close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Burakov 09977FE19F

код для вставкиСкачать
???????????? ??????????? ? ????? ?????????? ?????????
??????????? ??????????????? ??????????
??????????????? ?????????? ??????? ???????????
?????-????????????? ??????????????? ???????????
???????????????? ???????????????
??????
?????????? ??????????
? ??????????? ???????????
???????????? ????????
??? ????????? ? ?????????? ??????????????
?????-?????????
2015
??????????? ? ?. ?. ???????
????????? ? ???????? ??????????? ????, ?????? ?. ?. ????????
??????????????? ???????? ??????????????? ????????? ??????????? ?? ????????? ??? ?????????? ????????????? ?????????.
?????????? ???????? ??????? ?????? ???????????? ?????????, ??????????? ????????? ?????????? ??????? ? ??????????????? ??????????? ????????? ??????? ? ?????????? ???????. ??????????? ??????? ??????????????? ????????? ??????????? ? ????????????
???????????? ? MatLab.
????????????? ??? ?????????? ?????????? ?? ???????????
270304 ? «?????????? ? ??????????? ????????», ? ????? ?????????
?????? ??????????????, ????????? ?????????? «?????? ??????????????? ??????????» ? «?????? ?????? ??????????????? ??????????».
??????????? ? ????????? ????????.
???????????? ??????? ?. ?. ????????
????? ? ????? 09.04.15. ????????? ? ?????? 13.10.15.
?????? 60׳84 1/16. ?????? ????????. ???. ???. ?. 3,02.
??.-???. ?. 3,25. ????? 100 ???. ????? ? 370.
???????????-???????????? ????? ????
190000, ?????-?????????, ?. ??????? ??., 67
© ?????-????????????? ???????????????
??????????? ????????????????
???????????????, 2015
????????
?????????? ?????????? ?????, ?????????? ? ??????? ???????????? ? ???????? ????????? ?????????? ? ???????? ?????????????
??????????? ??????? ? ????????? ? 70-? ???? XX-?? ???? «??????????? ?????? ??????????», ? ?????? ??????? ????? ??????? ???????????? ????????? [1?5].
?????? ? ?????? ?????? ? ???????????? ????????? ?????????? ????????????????, ?? ????? ???? ???????????? ???????? ???
?????? ? ????????? ?????? ??????????? ? ??????????? ??????????. ?????? ? ???????????? ????????? ????????? ???????????
????? ?????? ? ??????? ???????, ?? ????????? ??????? ?? ??????
????????????????? ????????? n-?? ??????? ? ??????? ?? n ???????????????? ????????? 1-?? ???????. ????? ???????, ????? ??????? ?????????? (???? ? ?????) ? ?????? ?????????? ??????????
?????????? ???????. ????????? ??????????? ???????????? ????????? ??????? ???????? ? ?????????????, ?????????????, ?????????????????? ? ?. ?. ????? ????, ?????? ? ?????????? ?????????
????? ???? ?????????? ???????????? ??? ?????????????? ??????????? ??????, ?????????????? ???????? ??????? ????????.
??????????? ??? ???????????? ??????? ????? ???? ???????
? ??????? ???????????????? ?????????. ????? ????????????
????????? ????????? ??????????? ??????? ?? ????????? ???????.
???????????? ????? ??????? ??????????? ???, ??? ?? ?????????
???????????? ??????????? ? ??????????, ? ???????????, ? ????????, ? ?????????? ???????.
??? ?????????? ???????? ?????? ??????????????, ??? ???????
?????? ? ???????? ?????? ??????????????? ?????????? [6?10], ?
????? ???????? ????????? ???????? ?????? ? ???????? MatLab
Simulink [11?13].
3
1.????????? ??????? ? ???????????? ?????????
????????? ??????? ? ??? ???????????? ????? ??????????, ?????? ??????? ?????????, ??? ????????? ????? ? ????????? ?????????? ????????, ??????? ??????? ????????? ??????? ? ???????? ??
??????.
????????? ????????? ???????? ???????????? ??????? ?????
????????? ????? ???:
? (t) = AX(t) + BU (t),
ל
ן
X
ן
ם
ן
ן
מY (t) = CX(t) + DU (t). (1)
??? X ? ??????-??????? ????????? [n ׳ 1]; ? ? ??????? ????????????? ??????? [n ׳ n]; ? ? ??????? ????? [n ׳ m]; U ? ?????? ?????
(??????????) [m ׳ 1]; Y ? ?????? ?????? [k ׳ 1]; ? ? ??????? ??????
[k ׳ n]; D ? ??????? ??????? ????? ??????????????? ?? ????? ??????? [k ׳ m].
?????? ??????? ????????? n ????? ??????? ???????.
?????????? ????????? ????????????? ??????????? ?????, ?????????? ?? ???. 1.
?? ???????? ????? ??????????????? ????????? ??????? (? ????? ?????? ? ????? ???????). ??????? D ?????? ???????.
? ??????????? ????????? MatLab ??? ???????????? ??????
? ???????????? ????????? ???????????? ??????? ss:
>> sys = ss(A, B, C, D)
????????:
>> sys = ss([1 0 0;0 1 0; 2 3 4], [0; 0; 1], [1 0 0], 0)
a=
x1 x2 x3
A
U(t)
B
? (t)
X
?
X(t)
Y(t)
C
D
???. 1. ????????? ??????? ? ???????????? ?????????
4
x1 1 0 0
x2 0 1 0
x3 2 3 4
b=
u1
x1 0
x2 0
x3 1
c=
x1 x2 x3
y1 1 0 0
d=
u1
y1 0
Continuous-time model.
5
2.???????? ?? ???????????? ??????? ?
? ?????????? ?????????
???????????? ??????? (??) ??????? ????? ???:
W (s)=
bm sm + ? + b1s + b0
sn + an-1sn-1 + ? + a1s + a0
.
????? ???????? ??????????? ?????????? ???????? ??, ? ????? ????????? ?? ??????????????, ?????? ???????????? ???????.
??????????? ???????? ??????? ???????????? ?????????????
????????, ??????? ??? ????????? a0 ? b0 ????? ???? ???????? ??
???????
b
K= 0 .
a0
???????????? ???????? ???????????? ????????????? ???????
?? ?? ??????????? ?????????.
????? ?????????? ????????? ????????????, ????? ? ??? ?? ??
????? ??????????????? ?????? ?????? ? ???????????? ?????????,
?????? ???? ???????????? ???????????? ????? ?????????????, ??
??????? ?? ?? ? ?????????? ????????? ????? ???????????, ????????, ??? ??????? 3-?? ???????:
W (s) =
b2 s2 + b1s + b0
s3 + a2s2 + a1s + a0
�
י 0
י 0ש
1
0 ש
ך
ת
ך ת
? =ך 0
X
0
1 תת X + ךך0תת u,
ך
ך-a -a -a ת
ך1 ת
1
2 �ת
כך 0
כך �ת
y = יכ b0 b1 b2 ש� X.
????? ? MatLab ??????? ???????????? ???????:
>> w=tf([2 2],[3 4 1])
Transfer function:
2s+2
--------------3 s^2 + 4 s + 1
6
??????? ?? ?? ? ???????????? ????????? ??????????? ????????:
>> w1=ss(w)
a=
x1
x2
x1 -1.333 -0.6667
x2 0.5
0
b=
u1
x1 2
x2 0
c=
x1 x2
y1 0.3333 0.6667
d=
u1
y1 0
Continuous-time model.
?????????? ?????? ????????????? ???????????? ????? ????????????? (? ????????? ?? ?????????????? ???????).
???????????? ????? ????????????? ????? ???????? ? ??????? ??????? ???????????? (??? ??????? ???????????: P = P?1 = PT):
י 0 0 0 ... 1 ש
ך
ת
ך 0 0 0 ... 0 ת
ך
ת
P = ךך... ... ... ... ...תת ,
ך 0 1 0 ... 0 ת
ך
ת
ך 1 0 0 ... 0 ת
ת�
כך
A1 = PAP,
B1 = PB,
C1 = CP.
??? ??????? 2-?? ???????:
>> P=[0 1; 1 0]
P=
0 1
1 0
>> A=P*w1.a*P
A=
0 0.5000
-0.6667 -1.3330
>> b1=P* w1.b
b1 =
7
0
2
>> c1=w1.c*P
c1 =
0.6667 0.3333
??? ???????????? ?????? ?????????? ????? ????????? ???????? ?????? ? ??????????? ?? ?? ????????? ?????????.
???? ??????? ? ???????? ?????? ???????? ?????????? ??????????, ?? ???????????? ??????? ??????????? ??????? ?????????? ????? ??????? A, B, C.
W (s) =
Y (s)
-1
= C (sI - A ) B.
U (s)
????????????? ?????? MatLab:
>> w2 = ss(w1.a, w1.b, w1.c, w1.d);
>> w3 = tf(w2)
Transfer function:
0.6667 s + 0.6667
---------------------s^2 + 1.333 s + 0.3333
????????:
W (s) =
8
2s + 2
2
3s + 4s + 1
=
0.6667s + 0.6667
2
s + 1.333s + 0.3333
.
3.??????? ????????? ??????? ??????? ??????????
??? ??????? ?????? ? ???????????? ????????? ?????? ????????
????? ???????? ????????????? ? ?????????????.
???????, ??????????? ????????? ? ? ?, ?????????? ?????????
???????????, ???? ?? ????? ????????? ?? ?????? ?????????? ????????? X(0) ? ????? ???????? X(t) ? ??????? ?????????? U(t) ??
???????? ?????.
????????????? ??????? ??????????? ????????:
rank יך B; AB; A 2 B; ... A n-1 Bשת = n.
כ
�
??? ??????? ? ????? ?????? ? ????? ??????? ??????? ????????????? ????? ?????? n׳n:
W = יך B; AB; A 2 B; ... A n-1 Bשת .
כ
�
???? ??????????? ???? ??????? ??????? ?? ????, ?? ???????
??????????.
??????? ????????????? ????? ???? ????????? ? ???????
??????? ctrb, ??????? ?????????? ????????? ????:
>> W = ctrb(A, B)
>> W = ctrb(sys)
>> W = ctrb(sys.A, sys.B)
????????? ??????, ?????????? ???????
>> W = ctrb(w2)
W=
2.0000 -2.6667
0 1.0000
>> det(W)
ans = 2
??????? ??????????.
???????, ??????????? ????????? ? ? ?, ???????? ???????????
????? ? ?????? ?????, ????? ?????????? ???????? ????? ? ?????, ???
????????? ????????? X(0) ????? ???? ?????????? ? ?????????? ?????????? ???????? ?????????? y(t), t ? T ??? ???????? ?????????? u(t)
????????????? ??????? ??????????? ????????:
T
rank יך ׁ; ׁA; CA 2 ; ... CA n-1 שת = n.
כ
�
9
??? ??????? ? ????? ?????? ? ????? ??????? ??????? ????????????? (???????? n ׳ n) ????? ???:
י ׁ; ׁA; ׁA 2 ; ... ׁA n-1 שT .
ךכ
ת�
???? ??????????? ???? ??????? ??????? ?? ????, ?? ??????? ??????????.
??????? ????????????? ????? ???? ????????? ? ??????? ??????? obsv, ??????? ????? ????? ?????????? ? ????? ?? ?????????:
>> N = obsv(A, ?)
>> N = obsv(sys)
>> N = obsv(sys.A,sys.?)
????????? ??????, ?????????? ???????
>> Q = obsv (w2)
Q=
0.3333 0.6667
-0.1111 -0.2222
>> det(Q)
ans = 0
?????????????, ??????? ?? ??????????.
10
4.?????????? ??????????
?????????? ???, ??????????? ???????? ????????????????
?????????? ? ??????????? ?????:
(an sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 )y(t) =
= (bm sm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0 )u(t).
????? ??????? ????? ????????? ????????????? ????????????????? ????????? ?????? ? ???? ???? ?????????:
y(t) = yB + yCB (t),
??? yB ? ??????????? ? y?B ? ????????? ???????? ???????.
??????????? ???????????? ??????? ????????? ?? ?????????
????????????????? ????????? ?????????????? ? ???? ???? ??????????? ? ????? ? ?????? ?????? ?????????, ??? ??? ??? ?????????????? ???????? ???????? ??????? u??? ????????:
a0 yB = b0uףסע
b
� yB = 0 uףסע .
a0
????????? (??????????) ???????????? ?????? ??? ????? ??????? ??????????? ????????????????? ?????????:
(an sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 )y(t) = A (s)y(s) = 0,
??? A(s) ? ?????????????????? ??????? (??????????? ??).
??????? ????? ???:
n
yֲׁ (t) = ׁ1e?1t + ׁ2 e?2t + ... + ׁn e?nt = ו Ci e?it .
i=1
??? ?i ? i-? ?????? ??????????????????? ????????, Ci ? i-? ?????????? ??????????????, ???????????? ?? ????????? ???????.
???? ? ??? ????? ????????? ???????????? ??????? ????????????????? ?????????. ????? ????????? ??? ?????????? ????????
???????.
????? ??????????????????? ???????? ????? ???? ??????? ?????:
1.?????????????? ???? ? = ?. ????? ?????? ???? ????????????
??????? ????:
y(t) = ׁe?t .
11
??? ? < 0 ???????? y(t) ????? ??????? ?? ???????, ? ??? ? > 0 ?
??????????.
2.???????????-???????????? ????: ?1,2 = ? ± j?. ????????????
??????? ????? ???:
y(t) = ׁ1e(?+ j?)t + ׁ2e(?-j?)t = Ae?t sin(?t + ?).
????? ????????? ????????? ???????? ??????????, ??????? ????? ???????? ?? ????????? ??? ? < 0, ? ????? ??? ? > 0.
3.?????? ?????? ?????. ? ???? ?????? ? = 0, ?
y(t) = ׁ1e j?t + ׁ2e-j?t = A sin(?t + ?),
????????? ????? ????? ?????????? ?????????.
4.???????? ??????. ? ???? ?????? ? ?????????????????? ????????
A (s) = an sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 .
??????????? ????????? ????: a0 = 0.
????? ??????? ????????? ?? ??????? ????????????, ? ??? ?????
????????? ???????? ???????? ?????????????? ???????? ? ????????? ?????????? (??????? ????????? ? ?????) ??? ?????????? (??????? ?? ?????????).
???? ?????????? ????? ??????????????????? ????????? ??????? ??????? ?? ??????????? ?????????, ?? ????? ??????? ???????????? ???????? ??????? ????? ?????????????? ??? ???: ????????
???????????? ??????? ???????? ???????????? ???? ??????? ??
? ????? ??????????? ?????????????.
????????? ?????? ???????????? ???????????? ????? ????????
?????? ?? ?????????, ??? ??????? ?????????????? ???????? ???????????? ??????? ????????? ???????.
?????? ?????????? ??????????? ????????
u(t) = -KX(t), (2)
??? K ? ??????????? ?????? ?????????????, ??????? ?????????
????? ??? ?????????? ?????????? ???????.
??????? (2) ????????????, ??? ???? ?????????? ???????????
? ?????????? ?????? ????????? ? ???????????? ?????????. ?????
??? ????????? ????????? Xg(t) ???? ???????????? ?????????
u(t) = -K ( X(t) - Xg (t)) = -KX(t) + g(t).
12
A
g(t)
dX(t)/dt
B
u(t)
?
X(t)
C
Y(t)
K
???. 2. ????????? ????????? ???????
? ???????????? ?????????
?????????? ????????? ????????? ????????? ???????
? (t) = AX(t) + B(-KX (t) + g(t));
ל
ן
X
ן
ם
ן
ן
מY (t) = CX(t).
(2)
??? g(t) ? ???????? ??????? ?????? (???????).
???? ?????????? ????????????? ?????????, ??????????? ?? ???. 2.
????????? ???????? ??????? (??? g(t) = 0) ??????????? ??????????:
? (t) = AX(t) + Bu(t),
ל
ן
X
ן
ם
ן
ן
מu(t) = -KX(t).
�
? (t) = ( A - BK) X(t).
X
??? K ? ?????? ????????????? ???????? ?????.
??????? ????? ????????? ???????????? ????????
X(t) = e( A-BK)t X(0).
?????????????, ???????????? ? ?????????????? ???????????
???????? ? ??????? ???????????? ???????????? ??????? ???????
A ? BK.
???????? ??????? ?????????? ?????????? ??????, ??? ???? ???????? ???????????? ??????? ???????? ???????????, ?? ????????
???????? ????? ????? ???? ??????? ????? ???????, ??? ???????
(? ? ?K) ????? ????? ???????? ?????? (???????? ????????????
??????? ????????? ???????).
13
5.?????? ????????? ??????? ?
????????? ???????
?????? ??? ?????????? ??????? ??????????? ? ?????? ????????? ???????????? ??????? ????????? ??????? (?. ?. ????????????
????????? ??????). ???? ????? ????? ??????? ????? ?????????:
1.????????????? ???????? ???????? ???????? ???????.
2.?????????? ??????????? ?????????????? ?????, ????????
???????????? ??????? ????????? ???????.
?????????? ???????? ???????? ????????. ??? ?????? ?????????????? ??????? ???????????? ??????? ??????? ???????????? ?,
??? ??????? ?????????? ?????????? ???????? ???????????? ?????
?????????? ? ?????? ??? ????? (???. 3, ??? ??????? ???????, ????? ????????? ? ?????? ??? ???????? ???????????? ?????? (?????), ? ???????, ????? ? ?????? ??? ????? ???? ??????????-??????????? ?????? (??????)).
?????, ??????? ?????????? ?? ?????? ???????????? ?????,
???? ? ?????????? ???????? ???????? ???????? ?????????? ????????????. ????? ????? ???????? ?????????????.
???? ??????? ????????????, ????? ??????????? ??????? ?????
??????????? ???????? ?? ???????:
3
tֿ » .
?
??? ?????? ??????????? ??? ???????????? ???????? ?????????? ?? ?????? ??? ?????? ?? ?????? ???????. ??? ??????? ???????
??????? ???????????? ??????.
????? ???????????? ??????? ??????????? ????????????????.
??????? ????? ?????????? ? ??????????, ???? ??????????????????
????????? ???????? ??????????? ????? ?1,2= ?? ± j?.
Im
Im
?
?
Re
???. 3. ??????? ??????? ????????????
14
Re
??????????????? ??????????? ?? ???????:
µ=
?
.
?
???? ??????? ????? ????????? ??????????-??????????? ??????, ?? ?? ????????????? ???????? ?????????? ???? ???????????
??????, ??? ??????? ? ????????? ?????????? ?????????.
?? ???????? ??????????????? ????? ??????????? ??????? ?????????????????
-
?£e
?
µ
100%.
??????? ?????????, ??? ???????????? ?????????????? ???????
(?????????? ???????) ??????? ?? ?????? ?? ???????????? ???????
??, ?? ? ?? ???????????? ?? ?????. ??????? ???????????? ???????, ????? ?????? ????????????? ???????????? ????????? ???????,
?? ?????? ?????????? ???????? ????????????? ????? ?? ?????? ????????? ? ?????????.
?????????? ????????????? ??????????? ?????????.
???? ?? ????????? ???????? ??????????? ? ??????????? ???????????? ???? ?????? ??????????????????? ?????????. ??????
?????? ? ?????? ???? ?????????????, ? ???????? ??? ?????? ?0
???????????? ???????????? ? ??????????????. ????? ????? ??????????????????? ????????? ?????????? ? ????? ??????? (s + ?0)n,
???????????? ???????, ????? ???????? ??????????? ????????
????????????? ??????????????????? ?????????. ????????????
??????????? ????? ??? ?????? ?? ?????????? ??????? ????? ???:
s + ?0 ,
s2 + 2?0 s + ?20 ,
s3 + 3?0 s2 + 3?20 s + ?30 ,
s4 + 4?0 s3 + 6?20 s2 + 4?30 s + ?40 ,
s5 + 5?0 s4 + 10?20 s3 + 10?03 s2 + 5?04 s + ?50 ,
s6 + 6?0 s5 + 15?20 s4 + 20?30 s3 + 15?40 s2 + 6?50 s + ?60 .
??? ????? ??????? ?????????????? ?????????????? ???????????
????????. ??? ?????? ?0, ??? ?????? ????? ??????????? ????????,
?????????
3
tֿ »
.
?0
15
?????????? ????????????? ???????? ??? ?0 = 1. ?????? 6-??
????????? ??????? ????????????? ???????, ?????????? ?? ???. 4.
????????? ?????????? ????????? ????????? ? ????. 1.
?????????? ? ?????? ??????????? ?????, ???????? ????? ???????????, ? ???????????? ? ??????? ????? ?????? ?????????????
? ????? ????????????? ?? ?????????? ??????? ?0 ?? ??????????
??????? ??????????? ???? ?? ????? (???. 5).
??????????? ????? ??????????? ??? ?????? ?? ?????????? ??????? ????? ???:
s + ?0 ,
s2 + 1,4?0 s + ?20 ,
s3 + 2?0 s2 + 2?20 s + ?30 ,
s4 + 2,6?0 s3 + 3,4?20 s2 + 2,6?30 s + ?40 ,
s5 + 3,24?0 s4 + 5,24?20 s3 + 5,24?30 s2 + 3,24?04 s + ?50 .
Step Response
1
0,9
0,8
0,7
0,6
Amplitude
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
10 12
Time (sec)
14
16
18
20
???. 4. ????????????? ?????????? ???????
(???????????? ??????????)
??????? 1
????????? ?????????? ????????? ??? ????????????? ?????????
n
1
2
3
4
5
6
tp, c
?, %
3
0
4,8
0
6,3
0
7,8
0
9,2
0
10,5
0
16
Im
Im
0
?? 0
Re
Im
0
?? 0
Re
0
?? 0
Re
???. 5. ????????????? ??????????? ??? ?????? 3, 4 ? 5-?? ???????
??????? 2
?????? ????????? ??????????? ??? ?????? ?????????? ???????
n
??????
2
3
4
5
?0,5?0 ± j 0,87 ?0
?0,57?0, ?0,215?0 ± j 1,31 ?0
?0,395?0 ± j 0,505 ?0, ?0,105?0 ± j 1,57 ?0
?0,41?0, ?0,235?0 ± j 0,88 ?0, ?0,06?0 ± j 1,7 ?0
Step Response
1,4
1,2
1
0,8
Amplitude
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10 12
Time (sec)
14
16
18
20
???. 6. ????????????? ?????????? ???????
??? ????????? ???????????
??????? ??????????? ???????????? ???????? ????? ???????????
???????? ? ????????????????? ? ???????? 15%. ??? ?????? ???????? ?????? ?????????? ??????? ? ????????? ??????????????????
17
??????? 3
????????? ?????????? ????????? ??? ????????????? ?????????
n
1
2
3
4
5
tp, c
?, %
3
0
2,9
4,5
6
8
6,8
11
7,7
13,5
???????????????? ??????????????? ????????. ???????? ???????
????? ?????????? ?? ?????????????? ???????????.
? ????. 2 ????????? ?????? ????????? ??????????? ??? ??????
2?5 ???????.
?????????? ????????????? ???????? ??????????? ??? ?0 = 1.
?????? 5-?? ????????? ????????????? ???????, ?????????? ??
???. 6. ????????? ?????????? ????????? ????????? ? ????. 3.
18
6.??????? ????????????? ???????? ??????
???? ????? ???????? ?????????????????? ??????? ?????????
???????
q(s) = sn + a1sn-1 + ... + an ,
?? ?????????? ?????? ????????????? ???????? ?????? K ?????
? ??????? ??????? ?????????, ??????? ????? ???:
-1
K = יכ0 0 ... 0 1ש� יך B AB A 2 B ... A n-1 Bשת ´
כ
�
n
n-1
י
ש
... +a1 A +a0 I ת .
´ך A
+an-1 A
כ
�
?????????????? ??????? ? ??????? ???????? ????? ????? ? [1].
? ??????? MatLab ?????? ????????????? ???????? ?????? ??????????? ???????? acker. ????????:
>> A=[0 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> P=[-1 -3];
>> K=acker(A,B,P)
K=
1 7
????? ?????? P ?????? ???????? ???????????? ??????? ????????? ???????.
??? ????????????? ??????? ??????? ???? ?????? ??????? C ?
D, ????????:
>> C=[1 0];
>> D=0;
?????? ??????????? ??????? ? ???????????? ?????????:
>> sys = ss(A, B, C, D);
??????? ?? ?????? ????? ????????? ????????:
>> step(sys)
??? ??????? ?????? ?????? ??????????? ????????, ???????????
?? ???. 7.
?????? ????????? ??????? ? ???????????? ?????????:
>> sys = ss(A?B*K, B, C, D);
19
4,5
׳ 10 6
Step Response
4
3,5
3
2,5
Amplitude
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
???. 7. ??????? ?? ????????? ?????? ??????????? ???????
??????? ?? ?????? ????? ???????????? ???????? step:
>> step(sys)
?????? ??????????? ????????, ??????????? ?? ???. 8, ????????????? ?????????? ???????.
Step Response
0,35
0,3
0,25
0,2
Amplitude
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
???. 8. ??????? ?? ????????? ?????? ????????? ???????
20
??? ?????????? ???. 8, ?????????????? ???????? ????????? ??????? ?????????? ?? ?????????. ??? ????????? ??????????? ?????????? ???????, ??? ??????? ???????? ?????? ??????????? ????????
????? ? ???????????? ??????????? ????????, ?? ?? ??????????????
????????????? ???????? ??????? ????????? ???????.
???????? ???????? ????? ???????? ??????????????? ???????????? ??? ???????? ???????????.
?????????????? ??????????? ?????????????? ?? ???????:
(
-1
km = -C ( A - BK )
)
B .-1
????????:
>> A=[0 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> C=[1 0];
>> K=[1 7];
>> km=inv(-C*inv(A-B*K)*B)
km =
3
??? ???????? ????????????? ???????, ??????????? ?? ???. 8.
? MatLab ?????????? ??????????? ??????? dcgain, ? ???????
??????? ????? ?????????? ??????????? ???????? ? ?????????????? ??????. ?????? ????????????? ???? ???????:
>> sys=ss(A-B*K,B,C,0);
>> dcgain(sys)
ans =
0.3333
???????? ??????? ?? ??? ????????, ????? ????? ?????????????? ???????????.
21
7.?????????????? SIMULINK MATLAB
? ?????????? Simulink ?????? MatLab ??????? ???????????
???? State space (???. 9) ??? ???????? ???????, ???????? ??????????? (1).
?????? ????? ????? State space ?? ????????? ???????????????
????????? ????????? ???????, ? ??? ????????? X ?? y ????????? ???????????? ??????????? ??????????.
??? ???????? ?????? ? Simulink ????????? ???????????? ????
gain (???. 10).
???? gain ????????? ??????? ??????? ????????????? K, ??????? ? ??????????? ?? ????? ??????????? ????? ???? ??????????
??? ????????.
???? ??????? ??? ????????? ? ??????? ???????????? MatLab, ??
?????????? ??????? ?? ???????? (???. 11).
????? ????? ??????????????? ??????? ??????? ? ????? gain
(???. 12).
??????? ???????? ????? (???????????? ?????? u) ????? ????
????????? ???????? ??? ??????. ?????????????? ???????? ??????
???????? ???????? ????????? (??. ???. 12).
?? ???. 13 ???????? ?????? ? Simulink, ??????????????? ??????? (2).
x? = Ax+Bu
y = Cx+Du
State-Space
???. 9. ???? ??? ???????? ???????
??????????? ?????????
1
Gain
???. 10. ???? ???????? ?????????????
22
???. 11. ???? ??????? ? ??????? ???????? ?? ????????
???. 12. ???? ??????? ? ??????? ???????? ?? ????????
23
?? ???. 14 ???????? ?????????? ??????? ? ???????. ??? ????????? ??????? ???? ????????? ? ????? To Workspace ???????? Save
format: Array, ????? ????????? ????????????? ? ???????????? ???????:
>> plot(tout,simout)
>> grid
>> xlabel(?t?); ylabel(?y(t)?);
K*uvec
A
K*uvec
km
1
s
K*u
Step
Subtract
Add
B
C
Integrator
Scope
K*uvec
simout
To Workspace
???. 13. ??????? ? ????????? ??????????? ? MatLab Simulink
1
0,9
0,8
0,7
0,6
y(t)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
t, c
6
7
8
9
???. 14. ?????????? ??????? ? ???????
? ????????? ???????????
24
10
8.???????? ? ??????????? ???????? ?????????
??? ????????????? ?????????? ?????????? ????????? ???????
????????? ??????? ????? ??????????? ????? ???????? ???????????? ? ?????? ??????????.
?????????? ??????????? ?????? ????????? ???????
יXש
Xr = ך ת ,
ךeת
כ �
??? ?????????? e(t) ??????????? ?? ?????? ??????????? (???. 15).
??? ??????? ? ??????????? ???????? ?????????
י A 0ש
ת;
Ar = ך
ך-C 0ת
כ
�
י Bש
Br = ך ת ;
ך0ת
כ �
יCש
Cr = ך ת .
ך0ת
כ �
? ???????????? ? ???. 15 ????? ????????
e?(t) = g(t) - CX(t).
u(t) = -k1e(t) - KX(t).
????? ???????,
י X(t)ש
ת = Kr Xr .
u(t) = יכ K ki ש� ך
ך e(t) ת
כ
�
?????????? ??????? ??????.
>> A=[0 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> C=[1 0];
>> Ar=[A(1,1) A(1,2) 0; A(2,1) A(2,2) 0; -C 0]
Ar =
0 1 0
-2 3 0
-1 0 0
>> Br=[B; 0]
Br =
0
1
0
>> P=[-1 -3 -1];
>> K=acker(Ar,Br,P)
K=
5 8 -3
25
26
Constant1
1
1
e?(t)
e(t)
ki
u(t)
K
X? r = Ar X + Br u
X r (t)
k
-KSubtract4
Subtract5
Kr
K*uvec
Br
K*u
Integrator3
s
1
Ar
K*uvec
???. 15. ????????? ????????? ? ????????????
?
Cr
???. 16. ????-????? ?????????? ?????????? ? ????????????
s
Subtract3 Integrator2
g (t)
Y(t)
Cr
K*uvec
Scope1
????? ????????????? ???????? ?? ???. 16, ??? Kr = [K(1) K(2) 0];
k = -K(3);
?? ???. 17 ????????? ?????????? ???????? ? ??????? ? ???????????? ? ??? ???????????.
??? ????? ???????? ???????? ??????? ????????? ???????? ??????? ????????? ???????, ???????? ?????? ?????????:
יXש
ך ת
Xrr = ךך e תת ,
ך e? ת
ךכ ת�
??? ??????? ? ??????????? ???????? ?????????
י A 0 0ש
י Bש
יCש
ך
ת
ך ת
ך ת
Ar = ךך-C 0 0תת ;
Br = ךך 0 תת ;
Cr = ךך 0 תת .
ך 0 1 0ת
ך0ת
ך0ת
כך
�ת
כך �ת
כך �ת
????????? ??????? ???????????? ?? ???. 18.
?????????? ??????.
>> A=[1 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> C=[1 0];
>> Ar=[A(1,1) A(1,2) 0 0; A(2,1) A(2,2) 0 0; -C 0 0; 0 0 1 0]
1,4
1,2
1
0,8
y(t)
b
0,6
0,4
a
0,2
0
0
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
???. 17. ?????????? ??????? ? ??????? ??? ??????????? (a)
? ? ???????????? (b)
27
28
Sine
Wave
e?(t)
?
kd
e(t)
ki
?
u(t)
K
Xr (t)
X? r = Ar X + Br u
Cr
Y(t)
Subtract1
Integrator1
1
s
Kr
K*uvec
1
s
K*u
Integrator3
Subtract4 Br Subtract5
???. 19. ????????? ????????? ? ? ????? ?????????????
kd
-K-
1
-Ks
Subtract3 Integrator2 ki
Ar
K*uvec
Cr
K*uvec
???. 18. ????????? ????????? ? ??????????? ???????? ?????????
g(t)
Scope1
Ar =
0 1 0 0
-2 3 0 0
-1 0 0 0
0 0 1 0
>> Br=[B; 0; 0]
Br =
0
1
0
0
>> Cr=[C 0 0]
Cr =
1 0 0 0
>> P=[-3 -3 -3 -3];
>> K=acker(Ar,Br,P)
K=
52 15 -108 -81
?? ???. 19 ????????? ????-????? ?????????? ??????????, ??
???? ??????? ???????? ?????????????? ????????? ??????.
?? ???. 20 ???????? ?????????? ???????? ? ???????.
1,5
1
0,5
b
a
c
y (t) 0
?0,5
?1
?1,5
0
2
4
6
8
10
t
12
14
16
18
20
???. 20. ??????? ?? ?????????????? ??????? ??????:
a ? ??????? ??????; b ? ????? ??????? ? ????? ?????????????;
? ? ????? ??????? ? ????? ????????????
29
9.???????????? ?????????? ??????? ???????
????? ?????????? ?????????? ????????????, ??? ??? ?????????? ??????? ????????? X ????? ???? ????????, ?? ?? ???????? ????????? ?????????? ????? ???? ?????????? ?? ????? ?? ???? ??????:
??????????????? ???????? ????? ???? ????????????;
??????????? ?????????? ??????? X ????? ?? ????? ???????????
??????.
?????? ???? ??????? ???????? ???????????, ?? ??? ??????????
??????? X ????? ???? ????????????? ?? ??????????? ??????? Y.
??????????? ?????????? ??????? ??????? ???????????? ?????
???????????? ???????, ??????? ???????? ??????? ???????:
?
?
לןX? = AX
+ BU,
ן
ם
?
ןן Y? = CX
(3)
.
ןמ
?
?
??? X(t) ? ?????? ????????? ???????, Y (t) ? ?????? ??????.
???? ????????? ????????? ??????? ? ?????? ?????????, ? ??????
????????? ???????, ?? ????? ???????? ? ????? ?????? ???????, ???
?
X(t) = X(t).
?????? ??????????? ???????? ?????? ???????????? ??????? ?
?????? ??????????, ?????? ???????? ? ??????? ????????? ????????? ???????. ??????? ?? ???????? ????? ???????????? ???? ??
?????????? ???????
?
lim X(t) = X(t).
t®¥
???????? ????????? ???????? ??? ?????????? ??????????????? ??????????? ??????????.
??????????????? ??????????? ?????????? ?????????? ????????
????? ?? ?????? ?????????????? ??????? ?????????, ??? ??? ??????
??????? ? ??????????? ??????????? ??????????? ???????????:
??
?
?
?
ל
ן
X
(t) = AX(t) + BU (t) + N (Y (t) - Y (t)) = AX (t) + BU (t) + NׁE(t),
ן
ן
?
?
ן
ן
םY = CX(t),
ן
?
ן
ן
U (t) = KX(t).
ן
ן
מ
??? N ? ??????? ?????????? ???????????? ??????????.
?? ???. 21 ???????? ????-????? ??????? ? ??????????? ? ????????????.
30
??????
A
g(t)
? (t)
X
B
ע
B
ע
C
?
Y (t) - Y (t)
N
??
X
(t)
Y(t)
X(t)
?
X(t)
C
?
Y (t)
A
???????????
U(t)
K
?
X(t)
?????????
???. 21. ??????? ? ???????????? ? ???????????
????? ????????
?
E? = X? - X? = ( A - NC) E,
??????? ????? ????????? ???????????? ????????
E(t) = e( A-NC)t E(0).
????? ???????, ???? ??????????? ????? ??????? A ? NC ?????
????????????? ???????????? ?????, ?? ? ???????? ??????? ?????? ????????? ?????????? ?? ????. ??????????????, ??? ??????? ??????????? ????? ??????? ????????? ?????? ???????????????????
?????????:
?I - ( A - NC) = 0.
31
???????, ??? ???????? ? ??????????? ?????? ????????? ?????
??????, ??? ?????????? ??????? ? ???????. ??????????? ???????????, ??? ??????????? ?????? ???????? ???????????????, ? 2?4
???? ??????????? ?????????????? ???????.
?????????? ?????? ??????? ?????????? ? ???????????? ??????? ??????? ? MatLab Simulink, ????????? ?????? ???????????
??????? (???. 22).
??? ??????? ?????????? ??? ????? ?????? ??????? ????????
????????? ???????:
>> P=[-1 -3];
??????? ??? ???????????? ?????????? ??????, ?????????????? ??????? ??????????????:
>> P1=[-2 -6];
????????? ???? ??????? acker ????? ???? ????????? ? ??? ??????? ????????????? ???????? ?????? ??????????? ?????????? ???????. ??? ????? ???? ??????????????? ??????? A ? ???????? B ?? ??:
>> N1=acker(A?,C?,P1);
>> N=N1?
N=
11
43
km
Step
x? = Ax+Bu
y = Cx+Du
Subtract
Scope
State-Space
K*u
N
1
s
Integrator
K*u
B
Subtract1
K*uvec
C
Add
K*uvec
K*uvec
A
K
???. 22. ??????? ? ???????????? ? ???????????
32
????? ??????? ????? ????? ?????????, ??? ?????????? ???????
????????? ????????????? ???. 14, ????????? ????????? ?????????
??????? ? ??????????? ?????????.
?????????? ??????? ????? ?????????? ?? ?????????? ? ???? ?????????:
1.????? ?????? ?? ??????????? ?????? ????????? ?????????? ??
?????????.
2.????? ??????? ??????, ??????????? ?? ???? ???????????,
? ????? ????? (???? Band-Limited White Noise) ???????? ?????????????.
33
10. ??????????? ?????????? ?
??????????? ???????
????????????? ???? ????????? ???????????? ?????????? ???????? ????????? ?????????????. ???????????? ?????????? ? ???,
??? ??????????? ?????????? ????????? ???? ?????? ?????????? ????????? X(t), ???? ????? ????????? ??????? ????????? ????? ????
??????????????? ????????. ??? ???????????? ????? ????????? ????? ??????? ??????????????? ???????????? ??????????, ???????
???????? ??????, ??? ??????? ????????? ????????????? ???????.
????? ????????? ???????? ?????? m ????????? ??????? ????????? X(t). ????? ?????? ?????????? ????????? ????? ???????????
????????? ???????
י Y (t) ש
ת,
X(t) = ך
ךW (t)ת
כ
�
??? Y(t) ? ?????? ??????????? m (?????????? ??????????), W(t) ?
?????? ??????????? n ? m (?? ?????????? ?????????? ??????? ?????????).
????? ????????? ?????? ??? ??????? ?????????? ????? ??????????? ????????? ???????
י Im ש
C = ך ת,
ך0ת
Y (t) = C X(t),
כ �
T
??? Im ? ????????? ??????? ??????? m׳ m, 0 ? ??????? ???????.
? ?????????
X? (t) = AX(t) + BU (t).
??????? ? ? ?????? ? ?????????? ? ??????? ?????:
י A11
A=ך
ך A21
כ
A12 ש
ת,
A22 ת�
י B1 ש
B = ך ת,
ך B2 ת
כ �
??? A11 ? ??????? ??????? m׳ m, A12 ? ??????? ??????? m׳ (n ? m),
A21 ? ??????? ??????? (n ? m) ׳ m, A22 ? ??????? ??????? (n ? m) ׳
(n ? m), ??????? ?1 ? ?2 ????? ?????? m ? n ? m.
????? ????????? ????????? ????? ?????????? ????????? ???????
?
ל
ן
ןY (t) = A11Y (t) + A12W (t) + B1U (t),
ם ?
ן
(4)
ן
מW (t) = A21Y (t) + A22W (t) + B2U (t). 34
???? ?????????? ????????????? ??????????? ?????, ??????????? ?? ???. 23.
???? ??????? ??????????????? ???????????? ?????????? ??????????? ? ?????????. ????????, ??? ?????? ?????? Y(t), ???
??????????? ? ??????? ?????? U(t) ???????? ??? ?????????. ?????
???????? 1-?? ????????? (4) ????? ????????? ??????
Z (t) = A W (t) = Y? (t) - A Y (t) - B U (t).
12
11
1
?????????? ????? 2-? ????????? (4). ??? ????? ??????? ???????
??????? ? ???????? ????????? W(t):
? (t) = A W (t) + ( A Y (t) + B U (t)).
W
22
21
2
????????? ? ?????? ????? ????????????? ? ???????? ????????
???????????.
???????? ????????????? ????? ??? ??????? ???????????????
??????????? ???????? ???????????: «???? ??????? A, C ????????
????????? ?????????????, ?? ?????????? ????????????? ????????
? ?????????? A22, A12».
????? ???????, ?????? ???????????? ??????:
?
ל
ן
ןW (t) = A22W (t) + ( A21Y (t) + B2U (t)),
ם
?
ן
ן
מZ (t) = A12W (t) = Y (t) - A11Y (t) - B1U (t).
?????? ?? ???? ????????? ????????? ???????? ???????, ? ?????? ???????? ?????????? ?????? (???. 24).
??? ????, ????? ???????? ?????????????? ?????? ??????????????? ???????????? ?????????? ????????????? ????? ??????????
???????????? ?????????? ??????? ???????, ??????? ??? ? ????:
?
?
X? (t) = ( A - NC) X(t) + NY (t) + BU (t).
B1
? ( t)
W
U(t)
B2
?
W(t)
Z(t)
? (t )
Y
A12
Y(t)
?
A11
A22
A21
???. 23. ??????? ? ?????????? ???????
35
Y(t)
A21
U(t)
? (t)
W
B2
ע
W(t)
A12
Z(t)
A22
???. 24. ????????? ????????????? ???????
??? ??????????????? ???????????? ?????????? ??????? A ????? ??????????????? A22, ??????? C ? A12 (??. ???. 18).
??????? N ????? ??????????????? ??????? L, ?????????? ???????????? ???????? ?????? ??????????????? ????????????
??????????. ?????? ??????? ????????????? Z(t). ??? ????????????
??????? ? ????. 3.
????? ???????, ???????? ?????? ??????? ????????? ????????????? ???????
??
?
W
= ( A22 - LA12 )W + L(Y? - A11Y - B1U ) + ( A21Y + B2U ). (5)
??????????? ????? ??????????????? ???????????? ??????????
???????? ?? ???. 25.
??? ????, ????? ????????? ?? ???????? ?????????????????,
????????? (5) ? ????
??
?
W
- LY? = ( A22 - LA12 )W + ( A21 - LA11 )Y + ( B2 - LB1 )U =
?
= ( A22 - LA12 )(W - LY ) + (( A22 - LA12 )L + A21 - LA11 )´
´Y + ( B2 - LB1 )U.
??????? 3
???????????? ????????
36
??????????? ??????? ???????
?????????????? ???????????
?
?22
BU
A21Y + B2U
Y
Y? - A11Y - B1U
C
N
X
A12
L
W
Y(t)
d/dt
A21?LA11
L
U(t)
ע
B2?LB1
?
W (t)
A22?LA12
???. 25. ????????? ??????????? ??????????? ???????
?????? ???????????
? = W - LY;
?
?
? = W - LY.
????? ?? ?????????? ????????? ????????:
?
?
?? = ( A22 - LA12 )? + (( A22 - LA12 )L + A21 - LA11 )Y + ( B2 - LB1 )U.
?????? ???????????
?
A = A22 - LA12 ;
?
?
B = AL + A21 - LA11;
?
F = B2 - LB1.
????? ???????, ????????
?
? ?? ?
?? = A? + BY + FU.
??? ????????? ??????????????? ??????????? (??????????? ???????????? ???????).
?????? ????? ??????? ????????? ?????????? ????????? ???????
י Im ש
C = ך ת,
ך0ת
Y (t) = C X(t),
כ �
T
י Y (t) ש י 0 ש ? י 1 ש
?
ת ? + ך ת Y.
X(t) = ךך ? תת = ך
ך
ת
ך Lת
כ �
כךW (t)�ת כ In-m �
37
???
י1ש
? י 0 ש
ת; D = ך ת.
C=ך
ך In-m ת
ך Lת
כ
�
כ �
?
?? ?
X(t) = C? + DY.
???????????? ????????? ??????? ? ?????????????? ???????????? ???????? ?? ???. 26.
?????????? ?????? ??????? ??????? ?????????? ??????????
? ???????????? ??????????? ???????.
????? ???????????? ?????? ????? ????????? ? ????????????
????? ?????????????
י0
1
0ש
ך
ת
A = ךך 0
0
1 תת ;
ך
ת
כך-6 -11 -6ת�
י 0ש
ך ת
B = ךך0תת ;
ך ת
כך1�ת
C = יכ1 0 0ש� .
????????? ????????? ??????????? ?????????? ????????????
???????.
??????
A
X? (t)
g(t)
B
ע
?
X(t)
Y(t)
C
???????????
F
?
X(t)
U(t)
?
?
?
?
ע
??
?
?
B
K
?
A
?
D
???. 26. ??????? ? ???????????? ??????????? ???????
38
1.??????????? ???????????? ???????? ?????, ?????????? ?????? ????????? ??????? ? ????? ?1 = ?2 = ?3= ?3.
>> A = [0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6];
>> B = [0; 0; 1];
>> C = [1 0 0];
>> D = 0;
>> P = [-3 -3 -3];
>> K = acker(A,B,P)
K=
21 16 3
1.??????? ??????????????? ????????????
>> sys=ss(A-B*K,B,C,0);
>> dcgain(sys)
ans =
0.0370
>> km=1/ans
km =
27
3.??????????? ??????? ??????????? ??????????? ???????.
????????? ??? ????? ??????? y = x1, ??????? ??????????? ?????
????? 2.
יyש
יyש ך ת
י 0
1ש
ך
ך
ת
ת;
X=
A11 = 0; A12 = כי1 0�ש ;
= ך x1 תת ; A22 = ך
ךW ת
ך-11 -6ת
כ � ךx ת
כ
�
כך 2 �ת
י0ש
י 0ש
A21 = ך ת ; B1 = 0; B2 = ך ת .
ך-6ת
ך1 ת
כ �
כ �
????? ?????? ??????????? ?????? ????????????? ? ?????:
?1 = ?2 = ?10.
?????????? ???????????? ???????? ?????? ???????????
>> A22 = [0 1; -11 -6];
>> A12 = [1 0];
>> P1 = [-10 -10];
>> N1=acker(A22?,A12?,P1);
>> L=N1?
L=
14
5
39
40
Step
F1
-K-
K
K*uvec
C1
K*uvec
D1
K*u
A1
K*uvec
B1
Integrator
Add
K*u
1
s
F
K*u
State-Space
???. 27. ??????? ? ?????????????? ????????????
Add1
Subtract
x? = Ax+Bu
y = Cx+Du
Scope
????? ?????????? ??????? ???????????.
י 0
י-14 1 ש
?
1 ש י14ש
ת - ך ת י1 0ש = ך
ת
A = A22 - LA12 = ך
� ך-16 -6ת ;
ך-11 -6ת ך 5 ת כ
כ
� כ �
כ
�
י-14 1 ש י14ש י 0 ש י-191ש
?
?
תך ת+ך ת =ך
ת;
B = AL + A21 - LA11 = ך
ך-16 -6ת ך 5 ת ך-6ת ך-260ת
כ
�כ � כ � כ
�
י 0ש
?
F = B2 - LB1 = ך ת .
ך1 ת
כ �
????? ???????, ????????
י-14 1 ש ? י-191ש
י 0ש
?? ?
?
?
ת?+ ך
ת Y + ך ת U.
?? = A? + BY + FU = ך
ך-16 -6ת
ך-260ת
ך1 ת
כ
�
כ
�
כ �
י 0 0ש
ת
? ך
C = ךך1 0תת ;
ך0 1ת
ךכ
ת�
י1ש
? ך ת
D = ךך14תת .
ך5ת
ךכ ת�
?? ???. 27 ????????? ????????? ? Simulink MatLab ????? ?????????? ?????????? ? ???????????? ??????????? ???????.
41
11. ????????? ?????? ?????????? ???????
?????????? ????????????? ? ???????????? ????????? ?????????? ??? ???????????? ?????????? ??????? ??????????.
????????????? ???????? ??????? ? ????? ? ????????, ??? ??????? ?????? ?????????? ????? ?????????? ??????? ?, ? ?????? ????? ????????? ???????? ??????????.
??? ????????? ??????????? ???????? ? ???????????? ?????????
????? ???????????? ?????????????? ???????.
?????????? ????????? ???????????????? ????????? 1-?? ???????
x? (t) = ax(t) + bu,
??? a ? b ? ?????, x ? u ? ????????? ??????????.
?????????? ?????????????? ????? ????????? ?? ???????:
sX(s) - x(0) = aX(s) + bU (s),
X(s) =
x(0)
b
+
U (s).
s-a s-a
???????? ?????????????? ??????? ????? ????????? ????
t
x(t) = eat x(0) + ע ea(t-?) bu(?)d?.
0
??? ??????? ?????????? ??? ??????? ????????????? ????
X(t) = e
At
t
X(0) + ע e A (t-?) BU (?)d?.
0
?????????? ???????? ??????? ?? ????????? ??????????? T, ????????? ??????????? ????????:
X(kT + T) = e At X(kT) +
kT +T
ע
e A (kT +T-?) BU (?)d?.
kT
????????? ?? ????????? ??????????? T ?????????? ?? ??????????: U(t) = U(kT), ????? ????????:
Ad = e AT ,
זT
צק
ח
Bd = חח ע e A (T-?) d?קקק B.
ח
קק
חט 0
ר
42
(??? ?????? ????????? ??????? ????? ??????? kT = 0).
????? ???????,
X(k + 1) = Ad X(k) + Bd U (k).
????? ???????? ??????? ????? ???????????? ?? ???????:
Y (k) = CX(k).
?????????? ??????? ? ???????????? ????????? ???????????
??????????, ??????????? ?? ???. 28:
?????????? ??????.
????? ???? ??????????? ??:
W (s) =
s +1
3
s + 2s2 + s + 1
.
??????? ???????? ? ???????????? ????????? ? ??????? ??????:
>> w=tf([1 1],[1 2 1 1])
Transfer function:
s+1
------------------s^3 + 2 s^2 + s + 1
>> w1=ss(w)
a=
x1 x2 x3
x1 -2 -1 -1
x2 1 0 0
x3 0 1 0
b=
u1
x1 2
x2 0
x3 0
Ad
U(k)
X(k+1)
Bd
X(k)
z ?1
C
Y(k)
???. 28. ?????????? ????? ????????? ?????????
43
c=
x1 x2 x3
y1 0 0.5 0.5
d=
u1
y1 0
??? ?????????????? ???????? ??????? ? ??????????? ????
? ????? ????????????? ? ???????????? ???????:
>> wd = c2d(w1,T, ?zoh?)
????? ?zoh? ? ????????????? ???????? ??????? (?? ?????????).
????????,
>> wd = c2d(w1,0.5,?zoh?)
a=
x1
x2
x3
x1 0.2906 -0.3915 -0.3015
x2 0.3015 0.8937 -0.09002
x3 0.09002 0.4815 0.9837
b=
u1
x1 0.603
x2 0.18
x3 0.03262
c=
x1 x2 x3
y1 0 0.5 0.5
d=
u1
y1 0
Sampling time: 0.5
Discrete-time model.
?? ???. 29 ???????? ????????? ???????? ???????? ???????????
? ?????????? ???????.
???????? ??????? ???????? ????????? ??????????? ????????????? ?? ?????????? ?? ???????? ??????? ??????????? ?????????
???????????. ??? ???? ??????? ????????? ??????????? ????? ? ? ???????? ??????????? ??????? ? ?d ? ???????? ?????????? ???????:
? d = e?T .
44
Step Response
1,8
1,6
1,4
1,2
1
Amplitude
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
25 30
Time (sec)
35
40
45
50
???. 29. ????????? ??????? ???????????
? ?????????? ???????
????????, ???? ???????? ?????? ??????????? ??????? ? = ?2, ?
??? ??????????? ?? ??????? T = 0.5, ??
?d = e?T = 0,3679.
??????? ???????????? ???? ??????? ?????????? ??????? ? ????
?????:
>> Pd=[0.3679 0.3679 0.3679];
>> Kd=acker(wd.a,wd.b,Pd);
?????????? ??????? ????????? ???????? ????
>> SYS = DSS(A,B,C,D,E,Ts)
??? ? ? ?????????? ???????, ??????? ?????? ???????? ???????????? ??? ???????????. ?? ????????? ? = [ ] (?????? ???????).
>> sys=dss(wd.A-wd.B*Kd,wd.B,wd.C,0,[],0.5);
>> step(sys)
???????????? ?????? ??????????? ???????? ???????? ?? ???. 30.
?? ???. 31 ???????? ????????? ??????????? ?????????? ??????????.
??? ???????? ?????? ? ???????? Sample time ??????? ????????
??? ?????????????.
45
Step Response
0,35
0,3
0,25
0,2
Amplitude
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
7
8
9
10
???. 30. ?????????? ???????
? ????????? ?????????? ???????
K*uvec
Gain1
1
z
K*u
Step
Add1
Gain
Add
Unit Delay
K*uvec
Gain2
Scope
K*uvec
Gain3
???. 31. ????-????? ????????? ?????????? ??????????
? MatLab Simulink
??? ????????????? ??????????? ?????????? ?????????? ? ??????????? ??????????? ??? ???????? ??????? ????? ???????????? ???? Discrete State-Space.
46
12. ??????? ?? ???????? ??????
???? ???????? ?????? ??????????? ? ???????? ???????? ?????????????? ????????? ??????????? ? ???????????? ????????????
??? ?????????? ???????????? ????????, ???????? ????????????
???????? 3-?? ???????.
?????????? ???????? ?????? ?????????? ? ????????? ??????:
1.?????????????? ?????? ??????? ? ???? ???????????? ???????
(??????? ?????? ???????) ? ?????? ? ???????????? ????????? ? ??????? ?????? MatLab.?????????? ??????????????? ????? ?????????????, ?????????? ??????? ??????? ?? ????????? ???????????
???????????.??? ????????? ??????? ??????????? ???????? ?????????????? ?????????? ? ???????? ?????? ????????? ???????.
2.?????????? ?????? ? ???????????? ?????????, ??????????? ????????? ???????? ????????????? ? ????????????? ?????????? MatLab.
3.?????????????? ??? ???????? ?????????? ??????????, ???????
???????????? ??????? ????????? ??????? ? ??????? ?????????
??????? ? ???????????.?????????? ? MatLab Simulink ?????? ??????? ? ????????? ???????????.??????????? ??????????????
??????????? ??????????.
4.?????????????? ????????? ????????? ? ??????????? ???????? ?????????? ??? ????????? ??????????? ???????? ??????????? ?
??????????????? ???????.?????????? ?????????? ??????????????.
4.??????????? ??????????? ?????????? ??????? ??????? ? ????????? ? MatLab Simulink ?????? ??????? ? ??????????? ? ????????????.?????????? ?????? ??????? ??? ????????? ????????? ?????????? ? ????? ????????? ?? ?????? ???????.
5.??????????? ??????????? ?????????? ??????????????? ??????? ? ????????? ? MatLab Simulink ?????? ??????? ? ??????????? ?
????????????.?????????? ?????? ??????? ??? ????????? ????????? ?????????? ? ?????.
6.?????????????? ?????????? ??????? ?????????? ??????????
? ??????????? ???????????. ????????? ?????? ??????? ? MatLab
Simulink.
13. ?????????? ???????? ??????
????????????? ??????? ?????? ????????? ????????? ???????? ??????????? ???? ?????? ???????? ??????, ??????? ????????? ???????,
?????????????? ??????? MatLab, ????-?????, ????????? ? MatLab
Simulink, ? ????? ?????????? ??????? ?????????? ?????????.
47
14. ???????? ???????
?
???????????? ???????
1
W (s) =
2
W (s) =
0,1s + 1
3
2
s + 0,01s + 0,01s + 1
s +1
3
2
s + 0,01s + 0,03s + 1
2s + 1
3
W (s) =
4
0,5s + 1
W (s) = 3
s + 0,5s2 + 0,05s + 1
5
6
7
s3 + 0,8s2 + 0,5s + 1
W (s) =
W (s) =
4s + 1
3
2
s + 7s + 0,3s + 1
0.7
s3 + 0,7s2 + 0,02s + 1
3s + 1
W (s) = 3
s + 4s2 + 2s + 1
5s + 1
?
16
17
???????????? ???????
W (s) =
s +1
3
s + 0,05s2 + 0,01s + 1
W (s) =
s +1
3
s + 0,7s2 + 0,1s + 1
0,4s + 1
18 W (s) = 3
s + 0,07s2 + 0,08s + 1
19
0,5s + 1
W (s) = 3
s + 0,03s2 + 0,04s + 1
20
W (s) =
0,2s + 1
3
s + 0,2s2 + 0,04s + 1
21
0,3s + 1
W (s) = 3
s + 2s2 + 0,4s + 1
22
5s + 1
W (s) = 3
s + 0,05s2 + 0,01s + 1
W (s) =
5s + 1
8
W (s) =
9
5s + 1
W (s) = 3
s + 0,5s2 + 0,3s + 1
24
3
W (s) = 3
s + 1,5s2 + 0,2s + 1
10
4s + 1
W (s) = 3
s + 2,5s2 + s + 1
25
0,1
W (s) = 3
2
s + 2s + 0,5s + 1
11
W (s) =
26
s2 + 4s + 1
W (s) = 3
s + 2,5s2 + s + 1
3
2
s + 0,5s + 0,1s + 1
0,5s + 1
3
2
s + 3s + 0,3s + 1
23
3
s + 0,5s2 + 1s + 1
12
0,5
W (s) = 3
2
s + 0,3s + 0,03s + 1
27
0,01s + 1
W (s) = 3
s + 0,07s2 + 0,02s + 1
13
0,8s + 1
W (s) = 3
s + 0,8s2 + 0,08s + 1
28
0,8
W (s) = 3
2
s + 0,2s + 0,04s + 1
14
3s + 1
W (s) = 3
s + 5s2 + 0,3s + 1
29
0,8s + 1
W (s) = 3
s + 2s2 + 0,4s + 1
15
5s + 1
W (s) = 3
s + 5s2 + 1s + 1
30
48
W (s) =
0,1s + 1
s3 + 0,02s2 + 0,01s + 1
??????? ??? ????????????
1.?? ??? ??????????? ??????????? ?????? ??????? ? ??????? ?????? ? ???????????? ??????????
2.???? ????? ????????? ????????
3.???? ????????? ??????? A, B, C, D ??? ????????????? ? ???????????? ??????????
4.???? ??????? ?????? ??????? ????????? ? ??????? ????????
5.?????? ??????? ?????????? ??????????
6.???? ????? ???? ? ?????? ???????????? ????????
7.???? ???????????? ???????????? ???????? ???????? ????????
8.?????? ?? ????? ???????????? ??????? ??????????????? ?????? ?????? ? ???????????? ??????????
9.?? ????? ?????? ??????? ?? ???????????? ??????? ? ?????????? ????????? ???????? ????????????
10.?????? ??????? ?????????? ????????? ????????????
11.???? ????????????? ???????? ????????????? ??? ???????
? ????? ?????? ? ????? ????????
12.?????? ??????? ???????? ????????????
13.???? ????????????? ???????? ????????????? ??? ???????
? ????? ?????? ? ????? ????????
14.???? ????? ???? ? ??? ??? ?????? ?? ???????? ????????
15.???? ????? ??????? ??????? ?????????????? ????????? ??????????? ?????????
16.???? ????? ??????? ??????? ?????????????? ????????? ????????? ? ?????????? ?????????
17.???? ????????????? ????? ??????? ???????????? ????????
????????
18.?????? ???????? ??????????? ?????? ?????????? ?????????? ???????????
19.???? ????????????? ???????? ??????? ?????????? ???????????
20.???? ????? ???????? ?????? ????????? ????????
21.?????? ??????? ????? ???????????? ??? ?????? ?????????
???????????? ??????? ????????? ????????
22.???? ????? ??????? ???????????? ????????
23.?????? ?????? ??????? ?????????? ??????????????
24.???? ????? ??????????????? ????????
25.?????? ???????? ??????????? ???????? ?????????????? ???
????????????? ??????????? ????????? ????????
26.?????? ???????? ??????????? ???????? ?????????????? ???
????????????? ??????????? ????????? ????????????
49
27.??? ????? ??????? ?????????????? ???????????? ???????? ?????? ?????????? ???????????
28.?????? ????????? ???????????? ?????????????? ??????????? ? ??????? ? ????????? ????????????
29.?? ????? ????? ????? ???? ???????? ?????? ????????? ??????? ??? ??????? ?????????? ???????????
30.?????? ????????? ???????????? ??????????? ?????????? ???
????????? ???????????
31.?????? ??????????? ?????????? ?????????? ????????????????
32.?????? ?????? ???????? ????? ?????????? ???????????????
??????????? ???????????
33.?????? ??????????? ??????????? ??? ?????? ??????? ???????????????? ???????????? ???????????
34.?????? ???? ???????????? ??????????? ?????????? ??????????? ????????
35.?????? ????????? ????????????? ?????????? ?????????????
??????? ? ???????????? ??????????
36.??? ???? ??????? ?????????? ???????? ?????? A, B, C, D ?????????? ????????
37.???? ??????? ????? ????? ?????? ??????????? ? ?????????? ??????? ? ???????????? ??????????
38.?????? ??????? ????????????? ?? ????????? ??????? ?????????? ??????? ? ???????????? ????????? ? ????? ?????? ?????????????
39.???? ?????????? ???????? ??????? ???????? ????????? ??????????? ?? ???????? ??????? ??????????? ????????? ????????????
50
?????? ??????????
1.????? ?., ?????? ?. ?????? ???????? ??????. ????? ???????????? ?????????. ?.: ?????. 1970. 704 ?.
2.???????? ?., ??? ?., ????? ?. ???????????? ????????? ? ??????
??????????. ?.: ?????. 1970. 620 ?.
3.???????? ?. ?. ?????????? ?????????????? ????????? ?????????. ?.: ?????, 1976. 424 ?.
4.????????? ?. ?. ????????? ?????????? ? ??????????? ??????????. ?.: ??????????????. 1976. 183 ?.
5.?????? ?., ?? ?. ??????????? ?????? ??????????????? ?????????? ? ?? ??????????. ?.: ??????????????. 1972. 544 ?.
6.???????? ?. ?. ?????? ??????????????? ??????????: ????. ???????. ?. 1. ???.: ????, 2014. 255 ?.
7.????? ?., ????? ?. ??????????? ??????? ??????????. ?.: ??????????? ??????? ??????, 2002. 832 ?.
8.??????? ?., ?????? ?. ??????? ?????????? ? ???????? ??????.
?.: ??????????? ??????? ??????, 2001. 616 ?.
9.??????? ?. ?., ????? ?. ?., ???????? ?. ?. ?????????????? ?????? ??????????. ?.: ?????, 2004. 911 ?.
10.???? ?. ?. ?????? ??????????????? ??????????: ???????.
?. 1. ???????? ???????. ?.: ?????????, 2007. 312 ?.
11.???????????? ?. ?., ??????? ?. ?. ????????? ????? ?????? ??????????????? ?????????? ? ????????? ?? ????? MATLAB. ???.:
?????, 1999. 467 ?.
12.????????? ?. ?., ???????? ?. ?. Control system toolbox.
MatLab 5 ??? ?????????. ?.: ??????-????, 1999. 287 ?.
13.???????? ?. ?., ???????? ?. ?., ????????? ?. ?. ????????????
?????? ?? ??? ? 1?9. ???.: ????, 2006. 64 ?.
51
??????????
????????.................................................................................. 1.????????? ??????? ? ???????????? ?????????............................. 2.???????? ?? ???????????? ??????? ? ?????????? ?????????........ 3.??????? ????????? ??????? ??????? ??????????......................... 4.?????????? ??????????........................................................... 5.?????? ????????? ??????? ????????? ???????.......................... 6.??????? ????????????? ???????? ??????................................... 7.?????????????? Simulink MatLab.............................................. 8.???????? ? ??????????? ???????? ?????????............................ 9.???????????? ?????????? ??????? ???????............................... 10. ??????????? ?????????? ??????????? ???????...................... 11. ????????? ?????? ?????????? ???????.................................. 12. ??????? ?? ???????? ??????.................................................. 13. ?????????? ???????? ??????................................................ 14. ???????? ???????................................................................ ??????? ??? ????????????......................................................... ?????? ??????????................................................................... 3
4
6
9
11
14
19
22
25
30
34
42
47
47
48
49
51
??? ????? ? ?????, ???
????????? ????????? X(0) ????? ???? ?????????? ? ?????????? ?????????? ???????? ?????????? y(t), t ? T ??? ???????? ?????????? u(t)
????????????? ??????? ??????????? ????????:
T
rank יך ׁ; ׁA; CA 2 ; ... CA n-1 שת = n.
כ
�
9
??? ??????? ? ????? ?????? ? ????? ??????? ??????? ????????????? (???????? n ׳ n) ????? ???:
י ׁ; ׁA; ׁA 2 ; ... ׁA n-1 שT .
ךכ
ת�
???? ??????????? ???? ??????? ??????? ?? ????, ?? ??????? ??????????.
??????? ????????????? ????? ???? ????????? ? ??????? ??????? obsv, ??????? ????? ????? ?????????? ? ????? ?? ?????????:
>> N = obsv(A, ?)
>> N = obsv(sys)
>> N = obsv(sys.A,sys.?)
????????? ??????, ?????????? ???????
>> Q = obsv (w2)
Q=
0.3333 0.6667
-0.1111 -0.2222
>> det(Q)
ans = 0
?????????????, ??????? ?? ??????????.
10
4.?????????? ??????????
?????????? ???, ??????????? ???????? ????????????????
?????????? ? ??????????? ?????:
(an sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 )y(t) =
= (bm sm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0 )u(t).
????? ??????? ????? ????????? ????????????? ????????????????? ????????? ?????? ? ???? ???? ?????????:
y(t) = yB + yCB (t),
??? yB ? ??????????? ? y?B ? ????????? ???????? ???????.
??????????? ???????????? ??????? ????????? ?? ?????????
????????????????? ????????? ?????????????? ? ???? ???? ??????????? ? ????? ? ?????? ?????? ?????????, ??? ??? ??? ?????????????? ???????? ???????? ??????? u??? ????????:
a0 yB = b0uףסע
b
� yB = 0 uףסע .
a0
????????? (??????????) ???????????? ?????? ??? ????? ??????? ??????????? ????????????????? ?????????:
(an sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 )y(t) = A (s)y(s) = 0,
??? A(s) ? ?????????????????? ??????? (??????????? ??).
??????? ????? ???:
n
yֲׁ (t) = ׁ1e?1t + ׁ2 e?2t + ... + ׁn e?nt = ו Ci e?it .
i=1
??? ?i ? i-? ?????? ??????????????????? ????????, Ci ? i-? ?????????? ??????????????, ???????????? ?? ????????? ???????.
???? ? ??? ????? ????????? ???????????? ??????? ????????????????? ?????????. ????? ????????? ??? ?????????? ????????
???????.
????? ??????????????????? ???????? ????? ???? ??????? ?????:
1.?????????????? ???? ? = ?. ????? ?????? ???? ????????????
??????? ????:
y(t) = ׁe?t .
11
??? ? < 0 ???????? y(t) ????? ??????? ?? ???????, ? ??? ? > 0 ?
??????????.
2.???????????-???????????? ????: ?1,2 = ? ± j?. ????????????
??????? ????? ???:
y(t) = ׁ1e(?+ j?)t + ׁ2e(?-j?)t = Ae?t sin(?t + ?).
????? ????????? ????????? ???????? ??????????, ??????? ????? ???????? ?? ????????? ??? ? < 0, ? ????? ??? ? > 0.
3.?????? ?????? ?????. ? ???? ?????? ? = 0, ?
y(t) = ׁ1e j?t + ׁ2e-j?t = A sin(?t + ?),
????????? ????? ????? ?????????? ?????????.
4.???????? ??????. ? ???? ?????? ? ?????????????????? ????????
A (s) = an sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 .
??????????? ????????? ????: a0 = 0.
????? ??????? ????????? ?? ??????? ????????????, ? ??? ?????
????????? ???????? ???????? ?????????????? ???????? ? ????????? ?????????? (??????? ????????? ? ?????) ??? ?????????? (??????? ?? ?????????).
???? ?????????? ????? ??????????????????? ????????? ??????? ??????? ?? ??????????? ?????????, ?? ????? ??????? ???????????? ???????? ??????? ????? ?????????????? ??? ???: ????????
???????????? ??????? ???????? ???????????? ???? ??????? ??
? ????? ??????????? ?????????????.
????????? ?????? ???????????? ???????????? ????? ????????
?????? ?? ?????????, ??? ??????? ?????????????? ???????? ???????????? ??????? ????????? ???????.
?????? ?????????? ??????????? ????????
u(t) = -KX(t), (2)
??? K ? ??????????? ?????? ?????????????, ??????? ?????????
????? ??? ?????????? ?????????? ???????.
??????? (2) ????????????, ??? ???? ?????????? ???????????
? ?????????? ?????? ????????? ? ???????????? ?????????. ?????
??? ????????? ????????? Xg(t) ???? ???????????? ?????????
u(t) = -K ( X(t) - Xg (t)) = -KX(t) + g(t).
12
A
g(t)
dX(t)/dt
B
u(t)
?
X(t)
C
Y(t)
K
???. 2. ????????? ????????? ???????
? ???????????? ?????????
?????????? ????????? ????????? ????????? ???????
? (t) = AX(t) + B(-KX (t) + g(t));
ל
ן
X
ן
ם
ן
ן
מY (t) = CX(t).
(2)
??? g(t) ? ???????? ??????? ?????? (???????).
???? ?????????? ????????????? ?????????, ??????????? ?? ???. 2.
????????? ???????? ??????? (??? g(t) = 0) ??????????? ??????????:
? (t) = AX(t) + Bu(t),
ל
ן
X
ן
ם
ן
ן
מu(t) = -KX(t).
�
? (t) = ( A - BK) X(t).
X
??? K ? ?????? ????????????? ???????? ?????.
??????? ????? ????????? ???????????? ????????
X(t) = e( A-BK)t X(0).
?????????????, ???????????? ? ?????????????? ???????????
???????? ? ??????? ???????????? ???????????? ??????? ???????
A ? BK.
???????? ??????? ?????????? ?????????? ??????, ??? ???? ???????? ???????????? ??????? ???????? ???????????, ?? ????????
???????? ????? ????? ???? ??????? ????? ???????, ??? ???????
(? ? ?K) ????? ????? ???????? ?????? (???????? ????????????
??????? ????????? ???????).
13
5.?????? ????????? ??????? ?
????????? ???????
?????? ??? ?????????? ??????? ??????????? ? ?????? ????????? ???????????? ??????? ????????? ??????? (?. ?. ????????????
????????? ??????). ???? ????? ????? ??????? ????? ?????????:
1.????????????? ???????? ???????? ???????? ???????.
2.?????????? ??????????? ?????????????? ?????, ????????
???????????? ??????? ????????? ???????.
?????????? ???????? ???????? ????????. ??? ?????? ?????????????? ??????? ???????????? ??????? ??????? ???????????? ?,
??? ??????? ?????????? ?????????? ???????? ???????????? ?????
?????????? ? ?????? ??? ????? (???. 3, ??? ??????? ???????, ????? ????????? ? ?????? ??? ???????? ???????????? ?????? (?????), ? ???????, ????? ? ?????? ??? ????? ???? ??????????-??????????? ?????? (??????)).
?????, ??????? ?????????? ?? ?????? ???????????? ?????,
???? ? ?????????? ???????? ???????? ???????? ?????????? ????????????. ????? ????? ???????? ?????????????.
???? ??????? ????????????, ????? ??????????? ??????? ?????
??????????? ???????? ?? ???????:
3
tֿ » .
?
??? ?????? ??????????? ??? ???????????? ???????? ?????????? ?? ?????? ??? ?????? ?? ?????? ???????. ??? ??????? ???????
??????? ???????????? ??????.
????? ???????????? ??????? ??????????? ????????????????.
??????? ????? ?????????? ? ??????????, ???? ??????????????????
????????? ???????? ??????????? ????? ?1,2= ?? ± j?.
Im
Im
?
?
Re
???. 3. ??????? ??????? ????????????
14
Re
??????????????? ??????????? ?? ???????:
µ=
?
.
?
???? ??????? ????? ????????? ??????????-??????????? ??????, ?? ?? ????????????? ???????? ?????????? ???? ???????????
??????, ??? ??????? ? ????????? ?????????? ?????????.
?? ???????? ??????????????? ????? ??????????? ??????? ?????????????????
-
?£e
?
µ
100%.
??????? ?????????, ??? ???????????? ?????????????? ???????
(?????????? ???????) ??????? ?? ?????? ?? ???????????? ???????
??, ?? ? ?? ???????????? ?? ?????. ??????? ???????????? ???????, ????? ?????? ????????????? ???????????? ????????? ???????,
?? ?????? ?????????? ???????? ????????????? ????? ?? ?????? ????????? ? ?????????.
?????????? ????????????? ??????????? ?????????.
???? ?? ????????? ???????? ??????????? ? ??????????? ???????????? ???? ?????? ??????????????????? ?????????. ??????
?????? ? ?????? ???? ?????????????, ? ???????? ??? ?????? ?0
???????????? ???????????? ? ??????????????. ????? ????? ??????????????????? ????????? ?????????? ? ????? ??????? (s + ?0)n,
???????????? ???????, ????? ???????? ??????????? ????????
????????????? ??????????????????? ?????????. ????????????
??????????? ????? ??? ?????? ?? ?????????? ??????? ????? ???:
s + ?0 ,
s2 + 2?0 s + ?20 ,
s3 + 3?0 s2 + 3?20 s + ?30 ,
s4 + 4?0 s3 + 6?20 s2 + 4?30 s + ?40 ,
s5 + 5?0 s4 + 10?20 s3 + 10?03 s2 + 5?04 s + ?50 ,
s6 + 6?0 s5 + 15?20 s4 + 20?30 s3 + 15?40 s2 + 6?50 s + ?60 .
??? ????? ??????? ?????????????? ?????????????? ???????????
????????. ??? ?????? ?0, ??? ?????? ????? ??????????? ????????,
?????????
3
tֿ »
.
?0
15
?????????? ????????????? ???????? ??? ?0 = 1. ?????? 6-??
????????? ??????? ????????????? ???????, ?????????? ?? ???. 4.
????????? ?????????? ????????? ????????? ? ????. 1.
?????????? ? ?????? ??????????? ?????, ???????? ????? ???????????, ? ???????????? ? ??????? ????? ?????? ?????????????
? ????? ????????????? ?? ?????????? ??????? ?0 ?? ??????????
??????? ??????????? ???? ?? ????? (???. 5).
??????????? ????? ??????????? ??? ?????? ?? ?????????? ??????? ????? ???:
s + ?0 ,
s2 + 1,4?0 s + ?20 ,
s3 + 2?0 s2 + 2?20 s + ?30 ,
s4 + 2,6?0 s3 + 3,4?20 s2 + 2,6?30 s + ?40 ,
s5 + 3,24?0 s4 + 5,24?20 s3 + 5,24?30 s2 + 3,24?04 s + ?50 .
Step Response
1
0,9
0,8
0,7
0,6
Amplitude
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
2
4
6
8
10 12
Time (sec)
14
16
18
20
???. 4. ????????????? ?????????? ???????
(???????????? ??????????)
??????? 1
????????? ?????????? ????????? ??? ????????????? ?????????
n
1
2
3
4
5
6
tp, c
?, %
3
0
4,8
0
6,3
0
7,8
0
9,2
0
10,5
0
16
Im
Im
0
?? 0
Re
Im
0
?? 0
Re
0
?? 0
Re
???. 5. ????????????? ??????????? ??? ?????? 3, 4 ? 5-?? ???????
??????? 2
?????? ????????? ??????????? ??? ?????? ?????????? ???????
n
??????
2
3
4
5
?0,5?0 ± j 0,87 ?0
?0,57?0, ?0,215?0 ± j 1,31 ?0
?0,395?0 ± j 0,505 ?0, ?0,105?0 ± j 1,57 ?0
?0,41?0, ?0,235?0 ± j 0,88 ?0, ?0,06?0 ± j 1,7 ?0
Step Response
1,4
1,2
1
0,8
Amplitude
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10 12
Time (sec)
14
16
18
20
???. 6. ????????????? ?????????? ???????
??? ????????? ???????????
??????? ??????????? ???????????? ???????? ????? ???????????
???????? ? ????????????????? ? ???????? 15%. ??? ?????? ???????? ?????? ?????????? ??????? ? ????????? ??????????????????
17
??????? 3
????????? ?????????? ????????? ??? ????????????? ?????????
n
1
2
3
4
5
tp, c
?, %
3
0
2,9
4,5
6
8
6,8
11
7,7
13,5
???????????????? ??????????????? ????????. ???????? ???????
????? ?????????? ?? ?????????????? ???????????.
? ????. 2 ????????? ?????? ????????? ??????????? ??? ??????
2?5 ???????.
?????????? ????????????? ???????? ??????????? ??? ?0 = 1.
?????? 5-?? ????????? ????????????? ???????, ?????????? ??
???. 6. ????????? ?????????? ????????? ????????? ? ????. 3.
18
6.??????? ????????????? ???????? ??????
???? ????? ???????? ?????????????????? ??????? ?????????
???????
q(s) = sn + a1sn-1 + ... + an ,
?? ?????????? ?????? ????????????? ???????? ?????? K ?????
? ??????? ??????? ?????????, ??????? ????? ???:
-1
K = יכ0 0 ... 0 1ש� יך B AB A 2 B ... A n-1 Bשת ´
כ
�
n
n-1
י
ש
... +a1 A +a0 I ת .
´ך A
+an-1 A
כ
�
?????????????? ??????? ? ??????? ???????? ????? ????? ? [1].
? ??????? MatLab ?????? ????????????? ???????? ?????? ??????????? ???????? acker. ????????:
>> A=[0 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> P=[-1 -3];
>> K=acker(A,B,P)
K=
1 7
????? ?????? P ?????? ???????? ???????????? ??????? ????????? ???????.
??? ????????????? ??????? ??????? ???? ?????? ??????? C ?
D, ????????:
>> C=[1 0];
>> D=0;
?????? ??????????? ??????? ? ???????????? ?????????:
>> sys = ss(A, B, C, D);
??????? ?? ?????? ????? ????????? ????????:
>> step(sys)
??? ??????? ?????? ?????? ??????????? ????????, ???????????
?? ???. 7.
?????? ????????? ??????? ? ???????????? ?????????:
>> sys = ss(A?B*K, B, C, D);
19
4,5
׳ 10 6
Step Response
4
3,5
3
2,5
Amplitude
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
6
7
8
???. 7. ??????? ?? ????????? ?????? ??????????? ???????
??????? ?? ?????? ????? ???????????? ???????? step:
>> step(sys)
?????? ??????????? ????????, ??????????? ?? ???. 8, ????????????? ?????????? ???????.
Step Response
0,35
0,3
0,25
0,2
Amplitude
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
???. 8. ??????? ?? ????????? ?????? ????????? ???????
20
??? ?????????? ???. 8, ?????????????? ???????? ????????? ??????? ?????????? ?? ?????????. ??? ????????? ??????????? ?????????? ???????, ??? ??????? ???????? ?????? ??????????? ????????
????? ? ???????????? ??????????? ????????, ?? ?? ??????????????
????????????? ???????? ??????? ????????? ???????.
???????? ???????? ????? ???????? ??????????????? ???????????? ??? ???????? ???????????.
?????????????? ??????????? ?????????????? ?? ???????:
(
-1
km = -C ( A - BK )
)
B .-1
????????:
>> A=[0 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> C=[1 0];
>> K=[1 7];
>> km=inv(-C*inv(A-B*K)*B)
km =
3
??? ???????? ????????????? ???????, ??????????? ?? ???. 8.
? MatLab ?????????? ??????????? ??????? dcgain, ? ???????
??????? ????? ?????????? ??????????? ???????? ? ?????????????? ??????. ?????? ????????????? ???? ???????:
>> sys=ss(A-B*K,B,C,0);
>> dcgain(sys)
ans =
0.3333
???????? ??????? ?? ??? ????????, ????? ????? ?????????????? ???????????.
21
7.?????????????? SIMULINK MATLAB
? ?????????? Simulink ?????? MatLab ??????? ???????????
???? State space (???. 9) ??? ???????? ???????, ???????? ??????????? (1).
?????? ????? ????? State space ?? ????????? ???????????????
????????? ????????? ???????, ? ??? ????????? X ?? y ????????? ???????????? ??????????? ??????????.
??? ???????? ?????? ? Simulink ????????? ???????????? ????
gain (???. 10).
???? gain ????????? ??????? ??????? ????????????? K, ??????? ? ??????????? ?? ????? ??????????? ????? ???? ??????????
??? ????????.
???? ??????? ??? ????????? ? ??????? ???????????? MatLab, ??
?????????? ??????? ?? ???????? (???. 11).
????? ????? ??????????????? ??????? ??????? ? ????? gain
(???. 12).
??????? ???????? ????? (???????????? ?????? u) ????? ????
????????? ???????? ??? ??????. ?????????????? ???????? ??????
???????? ???????? ????????? (??. ???. 12).
?? ???. 13 ???????? ?????? ? Simulink, ??????????????? ??????? (2).
x? = Ax+Bu
y = Cx+Du
State-Space
???. 9. ???? ??? ???????? ???????
??????????? ?????????
1
Gain
???. 10. ???? ???????? ?????????????
22
???. 11. ???? ??????? ? ??????? ???????? ?? ????????
???. 12. ???? ??????? ? ??????? ???????? ?? ????????
23
?? ???. 14 ???????? ?????????? ??????? ? ???????. ??? ????????? ??????? ???? ????????? ? ????? To Workspace ???????? Save
format: Array, ????? ????????? ????????????? ? ???????????? ???????:
>> plot(tout,simout)
>> grid
>> xlabel(?t?); ylabel(?y(t)?);
K*uvec
A
K*uvec
km
1
s
K*u
Step
Subtract
Add
B
C
Integrator
Scope
K*uvec
simout
To Workspace
???. 13. ??????? ? ????????? ??????????? ? MatLab Simulink
1
0,9
0,8
0,7
0,6
y(t)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
t, c
6
7
8
9
???. 14. ?????????? ??????? ? ???????
? ????????? ???????????
24
10
8.???????? ? ??????????? ???????? ?????????
??? ????????????? ?????????? ?????????? ????????? ???????
????????? ??????? ????? ??????????? ????? ???????? ???????????? ? ?????? ??????????.
?????????? ??????????? ?????? ????????? ???????
יXש
Xr = ך ת ,
ךeת
כ �
??? ?????????? e(t) ??????????? ?? ?????? ??????????? (???. 15).
??? ??????? ? ??????????? ???????? ?????????
י A 0ש
ת;
Ar = ך
ך-C 0ת
כ
�
י Bש
Br = ך ת ;
ך0ת
כ �
יCש
Cr = ך ת .
ך0ת
כ �
? ???????????? ? ???. 15 ????? ????????
e?(t) = g(t) - CX(t).
u(t) = -k1e(t) - KX(t).
????? ???????,
י X(t)ש
ת = Kr Xr .
u(t) = יכ K ki ש� ך
ך e(t) ת
כ
�
?????????? ??????? ??????.
>> A=[0 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> C=[1 0];
>> Ar=[A(1,1) A(1,2) 0; A(2,1) A(2,2) 0; -C 0]
Ar =
0 1 0
-2 3 0
-1 0 0
>> Br=[B; 0]
Br =
0
1
0
>> P=[-1 -3 -1];
>> K=acker(Ar,Br,P)
K=
5 8 -3
25
26
Constant1
1
1
e?(t)
e(t)
ki
u(t)
K
X? r = Ar X + Br u
X r (t)
k
-KSubtract4
Subtract5
Kr
K*uvec
Br
K*u
Integrator3
s
1
Ar
K*uvec
???. 15. ????????? ????????? ? ????????????
?
Cr
???. 16. ????-????? ?????????? ?????????? ? ????????????
s
Subtract3 Integrator2
g (t)
Y(t)
Cr
K*uvec
Scope1
????? ????????????? ???????? ?? ???. 16, ??? Kr = [K(1) K(2) 0];
k = -K(3);
?? ???. 17 ????????? ?????????? ???????? ? ??????? ? ???????????? ? ??? ???????????.
??? ????? ???????? ???????? ??????? ????????? ???????? ??????? ????????? ???????, ???????? ?????? ?????????:
יXש
ך ת
Xrr = ךך e תת ,
ך e? ת
ךכ ת�
??? ??????? ? ??????????? ???????? ?????????
י A 0 0ש
י Bש
יCש
ך
ת
ך ת
ך ת
Ar = ךך-C 0 0תת ;
Br = ךך 0 תת ;
Cr = ךך 0 תת .
ך 0 1 0ת
ך0ת
ך0ת
כך
�ת
כך �ת
כך �ת
????????? ??????? ???????????? ?? ???. 18.
?????????? ??????.
>> A=[1 1;-2 3];
>> B=[0; 1];
>> C=[1 0];
>> Ar=[A(1,1) A(1,2) 0 0; A(2,1) A(2,2) 0 0; -C 0 0; 0 0 1 0]
1,4
1,2
1
0,8
y(t)
b
0,6
0,4
a
0,2
0
0
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
???. 17. ?????????? ??????? ? ??????? ??? ??????????? (a)
? ? ???????????? (b)
27
28
Sine
Wave
e?(t)
?
kd
e(t)
ki
?
u(t)
K
Xr (t)
X? r = Ar X + Br u
Cr
Y(t)
Subtract1
Integrator1
1
s
Kr
K*uvec
1
s
K*u
Integrator3
Subtract4 Br Subtract5
???. 19. ????????? ????????? ? ? ????? ?????????????
kd
-K-
1
-Ks
Subtract3 Integrator2 ki
Ar
K*uvec
Cr
K*uvec
???. 18. ????????? ????????? ? ??????????? ???????? ?????????
g(t)
Scope1
Ar =
0 1 0 0
-2 3 0 0
-1 0 0 0
0 0 1 0
>> Br=[B; 0; 0]
Br =
0
1
0
0
>> Cr=[C 0 0]
Cr =
1 0 0 0
>> P=[-3 -3 -3 -3];
>> K=acker(Ar,Br,P)
K=
52 15 -108 -81
?? ???. 19 ????????? ????-????? ?????????? ??????????, ??
???? ??????? ???????? ?????????????? ????????? ??????.
?? ???. 20 ???????? ?????????? ???????? ? ???????.
1,5
1
0,5
b
a
c
y (t) 0
?0,5
?1
?1,5
0
2
4
6
8
10
t
12
14
16
18
20
???. 20. ??????? ?? ?????????????? ??????? ??????:
a ? ??????? ??????; b ? ????? ??????? ? ????? ?????????????;
? ? ????? ??????? ? ????? ????????????
29
9.???????????? ?????????? ??????? ???????
????? ?????????? ?????????? ????????????, ??? ??? ?????????? ??????? ????????? X ????? ???? ????????, ?? ?? ???????? ????????? ?????????? ????? ???? ?????????? ?? ????? ?? ???? ??????:
??????????????? ???????? ????? ???? ????????????;
??????????? ?????????? ??????? X ????? ?? ????? ???????????
??????.
?????? ???? ??????? ???????? ???????????, ?? ??? ??????????
??????? X ????? ???? ????????????? ?? ??????????? ??????? Y.
??????????? ?????????? ??????? ??????? ???????????? ?????
???????????? ???????, ??????? ???????? ??????? ???????:
?
?
לןX? = AX
+ BU,
ן
ם
?
ןן Y? = CX
(3)
.
ןמ
?
?
??? X(t) ? ?????? ????????? ???????, Y (t) ? ?????? ??????.
???? ????????? ????????? ??????? ? ?????? ?????????, ? ??????
????????? ???????, ?? ????? ???????? ? ????? ?????? ???????, ???
?
X(t) = X(t).
?????? ??????????? ???????? ?????? ???????????? ??????? ?
?????? ??????????, ?????? ???????? ? ??????? ????????? ????????? ???????. ??????? ?? ???????? ????? ???????????? ???? ??
?????????? ???????
?
lim X(t) = X(t).
t®¥
???????? ????????? ???????? ??? ?????????? ??????????????? ??????????? ??????????.
??????????????? ??????????? ?????????? ?????????? ????????
????? ?? ?????? ?????????????? ??????? ?????????, ??? ??? ??????
??????? ? ??????????? ??????????? ??????????? ???????????:
??
?
?
?
ל
ן
X
(t) = AX(t) + BU (t) + N (Y (t) - Y (t)) = AX (t) + BU (t) + NׁE(t),
ן
ן
?
?
ן
ן
םY = CX(t),
ן
?
ן
ן
U (t) = KX(t).
ן
ן
מ
??? N ? ??????? ?????????? ???????????? ??????????.
?? ???. 21 ???????? ????-????? ??????? ? ??????????? ? ????????????.
30
??????
A
g(t)
? (t)
X
B
ע
B
ע
C
?
Y (t) - Y (t)
N
??
X
(t)
Y(t)
X(t)
?
X(t)
C
?
Y (t)
A
???????????
U(t)
K
?
X(t)
?????????
???. 21. ??????? ? ???????????? ? ???????????
????? ????????
?
E? = X? - X? = ( A - NC) E,
??????? ????? ????????? ???????????? ????????
E(t) = e( A-NC)t E(0).
????? ???????, ???? ??????????? ????? ??????? A ? NC ?????
????????????? ???????????? ?????, ?? ? ???????? ??????? ?????? ????????? ?????????? ?? ????. ??????????????, ??? ??????? ??????????? ????? ??????? ????????? ?????? ???????????????????
?????????:
?I - ( A - NC) = 0.
31
???????, ??? ???????? ? ??????????? ?????? ????????? ?????
??????, ??? ?????????? ??????? ? ???????. ??????????? ???????????, ??? ??????????? ?????? ???????? ???????????????, ? 2?4
???? ??????????? ?????????????? ???????.
?????????? ?????? ??????? ?????????? ? ???????????? ??????? ??????? ? MatLab Simulink, ????????? ?????? ???????????
??????? (???. 22).
??? ??????? ?????????? ??? ????? ?????? ??????? ????????
????????? ???????:
>> P=[-1 -3];
??????? ??? ???????????? ?????????? ??????, ?????????????? ??????? ??????????????:
>> P1=[-2 -6];
????????? ???? ??????? acker ????? ???? ????????? ? ??? ??????? ????????????? ???????? ?????? ??????????? ?????????? ???????. ??? ????? ???? ??????????????? ??????? A ? ???????? B ?? ??:
>> N1=acker(A?,C?,P1);
>> N=N1?
N=
11
43
km
Step
x? = Ax+Bu
y = Cx+Du
Subtract
Scope
State-Space
K*u
N
1
s
Integrator
K*u
B
Subtract1
K*uvec
C
Add
K*uvec
K*uvec
A
K
???. 22. ??????? ? ???????????? ? ???????????
32
????? ??????? ????? ????? ?????????, ??? ?????????? ???????
????????? ????????????? ???. 14, ????????? ????????? ?????????
??????? ? ??????????? ?????????.
?????????? ??????? ????? ?????????? ?? ?????????? ? ???? ?????????:
1.????? ?????? ?? ??????????? ?????? ????????? ?????????? ??
?????????.
2.????? ??????? ??????, ??????????? ?? ???? ???????????,
? ????? ????? (???? Band-Limited White Noise) ???????? ?????????????.
33
10. ??????????? ?????????? ?
??????????? ???????
????????????? ???? ????????? ???????????? ?????????? ???????? ????????? ?????????????. ???????????? ?????????? ? ???,
??? ??????????? ?????????? ????????? ???? ?????? ?????????? ????????? X(t), ???? ????? ????????? ??????? ????????? ????? ????
??????????????? ????????. ??? ???????????? ????? ????????? ????? ??????? ??????????????? ???????????? ??????????, ???????
???????? ??????, ??? ??????? ????????? ????????????? ???????.
????? ????????? ???????? ?????? m ????????? ??????? ????????? X(t). ????? ?????? ?????????? ????????? ????? ???????????
????????? ???????
י Y (t) ש
ת,
X(t) = ך
ךW (t)ת
כ
�
??? Y(t) ? ?????? ??????????? m (?????????? ??????????), W(t) ?
?????? ??????????? n ? m (?? ?????????? ?????????? ??????? ?????????).
????? ????????? ?????? ??? ??????? ?????????? ????? ??????????? ????????? ???????
י Im ש
C = ך ת,
ך0ת
Y (t) = C X(t),
כ �
T
??? Im ? ????????? ??????? ??????? m׳ m, 0 ? ??????? ???????.
? ?????????
X? (t) = AX(t) + BU (t).
??????? ? ? ?????? ? ?????????? ? ??????? ?????:
י A11
A=ך
ך A21
כ
A12 ש
ת,
A22 ת�
י B1 ש
B = ך ת,
ך B2 ת
כ �
??? A11 ? ??????? ??????? m׳ m, A12 ? ??????? ??????? m׳ (n ? m),
A21 ? ??????? ??????? (n ? m) ׳ m, A22 ? ??????? ??????? (n ? m) ׳
(n ? m), ??????? ?1 ? ?2 ????? ?????? m ? n ? m.
????? ????????? ????????? ????? ?????????? ????????? ???????
?
ל
ן
ןY (t) = A11Y (t) + A12W (t) + B1U (t),
ם ?
ן
(4)
ן
מW (t) = A21Y (t) + A22W (t) + B2U (t). 34
???? ?????????? ????????????? ??????????? ?????, ??????????? ?? ???. 23.
???? ??????? ??????????????? ???????????? ?????????? ??????????? ? ?????????. ????????, ??? ?????? ?????? Y(t), ???
??????????? ? ??????? ?????? U(t) ???????? ??? ?????????. ?????
???????? 1-?? ????????? (4) ????? ????????? ??????
Z (t) = A W (t) = Y? (t) - A Y (t) - B U (t).
12
11
1
?????????? ????? 2-? ????????? (4). ??? ????? ??????? ???????
??????? ? ???????? ????????? W(t):
? (t) = A W (t) + ( A Y (t) + B U (t)).
W
22
21
2
????????? ? ?????? ????? ????????????? ? ???????? ????????
???????????.
???????? ????????????? ????? ??? ??????? ???????????????
??????????? ???????? ???????????: «???? ??????? A, C ????????
????????? ?????????????, ?? ?????????? ????????????? ????????
? ?????????? A22, A12».
????? ???????, ?????? ???????????? ??????:
?
ל
ן
ןW (t) = A22W (t) + ( A21Y (t) + B2U (t)),
ם
?
ן
ן
מZ (t) = A12W (t) = Y (t) - A11Y (t) - B1U (t).
?????? ?? ???? ????????? ????????? ???????? ???????, ? ?????? ???????? ?????????? ?????? (???. 24).
??? ????, ????? ???????? ?????????????? ?????? ??????????????? ???????????? ?????????? ????????????? ????? ??????????
???????????? ?????????? ??????? ???????, ??????? ??? ? ????:
?
?
X? (t) = ( A - NC) X(t) + NY (t) + BU (t).
B1
? ( t)
W
U(t)
B2
?
W(t)
Z(t)
? (t )
Y
A12
Y(t)
?
A11
A22
A21
???. 23. ??????? ? ?????????? ???????
35
Y(t)
A21
U(t)
? (t)
W
B2
ע
W(t)
A12
Z(t)
A22
???. 24. ????????? ????????????? ???????
??? ??????????????? ???????????? ?????????? ??????? A ????? ??????????????? A22, ??????? C ? A12 (??. ???. 18).
??????? N ????? ??????????????? ??????? L, ?????????? ???????????? ???????? ?????? ??????????????? ????????????
??????????. ?????? ??????? ????????????? Z(t). ??? ????????????
??????? ? ????. 3.
????? ???????, ???????? ?????? ??????? ????????? ????????????? ???????
??
?
W
= ( A22 - LA12 )W + L(Y? - A11Y - B1U ) + ( A21Y + B2U ). (5)
??????????? ????? ??????????????? ???????????? ??????????
???????? ?? ???. 25.
??? ????, ????? ????????? ?? ???????? ?????????????????,
????????? (5) ? ????
??
?
W
- LY? = ( A22 - LA12 )W + ( A21 - LA11 )Y + ( B2 - LB1 )U =
?
= ( A22 - LA12 )(W - LY ) + (( A22 - LA12 )L + A21 - LA11 )´
´Y + ( B2 - LB1 )U.
??????? 3
???????????? ????????
36
??????????? ??????? ???????
?????????????? ???????????
?
?22
BU
A21Y + B2U
Y
Y? - A11Y - B1U
C
N
X
A12
L
W
Y(t)
d/dt
A21?LA11
L
U(t)
ע
B2?LB1
?
W (t)
A22?LA12
???. 25. ????????? ??????????? ??????????? ???????
?????? ???????????
? = W - LY;
?
?
? = W - LY.
????? ?? ?????????? ????????? ????????:
?
?
?? = ( A22 - LA12 )? + (( A22 - LA12 )L + A21 - LA11 )Y + ( B2 - LB1 )U.
?????? ???????????
?
A = A22 - LA12 ;
?
?
B = AL + A21 - LA11;
?
F = B2 - LB1.
????? ???????, ????????
?
? ?? ?
?? = A? + BY + FU.
??? ????????? ??????????????? ??????????? (??????????? ???????????? ???????).
?????? ????? ??????? ????????? ?????????? ????????? ???????
י Im ש
C = ך ת,
ך0ת
Y (t) = C X(t),
כ �
T
י Y (t) ש י 0 ש ? י 1 ש
?
ת ? + ך ת Y.
X(t) = ךך ? תת = ך
ך
ת
ך Lת
כ �
כךW (t)�ת כ In-m �
37
???
י1ש
? י 0 ש
ת; D = ך ת.
C=ך
ך In-m ת
ך Lת
כ
�
כ �
?
?? ?
X(t) = C? + DY.
???????????? ????????? ??????? ? ?????????????? ???????????? ???????? ?? ???. 26.
?????????? ?????? ??????? ??????? ?????????? ??????????
? ???????????? ??????????? ???????.
????? ???????????? ?????? ????? ????????? ? ????????????
????? ?????????????
י0
1
0ש
ך
ת
A = ךך 0
0
1 תת ;
ך
ת
כך-6 -11 -6ת�
י 0ש
ך ת
B = ךך0תת ;
ך ת
כך1�ת
C = יכ1 0 0ש� .
????????? ????????? ??????????? ?????????? ????????????
???????.
??????
A
X? (t)
g(t)
B
ע
?
X(t)
Y(t)
C
???????????
F
?
X(t)
U(t)
?
?
?
?
ע
??
?
?
B
K
?
A
?
D
???. 26. ??????? ? ???????????? ??????????? ???????
38
1.??????????? ???????????? ???????? ?????, ?????????? ?????? ????????? ??????? ? ????? ?1 = ?2 = ?3= ?3.
>> A = [0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6];
>> B = [0; 0; 1];
>> C = [1 0 0];
>> D = 0;
>> P = [-3 -3 -3];
>> K = acker(A,B,P)
K=
21 16 3
1.??????? ??????????????? ????????????
>> sys=ss(A-B*K,B,C,0);
>> dcgain(sys)
ans =
0.0370
>> km=1/ans
km =
27
3.??????????? ??????? ??????????? ??????????? ???????.
????????? ??? ????? ??????? y = x1, ??????? ??????????? ?????
????? 2.
יyש
יyש ך ת
י 0
1ש
ך
ך
ת
ת;
X=
A11 = 0; A12 = כי1 0�ש ;
= ך x1 תת ; A22 = ך
ךW ת
ך-11 -6ת
כ � ךx ת
כ
�
כך 2 �ת
י0ש
י 0ש
A21 = ך ת ; B1 = 0; B2 = ך ת .
ך-6ת
ך1 ת
כ �
כ �
????? ?????? ??????????? ?????? ????????????? ? ?????:
?1 = ?2 = ?10.
?????????? ???????????? ???????? ?????? ???????????
>> A22 = [0 1; -11 -6];
>> A12 = [1 0];
>> P1 = [-10 -10];
>> N1=acker(A22?,A12?,P1);
>> L=N1?
L=
14
5
39
40
Step
F1
-K-
K
K*uvec
C1
K*uvec
D1
K*u
A1
K*uvec
B1
Integrator
Add
K*u
1
s
F
K*u
State-Space
???. 27. ??????? ? ?????????????? ????????????
Add1
Subtract
x? = Ax+Bu
y = Cx+Du
Scope
????? ?????????? ??????? ???????????.
י 0
י-14 1 ש
?
1 ש י14ש
ת - ך ת י1 0ש = ך
ת
A = A22 - LA12 = ך
� ך-16 -6ת ;
ך-11 -6ת ך 5 ת כ
כ
� כ �
כ
�
י-14 1 ש י14ש י 0 ש י-191ש
?
?
תך ת+ך ת =ך
ת;
B = AL + A21 - LA11 = ך
ך-16 -6ת ך 5 ת ך-6ת ך-260ת
כ
�כ � כ � כ
�
י 0ש
?
F = B2 - LB1 = ך ת .
ך1 ת
כ �
????? ???????, ????????
י-14 1 ש ? י-191ש
י 0ש
?? ?
?
?
ת?+ ך
ת Y + ך ת U.
?? = A? + BY + FU = ך
ך-16 -6ת
ך-260ת
ך1 ת
כ
�
כ
�
כ �
י 0 0ש
ת
? ך
C = ךך1 0תת ;
ך0 1ת
ךכ
ת�
י1ש
? ך ת
D = ךך14תת .
ך5ת
ךכ ת�
?? ???. 27 ????????? ????????? ? Simulink MatLab ????? ?????????? ?????????? ? ???????????? ??????????? ???????.
41
11. ????????? ?????? ?????????? ???????
?????????? ????????????? ? ???????????? ????????? ?????????? ??? ???????????? ?????????? ??????? ??????????.
????????????? ???????? ??????? ? ????? ? ????????, ??? ??????? ?????? ?????????? ????? ?????????? ??????? ?, ? ?????? ????? ????????? ???????? ??????????.
??? ????????? ??????????? ???????? ? ???????????? ?????????
????? ???????????? ?????????????? ???????.
?????????? ????????? ???????????????? ????????? 1-?? ???????
x? (t) = ax(t) + bu,
??? a ? b ? ?????, x ? u ? ????????? ??????????.
?????????? ?????????????? ????? ????????? ?? ???????:
sX(s) - x(0) = aX(s) + bU (s),
X(s) =
x(0)
b
+
U (s).
s-a s-a
???????? ?????????????? ??????? ????? ????????? ????
t
x(t) = eat x(0) + ע ea(t-?) bu(?)d?.
0
??? ??????? ?????????? ??? ??????? ????????????? ????
X(t) = e
At
t
X(0) + ע e A (t-?) BU (?)d?.
0
?????????? ???????? ??????? ?? ????????? ??????????? T, ????????? ??????????? ????????:
X(kT + T) = e At X(kT) +
kT +T
ע
e A (kT +T-?) BU (?)d?.
kT
????????? ?? ????????? ??????????? T ?????????? ?? ??????????: U(t) = U(kT), ????? ????????:
Ad = e AT ,
זT
צק
ח
Bd = חח ע e A (T-?) d?קקק B.
ח
קק
חט 0
ר
42
(??? ?????? ????????? ??????? ????? ??????? kT = 0).
????? ???????,
X(k + 1) = Ad X(k) + Bd U (k).
????? ???????? ??????? ????? ???????????? ?? ???????:
Y (k) = CX(k).
?????????? ??????? ? ???????????? ????????? ???????????
??????????, ??????????? ?? ???. 28:
?????????? ??????.
????? ???? ??????????? ??:
W (s) =
s +1
3
s + 2s2 + s + 1
.
??????? ???????? ? ???????????? ????????? ? ??????? ??????:
>> w=tf([1 1],[1 2 1 1])
Transfer function:
s+1
------------------s^3 + 2 s^2 + s + 1
>> w1=ss(w)
a=
x1 x2 x3
x1 -2 -1 -1
x2 1 0 0
x3 0 1 0
b=
u1
x1 2
x2 0
x3 0
Ad
U(k)
X(k+1)
Bd
X(k)
z ?1
C
Y(k)
???. 28. ?????????? ????? ????????? ?????????
43
c=
x1 x2 x3
y1 0 0.5 0.5
d=
u1
y1 0
??? ?????????????? ???????? ??????? ? ??????????? ????
? ????? ????????????? ? ???????????? ???????:
>> wd = c2d(w1,T, ?zoh?)
????? ?zoh? ? ????????????? ???????? ??????? (?? ?????????).
????????,
>> wd = c2d(w1,0.5,?zoh?)
a=
x1
x2
x3
x1 0.2906 -0.3915 -0.3015
x2 0.3015 0.8937 -0.09002
x3 0.09002 0.4815 0.9837
b=
u1
x1 0.603
x2 0.18
x3 0.03262
c=
x1 x2 x3
y1 0 0.5 0.5
d=
u1
y1 0
Sampling time: 0.5
Discrete-time model.
?? ???. 29 ???????? ????????? ???????? ???????? ???????????
? ?????????? ???????.
???????? ??????? ???????? ????????? ??????????? ????????????? ?? ?????????? ?? ???????? ??????? ??????????? ?????????
???????????. ??? ???? ??????? ????????? ??????????? ????? ? ? ???????? ??????????? ??????? ? ?d ? ???????? ?????????? ???????:
? d = e?T .
44
Step Response
1,8
1,6
1,4
1,2
1
Amplitude
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
5
10
15
20
25 30
Time (sec)
35
40
45
50
???. 29. ????????? ??????? ???????????
? ?????????? ???????
????????, ???? ???????? ?????? ??????????? ??????? ? = ?2, ?
??? ??????????? ?? ??????? T = 0.5, ??
?d = e?T = 0,3679.
??????? ???????????? ???? ??????? ?????????? ??????? ? ????
?????:
>> Pd=[0.3679 0.3679 0.3679];
>> Kd=acker(wd.a,wd.b,Pd);
?????????? ??????? ????????? ???????? ????
>> SYS = DSS(A,B,C,D,E,Ts)
??? ? ? ?????????? ???????, ??????? ?????? ???????? ???????????? ??? ???????????. ?? ????????? ? = [ ] (?????? ???????).
>> sys=dss(wd.A-wd.B*Kd,wd.B,wd.C,0,[],0.5);
>> step(sys)
???????????? ?????? ??????????? ???????? ???????? ?? ???. 30.
?? ???. 31 ???????? ????????? ??????????? ?????????? ??????????.
??? ???????? ?????? ? ???????? Sample time ??????? ????????
??? ?????????????.
45
Step Response
0,35
0,3
0,25
0,2
Amplitude
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
7
8
9
10
???. 30. ?????????? ???????
? ????????? ?????????? ???????
K*uvec
Gain1
1
z
K*u
Step
Add1
Gain
Add
Unit Delay
K*uvec
Gain2
Scope
K*uvec
Gain3
???. 31. ????-????? ????????? ?????????? ??????????
? MatLab Simulink
??? ????????????? ??????????? ?????????? ?????????? ? ??????????? ??????????? ??? ???????? ??????? ????? ???????????? ???? Discrete State-Space.
46
12. ??????? ?? ???????? ??????
???? ???????? ?????? ??????????? ? ???????? ???????? ?????????????? ????????? ??????????? ? ???????????? ????????????
??? ?????????? ???????????? ????????, ???????? ????????????
???????? 3-?? ???????.
?????????? ???????? ?????? ?????????? ? ????????? ??????:
1.?????????????? ?????? ??????? ? ???? ???????????? ???????
(??????? ?????? ???????) ? ?????? ? ???????????? ????????? ? ??????? ?????? MatLab.?????????? ??????????????? ????? ?????????????, ?????????? ??????? ??????? ?? ????????? ???????????
???????????.??? ????????? ??????? ??????????? ???????? ?????????????? ?????????? ? ???????? ?????? ????????? ???????.
2.?????????? ?????? ? ???????????? ?????????, ??????????? ????????? ???????? ????????????? ? ????????????? ?????????? MatLab.
3.?????????????? ??? ???????? ?????????? ??????????, ???????
???????????? ??????? ????????? ??????? ? ??????? ?????????
??????? ? ???????????.?????????? ? MatLab Simulink ?????? ??????? ? ????????? ???????????.??????????? ??????????????
??????????? ??????????.
4.?????????????? ????????? ????????? ? ??????????? ???????? ????????
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 567 Кб
Теги
burakov, 09977fe19f
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа