсказания для AP-процесса определяется выражением
23
OOÏ[ p] = σ2z
N + ( p + 1)
,
N - ( p + 1)
где p – порядок AP-процесса; σ2z – оценочное значение дисперсии
«белого шума»; N – число отсчетов данных.
Выбирается такое значение порядка, при котором величина
OOП минимальна. Для идеальных AP-процессов данный критерий
обеспечивает отличные результаты, однако применительно к реальным данным эксперимента, как показали Джонни и Берриман,
оказывается слишком консервативным и приводит к выбору заниженного порядка модели авторегрессии.
Второй критерий Акаике основан на методике максимального правдоподобия и получил название информационного критерия Акаике (ИКА). Согласно этому критерию, порядок модели
определяется посредством минимизации некоторой теоретикоинформационной функции. Если предположить, что исследуемый
AP-процесс имеет гауссовы характеристики, то ИКА будет определяться следующим выражением:
ÈÊÀ[ p] = N ln(σ2z ) + 2 p.
Элемент 2p характеризует плату за использование дополнительных AP-коэффициентов, но это не приводит к значительному уменьшению ошибки предсказания. И здесь выбирается порядок модели,
который минимизирует значение ИКА. При N→ ∞ первый и второй
критерий Акаике асимптотически эквивалентны. Как и в случае
критерия OOП, порядок модели, выбираемый в соответствии с критериями ИКА, в случае данных, не соответствующих авторегрессионным процессам, очень часто оказывается заниженным.
Отметим, что ИКА оказывается статистически несостоятельным критерием в том смысле, что вероятность ошибки при выборе
правильного порядка модели не стремится к нулю при N→ ∞. Это
приводит к завышению значения порядка модели в том случае,
когда длина записи данных возрастает. Для устранения указанного недостатка был разработан другой вариант ИКА, который имеет
следующую форму:
ÄÌÎ[ p] = N ln(σ2z ) + p ln(N),
где ДМО – длина максимального описания, о которой можно сказать, что она статистически состоятельна, поскольку величина
pln(N) растет с увеличением N быстрее, чем в случае с p.
24
При построении модели вначале неизвестно, какого порядка авторегрессионный процесс надо приблизить к фактическому ряду.
Инструментом решения этой проблемы служит частная автокорреляционная функция.
Обозначим j-й коэффициент в авторегрессионном процессе порядка k через φkj так, что φkk есть последний коэффициент. Величина φkk рассматривается как функция от задержки и называется частной автокорреляционной функцией. Частные корреляции
можно оценивать последовательной подгонкой процессов авторегрессии порядка 1, 2, 3, … методом наименьших квадратов и последовательным нахождением оценок коэффициентов.
Если значения параметров не слишком близки к границам нестационарности, то для их оценки можно использовать уравнения
Юла–Уокера. Использование частной автокорреляционной функции для анализа основано на том, что хотя процесс AP(p) имеет бесконечно протяженную функцию автокорреляции, тем не менее он
может быть описан при помощи p нулевых функций от автокорреляций, что приводит к системе уравнений
ρj = φk1ρj-1 + ... + φk(k-1) ρj-k+1 + φkk ρj-k , j = 1, 2, 3, …, k
или в виде системы уравнений Юла–Уокера
é 1
ρ1 ... ρk-1 ù é φk1 ù é ρ1 ù
ê
úê
ú ê ú
ê ρ1
1
... ρk-2 ú ê φk2 ú êρ2 ú
ê
úê
ú = ê ú.
ê ...
... ... ... úú êê ... úú êê ... úú
ê
êρ
1 úûú êëê φkk úûú êëêρk úûú
ëê k-1 ρk-2 ...
Простой рекуррентный метод вычисления оценок частных автокорреляций был предложен Дарбином. В этом случае рекуррентные формулы имеют вид
φ p+1,j = φ pj - φ p+1, p+1φ p, p-j+1, j = 1, 2, 3, …, p;
p
rp+1 - å φ pj rp+1-j
φ p-1, p+1 =
j=1
p
.
1 - å φ pj rj
j=1
Для авторегрессионного процесса порядка p частая автокорреляционная функция φkk будет отлична от нуля при k≤ p и равна
нулю при k>p.
25
Если предположить, что процесс является авторегрессионным
порядка p, то оценка частных ковариаций для задержек p+1 и выше
распределяется приблизительно независимо с дисперсией
D[φkk ] =
1
при k≥ p+1.
N
Это и служит критерием определения порядка модели авторегрессии.
Тем не менее, окончательный выбор порядка модели для экспериментальных данных, получаемых из реальных записей неизвестных процессов, пока еще носит субъективный, а не точный характер. Поэтому описанные критерии целесообразно использовать
лишь для выбора начального значения порядка модели, поскольку они обеспечивают хорошие результаты в случае искусственных
AP-процессов, моделируемых с помощью ПЭВМ. В случае действительных данных, результаты их применения зависят от того, насколько точно эти данные могут моделироваться с помощью того
или иного AP-процесса.
Одним из полезных способов диагностической проверки модели авторегрессии на адекватность является построение модели несколько более общей, чем та, которая считается истинной, и сравнение обеих моделей. Этот метод предполагает, что возможно определение слабого звена в модели, из-за которого модель может быть
неадекватна. Часто это сделать довольно трудно.
Более формальная проверка основана на анализе автокорреляционной функции остатков. Рассмотрим ее.
Если модель была адекватна исследуемому процессу, то Zi характеризовались бы отсутствием корреляции, а статистические
оценки коэффициентов корреляции rz(k) были бы распределены
около нуля приблизительно нормально с дисперсией 1/N или со
стандартной ошибкой 1/ N . Эти факты можно использовать для
приближенной оценки статистической значимости явных отклонений этих автокорреляций от нуля. Однако необходимо избегать
опасности недооценки статистической значимости отклонений
автокорреляции rz(k) от их теоретических нулевых значений при
использовании стандартной ошибки 1/ N для малых задержек.
Например, для процесса AP(1) с параметром φ дисперсия rz(1) есть
φ2 / N, что может быть существенно меньше, чем 1/N. Кроме случаев сравнительно больших задержек, величину 1/ N следует рассматривать как верхнюю границу стандартных ошибок для rz(k).
26
Помимо индивидуального анализа коэффициентов rz(k) возможен общий совокупный тест автокорреляционной функции остатков. При этом задаются целью выяснить, не указывают ли первые,
например 20 автокорреляций остатков, взятые вместе, на адекватность модели. Пусть имеется K автокорреляций rz(k), где k = 1, 2,
3, …, K. Тогда можно показать, что если построенная модель адекватна, то случайная величина
K
Q = m å rz2 (k),
k=1
где m – число значений процесса, используемых при подгонке, распределена как χ2 (K - p), где p – порядок модели.
Описание лабораторного стенда
В качестве лабораторного стенда может использоваться ПЭВМ с
установленным статистическим ППП, например STAT (разработка
доцента СПбГУАП А. В. Алексеева).
Пакет прикладных программ должен позволять моделировать
НСП заданной структуры. Формировать СП с требуемой корреляционной функцией и заданной плотностью распределения.
Порядок выполнения лабораторной работы
Пользуясь настоящими методическими указаниями и рекомендованной литературой, ознакомьтесь с моделями авторегрессии
ССП.
Используя документацию по статистическому ППП, ознакомьтесь с возможностями подсистемы моделирования данных.
1. Смоделируйте N отсчетов ССП X(t), используя авторегрессионную модель
Xi = φ1 Xi-1 + φ2 Xi-2 + ... + Zi , i = 1, 2, 3, …, N,
где Zi – «белый шум», распределенный по нормальному закону с параметрами μz = 0, Dz = 1, N(0, 1). Величина N, порядок AP-процесса
и значения параметров φ1, φ2 , ... задаются преподавателем.
2. Проведите идентификацию порядка модели авторегрессии
и значения параметров φ1 , φ2 , ..., используя возможности ППП.
Рассмотрите случаи как с автоматическим определением порядка
модели при заданном преподавателем уровне значимости α, так и с
заданием порядка модели авторегрессии вручную.
27
3. Проанализируйте значения параметров модели авторегрессии.
4. Для оценки качества подобранной модели произведите диагностическую проверку на адекватность полученного процесса заданному процессу.
5. Если модель неадекватна, то измените значения: количество
данных N, уровень значимости α. Повторите моделирование и анализ (пп.1–3).
6. Смоделируйте N значений НСП аддитивного вида с монотонно возрастающим трендом
Y (i) = X(i) + j2 (i), i = 1, N,
где j2 (t) = k2t – линейная зависимость; X(t) – ССП, полученный в
пп. 1–5. Значения коэффициента k2 задаются преподавателем.
7. Получите оценку аддитивного тренда j 2 (i), i = 1, N с помощью аппроксимации процесса Y(i), i = 1, N полиномом Чебышева.
8. Получите оценку СП
 (i) = Y (i) - j (i), i = 1, N.
X
2
 (i) подбо9. Проведите идентификацию случайного процесса X
ром модели авторегрессии, используя возможности ППП с автоматическим определением порядка модели авторегрессии и с ручным
подбором порядка модели.
10. Проанализируйте значения параметров модели авторегрессии.
11. Для оценки качества подобранной модели произведите диагностическую проверку на адекватность полученного процесса заданному процессу.
Содержание отчета по лабораторной работе
Отчет должен оформляться по установленной форме и содержать:
1. Цель работы.
2. Вид AP-процесса.
3. Анализ значений параметров модели авторегрессии.
4. Вывод об адекватности построенного процесса.
5. Вид НСП аддитивного вида с монотонно возрастающим трендом.
6. Вид оценки аддитивного тренда j 2 (i), i = 1, N, построенной с
помощью аппроксимации полиномом Чебышева.
28
7. Вид модели авторегрессии, построенной для оценки случай (i), i = 1, N.
ного процесса X
8. Выводы об адекватности построенных процессов.
Контрольные вопросы
1. Из каких этапов состоит процесс построения модели авторегрессии?
2. Опишите модель авторегрессии порядка p.
3. Что такое стационарные и нестационарные AP-процессы?
4. Для чего используются уравнения Юла–Уокера?
5. Какие критерии используются для идентификации порядка
модели?
6. Почему возможно использование частной автокорреляционной функции для определения порядка авторегрессионной модели?
7. Какие методы диагностики проверки адекватности модели
Вам известны?
Рекомендуемая литература
1. Бендат. Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 540 с.
2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и
управление. Вып. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 406 с.
3. Кендалл М. Временные ряды: Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1981. 218 с.
4. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя:
Пер. с англ. М.: Наука, 1991. 432 с.
5. Марпл С. Цифровой спектральный анализ и его приложения:
Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.
6. Петрович М. Л., Давидович М. И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1989.
191 с.
7. Справочник по прикладной статистике: Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, Т. 1. 1989. 510 с.; Т. 2. 1990. 526 с.
29
Содержание
Общие методические указания............................................. 3
Лабораторная работа № 1. Идентификация модели процесса
при обработке результатов эксперимента............................... 5
Лабораторная работа № 2. Построение авторегрессионной
модели процесса по результатам эксперимента....................... 21
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
872 Кб
Теги
0c18b1210e, alekseevne
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа