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МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Санкт-Петербургский
государственный университет аэрокосмического приборостроения
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Санкт-Петербург
2002
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Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
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2002
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V
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Y = Y* + Y* ?V + Y* ?? + Y* ??? ;
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37
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cos ? cos ? = 1 ? sin ?*?? ? sin ?*??.
(14)
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???????????? ????? ??????? ???????? ???????????????? ?????????
???????????? ???????? ??, ? ??????? ? ???????? ??????????? ??????? ??????? ?????? ?????????? ?????????? ????????.
38
3.3. ?????????? ???????????? ????????
?? ?????????? ? ???????
?????????? ??????? ???????? ???????????????? ????????? ????? ??
?????, ??? ??????????? ??????? (??? ????????? ??? ??????? ??????? ?
??? ????????? ???????? ??????? ???????). ????????? ????????? ????????????? ?????? ???????????? ???????????? ??????????? ?????????? ????????????? ????????? ??? ?????? ?????????????????? ?????????, ????????? ????????? ????????????? ?????????? ???????? (?????????) ????????
??????? ???????????????? ????????? ? ???????? ?? ? ?????????? ???????? ????????? ?? ?????, ??? ?????? ???????.
????????????? ? ???????????????? ??????? ????? ???????? ?????
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(16)
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Q ;
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J x J y ? J xy
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b
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2
2
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2
J x J y ? J xy
J x J y ? J xy
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m ?y? J x + m x?? J xy
41
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? ???????? ( C z? , m?x , mx?x ? ??.), ?? ?????????????? ?????????? ??
( G, S , !, J x , J y ? ??.) ? ?? ?????? ??????????????? ??????.
3.4. ???????? ???????????? ????????????
???????????? ???????? ?? ? ???????????? ??? ???????? ? ??????????? ????? ???????? ?????????? ??????? ?????????. ??????????????, ??? ??????????? ???????????? ?????????????? ?? ? ??????? (15)
??????? ???????? ???= 0. ??? ????????? ?????? ????????, ??? ????????????? ???????? ???????????? ????? ????????????? ?????????????? ?????. ? ???? ?????? ???????????? ??????? ????????? (15) ?????
??????? ???????????.
??????? ??????? ????? ??????? ???????????? ? ???? ?????????????
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????? ??????????? ???? ??????? ? ?? ??????????? ? (15) ? ?????????? ?? e?t ??????? ???????????????? ????????? ??????????? ? ??????? ?????????????? ????????? ???????????? ?????????? A, B, C, D
(??????????? ???????? ? ?????? ? ??? ??????? ? ???????? ?????????)
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???? ???????????? ??????? (17)
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0
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a33 ? + a44 + a42
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(??????????????????? ?????????) ???????????? ?
?(?) = ? 4 + P1? 3 + P2? 2 + P3? + P4 = 0.
(18)
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??????????????? ???? ?? ???????????, ??? ? ???????????? ????????????. ??????? ?? ??????? ?????? ????? ????????? ????????????? ??????? ???????
?Vi = Ai e? it ; ?? = Bi e? it ; ??i = Ci e? it ; ??z i = Di e? it .
????? ?? ??????? ??????? (15) ????? ???????????? ????? ?????
??????? ??????? ???????
?V = A1e?1t + A2e?2t + A3e?3t + A4e?4t .
??? ??? ???????????? ????????? (18) ???????? ????????????? ??????????, ?? ??? ??????? ?????????? ???????????? ???????? ?????
???? ????????? ??????:
1 ? ??? ?????? ????? ????????????;
2 ? ??? ????? ???????????? ? ??? ? ??????????? ???????????;
3 ? ??? ?????? ????? ??????? ??????????? ???????????.
? ?????? ?????? ????????? ???????? ?? ???????????? ?? ???????
?????????????? ????????, ?????? ?? ??????? ????????????? ?????????? ?? ????????, ???? ?????? ???????????, ? ???????????, ???? ?????? ???????????.
?? ?????? ?????? ???? ??????????? ??????????? ??????, ???????? ? 3 = ? + i? ? ? 4 = ? ? i? , ????????????? ??????? ??????? ????
??3,4 = B3e?3t + B4e? 4t .
(19)
????????? ??????????????? ???????? ???????? ??, ????????? ???
????????, ???????? ? ????????????? ??????? ?????????, ?????? ????
?????????????. ??? ??????, ??? ? ??????????????? ?????? ?????????? B3 ? B4 ?????? ???? ????? ???????????? ????????????
B3 = a ? ib; B4 = a + ib.
????????? ????????? ??????:
e ?it + e ??it = 2cos ?t ? e ?it ? e ??it = 2i sin ?t ,
43
??????? ??????? (19) ????? ????????????? ? ????
??3,4 = Be ?t sin( ?t + ?),
a
.
b
????, ???? ??????????? ??????????? ?????? ???? ?????????????
???????? ? ?????????? Be?t , ??????? ???????? ? ? ????? ?. ????? ??
??????? ? ???? ??????
??? B = 2 a 2 + b2 ; ? = arctg
?V = A1e?1t + A2e? 2t + Ae?t sin( ?t + ?)
? ???????? ????????? ???? ?????????????? ? ?????? ??????????????
????????.
? ??????? ??????, ??????? ??????????? ???????? ?????, ?????????
??????????? ???????? ?? ???????????? ????? ????????? ???? ????????????? ????????:
??z = C1e?t sin(?t + ?1 ) + C2 e?t sin(?t + ?2 ).
????, ?? ???? ??????? ????????? ?????????? ?V, ??, ??z ? ?? ???????????? ????????????? ???????? ???? e?t, ??? ? ? ???????????? ?????? ??? ???????????? ????? ???????????? ????? ???????????????????
?????????. ?????? ? ??????? ??? ???????? ????????????:
??????????? ??????? ???????? ?????????? ????????????? ??????????????? ?????????????? ??????, ???? ??? ???????????? ????? ?
(???) ???????????? ????? ??????????? ?????? ????????????.
?? ????? ?????? ??????? ????????, ??? ??????????? ? ??????????? ???????? ????? ???????? ?????????? ??????????
P1 > 0, P2 > 0, P3 > 0, P4 > 0;
R = ( P1P2 P3 ? P12 P4 ? P32 ) > 0.
???? ????????? ?????????? ???????? ?????????? ???????????? ???????? (?????????????? ??? ?????????????), ?????? ????????? ? ??????? ?????????, ?? ??? ????? ?????????? ?????? ??????????????????
?????????. ???????? ???????????? ???????? ? ??? ?????????? ?? ?????? ?????????? ?????? ???????? ?? ??????? ??? ?????? ???????????? ??????? ?? ?????????? ?????????????? ????????, ??????????????? ??????????? ????????. ? ??? ??????? ?????? ?????????, ?????
44
?????????? ????????? ?????, ????????? ????????? ?? ???? ??????.
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.
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0,693
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!n2 0,693
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? Ae ?(n +1)T ? ??? ???????????????? ????????? ???
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3.5. ???????????????????? (?????????????????) ?
??????????????????? ?????????? ??????????? ????????
?????? ???????? ??????????, ??? ??? ??????????? ?????????? ???????????? ???????? ?? ?????????? ????????? ???? ????????? ?????
????????: ?????? ? ???????? ??????????. ??????? ??????????, ???
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?????? ?? ?????????? ???????? ??????? ????????? ???????????????
???????? ?????? ???? ??????.
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??????? ?????????, ? ??????????? ??? ?????? ??????? ? ??????? ???????????? ????????, ????????? ???? ??????? (?? ??????) ??????????? ?????? ????????????? ?????? ?????????? (????????????????????)
????????, ? ???? ????? ?????? ? ???????? ?????????? (???????????????????). ? ???????? ??????? ????? ???????? ????? ? ???????? ???????????? ???????? ??? ??????????? ???????? (????. 2).
??????? ??????????, ??? ? ???????? ??? ?V ???????????? ??? ?????? ?????????? ????????? ?? ???????? ? 100?200 ??? ?????? ????????????? ??? ???????? ?????????? ?????????.
45
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????? ???????? ?????????? ????????.
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??????? 2
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????? ?????????? ?????????
?????, ?
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?0,644 ± 1,687i
?0,0056 ± 0,783i
3,72
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80,3
123,8
0,0907
0,638
????????? ??????????? ???????? ?? ????? ??????? ?? ??? ?????.
?? ?????? ????? ??????????? ?????? ?????????? ???????????????????? ????????. ?????????? ??, ??, ?? ?????????? ?????, ??????????
?V ? ?????????????.
? ????? ??????? ????? ??????????? ??????????? ?? ???? ?? ????????? ? ?????????? ??? ??z, ??, ??, ??????? ????????????? ???? ??????? ??????. ?????????? ?? ????????????, ??????? ???????, ????? ?????????? ? ??????? ??????????? ???????? ? ????? ??????? ?????.
?? ?????? ????? ????? ????? ?????? ???????? ?????????? ??????????????????? ????????. ?? ???? ????? ??????????, ? ????????, ?V ,
??z ? ??, ? ????????? ??, ??????? ?????????????? ?????????, ??????????? ???????????.
?????????? ???????? ????????????? ???? ????? ???????? ???????? ???????????? ????????????? ?? ? ????????? ???????? ? ??????????? ??????????, ??? ????????????? ????????? ????????? ??????????,
??????????????? ?????????? ?V, ?? ? ???????????? ??????? ?????????? ???????????? ????????.
??? ????????? ?????????? ????? ???????? ????? ??????????? ????
????????? ?????????? ??????, ????????? ?????????? ?? ? ???? ??????????? ??????. ???????????? ??? ???? ?????????? ???? ????? ???????? ? ????????????? ????????????????? ??????? ?z ? ? ??????????
????????? ????. ???????????????? ?????? ???????? ??????? ???????? ?? ????? ???????, ??? ?????????? ?????????? ?? ????????? ???46
???? ??????????????? ???? ?????. ?????????? ???????? ????????????? ???????? ?? ??????????? ????????????? ? ?????? ?? ??????? ???????????? ????????. ????????? ????????? ???? ???????? ?????????? ?? ?? ????????????? ??????????.
? ????? ??????? ????? ?????????? ???????? ???????????? ??????????
??? ??????????? ??? ???????????, ??????? ???????? ??z ?????? ? ????.
???? ??????? ? ??????? ?????????? ?, ? ????? ?????????? ?? ????? ?????????????? ????????. ????????? ?????? ??? ???????? ?????????? ????????? ???? ? ????????? ? ???? ????????? ????????? ??????? ???????? ????????? ????????? ?????????? ???? ???? ? ???????? ????????????? (?,
?????????????, ????????? ????????), ? ????? ????????? ????.
??????????? ???????? ????? ???????????????????, ???????? ?????????? ? ?????????????? ?? ??? ???, ???? ?? ????? ??????????
?????????? ??? ?? ??????? ? ?? ??????????? ? ??????????. ???????
????????, ??? ??????????????????? ??????????? ???????? ????????
????????? ? ??????? ????????? ??????????? ???????, ??? ????????????? ??????? ????? ???????? ?? ???????????? ?????????. ?????????????? ?? ? ?????????????? ???????????????????? ???????? ???????????
???????; ????? ????, ??? ??????? ??????? ????????? ? ????????????
?????? ??? ????????? ????????? ???????????? ??????????? ?????????? ??????????, ??? ???????? ??????????? ??????? ? ?????????. ??????
??????? ???????????? ????????????????????? ???????????? ????????
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3.6. ??????? ? ????????? ???????? ???????????? ????????
??? ???????????? ??????? ???????????? ???????? ????? ??????????? ??????, ????? ?????????????????? ????????? ????? ???? ???? ??????????? ??????????? ?????? ? ??? ???????????? ? ????????? ??????????? ??????? ???????? ???????????? ?? ???? ?????????????? ? ?????? ??????????????. ??? ???? ????? ??????? ???????????????? ????????? ???????? ???????????? ???????? ?????
? = A1e?1t + A2 e?2t + A3e?t sin( ?t + ?3 ) ?
?
?x = B1e?1t + B2e?2t + B3e?t sin( ?t + ?1 ) ??
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?
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47
?????? ?? ???? ???????????? ?????? ???? ?? ?????????? ???????? ????? ?????, ?????? ? ????? ???, ??????????? ?? ????? ????? ????????????? ????????, ???????? ?1 = ?1,700; ?2 = 0,0011; (?3, ?4)=
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D1, ????? ??????? ?? ????????, ??? ?????? ??????????. ? ?????? ???????????? ???????? ??????????? ??????? ??? ????????, ??????????????? ???????? ?? ?????? ????????????? ????? ?1. ???? ??? ???????? ?????????? ????????? ????????????? ?????. ??? ???? ?2, B3, D2,
D3, ?2 ? ? ????, ??????? ?????? ? ??????? ?????????? ?? ????? ?????????? ??????? t ????? ??????????. ???????????? ??? ???????? ????
??????? ?, ? ????????, ??????????? ? ??????? ?????????????? ????????? ???? ????? ? ? ??????? ???????? ????? ?x. ??? ???????? ??????
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??????? ? ????????? ??????????? ???? ??????? ?????????? (?, ?, ?,
?x, ?y), ?. ?. ????? ????? ?????????? ??????????????.
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???????? ????? ????? ???????? ????????????? ????? ???????? ?????
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48
? ?????????? a71 ? ?
????????? ????????? ?????? ??????? ??, ??????????? ????? ????????
(??? ? > 0), ? ?? ????????? ????? ?????????????? ??? ?????????????.
???? ?? a81 << a71, ?? ???????? ?????????? ????????, ? ????????????? ????????, ???????? ???????????? ? ?????? ???????? ???????????? ????????, ???????? ? ?????????????? ???????? ? ??????????? ???????? ???????? ??????. ??????? ????????????? ????????, ?????? ?????????? ??????????????? (??????????? ? ????????
??????????? ????????????????????? ????????), ???????? ?????????
??????????? ????????.
3.7. ??????? ??????????? ? ???????????? ???????????
????????????????? ??????? ?? ??????? ????????????
?????????? ???????? ???????????????? ???????? ? ???????? ?????????? ???????? ???????????? ???????? ????? ??????????????????
?? ??????? ????????? ??, ???????? ??????????? ????????? ?????????? (????????, ?? ?????? ?????) ?x > 0, ? > 0. ??????????? ?????????????? ???????? ? ???????? ? ??????????? x ? y ? z ? x . ???????? ?? ? ??????? ??????? ????? ???????? ???????????? ??????
M x?x ?x < 0 , ?????????? ??????????. ?????????? ?????????? ???? ????? ?????, ????????????? ????, ? ?????????? ???? ????? ?????????x
??????? ????? ????????? ?????? ???????? M ?
y ?x < 0 , ???????????
????????? ?? ?????? ? ????????? ??????? ???????? ?y < 0. ??? ?????????? ?? ???? ???????????? ???? ???? ?? ??? OZ1 ?? ????????
?????????? ?? ?????? ????? (? > 0). ?????????? ?????????? ????????
? ???? ??????? ?????? M ?x ? < 0 (???????? ????????????? ????????, ?????????????? ???? ?????? ???????), ??????????? ????????? ???? ?, ?
?
x
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y ?x + M y ? < 0 , ??????????? ?????????? ?? ?????? (???????? ????????????? ????????, ?????????????? ?? ??????? ???????).
?
x
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y ?x + M y ? < 0 ????? ??????? ?? ?????? ? ??????? ????????? ?y < 0. ??? ???????? ???????? ? ????????????? ??????????
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???? ??????? M y y ? y > 0 ? ??????? M x y ? y > 0 . ????????? ???????????? ?????????? ????? ??.
?
??????? M ?x ? ? M x y ? y ?????????? ? ??????????????? ???????.
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???? M x ? > M x ? y , ?? ?? ????? ???????????? ? ???????? ?????????
??? ????? (?????????????? ?????????), ???? ??? ???? ????????? ???
????????? ??? ??????. ???? M x?? < M x y ? y , ?? ????????? ???? ?????
?????????????, ??? ?? ?????? ?????? ???????????????? ??? ???????? ????????? ???? ?? ???????????? ????????? ? ?? ?????? ???????49
??, ?????????????? ??????. ??? ?????????? ???????? ???????????????
??????? ?????????, ???????? ??????????? ????? ????? ? ????????
?????????? ????????. ????? ???????, ?? ???? ? ????? ???????? ?????????? ??????????? ????????????? ( m?x < 0 ) ? ??????? ??????????? ????????????? ( m?y < 0 ), ?? ????? ????????? ??????????. ???????, ???
?????? ??????????? ???????? ???????? ????????? ?????????? ???????????????, ???, ???????, ??????? ???????? ???????? ?????????????.
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1. ?????? ?. ?. ???????????? ? ????????????? ???????? ? ???????????????? ??????? ??????? ??????: ??????????. ?.: ??????????????, 1987. 136 ?.
2. ??????? ?. ?., ??????? ?. ?., ??????? ?. ?. ??????? ???????
??????????? ????????. ?.: ???-?? ???, 1992. 224 ?.
3. ???????????? ?. ?., ???????? ?. ?. ???????? ??????. ?.: ??????????????, 1969. ?. 1. 500 ?.
4. ???????????? ?. ?. ?????? ? ???????? ?????????????? ?????????????/ ???????. ???., 1998. 140 ?.
62
??????????
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1. ???????? ???????? ?????? ? ??????? ????????????????
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2.2. ?????????? ???????? ???????????? ???????? ........................
2.3. ?????????? ??????????? ???????????? ????????????
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2.4. ??????? ???????? ......................................................................
2.5. ??????? ??????????? ???????????? ???????????? ???????? ...
2.6. ??????? ? ??????? ??????????? ?????????????,
??????? ???????????? ???????????? ????????,
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3. ???????? ???????? ?? ???????????? ???????? ???????????
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3.1. ???????? ???????????? ???????? ??????????? ????????? ..
3.2. ???????????? ????????? ???????? ........................................
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3.5. ???????????????????? (?????????????????) ?
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3.7. ??????? ??????????? ? ???????????? ???????????
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ДИНАМИКА ПОЛЕТА
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
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?????? ????????. ???. ???. ?. 3,72. ???. ??.-???. 4,13. ??. -???. ?. 4,0. ????? 150 ???. ????? ?
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M z = M z* + M zV* ?V + M z*? ?? + M z*?z ??z + M z*? ??
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? sin ?* sin ??)(cos ?* cos ?? ? sin ?* sin ??).
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cos ?* ? cos ?? ? cos ?* ? cos ?? = 1; sin ?? ? ??; sin ?? ? ??,
??? ??, ?? ?????????? ? ????????.
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cos ? cos ? ? (1 ? sin ?*??)(1 ? sin ?*??) =
= 1 ? sin ?*?? ? sin ?*?? + sin ?* sin ?*????.
?????????? ???? ??????? ??????? ???????, ?????????? ???????????? ?? ??, ????? ????????
cos ? cos ? = 1 ? sin ?*?? ? sin ?*??.
(14)
?????????? (12) ? (14) ? (13), ????? ????????
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? dV d ( ?V ) ?
V
m? * +
? = P* + P* ?V (1 ? sin ?*?? ? sin ?*?? ) ?
dt ?
? dt
(
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? X * + X *V ?V + X *? ?? + X *? ?? + X *?? ??? + X *?? ??? ?
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m
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dt
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m
(
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(
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= P*V ? X *V ?V ? P* sin ?* + X *? ?? ?
dt
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??????????? ??????? ????????????? ? ????????? ????????????
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???????????? ????? ??????? ???????? ???????????????? ?????????
???????????? ???????? ??, ? ??????? ? ???????? ??????????? ??????? ??????? ?????? ?????????? ?????????? ????????.
38
3.3. ?????????? ???????????? ????????
?? ?????????? ? ???????
?????????? ??????? ???????? ???????????????? ????????? ????? ??
?????, ??? ??????????? ??????? (??? ????????? ??? ??????? ??????? ?
??? ????????? ???????? ??????? ???????). ????????? ????????? ????????????? ?????? ???????????? ???????????? ??????????? ?????????? ????????????? ????????? ??? ?????? ?????????????????? ?????????, ????????? ????????? ????????????? ?????????? ???????? (?????????) ????????
??????? ???????????????? ????????? ? ???????? ?? ? ?????????? ???????? ????????? ?? ?????, ??? ?????? ???????.
????????????? ? ???????????????? ??????? ????? ???????? ?????
???? ??????????? ?? ?????? ????????? ? ??????? ??????? ??????????. ??? ???? ????????
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(
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= P*V ? X *V ?V ? P* sin ?* + X *? ?? ?
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?G cos ?*?? ? X *?? ??? .
?????????? ??????? ???????????????? ????????? ????????????
???????? ?? ??????? ?? ???? ??????????? ??????. ???? ?? ??? ?????
???????? ??? ?????????? ???????????? ????????????? aij (i ? ?????
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2
3
4
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V
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39
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????????? ??????????? ???????? ??? ??????????? ?????????? ?????
?????? ??? ????????? ???
d ( ?V )
+ a11?V + a12 ?? + a13?? = ?b11??? ;
dt
d ( ??)
+ a21?V + a22 ?? + a23?? ? ??z = b21??? ;
dt
d ( ??)
? a31?V ? a32?? ? a33?? = b31??? p;
dt
d ( ??z )
'
'
+ (a41 ? a42
a31 ) ?V + (a42 ? a42
a32 )?? ?
dt
'
'
?a42
a33?? + (a44 + a42
)??z =
=
'
(b41 ? a42
b31 )???
'
+ b41
d ( ??? )
,
dt
(15)
?SV*2
G cos ?*
?SV 2
PV ?SV*
+
; a12 = cx?
; a13 =
; b11 = cx??
;
m
m
2m
m
2m
PV sin ?* + cVy Q
P* + c ?y Q
c ?? Q
g sin ?*
; b31 = y ;
; a33 =
a31 =
; a32 =
V*
mV*
mV*
mV*
??? a11 = ?
V
a21 = a31; a22 = a32 ; a23 = a33; b21 = b31; a41 = ? mz QbA ;
Jz
?z
?"
m
Qb
mz?QbA
m
Qb
m ?? QbA
'
A
; a42
= ? z A ; a44 = ? z
; b41 = z
;
a42 = ?
Jz
Jz
Jz
Jz
"
m ?? QbA
= z
.
Jz
???????????? aij ????????????? ???????????? ???????? ??. ???,
'
b41
????????, ??????????? a44 = ?
mz?z QbA
????????????? ?????????????Jz
??? ????????????? ??; ??????????? a42 = ?
40
mz?QbA
? ???????????
Jz
????????????; ??????????? b41 =
'
????; ??????????? a42 = ?
mz?? QbA
? ????????????? ????? ??Jz
mz?" QbA
? ??????? ???????????? ????? ??Jz
???? ?? ?????? ???????.
?????? ??????? ????????? ????????? ?????????? ???????? ????????. ????? ????????? ?????????????? ??? ?????????? ? ????
d ( ??)
+ a61?? + a62 ??x + a63?? y + a64 ?? = b62 ??? ; ??
dt
?
d ( ??x )
+ a71?? + a72 ??x + a73?? y = b72 ??? + b73??? ; ?
?
dt
?
d ( ?? y )
+ a81?? + a82 ??x + a83?? y = b82 ??? + b83?? ? ; ?
?
dt
?
d ??
?
= ??x ,
??
dt
(16)
c ?Q?
g cos ?
c ??Q
c?z Q
;
; a62 = y
; a64 = ?
; a63 = ? x
V
mV
mV
mV
?x
?x
?
?
cz?? Q a = ? m x J y + m y J xy Q ! ; a = ? mx J y + m y J xy Q ! ;
72
; 71
b61 =
2
2
2
2
J x J y ? J xy
J x J y ? J xy
mV
?y
?y
??
??
m x J y + m y J xy !
mx J y + m y J xy !
Q ;
a73 = ?
Q ; b72 =
2
2
2
2
J x J y ? J xy
J x J y ? J xy
a61 = ?
???
b73 =
m x?? J y + m ?y? J xy
2
J x J y ? J xy
a82 = ?
m ?y x J x + mx?x J xy
2
J x J y ? J xy
?
?
m y J x + mx J xy !
!
Q ; a81 = ?
Q ;
2
2
2
J x J y ? J xy
?
?
m y J + mx y J xy !
!
Q ; a83 = ? y x
Q ;
2
2
2
J x J y ? J xy
m ?y ? J x + m x?? J xy !
!
=
Q
b
Q .
;
83
2
2
2
2
J x J y ? J xy
J x J y ? J xy
??? ? ? ?????? ?????????, ??????????? ????????? ?????????? ?????????? ???????????? ???????? bij ? cij ? ???????????? ????????b82 =
m ?y? J x + m x?? J xy
41
????, ????????? ?? ??????????? ????????????? ???????????????? ???
? ???????? ( C z? , m?x , mx?x ? ??.), ?? ?????????????? ?????????? ??
( G, S , !, J x , J y ? ??.) ? ?? ?????? ??????????????? ??????.
3.4. ???????? ???????????? ????????????
???????????? ???????? ?? ? ???????????? ??? ???????? ? ??????????? ????? ???????? ?????????? ??????? ?????????. ??????????????, ??? ??????????? ???????????? ?????????????? ?? ? ??????? (15)
??????? ???????? ???= 0. ??? ????????? ?????? ????????, ??? ????????????? ???????? ???????????? ????? ????????????? ?????????????? ?????. ? ???? ?????? ???????????? ??????? ????????? (15) ?????
??????? ???????????.
??????? ??????? ????? ??????? ???????????? ? ???? ?????????????
???????
?V = Ae?t ; ?? = Be?t ; ?? = Ce?t ; ??z = De?t .
????? ??????????? ???? ??????? ? ?? ??????????? ? (15) ? ?????????? ?? e?t ??????? ???????????????? ????????? ??????????? ? ??????? ?????????????? ????????? ???????????? ?????????? A, B, C, D
(??????????? ???????? ? ?????? ? ??? ??????? ? ???????? ?????????)
?
?
a21?V + (? + a22 )?? + a23?? ? ??z = 0;?
?
?a31?V ? a32 ?? ? (a33 ? ?) ?? = 0;
?
?
'
'
(a41 ? a42 a31 )?V + (a42 ? a42 a32 )?? ? ?
?
'
'
a33?? + (? + a44 + a42
)??z = 0.
?a42
?
(? + a11 )?V + a12 ?? + a13?? = 0;
(17)
????????????? ??????? ??????? ???????????? ?? ??????? ?????????
???? ???????????? ??????? (17)
a12
? + a11
a21
? + a22
?( ? ) =
?a31
?a32
'
'
a41 ? a42 a31 a42 ? a42
a32
42
0
a13
a23
?1
= 0,
0
?(a33 ? ?)
'
'
a33 ? + a44 + a42
?a42
??????? ???????? ? ??????? ??????????????? ????????? 4-? ???????
(??????????????????? ?????????) ???????????? ?
?(?) = ? 4 + P1? 3 + P2? 2 + P3? + P4 = 0.
(18)
???????????? Pi (i = 1,2,3) ???????? ????????????? ??????????,
??????????????? ???? ?? ???????????, ??? ? ???????????? ????????????. ??????? ?? ??????? ?????? ????? ????????? ????????????? ??????? ???????
?Vi = Ai e? it ; ?? = Bi e? it ; ??i = Ci e? it ; ??z i = Di e? it .
????? ?? ??????? ??????? (15) ????? ???????????? ????? ?????
??????? ??????? ???????
?V = A1e?1t + A2e?2t + A3e?3t + A4e?4t .
??? ??? ???????????? ????????? (18) ???????? ????????????? ??????????, ?? ??? ??????? ?????????? ???????????? ???????? ?????
???? ????????? ??????:
1 ? ??? ?????? ????? ????????????;
2 ? ??? ????? ???????????? ? ??? ? ??????????? ???????????;
3 ? ??? ?????? ????? ??????? ??????????? ???????????.
? ?????? ?????? ????????? ???????? ?? ???????????? ?? ???????
?????????????? ????????, ?????? ?? ??????? ????????????? ?????????? ?? ????????, ???? ?????? ???????????, ? ???????????, ???? ?????? ???????????.
?? ?????? ?????? ???? ??????????? ??????????? ??????, ???????? ? 3 = ? + i? ? ? 4 = ? ? i? , ????????????? ??????? ??????? ????
??3,4 = B3e?3t + B4e? 4t .
(19)
????????? ??????????????? ???????? ???????? ??, ????????? ???
????????, ???????? ? ????????????? ??????? ?????????, ?????? ????
?????????????. ??? ??????, ??? ? ??????????????? ?????? ?????????? B3 ? B4 ?????? ???? ????? ???????????? ????????????
B3 = a ? ib; B4 = a + ib.
????????? ????????? ??????:
e ?it + e ??it = 2cos ?t ? e ?it ? e ??it = 2i sin ?t ,
43
??????? ??????? (19) ????? ????????????? ? ????
??3,4 = Be ?t sin( ?t + ?),
a
.
b
????, ???? ??????????? ??????????? ?????? ???? ?????????????
???????? ? ?????????? Be?t , ??????? ???????? ? ? ????? ?. ????? ??
??????? ? ???? ??????
??? B = 2 a 2 + b2 ; ? = arctg
?V = A1e?1t + A2e? 2t + Ae?t sin( ?t + ?)
? ???????? ????????? ???? ?????????????? ? ?????? ??????????????
????????.
? ??????? ??????, ??????? ??????????? ???????? ?????, ?????????
??????????? ???????? ?? ???????????? ????? ????????? ???? ????????????? ????????:
??z = C1e?t sin(?t + ?1 ) + C2 e?t sin(?t + ?2 ).
????, ?? ???? ??????? ????????? ?????????? ?V, ??, ??z ? ?? ???????????? ????????????? ???????? ???? e?t, ??? ? ? ???????????? ?????? ??? ???????????? ????? ???????????? ????? ???????????????????
?????????. ?????? ? ??????? ??? ???????? ????????????:
??????????? ??????? ???????? ?????????? ????????????? ??????????????? ?????????????? ??????, ???? ??? ???????????? ????? ?
(???) ???????????? ????? ??????????? ?????? ????????????.
?? ????? ?????? ??????? ????????, ??? ??????????? ? ??????????? ???????? ????? ???????? ?????????? ??????????
P1 > 0, P2 > 0, P3 > 0, P4 > 0;
R = ( P1P2 P3 ? P12 P4 ? P32 ) > 0.
???? ????????? ?????????? ???????? ?????????? ???????????? ???????? (?????????????? ??? ?????????????), ?????? ????????? ? ??????? ?????????, ?? ??? ????? ?????????? ?????? ??????????????????
?????????. ???????? ?????
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