close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Buracov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Составитель – М. В. Бураков
Рецензент – кандидат технических наук, доцент М. А. Волохов
Рассмотрены вопросы анализа и синтеза нелинейных систем автоматического управления с использование пакета MatLab.
Предназначены для подготовки бакалавров по направлению
27.03.04 «Управление в технических системах», а также студентов
других специальностей, изучающих дисциплину «Теория автоматического управления».
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка С. Б. Мацапуры
Сдано в набор 18.09.18. Подписано к печати 08.10.18.
Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 2,8. Уч.-изд. л. 3,0.
Тираж 50 экз. Заказ № 429.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2018
ВВЕДЕНИЕ
Изучение разделов теории автоматического управления, посвященных нелинейным системам, позволяет получить представление
о проблемах управления реальными сложными объектами.
Методические указания ориентированы на использование пакета MatLab, который является в настоящее время наиболее распространенным инструментом проектирования систем управления.
Общая цель выполнения лабораторных работ – получение навыков
исследования нелинейных систем.
В методических указаниях описаны восемь лабораторных работ.
Каждая работа предваряется краткими теоретическими сведениями и примерами, на основании которых учащиеся должны самостоятельно выполнить задания на лабораторную работу.
Отчет о лабораторной работе должен иметь правильно оформленную обложку (см. Приложение 1).
Отчет должен содержать постановки задач, формулы и блоксхемы моделирования, полученные графики и краткие выводы по
каждому этапу работы.
При моделировании в MatLab Simulink графики переходных процессов удобно оформлять, установив в блоке Scope флажок Log data to
workspace с выбором формата Structure with Time. Затем выполняется
моделирование, и график может быть получен командами:
>> plot(ScopeData.time,ScopeData.signals.values)
>> grid
>> xlabel(‘t, c’)
>> ylabel(‘y(t)’)
График запоминается в формате emf, удобном для оформления
отчета в Microsoft Word. Пример оформления графика представлен
в Приложении 2.
Для подробного ознакомления с теоретическими основами анализа и синтеза нелинейных систем могут быть рекомендованы книги [1–10].
3
Лабораторная работа №1
ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
И МЕТОДОВ ИХ КОМПЕНСАЦИИ
Цель работы: исследование влияния типовых статических нелинейностей на качество переходных процессов в системах автоматического управления.
Краткие теоретические сведения
Некоторые из типовых статических нелинейностей, реализованных в MatLab, показаны на рис. 1.
На практике в САУ часто оказывается возможным выделить статическую нелинейную часть F и динамическую линейную часть W,
включенные последовательно (рис. 2).
Такая модель возникает при дополнении линейных моделей нелинейными элементами, учитывающими ограниченность управляющих воздействий, наличие зоны нечувствительности в измерительных и исполнительных элементах и т. п.
Один из приемов линеаризации заключается в охвате нелинейности отрицательной обратной связью (рис. 3).
При k >> 1 имеем
kf
=
y
x ≈ x.
1 + kf
Saturation
Dead Zone
Quantizer
Zero-Order
Hold
Рис. 1. Нелинейности: зона нечувствительности (dead zone),
насыщение (или ограничение, англ. saturation), квантователь
по уровню (quantizer), экстраполятор нулевого порядка (zero-order hold)
F
W(s)
Рис. 2. Модель Гаммерштейна
4
x
e
y
f
k
Рис. 3. Компенсация с помощью обратной связи
В ряде случаев можно добиться устранения влияния статической нелинейности путем последовательного включения ее инверсии (рис. 4).
Регулятор G(s) может проектироваться без учета нелинейности
методами линейной теории автоматического управления.
Для получения обратной нелинейности можно использовать
прием, основанный на использовании отрицательной обратной связи (рис. 5).
При k >> 1 имеем
k
s x ≈ f −1x.
=
y
k
1+ f
s
g
e
G(s)
u
F –1
F
регулятор
W(s)
y
объект
Рис. 4. Компенсация статической нелинейности
x
k
s
y = f–1(x)
f
Рис. 5. Способ получения
обратной нелинейности
5
F1
y = F1(x) + F2(x) = FЭ (x)
x
F2
Рис. 6. Параллельное соединение нелинейных элементов
При параллельном соединении статических нелинейных элементов эквивалентное описание получается путем сложения выходных
сигналов (рис. 6).
Задания на лабораторную работу
Задание 1.1. Проверить способ получения обратной нелинейности (рис. 3) путем моделирования при f(x) = exp(x).
Включить последовательно f и f–1, подать на вход тестовый сигнал (sine vawe). Привести в отчете схему моделирования и графики
переходных процессов. Определить, при каких значениях k ошибка
линеаризации остается малой.
Задание 1.2. Собрать схему, представленную на рис. 7.
Запуская схему при различных значениях ширины зоны нечувствительности, показать влияние этой нелинейности на переходный процесс. Время моделирования должно быть достаточным для
завершения переходного процесса.
С помощью параллельного соединения с блоком «Насыщение»
(рис. 6) добиться устранения влияния нелинейности «Мертвая зона».
Проверить вариант компенсации нелинейности с помощью отрицательной обратной связи (рис. 3). Показать влияние коэффициента k.
0.2
Sine Wave
Amplitude = 5
frequency = 1 rad/s
Dead Zone
-2 to +2
s+1.7
1
s
Transfer Fcn
Integrator
0.2
1
s
Scope
s+1.7
Transfer Fcn1 Integrator1
Рис. 7. Исследование влияния зоны нечувствительности
6
Задание 1.3. Собрать схему, представленную на рис. 8.
Запуская схему при различных значениях уровня насыщения,
показать влияние этой нелинейности на переходный процесс.
С помощью параллельного соединения с блоком «Мертвая зона»
(рис. 6) добиться устранения влияния нелинейности «Насыщение».
Проверить возможность компенсации нелинейности с помощью
отрицательной обратной связи (рис. 3).
Задание 1.4. Блок квантования по уровню характеризует работу
аналого-цифрового преобразователя (рис. 9).
Запуская схему при различных значениях интервала квантования по уровню, показать влияние этой нелинейности на переходный процесс.
Задание 1.5. Работу цифро-аналогового преобразователя, сигнал
на выходе которого квантуется по времени, описывает блок «Экстраполятор нулевого порядка» (рис. 10).
Выполнив запуск схемы при различных значениях интервала
квантования по времени, показать влияние этой нелинейности на
переходный процесс.
0.2
s+1.7
Step
10volt
Saturation
-5+5 volt
Transfer Fcn
Scope
0.2
s+1.7
Transfer Fcn1
Рис. 8. Исследование влияния насыщения
0.2
Step
10volt
Saturation
-5+5 volt
s+1.7
Transfer Fcn
Quantizer
0.2
Scope
s+1.7
Transfer Fcn1
Рис. 9. Исследование влияния квантования по уровню
7
0.2
Sine Wave
s+1.7
Transfer Fcn
Zero-Orde
Holdr
Scope
0.2
s+1.7
Transfer Fcn1
Рис. 10. Исследование влияния квантования по времени
Заменить экстраполятор нулевого порядка на экстраполятор 1-го
порядка («First-Order Hold»). Сравнить работу двух вариантов экстраполятора.
Задание 1.6. Исследование влияния квадратичной нелинейности. Подобная нелинейность описывает, в частности, работу гидравлического клапана (рис. 11).
Выполняя запуск схемы при различных значениях входного
скачка, определить – при каком уровне входного скачка в системе
возникают устойчивые колебания, и при каком уровне система теряет устойчивость.
Задание 1.7. Нелинейность «Ограничение» может вызывать эффект интегрального насыщение (англ. windup), который возникает
в ПИД-регуляторах: если ошибка управления длительное время
сохраняет знак, величина интегральной составляющей регулятора становится очень большой, и если затем ошибка меняет знак, то
интегральная часть медленно уменьшается. Рассмотрим простую
систему управления (рис. 12).
Определить, при каких параметрах блока «Ограничение» возникает эффект windup.
Step
Subtract
1
s
u2
Integrator
Math
Function
1
(s+1)(s+1)
Zero-Pole
Рис. 11. Исследование влияния квадратичной нелинейности
8
Scope
1
Gain2 Derivative
1
Constant
du/dt
1
Subtract
Gain1
1
1
s
Integrator Gain
Add
1
s
Saturation Transfer Fcn
Scope
Рис. 12. Система управления с ПИД-регулятором и блоком «насыщение»
Для устранения эффекта насыщения охватить интегратор отрицательной обратной связью с нелинейным блоком «зона нечувствительности».
9
Лабораторная работа №2
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
Цель работы: исследование влияния типовых динамических нелинейностей на качество переходных процессов в системах автоматического управления.
Краткие теоретические сведения
У динамических нелинейных элементов выходная величина зависит как от текущей входной величины, так и от ее производной.
Некоторые из типовых динамических нелинейностей показаны
на рис. 13.
Реле с гистерезисом описывается следующим уравнением:

 ñ, x > b
x > 0 : 
x<b

−ñ,
y(x, x ) = 
.
 x < 0 : ñ, x > −b


 −c, x < −b

Реле с гистерезисом может быть использовано, например, в качестве регулятора температуры. Диапазон ±b в этом случае будет
описывать границы изменения ошибки по температуре – условия
включения/выключения нагревательного элемента.
Характеристика «люфт» характерна для механической передачи от вала двигателя к отрабатывающему валу следящей системы,
которые соединяются с помощью редуктора. Редуктор не может
быть описан пропорциональным звеном, потому что при изменении
направления вращения имеет место холостой ход.
Relay
Backlash
Coulomb &
Viscous Friction
Рис. 13. Нелинейности: реле с гистерезисом (relay), люфт (backlash),
сухое (кулоновское) и вязкое трение (coulomb and viscous friction)
10
Уравнение нелинейности типа «Люфт» имеет вид:
x > 0 : k(x − ñ),

y(x, x ) = x < 0 : k(x + ñ),
x = 0 : const.

Нелинейность типа «Сухое трение» описывает силу сопротивления
F при движении груза по неидеальной поверхности со скоростью v.
Существуют разные модели трения.
Сухое трение:
F1 = k1 sgn(v).
Вязкое трение:
F2 = k2 sgn(v) v .
Блок Сoulomb and viscous friction позволяет описать оба эти варианта вместе или по отдельности.
Задания на лабораторную работу
Задание 2.1. На рис. 14 приведена схема управления комнатной
температурой, в которой используется реле с гистерезисом (константа 25 описывает заданную температуру, константа 75 – температуру
нагревателя, апериодическое звено – динамику процесса нагрева).
Выполнить моделирование системы управления при различных
параметрах зоны гистерезиса реле. Задать переменную желаемую
температуру. Процесс охлаждения комнаты должен происходить
при выключенном нагревателе.
Задание 2.2. На рис. 15 представлена схема управления мотором
с нелинейностью типа «люфт».
25
grad
1
Add
Relay
75
Product
10s+1
Transfer Fcn
Scope
grad1
Рис. 14. Использование реле в качестве органа управления
11
1
Constant
1
5
Subtract1 P-controller
5s 2+s
Motor
Backlash
Scope
Рис. 15. Система управления с люфтом
Выполните моделирование системы управления при различных
значениях ширины люфта. Показать, при какой величине люфта
возникает потеря устойчивости.
Нелинейность типа «люфт» может быть компенсирована обратной нелинейностью, которую можно описать следующим образом:
x + c, if x(t) > x(t − Δt),


y(x, x) =  x − c, if x(t) < x(t − Δt),
 x,
if x(=
t) x(t − Δt).

На рис. 16 представлен вариант реализации этой формулы в
Simulink MatLab.
Выполнить моделирование системы управления при включении
«антилюфта» перед люфтом. Подобрать параметры схемы, при которых влияние люфта практически устраняется.
Задание 2.3. Моделирование движения механической системы с
одной степенью свободы (рис. 17).
1
In1
==
Transport
Delay
Relational
Product
Operator 1
Constant3
>
Add4
Relational
Operator1 2
Constant4
Product1
c
<
Relational
Operator2
Constant2
3
Add2
Add3
Product2
Constant5
Рис. 16. Блок-схема нелинейности «Антилюфт»
12
Multiport
Switch
1
Out1
b
F
M
k
x
Рис. 17. Тележка с пружиной и демпфером
На рис. 17 b – коэффициент демпфирования (коэффициент вязкого
трения), k – коэффициент жесткости пружины, F – внешняя сила (вход
объекта), x – горизонтальная координата (выход), М – масса тележки).
В соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать уравнения динамики:
 =F − kx − FT x ,
Mx
F
F
k
 = −
x
x − T x .
M M
M
На рис. 18 показан вариант схемы моделирования при M = 1 и
F = sin(t).
Выполните моделирование системы управления при различных
параметрах сухого и вязкого трения. Показать, при каких параметрах трения в системе возникают установившиеся колебания, и при
каких параметрах колебания носят хаотический (несинусоидальный) характер.
Coulomb &
Viscous Friction
Scope2
1
Sine Wave
Subtract1
Gain
1
s
Integrator2
Scope1
1
s
Integrator1
Scope
2
Gain1
Рис. 18. Блок-схема уравнений динамики тележки
с пружиной и демпфером
13
Лабораторная работа №3
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Цель работы: исследование метода фазовой плоскости для анализа динамики линейных и нелинейных систем 2-го порядка.
Краткие теоретические сведения
Пусть объект управления описывается системой дифференциальных уравнений вида
 dx(t)
 dt = f1 ((x(t), y(t)),

 dy(t) = f2 (x(t), y(t)).
 dt
где f1 и f2 – некоторые линейные или нелинейные функции.
Будем считать, что начальные условия для этой системы заданы: x(0) = x0 и y(0) = y0. Этим условиям будет соответствовать одна
траектория движения на фазовой плоскости. Для построения семейства траекторий надо рассматривать множество различных начальных точек.
Основное достоинство изображения фазовых траекторий на плоскости состоит в том, что в виде единого фазового портрета представляется вся совокупность возможных движений в системе управления.
В пакете MatLab для получения фазовых траекторий можно использовать функцию ode45, которая выполняет численное интегрирование указанного дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта 4-го порядка. Например, рассмотрим линейную систему:
 x=
1 x1 + 3x2 ,

−5x1 + 2x2 .
x2 =
Для ее описания можно использовать MatLab – функцию вида:
function d=dxdt1(t,x)
d=[ x(1)+3*x(2); -5*x(1)+2*x(2) ];
Выбор множества начальных точек достаточно произволен. Поскольку линейная система имеет одну особую точку в начале координат, для построения фазовых траекторий можно рассмотреть
14
множество начальных точек, расположенных на окружности с центром в начале координат:
figure(1)
hold on
for theta=[0:10]*pi/5
x0=1e-5*[cos(theta);sin(theta)];
[t,x]=ode45(@dxdt1,[0 8],x0);
plot(x(:,1),x(:,2))
end
Результат представлен на рис. 19.
Альтернативным вариантом построения фазового портрета системы является использование поля направлений (векторного
поля) – касательных к фазовым траекториям. Векторное поле можно построить с помощью команд
[x1, x2] = meshgrid(-2:0.25:2, -2:0.25:2);
x1dot = x1+3*x2;
x2dot = -5*x1+2*x2;
quiver(x1,x2,x1dot,x2dot)
xlabel(‘x_1’)
ylabel(‘x_2’)
Результат представлен на рис. 20.
Рассматривая векторное поле, легко определить тип особой точки динамической системы.
2
1,5
1
0,5
x2
0
–0,5
–1
–1,5
–2
–2 –1,5 –1 –0,5
0
0,5
1
1,5
2
Рис. 19. Пример фазовых траекторий
линейной системы
15
2,5
2
1,5
1
0,5
x2
0
–0,5
–1
–1,5
–2,5
–2
–2,5 –2 –1,5 –1 –0,5
0
x1
0,5
1
1,5
2
2,5
Рис. 20. Векторное поле линейной системы
Для аналитического обоснования типа особой точки линейной
системы нужно рассмотреть условие
λE − A =
0,
где А – матрица коэффициентов системы, Е – единичная матрица.
Эту процедуру можно выполнить командой нахождения собственных значений матрицы:
>> eig(A)
Классификация особых точек приведена в Приложении 2.
Фазовый портрет нелинейной системы можно построить таким
же образом, как это было показано для линейной системы.
Например, уравнения Лотки-Вольтерра:
function d=lotka3(t,x)
d=[0.16*x(1)-0.004*x(1).*x(2);-1.2*x(2)+0.02*x(1).*x(2)];
figure(1)
hold on
for n=[10:10:120]
x0=[n n];
[t,x]=ode45(@lotka3,[0 20],x0);
plot(x(:,1),x(:,2))
end
axis([20 120 0 160])
16
Результат приведен на рис. 21.
Нелинейная система может иметь множество особых точек. Для
выяснения количества и характера особых точек нелинейной системы
 x1 = f1 (x1, x2 ),

x2 = f2 (x1, x2 ).
нужно рассмотреть якобиан системы в особых точках.
Например, особые для системы Лотки-Вольтерра:
0.16x1 − 0.004x1x2 ,
0 =

−1.2x2 + 0.02x1x2 .
 0=
⇒
0,
x1 (0.16 − 0.004x2 ) =

 x2 (−1.2 + 0.02x1 ),
Существуют две особые точки: (0, 0) и (60, 40) (рис. 21).
Для выяснения характера особых точек рассматривается якобиан в рабочей точке, который описывает линеаризованную систему:
 ∂f1 ∂f1 
 ∂x

1 ∂x2  0.16 − 0.004x2
=
J(0,0) =

0.02x2
 ∂f2 ∂f2  
 ∂x

 1 ∂x2 
−0.004x1 
.
−1.2 + 0.02x1 
140
120
100
80
x2
60
40
20
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120
x1
Рис. 21. Фазовый портрет системы
Лотки-Вольтерра
17
Следовательно,
0 
0.16
J(0,0) = 
.
−1.2
 0
Характеристическое уравнение:
J(0, 0) −=
λE
0.16 − λ
0
= (0.16 − λ)(−1.2 − λ).
0
−1.2 − λ
Вещественные полюса имеют разные знаки, следовательно, это
седловая точка.
Аналогично,
J(60, 40) − λE =
−λ −0.24
= λ2 + 0.192.
0.8
−λ
Собственные числа: λ1,2 =± −0.192 . Особая точка является центром.
Задания на лабораторную работу
Задание 3.1. Для заданного варианта линейной системы из
табл. 3.1 построить описание фазовой плоскости двумя способами:
− с помощью фазовых траекторий;
− с помощью векторного поля.
Определить тип особой точки линейной системы.
В отчете привести графики и расчетные формулы.
Задание 3.2. Для заданного варианта нелинейной системы из
табл. 3.2 построить описание фазовой плоскости двумя способами:
− с помощью фазовых траекторий;
− с помощью векторного поля.
Определить количество и типы особых точек нелинейной системы.
В отчете привести графики и расчетные формулы.
Задание 3.3. Динамика взаимодействия двух видов животных
количеством x и y описывается системой уравнений
x = x(−2x − y + 180),

 y = y(−x − 2y + 120).
Определить – сколько особых точек имеет эта система, какая
особая точка соответствует вымиранию обоих видов, какая – вымиранию только одного из видов, и какая – сосуществованию видов?
18
Таблица 3.2
Варианты нелинейных систем
1
x1 = − x2,


2
4
x2 = x1 − x2 1 − x1 + 0.1x1 .
x1 = x2,


−1
x2 = x1 + x2 − 3tg ( x1 + x2 ).
2
x1 = x2,


−0.5x1 − x13.
x2 =
x1 = x2,


− x2 − 5(x1 − x22 ).
x2 =
3
x1 =
− x2 + x1 (x12 + x22 ),

x1 x2 (x12 + x22 ).
 x2 =+
x1 =
− x2 − x1 (x12 + x22 ),

x1 x2 (x12 + x22 ).
 x2 =−
4
x=
1 x1 − x2,

2
 x=
2 x1 − 4.
x1 = sin(x2 ),

3
 x=
2 x1 − x1 .
5
x1 =
1 + x2 − e− x1 ,

3
 x=
2 x1 − x2.
 x1 = sin(x2 ),

x2 = cos(x1).
6
x1 = x1 + x2 − x3,

x2 = − x2.

=
x1 x1x2 − 1,

3
 x=
2 x1 − x2 .
7
x1 10x1 − 5x1x2,
 =

2
x2 =3x2 + x1x2 − 3x2 .
− x1x2 + x1 (3 − x1),
x1 =
 
 x2 = x2 (2 − x2 ) − x1x2.
8
3
 x=
1 x2 − 4x1,

3
x2 = x2 − x2 − 3x1.
 x1 = x2,

x2 = − sin(x1).
9
 x1 = 2x1x2,

2
2
x=
2 x2 − x1 .
x1 = x2,


− x1 + x2 (1 − x12 ).
x2 =
10
x1 = x2,


−5x1 − 4x2 + 2.5x12.
x2 =
 x1 = x2,

x
x2 = 1 − e .
11
2
 x=
1 x1 − x1x2,

2
2
x2 = x2 − x1 − 1.
x1 2x1 + x1x2,
 =

x2 − x1x2 − 3x22.
x2 =
12
x=
1 x1 + 2x2,

− x12 − 2.
 x2 =
x1= 1 − sin(x2 ),

− x1 + x13.
 x2 =
(
)
19
Окончание табл. 3.2
13
− x2 + x1 (x12 − x22 ),
x1 =

x1 x2 (x12 − x22 ).
 x2 =+
x1 x1x2 + 1,
=

x2 3x1 − x22.
=
14
x1 = x1 + x2 − x2,

− x2 + x1.
 x2 =
 x1= 1 − x2,

2 x2 − sin(x1 ).
x=
15
x1 =2x1 (1 − 0.5x1) − x1x2,

x2 x2 (2.25 − x22 ) + x12x2.
=
2
x=
1 x1 − 2x1x2,

2
2
 x=
2 x2 + x1 .
16
x1 2x1 − x1x2,
=

3
=
x2 0.5x1 − x1 .
 x1= 1 − cos(x2 ),

3
=
x2 sin(x1) + x2 .
Задание 3.4. Модель взаимодействия двух видов животных количеством x и y описывается системой уравнений
x x(24 − x − 2y),
=

y y(30 − y − 2x).
=
Что можно сказать о возможности сосуществования этих видов
на основании фазового портрета системы?
Задание 3.5. Динамика изменения численности двух видов животных описывается системой уравнений
x= x(24 − 2x − y),

 y= y(30 − 2y − x).
Что можно сказать о перспективах существования видов?
20
Лабораторная работа №4
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ
Цель работы: исследование закономерностей возникновения автоколебаний в нелинейной автоматической системе управления и
расчет параметров автоколебаний.
Краткие теоретические сведения
Нелинейная система в переходном режиме может иметь несколько состояний устойчивого или неустойчивого равновесия, в том
числе – находиться в устойчивом установившемся периодическом
режиме, называемом автоколебаниями.
Автоколебания являются устойчивым режимом, характерным
только для нелинейных систем, потому что малые изменения параметров системы не выводят её из этого режима. Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и уровня внешних
воздействий. Причиной автоколебаний зачастую является наличие
зоны нечувствительности, релейной функции или гистерезиса.
Метод гармонической линеаризации позволяет аналитически исследовать параметры автоколебаний.
При гармонической линеаризации нелинейный элемент F заменяется квазилинейным звеном N(A, ω), параметры которого определяются при синусоидальном входном сигнале x = Asin(ωt).
Для применения гармонической линеаризации в системе надо
выделить нелинейность F и линейную часть W(jω) (рис. 22).
Тогда условие существования колебаний:
y = W ( jω)u ≈ −W ( jω) N ( A)y
⇒
W ( jω) = −
1
.
N ( A, ω)
Аппроксимирующие функции для типовых нелинейных элементов содержатся в справочной литературе.
g=0
e = –y
N(A,ω) ≈ F
u
y
W(jω)
Рис. 22. Нелинейная система управления
21
Например, для идеального реле:
 k,
F (x) = 
 −k,
x > 0;
x < 0;
Аппроксимирующая функция имеет вид:
N ( A) =
4k
.
πA
Для звена «реле с гистерезисом» аппроксимирующая функция
имеет вид:
N=
( A, ω)
2


4k 
Δ
Δ
1 −   − j   ,
πA 
 A
 A 


A ≥ Δ.
Задания на лабораторную работу
Задание 4.1. Система автоматического управления с нелинейностью типа «идеальное реле» представлена на рис. 23.
Фазовая плоскость описывается уравнениями:
x1 = x2 ,


=
x2 k sgn(−x1 ).
Этим уравнениям соответствует файл-функция:
function d=sat1(t,x)
d=[x(2); (k*sign(-x(1)))];
Моделирование фазовых траекторий с помощью следующей программы:
figure(1)
hold
for n1=[-3:0.5:3]
x0=[n1 n1];
[t,x]=ode45(@sat1,[0 5],x0);
plot(x(:,1),x(:,2))
end
axis([-3 3 -3 3])
grid
22
u
k
x2
1
s
–k
x1
1
s
Рис. 23. Структура нелинейной системы управления
Требуется построить фазовые траектории системы. Определить,
как значение k влияет на фазовые траектории, и при каком k в системе возникают автоколебания.
Задание 4.2. Рассмотрим условия возникновения автоколебаний
в системе с идеальным реле. Пусть k = 1, а объект управления описывается передаточной функцией:
W (s) =
3
s(s + 1)2
.
Условие возникновения автоколебаний:
W ( jω) =−
1
N ( A, ω)
3
⇒
2
jω( jω + 1)
=−
πA
.
4
Решение преобразуется к виду:
2 Aω2 ;
 3.8 =
⇒

3
 Ajω − Ajω =0;
1.9;
A =

 ω =1.
На рис. 24 показана схема для проверки полученного решения
(на интеграторе должно быть задано начальное условие).
Требуется сопоставить амплитуду и частоту автоколебаний на
графике переходного процесса с расчетным значением. Показать,
как начальные условия, выставляемые на интеграторе, оказывают
влияние на параметры автоколебаний.
3
Add
Sign
(s+1)(s+1)
Zero-Pole
1
s
Integrator
Scope
Рис. 24. Блок-схема нелинейной системы в MatLab Simulink
23
3
Step
Add
Sign
(s+1)(s+1)(s+1)
Scope
Zero-Pole
Рис. 25. Автоколебательная система в MatLab Simulink
Задание 4.3. Определить амплитуду и частоту автоколебаний
аналитически и путем моделирования (рис. 25).
Задание 4.4. Рассмотрим релейное управление двигателем постоянного тока (ДПТ). Передаточная функция ДПТ по углу поворота вала имеет вид:
W
=
(s)
θ(s)
k
=
.
U (s) s (Js + b)(Ls + R) + k2
(
)
Пусть заданы параметры: R = 0.4; L = 0.001; k = 0.3; J = 0.1;
B = 0.1, тогда
W
=
(s)
θ(s)
0.3
=
.
U (s) 0.0001s3 + 0.0401s2 + 0.13s
Релейный закон управления обеспечивает подачу напряжения
±24в в зависимости от знака ошибки. Следовательно, модель системы можно представить в виде, приведенной на рис. 26.
Аппроксимирующая функция нелинейности имеет вид:
N( =
A)
4k 96
=
.
πA πA
Требуется аналитически рассчитать амплитуду и частоту автоколебаний и сравнить их с экспериментальными значениями (при
24
Step
Add
Sign
Gain
0.3
0.0001s3 +0.0401s2 +0.13s
Transfer Fcn
Scope
Рис. 26. Блок-схема управления двигателем постоянного тока
24
моделировании использовать метод Рунге-Кутта с постоянным шагом 0.000001 с.).
Задание 4.5. Определение параметров ПИД-регулятора методом
реле.
С помощью реле, включенного в качестве регулятора линейного
объекта, можно определить параметры незатухающих колебаний в
системе управления (рис. 27).
Для идеального реле:
N ( A) =
4M
.
πA
Пусть M = 1, K = 10, тогда из условия N(A)W(jω) = –1 следует
4
10
⋅
=
−1.
πA jω( jω + 1)( jω + 2)
Откуда следует решение: A = 2.12; ω = 1.41.
Для определения параметров ПИД-регулятора по методике Зиглера-Николса требуется знать коэффициент усиления P, при котором возникают автоколебания и частоту автоколебаний.
=
P
4M 4
= = 0.6.
πA πA
Частота автоколебаний может быть определена аналитически,
либо по графику переходного процесса:
ω=
2π
,
T
где Т – период автоколебаний. T = 4,45.
Далее можно использовать формулы Зиглера-Николса:
=
Kp 0=
.6P; Kd KpT
=
/ 8; Ki 2Kp / T.
1
Step
Add
Sign
Gain
10
s(s+1)(s+2)
Zero-Pole
Scope
Рис. 27. Пример блок-схемы для определения параметров регулятора
25
Для рассмотренного примера:
=
Kp 0=
.36; Kd 0=
.19; Ki 0.0044.
На рис. 28 показан регулятор с полученными параметрами. На
рис. 29 – переходный процесс в системе.
Для заданного варианта объекта управления из табл. 4.1 определить с помощью метода реле параметры ПИД-регулятора.
0.36
Kp
du/dt
Step
10
s(s+1)(s+2)
0.19
Kd
Derivative
1
0.0044
s
Ki
Integrator
Add
Add1
Zero-Pole
Рис. 28. Блок-схема ПИД-регулятора в MatLab
1,2
1
0,8
y(t)
0,6
0,4
0,2
0
0
5
t, c
10
15
Рис. 29. Реакция системы с ПИД-регулятором
26
Scope
Таблица 4.1
Варианты объектов управления
№
Объект
№
Объект
1
W (s) =
1
s(s + 1)
9
W (s) =
0.5
s(s + 1)(s + 1)
2
W (s) =
2
s(s + 5)
10
W (s) =
3
s(s + 0.1)
3
W (s) =
0.5
(s + 1)(s + 2)
11
W (s) =
1
(s + 1)(s + 0.1)
4
W (s) =
1
(s + 0.1)(s + 0.1)
12
W (s) =
0.5
s(s + 1)(s + 1)
5
W (s) =
0.1
(s + 3)(s + 4)
13
W (s) =
0.1
s(s + 5)
6
W (s) =
0.8
(s + 0.1)(s + 0.5)
14
W (s) =
5
(s + 1)(s + 1)
7
W (s) =
0.5
s(s + 1)(s + 1)
15
W (s) =
0.2
(s + 1)(s + 0.1)
8
W (s) =
10
(s + 1)(s + 3)
16
W (s) =
10
s(s + 1)
27
Лабораторная работа №5
ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ
ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Цель работы: изучение графоаналитического подхода к анализу
автоколебаний в нелинейной автоматической системе управления.
Краткие теоретические сведения
Графоаналитический метод предполагает запись характеристического уравнения в виде двух уравнений:
1 + W ( jω) N ( A, ω)= 0
⇒
1

 N ( A, ω) =− W ( jω) ;

1
W ( jω) =−
.
N ( A, ω)

Найдя точку пересечения этих двух графиков, можно определить частоту и амплитуду автоколебаний. Частота автоколебаний
определяется по частотной характеристике линейной части системы, а амплитуда – по характеристике нелинейного элемента в точке
пересечения.
Если пересечения графиков не существует, то автоколебания отсутствуют.
Годограф Найквиста линейной части системы и график обратного коэффициента передачи нелинейного элемента могут иметь
несколько точек пересечения. Для того, чтобы выяснить характер
колебаний в точках пересечения, применяют методы Гольдфарба и
Коченбургера.
Метод Гольдфарба использует следующее правило: если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение АФЧХ линейной части
«изнутри наружу», то в этой точке будут автоколебания, в противном случае колебания неустойчивы.
Метод Коченбургера позволяет выполнить оценку устойчивости
колебаний по правилу: если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит
пересечение обратной АФЧХ линейной части «снаружи внутрь», то
в этой точке будут автоколебания, в противном случае – нет.
28
Задания на лабораторную работу
Задание 5.1. Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией:
20
W (s) =
.
s2 + 2s + 10
=
W ( jω)
−ω2 − 2jω + 10
20
= 20
=
−ω2 + 2jω + 10
−ω2 + 2jω + 10 −ω2 − 2jω + 10
(
=
)(
−20ω2 − 40 jω + 200
ω4 − 16ω2 + 100
)
.

200 − 20ω2
,
Re ( W ( jω) ) = 4

ω − 16ω2 + 100

−40ω
Im ( W ( jω) ) =
.
4

ω − 16ω2 + 100
Нелинейное звено «реле с гистерезисом» имеет следующие параметры: k = 1, Δ = 0.2, тогда
N (=
A, ω)
2


4 
4
 0.2 
 0.2  
1−
− j =


πA 
 A 
 A   πA 2


−
−
(
)
A2 − 0.04 − 0.2j .

πA 2 
1
1

.
=
−
N ( A, ω)
4  A 2 − 0.04 − 0.2j 


 A 2 − 0.04 + 0.2j
πA 2 
1
1


=
−
=
N ( A, ω)
4  A 2 − 0.04 − 0.2j  A 2 − 0.04 + 0.2j


π
=
−
A 2 − 0.04 + 0.2j .
4
(
)
Приравниваем вещественные и мнимые части:
(
)
 200-20ω2
π
=
−
A2 − 0.04 ,
 4
 ω − 16ω2 + 100
4

−40ω
0.2π

= −
.
 ω4 − 16ω2 + 100
4
(5.1)
29
Графики строит следующая Matlab-программа:
hold on
W=tf(20,[1 2 10]);
nyquist(W);
A=0:0.01:200;
N = 4./(pi*A.^2).*(sqrt(A.^2-0.004)-0.2*j);
N1=-1./N;
plot(real(N1),imag(N1)),
xlabel( ‘U=real(N)’), ylabel(‘jV=jimag(N)’ )
axis([-1 0 -0.5 0])
Полученные графики приведены на рис. 30.
Графики имеют точку пересечения, следовательно, в системе возможны автоколебания. По диаграмме Найквиста ω ≈ 7,7 рад/c.
Определите амплитуду автоколебаний, подставив значение частоты в первую формулу системы (5.1).
Проверьте полученные результаты путем моделирования.
Задание 5.2. Определить графоаналитическим методом параметры автоколебаний в системе с нелинейностью «реле с гистерезисом»
(k = 1, Δ = 0.1) и линейной частью, заданной передаточной функцией
1
W (s) =
.
s(s + 1)
Проверьте полученные результаты путем моделирования.
Nyquist plote
0
-0.05
-0.1
-0.15
jV -0.2
-1/N(A)
W
Frequency (rad/sec): 7.7
-0.25
-0.3
-0.35
-0.4
-0.45
0.5
-1
-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1
U
0
Рис. 30. Графики для определения параметров автоколебаний
в системе с нелинейностью «реле с гистерезисом»
30
x = –y
1
10
s ( s + 1) (s + 2)
y
–1
Рис. 31. Система с релейным регулятором
x = –y
1
–1
( s + 10 )2
( s + 1)3
y
Рис. 32. Система с систему
с нелинейностью типа «Реле»
Задание 5.3. Определить графоаналитическим методом параметры автоколебаний в системе, представленной на рис. 31.
Проверьте полученные результаты путем моделирования.
Задание 5.4. Определить графоаналитическим методом возможность возникновения автоколебаний по правилу Гольдфарба в системе, представленной на рис. 32.
Проверьте полученные результаты путем моделирования.
31
Лабораторная работа №6
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ АДАПТИВНОЙ СИСТЕМЫ
Цель работы: изучение принципов использования функций Ляпунова при проектировании адаптивной системы управления.
Краткие теоретические сведения
Теорема Ляпунова позволяет сформулировать достаточное условие устойчивости нелинейной системы: если для системы можно подобрать такую функцию Ляпунова, чтобы ее производная по времени всегда имела противоположный знак, то такая система является
устойчивой. Например,
=
V (X) V (x1, x2 , x3 ...xn ) > 0,
∂V dxn
dV ∂V dx1 ∂V dx2
=
+
+ ... +
< 0.
∂xn dt
dt ∂x1 dt ∂x2 dt
Исходя из требования этой теоремы, можно синтезировать регулятор, обеспечивающий устойчивость системы. Также можно строить описание адаптивного регулятора, в котором параметры закона
управления могут изменяться в зависимости от ошибки управления при неточно известных параметрах объекта.
Рассмотрим адаптивную систему с эталонной моделью (рис. 33,
где y(t) и ym(t) – выход объекта и модели, g(t) – задающее воздействие, u(t) – сигнал управления, P(t) – параметры регулятора).
Модель выдает желаемый выход системы ym в ответ на входное
воздействие g. Параметры регулятора изменяются в соответствии с
Эталонная
модель
ym(t)
P(t)
g(t)
Механизм
настройки
u(t)
Регулятор
Объект
Рис. 33. Адаптивная система с эталонной моделью
32
y(t)
ошибкой управления, так чтобы приблизить реальный выход объекта к желаемому выходу:
e(t) =
y(t) − ym (t) → 0.
Описание механизма адаптации может быть сделано с использованием аппарата функций Ляпунова.
Рассмотрим систему 1-го порядка:
y (t) =
−ay(t) + bu(t).
ym (t) =
−am ym (t) + bm g(t).
Выберем закон управления в виде (P = [θ1 θ2])
u(t) = θ1 g(t) − θ2 y(t). (6.1)
Следовательно,
e(t) = y (t) − ym (t) = −ay(t) + b(θ1 g(t) − θ2 y(t)) + am ym (t) − bm g(t) =
= am ym (t) − ( bθ2 + a ) y(t) + ( bθ1 − bm=
) g(t)
=−am e(t) − ( bθ2 + a − am ) y(t) + ( bθ1 − bm ) g(t).
Если бы параметры объекта a и b были известны, то можно было
бы рассчитать идеальные коэффициенты закона управления:
=
θ1
bm
am − a
; =
.
θ2
b
b
Но так как a и b не известны, можно ввести в рассмотрение функции:
f1 (t) =bθ1 (t) − bm ;
f2 (t) =bθ2 (t) + a − am .
Очевидно, f1(t) и f2(t) равны нулю, когда θ1 и θ2 принимают идеальные значения.
С учетом введенных переменных,
e(t) =
−am e(t) − f2 (t)y(t) + f1 (t) g(t).
Выберем функцию Ляпунова в виде:
V (e, f1, f2 =
)
1
1 2 1 2
2
 e(t) + f1 + f2 .
2
bγ
bγ 
Тогда
33
∂V de ∂V df1 ∂V df2
1 df
de 1 df
+
+
=
V =
e + f1 1 + f2 2 =
∂e dt ∂f1 dt ∂f2 dt
dt bγ dt bγ dt
1 df
1 df
=
−am e2 − ef2 y + ef1 g + f1 1 + f2 2 =
bγ dt bγ dt
 1 df1

 1 df2

=
−am e2 + f1 
+ eg  + f2 
− ey .
 bγ dt

 bγ dt

Для обеспечения отрицательности производной можно потребовать равенство нулю каждой из скобок. Таким образом, закон адаптации можно выбрать в виде:
 df1


 dt = −bγeg = bθ1 ⇒ θ1 = −γeg;


 df2 =bγey =bθ
2 ⇒ θ2 =γey.
 dt
(6.2)
При этом обеспечивается
V = −am e2 .
Поскольку am > 0, производная будет отрицательно. Следовательно, V – функция Ляпунова.
Задания на лабораторную работу
Задание 6.1. Дана динамическая система:
x =
−3x + 2xy2 + u,

y =
−y3 − y.

Рассмотрим функцию Ляпунова V и ее производную:
V (=
x, y)
(
(
)
1 2
x + y2 .
2
) (
)
V (x, y) = xx + yy = x −3x + 2xy2 + u + y −y3 − y =
=
−3x2 − y2 + ux + 2x2 y2 − y4 .
Требуется синтезировать обратную связь (т. е. описать u), обеспечивающую глобальную асимптотическую устойчивость. Результат
проверить моделированием.
34
Задание 6.2. Рассмотрим динамическую систему:
x = y3 ,

 y = u.
Выберем функция Ляпунова в виде:
V (x=
, y)
1 2 1 2
x + y .
2
4
Построить закон управления, при котором обеспечивается
устойчивость системы. Результат проверить моделированием.
Задание 6.3. Синтезировать адаптивную систему для варианта
объекта из табл. 6.1. При моделировании использовать эталонную
модель в виде апериодического звена 1-го порядка и закон адаптации, заданный формулами (6.1, 6.2).
Таблица 6.1
Варианты объектов управления
№
Вариант
1
W2 (s) =
2
W2 (s) =
3
W2 (s) =
4
W2 (s) =
5
W2 (s) =
6
W2 (s) =
7
W2 (s) =
8
W2 (s) =
№
10s + 1
11
W2 (s) =
12
W2 (s) =
13
W2 (s) =
14
W2 (s) =
15
W2 (s) =
16
W2 (s) =
.
17
W2 (s) =
.
18
W2 (s) =
0, 6s2 + 0,1s + 1
.
12,5
0, 064s2 + 0, 016s + 1
10s + 1
2
4, 64s + 1,16s + 1
50
2
3s + 0,7s + 1
10s + 1
6s2 + 2s + 1
.
.
1,25
0,75s2 + 0,1s + 1
15s + 1
2s2 + 0, 4s + 1
11,25
2
4s + 0.5s + 1
Вариант
.
.
.
25
0, 4s2 + 0, 01s + 1
15s + 1
2s2 + 0, 6s + 1
25
2
8s + 2s + 1
.
.
25s + 1
0, 9s2 + 0, 3s + 1
25
3s2 + 0,75s + 1
35s + 1
7s2 + 2s + 1
.
.
.
.
4,25
3, 64s2 + 1,16s + 1
100s + 1
2
3s + 0,75s + 1
.
.
35
Окончание табл. 6.1
№
Вариант
9
W2 (s) =
10
W2 (s) =
№
45s + 1
2
8, 64s + 2,16s + 1
25
2
2s + 0,5s + 1
.
.
Вариант
19
W2 (s) =
20
W2 (s) =
5,25
2
1,5s + 0,1s + 1
.
30s + 1
2
0,2s + 0, 05s + 1
.
Исследовать влияние коэффициента γ на переходные процессы
в системе при отработке ступенчатого и синусоидального входного
воздействия.
36
Лабораторная работа №7
ИССЛЕДОВАНИЕ
СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: изучение принципов использования функций Ляпунова при проектировании адаптивной системы управления.
Краткие теоретические сведения
Основным достоинством релейного управления является высокое быстродействие, однако при этом возможно возникновение автоколебаний. Скользящий режим управления можно рассматривать как модификацию релейного закона, где вместо линии переключения S: e = 0 рассматривается прямая (для системы 2-го порядка) S: de/dt +λe = 0.
Рассмотрим скользящий режим для класса одномерных нелинейных систем 2-го порядка, описываемых системой:
 x1 = x2 ,

=
x2 f (x1, x2 ,t) + u,
Желаемую фазовую траекторию можно описать в виде:
s(t) =x2 + cx1 =0,
Тогда
c > 0.
s(t)= cx1 + x2 = cx2 + f (x1, x2 ,t) + u= 0 ⇒
ueq =
−cx2 − f (x1, x2 ,t).
Выберем сигнал управления, компенсирующий динамику системы, в виде
uc = k sgn ( s ),
Тогда
u=
ueq + uc =
−cx2 − k sgn ( s ).
x1 = x2 ,

 x1 = x2 ,
⇒

=
−cx2 − k sgn ( s ).
x2 f (x1, x2 ,t) + ueq + uc , x2 =
Например, пусть описание нелинейной системы 2-го порядка
имеет вид:
37
 x1 = x2 ,

=
x2 2 sin10t + u,
Требуется реализовать скользящее управление.
Зададим линию скольжения:
s(t=
) x2 + 2x1.
Тогда
u=
−2x2 − k sgn(s).
Задания на лабораторную работу
Задание 7.1. Выполнить моделирование в Simulink скользящего
режима управления системой 2-го порядка для варианта из табл. 7.1.
Таблица 7.1
Варианты нелинейных объектов управления 2-го порядка
38
 x1 = x2,
1

=
x2 sin t cos t + u,
8
 x1 = x2,

=
x2 cos10t + u,
2
 x1 = x2,

=
x2 2 cos 3t + u,
9
 x1 = x2,

2
=
x2 2 cos t + u,
3
x1 = x2,
 
=
 x2 4 sin t + u,
10
 x1 = x2,

3
=
x2 2 sin t + u,
4
 x1 = x2,

2
=
x2 2 sin t + u,
11
x1 = x2,
 
=
 x2 6 sin t + u,
4
 x1 = x2,

=
x2 5 cos 2t + u,
12
 x1 = x2,

=
x2 2 cos 2t + u,
6
 x1 = x2,

2
=
x2 sin 10t + u,
13
x1 = x2,
 
=
 x2 sin 5t + u,
7
x1 = x2,
 
=
 x2 sin 4t + u,
14
 x1 = x2,

=
x2 cos10t + u,
Задание 7.2. Рассмотрим задачу управления перевернутым маятником (рис. 34, где использованы обозначения: М – масса тележки; m – масса маятника; l – длина маятника; θ – угол отклонения
маятника от вертикальной оси; x – отклонение тележки от начала
координат; u – сила, толкающая тележку.
Относительно угла отклонения маятника можно записать следующее уравнение:
 −u − ml sin θθ 2 
g sin θ + cos θ 


M +m

.

θ =
 4 m cos2 θ 
l −
 3 M + m 


Введем переменные состояния: x1 = θ, x2 = dθ/dt, тогда
x1 = x2 ,



g sin x1 ( M + m ) − u cos x1 − ml sin x1 cos x1x22
x2 =
,
4


2
l  ( M + m ) − m cos x1 

3

или
x1 = x2 ,
 
 x2= f + bu,
y
θ
L
u
x
Рис. 34. Перевернутый маятник
как объект управления
39
где
f
g sin x1 ( M + m ) − ml sin x1 cos x1x22
cos x1
=
; b
.
4

4

l  ( M + m ) − m cos2 x1 
l  ( M + m ) − m cos2 x1 
3

3

Определим линию переключения в виде
s = cθ + θ = cx1 + x2 = 0;
s =
cx1 + x2 =
0 ⇒ x2 =
−ñx2 .
Тогда сигнал управления можно описать в виде:
 −ñx2 − f
u=
.
b

s
u= u − Ksat  .
Δ
Выполните моделирование системы управления перевернутым
маятником в Simulink MatLab, используя приведенное описание
объекта и закона управления.
40
Лабораторная работа №8
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Цель работы: изучение принципов линеаризации обратной связью для управления нелинейными системами управления.
Краткие теоретические сведения
Линеаризация обратной связью предполагает использование такого преобразования координат, при котором полученная модель
системы в новых координатах становится линейной. С этой целью
определяется такое управление u, при котором нелинейная модель
объекта преобразуется в эквивалентную линейную модель с новым
управлением v, для синтеза которого применяются линейные законы. Однако влиять на состояние объекта можно только через управление u, которое остается нелинейным. В этом заключается главное
отличие от линеаризации в рабочей точке.
Рассмотрим нелинейную систему управления:
=
x f (x) + g(x)u.
С помощью выбора обратной связи по состоянию:
u = α(x) + β(x)v.
Можно привести систему к линейному виду:
=
z Az + bv,
где z = T(x) – преобразование координат состояния (рис. 35).
Таким образом, задача линеаризации обратной связью заключается в поиске невырожденного преобразования и управления, с помощью которых нелинейная система может быть преобразована к
линейной форме.
0
v = –KTZ
u = u(X,v)
 = f (X, u)
X
X
Нелинейное управление
Линейное управление
Z = T(X)
Рис. 35. Линеаризация обратной связью
41
Задания на лабораторную работу
Задание 8.1. Имеется нелинейная система:
 x1 = a sin x2 ,

−x12 + u.
x2 =
(1)
Выполним преобразование переменных состояния Z = T(X):
z1 = x1,
z2 = a sin x2 .
Таким образом,
z1 = z2 ,


2
z2 =−z1 + u a cos x2 .
(
)
Линеаризация обратной связью возможна при выборе закона
управления:
v
=
u z12 +
(2)
a cos x2
Тогда получается линейная система:
z1 = z2 ,

 z2 = v.
Линейная обратная связь по состоянию:
v=
−k1z1 − k2 z2 (3)
Подставляя (3) в (2), окончательно получается
k z +k z
k x + k a sin x2
u=
z12 − 1 1 2 2 =
z12 − 1 1 2
.
a cos x2
a cos x2
(4)
Выполнить моделирование в Simulink системы с объектом (1) и
сигналом управления (4). Для получения коэффициентов обратной
связи использовать модальный синтез для варианта расположения
полюсов, заданного в табл. 8.1.
Задание 8.2. Имеется нелинейная система:
3
x=
1 x2 + x1 ,

 x2 = −u.
42
Выполнить линеаризацию обратной связью и моделирование системы управления в Simulink. Использовать модальный синтез для
варианта расположения полюсов, заданного в табл. 8.1.
Задание 8.3. Дана динамическая система:
x1 =
−3x1 + 2x1x22 ,

−x23 − u.
 x2 =
Выполнить линеаризацию обратной связью и моделирование системы управления в Simulink. Использовать модальный синтез для
варианта расположения полюсов, заданного в табл. 8.1.
Задание 8.4. Рассмотрим динамическую систему:
x1 = sin x2 x23 ,

x2 = u.

Выполнить линеаризацию обратной связью и моделирование системы управления в Simulink. Использовать модальный синтез для
варианта расположения полюсов, заданного в табл. 8.1.
Задание 8.5. Рассмотрим уравнение движения маятника:
x1 = x2 ,
g
b
1
x2 =
− sin(x1 ) − x2 + 2 u(t)
l
m
ml
В матричной форме:
 0 
0 1  x
 x1  
 1 


b    +  1  ( u(t) − glm sin(x1 ) ).
 x =
 
x
−
0
2
2
 
   2

m
 ml 
Таблица 8.1
Жалаемое расположение полюсов замкнутой системы
№
1
2
3
4
4
6
7
Вектор полюсов
P = [–1 –1]
P = [–3 –3]
P = [–1 –3]
P = [–0.5 –3]
P = [–5 –5]
P = [–2 –5]
P = [–12 –15]
№
8
9
10
11
12
13
14
Вектор полюсов
P = [–1 –1]
P = [–5 –5]
P = [–1 –3]
P = [–5 –3]
P = [–1 –5]
P = [–4 –5]
P = [–7 –5]
43
Выбирая
=
u(t) glm sin(x1 ) + v(t),
Получаем линейную систему:
 0 
0 1  x
 x1  
 1 


=
+
b     1  v(t).
 x  
x
−
0
 2
 2  2 

m
 ml 
Выполнить модальный синтез для линейной системы и моделирование в Simulink процессов управления нелинейной системой.
44
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Бураков М. В. Теория автоматического управления. Ч. 3. Нелинейные системы. СПб.: ГУАП, 2018. 178 с.
2. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.
3. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб.: Питер, 2006. 272 с.
4. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное
и адаптивное управление сложными динамическими системами.
СПб.: Наука, 2000. 550 с.
5. Khalil H. Nonlinear Systems, Prentice Hall, Upper Saddle River,
NJ, 2003.
6. Slotine J.-J., Li W., Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, NJ, 1991.
7. Marino R., Tomei P. Nonlinear control design: geometric,
adaptive, and robust. London; New York: Prentice Hall, 1995. 396 p.
8. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применение в системах
с переменной структурой. М.: Наука, 1974. 272 с.
9. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1988. 256 с.
10. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи:
Управление при неопределенности. М.: Наука. Физматлит. 1997.
352 с.
45
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ГУАП
КАФЕДРА № 31
ОТЧЕТ
ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
доцент, канд. техн. наук, доц.
должность, уч. степень, звание
М. В. Бураков
подпись, дата
инициалы, фамилия
ОТЧЕТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ ТИПОВЫХ СТАТИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
И МЕТОДОВ ИХ КОМПЕНСАЦИИ
по курсу: ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ
СТУДЕНТ ГР. №
3515
Д. А. Медведев
подпись, дата
Санкт-Петербург201_
46
инициалы, фамилия
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
0,6
0,4
0,2
0
y(t)
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
0
0,2 0,4 0,6 0,8
1
1,2 1,4 1,6 1,8
2
t, c
Рис. 1. Система с нелинейностью (сплошная линия)
и ее аппроксимация (пунктир)
47
Содержание
Введение.................................................................................... Лабораторная работа №1. Исследование статических нелинейностей
и методов их компенсации............................................................ Лабораторная работа №2. Исследование динамических
нелинейностей............................................................................ Лабораторная работа №3. Метод фазовой плоскости......................... Лабораторная работа №4. Исследование автоколебаний................... Лабораторная работа №5. Исследование автоколебаний
графоаналитическим методом....................................................... Лабораторная работа №6. Использование функций Ляпунова
при проектировании адаптивной системы...................................... Лабораторная работа №7. Исследование скользящего режима
управления................................................................................ Лабораторная работа №8. Исследование линеаризации обратной
связью....................................................................................... Список источников...................................................................... Приложение 1............................................................................ Приложение 2............................................................................ 3
4
10
15
22
29
33
38
42
46
47
48
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
2 058 Кб
Теги
buracov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа