close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Fridman 0990B081A6

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
Б. Э. Фридман
Электромагнитное поле в проводниках
Текст лекций
Санкт-Петербург 2011
УДК 537.8
ББК 22.313
Ф88
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор А. А. Ефимов; доктор физико-математических наук Н. В. Калинин
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве текста лекций
Фридман Б. Э.
Ф88
Электромагнитное поле в проводниках: текст лекций / Б. Э. Фридман. – СПб.: ГУАП, 2011. – 28 с.
Текст лекций содержит краткие сведения из теории электромагнитного
поля, необходимые для усвоения теоретических разделов курса «Электрические и электронные аппараты». Рассмотрены особенности распространения
переменного и импульсного электромагнитного поля в металле. Дано теоретическое обоснование явления поверхностного эффекта в проводниках.
Предназначен для студентов третьего курса, обучающихся по специальностям «Электромеханика» и «Техническая физика термоядерных реакторов и плазменных установок».
УДК 537.8
ББК 22.313
Учебное издание
Фридман Борис Эммануилович
Электромагнитное поле в проводниках
Текст лекций
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 15.02.11. Подписано к печати 21.03.11.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,7.
Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 100 экз. Заказ № 79.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП), 2011
© Б. Э. Фридман, 2011
Предисловие
Значительная часть курса «Электрические и электронные аппараты» посвящена изучению явлений, связанных с распространением переменного или импульсного электромагнитного поля в массивных проводниках. Изложение и объяснение этих явлений на
современном уровне возможно только на основе соответствующих
разделов теории электромагнитного поля. Однако в настоящее время объем изучения теории электромагнитного поля в дисциплине
«Теоретические основы электротехники» сокращен, и знания теории электромагнитного поля у студентов, обучающихся по специальностям «Электромеханика», недостаточны для понимания электродинамических процессов в электротехнических устройствах.
Кроме того, необходимые сведения из теории электромагнитного
поля отсутствуют в учебниках по курсу «Электрические и электронные аппараты», которые в своем большинстве были написаны
в то время, когда «Теория электромагнитного поля» преподавалась
в должном объеме всем студентам электрических специальностей.
Поэтому преподаватель курса «Электрические и электронные аппараты» вынужден значительную часть лекционного времени уделять разъяснению явления скин-эффекта и основам действия электромагнитного поля на элементы электротехнических устройств.
С другой стороны, у студентов нет учебного пособия, которое бы в
необходимом объеме описывало теоретические основы указанных
явлений.
Настоящее издание призвано устранить этот пробел в учебных
материалах по курсу «Электрические и электронные аппараты», а
также помочь студентам в усвоении теории явлений, связанных с
распространением электромагнитного поля в металле.
При подготовке текста лекций использовались материалы из
учебников [1, 3, 4] и справочника [2]. Часть изложенных материалов, в частности понятие скинового параметра массивных проводников, разработаны автором [5, 6] и впервые представлены в учебной литературе.
3
1. Краткие сведения
из математической теории поля
Выделим область G (конечную или бесконечную) в трехмерном
пространстве. Пусть в каждой точке P∈G задана функция точки
u=f(P).
Совокупность значений функции u=f(P), заданных в области G,
называется полем u.
1.1. Скалярное поле
Если значение функции u=f(P) – скаляр (то есть вещественное
или комплексное число), значение которого не зависит от выбора
системы координат, то поле называется скалярным.
Примеры скалярных полей:
• поле температур,
• поле электрического потенциала в окрестности заряженного
тела в электростатике,
• поле магнитного потенциала в магнитостатике и др.
В скалярном поле определены операции сложения и умножения
на постоянное число. То есть, если f1(P) и f2(P) являются элементами
скалярного поля u, определенного в области пространства G (P∈G),
α, β – вещественные или комплексные числа, то f(P)=αf1(P)+βf2(P)
также является элементом поля u.
Равенство f(P)=const определяет в скалярном поле поверхность
уровня скалярного поля.
Примеры поверхностей уровня поля:
• изотермические поверхности в поле температур,
• эквипотенциальные поверхности в электростатическом поле и др.
1.2. Векторное поле
Векторы в трехмерном пространстве могут быть представлены
в виде направленных отрезков. Если значение функции v = f(P) –
вектор (с вещественными или комплексными компонентами), величина и направление которого не зависят от выбора системы координат, то поле называется векторным.
4
Примеры векторных полей:
• поле скоростей частиц в потоке жидкости или газа,
• поле векторов напряженности или индукции магнитного поля
(магнитное поле),
• поле векторов плотности электрического тока в проводящем
теле и др.
В декартовой (прямоугольной) системе координат вектор v = f(P)
может быть представлен в виде разложения на проекции по осям
координат x, y, z.
v = f(P) = vxi + vyj + vzk,
где i, j, k – единичные векторы, направление которых совпадает с
направлением координатных осей x, y, z; vx, vy, vz – проекции вектора v на соответствующие оси координат.
Пусть f(P) = vxi + vyj + vzk, f1(P) = v1xi + v1yj + v1zk и f2(P) = = v2xi + v2yj + v2zk являются элементами векторного поля v, α –
вещественное или комплексное число. Тогда в векторном поле v
определены алгебраические операции, представленные в табл. 1.
Таблица 1
Алгебраические операции
над элементами векторного поля
Операции векторной
алгебры
Умножение вектора v на вещественное или комплексное число α
Определение операции
αv – есть вектор, направление которого совпадает
с направлением вектора v,
величина (длина отрезка)
которого αv= αv
Сложение векторов v1 + v2 есть вектор, длина
с вещественными и направление которого
или комплексными определяются по правилу
компонентами
параллелограмма;
Скалярное произведение векторов
с вещественными
компонентами
v1 v2 =v1∙v2∙ cos(ϕ) есть
скаляр (вещественное число), ϕ – угол между векторами v1 и v2.
Векторное произведение векторов
c вещественными
компонентами
v1 × v2 есть вектор, величина (длина отрезка)
которого равна v1 × v2 =
v1∙v2∙sin(ϕ), и
Представление в декартовых координатах
αv = αvxi + αvyj + αvzk
v1 + v2 = (v1x + v2x)i + + (v1y + v2y)j +
+ (v1z + v2z)k
v1 ∙ v2 = v1x ∙v2x + + v1y ∙ v2y + v1z ∙ v2z
i
v1 × v 2 = v1x
v2x
j
v1y
v2y
k
v1z
v2z
5
Окончание табл. 1
Операции векторной
алгебры
Определение операции
Представление в декартовых координатах
который направлен перпендикулярно векторам v1
и v2 так, чтобы с вершины
результирующего вектора
v1 × v2 направление вращения от v1 до v2 было бы против часовой стрелки
1.3. Дифференциальные операции в скалярном поле
Градиентом скалярного поля u является вектор gradu, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания
функции u = f(P) и численно равный скорости изменения функции
u по этому направлению. Градиент образует векторное поле в скалярном поле u.
В декартовой системе координат
grad u =
∂u
∂u
∂u
i+
j+
k. ∂x
∂y
∂z
(2)
Скорость изменения функции u = f(P) по направлению, заданному единичным вектором τ, равна скалярному произведению градиента на вектор t.
du
= grad u ⋅ τ, ds
(3)
где s – расстояние, отсчитываемое в направлении вектора t.
Максимальная скорость изменения скалярной функции u = f(P)
достигается в направлении вектора gradu.
1.4. Дифференциальные операторы
в векторном поле v = f(P)
Пусть V1 – область, содержащая точку P; S1 – замкнутая поверхность, ограничивающая область V1; δ – наибольшее расстояние от
точки P до точек на поверхности P1 ∈ S1; dS – вектор элемента пло6
щади поверхности S1, направление которого совпадает с направлением внешней нормали в точке P1.
Таблица 2
Дифференциальные операторы в векторном поле
Дифференциальный
оператор
Представление в декартовых координатах
Определение
Дивергенция вектора
∫ dS ⋅ v(P1 )
div v(P) = lim
S1
div v =
∂vx ∂vy ∂vz
+
+
∂x
∂y
∂z
∫ dV
δ→0
V1
Вихрь вектора
∫ dS× v(P1 )
rot v (P ) = lim
δ→0
S1
∫ dV
V1
i
∂
rot v =
∂x
vx
j
∂
∂y
vy
k
∂
∂z
vz
Дивергенция вектора v образует скалярное поле в векторном
поле v. Вихрь вектора v образует векторное поле.
1.5. Интегральные теоремы
Пусть V ∈ G – односвязная область; S – замкнутая поверхность,
ограничивающая область V; S1 – поверхность в области G; dS –
вектор элемента площади поверхности S или S1; Λ1 – замкнутый
контур на поверхности S1; dl – вектор элементарного бесконечно
малого отрезка контура Λ1, который совпадает с касательной в точке контура Λ1 в направлении обхода по этому контуру.
Таблица 3
Важнейшие интегральные теоремы для векторного поля
Наименование теоремы
Формула
Теорема Гаусса
∫ div v ⋅ dV = ∫ v ⋅ dS
V
Теорема Стокса
S
∫ rot v ×dS = ∫ v ×dl
S1
Λ1
7
2. Уравнения электромагнитного
поля Максвелла
2.1. Основные электрические величины
Основные электрические величины, характеризующие электромагнитное поле, приведены в табл. 4. В табл. 5 даны уравнения
электромагнитного поля Максвелле для характерного в электротехнике случая, когда можно не учитывать электростатическое
поле электрических зарядов и пренебречь токами смещения и волновыми проявлениями поля в диэлектрике.
Таблица 4
Обозначения электрических величин
Наименование
Обозначение и Размерность простейшие в системе СИ
соотношения
E
i
δ
u
Вектор напряженности электрического поля
Электрический ток
Вектор плотности электрического тока
Электрическое напряжение
Электрическое сопротивление
R=
ρ
Удельное электрическое сопротивление
Удельная электрическая проводимость
Вектор напряженности магнитного поля
Вектор индукции магнитного поля
Абсолютная магнитная проницаемость
Относительная магнитная проницаемость
Магнитная постоянная
Магнитный поток
Потокосцепление
u
i
1
γ=
ρ
H
B = µH*)
µ = µrµ0*)
µr*)
µ0 = 4π ∙10–7
Φ
Ψ
В/м
А
А/м2
В
Ом
Ом⋅м
(Ом⋅м)–1
А/м
Тл
Гн/м
Гн/м
Вб
Вб
Примечание: *) – для однородной изотропной среды.
В теории электромагнитного поля постулируются уравнения
Максвелла в дифференциальной форме. Интегральная форма этих
уравнений выводится из дифференциальной формы с помощью интегральных теорем, приведенных в табл. 3.
8
Таблица 5
Уравнения электромагнитного поля Максвелла
в однородной изотропной физической среде
№ п/п
Наименование уравнения
1 Закон полного тока
Дифференциальная форма уравнения
Интегральная форма уравнения
rotH = δ (1)
∫ H ⋅ dl = ∑ ik
k
Λ
2 Закон электромагнитной индукции
rotE = −
∂B
(2)
∂t u=∫
 E ⋅ dl = −
3 Принцип непрерывности магнитного потока
divB = 0 (3)
∫ B ⋅ dS = 0
∑ ik
k
Λ
dΦ
dt
S
4 Закон Ома
5 Связь между индукцией и напряженностью магнитного
поля
Примечания:*)
*)
δ = γE
B = µH
u = Ri
– сумма токов, охватываемая замкнутым контуром Λ.
2.2. Интегральная форма закона полного тока
Интегральная форма выводится из дифференциальной формы
закона полного тока посредством применения интегральной теоремы Стокса.
Действительно, пусть в пространстве G присутствуют электрический ток с плотностью δ и магнитной поле напряженностью H.
Выделим на произвольной поверхности в области G односвязную
область S, ограниченную замкнутой линией (контуром) Λ (рис. 1).
Для каждой точки P ∈ S выполняется закон полного тока в дифференциальной форме (1) (табл. 5). Возьмем интеграл по поверхности
S от левой и правой части этого соотношения.
° rotH – dS ° D – dS. S
Согласно теореме Стокса
(4)
S
∫ rotH ⋅ dS = ∫ H ⋅ dl.
S
С другой сторо-
Λ
ны, интеграл в правой части (4) по существу представляет собой
9
сумму токов, охватываемых конту)
ром Λ, ∫ δ⋅ dS = ∑ ik .
D
)
D
D
)
S
D
,
Рис. 1. К выводу интегральной
формы закона полного тока
k
Таким образом доказана справедливость интегральной формы закона
полного тока, которая утверждает:
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по замкнутому контуру Λ равна сумме токов, которая охватывается этим
контуром.
2.3. Интегральная форма закона
электромагнитной индукции
Аналогичным образом интегральная форма закона электромагнитной индукции выводится из дифференциальной формы этого закона. Пусть в пространстве G существует переменное или импульсное электромагнитное магнитное поле B(t). Выделим на произвольной поверхности в области G односвязную область S, ограниченную
замкнутой линией (контуром) Λ. Для точек P ∈ S выполняется закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме (2) и
∫ rotE⋅ dS = −∫
S
S
∂B
⋅ dS. ∂t
(5)
Применим теорему Стокса к левой части равенства (5),
∫ rotE⋅ dS = ∫ E ⋅ dl.
S
Λ
Циркуляция электрического вектора E по замкнутому контуру
Λ равна электродвижущей силе, наведенной магнитным полем в
контуре Λ,
∫ E ⋅ dl = u.
Λ
∂
С другой стороны, можно вывести производную
за пределы
∂t
интеграла в правой части (5):
−∫
S
10


∂B
∂ 
dΦ

⋅ dS = −  ∫ B ⋅ dS = −
,
∂t
∂t 
dt

S

так как интеграл
∫ B ⋅ dS по существу представляет собой магнитный
S
поток Φ, пересекающий поверхность S, ограниченную контуром Λ.
Таким образом, доказана справедливость интегральной формы
закона электромагнитной индукции:
ЭДС, наводимая магнитным полем в контуре, равна скорости
изменения магнитного потока, охватываемого этим контуром.
2.4. Интегральная форма принципа непрерывности
магнитного потока
Выводится из дифференциальной формы этого закона с помощью интегральной теоремы Гаусса.
Действительно, пусть в некоторой области пространства G существует магнитное поле и проходят силовые линии этого поля, то есть
линии вектора индукции B. Выделим односвязную область V ⊂ G, ограниченную замкнутой поверхностью S (рис. 2). В каждой точке P ∈ V
действует следующее соотношение (3) (табл. 5, стр. 9). Рассмотрим интеграл по области V от левой и правой части данного равенства:
∫ div B dV = 0.
V
Согласно интегральной теореме Гаусса
∫ div B dV = ∫ B ⋅ dS = 0. V
Интеграл
∫ B ⋅ dS
(6)
S
определяет
S
магнитный поток Φ или количество
силовых линий, пересекающих замкнутую поверхность S. Полученное
соотношение (6) доказывает непрерывность магнитного потока Φ, или
утверждение:
Количество силовых линий (линий вектора B), входящих в замкнутый объем V, всегда равно количеству выходящих из этого объема
силовых линий.
4
E4
#
#
#
#
Рис. 2. К выводу интегральной формы закона непрерывности магнитного потока
11
3. Проникновение электромагнитного поля
в металл
3.1. Постановка задачи
Рассмотрим цилиндрический провод большого сечения, по которому протекает переменный или импульсный ток (рис. 3).
Подключим вольтметр к двум точкам на образующей цилиндрической поверхности проводника, которые расположены на
расстоянии l друг от друга. На поверхности проводника действует
u
вектор напряженности электрического поля, величиной E0 = ,
l
где u – показания вольтметра. Направление вектора E0 совпадает
с направлением линий тока. На поверхности проводника действует
также вектор напряженности магнитного поля, значения которого
должны соответствовать закону полного тока
∫ H0 ⋅ dl = i,
где Λ –
Λ
замкнутый контур на поверхности провода, охватывающий этот
провод.
Рассмотрим малую область пространства около поверхности проводника, размеры которой существенно меньше радиусов кривизны
поверхности провода. Малые размеры выбранной области позволяют считать плоской границу, разделяющую металл и окружающее
пространство. Для этой области пространственное распределение
поля примерно будет соответствовать решению одномерной задачи
о проникновения электромагнитного поля в проводящее полупространство (рис. 4).
Введем прямоугольную систему координат x, y, z таким образом, чтобы на
поверхности проводника ось x совпадала
M
7
бы с направлением вектора E, ось y совпаJ
дала бы с направлением вектора H, а ось
z была бы направлена по нормали к поверхности вглубь металла (рис. 4). В этих
координатах
H = Hyj, E = Exi.
Рис. 3. Провод с током
12
Уравнения Максвелла (закон полного
тока, закон электромагнитной индукции,
закон Ома и связь между индукцией и напряженностью магнитного поля) дают следующие соотношения для векторов электромагнитного поля в проводящей области Ωi.
Y
&
7J
7F
MG¹ MG
[

rotH = δ = γE,




∂B
∂H (7)
rotE = −
.
= −µ


∂
t
∂t

)
Z
Представим векторные уравнения (7) в декартовых координатах (табл. 2, стр. 7). При этом
Рис. 4. Проникновение одномерного
следует учесть, что в задаче о
электромагнитного поля
проникновении электромагнит- в проводящее полупространство
ного поля в проводящее полупространство (см. рис. 4) векторы электромагнитного поля зависят
только от координаты z и не изменяются в направлениях x и y, то
есть частные производные


i
j



rotH = 0 0





0 Hy



∂H
∂E
∂H
∂E
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
∂x
∂x
∂y
∂y
k
i
∂
= γE, rotE = 0
∂z
0
Ex
j
k
∂Hy
∂
0
= −µ
j,
∂z
∂t
0 0
Вычисление определителей в последних выражениях дает уравнения для отличных от нуля проекций векторов электромагнитного поля:
 ∂Hy
i = γEx i,
−
 ∂z
 ∂Ex
∂Hy

j = −µ
j.
∂t
 ∂z
Следовательно, в проводящей среде Ωi уравнения Максвелла вырождаются в два скалярных дифференциальных соотношения для
проекций векторов электромагнитного поля:
13
 ∂Hy
= γEx ,
−
 ∂z
 ∂Ex = −µ ∂Hy .
 ∂z
∂t

(8)
Учитывая, что в выбранной системе координат векторы электромагнитного поля E и H имеют только по одной отличной от нуля
компоненте, в последующих преобразованиях будем использовать
∂
обозначения Hy = H, Ex = E. Возьмем частную производную
от
∂z
первого уравнения из (8) и подставим в правую часть полученного
соотношения второе уравнение из (8):
∂2 H
2
∂z
= −γ
∂E
∂H
.
= µγ
∂z
∂t
(9)
Для уравнения (9) имеют место следующие граничные условия:
• условие на поверхности металла.Hz=0 =H0,
• условие затухания поля в глубине металла H|z→∞ = 0.
Таким образом, распределение напряженности магнитного поля
в металле удовлетворяет следующим соотношениям:
 ∂2 H
∂H

 2 = µγ ∂t ,
 ∂z
H
= H0 ,  z=0
H
= 0.
 z→∞

(10)
Аналогичным образом, дифференцируя по z второе уравнение
из (8), с учетом первого уравнения из (8) и граничных условий на
поверхности и в глубине металла получим:
 ∂2 E
∂E

 2 = µγ ∂t ,
 ∂z
E
= E0 ,  z=0
E
= 0.
 z→∞

(11)
Проникновение переменного или импульсного электромагнитного поля в металл описывается одинаковыми уравнениями для
14
напряженности магнитного поля H, напряженности электрического поля E и плотности тока δ (последнее следует из дифференциальной формы закона Ома, п. 4 табл. 5).
3.2. Переменное электромагнитное поле в металле
Используем символический метод, при котором проекции
векторов переменного магнитного и электрического поля H(t) = = Im{Hmejωt}, E(t) = Im{Emej(ωt+ϕ)} представлены комплексными
 = H , arg (H
 )= 0, E = E , arg (E )= ϕ.
 , то есть H
 и E
числами H
m
m
При этом дифференциальные уравнения с частными производными (10) и (11) переходят в обыкновенные линейные дифференциальные уравнения второго порядка:
 d2 H



 2 − jωµγH = 0,
dz

H

 ,
(12)
=H
0
 z=0
H

 z→∞ = 0,

 d2 E


 2 − jωµγE = 0,
dz

E
(13)
= E 0 ,
 z=0
E
 z→∞ = 0.

Общее решение дифференциального уравнения (12)
 (z) = A e−αz + A eαz ,
H
1
2
где, A1 и A2 постоянные, которые определяются граничными усло1+ j
виями, α = j ωµγ =
ωµγ . В последнем соотношении из двух
2
1+ j
значений j = ±
для определенности выбрано значение с по2
ложительной вещественной частью, хотя тот же результат может
быть получен при выборе значения j с отрицательной вещественной частью.
15

Граничное условие убывания поля в бесконечности H
z→∞
=0
требует A2 = 0. Из граничного условия на поверхности металла

 следует A = H
 . Таким образом, задача (12) имеет реH
=H
0
1
0
z=0
шение
 (z) = H
 e−αz = H
 e−(1+ j )kz =  H
 −kz  ⋅ e−jkz , H
0
0
 0 e

(14)
1
ωµγ
ωµ
, ρ = – удельное сопротивление металла.
=
γ
2
2ρ
Аналогично находится решение дифференциального уравнения
(13).
где k =
E (z) = E 0 e−αz =  E 0 e−kz  ⋅ e−jkz . 

(15)
В каждой точке проводящей среды векторы электромагнитного
поля связаны между собой соотношением, которое следует из (8):
α 
ωµ 
 (z). E (z) = H
H (z) = ZH
(z)= (1 + j )
2γ
γ
(16)
α
ωµ
называется волно= (1 + j )
2γ
γ
вым сопротивлением проводящей среды.
Из (16) следует, что в каждой точке проводящей среды
 )= π , то есть в металле фаза электрического векarg (E )− arg (H
4
тора E опережает фазу вектора напряженности магнитного поля
 на угол π/4. В том числе, если на поверхности проводника
H
 (0))= 0, то ϕ = arg (E (0))= π .
arg (H
4
Определение. Параметр, характеризующий убывание напряженностей переменных электромагнитного поля и плотности тока в глу1
2
2ρ
=
, называется глубиной проникнобине металла ∆ = =
ωµγ
ωµ
k
вения переменного электромагнитного поля в металл или глубиной
скин-слоя переменного электромагнитного поля в металле.
На глубине z = ∆ амплитуды напряженности электромагнитного

H
 ( ∆) = 0 ,
поля и плотности тока уменьшаются в e = 2,718 раз H
e
Определение. Параметр Z =
16
 E 0 
 
E (∆) =   . Если мы проведем касательную к любой из кривых
e
 (z) , E (z) или δ (z) в точке с координатой z = 0, то эта касательH
ная пересечет ось z в точке z = ∆.
Определение. Явление неравномерного распространения переменного или импульсного электромагнитного поля в проводниках
называется поверхностным эффектом или «скин-эффектом».
3.3. Поток мощности переменного
электромагнитного поля в металле
Плотность потока мощности электромагнитного поля определяется вектором Пойнтинга
S = E × H.
(17)
Для одномерного электромагнитного поля (см. рис. 4), у которого векторы E и H перпендикулярны, величина вектора Пойнтинга
S определяется произведением S(t) = E(t)H(t), а направление вектора S совпадает с направлением оси z, то есть вектор S направлен
перпендикулярно к поверхности и в глубину металла. Для переменного электромагнитного поля в каждой точке металла H(t) =
Hmsin(ωt), E(t) = Emsin(ωt + π/4).
S(t) = Emsin(ωt + π/4) Hmsin(ωt) = Z Hm2 sin(ωt+ π/4) sin(ωt) = = 0,5Z Hm2[cos(π/4)–cos(2ωt + π/4)}.
Таким образом, в каждой точке внутри металла величина вектора Пойнтинга представляет собой осциллирующую с двойной частотой 2ω функцию, у которой среднее значение
2z
Sñð (z) =
−
1 ωµ0
ρ
Hm2 (z) = H02e ∆ , 2 2γ
∆
(18)
1
Hm (0) – действующее значение напряженности маг2
нитного поля на поверхности металла (при z = 0).
Среднее значение величины вектора Пойнтинга соответствует
средней за период колебаний мощности, которая передается через
площадку 1 м2 в направлении оси z. График зависимости Sср(z)
приведен на рис. 5. Если на этом графике мы проведем касательную к кривой Sср(z) в точке с координатой z = 0, то эта касатель-
где H0 =
17
(z)
H
E (z)
D (z)
H0
E0
D0
s
arg ¨©ª E (z)·¸¹
s
(z)·
arg ¨©ª H
¸¹
s
Sñð (z) 
Sñð (0)



[
s
Рис. 5. Затухание векторов переменного электромагнитного поля
и вектора Пойтинга в металле




[
Рис. 6. Изменение фазы векторов
переменного электромагнитного
поля в металле
ная пересечет ось z в точке z = ∆/2. То есть эквивалентная глубина
проникновения для мощности, передаваемой в глубь металла, в два
раза меньше глубины скин-слоя.
Убывание вектора Пойнтинга в глубине металла свидетельствует о том, что часть мощности, переносимой электромагнитным полем, теряется в металле, то есть выделяется в виде тепла. Удельная
мощность тепловыделения (мощность в единице объема, усредненная за период колебаний)
2z
p =−
2z
−
−
∂Sch
2ρ
= 2 H02 e ∆ = ωµ0 H02e ∆ = γE2 (z).
∂z
∆
3.4. Линейная плотность тока
Определение.
∞
Линейной
плотностью
тока
называется
δ ë = ∫ δ (z)dz.
0
Линейная плотность тока δл представляет собой вектор, заданный на поверхности проводника, полученный в результате суммирования векторов плотности тока δ(z) по координате z. Размерность
линейной плотности тока [δл] = А/м.
Утверждение. Для однородного импульсного или переменного
электромагнитного поля в проводящем полупространстве величина линейной плотности тока равна величине напряженности магнитного поля на поверхности металла
18
δл = H0.
(19)
Действительно из закона полного тока (8)
−
∂H
= γE = δ
∂z
следует
∞
∞
δ ë = ∫ δ (z)dz = −∫
0
0
∂H
dz = H0 .
∂z
По существу величины линейной плотности тока δл и напряженности магнитного поля на поверхности проводника H0 выражают
одну характеристику электромагнитного поля в металле и на практике их не различают.
19
4. Поверхностный эффект
в проводниках сложной формы
4.1. Общие сведения.
Резко выраженный поверхностный эффект
и идеальный поверхностный эффект
Распределение электромагнитного поля и тока в проводниках
сложной формы и в окружающих их пространстве определяется
дифференциальными уравнениями в частных производных, которые выводятся из уравнений электромагнитного поля Максвелла. Методы решения таких уравнений и методы вычисления пространственного распределения поля изучаются в специальных
математических дисциплинах: математическая физика, численные методы решения дифференциальных уравнений в частных
производных и др. В настоящее время эти методы реализованы в
программных продуктах �����������������������������������������
Elcut������������������������������������
, Comsol����������������������������
����������������������������������
, Ansis���������������������
��������������������������
и др., предназначенных для решения пространственных полевых задач. Ниже приведено качественное описание некоторых проявлений поверхностного эффекта в проводниках сложной формы, сделанное без привлечения математических методов, выходящих за пределы стандартного математического образования инженеров электромеха- ников.
Определение. Резко выраженный скин-эффект (поверхностный
эффект) – это скин-эффект в проводниках, характерные размеры
которых существенно превышают глубину проникновения электромагнитного поля.
Для переменного поля условие резко выраженного скин-эффекта
a >> ∆, где a – характерный размер проводника (радиус сечения
круглого провода, минимальный поперечный размер провода прямоугольного сечения, радиус закругления проводника сложной
формы). Условия резко выраженного поверхностного эффекта не
выполняются на острых кромках проводников.
В случае резко выраженного поверхностного эффекта математическое описание проникновения в полупространство однородного
электромагнитного поля (см. рис. 4, уравнения (10) и (11)) приближенно выполняется в области у поверхности проводника с характерными размерами порядка глубины проникновения поля. Для
резко выраженного поверхностного эффекта ориентировочно справедливо соотношение (19), то есть δл ≈ H0.
20
Определение. Идеальный поверхностный эффект – это математическая абстракция, облегчающая определение распределение
магнитного поля и тока в проводниках сложной формы при малой
глубине проникновения поля. При идеальном поверхностном эффекте считают проводимость γ = ∞, и весь ток протекает в бесконечно тонком слое у поверхности проводника ∆ → 0. В этом слое
δ = ∞, и распределение тока характеризуется только линейной
плотностью тока δл = H0, которое численно равно напряженности
магнитного поля на поверхности идеального проводника. Внутри
идеального проводника магнитное поле отсутствует Hz > 0 = 0.
На поверхности идеального проводника выполняются следующие условия для векторов электромагнитного поля: нормальная
составляющая магнитного вектора и касательная составляющая
электрического вектора равны нулю – H⊥ = 0 и Eτ = 0.
В частном случае проводящего полупространство с идеальной
(бесконечно большой) проводимостью эти условия позволяют использовать метод зеркальных изображений для расчета линейной
плотности тока δл и магнитного поля H в окружающем проводники пространстве.
4.2. Поле линейного провода
с током около идеально проводящей плоскости
Рассматриваем бесконечно длинный и бесконечно тонкий провод, расположенный параллельно плоскости, ограничивающей
полупространство с идеальной проводимостью (рис. 7). В проводе
идет ток I. Обратный ток –I протекает по плоскости z = 0.
Z
Z
G
G ¹
B
[
S
) A
B
Z
)
)
DÄ
sB
Рис. 7. Поле линейного провода с током
около идеально проводящей плоскости
21
Условия на границе идеального проводника (на плоскости), а
именно H⊥ = 0 и Eτ = 0 позволяют применить метод зеркальных
изображений для расчета магнитного поля. Заменяем идеально
проводящее полупространство непроводящей средой, в которой
размещен провод с зеркальным током противоположного направления –I.
Напряженность магнитного поля одного из проводов проI
сто определяется из закона полного тока H1 =
, где r – длина
2πr
радиус-вектора r, расстояние точки пространства от провода. В точках на плоскости z = 0 проекция H1 на направление оси y
H1,y = H1ñosα = H1
a
Ia
Ia
=
=
.
2
r 2πr
2π y2 + a2
(
)
Выполняя сложение векторов напряженности магнитного поля
основного тока и зеркально отраженного тока, получим значения
напряженности поля на плоскости z = 0
H z=0 = H1,y + H2,y =
Ia
2
π ( y + a2 )
.
(20)
Из построения (см. рис. 7) следует, что нормальная составляющая напряженности магнитного поля на границе плоскости z = 0
равна нулю
Hnz=–0 = 0.
(21)
Решения уравнений электромагнитного поля (уравнений Максвелла) для однородной среды единственным образом определяются начальными и граничными условиями. В случае провода,
проходящего над идеально проводящей поверхностью, и в случае
двух параллельных проводников со встречными токами граничные
условия на плоскости z = 0 совпадают и определяются (21). Следовательно, конфигурация магнитного поля слева от границы (при z < 0) в обоих случаях совпадает. Это позволяет утверждать, что
касательная составляющая напряженности магнитного поля на
сверхпроводящей поверхности определяется соотношением (20).
В соответствии с (19) получаем, что линейная плотность тока в
сверхроводящей поверхности определяется соотношением
22
δë = −
Ia
2
π ( y + a2 )
.
(22)
График распределения линейной плотности тока δ ë в сверхпроводящей поверхности показан в правой части рис. 7.
В случае переменного тока и резко выраженного поверхностного
эффекта ( γ < ∞ ), когда глубина проникновения поля в проводник
∆ << a , линейная плотность тока принимает близкие к найденным
значения
δë ≈
Ia
2
π ( y + a2 )
,
(23)
а распределение тока в поверхностном слое в направлении координаты z примерно соответствует распределению тока в задаче о проникновении однородного электромагнитного поля в проводящее
полупространство (рис. 5, (14), (15)).
Соотношение (23) и рис. 7 иллюстрирует один из эффектов,
свойственных распределению переменного или импульсного электромагнитного поля в проводниках, который называется эффектом
близости.
Определение. Эффект близости – это явление, наблюдаемое в
системе из нескольких проводников (двух или более), заключающееся во взаимном влиянии проводников с током на распределение
тока в этих проводниках.
23
5. Массивные проводники
как элементы электрических цепей
Определение. Массивным проводником называется проводник,
характерные размеры которого существенно превосходят глубину
проникновения электромагнитного поля в металл этого проводника.
Из этого определения следует, что массивнее проводники работают в условиях резко выраженного поверхностного эффекта. В настоящем разделе рассматриваются свойства массивных проводников как элементов электрических цепей.
Классическая теория электрических цепей оперирует элементами с сосредоточенными параметрами четырех видов:
• активное сопротивление R,
• индуктивность –L,
• емкость С,
• взаимная индуктивность M.
Целесообразность применения этих параметров определяется
тем, что каждый из этих параметров, и только он один, определяет
соотношение между током i(t) и падением напряжения u(t) на этом
элементе электрической цепи.
Например, для активного сопротивления R это соотношение называется закон Ома (первая строка табл. 6), для индуктивности L –
закон электромагнитной индукции (вторая строка табл. 6) и т.д.
В новейших исследованиях [5, 6] показано, что существует параметр S, который определяет соотношения между током i(t) и падением напряжения u(t) на массивном проводнике. Этот параметр
называется скиновый параметр массивного проводника S.
В электрических цепях переменного тока частотой ω соотношение между током I (ω ) и падением напряжения U (ω ) для массивного проводника следующее:
U (ω ) =  jωLe + jω ⋅ S ⋅ I (ω ), 

(24)
где Le – внешняя индуктивность массивного проводника, связанная с внешним магнитным полем, создаваемом током в массивном
проводнике; S – скиновый параметр, который учитывает вклад
электромагнитного поля внутри металла в падение напряжения на
массивном проводнике.
В импульсных процессах при нулевых начальных условиях
(u(0) = 0, i(0) = 0) падение напряжения u(t) на массивном проводнике определяется так:
24
t
u(t) = Le
di
i ′(τ)
+ S∫
dτ. dt
t−τ
(25)
0
На практике параметры массивных проводников Le и S определяют для элементов электрических цепях мощных импульсных
установок, для индукторов (реакторов) с массивными витками и
для других устройств, работающих при больших импульсных токах.
Параметры массивных проводников можно измерить стандартными приборами (L-C-R meter), измеряющими индуктивности и
сопротивления на переменном токе в диапазоне частот от 1 кГц до 1 МГц При этих измерениях следует в рабочем диапазоне частот измерить активную и реактивную часть импеданса массивного проводника ZS (ω ) = jωLe + jω ⋅ S, то есть


ω

⋅ S,
Re  Z (ω ) =


2



1
1
 Im  Z (ω ) = L +
S.
e



2ω
ω

(26)
Далее по результатам измерений находят два числа Le и S, которые обеспечивают наилучшее приближение к аппроксимации (26).
25
Таблица 6
Соотношения между током i (t) и напряжением u(t)
для элементов электрической цепи
№ Наиме- Обознап/п нование чение
пара- метра
1
2
Сопротивление
Индуктивность
R
Емкость
C
Размерность
Ом
Падение напряжения
u=Ri
i=
di
dt
i(t) = i(0) +
L
Ãí = Îì ⋅ ñ
u=L
t
Скиновый параметр
1
u(τ)dτ
L∫
0
1
i(τ)dτ
C∫
i(t) = C
0
4
u
R
t
Ô = ñ Îì u(t) = u(0) +
3
Ток
S
t
Îì ⋅ ñ
u(t) = S ∫
0
i ′(τ)
t−τ
du
dt
t
dτ
i(t) =
1
u(τ)
dτ
πS ∫ t − τ
0
Соотношения между током и напряжением(24) и (25) позволяют
сформулировать уравнения Кирхгофа для электрических контуров
с массивными проводниками и рассчитать установившиеся (для переменного тока) и переходные процессы в этих контурах. При этом
с математической точки зрения уравнения Кирхгофа получаются
в форме интегро-дифференциальных уравнений, которые можно преобразовать в интегральные равнения с сингулярным ядром
1
. Численные решения этих интегральных уравнений и, тем
t−τ
самым, временные зависимости токов и напряжений в электрических контурах могут быть получены методом конечных разностей.
Понятия «массивный проводник» полезно не только при расчете переходных процессов, но также имеет практическое значение
при экспериментальном исследовании электрических цепей мощных импульсных установок.
26
Список литературы
1. Гольдфайн И. А. Векторный анализ и теория поля. М.: Наука,
1968.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.
3. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: В 2 т. Л.: Энергия, 1967.
4. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.
5. Фридман Б. Э. Скин-эффект в массивных проводниках электроимпульсных установок. I. Электромагнитное поле в массивных
проводниках. II. Массивные проводники в электрических цепях //
Журнал технической физики. 2002. Т. 72. Вып. 9. С. 41–56.
6. Fridman B. E. Transients in Pulsed Electrical Circuits with
Massive Conductors // IEEE Transactions on Plasma Sciences. 2006.
Vol. 34. N 5. P. 1938–1941.
27
Содержание
Предисловие.............................................................................. 1. Краткие сведения из математической теории поля....................... 1.1. Скалярное поле................................................................ 1.2. Векторное поле................................................................ 1.3. Дифференциальные операции в скалярном поле................... 1.4. Дифференциальные операторы в векторном поле v = f(P)....... 1.5. Интегральные теоремы..................................................... 2. Уравнения электромагнитного поля Максвелла........................... 2.1. Основные электрические величины..................................... 2.2. Интегральная форма закона полного тока............................ 2.3. Интегральная форма закона электромагнитной индукции...... 2.4. Интегральная форма принципа непрерывности магнитного потока .................................................................................. 3. Проникновение электромагнитного поля в металл....................... 3.1. Постановка задачи............................................................ 3.2. Переменное электромагнитное поле в металле...................... 3.3. Поток мощности переменного электромагнитного поля в металле............................................................................... 3.4. Линейная плотность тока.................................................. 4. Поверхностный эффект в проводниках сложной формы................ 4.1. Общие сведения. Резко выраженный поверхностный эффект и идеальный поверхностный эффект......................................... 4.2. Поле линейного провода с током около идеально проводящей плоскости.............................................................................. 5. Массивные проводники как элементы электрических цепей ......... Список литературы..................................................................... 28
3
4
4
4
6
6
7
8
8
9
10
11
12
12
15
17
18
20
20
21
24
27
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
939 Кб
Теги
0990b081a6, fridman
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа