close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Astratov Motiko Obykhova

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ОСНОВЫ
КОМПЬЮТЕРНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
И МОДЕЛИРОВАНИЯ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
И СИСТЕМ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ № 1–4
Санкт-Петербург
2014
Составители: О. С. Астратов, А. А. Мотыко, Н. А. Обухова
Рецензент – кандидат технических наук, доцент В. В. Саломасов
Указания содержат рекомендации по подготовке и методике выполнения лабораторных работ по дисциплине «Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных систем»,
изучаемой студентами специальностей по направлению 21040062
«Радиотехника».
Лабораторные работы выполняются в компьютерном классе с использованием пакетов прикладных программ MicroCap, MathLab
и др.
Предназначены для студентов очного, вечернего и заочного обучения.
Пособие подготовлено к публикации кафедрой радиотехнических и оптоэлектронных комплексов по рекомендации методической комиссии института радиотехники, электроники и связи
Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
В авторской редакции
Компьютерная верстка Ю.А. Гайнутдинова
Подписано к печати 21.08.14. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,84. Уч.-изд. л. 3,82.
Тираж 100 экз. Заказ №. 413.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2014
Лабораторная работа №1
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ РЭУ
В СИСТЕМЕ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
MICRO–CAP.
Цель работы: получение практических навыков по выполнению схемотехнического моделирования работы РЭУ в Micro-Cap
IX (в дальнейшем MC9).
1. Методические указания
1.1. Основные сведения о системе схемотехнического
моделирования MC 9
Программа схемотехнического моделирования МС9 позволяет:
– создать в интерактивном режиме описание схемы устройства;
– выполнить ее моделирование.
Описание схемы анализируемого устройства может быть сформировано двумя способами:
– в виде чертежа схемы, аналогичного изображению принципиальной или функциональной схем, который выполняется в графическом схемном редакторе;
– в текстовом виде в формате SPICE [2], создаваемом в обычном
текстовом редакторе.
Наиболее часто используют графический схемный редактор, поэтому создание текстового описания схемы в рамках данного пособия не рассматривается.
Принципиальная электрическая схема, создаваемая в МС9, содержит компоненты, которые имеют математические модели двух типов:
– встроенные модели стандартных компонентов (резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, транзисторы, диоды и др.),
для которых можно изменять только значения параметров;
– макромодели компонентов, составленные из стандартных,
в виде электрических схем замещения с помощью текстового описания в формате SPICE по директиве .SUBCKT [1, 2], или в виде графического изображения макросхемы(Макросхема  это чертеж схемы, созданный и сохраненный на диске, который можно использовать в качестве компонента в другой схеме. Чтобы определить подключение макросхемы в вызывающую схему, используются условные обозначения ее выводов).
3
Формирование и редактирование библиотек компонентов осуществляется в окне, вызываемом по команде Windows>Component
Editor (Окна>Редактор компонентов). Здесь для каждого компонента объединяется информация о его имени, условном графическом
обозначении, текстовых атрибутах, типе математической модели
и обозначении выводов.
Для редактирования условных графических обозначений компонентов служат редакторы Shape Editor (Редактор изображений)
и Object Editor (Редактор корпусов).
Проведение моделирования устройства содержит различные виды анализа, в частности, три основных вида:
Transient Analysis – анализ переходных процессов. Анализ выполняется во временной области. Используются нелинейные модели компонентов схемы. Токи и напряжения являются действительными величинами.
AC Analysis – анализ частотных характеристик. Программа автоматически создает малосигнальные модели каждого нелинейного
компонента, определяя режим по постоянному току до проведения
AC анализа, а затем линеаризует параметры каждого компонента
схемы относительно рабочей точки. Далее МС9 формирует систему
линейных уравнений цепи и находит решения для каждого напряжения и тока в схеме в каждой точке заданного частотного диапазона. Все токи и напряжения при выполнении этого вида анализа
комплексные. Для некоторых компонентов имеется атрибут FREQ,
определяющий изменение параметра от частоты.
DC Analysis – анализ передаточных функций по постоянному току. Используются нелинейные модели компонентов схемы. Может
предшествовать выполнению других видов анализа.
Перед началом анализа необходимо сформировать задание
на расчет, которое формируют в диалоговом окне задания параметров моделирования. Результатом моделирования схемы являются
данные, представленные в виде двухмерного или трехмерного графиков, в числовом табличном виде или в текстовом файле на диске.
В каждом из типов анализа можно проводить дополнительные
исследования, связанные с изучением температурных эффектов,
с вариацией параметров компонентов и моделей и символических
переменных (режим Stepping, допускающий вариацию одновременно до 10 параметров) или со статистическими испытаниями по
методу Монте–Карло (режим Monte Carlo).
В режиме Monte Carlo MC9 находит эффективные оценки параметров в каждом статистическом испытании и представляет инфор4
мацию графически в форме гистограмм или численно в форме оценок статистических параметров.
Для исследования, просмотра, обработки и аннотирования графических зависимостей имеются такие многочисленные возможности: два управляемые курсора графиков, средства нанесения в поле
графика числовых значений, разности значений характерных точек
и текстовой информации, панорамирования и масштабирования
графиков с результатами моделирования и многое другое.
При выполнении анализа построение графиков происходит в процессе расчета, и выводятся только те зависимости, которые заранее
определены в окне задания параметров моделирования. Поэтому в системе МС9 поддерживается при выполнении всех видов анализа режим
Probe, при котором пользователь в интерактивном режиме указывает
на схеме любой элемент и для него в специальном окне формируется
допустимая зависимость. Режим Probe имеет ограничения по возможностям дополнительного исследования полученных зависимостей.
Выбор режима работы МС9 инициализируется или выбором команды Analyze >Transient Analysis/ AC Analysis/ AC Analysis
(Анализ>Анализ переходных процессов/ Частотный анализ/Анализ по постоянному току или с помощью горячих клавиш (рис. 1).
В MC9 приняты следующие соглашения для обозначения констант и имен переменных.
Форматы чисел:
– обычное представление вещественных чисел, как чисел с плавающей запятой (1.0, 6, 12.7);
– стандартный экспоненциальный формат (1E–12, –4E+3);
Рис. 1. Меню основных видов анализа в MC9
5
Таблица 1
F
P
N
Femto
Pico
Nano
1E-15
1E-12
1E-9
U
M
K
Micro
Milli
Kilo
1E-6
1E-3
1E+3
MEG
G
T
Mega
Giga
Tera
1E+6
1E+9
1E+12
Таблица 2
V(A)
V(A,B)
V(D)
I(D)
I(A,B)
T
F
Напряжение в узле A
Разность напряжений между узлами A и B
Падение напряжения на элементе D
Ток, протекающий через элемент D
Ток, протекающий через элемент, включенный между узлами
A, В
Время
Частота
– формат технических обозначений (2.7K, 2.32PF, 10.0mA). Эта
система обозначений использует стандартные технические сокращения. Система обозначений использует общепринятые масштабные суффиксы, представленные в табл.1. Для улучшения наглядности допускается использовать буквенные символы (V, A, Hz):
2.7КОм. Между числом и символами пробелы недопустимы.
Имена узлов:
– номер узла, назначенный MC9, который может быть визуализирован нажатием на кнопку
на панели инструментов;
– назначенное пользователем наименование узла (Имена узлов
должны содержать максимум 50 алфавитно–цифровых символов,
включая и символ подчеркивания, и должны начинаться с буквенного символа или символа подчеркивания).
Математические выражения, описывающие поведение схемы,
включают в себя ссылки на узлы схемы и на физические переменные типа тока, напряжения и др. Частичный список переменных,
используемых в выражениях, приведен в табл. 2.
1.2. Ввод и редактирование графического изображения схемы
После вызова программы появляется ее основное окно, структура
которого в настоящее время является стандартной для многих приложений WINDOWS. Автоматически открывается схемный редактор, в котором формируется чертеж схемы, и с помощью диалого6
Рис. 2. Вид палитры компонентов в главном меню MC9
вых окон определяются параметры элементов схемы. Для открытия
в процессе работы еще одного окна схемного редактора необходимо
выбрать в меню команду File>New (Ctrl+N). В активизированном диалоговом окне New File установить флаг Schematic и нажать ОК.
Создание схемы состоит из размещения входящих в нее электрических элементов – компонентов схемы, определения их атрибутов,
добавления в схему соединяющих проводников и нанесения поясняющего текста.
Для размещения компонентов необходимо выполнить следующую последовательность действий:
1. Перейти в режим ввода компонентов нажатием на кнопку панели
инструментов
или CTRL+D.
2. Задать тип компонента, размещаемого на чертеже. Тип определяется выбором из меню Component,
из палитры компонентов (рис. 2) или
из панели компонентов, которая расположена в левом нижнем углу экрана (рис. 3). Если панель компонентов не открыта ее следует вызвать командой Options>Component Palettes
(Опции>Панель компонентов). Шаг 2
может быть опущен, если размещаемый на предыдущем шаге компонент
был того же типа.
3. Поместить компонент в нужное
место чертежа, перемещая мышь
в поле чертежа схемы при нажатой
левой кнопке. Чтобы добиться нужного положения компонента, следует, не
отпуская левой кнопки, вращать компонент, нажимая правую кнопку мыши или клавишу ПРОБЕЛ. Когда компонент займет требуемое место и положение, надо отпустить кнопку мыши.
Рис. 3. Вид панели
компонентов MC9
7
Рис. 4. Вид диалогового окна для задания значений параметров
компонентов
4. После размещения компонента откроется специальное диалоговое окно, предназначенное для ввода информации о параметрах компонента или наименовании модели. Количество и список атрибутов
определяется конкретным типом компонента. Простейшие компоненты (резистор, конденсатор, индуктивность и др.) имеют небольшое количество атрибутов. К ним относятся позиционное обозначение PART (например, R5, C13), номинальное значение (Resistance для
резистора, Capacitance для емкости и т.д.) при DC, АC и Transient анализе, номинальное значение FREQ только при АC – анализе и атрибут имени модели MODEL. При вводе номинальных значений используются соглашения, приведенные в п. 1.1. После ввода необходимых
значений окно надо закрыть, нажав кнопку Ok (Да) (рис. 4).
5. Для соединения проводниками компонентов, размещенных
на чертеже схемы, нужно перейти в соответствующий режим, нажав CTRL+W или на кнопки Wire (Ортогональный проводник)
или WireD (Диагональный проводник)
панели инструментов. При выборе режима Wire проводники могут быть расположены только горизонтально или вертикально или состоять из двух
взаимно перпендикулярных отрезков. При выборе режима WireD
проводник состоит из одного отрезка, расположенного произвольным образом.
Чтобы расположить проводник, нужно щелкнуть мышью в одной конечной точке, а затем перетащить мышь к другой конечной
8
точке и отпустить кнопку. При соединении нескольких точек необходимо учитывать следующее:
– ориентация вершины проводника с двумя сегментами может
быть изменена, если щелкнуть правой кнопкой мыши перед тем
как отпустить левую;
– если два проводника соединяются концевыми точками, то это
один проводник, причем обозначение соединения точкой отсутствует;
– если любая концевая точка проводника касается другого проводника, то проводники соединены;
– проводники, которые пересекаются не в концевых точках, не
соединяются; концевая точка проводника может соединяться только с другой концевой точкой, выводом компонента, или внутренней
точкой другого проводника;
– проводник, который пересекает конечную точку другого проводника или концевую точку вывода компонента, соединяется с концевой точкой вывода или проводником.
Для размещения текста сетки на чертеже схемы нужно нажать
CTRL+T или на кнопку TEXT
панели инструментов. Для обозначения узлов схемы в них размещают текст или в простейшем случае
используют автоматическую нумерацию узлов.
Перейдем к созданию чертежа схемы (рис. 6).
В панели компонентов выберем Capacitor (конденсатор) и поместим его в требуемом месте чертежа. После отпускания левой
кнопки мыши появляется диалоговое окно, в котором уже активизирован атрибут CAPACITANCE, и в текстовое поле с именем
VALUE (Значение) в соответствии с правилами записи чисел в МС9 вводится номинальное значение. Расположенные рядом флажки позволя-
1
2
3
4
Рис. 6. Вид принципиальной схемы, набранной в МС9
9
ют включать или выключать режим отображения на чертеже схемы
наименований и значений соответствующих атрибутов. Поступая аналогичным образом, размещаем все конденсаторы, катушки индуктивности и резисторы. Система МС9 автоматически определяет первый
символ в позиционном обозначении компонента в соответствии с определенными правилами [1], а затем в обозначении присваивает увеличивающийся численный индекс. Допускается изменение системы позиционных обозначений вручную, например, вместо обозначений транзисторов Q1, Q2… можно обозначать транзисторы по ЕСКД VT1, VT2…
Для размещения источников тока и напряжения на палитре
компонентов следует выбрать соответственно Components>Analog
primitives>Waveform Sources>Battery и Components>Analog
primitives>Waveform Sources>ISource.
Далее соединяем расположенные на чертеже схемы компоненты
проводниками (режимы Wire
или WireD
).
Любая схема, подлежащая анализу, должна содержать узел
нулевого потенциала – заземление. Поэтому на панели выберем
Components>Analog Primitives>Connectors> Ground и расположим
на чертеже схемы этот компонент.
Непосредственно с созданием схемы связан процесс ее редактирования. Для того чтобы редактировать, перемещать, копировать,
удалять объекты (компоненты, проводники, текст и т.д.), они должны быть сначала выбраны.
Выбор или выделение. Для активизации режима выбора следует
нажать CTRL+E или кнопку панели инструментов Select
. Затем
щелкнуть мышью на объекте. Для выбора группы объектов используется щелчок мышью при нажатой клавише SHIFT. Чтобы выбрать
область, нужно перетащить мышь над областью. Для снятия выбора
отдельных объектов в группе используется щелчок мышью при нажатой клавише SHIFT. Выбранные элементы обозначаются оттененным фоном, выделением рамкой, цветом или увеличением яркости.
Перемещение объектов. Выбранный объект перемещается на чертеже движением мыши при нажатой левой кнопке. Перенос объекта
при нажатой клавише CTRL создает новую копию объекта, при этом
автоматически переименовывается копия объекта.
Редактирование атрибутов компонента. В режиме выбора следует дважды кликировать на изображении компонента или его
атрибута в поле чертежа и выполнить требуемые изменения атрибутов в появившемся окне атрибутов.
10
Использование буфера обмена. Выделенные объекты могут быть
скопированы в буфер обмена командой копирования COPY или перенесены в буфер обмена командой вырезания Cut. Содержимое буфера обмена может быть вставлено в текущую позицию курсора
чертежа схемы или в поле данных командой вставки Paste. Положение курсора определяет левый верхний угол вставляемой области. Для выполнения команд COPY, Cut и Paste можно использовать
аналогичные пункты меню EDIT, соответствующие кнопкам панели инструментов
CTRL+C, CTRL+X и CTRL+V.
или комбинациям «горячих» клавиш
1.3. Расчет и анализ переходных процессов на динамических
компонентах схемы
Для выполнения расчета переходных процессов в схеме необходимо выбрать команду Transient Analysis в меню Analysis. Если схема составлена корректно с точки зрения МС9, то появится диалоговое окно Transient Analysis Limits (Установки анализа переходных
процессов), в противном случае будет выдано сообщение об ошибке, и программа потребует редактирования чертежа.
В открывшемся диалоговом окне Transient Analysis Limits необходимо определить основные параметры выполняемого анализа.
Строка ввода Time Range (Диапазон времени) определяет интервал времени, в котором рассчитывается переходный процесс. Формат задания tmax [,tmin]. Например, для того чтобы переходный
процесс был рассчитан в интервале от одной до трех миллисекунд,
в строке Time Range необходимо ввести “3U,1U”. Значение tmin может быть не указано, по умолчанию tmin = 0.
Строка ввода Maximum Time Step (Макс. Шаг по времени) определяет величину, до которой МС9 постепенно увеличивает шаг интегрирования при расчете переходных процессов в схемах, содержащих емкости и индуктивности. Задание относительно небольшого значения
Maximum Time Step позволяет получить более гладкие формы графиков, но не оказывает влияния на точность расчетов. Последняя контролируется специальными алгоритмами. Если значение Maximum
Time Step не задано, то его величина по умолчанию (tmax–tmin)/50.
Строки ввода Number of points (Число точек) и Temperature (Температура), соответственно, определяют число точек, которое будет
содержать табличное представление графиков (по умолчанию 51)
и температуру, при которой проводится анализ (по умолчанию 27С).
11
Рис. 7. Вид диалогового окна для установки основных параметров
для анализа переходных процессов
Для обеспечения соответствия результатов моделирования МС9
результатам, которые будут получены Вами методом переменных
состояния, задайте в строке Time Range интервал времени, равный
времени расчета, используемому во второй лабораторной работе.
Остальные значения целесообразно оставить по умолчанию.
Далее необходимо ввести информацию, определяющую график
каждого переходного процесса. Для этого надо заполнить строки
ввода, оформленные в виде таблицы и расположенные в нижней части окна Transient Analysis Limits (рис. 7).
X expression (Выражение по оси Х) – поле используется для определения переменной, откладываемой по оси X. Обычно это поле содержит просто имя переменной, например времени T (Time) при
анализе переходных процессов, однако может быть и более сложное
выражение, например H(K1) – напряженность магнитного поля сердечника K1.
Y expression (Выражение по оси Y) – поле используется для определения выражения переменной, откладываемой по оси Y. Обычно
этот столбец содержит простое выражение, например разность напряжений между узлами – V(12,11) или ток индуктивности L1 – I(L1),
однако оно может быть и более сложным, например V(VCC)*I(VCC) –
мощность, отдаваемая источником питания VCC.
X range (Масштаб по оси Х) – поле используется для определения
диапазона изменения переменной Х. Формат: большее значение,
[меньшее значение]. Например, чтобы определить диапазон времени от одной до десяти миллисекунд, в поле указывается “10U, 1U”.
Меньшее значение по умолчанию нулевое. Диапазон изменения переменных должен быть определен до начала моделирования.
12
Y range (Масштаб по оси Y) – поле используется для определения диапазона изменения переменной по оси Y. Для последних двух
полей можно установить режим автоматического определения диапазона, если поместить в это поле ключевое слово “AUTO”. Установка флага Auto Scale Ranges (Автомасштабирование) эквивалентно
размещению слова “AUTO” во всех строках этих двух полей.
Щелчок правой кнопкой мыши в любом из этих полей приводит к появлению плавающего меню, которое содержит список переменных, констант, функций и операторов, доступных для выбора (рис. 8). МС9 позволяет вычислять широкий спектр выражений для любой из осей. Любое поле для удобства редактирования
длинных выражений может быть расширено при выборе из этого меню пункта Expand или при нажатии на кнопку Expand. При
щелчке правой кнопки мыши в полях Range вызывается более
простое плавающее меню, содержащее возможные варианты задания значений этих полей.
Отобразим в окне с номером 1 график переходного процесса
для емкости C2, а в окне 2 – для индуктивности I7. Введем в графу Г первой строки число “1”, в графу X expression – “T”, в графу Y
expression – “V(C2)”. Аналогично заполним графы таблицы, описывающей переходный процесс в I7. Для графика, соответству-
Рис. 8. Вид плавающих меню для установки параметров анализа
переходных процессов
13
ющего переходному процессу в индуктивности, Г следует задать
равным 2.
Для добавления строк и удаления ненужных строк этой таблицы
используются кнопки Add (Добавить) и Delete(Удалить).
Слева от таблицы расположена область с кнопками для управления параметрами графиков. Каждая кнопка воздействует только
на график, определенный в этой строке. Первые две кнопки переключают линейный или логарифмический масштаб по горизонтальной
или вертикальной осям; третья позволяет установить цвет выводимого графика, а нажатие на четвертую кнопку назначает вывод данных анализа в числовой форме в виде таблиц в файл пользователя.
Перед выполнением моделирования необходимо запретить расчет рабочей точки перед началом анализа, для чего сбрасывается соответствующий этому режиму флаг Operating Point. (Рабочая точка
на DC). Флаг Operating Point Only (Только раб. точка на DC) также
должен быть сброшен, в противном случае будет выполнен только
расчет по постоянному току.
Возможные варианты инициализации начальных условий (напряжения аналоговых узлов, токов через катушки индуктивности)
определяются в раскрывающемся списке опции State Variables (Начальные условия).
Zero – начальные значения инициализируемых переменных
устанавливаются равными 0.
Leave – начальные значения инициализируемых переменных
остаются равными их текущим значениям, т.е. используются их последние значения. Если анализ выполняется первый раз, то они нулевые. Если анализ уже выполнялся, но возврата к схемному редактору не было, то в качестве новых начальных значений принимаются их значения в конце предыдущего выполнения анализа.
Теперь, чтобы выполнить моделирование работы схемы, необходимо нажать кнопку Run (Запустить) диалогового окна Transient
Analysis Limits. Если все графы заполнены верно, появится окно анализа с отображенными на нем двумя группами графиков.
После окончания анализа предоставляются дополнительные
возможности для просмотра, обработки и аннотирования. Они позволяют осуществлять панорамирование, масштабирование графиков и отметку их числовых значений (маркирование). С помощью
двух дополнительных курсоров графиков и специальных функций
курсора становятся доступными измерение координат характерных точек на графиках, таких как локальные и глобальные мини14
мумы и максимумы, точки перегиба, длительности фронтов и период колебания и др. Для аннотирования и документирования графиков используются отметки значений, текст и графические объекты.
Основные инструменты для реализации перечисленных функций
приведены ниже.
Scale
F7
Cursor
F8
Text
Point Tag
Horizontal Tag
Vertical Tag
Go To X
Shift+Ctrl+X
В этом режиме при нажатой левой кнопке мыши и ее
движении образуется прямоугольная область, увеличивающаяся до размеров графика при отпускании
кнопки. Нажатие клавиши F6 восстанавливает прежнее состояние.
Включение двух курсоров на графике: левого и правого. В поле графика они перемешаются при удерживании, соответственно, левой или правой кнопок мыши.
Перемещение курсора и активизацию этого режима
вызывают также команды Go to X, Go to Y и Go to
Performance.
Режим используется для нанесения поясняющего текста в поле графика, полученного при анализе. В этом
режиме нажатие левой кнопкой указывает местоположение текста, размещаемого на графике. Редактирование текста осуществляется после его выбора.
В этом режиме левая кнопка мыши используется,
чтобы отметить точку на графике парой числовых X, Y
величин. Отметка зафиксируется в самой ближайшей
точке данных.
В этом режиме левая кнопка мыши используется для
перемещения между двумя точками данных в горизонтальном направлении с числовой отметкой разности в этом направлении. Две точки данных могут
находиться на одном графике или на двух различных
кривых. Отметки фиксируются в ближайших точках
данных.
В этом режиме левая кнопка мыши используется для
перемещения между двумя точками данных в вертикальном направлении с числовой отметкой разности.
Две точки данных могут находиться на одном графике
или на двух различных кривых. Отметки фиксируются в ближайших точках данных.
Эта команда вызывает диалоговое окно Go To X, в котором задаются X координаты для левого и правого
курсоров графиков и с помощью кнопок управления
осуществляется их перемещение.
15
Go To Y
Shift+Ctrl+Y
Go to
Performance*
Эта команда вызывает диалоговое окно Go To
Performance. В этом окне вычисляются значения
характеристических функций. При этом курсоры
графиков перемещаются в точки измерения. Например, можно измерять длительность импульса, ширину
полосы частот, время нарастания и спада импульса,
задержку, период, максимум и минимум и др.
Next
Перемещение к следующему значению. В этом режиме нажатие клавиш управления курсора «←» или «→»
переме–щает левый курсор от текущей точки данных
до соседней точки данных налево или направо. Если
при этом удерживать клавишу Shift, то перемещается
правый курсор.
Peak
Выбор режима локального максимума. В этом режиме курсоры графиков перемещаются в направлении
движения курсора от текущей точки данных до точки
ближайшего локального максимума.
Valley
Выбор режима локального минимума. В этом режиме курсоры графиков перемещаются в направлении
движения курсора от текущей точки данных до точки
ближайшего локального минимума.
High
Low
Inflection
16
Эта команда вызывает диалоговое окно Go To Y, в котором задаются Y координаты для левого и правого
курсоров графиков и с помощью кнопок управления
осуществляется их перемещение.
Выбор режима глобального максимума. В этом режиме курсоры графиков перемещаются от текущей точки
данных до точки глобального максимума.
Выбор режима глобального минимума. В этом режиме
курсоры графиков перемещаются от текущей точки
данных до точки глобального минимума.
Выбор режима точки перегиба. В этом режиме курсоры графиков перемещаются в направлении движения
курсора от текущей точки данных до ближайшей точки перегиба. Точке перегиба соответствует точка изменения знака второй производной на графике сигнала.
К инструментальным средствам просмотра результатов анализа
можно также обращаться из меню Scope.
Ниже графиков расположена таблица, в колонках которой отображены: имена выводимых на графике переменных (из графы Y
expression), значения переменных в точках расположения левого
и правого курсоров (Left и Right), разность (Delta) и тангенс угла наклона прямой, соединяющей курсоры (Slope). Число строк этой таблицы определяется числом выводимых в данной группе графиков,
в последней строке выведено значение независимой переменной.
Из всего множества выводимых графиков один всегда является
активным, что обозначается символом подчеркивания его имени.
Для смены активности используется щелчок мышью по имени или
клавиши Tab, или Shift+Tab.
Для определения установившихся значений переходных процессов воспользуемся режимом Point Tag и считаем значение тока и напряжения на пологих участках графиков. Для получения более точных значений целесообразно применять возможности электронных
курсоров в режиме Cursors. Полученные графики с выполненным
аннотированием и документированием приведены на рис. 9
Рис. 9. Графики переходных процессов полученные в MC9
17
2. Порядок выполнения работы
1. Изучить основные правила и особенности работы с программой MC9.
2. Создать графическое описание схемы в соответствии с вариантом, указанным преподавателем (табл. 3).
Таблица 3
Вариант
Номиналы
источников
Принципиальная схема
1
L8
0.5
I9
C3
R6
300
0.5u
R7
1000
V1
V2
R5
500
V1 = 10B;
V2 = 20B;
I8 = 50mA.
C4
0.2u
Вариант 1. V1=10B, V2=20B, I9=50mA.
2
C3 0.1u
R6 500
R5 1000 L8 0.2
V1 C4
0.05u
3
V1 = 12B
V2 = 15B;
I9 = 20mA.
V2
R7 2000
I9
Вариант 2. V1=12B, V2=15B, I9=20mA.
R4 100
L6 0.02
C3
0.5u
L7 0.01
V1 C2
1u
R5
200
I8
Вариант 3. V1-10B, I8=100mA.
18
V1 = 10B;
I8 = 100mA.
Продолжение табл. 3
Вариант
4
Номиналы
источников
Принципиальная схема
R4
270
C3
0.2u
C2
0.1u
V1
V1 = 30B;
I8 = 100mA.
L7
0.2
R6
I8 1000
R5
510
5
R4
R5
100
200
C2
V1
0.5u
R6
300
L8 L9
0.01 0.02
I10
V1 = 10B;
I10 = 25mA.
R7
200 C3
1u
Вариант 5. V1=10B, I10=25mA.
6
R6 300
R3 1000
V1 C2
0.01u
R4
500
L7
0.05
R5
200
V1 = 15B;
I8 = 10mA.
I8
Вариант 6. V1=15B, I8=10mA.
7
L6
0.1
V1
C2
0.5u
R4
300
18
C3
0.2u
L7
0.05
R5
500
V1 = 20B;
I8 = 20mA.
19
Конец табл. 3
Вариант
Номиналы
источников
Принципиальная схема
8
R6
470
I10
R5
150
8
V1
C3
0.1u
V2
C4
0.05u
R8
200
Вариант 8. V1=12B, V2=15B, I10=0,03A.
R6
470
I10
R5
150
9
R7
100
L9
0.03
R7
100
L9
0.03
V1
C3
0.1u
V2
C4
0.05u
L7
0.05
R3
1000
I8
C2
V1 0.5
V1 = 12B;
V2 = 15B;
I10 = 30mA.
R8
200
Вариант 8. V1=12B, V2=15B, I10=0,03A.
L6
0.2
V1 = 12B;
V2 = 15B;
I10 = 30mA.
V1 = 30B;
I8 = 10mA.
R5
300
R4
500
Вариант 9. V1=30B, I8=10mA.
10
R4
1000 C2
1u
R5
L7
300
0.03
V1
I9
L8
0.01
R6
200
C3
0.5
Вариант 10. V1=30B, I9=15mA.
20
V1 = 30B;
I8 = 15mA.
3. Провести анализ переходных процессов на динамических компонентах схем.
4. Выполнить документирование графиков.
5. Оформить отчет.
3. Содержание отчета
1. Заданный вариант принципиальной схемы.
2. Распечатка аннотированных переходных процессов на динамических компонентах схемы.
4. Контрольные вопросы
1. Объяснить характер переходного процесс на одном из динамических компонентов схемы.
2. Что и каким образом нужно изменить в схеме, чтобы колебательный (апериодический) характер переходного процесса в схеме
превратить в апериодический (колебательный)?
3. Чем определяется длительность переходного процесса на данном динамическом компоненте?
4. Чем определяется форма переходного процесса на данном компоненте?
Библиографический список
1. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования Micro–Cap V.
М.: СОЛОН, 1997. 274 с.
2. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования и проектирования печатных плат Design Center (PSpice). М.: СК Пресс, 1996. 272 с.
3. Разевиг В. Д. Система моделирования Micro–Cap 6. М.: Горячая линия–Телеком, 2001. 344 с.
21
Лабораторная работа №2
АНАЛИЗ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
Цель работы: изучение матрично–топологического принципа
формализации процесса составления уравнений электрической цепи, применяемого в ряде универсальных машинных программ анализа электронных схем, особенностей метода переменных состояния.
1. Методические указания
1.1. Топологическое уравнение цепи
Анализ электронных схем на компьютере производят с помощью
математической модели, которая представляет собой систему уравнений, описывающих работу исследуемой схемы. Алгоритмы автоматического составления уравнений с помощью компьютера основаны на использовании топологического описания цепей. В основе
топологического описания схем лежит понятие графа.
Графом электронной схемы называется скелетная схема, изображающая топологию элементов схемы, т.е. соединения элементов между собой. Вершины графа соответствуют узлам схемы,
ребра – отдельным элементам. Построение графа производят по
эквивалентной схеме. В общем виде эквивалентную схему получают из принципиальной электрической путем замены нелинейных элементов (транзисторы, диоды) их упрощенными эквивалентными схемами, но в данной работе мы ограничимся рассмотрением линейных цепей, предполагая, что замена нелинейных
элементов уже произведена.
Пусть задана эквивалентная схема (рис. 1). Построим граф и выберем его собственное дерево.
1. Обозначим узлы на схеме, учитывая, что каждый элемент схемы: источник напряжения, емкость, резистор, индуктивность, источник тока находятся между узлами. Нумерацию узлов обозначим
арабскими цифрами, шину “земля” принципиальной схемы обозначим узлом “0”.
2. Пронумеруем элементы схемы, давая им сквозную нумерацию. При этом будем соблюдать иерархию: источники напряжения,
емкости, резисторы, индуктивности, источники тока (E,C,R,L,I).
22
L7
0.1
1
2
R3
1000
V1
15
R4
500
0.01u
C2
3
4
R6
300
R5
200
l8
Рис. 1. Принципиальная схема для анализа переходных процессов
Рис. 2. Граф схемы
3. Нанесем узлы на чертеж графа (рис. 2), сохраняя нумерацию
узлов эквивалентной схемы. Их следует располагать так, чтобы
по возможности избежать взаимных пересечений ребер.
4. Узлы на графе соединяют линиями произвольной длины
и формы, которые называются ребрами. Ребра графа сохраняют номера элементов, которые они заменяют.
5. На ребрах графа стрелками обозначают положительные направления токов и напряжений, принятые на эквивалентной схеме.
6. После построения графа выбирают собственное дерево графа.
Деревом графа называется совокупность ребер, содержащая все узлы графа, но не образующая ни одного замкнутого контура (рис. 3).
Ребра, вошедшие в дерево, называются ветвями, ребра, дополняющие дерево графа – хордами.
Граф может иметь ряд деревьев (рис. 3). Если граф содержит n
узлов, то каждое дерево графа состоит из m ветвей, где m = n – 1.
Для графа, изображенного на рис. 2, m = n – 1 = 5 – 1 = 4.
С учетом упомянутой иерархии E1, С2, R3, R4, R5, R6, L7, I8
образуется последовательность ребер 1–2–3–4–5–6–7–8. Из этой
23
Рис. 3. Деревья графа
последовательности выбираем по порядку номеров ребра, не образующие ни одного замкнутого контура. В результате этого получаем
собственное нормальное дерево 1–2–4–6 (рис. 3).
На рис. 4 сплошными линиями изображено собственное дерево
графа с ветвями 1–2–4–6, а пунктирными линиями – хорды 3–5–7–8.
Собственное нормальное дерево содержит все источники напряжения, все емкости и часть резисторов и не содержит индуктивностей
и источников тока.
Оставшаяся часть резисторов, все индуктивности и источники
тока входят в хорды. Такое распределение элементов эквивалентной схемы связано с принятой иерархией нумерации (E, C, R, L, I)
эквивалентной схемы.
Информация, содержащаяся в графе, переводится на алгоритмический язык с помощью топологических матриц – матрицы главных сечений графа, матрицы главных контуров и структурной матрицы графа.
24
Рис. 4. Собственное нормальное дерево графа
1.2. Матрица главных сечений графа
Сечением графа называется линия, делящая граф на две несвязанные части. На рис. 5, а изображены произвольные сечения графа
(A, B, C, D) . Линии сечения на этом рисунке пересекают произвольное число ребер и хорд.
Для получения главного сечения графа нужно линию сечения
графа провести таким образом, чтобы она пересекала только одну
ветвь при произвольном пересечении хорд. Так как главное сечение
графа пересекает только одну ветвь, то число главных сечений равно числу ветвей дерева. На рис. 5, б сечения A, B, C, D – главные.
Построим матрицу главных сечений Асеч, строки которой
соответствуют главным сечениям, а столбцы – ребрам графа.
Начальные столбцы матрицы соответствуют ветвям в порядке возрастания номеров ветвей графа, остальные – хордам в порядке возрастания хорд графа:
Ветви
Añå÷
1
0
=
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
РЕБРА
Хорды
0
0
0
1
−1 0
−1 1
0 −1
0 0
0
0
0
1
.
1 −1
1 −1
(1)
Каждый элемент аij матрицы Асеч равен: аij = +1, если j-е ребро
пересекает i-е сечение в том же направлении, что и ветвь, определя25
Рис. 5. a) Произвольные сечения графа.
б) Главные сечения графа.
ющая это сечение; аij = –1, если j-е ребро пересекает i-е сечение в направлении, противоположном направлению ветви, определяющей
это сечение; aij = 0, если j-е ребро не пересекает i-е сечение.
Сформированная матрица главных сечений Асеч состоит из двух
подматриц: матрицы главных сечений для ветвей и матрицы главных сечений для хорд. Из способа формирования матрицы Асеч очевидно, что каждый из диагональных элементов аij первой подматрицы равен единице, поэтому первая подматрица – матрица главных
сечений для ветвей представляет собой единичную матрицу E. Вторую подматрицу – матрицу главных сечений для хорд – обозначим F.
Таким образом, матрица главных сечений может быть представлена как
Асеч = E F. (2)
Матрицу главных сечений Аcеч можно использовать для записи
уравнений по первому закону Кирхгофа, если придать ее элементам
определенный физический смысл: каждый идентичный элемент
в j-м столбце означает ток Ij в С ребре, сумма токов каждой i-й строки равны алгебраической сумме токов, протекающих через i-е сече26
ние. По принципу нейтральности зарядов алгебраическая сумма токов, протекающих через каждое сечение, должна быть равна нулю.
Для рассматриваемого графа (рис.5, б):
i1 – i3 = 0,
i2 – i3 + i5 – i8 = 0,
i4 – i5 + i7 – i8 = 0,
i6 + i7 + i8 = 0.
(3)
Система уравнений (3) является первым законом Кирхгофа,
обобщенным на сечения схемы.
Систему (3) можно представить как
i1
1
0
0
0
0
0
0
0
0 −1
0 −1
0 0
1 0
0
0
1
0
0
1
−1
0
i2
0 0 i4
0 −1 i6
∗
= 0,
1 1 i3
1 1 i5
i7
i8
(4)
либо
Aсеч * I = 0,
(5)
где I – вектор–столбец токов ребер.
В векторе I последовательность элементов должна соответствовать последовательности столбцов в Асеч.
Уравнение (5) обозначает, что Асеч можно использовать как оператор алгебраического суммирования токов ребер при составлении
уравнений по первому закону Кирхгофа. Матричное уравнение (5)
является экономной формой записи уравнений (3).
Вектор токов I состоит из двух подвекторов: вектора токов ветвей
Iв и вектора токов хорд Iх .
IT = i1
i2
i4
i6
i3
i5
i7
i8
T
=
IÂ
.
IÕ
(6)
С учетом (6) и (2) уравнение (5) преобразуется к виду
Àñå÷ ∗ I = E,F ∗
Iâ
= E ∗ Iâ + F ∗ Iõ = F ∗ Iõ + Iâ ,
Iõ
(7)
27
или
I Â = −F ∗ I Õ .
Уравнение (7) выражает зависимость токов ветвей через токи
хорд. Для рассматриваемой схемы:
i1
1 0 0 0 i3
i2
1 −1 0 1 i5
=
∗ .
i4
0 1 −1 −1 i7
i6
0 0 −1 −1 i8
1.3. Матрицы главных контуров
Для получения матрицы главных контуров нанесем на граф линии главных контуров (рис. 4). Главный контур получается путем
подключения к дереву хорды, подключение к дереву хорды 3 приводит к формированию контура А, подключение хорды 5 – к получению главного контура В, хорды 7 – к получению главного контура
С, 8 – к D . Число главных контуров равно числу хорд графа. Положительным направлением каждого контура выбирается направление, совпадающее с положительным направлением хорды, с помощью которой он образовался.
Построим матрицу главных контуров Аконт, строки которой соответствуют главным контурам, а столбцы – ребрам графа. Как
и в матрице главных сечений, начальные столбцы матрицы соответствуют ветвям, остальные хордам:
РЕБРА
Ветви
1 1 0 0
0 −1 1 0
Aêîíò =
0 0 −1 −1
0 1 −1 −1
Хорды
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
.
0
1 (8)
Каждый элемент аij матрицы Аконт равен: аij = +1, если направление j-го ребра совпадает с направлением главного контура, аij =
–1, если направление j-го ребра противоположно направлению главного контура, аij = 0, если j-е ребро не образует главного контура.
28
Матрица Аконт состоит из двух подматриц, из которых вторая
представляет собой единичную матрицу, а первая, как видно из
сравнения Асеч и Аконт, , представляет собой транспонированную
матрицу F, взятую со знаком минус (–FT ).
Матрицу главных контуров можно использовать для записи
уравнений по второму закону Кирхгофа, придав ее элементам определенный физический смысл.
Каждый единичный элемент в j-м столбце обозначает напряжение u в j-м ребре, алгебраическая сумма напряжений вдоль замкнутых контуров цепи равна нулю. Обозначив напряжения на ребрах
1,2,...,8, в графе через u1 ,u2,...,u8 запишем для главных контуров
уравнения по второму закону Кирхгофа:
u1 + u2 + u3 = 0,
–u2 + u4 + u5 = 0,
–u4 – u6 + u7 = 0,
u2 – u4 – u6 + u8 = 0.
(9)
Систему (9) можно представить в виде произведения Аконт на вектор–
столбец напряжений U:
u1
1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 −1
0 1 −1 −1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
либо
Aконт * U = 0. u2
0 u4
0 u6
∗
= 0,
0 u3
1 u5
u7
u8
(10)
(11)
В векторе U последовательность элементов должна соответствовать последовательности столбцов в матрице Аконт .
Уравнение (11) означает, что Аконт можно использовать как оператор алгебраического суммирования напряжений при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Матричное уравнение
(11) является экономной формой записи уравнения (9).
Вектор напряжений U состоит из двух подвекторов: вектора напряжений ветвей Uв и вектора напряжений хорд Uх .
29
U = u1 u2
u4
u6
u3
u5
u7
u8
T
=
UÂ
.
UÕ
(12)
С учетом (12) и (8) уравнение (11) преобразуется к виду
UÂ
Aконт * U = FT E*
= –FT * Uв + E* Uх = –FT *Uв + Uх = 0,
UÕ
или
Uх = FT * Uв.
(13)
Уравнение (13) выражает зависимость напряжений хорд от напряжений
ветвей. Для рассматриваемой схемы уравнение (13) записывается в виде:
u3 −1 −1 0 0 u1
u5
0
1 −1 0 u2
=
∗
.
u7
0
0
1 1 u4
u8
0 −1 1 1 u6
1.4. Топологическое уравнение цепи
Уравнения (7) и (13): Iв = –F*Iх , Uх = FT *Uв ,полученные путем
использования первого и второго законов Кирхгофа, объединяют
в одно матричное уравнение
−F 0
IÂ
IÕ
=
∗
,
T U
UÕ
0 F
Â
(14)
и называют топологическим уравнением цепи. Форма (14) удобна для
составления машинных программ анализа электронных схем, однако формирование матрицы F, описанное в подразд. 1.2, удобно лишь
при ручном составлении уравнений. При составлении уравнений
с помощью ЭВМ матрицу F формируют с помощью алгоритма Гаусса
из структурной матрицы, которая рассматривается в лабораторной
работе №2.
1.5. Реализация метода переменных состояния
Для уменьшения числа уравнений в системе, полностью
описывающей поведение электронной схемы с динамическими
реактивными элементами С и L, перейдем с помощью тополо30
гической системы уравнений (14) и компонентных уравнений
к системе уравнений переменных состояния. Переменными
состояния называются токи в индуктивностях UC и напряжение на емкостях IL . Обозначим вектор переменных состояния
через Х. Тогда, если схема имеет m индуктивностей и n емкостей, то число составляющих вектора Х, т.е. порядок системы
уравнений переменных состояния, будет m+n. Для динамических элементов компонентные уравнения в общем виде можно
записать так
uL =
d
d
L ∗ iL ); iC = ( C ∗ uC ),
(
dt
dt
или
C 0 d U Ñ C 0 dx(t)
IÑ
=
∗
=
∗
= S ∗ x ′ (t ),
0 L
dt
U L 0 L dt I L
где
S=
C 0
=
0 L
Ñ1
0
.
0
0 ... 0
C2 ... 0
.
.
.
0 ... Cn
0
0
L1
0
.
0
0 ... 0
L2 ... 0
.
.
.
0 ... Ln
.
Выразим токи IС через матрицу F, поскольку емкости входят
в ветви Iв = –F * Iх, откуда IC = –F *Iх .
Аналогично Uх = FT *Uв , откуда UL = FLT *Uв , где FC и FLT – те
строки матриц F и FT , которые относятся к емкостям и индуктивностям.
При этом метод переменных состояния предусматривает такое
преобразование уравнений (14), при котором напряжения и токи
нереактивных элементов резисторов выражаются через переменные состояния IL и UC и независимые источники тока и напряже31
ния. Вектор нереактивных токов и напряжений обозначим y(t). Тогда полную систему уравнений можно записать
x’(t) = f 1 [ x(t), A(t)],
(15)
y (t) = f 2 [ x(t), A(t)], (16)
где А(t) – вектор независимых источников тока и напряжения, входящих в рассматриваемую схему.
Решение полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (15) и алгебраической системы уравнений (16)
выполняется в следующем порядке.
Из физических соображений или из начальных заданных условий определяются начальные значения переменных состояния
UC и IL, которые, например, представляют собой значения напряжений и токов в момент включения схемы и , следовательно, равны нулю. По значениям UC и IL находятся значения y, т.е. значения токов
и напряжений на резисторах схемы в начальный момент времени.
Далее, решая систему ОДУ методами численного интегрирования,
вычисляют значения переменных состояния в конце интервала дискретизации, называемого шагом интегрирования: x (UC1, IL1 ) . Подставляя UC1 и IL1, вычисленные на первом шаге, в y(t), получаем
значения токов и напряжений на нереактивных элементах в конце первого шага и приступаем к решению системы (15) на втором
шаге, вычисляя UC2, IL2 и т.д. В результате этих вычислений будет
получен весь переходный процесс в виде последовательности значений в дискретные моменты времени t1 , t2 ,..., tk. Выбор шага
интегрирования ∆t = ti– ti–1 зависит в первую очередь от постоянных времени схемы и практически определяется наименьшей из
них, а также от конкретного метода интегрирования и его сходимости. Общее же число шагов определяется максимальной постоянной времени.
Для нашего примера полная топологическая система уравнений
в раскрытом виде с обозначениями типов элементов запишется следующим образом:
32
iE1
1 0 0 0 iR 3
iR 3
iC2
1 −1 0 1 iR 5 iR 3 − iR 5 − i8
=
∗
=
;
0 1 −1 −1 iL7
iR 4
iR 5 − iL7 − i8
0 0 −1 −1
− iL7 − i8
iR 6
i8
uR 3 −1 −1 0
uR 5
0 1 −1
=
0 0 1
uL7
0 −1 1
u8
0 uE1
− E1 − uC2
0 uC2
uC2 − uR 4
∗
=
.
1 uR 4
uR 4 + uR 6
1 uR 6 −uC2 + uR 4 + uR 6
(18)
Переменными состояния в нашей схеме являются iL7, uC2 . Именно через них необходимо выразить токи и напряжения резисторов
iR3, iR5, uR4, uR6, входящие в систему уравнений (17), используя
уравнения (18) и компонентные уравнения . Проведя указанные
операции, получаем
iR3 = uR3 /R3 = (–E1–uC2 )*(R3)–1 ,
iR5 = uR5 /R5 = (uC2–uR4 )*(R5)–1 ,
uR4 = iR4 *R4 = (iR5–iL7 –i8 )*R4 .
Подставляя uR4 в выражение для iR5, получим
iR5 = [ uC2–(iR5 –iL7 –i8 )*R4] *(R5)–1 .
Находим из полученного уравнения iR5
iR5 = (uC2 +iL7 *R4+i8 *R4)*R5–1 *(1+R4 *R5–1 )–1.
Подобным же образом находим
uR4 = R4*iR4 = R4*[(uC2 +iL7 *R4+i8 *R4)*R5–1 *(1+R4 *R5–1 )–1–iL7 –i8 ],
uR6 = R6*i R6 = R6*(–iL7 –i8 ).
Из компонентных уравнений для реактивных элементов C2 и L7 :
iC2 = C
duC2
di
,uL7 = L L7 ,
dt
dt
получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши:
duÑ2
= C2−1 ∗ iÑ2 =
dt
= C2
( − E1 − uÑ2 ) R3−1 −
 − (u + i R + i R ) R −1 (1 + R
C2
L7 4
8 4
5
4


−1 

,
−1
R5 ) + i8 
(19)
33
diL7
= L7 −1 ∗ uL7 =
dt
−1
 
−1
 
R4 (uC2 + iL7 R4 + i8 R4 ) R5 (1 + R4 R5 ) − iL7 − i8  + 
= L7 −1  
.


+ R6 ( −iL7 − i8 )


Применим явный метод численного интегрирования Эйлера для
решения системы ОДУ. В соответствии с эти методом
∆u2 u2 (n ) − u2 (n − 1)
=
;
∆t
h
∆i7 i7 (n ) − i7 (n − 1)
=
,
h
∆t
где ∆t = h – интервал дискретизации по осям времени или шаг
численного интегрирования: u2 (n ), i7 (n ) – значения переменных состояния на n – м шаге интегрирования: u2 (n − 1),i7 (n − 1) –
значения переменных состояния на (n–1) – м шаге численного интегрирования.
Используя выражение (19), получим
u2 (n ) = u2 (n − 1) +
(
)


− E1 − u2 (n − 1) R3−1 −


,
+ h ∗ C2−1   u2 (n − 1) +
 −1
−1
− 
 R5 (1 + R4 R5 ) + i8 
  + iL7 (n − 1) R4 + i8 R4 



i7 (n ) = i7 (n − 1) + h × L7 −1 ×
−1  
 
−1
R4  uC2 (n − 1) + iL7 (n − 1) R4 + i8 R4 R5 (1 + R4 R5 ) −  + 


 ,
×  
−iL7 (n − 1) − i8



+ R6 −iL7 (n − 1) − i8


(
)
(
)
где в качестве начальных условий можно принять нулевые начальные условия uC2 (0) = 0, iL7 (0) = 0.
34
2. Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с методическими указаниями.
2. Получить задание у преподавателя.
3. Построить граф схемы, выбрать собственное дерево графа и нанести хорды графа.
4. Построить матрицу главных сечений, выделив матрицу главных сечений для хорд.
5. Построить матрицу главных контуров.
6. Написать топологическое уравнение цепи, уравнения для переменных состояния.
7. Осуществить численное интегрирование системы ОДУ .
8. Составить алгоритм расчетов, запрограммировать и провести
расчет с помощью программы MathLab.
9. Провести анализ полученных результатов
3. Пример программы, реализующей анализ схемы
методом переменнх состояния в пакете прикладных программ
MathLab.
%Присвоение номинальных значений компонентам схемы
e1 = 15; c2 = 0.01e–6;
r3 = 1000; r4 = 500; r5 = 200; r6 = 300; l7 = 0.1; i8 = 50e–3;
%Определяем шаг численного интегрирования h, число точек отсчета n
% и время наблюдения T
h = 7e–6; n = 100; T = h*n;
%Присвоение нулевых начальных условий переменным состояния
uc2 = zeros(1,100);il7 = zeros(1,100);
%Расчет переходного процесса путем организации цикла
%для расчета переменных состояния с помощью
%рекуррентных алгебраических
%выражений
for i = 2:100
uc2(1,i) = uc2(1,i–1)+h/c2*((–e1–uc2(1,i–1))/r3–
(uc2(1,i–1)+il7(1,i–1)*r4+i8*r4)/(r5*(1+r4/r5)+i8));
il7(1,i) = il7(1,i–1)+h/l7*(r4*((uc2(1,i–1)+
il7(1,i–1)*r4+i8*r4)/(r5*(1+r4/r5))–il7(1,i–1)–
i8)+r6*(–il7(1,i–1)–i8));
end
%Построение графиков
%Задаем временные точки отсчета
35
t = 0:h:h*(n–1);
%графики напряжений на емкостях c2
plot(t,uc2,’r’)
set(gca,’FontName’,’Arial Cyr’,’FontSize’,14);
grid
title(‘Переходные процессы на С2’);
xlabel(‘t, h = 7e–6’);
ylabel(‘uc2’)
figure
%график тока в индуктивности l6
plot(t,il7,’b’)
set(gca,’FontName’,’Arial Cyr’,’FontSize’,14);
grid
title(‘Переходные процессы в L7’);
xlabel(‘t, h = 7e–6’);
ylabel(‘il7’)
%для наглядности поместим зависимости на одном рисунке
figure
subplot(2,1,1)
plot(t,uc2,’r’);
set(gca,’FontName’,’Arial Cyr’,’FontSize’,14);
title(‘Переходные процессы на емкостных элементах схемы’);
xlabel(‘Время в сек’);
ylabel(‘uc2’);
subplot(2,1,2);
plot(t,il7,’b’)
set(gca,’FontName’,’Arial Cyr’,’FontSize’,14);
title(‘Переходные процессы в индуктивности’);
xlabel(‘Время в сек’);
ylabel(‘il7’);
4. Содержание отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. Электрическую схему с параметрами в соответствии с заданием.
2. Вывод полной топологической системы уравнений на основе
графа схемы.
3. Систему ОДУ в форме Коши относительно переменных состояния.
4. Решение системы ОДУ в виде системы рекуррентных выражений.
5. Результаты анализа переходных процессов в схеме в табличном и графическом виде.
36
6. Текст программы.
7. Выводы.
4. Контрольные вопросы
1. Определение графа схемы.
2. Что такое «собственное дерево графа»?
3. Что называется главным сечением и главным контуром графа?
4. Как строится матрица главных сечений?
5. Как строится матрица главных контуров?
6. Что такое топологическое уравнение цепи?
7. Метод переменных состояния, его достоинства и недостатки.
8. Методы численного решения системы ОДУ?
–3
Переходные процессы на С2
0
0
–2
–2
–3
–3
il7
uc2
Переходные процессы в L7
–1
–1
–4
–5
–4
–6
–5
–6
x 10
–7
0
2
4
t, h=7e–6
6
8
–8
–4
0
2
4
t, h=7e–6
x 10
6
8
x 10
–4
uc2
Переходные процессы на емкостных элементах схемы
0
–2
–4
–6
0
4
Время в сек
6
8
x 10
–4
x 10
–4
Переходные процессы в индуктивности
0
il7
2
–0.005
–0.01
0
2
4
Время в сек
6
8
Рис. 6. Полученные графики переходных процессов на емкостных и
индуктивных элементах схемы
37
Библиографический список
1. Ильин В. Н. и др. Автоматизация схемотехнического проектирования: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1987. C. 158–165.
2. Калабеков Б. А., Лапидус В. Ю., Малафеев В. М. Методы автоматизированного расчета электронных схем в технике связи: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1990. C. 32–37, 43–50.
3. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICRO–
CAPV. М.: Солон, 1997.
4. Астратов О. С., Сорин В.Я. Автоматизация схемотехнического
проектирования: Учеб. пособие/ ЛИАП. Л, 1987.
5. Астратов О. С., Канатов И.И. Использование системы Matlab
в практических и лабораторных работах: метод. указания/ СПб.:
ГУАП, 2008. C. 39.
6. Астратов О. С., Афанасенко А. С. Расчет и моделирование радиосигналов, помех и методов их фильтрации: методические указания
к выполнению курсовой работы/ СПб.: ГУАП, 2007. C. 38.
7. Ануфриев И. Самоучитель MatLab 5.3/6.x. СПб. «БХВ–Петербург», 2002. C. 736.
38
Лабораторная работа № 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ШУМОВЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
С ЗАДАННЫМИ СТАТИСТИЧЕСКИМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Цель работы: изучение методов формирования на компьютере
шумов с заданными статистическими характеристиками, методов
оценки статистических гипотез и приобретение навыков в разработке и отладке моделирующих программ.
1. Методические указания
1.1. Случайные базовые последовательности
Моделирование случайных последовательностей независимых
случайных чисел с нужными статистическими характеристиками осуществляется в два этапа: на первом этапе моделируется так
называемая базовая последовательность – источник случайности,
а на втором – базовая последовательность преобразуется в требуемую. Как показала практика, наиболее просто и экономично
в смысле затрат машинного времени, реализуется последовательность независимых случайных чисел с равномерным законом распределения, к тому же она легко преобразуется в последовательности с распространенными законами распределения. Случайная
базовая последовательность X на ЭВМ формируется с помощью рекуррентных алгоритмов
(
)
X(n +1) = Ô Xn , X(n −1) ,..., X(n − k) .
Один из первых алгоритмов был предложен известным математиком Нейманом и получил название метода середины квадрата:
(
(
))
X(n +1) = Ô ( Xn ) = Ä 10−2k Ö 10−3k Xn2 ,
где Xn – 2k–разрядное число; Д(.) – взятие дробной части числа; Ц – взятие целой части числа. Смысл этого выражения заключается в следующей последовательности действий. Берется начальное число X0 разрядности 2k, возводится в квадрат.
Из двух средних k–разрядов полученного 4k–разрядного числа
образуется следующее 2k–разрядное число – X1. Далее последова39
тельность действий повторяется. Иногда этот алгоритм модифицируют и в качестве начальных чисел берут пару чисел X0 X1. Далее берут их произведение и из средних 2k разрядов формируют число X2.
Описанный процесс повторяется для пары чисел X1* X2 и т.д.
В силу детерминированности исходных чисел, жесткости самого алгоритма преобразования и конечной разрядности чисел, представленных в ЦВМ, получаемая последовательность чисел является периодической. Несмотря на это, она обладает статистическими
свойствами, аналогичными свойствам случайной последовательности с равномерной плотностью вероятности [1]. Из–за описанных
свойств такие последовательности получили название псевдослучайных последовательностей. Наибольшим периодом и равномерностью обладают последовательности, получаемые с помощью алгоритмов Лемера:
X(n +1) = Ä ( À − Â * Xn ) – смешанный датчик;
X(n +1) = Ä ( Â * Xn ) – мультипликативный датчик,
где А, В – большие вещественные числа, Д(.) – преобразование числа
по модулю 1 [3].
1.2. Формирование случайных последовательностей с заданным
законом распределения
Существует несколько методов получения последовательностей
случайных чисел с заданной плотностью вероятности. Рассмотрим
один из распространенных методов – метод обратной функции распределения. Он основывается на известной теореме: если случайная
величина Y имеет плотность распределения f(y), то распределение
случайной величины X, равной
y
X=
∫ f (z)dz = F (y),
−∞
является равномерным в интервале [0,1], где F(y) – интегральная
функция распределения случайной величины Y.
Таким образом, для получения случайных чисел Y с законом
распределения f(y) необходимо выборку чисел X, полученных от базового датчика, преобразовать с помощью интегрального уравнения
40
xi =
yi
∫ f (z)dz, или yi = F −1 ( xi ). −∞
(1)
В ряде случаев решение уравнения получается в замкнутом виде, что облегчает процесс моделирования. Примером может служить
формирование последовательности с релеевским распределением
(
)
F ( y ) = 1 − exp − y2 / 2σ2 , y > 0,
где s – параметр распределения.
В соответствии с преобразованием (1) равномерно распределенную последовательность чисел X можно преобразовать в последовательность с релеевским распределением, решив уравнение
(
x (i ) = 1 − exp − y2 (i ) / 2σ2
)
относительно y(i). Проделав соответствующие преобразования:
(
ln (1 − x (i )) = ( − y
)
(i ) / 2σ ),
1 − x (i ) = exp − y2 (i ) / 2σ2 ,
2
(
2
)
y (i ) = 2σ2 ln 1 − x (i ) ,
2
получим следующее выражение:
y (i ) = σ( − 2 ln x(i))0,5 .
Формирование последовательности с показательным законом распределения базируется, соответственно, на функции распределения
F (y) = 1 − exp( − λy) , y > 0.
Проведя аналогичные предыдущему случаю преобразования,
получим выражение для формирования случайных чисел с показательным законом распределения
y(i) = −λ −1 ln x(i).
Однако не для всех законов распределения можно воспользоваться описанным методом, поэтому разработаны приближенные
методы моделирования – к примеру, метод Неймана и метод аппроксимации [1,2].
Для получения нормально распределенных нормированных случайных чисел можно воспользоваться методом, основанным на центральной предельной теореме теории вероятности
41
y(i) =
12 n
∑ (x(i) − 0,5).
n k=1
Практика и анализ показывают, что достаточно взять n = >6,
тогда формула для n = 12 принимает вид
y(i) =
12
∑ x(i) − 6.
k =1
1.3. Статистические оценки
Для полученных тем или иным методов псевдослучайных последовательностей необходимо провести оценку параметров. Это одна
из наиболее распространенных задач математической статистики:
по выборке ограниченного объема оценить параметры распределения случайной величины (математическое ожидание, дисперсия
и др.). Для оценивания параметров применяются точечные и интервальные оценки.
Точечные оценки параметров должны обладать тремя свойствами: состоятельностью, несмещенностью и эффективностью. Состоятельность означает, что с увеличением объема выборки оценка à̂
сходится по вероятности к оцениваемому параметру à , т. е.
lim P( aˆ − a < ε) = 1.
Несмещенной называют такую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки : M (aˆ) = a.
Эффективность точечных оценок для математического ожидания и дисперсии означает, что оценка обладает наименьшей дисперсией. Оценка параметров распределения случайной величины X
при ограниченной выборке производится методом статистических
моментов.
Оценка математического ожидания
n
m = ∑ x(i).
i =1
42
Оценка дисперсии
n
n
n
i =1
i =1
i =1
ˆ x ) / n = ∑ x(i)2 / n − ( ∑ x(i))2 .
Dˆ = ∑ (x(i) −m
Если оценка математического ожидания отвечает вышеперечисленным требованиям, то оценка дисперсии является смещенной.
Можно показать, что
(n − 1)
M (Dˆ x ) =
Dx .
n
По этой причине для получения несмещенной оценки дисперсии
можно воспользоваться формулой
n
n
i =1
i =1
Dˆ x = (n / (n − 1))( ∑ x2 (i) / n − ( ∑ x(i) / n)2 ).
Что касается проверки гипотезы о законе распределения последовательности случайной величины, то эта проверка осуществляется с помощью критериев согласия.
В силу псевдослучайности формируемой нами посследовательности величин и конечности выборки неизбежны расхождения
между теоретическим, предполагаемым представлением плотности
вероятности, и статистическим выборочным распределением. Естественно, возникает вопрос в каждом конкретном случае при формировании последовательности тем или иным методом: объясняется
ли его расхождение чисто случайными обстоятельствами (что допустимо) или оно связано с неправомерностью нашей гипотезы о выборочном законе распределения? Ответ на этот вопрос можно получить, используя критерии согласия, при помощи которых оценивается мера близости между гипотетическим и выборочным распределениями [2, 3, 4].
2. Порядок выполнения работы
1. Запустить программу MatLab. Изучить с помощью программы
MatLab функции и законы распределения.
Для изучения плотности вероятности или закона распределения – Probability Density Function (PDF) – f (x) и функции (инте43
гральная) распределения – Cumulative Distribution Function (CDF).
F (x) = P(X < x) =
x
∫ f (z)dz следует использовать команду >>disttool.
−∞
Она дает возможность работы с интерактивным информационным окном с целью изучения PDF и CDF. С помощью этого окна просмотрите 19 распределений, меняя их параметры и наблюдая изменения этих зависимостей.
Ввести команду >> randtool
Она открывает интерактивное информационное окно, позволяющее генерировать последовательности случайных чисел с различными выше изученными законами распределения, и осуществляет построение гистограмм. Полученную последовательность (длиной 20-30 чисел) можно сохранить под заданным именем в окне
«Output», задав имя последовательности. Например: sluch. Далее
перейдите в командное окно и присвойте любой переменной значения sluch, например:
>>y= sluch
В результате на экране вы получите выборку случайных величин.
Команда >> randn; – создает массив случайных чисел распределенных по нормальному нормированному закону с математическим
ожиданием – 0 и дисперсией – 1.
Функция >> randn (n); – возвращает матрицу размером nxn со
случайными величинами, распределенными по нормальному нормированному закону распределения. Соответственно функции:
>> randn (m,n);
>> randn ([m n]); – возвращают матрицу случайных величин размером mxn.
Графическое двумерное представление нормального распределения получим набором следующих функций в командном окне:
>> x=randn(1000,1); – это матрица (вектор) X 1000 нормальных
случайных чисел.
>> y=randn(1000,1); – это матрица (вектор) Y 1000 нормальных
случайных чисел.
>> plot(x,y,’.‘) – график нормального нормированного распределения на плоскости.
Функция normrnd формирует случайные нормальные числа
с заданными параметрами. Например:
>> x=normrnd(2,3.1,30,1); – это последовательность из 30 чисел
в виде столбца с математическим ожиданием 2 и дисперсией 3,1.
44
Если представить эту последовательность в графическом виде, то
она будет иметь следующий вид
>> x=normrnd(2,3.1,200,1);
>> y=normrnd(2,3.1,200,1);
>> plot(x,y,’*‘)
Как видно из графика, центр рассеяния чисел сместился на величину математического ожидания, а распределение точек по плоскости определяется дисперсией.
Гистограмму выборочной нормальной последовательности можно получить с помощью команд
>> x=normrnd(1.5,2.2,1500,1);
>> hist(x,50)
Функция >>rand; генерирует массивы случайных чисел равномерно распределенных на интервале [0,1].
>> rand(n); – возвращает матрицу размером nxn со случайными
величинами, равномерно распределенными на интервале [0,1].
>> rand(m,n); – или rand([m n]); – возвращает матрицу размером
mxn со случайными величинами, равномерно распределенными на
интервале [0,1].
Графическое двумерное представление равномерного распределения можно получить следующим образом:
>> x=rand(500,1);
>> y=rand(500,1);
>> plot(x,y,’.’)
Или можно сформировать небольшой массив (2х3) равномерно
распределенных случайных чисел, к примеру, так
>> z=rand(2,3)
z=
0.8235
0.8306 0.7756
0.9139
0.6300 0.4319
Выборочную нормальную последовательность можно проанализировать, построив гистограмму:
>> x=normrnd(1.5,2.2,800,1);
>> hist(x,50)
Построим гипотетическую кривую распределения
>> histfit(x,50)
А теперь рассчитаем параметры выборочной последовательности:
математическое ожидание – mx, среднеквадратическое отклонение
– sigmax, доверительные границы на уровне 0,99 – mux и sigmaux:
>> [mx,sigmax,mux,sigmaux]=normfit(x)
45
2. Выбрать и обосновать метод формирования последовательности чисел с законом распределения и параметрами, заданными преподавателем из табл. 1.
3. Разработать и отладить программу в среде MathLab формирования последовательности чисел с заданным законом распределения.
4. Рассчитать в среде MathLab my, Dy и гистограмму распределения для сформированной репрезентативной выборки [5, 6].
5. Применив критерий согласия Пирсона провести проверку гипотезы о плотности вероятности выборочной последовательности.
3. Пример программы, реализующей моделирования последовательности случайных чисел с нормальным (Гаусовским) распределением в пакете прикладных программ MathLab.
%Вариант Построение закона нормального распределения с параметрами:
% мат _ ожиданием m = 7 и дисперсией D = sigma*2 = 4
%((2*pi*sigma^2)^–0.5)*exp(–((x–
m)^2)/(2*sigma^2))
x = 1:0.2:14;% Область значений
z = 7*ones(size(x));%массив значений мат _ ожидания
yn = ((8*pi)^–0.5)*exp(–((x–z).^2)/8);
figure(1)
plot(x,yn,’r––*’)
grid,
set(gca,’FontName’,’Arial Cyr’,’FontSize’,16)
title(‘Функция y = (2*pi*D)^–0.5*exp(–(x–
m)^2/(2*D))’)
xlabel(‘Случайная величина’)
ylabel(‘Плотность вероятности’)
%это распределение в виде стандартной функции
%в Matlab имеется – воспользуемся ею
N = normpdf(x,7,2);
figure(2)
plot(x,N,’gp’)
grid,
set(gca,’FontName’,’Arial Cyr’,’FontSize’,16)
46
title(‘Функция normpdf’)
xlabel(‘Случайная величина’)
ylabel(‘Плотность вероятности’)
%моделируем 500 нормальных чисел методом
%центральной предельной теоремы
N1 = 500;N2 = 12;
z1 = zeros(1,500);
y2 = zeros(1,500);
y1 = zeros;
for i = 1:500
for j = 1:12
y1 = rand ;
y2(1,i) = y2(1,i)+y1;
end
z1(1,i) = (y2(1,i).*2)–5;
end
%Расчет матожидания
mz1 = mean(z1)
%Расчет дисперсии
Dz1 = var(z1)
%Расчет среднеквадратического отклонения
SOz1 = std(z1)
figure(3)
hist(z1,20)
title(‘Гистограмма ‘)
xlabel(‘Случайная величина’)
ylabel(‘Количество попаданий’)
[pr,x] = hist(z1,20);
%оценка плотности вероятности
pr = pr/(N1*(x(2)–x(1)));
Nn = normpdf(x,7,2);
figure(4)
plot(x,Nn,’g’,x,pr,’r’)
grid,
set(gca,’FontName’,’Arial Cyr’,’FontSize’,16)
title(‘Теоретическая и смоделированная
плотности вероятности’)
xlabel(‘Случайная величина’)
ylabel(‘Плотность вероятности’)
47
Рис. 1. Полученные графики теоретической плотности вероятности
случайной величины и смоделированной случайной величины.
4. Содержание отчета
1. Задание.
2. Обоснование выбранного метода формирования последовательности с заданным законом распределения.
3. Блок–схема алгоритма программы.
4. Распечатка программы.
5. Графики гистограммы и теоретического закона распределения.
6. Результаты анализа последовательности по критерию согласия.
7. Выводы.
48
5. Контрольные вопросы
1. Основные параметры базового датчика случайных чисел и его
назначение.
2. Методы формирования базовой случайной последовательности.
3. Методы формирования последовательностей независимых
случайных чисел.
4. Алгоритм формирования случайных последовательностей
с нормальным законом распределения.
5. Критерий согласия, его назначение и методика применения.
6. Критерий согласия Пирсона и Колмогорова.
Таблица 1
№
п/п
1
2
Наименование
распределения
Нормальное
Релея
Закон
распределения
(2pσ x2 ) −0,5 exp(−
y
σ2x
3
Показательное
4
Симпсона
exp(
(x − mx )2
2σ x2
− y2
2σ2x
)
λexp(–λx)
4(x − a)
, à<x<
2
(b − a )
a+b
,
2
Параметры распределения
)
M{x}=mx
D{x}=σx2
Mx=7
σx=2
M{x}=1,25σx
D{x}=0,43σx2
σx=2
M{x}=1/λ
D{x}=1/λ2
l=0,05
M{x}=a+b,
D{x}
a=2,
b=6
4(b − x) a + b
,
<x<b
(b − a )2 2
5
χ2
x0,5k −1 exp(−0,5x)
exp(0,5k) Ã(0,5k)
M{x}=k,
D{x}=2k
k=9
6
Пуассона
(ax/x!)*exp(–a)
M{x}=a,
D{x}=a
a=0.003
7
Коши-1
1/p*(1+x2), 0<x
49
Продолжение табл. 1
№
п/п
Наименование
распределения
8
Вейбулла
9
Арксинуса
Закон
распределения
Параметры распределения
αβxa–1exp(–βxa),0<x,a,b
1
p a2 − x 2
, –a<x<a
M{x}=0,
D{x}=a2/2
ax, 0<x<b
10
Треугольное
11
Косинусоидальное
a*cosx, –p/2<x<p/2
12
Коши-2
(1/p)*(h/(h2+(x – x0)2))
12
Вейбулла
αβxa–1exp(–βxa),0<x,a,β
a = 2,
b=1
13
Вейбулла
αβxa–1exp(–βxa),0<x,a,β
a = 3, b
=1
14
Косинусо–ид.
a*cosx, – p/2<x<p/2
15
Коши – 2
(1/p)*(h/(h2+(x–x0)2))
16
χ2 с n сте1
yn/2−1e − y/2 ,0 < y < ∞
пенями
2n/2 Γ (n / 2)
свободы
n=2
17
χ2 с n сте1
yn/2−1e − y/2 ,0 < y < ∞
пенями
2n/2 Γ (n / 2)
свободы
n=1
18
χ2 с n сте1
yn/2−1e − y/2 ,0 < y < ∞
пенями
2n/2 Γ (n / 2)
свободы
n=4
50
h=2
x = 1.5
Продолжение табл. 1
№
п/п
Наименование
распределения
19
Гамма–
распределение
20
Гамма–
распределение
21
Накагаm
 m 
2  m
y2m −1 exp  − 2 y2  ,
ми (m –


2
Γ (m)  σ 
 σ

распре0<y<∞
деление)
m = 0,5
σ=1
22
Накагаm
 m 
2  m
y2m −1 exp  − 2 y2  ,
ми (m –


Γ (m)  σ2 
 σ

распре<
<
∞
0
y
деление)
m=1
σ=1
23
Накагаm
 m 
2  m
y2m −1 exp  − 2 y2  ,
ми (m –


Γ (m)  σ2 
 σ

распре<
<
∞
0
y
деление)
m=2
σ=1
24
Коши–3
25
Максвелла
26
Стьюдента (t–распределение)
с m–степенями
свободы
Закон
распределения
1
β
α+1
β
α+1
2
p
Γ (α + 1)
1
Γ (α + 1)
Параметры распределения
yα e − y/β ,0 < y < ∞
α=2
β=1
yα e − y/β ,0 < y < ∞
α=3
β=1
1
t
,y <∞
p t2 + ( y − m )2
t=1
m=1
 y2 
exp
 − 2  ,0 < y < ∞
σ3
 2σ 
σ=1
y2
m +1
 m + 1
−
Γ
 2  
y2  2
,y <∞
1 + 
m
 m
pmΓ   
 2
m=2
51
Конец табл. 1
№
п/п
Наименование
распределения
Закон
распределения
27
Стьюдента (t–распределение)
с m–степенями
свободы
m +1
 m + 1
−
Γ
 2  
y2  2
,y <∞
1 + 
m
 m 
pmΓ  
 2
28
Эрланга
k-го порядка
λ k+1 k −λy
y e ,0 < y < ∞
Γ (k + 1)
λ=2
k=0
29
Эрланга
k-го порядка
λ k+1 k −λy
y e ,0 < y < ∞
Γ (k + 1)
λ=2
k=1
30
Эрланга
k-го порядка
λ k+1 k −λy
y e ,0 < y < ∞
Γ (k + 1)
λ=2
k=3
31
Мизеса
1
exp {D cos y}, −p < y < p
2p I0 ( D )
D=3
Параметры распределения
m=4
Г – функция Бесселя 1-го порядка.
Библиографический список
1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике. М.: Высш.шк., 1984. 351 с.
2. Румшинский Л. З. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1991. 252 с.
3. Астратов О. С. Цифровое моделирование радиосигналов: Учеб.
пособие/ ЛИАП. Л., 1983. 72 с.
4. Астратов О. С., Канатов И. И. Использование системы Matlab в практических и лабораторных работах: метод. указания/ ГУАП, 2008. 39 с.
52
5. Астратов О. С., Афанасенко А. С. Расчет и моделирование радиосигналов, помех и методов их фильтрации: метод. указания
к выполнению курсовой работы/ СПб.: ГУАП, 2007. 38 с.
6. Ануфриев И. Самоучитель MatLab 5.3/6.x. СПб.: «БХВ–Петербург», 2002. 736 с.
53
Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННОГО ЗВЕНА СИСТЕМЫ
ПЕРЕДАЧИ ВИДЕОИНФОРМАЦИИ
Цель работы: исследование разрешающей способности телевизионной системы на ПЗС–матрице с помощью ЭВМ, приобретение
и закрепление навыков моделирования оптико–электронных систем на ЭВМ.
1. Методические указания
1.1. Постановка задачи
Рассмотрим структурную схему оптико–электронного звена видеотракта передающей части ТВ–системы (рис.1).
Оптико–электронное звено тракта состоит из оптического звена – системы линз или зеркал, фокусирующих изображение в плоскости фотоприемника и самого фотоприемника. В качестве фотоприемника используется матрица или линейка на ПЗС–структуре
(ПЗС–приборы с зарядовой связью). Такой фотоприемник является
наиболее популярным, благодаря своим эксплуатационным и техническим характеристикам.
Качество изображения, формируемое телевизионной системой,
определяется рядом частных критериев, важнейшими из которых
являются резкость и четкость изображения. Резкость и четкость
изображения, в первую очередь, зависят от разрешающей способности оптико–электронного звена системы. Обычно полагают, что
искажения, вносимые оптическим звеном в сигнал изображения
(дифракция и аберрации: хроматическая, дисторсия, кома и т. д.),
1-й точечный
источник
2-й точечный
источник
Оптическое звено
Матрица
ПЗС
Рис. 1. Структурная схема оптико–электронного звена
54
значительно меньше, чем размер элемента преобразователя «свет –
сигнал». Это справедливо для вещательных систем. Однако в специализированных измерительных телевизионных системах необходимо считаться и с влиянием оптического звена на разрешающую способность системы, так как размер дифракционного кружка рассеивания (предполагаем, что другие виды аберраций принципиально
устранены) соизмерим с размером ячейки ПЗС–матрицы [1].
Полагаем, что разрешающая способность определяется расстоянием R0 между двумя точечными объектами, при котором на выходе оптико–электронного звена они разделяются или аппаратно,
или визуально. Наиболее часто в оптике для оценки разрешения
используется критерий Релея, в соответствии с которым за R0 (обозначено линией между двумя точками на рис. 3) принимается такое
расстояние между двумя точечными объектами равной яркости,
при котором максимум одного дифракционного кружка на выходе
оптического звена совмещается с минимумом другого дифракционного кружка. Тогда падение освещенности в промежутке между источниками в плоскости фотоприемника составляет 0,27 Е1, Е2, где
Е1, Е2 – освещенность фотоприемника в центре точечных источников 1 и 2 (рис. 2).
Дифракционное изображение двух точечных источников в плоскости фотоприемника на его выходе преобразуется в дискретизи-
1,4
Порог
1,2 разрешения
1,0
E1+ E2
E2
E1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
10
Рис. 2. Оценка разрешения по критерию Релея
55
60
Ymax
2
Y2
α
Y1
1
Xmax
X1
X2
Рис. 3. Моделирование работы матрицы ПЗС
рованное дифракционное изображение, причем падение освещенности между источниками на выходе фотоприемника зависит не только от расстояния R0, но и от положения светящейся точки на дискретизирующей ячейке ПЗС–матрицы (рис. 3).
Таким образом, разрешение точек становится статистической
задачей. Будем считать, что две светящиеся точки разрешаются
на выходе оптико–электронного звена, если выполняется система
неравенств:
E1 − E3 ≥ 0,27 ⋅ E1
,
E2 − E3 ≥ 0,27 ⋅ E2
где Е3 – освещенность (амплитуда сигнала) на выходе фотоприемника в промежутке между точками 1 и 2.
Для простоты решения задачи воспользуемся идеализированным параметрами оптико–электронного преобразователя, т. е. сделаем следующие допущения [2].
56
1. Апертура фотоприемника квадратная и имеет равномерный
закон прозрачности.
2. Дифракционная картина точечного источника в плоскости
ПЗС–матрицы описывается с помощью функции Бесселя 1-го рода
1-го порядка:
Е′ = r (J(z))2,
где Е′ – освещенность; r – коэффициент, зависящий от размера
апертуры оптического звена D; J1(z1) – функция Бесселя в цилиндрической системе координат.
Для зеркальных оптических систем, у которых центральная
часть зрачка оптически экраниирована, расчет распределения освещенности может быть произведен по формуле:
E′ =
 2J1 (z1 )
2J(zÝ ) 
− rÝ

,
zÝ 
(1 − rÝ )  z1
EÝ′
2
D
; zÝ = rz1; E′0 – освещенность в центре
DÝ
дифракционного кружка при отсутствии экранировки; DЭ – диа2
где EÝ′ = [1 − rÝ ] E'0 ; r =
метр экранизированной части апертуры оптики.
Наличие экрана приводит к сужению центрального круга и усилению дифракционных колец.
С достаточной для практики точностью функция Бесселя может быть аппроксимирована функцией плотности распределения
Гаусса [1]
E(x, y) =
1
σ 2p
exp
(−
(x − x1 )2 + (y − y1 )2
2σ 2
)
,
(2)
где (x, y) – центр светового потока, σ – дисперсия (параметр размытия).
Для рис. 2, когда оптические источники имеют одну и ту же
координату y, освещенность в сечении по оси x описывается
выражениями:
E1 (x) =
E2 (x) =
1
σ 2p
1
σ 2p
exp
(−
exp
(−
(x − x1 )2
2σ 2
)
;
(x − x2 )2
)
2σ 2
.
57
Таким образом, моделирование оптического звена сводится
к созданию двумерного массива чисел с координатами x, y, имитирующего распределение освещенности от двух точечных объектов
на плоскости матрицы ПЗС. Точность оптического преобразования
освещенности определяется размерами двумерной матрицы (количеством дискретов, формирующих двумерное распределение освещенности двух точек по закону Гаусса).
После формирования оптического звена моделируется работа
матрицы ПЗС. В простейшем случае, с точностью до постоянного
множителя, работа матрицы сводится к усреднению освещенности
на более крупных дискретах, линейный размер которых соответствует размеру ячейки ПЗС (рис. 3).
Так как две светящиеся точки располагаются случайно
на ячейках ПЗС, величина «провала» между точками 1 и 2 пульсирует, что приводит к разрешению или неразрешению точек по
критерию Релея. В работе моделируется случайное положение 2–й
светящейся точки, при фиксированном положении 1–й путем изменения угла между линией, соединяющей точки и осью абсцисс
при заданном расстоянии между точками. Величина угла меняется в пределах 0 ÷ p/2.
Вариацию угла a между точками можно производить двумя способами:
1. Задаваясь дискретом угла ∆a, производить моделирование угла a (a = ∆a, a = 2∆a,...,a = n∆a), где n – число вариаций угла a в пределах 0 ÷ p/2;
2. Угол a задается случайно с помощью генератора псевдослучайной последовательности (подпрограмма – randomize). Угол a
в этом случае определяется по формуле
α=
p
⋅ (random).
2
Тогда положение 2–й точки можно определить по формуле
X2 = trunc(X1 + R0 cosα) + 1;
(
)
Y2 = trunc Y1 + R0 ⋅ (1-cosα ) + 1,
где X1 и Y1 – координаты 1–й точки в двумерном массиве; R0 – расстояние между точками – источниками света, trunc – взятие целой
части.
58
Зная положение двух точек, можно создать двумерный массив
чисел, характеризующий распределение освещенностей на выходе
оптического звена по формуле:
Е = Е1 + Е2.
Значения Е1 и Е2 рассчитываются по формуле (2). Вместо x1 и y1 –
используем соответственно (X1, Y1) и (X2, Y2) для первой и второй точек. Значение х изменяется от 1 до Xmax, а у изменяется от 1 до Ymах ;
где Xmах, Ymах – размеры матрицы ПЗС.
Дискретизирующая матрица ПЗС производит преобразование
освещенности Е в распределение зарядов Q ячеек ПЗС в соответствии с формулой Q = ϕ E . Полагая j = 1, получим Q = E , где E –
среднее значение освещенности в ячейке матрицы ПЗС. Дискретизированное значение освещенностей (зарядов) матрицы ПЗС c координатами матрицы i и j можно определить по формуле
ki
∑
E ij =
kj
∑
E(x, y)
x = (i −1)k +1 y = ( j −1)k +1
2
,
k
где i, j – номера ячеек в матрице ПЗС; k – линейный размер ячейки
матрицы ПЗС, выраженный в числе дискретов двумерного массива
Е (х, у).
Для реализации алгоритма Релея необходимо определить координаты контрольной точки 3 в дискретизирующей матрице ПЗС.
Значения координат в двумерном массиве Е (х,у) определяются
по формулам:
X + X2
Y + Y2
X3 = 1
, Y3 = 1
.
2
2
;
Затем необходимо определить принадлежность точек 1, 2 и 3 соответствующим ячейкам матрицы по формулам
i3 =
X3
Y
; j3 = 3 ,
k
k
если X3 k и Y3 k – целые числа;
Y3
X
i3 = trunc( 3 ); j3 = trunc( ),
k
k
если X3 k и Y3 k – вещественные числа.
Затем проверяется условие разрешения двух точек по системе неравенств
59
Ei1 j1 − Ei3 j3 ≥ 0,27 ⋅ Ei1 j1 ;
Ei2 j2 − Ei3 j3 ≥ 0,27 ⋅ Ei2 j2 . (3)
По приведенному алгоритму осуществляется проверка разрешения для другого угла a. Если при заданных условиях проводится N
экспериментов и приведенные выше неравенства (3) выполняются
N1 раз, то вероятность различения двух точечных источников определяется по формуле
N
Pðàçëè÷ = 1 .
N
Упрощенный алгоритм моделирования приведен на рис.4. Далее
приведен листинг соответствующей программы для пакета MatLab
и проиллюстрирован пример ее работы (рис. 5).
Вариант 1. Провести исследование разрешающей способности оптико–электронной системы при наличии нормального шума в сигнале. Источником шума является шум ПЗС–матрицы. Для
этого по методике лабораторной работы № 4 синтезируется шум
с нормальным законом распределения и интенсивностью Еш. Тогда
распределение средних значений освещенностей в ячейках матрицы (зарядов) можно представить в виде
Eijø = Eij + Eø .
Меняя интенсивность шума Еш, получить Рразлич = f(sш) и построить график на основании прогона 5 реализаций шума. Вариацию угла a проводить в соответствии с первым способом. При одном
из значений угла a меняя R0 определить разрешающую способность
в дискретах.
Вариант 2. То же что и в первом варианте, но изменение угла a
проводить по случайному закону с равномерной плотностью вероятности.
При одном из значений угла a меняя R0 определить разрешающую способность в дискретах.
Вариант 3. Провести исследование разрешающей способности
оптико–электронной системы от величины порога разрешения, где
порог – П равен (Е1 – Е3) или (Е2 – Е3). Рекомендуемые величины
порогов (0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5) Еij. Необходимо, при разной величине
порога, получить зависимость Рразлич = f(П). Вариацию угла a проводить в соответствии с первым способом.
60
Начало
Ввод: X1,Y1, σ, N, R, (I, J)max, (X, Y)max
Расчет k, I1,J1
For n: = 1 to N do
Расчет X2,Y2, X3,Y3, I2,J2, I3,J3
For x: = 1 to Xmax do
For y: = 1 to Ymax do
Расчет E1, E2, E: = E1 + E2
For J: = 1 to Jmax do
For I: = 1 to Imax do
E ij=
k⋅ j
k⋅i
∑
∑ E ( x , y ),
x=(i−1)k+1y=( j−1)k+1
E i1j1 − E i3j3 ≥ 0 , 27 E i1j1
E i2j2 − E i3j3 ≥ 0 , 27 E i2j2
Нет
N 1:=N 1+1
n=N
Да
Ppазлич = N1/N
Конец
Рис. 4. Блок схема
61
Рис. 5. Распределение сигнала двух источников на матрице ПЗС
Вариант 4. То же что и в третьем варианте, но изменение
угла a проводить по случайному закону с равномерной плотностью вероятности.
Вариант 5. Провести исследование разрешающей способности
оптико-электронной системы в зависимости от изменения величины угла a по первому способу. При каждом угле a необходимо варьировать положение 1–й точки в 1–й ячейке матрицы ПЗС. Число вариаций равно 5. Построить график зависимости Рразлич = f(a).
Вариант 6. То же что и в пятом варианте, но изменение угла a проводить по случайному закону с равномерной плотностью вероятности.
Вариант 7. Провести исследование по варианту 3 при наличии
в сигнале нормального шума.
Вариант 8. Провести исследование по варианту 4 при наличии
в сигнале нормального шума.
2. Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с методическими указаниями.
2. Получить задание на исходные данные моделирования.
3. Разработать блок-схему алгоритма моделирования оптико–
электронного звена системы и оценки его разрешающей способности.
62
4. Разработать и отладить программы, реализующие эти алгоритмы.
5. Результаты моделирования и расчета предъявить преподавателю.
3. Пример программы, реализующей
исследование разрешающей способности
оптико–электронной системы в пакете
прикладных программ MathLab.
% Определим значения необходимых переменных
% (X1,Y1), (X2,Y2) координаты первого и второго
% точечного источника
% (X3,Y3) координаты проверочной точки
% Определим расстояние между первой и второй точками
R = 20;
% Определим параметр распределения Гаусса
% sigma = 3.0;
% Определим количество тестов и успешных разрешений
N = 90;
N1 = 0;
% Определим размер матрицы в дискретах распределения
% освещенности
Xmax = 50;
Ymax = 50;
% Определим размер матрицы в дискретах ячеек ПЗС
Imax = 25;
Jmax = 25;
% Инициализируем необходимые массивы чисел
E1 = zeros(Xmax,Ymax);
E2 = zeros(Xmax,Ymax);
E = zeros(Xmax,Ymax);
Ecells = zeros(Imax,Jmax);
% Зададим X1, Y1 – координаты первой точки
X1 = 15;
Y1 = 15;
% Начинаем вычисления
% Определим отношение размеров дискретов k, и % координаты первой точки
% в дискретах ячеек ПЗС (I1, J1)
k = Xmax/Imax;
I1 = fix(X1/k);
J1 = fix(Y1/k);
63
% Задаем угол от 0 до N c шагом 1 градус
for n = 0:N
% Определим координаты второй и третьей точек
X2 = fix(X1 + R*cos(n*pi/180))+1;
Y2 = fix(Y1 + R*(1–cos(n*pi/180)))+1;
I2 = fix(X2/k);
J2 = fix(Y2/k);
X3 = (X1+X2)/2;
Y3 = (Y1+Y2)/2;
I3 = fix(X3/k);
J3 = fix(Y3/k);
% Расчет распределения освещенности E1, E2, E
for x = 1:Xmax
for y = 1:Ymax
E1(x,y) = (1/(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(–((x–X1)^2+(y–
Y1)^2)/(2*(sigma^2)));
E2(x,y) = (1/(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(–((x–X2)^2+(y–
Y2)^2)/(2*(sigma^2)));
end
end
E = E1+E2;
% Моделирование работы ПЗС – усредениеие освещенности
%по более крупным дискретам ячеек ПЗС
for i = 1:Imax
for j = 1:Jmax
Ecells(i,j) = (sum(sum(E(i*k–k+1:i*k,j*k–k+1:j*k))))/k^2;
end
end
% Проверка условия разрешения двух точек
if Ecells(I1,J1)–Ecells(I3,J3) > = 0.27*Ecells(I1,J1) &&
Ecells(I2,J2)–Ecells(I3,J3) > = 0.27*Ecells(I2,J2)
N1 = N1 + 1;
end
64
% Функция демонстрации графика для заданого угла альфа
% (n = альфа)
if n = = 45
bar3(Ecells)
end
end
% Вывод значения вероятности разрешения двух точек.
P = N1/(N+1)
4. Содержание отчета
1. Блок–схемы алгоритмов моделирования распределения освещенности точечных источников на дискретизирующей матрице ПЗС.
2. Распечатки разработанных программ с результатами расчета
разрешающей способности системы.
3. Выводы.
5. Контрольные вопросы
1. Как оценивается разрешающая способность в оптике и телевидении?
2. Объяснить структуру шумов в ПЗС матрице.
3. Какие факторы влияют на точность экспериментов по оценке
разрешающей способности?
4. Объяснить влияние шума на разрешающую способность системы.
5. Объяснить влияние угла a на разрешающую способность.
Библиографический список
1. Фотография и оптика / Под ред. Я. А. Федотова и Г. Поля. М.:
Сов.радио, 1974. 321 с.
2. Телевидение / Под ред. В. Е. Джаконии. М.: Радио и связь,
1998. 455 с.
3. Астратов О. С., Канатов И. И. Использование системы Matlab
в практических и лабораторных работах: метод. указания/ СПб.:
ГУАП, 2008. 39 с.
4. Астратов О. С., Афанасенко А. С. Расчет и моделирование радиосигналов, помех и методов их фильтрации: метод. указания
к выполнению курсовой работы/ СПб.: ГУАП, 2007. 38 с.
5. Ануфриев И. Самоучитель MatLab 5.3/6.x. СПб. «БХВ–Петербург», 2002. 736 с.
65
Содержание
Лабораторная работа №1............................................... 3
Лабораторная работа №2............................................... 22
Лабораторная работа № 3.............................................. 39
Лабораторная работа №4............................................... 54
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 941 Кб
Теги
motiko, obykhova, astratov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа