close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Burlutskiy2

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК САМОЛЕТА
ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ОТКЛОНЕНИИ
РУЛЯ ВЫСОТЫ
Методические указания
к выполнению курсовых и практических работ
Составители: С. Г. Бурлуцкий, И. С. Зегжда, А. М. Павлов
Рецензент – кандидат технических наук, доцент В. Г. Никитин
Содержат теоретические и практические материалы по расчету
выходных динамических характеристик летательного аппарата при
его движении в вертикальной плоскости при ступенчатом отклонении руля высоты.
Предназначены для студентов всех форм обучения по направлениям 12.03.01 – «Приборостроение»; 24.03.02 – «Системы управления движением и навигация»; 25.03.01 – «Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей»; 25.03.02 – «Техническая эксплуатация авиационных электросистем и пилотажно-навигационных комплексов» и по специальности 24.05.06 – «Системы
управления летательными аппаратами». Могут быть использованы
при изучении дисциплин: «Прикладная гидроаэродинамика и термогазодинамика», «Динамика полёта» и «Аэромеханика».
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка И. Н. Мороз
Сдано в набор 23.04.18. Подписано к печати 26.05.18.
Формат 60×841/16. Усл. печ. л. 2,49.
Уч.-изд. л. 2,68. Тираж 50 экз. Заказ № 204.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2018
Цель работы: исследование собственных и вынужденных динамических свойств и расчет параметров продольного движения
самолета при ступенчатом отклонении руля высоты. Исследование влияния параметров полета на характер переходного процесса и динамические свойства ЛА при собственном и вынужденном
движении ЛА.
1. Уравнения движения самолета в вертикальной плоскости
Такое движение получают разделением общего движения на
движение в вертикальной плоскости и на боковое движение. Движение в вертикальной плоскости называют еще и продольным движением. Принципиальная возможность такого разделения есть –
это наличие вертикальной плоскости симметрии самолета.
Для получения системы уравнений в вертикальной плоскости
следует в общей системе уравнений [1] все параметры, обеспечивающие боковое движение, приравнять нулю. Например, приравниваются к нулю: угол скольжения, угол рыскания, угол крена, угол
пути. Остаются угловые скорости и моменты относительно поперечных осей z, zк и кинематические параметры поступательного
движения вдоль осей x и y.
Тогда получим систему уравнений движения самолета в вертикальной плоскости.
1. mdV/dt  =  Pcosα – Xа – Gsinθ,
2. mVdθ/dt =  Psinα + Yа – Gcosθ,
dωz
3.  Jz
= Mz , Mz = f (V , α, α , ωz , δpâ , δ pâ , P, k)
dt
dϑ
4. 
(1)
= ωz ,
dt
3
5.  ϑ = α + θ, (ϑ = α + θ ).
dx
= V cos θ,
6. 
dt
dy
7.  = V sin θ.
dt
dm
8. 
= qc ( M, H, P/Píîì ).
dt
Как видно, продольное движение самолета складывается из поступательного движения центра масс вдоль оси oxк и oyк (уравнения 1 и 2) с определением координат от места старта или в любой
желаемый момент полета (уравнения 6 и 7) и вращения вокруг
оси oz – уравнение 3. В уравнении 8 секундный расход топлива qc
зависит от числа М, высоты полета Н и от относительной тяги двигателя. На данный момент времени масса считается постоянной
(уравнение 8 отсутствует).
Система уравнений не замкнута. Для замыкания необходимо
добавить уравнение, описывающее работу системы управления
в канале тангажа и, если тяга не постоянна, задается уравнение,
описывающее работу системы управления двигателем.
2. Общие сведения о динамике возмущенного движения самолета.
Метод малых возмущений
При решении практических задач рассматривают два направления:
1. решается траекторная задача;
2. поведение самолета или его параметров при возникновении
случайных воздействий на самолет или реакция самолета на работу систем управления. Во втором случае рассматривают возмущенное движение самолета.
Тогда в реальном движении значения кинематических параметров Vk, θ, ω, α, ϑ и другие отличаются от значений этих параметров при опорном (невозмущенном) движении. Равновесие сил
и моментов, характерное для невозмущенного движения, нарушается и возникают неуравновешенные силы и моменты, вызывающие дальнейшее изменение параметров движения.
Для получения приближенных уравнений в возмущениях применяется метод малых возмущений. Система уравнений переводится в алгебраическую линейную форму. Это позволяет решить многие задачи устойчивости и управляемости летательных аппаратов.
4
В дальнейшем будем рассматривать движение самолета в вертикальной плоскости. При линеаризации уравнений в вертикальной плоскости к постоянным возмущениям можно отнести: отклонение руля высоты, увеличение или уменьшение тяги двигателя
и возможные случайные возмущения. Если постоянных возмущающих воздействий нет, то в правой части системы уравнений
в возмущениях будут стоять нули а система будет описывать собственное (свободное) колебательное движение. В противном случае, параметры постоянных возмущений присутствуют в правой
части уравнений системы, а сама система становится неоднородной. Движение ЛА в этом случае становится вынужденным. Общее
решение таких систем находится по схеме:
Общее решение неоднородной системы уравнений состоит из общего решения однородной системы «+» частное решение неоднородной системы.
Общее решение однородной системы описывает собственное,
или свободное движение летательного аппарата (нет постоянных
возмущающих воздействий, руль высоты «зажат» и тяга не меняется).
Частное решение соответствует вынужденному движению.
В системе уравнений справа вместо нулей стоит вынуждающая
функция, например, отклонение руля высоты.
Таким образом, возмущенное движение ЛА, возникшее при отклонении органов управления, складывается из свободного и вынужденного движения.
3. Методика линеаризации уравнений движения самолета [1]
dyS
= YS (t, y1, y2 , yn ) S = 1, 2, …n.
(2)
dt
Это нормальный вид системы дифференциальных уравнений,
которые описывают множество возможных движений динамической системы. В этом множестве выделим одно частное решение,
или движение, которое назовем невозмущенным. На практике за
невозмущенное движение принимают то, которое желательно осуществить и называют его опорным (например, горизонтальный
­полет самолета).
В опорном движении самолета, в расчетных условиях идеальное управление обеспечивает ориентацию самолета в потоке воздуха (углы α и β), режим работы двигателей обеспечивает требу5
емое значение сил, действующих на самолет. Моменты сил при
этом сбалансированы, углы a, b, gс и величина перегрузки постоянны. В неустановившемся опорном движении эти параметры меняются.
Пусть частному невозмущенному движению соответствует решение вида:
0
yS = yS
(t).
Всем другим частным решениям будут соответствовать возмущенные движения.
Для исследования устойчивости удобно рассматривать не сами
параметры возмущенного движения ys, а их малые отклонения от
параметров невозмущенного движения:
0
ΔyS = yS - yS
. S = 1, 2, …n.
Если опорное движение описывается уравнением
dyS0
= YS0 t, y10 , y20  yn0 ,
dt
(
)
то система уравнений в малых возмущениях будет иметь вид:
dΔyS
= YS - YS0 .
dt
Если разложить Ys [2] в ряд Тейлора по степеням вариаций Δys
в виде
dΔyS
¶Y
¶Y
¶Y
= YS0 + S Δt + S Δy1 +¼+ S Δyn - YS0 ,
dt
¶t
¶y1
¶yn
то получим дифференциальное уравнение движения системы в возмущениях
dΔyS
= aS1Δy1 + aS2 Δy2 +  + aSn Δyn .
dt
(3)
Коэффициенты aSn – частные производные аналитических
функций YS, зависящих от параметров системы y1 …, yn. Если движение установившееся, то коэффициенты aSn – постоянные, в другом случае – переменные.
Рассмотрим уравнения движения самолета в вертикальной плоскости:
6
1.  m
dV
= Fkx ,
dt
Fkx = f (V , α, θ, δpâ , P, k).
где
2.  mV
dθ
= Fky ,
dt
Fky = f (V , α, θ, δðâ , P, k).
где
3.  Jz
dωz
= Mz ,
dt
где
4. 
(4)
Mz = f (V , α, α , ωz , δpâ , δ ðâ , P, k).
dϑ
= ωz ,
dt
где k – возмущающий параметр случайных сил.
Будем считать эти уравнения основными. Дополнительными
уравнениями будут:
5.  ϑ = α + θ ; (ϑ = α + θ ),
dx
6. 
= V cos θ,
dt
dy
7. 
= V sin θ.
dt
Уравнения, характеризующие изменение координат (6 и 7) могут быть использованы после решения основной системы уравнений.
Уравнения 1–4 системы (4) приведем к виду (2), обозначив
Fkx =
Fky
M
Fkx
, Mz = z .
, Fky =
Jz
mV
m
Полученную таким образом систему можно линеаризовать по
методике, приведенной выше.
4. Уравнения продольного возмущенного движения ЛА
Дифференциальные уравнения продольного возмущённого движения, т. е. уравнения, описывающие изменения параметров только в вертикальной плоскости могут быть записаны в виде:
7
P V cos α* - XaV
-P sin α - Xaα
1.  ΔV =
ΔV + *
Δα +
m
m
δ
+
2.  Δθ =
-Xa pâ
Δδðâ + (-g cos θ) Δθ;
m
P V sin α* + YaV
P cos α + Yaα
ΔV + *
Δα +
mV*
mV*
δ
Y pâ
g sin θ
+ a Δδðâ +
Δθ;
mV*
V*
Z =
3.  Δω
δðâ
ω
M
M Z
MZV
Mα
ΔV + Z Δα + Z Δδâ + Z ΔωZ +
JZ
JZ
JZ
JZ

δ ðâ
M
Mα
+ Z Δα + Z Δδ ðâ ;
JZ
JZ
(5)
4.  Δϑ = ΔωZ ;
5.  Δϑ = Δα + Δθ;
6.  Δx = cos θ* ΔV - V*sin θΔθ;
7.  Δy = sin θ* ΔV + V* cos θΔθ.
Эти уравнения описывают поведение возмущений основных параметров летательного аппарата, к которым относятся: возмущения по скорости, по углу атаки или по углу наклона траектории,
по угловой скорости и углу тангажа. Уравнения № 6 и № 7 считаются дополнительными и могут участвовать в расчетах после решения основных четырех уравнений в системе (5).
В уравнениях системы (5):
m – масса ЛА; «*» – звездочкой обозначены параметры опорного движения, другими словами: V*, α*, θ*, ω* – скорость, угол атаки и угол наклона траектории в невозмущенном движении; ΔV, Δα,
Δωz, Δϑ – малые возмущения скорости движения, угла атаки, угловой скорости вращения и угла тангажа, появившиеся в процессе движения ЛА; PV, XV, YV – частные производные от силы ­тяги,
¶P
и т. д.);
¶V
α
α
α X , Y , M – частные производные от силы сопротивления, подъ¶X
емной силы и момента тангажа по углу атаки (X α =
и т. д.);
¶α
сопротивления и подъёмной силы по скорости ( P V =
8
.
.
.
.
.
.
.
ΔV, Δθ, Δω, Δα, Δx, Δy, Δδ – частные производные малых возму¶(ΔV )
щений по времени ( ΔV =
и т. д.);
¶τ
Система уравнений (5) является незамкнутой, чтобы замкнуть
систему необходимо добавить уравнение, описывающее работу системы управления в канале тангажа, например, изменение руля
высоты в течение времени δв(t).
При проектировании системы управления летательного аппарата необходимо знать динамические свойства аппарата как звена
системы управления.
Напомним, что линейные уравнения системы (5) совместно с уравнением δв(t) являются неоднородными. Общее решение
­такой системы состоит из её частного решения и общего решения
однородной системы.
Общее решение описывает свободное или собственное движение
летательного аппарата (δв = 0). Частное решение соответствует вынужденному движению летательного аппарата.
Таким образом, возмущённое движение летательного аппарата,
возникшее при отклонении органов управления, складывается из
свободного и вынужденного движений.
5. Устойчивость и управляемость летательного аппарата
Динамические свойства ЛА определяют характер переходных
процессов при отклонении летчиком органов управления, в том
числе при изменении режима работы двигателя, сбросе груза, при
воздействии на самолет атмосферной турбулентности и др., т. е.
в процессе возмущенного движения. Очевидно, что наиболее предпочтительными являются только такие виды переходных процессов, которые без участия летчика приводят к быстрому восстановлению исходного состояния движения, а при управлении самолетом приводят к быстрой его перебалансировке.
Способность возвращаться в исходное состояние, определяется его устойчивостью, а способность летательного аппарата
отвечать (реагировать) на отклонения органов управления соответствующим изменением параметров движения называется
управляемостью.
Для характеристики общих свойств собственного возмущенного движения служит понятие устойчивости летательного аппарата.
Это понятие связано с тремя типами изменения приращений DV, Dq,
Dϑ, Da в собственном движении (с зажатыми органами управления).
9
В первом случае при t → ∞ все приращения стремятся к нулю,
движение летательного аппарата устойчиво.
Во втором случае приращения не изменяются во времени, движение летательного аппарата нейтрально.
В третьем случае все приращения (или хотя бы один параметр)
с течением времени неограниченно возрастают, движение летательного аппарата неустойчиво.
Таким образом, движение самолета, пилотируемого летчиком,
будет устойчивым, если он сможет самостоятельно (без вмешательства в управление со стороны летчика) возвратиться к исходному
режиму полета после прекращения действия возмущения.
Движение летательного аппарата обладает продольной устойчивостью, если с течением времени затухают приращения продольных параметров.
Необходимо иметь в виду, что один и тот же летательный аппарат может быть устойчив при одних параметрах невозмущенного
движения и неустойчивым при других.
Устойчивость и управляемость относятся к числу особенно важных физических свойств самолета. Устойчивый самолет обладает двумя ценными качествами. Он сохраняет невосприимчивость
к воздействию относительно слабых возмущений и возвращается к исходному режиму после прекращения действия достаточно
больших возмущений.
Наиболее желательными видами собственного возмущенного
продольного движения самолета являются колебательное движение с быстрым затуханием или апериодическое с малым временем
переходного процесса.
Устойчивость движения самолета должна быть исследована на
различных высотах полета, на всех возможных углах, скоростях,
вариантах загрузки. Устойчивость движения (как и управляемость) разделяют на продольную и боковую.
6. Анализ свободного возмущенного движения
Для продольного возмущенного движения летательного аппарата характерно наложение друг на друга двух различных типов
движений – быстро и медленно затухающих движений. Быстро
­затухающее движение является короткопериодическим. Медленно затухающее движение является длиннопериодическим, так как
имеет большой период.
10
Короткопериодические движения (Т < 10 с) возникают при
­ олебании самолета относительно центра масс и сопровождаютк
ся быстрым изменением перегрузки при практически постоянной
скорости полета, что объясняется большой инерционностью летательного аппарата.
Второй тип свободных колебаний имеет сравнительно большой
период (Т > 10 с), характеризует длиннопериодическое или фугоидное движение. Эти колебания сопровождаются медленным периодическим изменением его скорости, высоты полета и угла наклона траектории. Фугоидные колебания не создают затруднений
в пилотировании и к эксплуатации допускаются самолеты, имеющие как нейтральность в фугоидном движении, так и неустойчивость, если период Т > 30 с, а время удвоения амплитуды колебаний параметров не менее 60 с.
Как было сказано, свободное возмущенное движение летательного аппарата состоит из двух этапов.
На первом этапе преобладает быстро затухающее короткопериодическое движение. В течение этого этапа Dωz, Da, Dϑ, Δν и Dq
изменяются резко, DV – незначительно. К концу первого этапа Da
практически равно нулю.
На втором этапе начинает изменяться DV; продолжают изменяться приращения Dϑ, Dq, Dϑ, Δν. КолебанияDaпрактически отсутствуют. Аналогично Da изменяется и Dωz. Физические причины, обусловливающие такой характер свободного возмущенного
движения, одинаковы для любого летательного аппарата.
Для упрощения анализа систем управления часто схематизируют явления продольного возмущенного движения летательного аппарата, рассматривая только первый этап возмущенного движения, в котором можно пренебречь отклонениями скорости DV.
7. Система уравнений
короткопериодического движения самолета
Чтобы получить систему уравнений короткопериодического движения необходимо, опираясь на его определение, в системе
уравнений (5) исключить первое уравнение, а в остальных убрать
слагаемые, содержащие возмущения скорости.
δ
P cos α + Yaα
Y pâ
g sin θ
Δθ;
Δα + a Δδðâ +
1. Δθ = *
mV*
mV*
V*
11
δ
δ
z=
2.  Δω
Mzα
M ðâ
M ωz
M α
M ðâ
Δα + z Δδðâ + z Δωz + z Δα + z Δδ ðâ ; (5′)
Jz
JZ
Jz
Jz
Jz
3.  Δϑ = Δωz ;
4.  Δϑ = Δα + Δθ; (Δϑ = Δα + Δθ ).
В этой системе производные перед возмущениями являются постоянными коэффициентами. Звездочками обозначены параметры
опорного движения.
Здесь коэффициенты aij имеют следующие значения:
a11 = -
Mzωz -1
M δâ
¢ = - z C-1 ;
C ; a13
Jz
Jz
a12 = -
P cos α + Yαα -1
Mzα -2
C
; a22 = *
C
;
Jz
mV*
¢ =a12
Mzα -1
Y áâ -1
C
C
; a23 =
;
Jz
mV*
a13 = -
MZáâ -2
g
; a24 = sin θ C-1 .
C
JZ
V*
(
(
(
(
)
(
)
)
(
)
(
)
)
)
(
)
Коэффициенты aij, входящие в систему (5’), называются динамическими коэффициентами. Эти коэффициенты характеризуют
важные динамические свойства летательного аппарата. Так, например, коэффициент:
a11 = -
Mzωz
Jz
характеризует аэродинамическое демпфирование летательного
­аппарата и представляет собой приращение углового ускорения,
вызванное приращением угловой скорости на единицу.
Коэффициент:
a12 = -
Mzα
Jz
характеризует статическую устойчивость летательного аппарата
и представляет собой приращение углового ускорения летательного аппарата, обусловленное изменением угла атаки на единицу.
12
Коэффициент:
a13 = -
Mzδâ
Jz
характеризует эффективность рулей высоты и представляет собой
приращение углового ускорения, создаваемого отклонением органов управления на единицу угла.
Коэффициент
¢ =a12

Mzα
Jz
характеризует влияние запаздывания скоса потока на момент тангажа и представляет собой приращение углового ускорения вращения ЛА, вызванное изменением производной Da на единицу.
Коэффициент

M δâ
¢ =- z
a13
Jz
характеризует влияние запаздывания скоса потока, вызванное
вращением органов управления, на угловое ускорение ЛА.
Коэффициент
a22 =
P* cos α + Yaa
mV*
представляет собой приращение угловой скорости, касательной
к траектории, вызванное отклонением угла атаки на единицу.
Коэффициент
Y δâ
a23 = α
mV*
представляет собой приращение угловой скорости, касательной
к траектории, обусловленное отклонением органов управления на
единицу.
Коэффициент
a24 =
g sin θ
V*
представляет собой приращение угловой скорости, касательной
к траектории за счет силы тяжести при изменении угла наклона
траектории на единицу.
13
Система уравнений (5′) в компактном виде:
1.  Δθ = a22 Δα + a23 Δδðâ + a24 Δθ;
¢ Δα + a13
¢ Δδ ðâ ;
 z = a12 Δα + a13 Δδðâ + a11Δωz + a12
2.  Δω
3.  Δϑ = Δωz ;
4.  Δϑ = Δα + Δθ; (Δϑ = Δα + Δθ ).
(6)
8. Методы решения уравнений в возмущениях
собственного и вынужденного движений самолета
В дальнейшем при исследовании возмущенного движения
с­ амолета придется рассматривать системы однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Система линейных однородных дифференциальных уравнений,
правые части которых равны нулю, описывают собственное возмущенное движение самолета. Такое движение можно получить,
­если находящемуся в равновесии самолету сообщить некоторые
возмущения, а затем предоставить самому себе.
Если в полете самолет будет подвергаться постоянно действующим возмущениям, то его возмущенное движение будет описываться системой неоднородных уравнений, правые части которых
представляют собой некоторые известные возмущающие функции
времени. Такими функциями могут быть внешние силы, вызванные управляющими воздействиями или какими-либо другими возмущениями, например ветровыми.
Известно, что общее решение системы линейных неоднородных
дифференциальных уравнений состоит из общего решения соответствующей системы однородных уравнений и частного решения
полной (неоднородной) системы. Общему решению однородной системы соответствует собственное возмущенное движение самолета,
а частному – вынужденное. Следовательно, система неоднородных
линейных дифференциальных уравнений описывает движение,
которое можно представить как сумму собственного и вынужденного движений.
При исследовании собственного возмущенного движения самолета выясняется устойчивость опорного движения. Анализ вынужденного движения позволяет определить реакцию самолета на управляющие воздействия и сделать оценку его управляемости.
14
Для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеются методы решения,
которые приводятся в курсах высшей математики. К ним относятся, так называемый, «классический метод» и метод, основанный
на операционном исчислении.
8.1. Решение линейных- дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами классическим методом [1]
В качестве примера возьмем линейную однородную систему
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
четвертого порядка, записанную в форме Коши. Такие системы
в дальнейшем будут встречаться при исследовании устойчивости
невозмущенного движения самолета.
Пусть имеем однородную систему линейных дифференциальных уравнений, в которой s = 1, 2, 3, 4
dΔys
- as1Δy1 - as2 Δy2 - as3 Δy3 - as4 Δy4 = 0,
dt
(7)
где Δys – отклонения (вариации) параметров движения; ask – известные постоянные коэффициенты.
Общее решение системы состоит из суммы произведений частных решений на произвольные постоянные. Поэтому вначале надо
найти линейно независимые частные решения системы (7).
Ищем частные решения в виде
Δys = As åλt (s = 1, 2, 3, 4).
(8)
Требуется определить постоянные As и λ так, чтобы функции
Aseλt удовлетворяли системе уравнений (7).
Подставляя (8) в (7) и сокращая на множитель eλt, получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно A1, A2, A3 и A4.
(a11 - λ) A1 + a12 A2 + a13 A3 + a14 A4 = 0;
à21 A1 + (a22 - λ) A2 + a23 A3 + a24 A4 = 0;
à31 A1 + a32 A2 + (a33 - λ) A3 + a34 A4 = 0;
à41 A1 + a42 A2 + a43 A3 + (a44 - λ) A4 = 0;
(9)
Для получения ненулевых решений таких уравнений определитель системы (9) должен быть равен нулю.
15
Составим определитель системы (9) и приравняем его нулю
a11 - λ
a12
a13
a14
a21
a22 - λ
a23
a24
Δ=
= 0.
a31
a32
a33 - λ
a34
a41
a42
a43
a44 - λ
(10)
Раскрывая определитель (10) получим уравнение четвертого
порядка для определения λ, которое называется характеристическим уравнением для системы (7)
(11)
λ4 + a3 λ3 + a2 λ2 + a1λ + a0 = 0, где a0, a1, a2 и a4 – коэффициенты характеристического уравнения,
которые выражаются через известные постоянные коэффициенты
уравнений (7).
При решении характеристического уравнения возможны случаи, когда все корни – различные (простые) или все (или часть)
корней будут кратными.
Допустим, что все четыре корня уравнения (11) действительные
и различные. Для каждого корня λk (k = 1, 2, 3, 4) напишем систему уравнений (9). Таких систем будет четыре, из которых определим 16 коэффициентов A1k, A2k, A3k и A4k. Причем в каждой системе уравнений один из коэффициентов будет произвольным, который можно принять равным единице (например, A4k = 1).
Подставляя найденные значения λk и Ask в (8), получим частные решения системы (7)
Δysk = Ask åλ kt .
Следовательно, общее решение рассматриваемой системы (7)
будет иметь вид
Δy1 = C1 A11eλ1t + C2 A12åλ2t + C3 A13 eλ3t + C4 A14 eλ4t ;
Δy2 = C1 A21eλ1t + C2 A22 åλ2t + C3 A23 eλ3t + C4 A24 eλ4t ;
Δy3 = C1 A31eλ1t + C2 A32 åλ2t + C3 A33 eλ3t + C4 A34 eλ4t ;
Δy4 = C1eλ1t + C2åλ2t + C3eλ3t + C4 eλ4t ,
(12)
где C1, C2, C3 и С4 – произвольные постоянные, подлежащие определению из начальных условий.
Из общего решения (12) видно, что когда все λk действительные, то отклонения Δys изменяются с течением времени по апери16
одическому закону и будут возрастать или убывать в зависимости
от знаков корней характеристического уравнения λk. Если все λk
будут отрицательными, то при t → ∞ все Δys → 0 и, следовательно, невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым,
так как все параметры в возмущенном движении будут стремиться к параметрам невозмущенного. Если среди корней λk найдется
­хотя бы один положительный, то при t → ∞ все Δys будут неограниченно возрастать, и, следовательно, невозмущенное движение
­будет неустойчивым.
Рассмотрим случай, когда среди простых корней характеристического уравнения имеются комплексно-сопряженные корни.
Пусть два корня окажутся комплексно-сопряженными, например λ1 = m + iν, λ2 = m - iν. Этим корням будет соответствовать
частное решение
Δys(1, 2) = As1eλ1t + As2eλ2t (s = 1, 2, 3, 4),
где постоянные As1 и As2 определяются из решения системы (9)
и являются комплексными сопряженными числами
As1 = as + ibs и As2 = as - ibs .
(13)
Δys(1, 2) = As emt sin (νt + φs ),
as
– новые произвольные постоянные.
bs
Из (13) видно, что частное движение, соответствующее паре
комплексных сопряженных корней, будет колебаться с амплитудой Aseμt, круговой частотой ν и фазой φs. Амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать, если вещественная часть
комплексного корня – положительная (m > 0) и затухать, если
(m < 0).
В рассматриваемом случае собственное возмущенное движение,
описываемое уравнениями (7), представляет собой наложение одного колебательного и двух апериодических движений, соответствующих действительным корням λ3 и λ4.
Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что для
устойчивости невозмущенного установившегося движения необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, если они комплексно сопряженные, а если действительные, то должны быть
­отрицательными.
2
2
где As = 2 as + bs , φs = arctg
17
8.2. Решение линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами операторным методом
Сущность этого метода состоит в том, что посредством интегрального преобразования от систем линейных дифференциальных уравнений переходят к вспомогательной системе алгебраических уравнений. Затем находят решение вспомогательной системы, а из него при помощи обратного преобразования получают решение заданной системы дифференциальных уравнений.
В качестве интегрального преобразования обычно используют
преобразование Лапласа
+¥
Y (p) =
ò
e- pt y(t)dt,
0
где параметр р – некоторое комплексное число; у(t) – функция независимой переменной t, называемая оригиналом; Y(p) – изображение функции у(t).
Помимо прямого преобразования существует обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению Y(p) находить
оригинал у(t).
Если оригинал у(t), имеющий изображение Y(p), подвергается математической операции (сложению, дифференцированию
и т. п.), то для нового оригинала можно найти изображение по
формулам, приведенным в табл. 1.
Таблица 1
При нулевых начальных условиях
Математическая операция
Оригинал
y(t)
Y(p)
y1(t) + y2(t)
Y1(p) + Y2(p)
ay(t)
aY(p)
Исходное преобразование
Сложение оригинала
Изображение
Умножение на постоянное число
dy/dt, y0 = 0
pY(p)
n – кратное дифференцирование
dny/dtn
pnY(p)
Интегрирование
t
ò y(t)dt
1
Y (p)
p
y(t – t)
e–ptY(p)
Дифференцирование
0
Сдвиг оригинала на τ
18
В качестве примера рассмотрим решение дифференциального
уравнения второго порядка операторным методом
y + a1y + a0 y = x(t). (14)
Переходя от оригиналов y(t) и x(t) к изображениям по формулам, приведенным в табл. 1, получим изображение уравнения (14)
при нулевых начальных условиях в виде
(p2 + a1 p + a0 ) Y (p) = X(p).
Соответствующий этому изображению оригинал
é
ù
X(p)
ú + (a y + y ) L-1 ´
y(t) = L-1 êê
1 0
0
ú
2
ëê p + a1 p + a0 ûú
é
ù
é
ù
p
1
ú + y L-1 ê
ú.
´ êê 2
0
ú
ê 2
ú
p
a
p
a
p
a
p
a
+
+
+
+
1
0 ûú
1
0 ûú
ëê
ëê
При нулевых начальных условиях
é
ù
X(p)
ú.
y(t) = L-1 êê
ú
2
êë p + a1 p + a0 úû
Для получения оригинала, соответствующего изображению
Y(p), надо задаться конкретным видом функции x(t).
9. Исследование управляемого движения самолета
с помощью передаточных функций
Самолет является объектом управления, поскольку для перехода от одного режима к другому и для компенсации возмущений
требуется управление самолетом. Под управлением самолетом понимается процесс формирования управляющих сигналов, обеспечивающих требуемый режим полета. С помощью управляющих
сигналов формируется команда на отклонение органов управления
самолета и двигателя.
Результат управления зависит от реакции самолета на управляющие воздействия, которая определяется его статическими и динамическими характеристиками и законом управления. Поэтому
для оценки управляемости различных самолетов принято рассматривать их реакцию на скачкообразное (ступенчатое) отклонение
органов управления и на отклонение по гармоническому закону.
19
При ступенчатом отклонении изучаются переходные или временные характеристики (функции) самолета, а при гармоническом – частотные.
Частотными характеристиками системы (звена) называют
зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входного сигнала и сдвига по фазе выходной величины по отношению к входному сигналу от частоты входного воздействия.
При изучении переходных характеристик (процессов) любой
динамической системы(звена), описываемой линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами,
удобно пользоваться передаточными функциями, а частотных характеристик – частотными функциями.
Передаточной функцией называют отношение изображения выходной величины к изображению входной при нулевых начальных условиях.
Y ( p)
.
X( p) (15)
Здесь Y(p) и X(p) – соответственно изображения по Лапласу выходной и входной величины. Двойной индекс Wyx(p) указывает, что
выходной величиной является у(t), а входной – x(t).
Для самолета выходными величинами могут быть управляемые
параметры движения (скорость, углы атаки, тангажа, перегрузки
и т. п.), а входными – управляющие или возмущающие воздействия.
Рассмотрим пример определения переходной функции звена
с помощью его передаточной функции. Пусть это звено описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами
Wyx ( p) =
Δy(t) + 2hΔy (t) + ω2 Δy(t) = KΔx(t).
( p2 + 2hp + ω2 )ΔY ( p) = KΔX( p). (16)
Найдем передаточную функцию, соответствующую этому уравнению. Для этого определим изображения по Лапласу выходной
Dy(t) и входной Dx(t) величин при нулевых начальных условиях.
Переходя от оригиналов Dy(t) и Dx(t) к их изображениям по
формулам табл. 1, получим вспомогательное алгебраическое уравнение
Откуда ΔY ( p) =
20
KΔX( p)
2
p + 2hp + ω2
, а передаточная функция
(17)
Wyx ( p) =
ΔY ( p)
K
.
=
ΔX( p) p2 + 2hp + ω2
(18)
Передаточную функцию можно рассматривать как удобную
форму записи линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая позволяет сравнительно просто
исследовать динамические процессы.
Поскольку знаменатель передаточной функции составляется
по левой части уравнения, то он является характеристическим полиномом дифференциального уравнения (16) с той разницей, что
вместо l стоит параметр р.
Приравнивая нулю знаменатель передаточной функции (18),
получаем
p2 + 2hp + ω2 = 0.
(19)
Корни этого уравнения называются полюсами передаточной
функции или корнями характеристического уравнения для системы (16.)
Если (w2 – h2) >0 , то корни будут комплексными сопряженными
p1,2 = -h ± i ω2 - h2 . (20)
В этом случае будет колебательный процесс изменения выходной величины и звено является колебательным.
Если (w2 – h2) < 0, то оба корня будут действительными
p1,2 = -h ± i h2 - ω2 , то процесс будет апериодическим, а звено –
апериодическим второго порядка.
Выражая DY(p)через передаточную функцию (18), получим
ΔY ( p) = Wyx ( p)ΔX( p) =
K
2
p + 2hp + ω2
ΔX( p).
Для определения переходной (временной) функции надо за
входное воздействие принять единичную ступенчатую функциюx
1
Dx(t) = 1, изображение которой X( p) = . Следовательно
p
K
(21)
ΔY ( p) =
. 2
2
p
p
+
2
hp
+
ω
Переходя при помощи таблиц от изображения к оригиналу для
случая (w2 – h2) > 0, получим переходную функцию колебательного звена
(
)
21
é
sin
ê
ê
y(t) = K ê1 - e-ht
ê
ê
ë
(
)
ù
ω2 - h2 t + φ ú
ú
ú,
sin φ
ú
ú
û
(22)
где K – передаточный коэффициент, h – коэффициент демпфирования, n =  ω2 - h2 – круговая частота колебаний, w – опорная частота или частота недемпфированных колебаний, сдвиг по фазе
ω2 - h2
.
(23)
h
В (22) первое слагаемое определяет вынужденное движение,
а второе – собственное (свободное) колебательное движение, определяющее переходный процесс.
φ = arctg
10. Передаточные коэффициенты летательного аппарата
Под передаточными коэффициентами принято понимать отношение установившегося приращения выходной величины к приращению входной при установившемся процессе. Установившимся называется процесс, у которого изменение угла атаки закончилось и равно константе, а изменение его величины по времени равно нулю. Изменение угла тангажа и угла наклона траектории будут изменяться с постоянной производной, а вторая производная
угла тангажа будет равна нулю. Если входной величиной является угол отклонения руля высоты, а выходной – угловая скорость
(например), то выражение для передаточного коэффициента будет
иметь вид
æ Δϑ ö÷
÷ .
K = ççç
çè Δδâ ÷÷ø
óñò
Передаточный коэффициент звена, у которого входной величиной является угол атаки, а выходной угловая скорость Δϑ (или Δθ )
1
обозначается через
τa
æ Δθ ö
1 æç Δϑ ö÷
= çç ÷÷ = ççç ÷÷÷ .
÷
ç
ç
τa è Δα øóñò è Δα ÷øóñò
22
Для определения установившихся значений Δϑ (Δθ ) и Δα необходимо записать систему (6) с учетом того, что при Δα = const,
¶2 (Δϑ)
= 0.
Δα = 0, а при неизменности Δϑ (Δϑ = Δθ = const),
¶t2
Система уравнений в вариациях для такого установившегося
горизонтального движения будет иметь вид
a11
d(Δϑ)
+ a12 Δα = -a13 Δδâ ,
dt
d(Δϑ)
(24)
- a22 Δα = a23 Δδâ .
dt
Из системы (24) можно определить Δα óñò и Δϑ óñò . Для этого
необходимо в определителе, составленном из коэффициентов при
неизвестных произвести замену соответствующих столбцов правыми частями уравнений системы (24), т. е.
) =
Δ(Δϑ
-a13 Δδâ
a23 Δδâ
a12
= à13à22 Δδβ - à12à23 Δδβ =
-a22
= Δδβ (à13à22 - à12à23 ) -
это присоединенный определитель. Если его разделить на главный
Δ(Δϑ )
, где Δ – характеопределитель системы (24), получим: Δϑ =
Δ
ристический определитель системы (24), который равен
Δ=
à11 à12
= -(à11à22 + à12 ).
1 -à22
Таким образом,
а
Δδ (à à - à12à23 ) Δδâ (à12à23 - à13à22 )
Δϑ = â 13 22
=
,
-(à11à22 + à12 )
à11à22 + à12
æ Δϑ ö÷
K = ççç
÷÷
èç Δδâ ø÷
óñò
=
à12 à23 - à13à22
.
à11à22 + à12
(25)
(26)
1
Для определения
необходимо найти значение Δαуст, котоτa
рое в свою очередь может быть определено из характеристическо23
го определителя системы (24) путем замены столбца, содержащего
Δα, на правые части системы, т. е.
Δα óñò =
à à + à13
Δ(Δα)
= 11 23
Δδâ ,
Δ
-(à11à22 + à12 )
à à - à12à23
1 æç Δϑ ö÷
.
= çç ÷÷ = 13 22
÷
ç
τa è Δα øóñò
à11à23 + à13
(27)
(28)
Остальные передаточные коэффициенты можно выразить через
K и τa
æ Δα ö÷
çç
÷÷
èç Δδ ø÷
â óñò
æ Δθ ö÷
÷÷
= ççç
èç Δδâ ø÷
óñò
æ Δα ö÷
çç ÷ = Kτa ,
èç Δθ ø÷óñò
(29)
à à + à13
Kτa = - 11 23
.
à11à22 + à12
Некоторый интерес представляет передаточный коэффициент
по перегрузке, т. е.
æ Δnó ÷ö
çç
÷
ççè Δδ ÷÷ø
â óñò
.
(30)
Перегрузкой называется отношение суммы аэродинамических
и реактивных сил к силе тяжести летательного аппарата. Очевидно, что нормальной перегрузкой можно назвать проекцию нормальной составляющей этих сил к весу аппарата. В случае установившегося движения перегрузка ny = 1.
В процессе возмущенного движения летательного аппарата
nó = 1 ± Δny за счет нарушения в соотношении действующих сил,
что приводит к появлению ускорения, Dny возникает и при отклонении руля высоты, а ее величина. может быть определена исходя
из следующих соображений:
δâ
Δny =
α
Но
24
Yα
P* cos α + Y α
Δα +
Δδâ ,
mg
mg
Yαδâ
P* cos α + Y
= a23 .
Δα = a22 , а
mV
mg
(31)
Тогда Δny =
V*
V
a22 Δα + * a23 Δδâ
g
g
g
Δny = a22 Δα + a23 Δδâ .
V*
Это выражение с учетом (24) дает зависимость:
или
(32)
g
Δθ =
Δny .
V*
Разделив праву и левую часть на Δδв, получим:
æ Δny ö÷
çç
÷÷
èçç Δδ ø÷
â óñò
æ Δθ ö÷
÷÷
= ççç
èç Δδâ ÷ø
V*
g
óñò
или
æ Δny ö÷
çç
÷
çèç Δδ ø÷÷
â óñò
æ Δθ ÷ö
÷÷
= ççç
èç Δδâ ÷ø
V*
V
=K *,
g
g
óñò
(33)
V*
где K
– передаточный коэффициент по перегрузке.
g
У статически устойчивых летательных аппаратов передаточные
V
коэффициенты K, K * и Kτà обычно отрицательны.
g
Передаточные коэффициенты характеризуют важные динамические свойства летательного аппарата.
Так например, передаточный коэффициент K, а следовательно
V
и K * дает связь между отклонением органов управления и углоg
вой скоростью изменения направления полета или перегрузкой:
(Δθ )óñò = KΔδâ ,
(Δnó )óñò = (Δθ )óñò
V*
V
= K * Δδâ .
g
g
(34)
11. Передаточные функции летательного аппарата
В настоящее время при проектировании систем автоматического регулирования широко применяется составление структурных
схем. Чтобы использовать этот способ для проектирования систем
25
управления полетом, необходимо уравнения движения летательного аппарата, полученные путём замораживания коэффициентов, представить в виде передаточных функций, связывающих
­отклонение органов управления с вызванными ими движениями
летательного аппарата.
Пусть требуется изучить динамические свойства летательного
аппарата в некоторых характерных точках траектории. Для моментов времени, соответствующих этим характерным точкам,
можно составить передаточные функции, связывающие параметры движения ЛА Δθ, Δϑ, Δα с входной величиной – углом отклонения органов управления.
Для получения передаточных функций летательного аппарата
система (6) должна быть записана в операторной форме.
Метод операционного исчисления состоит в том, что вместо исходной системы уравнений решаются уравнения, полученные путём
специального преобразования исходной системы. Этот метод позволяет значительно упростить процесс решения и анализа уравнений.
Так например, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами преобразуются в систему алгебраических уравнений.
В основе методов операционного исчисления лежит понятие
изображения функции времени.
Это понятие тесно связано с тем, что любое движение реальной
динамической системы может быть описано двумя типами характеристик – во временной области и в частотной области.
В первом случае движение характеризуется в зависимости от
времени одной или нескольких переменных. Во втором случае эти
переменные представляются как суммы гармонических составляющих с конечными или бесконечно малыми амплитудами.
Если зависимость от времени, характеризующую рассматриваемое движение можно считать оригиналом, то амплитудно-фазовые частотные характеристики, отвечающие тому же движению –
можно назвать изображением данной зависимости от времени в частотной области.
Система уравнений (6), записанная в операторной форме будет
иметь вид:
¢ + a12 ) Δα = -( Pa13
¢ + a13 ) Δδâ ;
P2 Δϑ + Pa11Δϑ + ( Pa12
26
PΔθ - a22 Δα = a23 Δδâ ;
Δα = Δϑ - Δθ Δϑ - Δθ - Δα = 0
(35)
при условии, что исходное положение самолета – это горизонтальный полет.
Передаточной функцией называется отношение изображения
выходной величины к изображению входной.
Для нахождения изображений Δϑ(P), Δθ(P), Δα(P) и Δny(P) необходимо систему (35) решить относительно Δϑ(P), Δθ(P), Δα(P)
и Δny(P).
Как известно:
Δ
Δϑ(P) = ϑ ,
Δ
где Δϑ – присоединённый определитель, полученный из главного,
путём замены соответствующего столбца правыми частями системы (35), D – главный определитель системы (35), равный
¢ + a12
P ( P + a11 ) 0 Pa12
=
Δ=
0
P
-a22
-1
-1
1
¢ + a22 ) - P (a12 + a11a22 ).
= -P2 ( P + a11 + a12
Присоединённые определители могут быть записаны следующим образом:
(
)
¢ + P (a13
¢ a22 + a13 - a13
¢ a23 ) + a13a22 - a12a23 Δδâ ,
Δ ϑ = P2a13
(
)
¢ + a23 ) + P (a13 + a11a23 ) Δδâ ,
Δ α = P2 (a13
(
)
¢ a23 + a11a23 - a13
¢ a22 ) + a12a23 - a13a22 Δδâ .
Δ θ = - P2a23 + P (a12
Составим искомые изображения в виде:
Δ
Δϑ(P) = ϑ ;
Δ
Δα
Δα(P) =
;
Δ
Δ
Δθ(P) = θ .
Δ
Пользуясь выражениями (18), составим передаточные функции, которые определяется как отношение изображения выходной величины к входной. После введения в передаточные функции
передаточных коэффициентов окончательно получим:
27
¢ a23
¢
-a ¢ a - a + a12
-a13
P2 + 13 22 13
P +1
a
a
a
a
a
a
a
a
Δϑ(P)
12 23
13 22
12 23
13 22
=K
;
æ
ö
Δδâ (P)
¢ + a22
1
2 a11 + a12
÷
ç
P çç
P +
P + 1÷÷
a +a a
èç a + a a
ø÷
12
11 22
12
11 22
æ
ö÷
¢ + a23
a13
çç
P +1
÷÷
ç
÷÷
a11a23 + a13
Δα(P)
= Kτα ççç
÷;
¢ + a22
a11 + a12
÷÷÷
1
çç
Δδâ (P)
2
P +
P + 1÷
çç
÷ø
a11a22 + a12
è a11a22 + a12
¢ a23 - a13
¢ a22
a a + a12
a23
P2 + 11 23
P +1
a a - a13a22
a12a23 - a13a22
Δθ(P)
= K 12 23
.
æ
ö
¢ + a22
Δδâ (P)
a11 + a12
1
2
÷
ç
P çç
P +
P + 1÷÷
a12 + a11a22
è a12 + a11a22
ø÷
Составим передаточную функцию, в которой выходной величиной является Δny(P), а входной – Δδв. Из (15) следует, что:
Δnó (P)
Δδâ (P)
=
Δnó (P) V* PΔθ(P)
V* Δθ (P)
èëè
=
g Δδâ (P)
gΔδâ (P)
Δδâ (P)
или
Δnó (P)
Δδâ (P)
=
æ
ö÷
¢ a23 - a13
¢ a22
a23
a a + a12
çç
P + 1÷÷
P2 + 11 23
ç
÷÷
V ç a a - a13a22
a12a23 - a13a22
= K * çç 12 23
÷÷÷.
ç
æ
ö÷
¢ + a22
gç
a11 + a12
÷÷
1
2
çç
çç
P +
P + 1÷÷
÷
÷
çè
çè a12 + a11a22
a12 + a11a22
ø
ø÷÷
Для определения собственных динамических свойств летательного аппарата необходимо приравнять к нулю знаменатель соответствующей передаточной функции.
У передаточной функции Δϑ(P) , например, знаменатель имеΔδâ (P)
ет вид:
28
æ
ö
¢ + a22
a + a12
1
P çç
P2 + 11
P + 1÷÷÷ = 0.
÷
çè a12 + a11a22
a12 + a11a22
ø
Это алгебраическое уравнение третьего порядка имеет один
­ улевой корень. Необходимо иметь в виду, что характеристичен
ское уравнение системы (25) должно быть на один порядок выше,
но после исключения переменной ΔV характеристическое уравнение стало третьего порядка. При этом для быстрого движения один
из корней этого характеристического уравнения выпал, а другой
обратился в нуль. Корни квадратичного трёхчлена соответствуют быстрому движению и равны примерно большим корням характеристического уравнения системы (2). Приравняв к нулю
трёхчлен (25), получим характеристическое уравнение звена, у которого входной величиной является Δδв, а выходной Δϑ(P), Δθ(P),
Δα(P) и Δny(P).
Если коэффициенты этого характеристического уравнения положительны, то его можно записать в виде:
T2 P2 + 2xTP + 1 = 0,
где Т – постоянная времени ЛА, x – относительный коэффициент
демпфирования:
¢ + a22
1 a11 + a12
x=
.
2 a12 + a11a22
Корни характеристического уравнения определяются по обычным правилам и равны:
В зависимости от величины и знака относительного коэффициента демпфирования корни характеристического уравнения могут быть вещественными, мнимыми или комплексными, попарно
сопряжёнными.
Характер переходного процесса будет зависеть не только от
вида корней характеристического уравнения, но и от наличия
(отсутствия) статической устойчивости. Для случая статически
устойчивого ЛА, когда a12 + a11a22 > 0 относительный коэффициент демпфирования x > 0 , так как в этом случае a11 + a′12 + a22 > 0.
При условии x < 1, процесс будет колебательным, так как корни характеристического уравнения комплексные, попарно сопряжённые. Вещественная часть этих корней будет отрицательной,
следовательно, процесс будет затухающим. В случае ξ ≥ 1 процесс
будет апериодический, затухающий (для статически устойчивого ЛА). Крылатые ЛА обычно обладают определённой степенью
29
статической устойчивости (a11 + a′12 + a22 > 0), x < 1, следовательно
переходной процесс колебательный. Значительный интерес представляет собственная частота колебаний ЛА:
ωc =
1 æç 1 ö÷
1
(ÃÖ).
ç ÷÷ èëè fc =
ç
2πT
T èCø
Быстрота затухания (нарастания) колебаний обычно оценивается временем, за которое начальное отклонение параметров изменяется вдвое. В этом случае расчетное выражение может получено
исходя из следующий соображений.
В случае x < 1 корни характеристического уравнения комплексные, попарно сопряжённые и соответствующее им частное решение может быть записано в общем случае как:
-
ΔX = Ae
x
t
T sin(ωt + τ).
Тогда, полагая t = 0, найдём t2 из условия:
-
x
t1
ΔX1 e T
=
x
ΔX2
- t2
e T
-
при t1 = 0, e
x
t1
T = 1,
x
t2
ΔX1
= 2 = eT
а
ΔX2
x
T
T
t2 ; t2 = (ln 2) ; t2 = 0,693 .
T
x
x
Рассуждая аналогично, можно найти время полного затухания
процесса, за которое принимается время изменения амплитуды
в 20 раз:
T
T
t20 = ln 20 = 3 .
x
x
откуда ln 2 =
12. Переходные процессы
при ступенчатом отклонении руля высоты
Реакция ЛА на ступенчатое отклонение руля высоты имеет
важное значение, поскольку характеризует его устойчивость и характер переходного процесса. Рассмотрим установившееся криволинейное движение ЛА с постоянными значениями Δϑ, Δθ, α, δв
30
и ny, и предположим, что в какой-то момент времени руль высоты мгновенно занял другое положение (δв + Δδв). После этого летательный аппарат начнет переходить из исходного режима движения в другой. Если бы ЛА не обладал инерцией, то этот переход
бы происходил мгновенно. В действительно параметры ϑ, θ, α и ny
­будут меняться в течение некоторого времени, после чего движение стабилизируется. Процесс, при котором происходит изменение
параметров движения называют переходным. По окончании переходного процесса устанавливаются новые значения параметров
ϑ, θ, α и ny, соответствующие новому положению органов управления.
Рассмотрим переходные процессы ЛА с жестко закреплённым
стабилизатором для случая, когда можно пренебречь нормальной
силой, возникающей на оперении при отклонении руля высоты
и приращением угловой скорости, касательной к траектории, обусловленной отклонением органов управления. В этом случае можно принять:
¢ = a23 = 0.
a13
Выражения для передаточных функций (21, 22, 23) с учётом
такого допущения можно записать в виде:
X(P)
K
=
,
(36)
Δδâ (P) T2 P2 + 2xTP + 1
где Х – любая из величин, Δϑ, Δθ, α, δв и ny; K – соответствующий
æ
ö
V
¢ = a23 = 0.
передаточный коэффициент çç K, K * , Kτa ÷÷÷ с учётом a13
çè
ø
g
Дифференциальное уравнение, соответствующее передаточной
функции (36) может быть записано в виде:
T2 X ¢¢ + 2TxX ¢ + X = KΔδâ .
Общее решение этого неоднородного уравнения состоит их общего решения однородного уравнения:
T2 X ¢¢ + 2TxX ¢ + X = 0
и частного решения уравнения:
X = KΔδâ . (37)
Уравнение (37) соответствует установившемуся значения
X = Xуст которое наблюдается при X″ = X′ = 0. Вид общего реше31
ния однородного уравнения и характер переходного процесса определяются корнями характеристического уравнения:
Tλ2 + 2Txλ + 1 = 0.
Эти корни равны:
В зависимости от величины x корни характеристического уравнения будут вещественными(x > 1), мнимыми (x = 1), и комплексными, попарно сопряжёнными (0 < x < 1). Этот последний случай
является наиболее распространённым для ЛА. При xэ < 1 переходный процесс является колебательным.
Заменив с помощью формул Эйлера комплексные величины
­вещественными, можно записать переходную функцию в виде:
x
- t
æ
ö÷
ç 1 - x2
X
å T
t + φ÷÷÷,
cosççç
= 1KΔδâ
ççè T
÷÷ø
1 - x2
где tgφ =
x
.
1 - x2
Вещественная часть пары сопряженных корней характеристического уравнения при x < 0 у любого ЛА является отрицательной:
¢ + a22
x a11 + a12
=
.
T
2
¢ + a22 > 0. Поэтому рассматриваемый переходТак как a11 + a12
ный процесс является всегда затухающим.
x
называют коэффициентом демпфирования,
Коэффициент
T
чем больше этот коэффициент, тем быстрее затухают свободные
колебания ЛА.
Из выражения (43) видно, что угловая частота свободных колебаний при наличии демпфирования будет:
ω=
1 - x2
1
2
¢ + a22 ) , ðàä/ñ.
= a12 + a11a22 - (a11 + a12
T
4
На частоту свободных колебаний влияет главным образом коэффициент статической устойчивости а12. С увеличением этого коэффициента частота колебаний возрастает.
При отсутствии демпфирования ξ = 0, угловая частота колебаний в переходном процессе называется собственной угловой частотой и определяется по выражению:
32
ωc = a12 + a11a22 =
1
, ðàä/ñ.
T
Частота собственных колебаний в Герцах определяется формуω
2π
лой fc = c , а период собственных колебаний Tc =
= 2πT.
2π
ωc
С изменением скорости, высоты полёта, а также центровки ЛА
(момента инерции, статической устойчивости) собственная частота может изменяться в несколько раз.
13. Время установления, максимальное отклонение
и величина перерегулирования
Показателями, связанными с характеристиками устойчивости
системы [2], являются показатели качества переходного процесса, возникающего при типовом изменении воздействия (например,
единичного воздействия).
Наиболее существенным и сравнительно наиболее просто определяемым являются время установления и перерегулирование.
Время установления tуст определяется как интервал времени, через который регулируемая величина первый раз достигает своего
установившегося значения. Это время близко к времени достижения максимального значения амплитуды процесса Xmax и приблиπ
женно вычисляется по формуле tóñò = .
ω
Определим максимальное значение параметра X(P). Под параметром Х понимается любое из отклонений Δϑ, Δθ, α, или ny. Макπ
симальное значение Х будет наблюдаться в момент времени t = ,
ω
когда cos ωt = 1. Учитывая, что Xóñò = KΔδâ , выражение (42) можно записать в виде:
x πö
æ
÷÷
çç
T
Xìàõ = Xóñò çç1 - e ω ÷÷.
÷÷
ççè
ø
Разница между X и xуст называется забросом параметра Iзаб =
= Xmax – Xуст.
Относительный заброс определяется величиной:
σ=
Xìàõ - Xóñò
Xóñò
èëè σ =
Xçàá
.
Xóñò
33
Относительный заброс иначе называют величиной перерегулирования и определяют в %. Величина его лежит в пределах
50–60 %.
Используя предыдущее выражение, получим:
-
σ=e
x π
T ω
-
=e
πx
1 - x2
.
Таким образом, величина относительного заброса зависит только от относительного коэффициента демпфирования. Чем меньше x, тем больше относительный заброс.
При проектировании ЛА и системы стабилизации желательно обеспечить минимальную величину заброса перегрузки, чтобы
­была обеспечена достаточная прочность конструкции при минимальном весе.
14. Порядок выполнения расчета переходных процессов
самолета с ТРД при ступенчатом отклонении руля высоты
1. Определиться с номером варианта и выписать исходные данные.
(Приложение 1).
2. Для определения динамических коэффициентов aij необходимо рассчитать момент инерции самолета:
Jz = mrz2,
где rz2 = 0,031lc2 ; lс– длина самолета задана.
3. Для заданной высоты полета по таблице стандартной атмо­сферы определяем массовую плотность воздуха (r), скорость звука (а) и рассчитываем скорость движения ЛА (V) для заданной
­высоты.
V = M × a.

4. Далее следует определить значение производных Mzα; Mzα;
d
M z, используя рис. 1, 2, 3, 4.
Порядок выполнения расчетов содержит следующие действия.
–– Найти коэффициент Mzα.
Mzwz;
Mzα = mzα S
где mzα =
34
¶mz
C
, mzα = mz y × Cyα
¶α
rV 2
b, [H ´ ì],
2
Cay – значение производной, найдено в работе «Расчет летных характеристик». Использовать размерность [1/рад].
mzCy – найти из рис. 1;
–– Найти коэффициент Mzα .
Mzα = mzα S
rV 2
b, [H ´ ì ´ ñ]
2

mzα =
mzα
b, [ñ]
V

mzα – из рис. 2;
–– Найти коэффициент Mzωz .
Mzωz = mzωz S
mzωz =
rV 2
b, [H ´ ì ´ ñ]
2
mzωz
b, [c]
V
mzωz – из рис. 3;
–– Найти коэффициент Mzδ .
Mzδ = mzδ S
где mzδ –находится из рис. 4.
rV 2
b, [H ´ ì]
2
5. Рассчитать коэффициент a22 =
Y α = Cyα ×
α
Cyαα
P + Yα
, где Р – потребная тяга,
mV
rV 2
× S,
2
где
– определен ранее в п. 4.
Для определения величины потребной тяги, необходимо опреY
делить коэффициент Cyα = α . В случае установившегося прямоqS
линейного горизонтального движения можно приближенно принять, что Yα = mg.
mg
Cyα =
, [H].
qS
По значению Cyα , используя поляру самолета, построенную ранее в работе «Расчет летных характеристик», определяем значение Cxa и потребную тягу
35
P = Cxα S
rV 2
, [H]
2
6. Рассчитать коэффициенты:
a11 = -

Mzωz
Mα
Mα
Mδ
¢ = - z ; a13 = - z .
; a12 = - z ; a12
Jz
Jz
Jz
Jz
¢ ® 0 для самолетов, у которых площадь руля высоты много
a13
Yδ
меньше площади стабилизатора, a23 =
® 0 из-за малости чисmV
лителя дроби.
7. Определить постоянную времени:
T=
1
a12 + a11a22
.
8. Определить относительный коэффициент демпфирования:
x=
a11 + a'12 + a22
2 a12 + a11a22
.
Следует помнить, что для колебательного затухающего процесса x < 1.
9. Определить угловую частоту свободных колебаний:
1 - x2
.
T
10. Определить угловую частоту и период собственных колебаний:
ω=
ωc =
1
2π
, [1 / ñ ]; Tc =
,[ñ ].
ωc
T
11. Определить время полного затухания:
tçàò = 3
T
.
x
12. Найти передаточные коэффициенты:
K =-
a13 a22
a11a22 + a12
Kτa = 36
a13
.
a11a22 + a12
13. Передаточная функция переходного процесса для угла атаки:
W (P) =
K τα
Δα
=
.
2
2
Δδ T P + 2xTP + 1
Остальные передаточные функции по тангажу, угловой скорости и по перегрузке отличаются только числителем, под которым
понимается соответствующий передаточный коэффициент.
15. Исследование передаточных функций в среде MATLAB
При исследовании колебательных процессов с помощью передаточных функций можно получить характеристики процесса, не находя оригинала функции. Для этого используется среда MATLAB,
а передаточная функция используется в виде, полученном в разделе 12 (35) для ступенчатого отклонения руля высоты. В качестве
примера приведем порядок получения переходного процесса для
реакции угла атаки на ступенчатое отклонение руля высоты.
Передаточная функция записывается в виде
K τa
.
W ( p) = 2 2
P T + 2xTp + 1
Пример: Т = 0,9 с; Т2 = 0,81 с2; x = 0,33; 2xТ = 0,594 c; Kta = –0,02.
Для получения переходного процесса следует выполнить следующие операции:
1. Вызвать MATLAB, на экране появится «>>».
2. Записать последовательно:
W = tf [ Kτa ], éêT2 _ 2x _ 1ùú ,
ë
û
где знак «_» обозначает «Пробел».
После нажатия ENTER на экране появится: «Transferfunction»
и ее запись:
(
)
-0,02
.
0,81S ^ 2 + 0,594S + 1
На экране появится опять знак «>>».
3. Дать команду «ltiview (w)», и, после нажатия «ENTER», на
экране появится переходный процесс, описывающий поведение
амплитуды искомой величины во времени. Полученный переходный процесс, стремящийся к значению передаточного коэффициента Kta, следует заключить в 5%-й коридор относительно коэффициента Kτa . Затем отметить время полного затухания, при
37
котором переходная функция последний раз войдет коридор
и больше не выйдет. Это соответствует уменьшению амплитуды
колебания в 20 раз (раздел 13). Сравнить это время с расчетным
3T
t20 =
. Найти величину перерегулирования процесса, которое
x
должно быть в пределах 50–60 %.
1. На экране должен оставаться знак «>>». Дать команду
bode (w) и после нажатия ENTER, и после этого на экране появится амплитудно-частотная характеристика. По этой характеристике определить собственную частоту и время установления tуст
(раздел 13).
2. Выписать характеристики устойчивого процесса:
Коэффициент, характеризующий статическую устойчивость,
значение передаточного коэффициента, время полного затухания,
время установления, величину перерегулирования.
_.
. V
mαz = mαz –
b сах
mzсу
–1,0
–0,8
–0,6
–0,4
–0,2
–0,2
–0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
М
0,2
0,6
0,8
М
Рис. 1. Зависимость
Рис. 2. Зависимость
производной mz y от числа М
производной mzα от числа М
C

_
V
mωz z = mωz z –
bсах
m zδ
–0,018
–0,016
–0,014
–0,012
–0,4
–0,38
–0,36
–0,34
–0,32
0,2
–0,010
0,4
0,6
0.8
М
Рис. 3. Зависимость
C
производной mz y от числа М
38
0,4
0,2
0,6
0,4
0,8
Рис. 4. Зависимость

M
производной mzα от числа М
Step Response
0
–0,005
Amplitude
–0,01
–0,015
–0,02
–0,025
–0,03
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Time (sec)
Рис. 5. Вид графика переходного процесса
(передаточные функции по углу атаки)
Bode Diagram
Magnitude (dB)
–20
–40
System: w
Peak gain (dB): –29.9
At frequency (rad/sec): 0.983
–60
–80
–100
–120
Phase (deg)
0
–45
–90
–135
–180
–2
10
10
–1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
Рис. 6. Амплитудно-частотные характеристики
переходного процесса
39
Варианты заданий для расчетов
Вариант №
Площадь крыла S,
м2
1
2
3
371,6
115,0
150,0
Размах крыла l, м
56,4
29,0
34,88
Длина самолета lc, м
49,05
36,38
36,38
САХ b, м
6,58
3,96
4,29
229 100
42 000
52 000
Высота полета H, м
5000
7000
8000
Число Маха, M
0,655
0,667
0,712
5
5
3
Масса самолета m, кг
Угол отклонения руля высоты dв, °
Начальный угол атаки a, °
2
2
3
10
11
12
Площадь крыла S, м2
150,0
89,19
18,22
м2
150,0
89,19
18,22
Вариант №
Площадь крыла S,
Размах крыла l, м
34,88
19,50
6,68
Длина самолета lc, м
36,38
10,96
16,69
САХ b, м
4,29
4,57
2,72
Масса самолета m, кг
51 000
19 000
11 800
Высота полета H, м
5000
11 000
15 000
Число Маха, M
0,658
0,710
0,600
Угол отклонения руля высоты dв, град
Начальный угол атаки a, °
Вариант №
3,5
5
6
4
5
3
19
20
21
Площадь крыла S, м2
371,6
18,22
150,0
Размах крыла l, м
56,4
6,68
34,88
Длина самолета lc, м
49,05
16,69
36,38
САХ b, м
6,58
2,72
4,29
210 000
10 800
50 000
Высота полета H, м
6000
10 000
9000
Число Маха, M
0,632
0,680
0,731
Угол отклонения руля высоты dв, °
7
5
6
Начальный угол атаки a, °
5
5
4
Масса самолета m, кг
40
Приложение 1
характеристик переходного процесса
4
5
6
7
8
9
89,19
371,6
18,22
70,0
371,6
56,49
19,50
56,4
6,68
25,0
56,4
13,05
10,96
49,05
16,69
20,36
49,05
19,43
4,57
6,58
2,72
2,79
6,58
4,32
23 000
215 000
11 000
17 000
200 000
35 000
13 000
10 000
17 000
4000
9000
6000
0,712
0,668
0,668
0,436
0,750
0,750
7
4
5
4
7
5
4
5
5
5
4
4
13
14
15
16
17
18
56,49
150,0
371,6
89,19
115,0
70,0
56,49
150,0
371,6
89,19
115,0
70,0
13,05
34,88
56,4
19,50
29,0
25,0
19,43
36,38
49,05
10,96
36,38
20,36
4,32
4,29
6,58
4,57
3,96
2,79
33 000
55 000
190 000
20 000
42 000
16 500
18 000
6000
13 000
7000
5000
6000
0,600
0,684
0,745
0,711
0,702
0,395
4,5
5
2,5
5
4
5
4
5
5
4
4
4
22
23
24
25
26
27
89,19
371,6
115,0
70,0
56,49
18,22
19,50
56,4
29,0
25,0
13,05
6,68
10,96
49,05
36,38
20,36
19,43
16,69
4,57
6,58
3,96
2,79
4,32
2,72
18 000
270 000
44 000
15 300
31 000
11 500
10 000
15 000
11 000
8000
9000
7000
0,748
0,644
0,746
0,450
0,737
0,779
4,5
5
5
6
7
4,5
4
3
3
5
5
5
41
Приложение 2
Международная стандартная атмосфера
БарометриГеометрическое
ческая
давление
высота
H
PH × 10-5, 2
H, м
ì
0
101,325
Кинематический
коэффициент
вязкости u
ì2
u,
ñ
Температура
ТН, K
Плотность r
êã
r, 3
ì
Скорость
ì
звука а,
c
288,15
1,2250×10–1
340,28
1,4607×10–5
336,43
1,5812×10–5
1000
89,876
281,65
1,1117×10–1
2000
79,498
275,14
1,0067×10–1
332,52
1,7146×10–5
268,64
9,0941×10–1
328,56
1,8624×10–5
324,56
2,0271×10–5
3000
70,125
4000
61,656
262,13
8,1942×10–1
5000
54,045
255,63
7,3654×10–1
320,51
2,2103×10–5
249,13
6,6022×10–1
316,41
2,4153×10–5
312,25
2,6452×10–5
6000
47,213
7000
41,098
242,63
5,9011×10–1
8000
35,648
236,14
5,2591×10–1
308,05
2,9030×10–5
303,78
3,1942×10–5
9000
30,791
229,64
4,6712×10–1
10 000
26,491
223,15
4,1357×10–1
299,45
3,5232×10–5
216,66
3,6485×10–1
295,00
3,8966×10–5
295,07
5,3351×10–5
11 000
22,690
13 000
16,572
216,66
2,6648×10–1
15 000
12,107
216,66
1,9467×10–1
295,07
7,3029×10–5
216,66
8,8871×10–2
295,07
1,5997×10–4
297,07
3,4998×10–4
20 000
5,527
25 000
2,5262
216,66
4,0621×10–2
30 000
1,184
230,35
1,7901×10–2
304,25
8,3565×10–4
313,14
1,8929×10–3
321,78`
4,0956×10–2
35 000
0,580
244,01
8,2842×10–3
40 000
0,295
257,66
4,0003×10–2
Литература
1. Аэромеханика самолета / под ред. А. Ф. Бочкарева и В. В. Андреевского. М.: Машиностроение, 1985. 360 с.
2. Стабилизация летательных аппаратов и автопилоты. М.: Высшая
школа, 1964.
3. Авдонина Т. Н., Горин Ю. А., Мельникова Д. Ф. Расчет переходных процессов при продольном движении летательного аппарата. Л.: ГУАП, 1983.
4. ГОСТ 2005-80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения. М.: Издательство стандартов, 1981. 52 с.
42
СОДЕРЖАНИЕ
1. Уравнения движения самолета в вертикальной плоскости.................. 3
2. Общие сведения о динамике возмущенного движения самолета.
Метод малых возмущений................................................................. 4
3. Методика линеаризации уравнений движения самолета [1]................. 5
4. Уравнения продольного возмущенного движения ЛА........................ 7
5. Устойчивость и управляемость летательного аппарата....................... 9
6. Анализ свободного возмущенного движения....................................10
7. Система уравнений короткопериодического движения самолета.........11
8. Методы решения уравнений в возмущениях собственного
и вынужденного движений самолета................................................. 14
8.1. Решение линейных- дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами классическим методом [1]. .............15
8.2. Решение линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами операторным методом....................18
9. Исследование управляемого движения самолета с помощью
передаточных функций....................................................................19
10. Передаточные коэффициенты летательного аппарата......................22
11. Передаточные функции летательного аппарата...............................25
12. Переходные процессы при ступенчатом отклонении руля высоты........30
13. Время установления, максимальное отклонение и величина
перерегулирования.........................................................................33
14. Порядок выполнения расчета переходных процессов самолета
с ТРД при ступенчатом отклонении руля высоты.................................34
15. Исследование передаточных функций в среде MATLAB...................37
Приложение 1................................................................................41
Приложение 2................................................................................42
Литература....................................................................................42
43
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 462 Кб
Теги
burlutskiy2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа