close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Dubarenko mat modeli

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
В. В. Дубаренко, А. С. Коновалов, А. Ю. Кучмин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
КАК ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Рекомендовано Учебнометодическим объединением вузов
Российской Федерации по образованию в области радиотехники,
электроники, биомедицинской техники и автоматизации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению 220200
«Автоматизация и управление»
СанктПетербург
2007
УДК 519.712
ББК 22.311
Д79
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор кафедры
автоматического управления СанктПетербургского государственного
электротехнического университета Н. Д. Поляхов;
декан математикомеханического факультета СанктПетербургского
государственного университета членкорр. РАН, профессор Г. А. Леонов;
зав. лабораторией по управлению сложными системами
Института проблем машиноведения РАН доктор технических наук,
профессор А. Л. Фрадков
Дубаренко В. В., Коновалов А. С., Кучмин А. Ю.
Д79
Математические модели механических систем как объектов
управления: учеб. пособие/ В. В. Дубаренко, А. С. Коновалов,
А. Ю. Кучмин; ГУАП. – СПб., 2007. 188 с.: ил.
ISBN 5808802431
В пособии с единой точки зрения рассматриваются проблемы мо
делирования сложных механических систем на стыке нескольких
областей знаний: механики систем твердых тел, теории управления,
теории графов и информатики. В пособии изложены базовые и новые
теоретические принципы и подходы к построению математических
моделей механических систем, подкрепленные примерами.
Рассмотрены матричные алгоритмы построения уравнений движе
ния механических систем по топологии этих систем. Доказана пра
вильность этих алгоритмов и указаны границы применимости для
каждого из них. В качестве иллюстрации использования изложенных
методов и алгоритмов рассмотрено построение математических моде
лей 70метрового радиотелескопа миллиметрового диапазона как ме
ханической системы.
Дано краткое описание двух современных программных комплек
сов для моделирования динамических систем MATLAB/Simulink и MSC.
ADAMS.
Учебное пособие предназначено для аспирантов и студентов, изуча
ющих дисциплины специализации по направлениям подготовки «Ав
томатизация и управление» и «Приборостроение».
УДК 519.712
ББК 22.311
ISBN 5808802431
2
© ГУАП, 2007
© В. В. Дубаренко, А. С. Коновалов,
А. Ю. Кучмин, 2007
СОДЕРЖАНИЕ
Список аббревиатур и обозначений ......................................
Предисловие ....................................................................
Введение ..........................................................................
Глава 1. Основные понятия, определения и примеры ..............
§ 1.1. Общие уравнения движения механической системы ....
§ 1.2. Механическое движение твердого тела .....................
§ 1.3. Законы сохранения. Проверка правильности моделей
1.3.1. Закон сохранения энергии ................................
1.3.2. Закон сохранения импульса ..............................
1.3.3. Закон сохранения момента импульса ..................
§ 1.4. Механическое подобие. Масштабирование моделей ...
Примеры .....................................................................
Задание для самостоятельной работы ..............................
Глава 2. Линейные математические модели механических систем
§ 2.1. Алгоритм построения линейных математических моде
лей механических систем с упругими связями ...................
§ 2.2. Основные сведения о радиотелескопах как объектах
управления ..................................................................
§ 2.3. Математическая модель пространственной металлокон
струкции радиотелескопа по углу азимута ........................
§ 2.4. Математическая модель пространственной металлокон
струкции радиотелескопа по углу места ............................
Задание для самостоятельной работы ..............................
Глава 3. Линейные математические модели механических систем
с голономными связями .....................................................
§ 3.1. Алгоритм построения линейных математических моде
лей механических систем при наличии голономных связей ...
Задание для самостоятельной работы ..............................
Глава 4. Нелинейные математические модели механических си
стем ................................................................................
§ 4.1. Построение уравнений движения нелинейных простран
ственных многозвенных механических систем ..................
4.1.1. Нелинейная модель пространственной металлокон
струкции радиотелескопа ...........................................
4.1.2. Алгоритм построения уравнений движения прост
ранственной металлоконструкции ...............................
4.1.3. Алгоритм построения сил упругого взаимодействия
и демпфирования ......................................................
4.1.4. Алгоритм построения сил гравитации ................
5
7
9
12
12
16
27
27
29
29
30
31
38
39
39
41
43
49
52
53
53
57
59
59
59
60
82
88
3
4.1.5. Алгоритм построения управляющих воздействий ....
4.1.6. Алгоритм построения ветровых возмущающих воз
действий ..................................................................
4.1.7. Математическая модель электроприводов наведения
4.1.8. Математическая модель деформируемого главного
зеркала. Определение выходов модели ПМК РТ .............
§ 4.2. Реализация математической модели радиотелескопа
в среде MATLAB ...........................................................
4.2.1. Общий вид библиотеки и описание компонентов ....
4.2.2. Использование библиотеки для моделирования
ПМК РТ70 ...............................................................
4.2.3. Программа расчета динамики радиотелескопа ......
Задание для самостоятельной работы ..............................
Глава 5. Программный комплекс для имитационного моделиро
вания динамических систем MATLAB/Simulink .....................
Глава 6. Программный комплекс для кинематического и дина
мического анализа механизмов и машин MSC.ADAMS ...........
§ 6.1. Модули программного пакета MSC.ADAMS ..............
Примеры моделирования в MSC.ADAMS ......................
Заключение .....................................................................
Библиографический список ................................................
Приложение .....................................................................
4
91
91
94
97
107
108
111
125
142
143
162
162
166
168
171
173
Список аббревиатур и обозначений
АП – аппроксимирующий параболоид;
АПО – адаптивная платформа облучателя;
АЭ – аппроксимирующий эллипсоид;
ГЗ – главное зеркало радиотелескопа;
ДПТ – двигатель постоянного тока;
ЗС – зеркальная система;
КИП – коэффициент использования поверхности;
КИР – космический источник радиоизлучения;
КР – контррефлектор;
ЛАХ – логарифмическая амплитудная характеристика;
ЛФХ – логарифмическая фазовая характеристика;
ММ – математическая модель;
МП – матричный приемник;
ОК – опорное кольцо радиотелескопа;
ПЗСматрица – фоточувствительная матрица приборов с зарядо
вой связью;
ПМК – пространственная металлоконструкция;
ПП – переходный процесс;
РТ – радиотелескоп;
СГС – строительная горизонталь самолета;
СДУ – система дифференциальных уравнений;
СК – система координат;
СКЗ – СК, связанная с географическим местом Земли, где уста
новлен радиотелескоп;
ФЦ – фазовый центр;
ЭДМ – электродинамическая модель;
ЭСП – электромеханические следящие приводы;
dq
= q1 – первая производная от переменной q по времени t;
dt
d 2q
= q11 – вторая производная от переменной q по времени t;
dt2
∂q
– первая частная производная от переменной q по координате x;
∂x
2
∂ q
– вторая частная производная от переменной q по координате x;
∂x2
T
⎛ ∂L ∂L
∂L ⎞
,
,1,
∇q L = ⎜
⎟ – градиент от функции L(q), где q – век
∂xs ⎠
⎝ ∂x1 ∂x2
тор, а xi – компоненты вектора q;
5
[1]i – единичная матрица, порядок которой равен i;
AT – транспонирование, где A – матрица;
A–1 – обращение матрицы, где A – матрица;
[ei] – обозначение базиса;
<q> – обозначение кососимметрической матрицы, где q – вектор,
из элементов которого составлена кососимметрическая матрица.
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие написано на базе лекций по курсам: «Моделирова
ние систем управления», «Автоматизированные информационноуправля
ющие системы» и «Информационное обеспечение систем управления», чи
танных авторами в течение ряда лет слушателям СанктПетербургского го
сударственного университета аэрокосмического приборостроения на кафед
ре управления и информатики в технических системах, а также на основе
теоретических и прикладных исследований, проведенных совместно
с лабораторией механики управляемых систем Института проблем маши
новедения Российской академии наук.
В пособии рассматриваются проблемы построения математических мо
делей (ММ) сложных электромеханических систем как объектов управления,
что является актуальным при анализе и синтезе систем управления.
Данное учебное пособие предназначено для аспирантов и студентов, обу
чающихся по специальностям: 220201 (210100) «Управление и информати
ка в технических системах», 220402 (210300) «Роботы и робототехнические
системы», 200103 (190300) «Авиационные приборы и измерительновычис
лительные комплексы».
Пособие рассчитано на читателей, имеющих математическую подготовку
в объеме обычного курса высших технических учебных заведений. Все необ
ходимые понятия вводятся и объясняются по ходу изложения материала,
а большое количество примеров показывают применение излагаемых мето
дов на конкретном практическом материале с численными результатами.
Учебное пособие состоит из шести глав и приложения.
В первой главе вводятся основные определения, изложены базовые под
ходы к построению уравнений движения механических систем. Приведе
ны основные теоремы механики и их доказательства. Рассмотрены методы
проверки правильности построения ММ, вопросы масштабирования ММ
с примерами ММ нежесткого редуктора и самолета как твердого тела.
Во второй главе рассмотрены матричные алгоритмы построения линей
ных ММ механических систем по топологии этих систем. В качестве при
меров приведены ММ пространственной металлоконструкции радиотеле
скопа по углу азимута и углу места, даны основные сведения о нем и пере
числены проблемы, возникающие при управлении подобными сложными
системами.
В третьей главе рассмотрены матричные алгоритмы построения линей
ных ММ механических систем с голономными связями по топологии этих
систем. Приведенные алгоритмы позволяют умножением на матрицы оп
ределенного вида исключать обобщенные координаты, изменения которых
запрещены связями в механической системе, и соответствующие им урав
нения из матричных уравнений движения.
В четвертой главе рассмотрены матричные алгоритмы построения нели
нейных ММ механических систем с упругими связями по топологии этих
систем, предложенные и разработанные В. А. Коноплевым [4, 13]. Алго
ритм построения уравнений движения рассмотрен на примере построения
модели для семимассовой эквивалентной схемы для 70метрового радиоте
лескопа миллиметрового диапазона. Приведена программная реализация
данной модели в системе MATLAB/Simulink.
В пятой главе дано краткое описание современного программного комп
лекса для моделирования динамических систем MATLAB/Simulink.
7
В шестой главе приведена характеристика современного программного
комплекса для моделирования механических систем MSC.ADAMS.
После глав 1, 2, 3, 4 имеются задания для самостоятельной проверки
студентами усвоенного материала.
Приложение содержит список основных команд системы MATLAB.
Авторы выражают глубокую благодарность членкорр. РАН, профессо
ру Г. А. Леонову, доктору технических наук, профессор Н. Д. Поляхову,
доктору технических наук, профессору А. Л. Фрадкову и доктору техни
ческих наук, профессору В. А. Коноплеву за ряд ценных советов и предло
жений при подготовке данного учебного пособия.
8
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование является неотъемлемым этапом синтеза систем
управления. В современной теории управления математическим мо
делям (ММ) отведено центральное место. Они входят в состав всех
высокоточных систем управления. Подобные модели применяются
для исследования свойств динамических объектов, прогнозирования
состояния динамических объектов, получения оценок неизмеряемых
координат динамических объектов и их параметров.
Сформулируем основную цель построения ММ механической систе
мы как объекта управления: необходимо либо в символьном (форму
лы), либо численном (характеристики) виде, удобном для восприятия
и анализа человеком, с одной стороны, и реализации средствами вы
числительной техники – с другой, аппроксимировать с некоторой по
грешностью, выбранной исходя из условий задачи, динамические
процессы механической системы, в частности изменение положения
механической системы с течением времени. От выбора ММ во многом
зависит дальнейший ход исследований механической системы, так
что на практике желательно получить ее четкое математическое опи
сание упрощенной структуры и малой размерности, при которых не
нарушается его адекватность натуре.
Можно выделить три подхода в моделировании систем.
Первый подход связан с применением современных программных
комплексов компьютерного моделирования (таких, как ANSYS,
Mechanical Desktop, ELCUT, ADAMS), позволяющих создавать ММ,
проводить моделирование и анализ систем с использованием реаль
ных рабочих чертежей с максимальным учетом особенностей конст
рукции и материалов, при различных видах внешних воздействий.
Подобные программные комплексы позволяют вычислять собствен
ные частоты, формы колебаний и т. д. с учетом десятков тысяч инер
ционных и упругих элементов. К достоинством такого подхода следу
ет отнести: детальный учет всех особенностей конструкции; удобный
интерфейс, позволяющий использовать наборы готовых примитивов
для создания модели и проведения исследований; международная
сертификация подобных комплексов, заключающаяся в том, что ре
зультаты, полученные при помощи этих комплексов, принимаются
как достоверные международными научными и инженерными сооб
ществами. К недостаткам следует отнести: высокую стоимость этих
программных комплексов; высокое требование к аппаратному обес
печению, в котором реализована модель; закрытость кода данных
комплексов, не позволяющую легально исследовать алгоритмы, ре
9
ализованные в комплексах, и вносить в них изменения; только чис
ленные исследования, невозможность получения аналитических
уравнений всей системы, используемых при моделировании; боль
шое время расчета модели, которое может составлять несколько дней.
Второй подход предполагает схематизацию сложной системы
в виде эквивалентной системы с сосредоточенными параметрами. Рас
четная схема представляется как геометрически изменяемая про
странственная конструкция из инерциальных и упругих элементов
с сосредоточенными параметрами, имеющая конечное число степе
ней свободы. В основе ММ механической системы лежат уравнения
движения твердого тела в пространстве. К достоинствам следует от
нести: возможность моделирования системы сравнительно просты
ми программными средствами; проведение как численных, так и ана
литических исследований; сначала построение уравнений всей сис
темы, потом их исследование; использование при моделировании де
тально описанных и хорошо изученных алгоритмов, программные
реализации которых в таких системах, как MATHCAD, MATEMA
TICA, MATLAB и MAPLE, являются открытыми для их коррекции
исходя из условий задачи. К недостатком следует отнести: сертифи
кацию только базовых компонентов программных реализаций в вы
числительных средах (MATLAB и т. д.); моделирование не прообра
зов механических систем, а их эквивалентных схем; длительное вре
мя построения моделей; в зависимости от количества уравнений вре
мя расчета модели может составлять несколько дней.
Третий подход предполагает еще большую схематизацию механи
ческой системы в виде системы малой размерности, ММ которой мож
но использовать в контуре системы управления. Математическая
модель должна быть представлена как система дифференциальных
уравнений невысокого порядка и должна воспроизводить наиболее
энергоемкие тоны нижней части спектра собственных частот меха
нической системы. Данное ограничение обусловлено вычислитель
ной мощностью управляющей ЭВМ, в которой реализована модель.
К достоинствам данного подхода относятся все преимущества второ
го подхода, а также малая размерность ММ, позволяющая провести
ее тщательный анализ; малое время расчета модели; использование
подобной модели в контуре системы управления. К недостаткам сле
дует отнести моделирование сильно укрупненной эквивалентной схе
мы; отражение моделью только определенных свойств механической
системы.
Модели, полученные с использованием третьего подхода, позво
ляют получить оценки динамики быстро и наиболее простыми сред
10
ствами. Они не противоречат ММ, построенным по первым двум под
ходам, которые могут ее только уточнить, в зависимости от степени
ее адекватности натурному объекту.
Поэтому рассматриваемая задача создания ММ сложных механи
ческих систем с сосредоточенными параметрами малой размерности
должна решаться по следующему алгоритму.
1. Создание компьютерной имитационной модели, позволяющей
исследовать свойства модели во временной области. Модели строят
ся с применением первого подхода.
2. Создание аналитической (символьной) модели, позволяющей
исследовать структурные и частотные свойства модели. Модели стро
ятся с применением второго подхода.
3. Редуцирование исходной модели, имеющей большую размер
ность ее системы дифференциальных уравнений (СДУ), к модели
меньшей размерности по результатам численного анализа переход
ных процессов, полученных в пп. 1 и 2. Переход к редуцированным
линейным моделям определяется путем вычисления передаточных
функций по результатам численного анализа переходных процессов,
полученных в пп. 1 и 2.
4. Верификация редуцированной модели путем упрощения или
линеаризации символьной модели, полученной в п. 2, методом «за
мораживания» параметров, приведением ее к форме главных колеба
ний и после подстановки численных значений отбрасыванием высо
кочастотных составляющих.
Такой подход позволяет описывать сложные механические систе
мы СДУ малой размерности с сохранением их наиболее существен
ных свойств.
11
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
§ 1.1. Общие уравнения движения механической системы
Напомним основную цель построения ММ механической системы
как объекта управления: необходимо либо в символьном (формулы),
либо численном (характеристики) виде, удобном для восприятия
и анализа человеком, с одной стороны, и реализации средствами вы
числительной техники – с другой, аппроксимировать с некоторой по
грешностью, выбранной исходя из условий задачи, динамические про
цессы механической системы, в частности изменение положения ме
ханической системы с течением времени. От выбора ММ во многом
зависит дальнейший ход исследований механической системы, так
что на практике желательно получить ее четкое математическое опи
сание, упрощенной структуры и малой размерности, при которых не
нарушается его адекватность натуре.
Общая формулировка закона механического движения системы,
как она приведена у Л. Д. Ландау [17] и А. И. Лурье [18], дается
принципом наименьшего действия, или принципом Гамильтона –
Остроградского. Этот принцип был сформулирован Гамильтоном
в 1835 году для консервативных систем. Независимо от него для об
щего случая неконсервативных систем этот принцип был сформули
рован и обоснован М. В. Остроградским в 1846 году.
Механическое движение – изменение положения тел относитель
но друг друга с течением времени. Тело, относительно которого опре
деляется положение других (движущихся) тел, называется телом
отсчета. Тело отсчета, связанная с ним система координат и синхро
низированные между собой часы, расположенные в различных точ
ках, образуют систему отсчета.
Консервативная механическая система – механическая система,
полная энергия которой не изменяется, а зависит только от началь
ного состояния (подробнее см. п. 1.3.1).
Неконсервативная механическая система – механическая система,
полная энергия которой меняется со временем (подробнее см. п.1.3.1).
Для консервативной механической системы согласно принципу
Гамильтона – Остроградского можно определить функцию Лагран
жа L(q1, q2, …, qs, q11, q12, … , q1s, t), как функцию от всех обобщенных
координат q и всех обобщенных скоростей q1 , где q и q1 – векторы
размерности s. При этом переход системы из начального состояния
(q1, q1 1 )t1 в момент времени t1 в конечное (q2, q1 2 )t2 в момент времени t2
12
должен осуществляться таким образом, чтобы действие S имело наи
меньшее возможное значение:
t2
S = ∫ L(q, q1 , t)dt.
(1.1)
t1
Следует отметить, что в такой формулировке принцип Гамильто
на – Остроградского не всегда справедлив для всей траектории дви
жения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участ
ков; для всей же траектории может оказаться, что действие имеет
лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Одна
ко это совершенно не существенно при выводе уравнений движения,
использующем лишь условие экстремальности [17, 18].
Одновременно заданные и q, и q1 однозначно определяют состоя
ние механической системы и позволяют прогнозировать ее дальней
шее движение, поэтому функция Лагранжа не содержит производ
ные от обобщенных координат более высоких порядков, например
11 .
обобщенных ускорений q
Число степеней свободы – число независимых величин, задание
которых необходимо для однозначного определения положения си
стемы. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми ко
ординатами и могут задаваться в зависимости от условий задачи.
Обобщенные координаты – набор s величин q1, q2, …, qs, вполне
характеризующих положение системы с s степенями свободы, а про
изводные q1i – ее обобщенные скорости. Одновременное задание всех
координат и скоростей полностью определяет состояние системы
и позволяет предсказать дальнейшее ее движение. Соотношения, свя
зывающие ускорения с координатами и скоростями, называются урав
нениями движения.
Наличие минимума действия требует, чтобы первая вариация ин
теграла (1.1) δS равнялась нулю:
t2
δS = δ ∫ L(q, q1 , t)dt = 0.
(1.2)
t1
Произведем варьирование (1.2):
δS =
t2
∫ ( δq
T
t1
T
)
∇q L + δq1 T∇ q L dt = 0,
(1.3)
T
⎛ ∂L ∂L
⎛ ∂L ∂L
∂L ⎞
∂L ⎞
где ∇q L = ⎜
,
, 1,
⎟ и ∇q1 L = ⎜ 2 , 2 , 1, 2 ⎟ – градиенты
∂qs ⎠
∂qs ⎠
⎝ ∂q1 ∂q2
⎝ ∂q1 ∂q2
от L по q и q1 соответственно. Проинтегрируем (1.3) и, учтя, что вари
13
ации от обобщенных координат δq и обобщенных скоростей δq1 в мо
менты времени t1 и t2 тождественно обращаются в нуль, получим:
δS = δq T∇ q1 L
t2
t1
t
2
t2
d
⎛
⎞
+ ∫ δq T ⎜ ∇q L − ∇q1 L ⎟ dt = 0, δq T∇q1 L ≡ 0, (1.4)
t1
dt
⎝
⎠
t1
t2
∫ δq
t1
T⎛
d
⎞
⎜ ∇q L − ∇q1 L ⎟ dt = 0.
dt
⎝
⎠
(1.5)
Интеграл (1.5) должен обращаться в нуль при любых значениях
δq, это возможно только в том случае, если подынтегральное выра
жение тождественно обращается в нуль:
∇q L −
d
∇q1 L = 0.
dt
(1.6)
Уравнение (1.6) – это уравнение движения механической систе
мы, называемое уравнением Лагранжа.
Следует отметить, что функция Лагранжа определена лишь с точ
ностью до прибавления к ней полной производной от любой функции
координат и времени. Также функция Лагранжа имеет важное свой
ство аддитивности, отражающее тот факт, что уравнения движения
каждой из независимых частей механической системы не могут со
держать величин, относящихся к другим частям системы.
Частные производные от функции Лагранжа по обобщенным ско
ростям называются обобщенными импульсами p, а производные по
обобщенным координатам – обобщенными силами Q:
Q = ∇ q L, p = ∇ q1 L.
(1.7)
Для неконсервативных систем механическое движение может
быть описано путем добавления в уравнение (1.6) определенных до
полнительных членов, также являющихся обобщенными силами Qf.
Тогда общее выражение для обобщенной силы Qif, влияющей на i –
обобщенную координату qi:
δA
(1.8)
Qif =
,
δqi
где δA – вариация работы, совершаемой силой; δqi – вариация обоб
щенной координаты qi.
Тогда с учетом выражений (1.6), (1.7) и (1.8) уравнения Лагран
жа можно записать в виде:
p1 = Q + Qf.
14
(1.9)
Инерциальная система отсчета – система отсчета, относительно
которой пространство является однородным и изотропным (свойства
одинаковы во всех направлениях), а время – однородным. В такой
системе отсчета законы механического движения имеют наиболее
простой вид. Относительно такой системы отсчета свободная мате
риальная точка движется равномерно и прямолинейно.
Материальная точка – одно из основных понятий механики. Под
материальной точкой понимают тело, размерами которого при опи
сании его движения можно пренебречь. Положение материальной
точки в пространстве определяется ее радиусвектором r, компонен
ты которого совпадают с ее декартовыми координатами x, y, z. Произ
водная от r по времени t называется скоростью r1 = v, а вторая произ
водная от r по времени – ускорением 11
r = v1.
Функция Лагранжа замкнутой механической системы в инерци
альной системе отсчета при отсутствии энергетических потерь имеет
вид:
1
L = q1 TA(q)q1 − U(q),
(1.10)
2
где первое слагаемое является кинетической энергией системы T,
которая, как видно, зависит от обобщенных координат и является
квадратичной функцией скоростей; второе слагаемое – потенциаль
ная энергия взаимодействия тел системы друг с другом; A(q) – сим
метричная матрица инерции при ускорениях размерности s × s. В слу
чае наличия внешнего поля добавляется слагаемое, которое может
зависеть от времени явно:
1
L = q1 T A(q)q1 − U(q) − Uf (q, f (t)).
2
(1.11)
Формулирование законов механического движения с использова
нием функции Лагранжа, когда состояние механической системы
описывается обобщенными координатами и их скоростями, не явля
ется единственным. Переход от одного набора независимых перемен
ных к другому может быть произведен с помощью преобразования
Лежандра. Рассмотрим полный дифференциал функции Лагранжа:
dL = dq T∇q L + dq1 T∇q1 L.
(1.12)
С учетом уравнений (1.6) и (1.7) перепишем (1.12):
dL = dq Tp1 + dq1 Tp.
(1.13)
15
Запишем второй член (1.13) в виде:
dq1 Tp = d(q1 Tp) − q1 Tdp.
(1.14)
Записав в (1.13) вместо второго слагаемого (1.14), сделав преоб
разования и введя новое обозначение q1 Tp − L = H(p, q, t), получим:
d(q1 Tp − L) = −dq Tp1 + q1 Tdp, dH(p, q, t) = −dq Tp1 + q1 Tdp.
(1.15)
Из дифференциального равенства следуют уравнения:
q1 = ∇ p H (p, q, t), p1 = −∇ q H (p, q, t).
(1.16)
H(p, q, t) – гамильтонова функция, представляющая собой энергию
системы, а уравнения (1.16) называются уравнениями Гамильтона.
Следует отметить уравнения Гамильтона – Якоби (1.17), которые
наряду с уравнениями Лагранжа и уравнениями Гамильтона также
являются основой некоторого общего метода интегрирования урав
нений механического движения:
∂S
+ H(q,∇q S, t) = 0.
∂t
(1.17)
§ 1.2. Механическое движение твердого тела
Твердое тело – система материальных точек, расстояния между
которыми неизменны. Для описания движения твердого тела введем
в рассмотрение следующие системы координат: неподвижную пра
вую систему координат (ось Z направлена вертикально, ось X и Y –
ортогональны и лежат в горизонтальной плоскости, обход от X к Y
осуществляется против часовой стрелки) – базовую, и движущуюся
правую систему координат, жестко связанную с твердым телом и уча
ствующую во всех его движениях. Если начало движущейся системы
координат совмещено с центром инерции тела, то такую систему ко
ординат будем называть связанной, иначе – конструкционной.
Рассмотрим движение твердого тела относительно базовой систе
мы координат E0 = (o0 , [e0 ]) (здесь и в дальнейшем o0 – начало систе
мы координат; Е = [е0] – тройка базисных векторов e0x = (1,0,0)T,
e0y = (0,1,0)T и e0z = (0,0,1)T – ортов). Положение твердого тела в Е0
однозначно определяется заданием положения связанной системы
координат Eсв = (oсв , [eсв ]) либо конструкционной системы коорди
16
нат Eк = (oк , [eк ]), движущейся вместе с телом (в данном параграфе
будет рассматриваться только Есв).
В общем случае твердое тело имеет шесть степеней свободы, а его
движение состоит из двух движений: поступательного (параллель
ного переноса системы как целого относительно базисных векторов
Е = [е0]) и вращательного, и описывается шестью обобщенными ко
ординатами. Поступательное движение Есв относительно Е0 опреде
ляется радиусвектором начала координат подвижной системы о
с координатным столбцом oсв = [ox , oy , oz ]T в Е0. Матричное уравне
ние (1.18) является ММ поступательного движения:
o = [e0 ]oсв .
(1.18)
Продифференцировав (1.18), получим уравнение для скорости v
с координатным столбцом v0 в базисе Е = [е0]
v = [e0 ]v0 .
(1.19)
Координатный столбец vсв скорости v в базисе [eсв] будем называть
столбцом линейных квазискоростей. Уравнение, связывающее v
и vсв аналогично (1.19):
v = [eсв ]vсв .
(1.20)
Чтобы построить ММ вращательного движения, необходимо вве
0
, являющуюся числовой харак
сти некоторую матрицу вращения cсв
теристикой ориентации ортов базиса [eсв] относительно базиса Е =
= [е0]. Переход от базиса [eсв] к Е = [е0] определяется выражением
0
[e св ] = [e0 ]ссв
.
(1.21)
0
Так как cсв
– ортогональная, то обратная к ней есть просто транс
понированная и выражение для перехода от [e0] к [eсв] имеет вид
0,T
[e0 ] = [eсв ]ссв
.
(1.22)
0
Наиболее простым и понятным методом определения cсв
являет
T
ся выбор тройки углов простейших вращений ϕ = (β, θ, α) . Враще
ние называется простейшим, если при этом один из ортов остается
неподвижным. Вообще возможны 24 варианта выбора ϕ, которые
17
обусловливаются требованиями конкретной задачи. В дальнейшем
будут рассматриваться только повороты относительно первого орта
y
e0x , потом второго eβ и третьего ezθ (краткая запись: 1 – 2 – 3), но по
изложенной методике могут быть получены уравнения и для других
наборов. На рис. 1.1 показано, что положительное направление от
счета углов (как и моментов) – против часовой стрелки.
Исходя из рис. 1.1, определим выражения для матриц простей
0
ших вращений c1 (β), c2 (θ), c3 (α) и матрицы вращения cсв:
0
0 ⎤
⎡1
⎡ cos(θ) 0 sin(θ) ⎤
c1 (β) = ⎢⎢0 cos(β) − sin(β) ⎥⎥ , c2 (θ) = ⎢⎢ 0
1
0 ⎥⎥ ,
⎢⎣0 sin(β) cos(β) ⎥⎦
⎢⎣ − sin(θ) 0 cos(θ) ⎥⎦
⎡ cos(α) − sin(α) 0 ⎤
c3 (α) = ⎢⎢ sin(α) cos(α) 0 ⎥⎥ ,
⎢⎣ 0
0
1 ⎥⎦
0
cсв
= с1 (β)с2 (θ)с3 (α).
;
;E
(1.23)
;E
;T T
E
:E
E
9 9E
:
:
:
9E
T
;T ;Ê»
:
9T
:Ê»
D
9T D
:T
9Ê»
Рис. 1.1. Простейшие вращения
18
:E :T
Скорость изменения взаимной ориентации базисов [eсв] и Е = [е0]
характеризуется угловой скоростью вращения Ω, направление ко
торой совпадает с мгновенной осью вращения oсвoΩ (рис. 1.2). Коор
динатный столбец ωсв в базисе [eсв] угловой скорости Ω называется
столбцом угловых квазискоростей:
Ω = [eсв ]ωсв.
(1.24)
Для координатного столбца ω0 в базисе [e0] скорости Ω анало
гично (1.24) имеем
(1.25)
Ω = [e0 ]ω0 .
Обозначим Ω1, Ω 2, Ω 3 угловые скорости простейших вращений,
направление которых совпадает с направлением орта, относительно
которого осуществляется поворот. Запишем выражения для Ω i
Ω1 = e0xβ1 , Ω 2 = eβy θ1 , Ω 3 = ezθ α1 ,
(1.26)
z
T
где e0x = (1,0,0)T, eβy = (0,1,0)T, eθ = (0,0,1) в соответствующих базисах
β
θ
0
[e ], [e ], [e ].
;E
;T ;ɫɜ
[
ZÊ»
:
:
ZE[
:
Z EY
9E
9T
;
Z
ZÊ»
Ê»
ZTY
Y
ZÊ»
:Ê»
ZTZ : 9Ê»
:T :E
9E 9 : :
Z[
Z
W
:
Рис. 1.2. Угловые скорости и их проекции
19
Получим строгое определение угловой скорости с использованием
0
. Так как Ω
ММ вращательного движения – матрицы вращения cсв
характеризует скорость изменения взаимной ориентации базисов [eсв]
0
.
и Е = [е0], то, следовательно, определяет скорость изменения cсв
0
Вычислим производную по времени от cсв
0
= c11c2c3 + c1c12c3 + c1c2c13 .
c1св
(1.27)
Продифференцируем матрицы простейших вращений
c11 = с1 < Ω1 >, c12 = с2 < Ω 2 >, c13 = с3 < Ω 3 >,
(1.28)
где < Ω i > – кососимметрические матрицы, порожденные векторами
Ω i. Квадратная матрица <х0> называется кососимметрической, если
выполняется равенство:
< x >T = − < x > .
(1.29)
В уравнениях (1.28) и далее используются только кососимметри
ческие матрицы вида
⎡ 0
⎢
< x > = ⎢ xz
⎢ y
⎢⎣ −x
−x z
0
x
x
xy ⎤
⎥
−x x ⎥ ,
⎥
0 ⎥⎦
(1.30)
где xi – компоненты координатного столбца некоторого вектора x.
0
Подставив (1.28) в (1.27) и вынеся cсв
за скобку, получим
0
0
c1св
= cсв
(с3Tс2T < Ω1 > c2c3 + c3T < Ω2 > c3 + < Ω3 >).
(1.31)
Рассмотрим оператор А, отображающий векторное пространство
само в себя, с матрицей А0 в базисе [e0] и матрицей А1 в некотором
базисе [e1]. При связи между базисами [e1 ] = [e0 ]c1 справедливы ра
венства
A0 = c1A1c1T , A1 = c1TA1c1.
(1.32)
С учетом свойств (1.32) в (1.31) заметим, что выражение в скоб
ках есть не что иное, как кососимметрическая матрица < ωсв >, по
20
рожденная координатным столбцом угловых квазискоростей. Тогда
(1.31) примет вид
0
0
c1св
= cсв
< ωсв > .
(1.33)
Используя (1.32), получим аналогичное (1.33) выражение для ω0
и установим связь между ω0 и ωсв , а также между v0 и vсв:
0
0
0
0
с1св
= < ω0 > cсв
, ω0 = ссв
ωсв , v0 = ссв
vсв.
(1.34)
Из выражений (1.31), (1.32) и (1.33) однозначно определяется
соотношение между столбцом угловых квазискоростей ωсв и коор
динатными столбцами угловых скоростей простейших вращений
в соответствующих базисах:
ωсв = с3Tс2TΩ1 + c3TΩ2 + Ω3.
(1.35)
Таким образом, шестью обобщенными координатами твердого тела
q, однозначно определяющими его положение, являются: три ком
поненты координатного столбца радиусвектора осв и три угла про
стейших вращений ϕ:
q = [ox , oy , oz , β, θ, α]T.
(1.36)
Обобщенные скорости найдем дифференцированием q по времени
q1 = [o1x , o1y , o1z , β1 , θ1 , α1 ]T.
(1.37)
Введем столбец квазискоростей твердого тела Vсв = [vсв ; ωсв ], яв
ляющийся единой характеристикой его движения в базисе [eсв]. Пе
репишем выражения (1.34) и (1.35) с учетом (1.26) и (1.37) в но
вых обозначениях:
⎡ с0,T
0
0
Vсв = Mсв
q1, ε0св = [c3Tc2Te0x | c3Teβy | eθz ], Mсв
= ⎢ св
⎢⎣ 0
0⎤
⎥.
ε0св ⎥⎦
(1.38)
Уравнения (1.38) устанавливают функциональную зависимость
квазискоростей Vсв от обобщенных координат q и обобщенных ско
ростей q1 и называются обобщенными кинематическими уравне
ниями Эйлера твердого тела. Матрица ε0св называется матрицей Эй
лера.
21
Твердое тело в отличие от материальной точки характеризуется
не только массой m, но и тензором моментов инерции Iсв, или просто
тензором инерции тела. Тензор инерции зависит от геометрических
размеров тела и от распределения его массы по объему. Чтобы найти
выражение для Iсв, воспользуемся данным нами определением твер
дого тела как системы материальных точек. Запишем выражение для
кинетической энергии твердого тела
T=
1
∑ miviTvi ,
2
(1.39)
где vi и mi – координатный столбец скорости в связанной системе ко
ординат и масса iй материальной точки соответственно. Положение
iй точки определяется радиусвектором ri, координатный столбец
которого в [e0] определяется выражением:
0 i
r0i = oсв + cсв
rсв ,
(1.40)
i
где rсв
– координатный столбец радиусвектора iй точки в [eсв]. Про
i
= 0 и умножив
дифференцируем (1.40) по времени, учтя равенство r1св
0,T
слева на cсв , получим
i
vi = vсв + < ωсв > rсв
.
(1.41)
Используем два свойства кососимметрических матриц <ωсв>r iсв =
i
i
>T = − < rсв
> и перепишем (1.41) в виде
= – <r iсв>ωсв, < rсв
i
vi = vсв + < rсв
>Tωсв.
(1.42)
Подставив уравнение (1.42) в (1.39), получим
T=
1
T
T
i
mi vcв
vсв + ∑ mi vcв
< rсв
>T ωсв +
∑
2
1
i
i
+ ∑ mi ωTсв < rсв
>< rсв
>T ωсв .
2
(1.43)
Первая сумма есть кинетическая энергия твердого тела как цело
го. Так как подвижная система координат определена в центре инер
ции, то вторая сумма обращается в нуль. Третья сумма характеризу
ет кинетическую энергию вращательного движения, выражение
∑ mi < rсвi > < rсвi >T является тензором инерции в связанной системе
22
координат. Считая, что твердое тело сплошное, определим выраже
ние для тензора инерции Iсв
i
i
Iсв = ∫∫∫ ρ < rсв
> < rсв
>Tdxdydz.
(1.44)
i
Центр инерции – точка, в которой расположено начало системы
отсчета, движущейся со скоростью относительно неподвижной си
стемы отсчета, и в подвижной системе отсчета полный импульс меха
нической системы равен нулю.
Определим большую матрицу инерции в связанной системе ко
ординат вида
Θ св
св
⎡m[1]3
=⎢
⎣ 0
⎡1 0 0⎤
0 ⎤
, [1] 3 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ,
Iсв ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
(1.45)
тогда выражение для кинетической энергии примет вид
1
T = VсвT Θсв
св Vсв .
2
(1.46)
Следует отметить, что тензор инерции существенно зависит от
выбора системы координат, относительно которой он определяется
и может быть функцией обобщенных координат. Поэтому его целе
сообразно определять либо в связанной, либо конструкционной сис
темах координат.
Тензор инерции всегда является симметричным тензором второго
ранга и может быть приведен к диагональному виду. Оси вращения,
при которых тензор инерции диагональный, называются главными
осями инерции, а его ненулевые элементы – главными моментами
инерции. Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции
не может быть больше суммы двух других.
Для нахождения уравнений движения воспользуемся уравнением
(1.9). В качестве обобщенных импульсов выберем импульс твердого
тела p0 в базисе Е = [е0] и момент импульса твердого тела М0 в базисе
Е = [е0], другими словами, определим их в инерциальной системе от
счета. Тогда выражение для кинетической энергии поступательного
движения имеет вид
1
Tпост = mv0Tv0 .
2
(1.47)
23
Определим потенциальную энергию тела во внешнем поле U(осв)
как функцию от осв. Используя (1.7) при L = Tпост − U(oсв ), q1 = v0 и q = oсв,
определим, что
∇v0 L = mv0 = p0 , ∇oсв L = F0 , p1 0 = F0 ,
(1.48)
где F0 – сила, действующая на тело в центре инерции.
Исходя из определений твердого тела и момента импульса для
материальной точки Mi = < r0i > p0i в базисе [e0], где p0i = miv0i – им
пульс, а v0i – скорость iй точки в этом базисе, можно записать, что
1 = d
M
∑ < r0i > p0i = ∑ < r10i > p0i + ∑ < r0i > p1 0i .
0
dt
(1.49)
Первая сумма обращается в нуль, так как в инерциальной системе
координат r10i параллелен pi0 . Учтем (1.48) и получим
1 = < ri > F = K ,
M
∑ 0 0 0
0
(1.50)
где K0 – момент сил со стороны внешнего поля. Уравнения (1.48)
и (1.50) носят названия теорем об изменении количества движения
и момента количества движения соответственно. Поскольку в оп
ределение момента импульса входят радиусвекторы частиц, то его
значение зависит от выбора начала координат.
Подставив в (1.49) выражения для p0i , и r10i , получим
0
i
0,T 0
i
M0 = ∑ mi (< oсв > + cсв
< rсв
> cсв
)cсв (vсв + < rсв
>T ωсв ) =
0
0
i
= < oсв > cсв
vсв ∑ mi + < oсв > cсв
< ωсв > ∑ mi rсв
+
0
+ cсв
< vсв >T
∑ mi rсвi + cсв0 ∑ mi < rсвi >< rсвi >T ωсв .
(1.51)
Первая сумма есть координатный столбец импульса твердого тела
pсв в базисе [eсв]; вторая и третья суммы – тождественный нуль при
выборе связанной системы координат; в четвертую входит выраже
ние для тензора инерции. Перепишем (1.51) в новых обозначениях
0
0
0
0
M0 = < oсв > cсв
pсв + cсв
Iсв ωсв , p0 = cсв
pсв = cсв
mvсв .
(1.52)
По аналогии с (1.51) и (1.52) запишем выражения для сил F0 и мо
ментов K0
0
0
0
K0 = < oсв > cсв
Fсв + cсв
Kсв , F0 = cсв
Fсв ,
(1.53)
где Fсв и Kсв – координатные столбцы сил и моментов в базисе [eсв].
24
Продифференцируем (1.52) по времени
1 = < o1 > c0 p + < o > c0 < ω > p + < o > c0 p1 +
M
0
св
св св
св
св
св
св
св
св св
0
0
0 0 ⎤
1 св = ⎡< oсв > ссв
Iсв ω
ссв ×
+ cсв
< ωсв > Iсв ωсв + cсв
⎣
⎦
1
⎛
⎡ vсв ⎤ ⎡< ωсв > 0 ⎤ св ⎡ vсв ⎤ ⎞
0 0 ⎡ Fсв ⎤
× ⎜⎜ Θсв
св ⎢
⎥ + ⎢ < v > < ω > ⎥ Θсв ⎢ω ⎥ ⎟⎟ = ⎣⎡< oсв > ссв ссв ⎦⎤ ⎢ K ⎥ ,
1
ω
св ⎦
⎣ св ⎦ ⎣ св
⎣ св ⎦ ⎠
⎣ св ⎦
⎝
0
0
0
p1 0 = cсв
< ωсв > mvсв + cсв
mv1св = cсв
( < ωсв > mvсв + mv1св ) = cсв0 Fсв ,
0
ссв
⎡ p1 0 ⎤ ⎡
=
⎢M
1 ⎥ ⎢
0
⎣ 0 ⎦ ⎣⎢ < oсв > ссв
0 ⎤ ⎛ св ⎡ v1св ⎤ ⎡< ωсв >
0
⎥⎜ Θ
⎥ + ⎢< v > < ω
0 ⎜ св ⎢ ω
1
ссв ⎦⎥ ⎝
св
⎣ св ⎦ ⎣ св
0
⎡
ссв
=⎢
0
⎢⎣ < oсв > ссв
⎤ св ⎡ vсв ⎤ ⎞
Θ св ⎢
⎥ ⎟⎟ =
>⎥⎦
⎣ωсв ⎦ ⎠
0 ⎤ ⎡ Fсв ⎤
.
⎥
0 ⎢K ⎥
ссв
⎥⎦ ⎣ св ⎦
(1.54)
Уравнения, полученные из (1.54):
0
⎡ v1св ⎤ ⎡< ωсв >
Θсв
св ⎢
⎥ + ⎢< v > < ω
1
ω
св
⎣ св ⎦ ⎣ св
⎤ св ⎡ vсв ⎤ ⎡ Fсв ⎤
Θсв ⎢
⎥=⎢
⎥,
> ⎥⎦
⎣ωсв ⎦ ⎣ Kсв ⎦
(1.55)
являются уравнениями движения твердого тела и называются обоб
щенными динамическими уравнениями Эйлера для твердого тела.
Введем обозначения
0
⎡
0⎤
ссв
L0св = ⎢
⎥,
0 0
ссв ⎥⎦
⎢⎣ < oсв > ссв
⎡< ωсв > 0 ⎤ 10 0,−1
⎡F ⎤
Φ св
= Lсв Lсв , Ξ св = ⎢ св ⎥ ,
св = ⎢
⎥
⎣ < vсв > < ωсв > ⎦
⎣ Kсв ⎦
(1.56)
где L0св – матрица преобразования систем координат; Φ св
св – матрица,
образованная из элементов координатного столбца квазискоростей
0
0
св
и определяющаяся из уравнения L1св = Lсв Φ св ; Ξ св – координатный
столбец сил и моментов, действующих на тело, в базисе [eсв]. Теперь
перепишем уравнение (1.55) в компактной форме:
св св
1
Θсв
св Vсв + Φ св Θ св Vсв = Ξ св .
(1.57)
25
Таким образом, уравнения (1.38) и (1.57) однозначно определяют
состояние твердого тела. Исключим квазискорости из уравнений дви
жения (1.55). Для этого продифференцируем (1.38):
0,T 0 ⎤ o1
⎡ ⎤⎞
d ⎡ vсв ⎤ d ⎛ ⎡ ссв
⋅ св ⎟ =
⎢ ω ⎥ = ⎜⎜ ⎢
0 ⎥ ⎢ 1 ⎥⎟
dt ⎣ св ⎦ dt ⎝ ⎢⎣ 0 εсв ⎥⎦ ⎣ ϕ ⎦ ⎠
0,T 0 ⎤ o1
0,T 0 ⎤ o
⎡ < ω >T ссв
⎡ св ⎤ ⎡ссв
⎡ 11 ⎤
= ⎢ св
⋅
+
⋅ св .
⎥
⎢
⎢
⎥
0
0 ⎥ ⎢ 11 ⎥
1
ϕ
ε1 св ⎦⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎢ 0 εсв ⎦⎥ ⎣ ϕ ⎦
0
⎣⎢
(1.58)
Подставив уравнение (1.38) и (1.58) в (1.55) и учтя, что < vсв > =
0,T
0
= ссв
< o1св > ссв
и < ωсв > = с3Tс2T < Ω1 > c2c3 + c3T < Ω2 > c3 + < Ω3 >, получим
0,Т
⎡mcсв
⎢
⎢⎣ 0
0,T
⎤ ⎡o11св ⎤ ⎡ −m < ωсв > ссв
⋅⎢ ⎥ + ⎢
⎥
11 ⎦ ⎢
Iсв ε0св ⎥⎦ ⎣ ϕ
0
⎣
0
0,Т
⎡m < ωсв > cсв
+⎢
0,Т
⎣⎢ m < vсв > cсв
< ωсв
0,Т
⎤ ⎡o1св ⎤ ⎡mcсв
⋅⎢ ⎥ = ⎢
⎥
> Iсв ε0св ⎦⎥ ⎣ ϕ1 ⎦ ⎣⎢ 0
0
Iсв ε1 0св +
⎤ ⎡o1св ⎤
⎥⋅⎢ ⎥ +
⎣ ϕ1 ⎦
Iсв ε1 0св ⎥⎦
0
0,Т
0,T
⎡m < ωсв > cсв
− m < ωсв > ссв
+⎢
0,Т
m < vсв > cсв
⎣⎢
⎡mc0,Т
= ⎢ св
⎢⎣ 0
0
< ωсв >
0
⎤ ⎡o11св ⎤
⎥⋅⎢ ⎥ +
11 ⎦
⎣ϕ
0
Iсв εсв
⎦⎥
⎤ ⎡o1св ⎤
⎥⋅⎢ ⎥ =
⎣ ϕ1 ⎦
Iсв ε0св ⎦⎥
⎤ ⎡o11св ⎤ ⎡0
0
⎤ ⎡o1св ⎤ ⎡ Fсв ⎤
. (1.59)
=
⎥⋅⎢ ⎥ + ⎢
⎥⋅
0
0
11 ⎦ ⎢⎣0 Iсв ε1 св + < ωсв > Iсв εсв ⎥⎦ ⎢⎣ ϕ1 ⎥⎦ ⎢⎣ Kсв ⎥⎦
⎣ϕ
0
Iсв ε0св ⎥⎦
Найдем производную от матрицы Эйлера:
ε1 0св = [(< eθz > c3Tc2T α1 + θ1 c3Tc2T < eβy >)e0x | α1 < eθz > c3T eβy | 0].
(1.60)
Воспользуемся данным ранее определением (1.8), чтобы привести
(1.59) к уравнениям в обобщенных силах, т. е. действующие на тело
силы и моменты должны быть спроецированы на системы коорди
нат, в которых определены обобщенные координаты. Для этого не
0,T
:
обходимо умножить слева (1.59) на матрицу Mсв
⎡m[1]3
⎢
⎣⎢ 0
0
0
⎤ ⎡o11св ⎤ ⎡0
⎤ ⎡o1св ⎤
⋅⎢ ⎥ + ⎢
=
⎥⋅
0,T
0
0,T
0
11 ⎦ ⎢⎣0 εсв Iсв ε1 св + εсв < ωсв > Iсв εсв ⎥⎦ ⎢⎣ ϕ1 ⎥⎦
⎣ϕ
0 ⎥
ε0,T
⎦
св Iсв ε св ⎥
⎡ c0 F ⎤ ⎡ Q ⎤
= ⎢ св св ⎥ = ⎢ f ⎥ = Q,
⎢⎣ ε0,T
св Kсв ⎥
⎦ ⎣Qk ⎦
26
0
⎡m[1]3
⎤
A (q) = ⎢
,
0,T
0 ⎥
0
εсв Iсв εсв ⎦⎥
⎣⎢
0
⎡0
⎤
B(q, q1 ) = ⎢ 0,T
.
0
0,T
0 ⎥
⎢⎣0 εсв Iсв ε1 св + εсв < ωсв > Iсв εсв ⎥⎦
(1.61)
Введя новые обозначения, где Q – обобщенные силы свободного
тела, запишем уравнение (1.61) в известной компактной форме:
A (q)q11 + B(q, q1 )q1 = Q.
(1.62)
Следует заметить, что для интегрирования (1.62) необходимо за
дать начальное состояние (q0 , q10 )t0.
§ 1.3. Законы сохранения. Проверка правильности моделей
Выделим ряд функций fi (q, q1 ) – интегралов движения – таких,
что при изменении q и q1 значение этих функций остается постоян
ным и зависит только от начальных значений аргументов. Среди
fi (q, q1 ) есть некоторые интегралы, постоянство которых играет важ
ную роль и связано с однородностью и изотропией пространства и вре
мени. Такие интегралы обладают важным свойством аддитивности:
их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием ко
торых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из час
тей в отдельности.
1.3.1. Закон сохранения энергии
Рассмотрим закон сохранения, возникающий изза однородно
сти времени. Для этого найдем полную производную по времени от
функции Лагранжа (1.7). Так как эта функция не зависит явно от
времени, получим:
dL
= q1 T∇q L + q11T∇ q1 L
dt
(1.63)
С учетом уравнения Лагранжа (1.6) получим
dL
d
d
= q1 T ∇q1 L + q11T∇q1 L = (q1 T∇q1 L).
dt
dt
dt
(1.64)
27
Из уравнения (1.64) следует, что
d T
(q1 ∇q1 L − L) = 0.
dt
(1.65)
Следовательно, величина Е не изменяется при движении системы
и является интегралом движения
E = q1 T∇q1 L − L.
(1.66)
Данная величина называется полной энергией системы. Механи
ческие системы, полная энергия которых не изменяется, а зависит
только от начального состояния, – консервативные. Вычислим Е
с учетом уравнения (1.7):
1
E = q1 T A (q)q1 + U(q).
2
(1.67)
Для систем, находящихся в постоянном поле, полная энергия
1
E = q1 T A(q)q1 + U(q) + Uf (q),
2
(1.68)
где Uf(q) – потенциальная энергия системы в однородном поле.
Следует отметить, что закон сохранения массы и энергии справед
лив для всех физических систем, только в общем случае придется
учитывать энергию потерь и взаимное преобразование энергии и мас
сы. Например, в случае малых затухающих колебаний, когда при
сутствуют силы трения и демпфирования, скорость изменения энер
гии механической системы можно характеризовать диссипативной
функцией
1
Ψ = q1 T Dq1,
(1.69)
2
а выражения для этих сил могут быть записаны в виде антиградиен
та от Ψ:
Qψ = −∇q1 Ψ = − Dq1,
(1.70)
где D – симметричная матрица положительных коэффициентов. Урав
нения Лагранжа в этом случае примут вид:
d
∇q1 L = ∇ q L − ∇q1 Ψ.
dt
28
(1.71)
Для определения энергии потерь Eψ вычислим полную производ
ную по времени от полной энергии системы:
d
d
E1 = ⎡⎣q1 T ∇q1 L − L ⎤⎦ = q11T ∇q1 L + q1 T ∇q1 L − q11T ∇q1 L − q1 T ∇q1 L = −q1 T ∇q1 Ψ = −2Ψ,
dt
dt
Eψ = 2∫ Ψdt.
(1.72)
t
Тогда с учетом уравнений (1.72) для (1.68) имеем:
1
E = q1 T A(q)q1 + U(q) + Uf (q) + Eψ .
2
(1.73)
1.3.2. Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса обусловлен однородностью простран
ства: механические свойства замкнутой системы не меняются при
любом параллельном переносе системы как целого в пространстве.
Рассмотрим малый параллельный перенос на вектор δr, где r0i –
линейные координаты материальных точек, при неизменных линей
ных скоростях v0i , и потребуем, чтобы вариация функции Лагранжа
равнялась нулю:
δL = ∑ δr T∇r i L = 0.
i
(1.74)
0
В силу уравнений Лагранжа (1.6) и произвольного выбора δr по
лучаем, что
d
d
δL = ∑ δr T ∇r1i L = ∑ δr T ∇vi L =
0
dt
dt o
i
i
=0⇒
d
∑ ∇ i L = p1 0 = 0 ⇒ p0 = ∑ p0i = const,
dt i v0
i
(1.75)
т. е. импульс замкнутой системы p0 не изменяется при параллельном
переносе.
1.3.3. Закон сохранения момента импульса
Этот закон сохранения связан с изотропией пространства: свой
ства замкнутой механической системы не меняются при любом пово
роте системы как целого в пространстве.
29
Рассмотрим поворот системы на малые углы δϕ = [δβ, δθ, δα]T и по
требуем, чтобы функция Лагранжа не изменилась:
(
)
δL = ∑ δriT∇r i L + δviT∇vi L = 0.
i
0
0
(1.76)
В этом случае радиусвекторы r0i и скорости v i0 изменятся по за
конам:
0 i
0 i
ri = cсв
r0 = r0i + < δϕ > r0i , vi = cсв
v0 = v0i + < δϕ > v0i ,
(1.77)
поэтому приращения скоростей δvi и радиусвекторов δri в [e0] будут
δvi = vi − v0i = < δϕ > v0i и δri = ri − r0i = < δϕ > r0i .
(1.78)
Подставив уравнение (1.78) в (1.76) и используя (1.6) и свойства
кососимметрических матриц, получим
(
)
(
)
δL = ∑ δriT p1 0i + δviT p0i = ∑ r0i,T < δϕ >T p1 0i + v0i,T < δϕ >T p0i =
i
i
(
)
= ∑ δϕT < r0i > p1 0i + δϕT < r10i > p0i = δϕ
i
d
d
< r0i > p0i = δϕ ∑ Mi = 0, (1.79)
∑
dt i
dt i
где Mi = < r0i > p0i – момент импульса материальной точки. Так как
выбор δϕ
ϕ произволен, следует, что момент импульса всей замкнутой
системы М0 при ее движении сохраняется:
M0 = ∑ < r0i > p0i = const.
(1.80)
i
§ 1.4. Механическое подобие. Масштабирование моделей
Умножение функции Лагранжа на любой постоянный множитель
не меняет уравнений движения, что дает возможность проводить
масштабирование ММ.
Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия U является од
нородной функцией координат
U(αr1, αr2, 1, αrn ) = αkU(r1, r2, 1, rn ),
(1.81)
где α – произвольная постоянная, а k – степень однородности функ
ции.
30
Сделаем преобразование, при котором наряду с изменением всех
координат в α раз одновременно изменяется в β раз время:
rα → αrα , t → β t.
(1.82)
Все скорости vα = r1a изменяются при этом в α / β раз, а кинетиче
ская энергия – в α2 / β2 раз. Потенциальная энергия умножается на
αk. Таким образом, связь между α и β задается выражением:
1−
β=α
k
2.
(1.83)
В результате такого преобразования функция Лагранжа целиком
умножится на постоянный множитель α k, т. е. уравнения движения
останутся неизменными.
Изменение всех обобщенных координат в одинаковое число раз
означает переход от одних траекторий к другим, геометрически по
добным первым и отличающимся от них только своими размерами,
причем все времена движения t (между соответствующими точками
траекторий), а также скорости v, энергии E и моменты импульсов M
(в соответственных точках траекторий в соответственные моменты
времени) относятся как
1−
t′ ⎛ l′ ⎞
=⎜ ⎟
t ⎝l⎠
k
2
k
k
1+
v′ ⎛ l′ ⎞ 2 E′ ⎛ l′ ⎞ 2 M ′ ⎛ l′ ⎞
=⎜ ⎟ ,
=⎜ ⎟ ,
=⎜ ⎟
,
v ⎝l⎠
E ⎝l⎠
M ⎝l⎠
k
2
,
(1.84)
где штрихом отмечены отмасштабированные величины, а без штри
ха – исходные; l – линейный размер траектории.
Данный принцип положен в основу масштабирования обобщен
ных координат и времени при моделировании реальных механиче
ских систем [17].
Примеры
Математическая модель нежесткого редуктора
Редукторы (рис. 1.3) являются составными частями большинства
механических систем.
Чтобы найти уравнения движения редуктора, воспользуемся урав
нениями Лагранжа (1.9). Для этого введем базовую систему коорди
31
нат E0 (ось X – вдоль оси вала электродвигателя (SH3); ось Z – вверх;
ось Y – дополняет до правой системы координат), для каждого зубча
того колеса (GEi) определим связанную систему координат Ei анало
гично базовой. Будем считать, что каждое зубчатое колесо имеет одну
степень свободы – поворот относительно оси Xi. В качестве обобщен
ных координат выберем углы βi , определяющие угловые положения
соответствующих Ei относительно E0. Скорости изменения этих уг
лов в E0 обозначим ωi . Каждое зубчатое колесо характеризуется глав
ным моментом инерции Ii относительно главной оси вращения Xi.
Определим функцию Лагранжа согласно уравнению (1.10):
1
L = q1 T A (q)q1 − U(q).
2
Кинетическая энергия редуктора как механической системы при
вращательном движении имеет вид:
1
1
1
1
1
T = q1 T Aq1 = I1ω12 + I2 (−ω2 )2 + I3 (−ω3 )2 + I4ω24 .
2
2
2
2
2
Потенциальная энергия обусловлена деформациями элементов ре
дуктора: скручиванием валов (см. рис. 1.4, а), деформациями крепеж
º
¹
,»ÔÎ
3
Z»ÔÎ
(&
Z
4) ,»ÔÎ Z»ÔÎ
Z
(&
Z
3
4)
Z
(&
4)
Z
Z
Z½»
3
Z
,½»
3 Z
,½» Z½»
(&
Рис. 1.3. Общий вид редуктора: а – вид спереди; б – вид сбоку в разрезе
32
ных элементов (шпилек, штифтов) и зубьев колес (рис. 1.4, б). Потен
циальная энергия U деформированных по линейному закону валов:
1
1
1
U = C1 (βвых − β1 )2 + C2 ( −β2 + β3 )2 + C3 (β4 − βдв )2 ,
2
2
2
где Ci – коэффициент упругости iго вала; βдв – угол поворота вала
электродвигателя относительно E0; βвых – угол поворота вала SH1.
Найдем выражения для моментов импульсов Mi и обобщенных
сил упругости валов KвC, используя уравнение (1.7):
⎡ C1 (βвых − β1 ) ⎤
⎡ I1ω1 ⎤
⎢ C (−β + β ) ⎥
⎢− I ω ⎥
2
2
3 ⎥
2 2⎥
⎢
M = ∇ωL =
, KвС = ∇β L = ⎢
,
⎢ −C2 ( −β2 + β3 ) ⎥
⎢ − I3ω3 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣ I4ω4 ⎥⎦
⎣⎢ −C3 (β4 − βдв ) ⎦⎥
где ωi – угловые скорости зубчатых колес в E0; ∇ ω L – вектор частных
производных от функции Лагранжа по всем ωi ; ∇β L – вектор част
ных производных от функции Лагранжа по всем βi .
¹
EJ
EE
J
J
º
EJ
EJ
»
¼
EE
J
J
r,Ã$
'EJ
BSDUH$J
'EJ
BSDUH%J
EE
J
J
Рис. 1.4. Виды деформаций и люфт в зубчатой передаче: а – скручивание
вала; б – деформации зубьев зубчатых колес; в – люфт; г – гра
фик зависимости момента упругого взаимодействия зубчатых
колес при наличии люфта
33
Моменты упругого взаимодействия зубчатых колес KкС определим,
используя (1.8):
KкС
⎡ δA1 ⎤ ⎡ −C4 (β1 + β2 )δβ1 ⎤
⎢ δβ ⎥ ⎢
⎥
δβ1
−C4 (β1 + β2 ) ⎤
⎢ 1⎥ ⎢
⎥ ⎡⎢
⎢ δA2 ⎥ ⎢ C4 (β1 + β2 )δβ2 R2 ⎥ ⎢
R ⎥
⋅
C4 (β1 + β2 ) 2 ⎥
⎥
⎢ δβ ⎥ ⎢
δβ2
R1 ⎥ ⎢
R1 ⎥
2⎥ ⎢
=⎢
=
=
,
⎢ δA3 ⎥ ⎢ C5 (β3 + β4 )δβ3 ⎥ ⎢⎢ C5 (β3 + β4 ) ⎥⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
δβ3
⎢ δβ3 ⎥ ⎢
⎥ ⎢⎢ −C (β + β ) R4 ⎥⎥
⎢ δA4 ⎥ ⎢ −C5 (β3 + β4 )δβ4 R4 ⎥ ⎣⎢ 5 3 4 R3 ⎦⎥
⋅
⎥
⎢
⎥ ⎢
δβ4
R3 ⎦⎥
⎣⎢ δβ4 ⎦⎥ ⎣⎢
где δAi – элементарные работы моментов KкΨ , при повороте на соот
ветствующие малые углы δβi ; Ci – коэффициенты упругости зубча
тых передач; Ri – радиус соответствующего зубчатого колеса.
R
Отношение i называется передаточным числом зубчатой пе
Ri+1
редачи и обозначается ij, Легко доказывается, что при пренебреже
нии изменением радиуса зубчатых колес передачи для моментов од
ной передачи имеем
Kj
Rj
=−
= −ij .
Kj +1
Rj +1
В реальном редукторе присутствуют обобщенные силы вязкого
трения и демпфирования.
Для нахождения моментов демпфирования валов KвΨ воспользу
емся (1.70). Определим диссипативную функцию:
1
1
1
Ψ = D1 (ωвых − ω1 )2 + D2 (−ω2 + ω3 )2 + D3 (ω4 − ωдв )2 ,
2
2
2
где Di – коэффициент демпфирования iго вала; ωдв – угловая ско
рость вала электродвигателя в E0; ωвых – выходная угловая скорость
редуктора в E0.
Тогда выражения для KвΨ могут быть записаны в виде:
Kвψ
34
⎡ D1 (ωвых − ω1 ) ⎤
⎢ D ( −ω + ω ) ⎥
2
2
3 ⎥
= −∇ ωΨ = ⎢
.
⎢ − D2 (−ω2 + ω3 ) ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ − D3 (ω4 − ωдв ) ⎥⎦
Моменты демпфирования зубчатых колес KкΨ определим, исполь
зуя уравнение (1.8):
KкΨ
⎡ δA1 ⎤ ⎡ − D4 (ω1 + ω2 )ω1δt ⎤
⎢ δβ ⎥ ⎢
⎥ ⎡ − D (ω + ω ) ⎤
ω1δt
4
1
2
⎢ 1⎥ ⎢
⎥
⎢ δA2 ⎥ ⎢ D4 (ω1 + ω2 )ω2δt R2 ⎥ ⎢⎢
R ⎥
⋅
D4 (ω1 + ω2 ) 2 ⎥
⎥
⎢ δβ ⎥ ⎢
ω2δt
R1 ⎥ ⎢
R1 ⎥
2⎥ ⎢
,
=⎢
=
=
⎢ δA3 ⎥ ⎢ D5 (ω3 + ω4 )ω3δt ⎥ ⎢⎢ D5 (ω3 + ω4 ) ⎥⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
ω3δt
⎢ δβ3 ⎥ ⎢
⎥ − D (ω + ω ) R4 ⎥⎥
4
⎢ δA4 ⎥ ⎢ − D5 (ω3 + ω4 )ω4 δt R4 ⎥ ⎢⎣⎢ 5 3
R3 ⎦⎥
⋅
⎥
⎢
⎥ ⎢
ω
δ
t
R
δβ
⎥
4
3⎦
⎣⎢ 4 ⎦⎥ ⎣⎢
где Dj – коэффициенты демпфирования зубчатых колес.
Согласно (1.9) уравнения движения редуктора примут вид:
1 1 ⎤ ⎡ C1 (βвых − β1 ) ⎤ ⎡
−C4 (β1 + β2 )
⎤
⎡ I1ω
⎢− I ω
⎥ ⎢ C ( −β + β ) ⎥ ⎢ C (β + β ) ⋅ R / R ⎥
1
2
3 ⎥ ⎢ 4 1
2
2
1 ⎥
⎢ 2 2⎥ = ⎢ 2
+
+
⎥
⎢ − I3 ω
1 3 ⎥ ⎢ −C2 (−β2 + β3 ) ⎥ ⎢
C5 (β3 + β4 )
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥
1 4 ⎦⎥ ⎣⎢ −C3 (β4 − βдв ) ⎦⎥ ⎢⎣ −C5 (β3 + β4 ) ⋅ R4 / R3 ⎥⎦
⎣⎢ I4 ω
− D4 (ω1 + ω2 )
⎡ D1 (ωвых − ω1 ) ⎤ ⎡
⎤
⎢ D ( −ω + ω ) ⎥ ⎢
⎥
ω
+
ω
⋅
D
(
)
R
/
R
2
2
3 ⎥ ⎢
4
1
2
2
1 ⎥
+⎢
+
⎢ − D2 ( −ω2 + ω3 ) ⎥ ⎢
⎥
D5 (ω3 + ω4 )
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣ − D3 (ω4 − ωдв ) ⎥⎦ ⎣⎢ − D5 (ω3 + ω4 ) ⋅ R4 / R3 ⎦⎥
или в компактной форме:
1 =K +K +K +K .
M
вC
кC
вψ
кΨ
Момент реакции со стороны редуктора на электродвигатель Kдв
и выходной момент редуктора Kвых определяются выражениями:
Kвых = ∇ωвых L − ∇ωвых Ψ = −C1 (βвых − β1 ) − D1 (ωвых − ω1 ),
Kдв = ∇ ωдв L − ∇ ωдв Ψ = C3 (β4 − βдв ) + D3 (ω4 − ωдв ).
В реальных зубчатых передачах присутствуют нелинейности типа
люфта (см. рис. 1.4, в), при этом коэффициенты упругости и демпфи
35
рования зубчатых передач являются функциями углов и имеют не
линейный характер (см. рис. 1.4, г) (нелинейность типа зоны нечув
ствительности).
Математическая модель самолета
Чтобы описать пространственное движение самолета относитель
но плоской земли (при малых дальностях полета, когда искривлени
ем поверхности планеты можно пренебречь), необходимо ввести сле
дующие правые прямоугольные системы координат: стартовую Ест
(располагаемую на поверхности Земли в точке старта, ось Y – вверх
по местной вертикали, X – выбирают в соответствии с задачей, Z –
дополняет до правой), нормальную систему координат Ен (начало
координат в центре инерции самолета, оси Ен параллельны Ест), свя
занную Есв (начало координат в центре инерции, ось X – вдоль стро
ительной горизонтали самолета (СГС), Y – вверх, Z – дополняет до
правой), скоростную Еск (начало в центре инерции, ось X – вдоль
вектора скорости самолета, Y – вверх, Z – дополняет до правой) [1].
Положение Ен в Ест определяется вектором о с координатным столб
цом oн = [ox , oy , oz ]T в Ен. Положение Есв в Ен определяется углами
простейших вращений: ψ – поворот относительно Y (угол рыска
нья), ϑ – поворот относительно Z (угол тангажа), γ – поворот отно
сительно X (угол крена). Положение Еск в Есв определяется двумя
углами: α – углом атаки (поворот относительно Z), β – углом сколь
жения (поворот относительно Y). Очевидно, что порядок отсчета уг
лов отличен от рассмотренного ранее (см. рис. 1.1) и может быть за
кодирован как (2–3–1) для ψ, ϑ, γ и (2–3) для α , β .
Уравнения движения самолета как твердого тела имеют вид урав
нения (1.55):
0
⎡ v1св ⎤ ⎡< ωсв >
Θсв
+⎢
св ⎢
⎥
1 св ⎦ ⎣ < vсв > < ωсв
⎣ω
⎤ св ⎡ vсв ⎤ ⎡ Fсв ⎤
Θсв ⎢
⎥=⎢
⎥.
> ⎥⎦
⎣ωсв ⎦ ⎣ Kсв ⎦
Если необходимо учесть изменение массы и тензора инерции са
молета, например, обусловленное расходом топлива, сбросом груза
и т. п., нужно ввести в уравнение (1.55) дополнительный член:
0
⎡ v1св ⎤ ⎡ < ωсв >
Θсв
св ⎢
⎥ + ⎢< v > < ω
1
ω
св
⎣ св ⎦ ⎣ св
36
⎤ св ⎡ vсв ⎤ 1 св ⎡ vсв ⎤ ⎡ Fсв ⎤
Θсв ⎢
⎥ + Θ св ⎢ω ⎥ = ⎢ K ⎥ .
> ⎥⎦
⎣ ωсв ⎦
⎣ св ⎦ ⎣ св ⎦
Основными силами и моментами, действующими на самолет, яв
ляются: сила тяжести G с координатным столбцом Gсв в Есв; аэроди
намическая сила R и момент аэродинамической силы (аэродинами
ческий момент) K (рис. 1.5) с соответствующими координатными стол
бцами Rсв и Kсв в Есв, сила тяги двигательной установки самолета P
с координатным столбцом Pсв в Есв.
Сила R и момент K существенно зависят от угла атаки и угла сколь
жения. Выведем соотношения между этими углами и координатным
столбцом vсв:
x
⎡ cos β 0 sin β ⎤ ⎡cos α − sin α 0 ⎤ ⎡ vсв ⎤ ⎡vсв ⎤
⎢
⎢ 0
⎥ ⋅ ⎢ sin α cos α 0 ⎥ ⋅ ⎢ 0 ⎥ = v y ⎥ ,
1
0
⎥ ⎢ св ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎢ z ⎥
⎢
⎢⎣ − sin β 0 cos β ⎥⎦ ⎢⎣ 0
⎥
0
1 ⎦ ⎣ 0 ⎥⎦ ⎢vсв
⎣ ⎦⎥
⎡ vy
α = arcsin ⎢ св
⎣⎢ vсв
z ⎤
⎤
⎡ vсв
⎥ , β = −arctg ⎢ x ⎥ .
⎣⎢ vсв ⎦⎥
⎦⎥
Уравнения движения самолета запишем в следующем виде:
0
⎡ v1св ⎤ ⎡< ωсв >
Θсв
св ⎢
⎥ + ⎢< v > < ω
1
ω
св
⎣ св ⎦ ⎣ св
⎤ св ⎡ vсв ⎤ 1 св ⎡ vсв ⎤ ⎡ Rсв + Gсв + Pсв ⎤
Θсв ⎢
⎥ + Θсв ⎢ ω ⎥ = ⎢
⎥,
> ⎥⎦
Kсв
⎣ ωсв ⎦
⎣ св ⎦ ⎣
⎦
T
−1
0
0,T
1 , ϑ1 , γ1 ⎤⎦ = ε0,
o1н = cсв
vсв , ⎡⎣ ψ
св ωсв , Gсв = cсв G0 ,
где G0 – координатный столбец G в Ен. Следует отметить, что выра
0
и ε0св отличны от (1.23) и (1.38), полученных для пос
жения для cсв
:Ê»
;Ê»
3
Ê»
1
,
(
9Ê»
Рис. 1.5. Связанная система координат. Силы и моменты, действую
щие на самолет
37
ледовательности 1–2–3. Для закрепления материала, используя из
ложенные в § 1.2 и 1.3 методики, можно самостоятельно вывести
выражения для последовательности 2–3–1 и проверить их правиль
ность.
Задание для самостоятельной работы
1. Запишите функцию Лагранжа материальной точки в трехмер
ном пространстве, находящейся в гравитационном поле Земли. Най
дите уравнения движения этой механической системы. Определите
все аддитивные интегралы движения такой системы.
2. Получите выражения для матрицы Эйлера и матрицы враще
ния при следующих последовательностях вращений: 3–1–3 (углы
Эйлера), 3–2–1, 2–3–1, 2–1–2, 1–2–1.
3. Будут ли отличаться уравнения движения твердого тела, если
подвижная система координат определена не в центре инерции твер
дого тела?
38
ГЛАВА 2
ЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 2.1. Алгоритм построения линейных математических моделей
механических систем с упругими связями
Если в механической системе все использующиеся системы коор
динат Ei получены параллельным переносом из базовой системы ко
ординат E0, а силы и моменты – явные функции времени либо ли
нейная комбинация обобщенных координат и их производных, то
уравнения движения такой системы будут линейными.
Примером такой системы является система материальных точек
с упругими связями (рис. 2.1).
Здесь и далее нижний индекс – обозначение движущегося тела
(или системы координат тела); верхний внутренний – обозначение
тела (или системы координат), относительно которого движется; верх
ний внешний – используется для обозначения координатных стол
бцов (в проекциях на какие оси).
Часто в реальных системах приходится иметь дело с взаимодей
ствиями типа связи, т. е. ограничениями, налагаемыми на взаимное
расположение элементов системы. В данной главе будут рассматри
ваться связи, обусловленные абсолютно упругими деформациями
элементов механической системы – упругие связи. Абсолютно упру
гими деформациями называются деформации, исчезающие после сня
тия нагрузок. Чтобы описать процесс упругого взаимодействия, вос
пользуемся законом Гука: сила упругости пропорциональна дефор
мации.
Положения материальных точек «¾ÄÇ
«¾ÄÇ
$
относительно базовой системы коорди
N
N
нат E0 определяются соответственно
радиусвекторами o10 , o20 , o30 с коорди
T
$
натными столбцами o10,0 = ⎡ x10, y10, z10 ⎤ ,
$
⎣
⎦
0,0 ⎡ 0 0 0 ⎤ T 0,0 ⎡ 0 0 0 ⎤ T
o2 = x2, y2, z2 , o3 = x3, y3, z3 . Каж
⎣
⎦
⎣
⎦
&
N
дая материальная точка имеет массу mi;
$
«¾ÄÇ
каждая упругая связь характеризуется
x y z
матрицей жесткостей Ci = diag(Сi , Сi , Сi ),
где нижний индекс – номер связи, а вер Рис. 2.1. Граф механической
системы:
– ма
хний обозначает соответствующую де
териальные точки;
— – связи
картову координату.
39
Вектор обобщенных координат
q = [x10, y10, z10, x20, y20, z20, x30, y30, z30 ]T.
(2.1)
При отсутствии деформаций положения материальных точек оп
ределяются радиусвекторами R10, R20, R30 с координатными столбца
ми R10,0 , R20,0 , R30,0 соответственно.
Запишем функцию Лагранжа этой системы:
1
1
L = q1 Tmq1 T − (q − R )T Γ TСΓ(q − R ),
2
2
(2.2)
где m = diag(m1 [1]3 , m2 [1]3, m3 [1]3 ) – матрица инерции всей системы;
R = [R10,0 ; R20,0 ; R20,0 ]; Γ – топологическая матрица механической сис
темы; С = diag(C0 , С1, С2 , С3 ) – матрица жесткостей всей системы.
Топологическая матрица системы в нашем случае имеет вид:
⎡ [1]3
⎢ −[1]
3
Γ=⎢
⎢ −[1]3
⎢
⎢⎣ 0
0
[1]3
0
−[1]3
0 ⎤
0 ⎥⎥
.
[1]3 ⎥
⎥
[1]3 ⎥⎦
(2.3)
Алгоритм нахождения топологической матрицы в общем слу
чае записывается следующим образом:
Если существует связь номер s между iй и jй вершинами графа
системы по соответствующим координатам ql и qk, где l и k – номера
координат в q, то в строке матрицы Γ с номером s ставится –1 в пози
ции i, и 1 – в позиции j, все остальные позиции строки заполняются
нулями.
Если существует связь номер s между нулевой (базовая система
координат) и jй вершинами графа системы по соответствующим ко
ординатам ql и qk, где l и k – номера координат в q, то в строке матрицы
Γ с номером s ставится 1 в позиции j, все остальные позиции строки
заполняются нулями.
Определим выражения для обобщенных импульсов системы p:
p = ∇q1 L = mq1
(2.4)
и обобщенных сил упругого взаимодействия QC:
QС = ∇q L = −Γ TСΓq + Γ T СΓR.
40
(2.5)
Уравнения движения системы примут вид:
mq11 + Γ TСΓq = Q + Γ TСΓR,
(2.6)
где Q – обобщенные силы, действующие на систему и не обусловлен
ные упругим взаимодействием (например, гравитацией).
Если в системе присутствует демпфирование, то диссипативная
функция имеет вид:
1
Ψ = q1 TΓ TСΓq1.
2
(2.7)
Найдем диссипативные силы системы:
QΨ = −∇q1 Ψ = −Γ T DΓq1,
(2.8)
где D = diag( D0 , D1, D2 , D3 ) – матрица демпфирования всей системы,
а Di = diag( Dix, Diy, Diz ) – матрица демпфирования упругой связи (ниж
ний индекс – номер связи, а верхний обозначает соответствующую
декартову координату).
Уравнение движения механической системы с учетом демпфиро
вания примет вид:
mq11 + Γ TCΓq + Γ T DΓq1 = Q + Γ TCΓR.
(2.9)
§ 2.2. Основные сведения о радиотелескопах
как объектах управления
В дальнейшем построение ММ механических систем будет рассмат
риваться на примере крупного полноповоротного радиотелескопа (РТ).
Радиотелескопы объединяют в себе большинство характерных
свойств динамических объектов и служат хорошим примером для
применения на них теоретических разработок в областях динамики
машин и процессов их управления. Поэтому далее рассматриваются
основные проблемы построения ММ РТ, а научные результаты, по
лученные при исследовании динамических свойств РТ, могут быть
распространены на электромеханические объекты другого приклад
ного применения [22, 24].
Радиотелескоп – астрономический инструмент (антенная уста
новка) для приема собственного радиоизлучения небесных объектов
(в Солнечной системе, Галактике и Метагалактике) и исследования
41
его характеристик: координат источников, пространственной струк
туры, интенсивности излучения, спектра и поляризации.
Развитие современной радиоастрономии и дальней космической
связи возможно лишь на основе создания крупногабаритных преци
зионных и полностью автоматизированных антенных комплексов,
способных работать в широком диапазоне частот с практически пол
ным обзором небесной сферы. Этим требованиям в наибольшей степе
ни отвечают полноповоротные зеркальные антенны, обеспечивающие
получение больших коэффициентов усиления и высокой разрешаю
щей способности, что позволяет применять их в радиосвязи, радио
астрономии, радиолокации и в технике дельней космической связи.
Современное развитие антенных систем радиотелескопов связано
с повышением чувствительности и разрешающей способности за счет
увеличения диаметров зеркал (60–100 м) и уменьшения рабочей дли
ны волн (1–10 мм). В связи с этим повышаются требования, предъяв
ляемые к точности создания отражающей поверхности антенны и со
хранения ее в процессе эксплуатации при воздействии на нее изменя
ющихся в зависимости от времени и положения антенны гравитаци
онных, ветровых и тепловых полей.
В настоящее время в странах Европы и США ведутся работы над
созданием полноповоротных радиотелескопов с диаметром главного
зеркала более 60 м для слежения за удаленными космическими объек
тами, излучающими в миллиметровом диапазоне радиоволн. На дан
ный момент ни один из радиотелескопов подобного класса в милли
метровом диапазоне не имеет коэффициент используемой поверхно
сти больше 5–10 % (необходимо > 70 %).
В нашей стране таким проектом является строительство 70мет
рового радиотелескопа РТ70 на плато Суффа в Узбекистане. Радиоте
лескоп РТ70 был спроектирован для работы в дециметровом и санти
метровом диапазонах радиоволн с рекордными радиотехническими
характеристиками. При длине волны 3 см коэффициент использова
ния поверхности составил КИП = 0,6, а эффективная поверхность
S = 2300 м2. Для использования РТ70 в миллиметровом диапазоне
требуется решение ряда проблем, связанных с модернизацией зер
кальной системы (ЗС), системы наведения и ее ММ.
В РТ70 (рис. 2.2) реализована длиннофокусная ЗС по схеме Гре
гори, которая представляет собой систему из трех зеркал – главного
(3), контррефлектора (2) и перископического (5). Отражающая по
верхность главного зеркала 3 имеет форму квазипараболоида. Такой
профиль отражающей поверхности дает более эффективное распре
деление уровня радиосигнала по плоскости раскрыва зеркала. Отра
42
Рис. 2.2. Общий вид РТ70: 1 – ри
гель; 2 – контррефлектор; 3 –
главное зеркало; 4 – опорное коль
цо; 5 – перископическое зеркало;
6 – ферменный каркас; 7 – гирос
копическая платформа; 8 – ос
нование; 9 – противовес; 10 –
платформа; α – угол азимута;
β – угол места
;
D
E
9
жающая поверхность контррефлектора 2 имеет форму квазиэллип
соида. Перископическое зеркало 5 выполнено в виде плоскости и раз
мещено на карданном подвесе.
Большие эффективные площади РТ приводят к тому, что его кон
струкция имеет большие геометрические размеры, конструктивные
элементы которой обладают значительной податливостю, а движу
щиеся части – огромными моментами инерции, причем вся эта меха
ническая система находится под воздействием низкочастотных вет
ровых возмущений и других метеорологических и климатических
факторов. Совокупность этих факторов приводит к возникновению
низкочастотных резонансных процессов, сопровождающихся слабым
демпфированием, что вызывает существенные трудности при управ
лении, так как при этом для обеспечения устойчивости и точности
приходится ограничивать полосу пропускания системы, а это отри
цательно сказывается на динамической точности наведения.
§ 2.3. Математическая модель
пространственной металлоконструкции радиотелескопа
по углу азимута
Пространственная металлоконструкция (ПМК) состоит из боль
шого числа элементов и характеризуется распределенными инерци
онными, жесткостными и демпфирующими свойствами. При этом
43
узлы ПМК в процессе наведения РТ перемещаются друг относитель
но друга. Динамика РТ характеризуется большим числом собствен
ных частот колебаний, поэтому ее точное математическое описание
оказывается практически невозможным. Для построения ММ ис
пользуются эвристические методы, основанные на представлении
конструкции ПМК в виде системы конечных элементов, наделенных
эквивалентными инерционными, демпфирующими и жесткостными
характеристиками.
Приближенная ММ ПМК должна воспроизводить наиболее энер
гоемкие тоны нижней части спектра собственных частот РТ, соот
ветствующие ее главным колебаниям. Отсюда следует, что ММ дол
жна быть представлена в виде системы дифференциальных уравне
ний (СДУ) невысокого порядка. Порядок СДУ приближенной ММ
определяется числом нижних собственных частот энергетического
спектра РТ, существенно влияющих на ее динамику. Основная про
блема заключается в адекватности воспроизведения в модели форм
собственных колебаний реального объекта и возможности коррек
ции параметров модели после уточнения или изменения парамет
ров. Существует несколько эвристических подходов построения при
ближенной модели ПМК. Каждый из них предполагает схематиза
цию РТ в виде эквивалентной системы с сосредоточенными парамет
рами.
Подход предусматривает использование расчетной схемы ПМК
в виде геометрически изменяемой пространственной стержневой
конструкции с сосредоточенными параметрами, имеющей конечное чис
ло степеней свободы; выделение и вычисление в ПМК отдельных кон
структивных элементов, в которых сосредоточиваются эквивалент
ные инерционные характеристики (этими характеристиками наде
ляются узлы расчетной схемы); выделение и вычисление жесткост
ных элементов; двухэтапную редукцию исходной СДУ путем заме
ны части дифференциальных уравнений алгебраическими уравне
ниями.
Если пренебречь взаимным влиянием движений по углу азимута
и углу места, то ММ ПМК по азимуту и углу места можно разделить
и рассматривать раздельно. По форме такие ММ сводятся к моделям
приведенных крутильных колебаний, отражающих крутильные
и изгибные колебания ПМК относительно осей наведения.
Семимассовая схема крутильных колебаний элементов ПМК от
носительно азимутальной оси РТ показана на рис. 2.3. На схеме ус
ловно изображены семь жестких инерционных элементов привода
азимута РТ соответственно: платформы, основания, основания зер
44
©Á¼¾ÄÕ
$
£ÇÆËÉɾÍľÃËÇÉ
$
*
*
%
%
¨Ä¹ËÍÇÉŹ
$
$
*
.D
§ÊÆÇ»¹ÆÁ¾
¾ÉùÄÇ
$
*
*
%
§ÊÆÇ»¹ÆÁ¾
À¾ÉùĹ
*
%
%
D
.»»
$
*
%
¨ÉÇËÁ»Ç»¾Ê
Рис. 2.3. Семимассовая схема крутильных колебаний элементов ПМК
относительно азимутальной оси
кала, зеркала, основания контррефлектора, контррефлектора и про
тивовеса зеркала.
В качестве параметров этим элементам приписываются моменты
инерции Ii, которые имеют полученные расчетным путем соответству
ющие им реальные элементы конструкции относительно оси азимута
при вращательном движении. Эти инерционные элементы связаны
между собой упругими связями с крутильными эквивалентными же
сткостями Ci и эквивалентными коэффициентами демпфирования Di,
также полученные расчетным путем.
Чтобы найти уравнения движения, воспользуемся алгоритмом
(2.1)–(2.9).
Выберем вектор обобщенных координат системы
α = [ α1, α2, α3 , α4 , α5, α6 , α7 ] ,
T
(2.10)
где αi – азимутальные углы поворота соответствующих элементов
ПМК. Определим матрицу моментов инерции всей системы:
α
IПМК
= diag( I1, I2 , I3, I4 , I5 , I6 , I7 ).
(2.11)
Определим матрицу жесткостей всей системы:
α
CПМК
= diag(С1, С2 , С3 , С4 , С5, С6 ).
(2.12)
Определим матрицу демпфирования всей системы:
α
DПМК
= diag( D1, D2, D3, D4 , D5, D6 ).
(2.13)
45
Исходя из схемы на рис. 2.3 определим топологическую матрицу
системы
⎡ −1 1 0
⎢ 0 −1 1
⎢
⎢ 0 0 −1
Γα = ⎢
⎢ 0 −1 0
⎢0 0 0
⎢
⎣⎢ 0 0 −1
0
0
1
0
0
0
0 0⎤
0 0 0 ⎥⎥
0 0 0⎥
⎥.
1 0 0⎥
−1 1 0 ⎥
⎥
0 0 1 ⎦⎥
0
(2.14)
Согласно уравнению (2.9) уравнения движения ПМК в форме кру
тильных колебаний относительно азимутальной оси имеют вид:
α
α
α
α
α
11 + Γ Tα DПМК
IПМК
α
Γ α α1 + Γ Tα СПМК
Γ α α = Bα M α + Fв.в
⋅ Mв.в
(2.15)
где Bα – матрица входа управляющего воздействия крутящего мо
мента M α электродвигателя на ПМК посредством зубчатой передачи
α
– матрица входа возмущающего воздействия крутя
редуктора; Fв.в
α
щего момента Mв.в от ветра.
α
Введем δ – парциальный коэффициент внутреннего демпфирова
ния колебаний ПМК, определяемый в соответствии с гипотезой, со
гласно которой коэффициент демпфирования каждого упругого эле
мента ПМК пропорционален величине его жесткости. При таком до
пущении, согласующемся с экспериментальными исследованиями,
матрица демпфирования пропорциональна матрице жесткости, и урав
нения (2.15) примут вид:
α
α
α
α
α
11 + δα ΓTα СПМК
IПМК
α
Γα α1 + ΓTα СПМК
Γα α = Bα M α + Fв.в
Mв.в
. (2.16)
На основании экспериментальных данных всплеск амплитуды на
первой резонансной частоте Ω1 составляет 20 дБ. Для колебатель
ного звена это соответствует ξ = 0,05 и δ = 0,1T1 =
0,1
.
Ω1
Таким образом, определив экспериментально Ω1, можно однознач
но определить δα. Коэффициент ξi для других iчастот будет отли
чаться от ξ на первой резонансной частоте и после очевидных преоб
разований может быть определен по формуле ξi = 0,05
46
Ωi
.
Ω1
α
α
Путем преобразования координат: α1 = V α z1α ; α = V α z2α ; z12 = z1 си
стему (2.16) представим в виде:
α,−1 T α
z11α = −δα V α,−1 IПМК
Γα СПМК Γα V α z1α −
α,−1 T α
− V α,−1 IПМК
Γα СПМК Γα V α z2α +
α,−1 α
α,−1 α
α
B M α + V α,−1 IПМК
Fв.в Mв.в
+ V α,−1 IПМК
.
(2.17)
Матрица V α может быть выбрана так, чтобы выполнялось равен
ство:
α,−1 T α
Ωα,2 = V α,−1IПМК
Γα СПМКΓα V α ,
(2.18)
тогда
α,−1 α
z11α = −δα Ωα,2 z1α − Ωα,2 z2α + V α,−1 IПМК
B Mα +
α,−1 α
α
+ V α,−1 IПМК
Fв.в Mв.в
.
(2.19)
Матрица V α носит название матрицы форм колебаний, а матрица
Ω называется матрицей собственных частот колебаний. Диаго
нальными элементами матрицы Ωα,2 являются элементы, представ
α
ляющие собой квадраты круговых 2πf частот собственных колеба
ний ПМК.
Спектр собственных частот колебаний ПМК, Гц, для приведен
ной семимассовой схемы азимутальных колебаний РТ70 при угле
места β = 00 имеет следующие значения:
α,2
f α = [0 1,2512 3,0281 3,5985 3,7730 4,1964 10,2493] .
T
Частоты в спектре расположены весьма плотно, что осложняет
задачи управления такими объектами.
Координаты векторов z1α и z2α называются «главными координа
тами», а уравнения движения – уравнениями в «главных координа
тах», или в базисе «главных координат». Уравнение движения в этом
случае имеет вид:
z11α
z12α
=
δα Ωα,2
E
+
α
α,−1 α
V α,−1 IПМК
B
Ωα,2 z1
Mα +
⋅
+
α
0
0
z2
α,−1 α
V α,−1 IПМК
Fв.в
0
α
Mв.в
.
(2.20)
47
Таблица 2.1. Приведенные моменты инерции твердых тел при колеба
ниях относительно азимутальной оси
Номер
узла
Приведенный момент инерции, кгс·с2·м
Наименование узла
b = 00
b = 900
Платформа
0,2100·108
0,2100·108
2
Основание
0,4000·107
0,2162·107
3
Основание зеркала
0,9472·107
0,2141·106
4
Главное зеркало
0,1600·108
0,1537·108
5
Ригель
0,3200·107
0,2481·106
6
Kонтррефлектор
0,1060·105
0,4995·104
7
Противовес
0,4700·107
0,4071·106
1
Таблица 2.2. Приведенные жесткости связей при колебаниях относи
тельно азимутальной оси
Номер
стержня
Приведенная жесткость, кгс·м
Наименование связи
b = 00
b = 900
0,5350·1010
1
Платформа – основание
0,5350·1010
2
Основание – основание зеркала
0,5050·1010
0,8395·109
3
Основание зеркала – зеркало
0,8395·109
0,5050·1010
4
Основание – ригель
0,2280·1010
0,1765·1010
5
Ригель – контррефлектор
0,6480·107
0,6480·107
Основание зеркала – противовес
0,2850·1010
0,2074·1010
6
В компактном виде уравнение (2.20) можно записать как:
α
z1α = Azα zα + Bzα M α + Fв.в
M α,
где
zα =
Bzα =
z1α
z2α
; Azα =
α,−1 α
V α,−1 IПМК
B
0
δα Ωα,2
E
; Fzα =
Ωα,2
0
;
α,−1 α
V α,−1 IПМК
Fв.в
0
.
(2.21)
При расчете динамики и имитационном моделировании СДУ ПМК
могут представляться в базисе главных координат zα, а физические
координаты α и α1 вычисляются посредством преобразования коор
динат α1 = V α z1α ; α = V α z2α .
48
§ 2.4. Математическая модель
пространственной металлоконструкции радиотелескопа
по углу места
Шестимассовая схема крутильных колебаний элементов ПМК отно
сительно угломестной оси РТ показана на рис. 2.4. Аналогично азиму
тальной схеме крутильных колебаний на схеме условно изображены
шесть жестких инерционных элементов привода угла места РТ70: ос
нования, основания зеркала, зеркала, основания контррефлектора,
контррефлектора и противовеса зеркала. В качестве параметров этим
элементам приписываются моменты инерции Ii, которые имеют полу
ченные расчетным путем соответствующие им реальные элементы кон
струкции относительно оси угла места при вращательном движении.
Эти инерционные элементы связаны между собой упругими связями
с крутильными эквивалентными жесткостями Ci и эквивалентными ко
эффициентами демпфирования Di, также полученные расчетным путем.
Выберем вектор обобщенных координат системы:
β = [β1, β2, β3 , β4 , β5, β6 ] ,
T
(2.22)
где βi – углы места поворота соответствующих элементов ПМК. Оп
ределим матрицу моментов инерции всей системы:
β
IПМК
= diag( I1, I2 , I3 , I4 , I5 , I6 ).
(2.23)
Определим матрицу жесткостей всей системы:
β
CПМК
= diag(С1 , С2 , С3 , С4 , С5 ).
(2.24)
¾ÉùÄÇ
$
E
.»»
*
%
.E
$
©Á¼¾ÄÕ
$
*
*
¨ÉÇËÁ»Ç»¾Ê
§ÊÆÇ»¹ÆÁ¾
£ÇÆËÉɾÍľÃËÇÉ
$
*
%
%
$
§ÊÆÇ»¹ÆÁ¾
À¾ÉùĹ
*
%
*
%
Рис. 2.4. Шестимассовая схема крутильных колебаний элементов ПМК
относительно угломестной оси РТ
49
Определим матрицу демпфирования всей системы:
β
DПМК
= diag( D1, D2 , D3 , D4 , D5 ).
(2.25)
Исходя из схемы, приведенной на рис. 2.4, определим топологи
ческую матрицу системы:
⎡ −1
⎢ −1
⎢
Γβ = ⎢ 0
⎢
⎢0
⎢⎣ 0
0 0⎤
0 0⎥⎥
0 −1 1 0 0⎥ .
⎥
0 −1 0 1 0⎥
0 0 −1 0 1 ⎥⎦
1
0
0
1
0
0
(2.26)
Согласно (2.9) уравнения движения ПМК в форме крутильных
колебаний относительно азимутальной оси имеют вид:
β
11 + ΓT Dβ Γ β1 + Γ T Сβ Γ β = Bβ M β + F β M β
IПМК
β
в.в
в.в
β ПМК β
β ПМК β
(2.27)
где Bβ – матрица входа управляющего воздействия крутящего момен
та M β электродвигателя на ПМК посредством зубчатой передачи ре
β
– матрица входа возмущающего воздействия крутяще
дуктора; Fв.в
β
го момента Mв.в от ветра.
β
Введем δ – парциальный коэффициент внутреннего демпфирова
ния колебаний ПМК, определяемый в соответствии с гипотезой, со
гласно которой коэффициент демпфирования каждого упругого эле
мента ПМК пропорционален величине его жесткости. При таком до
пущении, согласующемся с экспериментальными исследованиями,
матрица демпфирования пропорциональна матрице жесткости, и урав
нения (2.27) примут вид:
β
β
β
β
β
11
IПМК
β + δβ ΓβT СПМК
Γββ1 + ΓβT СПМК
Γββ = Bβ M β + Fв.в
Mв.в
.
(2.28)
Матрица V β носит название матрицы форм колебаний, а матрица
Ω называется матрицей собственных частот колебаний. Диаго
нальными элементами матрицы Ωβ,2 являются элементы, представ
ляющие собой квадраты круговых 2πf β частот собственных колеба
ний ПМК.
Спектр собственных частот колебаний ПМК, Гц, для приведен
ной семимассовой схемы угломестных колебаний РТ70 имеет сле
дующие значения:
β,2
f β = [0 3,2700 4,2424 6,3041 7,2579 19,6420] .
T
50
Координаты векторов z1β и zβ2 называются «главными координа
тами», а уравнения движения – уравнениями в «главных координа
тах», или в базисе «главных координат». Уравнение движения в этом
случае имеет вид:
z11β
=
z12β
δβ Ωβ,2
E
β
β,−1
β,−1
β
Bβ
V β,−1 IПМК
Fв.в
Ωβ,2 z1 V β,−1 IПМК
β
Mβ +
Mв.в
. (2.29)
⋅
+
0 z2β
0
0
В компактном виде уравнение (2.29) можно записать как:
β
z1β = Azβ zβ + Bzβ Mβ + Fв.в
Mβ ,
где
zβ =
z1β
z2β
, Azβ =
β,−1
β,−1
β
V β,−1 IПМК
Bβ
V β,−1 IПМК
Fв.в
δβ Ωβ,2 Ωβ,2
, Bzβ =
, Fzβ =
. (2.30)
0
0
0
E
При расчете динамики и имитационном моделировании СДУ ПМК
могут представляться в базисе главных координат zβ, а физические
координаты β и β1 вычисляются посредством преобразования коор
динат ωβ = V β z1β ; β = V βz2β .
Таблица 2.3. Приведенные моменты инерции твердых тел при колеба
ниях относительно угломестной оси
Номер
узла
1
2
3
4
5
6
Наименование узла
Противовес
Основание
Главное зеркало
Ригель
Основание зеркала
Kонтррефлектор
Приведенный момент инерции,
кгс·с2·м
0,7500·107
0,3000·107
0,1420·108
0,2700·107
0,6906·107
0,3122·104
Таблица 2.4. Приведенные жесткости связей при колебаниях относи
тельно угломестной оси
Номер
стержня
1
2
3
4
5
Наименование связи
Противовес – основание
Противовес – главное зеркало
Основание – ригель
Основание – основание зеркала
Ригель – контррефлектор
Приведенная жесткость, кгс·м
0,2861·1011
0,4760·1010
0,1960·1010
0,4672·1010
0,6480·107
51
Существенное влияние на точность процессов при управлении элек
тромеханическими объектами имеет нелинейность типа «мертвый
ход», характерную для зубчатых редукторов приводов наведения.
Величины мертвого хода при передаточных числах редукторов по
рядка 105–106 становятся соизмеримыми со значениями заданных
динамических точностей наведения. Для исключения влияния люф
та на точность принимаются специальные меры для его исключения.
Например, каждый привод РТ70 вместо одной кинематической цепи
имеет по две цепи зубчатых передач, замкнутых на коренную шестер
ню исполнительной оси. Электродвигатели создают распорные кру
тящие моменты, обеспечивающие выбор «мертвого хода». Распор
ные крутящие моменты приводов увеличивают трение подвижных
частей приводов, которое отрицательно влияет на плавность враще
ния при сверхмалых скоростях. Для сравнения можно привести зна
чения крутящих моментов в РТ70. Так, номинальные крутящие
моменты электродвигателя и ветрового воздействия составляют со
ответственно 5·106 и 5·105 кгм, а момент сопротивления сухого тре
ния – 7·104 кгм. При максимальных скоростях вращения величина
момента трения увеличивается до значений (1–2)·105 кгм. Момент
сухого трения имеет нелинейный релейный характер вблизи нуле
вых значений скорости вращения и оказывает существенное влия
ние на динамику, поэтому должен учитываться при создании ММ
опорноповоротных устройств.
Задание для самостоятельной работы
1. Найдите уравнения движения механической системы, состоя
щей из четырех материальных точек, которые могут перемещаться
только по координате Х и имеют упругую связь с каждой из матери
альных точек системы по одной Х.
2. Используя уравнение (2.16) и данные из табл. 2.1 и 2.2, в Simu
link постройте имитационную модель движения РТ по углу азимута.
3. Используя построенную в Simulink имитационную модель дви
жения РТ по углу азимута, определите ЛАХ и ЛФХ этой механиче
ской системы.
4. Используя уравнение (2.28) и данные из табл. 2.3 и 2.4, в Simu
link постройте имитационную модель движения РТ по углу места.
5. Используя построенную в Simulink имитационную модель дви
жения РТ по углу места, определите ЛАХ и ЛФХ этой механической
системы.
52
ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГОЛОНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ
§ 3.1. Алгоритм построения линейных математических моделей
механических систем при наличии голономных связей
Связи называются голономными, если они связывают лишь ко
ординаты системы. Примером таких связей могут служить идеаль
ные шарниры [4, 17].
Если на движение механической системы наложены голономные
связи, то движения по некоторым обобщенным координатам отсут
ствуют, соответствующие обобщенные скорости равны нулю, следо
вательно, нужно исключить часть уравнений. В простых случаях про
цедура исключения не вызывает затруднений, но при наличии боль
шого числа связей и элементов системы она становится трудоемкой.
Рассмотрим механическую систему (рис. 3.1), состоящую из че
тырех тел, которые могут вращаться относительно оси Z0 базовой
системы координат E0. В системе присутствуют четыре упругие свя
зи, характеризующиеся коэффициентами упругости Ci и коэффици
ентами демпфирования Di. На систему наложены две голономные свя
зи: между телом 2 и телом 3, а также между телом 3 и телом 4,
выделенные на рис. 3.1 толстыми линиями.
Положение каждого тела относительно E0 определяется соответ
ствующим углом αi . Вектор обобщенных координат системы будет:
α = [α1, α2, α3 , α4 ]T.
(3.1)
«¾ÄÇ
Определим матрицу моментов инер
ции всей системы:
I = diag( I1, I2, I3 , I4 ).
(3.2)
Определим матрицу жесткостей
всей системы (только упругие связи):
C = diag(С1, С2, С3 , С4 ).
(3.3)
Определим матрицу демпфирова
ния всей системы (только упругие
связи):
*
$
«¾ÄÇ
*
«¾ÄÇ
$
*
$
$
«¾ÄÇ
*
Рис. 3.1. Граф механической сис
темы: – твердые те
ла; — – упругая связь;
— – голономная
53
D = diag( D1, D2 , D3, D4 ).
(3.4)
Исходя из схемы на рис. 3.1 определим топологическую матрицу
системы (только упругие связи):
⎡ −1 1
⎢ −1 0
Γ=⎢
⎢ −1 0
⎢
⎢⎣ 0 −1
0 0⎤
1 0 ⎥⎥
.
0 1⎥
⎥
0 1 ⎥⎦
(3.5)
Согласно уравнению (2.9) уравнения движения примут вид:
11 + ΓT DΓα1 + ΓTСΓα = Q.
Iα
(3.6)
Если в графе механической системы IG голономные связи образу
ют подграф PG в виде дерева (граф, образованный из части вершин
и ребер исходного графа) или леса (граф, включающий несколько де
ревьев без общих вершин и ребер), и в IG можно выделить дерево или
лес PD, которому принадлежат все вершины IG, а подграфом PD бу
дет PG, то применим следующий алгоритм построения уравнений
движения.
Для PD необходимо построить топологическую Γ* матрицу по уже
рассмотренному алгоритму, учитывая, что для центральной верши
ны дерева (из которой выходит дерево) с номером j в строке номер
j матрицы Γ* ставится 1, а все остальные позиции заполняются ну
лями.
В нашем случае (см. рис. 3.1) PG состоит из вершин I2, I3, I4 с цент
ральной вершиной I2 и ребер I2I3, I3I4; PD состоит из вершин I1, I2, I3,
I4 с центральной вершиной I1 и ребер I1I2, I2I3, I3I4. Тогда матрица Γ*
имеет вид:
⎡1 0 0
⎢ −1 1 0
Γ* = ⎢
⎢ 0 −1 1
⎢
⎣⎢ 0 0 −1
0⎤
0 ⎥⎥
.
0⎥
⎥
1 ⎦⎥
(3.7)
Введем новый вектор обобщенных координат Γ*:
α* = Γ* α = [α1, α2 − α1, α3 − α2, α4 − α3 ]T.
54
(3.8)
Сделаем преобразование α = Γ*,−1α* и введем новую матрицу L –
конфигурационную матрицу механической системы [4]:
L = Γ*,−1,T
⎡1
⎢0
=⎢
⎢0
⎢
⎣⎢0
1 1 1⎤
1 1 1⎥⎥
.
0 1 1⎥
⎥
0 0 1⎦⎥
(3.9)
Так как при наличии голономных связей отсутствуют угловые
перемещения I3 относительно I2 и I4 относительно I3, то соответству
ющие угловые скорости обращаются в нуль, причем известно, что
тела не перемещаются под действием реакций. Введем матрицу осей
подвижности механической системы f [4], которая содержит ин
формацию о том, какие движения в системе разрешены связями.
Матрица f заполняется по следующему правилу: если разреше
но перемещение α*i , то в строке номер i матрицы f в позиции i ста
вится 1, иначе – 0, а все остальные позиции строки заполняются
нулями.
Матрица f будет иметь вид:
⎡1
⎢0
f =⎢
⎢0
⎢
⎣⎢0
0 0 0⎤
1 0 0 ⎥⎥
.
0 0 0⎥
⎥
0 0 0 ⎦⎥
(3.10)
Чтобы учесть голономные связи, необходимо умножить справа
матрицу LT на f . Введем матрицу S, которая называется структур
ной матрицей механической системы [13]:
T
S = f L.
(3.11)
Подставив (3.11) в уравнение (3.6), получим
11 * + Γ T DΓS Tα1 * + ΓT СΓS T α* = Q.
IS T α
(3.12)
Чтобы исключить силы реакций, необходимо умножить слева
уравнение (3.12) на матрицу S:
11 * + SΓ T DΓS Tα1 * + SΓ T СΓS Tα* = SQ.
SIS T α
(3.13)
55
Вычислим значения матриц и их произведений:
T
⎡1
⎢0
S=⎢
⎢0
⎢
⎣⎢0
0 0 0 ⎤ ⎡1
1 0 0 ⎥⎥ ⎢⎢0
⋅
0 0 0 ⎥ ⎢0
⎥ ⎢
0 0 0 ⎦⎥ ⎣⎢0
1 1 1 ⎤ ⎡ I1
⎢
1 1 1 ⎥⎥ ⎢ 0
⋅
0 0 0⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
⎡ I1 + I2 + I3 + I4
⎢ I +I +I
=⎢ 2 3 4
⎢
0
⎢
0
⎣⎢
⎡1
⎢0
SIS T = ⎢
⎢0
⎢
⎢⎣0
⎡1
⎢0
SΓ T DΓS T = ⎢
⎢0
⎢
⎢⎣0
⎡ −1 1
⎢ −1 0
×⎢
⎢ −1 0
⎢
⎢⎣ 0 −1
1
1
0
0
0
1
0
0
⎡1
⎢0
SΓ T CΓS T = ⎢
⎢0
⎢
⎣⎢0
⎡ −1 1
⎢ −1 0
×⎢
⎢ −1 0
⎢
⎣⎢ 0 −1
56
1
1
0
0
T
1 1 1⎤
⎡1
⎥
⎢0
1 1 1⎥
=⎢
⎢0
0 1 1⎥
⎥
⎢
0 0 1⎦⎥
⎢⎣0
1
1
0
0
1
1
0
0
1 1 1⎤
1 1 1 ⎥⎥
=
0 0 0⎥
⎥
0 0 0 ⎥⎦
0⎤
0 ⎥⎥
,
0⎥
⎥
0 0 ⎦⎥
0
0
I3
0
0
0
1
0
0
T
0 ⎤ ⎡ D1
0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0
⋅
1⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
D2
0
0
T
1⎤
0
⎡0
⎢
⎥
1⎥
0 D1 + D2 + D3
=⎢
⎢0
0⎥
0
⎢
⎥
0 ⎥⎦
0
⎢⎣0
1 1 1 ⎤ ⎡ −1 1
1 1 1 ⎥⎥ ⎢⎢ −1 0
⋅
0 0 0 ⎥ ⎢ −1 0
⎥ ⎢
0 0 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 −1
0 0 ⎤ ⎡1 1
1 0 ⎥⎥ ⎢⎢0 1
⋅
0 1 ⎥ ⎢0 0
⎥ ⎢
0 1 ⎦⎥ ⎣⎢0 0
T
0 ⎤ ⎡1
0 ⎥⎥ ⎢⎢0
⋅
0 ⎥ ⎢0
⎥ ⎢
I4 ⎥⎦ ⎢⎣0
I2 + I3 + I4 0
I2 + I3 + I4 0
0
0
0
I2
0
0
1 ⎤ ⎡ −1 1
1 ⎥⎥ ⎢⎢ −1 0
⋅
0 ⎥ ⎢ −1 0
⎥ ⎢
0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −1
0 ⎤ ⎡1
0 ⎥⎥ ⎢⎢0
⋅
1 ⎥ ⎢0
⎥ ⎢
1 ⎥⎦ ⎢⎣0
1 1 1⎤
1 1 1 ⎥⎥
,
0 0 0⎥
⎥
0 0 0 ⎦⎥
T
T
0 0 ⎤ ⎡C1
1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0
⋅
0 1⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
0 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 0
0
С2
0
0
1 1⎤
0
⎡0
⎢0 С + С + С
1 1 ⎥⎥
1
2
3
=⎢
⎢0
0 0⎥
0
⎥
⎢
0 0 ⎦⎥
0
⎣⎢0
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
×
0 ⎥
⎥
D4 ⎥⎦
0
0
0
0
0⎤
0 ⎥⎥
,
0⎥
⎥
0 ⎥⎦
0
0
D3
0
0
С3
0
0⎤
0 ⎥⎥
×
0⎥
⎥
С4 ⎦⎥
0 0⎤
0 0 ⎥⎥
.
0 0⎥
⎥
0 0 ⎦⎥
Теперь удалим два последних столбца и две последние строки
в матрицах:
⎡I + I + I + I
A* = ⎢ 1 2 3 4
⎣ I2 + I3 + I4
I2 + I3 + I4 ⎤ * ⎡0
0
⎤
, С =⎢
⎥
⎥,
I2 + I3 + I4 ⎦
0
С
С
С
+
+
1
2
3⎦
⎣
0
⎡0
⎤
D* = ⎢
⎥.
⎣0 D1 + D2 + D3 ⎦
Введем новый вектор обобщенных координат Γ*:
α** = [α1* , α*2 ]T ,
(3.14)
(3.15)
тогда уравнения (3.13) примут вид:
11 ** + D* α1 ** + С* α** = Q* .
A* α
(3.16)
Из уравнения (3.16) автоматически исключается упругая связь,
соединяющая вершины I2 и I4, которая не влияет на движение меха
нической системы. Уравнение (3.16) состоит из двух уравнений, хотя
изначально их было четыре.
Обратный переход от обобщенных координат α** к α осуществля
ется следующим образом:
*
α = S*,Tα**, S = f
*,T
L,
(3.17)
*
где f – матрица f , у которой удалены нулевые столбцы. В нашем
случае
f
*
⎡1
⎢0
=⎢
⎢0
⎢
⎢⎣0
0⎤
1 ⎥⎥
.
0⎥
⎥
0 ⎥⎦
(3.18)
Задание для самостоятельной работы
1. Найдите уравнения движения механической системы, состоя
щей из четырех тел, которые могут вращаться относительно оси Z0
базовой системы координат E0 (см. рис. 3.1) и имеют следующие свя
зи: а) I2I3, I3I4, I1I3 – голономные, все остальные упругие; б) I2I3 –
57
голономные, все остальные упругие; в) I3I4, I1I3 – голономные, все
остальные упругие; г) I2I3, I1I3 – голономные, все остальные упругие;
д) I1I2, I1I4 – голономные, все остальные упругие.
2. Используя уравнения, полученные в п. 1, в Simulink постройте
имитационную модель этой механической системы.
3. Используя построенную в Simulink имитационную модель, оп
ределите ЛАХ и ЛФХ этой механической системы.
58
ГЛАВА 4
НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 4.1. Построение уравнений движения
нелинейных пространственных многозвенных
механических систем
В предыдущих главах нами рассматривались системы, механи
ческое движение которых с высокой степенью точности описывали
либо линейные ММ, либо ММ, в которых можно было выделить ли
нейную часть и сосредоточенные нелинейные звенья (например, при
моделировании сухого трения или люфта). При наличии изменений
угловых положений связанных систем координат Ei относительно
базовой системы координат E0 с течением времени (исключение
составляет случай, когда происходит вращение относительно непод
вижной оси), или если ими нельзя пренебречь, разделение обобщен
ных координат и их производных в уравнениях движения не пред
ставляется возможным в общем виде, а алгоритмы построения урав
нений движения таких систем (см. § 2.1, 3.1) являются неприемле
мыми.
Алгоритм построения уравнений движения для подобных нели
нейных динамических систем рассмотрим на примере пространствен
ной металлоконструкции большого полноповоротного радиотеле
скопа [9, 15, 16].
4.1.1. Нелинейная модель
пространственной металлоконструкции радиотелескопа
В параграфах § 2.2–2.4 было дано общее описание и приведены
основные характеристики рассматриваемого РТ, а также обозначе
ны проблемы, которые необходимо учитывать при моделировании
подобных объектов.
Как упоминалось ранее, увеличение диаметров зеркал РТ и ис
пользование РТ в миллиметровом диапазоне приводит к ужесточе
нию требований к точности наведения. Поэтому необходимо иметь
нелинейную модель металлоконструкции РТ, которая позволила бы,
с одной стороны, адекватно воспроизводить динамические процессы
ПМК РТ а с другой – выявить нелинейные эффекты, существенно
влияющие на качество управления. Также применение подобной
59
модели в качестве прогнозирующей в системе управления позволит
оценить неизмеряемые фазовые координаты, существенно влияющие
на точность наведения РТ, прием радиосигнала и, следовательно, на
его инструментальную погрешность.
4.1.2. Алгоритм построения уравнений движения
пространственной металлоконструкции
Представим ПМК в виде системы твердых тел, соединенных упру
гими элементами (рис. 4.1, а).
Необходимо определить системы координат, которые будут ис
пользоваться для описания движения РТ.
Радиотелескоп устанавливается на площадку, координаты которой
с высокой степенью точностью определены в экваториальной системе
¹
º
SD
SD
SD
SD
SD
SD
SD
»
D
;
;
T
D
E
E
9
:
9
Рис. 4.1. Представление ПМК РТ70 в виде расчетной схемы с сосредото
ченными параметрами: а – расчетная схема ПМК РТ70: 0 –
Земля; 1 – платформа; 2 – основание; 3 – противовес; 4 – основа
ние зеркала; 5 – зеркало; 6 – ригель; 7 – контррефлектор; 8 –
угломестная ось; 9 – азимутальная ось; б – граф расчетной схе
мы ПМК РТ70; в – координатные оси и углы простых вращений
60
координат. С площадкой (Землей) связана базовая система координат
E0 = (o0, [e0]) (рис. 4.1, в), где o0 – начало системы координат; [e0] –
тройка базисных векторов e0x = (1,0,0)T , e0y = (0,1,0)T и e0z = (0,0,1)T, где
верхний индекс обозначает ось декартовой системы координат, а ниж
ний – идентификатор системы координат.
На данном этапе определим элементарные «кирпичики», из кото
рых будут построены уравнения всей системы в форме матричных
алгоритмов. Для этого рассмотрим кинематическую пару (рис. 4.2),
состоящую из платформы (тело i) и основания (тело j). Тела имеют
свои системы координат (связанные) Ei = (oi,[ei]) и Ej = (oj,[ej]) соот
ветственно, начала координат которых находятся в центрах инер
ции твердых тел. В начальный момент времени с телом j связана кон
струкционная система координат Ejc = (ojc,[ejc]) (на рис. 4.2 оси вы
делены жирной линией), полученная параллельным переносом Ei
T
i
i
на вектор rjc
= xjc
yijc zijc , где верхний индекс – идентификатор
исходной СК, а нижний индекс – идентификатор новой СК, получен
ной переносом на этот вектор. При действии внешних воздействий
(
)
;KD
:KD
;K
KD
MM
K
KD
9KD M S
KD
S KKD
r:K
9K
S KDJ
;J
:J
J
9J
Рис. 4.2. Определение систем координат кинематической пары i, j
61
и изза нежесткости конструкции имеют место угловые и линейные
перемещения тела j относительно Ejc.
Положение Ei в Ejc определяется углами простейших вращений
jc
β jc
,
θ jc
j
j , α j с последовательностью 1–2–3 (где верхний индекс – иден
тификатор исходной СК, а нижний индекс – идентификатор новой
y
СК, полученной поворотами на эти углы относительно орт exjc , e jc ,
(
)
T
i
i
i
= xjc
yjc
zijc .
e zjc ) и переменным вектором параллельного переноса rjc
Два базиса [ejc] и [ej] связаны между собой матрицей вращения cjjc :
[e j ] = [e jc ]cjjc .
(4.1)
Матрица cjjc является произведением матриц простейших враще
ний относительно каждого орта:
jc,2 jc jc,3
cjjc = cjjc,1 (β jc
(θ j )cj (α jc
j )cj
j ),
⎡1
⎤
⎡ cos(θ jc
⎤
0
0
0 sin(θ jc
j )
j )
⎢
⎥
⎢
⎥
jc,1 jc
jc
jc
jc,2 jc
cj (β j ) = ⎢0 cos(β j ) − sin(β j ) ⎥ , cj (θ j ) = ⎢
0
1
0 ⎥,
⎢
⎥
⎢
jc
jc ⎥
jc
⎢⎣0 sin(β jc
⎥⎦
)
cos(
)
β
⎢⎣ − sin(θ j ) 0 cos(θ j ) ⎥⎦
j
j
jc
⎡cos(α jc
⎤
j ) − sin(α j ) 0
⎢
⎥
jc
⎢
cjjc,3 (α jc
cos(α jc
0⎥ .
j ) = sin(α j )
j )
⎢
⎥
0
1⎥
⎢ 0
⎣
⎦
(4.2)
Переход от Ei к Ejc, обусловленный вектором параллельного пере
(
)
T
i,i
i
с координатным столбцом в [ei]: rjci,i = xijc,i yijc,i zjc
(где вто
носа rjc
рой верхний индекс обозначает базис, в котором определен коорди
натный столбец), выполняется с использованием матрицы парал
лельного переноса:
⎡ [1]3
Tjci (rjci ) = ⎢ i,i
⎢⎣ rjc
⎡ 0
⎡1 0 0 ⎤
0 ⎤
⎢
i,i
⎥ , [1]3 = ⎢0 1 0 ⎥ , rjci,i = ⎢ zjc
⎢
⎥
[1]3 ⎥
⎢
⎦
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
⎢ −yijc,i
⎣
−zijc,i
0
i,i
xjc
i,i ⎤
yjc
⎥
i,i ⎥
−xjc
, (4.3)
⎥
0 ⎥
⎦
где rjci,i – кососимметрическая матрица, образованная из элементов
координатного столбца вектора параллельного переноса rjci,i .
62
Переход от Ejc к Ej, обусловленный вектором параллельного пере
(
jc
)
носа rj с координатным столбцом в [ejc] rjjc,jc = xjjc,jc yjjc,jc zjjc,jc
выполняется с использованием матрицы параллельного переноса:
⎡ [1]
Tjjc (rjjc,jc ) = ⎢ jc,jc
⎢⎣ rj
⎡ 0
0⎤
⎢
⎥ , rjjc,jc = ⎢ zjjc,jc
[1] ⎥
⎢
⎦
⎢ −yjjc,jc
⎣
−zjjc,jc
0
xjjc,jc
T
yjjc,jc ⎤
⎥
−xjjc,jc ⎥ . (4.4)
⎥
0 ⎥⎦
Для кинематической пары, в которой положение Ej в Ei определя
jc
jc
i
jc
ется векторами rjc
, rj и углами простейших вращений β j , θjc
j , αj ,
матрица преобразования систем координат примет вид:
Lij
= Tjci Tjjc [cjjc ],
[cjjc ] =
⎡ cjjc
⎢
⎢0
⎣
0⎤
⎥.
cjjc ⎥⎦
(4.5)
Матрица Lij является произведением двух матриц преобразова
ния систем координат:
Lij = Lijc Ljc
j ,
(4.6)
каждая из которых имеет вид, аналогичный приведенному в уравне
нии (1.56):
jc
jc jc
i
Lijc = Tjci ⋅ [cjc
], Lj = Tj [cj ],
(4.7)
[cijc ]
где
– единичная матрица 6×6, так как Ejc получена только па
раллельным переносом Ej. В случае если Ejc была бы повернута отно
сительно Ei, то необходимо было бы ввести углы ориентации Ejc в Ei,
jc
i
jc
аналогичные β jc
j , θ j , α j , а матрица [cjc ] имела бы вид, аналогич
jc
ный [cj ].
Рассмотрим важные свойства матрицы L, которые необходимо
использовать при построении ММ:
1. Для кинематической цепи от вершины n до m матрица преобра
зования систем координат Lnm при переходе En → Em равна Lnm =
−1
= Lnn+1Lnn++12 1Lm
m .
2. Для матрицы Lnm при переходе En → Em матрица при обратном
n,−1
переходе Em → En равна Lm
(необходимо просто поменять ме
n = Lm
стами индексы, что очень удобно при компьютерной реализации).
•
n
3. Производная от матрицы Lm определяется выражением Lnm =
⎡ ωnm,m
0 ⎤
⎥ , ωn,m и vn,m – кососиммет
= LnmΦnm,m, где Φnm,m = ⎢
m
m
⎢ vn,m
n,m ⎥
ωm ⎥
⎢⎣ m
⎦
63
рические матрицы, образованные координатными столбцами векто
n,m
ров угловых и линейных скоростей Vmn,m = ⎡vm
; ωnm,m ⎤ тела m.
⎣
⎦
Для кинематической пары твердых тел с индексами i и j с шестью
степенями свободы в качестве ее обобщенных координат целесооб
jc
jc
разно выбрать три угла β jc
j , θ j , α j и координатный столбец вектора
jc
параллельного переноса rj :
qjjc = ⎡xjjc,jc
⎣
yjjc,jc
zjjc,jc β jjc
θ jjc
T
α jjc ⎤ .
⎦
(4.8)
Обобщенные скорости данной кинематической пары будут:
q1jjc = ⎡x1 jjc,jc
⎣
y1 jjc,jc
z1jjc,jc β1 jjc
θ1 jjc
T
α1 jjc ⎤ .
⎦
(4.9)
Уравнение кинематики кинематической пары i, j с шестью степе
нями свободы, описывающее зависимость квазискоростей Vjjc,j =
,j ⎤
= ⎡vjjc,j ; ωjc
j ⎦ от обобщенных скоростей этой пары, имеет вид:
⎣
⎡cjjc,T 0 ⎤
⎥,
Vjjc,j = Mjjcq1 jjc , Mjjc = ⎢
(4.10)
jc ⎥
⎢ 0
ε
j ⎦
⎣
где ε jc
j – матрица Эйлера:
jc,T jc
x
⎡ jc,T (α jc
ε jc
(θ j ) ⋅ ejc
j = ⎣ cj
j ) ⋅ cj
y
z ⎤
| cjjc,T (α jjc ) ⋅ ejc
| ejc
.
⎦
(4.11)
При исследовании свойств системы возникает необходимость на
ложить на ее движение голономные связи с использованием шарни
ров. Тогда движения по некоторым обобщенным координатам отсут
ствуют и, следовательно, соответствующие обобщенные скорости
равны нулю. Введем шестимерные орты fkj осей подвижности пары i,
j, где k – номер той обобщенной координаты, по которой движение
в кинематической паре разрешено связями:
fkj
T
k
⎡
⎛
⎞
= ⎜ 0 0 1 0 0 0 ⎟ , f j = ⎢1
⎢⎣
⎝
⎠
k
fkj
⎤
1⎥ .
⎥⎦
(4.12)
Тогда уравнение (4.10) примет вид:
Vjjc,j = Mjjc f j q1jjc .
(4.13)
Так как все твердые тела расчетной схемы ПМК имеют шесть сте
пеней свободы, то матрица f j является единичной и не будет при
ниматься во внимание.
64
Аналогичным способом определены обобщенные координаты
для каждой кинематической пары согласно графу, приведенному на
рис. 4.1, б, где также указаны имеющие место в системе конструкци
онные переносы.
Платформа
Для кинематической пары «земля – платформа» определены три
системы координат: E0 = (o0, [e0]) – базовая СК, расположенная на
земле и входящая в состав инерциальной системы измерения; E1c =
= (o1c, [e1c]) – конструкционная СК, полученная параллельным пере
носом E0 = (o0, [e0]) на вектор r10c ; E1 = (o1, [e1]) – подвижная связан
ная СК, положение которой в E1c характеризуется вектором парал
лельного переноса r11c и углами простейших вращений β11c, θ11c, α11c.
Поэтому обобщенными координатами и скоростями будут:
T
q11c = ⎡⎣x11c,1c
y11c,1c
z11c,1c
β11c
θ11c
α11c ⎤⎦ ,
q111c = ⎡x111c,1c
⎣
y111c,1c
z111c,1c
β1 11c
θ1 11c
α1 11c ⎤ ,
⎦
T
(4.14)
где α11c – угол поворота относительно азимутальной оси.
Матрица преобразования систем координат примет вид:
L01 = T10cT11c [c11c ].
(4.15)
Уравнение кинематики имеет вид:
V11c,1 = M11cq111c , V10,1 = V11c,1 = ⎡⎣v11c,1; ω11c,1 ⎤⎦ .
(4.16)
Основание
Для описания движения кинематической пары «платформа – ос
нование» введены две системы координат: E2c = (o2c,[e2c]) – конструк
ционная СК, полученная параллельным переносом E1 на вектор r21c ;
E2 = (o2,[e2]) – подвижная связанная СК, положение которой в E2c
характеризуется вектором параллельного переноса r22c и углами про
стейших вращений β22c , θ22c , α22c . Поэтому обобщенными координа
тами и скоростями будут:
65
T
q22c = ⎡x22c,2c
⎣
y22c,2c
z22c,2c β22c
θ22c
α22c ⎤ ,
⎦
q122c = ⎡x122c,2c
⎣
y122c,2c
z122c,2c β1 22c
θ1 22c
α1 22c ⎤ ,
⎦
T
(4.17)
где β22c – угол поворота относительно угломестной оси.
Матрица преобразования систем координат примет вид:
L12 = T21cT22c [c22c ].
(4.18)
Уравнение кинематики этой кинематической пары имеет вид:
V22c,2 = M22cq122c .
(4.19)
Чтобы найти динамические уравнение Эйлера (1.55) для основа
ния, необходимо определить выражение для координатного столбца
вектора скоростей центра инерции основания относительно базовой
СК: V20,2 = ⎡⎣v20,2; ω20,2 ⎤⎦ . Положение центра инерции основания в ба
зовой СК определяется вектором r20 :
r20 = r10c + r11c + r21c + r22c.
(4.20)
Перепишем (4.20) в координатных столбцах в [e0]:
1c,0
2c,0
1c,0
1c 2c,1
r20,0 = r10,0
+ r21,0
= r10,0
+ c11cr21,1
. (4.21)
c + r1
c + r2
c + r1
c + c1 r2
Продифференцируем (4.21) по времени:
1c 2c,1
r120,0 = v20,0 = 0 + v11c,0 + c111c r21,1
+ c11c v22c,1 =
c + c11 r2
1c
1c,1
= c11c v11c,1 + c11c < ω11c,1 > r21,1
> r22c,1 + c11c v22c,1 = c11c v20,1,
c + c1 < ω1
T
2c,1 T ⎤ 1c,1
c11c c22c v20,2 = c11c ⎡v11c,1 + ⎡⎣< r21,1
> ⎦ ω1 + v22c,1 ⎤ ,
c > + < r2
⎣
⎦
T
2c,1 T ⎤ 1c,1
v20,2 = c22c,Tv11c,1 + c22c,T ⎡ < r21,1
> ω1 + v22c,2 =
c > + < r2
⎣
⎦
2c,T 1c,1
2c,T ⎡
1,1 T
2c,1 T ⎤ 1c,1
= c2 v1 + c2 ⎣ < r2c > + < r2 > ⎦ ω1 + v22c,2 .
(4.22)
Выражение для координатного столбца вектора угловой скорости
основания относительно базовой СК будет:
ω20,2 = c22c,T ω11c,1 + ω22c,2 .
66
(4.23)
Перепишем (4.22) и (4.23) в компактной форме:
⎡ c2c,T 0 ⎤ ⎡[1]3
V20,2 = ⎢ 2
⋅
2c,T ⎥ ⎢
⎣⎢ 0 c2 ⎦⎥ ⎣⎢ 0
< r22c,1 > T ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
[1]3 ⎦⎥ ⎣⎢ 0
T ⎤ ⎡ 1c,1 ⎤
v1
< r21,1
2c,2
c >
⎥ ⋅ ⎢ 1c,1 ⎥ + V2 ,
[1]3 ⎦⎥ ⎣⎢ ω1 ⎦⎥
0,1
1c 1c
2c 2c
V20,2 = L1,T
+ V22c,2 = L1,T
2 V1
2 M1 q11 + M2 q12 .
(4.24)
Основание РТ соединено с платформой посредством двух стоек
(см. рис. 4.1, а), в которых расположены подшипники угломестной
оси. В местах крепления стоек к основанию введены конструкци
онные системы координат E2r = (o2r,[e2r]) и E2l = (o2l,[e2l]), полученные
2
2
из E2 параллельным переносом на векторы r2r
и r2l
соответственно
(см. рис. 4.2). Матрицы параллельного переноса на эти векторы будут:
0 ⎤
0 ⎤ 2 ⎡ [1]3
⎡ [1]3
T22r = ⎢ 2,2
⎥.
⎥ , T2l = ⎢ 2,2
⎢⎣< r2l > [1]3 ⎦⎥
⎣⎢< r2r > [1]3 ⎦⎥
(4.25)
2rc
2lc,2lc
Определим ϕ22lc
, r22rrc,2rc линейные переме
l , ϕ2r угловые и r2l
щения E2l и E2r относительно E2lc и E2rc при наличии деформаций
(рис. 4.3), где E2lc = (o2lc,[e2lc]) и E2rc = (o2rc,[e2rc]) – конструкционные
&MD
MD
S M
&M
&S
D
S M
&
SS
SD
&D
SD
S S
&SD
D
S SD
SM
S D
&
Рис. 4.3. Определение угловых и линейных перемещений точек крепле
ния стоек основания при наличии деформаций
67
системы координат, полученные параллельными переносами E2c на
2c
2c
векторы r2rc и r2lc соответственно.
Запишем выражение для r22llc и r22rrc:
r22llc = r21c + r22c + r22l − r21c − r22lcc = r22c + r22l − r22lcc ,
c
r22rrc = r22c + r22r − r22rc
.
(4.26)
Перепишем выражения (4.26) в координатных столбцах в [e2lc]
и [e2rc] соответственно:
2c,2lc
= r22c,2c + ⎡⎣c22c − [1]3 ⎤⎦ r22lcc,2c ,
r22llc,2lc = r22c,2lc + c22cr22,2
l − r2lc
2c,2rc
= r22c,2c + ⎡⎣ c22c − [1]3 ⎤⎦ r22rcc,2c . (4.27)
r22rrc,2rc = r22c,2rc + c22cr22,2
r − r2rc
Так как E2lc и E2rc движется параллельно E2, то
2rc
2c
⎡ 2c
ϕ22lc
l = ϕ2r = ϕ2 = ⎣β2
θ22c
T
α22c ⎤ .
⎦
(4.28)
Чтобы найти скорости линейных и угловых перемещений E2l и E2r
относительно E2lc и E2rc, продифференцируем (4.27) и (4.28):
2c,2lc
T 2c 2c
12 ,
r122llc,2lc = v22llc,2lc = v22c,2lc + c22c < ω22c,2 > r22,2
+ c22c < r22,2
l = v2
l > ε2 ϕ
T 2c 2c
12 ,
r122rrc,2rc = v22rrc,2rc = v22c,2rc + c22c < r22,2
r > ε2 ϕ
1 22rc
1 22c .
ϕ1 22lc
l =ϕ
r =ϕ
(4.29)
Противовес
Для описания движения кинематической пары «основание – про
тивовес» введены две системы координат: E3c = (o3c,[e3c]) – конструк
ционная СК, полученная параллельным переносом E2 на вектор r32c ;
E3 = (o3,[e3]) – подвижная связанная СК, положение которой в E3c
характеризуется вектором параллельного переноса r33c и углами про
стейших вращений β33c , θ33c , α33c . Поэтому обобщенными координа
тами и скоростями будут:
68
T
q33c = ⎡x33c,3c
⎣
y33c,3c
z33c,3c β33c
θ33c
α33c ⎤ ,
⎦
q133c = ⎡⎣x133c,3c
y133c,3c
z133c,3c β1 33c
θ1 33c
α1 33c ⎤⎦ .
T
(4.30)
Матрица преобразования систем координат примет вид:
L23 = T32cT33c [c33c ].
(4.31)
Уравнение кинематики этой кинематической пары имеет вид:
V33c,3 = M33cq133c .
(4.32)
Определим выражение для координатного столбца вектора скоро
стей центра инерции противовеса относительно базовой СК: V30,3 =
= ⎡v30,3 ; ω30,3 ⎤ в компактной форме:
⎣
⎦
⎡c3c,T
V30,3 = ⎢ 3
⎢⎣ 0
0 ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
c33c,T ⎥⎦ ⎢⎣ 0
< r33c,2 > T ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
[1]3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
T ⎤ ⎡ 0,2 ⎤
v2
< r32,2
3c,3
c >
⎥ ⋅ ⎢ 0,2 ⎥ + V3 ,
[1]3 ⎥⎦ ⎢⎣ω2 ⎥⎦
1,T 0,1
2c,2
V30,3 = L2,T
+ L2,T
+ V33c,3 =
3 L2 V1
3 V2
1,T
1c 1c
2,T
2c 2c
12 + M33c q133c .
= L2,T
3 L2 M1 q11 + L3 M2 q
(4.33)
Основание зеркала
Для описания движения кинематической пары «основание – ос
нование зеркала» введены две системы координат: E4c = (o4c,[e4c]) –
конструкционная СК, полученная параллельным переносом E2 на
вектор r42c ; E4 = (o4,[e4]) – подвижная связанная СК, положение ко
торой в E4c характеризуется вектором параллельного переноса r44c
и углами простейших вращений β44c , θ44c , α 44c . Поэтому обобщенны
ми координатами и скоростями будут:
T
q44c = ⎡x44c,4c
⎣
y44c,4c
z44c,4c β44c
θ44c
α44c ⎤ ,
⎦
q144c = ⎡⎣x144c,4c
y144c,4c
z144c,4c β1 44c
θ1 44c
α1 44c ⎤⎦ .
T
(4.34)
Матрица преобразования систем координат примет вид:
L24 = T42cT44c [c44c ].
(4.35)
Уравнение кинематики этой кинематической пары имеет вид:
V44c,4 = M44cq144c .
(4.36)
69
Определим выражение для координатного столбца вектора скоро
стей центра инерции основания зеркала относительно базовой СК:
⎤
V40,4 = ⎡v40,4 ; ω0,4
4 ⎦ в компактной форме:
⎣
⎡ c4 c,T
V40,4 = ⎢ 4
⎣⎢ 0
0 ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
c44c,T ⎦⎥ ⎣⎢ 0
< r44 c,2 > T ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
[1]3 ⎦⎥ ⎣⎢ 0
T ⎤ ⎡ 0,2 ⎤
v2
< r42,2
4 c,4
c >
⎥ ⋅ ⎢ 0,2 ⎥ + V4 ,
[1]3 ⎦⎥ ⎣⎢ ω2 ⎦⎥
1,T 0,1
2c,2
V40,4 = L2,T
+ L2,T
+ V44c,4 =
4 L2 V1
4 V2
1,T
1c 1c
2,T
2c 2c
4 c 4c
= L2,T
4 L2 M1 q11 + L4 M2 q12 + M4 q14 .
(4.37)
Главное зеркало
Для описания движения кинематической пары «основание зерка
ла – главное зеркало» введены две системы координат: E5c = (o5c,[e5c]) –
конструкционная СК, полученная параллельным переносом E4 на
вектор r54c ; E5 = (o5,[e5]) – подвижная связанная СК, положение ко
торой в E5c характеризуется вектором параллельного переноса r55c
и углами простейших вращений β55c , θ55c , α55c . Поэтому обобщенны
ми координатами и скоростями будут:
T
q55c = ⎡⎣ x55c,5c
y55c,5c
z55c,5c β55c
θ55c
α55c ⎤⎦ ,
q155c = ⎡⎣ x155c,5c
y155c,5c
z155c,5c β1 55c
θ1 55c
α1 55c ⎤⎦ .
T
(4.38)
Матрица преобразования систем координат примет вид:
L45 = T54cT55c [c55c ].
(4.39)
Уравнение кинематики этой кинематической пары имеет вид:
V55c,5 = M55cq155c .
(4.40)
Определим выражение для координатного столбца вектора скоро
стей центра инерции главного зеркала относительно базовой СК: V50,5 =
= ⎡v50,5 ; ω50,5 ⎤ в компактной форме:
⎣
⎦
⎡c5c,T
V50,5 = ⎢ 5
⎢⎣ 0
70
0 ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
c55c,T ⎥⎦ ⎣⎢ 0
< r55c,4 > T ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
[1]3 ⎦⎥ ⎣⎢ 0
T ⎤ ⎡ 0,4 ⎤
v4
< r54,4
5c,5
c >
⎥ ⋅ ⎢ 0,4 ⎥ + V5 ,
[1]3 ⎦⎥ ⎢⎣ω4 ⎦⎥
2,T 1,T 0,1
V50,5 = L4,T
+
5 L4 L2 V1
&G
2,T 2c,2
4 c,4
+ L4,T
+ L4,T
+ V55c,5 =
5 L4 V2
5 V4
2,T 1,T
1c 1c
4,T 2,T
2 c 2c
= L4,T
5 L4 L2 M1 q11 + L5 L4 M2 q12 +
4c 4c
14 + M55c q155c .
+ L4,T
5 M4 q
SG
(4.41)
&
SW
Как отмечалось, главное зеркало
&W
имеет форму параболоида вращения
и имеет две характерные точки: фокус
и вершину главного зеркала. Прямая,
проходящая через эти точки, называ Рис. 4.4. Определение коорди
ется фокальной осью главного зеркала.
нат фокуса и верши
ны главного зеркала
В фокусе расположена СК E5f = (o5f,[e5f]),
полученная параллельным переносом
E5 на вектор r55f . С вершиной зеркала связана СК E5v = (o5v,[e5v]),
полученная параллельным переносом E5 на вектор r55v .
Матрицы параллельного переноса на эти векторы будут:
0 ⎤ 5 ⎡ [1]3
⎡ [1]3
0 ⎤
T55f = ⎢ 5,5
⎥ , T5v = ⎢ 5,5
⎥.
⎣⎢< r5v > [1]3 ⎦⎥
⎣⎢< r5f > [1]3 ⎥⎦
(4.42)
Ригель
Для описания движения кинематической пары «основание – ри
гель» введены две системы координат: E6c = (o6c,[e6c]) – конструкци
онная СК, полученная параллельным переносом E2 на вектор r62c ;
E6 = (o6,[e6]) – подвижная связанная СК, положение которой в E6c
характеризуется вектором параллельного переноса r66c и углами про
стейших вращений β66c , θ66c , α66c . Поэтому обобщенными координа
тами и скоростями будут:
T
q66c = ⎡ x66c,6c
⎣
y66c,6c
z66c,6c
β66c
θ66c
α66c ⎤ ,
⎦
q166c = ⎡⎣ x166c,6c
y166c,6c
z166c,6c
β1 66c
θ1 66c
α1 66c ⎤⎦ .
T
(4.43)
Матрица преобразования систем координат примет вид:
L26 = T62cT66c [c66c ].
(4.44)
71
Уравнение кинематики этой кинематической пары имеет вид:
V66c,6 = M66cq166c .
(4.45)
Определим выражение для координатного столбца вектора скоро
стей центра инерции ригеля относительно базовой СК: V60,6 = ⎡v60,6 ; ω60,6 ⎤
⎣
⎦
в компактной форме:
⎡ c6c,T
V60,6 = ⎢ 6
⎢⎣ 0
0 ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
6 c,T
c6 ⎥⎦ ⎣⎢ 0
< r66c,6 > T ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
[1]3 ⎦⎥ ⎣⎢ 0
T ⎤ ⎡ 0,2 ⎤
v2
< r62,2
6c,6
c >
⎥ ⋅ ⎢ 0,2 ⎥ + V6 ,
[1]3 ⎦⎥ ⎢⎣ω2 ⎥⎦
1,T 0,1
2c,2
V60,6 = L2,T
+ L2,T
+ V66c,6 =
6 L2 V1
6 V2
1,T
1c 1c
2,T
2c 2c
12 + M66c q166c .
= L2,T
6 L2 M1 q11 + L6 M2 q
(4.46)
Ригель соединен с основанием посредством четырех стоек (см.
рис. 4.1, а). В местах крепления стоек к ригелю введены конструк
ционные системы координат E6r = (o6r,[e6r]), E6l = (o6l,[e6l]), E6f =
= (o6f,[e6f]) и E6b = (o2b,[e2b]), полученные из E6 параллельным перено
6
6
и r6b
(рис. 4.5) и поворотами на углы
сом на векторы r66r , r66l , r6f
6
6
6
6
ϕ6r , ϕ6l , ϕ6f и ϕ6b соответственно. Матрицы преобразования систем
координат будут соответственно:
0 ⎤ ⎡c66r
⎡ [1]3
L66r = ⎢ 6,6
⎥⋅⎢
⎢⎣< r6r > [1]3 ⎥⎦ ⎣⎢ 0
0 ⎤ ⎡c66f
⎡ [1]3
L66f = ⎢ 6,6
⎥⋅⎢
⎣⎢< r6f > [1]3 ⎥⎦ ⎣⎢ 0
0 ⎤ ⎡ c66l
⎡ [1]3
0 ⎤
, L66l = ⎢ 6,6
⎥
⎥⋅⎢
⎢⎣ < r6l > [1]3 ⎥⎦ ⎣⎢ 0
c66r ⎦⎥
0 ⎤ ⎡c66b
⎡ [1]3
0 ⎤ 6
L6b = ⎢ 6,6
⎥
,
⎥⋅⎢
⎢⎣ < r6b > [1]3 ⎥⎦ ⎣⎢ 0
c66f ⎦⎥
0⎤
⎥,
c66l ⎦⎥
0 ⎤
⎥ . (4.47)
c66b ⎦⎥
6rc
6bc
6fc
6lc,6lc
, r66rrc,6rc ,
Определим угловые ϕ66lc
l , ϕ6r , ϕ6f , ϕ6b и линейные r6l
перемещения E6l, E6r, E6f и E6b относительно E6lc, E6rc,
E6fc и E6bc при наличии деформаций (см. рис. 4.5), где E6lc = (o6lc,[e6lc]),
E6rc = (o6rc,[e6rc]), E6fc = (o6fc,[e6fc]) и E6bc = (o6bc,[e6bc]) – конструкцион
ные системы координат, полученные параллельными переносами E6c
c
c
c
, r66lcc , r66fc
на векторы r66rc
и r66bc
и поворотами на углы ϕ66r , ϕ66l , ϕ66f
r66llc,6lc , r66rrc,6rc
6
и ϕ6b соответственно.
c
c
c
:
Запишем выражение для r66rc
, r66lcc , r66fc
и r66bc
r66llc = r62c + r66c + r66l − r62c − r66lcc = r66c + r66l − r66lcc ,
c
c
c
r66rrc = r66c + r66r − r66rc
, r66ffc = r66c + r66f − r66fc
, r66bbc = r66c + r66b − r66bc
. (4.48)
72
&D
D
SSD
D
SMD
&MD
&SD
MD
SM
SD
SD
SS
SS
&
SM
&S
&M
SD
&
Рис. 4.5. Определение угловых и линейных перемещений точек крепле
ния стоек ригеля при наличии деформаций
Перепишем выражение (4.48) в координатных столбцах в [e6lc],
[e6rc], [e6lc] и [e6rc] соответственно:
6 c,T 6c,6 c
r66llc,6lc = c66lcc,Tr66c,6c + c66lcc,T c66c r66,6
=
l − c6lc r6lc
6 c,6 c
⎡ 6c
⎤ 6,6
= c66,T
+ c66,T
l r6
l ⎣ c6 − [1]3 ⎦ r6l ,
c,T 6 c,6 c
c,T 6 c 6,6
c,T 6 c,6 c
r66rrc,6rc = c66rc
r6
+ c66rc
c6 r6r − c66rc
r6rc =
6 c,6 c
⎡ 6c
⎤ 6,6
= c66,T
+ c66,T
r r6
r ⎣ c6 − [1]3 ⎦ r6r ,
c,T 6 c,6 c
c,T 6 c 6,6
c,T 6 c,6 c
r66ffc,6fc = c66fc
r6
c6 r6f − c66fc
r6fc =
+ c66fc
6 c,6 c
⎡ 6c
⎤ 6,6
= c66,T
+ c66,T
f r6
f ⎣ c6 − [1]3 ⎦ r6f ,
c,T 6 c,6 c
c,T 6 c 6,6
c,T 6c,6 c
r66bbc,6bc = c66bc
r6
+ c66bc
c6 r6b − c66bc
r6bc =
6 c,6 c
⎡ 6c
⎤ 6,6
= c66,T
+ c66,T
b r6
b ⎣ c6 − [1]3 ⎦ r6b .
(4.49)
6lc
Чтобы найти ϕ66lc
l , запишем выражение для матрицы вращения c6l :
c 6lc
6c 6
c66lc = c66c c66l = c66lc
c6l ⇒ c66llc = c66lcc,T c66c c66l = c66,T
l c6 c6l ,
c66llc = ⎡⎣c1,1
c2,1
c3,1; c1,2
c2,2
c3,2 ; c1,3
c2,3
c3,3 ⎤⎦ . (4.50)
73
Используя произведение матриц (4.2), получим:
6lc
6lc
6lc
6lc
cos(θ66lc
l )cos(α6l ) = c1,1 , − cos(θ6l )sin(α6l ) = c2,1 , sin(θ6l ) = c3,1 ,
6lc
6lc
6lc
− sin(β66lc
l )cos(θ6l ) = c3,2 , cos(β6l )cos(θ6l ) = c3,3 ,
⎡ 6lc
из (4.51) получим выражение для ϕ66lc
l = ⎣β6l
θ66lc
l
(4.51)
T
⎤
α66lc
l ⎦ :
⎡ c2,1 ⎤ 6lc
⎡ c3,2 ⎤
6lc
θ66lc
⎥ , β6l = −arctg ⎢
⎥ . (4.52)
l = arcsin(c3,1 ), α6l = −arctg ⎢
⎣⎢ c1,1 ⎦⎥
⎣⎢ c3,3 ⎦⎥
6c
6lc
В том случае если перемещения ϕ66lc
l и ϕ6 малы, то c6l = [1] 3 +
6c
6c
6lc
+ < ϕ6l > и c6 = [1]3 + < ϕ6 >, а (4.49) и (4.50) примут вид:
6c,6c
6,6
6c
6,T 6c,6c
6,6 T 6c
r66llc,6lc = c66,T
+ c66,T
+ c66,T
l r6
l r6l < ϕ6 > = c6l r6
l < r6l > ϕ6 ,
6,T
6c
6
6lc
6,T 6c
6,T 6 c
⎡ 6lc,6lc ; ϕ66lc
⎤
< ϕ66lc
l > = c6l < ϕ6 > c6l ⇒ ϕ6l = c6l ϕ6 , ⎣ r6l
l ⎦ = L6l q6 . (4.53)
6fc
По алгоритму (4.46)–(4.49) находим выражения для ϕ66rc
r , ϕ6f ,
ϕ66bc
b .
Чтобы найти скорости линейных и угловых перемещений E6l, E6r,
E6f и E6b относительно E6lc, E6rc, E6fc и E6bc соответственно, продиф
ференцируем выражения (4.49) и (4.50):
6c,6 c
6c
6 c,6
r166llc,6lc = v66llc,6lc = c66,T
+ c66,T
> r66,6
l v6
l c6 < ω6
l =
6c,6 c
6c
6,6 T 6 c 6 c 6lc
,6l
1 6 , c16l = c66llc < ω66lc
>=
= c66,T
+ c66,T
l v6
l c6 < r6l > ε6 ϕ
l
6c
6 c,6
6c
6 c,6
= c66,T
> c66l , < ω66llc,6l > = c66llc,Tc66,T
> c66l =
l c6 < ω6
l c6 < ω6
T
6c 6 ⎤
6,T 6 c
6 c,6
6 c,6
,6l
= ⎡⎣ c66,T
> c66l = c66,T
> c66l ⇒ ω66lc
=
l c6 c6l ⎦ c6l c6 < ω6
l < ω6
l
6c,6
6,T 6c 6c
6lc,−1 6,T 6c 6c
1 66lc
1 6 , ϕ1 66lc
= c66,T
⇒ ε66lc
c6l ε6 ϕ1 6 . (4.54)
l ω6
l ϕ
l = c6l ε6 ϕ
l = ε6l
6c
В случае малых перемещений ϕ66lc
l и ϕ6 скорости линейных и уг
ловых перемещений получим, продифференцировав уравнение (4.53):
6c,6c
6,6 T 6 c
16 ,
r166llc,6lc = c66,T
+ c66,T
l v6
l < r6l > ϕ
6,T 6 c
6c
1 6 , ⎡r166llc,6lc ; ϕ1 66llc ⎤ = L6,T
ϕ1 66lc
l = c6l ϕ
6l q16 .
⎣
⎦
(4.55)
1 6bc
1 66fc
По алгоритму (4.54)–(4.55) находим выражения для ϕ1 66rc
r ,ϕ
f , ϕ6b
6bc,6bc
6rc,6rc
6fc,6fc
.
, r16f
и r16r
, r16b
74
Контррефлектор
Для описания движения кинематической пары «ригель – контр
рефлектор» введены две системы координат: E7c = (o7c,[e7c]) – конст
рукционная СК, полученная параллельным переносом E6 на вектор
r76c ; E7 = (o7,[e7]) – подвижная связанная СК, положение которой
в E7c характеризуется вектором параллельного переноса r77c и угла
7c
ми простейших вращений β7 , θ77c , α77 c . Поэтому обобщенными ко
ординатами и скоростями будут:
T
q77c = ⎡x77 c,7c
⎣
y77 c,7c
z77c,7 c
β77 c
θ77c
α77c ⎤ ,
⎦
q177c = ⎡⎣x177 c,7c
y177 c,7c
z177c,7 c
β1 77 c
θ1 77c
α1 77c ⎤⎦ .
T
(4.56)
Матрица преобразования систем координат примет вид:
L67 = T76cT77c [c77c ].
(4.57)
Уравнение кинематики этой кинематической пары имеет вид:
V77c,7 = M77cq177c .
(4.58)
Определим выражение для координатного столбца вектора скоро
стей центра инерции ригеля относительно базовой СК: V70,7 = ⎡v70,7 ; ω70,7 ⎤
⎣
⎦
в компактной форме:
⎡ c7 c,T
V70,7 = ⎢ 7
⎢⎣ 0
0 ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
c77 c,T ⎥⎦ ⎢⎣ 0
< r77 c,7 > T ⎤ ⎡[1]3
⎥⋅⎢
[1]3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
T ⎤ ⎡ 0,6 ⎤
v6
< r76,6
7 c,7
c >
⎥ ⋅ ⎢ 0,6 ⎥ + V7 ,
[1]3 ⎥⎦ ⎢⎣ω6 ⎥⎦
2,T 1,T 0,1
2,T 2c,2
6 c,6
V70,7 = L6,T
+ L6,T
+ L6,T
+ V77c,7 =
7 L6 L2 V1
7 L6 V2
7 V6
2,T 1,T
1c 1c
6,T 2,T
2c 2c
6,T
6c 6c
16 + M77c q177c . (4.59)
= L6,T
7 L6 L2 M1 q11 + L7 L6 M2 q12 + L7 M6 q
&W
SW
&
SG
&G
Рис. 4.6. Определение координат фокуса и вершины контррефлектора
75
Контррефлектор имеет форму эллипсоида вращения и имеет две
характерные точки: фокус и вершину. Прямая, проходящая через
эти точки, называется фокальной осью контррефлектора. В фокусе
расположена СК: E7f = (o7f,[e7f]), полученная параллельным перено
сом E7 на вектор r77f . С вершиной контррефлектора связана СК: E7v =
= (o7v,[e7v]), полученная параллельным переносом E7 на вектор r77v .
Матрицы параллельного переноса на эти векторы будут:
0 ⎤
⎡ [1]3
0 ⎤
⎡ [1]3
T77f = ⎢ 7,7
⎥ , T77v = ⎢ 7,7
⎥.
⎢⎣< r7v > [1]3 ⎦⎥
⎣⎢< r7f > [1]3 ⎥⎦
(4.60)
Уравнения движения в компактной форме
В компактной форме вектор обобщенных координат q и обобщен
ных скоростей q1 всей системы запишем в виде (4.61):
q = ⎡⎣q11c ; q22c ; q33c ; q44c ; q55c ; q66c ; q77 c ⎤⎦ ,
q1 = ⎡⎣q111c ; q122c ; q133c ; q144c ; q155c ; q166c ; q177 c ⎤⎦ ,
(4.61)
тогда кинематическое уравнение всей системы примет вид:
V = Mq1,
(4.62)
V = ⎡V11c,1; V22c,2 ; V33c,3; V44c,4 ; V55c,5; V66c,6 ; V77c,7 ⎤ ,
⎣
⎦
1
c
2
c
3
c
4
c
5
c
6
c
7
c
M = diag ⎡ M1 , M2 , M3 , M4 , M5 , M6 , M7 ⎤ .
⎣
⎦
При построении уравнений ПМК РТ нам необходимо перейти от V
к координатным столбцам векторов скоростей тел системы относи
тельно базовой СК V0. Матрица, определяющая этот переход, назы
вается конфигурационной матрицей системы L [см. флу (4.64)],
тогда кинематическое уравнение всей системы примет вид:
V 0 = LT V , V 0 = LT Mq1,
(4.63)
V 0 = ⎡ V10,1; V20,2; V30,3; V40,4 ; V50,5; V60,6 ; V70,7 ⎤ .
⎣
⎦
Уравнение (4.63) является обобщением уравнений (4.16), (4.24),
(4.33), (4.37), (4.41), (4.46) и (4.59).
76
⎡[1]6
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
L=⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ 0
⎢⎢ 0
⎣
L12
L13
L14
L15
L16
[1]6
L23
L24
L25
L26
0
[1]6
0
0
0
0
0
0
[1]6
L45
0
0
0
[1]6
0
0
0
0
0
[1]6
0
0
0
0
0
L17 ⎤
⎥
L27 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥.
⎥
0 ⎥
⎥
L67 ⎥
[1]6 ⎥⎦⎥
(4.64)
Запишем выражения для всех Lij :
L14 = L12 L24 , L25 = L24 L45, L15 = L12 L25,
L16 = L12 L26 , L27 = L26 L67 , L17 = L12 L27 .
(4.65)
Для дальнейших построений введем матрицу вида:
0
T
S = [ f ] M T L, V = S q1,
T
[ f ] = diag ⎡⎣ f1 ,
(4.66)
f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 , f7 ⎤ .
⎦
Матрица называется структурной матрицей системы твердых
тел и содержит информацию о структуре системы.
Уравнения динамики ПМК РТ запишем в форме (1.55):
k k 0,k
ΘkkV1k0,k + Φ0,
= Ξkk + Rkk , k = 1,2,17,
k Θk Vk
(4.67)
где Θkk – матрица инерции твердого тела, определенная в связанной
СК тела Ek ; Ξkk = ⎡ Fkk ; Kkk ⎤ – внешние силы ( Fkk ) и моменты ( Kkk ), дей
⎣
⎦
ствующие на kе тело, в проекциях на связанную СК Ek = (ok,[ek])
k
k
этого тела; Rk = ⎡ Frk ; Krkk ⎤ – внутренние силы ( Frkk ) и моменты
⎣
⎦
( Krkk ) системы тел, действующие на kе тело, в проекциях на связан
ную СК Ek этого тела. В нашем случае внутренними силами и момен
тами (далее – силами) являются силы вязкого и сухого трения Nkk ,
k
силы упругого взаимодействия Elk , конструкционного демпфирова
k
ния Dk , внешними силами – управление Ukk , гравитационные силы
Gkk и силы ветровой нагрузки Wkk .
На практике не всегда целесообразно выбирать в качестве под
вижной СК, характеризующей механическое движение твердого тела,
систему координат, оси которой совпадают с главными осями инер
77
ции (в этом случае матрица инерции диагональная и имеет вид
(1.45)). Как правило, в паспортных данных механических систем
указываются только масса и главные моменты инерции. Существует
эффективный метод пересчета известной диагональной матрицы инер
ции в произвольную подвижную СК, связанную с телом [4].
Пусть Ei = (oi,[ei]) – связанная СК, оси которой совпадают с глав
ными осями инерции, а Ej = (oj,[e6j]) – подвижная СК, связанная
с телом, полученная параллельным переносом на вектор rji и поворо
тами на углы ϕij .
Чтобы найти выражение для Θ jj , воспользуемся данным нами оп
ределением твердого тела как системы материальных точек. Анало
гично (1.39) запишем выражение для кинетической энергии твердо
го тела
T=
1
∑ mkvk0,i,Tvk0,i,T,
2
(4.68)
где vk0,i и mk – координатный столбец скорости в [ei] и масса kй мате
риальной точки соответственно. Положение kй точки определяется
радиусвектором rk0 = rj0 − rji + rki , координатный столбец которого в [e0]
имеет вид:
rk0,0 = rj0,0 − rji,0 + rki,0 = rj0,0 − cj0 rji,j + cj0 rki, j =
= rj0,0 − cj0 cji,Trji,i + cj0 cji,Trki,i ,
(4.69)
где cj0 – матрица вращения, связывающая базисы [e0] и [ej]; cij – мат
рица вращения, связывающая базисы [ei] и [ej].
Продифференцируем (4.69) по времени:
j
i,T i,i
0
0,j
i,T i,i
vk0,0 = vj0,0 − cj0 < ω0,
j > cj rj + cj < ωj > cj rk
(4.70)
и перепишем (4.70) в координатных столбцах в [ej]:
j
i,T i,i
0,j
i,T i,i
vk0,j = vj0,j − < ω0,
j > cj rj + < ω j > cj rk ,
(4.71)
затем перейдем в [ei]:
2,T 1,T 0,1
2,T 2c,2
V70,7 = L6,T
+ L6,T
+
7 L6 L2 V1
7 L6 V2
6c,6
2,T 1,T
1c 1c
+ L6,T
+ V77 c,7 = L6,T
7 V6
7 L6 L2 M1 q11 +
2,T
2c 2 c
6,T
6 c 6c
7c 7c
+ L6,T
7 L6 M2 q12 + L7 M6 q16 + M7 q17 .
78
(4.72)
Подставим выражение (4.72) в (4.68):
T=
1
∑ mk ⎡⎣vj0,i,T + ω0,j i,T < rji,i >T +ω0,j i,T < rki,i > ⎤⎦ ×
2 k
i
i,i T 0,i ⎤
× ⎡⎣vj0,i + < rji,i > ω0,
j + < rk > ωj ⎦ =
1
1
i
= ∑ mkvj0,i,Tvj0,i + ∑ mk vj0,i,T < rji,i > ω0,
j +
2 k
2 k
+
+
1
1
∑ mkvj0,i,T < rki,i >T ω0,j i + 2 ∑ mk ω0,j i,T < rji,i >T vj0,i +
2 k
k
1
i,T
i 1
0,i,T
i
mk ω0,
< rji,i >T < rji,i > ω0,
< rji,i >T < rki,i >T ω0,
∑
j
j + ∑ mk ωj
j +
2 k
2 k
+
1
1
∑ mk ω0,j i,T < rki,i >T vj0,i + 2 ∑ mk ω0,j i,T < rki,i >T < rji,i > ω0,j i +
2 k
k
+
1
∑ mkω0,j i,T < rki,i >T < rki,i > ω0,j i .
2 k
(4.73)
Суммы из выражения (4.73) примут вид:
1
1
mkvj0,i,Tvj0,i = mvj0,i,Tvj0,i ,
∑
2 k
2
1
1
∑ mkvj0,i,T < rji,i > ω0,j i = 2 mvj0,i,T < rji,i > ω0,j i ,
2 k
1
1
i,T
i,T
mk ω0,
< rji,i >T vj0,i = mω0,
< rji,i >T vj0,i ,
∑
j
j
2 k
2
1
1
i,T
i
i,T
i
mk ω0,
< rji,i >T < rji,i > ω0,
mω0,
< rji,i >T < rji,i > ω0,
∑
j
j =
j
j ,
2 k
2
1
1 0,i,T i 0,i
i,T
i
mk ω0,
< rki,i >T < rki,i > ω0,
Ii ωj ,
∑
j
j = ωj
2 k
2
1
∑ mkvj0,i,T < rki,i >T ω0,j i = 0,
2 k
1
1
i,T
i
mk ω0,
< rji,i >T < rki,i >T ω0,
∑
∑ mk ω0,j i,T < rki,i >T vj0,i = 0,
j
j = 0,
2 k
2 k
1
∑ mk ω0,j i,T < rki,i >T < rji,i > ω0,j i = 0,
2 k
(4.74)
где m – масса твердого тела. Перепишем (4.73) с учетом выражения
(4.74):
79
1
1
1
i
0,i,T
T = mvj0,i,Tvj0,i + mvj0,i,T < rji,i > ω0,
< rji,i >T vj0,i +
j + mωj
2
2
2
1
1 0,i,T i 0,i
i,T
i
+ mω0,
< rji,i >T < rji,i > ω0,
Ii ωj .
(4.75)
j
j + ωj
2
2
0,j
0,j
От координатных столбцов vj0,i и ω0,i
j перейдем к vj и ωj :
1
1
j
T = mvj0,j,T cij,T cji vj0,j + mvj0,j,T cji,T < rji,i > cji ω0,
j +
2
2
1
1
j,T i,T
j,T i,T
j
+ mω0,
cj < rji,i >T cji vj0,i + mω0,
cj < rji,i >T < rji,i > cij ω0,
j
j
j +
2
2
1 0,j,T i,T i i 0,j 1 ⎡ 0,j,T
j,T ⎤
+ ωj cj Ii cj ωj = vj
ω0,
×
j
⎦
2
2⎣
⎡
mcij,T cji
⎢
×
⎢mcji,T < rji,i >T cji
⎣
⎤ ⎡ vj0,j ⎤
⎥ , (4.76)
⎥⎢
j⎥
> cij + cji,T Iii cji ⎥⎦ ⎢⎣ω0,
j ⎦
mcji,T < rji,i > cij
mcij,T < rji,i >T < rji,i
где Iii – тензор моментов инерции в главных осях инерции.
Найдем компактную запись для большой матрицы инерции Θ jj :
⎡
⎤
m[1]3
mcji,T < rji,i > cji
⎥=
Θ jj = ⎢
⎢mcji,T < rji,i >T cji mcij,T < rji,i >T < rji,i > cij + cij,T Iii cij ⎥
⎣
⎦
i,T
i
i,i
i⎤
⎡
⎤
⎡
0 ⎡m[1]3 0 ⎤ cj < rj > cj
cj
⎥⋅⎢
⎥=
=⎢
⎥⋅⎢
i
i
i
,T
,
T
⎢ cj < rj >
⎥
Iii ⎥⎦ ⎢ 0
cij,T ⎥⎦ ⎢⎣ 0
cij
⎣
⎣
⎦
⎡
0 ⎤ ⎡m[1]3
cij
=⎢
⎥⋅⎢
⎢⎣cij < rij,i > cij ⎥⎦ ⎣⎢ 0
⎡
cij
=⎢
⎢⎣< rij,j > cij
⎡
cij
Lij = ⎢
⎢⎣ < rij, j > cij
0 ⎤ ⎡m[1]3
⎥⋅⎢
cij ⎥⎦ ⎣⎢ 0
0 ⎤ ⎡cij,T
⎥⋅⎢
Iii ⎦⎥ ⎢⎣ 0
0 ⎤ ⎡ cij,T
⎥⋅⎢
Iii ⎦⎥ ⎢⎣ 0
⎡m[1]3
0⎤
⎥ , Θii = ⎢
j
⎢⎣ 0
ci ⎥⎦
< rij,i >T cij,м ⎤
⎥=
cij,T
⎥⎦
cij,T < rij,j >T ⎤
j i j,T
⎥ = Li Θi Li ,
j,T
ci
⎥⎦
0⎤ j
i,T j,j
i,T i,i
⎥ , ci = cj ,ri = −cj rj , (4.77)
Iii ⎥⎦
где Li – матрица преобразования СК от Ei к Ej; Θi – большая матрица
инерции в главных осях инерции.
Уравнения (4.67) перепишем в компактной форме:
j
i
ΘV1 0 + Φ 0 ΘV 0 = D + N + El + U + G + W ,
80
Φ 0 = diag ⎡Φ10,1 Φ 20,2 Φ30,3
⎣
Θ = diag ⎡⎣Θ11 Θ22 Θ33
Φ 40,4
Θ44
Φ50,5
Θ55
Θ66
Φ70,7 ⎤ ,
⎦
Φ 60,6
Θ77 ⎤⎦ ,
N = ⎡⎣ N11; N22 ; 0; 0; 0; 0; 0 ⎤⎦ ,
El = ⎡⎣ El11; El22 ; El33 ; El44 ; El55 ; El66 ; El77 ⎤⎦ ,
D = ⎡⎣ D11; D22 ; D33 ; D44 ; D55 ; D66 ; D77 ⎤⎦ ,
G = ⎡ G11; G22 ; G33 ; G44 ; G55 ; G66 ; G77 ⎤ ,
⎣
⎦
W = ⎡0; 0; 0; W44 W55 ; W66 ; W77 ⎤ ,
⎣
⎦
1
3
⎡
⎤
U = U1 ; 0; U3 ; 0; 0; 0 .
⎣
⎦
(4.78)
Умножив уравнение (4.78) слева на структурную матрицу S, при
водим систему к обобщенным силам (инерционным – слева и всем
остальным Qi – справа) и с учетом (4.63) получим:
SΘS Tq11 + (SΘS1 T + SΦ 0 ΘS T )q1 = Qn + Qc + Qu + Qg + Qw + Qd . (4.79)
Введем новые обозначения:
A(q) = SΘST , B(q,q1 ) = SΘS1 T + SΦ0 ΘST
(4.80)
и перепишем (4.79) в виде:
A (q)q11 + B(q,q1 )q1 = Qn + Qc + Qu + Qg + Qw + Qd .
(4.81)
Производная от структурной матрицы S:
1 T L + [ f ] M T L1 , M
1T=
S1 = [ f ] M
1 1c,T, M
1 2c,T, M
1 3c,T, M
1 4c,T, M
1 5c,T, M
1 6c,T, M
1 7c,T ⎤ ,
= diag ⎡⎣ M
1
2
3
4
5
6
7
⎦
⎡ c1jjc
0 ⎤ ⎡ cjjc < ωjjc,j >
0 ⎤
T jc
1
⎥=⎢
⎥,
M j =⎢
,T ⎥ ⎢
,T ⎥
⎢ 0 ε1 jc
0
ε1 jc
j
j
⎣
⎦ ⎣
⎦
1
1
1,2
2
2
2,3
2
2
2,4
4
4
4,5
L12 = L2 Φ2 , L13 = L3 Φ3 , L14 = L4 Φ 4 , L15 = L5 Φ5 , L126 = L26 Φ62,6 ,
L16 = L6 Φ 6,7, L11 = L11 L2 + L1 L12 , L11 = L11 L2 + L1 L12 , L12 = L12 L4 + L2 L14 ,
7
7
7
3
2 3
2 3
4
2 4
2 4
5
4 5
4 5
L127 = L126 L67 + L26 L167 , L115 = L112 L25 + L12 L125 , L117 = L112 L27 + L12 L127 , V = Mq1,
81
z
T jc,3,T
jc,2,T jc
jc,3,T
jc,2,T jc
ε1 jc
(α jc
(θ j )α1 jc
(α jc
(θ j ) < e yjc >T ×
j = [(< e jc > cj
j )cj
j + cj
j )cj
θj
βj
x
z
T jc,3,T
jc
1 jc
× θ1 jc
(α jc
j )ejc | < e jc > cj
j )α
j ej |0],
θj
x
ezjc = [ 0 0 1] , e yjc = [0 1 0] , ejc
= [1 0 0] .
T
θj
T
T
βj
(4.82)
4.1.3. Алгоритм построения сил упругого взаимодействия
и демпфирования
Определим обобщенные силы упругого взаимодействия Qc и кон
струкционного демпфирования Qd. Для каждой упругой связи вве
дем матрицу жесткостей Ci,j и матрицу демпфирования Di,j, где i –
обозначение СК в точке крепления начала упругой связи, а j – в точке
крепления конца упругой связи.
Запишем выражения для сил упругого взаимодействия и демпфи
рования.
Земля – платформа
Согласно теории деформирования пружины в обобщенных коор
динатах ее верхнего сечения [18] обобщенные силы упругости для
упругого элемента, связывающего Землю и платформу, имеют вид:
x
y
z
β
θ
Qc0,1 = −C0,1q11c, C0,1 = diag ⎡ C0,1
, C0,1
, C0,1
, C0,1
, C0,1
, 0⎤,
⎣
⎦
(4.83)
i
где C0,1
– коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат q11c .
Обобщенные силы конструкционного демпфирования пружины
пропорциональны обобщенным скоростям верхнего сечения этой пру
жины [18]. Для обобщенных сил конструкционного демпфирования
упругого элемента, связывающего Землю и платформу, получим вы
ражение, аналогичное (4.83):
x
y
z
β
θ
Qd0,1 = − D0,1q111c, D0,1 = diag ⎡ D0,1
, D0,1
, D0,1
, D0,1
, D0,1
, 0⎤ ,
⎣
⎦
(4.84)
i
где D0,1
– коэффициенты демпфирования по каждой из обобщенных
скоростей q111c .
82
Платформа – основание
Чтобы найти обобщенные силы упругости двух стоек, связываю
щих платформу и основание, будем рассматривать систему «стойки –
основание» как пакет из двух пружин, действующих на подвижный
носитель (см. рис. 4.3). Алгоритм вычисления сил упругости пакета
пружин детально рассмотрен в [4].
Найдем выражение для обобщенных сил упругости левой пружины:
x
y
z
θ
α ⎤
Qc1,2l = −C1,2l q22llc, C1,2l = diag ⎡C1,2
l , C1,2l , C1,2l , 0, C1,2l , C1,2l ⎦ , (4.85)
⎣
i
где C1,2
l – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат левой пружины q22llc .
Найдем выражение для обобщенных сил упругости правой пру
жины:
x
y
z
θ
α ⎤
Qc1,2r = −C1,2r q22rrc, C1,2r = diag ⎡ C1,2
r , C1,2r , C1,2r , 0, C1,2r , C1,2r ⎦ , (4.86)
⎣
i
где C1,2
r – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
2rc
динат правой пружины q2r .
2lc
Выражения для q2l и q22rrc определены в (4.27) и (4.28):
q22llc = ⎡r22c,2c + ⎡⎣c22c − [1]3 ⎤⎦ r22lcc,2c ; ϕ22c ⎤ ,
⎣
⎦
2rc
2
c
,2
c
2
c
2
c
,2
c
2
c
q2r = ⎡r2
+ ⎡⎣c2 − [1]3 ⎤⎦ r2rc ; ϕ2 ⎤ .
⎣
⎦
(4.87)
Обобщенные силы в выражениях (4.85) и (4.86) учитывают пере
мещения концов пружин за счет параллельного переноса точек креп
ления пружин и учета изгиба пружин изза вращения основания,
к которому прикреплены пружины.
Необходимо привести силы (4.85) и (4.86) к началу связанной
с основанием системы координат E2. Для этого нужно умножить сле
2
ва уравнения для сил Qc1,2l и Qc1,2r соответственно на матрицы T2l2 и T2r
(4.25). Выражение для обобщенных сил упругости двух стоек имеет
вид:
Qc1,2 = −T22lC1,2lq22llc − T22r C1,2r q22rrc .
(4.88)
Для обобщенных сил конструкционного демпфирования двух сто
ек, связывающих платформу и основание, получим выражение, ана
логичное (4.88). Алгоритм вычисления сил конструкционного демп
фирования пакета пружин также рассмотрен в [4].
83
Найдем выражение для обобщенных сил конструкционного демп
фирования левой пружины:
x
y
z
θ
α ⎤
Qd1,2l = − D1,2l q122llc, D1,2l = diag ⎡ D1,2
l , D1,2l , D1,2l , 0, D1,2l , D1,2l ⎦ , (4.89)
⎣
i
где D1,2
l – коэффициенты демпфирования по каждой из обобщенных
скоростей левой пружины q122llc .
Найдем выражение для обобщенных сил конструкционного демп
фирования правой пружины:
x
y
z
θ
α ⎤
Qd1,2r = − D1,2r q122rrc, D1,2r = diag ⎡ D1,2
r , D1,2r , D1,2r , 0, D1,2r , D1,2r ⎦ , (4.90)
⎣
i
где D1,2
r – коэффициенты демпфирования по каждой из обобщенных
скоростей правой пружины q122rrc .
Выражения для q122llc и q122rrc определены в (4.29):
⎡[1]
q122llc = ⎢ 3
⎣⎢ 0
T 2c ⎤
c22c < r22,2
2c
l > ε2
⎥ q12 ,
[1]3
⎦⎥
⎡[1]
q122rrc = ⎢ 3
⎢⎣ 0
T 2c ⎤
c22c < r22,2
2c
r > ε2
⎥ q12 .
[1]3
⎥⎦
(4.91)
Необходимо привести силы (4.89) и (4.90) к началу связанной с ос
нованием системы координат E2. Для этого нужно умножить слева
2
уравнения для сил Qd1,2l и Qd1,2r соответственно на матрицы T2l2 и T2r
(4.25). Выражение для обобщенных сил конструкционного демпфи
рования двух стоек имеет вид:
Qd1,2 = −T22l D1,2lq122llc − T22r D1,2r q122rrc .
(4.92)
Основание – противовес
Обобщенные силы упругости для упругого элемента, связываю
щего основание и противовес, имеют вид:
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qc2,3 = −C2,3q33c, C2,3 = diag ⎡C2,3
, C2,3
, C2,3
, C2,3
, C2,3
, C2,3
,
⎣
⎦
(4.93)
i
где C2,3
– коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат q33c.
Для обобщенных сил конструкционного демпфирования упруго
го элемента, связывающего основание и противовес, получим выра
жение, аналогичное (4.93):
84
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qd2,3 = − D2,3q133c, D2,3 = diag ⎡ D2,3
, D2,3
, D2,3
, D2,3
, D2,3
, D2,3
,
⎣
⎦ (4.94)
i
где D2,3
– коэффициенты демпфирования по каждой из обобщенных
скоростей q133c.
Основание – основание зеркала
Обобщенные силы упругости для упругого элемента, связываю
щего основание и основание зеркала, имеют вид:
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qc2,4 = −C2,4 q44c, C2,4 = diag ⎡ C2,4
, C2,4
, C2,4
, C2,4
, C2,4
, C2,4
,
⎣
⎦
(4.95)
i
где C2,4
– коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат q44c .
Для обобщенных сил конструкционного демпфирования упруго
го элемента, связывающего основание и основание зеркала, получим
выражение, аналогичное (4.95):
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qd2,4 = − D2,4q144c, D2,4 = diag ⎡ D2,4
, D2,4
, D2,4
, D2,4
, D2,4
, D2,4
,
⎣
⎦ (4.96)
i
где D2,4
– коэффициенты демпфирования по каждой из обобщенных
4c
скоростей q14 .
Основание зеркала – главное зеркало
Обобщенные силы упругости для упругого элемента, связываю
щего основание зеркала и главное зеркало, имеют вид:
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qc4,5 = −C4,5q55c , C4,5 = diag ⎡C4,5
, C4,5
, C4,5
, C4,5
, C4,5
, C4,5
,
⎣
⎦ (4.97)
i
где C4,5
– коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат q55c .
Для обобщенных сил конструкционного демпфирования упруго
го элемента, связывающего основание зеркала и главное зеркало, по
лучим выражение, аналогичное (4.97):
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qd4,5 = − D4,5q155c , D4,5 = diag ⎡ D4,5
, D4,5
, D4,5
, D4,5
, D4,5
, D4,5
,
⎣
⎦ (4.98)
i
где D4,5
– коэффициенты демпфирования по каждой из обобщенных
скоростей q155c .
85
Основание – ригель
Найдем обобщенные силы упругости четырех стоек, связывающих
основание и ригель, рассмотрим систему «стойки – ригель» как па
кет из четырех пружин, действующий на подвижный носитель (см.
рис. 4.4). Для этого воспользуемся рассмотренным нами алгоритмом
вычисления сил упругости пакета пружин.
Найдем выражения для обобщенных сил упругости:
– первой пружины:
Qc2,6l = −C2,6lq66llc,
x
y
z
β
θ
α ⎤
C2,6l = diag ⎡C2,6
l , C2,6l , C2,6l , C2,6l , C2,6l , C2,6l ⎦ ,
⎣
(4.99)
i
где C2,6
l – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат первой пружины q66llc ;
– второй пружины:
Qc2,6r = −C2,6r q66rrc ,
x
y
z
β
θ
α ⎤
C2,6r = diag ⎡C2,6
r , C2,6r , C2,6r , C2,6r , C2,6r , C2,6r ⎦ ,
⎣
(4.100)
i
где C2,6
r – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат второй пружины q66rrc ;
– третьей пружины:
Qc2,6f = −C2,6f q66ffc ,
β
θ
α ⎤
x
y
z
C2,6f = diag ⎡C2,6
f , C2,6 f , C2,6 f , C2,6 f , C2,6 f , C2,6 f ⎦ ,
⎣
(4.101)
i
где C2,6
f – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат третьей пружины q66ffc ;
– четвертой пружины:
Qc2,6b = −C2,6b q66bbc ,
x
y
z
β
θ
α ⎤
C2,6b = diag ⎡C2,6
b , C2,6b , C2,6b , C2,6b , C2,6b , C2,6b ⎦ ,
⎣
(4.102)
i
где C2,6
b – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат четвертой пружины q66bbc .
Выражения для q66llc , q66rrc , q66ffc и q66bbc определены в (4.53):
6c
6rc
6,T 6 c
q66llc = L6,T
6l q6 , q6r = L6r q6 ,
6c
6bc
6,T 6 c
q66ffc = L6,T
6f q6 , q6b = L6b q6 .
86
(4.103)
Необходимо привести силы (4.99)–(4.101) к началу связанной
с ригелем системы координат E6 и перепроецировать, умножив на соот
ветствующие матрицы вращения, так как стойки ригеля наклонены
(см. рис. 4.4). Для этого нужно умножить слева уравнения для сил Qc2,6l,
Qc2,6r, Qc2,6f и Qc2,6b соответственно на матрицы L66l , L66r , L66f и L66b . Вы
ражение для обобщенных сил упругости четырех стоек получит вид:
6c
6
6,T 6 c
Qc2,6 = − L66l C2,6l L6,T
6l q6 − L6r C2,6r L6r q6 −
6c
6
6,T 6 c
− L66f C2,6f L6,T
6f q6 − L6b C2,6b L6b q6 .
(4.104)
Найдем обобщенные силы конструкционного демпфирования че
тырех стоек, связывающих основание и ригель. Для этого восполь
зуемся рассмотренным нами алгоритмом вычисления сил демпфиро
вания пакета пружин.
Найдем выражения для обобщенных сил демпфирования:
– первой пружины:
Qd2,6l = − D2,6lq166llc ,
x
y
z
β
θ
α ⎤
D2,6l = diag ⎡ D2,6
l , D2,6l , D2,6l , D2,6l , D2,6l , D2,6l ⎦ ,
⎣
(4.105)
i
где D2,6
l – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных ско
ростей первой пружины q166llc ;
– второй пружины:
Qd2,6r = − D2,6r q166rrc ,
x
y
z
β
θ
α ⎤
D2,6r = diag ⎡ D2,6
r , D2,6r , D2,6r , D2,6r , D2,6r , D2,6r ⎦ ,
⎣
(4.106)
i
где D2,6
r – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных ско
ростей второй пружины q166rrc ;
– третьей пружины:
Qd2,6f = − D2,6f q166ffc ,
β
θ
α ⎤
x
y
z
D2,6f = diag ⎡ D2,6
f , D2,6 f , D2,6 f , D2,6 f , D2,6 f , D2,6 f ⎦ ,
⎣
(4.107)
i
где D2,6
f – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных ско
ростей третьей пружины q166ffc ;
– четвертой пружины:
Qd2,6b = − D2,6bq166bbc ,
x
y
z
β
θ
α ⎤
D2,6b = diag ⎡ D2,6
b , D2,6b , D2,6b , D2,6b , D2,6b , D2,6b ⎦ ,
⎣
(4.108)
i
где D2,6
b – коэффициенты упругости по каждой из обобщенных ско
ростей четвертой пружины q166bbc .
87
Выражения для q166llc , q166rrc , q166ffc и q166bbc определены в (4.55):
6c
6rc
6,T 6 c
q166llc = L6,T
6l q16 , q16r = L6r q16 ,
6c
6bc
6,T 6 c
q166ffc = L6,T
6f q16 , q16b = L6b q16 .
(4.109)
Необходимо привести силы (4.105)–(4.108) к началу связанной
с ригелем системы координат E6 и перепроецировать, умножив на
соответствующие матрицы вращения, так как стойки ригеля накло
нены (см. рис. 4.4). Для этого нужно умножить слева уравнения для
сил Qd2,6l, Qd2,6r, Qd2,6f и Qd2,6b соответственно на матрицы L66l , L66r , L66f
и L66b . Выражение для обобщенных сил упругости четырех стоек име
ет вид:
6c
6
6,T 6 c
Qd2,6 = − L66l D2,6l L6,T
6l q6 − L6r D2,6r L6r q6 −
6c
6
6,T 6c
− L66f D2,6f L6,T
6 f q6 − L6b D2,6b L6b q6 .
(4.110)
Ригель – контррефлектор
Обобщенные силы упругости для упругого элемента, связываю
щего ригель и контррефлектор, имеют вид:
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qc6,7 = −C6,7q77c , C6,7 = diag ⎡C6,7
, C6,7
, C6,7
, C6,7
, C6,7
, C6,7
,
⎣
⎦ (4.111)
i
где C6,7
– коэффициенты упругости по каждой из обобщенных коор
динат q77c .
Для обобщенных сил конструкционного демпфирования упруго
го элемента, связывающего ригель и контррефлектор, получим вы
ражение, аналогичное (4.111):
x
y
z
β
θ
α ⎤
Qd6,7 = − D6,7q177 c , D6,7 = diag ⎡ D6,7
, D6,7
, D6,7
, D6,7
, D6,7
, D6,7
,
⎣
⎦ (4.112)
i
где D6,7
– коэффициенты демпфирования по каждой из обобщенных
скоростей q177 c .
4.1.4. Алгоритм построения сил гравитации
Найдем обобщенные силы гравитации Qg для каждого из тел. Вы
ражение для координатного столбца вектора силы тяжести Gi0 , дей
ствующей на iе тело, имеет вид:
88
Gi0 = mi g0 ,
(4.113)
где mi – масса iго тела; g0=[0 –9.8 0]T – координатный столбец век
тора ускорения свободного падения g в базовой СК.
Платформа
Найдем координатный столбец вектора ускорения свободного па
дения в базисе [e1]:
g1 = c11c,T g0 ,
(4.114)
выражение для координатного столбца силы тяжести будет:
G11 = c11c,T m1 g0 .
(4.115)
Основание
Найдем координатный столбец вектора ускорения свободного па
дения в базисе [e2]:
g2 = c22c,T g1 = c22c,T c11c,T g0 ,
(4.116)
выражение для координатного столбца силы тяжести будет:
G22 = m2 g2 = c21c,Tm2 g0 ,
(4.117)
где c22c,T c11c,T = c21c,T.
Противовес
Найдем координатный столбец вектора ускорения свободного па
дения в базисе [e3]:
g3 = c33c,T g1 = c33c,T c11c,T g0 ,
(4.118)
выражение для координатного столбца силы тяжести:
G33 = m3 g3 = c31c,Tm3 g0 ,
(4.119)
где c33c,T c11c,T = c31c,T.
89
Основание зеркала
Найдем координатный столбец вектора ускорения свободного па
дения в базисе [e4]:
g4 = c44c,T g2 = c44c,T c22c,м c11c,T g0 ,
(4.120)
выражение для координатного столбца силы тяжести:
G44 = m4 g4 = c41c,Tm4 g0 ,
(4.121)
где c41c,T = c44c,T c22c,T c11c,T.
Главное зеркало
Найдем координатный столбец вектора ускорения свободного па
дения в базисе [e5]:
g5 = c55c,T g4 = c55c,T c44c,T c22c,T c11c,T g0 ,
(4.122)
выражение для координатного столбца силы тяжести:
G55 = m5 g5 = c51c,T m5 g0 ,
(4.123)
где c51c,T = c55c,T c44c,T c22c,T c11c,T.
Ригель
Найдем координатный столбец вектора ускорения свободного па
дения в базисе [e6]:
g6 = c66c,T g2 = c66c,T c22c,T c11c,T g0 ,
(4.124)
выражение для координатного столбца силы тяжести:
G66 = m6 g6 = c61c,Tm6 g0 ,
где c61c,T = c66c,T c22c,T c11c,T.
90
(4.125)
Контррефлектор
Найдем координатный столбец вектора ускорения свободного па
дения в базисе [e7]:
g7 = c77c,T g6 = c77c,T c66c,T c22c,T c11c,T g0 ,
(4.126)
выражение для координатного столбца силы тяжести:
G77 = c71c,T m7 g0 ,
(4.127)
где c71c,T = c77 c,T c66c,T c22c,T c11c,T.
Гравитационные силы всей системы Qg определяются уравне
нием:
Qg = SGC .
(4.128)
4.1.5. Алгоритм построения управляющих воздействий
Определим управляющие воздействия U, действующие на систему:
T
U11 = ⎡⎣0 0 0 Kдв1 0 0 ⎤⎦ , U33 = ⎡⎣0 Fдв2
T
0 0 0 0 ⎤⎦ , (4.129)
где U11 – управляющее воздействие, действующее на платформу; U33 –
управляющее воздействие, действующее на качающую часть; Kдв1 –
управляющий момент, создаваемый приводом азимутальной плат
формы; Fдв2 – управляющая сила, создаваемая угломестным приво
дом качающей части.
Управляющие воздействия, действующие на ПМК РТ:
U = ⎡U11; 0; U33 ; 0; 0; 0 ⎤ .
⎣
⎦
(4.130)
Выражение для обобщенных управляющих воздействий:
Qu = SU.
(4.131)
4.1.6. Алгоритм построения
ветровых возмущающих воздействий
Построение точных моделей обтекания ПМК воздушными потока
ми представляет собой сложную задачу, которая в нашем случае (пер
вое приближение) сведена к нахождению сил ветровой нагрузки W.
91
Чтобы избежать использования больших углов атаки и скольжения,
i
целесообразно ввести углы атаки αiv , скольжения βiiv , аэродинами
i
i
ческие силы Fv,i и моменты Kv,i согласно рис. 4.7.
Введем скоростную СК Eiv = (oiv,[e6iv]), которая получена поворо
тами на угол атаки αiiv и угол скольжения βiiv (повороты 1–3) связан
ной СК iго тела Ei. Матрица вращения, связывающая базисы [eiv]
и [ei], имеет вид:
⎡
⎤
cos(βiiv )
0
− sin(βiiv )
⎢
⎥
i
i
i
i
i
i
civ = ⎢ cos(αiv )sin(βiv ) cos(αiv )cos(βiv ) − sin(αiv ) ⎥ ,
⎢
⎥
i
i
i
i
i
⎢⎣ sin(αiv )sin(βiv ) sin(αiv )cos(βiv ) cos(αiv ) ⎥⎦
i
[eiv ] = [ei ]civ
, [ei ] = [e0 ]ci1c .
(4.132)
Вектор скорости воздушного потока vv задается координатным
T
столбцом в базовой системе координат vv0 = ⎡vx0 vy0 vz0 ⎤ . Коорди
⎣
⎦
T
натный столбец vv в базисе [eiv] имеет вид vviv = ⎡0 vv0 0 ⎤ . Необхо
⎣
⎦
;J
;JW
J
A JW
JW
, WJW[
JW
'WJW[
JW
, WJWZ
PJ
JW
' WJWY
J
B JW
9J
, JW
9JW WJWY
:JW
J
BJW
WW ' JW
WJWZ
J
A JW
:J
Рис. 4.7. Определение скоростной системы координат, аэродинамиче
ских сил и моментов: oiXiYiZi – связанная система координат;
oivXivYivZiv – скоростная система координат; vv – вектор скоро
сти воздушного потока; αiiv – угол атаки; βiiv – угол скольжения;
iv
iv
Fviv,iv,x , Fviv,iv,y , Fviv,iv,z – аэродинамические силы; Kiv
v,iv,x , Kv,iv,y , Kv,iv,z –
аэродинамические моменты
92
димо от vv0 перейти к координатному столбцу скорости воздушного
потока vvi в базисе [ei].
Согласно (4.132) для vv0 , vvi и vviv выполняется соотношение:
i iv
vvi = ci1c,Tvv0 = civ
vv ,
− sin(βiiv ) vv0
⎡vvi ,x ⎤ ⎡⎢
⎢ i ⎥ ⎢
i
⎢vv,y ⎥ = ⎢cos(αiiv )cos(βiv
) vv0
⎢ i ⎥ ⎢
⎢⎣ vv,z ⎥⎦ ⎢ sin(αiiv )cos(βiiv ) vv0
⎣
⎤
⎥
⎡ i ⎤
⎥ ⇒ βi = − arcsin ⎢ vv,x ⎥ ,
iv
⎥
⎢ v0 ⎥
⎥
⎣ v ⎦
⎥⎦
⎡ vi ⎤
αiiv = arctg ⎢ vi ,z ⎥ .
⎣⎢ vv,y ⎦⎥
(4.133)
Элементами ПМК, сильно подверженными воздействию ветровой
нагрузки, являются: основание главного зеркала, главное зеркало,
ригель, контррефлектор.
Выражения для аэродинамических сил, действующих на каждый
из этих элементов ПМК, в базисе [eiv] определяются следующим об
разом:
i
⎤
2 ⎡
cix (βiiv ,β1 iv
)
ρ vv0 ⎢
⎥
iv
i
i
i 1i
Fv,iv =
⎢ciy (αiv ,βiv , α1 iv ,βiv ) ⎥ ,
2 ⎢
⎥
ciz (αiiv , α1 iiv )
⎢⎣
⎥⎦
i 1i
⎤
2 ⎡
mix (βiv
,βiv )
ρ vv0 ⎢
⎥
iv
i
i
i 1i
Kv,iv =
⎢miy (αiv ,βiv , α1 iv ,βiv ) ⎥ ,
2 ⎢
⎥
i
i
miz (αiv
, α1 iv
)
⎢⎣
⎥⎦
(4.134)
где с – плотность воздуха; eix, eiy, eiz – коэффициенты аэродинамиче
ских сил; mix, miy, miz – коэффициенты аэродинамических моментов.
Перейдем от [eiv] к [ei]:
i
i
Fvi,i = civ
Fviv,iv , Kvi ,i = civ
Kviv,iv , Wii = ⎡ Fvi,i ; Kvi ,i ⎤ ,
⎣
⎦
(4.135)
а затем от W к обобщенным силам:
Qw = SW.
(4.136)
93
4.1.7. Математическая модель электроприводов наведения
Для наведения РТ по углу азимута и углу места применяются
редукторные электромеханические следящие приводы с двигате
лями постоянного тока (ДПТ), расположение которых показано на
рис. 4.8.
Система уравнений, описывающих динамику электромеханиче
ского следящего привода (ЭСП) угла азимута (4.137), в комбиниро
ванном режиме имеет вид:
ce
1
1
I1дв1 = − я Iдв1 − дв1
ωдв1 + я Uдв1,
я
Tдв1
Lдв1
Lдв1
1 дв1 =
ω
m
сдв1
Jдв1
Iдв1 −
Dдв1
Jдв1
ωдв1 +
Δα1 р1 = α1 11c −
Dр1
Jдв1 ⋅ iр1
ωдв1
iр1
Δα1 р1 +
я
, Tдв1
=
Lядв1
я
Rдв1
Ср1
Jдв1 ⋅ iр1
,
Δαр1,
(4.137)
я
где Iдв1 – ток якоря ДПТ; Tдв1
– постоянная времени якорной обмотки
я
e
ДПТ; Rдв1 – сопротивление якорной обмотки ДПТ; cдв1
– коэффици
'½»
;
D
:
T
,½»
T
E
9
94
:
Рис. 4.8. Расположение элект
росиловых приводов наведения
на РТ: 1 – делительная окруж
ность зубчатого сектора; 2 –
угломестный привод; 3 – шаро
вой погон; 4 – азимутальный
привод; Kдв1 – управляющий мо
мент, действующий на плат
форму; Fдв2 – управляющая сила,
действующая на противовес
ент противо ЭДС ДПТ; Lядв1 – индуктивность якорной обмотки ДПТ;
m
ωдв1 – угловая скорость ДПТ; Uдв1 – напряжение питания ДПТ; сдв1
–
коэффициент моментов ДПТ; Jдв1 – момент инерции ДПТ; Dдв1 – ко
эффициент вязкого трения на валу ДПТ; Dр1 – коэффициент демпфи
рования редуктора; iр1 – передаточное число редуктора; Ср1 – жест
кость редуктора; Δα р1 – скручивание редуктора.
Введем вектор обобщенных координат для системы «электродви
гатель–редуктор» q дв1 и обобщенных скоростей q1дв1:
T
qдв1 = ⎡⎣ρдв1 α дв1 ⎤⎦ ,
T
q1дв1 = ⎡⎣ρ1 дв1 α1 дв1 ⎤⎦ ,
(4.138)
где ρдв1 – заряд ДПТ; α дв1 – угол поворота ротора ДПТ; ρ1 дв1 = Iдв1 –
ток якорной цепи ДПТ; ωдв1 = α1 дв1 – угловая скорость ДПТ.
Скручивание редуктора:
Δα р1 = α11c −
α дв1
.
iр1
(4.139)
Подставив выражение (4.138) и (4.139) в (4.137), получим:
11
ρдв1 = −
11 дв1 =
α
1
я
Tдв1
ρ1 дв1 −
e
cдв1
Lядв1
α1 дв1 +
1
Lядв1
Uдв1
⎡
⎤
Dр1
Ср1
Dдв1
⎥ α1
ρ1 дв1 − ⎢
+
α +
дв1 −
2
2 дв1
⎢ Jдв1 J ⋅ i
⎥
Jдв1
⋅
J
i
(
)
(
)
дв1
р1
дв1
р1
⎣⎢
⎦⎥
m
сдв1
+
Dр1
Jдв1 ⋅ iр1
α1 11c +
Ср1
Jдв1 ⋅ iр1
α11c .
(4.140)
Перепишем (4.140) в компактной форме:
q11дв1 = Hдв1q1дв1 + Zдв1qдв1 + Bдв1Uдв1 + Fдв1fдв1,
(4.141)
где
⎡ 1
⎢− я
⎢ Tдв1
Hдв1 = ⎢ m
⎢ сдв1
⎢ J
дв1
⎣⎢
⎤
⎥
0
⎡0
⎤
⎥
⎢
⎥
Ср1
⎥ , Zдв1 = ⎢0 −
⎥,
Dр1
Dдв1
2⎥
⎥
⎢
−
−
Jдв1 ( iр1 ) ⎥⎦
⎢⎣
Jдв1 J ( i )2 ⎥
дв1 р1
⎦⎥
−
e
cдв1
Lядв1
95
0
⎡
⎡ 1 ⎤
⎢ D
⎢ я ⎥
Bдв1 = ⎢ Lдв1 ⎥ , Fдв1 = ⎢
р1
⎢ Jдв1 ⋅ iр1
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎣
⎤
⎡α1 11c ⎤
⎥
f
=
,
⎢
⎥.
дв1
⎥
⎢⎣α11c ⎥⎦
Jдв1 ⋅ iр1 ⎥⎦
0
Ср1
(4.142)
Управляющий момент, действующий на платформу:
Kдв1 = − Dр1α1 11c − Ср1α11c +
Dр1
iр1
α1 дв1 +
Ср1
iр1
α дв1 =
= − Dр1Δα1 р1 − Ср1Δα р1.
(4.143)
Система уравнений, описывающих динамику ЭСП угла места
(4.143), в комбинированном режиме имеет вид:
ce
1
1
I1дв2 = − я Iдв2 − дв2
ωдв2 + я Uдв2,
я
Tдв2
Lдв2
Lдв2
1 дв2 =
ω
m
сдв2
Jдв2
Iдв2 −
Dдв2
Jдв2
ωдв2 +
Dр2
Jдв2iр2
Ср2
Δβр2 ,
Δβ1 р2 +
Jдв2iр2
Lя
ω
я
Δβ1 р2 = β1 22c − дв2 , Tдв2
= дв2
,
я
iр2
Rдв2
(4.144)
я
– постоянная времени якорной обмот
где Iдв2 – ток якоря ДПТ; Tдв2
я
e
ки ДПТ; Rдв2 – сопротивление якорной обмотки ДПТ; cдв2
– коэффи
я
циент противоЭДС ДПТ; Lдв2 – индуктивность якорной обмотки
ДПТ; ωдв2 – угловая скорость ДПТ; Uдв2 – напряжение питания
m
– коэффициент моментов ДПТ; Jдв2 – момент инерции ДПТ;
ДПТ; сдв2
Dдв2 – коэффициент вязкого трения на валу ДПТ; Dр2 – коэффициент
демпфирования редуктора; iр2 – передаточное число редуктора; Ср2 –
жесткость редуктора; Δβр2 – скручивание редуктора; r – радиус дели
тельной окружности зубчатого сектора.
Введем вектор обобщенных координат для системы «электродви
гатель–редуктор» qдв2 и обобщенных скоростей q1дв2:
T
T
qдв2 = ⎡⎣ρдв2 βдв2 ⎤⎦ , q1дв2 = ⎡⎣ρ1 дв2 β1 дв2 ⎤⎦ ,
(4.145)
где ρдв2 – заряд ДПТ; βдв2 – угол поворота ротора ДПТ; ρ1 дв2 = Iдв2 –
ток якорной цепи ДПТ; ωдв2 = β1 дв2 – угловая скорость ДПТ.
Скручивание редуктора будет:
Δβр2 = β22c −
96
βдв2
.
iр2
(4.146)
Подставив выражения (4.145) и (4.146) в (4.144), получим:
11
ρдв2 = −
1
я
Tдв2
ρ1 дв2 −
e
cдв2
1
β1 дв2 + я Uдв2
я
Lдв2
Lдв2
⎡
⎤
m
Dр2
Ср2
сдв2
Dдв2
⎥ β1
11
βдв2 =
ρ1 дв2 − ⎢
+
−
β +
⎢ Jдв2 J ⋅ i 2 ⎥ дв2 J ⋅ i 2 дв2
Jдв2
дв2 ( р2 ) ⎦
дв2 ( р2 )
⎥
⎣⎢
+
Dр2
Jдв2 ⋅ iр2
β1 22c +
Ср2
Jдв2 ⋅ iр2
α22c
(4.147)
Перепишем (4.147) в компактной форме:
q11дв2 = Hдв2q1дв2 + Zдв2qдв2 + Bдв2Uдв2 + Fдв2fдв2,
(4.148)
где
Hдв2
⎡ 1
⎢− я
⎢ Tдв2
=⎢ m
⎢ сдв2
⎢ J
⎢⎣ дв2
Bдв2
⎤
⎥
0
⎡0
⎤
⎥
⎢
⎥
Ср2
⎥ , Zдв2 = ⎢0 −
⎥
Dр2
2⎥
⎥
⎢
−
Jдв2 ⋅ ( iр2 ) ⎥⎦
⎢⎣
2⎥
Jдв2 ⋅ ( iр2 ) ⎥⎦
−
−
Dдв2
Jдв2
e
cдв2
Lядв2
0
⎡
⎡ 1 ⎤
⎢ D
⎢ я ⎥
= ⎢ LДв2 ⎥ , Fдв2 = ⎢
р2
⎢ Jдв2 ⋅ iр2
⎢ 0 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎤
⎡β1 2c ⎤
⎥
Ср2 ⎥ , fдв2 = ⎢ 2 ⎥ .
⎢⎣β22c ⎥⎦
Jдв2 ⋅ iр2 ⎥⎦
0
(4.149)
Управляющая сила, действующая на платформу, будет:
Fдв2 = −
Dр2
r
β1 22c −
=−
Ср2
r
Dр2
r
β22c +
Δβ1 р2 −
Dр2
iр2r
Ср2
r
β1 дв2 +
Ср2
iр2r
βдв2 =
Δβр2 ,
(4.150)
где r – радиус делительной окружности зубчатого сектора.
4.1.8. Математическая модель деформируемого главного
зеркала. Определение выходов модели ПМК РТ
Угловые координаты космического источника радиоизлучения
(КИР) обычно задаются в СК, связанной с географическим местом
Земли (СКЗ), в котором установлен РТ. Относительно СКЗ рассчи
97
тывается программа целеуказания КИР, в которой для дискретных
моментов времени с высокой точностью учитываются все астрономи
ческие и астрофизические поправки, связанные с нутацией, прецес
сией, параллаксом и другими отклонениями Земли как динамиче
ского объекта, движущегося в мировом пространстве. СКЗ является
базовой СК и все другие СК, использующиеся при наведении РТ, дол
жны быть к ней привязаны. Наиболее жесткая часть главного зеркала
РТ ГЗ – верхняя часть центральной трубы (см. § 2.2, рис. 2.2), назы
ваемая опорным кольцом (ОК). На нем расположена система лазер
ных дальномеров, с помощью которой измеряются координаты ре
перных точек контррефлектора, поверхности ГЗ, приемника. С опор
ным кольцом связана подвижная система координат (СК ОК), в кото
рой проводится расчет аппроксимирующего параболоида ГЗ (АП ГЗ)
и электродинамической модели зеркальной системы (ЭДМ ЗС). Элек
тродинамическая модель ЗС позволяет прогнозировать влияние де
формаций ПМК на распределение поля в плоскости облучателя [22].
Одной из основных измерительных задач является задача измерения
положения СК ОК в СКЗ.
Применение одиночного приемника с площадью апертуры, боль
шей, чем площадь главного интерференционного кольца в раскрыве
облучателя, приведет к тому, что в приемник могут попасть излуче
ния от нескольких источников, что сильно затруднит их идентифи
кацию. С другой стороны, уменьшение площади апертуры облучате
ля приведет к чрезвычайно жестким требованиям к точности наведе
ния, что является проблематичным при создании следящих приво
дов и измерительной системы.
Применение матричных приемников [24, 25, 31], представляю
щих собой пакет облучателей, упакованных в матрицу, подобную
ПЗС, применяемой в оптике, позволяет существенно снизить требо
вания к точности наведения РТ на КИР и одновременно увеличить
разрешающую способность за счет одновременного приема сигнала
несколькими облучателями.
В связи с изложенным радиоприем целесообразно вести на мат
ричный приемник (МП), расположенный во вторичном фокусе. Так
как положение фокуса изменяется во времени, положение МП долж
но изменяться в пространстве за счет установки его на адаптивную
платформу облучателя (АПО), перемещения которой вычисляются
с помощью ЭДМ ЗС.
Электродинамическая модель ЗС описывает структуру и парамет
ры электромагнитного поля, создаваемого точечным КИР, и его пре
образования в ЗС путем переотражения поверхностями зеркал в об
98
ласть пространства, в котором структура и параметры поля наилуч
шим образом отвечают условиям радиоприема.
Электродинамическая модель ЗС реализуется в виде вычислитель
ного функционального блока, на вход которого подаются:
– положение КИР в СКЗ;
– положение СК ОК в СКЗ;
– координаты вершины и фокуса АП ГЗ в СК ОК;
– координаты вершины и фокуса аппроксимирующего эллипсои
да (АЭ) контррефлектора (КР) в СК ОК;
С выхода ЭДМ ЗС снимаются значения линейного и углового по
ложения АПО и подаются на ее приводы.
Значения координат КИР в СКЗ вычисляются астрофизическими
методами с высокой точностью для заданного географического места
их установки.
Координаты вершины и фокуса АП ГЗ в СК ОК и координаты вер
шины и фокуса АЭ КР в СК ОК рассчитываются по результатам изме
рений положения щитов отражающей поверхности ГЗ и отражаю
щей поверхности КР путем построения математических моделей АП
ГЗ АЭ КР в статике.
В динамике к значениям координат вершин и фокусов АП ГЗ и АЭ
КР в СК ОК добавляются значения деформаций, снимаемые с дина
мической модели ПМК РТ.
Таким образом, АПО и установленный на ней МП при подаче на ее
приводы управляющих воздействий со стороны ЭДМ ЗС будет пере
мещаться в пространстве и времени так, чтобы СК МП совместилась
СК фазового центра (точки максимальной интенсивности излучения
вблизи вторичного фокуса), образованной векторами электрической
и магнитной напряженности поля.
Задающие воздействия на приводы ГЗ и КР однозначно определя
ются по тем же входным значениям, которые подаются на ЭДМ ЗС.
Выделим следующие ошибки управления:
– угловое рассогласование фокальной оси ГЗ, проходящей через
вершину и фокус АП ГЗ, и линии визирования КИР ϕ5ф.о
КИР (рис. 4.9, а);
– угловое рассогласование фокальной оси КР, проходящей через
вершину и фокус АЭ ГЗ, и линии визирования КИР ϕ7ф.о
КИР (рис. 4.9, а);
– угловое рассогласование фокальной оси КР и фокальной оси ГЗ
5ф.о
ϕ7ф.о
(рис. 4.9, б);
– линейное рассогласование фокусов АП ГЗ и АЭ КР r75ff (рис. 4.9, а);
– линейная расфокусировка – линейное расстояние в миллимет
рах от фокуса до фазового центра (ФЦ) в результате деформаций ЗС
(определяется для первичного и вторичного фокусов);
99
а)
™¶£©
W
S ÍÇ
S§£
W
S§£
™¨œ &§£
S
§£
SW
&
ÍÇ
J£¡©
§£
SG
S§£
&
SW
&W
SG
JÍÇ
£¡©
G
S£¡©
S
§£
S £¡©
§£Æ §£ SG
J£¡©
S §£Æ G
S§£
&
SG
&G
S§£
G
&W
SW
S§£
&G
&
W
S ÍÇ
W
S£¡©
S
S
б)
W
SÍÇ
S£¡©
&
ÍÇ
ÍÇ SÍÇ
JÍÇ
&W
J£¡©
SÆ
Рис. 4.9. Определение координат зеркальной системы
– угловая расфокусировка – угловое смещение СК ФЦ деформиро
ванной ЗС относительно СК ФЦ недеформированной ЗС (определя
ется для первичного и вторичного фокусов).
Как уже отмечалось, точками, характеризующими взаимные поло
жения элементов ЗС, являются координаты фокуса и вершины АП ГЗ,
а также координаты фокуса и вершины АЭ КР. Эти координаты од
нозначно определяют параметры АП ГЗ и АЭ КР, поэтому они выбра
ны в качестве выходных координат ММ деформирования поверхно
стей ГЗ и КР. Параметры, характеризующие динамические и стати
5,5
5,5
ческие деформации ГЗ, задаются в СК ГЗ: r55,5
v , r5f , где r5v – коорди
5,5
наты вершины АП ГЗ в СК ГЗ, r5f – координаты фокуса АП ГЗ в СК
ГЗ. Параметры, характеризующие динамические и статические де
7,7
7,7
формации КР, задаются в СК КР: r77,7
v , r7 f , где r7v – координаты
7,7
вершины АЭ КР в СК КР, r7f – координаты фокуса АЭ КР в СК КР.
100
Так как в СК ОК расположена лазерная измерительная система
и в этой системе координат проводится расчет АП ГЗ, АЭ КР и ЭДМ ЗС,
7,7
5,5
5,5
то необходимо перевести r77,7
v , r7f и r5v , r5f в СК ОК. Положение
СК ОК относительно СК основания ГЗ определяется вектором парал
4
4,4
в [e4]. Поэтому
лельного переноса rОК с координатным столбцом rОК
7,ОК
5,ОК
7,ОК
5,ОК
для r7v , r7f и r5v , r5f получим:
5с,5с
r55,ОК
= r5ОК,ОК
+ r4ОК,4 − r54,4
= с55с r55,5
v
v
с − r5
v ,
5с,5с
r55,ОК
= r5ОК,ОК
+ r4ОК,4 − r54,4
= с55с r55,5
f
f
с − r5
f ,
2,2 ⎤
r77,ОК
= r7ОК,ОК
+ r4ОК,4 + c44c,T ⎡⎣r42,2
v
v
c − r6c ⎦ +
4 c,T 6 c 7 c,7 c
+ c44c,T ⎡r44c,4c − r66c,6c ⎤ − c44c,T c66c r76,6
c6 r7
=
c − c4
⎣
⎦
7,ОК
= c44c,T c66c с77с r77,7
= r7ОК,ОК
+ r4ОК,4 +
v , r7 f
f
2,2 ⎤
4 c,T ⎡ 4 c,4 c
+ c44c,T ⎡⎣r42,2
− r66c,6c ⎤⎦ − c44c,T c66c r76,6
c − r6 c ⎦ + c4
c −
⎣r4
− c44c,T c66c r77c,7 c = c44c,T c66c с77с r77,7
f .
(4.151)
Найдем выражение для линейного рассогласования фокусов
АП ГЗ и АЭ КР r75ff :
r75ff ,ОК = r7ОК,ОК
− r5ОК,ОК
,
f
f
r75ff ,ОК = r62,ОК
+ r66c,ОК + r76,ОК
+ r77c,ОК + r77,ОК
− r42,ОК
−
c
c
f
c
,
−r44c,ОК − r54,ОК
− r55c,ОК − r55,ОК
c
f
4 с,T ⎡ 2,2
2,2 ⎤
4,4
r75ff ,ОК = с44с,T с66с r76,6
c + с4
⎣r6c − r4c ⎦ − r5c +
+ с44с,T ⎡r66c,6с − r44c,4с ⎤ + с44с,T с66с r77 c,7 с − r55c,5с +
⎣
⎦
4с,T 6 с 7 с 7,7
+ с4 с6 с7 r7f − с55с r55,5
f .
(4.152)
Найдем выражение для углового рассогласования фокальной оси
ГЗ, проходящей через вершину и фокус АП ГЗ, и линии визирования
5ф.о
КИР ϕКИР . Положение КИР задается в полярной системе координат
T
0
⎤ , где β0КИР – угол места, а α0КИР –
(рис. 4.10) углами ϕ0КИР = ⎡⎣β0КИР αКИР
⎦
0
угол азимута. Введем вектор единичной длины rКИР
, задающий на
0
правление на КИР. Координатный столбец вектора rКИР
в базовой
СК имеет вид:
T
0,0
= ⎡cos(α0КИР )cos(β0КИР ), sin(α0КИР )cos(β0КИР ), sin(β0КИР ) ⎤ . (4.153)
rКИР
⎣
⎦
101
;
S£¡©
B£¡©
0
:
A£¡©
9 A£¡©
9
Рис. 4.10. Полярная система координат, в которой задается положение
КИР относительно базовой СК
0
0,0
0,ОК
, координатному столбцу вектора rКИР
Перейдем от rКИР
к rКИР
в СК ОК:
0,ОК
0,0
rКИР
= с41c,TrКИР
.
(4.154)
5v
Определим вектор единичной длины r5ф.о
, задающий направле
5v
в СК ОК име
ние фокальной оси АП ГЗ. Координатный столбец r5ф.о
ет вид:
5v,ОК
r5ф.о
=
− r5ОК,ОК
r5ОК,ОК
f
v
r5ОК,ОК
− r5ОК,ОК
f
v
=
5,5 ⎤
c55c ⎡⎣r55,5
f − r5v ⎦
5,5
r55,5
f − r5v
(4.155)
.
5ф.о
5ф.о
5v
5v
= rКИР
− r5ф.о
, коор
Чтобы определить ϕКИР , введем вектор rКИР
динатный столбец которого в СК ОК будет:
5ф.о,ОК
ОК,ОК
5v,ОК
0,0
= rКИР
− r5ф.о
= c41с,ТrКИР
−
rКИР
5,5 ⎤
c55c ⎡⎣r55,5
f − r5v ⎦
5,5
r55,5
f − r5v
.
(4.156)
5ф.о
5v
5v
Векторы rКИР , rКИР
и r5ф.о
образуют равнобедренный треуголь
5ф.о
ник, и выражение для ϕКИР имеет вид:
ϕ5ф.о
КИР
⎡ r 5ф.о,ОК
КИР
= 2arcsin ⎢
⎢
2
⎣
⎤
⎥=
⎥
⎦
⎡
⎤
− r55,5
c55c ⎡r55,5
v ⎦
1
⎣ f
0,0
= 2arcsin ⎢ ⋅ c41с,ТrКИР
−
5,5
⎢2
r55,5
f − r5v
⎣⎢
102
⎤
⎥.
⎥
⎦⎥
(4.157)
Для малых значений угла ϕ5ф.о
КИР выражение (4.157) примет вид:
5ф.о,ОК
0,0
ϕ5ф.о
= c41с,ТrКИР
−
КИР = rКИР
5,5 ⎤
c55c ⎡⎣r55,5
f − r5v ⎦
5,5
r55,5
f − r5v
.
(4.158)
Найдем угловые ошибки приводов наведения РТ по азимуту Δα11с
и углу места Δβ22с , необходимые для компенсации рассогласования
5ф.о
5v
5v
5ф.о
ϕ5ф.о
КИР . Если ϕКИР = 0, то rКИР и r5ф.о совмещаются, а rКИР = 0:
1с,Т 0,0
c4*
rКИР −
5,5 ⎤
c55c ⎡⎣r55,5
f − r5v ⎦
5,5
r55,5
f − r5v
1с
1с 2с 4с
= 0, c4*
= с1*
с2* с4 ,
(4.158)
1с
2с
где c1*
– матрица вращения с учетом поворота на Δα11с ; c2*
– матрица
2с
вращения с учетом поворота на Δβ2 .
2с
1с
:
Найдем выражения для c1*
и c2*
1с
1с,3
c1*
= с11с,1 (β11с )с11с,2 (θ11с )с1*
(α11с + Δα11с ),
1с,3 1с
с1*
(α1 + Δα11с ) = с11с,3 (α11с ) ⎡[1]3 + < ez > Δα11с ⎤ ,
⎣
⎦
2с
2с,1 2с
= с2*
c2*
(β2 + Δβ22с )с22с,2 (θ22с )с22с,3 (α22с ),
2с,1 2с
с2*
(β2 + Δβ22с ) = с22с,1 (β22с ) ⎡[1]3 + < ex > Δβ22с ⎤ ,
⎣
⎦
ex = [1 0 0] , ez = [0 0 1] .
T
T
(4.159)
1с,Т
:
Получим выражение для c4*
1с,Т
c4*
= c44с,Т с22c,3,Т (α22с )с22c,2,Т (θ22с ) ⎡[1]3 + < ex >Т Δβ22с ⎤ с22c,2,Т (β22с ) [[1]3 +
⎣
⎦
Т
1с ⎤ 1c,3,Т
1с 1c,2,Т 1с 1c,1,Т 1с
+ < ez > Δα1 ⎦ с1
(α1 )с1
(θ1 )с1
(β1 ) =
= c44с,Т с22c,3,Т (α22с )с22c,2,Т (θ22с ) ⎡⎣[1]3 + < ex >Т Δβ22с ⎤⎦ ×
× с22c,2,Т (β22с ) ⎡⎣[1]3 + < ez >Т Δα11с ⎤⎦ с11c,Т =
= c41с,Т + c42с,Т < ez >Т с11c,Т Δα11с +
+ c42с,Т с22c,1 (β22с ) < ex >Т с22c,2,Т (β22с )с11c,Т Δβ22с =
= c41с,Т + c42с,Т < ez >Т с11c,Т Δα11с +
+ c42с,Т < ex >Т с11c,Т Δβ22с .
(4.160)
103
Перепишем (4.158) с учетом (4.160):
1с,Т 0,0
c4*
rКИР −
⎤
− r55,5
c55c ⎡r55,5
v ⎦
⎣ f
0,0
0,0
= c41с,ТrКИР
+ c42с,Т < ez >Т с11c,ТrКИР
Δα11с +
5,5
5,5
r5f − r5v
0,0
+c42с,Т < ex >Т с11c,ТrКИР
Δβ22с −
0,0
c41с,ТrКИР
−
5,5 ⎤
c55c ⎡⎣r55,5
f − r5v ⎦
r55,5
f
− r55,5
v
5,5 ⎤
c55c ⎣⎡r55,5
f − r5v ⎦
5,5
r55,5
f − r5v
= 0,
0,0
= c42с,Т < ez > с11c,ТrКИР
Δα11с +
0,0
5ф.о,ОК
,
+ c42с,Т < ex > с11c,ТrКИР
Δβ22с = rКИР
0,0
0,0
5ф.о,ОК
. (4.161)
Δα11с + c42с,Т < ex > с11c,ТrКИР
Δβ22с = rКИР
c42с,Т < ez > с11c,ТrКИР
Перепишем выражение (4.161) в компактной форме:
T
Y1 = ⎡⎣ y1,1
y1,2
0,0
y1,3 ⎤⎦ = c42с,T < ez > с11c,TrКИР
,
Y2 = ⎣⎡ y2,1
y2,2
0,0
y2,3 ⎦⎤ = c42с,T < ex > с11c,TrКИР
,
Y1 Δα11с + Y2 Δβ22с
T
⎡ y1,1
5ф.о,ОК ⎢
= rКИР , ⎢ y1,2
⎢ y1,3
⎣
5ф.о,ОК ⎤
⎡ xКИР
y2,1 ⎤
1
с
⎥ ⎡ Δα ⎤ ⎢ 5ф.о,ОК ⎥
y2,2 ⎥ ⋅ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ yКИР
⎥ . (4.162)
Δβ22с ⎥⎦ ⎢ 5ф.о,ОК ⎥
⎢
⎣
⎥
y2,3 ⎦
⎣⎢ zКИР ⎦⎥
5ф.о,ОК
Из выражения (4.162) исключим уравнение по координате zКИР
1с
2с
и разрешим его относительно Δα1 и Δβ2 :
⎡ y1,1
⎢y
⎣ 1,2
5ф.о,ОК ⎤ ⎡
y2,1 ⎤ ⎡ Δα11с ⎤ ⎡xКИР
Δα11с ⎤ ⎡ y1,1
,
⋅
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥=
y2,2 ⎥⎦ ⎢ Δβ2с ⎥ ⎢ y5ф.о,ОК ⎥ ⎢ Δβ2с ⎥ ⎢⎣ y1,2
⎣ 2 ⎦ ⎣ КИР ⎦ ⎣ 2 ⎦
y2,1 ⎤
y2,2 ⎥⎦
−1
⎡x5ф.о,ОК ⎤
⋅ ⎢ КИР ⎥ .(4.163)
5ф.о,ОК
⎢⎣ yКИР
⎥⎦
Найдем выражение для углового рассогласования фокальной оси
5ф.о
КР и фокальной оси ГЗ ϕ7ф.о
. Определим вектор единичной длины
7v
r7ф.о , задающий направление фокальной оси АЭ КР. Координатный
7v
столбец r7ф.о
в СК ОК имеет вид:
7 v,ОК
=
r7ф.о
104
− r7ОК,ОК
r7ОК,ОК
f
v
− r7ОК,ОК
r7ОК,ОК
f
v
=
7,7 ⎤
c44c,T c66c с77 с ⎡⎣r77,7
f − r7 v ⎦
7,7
r77,7
f − r7 v
.
(4.164)
5ф.о
5ф.о
7v
5v
Чтобы определить ϕ7ф.о
, введем вектор r7ф.о
= r7ф.о
− r5ф.о
, коорди
натный столбец которого в СК ОК будет:
5ф.о,ОК
r7ф.о
7 v,ОК
= r7ф.о
5v,ОК
− r5ф.о
=
7,7 ⎤
c44c,Tc66c с77с ⎡⎣r77,7
f − r7 v ⎦
7,7
r77,7
f − r7 v
−
5,5 ⎤
c55c ⎡⎣r55,5
f − r5v ⎦
5,5
r55,5
f − r5v
. (4.165)
7v
5v
5ф.о
Векторы r7ф.о
и r5ф.о
образуют равнобедренный треуголь
, r7ф.о
5ф.о
ник, и выражение для ϕ7ф.о имеет вид:
5ф.о
ϕ7ф.о
⎡ r 5ф.о,ОК
7ф.о
= 2arcsin ⎢
⎢
2
⎣
⎤
⎥=
⎥
⎦
⎡ c4c,T c6c с7с ⎡r 7,7 − r7,7 ⎤ c5c ⎡r 5,5 − r 5,5 ⎤
6 7 ⎣ 7f
7v ⎦
5 ⎣ 5f
5v ⎦
1 4
= 2arcsin ⎢ ⋅
−
7,7
7,7
5,5
5,5
⎢2
r7 f − r7v
r5f − r5v
⎣⎢
⎤
⎥.
⎥
⎦⎥
(4.166)
5ф.о
выражение (4.166) примет вид:
Для малых значений угла ϕ7ф.о
5ф.о
ϕ7ф.о
=
5ф.о,ОК
r7ф.о
=
7,7 ⎤
c44c,T c66cс77 с ⎡⎣r77,7
f − r7v ⎦
7,7
r77,7
f − r7v
−
5,5 ⎤
c55c ⎡⎣r55,5
f − r5v ⎦
5,5
r55,5
f − r5v
. (4.167)
Найдем линейные и угловые ошибки приводов наведения КР. При
вод КР спроектирован так, что он обеспечивает перемещения по трем
линейным координатам x77с,7 c , y77с,7 c , z77с,7c и трем угловым β77с , θ77 с ,
α77 с . Определим линейные и угловые ошибки приводов наведения КР
по каждой из координат Δx77с,7 c , Δy77 с,7 c , Δz77с,7c и трем угловым Δβ77с ,
5ф.о
Δθ77 с , Δα77 с , необходимые для компенсации рассогласований ϕ7ф.о
5ф.о
5ф.о
и r75ff,ОК . Если ϕ7ф.о
= 0, то r7ф.о = 0 :
7 с ⎡ 7,7
⎤
c44c,T c66c с7*
r − r77,7
v ⎦
⎣ 7f
5v,ОК
− r5ф.о
= 0,
7,7
−
r77,7
r
7v
f
7с
7 с,1 7 c
7 с,2 7 c
7 с,3
= с7*
с7*
(β7 + Δβ77c )с7*
(θ7 + Δθ77c )с7*
(α77c + Δα77 c ),
7 с,1 7 c
с7*
(β7 + Δβ77 c ) = с77 с,1 (β77c ) ⎡[1]3 + < ex > Δβ77 c ⎤ , ex = [1 0 0] ,
⎣
⎦
T
T
7 с,2 7 c
с7*
(θ7 + Δθ77c ) = с77с,2 (θ77 c ) ⎡⎣[1]3 + < ey > Δθ77 c ⎤⎦ , ey = [0 1 0] ,
7 с,3
с7*
(α77 c + Δα77 c ) = с77 с,3 (α77 c ) ⎡⎣[1]3 + < ez > Δα77 c ⎤⎦ , ez = [0 0 1] , (4.168)
T
7с
где c7* – матрица вращения с учетом поворотов Δβ77 с , Δθ77с , Δα77 с .
105
7с
Получим выражение для c7*
:
7с
= с77 с,1 (β77 c ) ⎡⎣[1]3 + < ex > Δβ77c ⎤⎦ с77 с,2 (θ77 c ) ×
c7*
× ⎡⎣[1]3 + < ey > Δθ77 c ⎤⎦ с77с,3 (α77c ) ⎡⎣[1]3 + < ez > Δα77c ⎤⎦ =
= с77 с + < ex > с77 с Δβ77c + с77с < с77 с,3,T (α77c )ey > Δθ77 c + с77 с < ez > Δα77c . (4.169)
Перепишем уравнение (4.168) с учетом (4.169):
7 v,7
7v,7
c44c,T c66c < ex > с77 с r7ф.о
Δβ77c + c44c,T c66c с77с < с77с,3,T (α77c )ey > r7ф.о
Δθ77c +
7v,7
5ф.о,ОК
+c44c,T c66c с77с < ez > r7ф.о
Δα77c = −r7ф.о
,
7 v,7
r7ф.о
7,7 ⎤
⎡r77,7
f − r7 v ⎦
⎣
.
=
7,7
r77,7
f − r7v
(4.170)
Перепишем уравнение (4.170) в компактной форме:
7v,7
7v,7
c44c,T c66c < ex >T с77с r7ф.о
Δβ77 c + c44c,T c66c с77 с < с77 с,3,T (α77 c )ey >T r7ф.о
Δθ77c +
7 v,7
5ф.о,ОК
+ c44c,T c66c с77 с < ez >T r7ф.о
Δα77c = r7ф.о
,
X1 = ⎡⎣x1,1
X2 = ⎡⎣x2,1
x2,2
X3 = ⎡⎣x3,1
x1,2
T
7 v,7
x1,3 ⎤⎦ = c44c,T c66c < ex >T с77 с r7ф.о
,
T
7 v,7
x2,3 ⎤⎦ = c44c,T c66c с77 с < с77с,3,T (α77 c )ey >T r7ф.о
,
x3,2
T
7v,7
x3,3 ⎤⎦ = c44c,T c66c с77 с < ez >T r7ф.о
,
5ф.о,ОК
X1 Δβ77 c + X2 Δθ77 c + X3 Δα77 c = r7ф.о
.
(4.171)
7c
7c
Разрешим (4.171) относительно Δβ7 , Δθ7 и Δα77 c :
⎡ x1,1
⎢
⎢x1,2
⎢x1,3
⎣
106
7c
⎡ 5ф.о,ОК ⎤ ⎡ Δβ7c ⎤
x3,1 ⎤ ⎡ Δβ7 ⎤ ⎢x7ф.о
⎥ ⎢ 7 ⎥
⎥
⎥ ⎢
5ф.о,ОК ⎥
x3,2 ⎥ ⋅ ⎢ Δθ77c ⎥ = ⎢ y7ф.о
, ⎢ Δθ77 c ⎥ =
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
x3,3 ⎥⎦ ⎢ Δα77c ⎥ ⎢ z5ф.о,ОК ⎥ ⎢ Δα77 c ⎥
⎣
⎦ ⎣ 7ф.о
⎦
⎦ ⎣
5ф.о,ОК
−1 ⎡
⎤
⎡ x1,1 x2,1 x3,1 ⎤ ⎢ x7ф.о
⎥
⎢
⎥
5ф.о,ОК ⎥
= ⎢x1,2 x2,2 x3,2 ⎥ ⋅ ⎢ y7ф.о
.
⎢
⎥
⎢x1,3 x2,3 x3,3 ⎥ ⎢ 5ф.о,ОК ⎥
⎣
⎦
z
⎣ 7ф.о
⎦
x2,1
x2,2
x2,3
(4.172)
T
Определим выражение для Δr77с,7 c = ⎡ Δx77с,7c Δy77с,7 c Δz77с,7c ⎤ . Если
⎣
⎦
фокусы АП ГЗ и АЭ КР совмещены, то выполняется равенство:
4 с,T ⎡ 2,2
4с,T ⎡ 6 c,6 с
⎤ 4,4
− r44c,4с ⎤ +
с44с,T с66с r76,6
r − r42,2
r
c + с4
c ⎦ − r5c + с4
⎣ 6c
⎣6
⎦
7 с 7,7
+ с44с,T с66с r77c,7 с + с44с,T с66с Δr77c,7 с − r55c,5с + с44с,T с66с с7*
r7 f − с55с r55,5
f = 0. (4.173)
Перепишем выражение (4.171) с учетом (4.173):
6,6
6с,T ⎡ 2,2
⎤ 6с,T ⎡r66c,6с − r44c,4с ⎤ − r77 c,7с +
с66с,Tс44сr54,4
r − r42,2
c − r7 c − с6
c ⎦ − с6
⎣ 6c
⎣
⎦
7 с 7,7
7 с 7,7
7c
+ с66с,Tс44сr55c,5с + с66с,Tс44с с55сr55,5
f − с7 r7 f = < ex > с7 r7 f Δβ7 +
7c
7с
7,7
7c
+ с77 с < с77 с,3,T (α77 c )ey > r77,7
f Δθ7 + с7 < ez > r7 f Δα7 .
(4.174)
Перепишем выражение (4.174) в компактном виде:
7с
7 с,3,T
7с
7,7
Z1 = < ex > с77сr77,7
(α77 c )ey > r77,7
f , Z2 = с7 < с7
f , Z3 = с7 < ez > r7 f ,
6,6
6 с,T ⎡ 2,2
⎤ 6с,T ⎡r66c,6с − r44c,4с ⎤ − r77 c,7 с +
Z4 = с66с,Tс44сr54,4
r − r42,2
c − r7 c − с6
c ⎦ − с6
⎣ 6c
⎣
⎦
7 с 7,7
+ с66с,Tс44сr55c,5с + с66с,Tс44с с55сr55,5
f − с7 r7 f ,
Δr77c,7 с = Z4 − Z1Δβ77c − Z2 Δθ77c − Z3 Δα77 c .
(4.175)
§ 4.2. Реализация математической модели
радиотелескопа в среде MATLAB
Модель ПМК РТ была реализована в среде MATLAB/Simulink [15,
16]. Этот программный продукт поддерживает объектновизуальный
интерфейс, позволяющий с малыми временными затратами созда
вать сложные динамические системы различной природы, а также
облегчает процесс их сопряжения.
Для решения задач численного моделирования механических си
стем, MATLAB/Simulink содержит библиотеку компонентов Sim
Mechanics, которая не позволяет получить уравнения движения ме
ханической системы в явном виде, что затрудняет анализ модели.
Поэтому в Simulink была разработана альтернативная библиотека,
позволяющая, в отличие от SimMechanics, реализовать уравнения
движения в явном виде для механических систем твердых тел с упру
гими и голономными связями произвольной пространственной топо
логии, а также осуществлять их верификацию путем расчета энер
гии для каждого элемента модели и системы в целом [16].
107
Компоненты данной библиотеки могут быть использованы для
моделирования механических систем при следующих условиях:
1. Система может быть представлена в виде твердых тел с упруги
ми связями.
2. Связи являются упругими балками или шарнирами, с произ
вольными координатами точек крепления к твердым телам.
3. Связи и твердые тела образуют граф, где связи – его ребра,
а твердые тела – вершины.
Для большинства механических систем (манипуляторы роботов,
грохоты, радиотелескопы и т. д.) данные условия выполнимы, и при
их исследовании могут быть использованы компоненты предложен
ной библиотеки.
4.2.1. Общий вид библиотеки и описание компонентов
Библиотека приведена на рис. 4.11. Она состоит из трех основных
(«Твердое тело», «Упругий элемент» и «Блок преобразования коор
динат») и двух вспомогательных компонентов («Двигатель» и «Ре
дуктор»), описывающих исполнительный механизм.
В блоке «Твердое тело» реализуются уравнение динамики (4.67)
и кинематическое уравнение (4.176) движения твердого тела с шес
тью степенями свободы относительно E0:
Vi0,i = Mi0q1i0 i = 1,2,3, 1, n.
(4.176)
Для ввода данных используется интерфейс, показанный на
рис. 4.12, где необходимо ввести матрицу инерции, начальные зна
чения обобщенных скоростей q1i0 и начальные значения обобщенных
0
координат qi .
Блок имеет вход внутренних сил системы in_R в подвижном бази
се [ei], вход ускорения свободного падения in_G, вход внешних воз
Рис. 4.11. Общий вид библиотеки
108
Рис. 4.12. Твердое тело
действий in_F, заданных в E0. Выходами блока являются: out_V –
обобщенные координаты qi0 , обобщенные скорости q1i0 , квазискоро
сти Vi0,i ; out_dQ – обобщенные скорости; out_Q – обобщенные коор
динаты; out_Ek – кинетическая энергия тела; out_EG – потенциаль
ная энергия гравитационного поля.
Блок «Упругий элемент» организует связь между двумя твердыми
телами. Интерфейс блока приведен на рис. 4.13. Входами его явля
ются выходы блоков «Твердое тело», соединенных связью (out_V1
Рис. 4.13. Упругий элемент
109
Рис. 4.14. Двигатель постоянного тока
Рис. 4.15. Редуктор
Рис. 4.16. Преобразование систем координат
110
и out_V2). Выходами блока являются: внутренние силы, действую
щие на первое и второе тела, между которыми организована связь
(out_R1 и out_R2); out_Ep – потенциальная энергия упругого взаимо
действия; out_EDIS – энергия диссипации упругого элемента; коор
динаты относительного движение второго тела относительно перво
го (out_D) и скорости этого относительного движения (out_dD).
Почти в каждой механической системе присутствуют электродвига
тели в качестве исполнительных элементов приводов. В подобных слу
чаях часто используются двигатели постоянного тока независимого
возбуждения изза линейности их характеристик и широкого диапазо
на регулирования, поэтому добавлен компонент для моделирования
электродвигателей подобного класса (рис. 4.14) с редуктором (рис. 4.15).
Входами блока «Двигатель» являются управляющее напряжение
U и момент реакции Rm, выходом частота вращения ротора W. Для
блока «Редуктор» входы – угловые скорости на входе (in_W) редукто
ра и на выходе (in_W_R) редуктора, а выходы – управляющий момент
с редуктора (out_M) и момент реакции на ротор двигателя (out_Mn).
На практике возникает необходимость нахождения координат не
только центра масс, но и произвольной точки тела. Этот переход мо
жет быть осуществлен посредством блока преобразования коорди
нат (рис. 4.16).
4.2.2. Использование библиотеки для моделирования ПМК РТ70
Рассмотрим моделирование ПМК РТ70 с использованием приве
денной библиотеки. На подготовительном этапе необходимо деком
позировать механическую систему, выделив сосредоточенные массы
и связи, и определить возможные управляющие воздействия, внешние
силы и моменты (см. рис. 4.1). В нашем случае ПМК нагружена гра
витационным полем, а управление осуществляется от азимутально
го и угломестного двигателей с редукторами (рис. 4.17). После этого
по графу (см. рис. 4.1) заполним модель, соединив вершины (твердые
тела) связями (упругими элементами). Приводы наведения по азиму
ту и углу места (двигатель и редуктор) подсоединяются к платформе
и основанию соответственно. Модель ПМК РТ приведена на рис. 4.18.
В качестве выхода системы нас интересует поведение фокальных
осей контррефлектора и главного зеркала, образованных вершина
ми и фокусами главного зеркала и контррефлектора, а также движе
ние центров масс каждого из твердых тел.
Результаты моделирования ПМК приведены на рис. 4.19–4.33.
111
112
Редуктор
угломестный
Редуктор
азимутальный
Рис. 4.17. Реализация модели ПМК РТ в MATLAB/Simulink
Двигатель
угломестный
Двигатель
азимутальный
Пространственная
металлоконструкция РТ70
Выход модели
113
636789647
3
In_Qc
Out_dQ In_Vc
6367893 !"
3
6
Out_6
In_2
2
Out_E
Out_Vc
Out_Qc
Out_dQc
Out_E
Out_Vc
Out_Qc
Out_dQc
Out_E
Out_Vc
Out_Qc
Out_dQc
Out_E
Out_Vc
Out_Qc
Out_dQc
%!59&
In_G
In_R
#36&
In_G
In_R
(76!&
#3&
In_G
In_R
(76!&
In_R Out_dQc
Out_Qc
In_Mu
Out_Vc
In_G
Out_E
'863$&
In_G
In_Mu
In_R
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
123456789
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
In_V1
123456789
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
In_V1
123456789
In_V1
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
123456789
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
In_V1
123456789
In_V1
Рис. 4.18. Компьютерная модель ПМК РТ в Simulink
4
Out_5
2
Out_4
In_Qc
Out_dQ In_Vc
-C-
*3!8+!,
1
Out_1
In_1
1
636789#$!
-C-
Out_E
Out_Vc
Out_Qc
Out_dQc
Out_E
Out_Vc
Out_Qc
Out_dQc
)6833863&
In_G
In_R
'368!67&
In_G
In_R
123456789
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
In_V1
123456789
In_V1
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
123456789
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
In_V1
123456789
Out_R1
In_V1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
123456789
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
In_V1
123456789
Out_R1
Out_R2
Out_Ep
Out_Edis
Out_dD
In_V2
Out_D
In_V1
636789647
6833863
In_Qc
In_Vc Out_dQ
6367893 !"
6833863
In_Qc
In_Vc Out_dQ
5
Out_3
3
Out_2
114
10–1
100
Рис. 4.19. ЛАХ и ЛФХ. Фокальная ось. Угол азимута
–450
–360
–270
–180
–90
0
90
180
Ψ(ω), град. 270
–150
–100
–50
0
50
L(ω), дБ 100
101
102
ω, рад/с
115
–150
–100
–50
0
50
100
10–1
100
Рис. 4.20. ЛАХ и ЛФХ. Платформа. Угол азимута
–450
–360
–270
–180
–90
0
90
180
Ψ(ω), град. 270
L(ω), дБ
101
102
ω, рад/с
116
–200
–150
–100
–50
0
50
100
10–1
100
Рис. 4.21. ЛАХ и ЛФХ. Основание. Угол азимута
–450
–405
–360
–315
–270
–225
–180
–135
–250
Ψ(ω), град. 90
L(ω), дБ
101
102
103
ω, рад/с
117
10–1
100
Рис. 4.22. ЛАХ и ЛФХ. Основание зеркала. Угол азимута
–450
–360
–270
–180
–90
0
90
180
–200
Ψ(ω), град. 270
–150
–100
–50
0
50
L(ω), дБ 100
101
102
ω, рад/с
118
–150
–100
–50
0
50
100
10–1
100
Рис. 4.23. ЛАХ и ЛФХ. Зеркало. Угол азимута
–630
–540
–450
–360
–270
–180
–90
–200
Ψ(ω), град. 270
180
90
0
L(ω), дБ
101
102
ω, рад/с
119
–150
–100
–50
0
50
100
10–1
100
Рис. 4.24. ЛАХ и ЛФХ. Ригель. Угол азимута
–450
–360
–270
–180
–90
0
90
180
–200
Ψ(ω), град. 270
L(ω), дБ
101
102
ω, рад/с
120
–150
–100
–50
0
50
100
10–1
100
Рис. 4.25. ЛАХ и ЛФХ. Контррефлектор. Угол азимута
–630
–540
–450
–360
–270
–180
–90
–200
Ψ(ω), град. 270
180
90
0
L(ω), дБ
101
102
ω, рад/с
121
–150
–100
–50
0
50
100
10–1
100
Рис. 4.26. ЛАХ и ЛФХ. Противовес. Угол азимута
–450
–360
–270
–180
–90
0
90
180
–200
Ψ(ω), град. 270
L(ω), дБ
101
102
ω, рад/с
Ω, угл. с/с
250
150
50
00
2
4
6
8
t, c
Рис. 4.27. Переходный процесс по скорости (угол азимута). Платформа
Ω, угл. с/с
300
200
100
0
0
2
4
6
8
t, c
Рис. 4.28. Переходный процесс по скорости (угол азимута). Основание
122
Ω, угл. с/с
350
250
150
50
0
–50
0
2
4
6
8
t, c
Рис. 4.29. Переходный процесс по скорости (угол азимута). Основание
зеркала
Ω, угл. с/с
500
300
100
0
0
2
4
6
8
t, c
Рис. 4.30. Переходный процесс по скорости (угол азимута). Зеркало
123
Ω, угл. с/с
300
200
100
0
–50
0
2
4
6
8
t, c
Рис. 4.31. Переходный процесс по скорости (угол азимута). Ригель
Ω, угл. с/с
400
300
200
100
0
0
2
4
6
8
t, c
Рис. 4.32. Переходный процесс по скорости (угол азимута). Контрреф
лектор
124
Ω, угл. с/с
350
250
150
50
0
–50
0
2
4
6
8
t, c
Рис. 4.33. Переходный процесс по скорости (угол азимута). Противовес
По данным натурных экспериментов были определены инерци
альные и жесткостные характеристики ПМК, а в ходе моделирова
ния установлено, что среднее отклонение собственных частот реаль
ного РТ от модели не превышает 5 %.
Из моделирования можно заключить, что ПМК АУ РТ70 ха
рактеризуется слабо демпфированными собственными колебаниями
(см. рис. 4.19–4.33). ПМК РТ на первой резонансной частоте имеет
всплеск амплитуды около 20 дБ, т. е. в 10 раз превышающей ампли
туду возбуждающего воздействия, с временем затухания приблизи
тельно 10 с, что осложняет управление этим объектом.
4.2.3. Программа расчета динамики радиотелескопа
%Исходные данные
%Объявление глобальных переменных, которые будут использо
ваны в модели
global g0 m1 p1cm f1 I11 I12 I13 p01c C1g D1 f1c p12c f2 m2
p2cm I21 I22 I23 f2g C2g1 C2g2 R2g1 R2g2 D2g1 D2g2 p23c f3 m3
p3cm I31 I32 I33 f3g C33 D33 p24c f4 m4 p4cm...
125
I41 I42 I43 f4g C44 D44 p45c f5 m5 p5cm I51 I52 I53 f5g C55
D55 p26c f6 m6 p6cm I61 I62 I63 C6g1 D6g1 p67c f7 m7 p7cm I71 I72
I73 f7g C77 D77;
%Начальные значения обобщенных координат ПМК РТ
global Q_NU;
Q_NU = [0.01 0.01 0.01 0.003 0.003 0.8 0.01 0.01 0.01 0.8
0.003 0.003 0.01 0.01 0.01 0.003 0.03 0.003 0.01 0.01 0.01 0.003
0.003 0.003 0.01 0.01 0.01 0.003 0.003 0.003 0.01 0.01 0.01
0.003 0.003 0.003 0.01 0.01 0.01 0.003 0.003 0.003]’;
%Начальные значения обобщенных скоростей ПМК РТ
global dQ_NU;
dQ_NU = [0.01 0.01 0.01 0.0015 0.0015 0.003 0.01 0.01 0.01 0.003
0.0015 0.0015 0.01 0.01 0.01 0.0015 0.0015 0.0015 0.01 0.01 0.01
0.0015 0.0015 0.0015 0.01 0.01 0.01 0.0015 0.0015 0.0015 0.01 0.01
0.01 0.0015 0.0015 0.0015 0.1 0.01 0.01 0.0015 0.0015 0.0015]’;
%Вектор ускорения свободного падения в БСК
g0 = [0.0, 0.0, 9.81]’;
%Платформа
m1 = 300.0e+3;%Масса тела, кг
p1cm = [0 0 0]’;%Вектор смещения центра масс СК платформы
f1 = eye(6);%Матрица осей подвижности
I11 = 0.21e+8; %Главные момент инерции тела
I12 = 0.21e+8;
I13 = 0.21e+8;
p01c = [0 0 25.0]’;%Вектор конструкционного переноса плат
формы от Земли
C1g = diag(5.0e+10 5.0e+10 5.0e+10 0.535e+12 0.535e+10 0);%Мат
рица жесткостей
D1 = diag(5.0e+9 5.0e+9 5.0e+9 0.5e+11 0.5e+9 0);%Матрица
демпфирования
%Основание
p12c = [0 0 20.0]’;%Вектор конструкционного переноса основа
ния от платформы
f2 = eye(6);%Матрица осей подвижности
m2 = 450.0e+3;%Масса тела
p2cm = [0 0 0]’;%Вектор смещения центра масс в СК основания
I21 = 0.31e+7;%Главные момент инерции тела
I22 = 0.31e+7;
I23 = 0.22e+7;
C2g1 = diag(0.5e+9 0.5e+9 2.5e+10 0 0.2675e+10 0.2675e+10);
%Матрица жесткостей первой стойки
126
C2g2 = diag(0.5e+9 0.5e+9 2.5e+10 0 0.2675e+10 0.2675e+10); );
%Матрица жесткостей второй стойки
R2g1 = [ 13.45 0 0]’;%Координаты крепления первой стойки на
основании в СК основания
R2g2 = [13.45 0 0]’;% Координаты крепления второй стойки на
основании в СК основания
D2g1 = diag(0.5e+8 0.5e+8 2.5e+9 0 0.2675e+9 0.2675e+9);
%Матрица демпфирования первой стойки
D2g2 = diag(0.5e+8 0.5e+8 2.5e+9 0 0.2675e+9 0.2675e+9);
%матрица демпфирования второй стойки
%Противовес
p23c = [0 0 16.0]’;%Вектор конструкционного переноса проти
вовеса от основания
f3 = eye(6);%Матрица осей подвижности
m3 = 480.0e+3;%Масса тела
p3cm = [0 0 0]’;%Вектор смещения центра масс в СК противо
веса
I31 = 0.75e+7;%Главные моменты инерции тела
I32 = 0.75e+7;
I33 = 0.41e+6;
C33 = diag(1.0e+9 1.0e+9 5.0e+9 0.2861e+11 0.2861e+11 0.2074e+10);
%Матрица жесткостей
D33 = diag(1.0e+8 1.0e+8 5.0e+8 0.2861e+10 0.2861e+10 0.2074e+9);
%Матрица демпфирования
%Основание зеркала
p24c = [0 0 11.0]’;%Вектор конструкционного переноса основа
ния зеркала от основания
f4 = eye(6);%Матрица осей подвижности
m4 = 255.0e+3;%Масса тела
p4cm = [0 0 0]’;%Вектор смещения центра масс в СК основания
зеркала
I41 = 0.142e+8;%Главные моменты инерции тела
I42 = 0.142e+8;
I43 = 0.2141e+6;
C44 = diag(1.0e+9 1.0e+9 1.0e+9 0.4672e+10 0.4672e+10 0.8395e+9);
%Матрица жесткостей
D44 = diag(1.0e+8 1.0e+8 1.0e+8 0.4672e+9 0.4672e+9 0.8395e+8);
%Матрица демпфирования
%Зеркало
p45c = [0 0 20.0]’;%Вектор конструкционного переноса зеркала
от основания зеркала
127
f5 = eye(6);%Матрица осей подвижности
m5 = 62.6e+3;%Масса тела
p5cm = [0 0 0]’;%Вектор смещения центра масс в СК зеркала
I51 = 0.6906e+7;%Главные моменты инерции тела
I52 = 0.6906e+7;
I53 = 0.1537e+8;
C55 = diag(1.0e+9 1.0e+9 1.0e+9 0.4672e+10 0.4672e+10 0.505e+10);
%матрица жесткостей
D55 = diag(1.0e+8 1.0e+8 1.0e+8 0.4672e+9 0.4672e+9 0.505e+9);
%матрица демпфирования
R5f = [0 0 13.0]’;%Координаты фокуса зеркала в СК зеркала
R5v = [0 0 8.0]’;%Координаты вершины зеркала в СК зеркала
%Ригель
p26c = [0 0 38.0]’;%Вектор конструкционного переноса ригеля
от основания
f6 = eye(6);%Матрица осей подвижности
m6 = 20.0e+3;%Масса тела
p6cm = [0 0 0]’;%Вектор смещения центра масс в СК ригеля
I61 = 0.27e+7;%Главные моменты инерции тела
I62 = 0.27e+7;
I63 = 0.25e+6;
R6g1 = [3.0 0 0.5]’;%Координаты крепления первой стойки на
ригеле в СК ригеля
R6g2 = [3.0 0 0.5]’;%Координаты крепления второй стойки на
ригеле в СК ригеля
R6g3 = [0 3.0 0.5]’;%Координаты крепления третьей стойки на
ригеле в СК ригеля
R6g4 = [0 3.0 0.5]’;%Координаты крепления четвертой стойки
на ригеле в СК ригеля
ag11 = [pi/3 0 0]’;%Углы ориентации направляющей линии первой
стойки в СК ригеля
ag12 = [pi/3 0 0]’;%Углы ориентации направляющей линии второй
стойки СК ригеля
ag13 = [0 pi/3 0]’;%Углы ориентации направляющей линии тре
тьей стойки СК ригеля
ag14 = [0 pi/3 0]’;%Углы ориентации направляющей линии чет
вертой стойки СК ригеля
C6g1 = diag(5.0e+6 5.0e+6 5.0e+6 0.648e+7 0.648e+7 0.648e+7);
%Матрица жесткостей первой стойки
C6g2 = diag(5.0e+6 5.0e+6 5.0e+6 0.648e+7 0.648e+7 0.648e+7);
%Матрица жесткостей второй стойки
128
C6g3 = diag(5.0e+6 5.0e+6 5.0e+6 0.648e+7 0.648e+7 0.648e+7);
%Матрица жесткостей третьей стойки
C6g4 = diag(5.0e+6 5.0e+6 5.0e+6 0.648e+7 0.648e+7 0.648e+7);
%Матрица жесткостей четвертой стойки
D6g1 = diag(5.0e+4 5.0e+4 5.0e+4 0.648e+5 0.648e+5 0.648e+5);
%Матрица демпфирования первой стойки
D6g2 = diag(5.0e+4 5.0e+4 5.0e+4 0.648e+5 0.648e+5 0.648e+5);
%Матрица демпфирования второй стойки
D6g3 = diag(5.0e+4 5.0e+4 5.0e+4 0.648e+5 0.648e+5 0.648e+5);
%Матрица демпфирования третьей стойки
D6g4 = diag(5.0e+4 5.0e+4 5.0e+4 0.648e+5 0.648e+5 0.648e+5);
%Матрица демпфирования четвертой стойки
%Контррефлектор
p67c = [0 0 6.0]’;%Вектор конструкционного переноса контр
рефлектора от ригеля
f7 = eye(6);%Матрица осей подвижности
m7 = 2.3e+3;%Масса тела
p7cm = [0 0 0]’;%Вектор смещения центра масс в СК контрреф
лектора
I71 = 0.3122e+4;%Главные моменты инерции тела
I72 = 0.3122e+4;
I73 = 0.4995e+4;
C77 = diag(1.0e+7 1.0e+7 1.0e+7 0.648e+7 0.648e+7 0.648e+7);
%Матрица жесткостей
D77 = diag(1.0e+6 1.0e+6 1.0e+6 0.648e+6 0.648e+6 0.648e+6);
%матрица демпфирования
R7f = [0 0 1.2]’;%Координаты фокуса контррефлектора в СК
контррефлектора
R7v = [0 0 0.8]’;%Координаты вершины контррефлектора в СК
контррефлектора
%Модель ПМК РТ
function dY = RT70_Seven(Y)
%Объявление глобальных переменных
global g0 m1 p1cm f1 I11 I12 I13 p01c C1g D1 f1c p12c f2 m2
p2cm I21 I22 I23 f2g C2g1 C2g2 R2g1 R2g2 D2g1 D2g2 p23c f3 m3
p3cm I31 I32 I33 f3g C33 D33 p24c f4 m4 p4cm...
I41 I42 I43 f4g C44 D44 p45c f5 m5 p5cm I51 I52 I53 f5g C55
D55 p26c f6 m6 p6cm I61 I62 I63 C6g1 D6g1 p67c f7 m7 p7cm I71 I72
I73 f7g C77 D77;
Q = Y(43:84);%Обобщенные координаты ПМК
dQ = Y(1:42);%Обобщенные скорости ПМК
129
u11 = Y(85);%Управляющий момент с азимутального привода
u33 = Y(86);%Управляющая сила с угломестного привода
%Платформа
d11 = Q(1);%Обобщенная координата x11c,1c
d12 = Q(2);%Обобщенная координата y11c,1c
d13 = Q(3);%Обобщенная координата z11c,1c
b14 = Q(4);%Обобщенная координата β11c
b15 = Q(5);%Обобщенная координата θ11c
a16 = Q(6);%Обобщенная координата α11c
d1c1 = [d11 d12 d13]’;%Линейные обобщенные координаты плат
формы
e11 = [1 0 0]’;%базис [e0]
e12 = [0 1 0]’;
e13 = [0 0 1]’;
T1cm = [eye(3) zeros(3); cV1(p1cm) eye(3)];%Матрица для пере
счета тензора инерции, если подвижная СК расположена не в центре
инерции
Tetta11 = T1cm*diag([m1 m1 m1 I11 I12 I13])*T1cm’; %Преобра
зованная матрица инерции
C01 = C1(b14)*C2(b15)*C3(a16);%Матрица вращения c11c
E01 = [C3(a16)’*C2(b15)’*e11, C3(a16)’*e12, e13];%Матрица
Эйлера ε11c
M01 = [C01' zeros(3); zeros(3) E01];%Матрица M11c
T01c = [eye(3) zeros(3); cV1(p01c) eye(3)];%Матрица T1c0
T1c1 = [eye(3) zeros(3); cV1(d1c1) eye(3)];%Матрица T11c
C1c = [C01 zeros(3); zeros(3) C01];%Матрица [c11c ]
%Гравитация
g1 = C01'*g0;%Вектор ускорения свободного падения в СК платформы
G11 = [eye(3) zeros(3); zeros(3) cV1(p1cm)]*[g1*m1; g1*m1];
%Гравитационные силы в СК платформы
%Силы упругого взаимодействия для пары земля – платформа
C11 = C1g;%Матрица жесткостей
Q01C = C11*[d1c1; b14; b15; 0;];%Силы упругого взаимодействия
%Силы демпфирования для пары земля – платформа
D11 = D1;%Матрица демпфирования
Q01D = D11*[dQ(1) dQ(2) dQ(3) dQ(4) dQ(5) 0]’;%Силы демпфи
рования
%Основание
d21 = Q(7);%Обобщенная координата x22c,2c
d22 = Q(8);%Обобщенная координата y22c,2c
130
d23 = Q(9);%Обобщенная координата z22c,2c
b24 = Q(10);%Обобщенная координата β22c
b25 = Q(11);%Обобщенная координата θ22c
a26 = Q(12);%Обобщенная координата α22c
d2c2 = [d21 d22 d23]’;%Линейные обобщенные координаты основания
T2cm = [eye(3) zeros(3); cV1(p2cm) eye(3)];%Матрица для пере
счета тензора инерции, если подвижная СК расположена не в центре
инерции
Tetta22 = T2cm*diag([m2 m2 m2 I21 I22 I23])*T2cm’; %Преобра
зованная матрица инерции
C2c2 = C1(b24)*C2(b25)*C3(a26);%Матрица вращения c22c
E2c2 = [C3(a26)’*C2(b25)’*e11, C3(a26)’*e12, e13];%Матрица
Эйлера ε22c
2c
M12 = [C2c2' zeros(3); zeros(3) E2c2];%Матрица M2
1
T12c = [eye(3) zeros(3); cV1(p12c) eye(3)];%Матрица T2c
T2c2 = [eye(3) zeros(3); cV1(d2c2) eye(3)];%Матрица T22c
C2c = [C2c2 zeros(3); zeros(3) C2c2];%Матрица [c22c ]
%Гравитация
g2 = C2c2'*g1;%Вектор ускорения свободного падения в СК осно
вания
G22 = [eye(3) zeros(3); zeros(3) cV1(p2cm)]*[g2*m2; g2*m2];
%Гравитационные силы в СК основания
%Силы упругого взаимодействия для пары платформа – основание
C21 = C2g1;%Матрица жесткостей первой стойки
C22 = C2g2;%Матрица жесткостей второй стойки
T2g1 = [eye(3) zeros(3); cV1(R2g1) eye(3)];%Матрица T2l2
2
T2g2 = [eye(3) zeros(3); cV1(R2g2) eye(3)];%Матрица T2r
C2g = T2g1*C21*T2g1'+T2g2*C22*T2g2';%Матрица жесткостей двух
стоек
Q02C = C2g*[d2c2; b24; b25; a26];%Силы упругого взаимодействия
%Силы демпфирования для пары платформа – основание
D21 = D2g1;%Матрица демпфирования первой стойки
D22 = D2g2;%Матрица демпфирования второй стойки
D2g = T2g1*D21*T2g1'+T2g2*D22*T2g2';%Матрица демпфирования
двух стоек
Q02D = D2g*[dQ(7) dQ(8) dQ(9) 0 dQ(11) dQ(12)]’;%Силы дем
пфирования
%Противовес
d31 = Q(13);%Обобщенная координата x33c,3c
d32 = Q(14);%Обобщенная координата y33c,3c
131
d33 = Q(15);%Обобщенная координата z33c,3c
b34 = Q(16);%Обобщенная координата β33c
b35 = Q(17);%Обобщенная координата θ33c
a36 = Q(18);%Обобщенная координата α33c
d3c3 = [d31 d32 d33]’;%Линейные обобщенные координаты проти
вовеса
T3cm = [eye(3) zeros(3); cV1(p3cm) eye(3)];%Матрица для пере
счета тензора инерции, если подвижная СК расположена не в центре
инерции
Tetta33 = T3cm*diag([m3 m3 m3 I31 I32 I33])*T3cm’; %Преобра
зованная матрица инерции
C3c3 = C1(b34)*C2(b35)*C3(a36);%Матрица вращения c33c
E3c3 = [C3(a36)’*C2(b35)’*e11, C3(a36)’*e12, e13];%Матрица
Эйлера ε33c
M23 = [C3c3' zeros(3); zeros(3) E3c3];%Матрица M33c
2
T23c = [eye(3) zeros(3); cV1(p23c) eye(3)];%Матрица T3c
3c
T3c3 = [eye(3) zeros(3); cV1(d3c3) eye(3)];%Матрица T3
C3c = [C3c3 zeros(3); zeros(3) C3c3];%Матрица [c33c ]
%Гравитация
g3 = C3c3'*g2;%Вектор ускорения свободного падения в СК проти
вовеса
G33 = [eye(3) zeros(3); zeros(3) cV1(p3cm)]*[g3*m3; g3*m3];
%Гравитационные силы в СК противовеса
%Силы упругого взаимодействия для пары основание – противо
вес
C3g = C33;%Матрица жесткостей
Q03C = C3g*[d3c3; b34; b35; a36];%Силы упругого взаимодей
ствия
%Силы демпфирования для пары основание – противовес
D3g = D33;%Матрица демпфирования
Q03D = D3g*[dQ(13) dQ(14) dQ(15) dQ(16) dQ(17) dQ(18)]’;% Силы
демпфирования
%Основание зеркала
d41 = Q(19);%Обобщенная координата x44c,4c
d42 = Q(20);%Обобщенная координата y44c,4c
d43 = Q(21);%Обобщенная координата z44c,4c
b44 = Q(22);%Обобщенная координата β44c
b45 = Q(23);%Обобщенная координата θ44c
a46 = Q(24); Обобщенная координата α44c
132
d4c4 = [d41 d42 d43]’;%Линейные обобщенные координаты основа
ния зеркала
T4cm = [eye(3) zeros(3); cV1(p4cm) eye(3)];%Матрица для пере
счета тензора инерции, если подвижная СК расположена не в центре
инерции
Tetta44 = T4cm*diag([m4 m4 m4 I41 I42 I43])*T4cm’; %Преобра
зованная матрица инерции
C4c4 = C1(b44)*C2(b45)*C3(a46);%Матрица вращения c44c
E4c4 = [C3(a46)’*C2(b45)’*e11, C3(a46)’*e12, e13];%Матрица
Эйлера ε44c
M24 = [C4c4' zeros(3); zeros(3) E4c4];%Матрица M44c
2
T24c = [eye(3) zeros(3); cV1(p24c) eye(3)];%Матрица T4c
T4c4 = [eye(3) zeros(3); cV1(d4c4) eye(3)];%Матрица T44c
C4c = [C4c4 zeros(3); zeros(3) C4c4];%Матрица [c44c ]
%Гравитация
g4 = C4c4'*g2;%Вектор ускорения свободного падения в СК осно
вания зеркала
G44 = [eye(3) zeros(3); zeros(3) cV1(p4cm)]*[g4*m4; g4*m4];
%Гравитационные силы в СК основание зеркала
%Силы упругого взаимодействия для пары основание – основа
ние зеркала
C4g = C44;%Матрица жесткостей
Q04C = C4g*[d4c4; b44; b45; a46];%Силы упругого взаимодействия
%Силы демпфирования для пары основание – основание зеркала
D4g = D44;%Матрица демпфирования
Q04D = D4g*[dQ(19) dQ(20) dQ(21) dQ(22) dQ(23) dQ(24)]’;%Силы
демпфирования
%Зеркало
d51 = Q(25);%Обобщенная координата x55c,5c
d52 = Q(26);%Обобщенная координата y55c,5c
d53 = Q(27);%Обобщенная координата z55c,5c
b54 = Q(28);%Обобщенная координата β55c
b55 = Q(29);%Обобщенная координата θ55c
a56 = Q(30);%Обобщенная координата α55c
d5c5 = [d51 d52 d53]’;%Линейные обобщенные координаты зеркала
T5cm = [eye(3) zeros(3); cV1(p5cm) eye(3)];%Матрица для пере
счета тензора инерции, если подвижная СК расположена не в центре
инерции
Tetta55 = T5cm*diag([m5 m5 m5 I51 I52 I53])*T5cm’; %Преобра
зованная матрица инерции
133
C5c5 = C1(b54)*C2(b55)*C3(a56);%Матрица вращения c55c
E5c5 = [C3(a56)’*C2(b55)’*e11, C3(a56)’*e12, e13];%Матрица
Эйлера ε55c
M45 = [C5c5' zeros(3); zeros(3) E5c5];%Матрица M55c
4
T45c = [eye(3) zeros(3); cV1(p45c) eye(3)];%Матрица T5c
T5c5 = [eye(3) zeros(3); cV1(d5c5) eye(3)];%Матрица T55c
C5c = [C5c5 zeros(3); zeros(3) C5c5];%Матрица [c55c ]
%Гравитация
g5 = C5c5'*g4;%Вектор ускорения свободного падения в СК зеркала
G55 = [eye(3) zeros(3); zeros(3) cV1(p5cm)]*[g5*m5; g5*m5];
%Гравитационные силы в СК зеркала
%Силы упругого взаимодействия для пары основание зеркала –
зеркало
C5g = C55;%Матрица жесткостей
Q05C = C5g*[d5c5; b54; b55; a56];%Силы упругого взаимодействия
%Силы демпфирования для пары основание зеркала – зеркало
D5g = D55;%Матрица демпфирования
Q05D = D5g*[dQ(25) dQ(26) dQ(27) dQ(28) dQ(29) dQ(30)]’;%Силы
демпфирования
%Ригель
d61 = Q(31);%Обобщенная координата x66c,6c
d62 = Q(32);%Обобщенная координата y66c,6c
d63 = Q(33);%Обобщенная координата z66c,6c
b64 = Q(34);%Обобщенная координата β66c
b65 = Q(35);%Обобщенная координата θ66c
a66 = Q(36);%Обобщенная координата α66c
d6c6 = [d61 d62 d63]’;%Линейные обобщенные координаты ригеля
T6cm = [eye(3) zeros(3); cV1(p6cm) eye(3)];%Матрица для пере
счета тензора инерции, если подвижная СК расположена не в центре
инерции
Tetta66 = T6cm*diag([m6 m6 m6 I61 I62 I63])*T6cm’; %Преобра
зованная матрица инерции
C6c6 = C1(b64)*C2(b65)*C3(a66);%Матрица вращения c66c
E6c6 = [C3(a66)’*C2(b65)’*e11, C3(a66)’*e12, e13];%Матрица
Эйлера ε66c
M26 = [C3c3' zeros(3) zeros(3) E3c3];%Матрица M66c
2
T26c = [eye(3) zeros(3); cV1(p26c) eye(3)];%Матрица T6c
T6c6 = [eye(3) zeros(3); cV1(d6c6) eye(3)];%Матрица T66c
C6c = [C6c6 zeros(3); zeros(3) C6c6];%Матрица [c66c ]
134
%Гравитация
g6 = C6c6'*g2;%Вектор ускорения свободного падения в СК ригеля
G66 = [eye(3) zeros(3); zeros(3) cV1(p6cm)]*[g6*m6; g6*m6];
%Гравитационные силы в СК ригеля
%Силы упругого взаимодействия для пары основание – ригель
Cg1 = [C1(ag11(1))*C2(ag11(2))*C3(ag11(3)) zeros(3);
zeros(3) C1(ag11(1))*C2(ag11(2))*C3(ag11(3))];%Матрица [c66l ]
Cg2 = [C1(ag12(1))*C2(ag12(2))*C3(ag12(3)) zeros(3);
zeros(3) C1(ag12(1))*C2(ag12(2))*C3(ag12(3))];%Матрица [c66r ]
Cg3 = [C1(ag13(1))*C2(ag13(2))*C3(ag13(3)) zeros(3);
zeros(3) C1(ag13(1))*C2(ag13(2))*C3(ag13(3))];%Матрица [c66f ]
Cg4 = [C1(ag11(1))*C2(ag11(2))*C3(ag11(3)) zeros(3);
zeros(3) C1(ag11(1))*C2(ag11(2))*C3(ag11(3))];%Матрица [c66b ]
C61 = C6g1;%Матрица жесткостей первой стойки
C62 = C3g2;%Матрица жесткостей второй стойки
C63 = C3g3;%Матрица жесткостей третьей стойки
C64 = C3g4;%Матрица жесткостей четвертой стойки
T6g1 = [eye(3) zeros(3); cV1(R3g1) eye(3)];%Матрица T6l6
6
T6g2 = [eye(3) zeros(3); cV1(R3g2) eye(3)];%Матрица T6r
6
T6g3 = [eye(3) zeros(3); cV1(R3g3) eye(3)];%Матрица T6f
6
T6g4 = [eye(3) zeros(3); cV1(R3g4) eye(3)];%Матрица T6b
C6g = T6g1*Cg1*C61*Cg1'*T6g1'+T6g2*Cg2*C62*Cg2'*T6g2'+
T6g3*Cg3*C63*Cg3'*T6g3'+T6g4*Cg4*C64*Cg4'*T6g4';%Матрица
жесткостей четырех стоек
Q06C = C61*[d6c6; b64; b65; a66];%Силы упругого взаимодействия
%Силы демпфирования для пары основание – ригель
D61 = C6g1;%Матрица демпфирования первой стойки
D62 = C6g2;%Матрица демпфирования второй стойки
D63 = C6g3;%Матрица демпфирования третьей стойки
D64 = C6g4;%Матрица демпфирования четвертой стойки
D6g = T6g1*Cg1*D61*Cg1'*T6g1'+T6g2*Cg2*D62*Cg2'*T6g2'+
T6g3*Cg3*D63*Cg3'*T6g3'+T6g4*Cg4*D64*Cg4'*T6g4';%Матрица
демпфирования четырех стоек
Q06D = D61*[dQ(31) dQ(32) dQ(33) dQ(34) dQ(35) dQ(36)]’;%Силы
демпфирования
%Контррефлектор
d71 = Q(37);%Обобщенная координата x77c,7 c
d72 = Q(38);%Обобщенная координата y77c,7c
d73 = Q(39);%Обобщенная координата z77c,7c
b74 = Q(40);%Обобщенная координата β77 c
135
b75 = Q(41);%Обобщенная координата θ77 c
a76 = Q(42);%Обобщенная координата α77 c
d7c7 = [d71 d72 d73]’;%Линейные обобщенные координаты контр
рефлектора
T7cm = [eye(3) zeros(3); cV1(p7cm) eye(3)];%Матрица для пере
счета тензора инерции, если подвижная СК расположена не в центре
инерции
Tetta77 = T7cm*diag([m7 m7 m7 I71 I72 I73])*T7cm’; %Преобра
зованная матрица инерции
C7c7 = C1(b74)*C2(b75)*C3(a76);%Матрица вращения c77c
E7c7 = [C3(a76)’*C2(b75)’*e11, C3(a76)’*e12, e13];%Матрица
Эйлера ε77c
M67 = [C7c7' zeros(3); zeros(3) E7c7];%Матрица M66c
2
T67c = [eye(3) zeros(3); cV1(p67c) eye(3)];%Матрица T6c
T7c7 = [eye(3) zeros(3); cV1(d7c7) eye(3)];%Матрица T66c
C7c = [C7c7 zeros(3); zeros(3) C7c7];%Матрица [c66c ]
%Гравитация
g7 = C7c7'*g6;%Вектор ускорения свободного падения в СК контр
рефлектора
G77 = [eye(3) zeros(3); zeros(3) cV1(p7cm)]*[g7*m7; g7*m7];%
Гравитационные силы в СК контррефлектора
%Силы упругого взаимодействия для пары ригель – контрреф
лектор
C7g = C77;%Матрица жесткостей
Q07C = C7g*[d7c7; b74; b75; a76];%Силы упругого взаимодействия
%Силы демпфирования для пары ригель – контррефлектор
D7g = D77;%Матрица демпфирования
Q07D = D7g*[dQ(37) dQ(38) dQ(39) dQ(40) dQ(41) dQ(42)]’;%Силы
демпфирования
%Построение конфигурационной матрицы системы L
L12 = T12c*T2c2*C2c; L23 = T23c*T3c3*C3c; L24 = T24c*T4c4*C4c;
L45 = T45c*T5c5*C5c; L26 = T26c*T6c6*C6c; L67 = T67c*T7c7*C7c;
L13 = L12*L23; L14 = L12*L24; L25 = L24*L45; L15 = L12*L25;
L16 = L12*L26; L27 = L26*L67; L17 = L12*L27; L01 = T01c*T1c1*C1c;
L = [ eye(6) L12 L13 L14 L15 L16 L17
zeros(6) eye(6) L23 L24 L25 L26 L27
zeros(6) zeros(6) eye(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) eye(6) L45 zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) eye(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) eye(6) L67
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) eye(6)];
136
%Построение матрицы M системы
M = [ M01 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) M12 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) M23 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) M24 zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) M45 zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) M26 zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) M67];
%Построение матрицы инерции системы Θ
Tetta = [ Tetta11 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) Tetta22 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) Tetta33 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) Tetta44 zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) Tetta55 zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) Tetta66 zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) Tetta77];
%Построение матрицы осей подвижности системы [f]
F = [ f1 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) f2 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) f3 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) f4 zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) f5 zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) f6 zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) f7];
%Построение структурной матрицы S
S = F’*M’*L;
%Построение матрицы A(q)
A = S*Tetta*S’;
%Построение матрицы Φ0
V0 = S’*dQ;%Нахождение V0
V01 = V0(1:3);%Нахождение v10,1
W01 = V0(4:6);%Нахождение ω10,1
V02 = V0(7:9);%Нахождение v20,2
W02 = V0(10:12);%Нахождение ω20,2
V03 = V0(13:15);%Нахождение v30,3
W03 = V0(16:18);%Нахождение ω30,3
V04 = V0(19:21);%Нахождение v40,4
W04 = V0(22:24);%Нахождение ω0,4
4
V05 = V0(25:27);%Нахождение v50,5
W05 = V0(28:30);%Нахождение ω50,5
137
V06 = V0(31:33);%Нахождение v60,6
W06 = V0(34:36);%Нахождение ω60,6
V07 = V0(37:39);%Нахождение v70,7
W07 = V0(40:42);%Нахождение ω70,7
F01 = [cV1(W01) zeros(3); cV1(V01) cV1(W01)];%Нахождение Φ10,1
F02 = [cV1(W02) zeros(3); cV1(V02) cV1(W02)];%Нахождение Φ20,2
F03 = [cV1(W03) zeros(3); cV1(V03) cV1(W03)];%Нахождение Φ30,3
F04 = [cV1(W04) zeros(3); cV1(V04) cV1(W04)];%Нахождение Φ 0,4
4
F05 = [cV1(W05) zeros(3); cV1(V05) cV1(W05)];%Нахождение Φ50,5
F06 = [cV1(W06) zeros(3); cV1(V06) cV1(W06)];%Нахождение Φ60,6
F07 = [cV1(W07) zeros(3); cV1(V07) cV1(W07)];%Нахождение Φ70,7
F00 = [ F01 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) F02 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) F03 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) F04 zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) F05 zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) F06 zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
F07];%Нахождение Φ0
%Нахождение производной от матрицы M
V = M*dQ;%Нахождение V
V011 = V(1:3);%Нахождение v11c,1
W011 = V(4:6);%Нахождение ω11c,1
V122 = V(7:9);%Нахождение v22c,2
W122 = V(10:12);%Нахождение ω22c,2
V233 = V(13:15);%Нахождение v33c,3
W233 = V(16:18);%Нахождение ω33c,3
V244 = V(19:21);%Нахождение v44c,4
W244 = V(22:24);%Нахождение ω44c,4
V455 = V(25:27);%Нахождение v55c,5
W455 = V(28:30);%Нахождение ω55c,5
V266 = V(31:33);%Нахождение v66c,6
W266 = V(34:36);%Нахождение ω66c,6
V677 = V(37:39);%Нахождение v77 c,7
W677 = V(40:42);%Нахождение ω77 c,7
dC01 = C01*cV1(W011);%Нахождение c111c
138
dE01 = [(cV1(e13)’*C3(a16)’*C2(b15)’*dQ(6)+C3(a16)’*C2(b15)
’*cV1(e12)’*dQ(5))*e11, cV1(e13)’*C3(a16)’*dQ(6)*e12, zeros(3,1)];
%Нахождение ε111c
dM01 = [dC01' zeros(3); zeros(3) dE01];%Нахождение M11c
dC2c2 = C2c2*cV1(W122);%Нахождение c122c
dE2c2 = [(cV1(e13)’*C3(a26)’*C2(b25)’*dQ(12)+C3(a26)’*C2(b25)
’*cV1(e12)’*
dQ(11))*e11, cV1(e13)’*C3(a26)’*dQ(12)*e12, zeros(3,1)]; %На
хождение ε1 22c
1 2c
dM12 = [dC2c2' zeros(3); zeros(3) dE2c2];%Нахождение M
2
3c
dC3c3 = C3c3*cV1(W233);%Нахождение c13
dE3c3 = [(cV1(e13)’*C3(a36)’*C2(b35)’*dQ(18)+C3(a36)’*C2(b35)’*
cV1(e12)’*dQ(17))*e11, cV1(e13)’*C3(a36)’*dQ(18)*e12, zeros(3,1)];
%Нахождение ε1 33c
1 3c
dM23 = [dC3c3' zeros(3); zeros(3) dE3c3];%Нахождение M
3
dC4c4 = C4c4*cV1(W244);%Нахождение c144c
dE4c4 = [(cV1(e13)’*C3(a46)’*C2(b45)’*dQ(24)+C3(a46)’*C2(b45)’*
cV1(e12)’*dQ(23))*e11, cV1(e13)’*C3(a46)’*dQ(24)*e12,
4c
zeros(3,1)];%Нахождение ε1 4
1 4c
dM24 = [dC4c4' zeros(3); zeros(3) dE4c4];%Нахождение M
4
5c
dC5c5 = C5c5*cV1(W455);%Нахождение c15
dE5c5 = [(cV1(e13)’*C3(a56)’*C2(b55)’*dQ(30)+C3(a56)’*C2(b55)
’*cV1(e12)’*
dQ(29))*e11, cV1(e13)’*C3(a56)’*dQ(30)*e12, zeros(3,1)];%Нахож
дение ε1 55c
1 5c
dM45 = [dC5c5' zeros(3); zeros(3) dE5c5];%Нахождение M
5
6c
dC6c6 = C6c6*cV1(W266);%Нахождение c16
dE6c6 = [(cV1(e13)’*C3(a66)’*C2(b65)’*dQ(36)+C3(a66)’*C2(b65)
’*cV1(e12)’
*dQ(35))*e11, cV1(e13)’*C3(a66)’*dQ(36)*e12, zeros(3,1)];%Нахож
дение ε1 66c
1 6c
dM26 = [dC6c6' zeros(3); zeros(3) dE6c6];%Нахождение M
6
7c
dC7c7 = C7c7*cV1(W677);%Нахождение c17
dE7c7 = [(cV1(e13)’*C3(a76)’*C2(b75)’*dQ(42)+C3(a76)’*C2(b75)
’*cV1(e12)’
*dQ(41))*e11, cV1(e13)’*C3(a76)’*dQ(42)*e12, zeros(3,1)];%Нахож
дение ε177c
1 7c
dM67 = [dC7c7' zeros(3); zeros(3) dE7c7];%Нахождение M
7
dM = [ dM01 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) dM12 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) dM23 zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
139
zeros(6) zeros(6) zeros(6) dM24 zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) dM45 zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) dM26 zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) dM67];
1
%Нахождение M
%Нахождение производной от L
F12 = [cV1(W122) zeros(3); cV1(V122) cV1(W122)];%Нахождение Φ22c,2
dL12 = L12*F12;%Нахождение L11
2
F23 = [cV1(W233) zeros(3); cV1(V233) cV1(W233)];%Нахождение Φ33c,3
dL23 = L23*F23;%Нахождение L123
F24 = [cV1(W244) zeros(3); cV1(V244) cV1(W244)];%Нахождение Φ44c,4
dL24 = L24*F24;%Нахождение L124
F45 = [cV1(W455) zeros(3); cV1(V455) cV1(W455)];%Нахождение Φ55c,5
dL45 = L45*F45; Нахождение L145
F26 = [cV1(W266) zeros(3); cV1(V266) cV1(W266)];%Нахождение Φ66c,6
dL26 = L26*F26; Нахождение L126
F67 = [cV1(W677) zeros(3); cV1(V677) cV1(W677)];%Нахождение Φ77 c,7
dL67 = L67*F67; Нахождение L167
dL13 = dL12*L23+L12*dL23; Нахождение L113
dL14 = dL12*L24+L12*dL24; Нахождение L11
4
dL25 = dL24*L45+L24*dL45; Нахождение L125
dL15 = dL12*L25+L12*dL25; Нахождение L11
5
dL16 = dL12*L26+L12*dL26; Нахождение L116
dL27 = dL26*L67+L26*dL67; Нахождение L12
7
dL17 = dL12*L27+L12*dL27; Нахождение L117
dL = [zeros(6) dL12 dL13 dL14 dL15 dL16 dL17
zeros(6) zeros(6) dL23 dL24 dL25 dL26 dL27
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) dL45 zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) dL67
zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6) zeros(6)];
Нахождение L1
%Нахождение производной от S
dS = F’*(dM’*L + M’*dL);
%Построение матрицы B(q,q1 )
B = S*(Tetta*dS’ + F00*Tetta*S’);
%Построение гравитационных сил всей системы
G = [G11; G22; G33; G44; G55; G66; G77];
140
%Построение сил упругого взаимодействия всей системы
QC = [Q01C; Q02C; Q03C; Q04C; Q05C; Q06C; Q07C];
%Построение сил демпфирования
QD = [Q01D; Q02D; Q03D; Q04D; Q05D; Q06D; Q07D];
%Построение управляющих воздействий всей системы
u1 = [0 0 0 0 0 u11];%Управляющий момент, подаваемый на платформу
u2 = zeros(1,6);
u3 = [0 u33 0 0 0 0];%Управляющая сила, действующая на противовес
u4 = zeros(1,6);
u5 = zeros(1,6);
u6 = zeros(1,6);
u7 = zeros(1,6);
U = [u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7]’;
%Построение уравнений движения механической системы
dY = [inv(A)*(S*G + S*U + QD + QC – B*dQ); eye(42)*dQ]
%Вспомогательные функции
function C = C1(Fi)
C = [1 0 0; 0 cos(Fi) sin(Fi); 0 sin(Fi) cos(Fi)];%Матрица
cjjc,1 (β jc
j )
function C = C2(Fi)
C = [cos(Fi) 0 sin(Fi); 0 1 0; sin(Fi) 0 cos(Fi)];%Матрица
cjjc,2 (θ jc
j )
function C = C3(Fi)
C = [cos(Fi) sin(Fi) 0; sin(Fi) cos(Fi) 0; 0 0 1];%Матрица
cjjc,3 (α jc
j )
function X = cV1(R)
X = [0 R(3) R(2); R(3) 0 R(1); R(2) R(1) 0];%Матрица <R>
function Q00 = TURNE0(L)%Пересчет координат из произвольной
СК в БСК и перевод их в миллиметры и угловые секунды
%L – матрица преобразования координат от выбранной СК к БСК
KRI0 = 1.0e+3;
KANGLE = 206264.806;
CI0 = L(1:3,1:3);
TI0 = L(4:6,1:3);
cV1R = TI0*CI0';
Q00(1) = cV1R(3,2)*KRI0;
Q00(2) = cV1R(1,3)*KRI0;
141
Q00(3)
Q00(4)
Q00(5)
Q00(6)
=
=
=
=
cV1R(2,1)*KRI0;
atan(CI0(2,3)/CI0(3,3))*KANGLE;
asin(CI0(1,3))*KANGLE;
atan(CI0(1,2)/CI0(1,1))*KANGLE;
Задание для самостоятельной работы
1. Найдите уравнения движения механической системы, состоя
щей из двух тел, первое из которых соединено с Землей при помощи
пружины с матрицей жесткостей C0,1 и матрицей демпфирования D0,1,
второе тело также соединено с первым пружиной с матрицей жестко
стей C1,2 и матрицей демпфирования D1,2. В системе имеются два кон
0
и r21c .
струкционных переноса, характеризующиеся векторами r1c
Каждое тело имеет шесть степеней свободы. Начала подвижных сис
тем координат, связанных с телами, совпадают с центрами инерции
соответствующих тел. Тела находятся в гравитационном поле.
2. Найдите уравнения движения механической системы, описан
ной в задании 1, но начала подвижных систем координат, связанных
с телами, не совпадают с центрами инерции соответствующих тел.
3. Найдите уравнения движения механической системы, описан
ной в задании 1, если в системе имеются следующие голономные свя
зи: а) запрещены все линейные перемещения для первого тела; б) зап
рещены все линейные перемещения для второго тела; в) запрещены
все линейные перемещения для двух тел; г) запрещены все угловые
перемещения для первого тела; д) запрещены все угловые перемеще
ния для второго тела; е) запрещены все угловые перемещения для
двух тел.
4. Найдите уравнения движения механической системы, описан
ной в задании 1, если в системе пружины заменить пакетами из двух
пружин, точки крепления которых заданы координатными столбца
1,1
2,2
в базисе [e1] для первого тела и r2l2,2 и r2r
– в базисе [e2]
ми r1l1,1 и r1r
для второго тела.
142
ГЛАВА 5
ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ
ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ MATLAB/SIMULINK
Программа MATLAB\Simulink подробно описана в [7, 8, 11, 26].
Программа Simulink является приложением к пакету MATLAB. При
моделировании с использованием Simulink реализуется принцип ви
зуального программирования, в соответствии с которым пользова
тель на экране из библиотеки стандартных блоков создает модель
устройства и осуществляет расчеты. При этом, в отличие от класси
ческих способов моделирования, пользователю не нужно доскональ
но изучать язык программирования и численные методы математи
ки, а достаточно общих знаний, требующихся при работе на компь
ютере и, безусловно, знаний той предметной области, в которой он
работает.
Simulink является достаточно самостоятельным инструментом
MATLAB, и при работе с ним совсем не требуется знать сам MATLAB
и остальные его приложения. С другой стороны, доступ к функциям
MATLAB и другим его инструментам остается открытым и их можно
использовать в Simulink. Часть входящих в состав пакетов имеет ин
струменты, встраиваемые в Simulink (например, LTIViewer приложе
ния Control System Toolbox – пакета для разработки систем управле
ния). Имеются также дополнительные библиотеки блоков для раз
ных областей применения (например, Power System Blockset – модели
рование электротехнических устройств, Digital Signal Processing
Blockset – набор блоков для разработки цифровых устройств и т. д).
При работе с Simulink пользователь имеет возможность модерни
зировать библиотечные блоки, создавать свои собственные, а также
составлять новые библиотеки блоков.
При моделировании пользователь может выбирать метод реше
ния дифференциальных уравнений, а также способ изменения мо
дельного времени (с фиксированным или переменным шагом). В ходе
моделирования имеется возможность следить за процессами, проис
ходящими в системе. Для этого используются специальные устрой
ства наблюдения, входящие в состав библиотеки Simulink. Резуль
таты моделирования могут быть представлены в виде графиков или
таблиц.
Преимущество Simulink заключается также в том, что он позво
ляет пополнять библиотеки блоков с помощью подпрограмм, напи
санных как на языке MATLAB, так и на языках С + +, Fortran и Ada.
143
Для запуска программы необходимо предварительно запустить па
кет MATLAB. Основное окно пакета MATLAB показано на рис. 5.1.
Там же показана подсказка, появляющаяся в окне при наведении
указателя мыши на ярлык Simulink в панели инструментов.
После открытия основного окна программы MATLAB нужно за
пустить программу Simulink. Это можно сделать одним из трех спо
собов:
– нажать кнопку
(Simulink) на панели инструментов команд
ного окна MATLAB.
– в командной строке главного окна MATLAB напечатать Simulink
и нажать клавишу Enter на клавиатуре.
– выполнить команду Open… в меню File и открыть файл модели
(mdlфайл).
Последний вариант удобно использовать для запуска уже готовой
и отлаженной модели, когда требуется лишь провести расчеты и не
нужно добавлять в модель новые блоки. Использование первого и вто
рого способов приводит к открытию окна обозревателя разделов биб
лиотеки Simulink (рис. 5.2).
Окно обозревателя библиотеки блоков содержит следующие эле
менты:
1 – заголовок с названием окна – Simulink Library Browser,
2 – меню с командами File, Edit, View, Help,
3 – панель инструментов с ярлыками наиболее часто используе
мых команд,
4 – окно комментария для вывода поясняющего сообщения о выб
ранном блоке,
5 – список разделов библиотеки, реализованный в виде дерева,
6 – окно содержимого раздела библиотеки (список вложенных раз
делов библиотеки или блоков),
Рис. 5.1. Основное окно программы MATLAB
144
1
2
3
4
5
6
7
Рис. 5.2. Окно обозревателя разделов библиотеки Simulink
7 – строку состояния, содержащую подсказку по выполняемому
действию.
На рис. 5.2 выделена основная библиотека Simulink (в левой час
ти окна) и показаны ее разделы (в правой части окна).
Библиотека Simulink содержит следующие основные разделы:
– Continuous – линейные блоки,
– Discrete – дискретные блоки,
– Functions & Tables – функции и таблицы,
– Math – блоки математических операций,
– Nonlinear – нелинейные блоки,
– Signals & Systems – сигналы и системы,
– Sinks – регистрирующие устройства,
– Sources – источники сигналов и воздействий,
– Subsystems – блоки подсистем.
Список разделов библиотеки Simulink представлен в виде дере
ва, и правила работы с ним являются общими для списков такого
вида:
– пиктограмма свернутого узла дерева содержит символ «+», а пик
тограмма развернутого – символ «–»;
– для того чтобы развернуть или свернуть узел дерева, достаточно
щелкнуть на его пиктограмме левой клавишей мыши;
145
Рис. 5.3. Окно обозревателя с набором блоков раздела библиотеки
– при выборе соответствующего раздела библиотеки в правой час
ти окна отображается его содержимое (рис. 5.3).
Для работы с окном используются команды, собранные в меню.
Меню обозревателя библиотек содержит следующие пункты:
– File (Файл) – работа с файлами библиотек,
– Edit (Редактирование) – добавление блоков и их поиск (по на
званию),
– View (Вид) – управление показом элементов интерфейса,
– Help (Справка) – вывод окна справки по обозревателю библиотек.
Для работы с обозревателем можно также использовать кнопки
на панели инструментов (рис. 5.4).
Кнопки панели инструментов имеют следующее назначение:
1 – создать новую Sмодель (открыть новое окно модели);
2 – открыть одну из существующих Sмоделей;
3 – изменить свойства окна обозревателя. Данная кнопка позво
ляет установить режим отображения окна обозревателя «поверх всех
окон». Повторное нажатие отменяет такой режим;
1 2
3 4
Рис. 5.4. Панель инструментов обозревателя разделов библиотек
146
Рис. 5.5. Пустое окно модели
4 – поиск блока по названию (по первым символам названия). Пос
ле того как блок будет найден, в окне обозревателя откроется соот
ветствующий раздел библиотеки, а блок будет выделен. Если же блок
с таким названием отсутствует, то в окне комментария будет выведе
но сообщение Not found <имя блока> (Блок не найден).
Для создания модели в среде Simulink необходимо последователь
но выполнить ряд действий:
– создать новый файл модели с помощью команды File/New/Model
или используя кнопку
на панели инструментов (здесь и далее
с помощью символа «/» указаны пункты меню программы, которые
необходимо последовательно выбрать для выполнения указанного
действия). Вновь созданное окно модели показано на рис. 5.5;
– расположить блоки в окне модели. Для этого необходимо от
крыть соответствующий раздел библиотеки (например, Sources –
Источники). Далее, указав курсором на требуемый блок и нажав на
левую клавишу мыши – «перетащить» блок в созданное окно. Кла
вишу мыши нужно держать нажатой. На рис. 5.6 показано окно
модели, содержащее блоки.
Рис. 5.6. Окно модели, содержащее блоки
147
Для удаления блока необходимо выбрать блок (указать курсором
на его изображение и нажать левую клавишу мыши), а затем нажать
клавишу Delete на клавиатуре. Для изменения размеров блока тре
буется выбрать блок, установить курсор в один из углов блока и, на
жав левую клавишу мыши, изменить размер блока (курсор при этом
превратится в двухстороннюю стрелку);
– далее, если это требуется, нужно изменить параметры блока,
установленные программой «по умолчанию». Для этого необходимо
дважды щелкнуть левой клавишей мыши, указав курсором на изоб
ражение блока. Откроется окно редактирования параметров данного
блока. При задании численных параметров следует иметь в виду, что
в качестве десятичного разделителя должна использоваться точ
ка, а не запятая. После внесения изменений нужно закрыть окно
кнопкой OK. На рис. 5.7 в качестве примера показаны блок, модели
рующий передаточную функцию, и окно редактирования параметров
данного блока;
– после установки на схеме всех блоков из требуемых библиотек
нужно выполнить соединение элементов схемы. Для соединения бло
ков необходимо указать курсором на выход блока, а затем нажать
и, не отпуская левую клавишу мыши, провести линию к входу друго
го блока, после чего отпустить клавишу. В случае правильного со
единения изображение стрелки на входе блока изменит цвет. Для
создания точки разветвления в соединительной линии нужно подве
сти курсор к предполагаемому узлу и, нажав правую клавишу мыши,
протянуть линию. Для удаления линии требуется выбрать линию
Рис. 5.7. Блок, моделирующий передаточную функцию, и окно редактиро
вания параметров блока
148
(так же, как это выполняется для блока), а затем нажать клавишу
Delete на клавиатуре. Схема модели, в которой выполнены соедине
ния между блоками, показана на рис. 5.8;
– после составления расчетной схемы необходимо сохранить ее
в виде файла на диске, выбрав пункт меню File/Save As... в окне схе
мы и указав папку и имя файла. Следует иметь в виду, что имя файла
не должно превышать 32 символа, должно начинаться с буквы и не
может содержать символы кириллицы и спецсимволы. Это же тре
бование относится и к пути файла (к тем папкам, в которых сохраня
ется файл). При последующем редактировании схемы можно пользо
ваться пунктом меню File/Save. При повторных запусках програм
мы SIMULINK загрузка схемы осуществляется с помощью меню File/
Open... в окне обозревателя библиотеки или из основного окна MAT
LAB.
Окно модели содержит следующие элементы (см. рис. 5.8):
1 – заголовок, с названием окна. Вновь созданному окну присваи
вается имя Untitled с соответствующим номером,
2 – меню с командами File, Edit, View и т. д.,
3 – панель инструментов,
4 – окно для создания схемы модели,
5 – строка состояния, содержащая информацию о текущем состо
янии модели.
Меню окна содержит команды для редактирования модели, ее на
стройки и управления процессом расчета, работы с файлами и т. п.:
– File (Файл) – работа с файлами моделей,
– Edit (Редактирование) – изменение модели и поиск блоков,
– View (Вид) – управление показом элементов интерфейса,
– Simulation (Моделирование) – задание настроек для моделиро
вания и управление процессом расчета,
1
2
3
4
5
Рис. 5.8. Схема модели
149
– Format (Форматирование) – изменение внешнего вида блоков
и модели в целом,
– Tools (Инструментальные средства) – применение специальных
средств для работы с моделью (отладчик, линейный анализ и т. п.),
– Help (Справка) – вывод окон справочной системы.
Для работы с моделью можно также использовать кнопки на па
нели инструментов (рис. 5.9).
Кнопки панели инструментов имеют следующее назначение:
1 – New Model – открыть новое (пустое) окно модели;
2 – Open Model – открыть существующий mdlфайл;
3 – Save Model – сохранить mdlфайл на диске;
4 – Print Model – вывод на печать блокдиаграммы модели;
5 – Cut – вырезать выделенную часть модели в буфер промежуточ
ного хранения;
6 – Copy – скопировать выделенную часть модели в буфер проме
жуточного хранения;
7 – Paste – вставить в окно модели содержимое буфера промежу
точного хранения;
8 – Undo – отменить предыдущую операцию редактирования;
9 – Redo – восстановить результат отмененной операции редакти
рования;
10 – Library Browser – открыть окно обозревателя библиотек;
11 – Toggle Model Browser – открыть окно обозревателя модели;
12 – Go to parent system – переход из подсистемы в систему высше
го уровня иерархии («родительскую систему»). Команда доступна
только, если открыта подсистема;
13 – Debug – запуск отладчика модели;
14 – Start/Pause/Continue Simulation – запуск модели на исполне
ние (команда Start); после запуска модели на изображении кнопки
выводится символ
, и ей соответствует уже команда Pause (Приос
тановить моделирование); для возобновления моделирования следу
ет щелкнуть по той же кнопке, поскольку в режиме паузы ей соответ
ствует команда Continue (Продолжить);
15 – Stop – закончить моделирование. Кнопка становится доступ
ной после начала моделирования, а также после выполнения коман
ды Pause;
1
2
3
4
5
6 7
8
9 10 11 12 13 14 15
Рис. 5.9. Панель инструментов окна модели
150
16
16 – Normal/Accelerator – обычный/ускоренный режим расчета.
Инструмент доступен, если установлено приложение Simulink Perfor
mance Tool.
В нижней части окна модели находится строка состояния, в ко
торой отображаются краткие комментарии к кнопкам панели инст
рументов, а также к пунктам меню, когда указатель мыши находит
ся над соответствующим элементом интерфейса. Это же текстовое
поле используется и для индикации состояния Simulink: Ready (Го
тов) или Running (Выполнение). В строке состояния отображаются
также:
– масштаб отображения блокдиаграммы (в процентах, исходное
значение равно 100 %);
– индикатор степени завершенности сеанса моделирования (появ
ляется после запуска модели);
– текущие значения модельного времени (выводится также толь
ко после запуска модели);
– используемый алгоритм расчета состояний модели (метод реше
ния).
Для повышения наглядности модели удобно использовать тек
стовые надписи. Для создания надписи нужно указать мышью место
надписи и дважды щелкнуть левой клавишей мыши. После этого
появится прямоугольная рамка с курсором ввода. Аналогичным об
разом можно изменить и подписи к блокам моделей. На рис. 5.10
показаны текстовая надпись и изменение надписи в блоке передаточ
ной функции. Следует иметь в виду, что некоторые версии програм
мы SIMULINK не адаптирована к использованию кириллических
шрифтов, и применение их может иметь самые разные последствия:
отображение надписей в нечитаемом виде, обрезание надписей, со
общения об ошибках, а также невозможность открыть модель пос
ле ее сохранения. Поэтому применение надписей на русском языке
для некоторых версий Simulink крайне не желательно.
Pис. 5.10. Текстовая надпись и изменение надписи в Transfer Function
151
Для выполнения какоголибо действия с элементом модели (бло
ком, соединительной линией, надписью) этот элемент необходимо сна
чала выделить. Выделение объектов проще всего осуществляется мы
шью. Для этого необходимо установить курсор мыши на нужном объек
те и щелкнуть левой клавишей мыши. Произойдет выделение объек
та. Об этом будут свидетельствовать маркеры по углам объекта (см.
рис. 5.10). Можно также выделить несколько объектов. Для этого надо
установить курсор мыши вблизи группы объектов, нажать левую кла
вишу мыши и, не отпуская ее, начать перемещать мышь. Появится
пунктирная рамка, размеры которой будут изменяться при перемеще
нии мыши. Все охваченные рамкой объекты становятся выделенны
ми. Выделить все объекты также можно, используя команду Edit/Select
All. После выделения объекта его можно копировать или перемещать
в буфер промежуточного хранения, извлекать из буфера, а также уда
лять, используя стандартные приемы работы в Windowsпрограммах.
Для копирования объекта в буфер его необходимо предваритель
но выделить, а затем выполнить команду Edit/Copy или воспользо
ваться инструментом
на панели инструментов.
Для вырезания объекта в буфер его необходимо предварительно
выделить, а затем выполнить команду Edit/Cut или воспользоваться
инструментом
на панели инструментов. При выполнении данных
операций следует иметь в виду, что объекты помещаются в собствен
ный буфер MATLAB и недоступны из других приложений. Использо
вание команды Edit/Copy model to Clipboard позволяет поместить
графическое изображение модели в буфер Windows и, соответствен
но, делает его доступным для остальных программ.
Копирование можно выполнить и таким образом: нажать правую
клавишу мыши и, не отпуская ее, переместить объект. При этом бу
дет создана копия объекта, которую можно переместить в необходи
мое место.
Для вставки объекта из буфера необходимо предварительно ука
зать место вставки, щелкнув левой клавишей мыши в предполагае
мом месте вставки, а затем выполнить команду Edit/Paste или вос
пользоваться инструментом
на панели инструментов.
Для удаления объекта его необходимо предварительно выделить,
а затем выполнить команду Edit/Clear или воспользоваться клави
шей Delete на клавиатуре. Следует учесть, что команда Clear удаляет
блок без помещения его в буфер обмена. Однако эту операцию можно
отменить командой меню File/Undo.
Для соединения блоков необходимо сначала установить курсор
мыши на выходной порт одного из блоков. Курсор при этом превра
152
тится в большой крест из тонких линий (рис. 5.11). Держа нажатой
левую кнопку мыши, нужно переместить курсор к входному порту
нужного блока. Курсор мыши примет вид креста из тонких сдвоен
ных линий (рис. 5.12). После создания линии необходимо отпустить
левую клавишу мыши. Свидетельством того, что соединение создано,
будет жирная стрелка у входного порта блока. Выделение линии про
изводится точно так же, как и выделение блока, – одинарным щелч
ком левой клавиши мыши. Черные маркеры, расположенные в узлах
соединительной линии, будут говорить о том, что линия выделена.
Создание петли линии соединения выполняется так же, как пере
мещение блока. Линия соединения выделяется, и затем нужная часть
линии перемещается (рис. 5.13).
Рис. 5.11. Начало создания соединения
Рис. 5.12. Завершение создания соединения
Рис. 5.13. Создание петли в соединительной линии
153
Удаление соединений выполняется так же, как и любых других
объектов. Для изменения размера блока он выделяется, после чего
курсор мыши надо установить на один из маркеров по углам блока.
После превращения курсора в двустороннюю стрелку, необходимо
нажать левую клавишу мыши и растянуть (или сжать) изображения
блока. На рис. 5.14 показан этот процесс. Размеры надписей блока
при этом не изменяются.
Любой блок модели можно переместить, выделив его, и передви
нуть, держа нажатой левую клавишу мыши. Если к входам и выхо
дам блока подведены соединительные линии, то они не разрываются,
а лишь сокращаются или увеличиваются в длине. В соединение мож
но также вставить блок, имеющий один вход и один выход. Для этого
его нужно расположить в требуемом месте соединительной линии.
В процессе освоения программы пользователь может совершать
действия, кажущиеся ему необратимыми (например, случайное уда
ление части модели, копирование и т. д.). В этом случае следует вос
пользоваться командой Undo – отмена последней операции. Коман
ду можно вызвать с помощью кнопки
в панели инструментов окна
модели или из меню Edit. Для восстановления отмененной операции
).
служит команда Redo (инструмент
В меню Format (так же как и в контекстном меню, вызываемом
нажатием правой клавиши мыши на объекте) находится набор ко
манд форматирования блоков. Команды форматирования разделя
ются на несколько групп:
1. Изменение отображения надписей:
– Font – форматирование шрифта надписей и текстовых блоков,
– Text alignment – выравнивание текста в текстовых надписях,
– Flip name – перемещение подписи блока,
– Show/Hide name – отображение или скрытие подписи блока.
2. Изменение цветов отображения блоков:
– Foreground color – выбор цвета линий для выделенных блоков,
Рис. 5.14. Изменение размера блока
154
– Background color – выбор цвета фона выделенных блоков,
– Screen color – выбор цвета фона для всего окна модели.
3. Изменение положения блока и его вида:
– Flip block – зеркальное отображение относительно вертикаль
ной оси симметрии,
– Rotate block – поворот блока на 90° по часовой стрелке,
– Show drop shadow – показ тени от блока,
– Show port labels – показ меток портов.
4. Прочие установки:
– Library link display – показ связей с библиотеками,
– Sample time colors – выбор цвета блока индикации времени,
– Wide nonscalar lines – увеличение/уменьшение ширины неска
лярных линий,
– Signal dimensions – показ размерности сигналов,
– Port data types – показ данных о типе портов,
– Storage class – класс памяти. Параметр, устанавливаемый при
работе RealTime Workshop,
– Execution order – вывод порядкового номера блока в последова
тельности исполнения.
Перед выполнением расчетов необходимо предварительно задать
параметры расчета. Задание параметров расчета выполняется в па
нели управления меню Simulation/Parameters. Вид панели управле
ния приведен на рис. 5.15.
Рис. 5.15. Панель управления
155
Окно настройки параметров расчета имеет четыре вкладки:
1. Solver (Расчет) – установка параметров расчета модели.
2. Workspace I/O (Ввод/вывод данных в рабочую область) – уста
новка параметров обмена данными с рабочей областью MATLAB.
3. Diagnostics (Диагностика) – выбор параметров диагностиче
ского режима.
4. Advanced (Дополнительно) – установка дополнительных пара
метров.
Установка параметров расчета модели выполняется с помощью
элементов управления, размещенных на вкладке Solver. Эти элемен
ты разделены на три группы (см. рис. 5.15): Simulation time (Интер
вал моделирования или, иными словами, время расчета), Solver
options (Параметры расчета), Output options (Параметры вывода).
Simulation time (Интервал моделирования или время расчета)
Время расчета задается указанием начального (Start time) и ко
нечного (Stop time) значений времени расчета. Начальное время, как
правило, задается равным нулю. Величина конечного времени зада
ется пользователем исходя из условий решаемой задачи.
Solver options (Параметры расчета)
При выборе параметров расчета необходимо указать способ моде
лирования (Type) и метод расчета нового состояния системы. Для
параметра Type доступны два варианта – c фиксированным (Fixed
step) или с переменным (Variablestep) шагом. Как правило, Variable
step используется для моделирования непрерывных систем, a Fixed
step – для дискретных.
Список методов расчета нового состояния системы содержит несколь
ко вариантов. Первый вариант (discrete) используется для расчета дис
кретных систем. Остальные методы используются для расчета непре
рывных систем. Эти методы различны для переменного (Variable
step) и для фиксированного (Fixedstep) шага времени, но, по сути,
представляют собой процедуры решения систем дифференциальных
уравнений. Подробное описание каждого из методов расчета состоя
ний системы приведено во встроенной справочной системе MATLAB.
Ниже двух раскрывающихся списков Type находится область,
содержимое которой меняется в зависимости от выбранного способа
156
изменения модельного времени. При выборе Fixedstep в данной об
ласти появляется текстовое поле Fixedstep size (величина фиксиро
ванного шага), позволяющее указывать величину шага моделирова
ния (рис. 5.16). Величина шага моделирования по умолчанию уста
навливается системой автоматически (auto). Требуемая величина
шага может быть введена вместо значения auto либо в форме числа,
либо в виде вычисляемого выражения (то же самое относится и ко
всем параметрам, устанавливаемым системой автоматически).
При выборе Fixedstep необходимо также задать режим расчета
(Mode). Для параметра Mode доступны три варианта:
1. MultiTasking (Многозадачный) – необходимо использовать, если
в модели присутствуют параллельно работающие подсистемы и ре
зультат работы модели зависит от временных параметров этих под
систем. Режим позволяет выявить несоответствие скорости и диск
ретности сигналов, пересылаемых блоками друг другу.
2. SingleTasking (Однозадачный) – используется для тех моделей,
в которых недостаточно строгая синхронизация работы отдельных
составляющих не влияет на конечный результат моделирования.
3. Auto (Автоматический выбор режима) – позволяет Simulink
автоматически устанавливать режим MultiTasking для тех моделей,
в которых используются блоки с различными скоростями передачи
сигналов и режим SingleTasking для моделей, в которых содержатся
блоки, оперирующие одинаковыми скоростями.
Рис. 5.16. Вкладка Solver при выборе фиксированного шага расчета
157
При выборе Variablestep в области появляются поля для установ
ки трех параметров:
– Мах step size – максимальный шаг расчета. По умолчанию он
устанавливается автоматически (auto), и его значение в этом случае
равно (SfopTime – StartTime)/50. Довольно часто это значение ока
зывается слишком большим, и наблюдаемые графики представляют
собой ломаные (а не плавные) линии. В этом случае величину макси
мального шага расчета необходимо задавать явным образом;
– Мin step size – минимальный шаг расчета;
– Initial step size – начальное значение шага моделирования.
При моделировании непрерывных систем с использованием пере
менного шага необходимо указать точность вычислений: относитель
ную (Relative tolerance) и абсолютную (Absolute tolerance). По умол
чанию они равны соответственно 10–3 и auto.
Output options (Параметры вывода)
В нижней части вкладки Solver задаются настройки параметров
вывода выходных сигналов моделируемой системы (Output options).
Для данного параметра возможен выбор одного из трех вариантов:
– Refine output (Скорректированный вывод) позволяет изменять
дискретность регистрации модельного времени и тех сигналов, ко
торые сохраняются в рабочей области MATLAB с помощью блока
То Workspace. Установка величины дискретности выполняется в стро
ке редактирования Refine factor, расположенной справа. По умолча
нию значение Refine factor равно 1, из чего следует, что регистрация
производится с шагом Dt = 1 (т. е. для каждого значения модельного
времени). Если задать Refine factor равным 2, это означает, что будет
регистрироваться каждое второе значение сигналов, 3 – каждое тре
тье и т. д. Параметр Refine factor может принимать только целые
положительные значения;
– Produce additional output (Дополнительный вывод) обеспечивает
дополнительную регистрацию параметров модели в заданные момен
ты времени; их значения вводятся в строке редактирования (в этом
случае она называется Output times) в виде списка, заключенного
в квадратные скобки. При использовании этого варианта базовый
шаг регистрации (Dt) равен 1. Значения времени в списке Output times
могут быть дробными числами и иметь любую точность;
– Produce specified output only (Формировать только заданный
вывод) устанавливает вывод параметров модели только в заданные
158
моменты времени, которые указываются в поле Output times (Момен
ты времени вывода).
Элементы, позволяющие управлять вводом и выводом в рабочую
область MATLAB промежуточных данных и результатов моделиро
вания, расположены на вкладке Workspace I/O (рис. 5.17).
Элементы вкладки разделены на три поля:
1. Load from workspace (Загрузить из рабочей области). Если фла
жок Input (Входные данные) установлен, то в расположенном справа
текстовом поле можно ввести формат данных, которые будут считы
ваться из рабочей области MATLAB. Установка флажка Initial State
(Начальное состояние) позволяет ввести в связанном с ним тексто
вом поле имя переменной, содержащей параметры начального состо
яния модели. Данные, указанные в полях Input и Initial State, пере
даются в исполняемую модель посредством одного или более блоков
In (из раздела библиотеки Sources).
2. Save to workspace (Записать в рабочую область) позволяет уста
новить режим вывода значений сигналов в рабочую область MATLAB
и задать их имена.
3. Save options (Параметры записи) задает количество строк при
передаче переменных в рабочую область. Если флажок Limit rows
to last установлен, то в поле ввода можно указать количество переда
ваемых строк (отсчет строк производится от момента завершения рас
Рис. 5.17. Вкладка Workspace I/O диалогового окна установки парамет
ров моделирования
159
чета). Если флажок не установлен, то передаются все данные. Пара
метр Decimation (Исключение) задает шаг записи переменных в рабо
чую область (аналогично параметру Refine factor вкладки Solver).
Параметр Format (Формат данных) задает формат передаваемых в ра
бочую область данных. Доступные форматы Array (Массив), Structure
(Структура), Structure With Time (Структура с дополнительным по
лем – «время»).
Вкладка Diagnostics (рис. 5.18) позволяет изменять перечень ди
агностических сообщений, выводимых Simulink в командном окне
MATLAB, а также устанавливать дополнительные параметры диаг
ностики модели.
Сообщения об ошибках или проблемных ситуациях, обнаружен
ных Simulink в ходе моделирования и требующих вмешательства
разработчика выводятся в командном окне MATLAB. Исходный пе
речень таких ситуаций и вид реакции на них приведен в списке на
вкладке Diagnostics. Разработчик может указать вид реакции на каж
дое из них, используя группу переключателей в поле Action (они ста
новятся доступны, если в списке выбрано одно из событий):
– None – игнорировать;
– Warning – выдать предупреждение и продолжить моделирова
ние;
– Error – выдать сообщение об ошибке и остановить сеанс модели
рования.
Рис. 5.18. Вкладка Diagnostics окна установки параметров моделирования
160
Выбранный вид реакции отображается в списке рядом с наимено
ванием события.
Запуск расчета выполняется с помощью выбора пункта меню
Simulation/Start или инструмента на панели инструментов. Процесс
расчета можно завершить досрочно, выбрав пункт меню Simulation/
Stop или инструмент . Расчет также можно остановить (Simulation/
Pause) и затем продолжить (Simulation/Continue).
Для завершения работы необходимо сохранить модель в файле,
закрыть окно модели, окно обозревателя библиотек, а также основ
ное окно пакета MATLAB.
161
ГЛАВА 6
ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ДЛЯ КИНЕМАТИЧЕСКОГО
И ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МЕХАНИЗМОВ И МАШИН
MSC.ADAMS
MSC.ADAMS (Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems) –
программный комплекс для кинематического и динамического ана
лиза механизмов и машин [21] – разработан компанией Mechanical
Dynamics, Inc, созданной в 1977 г. Данная фирма переживает в на
стоящее время бурный подъем. Другие разработки MDI включают
в себя средства для анализа механических систем в средах Unigraphics,
CATIA, ProEngineer, AutoCAD и др. В настоящее время MSC.ADAMS
является фактическим стандартом в своей области и занимает при
мерно 60 % этого рынка.
Широкие возможности программного пакета, высокая надежность
и малая трудоемкость его использования позволяют исследовать де
сятки, сотни и даже тысячи вариантов конструкции сложных ма
шин и механизмов, моделируя на компьютере реальные условия их
работы, сравнивать и выбирать лучший вариант, совершенствовать
будущее изделие, тратя на это во много раз меньше времени и средств,
чем традиционным путем.
Основой MSC.ADAMS являются высокоэффективный препро
цессор и набор решателей. Препроцессор обеспечивает как импорт
геометрических примитивов из многих CADсистем, так и создание
твердотельных моделей непосредственно в среде MSC.ADAMS. Раз
работчики постоянно прилагают усилия к повышению эффективно
сти математической базы программного пакета, благодаря чему исполь
зование решателей MSC.ADAMS гарантирует получение результатов
при минимальных усилиях со стороны пользователя. В MSC.ADAMS
постоянно расширяются возможности виртуального моделирования,
включая разработку специализированных продуктов для различных
отраслей промышленности.
Более 3000 международных проектов разработано и внедрено на
базе использования MSC.ADAMS.
§ 6.1. Модули программного пакета MSC.ADAMS
Структура программного пакета MSC.ADAMS приведена на рис. 6.1.
Основные модули:
– Full Simulation Package (в составе ADAMS/View и ADAMS/
Solver) – основной набор модулей (View – пре и постпроцессор, Solver –
основной решатель).
162
Рис. 6.1. Структура программного пакета MSC. ADAMS
– ADAMS/Postprocessor – модуль анализа полученных результа
тов (постпроцессор).
Интерфейсы к CAD системам:
– ADAMS/Exchange – импорт геометрических моделей.
«Встраиваемые» продукты:
– CAT/ADAMS – кинематический и динамический анализ в среде
CAD системы CATIA, экспорт моделей для MSC.ADAMS;
– MECHANISM/Pro – кинематический и динамический анализ
в среде CAD системы Pro/Engineer, экспорт моделей для MSC.ADAMS;
– MSC.Dynamic Designer – кинематический и динамический ана
лиз в среде CAD систем Inventor, Mechanical Desktop, Solid Edge
и CATIA (версия 5).
Модули расширения:
– ADAMS/Controls – модуль сопряжения с системами моделиро
вания MATLAB/Simulink и MSC.EASY5 (обеспечение моделирова
ния машин и механизмов, включающих системы управления);
– ADAMS/Hidraulics – модуль моделирования машин и механиз
мов, включающих гидросистемы (гидроприводы);
– ADAMS/Flex и ADAMS/AutoFlex – модуль моделирования ма
шин и механизмов, включающих упругие тела;
– ADAMS/Linear – модуль линеаризации уравнений динамики
изделия и расчета частот и форм собственных колебаний;
– ADAMS/Durability – модуль сопряжения с системами анализа
усталости/долговечности (обеспечение расчета характеристик уста
163
лости/долговечности на базе результатов моделирования работы ма
шины в MSC.ADAMS).
Специальные модули:
– ADAMS/Vibration – модуль моделирования работы изделия
в частотной постановке (анализ вибрации машины);
– ADAMS/Insight – модуль, обеспечивающий эффективное управ
ление процессом исследования (например, методом design of experi
ments).
Проблемноориентированные продукты:
Продукты для автомобилестроения:
– ADAMS/Car (в составе ADAMS/Car Suspension Design, ADAMS/
Car Conceptual Suspension, ADAMS/Car Vehicle Dynamics, ADAMS/
Chassis, ADAMS/Driveline, ADAMS/Driver, ADAMS/Tire 3D Contact,
ADAMS/Tire Handling, ADAMS/Tire FTire, ADAMS/Tire Swift,
ADAMS/3D Road, ADAMS/EDM) – модули моделирования динами
ческого поведения отдельных механизмов и автомобиля в целом
(в том числе процессов маневрирования, исследования устойчивости
и управляемости и т. п.);
– ADAMS/Tire Motorcycle Tire – специальный модуль моделиро
вания работы шины мотоцикла.
Продукты для автодвигателестроения:
– ADAMS/Engine (в составе ADAMS/Engine Base, ADAMS/Engine
Valvetrain, ADAMS/Engine Chine Drive, ADAMS/Engine Timing Belt,
ADAMS/Engine Accessory Drive, ADAMS/Engine Basic Cranktrain,
ADAMS/Engine Advanced Cranktrain, ADAMS/Engine Gear) – моду
ли моделирования работы автомобильного двигателя внутреннего
сгорания;
– ADAMS/Rail – специальный модуль для моделирования желез
нодорожного подвижного состава;
– ADAMS/Aircraft – специальный модуль для моделирования
авиатехники.
Средства подготовки расчетной модели:
– импорт геометрических моделей в форматах Parasolid, IGES,
STEP, DXF, DWG, VDAFS;
– геометрическое моделирование в препроцессоре MSC.ADAMS:
Стержни; Параллелепипеды; Цилиндры; Сферы; Конусы; Торы; Тела,
получаемые экструзией произвольного сечения; Тела, получаемые вра
щением произвольного сечения вокруг оси; Пластины; Скругления
ребер объемных тел; Фаски ребер объемных тел; Отверстия; Бонки
(круглые выступы на объемных телах); Полости; Булевы операции
над объемными телами; Сплайны; Кинематические связи; Шарнир
164
вращения; Карданный шарнир Гука; Шарнир равных угловых скоро
стей; Направляющая; Кулисный механизм; Кулачковый механизм;
Цилиндрический шарнир; Сферический шарнир; Резьбовое соедине
ние; Редуктор; Планарная связь («скольжение» одного тела по повер
хности другого); Функциональные связи между перемещениями тел
(линейные и нелинейные); Упругодемпфирующие связи; Пружина
демпфер; Торсион; Многокомпонентное упругое взаимодействие тел
(«bushing»); Распределенные силы взаимодействия, прикладываемые
к упругим телам; Безмассовые упругие балки с постоянным сечением;
Контактное взаимодействие объемных тел; Произвольные функцио
нальные зависимости сил взаимодействия тел; Специальные связи –
автомобильная, мотоциклетная и авиационная шины (моделирова
ние обеспечивается специальными модулями комплекса ADAMS/Tire);
Упругодемпфирующие связи; Гравитационная нагрузка; Сосредоточен
ная сила и/или момент; Трехкомпонентная сила или момент; Кинема
тические воздействия (вращение, перемещение); Аэро и гидродина
мические нагрузки; Средства решения уравнений динамики объекта.
Решатели:
– GSTIFF – решатель на базе интегратора DIFSUB, разработанного
Гиром (C.W. Gear) – эффективно работает с жесткими системами диф
ференциальных уравнений, принят в MSC.ADAMS «по умолчанию»;
– ABAM – решатель АдамсаБашфортаМултона (AdamsBashforth
AdamsMoulton);
– RKF45 – решатель РунгеКуттыФельберга (RungeKuttaFehl
berg);
– специальный решатель (ADAMS/Vibration), обеспечивающий
выполнение анализа в частотной области.
Средства совместимости со специальными программными сред
ствами для моделирования работы систем автоматического уп
равления и регулирования:
– совместимость с системой MSC.EASY5;
– совместимость с системой MATLAB/Simulink.
Средства учета упругих свойств составных частей исследуемо
го объекта:
– ADAMS/Flex – модуль учета упругих свойств составных частей
путем импорта их модальных моделей из конечноэлементных про
граммных систем (MSC.Nastran и др.);
– ADAMS/AutoFlex – модуль учета упругих свойств составных
частей путем автоматизированного построения конечноэлементной
модели непосредственно в MSC.ADAMS и расчета на ее базе модаль
ных характеристик упругого звена.
165
Средства анализа результатов моделирования:
– ADAMS/Postprocessor – постпроцессор, обеспечивающий анима
цию полученных результатов, построение графиков, вывод результа
тов в виде твердой копии, анимационного файла в формате *.avi и др.
Примеры моделирования в MSC.ADAMS
Модель подвески контррефлектора радиотелескопа
Модель автомо Моделирование усилителя руля легкового автомобиля
бильного двига
теля
Моделирование нагружения элементов подвески легкового автомобиля
в полной нелинейной постановке
166
Моделирование движения гоноч
ного автомобиля, оптимизация
«графика» прохождения трассы
Моделирование движения скорост
ного поезда по мостовому перехо
ду, анализ нагруженности элемен
тов моста и подвижного состава
Моделирование работы шасси
самолета
Моделирование стыковочных
операций на орбите
Моделирование работы системы
стабилизации пушки при движе
нии танка по пересеченной
местности
Моделирование подъема якоря:
войдет ли он в клюз «правильно»?
167
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящее время моделирование занимает центральное место
в проектировании информационноуправляющих систем. Численное
моделирование является основным средством подтверждения и оп
ровержения работоспособности синтезированной системы или приме
ненного алгоритма на стадии проектирования; оно также является
эффективным инструментом исследования и анализа систем различ
ной природы. Математические модели входят в состав большинства
адаптивных систем, применяются при формировании обучающих
последовательностей и прогнозировании реакции объекта управле
ния при обучении нейронных, нечетких и гибридных регуляторов.
Модели применяются для идентификации и прогнозирования состо
яния и параметров объекта управления и составляют неотъемлемую
часть современных высокоточных систем управления.
Поэтому ММ механической системы как объекта управления дол
жна удовлетворять следующим требованиям:
– иметь малую размерность, что позволит использовать такую мо
дель в контуре системы управления, провести ее тщательный анализ;
– воспроизводить наиболее энергоемкие тоны нижней части спек
тра собственных частот механической системы;
– по возможности иметь четкое математическое описание;
– не допускать нарушения адекватности модели реальной механи
ческой системе в соответствии с выбранными критериями качества.
В пособии рассмотрены некоторые из специализированных про
граммных средств для моделирования механических систем, позво
ляющих быстро разрабатывать ММ и производить их анализ. По
мнению авторов, основным недостатком подобных средств является
закрытость кода и алгоритмов, использующихся при моделирова
нии. Поэтому специалист, применяющий подобные системы, может
легко попасть в ловушку мнимого удобства и создать неадекватную
натуре модель. Главная проблема при численном моделировании –
плохая обусловленность и сильная разреженность матриц. При ре
дукции систем с такими матрицами могут быть потеряны важные
эффекты, существенно влияющие на динамику системы. В большин
стве программных пакетов решение подобных проблем проводится
автоматически (применяются различные корректоры) и невозможно
определить, какие погрешности в решение вносит тот или иной кор
ректор. Например, в системе ADAMS подобные погрешности могут
привести к увеличению энергии консервативной системы, что явля
168
ется грубой ошибкой. В любом случае результаты моделирования
нуждаются в верификации данными экспериментов с реальной меха
нической системой. Иногда (например, на стадии проектирования)
использование экспериментальных данных не представляется воз
можным, в этом случае приходится исследовать модели не только
численно, но и аналитически.
Аналитическое исследование для систем большой размерности
довольно затруднительно, но в случае моделей механических систем
как объектов управления при малых размерностях оно приемлемо.
В этом случае модель исследуется на выполнение законов сохране
ния энергии, импульса и момента импульса (см. пп.1.3.1–1.3.3). Ис
пользуя числовые значения параметров механической системы, та
ких как моменты инерции, коэффициенты упругости, трения, демп
фирования и т. д., а также пределы изменения обобщенных коорди
нат, рассчитанные исходя из рассматриваемого режима работы
системы, можно определить вклад тех или иных обобщенных коор
динат, обобщенных скоростей или параметров в уравнения движе
ния. Применение же метода «замороженных» коэффициентов позво
ляет провести аналитическую редукцию модели. Сравнение резуль
татов численной и аналитической редукций позволяет провести ве
рификацию полученных моделей, внести коррективы в структуры
моделей и их параметры.
В пособии были изложены основные сведения о моделировании
механических систем, а также специализированные вопросы постро
ения уравнений движения сложных систем. Были рассмотрены мат
ричные алгоритмы построения уравнений движения линейных и не
линейных пространственных систем с голономными связями. Для
линейных систем с голономными связями показана возможность ис
ключения уравнений применением специальной матрицы. Наличие
жесткой петли не является препятствием к применению матричного
алгоритма, рассмотренного в гл. 3.
Для случая нелинейных пространственных систем рассмотрены
алгоритмы построения уравнений движения, предложенные В. А. Ко
ноплевым [4]. Данные алгоритмы были использованы при построе
нии ММ радиотелескопа миллиметрового диапазона, которая под
робно описана в гл. 4. На базе этих алгоритмов также был разрабо
тан пакет программ в вычислительной среде MATLAB, позволяющий
пользователям исследовать сложные механические объекты во вре
менной области. От пользователя требуются только исходные дан
ные об объекте, которые вводятся в интерактивном режиме. Даль
нейшие действия заключаются в задании входных точек модели, ко
169
торые определяют воздействия, и выходных точек, с которых снима
ются реакции на эти воздействия в виде графиков или таблиц дан
ных. Отличительной особенностью данного пакета является откры
тость его кода и возможность написания уравнений по топологии
модели в MATLAB/Simulink.
Изложенная методика составления уравнений движения слож
ных механических систем дает возможность представлять их в ком
пактной векторноматричной форме и проводить символьный ана
лиз влияния отдельных линейных и нелинейных членов этих урав
нений на структурные свойства моделей. При подстановке числен
ных значений могут быть исследованы частотные свойства моделей
и осуществлена их редукция.
170
Библиографический список
1. Аэродинамика летательных аппаратов: учебник для вузов по специ
альности «Самолетостроение» / Г. А. Колесников, В. К. Марков, А. А. Михай
люк и др.; под ред. Г. А. Колесникова. – М.: Машиностроение, 1993. 544 с.
2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети / пер. с англ. В. Н. Бурко
ва, С. Е. Ловецкого, В. Б.Соколова. – М.: Наука: Гл. ред. физ.мат. лит., 1973.
368 с.
3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.
4. Гаврилов С. В., Коноплев В. А. Компьютерные технологии исследова
ния многозвенных мехатронных систем. СПб.: Наука, 2004. 191с.
5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1967. 567 с.
6. Диментберг Ф. М. Метод винтов в прикладной механике. М.: Маши
ностроение, 1971. 264 с.
7. Дьяконов В. MATLAB: учеб. курс. СПб: Питер, 2001. 560 с.
8. Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моде
лирование систем: спец. справочник. СПб.: Питер, 2002. 448 с.
9. Идентификация системы наведения радиотелескопа РТ70 как
объекта управления / В. Г. Гиммельман, А. Е. Городецкий, В. В. Дубаренко,
А. Ю. Кучмин. – Текст докл. V Междунар. конф. по теории и технике ан
тенн. / Национ. техн. унт Украины; Киевский политехн. инт. Киев, 2005.
10. Касьянов В. Н., Евстигнеев В. А. Графы в программировании: обра
ботка, визуализация и применение. СПб.: БХВПетербург, 2003. 1104 с.
11. Колесов Ю. Б., Сениченков Ю. Б. Моделирование систем. Объектно
ориентированный подход. СПб.: БХВПетербург, 2006. 192 с.
12. Кошкин Н. И., Ширкевич М. Г. Справочник по элементарной физике. –
10е изд., испр. и доп. М.: Наука: Гл. ред. физ.мат. лит., 1988. 256 с.
13. Коноплев В. А. Алгебраические методы в механике Галилея. СПб.:
Наука, 1999. 288 с.
14. Краснов М. Л. Интегральные уравнения. М.: Наука: Гл. ред. физ.
мат. лит., 1975. 304 с.
15. Кучмин А. Ю., Дубаренко В. В. Идентификация сложных механиче
ских систем как объектов управления // Региональный вестник молодых
ученых: сб. ст. молодых ученых и аспирантов. М., 2006. № 2. С. 9–11.
16. Кучмин А. Ю. Моделирование произвольных пространственных ме
ханических систем с упругими связями в среде MatLab // Седьмая науч
ная сессия аспирантов и соиск.: сб. тр. / ГУАП. СПб., 2004.
17. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособие
для вузов: в 10 т. Т. 1. Механика. 5е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
224 с.
18. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 846 с.
19. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Мир,1977.
20. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1965.
392 с.
21. Официальный сайт MSC.Software о программе MSC.ADAMS http://
www.adams.com/
22. Повышение разрешающей способности радиотелескопа РТ70 мил
лиметрового диапазона / Ю. Н. Артеменко, В. Г. Гиммельман, А. Е. Городец
кий, В. В. Дубаренко, А. Ю. Кучмин // V Междунар. конф. по теории и техни
ке антенн: текст докл. / Национ. техн. унт Украины; Киевский политехн.
инт. Киев, 2005.
171
23. Потемкин В. Г. Введение в Matlab 5.3 (http://matlab.exponenta.ru/
ml/book1/index.php)
24. Проблемы визуализации космических источников радиоизлучения
миллиметрового диапазона / Ю. Н. Артеменко, А. Е. Городецкий, В. В. Дуба
ренко, А. Ю. Кучмин // Там же. Киев, 2005.
25. Стейнберг Ж., Леку Ж. Радиоастрономия. М.: Издво иностр. лит.
1963. 312 с.
26. Черных И. В. Simulink: Инструмент моделирования динамических
систем (http://matlab.exponenta.ru/simulink/book1/index.php)
27. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М.: МИР, 1977. 327 с.
28. ESF Network Superconducting Detector Technology for Imaging Arrays,
proposal / Chalmers Unversity (L. Kuzmin) is coordinator of this activity (Ap
pendix1).
29. Gromov V., Kardashev N., Kuzmin L. Submillimeter and millimeter wave
sky mapping in space project Submillimetron // The 2K1BC Workshop Experi
mental Cosmology at mmwaves (BreuilCervinia, Italy, July 9–13, 2001) / Ed.
M. De Petris, M. Gervasi.
30. Steinberg J. L, Lequeux J. Radioastronomie. Paris: DUNOD. 1960.
31. Superconducting TES Bololometer Arrays for Submillimeter Astrono
my / D. Bendford, S. Moseley, J. Chervenak, J. Martinis et al. // Proc. of 11 th
Symposium on Space Terahertz Technology. May, 2000. Р. 196–205.
172
ПРИЛОЖЕНИЕ
Основные команды системы MATLAB
help
helpwin
helpdesk
demo
ver
whatsnew
readme
Справочные команды
Текущая справка в командной строке
Текущая справка в отдельном окне
Документация и диагностика в гипертексте
Демонстрационные примеры
Справка о текущей версии Matlab
Вывод на экран файлов readme
Новости о текущей версии Matlab
who
whos
clear
pack
load
save
quit
Управление рабочей областью
Список текущих переменных
Список текущих переменных с подробностями
Удаление переменных и функций из памяти
Дефрагментация рабочей области памяти
Считывание переменных из MATфайла
Запись переменных в MATфайл
Завершение работы в системе Matlab
what
type
edit
lookfor
which
pcode
inmem
mex
Управление командами и функциями
Список файлов в текущем каталоге
Просмотр текста Mфайла
Редактирование текста Mфайла
Поиск Mфайлов по ключу
Месторасположение функций и файлов
Создание Pфайла псевдокода
Просмотр функций в рабочей области
Компиляция MEXфункции
path
addpath
rmpath
editpath
Управление путями доступа
Определить/установить путь доступа
Добавить каталог к пути доступа
Удалить каталог из пути доступа
Отредактировать путь доступа
echo
more
diary
format
clc
home
pause
Управление командным окном
Эхокоманда
Управление выводом страниц
Ведение протокола сеанса работы
Управление форматом вывода
Очистить командное окно
Поместить курсор в начальную позицию
Прерывание выполнения
cd
pwd
Команды операционной системы
Перейти в другой каталог
Путь доступа к текущему каталогу
173
dir
delete
getenv
!
dos
unix
vms
web
computer
Содержимое текущего каталога
Удалить файл
Получить значение переменной среды окружения
Выполнить команду операционной системы
Выполнить команду DOS и возвратить результат
Выполнить команду ОС UNIX и возвратить результат
Выполнить команду DCL ОС VMS и возвратить результат
Подключиться к Webсерверу
Определить тип используемого компьютера
debug
dbstop
dbclear
dbcont
dbdown
dbstack
dbstatus
dbstep
dbtype
dbup
dbquit
Отладка Mфайлов
Просмотреть список команд отладки
Задать контрольную точку
Удалить контрольную точку
Продолжить выполнение
Перейти в стеке вызываемых Mфункций сверху вниз
Вывести стек вызываемых Mфункций
Просмотреть список контрольных точек
Выполнить одну или несколько команд отладки
Распечатать Mфайл с пронумерованными строками
Перейти в стеке вызываемых Mфункций снизу вверх
Завершить отладку
profile
pareto
promsum
Профилирование Mфайлов
Профиль времени исполнения Mфайла
Отчет о профиле
Диаграмма Парето
+ plus
+ uplus
minus
uminus
* mtimes
.* times
^ mpower
.^ power
\ mldivide
/ mrdivide
.\ ldivide
./ rdivide
kron
Арифметические операторы
Сложение
Унарное сложение
Вычитание
Унарное вычитание
Умножение матриц
Поэлементное умножение для массивов
Возведение матрицы в степень
Возведение в степень для массивов
Левое деление матриц
Правое деление матриц
Левое деление для массивов
Правое деление для массивов
Тензорное произведение векторов
==
~=
<
>
<=
>=
Операторы отношения
Тождественно
Не тождественно
Меньше
Больше
Меньше или равно
Больше или равно
174
eq
ne
lt
gt
le
ge
&
|
~
xor
any
all
and
or
not
Логические операторы
Логическое И
Логическое ИЛИ
Логическое НЕТ
Логическое исключающее ИЛИ
Истинно, если хотя бы 1 элемент вектора не равен нулю
Истинно, если все элементы вектора не равны нулю
:
()
[]
{}
.
.
..
...
,
;
%
!
=
‘
.’ transpose
‘ ctranspose
[, ] horzcat
[; ] vertcat
( ), { },. subsasgn
( ), { },. subsref
subsindex
Специальные символы
Сечение массива
Указание последовательности выполнения операций
Формирование массива
Многомерные массивы
Десятичная точка (разделитель)
Выделение поля структуры
Указатель на каталогродитель
Продолжение строки
Разделитель
Подавление вывода эхорезультата
Комментарий
Вызов команды операционной системы
Присваивание
Кавычка
Транспонирование элементов массива
Транспонирование элементов матрицы
Объединение элементов в строку
Объединение элементов в столбец
Присваивание подмассива
Ссылка на подмассив
Индекс подмассива
bitand
bitcmp
bitor
bitmax
bitxor
bitset
bitget
bitshift
Операторы поразрядной обработки
Поразрядное И
Биты дополнения
Поразрядное ИЛИ
Максимальное число разрядов
Поразрядное исключающее ИЛИ
Задать бит
Узнать бит
Поразрядный сдвиг
union
unique
intersect
setdiff
setxor
ismember
Операторы обработки множеств
Объединение множеств
Выделение множества
Пересечение множеств
Разность множеств
Исключающее ИЛИ для множеств
Истинно, если это элемент множества
ans
eps
Специальные переменные и константы
Результат выполнения последней операции
Машинная точность
175
realmax
realmin
pi
i, j
inf
NaN
isnan
isinf
isfinite
flops
Наибольшее число с плавающей точкой
Наименьшее число с плавающей точкой
p = 3.141592653589793e+000
Мнимая единица
Бесконечное значение
Нечисловое значение
Истинно, если нечисловое значение
Истинно, если бесконечное значение
Истинно, если конечное значение
Количество операций с плавающей точкой
clock
date
now
datenum
datestr
datevec
calendar
weekday
eomday
datetick
cputime
tic
toc
etime
Текущее время и дата
Текущее время и дата в форме вектора
Текущая дата в форме строки
Текущее время и дата в форме числа
Последовательный номер даты с 01Jan0000
Строковое представление даты
Векторное представление даты
Календарь текущего месяца
День недели
Последний день месяца
Форматирование меток осей датой
Время работы центрального процессора в секундах
Начало отсчета
Конец отсчета
Интервал использованного времени
cat
ndims
ndgrid
permute
ipermute
shiftdim
squeeze
Многомерные массивы
Объединить массивы
Размерность массива
Сгенерировать сетку для многомерной функции
Перестановка размерностей массива
Обратная перестановка размерностей массива
Изменить размерность массива
Удалить одну из размерностей
cell
celldisp
cellplot
deal
iscell
cell2struct
num2cell
struct2cell
Массивы ячеек
Создать массив ячеек
Показать содержимое массива ячеек
Показать графическую структуру массива ячеек
Установить соответствие входов с выходами
Истинно, если это массив ячеек
Преобразовать массив ячеек в массив структур
Преобразовать числовой массив в массив ячеек
Преобразовать массив структур в массив ячеек
struct
fieldnames
getfield
setfield
Массивы записей
Создать массив записей
Получить имена полей
Получить содержимое полей
Установить содержимое полей
176
rmfield
isfield
isstruct
Удалить поле
Истинно, если это поле массива записей
Истинно, если это массив записей
linspace
logspace
meshgrid
:
Массивы и матрицы специального вида
Формирование массива нулей
Формирование массива единиц
Формирование единичной матрицы
Формирование многомерного массива на основе данного
Формирование массива элементов, распределенных по рав
номерному закону
Формирование массива элементов, распределенных по нор
мальному закону
Формирование линейного массива равноотстоящих узлов
Формирование узлов логарифмической сетки
Формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
Формирование векторов и подматриц
size
length
ndims
isempty
isequal
isnumeric
islogical
logical
Характеристики массивов
Размер массива
Длина вектора
Количество размерностей массива
Истинно, если массив пустой
Истинно, если два массива идентичны
Истинно, если массив числовой
Истинно, если массив логический
Преобразовать числовые элементы в логические
zeros
ones
eye
repmat
rand
randn
rot90
find
end
sub2ind
ind2sub
Операции над массивами и матрицами
Преобразование размеров матрицы
Формирование или извлечение диагоналей матрицы
Формирование нижней треугольной матрицы
Формирование верхней треугольной матрицы
Отражение матрицы относительно вертикальной оси
Отражение матрицы относительно горизонтальной оси
Отражение многомерного массива относительно указанной
размерности
Поворот матрицы на 90°
Определить индексы ненулевых элементов
Последний индекс многомерной матрицы
Преобразование многомерной нумерации в последовательную
Преобразование последовательной нумерации в многомерную
sin
sinh
asin
asinh
cos
cosh
acos
Тригонометрические функции
Синус
Гиперболический синус
Арксинус
Гиперболический арксинус
Косинус
Гиперболический косинус
Арккосинус
reshape
diag
tril
triu
fliplr
flipud
flipdim
177
acosh
tan
tanh
atan
atan2
atanh
sec
sech
asec
asech
csc
csch
acsc
acsch
cot
coth
acot
acoth
Гиперболический арккосинус
Тангенс
Гиперболический тангенс
Арктангенс
Арктангенс от двух аргументов
Гиперболический арктангенс
Секанс
Гиперболический секанс
Арксеканс
Гиперболический арксеканс
Косеканс
Гиперболический косеканс
Арккосеканс
Гиперболический арккосеканс
Котангенс
Гиперболический котангенс
Арккотангенс
Гиперболический арккотангенс
exp
log
log10
log2
pow2
sqrt
nextpow2
Трансцендентные функции
Экспоненциальная функция
Функция натурального логарифма
Логарифм по основанию 10
Логарифм по основанию 2
Экспонента по основанию 2
Функция квадратного корня
Ближайшая степень экспоненты по основанию 2
abs
angle
conj
imag
real
unwrap
isreal
cplxpair
Функции обработки комплексных чисел
Абсолютное значение комплексного числа
Аргумент комплексного числа
Комплексносопряженное число
Мнимая часть комплексного числа
Действительная часть комплексного числа
Непрерывная функция фазового угла
Истинно, если это массив действительных чисел
Сортировка комплексносопряженных пар
fix
floor
ceil
round
mod
rem
sign
Округление и модульная арифметика
Усечение дробной части числа
Округление до меньшего целого
Округление до большего целого
Округление до ближайшего целого
Остаток в смысле модульной арифметики
Остаток от деления с учетом знака
Знак числа
airy
besselj
bessely
Специальные математические функции
Функция Эйри
Функция Бесселя первого рода
Функция Бесселя второго рода
178
besselh
besseli
besselk
beta
betainc
betaln
ellipj
ellipke
erf
erfc
erfcx
erfinv
expint
gamma
gammainc
gammaln
legendre
cross
Функция Бесселя третьего рода (функция Ганкеля)
Модифицированная функция Бесселя первого рода
Модифицированная функция Бесселя второго рода
Полная бетафункция
Неполная бетафункция
Натуральный логарифм полной бетафункции
Эллиптические функции Якоби
Полные эллиптические интегралы
Функция ошибки
Остаточная функция ошибки
Масштабированная остаточная функция ошибки
Обратная функция ошибки
Интегральная показательная функция
Полная гаммафункция
Неполная гаммафункция
Натуральный логарифм полной гаммафункции
Функция Лежандра
Векторное произведение векторов
factor
isprime
primes
gcd
lcm
rat
rats
perms
nchoosek
Теоретикочисловые функции
Разложение числа на простые множители
Истинно, если число простое
Формирование списка простых чисел
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Приближение числа в виде рациональной дроби
Вычисления в поле рациональных чисел
Формирование всех перестановок элементов вектора
Вычисление числа сочетаний, Ckn
cart2sph
cart2pol
pol2cart
sph2cart
hsv2rgb
rgb2hsv
Функции преобразования систем координат
Преобразование декартовой системы в сферическую
Преобразование декартовой системы в полярную
Преобразование полярной системы в декартову
Преобразование сферической системы в декартову
Преобразование hsvпалитры в rgbпалитру
Преобразование rgbпалитры в hsvпалитру
compan
gallery
hadamard
hankel
hilb
invhilb
magic
pascal
rosser
toeplitz
vander
wilkinson
Коллекция матриц
Сопровождающая матрица
Пакет тестовых матриц
Матрица Адамара
Матрица Ганкеля
Матрица Гильберта
Матрица, обратная матрице Гильберта
Магический квадрат
Матрица Паскаля
Матрица Рессера
Матрица Теплица
Матрица Вандермонда
Матрица Уилкинсона
179
norm
rank
det
trace
orth
rref
subspace
null
\и/
inv
cond
chol
cholinc
lu
luinc
qr
nnls
pinv
lscov
Матричный анализ
Вычисление норм векторов и матриц
Вычисление ранга матрицы
Вычисление определителя матрицы
Вычисление следа матрицы
Вычисление ортонормального базиса матрицы
Приведение к треугольной форме
Вычисление угла между подпространствами
Вычисление нульпространства матрицы
Решение систем линейных уравнений
Решатели систем уравнений
Вычисление обратной матрицы
Вычисление числа обусловленности по отношению к задаче
обращения матрицы
Разложение Холецкого
Неполное разложение Холецкого
LUразложение
Неполное LUразложение
QRразложение
Метод наименьших квадратов с ограничениями
Псевдообращение по Муру – Пенроузу
Метод наименьших квадратов в присутствии шумов
hess
qz
schur
Собственные значения и сингулярные числа
Полная проблема собственных значений
Сингулярное разложение
Вычисление отдельных собственных значений
Вычисление отдельных сингулярных чисел
Вычисление характеристического полинома
Решение полиномиальных матричных уравнений
Вычисление числа обусловленности по отношению к задаче
на собственные значения
Приведение матрицы к форме Хессенберга
Обобщенная проблема собственных значений
Приведение матрицы к форме Шура
expm
logm
sqrtm
funm
Вычисление функций от матриц
Вычисление матричной экспоненты
Вычисление логарифма матрицы
Вычисление функции A1/2
Вычисление произвольных функций от матриц
eig
svd
eigs
svds
poly
polyeig
condeig
qrdelete
qrinsert
rsf2csf
cdf2rdf
balance
planerot
180
Утилиты для матриц
Удалить столбец из QRразложения
Добавить столбец в QRразложение
Преобразование действительной формы Шура в комплексную
Преобразование комплексной формы Шура в действитель
ную
Масштабирование матрицы
Формирование матрицы вращения Гивенса
polyval
polyvalm
poly
residue
roots
polyfit
polyder
conv
deconv
Полиномы и операции над ними
Вычисление полинома
Вычисление матричного полинома
Вычисление характеристического полинома
Разложение на простые дроби
Вычисление корней полинома
Аппроксимация данных полиномом
Вычисление производной полинома
Умножение полиномов
Деление полиномов
max
min
mean
median
std
sort
sortrows
sum
prod
cumsum
cumprod
Базовые операции
Максимальный компонент массива
Минимальный компонент массива
Компонент средних значений массива
Компонент срединных значений массива
Компонент стандартных отклонений массива
Сортировка по возрастанию
Сортировка строк по возрастанию
Суммирование элементов массива
Произведение элементов массива
Суммирование с накоплением
Произведение с накоплением
cumtrapz
trapz
quad
quad8
dblquad
Численное интегрирование
Численное интегрирование методом трапеций с накоплением
Численное интегрирование методом трапеций
Численное интегрирование методом квадратур
Численное интегрирование методом Ньютона – Котеса
Вычисление двойного интеграла
fmin
fmins
fzero
Вычисление минимумов и нулей функций
Минимизация функции одной переменной
Минимизация функции нескольких переменных
Нахождение нулей функции одной переменной
interp1
interp1q
interp2
interp3
interpn
interpft
griddata
ppval
spline
Аппроксимация и интерполяция данных
Одномерная табличная интерполяция
Быстрая одномерная интерполяция
Двумерная табличная интерполяция
Трехмерная табличная интерполяция
Nмерная табличная интерполяция
Аппроксимация периодической функции
Интерполяция на неравномерной сетке
Аппроксимация кусочногладкими полиномами
Интерполяция кубическим сплайном
delaunay
dsearch
tsearch
Геометрический анализ данных
Триангуляция Делоне
Триангуляция Делоне для ближайшей точки
Поиск наилучшей триангуляции
181
convhull
voronoi
inpolygon
rectint
polyarea
Вычисление выпуклой оболочки
Вычисление диаграммы Вороного
Истинно, если точка внутри полигона
Область пересечения прямоугольника
Область многоугольника
diff
gradient
del2
Вычисление конечных разностей
Аппроксимация производных конечными разностями
Вычисление градиента функции
Аппроксимация Лапласиана
corrcoef
cov
Корреляционный анализ
Вычисление коэффициентов корреляции
Вычисление матрицы ковариаций
fft
fft2
fftn
ifft
ifft2
ifftn
fftshift
Преобразования Фурье
Одномерное дискретное преобразование Фурье
Двумерное дискретное преобразование Фурье
Nмерное дискретное преобразование Фурье
Обратное одномерное преобразование Фурье
Обратное двумерное преобразование Фурье
Обратное Nмерное преобразование Фурье
Сдвиг постоянной составляющей в центр спектра
filter
filter2
conv
conv2
convn
deconv
Свертка и фильтрация
Дискретная одномерная фильтрация
Дискретная двумерная фильтрация
Свертка одномерных массивов
Свертка двумерных массивов
Свертка Nмерных массивов
Операция, обратная свертке (деление полиномов)
sound
soundsc
mu2lin
lin2mu
Звуковое воспроизведение
Озвучить одномерный массив чисел
Масштабировать и озвучить одномерный массив чисел
Преобразование mкодированного сигнала в линейный
Преобразование линейного сигнала в mкодированный
Решатели обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ
ode113
Нежесткие ОДУ, метод переменных состояний
ode15s
Жесткие ОДУ, метод переменных состояний
ode23
Нежесткие ОДУ, метод низкого порядка
ode23s
Жесткие ОДУ, метод Рунге – Кутты 3го порядка
ode45
Нежесткие ОДУ, метод Рунге – Кутты 4го порядка
odefile
Описание системы ОДУ
odeset
odeget
odeplot
odephas2
182
Дескрипторная поддержка опций решателя ОДУ
Создать/изменить опции решателя
Получить опции решателя
Формирование выходов решателя ОДУ
Формирование процессов как функций времени
Двумерная фазовая плоскость
odephas3
odeprint
Трехмерная фазовая плоскость
Командное окно вывода на печать
sprandsym
spdiags
Элементарные разреженные матрицы
Формирование разреженной матрицы
Единичная разреженная матрица
Случайная разреженная матрица с элементами, распределен
ными по равномерному закону
Случайная разреженная матрица с элементами, распределен
ными по нормальному закону
Случайная разреженная симметрическая матрица
Формирование диагоналей разреженной матрицы
normest
condest
sprank
Характеристики разреженных матриц
Оценка 2нормы разреженной матрицы
Оценка числа обусловленности по 1норме
Вычисление структурного ранга
sparse
speye
sprand
sprandn
full
find
spconvert
Преобразования разреженных матриц
Преобразование разреженной матрицы в полную
Определение индексов ненулевых элементов
Восстановление разреженной матрицы из внешнего ASCIIфор
мата
Работа с ненулевыми элементами разреженной матрицы
nnz
Количество ненулевых элементов
nonzeros
Формирование вектора ненулевых элементов
nzmax
Количество ячеек памяти для размещения ненулевых эле
ментов
spones
Формирование матрицы связности
spalloc
Выделить память для разреженной матрицы
issparse
Истинно, если матрица разреженная
spfun
Вычисление функции только для ненулевых элементов
etree
etreeplot
treelayout
treeplot
colmmd
symmmd
symrcm
colperm
randperm
dmperm
pcg
bicg
Операции над графом разреженной матрицы
Вычисление дерева структуры
Построение дерева структуры
Разметка дерева структуры
Построение дерева структуры
Алгоритмы упорядочения разреженной матрицы
Упорядочение по разреженности столбцов
Симметрическая упорядоченность
RCMупорядоченность
Упорядочение столбцов с учетом их разреженности
Формирование случайных перестановок
DMдекомпозиция разреженной матрицы
Решение систем уравнений с разреженными матрицами
Метод сопряженных градиентов
Двунаправленный метод сопряженных градиентов
183
bicgstab
cgs
gmres
qmr
Устойчивый двунаправленный метод
Квадратичный метод сопряженных градиентов
Метод минимизации обобщенной невязки
Квазиминимизация невязки
gplot
spy
Визуализация разреженных матриц
Построение графа структуры
Визуализация структуры разреженной матрицы
Вспомогательные операции для работы с разреженными матрицами
spparms
Установка параметров для алгоритмов обработки
symbfact
Характеристики разложения Холецкого
spaugment Формирование расширенной матрицы для метода наимень
ших квадратов
plot
loglog
semilogx
semilogy
polar
plotyy
Двумерные графики
График в линейном масштабе
График в логарифмическом масштабе
График в полулогарифмическом масштабе по оси x
График в полулогарифмическом масштабе по оси y
График в полярных координатах
График с двумя вертикальными осями
surfl
Трехмерные графики
Построение линий и точек в трехмерном пространстве
Изображение линий уровня для трехмерной поверхности
Формирование массива описания линий уровней
Изображение трехмерных линий уровня
Формирование двумерных массивов X и Y
Трехмерная сетчатая поверхность
Трехмерная сетчатая поверхность с проекцией линий посто
янного уровня
Трехмерная сетчатая поверхность с плоскостью отсчета на
нулевом уровне
Затененная сетчатая поверхность
Затененная сетчатая поверхность с проекцией линий посто
янного уровня
Затененная сетчатая поверхность с подсветкой
axis
grid
hold
subplot
zoom
Задание осей координат графиков
Масштабирование и вывод осей координат
Управление выводом сетки
Управление режимом сохранения графического окна
Разбиение графического окна
Изменение масштаба в графическом окне
plot3
contour
contourc
contour3
meshgrid
mesh
meshc
meshz
surf
surfc
caxis
colormap
colstyle
184
Управление цветом графиков
Установление соответствия между палитрой цветов и масшта
бированием осей
Палитра цветов
Выделить цвет и стиль для графика из заданного массива
pcolor
rgbplot
spinmap
hsv2rgb
rgb2hsv
shading
brighten
contrast
hidden
whitebg
Палитра псевдоцветов
Изображение палитры
Вращение палитры
Преобразование hsvпалитры в rgbпалитру
Преобразование rgbпалитры в hsvпалитру
Затенение поверхностей
Управление яркостью
Палитра серого с повышенной контрастностью
Управление удалением невидимых линий
Управление цветом фона
cool
autumn
spring
winter
summer
Палитры цветов графиков
Палитра радуги
Палитра с чередованием черного, красного, желтого и белого
Линейная палитра в оттенках серого
Серая палитра с оттенком синего
Линейная палитра в оттенках меди
Розовая палитра с оттенками пастели
Палитра белого
Палитра с чередованием красного, белого, синего и черного
Палитра, определяемая свойством ColorOrder
RGBпалитра с оттенками серого
Разновидность hsvпалитры
Палитра с чередованием красного, оранжевого, желтого, зе
леного, синего и фиолетового
Палитра с оттенками голубого и фиолетового
Палитра с оттенками красного и желтого
Палитра с оттенками желтого и фиолетового
Палитра с оттенками голубого и зеленого
Палитра с оттенками желтого и зеленого
diffuse
lighting
material
specular
surfnorm
Управление подсветкой графиков
Эффект диффузного рассеяния
Управление подсветкой
Эффект рассеяния материала поверхности
Эффект зеркального отражения
Построение нормалей к поверхности
view
viewmtx
rotate3d
Управление углом просмотра графиков
Управление положением точки просмотра
Вычисление матрицы управления углом просмотра
Интерактивные повороты трехмерного объекта
xlabel
ylabel
zlabel
clabel
colorbar
title
text
Надписи и пояснения к графикам
Обозначение оси x
Обозначение оси y
Обозначение оси z
Маркировка линий уровня
Шкала палитры
Заголовок графика
Добавление к текущему графику текста
hsv
hot
gray
bone
copper
pink
white
flag
lines
colorcube
jet
prism
185
gtext
legend
Размещение текста на графике с помощью мыши
Пояснение к графику
orient
print
printopt
Создание твердой копии и сохранение графика
Размещение твердой копии на странице
Вывод графика на печать или в файл
Задание опций печати по умолчанию
fopen
fclose
Открытие и закрытие файлов
Открыть файл
Закрыть файл
fread
fwrite
Двоичные файлы
Прочитать двоичные данные из файла
Записать двоичные данные в файл
fscanf
fprintf
fgetl
fgets
input
Форматированные файлы
Прочитать форматированные данные из файла
Записать форматированные данные в файл
Прочитать строку файла, удалив символ конца строки
Прочитать строку файла, сохранив символ конца строки
Интерактивный ввод
ferror
feof
fseek
ftell
frewind
Позиционирование файла
Запросить информацию об ошибке вводавывода
Проверить признак конца файла
Установить указатель в заданную позицию
Запросить позицию указателя в файле
Установить указатель в начало файла
matlabroot
matlabrc
path
addpath
editpath
filesep
pathsep
mexext
fullfile
partialpath
tempdir
tempname
Работа с каталогами
Имя каталога, где размещена система MATLAB
Список путей доступа
Управление списком путей доступа
Добавить путь доступа к списку
Отредактировать список путей доступа
Разделитель каталогов для данной платформы
Разделитель путей доступа для данной платформы
Расширение MEXфайлов для данной платформы
Построить полное имя файла из частей
Разбить путь доступа на части
Запросить имя временного каталога
Запросить имя временного файла
load
save
csvread
csvwrite
186
Импортэкспорт файлов
Прочитать переменные из MATфайла
Записать переменные в MATфайл
Преобразовать файл, элементы которого разделены запяты
ми, в массив
Преобразовать массив в файл, элементы которого разделены
запятыми
dlmwrite
dlmread
wk1read
wk1write
Преобразовать массив в файл с ASCIIразделителем
Преобразовать файл с ASCIIразделителем в массив
Прочитать файл электронной таблицы Lotus123
Записать файл в электронную таблицу Lotus123
imread
imwrite
Импортэкспорт графических образов
Считать графический образ из файла
Записать графический образ в файл
wavwrite
wavread
Импортэкспорт звуковых файлов
Записать звуковой файл .wav
Считать звуковой файл .wav
187
Учебное издание
Дубаренко Владимир Васильевич
Коновалов Александр Сергеевич
Кучмин Андрей Юрьевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
КАК ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Редактор Г. Д. Бакастова
Верстальщик С. В. Барашкова
Сдано в набор 12.03.07. Подписано в печать 14.05.07. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,16. Уч.изд. л. 12,48.
Тираж 250 экз. Заказ № 262
Редакционноиздательский центр ГУАП
190000, СанктПетербург, Б. Морская ул., 67
188
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 454 Кб
Теги
dubarenko, model, mat
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа