close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Astratov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
О. С. Астратов
ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РАДИОСИГНАЛОВ И ПОМЕХ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2017
УДК 621.396.6:681.3
ББК 384.02.05
Б68
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент В. В. Саломасов;
кандидат технических наук, доцент В. Н. Жемчугов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Астратов, О. С.
Б68Цифровое моделирование радиосигналов и помех: учеб.
пособие / О. С. Астратов. СПб.: ГУАП, 2017. – 69 с.
ISBN 978-5-8088-1227-7
Рассмотрены основные методы моделирования радиосигналов и
помех, применяемые при анализе работы различных радиотехнических устройств и систем. Особое внимание уделено наиболее часто
применяемым методам – методу нелинейного преобразования обратного функции распределения, методу Неймана, методу кусочной аппроксимации, методам моделирования случайных процессов. Проводится их сравнительный анализ, показаны особенности реализации
каждого из методов. Даны конкретные примеры применения рассмотренных методов.
Пособие предназначено для студентов радиотехнических специальностей, обучающихся по направлению «Радиотехника», а также
по профилям «Радиоэлектронные системы», «Аудиовизуальная техника». Приведённый материал будет полезен студентам очного, вечернего и заочного обучения.
УДК 621.39.029
ББК 32.884
ISBN 978-5-8088-1227-7
©
©
Астратов О. С., 2017
Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2017
ВВЕДЕНИЕ
Анализ развития радиотехнической аппаратуры показывает,
что на протяжении многих лет происходит непрерывное повышение требований к характеристикам радиосистем (повышение
качества), рост числа выполняемых функций (многофункциональность), резкое аппаратурное и схемотехническое усложнение (сложность). В результате в настоящее время возникли проблемы, трудно разрешимые традиционными методами. Такими
проблемами являются, прежде всего, построение оптимального
варианта проектируемой системы, удовлетворяющего ряду противоречивых требований, сокращение разрыва между увеличивающимися сроками проектирования и быстрыми темпами
морального старения действующих радиосистем, и, наконец,
снижение больших экономических и трудовых затрат при проектировании, испытаниях и доводке радиотехнических систем.
Решение этих проблем возможно лишь при широком использовании систем автоматизированного проектирования (САПР).
Как организационно-техническая система САПР представляет
собой сложный комплекс технических, программных, организационных, информационных и методических средств и мероприятий. Важнейшими этапами САПР являются моделирование и оптимизация, причем эффективность этих этапов и САПР
в целом в значительной степени определяется правильностью
выбранных моделей. На этапе моделирования обычно решаются
следующие задачи [1]:
– обоснование технических требований к радиотехническим
системам и их частям;
– сравнительная оценка возможных вариантов;
– выбор рациональных технических решений для систем и
подсистем;
– анализ работы принятых структур, построение рабочих характеристик в экстремальных условиях работы;
– отработка систем и подсистем с учетом новых данных, знаний, реальных условий эксплуатации;
– предварительная оценка эффективности применения создаваемой системы.
Преимущества метода цифрового моделирования:
– универсальность и доступность;
– возможность решения задач высокой сложности;
3
– простота организации машинного исследования;
– высокая точность и близость получаемых результатов к натурному эксперименту;
– быстрота и экономичность получения результатов и др.
В общем случае функциональная схема алгоритма имитационного цифрового моделирования может быть разбита на три основных блока:
– алгоритм формирования внешних воздействий и реализаций входных сигналов и шумов;
– алгоритм функционирования исследуемой системы;
– алгоритм обработки и интерпретации результатов моделирования.
Как видим, при цифровом моделировании задача получения
входных воздействий является первостепенной и от её успешного решения в значительной степени зависит успех моделирования в целом. Особенность задачи моделирования входных воздействий состоит в том, что в отличие от обычных форм представления, использующихся при аналитических методах решения, при имитации входные реализации выражаются в явном
виде. Задача цифрового имитационного моделирования, таким
образом, сводится к нахождению способов и алгоритмов формирования в цифровом виде дискретных реализаций входных воздействий, адекватных воздействиям при натурных испытаниях
или эксплуатации.
В предлагаемом пособии в сжатой форме рассмотрены возможные способы решения сформулированной задачи при моделировании радиотехнических систем.
4
1. ЦИФРОВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
1.1. Модели радиосигналов
Математическая форма представления радиосигналов и помех,
как сигналов непрерывных, отличается от формы представления
сигналов в ЦВМ. Радиосигнал x(t) представляет собой непрерывную функцию непрерывного аргумента t, т. е. значения функции
x(t) могут изменяться в произвольные моменты времени, принимая любые величины из континуума возможных значений в некотором интервале (xmin ,xmax). В основе возможности перехода от
непрерывного сигнала к цифровому сигналу лежит кардинальный
принцип теории информации: конечной информативности непрерывного сигнала [2]. Любой радиосигнал несет в себе лишь конечное количество информации. Цифровой сигнал принципиально
является лишь приближенной моделью непрерывного сигнала.
Точная копия невозможна для реальных сигналов, но в ней, как
следует из теории, и нет необходимости. Для преобразования непрерывного (аналогового) сигнала в цифровую форму необходимо
провести две операции: дискретизацию и квантование, т. е. провести замену континуума значений исходной непрерывной функции
ограниченным числом отсчетов на конечном интервале времени
при фиксированной разрядности значений.
В основе дискретизации непрерывных сигналов лежит возможность их представления в виде взвешенной суммы значений, взятых в дискретные равноотстоящие моменты времени
nT. В результате дискретизации реализация непрерывного сигнала превращается в последовательность равноотстоящих отсчетов, непрерывных по величине x(nТ).
Процесс квантования преобразует непрерывные по амплитуде отсчеты в дискретные отсчёты, представленные каким-либо
кодом, например двоичным. Безусловно, проведение указанных
преобразований приводит к возникновению погрешности. Однако изменяя параметры дискретизации и квантования, можно
добиться любой, наперёд заданной точности представления исходного непрерывного сигнала x(t) соответствующей цифровой
последовательностью x[n]. Эту последовательность x[n] в дальнейшем и будем называть моделью радиосигнала, помехи или
результата их взаимодействия.
5
1.2. Дискретизация
Идеальную дискретизацию (взятие мгновенных отсчетов)
можно рассматривать как модуляцию периодической последовательности единичных импульсов (δ – функций) по амплитуде
сигналом x(t):
fí (t=
)
∞
∑
δ(t − nT).
n =−∞
Тогда дискретизированный сигнал x*(t) можно записать
в виде:
=
x* (t) x(t=
)fí (t)
∞
∑
x(t)δ(t − nT),
n =−∞
где Т – период дискретизации.
В основе процесса дискретизации лежит теорема отсчетов:
если функция x(t) не содержит частот выше 0,5/Т Гц, то она полностью определяется своими ординатами (отсчетами), взятыми
с периодом Т. Частота fг = 0,5/Т называется граничной частотой
спектра сигнала. Таким образом, сигналы с ограниченным спектром полностью определяются счетным множеством отсчетов.
Спектр дискретизированного сигнала будет иметь следующий
вид [2]:
=
Sä (ω)
1 ∞
∑ S(ω − 2nωã ),
T n =−∞
где S(ω) – спектр исходного сигнала (рис. 1, а).
Из рис. 1 видно, что спектр дискретизированного сигнала
представляет собой спектр исходного сигнала, который повторяется на частотах nωд (рис. 1, б). Периодичность этого спектра
и его связь о исходным спектром хорошо видна на рис. 1, б, где
Tд = 1/Fд.
Для восстановления сигнала в первоначальном и непрерывном виде необходимо пропустить дискретизированный сигнал
через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза не менее fГ и частотной характеристикой вида (рис. 2).Тогда свертка
последовательности отсчетов и импульсной характеристики дадут исходный и непрерывный сигнал x(t). Таким образом, идеальное восстановление сигнала возможно лишь при выполнении следующих условий:
6
a) x
S
0
б)
– wг
t
0
wг w
x
Sд
0
t
– wд
0
wд
w
Tд
Рис. 1. Спектры исходного (а)
и дискретизированного (б) сигнала
K(ω)
АЧХ идеального ФНЧ
АЧХ реального ФНЧ
0
ω
2π fг
Рис. 2. АЧХ фильтра НЧ
– сигнал имеет бесконечно большую длительность;
– отсчеты представляют собой бесконечно короткие импульсы;
– фильтр имеет бесконечно крутой срез амплитудно-частотной характеристики при бесконечно большом затухании вне полосы прозрачности.
Реальные условия отличаются от перечисленных нами. Прежде всего, конечная длительность реальных сигналов приводит
к их бесконечному спектру, что означает при фиксированной
7
Sд(F)
– Fд
0
Fд
F
Рис. 3. Перекрытие спектров
частоте дискретизации появление перекрытий спектров у дискретизированного сигнала (рис. 3), а значит, к появлению искажений.
Уменьшения искажений при дискретизации реальных сигналов можно добиться следующими способами:
– увеличением частоты дискретизации, что уменьшает область перекрытия спектров;
– предварительной фильтрацией исходного сигнала с помощью фильтра нижних частот с целью ослабления гармоник высших частот спектра исходного сигнала;
– уменьшением длительности импульса взятия отсчета τи до
величины τи << Tд.
1.3. Квантование
Для окончательного преобразования непрерывного сигнала
в цифровую форму необходимо провести квантование по амплитуде отсчетов сигнала, т. е. перейти от шкалы с континуумом
значений к шкале с конечным числом уровней сигнала в заданном диапазоне значений. Квантование, очевидно, должно проводиться таким образом, чтобы с одной стороны, обеспечить
требуемую точность (приемлемость) представления сигнала, а
с другой стороны, – чтобы требуемое для этого число уровней
квантования было минимальным. Процесс квантования для
реальных сигналов осуществляется с помощью специальной нелинейной схемы – квантизатора. Амплитудная характеристика
его является ступенчатой функцией (рис. 4), поскольку некоторому интервалу входных значений сигнала соответствует одно
дискретное значение выходного цифрового сигнала. Амплитуд8
X(t)
x(t)
ε(t)
λ0
λ0
Рис. 4. Характеристика квантователя
ную характеристику квантизатора с равномерной шкалой квантования можно выразить аналитически:
{
}
=
xö entire xλ0−1 + 0,5sign(x) ,
где xц – дискретные цифровые значения выходного сигнала; λ0 –
шаг квантования.
В общем случае характеристика квантования определяется
существом решаемой задачи, а шаг квантования может быть и
переменным. Рассмотрим ряд практических примеров.
При передаче телеметрических данных по цифровым каналам связи и их обработке на ЦВМ в большинстве случаев ставится задача возможно более точного представления исходного
сигнала. Количество уровней квантования ввиду таких требований выбирается значительным (до нескольких сотен), а шкала квантования – равномерной.
В задаче обнаружений радиолокационного сигнала на фоне
шумов возможно применение предельно грубого квантования
(двоичного). Статистический анализ показывает, что выигрыш
в пороговом отношении сигнала к шуму по мощности при многоуровневом квантовании по сравнению с двоичным квантованием не превышает 1 дБ [3].
Простейшим критерием оценки помехи квантования, равной
разности между входным и выходным после квантизатора сиг9
налами, может являться критерий незаметности шума. В этом
случае приемлемым будет такое квантование, когда уровень помехи квантования не превосходит некоторого порогового допустимого значения ∆ независимо от размаха сигнала. Принятие
такого критерия означает задание абсолютной точности квантования. Поскольку при равномерной шкале квантования максимальный размах помехи квантования не превосходит ± 0,5λ0 во
всём диапазоне значений сигнала (рис. 4), то для нашего случая
такое квантование будет приемлемым при условии, что 0,5λ0 < ∆.
В случае предельного значения 0,5∆0 = ∆ требуемое число уровней квантования m будет
m=
xmax − xmin
.
2∆
Распространенной в практике преобразования сигнала является ситуация, когда задаётся не абсолютная точность воспроизведения сигнала, а относительная. В этом случае помеху
квантования можно считать незаметной, если относительная
величина ошибки квантования не превышает допустимой величины ∆. При этом равномерное квантование уже будет неприемлемым, так как при больших уровнях сигнала ошибка
квантования (а значит и шаг квантования) могут быть увеличены без ущерба для верности воспроизведения. Последнее означает, что выгоднее использовать квантизатор с неравномерной
шкалой квантования; при этом шаг квантования изменяется
в зависимости от величины сигнала. Как показано в работе
[4], в этом случае оптимальной (получается наименьшее число
уровней квантования) является логарифмическая шкала квантования.
Рассмотрим помеху квантования для наиболее часто встречающегося на практике (ввиду простоты реализации) равномерного квантования.
Квантованный сигнал можно представить в следующем виде:
=
xö x(t) − n(t),
где n(t) – помеха квантования.
Как показывает анализ работы [2], при (λ0 /σ) < 1 (где σ2 – дисперсия входного сигнала) среднее значение помехи квантования
M{n} = 0, а дисперсия σ2 {n} = λ0/12. Кроме того, при указанных ус10
ловиях с большой точностью можно полагать помеху n(t) равномерно распределенной в интервале квантования λ0.
Коэффициент корреляции помехи квантования пропорционален коэффициенту корреляции входного сигнала R(x) и отношению λ0/σ. Однако даже при λ0/σ = 1 помеха квантования
практически не коррелирована, если R(x) < 0,9. Кроме того, при
λ0/σ < 1 взаимная корреляция сигнала x(t) и помехи n(t)практически отсутствует. Поэтому в большинстве случаев учет влияния помехи квантования можно проводить без учета воздействия сигнала. Таким образом, спектр помехи квантования много шире спектра исходного сигнала и расширяется более или менее пропорционально m [2]. Поэтому в пределах спектра частот
сигнала при достаточно большом числе уровней квантования m
спектр помехи квантования можно считать равномерным.
11
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2.1. Базовые случайные последовательности
Из теории информации известно, что как полезный сигнал,
так и шум должны рассматриваться как случайные процессы.
При этом вопрос о том, является ли отдельно взятый временной
процесс сигналом или помехой, решается в каждом конкретном
случае отдельно. В одних случаях полезным, информативным
является сигнал, в другом случае – помеха, шум. Рассмотрим
вопрос моделирования на ЦВМ случайных процессов, являющихся математическими моделями радиосигналов, радиопомех, шумов и их комбинаций. В случае, когда сигнал является
детерминированным, задача построения алгоритма формирования дискретной последовательности, соответствующей этому
сигналу, чаще всего не вызывает затруднений [4].
Математические модели случайных сигналов очень разнообразны. Целью же цифрового моделирования является воспроизведение на ЦВМ случайной последовательности, адекватной
рассматриваемому сигналу в явном виде, как конкретной реализации x[n] с дискретным временем и любой наперед заданной
точностью. Задача моделирования состоит здесь в отыскании
алгоритмов, позволяющих формировать цифровые реализации
моделируемых сигналов. В общем случае эта задача решается
в два этапа: формируется последовательность независимых случайных чисел с равномерным распределением тем или иным
методом и осуществляется преобразование этой последовательности в последовательность с заданными статистическими характеристиками. Последовательность, формируемая на первом
этапе, является источником случайности при моделировании и
называется базовой случайной последовательностью.
При выборе вида исходной базовой совокупности случайных
чисел учитываются два условия: минимальные затраты машинного времени на образование каждого числа, простота и удобство дальнейших преобразований.
Практика показала [5], что этим требованиям в наибольшей
мере удовлетворяет совокупность случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Основные параметры такой последовательности следующие:
12
– закон распределения
 1, 0 ≤ x ≤ 1
f (x) = 
;
0, x < 0, x > 1
– функция распределения
 0, x < 0

F (=
x) ∫ f (u)du
= x, 0 ≤ x ≤ 1;
 1, x > 1
0

x
– математическое ожидание
=
M {x}
1
xf (x)dx
∫=
0,5;
0
– дисперсия
1
2
1 .
D {x} =
∫ (x − M {x}) f (x)dx =
12
0
На ЦВМ реализации базовой случайной последовательности формируются с помощью специальной программы. В основе
всех современных способов получения случайных последовательностей программным методом лежит некоторый рекуррентный алгоритм. Это значит, что каждое последующее число εn последовательности образуется из предыдущего εn–1 или группы
к предыдущих чисел путем применения некоторого алгоритма
εn = Ô(εn −1, εn −2 ,..., εn −k ).
Поскольку алгоритм жесткий и разрядность чисел ограничена, получаемые числа не являются чисто случайными: зная
любое число последовательности, можно по известному алгоритму предсказать последующее. Однако полученная таким образом последовательность ведет себя как случайная, т. е. обладает
статистическими свойствами случайной последовательности
чисел. В силу указанных причин эти последовательности получили название псевдослучайных последовательностей. По сравнению с табличным методом, методом физических датчиков получения случайных последовательностей программный метод
имеет ряд достоинств:
13
L
α 1 α 2 α 3…….. αL–l …… α L……… α L+l …….α L+2l…..
l
l
l
Рис. 5. Псевдослучайность последовательности
– свойства подобной последовательности можно заранее проверить и с уверенностью применять;
– для сравнения различных вариантов задачи легко получить повторяемость реализаций, задавая одни и те же начальные значения;
– алгоритмы для формирования псевдослучайных последовательностей просты, программы экономичны.
Но для формирования каждого числа программным методом требуется определенное машинное время и, кроме того, эти
последовательности имеют конечный период. Пусть некоторой
программой вырабатывается последовательность псевдослучайных чисел α (рис. 5).
Первые L чисел, начиная с α1, попарно различны, а число αL+1
совпадает с одним из ранее полученных αi. Тогда последовательность чисел в cилу указанных причин, начиная с αi и кончая aL,
в дальнейшем будет повторяться; числа α1, …, αL образуют отрезок апериодичности длиной L, а числа αi, …, αL – отрезок периодичности длиной l = L–i + 1, Величина l носит название периода
последовательности.
Учитывая особенности машинного моделирования, сформулируем основные требования к алгоритмам формирования базовых псевдослучайных последовательностей:
– совокупность формируемых чисел должна отвечать установленным критериям проверки на случайность и равномерность распределения;
– между числами последовательности должна существовать
весьма малая корреляционная связь;
– количество операций, необходимое для вычисления каждого числа должно быть, возможно меньшим;
– период последовательности желательно иметь, возможно
больший.
14
а)
б ) x n+1
α n+1
1
y=Ф (x)
1
xi+1
xi+2
0
0
αn
xi+2 xi+1xi 1
xn
Рис. 6. Распределение случайных чисел
Рассмотрим свойства, которыми должна обладать функция
связи последующего числа с предыдущими числами при формировании базовой последовательности чисел. Возьмем последовательность действительно случайных чисел α1,α2 , …, αn и сформируем на основе ее последовательность следующих пар (α1, α2),
(α2, α3)… Если эти пары отложить в системе координат X, Y, то
точки плоскости, соответствующие этим парам, равномерно
распределяются в единичном квадрате (рис. 6, а).
Для гладкой непрерывной функции связи xn+1 = Ф(xn) подобные пары с координатами (xi, xi+1) будут давать точки на плоскости
не в разбросанном виде, а попадут на кривую у = Ф(х) (рис. 6, б).
Таким образом, можно предположить, что функция связи
должна быть разрывной и разбрасывать точки с координатами
(xi, xi+1) по всей плоскости единичного квадрата.
Одними из наиболее часто используемых методов генерации
псевдослучайных чисел являются различные модификации так
называемого линейного конгруэнтного метода, схема которого предложена Д. Г. Лемером (Derrick Henry Lehmer) в 1949 г.:
xn+1 = (axn + c) modm, где m – модуль; a – множитель; c – приращение; mod – операция взятия остатка от деления. Причем
m > 0, 0 < a ≤ m, 0 < c ≤ m также задается начальное значение x0:
0 < x0 ≤ m. В нашем случае алгоритм выглядит следующим образом:
αn +1 =
( Aαn + B ) mod m,
где А и В – большие числа, а m равно 1.
15
а)
б)
Д(Аαn -В)
αn+1
1
αn+1
αi+1
αi+2
αi+3
αi+2
0
αn
αi+1
1
0
Д(5αn )
αi+1
αi+2
αn
Рис. 7. Алгоритм Лемера
Подобный алгоритм называется смешанным, а алгоритм
вида
αn +1 =( Aαn ) mod m
называется мультипликативным. На рис. 7, а наглядно представлен характер зависимости Лемера, а на рис. 7, б влияние
коэффициента А на степень разбросанности последовательно получаемых точек на плоскости соответствующих пар последовательности чисел.
Исследование свойств последовательностей, получаемых
с помощью алгоритма Лемера, показывает, что эти последовательности действительно имеют равномерное распределение,
числа в последовательности мало коррелированы между собой и
удовлетворяют критериям проверки на случайность.
2.2. Метод нелинейного преобразования
обратного функции распределения
Возможность преобразования потока случайных чисел с равномерным законом распределения в поток с заданным законом
распределения вытекает из следующей теоремы [5].
Теорема. Если случайная величина Y имеет плотность распределения f(y), то распределение случайной величины X, полученной из выражения
16
y
x=
∫ f ( z ) dz,
−∞
является равномерным в интервале [0,1].
Доказательство. Пусть случайная величина X распределена
равномерно в интервале [0,1]. Образуем новую случайную величину Y, такую, что Y = j(X) и X = j–1(Y). Будем полагать, что
j(X) неслучайная монотонная функция на интервале [0,l]. Распределение случайной величины Y, очевидно, будет отличным
от распределения случайной величины Х и она будет иметь свою
функцию распределения F(y). В соответствии с определением
функции распределения и свойств равномерного распределения
X получаем
{
}
F ( y ) = P ( Y < y ) = P 0 < x < j−1 ( y ) = j−1 ( y ) = x,
что и требовалось доказать.
Таким образом, для получения значений случайной величины Y необходимо решить уравнение вида
xi =
yi
∫ f ( z ) dz (2.1)
−∞
относительно неизвестного yi, где xi – последовательность равномерно распределенных на интервале [0,1] случайных чисел.
Пример 1. Необходимо сформировать последовательность
случайных величин y с релеевским законом распределения:

 2

f ( y ) =  y 2   exp  −y
 ,
2
2σ  
 σ  

для y ≥ 0, где σ – параметр распределения.
Найдём функцию распределения
F (y)
y

z exp  −z2
2
2 dz
∫=
2
σ
σ


−∞
y

2
 
2

=
 −z
d  z

∫ exp
2σ2   2σ2 

−∞

 y 1 − exp  −y2
=
− exp  −z

20=
2 .
2σ 
2σ 


2
17
Из выражения (2.1) имеем
 2

 2

−yi2
xi = 1 − exp  −yi
exp  −yi
.
2 , 1 − xi =
2 , ln (1 − xi ) =
2σ 
2σ 
2σ2


Находим нужное нам преобразование
yi =σ −2 ln (1 − xi ).
Поскольку (1–x) и x имеют одинаковый закон распределения,
то полученную формулу можно упростить:
yi =σ −2ln ( xi ).
Пример 2. Формирование случайной последовательности
с экспоненциальным распределением:
f ( y ) = λ exp ( −λy ), y ≥ 0, F ( y )= 1 − exp ( −λy ), y ≥ 0.
В соответствии с теоремой записываем формирующую формулу:
xi = 1 − exp ( −λyi )
и решаем уравнение относительно yi
1 − xi =
exp ( yi ), yi = −λ −1 ln (1 − xi ).
Учитывая замечание в предыдущем примере, можно записать
yi = −λ −1 ln ( xi ).
Полученное выражение позволяет получить последовательность случайных чисел с экспоненциальным распределением.
Пример 3. Для последовательности чисел, равномерно распределенных в интервале [a, b], имеющей функцию распределения
0, y  a

( y − a )
F (y) = 
,
(b − a)

1, y ≥ b
18
необходимое преобразование имеет следующий вид:
=
xi F=
( yi )
( yi − a )
(b − a)
,
yi =a − ( b − a ) xi .
Этим преобразованием осуществляется переход от равномерного распределения на интервале [0,1] к равномерному распределению на интервале [a, b].
Однако не для всех случайных величин формирующие формулы можно получить простым преобразованием функции распределения. В этих случаях применяют приближенные методы
формирования последовательности случайных чисел с нужным
нам законом распределения.
2.3. Метод отбора Неймана
В основу метода Неймана также положен процесс преобразования последовательности равномерно распределенных случайных чисел. Пусть требуется получить выборку случайных чисел
X с плотностью вероятности f(x) и областью определения [a, b]
(рис. 8).
С помощью датчика случайных чисел генерируются два равномерно распределенных случайных числа: ε1 и ε2. Значения чисел преобразуем соответственно в μ1 = a + (b – a)ε1 и в μ2 = f(x)maxε2.
Откладываем полученные значения по осям координат (рис. 8).
Далее осуществляется проверка: попадает ли точка с координатами [μ1, μ2] под кривую плотности вероятности. Если это так, то
f(x)
g
f
j
µ
G
i
µ
x
a
µ
µ
b
Рис. 8. Формирование последовательности
по методу Неймана
19
выбирается первое преобразованное число, которое и используется в качестве случайной величины f(x) = x1. Критерием отбора
является неравенство
f ( x )max ε2 ≤ f ( a + ( b − a ) ε1 ),
т. е. попадание выбранной точки на плоскости под кривую распределения f(x).
Алгоритм формирования последовательности с законом распределения f(x) в этом случае выглядит следующим образом:
– с помощью базового датчика {ε} формируются пары случайных чисел, одно из которых μ2 относится к последовательности,
откладываемой на оси ординат, а второе μ1 преобразуется в число, откладываемое на оси абсцисс,
– далее производится выявление пар, относящихся к совокупности, где точки на плоскости попадают под кривую заданного распределения,
– абсциссы выявленных пар и представляют искомые случайные числа с требуемой плотностью вероятности.
Как видно из алгоритма формирования, для получения требуемой реализации производятся значительные затраты машинного времени, поскольку для получения каждого числа
последовательности необходимо дважды обратится к базовому
датчику случайных чисел и произвести отсеивание полезных
пар. Вероятность получения нужных пар (КПД) есть отношение
соответствующих площадей, отмеченных на рис. 8:
b
∫ f ( x ) dx
g
1
a
= =
.
G f ( x )max ( b − a ) f ( x )max ( b − a )
2.4. Метод кусочной аппроксимации закона распределения
Данный метод основан на кусочной аппроксимации закона
распределения, поскольку во многих случаях закон распределения настолько сложен, что предыдущие методы оказываются не
применимы [5]. Предположим, что необходимо получить последовательность случайных чисел Y с плотностью вероятности f(y)
в интервале [a, b]. Разобьем интервал [a, b] на n подынтервалов
(рис. 9). Длины подынтервалов выбираются таким образом, чтобы распределение заданной случайной величины Y в пределах
20
f(x)
a α1 α2 α3
α i α i+1
αn b
x
Рис. 9. Кусочная аппроксимация
этих подынтервалов можно было достаточно точно аппроксимировать каким-либо простым распределением: равномерным,
Симсона и т. д. (далее будем рассматривать кусочную аппроксимацию, используя равномерное распределение).
Теперь моделирование последовательности чисел с заданным
законом распределения f(y) сводится к моделированию совокупности случайных чисел с равномерными законами распределения. Случайную величину Y в каждом из подынтервалов можно
представить в виде yi = αi + εi (рис. 9), где αi – левая граница i–го
интервала; εi – случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, αi+1 – αi] ; yi – значение случайной величины Y, попавшей в интервал [αi+1 – αi ]. Алгоритм формирования
значений случайной величины можно разбить на три основные
процедуры:
– случайный выбор интервала, что позволяет определить αi ;
– формирование случайного числа εi, равномерно распределенного в интервале [0, αi+1 – αi];
определение значения случайного числа yi.
Случайный выбор интервала моделирования определяется
плотностью вероятности f(y). Taк, вероятность Pi выбора i -го
интервала равна
Pi= f ( α i )( α i +1 − α i ).
Поэтому случайный выбор интервала i с вероятностью Pi сводится к моделированию дискретной случайной величины. Воспользуемся базовым датчиком случайных чисел X. Разобьем
числовую ось от 1 до 0 на n отрезков, причем длины отрезков
выберем равными по величине вероятностям выбора соответ21
ствующих по номеру интервалов Pi. Процедура начинается с обращения к базовому датчику случайных чисел X для получения
числа xi и определения по нему номера ki, удовлетворяющего неравенству
βk ≤ xi ≤ βk+1,
где βk и βk+1 – границы отрезка k на числовой оси, а k представляет номер выбранного случайным образом интервала распределения случайной величины Y. Теперь зная номер интервала,
можно определить значение левой границы моделируемого интервала в данном случае это αk.
Для формирования случайного числа в выбранном интервале αk необходимо ещё раз обратиться к базовому датчику случайных чисел и полученное значение βk* преобразовать по фор∗
муле εk = ( α k+1 − α k ) βk .
Результирующее значение случайного числа, распределенного по закону f(y), находится в соответствии со следующим выражением:
yk = α k + εk .
При реализации этого метода на ЦВМ удобнее выбирать величины вероятностей попадания во все интервалы одинаковыми Рт = n–1, а число n таким, что n = 2N, где N – целое число,
меньшее или равное количеству двоичных разрядов чисел, формируемых базовым датчиком [5].
Недостатком метода является необходимость проведения
значительной предварительной работы перед моделированием,
а также выделение значительных объемов оперативной памяти
при большом числе n для хранения αi.
2.5. Методы моделирования нормальных
случайных последовательностей
Нормальное или гауссово распределение – одно из наиболее
важных и часто используемых распределений. Последовательность нормально распределенных чисел можно получить одним
из описанных приближенных методов. Кроме того, существуют и другие довольно часто применяемые методы [6]. Один из
методов формирования нормальной последовательности чисел
использует центральную предельную теорему теории вероятностей: если независимые случайные величины ε1, ε2,…, εn имеют
22
одно и то же распределение вероятностей и если каждая величина εi имеет математическое ожидание m1 и среднеквадратичное
отклонение σ1, то сумма этих случайных величин ε1 + ε2 + … + εn будет асимптотически стремиться к нормальному распределению
с математическим ожиданием m = nm1 и среднеквадратическим
= nσ1. Если рассматривать сумму n равномеротклонением σ
но распределенных в интервале [0, 1] случайных чисел α, то для
неё среднее значение в соответствии с приведённой ранее теоремой будет m = n/2, а дисперсия D{ε} = n/12. Отсюда случайная
величина ε, полученная из выражения
=
ε
12 n
∑ ( αi − 0,5),
ò i =1
имеет среднее значение, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Наиболее простой вид приведенное выражение имеет при
n = 12 ε=
12
∑ εi − 6.
i −1
Исследования показали, что полученные числа имеют распределение, близкое к нормальному распределению. Такой алгоритм, однако, имеет недостатки.
Во-первых, для получения каждого нормального числа необходимо 12 равномерно распределенных случайных чисел.
Во-вторых, при формировании крайних значений, лежащих
за 3σ, этот метод даёт большую ошибку.
Более точным является метод, использующий известное преобразование, в соответствии с которым распределение произведения двух независимых случайных величин, одна из которых
имеет релеевское распределение:
2

f ( x ) =  x 2  exp  −x
2 ,
2σ 
 σ 

где M=
{x} 0,5πσ, D{x}= (2 − 0,5π ) σ2 , а другая случайная величина распределена по закону арксинуса
2


1 − (y − a)

f ( y ) =  πb

b2 


−1
с параметрами (0;0,5), т. е. M{y} = 0, D{y} = 0,5 является нормальным. Воспользовавшись этим свойством, а также методом пре23
образования, обратным функции распределения, можно сформулировать пару нормированных нормальных чисел ε и μ из
двух независимых случайных чисел α1 и α2, равномерно распределенных в интервале [0,1]:
ε=
−2 log α1 cos 2πα2 ,μ=
−2 log α1 sin 2πα2 .
Для моделирования случайных величин c другими законами
распределения удобно использовать преобразования нормально
распределенных случайных чисел [5]. Из нормально распределенных чисел достаточно просто получить последовательности
с релеевским, показательным законом распределения, а также
законом распределения Раиса и χ2.
24
3. КРИТЕРИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ
СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
3.1. Статистическая проверка закона распределения
Как уже отмечалось, формируемые с помощью рассмотренных алгоритмов псевдослучайные последовательности должны
удовлетворять соответствующим статистическим критериям.
Для большинства практических случаев достаточно осуществить
проверку по совокупности двух критериев: проверки на случайность и на соответствие заданному закону распределения [7].
Основной является проверка на согласованность статистической гипотезы о законе распределения с выборочными данными, полученными в результате работы соответствующей программы. В силу псевдослучайности нашей последовательности
чисел и конечности выборки неизбежны расхождения между
теоретическим, предполагаемым представлением плотности
вероятности, и статистическим, выборочным распределением.
Естественно, возникает вопрос в каждом конкретном случае
при проверке алгоритма: объясняется ли это расхождение чисто
случайными обстоятельствами или оно связано с неправомерностью нашей гипотезы о выборочном законе распределения?
Ответ на такой вопрос можно получить, используя критерии согласия, при помощи которых оценивается мера близости между
гипотетическим и выборочным распределениями.
Пусть на основании сформированной выборки необходимо
проверить гипотезу Н: имеет ли эта последовательность чисел
{x1, x2, x3, …, xn} закон распределения f(х).
Для того чтобы проверить гипотезу, рассмотрим некоторую
величину U, характеризующую степень расхождения гипотетического и выборочного распределений. В качестве величины U
можно, например, взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей рi от соответствующих частот рi* с некоторыми весами Сi
=
U
n
(
∑ Ci pi* − pi
i =1
2
).
Очевидно, что это некоторая случайная величина, так как pi*
является случайной величиной, закон распределения которой
25
при верности гипотезы Н определяется законом распределения
f(x) и числом членов выборочной последовательности n.
Пусть для данной конкретной выборки выбранная мера расхождения имеет некоторое значение u. Объясняется ли такое
расхождение случайными причинами или оно слишком велико и явно указывает на непригодность гипотезы Н? Для ответа
предположим, что гипотеза Н верна и закон распределения величины U известен. Вычислим при этих предположениях вероятность того, что за счет чисто случайных причин и конечности
выборки мера расхождения U окажется не меньше, чем определенное в опыте значение u, P(U≥u).Если полученная вероятность
мала, то при выполнении гипотезы Н, произошло малоправдоподобное событие. Оно маловероятно и значит здесь, скорее всего, произошло «неслучайное» событие, т. е. закон распределения
выборки f(x) выбран неправильно, и значит, гипотезу H нужно
отбросить. Когда вероятность P(U≥u) значительна, следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе, полученный результат может иметь место, и пока нет причин для отклонения гипотезы. Область значений Q, в которой
маловероятно нахождение значений U, называется критической
областью. Она определяет область значимых, существенных
расхождений между гипотетическим и выборочным распределениями. Наибольшее значение вероятности, несовместимое со
случайностью события, называется уровнем значимости q.
Существующие критерии согласия различаются методами
вычисления меры расхождения (близости). Рассмотрим один из
самых универсальных и надежных критериев – критерий Пирсона или критерий χ2 [7]. Разобьем выборку из п случайных чисел, распределённых между xmin и xmax, на k групп и оформим
её в виде статистического ряда (табл. 1), выдвинув гипотезу H о
распределении выборки случайных чисел f(х).
Таблица 1
Ii
[xmin,x2)
[x2,x3)
...
[xi,xi+1)
…
[xk,xmax]
γi>0
*
Pi = γi/n
γ1
γ2
…
γi
…
γk
P1*
P2*
…
Pi*
…
Pk*
pi
p1
p2
…
pi
…
pk
Здесь Ii – граница интервалов; pi* – частота попадания в i интервал; γi – число попаданий в i интервал.
26
Исходя из теоретического закона распределения f(х), можно
найти теоретические вероятности попадания случайной величины рi в каждом из выделенных интервалов:
pi =
xi +1
∫ f ( x ) dx.
xi
При этом должны соблюдаться условия нормировки:
k
k
pi* ∑
=
pi
∑=
1.
=i 1=i 1
В качестве меры расхождения берется величина, вычисляемая из следующего выражения:
=
u
k
∑
i =1
(
Ci pi*
2
− pi
).
Коэффициент Ci вводится, так как в общем случае отклонения, относящиеся к различным интервалам, нельзя считать
равнозначными. Действительно, одно и то же по абсолютной
величине отклонение (pi*–pi) может быть малозначительным,
если сама вероятность рi велика, и очень заметным, если она
мала. Поэтому для выравнивания значимости отклонений необходимо весовые коэффициенты Сi взять обратно пропорциональными вероятностям попадания в интервал рi, т. е. положить
Сi = n/pi. В этом случае выражение для случайной меры расхождения будет иметь вид
2
k
( γ − npi )
u=∑ i
npi .
i =1
(3.1)
К. Пирсон показал [7],что при таких условиях и достаточно большой выборке распределение f(u) обладает следующими
свойствами:
– практически не зависит от функций распределения f(x);
– практически не зависит от длины выборки n;
– зависит от числа выбранных интервалов k;
– при увеличении длины выборки n стремится к так называемому распределению χ2.
Распределение χ2 зависит от параметра r, называемого числом степеней свободы распределения. Число степеней свободы
27
в нашем случае равно числу интервалов k минус число независимых условий (связей) S, помноженных на слагаемые суммы
в выражении (3.1). Так, если наложено всего лишь одно условие,
чтобы сумма частот была равна 1, то S = 1 и критерий согласия
Пирсона имеет χ2-распределение с r = k–1 степенью свободы.
Если же наложить требование равенства средних значений
М{x} теоретического и m{x} выборочного распределений, то S = 2
и критерий Пирсона представляет χ2-распределение с r = k–2 степенями свободы.
Если требуется равенство дисперсий D{x} = σ2{x}, то критерий
согласия будет иметь χ2-распределение с r = k–3 степенями свободы. Таким образом, алгоритм применения критерия согласия
Пирсона сводится к следующему:
– область значений случайной величины разбиваем на k интервалов (обычно k = 10–20) и по выборке длиной несколько сотен чисел строим статистический ряд;
– в соответствий с гипотезой Н определяем число наложенных связей S, вычисляем число степеней свободы r χ2распределения, определяем границы h1, h2 критической области
Q по данным таблиц ;
– определяем значение критерия согласия из выражения
(3.1);
– если вычисленное значение попадает в критическую область Q (рис. 10), то гипотеза отклоняется, в противном случае –
принимается.
* Распределением χ2 с r степенями свободы называется распределение суммы квадратов r независимых случайных вели-
fr (u)
p=
h1
∫ f (u ) du
h2
Q
0
h2
Q
h1
Рис. 10. Распределение χ2
28
u
чин, каждая из которых подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице,
( )
(
)
r −1
 −r 2 r
2
Ã
u 2 exp − u ,u  0
2
2
fr ( u ) = 
,
0,u ≤ 0
∞
где Ã ( α ) =∫ t0α-1e−t dt – Гамма-функция.
0
Всю область значений принято делить на четыре подобласти
(рис. 11): область малозначимых значений, почти значимых,
значимых и высокозначимых значений случайной величины
U. Чем выше уровень значимости q, тем он жестче, так как тем
большее число событий U (чисел) нельзя рассматривать как случайные.
В области малозначимых значений критерия χ2 можно признать несущественными расхождения между гипотетическим и
2
k–1
Fr
1
0,999
0,99
ПЗ
0,98
0,97
ВЗ
З
МЗ
0,96
0,95
h0,05
h0,01
h0,001
u
Рис. 11. Функция распределения χ2 (МЗ – малозначимые
значения; ПЗ – почти значимые значения;
З – значимые значения; ВЗ – высокозначимые значения)
29
выборочным распределениями и отнести их за счёт случайных
причин. Гипотезу Н можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным. Чрезмерно малые значения U будут сигналом о нарушении случайности. Если
гипотеза верна, то вероятность принятия случайной величиной
слишком малых значений крайне мала. Поэтому критическую
область неприятия гипотезы H целесообразно сделать двухсторонней (рис. 11). Однократное попадание величины U в интервал, ограниченный верхним и нижним доверительными пределами, ещё не дает уверенности в истинности гипотезы. Также
как однократный выход U за пределы интервала (особенно при
больших значениях доверительной вероятности p =
h1
∫ f ( u ) du )
h2
ещё не означает уверенности в её ложности. Чтобы быть уверенным в суждении относительно гипотезы, следует провести расчеты U для нескольких выборок и проанализировать результаты.
Вполне возможно, что большую уверенность в суждении можно
получить, применив к опытным результатам какой-нибудь другой критерий согласия, например критерий Колмогорова.
3.2. Критерий согласия Колмогорова
Критерий согласия Колмогорова (критерий λ) в отличие от
критерия χ2 может быть применен только в том случае, когда гипотетическое распределение полностью определено, т. е. ни одна
из характеристик гипотетического распределения не основывается на выборочных данных. Кроме того, этот критерий дает хорошие результаты при малых выборках.
Для применения критерия λ необходимо построить теоретическую F(х) и выборочную F*(x) функции распределения
(рис. 12). В качестве меры расхождения рассматривается максимальное значение модуля разности между выборочной функцией распределения F*(x) и соответствующей гипотетической
F(х) : D max F* ( x ) − F ( x ) .
=
Из теоремы Колмогорова следует, что функция распределения случайной величины Dn n имеет следующий вид:
(
)
F ( λ ) = P Dn n  λ = 1 −
30
∞
k
∑ ( −1) exp ( −2k2λ2 ).
k =−∞
F(x)
F*(x)
1.0
0.8
D
F*(x)
0.6
F(x)
0.4
0.2
0
x1
x2
x3
x4
x5
x
Рис. 12. Пример вычисления критерия Колмогорова
Схема применения критерия Колмогорова следующая:
– строятся выборочная и гипотетическая функции распределения по имевшейся выборке из n значений;
– определяется величина Dn, затем величина Dn n ;
– назначается уровень значимости q и определяется критическая область Q;
– проводится анализ, как и в случае применения критерия
χ2.
При попадании в критическую область Q гипотеза отклоняется, в противном случае – делается вывод о непротиворечивости опытных данных принятой гипотезе.
Как уже говорилось, в ответственных случаях можно проводить двухступенчатую проверку статистических гипотез. Для
этого проводится R серий опытов (R – выборок). По каждой серии осуществляется проверка принятой гипотезы о близости
между выборочным и гипотетическим законом распределения
по критерию χ2. В результате проверки будет получена выборка из R штук случайных значений U. Если после проведенных
31
R проверок первоначальная гипотеза H1 не была отклонена, то
в силу случайности величина U имеет χ2-распределение с k–1
степенями свободы. Или, иными словами, если исходная гипотеза H1 о законе распределения случайной величины х верна, то
должна быть верна и гипотеза H2: случайная величина U имеет
закон распределения χ2 с k–1 степенями свободы.
Если же гипотеза H2 о распределении случайной величины U
неверна, то неверна и исходная гипотеза H1 о законе распределения случайной величины x.
Для проверки гипотезы Н2 можно было бы опять воспользоваться критерием χ2, но мал статистический материал. Поэтому здесь больше подходит критерий Колмогорова, тем более,
что все характеристики распределения случайной величины U
в случае справедливости гипотезы H1 мы знаем, т. е. знаем вид
закона распределения и число степеней свободы.
Последовательность действий при применении двухступенчатой проверки статистических гипотез следующая:
– реализуем R серий опытов по n опытов в каждой серии;
– для каждой серии проводим проверку статистической гипотезы H1 о законе распределения случайной выборочной величины х по критерию χ2 для взятого доверительного уровня: получаем выборку случайной величины U из R значений;
– если при проверке гипотеза H1 не отвергается, полученные
значения расположим в вариационный ряд в порядке возрастания их величин и выдвигаем гипотезу H2 – о распределении
случайной величины U;
– по таблице χ2k–1-распределения находим соответствующие
значения F(χ2k–1 ), где k – число интервалов;
– вычисляем по графику (рис.12), либо по формулам, приведенным далее, разницу между теоретической и выборочной
функцией распределения:
– прямые разности
( )
l −1

1...R;
 Fχ2k −1 u( l ) −
, l =
R 

– обратные разности
( )
l

1...R;
− Fχ2k −1 u( l ) + , l =
R

32
– из полученных 2R чисел выбираем наибольшее и определяем величину Dn, служащую мерой близости между гипотетической и выборочной функциями распределения;
– найденное значение Dn n сравниваем с критическим значением или соотносим с заданным уровнем значимости.
Положительный вывод формируется следующим образом:
значение Dn n оказалось мало значимым, следовательно, нет
оснований считать, что статистика U имеет распределение, отличное от распределения χ2 с k–1 степенями свободы, а значит,
нет оснований отвергать исходную гипотезу Н1.
Отрицательный вывод: значение Dn n получилось значимым, значит, гипотезу H2 о распределении случайной величины
U следует отбросить, т. е. неверна и исходная гипотеза H1 о распределении случайной величины x.
3.3. Тесты проверки случайности
Наряду со статистической проверкой закона распределения
последовательности формируемых чисел необходимы проверки,
свидетельствующие об их случайности и независимости [8]. Для
этой цели специально разработан ряд тестов. Среди наиболее
часто используемых можно указать следующие: тест проверки
пар, проверки серий, проверки комбинаций и др. В каждом из
них числа классифицируются по некоторым признакам, и полученные эмпирические (статистические) частоты выделенных
классов сравниваются с их математическими ожиданиями при
помощи критериев χ2 и Колмогорова. Множество псевдослучайных чисел, удовлетворяющее этим тестам, называется локально
случайным.
Для примера рассмотрим тест проверки серий. Числа εk+1,…,
εk+l образуют серию длиной l, если εk+1 = εk+2 = … = εk+l. Данный
критерий предусматривает разбиение всех чисел исследуемой совокупности на два класса А и В. Введем следующие обозначения:
r1i – число серий класса А длиной i;
r2i – число серий класса В длиной i;
n1
R1k = ∑ r1i – общее число серий класса А длиной не меньше k;
i =k
n2
R2k = ∑ r2i – общее число серий класса В длиной не меньше k;
i =k
33
n1 – максимальная длина серии класса А;
n2 – максимальная длина серии класса В;
n1
R1 = ∑ r1i – общее число серий класса А;
i =1
n2
R2 = ∑ r2i – общее число серий класса В;
i =1
R = R1 + R2 – общее число серий.
Для контроля методом серий на случайность необходимо задаться уровнем значимости q, сопоставить выборочные распределения величин R1k, R2k, R1, R2, полученные по большой выборке псевдослучайных чисел, с теоретическими по одному из
рассмотренных критериев согласия.
Пример.
Для исследования псевдослучайных чисел базовых последовательностей, распределенных равномерно на интервале [0,1],
разбиение чисел на классы обычно делается следующим образом. К классу A относят числа, меньшие 0,5, а к классу B – числа, большие 0,5.
Вероятность получить хотя бы одну серию первого (тоже для
второго) класса длиной не менее k для достаточно большого n равна
P ( R1k

n
≥ 1) =1 − exp  −
k
 2 +1

(
)

.



Если положить n = 1000, q = 0,05, то k = 13,2. Следовательно,
при уровне значимости q = 0,05 граница верхнего доверительного интервала наибольшей длины серии равна 13, при доверительной вероятности Р = 0,95.
Известно также, что общее число серий класса А (как и класса B) при n→∞ стремится к нормальному распределению с числовыми характеристиками:
=
M {R1 }
(n + 2)
=
, D {R1 }
2
( n − 1)
4
.
Следовательно, при больших n можно принять
{
}
P M {R1 } − R1* ≥ 1,96σR1 ≤ 0,05.
34
Таким образом, выборочные значения R1* числа серий класса
A с вероятностью, не превосходящей 0,05 при n = 1000, должны
удовлетворять неравенству 470 < R1* < 530.
Кроме того, при проверке случайности и закона распределения псевдослучайной последовательности чисел целесообразно
проверить правильность работы всей моделирующей программы в целом. Этого можно достигнуть решением некоторой конкретной типовой задачи с заранее известным результатом.
35
4. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
4.1. Методы моделирования типовых случайных процессов
Теория случайных процессов является основным математическим аппаратом анализа прохождения сигналов в сочетании
с помехами и шумами в радиотехнических устройствах и системах. Методы математической статистики и теории решений
являются основными при сравнении и синтезе радиосистем.
Именно благодаря использованию методов статистической радиотехники решены и решаются многие актуальные задачи радиолокации, радиосвязи, телевидения, телеметрии, навигации,
теории надежности, системотехники и т. д. Задача моделирования случайных процессов при решении задач статистической
радиотехники методами цифрового моделирования особенно
важна. В первую очередь, необходимо овладение методами моделирования наиболее часто встречающихся случайных процессов таких, как стационарные нормальные случайные процессы,
стационарные случайные процессы, не являющиеся нормальными, но порождаемые нормальными в нелинейных системах,
нестационарные случайные процессы со стационарными приращениями, марковские процессы, случайные потоки и т. д.
Развитие теории цифровых фильтров и цифровой фильтрации привело к появлению эффективных алгоритмов, позволяющих получать случайные последовательности чисел, являющиеся адекватным отображением случайных процессов с заданными статистическими параметрами в цифровой форме.
Основой этих методов [9] является линейное преобразование стационарной последовательности X[n] независимых нормальных случайных чисел в последовательность чисел Y[n],
имеющих заданную корреляционную функцию R[n]. Подобное
преобразование реализуется с помощью линейного цифрового
фильтра (ЛЦФ), алгоритм работы которого во временной области в общем виде записывается следующим образом:
M
N
jT ) ∑ bi x ( nT − iT ). ∑ aj y (nT −=
=j 0=i 0
Полагая a0 = 1, можно выразить y(nT) так:
36
(4.1)
y=
(nT )
N
M
∑ bi x (nT − iT ) − ∑ aj y (nT − jT ),
=i 0=j 1
(4.2)
где aj, bi – вещественные коэффициенты; М и N – целые числа;
Т – интервал дискретизации.
Уравнение (4.1) соответствует рекурсивной форме представления ЛЦФ. Выходные значения y(n) в каждый данный момент
времени зависят не только от значений входной реализации, но
и от значений выходной последовательности в предыдущие моменты времени. Если все коэффициенты a равны нулю, получаем нерекурсивную форму представления ЛЦФ. Запишем её
в следующем виде:
=
y ( nT )
L
∑ Cl x (nT − lT ).
l =0
(4.3)
Алгоритм (4.3) иногда называют алгоритмом или формулой
скользящего суммирования. Широкое применение указанных
алгоритмов объясняется их простотой и возможностью изменения результирующих спектрально-корреляционных характеристик.
Основным соотношением, описывающим ЛЦФ в комплексной области, является системная (передаточная) функция, которая обычно записывается через Z-преобразование
H=
(Z)
Z {y} Y ( Z )
=
, Y=
( Z ) H ( Z ) X ( Z ).
Z {x} X ( Z )
(4.4)
Между соотношениями (4.1)–(4.3) и (4.4) существует взаимно-однозначное соответствие, вытекающее из основных свойств
Z-преобразования. Аргумент z системной функции H(Z) является комплексной величиной, модуль которой равен единице. Выражение z–k можно рассматривать с физической точки зрения,
как изображение оператора задержки сигнала на k интервалов
дискретизации.
Найдем системные функции для рекурсивного и нерекурсивного ЛЦФ. Применяя Z-преобразование к выражению (4.1), получим
M
N
∑ aj Z − j Y ( Z ) = ∑ bi Z −i X ( Z ).
=j 0=i 0
37
Для рекурсивного ЛЦФ (4.2) системная функция будет иметь
вид
N
H(Z) =
∑ bi z−i
i =0
M
1 + ∑ aj z
−j
.
j −1
Аналогично, применив Z-преобразование к уравнению (4.3),
получим системную функцию нерекурсивного ЛЦФ
L
H ( Z ) = ∑ Cl z−l .
l =0
Выражения (4.2) и (4.3) определяют структуру ЛЦФ или программы реализации этих алгоритмов на ЦВМ. Функциональная схема нерекурсивного ЛЦФ (рис. 13) состоит из усилителей,
элементов задержки D на интервал дискретизации и сумматора.
Алгоритм рекурсивного ЛЦФ реализуется при помощи различных функциональных схем. Так называемая прямая функциональная схема ЛЦФ, непосредственно соответствующая алгоритму (4.2), приведена на рис. 14.
Преобразуя выражения (4.2), можно получить другие формы
реализации функциональной схемы рекурсивного ЛЦФ [10].
Как видно из приведенного материала, задача моделирования случайных процессов с помощью рекуррентного уравнения
и алгоритма скользящего суммирования является фактически
x(nT)
D
C0
D
C1
D
C2
CL
y (nT )
∑
Рис. 13. Функциональная схема нерекурсивного ЛЦФ
38
x (nT )
D
C0
D
D
C1
C2
CL
∑
y(nT )
D
–a m
D
–am–1
∑
D
–a1
∑
Рис. 14. Функциональная схема рекурсивного ЛЦФ
задачей синтеза формирующего ЛЦФ, который преобразует дискретный белый шум в коррелированную последовательность случайных чисел, являющуюся моделью случайного процесса с заданными спектрально-корреляционными характеристиками.
4.2. Анализ алгоритма скользящего суммирования
В соответствии с алгоритмом (4.3) исходной преобразуемой
последовательностью является дискретный белый шум x[n]
с нулевым математическим ожиданием mx = 0, дисперсией Dx = 1
и корреляционной функцией R[k]:
1, k = 0
R [ k] =
M {x [ k] x [n + k]} =
δ(k) =
.

0, k ≠ 0
(4.5)
Применяя алгоритм скользящего суммирования вида [5]:
=
ε [n ]
L
∑ Cl x [n − l],
l =1
(4.6)
39
сформируем новую последовательность
ε [=
n ] C1x [n − 1] + C2 x [n − 2] + ... + CL x [n − L ],
ε [n=
+ 1] C1x [n ] + C2 x [n − 1] + ... + CL x [n + 1 − L ].
........................
Корреляционная связь между случайными числами ε[n] и
ε[n–k] последовательности возникает за счет наличия в преобразующем алгоритме (L–k) общих случайных величин исходной
числовой последовательности x[n]. По мере увеличения сдвига
между членами последовательности число общих членов убывает, связь ослабевает, и при k = L члены последовательности ε[n]
и ε[n + L] становятся независимыми. Вид корреляционной функции определяется числом L и величинами весовых коэффициентов Сl и не зависит от плотности распределения случайных
чисел x[n]. Поскольку преобразование линейно, то в случае нормального распределения x[n] в соответствии с теорией преобразования случайных процессов результирующая последовательность ε[n] тоже будет нормальной.
Определим значение корреляционной функции для последовательности ε[n] при разной величине сдвига k. Для k = 0 в соответствии с (4.6)
R [0] =M {ε [n ] ε [n ]} =ε 2 =C12 x2 [n − 1] + C22 x2 [n − 2] + ... + CL2 x2 [n − L ] +
+C1C2 x [n − 1] x [n − 2] + ... + CL −1CL x [n − L − 1] x [n − L ].
Принимая во внимание, что числа исходной последователь0 при i≠j, а дисности x[n] независимы (4.5), т. е. x [n − l] x [n − j ] =
1, получаем
персия равна единице x2 [n − l] =
R [0] =
ε2 [n ] =
C12 + C22 + ... + CL2 .
Для K = 1:
R [1] =
M {ε [n ] ε [n − 1]} =
ε [n ] ε [n − 1] =
= C12 x [n − 1] x [n − 2] + C22 x [n − 2] x [n − 3] + ... + C1C2 x2 [n − 2] +
+C2C3 x2 [n − 3] + ... + CL −1CL x2 [n − L ] + ... + Ci Cj x [n − i ] x [n − j ]...
40
Учитывая сказанное, окончательно имеем
R [1] =
ε [n ] ε [n − 1] =
C1C2 + C2 C3 + ... + CL −1CL .
Продолжив аналогичные рассуждения и при других сдвигах,
получим следующие значения R[k]:
R [2] =
ε [n ] ε [n − 2] =
C1C3 + C2 C4 + ... + CL −2 CL ,
…………….
R [ L − 2] =
ε [n ] ε [n − L + 2] =
C1CL −1 + C2 CL ,
R [ L − 1] =
ε [n ] ε [n − L ] + C1CL ,
R [ L] =
ε [n ] ε [n − L ] =
0. (4.7)
Таким образом, на основании проведенного анализа мы уяснили связь коэффициентов Сl со свойствами корреляционной
функции. Однако нас интересует обратная задача – задача поиска соответствующих коэффициентов Cl при заданной корреляционной функции, т. е. нас интересует задача синтеза.
4.3. Поиск весовых коэффициентов
для формулы скользящего суммирования
Выражение (4.7) представляет собой систему нелинейных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов Cl. Известен ряд приближенных методов решения этой системы [5],
однако за исключением нескольких простых случаев [9] отыскание решения требует значительных затрат машинного времени.
В настоящее время разработаны алгоритмы, решающие поставленную задачу синтеза более эффективными методами [5].
Рассмотрим вначале возможные пути решения этой задачи
аналоговыми средствами. Предположим, что реализацию белого нормального шума x(t) со спектральной плотностью G0(ω)
необходимо преобразовать в стационарный нормальный случайный процесс ε(t) с корреляционной функцией R(τ).
Из поставленных условий преобразования нормального белого шума в нормальный процесс следует, что подобное преобразование можно реализовать с помощью линейного радиотехнического блока с передаточной характеристикой K(jω) (рис. 15),
41
K(jω )
U(t)
V(t)
h(t)
Рис. 15 Линейный блок
связанной взаимно однозначным преобразованием с импульсной переходной характеристикой.
h (=
t)
1
2π
∞
∫ K ( jω)e
j ωt
dω,
−∞
∞
K ( jω) =∫ h ( t ) e− jωt dt.
(4.8)
−∞
Выразим через функцию корреляции R(τ) спектральную
плотность мощности искомого процесса G(ω)
G (=
ω)
∞
∫ R ( τ) e
− jωτ
dτ.
−∞
Теперь можно воспользоваться известным соотношением (равенство Парсеваля) между спектральной мощностью входного и
выходного процессов:
2
G ( ω=
) K ( jω) G0 ( ω),
(4.9)
чтобы найти передаточную функцию линейной системы, способную осуществить интересующее нас преобразование, а из выражения (4.8) – импульсную переходную характеристику h(t).
Конкретная реализация случайного процесса ε(t) может быть
найдена с помощью интеграла свертки
V (=
t)
∞
∫ h ( τ )u ( t − τ ) d=τ ∫ u ( τ ) h ( t − τ ) dτ.
−∞
(4.10)
Рассмотрим вопрос цифрового моделирования подобной формирующей линейной системы [5]. Прежде всего зададимся граничными значениями спектра +− ωm случайного процесса ε*(t)
(рис. 16) и этими же границами ограничим спектр белого шума
42
Gε(ω)
Gx(ω)
ωm
–ω m
Рис. 16. Спектр сигнала Gε(ω) и спектр шума Gx(ω)
x*(t), Для нахождения передаточной функции искомой системы
необходимо решить в соответствии с выражением (4.9) следующее уравнение относительно K(jω):
2
Gε ( ω=
) K ( jω) Gx ( ω),
которое имеет в качестве решения бесконечное множество линейных систем, отличающихся друг от друга фазочастотными
характеристиками:
K ( jω
=
) K ( jω) exp{− jφ ( ω)}.
Поскольку решение поставленной задачи ищут в аналитическом виде, нас не интересует аппаратурная реализуемость системы. Это позволяет выбрать в качестве решения линейную систему с нулевой фазочастотной характеристикой и вещественной
передаточной функцией
1/2
G ( ω )

K0 ( jω) = ε

G
ω
(
)
x


.
Из выражения (4.8) найдем импульсную переходную характеристику:
=
h (t )
1
2π
∞
1/2
G ( ω )

∫  ε Gx ( ω)
−∞
e jωt dω.
43
Реакция системы может быть найдена через выражение
(4.10), которое в силу справедливости для нашего случая, теоремы Котельникова для x*(t) и h(t) принимает следующий вид:
=
ε* [n ]
∞
∞
∫ ∑
−∞ k =−∞
∞
∞
h [ k]sin ck ( τ )
∞
sin cm ( nT − τ )dτ
∑ x [m]=
m =−∞
∞
∑ ∑ h [k] x [m]∫−∞ sin ck ( τ ) sin cm (nT − τ )dτ,
k =−∞ m =−∞
где
sin cm =
(nT − τ )
sin ωm ( nT − τ − mT ) 
= sin cn −m ( τ ), а интерωm ( nT − τ − mT )
вал дискретизации Т = π/ωm.
Из свойства ортогональности функций sincn (t) справедливо
соотношение
∞
dt
∫ sin ck ( t ) sin cn−m ( t )=
−∞
π
δn −m,k ,
ωm
1, k= n − m
где δn −m,k =
.

0, k ≠ n − m
В результате окончательное выражение для выходной последовательности имеет вид
=
ε* [n ]
∞
∑
k =−∞
C0 [ k] x [n − k],
где
π
1
=
C0 [ k] =
h [ k]
ωm
ωm
=
1
ωm
ωm
∫
0
1/2
 ωm

 π Gε ( ω) 


ωm
∫
0
kπω
K0 ( jω) cos =
dω
ωm
kπω
=
dω
cos
ωm
1
∫ S0 ( x ) cos kπxdx,
0
1/2
44
ω

S0 ( x ) = K0 ( jωm x ) =  m Gε ( ωm x ) 
π


, x= ω
ωm
.
(4.11)
Из выражения (4.11) видно, что коэффициенты Co[k] представляют собой коэффициенты Фурье при разложении функции K(ω) в полосе пропускания (–ωm ,ωm).
При численной реализации данного метода на ЦВМ для ускорения расчетов можно применить алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), позволяющий во много раз сократить объем
необходимых вычислений.
4.4. Быстрое преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье представляет собой алгоритм
реализации дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на ЦВМ,
позволяющий существенно сократить затраты машинного времени. Как известно [10], ДПФ представляет собой аналог преобразования Фурье в области дискретизированных сигналов. Для
дискретизированной временной последовательности x(пt) с периодом NТ и ограниченным спектром справедливо разложение
в ряд:
x ( nT ) =
S ( kΩ )
=
1 N −1
 2πkjn 
∑ S ( k ) exp  N , N k =0
N −1
 2πkjn 
, N 
∑ x (n ) exp  −
n =0
(4.12)
(4.13)
где Ω = 2π/TN.
Выражение (4.12) является обратным ДПФ, а выражение
(4.13) – прямым ДПФ. В указанных выражениях x(nT) – периодическая функция, т. е.
x (=
nT ) x ( nT + mTN ) и аналогично S ( kΩ
=
) S ( kΩ + mnΩ )
где m – целое.
Тот факт, что спектр является периодическим, объясняется
периодичностью спектра любой дискретизированной функции
(см. разд. 1.2), а его дискретный характер связан с тем, что сама
дискретизированная функция также периодическая.
Расчет ДПФ на ЦВМ прямым методом в соответствии с выражениями (4.12) и (4.13) требует больших затрат машинного времени. Если оценивать трудоемкость преобразования в опeрациях,
считая единичной операцией умножение и сложение комплексных чисел, то для реализации требуется N2 операций.
45
При больших выборках – это очень большие затраты машинного времени. Применение БПФ резко сокращает трудоёмкость.
Рассмотрим алгоритм БПФ, основанный на методе прореживания по времени исходной реализации. Для сокращения и
удобства записи выражений (4.12) и (4.13) введём обозначение
N −1
 2πj 
nk
W exp  −
=
, тогда S ( k ) = ∑ x [n ]W .
 N 
n =0
Пусть длина реализации N кратна 2. Рассмотрим две последовательности g[l] и h[l] чётных и нечётных отсчётов соответственно:
g ( l ) = x [2l] 
=
 l 0... N 2 − 1 .
h=
( l ) x [2l + 1]
(
)
Дискретное преобразование Фурье для этих последовательностей, содержащих N/2 членов, будет иметь вид
G [ k] =
H [ k] =
N
−1
2
lk
l =0
N
−1
2
lk
∑ g [ l]( W 2 )
∑ h [ l]( W 2 )
,
.
l =0
Дискретное преобразование Фурье от всей последовательности, являющееся суммой двух преобразований, в силу свойства
линейности ДПФ можно записать так:
S [ k]
=
N
−1
2
(
) 
=
∑ x [2l]W 2lk + x [2l + 1]W

2l +1 k
l =0
N
−1
2
2l +1 k
G [ k] + W k H [ k]. (4.14)
=
∑  g [l]W 2lk + h [l]W ( )  =
l =0
N
− 1 , так как
2
G[k] и H[k] определены только для N/2 значений. Для расчёта
остальных значений гармоник можно воспользоваться уже упоминавшимся свойством периодичности ДПФ.
Формула (4.14) справедлива лишь для 0 ≤ k ≤
46
N
N


S [ k] = G k −  + W k H k −  ,
2
2



для значений k≥N/2.
Полное число операций для определения всех N гармоник
S[k]:
2
2
N2 N2
N
N
N
N
,
+
=
+
≅
  +
2
2
2
2
( )
при N→∞.
Таким образом, уже первое преобразование исходной последовательности на две даёт выигрыш в числе выполняемых операций в два раза. Рассмотренный процесс вычисления ДПФ показан на рис. 17 с помощью направленного сигнального графа.
В узлах графа, отображающих обозначенные рядом переменные, производится сложение переменных, указанных соответствующими стрелками. Предположим, что N/2 также делится
на 2, и для каждой из выбранных ранее последовательностей
g[l] и h[l] проведём прореживание по времени. Процесс расчёта
гармоник в этом случае показан графически на рис. 18.
Процесс прореживания можно продолжить и далее до получения простейшей ситуации из двух членов последовательноg0
x0
x2
x4
G0
S0
g1
G1
W0
g2
ДПФ
G2
W1
g3
(N=4)
G3
W2
H0
W3
g0
W4
x6
h1
x1
x3
x5
x7
S1
S2
S3
S4
h2
ДПФ
H1
W5
h2
(N=4)
H2
W6 S
6
H3
W7
h3
S5
S7
Рис. 17. Первое преобразование исходной последовательности
47
x0
x4
g0
g1
ДПФ
(N=2)
S0
0
W
0
W
W4
x2
x6
g3
W
W
g2
x5
g4
ДПФ
(N=2)
g5
ДПФ
(N=2)
W
W6
x7
g6
g7
S3
4
S4
0
W
3
W
W
W4
5
S5
W
2
x3
S2
2
W
x1
S1
1
2
W
S6
ДПФ
(N=2)
W
6
W
6
7
S7
Рис. 18. Второе преобразование исходной последовательности
x0
x4
0
S0
0
W
W
0
W
W4
W4
x2
x6
x1
x5
W
W
S2
0
W
2
W
W6
W4
S3
W4
0
W
3
W5
W
W4
W4
S4
0
W
S5
2
x3
W
W6
S6
0
W
x7
S1
1
2
W4
W6
W7
S7
Рис. 19. Третье преобразование исходной последовательности
48
сти. Полный сигнальный граф расчёта ДПФ для случая последовательности из 8 членов показан на рис. 18.
Из анализа видно, что число узлов в строке равно log2 N и,
следовательно, общее число сложений равно N log2 N . Число
стрелок составляет 2N log2 N . Однако у половины стрелок коэффициенты при них равны 1, у половины оставшихся коэффициенты равны W n/2 = −1.
Значит, число умножений равно 0,5N log2 N . Таким образом, уже для выборки длиной N = 1000 объём вычислений при
определении ДПФ сокращается более чем в 100 раз по сравнению с прямым вычислением ДПФ.
Математическое обеспечение современных ЦВМ обязательно
содержит стандартные программы реализации БПФ в том или
ином виде. Возможные случаи применения БПФ, когда это целесообразно с точки зрения экономии машинного времени, приведены в Прил. 2.
4.5. Особенности моделирования случайных процессов
с рациональным спектром
Как известно из работы [12], при воздействии на линейную
систему с постоянными сосредоточенными параметрами белого шума на выходе системы наблюдается случайный процесс
с рациональной спектральной плотностью G(ω), представляемой
в виде дробно-рациональной функции
G1 ( ω)
G ( ω) =
,
G2 ( ω)
где G1(ω) и G2(ω) – полиномы со степенями k и n соответственно,
причем k < n. Передаточная функция таких систем также является дробно-рациональной функцией вида
K1 ( jω)
K ( jω) =
,
K2 ( jω)
где K1(jω) и K2(jω) – полиномы степени l и m соответственно и
m≥l.
Моделирование случайного процесса с рациональным спектром, таким образом, можно осуществить с помощью линейной
системы с передаточной функцией (4.15), подавая на её вход белый дискретный шум. Модель такой дискретной системы реа49
лизуется построением ЛЦФ либо нерекурсивного, либо рекурсивного типа, причем в том и другом случае поиск алгоритма
преобразования осуществляется факторизацией спектральной
плотности мощности искомого процесса [5,7].
Факторизация спектральной плотности G(ω) означает разложение на множители вида
G1 ( ω) K1 ( jω) K1 ( − jω)
=
;
G2 ( ω) K2 ( jω) K2 ( − jω)
G=
( ω)
при этом первый множитель
(4.16)
K1 ( jω)
и будет искомой передаK2 ( jω)
точной функцией K(jω) (см. подразд. 4.3).
Переход к алгоритму скользящего суммирования можно получить, воспользовавшись теоремой разложения [13] импульсной переходной характеристики
S rν −1
h (t ) = ∑
tμ
∑ Cγμ μ !e
pγ t
γ= 1 μ= 0
,
(4.17)
где рγ = jω; рg – полюсы передаточной функции (т. е. корни уравнения К2(jω) = 0 кратности rg,
Cγμ
1
d
rγ −μ−1
( rγ − μ − 1) ! dp
rγ −μ−1
(
K ( p ) p − pγ
)
rγ
p= pγ
.
(4.18)
Алгоритм формирования реализации модели случайного
процесса можно найти из выражения дискретной свёртки:
∞
=
ε [n ] T ∑ h [ k]x0 [=
n − k]
∞
∑ Ck x [n − k],
k 0=
k 0
=
где x0[n] – дискретный ограниченный по спектру белый шум;
Ck = Th [ k]; Т – интервал дискретизации; x[n] – независимые
нормальные случайные числа с параметрами (0,1).
В случае применения рекуррентного алгоритма осуществляется факторизация спектральной плотности, представленной
в Z-преобразовании, и поиск системной функции с использованием свойств Z-преобразования [5].
Применение рассмотренных алгоритмов эффективно только,
когда корреляционная функция моделируемого процесса имеет
невысокий порядок, т. е. число полюсов спектральной функции
50
невелико. В противном случае подготовительная работа, связанная с поиском конкретных параметров алгоритмов, становится
очень громоздкой и трудоемкой [6]. Рассмотрим пример моделирования случайного процесса со следующими параметрами:
(
)
R=
( τ ) exp −ωãð τ ,
2ωãð
G ( ω) =
.
2
ωãð + ω2
Найдем корни знаменателя спектральной плотности, для
чего приравняем знаменатель к нулю и решим полученное уравнение относительно ω:
ω2ãð + ω2 = 0, ω1,2 = ± jωãð .
Всякая отрицательная дробно-рациональная относительно ω
функция
l*
G ( ω)
G=
( ω) 1= C*
G2 ( ω)
∏ ( ω − ω1*k )
k =1
m
∏ ( ω − ω*2k )
k =1
может быть представлена в виде:
m
G1 ( ω)
G2 ( ω)
∏ ( ω − ω1k )
=C
k =1
m
∏ ( ω − ω2k )
2
,
k =1
*и
где С* и С – некоторые константы; ω1k и ω2k – те из корней ω1k
*
ω2k, которые лежат в верхней полуплоскости. Учитывая свойство
линейных систем (4.9) и подобрав С так, что
2
G ( ω=
) K ( jω) , (4.20)
передаточную функцию искомой линейной системы можно
представить в виде следующего выражения:
51
l
l
∏ jω − jω1k
∏(
)
p − p1k
1
1
k
k
=
=
=
K jω
C=
=
C
m
m
( )
∏(
K ( p ),
) ∏ ( p − p2k )
jω − jω2k
k 1=
k 1
=
p1k =
jω1k , p2k =
jω2k .
Для нашего случая K ( p ) =
C
( p + ωãð )
Ñ
= 2 ωãð . По-
и из
скольку S = r1 = 1, μ = 0, p1 = -ωгр, из (4.17) и (4.18) находим импульсную переходную характеристику линейной искомой системы:
C10=
1
d0  2ωãð

(1 − 0 − 1) ! dp0  p + ωãð
(

)
( p + ωãð )
=
 p =−ωãð
2ωãð ,
(принимая во внимание, что 0! = 1)
t0 −ωãðå
e
= 2ωãð exp −ωãð t .
0!
Из выражения (4.19) получаем результирующий алгоритм
скользящего суммирования для формирования искомого случайного процесса:
(
h ( t=
) C10
=
ε [n ]
n
∑ Ck x [n − k];
k =0
(
)
)
Ck = 2ωãð T, exp −ωãðTk = 2β exp ( −βk ),
где β = ωгр T; NT – длина реализации.
При формировании искомого случайного процесса с помощью рекуррентного ЛЦФ системная функция и сам алгоритм
выглядят следующим образом [5]:
H [ z] =
1 − θ2
, ε [n=]
1 − θz
1 − θ2 x [n ] + θε [n − 1]=
, θ exp ( −β ).
Таким образом, подводя итог, необходимо отметить, что метод скользящего суммирования является универсальным методом моделирования случайных процессов, позволяющим
получить любую вперед заданную точность моделирования, но
52
за счет значительного увеличения числа слагаемых в формуле
скользящего суммирования, т. е. увеличения требуемого для
расчетов машинного времени.
Рекуррентные алгоритмы отличаются экономичностью (в
смысле количества выполняемых в алгоритме элементарных
операций и числа требующихся ячеек памяти), имеют нулевую
методическую погрешность, но в силу громоздкости подготовительной работы они широко применяются лишь для случаев моделирования стационарных нормальных случайных процессов
с рациональным спектром невысокого порядка [6].
Примеры моделирования случайных процессов с другими
статистическими характеристиками описаны в работе [5].
4.6. Моделирование марковских случайных процессов
В последние годы в статистической радиотехнике важное
место, как теоретическое, так и прикладное, занимают марковские процессы [8].
Марковским процессом называется случайный процесс ε(t),
у которого условная плотность вероятностей w(εn,tn/εn–1,tn–1,…,
ε1,t1) в произвольный момент времени tn > tn–1 удовлетворяет соотношению




t
t
w  εn , n ,tn −1,..., ε1,t1  =
w  εn , n ,tn −1  =
ε
ε
n −1
n −1




= w0 ( εn , εn −1,tn ,tn −1 ),
(4.21)
т. е. зависит лишь от значения процесса в один из предыдущих
моментов времени. Время t может быть как непрерывным, так
и дискретным. Условной плотностью вероятности (4.21) называется плотность вероятности перехода из состояния εn–1 в момент времени tn–1 в состояние εn в момент времени tn. В общем
случае – это функция четырех переменных. Для моделирования
марковского случайного процесса необходимо знать условную
плотность вероятностей перехода (4.21) и плотность вероятностей w(ε0, t0) начального значения ε0 в момент времени t0. Тогда
получение конкретной реализации производится по следующему алгоритму:
– формируется реализация ε0* случайной величины ε* с плотностью вероятностей w(ε0 ,t0);
53
– формируется новая реализация ε1* случайной величины ε1
с плотностью вероятности w(ε1,t1/ε0,t0) далее процесс повторяется.
Результатом такой процедуры будет последовательность чисел
ε0* = ε0*(t0), ε1*(t1),…,
являющаяся дискретной реализацией ε*(tn) марковского случайного процесса ε(t), с заданной условной плотностью вероятностей перехода. Повторение рассмотренного алгоритма приводит к получению следующей реализации марковского процесса:
ε** = ε**(t0), ε**(t1),…, и т.д.
В статистической радиотехнике особенное место занимают
стационарные нормальные марковские процессы. Стационарные
марковские процессы в соответствии со свойствами стационарных процессов имеют плотность вероятностей перехода, зависящую лишь от разности τn = tn − tn −1. Фактически это означает
уменьшение числа аргументов функции w0 ( εn , εn −1,tn ,tn −1 ), которую мы вынуждены в виде массива хранить в памяти машины. Как видно, число аргументов уменьшилось на единицу при
переменном шаге и на два при постоянном шаге, что значительно упрощает моделирование.
В этих случаях условная плотность вероятностей имеет вид
w0 ( εn , εn −1, τn ) и w0 ( εn , εn −1, τn ). При моделировании нормальных марковских процессов, имеющих нормальный закон условной плотности вероятности, на каждом шаге формируются
реализации нормальных случайных величин (одномерных или
N-мерных) в соответствии с рассмотренными методами.
Можно показать [8],что нормальный марковский процесс первого порядка является стационарным нормальным случайным
процессом с рациональным спектром. Кроме того, марковским
стационарным нормальным процессом является процесс, имеющий экспоненциальную функцию корреляции, о методах моделирования стационарных случайных процессов с рациональными спектрами подробно было сказано в разд. 4.5, а рассмотренные примеры соответствуют построению алгоритмов реализаций
марковского стационарного нормального процесса первого порядка. Примеры других алгоритмов моделирования (других типов
марковских процессов) можно найти в работах [5, 1].
54
5. ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
5.1. Моделирование последовательности
двоично-квантованных эхо-сигналов
радиолокационной станции обнаружения
В процессе обзора пространства радиолокационной станцией (РЛС) с узким лучом диаграммы направленности происходит кратковременное облучение целей электромагнитной энергией зондирующих импульсов и прием отраженных сигналов.
При равномерном обзоре пространства отраженные сигналы
от каждой цели поступают периодически. Каждый отраженный сигнал несет информацию о мгновенном положении цели
в пространстве обзора, т. е. дает одну точку траектории. Новая
точка траектории будет получена через период обзора Т0. Следовательно, радиолокатор преобразует информацию о траектории
цели в дискретную последовательность отраженных сигналов.
В свою очередь, каждый отраженный от цели сигнал представляет собой серию радиоимпульсов (пачку радиоимпульсов). Под
пачкой понимается периодическая последовательность импульсов, отраженных от одной цели за время её нахождения в луче
диаграммы направленности антенны РЛС. Задержка импульсов
пачки относительно начала отсчета (момента посылки зондирующего импульса) является примерно одинаковой. Расчетное
число импульсов в пачке N0 определяется частотой следования
зондирующих импульсов FП, угловой скоростью вращения антенны ΩА и шириной диаграммы направленности антенны 2ϕ
на заданном уровне, т. е.
j
N0 = 2FÏ
.
ΩÀ
В современных обзорных РЛС число N0 колеблется в довольно
широких пределах (N0 = 10...250). Закон, по которому изменяются амплитуды импульсов в пачке, определяется видом функции
g(t), описывающей форму диаграммы направленности антенны
РЛС на передачу и прием.
В некогерентных обзорных РЛС полезными параметрами, несущими информацию о наличии цели и её координатах, являются амплитуда отраженных импульсов и время задержки пач55
ки. Другие параметры не используются в процессе обнаружения
и оценки координат цели, а информация о них разрешается при
обработке. Поэтому для полного статистического описания пачки отраженных импульсов достаточно знать плотность вероятности распределения амплитуд огибающих одиночных отраженных импульсов и корреляционную связь между импульсами в пачке.
Характер корреляционной связи между импульсами в пачке
зависит от типа цели. В теоретических исследованиях обычно
рассматриваются следующие случаи:
– пачки нефлюктуирующих импульсов, что соответствует
приему сигналов от нефлюктуирующей цели; это определенная
идеализация реального процесса, так как все реальные цели
в большей или меньшей мере флюктуируют;
– пачки медленно флюктуирующих импульсов, соответствующих приему сигналов от медленно флюктуирующей («мерцающей») цели; при этом период флюктуации значительно больше
длительности пачки, так что все импульсы пачки изменяются
по амплитуде одновременно от периода к периоду обзора (от пачки к пачке);
– пачки быстро флюктуирующих импульсов, соответствующие приёму сигналов от быстро флюктуирующей цели; при
этом предполагается, что период флюктуаций настолько мал,
что каждый импульс в пачке флюктуирует независимо от соседних импульсов; быстро флюктуирующая цель также является
идеализацией реальной цели.
При приеме отраженные сигналы дополнительно искажаются помехами N(t), всегда имеющими место в системе. Статистические характеристики помех описываются законами их распределения w(n) и во многих случаях бывают известны заранее
из предыдущего опыта или из расчетов. В общем случае помехами в процессе приема и обработки радиолокационных сигналов
являются:
– внутренние шумы приемной аппаратуры Nш главным образом, шум входных и смесительных каскадов приемника РЛС;
– ложные цели естественного и искусственного происхождения, например пассивные помехи;
– помехи, создаваемые соседними источниками излучения.
В некогерентных импульсных обзорных РЛС внутренние
шумы приемной аппаратуры не имеют межпериодной (от зонди56
рования к зондированию) корреляции. Поэтому для них одномерный закон распределения вероятностей является исчерпывающей статистической характеристикой [13].
В общем случае внешние (активная и пассивная) помехи имеют межпериодную корреляцию, т. е. амплитуда напряжения
этих помех имеет статистическую связь между своими значениями в моменты t1 ,t2 = t1 + ТП , t3 = t1 + 2ТП и т.д. Однако в дальнейшем для упрощения задачи моделирования последовательности двоично-квантованных отраженных пачек импульсов
будем предполагать, что суммарная результирующая помеха
N∑ не имеет междупериодной корреляции. Тем самый мы сузили условия задачи, исключив из рассмотрения общий случай
хаотических отражений, и будем учитывать лишь собственные
шумы приемника и шумоподобные составляющие хаотических
помех естественных отражений и искусственных помех.
Для примера рассмотрим некогерентную импульсную РЛС.
Выходным сигналом радиотехнической (УПЧ + детектор) части
приемного устройства PЛC является напряжение огибающей
суммарного сигнала, поступающего на его вход. Статистические
характеристики этого напряжения являются исходными для
синтеза оптимальных устройств некогерентной обработки сигналов. Если принять гипотезу об отсутствии флюктуации отраженных от цели сигналов, то на нагрузке детектора выделяется
огибающая ESN(t) аддитивной смеси отраженного сигнала постоянной амплитуды S и узкополосной помехи N∑ . При прохождении через каскады приемной аппаратура спектр мощности
ограничивается сравнительно узкой полосой пропускания этой
аппаратуры. Поэтому помеха, соответствующая приему отраженных радиолокационных сигналов, является узкополосной.
Одномерная плотность вероятности для выборочных значений этой огибающей имеет вид [13]:
E
 E2 + S2   ESN S 
 SN exp  SN
 I0  2 , ïðè ESN > 0
 2σ2
  σ

w ( ESN ) =  σ2N
N

  N 

0, ïðè ESN < 0,

где Iо(.) – модификация функции Бесселя первого рода нулевого
порядка. Это выражение называется обобщенным законом Релея или законом Раиса. При S = 0, т. е. при отсутствии отражен57
ного сигнала это выражение преобразуется в обычный закон
Релея:
w ( EN ) =
EN
σ2N
 E2
exp  N
 2σ2
 N

.


Введем следующие обозначения: x = ESN/σN – относительная
(нормированная) амплитуда огибающей: a = S/σN – отношение
сигнала к помехе по напряжению; w(x/S) – условная плотность
вероятности огибающей при наличии отраженного сигнала;
w(x/0) – условная плотность вероятности огибающей при отсутствии отраженного сигнала.
С учетом введенных обозначений имеем:
 x2 + a2 
x
w=
x
exp
−
 I0 ( ax ),
S


2


 x2 
x
w=
x exp  −
.
0
 2 


( )
( )
Приведённые выражения представляют собой условные одномерные плотности вероятностей для выборочных значений
нормированной огибающей при наличии и отсутствии нефлюктуирующего сигнала.
Задача обнаружения радиолокационных сигналов решается
в устройствах последетекторной обработки сигналов и состоит в вынесении однозначного решения: сигнал присутствует
или отсутствует. Оптимальность решения задачи обнаружения сигналов понимается, как правило, в смысле обеспечения
минимального числа ошибок решения. Ошибки решения могут быть двух родов: ошибка первого рода состоит в том, что
решающее устройство принимает решение о наличии сигнала,
когда на самом деле его нет; ошибка второго рода – принимается решение об отсутствии сигнала, когда на самом деле он присутствует. Среди критериев, связанных с принятием решения
об обнаружении сигнала, основными являются критерий минимального риска и критерий Неймана-Пирсона [14, 15]. В качестве критерия оптимизации режима радиолокационного обнаружения цели обычно используется критерий Неймана-Пирсона, согласно которому принимается гипотеза соответствующая
58
минимальной вероятности пропуска цели при заданном допустимом значении вероятности ложной тревоги (ошибка первого
рода). Порог квантования при использовании критерия Неймана-Пирсона выбирается только исходя из заданной вероятности
его превышения помехой, т. е. исходя из заданной вероятности
появления единицы в области помехи.
Если с выхода детектора огибающей поступает только помеха, то вероятность превышения порога x0
∞
 x02 
 x2 
pN ( x0 ) =
x
dx
exp
exp
−
=
−
.


∫
 2 
 2 




x0
При заданной вероятности ложной тревоги F из этого выражения можно найти относительный порог квантования сигнала.
Вероятность появления единицы при наличии нефлюктуирующего сигнала определяется в этом случае из выражения
pS ( x0 , a ) =
∞
 x 2 + a2 
I0 ( ax ) dx.
2 
∫ x exp 

2 ln( 1 F )
При этом обеспечивается минимальная вероятность пропуска цели [14]. Кривые вероятности необнаружения одиночного
сигнала при различной относительной величине x показаны на
рис. 20.
1– p(x0 ,a)
1,0
0,8
4
0,6
0,4
2
1
3
0,2
0
1
2
3
4
5
a
Рис. 20. Кривые вероятности необнаружения
одиночного сигнала
59
Рассмотрим процесс цифрового моделирования последовательности двоично-квантованных сигналов, полученных путем
порогового обнаружения по критерию Неймана – Пирсона, используя изложенные предварительные соображения. Как уже
говорилось, задачей цифрового моделирования является воспроизведение с помощью алгоритмов конкретных реализаций
сигналов в цифровом виде.
Исходные предпосылки к моделированию [3].
Полезный сигнал представляет собой пачку импульсов с известной огибающей и фиксированным числом импульсов в пачке. Воздействие помехи приводит к искажению огибающей пачки. После порогового обнаружения пачка представляет собой
нестационарную последовательность нулей и единиц.
Помеха представляет собой стационарный процесс типа белого шума. Воспроизведение отсчетов помехи на фиксированных
позициях и дальнейшее пороговое обнаружение приводит к формированию стационарной последовательности нулей и единиц.
Для учета краевого эффекта перед пачкой и после неё необходимо создать области «чистой» помехи. Таким образом, каждая
peaлизация входного сигнала делится на
– начальную область – область помехи, которая замыкает nH
двоичных разрядов в формируемой реализации;
– область полезного отображения сигнала, определяемая шириной пачки N;
– конечную область – область помехи, которая занимает
оставшиеся nK двоичных разрядов реализации.
Общая длина реализации соответственно будет n∑ = nH + N + nK двоичных разрядов. Для удобства моделирования желательно, чтобы длина реализации совпадала с длиной машинного слова или была кратна ему.
При сделанных предпосылках вероятность появления единиц
на каждой позиции в области помехи определяется формулой
 x2 
=
pN exp  − 1 ,
 2 


где x1 – порог двоичного квантования (порог обнаружения),
определяемый из допустимой вероятности ложной тревоги.
Если взять модель аддитивной смеси неслучайного сигнала
и узкополосной стационарной помехи, то вероятность обнаруже60
ния единицы на λ позиции пачки (λ = 1,..., N ) определяется из
выражения
x1
 x + aλ2 
pSλ =
1 − ∫ xλ exp  − λ
 I0 ( aλ xλ ) dx, 

2


0
где
aλ = a0gl,
(5.4)
(5.5)
a0 – отношение сигнала к помехе в центре пачки; gl – огибающая импульсов пачки, которая в рассматриваемой модели может быть взята в виде функции
gλ =
(
sin2 2πλ
(
)
1
N −1 N =
N −1 
, λ = −
...
.
2
2
2 

2πλ
N −1
)
Моделирование реализации, таким образом, состоит в том,
чтобы на каждой позиции в соответствии с тем, какой области
она принадлежит, вычислять по приведенным выражениям вероятность появления единицы и с помощью базового датчика
случайных чисел производить статистическое испытание. Если
полученное из базового датчика число превосходит вычисленную вероятность, в соответствующий этой позиции разряд записывается единица, а в противном случае – ноль.
Переходя от позиции к позиции вдоль всей реализации, из
N разрядов формируется искомая реализаций двоично-квантованных сигналов, являвшаяся цифровой моделью пачки радиолокационных импульсов, подвергнутых процедуре обнаружения сигнала.
Рассмотрим детальнее структурную схему алгоритма моделирования (рис. 21).
В структурной схеме использованы следующие операторы:
Ф1 – выход исходных данных: a0, x1, N,gλ;
А2 – вычисление вероятности рN появления единицы в области помехи по формуле (5.3) и запоминание этой вероятности;
ВЗ – запись единицы в счетчик числа сформированных разрядов реализации в начальной области помехи ( < СчiH> + 1 → → < СчiH >);
Ф4 – получение случайного числа εi – из базового датчика
случайных чисел;
61
В9
В18
Ф1
Нет
В10
В19
А2
А11
В20
В3
А12
P21
Нет
Ф4
ε j<p N
Ф13
P5
Нет
Да
P14
Нет
εi <pN
В22
ε λ<psλ
Да
Да
В23
В6
В15
P24
Нет
В7
В16
Нет
<Cr jk>=nk
P17
<Cr λ>=N
<Cr iN>=nN
Да
Да
В25
Да
END
Рис. 21. Структурная схема алгоритма
Р5 – проверка неравенства εi < рN;
В5 – запись в i-й разряд регистра сформированной реализации (РГ Р) единицы;
В7 – запись в i-й разряд регистра (РГ Р) нуля;
Р8 – проверка условия < Сч iH> = nн;
В9 – сброс счетчика < Сч iH > ;
62
В10 – запись единицы в счетчик числа сформированных
разрядов реализации в области полезного сигнала < Сч λ> + 1 → → < Сч λ > ;
А11 – вычисление aλ по формуле (5.5);
A12 – вычисление вероятности pSλ, появления единицы в области сигнала (пачки) по формуле (5.4) и запоминание этой вероятности;
B13 – получение случайного числа ελ из базового датчика
случайных чисел;
Р14 – проверка условия ελ < рSλ ;
B15 – запись в (nH + λ )-й разряд регистра РГ Р единицы;
B16 – запись в (nH + λ )-й разряд регистра РГ Р нуля;
P17 – проверка условия < Счλ> = N;
B18 – сброс счетчика < Счλ >;
B19 – запись единицы в счетчик числа сформированных разрядов реализации в конечной области помехи < Сч jk> + 1→ < Сч jk>;
Ф20 – получение случайного числа εj из базового датчика
случайных чисел;
P21 – проверка условия εj < pn
В22 – запись в (nH + N + j)-й разряд регистра РГ Р единицы;
В23 – запись в (nH + N + J )-й разряд регистра РГ Р нуля;
В24 – проверка условия < Сч jk> = nk;
В25 – сброс счетчика < Сч jk>.
63
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В пособии рассмотрены основные методы и алгоритмы цифрового моделирования входных воздействий в радиотехнических устройствах. Цифровое моделирование этих воздействий
является первостепенным, поскольку от успешности правильного их решения зависит успех моделирования радиотехнических устройств в целом.
Кроме того, в пособии уделяется внимание и вопросам оценки адекватности полученных цифровых моделей воздействиям,
действующим при натурных испытаниях или эксплуатации.
В результате освоения материалов пособия студенты смогут
самостоятельно осуществлять моделирование входных воздействий с учётом конкретных требований возникающих задач или
при разработках радиотехнических устройств.
64
Библиографический список
1. Поляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных
вычислительных машинах. М.: Сов. радио, 1971.
2. Катермоул К. В. Принципы имульсно-кодовой модуляции.
М.: Связь,1974
3. Кузьмин С. 3. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Сов. радио, 1974.
4. Красильников Н. Н. Статистическая теория передачи изображений. М.: Связь, 1976.
5. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971.328с.
6. Лихарев В. А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. М.: Сов. радио, 1973.
7. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964.
8. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976.
9. Борисов Ю. П. Математическое моделирование радиосистем. М.: Сов. радио, 1976.
10. Гольденберг Л. М., Левчук Ю. П., Поляк М. Н. Цифровые
фильтры. М.: Связь, 1974.
11. Солонина А. И., Арбузов С. Цифровая обработка сигналов.
Моделирование в Matlab. СПб.: БХВ-Петербург, 2008.
12. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: БХВПетербург, 2011. 758 с.
13. Теоретические основы радиолокации / под. ред. В. Е. Дулевича. М.: Сов. радио, 1978.
14. Ширман Я. Д., Голиков В. И. Основы теории обнаружения
радиолокационных сигналов и измерения их параметров. М.:
Сов. радио, 1953.
15. Моделирование в радиолокации /под. ред. А. И. Попова.
М.: Сов. радио, 1979.
65
Приложение
I. Z-преобразование
Z-преобразованием дискретной функции x(nT) называется
функция комплексного переменного z, полученная в результате
следующего преобразования:
=
x(z) Z=
{x(nT)}
∞
∑ x(nT)z−n .
n =0
Z-преобразование представляет собой модификацию дискретного преобразования Лапласа, в котором z = exp(pT).
Z-реобразование экспоненты f(nT) = exp(–αnT), например,
имеет следующий вид:
=
F (z) Z {exp(−α
=
nT)}
∞
∑ exp(−αnT)z−n .
n =0
Воспользовавшись свойством сходимости этого степенного
ряда переменной z–1, окончательно имеем
1
z
Z {exp(−αnT)} =
.
=
−1 z − exp(−αT)
1 − exp(−αT)z
Свойства Z-преобразования:
1. Z-преобразование линейно, т. е. справедливо следующее
равенство:
Z = {αf(nT) + βj(nT)} = αZ{f(nT)} + βZ{β(nT)}.
2. Теорема о свёртке
 ∞

Z  ∑ x(nT − kT)y(kT)  =
X(z)Y (z).
k =0

3.
Теорема
Z{x(nT)} = X(z).
запаздывания
Z{x(nT-mT)} = X(z)z–m
II. Применение БПФ
Операции в частотной области
1. Расчёт спектра временной функции
ÁÏÔ
x(t) → S(ω).
66
.
при
2. Расчёт временной функции по времени
ÁÏÔ
S(ω) → x(t).
3. Определение реакции линейной системы на временную
функцию
ÁÏÔ
ÁÏÔ
x(t) → S(ω) ,S(ω)K(ω) = G(ω), G (ω) →
y(t) .
4. Синтез передаточной характеристики линейной системы
ÁÏÔ
x(t) → S(ω) 
 K(ω)= G (ω) / S(ω).
ÁÏÔ
y(t) → G (ω) 
Операции во временной области
5. Свёртка временных последовательностей x[n] и y[n].
Операция дискретной свёртки:
=
Z [n]
1 N −1
∑ x [n]y[m − n].
N n =0
Операции свёртки во временной области соответствует операция перемножения в частотной области. Используя это свойство, можно применить БПФ:
ÁÏÔ
x[n] → S[k]
ÁÏÔ
y[n] → G [k].
Поскольку H[k] = S[k]G[k], находим
ÁÏÔ
=
H[k] S[k] G [k] → Z [m].
6. Определение корреляционной функции двух последовательностей:
=
r [m]
1 N −1
∑ x[n]y[n − m].
N n =0
Когда x[n] = y[n], эта формула выражает автокорреляционную
функцию:
=
r [m]
1 N −1
∑ x[n]x[n − m].
N n =0
67
Если считать с помощью БПФ спектры последовательностей:
ÁÏÔ
x[n] → S[k]
ÁÏÔ
y[n] → G [k],
то спектр последовательности R[k] будет
R [k] = S[k] G [k],
где G*[k] – комплексно-сопряжённый спектр G[k].
Отсюда обратным дискретным преобразованием Фурье с помощью БПФ получим интересующую нас корреляционную
функцию:
ÁÏÔ
R [k] → r [m].
68
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..............................................................................3
1. Цифровое представление
аналоговых сигналов и помех.................................................5
1.1. Модели радиосигналов...............................................5
1.2. Дискретизация.........................................................6
1.3. Квантование.............................................................8
2. Моделирование последовательностей
с заданным законом распределения....................................... 12
2.1. Базовые случайные последовательности..................... 12
2.2. Метод нелинейного преобразования
обратного функции распределения............................ 16
2.3. Метод отбора Неймана............................................. 19
2.4. Метод кусочной аппроксимации закона распределения.20
2.5. Методы моделирования нормальных
случайных последовательностей............................... 22
3. Критерии статистической проверки
случайных последовательностей........................................... 25
3.1. Статистическая проверка закона распределения.......... 25
3.2. Критерий согласия Колмогорова............................... 30
3.3. Тесты проверки случайности.................................... 33
4. Цифровое моделирование
случайных процессов........................................................... 36
4.1. Методы моделирования типовых случайных процессов.36
4.2. Анализ алгоритма скользящего суммирования............ 39
4.3. Поиск весовых коэффициентов
для формулы скользящего суммирования.................. 41
4.4. Быстрое преобразование Фурье................................. 45
4.5. Особенности моделирования случайных процессов
с рациональным спектром....................................... 49
4.6. Моделирование марковских случайных процессов....... 53
5. Примеры моделирования
входных воздействий........................................................... 55
5.1. Моделирование последовательности
двоично-квантованных эхо-сигналов
радиолокационной станции обнаружения.................. 55
Заключение....................................................................... 64
Библиографический список.................................................. 65
Приложение ...................................................................... 66
69
Учебное издание
Астратов Олег Семёнович
ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
РАДИОСИГНАЛОВ И ПОМЕХ
Учебное пособие
Редактор В. П. Зуева
Компьютерная верстка А. Н. Колешко
Сдано в набор 15.10.17. Подписано к печати 16.11.17. Формат 60 × 84 1/16.
Усл. печ. л. 4,1. Уч.-изд. л. 4,3. Тираж 50 экз. Заказ № 482.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 949 Кб
Теги
astratov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа