close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Burakov 0CFFAE41B0

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
М. В. Бураков
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейные системы
Часть 3
Учебное пособие
УДК 681.5
ББК 32.965.5
Б91
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент А. А. Мартынов;
кандидат технических наук Д. О. Якимовский
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Б91
Бураков, М. В.
Теория автоматического управления. Нелинейные системы:
учебн. пособие. Ч. 3. / М. В. Бураков. – СПб.: ГУАП, 2018. –
177 с.
ISBN 978-5-8088-1266-6
Рассматриваются задачи анализа и синтеза нелинейных систем
автоматического управления. Теоретический материал по каждой
теме сопровождается разбором примеров с использованием возможностей системы MatLab.
Предназначено для подготовки бакалавров по направлению 27.03.04
«Управление в технических системах», а также студентов других
направлений, изучающих дисциплины «Теория автоматического
управления» и «Основы теории автоматического управления».
УДК 681.5
ББК 32.965.5
ISBN 978-5-8088-1266-6
© Бураков М. В., 2018
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2018
ВВЕДЕНИЕ
Теория автоматического управления (ТАУ) имеет богатый арсенал методов проектирования систем автоматического управления
(САУ). Выбор конкретного метода определяется особенностями объекта управления. Одним из основных приемов упрощения задачи
здесь является линеаризация описания объекта в рабочей точке.
После этого может быть использован аппарат теории линейных
САУ, включающий «классическую» ТАУ, ориентированную на использование аппарата передаточных функций [1], и «современную»
ТАУ, которая опирается на векторно-матричный аппарат [2].
Между тем развитие САУ характеризуется возрастающей сложностью алгоритмов управления, которая обеспечивается широким
использованием вычислительной техники и математических моделей, учитывающих все основные особенности объекта управления,
в том числе – присущие ему нелинейные свойства. Нелинейные алгоритмы управления позволяют, в принципе, добиться лучшего качества управления как линейными, так и нелинейными объектами.
Высокая степень формализованности решения задач линейной
ТАУ обусловлена тремя особенностями:
– для линейных систем выполняется принцип суперпозиции,
что позволяет использовать простые тестовые сигналы;
– линейная система имеет одну точку равновесия в начале координат;
– реакцией линейной системы на гармоническое входное воздействие является гармонический сигнал с измененной амплитудой
и фазовым сдвигом.
Для нелинейных систем эти свойства не выполняются.
Для нелинейных систем в целом не существует единых методов
анализа и синтеза САУ, однако для разных классов нелинейных систем имеются проверенные подходы, такие как метод фазовых траекторий, гармонического баланса, абсолютной устойчивости, второй метод Ляпунова и другие [3–9].
В первой части учебного пособия рассмотрены особенности нелинейных систем, виды нелинейностей и простые приемы компенсации статических нелинейностей, такие как использование большого коэффициента усиления и обратной нелинейности. Здесь же
приведены примеры математического описания нелинейных САУ –
антиблокировочной системы автомобиля и ветрогенератора. Рассмотрены примеры линеаризации существенно нелинейных объектов управления – шарика на планке и конического танка.
3
Во второй части учебного пособия описан метод фазовой плоскости, позволяющий определять и классифицировать особые точки
нелинейной системы. Дается описание понятий аттрактора, бифуркации, предельного цикла. Описано явление хаоса, которое возникает в сложных нелинейных системах и коренным образом отличается от стохастического поведения.
В третьей части рассматривается метод гармонической линеаризации, позволяющий выявлять существование автоколебаний –
процесса, который определяется только параметрами нелинейной
системы и не зависит от начальных условий и входного воздействия.
Показаны приемы аналитического и графоаналитического определения параметров автоколебаний.
Четвертая часть учебного пособия посвящена устойчивости нелинейных САУ. Приводится описание 1-го и 2-го методов Ляпунова,
а также частотного критерия абсолютной устойчивости. Показаны
примеры использования функций Ляпунова при синтезе САУ.
В пятой части приведены некоторые методы управления нелинейными системами: скользящее управление и линеаризация обратной связью, а также принципы оценки управляемости нелинейных систем.
Скользящий режим управления – робастный метод управления
нелинейными системами в условиях неопределенности.
Метод линеаризации обратной связью позволяет получить эквивалентную линейную модель объекта в новых переменных, то
есть оказывается возможным найти такое нелинейное управление,
что в замкнутой системе будут скомпенсированы нелинейности исходной модели. В целом закон управления оказывается нелинейным,
что позволяет, в принципе, добиться лучшего качества управления,
чем при линеаризации в рабочей точке. Показано, что линеаризация
обратной связью может быть описана с помощью понятий дифференциальной геометрии – с использованием понятия производной Ли.
Для оценки управляемости используется понятие скобок Ли.
Для более полного освоения материала могут быть рекомендованы следующие учебники и учебные пособия: [10–15], а также [16–18].
4
1. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.1. Нелинейные системы управления
Рассмотрим систему управления с обратной связью. Она включает в себя два основных блока: объект управления и регулятор
(рис. 1.1).
Система управления является нелинейной, если нелинейна хотя
бы одна из ее частей.
Большинство объектов управления являются нелинейными. Однако во многих случаях допустимо рассматривать малые отклонения координат объекта от состояния равновесия и выполнять линеаризацию модели, на основании чего синтезируется линейный
регулятор.
Таким образом, возникает совокупность вариантов САУ:
– линейный регулятор и линейный объект;
– линейный регулятор и нелинейный объект;
– нелинейный регулятор и линейный объект;
– нелинейный регулятор и нелинейный объект.
Нелинейные системы имеют более сложные свойства, чем линейные системы, а именно:
1. Не выполняется принцип суперпозиции, то есть
e (w x) z e (w) e (x),
где f – оператор системы, x и y – входные сигналы.
2. Возможно множество точек равновесия (у линейной системы –
одна точка равновесия, то есть ее локальная устойчивость совпадает с глобальной устойчивостью).
Объект управления
g(t)
e(t)
u(t)
Регулятор
Органы
управления
y(t)
Управляемый
процесс
Датчики
Рис. 1.1. Общая структура системы управления
5
3. Устойчивость зависит от начальных условий (у линейных систем – не зависит). Поэтому различают устойчивость в малом, большом, целом.
4. Управляемость и наблюдаемость могут зависеть от рассматриваемой точки фазового пространства системы.
5. В нелинейной системе возможны особые режимы движения,
такие как автоколебания, бифуркации, хаос.
6. При гармоническом (синусоидальном) входном воздействии
отклик систем может не быть синусоидальным, то есть невозможен
частотный анализ.
7. В нелинейной системе могут быть явления скачкообразного
резонанса, заключающегося в резком возрастании амплитуды выходной координаты системы при росте частоты входного воздействия и резком уменьшении выходной координаты при снижении
частоты входного воздействия.
На практике в САУ часто оказывается возможным выделить
статическую нелинейную часть и динамическую линейную часть,
включенные последовательно. Такая ситуация возникает при дополнении линейных моделей нелинейными элементами, учитывающими такие факторы, как ограниченность управляющих воздействий, наличие зоны нечувствительности в измерительных и
исполнительных элементах, присутствие люфтов в механических
соединениях.
Порядок следования этих частей определяет одну из моделей:
Гаммерштейна или Винера (рис. 1.2, где F – нелинейная, а W – линейная часть системы).
В электромеханических системах также может быть полезным
описание объекта управления с помощью модели Винера – Гаммерштейна, в которой нелинейный элемент расположен между двумя
линейными частями (рис. 1.3).
a)
б)
F
W(s)
W(s)
F
Рис. 1.2. Модель Гаммерштейна (а) и модель Винера (б)
W(s)
F
W(s)
Рис. 1.3. Модель Винера – Гаммерштейна
6
sin(u2)
2
u
sin(u)
(sin(u))2
sin(u)
u
2
Рис. 1.4. Изменение функции
при перестановке нелинейных блоков
sin(ku)
k
sin(u)
sin(u)
k
ksin(u)
Рис. 1.5. Перестановка линейного и нелинейного блоков
Сложность преобразования структуры нелинейной системы к виду
модели Винера или Гаммерштейна заключается в том, что нелинейные блоки нельзя менять местами, то есть не выполняется принцип
коммутативности (рис. 1.4).
Аналогично нельзя менять местами линейный и нелинейный
блок (рис. 1.5).
Таким образом, недопустимы такие преобразования структурной схемы с нелинейными элементами, как перемещение нелинейного звена через другое звено (кроме звена с запаздыванием) и перемещение нелинейного звена через суммирующий узел, так как в нелинейной системе не выполняется принцип суперпозиции.
Однако допустимо перемещение нелинейного звена через узел
разветвления по направлению или против направления сигнала по
тем же правилам, что и для линейной системы, а также любые преобразования линейной части, не изменяющие входной сигнал нелинейного элемента.
Например, исходную систему, показанную на рис. 1.6, а, можно
преобразовать в модель Гаммерштейна (рис. 1.6, б).
Еще один пример показан на рис. 1.7, где а – исходная система,
б – промежуточная, в – преобразованная.
7
g(t)
y(t)
а)
F
W1
W2
Линейная часть
y(t)
g(t)
б)
F
W1
W2
Рис. 1.6. Выделение линейной части структурной схемы
y(t)
а)
W1
F
W2
F
W2
W3
g(t)
б)
y(t)
W1
W1
W3
gc(t) = W1(s)g(s)
в)
F
W2W3W1
–1
–1
W1 W3
Рис. 1.7. Преобразование к модели Гаммерштейна
8
y(t)
1.2. Виды нелинейностей
Статические нелинейные элементы
Статические нелинейные элементы – это такие элементы, в которых отсутствует переходный процесс, и входной сигнал мгновенно
преобразуется в выходной.
Нелинейность называют гладкой, если в любой ее точке существует производная dy/dx. На практике часто используются кусочно-линейные характеристики, когда нелинейность представляется
в виде сопряженных отрезков прямых.
Рассмотрим типовые статические нелинейные элементы (НЭ).
Звено типа «ограничение» (или «насыщение», англ. Saturation)
часто используется для описания предельного значения энергии,
мощности и т. п. (рис. 1.8).
С помощью этого блока также можно описать работу регулирующего клапана, когда верхняя и нижняя границы соответствуют
полностью открытому или полностью закрытому положениям.
Уравнение нелинейного звена типа «ограничение»:
x(w)
­b,
° b w,
®a
°̄ b,
w d a,
w a,
w t a.
Блок «ограничение» может вызывать неустойчивость в замкнутой системе управления. На рис. 1.9 показан пример структуры системы управления с регулятором ПИ-типа, в которой введение блока насыщения приводит к неустойчивости (рис. 1.10).
y
c
–b
b
x
–c
Рис. 1.8. Статический НЭ типа «ограничение»
9
1
Constant
Subtract
7s + 5
1
s
s–1
Saturation
Transfer Fcn1
Transfer Fcn
Scope
Рис. 1.9. Блок-схема системы управления в MatLab Simulink
y(t)
6
5
4
3
2
2
1
1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t, с
Рис. 1.10. Переходные процессы в системе: 1 – без блока «насыщение»;
2 – с блоком «насыщение»
Последний пример иллюстрирует особенность работы ПИрегуляторов: если ошибка управления длительное время сохраняет
знак, величина интегральной составляющей регулятора становится очень большой. Если значение ошибки управления меняет знак,
то интегральная часть становится равной нулю лишь через некоторое время. Этот эффект называется интегральное насыщение (англ.
windup).
Нелинейное статическое звено «зона нечувствительности» (или
«мертвая зона», англ. Dead Zone) показано на рис. 1.11.
Уравнение нелинейного звена типа «зона нечувствительности»:
w d ',
°­ 0,
x(w) ®
°̄j w ' sgn(w) ,
где k – коэффициент линейной зоны.
10
y
–'
'
x
Рис. 1.11. Статический НЭ
типа «зона нечувствительности»
Зона нечувствительности описывает нелинейную зависимость
скорости вращения вала электродвигателя от приложенного напряжения. Ширина зоны нечувствительности ' соответствует напряжению трогания, при котором преодолевается момент сопротивления и вал двигателя начинает вращение.
С помощью элемента «зона нечувствительности» можно бороться
с эффектом интегрального насыщения.
Рассмотрим простую систему управления (рис. 1.12).
Блок «насыщение» ограничивает входной сигнал пределами
±0,1.
Эффект интегрального насыщения ПИД-регулятора иллюстрируют рис. 1.13 и 1.14.
Для устранения эффекта насыщения можно охватить интегратор отрицательной обратной связью с нелинейным блоком «зона нечувствительности» (рис. 1.15 и 1.16).
Реле с зоной нечувствительности показано на рис. 1.17.
1
Gain2
1
Constant
du/dt
Derivative
1
s
1
Subtract
Gain1
1
s
Integrator
Add
Saturation
Transfer Fcn
Scope
1
Gain
Рис. 1.12. Система управления с ПИД-регулятором
и блоком «насыщение»
11
y(t)
2
1,8
1,6
1,4
2
1,2
1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t, с
Рис. 1.13. Выход системы: 1 – без блока «насыщение»;
2 – с «насыщением»
y(t)
5
4
2
3
2
1
1
0
–1
–2
–3
–4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t, с
Рис. 1.14. Выход интегратора: 1 – система без «насыщения»;
2 – с «насыщением»
12
du/dt
1
Gain2
1
Constant
Derivative
1
s
1
Subtract
Gain1
1
s
Add
Saturation
Transfer Fcn
Scope
1
Subtract1 Integrator
Gain
Dead Zone
Рис. 1.15. Система управления с механизмом anti-windup
y(t)
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
t,с
Рис. 1.16. Переходный процесс в системе с anti-windup ПИД-регулятором
y
c
–b
0
b
x
–c
Рис. 1.17. Статический НЭ типа «реле с зоной нечувствительности»
13
Уравнение нелинейного звена типа «реле с зоной нечувствительности»:
­ï, w d a,
x(w) ® 0, w a,
¯ b, w t a.
При b = 0 получаем идеальную релейную характеристику:
x(w)
­ï,
® 0,
¯ b,
w d 0,
w 0, или y = c sgn(x).
wt0
Статический НЭ называется положительным (нечетно-симметричным), если для любых входных сигналов произведение входвыход оказывается положительным. Очевидно, НЭ, показанные на
рис. 1.8, 1.11, 1.17, являются положительными (симметричными относительно начала координат).
Нелинейности, приведенные на рис. 1.18, не являются положительными. Они симметричны относительно оси ординат (четно-симметричные).
Таким образом, для симметричных нелинейностей выполняется
одно из условий:
y(x) = y(–x), четно-симметричная нелинейность;
y(x)= –y(–x), нечетно-симметричная нелинейность.
Иначе нелинейность является несимметричной.
Рассмотрим влияние нелинейности типа «квадрат» (которая может описывать, например, работу клапана гидравлической системы) на переходные процессы (рис. 1.19).
Как показывает рис. 1.20, реакция системы оказывается сильно
зависящей от уровня входного сигнала, и принцип суперпозиции не
выполняется.
а)
y
б)
y
y = x2
y = |x|
0
x
0
x
Рис. 1.18. Статические НЭ типа «модуль» (а) и «квадрат» (б)
14
g
1
s
Constant
Add
Integrator
u
1
2
(s + 1)(s + 1)
Math
Function
Zero-Pole
Scope
Рис. 1.19. Система управления с нелинейностью типа «квадрат»
y(t)
2
1,8
1,6
1,4
1,2
g =1
1
0,8
0,6
g = 0,5
0,4
0,2
0
g = 0,1
0
5
10
15
20
25
30
t, c
Рис. 1.20. Реакция системы с нелинейностью «квадрат»
при различных уровнях входного сигнала
Нелинейные элементы, у которых одному значению входа соответствует ровно одно значение выхода, называются однозначными
(рис. 1.8, 1.11, 1.17, 1.18).
Существуют также неоднозначные НЭ, в которых выходной сигнал зависит не только от текущего значения входа, но и от дополнительных условий. Такие нелинейности называются динамическими.
Динамические нелинейные элементы
У динамических НЭ выходная величина зависит как от текущей
входной величины, так и от ее производной.
15
y
c
–b
b
x
–c
Рис. 1.21. Динамический НЭ типа «реле с гистерезисом»
Например, характеристика неоднозначного динамического НЭ
типа «реле с гистерезисом» (двухпозиционное реле) представлена
на рис. 1.21.
Для этого звена выходная переменная y зависит не только от величины входного воздействия x, но и от скорости его изменения.
Реле с гистерезисом описывается следующим уравнением:
­
­ ï, w ! a,
° w ! 0 : ®
°
¯ï, w a,
x(w, w ) ®
°w 0 : ­ï, w ! a,
®
°
¯ b, w a.
¯
Реле с гистерезисом может быть использовано, например, в качестве регулятора температуры. Диапазон ±b в этом случае будет
описывать границы изменения ошибки по температуре – условия
включения/выключения нагревательного элемента.
На рис. 1.22 показана модель системы управления температурой, в которой апериодическое звено 1-го порядка (инерционное звено) описывает динамику объекта.
25
grad
1
Add
Relay
10s + 1
Product
Transfer Fcn
Scope
75
grad1
Рис. 1.22. Использование реле в качестве органа управления
16
Как показывает рис. 1.23, значение b = 3, при уменьшении b
можно добиться большей точности регулирования.
Более сложным элементом является трехпозиционное реле, показанное на рис. 1.24.
T(t)
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
60
t, c
Рис. 1.23. Переходный процесс при управлении температурой
y
c
–xa
–xb
xb
xa
x
–c
Рис. 1.24. Трехпозиционное реле с гистерезисом
17
Этот элемент описывается выражением
­
­ ï, w d wa ,
°
°
° w ! 0 : ®0, wa w wþ ,
°b, w t w .
°
þ
°
¯
x(w, w ) ®
­ b, w t wa ,
°
°w 0 : °®0, w w w ,
þ
a
°
°ï, w w .
°¯
þ
¯
Еще одним примером неоднозначного динамического НЭ является звено типа «люфт» (рис. 1.25).
Уравнение НЭ типа «люфт» имеет вид
­w ! 0 : j(w ï),
°
x(w, w ) ®w 0 : j(w ï),
°w 0 : bnmrs.
¯
Характеристика «люфт» характерна для механической передачи от вала двигателя к отрабатывающему валу следящей системы,
которые соединяются с помощью редуктора. Редуктор не может
быть описан пропорциональным звеном, потому что при изменении
направления вращения имеет место холостой ход, пока угол не изменится на величину 2c (рис. 1.26) в ту или иную сторону. Время,
в течение которого это происходит, называют временем отработки
люфта.
Возможен также линейный люфт (рис. 1.27).
На рис. 1.28 показан пример системы управления с П-регулятором и нелинейностью типа «люфт».
y
k
–c
c
x
Рис. 1.25. Динамический НЭ типа «люфт»
18
c
Рис. 1.26. Угловой люфт редуктора
–c
c
Рис. 1.27. Линейный люфт между частями механизма
1
12
Constant
Add
Gain
0.2
s(s + 1)
Backlash
Zero-Pole
Scope
Рис. 1.28. Блок-схема нелинейной системы управления
y(t)
1,5
c= 1
1
c = 0,1
0,5
0
0
5
10
15
20
25
30
t, с
Рис. 1.29. Реакция системы с нелинейностью типа «люфт»
19
На рис. 1.29 приведены переходные процессы при различных
значениях ширины люфта c.
Нелинейность типа «люфт» может быть компенсирована обратной нелинейностью, приведенной на рис. 1.30.
Математически эту нелинейность можно описать следующим образом:
­w ! 0 : w ï,
°
x(w, w ) ® w 0 : w ï,
° w 0 : w.
¯
На рис. 1.31 представлен вариант реализации этой формулы
в Simulink MatLab.
y
c
1/k
x
–c
Рис. 1.30. Нелинейность, обратная к нелинейности типа «люфт»
1
In1
==
Relational
Operator
Transport
Delay
1
Product
1
Out1
Constant3
>
Relational
Operator1
Add4
Add2
2
Product1
Constant4
c
<
Relational
Operator2
Constant2
3
Add3
Product2
Constant5
Рис. 1.31. Блок-схема нелинейности «антилюфт»
20
Multiport
Switch
На рис. 1.32 приведен переходный процесс при включении обратной нелинейности перед НЭ «люфт».
Однозначная динамическая нелинейность типа «сухое трение»
описывает силу сопротивления F при движении груза по неидеальной поверхности со скоростью v (рис. 1.33).
Если пренебречь ростом силы трения в районе нуля, то сухое трение описывается формулой
j ˜ rhfm(u).
F
y(t)
1,4
1,2
c=1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
25
30
t, c
Рис. 1.32. Реакция системы с компенсацией люфта
F
k
0
v = dx /dt
–k
Рис. 1.33. Динамический НЭ типа «сухое трение»
21
При движении твердого тела в жидкости или газе возникает вязкое трение, для описания которого используется формула
F
ju2 ,
где k – некоторый коэффициент (рис. 1.34).
В общем случае динамические нелинейности описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.
Например, динамика подводного аппарата упрощенно описывается уравнением [1]:
u u u t,
где v – скорость аппарата, u – управляющее воздействие (тяга винта).
F
v
Рис. 1.34. Динамический НЭ типа «вязкое трение»
v(t)
3,5
u = 10
3
2,5
2
1,5
u =1
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t, c
Рис. 1.35. Реакция нелинейной системы
на скачкообразное воздействие различной амплитуды
22
На рис. 1.35 показана реакция системы на управляющее воздействие разной амплитуды. При u = 1 статическая ошибка равна
нулю, и время переходного процесса около 2 с, в то время как при
u = 10 статическая ошибка резко увеличивается, а время переходного процесса уменьшается более чем вдвое.
Таким образом, здесь не выполняются характерные свойства линейной системы, где статическая зависимость между входом и выходом описывается прямой линией, а время переходного процесса
не зависит от величины входного сигнала.
1.3. Преобразования схем с нелинейными элементами
Использование большого коэффициента усиления
Один из приемов устранения влияния нелинейности заключается в использовании большого коэффициента усиления (рис. 1.36).
При k >> 1 имеем
je
x
w | w.
1 je
Пример 1.1. Пусть требуется компенсировать нелинейность
f(x) = x2.
Выберем k = 100. Следующая MatLab-программа строит график
нелинейности и выход системы после компенсации нелинейности:
x=0:0.01:1
y=x.^2;
y1=(100*y/(1+100*y)).*x
plot(x,y,x,y1)
grid
На рис. 1.37 показаны полученные графики.
Нелинейность также может быть скомпенсирована введением
большого коэффициента усиления в обратной связи (рис. 1.38).
Например, пусть нелинейность занимает сектор, ограниченный
прямыми линиями с наклоном D1 и D2 (рис. 1.39).
x
y
e
k
f
Рис. 1.36. Компенсация с помощью большого коэффициента усиления
23
1
0,9
0,8
0,7
0,6
y1(x)
0,5
0,4
y(x)
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Рис. 1.37. Результат компенсации нелинейности
с помощью большого коэффициента усиления
x
e
y
f(e)
k
Рис. 1.38. Компенсация с помощью обратной связи
D2
f(e)
D1
e
Рис. 1.39. Вариант описания нелинейности
24
1
x
Тогда можно записать неравенства
D1 d
e (d)
d D2 ;
d
D1
D2
wdxd
w.
1 D1j
1 D2 j
При выборе k >> 1/D1 получается
x|
1
w.
j
Использование обратной нелинейности
Для получения обратной нелинейности можно использовать
прием, основанный на использовании отрицательной обратной связи (рис. 1.40).
При k >> 1 имеем
j
r w | e 1w.
x
j
1 e
r
Пример 1.2. Пусть f(x) = exp(x). Требуется получить f–1(x).
Выберем k = 100. На рис. 1.41 показано последовательное включение f(x) и f–1(x).
На рис. 1.42 приведены переходные процессы в системе.
Рассмотренный подход к компенсации нелинейности имеет очевидные ограничения: нелинейность должна быть известна и инвертируема.
x
k
s
y = f –1(x)
f
Рис. 1.40. Способ получения обратной нелинейности
25
Рис. 1.41. Блок-схема компенсации нелинейности в Simulink MatLab
y, x
8
7
6
5
4
z
3
2
y=x
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Рис. 1.42. Результат компенсации нелинейности
c помощью обратной связи
Последовательное включение нелинейностей
Если статические НЭ соединены последовательно, то их можно
заменить одним эквивалентным элементом FЭ (рис. 1.43).
Достаточно легко можно получить эквивалентное описание, если
НЭ заданы с помощью графиков (рис. 1.44).
В ряде случаев можно добиться устранения влияния статической нелинейности путем последовательного включения ее инвер26
x
F1
y = F2(u) = F2(F1(x)) = FЭ (x)
u
F2
Рис. 1.43. Последовательное соединение нелинейных элементов
u
F2(u)
F1(x)
y
x
FЭ(x)
y
Рис. 1.44. Получение эквивалентной нелинейности
g
e
G(s)
F-1
Pегулятор
u
y
F
W(s)
Объект
Рис. 1.45. Компенсация статической нелинейности
сии. В частности, это возможно, если актуатор объекта имеет статическую нелинейную характеристику, например, если F(x) = x2, то
F-1(x) = x0,5 (рис. 1.45).
Регулятор G(s) может проектироваться без учета нелинейности
методами линейной теории автоматического управления.
Пример 1.3. Пусть на входе объекта имеется кусочно-линейная
нелинейность, заданная уравнением
­° j1w,
w d c,
F (w) x ®
°̄ j1 j2 c j2 w, w ! c.
27
Тогда
­ x
° j , x d j1c,
° 1
1
F (w) w ®
° x rhfm(x) j1 j2 c , x ! j c.
1
°̄
j2
Пример 1.4. Рассмотрим нелинейность типа «мертвая зона», которую можно описать следующей системой (где k1 – малое значение):
°­ j , w d c,
F (w) x ® 1
°̄j2 , w ! c.
Тогда инверсия нелинейности имеет вид
F (w)1
­x
° , x d jc,
w ®j
°x rhfm(x)(1 j)c, x ! jc.
¯
Например, пусть k = 0,001, d = 1, тогда
F (w)1
°­1000x, x d 0,001,
w ®
°̄x rhfm(x)0,999, x ! 0,001.
Графическое представление нелинейности «мертвая зона» и ее
инверсии представлено на рис. 1.46.
a)
б)
x = F –1 (y)
y = F(x)
1
1
–1
–1
1
–1
x
1
y
–1
Рис. 1.46. Нелинейность типа «мертвая зона» (а) и ее инверсия (б)
28
Параллельное включение нелинейностей
При параллельном соединении статических нелинейных элементов эквивалентное описание получается путем сложения выходных
сигналов (рис. 1.47).
Например, параллельным включением звеньев «насыщение»
F1(x) и «зона нечувствительности» F2(x) можно добиться взаимной
компенсации нелинейностей, так что F1(x) + F2(x) = 1 (рис. 1.48).
Нелинейности в контуре с обратной связью
Нелинейные элементы могут образовывать контур с обратной
связью (рис. 1.49).
F1
y = F1(x) + F2(x) = FЭ(x)
x
F2
Рис. 1.47. Параллельное соединение нелинейных элементов
y
F2(x)
F1(x)
1
–1
1
x
–1
Рис. 1.48. Пример сложения нелинейных характеристик
x
e
y
F1
z
F2
Рис. 1.49. Нелинейная система с отрицательной обратной связью
29
Для системы выполняются соотношения
­ x F1 (d);
°
®y F2 (x);
° d w y.
¯
Таким образом,
x F1 (w F2 (x)).
Если для F1 существует обратная нелинейность, тогда
w F2 (x) F11 (x);
w
F11 (x) F2 (x) FÛ1 (x).
Следовательно, если FЭ существует, то ее можно получить как
обратную характеристику для F11 (x) F2 (x).
Если существует обратная функция и для F1, и для F2, то для
структуры на рис. 1.49 справедливо:
F2 (x) w F11 (x)
Ÿ
x F21 (w F11 (x)).
Система с обратной связью преобразуется к виду, показанному
на рис. 1.50.
Один из блоков F1 или F2 может быть линейным динамическим
звеном.
Пример 1.5. Пусть в системе с обратной связью
F1 (r)
5r
;
r 1
F2 (t) t2 .
F11 (r)
r 1
;
5r
F21 (t) t0,5 .
Тогда
x
e
F2–1
y
z
F–1
1
Рис. 1.50. Преобразование системы с отрицательной обратной связью
30
На рис. 1.51 приведены блок-схемы исходной и преобразованной
системы в Simulink MatLab. Выходные сигналы обеих схем совпадают.
Рассмотренный прием, когда нелинейности в контуре с обратной
связью меняются местами, а их характеристики заменяются на обратные, может иногда упростить структуру системы.
1
5s
s+1
Constant
Add
Transfer Fcn
Scope
u2
Math
Function
sqrt
Add1
Math
Function1
1
5s
Add2
Transfer Fcn1
0.2
Gain
Рис. 1.51. Пример преобразования системы с обратной связью
1
Constant
Add
Lookup Table
Scope
50s
5s + 1
Transfer Fcn
5s + 1
50s
Transfer Fcn1
Рис. 1.52. Пример упрощения структурной схемы
31
Пример 1.6. Рассмотрим систему с обратной связью, где статическая нелинейность имеет большой коэффициент усиления
(рис. 1.52).
Обратная нелинейность здесь будет иметь малый коэффициент
усиления, и ей можно пренебречь, так что обратная связь устраняется.
1.4. Примеры нелинейных систем
Математическое описание
процесса торможения автомобиля
При построении описания антиблокировочной системы автомобиля обычно используют следующие допущения [19]:
1. Динамика колес автомобиля идентична.
2. Масса автомобиля равномерно распределяется по всем 4 колесам.
3. Влияние трансмиссии и подвески автомобиля не учитывается.
Таким образом, может быть рассмотрена одноколесная модель
автомобиля в процессе торможения (рис. 1.53).
На рис. 1.53 приняты обозначения: MT – тормозной момент (Н·м);
Fx – продольная составляющая контактной силы колеса (Н); v – абсолютная скорость автомобиля (м/c); Z – угловая скорость колеса (рад/с); FN – сила реакции опоры (нормальная сила) (Н).
Уравнения движения автомобиля имеют вид
­ cZ(s)
Fw (s)q MT (s),
°J
cs
®
°¯lu (s) Fw (s),
где r – радиус колеса (м); J – момент инерции колеса (кг ·м2).
FN
v
MT
Z
Fx
Рис. 1.53. Модель тормозящего колеса
32
(1.1)
Продольная составляющая контактной силы определяется выражением
Fx = μ(s(t))FN,
(1.2)
где μ – коэффициент дорожного трения, s – продольное проскальзывание.
Нормальная сила получается по формуле
(1.3)
FN= mg,
где m – приведенная на одно колесо масса автомобиля (m = M/4, где
M – масса автомобиля); g – ускорение свободного падения.
Проскальзывание колеса определяется формулой
r(s)
uS (s)
u(s)
u(s) uZ (s)
u(s)
u(s) Z(s)q
.
u(s)
(1.4)
Таким образом,
Z(s)
u(s)
(1 r(s)).
q
При s = 0 наблюдается идеальное сцепление с дорогой, полное отсутствие скольжения. При s = 1 колесо заблокировано, происходит
неуправляемое скольжение.
На величину μ(s) влияют многие факторы: состояние дороги, погодные условия, состояние шины, скорость автомобиля.
На рис. 1.54 приведены примерные зависимости μ(s) для различных состояний дорожного покрытия.
Может быть использовано аналитическое описание коэффициента дорожного трения с помощью формулы
P(r) þ 1 dar br ,
(1.5)
где a, b и c коэффициенты, зависящие от состояния дорожного покрытия.
Например, для сухого асфальта значения коэффициентов:
a = 1,28, b= 23,99, и c = 0,52.
Для вычисления значения проскальзывания нужно иметь информацию об угловой и линейной скорости колеса. Измерение угловой скорости колеса с помощью датчиков является достаточно простой задачей. Однако точно измерить абсолютную скорость автомобиля в реальном времени сложно, что приводит к необходимости
использования оценок проскальзывания.
33
P(s)
1
0,8
1
0,6
0,4
2
0,2
3
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
s
Рис. 1.54. Зависимость дорожного коэффициента трения
от продольного проскальзывания: 1 – сухое дорожное покрытие;
2 – мокрое; 3 – скользкое
Для описания коэффициента дорожного трения может быть использована формула, учитывающая скорость движения автомобиля:
P(r,u)
Ï 1 d Ï r d
1
Ï2r
3
C4ru
.
(1.6)
Параметры, входящие в (1.6), приведены в табл. 1.
Рассмотрим производную продольного проскальзывания:
r(s) q
q Z(s)
(s) Z
u (s)
u(s)
u2 (s)
(s) 1 r(s) u(s)
q Z
u(s)
.
(1.7)
Таблица 1
Параметры для расчета коэффициента дорожного трения
Дорожное полотно
С1
С2
С3
С4
Сухой асфальт
1,029
17,16
0,523
0,03
Сухой бетон
1,1973
25,168
0,5373
0,03
Снег
0,1946
94,129
0,0646
0,03
Лед
0,05
306,39
0
0,03
34
Из (1.1), (1.2), (1.3) следует:
(s)
Z
lfP(r(s))q MT (s)
.
J
(1.8)
Подставляя (1.8) в (1.7), можно записать систему уравнений, описывающих динамику колеса при торможении:
­
q
1 § 1 r(s) q 2 ·
°°r(s) MT (s),
¨
¸ lfP(r(s)) ¨
¸
u
s
l
J
u
s
(
)
(
)J
®
©
¹
°
°̄u (s) fP r(s) .
(1.9)
Тормозной момент может быть описан упрощенно:
­ jP(s), jP(s) Mmax ;
MT (s) ®
¯ Mmax , jP(s) t Mmax ,
(1.10)
где k – константа торможения; P – давление, создаваемое тормозной
системой при прижатии колодки к тормозному диску: Mmax – максимальное давление в тормозной системе.
Более реалистично тормозной момент можно описать передаточной функцией с запаздыванием:
MT (r)
P(r)
dWr
jþ
.
rþ
(1.11)
Уравнения (1.5), (1.6) и (1.9–1.11) представляют собой модель динамики автомобиля при торможении.
Математическая модель ветрогенератора
Рассмотрим математическое описание ветроэнергетической
установки (ВЭУ) как объекта управления [20].
Кинетическая энергия Е, которой обладает воздушный поток, зависит от его массы и скорости и может быть определена по формуле
E
lu2
,
2
(1.12)
где m – масса воздушного потока; v – скорость ветра, м/с.
Поток воздуха в ветротурбине показан на рис. 1.55.
Секундный массовый расход воздуха m равен произведению
секундного расхода воздуха на плотность U воздушного потока.
35
S0
S1
S2
v0
v1
v2
Рис. 1.55. Поток воздушных масс в ветротурбине
Согласно закону сохранения энергии, масса воздушного потока
струи m0, протекающего через сечение S0, равна массе т1 данного
потока, протекающего через сечение S1, и массе данного потока,
протекающего через сечение S2, при условии если воздушный поток установившийся:
l0
l1
l US0u0
l2
bnmrs,
US1u1
US2u2 ,
где v2 < v1 < v0, S1 – площадь, ометаемая ветротурбиной, S0 и S2 –
площади поперечных сечений проходящего через ветротурбину ветрового потока соответственно до ветроколеса и за ним, U – плотность воздуха.
Это выражение называется уравнением неразрывности струи
воздушного потока, оно устанавливает взаимосвязь между сечением струи и скоростью ветра.
Мощность движущегося воздуха равна производной кинетической энергии:
Pvhmc
cE
cs
1
1
lu
USu3 ,
2
2
(1.13)
для круглого сечения соотношение (2) может быть записано в виде
Pvhmc
1
USR 3u3 .
2
(1.14)
Аэродинамическая мощность ротора:
P Wþdqn Z,
(1.15)
гдеWaero – аэродинамический момент вращения, приложенный к ротору ветром, и Z– угловая скорость ротора.
36
Коэффициент мощности ВЭУ (коэффициент использования энергии ветра) определяется как отношение аэродинамической мощности ротора к мощности ветра:
Co
P
Pvhmc
.
Коэффициент мощности Сp(O, E) – это функция, которая зависит
от двух наиболее важных параметров турбины O и E, где E – угол поворота лопастей, O – коэффициент, характеризующий работу винта
или быстроходность турбины.
Коэффициент Cp – один из главных параметров, характеризующих эффективность ВЭУ, он определяет среднюю выработку электроэнергии на конкретной установке.
Другим важнейшим параметром ВЭУ является коэффициент
быстроходности O, определяемый как отношение величины окружной скорости концов лопастей к действующему значению скорости
ветра:
ZR
O
,
(1.16)
u
где R – радиус окружности (м), ометаемой концевыми элементами
лопастей; Z – угловая частота (рад/с); v – скорость ветра (м/с).
Величина O находится в пределах 0,2–10. Для крупных ВЭУ
O > 1, для ВЭУ с большим количеством лопастей O | 3, для ВЭУ с тремя лопастями и большой скоростью вращения O | 6 – 10.
Момент вращения ротора:
Wb
jnos Z2 ,
(1.17)
где коэффициент kopt [4]:
max
jnos
Co
1
USR 3 3 ,
2
O*
где O* – это значение O, в котором достигается максимальный коэффициент мощности Cp.
Угловое ускорение ротора
Z
1
(Wþdqn Wb ),
J
(1.18)
37
где J – момент инерции ротора, а аэродинамический момент вращения описывается формулой
Wþdqn
1
USRCp (O, E)u2 ,
2
где
Cp (O, E)
Тогда
Wþdqn
Co (O, E)
O
.
Co (O, E) 2
1
USR
u .
O
2
(1.19)
Тогда, подставляя (1.17) и (1.19) в (1.18), получим выражение для
угловой скорости генератора
Z
§ C (O,E) Cmax
1
o
o
USR 3Z2 ¨
3
3
¨ O
2J
O*
©
·
¸.
¸
¹
(1.20)
Таким образом,
C max 3
0, ãïéæ Co (O, E) o
Z
O ;
O*3
! 0, ãïéæ Co (O, E) !
Z
C max
o
O3 .
O*3
Зависимость коэффициента мощности ветротурбины Сp от O и E
выражается в виде
где
§C
·
Co (O, E) C1 ¨ 2 C3E C4 ¸ d
© Oh
¹
1
Oh
C5
Oh
C6 O,
(1.21)
1
0,035
,
O 0,08E E3 1
где коэффициенты: C1 = 0,5176, C2= 116 , C3 = 0,4, C4 = 5, C5 = 21 и
C6 = 0,0068.
Используя (1.13–1.21), можно представить динамическую модель
ВЭУ в виде структуры, показанной на рис. 1.56.
38
На рис. 1.57 представлены зависимости коэффициента мощности турбины от быстроходности и угла наклона лопастей, найденные по формуле (10).
Cp(O, E)
O
u
E
E = f(Z)
y
Z
R
v
v3
0,5USR
y
2
u
P
Waero
1
Jp
u
Z2
Wc
u
k opt
Рис. 1.56. Блок-схема ветротурбины как объекта управления
Cp(O, E)
0,6
0,5
E=0
0,4
0,3
E = 10
0,2
E = 15
E=5
0,1
E = 20
0
–0,1
0
5
10
15
O
Рис. 1.57. Зависимость коэффициента мощности от O и E
39
Как показывает рис. 1.57, максимальное значение Сp = 0,48 достигается при E= 0 и O = 8,1.
1.5. Линеаризация в рабочей точке
Линеаризация – это замена исходной нелинейной модели линейной, близкой по решению к исходной модели в определенном диапазоне изменения начальных условий и параметров.
Рассмотрим нелинейное уравнение состояния
F(X,U),
X
где X и F – векторы размерностью [n u 1], U – вектор размерностью
[r u 1].
Пусть X0 – рабочая точка нелинейной системы n-го порядка,
а U0 – постоянное значение входа, соответствующее этой точке.
Предположим, что появляется отклонение:
U U0 'U,
X X0 'X.
Тогда
c
'X
F(X 'X, U 'U).
(X0 'X) X
0
0
0
cs
Для j-й компоненты вектора X можно записать:
w i0 'w i
ei (X0 ,U0 ) wei
ww1
'w1 ... wei
wwm
'wm wei
wt1
't1 ... Поскольку
w i0
ei (X0 ,U0 ),
получаем
'w i
wei
ww1
'w1 ... wei
wwm
'wm wei
wt1
't1 ... Для всех компонентов вектора X:
A'X B'U,
'X
40
wei
wtq
'tq .
wei
wtq
'tq .
где
ª we1
« ww
« 1
« we2
A «« ww1
« ...
«
« wem
«¬ ww1
we1
ww2
we2
ww2
...
wem
ww2
we1 º
wwm »
»
we2 »
...
wwm »» ,
... ... »
»
wem »
...
wwm »¼
...
ª we1
« wt
« 1
« we2
B «« wt1
« ...
«
« wem
«¬ wt1
we1
wt2
we2
wt2
...
wem
wt2
we1
wtq
we2
...
wtq
... ...
wem
...
wtq
...
º
»
»
»
».
»
»
»
»
¼»
Эти матрицы называются якобианами.
Для удобства записи обычно вместо 'X используют X, а вместо
'U – U:
AX BU,
X
где под X понимаются отклонения переменных состояния от их
установившихся значений, а под U – отклонения входных воздействий.
Cистема «шарик на планке»
Рассмотрим линеаризацию модели системы «шарик на планке».
Эта модель имеет большое практическое значение, поскольку переходные процессы здесь подобны динамике самолета при взлете и посадке, а также при движении в турбулентной зоне.
Рассмотрим математическую модель объекта управления. Введем обозначения: T – угол наклона желоба, m – масса шарика, r –
радиус шарика, p – координата вдоль оси желоба, l – длина планки,
J1 и J2 – моменты инерции планки и шарика, W – управляющий момент.
Схема сил, действующих в системе, показана на рис. 1.58.
Рассмотрим использование метода Лагранжа для описания динамики системы на примере уравнения
c § wL · wL
¨
¸
cs © wp ¹ wp
Q,
где L=K – U – функция Лагранжа (K – кинетическая, U – потенциальная энергия системы), q – обобщенные координаты, Q – моменты
сил, приложенных к системе.
41
x
D
p
v
W
mg
y
T
0
Рис. 1.58. Схематическое изображение системы «планка – шарик»
Будем использовать две координаты: p – отклонение шарика от
начала планки и T – угол наклона планки. В системе присутствует
только один момент силы W, вращающий планку относительно места крепления.
Таким образом,
­ c § wL · wL
° ¨
¸
° cs © wo ¹ wo
®
° c § wL · wL
° cs ¨© wT ¸¹ wT
¯
0,
(1.22)
W,
Вращательная кинетическая энергия планки
1 2
J1T ,
2
K1
где J1 – момент инерции планки.
Будем считать, что r << l, тогда кинетическая энергия шарика
относительно планки
K2
1
1
J2D 2 lu2 ,
2
2
где J2 – момент инерции шарика, D и v – угловая и линейная скорость шарика.
D
где r – радиус шарика.
42
o
,
q
В соответствии с рис. 1.58,
u2
(w )2 (x )2 ,
w o cos T,
o cos T oT sin T,
w
(w )2
( o )2 cos2 T 2 oo T cos T sin T o2 (T )2 sin2 T,
x o sin T oT cos T,
(x )2
( o )2 sin2 T 2 oo T cos T sin T o2 (T )2 cos2 T.
Откуда следует:
u2
o 2 o2 T 2 .
Таким образом,
K2
1 § J2
1
·
l ¸ o 2 lo2T 2 .
¨
2 © q2
2
¹
Потенциальная энергия системы
U lfo sin T,
где g – ускорение свободного падения.
Лагранжиан системы:
L
K1 K2 U
1 § J2
· 2 1
2
2
¨ 2 l ¸ o lo J1 T lfo sin T.
2© q
2
¹
Рассмотрим 1-е уравнение (1.22):
wL
wo
§ J2
·
¨ 2 l ¸ o ,
©q
¹
c § wL · § J2
·
o,
¨ ¸ ¨ 2 l ¸ cs © wo ¹ © q
¹
wL
wo
loT 2 lf sin T.
Окончательно уравнение Лагранжа для 1-й координаты принимает вид
§ J2
·
o lf sin T loT 2 .
¨ 2 l ¸ ©q
¹
(1.23)
43
Рассмотрим 2-е уравнение (1.22):
wL
lo2 J1 T ,
wT
c § wL ·
2
¨
¸ 2loo T lo J1 T,
cs © wT ¹
wL
lfo cos T.
wT
Окончательно получаем:
lo2 J1 T 2loo T lfo cos T
W.
(1.24)
Таким образом, нелинейная модель динамики системы имеет
вид
­ lo2 J T lfo cos T W,
1 T 2loo
°°
®§ J
·
°¨ 2 l ¸ o lf sin T loT 2 .
2
¹
¯°© q
(1.25)
Введем переменные состояния:
ª w1 º
«w »
2
X « »
« w3 »
« »
¬ w4 ¼
ª oº
« o »
« ».
«T»
«»
¬« T ¼»
Тогда из (1.25) следует:
ª w1 º
« »
« w2 »
X
« w 3 »
« »
¬ w 4 ¼
44
w2
ª
º
«
»
2
l w1w4 f sin w3
«
»
«
»
J2
«
»
l
«
» F X, W q2
«
»
w4
«
»
« 2lw1w2 w4 lfw1 cos w3 W »
«
»
lw12 J1
«¬
»¼
ª e1 (X, W) º
«
»
« e2 (X, W) » . (1.26)
« e3 (X, W) »
«
»
¬ e4 (X, W) ¼
Рассмотрим линеаризацию (1.26):
A
wF(X, W)
wX
ª 0
«
2
« lw4
« J2
« 2 l
«q
« 0
«
« we4
« ww1
¬
1
0
0
0
2lw1w4
lw12 J1
lf cos w3
J2
l
q2
0
lfw1 sin w3
lw12 J1
0
º
»
2lw1w4 »
»
J2
l »
2
q
»,
»
1
»
2lw1w2 »
lw12 J1 »¼
где
we4
ww1
2lw2 w4 lf cos w3 lw12 J1 2lw1w2 w4 lfw1 cos w3 W B
lw12
wF(X, W)
wW
J1
2
.
0
ª
º
«
»
0
«
»
«
».
0
«
»
1
«
»
« lw2 J »
1¼
¬ 1
Пусть рабочая точка имеет координаты состояния X0 = [p0 0 0 0]T,
тогда
0
ª
«
«
0
«
A «
«
0
«
« lf
«
«¬ lo02 J1
1
0
0
0
0
0º
»
lf
0»
J2
»
l
»,
q2
»
0
1»
»
0
0»
»¼
0
ª
º
«
»
0
«
»
»,
0
B «
«
»
1
«
»
« lo2 J »
1¼
¬ 0
T
ª1 º
«0 »
C « » .
«0 »
« »
¬0 ¼
Таким образом, получено линеаризованное описание динамики
в пространстве состояний, которое зависит от рабочей точки по длине планки. Это описание может быть использовано для синтеза модального регулятора.
45
Конический танк
В химической и пищевой промышленности часто используются танки (резервуары) для хранения и обработки жидкостей. Рассмотрим задачу управления уровнем жидкости в коническом танке
(рис. 1.59, где приняты обозначения: Fin и Fout – входной и выходной
поток жидкости (м3/c); H и R – высота и максимальный радиус танка (м); h – высота уровня жидкости (м)).
Уравнение баланса жидкости:
S
cg
cs
Fhm Fnts .
Уравнение Бернулли для выходного потока:
r 2fg
Fnts
ï g,
где s – площадь выходного отверстия, g – ускорение свободного падения, c – коэффициент расхода (коэффициент клапана).
Площадь конического танка на высоте h:
2
§ Rg ·
S¨
¸ .
© H¹
Подставляем в уравнение баланса:
S Sq 2
2
§ Rg · cg
S¨
¸
© H ¹ cs
Fhm ï g .
Откуда следует
cg
cs
þFhm
bþg 3/2 ,
g
Fin
R
H
h
Fout
Рис. 1.59. Модель конического танка
46
(1.27)
где
2
þ
1§ H ·
¨ ¸ .
S© R ¹
В нелинейном уравнении (1.27) входной переменной является
Fhm  [0, Fhm,lþw ].
Рассмотрим линеаризацию (1.27) в рабочей точке (hp, Fin,p).
Правая часть уравнения (1.27) содержит сумму двух нелинейных функций. Для 1-го слагаемого разложение в ряд Тейлора дает
Fhm
g
2
Fhm,o
go2
2Fhm,o
go3
g go go2 Fhm Fhm,o .
Аналогично для 2-го слагаемого:
g 1,5
go1,5 3
go
2
2,5
g go .
В установившемся режиме
Fhm,o
ïgo0,5 .
Введем обозначения для переменных отклонения:
x g go ,
t Fhm Fhm,o .
Тогда
Fhm
g
2
Fhm,o
go2
2Fhm,o go3 x go2t ïgo1,5 2ïgo2,5 x go2t;
g 1,5
go1,5 3 2,5
go
x.
2
Таким образом, из (1.27) получается линеаризованное уравнение
cg
bþ
þgo2t go2,5 x,
cs
2
После ввода обозначений:
K
2 0,5
go ;
ï
T
2 2,5
go .
bþ
47
Линейная модель приобретает вид
T
cx
cs
Kt x.
Этому дифференциальному уравнению соответствует апериодическое звено 1-го порядка с передаточной функцией:
W (r)
Y (r)
U (r)
K
.
Tr 1
Вопросы для самопроверки к разделу 1
1. В каком случае система управления является нелинейной?
2. Выполняется ли для нелинейных систем принцип суперпозиции?
3. Сколько точек равновесия имеет линейная динамическая система?
4. Сколько точек равновесия имеет нелинейная динамическая
система?
5. Почему для нелинейной системы невозможен частотный анализ?
6. Какие особые режимы движения может иметь нелинейная система?
7. Зависит ли устойчивость нелинейной системы от начальных
условий?
8. Могут ли меняться свойства управляемости или наблюдаемости нелинейной системы в разных точках ее фазового пространства?
9. Что представляет собой модель Гаммерштейна?
10. Что представляет собой модель Винера?
11. Выполняется ли принцип коммутативности для нелинейных
блоков?
12. Какие нелинейные элементы называются статическими?
13. Какие статические нелинейности чаще всего используются
при моделировании?
14. Что такое интегральное насыщение ПИД-регулятора?
15. С помощью какого нелинейного блока можно устранить эффект интегрального насыщения?
16. Какие статические нелинейности называются нечетно-симметричными?
17. Какие статические нелинейности называются четно-симметричными?
48
18. Какие нелинейные элементы называются динамическими?
19. Какие приемы можно использовать для устранения влияния
статической нелинейности?
20. Каким образом можно получить обратную нелинейность?
21. Как получить эквивалентную нелинейность при последовательном включении статических нелинейностей?
22. С помощью какой нелинейности, включенной параллельно,
можно устранить влияние нелинейности типа «насыщение»?
23. Можно ли поменять местами нелинейности в контуре с обратной связью?
24. Какая нелинейность требует описания при построении модели антиблокировочной системы автомобиля?
25. Какого рода нелинейности присутствуют в математической
модели ветрогенератора?
49
2. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
2.1. Фазовое пространство и фазовые траектории
Фазовое пространство системы образуется системой координат,
состоящей из регулируемой величины и ее производных. Каждая
точка фазового пространства соответствует некоторому состоянию
системы.
Метод фазовой плоскости позволяет наглядно исследовать системы 2-го порядка, для систем более высокого порядка его применение затруднительно, но можно рассматривать проекции фазового
пространства на плоскости.
Пусть объект управления описывается системой дифференциальных уравнений вида
­ cw(s)
°° cs
®
° cx(s)
°̄ cs
e1 ((w(s), x(s)),
(2.1)
e2 (w(s), x(s)),
где f1 и f2 – некоторые линейные или нелинейные функции.
Будем считать, что начальные условия для этой системы заданы:
x(0) = x0 и y(0)=y0.
Состояние системы в любой момент времени характеризуется
двумя значениями: x(t) и y(t).
Точка M(x, y) называется изображающей точкой – при изменении t от 0 до f изображающая точка на плоскости 0XY описывает
кривую – фазовую траекторию. Плоскость 0XY называется фазовой плоскостью.
Каждым новым начальным условиям {x0, y0} будет соответствовать на фазовой плоскости своя фазовая траектория. Фазовые траектории никогда не пересекаются.
Множество фазовых траекторий на фазовой плоскости называются фазовым портретом системы автоматического управления.
На фазовых траекториях часто указывают направление движения изображающей точки, которое определяется направлением фазовой скорости.
Значение правой части системы (2.1) в каждый момент времени
t t t0 определяют проекции скорости движения изображающей точки на оси координат 0X и 0Y соответственно.
50
y = dx/dt
x
Рис. 2.1. Направления движения на фазовой плоскости
Рассмотрим частный случай описания системы, когда
­ cw
°° cs x,
®
° cx e (w, x).
°̄ cs
(2.2)
Здесь координата у представляет собой скорость изменения координаты х, поэтому для изображающей точки справедливы утверждения (рис. 2.1):
– в верхней полуплоскости происходит движение слева направо,
потому что скорость y положительная и x растет;
– в нижней полуплоскости, наоборот, справа налево, так как
скорость отрицательная;
– ось х фазовые траектории пересекают под прямым углом, потому что при нулевой скорости имеет место максимум или минимум
величины х.
Фазовую плоскость также часто представляют в виде поля направлений, для построения которого используют метод изоклин.
2.2. Метод изоклин
Изоклиной называется линия в фазовом пространстве, которая
соединяет все точки с одинаковым наклоном фазовых траекторий.
Коэффициент наклона траектории, как следует из (2.1), можно
получить по формуле
j
cx(s)
cw(s)
e2 ((w(s), x(s))
.
e1 (w(s), x(s))
51
Фазовая траектория
D
Изоклина
D
Рис. 2.2. Пример изоклины
УголD между изоклиной и фазовой траекторией: D = arctg(k).
Рис. 2.2 иллюстрирует взаимосвязь фазовой траектории и изоклины.
Направление движения по фазовой траектории определяется
знаками производных по каждой из координат.
Для линейных систем изоклины представляют собой прямые,
которые пересекаются в одной точке.
Пример 2.1. Пусть динамика системы 2-го порядка описывается
уравнением
2x x t,
x
где u – управляющее воздействие (положим u = 1).
Запишем это уравнение в виде (2.1):
­ w1
®
¯w2
w2 ,
w1 2w2 1.
Коэффициент наклона фазовых траекторий (2.2):
j
w2
w1
w1 2w2 1
w2
Откуда следует:
w2
w1
1.
w2
w1
.
j 1
Используя это выражение, можно получить уравнения изоклин
для различных k (табл. 2.1).
52
Таблица 2.1
Семейство изоклин для линейной системы
k
–0,5
–1
0
0,5
1
f
D
–0,46
–0,78
0
0,46
0,78
S/2
f
x2 = –x1
x2 = –x1/1,5
x2 = –0,5x1
0
изоклина x2 = –2x1
Построить семейство изоклин можно с помощью следующей
MatLab-программы, результат выполнения которой показан на
рис. 2.3:
¿JXUH
hold on
for k=[-5 -2 -0.5 0 0.5 1 2 5]
x1=[-2:0.01:2]
x2=-x1./(k+1);
plot(x1,x2);
axis([-2 2 -2 2]);
grid
HQG
Пример 2.2. Рассмотрим нелинейную систему 2-го порядка:
­°w1 w12 w1w2 ,
®
2
°̄ w2 w2 w1 .
x2
2
1,5
1
0,5
0
–0 ,5
–1
–1 ,5
–2
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
x1
Рис. 2.3. Изоклины линейной системы
53
Коэффициент наклона фазовых траекторий:
j
w2
w1
w2 w12
Ÿ
w12 w1w2
w2
w12 jw12
.
1 jw1
В табл. 2.2 показаны уравнения некоторых изоклин.
Построим семейство изоклин (рис. 2.4) с помощью следующей
программы:
¿JXUH
hold on
for k=[-2 -0.5 0 0.5 1 2 5]
x1=[-2:0.01:2]
x2=(x1.^2-k.*x1.^2)./(1-k.*x1);
plot(x1,x2);
axis([-2 2 -2 2]);
grid
HQG
Таблица 2.2
Семейства изоклин для нелинейной системы
0
k
изоклина w2
0,5
2
w1 w2
1
w1
w12 w1 w2
2 w1
w1
2
f
2
w2 w12 ;
1 › w2
0
2
w1
w2
2w1 1
x2
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
Рис. 2.4. Изоклины нелинейной системы
54
2
x1
w2
w1
y
y0
M0
M1
x0
x
Рис. 2.5. Построение фазовой траектории по изоклинам
Таким образом, изоклины построить проще, чем фазовые траектории. В то же время фазовые траектории можно получить, зная
изоклины.
Для построения траектории выбирается начальная точка М0
с координатами x0, y0. Из этой точки проводится линия до пересечения со следующей изоклиной (точка М1) под углом, равным биссектрисе между углом наклона 1-й изоклины и 2-й изоклины. Аналогично строится участок фазовой траектории к следующей изоклине
и т. д. (рис. 2.5).
Совмещенное изображение изоклин и поля направлений для
примера 2.1 позволяет следующая программа
>[[@ PHVKJULG
x1dot = x2;
x2dot = -x1-2*x2+1;
TXLYHU[[[GRW[GRW
[ODEHO‘x _ 1’)
\ODEHO‘x _ 2’)
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨɞɥɹɩɪɢɦɟɪɚ
[x1, x2] = PHVKJULG(-2:0.25:2, -2:0.25:2);
x1dot = x1.^2-x1.*x2;
x2dot = -x2+x1.^2;
TXLYHU[[[GRW[GRW
[ODEHO‘x _ 1’)
\ODEHO‘x _ 2’)
Результаты представлены на рис. 2.6 и 2.7.
В пакете MatLab для получения фазовых траекторий можно использовать функцию ode45, которая выполняет численное интегри55
x2
2
1,5
1
0,5
0
–0 ,5
–1
–1 ,5
–2
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
x1
Рис. 2.6. Совмещение изоклин и поля направлений для линейной системы
x2
2
1,5
1
0,5
0
–0 ,5
–1
–1 ,5
–2
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
x1
Рис. 2.7. Совмещение изоклин и поля направлений
для нелинейной системы
рование указанного дифференциального уравнения по методу Рунге – Кутты 4-го порядка.
Пример 2.3. Рассмотрим уравнения движения математического
маятника (рис. 2.8, где m – масса груза, L – длина стержня, x – угол
отклонения маятника, F – возвращающая сила).
56
Уравнение движения маятника
без учета трения:
lþ F1
lf sin(w).
x
Линейная и угловая скорости
связаны соотношением
u k
Тогда
c2 w(s)
cs
2
l
cw
.
cs
F1
mg
f
sin w(s) 0.
k
Рис. 2.8. Математический
маятник
Сила сопротивления среды пропорциональна скорости:
F2
ju jk
cw
.
cs
Используем разложение функции sin в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки x0 = 0 и ограничимся первыми слагаемыми разложения:
sin(w) | sin(w0 ) cos(w0 )(w w0 ) sin(w0 )
(w w0 )2 2
cos(w0 )
w3
(w w0 )3 ... | w .
6
6
Таким образом,
c2 w(s)
cs
2
jk
cw f
f
w w3
cs k
6k
0.
Введем переменные состояния:
­°w1 w2 ,
®
3
°̄ w2 jkw2 f / k w1 f / 6k w1 .
Динамику маятника описывает MatLab-функция:
IXQFWLRQG SHQGXOXPW[
l = 1; k = 0.1; g = 9.81;
d = [x(2); -k*l*x(2)-(g/l)*x(1)+(g/(6*l))*x(1)^3];
57
Далее можно выполнить интегрирование и получить закон изменения переменных состояния во времени с помощью следующей
программы:
x=[0.75 0];
>7;@ RGHµSHQGXOXP¶, [0 10], x’);
plot(T,X);
grid;
Результат показан на рис. 2.9.
1,5
1
x
dx/dt
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t, c
Рис. 2.9. Изменение переменных состояния во времени
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Рис. 2.10. Фазовые траектории математического маятника
58
Для построения фазовых траекторий надо многократно задавать
начальные условия интегрирования:
¿JXUH
hold on
forWKHWD >@
[ >WKHWDWKHWD@
>W[@ RGH#SHQGXOXP>@[
plot(x(:,1),x(:,2));
HQG
axis([-0.5 0.5 -1 1]);
grid;
Результат представлен на рис. 2.10.
2.3. Особые точки на фазовой плоскости
В некоторых точках фазовой плоскости существуют нулевые
проекции вектора скорости:
­e1 ((w(s), x(s)) 0,
®
¯ e2 (w(s), x(s)) 0.
(2.3)
Такие точки называются особыми (англ. Singular Poin).
Для определения типа особой точки нелинейной системы применяется следующий прием: сначала исходные нелинейные уравнения линеаризуются в окрестности особой точки, затем определяются корни характеристического уравнения линеаризованной
системы и по виду корней определяется тип особой точки. При этом
особая точка нелинейной системы может занимать любое положение на плоскости, в то время как у линейной системы особая точка
находится в начале координат.
Рассмотрим возможные типы особых точек, анализируя значение полюсов линейной системы 2-го порядка:
AX.
X
Полюса (собственные значения) системы O1 и O2 являются решением уравнения
det OE A 0.
(2.4)
Это описание особых точек можно представить в виде табл. 2.3.
59
Таблица 2.3
Характеристика особых точек на фазовой плоскости
Im(Oi) = 0
O1, O2 < 0
устойчивый узел
O1, O2 > 0
неустойчивый узел
O1 < 0 < O2
седло
Im(Oi) z 0
Re(Oi) < 0
устойчивый фокус
Re(Oi) > 0
неустойчивый фокус
Re(Oi) = 0
центр
Узел – особая точка, через которую проходят фазовые траектории.
Центр – это точка, которую окружают замкнутые фазовые траектории (предельные циклы).
Фокус (спираль) – особая точка, которая является асимптотической для фазовых траекторий.
Седло – особая точка, соответствующая неустойчивому состоянию равновесия.
Решение (2.4) можно записать в виде
det OE A O þ11 O þ22 þ12þ21
O1,2
sq ( A) r
O2 sq ( A)O det( A) 0,
sq ( A) 2 4 det( A)
2
.
Таким образом, если выполняется условие
sq ( A) 2 4 det( A),
то собственные значения являются комплексными (здесь tr(A) –
след матрицы, то есть сумма ее диагональных элементов).
det(A)
Фокус
устойчивый
Фокус
неустойчивый
Центр
Узел
устойчивый
Узел
неустойчивый
tr(A)
Седло
Седло
Рис. 2.11. Описание динамики линейной системы 2-го порядка
60
Соотношение следа матрицы и ее детерминанта характеризует
тип особой точки (рис. 2.11).
Рассмотрим примеры особых точек линейных систем (табл. 2.4).
Точка притяжения фазовых траекторий системы называется аттрактором. Это может быть устойчивый узел или фокус.
Таблица 2.4
Типы особых точек
Пример
системы
Тип особой
точки
Фазовые траектории
3
2
A
O1
ª 3 1 º
« 1 1» ,
¬
¼
2;
O2
2
1
устойчивый
узел
0
–1
–2
–3
–3
–2
–1
0
1
2
3
0,8
0,4
ª5 0 º
A «
»,
¬0 5 ¼
O1
5;
O2
5
Неустойчивый
узел
0
–0,4
–0,8
A
O1,2
ª 1 3º
« 5 2 » ,
¬
¼
1,5 r 3, 84 i
Устойчивый
фокус
(спираль)
–0,8
–0,4
0
0,4
0,8
–0,4
–0,2
0
0,2
0,4
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
–0,5
61
Окончание табл. 2.4
Пример
системы
Тип особой
точки
Фазовые траектории
6
4
A
O1,2
ª 3 5º
« 5 6 » ,
¬
¼
4,5 r 4,77 i
2
Неустойчивый
фокус
(спираль)
0
–2
–4
–6
–6
A
ª 0 1º
« 2 0 » ,
¬
¼
O1,2
Центр
r1, 414 i
–4
–2
0
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–5 –4 –3 –2 –1 0
2
4
6
1
2
3
4
5
2
4
6
8 10
2
1.5
ª4 2º
A «
»,
¬1 3¼
O1
3,7;
O2
3,7
1
0.5
Седло
0
–0.5
–1
–1.5
–2
–10 –8 –6 –4 –2 0
Каждый аттрактор в фазовом пространстве системы имеет зону
притяжения, или бассейн аттрактора. Линии, разделяющие области притяжения аттракторов, называются сепаратрисами.
Если координаты аттрактора X*, то бассейн аттрактора B(X*) –
это множество таких начальных точек X0, что
B(X*) {X0 , lim F (s, X0 ) X*}.
62
Для линейной системы фазовая
плоскость однородна, она является
окрестностью одной особой точки.
x
k
Пример 2.4. Рассмотрим колебания груза на пружине (рис. 2.12,
m
где m – масса груза, k – коэффициент жесткости пружины, x – переРис. 2.12. Груз на пружине
мещение груза).
Динамика системы описывается линейным дифференциальным
уравнением:
jw 0.
lw
Введем переменные состояния:
­ w1
°
®
°̄w2
w w2 ,
j
w1.
l
Пусть m = 3, k = 2, тогда фазовые траектории можно получить
с помощью Matlab-программы:
IXQFWLRQ d=dxdt1(t,x)
d=[0*x(1)+1*x(2); -2/3*x(1)+0*x(2)];
¿JXUH
hold on
forWKHWD >@
[ >WKHWDWKHWD@
>W[@ RGH#G[GW>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
HQG
axis([-1 1 -1 1])
Результат показан на рис. 2.13, система имеет одну особую точку
типа «центр».
Пример 2.5. Рассмотрим динамику подвижной массы (тележка),
к которой прикреплены пружина и демпфер (рис. 2.14, где b – коэффициент демпфирования, k – коэффициент жесткости пружины, F –
внешняя сила (вход объекта), x – горизонтальная координата (выход)).
В соответствии со 2-м законом Ньютона можно записать уравнение динамики:
F jw aw .
lw
63
x1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x1
Рис. 2.13. Описание фазовой плоскости для груза на пружине
b
F
m
k
x
Рис. 2.14. Пример динамического объекта
Введем переменные состояния для описания свободного движения системы (F = 0):
w1 w w2 ,
­
°
j
a
®
°̄w2 l w1 l w2 .
Пусть m = 3, k =2, b = 3, тогда фазовые траектории принимают
вид, показанный на рис. 2.15.
Особой точкой здесь является устойчивый фокус.
64
x2
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
–0,1 –0,08 –0,06 –0,04 –0,02
0
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
x1
Рис. 2.15. Фазовые траектории для тележки с демпфером и пружиной
Пример 2.6. Рассмотрим динамику колебательного звена:
W ( o)
X(r)
U (r)
Z2m
r2 2[Zm r Zm2
,
где [ – безразмерный коэффициент затухания, Zn – собственная частота колебаний (частота при отсутствии затухания).
Свободное движение системы описывается уравнением
2[Zm w Zm2 w 0.
w
Введем переменные состояния:
­° w1 w2 ,
ª 0
«
ŸX
®
2
2
°¯w2 Zm w1 2[Zm w2
¬« Zm
1
º
» X AX.
2[Zm ¼»
Варианты фазовых портретов системы в зависимости от значений Z и [ приведены в табл. 2.5.
Пример 2.7. Математическая модель Лотки – Вольтерры (модель
«хищник – жертва») применима для описания динамических процессов в биологии, экономике, медицине и др. областях [5].
Модель Лотки – Вольтерры описывает взаимодействие двух видов – популяции хищников и популяции жертв.
65
Таблица 2.5
Варианты фазовой плоскости колебательного звена
[ 2, Zm
1
ª0 1º
« 1 4 » ,
¬
¼
A
O1
0,27;
O2
3,73
[ 0,5, Zm
2
A
ª0 1º
« 4 2» ,
¬
¼
O1
1 1,7 i;
O2
66
Устойчивый
фокус
1 1,7 i
[ 0, Zm
A
Устойчивый
узел
ª0
1
1º
« 1 0 » ,
¬
¼
O1
i;
O2
i
Центр
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–0,08 –0,04
0
0,04
0,08
–0,08 –0,04
0
0,04
0,08
0,4
0,8
–0,8
–0,4
0
Пусть x1(t) – численность жертв, x2(t) – численность хищников
в момент времени t. Тогда динамика видов описывается системой
уравнений
­ w1 þw1 aw1w2 ,
®
¯w2 bw2 cw1w2 ,
где a, b, c, d – положительные постоянные.
При описании системы использованы следующие положения:
1. При отсутствии хищников жертвы размножаются экспоненциально:
w1
þw1, откуда следует: w1 (s) w1 (0)dþs ,
где x1(0) – начальная численность популяции жертв.
Это так называемое уравнение Мальтуса.
2. При отсутствии жертв хищники вымирают согласно уравнению
w2
bw2 , откуда следует: w2 (s) w2 (0)dbs .
3. Слагаемые, пропорциональные произведению x1x2, описывают взаимовлияние популяций друг на друга.
Примем при моделировании следующие параметры: a = 2; b = 0,5;
c = 2; d = 0,2.
Рассмотрим особые точки системы:
­0 w1 (þ aw2 ),
®
¯0 w2 (b cw1 ).
Равновесие достигается в двух точках: (0, 0) и (c/d, a/b).
Для классификации особых точек рассмотрим якобиан системы:
ªþ aw2
J(w1, w2 ) «
¬ cw2
aw1 º
.
b cw1 »¼
В первой особой точке:
ªþ 0 º
J(0, 0) «
».
¬ 0 b ¼
J(0, 0) OI
þO
0
0
b O
(þ O)( b O).
67
Следовательно, собственные числа a и –c это седловая точка.
Во второй особой точке:
ab / c º
ª 0
.
J(b / c, þ / a) «
0 »¼
¬cþ / a
J(0, 0) OI
O
ab / c
cþ / a
O
O2 bþ.
Собственные числа: O1,2 r bþ . Особая точка является центром.
Рассмотрим динамику популяций лис и зайцев, которой соответствует модель Лотки – Вольтерры вида
­w1 0,16w1 0,004w1w2 ,
® ¯ w2 1,2w2 0,02w1w2 .
Построим фазовые траектории с помощью MatLab-программы:
IXQFWLRQ d=lotka3(t,x)
G >[[[[[[@
¿JXUH
hold on
for n=[10:10:120]
x0=[n n];
>W[@ RGH#ORWND>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
HQG
axis([20 120 0 160])
Результат приведен на рис. 2.16.
Координаты особой точки типа «центр»: (c/d, a/b) = (60, 40).
Рассмотрим динамику популяций во времени при одинаковой
начальной численности, равной 60:
¿JXUH
x0=[60 60];
>W[@ RGH#ORWND>@[
plot(t,x(:,1),t,x(:,2))
grid
Результат представлен на рис. 2.17.
68
x2
140
120
100
80
60
40
20
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
x1
Рис. 2.16. Динамика популяций лис и зайцев
80
70
x1
60
50
40
30
x2
20
0
10
20
30
40
50
t, шагов
60
70
80
90
100
Рис. 2.17. Динамика популяций во времени (x1 – лисы, x2 – зайцы)
69
2.4. Предельные циклы, бифуркации и хаос
Предельный цикл
Устойчивый режим периодических колебаний в нелинейной системе после завершения переходного процесса называется предельным циклом.
Пример 2.8. Рассмотрим уравнение Ван дер Поля
c2 x
2
cs
(x2 þ)
cx
x 0,
cs
где a – некоторая константа.
Запишем уравнение в форме Коши при a = 1:
­°
®
°̄w2
w1
w2 ,
1 w12
w2 w1.
Построим фазовый портрет (рис. 2.18) с помощью MatLabфункции:
IXQFWLRQG\ YGSW\
dy = [y(2); (1–y(1)^2)*y(2)–y(1)];
x2
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
x1
Рис. 2.18. Фазовый портрет системы Ван дер Поля при a = 1
70
¿JXUH
hold on
forWKHWD >@
[ >WKHWD@
>W[@ RGH#YGS>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
[ >WKHWD@
>W[@ RGH#YGS>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
HQG
Наличие устойчивого предельного цикла говорит о возможности
существования в системе автоколебаний.
Пример 2.9. Система с предельным циклом (рис. 2.19 и 2.20).
Scope
2
3
Constant
Subtract
s+1
Relay
Transfer Fcn
Transport
Delay
Рис. 2.19. Система релейного управления с задержкой
3
2,5
a
2
b
1,5
c
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t, с
Рис. 2.20. Переходные процессы в системе: a – входной сигнал;
b – выходной сигнал; с – выход реле
71
Бифуркации
Бифуркация – это качественная перестройка картины движения. Значения управляющего параметра, при которых происходит бифуркация, называют критическими, или бифуркационными.
Обычно интерес представляют бифуркации аттракторов. Бифуркации аттракторов подразделяют на мягкие и жесткие, также
называемые кризисами или катастрофами. Мягкие бифуркации
связаны с перестройкой самих аттракторов, но не затрагивают их
бассейнов притяжения. Жесткие бифуркации сопровождаются качественной перестройкой границ бассейнов притяжения.
Рассмотрим еще раз уравнение Ван дер Поля.
При изменении параметра а может происходить резкое изменение фазового портрета системы. Так, например, при –2 < a < 0 происходит переход к устойчивому фокусу (рис. 2.21).
Можно также показать, что при a = 0 фокус локально вырождается в центр. При a = 2 предельный цикл разрушается, и получается неустойчивый узел.
Бифуркация рождения устойчивого предельного цикла из неподвижной точки, то есть перерождения фокуса в центр, называется бифуркацией Хопфа.
x2
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
x1
Рис. 2.21. Фазовый портрет системы Ван дер Поля при a = –1
72
Пример 2.10. Рассмотрим систему
­°w1 P w12 ,
®
°̄ w2 w2 .
Особые точки системы при μ > 0:
­°0 P w12 , °­w1
Ÿ®
®
¯° w2
¯° 0 w2 .
P › w1
0.
P,
Для определения типа особых точек рассмотрим якобиан:
J( P ,0) OI
ª 2w1
J(w1, w2 ) «
¬ 0
0º
.
1»¼
ª 2 P
J( P ,0) «
¬« 0
0º
».
1¼»
2 P O
0
0
1 O
( 2 P O)(1 O).
Оба полюса отрицательные, следовательно, это устойчивый
узел.
ª2 P
J( P ,0) «
¬« 0
J( P ,0) OI
2 P O
0
0
1 O
0º
».
1¼»
(2 P O)(1 O).
Полюса имеют разные знаки, следовательно, это седловая точка.
На рис. 2.22 приведен фазовый портрет системы при μ = 1.
При уменьшении μ особые точки сближаются и при μ = 0 сливаются (рис. 2.23).
Можно также показать, что при уменьшении μ < 0 особые точки
исчезают.
Таким образом, μ = 0 является точкой бифуркации системы.
73
x2
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
x1
Рис. 2.22. Фазовый портрет системы при μ = 1
x2
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
Рис. 2.23. Слияние особых точек при μ = 0
74
2
x1
Хаос
В системах с одной степенью свободы, фазовым пространством
которых является двумерная плоскость, возможные динамические
режимы ограничиваются состояниями равновесия и предельными
циклами.
Явление хаоса может возникать у детерминированных нелинейных неустойчивых систем с размерностью N > 2.
Детерминированное поведение системы означает ее предсказуемость и воспроизводимость. Хаос, напротив, характеризуется непредсказуемостью и невоспроизводимостью.
Нелинейная система обнаруживает хаотическое поведение, если
при малых изменениях начальных условий они могут качественно
изменять свою динамику (эффект бабочки).
Хаотическое поведение означает неустойчивость фазовых траекторий системы, рост малого начального возмущения во времени и,
как следствие, непредсказуемость поведения системы на больших
временных интервалах.
В случайных процессах источником нерегулярности служат
внешние факторы (шумы, флуктуации). В хаотических процессах
нерегулярность происходит из свойств самой системы.
Таким образом, хаотическое поведение не эквивалентно случайному процессу. Хаос является детерминированным в том смысле,
что поведение хаотической системы полностью определяется входными параметрами, но даже малые ошибки измерения этих параметров приводят к невозможности предсказания поведения системы. Именно поэтому возникают такие сложности, например, при
составлении метеопрогнозов.
Пример 2.11. В качестве примера хаотического поведения рассмотрим динамику системы, заданной уравнением
0,1w w5 6 sin s.
w
На рис. 2.24 приведена модель системы.
На рис. 2.25 показаны переходные процессы в системе при близких начальных условиях.
Одной из базовых моделей детерминированного хаоса при внешнем гармоническом воздействии является осциллятор Дуффинга
с кубической нелинейностью, его уравнение имеет вид
Dw Ew Jw3 cos(Zs).
w
(2.5)
Осциллятор Дуффинга описывает различные физические процессы.
75
sin
Clock
Trigonometric
Function
6
Gain
Subtract
1
s
1
s
Integrator1
Integrator
0.1
Scope
Gain1
uv
5
Math
Function
Constant
Рис. 2.24. Блок-схема хаотической системы в Simulink MatLab
x (t)
3
2
1
1
0
–1
2
–2
–3
0
10
20
30
40
50
t, c
Рис. 2.25. Переходные процессы в хаотической системе:
1 – начальные условия: x = 2, dx/dt = 3; 2 – x = 2,01, dx/dt = 3,01
Пример 2.12. Колебательная система (рис. 2.26, где m – масса
груза, F1 – сила реакции пружины с нелинейной жесткостью, F2 –
сила трения).
Согласно 2-му закону Ньютона,
F1 F2 ,
lw
где сила реакции пружины F1 и сила трения F2 описываются формулами
F1
76
j0 w j1w3 ,
F2
j2 w .
Окончательно получаем уравнение вида (2.5):
w
j0
j
j
w 1 w3 2 w Ÿ
l
l
l
w
j2
j
j
w 0 w 1 w3
l
l
l
0.
Пример 2.13. Рассмотрим уравнения движения математического
маятника (см. пример 2.3).
c2 w(s)
cs
2
jk
cw f
f
w w3
cs k
6k
0.
Вводя обозначения: D = kl, E = g/l и J = –g/(6l), получаем (2.5).
На рис. 2.27 представлена модель системы при синусоидальном
входном воздействии.
F1
F2
M
x
Рис. 2.26. Колебательная система из груза и пружины
9.81
g
1
s
1
s
0.5
Integrator
Integrator1
Scope
l
Product
0.05
k
Sine Wave
Divide
Product1
3
const2
6
const
Divide1
Add
uv
Math
Function
Product2
Рис. 2.27. Блок-схема системы в Simulink MatLab
77
На рис. 2.28 и 2.29 представлены результаты моделирования при
амплитуде входного сигнала 0,5 м, частоте 10 рад/с и различных начальных отклонениях.
x(t), рад
0,015
0,01
0,005
0
–0,005
–0,01
–0,015
330
335
340
345
350
t, c
Рис. 2.28. Переходные процессы
при начальном отклонении маятника 0,5 рад
y(t)
0,015
0,01
0,005
0
–0,005
–0,01
–0,015
330
335
340
345
350
t, c
Рис. 2.29. Переходные процессы
при начальном отклонении маятника 0,25 рад
78
x
1
s
Subtract
Product
10
Integrator
d
XY Graph
25
ro
Subtract1
1
s
Product2
y
Subtract2 Integrator1
Product1
1
s
Subtract3
8/3
Constant2
z
Integrator2
Product3
Рис. 2.30. Блок-схема для моделирования аттрактора Лоренца
в Simulink MatLab
y
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
–20
–15
–10
–5
0
5
10
15
20
x
Рис. 2.31. Фазовые траектории хаотической системы Лоренца
79
Для хаотических систем характерно существование странных
аттракторов.
Странный аттрактор – сложное притягивающее множество
в фазовом пространстве размерности N > 2, допускающее возможность хаотического поведения динамических систем.
Рассмотрим так называемый аттрактор Лоренца для N = 3:
­ cw
° cs V(x w);
°
° cx
w(U y) x;
®
° cs
° cy
° cs wx Ey.
¯
ПустьV = 10, E = 8/3, U = 25.
Промоделируем систему Лоренца при этих параметрах (рис. 2.30).
На рис. 2.31 представлены проекции фазовых траекторий на
плоскость ZX.
Вопросы для самопроверки к разделу 2
1.Могут ли пересекаться фазовые траектории?
2.Что такое фазовый портрет динамической системы?
3.Чем отличается одна фазовая траектория от другой?
4.Что такое изоклина?
5.Как связаны изоклина и фазовая траектория?
6.Какую форму имеют изоклины линейной системы?
7.Как построить фазовую траекторию по изоклинам?
8.Что такое особая точка фазовой плоскости?
9.Сколько особых точек имеет линейная система?
10.Сколько особых точек имеет нелинейная система?
11.Какие существуют типы особых точек?
12.Чем определяется тип особой точки?
13.Как называется особая точка, через которую проходят фазовые траектории?
14.Как называется особая точка, которая является асимптотической для фазовых траекторий?
15.Как называется особая точка, соответствующая неустойчивому состоянию равновесия?
16.Как называется особая точка, которую окружают замкнутые
фазовые траектории?
80
17.Что такое аттрактор?
18.Какая особая точка может быть аттрактором?
19.Что такое бассейн аттрактора?
20.Что такое сепаратриса?
21.Какие динамические процессы описывает модель Лотки –
Вольтерры?
22.Что такое предельный цикл динамической системы?
23.Что такое бифуркация?
24.Чем отличаются мягкие бифуркации от жестких?
25.Какая бифуркация называется бифуркацией Хопфа?
26.Что такое хаотическое поведение динамической системы?
27.Возникает ли явление хаоса у детерминированных систем?
28.Поведение каких систем можно описать с помощью осциллятора Дуффинга?
81
3. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
3.1. Автоколебания в нелинейной системе
Метод гармонической линеаризации является приближенным
методом исследования автоколебаний нелинейных систем. Этим
методом можно определить условия возникновения и параметры
автоколебаний.
Автоколебания – это устойчивые собственные незатухающие
колебания в нелинейной системе с амплитудой и частотой, определяемые нелинейностью и внутренними параметрами системы.
Пример 3.1. Автоколебания в системе автоматического управления с нелинейностью типа «насыщение» (рис. 3.1 и 3.2).
Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных условий и
уровня внешних воздействий. В общем случае автоколебания в системе нежелательны, но иногда они могут являться рабочим режимом.
x(t)
Subtract
Saturation
4
1
s+1
s+1
Transfer Fcn
1
s
y(t)
Transfer Fcn1 Integrator
Scope
Рис. 3.1. Блок-схема нелинейной системы с автоколебаниями
y(t)
2
y(t)
1,5
x(t)
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
0
5
10
15
20
25
30
35
Рис. 3.2. Автоколебания в нелинейной системе
82
40
t, c
Пример 3.2. Рассмотрим задачу управления ориентацией спутника (рис. 3.3, гдеT – угол ориентации спутника, u – вращающий
момент, ПУ – подруливающие устройства).
Пусть m – момент, создаваемый двигателями (вход системы).
Тогда уравнение вращательного движения имеет вид
J
T(s) M (s),
где J – момент инерции спутника.
Математическую модель можно описать в виде
­ t,
T T* 0,
°
T ®
°t,
T T* ! 0,
¯
где T* – заданный угол ориентации, u = M/J – нормированный момент инерции.
Будем считать, что сигнал управления является константой, тогда система управления приобретает вид, показанный на рис. 3.4.
Фазовая плоскость описывается уравнением
­ w1 w2 ,
T tŸ®
¯w2 j ˜ sgn(w1 ).
T
ПУ1
ПУ2
u
Рис. 3.3. Задача управления ориентацией спутника
T*= 0
–T
u
k
T
–k
Рис. 3.4. Структура нелинейной системы управления
83
x2
3
2
1
0
–1
–2
–3
–3
–2
–1
0
1
2
3
x1
Рис. 3.5. Фазовые траектории
системы управления ориентацией спутника
Выполним моделирование фазовых траекторий с помощью программы MatLab:
IXQFWLRQ d=sat1(t,x)
d=[x(2); (2*sign(-x(1)))];
¿JXUH
hold
for n1=[-3:0.5:3]
x0=[n1 n1];
>W[@ RGH#VDW>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
HQG
axis([-3 3 -3 3])
grid
Результат представлен на рис. 3.5. Ось x1 = 0 является линией
переключения. В системе возникают незатухающие колебания.
3.2. Гармоническая линеаризация
Для определения возможности возникновения автоколебаний и
их параметров (амплитуды и частоты) требуется анализировать переходные процессы в нелинейной системе. Для этой цели используется метод гармонического баланса, в основе которого лежит метод
гармонической линеаризации (англ. Describing Function).
84
Метод заключается в замене нелинейного элемента эквивалентным линейным звеном. В качестве входного рассматривается синусоидальный сигнал, и тогда условием эквивалентности является
равенство амплитуд и фаз выходного сигнала эквивалентного звена
и первой гармоники выходного сигнала реального нелинейного элемента. Такое предположение справедливо, если линейная часть системы достаточно инерционна и не пропускает высшие гармоники.
Гармоническая линеаризация принципиально отличается от
обычной линеаризации, так как коэффициенты гармонически линеаризованного элемента зависят от амплитуды входного сигнала.
При гармонической линеаризации нелинейный элемент заменяется квазилинейным звеном, параметры которого определяются
при синусоидальном входном сигнале.
В основе метода лежат следующие допущения:
– система содержит только одну нелинейность;
– нелинейность является стационарной;
– линейная часть системы обладает свойствами фильтра низких
частот;
Пример 3.3. Рассмотрим кубическую нелинейность y = x3
(рис. 3.6).
Используя тождество тригонометрии
sin(3x) =3sin(x) – 4sin3(x),
sin3(x) = (3sin(x))/4 – sin(3x)/4,
можно записать:
x
w
A 3 3 sin(Zs) / 4 sin(3Zs) / 4 A sin(Zs)
.
Пренебрегая высокочастотной составляющей, окончательно получаем
3 A2
x
w N ( A)w,
4
где N(A) – аппроксимация нелинейности, зависящая от амплитуды
входного сигнала.
Asin(Zt)
F(x) = x3
A3sin3(Zt)
Рис. 3.6. Кубическая нелинейность при гармоническом входном сигнале
85
Пример 3.4. Рассмотрим нелинейность, описываемую уравнением Ван дер Поля:
P(w2 1)w w 0.
w
Нелинейность можно представить в виде блок-схемы, показанной на рис. 3.7.
Если имеются колебания с постоянными амплитудой А и частотой Z, то
w
A sin(Zs).
Тогда можно записать
t w2 w A 2 sin2 (Zs) AZ cos(Zs) A 3 Z
1 – cos(2Zs)
cos(Zs)
2
A 3Z
cos(Zs) cos(3Zs) .
2
Будем считать, что фильтр низких частот (ФНЧ на рис. 3.7) подавляет высокочастотную составляющую, тогда
t A 3Z
cos(Zs)
2
A2 c
A sin(Zs) 4 cs
A2 c
w .
4 cs
Передаточная функция нелинейности получает вид
t
w
A2r
4
N ( A, Z).
Модель нелинейности преобразуется к виду, показанному на
рис. 3.8.
Таким образом, справедливо уравнение
w
A sin Zs G ( iZ)t G ( iZ) N A, Z (w).
x2
–x
(..)2
s
P
u
r2
Pr 1
x
ФНЧ
Рис. 3.7. Модель нелинейности Ван дер Поля
86
G(s)
N(A,Z)
–x
2
P
u
A r
4
x
r2 Pr 1
Рис. 3.8. Преобразованная модель нелинейности Ван дер Поля
g=0
e = –y
N(A, Z) ≈ F
u
y
W(jZ)
Рис. 3.9. Нелинейная система управления
Откуда следует:
1 G ( iZ) N A, Z 0
Ÿ
1
P
A2 iZ
0.
2
4 iZ P iZ 1
(3.1)
Приравнивая нулю вещественную и мнимую часть (3.1), можно
получить параметры автоколебаний: A = 2, Z = 1.
Как показал рассмотренный пример, при гармонической линеаризации в системе надо выделить нелинейность F и линейную часть
W(jZ) (рис. 3.9).
Затем нелинейность F заменяется аппроксимирующей функцией N(A, Z), где А – амплитуда входного сигнала.
Тогда условие существования колебаний:
x W ( iZ)t | W ( iZ) N ( A)x Ÿ W ( iZ) 1
.
N ( A, Z)
Если N(A, Z) известна, то нелинейная система заменяется линейной, что позволяет использовать для анализа методы линейной ТАУ.
В линейной системе (при отсутствии входного сигнала) незатухающие колебания будут возникать лишь в том случае, когда она
находится на границе устойчивости.
Согласно критерию Найквиста, линейная система находится на
границе устойчивости, если АФХ разомкнутой системы проходит
через точку {–1, j0}.
87
Это условие описывается уравнением гармонического баланса:
W ( iZ) N ( A, Z)
1.
Если это уравнение не имеет положительных вещественных решений относительно А и Z, то режим автоколебаний не возникает.
Амплитуду и частоту автоколебаний можно найти, зная точку
пересечения кривой Найквиста и линии –1/N(A, Z) (обратный коэффициент передачи нелинейного элемента). Может быть также использован критерий Рауса – Гурвица.
Таким образом, первый шаг при оценке возможности автоколебаний заключается в построении аппроксимирующей функции
N(A, Z), для описания которой может быть использован ряд Фурье.
Пусть на вход нелинейного элемента подаются гармонические
колебания:
w A sin(Zs).
Тогда на выходе нелинейного элемента будет периодический, но
не гармонический сигнал, который можно представить в виде разложения в ряд Фурье:
f
e (w) þ 0 ¦ þm cos(mZs) am sin(mZs) ,
m 1
где Z = 2S/T и при симметричной нелинейной характеристике
a0 = 0.
Пренебрегая высшими гармониками, первые коэффициенты ряда
Фурье определяются соотношениями
2S
­
1
°þ1
e (w)cos(Zs)cZs,
S³
°°
0
®
2S
°
1
°a1 S ³ e w sin(Zs)cZs.
°̄
0
Тогда выход нелинейности описывается выражением
e (w) | þ1 cos(Zs) a1 sin(Zs).
Запишем последнее выражение в виде
þ
a
e (w) | 1 A cos(Zs) 1 AZsin(Zs).
A
AZ
88
Поскольку
cw
cs
получаем
c( A sin(Zs))
cs
AZ cos(Zs),
þ ·
þ ·
þ ·
§a
§a
§a
e (w) | ¨ 1 r 1 ¸ w ¨ 1 iZ 1 ¸ w ¨ 1 i 1 ¸ w.
AZ ¹
AZ ¹
A¹
©A
©A
©A
Таким образом,
e (w)
w
N ( iZ)
a1 iþ1
.
A
Для однозначной статической нечетной нелинейной характеристики:
a
N ( iZ) 1 .
A
Пример 3.5. Рассмотрим аппроксимацию идеального реле:
­ j, w ! 0,
F (w) ®
¯j, w 0.
При подаче на вход синусоидального сигнала: x(t) = Asin(Zt):
a1
1
S
2S
³ t w sin(T)cT
0
4
S
S/2
³
j sin(T)cT
0
§
S / 2·
¸
4j ¨
¨ cos Z
¸
S ¨
¸
0
©
¹
4j
,
S
гдеT = Zt.
2
Subtract1
Sign
Gain
16
Sine Wave
Subtract
2
0,1s + 1
Transfer Fcn3
2
pi
0,1s + 1
Transfer Fcn
Transfer Fcn1
Scope
Рис. 3.10. Сравнение выходов системы с нелинейностью
и ее аппроксимации
89
y(t)
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
t, c
Рис. 3.11. Система с нелинейностью (сплошная линия)
и ее аппроксимация (пунктир)
Следовательно,
N ( A)
4j
.
SA
Проверим полученный результат моделированием в MatLab
Simulink при k = 2, A = 0,5 (рис. 3.10).
Как показывает рис. 3.11, качество аппроксимации достаточно
высоко.
Пример 3.6. Аппроксимация нелинейности типа «насыщение»,
где ширина линейной зоны равна 2':
­ j', w ! ';
°
F (w) ®jw, ' d w d ';
° j', w '.
¯
Для синусоидального сигнала: x(t)=Asin(Zt) обозначим угол Tk
такой, что
w(s)
A sin(Tj ) ' Ÿ Tj
§'·
sin 1 ¨ ¸.
© A¹
Рис. 3.12 иллюстрирует работу нелинейности «насыщение».
90
y
y
S
–'
'
0
0
x
Tk
2S
Zt
0
x
Tk
S
2S
Zt
Рис. 3.12. Прохождение синусоидального сигнала
через блок «Насыщение»
Таким образом,
­ jA sin T, 0 d T d Tj ;
°
x(s) ®
S
Tj T d .
°̄j',
2
Тогда
a1
4j
S
4
S
Tj
³
0
S/2
³
x s sin(T)cT
0
A sin2 (T)cT 4'
S
4
S
S/2
³
Tj
Tj
³ jA sin(T) sin(T)cT 0
sin(T)cT
4
S
T/2
³ j' sin(T)cT
Tj
2·
§
2jA ¨
§'· '
§'·
1 ¨ ¸ ¸.
arcsin ¨ ¸ S ¨
© A¹ A
© A¹ ¸
©
¹
91
Аппроксимация нелинейности:
­ §
2·
° 2j ¨ arcsin § ' · ' 1 § ' · ¸,
° ¨
¨
¸
¨
¸
N ( A) ® S
© A¹ A
© A¹ ¸
¹
° ©
1, A d '
°̄
A ! ';
Описание некоторых типовых нелинейностей и их аппроксимаций сведено в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Аппроксимация типовых нелинейностей
Идеальное двухпозиционное реле
k
N ( A)
1
0
4j
SA
–k
Насыщение
k
–'
2
'
0
N ( A)
2j §
2 ·
¨ arcsin §¨ ' ·¸ ' 1 §¨ ' ·¸ ¸, A ! '
S ¨
© A¹ A
© A¹ ¸
©
¹
Зона нечувствительности
k
3
–'
'
0
N ( A)
2j § S
2·
¨ arcsin §¨ ' ·¸ ' 1 §¨ ' ·¸ ¸, A ! '
S ¨2
© A¹ A
© A¹ ¸
©
¹
Реле с зоной нечувствительности
k
4
–'
0
–k
92
'
N ( A)
4j
SA
2
§'·
¸ , A!'
© A¹
1¨
Окончание табл. 3.1
Реле с гистерезисом
k
5
–'
N ( A, Z)
'
0
–k
4j §
2
·
¨ 1 §¨ ' ·¸ i §¨ ' ·¸ ¸, A t '
SA ¨
© A¹
© A ¹¸
©
¹
Люфт
k
0
6
N ( A)
'
§ 2' · § 2' · ' § 1 ' · · i 4j' § ' 1 · , A t '
¨ arcsin ¨ 1 ¸ 2 ¨ 1 ¸
¨
¸¸
¨
¸
S© 2
A ¹
A ¹ A©
A¹¹
SA © A
©
©
¹
j§ S
Насыщение с зоной нечувствительности
k
–'
-a
0
'
a
7
N ( A)
2j §
2
2·
¨ arcsin §¨ þ ·¸ arcsin §¨ ' ·¸ þ 1 §¨ þ ·¸ ' 1 §¨ ' ·¸ ¸, A t þ
S¨
© A¹
© A¹ A
© A¹ A
© A¹ ¸
©
¹
Многие аппроксимирующие функции можно получить с помощью функции вида
)(D)
2§
2·
¨ arcsin D D 1 D ¸.
S©
¹
3.3. Определение амплитуды и частоты автоколебаний
Рассмотрим характеристическое уравнение
D( iZ, A) 1 W ( iZ) N ( A, Z)
0.
93
Для поиска параметров автоколебаний можно использовать аналитический или графоаналитический методы.
Аналитический метод предполагает представление этого уравнения в виде двух уравнений:
­°Re D( iZ, A) 0,
®
°̄Im D( iZ, A) 0.
Совместное решение этих уравнений позволяет найти A и Z.
Пример 3.7. Рассмотрим условия возникновения автоколебаний
в системе с идеальным реле. Пусть k = 1, а объект управления описывается передаточной функцией:
W (r)
3
r(r 1)2
.
Условие возникновения автоколебаний:
W ( iZ) 1
3
Ÿ
N ( A, Z)
iZ( iZ 1)2
SA
.
4
Решение преобразуется к виду
­° 3,8 2 AZ2 ;
­ A 1,9;
Ÿ®
®
3
°̄ AiZ AiZ 0; ¯ Z 1.
На рис. 3.13 показана схема для проверки полученного решения.
Начальные условия, выставляемые на интеграторе, не оказывают влияния на параметры автоколебаний.
Как следует из рис. 3.14, автоколебания имеют амплитуду около
1,9 и частоту примерно 1 рад/с (Z = 2S/T), что соответствует приведенному расчету.
3
Subtract
Sign
(s + 1)(s + 1)
1
s
Zero-Pole
Integrator
Scope
Рис. 3.13. Блок-схема нелинейной системы в MatLab Simulink
94
y(t)
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t, c
Рис. 3.14. Автоколебания в нелинейной системе
Пример 3.8. Рассмотрим систему, включающую линейную часть
и нелинейное звено «реле с гистерезисом».
Пусть звено имеет следующие параметры: k = 1,' = 0,2; тогда, в
соответствии с табл. 3.1, имеем
N ( A, Z)
2
§
·
4 ¨
§ 0,2 ·
§ 0,2 · ¸
1¨
i¨
¸
¸
SA ¨
© A ¹
© A ¹¸
©
¹
1
N ( A, Z)
1
N ( A, Z)
4 §
A 2 0,04 0,2i ·¸.
2 ¨©
¹
SA
·
SA2 §¨
1
¸.
4 ¨ A2 0,04 0,2 i ¸
©
¹
· A2 0,04 0,2 i
SA2 §¨
1
¸
4 ¨ A2 0,04 0,2 i ¸ A2 0,04 0,2 i
©
¹
S§
2
¨ A 0,04 0,2 i ·¸.
4©
¹
­ §
·
S§
1
2
·
°Re ¨ ¸ ¨ A 0,04 ¸,
4©
¹
° © N ( A, Z) ¹
®
·
1
0,2S
°Im § .
° ¨ N ( A, Z) ¸
4
¹
¯ ©
95
Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией:
W (r)
W ( iZ)
20
”Z2 2iZ 10
20
20
2
r 2r 10
.
”Z2 2iZ 10
”Z2 2iZ 10”Z2 2iZ 10
”20Z2 40 iZ 200
Z4 16Z2 100
­
°Re W ( iZ) °
®
°Im W ( iZ) °¯
.
200 ” 20Z2
Z4 16Z2 100
40Z
Z4 16Z2 100
,
.
Уравнение гармонического баланса:
W ( iZ) 1
.
N ( A, Z)
Приравниваем вещественные и мнимые части:
­ 200 ” 20Z2
° 4
° Z 16Z2 100
®
40Z
°
°¯ Z4 16Z2 100
S
§¨ A2 0,04 ·¸,
4©
¹
0,2S
.
4
(3.2)
Решая эти уравнения 4-й степени, можно получить Z и А.
Рассмотренный аналитический метод пригоден для систем не
выше 4-го порядка и для простейших статических нелинейностей.
Графоаналитический метод предполагает запись характеристического уравнения в виде двух уравнений:
1 W ( iZ) N ( A, Z)
1
­
° N ( A, Z) W ( iZ) ;
°
0Ÿ®
1
°W ( iZ) .
N ( A, Z)
¯°
Найдя точку пересечения этих двух графиков, можно определить частоту и амплитуду автоколебаний. Частота автоколебаний
96
определяется по частотной характеристике линейной части системы, а амплитуда – по характеристике нелинейного элемента в точке
пересечения.
Если пересечения графиков не существует, то автоколебания отсутствуют.
Пример 3.9. Рассмотрим пример системы с релейным регулятором (рис. 3.15):
Рассмотрим аналитическое решение:
W ( iZ) 1
3
Ÿ
N ( A, Z)
( iZ 1)3
2
SA ­° 0,26 A (3Z 1) 1,
Ÿ®
3
4
°̄0,26 A ( iZ 3iZ) 0.
Второе уравнение дает Z = 1,73, тогда А = 0,48.
Сравним полученные данные с данными графоаналитического
решения.
Построим годограф Найквиста и график обратного коэффициента передачи нелинейного элемента с помощью Matlab-программы:
hold on
A=0:0.01:20;
1 SL$
N1=-1./N;
SORWUHDO1LPDJ1
[ODEHOµ8 UHDO1¶\ODEHO‘jV=jimag(N)’ )
%W=zpk([],[-1 -1 -1],3);
Q\TXLVW:^`
w=0:0.01:10;
W = 3./((w*j)+1).^3;
SORWUHDO:LPDJ:
WLWOHµ1\TXLVWSORWH¶);
[ODEHOµ8 UHDO:¶\ODEHO‘jV=jimag(W)’ )
axis([-1 0 -0.5 0.5])
grid
x= –y
1
3
–1
y
r 1
3
Рис. 3.15. Система с релейным регулятором
97
jV
0,5
Nyquist plote
0,4
0,3
0,2
0,1
–1/N(A)
0
–0,1
–0,2
W
–0,3
–0,4
–0,5
–1
–0,9 –0,8 –0,7 –0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1
U
0
Рис. 3.16. Графики для определения параметров автоколебаний
в системе с релейным регулятором
Результат представлен на рис. 3.16.
Точке пересечения по диаграмме Найквиста соответствует частота 1,7. Это значение можно найти, выделив вещественную и мнимую часть передаточной функции W(jZ) и приравняв мнимую часть
нулю.
Для определения амплитуды автоколебаний воспользуемся формулой
W ( iZ)
1
Ÿ 0,375
N ( A, Z)
SA
Ÿ A | 0,48.
4
Пример 3.10. Рассмотрим графоаналитический метод, используя
данные примера 3.6.
N ( A)
4 §
A 2 0,04 0,2i ·¸, W (r)
2 ¨©
¹
SA
20
2
r 2r 10
Графики строит следующая Matlab-программа:
hold on
W=tf(20,[1 2 10]);
Q\TXLVW:
A=0:0.01:200;
1 SL$AVTUW$AM
98
.
N1=-1./N;
SORWUHDO1LPDJ1
[ODEHOµ8 UHDO1¶\ODEHO‘jV=jimag(N)’ )
axis([-1 0 -0.5 0])
Полученные графики приведены на рис. 3.17.
Графики имеют точку пересечения, следовательно, в системе
возможны автоколебания. По диаграмме Найквиста Z | 7,7 рад/c.
Подставляя это значение в первую формулу системы (3.2), получаем
A = 0,48.
На рис. 3.18 и 3.19 показана проверка полученного решения путем моделирования.
Как показывает рис. 3.19, параметры автоколебаний в системе
приближенно соответствуют данным, полученным графоаналитическим путем.
jV
0
Nyquist plote
–0,05
–0,1
–1/N(A)
–0,15
W
Frequency (rad/sec): 7,7
–0,2
–0,25
–0,3
–0,35
–0,4
–0,45
–0,5
–1
–0,9 –0,8 –0,7 –0,6 –0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1
0
U
Рис. 3.17. Графики для определения параметров автоколебаний в системе
с нелинейностью «реле с гистерезисом»
20
Step
s2 + 2s + 10
Subtract
Relay
Transfer Fcn
Scope
Рис. 3.18. Блок-схема в MatLab Simulink
99
y(t)
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
t, c
Рис. 3.19. Автоколебания в нелинейной системе
Пример 3.11. Рассмотрим релейное управление двигателем постоянного тока (ДПТ). Передаточная функция ДПТ по углу поворота вала имеет вид
W (r)
T(r)
U (r)
j
r (Jr a)(Lr R) j2
.
Пусть заданы параметры: R = 0,4; L = 0,001; k = 0,3; J = 0,1;
B = 0,1, тогда
Z(r)
0,3
W (r)
.
3
U (r) 0,0001r 0,0401r2 0,13r
Релейный закон управления обеспечивает подачу напряжения
±24 В в зависимости от знака ошибки. Следовательно,
N ( A)
4j
SA
96
.
SA
Следующая Matlab-программа строит диаграмму Найквиста и
аппроксимацию нелинейности.
hold on
A=0:0.01:20;
N = 96./(pi*A);
100
u10–4
Nyquist Diagram
Imaginary Axis
2
System: W
Real: –0,00579
Imag: –1,11e–005
Frequency (rad/sec): 36,4
1
0
–1
–2
–0,02 –0,015 –0,01 –0,005
0
0,005
Real Axis
0,01
0,015
0,02
Рис. 3.20. Определения параметров автоколебаний в системе с ДПТ
N1=-1./N;
SORWUHDO1LPDJ1
[ODEHOµ8 UHDO1¶\ODEHO‘jV=jimag(N)’ )
: WI>@>@
Q\TXLVW:
axis([-0.02 0.02 -0.0003 0.0003])
grid
Результат приведен на рис. 3.20.
Частота автоколебаний определяется непосредственно по диаграмме Найквиста (примерно 36,5 рад/с).
Для определения амплитуды автоколебаний воспользуемся формулой
SA
1
Ÿ W ( iZ)
W ( iZ)
.
N ( A, Z)
96
Согласно графику на рис. 3.20, |W(jZ)| | 0,006, тогда
A
0,006 ˜ 96
S
0,18.
Для проверки полученного решения выполним моделирование
(рис. 3.21 и 3.22, где использован метод Рунге – Кутты с постоянным шагом 0,000001 с).
101
0.3
24
Step
Subtract
Sign
0.0001s3 + 0.0401s 2 + 0.13s
Gain
Scope
Transfer Fcn
simout
To Workspace
Рис. 3.21. Система управления ДПТ в MatLab Simulink
Y(t), c
1
0,5
0
–0,5
–1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t, c
Рис. 3.22. Автоколебания при управлении ДПТ
3.4. Методы Гольдфарба и Коченбургера
Годограф Найквиста линейной части системы и график обратного
коэффициента передачи нелинейного элемента могут иметь несколько точек пересечения. Для того чтобы выяснить характер колебаний в
точках пересечения, применяют методы Гольдфарба и Коченбургера.
Метод Гольдфарба использует следующее правило: если при движении по характеристике нелинейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит пересечение АФЧХ линейной части
«изнутри наружу», то в этой точке будут автоколебания, в противном случае колебания неустойчивы.
Метод Коченбургера позволяет выполнить оценку устойчивости
колебаний по правилу: если при движении по характеристике не102
x= –y
1
-1
r 10 2 y
r 13
Рис. 3.23. Система управления с нелинейностью типа «реле»
линейного элемента в сторону увеличения амплитуды происходит
пересечение обратной АФЧХ линейной части «снаружи внутрь», то
в этой точке будут автоколебания, в противном случае – нет.
Пример 3.12. Рассмотрим систему с нелинейностью типа «реле»
(рис. 3.23).
Проверим возможность возникновения автоколебаний по правилу Гольдфарба с помощью MatLab-программы:
hold on
A=0:0.01:20;
1 SL$
N1=-1./N;
SORWUHDO1LPDJ1
[ODEHOµ8 UHDO1¶\ODEHO‘jV=jimag(N)’ )
Z W = ((w*j)+10).^2./((w*j)+1).^3;
SORWUHDO:LPDJ:
WLWOHµ1\TXLVWSORWH¶);
[ODEHOµ8 UHDO:¶\ODEHO‘jV=jimag(W)’ )
axis([-5 0 -0.2 0.2])
grid
Получившиеся графики представлены на рис. 3.24. Они имеют
две точки пересечения. По правилу Гольдфарба только левая точка
пересечения соответствует автоколебаниям, поскольку здесь пересечение АФЧХ линейной части происходит «изнутри наружу».
Пример 3.13. Рассмотрим систему с нелинейностью типа «насыщение» при k = 0,5, ' = 0,5 (рис. 3.25).
Построим годограф Найквиста линейной части системы и график обратного коэффициента передачи нелинейного элемента:
hold on
K=1
d=0.5;
A=0:0.01:20;
N = K/pi*(sin(d./A).^(-1)+(d./A.*sqrt(1-(d./A).^2)) );
N1=-1./(N*K);
103
SORWUHDO1LPDJ1
[ODEHOµ8 UHDO1¶\ODEHO‘jV=jimag(N)’ )
W = zpk([-10 -10],[-1 -1 -1],1);
Q\TXLVW:
WLWOHµ1\TXLVWSORWH¶);
[ODEHOµ8 UHDO:¶\ODEHO‘jV=jimag(W)’ )
axis([-3 0 -0.5 2])
grid
Результат представлен на рис. 3.26.
Пересечение АФЧХ линейной части «изнутри наружу» происходит на частоте Z | 3,37 рад/c. Следовательно, в системе возможны
автоколебания с такой частотой.
Проверим полученный результат моделированием в Simulink
MatLab (рис. 3.27 и 3.28).
В соответствии с рис. 3.28 период колебаний T | 2 с, что соответствует частоте на рис. 3.26.
jV
0,2
Nyquist plote
0,15
W(jZ)
0,1
0,05
–1/N(A)
0
–0,05
–0,1
–0,15
–0,2
–5
–4,5
–4 –3,5
–3 –2,5
–2 –1,5
–1 –0,5
0
U
Рис. 3.24. Проверка характера колебаний по Гольдфарбу
x = –y
–'
'
r 10 2
r 1 3
y
Рис. 3.25. Система управления с нелинейностью типа «реле»
104
jV
2
Nyquist plote
1,5
–1/N(A)
1
System: W
Real: –2,6
Imag: 0,131
Frequency (rad/sec): 3,17
0,5
0
W(jω)
–0,5
–3
–2,5
–2
–1
–1,5
–0,5
0
Рис. 3.26. Проверка характера колебаний для системы с насыщением
(s + 10)(s + 10)
Step
(s + 1)(s + 1)(s + 1)
Subtract
Saturation
Scope
Zero-Pole
Рис. 3.27. Блок-схема системы с нелинейностью «насыщение»
2,5
2
1,5
1
0,5
y(t) 0
–0,5
–1
–1,5
–2
–2,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t, с
Рис. 3.28. Установившиеся колебания
105
Вопросы для самопроверки к разделу 3
1. Что такое автоколебания в нелинейной системе?
2. От чего зависят параметры автоколебаний?
3. Для чего служит метод гармонической линеаризации?
4. Как влияют начальные условия на амплитуду автоколебаний?
5. В чем заключается принципиальное отличие гармонической
линеаризации от обычной линеаризации в рабочей точке?
6. Как формулируется условие эквивалентности линейного звена
нелинейному элементу?
7. Какой входной сигнал рассматривается при гармонической
линеаризации?
8. Сколько нелинейностей может иметь система при использовании метода гармонической линеаризации?
9. Могут ли меняться во времени параметры нелинейности в методе гармонической линеаризации?
10. Какое свойство должна иметь линейная часть системы при
использовании метода гармонической линеаризации?
11. Какое условие свидетельствует о возможности автоколебаний в нелинейной системе?
12. Сколько коэффициентов ряда Фурье используется при построении аппроксимирующей функции нелинейного элемента?
13. Какие аппроксимирующие функции зависят только от амплитуды входного гармонического сигнала?
14. Какие аппроксимирующие функции зависят и от амплитуды, и от частоты входного гармонического сигнала?
15. Как формулируется аналитический метод определения параметров автоколебаний?
16. Какие ограничения имеет аналитический метод определения
параметров автоколебаний?
17. Как формулируется графоаналитический метод определения
параметров автоколебаний?
18. Что позволяют определить методы Гольдфарба и Коченбургера?
19. Как формулируется метод Гольдфарба?
20. Как формулируется метод Коченбургера?
106
4. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
4.1. Варианты устойчивости нелинейной системы
Движение изображающей точки M(t) в фазовом пространстве системы иллюстрирует рис. 4.1.
Можно описать три варианта устойчивости системы:
1. Локальная устойчивость: если для любого H > 0 существует
такое значение G> 0, что
X(0) G Ÿ X(s) H, s t 0.
2. Локальная асимптотическая устойчивость: если система локально устойчива и
X(0) G Ÿ lim X(s) 0.
s of
3. Глобальная асимптотическая устойчивость: если система
асимптотически устойчива при любых начальных значениях:
lim X(s) 0, X(0)  R m .
s of
Могут быть использованы различные варианты норм:
X1
h
¦ wh2 ,
X2
X
¦ wh ,
h
sup wh .
f
h
x3, x4,… xn
H
G
0
M(t)
x2
x1
Рис. 4.1. Движение в пространстве координат состояния
107
Если рассматривать помимо начальных условий еще и входной
сигнал, то можно ввести определение внешней устойчивости, или
BIBO-устойчивости (англ. Bounded Input – Bounded Output – ограниченный вход – ограниченный выход).
Система BIBO-устойчива, если для любого H > 0 существуют такие G > 0 и Gu > 0, что из условия
­° tc(s) t(s) d Gt ,
s t s0 : ®
°̄ Xc(s0 ) X(s0 ) d G
следует
s t s0 : Xc(s) X(s) d H.
Например, система
y(t) = sin(t)
является BIBO-устойчивой, поскольку |y(t)| d 1 независимо от значения входного сигнала.
Аналогично система
y(t) = ex(t)
также BIBO-устойчива, так как при |x(t)| d B1 выполняется |y(t)| =
= d B2 = eB1.
Пример BIBO-неустойчивой системы:
y(t) = etx(t).
4.2. Первый метод Ляпунова
Устойчивость состояния равновесия нелинейной системы можно
исследовать по уравнениям первого приближения, полученным в результате линеаризации уравнений состояния в малой окрестности
точки равновесия. Это так называемый первый метод Ляпунова.
Рассмотрим нелинейную систему в пространстве состояний:
­ w1 e1 (w1, w2 ),
®
¯w2 e2 (w1, w2 ).
Линеаризация этой системы предполагает построение якобиана:
ª we1
« ww
J(w1, w2 ) « 1
« we2
« ww
¬ 1
108
we1 º
ww2 »
».
we2 »
ww2 »¼
Введем обозначения:
ª w1 º
ª e1 (w1, w2 ) º
X « » , F (X) «
».
¬ w2 ¼
¬e2 (w1, w2 ) ¼
Если задана рабочая точка X0, то линеаризованное описание системы в этой точке имеет вид
F (X) F (X0 ) J(X) X X0 .
При описании нелинейной системы в качестве рабочих выступают особые точки системы.
Пример 4.1. Нелинейная система 2-го порядка описывается уравнением
0,6w 3w w2 .
w
Построим изоклины системы:
­° w1 w2 ,
®
2
°̄w2 0,6w2 3w1 w1 .
Система имеет две точки сингулярности: (0, 0) и (–3, 0).
Якобиан системы:
0
1 º
ª
J(w1, w2 ) «
».
¬ 2w1 3 0,6 ¼
1 º
1 º
ª0
ª0
J(0, 0) «
, J(3, 0) «
»
».
¬ 3 0,6 ¼
¬3 0,6 ¼
J(0, 0) OI
O
1
3 0,6 O
(”O)(”0,6 ” O) 3 O2 0,6O 3.
Корни этого уравнения имеют отрицательную вещественную
часть, следовательно, точка (0, 0) – устойчивый узел.
J(3, 0) OI
O
1
3 0,6 O
(”O)(”0,6 ” O) 3 O2 0,6O 3.
Это уравнение имеет вещественные корни с разными знаками,
следовательно, это седловая точка.
109
Пример 4.2. Рассмотрим нелинейную систему:
­° w1 10w1 5w1w2 ,
®
2
°̄w2 3w2 w1w2 3w2 .
Якобиан системы:
ª10 5w2
J(w1, w2 ) «
¬ w2
5w1
º
.
3 w1 6w2 »¼
Рассмотрим особые точки системы:
­ 0 5w1 (2 w2 ),
®
¯0 w2 (3 w1 3w2 ).
Равенство выполняется в точках с координатами (0, 0), (0, 1) и
(3, 2).
Каждой особой точке соответствует свой якобиан:
ª10 0 º
ª5 0 º
ª0 15º
J(0, 0) «
, J(0, 1) «
, J(3, 2) «
»
»
».
¬ 0 3¼
¬1 3¼
¬2 6 ¼
Тип особой точки определяют собственные числа якобиана:
J(0, 0) OI
10 O
0
0
3O
(10 ” O)(3 ” O).
Собственные числа равны 10 и 3, следовательно, это неустойчивый узел.
J(0, 1) OI
5O
0
1
3 O
(5 ” O)(”3 ” O).
Собственные числа равны 5 и –3, следовательно, это седловая
точка.
J(3, 2) OI
O 15
2 6 O
–O(”6 ” O) 30 O2 ” 6O 30.
Собственные числа равны 3 r i 21 , что соответствует устойчивому узлу.
110
Таким образом, в окрестности рабочей точки (0, 0) систему описывают уравнения:
­ w1 10w1,
®
¯w2 3w2 .
В окрестности рабочей точки (0, 1):
­w1 5w1,
®
¯ w2 w1 3w2 3.
В окрестности рабочей точки (3, 2):
­ w1
®
¯w2
15w2 30,
2w1 6w2 6.
Пример 4.3. Рассмотрим систему с туннельным диодом (рис. 4.2).
Переходные процессы в схеме описывает система уравнений:
­ ctC
°C cs hD hL ,
°
chL
®t Rh
,
L tC L
°
cs
°
¯hD e (tD ).
Вводим переменные состояния x1 = uc = uD, x2 = iL:
­
w (s)
°
° 1
®
°w2 (s)
°̄
iL
R
1
(e (w1 ) w2 ),
Ï
1
(w1 (s) Rw2 t).
L
L
iC
iD
C
u
uC
uD
Рис. 4.2. Электрическая схема с туннельным диодом
111
Ток туннельного диода приближенно описывается формулой
hD
2
3
4
5
e (w1 ) 17,76tD 103,79tD
229,62tD
226,31tD
83,72tD
.
Построим график с помощью команд MatLab:
!!X !!L XXAXAXAXA
!!SORWXL
>> grid
Пусть R = 1,5, u = 1,2, тогда можно построить график:
hD
0,8 0,66tD .
Графическое решение дает следующие точки равновесия
(рис. 4.3):
X1 | (0,063, 0,757); X2 | (0,285, 0,61); X3 | (0,884, 0,21).
Выполним анализ особых точек:
­0 e (w1 ) w2 ,
Ÿ w2
®
¯0 w1 Rw2 t.
e (w1 )
t 1
w1.
R R
Якобиан системы:
ª we1
« ww
J(w1, w2 ) « 1
« we2
« ww
¬ 1
we1 º
ww2 »
»
we2 »
ww2 »¼
ª 0,5e(w1 ) 0,5 º
«
».
0,3»¼
«¬ 0,2
Таким образом, окрестностям точек X1, X2 и X3 соответствуют
линейные системы:
ª 3,598 0,5 º
ª1,82 0,5 º
ª 1,427 0,5 º
A(X1 ) «
, A(X2 ) «
, A(X3 ) «
»
»
».
¬ 0,2 0,3¼
¬ 0,2 0,3¼
¬ 0,2 0,3¼
Определим собственные числа этих систем с помощью команд
MatLab:
>> A1=[-3.598 0.5;-0.2 -0.3];
!!HLJ$
ans =
-0.3306
112
iD
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
uD
Рис. 4.3. Анализ точек равновесия туннельного диода
Оба собственные значения отрицательные, следовательно, это
устойчивый узел.
>> A2=[1.82 0.5;-0.2 -0.3]
!!HLJ$
ans =
1.7717
-0.2517
Собственные значения имеют разные знаки, следовательно, это
седловая точка.
!!$ >@
!!HLJ$
ans =
-1.3299
-0.3971
Это тоже устойчивый узел.
Построим фазовый портрет системы с помощью следующей
MatLab-программы:
IXQFWLRQ d=t _ diod(t,x)
G >[[A[A[A
-83.72*x(1).^5+x(2)); 0.2*(-x(1)-1.5*x(2)+1.2)];
¿JXUH
113
x2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–0,5
0
0,5
1
1,5
x1
Рис. 4.4. Фазовый портрет системы с туннельным диодом
hold on
for x1=[-0.5:0.05:1.5]
for x2=[-0.5:0.1:1.5]
x0=[x1 x2];
>W[@ RGH#W B GLRG>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
HQG
HQG
axis([-0.5 1.5 -0.5 1.5])
Результат представлен на рис. 4.4.
4.3. Прямой метод Ляпунова
Функции Ляпунова
Одним из широко применяемых методов теории управления для
анализа и синтеза сложных систем управления является второй
(или прямой) метод Ляпунова.
Метод основан на использовании скалярных функций, получивших название функций Ляпунова. Функции Ляпунова позволяют
оценить устойчивость и качество системы, а также синтезировать
алгоритмы управления, обеспечивающие заданные качественные
показатели процессов.
114
Для объекта, описанного системой дифференциальных уравнений
­ cw1
° cs e1 (w1, w2 ,...wm ,s),
°
°° cw2 e (w , w ,...w ,s),
2 1 2
m
(4.1)
® cs
°
...
°
cw
° m e (w , w ,...w ,s),
m 1 2
m
°̄ cs
функции f1, f2, ..., fn произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условию
f1 = f2 = ... = fn = 0 при х1 = х2 =…= хn = 0.
Поскольку в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производные равны нулю, можно ввести некоторую
функцию всех фазовых координат системы:
V(X) = V(x1, x2 ,…, xn),
где x1, x2 ,…, xn представляют собой отклонения переменных от
установившихся значений.
В каждой точке n-мерного фазового пространства V будет принимать определенное значение, а в начале координат будет равна
нулю.
Функция V называется знакоопределенной в некоторой области,
если в любых точках этой области функция V имеет определенный
знак и обращается в ноль только в начале координат.
Пример для системы третьего порядка:
V (X) w12 w22 w32 .
Очевидно, что V > 0 и V = 0 только при х1 = х2 = х3 = 0.
Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет
один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале
координат, но и в других точках данной области.
Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.
Например, функция
V (w1, w2 , w3 ) w12 w22
при n = 3 не является знакоопределенной, так как, оставаясь положительной при любых х1, х2 и х3, она может обращаться в нуль
115
не только в начале координат, но также и при любом значении x3.
Следовательно, это будет знакопостоянная (положительная) функция.
Функция
V = xl – x2
является знакопеременной, так как она положительна для всех точек плоскости справа от прямой xl = x2 и отрицательна слева от этой
прямой.
Произвольная функция V(X), которая обращается в ноль только
при х1 = х2 = … = хn = 0 и где х1, х2, …, хn – отклонения, в которых
записано уравнение движения системы, называется функцией Ляпунова.
Определим производную функции V по времени:
cV
cs
wV cw1 wV cw2
wV cwm wV cs
,
... ww1 cs ww2 cs
wwm cs
ws cs
(4.2)
где
wV cs
ws cs
0,
если V от t явно не зависит.
Подставим в (4.2) значения производных из (4.1), получим производную от функции Ляпунова по времени в виде
cV
cs
wV
wV
wV
e1 e2 ... em .
ww1
ww2
wwm
Таким образом, производная функции Ляпунова по времени, так
же как и сама V, является некоторой функцией отклонений.
Теорема Ляпунова
Второй метод Ляпунова (или прямой метод Ляпунова) не требует
нахождения решения дифференциального уравнения, он основан
на замене анализа решений нелинейных уравнений произвольного порядка на оценку свойств этих решений с помощью скалярной
функции переменных состояния.
Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. Если при
заданных в форме (4.1) уравнениях системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(x1, x2 ,…, xn),
116
чтобы ее производная по времени тоже была знакоопределенной
(или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V,
то данная система устойчива.
Значение функции Ляпунова можно интерпретировать как некоторое обобщенное расстояние между состоянием системы и положением равновесия. Уменьшение этого расстояния вдоль любой
фазовой траектории гарантирует устойчивость.
Теорема Ляпунова описывает достаточные условия устойчивости, то есть если функция Ляпунова найдена, то система устойчива,
иначе об устойчивости судить нельзя.
В качестве начала координат может рассматриваться любой аттрактор нелинейной системы с координатами X*. Можно ввести понятия функции Ляпунова и строгой функции Ляпунова.
Функция Ляпунова (знакоположительная):
V (X*) 0,
V (X) ! 0, X z X *.
cV (X)
d 0.
cs
Строгая функция Ляпунова:
V (X*) 0,
V (X) ! 0, X z X *.
cV (X)
0.
cs
При знакоопределенной производной функции Ляпунова
(строгая функция Ляпунова)
будет иметь место асимптотическая устойчивость. Различие
устойчивой системы и асимптотически устойчивой иллюстрирует рис. 4.5.
Пример 4.4. Пусть дана динамическая система:
­°w w3 wx,
®
3
2
°̄ x x w .
1
3
G
0
H
2
x(0)
Рис. 4.5. Иллюстрация определения
устойчивости: 1 – неустойчивая
система; 2 – устойчивая;
3 – асимптотически устойчивая
117
Точка равновесия системы находится в начале координат. Выберем функцию-кандидат:
V (w, x) w2 x2 .
Тогда
cV (w, x)
cs
wV cw wV cx
2w(w3 wx) 2x(x3 w2 ) 2w4 2x4 .
ww cs wx cs
Таким образом, V является строгой функцией Ляпунова, и точка
равновесия асимптотически устойчива.
Пример 4.5. Рассмотрим систему:
­° w1
®
°̄w2
w2 ,
w13 w23 .
Пусть
V (X)
V (X)
wV cw1 wV cw2
ww1 cs ww2 cs
w14 w22
.
4
2
w13 w2 w2 w13 w23
w24 .
Система устойчива, но не асимптотически.
Общей методики выбора функции Ляпунова не существует, то
есть при решении задачи можно взять несколько функций-кандидатов, не все из которых будут функциями Ляпунова.
Пример 4.6. Дана нелинейная система
­ w1
°
°
®w
° 2
°̄
w2 1 w13 ,
w14
2
1 w12
w2
1 w22
.
Выберем квадратичную функцию-кандидат:
V (X) w12 w22 .
На рис. 4.6 приведен график этой функции, построенный с помощью MatLab-программы:
x >@
y=x;
>;<@ PHVKJULG[\
z=X.^2 + Y.^2;
PHVK;<]
118
40
30
20
10
0
4
2
4
2
0
–2
0
–2
–4 –4
Рис. 4.6. График квадратичной функции Ляпунова
Тогда
V (X) 2w1 w2 1
w13
§
¨
w14
2w2 ¨ ¨ 1 w12
©
2w14 2w2 w14 2w2 w14
1 w12
2
2
·
w2 ¸
¸
1 w22 ¸
¹
2w22
1 w22
.
Здесь второе и третье слагаемые мешают оценить производную
как знакопостоянную.
Рассмотрим другой вариант функции Ляпунова (рис. 4.7):
V (X)
w12
1 w12
w22 .
§
·
¨ w1
¸
w13
V (X) 2 ¨
¸ w1 2w2 w2
2
2
¨ 1 w1
1 w12 ¸
©
¹
§
·
§
¨ w1
¸
¨
w13
w14
3
2¨
1
2
w
w
w
¸
¨
2
1
2
2
2
¨ 1 w1
¨ 1 w12
1 w12 ¸
©
¹
©
2
w14
2
1 w12
2
w22
1 w22
2
·
w2 ¸
¸
1 w22 ¸
¹
.
119
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
4
2
0
–2
–4
–2
0
2
4
Рис. 4.7. Вариант функции Ляпунова
b
F
M
k
x
Рис. 4.8. Нелинейная динамическая система
Это знакоопределенная функция, отрицательная во всех точках,
кроме начала координат. Следовательно, V – функция Ляпунова.
Метод функций Ляпунова имеет прямую аналогию с фундаментальным физическим законом: если энергия механической или
электрической системы непрерывно рассеивается, то система стремится к положению равновесия. Для иллюстрации этого положения рассмотрим физическую систему.
Пример 4.7. Рассмотрим систему из подвижной массы (тележка),
пружины и демпфера (рис. 4.8, где b – коэффициент демпфирования, k – коэффициент жесткости пружины, F – внешняя сила (вход
объекта), x – горизонтальная координата (выход)).
В отсутствие внешней силы динамику системы описывает уравнение
aw w j0 w j1w3 0,
lw
где b – коэффициент демпфирования (диссипации), k0 и k1 – коэффициенты пружины.
120
Кинетическая энергия пружины:
K
1
lw 2 .
2
Потенциальная энергия:
w
P
³ j0 w j1w
3
0
cw
1
1
j0 w2 j1w4 .
2
4
Выберем функцию-кандидат в виде суммы кинетической и потенциальной энергии:
1
1
1
lw 2 j0 w2 j1w4 .
2
2
4
V (w)
Тогда
j0 w j1w3 w w aw w a w 3 .
V (w) lww
Производная отрицательна при любых x, следовательно, V –
функция Ляпунова.
Обеспечение устойчивости замкнутой системы
С помощью функций Ляпунова можно описать закон управления динамической системой, обеспечивающий ее устойчивость.
Пример 4.8. Пусть дана динамическая система:
­°w 3w 2wx2 t,
®
3
°̄ x x x.
Требуется синтезировать обратную связь, обеспечивающую глобальную асимптотическую устойчивость.
Рассмотрим функцию-кандидат и ее производную:
V (w, x)
1 2
w x2 .
2
V (w, x) ww xx w 3w 2wx2 t x x3 x
3w2 x2 tw 2w2 x2 x4 .
121
В этом выражении три слагаемых всегда отрицательные, поэтому выберем закон управления в виде
t 2wx2 .
Тогда
V (w, x) 3w2 x2 x4 0, w z 0.
Следовательно, выбранное описание управления обеспечивает
устойчивость системы.
Пример 4.9. Рассмотрим динамическую систему:
­°w x3 ,
®
°̄ x t.
Для обеспечения глобальной асимптотической устойчивости
воспользуемся кандидат-функцией из предыдущего примера.
V (w, x) ww xx wx3 tx x(wx2 t).
Выберем
t wx2 x.
Тогда
V (w, x) x2 d 0.
Нетрудно заметить, что
V (w,0) 0,
w.
Поэтому асимптотическая устойчивость не обеспечивается.
Выберем другую функцию-кандидат:
V (w, x)
1 2 1 2
w x .
2
4
V (w, x) wx3 x3t x3 (w t).
Выберем
t w x.
Тогда
V (w, x) x4 d 0,
V (w,0) 0.
122
Однако если сравнить два варианта управления:
­° w x3 ,
°­ w x3 ,
æ ®
®
2
°¯x w x,
°¯x wx x
можно заметить, что во втором случае производная y обращается
в нуль только при x = y = 0, поэтому система стремится к началу
координат.
Организация контура адаптации
Рассмотрим адаптивную систему с эталонной моделью (рис. 4.9,
где y(t) и ym(t) – выход объекта и модели, g(t) – задающее воздействие, u(t) – сигнал управления, p(t) – параметры регулятора).
Модель выдает желаемый выход системы ym в ответ на входное
воздействие g. Параметры регулятора изменяются в соответствии
с ошибкой управления, так чтобы приблизить реальный выход объекта к желаемому выходу:
d(s) x(s) xl (s) o 0.
Описание механизма настройки может быть сделано с использованием аппарата функций Ляпунова.
Рассмотрим систему 1-го порядка:
x (s) þx(s) at(s).
xl (s) þl xl (s) al f(s).
Выберем закон управления в виде
t(s) T1 f(s) T2 x(s).
ym(t)
Модель
p (t)
g(t)
Регулятор
u(t)
Механизм
настройки
Объект
y(t)
Рис. 4.9. Адаптивная система с эталонной моделью
123
Следовательно,
d(s) x (s) xl (s) þx(s) a(T1 f(s) T2 x(s)) þl xl (s) al f(s)
þl xl (s) aT2 þ x(s) aT1 al f(s)
þl d(s) aT2 þ þl x(s) aT1 al f(s).
Если бы параметры объекта a и b были известны, то можно было
бы рассчитать идеальные коэффициенты закона управления:
T1
al
; T2
a
þl þ
.
a
Но так как a и b не известны, можно ввести в рассмотрение функции:
e1 (s) aT1 (s) al ; e2 (s) aT2 (s) þ þl .
Очевидно, f1(t) и f2(t) равны нулю, когда T1 иT2 принимают идеальные значения.
С учетом введенных переменных,
d(s) þl d(s) e2 (s)x(s) e1 (s) f(s).
Выберем функцию-кандидат в виде
V (d, e1, e2 )
1§
1 2 1 2·
¨ d(s) e1 e2 ¸.
2©
aJ
aJ ¹
Тогда
V
ª cd º
« cs »
«
»
wV ª wV wV wV º « ce1 »
1 ce
cd 1 ce
«
d e1 1 e2 2
»«
ws ¬ wd we1 we2 ¼ cs »
cs aJ cs aJ cs
« ce »
« 2»
¬« cs ¼»
1 ce
1 ce
þl d2 de2 x de1 f e1 1 e2 2
aJ cs aJ cs
§ 1 ce1
·
§ 1 ce2
·
þl d2 e1 ¨
df ¸ e2 ¨
dx ¸.
J
J
a
cs
a
cs
©
¹
©
¹
124
Таким образом, закон адаптации можно выбрать в виде
ce1
aJdf aT 1 Ÿ T 1 Jdf;
cs
ce2
aJdx aT 2 Ÿ T 2 Jdx.
cs
При этом обеспечивается
V þl d2 .
1
s+1
Transfer Fcn1
Subtract2
1
s
-1
Sine Wave
Product
Gain
Integrator1
Product2
12
s 2 + 2s + 1
Subtract1
0.5
Constant
Product1
Integrator
Scope
Transfer Fcn
1
s
Product3
Рис. 4.10. Блок-схема адаптивной системы в Simulink MatLab
y(t)
1,5
2
1
1
0,5
0
–0,5
–1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t, c
Рис. 4.11. Переходные процессы в адаптивной системе:
1 – выход эталонной модели; 2 – выход объекта
125
Поскольку am > 0, производная будет отрицательна. Следовательно, V – функция Ляпунова.
Этот результат был получен при условии, что и объект, и модель
являются системами 1-го порядка. Однако система может быть работоспособна и в случае, когда объект имеет более высокий порядок.
На рис. 4.10 и 4.11 приведен пример моделирования при J= 0,5
и синусоидальном входном воздействии для объекта, описываемого
передаточной функцией 2-го порядка.
4.4. Частотный критерий абсолютной устойчивости
Критерий устойчивости В. М. Попова
Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем, предложенный В. М. Поповым, является обобщением критерия Найквиста.
Абсолютной устойчивостью называется устойчивость системы
при любых начальных отклонениях для любой формы нелинейной характеристики, принадлежащей к одному из определенных
классов.
Нелинейности относятся к одному классу, если их характеристики f(x) располагаются в пределах сектора между осью абсцисс x
и прямой с угловым наклоном k (рис. 4.12).
Сектор [0, k] называют иногда гурвицевым углом.
Критерий определяет достаточное условие абсолютной асимптотической устойчивости замкнутой одноконтурной системы с единичной отрицательной обратной связью (рис. 4.13), которая содержит в прямом тракте линейную стационарную динамическую часть
и статическую нелинейность, параметры которой могут быть нестабильными, но не покидают пределы заданного сектора.
k
f(x)
x
Рис. 4.12. Секторальная нелинейность
126
g
u
e
f(e)
y
W(jω)
Рис. 4.13. Система с секторальной нелинейностью
Достаточность означает, что если критерий выполняется, то система устойчива, но при его невыполнении система может быть как
устойчивой, так и неустойчивой.
Пусть задана передаточная функция линейной части W и коэффициент k, определяющий размеры сектора для нелинейности:
­ e (0) 0,
Ÿ 0 d e (w) d j.
®
¯e (w) jw.
Пусть линейная часть системы устойчива и имеет АФХ:
W ( iZ) U (Z) iV (Z).
Критерий устойчивости В. М. Попова для системы с устойчивой
линейной частью формулируется следующим образом.
Чтобы невозмущенное движение системы было устойчиво в секторе [0, k], достаточно, чтобы существовало такое действительное
число q, при котором для всех Z t 0, при котором выполняется равенство
1
U (Z) pZV (Z) t .
j
Критерий допускает геометрическую интерпретацию с помощью
понятия модифицированной АФХ.
Модифицированная АФХ получается умножением мнимой части на Z:
V ( iZ) ZV (Z),
Тогда
W ( iZ) U (Z) iV (Z).
1
U (Z) pV (Z) t .
j
На плоскости проводится прямая Попова:
1
U (Z) pV (Z) .
j
127
Точки пересечения этой прямой с осями координат определяются условиями:
1
U 0, Ÿ V
;
jp
1
V 0, Ÿ U .
j
Таким образом, система устойчива, если ее АФХ лежит правее
прямой Попова (рис. 4.14).
В случае k o f прямая имеет вертикальный наклон, и нелинейность может быть только однозначной. Если же прямая наклонена,
то нелинейность может иметь гистерезис.
Таким образом, критерий абсолютной устойчивости нелинейных
систем В. М. Попова рассматривает, так же как и критерий Найквиста, АФХ разомкнутой системы. Различия критериев заключаются
в следующем:
– критерий Найквиста определяет только одну запретную точку
комплексной плоскости, критерий Попова – целую область, ограниченную прямой линией, проходящую через эту точку;
– критерий Найквиста формулирует необходимые и достаточные
условия устойчивости, а критерий Попова – только достаточные.
Вместе с тем АФХ Найквиста и модифицированная АФХ Попова
имеют одинаковые вещественные части, поэтому в обоих случаях
точка –1/k не должна охватываться.
Пример 4.10. Рассмотрим систему, у которой линейная часть
описывается звеном 3-го порядка:
W (r)
8
.
r
1
(
2
r
1)(3r 1)
jV
1
kq
–1/k
0
U
W(jZ)
Рис. 4.14. Пример абсолютно устойчивой системы
128
Построим годограф Найквиста и модифицированную АФХ с помощью следующей программы:
w=0:0.01:100;
W=8./((j*w+1).*(2*j*w+1).*(3*j*w+1));
8P UHDO:
Vm=imag(W);
Vm1=imag(W).*w;
plot(Um,Vm); hold;
plot(Um,Vm1);
grid;
[ODEHO‘U’);
\ODEHO‘jVU’);
Результат представлен на рис. 4.15. Обе кривые пересекают действительную ось в одной точке с координатой (–0,8, 0). Таким образом,
1
0,8 Ÿ j 1,25.
j
Рассмотрим статическую нечетно-симметричную нелинейность
(рис. 4.16).
Согласно рис. 4.16, k | 2. Система с такой нелинейностью должна
быть неустойчива. Проверим этот вывод моделированием (рис. 4.17
и 4.18).
jV
1
0
–1
2
–2
–3
–4
1
–5
–6
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
U
Рис. 4.15. Сравнение АФХ системы (1) и модифицированной АФХ (2)
129
f(x)
x
k =2
Рис. 4.16. Описание секторальной нелинейности
1
8
1
1
Constant
s+1
2s+1
3s+1
Transfer Fcn
Transfer Fcn1
Transfer Fcn2
Subtract
Lookup Table
Scope1
Рис. 4.17. Блок-схема системы с нелинейностью в MatLab
y(t)
4
3
2
1
0
–1
–2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
t
Рис. 4.18. Реакция на ступенчатое воздействие
Система неустойчива, так как не выполнено условие k d 1,25 и
прямая Попова не может быть определена.
130
Круговой критерий устойчивости
Круговой критерий устойчивости является расширением критерия Найквиста для систем с нелинейностями, так как здесь рассматривается АФХ линейной части системы. Этот критерий может
быть использован, если нестационарная нелинейность находится
в секторе с коэффициентами k1 и k2 (рис. 4.19).
Положение равновесия нелинейной системы с нестационарным
нелинейным элементом абсолютно устойчиво, если АФХ устойчивой линейной части не охватывает круга с центром на действительной оси, показанного на рис. 4.20.
Вопросы для самопроверки к разделу 4
1.Что такое локальная устойчивость нелинейной системы?
2.Что такое локальная асимптотическая устойчивость нелинейной системы?
3.Что такое глобальная асимптотическая устойчивость нелинейной системы?
f(x)
k1
k2
x
Рис. 4.19. Секторальная нелинейность при круговом критерии
jV
–1/k2
–1/k1
0
U
W(jZ)
Рис. 4.20. Иллюстрация кругового критерия устойчивости
131
4.В чем заключается идея первого метода Ляпунова?
5.Что такое якобиан?
6.Что такое знакоопределенная функция?
7.Что такое знакопостоянная функция?
8.Что такое знакопеременная функция?
9.В чем заключается идея прямого метода Ляпунова?
10.Как формулируется теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем?
11.Почему теорема Ляпунова описывает достаточные условия
устойчивости?
12.Существует ли методика выбора функций Ляпунова для
оценки устойчивости?
13.В чем заключается аналогия метода функций Ляпунова с
фундаментальными физическими законами?
14.Что такое секторальная нелинейность?
15.Какой класс нелинейных систем рассматривается в критерии
устойчивости Попова?
16.В чем заключается сходство критериев Попова и Найквиста?
17.В чем состоят различия критериев Попова и Найквиста?
18.Как описывается секторальная нелинейность в круговом
критерии устойчивости?
19.Как формулируется круговой критерий устойчивости?
132
5. УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
5.1. Системы с переменной структурой
Системы управления с переменной структурой позволяют использовать множество законов управления, определенных для разных точек фазового пространства. Рассмотрим простейший вариант, когда переключение происходит между двумя версиями закона
управления.
Пример 5.1. Пусть объект управления описывается передаточной функцией:
x(r) j
W (r)
.
w(r) r2
Варианты законов управления:
t1 (r) j1 (r);
t2 (r) j2 (r).
При замыкании системы единичной обратной связью получаем
два варианта описания свободного движения системы:
c2 x(s)
j1jx 0;
cs
c2 x(s)
j2jx 0.
cs
Фазовые траектории при k = 2, k1 = 4, k2 = 25 показаны на рис. 5.1.
При обоих вариантах управления в системе возникают автоколебания.
Опишем переключательный закон управления в виде
­ j1x,
t(s) ®
¯j2 x,
xx d 0;
xx ! 0.
Построим фазовые траектории с помощью MatLab-программы:
IXQFWLRQ dy = dxdt61(t,y)
if\\!G\ >\\@HOVH dy = [y(2); -2*0.25*y(1)];
HQG
¿JXUH
hold on
forWKHWD >@
[ >WKHWDWKHWD@
133
>W[@ RGH#G[GW>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
HQG
axis([-1 1 -1 1])
grid
Результат представлен на рис. 5.2.
x2
1
0,8
0,6
k1 = 4
k2 = 0,25
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1
–0,8 –0,6 –0,4 –0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x1
Рис. 5.1. Фазовые траектории при различных законах управления
x2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x1
Рис. 5.2. Фазовые траектории для переключательной структуры
134
Анализируя рис. 5.2, можно заметить, что в I и III квадрантах
фазовой плоскости движение происходит по первому закону управления, а во II и IV – по второму закону управления.
5.2. Релейный закон управления и его модификация
Релейный закон управления описывается формулой
t(s) j ˜ sgn (d(s)),
где u(t) и e(t) – сигналы управления и ошибки, k – заданная константа.
Основным достоинством релейного управления является высокое быстродействие, однако при этом возможно возникновение автоколебаний.
Пример 5.2. Рассмотрим задачу управления ориентацией спутника (рис. 5.3, где T – угол ориентации спутника, u – вращающий
момент, ПУ – подруливающие устройства).
Пусть m – момент, создаваемый двигателями (вход системы).
Тогда уравнение вращательного движения имеет вид
J
T(s) l(s),
где J – момент инерции спутника.
Математическую модель можно описать в виде:
­ t,
°
T ®
°t,
¯
T T* 0,
T T* ! 0.
где T* – заданный угол ориентации, u = m/J – нормированный момент инерции.
T
ПУ1
ПУ2
u
Рис. 5.3. Задача управления ориентацией спутника
135
T*= 0
–T
k
u
–k
1
s
.
T
1
s
T
Рис. 5.4. Структура нелинейной системы управления
Будем считать, что сигнал управления является константой, тогда система управления приобретает вид, показанный на рис. 5.4.
Фазовая плоскость будет состоять из двух семейств кривых. Первое семейство описывается уравнением
­ w1 w2 ,
T tŸ®
¯w2 j ˜ sgn(w1 ).
Выполним моделирование фазовых траекторий с помощью
MatLab-программы:
IXQFWLRQG VDWW[
d=[x(2); (2*sign(-x(1)))];
¿JXUH
for n1=[-3:0.5:3]
x0=[n1 n1];
>W[@ RGH#VDW>@[
plot(x(:,1),x(:,2))
HQG
axis([-3 3 -3 3])
grid
Результат представлен на рис. 5.5.
На рис. 5.5 ось x1 = 0 является линией переключения. В системе
возникают незатухающие колебания.
Для улучшения динамики системы здесь можно использовать
обратную связь по скорости (рис. 5.6, где m – коэффициент усиления датчика скорости).
Соответственно меняется MatLab-функция:
IXQFWLRQ d=sat2(t,x)
d=[x(2); 2*sign(-x(1)-0.5*x(2))];
Описание фазовых траекторий приобретает вид
­ w1 w2 ,
T tŸ®
¯w2 j ˜ sgn(w1 lw2 ).
136
x2
3
2
1
0
–1
–2
–3
–3
–2
–1
0
1
2
3
x1
Рис. 5.5. Фазовые траектории
системы управления ориентацией спутника
T* = 0
–T
.
–T– nT
k
u
1
s
.
T
1
s
T
–k
m
Рис. 5.6. Система управления с обратной связью по скорости
На рис. 5.7 представлены фазовые траектории системы при
m = 0,5.
Описание линии переключения можно получить из условия
w1 lw2
0 Ÿ w2
1
w1 .
l
Представим структуру рис. 5.6 в виде рис. 5.8.
Закон управления u(t) = k sgn(–T – mdT/dt) обеспечивает движение объекта к линии переключения и «скольжение» по этой линии
к началу координат (рис. 5.9).
137
x2
2
1,5
1
0,5
0
–0,5
–1
–1,5
–2
–2
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
x1
Рис. 5.7. Фазовые траектории системы с обратной связью по скорости
T* = 0
.
–T– nT
k
u
–k
1
s
.
T
1
s
T
ms + a
Рис. 5.8. Система управления cо скользящим режимом
dT/dt
.
T + mT= 0
T
Рис. 5.9. Движение системы в скользящем режиме
138
Переходные процессы в системе имеют два этапа: сначала происходит относительно медленное движение до линии переключения,
а затем быстрые изменения знака сигнала управления, так что изображающая точка быстро перемещается в точку равновесия.
Системы со скользящим режимом относятся к классу систем с
переменной структурой.
5.3. Скользящий режим управления
Поверхность скольжения
Скользящий режим управления – робастный метод управления
нелинейными системами в условиях неопределенности, который
применим для объектов без существенного запаздывания [48].
Рассмотрим нелинейный объект с одним входом и одним выходом:
X(m) e (X) t,
X
w, w..., w(m1) T
,
где u  R – управляющий вход, x  R – выход, X  Rn – вектор состояния.
Неопределенность модели описывается функцией
e (X) e (X) 'e (X),
'e (X) d F (X),
где оценка eˆ(X) и F(X) – известные величины, 'f(X) – неизвестная
величина.
Цель управления заключается в выработке такого сигнала обратной связи u = u(X), чтобы состояние системы X приближалось
к желаемому состоянию Xd:
e = X – Xd o0.
Определим скалярную функцию:
m 1
§c
·
r(X,s) ¨ O ¸
© cs
¹
d d(m 1) Cm11Od(m 2) Cm21O2 d(m 3) ... O(m 1) d.
На практике обычно рассматриваются системы 2-го и 3-го порядка:
m 2 : r(X,s) d Od,
m 3 : r(X,s) d 2Od O2 d.
139
Уравнение
s(X, t) = 0
определяет зависящую от времени переключательную поверхность
в пространстве состояний Rn.
Рассмотрим систему 2-го порядка, здесь выполняется условие
r(X,s) 0 Ÿ d Od .
При O > 0 получаем
lim d(s) 0.
s of
Задача управления заключается в разработке такого закона
управления, при котором e(t) остается на скользящей поверхности s(X,t).
Рассмотрим обоснование закона управления для системы 2-го
порядка:
e (w, w ) t,
w
где x, u – скалярные величины.
Функция f – неопределенная, но удовлетворяющая условию
e (w, w ) e (w, w ) d F (w, w ), w, w
где e (w, w ) и F (w, w ) – известны.
Скользящая поверхность:
r d Od w Ow w c Owc ,
w
c Od e (w , w) t w
c Od.
r d Od w
При выборе управления в виде
c Od
tdp e (w , w) w
получаем при e
e
r 0.
удерживает объект на линии сколь-
Таким образом, сигнал ueq
жения.
Рассмотрим сигнал управления как сумму:
t tdp tb ,
где uc – корректирующее управление, смещающее объект в сторону
линии скольжения. Оно может быть выбрано в виде
tï j sgn(r).
140
Тогда
c Od.
j sgn(r) e (w , w) w
t tb tdp
Тогда
r e (w , w) j sgn(r) e (w , w) wc Od wc Od e (w , w) e (w , w) j sgn(r).
Рассмотрим функцию Ляпунова:
V
1 2
r ,
2
для которой выполняется:
­ V (r) 0, r 0,
®
¯V (r) ! 0, r z 0.
Условие отрицательности производной функции Ляпунова может быть записано в виде
V
1c 2
(r)
2 cs
rr
e (w , w) e (w , w) r j r .
e (w,w) e (w,w) j sgn(r) r F
Выбирая
j F K,
получаем
V
1c 2
(r)
2 cs
d K r .
rr
Производная функции Ляпунова всегда отрицательна, следовательно, движение будет устойчивым.
Устранение эффекта «биений»
Рассмотрим закон управления:
­ j, r ! 0,
°
t ® j, r 0,
°0,
r 0.
¯
Здесь k – некоторая константа.
141
При постоянном значении k возникает феномен «биений» вокруг
линии переключения (рис. 5.10).
Для уменьшения биений можно описать зависимость сигнала
управления от расстояния до линии переключения:
­j sgn(r), r t ',
§r· °
t jrþs ¨ ¸ ® r
r ',
© ' ¹ °j ,
¯ '
где ' – ширина зоны, в которой сигнал управления изменяется пропорционально расстоянию до линии переключения (рис. 5.11).
Таким образом, можно считать, что задана линия переключения, на которой значение сигнала управления равно нулю. Выше
и ниже этой линии сигнал управления имеет разные знаки, а его
модуль пропорционален расстоянию от этой линии d (рис. 5.12).
s=0
s>0
s<0
Рис. 5.10. Биения вокруг линии скольжения
u
s>0
k
–'
s<0
'
e
'
–k
s= 0
Рис. 5.11. Описание скользящего закона управления
142
d
Расстояние рассчитывается по известным формулам (вместо производной ошибки здесь может быть использовано ее приращение):
'd1 Od1
d d1 2 'd 'd1 2
.
1 O2
С учетом знака расстояние можно описать формулой
c
c sgn(S)
'd1 Od1
'd1 Od1
1 O2
1 O2
.
Пример 5.3. Рассмотрим задачу управления уровнем жидкости
в коническом танке (рис. 5.13, где приняты обозначения: Fin и Fout –
входной и выходной поток жидкости (м3/c); H и R – высота и максимальный радиус танка (м); h – высота уровня жидкости (м)).
Уравнение баланса жидкости:
S
cg
cs
Fhm Fnts .
Уравнение Бернулли для выходного потока:
Fnts
r 2fg
ï g,
где s – площадь выходного отверстия, g – ускорение свободного падения, c – коэффициент расхода (коэффициент капана).
Площадь конического танка на высоте h:
2
§ Rg ·
S Sq 2 S ¨
¸ .
© H¹
Fin
'e + Oe = 0
e
R
B
d
H
h
'e
A(e, 'e)
Рис. 5.12. Определение расстояния
до линии переключения
Fout
Рис. 5.13. Модель
конического танка
143
Подставляем в уравнение баланса:
2
§ Rg · cg
S¨
¸
© H ¹ cs
Fhm ï g .
Откуда следует
þFhm
ïþg 3 / 2 ,
2
g
cg
cs
где
þ
1 § H ·2
¨ ¸ .
S© R ¹
Рассмотрим конический танк с параметрами: H = 1 м; R = 0,5 м;
s = 0,003 м2 (рис. 5.14).
Пусть в каждый момент времени имеется заданный уровень
жидкости в танке h*. Тогда
d(s) g * g(s);
'd(s) d(s) d(s 's);
r(s) 'd(s) Od(s),
гдеO – заданная константа, 't – шаг квантования по времени.
Поскольку Fin направлен всегда в одну сторону, определим релейный закон управления в виде
c ! 0;
c 0.
­0,01,
t ®
¯0,
9.8
g
2
Gain
c=0.0133
sqrt
Math
Function2
Product2
u
v
-1.5
0.003
s
1
R
H
pi
0.5
R
3.14
a=1.57
H
R1
1
s
a
Subsystem
0.007
Math
Function1
Product1
Product
Subtract
Integrator
Divide
u
Fin
2
Math
Function
F1
pi
sqrt
Scope
Product3
Math
Function3
Fout
Рис. 5.14. Модель конического танка в Simulink MatLab
144
h
Scope3
Структура регулятора представлена на рис. 5.15.
Переходные процессы в системе показаны на рис. 5.16.
0.01
d<0
1
1
Fin
Switch
h
0
d>0
e
Signal 1
s
0.25
h*
Subtract1
lambda
d
Subtract3
Divide1
0.25
lambda1
sqrt
Subtract2
Math
Function4
dt=0.02
1
Subtract4
const
Рис. 5.15. Реализация скользящего режима в Simulink MatLab
h(t), м
0,4
0,38
0,36
0,34
0,32
0,3
0,28
0,26
0,24
0,22
0,2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t, c
Рис. 5.16. Изменение уровня жидкости в коническом танке:
заданное значение уровня (пунктир) и реальное значение (сплошная)
145
а)
y
T
б)
l
V
T
l
u
x
l
M
x
l
mg
H
Рис. 5.17. Перевернутый маятник как объект управления
Пример 5.4. Управление перевернутым маятником (рис. 5.17).
На рис. 5.17 использованы обозначения: М – масса тележки; m –
масса маятника; l – длина маятника; T – угол отклонения маятника
от вертикальной оси; x – отклонение тележки от начала координат;
u – сила, толкающая тележку; V и H – вертикальная и горизонтальная силы реакции опоры у точки крепления маятника на тележке.
Координаты центра тяжести маятника:
­ wb w k sin T,
®
¯xb k cos T.
Вращательное движение маятника относительно центра тяжести описывается уравнением
J
c2 T
Vk sin T Hk cos T,
cs2
где J – момент инерции, вычисляемый по формуле
lL2
.
3
Горизонтальное движение центра тяжести:
J
l
c2
cs2
w k sin T H.
Вертикальное движение центра тяжести:
l
146
c2
cs2
k cos T V lf.
Горизонтальное перемещение тележки:
t H.
Mw
После выполнения подстановок и преобразований получаем:
w
lk sin TT 2
t lk cos TT
,
M l
cos T
4 frhmT w
T
.
3
k
Тогда относительно угла отклонения маятника можно записать
следующее уравнение:
T
§ t lk sin TT 2 ·
frhmT cos T ¨
¸
¨
¸
M l
©
¹.
§ 4 l cos2 T ·
k¨ ¸
¨ 3 M l ¸
©
¹
Введем переменные состояния: x1 = T, x2 = dT/dt, тогда
­ w1
°
°
®w2
°
°
¯
w2 ,
f sin w1 M l t cos w1 lk sin w1 cos w1w22
§4
·
k ¨ M l l cos2 w1 ¸
©3
¹
или
­w1 w2 ,
®
¯ w2 e at,
где
e
f sin w1 M l lk sin w1 cos w1w22
§4
·
k ¨ M l l cos2 w1 ¸
3
©
¹
; a
cos w1
§4
·
k ¨ M l l cos2 w1 ¸
3
©
¹
.
Определим линию переключения в виде
r bT T bw1 w2 0;
r bw1 w2 0 Ÿ w2 ïw2 .
147
Тогда сигнал управления можно описать в виде
t
ïw2 e
.
a
§r·
t t Krþs ¨ ¸.
©'¹
На рис. 5.18 показаны результаты моделирования системы
управления перевернутым маятником (при M = 1, m = 0,1, l = 0,5,
c = 1, ' = 0,5).
В последнем примере при синтезе скользящего закона управления было использовано математическое описание объекта управления, а сигнал управления имел вид
t(s) tb (s) tdp (s),
где uc(t) – сигнал управления, компенсирующий отклонение от линии скольжения, ueq(t) – сигнал управления, удерживающий объект на линии скольжения.
tb (s) j sgn(r).
Для описания ueq(t) рассматривается условие
r(s) 0.
x2
0
–0,05
–0,1
–0,15
–0,2
–0,25
–0,3
–0,35
–0,4
–0,45
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
x1
Рис. 5.18. Фазовые траектории перевернутого маятника
при различных начальных условиях
148
Скользящий режим системы 2-го порядка
Рассмотрим скользящий режим для класса одномерных нелинейных систем 2-го порядка, описываемых системой
­ w1 w2 ,
®
¯w2 e (w1, w2 ,s) t.
Желаемую фазовую траекторию можно описать в виде
r(s) w2 bw1
0, b ! 0.
Тогда
w1 w1 (0)exp(bs),
w2 w1 bw1 (0)exp(bs).
Рассматривая производную:
r(s) bw1 w2
bw2 e (w1, w2 ,s) t 0 Ÿ tdp
bw2 e (w1, w2 ,s),
выберем сигнал управления, компенсирующий динамику системы,
в виде
tb
j sgn r .
Тогда
­° w1 w2 ,
Ÿ
®
°¯w2 e (w1, w2 ,s) tdp tb ,
t tdp tb
­ w1
®
¯w2
w2 ,
bw2 j sgn r .
bw2 j sgn r .
Пример 5.5. Дано описание системы
­w1
®
¯w2
w2 ,
2 sin10s t.
Требуется реализовать скользящее управление.
Зададим линию скольжения:
r(s) w2 2w1.
Тогда
t 2w2 j sgn(r).
149
На рис. 5.19 представлена модель системы со скользящим управлением. На рис. 5.20 приведены переходные процессы в системе при
начальных условиях x1(0) = 1, x2(0) = –0,5 и различных значениях k.
Как показывает рис. 5.21, при выбранном варианте компенсирующего управления в системе возникают большие энергетические
затраты, поэтому рассмотрим вариант управления:
§r·
t 2w2 jrþs ¨ ¸.
©'¹
10
Clock
sin
2
Gain1
Gain Trigonometric
Function
1
s
Add
x2
Integrator
x1
1
s
Integrator1
Scope
-2
Gain2
Add1
-k
2
Gain5
Sign
Add2
Gain4
Рис. 5.19. Блок-схема нелинейной системы 2-го порядка со скользящим
управлением в Simulink MatLab
x1(t)
1
0,9
0,8
0,7
k=2
0,6
k=5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
t, c
Рис. 5.20. Переходные процессы при различных параметрах регулятора
150
u(t)
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
t, c
Рис. 5.21. Динамика изменения сигнала управления
u(t)
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
t, c
Рис. 5.22. Изменение динамики сигнала управления
Переходный процесс для этого варианта при ' = 0,25 показан
на рис. 5.22.
151
5.4. Линеаризация обратной связью
Линеаризация состояние-вход
Линеаризация обратной связью предполагает использование такого преобразования координат, при котором полученная модель
системы в новых координатах становится линейной. С этой целью
определяется такое управление u, при котором нелинейная модель
объекта преобразуется в эквивалентную линейную модель с новым
управлением v, для синтеза которого применяются линейные законы. Однако влиять на состояние объекта можно только через управление u, которое остается нелинейным. В этом заключается главное
отличие от линеаризации в рабочей точке.
Рассмотрим нелинейную систему управления:
e (X) f(X)t.
X
С помощью выбора обратной связи по состоянию
t D(X) E(X)u
можно привести систему к линейному виду
Z AZ au,
где Z = T(X) – преобразование координат состояния (рис. 5.23).
Пример 5.6. С помощью преобразования состояния и линеаризации обратной связи разработать закон управления системой:
­° w1
®
°̄w2
þ sin w2 ,
w12 t.
Выполним преобразование переменных состояния:
y1 w1,
y2 þ sin w2 .
v
E
u
.
x=f
X
T
Z
D
Рис. 5.23. Линеаризация обратной связью
152
Таким образом,
­° y1
®
°̄y2
y2 ,
y12 t þ cos w2.
Линеаризация обратной связью возможна при выборе закона
управления:
u
t y12 .
þ cos w2
Тогда получается линейная система:
­y1 y2 ,
®
¯ y2 u.
Линейная обратная связь по состоянию:
u j1y1 j2y2 .
Окончательно получается:
t y12 j1y1 j2y2
þ cos w2
y12 j1w1 j2þ sin w2
.
þ cos w2
Рис. 5.24 иллюстрирует полученный результат.
Рассмотрим пропорционально-дифференциальный закон управления одномерной системой, у которой y – выходная координата и
w – ее желаемое значение:
t j0 v x j1 v x ... jm 1 v(m 1) x(m 1) v(m) ,
где n – порядок системы.
Обозначим ошибку управления: e = w – y.
0
v = –KTZ
u = u(X,v)
.
X = f(X,u)
X
Нелинейное управление
Линейное управление
Z = T(X)
Рис. 5.24. Линеаризация вход-состояние
153
Выберем описание замкнутой системы в виде
x(m)
t.
Тогда из
x(m)
j0 v x j1 v x ... jm 1 v(m 1) x(m 1) v(m)
следует:
d(m) jm 1d(m 1) j1d ... j0 d 0.
Это динамическое уравнение ошибки, которому соответствует
характеристический полином:
P(r) rm jm 1dm 1 j1r ... j0 .
Коэффициенты этого полинома должны быть выбраны так, чтобы все корни Oi имели отрицательную вещественную часть. Например, можно расположить все корни в одной точке (характеристический полином Ньютона). При n =3 иO1 = O2 = O3 = –1 имеем:
r3 j2d2 j1r j0
(r 1)3
r3 3r2 3r 1.
Таким образом, k0 = 1; k1 = 3; k2 = 3.
Из (1) следует:
t
v x 3v x 3v x v.
Пример 5.7. Рассмотрим математический маятник, описываемый нормализованными уравнениями:
­ w1 w2 ;
°
®w2 sin w1 t;
°x w ,
1
¯
где x1 – угол отклонения маятника.
Для обеспечения условия
x u
выберем сигнал управления в виде
t sin w1 u.
154
Расположив полюса системы в точке –1,j0, получаем желаемый
характеристический полином 2-го порядка:
(r 1)2
r 2 2r 1.
Тогда
v x 2v x v,
.
sin w1 v x 2 v x v
u
t
Например, при w = const имеем:
t sin w1 v x 2x.
При w = sin(t):
t sin w1 sin(s) w1 2 cos(s) w2 sin(s).
Пример 5.8. Однозвенный манипулятор робота (рис. 5.25, где l и
m – длина и масса звена, W – вращающий момент, T – угол поворота).
Потенциальная энергия:
§S
·
P lfk cos ¨ T ¸ lfk sin T.
2
©
¹
Кинетическая энергия:
1 2
JT ,
2
K
где J – момент инерции, J = ml2.
Лагранжиан системы:
L KP
lk2 2
T lfk sin T.
2
mg
l
W
T
Рис. 5.25. Схематическое изображение однозвенного манипулятора
155
Тогда
c wL wL
cs wT wT
W,
c
lk2T lfk cos T W,
cs
lk2
T lfk cos T W.
Для линеаризации обратной связью введем новую переменную,
соответствующую пропорционально-дифференциальному закону
управления:
u T j (T* T) j T ,
o
c
W lk2u lfk cos T,
гдеT* – заданный угол.
Уравнение замкнутой системы:
lk2
T lfk cos T lk2 jo (T* T) jc T lfk cos T Ÿ T jc T jo T jo T * .
2
0.5
u
l
Math
Function
1
Scope
Product
m
9.8
Divide
g
cos
Integrator
Integrator1
5
Gain1
0.5
teta*
1
s
Add
Product1
Trigonometric
Function
1
s
10
Add1
Gain
Add2
Product2
Add3
Рис. 5.26. Блок-схема управления с линеаризацией обратной связью
156
На рис. 5.26 представлена модель управления однозвенным манипулятором при kp = 10, kd = 5.
На рис. 5.27 представлен переходный процесс при T* = 0,5 рад.
В следующем примере рассматривается управление объектом,
имеющим две координаты.
Пример 5.9. Управление двухколесным роботом (рис. 5.28, где x,
y, v и T – координаты, скорость и направление движения робота).
Движение робота описывают следующие уравнения состояния:
­w u cos T;
° x u sin T;
°
®
° T t1;
° u t2 .
¯
T(t)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t, c
Рис. 5.27. Переходный процесс в замкнутой системе
y
v
T
y(t)
x(t)
x
Рис. 5.28. Двухколесный робот на плоскости
157
Пусть задача управления заключается в выводе робота из некоторого начального положения на траекторию, заданную уравнениями циклоиды:
°­ wc (s) R sin Z1s R sin Z2s ;
®
°̄xc (s) R cos Z1s R cos Z2s .
Тогда вектор ошибки можно представить в виде
ªdw º
E « »
¬ dx ¼
ª wc w º
« x x ».
¬ c
¼
Согласно методике линеаризации обратной связью, найдем производные:
u cos T u sin TT t2 cos T t1u sin T;
°­w
®
°̄ x u sin T u cos TT t2 sin T t1u cos T.
º
ªw
« x»
¬ ¼
Ÿ
ª u sin T bnrT º ª t1 º
« u cos T sin T » «t » .
¬
¼¬ 2¼
Следовательно,
ª t1 º
«t »
¬ 2¼
ª u sin T bnrT º
« u cos T sin T »
¬
¼
1
º
ªw
« x» .
¬ ¼
Рассмотрим новый входной вектор:
ªv1 º
«v »
¬ 2¼
º
ªw
« x» .
¬ ¼
Таким образом, можно записать:
ªv1 º
«v »
¬ 2¼
c º
ª(wc w) 2(w c w ) w
« (x x) 2(x x ) x »
c
c ¼
¬ c
c º
ª(wc w) 2(w c u cos T) w
« (x x) 2(x u sin T) x » .
c
c ¼
¬ c
Рассмотрим вектор ошибки:
ªdw º
E « »
¬ dx ¼
158
ª w wc º
« x x ».
c¼
¬
Динамика ошибки описывается системой
ªdw 2dw dw º
« d 2d d »
x
x¼
¬ x
ª0 º
«0 » .
¬ ¼
Окончательно управление описывается формулой
ª t1 º
«t »
¬ 2¼
где
ª u sin T bnrT º
« u cos T sin T »
¬
¼
1
c º
ª(wc w) 2(w c u cos T) w
« (x x) 2(x u sin T) x » ,
c
c ¼
¬ c
w c (s) RZ1 cos Z1s RZ2 cos Z2s ;
xc (s) RZ1 sin Z1s RZ2 sin Z2s ;
c (s) RZ12 sin Z1s RZ22 sin Z2s ;
w
xc (s) RZ12 cos Z1s RZ22 cos Z2s .
Рассмотрим моделирование движения двухколесной тележки
с помощью следующей MatLab-программы:
x=[10; 10; 0; 2]; ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨɪɢɟɧɬɚɰɢɹ ɢ ɫɤɨɪɨɫɬɶɬɟɥɟɠɤɢ
dt=0.1; R=15; f1=0.02; f2=0.12;
ɲɚɝɩɨɜɪɟɦɟɧɢɢɩɚɪɚɦɟɬɪɵ
ɰɢɤɥɨɢɞɵ
i=1;
for t=0:dt:12,
Z 5>VLQIWVLQIWFRVIWFRVIW@
GZ 5>IFRVIWIFRVIWIVLQIWIVLQIW@
GGZ 5>IIVLQIWIIVLQIWIIFRVIW
IIFRVIW@
X FRQWURO[ZGZGGZ
[ [[GRW[XGW
w1(i)=w(1); w2(i)=w(2); x1(i)=x(1); x2(i)=x(2);
i=i+1;
HQG;
plot(x1,x2,w1,w2); grid
IXQFWLRQ[GRW I[X
WKHWD [Y [
[GRW >YFRVWKHWDYVLQWKHWDXX@
HQG
IXQFWLRQX FRQWURO[ZGZGGZ
Y Z>[[@GZ>[FRV[[VLQ[@GGZ
159
$ >[VLQ[FRV[[FRV[VLQ[@
X LQY$Y
HQG
На рис. 5.29 приведен результат моделирования.
Основная проблема использования линеаризации вход-состояние
заключается в том, что не всегда очевидно необходимое преобразование координат нелинейной системы.
Линеаризация вход-выход
Линеаризация обратной связью часто выполняется в виде входвыходной линеаризации. Основная идея этого подхода заключается
в том, чтобы дифференцировать выходной сигнал до тех пор, пока
в производной не «проявится» входной сигнал. После этого можно описать сигнал управления, который нивелирует нелинейность в системе.
Пример 5.10. Пусть дано описание системы:
­w1 sin w2 w2 1 w3 ,
°
5
° w2 w1 w3 ,
®
° w 3 w12 t,
°
¯ x w1.
30
28
1
26
24
22
20
2
18
16
14
12
10
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Рис. 5.29. Выведение тележки на заданную линию пути
(1 – циклоида; 2 – траектория тележки)
160
Для описания непосредственной связи между входом и выходом
рассмотрим производные выходного сигнала:
x w1
sin w2 w2 1 w3 Ÿ x
e1 (w)
w2 1 t e1 (w),
w15 w3 w3 cos w2 w2 1 w12.
Выберем сигнал управления в виде, устраняющем влияние нелинейности:
1
t(s)
u e1 ,
w2 1
где v – новый сигнал управления, который нужно определить.
Таким образом, получено уравнение
x(s) u(s).
Пусть желаемое движение системы описывается сигналом yd,
тогда
d(s) x(s) xc (s),
d(s) x(s) xc (s),
u(s) xc (s) d(s).
Выберем PD-закон управления ошибкой (где k1 и k2 – константы):
d(s) j1d(s) j2d(s).
Тогда
t(s)
1
xc (s) j1d(s) j2d(s) e1 .
w2 1
В общем случае при вход-выходной линеаризации может быть
использован аппарат алгебры Ли, использующий понятия производной Ли и скобок Ли.
Производной Ли называется дифференцирование функции h по
направлению вектора f:
Le g
wg
e.
wÓ
Аналогично для вектора g:
Lf g
wg
f.
wÓ
161
Для производной Ли выполняются соотношения:
Lf Le g(Ó)
f(Ó),
w Le g(Ó)
ww
L0e g(Ó) g(Ó),
L2e g(Ó) Le Le g(Ó)
Lje g(Ó) Le Lje 1g(Ó)
w Le g(Ó)
w
wÓ
e (Ó),
Lje1g(Ó)
wÓ
e(Ó).
Рассмотрим нелинейную систему, представленную уравнениями
e (Ó) f(Ó)t,
°­Ó
®
°̄ x g(Ó).
Дифференцируя выходную переменную, имеем
x
wg(Ó)
w
wÓ
wg(Ó)
e (Ó) f(Ó)t Le g(Ó) Lf g(Ó)t.
wÓ
Если считать, что на первую производную выходного сигнала не
влияет входной сигнал, то есть Lgh = 0, то
x Le g(Ó).
Тогда
x
c
Le g(Ó)
cs
w Le g(Ó)
ww
w
w Le g(Ó)
ww
e (Ó) f(Ó)t
>
@
Le (Le g(Ó)) Lf (Le g(Ó))t L2e g(Ó) Lf (Le g(Ó)) t.
0
Продолжая дифференцирование, можно найти такую производную p-го порядка, для которой
x ( o)
Leo g(Ó) Lf (Leo 1g(Ó)) t.
z0
Иначе говоря, p-я производная выхода «видит» входной сигнал.
Величина p называется относительным порядком системы.
162
Для системы с относительным порядком p управление выбирается в виде
1
t
Leo g(Ó) Q .
o 1
Lf Le g(Ó)
Получается вход-выходное отображение объекта в виде цепочки
из p интеграторов:
x( o) (s) u(s),
где v(t) – синтетический вход или синтетическое управление
(рис. 5.30).
Введем обозначения:
x ( o)
Leo g(Ó) Lf Leo 1g(Ó) t D(Ó) E(Ó)t u(Ó), E(Ó) z 0.
Тогда
t
1
D(Ó) u(Ó) .
E(Ó)
Где
u(s) x( o) (s).
Таким образом, общий алгоритм линеаризации вход-выход выполняется как последовательность следующих шагов:
1. Определяется относительный порядок системы p такой, что
Lf Leo 1g(Ó) z 0.
2. Выполняется преобразование вектора состояния системы:
ª M1 (Ó) º
« M (Ó) »
2
»
Z )(Ó) «
« ... »
«
»
¬«M o (Ó) ¼»
v
ª L0e g º
«
»
« L1e g »
«
».
« ... »
« o 1 »
«¬ Le g »¼
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
p –1
p
y
Рис. 5.30. Представление объекта управления
в виде цепочки интеграторов
163
3. Определяется синтетическое управление:
D(Ó) Leo g;
E(Ó) Lf Leo 1g ;
t
1
>D(Ó) u @.
E(Ó)
Пример 5.11. Рассмотрим нелинейную систему:
w2
ª 0 º ªd º
«
»
e (Ó) f(Ó)t «« w w2 »» «dw2 » t,
Ó
1
2
«w w » « 0 »
1
2¼ «
»
¬
¬
¼
x g(Ó) w3 .
1. Определяем относительный порядок системы:
Lf L0e g(Ó) Lf g(Ó)
ª wg(Ó)
wg(Ó)
f(Ó) «
wÓ
¬ ww1
wg(Ó)
ww2
ª d w2 º
wg(Ó) º « w2 »
» «d » 0;
ww3 ¼ «
»
« 0 »
¬
¼
ª 0 º
«
»
§ wg(Ó)
·
Lf ¨
e (Ó) ¸ Lf ª¬0 0 1º¼ « w1 w22 »
© wÓ
¹
«w w »
2¼
¬ 1
ª d w2 º
«
»
Lf > w1 w2 @ ª¬1 1 0 º¼ f ª¬1 1 0 º¼ «dw2 » 0;
«
»
« 0 »
¬
¼
Lf L1e g(Ó)
§ wg(Ó)
·
Lf L2e g(Ó) Lf Le ¨
e (Ó) ¸ Lf Le > w1 w2 @ Lf ª¬1 1 0 º¼ e
Ó
w
©
¹
ª d w2 º
§
ª 0 º·
« »
¨
¸
«
»
Lf ¨ ª¬1 1 0 º¼ « w1 w22 » ¸ Lf ª w1 w22 º ¬ª 1 2w2 0 ¼º «dw2 » dw2 1 2w2 .
¬
¼
« »
¨
« w w » ¸¸
¨
1
2
« 0 »
¬
¼¹
©
¬ ¼
164
Таким образом, система имеет относительный 3-й порядок (если
выполняется условие x2 z –0,5).
2. Выполняем преобразование координат:
y1
y3
M1 (Ó) L0e g g w3 ;
ª 0 º
«
»
y2 M2 (Ó) L1e g ª¬0 0 1º¼ « w1 w22 » w1 w2 ;
«w w »
2¼
¬ 1
ª 0 º
«
»
M3 (Ó) L2e g Le Le g ª¬1 1 0 º¼ « w1 w22 » w1 w22 .
«w w »
2¼
¬ 1
Система линеаризуется к виду
ª y1 º
« »
« y2 »
«¬y3 »¼
ª0 1 0 º ª y1 º ª0 º
«
»« » « »
«0 0 1 » « y2 » «0 » u,
«¬0 0 0 »¼ «¬y3 »¼ «¬1 »¼
ª y1 º
« »
x ª¬1 0 0 º¼ « y2 » .
«¬y3 ¼»
3. Вычисляем синтетическое управление:
D(Ó) L3e g Le L2e g Le ª w1 w22 º
¬
¼
ª 0 º
«
»
ª¬ 1 2w2 0 º¼ « w1 w22 » 2w2 w1 w22 ;
«w w »
2¼
¬ 1
ª d w2 º
«
»
L2e g Lf ª w1 w22 º ª¬ 1 2w2 0 º¼ «dw2 » 1 2w2 dw2 ;
¬
¼
«
»
« 0 »
¬
¼
1
ª2w w w2 u º .
t 2
w2 «¬ 2 1
»¼
w
d
1
2
E(Ó) Lf
2
165
Пример 5.12. Рассмотрим систему «шарик на планке» (см. пример 1.1).
В нелинейной системе (5) введем переменные B и u:
B
l
,
J2
l
q2
W 2lw1w2 w4 lfw1 cos w3 t lw12 J1 .
Тогда описание нелинейной системы приобретает вид
ª w1 º
« w »
« 2»
« w 3 »
« »
¬ w 4 ¼
w2
ª
º ª0 º
«
» « »
2
« B w1w4 f sin w3 » «0 »
«
» «0 » t,
w4
«
» « »
«
» ¬1 ¼
0
¬
¼ fN
(Ó)
e (Ó)
x g(Ó) w1.
1. Определяем относительный порядок системы:
x w2
Lf L0e g(Ó) Lf g(Ó)
Le g(Ó).
ª0 º
«0 »
wg(Ó)
f(Ó) ¬ª1 0 0 0 º¼ « » 0;
«0 »
wÓ
« »
¬1 ¼
w2
ª
«
2
« B w1w4 f sin w3
§ wg(Ó)
·
Lf L1e g(Ó) Lf ¨
e (Ó) ¸ Lf ª¬1 0 0 0 º¼ «
© wÓ
¹
w4
«
«
0
¬
ª0 º
«0 »
Lf > w2 @ ¬ª0 1 0 0 ¼º f ¬ª0 1 0 0 ¼º « » 0;
«0 »
« »
¬1 ¼
166
º
»
»
»
»
»
¼
§ wg(Ó)
·
Lf L2e g(Ó) Lf Le ¨
e (Ó) ¸ Lf Le > w2 @
© wÓ
¹
§
w2
ª
º·
¨
«
»¸
2
¨
« B w1w4 f sin w3 » ¸
2
Lf ¨ ª¬0 1 0 0 º¼ «
» ¸ Lf B w1w4 f sin w3
¨
¸
w
«
»
4
¨¨
«
» ¸¸
0
¬
¼¹
©
ª0 º
«0 »
ª Bw42 0 f cos w3 2Bw1w4 º « » 2Bw1w4 .
¬
¼ «0 »
« »
¬1 ¼
Таким образом, относительный порядок системы равен 3.
2. Выполняем преобразование координат:
y1 M1 (Ó) L0e g g w1;
w2
ª
º
«
»
2
« B w1w4 f sin w3 »
1
y2 M2 (Ó) Le g ª¬1 0 0 0 º¼ «
» w2 ;
w4
«
»
«
»
0
¬
¼
w2
ª
º
«
»
2
« B w1w4 f sin w3 »
2
2
M3 (Ó) Le g Le Le g ª¬0 1 0 0 º¼ «
» B w1w4 f sin w3 .
w4
«
»
«
»
0
¬
¼
y3
3. Вычисляем синтетическое управление:
D(Ó) L3e g Le L2e g Le ª B w1w42 f sin w3 º
«¬
»¼
w2
ª
«
B w1w42 f sin w3
ª Bw42 0 Bf cos w3 2Bw1w4 º «
«
¬
¼
w4
«
«
0
¬
º
»
»
»
»
»
¼
ª Bw2 w42 Bf cos w3 w4 º ;
¬
¼
167
ª Bw42
¬
t
Lf ª B w1w42 f sin w3 º
¬«
¼»
ª0 º
«0 »
0 f cos w3 2Bw1w4 º « » 2Bw1w4 ;
¼ «0 »
« »
¬1 ¼
E(Ó) Lf L2e g
1
ª Bw2 w42 f cos w3 w4 u º
¼
2Bw1w4 ¬
x Bw2 w42 Bf cos w3 w4
.
2Bw1w4
Результат для данного примера может быть получен более простым путем:
x B w1w42 f sin w3 ;
x 2Bw1w4 w 4 Bw42 w1 Bf cos w3 w 3
B w42 w2 fw4 cos w3 2Bw1w4t.
Откуда следует
t
x B w2 w42 f cos w3 w4
2Bw1w4
.
Пример 5.13. Рассмотрим уравнение Ван дер Поля:
­
°X
°
®
°
°x
¯
w2
ª
º
ª w1 º
»
« w » e (Ó) f(Ó)t «
2
P(1 w1 )w2 w1 ¼»
¬ 2¼
¬«
e (Ó)
ª0 º
«1 » t,
¬N
¼
f (Ó)
g(Ó) w1.
Для 1-й производной выходного сигнала:
ª wg
wg(Ó)
f(Ó) «
wÓ
¬ ww1
Для 2-й производной:
Lf L0e g(Ó) Lf g(Ó)
wg º ª0 º
»« »
ww2 ¼ ¬1 ¼
ª0 º
ª¬1 0 º¼ « » 0.
¬1 ¼
§
w2
ª
º·
§ wg(w)
·
Lf L1e g(Ó) Lf ¨
e (Ó) ¸ Lf ¨ ª¬1 0 º¼ «
» ¸ Lf w2
2
¨
P
w
w
w
(
1
)
© wÓ
¹
«
»¼ ¸¹
1
2
1
¬
©
ª0 º
ww2
f(Ó) ª¬0 1º¼ « » 1.
wÓ
¬1 ¼
168
Следовательно, относительный порядок системы равняется 2.
3. Вычисляем синтетическое управление:
§
w2
ª
º·
2
D(Ó) L2e g Le Le g Le ¨ ª¬1 0 º¼ «
» ¸ P 1 w1 w2 w1;
2
¨
¸
(
1
)
P
w
w
w
«
»
1 2
1¼¹
¬
©
E(X) Lf Le g
t
Lf > w2 @ 1;
1
D(w) u(Ó) w1 P 1 w12 w2 u Ÿ x u.
E(Ó)
Управляемость нелинейных систем
Анализ управляемости и наблюдаемости нелинейных систем может выполняться с использованием алгебры Ли.
Скобкой Ли (коммутатором) называется выражение
þce f
> e, f @
wf
we
f.
e
wX
wX
Скобка Ли [f, g] означает производную векторного поля g по направлению векторного поля f.
Возможно рекурсивное вычисление скобок Ли:
þce2f [e, þce f ].
Пример 5.14. Пусть
ªcos w2 º
e (Ó) «
»;
¬ w1 ¼
ª w1 º
f(Ó) « » .
¬1¼
wf
we
f
e
wX
wX
ª1 0 º ªcos w2 º ª0 sin w2 º ª w1 º ªcos w2 sin w2 º
« 0 0 » « w » «1
».
w1
0 »¼ «¬ 1 »¼ «¬
¬
¼¬ 1 ¼ ¬
¼
þce f
> e, f @
Пример 5.15. Пусть
w2
ª
º
e (Ó) «
»;
¬ sin w1 w2 ¼
ª0º
f(Ó) « » .
¬ w1 ¼
169
Тогда скобки Ли имеют вид
þce f
> e, f @
wf
we
f
e
wÓ
wÓ
ª wf1
« ww
« 1
« wf2
« ww
¬ 1
wf1 º
ª we1
»
« ww
ww2
» e (Ó) « 1
wf2 »
« we2
»
« ww
ww1 ¼
¬ 1
w2
ª0 0 º ª
º ª 0
«1 0 » « sin w w » « cos w
1
2¼ ¬
1
¬
¼¬
þce2f
ª¬e, þce f º¼
ª 0
«
¬ cos w1
w þce f
wÓ
1 ºª 0 º
1»¼ «¬ w1 »¼
we1 º
ww2 »
» f(Ó)
we2 »
ww1 »¼
ª w1 º
«w w ».
2¼
¬ 1
e we
w2
ª 1 0 º ª
º
« 1 1 » « sin w w » 1
2¼
¬
¼¬
w1 2w2
ª
º
« w w sin w w cos w » .
2
1
1
1¼
¬ 1
þce f wÓ
1 º ª w1 º
1»¼ «¬ w1 w2 »¼
Использование скобок Ли позволяет построить матрицу управляемости нелинейной системы следующего вида:
W ª¬f, [e, f ], ... [e, þcem 1f ] º¼ ,
которая должна иметь полный ранг.
Пример 5.16. Рассмотрим нелинейные системы 2-го порядка.
Система 1:
ª w1 º ª w2 jw12 º ª0 º
» « » t.
« w » «
0
» ¬1 ¼
¬ 2 ¼ «¬
¼ N
e
Тогда
þce f
> e, f @
wf
we
e
f
wÓ
wÓ
f
ª0 0 º ª w2 jw12 º ª2jw1 1 º ª0 º
»«
«0 0 » «
0 ¼» ¬«1 ¼»
0
»¼ ¬ 0
¬
¼ «¬
ª 1º
« 0 ».
¬ ¼
ª0 1º
W «
» , W z 0.
¬1 0 ¼
Определитель W не равен нулю, следовательно, система управляема.
Система 2:
ª w1 º ªþ sin w2 º ª0 º
t.
« w » «
2 » «1 »
¬ 2 ¼ «¬ w1 »¼ ¬N
¼
e
170
f
þce f
> e, f @
we
f
wÓ
ª þ cos w2 º
«
».
0
¬
¼
ª0 þ cos w2 º
W «
».
0
¬1
¼
Система управляема при cos(x2) z 0.
В следующем примере нелинейная система имеет два управляющих входа.
Пример 5.17. Управление двухколесным роботом (рис. 5.31).
Вектор состояния X = [x1, x2, x3]T. Таким образом,
f (Ó)t f (Ó)t ,
Ó
1
1
2
2
где u1 – скорость, u2 – угол поворота колеса.
ª w1 º
« »
« w2 »
«¬ w3 »¼
Тогда
wf
1 f2
wÓ
>f1,f2 @
ªcos w3 º
ª0 º
«
»
« »
« sin w3 » t1 «0 » t2 .
«¬ 0 »¼
«¬1 »¼
ª0 0 sin w3 º ª0 º
«
»« »
«0 0 cos w3 » «0 »
«¬0 0
0 »¼ «¬1 »¼
ªcos w3
«
W « sin w3
«¬ 0
ª sin w3 º
«
»
« cos w3 » .
«¬ 0 »¼
0 sin w3 º
»
0 cos w3 » .
1
0 »¼
x2
v
x3
x2 (t)
x1 (t)
x1
Рис. 5.31. Двухколесный робот как объект управления
171
Матрица W имеет полный ранг, следовательно, объект управляем.
В рассмотренном примере векторное поле g1 генерирует движение «вперед – назад», векторное поле g2 генерирует движение «по
часовой стрелке – против часовой стрелки», и векторное поле [g1, g2]
генерирует движение в направлении, перпендикулярном ориентации тележки.
Таким образом, управляемость двухколесной тележки означает,
что ее можно привести в заданное положение на плоскости, рассматривая разрешенные движения.
Продолжая пример, рассмотрим задачу параллельной парковки
двухколесного робота. Обозначим вектор управления:
U ª¬t1 t2 º¼ .
Тогда параллельная парковка может включать в себя четыре маневра на интервале [0, 4't]:
­ ª¬1 0 º¼ , s  ª¬0, 's º¼ ;
°
° ª¬0 1º¼ , s  ª¬ 's, 2's º¼ ;
U ®
° ¬ª 1 0 ¼º , s  ¬ª2's, 3's ¼º ;
° ª0 1º , s  ª3's, 4's º .
¼
¬
¼
¯¬
Первый маневр – движение вперед, второй – вращательное движение по часовой стрелке, третий – движение назад и четвертый –
вращательное движение против часовой стрелки (рис. 5.32).
x2
t=0
t = 't
x1
t = 2't
t = 4't
t = 3't
Рис. 5.32. Параллельная парковка двухколесной тележки
172
Вопросы для самопроверки к разделу 5
1. Что такое система с переменной структурой?
2. Какие преимущества и недостатки имеет релейный закон
управления?
3. Что такое скользящий режим управления?
4. Как протекают переходные процессы в системе со скользящим
режимом?
5. Как описывается линия переключения для системы 2-го порядка?
6. В чем заключается эффект биений при скользящем режиме
управления?
7. Каким образом можно устранить эффект биений?
8. Из каких двух компонентов складывается сигнал управления
при скользящем режиме?
9. Что такое линеаризация обратной связью?
10. Как выполняется линеаризация обратной связью?
11. В чем заключается идея вход-выходной линеаризации?
12. Что такое производная Ли?
13. Что такое скобка Ли?
14. Как построить матрицу управляемости нелинейной системы?
15. Как оценить управляемость нелинейной системы?
173
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория нелинейных САУ является бурно развивающейся областью, поскольку научно-технический прогресс требует использования все более сложных алгоритмов управления комплексными
объектами в различных отраслях промышленности, на транспорте,
в оборонной сфере и других областях человеческой деятельности.
Учебное пособие помогает получить представление о существующих методах анализа и синтеза нелинейных систем, а также практически проверить эти методы, выполняя примеры в MatLab.
Современный арсенал методов работы с нелинейными САУ активно совершенствуется за счет привлечения методов технического
искусственного интеллекта, таких как нечеткие системы, искусственные нейронные сети и эволюционные вычисления [21–23]. Для
этих подходов характерно уменьшение роли точного аналитического описания систем в пользу увеличения использования компьютерного моделирования и обработки знаний для работы в условиях
неопределенности.
Таким образом, нелинейные САУ являются одной из важнейших
сфер инженерной деятельности, в которой может быть использован
разнообразный математический аппарат и разные парадигмы проектирования.
174
Библиографический список
1. Бураков М. В. Теория автоматического управления. Ч. 1. СПб.:
ГУАП, 2013. 255.
2. Бураков М. В. Теория автоматического управления. Ч. 2. СПб.:
ГУАП, 2015. 144 с.
3. Тэлер Дж., Пестель М. Анализ и расчет нелинейных систем автоматического управления. М.–Л.: Энергия, 1964. 488 с.
4. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1973.
584 с.
5. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применение в системах
с переменной структурой. М.: Наука, 1974. 272 с.
6. Якубович В. А., Барабанов А. Т., Катковник В. Я. и др. Методы
исследования нелинейных систем автоматического управления. М:
Наука, 1975. 448 с.
7. Пальтов И. П. Нелинейные методы исследования автоматических систем. Л.: Энергия, 1976. 128 с.
8. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых
систем. М.: Наука, 1985. 352 с.
9. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1988. 256 с.
10. Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи:
управление при неопределенности. М.: Наука, Физматлит. 1997.
352 с.
11. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Избранные главы теории
автоматического управления с примерами на языке MatLab. СПб.:
Наука? 2000. 475 с.
12. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. СПб.: Питер, 2006. 272 с.
13. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. 550 с.
14. Уткин В. И. Системы с переменной структурой: состояние
проблемы, перспективы // Автоматика и телемеханика. 1983. № 9.
С. 5–25.
15. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. 464 с.
16. Khalil H. Nonlinear Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice
Hall, 2003.
175
17. Slotine J.-J., Li W. Applied Nonlinear Control. Englewood Cliffs,
NJ: Prentice-Hall, 1991.
18. Marino R., Tomei P. Nonlinear Control Design: Geometric,
Adaptive, and Robust. London; New York: Prentice Hall, 1995. 396 p.
19. Бураков М. В., Коновалов А. С. Нечеткое управление антиюзовой автоматикой. СПб.: ГУАП, 2016. 206 с.
20. Laks J., Pao L. and Wright. Control of Wind Turbines: Past,
Present and Future, ACC, June 2009.
21. Бураков М. В. Генетический алгоритм: теория и практика.
СПб.: ГУАП, 2008. 164 с.
22. Бураков М. В. Нечеткие регуляторы. СПб.: ГУАП, 2010. 236 с.
23. Бураков М. В. Нейронные сети и нейроконтроллеры. СПб.:
ГУАП, 2013. 284 с.
176
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ....................................................................................
3
1. Особенности нелинейных систем................................................
1.1. Нелинейные системы управления ......................................
1.2. Виды нелинейностей........................................................
1.3. Преобразования схем с нелинейными элементами ...............
1.4. Примеры нелинейных систем ...........................................
1.5. Линеаризация в рабочей точке ..........................................
Вопросы для самопроверки к разделу 1 ....................................
5
5
9
23
32
40
48
2. Метод фазовой плоскости ..........................................................
2.1. Фазовое пространство и фазовые траектории .......................
2.2. Метод изоклин ................................................................
2.3. Особые точки на фазовой плоскости ...................................
2.4. Предельные циклы, бифуркации и хаос .............................
Вопросы для самопроверки к разделу 2 ....................................
50
50
51
59
70
80
3. Метод гармонической линеаризации .......................................... 82
3.1. Автоколебания в нелинейной системе ................................ 82
3.2. Гармоническая линеаризация ........................................... 84
3.3. Определение амплитуды и частоты автоколебаний ............... 93
3.4. Методы Гольдфарба и Коченбургера ................................... 102
Вопросы для самопроверки к разделу 3 .................................... 106
4. Устойчивость нелинейных систем ..............................................
4.1. Варианты устойчивости нелинейной системы......................
4.2. Первый метод Ляпунова ...................................................
4.3. Прямой метод Ляпунова...................................................
4.4. Частотный критерий абсолютной устойчивости ..................
Вопросы для самопроверки к разделу 4 ....................................
107
107
108
114
126
131
5. Управление нелинейными системами .........................................
5.1. Системы с переменной структурой .....................................
5.2. Релейный закон управления и его модификация .................
5.3. Скользящий режим управления ........................................
5.4. Линеаризация обратной связью.........................................
Вопросы для самопроверки к разделу 5 ....................................
133
133
135
139
152
173
Заключение ............................................................................... 174
Библиографический список .......................................................... 175
177
Учебное издание
Бураков Михаил Владимирович
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейные системы
Часть 3
Учебное пособие
Редактор В. С. Гончарова
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 08.02.18. Подписано к печати 10.04.18. Формат 60 u84 1/16.
Уч.-изд. л. 11,45. Усл. печ. л. 10,35. Тираж 50 экз. Заказ № 150.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
178
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
3 204 Кб
Теги
burakov, 0cffae41b0
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа