close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Dyakova

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Г. Н. Дьякова, А. В. Стрепетов
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
УДК519.6(075)
ББК 22.311я73
Д99
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Санкт-Петербургского
отделения Математического института РАН А. П. Киселев;
кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского
государственного университета аэрокосмического приборостроения Ю. А. Гусман
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Дьякова, Г. Н.
Д99 Методы математической физики. Элементы функционального анализа: учеб. пособие / Г. Н. Дьякова, А. В. Стрепетов. –
СПб.: ГУАП, 2014. – 80 с.
ISBN 978-5-8088-0976-5
Изложены основные положения функционального анализа и их
применения к решению прикладных технических задач.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Методы математической физики» и «Функциональный анализ».
УДК 519.6(075)
ББК 22.311я73
ISBN 978-5-8088-0976-5
© Дьякова Г. Н., Стрепетов А. В., 2014
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2014
1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Понятие метрического пространства
В математике и ее приложениях часто приходится решать вопрос, насколько близки друг к другу два объекта, принадлежащих
некоторому множеству. Например, говорят о близости двух функций, двух сигналов, двух слов, составленных из двоичных символов, и т. д.
Когда в элементарной геометрии речь идет о двух точках прямой, плоскости или трехмерного пространства, под расстоянием
между ними обычно понимают длину отрезка, соединяющего указанные точки. Для рассмотрения расстояния между более сложными объектами необходимо уподобить эти объекты точкам, причем
так, чтобы величина, принимаемая за расстояние между ними, обладала основными свойствами расстояния между двумя точками
обычного пространства. Эта идея и лежит в основе понятия «метрическое пространство».
Определение 1.1. Метрическим пространством называется множество, каждой паре x, y которого поставлено в соответствие неотрицательное число ρ(x, y), удовлетворяющее следующим условиям
(аксиомам метрического пространства):
1. ρ(x, x) = 0, ρ(x, y) > 0 ïðè x ¹ y;
2. ρ(x, y) = ρ(y, x);
3. ρ(x, z) £ ρ(x, y) + ρ(y, z),
где x, y, z – произвольные элементы данного множества.
Число r(x, y) называется расстоянием между элементами (точками) x, y. Правило, согласно которому по заданным двум элементам
вычисляется расстояние между ними, называется способом введения метрики.
Условие 3 называют неравенством треугольника. Элементы метрического пространства называют также точками.
Простейшим примером метрического пространства служит множество действительных чисел (R1), в котором за расстояние между
числами x и y принято число
ρ(x, y) = x - y .
Несложно проверить, что в этом случае выполнены условия 1–3.
3
Еще одним примером метрического пространства служит
n-мерное векторное пространство (Rn). Его элементами являются
векторы, имеющие n компонент:
x (ξ1, , ξn ) è y(η1, , ηn ).
Расстояние между элементами x и y определяется по формуле
ρ(x, y) =
n
å (ηk - ξk )2 .
k=1
При n = 2 и n = 3 эта величина имеет наглядное представление,
и условия 1–3 выражают простейшие геометрические факты. Рассмотрим, какие именно.
При n > 3 выполнение первых двух условий проверяется непосредственно по формуле, определяющей расстояние. Для проверки
условия 3 требуются более сложные выкладки. В разделе 7 будет
показан общий прием доказательства подобных неравенств, позволяющий избежать вычислений, связанных с особенностями частных случаев.
Важный пример метрического пространства – множество функций аргумента t∈[a, b], непрерывных на этом отрезке, с расстоянием, определяемым формулой
ρ(x, y) = max x (t) - y(t) .
t Î [ a, b ]
(1.1)
Введенную таким образом метрику принято называть чебышевской, а метрическое пространство, порожденное такой метрикой,
обозначают С(a, b).
Из формулы (1.1) непосредственно следует, что условия 1 и 2
удовлетворяются. Докажем, что условие 3 также имеет место.
Пусть x, y, z – функции, непрерывные на промежутке [a, b]. Очевидно, что для любого t из этого промежутка справедливо соотношение
x (t) - z(t) = x (t) - y(t) + y(t) - z(t) £ x (t) - y(t) + y(t) - z(t) .
Обозначим через t0 точку, в которой выражение
x (t) - z(t)
достигает наибольшего значения. Тогда
max x (t) - z(t) = x (t0 ) - z(t0 ) £ x (t0 ) - y(t0 ) + y(t0 ) - z(t0 ) .
t Î [ a, b ]
4
Отсюда следует выполнение неравенства
max x (t) - z(t) £ max x (t) - y(t) + max y(t) - z(t) .
t Î [ a, b ]
t Î [ a, b ]
t Î [ a, b ]
Тем самым выполнено условие
ρ(x, z) £ ρ(x, y) + ρ(y, z).
Следует иметь в виду, что на одном и том же множестве метрика
может вводиться разными способами. Так, на рассмотренном множестве непрерывных функций можно ввести другую, например,
среднеквадратичную, метрику, исходя из формулы
ρ(x, y) =
b
ò
2
x (t) - y(t) dt .
(1.2)
a
Множество непрерывных на [a, b] функций с такой метрикой будем называть пространством С2(a, b).
Как и в предыдущем случае, проверка условий 1 и 2 не вызывает сложностей. Выполнение условия 3 подтверждается с помощью
упоминавшегося ранее метода, который рассматривается в разделе 7.
В качестве последнего примера обратимся к метрическому пространству, которое находит применение в теории корректирующих
кодов. Элементами пространства служат последовательности из n
двоичных символов. Расстояния между двумя такими последовательностями {αk}1n и {βk}1n (где αk и βk принимают значения 0 или 1)
определяется как число тех индексов k, для которых αk ≠ βk. Эта величина называется расстоянием Хэмминга.
Предлагаем в виде упражнения убедиться в том, что это расстояние удовлетворяет условиям 1–3.
Определение 1.2. Пусть ε > 0; ε-окрестностью элемента x0 метрического пространства M называется множество тех элементов
x ∈ M, для которых ρ(x, x0) < ε. ε – окрестность элемента x0 называют также открытым шаром с радиусом ε с центром в точке x0.
Определение 1.3. Множество элементов x ∈ M, для которых
ρ(x, x0) = ε, называется сферой с радиусом ε и центром в точке x0.
При ε = 1 сфера называется единичной.
Так, например, на рис. 1.1 изображена часть единичной сферы
в пространстве С(0, a). Центром сферы служит функция, равная
нулю при любых t ∈ [0, a]. У всех функций, графики которых показаны на этом рисунке,
5
y(t)
1
0
a
t
–1
Рис. 1.1
max x (t) = 1.
t Î [0, a ]
1.2. Сходимость
Наличие в метрическом пространстве таких атрибутов, как расстояние, окрестность, позволяет ввести и понятие предела.
Определение 1.4. Последовательность {xn}1∞ элементов метрического пространства M называется сходящейся к элементу x ∈ M,
если
lim ρ(xn , x) = 0.
n®¥
Элемент x ∈ M называется в этом случае пределом последовательности {xn}1∞ в метрике пространства M. Для обозначения предела
используют обычные символы
lim xn = x, xn ® x.
n®¥
Так, например, сходимость последовательности {xn}1∞ непрерывных при t ∈ [a, b] функций в чебышевской метрике означает, что
­существует непрерывная на [a, b] функция x, для которой
lim max xn (t) - x (t) = 0.
n®¥ t Î [ a, b ]
(1.3)
Это есть не что иное, как равномерная сходимость последовательности {xn(t)}1∞ к x(t) на отрезке [a, b]. Сходимость же последова6
тельности в среднеквадратичной метрике требует выполнения
условия
b
ò
n®¥
lim
2
xn (t) - x (t) dt = 0.
(1.4)
a
Теорема. Если некоторая последовательность непрерывных
функций сходится к функции x в чебышевской метрике, то эта последовательность сходится к той же функции и в среднеквадратичной метрике.
Для доказательства допустим, что имеет место (1.3). Это означает, что
"ε > 0 $nε Î N : n ³ nε Þ max xn (t) - x (t) < ε.
t Î [ a, b ]
Очевидно, что для любого t ∈ [a, b] также будет справедливо неравенство
xn (t) - x (t) < ε ïðè n ³ nε .
Следовательно, при таких значениях n выполняется неравенство
b
ò
2
xn (t) - x (t) dt < ε2 (b - a).
a
Ввиду произвольной малости ε отсюда следует (1.4).
Обратная теорема неверна. Существуют последовательности непрерывных функций, сходящиеся в среднеквадратичной метрике,
но не являющиеся сходящимися в чебышевской.
Пример такой последовательности:
ìï
1
ïïï1 - n t , t £ n ,
xn (t) = í
n = 1, 2,…
ïï
1
< t £ 1,
ïï0,
n
ïî
Эта последовательность непрерывных на отрезке [–1, 1] функций
имеет предел в среднеквадратичной метрике, а именно, функцию,
тождественно равную нулю на данном отрезке. В чебышевской метрике указанная последовательность предела не имеет. Нуль не является пределом этой последовательности, так как
"n Î N max xn (t) = 1.
t Î [-1, 1]
Таким образом, условие (1.4) менее жесткое, чем условие (1.3).
7
1.3. Полнота
Из курса анализа известно, что для сходимости числовой последовательности {xn}1∞ необходимо и достаточно, чтобы для любого
ε > 0 нашелся такой ее член, начиная с которого расстояние между любыми двумя членами этой последовательности оставалось бы
меньше ε (критерий Коши).
Пусть теперь {xn}1∞ – последовательность произвольного метрического пространства M, а x ∈ M – предел рассматриваемой последовательности. Тогда необходимость аналогичного условия вытекает
из свойств расстояния.
Действительно, согласно неравенству треугольника
ρ(xn, xm ) £ ρ(x, xn ) + ρ(x, xm ).
Поскольку
x = lim xn ,
имеем
n®¥
ìï
ε
ïïn ³ nε Þ ρ(x, xn ) < ,
2
"ε > 0 $nε Î N : ïí
ïï
ε
ïïm ³ nε Þ ρ(x, xm ) < .
2
ïî
Таким образом, при n ³ nε , m ³ nε выполняется неравенство
ρ(xn, xm ) < ε.
Однако не во всяком метрическом пространстве выполнение последнего условия является достаточным для существования предела последовательности {xn}1∞. В этом можно убедиться, рассматривая приводимый далее пример пространства С2(a, b). Для того чтобы выделить в особый класс те метрические пространства, в которых условия сходимости такие же, как на множестве действительных чисел, вводят следующие понятия.
Определение 1.5. Последовательность {xn}1∞ элементов метрического пространства называется сходящейся в себе, или фундаментальной, если выполняется условие Коши
ïìn ³ nε ,
"ε > 0 $nε Î N : ïí
Þ ρ(xn, xm ) < ε.
ïïîm ³ nε
8
Определение 1.6. Метрическое пространство называется полным, если всякая сходящаяся в себе последовательность его элементов имеет предел в этом пространстве.
Так как для числовой последовательности выполнение условия
Коши является достаточным для ее сходимости, множество действительных чисел с метрикой
ρ= x-y ,
т. е. метрическое пространство R1, является полным. Таким же
оказывается и пространство Rn. Однако множество рациональных
чисел с такой метрикой не является полным пространством.
Убедимся, что пространство С(a, b) полное. Пусть xn ∈ С(a, b),
n = 1, 2, …, – сходящаяся в себе последовательность, т. е.
lim max xn (t) - xm (t) = 0.
n®¥ t Î [ a, b ]
Отсюда следует, что при любом фиксированном t ∈ [a, b] и подавно
lim
n, m®¥
xn (t) - xm (t) = 0.
Значит, числовая последовательность {xn}1∞ сходится. Остается показать, что x(t) как функция t непрерывна.
Неравенство
xn (t) - xm (t) < ε
выполняется для любого t ∈ [a, b] при n, m ≥ nε. После перехода
к пределу при m → ∞ получаем
n ³ nε , xn (t) - x (t) £ ε "t Î [ a, b ].
Следовательно, xn(t) → x(t) равномерно на [a, b]. Из общего курса анализа известно, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция.
Рассмотрим пространство С2(a, b). Оно не является полным. Для
доказательства достаточно построить сходящуюся в себе последовательность непрерывных функций, которая не имеет предела в этом
классе функций.
Такой последовательностью является последовательность функций, заданных на отрезке [–1, 1] следующим образом (рис. 1.2):
9
ìï
ïï
ïï0, t Î [-1, 0 ],
ïï
æ 1ö
ï
xn (t) = ïínt, t Î çç0, ÷÷÷, n = 1, 2, 
ïï
èç n ø
ïï
é1 ù
ï
ïïï1, t Î êê n , 1úú ,
ë
û
ïî
xn(t)
1
–1
0
1
1
n
t
Рис. 1.2
Нетрудно установить, что в метрике пространства С2 (–1, 1) эти
функции образуют сходящуюся в себе последовательность, но предела в этом пространстве не имеют: функция
ìï0, t Î [-1, 0 ],
x (t) = ïí
ï
ïîï1, t Î (0, 1],
для которой
1
lim
n®¥
ò
2
xn (t) - x (t) dt = 0.
-1
имеет разрыв в нуле и поэтому не принадлежит С2(–1, 1).
10
2. ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
В общем курсе математического анализа рассматривались разные типы функций: функции одной и нескольких действительных
переменных, функции комплексной переменной, скалярное поле,
векторное поле и т. д.
Перейдем теперь к распространению понятия функции на тот
случай, когда роль независимой переменной играет элемент метрического пространства.
Определение 2.1. Пусть M и M1 – метрические пространства
и пусть указано правило, с помощью которого каждому x ∈ M ставится в соответствие некоторый (и только один) элемент y ∈ M1.
В этом случае говорят, что задан оператор, действующий из пространства M в пространство M1 (или отображающий M в M1).
Операторы принято обозначать прописными буквами латинского алфавита. Соответствие y ∈ M1 элементу x ∈ M записывают, например, так: y = Ax.
Пространство M называется областью определения оператора A.
Каждый элемент y ∈ M1, который может быть представлен в виде
y = Ax, называется значением оператора А.
Определение 2.2. Оператор, все значения которого принадлежат
множеству действительных чисел, называется функционалом.
2.1. Примеры операторов и функционалов
1. Пусть М = Rn, т. е.
x (ξ1, , ξn )
является вектором n-мерного пространства. Пусть А – квадратная
матрица n-го порядка, с помощью которой вектору x сопоставляется вектор
y(η1, , ηn ) Î R n ,
т. е. y = Ax. Тогда А можно рассматривать как оператор, обращающий Rn в себя.
2. Модуль вектора
x (ξ1, , ξn ) Î R n
представляет собой функционал, а именно,
F (x) =
n
å ξ2k .
k=1
11
3. Если x ∈ С(a, b), то y = tx ∈ С(a, b); оператор умножения на независимую переменную отображает С(a, b) в себя.
4. Если x ∈ С(a, b) и t0 – фиксированная точка отрезка [a, b], то
F(x) = x(t0) – функционал.
5. В том же пространстве С(a, b) интеграл
b
ò x(t)dt
a
также является функционалом, а
t
ò x(τ)dτ
a
– оператором с областью значений, лежащей в С(a, b).
В дальнейшем будут встречаться и многие другие примеры операторов и функционалов.
С точки зрения технических приложений, оператор следует рассматривать как некоторое устройство, которое реагирует определенным образом на воздействие x, принадлежащее заданному множеству. Иными словами, если на «вход» устройства А поступает
сигнал x, то на «выходе» этого устройства появляется сигнал y, поставленный устройством А в однозначное соответствие сигналу x.
Функционал можно толковать как некоторый числовой параметр, значение которого определяется сигналом x (например, энергия этого сигнала).
2.2. Непрерывность
Определение 2.3. Оператор А, отображающий метрическое пространство М в метрическое пространство М1, называется непрерывным в точке x ∈ М, если для любой последовательности xn ∈ М,
сходящейся к x, соответствующая последовательность Аxn сходится к Аx.
Иначе говоря, оператор А непрерывен в точке x, если выполняется следование
lim ρ(xn , x) = 0 Þ lim ρ1 ( Axn , Ax) = 0.
n®¥
n®¥
Символ ρ1 обозначает здесь расстояние между элементами пространства М1.
12
Аналогично определяют непрерывность функционала, причем
тогда
ρ1 (yn , y) = yn - y .
Если оператор (функционал) непрерывен в каждой точке множества D, такого, что
D Í M,
его называют непрерывным на D. Так, операторы и функционалы,
приведенные в примерах, непрерывны в областях их определения.
Определение 2.4. Оператор А, действующий из М в М1, называется оператором сжатия, если существует положительная постоянная α < 1, такая, что выполняется неравенство
"x Î M, "x Î M : ρ1 ( Ax, Ax ) £ αρ(x, x ).
Очевидно, что оператор сжатия непрерывен в М, так как
lim ρ(xn , x) = 0 Þ lim ρ1 ( Axn , Ax) = 0.
n®¥
n®¥
Простым примером оператора сжатия с областью определения,
лежащей в R1, служит функция y = f(x), дифференцируемая на отрезке [a, b], при условии
f ¢(x) £ α < 1.
С помощью формулы конечных приращений легко находим, что
"x, "x Î [ a, b ] : |y - y | £ α | x - x |, ãäå y = f (x ).
Отображение, осуществляемое данной функцией, превращает
отрезки оси x в отрезки оси y, имеющие меньшую длину (рис. 2.1).
y
|tg(ϕ)|<1
~
y
ϕ
y
0
x~
x
x
Рис. 2.1
13
Определение 2.5. Пусть оператор отображает метрическое пространство М в себя. Точка x ∈ М называется неподвижной точкой
оператора А, если выполняется условие
Ax = x.
Если М – множество входных сигналов устройства, реализующего оператор А, то неподвижная точка – это сигнал, проходящий
через устройство без искажения. Отыскание такого сигнала – одно
из важных приложений функционального анализа.
14
3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
3.1. Теорема Банаха
Пусть оператор А отображает метрическое пространство М в себя, а x0 ∈ М – произвольная точка. Построим последовательность
x1 = Ax0 , x2 = Ax1, , xn = Axn-1, 
(3.1)
Особый интерес представляет случай, когда данная последовательность сходится к некоторому пределу x ∈ М. Если при этом
оператор А непрерывен, то имеет место следование
lim xn = x Þ lim Axn-1 = Ax,
n®¥
n®¥
и после перехода в (3.1) к пределу получаем Аx = x, т. е. x является неподвижной точкой оператора А. Указанный метод отыскания неподвижной точки называют методом последовательных приближений.
Теорема Банаха. Если оператор А, отображающий метрическое
пространство М в себя, является оператором сжатия, то существует единственная неподвижная точка этого оператора, которая может
быть получена как предел последовательности (3.1) при любом x0 ∈ М.
Дока зат е ль ст во. Убедимся сначала, что последовательность
(3.1) – сходящаяся в себе. Взяв m > n и воспользовавшись неравенством треугольника, получим
ρ(xn , xm ) £ ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1, xn+2 ) +  + ρ(xm-1, xm ).
(3.2)
Вместе с тем на основании определения оператора сжатия с учетом (3.1) устанавливаем последовательно неравенства
ρ(xn , xn+1 ) = ρ( Axn-1, Axn ) £ αρ(xn-1, xn ) £  £ αn ρ(x0 , x1 )
и аналогичные неравенства для остальных слагаемых правой части выражения (3.2)
ρ(xn+1, xn+2 ) = αn+1ρ(x0 , x1 ),...,ρ(xm-1, xm ) £ αm-1ρ(x0 , x1 ).
После подстановки полученных выражений в (3.2) приходим
к неравенству
(
)
ρ(xn , xm ) £ αn 1 + α +  + αm-n-1 ρ(x0 , x1 ),
которое может быть усилено следующим образом:
¥
ρ(xn , xm ) < αn å α k ρ(x0 , x1 ) =
k=0
αn ρ(x0 , x1 )
1- α
.
15
x0
x1
A
A
x2
...
xn –1
A
xn
Рис. 3.1
Отсюда следует, что
lim ρ(xn , xm ) = 0,
n®¥
т. е. последовательность (3.1) – сходящаяся в себе.
Поскольку пространство М полное, то последовательность (3.1)
имеет предел
lim xn = x Î M.
n®¥
Как уже отмечалось, этот предел является неподвижной точкой
оператора сжатия А. Для завершения доказательства теоремы Банаха остается показать, что оператор А имеет только одну неподвижную точку.
Предположим противное, а именно, что существуют две такие
точки:
x = Ax è x = Ax .
Тогда получаем неравенство
ρ(x, x ) = ρ( Ax, Ax ) £ αρ(x, x ),
из которого следует, что α ≥ 1. Это противоречит условию, что А –
оператор сжатия. Таким образом, не могут существовать две разные неподвижные точки оператора А.
Доказанная теорема может толковаться следующим образом.
Произвольный сигнал x0 ∈ М подается на вход каскада (последовательного соединения) устройств, каждое из которых реализует оператор А. Если каскад состоит из достаточно большого числа
звеньев, то в последних звеньях входной и выходной сигналы мало
­отличаются друг от друга (рис. 3.1).
3.2. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода
Теорема Банаха позволяет эффективно использовать метод последовательных приближений для решения уравнения Ax = x, где
16
А – оператор, удовлетворяющий условиям теоремы. Такие операторы могут иметь самую разнообразную форму.
Остановимся на одном из важнейших случаев – на операторе
Фредгольма.
Пусть K(s, t) – функция, непрерывная в квадрате
a £ s, t £ b.
Любому x ∈ С(a, b) поставим в соответствие z ∈ С(a, b) с помощью
формулы
b
z(t) = ò K (s, t) x (s)ds.
(3.3)
a
Оператор, осуществляющий это отображение С(a, b) в себя, называется оператором Фредгольма (с непрерывным ядром K(s, t)).
Физический смысл оператора Фредгольма: если реакция системы
в точке t на единичное воздействие, приложенное в точке s, выражается функцией K(s, t), а плотность распределения воздействия
по отрезку [a, b] характеризуется функцией x(s), то суммарная реакция системы в точке t (рис. 3.2) описывается формулой (3.3).
В случае, когда s, t – моменты времени, они должны удовлетворять условию s ≤ t, так как реакция не может предшествовать воздействию. Выражение (3.3) при этом необходимо заменить следующим:
t
z(t) = ò K (s, t) x (s)ds.
(3.4)
0
Формула (3.4) определяет оператор Вольтерра.
K(s, t)
1
a
s
t
b
Рис. 3.2
17
Уравнение
b
x (t) = μ ò K (s, t) x (s)ds + y(t),
(3.5)
a
где x ∈ С(a, b) – искомая функция; y ∈ С(a, b) – данная функция; μ –
числовой параметр, называют линейным интегральным уравнением 2-го рода.
Рассмотрим оператор, соответствующий правой части (3.5):
b
Ax = μ ò K (s, t) x (s)ds + y(t).
(3.6)
a
Оператор (3.6) отображает С(a, b) в себя.
Выясним, при каких значениях параметра μ уравнение (3.5)
можно решать методом последовательных приближений. Для этого
оценим расстояние
b
b
a
a
ρ( Ax, Ax ) = max μ ò K (s, t) x (s)ds - μ ò K (s, t) x (s)ds =
t Î [ a, b ]
b
b
a
a
= μ max ò K (s, t) éë x (s) - x (s)ùû ds £ μ max ò K (s, t) x(s) - x (s) ds.
t Î [ a, b ]
t Î [ a, b ]
Пусть
K0 = max K (s, t) ,
t Î [ a, b ]
тогда
b
ρ( Ax, Ax ) £ μ K0 ò | x (s) - x (s) | ds £ μ K0ρ(x, x )(b - a).
a
Введем обозначение
α º μ K0 (b - a).
Тогда получим неравенство
ρ( Ax, Ax ) £ αρ(x, x ).
Оператор А является оператором сжатия, если α < 1. Следовательно, если параметр μ удовлетворяет условию
18
μ<
1
,
K0 (b - a)
(3.7)
то решение интегрального уравнения (3.5) может быть найдено методом последовательных приближений как предел последовательности функций:
b
x0 (t) º y(t), x1 (t) = μ ò K (s, t) y(s)ds + y(t),
a
(3.8)
b
x2 (t) = μ ò K (s, t) x1 (s)ds + y(t), , xn (t) =
a
b
= μ ò K (s, t) xn-1 (s)ds + y(t).
a
Введем обозначения
K1 (s, t) = K (s, t),
b
K2 (s, t) = ò K1 (s, σ) K1 (σ, t)dσ,
a
.............................................
b
Kn (s, t) = ò K1 (s, σ) Kn-1 (σ, t)dσ, 
a
При n > 1 эти функции называют итерированными ядрами. С их
помощью последовательность (3.8) приобретает вид
b
x0 (t) = y(t), x1 (t) = y(t) + μ ò K1 (s, t) y(s)ds,
a
b
b
a
a
x2 (t) = y(t) + μ ò K1 (s, t) y(s)ds + μ2 ò K2 (s, t) y(s)ds,
(3.9)

b
n
xn (t) = y(t) + μ ò K1 (s, t) y(s)ds +  + μ
a
b
ò Kn (s, t)y(s)ds ,
a
19
Рассмотрим теперь ряд
¥
å μn-1Kn (s,t).
n=1
Он сходится равномерно относительно s, t в области a ≤ s, t ≤ b, если
выполнено условие (3.7).
Введем обозначение для суммы этого ряда:
¥
Rμ (s, t) º å μn-1 Kn (s, t).
n=1
Получим предел последовательности (3.9), т. е. решение интегрального уравнения (3.5), в следующей форме:
b
x (t) = y(t) + μ ò Rμ (s, t) y(s)ds, t Î [ a, b ].
a
Здесь Rμ(s, t) называется разрешающим ядром, а соответствующий ряд – рядом Неймана для разрешающего ядра.
Аналогично можно построить решение интегрального уравнения Вольтерра, т. е. уравнение типа (3.5), в котором оператор Фредгольма заменен оператором Вольтерра.
Уравнения Фредгольма и Вольтерра 2-го рода описывают системы с обратной связью (рис. 3.3).
+
y(t)
b
x(t)
A
∫ K(s, t )x (s) ds
a
b
µ
µ∫ K(s, t )x (s ) ds
a
Рис. 3.3
20
4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
4.1. Аксиомы линейного пространства
Линейная алгебра изучает n-мерное векторное пространство
Rn, в котором известным образом определены линейные операции,
причем определены так, что свойства этих операций полностью
совпадают со свойствами аналогичных операций над векторами
обычного трехмерного пространства.
Предпримем новые шаги по пути обобщений, которые приведут
нас к широкому понятию линейного пространства.
Пусть G – множество, на котором определена некоторая операция над парами его элементов. Это значит, что задано правило,
с помощью которого любым x, y ∈ G ставится в соответствие элемент z ∈ G, являющийся результатом этой операции. Элемент z условимся называть суммой элементов x и y, а операцию над x и y,
приводящую к z, – сложением, причем z = x + y.
Определение 4.1. Множество G, на котором определена именуемая сложением операция над парами его элементов, обладающая перечисляемыми ниже свойствами 1–3, называется аддитивной группой (впредь будем пользоваться более кратким термином
«группа»).
Свойства операции сложения (аксиомы группы):
1. (x + y) + z = x + (y + z) "x, y, z Î G (ассоциативность);
2. $q Î G : x + q = x "x Î G (q называется нулевым элементом
группы);
3. "x Î G $y Î G : x + y = q (y называется элементом, противоположным х):
Если вдобавок выполняется условие коммутативности:
4. x + y = y + x "x, y Î G, то группа называется коммутативной,
или абелевой.
Свойства 1–4 позволяют сделать вывод, что над элементами
группы всегда выполнима операция, обратная сложению, – вычитание.
Пусть теперь определена операция умножения элемента группы
на число, т. е. задано правило, согласно которому
"x Î G è "λ Î R1
строится элемент группы z = λx.
21
Определение 4.2. Коммутативная группа S, на которой определена операция умножения элемента на действительное число, обладающая перечисленными ниже свойствами 5–8, называется линейным пространством (над полем действительных чисел).
Свойства умножения элемента линейного пространства на число:
5. 1x = x "x Î S;
6. λ(μx) = (λμ)x "x Î S è "λ, μ Î R1;
7. (λ + μ)x = λx + μx "x Î S è "λ, μ Î R1;
8. λ(x + y) = λx + λy "x, y Î S è "λ Î R1.
Свойства 1–8 называются аксиомами линейного пространства.
Из них непосредственно следуют простые предложения о единственности нулевого элемента, единственности противоположного
элемента для каждого x ∈ S, представлении этого противоположного элемента в виде (–1) x, равенство 0x = θ и т. д.
Помимо упоминавшегося уже пространства Rn примером линейных пространств служат множество полиномов степени не выше n, множество решений данного линейного однородного дифференциального уравнения, множество функций, непрерывных
на данном отрезке. В последних трех случаях операции определяются как обычное сложение функций и умножение функции на число, нулевой элемент – функция, тождественно равная
нулю, и т. д.
Линейными пространствами являются также множество квадратных матриц порядка n и множество симметричных матриц порядка n с известными из линейной алгебры правилами сложения
матриц и умножения матрицы на число.
Данное определение линейного пространства может быть видоизменено, если вместо операции умножения элемента на действительное число ввести операцию умножении, например, на комплексное число.
Другой разновидностью пространства, используемой в теории
корректирующих кодов, является линейное пространство над «двоичным полем». Это числовое поле состоит из двух символов, обозначаемых 0 и 1. Для них приняты следующие таблицы сложения
и умножения:
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0,
0 × 0 = 0 ×1 = 1× 0 = 0, 1×1 = 1.
22
Линейным пространством над двоичным полем называется коммутативная группа, на которой операция умножения на число
определена правилом 0x = θ, 1x = x.
4.2. Размерность
Пусть S – линейное пространство.
Определение 4.3. Элементы xk ∈ S, k = 1, 2,…, n, называются
­линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная
комбинация этих элементов, равная нулевому элементу:
n
$α1, α2 , , αn : å α k xk = q è
k=1
n
å α2k > 0.
k=1
Если ни одна линейная комбинация указанных элементов, за
исключением тривиальной, не совпадает с θ, то такие элементы называются линейно независимыми.
Определение 4.4. Если в S существует n линейно независимых
элементов, но всякие n + 1 элементов из S оказываются линейно
зависимыми, то число n называется размерностью пространства S.
Линейное пространство S называют в этом случае n-мерным.
Если в рассматриваемом линейном пространстве существует сколько угодно линейно независимых элементов, то такое пространство
называется бесконечномерным.
Конечномерные линейные пространства изучались в линейной
алгебре. Здесь отметим лишь следующий факт, относящийся к
этим пространствам: если элементы b1, …, bn n-мерного пространства S линейно независимы, то любой x ∈ S может быть представлен в виде линейной комбинации этих элементов:
n
x = å α k bk .
k=1
Элементы b1, …, bn называют базисом пространства S, а числа
α1, …, αn – координатами элемента x в этом базисе.
Вопрос о базисе в бесконечномерном пространстве в связи со
сложностью будет рассмотрен в следующих разделах.
4.3. Подпространства
Пусть b1, …, bn – линейно независимые элементы линейного пространства S, размерность которого больше или равна n (S может
быть и бесконечномерным). Рассмотрим множество Sb всевозмож23
ных линейных комбинаций элементов b1, …, bn, т. е. множество
сумм
n
å αk bk ,
k=1
где α1, …, αn – произвольный набор чисел. Нетрудно убедиться,
что Sb является линейным пространством размерностью n. Оно
представляет собой подпространство линейного пространства S.
Пространство Sb называют также линейной оболочкой элементов
b1, …, bn.
В качестве примера возьмем множество всех функций, непрерывных на промежутке (–∞, ∞). Определим линейные операции
как обычное сложение функций и умножение функции на число.
Полученное линейное пространство будет бесконечномерным. Положим b1 = 1, b2 = t, …, bn = tn – 1. Эти функции линейно независимы на промежутке (–∞, ∞). Их линейной оболочкой служит множество всех полиномов степени не выше n – 1, т. е. функций вида
n
å αktk-1.
k=1
Это множество можно рассматривать как n-мерное подпространство линейного пространства непрерывных функций.
24
5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
5.1. Определение линейного оператора
Определение 2.1, посредством которого было введено понятие
оператора, отображающего одно метрическое пространство в другое (или в себя), может быть без труда распространено на случай,
когда областью определения оператора служит линейное пространство S, а область значений принадлежит линейному пространству
S1. Тот факт, что в линейных пространствах определена операция
сложения элементов, позволяет выделить важный класс операторов.
Определение 5.1. Оператор А, действующий из линейного пространства S в линейное пространство S1, называется линейным,
­если имеет место равенство
A (αx + βy) = αAx + βAy "x, y Î S è α, β Î R1.
(5.1)
Из (5.1) следует
n
n
k=1
k=1
A å α k xk = å α k Axk , ãäå xk Î S, α k Î R1, k = 1, , n.
Устройство, реализующее линейный оператор, называется линейной системой. Если на вход линейной системы подается линейная комбинация некоторых сигналов, то на выходе появляется соответствующая (с теми же коэффициентами) линейная комбинация преобразованных сигналов (рис. 5.1).
Линейный оператор, преобразующий n-мерное векторное пространство Rn в себя, как известно из линейной алгебры, может
быть задан квадратной матрицей n-го порядка.
x
A
Аx
A
å αk Axk,
n
n
å αk xk
k =1
k =1
Рис. 5.1
25
Примерами линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, могут служить упоминавшиеся ранее
операторы Фредгольма и Вольтерра, отображающие пространство
С(a, b) в себя, а также оператор дифференцирования, о котором
речь пойдет в разделе 6.
Поскольку множество действительных чисел рассматривается
как линейное пространство R1, можно говорить о линейном функционале, заданном на линейном пространстве S. Так,
b
ò x(t)dt
a
является линейным функционалом, заданным на С(a, b).
5.2. Алгебра операторов
Определение 5.2. Суммой операторов А и В, определенных на
линейном пространстве S, каждый с областью значений в линейном пространстве S1 называется оператор А + В, сопоставляющий
элементу x ∈ S элемент Ax + Bx ∈ S1. Таким образом,
( A + B)x = Ax + Bx.
Пусть оператор А отображает пространство S в пространство S1,
а оператор В действует из пространства S1 в пространство S2. Пусть
y = Ax, z = By.
Тогда каждому x ∈ S сопоставляется z ∈ S2.
Определение 5.3. Оператор, сопоставляющий в указанном случае элементу x ∈ S элемент z ∈ S2, называется произведением оператора А на оператор В (слева) и обозначается ВА. Итак,
ВАx = z.
Если линейное пространство S2 является подмножеством пространства S, то имеет смысл и оператор АВ, однако, вообще говоря,
АВ ≠ ВА. В частности, если оператор А отображает пространство S
в себя, имеет смысл оператор АА = А2. Этот оператор называется
квадратом оператора А. В общем случае ААn – 1 = Аn называется
n-й степенью оператора А.
Определение 5.4. Пусть оператор А отображает линейное пространство S в линейное пространство S1. Тогда любой y ∈ S1 может
быть представлен в виде y = Аx. Если это представление единствен26
но, т. е. каждому y ∈ S1 соответствует только один x ∈ S, такой, что
y = Аx, то указанным соответствием определяется оператор, отображающий пространство S в пространство S1. Этот оператор называется обратным по отношению к А и обозначается А–1.
Итак,
А–1y = x или А–1 Аx = x.
Пусть I обозначает тождественный оператор, действующий
в пространство S:
"x Î S Ix = x,
а I1 – тождественный оператор, действующий в пространстве S1,
тогда имеем
A-1 A = I, AA-1 = I1.
Легко убедиться, что если А – линейный оператор, то и А–1, когда он существует, является линейным оператором. Так называемое операторное уравнение 1-го рода Аx = y (где x ∈ S – искомый,
а y ∈ S1 – известный элемент) может быть решено, если построен
обратный оператор А–1. К уравнению 1-го рода приводится, например, задача о восстановлении входного сигнала устройства, реализующего оператор А, если известен выходной сигнал.
Теорема. Пусть А – линейный оператор, отображающий линейное пространство S в линейное пространство S1, θ ∈ S, θ1 ∈ S1 – нулевые элементы. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы уравнение
Ax = q1
имело единственное решение x = θ.
Доказательство. Необходимость. Пусть оператор А–1 существует и пусть x0 ∈ S – тот элемент, для которого Аx0 = θ1. Применяя к обеим частям последнего равенства оператор А–1, получаем
A-1 Ax0 = A-1q1.
Учитывая, что
A-1 A = I, A-1q1 = q
и линейность оператора А–1, имеем x0 = 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть из Аx = θ1 следует
x = θ. Допустим, что оператора, обратного А, не существует. Это
27
значит, что найдутся, по крайней мере, два разных элемента x1 ∈ S,
x2 ∈ S, для которых y = Аx1, y = Аx2, но тогда
A (x1 - x2 ) = q1 Þ x1 - x2 = q Þ x1 = x2 ,
а это противоречит допущению. Таким образом, каждому y ∈ S1
соответствует только один элемент из пространства S. Следовательно, существует оператор А–1.
Перефразируя доказанную теорему, можно утверждать, что необходимым и достаточным условием существования ненулевых
решений у уравнения Аx = θ1 является отсутствие у оператора обратного оператора. Последнее предложение является обобщением
­известной из линейной алгебры теоремы об условиях существования ненулевых решений системы линейных уравнений.
28
6. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
6.1. Некоторые определения
Рассмотренные ранее два типа пространств, метрическое и линейное, сами по себе «бедны». В метрическом пространстве не была
введена, например, такая операция, как сложение его элементов.
В линейном пространстве отсутствует метрика, поэтому нельзя говорить о близости элементов, сходимости. Напрашивается мысль
о создании структуры, в которой сочетались бы атрибуты обоих типов пространств. Такой структурой является нормированное пространство.
Определение 6.1. Нормированным пространством называется
линейное пространство, каждому элементу x которого поставлено в соответствие неотрицательное число ||x||, называемое нормой
элемента x и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам
нормы):
1. x > 0 ïðè x ¹ q, q = 0;
2. λx = λ x ;
3. x + y £ x + y .
В нормированном пространстве метрика вводится формулой
ρ(x, y) = x - y .
(6.1)
Нетрудно проверить, что расстояние, определяемое этой формулой, удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства
(см. раздел 1). В частности, аксиома 3 следует из аксиомы 3 нормы
на основании следующих выкладок:
ρ(x, z) = x - z = x - y + y - z £ x - y + y - z = ρ(x, y) + ρ(y, z).
Определение 6.2. Полное нормированное пространство называется пространством Банаха (В-пространством).
Характерным примером банахова пространства является пространство С(a, b), если обычным образом определены сложение
функций и умножение функции на число, а в качестве нормы
функции x принята величина
x = max x (t) .
t Î [ a, b ]
На основании этого выражения согласно (6.1) приходим к чебышевской метрике
29
ρ(x, y) = max x (t) - y(t) .
t Î [ a, b ]
Полнота пространства с такой метрикой была доказана в разделе 1.
В нормированном пространстве S, метризованном посредством
формулы (6.1), можно рассматривать сходящиеся ряды подобно
­тому, как это делается в теории числовых рядов.
Определение 6.3. Суммой ряда
¥
å xn ,
xn Î S,
n=1
называется предел x ∈ S, к которому стремится (в смысле метрики S) последовательность частичных сумм ряда
n
å xk ,
k=1
т. е. x является суммой ряда, если
n
lim x - å xk = 0.
n®¥
k=1
В этом случае пишут
¥
x = å xk .
k=1
Ранее уже было введено понятие линейной оболочки конечного
множества элементов линейного пространства. Это понятие можно
обобщить на случай нормированного пространства, используя предельный переход.
Пусть {bn}1∞ – последовательность элементов нормированного
пространства S, Sb – множество линейных комбинаций элементов
этой последовательности, т. е. множество сумм вида
n
å αk bk
"n Î N.
k=1
Множество пределов при n → ∞ таких сумм обозначим Sс, оно
является подмножеством пространства S.
30
Определение 6.4. Множество
Sç = Sb È Sc
называется замкнутой линейной оболочкой элементов b1, …, bn, …
Пространство Sз можно рассматривать как нормированное пространство, сохранив в нем норму пространства S, причем пространство Sз является подмножеством S. Если Sз = S, то любой элемент
x ∈ S может быть представлен в виде
¥
x = å αn bn .
n=1
Если такое представление единственно, то последовательность
{bn}1∞ является базисом пространства S.
Не всякое нормированное пространство обладает базисом. Существование базиса важно с точки зрения приложений: если пространство сигналов обладает базисом, то любой сигнал может быть
сформирован с помощью некоторого набора стандартных сигналов,
образующих базис.
6.2. Норма оператора
Определение 6.5. Линейный оператор А, действующий из нормированного пространства S в нормированное пространство S1, называется ограниченным, если существует число α ≥ 0, такое, что
выполняется неравенство
Ax £ α x
"x Î S.
(6.2)
Если такого числа α не существует, то оператор А называется неограниченным.
Следует иметь в виду, что норма элемента в каждом из пространств S и S1 может вводиться по-своему.
Определение 6.6. Нижняя грань чисел α, при которых остается справедливым неравенство (6.2), называется нормой оператора А
и обозначается ||А||. Последний символ следует отличать от символа
||Аx||, обозначающего норму образа элемента x.
Рассмотрим в качестве примера оператор Фредгольма с непрерывным ядром K(S, t). Оператор отображает пространство С(a, b)
в себя. Обозначив
b
K0 = max K(s, t) , y = Ax = ò K(s, t) x (s)ds,
s, t Î [ a, b ]
a
31
найдем
b
Ax = max
t Î [ a, b ]
ò
a
b
b
a
a
K(s, t) x (s)ds £ max ò K(s, t) x (s) ds £ K0 ò x (s) ds.
t Î [ a, b ]
Поскольку
x = max x (s) ,
s Î [ a, b ]
имеем
Ax £ K0 (b - a) x Þ A £ K0 (b - a).
Обратимся теперь к оператору дифференцирования. Областью
его определения служит множество функций, имеющих непрерывную производную на промежутке [a, b]. Линейные операции на
этом множестве определим как обычно, норму сохраним такую же,
как на пространстве С(a, b). Образовавшееся нормированное пространство обозначим СD(a, b). Очевидно, что
CD (a, b) Ì C (a, b).
Оператор дифференцирования D каждой функции x ∈ СD(a, b)
ставит в соответствие ее производную, т. е.
Dx = x ¢.
Оказывается, что этот оператор неограниченный.
Действительно, возьмем последовательность функций из пространства СD(a, b):
nπ(t - a)
xn = sin
, n = 1, 2, ,
b-a
nπ(t - a)
nπ
Dxn =
cos
.
b-a
b-a
Найдем соответствующие нормы:
nπ
.
b-a
Так как n может быть взято сколь угодно большим, невозможно найти число α, при котором неравенство (6.2) выполнялось бы
для всех членов последовательности. Примечательно, что если на
том же множестве непрерывно дифференцируемых функций ввести другую норму, оператор дифференцирования может оказаться
уже ограниченным.
xn = 1, Dxn =
32
Например, можно принять
x = max { x (t) , x ¢(t) },
t Î [ a, b ]
соответствующее нормированное пространство принято обозначать
С1(a, b).
Рассмотрим действующий из этого пространства оператор дифференцирования D:
D : C1 (a, b) ® C (a, b), D = 1.
Пространство С1(a, b) играет важную роль при решении классических задач вариационного исчисления.
Частным случаем ограниченного линейного оператора является
ограниченный линейный функционал. Неравенство (6.2) для него
выглядит так:
F (x) £ α x ,
норма функционала определяется формулой
F = inf α.
Например, если
b
то
x Î C (a, b), F (x) = ò x (t)dt,
a
||F|| = b – a.
Теорема. Для того чтобы линейный оператор, действующий из
нормированного пространства S в нормированное пространство S1,
был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным. Доказательство этой несложной теоремы предоставляется
читателю.
Нетрудно убедиться также и в том, что если А и В – ограниченные линейные операторы, действующие из пространства S в пространство S1, то их сумма А + В также является ограниченным оператором, причем
A+B £ A + B .
Если ограниченные операторы А и В отображают пространство S
в себя, то и произведение АВ есть ограниченный оператор, причем
AB £ A B .
33
7. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
Нормированное пространство создавалось по образцу, которым
служило трехмерное векторное пространство. Сходство станет более полным, если ввести величину, обладающую свойствами скалярного произведения векторов, связав норму элемента с этой
­величиной.
Определение 7.1. Действительным линейным пространством
со скалярным произведением называется линейное пространство
(над полем действительных чисел), каждой паре элементов x и y которого поставлено в соответствие действительное число (x, y), именуемое скалярным произведением этих элементов и удовлетворяющее следующим условиям:
1. (x, x) > 0 ïðè x ¹ q, (q, q) = 0;
2. (y, x) = (x, y);
3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
4. (λx, y) = λ (x, y).
Определение 7.2. Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство со скалярным произведением, каждому элементу x которого ставится в соответствие норма
по формуле
x =
(x, x).
(7.1)
Таким образом, евклидово пространство является нормированным пространством.
В определении 6.1 были приведены три условия, которым должна удовлетворять норма. Убедимся в том, что норма, заданная формулой (7.1), удовлетворяет этим условиям. Проверка первых двух
условий осуществляется непосредственно на основании свойств 1–4
скалярного произведения. Установить выполнение третьего условия удастся на основании обобщенного неравенства Коши, к выводу которого мы переходим.
Теорема. Для любых элементов x, y евклидова пространства Е
выполняется неравенство
(x, y) £
x y.
Доказательство. Пусть
x Î E, y Î E, λ Î R1.
34
(7.2)
На основании свойства 1 скалярного произведения имеет место
­неравенство
(x + λy, x + λy) ³ 0.
(7.3)
Одновременно вследствие остальных свойств скалярного произведения получаем
(x + λy, x + λy) = (x, x) + 2λ(x, y) + λ2(y, y).
Подставляя последнее равенство в (7.3) и учитывая (7.1), находим
2
2
λ2 y + 2λ(x, y) + x ³ 0.
(7.4)
Рассматривая левую часть (7.4) как квадратный трехчлен относительно λ, заключаем, что корни этого трехчлена либо комплексные, либо равные действительные. Следовательно, дискриминант
этого трехчлена неположителен:
(x, y)2 - x
2
2
y £ 0.
Отсюда вытекает (7.2). Знак равенства в (7.2) имеет место в том
и только том случае, если
x + λy = q,
т. е. если элементы x и y линейно зависимы.
Теперь легко доказать, что норма, определенная формулой (7.1),
удовлетворяет неравенству
x+y £ x + y .
(7.5)
Действительно,
2
2
x + y = (x + y, x + y) = x + 2(x, y) + y
2
è (x, y) £ x y ,
причем
(x, y) £
x y,
поэтому
x+y
2
£ x
2
+2 x y + y
2
=( x + y
2
)
,
откуда следует (7.5).
Как и во всяком нормированном пространстве, в евклидовом
пространстве расстоянием между двумя его элементами (точками)
служит норма их разности, т. е. метрика вводится формулой
ρ(x, y) =
(x - y, x - y).
(7.6)
35
Поскольку норма, порожденная скалярным произведением,
удовлетворяет неравенству (7.5), расстояние (7.6) удовлетворяет неравенству треугольника, т. е.
ρ(x, z) £ ρ(x, y) + ρ(y, z).
Таким образом, установлена справедливость этого неравенства
для любого евклидова пространства. Необходимость в проверке
неравенства треугольника в каждом конкретном евклидовом пространстве отпадает, о чем было упомянуто в разделе 1.
Определение 7.3. Полное бесконечномерное евклидово пространство называется гильбертовым пространством (Н-пространством).
На рис. 7.1 приводится схема взаимосвязи пространств разных
типов с обозначением характерных для них атрибутов. Выделенные атрибуты сохраняются и в тех пространствах, к которым направлены стрелки.
Примечание 1. Некоторые авторы термином «евклидово пространство» обозначают конечномерное пространство, удовлетворяющее условиям определения 7.2, а неполное бесконечномерное
пространство, характеризующееся этим определением, называют
предгильбертовым.
Примечание 2. На линейном пространстве над полем комплексных чисел скалярное произведение определяют как комплекс-
Метрическое
пространство
ρ(x, y)
Линейное
пространство
x + y, λx
Нормированное
пространство
||x||, ρ(x, y)= ||x – y||
H-пространство
Евклидово
пространство
(x, y), ||x||= (x, x)
B-пространство
Рис. 7.1
36
ное число. В этом случае скалярное произведение подчиняют
условию
(y, x) = (x, y),
заменяющему условие 2, причем условия 1, 3, 4 сохраняются. Норма по-прежнему определяется формулой (7.1).
Построенное таким образом нормированное пространство называется унитарным, а полное бесконечномерное пространство – комплексным гильбертовым. Далее, говоря о гильбертовом пространстве, будем подразумевать действительное пространство.
Переходим к рассмотрению конкретных евклидовых и, в частности, гильбертовых пространств.
В n-мерном векторном пространстве Rn скалярное произведение
элементов x и y определяется формулой
n
x = (ξ1, , ξn ), y = (η1, , ηn ) Þ (x, y) = å ξk ηk ,
k=1
причем легко убедиться, что свойства 1–4 действительно выполняются. Нормой элемента x согласно формуле (7.1) служит
x =
n
å ξ2k .
k=1
Неравенство Коши в этом случае (после возведения в квадрат обеих
его частей) принимает вид
n
n
æ n
ö÷2
çç
2
2
÷
ξ
η
çç å k k ÷÷÷ £ å ξk å ηk .
èk=1
ø
k=1 k=1
(7.7)
Неравенство (7.7) и есть классическое неравенство, установленное Коши.
Важным обобщением пространства Rn является бесконечномерное пространство последовательностей действительных чисел {ξn}1∞,
ряд из квадратов которых сходится:
¥
å ξ2n < ¥.
n=1
Обозначим множество таких последовательностей l2 и, прежде
чем определить на этом множестве линейные операции и скалярное произведение, докажем предложение, необходимое для этих
определений.
37
Лемма. Если сходятся ряды
¥
å ξ2n
n=1
è
¥
å η2n ,
n=1
то абсолютно сходится ряд
¥
å ξn ηn .
n=1
Доказательство. На основании (7.7) заключаем, что
n
å ξk
k=1
ηk £
n
n
k=1
k=1
¥
¥
k=1
k=1
å ξ2k å η2k ,
значит, и подавно
n
å ξk
k=1
ηk <
å ξ2k å η2k .
Под знаком радикала стоит произведение сумм сходящихся рядов, поэтому частичные суммы ряда
¥
å ξk ηk
k=1
с положительными членами ограничены, ряд сходится.
Определим теперь линейные операции на l2. Пусть
¥
¥
x = {ξn }1 Î l2 , y = {ηn }1 Î l2 .
Суммой x + y называется последовательность
{ξn + ηn }1¥ .
С помощью леммы легко доказать, что и она принадлежит l2:
ряд
¥
2
å (ξn + ηn )
n=1
¥
¥
¥
n=1
n=1
n=1
= å ξ2n + 2 å ξn ηn + å ηn2
сходящийся. Произведением λx служит последовательность {λξn}1∞.
38
Определение 7.4. Линейное пространство последовательностей
{ξn}1∞ действительных чисел, таких, что
¥
å ξ2n < ¥,
n=1
каждой паре x = {ξn}1∞ и y = {ηn}1∞ элементов которого поставлено
в соответствие скалярное произведение по формуле
¥
(x, y) = å ξn ηn ,
(7.8)
n=1
а норма элемента x определена как
¥
å ξ2n ,
n=1
называется пространством l2.
Ряд в правой части (7.8) сходится на основании доказанной леммы. Метрика в пространстве l2, как и во всяком нормированном
пространстве, связана с нормой и определяется формулой
ρ(x, y) =
¥
2
å (ξn - ηn )
.
n=1
Можно доказать, что l2 – полное пространство. Поскольку оно
бесконечномерно, его следует считать гильбертовым. Как будет
видно из дальнейшего изложения, l2 является эталоном для важного класса гильбертовых пространств.
Для элементов пространства l2 неравенство Коши представляет
собой обобщение классического неравенства на случай бесконечных рядов, а именно,
¥
æ¥
ö÷2 ¥
çç
÷÷ £ å ξn2 å ηn2 .
ξ
η
å
n
n
ç
÷÷
çèn=1
ø
n=1 n=1
Построим теперь евклидово пространство, элементами которого
являются функции, непрерывные на заданном отрезке [a, b].
39
Линейные операции определим естественным образом, т. е. как
сложение функций и умножение функции на число. Скалярным
произведением функций x и y назовем интеграл
b
(x, y) = ò x(t)y(t)dt,
(7.9)
a
который обладает требуемыми четырьмя свойствами.
Введем порожденную им норму
b
òx
x =
2
(t)dt .
(7.10)
a
Связанная с этой нормой метрика представляет собой не что
иное, как рассмотренную в разделе 1 среднеквадратичную метрику
пространства С2(a, b)
ρ(x, y) =
b
ò éë x(t)- y(t)ùû
2
dt .
(7.11)
a
В итоге пространство С2(a, b) будем рассматривать как евклидово. Это пространство не является гильбертовым, так как не обладает полнотой (см. раздел 1). Для того чтобы избавиться от неудобств,
связанных с отсутствием полноты, можно пополнить пространство
С2(a, b) такими разрывными функциями, которые являются пределами в смысле среднеквадратичной метрики фундаментальных
последовательностей непрерывных функций. При этом возникает
затруднение: полученные указанным путем разрывные функции
(или их квадраты) могут не быть интегрируемыми в классическом
(римановом) смысле, формулы (7.9)–(7.11) не будут иметь смысла.
Выход из положения был найден Лебегом, предложившим новую концепцию интеграла, при которой функции, являющиеся
пределами (в указанном ранее смысле) последовательностей непрерывных функций, оказываются интегрируемыми вместе со своими
квадратами.
Определение 7.5. Линейное пространство функций, квадраты
которых интегрируемы на отрезке [a, b], со скалярным произведением, определяемым формулой (7.10) и нормой (7.11), называется
пространством L2(a, b).
Разумеется, теперь в (7.9) и (7.10) интегралы следует понимать
в смысле Лебега. Поскольку в пространстве L2(a, b) все фундамен40
тальные последовательности имеют пределы, это пространство
полное и, таким образом, гильбертово.
Не излагая теорию интеграла Лебега, отметим лишь, что всякая
функция, интегрируемая по Риману, вместе с тем интегрируема
и по Лебегу (но не наоборот). Следовательно,
C2 (a, b) Ì L2 (a, b).
Если x ∈ L2(a, b), а x(t) рассматривать как мгновенное значение
сигнала, то величина
x
2
b
= ò x2 (t)dt
a
пропорциональна энергии этого сигнала за промежуток времени [a, b].
41
8. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
8.1. Ортогональность. Процесс ортогонализации
Пусть Е – евклидово пространство.
Определение 8.1. Элементы x ∈ Е, y ∈ Е называются ортогональными, если (x, y) = 0.
Теорема 8.1. Если элементы xк ∈ Е, k = 1, …, n, попарно ортогональны, то выполняется равенство
2
n
å xk
k=1
n
2
= å xk .
(8.1)
k=1
Доказательство. Согласно свойствам скалярного произведения
n
å xk
k=1
2
æ n
= ççç å xk ,
çèk=1
n
ö÷
÷
x
=
÷
å i ÷÷ å (xk , xk ) + 2å (xi , xk ).
i=1 ø k=1
i ¹k
n
По условию теоремы
i ¹ k Þ (xi, xk ) = 0.
Кроме того, учтем, что
2
(xk, xk ) = xk .
Отсюда получим (8.1).
Нетрудно видеть, что при
n = 2, x Î R 2, y Î R 2
доказанное предложение есть не что иное, как теорема Пифагора,
поэтому его называют обобщенной теоремой Пифагора.
Теорема 8.2. Если элементы xк ∈ Е, k = 1, …, n, попарно ортогональны и отличны от θ, то они линейно независимы.
Доказательство. Допустим противное, а именно, что имеет
­место равенство
n
å αk xk = q,
k=1
причем хотя бы один из коэффициентов αk отличен от нуля, например, α1 ≠ 0. Составив скалярное произведение каждой из частей
­последнего равенства на x1, получим
42
α1 x1
2
= 0 Þ α1 = 0,
что противоречит предположению.
Пусть теперь Еn – n-мерное евклидово пространство, ek ∈ Еn,
k = 1, …, n, – попарно ортогональные элементы, причем
ek = 1, k = 1,...,n.
Элементы e1, …, en могут быть приняты за базис пространства
Еn. Так как эти элементы линейно независимы, будем иметь
n
x = å α k ek "x Î En .
(8.2)
k=1
Составив скалярное произведение каждой из частей равенства (8.2)
на ei, найдем
(x, ei ) = α i , i = 1, , n,
и, подставив в (8.2), получим
n
x = å (x, ek )ek .
k=1
(8.3)
Определение 8.2. Последовательность {ek}1n элементов n-мерного
евклидова пространства, удовлетворяющих условиям
(ei , ek ) = 0, i ¹ k,
ek = 1, i, k = 1, , n,
называется ортонормированным базисом этого пространства.
Нетрудно обнаружить аналогию между базисными элементами
ek и ортами векторного пространства. Коэффициенты (x, ek) играют
роль проекций вектора x на оси, определяемые ортами ek.
С помощью обобщенной теоремы Пифагора из (8.3) получаем
x
2
n
= å (x, ek )2 .
k=1
(8.4)
Простота формул (8.3), (8.4), которые в дальнейшем предстоит обобщить на случай бесконечномерного пространства, позволяет считать ортонормированный базис наиболее удобным для представления в нем произвольного элемента пространства. Поэтому
актуальной становится задача построения ортонормированного
­базиса из набора произвольных линейно независимых элементов
пространства Еn.
Покажем, что эта задача всегда разрешима.
43
Пусть а1, …, аn ∈ Еn линейно независимы. Положим
m-1 (a , b )
m k
b1 = a1, bm = am - å
k=1
bk
bk, m = 2, , n.
Вследствие линейной независимости элементов аm ни один из
построенных элементов bm не является нулевым. Воспользовавшись индукцией, нетрудно доказать, что элементы bm попарно
­ортогональны. Разделив каждый из них на его норму, получим ортонормированный базис
ìï b üïn
ïí k ïý .
ïï bk ïï
î
þ1
Указанный процесс ортогонализации может быть применен
и к бесконечной последовательности {ak}1∞ элементов бесконечномерного евклидова пространства, если ни при каком значении n
элементы а1, …, аn не являются линейно зависимыми.
Так, подвергая ортогонализации последовательность степеней 1,
t, t2, …, tn, …, рассматривая их как элементы пространства С2(–1, 1),
приходим к попарно ортогональным полиномам
(
n
)
n 2
1
n ! d t -1
.
p0 (t) = 1, p1 (t) = t, p2 (t) = t - , , pn (t) =
3
(2n)!
dtn
Эти полиномы называются полиномами Лежандра. Обычно
каждый из них умножают на не зависящий от t коэффициент, чтобы норма полинома была равна единице.
2
8.2. Проекция на подпространство
Лемма. Если элемент x ортогонален каждому из n элементов
yk Î E, k = 1, , n,
то x ортогонален любому y ∈ Еn, где Еn – линейная оболочка элементов yk.
Действительно, по определению линейной оболочки
n
y = å α k yk ,
k=1
а по условию леммы имеем
n
(x, y) = å α k (x, yk ).
k=1
44
При выполнении условий этой леммы принято говорить, что
элемент x ортогонален подпространству Еn.
Теорема 8.3. Если Еn – n-мерное подпространство евклидова пространства Е, то любой x ∈ Еn может быть представлен в виде суммы
x = y + h, где
yk Î En, h ^ En .
Доказательство. Выбрав в Еn ортонормированный базис {ek}1n,
построим
n
y = å (x, ek )ek .
k=1
Очевидно, что y ∈ Еn. Обозначим x – y = h. Теперь достаточно доказать ортогональность h каждому из ek.
При k  = 1, …, n
æn
÷ö
(h, ek ) = (x, ek ) - (y, ek ) = (x, ek ) - çççå (x, ei ), ek ÷÷÷ = (x, ek ) - (x, ek ) = 0.
÷ø
çèi=1
Определение 8.3. Элемент
n
y = å (x, ek )ek
k=1
называется проекцией элемента x ∈ Е на подпространство Еn, а элемент h = x–y – ортогональной пространству Еn составляющей элемента x.
Теорема 8.4. Проекция элемента x ∈ Е на конечномерное подпространство Еn является наименее удаленным от x элементом
­этого подпространства. Иными словами, если z ∈ Еn, расстояние
ρ(x, z) = x - z
принимает наименьшее значение при
n
z = y = å (x, ek )ek .
k=1
Доказательство. Рассмотрим квадрат указанной нормы
2
2
x - z = (x - z, x - z) = x - 2(x, z) + z
2
45
и представим z в виде
n
z = å α k ek ,
k=1
где {ek}1n – ортонормированный базис подпространства Еn. Тогда
2
n
2
x - z = x - 2 å α k (x, ek ) +
k=1
n
2
n
n
k=1
n
k=1
n
2
2
+ å α2k = x - 2 å α k (x, ek ) + å α2k - y + y =
k=1
2
= x - 2 å α k (x, ek ) + å α2k - y
k=1
n
2
+
k=1
+ å (x, ek )2 = x
2
k=1
n
2
2
+ å [ α k - (x, ek ) ] - y .
k=1
Здесь x – заданный элемент, следовательно,
x
2
= const, y
2
= const,
поэтому наименьшее значение величина ||x – z||2 примет при αk = (x, ek),
k = 1, …, n, т. е. при
n
z = å (x, ek )ek = y,
k=1
что и требовалось доказать. Упоминавшееся наименьшее значение
величины ||x – z||2 равно
2
x - y
2
2
= h .
Нетрудно видеть, что доказанная теорема является, по существу, обобщением элементарного геометрического предложения:
перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче наклонной, проведенной через эту точку. Вместе с тем данная теорема является одной из важнейших в теории аппроксимации. Так, если
требуется сформировать сигнал x, располагая конечным набором
стандартных ортонормированных сигналов e1, …, en, то из всех линейных комбинаций этих стандартных сигналов наиболее близкой
к x является
n
å (x, ek )ek .
k=1
46
Из теоремы 8.3 вытекают важные следствия. Формулы
n
x = y + h, y = å (x, ek )ek , (h, ek ) = 0, k = 1, , n,
k=1
позволяют заключить, что
y £ x, h £ x.
Далее, поскольку
2
n
y = å (x, ek )2 ,
k=1
справедливо неравенство
n
å (x, ek )2 £
2
x .
(8.5)
k=1
47
9. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ
Определение 9.1. Пусть {en}1∞ – последовательность попарно ортогональных нормированных элементов евклидова пространства
Е, x – произвольный элемент этого пространства. Ряд
¥
å (x, en )en
n=1
называется обобщенным рядом Фурье элемента x относительно ортонормированной системы {en}1∞, а скалярное произведение (x, en) –
обобщенными коэффициентами Фурье элемента x (в дальнейшем
слово «обобщенный» опускается).
Прототипом обобщенного ряда Фурье служит тригонометрический ряд Фурье. Если, например,
e0 =
1
2π
, e2n-1 =
sin(nt)
π
, e2n =
cos(nt)
π
, n = 1, 2, ,
то рядом Фурье функции x ∈ С2(0, 2π) служит
¥ æ
cos(nt)
sin(nt) ö÷
+ å ççαn
+ βn
÷,
ç
2π n=1è
π
π ø÷
α0
где
αn =
1
π
2π
ò
x(t)cos(nt)dt, βn =
0
1
π
2π
ò x(t)sin(nt)dt, n = 0, 1, 
0
Основная задача теперь – установить условия сходимости обобщенного ряда Фурье (в метрике данного пространства) к элементу x.
Лемма. Последовательность {(x, ek)}1∞ коэффициентов Фурье произвольного x ∈ Е есть элемент пространства l2, т. е. ряд, составленный из квадратов этих элементов, – сходящийся.
Для доказательства обратимся к неравенству (8.5), которое, как
отмечалось, справедливо при любом n. Из него следует не только
сходимость ряда
¥
å (x, en )2 ,
n=1
48
но и оценка его суммы
¥
å (x,en )2 £
2
x .
(9.1)
n=1
Неравенство (9.1) называется неравенством Бесселя.
Теорема 9.1. Ряд Фурье элемента x ∈ Е относительно ортонормированной системы {en}1∞ сходится к элементу x в том и только том
случае, если неравенство Бесселя переходит в равенство
¥
å (x, en )2 =
2
x
(9.2)
n=1
(именуемое равенством Парсеваля).
Доказательство. Пусть равенство (9.2) выполнено. Частичная
сумма
n
å (x, ek )ek
k=1
ряда Фурье удалена от элемента x на расстояние
n
å (x, ek )ek - x .
k=1
Используя (9.2) и ортонормированность {ek}1∞, имеем
2
n
n
n
k=1
¥
k=1
¥
2
= å (x, ek )2 - 2 å (x, ek )2 + x =
å (x, ek )ek - x
k=1
n
= - å (x, ek )2 + å (x, ek )2 =
k=1
k=1
å
k=n+1
(x, ek )2 .
Последнее выражение представляет собой остаток сходящегося
ряда и поэтому стремится к нулю при n → ∞. Отсюда
lim
n
å (x, ek )ek - x
n®¥ k=1
= 0.
Следовательно,
lim
n
å (x, ek )ek = x,
n®¥ k=1
(9.3)
49
т. е. ряд
¥
å (x, ek )ek
k=1
сходится к x по метрике пространства Е.
Обратно, если выполняется (9.3), получаем последовательно
lim
n
2
å (x, ek )ek - x
n®¥ k=1
= 0,
é 2 n
ù
lim êê x - å (x, ek )2 úú = 0,
n®¥ ê
úû
k=1
ë
т. е.
¥
å (x, ek )2 =
2
x .
k=1
Равенство Парсеваля можно толковать как условие энергетического баланса: если сигнал x получаем в виде суперпозиции элементарных ортогональных сигналов
¥
x = å (x, ek )ek ,
k=1
то сумма энергий этих сигналов должна совпадать с полной энергией сигнала x. Если же сумма энергий элементарных сигналов оказывается меньше полной энергии сигнала x, то с помощью данного
набора стандартных сигналов {ek}1∞ нельзя точно воспроизвести x.
Формула (8.3), выражающая разложение элемента конечномерного пространства по ортонормированному базису, может быть
обобщена.
Теорема 9.2. Пусть {en}1∞ – последовательность ортонормированных элементов евклидова пространства Е. Если ряд
¥
å αn en
n=1
сходится и имеет своей суммой x ∈ Е, то
αn = (x, en ), n = 1, 2, 
Доказательство. Возьмем m > n и представим элемент x в виде
m
x = å α k ek + zm ,
k=1
50
где zm – остаток сходящегося ряда, поэтому
lim zm = 0.
m®¥
Одновременно, умножив ряд на en, найдем
(x, en ) = αn + (zm , en ).
(9.4)
Согласно неравенству Коши с учетом нормировки en, получаем
оценку
(zm , en ) £ zm .
Поскольку (9.4) справедливо при любом m > n, величина |(zm, en)|
может быть сделана сколь угодно малой, в то время как n остается
фиксированным. Следовательно,
(zm , en ) = 0 Þ (x, en ) = αn .
Итак, если x разлагается в ряд по ортонормированной системе
{en}1∞, то этот ряд имеет вид
¥
x = å (x, en )en ,
n=1
т. е. ряд является обобщенным рядом Фурье.
Переходим к выводу условий, достаточных для того, чтобы последовательность {en}1∞ служила базисом.
Определение 9.2. Последовательность {сn}1∞ элементов евклидова
пространства называется полной в этом пространстве, если не существует отличного от θ элемента рассматриваемого пространства,
ортогонального ко всем сn.
Так, например, последовательность 1, cost, sint, …, cosnt, sinnt, …
полна в пространстве L2(0, 2π). Последовательность 1, cost, …, cosnt, …
не является полной в этом пространстве, так как sint ортогонален
всем членам указанной последовательности.
Теорема 9.3. Если {en}1∞ – полная ортонормированная последовательность элементов гильбертова пространства Н, то для любого
x ∈ Н обобщенный ряд Фурье
¥
å (x, en )en
n=1
сходится к элементу x.
51
Доказательство. Частичные суммы ряда Фурье
n
xn = å (x, ek )ek
k=1
образуют сходящуюся в себе последовательность. В самом деле,
m > n Þ xm - xn
2
m
=
å
k=n+1
(x, ek )2 .
Вследствие сходимости ряда
¥
å (x, ek )2
k=1
получаем
lim xm - xn
n®¥
2
= 0 Þ lim ρ(xn , xm ) = 0.
n®¥
Пространство Н полное, поэтому последовательность {en}1∞ имеет
предел, принадлежащий Н:
n
å (x, ek )ek = y.
n®¥
lim
k=1
Остается доказать, что y = x. Для этого рассмотрим скалярное
произведение (x – y, ek).
Согласно теореме 9.2
¥
y = å (x, ek )ek Þ (y, ek ) = (x, ek ),
k=1
поэтому (x – y, ek) = (x, ek) – (x, ek) = 0, k = 1, 2,…, т. е. элемент x – y
ортогонален всем ek, что возможно только при x – y = θ, следовательно, x = y.
Таким образом, полная ортонормированная последовательность
{en}1∞ является базисом гильбертова пространства Н: замкнутая линейная оболочка последовательности совпадает с пространством Н.
52
10. ИЗОМОРФИЗМ И ИЗОМЕТРИЯ
10.1. Основные определения
Если между элементами линейных пространств S и S1 установлено взаимно однозначное соответствие, причем x ∈ S и x1 ∈ S1 – поставленные друг другу в соответствие элементы этих пространств,
будем пользоваться обозначением x ↔ x1.
Определение 10.1. Взаимно однозначное соответствие между элементами линейных пространств S и S1 называется изоморфизмом,
если из x ↔ x1 и y ↔ y1 следует x + y ↔ y1 + x1, а также λx ↔ λx1.
Пространства S и S1 называются в этом случае изоморфными.
Определение 10.2. Взаимно однозначное соответствие изоморфных евклидовых пространств Е и Е1 называется изометрией, если
из x ↔ x1 и y ↔ y1 всегда следует (x, y) = (x1, y1). Пространства Е
и Е1 называются при этом изометричными.
Очевидно, что если евклидовы пространства Е и Е1 изометричны и x ↔ x1, y ↔ y1, то
ρ(x, y) = ρ1 (x1, y1 ).
Теорема 10.1. Гильбертово пространство, содержащее полную
ортонормированную последовательность элементов, изометрично
пространству l2.
Доказательство. Пусть Н – гильбертово пространство и {en}1∞ –
полная ортонормированная последовательность его элементов. Тогда x ∈ Н может быть представлен в виде
¥
x = å (x, en )en ,
n=1
причем это разложение по базису {en}1∞ единственное. Поскольку ряд
¥
å (x, en )2
n=1
сходящийся (см. лемму из раздела 9), можно установить взаимно однозначное соответствие x ↔ x1 ∈ l2, взяв в качестве x1 = {ξn}1∞
­последовательность {(x, en)}1∞ обобщенных коэффициентов Фурье
элемента x. Аналогично для y ∈ Н имеем
¥
y « y1 = {ηn }1 Î l2 ,
где hn = (y, en).
53
Обобщенные коэффициенты Фурье суммы находим в виде
(x + y, en ) = (x, en ) + (y, en ).
Кроме того, (λx, en) = λ(x, en), таким образом, соответствие x ↔ x1
является изоморфизмом. Вместе с тем
æ¥
(x, y) = ççç å (x, en )en ,
çèn=1
¥
ö÷
¥
n=1
ø
n=1
å (y, en )en ÷÷÷÷ = å (x, en )(y, en ) = (x1, y1 ),
т. е. указанное соответствие является изометрией.
Доказанная теорема позволяет считать пространство l2 эталоном гильбертовых пространств, обладающих счетным базисом. Метрические задачи, поставленные в этих пространствах, могут без
ущерба решаться в пространстве l2, имеющем наиболее простое
толкование.
Подобно тому как была доказана теорема 10.1, можно доказать,
что всякое n-мерное пространство изометрично пространству Rn.
10.2. Общий вид линейного функционала
Если в скалярном произведении (x, y) рассматривать x ∈ Н как
переменный элемент, а y ∈ Н – как фиксированный, то оно является линейным функционалом: (x, y) = F(x). Согласно неравенству
Коши
F (x) £ y x ,
т. е. этот линейный функционал является ограниченным.
Нижеследующая теорема, принадлежащая Риссу, устанавливает справедливость обратного утверждения.
Теорема 10.2. Всякий линейный ограниченный функционал,
заданный на гильбертовом пространстве, может быть представлен
в виде скалярного произведения и притом единственным образом.
Иными словами, если F – линейный ограниченный функционал, заданный на гильбертовом пространстве Н, то существует
y ∈ Н, такой, что
F (x) = (x, y) "x Î H,
причем этот элемент y единственный в Н.
Докажем теорему Рисса в предположении, что Н содержит счетный ортонормированный базис. В этом случае согласно теореме 10.1
пространство Н изометрично пространству l2, и данный функцио54
нал F можно считать определенным на l2: если x ↔ x1, где x ∈ Н,
x′ ∈ l2, полагаем F(x) = F(x′).
Теперь остается доказать существование такого y′ ∈ l2, что
F(x′) = (x′, y′). С этой целью возьмем в l2 ортонормированный базис
{en}1∞ и представим в нем элемент
¥
x ¢ = å ξn , en¢ .
n=1
Вследствие линейности функционала F и его непрерывности
имеем
¥
F (x ¢) = å ξn F (en¢ ).
(10.1)
n=1
Обозначим значения F(e′n) функционала на базисных элементах
через ηn, n = 1, 2 …, и докажем, что {ηn}1∞ ∈ l2, т. е. что ряд элементов
ηn2 сходящийся. Положим
n
n
k=1
k=1
yn¢ = å ηk ek¢ Þ F (yn¢ ) = å η2k .
Вместе с тем, поскольку F – ограниченный функционал, существует α > 0, не зависящее от n, такое, что
F (yn¢ ) £ α yn¢ ,
т. е.
n
n
n
k=1
k=1
k=1
å η2k £ α å η2k Þ å η2k £ α2 .
Таким образом, частичные суммы ряда
¥
å η2k
k=1
ограничены, и этот ряд сходящийся. Теперь (10.1) можно записать
в виде
¥
F (x ¢) = å ξn ηn = (x ¢, y ¢),
n=1
¥
где y ¢= å ηn en¢ Î l2 .
n=1
55
Так как
$y Î H: y « y ¢,
причем вследствие изометрии Н и l2, (x, y) = (x′, y′), получаем окончательно
F (x) = (x, y).
(10.2)
Остается убедиться в том, что в Н не существует другого элемента, например, Y, при котором была бы справедлива формула (10.2).
Для этого предположим противное.
Пусть наряду с (10.2) имеем равенство F(x) = (x, Y) при любом
x ∈ Н. Вычтя это равенство из (10.2), найдем
(x, y - Y ) = 0 "x Î H.
Взяв, в частности, x = y – Y, придем к выводу
y - Y = 0 Þ y = Y.
Не представляет труда доказать также, что ||F|| = ||y||.
10.3. Билинейный функционал
Определение 10.3. Пусть задано правило, с помощью которого
каждой паре x, y ∈ Н ставится в соответствие действительное число
F(x, y). В этом случае говорят, что на Н задан функционал, зависящий от двух переменных элементов. Такой функционал называется билинейным, если при фиксированном y он оказывается линейным функционалом относительно x, а при фиксированном x – линейным функционалом относительно y. Простейший пример билинейного функционала – скалярное произведение (x, y).
Определение 10.4. Билинейный функционал называется ограниченным, если ограничены оба линейных функционала, которые
возникают, когда один из элементов, x или y, зафиксирован.
Пусть А – ограниченный линейный оператор, отображающий Н
в себя. Тогда выражение (Аx, y) – билинейный функционал, определенный на Н. По неравенству Коши
( Ax, y) £ Ax y .
Вместе с тем
Ax £ A x Þ ( Ax, y) £ A x y .
56
Таким образом, (Аx, y) – ограниченный билинейный функционал.
Теорема 10.3. Каждому ограниченному билинейному функционалу F, определенному на гильбертовом пространстве, можно сопоставить ограниченный линейный оператор А, такой, что будет выполнено равенство
F (x, y) = ( Ax, y) "x, y Î H.
(10.3)
Оператор А, при котором справедливо представление (10.3) билинейного функционала F в виде скалярного произведения, единственный.
Доказательство этой теоремы опускаем.
Для пространства L2(a, b) характерным билинейным функционалом служит функционал
b b
ò ò K(s,t)x(s)y(t)dsdt,
a a
связанный с оператором Фредгольма.
Определение 10.5. Если в билинейном функционале F(x, y), где
x, y ∈ Н, положить x = y, получим функционал F(x, x) = Q(x), который называется квадратичным.
Из теоремы 10.3 следует, что квадратичный функционал, порожденный ограниченным билинейным функционалом, может
быть представлен в виде Q(x) = (Ax, x). При А = I получаем простейший квадратичный функционал – квадрат нормы элемента, который может быть истолкован как энергия сигнала.
Квадратичные функционалы широко используются для характеристики параметров сигналов и систем их обработки, в частности, при рассмотрении вопросов, связанных с оптимизацией этих
параметров.
57
11. СОПРЯЖЕННЫЙ И САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОРЫ
11.1. Основные определения
Пусть А – ограниченный линейный оператор, отображающий
гильбертово пространство Н в себя. Рассмотрим билинейный функционал (Аx, y). Заметив, что он ограничен, применим к нему теорему 10.3 (поменяв ролями x и y). Можно утверждать, что существует
линейный ограниченный оператор А*, такой, что выполняется равенство
( Ax, y) = (x, A* y) "x Î H, "y Î H.
(11.1)
Нетрудно доказать, что
A* = A .
Определение 11.1. Оператор А*, удовлетворяющий при любых x,
y ∈ Н условию (11.1), называется сопряженным с линейным оператором А.
Очевидно, что оператором, сопряженным с А*, является А, т. е.
*
(А )* = А.
В качестве примера рассмотрим оператор Фредгольма (для простоты с непрерывным ядром), отображающий L2(a, b) в себя.
Если
b
Ax = ò K(s, t)x(s)ds,
a
то
b
b
b
b
a
a
a
a
( Ax, y) = ò y(t)dt ò K(s, t)x(s)ds = ò x(s)ds ò K(s, t)y(t)dt.
Полагая
A* y =
b
ò K(s, t)y(t)dt,
a
убеждаемся, что равенство (11.1) выполнено. Таким образом, оператор, сопряженный с оператором Фредгольма, – интегральный оператор с тем же ядром, но интегрирование теперь производится не
по первой, а по второй переменной.
58
С помощью сопряженного оператора можно построить квадратичный функционал, характеризующий энергию входного сигнала
линейной системы: если x – входной сигнал линейной системы, реализующей оператор А, энергия входного сигнала пропорциональна ||Аx||2, причем
Ax
2
= ( Ax, Ax) = (x, A* Ax),
т. е. квадратичный функционал, порожденный оператором А*А.
Определение 11.2. Линейный оператор, совпадающий со своим
сопряженным, называется самосопряженным.
Согласно определениям 11.1 и 11.2 самосопряженный оператор
должен удовлетворять условию
( Ax, y) = (x, Ay) "x, y Î H.
Если ядро K(s, t) симметрично, т. е. K(s, t) = K(t, s), то оператор
Фредгольма самосопряженный.
Другим важным примером самосопряженного оператора служит так называемый проектор. Пусть Н – гильбертово пространство, {en}1∞ – ортонормированный базис в нем и Еn – линейная оболочка элементов {en}1∞. Оператор проектирования на пространство
Еn (проектор) определяем на Н формулой
n
Px = å (x, ek )ek .
k=1
Тогда
n
n
æ n
÷ö
(Px, y) = ççç å (x, ek )ek , å (y, ek )ek ÷÷÷ = å (x, ek )(y, ek ) = (x, Py) "y Î H.
çèk=1
ø÷ k=1
k=1
Отметим также, что Р2 = Р, откуда в общем случае, Рn = Р.
11.2. Вариационная задача, связанная с уравнением Аx = y
Пусть А – линейный оператор, отображающий гильбертово пространство Н в себя.
Определение 11.3. Оператор А называется положительным, если
выполняется неравенство
"x Î H x ¹ q Þ ( Ax, x) > 0.
(11.2)
Теорема 11.1. Если А – положительный оператор, то существует
обратный оператор А–1.
59
Доказательство. Предположим противное. Пусть двум разным
элементам x1 ∈ Н и x2 ∈ Н оператор А может поставить в соответствие один и тот же элемент y ∈ Н, т. е.
Ax1 = y, Ax2 = y Þ A (x1 - x2 ) = q Þ ( A (x1 - x2 ), x1 - x2 ) = 0,
что противоречит условию (11.2), если x1 ≠ x2.
Итак, если А – положительный оператор, то уравнение
Ax = y
(11.3)
может иметь не более одного решения.
Задача об отыскании решения уравнения (11.3) сводится к задаче об отыскании элемента, при котором функционал
F (x) = ( Ax, x) - 2(x, y)
принимает наименьшее значение. Подобные задачи, в которых
речь идет об экстремальных значениях функционалов, называются
вариационными задачами.
Будем рассматривать вариационную задачу для суммы квадратичного и линейного функционалов.
Теорема 11.2. Пусть А – положительный самосопряженный оператор, отображающий Н в себя. Для того чтобы элемент x0 ∈ Н при
заданном y ∈ Н был решением уравнения Аx = y, необходимо и достаточно, чтобы в точке x0 функционал
F (x) = ( Ax, x) - 2(x, y)
принимал наименьшее значение.
Доказательство. Пусть Аx0 = y. Представим произвольный элемент x в виде
x = x0 + αz, z Î H, α > 0.
Такое представление x означает перемещение из точки x0 в направлении вектора z на расстояние α||z||. Имеем
F (x) = F (x0 + αz) = [ A (x0 + αz), x0 + αz ]- 2(x0 + αz, y) =
= ( Ax0 , x0 ) - 2(x0 , y) + α[( Az, x0 ) - 2(z, y) + ( Ax0 , z)] + α2( Az, z).
Вследствие самосопряженности А справедливо равенство
(Аz, x0) = (Аx0, z),
60
поэтому
F (x) = ( Ax0 , x0 ) - 2(x0 , y) + 2α[(z, Ax0 ) -(z, y)] + α2( Az, z) = F (x0 ) + 2α(z, Ax0 - y) + α2( Az, z),
но по условию теоремы
Ax0 - y = q Þ F (x) = F (x0 ) + α2( Az, z).
Поскольку (Аz, z) > 0, имеем
F (x) > F (x0 ).
Итак, на решении уравнения (11.3) функционал F принимает
наименьшее значение.
Обратно, пусть функционал F(x) принимает наименьшее значение при x = x0, т. е.
x ¹ x0 Þ F (x) > F (x0 ).
Снова представляя x в виде x = x0 + αz, записываем функционал
в виде
F (x) = F (x0 ) + 2α(z, Ax0 - y) + α2( Az, z).
При любом фиксированном z ∈ Н это выражение является числовой функцией от α, причем известно, что она достигает минимума при α = 0. Следовательно, должно выполняться условие
dF
dα
α=0
= 0 Þ (z, Ax0 - y) = 0.
Последнее равенство должно выполняться при любом z ∈ Н. Полагая, что, в частности, z = Ax0 – y, получаем в результате
Ax0 - y
2
= 0 Þ Ax0 = y.
Таким образом, x0 является решением уравнения (11.3).
61
12. РЕЗОЛЬВЕНТА И СПЕКТР ОПЕРАТОРА
12.1. Определение понятий резольвенты и собственных чисел оператора
Пусть А – линейный оператор, отображающий гильбертово пространство Н в себя, y ∈ Н – заданный элемент, λ – числовой параметр. Рассмотрим уравнение 2-го рода
Ax = λx + y,
(12.1)
к которому, как известно, приводится исследование систем с обратной связью. Примерная схема такой системы приведена на рис. 3.3.
Уравнение (12.1) может быть записано в виде уравнения I-го рода
( A - λI)x = y,
(12.2)
где I обозначает тождественный оператор. Если элемент y принадлежит области значений оператора А – λI и если этот последний имеет
обратный, решение уравнения (12.2) можно представить в форме
x = ( A - λI)-1 y.
Естественно ожидать, что вопрос о существовании и свойствах
оператора (А – λI)–1 решается в зависимости от значений, которые
принимает числовой параметр λ.
Определение 12.1. Если оператор Rλ = (А – λI)–1 существует, он
называется резольвентой оператора А.
Определение 12.2. Регулярными называются значения λ, при
которых резольвента оператора А существует, определена на всем
пространстве Н и является ограниченным оператором. Множество
всех остальных значений λ называется спектром оператора А.
Таким образом, спектру принадлежат те значения параметра
λ, при которых оператор А – λI не имеет обратного, а также такие
значения λ, при которых резольвента Rλ = (А – λI)–1 определена на
всем Н или является неограниченным оператором. Отметим, что
полная теория спектра требует рассмотрения комплексного гильбертова пространства, когда λ трактуется как комплексная переменная.
Если оператор А – λI не имеет обратного, на основании теоремы
из разд. 5 заключаем, что уравнение
( A - λI ) x = q
имеет решения, отличные от x = θ, значит, ненулевые решения
имеет и соответствующее (12.1) однородное уравнение.
62
Определение 12.3. Значения параметра λ, при которых однородное уравнение
Ax = λx
(12.3)
имеет решения, отличные от θ, называются собственными (характеристическими) значениями оператора А, а сами ненулевые решения – собственными элементами оператора, соответствующими
этим собственным значениям.
Из определения 12.3 следует, что наряду с собственным элементом x, соответствующим собственному значению λ, αx также является таким собственным элементом (при любом числовом множителе α). Кроме того, если x1 и x2 – собственные элементы, соответствующие одному и тому же собственному значению, то их
сумма x1 + x2 – собственный элемент, соответствующий этому же
собственному значению. Таким образом, множество всех собственных элементов, соответствующих некоторому собственному значению λ, если к этому множеству присоединить элемент θ, образует
­линейное пространство
Hλ Í H.
Оно называется собственным подпространством оператора А,
с­ оответствующим собственному значению λ. Размерность этого
подпространства называется кратностью собственного значения λ.
Умножив скалярно обе части (12.3) на x, получим
æ x x ö÷
2
÷÷.
( Ax, x) = λ x Þ λ = ççç A
,
èç x x ø÷
Так как элемент
e=
x
x
имеет норму, равную единице, приходим к выводу: каждое собственное значение оператора А равно значению квадратичного
функционала, соответствующего этому оператору, в некоторой точке единичной сферы. Если функционал (Ax, x) достигает на единичной сфере наименьшего значения m и наибольшего значения М, то
все собственные значения оператора А удовлетворяют неравенствам
m £ λ £ M.
В частности, собственные значения положительного оператора неотрицательны.
63
Разумеется, не всякий оператор имеет собственные значения.
Рассмотрим, например, оператор умножения на независимую переменную, отображающий L2(a, b) в себя:
Аx = tx(t).
Уравнение (12.3) в этом случае принимает вид
tx(t) = λx(t).
Так как t – переменная, λ – постоянная, последнее равенство
выполняется только в том случае, если x(t) – нулевая функция.
Резольвентой служит оператор деления на t – λ. Он определен на
множестве функций, интегрируемых с квадратом, для которых
частное от деления на t – λ также интегрируемо с квадратом. Если
λ ∈ L2(a, b) и x ∈ L2(a, b), то не всегда
x(t)
Î L2 (a, b).
t-λ
Следовательно, при указанных значениях параметра λ резольвента определена не на всем пространстве. Итак, оператор умножения на независимую переменную не имеет собственных значений,
тем не менее он обладает так называемым непрерывным спектром
(весь отрезок [a, b] образует спектр).
12.2. Уравнение с вырожденным оператором
Определение 12.4. Оператор А, отображающий гильбертово пространство Н в себя, называется вырожденным, если может быть
представлен в виде
n
Ax = å (x, fk ) gk ,
k=1
(12.4)
где {fn}1n, {gn}1n – фиксированные конечные последовательности линейно независимых элементов пространства Н.
Из определения следует, что множество значений вырожденного
оператора принадлежит конечномерному пространству, а именно,
линейной оболочке элементов {gk}1∞. Иначе говоря, множество выходных сигналов системы, реализующей вырожденный оператор,
может быть сформировано из конечного набора стандартных сигналов.
64
Характерным примером вырожденного оператора служит оператор Фредгольма с ядром
n
K(s, t) = å fk (s) gk (t), fk , gk Î L2 (a, b).
k=1
В этом случае для x ∈ L2(a, b) находим
b
n
b
n
a
k=1
a
k=1
Ax = ò K(s, t)x(s)ds = å gk (t) ò fk (s)x(s)ds = å (x, fk ) gk .
Если А – вырожденный оператор, уравнение (12.1) приводится
к конечной системе линейных алгебраических уравнений. В самом
деле, заменив в (12.1) Аx по формуле (12.4), получим
n
å (x, fk )gk = λx + y.
(12.5)
k=1
Если удастся определить n скалярных произведений
(x, fk ) = ξk , k = 1, 2,..., n,
то получим решение уравнения (12.5):
x=
ù
1 éê n
ú.
ξ
g
y
å
k
k
ú
λ êêë k=1
úû
Умножив скалярно обе части (12.5) на fi, придем к системе линейных уравнений относительно ξk:
n
å αik ξk = λξi + ηi , i = 1, , n,
k=1
(12.6)
α ik = (fi , gk ), ηi = (fi , y).
Пусть λ не является корнем характеристического уравнения, т. е.
α11 - λ 
α1n
(12.7)



¹ 0.
αn1
 αnn - λ
Как известно из линейной алгебры, в этом случае система (12.6)
имеет решение (ξ1, …, ξn) и притом единственное. Следовательно,
и уравнение (12.5) при любом y ∈ Н имеет единственное решение,
в частности, при y = θ этим решением служит x = θ. Итак, значения λ, удовлетворяющие условию (12.7), являются регулярными
для оператора (12.4).
65
Если λ – корень характеристического уравнения
α11 - λ 
α1n



= 0,
αn1
 αnn - λ
(12.8)
то система (12.6), вообще говоря, противоречива, а соответствующая однородная система имеет ненулевые решения.
Уравнение (12.8) имеет не более n разных корней. При совпадении λ с одним из них уравнение (12.5) при произвольном y ∈ Н
неразрешимо,1 а соответствующее однородное уравнение Аx = λx
имеет ненулевые решения.
Согласно определению 12.3 корни уравнения (12.8) являются
собственными значениями вырожденного оператора (12.4). Спектр
такого оператора других точек не содержит.
Подводя итоги, сформулируем их в виде так называемой альтернативы Фредгольма, касающейся уравнения 2-го рода (пока ее
можно считать установленной только для случая уравнения с вырожденным оператором): если однородное уравнение Аx = λx имеет
только нулевое решение (λ не является собственным числом), при
любом y ∈ Н неоднородное уравнение Аx = λx + y имеет решение,
и притом единственное.
Если однородное уравнение Аx = λx имеет ненулевые решения
(λ – собственное число), неоднородное уравнение Аx = λx + y либо
вовсе не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений (последнее, по-видимому, произойдет в случае, когда свободный член y ортогонален собственному подпространству сопряженного оператора А*, соответствующему собственному числу λ).
12.3. Спектр вполне непрерывного оператора
Ситуация, при которой реализуется альтернатива Фредгольма,
характеризуется тем, что спектр оператора состоит из одних только
собственных чисел: всякое значение λ либо регулярное, либо собственное. В случае вырожденного оператора множество собствен1 Если λ – корень уравнения (12.8), уравнение (12.5) имеет решения в том
и только том случае, когда y ортогонален всем решениям однородного уравнения
n
å (x, gk )fk = λx
k=1
с сопряженным оператором. В этом случае число решений (12.5) бесконечно.
66
ных чисел конечное, что связано с конечной размерностью пространства, в котором лежат все значения оператора.
Перейдем теперь к более общему случаю, когда область значений оператора А не укладывается в конечномерном пространстве,
но бесконечномерное пространство, которому она принадлежит,
­обладает свойствами, сходными со свойствами конечномерного
пространства.
Определение 12.5. Последовательность xn ∈ Н, n = 1, 2, …, называется слабо сходящейся к x ∈ Н, если выполняется условие
"z Î H lim (xn , z) = (x, z).
n®¥
При этом пишут
ñë
xn ¾¾® x.
Нетрудно заметить, что если последовательность {xn}1∞ сходится
к элементу по норме, то она оказывается вместе с тем и слабо сходящейся к тому же элементу. Обратное утверждение в случае бесконечномерного пространства, вообще говоря, неверно.
Пусть, например, {en}1∞ – последовательность ортонормированных элементов. Вследствие неравенства Бесселя имеем
ñë
"y Î H lim (en , y) = 0 Þ en ¾¾® q.
n®¥
Вместе с тем рассматриваемая последовательность по норме не
сходится, потому что
"n, m Î N n ¹ m Þ en - em
2
= 2.
Определение 12.6. Линейный оператор А, отображающий гильбертово пространство Н в гильбертово пространство Н1, называется
вполне непрерывным, если последовательность xn ∈ Н, n = 1, 2, …,
слабо сходящуюся к x ∈ Н, он переводит в последовательность, сходящуюся по норме к Аx. Оператор А называется вполне непрерывным, если
ñë
xn ¾¾® x Þ lim Axn - Ax = 0.
n®¥
Вырожденный оператор является частным случаем вполне непрерывного.
67
Можно доказать, что оператор Фредгольма с непрерывным
ядром K(s, t) или ядром, удовлетворяющим условию
b b
òòK
2
(s, t)dsdt < ¥,
a a
является вполне непрерывным оператором, отображающим пространство L2(a, b) в себя.
Если А – вполне непрерывный оператор, отображающий Н
в себя, к уравнению (12.1) применима альтернатива Фредгольма. Множество собственных чисел вполне непрерывного оператора ­может оказаться бесконечным (если он невырожденный),
но при этом счетным. Таким образом, спектр вполне непрерывного оператора представляет собой последовательность собственных
чисел.
68
13. УРАВНЕНИЕ С САМОСОПРЯЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ
13.1. Спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора
Теорема 13.1. Собственные элементы, соответствующие различным собственным числам самосопряженного оператора, ортогональны.
Доказательство. Пусть А – самосопряженный оператор, отображающий пространство Н в себя,
λ1 ¹ λ2 , Ax1 = λ1x1, Ax2 = λ2 x2 .
Умножая скалярно обе части первого равенства на x, а второго –
на x1, после почленного вычитания получаем
( Ax1, x2 ) - ( Ax2 , x1 ) = (λ1 - λ2 )(x1, x2 ).
Но по определению самосопряженного оператора
( Ax1, x2 ) - (x1, Ax2 ) = 0 Þ (x1, x2 ) = 0.
Если число линейно независимых собственных элементов, соответствующих собственному числу λ, превышает единицу, их можно сделать попарно ортогональными, так как процесс ортогонализации, основанный на составлении линейных комбинаций указанных элементов, не выводит их из собственного подпространства.
Таким образом, все линейно независимые собственные элементы самосопряженного оператора можно считать попарно ортогональными. Кроме того, норму каждого из них можно сделать равной единице.
Лемма. Пусть {λn}1∞ – бесконечная последовательность собственных значений вполне непрерывного оператора А, отображающего
Н в себя. Если соответствующие нормированные собственные элементы {en}1∞ попарно ортогональны, выполняется условие
lim λn = 0.
n®¥
Доказательство. В разделе 12 было показано, что ортонормированная последовательность элементов гильбертова пространства
слабо сходится к нулевому элементу. Так как А – вполне непрерывный оператор, имеем
ñë
en ¾¾® q Þ Aen ® q,
причем уже имеет место сходимость по норме.
69
Вместе с тем
Aen = λn en Þ λn en ® q,
что возможно лишь при условии
lim λn = 0, en = 1.
n®¥
Теорема 13.2. Собственное подпространство каждого из отличных от нуля собственных значений вполне непрерывного оператора
конечномерно.
Доказательство. Предположим противное, тогда собственному
значению λ ≠ 0 соответствует бесконечная последовательность {en}1∞
попарно ортогональных нормированных собственных элементов.
В этом случае невозможно удовлетворить требованию
λen ® q,
что противоречит выводу, полученному в ходе доказательства леммы. Следовательно, собственному значению λ ≠ 0 может соответствовать лишь конечное число ортонормированных собственных
элементов.
Теорема 13.3. Каким бы ни было δ > 0, множество собственных значений λ вполне непрерывного самосопряженного оператора, удовлетворяющих неравенству |λ| > δ, конечно (или является
­пустым).
Доказательство. Если предположить противное, это будет означать, что найдется бесконечная последовательность {λn}1∞ собственных значений рассматриваемого оператора, не стремящаяся к нулю, что противоречит лемме, так как согласно теореме 13.1
­соответствующие этой последовательности собственные элементы
попарно ортогональны.
Доказанная теорема позволяет сделать вывод, что все собственные значения вполне непрерывного самосопряженного оператора
могут быть пронумерованы.
Как уже отмечалось, не всякий оператор обладает собственными значениями и собственными элементами. Поэтому важную роль
играет следующая теорема.
Теорема 13.4. Всякий вполне непрерывный самосопряженный
оператор А, заданный в гильбертовом пространстве Н и отличный от оператора аннулирования, имеет по меньшей мере одно собственное значение, не равное нулю (под оператором аннулирования
подразумевается оператор, переводящий любое x ∈ Н в θ).
70
Доказательство, подробности которого мы опускаем, основано
на установлении двух фактов:
1) существует нормированный элемент x0 ∈ Н, на котором ||Аx||
достигает наибольшего значения (при условии ||x|| = 1), т. е.
||Аx0|| = ||x||;
2) этот элемент является собственным для оператора А, т. е.
Аx0 = λx0.
Так как, с одной стороны, |λ| = |(Аx0, x0)|, а с другой, вследствие
линейной зависимости Аx0 и x0 неравенство Коши переходит в равенство
( Ax0 , x0 ) = Ax0 x0 Þ λ = A .
Итак, наибольшая абсолютная величина собственного значения
вполне непрерывного самосопряженного оператора равна норме
этого оператора. Множество собственных значений такого оператора либо конечное, либо счетное. В последнем случае
lim λn = 0.
n®¥
13.2. Прямая сумма подпространств
Пусть {λn}1∞ – последовательность всех ненулевых собственных
значений вполне непрерывного самосопряженного оператора А.
Ей соответствует последовательность {en}1∞ попарно ортогональных
нормированных собственных элементов.
Если эта последовательность полная в Н, она может служить
­базисом: любой x ∈ Н можно представить в виде суммы обобщенного ряда Фурье по элементам en. Однако полнота системы собственных элементов оператора А заранее не может быть гарантирована:
в пространстве Н могут существовать элементы, ортогональные
всем собственным элементам данного оператора.
Построим замкнутую линейную оболочку элементов {en}1∞ (см.
определение 6.4). Она представляет собой подпространство
He Í H.
Множество всех тех элементов y ∈ Н, которые ортогональны
каждому из en (стало быть, и каждому x ∈ Нe), называется орто71
гональным дополнением подпространства. Оно само является подпространством
H0 Ì H.
Для любого z ∈ Н справедливо представление z = x + y, где
x ∈ Нe, y ∈ Н0. Действительно, если
¥
x = å (z, en )en , y = z - x Þ (y, ek ) =
n=1
¥
æ
ö÷
= çççz - å (z, en )en , ek ÷÷÷ = (z, ek ) - (z, ek ) = 0,
çè n=1
ø÷
т. е. y ∈ Н0.
Говорят, что пространство Н является прямой суммой подпространств Нe и Н0 и вводят обозначения
H = He Å H0 .
Если оператор А воздействует на x ∈ Нe, то значение Аx также
лежит в этом подпространстве, так как оператор А непрерывен:
¥
¥
¥
n=1
n=1
n=1
x = å (x, en )en Þ Ax = å (x, en ) Aen = å (x, en )λn en .
Это означает, что подпространство Нe инвариантно относительно оператора А. Оказывается, что и ортогональное дополнение подпространства Нe, т. е. Н0, инвариантно относительно оператора А.
Действительно, взяв x ∈ Нe, y ∈ Н0, будем иметь
(Аx, y) = 0,
поскольку Аx ∈ Нe. Но в силу симметрии оператора А
(Аx, y) = (x, Аy),
откуда
(x, Аy) = 0,
т. е. элемент Аy ортогонален x, значит,
Аy ∈ Н0.
Разумеется, изложенные соображения сохраняют силу и в том
случае, когда Нe конечномерно.
72
14. РЕЗОЛЬВЕНТА ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
14.1. Теорема Гильберта–Шмидта
Теорема Гильберта–Шмидта. Пусть А – вполне непрерывный
самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, {en}1∞ – множество всех ортонормированных собственных элементов оператора А, соответствующих ненулевым собственным значениям {λn}1∞. Всякий элемент x ∈ Н может быть представлен в виде
¥
x = å (x, en )en + x0 , Ax0 = q,
(14.1)
n=1
так что
¥
Ax = å (x, en )λn en .
(14.2)
n=1
Доказательство. Обозначим через Нe замкнутую линейную
оболочку {en}1∞. Тогда всякий x ∈ Н может быть представлен в виде
x = xe + x0,
где xe ∈ Нe, x0 ∈ Н0,
H = He + H0 .
Так как xe согласно определению Нe можно представить в виде
¥
xe = å (x, en )en ,
n=1
остается доказать, что Аx0 = θ, т. е. что в подпространстве Н0, являющемся ортогональным дополнением к замкнутой линейной оболочке собственных элементов {en}1∞, оператор А служит оператором
аннулирования.
Если предположить противное, из теоремы 13.4 будет следовать,
что в пространстве Н0 существует собственный элемент оператора
А, соответствующий ненулевому собственному значению, а это невозможно, так как все такие собственные элементы входят в подпространство Нe. Таким образом, утверждение (14.1) доказано. Равенство (14.2) следует непосредственно из (14.1), если учесть, что
Аen = λnen и оператор А непрерывен.
73
Формула (14.2) показывает, что всякий элемент из области значений вполне непрерывного самосопряженного оператора может
быть разложен в ряд по собственным элементам этого оператора.
Теорема Гильберта–Шмидта остается в силе и в том случае, если
множество собственных значений оператора А конечно. При этом
бесконечные ряды должны быть заменены конечными суммами.
Опираясь на теорему Гильберта–Шмидта, можно построить резольвенту непрерывного самосопряженного оператора.
Рассмотрим неоднородное уравнение 2-го рода с оператором указанного типа
Ax = λx + y,
(14.3)
где y ∈ Н – заданный элемент; x ∈ Н – искомый.
Пусть {λn}1∞ – последовательность собственных значений оператора А, {en}1∞ – последовательность соответствующих собственных
элементов, которые будем считать ортонормированными. Предположим, что параметр λ в (14.3) не совпадает ни с одним из собственных значений λn.
Представим y согласно теореме 14.1 в виде
¥
y = å (y, en )en + y0 , y0 Î H0 .
(14.4)
n=1
Для x и Аx воспользуемся представлением (14.1), (14.2). Тогда
будем иметь
¥
¥
n=1
n=1
x = å αn en + x0 , x0 Î H, Ax = å αn λn en , αn = (x, en ).
(14.5)
Подставив (14.4), (14.5) в (14.3), получим
¥
¥
¥
n=1
n=1
n=1
å αn λn en = λ å αn en + λx0 + å (y, en )en + y0 .
(14.6)
Отсюда, умножив обе части скалярно на ek, найдем
α k λ k = α k λ + (y, ek ),
αk =
74
(y, ek )
, k = 1, 2, 
λk - λ
(14.7)
(14.8)
Если теперь подставить найденные коэффициенты αk в (14.6),
придем к равенству
1
x0 = - y.
λ
(14.9)
Итак, если x является решением уравнения (14.3), этот элемент
должен выражаться рядом
¥
(y, en )
1
en - y0 ,
λ -λ
2
n=1 n
x= å
(14.10)
который получаем из первого ряда (14.5) после замены αn и x0 по
(14.8) и (14.9). Одновременно непосредственной проверкой легко
убедиться в том, что ряд (14.10) уравнению (14.3) удовлетворяет.
Учитывая (14.4) и соотношение
ö
1
1æ λ
= çç n -1÷÷÷,
ç
λn - λ λ è λn - λ
ø÷
решение уравнения (14.3) можно представить в виде
x=
1 ¥ λn
1
(y, en )en - y "y Î H.
å
λ n=1 λn - λ
λ
(14.11)
Таким образом, формула (14.11) определяет резольвенту
Rλ = ( A - λI)-1
вполне непрерывного самосопряженного оператора А, если λ не
­совпадает ни с одним из собственных значений этого оператора. ­Если параметр λ совпадает с одним из собственных значений
оператора А, решение уравнения (14.3) существует не при всяком y ∈ Н.
Пусть, например, λ = λk и этому собственному значению соответствует нормированный собственный элемент ek. В этом случае
равенство (14.7) выполняется только при условии (y, ek), т. е. когда свободный член уравнения (14.3) ортогонален собственному элементу ek. Тогда αk можно заменить произвольной постоянной с, которая войдет в ряд (14.10) в качестве коэффициента при ek (если
75
размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению λ, равна m, ряд (14.10) будет содержать m произвольных коэффициентов).
Таким образом, при совпадении λ с одним из собственных значений уравнение (14.3) либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество решений. Как и следовало ожидать, резольвенты в указанном случае не существует.
14.2. Уравнение Фредгольма с симметричным ядром
Уравнение
b
x(t) = μ ò K(s, t)x(s)ds + y(t),
(14.12)
a
где ядро удовлетворяет условиям
b b
K(s, t) = K(t, s),
òòK
2
(s, t)dsdt < ¥,
a a
является частным случаем уравнения (14.3). Для того чтобы уравнения совпадали по форме, достаточно положить μ = 1/λ и свободным членом считать y(t)/μ.
Будем считать x ∈ L2(a, b), y ∈ L2(a, b). Собственные функции
оператора Фредгольма, называемые также собственными функциями ядра, удовлетворяют однородному уравнению
b
en (t) = μn ò K(s, t)en (s)ds.
(14.13)
a
Множество собственных значений μn = 1/λn либо конечное, либо
счетное, функции en(t) полагаем ортонормированными.
Рассматривая K(s, t) как функцию переменной s, трактуем
b
ò K(s, t)en (s)ds
a
как обобщенные коэффициенты Фурье ядра. Согласно (14.13) они
равны en(t)/μn, n = 1, 2, …, поэтому рядом Фурье ядра K(s, t) служит
76
¥
en (s)en (t)
.
μn
n=1
å
Можно доказать, что этот ряд сходится (в смысле среднеквадратичной метрики) к ядру K(s, t), т. е.
¥
en (s)en (t)
.
μn
k=1
K(s, t) = å
(14.14)
Применительно к оператору Фредгольма с симметричным ядром
теорема Гильберта–Шмидта формулируется так: всякая функция
z(t), которая может быть представлена «истокообразно» с помощью
ядра K(s, t), т. е. в виде
b
z(t) = ò K(s, t)h(s)ds, h Î L2 (a, b),
a
разлагается в ряд по собственным функциям этого ядра, а именно,
¥
γn
en (t),
μ
n=1 n
z(t) = å
b
где γn = ò h(s)en (s)ds.
a
При μ ≠ μn решение уравнения (14.12) в соответствии с формулой
(14.11) можно найти в виде
¥
ηn
en (t) + y(t),
μ
-μ
n=1 n
x(t) = μ å
(14.15)
b
где
ηn = (y, en ) = ò y(s)en (s)ds.
a
Подставляя последнее выражение в (14.15) и меняя порядок выполнения операций суммирования и интегрирования, получаем
b ¥
x(t) = y(t) + μ ò
a
en (s)en (t)
y(s)ds.
μn - μ
n=1
å
(14.16)
77
Ряд из (14.16)
¥
en (s)en (t)
μn - μ
n=1
å
(14.17)
по характеру сходимости не отличается от ряда (14.14). Имея разложение ядра (14.14), легко построить и ряд (14.17). Обозначив сумму
последнего через Rμ(s, t), найдем окончательно
b
x(t) = y(t) + μ ò Rμ (s, t)y(s)ds.
a
Функция Rμ(s, t) называется разрешающим ядром (резольвентой), соответствующей данному ядру K(s, t).
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального
анализа: учеб. / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. 6-е изд., испр. и доп. М.:
Наука, 1989. 623 с.
2. Бирман, М. Ш. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман, Н. Я. Виленкин, Е. А. Горин, П. П. Забрейко; ред. С. Г. Крейн. 2-е изд., перераб.
и доп. М.: Наука, 1972. 544 с.
3. Вулих, Б. З. Введение в функциональный анализ / Б. З. Вулих.
2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1967. 416 с.
4. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь; пер. с фр. Д. А. Василькова; ред.-пер. С. В. Фомин; ред.
С. А. Теляковский. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Мир, 1979. 587 с.
5. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович,
Г. П. Акилов. 2-е изд. М.: Наука, 1977. 741 с.
78
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Метрические пространства............................................................. 3
1.1. Понятие метрического пространства.......................................... 3
1.2. Сходимость............................................................................ 6
1.3. Полнота................................................................................. 8
2. Операторы и функционалы...........................................................11
2.1. Примеры операторов и функционалов.......................................11
2.2. Непрерывность......................................................................12
3. Метод последовательных приближений..........................................15
3.1. Теорема Банаха.....................................................................15
3.2. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода..........................16
4. Линейные пространства...............................................................21
4.1. Аксиомы линейного пространства............................................21
4.2. Размерность..........................................................................23
4.3. Подпространства...................................................................23
5. Линейные операторы....................................................................25
5.1. Определение линейного оператора............................................25
5.2. Алгебра операторов................................................................26
6. Нормированные пространства.......................................................29
6.1. Некоторые определения..........................................................29
6.2. Норма оператора....................................................................31
7. Пространства со скалярным произведением.....................................34
8. Ортогональность..........................................................................42
8.1. Ортогональность. Процесс ортогонализации..............................42
8.2. Проекция на подпространство.................................................44
9. Обобщенный ряд Фурье................................................................48
10. Изоморфизм и изометрия............................................................53
10.1. Основные определения.........................................................53
10.2. Общий вид линейного функционала......................................54
10.3. Билинейный функционал.....................................................56
11. Сопряженный и самосопряженный операторы...............................58
11.1. Основные определения.........................................................58
11.2. Вариационная задача, связанная с уравнением Аx = y..............59
12. Резольвента и спектр оператора....................................................62
12.1. Определение понятий резольвенты и собственных чисел
оператора..................................................................................62
12.2. Уравнение с вырожденным оператором..................................64
12.3. Спектр вполне непрерывного оператора..................................66
13. Уравнение с самосопряженным оператором...................................69
13.1. Спектр вполне непрерывного самосопряженного оператора.......69
13.2. Прямая сумма подпространств..............................................71
14. Резольвента вполне непрерывного самосопряженного оператора.......73
14.1. Теорема Гильберта–Шмидта.................................................73
14.2. Уравнение Фредгольма с симметричным ядром.......................76
Литература....................................................................................78
79
Учебное издание
Дьякова Галина Николаевна,
Стрепетов Алексей Владимирович
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Учебное пособие
Редактор А. А. Гранаткина
Верстальщик И. Н. Мороз
Сдано в набор 18.12.14. Подписано к печати 27.12.14.
Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,65.
Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 500 экз. Заказ № 677.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 950 Кб
Теги
dyakova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа