close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Atanov

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
Основы теории цепей
Расчет цепей с управляемыми источниками
Методические указания
к курсовой работе
Санкт-Петербург
2011
Составитель В. А. Атанов
Рецензенты: канд. техн. наук, профессор Б. А. Павлов; канд. техн.
наук, доцент П. Н. Неделин
Приведены методические указания к курсовой работе по дисциплине «Основы теории цепей».
Подготовлены кафедрой электротехники и технической диагностики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 21.02.11. Подписано к печати 16.03.11.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,7.
Уч.-изд. л. 2,9. Тираж 100 экз. Заказ № 75.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2011
Введение
Цепи с управляемыми источниками электрической энергии
широко используются в инженерной практике. Они выполняют
роль фильтров электрических сигналов, корректирующих звеньев
динамических систем, усилителей и преобразователей в системах
контроля и управления.
Курсовая работа является заключительным этапом изучения
дисциплины «Основы теории цепей». Целью работы является развитие у студентов навыков самостоятельного анализа и проектирования линейных электрических цепей. При написании курсовой
работы необходимо выполнить следующее:
1) для заданного варианта схемы электрической цепи с управляемым источником вывести формулу передаточной функции в
операторном и комплексном виде;
2) найти нули и полюса функции, изобразить их на комплексной плоскости, сделать вывод об устойчивости цепи;
3) рассчитать и построить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) цепи;
4) найти реакцию цепи на периодичное негармоническое воздействие. Построить амплитудный и фазовый частотные спектры
входного воздействия и выходной реакции;
5) рассчитать и построить переходную и импульсную функции
цепи. Рассчитать переходный процесс в цепи при заданном скачке
входного напряжения;
6) рассчитать реакцию цепи на одиночное импульсное воздействие. Построить графики воздействия и реакции цепи.
Вариант задания определяет преподаватель. Для студентов заочного отделения номер варианта соответствует последней цифре
индивидуального шифра.
Исходные данные на курсовую работу:
– электрическая цепь с управляемым источником (приложение 1);
– периодическое негармоническое входное воздействие (приложение 2);
– импульс входного воздействия (приложение 3).
3
Курсовая работа содержит следующие расчеты и построения.
1. Расчет цепи с управляемым источником в установившемся
режиме:
– расчет передаточной функции;
– построение АЧХ и ФЧХ;
– определение устойчивости;
– определение реакции цепи на периодическое негармоническое
воздействие.
2. Расчет переходных процессов в цепи:
– определение переходной и импульсной функций;
– построение переходного процесса при ступенчатом входном
воздействии;
– расчет переходного процесса при импульсном воздействии.
3. Выводы по работе.
Курсовая работа представляется на защиту в виде пояснительной записки, содержащей все необходимые расчеты и построения.
Форма записки – печатная.
В заключении отмечается соответствие полученных результатов
требованиям задания на курсовую работу, обосновываются методы
решения задач, основные результаты расчетов.
1. Управляемые источники
и обратные связи
Источники электрической энергии, в которых напряжение или
ток в одной из ветвей зависят от напряжения или тока в другой,
называются управляемыми или зависимыми. Источники имеют
два входных зажима, к которым подводятся задающее напряжение
или задающий ток и два выходных зажима, к которым подключается нагрузка или другая электрическая цепь.
Различают четыре типа зависимых источников (рис. 1).
Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН).
Это может быть усилитель напряжения, например, на основе полевого транзистора или операционного усилителя на микросхеме.
Для ИНУН можно записать
u2 = αU · u1,
где u1, u2 – входное и выходное напряжения; αU – коэффициент
передачи по напряжению.
4
¹
V
º
V AVV
J
J AJ J
a
a
a
a
»
¼
J
a
V A[J
V
a
a
J AZV
a
Рис. 1. Управляемые (зависимые) источники электрической энергии:
а) ИНУН; б) ИТУТ; в) ИНУТ; г) ИТУН
Источник тока, управляемый током (ИТУТ). Например, усилитель тока на основе биполярного транзистора. ИТУТ имеет зависимость
i2 = αi · i1,
где i1, i2 – входной и выходной токи; αi – коэффициент передачи по
току.
Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Примером может служить усилитель напряжения на биполярном транзисторе. ИНУТ имеет зависимость
u2 = αz · i1,
где i1, u2 – входной ток и выходное напряжение; αz – коэффициент
передачи, имеет размерность сопротивления.
Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Например, это усилитель мощности на основе полевого транзистора.
ИТУН характеризуется соотношением
i2 = αy · u1,
где u1, i2 – входное напряжение и выходной ток; αy – коэффициент
передачи, имеет размерность проводимости.
При расчетах электрических цепей усилительные элементы в
виде транзисторов, операционных усилителей и т.п. могут быть
представлены в виде схем замещения (табл. 1).
5
6
Эквивалентная схема
для области
верхних
частот
Эквивалентная схема
для области
нижних
частот
Тип и схемное изображение
Наименование
элементов
¶
*º
š
¶
*º
š
6
+
¶ÅÁË˾É
6
[º
+= s A Z6
3 ºÖ $ºÖ
$ º£
+
+ s A Z6 s A J *º
3 ºÖ
Sº
š¹À¹
биполярные
Q O Q ËÁÈ £ÇÄľÃËÇÉ
£
¶
3£
¶
3£
£
¡
*º
¡
$ ª
$ ¡
U
B
+ – A Z6
+
ª
¡
$ª¡
ª
¡
J A y ·U
¡ÊËÇÃ
полевые
ªËÇÃ
¹Ë»ÇÉ
1 ËÁÈ
Транзисторы
a¾
6»Î
aa
6»Î
3 »Î
aa
6»Î
6»Î
A6»Î s 6»Î 3
.
6Z A 6·6»Î 6
6Z A 6 · 6»Î
6 6»ÔÎ
Операционные усилители
aa
6»Î
a
3»Î
¾a
6»Î
Схемы замещения усилительных элементов
Таблица 1
Усилительные элементы нелинейные, поэтому линейные схемы замещения применимы только для «малых сигналов», т.е. когда переменные составляющие напряжений и токов во всех цепях
малы относительно их постоянных значений, определяемых заданным режимом работы усилителя.
Расчет цепей с зависимыми источниками выполняется теми же
методами, что и расчет цепей с независимыми источниками. Наиболее часто используются методы узловых напряжений и токов
связей.
Электрические цепи с управляемыми источниками обычно содержат обратные связи (ОС), которые сообщают цепям требуемые статические и динамические свойства. Обратная связь осуществляет передачу части электромагнитной энергии с выхода устройства обратно
на его вход по цепи обратной связи (рис. 2). Обратные связи делятся
по току и напряжению, на положительные и отрицательные, полные
(100%) и частичные, последовательные и параллельные.
На рис. 2 напряжение U 2 с выхода цепи подается на вход ОС.
Напряжение U îñ . с выхода ОС совместно с входным напряжением
U1 подается на вход основной цепи. Передаточная функция основной цепи
A (jω ) =
U 2
,
U
(1)
B(jω )=
U ÎÑ
.
U 2
(2)
1ÎÑ
цепи ОС
Согласно закону напряжений Кирхгофа на входе цепи
U = U1ÎÑ ± U ÎÑ . 6
6ÇÊ
§ÊÆǻƹØ
6ÇÊ Ï¾ÈÕ"KW
a
(3)
6
a
Цепь ОС
) KW
#KW
Рис. 2. Электрическая цепь с обратной связью
7
Передаточная функция всей цепи с ОС и учетом (1), (2), (3) принимает вид
H( jω) =
=
U 2
U 2
=
⋅
U1 (U1ÎÑ ± U ÎÑ )
1
1
U 2
U 2
=
A ( jω)
1
1
=
=
.


1
U1ÎÑ UÎÑ
± B( jω) 1 ± A ( jω) ⋅ B( jω)
±
A ( jω)
U 2
U 2
(4)
В знаменателе знак « + » отвечает отрицательной ОС, знак «–»
соответствует положительной ОС. Положительная ОС усиливает
сигнал, но цепь становиться менее устойчивой. Отрицательная ОС
ослабляет сигнал, но улучшает статические и динамические характеристики цепи.
2. Расчет цепи с управляемым источником
в установившемся режиме
2.1. Расчет передаточной функции
Расчет включает в себя определение передаточной функции по
напряжению, построение АЧХ и ФЧХ цепи, определение устойчивости цепи.
Передаточная функция цепи определяется как отношение выходного напряжения Uвых к входному Uвх в комплексной или операторной форме
U
( p)
U
H (jω )= âûõ , H ( p) = âûõ
.

U ( p)
U
âõ
âõ
При этом сама функция не зависит
от формы входного напряже  
ния, она определяется структурой и элементами цепи.
Здесь и далее в качестве примера рассмотрен вариант 31 задания
(приложения 1, 2, 3) с операционным усилителем. Его электрическая цепь дана на рис. 3. Эквивалентная расчетная схема дана на
рис. 4, где усилитель заменен дополнительной ветвью с источником напряжения Ey и его внутренним сопротивлением на выходе
R6; эта ветвь включается параллельно нагрузке.
Расчет передаточной функции может быть выполнен различными методами, выбор метода зависит от сложности структуры цепи.
8
3
$
3 6»Î
3
$
3
6»ÔÎ
Рис. 3. Электрическая цепь с операционным усилителем,
вариант задания 31
3
3 6»Î
3
$
6
$
&Z
3
3 6»ÔÎ
Рис. 4. Эквивалентная расчетная цепь с источником напряжения Ey,
управляемым напряжением U20 (ИНУН)
Ниже приведен расчет цепи двумя методами: узловых напряжений
и по законам Кирхгофа.
Расчет цепи методом узловых напряжений
Граф цепи с управляемым источником напряжения изображен
на рис. 5, где принято:
U1(p), U2(p), E1(p) = U1(p) – входное и выходное напряжение;
y1(p), y2(p), y3(p), y4(p), y5(p), y6(p), y7(p) – проводимости ветвей;
Ey(p) = αU∙ U20(p) – ЭДС источника, управляемого напряжением, т.е. ИНУН.
Система уравнений по методу узловых напряжений
óçåë 1 : U10 ( p) ⋅ y11 ( p) − U20 ( p) ⋅ y12 ( p) −
−U30 ( p) ⋅ y13 ( p) = E1 ( p) ⋅ y1 ( p)
óçåë 2 : U20 ( p) ⋅ y22 ( p) − U10 ( p) ⋅ y12 ( p) −
−U30 ( p) ⋅ y23 ( p) = 0
óçåë 3 : U30 ( p) ⋅ y33 ( p) − U10 ( p) ⋅ y13 ( p) −
−U20 ( p) ⋅ y23 ( p) = −Ey ( p) ⋅ y6 ( p)


(5à)






(5á)







(5â)



(5)
9
Z Q
ZQ
6Q
ZQ
Z Q
Z Q
6 Q
6 Q
6 Q
&Q
Z Q
Z Q
6 Q
Рис. 5. Граф цепи с управляемым источником напряжения,
y(p) – проводимости ветвей в операторной форме
В (5) принято: y11(p) = y1(p) + y2(p) + y3(p) + y4(p) – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел 1; y22(p) = y3(p) + y5(p) – сумма
проводимостей ветвей, сходящихся в узел 2; y33(p) = y2(p) + y5(p) +
y6(p) + y7(p) – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел 3;
1
1
; y13 ( p) =
; y23 ( p) = pC5 – проводимости ветвей межR3
R2
1
1
1
ду узлами 1, 2 и 3; y1 ( p) =
; y2 ( p) =
; y3 ( p) =
; y4 ( p) = pC4 ;
R1
R2
R3
1
1
– проводимости ветвей.
y5 ( p) = pC5 ; y6 ( p) =
; y7 ( p) =
R6
Rí
y12 ( p) =
Искомая зависимость – это передаточная функция по напряжению
HU ( p) =
U2 ( p) −U30 ( p)
=
,
U1 ( p)
E1 ( p)
(6)
где E1(p) = U1(p), U30(p) = –U2(p). Для упрощения записи проводим
замены U(p)→U, y(p)→y.
Решение системы уравнений (5) возможно разными способами.
Вариант 1. Находим HU(p) путем решения (5) методом подстановок. Из (5а) находим
E y + U20 y12 + U30 y13
U10 = 1 1
.
y11
(7)
Подставляем (7) в (5б) и (5в), получаем
10

U20 y22 y11 − (E1y1 + U20 y12 + U30 y13 )⋅ y12 −



(8à)
−U30 y23 y11 = 0



U30 y33 y11 − (E1y1 + U20 y12 + U30 y13 )⋅ y13 −


(8á)
−U20 y23 y11 = −αU U20 y6 y11



(8)
В (8а) и (8б) приводим подобные члены
U20 (y22 y11 − y12 y12 )−
−U30 (y13 y12 + y23 y11 ) = E1y1y12
U30 (y33 y11 − y13 y13 )−
−U20 (y12 y13 + y23 y11 − αU y6 y11 ) = E1y1y13




(9à) 





(9á) 



(9)
Из (9а) находим
U20 =
U30 (y13 y12 + y23 y11 )
y22 y11 − y12 y12
+
E1y1y12
.
y22 y11 − y12 y12
(10)
Записываем (9б) и (10) в более простой форме
U30· A–U20· (B–αUy6y11) = E1y1y13;
(11)
U20 = U30·C + E1·D,
(12)
где принято:
A = y33 y11 − y13 y13 ; B = y12 y13 + y23 y11; C =
 
 
y13 y12 + y23 y11
;
y22 y11 − y12 y12
 
y1y12
D=
.
y22 y11 − y12 y12
Подставляем (12) в (11)
U30∙A– (U30∙C + E1∙D)(B–αUy6y11) = E1 y1y13.
Делим левую и правую части (13) на αU
 B
 Eyy
U30 ⋅ A
− (U30 ⋅ C + E1 D )
− y6 y11  = 1 1 13 . αU
αU
 αU

(13)
(14)
По заданию αU = 50000, принимаем αU →∞, тогда (14) принимает вид
(U30C + E1D)y6y11 = 0,
отсюда U30C = – E1D. Искомая зависимость
HU (P ) =
=
−U30 (P )
E1 (P)
=
y1 (P )y12 (P )
D
=
=
C y13 (P)y12 (P)+ y23 (P)y11 (P)
1
 1
1

1
1
+ pC5  +
+
+ pC4 
R1R3 
 R1 R2 R3

 R2 R3
.
(15)
11
Таким образом, передаточная функция по напряжению имеет вид
HU (P ) =
1
=

R1R3C5  R1
2

 +
p C4 C5 R1R3 + pC5 R3 + C5 R1 +

R
 R
2
=
1
2
ap + bp + c
2
,
(16)
По варианту задания 31 (приложение 1) R1 = 20 кОм, R2 =
= 10 кОм, R3 = 40 кОм, C4 = 5 нФ, C5 = 2,5 нФ, тогда в (16)
a = С4С5R1R3 = 10–8,  b = C5 R3 + C5 R1 +
R1R3 C5
= 3,5 ⋅10−4 ,
R2
c = R1/R2 = 2.
Теперь передаточная функция принимает вид
1
.
HU ( p) = −8 2
10 p + 3,5 ⋅10−4 p + 2
(17)
Вариант 2. Находим HU(p) путем решения системы линейных
уравнений (5) по правилу Крамера. Поскольку Ey = αUU20, то запишем систему уравнений (5) в виде








−U10 y13 − U20 (y23 − αU ⋅ y6 )+ U30 y33 = 0.


U10 y11 − U20 y12 − U30 y13 = E1y1,
−U10 y12 + U20 y22 − U30 y23 = 0,
(18)
Искомое напряжение U30 определяется по правилу Крамера
∆k
,
(19)
∆
где ∆ – главный определитель системы линейных уравнений, он содержит коэффициенты левой части (18):
U30 =
12
−y12
−y13
y11
−y23 =
∆ = −y12
y22
−y13 −(y23 − αU y6 ) y33
−−−−−−−−−−−−−−−
−y12
−y13
y11
− y12
−y23
y22
= −y13 y22 y13 − y11 (y23 − αU y6 )y23 − y12 y12 y33 +
+y11y22 y33 − y12 (y23 − αU y6 )y13 − y12 y13 y23
−−−−−−−−−−−−−−−
y11
−y12
−y13
− y12
y22
−y23
= −y13 y22 y13 − y11 (y23 − αU y6 )y23 − y12 y12 y33 +
+y11y22 y33 − y12 (y23 − αU y6 )y13 − y12 y13 y23
.
(20)
В частном определителе системы (18) столбец коэффициентов
при U30 заменяется столбцом правой части (18)
−y12
E1y1
0 =
y22
−(y23 − αU y6 )
0
y11
∆k = −y12
−y13
−−−−−−−−−−−−−−−−
−y12
y11
E1y1
− y12
0
y22
= y13 y22 E1y1 + y12 (y23 − αU y6 )E1y1 .
(21)
Делим правую часть (20) на αU, после чего αU →∞, тогда получаем
∆|
αU →∞
= y11y6 y23 + y12 y6 y13 . (22)
Делим правую часть (21) на αU, после чего αU →∞, тогда получаем
∆k|
αU →∞
= −E1y12 y6 y1. (23)
Подставляем (22) и (23) в (19), получаем
U30 =
−E1y12 y1
.
y11y23 + y12 y13
(24)
Отсюда передаточная функция по напряжению
HU ( p) =
−U30 ( p)
E1 ( p)
=
y1 ( p)y12 ( p)
.
y13 ( p)y12 ( p)+ y23 ( p)y11 ( p)
(25)
Выражение HU(p) по (25) соответствует HU(p) по (15).
Расчет цепи по законам Кирхгофа
Приведем расчет заданной цепи (см. рис. 3) теперь по законам
Кирхгофа. Расчетная схема дана на рис. 6, где принято: 1, 2, 3 –
узлы; К1, К2, К3, К4 – контуры.
Система уравнений по законам Кирхгофа имеет вид
13
óçåë 1 : − I1 ( p)+ I2 ( p)+ I3 ( p)+ I4 ( p) = 0,
óçåë 2 : − I2 ( p)− I3 ( p)+ I6 ( p)− I7 ( p) = 0,
êîíòóð K1 : I1 ( p)R1 + I4 ( p)Z4 ( p)= E1 ( p),
êîíòóð K2 : I2 ( p)R2 − I3 ( p) R3 + Z5 ( p) = 0,
(26à )

(26á)

(26â)

(26ã )
(26)






(26ä)

êîíòóð K4 : I6 ( p)R6 + I7 R7 = Ey ( p),
26å )
(



где E1(p) = U1(p) – ЭДС источника входного напряжения; Ey(p) =
= αUUy(p) – управляемый источник напряжения; R7(p) – сопротивêîíòóð K3 : I3 ( p) R3 + Z5 ( p) +
+I6 R6 − I4 ( p)Z4 ( p)= Ey ( p),
ление нагрузки; Z4 ( p) =
1
1
– сопротивление емкост; Z5 ( p) =
pC4
pC5
ных элементов.
Для упрощения записи проводим замены
U(p)→U, E(p)→E, Z(p)→Z, I(p)→I.
Снижаем порядок системы линейных уравнений с шести до
трех. Для этого находим
E − I4 Z4
I1 = 1
,
R1
из (26в)
I2 =
из (26г)
I6 =
из (26е)
* Q
* Q
3 * Q
↑
6Q
I3 (R3 + Z5 )
,
R2
,
& Q
Ey − I7 R7  
.
R6
3
* Q
3 ,
[ Q
[ Q
&Z Q
,
,
* Q
,
6Z Q
3
* Q
3
6Q
Рис. 6. Электрическая цепь для расчета по законам Кирхгофа
14
Полученные выражения подставляем в (26а) (26б) (26в), получаем
E1 − I4 Z4 I3 (R3 + Z5 )
+
+ I3 + I4 = 0,
R1
R2
Ey − I7 R7
I (R + Z5 )
− 3 3
− I3 +
− I7 = 0,
R2
R6
Ey − I7 R7
I3 (R3 + Z5 )+
R6 − I4 R4 = Ey .
R6
−

(27à)



(27á)  


(27â)


(27)
Из контура К5 находим напряжение Uy
I3R3 + Uy–I4Z4 = 0;
Uy = –I3R3 + I4Z4.
(28)
Находим ЭДС Ey управляемого источника
Ey = αUUy = –αUI3R3 + αUI4R4.
(29)
Записываем (27) с учетом (29)
−E1R2 + I4 R2z4 + I3 R1 (R3 + z5 )+ I3 R1R2 + I4 R1R2 = 0,



−I3 R6 (R3 + z5 )− I3 R2 R6 − αU I3 R2 R3 + αU I4 R2 R4 − 




−I7 R2 R7 − I7 R2 R6 = 0,




I3 (R3 + z5 )− I4 R4 − I7 R7 = 0.


(30)
Группируем полученные выражения

I3 ⋅ (R1R3 + R1z5 + R1R2 )+ I4 ⋅ (R2 z4 + R1R2 ) = E1R2 ,



I3 ⋅ (R3 + z5 )− I4 z4 − I7 R7 = 0,



−I3 ⋅ (R3 R6 + z5 R6 + R2 R6 + αU R2 R3 )+ αU I4 R2 z4 − 




−I7 (R7 R2 + R2 R6 ) = 0.


(31)
Записываем (31) в более простой форме








−I3 (a7 + αU b1 )+ I4 αU b2 − I7 a8 = 0.


I3a1 + I4 a2 + I7 a3 = E1R2 ,
I3a4 − I4 a5 − I7 a6 = 0,
(32)
где принято
15
a1 = R1R3 + R1z5 + R1R2 ; a2 = R2 z4 + R1R2 ; a3 = 0; a4 = R3 + z5 ;
a5 = R4 ; a6 = R7 ; a7 = R3 R6 + z5 R6 + R2 R6 ; b1 = R2 R3 ; b2 = R2 z4 ;
α 8 = R7 R2 + R2 R6 .
Искомый ток I7 находим путем решения системы линейных
уравнений (32) по правилу Крамера
∆
I7 = k ,
∆
где Δ – главный определитель
−a4 αU b2 a3 − a1a5 a8 − a7 a2 a6
a1
a2
a3
∆ = −(a7 + αU b1 ) αU b2 −a8 = −αU b1a2 a6 − a1αU b2 a6 +
a4
−a5 −a6
+a7 a5 a3 + αU b1a5 a3 − a4 a2 a8
(33)
−−−−−−−−−−−−−−−
a1
a2
a3
−(a7 + αU b1 ) αU b2 −a8
Частный определитель системы (32) получаем заменой столбца
коэффициентов при I7 на столбец правой части (32)
a1
a2
E1R2
−αU a4 b2 E1R2 +
0 =
∆ k = −(a7 + αU b1 ) αU b2
+a7 a5 E1R2 + αU b1a5 E1R2
0
a4
−a5
−−−−−−−−−−−−−−−−
a1
a2
E1R2
0
− (a7 + αU b1 ) αU b2
(34)
По заданию величина αU достаточно большая, αU = 50000, принимаем αU→∞. Делим правые части (33), (34) на αU, затем αU→∞,
тогда
∆ k = E1R2 (−a4 b2 + a5b1 ). (35)
∆ = −a3 a4 b2 − a1a6 b2 − a2 a6 b1 + a3a5b1. (36)
Ток в нагрузке
16
I7 =
∆ k E1R2 (a4 b2 − a5b1 )
=
.
∆
a1a6 b2 − a2a6 b1
(37)
Искомая передаточная функция
U2 ( p) I7 ( p) ⋅ R7
=
=
U1 ( p)
E1 ( p)
R2
pC4 pC5
=
=




R R + R 1 + R R  ⋅ 1 +  R2 + R R  ⋅ R
1
1 2 
1 2  3
 1 3
pC5
 pC4  pC4

HU ( p) =
=
(38)
1
.

RR C  R
p2 C4 C5 R1R3 + pC5 R3 + C5 R1 + 1 3 5  + 1
R2  R2

Полученное выражение HU(p) по (38) аналогично выражению
HU(p) по (16). Сравнение по сложности вычислений позволяет обоснованно выбрать метода расчета.
2.2. Построение АЧХ и ФЧХ
Эти характеристики полностью определяют структуру частотного спектра выходного напряжения. Амплитудно-частотная характеристика отражает усилительные свойства электрической цепи.
Фазочастотная характеристика определяет фазовый сдвиг выходного напряжения относительно входного.
Переходим от передаточной функции в операторном виде H(p)
(16) к комплексной форме H(jω) путем замены p на jω
HU (jω ) =
1
.
−aω + jωb + c (39)
2
Выделяем вещественную P(ω) и мнимую Q(ω)
HU ( jω) =
=
1
⋅
(−aω2 + c) + jωb (−aω2 + c) − jωb
−aω2 + c
2
(−aω2 + c) − jωb
2
2
(−aω + c) + (bω)
+j
−bω
2
2
2
(−aω + c) + (bω)
=
= P(ω) + jQ(ω). (40)
Амплитудно-частотная характеристика
17
(c − aω2 )2 + (bω)2
HU (ω) = P2 (ω) + Q2 (ω) =
=
1
(c − aω2 )2 + (bω)2
=
(c − aω2 )2 + (bω)2
1
=
(2 −10−8 ⋅ ω2 )2 + (3,5 ⋅10−4 ⋅ ω)2
. (41)
Фазочастотная характеристика
ϕ(ω) = arctg
Q (ω )
P (ω )
+ ϕ∗ = arctg
−bω
c − aω2
+ ϕ∗ = arctg
−3,5 ⋅10−4 ω
2 −10−8 ω2
, (42)
где корни знаменателя, т.е. уравнения 2–108∙ω2 = 0,
1
ω k = ± 2 ⋅104 = ±14 ⋅103 .
ñ
В расчет принимается положительный корень, так как отрицательный корень не имеет физического смысла, частота не может
быть отрицательной.
Величина и знак угла j* принимают значения
ϕ∗ =
0
ïðè (c − aω2 ) > 0.
−180° ïðè (c − aω2 ) < 0.
В общем случае параметры угла j* зависят от степени ω и знака
знаменателя (42).
Если знаменатель (42) имеет вид F = ±an±ωn, тогда угол j* принимает значения
0 ïðè F > 0
;
90° ïðè F < 0
F = ω − d, ϕ∗ =
F = ω2 − d2 , ϕ∗ =
F = d − ω, ϕ∗ =
F = d2 − ω2 , ϕ∗ =
18
0
ïðè F > 0
;
180° ïðè F < 0
0
ïðè F > 0
;
−90° ïðè F < 0
0
ïðè F > 0
.
−180° ïðè F < 0
B
) W
6
º
WD
WD
s s s s s
s
s
sJ W
¼É¹½
Рис. 7. Характеристики цепи: а – амплитудно-частотная;
б – фазочастотная
АЧХ изображена на рис. 7, а; ФЧХ – на рис. 7, б.
2.3. Определение устойчивости
Условие устойчивости состояния покоя электрической цепи заключается в том, что после прекращения действия внешних возмущений цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходимо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя
переходные токи и напряжения были затухающими. Энергия переходного процесса преобразуется в активных сопротивлениях цепи
в теплоту, которая отводится в окружающую среду.
Электрическая цепь устойчивая, если корни числителя – нули и
корни знаменателя – полюса передаточной функции HU(p) = A(p)/
B(p) имеют отрицательную вещественную часть.
19
+N
1¨
1¨
– – 3F
Рис. 8. Полюса функции HU(p) на комплексной плоскости
В рассматриваемом примере
1
1
,
HU ( p) = 2
= −8 2
ap + bp + c 10 p + 3,5 ⋅10−4 p + 2
(43)
числитель не имеет корней. Корни знаменателя находим из уравнения
10–8p2 + 3,5·10–4p + 2 = 0,
полюса p1П = –27800 1/с; p2П = – 7190 1/с.
Полюса p1П, p2П расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней (рис. 8). Это означает, что переходные процессы в цепи затухают, цепь устойчивая.
2.4. Определение реакции цепи на периодическое
негармоническое входное воздействие
Фильтрующие свойства цепи во временной области проявляются в виде реакции цепи на периодическое несинусоидальное воздействие или воздействие более сложной формы.
По варианту 31 задания входное напряжение U1(t) имеет вид,
показанный на рис. 9.
Разложение входного напряжения в бесконечный тригонометрический ряд Фурье имеет вид (приложение 2)
U1 (t) = U1(0) + U1(1) (t) + U1(2) (t) + U1(3) (t) + U1(4) (t) + ... =
=
 Um U 
1
1
1
− sin ω1t + sin 2ω1t + sin 3ω1t + sin 4ω1t + .... (44)


2
2
3
4
π
6 U
6N #
5
P
5
P
U
P
WU ɹ½
Рис. 9. Периодическое негармоническое входное напряжение
20
Ограничиваем ряд Фурье постоянной составляющей и первыми
четырьмя гармониками.
Величину ω1 = 2πf1 =
2π
выбираем из условия, чтобы в диапаT1
зоне от ω1 до n·ω1 зависимость HU(ω) (см. рис. 7, а) претерпевала
существенное изменение. Для рассматриваемого варианта задания
31 принимаем f1 = 1000 Гц, T1 = 10–3 с.
U
Постоянная составляющая U1(0) = m = 0,5 Â.
2
1
Первая гармоника: частота ω1 = 6,28 ⋅103 ; амплитуда
ñ
U
U1(1m) = m = 0,318 Â; начальная фаза ϕ1(1) = 0.
π
1
Вторая гармоника: частота ω2 = 2ω1 = 12,6 ⋅103 ; амплитуда
ñ
U
U1(2m) = m = 0,160 Â; начальная фаза ϕ1(2) = 0.
2π
1
Третья гармоника: частота ω3 = 3ω1 = 18,9 ⋅103 ; амплитуда
ñ
U
U1(3m) = m = 0,106 Â; начальная фаза ϕ1(3) = 0.
3π
1
Четвертая гармоника: частота ω4 = 4ω1 = 25,1 ⋅103 ; амплитуñ
U
да U1(4m) = m = 0,080 Â; начальная фаза ϕ1(4) = 0.
4π
Амплитудный и фазовый спектры первых гармоник напряжения U1(t) показаны на рис. 10.
Составляющие входного напряжения:
U1(0) (t) = 0,5 Â;
U1(1) (t) = 0,318 ⋅ sin(1 ⋅ ω1t + ϕ1(1) ) = 0,318 ⋅ sin 6,28 ⋅103 t, Â;
U1(2) (t) = 0,160 ⋅ sin(2 ⋅ ω1t + ϕ1(2) ) = 0,160 ⋅ sin12,6 ⋅103 t, Â;
B
º ¼É¹½
J
6 N #
O
O
Рис. 10. Спектры входного напряжения: а – амплитудный;
б – фазовый; n – номер гармоники
21
6›
s
UD
s
Рис. 11. Первые гармоники входного напряжения: 0 − U10 (t); 1 − U1(1) (t);
2 − U1(2) (t); 3 − U1(3) (t); 4 − U1(4) (t); 5 − U1 (t) – результирующее напряжение
U1(3) (t) = 0,106 ⋅ sin(3 ⋅ ω1t + ϕ1(3) ) = 0,106 ⋅ sin18,8 ⋅103 t, Â;
U1(4) (t) = 0,080 ⋅ sin(4 ⋅ ω1t + ϕ1(4) ) = 0,080 ⋅ sin 25,1 ⋅103 t, Â.
Первые гармоники разложения и их результирующая приведены на рис. 11.
Расчет и построение выходного напряжения
Реакцию цепи находим на каждую гармонику входного напряжения в отдельности. Результирующая реакция равна сумме составляющих реакций.
Амплитуда n-й гармоники на выходе согласно (4) определяется
выражением
(n) (45)
U2(nm) = HU (n ⋅ ω1 ) ⋅ Um
1,
где
HU (nω1 ) =
=
22
1
c − a n ⋅ ω 2  + b ⋅ n ⋅ ω 2
( 1)  (

1)

1
(
2 −10−8 n ⋅ ω 2  + 3,5 ⋅10−4 ⋅ n ⋅ ω
( 1) 

1

=
2
)
.
Фаза n-й гармоники на выходе согласно (5) определяется выражением
Q (n ⋅ ω1 )
+ ϕ* (n ⋅ ω1 ), ϕ (n ⋅ ω1 ) = arg H (j ⋅ n ⋅ ω1 )= arctg
(46)
P (n ⋅ ω1 )
где




2
2 
−8

P (nω1 ) = c − a(nω1 ) = 2 −10 (nω1 ) ;


2


0 ïðè c − a(nω1 ) > 0;

ϕ * (nω1 ) =


2
−180 ïðè c − a(nω1 ) < 0. 



Q (nω1 ) = bnω1 = 3,5 ⋅10−4 nω1;
(47)
Реакция выходного напряжения на постоянную составляющую входного напряжения: частота ω0 = 0;
амплитуда
HU (nω1 )⋅ U1(0) = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 Â; начальная фаза ϕ2(2) = 0.
1
Реакция на первую гармонику: частота ω1 = 6,28 ⋅103 ; амплиñ
туда U2(1m) = 0,117 Â; начальная фаза ϕ2(1) = −53,9.
1
Реакция на вторую гармонику: частота ω2 = 12,6 ⋅103 ; амплиñ
туда U2(2m) = 0,036 Â; начальная фаза ϕ2(2) = −84,7.
1
Реакция на третью гармонику: частота ω3 = 18,9 ⋅103 ; амплиñ
туда U2(3m) = 0,016 Â; начальная фаза ϕ2(3) = −103,4.
1
Реакция на четвёртую гармонику: частота ω4 = 25,1 ⋅103 ; амñ
плитуда U2(4m) = 0,0082 Â; начальная фаза ϕ2(4) = −116.
Амплитудный и фазовый спектры гармоник выходного напряжения, n от 0 до 4, приведены на рис. 12.
¹
º
6 N #
s
›
›
›
›
s
O
O
s o
s o
so
so
J¼É¹½
Рис. 12. Спектры выходного напряжения: а – амплитудный;
б – фазовый; n – номер гармоники
23
6U
›
s
UD
s
Рис. 13. Гармоники выходного напряжения: 0 − U20 (t); 1 − U2(1) (t);
2 − U2(2) (t); 3 − U2(3) (t); 4 − U2(4) (t); 5 − U2 (t) – результирующее напряжение
Составляющие выходного напряжения:
U2(0) (t) = 0,25 Â;
U2(1) (t) = U2(1m) ⋅ sin(1 ⋅ ω2(1) t + ϕ2(1) ) = 0,117 ⋅ sin(6,28 ⋅103 t − 53,9 ) Â;
U2(2) (t) = U2(2m) ⋅ sin(2 ⋅ ω2(2) t + ϕ2(2) ) = 0,036 ⋅ sin(12,6 ⋅103 t − 84,7 ) Â;
U2(3) (t) = U2(3m) ⋅ sin(3 ⋅ ω2(3) t + ϕ2(3) ) = 0,0156 ⋅ sin(18,9 ⋅103 t −103,4 ) Â;
U2(4) (t) = U2(4m) ⋅ sin(4 ⋅ ω2(4) t + ϕ2(4) ) = 0,0082 ⋅ sin(25,1 ⋅103 t −116 ) Â.
Результирующее выходное напряжение
U2 (t) = U2(0) (t) + U2(1) (t) + U2(2) (t) + U2(3) (t) + U2(4) (t),
а также ее составляющие изображены на рис. 13.
3. Расчет переходных процессов
в цепи с управляемым источником
Для решения переходных процессов в электрических цепях
используются различные методы: классический, операторный,
24
пространства состояний, интеграл Дюамеля, моделирующие установки.
Классический метод в наибольшей степени отражает физическую суть процесса. Он наиболее приемлем для решения дифференциальных уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков при входном воздействии цепи в виде постоянного или синусоидального напряжения или тока. Однако, чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоемкой
становится операция нахождения постоянных интегрирования.
Операторный метод более формализованный, он не связан с
определением постоянных интегрирования. К тому же возможно
решение при сложном характере входного воздействия цепи, а также решение уравнений в частных производных.
Метод пространства состояний применяется при решении уравнений на ЭВМ, при расчете вручную этот метод громоздок.
Интеграл Дюамеля используется в случае сложного характера
входного воздействия во времени, например ряда скачков напряжения. Если воздействие и (или) переходная характеристика заданы графически, то интеграл Дюамеля берется путем численного
интегрирования.
Получим переходные процессы в цепи как реакцию на единичный скачок hU(t), импульс вида δ-функции gU(t), скачок заданной
величины U1(t), импульс напряжения сложной формы U1(t).
3.1. Определение переходной и импульсной функций
Переходная hU(t) и импульсная gU(t) функции определяют вид,
скорость затухания и продолжительность переходного процесса.
Функции используются при определении реакции цепи на входной
сигнал произвольной формы по интегралу или сумме Дюамеля.
Переходная функция hu(t) определяет собой переходный процесс, возникающий при подаче на вход цепи скачка напряжения
1В, такое воздействие определяется единичной ступенчатой функцией (рис. 14).
1(t) =
0 ïðè t < 0;
1 ïðè t ≥ 0.
(48)
Ступенчатая функция отражает распространенный вид входного воздействия при подаче на вход цепи ступенчатого напряжения,
25
U
U
Рис. 14. Единичная ступенчатая функция
коммутации цепи, а в электромеханических устройствах при резком изменении нагрузки электрического генератора или нагрузки
на валу двигателя.
Импульсная функция gU(t) определяет собой реакцию цепи на
входное воздействие в виде δ-функции (рис. 15).
δU (t) = lim ∆t→0
1(t)
.
∆t (49)
По определению δ-функция равна производной от единичной
ступенчатой функции 1(t), поэтому импульсная функция равна
производной от переходной функции
′ (t). gU (t) = hU
(50)
Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности. Основное свойство
δ-функции заключается в том, что
+∞
∫
δU (t)dt = 1, (51)
−∞
функция имеет единичную площадь и размерность (сек–1),
По виду к δ-функции близки разряд конденсатора при коротком
замыкании, кратковременный ток короткого замыкания генератора, ударная нагрузка на валу двигателя.
DU
6
U
Рис. 15. Единичная δ-функция
26
Переходная функция цепи может быть получена двумя способами:
из определения
hU (t) =
U2 (t)
;
1U (t)
(52)
из передаточной функции HU(p) путем обратного преобразования Лапласа
 H ( p) 
hU (t) = L−1  U
(53)
.  p 
Поскольку функция HU(p) цепи ранее определена, то воспользуемся преобразованием Лапласа. Переходная функция


 H ( p) 
1
−1 

=
hU (t) = L−1  U
= L 

 p 
 p(ap2 + bp + c)  (54)




1
= L−1 
.
 p ⋅ a( p + pï )( p + pï ) 
1
2


По таблице преобразований Лапласа находим оригинал переходной функции (приложение 4)
1 1
β ⋅ e−αt − α ⋅ e −βt 
hU (t) = 
,
(55)
+
a  α ⋅ β
αβ(α − β) 
1
1
где α = − p1ï = 27800 ; β = − p2ï = 7190
– полюса передаточной
ñ
ñ
функции HU(t).
Подставляем численные значения. Получаем
hU(t) = 0,5 + 0,175e–αt–0,675e–βt.
(56)
Зависимость hU(t) приведена на рис. 16.
I 6 U s
U Ê
Рис. 16. Переходная функция цепи
27
H 6 U
s
U
Ê
Рис. 17. Импульсная характеристика gU(t)
Импульсная функция gU(t) может быть определена двумя способами:
по формуле (50)
′ (t) =
gU (t) = hU
−1 −αβe −αt + αβe −βt 1 −e −αt + e −βt
;
⋅
= ⋅
a
a
αβ(α − β)
α −β
(57)
по обратному преобразованию Лапласа передаточной функции
HU(p) (приложение 4)
gU (t) = L−1 {HU ( p)}=

 1 −e −αt + e −βt 

1
= ⋅
.
= L−1 

ï
ï 


a
α
−
β
(
)(
)
a
p
p
p
p
+
+


1
2


(58)
Подставляем численные значения, получаем
gU(t) = 4850(e–βt–e–αt).
(59)
Зависимость gU(t) приведена на рис. 17.
3.2. Построение переходного процесса
при ступенчатом входном воздействии
На вход цепи подается ступенчатое напряжение U1(t). Представляем его в виде (рис. 18)
28
U1 (t) = U1 ⋅1(t) =
0 ïðè t < 0;
U1 ïðè t ≥ 0.
(60)
6 U
6
U
Рис. 18. Входное ступенчатое воздействие
6U
›
s
U
Ê
Рис. 19. Переходный процесс в цепи
при ступенчатом входном воздействии
Реакция цепи наиболее просто может быть определена через переходную характеристику hU(t)
U2(t) = U1∙hU(t).
(61)
Пусть задано U1 = 5 В (задается преподавателем), тогда с учетом
(56) получаем
U2(t) = 5(0,5 + 0,175e–αt–0,675e–βt) В.
(62)
Переходный процесс показан на рис. 19.
3.3. Расчет переходного процесса при импульсном воздействии
заданной формы (интеграл Дюамеля)
Пусть на входных зажимах электрической цепи действует ЭДС
e(t) произвольной формы. В общем случае цепь может иметь сколь
угодно сложную конфигурацию. Необходимо определить реакцию
выходного напряжения U(t) на входное воздействие e(t) (рис. 20).
29
¶Ä¾ÃËÉÁоÊùØ
ϾÈÕ
F U
6U
Рис. 20. Входная ЭДС e(t) произвольной формы, U(t) – реакция цепи
Напряжение U(t), возникающее под действием ЭДС e(t), можно
определить следующим образом: заменим действительную кривую
e(t) приближенно ступенчатой с интервалами по оси t, равными ∆τ
(рис. 21). Выходное напряжение U(t) является следствием серии
ступенчатых изменений входного напряжения, следующих друг за
другом через промежутки ∆τ в интервале от 0 до t.
Первый скачок при t = 0 равен e(0). Последующие скачки равны
∆e
∆e =
⋅ ∆τ. Составляющая напряжения U(t), вызванная отдель∆τ
ным скачком e(t), действующим в момент τ, равна ∆e∙hU(t–τ). Переходную характеристику hU(t–τ) следует рассматривать как функцию аргумента (t–τ), так как от момента τ возникновения скачка
∆e до момента t отсчета значения напряжения U прошло время t–τ.
Все напряжение U(t) является суммой составляющих, вызванных
отдельными скачками e(t), т.е.
τ=t
U (t) = e(0)hU (t)+ ∑ hU (t − τ )
τ=0
∆e
∆τ. ∆τ
(63)
При уменьшении интервалов до бесконечно малых значений dτ
ступенчатая кривая входного напряжения переходит в заданную
FU
F
T
$T
U
Рис. 21. Входная ЭДС e(t) и её ступенчатая аппроксимация
30
кривую e(t), и, соответственно, получаем точное значение для искомого напряжения U(t):
t
U (t) = e(0)hU (t)+ ∫ hU (t − τ )e ′(τ )dτ, (64)
0
∆e  de(t) 
=
.

∆τ  dt t = τ
∆τ → 0
Выражение (63) называется суммами Дюамеля, (64) – интегралом Дюамеля. Первое (63) используется в случае, когда зависимость
e(t) не может быть представлена аналитически, решение будет графоаналитическим. Второе (64) применяется, тогда, когда e(t) представлена аналитически, в том числе и по отдельным интервалам.
Переходная характеристика может быть получена двумя способами: 1) решением переходного процесса в цепи при ступенчатом воздействии e(t); 2) на основе обратного преобразования Лапласа.
Последовательность расчета с помощью интеграла Дюамеля
включает этапы: 1) определение переходной характеристики hU(t)
для исследуемой цепи; 2) определение hU(t–τ) (для этого в формуле
hU(t) заменяют t на (t–τ)); 3) определение e ′(τ ) (для этого находят
производную от заданного сигнала e(t) по времени t и в полученном
выражении заменяют t на τ); 4) подстановка полученных функций
в формулу интеграла Дюамеля (64).
Рассмотрим два примера. Первый пример электрической цепи со
следующими данными: входное воздействие имеет вид (рис. 22, a)
где e ′ (τ )= lim
e(t) = E0 + E1(1–e–at);
(65)
переходная характеристика имеет вид
hU(t) = 1–e–bt.
(66)
Находим
−b(t−τ )
−at
, e ′(τ ) = E1 ⋅ a ⋅ e−aτ .
, e ′(t) = E1 ⋅ a ⋅ e
h (t − τ ) = 1 − e
 
 
В выражении (64) находим значение интеграла
t
t

−b t−τ 
f (t) = ∫ h(t − τ)e ′(τ )dτ = ∫  1 − e ( )  ⋅ E1ae−aτ dτ =


0
0
t
t
0
0
b−a τ
= E1a ⋅ ∫ e−aτ dτ − E1a ⋅ ∫ e−bt ⋅ e( ) dτ.
31
При интегрировании учитываем, что e–bt от τ не зависит
e−aτ
f (t) = E1a ⋅
−a
t
−bt
− E1a ⋅ e
0
e( )
⋅
b−a
b−a τ
t
=
0
 −at
 (b−a)t

1
1 
e
e
= E1a 
−
− e−bt 
−
 =  b − a
b − a 
 −a −a



1 − e−at e−bt − eat 
= E1a
+
.
b − a 
 a
(67) 
Выражение (66) и (67) подставляем в (64), интеграл Дюамеля
принимает вид
1 − e−at e−bt − eat 
+
U (t) = E0 1 − e−bt + E1a
. b − a 
 a
(
)
(68)
Рассмотрим второй пример электрической цепи. Входное воздействие e(t) имеет более сложную кусочно-аналитическую форму
(рис. 22, б), переходная характеристика hU известна. Интеграл Дюамеля берется по участкам. Участок I: 0 < t ≤ t1; eI (t); eI′ (t). Участок II:
t1 < t ≤ t2 ; eII (t); eII′ (t). Участок III: t2 < t < ∞; eIII (t); eIII′ (t).
Реакция, т.е. напряжение на выходе электрической цепи:
на участке I
t
UI (t) = (E0 − 0)⋅ h (t)+ ∫ eI′ (τ )h (t − τ )dτ; (69)
0
¹
º
FU
&&
FU
&
&
&
B
U
&
*
**
U
&
Рис. 22. Примеры входных воздействий
32
***
U
U
на участке II
t1
UII (t) = (E0 − 0)⋅ h (t)+ ∫ eI′ (τ )h (t − τ )dτ +
0
t
(70)
+(E2 − E1 )⋅ h (t − t1 )+ ∫ eII′ (τ )h (t − τ )dτ + (71)
+(E1 − E0 )⋅ h (t − t1 )+ ∫ eII′ (τ )h (t − τ )dτ;
t1
на участке III
t1
UIII (t) = (E0 − 0)⋅ h (t)+ ∫ eI′ (τ )h (t − τ )dτ +
0
t2
t1
t
+(0 − E3 )⋅ h (t − t2 )+ ∫ eIII′ (τ )h (t − τ )dτ.
t2
В рассматриваемом варианте 31 задания зависимость e(t) (рис. ′ (t) = 0, eIII
′ (t) = 0.
23, а) имеет производные на участках eI′(t) = 0, eII
Выходное напряжение по участкам принимает вид
UI (t) = E0 ⋅ h (t) = 1,0 ⋅ (0,5 + 0,175 ⋅ e−αt − 0,675 ⋅ e−βt ), (72)
UII (t) = E0 ⋅ h (t)+ (E1 − E0 )⋅ h (t − t1 )=
=1,0 ⋅ (0,5 + 0,175 ⋅ e−αt − 0,675 ⋅ e−βt ) +
(
−α(t−t1 )
+1,0 ⋅ 0,5 + 0,175 ⋅ e
)
−β t−t
− 0,675 ⋅ e ( 1 ) , (73)
UIII (t) = E0 ⋅ h (t)+ (E1 − E0 )⋅ h (t − t1 )+ (0 − E1 )⋅ h (t − t2 )=
= 1,0 ⋅ (0,5 + 0,175 ⋅ e−αt − 0,675 ⋅ e−βt ) +
(
−α(t−t1 )
+1,0 ⋅ 0,5 + 0,175 ⋅ e
(
−α(t−t2 )
+(−2,0)⋅ 0,5 + 0,175 ⋅ e
)
−β t−t
− 0,675 ⋅ e ( 1 ) +
)
−β t−t
− 0,675 ⋅ e ( 2 ) .
(74)
33
¹
6 U
›
s
UÊ
º
6 U
#
1,0
0,5
s
UÊ
Рис. 23. АЧХ: а – входное напряжение U1(t); б – выходное напряжение
U2(t) – кривая 4 и её составляющие кривые 1, 2, 3
Полученные зависимости с учетом численных значений α и β
приведены на рис. 23, б.
Список использованной литературы
1. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов:
В 3 т. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровин, В. А. Чечурин.
СПб.: Питер, 2006.
2. Основы теории цепей: учебник для вузов / Г. В. Зевеке,
П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. М.: Энергоатомиздат,
1989.
3. Ионов Ю. А. и др. Основы теории цепей. Анализ цепей с активными элементами: Метод. указ. к курсовой работе для студентов
вечерней формы обучения / ЛИАП. Л., 1991.
4. Атанов В. А. Методы практического проектирования средств
контроля качества и диагностики: Метод. указ. к практическим занятиям и лабораторным работам. СПб.: ГУАП, 2010.
34
Приложение 1
Варианты задания цепей
с управляемыми источниками (ИНУН)
R3, кОм
R4, кОм
R5, кОм
C1, нФ
C2, нФ
C3, нФ
C4, нФ
C5, нФ
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
R2, кОм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
R1, кОм
*
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Рисунок
Вариант
Таблица П1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
20
–
40
20
40
–
–
–
20
–
40
–
20
40
20
–
–
–
40
–
10
–
10
5
1
–
–
–
10
–
20
–
20
20
–
10
20
10
20
–
10
–
10
10
–
20
10
20
10
–
20
–
20
40
–
10
2
20
15
–
20
10
40
–
–
40
–
–
–
40
–
40
20
–
–
20
–
–
–
20
–
40
20
–
–
10
–
–
–
10
–
20
40
–
–
–
–
–
1,0
20
–
–
2
–
–
–
–
–
2
30
–
–
10
–
–
–
–
–
40
40
–
–
40
–
–
40
40
–
–
–
20
–
20
–
–
20
40
–
–
–
40
–
40
–
–
10
20
–
–
–
20
–
40
–
–
–
10
–
–
–
5
10
5
–
10
–
5
–
–
–
10
5
10
–
5
–
20
–
–
–
10
2
10
–
5
–
10
–
–
5
10
10
–
–
–
–
5
–
–
10
5
5
–
–
–
–
20
–
–
10
0,15
20
–
–
–
–
–
–
5
10
–
–
–
5
–
5
–
–
10
5
–
–
–
10
–
10
–
–
20
10
–
–
–
50
–
1
–
–
–
–
–
–
10
–
–
–
10
–
–
–
–
–
10
–
–
–
10
–
–
–
5
–
2,5
2,5
–
–
–
2,5
–
5
2,5
–
5
5
–
–
–
5
–
2,5
10
–
20
10
–
–
–
1
–
5
2,5
–
20
–
–
–
20
–
5
RН = R7 = 1 кОм, aU= 50 000 – для всех вариантов.
* Варианты заданий для студентов заочного отделения соответствуют последней
цифре индивидуального шифра.
35
3
$
3
$
3
3
6»Î 6
6»Î 6
6»ÔÎ 6
6»ÔÎ 6
$
$
3Æ
3Æ
Рис. 1
3
$
$
3
$ $ 6»Î 6
6»Î 6
3
6»ÔÎ 6
6»ÔÎ 6
3
3Æ
3Æ
Рис. 2
3
3
$
3
6»Î 6
6»ÔÎ 6
$
3Æ
Рис. 3
36
3
3
3
6»Î 6
3
$
6»ÔÎ 6
$
3Æ
Рис. 4
3
3
6»Î6
$
$
3
6»ÔÎ6
6»Î6
$
$
3
3 Æ 6»ÔÎ6
3Æ
$
$
Рис. 5
6»Î 6
3
$
3
6»ÔÎ6
6»Î 6
3
$
3
3 Æ 6»ÔÎ6
3Æ
Рис. 6
37
3
$
$
3
$
$
6»Î 6
3
3
6»Î 6
3
3
6»ÔÎ 6
3Æ
6»ÔÎ 6
3Æ
Рис. 7
$
$
3
$
3 3 $
3 6»Î 6
6»Î 6
6»ÔÎ 6
3Æ 6»ÔÎ 6
3Æ
Рис. 8
3
3
$
6»Î 6
$
6»ÔÎ 6
3Æ
Рис. 9
38
$
3
$
3
$
3
$
3
6»Î 6
3
6»ÔÎ6
3Æ
Рис. 10
3
$
3 6»Î
3
$
3
6»ÔÎ
Рис. 11
39
Приложение 2
Варианты задания периодических
негармонических воздействий
Таблица П2
Варианты
1, 11, 21
Вид воздействия и разложение в тригонометрический ряд Фурье
6U
6N
5
5
0
U
5
P P P
P
WU рад
s6
6
N
U
6N
2, 12, 22
5
U
5
5

0
6 3
1
1

P m sin ωt − sin 5ω
U1 (P
t) =P
U
t + 2 sin 7ωWU
t − рад
P

52
7
π2
6U
s6
N
6U

1
1
−
sin11ωt +
sin13ωt − ...
U
2
2 5
5
5
5
6N

11
5 13
U
5
5
P
P/ P
P
WU рад
P
0
P P P
P
WU рад
6U
s6N
5
5
P/ P
6U
6U
6N
P
5
U
5
P
P
WU рад
UU
5
5 55
5
5

4
U
1
1
sin ω
P 5ωtWU
P3ωt + Psin
U P
P
− рад
t − 2 sin
(Pt/)= PP mP
P
6U
1
π 
3
52

1
1
6N
− sin 7ωt + sin 9ωt + ...
2
2
U
5
9
5
5
7
3, 13, 23
6
U
6U
P P
P P
P
6NN
6
5
5
5
P P P P
6U
P P P P
6N
6U
5
P
WU рад
U
U
WU рад
P WU рад
5
Um 2Um 
1
+
cos ωt − cos 3ωt +
2 5 π 
3
5
U

1
1
P5ωt − cos7P
P P P
+ cos
ωt + ... WU рад

5
7
U1 (t) =
6N
40
5
P P P P
5
P
U
WU рад
6N
5
5
P P
P
5
P P
U
WU рад
Продолжение табл. П2
Варианты
4, 14, 24
Вид воздействия и разложение в тригонометрический ряд Фурье
6U
6N
U
5
5
P P P P
P
WU рад
Um 2Um  π
1
+
 sin ωt − cos 2ωt −
π
π  4
3

1
1
cos 4ωt −
cos 6ωt -...
−

3⋅5
5 ⋅7
U1 (t) =
5, 15, 25, 31
6U
5
5
6U
6, 16, 26
7, 17, 27
P
P
U
WU рад
5U

U
U 5
1
U1 (t) = m − m sin ωt + sin 2ωt +
2
2
π  P
WU
рад
P
U
66
U

1
1
6N
+5 sin 3ωt + sin 4ωt + ...

3
4
5
55
UU
5
6U
WU
рад
P
рад
WU
P P P
P
6N
5
5
U
5
WU рад
P
P
P
66
U
U
66N
N
55
U
54Um 
1
U
5
U1 (t) = m + 5
ωt +
5
sin ωt + sin 3
U
6U
2
π 
3
WU рад
P
P
P
6
P1 P 1 P
N

1
WU
рад
+ sin 55
ωt P+ sin 7ωt + sin 9ωtP
+ ...

5
7 5
9
5
U
6U
P
WU рад
P
P
P P
6N
6U
5
5
6N
5
U
5
5
5
U
P
WU рад
U
P
P
P P
6
P
WU рад
P P
6N
5
5
5
U
4Um 
1
U1 (t) =
cos ωt − cos 3ωt +

6U
π
3
P
WU рад
P P

1
1
1
6N
+ cos 5ω5
t − cos7ωt + cos 9ωt -...
5 9

7
5
U
P
WU рад
P P
41
6N
P
Варианты
8, 18, 28
5
5
P P
P
5
U
WU рад
P
Окончание табл. П2
Вид воздействия и разложение в тригонометрический ряд Фурье
6U
6N
5
5
P
5
P
P
U
WU рад
U
4U 
1
U1 (t) = m − 2m cos ωt + 2 cos 3ωt +
2
π 
3

1
1
+ cos 5ωt + cos7ωt + ...

52
72
9, 19, 29
6U
6U
6N
6N
5
5
P
5
P
5
P
P
U
U
WU рад
WU рад
2Um 4Um  1
1
cos 4ωt +
−
 cos 2ωt +
π
π  3
3⋅5

1
1
cos 6ωt +
cos 8ωt + ...
+

5 ⋅7
7⋅9
U1 (t) =
10, 20, 30
6U
6U
6N
6N
5
5
P
P P
P
P P
5
5
P
P
U
P
P
4Um  1
1
 sin ωt + sin 3ωt +
π  2
3

1
1
1
sin 5ωt −
sin 7ωt − sin 9ωt + ...
+

2⋅5
2 ⋅7
9
U1 (t) =
42
U
WU рад
WU рад
Приложение 3
Варианты задания входного воздействия e(t)
FU
FU
FU
&
&
&
&
&
&
&
U
U
U
U
¨ÀÉ
t
U
U
¨ÀÉ
¨ÀÉ
FU
U
FU
FU
&
&
&
&
&
U
U
&
U
¨ÀÉ
U
¨ÀÉ
FU
U
U
U
FU
FU
&
&
&
&
&
&
¨ÀÉ
U
U
¨ÀÉ
U
&
U
U
U
¨ÀÉ
FU
&
&
FU
&
0
U
U
¨ÀÉ
&0
U
U
U
U
0
U
U
U
&
¨ÀÉ
¨ÀÉ
43
Таблица П3
Вариант
1,11,21
2,12,22
3,13,23
4,14,24
5,15,25
6,16,26
7,17,27
8,18,28
9,19,29
10,20,30
31
*
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рисунок
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
E0, В
1
1
3
3
2
3
3
–2
–1
–2
1
E1, В
2
3
–
1
–1
2
–2
–1
1
1
2
E2, В
3
2
–
–
–
–
–
2
2
–
–
t1·10–3, c
0,5
0,2
1,0
0,1
0,5
0,4
0,2
0,4
0,3
0,5
0,1
t2·10–3, c
1,0
0,5
2,0
0,2
1,0
1,0
0,4
1,2
0,6
1,2
0,2
* Для студентов заочного отделения вариант задания соответствует последней цифре индивидуального шифра.
44
Приложение 4
Таблица преобразований Лапласа (a, b – постоянные)
Таблица П4
Изображение X(p)
1
1
p
1
1
n
p
Оригинал x(t)
δ(t)
1(t)
p2
T
(n = 1,2,...)
tn−1
(n −1)!
1
p−a
eat
1
t ∙ eat
( p − a)2
1
( p − a)n
(n = 1,2,...)
1
⋅ tn−1 ⋅ eat
(n −1)!
1
( p − a)( p − b)
1
(eat − ebt )
a−b
p
( p − a)( p − b)
1
(a ⋅ eat − b ⋅ ebt )
a−b
1
1
⋅ sinat
a
p2 + a2
p
cosat
2
p + a2
1
p( p2 + a2 )
1
( p − a)2 + b2
1
a2
[1 − cos(at)]
1 at
e ⋅ sin(bt)
b
45
Содержание
Введение.................................................................................... 1. Управляемые источники и обратные связи.................................. 2. Расчет цепи с управляемым источником в установившемся
режиме...................................................................................... 2.1. Расчет передаточной функции............................................ 2.2. Построение АЧХ и ФЧХ.................................................... 2.3. Определение устойчивости................................................. 2.4. Определение реакции цепи на периодическое негармоническое входное воздействие......................................................... 3. Расчет переходных процессов в цепи с управляемым источником... 3.1. Определение переходной и импульсной функций.................. 3.2. Построение переходного процесса при ступенчатом входном
воздействии........................................................................... 3.3 Расчет переходного процесса при импульсном воздействии
заданной формы (интеграл Дюамеля)........................................ Список использованной литературы.............................................. Приложение 1. Варианты задания цепей с управляемыми источниками (ИНУН)............................................................................. Приложение 2. Варианты задания периодических негармонических
воздействий............................................................................... Приложение 3. Варианты задания входного воздействия e(t)............. Приложение 4. Таблица преобразований Лапласа (a, b – постоянные).
46
3
4
8
8
17
19
20
24
25
28
29
34
35
40
43
45
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
4 014 Кб
Теги
atanov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа