close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

artemev

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
Методические указания
к выполнению курсовой работы
Санкт-Петербург
2009
Составитель Б. А. Артемьев
Рецензент кандидат технических наук, доцент М. А. Волохов
Содержатся методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплинам ТОЭ, ОТЦ, Электротехника и Общая электротехника для студентов всех технических специальностей.
Подготовлены кафедрой электротехники и технической диагностики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического прибостроения.
Корректор В. А. Черникова
Верстальщик А. Н. Колешко
Сдано в набор 11.12.08. Подписано к печати 22.01.09.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,7.
Уч.-изд. л. 1,7. Тираж 700 экз. Заказ № 31.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2009
Введение
Курсовая работа (КР) является заключительным этапом в обучении студентов технических специальностей предметам электротехнической направленности (ТОЭ, ОТЦ, электротехника и др.).
Курсовая работа охватывает основные разделы анализа линейных и нелинейных цепей.
В процессе выполнения КР каждый студент получает возможность комплексно применить методы анализа цепей в различных
стационарных и нестационарных режимах, закрепить и углубить
навыки самостоятельной работы и основы системного мышления в
области теории цепей с целью их дальнейшего успешного использования при изучении специальных дисциплин электротехнического
профиля.
3
Содержание работы
В курсовой работе исследуется электрическая цепь, состоящая
из 6 блоков:
1 – линейный двухполюсник с гармоническим источником (рис. 1);
2 – линейный двухполюсник с постоянным источником (рис. 2);
3 – линейный двухполюсник с зависимым источником (рис. 3);
4, 5 – линейные пассивные двухполюсники (рис. 4, рис. 5);
6 – нелинейный пассивный двухполюсник (рис. 6).
Построение схем для конкретных вариантов КР производится с
помощью табл. 1 на основании четырех общих схем, представленных на рис. 7. На этом рисунке обозначены коммутирующие ключи
K1 и K2. С помощью K1 блок 1 присоединен, а с помощью K2 блок 6
отсоединен от остальной цепи.
а)
а)
3 F = &N DPTWU + Y 3
б)
3
б)
K = *N DPTWU + Y K = DPOTU
Рис. 1. Блок 1
а)
в)
Рис. 2. Блок 2
б)
F = LJ
3
½ = DPOTU
3
г)
3
F = LV
3
3
K = LJ
K = LV
Рис. 3. Блок 3
3
-
J
3
V
$
Рис. 4. Блок 4
4
Рис. 5. Блок 5
VJ
-
J V
J
V
$
V
V
V¢
V¢
J
J¢
J
J¢
Рис. 6. Блок 6
A
N
M
,
B
O
,
O
,
N
,
O
C
M
,
,
D
,
N
N
M
M
O
,
Рис. 7. Варианты схем курсовой работы
5
Таблица 1
Номер блока*
Номер варианта
Схема
(рис.7)
1
2
m
n

6
1
A
1а
2б
3а
4
5
6а
2
B
1б
2а
4
3в
5
6а
3
C
1б
2а
3б
4
5
6а
4
D
1б
2а
4
3г
5
6а
5
A
1а
2а
5
3б
4
6б
6
B
1б
2б
5
4
3г
6а
7
C
1б
2а
5
3в
4
6б
8
D
1а
2б
5
4
3а
6а
9
A
1а
2а
4
5
3в
6а
10
B
1а
2а
3а
5
4
6б
11
C
1б
2а
4
5
3г
6а
12
D
1б
2б
3б
5
4
6б
13
A
1а
2а
3г
4
5
6б
14
B
1б
2б
4
3б
5
6а
15
C
1б
2а
3б
4
5
6б
16
D
1а
2б
4
3а
5
6а
17
A
1а
2а
5
3в
4
6а
18
B
1а
2а
5
4
3а
6б
19
C
1а
2б
5
3а
4
6а
20
D
1б
2а
5
4
3в
6а
21
A
1б
2а
4
5
3б
6а
22
B
1а
2б
3г
5
4
6а
23
C
1а
2а
4
5
3в
6б
24
D
1б
2б
3г
5
4
6а
25
A
1а
2б
3в
4
5
6а
6
Окончание табл. 1
Номер блока*
Номер варианта
Схема
(рис.7)
1
2
m
n

6
26
B
1б
2а
4
3а
5
6а
27
C
1а
2а
3г
4
5
6а
28
D
1б
2б
4
3б
5
6а
29
A
1а
2б
5
3г
4
6б
30
B
1б
2а
5
4
3б
6а
31
C
1а
2а
5
3а
4
6б
32
D
1б
2б
5
4
3в
6а
33
A
1а
2б
4
5
3а
6б
34
B
1б
2а
3в
5
4
6б
35
C
1а
2а
4
5
3б
6б
36
D
1б
2б
3г
5
4
6б
37
A
1б
2а
3б
4
5
6а
38
B
1а
2а
4
3г
5
6а
39
C
1б
2б
3в
4
5
6а
40
D
1а
2б
4
3а
5
6а
41
A
1б
2а
5
3в
4
6б
42
B
1а
2а
5
4
3а
6а
43
C
1б
2б
5
3г
4
6б
44
D
1а
2б
5
4
3б
6а
45
A
1б
2а
4
5
3г
6а
46
B
1а
2а
3б
5
4
6б
47
C
1б
2б
4
5
3а
6а
48
D
1a
2б
3в
5
4
6б
* – первая цифра соответствует номеру рисунка. Например, 1а – см.
рис. 1, а.
Параметры элементов и величины источников для каждого из
вариантов приведены в табл. 2.
7
8
25
40
40
50
20
10
50
8
40
10
35
50
20
10
40
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
R1,
Ом
1
Номер
варианта
1
50
_
_
80
_
_
40
50
60
_
_
100
_
_
_
100
_
3
4
_
3
2
_
_
_
2
5
_
2
3
2
_
Em, В Jm, А
–45
–30
60
180
30
0
90
30
–60
60
45
800
314
–45
0
1000 –90
800
500
400
314
314
628
314
1000
1000 –60
628
314
628
45
1
с Град
628
ω,
ψ,
15
20
10
10
45
10
10
15
10
20
10
10
40
10
10
15
R2,
Oм
2
_
40
_
25
_
80
45
30
_
50
_
20
_
100
50
_
e2, В
6
_
3
_
1
_
_
_
4
_
2
_
1
_
_
2
j2, А
8
15
20
3
25
25
10
20
5
10
20
1
20
20
30
20
R3,
Ом
3
8
0,6
0,04
0,15
0,8
0,4
15
0,5
10
0,8
0,05
0,12
0,05
0,5
0,4
14
k
10
15
6
5
25
8
20
10
10
10
5
2
30
5
10
20
R4,
Ом
4
0,05
0,2
0,15
0,01
0,08
0,02
0,08
0,1
0,05
0,2
0,1
0,01
0,1
0,01
0,01
0,1
L4,
Гн
20
40
40
26
45
40
30
40
30
50
30
20
50
50
50
100
R5,
Ом
5
30
15
6
100
300
250
100
50
20
10
5
125
300
200
10
100
20
10
20
2
25
15
10
5
10
10
20
1
25
15
100
20
1
2
0,5
1
5
1,5
1
1
0,5
2
0,5
1
5
1,5
1
0,5
C5, u¢
6 , В i6¢ , А
мкФ
6
0,08
_
0,05
_
_
0,01
_
0,02
0,1
_
0,04
_
0,05
0,01
0,01
0,05
L6,
Гн
_
20
_
250
150
_
200
_
_
25
_
250
_
_
_
_
C6,
мкФ
Таблица 2
9
30
10
20
40
50
40
20
10
30
40
30
50
20
10
50
8
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
R1,
Ом
17
Номер
варианта
_
100
_
100
_
90
_
100
_
100
100
_
_
90
40
60
7,5
_
5
_
2
_
2
_
5
_
_
2
2,5
_
_
_
Em, В Jm, А
1
45
0
–45
90
0
60
–45
90
45
0
90
628
314
30
–60
1000 –90
800
628
400
800
628
80
1000 –30
800
314
314
628
400
–30
ψ,
1
с Град
400
ω,
10
20
10
10
40
10
10
15
8
10
30
10
8
10
15
15
R2,
Oм
_
50
20
_
_
80
50
_
_
20
_
80
40
_
60
45
e2, В
2
4
_
_
2
1
_
_
2
2,5
_
2
_
_
4
_
_
j2, А
10
10
20
10
25
20
30
20
30
10
15
20
20
20
10
25
R3,
Ом
3
0,6
8
0,5
0,12
0,6
0,05
12
0,6
0,15
0,4
0,06
0,4
0,5
20
14
0,6
k
12
10
5
2
30
5
10
25
5
5
30
10
10
20
20
15
R4,
Ом
4
0,05
0,2
0,16
0,04
0,1
0,02
0,02
0,1
0,1
0,01
0,1
0,03
0,08
0,1
0,06
0,1
L4,
Гн
30
50
30
20
50
40
50
50
25
20
40
50
10
100
20
30
R5,
Ом
5
25
10
5
100
300
200
10
100
10
100
250
150
50
150
80
80
10
10
20
5
25
15
50
20
30
5
15
10
60
40
60
10
0,5
2
0,5
2,5
5
1,5
1
0,5
1
1
3
1
1,5
1
1,5
1
C5, u¢
6 , В i6¢ , А
мкФ
6
0,05
_
0,06
_
0,08
0,02
0,01
0,06
0,08
_
0,07
0,02
0,05
0,1
_
0,05
L6,
Гн
_
25
_
250
_
_
_
_
_
200
_
_
_
_
150
_
C6,
мкФ
Продолжение табл. 2
10
40
10
35
50
20
10
40
10
30
10
20
40
50
40
20
10
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
R1,
Ом
33
Номер
варианта
50
_
100
_
100
_
40
_
50
_
40
_
_
70
_
50
_
5
_
2
_
4,5
_
2
_
3
_
4
3
_
4
_
Em, В Jm, А
1
180
60
0
–90
45
0
–45
90
0
–30
45
30
800
90
1000 –30
800
314
314
628
400
400
800
314
1000 –90
800
500
400
400
45
ψ,
1
с Град
314
ω,
8
10
30
10
8
10
15
15
15
20
10
10
45
10
10
15
R2,
Oм
_
_
60
80
40
_
60
45
_
_
30
25
_
80
45
-
e2, В
2
2,5
2
_
_
5
4
_
_
6
2
_
_
1
_
_
2
j2, А
30
10
15
24
20
20
10
25
8
15
20
3
25
25
12
20
R3,
Ом
3
0,5
4
0,6
0,05
0,5
0,02
15
0,6
8
0,6
0,04
0,5
0,08
0,6
0,4
8,5
k
8
5
30
10
12
25
20
15
10
15
6
5
20
8
20
10
R4,
Ом
4
0,15
0,1
0,15
0,03
0,08
0,1
0,06
0,12
0,05
0,2
0,15
0,01
0,06
0,02
0,08
0,12
L4 ,
Гн
25
20
40
50
15
100
20
30
20
45
40
26
45
40
60
40
R5,
Ом
5
10
100
250
150
50
150
90
80
30
15
8
100
300
250
100
50
30
5
15
10
60
40
60
10
20
10
20
2
25
15
10
5
1
1
3
1
1,5
4
3
1,6
2
2
0,5
1
5
1,5
1
1
C5, u¢
6 , В i6¢ , А
мкФ
6
_
0,05
_
0,02
0,05
_
0,03
_
0,04
0,1
0,05
0,01
_
_
_
_
L6,
Гн
20
_
250
_
_
300
_
100
_
_
_
_
300
200
200
100
C6,
мкФ
Окончание табл. 2
Коммутация ключей K1 и K2 организует в исследуемой цепи
пять режимов.
Режим 1. Ключи K1 и K2 находятся в исходном для заданного
варианта положении. Блок 1 присоединен к цепи, состоящей из блоков 2, 3, 4, 5, а блок 6 отсоединен от этой цепи. В линейной цепи 1, 2,
3, 4, 5 имеет место установившийся периодический режим под действием гармонического и постоянного во времени источников.
Режим 2. От цепи, находящейся в режиме 1, ключом K1 отсоединяется блок 1 с гармоническим источником. Рассматривается
переходный режим в линейной цепи 2, 3, 4, 5 при отключении блока 1.
Режим 3. Линейная цепь 2, 3, 4, 5 находится в установившемся
постоянном режиме. Он рассчитывается в режиме 2 и может рассматриваться как предел, к которому стремится режим 2.
Режим 4. К цепи 2, 3, 4, 5, находящейся в режиме 3, коммутацией ключа K2 присоединяется нелинейный блок 6. Рассматривается
переходный процесс в цепи 2, 3, 4, 5, 6.
Режим 5. Это установившийся постоянный процесс в нелинейной цепи 2, 3, 4, 5, 6, который можно рассматривать как предел режима 4.
Расчет режима 1 производится на основе принципа наложения
отдельно для постоянного и отдельно для гармонического источников одним из общих методов (токов связей, узловых напряжений).
Выбор метода для каждого из расчетов должен быть обоснован.
Проверку расчета постоянного режима следует провести по балансу мощностей, а гармонического режима – построением векторных диаграмм для комплексных амплитуд токов и напряжений.
Суммируя постоянное и гармоническое решения для тока индуктивности и напряжения емкости и принимая время t=0, получим
независимые начальные условия для режима 2.
Расчет режима 2 производится в классической или операционной формах, причем в последнем случае для поиска оригинала целесообразно применение теоремы разложения. Следует построить
временные зависимости переменных состояния.
Расчет режима 3 производится в рамках режима 2 или непосредственно при закороченных индуктивностях и разомкнутых емкостях, или как следствие теоремы разложения при корне знаменателя, равном нулю.
Расчет режима 4 выполняется на основе решения нелинейных
уравнений состояния одним из методов численного интегрирования.
11
Рекомендуется построить временные зависимости переменных
состояния.
За начальные значения переменных состояния принимают их
установившиеся постоянные величины, определенные в режиме 3.
Расчет режима 5 производится одним из методов анализа нелинейных резистивных цепей. Полученное решение должно численно
совпадать с предельными величинами, к которым асимптотически
стремится решение для режима 4.
Пояснительная записка к курсовой работе должна содержать
следующие элементы:
– титульный лист;
– задание на КР, подписанное преподавателем, в которое входят
номер варианта, схема цепи, построенная на основании табл. 1, и
перечень заданных величин, взятых из табл. 2;
– схема цепи в режиме 1, расчетные схемы для постоянной и гармонической составляющих, расчет постоянной и гармонической
(в комплексных амплитудах) составляющих, баланс мощностей и
векторные диаграммы, суммарные решения для переменных состояния и независимые начальные условия для режима 2;
– схема цепи в режиме 2 и схема установившегося режима или
операционная схема в зависимости от выбранного метода, расчет
режима 2, график временных зависимостей переменных состояния,
начальные условия для режима 4;
– схема цепи в режиме 4, расчет режима 4, временные зависимости переменных состояния;
– схема цепи в режиме 5, расчет режима 5;
– использованные литературные источники.
12
Пример расчета и
методические указания
Методические указания к курсовой работе содержат рекомендации, ориентирующие студента в процессе ее выполнения. Здесь
отсутствует какой-либо систематический справочный материал по
разделам КР. Последний может быть найден в рекомендуемых учебных пособиях или конспекте лекций каждым студентом самостоятельно, что вполне отвечает целям, поставленным в КР. Методические указания иллюстрируются примером анализа гипотетической
схемы (рис. 8), которая не совпадает ни с одним из вариантов КР,
однако близка им по духу и методике анализа.
Заданы: e1 = Em1 sin(ωt + Ψ1 ), j2 = const, e5 = ku3 ;
R1, R2, R3, C3, R4, R5, L5, L6, u6(i6) – график.
Расчет режима 1
Исходная схема (рис. 8) в режиме 1 имеет вид показанный на
рис 9.
V
$
-
,
,
3
F
3
3
F
-
3
3
K
VJ
Рис. 8. Исходная схема
V
$
,
-
3
F
3
3
F
3
3
K
Рис. 9. Исходная схема в режиме 1
13
Расчет постоянной составляющей режима 1
Для расчета постоянной составляющей режима 1, возникающей
под действием постоянного во времени источника j2, закоротим источник e1 и индуктивность L5, а также разомкнем емкость C3. В результате получим схему (рис. 10) для расчета постоянных составляющих всех токов и напряжений, граф которой изображен на рис. 11.
Метод узловых напряжений дает nузл - 1 = 2, а метод токов связей – nветв. - nузл. + 1 = 3 уравнения.
Выбираем первый и составляем уравнения узловых напряжений:
ìua0 (G1 + G2 + G3 ) - ub0 G3 = j2
ï
ï
.
í
ï
ï
îub0 (G3 + G4 + G5 ) - ua0 G 3 = -e5G5
Учитывая, что (рис. 10)
e5 = ku3 = kuab = k(ua0 - ub0 ),
окончательно запишем:
ìïua0 (G1 + G2 + G3 ) - ub0 G3 = j2
ïí
,
ïïîub0 (G3 + G4 + G5 × kG5 ) - ua0 (G 3 -kG5 ) = 0
Gm =
1
, m=1, 2, 3, 4, 5.
Rm
Определив ua0 и ub0, найдем токи, предварительно направив их
на рис. 10.
i1 = G1ua0 , i2 = G2 ua0 , i3 = G3 uab = G3 (ua0 - ub0 ), i4 = G4 ub0 ,
i5 = (ub0 + e5 )G5 = (ub0 + kua0 - kub0 )G5 .
B
B
F
C
B
C
3
3
3
3
K
Рис. 10. Исходная схема
в постоянном режиме
14
3
Рис. 11. Граф схемы
Проверка баланса мощностей должна подтвердить, что суммарная мощность источников равна суммарной мощности, потребленной всеми резисторами:
j2 ua0 - e5 i 5 = i12 R1 + i22 R2 + i32 R3 + i42 R4 + i52 R5 .
Расчет гармонической составляющей режима 1
Для расчета гармонической составляющей режима 1, возникающей от действия гармонического источника e1, разомкнем источник
j2 и перейдем к комплексной схеме (рис. 12), граф которой приведен
на рис. 13. Здесь, в соответствии с рис. 9
E m1 = Em1 e jΨ1 , E m5 = kU m3 ,
Z1 = R1 , Z 2 = R2 , Z3 =
1
1
, Z 4 = R4 ,
=
Y 3 + Y c3 G3 + jωC3
Z5 = R5 + jωL5 .
Несмотря на нерациональность, выберем для демонстрации метод токов связей.
Выберем дерево графа, обозначив его ветви 3 и 4 утолщенными
линиями. Этому дереву соответствуют связи 1, 2, 5 и главные контуры 1, 3, 4; 2, –4, –3; 5, –4.
Уравнения токов связей, составленные для главных контуров,
имеют вид
ìï I ( Z + Z + Z ) - I ( Z + Z ) - I Z = E
ïï m1 1
3
4
m2 3
4
m5 4
m1
ïï
í I m2 ( Z 2 + Z 4 + Z3 ) - I m1 ( Z3 + Z 4 ) + I m5 Z 4 = 0 .
ïï
ïï I m5 ( Z5 + Z 4 ) - I m1 Z 4 + I m2 Z 4 = E m5
ïî
&N ;
&N
;
;
;
;
Рис. 12. Исходная схема в гармоническом режиме
Рис. 13. Граф схемы
15
Учитывая
E m5 = kU m3 = kZ3 I m3
и уравнение ЗТК для главного сечения 3, 2, –1
I m3 + I m2 - I m1 = 0,
последнее уравнение системы запишем в виде
I m5 × ( Z5 + Z 4 ) - I m1 ( Z 4 - kZ3 ) + I m2 ( Z 4 - kZ3 ) = 0.
Определив из решения системы токи связей I m1 , I m2 , I m5 , из
уравнений ЗТК для главных сечений найдем токи дерева:
I m3 = I m1 - I m2 , I m4 = I m1 - I m2 - I m5 ,
а затем напряжения всех ветвей цепи (рис. 12)
U m1 = Z1 I m1 ,
U m2 = Z 2 I m2 ,
U m3 = Z3 I m3 ,
U m4 = Z 4 I m4 ,
U m5 = Z5 I m5 ,
E m5 = kU m3 .
Векторные диаграммы для главных сечений и главных контуров
строятся по законам Кирхгофа на комплексной плоскости.
Определяем гармонические составляющие переменных состояния:
U m3 = U m3 e jΨ3 ® u3 = U m3 sin(ωt + Ψ3 ),
I m4 = Im4 e jΨ4 ® i4 = Im4 sin(ωt + Ψ4 ),
суммируем их с постоянными составляющими u3, i4 (рис. 10) и определяем независимые начальные условия при t = + 0:
u3 (+0) = u3 + U m3 sin Ψ3 ,
i4 (+0) = i4 + Im4 sin Ψ4 .
16
Расчет режима 2 в классической форме
Расчетная схема имеет вид, показанный на рис. 14.
После отключения участка 1 ключом K1 в цепи 2, 3, 4, 5 происходит переходный процесс, который описывается системой уравнений,
состоящей из уравнений элементов и уравнений их соединений:
ìïu2 = R2 i2
ïï
ïïu = R i
33
ïï 3
ïï
du
ïïi3 = C3 3
dt
ïï
ïïu = R i
- уравнения элементов
4 4
ïï 4
ïïu = R i
55
ïï 5
ïí
di
.
ïïuL5 = L5 5
dt
ïï
ïïe = ku
3
ïï 5
ïïu - u - u = 0
4
3
ïï 2
ïïu5 + uL5 - u4 = e5
ïï
- уравнения соединений
ïï-iC 3 - i3 + i4 + i5 = 0
ïï
ïïî- j2 + i2 + i3 + iC 3 = 0
Подставим уравнения элементов в уравнения соединений:
ïìï R2 i2 - R4 i4 - u3 = 0
ïï
ïï R i + L di5 - R i = ku
5
4 4
3
ïï 5 5
dt
ïï
í-C du3 - u3 + i + i = 0 .
ïï 3
4
5
dt
R3
ïï
ïï
ïï- j + i + u3 + C du3 = 0
2
3
ïï 2
R3
dt
ïî
$
,
-
3
F
3
3
F
3
3
K
Рис. 14. Исходная схема в режиме 2
17
i5:
Исключим токи i2, i4, оставив только переменные состояния u3,
i2 = j2 -
u3
du
- C3 3 ,
R3
dt
i4 = -i5 + C3
du3 u3
+
,
dt
R3
æR
ö
ïì
du
R
ïïïC3 ( R2 + R4 ) 3 + ççç 2 + 4 + 1÷÷÷ u3 - R4 i5 = R2 j2
dt
ï
èç R3 R3
ø÷
.
(*)ïíï
ö
du3 çæ R4
di5
ï
÷
ïï-R4 C3
-ç
+ k÷÷ u3 + L5
+ ( R4 + R5 )i5 = 0
ïï
dt çèç R3
dt
ø÷
î
Выберем u3 за неизвестную, для которой будем искать решение
последней системы дифференциальных уравнений в виде
u3= u3УПК + u3св.
Установившаяся после коммутации (УПК) часть решения определяется расчетом цепи (рис. 14) в постоянном режиме при всех закороченных индуктивностях и разомкнутых емкостях (рис. 15).
B
V
3
F LV
C
3
K
3
3
Рис. 15. Установившийся режим после коммутации
Обозначив узлы, запишем систему узловых уравнений:
ìïua0 (G2 + G3 ) - ub0 G3 = j2
ïí
.
ïïîub0 (G3 + G4 + G5 ) - ua0 G3 = -e5G5 = -G5 ku3 = -G5 kuab = -G5 k(ua0 - ub0 )
Определив ua0 и ub0, получаем
u3УПК = ua0 – ub0.
Свободная часть решения для системы 2-го порядка имеет вид
u3св = A1 eα1t + A2 eα 2 t ,
где α1 и α2 – корни характеристического уравнения, составленного
на основе характеристического определителя.
18
Последний образуется из исходной системы уравнений относительно переменных состояния заменой производных на α, неизвестных на 1 и всех источников на 0.
Для нашего примера (*)
æ
ö÷
ççC ( R + R )α + çæç R2 + R4 + 1÷÷ö
÷÷
-R4
÷÷
4
çç 3 2
çèç R
÷÷
R3
ø
3
ç
÷÷ =
∆хар = çç
÷
æ R4
ö÷
çç
÷÷
çç
-R4 C3 α - ççç
+ k÷÷
L5 α + R4 + R5 ÷÷÷
èç R3
ø÷
èç
ø÷
æa
a12 ö÷
÷ = a11 a22 - a12 a21 = 0
= çç 11
çè a21 a22 ÷÷ø
– характеристическое уравнение.
Первое произведение содержит вторую, первую и нулевую степени α, а второе – первую и нулевую. Таким образом, мы получили
квадратное уравнение вида α 2 + 2δα + ω02 = 0, где δ и ω0 легко найти, рассматривая ∆хар.
Корни характеристического уравнения равны
α1,2 = -δ ± δ 2 - ω02
и могут быть отрицательными вещественными или комплексными
сопряженными числами.
После определения корней следует записать решение с точностью до постоянных интегрирования A1 и A2:
u =u
+ A eα1 t + A eα 2 t .
3
3УПК
1
2
Последние определяются из независимых начальных условий
u3(+0) и i5(+0), найденных ранее в режиме 1.
ïìïu3 (+0) = u3УПК + A1 + A2
ïï
ïæç du3 ö÷
.
= α1 A1 + α 2 A2 =
ïïïçç
÷÷
íè dt øt=+0
ïï
æR
ö
ïï
R
1
ï=
( R2 j2 + R4 i5 (+0) - ççç 2 + 4 + 1÷÷÷ u3 (+0)
ï
÷
ïïî C3 ( R2 + R4 )
èç R3 R3
ø
Последнее из уравнений вытекает из первого уравнения системы
(*) для переменных состояния.
Если корни α1 и α2 вещественные числа, то решение имеет вид
u =u
+ A eα1 t + A eα 2 t ,
3
3УПК
1
2
19
где A1 и A2 – тоже вещественные числа.
Если α1 и α2 сопряженные комплексные числа вида
α1,2 = -δ + iω св , то A1=Aeiψ и A2=Ae–iψ и решение будет иметь вид
затухающей гармоники:
u3 = u3УПК + 2 Ae-δt cos(ω св t + ψ ).
В любом из этих случаев для определения другой переменной
состояния следует использовать исходные уравнения цепи, в частности
é
ù 1
æR
ö
du
R
i5 = êêC3 ( R2 + R4 ) 3 + çç 2 + 4 + 1÷÷÷ × u3 - R2 j2 úú ×
.
ç
dt
è R3 R3
ø÷
ëê
ûú R4
Обе функции u3(t) и i5(t) следует построить в виде графиков, начальные значения которых должны совпасть с независимыми начальными условиями.
Величины u3УПК и i5УПК соответствуют режиму 3 и являются независимыми начальными условиями для режима 4.
Расчет режима 2 в операционной форме
Этот расчет начинается с построения операционной схемы
(рис. 16), которая соответствует цепи, образовавшейся после коммутации.
;-
;$
&Q
B
*Q
&-
;
;
;
;
C
Рис. 16. Операционная схема цепи
Здесь I2(p) = j2/p, E5(p) = kU3(p) – операционные изображения источников;
IC = C3u3(+0), EL = L5i5(+0) – дополнительные источники, появление которых в операционной схеме связано с независимыми началь20
ными условиями, причем EL совпадает по направлению с i5(+0), а IC
противоположно u3(+0);
Z2(p) = R2, Z3(p) = R3, ZC3(p) = 1 / pC3, Z4(p) = R4, Z5(p) = R5, ZL5(p)=
= pL5 – операционные сопротивления.
Операционные уравнения цепи составляются по тем же алгоритмам, что и у резистивных цепей или в комплексных амплитудах.
Удобно искать ту переменную состояния, которая управляет источником E5, т. е. u3.
Поэтому составляем операционные уравнения узловых напряжений, обозначив на рис. 16 узлы так, что U3=Ua0
ìïU a0 (Y2 + Y3 + YC 3 ) - U b0Y2 = I2 + IC
ïï
ïí
E + E5 .
1
ïïU b0 (Y2 + Y4 +
) - U a0Y2 = -I2 + L
Z5 + ZL5
Z5 + ZL5
ïîï
Здесь и далее для удобства записи опущен признак изображения
1
1
(p). Операционные проводимости Y2 =
=
= G2 , Y3=G3, Y4=G4,
Z
R
2
2
Y =pC .
C3
3
Учитывая E5=kU3=kUa0 и принятые обозначения,
ìï
ïïU a0 (G2 + G3 + pC3 ) - U b0 G2 = j2 + C3U3 (+0)
ïï
p
ïï
íU b0 [(G2 + G4 )( R5 + pL5 ) + 1]- U a0 [G2 ( R5 + pL5 ) + k] = .
ïï
ïï - j2 ( R5 + pL5 ) + pL5 i5 (+0)
ïï=
p
ïî
Исключив Ub0, отметим, что Ua0 имеет вид правильной дроби,
числитель и знаменатель которой – полиномы второй степени оператора p, кроме того, знаменатель имеет множитель p.
Обозначив такую дробь
U a0 ( p) = U3 ( p) =
a p2 + a1 p + a0
A( p)
= 2
B( p) p(b2 p2 + b1 p + b0 )
и применив теорему разложения, получим
u3 (t ) =
n
A( p )
å B '( pk ) e
k=1
ρkt
,
k
где pk – корни уравнения B(p)=0,
21
b1
b1 2 b0
p1=0, p2,3 = - 2b ± ( 2b ) - b ,
2
2
2
B '( pk ) =
dB
dp
p
= pk
= 3b2 p 2 + 2b1 p + b0
p
= pk
Окончательно
u3 (t ) =
a0
a p2 + a1 p2 + a0 p2t
a p2 + a1 p3 + a0 p3t
+ 2 2
e
+ 2 3
e .
b0 3b2 p22 + 2b1 p2 + b0
3b2 p32 + 2b1 p3 + b0
Обозначая множители при ept D2 и D3 соответственно, для вещественных p2 и p3 имеем
u3 (t ) = u3УПК + D2 e p2 t + D3 e p3 t ,
а для комплексных сопряженных
p2,3 = -δ ± jω св ,
D1 = De jψ , D2 = De- jψ
и
u3 (t ) = u3УПК + 2 De-δt cos(ω св t + ψ ).
Как и в классической форме анализа для режима 3, имеем
u3УПК.
Определение другой переменной состояния производится из
уравнений цепи
é
ù 1
ö
du (t ) æ R
R
i5 (t) = êêC3 ( R2 + R4 ) 3 + çç 2 + 4 + 1÷÷÷ u3 (t ) - R2 j2 úú
.
ç
÷ø
dt
è R3 R3
ëê
ûú R4
Расчет нелинейного переходного процесса 4
Этот расчет следует начинать с составления уравнений состояния для цепи, образовавшейся после коммутации ключа K��������
���������
2 и присоединения к цепи 2, 3, 4, 5 нелинейного блока 6 (рис. 17).
Граф этой цепи построен на рис. 18, причем все емкости находятся в дереве, а индуктивности – в связях. Исходные уравнения пред22
$
$
-
3
K
3
3
3
F
3
-
-
3
VJ
Рис. 17. Нелинейный переходный процесс
Рис. 18. Граф цепи
ставляют собой совокупность уравнений элементов и уравнений их
соединений:
ü
ï
ï
i2 = u2G2 + j2 ï
ï
ï
ï
ï
iR3 = G3 u3
ï
ï
ï
ï
du3
ï
iC 3 = C
ï
ï
dt
ï
ï
ï
u4 = R4 i4
ï
ï
ï
u5 = R5 iR5
ý - уравнения элементов (*);
ï
ï
diL5 ï
ï
uL5 = L5
ï
ï
dt
ï
ï
ï
e5 = ku3
ï
ï
ï
ï
di6
ï
uL6 = L6
ï
ï
dt
ï
ï
u6 (i6 ) - графикï
ï
ï
þ
iC 3 + iR3 - i2 = 0ïüï
ï
i4 + iL5 - i2 = 0 ïý - уравнения ЗТК для главных сечений(**);
ï
iR5 + i6 - iL5 = 0ïïïþ
ïüï
ï уравнения ЗНК
uL5 + u5 - u4 = e5 = ku3 ïý ;
ïï для главных контуров (* * *)
ïïþ
uL6 + u6 - u5 = 0
(*) üïï
ï
(**) ïý - исходные уравнения цепи.
ï
(* * *)ïïïþ
u2 + u3 + u4 = 0
23
Подставим уравнения элементов в уравнения соединений для
главных сечений и главных контуров:
ìï du3
ïïC
+ u3G3 - u2G2 - j2 = 0
ïï dt
ïï
ïïi4 + iL5 - u2G2 - j2 = 0
ïïi + i - i = 0
L5
ïï R5 6
.
íu2 + u3 + i4 R4 = 0
ïï
ïï diL5
ïï L5
+ iR5 R5 - i4 R4 = ku3
ïï
dt
ïï di
6
ïï L
+ u6 (i6 ) - iR5 R5 = 0
ïïî 6 dt
Из образовавшейся системы исключим все переменные, кроме
переменных состояния u3, iL5, i6:
ìï
ïï L
ïï 6
ïï
ï
í L5
ïï
ïï
ïïC
ïï 3
ïî
di6
+ u6 (i6 ) - R5 (iL5 - i6 ) = 0
dt
diL5
du
.
+ (iL5 - i6 ) R5 + R4 (iL5 + C3 3 + u3G3 ) - ku3 = 0
dt
dt
é
ù
du3
di
+ u3G3 - G2 ê-u3 + ku3 - L5 L5 - (iL5 - i6 ) R5 ú - j2 = 0
ê
úû
dt
dt
ë
Наконец, приведем полученные уравнения к нормальной форме
уравнений состояния, которая в общем виде для данной системы
выглядит так:
ìï di6
ïï
= f6 (i6 , u3 , iL5 )
ïï dt
ïï
ï du3 = f (i , u , i ) .
í
3 6 3 L5
ïï dt
ïï
ïï diL5 = f (i , u , i )
5 6 3 L5
ïï dt
î
Решение этой нелинейной системы может быть реализовано на
основе одного из численных методов. Простейший из них, метод
Эйлера, представляет собой следующую последовательность действий.
Исходная система дифференциальных уравнений переводится в
разностную форму
24
ìï∆i6 = f6 (i6 , u3 , iL5 )h
ïï
ïí∆u = f (i , u , i )h ,
6 6 3 L5
ïï 3
ïï∆iL5 = f6 (i6 , u3 , iL5 )h
îï
æ1
1 ö÷
где шаг интегрирования h выбирается как малая часть çç 
çè10 100 ÷÷ø
меньшей постоянной времени
1
1
, или τ3 =
,
τ2 =
p3
α2
если корни α2 или p3 – вещественные и периода затухающих колебаний
Tсв =
2Π
,
ω св
если корни α1, α2 или p2, p3 – сопряженные комплексные числа.
И в том, и в другом случае рассматриваются корни характеристического уравнения, рассчитанные в режиме 2.
Алгоритм численного решения для k-го шага расчета имеет вид
ìïi = i
6,k-1 + f6 (i6,k-1 ; u3,k-1 ; iL5,k-1 )h
ïï 6,k
ïíu = u
3,k-1 + f3 (i6,k-1 ; u3,k-1 ; iL5,k-1 )h .
ïï 3,k
ïïiL5,k = iL5,k-1 + f5 (i6,k-1 ; u3,k-1 ; iL5,k-1 )h
îï
Для первого шага (k=1) расчета используются начальные условия
u3,0 = u3УПК, iL5,0 = iL5,УПК,
взятые из режима 2 как постоянные установившиеся части решений для u3 и iL5, а также i6,0=0, так как участок 6 до коммутации
ключа K2 был отключен от цепи.
Величина u6,k–1 = u6(i6,k–1), входящая в функцию f6(i6,k–1; u3,k–1;
iL5,k–1), может быть взята из графика заданной нелинейной характеристики u6(i6) или исключена из рассмотрения, если нелинейную
характеристику заменить аппроксимирующей формулой типа
u6 (i6 ) = a1i6 + a3 i63 ,
где коэффициенты аппроксимации a1 и a3 находятся из точек, взятых в диапазоне u6 = 0 ÷ u5УПК, если 5 и 6 участки параллельны;
25
i6 = 0 ÷ i5УПК, если 5 и 6 участки последовательны; u5УПК, i5УПК взяты из расчета режима 2.
Расчет нелинейного постоянного режима 5
Этот расчет производится для схемы рис. 19, полученной из рис.
17 размыканием всех емкостей и замыканием накоротко всех индуктивностей.
Эта нелинейная резистивная цепь с одним нелинейным элементом может быть рассчитана графоаналитически, если характеристику линейного двухполюсника 2, 3, 4, 5 построить по двум точкам (холостого хода и короткого замыкания), рассчитанными аналитически.
Напряжение холостого хода u6XX определяется из уже выполненного расчета схемы на рис. 15 методом узловых напряжений как
u6XX = u5 = e5 + ub0 = ku3 + ub0= kuab + ub0 = k (ua0 – ub0) + ub0.
Ток короткого замыкания i6КЗ находится из расчета схемы на
рис. 20. Метод узловых напряжений дает следующий результат:
ua0(G2+G3) – ub0G3 = j2,
ub0 = –e5 = –kuab = – k(ua0 –ub0);
i3 =
ua0 - ub0
u
, i4 = b0 , i6КЗ = i3 - i4 .
R3
R4
3
K
F
3
3
3
VJ
Рис. 19. Нелинейный постоянный режим
3
B
K
3
3
F
C
J £ Рис. 20. Режим короткого замыкания
26
V
V J
ƾÄÁÆ
V99
V
J£
J
J
V J
ÄÁ
Æ
Рис. 21. Графический расчет нелинейного постоянного режима
Окончательное решение для режима 5 определяется в точке пересечения, рассчитанной линейной характеристики u6(i6)лин и заданной нелинейной характеристики u6(i6)нел (рис. 21).
Остальные переменные состояния в режиме 5 могут быть рассчитаны общими методами, если в схеме (рис. 19) заменить нелинейный элемент 6 источником тока j6 = i6 (рис. 22) или источником напряжения e6 = u6 (рис. 23)
Так, для схемы (рис. 22) определяя токи связи i3 и i5, получим
систему уравнений
ì
ï
ïi3 (R3 + R2 + R4 ) – i5 R4 = R2 j2 ,
í
ï
ï
ï
îi5 (R5 + R4 ) – i3 R4 = e5 + j6 R5
e5 = ku3 = kR3i3,
3
D
K
F
C
3
3
B
3
K
B
B
Рис. 22. Расчет линейной части нелинейной цепи
3
D
K
3
3
B
F
C
B
3
F
B
Рис. 23. Расчет линейной части нелинейной цепи
27
в результате решения которой найдем i3 и i5.
И для схемы (рис. 23) целесообразно использовать метод узловых
напряжений:
uc0(G2 + G3) – ub0G3 – ua0G2 = j2,
ua0 = –e6,
ub0 = –e5 = –ku3 = – kucb = –k(uc0 – ub0).
Определив узловые напряжения, найдем
u3 = uc0 – ub0,
i5 =
28
(uc0 – ub0 )
R3
+
(ua0 - ub0 )
R4
.
Рекомендуемая литература
1. Линейные электрические цепи. Установившиеся режимы:
учеб. пособие / Б. А. Артемьев, С. И. Бардинский, В. В. Колесников
и др. 2-е изд., испр. и доп. СПб.: ГУАП, 1999. 108 с.: ил.
2. Теоретические основы электротехники. Анализ переходных
процессов в линейных цепях: учеб. пособие / В. В. Колесников, М.
Е. Куцко, В. В. Лукашев и др. 2-е изд., испр. и доп. СПб.: ГУАП,
1999. 98 с.: ил.
3. Теоретические основы электротехники: метод. указания к
курсовой работе / Б. А. Артемьев, В. А. Атанов, В. В. Колесников и
др.; ЛИАП. Л., 1989. 80 с.: ил.
29
Содержание
Введение................................................................... Содержание работы.................................................... Пример расчета и методические указания ..................... Расчет режима 1.............................................. Расчет постоянной составляющей режима 1........ Расчет гармонической составляющей режима 1... Расчет режима 2 в классической форме............... Расчет режима 2 в операционной форме ............. Расчет нелинейного переходного процесса 4 ........ Расчет нелинейного постоянного режима 5 ......... Рекомендуемая литература......................................... 30
3
4
13
13
14
15
17
20
22
26
29
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 426 Кб
Теги
artemev
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа