close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Fridman1

код для вставкиСкачать
МИНИcТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Б. Э. Фридман
Электродинамические силы
Текст лекций
Санкт-Петербург
2011
УДК 537.8
ББК 22.313
Ф88
Рецензенты:
заведующий кафедрой ГУАП доктор технических наук,
профессор А. А. Ефимов;
начальник лаборатории ФГУП «НИИЭФА им. Д. В. Ефремова»
доктор физико-математических наук Н. В. Калинин
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве текста лекций
Фридман, Б. Э.
Ф88Электродинамические силы: текст лекций / Б. Э. Фридман. –
СПб.: ГУАП, 2011. – 24 с.: ил.
Текст лекций содержит краткие основы теории силового действия
в электромагнитном поле, необходимые для усвоения теоретических
разделов курса «Электрические и электронные аппараты».
Предназначен для студентов третьего курса, обучающихся по специальностям «Электромеханика» и «Техническая физика термо­
ядерных реакторов и плазменных установок».
УДК 537.8
ББК 22.313
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2011
© Фридман Б. Э., 2011
Предисловие
Значительная часть курса «Электрические и электронные аппараты» посвящена изучению явлений, связанных с силовым действием электромагнитного поля. Изложение и объяснение этих явлений на современном уровне возможно только на основе соответствующих разделов теории электромагнитного поля. Однако в настоящее время объем обучения дисциплины «Теоретические основы электротехники» сокращен и знаний теории электромагнитного
поля у студентов, обучающихся по специальностям «Электромеханика», недостаточно для понимания электродинамических процессов в электротехнических устройствах. Кроме того, необходимые
сведения из теории электромагнитного поля отсутствуют в учебниках по курсу «Электрические и электронные аппараты», которые в своем большинстве были написаны в то время, когда «Теория
электромагнитного поля» преподавалась в должном объеме всем
студентам электрических специальностей. Поэтому преподаватель
курса «Электрические и электронные аппараты» вынужден значительную часть лекционного времени уделять разъяснению основных понятий теории электромагнитного поля, на которых строится современное изложение электродинамических взаимодействий
в электромагнитных полях. С другой стороны, у студентов нет
учебного пособия, которое бы в необходимом объеме описывало теоретические основы указанных явлений.
Настоящее издание является продолжением материала, изданного ранее [1]. Оно призвано помочь студентам в усвоении теории явлений, связанных с силовым действием электромагнитного
поля.
3
1. Основные соотношения
В электромагнитном поле на движущуюся заряженную частицу
действует сила Лоренца
f = qE + q [u ´ B ],
где E – напряженность электрической составляющей поля, B – индукция магнитной составляющей поля, q – заряд частицы и u –
вектор скорости частицы.
Для электромагнитного поля, действующего в промышленных
электроустановках, можно, как правило, пренебречь силовым действием вектора E. При этом, суммируя силу Лоренца по носителям
заряда, проходящим через элементарный объем проводника, можно получить выражение для объемной электродинамической силы
f = δ× B,
(1)
где d – вектор плотности тока в проводнике.
Определение. Объемной электродинамической силой (пондеромоторной силой) называется сила f, действующая на единичный
объем проводника в электромагнитном поле при прохождении
электрического тока в проводнике.
Для однородной изотропной проводящей среды величина объемной электродинамической силы определяется (1). Для среды с переменной магнитной проницаемостью µ
1 2
f = d ´B - H gradµ.
2
(2)
В общем случае для любого тела или любой односвязной замкнутой области пространства величина суммарной электродинамической силы, действующей в электромагнитном поле на это тело или
область, определяется [3]
é
ù
1
F=ò
 êëêµH(H × n)- 2 µH2núûú dS,
(3)
S
где H – значения вектора напряженности магнитного поля в точке интегрирования на поверхности S, окружающей данное тело
или область пространства, n – единичный вектор внешней нормали
в точке интегрирования на поверхности S.
Примечание. Интегральная формула (3) может быть выведена
из (1) с помощью теоремы Гаусса [1].
4
2. Наиболее важные применения
основных соотношений
2.1. Силы действующие, на тонкий проводник с током I
Тонким проводником называем провод­
ник, у которого размеры сечения существенно меньше размеров, характеризующих пространственное изменение поля,
в том числе глубины скин-слоя в металле
проводника, и радиуса кривизны средней
линии проводника. Выделим элементарный
отрезок проводника длиной dl. На этот отрезок во внешнем магнитном поле B действует сила dF, величина и направления которой могут быть определены суммированием объемных сил f, действующих в этом
­отрезке.
I
B
B
B
dl
dl
dF
Рис. 1. Тонкий проводник
с током I
éæ
ù
ö÷
êç
ú
dF = ò [f × dl × ds] = ò [d´ B ]dl × ds = êçç ò d ds × dl÷÷÷´ Bú ,
÷÷
êççè
ú
ø
s
s
ëê s
ûú
где s – площадь сечения проводника.
Обозначим dl – вектор, величина которого равна длине элементарного отрезка dl, а направление совпадает с направлением касательной к линии, проходящей через центра сечений проводника,
и направлением протекания тока I. Тогда ∫ δ ds ⋅ dl = I ⋅ dl, и велиs
чина электродинамической силы, действующей на элементарный
отрезок тонкого провода
dF = I[dl×B].
(4)
2.2. Электродинамическое давление
на металлическую поверхность при резком скин-эффекте
Рассмотрим малую область у поверхности проводника, для которого имеет место резкий скин-эффект при протекании переменного
или импульсного тока (рис. 2). Аналогично [1] выберем координатную систему таким образом, чтобы оси x, y находились на поверх5
x
E
Ωe
µ0, γ = 0
Ωi
µ, γ ¹ 0
z
δ
H
f
y
B
Рис. 2. Одномерное
электромагнитное поле
в проводящем полупространстве
ности проводника, ось x совпадала
с направлением вектора напряженности электрического поля E, ось y
совпадала с направлением вектора
напряженности магнитного поля H,
ось z направлена по нормали ­в глубину металла.
В металле у поверхности провод­
ника действует объемная электродинамическая сила f = δ× B, которая
направлена по оси z (см. рис. 2) и величина ее fz = δx⋅By = µ⋅δx⋅Hy.
Давление переменного или импульсного магнитного поля p определяем как результат суммирования
силы f по координате z:
¥
¥
p = ò fdz = µ0 ò dx Hy dz.
0
0
¶Hy
= dx . Следователь¶z
но, давление переменного или импульсного магнитного поля на
­металлическую поверхность
Но из закона полного тока следует, что -
¥
p = -µ0 ò Hy
0
µ H 2 B2
dz = 0 0 = 0 ,
¶z
2
2µ0
¶Hy
(5)
где Н0, B0 – напряженность и индукция магнитного поля на поверхности проводника.
Необходимо понимать, что в реальности переменное или импульсное магнитное поле создает объемные электродинамические
силы в поверхностных слоях металла, а давление есть всего лишь
результат сложения этих сил в поверхностном слое, где протекает ток.
2.3. Электродинамическая сила, действующая
на проводящее тело в условиях идеального скин-эффекта
При идеальном скин-эффекте [1] вектор напряженности магнитного поля H на поверхности тела направлен по касательной. Этот
6
факт позволяет преобразовать соотношение (3). Выберем во внешней среде замкнутую поверхность S, которая прилегает к поверхности тела. Учитывая, что на поверхности тела (H × n) = 0, получим
S
из (3), что суммарная электродинамическая сила, действующая
на проводящее тело:
F = -ò

S
µH2
ndS = -ò
 pdS,
2
(6)
S
где dS = ndS – вектор элементарной площадки на поверхности
тела, p =
µ0 H 2
B2
– давление переменного или импульсного
=
2
2µ0
магнитного поля на поверхность тела (то есть результат сложения
­объемных сил, действующих в поверхностном слое металла). На
практике формулу (6) применяют при резко выраженном поверхностном эффекте.
Важно отметить, что давление переменного или импульсного
электромагнитного поля p численно равно плотности энергии этого
поля. Полученный результат показывает, что понятием давления
переменного или импульсного поля можно пользоваться в условиях резкого скин-эффекта для вычисления сил, действующих на
проводящие тела произвольной формы.
7
3. Силы в системе с ферромагнитными телами
3.1. Особенности преломления силовых линий
постоянного магнитного поля на границе
ферромагнитной среды
Утверждение. На границе ферромагнитного тела линии вектора индукции постоянного магнитного поля B практически перпендикулярны к поверхности тела S, то есть (B × n) = 0 [2].
S
Рассмотрим окрестность границы ферромагнитной среды
(рис. 3). Считаем, что среды по обе стороны границы однородные
и изотропные. Магнитные силовые линии, то есть линии вектора
индукции магнитного поля B, преломляются (изменяют направление) на границе двух сред с различной магнитной
µ0
m0ma
проницаемостью. Пусть в неферромагнитной среде угол между внешней норB2
малью к границе и направлением вектора B1 составляет α1, а в ферромагнитной
α
α1
2
n
среде угол между внутренней нормалью
B1
к границе и направлением B2 равен α2.
S2
Выберем замкнутый объем V, ограниченный двумя плоскими поверхностями
S1
S1 и S2, прилегающими к границе ферроРис. 3. Преломление линий B
магнетика, а также цилиндрической пона границе ферромагнетика
верхностью, соединяющей контуры площадок S1 и S2 (см. рис. 3).
Из принципа непрерывности магнитного потока [1] следует
ò B × dS = 0, то есть количество линий, входящих в объем V, ограS
ниченный замкнутой поверхностью S, должно быть равно количеству выходящих силовых линий.
ò B × dS = ò B × dS + ò B × dS = ò Bn, 1dS - ò Bn, 2dS = 0,
S
S1
S2
S1
S2
так как на поверхности S1 вектор dS S = ndS S , а на поверхности
1
1
S2 вектор dS = -ndS
и нормальная составляющая вектора инS
S
2
2
дукции магнитного поля равна Bn = (B ⋅ n). Учитывая, что S1 = S2,
получим
8
Bn, 1 = Bn, 2.
Следовательно, при прохождении через границу ферромагнитной среды нормальные составляющие индукции магнитного поля
Bn, 1 и Bn, 2 сохраняют свои значения и
B1 ⋅ сos(α1) = B2 ⋅ сos(α2).
Выберем замкнутый контур abcda у границы ферромагнетика так, чтобы линия
ab проходила бы во внешней среде у поверхности ферромагнетика, а линия cd
располагалась в ферромагнетике также
у поверхности (рис. 4). В соответствии
с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля по
выбранному контуру
ò
µ0
(7)
m0 ma
H2
n
α1
H1
b
c
a
d
α2
Рис. 4. Преломление линий H
на границе ферромагнетика
H × dl = 0.
abcda
Но
ò
H × dl = Hτ,1 ab - Hτ, 2 cd = 0,
abcda
где |ab| = |cd| длины соответствующих отрезков. Отсюда получаем
Hτ, 1 = Hτ, 2.
Следовательно, при прохождении через границу ферромагнитной среды касательные составляющие напряженности магнитного
поля Hτ,1 и Hτ,2 сохраняют свои значения и
H1⋅sin(α1) = H2⋅sin(α2).
(8)
Используя (7) и (8) имеем
B1 cos(α1 )
H1 sin (α1 )
=
B2 cos(α2 )
.
H2 sin (α2 )
Учитывая, что B1 = µ0H1 и B2 = µ0µaH2 получим
1
tg (α1 ) =
tg (α2 ).
µa
Для используемых в промышленности ферромагнитных материалов относительная магнитная проницаемость является очень
большим числом (µa ≈ 103 ÷ 105). Отсюда следует, что tg(α1) ≈ 0
и α1 ≈ 0, то есть магнитные силовые линии (линии вектора индук9
ции магнитного поля B) пересекают границу ферромагнитных тел
практически под прямым углом.
3.2. Сила, действующая в постоянном магнитном поле
на ферромагнитное тело
Рассмотрим ферромагнитное тело произвольной формы, находящееся в постоянном магнитном поле. Окружим это тело замкнутой
поверхностью S, которая проходит в неферромагнитной среде в непосредственной близости от поверхности тела. Сила, действующая
в магнитном поле на ферромагнитное тело, может быть вычислена
в соответствии с (3) по значениям напряженности магнитного поля
в точках поверхности S.
é
1
2 ù
F=ò
 êëêµ0H(H × n)- 2 µ0 H núûú dS.
S
Учитывая, что вектор напряженности магнитного поля H у поверхности ферромагнитного тела и на поверхности S направлен по
нормали и (H ⋅ n) = |H| = H, получим
F=ò

S
µ0 H 2
ndS = ò
 pdS,
2
(9)
S
где dS = ndS – вектор элементарной площадки на поверхности
µ H2
тела, p = 0
– плотность поверхностной силы, действующей
2
в постоянном магнитном поле на ферромагнитное тело, которая
численно равна плотности энергии магнитного поля.
Заметим, что полученное выражение для силы (9) похоже на выражение для силы, действующей на проводящее тело в переменном
или импульсном электромагнитном поле (6); отличие только в знаке перед интегралом. Направление силы, действующей на ферромагнитное тело противоположно направлению силы, действующей
в переменном или импульсном магнитном поле на проводящие неферромагнитные тела. В постоянном магнитном поле ферромагнитное тело притягивается к источнику магнитного поля (например,
к полюсам магнита) и сила действует в направлении градиента плотности энергии поля gradp. В переменном или импульсном
магнитном поле на проводящие неферромагнитные тела действует
­сила в направлении противоположном направлению gradp, то есть
в сторону ослабления поля.
10
3.3. Метод зеркальных изображений
Доказанный в п. 3.1 факт, что магнитные силовые линии практически перпендикулярны поверхности ферромагнитного тела, позволяет в ряде случаев упростить анализ и расчет распределения
постоянного поля в системе с ферромагнитными телами. Покажем
это на примере провода с постоянным током, который проходит
вдоль плоской границы ферромагнитного тела (рис. 5).
На границе ферромагнетика (в плоскости x = 0) касательная составляющая вектора индукции магнитного поля Bτ = 0. Если ферромагнитное пространство заменить диэлектрической средой, в которой размещен симметрично относительно границы (плоскости
x = 0) второй проводник с током такого же направления, то на граничной плоскости, в силу симметрии, касательные составляющие
вектора индукции магнитного поля будут также равны нулю. Но
распределение электромагнитного поля в пространстве единственным образом определяется граничными условиями, то есть условиями на плоскости x = 0.
Следовательно, для расчета или анализа распределения поля
проводов с током, проходящих над плоской поверхностью ферромагнитного тела, мы можем использовать метод зеркальных изображений, при котором ферромагнитная среда заменяется симметрично расположенными проводниками с током того же направления. Это упрощает вычисление сил, действующих на проводники
с током у поверхности ферромагнетиков. Так, например, для провода с постоянным током проходящего около плоской поверхности ферромагнитного тела (см. рис. 5), величину силы, с которой
µ0
+
m0 ma
+
0
a/2
x
a/2
Рис. 5. Поле провода с постоянным током
около плоской поверхности ферромагнитного
тела
11
провод притягивается к ферромагнетику, можно определить по известной формуле для силы, действующей между параллельными
­проводами с током:
é
ù
æ a ö2 æ a öú
µ
2l ê
F = 0 i2 ê 1 + çç ÷÷÷ - çç ÷÷÷ú .
çè l ø
çè l øú
4π a ê
ëê
ûú
Заметим, что метод зеркальных изображений мы применяли
для анализа распределения переменного или импульсного электромагнитного поля в случае идеального или резко-выраженного
скин-эффекта в проводящем полупространстве [1]. При этом
в зеркальном проводе направление тока было противоположное
­направлению основного тока.
12
4. Энергетический метод определения
электродинамических сил
4.1. Теоретические основы энергетического метода
Энергетический метод определения электродинамических сил
основан на общих принципах классической механики.
Определение 1. Обобщенными координатами xk динамической
системы называются независимые параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют положение (динамическое состояние)
­системы.
Для задач электромеханики кроме координат, определяющих
пространственное положение элементов системы, в качестве обобщенных координат могут быть использованы электрические заряды qk, токи в контурах ik, магнитные потоки Φk или потокосцепления Ψk и другое.
Пусть выполнено малое, виртуальное перемещение δxk только
по одной из обобщенных координат xk. При этом будет совершена
виртуальная работа δAk.
Определение 2. Обобщенной силой Fk называются коэффициент пропорциональности в выражении (10), устанавливающем
связь между виртуальным перемещением δxk и виртуальной работой δAk.
δAk = Fk⋅δxk.
(10)
В качестве обобщенных сил кроме механических сил и моментов в электромеханике используются электродвижущие силы
в электрических контурах ek, магнитодвижущие силы в контурах
магнитных цепей Fk и другое.
Если в системе нет диссипативных потерь (перемещение по обобщенной координате не приводит к необратимым тепловым потерям
энергии), то любая работа, выполняемая в динамической системе,
равна изменению энергии в этой системе. В том числе виртуальная
работа, выполняемая обобщенной силой Fk, приводит к соответствующему изменению энергии в системе δW = δAk. В этом случае
обобщенная сила Fk может быть вычислена как частная производ­
ная от энергии системы по обобщенной координате xk.
Fk =
¶W
.
¶xk
13
Электродинамические силы Fe, k проявляются в магнитных полях и действуют на проводники с током и намагниченные тела.
Виртуальная работа электродинамической силы δAe, k = Fe, k ⋅δxk
приводит к малому, виртуальному изменению энергии магнитного
поля Wm в системе
δWm = δAe, k.
Энергетический метод определения электродинамических сил
состоит в том, что обобщенная электродинамическая сила Fe, k,
­соответствующая обобщенной координате xk, вычисляется как
частная производная от энергии магнитного поля Wm по этой обобщенной координате xk.
Fe,k =
¶Wm
.
¶xk
(11)
Электродинамическая сила всегда направлена в сторону увеличения энергии магнитного поля в системе.
4.2. Электродинамическая сила, действующая
на элементы одного контура с током
В этом случае энергия магнитного поля
1
Wm = Li2 ,
2
где L – индуктивность контура, i – ток в контуре.
Если обобщенной координатой x является какой-либо размер,
при изменении которого меняется конфигурация и энергия магнитного поля, то обобщенная сила Fe, соответствующая координате x, определяется следующим образом:
Fe =
¶Wm
¶x
=
i=const
i2 ¶L
.
2 ¶x
(12)
Для вычисления силы Fe требуется знать зависимость L(x).
В ряде простых случаев известны формулы, выражающие эту за­
висимость, и почти всегда функция L(x) может быть измерена.
Пусть контур с током представляет собой кольцо радиуса R из
тонкого круглого провода, радиус сечения которого a. В проводе
протекает постоянный ток i. На элементарные отрезки этого контура действует распределенная электродинамическая сила p. Индуктивность такого контура [2]
14
æ 8 R 7 ö÷
L = µ0 R ççln
- ÷÷.
çè a
4ø
Выберем в качестве обобщенной координаты радиус кольца R.
Виртуальное перемещение по координате R приводит к увеличению радиуса кольца на величину δR
δR
(рис. 6). При этом выполняется работа
δAe = Fe⋅δR.
Электродинамическая сила Fe, соR
ответствующая выбранному виртуальр
ному перемещению δR, представляет
собой результат сложения по абсолютной величине распределенной электродинамической силы p, действующей
на элементарные отрезки витка.
Fe = ò
 p dl =
Λ
i2 ¶L µ0 i2 æç 8R 3 ö÷
=
- ÷÷,
çln
2 ¶R
2 çè a
4ø
Рис. 6. Силы, действующие
на кольцо из тонкого провода
с током
где Λ – контур интегрирования, окружность, проходящая через
центры сечений провода.
4.3. Электродинамическая сила,
действующая на элементы двух контуров
Пусть в двух электрических контурах протекают токи i1, i2
и между контурами существует индуктивная связь. В этом случае
энергия магнитного поля
1
1
(13)
Wm = L1i12 + L2i22 + Mi1i2 ,
2
2
где L1 и L2 – собственные индуктивности первого и второго
контуров, M – коэффициент взаимной индуктивности между
контурами.
В качестве обобщенной координаты x выберем какой-либо размер, при изменении которого меняется конфигурация и энергия
магнитного поля.
Если в результате движения по обобщенной координате x изме1 ¶L
¶M
няется L1 и M, то Fe = i12 1 + i1i2
. Если же при движении
¶x
¶x
2
по обобщенной координате x изменяется только M, то
15
Fe = i1i2
¶M
.
¶x
(14)
Пусть два контура представляют собой два концентричных
витка тонкого провода, радиусов R1 и R2, расположенных на одной
оси в параллельных плоскостях (рис. 7). Определим электродинамическую силу Fe, действующую между этими витками при протекании по ним токов i1 и i2. Силе Fe соответствует обобщенная координата x, расстояние между плоскостями витков. В выражении
для энергии магнитного поля двух индуктивно связанных контуров (13) от координаты x зависит только коэффициент взаимной
индукции M [2].
M = µ0 R1R2 f (k),
где
4R1R2
k=
π
2
f (k) = k ò
2
2
x + (R1 + R2 )
,
(15)
2 sin2β -1
dβ – функция, которая может быть выражена
1 - k2sin2 β
через полные эллиптические интегралы [2] (рис. 8). Параметр k называется модулем эллиптических интегралов.
0
µ0 x R1R2
¶M
¶f ¶k
¶f
= µ0 R1R2
×
=× ,
3/2
¶x
¶k ¶x
¶k
é x2 + R + R 2 ù
( 1
êë
2) ú
û
Fe
100
R1
+
10
2a
¶f
¶k
+
x
+
Fe
R2
+
1
0,1
f
0,01
Рис. 7. Электродинамическая сила
Fe, действующая между двумя
концентричными витками с токами
(направление силы Fe соответствует
токам в витках одного направления)
16
(16)
0,001
1,0
0,6
0,8
k
¶
Рис. 8. Графики функций f(k) и f
¶k
0
0,2
0,4
где
π
2
¶f
=
¶k ò
0
2 sin2 β -1
3
dβ.
(17)
é1 - k2 sin2 βù 2
êë
úû
¶f
, вычисленные в программной сре¶k
де Mathcad, показаны на рис. 8. В соответствии с (14) и (16) элект­
родинамическая сила, действующая между контурами: F
Графики функций f(k) и
Fe = -
µ0 i1i2 R1R2 x
2 ù 3/2
é x2 + R + R
( 1
êë
2) ú
û
×
¶f
.
¶k
(18)
Для определения величины электродинамической силы Fe
следует:
•• вычислить по формуле (15) численное значение модуля эллиптических интегралов k;
•• определить по графику рис. 8 или рассчитать по формуле (17)
¶f
(например, в программной среде Mathcad) величину
;
¶k
¶f
•• подставить найденное значение
, геометрические размеры
¶k
витков и токи в витках в формулу (18) и вычислить Fe.
¶f
Функция
³ 0. Обобщенная координата x ≥ 0, так как это рас¶k
стояние между плоскостями витков. Выражение (18) показывает:
•• если токи i1 и i2 одного направления, то произведение i1⋅i2 > 0
и значение силы Fe < 0. Это означает, что сила Fe направлена в сторону уменьшения обобщенной координаты x. Таким образом, витки с токами одного направления притягиваются;
•• если токи i1 и i2 направлены встречно, то произведение i1⋅i2 < 0
и значение силы Fe > 0. Это означает, что сила Fe направлена в сторону увеличения обобщенной координаты x. Следовательно, витки
с токами встречного направления отталкиваются.
17
5. Применение уравнений Лагранжа второго рода
для вывода уравнений, описывающих
динамическое состояние электромеханической
системы
Определение электродинамических сил, как правило, не является конечной целью расчета электромеханической системы. Значения этих сил нужны для анализа прочности конструкций системы, а также для расчета движения элементов в этих системах под
действием электродинамических сил. С другой стороны перемещение элементов оказывает влияние на переходные процессы в электрических контурах системы. Поэтому необходимо иметь метод,
­позволяющий рассчитать процессы в электромеханической системе с учетом взаимного влияние электрических переходных процессов и процессов, связанных с движением элементов системы
под действием электродинамических сил. Таким универсальным
методом является метод, основанный на применении уравнений­
Лагранжа второго рода.
5.1. Общие положения
В классической механике уравнения Лагранжа второго рода
используют для решения задач динамики голономных механических систем (то есть систем с геометрическими связями, которые
накладывают ограничения на движение элементов этих систем).
В электромеханике также можно использовать метод, основанный
на применении уравнений Лагранжа второго рода [4], имея в виду
определения обобщенных координат и обобщенных сил, приведенные в п. 4.1.
Определение 3. Функцией Лагранжа называется функция
L = T – Π,
(19)
где T = K + Wm – кинетическая энергия электромеханической
­системы, функция времени t, обобщенных координат и производных по времени t от этих координат, Π – потенциальная энергия
электромеханической системы, функция обобщенных координат
(например, энергия, запасенная в сжатой пружине или в заряженном конденсаторе), K – кинетическая энергия движущихся тел
в системе, Wm – энергия магнитного поля в системе, определяемая,
например, соотношением (13) для двух контуров с током.
18
Уравнения Лагранжа второго рода
¶L
d ¶L
= Fk , k = 1, 2, , n,

dt ¶xk ¶xk
(20)
где xk и x k – обобщенные координаты и скорости, Fk – обобщенные непотенциальные силы, связанные с необратимыми потерями
энергии (например, силы трения, силы сопротивления среды, в которой производится движение, падение напряжения на резисторах
в электрической цепи и т. п.), n – число степеней свободы электромеханической системы и число уравнений в системе дифферен­
циальных уравнений (20).
Уравнения Лагранжа второго рода дают универсальный метод
вывода обыкновенных дифференциальных уравнений для обобщенных координат электромеханической системы
5.2. Задача о рельсотроне
Рельсотрон (Railgun) – это импульсный электродинамический
ускоритель масс. В простейшем случае состоит из двух параллельных металлических рельсов, подключенных к источнику большого импульсного тока. Вдоль рельс движется и разгоняется токопроводящая перемычка (металлическое тело или плазменный поршень), через которую импульсный ток переходит с одного рельса
на другой. В последние два десятилетия технология метания тел
с использованием рельсотронов получила большое развитие. Регулярно, раз в два года в Европе проводят научные конференции
(Electromagnetic launch Symposium), на которых обсуждаются научные и технические проблемы электрических метательных установок. В декабре 2010 г. в США были проведены испытания рельсотрона, при которых тело массой 9 кг было разогнано до скорости
2,7 км/с (кинетическая энергия 33 МДж).
На рис. 9 изображена схема питания рельсотрона, в которой
в качестве источника импульсноL0
R
S
го тока использована конденсаторm f
ная батарея емкостью С, предваu
C
рительно заряженная до напряжеi
x
ния U0.
До начала разрядного процесса Рис. 9. Схема питания простейшего
метаемое тело массой m находится
рельсотрона
19
в начале рельсов x t £ 0 = 0. В момент времени t = 0 ключ S замыкается, и импульс тока разряда конденсатора i(t) проходит через
рельсы и метаемое тело; появляется электродинамическая сила Fe,
которая разгоняет тело.
Индуктивность разрядного контура L(x) зависит от текущей координаты ускоряемого тела x.
L(x) = L0 + L′x.
где L ¢ =
(21)
¶L
= const – погонная индуктивность рельсотрона.
¶x
В качестве обобщенных координат выберем:
t
•• Q = Cu = Cu0 - ò idt – заряд конденсатора;
0
••x – координата метаемого тела на рельсах.
Обобщенные силы:
•• FQ = -RQ = Ri – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате Q, численно равная падению напряжению на резисторе R и определяющая диссипативные потери энергии в электрическом контуре;
••Fc – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате x, определяющая диссипативные потери на трение при движении тела.
Вычислим функцию Лагранжа L для электромеханической
­системы рис. 9.
Считаем, что рельсы расположены горизонтально и при дви­
жении тела его потенциальная энергия в гравитационном поле
Земли не изменяется. Поэтому потенциальная энергия присутст­
вует в системе только в виде энергии электрического поля конденсатора С.
Π=
Cu2 Q2
.
=
2
2C
Кинетическая энергия движущегося тела
K=
mx 2
,
2
dx
– скорость движения тела.
dt
Энергия магнитного поля в системе (в контуре рис. 9)
где x =
20
Wm =
2
L(x)i2 (L + L ¢x)Q
,
=
2
2
dQ
где Q =
= -i – скорость изменения обобщенной координаты Q.
dt
Таким образом, в соответствии с (19)
L=
(L0 + L ¢x)Q 2
+
2
1. Для обобщенной координаты Q
mx 2 Q2
.
+
2
2C
(22)
¶L Q
¶L
d ¶L d é
= = u,
= (L0 + L ¢x)Q ,
=
(L0 + L ¢x)Q ùûú .
¶Q C
dt ¶Q dt ëê
¶Q
Согласно (20)
d ¶L ¶L d é
Q
= êë(L0 + L ¢x)Q ùúû - = FQ = -RQ .

dt ¶Q ¶Q dt
C
Q
Учитывая Q = - i, = u, получим дифференциальное уравнеC
ние для электрического переходного процесса в контуре рис. 9.
d é
(L0 + L ¢x)iùúû + Ri + u = 0.
dt êë
(23)
2. Для обобщенной координаты x
¶L L ¢Q 2 L ¢i2 ¶L
d ¶L
= mx ,
= mx,
=
=
,
¶x
dt ¶x
¶x
2
2
где x =
d2 x
– ускорение метаемого тела.
dt2
Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения, описывающее разгон тела в рельсотроне под действием электродинаi2 ¶L
мической силы Fe =
2 ¶x
1
mx = L ¢i2 - Fc .
2
(24)
du
i
= - , и принимая во внимание начальные
dt
C
условия задачи, получим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 4-го порядка, описывающие динамические процессы в рельсотроне и контуре рис. 9.
Учитывая, что
21
ìï d é
ïï ê(L0 + L ¢x)iùú + Ri + u = 0,
û
ïï dt ë
ïï du
i
ïï = - ,
ïï dt
C
ïí
(25)
2
ïï d x 1 2
¢
m
L
i
F
,
=
ïï
c
2
2
ïï dt
ïï
dx
ïïi
= 0, u t=0 = U0 , x t=0 = 0,
= 0.
ïïî t=0
dt t=0
Численное решение системы уравнений (25) и расчет динамических процессов в системе могут быть выполнены, например, в программной среде Mathcad или Matlab с помощью стандартных процедур численного интегрирования.
Заметим, что в (25) (L0 + L ¢x)i = Ψ – это потокосцепление рельсотрона и начальной индуктивности L0. Следовательно, первое уравнение в (25) это уравнение баланса напряжений для электрическоi2
го контура рис. 9. Величина электродинамической силы Fe = L ¢
2
может быть определена энергетическим методом (п. 4.2). То есть
третье уравнение в (25) – это уравнение движения материальной
точки массой m под действием электродинамической силы Fe и
силы сопротивления Fc. Таким образом, в рассматриваемом случае (рис. 9) уравнения движения и электрического переходного процесса можно вывести без привлечения техники уравнений
Лагранжа второго рода. Однако на практике встречаются случаи
с более сложными связями в электромеханических системах, где
вывод уравнений для расчета динамических процессов не очевиден
и требует применения изложенного в этом разделе универсального
метода, основанного на уравнениях Лагранжа второго рода.
Библиографический список
1. Фридман Б. Э. Электромагнитное поле в проводниках: текст
лекций. СПб.: ГУАП, 2010.
2. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: В 2 т., Л.: Энергия, 1967.
3. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.
4. Наумов А. Л., Жигоцая П. И., Лузик Э. В. Аналитическая электромеханика. Киев: Вища школа, 1974.
22
Содержание
Предисловие......................................................................... 3
1. Основные соотношения....................................................... 4
2. Наиболее важные применения основных соотношений............ 5
2.1. Силы действующие, на тонкий проводник с током I........... 5
2.2. Электродинамическое давление на металлическую
поверхность при резком скин-эффекте................................... 5
2.3. Электродинамическая сила, действующая на проводящее
тело в условиях идеального скин-эффекта ............................. 6
3. Силы в системе с ферромагнитными телами........................... 8
3.1. Особенности преломления силовых линий постоянного
магнитного поля на границе ферромагнитной среды................ 8
3.2. Сила, действующая в постоянном магнитном поле
на ферромагнитное тело..................................................... 10
3.3. Метод зеркальных изображений................................... 11
4. Энергетический метод определения электродинамических
сил................................................................................. 13
4.1. Теоретические основы энергетического метода............... 13
4.2. Электродинамическая сила, действующая на элементы
одного контура с током ..................................................... 14
4.3. Электродинамическая сила, действующая на элементы
двух контуров.................................................................. 15
5. Применение уравнений Лагранжа второго рода для вывода
уравнений, описывающих динамическое состояние
электромеханической системы........................................... 18
5.1. Общие положения....................................................... 18
5.2. Задача о рельсотроне................................................... 19
Библиографический список................................................... 22
23
Учебное издание
Фридман Борис Эммануилович
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
Текст лекций
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик И. Н. Мороз
Сдано в набор 21.03.11. Подписано к печати 04.05.11. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,5.
Тираж 100 экз. Заказ № 180.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
24
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 621 Кб
Теги
fridman1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа