close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Burakov1

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
М. В. Бураков
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Практикум
Часть 1
Санкт-Петербург
2016
УДК 681.5
ББК 32.965
Б90
Рецензент
кандидат технических наук, доцент А. А. Мартынов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве практикума
Бураков, М. В.
Б90 Теория автоматического управления: практикум: в 3 ч. Ч. 1 /
М. В. Бураков. – СПб.: ГУАП, 2016. – 77 с.
Издание посвящено задачам классической теории линейных непрерывных систем управления. Задачи по каждой теме предваряются кратким теоретическим материалом и разбором примеров. Решение большинства задач предполагает использование возможностей
системы MatLab.
Предназначено для подготовки бакалавров по направлению
27.03.04 – «Управление в технических системах», а также студентов других направлений, изучающих дисциплины «Теория автоматического управления» и «Основы теории автоматического управления».
УДК 681.5
ББК 32.965
©
©
Бураков М. В., 2016
Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
ВВЕДЕНИЕ
Теория автоматического управления (ТАУ) за более чем вековую историю развития накопила значительный арсенал методов
анализа и синтеза систем управления. Особенно хорошо проработаны разделы ТАУ, ориентированные на работу с линейными системами. Здесь многие задачи могут быть решены аналитически или
графо-аналитически, без использования компьютера. С другой стороны, современные пакеты моделирования, такие как MatLab, автоматически решают типовые задачи ТАУ по заданным исходным
данным.
Таким образом, специалист в области ТАУ должен иметь некоторый опыт обработки данных «вручную», чтобы понимать, каким
путем получается компьютерное решение. Многие практические
задания предполагают сравнение аналитического решения и численного решения, полученного с помощью MatLab.
Практикум по теории автоматического управления содержит
задачи, относящиеся к классическим разделам ТАУ: линеаризация, преобразование Лапласа, преобразование структурных схем,
прямой синтез регуляторов, точность в установившихся режимах,
частотные характеристики, критерии устойчивости. Каждый раздел содержит краткие теоретические сведения и примеры решения
задач, а также задания для самостоятельного выполнения.
Для более полного освоения материала могут быть рекомендованы следующие учебники и учебные пособия – [1–11].
3
1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.1. Краткие теоретические сведения
Для линеаризации необходимо выбрать рабочую точку x0, относительно которой рассматриваются малые движения системы.
Произвольную функцию f(x) можно представить в виде разложения в ряд Тейлора:
f (x) =
¥
f k (x0 )
f ¢(x0 )
f ¢¢(x0 )
(x - x0 )k = f (x0 ) +
(x - x0 ) +
(x - x0 )2 + ...,
k!
1!
2!
k=0
å
При линеаризации обычно оставляют первые два слагаемых
разложения в ряд Тейлора, так что:
f (x) = f (x0 ) + f ¢(x0 )(x - x0 ).
Рассмотрим ряд Тейлора для функции нескольких переменных.
В этом случае рабочая точка описывается вектором:
T
X0 = éêë x10 , x20 , ..., xn0 ùúû .
Если оставить в разложении только первые производные, то получаем выражение:
f (x1, x2 , ..., xn ) = f (x10 , x20 , ..., xn0 ) +
æ ¶f ÷ö
÷
+ççç
çè ¶x1 ÷÷ø
x
0
1 =x1
æ
÷ö
÷÷÷
è ¶x2 øx
(x1 - x10 ) + çççç ¶f
æ ¶f ÷ö
÷÷
+ççç
èç ¶xn ø÷
xn =xn0
0
2 =x2
(x2 - x20 ) + .... +
(xn - xn0 ).
Уравнениями статики называют установившуюся зависимость
значения функции от ее аргументов.
В уравнениях динамики рассматривается зависимость функции
не только от параметров, но и от их производных.
1.2. Примеры
Рассмотрим задачу линеаризации уравнения статики системы
в окрестности номинального режима.
4
Пример 1.1. Дана функция
y(x) = x2 .
Требуется линеаризовать ее в рабочей точке x0 = 2.
Решение.
y(x) = y(x0 ) + y ¢(x0 )(x - x0 ) = 4 + 4(x - 2) = 4x - 4.
На рис. 1.1 приведены графики исходной и линеаризованной
функции, построенные с помощью команд MatLab:
>> x = –1:0.01:4;
>> y = x.*x;
>> y1 = 4*x – 4;
>> plot(x, y, x, y1)
>> grid
Пример 1.2. Дана функция
y(x) = 2x - x3 .
Требуется линеаризовать ее в рабочей точке x0 = 2.
Решение.
y(x) = y(x0 ) + y ¢(x0 )(x - x0 ) = -4 -10(x - 2).
15
10
y
5
1
0
2
–5
–1
0
1
x
2
3
4
Рис. 1.1. Линеаризация функции y = x2 в рабочей точке x = 2
(1 – исходная функция, 2 – линеаризованная)
5
20
2
10
0
1
–10
y
–20
–30
–40
–50
0
–1
1
x
2
3
4
Рис. 1.2. Линеаризация функции y = 2x – x3 в рабочей точке x = 2
(1 – исходная функция, 2 – линеаризованная)
На рис. 1.2 приведены графики исходной и линеаризованной
функции.
Пример 1.3. Пусть дано нелинейное дифференциальное уравнение
 - 5y - y = 0,
f (x, x , y, y ) = 3xy - 4x2 + 1,5xy
Линеаризуем его в рабочей точке:
x0 = 1;
x 0 = 0;
y0 = 2;
y0 = 0;
Решение.
¶f
= 3y0 - 8x0 = -2;
¶x 0
¶f
= 1,5y0 = 3;
¶x 0
¶f
= 3x0 + 1,5x 0 -1 = 2;
¶y 0
¶f
= -5.
¶y 0
Линеаризованное уравнение имеет вид:
æ ¶f ö
f (x, x , y, y ) = f (x0 , x 0 , y0 , y0 ) + çç ÷÷÷
(x - x0 ) +
çè ¶x ø
x= x
0
æ ¶f ö
+çç ÷÷
èç ¶x ÷ø
x =x 0
6
æ ¶f ö
(x - x 0 ) + ççç ÷÷÷
è ¶y ÷ø
y=y0
æ ¶f ö
(y - y0 ) + ççç ÷÷÷
è ¶y ÷ø
y =y0
(y - y0 ).
Подставляем полученные значения:
f (x, x , y, y ) = 0 - 2(x -1) + 3(x - 0) + 2(y - 2) - 5(y - 0) =
= -2x + 2 + 3x + 2y - 4 - 5y = 2y - 5y - 2x + 3x - 2.
Выполним проверку полученного решения в Matlab Simulink.
Для этого запишем исходное и линеаризованное в рабочей точке
уравнения в виде:
1
 + 4 x2 ;
y = y - 3xy -1,5xy
5
(
)
1
y = (-2y + 2x - 3x + 2).
5
На рис. 1.3 представлены блок-схемы Simulink, соответствующие этим уравнениям.
При моделировании необходимо выставить на интеграторах начальное значение y = 2. Если на входе присутствует только x = 1, то
выходы обоих систем не меняется.
При подаче дополнительного синусоидального сигнала малой амплитуды (А = 0,1) выходы систем оказываются близкими
(рис. 1.4).
При увеличении амплитуды синусоидального сигнала (А = 1)
выходы нелинейной и линеаризованной системы становятся существенно различными (рис. 1.5).
Пример 1.4. Дано описание нелинейной системы:
y + yy + y = 2x3 + xx .
Требуется построить линеаризованное описание в рабочей точке
x0 = 1;
x 0 = 0;
y0 = 2;
y0 = 0;
y0 = 0.
Решение.
F (y, y, y, x , x) = y + yy + y - 2x3 - xx = 0.
¶f
= -6x02 - x = -6;
¶x 0
¶f
= y0 + 1 = 1;
¶y 0
¶f
= -x0 = -1;
¶x 0
¶f
= y0 = 2;
¶y 0
¶f
= 1;
¶y 0
7
3
Product3 Gain3
Sine Wave
x0
1
s
Gain4 Integrator5
1/5
1.5
Gain6
Product5
Derivative2
du/dt
1
Add6
Add4
4
Product4 Gain5
Scope1
2
Gain9 2
3 Constant2
du/dt
1
1/5
s
Gain7 Integrator4
Derivative3 Gain10
Add5
2
Gain8
Рис. 1.3. Сравнение выходов нелинейной и линеаризованной системы
при подаче синусоидального входного воздействия
2,1
2,08
2,06
1
2,04
2,02
2
y(t) 2
1,98
1,96
1,94
1,92
0
1
2
3
4
5
t, c
6
7
8
9
10
Рис. 1.4. Нелинейная (1) и линеаризованная (2) система
при синусоидальном входном сигнале малой амплитуды
8
5,5
5
4,5
4
y(t)
3,5
1
3
2
2,5
2
1,5
1
0
1
2
3
4
t, c
5
6
7
8
9
10
Рис. 1.5. Нелинейная (1) и линеаризованная (2) система
при увеличении амплитуды синусоидального входного сигнала
Линеаризованное уравнение приобретает вид:
f (x, x , y, y, y) = f (x0 , x 0 , y0 , y0 , y0 ) +
æ ¶f ö
æ ¶f ö
+çç ÷÷÷
(x - x0 ) + çç ÷÷÷
(x - x 0 ) +
èç ¶x ø
èç ¶x ø
x =x 0
x=x0
æ ¶f ö
+ççç ÷÷÷
è ¶y ÷ø
y=y0
æ ¶f ö
(y - y0 ) + ççç ÷÷÷
è ¶y ÷ø
y =y0
æ ¶f ö
(y - y0 ) + ççç ÷÷÷
è ¶y÷ø
y=y0
(y - y0 ).
Подставляем полученные значения:
f (x, x , y, y ) = 0 - 6(x -1) -1(x - 0) + 1(y - 2) + 2(y - 0) + 1(y - 0) =
= -6x + 6 - x + y - 2 + 2y + y = y + 2y + y - 6x - x + 4.
Запишем исходное нелинейное и полученное линеаризованное
уравнение в виде:
y = -yy - y + 2x3 + xx .
y = -y - 2y + 6x + x + 4.
Выполним сравнение нелинейного и линеаризованного описания динамической системы с помощью Simulink MatLab. Схема
9
1
Constant
du/dt
Add1
Product
Derivative
1
1
s
s
Integrator Integrator1
Product1
Band-Limited
White Noise
Product2
Add2
Scope
Add
6
Gain1
1
Constant1
2
Gain
1
1
s
s
Integrator2 Integrator3
du/dt
Add3
Derivative1
4
2
Gain2
Constant2
Рис. 1.6. Сравнение выходов нелинейной и линеаризованной системы
при подаче случайного ступенчатого входного воздействия
2,8
2,7
1
2,6
2,5
2
y(t)
2,4
2,3
2,2
2,1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t, c
Рис. 1.7. Переходные процессы в нелинейной
и линеаризованной системах
моделирования представлена на рис. 1.6. На рис. 1.7 показаны выходные сигналы исходной и линеаризованной систем при подаче на
вход ступенчатого сигнала переменной амплитуды.
10
1.3. Задания для практической работы
1. Выполните линеаризацию статической зависимости в соответствии с заданным вариантом из табл. 1.1. Проверить результат
построением графиков в MatLab.
Таблица 1.1
Статические нелинейные зависимости
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Функция
x3;
y = 4x –
x0 = 1
y = sin(x) + exp(x); x0 = 2
y = sin(x) + cos(x); x0 = 0,5
y = exp(x) + x2; x0 = 2
y = sin(x) + tg(x); x0 = 0,5
y = х2 + x5; x0 = 1
y = cos(x) + x2; x0 = 2
y = sin(x) + x3; x0 = 1
y = 3x + x3; x0 = 3
y = 3x2 – x; x0 = 4
№
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Функция
y = 4x2 –, x3; x0 = 1
y = sin(x) + x3; x0 = 2
y = x4 + cos(x); x0 = 0,5
y = 3exp(x) + 2x2; x0 = 1
y = 2sin(x) – tg(x); x0 = 1
y = х3 + x4; x0 = 2
y = 2cos(x) – x2; x0 = 1
y = cos(x) – √x; x0 = 1
y = 4x + 2x3; x0 = 2
y = 2x2 – 3x3; x0 = 3
Таблица 1.2
Динамические нелинейные системы
№
Функция
№
Функция
1
11
2
y + cos(y) = 2x + x; x0 = 1
y + sin(y) = 2x; x0 = 2
12
y + cos(y) = 2x + x2 ; x0 = 2
y + sin(y) = x + 2x; x0 = 2
3
 = x + 2x; x0 = 0,5
2y + yy
13
2y + y2 = x + 2x; x0 = 1
4
 + x; x0 = 2
y + y = xx
14
y + 2 y = x + x; x0 = 1
5
2y + (y ) = x + 2x; x0 = 0,5
15
2y - y = x + 2x; x0 = 1
6
y + y2 = x + x; x0 = 1
16
y - y3 = 4x + x; x0 = 2
7
2
y + y2 = (x ) + x; x0 = 2
17
2
y + y2 = (x ) + x x ; x0 = 1
8
2
y + sin(y) = (x ) + x; x0 = 1
18
y + sin(y) = x + x; x0 = 1
9
y + y = x3 + x; x0 = 3
19
 + y = x3 + x; x0 = 2
y + 2yy
10
y + 2y = 2x2 + x; x0 = 4
20
y + 2y + y2 = x + x; x0 = 3
2
11
2. Выполните линеаризацию динамической системы в соответствии с заданным вариантом из табл. 1.2. Проверить результат моделированием в MatLab для следующих условий:
– Постоянный входной сигнал (рабочая точка).
– Синусоидальный входной сигнал в рабочей точке с различной
амплитудой.
– Случайное ступенчатое входное воздействие.
3. Выполните линеаризацию динамической системы в соответствии с заданным вариантом из табл. 1.2 при нулевых начальных
условиях. Определите передаточную функцию линеаризованной
динамической системы.
12
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
2.1. Краткие теоретические сведения
Преобразованием Лапласа называют интегральное преобразование:
¥
X(s) = ò x(t)e-st dt,
0
определяющее соответствие между функцией x(t) вещественного
переменного и функцией X(s) комплексного переменного s. При
этом x(t) называют оригиналом, а X(s) –изображением по Лапласу.
Символическая запись преобразования Лапласа:
X(s) = L{x(t)},
где L{ } – оператор преобразования Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа описывается формулой:
x(t) =
1
2pj
σ+ j¥
ò
X(s)est ds,
σ-j¥
В символических обозначениях:
x(t) = L–1{X(s)},
На практике обычно нет необходимости вычислять преобразование Лапласа для заданного оригинала, поскольку для большинства
важнейших функций времени изображения по Лапласу известны
(см. табл. 2.1).
Передаточной функцией (ПФ) системы называется отношение
преобразования по Лапласу выходной переменной к преобразованию по Лапласу входной переменной при нулевых начальных условиях:
y(s) B(s)
=
= W (s),
x(s) A (s)
где s комплексная переменная.
До начала эпохи массового использования компьютеров задача
нахождения решения дифференциального уравнения вызывала
большие трудности, и преобразование Лапласа являлось эффективным инструментом для решения этой задачи.
Степень полинома знаменателя называют порядком ПФ.
13
Таблица 2.1
Преобразования Лапласа
Оригинал
Изображение
Единичная импульсная функция
Наименование
d(t)
Единичная ступенчатая функция
1(t)
1
1
s
n!
Степенная функция
tn ×1(t)
Экспонента
e-αt ×1(t)
Экспонента
tn e-αt ×1(t)
Смещенная экспонента
1
(1 - e-αt ) ×1(t)
a
Синусоида
sin βt ×1(t)
Косинусоида
cos βt ×1(t)
Затухающая синусоида
e-αt sin βt ×1(t)
Затухающая косинусоида
e-αt cos βt ×1(t)
sn+1
1
s+α
1
(s + α)n+1
1
s(s + α)
β
2
s + β2
p
s2 + β2
β
(s + α)2 + β2
s+α
(s + α)2 + β2
Корни полинома числителя – нули ПФ, а корни полинома знаменателя – полюса ПФ.
Рассмотрим ряд свойств преобразования Лапласа, которые потребуются в дальнейшем изложении:
1. Линейность преобразования:
L{αy1(t) + βy2(t)} = αL{y1(t)} + βL{y2(t)} = αY1(s) + βY2(s).
2. Дифференцирование оригинала:
L{dY(t)/dt} = sY(s) – y(0),
При нулевых начальных условиях справедливо:
ìï dn y(t) üï
ïý = sn Y (s)
L ïí
ïï dtn ïï
î
þ
14
3. Интегрирование оригинала. Эта операция сводится к делению изображения на s:
t
ì
ü
ï
ï
ï
ï
Y (s)
ï
Lï
x
(
t
)
dt
íò
ý=
ï
ï
s
ï
ï
ï0
ï
î
þ
4. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа τ
справедливо:
L {y(t - τ)} = e-sτ L{y(t)} = e-sτ Y (s).
Таким образом, функции y(t) и y(t – τ) описывают один и тот же
процесс, но процесс, описываемый функцией y(t – τ), начинается
с опозданием на время τ. В области изображений это соответствует
умножению на e–sτ.
5. Теорема умножения изображения. Если y1(t) и y2(t) – оригиналы, а Y1(s) и Y2(s) – их изображения, то
t
t
0
0
Y1 (s) × Y2 (s) º ò y1 (τ)y2 (t - τ)dτ =ò y2 (τ)y1 (t - τ)dτ =y2 (t) * y1 (t).
где * – обозначение операции свертки.
6. Теорема о предельном значении. Если y(t) – оригинал, а Y(s) –
его изображение, то
x(¥) = lim x(t) = lim sX(s).
t®¥
s®0
Последняя теорема используется для расчета установившей
ошибки систем управления.
Решение дифференциального уравнения, полученное с помощью преобразования Лапласа, представляет собой рациональную
дробь. Для выполнения обратного преобразования необходимо разложить это решение на простейшие дроби. Для выполнения этой
операции необходимо найти корни характеристического полинома. Разложение выполняется по правилам:
– Если корень λ действительного типа, то ему соответствует
дробь вида:
A
;
s-λ
– Если корень λ действительного типа имеет кратность n, то ему
соответствует сумма дробей:
15
A1
sA2
sn-1 An
+
+
...
+
;
s - λ (s - λ )2
(s - λ )n
– Паре комплексно-сопряженных корней соответствует дробь вида:
A1s + B
2
s + as + b
;
– Комплексно-сопряженным корням кратности n соответствует
сумма дробей:
A1s + B1
A2s + B2
An s + Bn
+
+ ... +
.
2
2
n
s + as + b
s2 + as + b
s2 + as + b
(
)
(
)
Если известны ПФ системы W(s) и входной сигнал X(s), то можно определить выходной сигнал:
Y (s) = W (s) X(s).
2.2. Примеры
Пример 2.1. Дано дифференциальное уравнение
 + 6x + 4x = 1(t),
2x
и начальные условия:  x(0) = 1; x (0) = 3. Требуется определить x(t).
Решение:
На первом шаге записываем уравнение в изображениях:
1
2 s2 X(s) - s - 3 + 6(sX(s) -1) + 4X(s) = .
s
(
)
На втором шаге определим x(s)
X(s) =
2s2 + 12s + 1
(
s 2s2 + 6s + 4
=
s2 + 6s + 0,5
) (
)
s s2 + 3s + 2
.
Знаменатель имеет три различных корня действительного типа:
s1 = 0, s2 = –2, s3 = –1, поэтому можно записать:
X(s) =
16
s2 + 6s + 0,5
(
2
)
s s + 3s + 2
=
A
B
C
+
+
.
s s + 2 s +1
Откуда следует
s2 + 6s + 0,5 = A (s + 2)(s + 1) + Bs(s + 1) + Cs(s + 2).
Приравнивая значения при одинаковых степенях s, получаем
систему трех уравнений:
ì
ï
1= A + B +C
ï
ï
ï
í6 = 3 A + B + 2C
ï
ï
0,5 = 2 A
ï
ï
î
ì A = 0,25
ï
ï
ï
Þ ï
íB = -3,75.
ï
ï C = 4,5
ï
ï
î
Таким образом
X(s) =
0,25 3,75 4,5
+
.
s
s + 2 s +1
Выполняя обратное преобразование, получаем:
x(t) = 0,25 ×1(t) - 3,75e-2t + 4,5e-t .
Пример 2.2. Дано изображение функции, найти оригинал.
X(s) =
s2 + 2
(s + 1)3 (s - 2)
.
Знаменатель имеет корни действительного типа: s1 = 2 и s2 = –1
с кратностью n = 3, поэтому можно записать:
X(s) =
s2 + 2
3
(s + 1) (s - 2)
=
A1
A2
A3
A
+
+
+ 4 .
2
3
s + 1 (s + 1)
(s + 1) s - 2
Откуда следует:
2
3
s2 + 2 = A1 (s + 1) (s - 2) + A2 (s + 1)(s - 2) + A3 (s - 2) + A4 (s + 1) .
ì
A1 + A4 = 0,
ï
ï
ï
ï
A2 + 3 A4 = 1,
ï
í
ï
A
A
3
2 - 3 A1 + 3 A4 = 0,
ï
ï
ï
ï
ï
î-2 A3 - 2 A2 - 2 A1 + A4 = 2.
Решение этой системы дает ответ: А1 = –2/9, A2 = 1/3, A3=–1,
A4 = 2/9.
17
X(s) =
s2 + 2
3
(s + 1) (s - 2)
=-
2
1
1
2
+
+
.
2
3
9(s + 1) 3(s + 1)
(s + 1) 2(s - 2)
2
1
1
2
x(t) = L-1 (X(s)) = - e-t + te-t - t2e-t + e2t .
9
3
2
9
Пример 2.3. Найти оригинал по его изображению
2s - 5
F (s) =
2
s - 6s + 11
.
Преобразуем данную дробь: выделим в знаменателе дроби полный квадрат и по свойству линейности получим
F (s) =
2s - 5
2
s - 6s + 11
= 2×
=
2(s - 3) + 1
=
2
(s - 3) + 2
s-3
2
2
(s - 3) + ( 2 )
2(s - 3)
2
2
(s - 3) + ( 2 )
+
1
+
1
(s - 3) + ( 2 )2
2
×
2
2 (s - 3) + ( 2 )2
2
=
.
Обратное преобразование Лапласа для этого выражения дает решение:
1 3t
f (t) = 2e3t cos 2t +
e sin 2t.
2
Пример 2.4. Найти оригинал для функции
F (s) =
3s2 + 3s -13
s(s2 + 4s + 13)
.
Здесь имеется пара комплексно-сопряженных корней, поэтому
можно записать
F (s) =
3s2 + 3s -13
s(s2 + 4s + 13)
=
A
Bs + C
As2 + 4 As + 13 A + Bs2 + Cs
+
=
,
s s2 + 4s + 13
s(s2 + 4s + 13)
Откуда следует
3s2 + 3s -13 = ( A + B)s2 + (4 A + C)s + 13 A.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, получаем систему уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов:
18
ïìï A + B = 3,
ïìï A = -1,
ïï
ï
í4 A + C = 3, Þ ïíB = 4,
ïï
ïï
ïîï13 A = -13.
ïîïC = 7.
Таким образом,
3s2 + 3s -13
1
4s + 7
=- +
=
2
s s + 4s + 13
s(s + 4s + 13)
1 4(s + 2) -1
1
4(s + 2)
1
=- +
=- +
=
s (s + 2)2 + 9
s (s + 2)2 + 32 (s + 2)2 + 32
F (s) =
2
s +2
1
1
3
1
=- +4
= -F1 (s) + 4F2 (s) - F3 (s).
2
2
2
2
s
3 (s + 2) + 3
3
(s + 2) + 3
Находим оригиналы
1
F1 (s) = ,
s
F2 (s) =
F3 (s) =
® f1 (t) = 1,
s+2
(s + 2)2 + 32
3
2
2
(s + 2) + 3
, ® f2 (t) = e-2t cos 3t,
, ® f3 (t) = e-2t sin 3t.
Следовательно,
1
f (t) = -1 + 4e-2t cos 3t - e-2t sin 3t.
3
Пример 2.5. Дана ПФ и описание входного сигнала:
W (s) =
1
; x(t) = e-2t ×1(t).
(s + 1)(s + 3)
Определить выходной сигнал.
Решение:
X(s) =
1
;
s+2
Y (s) = W (s) X (s) =
1
.
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
Знаменатель имеет три различных корня действительного типа:
s1 = –1, s2 = –2, s3 = –3, поэтому можно записать:
Y (s) =
1
A
B
C
=
+
+
.
(s + 1)(s + 2)(s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
19
Выполняя элементарные преобразования, получаем A = 0,5;
B = –1; C = 0,5.
Таким образом,
y(s) =
1
0,5
1
0,5
;
=
+
(s + 1)(s + 2)(s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
y(t) = 0,5e-t - e-2t + 0,5e-3t .
Пример 2.6. Дана ПФ и описание входного сигнала:
W (s) =
1
; x(t) = 1(t) -1(t - 2).
(s + 1)(s + 3)
Требуется определить выходной сигнал.
Решение. В соответствии с теоремой запаздывания
1
1
x(s) = - e-2s .
s
s
Таким образом,
y(s) = W (s)x(s) =
1
(1 - e-2s ).
s(s + 1)(s + 3)
æ1 1
ö
æ1 1
ö
1
1
y(t) = çç - e-t + e-3t ÷÷÷1(t) - çç - e-(t - 2) + e-3(t - 2) ÷÷÷1(t - 2).
çè 3 2
ç
ø
è3 2
ø
6
6
Пример 2.7. Найти реакцию апериодического звена 1-го порядка при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия и единичного импульса.
W (s) =
1
;
Ts + 1
1
x(s) = .
s
æ 1
1ö÷÷
B ö÷
T ö÷
-1 æ A
-1 æ 1
h(t) = L-1 ççç
÷ = L ççç ÷=
÷ = L ççç +
÷
÷
è s Ts + 1ø
è s Ts + 1ø÷
çè(Ts + 1) s ÷ø
1
- t
æ1 ö
æ T ÷ö
= L-1 çç ÷÷÷ - L-1 çç
= 1(t) -1(t)e T .
÷
÷
çè Ts + 1ø
èç s ø
1
dh(t) 1 - T t
w(t) =
= e
.
dt
T
20
Пример 2.8. Найти реакцию колебательного звена порядка при
подаче на вход единичного ступенчатого воздействия.
1
1
W (s) =
; x(s) = .
0,1s + 0,05s + 1
s
Здесь имеется пара комплексно-сопряженных корней, поэтому
можно записать
A
Bs + C
1
= +
=
F (s) =
2
2
s
s(0,1s + 0,05s + 1)
0,1s + 0,05s + 1
=
0,1 As2 + 0,05 As + A + Bs2 + Cs
s(0,1s2 + 0,05s + 1)
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, получаем систему уравнений для нахождения неопределённых коэффициентов:
ìï0,1 A + B = 0,
ìï A = 1,
ïï
ï
ïí0,05 A + C = 0, Þ ïïíB = -0,1;
ïï
ïï
îïï A = 1.
îïïC = -0,005.
Таким образом,
-0,1s - 0,005
1
= +
=
s(0,1s + 0,05s + 1) s 0,1s2 + 0,05s + 1
s + 0,05
1
= =
2
s s + 0,5s + 10
s + 0,25
1
0,2
= =
s (s + 0,25)2 + 9,9475 2 (s + 0,5)2 + 9,9475 2
1
F (s) =
2
(
)
(
)
= F1 (s) - F2 (s) - F3 (s).
Находим оригиналы
1
F1 (s) = ,
s
F2 (s) =
F3 (s) =
® f1 (t) = 1,
s + 0,25
2
(s + 0,25) +
(
9,475
2
)
0,2
2
(s + 0,25) +
(
9,475
2
)
, ® f2 (t) = e- 0,25t cos 9,9475t,
® 0,2e- 0,25t sin 9,9475t.
21
1
1
0.1s2+0.05s+1
Constant
Transfer Fcn
Clock
sin
Constant2
Product
Constant1
Math
Function
0.2
Gain
sqrt(9.9475)
1
eu
-0.25
Trigonometric
Function
Product2
Gain1
Scope
cos
Add
Product1
Trigonometric
Function1
Рис. 2.1. Проверка аналитического решения в Matlab Simulink
Следовательно,
f (t) = 1 - e- 0,25t cos 9,9475t - 0,2e- 0,25t sin 9,9475t.
Проверку решения иллюстрирует рис. 2.1.
2.3. Задания для практической работы
1. Определите реакцию на единичный скачок модели объекта,
описываемой дифференциальным уравнением из табл. 2.1 при нулевых начальных условиях. Результат проверить в MatLab.
Таблица 2.1
22
№
Вариант
№
Вариант
1
 + x + x
y + 2y + y = 2x
11
 + 2x + x
3y + 4y + y = 7x
2
y + 6y + 8y = 3x + x
12
 + 3x + x
y + 2y + y = 7x
3
 + 2x + 5x
3y + 4y + 5y = x
13
0,1y + 3y + y = 0,2x + x
4
y + 0,3y + y = 0,5x + x
14
 + 0,7x + x
y + 0,6y + y = 0,1x
5
y + 2y + y = 10x
15
y + 9y + y = 2x + x
6
y + 16y + y = 10x + x
16
 + 2x + x
5y + 3y + y = 3x
Окончание табл. 2.1
№
Вариант
№
Вариант
7
 + 2x + x
6y + 3y + y = 4x
17
0,5y + 0,1y + y = 0,1x + x
8
7y + 2y + y = 2x + x
18
0,2y + 0,1y + y = 6x
9
0,4y + 0,8y + y = 4x
19
y + 6y + y = 5x + x
10
0,1y + y + y = 0,1x + x
20
 + x + x
0,15y + 0,1y + y = 2x
2. Найти оригинал для заданных функций из табл. 2.2. Результат проверить в MatLab Simulink (см. рис. 2.1).
Таблица 2.2
Изображения по Лапласу
№
Вариант
1
F (s) =
2s - 6
(2s - 4)(s + 2)
2
F (s) =
2s - 3
s(s - 6)(s + 7)
F (s) =
s2 -12s + 11
(s - 3)(s + 7)(s -1)
F (s) =
3
F (s) =
4
F (s) =
12s + 11
(s + 9)(s -1)
F (s) =
5
F (s) =
s + 16
(s -1)(s + 7)
F (s) =
s2 + 9
(s - 2)(s + 12)
F (s) =
6
7
8
F (s) =
F (s) =
s +1
(5s -10)(s + 11)
F (s) =
4s -13
(s -1)(s + 3)
F (s) =
F (s) =
4-s
F (s) =
2
s(s + 2s - 3)
7 - 6s
2
s(s + 8s - 31)
17 - s
2
s(s - 8s - 31)
4s -15
2
(s + s + 2)(s -1)
s -15
(s2 + s + 2)(s + 1)
2s - 5
(s2 - 2s + 7)(s - 7)
s +7
2
s(s + 6s + 10)(s -1)
s -7
2
(s + 6s + 10)(s -1)
23
Окончание табл. 2.2
№
Вариант
2s + 5
9
F (s) =
2s + 19
(s - 2)(s + 15)
F (s) =
10
F (s) =
2s + 19
(s -12)(s + 1)
F (s) =
11
F (s) =
s + 36
(s -12)(s + 9)
F (s) =
s2 + 11
(s - 3)(s + 5)(s -1)
F (s) =
4s + 3
(s -1)(s + 7)
F (s) =
12
F (s) =
13
F (s) =
14
F (s) =
15
16
17
F (s) =
s2 -12s + 11
(s - 3)(s + 8)(s -1)
F (s) =
F (s) =
s+3
(s - 5)(s + 7)
7s - 3
(s + 6)(s -11)
F (s) =
F (s) =
F (s) =
2
(s - 2s + 7)(s + 7)
9 + 2s
2
(s + 3s - 4)(s -1)
5s -13
2
(s - s + 2)(s + 3)
s2 + 6
(s -1)(s2 - 3s + 4)
s -13
2
(s - s + 2)(s + 13)
F (s) =
F (s) =
2s + 5
(s - 7)(s + 6)
F (s) =
19
F (s) =
8s - 9
(s - 5)(s + 1)
F (s) =
20s + 11
(s - 7)(s + 11)
F (s) =
24
(s2 + s - 2)(s + 5)
(s -1)(s2 - 3s + 5)
s2 + 2
(s -1)(s + 2)(s - 3)
F (s) =
s2 - 7
s2 + 16
18
20
s+8
(s + 3)(s2 + s + 2)
s2 - 4
(s2 + s - 2)(s - 5)
s+8
(s + 3)(s2 + s - 2)
s2 + 5s
2
(s - 4s + 3)(s + 2)
9+s
(s2 + 3s - 4)(s + 1)
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
3.1. Краткие теоретические сведения
Для получения ПФ многоконтурной системы требуется использовать модель системы в виде сигнального графа.
Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи между переменными, он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их направленных ветвей.
Ветвь соответствует блоку структурной схемы, она отражает зависимость входной и выходной переменных. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответствующую этому узлу переменную.
Последовательность ветвей между двумя узлами называется путем.
Контуром называется замкнутый путь, который начинается и
заканчивается в одном и том же узле, причем ни один узел не встречается на этом пути дважды. Коэффициент передачи контура – это
произведение всех входящих в него дуг.
Контуры называются некасающимися, если они не имеют общих узлов.
Сигнальный граф однозначно соответствует структурной схеме.
Пусть X(s) и Y(s) – входная и выходная переменные системы.
Тогда для вычисления ПФ системы управления по ее графу можно
воспользоваться формулой Мейсона:
W (s) =
X(s) 1 N
= å Pi (s)D i (s),
Y (s) D i=1
где Pi(s) – передаточная функция i-го отдельного прямого пути от
X(s) до Y(s), вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот путь; D(s) – определитель графа.
D(s) = 1 - å Lj (s) + å Lj (s)Lk (s) j
j,k
å Lj (s)Lk (s)Lm (s) + ...,
j,k,m
где Lj(s) – ПФ j-го замкнутого контура, равная произведению ПФ
дуг, входящих в этот контур;
Lj(s)Lk(s) – произведение ПФ пары (j-го и k-го) замкнутых контуров, не касающихся ни дугами, ни вершинами, суммирование осуществляется по всем парам не касающихся контуров;
Lj(s)Lk(s)Lm(s) – произведение тройки (j-го, k-го и m-го) не касающихся контуров, суммирование производится по всем тройкам не
касающихся контуров.
25
∆i(s) – дополнительный множитель для i го пути равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты передачи контуров, касающихся этого пути.
3.2. Примеры
Пример 3.1. Получить ПФ для многоконтурной системы, представленной на рис. 3.3.
Этой системе соответствует сигнальный граф, показанный на
рис. 3.4.
От входа к выходу ведут два пути:
P1=W1W3W4, P2= W2W3W4.
В графе есть два контура:
L1= –W1W3, L2= –W3W4.
Контур L1 касается контура L2, поэтому определитель графа вычисляется по формуле:
D = 1 - (L1 + L2 ).
Контуры здесь касаются всех путей, поэтому дополнительные
множители путей D1 = D2 = 1.
W2(s)
X(s)
W1(s)
W3(s)
W4(s)
Y(s)
Рис. 3.3. Пример многоконтурной структурной схемы
W2(s)
X(s)
1
W1(s)
W3(s)
–1
W4(s)
Y(s)
–1
Рис. 3.4. Сигнальный граф многоконтурной системы
26
Окончательно можно записать:
2
å Pi × Di
W (s) = i=1
D
=
W1W3W4 + W2W3W4
.
1 + W1W3 + W3W4
Таким образом, использование сигнальных графов и применение формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения структурной схемы.
Пример 3.2. Рассмотрим пример системы, в которой не все контуры касаются всех путей (рис. 3.5).
Системе соответствует сигнальный граф, показанный на рис. 3.6.
От входа к выходу ведут два пути:
P1=W1W2, P2= W3.
В графе есть два контура:
L1= –W1, L2= –W2.
D = 1 - (L1 + L2 ).
Первого пути касаются оба контура, а 2-го пути не касается 2-й
контур, следовательно,
D1 = 1;
X(s)
W1 =
D2 = 1 - L2 .
5
s+3
W3 =
W2 =
Y(s)
1
s+4
1
2s + 1
Рис. 3.5. Пример многоконтурной системы с заданными параметрами
X(s)
1
W1(s)
–1
1
W2(s)
1
Y(s)
–1
W3(s)
Рис. 3.6. Сигнальный граф динамической системы
27
Таким образом,
2
å Pi Di
W (s) = i=1
D
=
W1W2 + W3 (1 + W2 )
1 + W1 + W2
.
Подставляя численные значения, получаем:
2
å Pi Di
W (s) = i=1
D
=
s5 + 29s4 + 258s3 + 988s2 + 1664s + 960
2s6 + 49s5 + 460s4 + 2124s3 + 5001s2 + 5384s + 1680
.
Рассматривая в MatLab Simulink исходную систему и полученную ПФ при подаче одинакового входного сигнала, можно убедиться в правильности преобразования.
3.3. Задание для практической работы
Выполнить с помощью формулы Мейсона замену структурной
схемы одним динамическим звеном для указанного варианта системы из табл. 3.1.
Таблица 3.1
Варианты структур САУ
№ п/п
1
Исходная схема
W1 (s) =
s+2
;
s+3
W2 (s) =
2s + 1
;
s+3
W3
W1
x
W2
y
8s + 1
W3 (s) =
;
3s + 1
W1 (s) =
2
W2 (s) =
s
;
s+3
0,2s + 1
;
0,1s + 1
0,8s + 1
W3 (s) =
;
3s
28
W3
x
W1
W2
y
Продолжение табл. 3.1
№ п/п
Исходная схема
W1 (s) =
3
0,5s + 1
;
s+3
W3
s +1
;
3s + 6
W2 (s) =
0,1s + 1
W3 (s) =
;
0,3s + 1
4
W1 (s) =
s+2
;
s+3
W2 (s) =
2s + 1
;
s+3
2.8s + 1
W3 (s) =
;
1,3s + 1
W1 (s) =
5
s
;
s+3
y
W3
x
W2
W1
2s + 1
;
s +1
W2 (s) =
W2
W1
x
+
y
W3
x
W2
W1
+
y
8s + 1
;
W3 (s) =
3s
6
W1 (s) =
s +1
;
3s + 6
W2 (s) =
5s + 1
;
s+3
0,1s + 1
W3 (s) =
;
0,3s + 1
7
W1 (s) =
2s + 1
;
s+3
W2 (s) =
8s + 1
;
3s + 1
W3
x
W2
W1
y
W3
x
W1
W2
y
s+2
W3 (s) =
;
s+3
29
Продолжение табл. 3.1
№ п/п
8
Исходная схема
W1 (s) =
0,8s + 1
;
3s
W2 (s) =
0,2s + 1
;
0,1s + 1
W3
x
W2
W1
y
0.8s + 1
W3 (s) =
;
3s
W1 (s) =
9
W2 (s) =
s +1
;
3s + 6
0,1s + 1
;
0,3s + 1
W3
x
W2
W1
y
0,5s + 1
W3 (s) =
;
s+3
W1 (s) =
10
W2 (s) =
2s + 1
;
3s + 1
0,6s + 1
;
0,8s + 1
W3
x
W1
W2
y
W2
y
W2
y
s +1
W3 (s) =
;
4s + 3
11
W1 (s) =
0,8s + 1
;
3s
W2 (s) =
0,1s + 1
;
0,3s + 1
W3
x
W1
0,6s + 1
W3 (s) =
;
0,8s + 1
12
W1 (s) =
0,1s + 1
;
0,4s + 1
W2 (s) =
0,2s + 1
;
3s + 1
s +1
W3 (s) =
;
3s
30
W3
x
W1
Продолжение табл. 3.1
№ п/п
Исходная схема
W2 (s) =
13
0,2s + 1
;
3s + 1
W3 (s) =
s +1
;
3s
W3
x
W1
W2
y
W2
y
W2
y
0,1s + 1
W1 (s) =
;
0,4s + 1
14
W3 (s) =
0,6s + 1
;
0,8s + 1
W2 (s) =
0,1s + 1
;
0,3s + 1
W3
x
W1
0,8s + 1
W1 (s) =
;
3s
15
16
W3 (s) =
0,6s + 1
;
0,8s + 1
W1 (s) =
0,8s + 1
;
3s
W2 (s) =
0,1s + 1
;
0,3s + 1
W1 (s) =
0,1s + 2
;
s+3
W2 (s) =
0,2s + 1
;
s+3
0,8s + 1
W3 (s) =
;
3s + 1
17
W3 (s) =
0,6s + 1
;
0,8s + 1
W1 (s) =
0,8s + 1
;
3s
W2 (s) =
0,1s + 1
;
0,3s + 1
W3
x
W1
W3
W1
x
W2
y
W3
x
W1
W2
y
31
Окончание табл. 3.1
№ п/п
18
Исходная схема
W3 (s) =
s +1
;
8s + 1
W1 (s) =
s +1
;
3s
W3 (s) =
20
21
32
x
W2
W1
0,1s + 1
;
13s + 1
W2 (s) =
19
W1
W3
s+2
;
2s + 1
W1 (s) =
0,1s + 1
;
3s + 3
W2 (s) =
0,1s + 1
;
4s + 1
W1 (s) =
s + 0.1
;
s+6
W2 (s) =
0,5s + 1
;
5s + 3
W3 (s) =
0,3s + 3
;
0,6s + 5
W1 (s) =
s + 0,1
;
s+6
W2 (s) =
0,5s + 1
;
5s + 3
W3 (s) =
0,3s + 3
.
0,6s + 5
y
W1
x
W1
W2
y
W
W33
x
W2
W1
y
W3
W3
x
W1
W2
W3
y
4. ПРЯМОЙ СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
4.1. Краткие теоретические сведения
Имея описание объекта управления и описание желаемой системы, заданные передаточной функцией, можно выполнить прямой
синтез регулятора.
Рассмотрим систему управления с одним входом и одним выходом (рис. 4.1, где Wc – передаточная функция регулятора, W –
передаточная функция объекта).
Уравнение выхода замкнутой системы имеет вид
y(s) =
Wc W
g(s) = Qg(s).
1 + Wc W
Тогда
Wc =
1 æç Q ö÷
÷.
ç
W çè1 - Q ÷ø
Пусть желаемая ПФ замкнутой системы имеет вид (апериодическое звено 1-го порядка):
1
Q* =
.
τs + 1
Тогда
æ
ö÷
1
ç
÷
1 æç Q * ö÷ 1 ççç τs + 1 ÷÷
1
.
Wc = ç
÷÷ = ç
÷÷÷ =
ç
ç
1
W è1 - Q * ø W ç1 ÷÷ τsW
çç
è
τs + 1 ÷ø
Рассмотрим объект 1-го порядка
W=
g
e
K
.
Ts + 1
u
Wc
y
W
Рис. 4.1. Система управления с обратной связью
33
Тогда
Wc =
Ts + 1 T çæ
1ö
1
=
çç1 + ÷÷÷ = K p + Ki .
τsK
Kτ è
Ts ø
s
Эта формула описывает регулятор ПИ-типа.
Рассмотрим систему 2-го порядка.
W (s) =
k
T22s2 + T1s + 1
;
или
W (s) =
K
2 2
T s + 2ξTs + 1
;
T = T2 ,
ξ=
T1
2T2
Тогда
Wc =
æ 1
ö
1
T2s2 + 2î Ts + 1 2ξT çæ
1
Ts ö
=
=
+ ÷÷÷ = K p çç1 + Ki + sKd ÷÷÷
ç1 +
ç
ç
÷
è
ø
sτW
τsK
Kτ è
2ξTs 2ξ ø
s
Это уравнение ПИД-регулятора.
4.2. Примеры
Пример 4.1. Пусть описание объекта управления и желаемой
ПФ замкнутой системы имеет вид
W=
0,6
;
6s + 1
Q* =
1
.
5s + 1
Тогда
Wc =
6 æç
1ö
1
çç1 + ÷÷÷ = 2 + 0,33 .
5 × 0,6 è
6s ø
s
Система с синтезированным ПИ-регулятором показана на рис. 4.2.
Заданный и полученный переходные процессы практически совпадают (рис. 4.3).
Пример 4.2. Пусть описание объекта управления и желаемой
ПФ замкнутой системы имеет вид
W=
34
1
2
10s + 7s + 1
;
Q* =
1
.
5s + 1
1
5s+1
Transfer Fcn1
1
Constant
2
Subtract
Scope
0.6
Gain
1
0.33
s
Integrator Gain1
6s+1
Add
Transfer Fcn
Рис. 4.2. Проверка решения в MatLab Simulink
1
0,9
0,8
0,7
y(t), 0,6
y*(t) 0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
5
10
15
t, c
20
25
30
Рис. 4.3. Переходные процессы в желаемой и синтезированной системе
1
5s+1
du/dt
1
Constant
1.4
Subtract
Derivative
1.43
Transfer Fcn1
Scope
Gain
1
Gain2
1
s
Integrator
0.14
Add
10s 2 +7s+1
Transfer Fcn
Gain1
Рис. 4.4. Блок-схема системы управления
35
1,4
1,2
1
y(t),
y*(t)
0,8
0,6
1
0,4
2
0,2
0
0
5
10
15
20
25
30
t, c
Рис. 4.5. Переходные процессы в желаемой и синтезированной системе
(1 – желаемая система, 2 – система с ПИД-регулятором)
Тогда
Wc =
æ
ö
1
10s2 + 7s + 1
1
=
= 1,4çç1 + 0,14 + 1,43s÷÷÷.
çè
ø
5sW
5s
s
Синтезированная система управления с ПИД-регулятором показана на рис. 4.4.
Заданный и полученный переходные процессы несколько отличаются друг от друга, поскольку заданная динамическая система
имеет меньший порядок, чем объект управления (рис. 4.5).
4.3. Задание на практическую работу
Передаточная функция угловой скорости вращения ω(t) двигателя постоянного тока (ДПТ) относительно входного напряжения
U(t) имеет вид:
k
ω(s)
.
=
U (s) (Js + b)(Ls + R) + k2
R – сопротивление якорной цепи, L – индуктивность якорной цепи,
J – момент инерции ротора, b – коэффициент вязкого трения, k –
константа.
36
Таблица 4.1
Параметры двигателей постоянного тока
№
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
J
(кг·м2)
3,23·10–6
0,01
0,02215
2,6·10–5
0,0167
42·10–6
0,093
0,0001
0,15
0,01
5
0,02
0,162·10–3
0,02
2,9·10–6
0,0001
0,05
0,022
0,01
0,1
b (кг м2/с)
k
R (Ом)
L(Гн)
3,5·10–6
1
0,002953
1,7·10–5
0,0167
47·10–6
0,08
9·10–6
1,2
0,1
0,2
0,01
6,5·10–3
0,2
0,02
9,3·10–6
0,001
0,5·10–3
0,02
1
0,0274
0,5
1,976
0,00123
0,8
0,015
0,55
0,01
0,6
0,01
3,65
0,001
1
0,01
0,0296
0,105
0,5
1,2
0,01
0,2
4
0,00003
11
21
0,5
4,67
1
2,7
1,2
1
0,052
0,4
15
2
0,35
2,7
0,5
2,45
0,22
0,5
2,75·10–6
0,023
0,1215
0,00022
0,003
0,17
46
0,004
0,05
0,5
1
0,09
0,8
0,5
25·10–6
0,004
10
0,035
0,2
0,01
Задание: для варианта ДПТ из табл. 4.1 методом прямого синтеза получить описание ПИД-регулятора. Результат проверить моделированием в MatLab Simulink.
Замечание: При выборе желаемого переходного процесса требуется анализировать динамические характеристики разомкнутой
системы.
37
5. ТОЧНОСТЬ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ
5.1. Краткие теоретические сведения
При проектировании систем управления часто требуется оценить ошибку слежения в установившемся режиме
eóñò = lim e(t).
t®¥
Величина установившейся ошибки может быть найдена с помощью теоремы о предельном значении оригинала:
eóñò = lim e(t) = lim se(s).
t®¥
s®0
Рассмотрим замкнутую систему управления с единичной обратной связью (рис. 5.1).
e(s) = g(s) - y(s) = g(s) - H(s)e(s) Þ
1
e(s) =
g(s) = We g(s),
1 + H(s)
где We(p) – передаточная функция по ошибке.
Таким образом, в замкнутой системе:
eóñò = lim e(t) = lim se(s) = lim s(We (s) g(s)).
t®¥
s®0
s®0
5.2. Примеры
Пример 5.1. Рассмотрим разомкнутую систему управления, заданную передаточной функцией H(t) (рис. 5.2).
Пусть
H(s) =
g(s)
1
2
0,1s + 0,02s + 1
e(s)
;
H(s)
2
g(s) = .
s
y(s)
Рис. 5.1. Система с единичной обратной связью
38
g(s)
y(s)
H(s)
e(s)
Рис. 5.2. Установившаяся ошибка разомкнутой системы
Тогда по теореме о предельном значении получаем:
eóñò = lim s( g(s) - g(s) H(s)) = lim s( g(s)(1 - H(s))) =
s®0
s®0
2
æ
ö
æ
ö
1
ç æ
çç 0,2s + 0,04s ÷÷
÷÷ö÷÷
lim
= lim çç2ççç1 =
= 0.
÷
÷
÷
ç
÷
÷
s®0çè çè
0,1s2 + 0,02s + 1÷ø÷ø s®0çè 0,1s2 + 0,02s + 1÷ø
Рассмотрим более сложный входной сигнал: g(t) = 3t. Ему соответствует изображение по Лапласу:
g(s) =
3
s2
.
Для этого сигнала:
eóñò = lim s( g(s) - g(s) H(s)) = lim s( g(s)(1 - H(s))) =
s®0
s®0
æ æ 3 öæ 0,1s2 + 0,02s öö÷
æ
ö
ç
ç
÷÷÷÷ = lim çç 0,3s + 0,06 ÷÷÷ = 0,06 .
= lim ççsçç ÷÷÷çç
÷
ç
÷
s®0ççè çè s2 ÷øçè 0,1s2 + 0,02s + 1÷÷øø÷ s®0çè 0,1s2 + 0,02s + 1÷ø
Пример 5.2. Дана передаточная функция разомкнутой системы
W (s) =
3
2
2s + 4s + 1
.
Требуется найти установившуюся ошибку замкнутой системы
при постоянном входном воздействие g(t) = 2.
Решение:
We (s) =
æ æ 2
öö
2s2 + 4s + 1 e (s) = lim ççs 2 çç 2s + 4s + 1 ÷÷÷÷÷÷ = 0,5.
çç ç 2
, óñò
÷
s®0èç s èç 2s + 4s + 4 ø÷÷ø÷
2s2 + 4s + 4
Пример 5.3. Определить статическую ошибку замкнутой системы, приведенной на рис. 5.3 при g(t) = 1 + 2t.
39
g(t)
e(t)
5
s(2s + 1)
y(t)
Рис. 5.3. Пример замкнутой системы
Решение:
æ
ö÷
çç
÷÷÷
çç æç1 2 ö÷
1
÷÷ =
eóñò = lim s( g(s)We (s)) = lim ççsç + 2 ÷÷
÷÷
5
s®0
s®0ç çè s s ÷ø
÷
1+
çèçç
s(2s + 1) ÷÷ø
ææ
æ s(2s + 1)
2 ö s(2s + 1) ö÷
2(2s + 1) ö÷
÷÷ = lim çç
÷ = 0,4
+
lim ççççç1 + ÷÷÷
ç
ç
÷
s ø s(2s + 1) + 5 ø s®0è s(2s + 1) + 5 s(2s + 1) + 5 ø÷÷
s®0èè
.
Пример 5.4. Рассмотрим установившуюся ошибку в системе
с П-регулятором (рис. 5.4).
Пусть g(t) = 40, тогда g(s) = 40/s и
æ
ö÷
çç
÷÷
ç æ 40 ö
1
÷÷
eóñò = lim (s( g(s)We (s))) = lim çççsçç ÷÷
÷=
5Kp ÷÷
s®0
s®0ç çè s ø÷
÷
çç
1+
÷
çè
s + 1 ÷ø
æ 40(s + 1) ö÷
÷÷ » 40 .
= lim ççç
s®0çè s + 5Kp + 1÷÷ø 5Kp + 1
Пример 5. Рассмотрим установившуюся ошибку в системе с ПИрегулятором (рис. 5.5).
g(t)
u(t)
e(t)
Kp
5
s +1
Рис. 5.4. Пример П-регулятора
40
y(t)
Kp
g(t)
e(t)
u(t)
5
s +1
y(t)
Ki
s
Рис. 5.5. Пример ПИ- регулятора
Пусть g(t) = 40, тогда
æ
ö÷
çç
÷÷
ççæ 40 ö
1
÷÷÷
ç
÷
ç
eóñò = lim s( g(s)We (s)) = lim sççç ÷÷
÷=
ç
s®0
s®0 çè s ø
5( Kp + Ki / s) ÷÷÷
çç
÷÷
1+
çè
÷ø
s +1
æ
ö÷
çç
÷÷
çç
æ
ö÷
÷÷
çç
40s(s + 1)
1
ççæç 40 ö÷
÷
÷÷
ç
= lim sçç ÷÷
=
lim
÷÷÷ = 0.
÷÷
ç
ç
®
s®0 çççè s ø
s
0
5( Kp s + Ki ) ÷÷
çè s(s + 1) + 5( Kp s + K )i ÷÷ø
çç
÷÷
1+
çç
÷
s(s + 1) ø
è
При подаче линейно растущего входного сигнала: g(s) = 40/s2 и
æ
ö÷
40(s + 1)
ç
÷÷ = 40 .
eóñò = lim s( g(s)We (s)) = lim ççç
÷
s®0
s®0ç s(s + 1) + 5( Kp s + Ki )÷÷ 5Ki
è
ø
5.3. Задания для практической работы
1. Рассматривается система с ПД-регулятором (табл. 5.1). Объект 2-го порядка. Определить статическую ошибку при двух вариантах задающего воздействия: g = 2 и g = 2t.
2. Рассматривается система с ПИ-регулятором (табл. 5.2). Объект 2-го порядка. Определить статическую ошибку при двух вариантах задающего воздействия: g = 2 и g = 2t.
3. Рассматривается система с ПИД-регулятором (табл. 5.3). Объект 2-го порядка. Определить статическую ошибку при двух вариантах задающего воздействия: g = 2 и g = 2t.
41
Таблица 5.1
Система управления с ПД-регулятором
№
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
Параметры регулятора
Параметры объекта
kp
kd
a2
a1
a0
5
5
5
2,5
2,5
2,5
6
8
4
9
5
2,5
2,5
2,5
6
10
1
2
3
4
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2
2
3
4
0,5
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
1
2
3
4
3
0,1
0,01
0,2
0,4
0,5
1
0,5
0,5
0,5
2
2
4
4
4
0,5
1
0,5
0,5
0,5
4
1
2
3
4
2
2
1
2
2,5
4
0,5
0,8
0,4
0,6
2
1
2
2,5
4
0,8
4
3
2
1
Таблица 5.2
Система управления с ПИ-регулятором
№
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
42
Параметры регулятора
Параметры объекта
kp
ki
a2
a1
a0
5
5
5
2,5
2,5
2,5
6
8
4
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1
1
2
2
2
3
3
3
0,5
1
0,5
0,5
0,5
2
2
4
4
2
2
1
2
2,5
4
0,5
0,8
0,4
Окончание табл. 5.2
№
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
Параметры регулятора
Параметры объекта
kp
ki
a2
a1
a0
9
5
2,5
2,5
2,5
6
10
1
2
3
4
1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
1
1
2
3
4
3
0,1
0,01
0,2
0,4
4
0,5
1
0,5
0,5
0,5
4
1
2
3
4
0,6
2
1
2
2,5
4
0,8
4
3
2
1
Таблица 5.3
Система управления с ПИД-регулятором
№
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
Параметры регулятора
Параметры объекта
kp
kd
ki
a2
a1
a0
5
5
5
2,5
2,5
2,5
6
8
4
9
5
2,5
2,5
2,5
6
10
1
2
3
4
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
2
2
3
4
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
1
1
2
3
4
3
0,1
0,01
0,2
0,4
0,5
1
0,5
0,5
0,5
2
2
4
4
4
0,5
1
0,5
0,5
0,5
4
1
2
3
4
2
2
1
2
2,5
4
0,5
0,8
0,4
0,6
2
1
2
2,5
4
0,8
4
3
2
1
43
6. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
6.1. Краткие теоретические сведения
Частотная ПФ получается при чисто мнимых значениях s, то
есть при s = jω. Зная частотную ПФ линейной стационарной системы, можно найти реакцию системы на гармонический входной сигнал в установившемся режиме.
Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и частоту ω,
т. е. описывается формулой:
x = a sin(ωt).
Выходной сигнал будет иметь амплитуду А1, и отличаться от
входного по фазе на величину j (фазовый сдвиг):
y = A1 sin(ωt + j).
Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде:
A=
A1
.
a
Для каждой частоты входного сигнала w будут свои A и j.
Если на вход подавать сигнал с постоянной амплитудой и изменяющейся частотой, то изменение амплитуды и сдвига фазы выходного сигнала будут определяться динамическими свойствами
звена. Если для различных частот, начиная с нулевой, измерить
усиление по амплитуде и фазовый сдвиг, то получаются частотные
характеристики звена: A(w) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и y(w) – фазочастотная характеристика (ФЧХ).
Для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида:
X( jω) = e jωt .
Тогда выходной сигнал:
Y ( jω) = A (ω)e j (ωt+ψ(ω)) .
Частотная ПФ:
W ( jω) =
Y ( jω)
= A (ù )e jø (ω) .
X( jω)
Эта формула является представлением частотной ПФ в полярных координатах.
44
Можно также записать частотную ПФ в алгебраической форме:
W ( jω) = U (ω) + jV (ω).
Поскольку W(jw) является комплексным выражением, ее можно представить в виде:
a (ω) + jb1 (ω)
W ( jω) = 1
.
a2 (ω) + jb2 (ω)
Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной ПФ
необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную
знаменателю величину, а затем провести разделение:
a1 (ω) + jb1 (ω) (a1 (ω) + jb1 (ω))(a2 (ω) - jb2 (ω))
=
=
a2 (ω) + jb2 (ω) (a1 (ω) + jb2 (ω))(a2 (ω) - jb2 (ω))
a (ω)a2 (ω) + b1 (ω)b2 (ω)
a (ω)b1 (ω) - a1 (ω)b2 (ω)
= 1
+j 2
= U (ω) + jV (ω).
2
2
a2 (ω) + b2 (ω)
a22 (ω) + b22 (ω)
W ( jω) =
Таким образом:
U (ω) + jV (ω) = A (ω)e jψ (ω) ,
где
A (ω) = W ( jω) = U 2 (ω) + V 2 (ω) =
a12 + b12
a22 + b22
,
æb ö
æb ö
æ V (ω) ö÷
÷ = arctg ççç 1 ÷÷÷ - arctg ççç 2 ÷÷÷.
ψ (ω) = arg(W ( jω)) = arctg çç
÷
çè U (ω) ÷ø÷
çè a1 ø
çè a2 ÷ø
ì
U (ω) = A (ω)cos ψ (ω),
ï
ï
í
ï
ï
îV (ω) = A (ω)sin ψ (ω).
Графики функций U(w) и V(w) называют соответственно вещественной и мнимой частотной характеристиками.
6.2. Примеры
Пример 6.1. Дана ПФ апериодического звена
W (s) =
10
.
s +1
45
Требуется построить АЧХ и ФЧХ.
Решение. Переходим к частотной ПФ
W ( jω) =
10( jω -1)
10
10 jω -10
10
10ω
=
=
=
-j
.
2
jω + 1 ( jω + 1)( jω -1) - ω2 + 1
ω +1
ω2 + 1
(
U (ω) =
10
2
ω +1
;
)
V (ω) = -
10ω
ω2 + 1
.
2
æ 10 ö÷2 æ
10ω ö÷
10
÷÷ + çç-j
÷÷ =
A (ω) = W ( jω) = U 2 (ω) + V 2 (ω) = ççç
.
ç
2
2
èç ω + 1ø÷ èç ω + 1ø÷
ω2 + 1
æ V (ω) ö÷
æ 1ö
÷÷ = arctg çç- ÷÷.
ψ (ω) = arg(W ( jω)) = arctg ççç
èç ω ø÷
è U (ω) ø÷
Задавая разные значения ω от 0 до некоторой максимальной частоты, можно получить зависимости A(ω) и y(ω).
Пример 6.2. Дана ПФ апериодического звена
W (s) =
10
.
5s + 1
Требуется построить АФХ, АЧХ и ФЧХ средствами MatLab.
Решение. Задача может быть решена с помощью следующей
MatLab программы:
k=10; T=5; w=0:0.01:100;
W = k./(T*w*j +1);
plot(real(W),imag(W)),
xlabel( ‘U=real(W)’), ylabel(‘jV=jimag(W)’ )
Результат представлен на рис. 6.1.
Для построения АЧХ продолжим программу следующими командами:
A = sqrt(real(W).^2+imag(W).^2);
plot(w,A)
xlabel( ‘w’), ylabel(‘A(w)’ )
grid
Результат показан на рис. 6.2 (диапазон частот изменен от 0 до
10 для наглядности).
Для построения ФЧХ могут быть использованы команды:
46
F = atan(imag(W)./ real(W));
plot(w,rad2deg(F))
xlabel( ‘w’), ylabel(‘F(w)’ )
grid
0
–0,5
–1
jV=jimag(W)
–1,5
–2
–2,5
–3
–3,5
–4
–4,5
–5
0
1
2
3
4
5
6
U=real(W)
7
8
9
10
9
10
Рис. 6.1. АФХ апериодического звена
1
0,9
0,8
0,7
A(w)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
4
5
w
6
7
8
Рис. 6.2. АЧХ апериодического звена
47
Результат показан на рис. 6.3 (диапазон частот изменен от 0 до 1).
Пример 6.3. Построение частотных характеристик колебательного звена
W ( jω) =
((
k
2
T12 ( jω) + T2 ( jω) + 1
=
k
=
-T12ω2 + jT2ω + 1
k(1 - T12ω2 ) - jkT2ω
)
)
=
=
=
(( 1- T12ω2 ) + jT2ω)((1- T12ω2 )- jT2ω) (1- T12ω2 )2 + T22ω2
k(1 - T12ω2 )
kT2 ω
.
=
-j
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
1
T
ω
+
T
ω
T
ω
+
T
ω
( 1 ) 2
( 1 ) 2
k 1 - T12ω2 - jT2 ω
U (ω)) =
(
k 1 - T12 ω2
2
1 - T12ω2
(
)
)
+ T22ω2
;
A (ω) = W ( jω) = U 2 (ω) + V 2 (ω) =
V (ω) =
-kT2 ω
(
1 - T12 ω2
2
)
+ T22ω2
k
2
1 - T12 ω2
(
)
.
+ T22 ω2
0
–10
–20
F(w)
–30
–40
–50
–60
–70
–80
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
w
Рис. 6.3. ФЧХ апериодического звена
48
1
.
æ
ççç -T2ω
j(ω) = arg(W ( jω)) = arctg ç
çç 1 - T2ω2
1
çè
(
)
ö÷
÷÷÷.
÷÷
÷÷
ø
Задав разные значения ω от 0 до некоторой максимальной частоты, можно получить зависимости A(ω) и j(ω).
Пример 6.4. Построить АЧХ и ФЧХ колебательного звена с использованием Matlab.
W (s) =
25
2
0,64s + 0,16s + 1
.
Решение.
Построение АЧХ:
k=25; T2=0.64; T1=0.16; w=0:0.01:5;
W = k./(T2*(w*j).^2 + T1*w*j +1);
A = sqrt(real(W).^2+imag(W).^2);
plot(w,A),
xlabel( ‘w’), ylabel(‘A(w)’ )
grid
Результат представлен на рис. 6.4.
140
120
100
80
A(w)
60
40
20
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
w
Рис. 6.4. АЧХ колебательного звена
49
При построении ФЧХ следует учитывать, что значения функции arctg в Matlab задаются в диапазоне от –p/2 до p/2. В рассматриваемом примере
æ
ççç -0,16ω
ø (ù ) = arctg ç
çç 1 - 0,64ω2
çè
(
)
ö÷
÷÷÷.
÷÷
÷÷
ø
Знаменатель обращается в нуль при ω = 1,25. Таким образом,
ФЧХ можно построить с помощью программы.
w1=0:0.01:1.25;
k=25; T2=0.64; T1=0.16;
W = k./(T2*(w1*j).^2 + T1*w1*j +1);
F1=(180/pi)*atan(imag(W)./real(W));
w2=1.26:0.01:10;
W = k./(T2*(w2*j).^2 + T1*w2*j +1);
F2=-180+(180/pi)*atan(imag(W)./real(W));
plot(w1,F1); hold on;
plot(w2,F2)
grid
Результирующий график представлен на рис. 6.5.
0
–20
–40
–60
F(ω)
–80
–100
–120
–140
–160
–180
0
1
2
3
4
5
ω
6
7
8
Рис. 6.5. ФЧХ колебательного звена
50
9
10
6.3. Задание для практической работы
1. Постройте характеристики указанных в соответствии с вариантом из табл. 6.1. динамических звеньев «вручную». Результат
проверьте с помощью MatLab.
Таблица 6.1
№
Вариант
W1 (s) =
1
10
;
2s + 1
11
2
0,6s + 0,1s + 1
W1 (s) =
2
W2 (s) =
.
100
;
4s + 1
2
0,064s + 0,016s + 1
3
W2 (s) =
20s
;
2s + 1
4,64s + 1,16s + 1
W2 (s) =
6
W2 (s) =
2
6s + 2s + 1
W1 (s) =
W2 (s) =
.
15s
;
2,5s + 1
10s + 1
2s + 0,6s + 1
250
8s + 2s + 1
25
;
7,5s + 1
125
0,75s2 + 0,1s + 1
25
3s + 0,75s + 1
16
W2 (s) =
.
100
;
1,5s + 1
2
W1 (s) =
.
10s
;
8s + 1
0,9s2 + 0,3s + 1
15
W2 (s) =
.
25s + 1
W1 (s) =
.
.
140
;
3s + 1
2
14
3s + 0,7s + 1
W2 (s) =
15s + 1
W2 (s) =
.
40s
;
3s + 1
2
W1 (s) =
2
5
.
250
;
6s + 1
500
W1 (s) =
W2 (s) =
13
2
4
0,4s + 0,01s + 1
W1 (s) =
10s + 1
W1 (s) =
25
12
.
20
;
5s + 1
2
W1 (s) =
125
W1 (s) =
Вариант
W1 (s) =
10s + 1
W2 (s) =
W2 (s) =
№
.
30s
;
4,5s + 1
35s + 1
7s2 + 2s + 1
.
51
Окончание табл. 6.1
№
Вариант
W1 (s) =
7
W2 (s) =
130s
;
2s + 1
2s + 0,4s + 1
14
;
5s + 1
2
W2 (s) =
.
15s
;
2,5s + 1
8,64s + 2,16s + 1
W2 (s) =
2
2s + 0,5s + 1
3,64s + 1,16s + 1
W2 (s) =
W2 (s) =
.
60
;
1,5s + 1
250
425
100s + 1
2
3s + 0,75s + 1
20
.
W2 (s) =
.
100
;
4,5s + 1
525
2
1,5s + 0,1s + 1
W1 (s) =
.
12s
;
6s + 1
19
2
10
125
;
9s + 1
2
W1 (s) =
45s + 1
W1 (s) =
52
18
4s + 0.5s + 1
9
W2 (s) =
W1 (s) =
1125
W1 (s) =
17
.
2
8
Вариант
W1 (s) =
15s + 1
W1 (s) =
W2 (s) =
№
.
25s
;
3,5s + 1
30s + 1
2
0,2s + 0,05s + 1
.
7. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
7.1. Краткие теоретические сведения
В практических расчетах удобно применять графики частотных
характеристик, построенные в логарифмическом масштабе.
Логарифмические частотные характеристики часто называют
диаграммами Боде.
Обычно используют амплитудную характеристику в виде зависимости 20lgA(lgw), называемой логарифмической амплитудночастотной характеристикой (ЛАЧХ). Фазовую характеристику
в виде зависимости j(lgw) называют логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ).
Вместо lgw обычно записывается значение самой частоты, так
что масштаб на оси абсцисс получается неравномерный. В начало
координат можно помещать любое значение частоты, в зависимости от того, какое исследование нужно выполнить.
На графике ЛАЧХ по оси ординат откладывается величина
L(ω) = 20lgA,
которая измеряется в децибелах (1децибел = 0,1 бела).
Один белл соответствует усилению сигнала по мощности в 10
раз, 2 белла – в 100 раз, 3 белла – в 1000 раз и т. д.
Так как обычно измеряют не мощность сигнала, а его амплитуду, а мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды,
то усилению сигнала по мощности в 10 раз будет соответствовать
lgA2 =1 или 2lgA = 1. Соответственно, усиление сигнала в децибелах, выраженное через отношение амплитуд равно 20lgА.
Таким образом, каждые 20 децибелл (дБ) на графике ЛАЧХ соответствуют усилению амплитуды в 10 раз.
При построении ЛФЧХ используют логарифмический масштаб
по оси абсцисс и натуральный по оси ординат. Использовать логарифмический масштаб по оси ординат не имеет смысла, поскольку фазовый сдвиг при последовательном соединении звеньев и так
складывается.
На практике широко используются асимптотические ЛАЧХ,
представляющие собой ломаную, состоящую из отрезков прямых.
Для построения асимптотической ЛАЧХ требуется составить описание ПФ в zpk – форме.
С помощью команды zpk можно получить альтернативное описание ПФ по ее нулям и полюсам. Например
53
>> w=zpk([2 -1],[2 -4 1],3)
Zero/pole/gain:
3 (s-2) (s+1)
----------------(s-2) (s-1) (s+4)
Можно преобразовать ранее описанную ПФ в zpk-форму, например
>> w=tf([1 1],[2 1 1])
>> w1=zpk(w)
Transfer function:
s+1
------------2 s^2 + s + 1
Zero/pole/gain:
0.5 (s+1)
-----------------(s^2 + 0.5s + 0.5)
Алгоритм построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой системы включает в себя следующие шаги:
1. Определяются сопрягающие частоты типовых звеньев в порядке возрастания: ω1, ω2,… ωn, и помечаются на оси частот.
2. Вычисляется при частоте ω =1 ордината 20lgK, где K – общий
коэффициент передачи разомкнутой системы. Через полученную
точку проводится низкочастотная асимптота ЛАЧХ, представляющая собой при ω < ω1 прямую с наклоном –λ20 дБ/дек, где λ – количество интегрирующих звеньев.
3. Изменение наклона ЛАЧХ L(ω) на сопрягающих частотах
ωi по сравнению с тем наклоном, который она имела до рассматриваемой частоты, происходит по правилу: для апериодического
звена наклон изменяется на –20 дБ/дек, для колебательного – на
–40 дБ/дек, для форсируюшего – на +20 дБ/дек.
7.2. Примеры
Пример 7.1. Дана ПФ апериодического звена
W (s) =
10
.
5s + 1
Требуется построить ЛАЧХ и ЛФЧХ
54
Решение.
k=10; T=5; w=0:0.01:100;
W = k./(T*w*j +1);
A = sqrt(real(W).^2+imag(W).^2);
semilogx(w,20*log10(A))
Результат показан на рис. 7.1.
Для построения ФЧХ могут быть использованы команды:
F = atan(imag(W)./ real(W));
semilogx(w,rad2deg(F))
grid
Результат показан на рис. 7.2.
Пример 7.2. Рассмотрим построение ЛАЧХ колебательного звена.
Запишем ЛАЧХ колебательного звена в виде
æ
çç
ç
L = 20 lg A (ω) = 20 lg ççç
çç
çç
è
ö÷
÷÷
÷÷
k
÷÷.
2
2 ÷÷
2 2
+ (2ξTω) ÷÷
1-T ω
ø
(
)
Построить ЛАЧХ можно с помощью программы
k=12; z=0.1; T=1; w=0.1:0.01:10;
L=20*log10(k./sqrt((2*T*z*w).^2+(1-T^2*w.^2).^2));
20
10
0
А, дБ
–10
–20
–30
–40
10 –2
10 –1
10 0
θ, рад/с
10 1
10 2
Рис. 7.1. ЛАЧХ апериодического звена
55
semilogx(w,L,’-B’),grid on
title(‘L=20log10(k./sqrt((2*T*z*w).^2+(1-T^2*w.^2).^2’);
k=12; z=0.1; T=1;
xlabel(‘log(w)’),ylabel(‘L’)
Результат приведен на рис. 7.3.
0
–10
–20
–30
–40
ϕ,град
–50
–60
–70
–80
–90
10 –2
10 –1
10 0
θ, рад/с
10 1
10 2
Рис. 7.2. ЛФЧХ апериодического звена
L=20log10(k./sqrt((2*T*z*w).2 +(1-T 2*w.2).2
40
30
L
20
10
0
–10
–20
10 –1
10 0
log(w)
Рис. 7.3. ЛАЧХ колебательного звена
56
10 1
ФЧХ колебательного звена:
æ
ö
ç 2ξTω ÷÷
ψ (ω) = -arctg çç
.
÷
÷
çè1 - T22ω2 ÷ø
Построить ЛФЧХ можно с помощью программы (значения
функции arctg в Matlab задаются в диапазоне от –p/2 до p/2).
w1=0.1:0.01:1;
ar1=-(180/pi).*atan(2*T*z*w1./(1-T^2*w1.^2));
semilogx(w1,ar1,’-K’)
xlabel(‘log(w)’),ylabel(‘ar’)
hold on
w2=1.01:0.01:10;
ar2=-180-(180./pi).*atan(2*T*z*w2./(1-T^2*w2.^2));
semilogx(w2,ar2,’-K’);
grid;
Результат приведен на рис. 7.4.
В системе matLab для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ используется
команда bode.
Пример 7.3. Построим асимптотическую ЛАЧХ системы, ПФ которой в разомкнутом состоянии имеет вид:
W ( jω) =
k(T2s + 1)
(T1s + 1)2 (T3s + 1)
.
0
–20
–40
–60
ar
–80
–100
–120
–140
–160
–180
10 –1
10 0
log(w)
10 1
Рис. 7.4. ЛФЧХ колебательного звена
57
L(ω)
40
–40 дБ/дек
20lg(k)
ω3
ω1
ω2
10
100
1000
ω
Рис. 7.5. Пример построения ЛАЧХ разомкнутой системы
Таким образом, ЛАЧХ и ЛФЧХ системы описываются формулами:
L(ω)= 20 lg k- 40 lg 1 + T12 ω2 +20 lg 1 + T22 ω2 - 20 lg 1 + T32 ω2 .
ψ (ω) = -2Ó (T1ω ) + arctg (T2 ω ) - arctg (T3 ω ).
Пусть ПФ имеет следующие параметры: k = 100, T1 = 1 с,
T2 = 0,2 с, T3 = 0,005 с. Тогда сопрягающие частоты:
ω1 =
1
1
= 1 c-1; ω2 =
= 5 c-1;
T1
T2
ω3 =
1
= 200 c-1.
T3
Поскольку ПФ не содержит интегрирующих звеньев, начальный
участок ЛАЧХ будет параллелен оси частот, затем на частоте ω = 1
наклон изменится на –40 дБ/дек, на частоте ω = 5 наклон изменится
на +20 дБ/дек, и на частоте ω = 200 – на –20 дБ/дек (рис. 7.5).
7.3. Задание для практической работы
1. Для заданного варианта динамического звена из табл. 7.1 построить ЛАЧХ и ЛФЧХ. Результат проверить с помощью команды
bode.
Таблица 7.1
Варианты звеньев для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ
№
1
58
Передаточная функция
W (s) =
0,1s + 1
s3 + 0,01s2 + 0,01s + 1
№
11
Передаточная функция
W (s) =
s +1
s3 + 0,05s2 + 0,01s + 1
Окончание табл. 7.1
№
Передаточная функция
W (s) =
2
s +1
W (s) =
4
W (s) =
2s + 1
3
W (s) =
0,5s + 1
3
4s + 1
3
s + 7s + 0,3s + 1
0.7
W (s) =
9
W (s) =
3s + 1
5s + 1
19
2
s + 0,5s + 0,3s + 1
W (s) =
W (s) =
18
2
s + 0,5s + 0,1s + 1
3
14
17
5s + 1
3
4s + 1
20
s3 + 2,5s2 + s + 1
W (s) =
W (s) =
16
s3 + 4s2 + 2s + 1
Передаточная функция
13
15
2
s3 + 0,7s2 + 0,02s + 1
8
10
2
s + 0,5s + 0,05s + 1
W (s) =
7
2
s + 0,8s + 0,5s + 1
W (s) =
6
12
s3 + 0,01s2 + 0,03s + 1
3
5
№
s +1
s3 + 0,7s2 + 0,1s + 1
0,4s + 1
3
s + 0,07s2 + 0,08s + 1
0,5s + 1
3
s + 0,03s2 + 0,04s + 1
W (s) =
0,2s + 1
3
s + 0,2s2 + 0,04s + 1
W (s) =
W (s) =
0,3s + 1
s3 + 2s2 + 0,4s + 1
5s + 1
s3 + 0,05s2 + 0,01s + 1
W (s) =
W (s) =
5s + 1
3
s + 0,5s2 + 1s + 1
3
3
2
s + 1,5s + 0,2s + 1
W (s) =
0,1
s3 + 2s2 + 0,5s + 1
Таблица 7.2
Варианты звеньев для построения асимптотической ЛАЧХ
№
1
2
Передаточная функция
W (s) =
200
2
s (0,001s + 2)(0,01s + 1)
W (s) = 300
2s + 1
s(s + 20)(2s + 0,05)
№
11
12
Передаточная функция
W (s) = 100
(s + 3)
s(2s + 0,2)(s + 0,011)
50
W (s) = 3
s (s + 0,2)(s + 0,01)
59
Окончание табл. 7.2
3 W ( p) =
4
5
6
7
250
13
(s + 0,1)(s + 0,02)(s + 0,003)
W (s) =
20s + 2
(s + 1)(s + 0,2)(s + 0,03)
W (s) =
20s + 1
s(s + 0,0001)(s + 0,1)
W (s) = 80
W (s) =
4s + 3
(s + 0,01)(s + 7)
5s + 1
s3 + 0,05s2 + 0,001s
1000
8
W (s) =
9
W (s) = 200
10
W (s) = 50
0,1s3 + 20s2 + 0,5s
0,2s + 1
3
2
s + 0,2s + 0,04s
0,1s + 1
s(s + 10)(10s + 1)
14
W (s) = 500
W ( p) =
15 W (s) =
16
17
s +1
s(50s + 10)(100s + 11)
12s + 11
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
s2 + 12s
s2 (s + 0,1)(0,1s + 8)(0,001s + 1)
W (s) =
0,2s + 1
3
s + 0,2s2 + 0,04s
W (s) =
4s + 1
s3 + 2,5s2 + s
70s + 1
18
W (s) =
19
W (s) = 250
20
W ( p) =
s3 + 0,7s2 + 0,02s
0,1s + 1
3
s + 0,01s2 + 0,01s
250
s(s + 1)(s + 1)(s + 0,003)
2. Для заданного варианта динамического звена из табл. 7.2 построить асимптотическую ЛАЧХ. Сопоставить график с полученным по команде bode. Проанализировать ошибки аппроксимации.
60
8. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
8.1. Краткие теоретические сведения
Критерий Рауса-Гурвица
Алгебраический критерий устойчивости в разной форме был
предложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце 19-го века, поэтому этот
критерий обычно называют критерием Рауса – Гурвица. Критерий
применяется к коэффициентам характеристического уравнения
системы, которая может разомкнутой или замкнутой.
Пусть имеется характеристическое уравнение системы:
an sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 = 0.
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
матрицу по правилу:
1. По диагонали записываются коэффициенты от аn–1 до а0
2. Столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной
диагонали вниз по возрастающим, а вверх – по убывающим индексам.
3. В случае отсутствия индекса, а также, если он меньше 0 или
больше n, на его место пишется 0.
Таким образом, матрица Гурвица приобретает следующий вид:
é an-1
ê
ê an
ê
ê 0
G = êê
ê ...
ê 0
ê
ê
êë 0
an-3
an-2
an-1
...
0
0
an-5
an-4
an-3
...
0
0
... 0 0 ù
ú
... 0 0 ú
ú
... 0 0 úú
.
... ... ... úú
... a1 0 úú
ú
... a2 a0 úû
Критерий устойчивости формулируется так:
Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при anB > 0 были положительными все n диагональных определителей, получаемых из матрицы Гурвица.
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий
вид:
an-1 an-3 an-5
an-1 an-3
; D3 = an
D1 = an–1; D2 =
an-2 an-4 .
an
an-2
0
an-1 an-3
61
Таким образом, критерий Гурвица позволяет судить об абсолютной устойчивости, но не дает возможности оценивать относительную устойчивость по корням характеристического уравнения.
Критерий устойчивости Михайлова
При использовании частотного критерия Михайлова также может рассматриваться замкнутая либо разомкнутая система.
Пусть известно характеристическое уравнение системы:
A (s) = an sn + an-1sn-1 +×××+ a1s + a0 .
Если сделать замену s = jω, то получается уравнение комплексного вектора:
n
n-1
A (jω) = an ( jω) + an-1 ( jω)
+×××+ a1 ( jω) + a0 = U (ω) + jV (ω).
При изменении частоты ω от 0 до ∞ этот вектор описывает некоторую кривую – кривую Михайлова.
Кривая Михайлова начинается при ω = 0 в точке U(0) = a0 и заканчивается в n – ом квадранте при ω = ∞ (если отсчет квадрантов
вести против часовой стрелки), где уходит в бесконечность.
Таким образом, чтобы построить кривую Михайлова, надо в характеристическом уравнении заменить s на jω, и разделить вещественную и мнимую часть. Далее, задавая различные значения частоты, найти точки с координатами:
{U (0); jV (0)},{U (ω1 ); jV (ω1 )},{U (ω2 ); jV (ω2 )}...
По этим точкам строится кривая Михайлова.
Критерий устойчивости Михайлова: линейная система n-го
порядка будет устойчива, если кривая Михайлова охватывает начало координат, последовательно проходит n квадрантов против
часовой стрелки, и уходит в бесконечность в n-м квадранте.
Если кривая Михайлова проходит через начало координат, то
система находится на границе устойчивости.
Критерий устойчивости Найквиста
В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые
основаны на анализе характеристического уравнения системы (неважно – замкнутой или разомкнутой), критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитуднофазовой характеристике разомкнутой системы.
62
В этом заключается существенное преимущество критерия, т. к.
построение АФЧХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.
Пусть имеется ПФ разомкнутой системы W(jw).
Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ПФ
нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения
числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, а затем выполнить разделение на вещественную
и мнимую части. ПФ приобретает вид:
W ( jω) = P(ω) + jQ(ω).
Задаваясь различными значениями частоты, можно найти множество пар {P(ω1); jQ(ω1)}, {P(ω2); jQ(ω2)},…{P(ωn); jQ(ωn)}. Затем по
этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости.
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы:
1. Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев,
то при w = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке
P(w) = k (где k – коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФЧХ в начале координат при w → ∞ (рис. 8.1, а).
2. Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то ее АФЧХ начинается при w = 0 в бесконечности на отрицательной мнимой полуоси, а заканчивается в начале координат при
w → ∞ (рис. 8.1, б).
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так:
1. Если разомкнутая система устойчива или находится на
границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была
устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой
системы при изменении частоты w от 0 до ∞ не охватывала точку
с координатами {–1, j0}.
а)
б)
jQ
jQ
ω→∞
ω→∞
ω=0 P
P
ω=0
Рис. 8.1. АФЧХ разомкнутой системы
63
2. Если разомкнутая система неустойчива, а ее ПФ имеет m
полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для
устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы
АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от w от – ∞ до
+ ∞ охватывала m раз точку с координатами {–1, j0}.
При использовании этого критерия нужно учитывать две особенности:
1. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости,
то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с положительной вещественной полуосью (рис. 8.1, б).
2. На практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 Ј ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична
относительно вещественной оси.
Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что система будет неустойчива, если фаза выходного сигнала
противоположна фазе входного сигнала, а коэффициент усиления >1.
Частотный критерий устойчивости Найквиста часто удобно использовать в том случае, когда рассматривается не АФЧХ, а ЛАЧХ
и ЛФЧХ разомкнутой системы:
Замкнутая минимально-фазовая система устойчива, если, при
достижении ЛФЧХ значения –π, ЛАЧХ будет отрицательной.
Эта формулировка следует из того, что если ЛАЧХ отрицательна, то модуль АФЧХ < 1 (т. к. числа, меньшие единицы, имеют отрицательный логарифм).
Таким образом, система устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает –p. Соответственно, для устойчивой системы можно рассматривать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе –
расстояние от значения фазы на частоте среза до уровня –p, и запас
устойчивости по амплитуде – расстояние от оси частот ЛАЧХ до
значения усиления на частоте, где фаза становится равной –p.
В системе MatLab есть специальная команда nyquist для проверки устойчивости разомкнутой системы.
8.2. Примеры
Пример 8.1. Пусть задан характеристический полином системы
2s5 + 4s4 + 3s3 + 2s2 + 2s + 1 = 0.
64
Определить, устойчива ли эта система с помощью критерия Рауса-Гурвица.
Решение.
Здесь n = 5, a5 = 2, a4 = 4, a3 = 3, a2 = 7, a1 = 2, a0 = 1, и матрица
Гурвица имеет вид:
é4
ê
ê2
ê
G = êê0
ê0
ê
ê0
êë
2
3
4
2
0
1
2
2
3
4
0
0
1
2
2
0ù
ú
0úú
0úú .
0úú
1úúû
Проверка в MatLab:
>> G = [4 2 1 0 0; 2 3 2 0 0;0 4 2 1 0; 0 2 3 2 0; 0 0 4 2 1];
>> G1=G(1,1);
>> det(G1)
ans =
4
>> G2=G(1:2,1:2)
G2 =
42
23
>> det(G2)
ans =
8
>> G3=G(1:3,1:3)
G3 =
421
232
042
>> det(G3)
ans =
-8
Система оказалась неустойчивой, т. к. 3-й диагональный определитель оказался отрицательным.
Пример 8.2. Пусть задан характеристический полином системы
s3 + 11s2 + 31s + 21 = 0.
Определим устойчивость по критерию Михайлова с помощью
следующей программы
65
w=0:0.01:6;
W = 1*(w*j).^3+11*(w*j).^2+31* w*j +21;
plot(real(W),imag(W)),
title(‘Mikhailov curve’);
xlabel( ‘U=real(W)’), ylabel(‘jV=jimag(W)’ )
grid
Результат представлен на рис. 8.2, система устойчива.
Пример 8.3. Определить с помощью критерия Найквиста, устойчива ли система, показанная на рис. 8.3
Решение
Передаточная функция разомкнутой системы:
Wp (s) =
10
3
s + 3s2 + 3s + 1
.
Частотная ПФ:
Wp ( jω) =
10
3
2
( jω) + 3( jω) + 3( jω) + 1
=
10
2
(1 - 3ω ) + j(3ω-ω3 )
.
Выделяем вещественную и мнимую часть.
Mikhailov curve
70
60
50
jV=jimag(W)
40
30
20
10
0
–10
–20
–30
–400
–300
–200
–100
U=real(W)
0
100
Рис. 8.2. Пример кривой Михайлова для объекта 3-го порядка
66
X(s)
Y(s)
5
2
s +1
s2 + 2s + 1
Рис. 8.3. Система управления
10
Wp ( jω) =
=
2
(1 - 3ω ) + j(3ω - ω3 )
(
10 (1 - 3ω2 ) - j(3ω - ω3 )
=
)
((1- 3ω ) + j(3ω - ω ))((1- 3ω ) - j(3ω - ω3 ))
10((1 - 3ω2 ) - j(3ω - ω3 ))
=
=
2
3
2
=
(1 - 3ω2 )2 + (3ω - ω3 )2
=
10(1 - 3ω2 )
(1 - 3ω2 )2 + (3ω - ω3 )2
-j
10(3ω - ω3 )
(1 - 3ω2 )2 + (3ω - ω3 )2
.
Построим диаграмму Найквиста с помощью программы:
w=0:0.01:6;
Re1= 10*(1-3*w^2)./((1-3*w.^2).^2 +(3*w-w.^3).^2);
Im1= -10*(3*w-w.^3)./((1-3*w.^2).^2 +(3*w-w.^3).^2);
plot(Re1,Im1),
title(‘Nyquist plote’);
xlabel( ‘U=real(W)’), ylabel(‘jV=jimag(W)’ )
Полученный график приведен на рис. 8.4.
График охватывает точку (–1, j0), поэтому замкнутая система
будет неустойчива.
Пример 8.4. Рассмотрим устойчивую разомкнутую систему:
W (s) =
0.2s + 1
4
3
s + s + 4s2 + 2s + 1
.
w=0:0.01:6;
W = (0.2*w*j+1)./(1*(w*j).^4+1*(w*j).^3+4*(w*j).^2+2* w*j +1;
plot(real(W),imag(W)),
title(‘Nyquist plote’);
xlabel( ‘U=real(W)’), ylabel(‘jV=jimag(W)’ )
67
Nyquist plote
1
0
jV=jimag(W)
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–4
–2
0
2
4
U=real(W)
6
8
10
Рис. 8.4. Диаграмма Найквиста
На рис. 8.5 представлен результат, который соответствует устойчивой замкнутой системе.
Nyquist plote
0,4
0,2
jV=jimag(W)
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
–1,2
–0,4 –0,2
0
0,2
0,4
U=real(W)
0,6
0,8
1
1,2
Рис. 8.5. Годограф Найквиста для устойчивой системы
68
Bode Diagram
Phase (deg)
Magnitude (dB)
50
40
30
20
10
0
–10
–20
0
–45
–90
–135
–180
–225
–270
10 –2
10 –1
10 0
Frequency (rad/sec)
10 1
Рис. 8.6. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы
Пример 8.5. Рассмотрим устойчивую разомкнутую систему:
W (s) = 200
s +1
4
3
s + s + 4s2 + 2s + 1
.
Оценим устойчивость замкнутой системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ.
>> w2=tf([200 200],[1 1 4 2 1])
Transfer function:
200 s + 200
--------------------------s^4 + s^3 + 4 s^2 + 2 s + 1
>> bode(w2)
>> grid
Полученный график представлен на рис. 8.6.
При пересечении ЛАЧХ оси частот фаза превышает –π, поэтому
замкнутая система будет неустойчива.
8.3. Задание для практической работы
Для заданного варианта системы из табл. 8.1. выполнить:
1. Оценку устойчивости по алгебраическому критерию.
2. Оценку устойчивости по критерию Михайлова.
69
3. Оценку устойчивости по критерию Найквиста.
4. Оценить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе.
Таблица 8.1
Варианты звеньев для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ
№
Передаточная функция
s +1
1
W (s) =
2
W (s) =
3
W (s) =
4
W (s) =
5
W (s) =
6
W (s) =
7
W (s) =
8
3
s + 2s + 3s + 4
s+2
2s3 + 3s2 + 4s + 5
s +1
3
2
3s + 3s + 3s + 1
10s + 1
8s3 + 6s2 + 4s + 2
2s + 1
3
2
2s + 2s + 4s + 2
s +1
2s3 + 2s2 + 2s + 1
10
3
2
s + 3s + 6s + 1
5s + 1
W (s) = 3
s + 5s2 + s + 1
5
9
W (s) =
10
W (s) =
70
2
2s3 + 5s2 + 5s + 1
2s + 1
3
2
s + 3s + 3s + 1
№
Передаточная функция
s +1
11
W (s) =
12
W (s) =
13
W (s) =
14
W (s) =
15
W (s) =
16
W (s) =
17
W (s) =
18
W (s) =
19
W (s) =
20
3
2s + 3s2 + 3s + 4
s+2
2s3 + 3s2 + 4s + 1
10s + 1
3
8s + 6s2 + 3s + 1
10s + 1
2s3 + 6s2 + 4s + 2
2s + 1
3
2s + 2s2 + 4s + 1
1
s3 + 2s2 + 2s + 1
10s + 1
3
s + 3s2 + 6s + 1
5s + 1
3
5s + 5s2 + 5s + 1
15s + 1
2s3 + 6s2 + 6s + 1
100
W (s) = 3
s + s2 + 3s + 1
9. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
9.1. Краткие теоретические сведения
При создании реальной системы управления бывает необходимо
знать область устойчивости системы по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий построить такую область
в плоскости одного или двух параметров системы.
Рассмотрим метод D-разбиения по одному параметру D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:
A (s) = N (s) + DM (s) = 0.
Переходим в частотную область, заменив s на jω, тогда уравнение:
A ( jω) = N ( jω) + DM ( jω) = 0.
соответствует границе устойчивости согласно критерию Михайлова.
D( jω) = -
N ( jω)
= RD ( jω) + jID ( jω).
M ( jω)
Такое представление параметра D позволяет изобразить его
в виде вектора на комплексной плоскости. При изменении ω в диапазоне от –∞ до +∞ конец вектора выписывает на комплексной
плоскости кривую D-разбиения, представляющую собой границу
устойчивости.
Кривая D-разбиения симметрична относительно вещественной
оси, поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую половину получить
отображением относительно вещественной оси.
Кривая D-разбиения разбивает комплексную плоскость на несколько подобластей с различным соотношением корней. Для
определения области устойчивости необходимо выбрать по одному
значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью
какого-либо критерия. Если система устойчива при конкретном D,
то она будет устойчива и при всех его значениях из этой области.
Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр
системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент
инерции и т. д.), который может иметь только вещественные
значения. Представление его комплексным выражением D(jω) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается
отрезком вещественной оси.
71
Метод D-разбиения можно применять и для построения области
устойчивости по двум параметрам D1 и D2, которые входят линейно
в характеристическое уравнение. В этом случае уравнение границы
устойчивости имеет вид
A ( jω, D1, D2 ) = 0,
и распадается на два независимых уравнения
ìïRe( A (ω, D1, D2 )) = 0,
ï
í
ïïIm( A (ω, D1, D2 )) = 0.
î
Эти два уравнения задают кривую D-разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случаю одного параметра.
9.2. Примеры
Пример 9.1. Определить область устойчивости системы (рис. 9.1)
по коэффициенту усиления.
Передаточная функция замкнутой системы
k
W (s) = 2
.
s + 2s + 1 + k
Характеристическое уравнение (D = k):
A (s) = s2 + 2s + 1 + D = 0.
Откуда следует:
(
)
D( jω) = ω2 -1 - 2jω.
Построим кривую D-разбиения с помощью программы
w=-6:0.01:6;
D = w.^2-1-2*(w*j);
plot(real(D),imag(D))
xlabel( ‘real(D)’), ylabel(‘jimag(D)’ )
grid
Результат представлен на рис. 9.2.
Кривая D-разбиения разделила плоскость параметра на две подобласти. Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость
72
g(t)
e(t)
y(t)
k
2
s + 2s + 1
Рис. 9.1. Система управления с обратной связью
15
10
jimag(D)
5
0
–5
–10
–15
–5
0
5
10
15
real(D)
20
25
30
35
Рис. 9.2. Кривая D-разбиения по одному параметру
Исследуемая система имеет второй порядок, поэтому необходимым и достаточным условием ее устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
Следовательно, первая область (k > –1) есть область устойчивости,
а вторая – неустойчивости.
Пример 9.2. Найти методом D-разбиения критические значения
коэффициента усиления k системы, заданной передаточной функцией
k
W (s) = 3
.
2s + 12s2 + s + k
Разрешаем характеристическое уравнение системы
A (s) = 2s3 + 12s2 + s + k = 0.
73
Относительно исследуемого параметра k
k = -2s3 -12s2 - s,
производим замену s = jω
k(jw) = –( jw)32 – ( jw)212 – jw,
снижаем порядок j и группируем
k(jw) = 12ω2 – jw(1 – 2ω2).
Построим кривую D-разбиения с помощью программы:
w=-1:0.01:1;
D = 12*w.^2-(w*j).*(1-2*w.^2);
plot(real(D),imag(D))
xlabel( ‘real(D)’), ylabel(‘jimag(D)’ );
grid
Результат представлен на рис. 9.3. Здесь получились два участка: [0; 6] и [6; ∞].
По Гурвицу при n=3 для устойчивости системы необходимо и
достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения A(s) были больше нуля, и произведение средних коэффициентов уравнения было больше произведения крайних. Это условие
выполняется при k < 6. Следовательно, область [0; 6] является
устойчивой.
1
0,8
0,6
jimag(D)
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
0
2
4
6
real(D)
8
10
12
Рис. 9.3. Кривая D-разбиения для системы 3-го порядка
74
9.3. Задание для практической работы
9.3.1. Дана система управления (рис. 9.4).
Определить методом D-разбиения области устойчивости системы относительно параметра k для заданного варианта из табл. 9.1.
9.3.2. Дана система управления (рис. 9.5).
Определить методом D-разбиения области устойчивости системы относительно параметра T для заданного варианта из табл. 9.1.
X(s)
k
s +1
k1
T1s + 1
k2
T2s + 1
Y(s)
Рис. 9.4. Структура системы управления
X(s)
5
Ts + 1
Y(s)
k1
T1s + 1
k2
T2s + 1
Рис. 9.5. Структура системы управления
Таблица 9.1
Варианты параметров
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Параметры
k1
k2
T1
T2
1
3
5
7
8
10
9
9
6
6
2
4
6
8
9
2
14
12
11
10
1
2
1
3
2
3
0,5
0,5
0,5
0,1
1
2
2
4
3
3
1
0,5
4
2
№
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Параметры
k1
k2
T1
T2
11
2
3
1
2
3
0,5
2
0,3
4
0,5
3
4
3
4
3
1
0,3
3
0,1
0,5
0,5
1
2
3
1
2
3
1
2
4
1
0,4
1
2
3
4
5
6
7
75
Рекомендуемая литература
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2007. 752 с.
2. Ким Д. П. Теория автоматического управления: учебник. Т. 1.
Линейные системы. М.: Физматлит, 2007. 312 с.
3. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989. 304 с.
4. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. 336 с.
5. Лурье Б. Я. Классические методы автоматического управления. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 640 с.
6. Душин С. Е. и др. Теория автоматического управления: учебник. М.: Высш. шк., 2009. 566 с.
7. Топчеев Ю. И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1989. 752 с.
8. Справочник по теории автоматического управления / под ред.
А. А. Красовского. М.: Наука. 1987. 712 с.
9. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.
10. Филипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 616 с.
11. Гудвин Г. К., Гребе С. Ф., Сальгадо М. Э. Проектирование систем управления. М.: Бином, 2004. 911 с.
76
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.................................................................................. 1. Линеаризация нелинейных систем........................................... 1.1. Краткие теоретические сведения....................................... 1.2. Примеры........................................................................ 1.3. Задания для практической работы..................................... 2. Преобразование Лапласа........................................................ 2.1. Краткие теоретические сведения....................................... 2.2. Примеры........................................................................ 2.3. Задания для практической работы..................................... 3. Преобразование структурных схем........................................... 3.1. Краткие теоретические сведения....................................... 3.2. Примеры........................................................................ 3.3. Задание для практической работы..................................... 4. Прямой синтез регулятора линейной системы........................... 4.1. Краткие теоретические сведения....................................... 4.2. Примеры........................................................................ 4.3. Задание на практическую работу....................................... 5. Точность в установившихся режимах....................................... 5.1. Краткие теоретические сведения....................................... 5.2. Примеры........................................................................ 5.3. Задания для практической работы..................................... 6. Частотные характеристики .................................................... 6.1. Краткие теоретические сведения....................................... 6.2. Примеры........................................................................ 6.3. Задание для практической работы..................................... 7. Логарифмические частотные характеристики........................... 7.1. Краткие теоретические сведения....................................... 7.2. Примеры........................................................................ 7.3. Задание для практической работы..................................... 8. Критерии устойчивости.......................................................... 8.1. Краткие теоретические сведения....................................... 8.2. Примеры........................................................................ 8.3. Задание для практической работы..................................... 9. Построение областей устойчивости........................................... 9.1. Краткие теоретические сведения....................................... 9.2. Примеры........................................................................ 9.3. Задание для практической работы..................................... Библиографический список........................................................ 3
4
4
4
11
13
13
16
22
25
25
26
28
33
33
34
36
38
38
38
41
44
44
45
51
53
53
54
58
61
61
64
69
71
71
72
75
76
Учебное издание
Бураков Михаил Владимирович
ТЕОРИЯ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Практикум
Часть 1
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка С. Б. Мацапура
Сдано в набор 18.02.16. Подписано к печати 15.03.16.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,5.
Уч.-изд. л. 4,9. Тираж 50 экз. Заказ № 83.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
4 821 Кб
Теги
burakov1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа