close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

DyadkinLykianenko

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Методические указания
к выполнению домашних заданий
по дисциплине
«Инженерная и компьютерная графика»
Санкт-Петербург
2014
Составители: В. П. Дядькин, И. Н. Лукьяненко, А. Г. Федоренко
Рецензент кандидат технических наук, доцент В. П. Котов
Приведены условия позиционных, метрических и комплексных
задач к разделу начертательной геометрии для студентов, изучающих курс «Инженерная и компьютерная графика». Даны методические указания по оформлению решения и примеры выполнения
задач.
Издание предназначено для студентов всех специальностей, изучающих на I курсе дисциплину «Инженерная и компьютерная графика».
Методические указания подготовлены кафедрой прикладной математики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским
советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка С. Б. Мацапуры
Сдано в набор 19.12.13. Подписано к печати 18.06.14.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,8.
Уч.-изд. л. 4,1. Тираж 200 экз. Заказ № 213.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2014
1.ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
1.1. Предмет и задачи инженерной графики
Инженерная графика – одна из учебных дисциплин, составляющих основу общеинженерной подготовки специалистов по авиационному приборостроению и радиотехнике.
Основные задачи курса инженерной графики состоят в том, чтобы научить студентов:
– правильно составлять рабочие чертежи приборов, электрооборудования, радиоаппаратуры и грамотно читать их;
– применять графические методы при решении инженерных задач.
Теоретический базис курса инженерной графики составляют
элементы начертательной геометрии – раздел, в котором излагаются способы построения проекционных чертежей. Изучение начертательной геометрии развивает пространственное представление,
зрительную память и логическое мышление – качества, необходимые для инженерной деятельности.
1.2. Краткое содержание программы курса
Элементы начертательной геометрии. Предмет инженерной графики и ее задачи. Краткая история развития методов изображений
и технического чертежа. Требования ГОСТов ЕСКД к графическому оформлению чертежей.
Метод проекций. Виды проекций и их свойства. Обратимость
чертежа. Комплексный чертеж точки. Изображение точки в декартовой системе координат.
Чертежи прямых общего и частного положения. Определение
натуральной величины отрезка прямой. Чертежи параллельных,
пересекающихся и скрещивающихся прямых. Определение видимости геометрических элементов на чертеже.
Плоскость и способы отображения ее на чертеже. Чертежи плоскостей общего и частное положения. Прямая и точка в плоскости.
3
Прямые уровня в плоскости. Пересечение прямой с плоскостью.
Пересечение двух плоскостей. Преобразование комплексного чертежа методом замены плоскостей проекций и основные задачи, решаемые этим методом.
Чертежи кривых линий, многогранников и поверхностей. Принадлежность точки и линии поверхностям. Взаимное пересечение
поверхностей. Развертывание поверхностей. Построение разверток пирамидальных (конических) и призматических (цилиндрических) поверхностей. Приближенное построение разверток кривых
поверхностей.
Аксонометрические проекции. Образование. Виды. Стандартные прямоугольные изометрические и диметрические проекции.
Рекомендуемая литература
1. [744(075), Ч37, 744] Чекмарев А. А. Инженерная графика. –
М.: Высшая школа, 2004. – 380 с. (имеются экземпляры в отделах: ФО(2)); 2006. – 380 с. (имеются экземпляры в отделах: ФО(3),
ГС(95), ГСЧЗ(1)); 2008. – 380 с. (имеются экземпляры в отделах:
ФО(2), ГС(46), ГСЧЗ(2)).
2. [744(035), П58, 744(035)] Попова Г. Н., Алексеев С. Ю. Машиностроительное черчение: справочник, 2006. – 354 с. (имеются
экземпляры в отделах: ФО(3), ГС(42), СО(32), КИР(10), ГСЧЗ(2)).
3. [744(083),Ч-37,744(083)] Чекмарев А. А., Осипов В. И. Справочник по машиностроительному черчению. – М.: Высшая школа,
2008. – 492 с. (имеются экземпляры в отделах: ФО(2), ГС(97)).
4. ГОСТ 2.101-68 ГОСТ2.117-71. Основные положения.
5. ГОСТ 2.301-68 – ГОСТ2.317-69. Общие правила выполнения
чертежей.
1.3. Указания по оформлению работ
В методических указаниях приведены условия 7 задач, которые
студент должен решить в течение семестра и представить на зачете
или экзамене в сброшюрованном виде с титульным листом (образец
оформления показан в приложении).
Каждый лист чертежа или эскиза оформляется в соответствии с
требованиями ГОСТ 2.104-68 основной надписью (Форма 1), которая на листах формата А4 располагается вдоль короткой стороны
листа, а на форматах А3 – в правом нижнем углу листа.
В графе 2 основной надписи должно стоять обозначение документа, который имеет следующую структуру:
4
Кафедра механики М2.ИиКГ.ХХ.ХХ.ХХ
Дисциплина
«Инжнерная и компьютерная
графика»
№ задания
Порядковый номер
чертежа
№ варианта
Заполнение основной надписи и текст условия задач выполняется чертежным шрифтом по ГОСТ 2.304-81, а графические построения выполняются линиями по ГОСТ 2.303-68.
Проекции точек изображают кольцами с наружным диаметром
1,5-2 мм и обозначают прописными буквами латинского алфавита
или арабскими цифрами.При графическом задании условий задач
№ 4–7 размеры исходного чертежа должны быть изменены с учетом наиболее рационального использования поля чертежа, т.е. увеличены в 3–4 раза.
Задачи № 1, 4 и 6 оформляются на листах чертежной бумаги
формата А4 или А3, а остальные задачи решаются и оформляются
в эскизной форме на листах бумаги в клетку формата близкого к
А4, допускается решение задач на компьютере.
Все чертежи и эскизы должны быть выполнены в полном соответствии с требованиями гостов ЕСКД, отличаться четкостью и аккуратностью исполнения.
1.4. Условия задач № 1–7 и исходные данные для их решения
Задача № 1
По заданным координатам вершин треугольника ABC (табл. 1.1)
построить его проекции. Определить натуральную величину сторон
треугольника и их углы наклона к плоскостям проекций: AB к П1,
АС к П2, ВС к П3. Построить натуральную величину ABC.
Задача № 2
Определить натуральную величину расстояния от точки S до
плоскости (ABC) (табл. 1.1).
Задача № 3
По заданным координатам вершин треугольника ABC
(табл. 1.1) построить горизонтальную и фронтальную проекции
плоскости (ABC) и точки S. Определить:
а) расстояние от точки S до плоскости (ABC);
б) натуральную величину ABC;
в) натуральную величину угла между плоскостями (ABC) и
(AB,S) (табл. 1.1).
5
Таблица 1.1
Исходные данные для задач № 1, 2 и 3
Координаты точек (мм) для задач № 1, 2 и 3
Вариант
№
А
В
C
S
XA
YA
ZA
XB
YB
ZB
XC
YC
ZC
XS
YS
ZS
1
60
60
15
10
40
0
40
10
30
150
50
25
2
55
0
20
25
50
50
5
15
0
45
45
0
3
60
5
15
40
60
50
5
30
0
30
60
10
4
10
40
0
60
60
15
40
10
35
55
30
5
5
25
50
50
55
0
20
5
15
0
50
40
10
6
40
60
50
60
5
15
5
30
0
25
60
10
7
40
10
35
10
40
0
60
60
15
15
502
25
8
55
0
20
5
15
0
25
50
50
45
45
10
9
60
5
15
5
30
0
40
60
50
30
60
10
10
60
60
15
40
10
30
10
40
0
55
30
5
11
25
50
50
40
10
30
5
0
20
50
40
10
12
40
60
50
5
30
0
60
5
15
25
60
10
13
60
55
15
10
35
0
40
5
30
15
45
20
14
55
5
20
25
55
50
5
20
0
45
50
10
15
60
5
20
40
60
55
5
30
5
30
60
10
16
55
60
15
40
0
35
10
30
10
10
50
25
Примечание: в варианте 1,4,7,10,13,16 в задаче №3 решение пойдёт
влево и вниз от исходных проекций. В остальных вариантах – вправо и
вниз.
Результаты решений пунктов а и б сравнить с результатами, полученными в задачах № 1 и 2.
Задача № 4
По заданной фронтальной проекции гранной поверхности с вырезом построить горизонтальную и профильную проекции этой
поверхности, изометрическую проекцию, выполнить развертку
(табл. 1.2).
6
Исходные данные для задачи № 4
Таблица 1.2
X12
X12
1
X12
X12
2
X12
6
X12
X12
X12
X12
9
13
10
X12
14
X12
18
5
X12
X12
X12
17
4
8
12
X12
X12
X12
X12
16
3
7
11
X12
15
X12
19
20
7
Задача № 5
По заданной фронтальной проекции поверхности вращения с
вырезом построить горизонтальную и профильную проекции этой
поверхности (табл. 1.3).
Исходные данные для задачи № 5
Таблица 1.3
X12
X12
1
X12
2
X12
6
X12
X12
X12
X12
9
13
10
X12
14
X12
18
5
X12
X12
X12
17
4
8
12
X12
X12
X12
X12
16
X12
3
7
11
8
X12
15
X12
19
20
Задача № 6
Построить проекции линий пересечения двух поверхностей.
Определить видимость (табл. 1.4).
Исходные данные для задачи № 6
Ç
Таблица 1.4
X12
X12
2
3
Ç
1
X12
X12
X12
X12
4
5
6
X12
X12
X12
7
X12
8
X12
X12
10
9
11
12
9
Ç
Окончание табл. 1.4
X12
X12
X12
14
15
X12
Ç
13
X12
X12
17
18
Ç
16
X12
X12
X12
19
20
21
X12
X12
X12
22
10
23
24
Задача № 7
Найти точки пересечения прямой l с поверхностью. Определить
видимость прямой (табл. 1.5).
Исходные данные для задачи № 7
Таблица 1.5
X12
X12
1
X12
2
X12
X12
X12
X12
3
4
X12
X12
X12
6
7
8
9
X12
X12
X12
X12
12
13
X12
X12
16
10
X12
X12
11
5
17
14
X12
X12
18
15
19
20
11
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ № 1, 2, 3
2.1. Определение натуральной величины отрезков
и углов их наклона к плоскостям проекций
(способ прямоугольного треугольника)
Способ прямоугольного треугольника.
Для определения на комплексном чертеже отрезка его натуральной величины и угла его наклона к какой либо плоскости проекций Пi необходимо построить прямоугольный треугольник, в котором один катет – это проекция отрезка на данную плоскость Пi,
а другой катет равен разности третьих координат концов отрезка.
Гипотенуза будет являться натуральной величиной отрезка, а угол
между гипотенузой и проекцией отрезка, это угол наклона отрезка
к данной плоскости проекции Пi.
На рис. 2.1 определена натуральная величина отрезка [AB] и
углы его наклона , , к плоскостям проекций П1, П2, П3. Так, для
определения угла  наклона отрезка к плоскости П1 построен прямоугольный треугольник A1B1B, в котором один катет – это проекция A1B1 отрезка на плоскость П1, а другой катет равен разности
высот Z=[ZA–ZB]. Угол между гипотенузой и проекцией отрезка,
это угол наклона отрезка к плоскости П1


 = AB
,Ï = A B
, AB.
1
1 1
Аналогично определены углы наклона к другим плоскостям:


 = AB
,Ï = A B
, AB;
2
2 2


 = AB
, Ï3 = A3 B
3 , AB.
Решение задачи № 1 (рис. 2.2)
По заданным координатам вершин треугольника ABC построить его проекции. Определить натуральную величину сторон треугольника и их углы наклона к плоскостям проекций: АВ к П1, АС
к П2, ВС к П3. Построить натуральную величину ABC.
Для построения проекции точки А на плоскости П1 откладываем по осям X12 и Y13 координаты XA и YA и проводим линии связи,
перпендикулярные к этим осям. На пересечении этих линий связи
получаем горизонтальную проекцию точки A1 Фронтальная проекция точки А2 определяется координатами XA и ZA, а профильная
проекция координатами YA и ZA. Аналогично строятся проекции
точек В и С (рис. 2.2).
12
Õ12
Ï2
A1
A2
XA
A
7
Ï1
XB
X=[XA-XB ]
B2
B1
Z =[ZB-ZA]
B
á)
Õ12
Рис. 2.1
[AB]
6
à)
B
A1
A2
6
XA
7
Z =[ZB-ZA]
B1
XB
B2
Y=[YB -YA]
Y13
A3
YB
Y
Y
YA A
ZA
Z
ZB
23
<
13
YB
B3
Y13
X =[XA-XB ]
Ïî çàäàííûì êîîðäèíàòàì âåðøèí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïîñòðîèòü
åãî ïðîåêöèè . Îïðåäåëèòü íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó åãî ñòîðîí
è èõ óãëû íàêëîíà ê ïëîñêîñòÿì ïðîåêöèè : ÀÂ ê Ï1,ÀÑ ê Ï2,
ÂÑ ê Ï3 . Îïðåäåëèòü íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
À
Â
Ñ
S
XA
YA
ZA
XB
YB
ZB
XÑ
YÑ
ZÑ
XS
YS
ZS
55
5
20
25
55
50
5
20
0
45
50
10
Z23
B2
ZB
X =[XB-XC ]
B3
B
[AC]
ZA
A2
XA
7
Y =[YC -YA ]
A
Õ12
XB
Ñ2
A1
<
A3
C]
X
XÑ ZÑ
Y
YA A
YÑ
[B
Ñ3 YÑ
YB
A
Ñ1
6
Y13
[AC]
[AB]
[AB]
YB
B1
B
Z =[ZB -ZC ]
B
C
[BC]
Y13
13.ÈÃ.ÕÕÕÕ.01.ÕÕ.01
Ëèò.
Èçì Ëèñò N äîêóì
Ðàçðàá. Èâàíîâ
Ïðîâ.
Ñèäîðîâ
Ò.êîíòð.
1:1
Çàäà÷à N1
Ëèñò 1
Í.êîíòð.
Óòâ.
Ðèñ.2.2
Рис. 2.2
14
Ìàññà Ìàñøòàá
Ïîäï. Äàòà
Ëèñòîâ 1
ÃÓÀÏ,ãð.ÕÕÕÕ
Для определения натуральной величины отрезка [АВ] и угла
его наклона  к плоскости проекции П1 стоим прямоугольный
треугольник A1B1C1 в котором один из катетов является проекцией отрезка A1B1 на данную плоскость, а другой катет B1B есть
разность третьей координаты Z =[ZB–ZA] у концов отрезка, которая определяется по оси Z23 как расстояние между линиями связи.
Гипотенуза A1B есть натуральная величина отрезка [АВ], а угол 
между гипотенузой A1B и проекцией отрезка A1B1 – угол наклона
к плоскости П1.
Аналогично определяются натуральные величины отрезков
[АС], [ВС] и их углы наклона  и  к плоскостям проекций П2 и П3
соответственно. При этом отрезки A2A и В3В определяются как
Y =[YB – YA ]= A2A, X =[ХB – ХA] = В3В.
Для построения натуральной величины треугольника ABC
строим отрезок [АВ], а затем из точки А проводим дугу радиусом
R = [АС], а из точки В – дугу радиусом [ВС]. На пересечении этих
дуг получаем вершину С треугольника ABC.
2.2. Прямые уровня в плоскости, проецирование
прямого угла
Прямые уровня в плоскости.
Прямой уровня называется прямая, параллельная какой-либо
плоскости проекции Пi. На комплексном чертеже главным признаком прямой уровня является то, что одна её проекция параллельна
оси. На рис. 2.3. приведены комплексные чертежи:
а) горизонтали h2П1, h22X12;
б) фронтали f2П2, f12X12;
в) профильной прямой р2П3, р12Y13; р22Z23.
а)
б)
А2
В2
h2
Х12
В2
А2
в)
f
2
D
А2
р
2
В2
р
3
А3
В3
Х12
А1
В1
E
В1 h
1
Горизонталь h
А1
В1 f1
Фронталь f
А1
p1
Профильная прямая p
Рис. 2.3. Прямые уровня
15
Через любую точку плоскости можно провести прямые уровня.
Их построение начинается с проведения через выбранную точку
той проекции прямой уровня, которая параллельная оси X12.
На рис. 2.4. показано построение фронтали f(f1, f2) и горизонтали h(h1, h2) в плоскости (ABC). Через выбранную точку плоскости А(A1, A2) проводим параллельно оси X12 проекции f1 и h2, а
затем строим проекции f2 и h1.
Проецирование прямого угла.
Если одна из сторон прямого угла, образованного пересекающимися или скрещивающимися прямыми, параллельна какой-либо
плоскости проекций (т.е. является прямой уровня h, f или p), то на
эту плоскость (П1, П2 или П3) прямой угол проецируется в натуральную величину. При этом вторая сторона не должна быть перпендикулярна данной плоскости проекций.
В самом деле, пусть сторона ВС (рис. 2.5, а) прямого угла ABС
параллельна плоскости проекций П1 (является горизонталью h).
Так как при параллельном переносе плоскости проекций П1 проекция на эту плоскость не изменяется, то для простоты рассуждений
переместим плоскость П1 параллельно самой себе так, чтобы она
прошла через параллельную ей сторону ВС. Тогда из условия, что
угол АBC – прямой, на основании обратной теоремы «о трех перпендикулярах» следует, что угол А1В1С1, являющийся ортогональной
проекцией прямого угла, также прямой угол.
Так как условия перпендикулярности скрещивающихся прямых сводятся к условиям перпендикулярности пересекающихся
Z23
В2
А2
p
2
12
32
Х12
1
B1
22
21
A1
p
f
11
A3
h2
C2
31
B3
C3
33
3
23
13
h3
Y13
C1
f1
h1
Y13
Рис. 2.4. Прямые уровня на плоскости общего положения
16
Z
23
а)
б)
Z23
A2
А2
А
А
3
В С
2 2
X12
B2
В3
В{В1
А1
A3
С { С1
Х12
C2
B { B1
B3
C3
Y13
С3
Y13
A1
C{C
Y13
Рис. 2.5. Проецирование прямого угла
прямых, проведенных через произвольную точку пространства и
соответственно параллельных скрещивающимися прямым, то рассмотренные свойства ортогональной проекции прямого угла распространяются как на пересекающиеся, так и на скрещивающиеся
взаимно перпендикулярные прямые (рис. 2.5, б).
2.2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости
Как известно, прямая n (нормаль), перпендикулярна плоскости
n  (ABC), таким образом она перпендикулярна любой прямой
этой плоскости. Поэтому, нормаль n к плоскости (ABC) перпендикулярна всякой горизонтали h и фронтали f этой плоскости, т.е.
n  h и n  f. Эта перпендикулярность, сохраняется для горизонтали на горизонтальной проекции h1, и для фронтали на фронтальной проекции f2 (рис. 2.6).
Таким образом, проекции n1 и n2 нормали n, перпендикулярной к плоскости (ABC), должны удовлетворять условиям n1 
h11(A1B1C1); n2  f22(A2B2C2), где h1 и f2 соответствующие
проекции произвольных горизонталей h и фронталей f плоскости
(ABC) (рис. 2.6).
В общем случае справедливо и обратное положение: если горизонтальная проекция l1 какой-либо прямой l перпендикулярна горизонтальной проекции h1 любой горизонтали, а ее фронтальная
проекция l2 перпендикулярна фронтальной проекции f2 любой
фронтали, принадлежащих плоскости (ABC), то прямая l является нормалью к плоскости l  (ABC).
17
n2 { ' 2 {m2
L2
62
h2
A
12
K2
22
2
f2
B2
21
C2
C1
f1
A1
h1
L1
11 B1
61
K1
m1
n1
Рис. 2.6. Перпендикуляр n к плоскости
2.2.2. Пересечение прямой и плоскости
Точку пересечения прямой l(l1, l2) с плоскостью общего положения (ABC) строят в следующем порядке (рис. 2.7):
а) разрезаем плоскость 2(A2B2C2) фронтально-проецирующей
плоскостью 2, совпадающей с прямой l2. Получаем линию разреза
m2 проходящую через точки 12, 22;
m2 2(A2B2C2) l2;
б) строим горизонтальную проекцию прямой m1(11, 21);
в) определяем точку K1, точку пересечения прямой l1 с прямой
m1(11 21), которая и является горизонтальной проекцией точки K,
точки пересечения прямой l с плоскостью (ABC);
K1=l1m1;
г) строим с помощью линий связи фронтальную проекцию точки
K2 и определяем видимость проекций прямых l1 и l2.
Решение задачи № 2 (рис. 2.8)
Определить натуральную величину расстояния от точки S(S1,
S2) до плоскости (ABC).
18
В2
52
А2
22 { (3 2)
K2
12
42
С2
B1
l1
31
A1
l 2 { ' 2 {m2
K1
11
m1
21
(4 1 ) { 51
C1
Рис. 2.7. Пересечение прямой l с плоскостью 
Решение задачи на определение расстояния от точки до плоскости общего положения классическими методами Начертательной
геометрии выполняется в три этапа.
1. Через заданную точку S(S1,S2) проводим нормаль n, перпендикулярную к заданной плоскости (ABC).
Для этого сначала необходимо в плоскости (ABC) провести
любую фронталь f и горизонталь h (рис. 2.4), а затем через проекции точек S1 и S2 провести проекции прямой n1 и n2 так, чтобы
выполнялись условия (рис. 2.8):
n1h11(A1B1C1), n2f22(A2B2C2).
2. Найти точку пересечения прямой n с плоскостью (ABC)
(рис. 2.6):
K= m(ABC).
Для этого проводим в плоскости 2(A2B2C2) фронтально-конкурирующую прямую m2 с прямой l2
m22(A2B2C2)  l2;
и строим горизонтальную проекцию прямой m
m11(A1B1C1).
На пересечении проекций прямых l1 и m1 находим горизонтальную проекцию точки K1:
K1=l1m1.
19
Ïî çàäàííûì êîîðäèíàòàì âåðøèí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïîñòðîèòü
ãîðèçîíòàëüíóþ è ôðîíòàëüíóþ ïðîåêöèè ïëîñêîñòè ÀÂÑ
è òî÷êè S.
Îïðåäåëèòü:
- ðàññòîÿíèå îò òî÷êè S äî ïëîñêîñòè ÀÂÑ;
Ðåçóëüòàòû ñðàâíèòü ñ çàäà÷åé N 1
B2
72
n2 w m 2
f2
42
22
62
A2
Õ12
Ï1
XA
XÑ Z Ñ
XB
A1
h2
12
(32 ) w 52
S2
ZA
Ï2
Ê2
n1 Ñ2
31
f1
Ñ1
21
Ê1
(61 ) w71
[S]
S
51
S1
11
41
h1
m1
B1
Ì2.ÈèÊÃ.ÕÕÕÕ.02.ÕÕ.01
Ëèò.
Èçì Ëèñò N äîêóì
Ðàçðàá. Èâàíîâ
Ïðîâ.
Ñèäîðîâ
Ò.êîíòð.
Í.êîíòð.
Óòâ.
Çàäà÷à N2
1:1
Ëèñò1
Ðèñ.2.8.
Рис. 2.8
20
Ìàññà Ìàñøòàá
Ïîäï. Äàòà
Ëèñòîâ 1
ÃÓÀÏ,ãð.ÕÕÕÕ
С помощью линий связи находим фронтальную проекцию точки K2.
3. По найденным проекциям расстояния S1K1 и S2K2 методом
прямоугольного треугольника (рис. 2.1) находим натуральную величину расстояния [SK] от точки S(S1, S2) до плоскости общего положения 2(A2B2C2).
2.3. Решение позиционных и метрических задач
методом замены плоскостей проекций
Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из
двух основных плоскостей проекций П1 или П2 заменяется новой
плоскостью проекций П4 (перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций) таким образом, чтобы она оказалась в частном
положении по отношению к оригиналу.
Пусть точка А задана своими проекциями А1 и А2 в системе плоскостей проекций П1 и П2 (рис. 2.9, а). Заменим плоскость П2 на
новую плоскость П4, перпендикулярную плоскости П1. Опустив
перпендикуляр из точки А на плоскость П4 получаем проекцию А4
точки А на плоскость П4.
Нетрудно видеть, что в новой системе плоскостей проекций П1,
П4 точка А определяется проекциями A1 и A4, при этом координата
ZA, содержащаяся в заменяемой плоскости проекций П2, остается
неизменной в новой плоскости П4, а в плоскости проекций остается
неизменной проекция точки A1.
Произведем операцию перехода от системы П1, П2 к системе П1
П4, П2  П4, на комплексном чертеже (рис. 2.9, б). Так как гориZ23
a)
П2 А 2
Х12
ZA
А4
А
ХА h
f
А1
П1
П2 А2
A3
П3
ZA
Х12
YA
ХА
f
A1
Y13
П1
p
A 3 П3
А4
h
0 П4
p
Z23
б)
f
0
YA
Y13
YA П4
Y13
Рис. 2.9. Замена плоскостей проекций
21
зонтальная проекция точки остается неизменной, то через эту проекцию проводим новую линию связи, перпендикулярную оси Х14.
Измерив на плоскости П2 высоту точки ZA и отложив ее на новой линии связи от оси X14, получим новую проекцию А4 на плоскость П4.
Аналогичным образом производится замена плоскости П1 на новую плоскость проекций П4, П1П4, перпендикулярную плоскости П2. При этой замене остается неизменной фронтальная проекция А2 и глубина точки YА.
2.3.1. Преобразование прямой l(l1, l2)
общего положения в прямую уровня
Чтобы прямую l(l1, l2) общего положения, проходящую через проекции точек А1В1 и А2В2, преобразовать в прямую уровня
(рис. 2.10) достаточно заменить одну плоскость проекций, например П2 на новую плоскость П4, перпендикулярную неизменной
плоскости П1 и параллельную прямой l1, П2П4. Новая ось X14
должна располагаться параллельно горизонтально проекции прямой X14 || l1. Из горизонтальных проекций концов отрезка прямой
А1В1 проводим линии связи, перпендикулярные новой оси X14.
Расстояния концов отрезка A4B4 от оси X14 равны расстояниям
проекций концов А2В2 от оси X12 (т.е. неизменными остаются координаты ZA и ZB).
В2
l2
А2
П2
Х12
Х14
П1
А1
В1
А4
l1
П1
П4
D
П 2oП4
Х14 __ А 1В1
[AB]
В4
l4
А 4В4 { [АВ]
Рис. 2.10. Преобразование прямой
общего положения в прямую уровня
22
2.3.2. Преобразование прямой уровня l(l1, l2)
в проецирующую прямую
Пусть прямая l(l1, l2), проходящая через проекции точек А1В1
и А2В2, будет фронталью f(f1, f2) в системе плоскостей проекций
(П1,П2) (рис. 2.11). Заменим плоскость П1 на новую плоскость П4,
П1П4, располагая ее перпендикулярно прямой l2 и плоскости П2.
На комплексном чертеже новая ось Х24  l2(А2В2). Проводя новые
линии связи от точек А2 и В2 и откладывая от новой оси Х24 глубину Y точек А1 и В1, измеренные на плоскости П1, получим проекцию прямой l4 на плоскость П4 в виде точки l4А4(В4).
Если бы данная прямая l являлась горизонталью, то для ее
преобразования в проецирующую прямую нужно было заменить
плоскость П1 на плоскость П4, перпендикулярную прямой l.
2.3.3. Преобразование прямой общего положения
в проецирующую прямую
Для преобразования прямой l(l1, l2) общего положения, проходящую через проекции точек А1В1 и А2В2, в проецирующую прямую нужно последовательно провести преобразования, рассмотренные в п. 2.3.1 и 2.3.2.
На рис. 2.12 доказано соответствующее преобразование
комплексного чертежа. Вначале в системе П1, П2 проведена замена плоскости П2 на П4, П2П4, причем П4  П1 а Х14 || A1B1. Далее в системе П1, П4, в которой прямая l4 является прямой уровня
относительно плоскости П4, производим замену плоскости П1 на
Х24
А4 { (В4) { l 4
В2
f
l2 { 2
А2
D
П2
Х12
П4
П1
А1
В1
П1oП 4
Х14A А 2В2
А 2В2 { [ АВ]
l1 { f1
Рис. 2.11. Преобразование прямой уровня
в проецирующую прямую
23
В2
l2
А2
П2 o П4
П2
Х12
l1
Х14
Х14 __ А 1В1
В1
Х45 A А 4В4
П4
А1
l4
П1 o П 5
П1
П5
П4
А 5 { (В5 ) { l 5
В4
А4
Х45
[АВ]
Рис. 2.12. Преобразование прямой общего положения
в проецирующую прямую
П5, П1П5, причем П5  П4, а Х45  l4. В системе плоскостей П4,
П5 прямая l5 является проецирующей прямой относительно плоскости П5.
2.3.4. Преобразование плоскости общего положения
(ABC) в проецирующую плоскость
Проведем в плоскости 2(A2B2C2) через точку A2 горизонталь
h2 (рис. 2.13). При замене плоскости проекций П2 на П4, П2П4,
В2
П2 o П4
А2
Х12
П2
h2
12
Х14A h1
С2
П1
В1 П 4
П1
А1
С1
D
11
h1
64
С4
А 4{ h4
В4
Х14
Рис. 2.13. Преобразование плоскости общего положения
в проецирующую плоскость
24
перпендикулярно горизонтали h1, получаем проецирующую
плоскость 4(A4B4C4). Относительно плоскости П4 плоскость
4(A4B4C4) превращается в прямую 4. Для этого проведем ось
Х14 перпендикулярно горизонтали h1 (Х14h1). Проецируя точки A1, B1, С1 на новую ось Х14, ординаты точек A4, B4, С4 относительно этой оси определяем на плоскости П2 как расстояния от
точек A2, B2, С2 до оси Х12. Угол , образованный проекцией плоскости 4 и осью Х14, является натуральной величиной угла наклона плоскости  к плоскости проекций П1. Аналогично можно
определить угол наклона плоскости  к плоскости П2, для этого
нужно заменить плоскость П1 на П5, П1П5 перпендикулярно
фронтали f2.
2.3.5. Преобразование проецирующей плоскости
(ABC) в плоскость уровня
Пусть плоскость (ABC) является горизонтально проецирующей плоскостью (рис. 2.14). Для преобразования этой плоскости
в плоскость уровня заменим плоскость проекций П2 на плоскость
П4, П2П4, параллельную горизонтальной проекции плоскости
1(A1B1C1). Для этого проведем новую ось Х14, параллельную
плоскости 1(А1В1С1). Проецируя точки A1, B1, С1 на новую ось
Х14, ординаты точек A4, B4, С4 относительно этой оси определяем
из плоскости П2 как расстояния от точек A2, B2, С2 до оси Х12. В системе плоскостей П1, П4 плоскость 4 является плоскостью уровня относительно плоскости П4 (4 || П4) и проекция треугольника
A4B4C4, определяющего плоскость, дает натуральный вид этого
треугольника.
Если бы плоскость (ABC) являлась фронтально-проецирующей плоскостью, то для ее преобразования в плоскость уровня
следовало заменить горизонтальную плоскость проекций П1 на новую плоскость П5, П1П5, (5 || П5).
2.3.6. Преобразование плоскости общего положения
(ABC) в плоскость уровня
Для преобразования плоскости общего положения (ABC) в
плоскость уровня нужно последовательно выполнять преобразования, рассмотренные в п. 2.3.4 и п. 2.3.5. На рис. 2.15 показано
соответствующее преобразование комплексного чертежа. Вначале
в системе плоскостей П1, П2 производится замена плоскости П2
25
ZÂ
.2
A2
Z
XA A
Ï2
Õ12 Ï1
Ñ2
ZÑ
Ñ1
.1
Ñ4
Ï1 A1
Õ14
Ï4
XÂ
Â1
ZA
ZÑ
ZÂ
.4w [ABC]
A4
Â4
Рис. 2.14
Â2
ZÂ
.2
12
h2
Ï2
XÂ
Õ12 Ï
1
Â1
Ñ2
ZÑ
ZÂ
.4
Õ
45
Ï4
.1
6
Â4
A4
Ï5
11
ZA
ZÑ
Ñ4
Â5
Ñ1
Ï4 Ï1
Õ14
Ñ5
.5 w [ABC]
A5
Рис. 2.15
26
A2
Z
XA A
A1
на плоскость П4, П2П4, перпендикулярную горизонтали h1 плоскости 1(A1B1C1). Затем в системе плоскостей П1, П4, в которой
плоскость 4 является проецирующей плоскостью относительно
плоскости П4, производится замена плоскости П1 на плоскость П5,
П1П5, причем плоскость П5 || 4. В системе плоскостей П4, П5 плоскость 5 является плоскостью уровня относительно плоскости П5,
поэтому проекция А5В5С5 треугольника АВС дает натуральный
вид этого треугольника.
Решение задачи № 3 (рис. 2.16 и рис. 2.17)
По заданным координатам вершин треугольника ABC построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости (ABC)
точки S.
а) Определить расстояние от точки S до плоскости (ABC),
сравнить с результатом, полученным в задаче № 2.
Для определения расстояния от точки S до плоскости общего положения (ABC) достаточно преобразовать плоскость общего положения в проецирующую плоскость (п.2.3.4) и опустить перпендикуляр из точки S4 на проекцию плоскости 4, тогда проекция
расстояния S4K4 и есть натуральная величина (рис. 2.16)
S4K4= [SK].
б) Определить натуральную величину треугольника ABC, сравнить с результатом, полученным в задаче № 1.
Для определения натуральной величины треугольника ABC
достаточно плоскость общего положения (ABC), преобразовать в
плоскость уровня (п.2.3.6) (рис. 2.16).
в) Определить натуральную величину угла между плоскостями

 = (ABC
), (ABS).
Так как эти плоскости пересекаются по прямой AB,то для определения натуральной величины угла между плоскостями достаточно прямую AB общего положения преобразовать в проецирующую
прямую (п.3) и получить на плоскости П5 проекции точек С5 и S5,
принадлежащих разным плоскостям (рис. 2.17).
Решение задачи № 3 может быть выполнено на одном листе бумаги формата А3, или на двух листах формата А4, при этом первый
лист с решением пунктов 3а, б оформляется основной надписью
Форма 1 (рис. 2.16), а второй лист с решением пункта 3в основной
надписью Форма 2а (рис. 2.17) по ГОСТ2.104-68.
27
Ïî çàäàííûì êîîðäèíàòàì âåðøèí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïîñòðîèòü
ãîðèçîíòàëüíóþ è ôðîíòàëüíóþ ïðîåêöèè ïëîñêîñòè ÀÂÑ
è òî÷êè S .
Îïðåäåëèòü :
- ðàññòîÿíèå îò òî÷êè S äî ïëîñêîñòè ÀÂÑ ;
- íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ .
Ðåçóëüòàòû ñðàâíèòü ñ çàäà÷åé N 2
B2
n2
Ê2
A2
Õ12
Ï2
Ï1
ZA
XA
S2
12
XB
h2
XÑ ZÑ
Ñ2
A1
Ñ1
Ê1
Ñ4
11
[AÂC]
A4
S1
A5
[AC]
C5
n1
B
1
n4
Ï1
Ï
Õ14 4 S4
Ê
90°4
S=2040 mm 2
[AB]
[BC]
B5
B4 Ï4
Ï5
Õ45
Ì2.ÈèÊÃ.ÕÕÕÕ.02.ÕÕ.01
Ëèò.
Èçì Ëèñò N äîêóì
Ðàçðàá. Èâàíîâ
Ïðîâ.
Ñèäîðîâ
Ò.êîíòð.
Í.êîíòð.
Óòâ.
Ìàñøòàá
Çàäà÷à N 3
1:1
Ëèñò 1
Ðèñ.2.16
Рис. 2.16
28
Ìàññà
Ïîäï. Äàòà
Ëèñòîâ 1
ÃÓÀÏ,ãð.ÕÕÕÕ
Ïî çàäàííûì êîîðäèíàòàì âåðøèí òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïîñòðîèòü
ãîðèçîíòàëüíóþ è ôðîíòàëüíóþ ïðîåêöèè ïëîñêîñòè ÀÂÑ
è ABS .
B2
Îïðåäåëèòü :
- íàòóðàëüíóþ âåëè÷èíó óãëà 6
ìåæäó ïëîñêîñòüþ ABC è ABS .
A2
Ñ5
S2
(A5)=Â5
Ñ2
6
Ï
Õ12 2 A
Ï1 1
Ñ1
Õ45
S5
A4
S1
B1
Ñ4
S4
Õ14
B4
Èçì. Ëèñò N äîêóì.
Èâàíîâ
Ðàçðàá.
Ñèäîðîâ
Ïðîâ.
Í.êîíòð.
Óòâ.
Ì2.ÈÊÃ.210302.01.04.01
Ïîäï. Äàòà
Ëèò.
Ìàññà
Ìàñøòàá
Çàäàíèå
ÃÓÀÏ
Рис. 2.17
29
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ № 4 И 5
3.1. Гранные поверхности (пирамида, призма)
3.1.1. Построение третьей проекции поверхности
по двум заданным и проекций точек
Многогранником (пирамида, призма) называется поверхность,
ограниченная со всех сторон плоскостями, элементами которой являются вершины, ребра и грани, поэтому на комплексном чертеже
они изображаются проекциями своих вершин и ребер.
Определителями этих поверхностей являются фронтальная и
горизонтальная проекции (если на ней имеется проекция основания поверхности). Для построения профильной проекции гранной
поверхности необходимо связать с ней пространственную систему
координат, выбирая ее начало так, чтобы координаты всех вершин
были минимальны.
Построение точек на гранных поверхностях выполняют с помощью прямых, лежащих в гранях и проведенных через заданные
проекции точек. Хотя выбор вспомогательной прямой, связывающей точку с гранью произволен, необходимо стремиться к тому,
чтобы проекции этой прямой можно было построить наиболее просто. Поэтому в качестве вспомогательных прямых целесообразно
использовать прямые, параллельные ребрам.
В качестве примера рассмотрим приемы построения профильной проекции пирамиды SABC (рис. 3.1, а) и трехгранной призмы
АВСABC (рис. 3.1, б) по заданным фронтальной и горизонтальной
проекциям и нахождения проекций точек М и N, заданных фронтальными проекциями M2  (N2).
Выбираем пространственную систему координат так, чтобы основания поверхностей (АВС) лежат в горизонтальной плоскости
П1, а крайняя правая точка пирамиды C и ребро призмы CC находились в горизонтальной плоскости П3, тогда координаты всех
вершин будут минимальными, что повышает точность построений.
Построение профильной плоскости проекции поверхности очевидно из рис. 3.1, а и б. Для построения горизонтальной и профильной проекции точек М и N проведем через заданные фронтальные
проекции М2(N2) горизонтальную плоскость уровня Г2, которая
пересекает поверхность по точкам 12, 22, 32, образующие треугольник 112131, параллельный проекции основания A1B1C1, а у прямой призмы совпадающий с проекцией основания.
30
Z23
S2
à)
Ã2
Ï2
Õ12
Ï1
S3
M w(N )
22 2 2 32
12
N3
M3
Ï3
A2
C2
C1
B2
N1
C3 A3
S3
B3
Y13
31
A1
11
S1 M1
21
B1
Y13
Z23
á)
A2'
Ã2 1 2
Ï2
Õ12
Ï1
B2'
M2 w (N2 )
C3'
A3'B3'
22 32
13
A2
A'1 w11 w ( A1 )
C2'
B2
N1
N 3 M3
23
A3
C2
C3
C1 C 'w3 w( C )
1 1 1
33
B3
Ï3
Y13
M1
B1' w 21 w( B1 ) Y13
Рис. 3.1
Горизонтальные проекции точек M1 и N1 и находятся с помощью линий связи. Построение профильных проекций точек М3 и
N3 показано на рис. 3.1, а и б.
3.1.2. Построение пересечения гранной поверхности
проецирующей плоскостью
При пересечении многогранника проецирующей плоскостью
одна из проекций сечения вырождается в отрезок прямой линии.
Чтобы определить недостающие проекции сечения, воспользуемся способом ребер. Он заключается в том, что отыскиваются
проекции вершин многоугольника сечения, как проекции точек
пересечения соответствующих ребер многоугольника с секущей
плоскостью.
31
Трехгранная пирамида SABC и трехгранная призма АВС ABC,
стоящие на горизонтальной плоскости, пересекаются фронтальнопроецирующей плоскостью  (рис. 3.2). Фронтальные проекции 12,
22, 32 точек пересечения ребер с плоскостью , являющиеся точками
пересечения фронтальных проекций ребер со следом плоскости 2, позволяют определить горизонтальную проекцию 11, 21, 31 и профильную проекцию 13, 23, 33 вершин искомого сечения на соответствующих горизонтальных и профильных проекциях ребер многогранника.
3.1.3. Построение развертки гранной поверхности
Преобразование, при котором все элементы поверхности совмещаются в одной плоскости без складок и разрывов, называется развертыванием поверхности, а результатом является развертка, над
которой на чертеже помещают символ ä, заменяющий слово “Развертка”. При этом на развертке должна быть обязательно видна
наружная сторона поверхности. При построении развертки их контуры обводятся толстой сплошной линией, а линии сгиба на развертках гранных поверхностей тонкой штрихпунктирной линией с
двумя точками (ГОСТ 2.305-68).
Развертка пирамиды (рис. 3.3, а) состоит из развертки боковой
поверхности и основания (АВС). Если основание пирамиды лежит
в горизонтальной плоскости уровня, то его натуральная величина
известна – это горизонтальная проекция основания А1В1С1 на
рис. 3.1–3.3, а. Для развертки боковой поверхности пирамиды необходимо определить натуральные величины боковых ребер SA, SB
и SC методом прямоугольного треугольника, рассмотренном в задаче № 1. При этом целесообразно учитывать равенство координат
Z для всех ребер. Вторым катетом треугольников будут проекции
ребер S1A1, S1B1, S1C1 на плоскость П1.
Развертка боковой поверхности пирамиды получается в виде
нескольких примыкающих друг к другу треугольников, построенных по трем их сторонам. Чтобы на развертке, которая строится
слева направо, была видна наружная сторона поверхности, необходимо обходить поверхность против часовой стрелки от ребра SA, по
которому разрезана боковая поверхность пирамиды.
К полученной развертке боковой поверхности следует добавить
основание, пристроив его к любому ребру, например к ребру АС.
Для построения на развертке точки, находящейся на одном из
ребер, например точка 1 на ребре SC, достаточно с помощью линии
связи найти ее положение на натуральной величине ребра [SC].
32
Z23
S2
à)
S3
32
33
22
23
12
11
Ï2 .2
Õ12
A2
Ï1
A1
C2
C1
B2
Ï3
A3
B3
C3'A'3
B3'
C3
Y13
31
11
S1
21
B1
Y13
Z23
á)
.2
A'2
B2'
C2'
13
12
22
23
32
Ï2
Õ12
Ï1
A2
B2
33
C2
C3
A3
C1 C 'w3 w( C )
1 1 1
Ï3
B3
Y13
A1' w11 w( A1 )
B1' w 21 w( B1 ) Y13
Рис. 3.2
Для построения на развертке произвольных точек, например
точки 2, находящейся в грани SAB и точки 3, находящейся в грани
SAC, необходимо провести через них прямые SE и SF, найти их натуральные величины и построить на них точки 2 и 3.
Развертка прямой призмы (рис. 3.3, б) очень легко выполняется
способом раскатки, так как на проекциях видны натуральные величины всех боковых ребер и оснований.
Разрезав боковую поверхность призмы по ребру АА, строим
сначала боковую грань ААВВ, а затем все остальные грани против
33
w
à)
S2
S
Z
22 w(32)
2
B2
[AC]
C2
C1
Å
B
S1
1
B
1
Å2 w(F2 )
A2
2
Å
12
S
A
3
3
[AC]
C
F
AC
F
A
[AB]
[BC]
B
F
11
A1 1 31
S
E1 21 1 [BC]
[AB] 2
1
B1
A'
w
á)
A'2
B2'
C2'
A'
C'
B'
12
22 w (32)
A2
w
1
2
Å2 w( F2 )
B2
31 (F1 )
[AC]
[AB]
w
21 (E1 )
w
A1'
A'
(A1 )
C2
A Å
C1 C1' w ( C1 )
[BC]
3
C
B
F
A
A
B1' w( B1 )
Рис. 3.3
часовой стрелки от ребра АА. Верхнее и нижнее основание могут
быть присоединены к любому ребру, например к ребрам ВС и ВС.
Построение на развертке произвольных точек, находящихся на
ребре (точка 1) или боковых гранях (точки 2 и 3), ясно из рис. 3.3, б.
3.1.4. Аксонометрические проекции
В некоторых случаях при выполнении технических чертежей
оказывается необходимым иметь наряду с комплексным черте34
жом оригинала и более наглядное его изображение, обладающее
свойством обратимости. С этой целью применяют чертеж, состоящий только из одной параллельной проекции данного оригинала,
дополненной проекцией пространственной системы координат, к
которой предварительно отнесен изображаемый оригинал. Такой
метод получения одно проекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим методом.
Таким образом, построение аксонометрических проекций сводится к применению координатного метода на проекционном чертеже. Так как при пользовании координатным методом приходится производить измерения по координатным осям, то отсюда и произошло название метода. Слово “аксонометрия” означает буквально “осе измерение”.
Из множества видов возможных аксонометрических проекций
наиболее часто используется ортогональная изометрия, у которой
показатели искажений по всем трем осям раны и = v = w = 0,82, а
аксонометрические оси образуют между собой углы по 120.
На практике пользуются приведенной ортогональной изометрией, у которой показатели искажения принимаются равными
единице и = v = w = 1. Это значит, что изображение выполняется
в масштабе увеличения (1,22: 1), что отражается над построенным
изображением заголовком “Изометрия (1,22: 1)” (рис. 3.4).
Построение изометрии начинают с построения вторичной горизонтальной проекции точки S1 и координатным отрезкам XS,YS,
взятым с комплексного чертежа. Учитывая, что коэффициенты искажений приняты равным 1, достаточно измерить координату XS
на оси OX12 и отложить ее на аксонометрической оси ОХ. Через
полученную точку XS провести прямую, параллельную оси OY и
отложить на ней координату Y1= YS. Из полученной вторичной проекции точки S1 (проведем прямую, параллельную оси OZ, на которой откладываем отрезок S1 S = ZS= ZS (рис. 3.4, а).
В качестве примера на рис. 3.4, б построена изометрия трехгранной пирамиды, основания которой (ABC) расположены в горизонтальной плоскости проекций П1. Поэтому вторичная проекция основания (А1В1С1) является и его изометрическим изображением.
Построив изометрию вершины S, строим с учетом видимости
изометрию ребер SA, SB, SC.
Решение задачи № 4 (рис. 3.5 и рис. 3.6)
По заданной фронтальной проекции гранной поверхности с вырезом построить горизонтальную и профильную проекции этой поверхности, изометрическую проекцию, выполнить развертку.
35
à)
S2
Z 23
Z'
ZS
ZS
Èçîìåòðèÿ ( 1,22 : 1 )
S3
S2
Õ12
°
120
S
Ï2 ÕS
0
Ï1
120°
ÕS
Õ'
YS
S1
YS
Y'
S1
Y13
á)
S2
Z23
Z'
ZS
ZS
Èçîìåòðèÿ ( 1,22 : 1 )
S3
S2
S1
À1
S
B2 w X2
0
ÕS
B2 w X2
Â1 w ÕÂ
YS
C2 wX
C
A2 wXA
Õ'
Â1 wÕÂ
YS
ÕS
Ñ1
0
°
120
Ï2
A2 wXA
Õ12
C2 w XC
Ï1
Ñ1
1 S
YA
Y'
YA
Y13
À1
Рис. 3.4
Построив с необходимым увеличением заданные фронтальную и
горизонтальную проекции поверхности, связываем с ними систему
координат OXYZ так, чтобы начало координат O2 совпало с фронтальной проекцией основания поверхности С2, после чего вычерчиваем
тонкими линиями профильную проекцию поверхности без вырезов.
На фронтальной проекции поверхности обозначаем с учетом видимости все точки 12, 22, ..., 62 определяющие линию выреза и находим их горизонтальные 11, 21, ..., 61 и профильные 13, 23, ..., 63
проекции, которые соединяем с учетом видимости в той же последовательности, как и на фронтальной проекции.
Для проверки правильности решения рекомендуется вырезать
из плотной бумаги копию развертки и склеить поверхность. Поста36
37
X12
[AB]
41
31
A1 6
A2
62 w ( 32 )
S1
B2
X'
XA
[AC]
B1
42
2
2
11
21
52
XS
43
23
A1
B1
3
2
C2 wO2
B3
51 C1
[BC]
12
S1
S
33
6
1
YS 5
ZS
C3 w ( A3 )
w
53 ( 6 3 )
Z'
13
C1
B C w( A )
Í.êîíòð.
Óòâ.
A
[AC]
Ïîäï. Äàòà
[SC]=[SA]
5 w( 6)
[SB]
Èçì Ëèñò N äîêóì
Ðàçðàá. Èâàíîâ
Ïðîâ.
Ñèäîðîâ
Ò.êîíòð.
4
Рис. 3.5
Y'
S1
2
1
Äàíà ôðîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ãðàííîé ïîâåðõíîñòè ñ âûðåçîì .Ïîñòðîèòü ãîðèçîíòàëüíóþ
è ïðîôèëüíóþ ïðîåêöèè ýòîé ïîâåðõíîñòè , à òàêæå å¸ èçîìåòðèþ . Âûïîëíèòü ðàçâåðòêó
ïîâåðõíîñòè .
Z23
S3
S2
S
C
B
4
Ì2.ÈèÊÃ.ÕÕÕÕ.04.ÕÕ.01
[BC]
5
Ðèñ.3.5
Çàäà÷à N4
A
6
w
2
A
1:1
Ëèñòîâ 1
Ìàññà Ìàñøòàá
3
S
ÃÓÀÏ,ãð.ÕÕÕÕ
Ôîðìàò À3
Ëèñò 1
Ëèò.
[AB]
1
21 w ( 41 )
[AB]
B2
[BC]
X'
XA
B1' w ( B1 )
[AC]
42
22
61
A1
5
A'
31
XB
Y13
w
A3 w ( C3 )
53
C1' ( C1 )
C2
1
C1
6
Z'
36,95
11 w( 51 )
A1' w ( A1 )
X12
A2
52
12
32w ( 62 ) 1 3 w ( 63 )
33
B3
( 63 )
B1
4
B'
3
C'
w
43
23
ZB
Y'
6
Рис. 3.6
YB
C
C'
Í.êîíòð.
Óòâ.
Èçì Ëèñò N äîêóì
Ðàçðàá. Èâàíîâ
Ïðîâ.
Ñèäîðîâ
Ò.êîíòð.
Ïîäï.
A
A'
Äàòà
[AC]
5
1
Äàíà ôðîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ãðàííîé ïîâåðõíîñòè ñ âûðåçîì .Ïîñòðîèòü ãîðèçîíòàëüíóþ
è ïðîôèëüíóþ ïðîåêöèè ýòîé ïîâåðõíîñòè , à òàêæå å¸ èçîìåòðèþ . Âûïîëíèòü ðàçâåðòêó
ïîâåðõíîñòè .
Z23
B3'
B2'
A'2
A'3 w ( C3' )
C2'
75,05
38
59,21
[AB]
Ðèñ.3.6
w
C
C'
ÃÓÀÏ,ãð.ÕÕÕÕ
Ëèñòîâ 1
1:1
Ìàññà Ìàñøòàá
3
Ôîðìàò À3
Ëèñò 1
Ëèò.
Ì2.ÈèÊÃ.ÕÕÕÕ.04.ÕÕ.01
Çàäà÷à N4
C
B
4
2
B'
[BC]
C'
вив ее на горизонтальную проекцию основания, сравните полученные изображения спереди и слева с полученными изображениями
на фронтальной и профильной плоскостях проекций. Определите,
как нужно смотреть на поверхность, чтобы изображение совпало с
изометрическим изображением поверхности на чертеже.
3.2. Поверхности вращения (конус, цилиндр, сфера)
3.2.1. Построение проекций точек
на поверхности вращения
Построение проекций точек 1 и 1 на поверхностях вращения,
заданных их фронтальными проекциями 12  (12), выполняют при
помощи параллелей, которые получаются при пересечении поверхности горизонтальной плоскостью уровня . Линией пересечения
поверхности такой плоскостью (рис. 3.7, а, б, в) является окружность радиуса R, проецирующаяся на горизонтальную плоскость
П1 без искажения, поэтому горизонтальные проекции точек 11 и
11 находятся по линии связи. Для нахождения профильных проекций точек 13 и 13 достаточно измерить на горизонтальной проекции расстояние от оси вращения до проекций точек 11 и 11 и отложить его на профильной проекции.
Аналогично находятся горизонтальные проекции точек 3 и 3,
расположенных на профильных очерковых образующих поверхностей. Профильные проекции 3 и 3 строятся с помощью линий связи.
Проекции точек 2 и 4, расположенных на фронтальных очерковых образующих конуса и цилиндра, строятся с помощью линий
связи, а профильные проекции точек 43 и 53, находят откладывая
от оси вращения расстояния, измеренные на горизонтальных проекциях (рис. 3.7, в).
3.2.2. Пересечение конуса проецирующей плоскостью
(конические сечения)
При пересечении конуса проецирующими плоскостями (рис. 3.8)
получаются все виды кривых второго порядка (конические сечения). Если секущая плоскость 2 не параллельна ни одной из образующих конуса, т. е. пересекает все образующие, то в сечении получается эллипс, в частности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса 2, то получается окружность.
Если секущая плоскость лежит внутри области, ограниченной
плоскостями Т2 и Т2, или параллельна образующей конуса, то в се39
Z23
à)
S2
42
.2
43 5
3
63
52 w(62 )
12
.2'
S3
13
33
22w(3 2 )
72
13
(73 )
Õ12
Y13
31
R.2
R. '2
61
11
41
21
71
51
Y13
Z23
á)
12
.1
42w(52 )
22w(32 )
43
(63 )
62
Õ12
31
61
21
.1
.2
12
Y13
51
11
â)
Y13
41
Z23
22w(32 )
.3
33
53
42w(5 2 )
62
Õ12
31
(61 )
R.2
21
23
43
13
(63 )
51
11
R.3
41 R.1
Рис. 3.7
40
13 2
3
33
53
Îáëàñòü ãèïåðáîë
T2'
Ïðÿìûå
Ã2
ÃèïåðS
áîëà
Ïàðàáîëà
T2
Ïàðàáîëà
Ã2'
Ýëëèïñ .2
Îáëàñòü
ýëëèïñîâ
.2'
Îêðóæíîñòü
.
Рис. 3.8
S2
à)
S3
R .'
.2'
R .'
.3'
S1
R .'
á)
S2
Ã2'
23
11 º(21 )
21
~
~
13
S1
~
~
S3
11
Рис. 3.9
41
чении получается парабола. Плоскости Т2 и Т2, параллельные очерковым образующим конуса, делят пространство на две области: область гипербол и область эллипсов. В частности, если плоскость Г2
проходит через вершину конуса S2, то в сечении получается пара
пересекающихся прямых.
В тех случаях, когда линия пересечения конуса плоскостью
представляет собой окружность или пару прямых, построения проводятся по их основным элементам (рис. 3.9 а, б).
Лекальные кривые – гиперболы, параболы, эллипсы, строят по
точкам (рис. 3.10). В начале определяют положения вершин и замыкающих хорд для парабол и гипербол (рис. 3.10, а, б), или больших и малых осей для эллипсов (рис. 3.10, в). Затем строят точки,
рас промежуточных точек, определяемые точностью построения.
S2
S3
T
12 2
22 w (32 )
33
53
42 w (52 )
23
~
~
Ã2
S2
22 w (32 )
12
á)
13
43
11
11
21
21
41
â)
41
S3
S2
6
22 w(32 ) 42 w (52 ) 2
.2
53
33
12
63
~
~
43
13
~
31 5
1
11
61
~
S1
21 41
Рис. 3.10
42
13
52
31
31
~
~~
51
S1
S3
42 w (52 )
~
à)
23
S1
53
~
~
43
3.2.3. Пересечение цилиндра проецирующей плоскостью
Вид сечения кругового цилиндра плоскостью зависит от ее положения относительно оси цилиндра. Если секущая плоскость 2
перпендикулярна (рис. 3.11, а) или Т2 параллельна (рис. 3.11, б)
оси цилиндра, то в сечении получается окружность или пара
параллельных прямых. Во всех остальных случаях, когда плоскость 2 наклонена к оси цилиндра (рис. 3.11, в), линией пересечения является эллипс (или его часть). Величина большой оси
эллипса А2В2 зависит от угла наклона секущей плоскости к оси цилиндра, малая ось С3D3 равна его диаметру.
3.2.4. Пересечение сферы проецирующей плоскостью
Линией пересечения сферы плоскостью всегда является окружность, проекция которой, в зависимости от положения секущей плоскости, может быть прямой линией, окружностью или эллипсом.
à)
á)
32 w(42 )
21 w (41 )
31
11
23
13
43
33
33 13 w (43 ) 23
12 22 w (32 ) 42
2
12 w (22 ) T2
41
11 w(31 )
21
â)
B2
B3
D3
C2 w (D2 )
A2
C3
A3
.2
D1
A1
B1
C1
Рис. 3.11
43
Если секущая плоскость 2 является фронтально проецирующей
(рис. 3.12), то фронтальная проекция окружности представлена отрезком А2В2, а горизонтальная и профильная проекции – эллипсами.
Фронтальная проекция центра сечения O2 находится на середине отрезка А2В2, который является диаметром окружности сечения d=А2В2. Эллипсы, являющиеся горизонтальной и профильной
проекциями окружности диаметра d, определяются своими осями
А1В1, C1D1 и А3В3, С3D3, причем оси C1D1=С3D3=d. По имеющимся осям эллипс можно построить любым из известных способов,
однако для уточнения чертежа необходимо дополнить построение
точками Е, F на экваторе и К, L на профильном меридиане сферы,
являющимися точками смены видимости.
В том случае, когда секущая плоскость 2 является плоскостью
уровня, т.е. параллельна какой-либо плоскости проекций П, то на
эту плоскость окружность радиуса R проецируется без искажения. а на две другие плоскости проекций – в виде прямых линий.
d
B2
w
A2 E2 (F2 )
.2
O3'
O3
D3
F3
O2
42
2
3
33
R
13 w (43 )
d
D1
F1 L1
d
31
A1 11
O1'
O1
B1
21
41
R
E1 K1
C1
Рис. 3.12
44
E3
K3
C3
A3
22 w (32 )
12
B3
L3
K2 w(L2 )
(O2' ) wC2 w(D2 )
R
23
Решение задачи № 5 (рис. 3.13 – 3.15)
Даны фронтальные проекции поверхностей вращения (конуса,
цилиндра, сферы) с вырезом. Построить горизонтальные и профильные проекции этих поверхностей. (Диаметры окружностей и
высоту конуса и цилиндра принять равными 60 мм.)
Задача выполняется на трех листах формата А4, причем на первом листе основная надпись выполняется по Форме 1 (рис. 2.16), а
на остальных по Форме 2а (рис. 2.17).
Пример № 1
По фронтальной проекции конуса с вырезом построить горизонтальную и профильную проекции (рис. 3.13).
В данном примере вырез образован плоскостью 2, пересекающей конус по окружности радиуса R, и плоскостью 2, пересекающей конус по эллипсу. Большая ось эллипса определяется отрезком
1272, а малая отрезком 6161(равная отрезку 6363). Для правильного
S2
.2
ýëëèïñ
S3
12
13
23'
22 w (22' )
,2
îêð.
62 w 62'
42 w(4'2 )
32 w (32' )
52
23
6'3
63
43
43'
72
(33' )
(33' )
53
73
R,
41'
51
3'
21' 61' 1
11
71
41
21 6
1 3
1
Рис. 3.13
45
построения проекций линий выреза необходимо обозначить все точки, находящиеся на одинаковых образующих конуса (11, 21, 61, 31,
41, 51, 41, 31, 61, 21) и точки 31, 31, в которых соединяются окружность и эллипс, и найти их горизонтальные и профильные проекции.
Для построения линии пересечения на П1 соединяем горизонтальные проекции точек, принадлежащих плоскости  по дуге
окружности радиуса R, а плоскости  – по эллипсу.
Для построения профильной проекции вычерчиваем тонкими
линиями конус без выреза, а затем переходим к построению точек,
принадлежащих вырезу. Найденные профильные проекции точек
соединяем в той же последовательности, как на остальных проекциях, с учетом видимости.
Пример № 2
По фронтальной проекции прямого кругового цилиндра с вырезом построить горизонтальную и профильную проекции (рис. 3.14).
В данном примере цилиндр пересечен двумя фронтально – проецирующими плоскостями  и Т. Плоскость  пересекает цилиндр
по эллипсу, фронтальная проекция которого совпадает со следом
плоскости 2, а горизонтальная – с горизонтальной проекцией цилиндра (с его очерком). Большая ось эллипса определяется отрезÒ2
62 w (72 )
73
102
93
12
v
s
33
22 w (32 )
82 w (92 )
"
"
13
.2
O2
O3
31
91
"
s
v
s
"
71 w (51 )
11
(O1 )
(101 )
v
61 w (41 )
81
21
Рис. 3.14
46
53
43
23
s
42 w (52 )
63
(103 )
v
83
ком 12102, а малая 2131 (равная 2333 и диаметру цилиндра). Построение промежуточных точек эллипса 83, 93 ясно из чертежа.
Плоскость Т пересекает верхнее основание цилиндра по прямой
6373, которая перпендикулярна к плоскости П2 и проецируется на
нее в точки 62(72), которые на горизонтальной проекции находятся на очерке цилиндра.
Плоскости  и Т пересекаются по прямой, перпендикулярной к плоскости П2 и проецируются на П2 в точки 42(52), а на П1 в прямую перпендикулярную оси Х12. Следовательно, сечение цилиндра плоскостью
Т представляет прямоугольник, проходящий через точки 43, 63, 73, 53.
Для построения профильной проекции вычерчиваем тонкими
линиями цилиндр без срезов, а затем переходим к построению точек, принадлежащих срезам.
Найденные профильные проекций точек соединяем в такой же
последовательности, как и на остальных проекциях, учитывая при
этом их видимость.
Пример № 3
По фронтальной проекции сферы с вырезом построить горизонтальную и профильную проекции (рис. 3.15).
Z23
32
T2
33
O2
12
132 w (142 )
92 w (102 )
.2
103
112 w (122 )
42
=
=
73
143 123 v
s
R
83
63
s
72 w (82 )
52 w (62 )
O3
13
X12
v
113
53
93
133
Y13
81
(141 )
(121 )
=
s
R1
31
O1
s
v
11
Ïðîåêöèè ãëàâíîãî
ìåðèäèàíà
61 10
1
v
Ïðîåêöèè
ýêâàòîðà
(41 )
= (11 )
1
71
51 91
Y13
Рис. 3.15
47
В данном примере сфера пересечена двумя фронтально-проецирующими плоскостями  и Т, которые пересекают ее по окружностям.
Окружность радиуса R, по которой пересекается сфера плоскостью  на фронтальной проекции, совпадает со следом 2, а на П1
проецируется без искажения.
Плоскости  и Т пересекаются по прямой, которая на фронтальной проекции проецируется в точку 112(122), а на горизонтальной – в отрезок, проходящий через точки 111, 121.
Плоскость Т рассекает сферу по окружности, фронтальная проекция которой совпадает со следом Т2, а горизонтальная и профильная проекции представляют собой эллипсы. Фронтальная
проекция малой оси эллипса проходит через точки 3242, горизонтальные проекции которых находим на горизонтальной проекции
главного фронтального меридиана.
Фронтальная проекция большой оси эллипса, делящая малую
ось пополам, определяется на П2 точками 52(62), горизонтальные
проекции которых находятся при помощи параллели, проведенной
через эти точки.
В точках 91 и 101, лежащих на экваторе, видимая часть эллипса
на горизонтальной проекция переходит в невидимую.
Для построения линии пересечения на П1 соединяем горизонтальные проекции найденных точек, принадлежащих плоскости 
по дуге окружности радиуса R, а плоскости Т – по эллипсу с учетом
зависимости.
Для построения профильной проекции вычерчиваем тонкими
линиями сферу без срезов, а затем переходим к построению точек,
принадлежащих срезам. Найденные профильные проекции точек соединяем в такой же последовательности, как на остальных
проекциях с учетом видимости.
48
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 6
4.1. Пересечение поверхностей
Результатом взаимного пересечения двух поверхностей является пространственная линия, состоящая из одной или нескольких
частей. Строят такую линию по отдельным точкам: опорным (высшая и низшая, крайняя левая и правая, точки изменения видимости) и промежуточным.
В частном случае, если одной из пересекающихся поверхностей
является призма или цилиндр, занимающие проецирующее положение, решение этой задачи значительно упрощается, так как на комплексном чертеже уже имеется одна проекция линии пересечения,
совпадающая с очерком проецирующей поверхности, наложенным
на проекцию другой поверхности. Вторая проекция линии пересечения строится по правилам построения точек на поверхности и их
соединения в определенной последовательности с учётом видимости.
Следует отметить, что характер линии пересечения поверхностей определяется как видом поверхностей, так и их взаимным расположением.
При пересечении двух гранных поверхностей линия пересечения – пространственная ломаная линия. При пересечении гранной
поверхности с поверхностью вращения линия пересечения представляет собой пространственную кривую, состоящую из отрезков
плоских кривых второго порядка (эллипсов, парабол и т. д.). И, наконец, при пересечении двух поверхностей вращения линия пересечения – пространственная кривая четвертого порядка.
В зависимости от взаимного расположения пересекающихся поверхностей различают случаи:
– если неполное врезание одной поверхности в другую, то линия
пересечения – одна замкнутая пространственная линия;
– если полное врезание (проницание) одной поверхности в другую, то линия пересечения распадается на две замкнутые части –
линию входа и линию выхода;
– если врезание с касанием одной поверхности по отношению к
другой, то линия пересечения будет состоять из нескольких частей,
имеющих общие точки.
4.1.1. Пересечение гранных поверхностей
Порядок построения линии пересечения гранных поверхностей
рассмотрим на примере пересечения трехгранной призмы ABC
49
и четырехгранной горизонтально проецирующей призмы DEFL
(рис. 4.1).
Из анализа комплексного чертежа пересекающих её поверхностей следует, что имеет место случай полного пересечения (трёхгранная призма полностью пересекает четырёхгранную), следовательно линия пересечения распадается на две замкнутые пространственные ломаные линии.
Для построения линии пересечения необходимо найти точки пересечения всех рёбер трехгранной призмы ABC с гранями четырёхгранной DEFL, а также точки пересечения рёбер DD и FF четырёхгранной призмы с гранями трехгранной призмы.
Четырехгранная призма DEFL является горизонтально проецирующей, следовательно, на горизонтальной плоскости мы имеем
проекцию линии пересечения там, где очерк D1E1F1L1 наложен на
проекцию трехгранной призмы.
Для построения фронтальной проекции линии пересечения отмечаем горизонтальные проекции точек пересечения ребра АА (точE2'
D2'
122
82
92
62
52
102
(12 )
A2
D2
11
(L1 ) w L1'
132
C'2
142
A'2
(22 )
E2 w (L2 )
A1
F2
A1'
21
41
B1 31
11 1 121 71 (81 )
C1 (D ) w D 51
'1
1
141
B'1
91 (101 )
13 1
61 (F ) w F' C'
1
1 1
w
w
(E1 ) w E1'
Рис. 4.1
50
B'2
(42 )
72
C2
T1
F2'
(3 2 )
B2
11 2
(L2' )
ки 11, 21), ребра ВВ (точки 31, 41), ребра СС (точки 51, 61) с поверхностью призмы DEFL. Точки пересечения ребра DD (точки 71, 81)
с гранями призмы ABC на фронтальной проекции определяется с
помощью вспомогательных точек 111, 121. Точки пересечения ребра
FF (точки 91, 101) с гранями призмы ABC на фронтальной проекции
определяются с помощью вспомогательных точек 131, 141.
Фронтальные проекции точек 12, 22, … 62 находим с помощью
линий связи на соответствующие проекции ребер А2 А2, В2В2, С2С2.
Для нахождения фронтальных проекций точек 72, 82 и 92, 102 пересечения ребер DD и FF с трехгранной призмой проведем через
них вспомогательную плоскость Т1  П1, которая пересечет трехгранную призму по контуру 111-121-131-141. Фронтальные проекции
точек 72, 82, 92, 102 находятся там, где проекции сторон 122132 и
112142 пересекают проекции ребер D2D2 и F2F2.
Линия пересечения гранных поверхностей определяется только
точками пересечения ребер с поверхностями, поэтому не требуется
определять промежуточные и опорные точки.
Последовательность соединения точек определяется порядком их
расположения с учетом видимости на вырожденной проекции четырехгранной призмы 11, 31, 71, 51, (81), 11 и 21, 41, 91, 61, (101), 21, поэтому на
фронтальной проекции соединяем точки в той же последовательности.
4.1.2. Пересечение гранной поверхности
с поверхностью вращения
Построим линию пересечения призмы ABC и конуса (рис. 4.2).
Одна из пересекающихся поверхностей (трехгранная призма ABC)
занимает фронтально-проецирующее положение, поэтому проекция
линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией призмы. Пересечение является полным, и линия пересечения распадается на две
линии (входа и выхода), каждая из которых замкнута, представляет собой пространственную линию, состоящую из отрезков плоских
кривых, получающихся в пересечении поверхности конуса с боковыми гранями призмы. Отрезки плоских кривых соединяются в точках
пересечения ребер призмы с поверхностью конуса. Следовательно,
построение линии пересечения сводится к построению линий пересечения конуса плоскостями, в которых лежат боковые грани призмы.
На плоскости П2 отмечаем точки 12, 22, 32, в которых рёбра призмы пересекают конус.
Грань призмы ААВВ лежит в плоскости , проходящей через
вершину конуса, и пересекает конус по отрезкам прямых S1D1 и
51
,2
S2
.2
B2w (B2' )
22 w (22' )
32 w (3'2 )
RT
42w(42' )
RT'
12 (12' )
w
2
T2'
C2 C2'
w
R
A2 w (A'2 )
52 w (52' )
D2 w D'2
B'1
A1'
T2
C1'
RT'
D1'
1'1
21'
41'
31'
RT
S1
21
31
11
51'
41
51
D1
A1
C1
R
B1
Рис. 4.2
S1D1 которые ограничиваются точками 11, 11 и 21, 21 пересечения
ребер А1А1 и В1В1 с поверхностью конуса.
Нижняя грань ААСС призмы лежит в плоскости , параллельной основанию, пересекающей конус по окружности радиуса R,
которая проецируется на плоскость П1 в натуральную величину. Линия пересечения конуса гранью А1А1С1С1 является частью
окружности, ограниченной точками 11 и 51 пересечения ребер А1А1
и С1С1 с конусом.
Грань ВВСС лежит в плоскости , которая пересекает все образующие конуса по эллипсу. Следовательно, линия пересечения
52
конуса гранью В1В1С1С1 является частью эллипса, ограниченного
точками 21, 51 и 21, 51. Для построения горизонтальной проекции
частей эллипса возьмем промежуточные точки 32(32) и 42(42) горизонтальные проекции 31, 31 и 41, 41, которых находятся с помощью вспомогательных секущих плоскостей Т2 и T2, пересекающих
конус по окружностям радиусов RT и RT.
Соединяем горизонтальные проекции точек линии пересечения
в порядке их следования на фронтальной проекции с учетом того,
что часть окружности, ограниченная точками 11, 51 лежит на невидимой грани А1А1С1С1 призмы и является также невидимой.
4.1.3. Построение линии пересечения поверхностей вращения
с использованием плоскостей-посредников
Построим линию пересечения двух поверхностей вращения: конуса и сферы (рис. 4.3).
Пересечение поверхностей неполное, линия пересечения –
замкнутая симметричная пространственная кривая четвертого
S2
R Tc
RTk
12
T2
(52) º 62
ñ
Rc= R.
O2 (32 ) º 42
R.k
.2
2
22
(72 ) º 82
31
71
RTc
21
O1
R.k
51
11 S1
RTk
61
81
41
Rk
Рис. 4.3
53
порядка. Для построения опорных и вспомогательных точек целесообразно воспользоваться в качестве плоскостей-посредников
горизонтальными плоскостями уровня, которые дадут при пересечении с поверхностями конуса и сферы графически простые
линии – окружности, проецирующиеся на плоскость П1 без искажения.
Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, проходящую через ось вращения конуса и центр сферы, которая параллельна плоскости П2, следовательно, точки 12 и 22 пересечения фронтальных очерковых образующих поверхностей являются высшей и
низшей точками линии пересечения.
Для построения точек 31 и 41, лежащих на экваторе сферы и являющихся точками переходной видимости на П1 используем вспомогательную горизонтальную плоскость 2, проходящую через экватор сферы. Плоскость 2 пересекает сферу по экватору радиусом
Rс, а конус – по окружности радиуса Rk, пересечение горизонтальных проекций которых дает проекции точек 31 и 41. Фронтальные
проекции точек 32 и 42 находятся на фронтальной проекции экватора сферы.
Любая промежуточная точка строится аналогично. Например,
для построения точек 51 и 61 проводим вспомогательную плоскость
Т2, которая рассечёт сферу по окружности радиуса RТс, а конус – по
окружности радиуса RТk. Пересечение горизонтальных проекций
этих окружностей даёт горизонтальные проекции точек 51 и 61, а
их фронтальные проекции находятся на проекции плоскости Т2.
Аналогичным образом находятся точки 71 и 81, используя вспомогательную плоскость 2.
Соединяем последовательно фронтальные проекции точек от
верхней точки 12 до нижней 22 плавной кривой. В той же последовательности соединяем горизонтальные проекции точек. Учтём,
что точки 31 и 41, являются точками смены видимости.
4.1.4. Построение линии пересечения поверхностей вращения,
описанных около сферы (Теорема Монжа)
Если нормали, проведенные к очерковым образующим двух пересекающихся поверхностей вращения, равны, то сфера радиуса
R=Hк=Hц будет касаться обеих поверхностей (рис. 4.4). В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кривые, имеющие точки двойного прикосновения. Это положение известно как
«теорема Монжа».
54
S2
32
22
A2
52 w(6 2 )
Íê
90 °
Hö
92 w (102 )
B2
72 w (82 )
90 °
42
12
101 6 81
1
(11 ) 21
S1
31
(41 )
91 51 7
1
Рис. 4.4
Построим линию пересечения конической и цилиндрической
поверхностей, описанных около общей сферы, радиус которой равен нормалям, опущенным из точки O2 на образующие поверхностей конуса и цилиндра R=Hк=Hц.
На основании теоремы Монжа линия пересечения в данном случае распадается на две плоские кривые (эллипсы), проецирующиеся в виде прямых 1232 и 2242 на П2 и проходящие через прямую,
соединяющую точки двойного прикосновения 5262.
Точки 12, 32 и 22, 42, определяющие соответственно большие
оси эллипсов, находятся без дополнительных построений в местах
пересечения очерковых образующих.
Опорные точки 72(82) и 92(102), определяющие малые оси эллипсов, расположены на экваторе цилиндра, их горизонтальные
проекции, которые найдены с помощью лилий связи, являются
точками смены видимости.
Для построения горизонтальных проекций опорных точек 51 и
61 (точек двойного касания) используется параллель конуса A2B2,
проходящая через фронтальные проекции этих точек. Аналогично
55
с помощью параллелей определяются проекции всех промежуточных точек.
Одноименные проекции всех построенных точек соединяем с
учетом видимости в порядке принадлежности их соответствующим
эллипсам.
Решение задачи № 6 (рис. 4.5)
В качестве примера рассмотрим построение проекций линии
пересечения двух гранных поверхностей: трёхгранной пирамиды
SABC и трёхгранной призмы DEFDEF (рис. 4.5).
Анализируя комплексный чертёж пересекающихся поверхностей видим, что линия пересечения – это пространственная замкнутая ломаная линия, фронтальной проекцией которой будет
часть треугольника D2E2F2, наложенная на проекцию пирамиды
S2A2B2C2, так как призма является фронтально проецирующей.
Вершинами ломаной линии являются точки: 12, 52 пересечения
ребра S2С2 с призмой, 22, 42 пересечения ребра S2B2 с призмой и
точки 32, 62 пересечения ребра D2D2 призмы с пирамидой.
S2
E2 w (E2' )
12
D 2w (D2' )
22
3 2 w (62 )
52
42
B2
A2
F2 w(F2' )
C2
E'1
D1'
F'1
C'1
A1
61
11
(51 )
S1
31
(41 )
21
B1
D1
E1
Рис. 4.5
56
F1
Отметив с учётом видимости фронтальные проекции точек 12,
22, 32, 42, 52 и 62, находим их горизонтальные проекции 11,21, 31,
41, 51 и 61.
Последовательность соединения горизонтальных проекций точек определяется порядком их расположения с учётом видимости
на вырожденной проекции трёхгранной призмы.
После построения горизонтальной проекции линии пересечения
определяем видимость линии и элементов пересекающихся поверхностей. Невидимые линии проводятся тонкой штриховой линией.
57
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 7
5.1. Алгоритм определения точек пересечения прямой
с поверхностью
Определение точек М, N пересечения прямой l с поверхностью
Ф проводят по следующему алгоритму.
Через данную прямую l проводят такую плоскость-посредник ,
чтобы линия пересечения поверхности этой плоскостью – посредником была графически простой (многоугольником или окружностью).
Поверхность Ф
Плоскость-посредник 
Линия пересечения
LIN=Ф
Гранная (пирамида,
призма)
Любая проецирующая
Плоскость (l)П1
Многоугольник
Конус
Наклонный
цилиндр
Сфера
Проходит через вершину
конуса S(l,S)
Треугольник
Проходит параллельно оси
Параллелограмм
цилиндра (lk); k || оси цилиндра
Любая проецирующая плоскость
(l)П1
Окружность
5.2. Пересечение прямой с гранной поверхностью
Используем приведённый выше алгоритм для определения точек пересечения прямой общего положения l с поверхностью Ф пирамиды SABC (рис. 5.1):
– проводим через прямую фронтально-проецирующую плоскость 2l2;
– находим фронтальные проекции точек пересечения ребер пирамиды, проецирующей плоскостью 12, 22, 32, и строим
горизонтальные проекции этих точек 11, 21, 31. Они образуют замкнутую ломаную линию, которая на горизонтальной проекции
имеет вид треугольника 112131, лежащего в плоскости 1, со сторонами 1121, 2131 и 1131. Эти отрезки одновременно принадлежат
боковым граням пирамиды S1A1B1, S1A1С1 и S1В1С1 соответственно, т.е. поверхности Ф пирамиды SABC;
– прямая l1 принадлежит плоскости 1, поэтому точками ее пересечения с поверхностью Ф пирамиды SABC являются точки М1 и
N1, точки пересечения прямой l1 и отрезков 1131 ( грань S1A1С1 ) и
2131 ( грань S1В1С1). Определяем горизонтальные проекции точек
58
S2
l2 w.2
22
h2
(42 ) w12
(32 ) w 52
N2
(M2 )
A2
C2
B2
41
A1
M1
11
C1
31
S1
N1
51
LIN
l1
21
h1
B1
Рис. 5.1
M1N1= l1LIN(112131)
и строим их фронтальные проекции.
Видимость прямой l на фронтальной плоскости определяется по
конкурирующим точкам 12(42) и (32)52, принадлежащим прямой l2 и рёбрам пирамиды S2A2 и S2С2.
5.3. Пересечение прямой с конусом
Чтобы задать плоскость-посредник  проведём через вершину
конуса S вспомогательную прямую k, пересекающуюся с заданной
прямой l в точке А (рис. 5.2, а), т. е. плоскость (lk) задаётся двумя
пересекающимися прямыми. Прямые l и k пересекаются с горизонтальной плоскостью проекций П1 в точках Е1 и F1 соответственно,
которые позволяют построить линию E1F1 пересечения плоскости
1 и плоскости П1 (след плоскости 1).
Решение задачи на комплексном чертеже (рис. 5.2, б) полностью соответствует пространственному решению, приведённому на
рис.5.2, а.
59
á)
a)
l2
S2
Ï2
N2
S
LIN
k
E2
X12
N
l
.
Ï1
E E1
B w B1
k2
M2
A
F2
E2
F2
X12
M
w
A2
C w C1
S1
F w F1
E1
B
1
l1
A1
C1
M1 N 1
F1
k1
LIN
Рис. 5.2
1. Продлим прямую l2 до пересечения с осью Х12. Через произвольно взятую на прямой l2 точку А2 и вершину конуса S2 пpоводим
прямую k2 до пересечения с осью Х12.
2. Пересечение фронтальных проекций прямых l2 и k2 с осью
Х12 дает фронтальные проекции точек Е2 и F2, горизонтальные
проекции которых E1, F1 находим с помощью линий связи.
Прямая E1F1 (след плоскости 1) пересекает проекцию основания конуса в точках В1 и С1. Треугольник S1B1C1 является
горизонтальной проекцией вспомогательной плоскости (lk),
в которой лежит прямая l1, а стороны этого треугольника S1B1 и
S1С1 принадлежат поверхности конуса Ф
LIN(SBC)=Ф(lk).
3. Пересечение горизонтальной проекции прямой l1 с треугольником S1B1C1 дает горизонтальные проекции искомых точек M1,
N1
M1N1= l1LIN(S1B1C1).
Фронтальные проекции точек М2, N2 находятся с помощью линий связи.
5.4. Пересечение прямой с наклонным цилиндром
Чтобы задать плоскость-посредник , проведем параллельно оси
цилиндра через произвольно взятую на заданной прямой l точку A
прямую k в этом случае плоскость (lk) параллельна оси цилин60
k2
l2
Ï2
A2
k
C'
B'
A
E2
.
l1
M
N
E E1
w
Ï1
A1
F2
E2
B w B1
C w C1
N2
F2
k1
X12
LIN
x12
M2
B1'
C'1
M1
l
LIN
F w F1
N1
E1
B
1
C1
F1
Рис. 5.3
дра и пересечет цилиндр по параллелограмму BBCC (рис. 5.3, а).
Линия пересечения плоскости-посредника (lk) и горизонтальной плоскости проекций П1 (след плоскости) строится по точкам
Е1 и F1 пересечения прямых l1 и k1 плоскостью П1, а линия пересечения цилиндра плоскостью  – по точкам В1 и С1, в которых след
плоскости 1 пересекает основание цилиндра. Пересечение прямой
l1 с параллелограммом BBCC даёт искомые точки M1 соответствует пространственному рисунку, приведённому на рис. 5.3, а.
5.5. Пересечение прямой со сферой
Для определения точек М и N пересечения прямой l с поверхностью сферы Ф (рис. 5.4) проведём через заданную прямую l,
горизонтально проецирующую плоскость-посредник 1  П1, проекция которой совпадает с проекцией прямой 1l1. Плоскость-посредник  пересекает сферу по окружности радиуса R.
Проведём преобразование комплексного чертежа заменой плоскости П2 на новую плоскость П4 || . Тогда окружность радиуса R
проецируется на П4 без искажения.
Отложим на проекции l1 прямой l две произвольные точки A1,
В1, и спроецируем их на прямую l2 (точки A2, В2). Ось Х14 проведем
параллельно прямой l1. На плоскость проекций П4 спроецируем
центр сферы O4 и точки A4, В4, через которые проведем прямую l4.
61
t
l2
Ï2
B2
(N 2 )
ýêâàòîð
O2
X12
Z
M2
A2
Ï1
ãëàâíûé
ìåðèäèàí
R
S
X14
B1
R.
O1
Z
N1
.
Ï4
(M1 )
O4
A1
N4
B4
M4
l1 w .1
A4
R.
LIN
Рис. 5.4
Построим из центра сферы O4 окружность радиуса R. Эта окружность и прямая l4 пересекаются в точках M4, N4, которые являются точками пересечения прямой l с поверхностью сферы Ф. Для
определения видимости точек M1, N1 производят обратное проецирование точек M4, N4 с плоскости П4 на плоскость П1. Видимость
точек M2, N2 определяется после проецирования точек M1, N1 с
плоскости П1 на плоскость П2. Точка (M1) является невидимой на
плоскости проекций П1, т.к. проекция этой точки M2 на плоскости
проекций П2 находится ниже «экватора» сферы. Точка M2 является видимой на плоскости проекций П2, т.к. проекция этой точки
M1 на плоскости проекций П1 находится перед «главным меридианом» сферы. Аналогично определяется видимость точек N1 и N2.
62
Приложение
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения»
Кафедра прикладной математики
Работу принял
Доцент, к.т.н.
ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Отчет по курсу
«Инженерная и компьютерная графика»
М2.ИИКГ.200400.01.15.01
Работу выполнил (а)
Студент(ка) гр. ____
____________________
Ф.И.О.
Санкт-Петербург
2013 г.
63
СОДЕРЖАНИЕ
1. Общие методические указания .................................................
1.1. Предмет и задачи инженерной графики ..............................
1.2. Краткое содержание программы курса ...............................
1.3. Указания по оформлению работ .........................................
1.4. Условия задач № 1–7 и исходные данные для их решения ....
2. Методические указания к решению задач № 1, 2, 3......................
2.1. Определение натуральной величины отрезков и углов
их наклона к плоскостям проекций (способ прямоугольного
треугольника) .......................................................................
2.2. Прямые уровня в плоскости, проецирование прямого угла ....
2.2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости .....................
2.3. Решение позиционных и метрических задач методом замены
плоскостей проекций .............................................................
2.3.1. Преобразование прямой l(l1, l2) общего положения
в прямую уровня.................................................................
2.3.2. Преобразование прямой уровня l(l1, l2) в проецирующую
прямую .............................................................................
2.3.3. Преобразование прямой общего положения
в проецирующую прямую ....................................................
2.3.4. Преобразование плоскости общего положения (ABC)
в проецирующую плоскость .................................................
2.3.5. Преобразование проецирующей плоскости (ABC)
в плоскость уровня ..............................................................
2.3.6. Преобразование плоскости общего положения (ABC)
в плоскость уровня ..............................................................
3. Методические указания к решению задач № 4 и 5 .......................
3.1. Гранные поверхности (пирамида, призма)...........................
3.1.1. Построение третьей проекции поверхности по двум
заданным и проекций точек .................................................
3.1.2. Построение пересечения гранной поверхности
проецирующей плоскостью ..................................................
3.1.3. Построение развертки гранной поверхности ..................
3.1.4. Аксонометрические проекции .....................................
3.2. Поверхности вращения (конус, цилиндр, сфера) ..................
3.2.1. Построение проекций точек на поверхности вращения ....
3.2.2. Пересечение конуса проецирующей плоскостью
(конические сечения) ..........................................................
3.2.3. Пересечение цилиндра проецирующей плоскостью .........
3.2.4. Пересечение сферы проецирующей плоскостью ..............
4. Методические указания к решению задачи № 6 ..........................
4.1. Пересечение поверхностей ................................................
4.1.1. Пересечение гранных поверхностей ..............................
4.1.2. Пересечение гранной поверхности с поверхностью
вращения ..........................................................................
64
3
3
3
4
5
12
12
15
17
21
22
23
23
24
25
25
30
30
30
31
32
34
39
39
39
43
43
49
49
49
51
4.1.3. Построение линии пересечения поверхностей вращения
с использованием плоскостей-посредников .............................
4.1.4. Построение линии пересечения поверхностей вращения,
описанных около сферы (теорема Монжа) ..............................
5. Методические указания к решению задачи № 7 ..........................
5.1. Алгоритм определения точек пересечения прямой
с поверхностью .....................................................................
5.2. Пересечение прямой с гранной поверхностью ......................
5.3. Пересечение прямой с конусом ..........................................
5.4. Пересечение прямой с наклонным цилиндром .....................
5.5. Пересечение прямой со сферой ..........................................
Приложение. Образец оформления титульного листа ......................
53
54
58
58
58
58
60
61
63
65
Для заметок
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 230 Кб
Теги
dyadkinlykianenko
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа