close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

AndreevKovalenko

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ
Лабораторный практикум
Санкт-Петербург
2016
УДК53.08
ББК 22.3
О-28
Рецензенты:
доктор физико-математических наук,
член-корреспондент РАЕН, ФТИ им. А. Ф. Иоффе
Н. Р. Галль;
доктор физико-математических наук
В. Г. Фарафонов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве лабораторного практикума
Авторы: В. М. Андреев, И. И. Коваленко, Н. П. Лавровская,
Е. В. Рутьков, С. П. Фадеев
О-28 Общие правила выполнения лабораторных работ по физике: лабораторный практикум / под ред. И. И. Коваленко. – СПб.: ГУАП,
2016. – 60 с.
Лабораторный практикум содержит методические указания
к выполнению лабораторных работ. Он включает в себя основные
требования по проведению измерений и их обработке, необходимые
теоретические сведения из теории погрешностей. Предназначен для
студентов всех факультетов и специальностей, изучающих физику.
УДК 53.08
ББК 22.3
Учебное издание
Андреев Владимир Михайлович
Коваленко Иван Иванович
Лавровская Наталья Павловна и др.
ОБЩИЕ ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ
ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ФИЗИКЕ
Лабораторный практикум
В авторской редакции.
Компьютерная верстка С. Б. Мацапуры
Сдано в набор 21.12.16. Подписано к печати 22.12.16.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,49.
Уч.-изд. л. 375. Тираж 100 экз. Заказ № 519.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
В течение семестра каждый студент в соответствии с рабочей
программой по дисциплине «Физика» должен выполнить 4 лабораторные работы. На каждую лабораторную работу отводится по
два занятия: одно – на выполнение измерений, и одно – на защиту
отчета. Отчет пишется не во время занятий, а дома или в библиотеке.
До начала занятий студент должен быть проинструктирован по
технике безопасности и по пожарной безопасности при проведении
лабораторных работ по физике. Инструктаж проводится в начале
семестра. Прохождение инструктажа фиксируется в специальном
журнале; там нужно обязательно расписаться.
ВНИМАНИЕ!
На занятия во все физические лаборатории не допускаются студенты в верхней (уличной) одежде. Не разрешается также раздеваться и складывать верхнюю одежду в лаборатории, ее нужно сдавать в гардероб.
В лабораторию студенты должен приходить подготовленными к
назначенной работе. Необходимо заранее прочитать описание работы и теоретические сведения из соответствующего раздела курса.
Не забывайте о рекомендованной литературе и обязательно получите в библиотеке все пособия, выпускаемые кафедрой.
Выполнять работу студенту разрешается, лишь после допуска,
полученного при собеседовании с преподавателем. Преподаватель
должен убедиться, что студент понимает:
какие явления он будет наблюдать и исследовать;
какая цель перед ним поставлена;
какими приборами и как ведутся измерения;
как следует проводить эксперимент.
Полученный допуск к работе отмечается преподавателем в журнале.
В процессе выполнения лабораторной работы нужно обязательно
заполнить протокол измерений (прил. 1). У каждого студента протокол измерений должен быть свой; ведение одного протокола несколькими студентами вместе не допускается. Протокол ведется на
листе формата А4. В протоколе должно быть отражено:
точное полное название и номер лабораторной работы в соответствии с методическим пособием;
фамилия, инициалы студента и номер группы;
фамилия и инициалы преподавателя;
3
таблица технических характеристик измерительных приборов
(название прибора, рабочий диапазон, цена деления, класс точности и др.);
параметры установки, на ней указанные;
результаты измерений;
дата и подпись студента.
Все записи должны вестись авторучкой, шариковой, капиллярной или гелевой ручкой. Запись наблюдений и данных карандашом
не допускается, карандашом можно лишь чертить таблицы и графики. Ведение «черновиков протокола» и переписывание их в конце занятия начисто не рекомендуется; это ненужная трата времени
и возможность допустить ошибку при переписывании. Старательность и аккуратность лучше проявить при оформлении отчета.
По окончании измерений протокол обязательно дается на подпись преподавателю. Без этой подписи протокол считается недействительным. Подпись студента под протоколом обозначает, что он
отвечает за все проведенные измерения, а подпись преподавателя
означает, что работа действительно выполнялась и указанные значения действительно получены именно тем студентом, который составил протокол.
По результатам, зафиксированным в протоколе измерений, студент дома пишет отчет и защищает его на следующем занятии. При
защите отчета могут быть заданы любые вопросы по теории изучаемого явления и по полученным результатам. За принятый отчет
преподаватель выставляет студенту оценку по пятибалльной системе1 и после этого сообщает номер и название следующей лабораторной работы.
СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
Отчет по лабораторной работе должен выполняться на листах
формата А4. Записи на листах ведутся только с одной стороны.
По краям листа должна быть оставлена рамка шириной не менее
20 мм. Эту рамку рисовать на листах не нужно, но и заступать за
нее не следует. В рамке в верхнем поле нужно лишь поставить номер страницы. Пронумерованными должны быть все листы отчета,
1
Оценки за все работы в конце семестра суммируются и перечитываются в итоговую рейтинговую оценку.
4
начиная с третьего. Первый лист – титульный и второй лист – протокол измерений, не нумеруются.
Отчет следует писать от руки. Если Вы используете чужие заготовки, то будьте готовы отвечать за все «заимствованные» ошибки,
которых бывает много. Сказанное в равной мере относится к формулам, которые Вы подсмотрели у кого-то, а не вывели сами. Лучше
спросить преподавателя. Он подскажет или проверит, правильно ли
у Вас получилось.
Титульный лист работы может быть написан от руки или напечатан на принтере. Образец титульного листа приведен в прил. 3.
Электронная версия титульного листа находится на сайте ГУАПа.
Отчет должен содержать следующие разделы:
1. Цель работы.
Она сформулирована в описании лабораторной работы, оттуда ее
следует переписать.
2. Описание лабораторной установки.
Описание установки должно быть кратким. Следует ограничиться функциональной или электрической схемой установки. Не нужно приводить внешнего вида приборов. Далее необходимо описать
эксперимент и перечислить измерительные приборы в таблице технических характеристик, перенесенной из протокола измерений.
3. Рабочие формулы.
Рабочими называются только те формулы, по которым непосредственно производятся вычисления исследуемых величин. Слева в
формуле должно стоять то, что следует определить, справа – то, что
измерялось в работе или известно. Все приведенные формулы должны быть пронумерованы.
Вывод формул и промежуточные выражения в этом разделе приводить не нужно. Формулы для вычисления погрешностей и проведения математической обработки результатов измерений в этом
разделе тоже не приводятся.
4. Результаты измерений и вычислений.
В этом разделе отчета должны быть приведены все измеренные и
вычисленные результаты. По возможности, их нужно представлять
в виде наглядных таблиц. В приводимых значениях нельзя оставлять лишние десятичные разряды (подробнее об этом пойдет речь
ниже). В работе может быть несколько заданий, все они должны
быть приведены в этом разделе.
5. Примеры вычислений.
В этом разделе отчета должны быть приведены подробные примеры
вычислений по каждой рабочей формуле. Не нужно приводить всех
5
вычислений, вполне достаточно одного примера по каждой формуле.
Этот раздел нужен для того, чтобы преподавателю было легче найти
ошибку в вычислениях или измерениях, если таковые встретятся.
6. Вычисление погрешностей.
В этом разделе отчета должны быть представлены формулы, по
которым проводилась математическая обработка результатов измерений. Должны быть выведены формулы, по которым вычислялись
систематические и случайные погрешности и представлены примеры вычислений по каждой из них.
Этот раздел отчета самый сложный для студентов. По нему больше всего вопросов, в нем больше всего ошибок. Теория погрешностей
обычно бывает написана для подготовленного читателя, знакомого
с высшей математикой. В настоящем пособии авторы постарались
оставить лишь самое главное по этой теме и изложить материал
максимально доступно.
7. Графики и рисунки.
Небольшие графики и рисунки размещаются в тексте, а большие – формата А4 – приводятся на отдельном листе. В любом случае они должны быть подписаны и пронумерованы, на них должны
быть ссылки в тексте отчета. Графики выполняются обязательно
на миллиметровой бумаге. На каждой оси должно быть обозначено,
какая величина и в каких единицах вдоль нее откладывается. На
самих осях должны быть нанесены только узлы координатной сетки. Измеренные на опыте значения подписывать на осях не следует.
На график обязательно наносятся все экспериментальные точки, и
проводится соединяющая их линия. Около одной или нескольких
точек откладываются систематические погрешности соответствующих измерений (подробнее об этом пойдет речь ниже).
8. Окончательные результаты, их обсуждение, выводы.
В этом разделе отчета нужно подвести итог проделанной работы.
Следует написать, какие получены величины, и с какими погрешностями.
Если измерения проводились разными методами, то обязательно
нужно сравнить эти результаты и их погрешности, сделать заключение, какой метод лучше, точнее, удобнее.
Если известно табличное значение измеренной величины, то
нужно обязательно сравнить его с полученным на опыте значением
и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении.
Если значения одной и той же величины получены экспериментально и теоретически, то эти результаты нужно обязательно срав6
нить и дать аргументированное заключение об их совпадении или
несовпадении.
В случае, когда между сравниваемыми величинами имеются недопустимые расхождения, это нужно обязательно отметить в
отчете и высказать предположение о возможных причинах этого
несовпадения.
Если в работе ставилось целью проверить какой-то физический
закон или изучить явление, то в данном разделе необходимо дать
обоснованный ответ на поставленный вопрос.
Вывод должен соответствовать цели работы.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Измеренное значение любой физической или технической величины отличается от истинного значения, т. е. в любом измеренном
значении содержится ошибка. Сначала остановимся на ошибках
прямых измерений, т. е. таких, в которых искомая величина определяется непосредственно прибором. Такими, например, являются
измерения времени секундомером, длины линейкой, силы тока амперметром, напряжения вольтметром и т. п.
Ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по
своей природе, т. е. не имеет точного значения, правильнее говорить
не об ошибках, а о разбросе экспериментально измеренных значений.
Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств,
бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки корректируются введением соответствующих поправок. Случайные же
ошибки приборов и других измерительных средств описываются
погрешностями, т. е. интервалами возможного отклонения измеренного значения величины от ее истинного значения.
Систематическая погрешность. Интервал допустимого отклонения измеренной величины от ее истинного значения называется
систематической погрешностью прибора. Обычно систематическая
погрешность обозначается большой греческой буквой θ, нижним
индексом около которой указывается измеряемая величина. Например, систематическая погрешность времени обозначается θt,
тока – θI, напряжения –θU, длины – θℓ, массы – θm.
Систематическую погрешность прямого измерения можно рассчитать по шкале прибора. Обычно на ней крупной цифрой указы7
вается класс точности. Если эта цифра просто указана на шкале и
никак не выделена, то она показывает, сколько процентов составляет систематическая погрешность от максимального значения по
шкале в выбранном диапазоне. Таким образом, систематическая
погрешность величины θX определяется пределом шкалы прибора
Xmax и его классом точности K:
X
⋅K
θX = max
.
100
(1а)
Если эта цифра обведена кружком, то она показывает, сколько
процентов составляет погрешность от измеренного значения, т. е.
она задает относительную погрешность измерений.
X⋅K
θX =
.
100
(1б)
В некоторых случаях класс точности отмечен на шкале иначе.
Тогда нужно пользоваться формулой, указанной в паспорте прибора.
В тех же случаях, когда класс точности прибора не указан ни на
шкале, ни в паспорте (линейка, секундомер, термометр, компас), систематическую погрешность обычно принимают равной половине
цены деления шкалы.
Отметим еще раз, что по формулам (1а), (1б) или по замечаниям,
приведенным вслед за ними, можно найти систематическую погрешность лишь прямого измерения. Однако, чаще приходится проводить косвенные измерения.
Косвенным называется такое измерение, которое сводится к измерению и вычислению. По прибору измеряются величины x1, x2,
x3 …, которые не являются искомыми, по ним вычисляется искомая величина f, которая является функцией измеренных величин
f = f(x1, x2, x3…). Например, определение электрического сопротивления резистора R, которое сводится к измерению силы тока I и напряжения U и вычислению R = U / I, является косвенным. В данx
ном случае U = x1, I = x2, R= f= 1 .
x2
Систематическая погрешность косвенного измерения θf выражается через систематические погрешности прямых измерений
θX1 , θX2 , θX3 ...:
8
θ=
f
∂f
∂f
∂f
θx1 +
θx2 +
θx + .... ∂x1
∂x2
∂x3 3
(2)
Смотри примеры [1–3] вычисления систематических погрешностей.
∂f
Здесь
– частные производные функции f(x1, x2, x3…) по со∂xi
ответствующей переменной xi. Частной производной функции нескольких переменных называется производная по одной из них,
взятая при условии, что другие переменные принимают в этот момент фиксированные значения.
Вычисление погрешности по формуле (2) скорее является оценкой, поэтому полученное значение θf обычно принято округлять до
одной значащей цифры. Вторую цифру допустимо сохранять в промежуточных вычислениях и в некоторых случаях, о которых речь
пойдет позже.
Очень часто функция f(x1,x2,x3…) является произведением переменных, стоящих в какой-либо степени, в числителе, знаменателе
или под корнем. Такая функция может быть сведена к виду
κ
κ
κ
f= const ⋅ x1 1 ⋅ x2 2 ⋅ x3 3 ..., например, f =
x1 ⋅ x2n ⋅ k x3
x4m
(3)
( )
= x1 ⋅ x2n ⋅ x3 k ⋅ x4−m .
1
Систематическую погрешность функции (3) можно вычислить
по формуле:
θx
θx
θx


θf = f ⋅  κ1 ⋅ 1 + κ2 ⋅ 2 + κ3 ⋅ 3 + ... . 

x1
x2
x3


(4)
Эта формула проще и удобнее формулы (2), поскольку:
– не нужно аналитически находить частные производные функции;
– не нужно вычислять значения частных производных;
– величины в числителе и знаменателе можно вычислять в любых одинаковых удобных единицах (не обязательно в системе СИ);
– погрешность θf выражается через уже вычисленное значение
самой функции.
Нужно стараться всегда, когда можно, пользоваться формулой
(4) вместо формулы (2).
Смотри примеры [4–8] вычисления систематических погрешностей.
Случайная погрешность. При многократном повторении измерений полученные результаты будут отличаться друг от друга. В ка9
честве результата серии из N измерений (как прямых, так и косвенных) в таком случае разумно взять среднее арифметическое:
N
∑ Xi
X1 + X2 + X3 + ... + XN i =1
(5)
=
.
X =
N
N
Средняя квадратичная погрешность отдельно взятого измерения
Xi обычно обозначается SX и вычисляется по формуле:
SX
(
) (
2
)
(
2
)
2
X1 − X + X2 − X + ... + XN − X
=
N −1
N
∑ ( Xi − X )
i =1
2
N −1
. (6)
Эта величина показывает стандартное отклонение результата отдельного опыта Xi от получившегося среднего значения X.
С увеличением числа измерений N величины X и SX не должны сильно меняться, они должны лишь уточняться. Однако если
провести несколько серий измерений X, в каждой из них получится свое среднее значение X k . Разброс этих средних значений определяется средним квадратичным отклонением SX . Интуитивно
ясно, что эта величина должна быть существенно меньше, чем SX .
С увеличением числа измерений N в каждой серии средние значения X k будут определяться точнее. Следовательно, они будут меньше отличаться друг от друга, и их разброс станет меньше. Таким
образом, с увеличением числа измерений среднее квадратичное
отклонение должно уменьшаться, а достоверность полученного результата – увеличиваться. Как следует из теории,
S
(7)
SX = X . N
Окончательная формула для среднего квадратичного отклонения:
N
∑ ( Xi − X )
2
SX = i =1
.
N ( N − 1)
(8)
Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номером i измеряются величины x1i, x2i, x3i…, по которым вычисляется
искомая величина – функция f(x1i, x2i, x3i…). Следует различать два
случая при проведении таких измерений.
10
Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения
каждой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок
измерений. В таком случае по формуле (5) находят средние значения каждой переменной – X1, X2 , X 3 ..., а по формулам (6–8) – их
случайные погрешности. Среднее значение величины f вычисляют
по формуле:
f = f (x1, x2 , x3 ...). (9)
Среднее квадратичное отклонение этой величины можно выразить через средние квадратичные отклонения каждой из переменных:
Sf =
 ∂f 
 ∂x 
1
2
( Sx )
2
1
 ∂f 
+

 ∂ x2 
2
( Sx )
2
2
 ∂f 
+

 ∂ x3 
2
( Sx )
3
2
+ .... (10)
Отметим, что эта формула получена в предположении, что все
случайные ошибки прямых измерений независимы, т. е. ошибка
измерения одной величины не влечет за собой автоматически ошибки другой.
Кроме описанного метода обработки серии косвенных измерений существует и другой, применимый в случае проведения серии
измерений, как при неизменных, так и при меняющихся внешних
условиях. Состоит он в том, что по результатам i-го измерения сначала находится величина fi = f(x1i, x2i, x3i…), а затем получившийся
набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых измерений. Это значит, что по формуле (5) находится среднее значение
величины f, а по формулам (6–8) – средняя квадратичная погрешность Sf и среднее квадратичное отклонение Sf .
В случае, когда число измерений N невелико (∼10 или меньше),
среднее квадратичное отклонение округляют по тем же правилам,
что и систематическую погрешность, т. е. сохраняют одну значащую цифру, вторую иногда сохраняют лишь в случае, когда первая
равна единице или двойке. При записи средней квадратичной погрешности SX сохраняют тот же десятичный разряд, что и в среднем квадратичном отклонении SX .
Результатами математической обработки серии измерений, как
прямых, так и косвенных, являются: среднее значение, вычисленное по формуле (5) или (9), среднее квадратичное отклонение, вычисленное по формулам (7), (8) или (10) и полное число измерений N.
Смотри примеры [9, 10] вычисления случайной погрешности.
11
Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше,
ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины,
несовершенством измерительных приборов, несовершенством методики эксперимента или несколькими причинами сразу. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью
исключить невозможно. Можно лишь априори установить их границы с помощью систематической погрешности. Погрешности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, называют полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой ∆, нижним
индексом около которой указывают измеряемую величину или записывают рядом с измеренным значением через знак “±”. Договоримся считать, что полная погрешность задает интервал, в который с вероятностью 95% попадает истинное значение измеряемой
величины.
В большинстве лабораторных работ проводятся измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений которых
обусловлен лишь случайными ошибками измерительных приборов.
В этом случае средняя квадратичная погрешность измеряемой величины должна быть сравнимой или меньше систематической погрешности
Sx <θx . ~
(11)
Среднее квадратичное отклонение должно всегда получаться
меньше этого интервала.
Sx < θx . (12)
Невыполнение этих условий обычно бывает связано с промахами, т. е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях.
И наоборот, знак строгого неравенства в условии (11) и выполнение
условия (12) в более жестком виде
Sx << θx , (12а)
свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора и о надежности полученных результатов. В описываемом случае
полная погрешность среднего значения определяется только систематической погрешностью:
∆ x =θx . (13)
В случае проведения технических испытаний обычно имеют
дело с величинами, случайными по своей природе. Разброс изме12
ряемых параметров при таких испытаниях связан с немного различными характеристиками испытуемых образцов и с ошибками,
вносимыми измерительными приборами. Средняя квадратичная
погрешность и среднее квадратичное отклонение, определенные по
формулам (6), (7), (8), (10), включают в себя обе названные причины
и поэтому не ограничены интервалом систематической погрешности. В этой ситуации случайную погрешность серии измерений и
систематическую погрешность, связанную с несовершенством измерительных приборов объединяют в полную погрешность:
∆ X =θX + k ⋅ SX . (14)
В этой формуле k – коэффициент Стьюдента, зависящий от количества проведенных измерений в серии. Более полная таблица
коэффициентов Стьюдента приведена в прил. 4.
N= 5
N= 10
N= 20
k= 2,5
k= 2,3
k= 2,0
Обработка серии измерений и представление результатов. По
результатам серии измерений нужно при помощи формулы (5) или
(9) найти среднее значение. После этого по формулам (6), (7), (8)
нужно найти среднюю квадратичную погрешность и среднее квадратичное отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных значений по формулам (1), (2) рассчитать систематическую погрешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений
зависит от того, какие величины измеряются, случайные или неслучайные1.
Если измеряемая величина по своей природе не является случайной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измерительных приборов на процесс измерений, систематические и случайные
погрешности нужно сравнить по критериям (11) и (12). В качестве
полной погрешности в этом случае следует взять систематическую
погрешность.
Если измеряемая величина является случайной по своей природе, то случайную и систематическую погрешность следует объединить в полную по формуле (14).
1
 Измеряемую величину следует считать случайной по своей природе, если при
ее измерении возникают неконтролируемые экспериментатором факторы или физический процесс протекает так быстро, что экспериментатор не успевает провести
достоверные измерения.
13
Результатом серии измерений при любом способе обработки
должны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой
величины. Кроме того, приводится среднее квадратичное отклонение и полное число измерений.
Для единичного измерения указывается полученное значение и
его систематическая погрешность.
Окончательная запись и округление полученных результатов с
учетом погрешности измерений. Все полученные результаты должны приводиться с погрешностями.
• Погрешность записывается после измеренной величины через
знак ±. Единицы измерения результата и погрешности должны быть
одинаковыми. Они указываются после погрешности. Если при расчете значения величин, подставляемых в формулу, приводятся без
наименования, то итоговое значение имеет наименование в скобках.
• Если результат приводится в нормированном виде, то есть
числом, умноженным на 10 в некоторой степени, то и погрешность
нужно привести в виде числа, умноженного на 10 в той же степени.
НЕПРАВИЛЬНО
V = 10,6 м/с ± 20 см/с
D = 11,3 см ± 5 мм
S = 2,26 ⋅ 10–6 ± 7 ⋅ 10–8 м2
ПРАВИЛЬНО
V = 10,6 ± 0,2 м/с
D = 11,3 ± 0,5 см
S = (2,26 ± 0,07) ⋅ 10–6 м2
• Полученный результат и погрешность должны быть обязательно округлены. Нужно оставить лишь те цифры, которые известны.
Лишние цифры – это «мусор», их приводить нельзя.
• Сначала округляют погрешность, затем измеренную величину.
Погрешность округляют до одной значащей цифры, т. е. до первой
слева цифры, не равной 0.
• В полученном результате сохраняют последним тот десятичный разряд, до которого округлена погрешность.
НЕПРАВИЛЬНО
R = 10,627319 ± 0,666666 Ом
С = 389,45 ± 21,33 нФ
R = 10,63 ± 0,7 Ом
R = 11 ± 0,07 Ом
ПРАВИЛЬНО
R = 10,6 ± 0,7 Ом
С = 390 ± 20 нФ
R = 10,6 ± 0,7 Ом
R = 11,14 ± 0,07 Ом
• Вторую цифру в погрешности можно сохранить (можно и не сохранять) лишь в случаях, когда первая цифра равна 1 или 2, причем,
если речь идет о цифре после 2, то ее следует округлить до 0 или 5.
• Если первая цифра в погрешности 8 или 9, то ее можно округлить
(можно и не округлять) до единицы старшего десятичного разряда.
14
НЕПРАВИЛЬНО
ПРАВИЛЬНО
ℓ = 621,54 ± 11,7 м
ℓ = 622 ± 12 м
ℓ = 1,273 ± 0,023 м
ℓ = 1,273 ± 0,025 м
ℓ = 4,316 ± 0,086 м
ℓ = 4,3 ± 0,1 м
q = (383,7 ± 8,1) ⋅ 10–9Кл q = (380 ± 10) ⋅ 10–9 Кл
ПРАВИЛЬНО
ℓ = 620 ± 10 м
ℓ = 1,27 ± 0,03 м
ℓ = 4,32 ± 0,09 м
q = (384 ± 8) ⋅ 10–9Кл
• В погрешности округление проводится в большую сторону если
старшая отбрасываемая цифра – 3 и более.
• В измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меняется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается на
1, если – больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все последующие цифры – нули или неизвестны, то последнюю сохраненную
цифру при округлении нужно сделать четной.
НЕПРАВИЛЬНО
ПРАВИЛЬНО
t = 16,33333 ± 0,33333 c
t = 16,3 ± 0,4 c
m1 = 18,350 ± 0,287 кг
m1 = 18,4 ± 0,3 кг
m2 = 33,450 ± 0,287 кг
m2 = 33,4 ± 0,3 кг
m3 = 33,451 ± 0,287 кг
m3 = 33,5 ± 0,3 кг
На стадии предварительных, промежуточных вычислений допустимо и даже полезно сохранять одну лишнюю цифру (не больше),
чтобы не накапливать вычислительную ошибку. При окончательной записи нужно строго соблюдать правила сохранения последней цифры. Сохранение лишних цифр, равно как и несохранение
известных цифр при окончательной записи результата измерения
или его погрешности, является ошибкой, свидетельствующей о неграмотности экспериментатора. Такая ошибка влечет за собой снижение оценки за работу.
Допустимые расхождения между результатами измерений.
В тех случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное
экспериментально значение Õ с теоретическим или табличным ХТ.
В тех случаях, когда выполняется условие
(15)
X − XT ≤ ∆ X , расхождение величин Õ и ХТ следует считать допустимым и не требующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в отчете.
Если же условие (15) нарушается, то это свидетельствует об
ошибках в проведении, постановке эксперимента или в расчетах
величин Õ и ∆ X . В этом случае нужно обязательно еще раз проверить свои измерения, расчеты и в отчете попытаться объяснить
причину имеющихся расхождений или хотя бы выдвинуть правдоподобную гипотезу.
15
ГРАФИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Графики нужно обязательно строить на миллиметровой бумаге,
которая выступает в роли одного из измерительных инструментов.
Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет
функцией, и какая аргументом. В соответствии со сделанным выбором график нужно озаглавить.
После этого следует разумно выбрать масштаб по обеим осям. Его
нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по этим
осям будут откладываться. Единица масштабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т. д. единицам измеряемой величины.
Представляемые на осях интервалы значений должны быть такими, чтобы, по возможности использовать все поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изобразить с разрывом.
После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и
подписать, какие величины и в каких единицах вдоль них откладываются. На осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под
осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписываются только числа; единицы их измерения указываются на
осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются.
На график обязательно наносятся все экспериментальные точки.
Около них двумя вертикальным и двумя горизонтальным отрезками откладываются систематические погрешности измеряемых величин.
Для большей наглядности, для возможности получения параметров функциональной зависимости и для получения градуировочных графиков через экспериментальные точки проводят линию. Ее
следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них,
избегая изломов и пересекая “крестики” погрешностей. Если известен теоретический закон, связывающий измеряемые величины, то
линия на графике должна ему подчиняться. Образец оформления
графика в отчете дан на рис. 1 и на рис. 2, 3 в прил. 3.
Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и f, записывается в виде
f = k ⋅ x + b,
(16)
то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек. Разумеется, все
точки не могут попасть на прямую, поэтому нужно проводить прямую таким образом, чтобы она проходила по возможности ближе к
максимальному числу точек. Проводя прямую линию через набор
16
lnP,
Bт
3
2
ОБРАЗЕЦ
1
0
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
lnT, К
Экспериментальная проверка закона Стефана–Больцмана
Рис. 1. Образец оформления графика в отчете
экспериментальных точек (рис. 2) нужно руководствоваться следующими правилами:
• Прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин;
• Число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой,
должно быть примерно одинаковым;
Иногда получается, что через набор точек невозможно провести
прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г,
д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2, г), то
ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же
сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность
(рис. 2, д), то следует сделать вывод, что экспериментальные данные
противоречат теоретической зависимости (16). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или 2, г, то экспериментальные
данные подтверждают теоретическую зависимость.
В случае, когда через экспериментальные точки удалось провести прямую линию, по графику находят параметры k и b уравнения (16). Параметр b равен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0,
а угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой, который можно найти по катетам треугольника, изображенного на
рис. 3.
Обратим внимание на то, что катеты ∆ х и ∆f измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии.
17
а)
б)
f
в)
f
f
х
г)
х
х
д)
f
f
х
х
Рис. 2. Прямая линия, проведенная через экспериментальные точки:
а – неправильно; б – неправильно; в – правильно; г – промах;
д – прямую провести невозможно
f
∆f
;
∆x
b = f(x =0) .
k = tgα =
∆f
∆x
b
x
Рис. 3. Графическое определение параметров прямой (16)
Оценка погрешностей величин k и b, определенных графически.
Систематическую погрешность величины b разумно принять равной значению систематической погрешности θf при наименьшем х
θb =θf
.
x = xmin
(17)
Систематическую погрешность величины k можно принять равной
 θf
θ 
θk = k ⋅ 
+ x ,
 ( ∆f ) ( ∆x ) 


(18)
где ∆f и ∆ х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θx – систематические погрешности величин f и х.
18
Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следующие действия:
– по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую;
– для нее находят новые значения величин k’ и b’;
– считают, что Sk = k’ – k, а Sb = b’ – b.
Очень часто изучаемые величины теоретически прямо пропорциональны друг другу:
f = k ⋅ x.
(19)
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной зависимости (16) при b = 0. График функции (19) должен обязательно проходить через начало координат. Проводя прямую линию
через набор экспериментальных точек (рис. 4), нужно руководствоваться следующими правилами:
• Прямая должна обязательно проходить через начало координат.
• Прямая должна пересечь максимальное количество крестиков,
обозначающих систематические погрешности отложенных величин.
• Число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой,
должно быть примерно одинаковым.
В некоторых случаях (рис. 4, д, е) через имеющиеся экспериментальные точки невозможно провести прямую (19). Если из общего
набора выбивается только одна точка (рис. 4, г), то ее следует счиа)f
б) f
х
г) f
в) f
х
д) f
х
х
е) f
х
х
Рис. 4. Прямая линия, проведенная через экспериментальные точки:
а – неправильно; б – неправильно; в – правильно; г – промах;
д и е – прямую провести невозможно
19
тать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же таких точек
несколько или наблюдается нелинейность (рис. 4, д), или очевидно,
что экспериментальная зависимость проходит мимо начала координат (рис. 4, е), то следует сделать вывод, что данные опыта противоречат теоретической формуле (19). Если наблюдаются случаи, показанные на рис. 4, в или 4, г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают эту теоретическую зависимость.
Если через имеющийся набор данных прямую провести удалось,
то величину b определять не нужно, поскольку она в этом случае
обязана равняться нулю. Угловой коэффициент k = tgα находится
так же, как и в прошлом случае (рис. 3).
Графическая обработка экспоненциальной зависимости.
На практике очень часто приходится иметь дело с теоретическими зависимостями, которые сводятся к формуле
−
t
τ,
f (t=
) A⋅e
(20)
в которой t – время, а τ – константа, которая обычно называется постоянной времени или временем релаксации. Обработка экспериментальных данных может быть проведена одним из двух методов.
Метод 1. Измеренные значения f(t) откладываются на графике.
Через них проводится плавная кривая, как это показано на рис. 5.
Эта линия не обязана проходить через все точки, она должна лишь
пересекать крестики, обозначающие систематические погрешности.
По проведенной линии нужно определить или уточнить значение
параметра А, как это показано на рисунке. Кроме того нужно провести горизонтальную линию f = А/е и найти точку ее пересечения с
построенной кривой. Из найденной точки нужно опустить перпендикуляр на ось t и найти значение τ.
f
A
A/е
τ
Рис. 5. Определение параметров
экспоненциальной зависимости
20
t
К достоинствам этого метода, несомненно, следует отнести его
простоту и наглядность. Его недостатками являются отсутствие
корректной процедуры оценки погрешностей и необходимость вручную проводить экспоненту. Проведенный вручную график функции
часто слишком тяготеет к отдельным экспериментальным точкам.
Второй метод свободен от этих недостатков, но более громоздок.
Метод 2. Получившиеся значения f логарифмируются; на графике откладывается набор точек lnf от t, как это показано на рис. 6.
Теоретически эта зависимость должна оказаться линейной
( )
ln f = ln A − 1 τ ⋅ t, (21)
поэтому через экспериментальные точки нужно провести прямую
линию по уже знакомым правилам.
Определив по графику длину отрезка lnА, отсекаемого прямой
на оси ординат, найдем параметр А уравнения (21). Экстраполируя,
т. е. продолжая получившуюся линию до пересечения с осью абсцисс, находим время t0, угловой коэффициент k = tgα и постоянную времени τ:
t
τ= 0 .
(22)
ln A
Отметим, что по оси ординат около каждой точки откладывается
систематическая погрешность не самой величины f, а ее логарифма
θf
(23)
θln f = ∆f
Достоинством этого метода является то, что через набор точек
нужно проводить не экспоненту “твердым движением руки”, а пряlnf
k = tgα =
ln A
t0
lnA
α
t0
t
Рис. 6. Определение параметров уравнения (20)
21
мую линию – по линейке. Эта линия опирается сразу на весь набор
экспериментальных точек. Вторым важным достоинством описанного метода является возможность оценить погрешности найденных параметров.
Систематическую погрешность величины А разумно принять
равной значению систематической погрешности θf для значений,
полученных при наименьшем значении времени t
θА = θf при mint.
(24)
Систематическую погрешность величины τ следует принять равной
θ
θA 
θτ = τ ⋅  t +

 t0 A ⋅ lnA 
(25)
Оценка случайных погрешностей SА и Sτ:
– по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую;
– для нее находят новые значения величин А’ и τ’;
– принимают SА = А – А’, а Sτ = τ – τ’.
Описанная выше процедура графического определения углового коэффициента (тангенса угла наклона) применима к линейной
функции. Если требуется найти угловой коэффициент для нелинейной функции, то он будет разным при разных значениях аргумента.
Поэтому ищут угловой коэффициент касательной в интересующей
точке. Эта процедура называется графическим дифференцированием. Она описана далее.
ГРАФИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
К графическому определению производной прибегают тогда,
когда аналитическое выражение для функции неизвестно, и она задается графически (например, на основании измерений). Графическое определение производной называется графическим дифференцированием.
Поясним, как выполнить графическое дифференцирование. Известно, что производная от функции y = f(x) равна угловому коэффициенту касательной, построенной к кривой f(x) при том же самом
значении аргумента x, при котором вычисляется dy/dx (рис. 7). Поэтому после графического отображения экспериментальной кривой
для вычисления производной в некоторой точке достаточно прове22
y
∆y
∆x
∆y
∆x
∆y
∆x
x
Рис. 7. Графическое дифференцирование
сти на графике касательную к кривой в этой точке и вычислить ее
угловой коэффициент. Производная тогда найдётся по формуле
∆y
y′ =
.
(26)
∆x
Здесь Δy и Δx – длины отрезков в единицах величин x и y, отложенных по осям. Эти элементы не должны быть всюду одними и
теми же. Их нужно выбирать меньшими там, где функция изменяется быстрее.
Точность метода графического дифференцирования зависит от
точности построения исходной кривой. Поэтому экспериментальную кривую, которую в дальнейшем планируется дифференцировать, нужно строить очень тщательно. Описанная процедура совпадает с методикой графического определения тангенса угла наклона
линейной зависимости f(x) = k ⋅ x + b, описанной в прошлом разделе.
ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Определенный интеграл
x2
∫ f (x)dx
от неотрицательной функции
x1
f(x) может быть найден как площадь криволинейной трапеции под
23
y
x1
x2
x
Рис. 8. Графическое интегрирование
кривой f(x) на промежутке [x1 x2]. Такое представление удобно при
вычислении интеграла от любой экспериментальной зависимости.
Площадь фигуры – количественное значение интеграла – находят
подсчетом составляющих ее клеток миллиметровки с умножением
результата на масштаб по каждой оси.
Графическое интегрирование можно использовать, например,
при определении пути, пройденного телом при сложном характере движения. Путь находят интегрированием экспериментальной
кривой, отображающей зависимость скорости тела от времени
S=
t2
∫ υdt.
t1
Аналогично можно найти работу, совершенную газом в ходе сложного процесса, откладывая по оси x объем газа, а по оси y – давление
A=
V2
∫ pdV .
V1
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Часто экспериментально определяются величины x и y, связанные функциональной зависимостью
у = f(x, A, B, …).
(27)
Вид этой функции бывает обычно известен из физических законов, а коэффициенты A, B, …должны быть определены по результатам эксперимента (табл. 1).
24
Таблица 1
x
x1
x2
x3
x4
……
xn
y
y1
y2
y3
y4
…....
yn
Практически вид приближающей функции можно определить
визуально: по табл. 1 строится точечный график функции, а затем
проводится кривая, наилучшим образом отражающая характер
расположения точек (рис. 9). По этой кривой устанавливается вид
приближающей функции (обычно из числа простейших аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная или показательная, логарифмическая и т. д.). Чтобы формула не оказалась
слишком сложной, число параметров не должно быть велико. Обычно берут два-три параметра. При сравнении обращают внимание на
наличие максимумов и минимумов, поведение функции при больших и малых значениях аргумента, выпуклость кривой вверх или
вниз на отдельных участках и т. д. Выбрав подходящую функцию,
подбирают такие значения ее параметров, чтобы разница между
опытными значениями величины и значениями, найденными по
формуле, не превышала ошибок эксперимента. Если эта разница
получается слишком большой, берут другой подходящий график и
повторяют попытку.
y
x
Рис. 9. Построение функции методом
наименьших квадратов
Формула (27) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x и позволяет находить значения функции f (x)
для нетабличных значений x, «сглаживая» результаты измерений
величины y.
25
Рассмотрим частный случай, когда зависимость y от x линейная
у = b + kx.
(28)
В этом случае для нахождения b и k достаточно двух абсолютно
точных измерений величин x и y. В действительности, измеренные
экспериментальные значения xi и yi содержат ошибку, поэтому, по
ним можно получить только оценки параметров функции b и k.
Чтобы получить достоверные оценки, производят многократные
изменения. Получается набор из пар значений {xi, yi} (табл. 1). Нужно подобрать такие значения параметров b и k, чтобы рассчитанные
значения функции в узлах {xi,} как можно меньше отличались от
табличных значений {yi}. Просуммируем квадраты отклонений рассчитанной функции (28) от экспериментальных значений.
F (k, b) =
∑(b + kxi − yi )2 . (29)
При оптимальных значениях коэффициентов b и k функция (29)
будет иметь минимум. Ищем его, приравнивая нулю частные производные этой функции по параметрам k и b:
∂F
=
∂b
∂F
=
∂k
n
∑ 2(b + kxi − yi=)
0,
i =1
n
∑ 2(b + kxi − yi )xi=
0.
i =1
Таким образом, для искомых коэффициентов получаем систему
уравнений
b ⋅ n + k ∑ xi =∑ yi

2
b ∑ xi + k ∑ xi =∑ yi xi
Решая эту систему относительно b и k, получаем следующие выражения
b
∑ xi2 ∑ yi − ∑ xi ∑ xi yi
n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
,
.
=
k
2
2
2
n ∑ xi − ( ∑ xi )
n ∑ xi2 − ( ∑ xi )
( )
( )
(30)
Функция (28) с этими значениями коэффициентов b и k наилучшим образом соответствует всему массиву экспериментальных данных.
Метод наименьших квадратов позволяет также оценить погрешности найденных значений параметров b и k:
26
=
Sb
где Sy2
=
Sy ∑ xi2
, Sk
=
2
n ∑ xi2 − ( ∑ xi )
( )
( )
2
n ∑ yi2 − ( ∑ yi )
n(n − 2)
−
Sy n
( )
2
n ∑ xi2 − ( ∑ xi )
(n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi )2
2
n(n − 2) n ∑ ( xi2 ) − ( ∑ xi )
(
)
,
(31)
.
Если числители и знаменатели в формулах (31), (32) разделить
на n2, то все величины можно вместо сумм выразить через средние
значения
=
b
2
S=
k
где=
Sy2
x2 ⋅ y − x ⋅ xy
xy − x ⋅ y
=
,
k
.
2
2
x2 − x
x2 − x
( )
( )
Sy2
( ) ()
2

n  x2 − x 


,
(
( )
2
2
2
S=
b Sk ⋅ x , (30а)
(31а)
)
2

xy − x ⋅ y 
2
n  2
.
y − y −
2 
(n − 2) 

x2 − x


()
( )
Смотри примеры [11–14] обработки результатов измерений методом наименьших квадратов в прил. 2.
Рекомендованная литература
1. Зайдель А. Н. Ошибки измерений физических величин. Л.: Наука. 1985. 181 с.
2. Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир. 1970. 296 с.
3. Деденко Л. Г., Керженцев В. В. математическая обработка и
оформление результатов эксперимента. М.: Изд. МГУ, 1977. 112 с.
27
Приложение 1
Примеры вычислений погрешностей
Пример 1
Электрический ток через лампу измеряется амперметром, в диапазоне до Im = 3 A и классом точности KI = 1. Падение напряжения
на лампе измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 10 B и
классом точности KU = 2. Показания приборов: I = 1,27 A, U = 6,2 B.
Найти мощность, потребляемую электрической лампой, и ее систематическую погрешность.
Решение. Электрическая мощность вычисляется по известной
формуле P = U · I. Это выражение обозначает, что электрическая
мощность P является функцией двух непосредственно измеряемых
величин: P = P (U, I). Систематические погрешности прямых измерений тока и напряжения находятся по формуле (1а):
θ=
I
Im ⋅ KI 3 ⋅ 1
Um ⋅ KU 10 ⋅ 2
=
= 0,03 (A); θU
=
=
= 0,2 (B).
100
100
100
100
Поскольку мы имеем дело с косвенным измерением функции P,
систематическую погрешность сопротивления θP можно выразить
через погрешности тока θI и напряжения θU при помощи формулы (2):
θ=
R
∂P
∂P
⋅ θI +
⋅ θU .
∂I
∂U
Найдем частные производные от сопротивления по току и по напряжению:
∂P ∂ ( IU )
∂U
=
= I ⋅ = I,
∂U
∂U
∂U
∂P ∂ ( IU )
∂I
=
= U ⋅ = U.
∂I
∂I
∂I
Таким образом, получаем окончательное выражение для систематической погрешности электрического сопротивления:
θP =IθU + UθI ;
θP= 1,27 ⋅ 0,2 + 6,2 ⋅ 0,03
= 0,25 + 0,19
= 0,44
= 0,5 ( Âò ).
Теперь найдем электрическую мощность и округлим ее
до десятых – так же, как и систематическую погрешность
P =I ⋅ U =1,27 ⋅ 6,2 =7,9 ( Âò ).
Ответ: Р = (7,9±0,5) Вт.
28
Пример 2
Проводится косвенное измерение горизонтальной составляющей
напряженности магнитного поля Земли. Для этого с помощью витка с током, ориентированного вдоль магнитного меридиана, создается магнитное поле, перпендикулярное полю Земли. В центр витка помещается компас, стрелка которого показывает направление
напряженности результирующего поля. Тангенс угла отклонения
стрелки равен отношению напряженности магнитного поля витка
к напряженности внешнего магнитного поля
tgα
=
Hâèòêà
IN
.
=
HÇåìëè 2R ⋅ HÇåìëè
В этой формуле I – ток, R = 0,2 м – радиус витка, N = 36 – количество витков провода. Класс точности миллиамперметра K = 1,0,
диапазон измерений – Imax = 200 мА. Систематическая погрешность
измерения тока
K ⋅ Imax 1 ⋅ 200
=
θI
=
= 2 (ìÀ)
= 0,002 (À).
100
100
Компас класса точности не имеет, систематическая погрешность
измерения угла составляет половину градуса.
Результаты прямых измерений: I = (80 ± 2) мА, α = 34,0° ± 0,5°.
В международной системе единиц угол измеряется не в градусах, а в радианах
πðàä
θ=
= 0,009 ðàä.
α 0,5° ⋅
180°
Решение. Горизонтальную составляющую напряженности магнитного поля Земли находим по формуле
IN ⋅ ctgα
HÇåìëè =
.
2R
Таким образом, НЗ = НЗ(I, α) является функцией двух переменных, тока I и угла α отклонения стрелки компаса. Систематическая
погрешность θН выражается через систематические погрешности θI
и θα.
∂HÇåìëè
∂HÇåìëè
=
θH
⋅ θα +
⋅ θI .
∂α
∂I
Сначала вычислим частные производные по этим переменным.
29
∂HÇåìëè IN ∂ctgα IN
1
= ⋅
= ⋅
.
∂α
2R ∂α
2R sin2 α
Домножаем числитель и знаменатель этого выражения на cosα и
учитываем, что 2sinα · cosα = sin2α.
∂HÇåìëè IN ⋅ cos α
2HÇåìëè
IN
1
1
.
=
⋅
=
⋅ ctgα ⋅
=
sin 2α
sin 2α
∂α
2R ⋅ sin α sin α ⋅ cos α R
∂HÇåìëè N ⋅ ctgα HÇåìëè
.
= =
∂I
2R
I
Получаем окончательную формулу систематической погрешности θН
θ
 2θα
=
θH HÇåìëè 
+ I
 sin 2α I

.

Вычисления:
=
HÇåìëè
0,08 ⋅ 36 ⋅ ctg34°
= 10,7 ( À ì ).
2 ⋅ 0,2
 2 ⋅ 0,009 2 
θ H= 10,7 ⋅ 
+ = 0,5 ( À ì ).
 0,93
80 
Ответ: НЗемли = (10,7 ± 0,5) А/м.
Пример 3
В микроскоп наблюдаются Кольца Ньютона в отраженном свете.
Измеряются радиусы двух темных колец – второго и седьмого (r2 и
r7). По этим данным и по длине волны света находится радиус кривизны линзы. Результаты измерений и данные с установки:
=
r2
, r7 ( 0,550 ± 0,005) ìì
=
, λ
(0,230 ± 0,005) ìì=
0,6 ìêì.
Радиус линзы связан с радиусами колец и длиной волны формулой
r2 − r2
R = k m , где k = 7, m = 2.
λ(k − m)
Решение. В данном случае вычисленный радиус линзы R является функцией R = R(rk, rm). Систематическая погрешность θR выражается через погрешности радиусов, и через значения частных
производных функции R по обеим переменным. Сначала найдем эти
производные.
30
∂R
=
∂rk
2 ′
 rk2 − rm
(rk2 )′
2rk
;
=
=


 λ(k − m) 
(
)
(
k
m
k
λ
−
λ
− m)

 rk
∂R
=
∂rm
2 ′
2 ′
 r 2 − rm
)
−(rm
−2rm
.
=
 k =

 λ(k − m) 

 rm λ(k − m) λ(k − m)
Выводим окончательную формулу для систематической погрешности θR:
=
θR
2rk ⋅ θrk
−2rm ⋅ θrm 2(rk + rm )
∂R
∂R
θrk +
θ=
+
=
⋅ θr .
rm
∂rk
∂rm
λ(k − m)
λ(k − m)
λ(k − m)
Подставляем в эту формулу все измеренные значения и вычисляем
=
θR
2(r7 + r2 )
2(0,55 + 0,23) ⋅ 10−3
−6 1,56
=
⋅ θr
⋅ 5 ⋅ 10=
⋅ 10−3 ≈ 3 ⋅ 10−3 ( ì ).
−
6
λ(7 − 2)
0,6
0,6 ⋅ 10 ⋅ 5
Вычисляем радиус кривизны линзы и записываем окончательный ответ
r72 − r22
R =
=
λ(7 − 2)
=
−3
(0,55 ⋅10−3 ) − (0,23 ⋅10=
)
2
2
0,6 ⋅ 10−6 ⋅ 5
(0,55)2 − (0,23)2 )
(=
3
0,0832 ( ì ).
Ответ: R = (0,083±0,003) м.
Пример 4
Проводится косвенное измерение постоянной Стефана–Больцмана σ. Для этого измеряются падение напряжения U на лампе накаливания, ток через эту лампу I и температура нити накаливания Т.
Диапазон измерения напряжений 0–30 В, класс точности вольтметра KU = 1; т. е. QU = 0,3 В. Диапазон измерений тока 0–3 A, класс
точности амперметра KI = 0,5; т. е. QI = 0,015 A. Диапазон измерения
температуры 1000–2000 К, класс точности KТ = 1; т. е. QТ = 20 К.
Коэффициент серости вольфрама a = 0,4; площадь излучающей поверхности S = 2 · 10–5 м2. Запишем результаты прямых измерений и
данные с установки:
31
U=
6,3 ± 0,3 B; I =
0,750 ± 0,015 A; T =±
1860 20 Ê;
=
a 0=
,4; S 10−5 ì2 .
Решение. Формула Стефана–Больцмана для серого тела:
R= a ⋅ σT 4 , ãäå R − ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü;
IU
R IU / S, ⇒=
4,9 ⋅ 10−8 (Âò/ì2Ê4 ).
=
σ
=
4
aST
Таким образом, σ является функцией трех переменных,
σ = σ(I, U, T). Погрешность Qσ выражается через измеренное
значение σ и относительные погрешности измеряемых величин
θ I θU θT
,
,
. Поскольку ток и напряжение входят в функцию
I U T
σ = σ(I, U, T) в первой степени, коэффициенты при соответствующих слагаемых равны единице. Температура входит в упомянутую
функцию в четвертой функции, значит, перед относительной погрешностью температуры должен быть множитель 4.
θ
4θ
θ
θσ =σ  I + U + T
U
T
 I

.

Вычисляем по этой формуле
 0,3 0,015 4 ⋅ 20 
−8
θσ =4,9 ⋅ 10−8 ⋅ 
+
+
 =4,9 ⋅ 10 ⋅ ( 0,048 + 0,020 + 0,043 ) =
 6,3 0,75 1860 
(
)
=4,9 ⋅ 10−8 ⋅ 0,111 =0,6 ⋅ 10−8 Âò/ì2 Ê4 .
Ответ: σ = (4,9±0,6) · 10– 8 Вт/м2К4.
Пример 5
Проводится косвенное измерение электроемкости конденсатора
C. Для этого сравниваются показания гальванометра n = 31 для исследуемого конденсатора и n0 = 34 и для конденсатора с известной
электроемкостью C0 = 4700 пФ.
Класс точности гальванометра K = 1,5. Диапазон измерений
nmax = 50.
Решение. Неизвестная электроемкость C выражается через известную – C0 по формуле
C n
C= 0 ,
n0
32
и, таким образом, является функцией двух переменных C = C(n, n0).
Обе эти переменные входят в функцию в первой степени, поэтому
оба коэффициента κ1 и κ2 в формуле (4) равны единице.
θ
θ 
=
θC C  n + n  .
 n0 n 
Систематические погрешности θn и θn0 вычисляем по формуле (1а)
K ⋅ nmax 1,5 ⋅ 50 3
θn =θn0 =
=
=.
100
100
4
Вычисляем электроемкость и погрешность по этим формулам
4700 ⋅ 31
=
C = 4280 (ïÔ),
34
 0,75 0,75 
=
θC 4280 
=
+
+ 0,022) 200 (ïÔ).
 4280 ( 0,024 =
 31
34 
Окончательное значение электроемкости нужно округлить до соответствующего десятичного разряда
Ответ: C = (4300 ± 200) пФ.
Пример 6
Проводится косвенное измерение электрической постоянной ε0
в системе СИ. Для этого на специально собранной установке измеряется напряжение U вольтметром (класс точности 2,5, диапазон
измерений 15 В), угол отклонения магнитной стрелки β компасом
(класс точности не указан, диапазон ±180°) и горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли НЗемли (косвенное измерение, проведенное ранее). Результаты измерений:
U = (12,0 ± 0,4) В, β = (6,0 ± 0,5)°, НЗемли = (10,7 ± 0,5) А/м.
Решение. Электрическая постоянная вычисляется по формуле
2R ⋅ HÇåìëè ⋅ tgβ
ε0 =κ′
.
NνU
В этой формуле κ′ = 4,5 · 10–7 м–1 – константа установки; R = 0,2 м –
радиус катушки; N = 36 – количество витков провода в катушке,
ν = 50 Гц – количество переключений схемы в секунду. Предварительное вычисление дает
ε0=
4,5 ⋅ 10−7 ⋅ 2 ⋅ 0,2 ⋅ 10,7 ⋅ 0,105
= 9,4 ⋅ 10−12 ( Ô/ì ).
36 ⋅ 50 ⋅ 12
33
Для вычисления систематической погрешности найденной величины учтем, что измеряемый угол β мал. Поэтому, тангенс этого
угла можно заменить значением угла, выраженным в радианах1
tgβ = β.
Таким образом, ε0 = ε0(H, U, β), причем все три переменные входят в функцию множителями в первой степени
=
ε0
κ′2R HÇåìëèβ
.
⋅
Nν
U
Выразим с помощью формулы (4) систематическую погрешность
величины ε0 через значение самой величины и относительные погрешности НЗемли, β и U.
θβ θU 
 θH
θε 0 =
ε0 
+
+
.
U 
 HÇåìëè β
Существенно, что относительные погрешности представляют собой дроби. Поэтому, значения в эту формулу можно подставлять в
любых единицах измерения, не обязательно в СИ. Важно только,
чтобы в числителе и знаменателе единицы измерения были одинаковыми. Таким образом, погрешность угла θβ и сам угол β подставляем в эту формулу в градусах, а не в радианах, как это было сделано в примере 2.
 0,5 0,5° 0,4 
−12
θε0 = 9,4 ⋅ 10−12 ⋅ 
+
+
( Ô/ì ).
 = 1,6 ⋅ 10
,
10
7
6
12
°


Ответ: ε0 = (9,4 ± 1,6) · 10–12 Ф/м.
Пример 7
Проводится косвенное измерение постоянной Холла. Для этого
на специально собранной установке измеряется ток i, текущий через образец, помещенный в магнитное поле с индукцией B, и возникающая при этом ЭДС Холла. Магнитная индукция определяется
по току I в обмотке соленоида с использованием градуировочного
графика B(I).
Ток в соленоиде измеряется амперметром с классом точности 0,5 .
Этот прибор обеспечивает измерение тока с относительной погреш-
1
 Такая замена допустима при вычислении погрешности, но не желательна при
вычислении самой величины ε0.
34
ностью 0,5%. Магнитная индукция, определяется таким способом
с относительной систематической погрешностью 1% – θB = 0,01 · B.
Ток через образец определяется миллиамперметром с классом
точности K = 1. Предел измерения тока – 5 мА. Таким образом, систематическая погрешность тока в образце составляет θI = 0,01 · Imax = = 0,05 мА.
ЭДС Холла определяется цифровым вольтметром, работающим
в диапазоне до 200 мВ и имеющем класс точности K = 0,4. Таким
образом, систематическая погрешность измерения холловской ЭДС
составляет
θε = 0,004 · 200 = 0,8 мВ.
R=
ε⋅b
i⋅B
В этой формуле b – толщина образца.
Результаты измерений и данные установки:
B = (0,285±0,003) Тл, i = (0,75±0,05) мА, ε = 36,8 ±0,8 мВ, b = 0,8 мм.
Решение. Предварительное вычисление постоянной Холла дает
36,8 ⋅ 10−3 ⋅ 0,8 ⋅ 10−3
R=
=
138 ⋅ 10−3 ( Îì ⋅ ì/Òë ).
−3
0,75 ⋅ 10 ⋅ 0,285
Постоянная Холла, определяемая в опыте, является функцией
трех переменных R = R(B, i, ε). Каждая из упомянутых переменных
входит в функцию множителем первой степени. Поэтому систематическая погрешность θR выражается через значение самой функции и через относительные погрешности этих переменных со всеми
коэффициентами κ в формуле (4), равными единице.
θ θ 
θ
=
θR R  B + i + ε 
B
i
ε 

Вычисление по этой формуле дает:
5
8 
 3
−3
−3
θR =138 ⋅ 10−3 ⋅ 
+
+
 =138 ⋅ 10 ⋅ 0,099 =14 ⋅ 10 ( Îì ⋅ ì/Òë ).
285
75
368


Ответ: R = (138 ± 14) · 10–3 Ом · м/Тл.
Пример 8
Проводится косвенное измерение концентрации свободных носителей в проводнике. Для этого на специально собранной установке измеряется постоянная Холла. Результаты измерений: R = (138 ± ± 14) · 10–3Ом · м/Тл
35
n=
θ
3π
, θn = n ⋅ R .
8eR
R
Здесь e = 1,602 · 10–19 Кл – элементарный заряд. Вычисляем по
формулам:
9,42 ⋅ 1019
0,014
= 5,3 ⋅ 1019 ì −3 , θn= 5,3 ⋅ 1019 ⋅
= 0,6 ⋅ 1019 ì −3 .
8 ⋅ 1,6 ⋅ 0,138
0,138
( )
n=
( )
Ответ: n = (5,3 ± 0,6) · 1019 (1/м3).
Пример 9
Проводится косвенное измерение электроемкости конденсатора
C. Для этого сравниваются показания гальванометра n для исследуемого конденсатора и n0 и для конденсатора с известной электроемкостью C0 = 4700 пФ.
В табл. 2 даны результаты прямых измерений отбросов гальванометра n0 и n для известной – C0 и для неизвестной – C электроемкостей.
Решение. Найдем средние значения для прямых измерений n0 и n.
n01 + n02 + n03 + n04 + n05 34 + 34 + 35 + 34 + 33
n0
= = 34,0
5
5
=
n
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 30 + 31 + 31 + 32 + 32
= = 31,2
5
5
Находим средние квадратичные отклонения этих величин.
(
Sn =∑ n0 − ni
0
Sn =
0
)
2
N ( N − 1) .
((34 − 34) + (34 − 34) + (34 − 35) + (34 − 34) + (34 − 33) ) 5(5 − 1)=
=∑ ( ( 0 ) + ( 0 ) + ( −1) + ( 0 ) + (1) ) 5 ( 5 − 1) =2 20 ≈ 0,3.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Таблица 2
n0
34
34
35
34
33
36
n
30
31
31
32
32
2
(
)
2
Sn = ∑ n − ni
((31,2 − 30)
=
∑ ( (1,2 )
Sn=
2
N ( N − 1) .
2
+ ( 31,2 − 31) + ( 31,2 − 31) + ( 31,2 − 32 ) + ( 31,2 − 32 )
2
+ ( 0,2 ) + ( 0,2 ) + ( 0,8 ) + ( 0,8 )
2
2
2
2
2
2
2
) 20=
2,8 20 ≈ 0,4.
) 20 =
Неизвестная электроемкость C выражается через известную –
C0 и через прямые измерения отбросов гальванометра n0 и n по формуле
C n
C= 0 .
n0
Предварительное вычисление по этой формуле дает
=
C
4700 ⋅ 31,2
= 4313 ( ïÔ ).
34
Измеренное значение электроемкости является функцией двух
переменных C = C(n, n0), поэтому случайная погрешность этой величины выражается через случайные погрешности прямых измерений Sn , Sn и частные производные по переменным n0 и n.
0
2
2
2
2
 C0n 
 ∂C 
 C0 
 ∂C 
2
2
2
SC = 
⋅ S +   ⋅ S =  − 2  ⋅ S +   ⋅ S2 =

n0  ∂n 
n
n0  n 
n
 ∂n0 
 n0 
0
2
=
2
2
2
2
2
 C0n   Sn0 
 C0n   Sn 
 C0n   Sn0 
 Sn 
⋅
+
⋅
=
+
 n   n 
 n   n 
 n   n 
 n 
0
0
0
 0 
 0 
 Sn
SC =
C⋅  0
 n0

2
2
  S 2
 + n  .
  n 

2
 0,3   0,4 
4313 ⋅ 
4313 ⋅ 0,0156 ≈ 70 ( ïÔ ).
SC =
 =
 +
 34   31,2 
=
ïÔ, SC 70
=
ïÔ, N 5.
Ответ: C 4310=
37
Пример 10
Проводится косвенное измерение горизонтальной составляющей
напряженности магнитного поля Земли. Для этого с помощью витка с током, ориентированного вдоль магнитного меридиана, создается магнитное поле, перпендикулярное полю Земли. В центр витка помещается компас, стрелка которого показывает направление
напряженности результирующего поля. Тангенс угла отклонения
стрелки равен отношению напряженности магнитного поля витка
к напряженности внешнего магнитного поля
Hâèòêà
IN
tgα
.
=
=
HÇåìëè 2R ⋅ HÇåìëè
В этой формуле I – ток, R = 0,2 м – радиус витка, N = 36 – количество витков провода.
В табл. 3 даны результаты прямых измерений тока I и угла α отклонения магнитной стрелки. Приведены результаты для двух направлений тока по витку.
Горизонтальную составляющую напряженности магнитного
поля Земли находим по формуле
HÇåìëè =
IN ⋅ ctgα cp
2R
.
Требуется найти горизонтальную составляющую напряженности магнитного поля Земли НЗ и среднее квадратичное отклонение
SH этой величины.
Решение. Вычисляем пять значений НЗ для каждого значения
тока и угла отклонения стрелки компаса αср. Данные первичной обработки приведены в табл. 4.
Теперь найдем среднее значение напряженности магнитного
поля Земли:
10,7 + 10,9 + 11,1 + 10,8 + 10,6
H Ç = 10,8 ( À/ì ).
5
Таблица 3
I(мА)
80
90
100
110
120
38
α
33°
36°
38°
42°
45°
35°
37°
40°
43°
46°
αср
34°
36,5°
39°
42,5°
45,5°
Таблица 4
αср
34°
36,5°
39°
42,5°
45,5°
I(мА)
80
90
100
110
120
НЗ
10,7
10,9
11,1
10,8
10,6
ctgαср
1,48
1,35
1,23
1,09
0,98
Зная его, можно вычислить среднее квадратичное отклонение:
N
(
SH Ç =
∑ H − Hi
i =1
2
SH Ç
2
)
2
N ( N − 1) .
2
2
2
(10,8 − 10,7 ) + (10,8 − 10,9 ) + (10,8 − 11,1) + (10,8 − 10,8 ) + (10,8 − 10,6 )
=
5 ( 5 − 1)
( 0,1)2 + ( −0,1)2 + ( −0,3)2 + ( 0 )2 + ( 0,2)2
=
5 ( 5 − 1)
0,01 + 0,01 + 0,09 + 0,04
≈ 0,1 ( À/ì ).
20
=
À/ì, SH Ç 0=
,1 À/ì, N 5.
Ответ: H Ç 10,8 =
39
Приложение 2
Примеры обработки результатов измерений
методом наименьших квадратов
Пример 11. Проверка закона Стефана–Больцмана:
R = σ · T4,
где R – энергетическая светимость (выражается через мощность
Р излучения и площадь S поверхности – R = P/S), Т – абсолютная
температура в Кельвинах, σ – константа Стефана–Больцмана. Для
серой (не абсолютно черной) поверхности в правой части уравнения
появится еще множитель а – коэффициент серости. С учетом всего
вышесказанного запишем:
P
= a ⋅ σ ⋅ T 4 ; ⇒ P= ( aσS ) ⋅ T 4 = const ⋅ T 4 .
S
Логарифмируем получившееся выражение и обозначаем
ln ( Const) = C:
ln P =
ln Const + ln T 4 =
C + 4 ln T.
Вводя обозначение
=
ln P y=
, ln T x, получаем в координатах
(х;у) уравнение прямой с угловым коэффициентом k = 4:
y = C + 4 · x
Экспериментальная проверка закона Стефана–Больцмана состоит в проверке именно этого коэффициента. Для этого нужно провести серию измерений электрической мощности лампы в зависимости от температуры нити накаливания P(T).
Мощность лампы измеряется косвенно: непосредственно измеряются падение напряжения U и ток через лампу I, затем вычисляем P = I · U. Температура нити накала измеряется пирометром.
Этот прибор измеряет яркостную температуру в градусах Цельсия.
Показания прибора нужно перевести в кельвины и пересчитать яркостную температуру в истинную. Эта процедура описана в лабораторной работе: Проверка законов теплового излучения.
Считаем, что все сказанное уже проделано, имеется серия измерений P(T). Результаты приведены в табл. 5. Там же приведены натуральные логарифмы lnP и lnT. На рис. 10 показана получившаяся
зависимость в логарифмических координатах. Каждое измерение
температуры и мощности имеет свою погрешность. Эти погрешности указаны на рисунке вертикальными и горизонтальными отрезками. Требуется проанализировать имеющиеся данные и сделать
заключение о их соответствии закону Стефана–Больцмана.
40
Таблица 5
T, К
P, Вт
lnT
lnP
1010
1,65
6,90
0,50
1180
3,63
7,07
1,29
1350
5,70
7,21
1,74
1570
9,97
7,35
2,30
ln P ln T
14,75
ln P
1,9967
2
(ln P )
4,8686
(lnT )2
52,960
lnT
N
k
Sk
7,2733
6
3,85
С
–26,0
1820
18,0
7,51
2,89
2000
26,0
7,60
3,26
0,17
lnP,
Вт
3
2
1
0
6,8
7,0
7,2
7,4
7,6
lnT
Рис. 10. Зависимость логарифма мощности лампы
от логарифма абсолютной температуры
Случайную погрешность константы C находить не будем.
На рис. 10 показана изучаемая зависимость в логарифмическом
масштабе. Через экспериментальные точки проведена прямая с коэффициентами k и C, полученными выше. Видно, что с учетом погрешностей прямых измерений эта линия пересекает все экспериментальные точки.
41
Мы экспериментально получили угловой коэффициент – он же
показатель степени в Стефана–Больцмана k = 3,85 при Sk = 0,17.
Получившееся значение в пределах погрешности измерений равно
теоретическому.
Таким образом, представленные результаты измерений подтверждают проверяемый закон
R = σ · T4.
Пример 12
Проверка распределения Планка:
f (λ,T) =
2πhc2
λ
5
1
hc
e λkT
,
−1
где f (λ, T) – излучательная способность абсолютно черного тела.
Если на фотоприемник попадает свет от лампы, прошедший через
светофильтр, то возникающий ток оказывается пропорциональным
изучаемой функции:
1
i= D ⋅ λ −5 ⋅
.
hc
e λkT − 1
В этой формуле D – константа установки, зависящая от спектральной чувствительности приемника, от коэффициента и полосы
пропускания светофильтра. Имеем набор экспериментальных данных i от Т (табл. 6).
Для температур, которые обычно имеет нить накаливания, единицей в знаменателе можно пренебречь. Переписываем формулу:
− hc
i= D ⋅ λ −5 ⋅ e λkT ,
hc −1
⋅ T , где L= ln(Dλ–5).
λk
В этих формулах h – постоянная Планка, с – скорость света, λ –
длина волны света, которую выделяет светофильтр, k – постоянная
Больцмана.
Получаем линейную зависимость у = L – A · х в координатах
у = lni, х = T –1. Преобразуем экспериментальные данные, переносим
их в табл. 7 и находим величины A и L.
Случайная погрешность величины L не определялась.
На рис. 11 показаны все обработанные экспериментальные и
прямая с параметрами L и A, приведенными в табл. 7.
логарифмируем и получаем ln i =L −
42
Таблица 6
i, мкА
T, К
2
1010
14
1180
110
1350
730
1570
4500
1820
11000
2000
Таблица 7
lni
T –1 · 1000
(lni )
–13,1
0,990
–11,2
0,847
–9,1
0,741
–7,2
0,637
–4,5
0,500
–0,00650
T
lni
–8,417
(lni )2
80,185
T −2
0,5340 · 10–6
T −1
0,7107 · 10–3
N
L
A
SA
6
4,31
17,9 · 10–3
lni, A
–5,4
0,549
0,7 · 10–3
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1000/T, К–1
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
−11
−12
−13
Рис. 11. Зависимость логарифма фототока
от обратной температуры
43
Поскольку систематическая погрешность величины A не определялась, ее полная погрешность равна среднему квадратичному отклонению S A , умноженному на коэффициент Стъюдента. Для шести измерений с вероятностью 95% этот коэффициент1 равен 2,57.
∆A =θ A + k ⋅ SA =0 + 2,57 ⋅ 0,7 ⋅ 10−3 =2 ⋅ 10−3 (Ê).
=
A
(18 ± 2)10−3 Ê.
По угловому коэффициенту А находим константу Планка h, а
с помощью формулы (4) находим погрешность постоянной Планка.
h =Aλk c =18,0 ⋅10−3 ⋅ 0,66 ⋅ 10−61,38 ⋅ 10 −23 3 ⋅ 108 =5,5 ⋅ 10 −34 ( Äæ ⋅ ñ ),
∆h = h ⋅
∆A
2
= 5,5 ⋅ 10 −34 ⋅
= 0,6 ⋅ 10 −34 ( Äæ ⋅ ñ ),
A
18
h = (5,5 ± 0,6) ⋅ 10−34 Äæ ⋅ ñ.
Пример 13. Изучение тока зарядки конденсатора:
I(t=
) I0 ⋅ e
−
t
τ,
где t – текущее время, τ – время релаксации. Логарифмируем написанную формулу:
t
=
ln I ln I0 − .
τ
Введем обозначения=
ln I0 A=
, 1 τ B и перепишем:
ln I = A + B ⋅ t.
В табл. 8 дан набор экспериментальных данных, полученных
при напряжении U = 5,8 ± 0,1 В.
На рис. 12 нанесены экспериментальные данные lnI в зависимости от t. Там же проведена линия lnI = A + B · t с найденными значениями A и B.
Из найденного значения коэффициента B находим постоянную
времени
τ = −1 B. τ =27,3 c.
1
 См. приложение 4.
44
Таблица 8
t, c
I, мкА
lnI
t ⋅ ln I
0
10
120 80
4,8 4,4
20
55
4,0
30
35
3,6
40
25
3,2
50 60
20 14
3,0 2,6
109,73
70
10
2,3
80
6
1,8
90 100
4
3
1,4 1,1
2,927
ln I
(ln I )
2
9,9145
t2
3500
t
50
N
A
B
SA
SB
11
4,76
–0,037
0,06
0,001
lnI,
мкА
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
t, c
Рис. 12. Логарифм тока зарядки конденсатора
Относительная случайная погрешность этой величины равна относительной случайной погрешности величины B.
Sτ SB
τ
= ; ⇒ Sτ =⋅ SB =
τ2 ⋅ SB =
0,75 ≅ 0,8 ( c ).
τ
B
B
Коэффициент Стъюдента1 для N = 11 точек с вероятностью 95%
k = 2,23.
1
 См. приложение 4.
45
Полная погрешность времени релаксации
∆τ= k ⋅ Sτ= 2,23 ⋅ 0,8= 2 ( c ).
Окончательное значение времени релаксации
=
τ 27 ± 2 ( c ).
По коэффициенту A уточним начальный ток в цепи:
A
I=
0 e= 117 ( ìêÀ ).
Систематическая погрешность измерения тока равна θI = 1,5 мкА.
Случайная погрешность описанной выше процедуры определения
параметра A – S A = 0,06. Вычисляем случайную погрешность описанной процедуры определения начального значения тока.
( )
A =ln I0 ⇒ I0 =e A ⇒ SI = e A ′ ⋅ S A =e A ⋅ S A =I0 ⋅ S A .
A
SI =117 ⋅ 0,06 =7 ( ìêÀ ).
Объединяем по формуле (14) случайную и систематическую погрешности измерения тока с тем же коэффициентом Стъюдента и
получаем:
∆I =θI + k ⋅ SI =1,5 + 2,23 ⋅ 7 =17 ( ìêÀ ).
I0 = 117 ± 17 мкА.
Электрическое сопротивление цепи
(
)
R =U I0 =5,9 117 ⋅ 10−6 =50400 ( Îì ).
Полную погрешность косвенного измерения электрического сопротивления находим по формуле (4).
 ∆I
θU 
 17 0,1 
=
∆R R  0 + =
+ =
 50400 
 8190 ( Îì ) ≅ 8000 ( Îì ).
I
U
 117 5,8 
 0

Окончательно для электрического сопротивления:
R = 50 ± 8 кОм.
46
Постоянная времени связана с электрическим сопротивлением и
емкостью цепи соотношением τ =RC. Электрическая емкость конденсатора равна
τ
24
C ==
=
0,48 ⋅ 10−3 ( Φ )
R 50 ⋅ 103
Погрешность электрической емкости найдем по формуле (4)
 ∆R ∆τ 
=
∆C C 
+
.
τ 
 R
2 
 8
−3
∆C
= 0,48 ⋅ 10−3 ⋅ 
+ =
 0,12 ⋅ 10 ( Φ ).
 50 27 
Окончательно для электрической емкости
С = 0,48 ± 0,12 мФ.
Пример 14. Определение постоянной Планка и работы выхода
электрона из металла.
Уравнение Эйнштейна связывает энергию фотона ε с работой выхода A B электронов из металла и их максимальной кинетической
энергией:
=
ε AB + EK max .
Энергия фотона по формуле Планка равна ε = hν.
Максимальная кинетическая энергия вылетающих фотоэлектронов находится по измеренному задерживающему напряжению.
EKmax = eU.
Переписываем уравнение Эйнштейна
U=
A
h
⋅ν − B ,
e
e
и получаем линейную зависимость задерживающего напряжения
от частоты фотона
U = η⋅ ν − A,
Здесь η = h/e; А – работа выхода электронов из металла, выраженная в электрон – вольтах. На опыте измеряются задерживающие
напряжения для разных частот. Результаты измерений и обработки
даны в табл. 9.
На рис. 13 нанесены экспериментальные значения задерживающего напряжения U в зависимости от частоты света ν. Через имею47
Таблица 9
U, B
ν, 10 14Гц
1,70
7,37
1,44
6,90
0,90
5,49
Uν 1014
7,81165
U
1,195
U2
1,5803
ν2 1028
39,751
ν 1014
6,2375
N
A, эВ
4
1,45
η · 1014, эВ · с
S A , ýÂ
0,424
Sη ⋅ 1014 , ýÂ ⋅ c
0,017
0,74
5,19
0,11
U3 , B
2
1
νкр
1
2
3
4
5
6
7
8
9 (ν/ 1014 ) Γц
−1
AB
− e
−2
Рис. 13. Определение постоянной Планка
и работы выхода электронов из металла
48
щиеся точки проведена прямая U = η · ν – A. На графике отмечены
работа выхода электронов из металла и красная граница фотоэффекта.
Измерения задерживающего напряжения проводилось с систематической погрешностью θU = 0,005 В. Объединим этот результат
со случайной погрешностью S A = 0,11 Â, приведенной в табл. 9. Коэффициент Стъюдента для четырех измерений и вероятности 95%
k = 3,18.
∆A =θU + k ⋅ S A =0,005 + 3,18 ⋅ 0,11 =0,355 ≅ 0,4 ( ýB ).
Работа выхода электронов из металла равна
А = 1,5 ± 0,4 эВ;
А В = (2,3 ± 0,6) · 10–19 Дж.
Систематическая погрешность при измерении постоянной Планка не определялась, поэтому полная погрешность равна
∆η= k ⋅ Sη= 3,18 ⋅ 0,017 ⋅ 10−14= 0,06 ⋅ 10−14 ( ýB ⋅ c );
∆h= 3,18 ⋅ 0,017 ⋅ 10 −14 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19= 0,9 ⋅ 10 −34 ( Äæ ⋅ c ).
Значение постоянной Планка, полученное в этой серии измерений
h = (6,8 ± 0,9) · 10–34 Дж · с
Красную границу фотоэффекта находим из условия пересечения
функции U(ν) с осью абсцисс.
U = 0; ν êð = A η.
ν êð = 3,4 ⋅ 1014 Ãö.
49
Приложение 3
Образец оформления отчета
ГУАП
КАФЕДРА № 3
ОТЧЕТ
ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
должность, уч. степень,
звание
подпись, дата
инициалы, фамилия
ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ ГЕРМАНИЯ
по курсу: ОБЩАЯ ФИЗИКА
РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ(А)
СТУДЕНТ(КА) ГР.
подпись, дата
Санкт-Петербург
2016
50
инициалы, фамилия
Лабораторная работа № 6
Определение ширины запрещенной зоны полупроводников
Протокол измерений
Студент группы № 5419
Преподаватель
Цветков П. И.
Коваленко И. И.
Параметры приборов
Прибор
Тип
Вольтметр
Миллиамперметр
Предел
Цена
измерений деления
Класс Систематическая
точности
погрешность
Щ4313
2,0 В
0,001 В
0,4
0,008 В
ЛМ-1
300 мА
1 мА
0,5
0,5%× I
200°С
2°С
–
1°С
Термометр
Результаты измерений
t°C
22
41
60
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
Дата
I, мА
80
64
66
87
120
187
140
232
93
176
144
170
227
U, мВ
1,900
1,866
1,958
1,880
1,840
1,870
1,097
1,300
0,431
0,638
0,397
0,392
0,412
Ширина образца – a = 16 мм
Толщина образца – b = 1,5 мм
Расстояние между зондами – ℓ = 20 мм
Подпись Студента
Подпись преподавателя
51
1. Цель работы:
– определение ширины запрещенной зоны германия на основании температурной зависимости электрического сопротивления.
2. Описание лабораторной установки.
Схема лабораторной установки показана на рис. 1. Исследуемый
образец в специальном зажиме помещается в электронагревательную печь П. Через образец пропускается постоянный электрический ток I, контролируемый миллиамперметром мА. Ток устанавливается реостатом R. При помощи зондов 1 и 2 в средней части образца цифровым вольтметром измеряется падение напряжения U.
Нагрев образца в электропечи регулируется реостатом R1. Температура в печи измеряется термометром.
R1
DV
П
1
2
R
ΜΑ
мA
Рис. 1. Схема установки
Таблица 2.1
Параметры установки
Прибор
Вольтметр
Миллиамперметр
Термометр
52
Тип
Предел
измерений
Цена
деления
Щ4313
2,0 В
0,001 В
0,4
0,008 В
300 мА
1 мА
0,5
0,5%× I
200°С
2°С
–
1°С
ЛМ-1
Класс Систематическая
точности
погрешность
3. Рабочие формулы.
Электрическое сопротивление между зондами 1 и 2 образца равно
(3.1)
R = U I. Здесь I – ток через образец, U – падение напряжения между зондами.
Ширину запрещенной зоны полупроводника ΔE находим по формуле
∆E = 2k ⋅ tgα, (3.2)
k = 1,38 · 10–23 Дж/К – постоянная Больцмана, tgα – угловой коэффициент наклона линейной части зависимости lnR от 1/T
lnR = L + A · T –1
Параметры L и A = tgα этой прямой находим методом наименьших квадратов по формулам (3.3) и (3.4).
L=
T −2 ⋅ ln R − T −1 ⋅ ( ln R ) T
T
A=
−2
(ln R )
T
( )
− T
−1
2
T − T −1 ⋅ ln R
−2
( )
− T
−1
2
,
(3.3)
.
(3.4)
4. Результаты измерений и вычислений
Таблица 4.1
Результаты прямых измерений и первичной обработки
t°C
T, К
1000/T, К–1
I, мА
U, мВ
R, мОм
lnR
22
41
60
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
295
314
333
353
363
373
383
393
403
413
423
433
443
3,390
3,185
3,003
2,833
2,755
2,681
2,611
2,545
2,481
2,421
2,364
2,309
2,257
80
64
66
87
120
187
140
232
93
176
144
170
227
1,900
1,866
1,958
1,880
1,840
1,870
1,097
1,300
0,431
0,638
0,397
0,392
0,412
23,75
29,16
29,67
21,61
15,33
10,00
7,836
5,603
4,634
3,625
2,757
2,306
1,815
3,168
3,373
3,390
3,073
2,730
2,303
2,059
1,723
1,534
1,288
1,014
0,835
0,597
53
Таблица 4.2
Результаты обработки данных для метода наименьших квадратов
(ln R(Îì))
T (Ê)
4,4759 · 10–3
( )
T −2 − T −1
2
0,0337 · 10–6
ln R (Îì)
(ln R(Îì))2
1,7156
3,5502
T −1, Ê −1
T −2 , Ê −2
N
6,4129 · 10–6 2,5257 · 10–3
T −2 ⋅ ln R − T −1 ⋅ ( ln R ) T
( ln R )
–0,3028 · 10–6
T − T −1 ⋅ ln R
0,1428 · 10–3
10
L
A, К
–9,0
4210
5. Примеры вычислений.
U 0,412
5.1. По формуле (3.1) R
= =
= 1,81 (Îì).
I
227
5.2. Определение углового коэффициента – тангенса угла наклона линейного участка зависимости у = L + A · х; где у = lnR, х = T –1,
A = tgα. На рис. 3 приведена эта зависимость. Видно, что она линейна при 1/T < 0,0028 К –1 (T ≥ 80°C). Соответствующие точки выделены в табл. 4.1. Только они использовались при дальнейшей обработке. Через выбранные точки проведена прямая линия графически
(сплошная линия) и методом наименьших квадратов (пунктир).
5.2.1. Графическая обработка
=
tg α
∆ ln R
3,25
=
= 4330 ( Ê).
−1
0,75 ⋅ 10−3
∆T
( )
Вычисления ширины запрещенной зоны германия по формуле
(3.2)
∆E = 2 ⋅ 1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 4330 = 1,20 ⋅ 10 −19 Äæ
1,20 ⋅ 10−19
= 0,75 ýÂ.
1,6 ⋅ 10−19
=
∆E
5.2.2. Обработка методом наименьших квадратов.
Вычисления по формулам (3.3) и (3.4).
L=
6,4129⋅10−6 ⋅1,7156 − 2,5257⋅10−3 ⋅4,4759⋅10−3
tgα= A=
54
(
6,4129⋅10−6 − 2,5257⋅10−3
)
2
=
−0,303⋅10−6
0,0337⋅10−6
= −9,0,
4,4759⋅10−3 − 2,5257⋅10−3 ⋅1,7156 0,1419⋅10−3
=
= 4210 (Ê−1 ).
−6
−6
−3 2
0
0337
⋅
10
,
6,4129⋅10 − 2,5257⋅10
(
)
Вычисления ширины запрещенной зоны германия по формуле
(3.2)
∆E = 2 ⋅ 1,38 ⋅ 10−23 ⋅ 4210 = 1,162 ⋅ 10 −19 Äæ
1,162 ⋅ 10−19
= 0,73 ýÂ.
1,60 ⋅ 10−19
=
∆E
6. Вычисление погрешностей.
θI
6.1. =
I ⋅ KI 187 ⋅ 0,5
=
= 0,935 ≈ 1 (ìÀ).
100
100
θU
6.2.=
Um KU 2 ⋅ 0,4
= = 0,008
=
Β 8 ( ì ).
100
100
θ 
 0,008

θ
+ 0,005 = 0,1 ( ìÎì ).
6.3. θR = R ⋅  U + I  = 10 ⋅ 
 U
 1,87

I
6.4. Вычисление погрешности коэффициента A = tgα.
6.4.1. Метод наименьших квадратов позволяет найти не только
найденные коэффициенты, но и их погрешности. Нас интересует
только погрешность величины A.
S2A =
Sy2
( ) 

N T −2 − T −1


N 
2
где
Sy2
=
( lnR ) − lnR
(N − 2) 

( )
2
−
((
2
,
lnR ) T − T −1 ⋅ lnR
T
−2
( )
− T
−1
2
(6.1)
)
2

.


(6.2)
2 10 −6 
10 

2 − 0,1428 ⋅=
−
3
,
5502
1
,
7156


−
6
(10 − 2) 
0,0337 ⋅ 10


10
=
( 3,5502 − 2,9433 − 0,6051=) 0,0018.
8
=
Sy2
=
S2
A
0,0018
Ê −2 , S A 73 Ê −1.
= 5340
=
10 0,0337 ⋅ 10 −6 


55
Найдем полную погрешность δА коэффициента А, пренебрегая
его систематической погрешностью. Коэффициент Стъюдента для
10 измерений с вероятностью 95% равен k = 2,26.
( )
δ A =θ A + k ⋅ S A =0 + 2,26 ⋅ 73 =170 Ê −1 .
δ tgα =
170 Ê −1.
Найдем полную погрешность δΔЕ ширины запрещенной зоны полупроводника методом наименьших квадратов
δ ∆E =∆E ⋅
δ tgα
tgα
=1,16 ⋅ 10−19
δ ∆E =∆E ⋅
δ tgα
tgα
170
=0,05 ⋅ 10−19 ( Äæ )
4210
=0,73 ⋅
170
=0,03 ( ýÂ )
4210
6.4.2. Графическая обработка.
Сплошная линия на рис. 3 оптимальным образом проходит около 10 экспериментальных точек. Пунктиром показан еще один вариант этой линии, полученной методом наименьших квадратов. Будем считать пунктирную линию альтернативным вариантом. Считаем, что вторая наша попытка совпала с результатом, полученным
методом наименьших квадратов1. Оценим случайную погрешность
при графической обработке.
– Результат графической обработки, проведенной в п. 5.2.1.
tgα = 4330 К –1;
– Результат альтернативной графической обработки tgα’ =
= 4210 К –1.
Примем в качестве оценки случайной погрешности тангенса угла
наклона при графической обработке разность этих двух величин:
Stgα= tgα − tgα ′= 4330 − 4210= 120 Ê −1.
S∆E =∆E ⋅
Stgα
tgα
=0,75 ⋅
120
=0,02 ýB.
4330
1
 Если обработка методом наименьших квадратов не производилась, то нужно
реально проводить альтернативную линию и повторно ее обрабатывать.
56
7. Рисунки и графики.
R,
Ом
30
20
10
0
100
200
300
400
T, К
Рис. 2. Зависимость электрического сопротивления полупроводника
от температуры
lnR,
мОм
3,0
2,0
∆ lnR ∆ ln R = 3, 25
( )
∆ T −1 = 0,75 ⋅ 10−3 Ê −1
tg α =
1,0
α
0
2,0
∆ lnR
( )
∆ T −1
( )
∆ T −1
2,5
3,0
1000/T, К–1
Рис. 3. Определение ширины запрещенной зоны в германии.
Сплошная линия – графическая обработка,
пунктир – метод наименьших квадратов
57
8. Обсуждение результатов. Выводы.
1. При низких температурах, от 20°С до 60°С, электрическое
сопротивление германия увеличивается с ростом температуры
(рис. 2). Однако, прямой пропорциональности
R = γ · T,
как у проводников первого рода, нет.
2. При температурах в диапазоне от 80°С до 170°С наблюдается
линейная зависимость
lnR от 1/T.
Этот факт свидетельствует о линейной зависимости удельной проводимости германия от T –1, и позволяет найти ширину запрещенной зоны.
3. Полученные результаты:
Методом графической обработки
ΔE = (0,75±0,02) эВ.
Методом наименьших квадратов
ΔE = (0,73±0,03) эВ.
Табличное значение при T = 0 К
ΔE = 0,755 эВ.
Оба полученных результата совпадают друг с другом и с табличным значением.
4. В методе наименьших квадратов исключена субъективная составляющая при обработке результатов измерений. Кроме того, при
графической обработке получена лишь грубая оценка погрешности
найденной величины. Поэтому, в качестве окончательного результата принимаем:
ΔE = (0,73±0,03) эВ.
58
Приложение 4
Значения коэффициентов Стьюдента k
Таблица П4
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
18
20
30
50
100
P
0,6
1,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,90
0,90
0,89
0,88
0,87
0,87
0,86
0,86
0,85
0,85
0,85
0,68
2,0
1,32
1,20
1,15
1,12
1,10
1,09
1,08
1,07
1,06
1,05
1,04
1,03
1,02
1,01
1,00
0,8
3,06
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,42
1,40
1,38
1,36
1,35
1,33
1,33
1,31
1,30
1,29
0,9
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,86
1,80
1,80
1,77
1,74
1,73
1.70
1,68
1,66
0,95
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,19
2,16
2,11
2,09
2,0
2,0
2,0
0,98
31,8
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2.90
2,82
2,72
2,65
2,57
2,54
2,46
2,40
2,36
0,99
63,7
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,11
3,01
2,90
2,86
2,76
2,68
2,63
0,999
636,6
31,7
12,9
8,6
6,9
6,0
5,4
5,0
4,8
4,4
4,2
4,0
3,9
3,7
3,5
3,4
59
Приложение 5
Десятичные приставки к наименованию единиц
Таблица П5
Приставка
Буквенное обозначение
русское/латинское
Математическое
представление
АттоФемтоПикоНаноМикроМиллиСантиДециДекаГектоКилоМегаГигаТераПетаЭкса-
а/a
ф/f
п/p
н/n
мк/μ
м/m
с/c
д/d
Да/da
г/h
к/k
М/M
Г/G
Т/T
П/P
Э/E
10–18
10–15
10–12
10–9
10–6
10–3
10–2
10–1
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
СОДЕРЖАНИЕ
Порядок проведения лабораторных работ....................................
Содержание и оформление отчета...............................................
Сведения из теории погрешностей..............................................
Графическая обработка результатов измерений............................
Графическое дифференцирование..............................................
Графическое интегрирование....................................................
Метод наименьших квадратов....................................................
Рекомендованная литература....................................................
Приложение 1. Примеры вычислений погрешностей.....................
Приложение 2. Примеры обработки результатов измерений
методом наименьших квадратов.................................................
Приложение 3. Образец оформления отчета.................................
Приложение 4. Значения коэффициентов Стьюдента k..................
Приложение 5. Десятичные приставки к наименованию единиц.....
60
3
4
7
16
22
23
24
27
28
40
50
59
60
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 499 Кб
Теги
andreevkovalenko
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа