close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

bardinckiy

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
НА КОМПЬЮТЕРЕ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ № 1–9
Санкт-Петербург
2008
Составители: кандидат технических наук, доцент С. И. Бардинский,
кандидат технических наук, доцент Л. Б. Свинолобова
Под редакцией С. И. Бардинского
Рецензент кандидат технических наук, доцент В. А. Сериков
Содержатся методические указания к моделированию картины
электростатических полей и магнитных полей постоянного тока с помощью компьютерной программы MatLab.
Приводится порядок построения картины поля и даются примеры.
Методические указания предназначены для студентов специальности 200102 – «Приборы и методы контроля качества и диагностики».
Подготовлены кафедрой электротехники и технической диагностики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Редактор Г. Д. Бакастова
Верстальщик А. Н. Колешко
Сдано в набор 28.12.07. Подписано к печати 10.01.08.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,9.
Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2008
Лабораторные работы
по моделированию электростатических полей
Введение
Расчет и построение картины электростатических плоскопараллельных полей производится с помощью компьютерной программы
MatLab. В этой программе применен расчетный метод конечных
элементов для определения скалярного потенциала U(x,y) в ограниченной области в виде функции двух переменных x и y.
Потенциал U находится в двухмерном пространстве как функция, удовлетворяющая уравнению Пуассона, которое можно записать в символической форме, используя векторный оператор ∇ или
скалярный оператор Лапласа ∆:
ρ
∇2 ε U� = −ρ, или ∆U = − .
ε
В системе прямоугольных координат для двухмерного пространства уравнение Лапласа примет вид
∂2U
∂x
2
+
∂2U
ρ
=− ,
ε
∂y
2
где ε = εr ε0 – диэлектрическая проницаемость среды; ε0 = 8,8·10–12 Ф/м –
диэлектрическая постоянная пустоты; εr� – относительная проницаемость; εr = 1−7 для большинства материалов; ρ – объемная плотность заряда, Кл/м3.
В диалоговых окнах программы это уравнение изображается с
помощью символов ����
div���
��
и �����
grad�:
div� �����
grad� ε U = – ρ.
Для решения в некоторой области частной задачи, т. е. по уравнению Лапласа, найти потенциал U(x,y), для этого необходимо задать на ее границах так называемые граничные условия. Это либо
значение потенциала на границе (условие Дирихле), либо значение
производной потенциала по некоторому направлению (условие
Неймана). Например, величина вектора D = –εgradU или значение
плотности заряда σ = Dn1 – Dn2.
Поскольку только в частных случаях (например, при симметрии
тел) поле может быть определено аналитически в конечном виде, то
в общих случаях применяются вычислительные методы, основанные на использовании специальных компьютерных программ.
Приведенный ниже пример предназначен для показа последовательности действий при построении картины поля с помощью программы MatLab.
Пример
1. Конструирование рабочего окна PDE�
���� ��������
Toolbox.
Открыть программу MatLab����������������������������������
����������������������������������������
. Набрать и запустить в командном
окне команду «������������������������������������������������
pdetool�����������������������������������������
». Открыть меню «������������������������
Options�����������������
», установить координатную сетку с нужными пределами осей и размером ячеек, а
также вид поля «����������������������������������������
Electrostatics��������������������������
» в подменю «�������������
Application��
».
2. Конструирование области с объектами задачи (рис. 1).
Открыть меню «����������������������������������������������
Draw������������������������������������������
», в нем ввести «�������������������������
Draw���������������������
��������������������
Mode����������������
», выбрать и установить геометрические фигуры с помощью пиктограмм в строке
под строкой меню.
2.1. Нарисовать мышью внешнюю границу области R1 с помощью пиктограммы прямоугольника.
2.2. При построении внутренней границы в виде квадрата SQ1
использовать пиктограмму прямоугольника с крестом и держать
нажатой клавишу «�������������������������������������������
Ctrl���������������������������������������
». Открыть диалоговое окно двойным щелчком по квадрату и установить его координаты: ��������������������
left����������������
(–0,5), �������
bottom�
(0,1), ������
width������������������������������������
�����������������������������������
(0,2), ����������������������������
height����������������������
(0,2). В строке «����
Set� ���������������������
formula��������������
» заключить в
скобки SQ1 и поставить перед скобкой минус для того, чтобы вырезать в области R1 квадрат SQ1.
2.3. Построить два концентрических круга C1 и C2 держа нажатой клавишу«������������������������������������������������
Ctrl��������������������������������������������
». Установить координаты центров и величины
радиусов: C1 – x(0,1), y(0), R – (0,1); C2 – x(0,1), y(0), R(0,3).
3. Задание граничных условий (рис. 2).
Открыть меню «��������������������������������������������
Boundary������������������������������������
» и выделить «����������������������
Boundary��������������
�������������
Mode���������
». Держа
нажатой «��������������������������������������������������
Shift���������������������������������������������
», щелкнуть по всем красным участкам внешней
границы, которые изменят цвет на черный. Щелкнув по любому
участку, и в диалоговом окне задать условие Дирихле – потенциал
U1 = 0 на всей внешней границе. То же самое проделать и с внутренней границей: потенциал U2 = 100.
4. Установка коэффициентов в уравнении поля (рис. 3).
Set formula (R1 + C1 = C2)
1
0,8
0,6
0,4
R1
0,2
0
SQ1
C2
C1
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,5 –1,3 –1,1 –0,9 –0,7 –0,5 –0, 3 –0,1 0,1
0,3
0,5 0,7
0,9
1,1
1,3 1,5
Рис. 1. Конструирование области
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,5 –1,3 –1,1 –0,9 –0,7 –0,5 –0,3 –0,1 0,1
0,3
0,5
0,7
0,9 1,1 1,3
1,5
Рис. 2. Задание граничных условий
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,5 –1,3 – 1,1 –0,9 –0,7 –0,5 –0, 3 –0,1 0,1
0,3
0,5 0,7
0,9
1,1
1,3 1,5
0,3
0,5
0,9 1,1 1,3
Рис. 3. Установка коэффициентов
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,5 –1,3 –1,1 –0,9 –0,7 –0,5 –0,3 –0,1 0,1
Рис. 4. Выбор сетки
0,7
1,5
Vector field: E
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
– 0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,5 –1,3 –1,1 –0,9 –0,7 –0,5 –0,3 –0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5
Рис. 5. Построение поля
100
Height: V Vector field: E
90
80
100
70
80
60
60
50
40
40
30
20
1,5
1
0
1
0,5
0
–0,5
Рис. 6. Трехмерное изображение
–1
–1,5
–0,5
–1
0
20
0,5
10
Открыть меню «������������������������������������������
PDE���������������������������������������
» и выделить «�������������������������
PDE����������������������
���������������������
Mode�����������������
». Щелкнув по области R1, установить в окне вид уравнения «������������������������
Elliptic����������������
». Задать проницаемость пустоты ε0 = 8,8·10–12, объемную плотность заряда ρ = 0.
То же самое проделать в области С1 (ε = 5·8,8·10–12, ρ = 0) и области
C2 (ε = 2·8,8·10–12, ρ = 10–10).
5. Выбор сетки – триангуляция (рис. 4).
Открыть меню «�����������������������
Mesh�������������������
» и выделить «�����
Mesh�����������������������
����������������������
Mode������������������
». Для уменьшения
ячейки щелкнуть по «����������������������������������������������
Refine����������������������������������������
Mesh�����������������������������������
���������������������������������������
», для увеличения – по «�����������
Initialize�
Mesh�������������������������������������������������������
». Можно также использовать пиктограммы треугольников.
Не рекомендуется уменьшать ячейки более двух раз (возможно зависание компьютера).
6. Построение картины поля (рис. 5).
Открыть меню «��������������������������������������������
Plot����������������������������������������
» и выделить «��������������������������
Parameters����������������
». В диалоговом
окне «�����
Plot� �����������������������������������������������������
Solutions��������������������������������������������
» в колонке «�������������������������������
Plot���������������������������
��������������������������
type����������������������
» ввести флаги в окна
«����������������������������������������������������������������
Color�����������������������������������������������������������
», «�������������������������������������������������������
Contour������������������������������������������������
», «��������������������������������������������
Arrows��������������������������������������
». Далее в колонке «������������������
Property����������
» выбрать
желаемые виды отображаемых функций – потенциал U, напряженность Е или электрическое смещение D.
Задать в окне «��������
Contour� plot�
����� levels�����������������
�����������������������
» число контуров n, т. е. линий
равного уровня (n ≅ 10 – 20), а в окне «��������������������������
Colormap������������������
» – цвет изображений (рекомендуется «������������������������������������������
cool��������������������������������������
»). Изображение появится после щелчка
по «������������������������������������������������������������
Plot��������������������������������������������������������
». Справа от окна появится цветная линейка значений функции.
7. Изображение распределения функции в трехмерном пространстве (рис. 6).
В окне «�����
Plot� ��������������������������������������������
Selections����������������������������������
» ввести флаг в окно «������������
Height������
(3-��
D� ���������
plot�����
)» и
щелкнуть по «������������������������������������������������
Plot��������������������������������������������
». Появится трехмерная модель распределения
выбранного свойства контуров (в примере потенциал U). Ее можно
поворачивать, нажав левую кнопку мыши и перемещая курсор.
Лабораторная работа № 1
Исследование поля заряженного цилиндра
На рис. 1.1 показан эбонитовый цилиндр (εr = 2,8) радиусом R1
заряженный равномерно по объему с плотностью ρ (Кл/м3). С помощью программы MatLab построить картину поля.
Установить необходимые масштабы осей и вид поля «������������
Electrostatics����������������������������������
», построить окружность цилиндра �
R1 и границу поля в виде окружности максимального радиуса R2 с центром в начале координат.
Задать потенциал на границе U0. Задать в области вокруг цилиндра
ε = ε0 = 8,8·10–12 и величину ρ = 0. Задать внутри цилиндра ε = εrε0 и
ρ согласно заданному варианту (см. табл. 1.2).
Построить картины поля для потенциала U и смещения D. Измерить эти величины в точках на оси X и соответствующие координаты х. Для этого установить курсор в нужных точках, держа нажатой левую кнопку мыши, прочитать значения координат (в верхнем
правом углу) и величины искомой функции (в нижнем левом углу),
занести эти данные в табл. 1.1.
Построить кривые зависимости U и D от х и сравнить их с кривыми, построенными по теоретическим формулам:
при R1 < x < R2 U =
при 0 < x < R1 U = −
2
R ρ R2
��
+ U0 ,
2ε0
x
2
R ρ
R
ρ
x2 + (�� 2 +
) + U0 .
4εr ε0
2ε0
R 2εr
Построить трехмерные изображения распределения U и D на экране и сравнить их с построенными ранее.
Таблица 1.1. Данные измерений и расчетов
x, м
�
Кривая
U
U, B
Опыт
Расчет
x, м
�
Кривая
D
D, Кл/м
����2
Опыт
Расчет
Таблица 1.2. Таблица вариантов
Вариант
R1,
м
R2,
м
ρ,
Кл/м3
U0,
В
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4
0,2
0,15
0,05
0,025
0,4
0,2
0,15
0,05
0,025
0,95
0,45
0,3
0,1
0,05
0,95
0,45
0,3
0,1
0,05
10–9
4·10–9
12·10–9
3·10–8
2·10–7
2·10–9
3·10–9
15·10–9
4·10–8
5·10–7
10
5
3
2
4
15
3
4
3
10
Рекомендуемые пределы, м
Оси Х
Оси Y
–1,5
1,5
–1,0
1,0
–0,75
0,75
–0,5
0,5
–0,48
0,48
–0,32
0,32
–0,165
0165
–0,11
0,11
–0,078
0,078
–0,052 0,052
–1,5
1,5
–1,0
1,0
–0,75
0,75
–0,5
0,5
–0,48
0,48
–0,32
0,32
–0,165
0,165
–0,11
0,11
–0,078
0,078
–0,052 0,052
R2
R1
εr
Рис. 1.1. Исследуемый цилиндр в поперечном сечении
10
Лабораторная работа № 2
Исследоваение электростатического поля
цилиндрического конденсатора
Задан цилиндрический конденсатор, состоящий из двух проводящих цилиндров радиусов R1, R3 и длиной L, потенциалы которых U1 и U2 соответственно (рис 2.1). Между цилиндрами находится
двухслойный диэлектрик, слои которого разделены по окружности
радиуса R2. Относительная проницаемость слоев диэлектрика εr1 и
εr2 (см. варианты в табл. 2.2).
С помощью программы MatLab�����������������������������
�����������������������������������
построить картину поля. Для
этого сначала установить рекомендуемые масштабы осей, затем
построить фигуру конденсатора из трех концентрических окружностей. Далее проделать все необходимые операции, указанные
выше в п. 1–7.
Определить величину Dx на любой линии D = ��������������
const���������
радиуса Rx,
способом, указанным в предыдущей задаче.
Определить заряд ��
Q����������������������������������������
на
���������������������������������������
внутреннем проводящем цилиндре, применив постулат Максвелла к поверхности цилиндра радиуса Rx.
Рассчитать емкость цилиндрического конденсатора по формуле
C=
Q
.
(U − U2 )
Сравнить с рассчитанной теоретически величиной емкости цилиндрического конденсатора с двухслойным диэлектриком по формулам
С =
2πLεrε0
2πLεr 2 ε0
CC
, C2 =
, C= 2 .
R
R2
C + C2
��
��
R2
R
Определить величины U и Е в десяти точках на оси Х, занести эти
данные и их координаты х в таблицу (см. табл. 2.1). Построить графики зависимости U и E от координаты x на оси X. Сравнить с трехмерным изображением распределения этих величин на экране.
Таблица 2.1. Данные измерений
Кр�����
ив���
�
я�
потенциала
х, м
U, В�
������
ривая
напряженности
х, м
Е, В/м
11
Таблица 2.2. Варианты заданий
ВаРекомендуеРекоменд������
уем���
ые
ри- R1, м R2, м
� R3, м
� L, м U1, В U2, B
� εr1 εr2
мые пределы
пределы оси Х
ант
оси Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,08
0,09
0,04
0,05
0,03
0,08
0,09
0,05
0,04
0,06
0,05
0,06
0,02
0,04
0,02
0,04
0,06
0,03
0,03
0,04
0,02
0,03
0,01
0,02
0,01
0,02
0,03
0,01
0,01
0,02
0,5
0,4
0,6
0,3
0,2
0,4
0,5
0,4
0,3
0,5
100
0
200
150
500
150
0
–100
100
0
0
100
–100
0
–200
–50
200
200
–100
100
2
1
2
2
3
1
3
2
3
1
4
3
1
4
1
3
2
1
1
2
–�����
0,135
–0,15
–0,075
–0,075
–0,048
–0,12
–0,15
–0,075
–0,06
–0,09
0,135
0,15
0,075
0,075
0,048
0,12
0,15
0,075
0,06
0,09
–0,09
–0,1
–0,05
–0,05
–0,032
–0,08
–0,09
–0,05
–0,04
–0,06
ε r1
εr2
R1
R3
R2
Рис. 2.1. Цилиндрический конденсатор в поперечном сечении
12
0,09
0,1
0,05
0,05
0,32
0,08
0,09
0,05
0,04
0,06
Лабораторная работа № 3
Исследование поля плоского конденсатора
Задан плоский конденсатор (рис. 3.1) с размерами b, �
a, �
h и L,
между пластинами которого расположен диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью εr. К пластинам приложены
напряжения U1 и U2 (см. варианты в табл. 3.2).
Построить картину поля с помощью программы MatLab�������
�������������
и произвести указанные далее измерения. Для этого сначала задать рекомендуемые пределы масштабов осей. Затем сконструировать
область следующим образом. Построить прямоугольник границы
области максимально возможного размера. В центре области построить прямоугольник, соответствующий диэлектрику. Построить
на расстоянии a друг от друга два прямоугольника, которые моделируют сечения пластин с размерами h и b. Далее проделать все необходимые операции, указанные выше в п. 1–7.
Определить величину D на участках контура, проведенного вокруг одной из пластин и по постулату Максвелла определить величину заряда Q на пластине. Рассчитать емкость конденсатора по
формуле
С=
Q
.
(U − U2 )
Сравнить с емкостью, рассчитанной по формуле плоского конденсатора:
С=
εr ε0 bL
.
�
Построить график зависимости напряженности Е от координаты
x и y по данным, предварительно измеренным и занесенным в таблицу (см. табл. 3.1).
Сравнить с трехмерным изображением распределения этих величин на экране.
Таблица 3.1. Данные измерений
Ось Х
х, м
Е, В/м
Ось Y
y, м
��
E,����
В/м
13
Таблица 3.2. Варианты заданий
Вариант
b, м
a, м
h, м
L,
м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,5
0,6
0,01
0,02
0,03
0,05
0,05
0,06
0,07
0,07
0,1
0,1
0,005
0,01
0,02
0,03
0,02
0,03
0,04
0,04
0,05
0,05
0,2
0,3
0,2
0,3
0,2
0,4
0,4
0,5
0,4
0,5
εr
U1,
B
U2,
B
3 100 –100
4 200 –200
2 200 –100
3 100 –200
4 300 –300
3 –100 100
2 150 –150
4 100 –100
3 –150 150
2 –200 200
Рекомендуемые
пределы x
–0,15
–0,3
–0,45
–0,6
–0,75
–0,9
–1,05
–1,2
–1,5
–1,8
0,15
0,3
0,45
0,6
0,75
0,9
1,05
1,2
1,5
1,8
Рекомендуемые
пределы y
–0,1
–02
–0,3
–0,4
–0,5
–06
–0,7
–0,8
–1,0
–1,2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,0
1,2
Y
ε0
εr
a
h
b
Рис. 3.1. Плоский конденсатор в поперечном сечении
14
X
Лабораторная работа № 4
Исследование влияния экрана
в электростатическом поле
Заданы два цилиндра радиусов R (рис 4.1), расположенные на оси
Х с координатами центров хц по разные стороны от центра. Оба цилиндра выполнены из диэлектрика с заданной εr и объемной плотностью ρ разных знаков. Между ними в центре находится экран
в форме либо цилиндра с наружным радиусом r (табл. 4.2, вариант а), либо квадрата (табл. 4.2, вариант б) с внешней стороной А.
Толщина стенки экрана ∆. Требуется построить картину поля для
случая, когда экран диэлектрический с εr = 1, и для случая, когда
экран металлический, т. е. εr → ∝, принять ε = εrε0 = 10.
Конструирование области начинать с построения внешней границы области в виде прямоугольника возможно большего размера.
Измерить величину потенциала и напряженности поля в десяти
точках на оси Х при металлическом и диэлектрическом экранах,
занести данные в таблицу (см. табл. 4.1).
Для измерений использовать способ, примененный ранее в задаче
лабораторной работы № 1. Для этого установить курсор в нужных точках, держа нажатой левую кнопку мыши, прочитать значения координат (в верхнем правом углу) и величины искомой функции (в нижнем
левом углу), занести эти данные в таблицу (см. табл. 4.1).
Построить кривые распределения потенциала по оси X от центра
для обоих случаев. Сравнить с распределением потенциала при его
трехмерном изображении.
Таблица 4.1. Данные измерений
Диэлектрический
экран
Металлический
экран
x, м
U, B
�
x, м
U, B
�
Диэлектри- x, м
ческий
Е, В/м
экран
Металлический
экран
x,��
м
�
Е, В/м
15
Таблица 4.2. Варианты заданий
Хц,
м
εr
ρ,
Кл/м3
2
0,1 0,7
4 0,15 0,7
6
0,2 0,8
8
0,1 0,6
10 0,15 0,8
3
2
4
2
4
10–7
2·10–7
1,5·10–7
0,5·10–7
10–7
Вариант
а
б
1
3
5
7
9
R,
м
а
б
r, м A, м
0,2
0,3
0,4
0,2
0,4
0,4
0,5
0,6
0,3
0,5
∆,
м
0,05
0,05
0,06
0,04
0,05
Рекоменду- Рекомендуемые
емые
пределы х
пределы y
–1,2
–1,5
–1,5
–1,2
–1,5
1,2
1,5
1,5
1,2
1,5
–0,8
–1,0
–1,0
–0,8
–1,0
Y
ε0
r
R
εr
ε0
R
εr
Хц
Рис. 4.1. Влияние экрана на картину электростатического поля
16
X
0,8
1,0
1,0
0,8
1,0
Лабораторные работы
по моделироваию магнитных полей
постоянного тока
Введение
В лабораторных работах моделируются с помощью компьютера
в программе MatLab��������������������������������������������
��������������������������������������������������
плоско параллельные магнитные поля, созданные прямолинейными проводниками с постоянными токами. Для
расчета и построения картины поля используется численный метод
конечных элементов, который позволяет определить в любой точке
заданной области векторный магнитный потенциал А. Поскольку
магнитное поле создается токами, то характеризующий его вектор
А согласно теории зависит от плотности тока следующим образом:
а=
µ
dV
δ
.
∫
4π V r
где δ – вектор плотности тока в объеме d
�V; r – расстояние от элементарного объема �
dV до вектора А, а интегральное суммирование производится по всем проводникам с током.
Если вектор δ во всех проводниках с током имеет одно и то же направление, то и вектор А согласно приведенному выше выражению
направлен так же. При анализе плоскопараллельных полей целесообразно направлять одну из координатных осей, например ось Z, по
направлению проводника с током, поэтому вектор δ и обусловленный им вектор А также будет направлен по оси Z, т. е. будет иметь
только одну составляющую А Z.
Уравнение Пуассона, описывающее магнитное поле постоянных
токов, содержит в качестве искомой величины вектор А. При численном расчете это уравнение представляют в виде трех уравнений,
каждое из которых содержит по одной из проекций А X, АY, А Z. Но
так как при выбранном направлении токов проекции по осям X и Y
отсутствуют, то остается только одно уравнение для А Z вида
∂2 AZ
∂x2
+
∂2 AZ
∂y2
= −µδ Z .
В символической форме это уравнение записывается так:
∆AZ� = –µδZ.
17
В диалоговых окнах программы это уравнение изображается
с помощью символов ����
div���
��
и �����
grad�:
����( ��a�AZ ) = −δ Z .
µ
Для однозначного решения уравнения Пуассона в некоторой
области необходимо задать ее границы, а также так называемые
граничные условия. В зависимости от вида задачи из физических
соображений на части границы или на всей границе задается известное значение потенциала А (его проекции А Z). Это так называемое
условие Дирихле. Другое условие, условие Неймана, заключается
в задании производной от A Z по нормали к границе. Если граница
перпендикулярна линиям A Z = �������������������������
const��������������������
, то эта производная
n( ��a�AZ ) = 0.
µ
Если же граница не перпендикулярна, то производная равна
разности Hτ1–Hτ2 тангенциальных составляющих напряженности
на границе.
Линии равного магнитного потенциала (А Z = ����������������
const�����������
) являются
силовыми линиями вектора индукции, так как �
B = ���
rotA, а области,
ограниченные соседними линиями, являются трубками магнитного потока.
18
Лабораторная работа № 5
Исследование коаксиального кабеля
Рассматривается коаксиальный кабель (рис. 5.1), состоящий из
внутреннего цилиндрического проводника радиуса R1 и наружной
проводящей оболочки, внутренний радиус которой R2, а наружный – R3. Проводники разделены диэлектриком. По обоим проводникам в противоположных направлениях протекает ток I.
Необходимо построить картину поля внутри кабеля. Для этого
рекомендуется предварительно установить масштабы осей, построить прямоугольник внешней границы области, построить концентрические окружности радиусов R1, R2, R3 с центрами в начале координат. Вычислить площади поперечных сечений прямого и обратного проводов и плотности тока δ1, δ2 в них (см. варианты в табл. 5.2).
Далее задать вид поля «�������������������������������������
Magnetostatics�����������������������
», задать граничные условия А = 0. Задать требуемые коэффициенты во всех четырех
областях, приняв везде µ = 4·3,14·10–7. Вне кабеля и в области диэлектрика задать плотность тока δ = 0, а в проводниках δ1 и (–δ2).
Установить ячейки сетки. Задать число уровней n = 10 и построить
картину поля вектора АZ и индукции В. Построить кривую распределения индукции по оси X от центра в одну строну. Для этого измерить величины В и соответствующие ей координаты x в точках на
оси X, занести данные в таблицу (см. табл. 5.1). Построить на экране трехмерное изображение распределения индукции и сравнить с
кривой, построенной по данным этой таблицы.
Таблица 5.1. Данные измерений
x,��
м
В, Тл
Таблица 5.2. Варианты заданий
Вариант
R1, м
R2, м
R3, м
I, A
�
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,02
0,018
0,025
0,01
0,015
0,02
0,022
0,025
0,035
0,04
0,08
0,08
0,08
0,04
0,04
0,05
0,05
0,05
0,1
0,1
0,09
0,09
0,08
0,45
0,045
0,06
0,06
0,06
0,11
0,11
1000
800
1200
250
450
1000
800
900
1200
1500
Рекомендуемые
пределы оси X
Рекомендуемые
пределы оси Y
–0,15
–0,15
–0,15
–0,075
–0,075
–0,135
–0,135
–0,135
–0,18
–0,18
–0,1
–0,1
–0,1
–0,05
–0,05
–0,07
–0,07
–0,07
–0,12
–0,12
0,15
0,15
0,15
0,075
0,075
0,135
0,135
0,135
0,18
0,18
0,1
0,1
0,1
0,05
0,05
0,07
0,07
0,07
0,12
0,12
19
Определить индуктивность кабеля L длиной 1 м от магнитного
потока в диэлектрике. Каждая пара силовых линий образует трубку потока, поэтому полный поток Ф = ∆А�
k, где k� – число трубок в
диэлектрике, а ∆А = (Аmax– Аmin)/(n+1) – поток в одной трубке.
Индуктивность кабеля длиной 1 м равна
Φ
.
I
Сравнить с индуктивностью, вычисленной по теоретической
формуле:
L, Гн = L = 2 · 10–7ln�(R2/R1), Гн.
− δ2
R3
R2
R1
δ1
Рис. 5.1. Коаксиальный кабель в поперечном сечении
20
Лабораторная работа № 6
Исследование магнитного поля
двухпроводной линии передачи
На рис. 6.1 и 6.2 показана линия передачи, состоящая из двух
параллельных шин прямоугольного (варианты 1–5) или круглого
сечения (варианты 6–10). Размеры указаны в табл. 6.2. Токи в шинах (+I) и соответственно (–I). Заранее следует рассчитать величину
δ – плотность тока в шинах, А/м2.
После входа в программу ����������������������������������
MatLab����������������������������
установить вид поля «������
Magnetostatics�������������������������������������������������������
», построить прямоугольник границы области и две шины,
расположенные симметрично относительно начала координат. Задать на границе А = 0. Магнитную проницаемость принять везде
равной µ0 = 4π10–7. Задать в шинах плотность тока (+δ) и (–δ).
Построить картину поля. Измерить в точках на оси X координату
x и индукцию В, занести данные в таблицу (см. табл. 6.1) и построить кривую распределения индукции В = f(x). Сравнить с трехмерным изображением распределения индукции. Определить число k
трубок потока, которые сцепляются с шинами. Вычислить полный
поток
Ф=�
A��ax − A����
.
n +
Определить погонную индуктивность
Ф
L= .
I
Сравнить с теоретическим значением индуктивности:
1) линии передачи с прямоугольными шинами
 D+� 
L = 4 ⋅ 0−7  ��
+  Гн;
 b+� 2
2) линии передачи с круглыми шинами
L = 4��(
D + 2R
) ⋅ 0−7 Гн.
R
Таблица 6.1. Данные измерений
х, м
В, Тл
21
Таблица 6.2. Варианты размеров сечений
Сечение
Прямо- Кругугольное лое
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D,
м
b,
м
0,2
0,18
0,1
0,06
0,02
a,
м
0,3
0,25
0,15
0,09
0,03
R,
м
0,1
0,1
0,05
0,03
0,01
P��������������������
екомендуемые пределы
I,
А
Ось X
�
Ось Y
3·104
0,1
–1,5 1,5
0,1 2·104 –1,5 1,5
0,05 104 –0,75 0,75
0,03 500 –0,45 0,45
0,01 300 –0,15 0,15
–1,0
–1,0
–0,5
–0,3
–0,1
A=0
µ0
Y
a
D
µ0
µ0
X
b
δ
−δ
Рис. 6.1. Вариант прямоугольных шин
A=0
Y
µ0
R
R
D
Рис. 6.2. Вариант круглых шин
22
X
1,0
1,0
0,5
0,3
0,1
Лабораторная работа № 7
Экран в магнитном поле
Магнитное поле, относительно однородное, можно создать между двумя достаточно широкими шинами с одинаковыми токами
противоположного направления. Экран в виде цилиндра эллиптического сечения (рис. 7.1) располагается симметрично между шинами, в примере рассматривается влияние немагнитного (µ = µ0) и
магнитного (µ = µrµ0) экранов.
Построить границу области в виде прямоугольника максимального
размера, внутри которой поместить шины и экран. Варианты заданы в
табл. 7.2. Измерить в точках на оси X величину индукции и соответствующую координату x. Данные занести в таблицу (табл. 7.1). Построить кривые распределения индукции.
Таблица 7.1. Данные измерений
x, м
B, Тл
x, м
B, Тл
Немагнитный экран
Магнитный
экран
Y
µ0
µ0
δ
B
µr µ0
µ0
A′
µ0
X
A
−δ
Рис. 7.1. Экран в магнитном поле
23
24
0,25 0,085 0,24
0,15
0,1
0,9
0,45
0,27
0,16 0,035 0,15
0,09 0,035 0,08
4
5
6
7
8
9
10
0,08
0,15
0,3
0,03
0,04
0,23
0,35
0,8
0,09
0,14
0,45
3
0,15
0,5
0,9
А’, м
2
0,3
В, м
1,0
А, м
Полуоси экрана
1
Вариант
0,025
0,025
0,06
0,08
0,2
0,02
0,03
0,065
0,12
0,2
В’, м
Таблица 7.2. Варианты заданий
–0,2
–0,3
–0,5
–1,0
–2,0
–02
–0,3
–0,5
–1,0
–2,0
0,04
-0,05
–0,07
0,6
–0,125
0,055
0,4
2,0
4,0
0,4
0,6
1,0
1,0
2,0
4,0
0,1
–0,125
0,055
–0,07
0,04
–0,05
0,4
–0,5
0,2
–0,25
0,1
–0,25
0,2
–0,5
0,4
left���
, м bottom,��
м width,��
м
Координаты шин
0,01
0,015
0,025
0,05
0,1
0,01
0,015
0,025
0,05
0,1
height,��
м
800
1000
800
1000
700
107
2·107
2·106
5·106
106
1,5 –1,0
1,5 –1,0
3,0 –2,0
0,3 –0,2
–0,75 0,75 –0,5
–1,5
–3,0
–0,3
–0,45 0,45 –0,3
3·107
800
–0,3
0,3 –0,2
0,2
0,3
0,5
1,0
2,0
0,2
0,3
0,5
1,0
2,0
Ось Y, м
3,0 –2,0
–0,75 0,75 –0,5
–1,5
–3,0
Ось X, м
Рекомендуемые пределы
осей
0,5·107 1000 –0,45 0,45 –0,3
500
2000
103
µr
5·106
106
106
δ
А/м2
Лабораторная работа № 8
Ферромагнитный сердечник в магнитном поле
В лабораторной работе исследуется влияние ферромагнитных
сердечников различной длины на магнитную индукцию и поток
и, следовательно, на индуктивность проводников с током или катушек. Исследуемая конструкция (рис. 8.1) состоит из двух параллельных шин, между которыми поочередно располагаются сердечники разной длины и проницаемости (см. варианты в табл. 8.2).
Построение начать с прямоугольника границы области, затем
построить симметрично центру две шины, между которыми расположить четыре прямоугольных сердечника. Координаты для построения фигур даны в табл. 8.2. Измерить в центре сердечника индукцию и магнитный поток при использовании разных сердечников с одной и другой проницаемостью. Данные измерений занести
в табл. 8.1 и построить кривые зависимости индукции В и потока Ф
на единицу длины шин от размера сердечника с заданной проницаемостью µr .
Таблица 8.1. Данные измерений
Исследуемые
параметры
µr
Без
сердечника
Длина ферромагнитного сердечника, м
А1 = А2 = А3 = А4 = В, Тл
Ф, Вб
В, Тл
Ф, Вб
Рис. 8.1. Конструкция ферромагнитного сердечника
25
26
left
–0���
,45
–0,4
–0,3
–0,3
–0,25
Вариант
1
2
3
4
5
-0,1
0,08
–0,13
0,1
–0,14
0,1
–0,16
0,12
–0,2
0,15
bottom
0,5
0,6
0,6
0,8
0,9
width
0,02
0,03
0,04
0,04
0,05
height
Координаты шин, м
Таблица 8.2. Варианты заданий
0,25
0,3
0,4
0,4
0,6
A1
0,5
0,6
0,6
0,8
0,9
A2
0,75
0,9
1,0
1,2
1,2
A3
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
A4
Длины сердечников, м
107
107
5·106
3·106
4·106
δ,
А/м2
2000
1500
1500
1000
2000
1000
2000
1500
1500
1000
µr
–0,9
–1,2
–1,2
–1,5
–1,5
0,9
1,2
1,2
1,5
1,5
Ось Х
–0,6
–0,8
–0,8
–1,0
–1,0
0,6
0,8
0,8
1,0
1,0
ОсьY
Пределы осей
Лабораторная работа № 9
Проводник с током в однородном магнитном поле
Между полюсами электромагнита (рис. 9.1) создается однородное поле, в которое помещается рамка из двух проводников с током.
В результате поле искажается, и на проводники действуют силы,
выталкивающие их из магнитного поля. Определить направление
силы и ее величину по формуле
F = 0,102·BIL, Н,
где В – индукция, I� – ток, L� – длина проводника радиуса R, L = 1 м.
Индукцию В измерить в месте расположения проводника при отсутствии тока в нем.
Ток I� в проводниках вычислить по формуле
I = πR2δпр.
В табл. 9.1 приведены два (а и б) варианта построения конструкции электромагнитов, в табл. 9.2 даны пять вариантов плотности
токов в проводниках и шинах. В ярме и полюсах магнитная проницаемость µ = µrµ0, а в остальных частях µ = µ0. В отчете следует нанести на конструктивную схему силовые линии и направление сил
выталкивания проводников с током.
Рис. 9.1. Конструкция для моделирования однородного магнитного поля
27
28
–���
1,4
–���
1��
,2
–���
1,4
–���
1��
,2
left
–���
0,9
–0,7
–���
0,9
–0,7
2,8
2,4
2,8
2,4
1,8
1,4
1,8
1,4
bottom width height
Координаты ярма, м
–0,6
–0,6
–0,8
–0,8
left
µr
Провода
δпр, А/м2
Шины
δш, А/м2
Вариант
3000
–����
2���
·��
106
–1�
06
2000
3·105
2·105
2���
·��
106
–3·105
–2·105
106
2
1
0,25
-0,7
0,4
1,7
bottom
1,2
1,2
1,6
1,6
width
3
–0,7
0,6
–0,9
0,8
left
1000
3���
·��
106
–����
3���
·��
106
3·105
–3·105
0,45
0,45
0,3
0,3
height
Координаты плюсов, м
Таблица 9.2. Варианты плотности токов
б
а
Вариант
Таблица 9.1. Вариант конструкции электромагнитов
–0,25
–0,25
–0,4
–0,4
2000
–��
106
106
2·105
–2·105
4
0,1
0,1
0,1
0,1
bottom width
0,5
0,5
0,8
0,8
height
Координаты шин, м
0
0
0
0
4000
–����
2���
·��
106
2���
·��
106
–3·105
3·105
5
0,1
–0,1
0,2
–0,2
Координаты
проводников
x, м
y, м
�
0,05
0,05
0,05
0,05
R,
м
Вопросы к зачету по лабораторному практикуму
«Моделирование физических полей»
При подготовке к зачету следует обратиться к конспекту лекций
и учебникам для нахождения ответов на поставленные вопросы.
Ответ на вопрос необходимо обосновать ссылкой на соответствующие законы, в случае необходимости провести нужные формулы,
проиллюстрировать рисунками или графиками. Для получения зачета надо знать ответы на ВСЕ (!!!) вопросы.
Электростатическое поле
1. Чем создается электростатическое поле в пространстве? Как
проявляется это поле, т. е. как убедиться в наличии поля?
2. Какие основные величины характеризуют электростатическое
поле в каждой точке пространства? Их взаимная связь.
3. Объясните характер изменения величины D внутри и вне объемно
заряженного диэлектрического цилиндра, использовав теорему Гаусса.
4. Почему на границе двух различных диэлектриков Е меняется
скачком, а D непрерывно?
5. Стеклянный цилиндр (εr = 6) внесен электростатическое поле в
воздухе. Как и почему изменится E в объеме, занятом цилиндром?
6. Почему в любом веществе εr > 1?
7. Что характеризует потенциал U в электростатическом поле?
Что такое потенциальное поле?
8. Могут ли две эквипотенциальные линии пересекаться? Почему?
9. Объясните характер изменения U и расположение линий равного потенциала вне заряженного цилиндра.
10. В некоторой точке вектор Е направлен точно на север. В каком направлении изменение потенциала будет максимально положительным, минимально отрицательным, равным нулю?
11. Зная потенциал в некоторой точке, можно ли рассчитать Е?
Что нужно знать еще?
12. Существует ли в области между двумя равными положительными зарядами точка, где величины Е и U равны нулю?
13. Почему в проводнике, внесенном в электростатическое поле,
поле отсутствует?
14. Почему потенциал всех точек проводника одинаков?
15. Куда двигается отрицательный заряд в электростатическом
поле – в сторону большего или меньшего потенциала? А положительный заряд?
16. Точечный заряд Q помещен в центре незаряженной металлической оболочки, будет ли экранировано внешнее пространство? Почему?
29
17. Что такое конденсатор? Что понимают под емкостью конденсатора?
18. Почему обкладки конденсатора, подключенные к батарее,
приобретают одинаковый заряд? Будут ли заряды одинаковы, если
обкладки различаются формой или размерами?
19. Что такое однородное поле, почему оно однородно между
пластинами плоского конденсатора (кроме краев)?
20. Плоский конденсатор подключен к батарее. Если удалить
диэлектрик, то как изменятся заряды на обкладках, емкость, разность потенциалов, энергия конденсатора, напряженность поля Е?
21. Заряженный плоский конденсатор отключается от батареи.
Если удалить диэлектрик, то как изменятся заряды на обкладках,
емкость, разность потенциалов, энергия конденсатора, напряженность поля Е?
Магнитное поле
22. Чем создается магнитное поле? Как проявляется это поле,
т. е. как убедиться в наличии поля?
23. Какие основные величины характеризуют магнитное поле в
каждой точке пространства? Их взаимная связь.
24. Какой закон устанавливает связь величин, характеризующих магнитное поле в каждой точке, с током, создавшим это поле?
25. Что такое поток вектора магнитной индукции?
26. Что такое силовые линии вектора магнитной индукции?
27. Как направлены силовые линии прямолинейного проводника, по которому ток течет в направлении на вас?
28. Что такое индуктивность контура, катушки, и от чего она
зависит? Поясните влияние материала сердечника, числа витков и
размеров.
29. Как уменьшить индуктивность двухпроводной линии передачи?
30. Как определить величину и направление силы, действующей
на проводник с током в плоскопараллельном магнитном поле?
31. Два длинных проводника, по которым текут одинаковые
токи, пересекаются, не соприкасаясь, под прямым углом. Опишите
магнитные силы, с которыми один проводник действует на другой.
32. Можно ли привести в движение покоящийся электрон с помощью магнитного поля? С помощью электрического поля?
33. Что такое векторный потенциал магнитного поля, и как он
связан с индукцией? Каково его направление в плоскопараллельном поле?
30
34. Что характеризуют линии равного векторного потенциала в
плоскопараллельном поле?
Библиографический список
1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. М.: Энергия, 1967. Т. 1. Ч. 1; Т. 2. Ч. 4.
2. Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники. М.:
Энергия, 1966. Ч. 2 и 3.
3. Джанколи Д. Физика: пер. с англ. М.: Мир, 1989. Т. 2, гл. 22–25.
Содержание
Лабораторные работы по моделированию электростатических полей...................................................................... 3
Введение.................................................................... 3
Пример...................................................................... 4
Лабораторная работа № 1. Исследование поля заряженного
цилиндра.................................................................... 9
Лабораторная работа № 2. Исследоваение электростатического поля цилиндрического конденсатора...................... 11
Лабораторная работа № 3. Исследование поля плоского
конденсатора.............................................................. 13
Лабораторная работа № 4. Исследование влияния экрана
в электростатическом поле............................................ 15
Лабораторные работы по моделироваию магнитных полей
постоянного тока............................................................. 17
Введение.................................................................... 17
Лабораторная работа № 5. Исследование коаксиального
кабеля........................................................................ 19
Лабораторная работа № 6. Исследование магнитного поля
двухпроводной линии передачи..................................... 21
Лабораторная работа № 7. Экран в магнитном поле.......... 23
Лабораторная работа № 8. Ферромагнитный сердечник
в магнитном поле......................................................... 25
Лабораторная работа № 9. Проводник с током
в однородном магнитном поле....................................... 27
Вопросы к зачету по лабораторному практикуму
«Моделирование физических полей».................................. 29
Электростатическое поле.............................................. 29
Магнитное поле........................................................... 30
Библиографический список............................................... 31
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 401 Кб
Теги
bardinckiy
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа