close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Balysheva 03B831B1DE

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Теория сигналов. Линейные цепи
Методические указания
к выполнению лабораторных работ № 1–4
Санкт-Петербург
2008
1
Составители: О. Л. Балышева, Ю. Г. Смирнов, В. С. Кравец
Рецензент доктор технических наук, профессор П. Н. Петров
Содержатся методические указания к выполнению и защите
лабораторных работ по разделу «Теория сигналов. Линейные
цепи» курса «Радиотехнические цепи и сигналы», «Основы радиоэлектроники и связи». Приведены инструкции по подготовке
работ и составлению отчетов. Предназначены для студентов, обучающихся по специальностям «Радиотехника» (210302), «Проектирование и технология радиоэлектронных средств» (210201),
«Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования»
(160905), «Аудиовизуальная техника» (210312), «Радиоэлектронные системы» (210304), «Лазерные системы в авиации и космонавтике» (200202), «Физика и техника оптической связи»
(210401), «Связь с подвижными объектами» (210402), «Метрология» (200501) дневного факультета.
Подготовлены кафедрой электроники оптической связи и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом
Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Редактор Г. Д. Бакастова
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 18.08.08. Подписано к печати 04.09.08.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 2,79.
Уч.-изд. л. 2,43. Тираж 250 экз. Заказ №
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2008
2
Лабораторная работа № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ АМПЛИТУДНОГО СПЕКТРА
РАДИОСИГНАЛОВ
Цель работы: ознакомление с методикой измерения амплитудного спектра радиосигналов, экспериментальное измерение и
теоретический расчёт спектров колебаний, модулированных по
амплитуде в соответствии с гармоническим и импульсным управляющими сигналами.
1. Методические указания
Периодические сигналы при – ∞ < t < + ∞ удовлетворяют условию
s(t) = s(t + nT), (1.1)
где n – любое целое число; T – период сигнала.
Простейшим из периодических сигналов, широко используемым в радиотехнике в качестве измерительного, является гармоническое колебание
a0 (t) = A 0 cos(ω 0t + Θ 0 ), (1.2)
где A0 – амплитуда колебания; ω 0 = 2πf0 – угловая частота; f0 =
= 1/T0 – циклическая частота; T0 – период гармонического колебания; Θ0 – начальная фаза колебания.
Любое периодическое колебание сложной формы s(t) с периодом повторения T может быть представлено в виде суммы ряда
Фурье. В тригонометрической форме ряд Фурье (1.3) имеет вид
последовательности гармонических составляющих (гармоник)
с частотами nF, амплитудами Sn и начальными фазами Θn:
s(t) =
S0 ∞
+
Sn cos(n2πFt + Θ n ), 2 n=1
∑
(1.3)
3
где F = 1/T – частота первой (основной) гармоники, совпадающая
с частотой повторения сигнала; n = 1, 2, 3… – номер гармоники;
S0
– постоянная составляющая сигнала; Sn и Θn – амплитуда
2
и начальная фаза n-й гармоники.
В сумме (1.3) гармоническое колебание с номером n = 1 называется первой (основной) гармоникой, а колебания с номерами
n = 2, 3,… называются высшими гармониками.
Представление периодического сигнала в виде суммы ряда
Фурье называется разложением периодического сигнала в
спектр, а совокупность гармоник, на которые можно разложить
сигнал, – спектром сигнала. Набор амплитуд гармоник Sn называется амплитудным спектром, а набор начальных фаз гармоник Θn – фазовым спектром периодического сигнала. Амплитудный спектр определяет амплитуды и частоты составляющих,
фазовый спектр – начальные фазы и частоты.
Наглядное представление о спектре дают амплитудная и фазовая спектральные диаграммы, показывающие множество частот,
амплитуд и начальных фаз гармоник. Периодические сигналы
состоят из гармоник с кратными частотами, поэтому их спектр
является дискретным (линейчатым). На рис. 1.1 показаны графики различных сигналов и соответствующие им амплитудные
спектральные диаграммы (АСД).
Амплитудный спектр гармонического колебания содержит
только одну спектральную линию на частоте f0 (рис.1.1, а).
Управляющие периодические сигналы сложной формы состоят из низкочастотных гармоник, их АСД представляет собой ряд
линий, группирующихся вблизи нулевой частоты. Для последовательности прямоугольных импульсов (рис. 1.1, в) постоянная
составляющая и амплитуды гармоник определяются формулами:
2 Aи
t
S0
t
sin(nπ и ) . = A и и ; Sn =
nπ
T
T
2
(1.4)
Модулированные колебания (радиосигналы) могут быть получены в результате принудительного изменения одного из параметров (амплитуды, частоты или начальной фазы) гармонического несущего сигнала в соответствии с управляющим сигналом
sу(t). Так, при амплитудной модуляции (АМ) по закону управляющего сигнала изменяется амплитуда радиосигнала:
4
s(t) =  A 0 + ks у (t)  cos2πf0t = A(t)cos2πf0t. (1.5)
Аналитически выражение АМ радиосигнала представляет собой произведение низкочастотной огибающей A(t) и высокочастотного гармонического колебания cos2πf0t.
В частности, при гармоническом управляющем сигнале
s y (t) = E cos
2π
t = E cos2πFt Ty
(1.6)
формируется радиосигнал с тональной АМ. Такой радиосигнал
можно представить в виде суммы трех гармонических колебаний:
s(t) = A 0 (1 + M cos2πFt)cos2πf0t =
= A 0 cos2πf0t +
1
1
A 0 M cos2π(f0 − F)t + A 0 M cos2π(f0 − F)t, (1.7)
2
2
где M – коэффициент амплитудной модуляции, определяемый
из соотношения
M=
A
+ A min
A max − A min
; A 0 = max
.
A max + A min
2
(1.8)
В состав АМ колебания входят три гармонических колебания
(1.7) и его амплитудный спектр состоит из трёх линий (рис. 1.1, б).
Последовательность прямоугольных радиоимпульсов (рис.
1.1, г) может быть сформирована путём умножения гармонического сигнала (рис. 1.1, а), являющегося несущим колебанием,
на периодическую последовательность прямоугольных импульсов (управляющий сигнал, рис. 1.1, в), которая является огибающей радиоимпульсов:
S

s(t) =  0 + S1 cos(2πFt + Θ 1) + S2 cos(4πFt + Θ 2 ) + ... cos2πf0t =
2


= A 0 cos2πf0t + A1 cos[2π(f0 + F )t + Θ 1 ]+
(1.9)
+ A1 cos[2π(f0 − F)t − Θ 1 ]+ A2 cos[2π(f0 + 2F)t + Θ 2 ]+
+ A2 cos[2π(f0 − 2F)t − Θ 2 ]+ ...,
где A0 = S0/2, A1 = S1/2, A2 = S2/2, ..., An = Sn/2.
Таким образом, радиосигналы содержат в своём спектре гармоники, частоты которых группируются около частоты несуще5
A
а)
A0
A
A0
t
f
f0
0
T0
Огибающая
б)
A
Радиосигнал
T0
A0
2A min
A0 M
2
t
2A max
f0–F f0
0
f0+F
f
T
A
в)
S1
S2
S0/2
S3
Sn
Aи
t
tи
0
F 2F
f
1/t и
T
A0 A
1
A
A2
A3
г)
An
Aи
t
tи
T
T0
f0
0
f0–2F
f0–F
f
f0+F
f0+2F
Рис. 1.1. Сигналы и соответствующие им амплитудные спектральные диаграммы: а – гармоническое колебание; б – АМ-колебание; в – последовательность прямоугольных импульсов;
г – последовательность прямоугольных радиоимпульсов
6
го колебания f0. АСД радиосигнала получается путём переноса
спектра огибающей вправо по оси частот на величину f0, при
этом колебание на несущей частоте имеет амплитуду A0 = S0/2, а
амплитуды боковых составляющих определяются выражением
1
A n = Sn , 2
(1.10)
где Sn – амплитуды гармоник огибающей.
Кроме того, АСД АМ-радиосигнала симметрична относительно частоты несущего колебания f0, поэтому спектр радиосигнала
вдвое шире спектра его огибающей.
2. Описание лабораторной установки
Лабораторный макет состоит из блока формирования исследуемых радиосигналов и анализатора амплитудного спектра
(рис. 1.2).
Блок формирования позволяет получить четыре вида сигналов: гармоническое колебание, радиосигнал с тональной амплитудной модуляцией (АМ-радиосигнал) и последовательность коротких и длинных прямоугольных радиоимпульсов.
Исследуемые сигналы могут наблюдаться на экране осциллографа, подключаемого к клеммам «Исследуемый сигнал».
Анализатор амплитудного спектра состоит из преобразователя частоты и узкополосного фильтра с фиксированной частотой
настройки fф.
На входы преобразователя частоты подаются исследуемые
радиосигналы и гармоническое колебание от внешнего генераБлок формирования радиосигналов
Анализатор спектра
fг
Гармоническое колебание
АМрадиосигнал
Короткие прямоугольные
радиоимпульсы
Длинные прямоугольные
радиоимпульсы
fс
Преобразователь
частоты
fс + f г
Узкополосный
фильтр
fф
Генератор
управляющего
сигнала
Гетеродин
Исследуемый
сигнал
Выход
Рис. 1.2. Структурная схема лабораторной установки
7
Спектр исследуемого АЧХ узкополосного
фильтра
радиосигнала
а)
0
f1 f2 f3 f4 f5
Спектр сигнала на выходе
анализатора спектра
f
0
f
0
f5 + fг1= fф
f
0
f4 + fг2 = fф
fф
б)
г1
f1 + fг1
f2 + fг1
f3 + fг1
f4 + fг1
f5 + f
fг1
0
в)
г1
0
f1 + fг1
f2 + fг1
f3 + fг1
f4 + fг1
f5 + f
fг2
Рис. 1.3. К методике измерения амплитудных спектров радиосигналов: а – спектр исследуемого сигнала, АЧХ узкополосного
фильтра и спектр сигнала на выходе анализатора спектра
при несовпадении частот гармоник сигнала с частотой настройки фильтра; б – спектр радиосигнала на выходе преобразователя частоты и выходе анализатора спектра при
fг1 = fф – f5; в – спектр радиосигнала на выходе преобразователя частоты и выходе анализатора спектра при fг2 = fф – f4.
тора (гетеродина), в качестве которого используется генератор
GFG8219A. На выходе преобразователя частоты образуется радиосигнал, спектр которого имеет ту же структуру, что и спектр
исследуемого радиосигнала, но частоты всех его гармоник увеличены на частоту гетеродина fг (рис. 1.3). Поэтому при регулировании частоты гетеродина спектр радиосигнала на выходе преобразователя частоты смещается вдоль оси частот без изменения
своей структуры. Если частота какой-либо гармоники на выходе
преобразователя частоты fn + fг попадает в полосу пропускания
фильтра, на его выходе появится напряжение, амплитуда которого максимальна при выполнении условия
8
fn + fг = fф,
(1.11)
где fф – средняя частота полосы пропускания фильтра; fn – частота гармоники исследуемого сигнала на входе преобразователя
частоты.
При этом амплитуда напряжения на выходе фильтра Un пропорциональна соответствующей амплитуде гармоники на входе
преобразователя частоты An:
Un = KAn,
(1.12)
где K – коэффициент передачи гармонического колебания через
анализатор спектра.
Действующее значение выходного напряжения может быть
измерено с помощью вольтметра, подключаемого к клеммам
«Выход». Частоту гетеродина можно измерить частотомером.
Плавно меняя частоту гетеродина, можно последовательно
определить амплитуды и частоты всех гармоник исследуемого
сигнала.
Описанная методика может быть использована для измерения амплитудных спектров периодических сигналов, в которых
интервал между соседними частотами значительно превышает
полосу пропускания фильтра.
3. Порядок выполнения лабораторной работы
Перед началом измерений проверить схему соединений: генератор Г3‑118 подключён к разъёму «Генератор управляющего
сигнала» лабораторной установки, генератор GFG-8219 – к разъёму «Гетеродин», осциллограф GOS‑620 – к разъёму «Исследуемый сигнал».
Задание 1. Исследование амплитудного спектра
гармонического колебания
1.1. Включить питание лабораторной установки, генератора GFG-8219 и осциллографа. Переключатель режимов работы
блока формирования радиосигналов на панели лабораторной
установки поставить в положение «Гармоническое колебание».
Получить на экране осциллографа осциллограмму гармонического колебания в удобном для наблюдения масштабе. Зарисовать
осциллограмму. Измерить и записать амплитуду А0 и период колебания Т0, определить частоту f0 = 1/T0 (см. рис. 1, a).
1.2. Включить питание частотомера Ч3-34 (Ч3-33, Ч3-35).
Измерить частоту ƒ0, переключив кабель с входа осциллографа
9
«СН1» на вход «А» частотомера. Вновь подключить кабель к входу осциллографа.
1.3. Включить питание генератора GFG-8219, выполняющего
в установке функцию внешнего гетеродина. С помощью кнопок
выбора формы сигнала и диапазона частоты, а также потенциометра «FREQUENCY» установить режим генерации гармонического сигнала с частотой примерно 200 кГц. Переключить кабель
входного сигнала осциллографа с разъёма «Исследуемый сигнал»
лабораторной установки на разъём «OUTPUT» генератора, предварительно сняв подключённый к нему кабель. Регулировкой
«AMPL» установить амплитуду выходного напряжения 500 мВ.
Подключить вход осциллографа к разъёму «Выход» установки, а
выход генератора вновь соединить с разъёмом «Гетеродин».
1.4. Плавно изменяя частоту гетеродина в диапазоне 200 ±
± 30 кГц, добиться максимальной амплитуды колебания на экране осциллографа. Записать частоту гетеродина fг. Измерить
частоту выходного сигнала с помощью частотомера, переключив
кабель с входа осциллографа к входу частотомера (аналогично
п. 1.1). Записать частоту fф выходного сигнала, которая совпадает с центральной частотой полосы пропускания фильтра в составе анализатора спектра. Проверить выполнение равенства
f0 = fф – fг. Вновь подключить кабель к входу осциллографа.
Задание 2. Измерение коэффициента передачи
гармонического колебания через анализатор спектра
2.1. Включить питание милливольтметра В3-38. Отключить
кабель входного сигнала осциллографа от лабораторной установки. Подключая вход милливольтметра к разъёму «Исследуемый
сигнал», а затем к разъёму «Выход» установки, измерить с его
помощью и записать действующие значения напряжения соответственно на входе и на выходе анализатора спектра. Подсчитать коэффициент передачи K = Uвых/Uвх.
Задание 3. Исследование амплитудного спектра
АМ-радиосигнала при однотональной модуляции
3.1. Включить питание генератора управляющего сигнала
Г3-118, установить частоту F = 20 кГц. Подключить кабель входного сигнала осциллографа к гнезду «Исследуемый сигнал». Переключатель режимов блока формирования радиосигналов установить в положение «АМ-радиосигнал» Установить амплитуду
10
A max
≈ 3...5 (рис. 1.1, б).
A min
Зарисовать осциллограмму, определить и записать значения параметров полученного сигнала.
3.2. Перестраивая частоту гетеродина (генератора GFG-8219)
вблизи найденной в п. 1.3 частоты fг, добиться максимального
напряжения на выходе анализатора спектра, соответствующего
центральной составляющей спектра АМ-радиосигнала (см. рис.
1.1, б). Измерить и записать в табл. 1.1 частоту гетеродина и
действующее значение выходного напряжения, определяемое с
помощью милливольтметра В3-38. Изменяя частоту гетеродина
вверх и вниз относительно fг, на величину примерно 20 кГц, таким же образом измерить параметры верхней и нижней боковых
составляющих спектра.
В н и м а н и е ! Милливольтметр В3-38 измеряет эффективное
(действующее) значение переменного напряжения, которое для
синусоидального колебания равно 1 2 ≈ 0,707 от амплитудного
значения.
модулирующего сигнала, при которой
Таблица 1.1
fг, кГц
f = fф – fг, кГц
Uвых, мВ
Uвх = Uвых/K, мВ
Задание 4. Исследование амплитудного спектра
периодической последовательности радиоимпульсов
4.1. Установить переключатель режимов блока формирования
радиосигналов в положение «Короткие…» или «Длинные прямоугольные радиоимпульсы» (по указанию преподавателя). Вход
осциллографа подключить к гнезду «Исследуемый сигнал». Зарисовать осциллограмму, определить и записать значения параметров сигнала Аи, tи, T.
4.2. Перестраивая частоту гетеродина (генератора GFG-8219)
относительно найденной в п. 1.3 частоты fг, измерить параметры
центральной составляющей спектра и пяти пар боковых составляющих, соответствующих главному лепестку спектра. Результаты измерений записать в табл. 1.2.
11
Таблица 1.2
fг, кГц
f = fф – fг, кГц,
Uвых, мВ
Uвх = Uвых/K, мВ
После завершения измерений привести установку в исходное
состояние. Выключить питание приборов и установки.
Задание 5. Расчет амплитудных спектров
5.1. Рассчитать амплитудный спектр АМ-радиосигнала при
однотональной модуляции (при гармоническом управляющем
сигнале), с параметрами, полученными в задании 3 на основании
формул (1.7), (1.8).
5.2. Рассчитать амплитудный спектр последовательности
прямоугольных импульсов с параметрами, полученными по заданию 4 на основании формулы (1.4).
5.3. Построить теоретические амплитудные спектральные
диаграммы и сопоставить их с экспериментальными.
4. Содержание отчёта
Отчёт должен быть оформлен в соответствии с инструкцией по
составлению отчёта по лабораторной работе (см. Приложение 1).
Основная часть отчёта должна содержать:
– структурную схему лабораторной установки;
– осциллограммы исследуемых сигналов с указанием их параметров;
– таблицы по результатам измерений;
– амплитудные спектральные диаграммы исследованных сигналов по данным измерений и расчётов;
– расчёты спектров исследованных сигналов;
– выводы по результатам работы.
5. Контрольные вопросы
1. В чём состоит методика измерения амплитудного спектра
периодических радиосигналов?
2. Чем определяется минимальный интервал частот спектральной диаграммы, который может быть измерен с помощью
анализатора спектра?
12
3. Изобразить амплитудный спектр радиосигнала, огибающая
которого изменяется по гармоническому закону по заданным A,
М, T0 и T (см. рис. 1.1, б).
4. Изобразить амплитудный спектр последовательности прямоугольных радиоимпульсов по заданным A, tи, T0 и T (см. рис.
1.1, г).
5. Дать определение периодических и непериодических сигналов. Каковы особенности их спектров?
6. Как вычисляется спектр периодического сигнала?
7. Как связаны спектры управляющего сигнала и АМ-радиосигнала?
8. Как связаны спектры последовательности радиоимпульсов
и их огибающей?
9. Как вычисляются спектры четных и нечетных сигналов?
Библиографический список
1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. М.: Дрофа, 2006. С. 33–43, 103–114.
2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш.
школа, 2000. С.38–41, 92–100.
3. Кадышев Ш. К., Рогачёв В. И., Смирнов Ю. Г. Анализ и синтез радиотехнических цепей / ЛИАП. Л., 1978. С. 3–38.
4. Гоноровский И. С., Демин М. П. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1994. С. 13–22, 71–79.
5. Нефедов В. И. Основы радиоэлектроники и связи: учебник для вузов: М.: Высш. школа, 2002. С. 83–93, 107–115.
Лабораторная работа № 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
Цель работы: изучение методики измерения частотных характеристик линейных цепей; экспериментальное и теоретическое исследование прохождения сигналов через линейные цепи.
1. Методические указания
В теории радиотехнических цепей задача анализа состоит в
определении мгновенных значений сигнала на выходе линейной
цепи при заданном входном сигнале и известной принципиальной схеме цепи. Инженерные методы анализа основаны на принципе суперпозиции, в соответствии с которым входной сигнал
13
представляется суммой аналитически простых и однотипных
стандартных функций времени, а выходной сигнал равен сумме
откликов цепи на каждую из составляющих входного сигнала.
В зависимости от используемого метода анализа (спектрального, временного, операторного) входной сигнал представляется в
виде суммы определенных стандартных функций, а отклики находятся с помощью соответствующих характеристик цепи.
При спектральном методе анализа в качестве стандартных
функций времени, на которые раскладывается входной сигнал,
используются гармонические колебания, а отклик цепи находят
с помощью частотных характеристик цепи. При гармоническом
входном напряжении с амплитудой A1 частотой f и начальной
фазой θ1
s1(t) = A1 cos(2πft + θ1), выходное напряжение
(2.1)
s2 (t) = A2 cos(2πft + θ 2 ) (2.2)
также является гармоническим с частотой f, изменяются лишь
амплитуда и начальная фаза.
Комплексным коэффициентом передачи цепи называется отношение комплексных амплитуд выходного и входного гармонических колебаний
.
K(f ) =
.
A2
.
=
A2 exp( jθ 2 )
= K(f )exp( jϕ(f )), A1 exp( jθ1)
(2.3)
A1
.
.
где A1 и A2 – комплексные амплитуды входного и выходного
гармонических напряжений.
Модуль комплексного коэффициента передачи представляет
собой отношение вещественных амплитуд
K(f ) =
A2
A1
(2.4)
и называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)
цепи. АЧХ показывает, как цепь изменяет амплитуду гармонических колебаний различных частот.
Аргумент комплексного коэффициента передачи представляет собой разность начальных фаз гармонических колебаний на
выходе и входе цепи
14
ϕ(f ) = θ 2 − θ1 (2.5)
и называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ). ФЧХ
показывает, какой дополнительный фазовый сдвиг (по отношению к фазе входного гармонического колебания) вносит цепь на
различных частотах.
Частотные характеристики линейных цепей можно вычислить по их принципиальным схемам или определить экспериментально.
Если на входе цепи действует периодический несинусоидальный (негармонический) сигнал, то его представление в виде суммы гармонических колебаний осуществляется с помощью ряда
Фурье
s1 (t) =
S0 ∞
+
A1n cos(n2πFt + θ1n ), 2 n=1
∑
(2.6)
S0
– постоянная составляющая входного сигнала; A1n, nF =
2
= n/T, θ1n – соответственно амплитуда, частота и начальная фаза
n-й гармоники входного сигнала; T – период повторения сигнала; F = 1/T – частота первой гармоники.
Постоянная составляющая и комплексная амплитуда n-й гармоники входного сигнала s1(t) определяется выражениями
где
T
S0 1
=
s1(t)dt, 2 T
∫
(2.7)
0
T
2π
− jn t
2
jθ
T dt. A 1n = A1ne 1n =
s1(t)e
T
∫
(2.8)
0
Периодический сигнал на выходе цепи по аналогии с входным
можно записать также в виде суммы ряда Фурье
s 2 (t) =
или
s2 (t) =
S′0 ∞
+
A2n cos(n2πFt + θ 2n ), 2 n=1
∑
(2.9)
∞
S0
K(0) +
A1n K(nF)cos[n2πFt + θ1n + ϕ(nF) ], (2.10)
2
n =1
∑
15
где K(0) – значение АЧХ на частоте f = 0, K(nF) и j(nF) – соответственно значения АЧХ и ФЧХ цепи на частотах nF.
Таким образом, порядок расчета выходного периодического
сигнала на основе спектрального метода состоит в следующем:
– расчет спектра входного периодического сигнала путем
представления его в виде суммы ряда Фурье, определение амплитуд и начальных фаз гармоник [формулы (2.6)–(2.8)];
– определение амплитуд и начальных фаз гармоник выходного сигнала с помощью АЧХ и ФЧХ цепи;
– суммирование гармоник выходного сигнала [см. формулу
(2.10)].
Как следует из формулы (2.10), выходной сигнал есть сумма
гармоник, амплитуды которых получены умножением амплитуды n-й гармоники входного сигнала на значение АЧХ цепи на
частоте n-й гармоники. Начальные фазы каждой из гармоник
выходного сигнала равны сумме начальной фазы гармоники на
входе и значения ФЧХ на частоте этой гармоники.
В данной лабораторной работе исследуется передача через линейные цепи двух периодических сигналов: последовательности
прямоугольных импульсов, длительность которых равна половине периода повторения (сигнал типа «меандр») и последовательности треугольных импульсов (рис. 2.1).
Параметры гармоник последовательности прямоугольных
импульсов, изображенных на рис. 2.1, равны:
a0
= an = 0,
2
A1n = bn =
2A
4A
(1 − cos nπ) =
при n = 1,3,5…. (2.11)
nπ
nπ
Для четных номеров амплитуды гармоник равны 0. Начальные фазы нечетных гармоник θ1n = –π/2.
а)
s1(t)
б)
A
0
s1(t)
A
tи
t
T
0 t и =T
t
Рис. 2.1. Исследуемые периодические сигналы: а – прямоугольные импульсы; б – треугольные импульсы
16
Параметры спектральных составляющих треугольных импульсов рассчитываются по формулам
a0 A
= ; bn = 0;
2
2
A1n = an =
2A
4A
(1 − cos nπ) = 2 2 при n = 1,3,5…. (2.12)
2 2
n π
n π
Для четных номеров амплитуды гармоник равны 0. Начальные фазы гармоник θ1n = 0.
2. Описание лабораторной установки
Лабораторный макет состоит из генератора импульсов и панели, на которой собирается схема исследуемой цепи. (рис. 2.2).
3. Порядок выполнения работы
Перед началом измерений проверить схему соединений. Генератор Г3-118: выход «I» подключён к входу «Генератор синусоидальных колебаний» макета, переключатель «dB» установлен
в положение «1». Осциллограф GOS-620: вход «СН1» подключён к гнезду «Вход» лабораторной установки, вход «СН2»– к
гнезду «Выход», переключатели режимов входов «СН1» и
«СН2» – в положении «АС», переключатель чувствительности
«VERTICAL-VOLTS/DIV-CH1» – в положении «5V», переключатель режима «VERTICAL-MODE» – в положении «DUAL»,
кнопка «ALT/CHOP» нажата, переключатель скорости развёрГенератор
импульсов
4
Выходной
сигнал
3
2
1
Внешний генератор
Рис. 2.2. Схема лабораторной установки к лабораторным работам
№2и3
17
а)
10 н
3н
г)
10 к
10 к
3н
10 к
б)
20 к
д)
10 н
в)
10 н
100 н
10 к
66 н
15 к
10 к
е)
10 н
10 к
100 н
6 мГн
Рис. 2.3. Схемы исследуемых цепей
тки «HORIZONTAL-TIME/DIV» – в положении «10 mS», переключатель режима запуска развёртки «TRIGGER-MODE» – в
положении «AUTO», переключатель сигналов синхронизации
«TRIGGER-SOURCE» – в положении «СН1». Лабораторная установка: переключатель «П» на лицевой панели установлен в положение «3».
Уточнить у преподавателя схемы исследуемых цепей (рис.
2.3).
Задание 1. Исследование амплитудно-частотных
и фазочастотных характеристик цепей
1.1. Собрать на лицевой панели лабораторной установки схему первой исследуемой цепи. После проверки схемы преподавателем включить питание генератора Г3-118 и осциллографа GOS620. Установить с помощью переключателей «Hz» и переключателя «Множитель-частота» генератора Г3-118 частоту генерации
20 Гц. Потенциометром «Амплитуда» генератора установить
амплитуду гармонического напряжения канала «СН1» (входного сигнала), наблюдаемого на экране осциллографа, равной 5
В. Регулировкой уровня синхронизации «TRIGGER-LEVEL» добиться чёткого изображения осциллограммы. Переключателем
чувствительности «VERTICAL-VOLTS/DIV-CH2» подобрать масштаб изображения сигнала канала «СН2» (выходного сигнала),
удобный для совместного наблюдения входного и выходного гармонических напряжений. Записать амплитуду входного гармонического колебания Uвх = … В (в дальнейшем при выполнении
задания 1 контролировать постоянство этого параметра).
18
1.2. По наблюдаемой осциллограмме определить амплитуду
выходного гармонического напряжения Uвых и временной сдвиг
между выходным и входным колебаниями t (сдвиг выходного
колебания в сторону опережения считать по знаку положительным). Полученные данные записать в табл. 2.1.
Таблица 2.1
АЧХ и ФЧХ цепи ….
Uвх = … В
f, кГц
0,02 0,05 0,1 0,3 0,8 1,5 3,0 5,0 8,0 10,0 15,0 20,0
Uвых, В
t, мс; мкс
K(f) = Uвых/Uвх
j = 2πfτ, рад
Устанавливая требуемые значения частоты генератора и подбирая соответствующие значения чувствительности канала СН2
и скорости развёртки осциллографа аналогично п. 1.1, произвести необходимые измерения и заполнить табл. 2.1.
1.3. Собрать на лицевой панели лабораторной установки схему второй исследуемой цепи. Провести измерения аналогично
пп. 1.1 и 1.2. Результаты измерений занести в табл. 2.2, подобную табл. 2.1.
Задание 2. Исследование прохождения сигнала
через линейную цепь
2.1. Выключить генератор Г3-118. Уточнить у преподавателя
вид входного сигнала (сигналов). Переключатель «П» лабораторной установки установить в положение «1» или «2», соответствующее требуемому входному сигналу. Собрать схему первой исследуемой цепи. Включить питание лабораторной установки. Регулировками скорости развёртки и чувствительности каналов СН1
и СН2 осциллографа добиться получения осциллограмм входного
и выходного сигналов в удобном для наблюдения масштабе.
2.2. Зарисовать в масштабе графики входного и выходного
сигналов, указав вид исследуемой цепи (см. рис. 2.3, а–е). Определить и записать основные параметры входного и выходного
сигналов: периода Т, длительности tи, максимального мгновенного значения A.
19
2.3. Провести измерения аналогично п. 2.2 со второй исследуемой цепью.
2.4. При необходимости провести измерения аналогично пп.
2.2, 2.3 для другого заданного вида сигнала.
По завершении измерений привести приборы и лабораторную
установку в исходное состояние.
В н и м а н и е ! При построении графиков АЧХ ФЧХ исследуемых цепей по оси частот рекомендуется использовать логарифмический масштаб.
Задание 3. Расчёт экспериментальных АЧХ и ФЧХ
и формы сигналов на выходе цепей
3.1. Рассчитать значения K(f) и j(f) по данным табл. 2.1 и
2.2 для исследуемых цепей на основании формул, приведенных
в табл. 2.1. Данные вычислений вписать в таблицы.
3.2. Построить графики экспериментально снятых зависимостей.
3.3. По указанию преподавателя теоретически (по заданной
принципиальной схеме) рассчитать АЧХ и ФЧХ одной из исследуемых цепей.
3.4. Теоретически рассчитать мгновенные значения сигналов
на выходе цепей при подаче на вход периодической последовательности прямоугольных или пилообразных импульсов с параметрами, измеренными по заданию 3.2, на основании формул.
Расчёт выполнить для моментов времени t = 0; T/4; T/2; 3T/4.
Значения K(nF) и j(nF) взять из графиков АЧХ и ФЧХ.
При вычислении можно пренебречь гармониками, амплитуды которых на выходе цепи A1nK(nF) в 10 и более раз меньше амплитуды первой гармоники A11K(F). По данным теоретических
вычислений построить график выходного сигнала и сопоставить
его с экспериментальным.
Расчеты АЧХ, ФЧХ и мгновенных значений выходных сигналов могут быть выполнены на компьютере с помощью специальных вычислительных пакетов (например, Mathcad). Такие
расчеты с представленными распечатками результатов приветствуются при защите лабораторной работы.
4. Содержание отчёта
Отчёт должен быть оформлен в соответствии с инструкцией
по составлению отчёта по лабораторной работе. Основная часть
отчёта должна содержать:
20
– структурную схему лабораторной установки, схемы исследуемых цепей;
– осциллограммы входных и выходных сигналов;
– таблицы по результатам измерений АЧХ и ФЧХ двух цепей;
– графики экспериментально снятых и рассчитанных зависимостей;
– расчётные соотношения;
– выводы по результатам работы.
5. Контрольные вопросы
1. Что такое комплексный коэффициент передачи линейной
цепи и как он вычисляется по известной принципиальной схеме
цепи?
2. Что такое АЧХ и ФЧХ цепей и каков физический смысл
этих характеристик?
3. Как производится измерение частотных характеристик?
4. Что такое принцип суперпозиции и как он используется
при расчёте формы сигнала на выходе линейной цепи?
5. В чём заключается спектральный метод анализа?
6. Как вычисляется отклик цепи на воздействие сложного периодического сигнала?
7. В чём состоят спектральный и операторный методы расчёта
сигнала на выходе цепи при непериодическом воздействии?
Библиографический список
1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. М.: Дрофа, 2006. С. 202–217, 248–250.
2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк.,
2000. С.198–200, 209–216.
3. Кадышев Ш. К., Рогачёв В. И., Смирнов Ю. Г. Анализ и синтез радиотехнических цепей / ЛИАП. Л., 1978. С.3–38.
4. Гоноровский И. С., Демин М. П. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1994. С. 141–148.
5. Нефедов В. И. Основы радиоэлектроники и связи: учебник для вузов: М.: Высш. шк., 2002.С. 204–207.
21
Лабораторная работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ
И ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА
Цель работы: изучение методики измерения и расчета временных характеристик линейных цепей; экспериментальное и
теоретическое исследование прохождения сигналов через линейные цепи.
1. Методические указания
Наряду со спектральным (или операторным) методом, широкое применение имеет временной метод анализа линейных
радиотехнических цепей, основанный на использовании интегралов Дюамеля. В задаче нахождения формы сигнала на выходе
цепи задаётся входной сигнал и какая-либо временная (импульсная или переходная) характеристика цепи. Последние могут
быть измерены экспериментально или рассчитаны теоретически, если известна схема цепи.
Переходной характеристикой g(t) называется отклик цепи
на воздействие единичного скачка (функции включения) 1(t),
которая определяется зависимостью (рис. 3.1, а)
1, t ≥ 0;
1(t) = 
0, t < 0.
(3.1)
При экспериментальном исследовании переходная характеристика может быть найдена путем подачи на вход цепи последовательности прямоугольных импульсов, длительность которых во много раз превышает длительность переходного процесса
(рис. 3.2). В этом случае переходный процесс, вызванный полоδ(t)
а)
б)
1(t)
1
0
t
0
Рис. 3.1. Испытательные сигналы: а – δ-функция; б – 1(t).
22
t
S1 (t)
A1
t1
0
S2 (t)
0
T
2T
t
T
2T
t
A1 g(t)
t1
Рис. 3.2. Сигналы на входе и выходе цепи при измерении переходной характеристики
жительным скачком напряжения величиной A на входе цепи,
закончится раньше, чем наступит момент заднего фронта прямоугольного импульсa. На интервале времени [0,t1] будет выполняться равенство
s2(t) = Ag(t),
(3.2)
где A – величина входного напряжения.
Следовательно, переходная характеристика равна отношению
g(t) = s2(t)/A1 при 0 ≤ t ≤ t1.
(3.3)
Импульсной характеристикой цепи h(t) называется её отклик на воздействие дельта-импульса, т. е. бесконечно короткого импульса с площадью, равной единице.
S1 (t)
A2
–t2 0
S2 (t)
0
T
2T
t
T
2T
t
A2t2 h(t)
Рис. 3.3. Сигналы на входе и выходе цепи при измерении импульсной
характеристики
23
При экспериментальном исследовании импульсная характеристика может быть найдена путём подачи на вход цепи периодической последовательности коротких прямоугольных импульсов, длительность которых t2 во много раз меньше длительности
переходного процесса. Если отчёт времени начинать с момента,
совпадающего с окончанием входного импульса, то на интервале
времени [0, T – t2] сигнал на выходе цепи приближённо совпадает с произведением импульсной характеристики на площадь
входного импульса A2t2:
S2(t) = A2t2h(t).
(3.4)
Таким образом, импульсная характеристика равна отношению
h(t) = s2(t)/(A2t2).
(3.5)
Чем меньше длительность импульса t2, тем точнее воспроизводится h(t), но и тем меньше величина выходного напряжения.
Теоретический расчёт временных характеристик h(t) и g(t)
можно выполнить на основе операторного метода. Изображением по Лапласу импульсной характеристики является операторный коэффициент передачи
h(t) ÷ K(p),
(3.6)
а изображением переходной характеристики – отношение
K(p) p.
g(t) ÷ K(p)/p.
(3.7)
Знак «÷» в выражениях (3.6) и (3.7) показывает соответствие
и условно обозначает обратное преобразование Лапласа. Оригиналы g(t) или h(t) можно найти, вычислив обратное преобразование Лапласа или по таблице преобразования Лапласа (см. Приложение 2).
Взаимосвязь между импульсной и переходной характеристиками определяется соотношениями:
h(t) =
d
g (t), dt
(3.8)
t
g (t) =
∫ h(t)dt. (3.9)
−∞
Входной сигнал произвольной формы можно представить
в виде
24
∞
s1(t) =
∫ s1(τ)δ(t − τ)dτ. (3.10)
−∞
′ характеристики цепи и задан непеЕсли известны временные
риодический входной сигнал s1(t), то выходной сигнал на основе
принципа суперпозиции можно рассчитать по одной из формул:
∞
s2 (t) =
∫ s′1(τ)g(t − τ)dτ, (3.11)
−∞
∞
s2 (t) =
∫ s′1(t − τ)g(τ)dτ, (3.12)
−∞
∞
s2 (t) =
∫ s1(τ)h(t − τ)dτ, (3.13)
−∞
∞
s2 (t) =
∫ s1(t − τ)h(τ)dτ. (3.14)
−∞
Пределы интегрирования в этих выражениях должны быть
уточнены в зависимости от вида подынтегральных сомножителей. В частном случае, если входной сигнал и временные характеристики действуют на интервале времени 0 ≤ t < ∞ и s1(t) =
= 0 при t < 0 (a g(t) = 0 и h(t) = 0 при t < 0 для любой цепи), то
нижним пределом интегрирования будет 0 и верхним t. Следует
иметь также в виду, что если s1(t) или h(t) изменяются в какойлибо точке скачком (например, при t = 0), то их производные
s1′(t) и h′(t) = g(t) содержат дельта-импульсы. Исключив дельтаимпульсы из подынтегральных выражений, получим расчетные
формулы в виде:
t
∫
s2 (t) = s1(0) g (t) + s1′ (τ) g (t − τ)dτ, (3.15)
0
t
∫
s2 (t) = s1(0) g (t) + s1′ (t − τ)g (τ)dτ, (3.16)
0
25
t
∫
s2 (t) = s1(t)g (0) + s1(τ)h(t − τ)dτ, (3.17)
0
t
∫
s2 (t) = s1(t)g (0) + s1(t − τ)h(τ)dτ. (3.18)
0
Формулы (3.11)–(3.14) и (3.15)–(3.18) называются интегралами Дюамеля и применяются при анализе линейных цепей с помощью временных характеристик.
Таким образом, временной метод анализа предполагает следующую последовательность расчета выходного сигнала: определение одной из временных характеристик цепи (импульсной или
переходной); расчет выходного сигнала с помощью одной из формул интеграла Дюамеля, представляющего собой свертку входного сигнала и импульсной характеристики цепи [см. формулы
(3.13) и (3.14)] или свертку производной от входного сигнала и
переходной характеристики цепи [см. формулы (3.11) и (3.12)].
Если входной сигнал представляет собой прямоугольный импульс, то выходной сигнал можно определить без расчета интеграла Дюамеля, а используя известную переходную характеристику цепи. Прямоугольный импульс амплитудой A и длительа)
h(t)
S 1(t)
tи
0
б)
S1(τ)
0
t
h(t– τ)
t
tи
τ
Рис. 3.4. К пояснению расчета выходного сигнала временным методом
с помощью интеграла Дюамеля: а – входной сигнал s1(t) и импульсная характеристика цепи h(t); б – наложение и расчет
площади взаимного перекрытия входного сигнала s1(τ) и импульсной характеристики h(t – τ)
26
S1 (t)
A
t1
0
t2
t
A1(t –t1)
S1(t)
t2
t1
0
t
–A1(t –t2 )
Ag(t – t1)
S2 (t)
t2
0
t1
t
–Ag(t –t2 )
Рис. 3.5. Определение реакции цепи на прямоугольный импульс с помощью переходных характеристик
ностью tи = t1 – t2 можно представить в виде суммы функций
включения [функций1(t)] (рис. 3.5)
s1(t) = A[1(t – t1) – 1(t – t2)].
(3.19)
Тогда на основании принципа суперпозиции выходной сигнал
будет суммой откликов на каждое из входных воздействий, т. е.
суммой двух переходных характеристик
s2(t) = A[g(t – t1) – g(t – t2)].
(3.20)
2. Описание лабораторной установки
Лабораторный макет состоит из генератора импульсов и панели, на которой собирается схема исследуемой цепи (рис. 2.2).
27
3. Порядок выполнения работы
Перед началом измерений проверить схему соединений и
установить необходимые режимы работы приборов. Генератор
GFG-8219: выход (разъём «OUTPUT») подключён к разъёму
«Внешний генератор» лабораторной установки. Осциллограф
GOS-620: вход «СН1» подключён к разъёму «Входной сигнал»
лабораторной установки, вход «TRIG IN» – к разъёму «Синхр.»
лабораторной установки, переключатель режима «VERTICALMODE» – в положении «СН1», переключатель режима входа
«СН1» – в положении «DС», переключатель режима запуска
развёртки «TRIGGER-MODE» – в положении «AUTO», переключатель сигналов синхронизации «TRIGGER-SOURCE» – в положении «СН1».
Уточнить у преподавателя схемы двух исследуемых цепей
(рис. 2.3). Выбранные схемы зарисовать.
Задание 1. Определение параметров
используемых испытательных импульсов
1.1. Включить питание осциллографа и лабораторной установки. Переключатель на лицевой панели лабораторной установки
установить в положение «2». Переключателем чувствительности «VERTICAL-CH 1-VOLTS/DIV» и переключателем скорости
развёртки подобрать масштабы изображения сигнала («длинного» прямоугольного импульса – физической модели функции
включения), удобные для наблюдения осциллограммы. Регулировкой уровня синхронизации «TRIGGER-LEVEL» добиться
получения устойчивого изображения. Зарисовать наблюдаемый
сигнал, определить и записать амплитуду импульса А1 и его длительность t1.
1.2. Переключатель на лицевой панели лабораторной установки установить в положение «3». Аналогично п. 1.1 получить
на экране осциллографа изображение сигнала («короткого» прямоугольного импульса – физической модели дельта-функции).
Зарисовать осциллограмму, определить и записать параметры
импульса А2 и t2.
Задание 2. Измерение переходных и импульсных
характеристик исследуемых цепей
2.1. На лицевой панели установки собрать из имеющихся
элементов первую исследуемую цепь (при необходимости для за28
мыкания цепи использовать перемычки). Установить переключатель на лицевой панели в положение «2». Вход «СН1» осциллографа подключить к разъёму «Выходной сигнал» установки.
Переключатель «TRIGGER-SOURCE» установить в положение
«EXT» (внешняя синхронизация); переключатель скорости
развёртки «TIME/DIV» – в положение «50 µs/div».
Подбирая соответствующее значение чувствительности
«VERTICAL-CH1 – VOLTS/DIV», получить осциллограмму выходного сигнала. Зарисовать осциллограмму (сохранение масштаба изображения не требуется). Измерить и занести в табл. 3.1
мгновенные значения выходного напряжения с шагом 50 мкс
по оси времени. Мгновенные значения измерять с учётом знака относительно нулевого уровня напряжения, наблюдаемого
при установке переключателя «VERTICAL-MODE» в положение
«GND». При колебательном характере выходного сигнала (см.
цепь на рис. 2.3, е) целесообразный шаг измерений по временной
координате установить самостоятельно.
Таблица 3.1
Электрическая цепь, схема …
t, мкс
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
sвых(t), В
g(t)эксп = sвых /А1
g(t)теор
2.2. Установить переключатель на лицевой панели установки в положение «3». Используя рекомендации п. 2.1, получить
осциллограмму выходного сигнала. Зарисовать осциллограмму,
измерить и занести в табл. 3.2 мгновенные значения выходного
напряжения.
Таблица 3.2
Электрическая цепь, схема …
t, мкс
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
sвых(t), В
h(t)эксп = sвых/А2t2, с–1
h(t)теор, с–1
29
2.3. Собрать на лицевой панели установки вторую исследуемую цепь. Установить переключатель на лицевой панели в положение «2». Получить и зарисовать осциллограмму выходного
напряжения. Произвести измерения аналогично п. 2.1 и заполнить табл. 3.3, идентичную по форме табл. 3.1.
2.4. Установить переключатель на лицевой панели установки
в положение «3». Получить и зарисовать осциллограмму выходного напряжения. Произвести измерения аналогично п. 2.2 и заполнить табл. 3.4., аналогичную по форме табл.3.2.
Задание 3. Исследование прохождения сигнала через линейную
цепь с использованием временных методов анализа
3.1. Установить переключатель на лицевой панели установки в положение «4». Вход «СН1» осциллографа подключить
к разъёму «Входной сигнал» лабораторной установки. Получить
и зарисовать осциллограмму сигнала Sвх(t) – экспоненциального импульса с постоянной времени спада t = 100 мкс. Измерить
и занести в табл. 3.5 мгновенные значения напряжения с шагом
50 мкс по временной оси.
Таблица 3.5
Электрические цепи, схемы …и …
t, мкс
0
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
sвх(t), В
sвых 1(t)эксп, В
sвых 1(t)теор, В
sвых 2(t)эксп, В
sвых 2(t)теор, В
3.2. Вход «СН1» осциллографа подключить к разъёму «Выходной сигнал» лабораторной установки. Получить и зарисовать
осциллограмму выходного сигнала для собранной на панели установки второй исследуемой цепи. Измерить с заданным шагом
и занести в табл. 3.5 мгновенные значения выходного напряжения Sвых2(t)эксп.
3.3. Собрать схему первой исследуемой цепи. Получить и зарисовать осциллограмму выходного сигнала. Измерить с задан-
30
ным шагом и занести в табл. 3.5 мгновенные значения выходного напряжения Sвых1(t)эксп.
Задание 4. Расчет временных характеристик и выходного
сигнала
4.3. По заданным принципиальным схемам исследуемых
цепей вывести формулы переходных характеристик цепей и по
ним рассчитать мгновенные значения переходных характеристик gтеор(t). Занести полученные значения в табл. 3.1 и 3.3.
4.4. По заданным принципиальным схемам исследуемых цепей вывести формулы импульсных характеристик цепей и по
ним рассчитать мгновенные значения импульсных характеристик hтеор(t). Занести полученные значения в табл. 3.2 и 3.4.
4.5. На основании формул (3.11)–(3.14) вывести формулы для
выходного сигнала одной из цепей по указанию преподавателя
(см. рис. 2.3, а – е) при подаче на вход сигнала в виде экспоненциального импульса s1(t) = Aexp(–t/100). Рассчитать мгновенные
значения выходных сигналов и занести их в табл. 3.5. Сопоставить результаты расчета и экспериментальные данные. Сделать
выводы.
4. Содержание отчёта
Отчёт должен быть оформлен в соответствии с инструкцией
по составлению отчёта по лабораторной работе. Основная часть
отчёта должна содержать:
– структурную схему лабораторной установки, схемы исследуемых цепей;
– таблицы по результатам экспериментально снятых и теоретически рассчитанных импульсных и переходных характеристик двух исследуемых цепей ( табл. 3.1–3.4);
– графики экспериментально снятых и рассчитанных импульсных и переходных характеристик для двух цепей по результатам табл. 3.1–3.4;
– графики экспериментально полученных входного и выходных сигналов для двух цепей в соответствии с табл. 3.5;
– пример расчета и формулы теоретически полученных импульсных и переходных характеристик исследуемых цепей;
– вывод формул для расчета мгновенных значений выходных
сигналов цепей при подаче на их вход экспоненциального импульса;
31
– графики теоретически рассчитанных переходных и импульсных характеристик;
– графики теоретически рассчитанных мгновенных значений
выходных сигналов цепей;
– выводы по результатам работы.
5. Контрольные вопросы
1. Что называется импульсной и переходной характеристикой линейной цепи?
2. Что представляет собой дельта‑импульс (функция Дирака)
и единичный скачок (функция включения)? Каковы размерности и свойства этих функций?
3. Объясните методику экспериментального измерения вре′ характеристик.
менных
4. Как теоретически рассчитать импульсную и переходную
характеристики цепи по известной принципиальной схеме?
5. Как связаны между собой импульсная, переходная характеристики и операторный коэффициент передачи цепи?
6. Какова методика расчета мгновенных значений выходного
сигнала цепи на основе временного метода анализа?
7. В чем отличие временного и спектрального методов анализа
прохождения сигналов через линейные цепи?
8. Какова особенность определения реакции линейной цепи
на прямоугольный вводной сигнал с помощью временных характеристик цепи?
Библиографический список
1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб.пособие для вузов. М.: Дрофа, 2006. С. 65–66, 250–260, 216–217.
2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш.шк.,
2000. С. 17–20, 193–200, 212–214, 216–221.
3. Кадышев Ш. К., Рогачёв В. И., Смирнов Ю. Г. Анализ и синтез радиотехнических цепей / ЛИАП. Л., 1978. С. 45–54.
4. Гоноровский И. С., Демин М. П. Радиотехнические цепи и сигналы:
учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1994. С. 35–39, 148–151.
5. Нефедов В. И. Основы радиоэлектроники и связи: учебник для вузов. М.: Высш. шк., 2002. С. 98–103, 207–224.
32
Лабораторная работа № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Цель работы: ознакомление с методикой экспериментального
измерения вероятностных характеристик случайных процессов;
теоретическое и экспериментальное исследование интегрального и дифференциального законов распределения гармонического
колебания со случайной начальной фазой и теплового шума.
1. Методические указания
Сигналы, содержащие информацию, а также помехи и шумы,
всегда присутствующие при приеме сигналов, являются случайными процессами. Их значения в произвольные моменты времени не могут быть достоверно определены. Описание случайных
процессов имеет статический характер, т. е. опирается на большое количество опытных данных.
Случайный процесс Х принято описывать в виде совокупности (ансамбля) большого количества функций времени х1(t), x2(t),
…, xN(t), называемых реализациями процесса (рис. 4.1)
Путём обработки ансамбля реализаций в произвольный момент времени t0 или путём обработки только одной реализации
хN(t) в течение достаточно длительного промежутка времени Т
(рис. 4.2) могут быть найдены основные вероятностные характеристики случайного процесса – интегральный и дифференциальный законы распределения вероятностей.
Вероятность Р некоторого события С показывает степень
возможности этого события. Количественно вероятность определяется соотношениями:
n Р(С) = lim
N
N →∞
при обработке ансамбля реализаций и
(4.1)
t
(4.2)
P(C) = lim c T→∞ T
при обработке одной реализации. Здесь n – количество реализаций, в которых в момент наблюдения t0 имеет место событие С,
N – общее число реализаций, tс – суммарная продолжительность
33
x1 (t)
x
0
t
t = t0
x2 (t)
x
t
0
x 3 (t)
x
t
0
xN (t)
x
0
t
Рис. 4.1. Ансамбль реализаций случайного процесса
x(t)
δt1
δ t2
δ t4
δ t3
δ t5
δ t6
x + ∆x
x
0
∆t1
∆t2
∆t3
t
T
Рис. 4.2. Отдельная реализация случайного процесса
интервалов времени, в пределах которых имеет место событие С,
Т – общее время наблюдения (T→ ∞).
Интегральный закон распределения, или функция распределения F(x), показывает вероятность того, что случайный процесс
Х имеет значение, которое меньше уровня х и является функцией этого уровня:
F(x) = P(X ≤ x).
(4.3)
34
Дифференциальный закон распределения, или плотность вероятности, показывает отношение вероятности того, что значение случайного процесса лежит в бесконечно узком интервале
[x, x + Δx], к ширине этого интервала
P(x < X ≤ x + ∆x)
(4.4)
P(x) = lim
.
∆x
∆x → 0
Законы распределения F(x) и р(х) находят путём обработки
случайного процесса с применением формул (4.1) и (4.2).
При обработке ансамбля реализаций искомые вероятности вычисляются как отношение количества реализаций, для которых
в момент времени t0 выполняются условия Х < х или x ≤ X ≤ x +
+ Δx, к общему числу реализаций. Для стационарных случайных
процессов при N→ ∞ найденные законы F(x) и p(x) не зависят от
момента времени, для которого производилась обработка.
При обработке одной реализации xn(t) вероятности, входящие
в формулы, находят как отношение суммарного времени
∑ ∆ti = ∆t1 + ∆t2 + ... (∑ δti = δt1 + δt2 + ...), (4.5)
в течение которого xn(t) ≤ x (или х < xn(t) ≤ x + Δx), к общему времени наблюдения Т.
Стационарный случайный процесс называется эргодическим,
если его вероятностные характеристики, полученные методом
обработки ансамбля (при «усреднении по вертикали»), совпадают с соответствующими характеристиками, полученными методом обработки одной реализации (при «усреднении по горизонтали»).
В настоящей лабораторной работе исследуются эргодические
случайные процессы и их законы распределения определяются
методом обработки одной реализации во времени, т. е.
∑ ∆ti
∑ δti
F(x) = lim
, p(x) = lim
.
T → ∞ T ⋅ ∆x
T→∞ T
∆x → 0
(4.6)
Интегральный и дифференциальные законы распределения
случайного процесса связаны между собой соотношениями
x
F(x) =
∫
−∞
p(x)dx, p(x) =
d
F(x).
dx
(4.7)
35
Основные свойства интегрального закона:
а) F(x) – безразмерная положительная неубывающая функция;
б) F(–∞) = 0 как вероятность невозможного события (Х ≤ –∞);
в) F(∞) = 1 как вероятность достоверного события (Х ≤ ∞);
г) вероятность попадания случайной величины на интервал от
х1 до х2 равна разности функций распределения в этих точках
P(х1 < X ≤ х2) = F(х1) – F(х2).
Основные свойства дифференциального закона:
а) р(х) – положительная функция с размерностью, обратной
размерности процесса (например, 1/В, 1/А и т. д.);
б) вероятность попадания случайной величины в интервал [х1,
х2] равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах
P(x1 < X ≤ x 2 ) =
x2
∫ p(x)dx; (4.8)
x1
F(x)
а)
1
P(x1< X< x2 )
F(x2 )
F(x1)
x1
x2
0
x
p(x)
б)
P(x1 ≤ X ≤ x2 )
x1 0
x2
x
Рис. 4.3. Графики законов распределения: а – интегрального; б – дифференциального
36
в) интеграл от плотности вероятности, взятый в бесконечных
пределах, равен единице:
∞
∫
p(x)dx = F(∞) − F(−∞) = 1 − 0 = 1. (4.9)
−∞
С помощью законов распределения можно найти числовые характеристики случайных процессов (математическое ожидание
< х> и < х2 >), а также дисперсию D = < (x– < x >)2> по соотношениям
∞
<x> =
∫
xp(x)dx, < x 2 > =
−∞
D = < (x− < x >) 2 > =
∞
∫x
2
p(x)dx; (4.10)
−∞
∞
∫ (x− < x >)
2
p(x)dx = < x 2 > − (< x >) 2. (4.11)
−∞
Эти же характеристики можно найти путём усреднения отдельных реализаций во времени:
T
T
1
1
x(t) = lim
x(t)dt, x(t) 2  = lim
x 2 (t)dt; (4.12)


T
T
T→∞ 0
T→∞ 0
∫
D = (x(t) − x(t)) 2 = lim
∫
T
2
2
1
(x(t) − x(t)) 2 dt = [x(t) ] − x(t)  . (4.13)
T
∫
0
Для эргодических процессов
< x > = x(t); < x 2 > = [x(t) ] 2
(4.14)
2
D = < (x− < x >) 2 > = x(t) − x(t)  . (4.15)
При этом x(t) имеет смысл постоянной составляющей процес2
2
са, [x(t) ] – средней мощности всего процесса, x(t)  – мощности постоянной составляющей; D – средней мощности переменной составляющей процесса.
37
Среднеквадратичным (действующим) значением случайного
процесса называется величина
(4.16)
σ = D. При экспериментальном исследовании случайных процессов
определение их характеристик производится, как правило, по
конечному числу реализаций или по реализации конечной длительности, представляющими собой случайную выборку из всех
возможных значений случайного процесса.
Выражения (4.1) и (4.2) при этом находятся для конечных
значений N и T и определяют относительную частоту события
С, в пределе равную вероятности события. Функции распределения, получаемые для данной выборки случайного процесса,
называются выборочными распределениями. Статистические
характеристики случайного процесса, получаемые при обработке выборки, называются точечными оценками соответствующих параметров процесса. Так, выражения (4.12), (4.13) при
конечном интервале усреднения определяют выборочное среднее
и выборочную дисперсию процесса. Такие характеристики описывают свойства процесса в вероятностном смысле, т. е. также
являются случайными величинами. Для увеличения близости
получаемых характеристик к предельным значениям объем выборки должен быть достаточно большим.
Исследуемый в работе случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой Θ
x(t) = A cos(ω0t + Θ),
(4.17)
где А и ω0 – амплитуда и круговая частота, обладает следующими характеристиками при –A < x < A:
P(x) =
1
,
(4.18)
1
x
F(x) = arccos(− ). π
A
(4.19)
x
πA 1 − ( ) 2
A
(4.20)
< x> = 0; D = 0,5A2; σ = A / 2. Второй случайный процесс, исследуемый в работе, – тепловой
шум. Он является результатом хаотического теплового движения
большого количества электронов в проводнике, и его дифферен
38
Ф(z)
1
0,8
0,6
0,2
–3
–2
–1
0
1
2
z
Рис. 4.4. Интеграл вероятности
циальный закон распределения на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей нормальный (гауссов):
1
p(x) =
e
2πσ
−
x2
2σ 2 . (4.21)
Математическое ожидание теплового шума < x> равно нулю.
Среднеквадратическое значение теплового шума приближенно
может быть определено по осциллограмме
σ = xm/3,
(4.22)
где xm – максимальный выброс.
Интегральный закон распределения для теплового шума находится по формуле
x
F(x) = Φ( ), σ
(4.23)
где
z
∫
t2
−
1
Φ(z) =
e 2 dt 2π −∞
(4.24)
представляет собой интеграл вероятности (рис. 4.4).
2. Описание лабораторной установки
Лабораторный макет предназначен для измерения законов
распределения вероятностей случайных процессов методом обработки одной реализации (рис. 4.5).
39
Формирователь
измерительных
импульсов
Компаратор
Дифференциальный Входной
закон
сигнал
Регулировка
грубо
Интегральный
закон
Пороговое
Генератор напряжение
тактовой
частоты
Схема совпадений
Источник опорных
напряжений
Регулировка
плавно
Выход
Рис. 4.5. Структурная схема лабораторной установки для исследования законов распределения вероятностей случайных процессов
Для оценки вероятности нахождения процесса в некоторой
области значений в лабораторной установке определяется эмпирическое среднее относительного времени пребывания процесса
в рассматриваемой области значений. Измерение временных интервалов производится путём счёта формируемых в установке в
течение этих интервалов измерительных импульсов.
3. Порядок выполнения работы
Перед началом измерений проверить схему соединений и установить необходимые режимы работы приборов.
Осциллограф GOS-620: вход «СН1» подключён к одному из
разъёмов «Входной сигнал» лабораторной установки, переключатель режима «VERTICAL-MODE» – в положении «СН1», переключатель режима входа «СН1» – в положении «DС», переключатель режима запуска развёртки «TRIGGER-MODE» – в
положении «AUTO», переключатель сигналов синхронизации
«TRIGGER-SOURCE» – в положении «СН1».
Генератор Г3-118: выход «II» подключён к одному из входов
«Входной сигнал» лабораторной установки, переключатель «dB»
установлен в положение «10», переключатели «Hz» и «Множитель» – в положения, соответствующие частоте 1 кГц.
Частотомер Ч3-35 (Ч3-34): вход «А» подключён к разъёму
«ВЫХОД» лабораторной установки, переключатель режима работы «РУЧНОЙ – АВТОМАТИЧЕСКИЙ» – в положении «»,
переключатель «МЕТКИ ВРЕМЕНИ» – в положении «Вх. А»,
переключатель «ВРЕМЯ ИЗМЕРЕНИЯ» – в положении «0,1 S»,
40
переключатель «РОД РАБОТЫ» – в положении «Частота А», переключатель аттенюатора входа «А» – в положении «1:10», переключатель полярности запуска канала «А» – в положении «П».
Мультиметр АРРА-203 (205): входные гнёзда «VΩHz» и
«COM» соединены с гнёздами «Пороговое напряжение» макета,
переключатель режимов – в положении «V = ».
Задание 1. Исследование интегрального закона распределения
гармонического колебания со случайной начальной фазой
1.1. Включить питание лабораторной установки и приборов
(выключатель сети мультиметра АРРА находится на задней
панели прибора). Включить питание термостата (тумблер «»)
частотомера. Переключатель на передней панели установки поставить в положение «Интегральный закон». Наблюдая осциллограмму гармонического колебания на осциллографе, с помощью
потенциометра регулировки выходного напряжения генератора
Г3-118 установить амплитуду колебания А = 1,5 В.
1.2. Установить с помощью потенциометров на передней панели установки пороговое напряжение, измеряемое мультиметром, х = + 2,0 В. Подключить вход осциллографа к разъёму «Выход» установки, отключив от него вход частотомера. Определить
параметры T = …, tи = … наблюдаемой последовательности измерительных импульсов.
1.3. Установить переключатель скорости развёртки «TIME/
DIV» в положение «0,2 mS».Уменьшая пороговое напряжение,
наблюдать образование бланкируемых интервалов импульсной
последовательности вплоть до полного исчезновения импульсов.
Установить пороговое напряжение х = 0,0 В. Зарисовать осциллограмму. Измерить отношение длительности пачки импульсов
к периоду следования пачек tп/Tп.
1.4. Подключить вход осциллографа к разъёму «Входной сигнал», а вход частотомера – к разъёму «Выход». Изменяя пороговое напряжение в пределах х = (–1,5 В…+ 1,5 В), определить
Таблица 4.1
х, В
–1,5 –1,2 –0,9 –0,6 –0,3 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
n(x)
F(x) = 10–3n
F(x)теор
41
с помощью частотомера соответствующее число импульсов n на
выходе установки. Результаты измерений внести в табл. 4.1.
Задание 2. Исследование дифференциального закона
распределения гармонического колебания со случайной
начальной фазой
2.1. Переключатель на передней панели установки поставить
в положение «Дифференциальный закон». Установить с помощью потенциометров на передней панели установки пороговое
напряжение, измеряемое мультиметром, х = 0,0 В. Подключить
вход осциллографа к разъёму «Выход» установки, отключив от
него вход частотомера. Измерить отношение длительности пачки импульсов к периоду следования пачек tп/Tп.
2.2. Подключить вход осциллографа к разъёму «Входной сигнал», а вход частотомера – к разъёму «Выход». Изменяя пороговое напряжение в пределах х = (–1,5 В…+ 1,5 В), определить
с помощью частотомера соответствующее число импульсов n на
выходе установки. Определить минимальное и максимальные
значения n (рис. 4.6).
Разделив область значений функции n(x) на пять интервалов, произвести измерения в соответствующих точках, включая
nmax1 и nmax2, для каждой из ветвей функции. Результаты измерений внести в табл. 4.2.
n(x)
n max1 n max2
n min
x1
0
x2
x
Рис. 4.6. Зависимость числа импульсов на выходе установки от порогового напряжения при измерении дифференциального закона
распределения гармонического колебания со случайной начальной фазой
42
Таблица 4.2
n(x)
х, В
p(x) = 6,67·10‑3n,
В–1
p(x)теор
Задание 3. Исследование интегрального закона распределения
теплового шума
3.1. Выключить генератор Г3-118. Переключатель на передней панели установки поставить в положение «Интегральный
закон». Подключить (с помощью преподавателя) генератор шума
к разъёму «Входной сигнал» установки. По осциллограмме выборки шума определить наблюдаемую область значений шумового напряжения DUmax. Рассчитать эмпирическое значение
среднеквадратического отклонения шума σ = DUmax/6. Изменяя
пороговое напряжение в пределах х = (–2s … + 2s) с шагом, обеспечивающим получение 9–11 значений n(x), произвести измерения числа импульсов n(x). Составить и заполнить табл. 4.3, по
форме аналогичную табл. 4.1.
Таблица 4.3
х, В
n(x)
F(x) = 10–3n
F(x)теор
Задание 3. Исследование дифференциального закона
распределения теплового шума
4.1. Переключатель на передней панели установки поставить
в положение «Дифференциальный закон». Изменяя пороговое
Таблица 4.4
х, В
n(x)
p(x) = 6,67·10–3n, В–1
p(x)теор
43
напряжение в пределаx х = (– 2s… + 2s) с шагом, обеспечивающим получение 9–11 значений n(x), произвести измерения числа
импульсов n(x). Составить и заполнить табл. 4.4.
4. Содержание отчёта
Отчёт должен быть оформлен в соответствии с инструкцией
по составлению отчёта по лабораторной работе. Основная часть
отчёта должна содержать:
– структурную схему лабораторной установки;
– осциллограммы исследуемых процессов;
– таблицы по результатам экспериментально снятых и теоретически рассчитанных законов распределения исследованных
случайных процессов ( табл. 4.1–4.4);
– расчетные соотношения;
– графики экспериментальных и теоретических зависимостей;
– выводы по результатам работы.
5. Контрольные вопросы
1. Какие сигналы называются случайными? Какова роль случайных процессов и помех в радиотехнике?
2. Что такое вероятность события и как она определяется по
одной реализации или по ансамблю реализаций?
3. С помощью каких характеристик исследуются случайные
процессы?
4. Как определяются интегральный и дифференциальный
законы распределения случайных процессов, какова их взаимосвязь?
5. Перечислите основные свойства интегрального и дифференциального законов распределения.
6. Как определяются числовые характеристики случайных
процессов?
7. Какие процессы называются эргодическими?
8. Какова методика измерения интегрального и дифференциального законов распределения случайных процессов, используемая в лабораторной работе?
Библиографический список
1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. М.: Дрофа, 2006. С. 156–169.
44
2. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк.,
2000. С. 142–161.
3. Гоноровский И. С., Демин М. П. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1994. С. 109–123.
4. Нефедов В. И. Основы радиоэлектроники и связи: учебник для вузов: М.: Высш. шк., 2002. С. 150–162.
45
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Инструкция по составлению отчета о лабораторной работе
Отчет о лабораторной работе по курсу «Радиотехнические
цепи и сигналы» оформляется в соответствии с правилами и
стандартами, действующими в ГУАП.
Отчет может быть выполнен в рукописном варианте или оформлен с помощью компьютера и представлен в виде распечатки.
Отчет принимается преподавателем только с приложенным к
нему подписанным преподавателем протоколом измерений. Ксерокопии отчетов не принимаются.
Отчет должен представлять собой законченный документ, содержащий цель работы, схему и краткое описание лабораторной
установки, разделы, содержание которых отражают суть выполненных заданий, и выводы. Каждый раздел отчета должен быть
озаглавлен в соответствии с выполненным заданием. В разделах
кратко излагается описание выполненных измерений с приведением результатов измерений (заполненных таблиц), приводятся
расчеты и рисунки. Рисунки рекомендуется приводить сразу после упоминания о нем в тексте отчета. Рекомендуется написание
выводов по каждому из выполненных в работе заданий. Выводы
должны соответствовать целям, поставленным в лабораторной
работе, и представлять собой осмысленное описание полученных
в работе результатов.
Отчет выполняется на белой бумаге формата А4 (допустимо
использовать бумагу «в клетку»). Графики строятся на «миллиметровке» (при необходимости) или бумаге «в клетку» формата
отчета. Допускается приведение в качестве иллюстраций к отчету распечаток расчетов, выполненных на компьютере. Иллюстрации малых размеров размещаются по несколько штук на листе. Каждый рисунок должен иметь номер, подпись и ссылку на
него в тексте отчета. Все величины на графиках откладываются
в соответствии с выбранном масштабом, на осях обязательно ставятся размерности откладываемых величин. Принципиальные
схемы электрических цепей рисуются в соответствии с требованиями ЕСКД. Отчет обязательно скрепляется и представляется
преподавателю для защиты в законченном виде.
46
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица изображений функций по Лапласу
Оригинал
Изображение
по Лапласу
Оригинал
Изображение
по Лапласу
δ(t)
1
δ(t) − λe −λt
p
p+λ
1(t)
1
p
at
a
p2
e −λt
1
λ+ p
te −λt
1
( p + λ) 2
1 − e −λt
λ
p( p + λ)
t−
1 − e −λt
λ
λ
p 2 (λ + p)
Содержание
Лабораторная работа № 1. Исследование амплитудного
спектра радиосигналов.....................................................
Лабораторная работа № 2. Исследование частотных характеристик линейных цепей. Спектральный метод анализа......
Лабораторная работа № 3. Исследование импульсных
и переходных характеристик линейных цепей. Временной
метод анализа..................................................................
Лабораторная работа № 4. Исследование законов распределения случайных процессов...........................................
Приложение 1. Инструкция о составлении отчета о лабораторной работе..................................................................
Приложение 2. Таблица изображений функций по Лапласу...
3
13
22
33
46
47
47
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
932 Кб
Теги
balysheva, 03b831b1de
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа