close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Chynovkina

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
А. Г. Чуновкина
Обработка результатов измерений.
Вычисление неопределенности
измерений при калибровке
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2016
УДК 006.011
ББК 30.10
Ч-91
Рецензент –
доктор технических наук, профессор,
почетный метролог Министерства промышленности и торговли России В. А. Слаев
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Чуновкина, А. Г.
Ч-91 обработка результатов измерений. Вычисление неопределенности измерений при калибровке: учеб.-метод. пособие /
А. Г. Чуновкина. – СПб.: ГУАП, 2016. – 61 с.
Издание имеет своей целью помочь в освоении методов оценивания неопределенности измерений. Содержатся общие сведения о концепции неопределенности измерения и ее обосновании, при этом акцент сделан на практическое применение аппарата вычисления неопределенности в задачах калибровки эталонов и средств измерений.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Прикладная метрология».
УДК 006.011
ББК 30.10
© Чуновкина А. Г., 2016
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
Введение
В настоящее время сложилась ситуация, когда в отечественной метрологии используются два подхода к выражению точности измерений. Это традиционный подход, опирающийся на понятие погрешности измерений и вычисление характеристик погрешности, и относительно новый подход, использующий концепцию неопределенности
измерения. Эта ситуация была зафиксирована и в новой редакции
терминологического документа РМГ 29-2013 «Метрология. Основные термины и определения» [2], где приведены характеристики точности измерений в рамках обоих подходов. В этой связи интересно
отметить, что в 2011 году были внедрены документы по оценке неопределенности измерений [5-8] и в этом же году был актуализирован
основный отечественный документ по обработке результатов многократных измерений, касающийся оценивания погрешности измерений [3], который заменил ГОСТ 8.207. Подчеркнем, что в Дополнениях к Руководству по выражению неопределенности измерений [7,8]
и особенно во Введении к нему [5], которые появились после основного документа [6], нет противопоставления понятий «погрешность
измерений» и «неопределенность измерения», как это было сделано
в первом документе этой серии [6]. Это справедливо и по отношению
к проекту новой редакции этого документа, который был распространен для обсуждения Объединенным Комитетом по Руководствам
в метрологии в конце 2014 г. и сейчас находится в стадии доработки.
Внедрение нормативных документов по неопределенности измерений в России связано, прежде всего, с выполнением требований
к калибровочным и испытательным лабораториям [4], в которых регламентированы требования к указанию и вычислению соответствующих неопределенностей. На наш взгляд, можно дискутировать
о сфере распространения неопределенности измерений [10], но в задачах калибровки эталонов и средств измерений можно констатировать, что неопределенность измерения нашла свое применение [11].
Предлагаемое методическое пособие имеет целью помочь в освоении методов оценивания неопределенности измерений. Оно содержит общие сведения о концепции неопределенности измерения и ее
обосновании, при этом акцент сделан на практическое применение
аппарата вычисления неопределенности в задачах калибровки эталонов и средств измерений. Предполагается, что студенты знакомы с теорией погрешностей, поскольку ее некоторые положения используются при обсуждении обоснования концепции неопределенности измерения и их сопоставлении.
3
1. Выражение точности измерений
1.1. Точность, правильность, прецизионность измерений.
Показатели точности измерений
Точность является основным понятием для описания качества
измерений и результатов измерений. Под точностью измерений понимают близость измеренного значения (результата измерения)
к истинному значению измеряемой величины [1, 2].
В силу несовершенства методов и средств измерений, моделей измерений, а также влияния случайных факторов результат измерения всегда является оценкой истинного значения измеряемой величины. Количественным выражением точности измерений является
погрешность измерения, ∆, определяемая как разность между измеренным значением, X, и опорным значением, Xref :
∆= X - Xref ↔ Xref= X - ∆.
В зависимости от измерительной задачи опорное значение трактуется как истинное значение или как приписанное (действительное) значение, настолько близкое к истинному значению, что может
его заменять в определенных пределах.
Соотношение (1) является основным в выражении точности измерений. Порой его называют уравнением с двумя неизвестными:
∆, Xref. Однако это ошибочное утверждение, поскольку не бывает
измерения без априорной информации, и эта априорная информация позволяет «решать» уравнение с двумя неизвестными. В задачах калибровки средств измерений, аттестации методик измерений
всегда присутствует информация об опорном значении измеряемой
величины Xref, которую обеспечивает эталон. Это позволяет, используя результаты измерений, получить информацию о погрешности измерения ∆. И, наоборот, при выполнении измерений имеется информацию о точности применяемых средств измерений
или методики измерений. Эта информация, дополненная полученными в ходе измерения данными, позволяет оценить близость измеренного значения X к истинному значению измеряемой величины, Xref.
Погрешность измерений является суммой составляющих, которые соответствуют различным факторам, влияющим на результат и
точность измерений, и по-разному проявляются в конкретном измерении. По характеру проявления погрешности делятся на систематические, которые остаются неизменными или закономерно изме4
няющимися в ходе измерения, и случайные, которые изменяются
непредсказуемым образом.
В метрологии для выражения качества измерений применяют
совокупность общих и частных понятий: точность, правильность,
сходимость, воспроизводимость, повторяемость, совместимость результатов измерений, прослеживаемость результата измерения.
Для того, чтобы понять взаимосвязь перечисленных понятий и
в дальнейшем избежать неоднозначного толкования основных терминов, необходимо дать их определения.
Точность измерения – качество измерения, отражающее близость его результата (измеренного значения) к истинному значению
измеряемой величины.
Правильность измерения – качество измерения, отражающее
близость к нулю систематических погрешностей измерения.
Прецизионность (сходимость) измерений – качество измерений,
отражающее близость друг к другу повторных результатов измерений в определенных условиях. При получении количественных характеристик прецизионности измерений необходимо детально оговаривать условия, при которых получены результаты измерения:
получены ли они в одной лаборатории, в течение короткого интервала времени и т. д., либо эти результаты получены в разных лабораториях, разными операторами и т. д. При этом повторяемость измерений характеризует близость друг к другу повторных результатов измерений, полученных в максимально идентичных условиях
(при минимальном варьировании влияющих факторов), а воспроизводимость измерений – в условиях при максимально возможном
варьировании влияющих факторов.
Взаимосвязь различных качественных характеристик измерения лучше всего пояснить на схеме (рис. 1).
Способы количественного выражения (показатели и характеристики точности) погрешности измерения приведены в табл. 1.
Точность измерения
Правильность
измерения
Прецизионность
(сходимость измерений)
Повторяемость
измерений
Воспроизводимость
измерений
Рис. 1. Понятия, относящиеся к точности измерения
5
Таблица 1
Характеристики погрешности измерения и ее составляющих
Характеристики точности
Показатели точности
Качество
измерения
Точность
измерения
Правильность
измерения
Погрешность результата
измерения z= x̂ - a
Систематическая
погрешность
результата
измерения
=
n Exˆ - a
∧
x – результат измерения
(оценка измеряемой
величины)
a – истинное значение
Характеристики погрешности
1) закон распределения
вероятностей
p(x, d0, s02, ...)
2) границы Dн < z <Dв
3) доверительные границы
(
)
P ∆(min)
< z < ∆(max)
=p
p
p
p – доверительная вероятность
Сходимость
измерений
Случайная
погрешность
результата измерения
ε= xˆ - Exˆ
∧
Ex – математическое ожидание
оценки измеряемой величины
Характеристики
систематической
погрешности:
1) поправка
(смещение) d0
2) границы
qн< n < qв
Характеристики случайной
погрешности:
1) закон распределения
вероятностей
p(x, 0, s20, ...)
2) дисперсия
s, асимметрия
m3, эксцесс m4
3) доверительные границы
(
)
P ε < ∆p = p
Для описания погрешностей измерений используется понятие
случайной величины. О применении аппарата теории вероятностей
и математической статистики подробнее будет сказано в следующем
параграфе. Для описания случайных погрешностей обычно используется центрированная случайная величина (с математическим
ожиданием, равным нулю) и основной количественной характеристикой является среднеквадратическое отклонение (СКО). Количественной оценкой систематической погрешности является поправка,
а для неисключенных систематических погрешностей устанавливают границы. Для технических измерений неисключенные систематические погрешности описываются квазислучайными величинами.
Таким образом, в зависимости от измерительной задачи суммарная
погрешность измерения описывается случайной величиной с ненулевым математическим ожиданием или случайной величиной с нуле6
вым математическим ожиданием и дисперсией, являющейся суммой
дисперсий случайной погрешности и систематической погрешности,
если последняя описывается квазислучайной величиной.
В настоящее время наравне с использованием характеристик погрешности для выражения точности измерения используется такой количественный показатель, как неопределенность измерения.
Неопределенность измерения представляется в виде стандартной
или расширенной неопределенности измерения. Приведем определения основных терминов:
Неопределенность (измерения) – параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует разброс значений, которые могут быть обоснованно приписаны измеряемой величине.
Стандартная неопределенность – неопределенность, выраженная в виде стандартного отклонения. Стандартная неопределенность обозначается как u(x).
Расширенная неопределенность – величина, задающая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как ожидается, находится большая часть распределения значений, которые
с достаточным основанием могут быть приписаны измеряемой величине. Расширенная неопределенность вычисляется для некоторой вероятности P (уровня доверия) и обозначается как UP (x).
В отличие от характеристик погрешности, которые относятся
к результату измерения, неопределенность измерения соотносится
с измеряемой величиной и описывает неточность знания этой измеряемой величины. При вычислении неопределенности измерения
также применяется теоретико-вероятностный подход, но в этом
случае случайная величина сопоставляется измеряемой величине,
чтобы описать распределение ее возможных значений. В следующем параграфе будут проанализированы теоретико-вероятностные
основы концепции неопределенности измерения, а последующие
главы посвящены вопросам вычисления неопределенности.
В заключение этого параграфа остановимся еще на двух понятиях, которые описывают качество результатов измерения: метрологическая прослеживаемость результата измерения и совместимость результатов измерений.
Понятие «совместимость результатов измерений» вводится для
группы результатов измерений (два и более). Оно определено как
свойство множества результатов измерений определенной измеряемой величины, заключающееся в том, абсолютное значение разности любой пары результатов меньше, чем некоторое выбранное
кратное стандартной неопределенности измерений этой разности.
7
Для двух результатов часто используется кратное, равное двум, подразумевая, что это условие должно выполняться с вероятностью 0,9 .
Для того, чтобы обеспечить совместимость результатов измерений необходим корректный учет всех составляющих неопределенности (или погрешности), который достигается через выполнение
поверки/калибровки средств измерений и аттестацию методик измерений. Традиционно поверочная схема описывает путь передачи
единицы величины от первичного эталона средствам измерений.
В последние годы активно используется понятие прослеживаемость
результата измерения, по сути очень близкое к передаче единицы
величины. Оно определено как «свойство результата измерения,
в соответствии с которым результат может быть соотнесен с эталоном (основой для сравнения) через документированную непрерывную цепь калибровок, каждая из которых вносит вклад в неопределенность измерения».
1.2. Методы теории вероятностей
и математической статистики (математические методы)
для оценивания точности измерений
Теоретико-вероятностный подход к оцениванию точности результатов измерений является основным в метрологии. Именно на
этом подходе базируются методы оценивания точности измерений,
регламентированные в нормативных документах по обработке результатов измерений и оценивания их точности. Традиционно задача
обоснования корректного применения тех или иных теоретико-вероятностных методов относится к ключевым задачам теоретической
метрологии. При расширении границ метрологии на новые области, такие как медицина, биология неизменно возникает вопрос,
насколько новые объекты измерений и получаемые данные могут
быть адекватно описаны в рамках традиционного теоретико-вероятностного подхода. Поэтому постоянно обсуждаются другие возможные подходы к оцениванию точности результатов измерений.
Естественно, что как всякий математический аппарат, приложенный к решению практической задачи, теоретико-вероятностный подход имеет ограничения при его применении. Кроме того теоретико-вероятностный подход часто применяется на практике в усеченном виде,
а именно широкое применение нашли лишь методы оценивания погрешностей, основанные на нормальном законе их распределения.
Остановимся конспективно на основных положениях применения теоретико-вероятностного подхода для оценивания погрешно8
сти (точности) результатов измерений. Когда говорят «оценить погрешность измерения» подразумевают оценку характеристик (показателей точности), о которых говорилось выше. Погрешность
результата измерения представляется случайной величиной, вообще говоря, с ненулевым (неизвестным) математическим ожиданием и с неизвестной дисперсией. На практике нас интересуют оценки этих параметров закона распределения погрешностей, которые
выступают характеристиками погрешности измерений. В задачах
аттестации методик измерения (МВИ), поверки средств измерений
(СИ), когда имеется значение измеряемой величины, полученное
с помощью эталона, можно получить точечную оценку математического ожидания погрешности (смещение). В определенных ситуациях можно оценить смещение и ввести поправку в результат измерения. Однако в большинстве измерений оценивают границы суммарной погрешности результата измерений и дисперсию результатов
измерений (показатели прецизионности).
Основным принципом оценивания характеристик погрешности
результата измерения является раздельное оценивание систематических и случайных погрешностей. Обычно при оценивание случайных и систематических погрешностей используют и разные характеристики: границы для систематических погрешностей и СКО
для случайных погрешностей.
Если при оценивании случайных погрешностей применение теоретико-вероятностного подхода строго обосновано, то при оценивании систематических погрешностей его применение требует дополнительной априорной информации, которая позволила бы обосновать те или иные допущения. Если никакой априорной информации
нет, то надежной оценкой границ систематической погрешности результата измерения является арифметическая сумма границ ее составляющих (так называемая оценка сверху). Обычно принято такой способ оценивания погрешности называть арифметическим.
Однако в основополагающих документах по оцениванию погрешностей принят квазистатистический (геометрический) способ
суммирования систематических составляющих погрешностей. Для
суммарной систематической погрешности устанавливаются доверительные границы. Правомерность такого подхода неоднократно
обсуждалась и подытоживая сказанное можно привести следующие обоснования его применения:
– маловероятен тот случай, что при суммировании систематических погрешностей, все систематические погрешности окажутся
равными своим границам;
9
– следует различать априорное и апостериорное оценивание характеристик погрешности. При апостериорном оценивании вычисляют характеристики погрешности конкретного результата измерений. В этом случае возникают некоторые проблемы в обосновании
единообразного сложения «под корнем» случайных и систематических погрешностей. Этот способ характерен, прежде всего, для лабораторных измерений. При априорном оценивании, например, при
аттестации МВИ следует учитывать, что МВИ аттестуется на конкретном СИ, в конкретной лаборатории, конкретных стандартных
образцах и т. п., а результаты аттестации будут использоваться при
применении СИ данного типа, в другой лаборатории и т. д. Поэтому
можно констатировать, что при применении МВИ происходит рандомизация систематических погрешностей, что оправдывает применение геометрического способа суммирования. Априорный способ оценивания характерен, прежде всего, для технических измерений.
Наконец, возможен и другой подход для принятия геометрического способа суммирования, а именно договоренность описывать
наше незнание поведения неисключенной систематической погрешности внутри ее границ квазислучайной величиной с известным законом распределения, в частности, равномерным законом распределения. При таком подходе оправдано использование в качестве
характеристики систематической погрешности аналога СКО, приводящее к простому способу суммирования систематичских и случайных погрешностей. При этом суммарное СКО результата измерения удобно использовать в последующих вычислениях при оценке
точности, если данный результат измерения выступает как промежуточный в дальнейших измерениях.
Кратко аргументы оппонентов теоретико-вероятностного подхода могут быть сведены к следующим.
1. Необоснованность представления систематических погрешностей измерений в виде случайных погрешностей. Следовательно, необоснованность «суммирования» характеристик систематических и случайных погрешностей. Это основной аргумент авторов
концепции неопределенности.
2. Неоправданность постулирования закона распределения погрешностей (как правило, нормального) без возможности на практике проверить его адекватность.
3. Невозможность «стыковки» теоретико-вероятностного подхода с другими подходами, используемые при машинной обработке
данных, что становится непреодолимым препятствием при создании интеллектуальных средств измерений.
10
Подробнеее остановимся на каждом из перечисленных аргументах.
1. Первый аргумент относится к представлению неисключенных
систематических погрешностей в виде случайных величин и использования для их суммирования методов теоретико-вероятностного подхода. Выше было сказано, что без привлечения дополнительной априорной информации такое представление неправомерно
и оговорены случаи, когда такой подход оправдан. По сути, именно строгий подход к решению данной проблемы и породил наличие
двух способов суммирования составляющих погрешности: геометрический и арифметический. Еще раз подчеркнем, что когда говорится о законе распределения неисключенных систематических погрешностей, то подразумевается, что возможна реализация такого
эксперимента, в котором систематические погрешности будут выступать в качестве случайных величин и, соответственно, иметь закон распределения.
2. Второй аргумент, вообще говоря, некорректен. В метрологической практике нет постулирования нормального закона распределения случайных погрешностей. Действительно, наибольшее распространение получили методы оценивания случайных погрешностей, базирующиеся на нормальном законе. Но это, прежде всего,
объясняется их простотой и универсальностью. Справедливости
ради следует отметить, что развиваются методы применения непараметрических статистик в метрологии. Кроме того, строго говоря, нет постулирования никакого закона распределения, поскольку
в статистике имеются процедуры проверки непротиворечивости того или иного закона распределения реальным данным.
3. Третий аргумент связан с извечной проблемой расширения
границ классической метрологии и измерениями в различных шкалах. В общем случае состояние объекта измерения может характеризоваться несколькими величинами, значения которых получают
в результате измерений. Важно, что эти величины, с одной стороны, оказывают влияние друг на друга, а, с другой, могут измеряться в разных шкалах. Таким образом, возникает проблема обработки
разнородной информации. Ясно, что поскольку абсолютная шкала
оказывается слишком жесткой для всех величин, то и теоретиковероятностный подход оказывается неприемлемым в общем случае.
Осознание этого факта и побуждает в данном случае искать адекватный математический аппарат.
Известны две альтернативы теоретико-вероятностному подходу:
интервальная арифметика и теория нечетких множеств. В интер11
вальной арифметике основным понятием является интервал, для
которого определены операции, аналогичные операциям над числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Интервальное
представление числа естественно при анализе погрешностей выполнения вычислений. В метрологической практике интервальная
арифметика не нашла широкого применения, хотя справедливости
ради надо отметить, что арифметический способ суммирования составляющих погрешности, по сути, является реализацией интервальной арифметики. Однако при нетривиальной обработке экспериментальных данных и большом числе составляющих погрешности ее применение приводит к настолько завышенным оценкам
границ погрешности, что становится бессмысленным.
Критика теоретико-вероятностного подхода применительно
к представлению и обработке экспериментальных данных при измерениях стимулирует его развитие. Возрастает внимание к обоснованию правомерности принятия тех или иных моделей при обработке
результатов измерений и оцениванию влияния неадекватности модели на погрешность результата измерения. Для исследования влияния различных алгоритмов обработки данных (моделей) на точность результата измерения во ВНИИМ им. Д. И. Менделеева была
разработана методология метрологической аттестации алгоритмов
и программ обработки данных при измерениях [17].
В качестве альтернативы теоретико-вероятностному подходу для
оценивания точности измерений также рассматривается теория
«нечетких множеств». Под нечетким множеством А множества E
понимается множество пар {x ( m A (x) )}, где x Î X, mA(x) –степень
принадлежности (функция принадлежности) x в A. Теория нечетких множеств родилась из потребностей формализации нечеткой
экспертной информации, например, в социологии или других подобных областях.
При применении аппарата нечетких множеств сложность вызывает интерпретация функции принадлежности и ее оценивание.
Постулирование того или иного вида функции принадлежности, по
сути, аналогично постулированию закона распределения при теоретико-вероятностном подходе. Эта аналогия еще более усиливается,
если принять во внимание, что наиболее содержательной интерпретацией функции принадлежности является теоретико-вероятностная, в смысле субъективной интепретации вероятности. Операции
над нечеткими множествами в некотором смысле аналогичны операциям над простыми множествами: включение, равенство, дополнение, пересечение, объединение. Дополнительно вводятся опера12
ции алгебраического произведения и алгебраического дополнения.
На сегодняшний день вопрос о выборе той или иной операции при
обработке результатов измерений остается открытым. От этой операции естественно потребовать, чтобы она приводила в определенном смысле к уточнению результата измерения, т. е. к менее размытому нечеткому множеству. Для количественного описания степени размытости вводятся индексы нечеткости, которые используют
понятие расстояния между нечеткими множествами (Евклидово
расстояние или расстояние Хемминга). Анализ основных операций
над нечеткими множествами показал, что они не ведут однозначно к возрастанию индекса нечеткости. Таким образом, можно констатировать, что на сегодняшний день нечеткие множества не могут составить конкуренцию теоретико-вероятностному подходу при
оценивании точности измерения.
Конечно, наибольшее обсуждение в последние годы вызвал альтернативный подход, связанный с вычислением неопределенности
измерений. Концепция неопределенности измерений была изложена в Руководстве по выражению неопределенности измерения
(GUM) [6], которое было подготовлено группой международных экспертов. Семь международных организаций поддержали разработку
Руководства: Международное бюро мер и весов (МБМВ); Международная электротехническая комиссия (МЭК); Международная федерация клинической химии (МФКХ); Международная организация по стандартизации (ИСО); Международный союз теоретической
и прикладной химии (ИЮПАК); Международный союз теоретической и прикладной физики (ИЮПАП); Международная организация законодательной метрологии (МОЗМ). Руководство появилось
в 1993 г., а работа над ним началась фактически в 1978 г., когда признавая отсутствие международного единства по вопросу выражения неопределенности измерения, Международный комитет по мерам и весам (МКМВ), обратился в МБМВ с просьбой рассмотреть эту
проблему совместно с национальными метрологическими институтами и подготовить соответствующий документ. Задачами этого
документа были обеспечение предоставления полной информации
о том, как получены утверждения о неопределенности измерений
и, тем самым, создание основы для международного сопоставления
результатов измерений.
В основе Руководства лежит единый подход к количественному
выражению составляющих неопределенности измерения, независимо от того, обусловлены ли они случайными или систематическими факторами. Как уже отмечалось, авторы Руководства не были
13
согласны с обоснованием суммирования характеристик случайных
и систематических погрешностей, принятом в теории погрешностей. Поэтому при разработке новой концепции авторы старались
максимально дистанцироваться от концепции погрешности измерений, подчеркивая различия в обосновании и применении теоретико-вероятностных методов к оцениванию точности измерений. Для
метрологии, как для большинства прикладных наук, важным является вопрос обоснования корректности применения того или иного формального математического аппарата. Отличие двух вышеназванных подходов (погрешности и неопределенности измерений) к
количественному выражению точности заключается в обосновании
применения понятия случайной величины для описания точности
измерений. В подходе погрешности измерений случайная величина используется для описания случайных погрешностей (частотная
интерпретация вероятности) и при дополнительных оговорках для
описания неисключенных систематических погрешностей измерений (квазислучайная величина). А в подходе неопределенности измерений понятие случайной величины используется для описания
возможных значений измеряемой величины, исходя из имеющейся
информации. Этот подход базируется на байесовской интерпретации вероятности как степени уверенности в том, что соответствующая величина находится в определенных границах, в отличие от
частотной интерпретации, которая используется в подходе погрешностей измерений.
Таким образом, неопределенность измерения понимается как
степень уверенности, отражающая неполноту знания измеряемой
величины. Понятие «уверенности» очень важно, так как именно
оно лежит в обосновании применение теоретико-вероятностного аппарата для обработки измерительной информации.
Наиболее полной формой представления неопределенности измерения является плотность распределения возможных значений измеряемой величины. На практике в большинстве случаев для количественного выражения неопределенности используют, прежде всего, стандартную неопределенность, которая является квадратным
корнем из дисперсии случайной величины, описывающей распределение возможных значений измеряемой величины. Стандартная
неопределенность – это именно та универсальная характеристика
для разнородных источников неопределенности, которая позволяет
легко их суммировать, когда необходимо вычислить суммарную неопределенность измеряемой величины. В данном случае геометрическое правило суммирования составляющих неопределенности
14
базируется на правиле суммирования дисперсий независимых случайных величин при вычислении дисперсии случайной величины,
которая является их линейной комбинацией.
В Руководстве рассмотрен случай вычисления неопределенности измерения для косвенных измерений, когда уравнение измерений допускает линеаризацию. Именно этот случай рассматривается
и в данном учебно-методическом пособии. Но этим случаем не ограничиваются все задачи вычисления неопределенности измерения.
Поэтому дальнейшее развитие концепции неопределенности измерения пошло по пути разработки Приложений к Руководству, которые распространяют этот подход как на более сложные измерительные задачи (измерение векторных величин), так и дополняют аналитический способ вычисления неопределенности измерений методом
статистического моделирования (метод Монте-Карло). Кратко метод
Монте-Карло изложен в Приложении В настоящего пособия.
15
2. Вычисление неопределенности измерения
2.1. Модель измерения
Основные определения:
Модель измерения (уравнение измерения) – уравнение связи
между величинами в конкретной измерительной задаче, используемыми для получения значения выходной (измеряемой) величины
по известным значениям входных величин.
Входная величина – величина, которая должна быть измерена,
или величина, значение которой может быть иным образом получено для того, чтобы вычислить значение измеряемой величины.
Выходная величина – измеряемая величина, значение которой
вычисляется с использованием значений входных величин в модели измерений.
Достаточно часто в метрологической практике измеряемая величина Y определяется через N других величин X1, X2, …, XN, используя известную функциональную зависимость f:
Y = f ( X1, X2 ,..., XN ).
(1)
Выражение (1) называют уравнением измерения или моделью
измерения, где Y – выходная (измеряемая ) величина, а X1, X2, …,
XN, соответственно, входные величины. Выражение (1) соответствует уравнению косвенных измерений.
Прямые измерения являются частным случаем этой модели
Y = X, но даже в случае прямых измерений при высоких требованиях к точности уравнение измерений принимает вид (1) из-за введения поправок на систематические погрешности.
Входные величины X1, X2, …, XN также могут быть измеряемыми
величинами и зависеть от других величин, что усложняет вид функциональной зависимости f. Возможны измерительные задачи, когда модель измерения может определяться только экспериментально
или задаваться в виде алгоритма последовательных действий.
Входные величины X1, X2, …, XN могут быть разделены на две
группы:
- величины, значения и неопределенности которых определяют
непосредственно в текущем измерении. Эти значения и неопределенности можно получить, например, в результате многократных
измерений. Они могут включать определения поправок к показаниям приборов и поправок на влияющие величины (окружающая температура, атмосферное давление, влажность и др.);
16
- величины, значения и неопределенности которых получены
априорно. К ним относятся, например, значения аттестованных
стандартных образцов веществ и материалов, калибровочные коэффициенты используемых СИ и т. д.
Формирование уравнения измерения является исходным этапом для вычисления неопределенности измерения. Этот этап в отличие от следующих этапов плохо поддается формализованному
описанию. Формирование уравнения измерения требует знаний о
конкретном измерении и требований к результату измерения. Одному и тому же измерению могут соответствовать несколько моделей
в зависимости от дальнейшего использования результатов измерения и, соответственно, требований к ним или использования различных методов измерения.
Наиболее распространены модели измерений, когда выходная
величина является скалярной величиной. Однако существуют измерительные задачи, в которых требуется совместно рассматривать
несколько выходных величин Y1, ..., Ym , зависящих от одних и тех
же входных величин. Аналогом функции измерения (1) для произвольного числа m выходных величин являются система соотношений для m функций f1, ..., fm :
Y1 = f1 ( X1,..., XN ),
Y2 = f2 ( X1,..., XN ), …, (2)
Ym = fm ( X1,..., XN ).
Отдельный класс моделей составляют так называемые модели
многоступенчатого (многошагового) измерения, в которых выходные величины предыдущего шага становятся входными величинами для последующих шагов.
Типичным примером является модель в задаче построения
и применение калибровочной характеристики:
I этап. На основе экспериментальных данных {xi , yi } где xi –
значения, воспроизводимые или измеряемые с помощью эталона,
yi – показания калибруемого средства измерения (эталона),
опреде

ляют параметры калибровочной зависимости y = f k, x , где k –
вектор оцениваемых параметров калибровочной зависимости известного (заданного) вида. Итогом первого этапа являются оценки
параметров калибровочной
зависимости и соответствующие нео

пределенности: k, u k .
II этап. По показанию средства измерения, yˆ, обращая зависи
мость f, получают значения измеряемой величины: xˆ = f -1 kˆ, yˆ .
(
)
()
( )
17
При вычислении неопределенности измеряемой величины учитывают неопределенности параметров калибровочной зависимости
и неопределенность показания средства измерения.
Правомерность подобной модели вытекает из определения калибровки средства измерений, приведенного в VIM 3 [1]. Калибровка
определена как двухэтапная процедура, где на первом этапе определяют параметры калибровочной характеристики, сравнивая значения величин, измеренные или воспроизведенные эталонами, с соответствующими показаниями калибруемого средства измерений.
А на втором этапе показание калибруемого средства измерений преобразуют в значение измеряемой величины, используя калибровочную характеристику, полученную на первом этапе калибровки.
2.2. Вычисление стандартных неопределенностей измерения
входных величин
В дальнейшем используются следующие определения:
Оценка (неопределенности) по типу А – метод оценивания неопределенности путем статистической обработки ряда наблюдений.
Оценка (неопределенности) по типу В – метод оценивания неопределенности способом, отличным от статистической обработки.
Суммарная стандартная неопределенность – стандартная неопределенность результата измерения, полученного через значения
других величин, равная положительному квадратному корню из
взвешенной суммы дисперсий в соответствии с тем, как результат
измерения изменяется при изменении этих величин.
Бюджет неопределенности – отчет о неопределенности измерения, о ее компонентах, об их вычислении и суммировании.
Примечание. Бюджет неопределенности должен включать в себя модель измерения, оценки, неопределенности измерения, связанные с величинами в модели измерения, ковариации, тип применяемых функций плотности распределения вероятностей, числа
степеней свободы, тип оценивания неопределенности измерения и
коэффициент охвата.
Оценивание неопределенности по типу А
Оценивание стандартной неопределенности по типу А применяется, когда имеются результаты m независимых измерений одной
из входных величин Xi , i = 1,..., n, проведенных в одинаковых усло18
виях: xi1,..., xim . В качестве значения xi этой величины принимают среднее арифметическое значение:
x=
i x=
i
1 m
∑ xij ;
m j =1
стандартную неопределенность вычисляют по формуле выборочного СКО среднего арифметического значения:
=
u(xi ) u=
A (xi )
m
1
(xij - xi )2 .
∑
m(m - 1) j =1
Если число независимых измерений m входной величины мало
(меньше 10), а процесс ее измерения хорошо изучен и находится под
статистическим контролем, то априорная оценка дисперсии si (СКО
повторяемости результатов измерений), полученная в результате
обработки большого массива предыдущих измерений, будет более
надежной оценкой. В этом случае рекомендуется следующая оценка стандартной неопределенности:
si
=
u(xi ) u=
.
A (xi )
m
Оценивание неопределенности по типу В
Исходными данными для оценивания значения величины и ее
стандартной неопределенности по типу В является следующие источники априорной информации:
– данные предыдущих измерений этой величины, содержащиеся в протоколах измерений, свидетельствах о калибровках/поверках или других документах;
– нормы точности измерений, указанные в технической документации на методы измерений и СИ;
– значения констант и справочных данных и их неопределенности;
– сведения о предполагаемом распределении значений величины,
имеющиеся в технических отчетах и литературных источниках;
– опыт исследователя или знание общих закономерностей, которым подчиняются свойства применяемых материалов или приборов.
Различают следующие случаи оценивания по типу .
Если известно только одно значение xi величины Xi , например,
результат однократного измерения, поправка или справочное данное, то такое значение принимают в качестве оценки xi . Оценку
19
стандартной неопределенности uB (xi ) находят следующим образом:
– если известна оценка стандартной неопределенности u(xi ), то
uB (xi ) = u(xi );
– если известны расширенная неопределенность U (xi ) и коэффициент охвата k, то стандартную неопределенность вычисляют по
формуле:
U (xi )
uB ( xk ) =
.
k
Если коэффициент охвата не указан, то принимают:
–  k = 1,73, если имеются основания предполагать равновероятное распределение возможных значений в границах U (xi ) (например, в результате округления результата измерений);
–  k = 2, если имеются основания предполагать нормальное распределение возможных значений, и оценка U (xi ) соответствует вероятности охвата 0,95 (например, она получена при аттестации рабочих эталонов, для которых в соответствии с ГОСТ 8.061-80 установлена доверительная вероятность 0,95);
–  k = 2,6, если имеются основания предполагать нормальное распределение возможных значений, и оценка U (xi ) соответствует вероятности охвата 0,99 (например, она получена при аттестации первичных и вторичных эталонов, для которых в соответствии с ГОСТ 8.06180 и ГОСТ 8.381-80 установлена доверительная вероятность 0,99);
–  k = 3, если имеются основания предполагать нормальное распределение возможных значений, и оценка U (xi ) является пределом допускаемых значений параметра, установленным в нормативной документации (например, пределом допускаемой погрешности
измерений);
–  k = 2 во всех остальных случаях при отсутствии информации
о виде распределения.
Если оценка стандартной неопределенности неизвестна, ее следует рассчитать на основе имеющейся априорной информации или
оценить экспериментально.
Если могут быть оценены только верхняя a+ и нижняя a- границы возможных значений величины Xi (например, пределы допускаемой погрешности СИ, область изменения температуры, погрешность округления или отбрасывания), то для ее значений принимают равномерное распределение. В этом случае
a+ - a1
.
xi = ⋅ (a+ + a- ), uB (xi ) =
2 3
2
20
2.3. Вычисление стандартной неопределенности
выходной величины
Значение выходной величины вычисляют по формуле (1), подставляя значения входных величин. При оценивании соответствующей неопределенности придерживаются следующего алгоритма
действий.
Рассчитывают вклад неопределенности каждой входной величины, ui (y), в неопределенность измерения выходной величины Y по
формуле:
ui (y=
) ci ⋅ u(xi ),
где ci – коэффициент чувствительности входной величины Xi ,
выражающий степень ее влияния на изменение выходной величины
Y. Он равняется частной производной функции f ( X1, X2 ,..., XN ) по
Xi , вычисленной при значениях входных величин, равных их наилучшим оценкам (x1, ..., xN ) :
ci =
∂f ( x1,..., x n )
∂xi
.
Если уравнение измерений не удается записать в явном виде, по
крайней мере, относительно некоторых входных величин, то соответствующие коэффициенты чувствительности ci могут быть оценены экспериментально как разность значений выходной величины
при варьировании значений входной величины по формуле:
ci =
y(x1,..., xi + u(xi ),..., xn ) - y(x1,..., xi - u(xi ),..., xn )
.
2u(xi )
При некоррелированных оценках входных величин суммарную
стандартную неопределенность результата измерений вычисляют
по формуле:
u(y) =
n
∑ ui2 (y).
i =1
Если уравнение измерений представляет собой алгебраическую
сумму некоррелированных слагаемых, каждое из которых зависит
от одной входной величины
F (X1,..., Xn=
)
n
∑ φi (Xi ),
i =1
21
то оценка выходной величины равна:
n
∑ φi (xi ),
=
y
i =1
а ее абсолютная суммарная стандартная неопределенность u(y) =
n
∑(
i =1
∂φi (xi ) 2 2
) u (xi ).
∂xi
В частном случае, при ϕi (Xi )= pi Xi , i= 1,..., n формула принимает вид:
n
∑ pi2u2 (xi ).
u(y) =
i =1
Если уравнение измерений представляет собой произведение
некоррелированных слагаемых, каждое из которых зависит от одной входной величины
F (X1,..., Xn=
)
n
∏ φi (Xi ),
i =1
то оценка выходной величины равна
n
∏ φi (xi ),
=
y
i =1
а ее относительная суммарная стандартная неопределенность –
urel=
(y)
u(y)
=
y
n
∑
i =1
(
∂φi (xi )
)φ
2
∂xi
u2 (xi )
2
i (xi )
.
p
В частном случае, при φi (Xi ) = Xi i , i = 1,..., n формула примет
вид:
n
2
(xi ).
∑ pi2urel
urel (y) =
i =1
Если оценки входных величин коррелированны, то суммарную
стандартную неопределенность результата измерений вычисляют
по формуле:
=
u(y)
22
n
∑ ui2 ( y ) +
=i 1
n
∑
i,=j 1, i ≠ j
(
)
( )
cij r xi , xj u ( xi ) u xj ,
(3)
=
где   cij
∂f ( x1,..., x n ) ∂f ( x1,..., x n )
u(xi , xj )
⋅
и r (xi , xj ) =
– коэф∂xi
∂xj
u(xi )u(xj )
фициент корреляции величин xi и xj , а u(xi , xj ) – ковариация величин xi и xj .
Следует иметь в виду, что в (3) слагаемые второй суммы под корнем могут быть отрицательными.
Если выполняют многократные измерения
i-ой и j-ой входных
n
согласованных измерений
величин и получают n пар xis , xjs
s =1
величин xi и xj , ковариацию этих величин оценивают по формуле
{
u(x=
i , xj )
}
n
1
(xis - xi )(xjs - xj ).
∑
n(n - 1) s=1
Следует подчеркнуть, что корреляцию входных величин в концепции неопределенности измерения трактуют, прежде всего, как
«логическую корреляцию», т. е. корреляцию, вызванную тем, что
в неопределенностях измерений входных величин могут быть вклады, обусловленные неизменными систематическими погрешностями (метод измерения, средство измерения, справочные данные
и т. д.). Например, если входные величины X1 и X2 зависят от взаимно независимых переменных Ql (l = 1,..., L), их оценки
x1 = g1 (q1, q2 ,..., qL ) и x2 = g2 (q1, q2 ,..., qL ) коррелированы и ковариация этих оценок равна
L
u(x1, x2 ) = ∑ c1l c2l u2 (ql ),
l =1
где c1l , c2l – коэффициенты чувствительности величин X1 и X2
к значениям переменных Ql (l = 1,..., L).
Так как в сумму вклад вносят только слагаемые, коэффициенты
чувствительности которых не равны нулю, то ковариация будет
равна нулю, если функции g1 и g2 не имеют общих переменных.
Если коэффициенты корреляции неизвестны, то оценка сверху
суммарной стандартной неопределенности измерения задается формулой:
u2 (y) ≤ (| u1 (y) | + | u2 (y) |)2 + ur2 (y),
где ur (y) – вклад в стандартную неопределенность измеряемой величины остальных входных величин, которые считаются некоррелированными.
23
Корреляцию двух входных величин допускается принимать равной нулю или рассматривать как пренебрежимо малую, если:
– эти величины являются независимыми друг от друга (например, если они наблюдались многократно, но не одновременно, в различных, независимых один от другого экспериментах);
– одна из этих величин может рассматриваться как константа;
– не имеется никаких причин для корреляции между этими величинами.
Иногда корреляции могут исключаться с помощью подходящего
представления уравнения измерения или организации измерительного эксперимента (метод приведения).
2.4. Составление бюджета неопределенности измерения
Под составлением бюджета неопределенности понимается краткое формализованное изложение процедуры оценивания неопределенности измерения. Такая унифицированная схема наглядна.
Она позволяет легко проверить процедуру вычисления неопределенности, сравнить ее с аналогичными вычислениями в другой лаборатории.
Представление бюджета неопределенности включает описание
уравнения измерения и составляющих неопределенности в виде
таблицы.
Таблица 2
Бюджет неопределенности
1
Величина
2
Оценка
3
4
5
6
Стандартная
неопределенность
Тип оценивания/
закон
распределения
Коэффициент
чувствительности
Вклад в суммарную
стандартную неопределенность
Xi
xi
u(xi )
А (В)
…
…
…
…
…
…
…
Y
y = f (x1 , ..., xn )
u(y)
24
…
ci =
∂f
∂xi
ui =
(y)
…
…
∂f
∂xi
⋅ u(xi )
…
…
u(y) =
n
∑ ui2 (y)
i =1
В столбце 1 перечисляют входные величины уравнения измерения.
В столбце 2 перечисляют оценки входных величин, полученные
либо в результате измерений, либо на основе использования другой
информации.
В столбце 3 приводят значения стандартной неопределенности
этих оценок.
В столбце 4 указывают тип оценивания неопределенности. При
необходимости приводят предполагаемый закон распределения
оценки. Например, если оценка величины получена по результатам
многократных измерений, то, как правило, предполагается нормальный закон распределения ее значений и тип оценивания А.
В столбце 5 приводят коэффициенты чувствительности входных
∂f
величин ci =
.
∂xi
В столбце 6 указываются значения вкладов входных величин
∂f
⋅ u(xi ) в суммарную стандартную неопределенность u(y)
ui=
(y)
∂xi
(произведение значений столбца 3 и модуля значения из столбца 5).
В последней строке таблицы приводят результат измерения y и
соответствующую стандартную неопределенность u(y). Все значения величин, приведенные в таблице, должны включать обозначения единиц этих величин.
2.5. Вычисление расширенной неопределенности измерения
(выходной величины)
Расширенная неопределенность измерения, U (y), равна произведению стандартной неопределенности u(y) измерения выходной
величины y на коэффициент охвата k:
U (y) = ku(y).
Вычисление коэффициента охвата k требует знания закона
распределения выходной величины. На практике эта информация,
как правило, отсутствует. Для простых линейных моделей, когда
известно, что распределения входных величин нормальны, распределение выходной величины будет также нормальным.
Если имеются основания полагать нормальное распределение вероятностей измеряемой величины y, коэффициент охвата принимают равным k = 2 для вероятности 0,95 и k = 3 для вероятности 0,99.
При этом расширенная неопределенность результата измерения
25
примерно соответствует вероятности охвата 0,95 и 0,99 соответственно. Нормальный закон распределения обычно принимается
в ситуации, когда имеется много входных величин и их соответствующие вклады в суммарную неопределенность сопоставимы.
Если среди вкладов неопределенности доминирующим является
N
∑ ui (y)2
i ≠m
≤ 0,3, и этому вклаum ( y )
ду соответствует равномерный закон распределения, то соответствующий коэффициент охвата вычисляется по формуле:
один, um (y), т. е. выполнено условие
k( p) = p 3
Таким образом, для вероятности охвата p = 0.95, соответствующий коэффициент охвата составляет k =1, 65.
Если среди источников неопределенности присутствуют два доминирующих вклада, u1 (y), u2 (y), причем относительно их предполагаются равномерные законы распределения, то распределение
выходной величины будет трапецеидальным. Отметим, что при равенстве границ равномерных распределений этих двух величин распределение выходной величины будет треугольным. В этом случае
коэффициент охвата для вероятности Р вычисляется по формуле:
k( p)
6
 u -u
1 +  1 2
 u1 + u2
2





u -u 
p ×  1 + 1 2 

u1 + u2 



2
×
2


1 - (1 - p)  1 -  u 1 -u2  

  u1 + u2  



u -u
p
< 1 2
2 - p u1 + u2
u 1 -u2
u1 + u2
≤
.
p
2- p
Значения коэффициента охвата k для вероятности 0.95 изменяu 1 -u2
ются в диапазоне от 1.9 до 1.65 при изменении отношения
u1 + u2
от 0 до 1.
В тех случаях, когда отсутствует информация о виде распределения неопределенности измеряемой величины, часто в целях унификации рекомендуется принимать коэффициент охвата, равным:
–  k = 2, и считать, что при этом расширенная неопределенность
результата измерения будет примерно соответствовать вероятности охвата 0,95;
26
–  k = 3, и считать, что при этом расширенная неопределенность
результата измерения будет примерно соответствовать вероятности охвата 0,99.
2.6. Представление результата измерения
Если измерения проводятся по аттестованной методике измерений, то информация об измерении, включая уравнение (модель) измерения, способ оценивания неопределенности содержится в этой
методике или в свидетельстве о ее аттестации. В этом случае результат измерения представляется в соответствии с требованиями данной методики измерений. Для прямых измерений источником для
вычисления неопределенности измерения являются метрологические характеристики используемого средства измерений: предел допускаемой погрешности измерения или инструментальная неопределенность.
В других случаях необходимо дать наиболее полную информацию о расчете неопределенности измерения, которая позволяла бы
проверить эти расчеты и использовать представленное значение неопределенности в дальнейших расчетах. В частности, следует указать метод измерения, алгоритм получения результата и источники
неопределенности, включая доступную информацию для количественного выражения неопределенности.
При представлении результата измерения необходимо указать,
какая (стандартная или расширенная) неопределенность приведена. Если приводится расширенная неопределенность, то следует
указать значение коэффициента охвата и соответствующую вероятность.
Если указывается расширенная неопределенность U = kuc (y), то
результат измерения приводится в виде Y= y ± U с указанием единиц измерений для y и U. При необходимости указывают относительную (приведенную) расширенную неопределенность U y .
Оценки y и стандартной неопределенности uc ( y ) или расширенной неопределенности U не следует приводить с избыточной точностью. Для uc ( y ) и U достаточно указывать две значащие цифры,
а в промежуточных расчетах для стандартных неопределенностей
u ( xi ) входных оценок xi следует сохранять больше значащих
цифр, чтобы избежать погрешностей округления в последующих
расчетах.
27
2.7. Схема вычисления неопределенности измерения.
Закон трансформирования неопределенностей измерений
Краткое описание процедуры оценивания и представления неопределенности измерений представлено в виде последовательности
шагов на рис. 2.
Шаги со второго по четвертый включительно относятся к так называемому «закону трансформирования неопределенностей», который устанавливает как, зная стандартные неопределенности входных величин и модель измерения, рассчитать стандартную неопределенность выходной величины.
Шаг I . Выражают связь между измеряемой величиной Y
и входными величинами Xi , от которых она зависит, в виде функ-
Шаг I. Формализованное представление уравнения/модели измерения
Y = f ( X1 ,... Xn )
Внесение поправок, вычисление оценок
x1 , ..., xn
Вычисление оценки измеряемой величины
y = f (x1 ,... xn )
Шаг II. Вычисление стандартных неопределенностей
входных величин u(xi) i = 1, …, n
Шаг III. Вычисление суммарной стандартной
неопределенности измерения
• Вычисление вкладов в суммарную неопределенность,
∂F
обусловленных входными величинами, ui ( y ) =
⋅ u ( xi )
∂xi
n
• Суммирование вкладов u ( y) =
∑ ui2 (y)
i =1
Шаг IV. Вычисление расширенной неопределенности
U ( y) = ku ( y) для уровня доверия p
Шаг V. Представление результата измерения Y = y ± U
Рис. 2
28
циональной зависимости Y = f ( X1, X2 , ..., Xn ) . Функция f должна
содержать все величины, включая поправки и поправочные коэффициенты, которые могут существенно повлиять на неопределенность результата измерения.
Получают оценку xi входной величины Xi либо на основе статистического анализа ряда наблюдений, либо вычислением соответствующей поправки, либо другими способами.
Вычисляют оценку измеряемой величины, т. е. находят оценку y
выходной величины по функциональной зависимости f, используя
в качестве аргументов Xi соответствующие оценки xi .
Шаг II. Оценивают стандартную неопределенность u ( xi ) каждой входной величины Xi . Для входной оценки, полученной из статистического анализа ряда наблюдений, стандартную неопределенность получают оцениванием по типу А. Для входной оценки, полученной другими способами, стандартную неопределенность
получают оцениванием по типу В.
Если среди входных величин есть коррелированные между собой, то оценивают их ковариации.
Шаг III. Определяют суммарную стандартную неопределенность
uc ( y ) результата измерения y по стандартным неопределенностям,
сначала вычисляя вклад неопределенности каждой входной величины в суммарную неопределенность. Составление бюджета неопределенности в виде соответствующей таблицы в основном выполняется именно на этом этапе.
Шаг IV. Вычисляют расширенную неопределенность измерения.
Расширенная неопределенность U для уровня доверия p задает интервал от y - U до y + U , в пределах которого, предположительно,
находится большая часть ( p × 100%) распределения значений, которые можно с достаточным основанием приписать измеряемой величине Y. Для вычисления расширенной неопределенности суммарную стандартную неопределенность uc (y) умножают на коэффициент охвата k, обычно принимающий значения в диапазоне
от 2 до 3, чтобы получить значение U по формуле U = kuc (y). Обоснованно установить значение k можно только в том случае, если
известен закон распределения выходной величины. В остальных
случаях можно либо дать оценку сверху либо пользоваться значениями k, выбранными по соглашению (обеспечивающими уровень доверия, близкий к заданному).
Шаг V. Представляют результат измерения как оценку измеряемой величины y вместе с соответствующей стандартной неопределенностью uc (y) или расширенной неопределенностью U.
29
3. Вычисление неопределенности измерения
при калибровке
3.1. Метрологические характеристики,
устанавливаемые при калибровке
Калибровка средств измерений – совокупность операций, устанавливающих соотношение между значением величины, полученным с помощью данного средства измерений, и соответствующим
значением величины, определенным с помощью эталона, с целью
определения действительных метрологических характеристик калибруемого средства измерений.
При калибровке происходит передача единицы величины, воспроизводимой и/или хранимой эталоном, менее точному эталону или СИ
(далее – калибруемому СИ), путем определения соотношения между
значениями величины, полученными с применением эталона, и соответствующими показаниями калибруемого СИ. В последующем, при
применении СИ по назначению, это соотношение используется для
преобразования показаний СИ в результаты измерений.
В качестве метрологических характеристик могут выступать
значения мер, погрешность (систематическая) измерительных приборов, калибровочная характеристика, отклонения от номинальных значений калибровочных характеристик СИ и др. При выполнении калибровки СИ метрологические характеристики указываются с соответствующими неопределенностями.
Действительное значение однозначной меры, определенное при
калибровке, указывают новым значением или поправкой к номинальному значению или значению, приписанному мере при ее предыдущей калибровке.
При калибровке многозначных мер указывают совокупность новых значений или поправок (аддитивных или мультипликативных)
для всех калибруемых точек диапазона.
Калибровочную характеристику измерительного прибора (ИП)
указывают в форме таблицы или функции. Если показания ИП
имеют размерность измеряемой величины, то наиболее общим способом представления калибровочной характеристики является задание в виде таблицы согласованных пар значений измеряемой величины xi , i = 1,..., n и поправок к показаниям ИП.
В тех случаях, когда единицы показаний ИП отличны от единиц
измеряемой величины, калибровочная характеристика задается
параметрической функциональной зависимостью показаний ИП от
30
значений измеряемой величины. В этом случае калибровка ИП заключается в оценивании параметров такой функции на основе значений,
получаемых с помощью эталонного СИ, и соответствующих показаний калибруемого ИП. Частным случаем калибровочной функции является линейная зависимость, проходящая через ноль, когда единственным оцениваемым параметром является калибровочный коэффициент K (y = Kx). Калибровочная характеристика может быть
также задана поправками (аддитивной и/или мультипликативной)
к приписанной (номинальной) калибровочной характеристике ИП.
Определяемые при калибровке метрологические характеристики, как правило, являются выходными величинами в модели/уравнении измерения.
При необходимости в процессе калибровки могут быть определены и другие метрологические характеристики СИ, например, такие, как:
– нестабильность калибровочной характеристики СИ;
– СКО показаний ИП в условиях повторяемости, характеризующее случайный разброс показаний в нормальных условиях при калибровке;
– нелинейность калибровочной функции.
3.2. Модель измерения при калибровке.
Источники неопределенности
При калибровке уравнение измерения выражает зависимость
определяемой метрологической характеристики СИ (выходной величины Y) от всех других величин Xi , влияющих на получение
оценки этой метрологической характеристики:
Y = F (X, X1,..., Xn ).
При калибровке многозначных мер или ИП в нескольких точках
шкалы уравнение преобразуется в систему уравнений:
 Y1 = F1 (X, X1,..., Xn1 )

...................................... .
 Y = F (X, X ,..., X )
m
m
1
nm

В качестве выходной величины в уравнении измерений при калибровке может быть:
– значение калибруемой меры или его отклонение от номинального значения;
31
– систематическая погрешность/погрешность ИП в фиксированной точке шкалы измерений;
– отклонение показания ИП от номинальной калибровочной характеристики;
– значение калибровочной характеристики в точке диапазона;
– калибровочные коэффициенты ИП;
– другие метрологические характеристики СИ.
Если при калибровке оценивают стабильность значения меры,
в качестве выходной величины принимают изменение значения меры за определенный интервал времени, равное разности двух результатов измерений значений меры.
Входными величинами уравнения измерений при калибровке
являются величины, влияющие на результат определения метрологической характеристики СИ и его неопределенности, в частности:
–  X – измеряемая величина на входе калибруемого ИП, значение которой определяется с помощью эталонного СИ или эталонной
меры, используемых при калибровке;
–  X1,..., Xn – влияющие величины, значения которых либо
непосредственно измеряются, либо являются справочными данными, установленными константами и др.
При составлении уравнения измерений необходимо учитывать
следующую доступную информацию:
– номинальную калибровочную функцию калибруемого ИП;
– действительную калибровочную функцию эталонного ИП;
– априорно известный вид функций влияния и поправок;
– любую другую информацию, которая позволяет уточнить
уравнение измерений.
Уравнение измерения всегда является некоторым приближением зависимости выходной величины от входных, конкретный вид
которого определяется требованиями к точности определения метрологической характеристики при калибровке.
Формализованная запись уравнения измерений всегда требует
знаний конкретной области измерений и учета метода измерений,
используемого при калибровке. Методы калибровки кратко охарактеризованы в табл. 3.
Основными источниками неопределенности при калибровке являются составляющие неопределенности, которые обусловлены:
– применяемыми эталонными средствами измерений, включая:
– неопределенностью калибровочных характеристик ИП и действительных значений мер;
32
Таблица 3
Методы измерений, применяемые при калибровке средств измерений
Метод прямых
измерений
Метод сличения
Метод
косвенных
измерений
При этом методе значения
калибруемой
меры оценивают с помощью эталонного ИП
Метод сличения с эталонной мерой при помощи
компаратора имеет две
разновидности:
1. Дифференциальный
метод измерений, при
реализации которого
оценивают разность размеров величин, хранимых
калибруемой и эталонной
мерами;
2. Метод замещения, при
реализации которого с помощью ИП, исполняющего роль компаратора, последовательно определяют
значения калибруемой и
эталонной мер и находят
их соотношение
При этом методе
значения меры
находят на основе известной
зависимости
величины, воспроизводимой
мерой, от других
непосредственно измеренных
величин
Калибров- Методом
ка ИП
прямых
измерений,
при котором
с помощью
калибруемого
ИП измеряют значения
многозначной
эталонной
меры или
набора однозначных эталонных мер
Методом сличения с эталонным ИП. Метод сличения с эталонным ИП имеет
две разновидности:
1. Метод сличения при помощи эталона сравнения
(многозначной меры или
набора однозначных мер);
2.Метод непосредственного сличения калибруемого
ИП с эталонным ИП
Метрологические характеристики
устанавливают
в результате
совместных или
совокупных измерений
Калибровка однозначных
и многозначных
мер
– нестабильностью калибровочных характеристик ИП и действительных значений мер;
– нелинейностью калибровочной характеристики ИП;
– случайными погрешностями эталонных, калибруемых средств
измерений и методик калибровки;
33
– методом измерений при калибровке, включая алгоритм оценивания параметров калибровочной функции;
– поправками на отклонения от нормальных условий;
– округлением результата измерений;
– интерполированием табличных данных.
Таким образом, неопределенность измерений при калибровке
определяется двумя основными составляющими, которые могут
быть результатом действия ряда факторов, – неопределенностью
измерений, обусловленной эталоном, и неопределенность, обусловленной методом передачи единицы величины. Достаточно часто
в методе передачи преобладает случайная составляющая, включающая и вклад эталона, и вклад калибруемого средства измерений,
которые не удается отделить от других источников случайного разброса. Сказанное иллюстрирует увеличение неопределенности при
передаче единицы по поверочной схеме (или иерархической схеме
калибровок).
3.4. Представление результатов калибровки
Результаты калибровки мер могут быть представлены одним из
перечисленных ниже способов:
– действительное значение однозначной меры и соответствующая расширенная неопределенность с указанием коэффициента охвата;
– отклонение действительного значения однозначной меры от
номинального значения (или предыдущего значения калибровки)
и соответствующая расширенная неопределенность с указанием коэффициента охвата;
– для многозначных мер – набор действительных значений мер и
соответствующие расширенные неопределенности с указанием коэффициента охвата;
– для многозначных мер – отклонения действительных значений от номинальных значений (или значений предыдущих калибровок) и соответствующие расширенные неопределенности с указанием коэффициента охвата.
Результаты калибровки ИП могут быть представлены одним из
перечисленных ниже способов:
– таблица показаний ИП в каждой калибруемой точке диапазона измерений и соответствующие расширенные неопределенности с
указанием коэффициента охвата;
34
–  таблица поправок к показаниям ИП в каждой калибруемой
точке диапазона измерений и соответствующие расширенные неопределенности с указанием коэффициента охвата;
– таблица поправок к номинальной характеристике ИП в каждой калибруемой точке диапазона измерений и соответствующие
расширенные неопределенности с указанием коэффициента охвата;
– калибровочный коэффициент ИП и его расширенная неопределенность с указанием коэффициента охвата;
– калибровочная функция и расширенная неопределенность
в каждой точке диапазона измерений или параметры калибровочной функции и соответствующие им неопределенности.
По результатам калибровки при необходимости (по желанию заказчика калибровки) может быть сделан вывод о соответствии калибруемого СИ установленным метрологическим требованиям,
в частности – пределу допускаемой погрешности измерений, или отнесения CИ к определенному классу. Ниже этот момент обсуждается применительно к калибровке гирь.
35
4. Примеры вычисления
неопределенности измерения при калибровке
В настоящем разделе рассмотрены примеры вычисления неопределенности измерения, заимствованные из документа EA 4/02/
«Выражение неопределенности измерений при калибровке», целью
которого является гармонизации методов по оцениванию неопределенности измерений в Европейской ассоциации по аккредитации
(ЕА) [12]. Примеры упрощены, некоторые из них снабжены комментариями. Выбор в качестве примеров вычисления неопределенности задач калибровки обусловлен тем, что в России вычисление
неопределенности получило наибольшее распространение именно
в задачах калибровки средств измерений, где расчет и указание неопределенности измерений в сертификатах калибровки регламентированы ГОСТ Р ИСО 17025 «Требования к калибровочным и испытательным лабораториям».
Как показывает опыт разработки и валидации методик калибровки наибольшие сложности возникают при формализованном
представлении модели измерения, поэтому рассмотрение конкретных, но довольно типичных примеров будет способствовать освоению этого материала.
Каждый пример излагается в соответствии с общей пошаговой
схемой, обсуждаемой в разделе 2 .
Шаг I. Построение модели измерения. Вычисление входных
и выходной величин.
Шаг II. Оценивание стандартных неопределенностей входных
величин.
Шаг III. Оценивание суммарной стандартной неопределенности
выходной (измеряемой) величины. Составление бюджета неопределенности в виде соответствующей таблицы.
Шаг IV. Вычисление расширенной неопределенности измерения.
Шаг V. Представление результата измерения.
4.1. Калибровка гири
с номинальным значением массы 10 кг
Калибровка гири с номинальным значением 10 кг класса
M1 МОЗМ производится методом сравнения с эталонной гирей
(класс F2 МОЗМ) того же номинального значения при помощи компаратора, технические характеристики которого были предварительно определены.
36
Шаг 1. Модель измерения представима в виде следующего выражения:
mx = ms + δmD + δm + δmс + δB,
где mx – условная масса калибруемой гири (измеряемая (выходная)
величина); ms – условная масса эталонной гири; δmD – значения
дрейфа эталонной гири после ее последней калибровки; δm – наблюдаемая разность между массами калибруемой гири и эталонной;
δmс – поправка на эксцентриситет и магнитное воздействие; δB – поправка на выталкивающую силу в воздушной среде.
Шаг 2. Оценивание стандартных неопределенностей входных величин.
Для вычисления неопределенностей входных величин имеется следующая априорная информация, которая используется для
оценки стандартных неопределенностей по типу В:
– Эталонная гиря (ms): в сертификате калибровки эталонной гири приводится значение 10 000,005 г с соответствующей расширенной неопределенностью 45 мг (коэффициент охвата k = 2).
– Значение дрейфа эталонной гири (δmD): отклонение значения
эталонной гири оценено, исходя из результатов предыдущих калибровок в пределах ± 15 мг. Поправка не вводится.
– Компаратор (δm): для компаратора известно значение СКО повторных измерений разности показаний калибруемой и эталонной
гирь, 25 мг.
– Поправка на эксцентриситет и магнитное воздействие (δmс).
Установлено, что колебания вследствие эксцентриситета и магнитного воздействия находятся в пределах ±10 мг. Поправка не вводится.
– Поправка на выталкивающую силу в воздушной среде (δB).
Установлено, что колебания вследствие действия выталкивающей
силы находятся в пределах ± 1´10–6 от номинального значения
массы.
При калибровке проводятся три измерения разности между значениями масс калибруемой и эталонной гирями методом замещения по схеме замещения АББА АББА АББА. Результаты приведены в табл. 4
Значение расхождения между массами калибруемой и эталонной гирь (среднее арифметическое) составляет δm = 0,020 г.
Для расчёта соответствующей стандартной неопределенности используется значение СКО компаратора sp(δm) = 25 мг. Соответствующая стандартная неопределенность расхождения между
37
Таблица 4
Результаты измерений при калибровке гирь
№
Условная масса гирь
1
2
3
Показания
Эталонная
+ 0,010 г
Калибруемая
+ 0,020 г
Калибруемая
+ 0,025 г
Эталонная
+ 0,015 г
Эталонная
+ 0,025 г
Калибруемая
+ 0,050 г
Калибруемая
+ 0,055 г
Эталонная
+ 0,020 г
Эталонная
+ 0,025 г
Калибруемая
+ 0,045 г
Калибруемая
+ 0,040 г
Эталонная
+ 0,020 г
Наблюдаемая разность
+ 0,01 г
+ 0,03 г
+ 0,02 г
Таблица 5
Входная
величина
Xi
Оценка
xi,г
mS
10000,005
δmD
0,000
δm
0,020
δmC
0,000
δB
0,000
m
10 000,025
38
Стандартная
неопределенность
u(xi),
мг
22,5
8,95
14,4
5,77
5,77
Распределение
вероятностей
Коэффициент
чувствительности,
сi
нормальное
1.0
прямоугольное
1.0
нормальное
1.0
прямоугольное
1.0
прямоугольное
1.0
Вклад
неопределенности
ui(y),
мг
22,5
8,95
14,4
5,77
5,77
29,3
массами калибруемой и эталонной гирь рассчитывается по формуле:
25
u ( δm ) =s ( δm ) = ìã =14,4 ìã.
3
Отметим, что деление на корень из трех объясняется тем, что выполнялись три измерения при калибровке.
Шаг 3. Бюджет неопределенности (табл. 5).
Шаг 4. При вычислении расширенной неопределенности для вероятности 0,95 использован коэффициент охвата 2. Это соответствует предположению, что выходная величина имеет нормальное распределение. Анализ последнего столбца бюджета неопределенности
показывает, что доминирующим является вклад, обусловленный
неопределенностью эталона. Однако имеется несколько сопоставимых по величине вкладов, что в определенной степени подтверждает использование коэффициента охвата, равного 2.
U = k ´ u(mx) = 2 ´ 29,3 @ 59 мг.
Шаг 5. Представление результат калибровки.
Действительное значение массы гири номинала 10 кг составляет
10,000025 кг ± 59 мг.
Расширенная неопределенность измерения установлена как
стандартная неопределенность, умноженная на коэффициент охвата k = 2, что для нормального распределения соответствует, примерно, вероятности охвата 0,95.
Калибруемая гиря относится к классу М1 , для которого предел
допускаемого отклонения от номинала составляет 500 мг, а расширенная неопределенность не должна превосходить трети от предела
допускаемого отклонения (1/3 · 500 мг). Оба этих условия выполняются, и по результатам калибровки класс гири подтверждается.
Комментарии к данному примеру.
На практике достаточно трудно обосновать пределы для дрейфа
эталонной гири с момента ее предыдущей калибровки. В качестве
альтернативы можно воспользоваться информацией о том, что эталонная гиря относится к классу F2 . Проведем обработку результатов измерений, используя для эталонной гири номинальное значение и расширенную неопределенность, определяемую как 1/3 от
предела допускаемых отклонений от номинала: mS = 10000,000 г,
1
160 ìã 53 ìã. Соответственно стандартная неопределен=
U ( ms ) =
3
U (ms ) 53
ность составит: u=
(ms )
ìã 26,5 ìã.
= =
2
2
39
Бюджет неопределенности изменится следующим образом:
Таблица 6
Коэффициент
чувствительности,
сi
Вклад
неопределенности
ui(y), мг
нормальное
1.0
26,5
14,4
нормальное
1.0
14,4
0,000
5,77
прямоугольное
1.0
5,77
δB
0,000
5,77
прямоугольное
1.0
5,77
mX
10 000,020
Входная
величина
Xi
Оценка
xi, г
Стандартная
неопределенность
u(xi), мг
mS
10000,000
26,5
δm
0,020
δmC
Распределение
вероятностей
31,2
4.2. Калибровка плоскопараллельной концевой меры
номинальной длины 50 мм
Калибровка концевой меры длины нулевого класса (ISO 3650)
50 мм проводится методом сравнения при помощи компаратора
с эталонной концевой мерой (эталон) той же номинальной длины
и того же материала. Разность срединных длин δl определяется при
вертикальном положении обеих концевых мер с использованием
двух индикаторов, контактирующих с верхней и нижней измерительными поверхностями. Рассмотрение данного примера несколько упрощено по сравнению с ЕА 4/02, при этом также учтены рекомендации, приведенные в GUM (Приложение Н), по рассмотрению
аналогичного примера.
Шаг 1. Модель измерения представима в виде следующего выражения:
lX= lS + δlD + δl + δlC - L(α × δt + δα × ∆t ),
где lX – длина калибруемой концевой меры; lS – длина эталонной
концевой меры при температуре t0 = 20 °C согласно сертификата калибровки; δlD – изменение эталонной концевой меры длины с момента ее последней калибровки; δl – разность длин калибруемой
и эталонной концевых мер; δlС – поправка на несовпадение осей
компаратора; L – номинальная длина сравниваемых концевых мер;
40
(α + α S ) – среднее значение температурных коэффициентов
α= x
2
линейного расширения калибруемой и эталонной концевых мер;
δ=
t (tX - tS ) – разность температур калибруемой и эталонной концевых мер; δα = (α X - α S ) – разность температурных коэффициентов линейного расширения калибруемой и эталонной концевых
мер; ∆t= (tX + tS ) / 2 - t0 – отклонение средней температуры калибруемой и эталонной концевых мер от нормальной t0 = 20 °C.
В Приложении Н GUM показано, что учет температурных поправок приводит к вкладам в суммарную неопределенность второго порядка малости, поэтому в данном случае ограничимся упрощенной
моделью:
lX= lS + δlD + δl + δlC .
Шаг 2. Оценивание стандартных неопределенностей входных величин.
Для вычисления неопределенностей входных величин имеется следующая априорная информация, которая используется для
оценки стандартных неопределенностей по типу В:
– Эталонная мера: длина эталонной концевой меры (lS) с расширенной неопределенностью измерения приводится в сертификате
калибровки набора концевых мер и составляет 50,00002 мм ± 30 нм
(коэффициент охвата k = 2).
u ( l=
s)
30
= 15 íì.
2
– Изменение эталонной меры: отклонение длины эталонной
концевой меры (δlD) оценивается исходя из предыдущих калибровок как ноль в пределах ± 30 нм. Опыт работы с концевыми мерами
такого типа показывает, что нулевое отклонение наиболее вероятно, для описания возможных отклонений может быть принято треугольное распределение вероятностей.
u ( δlD ) =
30
6
= 12 íì.
– Поправка на несовпадение осей компаратора: метрологические характеристики компаратора соответствуют EAL-G21. Для
разностей длин D до ±10 мкм поправка (δlD) находится в пределах
±(30нм + 0,02 ´ |D|). Принимая в расчет допуски нулевого класса
калибруемой концевой меры и класса К эталонной концевой меры, максимальная разность длин будет в пределах ±1 мкм, из этого
41
следует, что поправка на несовпадение осей используемого компаратора находится в пределах ±32 нм.
32
u ( δlC ) =
= 19 íì.
3
При калибровке получают пять измерений разности длин калибруемой и эталонной концевых мер (δl). Результаты приведены
в табл. 7.
Среднее арифметическое значение составило: δl = –94 нм.
Для оценки неопределенности по типу А была использована
оценка стандартного отклонения компаратора, sp(δl) = 12 нм, полученная при испытаниях компаратора. Соответственно стандартная
неопределенность измерения разности длин по пяти измерениям
12
= 5,37 нм.
составила: u(δl) = s( δl ) =
5
Шаг 3. Бюджет неопределенности (табл. 8).
Таблица 7
№ наблюдения
Наблюдаемое значение, нм
1
–100
2
–90
3
–80
4
–90
5
–100
Таблица 8
Параметр
Xi
Оценка
xi, мм
Стандартная
неопределенность
u(xi), нм
lS
50,000 020
15
Коэффициент
чувствительности
сi
Вклад
неопределенности
ui(y), нм
нормальное
1,0
15
Распределение
вероятностей
δlD
0
12
треугольное
1,0
12
δl
–0,000094
5,4
нормальное
1,0
5,4
δlC
0
19 нм
прямоугольное
1,0
19
lX
49,999 926
42
27,5
Шаг.4. Вычисление расширенной неопределенности.
Расширенная неопределенность для вероятности 0,95 при коэффициенте охвата, равном 2, составила:
U = k × u(lX) = 2 × 27,5 @ 55 нм.
Шаг 5. Представление результат калибровки.
Измеренное значение концевой меры номинальным значением
50 мм составляет
49,999 926 мм ± 55 нм.
Расширенная неопределенность измерений определяется как
стандартная неопределенность, умноженная на коэффициент охвата k = 2, который для нормального распределения соответствует
приблизительно вероятности охвата 0,95.
4.3. Вычисление расширенной неопределенности в ситуации,
когда имеется один или два существенно
доминирующих вкладов неопределенности
При выполнении рутинных калибровок достаточно часто доминирующими являются один или два вклада в суммарную неопределенность измерения. В этом случае выбор коэффициента охвата при
вычислении расширенной неопределенности требует тщательного
рассмотрения, в частности k = 2 часто оказывается необоснованным
и приводит к парадоксальным результатам.
Достаточно часто суммарная неопределенность складывается
только из двух вкладов, причем вклад, связанный с эталоном, оказывается существенно меньше второго:
– неопределенности измерения, обусловленной эталоном, которая обычно оценивается по типу В, исходя из неопределенности,
приведенной в сертификате калибровки, или из пределов допускаемой погрешности измерений. В первом случае обычно предполагается нормальный закон распределения, а во втором равномерный
закон распределения;
– неопределенности измерения, связанной с передачей единицы
величины. Эта неопределенность оценивается по типу А, если выполняются повторные измерения, и тогда предполагается нормальный
закон распределения. Если нет необходимости выполнять повторные
измерения (случайная погрешность несущественна), то соответствующая неопределенность оценивается по типу В и часто определяется ценой деления (разрешением) калибруемого средства измерений,
и тогда предполагается равномерный закон распределения.
43
Таким образом, при вычислении коэффициента охвата следует
учитывать возможные сочетания перечисленных законов распределений.
4.3.1. Калибровка портативного цифрового мультиметра
при постоянном напряжении 100 В
Портативный цифровой мультиметр (ПЦМ) калибруется при подаче входного напряжения постоянного тока величиной 100 В с использованием многофункционального калибратора в качестве рабочего эталона.
Шаг 1. Модель измерения.
Погрешность показаний ПЦМ, Ecal (выходная величина в уравнении измерения) рассчитывается, используя показания ПЦМ и параметры настройки калибратора по формуле (модель измерения):
Ecal= V - Vref - δVref ,
где V – напряжение, показываемое мультиметром; Vref – напряжение, генерируемое калибратором; δVref – поправка на показания калибратора из-за:
– его дрейфа со времени последней калибровки,
– отклонения из-за комбинированного эффекта смещения, нелинейности и разницы коэффициентов усиления,
– отклонения в температуре окружающей среды,
– отклонения в напряжении сети,
– эффекта ошибочной (недостаточно тщательной) настройки изза конечного входного сопротивления калибруемого ПЦМ.
Шаг 2. Оценивание стандартных неопределенностей входных величин.
Из-за ограниченной разрешающей способности индикации ПЦМ
не наблюдалось рассеивания в показываемых значениях.
1. Показания мультиметра (V): ПЦМ показывает напряжение
100,1 В при установлении на калибраторе 100 В. Из-за ограниченной разрешающей способности индикации ПЦМ не наблюдалось
рассеивания в показываемых значениях. Соответствующая неопределенность оценивается по типу В, предполагая равномерный закон
в пределах, равных половине наименьшего значимого разряда ±0,05 В.
0,05
u=
( V ) = 0,029 B
3
2. Калибратор (эталон) (Vref): В свидетельстве калибровки на
многофункциональный калибратор указана относительная расши44
ренная неопределенность измерения 0,002 % (коэффициент охвата
k = 2). Следовательно, при 100 В расширенную неопределенность измерения U = 0,002 В (коэффициент охвата k = 2).
(
)
u=
Vref
0,002
= 0,001 B
2
3. Поправки (δVref): Поправка на показания эталона не вводится.
Для оценивания соответствующих неопределенностей можно использовать предел допускаемых погрешностей, характеризующий
разряд эталона. В спецификации на данный калибратор указано,
что сгенерированное калибратором напряжение совпадает с установленным на калибраторе в пределах ±(0 ,0001 ´ VS + 1 мВ). Для
значения 100В это соответствует пределам ±0, 011 В. Отметим, что
эти пределы включают неопределенность, установленную при калибровке, которая, соответственно не нуждается в повторном учете
в бюджете неопределенности:
u (=
Vref )
0,011
= 0,006 B
3
Шаг 3. Бюджет неопределенности (табл. 9).
Шаг 4. Вычисление расширенной неопределенности
В стандартной неопределенности измерения, связанной с результатом измерения, доминирует эффект из-за конечной разрешающей
способности ПЦМ. Коэффициент охвата, соответствующий прямоугольному распределению для вероятности охвата 0,95, равен 1,65.
Соответственно, расширенная неопределенность равна:
U=
k ⋅ u(Ecal ) =
1,65 ⋅ 0,030 В @ 0,05 В.
Таблица 9
Входная
величина
Xi
Оценка
xi, В
Стандартная неопределенность
u(xi), В
Распределение
вероятностей
Коэффициент
чувствительности
сi
Вклад
неопределенности
ui(y), В
V
100,1
0,029
прямоугольное
1
0,029
Vref
100
0,006 В
прямоугольное
–1,0
0,006
Ecal
0,1
0,030
45
Шаг 5. Представление результата калибровки.
Измеренное отклонение показаний ПЦМ от значения, воспроизводимого эталоном, при 100 В составляет (0,10 ± 0,05) В. Указанная
расширенная неопределенность измерения получена перемножением стандартной неопределенности измерения на коэффициент охвата k = 1,65. Она соответствует предполагаемому прямоугольному
распределению с вероятностью охвата приблизительно 95 %.
Установление коэффициента охвата k = 1,65 обусловлено тем, что в
неопределенности измерения, доминирует вклад из-за конечной разрешающей способности ПЦМ. Это будет справедливо при калибровке
всех показывающих цифровых приборов с низкой разрешающей способностью при условии, что конечная разрешающая способность единственный доминирующий источник в бюджете неопределенности.
4.3.2. Калибровка штангенциркуля
Стальной штангенциркуль калибруется с применением стальных концевых мер длины 1-го разряда в качестве рабочего эталона.
Диапазон измерений штангенциркуля составляет 150 мм. Разрешение составляет 0,05 мм (цена деления основной шкалы составляет
1 мм, значение цены деления нониуса – 1/20 мм). В примере рассматривается точка калибровки 150 мм для измерения наружных
размеров.
Шаг 1. Модель измерения.
Погрешность показания E штангенциркуля при нормальной
температуре t = 20 °C определяется в соответствии со следующим
выражением:
E = l - lref + L ⋅ α ⋅ ∆t + δlM ,
где l – показания штангенциркуля; lref –действительное значение
длины концевой меры; L – номинальное значение длины концевой
меры; α – средний температурный коэффициент линейного расширения материалов штангенциркуля и концевой меры; Δt – разность
температур штангенциркуля и концевой меры длины; δlM – поправка на механические эффекты, такие как существующее измерительное усилие, ошибки Аббе, отклонения от плоскостности и параллельности измерительных поверхностей.
Шаг 2. Вычисление неопределенностей входных величин.
1. Эталон (lref). Cертификат калибровки подтверждает, что концевая мера длины соответствует требованиям на концевые меры
длины 1-го класса согласно ISO 3650, т. е. что срединная длина концевой меры соответствует номинальной длине в пределах ± 0,8 мкм.
46
Номинальная длина концевой меры применяется без поправки к ее
действительной величине, причем предельные границы принимаются как верхняя и нижняя границы области применения.
0,8
0,47 ìêì.
u ( lref
=
) =
3
2. Температурная поправка (Δt, α). Разность температур штангенциркуля и концевой меры длины находится в пределах ± 2 °C.
Средний коэффициент линейного расширения принимается равным 11,5 ´ 10–6 °C–1)
2
u ( ∆t )=
= 1,18  C.
3
3. Показания штангенциркуля (l). Цена деления шкалы нониуса
составляет 0,05 мм. При повторных измерениях разброса показаний
не наблюдалось. Поэтому предполагается, что неопределенность показаний обусловлена конечным разрешением, принимается прямоугольное распределение с полушириной интервала ± 25 мкм
25
u=
(l) = 14,7 ìêì.
3
4. Поправка на механические эффекты (δlM): Поправка не вводится. Суммарные границы возможных отклонений оценены как ±50 мкм
50
u ( δlM ) =
= 29,4 ìêì.
3
Шаг 3. Бюджет неопределенности.
Результат измерений 150-тимиллиметровой концевой меры длины составил 150,10 мм.
Таблица 10
Входные
величины
Xi
Оценка
xi
Стандартная
неопределенность
u(xi)
Распределение
вероятностей
Коэффициент
чувствительности
сi
Вклад
неопределенности
ui(y), мкм
l
150,10 мм
14,7мкм
прямоугольное
1,0
14,7
lref
150,00 мм
0,47 мкм
прямоугольное
–1,0
0,47
Δt
0
1,18 K
ΔlM
0
29,4 мкм
E
0,10 мм
прямоугольное 1,7 мкм K–1
2,0
прямоугольное
29,4
1,0
33
47
Шаг 4. Вычисление расширенной неопределенности.
При оценке неопределенности явно доминируют два вклада.
Оба этих вклада имеют равномерное распределение, соответственно распределение выходной величины является трапецеидальным.
В соответствии с п. 2.5 коэффициент охвата для вероятности 0,95
k = 1,83. Поэтому расширенная неопределенность равна:
U=
k ⋅ u(EX ) =⋅
1,83 0,033 мм @ 0,06 мм.
Шаг 5. Представление результата измерения.
В калибруемой точке 150 мм отклонение показаний штангенциркуля от опорного значения составило (0,10 ± 0,06) мм.
Указанная расширенная неопределенность измерения получена
умножением стандартной неопределенности измерения на коэффициент охвата k =1,83. Она соответствует предполагаемому трапецеидальному распределению с вероятностью охвата приблизительно 0,9.
48
Заключение
Целью настоящего методического пособия является знакомство
студентов с концепцией неопределенности измерения и обучение
методам оценивания неопределенности измерения. Для иллюстрации применения этой концепции рассмотрены конкретные примеры вычисления неопределенности измерения при калибровке эталонов и средств измерений. В методическом пособии обсуждаются вопросы адекватного использования математических методов,
в частности, методов теории вероятностей и математической статистики, для оценивания точности результатов измерений, без которого невозможно понять различие в подходах «неопределенности
измерения» и «погрешности измерений». Вычисление неопределенности измерений базируется на основных правилах преобразования
случайных величин, поэтому минимальные необходимые сведения
приведены в Приложении А. В основном тексте пособия излагается схема вычисления неопределенности измерения применительно
к уравнениям измерений, допускающих линеаризацию (условие 1),
а вычисление интервала охвата рассмотрено только для ограниченного числа наиболее часто используемых в метрологии законов распределения вероятностей (условие 2). Приложение В содержит краткое изложение, так называемого «закона трансформирования распределений», который применим, когда два перечисленных условия
нарушаются.
49
Рекомендуемая литература
1. Международный словарь по метрологии: основные и общие понятия
и соответствующие термины: пер.с англ. – СПб.: НПО «Профессионал»,
2010. – 84 с.
2. РМГ 29-2013 Метрология. Основные термины и определения.
3. ГОСТ Р 8.736 – 2011 «ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения».
4. ГОСТ ИСО/МЭК 17025-2009 Общие требования к калибровочным и
испытательным лабораториям.
5. ГОСТ Р 54500.1-2011 / Руководство ИСО/МЭК 98-1:2009 Неопределенность измерения. Часть 1. Введение в руководство по выражению неопределенности измерения.
6. ГОСТ Р 54500.3-2011 / Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008 «Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений.
7. ГОСТ Р 54500.3.1-2011 / Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/ Дополнение 1: 2008 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений. Дополнение 1. Трансформирование
распределений с использованием метода Монте-Карло.
8. ГОСТ Р 54500.3.2-2013 / Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008/ Дополнение 2: 2011 Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений. Дополнение 2. Обобщение на случай
произвольного числа выходных величин.
9. Р 50.2.038-2004 ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание
погрешностей и неопределенности результата измерений.
10. РМГ 91-09 ГСИ. Совместное использование понятий «погрешность
измерения» и «неопределенность измерения». Общие принципы.
11. РМГ-115-11 Калибровка средств измерений. Алгоритмы обработки
результатов измерений и оценивания неопределенности.
12. EA-4/02 Expression of the uncertainty of measurement in calibration, 2013.
13. Российская метрологическая энциклопедия. ИИФ «Лики России». – СПб., 2015. Т. 1. – 908 с.
14. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. – Л.: Энергия . 1978, –
262 с., ил.
15. Земельман М. А. Метрологические основы технических измерений. –
М.: Издательство стандартов, 1991. – 228 с., ил.
16. Селиванов М. Н., Фридман А. Э., Кудряшова Ж. Ф. Качество измерений: Метрологическая справочная книга. – Л.: Лениздат, 1987. – 295 с., ил .
17. Довбета Л. И., Лячнев В. В., Сирая Т. Н. Основы теоретической метрологии: учеб. пособие / под ред. В. В. Лячнева. – СПб.: ЛЭТИ, 1999. – 292 с.
18. Фридман А. Э. Основы метрологии. Современный курс. СПб.: НПО
«Профессионал», 2008. – 284 с.
19. Окрепилов В.В. Основы метрологии : учеб. пособие. – СПб.: ГУАП,
2008. – 380 с.
50
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Случайные величины. Преобразования случайных величин
Для количественного описания случайной величины X используют функцию распределения случайной величины и плотность
распределения вероятностей:
– функция распределения вероятностей: Функция, устанавливающая для каждого значения ζ вероятность того, что случайная
величина X меньше или равна ζ:
GX=
(z ) P( X ≤ z ) ;
– плотность распределения вероятностей: Первая производная, если она существует, функции распределения вероятностей
непрерывной случайной величины
dGX ( z )
.
gX ( z ) =
dz
На практике чаще всего используют частные характеристики
случайной величины – математическое ожидание и дисперсию:
– математическое ожидание: Характеристика случайной величины, которая для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения вероятностей gX ( z ) имеет вид
E( X ) =
+∞
∫ zgX ( z ) dz ;
-∞
– дисперсия: Характеристика случайной величины, которая для
непрерывной случайной величины X с плотностью распределения
вероятностей gX ( z ) имеет вид
V ( X=
)
+∞
∫ (z - E( X ))
2
gX ( z ) dz ;
-∞
– интервал вероятности: Интервал (a, b), содержащий значение
случайной величины с заданной вероятностью Р
b
∫ gX ( ξ ) dξ =P .
a
51
Таблица 11
Распределение
Нормальное распределение
(распределение Гаусса)
Плотность=
gX ( ξ )
распределения
Математическое
ожидание
Дисперсия
Равномерное (прямоугольное) распределение
на интервале R[a, b]
 ( ξ - x )2 
1
=
exp  - 2
gX ( z )
 2u ( x ) 
2π u ( x )


E( X ) =
+∞
∫ zgX ( z ) dz
0, z < a
 1

, a≤z≤b

b - a
0, z > b
E( X ) =
-∞
V ( X ) = u2 ( x )
V (X) =
a+b
2
( b - a )2
12
В метрологии наибольшее распространение получили нормальное и равномерное распределения (табл. 11).
Для вычисления стандартных неопределенностей в схеме «трансформирования неопределенностей» важны следующие два соотношения между характеристиками случайных величин и их линейных комбинаций. Если случайная величина Y является линейной
комбинацией независимых случайных величин Xi, (Y = ∑ ci Xi ,
где ci – известные константы), то для математического ожидания и
дисперсии величины Y имеют место следующие соотношения:
E ( Y ) = ∑ ci E ( Xi );
V ( Y ) = ∑ ci2 V ( Xi ).
Отметим, что первое соотношение имеет место и для коррелированных случайных величин Xi.
52
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Расчет неопределенности измерения методом Монте-Карло.
Закон трансформирования распределений
Метод Монте-Карло применяется для вычисления неопределенности выходной величины, когда применение закона трансформирования неопределенностей не является обоснованным. Это имеет
место в ситуации, когда:
а) линеаризация модели измерения вносит дополнительные существенные неопределенности;
б) распределение выходной величины не соответствует выше рассмотренным распределениям, и, следовательно, возникают сложности при вычислении интервала охвата.
Трансформирование распределений входных величин методом
Монте-Карло позволяет всегда получить плотность распределения
вероятностей выходной величины на основе распределений входных величин. После этого могут быть определены математическое
ожидание, используемое в качестве оценки выходной величины, и
стандартное отклонение, используемое в качестве стандартной неопределенности этой оценки. Кроме того, плотность распределения
вероятностей может быть использована для получения интервала
охвата для выходной величины, соответствующего заданной вероятности.
При трансформировании распределений методом Монте-Карло
сохраняются основные этапы оценки неопределенности:
1. Построение модели измерения Y = f ( X1,..., Xn ).
2. Приписывание распределений вероятностей (нормального,
прямоугольного и т. д.) входным величинам Xi на основе имеющейся информации,
3. Трансформирование распределений предусматривает определение плотности распределения вероятностей выходной величины
Y на основе плотностей распределения вероятностей входных величин Xi и используемой модели измерения.
4. Получение окончательного результата предполагает использование плотности распределения вероятностей выходной величины Y для определения:
– оценки значения измеряемой величины, y, как математического ожидания выходной величины Y;
– оценки стандартной неопределенности u(y) как СКО выходной
величины Y;
53
– интервала вероятности (интервала охвата) значений измеряемой величины.
Следует отметить, что в общем случае интервал охвата может
быть вычислен разными способами. Можно говорить о наикратчайшем или вероятностно-симметричном интервале:
– вероятностно симметричный интервал охвата: Интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной величины меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала
охвата, равна вероятности того, что значение случайной величины
больше наибольшего значения (верхней границы) интервала;
– наикратчайший интервал охвата: Интервал охвата, имеющий
наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для
данной случайной величины с одинаковой вероятностью охвата.
Для одномодальных симметричных распределений вероятностей эти интервалы совпадают.
Трансформирование распределений может быть осуществлено
различными способами, в том числе с применением аналитических
методов. Но наибольшее распространение получил метод статического моделирования, поскольку он дает результат в самых общих
ситуациях, когда получить решение аналитическими методами невозможно, и достаточно прозрачен в реализации.
Схема реализации метода Монте-Карло приведена на рис 3. Левая часть рисунка относится к получению значения оценки y и соответствующей стандартной неопределенности u(y), остальная –
к получению интервала охвата для Y. Метод Монте-Карло допускает простое распространение на случай модели измерения с произвольным числом выходных величин.
В схеме вычисления неопределенности с использованием метода Монте-Карло этап оценивания стандартных неопределенностей
входных величин, заменяется этапом сопоставления входным величинам соответствующих законов распределения вероятностей (pdf).
Это, по сути, близкие задачи, поскольку в схеме «трансформирования неопределенностей» достаточно часто требуется принять тот
или иной закон распределения вероятностей в указанных границах
значений входной величины, чтобы вычислить соответствующую
стандартную неопределенность. При этом в схеме «трансформирования неопределенностей» мы ограничивались двумя-тремя наиболее используемыми законами распределения вероятностей. В схеме
«трансформирования распределений» следует определить именно
закон распределения вероятностей, и список распределений практически ничем не ограничивается. Ниже приводятся некоторые
54
Модель измерения
Распределения вероятностей
величин Xi
Y = f ( X1 ,..., Xn )
Моделирование выборок входных
величин
М – число повторов при
статистическом моделировании
Вычисление значений выходной величины
Вычисление оценки выходной
величины и соответствующей
стандартной неопределенности
j =1, …,M
Получение дискретной функции
распределения выходной величины
Вычисление интервала охвата для Y
Рис. 3. Схемы вычисления неопределенности измерения
с применением метода Монте-Карло
из распределений и обосновываются ситуации, когда их рекомендуется применять в соответствии с [7] для описания распределения
возможных значений входных величин в модели измерения.
– Нормальное распределение (распределение Гаусса) используется для величины X, если наилучшая оценка x и соответствующая
стандартная неопределенность u(x) являются единственной доступной информацией. Случайную величину X следует описывать нормальным распределением N(x,u2(x)).
– Равномерное (прямоугольное) распределение R(a,b) на интервале выбирают для входной величины X в том случае, если единственной доступной информацией о величине X являются нижняя
a и верхняя b (a<b) границы возможных значений этой величины.
– Равномерное распределение с неточно известными границами соответствует ситуации, когда о величине X может быть известно, что она находится в интервале с границами a и b, которые сами
55
известны в пределах ±d (d > 0, a + d < b - d), при этом средняя точка
интервала фиксирована. В этом случае случайная величина X может быть описана криволинейно-трапецеидальным распределением CTrap(a, b, d).
Плотность распределения вероятностей в этом случае имеет вид:
0, z < a - d
 w+d
ln
, a-d ≤ z ≤ a+d
 x-z
1  w + d
=
gX ( z )
, a + d ≤ z ≤ b -d,
ln
4d  w - d
 w+d
ln z - x , b - d ≤ z ≤ b + d

0, z > b + d
a+b
b-a
являются, соответственно, средней точкой
=
, w
2
2
и полушириной интервала (a, b). Эта плотность распределения вероятностей похожа на трапецеидальную плотность, в которой боковые стороны не являются прямыми линиями.
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
где x
=
=
E( X )
a+b
,=
V (X)
2
( b - a )2
12
+
d2
.
9
– Трапецеидальное распределение используется для описания величины X, которая является суммой двух независимых случайных величин X1 и X2, каждая из которых подчиняется равномерному распределению R(ai, bi) c нижней границей ai и верхней
границей bi, i = 1, 2. В этом случае X подчиняется симметричному трапецеидальному распределению Trap(a, b, β) c нижней границей а, верхней границей b и параметром b, равным отношению длины верхнего основания трапеции к длине ее нижнего основания.
Параметры трапецеидального распределения связаны с параметрами равномерного распределения следующими соотношениями:
a= a1 + a2 , b= b1 + b2 , β=
где
=
λ1
56
( b1 - a1 ) - ( b2 - a2 )
2
=
, λ2
λ1
,
λ2
b-a
, 0 ≤ λ1 ≤ λ2 .
2
Плотность распределения вероятностей для X имеет вид:
ξ< x -λ2
0,

2
2
( ξ- x +λ2 ) λ2 -λ1 , x -λ 2 ≤ξ<x -λ1,

x -λ1 ≤ξ<x +λ1,
gX (ξ) = 1 ( λ1 +λ2 ),

2
2
( x +λ2 -ξ ) λ2 -λ1 , x +λ1 <ξ≤x +λ2 ,

ξ> x +λ2 ,
0,
(
)
(
)
a+b
.
2
Математическое ожидание и дисперсия X соответственно равны:
где x =
=
E( X )
a+b
=
, V (X)
2
( b - a )2
24
(1 + β2 ) .
– Треугольное распределение используется для величины X,
которая является суммой двух независимых случайных величин,
каждая из которых подчиняется равномерному распределению и
b1 - a1 = b2 - a2 . В этом случае трапецеидальное распределение
Trap(a,b,0) превращается в симметричное треугольное распределение T(a,b) на интервале [ a, b ].
Плотность распределения вероятностей для X в этом случае
имеет вид:
0, z < a
z - a

, a≤z≤x
 2
gX ( z ) = w
,
b - z , x ≤ z ≤ b
 w2
0, z > b

a+b
b-a
=
, w
.
2
2
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
где x
=
a+b
=
E( X ) =
, V (X)
2
( b - a )2
24
.
– Арксинусное (U-образное) распределение используют, если
известно, что величина X изменяется по гармоническому закону
57
между предельными значениями a и b, a < b, но в момент наблюдения
фаза Ф процесса неизвестна. Для описания Ф применяют равномерa+b b-a
ное распределение R(0,2π). Тогда величина X = +
sin Φ,
2
2
подчиняется арксинусному (U-образному) распределению U(a,b).
Плотность распределения вероятностей для X в этом случае имеет вид:

0, z < a

2
, a ≤ z ≤ b.
=
gX ( z ) 
 π ( b - a )2 - ( 2z - a - b )2

0, z > b
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
=
E( X )
a+b
=
, V (X)
2
( b - a )2
8
.
Далее кратко изложим схему реализации метода Монте-Карло
для вычисления неопределенности измерения выходной величины
уравнения измерения. Для применения метода Монте-Карло необходимо выбрать число испытаний M , т. е. число наблюдений выходных
значений модели. Как правило, выбор M = 106 позволяет построить
95 %-й интервал охвата для выходной величины с точностью до одной или двух значащих цифр. Технические особенности реализации
последовательности случайных чисел по заданному закону в данном
приложении не рассматриваются. Применение метода Монте-Карло
заключается в следующей последовательности шагов:
– для каждой входной величины Xi получают ее значение как реализацию соответствующей случайной величины с плотностью распределения gXi ( z ), формируют вектор значений входных величин
xr, (размерность вектора равна числу входных величин) Процедура
повторяется 106раз, индекс принимает значения r = 1, …, 106. Таким
образом, получаем M выборок (векторов) x1, …, xM где
r-й вектор состоит из случайных значений x1,r ,..., xN,r и каждое такое значение получено в соответствии с плотностью распределения
вероятностей для входной величины Xi;
– для каждого вектора вычисляют значение выходной величины в соответствии с моделью измерения yr = f x1,r ,..., xn,r ,
r = 1, …, 106. Последовательность yr может быть представлена в виде
гистограммы (при соответствующем выборе ширины интервала
(
58
)
группирования), представляющей собой распределение частот появления выходной величины. После нормирования, обеспечивающего равенство площади под гистограммой единице, ее можно рассматривать как аппроксимацию плотности распределения вероятностей gY ( η) выходной величины;
– в качестве оценки y выходной величины Y используют выбо1 M
рочное среднее y =
∑ yr , а в качестве оценки ее стандартной неM 1
определенности вычисляют выборочное стандартное отклонение:
=
u2 (y )
1 M
∑ (yr - y)2 .
M -1 1
Для получения интервала охвата необходимо иметь плотность
распределения выходной величины GY(η). Дискретное представление функции распределения выходной величины Y может быть получено следующим образом:
а) полученные значения выходной величины yr = f ( x1,r ,..., xn,r ) ,
r = 1, …, 106, располагают в неубывающем порядке, обозначая их y(r ) ;
б) полученная последовательность, y(r ) задает дискретное представление функции распределения выходной величины GY(η).
Интервал охвата для выходной величины Y для вероятности p
может быть определен на основе GY(η) следующим образом. Если взять любое число α из интервала от нуля до 1 – p , то границами 100p %-ного интервала охвата для Y будут значения GY–1 (α) и
–1 (p + α), т. е. квантили распределения G (η) уровней α и (p + α)
GY
Y
cоответственно.
1- p
получают вероятностно симметричный
При выборе α =
2
100p%-й интервал охвата, границами которого являются квантили
1- p
1+ p
и
уровней
.
2
2
Если плотность распределения вероятностей асимметрична, то
1- p
более подходящим может быть выбор α, отличный от
, напри2
мер позволяющий получить наикратчайший 100p %-й интервал охвата. Если плотность распределения вероятностей унимодальная, то
оно обладает таким свойством, что наикратчайший интервал охвата
будет включать в себя моду этого распределения. Для симметричной
плотности распределения вероятностей вероятностно симметричный
и наикратчайший 100p %-е интервалы охвата совпадают.
59
Содержание
Введение .................................................................... 1. Выражение точности измерений ................................ 1.1. Точность, правильность, прецизионность измерений.
Показатели точности измерений.......................... 1.2. Методы теории вероятностей
и математической статистики (математические
методы) для оценивания точности измерений......... 2. Вычисление неопределенности измерения.................... 2.1. Модель измерения.............................................. 2.2. Вычисление стандартных неопределенностей
измерения входных величин................................ 2.3. Вычисление стандартной неопределенности
выходной величины ........................................... 2.4. Составление бюджета неопределенности
измерения......................................................... 2.6. Представление результата измерения................... 2.7. Схема вычисления неопределенности измерения.
Закон трансформирования неопределенностей
измерений......................................................... 3. Вычисление неопределенности измерения
при калибровке. .......................................................... 3.1. Метрологические характеристики,
устанавливаемые при калибровке......................... 3.2. Модель измерения при калибровке.
Источники неопределенности .............................. 3.4. Представление результатов калибровки................ 4. Примеры вычисления
неопределенности измерения при калибровке ................. 4.1. Калибровка гири
с номинальным значением массы 10 кг. ................ 4.2. Калибровка плоскопараллельной концевой меры
номинальной длины 50 мм.................................. 4.3. Вычисление расширенной неопределенности
в ситуации, когда имеется один или
два существенно доминирующих вкладов
неопределенности.............................................. 60
3
4
4
8
16
16
18
21
24
27
28
30
30
31
34
36
36
40
43
4.3.1. Калибровка портативного цифрового
мультиметра при постоянном
напряжении 100 В..................................... 44
4.3.2. Калибровка штангенциркуля..................... 46
Заключение ................................................................ 49
Рекомендуемая литература ........................................... 50
Приложение А. Случайные величины. Преобразования
случайных величин...................................................... 51
Приложение В. Расчет неопределенности измерения
методом Монте-Карло. Закон трансформирования
распределений............................................................. 53
61
Учебное издание
Чуновкина Анна Гурьевна
Обработка результатов измерений.
Вычисление неопределенности
измерений при калибровке
Учебно-методическое пособие
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 30.12.15. Подписано к печати 31.03.16.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,6.
Уч.-изд. л. 3,88. Тираж 50 экз. Заказ № .
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
62
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 105 Кб
Теги
chynovkina
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа