close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

AnodinaAndrievskya1

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
ГУ
А
Е. М. Анодина-Андриевская
П
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
би
бл
ио
т
ек
а
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2015
УДК519.87(075)
ББК 32.81я73
А69
Рецензенты:
доктор технических наук М. Я. Марусина;
кандидат технических наук В. И. Исаков
ГУ
А
П
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Анодина-Андриевская, Е. М.
А69 Основы математического моделирования технических систем: учеб. пособие / Е. М. Анодина-Андриевская. – СПб.: ГУАП,
2015. – 47 с.
ISBN 978-5-8088-1057-0
би
бл
ио
т
ек
а
Учебное пособие содержит теоретический материал по дисциплинам «Математическое моделирование в приборных системах», «Основы математического моделирования технологических процессов
и систем», «Математическое моделирование электронных средств».
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям
20010068 «Приборостроение» и 21100062 «Конструирование и технология электронных средств».
ISBN 978-5-8088-1057-0
©
©
УДК 519.87(075)
ББК 32.81я73
Анодина-Андриевская Е. М., 2015
Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2015
ВВЕДЕНИЕ
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Математическое моделирование как инструмент познания завоевывает все новые и новые позиции в различных областях деятельности человека. Оно становится важным направлением в проектировании и исследовании новых систем, анализе свойств существующих систем, выборе и обосновании оптимальных условий их
функционирования и т. д.
Математическое моделирование широко проникло в различные
области знаний и их приложения. Поэтому специалистам различных направлений необходимо владеть концепциями и методами
математического моделирования, иметь представление об инструментарии, применяемом при моделировании.
3
1. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. Понятие математического моделирования
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Моделирование в научных исследованиях стало применяться
еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний. Большие успехи и признание практически во
всех отраслях современной науки принес моделированию XX век.
Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо в различных областях знаний. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного
познания. В настоящее время под моделированием понимается триединый процесс построения, изучения и применения моделей [1].
В теории и практике сложных систем моделью обычно называется система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе, т. е. качественное или количественное представление процесса, объекта или явления, которое
отражает влияние факторов, важных для исследователя. В общем
случае модель представляет собою отображение знаний об объекте в форме, определяемой целями и средствами, а также уровнем
наших знаний об объекте. Модель строится на основе обобщения
данных эксперимента или наблюдения и отражает те свойства объекта, которые подлежат исследованию. Модель не тождественна
объекту, а подобна ему в части моделируемых свойств и качеств.
Одни и те же системы (устройства, процессы, явления) могут быть
представлены разными видами моделей [2].
Моделирование тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по
аналогии, и конструирование научных гипотез. Модель выступает
как своеобразный инструмент познания, который исследователь
ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций,
аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим
объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или
же это исследование требует существенных материальных и временных затрат.
4
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за
первым трехуровневым циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются
и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется.
Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования,
обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении
модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии
моделирования, таким образом, заложены большие возможности
саморазвития.
Различают физическое и математическое моделирование [2].
При физическом моделировании модель воспроизводит исследуемый объект с сохранением его физической природы. Условия
при физическом моделировании выбираются таким образом, чтобы сохранялись определенные соотношения подобия между объектом-оригиналом и объектом-моделью, вытекающие из закономерностей физической природы явлений. Часто при физическом моделировании используется эффект масштаба. Область применения
физического моделирования на практике ограничена.
Математическим моделированием называется процесс построения и изучения математических моделей. Математическая
модель – это математическое представление реальности как объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение
некоторых свойств оригинала [3]; как «„эквивалент” объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства – законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим
его частям» [4]; как систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и
другого, исследование которых средствами математики должно
ответить на поставленные вопросы о свойствах некоторой совокупности свойств объекта реального мира [5]; как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих
основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе [6]. Математические модели реальных систем (процессов) представляются как абстрактные, формально описанные
объекты. Сложность и многообразие функционирования реальных
систем (процессов) не позволяют строить для них абсолютно адекватные математические модели. Для построения модели объект необходимо описать в виде ряда стандартных символов, находящихся в определенном взаимодействии и обеспечивающих перевод словесного описания этого процесса на некоторый формальный язык.
Уже на этом этапе происходит отсеивание ряда несущественных
5
ГУ
А
П
факторов. Построение формального (математического) описания
объекта или процесса с необходимой степенью достоверности называется его формализацией. Результатом формализации является
математическая модель системы. Таким образом, математическая
модель представляет собою совокупность функциональных схем,
уравнений, логических операторов, номограмм, таблиц и т. п.,
с помощью которых характеристики состояния системы определяют в зависимости от параметров процесса, входных сигналов,
внешних воздействий и времени [7, 8, 9].
1.2. Классификация математических моделей
би
бл
ио
т
ек
а
Применяемые в настоящее время в практических исследованиях математические модели можно подразделить на два класса: детерминированные и вероятностные. Детерминированная модель –
это аналитическое представление закономерности, при которой
для данной совокупности входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Для детерминированных моделей технологических процессов характерно установление
формульных, аналитических зависимостей между показателями
процесса (погрешностью, надежностью, производительностью,
экономической эффективностью и др.) и его параметрами (давлением, температурой, скоростью перемещения и др.), записанных
в виде уравнений (алгебраических, дифференциальных и т. д.). Детерминированная модель определяется понятием функциональной
зависимости между физическими величинами
X = F (z1, z2 , ..., zn ),
где X – моделируемый показатель; z1, z2,..., zn – параметры.
Следовательно, наличие детерминированной модели означает
существование однозначной функциональной зависимости между
исследуемым показателем процесса X и значениями входных параметров.
Различают детерминированные статические и динамические модели. У детерминированных статических моделей указанная выше
зависимость не является функцией времени. Как правило, эти модели представляют в виде системы алгебраических уравнений.
Детерминированные динамические модели – результат формализации технологических процессов, параметры которых являются
функцией времени или производных от параметров по времени.
6
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
При построении детерминированной модели сложной технической
системы приходится принимать те или иные допущения или упрощения, значительно снижающие точность получаемых результатов.
Если в модели среди величин имеются случайные, т. е. определяемые лишь некоторыми вероятностными характеристиками, то
модель называется стохастической (вероятностной, случайной).
В этом случае и все результаты, полученные при рассмотрении
модели, имеют стохастический характер и должны быть соответственно интерпретированы.
Вероятностные модели обычно используют при исследовании
сложных систем, так как в них переплетается действие большого
числа состояний, параметров и условий (в том числе и случайных).
Вероятностная модель представляет собой формализованное описание связей между законами распределения выходных показателей процесса и его параметров, рассматриваемых как на уровне
случайных величин, так и на уровне случайных функций. Эта модель представляется в виде статистических массивов, законов распределения, уравнений регрессии, автокорреляционных функций.
Чаще всего такой модели придают вид моделирующего алгоритма
для компьютерной реализации.
Вероятностные модели также могут быть статическими и динамическими. Первые описывают взаимосвязь между параметрами
состояния системы, которые рассматривают как случайные величины, не зависящие от времени. Динамические модели отражают
связь между параметрами системы и ее выходными показателями,
которые рассматриваются как реализации случайных функций.
Динамические характеристики таких моделей достаточно полно
определяются математическими ожиданиями и автокорреляционными функциями случайных процессов [2].
Наилучшие результаты моделирования получаются при совместном использовании детерминированных и вероятностных моделей, так как они находятся в тесной взаимосвязи друг с другом.
Технические объекты, как правило, характеризуются тем, что
протекающие в них процессы развиваются во времени и пространстве. Аргументом входных и выходных сигналов системы может служить время, пространственные координаты, а также некоторые специальные переменные. Модели, у которых свойства преобразования
входных параметров (функций) не изменяются со временем, называют стационарными динамическими. В противном случае их именуют нестационарными динамическими. Реакция стационарной системы на любой заданный тип возмущения зависит только от интервала
7
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
времени между моментом начала действия входного возмущения и
данным моментом времени. Реакция нестационарной системы зависит как от времени, так и от момента приложения входного возмущения во времени (без изменения его формы). Выходные параметры не
только сдвигаются во времени, но и изменяют свою форму.
Если в качестве аргумента выступает пространственная координата, модель называется статической пространственной моделью.
Если процесс развивается одновременно и во времени и в пространстве, то оператор может преобразовать входную векторную функцию
в выходную и сам по себе он тоже может зависеть от обоих этих аргументов. Эти модели называют пространственно-временными.
Динамические модели делятся на два класса: безынерционные и
инерционные. Под первыми понимают такие, для которых определяется зависимость значений выходных функций в данный момент
времени от значений входных функций в тот же момент времени. Безынерционные модели называют также моделями без памяти. Инерционные модели отличаются тем, что значения выходных функций
в некоторый момент времени зависят не только от настоящих, но
и от предшествующих значений входных функций. Подобные модели называют также моделями с памятью или моделями с запаздыванием. В большинстве случаев динамические модели обладают
свойством конечности памяти. Оно заключается в том, что значения
выходных функций в данный момент времени зависят от значений
входных функций не на всем предшествующем интервале времени,
а лишь на некотором интервале времени фиксированной длины.
Различают параметрические и непараметрические модели.
Параметрическими называют модели, содержащие неизвестные
параметры оператора преобразования, в отличие от непараметрических, которые неизвестные операторы не содержат. Типичный
представитель параметрических моделей – модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными коэффициентами (параметрами).
Важнейшим признаком структуры оператора преобразования
является линейность или нелинейность по отношению к входным
сигналам. Оператор и задаваемая им модель системы называются
линейными, если справедлив принцип суперпозиции. Он состоит
в том, что линейной комбинации произвольных входных параметров ставится в соответствие та же линейная комбинация параметров на выходе из системы. Если это условие не соблюдается, модель называется нелинейной. Разделение на линейные и нелинейные применяется лишь для детерминированных систем.
8
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Можно классифицировать динамические модели также в соответствии с тем, какие математические операции используются
в операторе. Например, можно выделить модели такого типа, где
векторная функция выходных параметров выражается в виде некоторой известной (с точностью до параметров) вектор-функции от
векторной функции входных параметров. Модели такого типа называются алгебраическими.
К другому типу моделей можно отнести такие, где взаимосвязь
векторных функций выходных и входных параметров выражается
функционалом. В таком случае вектор-функция выходных параметров в данный момент времени зависит от значений векторной
функции входных параметров на некотором предшествующем интервале времени. Эти модели называют функциональными.
В последнее время широко используются модели, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом случае
под оператором преобразования следует понимать решение системы уравнений относительно вектора выходных сигналов. Такие
модели – дифференциальные, их дискретным аналогом служит
конечно-разностная модель, описываемая конечно-разностными
уравнениями.
Если обратиться теперь к свойствам параметров (сигналов) моделируемой системы, то на их основе также можно классифицировать
модели. Так, системы (модели), у которых входные и выходные параметры являются непрерывными по времени и величине, называют
непрерывными. Если же входные и выходные параметры дискретны
по времени, то такие системы называют системами с дискретным временем или импульсными. Системы, у которых входные и выходные
параметры дискретны или по времени, или по величине, называют
дискретными. Существуют также и системы промежуточного типа,
у которых свойства параметров как функций от времени различны.
Например, некоторые параметры могут быть непрерывными во времени, тогда как прочие сигналы могут быть дискретными. Такая система может быть названа дискретно-непрерывной по времени.
1.3. Методы исследования моделей
В настоящее время исследование различных математических
моделей производится следующими основными методами: аналитическими, численными, аналогового моделирования и статистического моделирования.
9
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
При исследовании аналитическими методами модель имеет вид
системы соотношений, в которых искомые величины выражены
в явном виде. Под получением результата в этом случае понимается
построение явных формул для искомых величин, приведение уравнений к виду, для которого решения известны, проведение исследования уравнений качественными методами (исследование устойчивости) и т. д. На практике к аналитическим методам исследования
обычно стремятся в первую очередь, так как получаемые при этом
результаты обеспечивают полное решение задачи. Но для сложных
систем, как уже указывалось, получение математических моделей
в аналитической форме практически невозможно. Иногда исследователи идут на умышленное упрощение модели, для того чтобы получить хотя бы приближенное решение задачи.
Численные методы, как правило, представляют собой итерационный процесс для определения особых состояний исследуемой системы (например, решение задач оптимизации) и имеют более широкую сферу применения. Процесс решения задач исследования,
в основном, такой же, как и при использовании аналитических методов. Разница заключается в том, что преобразованную в систему
уравнений математическую модель необходимо реализовать соответствующим численным методом. Результаты исследования в этом
случае получаются обычно в виде таблиц искомых величин. Класс
уравнений, решаемых численными методами, значительно шире,
чем класс уравнений, доступных для аналитического решения.
Аналоговое моделирование реализуется на специальных моделирующих установках или на аналоговых вычислительных машинах. Принцип работы используемой конкретной моделирующей
установки должен быть аналогичен работе исследуемого объекта.
Математическая модель используется в этом случае для обоснования числовых величин коэффициентов подобия. Методы аналогового моделирования технологических задач в настоящее время
имеют достаточно широкое распространение.
Методы статистического моделирования реализуются с использованием компьютерной техники. Математическая модель преобразуется в специальный моделирующий алгоритм. Структура
моделирующего алгоритма полностью определяется строением исходной математической модели и почти не зависит от совокупности искомых величин. В соответствии с построенным алгоритмом
компьютером вырабатывается информация, описывающая все явления исследуемого объекта с учетом их взаимосвязи и взаимного влияния.
10
ек
а
ГУ
А
П
В настоящее время статистическое моделирование находит все
более широкое практическое применение при исследовании объектов различных классов, особенно при исследовании сложных систем
и динамики их функционирования. Объясняется это применение
характером параметров моделируемых технологических систем.
Векторы неуправляемых сигналов, помехи системы и погрешности
измерений по своей природе случайны. Вектор наблюдаемых состояний системы тоже, как правило, является случайным, потому что
в реальных ситуациях всегда существуют помехи наблюдаемости.
Регулируемые входные параметры могут быть как детерминированными, так и случайными. Наконец, составляющие вектора состояний могут быть либо детерминированными, либо случайными.
Случайные функции (величины) могут иметь различные статистические характеристики, которые влияют на вид модели и метод
ее исследования. В силу указанных особенностей параметров технологических систем статистическое моделирование используется
при решении задач технологического проектирования, построении
автоматизированных систем управления процессами и устройствами, выборе оптимального технологического процесса и режима,
решении задач точности, надежности, устойчивости технологических процессов и т. п. [2].
би
бл
ио
т
1.4. Этапы математического моделирования
В различных отраслях знаний этапы процесса моделирования
приобретают свои специфические черты. Но во всех случаях можно
выделить несколько этапов, присущих в той или иной мере процессу моделирования в любой сфере. Приведенные ниже этапы охватывают в целом процесс моделирования.
1. Постановка проблемы и ее качественный анализ. Главное
здесь – четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые
допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы.
Этот этап включает в себя выделение важнейших черт и свойств
моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих
его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели. Это – этап формализации проблемы, выражения ее в виде конкретных математических
зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и
11
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
т. д.). Обычно сначала определяется (или задается в случае применения формальных моделей) основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции
(конкретный перечень переменных и параметров, форма связей).
Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь
на несколько стадий.
Неправильно полагать, что чем больше факторов (т. е. входных
и выходных переменных состояния) учитывает модель, тем она
лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать
о таких характеристиках сложности модели, как используемые
формы математических зависимостей (линейные и нелинейные),
учет факторов случайности и неопределенности и т. д.
Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно не только учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом
(при возрастании сложности модели нередко рост затрат на моделирование может превысить рост эффекта от внедрения моделей).
Необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую к изученному классу математических задач, пути и методы
решения которых хорошо известны и разработаны. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок
модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре,
в этом случае актуальность приобретают вычислительные методы,
с помощью которых можно исследовать модель и ее свойства (в конечном счете – свойства исходного объекта).
3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является
выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существования решений в сформулированной модели
(теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение,
какие переменные могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения
12
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
и т. д. Модели сложных объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими
методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения
модели приводят к недопустимым результатам, связанным с потерей ее адекватности, переходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. При системном математическом
моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.
5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления компьютерных
программ и непосредственное проведение расчетов. Здесь приобретают актуальность различные методы обработки данных, решение
разнообразных уравнений, вычисления интегралов и т. п. Нередко
расчеты по математической модели носят многовариантный имитационный характер. Благодаря высокому быстродействию современных компьютеров удается проводить многочисленные «модельные» эксперименты, изучая «поведение» модели при различных
изменениях некоторых условий. Для решения таких задач важное значение имеют методы оптимизации, т. е. поиска наилучших
(экстремальных) значений каких-либо функций и функционалов.
Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования; для
многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс
задач, которые можно решать численными методами, значительно
шире, чем класс задач, доступных аналитическим методам.
6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, об адекватности модели, о степени
ее практической применимости. Математические методы проверки
результатов могут выявлять некорректность построения модели и
тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют
обнаруживать недостатки исходной постановки задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения. Поскольку современные математические
задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую раз13
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
мерность, то часто случается, что известные алгоритмы и компьютерные программы не позволяют решить задачу в первоначальном
виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают:
снимают и объединяют условия, уменьшают число учитываемых
факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными и т. д.
Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных
этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но
результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно
быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями,
включающей уточненные математические зависимости.
14
2. ОБРАБОТКА ТАБЛИЧНЫХ ДАННЫХ
2.1. Интерполяция
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Основная задача интерполяции – нахождение значения таблично
заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она
не задана. Экстраполяция – несколько более широкое понятие, оно
сводится к восстановлению функции в точках за пределами заданного интервала. В обоих случаях исходные табличные данные могут
быть получены как экспериментально (в этом случае принципиально отсутствуют промежуточные данные без дополнительных работ),
так и расчетным путем по сложным зависимостям (в этом случае
найти с помощью интерполяции значение сложной функции бывает
проще, чем непосредственным вычислением по сложной формуле).
Решение задач интерполяции и экстраполяции обеспечивается
построением интерполяционной функции L(х), приближенно заменяющей исходную f{x), заданную таблично и проходящую через все заданные точки – узлы интерполяции. С помощью этой функции можно рассчитать искомое значение исходной функции в любой точке.
В связи с интерполяцией рассматриваются три основные задачи:
– выбор интерполяционной функции L(х);
– оценка погрешности интерполяции R(х);
– размещение узлов интерполяции для обеспечения наивысшей
возможной точности восстановления функции (x1, x2 , ..., xn ).
Специальные методы интерполяции позволяют определить искомое значение функции без непосредственного прямого построения
интерполяционной функции. В принципе все интерполяционные
методы, базирующиеся на использовании в качестве интерполяционной функции полиномов, дают одни и те же результаты, но с разными затратами. Это объясняется тем, что полином n-й степени, содержащий (п + 1) параметр и проходящий через все заданные (п + 1)
точки, – единственный. Кроме того, полином можно представить
как усеченный ряд Тейлора, в который разложили исходную дифференцируемую функцию. Это одно из главных достоинств полинома
как интерполяционной функции. Поэтому чаще первая задача интерполяции решается выбором в качестве интерполяционной функции именно полинома, хотя могут применяться и другие функции
(например, тригонометрические полиномы, другие функции, выбранные из неформальных условий содержательной задачи).
Важной задачей является выбор вида интерполяционной функции. Следует отметить, что существует очевидный способ построе15
ГУ
А
П
ния интерполяционной функции: из условия прохождения функции через все точки составляется система уравнений, из решения
которой и находятся ее параметры. Однако этот путь далеко не самый эффективный особенно при большом числе точек.
К основным методам интерполяции относятся:
– метод Лагранжа;
– метод Ньютона;
– метод Чебышева;
– метод сплайнов.
2.2. Аппроксимация
би
бл
ио
т
ек
а
Основная задача аппроксимации – построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей
около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая
задача возникает при наличии погрешности в исходных данных (в
этом случае нецелесообразно проводить функцию точно через все
точки, как в интерполяции) или при желании получить упрощенное
математическое описание сложной или неизвестной зависимости.
Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется числовой мерой – критерием аппроксимации (близости).
Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от
«экспериментальных» (т. е. заданных), – критерий близости в заданных точках:
n
2
R = å βi (yi - yiðàñ÷ ) ,
i=1
где yi – заданные табличные значения функции; yiðàñ÷ – расчетные значения по аппроксимирующей функции; βi – весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i-й точки (увеличение βi приводит при стремлении уменьшить R к уменьшению
прежде всего отклонения в i-й точке, так как это отклонение искусственно увеличено за счет относительно большого значения весового коэффициента).
Квадратичный критерий обладает рядом важных свойств, таких
как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих
функциях.
16
Другим распространенным критерием близости является следующий:
R = max yi - yiðàñ÷ .
i
ек
а
ГУ
А
П
Этот критерий менее распространен в связи с аналитическими
вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости функции и ее дифференцируемости.
В обоих рассмотренных случаях в качестве значения функции
yi можно брать не только абсолютные, но и относительные значения, например yi / yn и др.
Выделяют две основные задачи аппроксимации:
– получение аппроксимирующей функции, описывающей имеющиеся данные, с погрешностью не хуже заданной;
– получение аппроксимирующей функции заданной структуры
с наилучшей возможной погрешностью.
Чаще всего первая задача сводится ко второй перебором различных аппроксимирующих функций и последующим выбором наилучшей.
К основным методам аппроксимации относятся метод наименьших квадратов и метод равномерного приближения.
би
бл
ио
т
2.3. Численное интегрирование
Вычисление интегралов встречается при моделировании достаточно часто. Численные методы обычно применяются при взятии
неберущихся интегралов от достаточно сложных функций, которые предварительно табулируются, или при интегрировании таблично заданных функций.
Все численные методы строятся на том, что подынтегральная
функция приближенно заменяется более простой (горизонтальной
или наклонной прямой, параболой 2-го, 3-го или более высокого
порядка), от которой интеграл легко берется. В результате получаются формулы интегрирования, называемые квадратурными,
в виде взвешенной суммы ординат подынтегральной функции в отдельных точках:
b
ò f (x)dx » å ωi f (xi ).
a
i
17
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Чем меньше интервалы, на которых производят замену, тем
точнее вычисляется интеграл. Поэтому исходный отрезок [а, b] для
повышения точности делят на несколько равных или неравных интервалов, на каждом из которых применяют формулу интегрирования, а затем складывают результаты.
Все методы различаются значениями ординат xi и весов ωi .
В большинстве случаев погрешность численного интегрирования определяется путем двойного интегрирования: с исходным шагом (шаг определяется путем равномерного деления отрезка b–а на
число отрезков n: h = (b–a)/п) и с шагом, увеличенным в 2 раза. Разница вычисленных значений интегралов определяет погрешность.
Сравнение эффективности различных методов проводится по
степени полинома, который данным методом интегрируется точно, без ошибки. Чем выше степень такого полинома, тем выше точность метода, тем он эффективнее.
К основным методам численного интегрирования относятся:
– метод прямоугольников (левых и правых);
– метод трапеций;
– метод Симпсона;
– метод Ньютона – Котеса;
– метод Чебышева;
– метод Гаусса.
18
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
3.1. Методы решения нелинейных уравнений
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Многие задачи исследования различных объектов с помощью
математических моделей, применения их для прогноза или расчета
приводят к необходимости решения нелинейных уравнений.
Как правило, процесс решения нелинейного уравнения общего
вида f(х) = 0 осуществляется в два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится
строго один корень. На втором этапе уточняют корень, т. е. находят
его значение х* с предварительно заданной точностью ε. В практических задачах решением называют любое значение х, отличающееся по модулю от точного значения х* не более чем на величину ε.
Идеи аналитических методов первого этапа базируются на очевидном свойстве непрерывных функций: корни функции (точки
пересечения f(x) с горизонтальной осью) обязательно лежат между
соседними экстремумами функции (хотя обратное неверно: между
каждой парой экстремумов необязательно находится корень).
Идеи методов второго этапа можно сгруппировать по трем основным направлениям. В первом – поиск корня с заданной погрешностью сводится к перебору всех возможных значений аргумента
с проверкой наличия решения. Во втором – поиск корня нелинейной функции заменяется поиском корня той или иной более простой
функции (линейной, параболической), близкой к исходной нелинейной; как правило, процесс поиска осуществляется итерационными
процедурами (однотипными, последовательно повторяющимися).
В третьем – нелинейное уравнение вида f(х) = 0 сводят к одной из
форм вида g(x) = ψ (x) и стремятся обеспечить равенство левой и правой частей тоже, как правило, с помощью итерационных процедур.
Условием окончания процесса решения уравнения (т. е. получения корня х* с заданной погрешностью) может быть одно из двух
возможных: 1) f (x* ) £ δ, 2) x* - xk £ ε, где δ, ε – предварительно
заданные малые величины, k – номер итерации, т. е. или близость
к нулю левой части уравнения, или близость друг к другу двух значений х, между которыми находится решение. Второе условие во
многих случаях можно использовать, не зная точного значения
корня, путем замены его другим, например xk+1 - xk £ ε ¢, при выполнении которого данное условие будет гарантированно выполняться. Условие окончания поиска выбирается исходя из нефор19
ек
а
ГУ
А
П
мальных соображений, и в некоторых случаях применение разных
условий может привести к существенно разным результатам. При
решении конкретных задач в математическом моделировании важными являются две цели решения:
1) обеспечение близости к нулю f(x) (f(x) » 0) как меры выполнения тех или иных балансовых соотношений, тогда не очень важно,
при каких именно (в пределах здравого смысла конкретной прикладной задачи) значениях х это равенство справедливо с заданной
погрешностью;
2) обеспечение точности нахождения решения х*, имеющего содержательное значение, при этом f(x) » 0 является лишь индикатором правильности решения. Отсюда и выбирают условие окончания поиска решения.
Знание особенностей левой части нелинейного уравнения позволяет в ряде случаев, не производя отделения корней, определить
число корней (причем отдельно действительных и комплексных),
что невозможно в общем случае, а также предельные оценки корней, интервалы существования корней. Это прежде всего касается алгебраических уравнений с действительными коэффициентами (далее для простоты – алгебраических), часто встречающихся
в практике. Такие уравнения имеют вид
би
бл
ио
т
f (x) = a0 xn + a1xn-1 + a2 xn-2 + ... + an = 0.
Кроме того, с учетом конкретного вида уравнения можно построить более эффективные алгоритмы.
К основным методам решения нелинейных уравнений относятся:
– метод сканирования;
– метод деления отрезка пополам;
– метод хорд;
– метод Ньютона,
– метод параболической аппроксимации;
– метод простой итерации.
3.2. Решение систем нелинейных уравнений
Решение системы нелинейных уравнений f(x) = 0, где х – векторная величина, а f(x) – векторная функция, значительно сложнее, чем решение одного уравнения. Очень сложно отделить корни,
поэтому на этом этапе обычно выбирают начальное приближение
20
R = å ε2i ® min,
xi
i
П
ближе к потенциально возможному решению. Для получения всех
возможных решений чаще всего на практике перебирают различные начальные условия поиска. В основном используют два метода
решения систем: метод Ньютона – Рафсона и метод итераций. Реже
используются поисковые методы оптимизации, которыми ищут
минимум суммы квадратов невязок f (x) = ε всех уравнений системы, подбирая переменные xi :
ГУ
А
который будет иметь место только при всех εi = 0, т. е. соответствующие значения xi будут являться решением системы.
3.3. Решение систем линейных уравнений
би
бл
ио
т
ек
а
Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним сводится приближенное решение широкого
круга вычислительных задач. Теория решения линейных систем
достаточно хорошо разработана и во многих частях доведена до совершенства. Имеется большое число разнообразных программных
средств для решения различных систем уравнений, в том числе
плохо обусловленных, блочных, с разреженными матрицами и т. д.
Методы решения линейных систем уравнений обычно разделяют на две большие группы. К первой группе относят методы, которые принято называть точными. Они позволяют для любых систем
в принципе найти точные значения неизвестных после конечного
числа арифметических операций, каждая из которых выполняется
точно. К точным методам относятся метод Гаусса и метод Крамера.
Метод Гаусса сводится к двум этапам. На первом осуществляется приведение исходной системы уравнений с помощью преобразований к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей
(т. е. приведение системы к треугольному виду). Преобразования
сводятся к умножению всех членов уравнения на постоянное число, сложению уравнений, выражению отдельных переменных через другие и т. п. Это прямой ход. На втором этапе, т. е. в обратном
ходе (снизу вверх), находятся последовательно все переменные системы. В отдельных случаях, в частности при умножении всех членов уравнения на очень большое число (и при делении на очень маленькое), появляются большие вычислительные ошибки, которые
обусловливают значительные погрешности результатов решения.
21
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Более практичным является метод оптимального исключения,
представляющий собой видоизменение метода Гаусса, требующий
меньше памяти для решения. Здесь обратный ход соединен с прямым ходом за счет исключения всех уже выраженных переменных
из вышестоящих уравнений.
Упомянем также метод Крамера (с использованием определителей), который требует очень больших вычислений уже при прямом
решении систем из пяти-десяти уравнений, приведения матрицы
к форме произведения двух треугольных матриц, что позволяет
свести решение заданной системы к последовательному решению
двух систем с треугольными матрицами, что является задачей более простой. Поэтому вычисления определителей для матриц высокого порядка осуществляются обычно приближенными методами,
и метод Крамера перестает быть в полном смысле точным.
Во всех методах этой группы может появляться накапливающаяся вычислительная ошибка. Для ее контроля применяют специальные приемы. Например, в методе Гаусса к каждой строке добавляют еще один член, который равен сумме всех коэффициентов
строки. С этим членом делают те же операции, что и с коэффициентами уравнения. На каждом шаге проверяют равенство суммы
коэффициентов и «контрольного» добавленного члена: разница
говорит о появлении накопившейся вычислительной погрешности. Можно оценивать не только абсолютную, но и относительную
ошибку равенства суммы коэффициентов и «контрольного» добавленного члена. Таким образом, точные методы могут давать результат с погрешностью, которой трудно управлять и которая в ряде
случаев может оказаться значительной, например при высоких порядках системы.
Системы с плохо обусловленными матрицами коэффициентов
нецелесообразно решать указанными методами вследствие возможности появления очень больших ошибок.
Ко второй группе относят все методы, не являющиеся точными.
Их обычно называют приближенными итерационными, решения
в них получают в результате бесконечного процесса приближений.
Эти методы дают возможность найти решение системы как
предел бесконечного вычислительного процесса, позволяющего по
уже найденным приближениям к решению построить следующее,
более точное приближение. Важной чертой таких методов является
их самоисправляемость и простота реализации. Если в точных методах ошибка в вычислениях, когда она не компенсируется случайно другими ошибками, неизбежно ведет к ошибкам в результате, то
22
ГУ
А
П
в случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то
приближении исправляется в последующих вычислениях, и такое
исправление требует только нескольких лишних шагов единообразных вычислений.
К приближенным методам относят метод Зайделя и метод простой итерации.
Условия и скорость сходимости каждого итерационного процесса существенно зависят от свойств уравнений, т. е. от свойств матрицы системы и от выбора начальных приближений.
Особое место среди них (нередко их даже выделяют в отдельную
группу) занимают вероятностные методы, в основу которых положены соображения, взятые из теории вероятностей. Такие методы
полезны лишь в случаях очень высокой размерности систем.
В общем виде линейная система уравнений записывается следующим образом:
ек
а
a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + ... + a1n xn = b1,
a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 + ... + a2n xn = b2 ,
..............................................................
an1x1 + an2 x2 + an3 x3 + an4 x4 + ... + ann xn = bn ,
би
бл
ио
т
или чаще – в матричном виде: Aх = В, где A – квадратная матрица
размером n × n, B и x – векторы размером n (n – размерность системы).
3.4. Основы решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения очень часто встречаются при
построении моделей динамики объектов исследования. Они описывают, как правило, изменение параметров объекта во времени
(хотя могут быть и другие случаи). Результатом решения дифференциальных уравнений являются функции, а не числа, как при
решении конечных уравнений, вследствие чего методы решения их
более трудоемки. Особенно это касается дифференциальных уравнений в частных производных. В данном пособии такие методы не
рассматриваются. Владение методами решения дифференциальных уравнений обязательно при моделировании и очень важно для
получения правильного результата.
При использовании численных методов решение дифференциальных уравнений dy/dx = f(x,y) или у′ = f(x,y) представляется
в табличном виде, т. е. получается совокупность значений yi и xi .
23
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Решение носит шаговый характер, т. е. по одной или по нескольким начальным точкам (х, у) за один шаг находят следующую точку, затем следующую и т. д. Разница между двумя соседними значениями аргумента h = xi+1 - xi , называется шагом.
Наибольшее распространение имеют задачи Коши, в которых
заданы начальные условия: при x = x0 y(x0 ) = y0 . Имея их, легко
начинать процесс решения, т. е. найти y1 при x1, y2 – при x2 и
т. д. Задачи другого типа – краевые задачи (например, с конечными условиями или с условиями в промежуточной точке) – решаются специальными приемами, в том числе нередко сведением к другим эквивалентным задачам с начальными условиями.
Выделяют два класса методов решения: одношаговые и
многошаговые. Первый класс методов требует для нахождения следующего значения функции только одной текущей точки, т. е. yi+1 = F [f (xi , yi )], а второй – нескольких, например
yi+1 = F (yi-3, yi-2 , yi-1, yi ). Поэтому методы второго класса не обладают свойством «самостартования», т. е. ими нельзя начать решении задачи Коши, это всегда делается одношаговыми методами.
К недостаткам многошаговых методов относится также и невозможность изменения в процессе решения величины шага (так как
они используют предыдущие точки с ранее применяемым шагом,
учет меняющегося шага очень сложен и громоздок), что бывает необходимо для повышения эффективности метода. Величина шага
существенно влияет на точность и скорость решения, поэтому изменение ее в процессе решения – увеличение пpи медленно изменяющемся решении и уменьшение при быстро изменяющемся – очень
важно для эффективности решения. К достоинствам многошаговых
методов относят в основном меньший объем памяти компьютера,
требующейся для реализации, возможность теоретической оценки
погрешности решения. Представителем класса многошаговых методов являются методы прогноза и коррекции. К классу одношаговых методов относятся методы Эйлера, Рунге – Кутта и др.
Основная идея получения простейших вычислительных алгоритмов в одношаговых методах сводится к разложению искомого
решения у(х) в ряд Тейлора в окрестности текущей точки и усечения его. Количество оставленных членов ряда определяет порядок
и, следовательно, точность метода. По полученному разложению,
зная значение у в точке разложения yi и производную f (xi , yi ) находят значение функции у через шаг h: yi+1 = yi + ∆yi . Если в разложении удерживается большее число членов, то необходимо рассчитывать f (xi , yi ) в нескольких точках (таким способом избегают
24
ГУ
А
П
необходимости прямого вычисления высших производных, присутствующих в разложении в ряд Тейлора).
Расчетные алгоритмы многошаговых методов базируются на построении интерполяционных или аппроксимирующих функций,
от которых берется интеграл.
Численными методами решаются не только отдельные уравнения, но и системы уравнений (чаще всего первого порядка), причем большинство методов решения одного уравнения легко распространяются на решение систем. Дифференциальные уравнения
высших порядков вида
y(n) = f (x, y, y ¢, y ¢¢, ..., y(n-1) )
решаются в основном сведением к системе уравнений первого порядка путем замены переменных: y1 = y ¢, y2 = y ¢¢, y3 = y ¢¢¢ и т. д.
При этом дифференциальное уравнение п-го порядка заменяется
системой из п уравнений:
ек
а
y ¢ = y1,
y1¢ = y2 ,
y2¢ = y3 ,
.................
би
бл
ио
т
yn¢ -1 = f (x, y, y1, y2 , ..., yn-1 ).
К основным методам решения дифференциальных уравнений
относятся:
– метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера;
– метод Рунге – Кутта;
– метод Милна.
25
4. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
4.1. Классификация методов оптимизации
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Методы оптимизации – поиска экстремума функции (в практических задачах – критериев оптимальности) при наличии ограничений
или без ограничений очень широко используются на практике. Это
прежде всего оптимальное проектирование (выбор наилучших номинальных технологических режимов, элементов конструкций, структуры технологических цепочек и т. д.), оптимальное управление,
построение нелинейных математических моделей объектов управления (минимизации невязок различной структуры модели и реального объекта) и многие другие аспекты решения различных задач.
Существует достаточно большое количество численных методов
оптимизации. Основные из них классифицируются следующим образом.
1. По размерности решаемой задачи: одномерные и многомерные.
2. По способу формирования шага многомерные методы делятся
на следующие виды:
– градиентные:
по способу вычисления градиента: с парной пробой и с центральной пробой;
по алгоритму коррекции шага;
по алгоритму вычисления новой точки: одношаговые и многошаговые;
– безградиентные: с поочередным изменением переменных и с одновременным изменением переменных;
– случайного поиска: с чисто случайной стратегией и со смешанной стратегией.
3. По наличию активных ограничений:
– без ограничений (безусловные);
– с ограничениями (условные):
с ограничениями типа равенств;
с ограничениями типа неравенств;
смешанные.
Наиболее широко используются следующие методы оптимизации:
– одномерная оптимизация;
– многомерная безусловная градиентная оптимизация;
– многомерная безусловная безградиентная оптимизация;
– многомерная безусловная случайная оптимизация;
– многомерная условная оптимизация.
26
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Методы одномерной оптимизации являются базой для некоторых «многомерных» методов. В многомерной градиентной оптимизации строится улучшающая последовательность в зависимости от
скорости изменения критерия по различным направлениям. При
этом под улучшающей последовательностью понимается такая последовательность x0 , x1, ..., xi , ..., в каждой точке которой значение критерия оптимальности лучше, чем в предыдущей.
В безградиентных методах величина и направление шага к оптимуму при построении улучшающей последовательности формируется однозначно по определенным детерминированным функциям
в зависимости от свойств критерия оптимальности в окрестности
текущей точки без использования производных (т. е. градиента).
Случайные методы используются в задачах высокой размерности.
Многомерная условная оптимизация учитывает активные ограничения, выраженные в виде равенств и неравенств. В каждом из
рассмотренных направлений имеется большое число методов, обладающих своими достоинствами и недостатками, которые зависят
прежде всего от свойств тех функций, экстремум которых ищется.
Одним из сравнительных показателей качества метода является
количество значений функции, которое нужно вычислить для решения задачи с заданной погрешностью. Чем это число меньше,
тем при прочих равных условиях эффективнее метод.
Эти темы охватывают широкий спектр методов и являются достаточным минимумом, необходимым для дальнейшего успешного
решения различных задач оптимизации, возникающих при математическом моделировании реальных технологических объектов и
управлении ими.
4.2. Одномерная оптимизация
В данном подразделе рассматриваются методы решения одномерных задач оптимизации вида
R (x) ® max | a £ x £ b |,
где x – скаляр, а и b – соответственно минимальное и максимальное
возможные значения переменной х.
В основном рассматриваются алгоритмы, связанные с построением улучшающей последовательности. Решением задачи называется x*, при котором R (x*) ³ R (x) для любого значения a £ x £ b.
27
П
При практическом решении задач не различают два значения xi и
xi+1 , если xi - xi+1 £ ε , где ε – задаваемая погрешность решения.
К основным методам одномерной оптимизации относятся:
– метод сканирования;
– метод деления пополам;
– метод золотого сечения;
– метод параболической аппроксимации.
ГУ
А
4.3. Многомерная безусловная градиентная оптимизация
ек
а
В данном подразделе рассматриваются методы построения улучшающих последовательностей при отыскании экстремума функции R(x) без активных ограничений. Активными принято называть
такие ограничения, на границе которых находится решение. Если
известно, что решение лежит строго внутри допустимой области,
например в случае ограничений типа неравенств, то такие ограничения лучше выводить из задачи на этапе ее постановки. Следует
отметить, что ограничения типа равенств всегда активные.
Величина шага ∆x в рекуррентном соотношении
xi+1 = xi + ∆xi
би
бл
ио
т
вычисляется с использованием градиента целевой функции R(x), т. е.
∆xi = f (gradR (xi )),
при этом шаг может определяться с использованием градиента одной (текущей) или в двух (текущей и предыдущей) точках. Направление градиента показывает направление наискорейшего возрастания функции, а его модуль – скорость этого возрастания.
В отличие от других вычислительных методов, поисковые методы оптимизации содержат неформально (т. е. субъективно) задаваемые параметры, которые существенно влияют на эффективность
поиска, вследствие чего один и тот же метод может дать совершенно различные траектории поиска.
К основным методам безусловной градиентной оптимизации относятся:
– метод градиента;
– метод наискорейшего спуска;
– метод сопряженных градиентов;
– метод тяжелого шарика.
28
4.4. Многомерная безградиентная оптимизация
ГУ
А
x j+1 = x j + f [R (x j )].
П
В данном подразделе рассматриваются численные методы оптимизации, у которых величина и направление шага к оптимуму
формируются однозначно по определенным детерминированным
функциям в зависимости от свойств критерия оптимальности
в окрестности текущей точки без использования производных (т. е.
градиента). Все алгоритмы имеют итерационный характер и выражаются формулой
би
бл
ио
т
ек
а
Основная особенность рассматриваемой группы методов – отсутствие вычисления градиента критерия оптимальности. Ряд методов прямого поиска базируется на последовательном применении
одномерного поиска по переменным или по другим задаваемым направлениям, что облегчает их алгоритмизацию и применение.
К основным методам многомерной безградиентной оптимизации относятся:
– метод Гаусса – Зайделя;
– метод Розенброка;
– симплексный метод;
– метод параллельных касательных.
4.5. Многомерная случайная оптимизация
В методах случайного поиска величина шага ∆x при построении улучшающей последовательности xi+1 = xi + ∆xi формируется
случайным образом. Поэтому в одной и той же ситуации шаг ∆x
может быть различен в отличие от регулярных методов. Методы
случайного поиска являются прямым развитием известного метода
проб и ошибок, когда решение ищется случайно и при удаче принимается, а при неудаче отвергается, с тем чтобы немедленно снова
обратиться к случайности как к источнику возможностей.
Такое случайное поведение разумно опирается на уверенность,
что случайность содержит в себе все возможности, в том числе и искомое решение во всех его вариантах [10].
К основным методам многомерной случайной оптимизации относятся:
– метод слепого поиска;
– метод случайных направлений;
29
П
– метод поиска с «наказанием случайностью»;
– метод с «блуждающим» поиском.
В целом случайные методы поиска предпочтительнее регулярных в задачах высокой размерности n ³ 10 и вдали от оптимума.
Методы этой группы позволяют в среднем быстрее выходить в район оптимума. Эффективны рассматриваемые методы и при поиске
глобального оптимума.
ГУ
А
4.6. Многомерная условная оптимизация
би
бл
ио
т
ек
а
В данном подразделе рассматриваются численные методы построения улучшающих последовательностей при наличии ограничений типа равенств (связей) и типа неравенств (ограничений).
Сюда не входят методы, использующие условия оптимальности. Во
всех методах строится в допустимой области последовательность
точек, в которых значения критерия улучшаются. Поиск осуществляется градиентным методом. При этом предполагается, что учащийся знаком с особенностями и условиями работы этого метода
по крайней мере в объеме соответствующего раздела настоящего
пособия.
Допустимая область может формироваться автономными ограничениями xi min £ xi £ xi max , связями fj(x1, x2, ..., xn)=0 (j=1, ...,
m) и ограничениями Fj (x1, x2 , ..., xn ) ³ 0 для j = 1, ..., p.
Функции, задающие ограничения, могут формировать допустимую область с различными свойствами: монотонными, колебательными, с большой и малой кривизной и т. д., что оказывает влияние
на эффективность методов поиска.
К основным методам многомерной условной оптимизации относятся:
– метод штрафов;
– метод прямого поиска с возвратом;
– метод проектирования градиента.
30
5. ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА
ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
5.1. Интегрированная программная система Eureka
ек
а
ГУ
А
П
Интегрированная программная система Eureka предназначена
для решения систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств. Кроме того, Eureka обладает следующими возможностями:
– вычисление значений производных и определенных интегралов;
– поиск максимума и минимума функций;
– работа с экспоненциальной, логарифмической, тригонометрическими функциями, а также с полиномами.
Используя систему Eureka, можно выводить на экран и печатать
графики или таблицы значений функций; пересчитывать единицы
измерений; создавать отчет о проведенной работе.
Пользователь системы избавлен от необходимости программирования процесса решения задачи. Eureka требует лишь описания
условия задачи в форме, максимально приближенной к привычной
алгебраической записи уравнений и неравенств.
би
бл
ио
т
5.2. Система компьютерной алгебры MathCad
MathCad – система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным
сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы [12].
MathCad был задуман и первоначально написан сотрудником
Массачусетского технологического института Алленом Раздовом.
MathCad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.
Несмотря на то, что эта программа, в основном, ориентирована
на пользователей-непрограммистов, MathCad также используется
в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования путем использования распределенных
вычислений и традиционных языков программирования. Также
MathCad часто используется в крупных инженерных проектах, где
большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.
31
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
MathCad содержит сотни операторов и встроенных функций для
решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.
Среди возможностей MathCad можно выделить:
– решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами;
– построение двумерных и трехмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.);
– использование греческого алфавита как в уравнениях, так и
в тексте;
– выполнение вычислений в символьном режиме;
– выполнение операций с векторами и матрицами;
– символьное решение систем уравнений;
– аппроксимация кривых;
– выполнение подпрограмм;
– поиск корней многочленов и функций;
– проведение статистических расчетов и работа с распределением вероятностей;
– поиск собственных чисел и векторов;
– вычисления с единицами измерения;
– интеграция с САПР-системами, использование результатов
вычислений в качестве управляющих параметров.
MathCad предоставляет возможности документировать все вычисления в процессе их проведения.
5.3. Система компьютерной алгебры Maple
Система компьютерной алгебры Maple является продуктом компании Waterloo Maple Inc. Этот программный пакет предназначен
для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств и для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения
интегралов. Аналитические функции системы позволяют решать
математические задачи, не назначая численные значения константам и приближения – переменным. Maple включает в себя богатую
библиотеку аналитических функций для решения широкого класса
общих и специализированных задач. Кроме того, система содержит
процедуры для аналитического дифференцирования, интегрирования, решения уравнений линейной алгебры, геометрии и многих
32
других задач. Программный пакет обладает развитыми графическими средствами, имеет собственный язык программирования [13].
5.4. Система Derive
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Система Derive фирмы Soft Warehouse принадлежит к классу
компьютерных систем для автоматизации математических вычислений и прежде всего – символьных (аналитических) преобразований. Система может выполнять численные расчеты, сочетая их
с использованием как двумерной, так и трехмерной графики [14].
Она имеет в своем инструментарии широкий спектр самых разнообразных методов, среди которых:
– вычисление алгебраических, тригонометрических, гиперболических, статистических, специальных математических функций;
– действия над числами, операции с действительными и комплексными числами, представление их в дробно-рациональной форме;
– символьные операции с многочленами, включая разложение
их на простые множители и вычисление действительных и комплексных корней, дробно-рациональными функциями, функциями многих переменных;
– символьное и численное интегрирование и дифференцирование, вычисление пределов и сумм, нахождение разложений в ряды,
тригонометрических и других функций;
– операции с векторами и матрицами, элементами которых могут быть числа или арифметические выражения;
– преобразования формул с использованием подстановок, разложение на множители и пр.;
– построение двумерных и трехмерных графиков в параметрической форме, в полярной и декартовой системах координат и т. п.
Универсальность системы Derive позволяет использовать ее для решения широкого круга математических и научно-технических задач.
5.5. Система автоматизации
математических расчетов MatLab
MatLab – одна из старейших и тщательно проработанных систем автоматизации математических расчетов. MatLab является
расширяемой системой, и ее легко можно приспособить к решению
различных классов задач. Своим названием (matrix laboratory –
33
перемещение курсора вправо на один символ;
перемещение курсора влево на один символ;
перемещение курсора вправо на одно слово;
перемещение курсора влево на одно слово;
перемещение курсора в начало строки;
перемещение курсора в конец строки;
перелистывание строк вверх или вниз;
стирание символа, на котором установлен курсор;
стирание символа слева от курсора (back space);
включение / выключение режима вставки.
би
бл
ио
т
→
←
ctrl →
ctrl ←
home
end
↑и↓
del
←
ins
ек
а
ГУ
А
П
«матричная лаборатория») система MatLab обязана ориентации на
матричные и векторные вычисления [15].
Система MatLab специально создана для проведения инженерных расчетов: математический аппарат системы приближен к современному математическому аппарату инженера и ученого и опирается на вычисления с векторами, матрицами, действительными
и комплексными числами; графическое представление функциональных зависимостей организовано в форме, требуемой инженерной документацией.
Система MatLab позволяет выполнять ряд команд и операторов.
Под командами понимаются средства, управляющие периферийным оборудованием, под операторами – средства, выполняющие
операции с данными (операндами).
Команды и операторы могут выполняться как из программы,
так и в режиме прямых вычислений.
Работа с системой в режиме прямых вычислений носит диалоговый характер. Вычисляемое выражение вводится путем набора
на клавиатуре и нажатия клавиши Enter. При этом действует простейший строчный редактор. Его команды:
Важными командами системы являются:
HELP
DEMO
INFO
– помощь;
– демонстрация;
– информация.
MatLab содержит несколько системных переменных, в том
числе:
pi
inf
ans
34
– число «пи»;
– значение машинной бесконечности;
– переменная, хранящая результат последней операции.
+
*
/
\
^
– сложение;
– вычитание;
– умножение;
– деление слева направо;
– деление справа налево;
– возведение в степень.
.<знак операции>
ГУ
А
Поэлементные операции имеют вид
П
В арифметических выражениях применяются следующие знаки
операций:
Для задания переменных в системе MatLab используется операция присваивания, вводимая знаком:
имя_переменной = выражение.
би
бл
ио
т
ек
а
Если запись оператора не заканчивается символом «;», результат выводится в командное окно, в противном случае результат не
выводится.
Если оператор не содержит знака присваивания « = «, то значение результата присваивается системной переменной ans.
При работе с числовыми данными можно задавать различные
форматы представления чисел (при этом все вычисления проводятся с предельной, так называемой двойной, точностью). Для установки формата представления чисел используется команда «format
name», где «name» – имя формата. Команда «format» может устанавливать следующие режимы вывода:
format
– аналогично format short и устанавливается по умолчанию;
format short
– формат с фиксированной точкой с 5 знаками;
format short e – формат с плавающей точкой с 5 знаками;
format long
– формат с фиксированной точкой с 15 знаками;
format long e
– формат с плавающей точкой с 15 знаками;
format hex
– шестнадцатеричный формат;
format +
– компактный формат, « + «, «-» и «пробел» служат для
отображения положительных, отрицательных и нулевых элементов, мнимая часть игнорируется;
format bank
– фиксированный формат для денежных единиц;
format compact – формат с подавлением перевода строки;
format loose
– формат, обратный format compact.
35
би
бл
ио
т
sign(z)
rem(x, y)
exp(z)
log(z)
log10(z)
ГУ
А
angle(z)
sqrt(z)
real(z)
imag(z)
round(z)
fix(z)
floor(z)
– вычисление модуля комплексного числа z или абсолютного значения действительного числа z;
– вычисление аргумента z;
– вычисление квадратного корня;
– вычисление действительной части z;
– вычисление мнимой части z;
– округление до целого;
– округление до ближайшего целого в сторону нуля;
– округление до ближайшего целого в сторону отрицательной бесконечности;
– вычисление функции знака;
– вычисление остатка от деления x на y;
– вычисление е в степени z;
– вычисление натурального логарифма числа z;
– вычисление десятичного логарифма числа z.
ек
а
abs(z)
П
Система MatLab работает как с действительными, так и с комплексными числами вида z = Re(z) + i * Im(z), где i (или j) – мнимая единица; т. е. квадратный корень из –1, Re(z) – действительная
часть комплексного числа z, а Im(z) – его мнимая часть.
Система MatLab позволяет вычислять различные математические функции. Следующие элементарные алгебраические функции
имеют в качестве аргумента одно или два действительных (x, y) или
одно комплексное (z) число:
Система MatLab предоставляет возможности для вычисления
следующих тригонометрических и обратных тригонометрических
функций:
sin(z)
cos(z)
tan(z)
asin(z)
acos(z)
atan(z)
atan2(y, x)
– вычисление синуса;
– вычисление косинуса;
– вычисление тангенса;
– вычисление арксинуса;
– вычисление арккосинуса;
– вычисление арктангенса;
– вычисление арктангенса по координатам точки.
MatLab – система, специально предназначенная для проведения
сложных вычислений с векторами, матрицами и многочленами.
При вводе значения векторов и матриц перечисляются в квадратных скобках. Для разделения столбцов используются пробелы, для разделения строк – знак «;». Система MatLab дает возмож36
ГУ
А
П
ность ввода вектора, значения которого являются арифметической
прогрессией:
<Имя> = <НЗ>:<Ш>:<КЗ>,
где <НЗ> – начальное значение прогрессии; <Ш> – разность прогрессии, <КЗ> – конечное значение.
Также возможен ввод элементов векторов и матриц в виде арифметических выражений, содержащих любые доступные системе
функции.
Матрицы можно расширять, используя матрицы малых размеров как элементы матриц больших размеров.
Генерацию некоторых наиболее распространенных видов матриц обеспечивают следующие матричные функции:
– генерация матрицы с нулевыми элементами;
– генерация матрицы с единичными элементами;
– генерация матрицы с элементами; имеющими случайные значения;
eye(m,n)
– генерация матрицы с единичными диагональными
элементами;
(m – количество строк, n – количество столбцов матрицы).
ек
а
zeros(m,n)
ones(m,n)
rand(m,n)
би
бл
ио
т
Матрицу можно свести к нулевой размерности, используя выражение вида
имя_матрицы = [].
При этом имя матрицы сохраняется и в дальнейшем ее можно
расширить и использовать. Уничтожение матрицы осуществляется с помощью команды
clear имя_матрицы.
Выделение элементов матрицы (а) производится с помощью команд:
a(i,j)
a(i,:)
a(:,j)
– выделение элемента i-й строки j-го столбца;
– выделение i-й строки;
– выделение j-го столбца.
В MatLab возможны следующие операции с векторами и матрицами:
+
*
\/
‘
– сложение;
– вычитание;
– умножение;
– деление;
– транспонирование;
37
det(m)
trace(m)
rank(m)
– возведение в степень;
– обращение матрицы;
– псевдообращение матрицы;
– матричный квадратный корень;
– вектор с коэффициентами характеристического
многочлена матрицы;
– значение определителя матрицы;
– след матрицы;
– ранг матрицы.
П
^
inv(m)
pinv(m)
sqrtm(m)
poly(m)
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
Система MatLab имеет ряд функций, предназначенных для обработки данных, заданных в матричной или векторной форме.
Функция size (m) служит для определения числа строк и столбцов
матрицы m. Она возвращает вектор [n, p], содержащий эти данные.
Функция max(v) возвращает значение максимального по значению
элемента вектора v. Если ее аргументом является матрица, например max(m), то функция возвращает вектор-строку, содержащий
значения максимальных элементов каждого из столбцов. Аналогично действует функция min(m), выделяющая элементы с минимальными значениями. Функция mean(v) возвращает среднее значение
элементов вектора v, а функция mean(m) с матричным аргументом
возвращает вектор-строку средних значений каждого из столбцов
данных. Функция std(v) возвращает статистический параметр –
стандартное (квадратичное) отклонение для одномерного массива
данных, представленного вектором v. В случае матричного аргумента эта функция возвращает вектор-строку стандартных отклонений
для каждого из столбцов. Функция сортировки sort(v) возвращает
вектор, элементы которого расположены в порядке роста их значений. Для матричного аргумента эта функция возвращает матрицу,
у которой отсортированы элементы каждого столбца. Функция
sum(v) возвращает сумму элементов вектора v, а для матричного аргумента функция sum(m) возвращает вектор-строку сумм элементов
по каждому из столбцов. Аналогично функция prod(m) возвращает
вектор произведений элементов каждого из столбцов.
Программирование в системе MatLab является эффективным
средством ее расширения и адаптации к решению специфических
задач пользователя. Оно реализуется с помощью входного языка
системы, который является языком высокого уровня и содержит
сложные операторы и функции.
Для записи программ в MatLab часто используются m-файлы –
последовательности операторов, оформленные в виде файлов,
38
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
имеющих расширение.m. Сценариями называются m-файлы, содержащие последовательности команд. Функциями называются
m-файлы, имеющие в первой строке указание «function». Описание функций начинается со строки заголовка:
function [<перчень конечных величин>] =
<имя процедуры>(<перечень входных величин>).
В файлах-функциях все имена переменных внутри файла, а также имена переменных, указанные в заголовке, воспринимаются
как локальные, т. е. все значения этих переменных после завершения работы процедуры исчезают, и область оперативной памяти
компьютера, которая была отведена под запись значений этих переменных, освобождается для записи в нее значений других переменных. В файлах-сценариях все используемые переменные образуют
«рабочее пространство». Их значения сохраняются в течение всего
сеанса работы с системой.
Ввод исходных данных в программе может осуществляться с помощью операций присваивания, с клавиатуры и из файлов, хранимых на диске.
Для операций присваивания используются конструкции:
имя_переменной = числовое выражение
имя_переменной = ‘строка символов’
Для организации диалогового ввода и вывода используются следующие операторы.
Оператор
INPUT
DISP
Синтаксис
Назначение
X = input(‘<приглашение>’) для ввода данных с клавиатуры
disp(<переменная или текст для вывода на дисплей
в апострофах>)
Для организации ветвлений служат условные операторы.
Конструкции условных операторов
1. if <условие>
<операторы>
end
(операторы выполняются только в том случае, если условие истинно).
2. if <условие>
<операторы 1>
else
<операторы 2>
end
39
– меньше;
– меньше или равно;
– больше;
– больше или равно;
– равно;
– не равно.
ек
а
<
<=
>
>=
==
~=
ГУ
А
П
3. if <условие1>
<операторы 1>
elseif <условие2>
<операторы2>
elseif <условие3>
<операторы3>
.
.
.
else
<операторы>
end
В системе MatLab могут применяться следующие операторы
сравнения:
В MatLab возможно выполнение логических операций:
логическое «и» (and);
логическое «или» (or);
логическое отрицание (not).
би
бл
ио
т
&
|
~
Результатом логических операций являются числа 0(false) и
1(true).
В системе MatLab есть две разновидности операторов цикла – условный и арифметический.
Для повторения операторов нефиксированное число раз используется оператор цикла с предусловием:
while <условие>
<операторы>
end
Операторы выполняются, если переменная «условие» имеет ненулевые элементы.
Арифметический оператор цикла имеет вид
for <имя> = <НЗ>: <Ш>: <КЗ>
<операторы>
end
Здесь <имя> – имя управляющей переменной цикла, <НЗ> – начальное значение управляющей переменной и <КЗ> – конечное
40
значение управляющей переменной. Значение <Ш> задает приращение значений переменной <имя> в ходе ее изменения от значения <НЗ> до значения <КЗ>. Если параметр <Ш> не указан, по
умолчанию его значение принимается равным единице.
Для работы с файлами и данными в оперативной памяти компьютера служат следующие команды:
ГУ
А
П
– отображение файлов, хранящихся в текущем каталоге;
– смена текущего каталога;
– вывод имен М-файлов, содержащихся на диске;
– вывод на экран листинга текстового файла;
– установка режима записи в файл;
– удаление файла;
– сохранение переменных в файл;
– загрузка переменных из файла;
– вывод списка текущих переменных;
– вывод значений переменных;
– удаление переменных и функций;
– выход;
– переход во внешнюю среду.
ек
а
dir
chdir
what
type
diary
delete
save
load
who
whos
clear
quit
!
би
бл
ио
т
Для графического представления результатов вычислений
в MatLab используется набор специальных команд. Основные операторы графики:
plot
loglog
semilogx
semilogy
polar
mesh
contour
bar
stairstep
– построение графика в линейном масштабе;
– построение графика в логарифмическом масштабе;
– построение графика в полулогарифмическом масштабе (log по оси x);
– построение графика в полулогарифмическом масштабе (log по оси y);
– построение графика в полярной системе координат;
– построение графика трехмерной поверхности;
– построение графика с контурными линиями – уровнями равных высот;
– построение графика столбцовой гистограммы;
– построение графика в виде ступенчатой линии.
Для оформления графиков служат следующие операторы:
text
title
– вывод надписи в заданное место графика;
– задание титульной надписи;
41
xlabel
ylabel
grid
– задание надписи по оси x;
– задание надписи по оси y;
– задание пунктирной масштабной сетки.
При программировании графических операций используются
операторы:
ГУ
А
П
axis
– задание построения осей с заданным масштабом;
(<масштаб>)
hold
– сохранение предшествующих построений;
subplot(m,n,p) – разбивка окна на меньшие окна (m – количество окон
по вертикали, n – по горизонтали, p – номер подокна).
ек
а
Являясь расширяемой системой, MatLab может использоваться
для решения различных классов инженерных задач, математического моделирования, обработки результатов эксперимента и визуализации данных.
5.6. Cистема компьютерной алгебры
Mathematica
би
бл
ио
т
Cистема компьютерной алгебры Mathematica используется во
многих научных, инженерных, математических и компьютерных
областях.
Пакет Mathematica позволяет осуществлять широкий спектр
аналитических преобразований:
– решение систем полиномиальных и тригонометрических
уравнений и неравенств, а также трансцендентных уравнений, сводящихся к ним;
– решение рекуррентных уравнений;
– упрощение выражений;
– нахождение пределов;
– интегрирование и дифференцирование функций;
– нахождение конечных и бесконечных сумм и произведений;
– решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;
– преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование;
– преобразование функции в ряд Тейлора, операции с рядами
Тейлора: сложение, умножение, композиция, получение обратной
функции и т. д.;
– вейвлет-анализ.
42
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Наряду с аналитическими вычислениями, система дает возможность выполнять численные расчеты:
– вычисление значений функций, в том числе специальных,
с произвольной точностью;
– решение систем уравнений;
– нахождение пределов;
– интегрирование и дифференцирование;
– нахождение сумм и произведений;
– решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;
– полиномиальная интерполяция функции от произвольного
числа аргументов по набору известных значений;
– преобразования Фурье и Лапласа, а также Z-преобразование;
– расчет вероятностей.
С использованием пакета могут выполняться операции линейной алгебры и теории чисел.
Одна из сильных сторон рассматриваемого программного продукта – развитая двумерная и трехмерная графика, используемая
для визуализации математических объектов.
По своей сущности Mathematica представляет собой язык программирования высокого уровня, позволяющий реализовать традиционный процедурный и функциональный стили программирования, а также стиль правил преобразований. Поскольку рассматриваемый программный продукт обеспечивает также применение
разнообразных численных методов, то в совокупности символьные,
графические и численные вычисления, выполняемые в одном сеансе использования Mathematica, превращают ее в удобный и мощный инструмент математических исследований.
5.7. Интегрированная система комплексного
статистического анализа и обработки данных Statistica
Statistica – программный пакет для статистического анализа,
разработанный компанией StatSoft, реализующий функции анализа данных, управления данных, добычи данных, визуализации
данных с привлечением статистических методов [16].
Одной из важных возможностей является обработка данных
с точки зрения построения регрессионных моделей, прогнозирования поведения системы на основе этих моделей.
Система состоит из следующих основных частей:
43
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
– многофункциональной системы для работы с данными;
– мощной графической системы для визуализации данных и результатов статистического анализа;
– набора статистических модулей, в которых собраны группы
логически связанных между собой статистических процедур;
– специального инструментария подготовки отчетов;
– встроенного языка Statistica Basic.
44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Достоверная математическая модель объекта или процесса может быть получена аналитическим путем. Для этого необходимы
всесторонние сведения об объекте. Однако часто из-за отсутствия
достаточных данных получить решение задачи таким путем невозможно. При описании реальных объектов, процессы в которых
имеют сложный характер, аналитические методы дополняются
экспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей,
полученных теоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющий рассматривать поведение объектов
в различных возможных режимах. На практике широко используются экспериментальные методы, позволяющие находить модели
объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных. Хотя эти методы также предполагают наличие априорных сведений об изучаемом объекте, но их характер может быть не
столь обстоятельным. Как правило, уровень априорных сведений
должен быть достаточным лишь для выбора структуры модели и
условий проведения эксперимента.
45
Библиографический список
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
1. Васильков Ю. В., Василькова Н. Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: учеб. пособие.
М.: Финансы и статистика, 1999. 255 с.
2. Технология приборостроения: учеб. пособие / П. И. Буловский, Г. И. Котенко, В. П. Ларин, А. Н. Лукичев, А. В. Павлова /
ЛИАП. Л., 1985. 368 с.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: учебник.
М.: Высшая школа, 2001. 343 с.
4. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 2005, 320 с.
5. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. М.:
КомКнига, 2007. 192 с.
6. Севостьянов А. Г., Севостьянов П. А. Моделирование технологических процессов: учебник. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. 344 с.
7. Дубаренко В. В., Коновалов А. С., Кучмин А. Ю. Математические модели механических систем как объектов управления: учеб.
пособие. СПб.: ГУАП, 2007. 187 с.
8. Основы цифровой обработки сигналов и математическое моделирование РЭС: метод. указ. к выполнению лабораторных работ /
сост.: А. А. Монаков, А. М. Миролюбов. СПб.: ГУАП, 2011. 126 с.
9. Мироновский Л. А. Моделирование линейных систем: учеб.
пособие. СПб.: ГУАП, 2009. 248 с.
10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений; пер. с англ. Х. Д. Икрамова. М.:
Мир, 1980. 280 с.
11. Дьяконов В. П. MathCad 11/12/13 в математике: справочник. М.: Горячая линия – Телеком. 2007. 958 с.
12. Дьяконов В. П. Maple 10/11/12/13/14 в математических вычислениях. М.: ДМК-Пресс, 2011. 800 с.
13. Дьяконов В. П. Системы компьютерной алгебры Derive. Самоучитель. М.: Солон-Р, 2002. 320 с.
14. Дьяконов В. П. MatLab. Полное руководство. М.: ДМК-Пресс.
2010. 768 с.
15. Дьяконов В. П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. М.:
ДМК-Пресс, 2009, 624 с.
16. Боровиков В. П. Популярное введение в современный анализ
данных в системе Statistica. М.: Горячая линия – Телеком, 2013.
288 с.
46
Оглавление
3
4
4
6
9
11
15
15
16
17
19
19
20
21
23
26
26
27
28
29
29
30
31
31
31
32
33
33
42
би
бл
ио
т
ек
а
ГУ
А
П
Введение.................................................................................... 1. Основы математического моделирования.................................... 1.1. Понятие математического моделирования........................... 1.2. Классификация математических моделей............................ 1.3. Методы исследования моделей........................................... 1.4. Этапы математического моделирования.............................. 2. Обработка табличных данных................................................... 2.1. Интерполяция................................................................. 2.2. Аппроксимация............................................................... 2.3. Численное интегрирование................................................ 3. Методы решения уравнений и их систем..................................... 3.1 Методы решения нелинейных уравнений.............................. 3.2. Решение систем нелинейных уравнений.............................. 3.3. Решение систем линейных уравнений................................. 3.4. Основы решения дифференциальных уравнений................... 4. Методы оптимизации............................................................... 4.1. Классификация методов оптимизации................................ 4.2. Одномерная оптимизация.................................................. 4.3. Многомерная безусловная градиентная оптимизация............ 4.4. Многомерная безградиентная оптимизация......................... 4.5. Многомерная случайная оптимизация................................. 4.6. Многомерная условная оптимизация.................................. 5. Программные средства для математического моделирования......... 5.1. Интегрированная программная система Eureka.................... 5.2. Система компьютерной алгебры MathCad............................ 5.3. Система компьютерной алгебры Maple. ............................... 5.4. Система Derive................................................................. 5.5. Система автоматизации математических расчетов MatLab.......
5.6. Cистема компьютерной алгебры Mathematica....................... 5.7. Интегрированная система комплексного статистического
анализа и обработки данных Statistica....................................... Заключение............................................................................... Библиографический список.......................................................... 43
45
46
47
Учебное издание
ГУ
А
П
Анодина-Андриевская Елена Михайловна
би
бл
ио
т
ек
а
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Редактор А. В. Подчепаева
Компьютерная верстка С. Б. Мацапуры
Сдано в набор 11.10.15. Подписано к печати 23.12.15.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,8.
Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 100 экз. Заказ № 539.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
2 270 Кб
Теги
anodinaandrievskya1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа