close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Gamov 00648DE1CD

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
КОМПЬЮТЕРНОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Методические указания
к выполнению контрольной работы
Санкт-Петербург
2014
Составитель В. Ю. Гамов
Рецензенты: доктор технических наук, профессор Л. А. Осипов;
доктор технических наук, профессор М. Ю. Охтилев
Рассматриваются рекомендации по выполнению контрольной
работы с использованием вычислительной обработки данных и алгоритма имитационной модели с целью определения вероятности
обработки запросов и зависимости от интервалов их поступления
при проведении компьютерного эксперимента.
Предназначены для студентов заочной формы обучения технических вузов, обучающихся по специальности 230105 «Программное
обеспечение вычислительной техники и систем управления», а также по направлению подготовки 231000 «Программная инженерия»
(квалификация (степень) «магистр») по дисциплине «Компьютерное моделирование».
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 15.10.13. Подписано к печати 19.03.14.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,2.
Уч.-изд. л. 2,4. Тираж 100 экз. Заказ № 169.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2014
ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание методических указаний сформировалось на основе
материалов лекций, а также результатов проведения контрольных
работ, которые на протяжении ряда лет читались студентам СанктПетербургского государственного университета аэрокосмического
приборостроения. Данное издание помогает студентам подготовиться к контрольной работе и освоить теоретический материал с практической стороны для решения задач моделирования систем обработки поступающей информации, используя факторный анализ.
Изложение материала базируется на использовании теории моделирования, теории оптимизации, теории систем, теории вероятности, пространства состояний систем, элементов факторного
анализа, алгоритмов обработки и управления, методов построения
сложных систем, доступных для освоения студентами технических
вузов.
3
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТРАТЕГИЧЕСКОГО  
ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Создание модели – акт необходимый при анализе и синтезе
сложных систем, но далеко не конечный. Модель – не цель исследователя, а только инструмент для проведения исследований, инструмент эксперимента.
Модель [1] – способ замещения реального объекта, используемый для его исследования, когда натуральный эксперимент невозможен, дорог, опасен, долговременен.
Экспериме́нт [2] (от лат. experimentum – проба, опыт), также
опыт, в научном методе – метод исследования некоторого явления
в управляемых условиях. Отличается от наблюдения активным
взаимодействием с изучаемым объектом. Обычно эксперимент проводится в рамках научного исследования и служит для проверки
гипотезы, установления причинных связей между феноменами.
Эксперимент является краеугольным камнем эмпирического подхода к знанию. Критерий Поппера выдвигает возможность постановки эксперимента в качестве главного отличия научной теории
от псевдонаучной. Эксперимент – это метод исследования, который
воспроизводится в описанных условиях неограниченное количество раз и даёт идентичный результат.
Эксперимент должен быть информативен, то есть давать всю
нужную информацию, которой следует быть полной, точной, достоверной. Но она должна быть получена приемлемым способом.
Это означает, что способ должен удовлетворять экономическим,
временным и, возможно, другим ограничениям. Такое противоречие разрешается с помощью рационального (оптимального) планирования эксперимента.
Теория планирования эксперимента сложилась в шестидесятые
годы двадцатого века благодаря работам выдающегося английского
математика, биолога, статистика Рональда Айлмера Фишера (1890–
1962 гг.). Одно из первых отечественных изданий: Федоров В. В.
«Теория оптимального эксперимента», 1971 г. Несколько позже сложилась теория и практика планирования имитационных экспериментов, элементы которых рассматриваются в настоящем разделе.
Существует несколько моделей эксперимента.
Безупречный эксперимент [2] – невоплотимая на практике модель
эксперимента, используемая психологами-экспериментаторами в качестве эталона. В экспериментальную психологию данный термин
ввёл Роберт Готтсданкер, автор известной книги «Основы психологи4
ческого эксперимента», считавший, что использование подобного образца для сравнения приведёт к более эффективному совершенствованию экспериментальных методик и выявлению возможных ошибок в планировании и проведении психологического эксперимента.
Случайный эксперимент [2] (случайное испытание, случайный
опыт) – математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать. Математическая модель должна удовлетворять требованиям: она должна быть адекватна и адекватно описывать эксперимент; должна
быть определена совокупность множества наблюдаемых результатов в рамках рассматриваемой математической модели при строго
определенных фиксированных начальных данных, описываемых в
рамках математической модели; должна существовать принципиальная возможность осуществления эксперимента со случайным
исходом сколь угодное количество раз при неизменных входных
данных; должно быть доказано требование или априори принята
гипотеза о стохастической устойчивости относительной частоты
для любого наблюдаемого результата, определённого в рамках математической модели.
Итак, модель создается для проведения на ней экспериментов.
Будем считать, что эксперимент состоит из наблюдений, а каждое
наблюдение – из прогонов (реализаций) модели.
Для организации экспериментов наиболее важно следующее.
1. Простота повторений условий эксперимента.
2. Возможность управления экспериментом, включая его прерывание и возобновление.
3. Легкость изменения условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды).
4. Исключение корреляции между последовательностями данных, снимаемых в процессе эксперимента с моделью.
5. Определение временного интервала исследования модели (О, Т).
Компьютерный эксперимент с имитационной моделью обладает
преимуществами перед натурным экспериментом по всем этим позициям.
Что же такое компьютерный эксперимент?
Компьютерный (численный) эксперимент [2] – это эксперимент
над математической моделью объекта исследования на ЭВМ, который состоит в том, что по одним параметрам модели вычисляются
другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах
объекта, описываемого математической моделью. Данный вид эксперимента можно лишь условно отнести к эксперименту, потому
5
как он не отражает природные явления, а лишь является численной реализацией созданной человеком математической модели.
Действительно, при некорректности в математической модели – ее
численное решение может быть строго расходящимся с физическим экспериментом.
Компьютерный эксперимент представляет собой процесс использования модели с целью получения и анализа интересующей
исследователя информации о свойствах моделируемой системы.
Эксперимент требует затрат труда и времени и, следовательно,
финансовых затрат. Чем больше мы хотим получить информации
от эксперимента, тем он дороже.
Средством достижения приемлемого компромисса между максимумом информации и минимумом затрат ресурсов является план
эксперимента.
План эксперимента определяет:
− объем вычислений на компьютере;
− порядок проведения вычислений на компьютере;
− способы накопления и статистической обработки результатов
моделирования.
Планирование экспериментов имеет следующие цели:
− сокращение общего времени моделирования при соблюдении
требований к точности и достоверности результатов;
− увеличение информативности каждого наблюдения;
− создание структурной основы процесса исследования.
Таким образом, план эксперимента на компьютере представляет
собой метод получения с помощью эксперимента необходимой информации.
Конечно, можно проводить исследования и по такому плану: исследовать модель во всех возможных режимах, при всех возможных сочетаниях внешних и внутренних параметров, повторять
каждый эксперимент десятки тысяч раз – чем больше, тем точнее!
Очевидно, пользы от такой организации эксперимента мало, полученные данные трудно обозреть и проанализировать. Кроме того,
большими будут затраты ресурсов, а они всегда ограничены.
Весь комплекс действий по планированию эксперимента разделяют на две самостоятельные функциональные части:
− стратегическое планирование;
− тактическое планирование.
Стратегическое планирование – разработка условий проведения
эксперимента, определение режимов, обеспечивающих наибольшую информативность эксперимента.
6
Тактическое планирование обеспечивает достижение заданных
точности и достоверности результатов.
Формирование стратегического плана выполняется в так называемом факторном пространстве. Факторное пространство – это
множество внешних и внутренних параметров, значения которых
исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения эксперимента.
Объектами стратегического планирования являются:
− выходные переменные (отклики, реакции, экзогенные переменные);
− входные переменные (факторы, эндогенные переменные);
− уровни факторов.
Математические методы планирования [3] экспериментов основаны на так называемом кибернетическом представлении процесса
проведения эксперимента (рис. 1).
На рис. 1:
xi , i = 1,n – входные переменные, факторы;
y = f (x) + ξ – выходная переменная (реакция, отклик);
ξ – ошибка, помеха, вызываемая наличием случайных факторов;
f (x) – оператор, моделирующий действие реальной системы,
определяющий зависимость выходной переменной y от факторов xi.
Иначе: f(x) – модель процесса, протекающего в системе.
Первой проблемой, решаемой при стратегическом планировании, является выбор отклика (реакции), то есть определение, какие величины нужно измерять во время эксперимента, чтобы получить искомые ответы. Естественно, выбор отклика зависит от цели
исследования.
Например, при моделировании информационно-поисковой системы может интересовать исследователя время ответа системы на
запрос. Но может интересовать такой показатель, как максимальξ
x1
x2
...
Ìîäåëü
f (x)
y = f (x) + ξ
xn
Рис. 1. Кибернетическое представление эксперимента
7
ное число обслуженных запросов за интервал времени. А может,
то и другое. Измеряемых откликов может быть много: y1, y2 ,...
В дальнейшем будем говорить об одном отклике y.
Второй проблемой стратегического планирования является выбор (определение) существенных факторов и их сочетаний, влияющих на работу моделируемого объекта. Факторами могут быть
питающие напряжения, температура, влажность, ритмичность поставок комплектующих и многое другое. Обычно число факторов
велико и чем меньше мы знакомы с моделируемой системой, тем
большее, нам кажется, число их влияет на работу системы. В теории систем приводится так называемый принцип Парето:
− 20% факторов определяют 80% свойств системы;
− 80% факторов определяют 20% свойств системы.
Следовательно, надо уметь выделять существенные факторы.
А это достигается достаточно глубоким изучением моделируемого
объекта и протекающих в нем процессов.
Факторы могут быть количественными и (или) качественными [4].
Количественные факторы – это те, значения которых числа. Например, количество технических средств, количество персонала, интенсивности входных потоков и потоков обслуживания, емкость буфера, число каналов в системах массового обслуживания (СМО), доля
брака при выполнении операций технологического графика и др.
Качественные факторы – дисциплины обслуживания в СМО,
тип ракеты-носителя (РН), квалификация персонала и т. п.
Фактор должен быть управляемым. Управляемость фактора –
это возможность установки и поддержания значения фактора постоянным или изменяющимся в соответствии с планом эксперимента. Возможны и неуправляемые факторы, например влияние
внешней среды.
К совокупности воздействующих факторов предъявляются два
основных требования:
− совместимость;
− независимость.
Совместимость факторов означает, что все комбинации значений факторов осуществимы.
Независимость факторов определяет возможность установления
значения фактора на любом уровне независимо от уровней других
факторов.
В стратегических планах факторы обозначают латинской буквой xi, где индекс i указывает номер (тип) фактора. Встречаются и
такие обозначения факторов: A,B,C,… и т. д.
8
Третьей проблемой стратегического планирования является выбор значений каждого фактора, называемых уровнями фактора.
Число уровней может быть два, три и более. Например, если в
качестве одного из факторов выступает температура, то уровнями
могут быть: 80 oС, 100 oС, 120 oС.
Для удобства и, следовательно, удешевления эксперимента число уровней следует выбирать поменьше, но достаточное для удовлетворения точности и достоверности эксперимента. Минимальное
число уровней – два.
С точки зрения удобства планирования эксперимента целесообразно устанавливать одинаковое число уровней у всех факторов.
Такое планирование называют симметричным.
Анализ данных эксперимента существенно упрощается, если
назначить уровни факторов, равноотстоящие друг от друга. Такой
план называется ортогональным. Ортогональность плана обычно
достигают так: две крайние точки области изменения фактора выбирают как два уровня, а остальные уровни располагают так, чтобы
они делили полученный отрезок на две части.
Например, диапазон питающего напряжения 30…50 В на пять
уровней будет разбит так: 30 В, 35 В, 40 В, 45 В, 50 В.
Эксперимент, в котором реализуются все сочетания уровней
всех факторов, называется полным факторным экспериментом
(ПФЭ) [5].
План ПФЭ предельно информативен, но он может потребовать
неприемлемых затрат ресурсов.
Если отвлечься от компьютерной реализации плана эксперимента, то число измерений откликов (реакций) модели NC при ПФЭ [6]:
NC = q1 × q2 × ...× qk ,
где qi – число уровней i-го фактора; i = 1, k; k – число факторов эксперимента.
Величина NC определяет структуру стратегического плана, то
есть количество наблюдений (информационных точек).
При машинной реализации ПФЭ в каждом наблюдении (информационной точке) нужно выполнить определенное число прогонов
(реализаций) модели, чтобы обеспечить заданную точность и достоверность значений откликов. Определение числа прогонов модели
является предметом тактического планирования.
Обозначим число прогонов в каждом наблюдении p. Тогда для
симметричного ПФЭ общее число N необходимых прогонов модели
[6]: N = pq k .
9
Пример 1. Планируется провести компьютерный эксперимент, в
котором на отклик модели влияют два фактора. Для каждого фактора установлены пять уровней. Требования по точности и достоверности требуют 25000 прогонов модели на каждом уровне (для
каждого наблюдения). Время одного прогона модели равно 1 часу.
Оценить затраты времени T на проведение компьютерного эксперимента.
Дано: k = 2, q = 5, p = 25000, t p = 1 ÷.
Определить: T.
Решение.
Число прогонов модели: N = pq k = 25000 × 52 = 625000.
Затраты времени: T = N × t p = 625000 ×1 = 625000 ÷.
Ответ: Затраты времени на проведение компьютерного эксперимента составляют T = 625000 ÷.
2. СОКРАЩЕНИЕ ОБЩЕГО ЧИСЛА ПРОГОНОВ
Рассмотренные способы [7] сокращения общего числа прогонов
носят эвристический (субъективный) характер. Они осуществлялись за счет исключения каких-то комбинаций уровней факторов.
Однако во многих случаях исследователь имеет свободу действий в выборе числа факторов k, числа уровней q и числа прогонов p модели в одном наблюдении. Каждый из этих аргументов в
конкретной ситуации по-разному влияет на общее число прогонов
модели N.
Исследуем эти влияния.
Как нам уже известно, общее число прогонов модели : N = pq k .
Рассмотрим относительное влияние аргументов k , q, p на число
реализаций N.
Сначала нужно получить выражения для вычисления скоростей
изменения функции N при изменении одного аргумента и неизменных остальных аргументах. Для этого последовательно найдем частные производные первого порядка от функции N по этим аргументам:
¶N
= pq k ln q;
¶k
¶N
2) 
= pkq k-1;
¶q
¶N
3) 
= qk .
¶p
1) 
10
Теперь сравним попарно полученные производные и получим
соотношения:
¶N
q ln q
1)  ¶k =
;
¶N
k
¶q
¶N
q
¶p
= ;
2) 
¶N kp
¶q
¶N
1
¶p
3) 
=
.
¶N
p ln q
¶k
Из соотношений 1 и 2 следует: если (kp > q ) и (k > q ln q ) , то наибольшее влияние на число N оказывает изменение числа уровней q.
Из соотношений 3 и 1 следует: если ( p ln q > 1) и (k < q ln q ), то наибольшее влияние на число N оказывает изменение числа факторов k .
Из соотношений 2 и 3 следует: если (q > kp) и (1 > p ln q ), то наибольшее влияние на число N оказывает изменение числа прогонов
(реализаций) модели p на каждом уровне факторов (на каждом наблюдении).
Рассмотренный формальный подход к сокращению числа реализаций не совсем корректен, так как функция общего числа прогонов N носит не непрерывный, а дискретный характер. Тем не
менее такой подход применяется с последующим округлением результатов до целых чисел.
Покажем применение формального подхода сокращения реализаций на примере.
Пример 2. На вход модели объекта действуют шесть двухуровневых факторов. В каждом наблюдении требуется не менее 1000
прогонов модели. Полный факторный эксперимент потребует 64
наблюдения. Такие затраты ресурсов неприемлемы.
Требуется определить, какой из аргументов k , q или p следует
уменьшить, чтобы достичь наиболее существенного уменьшения
числа реализаций N. Провести обоснованную проверку.
Дано: k = 6 , q = 2 , p = 1000 , q k = 64 .
Определить: какой аргумент k, q или p уменьшить? Провести
проверку уменьшения выбранного аргумента.
11
Решение.
Подготовим данные для сравнений:
N = pq k = 1000 × 64 = 64000, q ln q = 2 ln 2 = 1,386, kp = 6 ×1000 = 6000,
p = 6 ×1000 = 6000, p ln q = 1000 ln 2 = 693.
Соблюдается условие:
(kp > q ) и (k > q ln q ), так как высказывание (6000>2) и (6>1,386) –
истинно.
Не соблюдаются условия:
( p ln q > 1) и (k < q ln q ), так как высказывание (693>1) и (6<1,386) –
ложно;
(q > kp) и (1 > p ln q ), так как высказывание (2>6000) и (1>693) –
ложно.
Ответ: наибольшее влияние на изменение N оказывает изменение числа уровней q.
Проверка: уменьшим q на единицу: q = 2 -1 = 1, тогда получим,
что при ПФЭ потребуется выполнить N = 6000 ×16 = 6000 реализаций (прогонов) или 1 наблюдение, то есть в 64 раза меньше.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК МАТОЖИДАНИЯ  
И ДИСПЕРСИИ
Основной задачей планирования эксперимента [8] является обеспечение результатам компьютерного эксперимента заданных точности и достоверности.
Рассмотрим случай, когда имитационная модель строилась для
определения характеристик некоторых случайных величин.
Такими случайными величинами могут быть:
− время обслуживания заявки в СМО;
− численность обслуживающего персонала;
− расход материальных средств;
− время наработки на отказ технического устройства и др.
Из характеристик случайных величин, как правило, интересуют среднее значение (матожидание), дисперсия и характеристика
связи случайных величин – коэффициент корреляции.
Характеристику случайной величины будем обозначать греческой буквой Θ.
С помощью имитационного моделирования точное значение Θ
определить нельзя, так как число N реализаций модели конечно.
12
При конечном числе реализаций модели определяется приближенное значение характеристики. Обозначим это приближение Θ.
Приближенное значение Θ называют оценкой соответствующей характеристики: оценкой матожидания, оценкой дисперсии,
оценкой коэффициента корреляции.
Точностью характеристики Θ называют величину ε [9] в отношении
Θ - M [Θ ] < ε,
где M [Θ ] – матожидание характеристики случайной величины.
Величина ε представляет собой абсолютное значение ошибки в
определении значения искомой характеристики.
Достоверность оценки характеристики Θ называют вероятность
α того, что заданная точность достигается [9]:
(
)
P Θ - M [Θ ] < ε = α.
Достоверность характеризует повторяемость, устойчивость эксперимента и трактуется так: если для оценки M [Θ ] использовать
величину Θ, то в среднем на каждые 1000 применений этого правила в 1000α случаев величина Θ будет отличаться от M [Θ ] на величину меньше ε .
В ряде случаев целесообразно пользоваться понятием относиε
.
тельной точности [9] d =
M [Θ]
В этом случае достоверность оценки имеет вид [9]
æ
÷ö
ç Θ - M [Θ]
P çç
< d÷÷÷ = α.
çè M [Θ ]
ø÷
Найдем функциональную связь точности ε и достоверности α с
количеством реализаций модели, когда в качестве показателей эффективности выступают матожидание и дисперсия некоторой случайной величины (времени, расстояния и т. п.).
Найдем искомую связь для случая, когда целью эксперимента
является определение оценки матожидания некоторой случайной
величины.
В N прогонах модели получены независимые значения интересующего нас показателя эффективности:
13
a1, a2 ,..., ai ,..., aN .
В качестве оценки матожидания возьмем выборочное среднее
(среднее арифметическое):
N
å ai
a = i=1 .
N
Оценка такого вида является наилучшей.
Согласно центральной предельной теореме [9], если значения ai
независимы и имеют конечные дисперсии одного порядка, то при
большом числе слагаемых N случайная величина a имеет практически нормальное распределение с матожиданием и дисперсией соответственно:
σ2
σ
M éê aùú = M [a ], σ2 = a , σa = a , a
ë û
N
N
(1)
где σ2a – дисперсия искомой случайной величины a.
Следовательно, справедливо
(
)
P a - M [a ] < ta σa = Ô* (tα ),
где Ô* (tα ) =
2
2π
tα
-
òe
z2
dz
2
– интеграл вероятности [9].
0
В некоторых изданиях под интегралом вероятности понимают
несколько иное выражение, поэтому целесообразно пользоваться
интегралом Лапласа, который связан с интегралом вероятности
так: Ô* (tα ) = 2Ô (tα ).
Ô (tα ) – интеграл Лапласа. Из приведенного следует
(
)
P a - M [a ] < ta σa = 2Ô(tα ),
Сравнивая это выражение с выражением (1), имеем
ε = tα σa = tα
æαö
, tα = Ô-1 çç ÷÷÷.
çè 2 ø
N
σα
Интеграл Лапласа табулирован, следовательно, задаваясь значением достоверности α, определяется аргумент tα .
14
Итак, искомая связь между точностью ε, достоверностью α и
числом реализаций модели N получена:
ε = tα
σα
N
, N = tα2
σ2α
ε2
.
(2)
Из выражений (2) следует:
− увеличение точности на порядок (уменьшение ошибки на порядок) потребует увеличения числа реализаций на два порядка;
− число необходимых реализаций модели N не зависит от величины искомого параметра a, а от дисперсии σ2α .
Достоверность результата α указана значением аргумента
функции Лапласа tα . Связь значения tα с α находится из таблицы
значений функции (интеграла) Лапласа. Наиболее употребительные соответствия tα с α приведены в табл. 1.
Чтобы пользоваться формулами (2), нужно знать дисперсию σ2α .
Очень редки случаи, когда значение дисперсии известно до эксперимента, поэтому возможны два способа предварительного определения дисперсии [10, 11].
Первый способ [10]. Иногда заранее известен размах значений
искомой случайной величины: R = max ai - min ai .
В предположении нормального распределения случайной величины a, можно с использованием «правила трех сигм» получить
приближенную оценку σα :
R
R2
» 3σα , σ2α »
.
2
36
Второй способ [11]. Надо воспользоваться оценкой дисперсии.
Для этого необходимо выполнить предварительный прогон модели
в количестве N* = 1000 реализаций. С использованием полученного ряда ai , i = 1, N* , найдем оценку дисперсии:
Sα2 =
1
*
N
1
2
å(ai - a) , S =
1
N - i=1
N
*
N
2
å(ai - a)
-1
.
i=1
Таблица 1
α
0.8
0.85
0.9
0.95
0.99
0.995
0.999
tα
1.28
1.44
1.65
1.96
2.58
2.81
3.30
15
Здесь a – среднеарифметическое значение по N* измерениям.
И в этом случае формулы (2) имеют вид
ε = tα
Sα
N
, N = tα2
Sα2
ε2
.
(3)
Вычисленную оценку дисперсии Sα2 подставим в формулу для
определения N. Если окажется что N > N* , то моделирование
должно быть продолжено до выполнения N реализаций. Если же
N £ N* , то моделирование заканчивается. Необходимая точность
ε оценки случайной величины a (искомого показателя эффективности) при заданной достоверности α достигнута.
Если в технических условиях задана относительная точность
ε
d = , то формулы (3) принимают вид:
a
S
S2
d = tα α , N = tα2 α 2 .
a N
d2 a
Значение a определяется на основании N = 1000 прогонов модели. Все дальнейшие расчеты аналогичны только что рассмотренным аналитическим выражениям.
Вышеприведенные рассуждения и выражения были справедливы в предположении нормального закона распределения случайной
величины a. Если в этом есть сомнение, то для определения связи ε,
α и N можно воспользоваться неравенством Чебышева П. Л. [12]:
(
)
P a - M [a ] ³ ε £
σ2α
Nε2
.
С учетом направления знаков неравенств получим
σ2α
Nε2
= 1- α Þ N =
σ2α
ε2 (1 - α )
Þε=
σ2α
.
N (1 - α )
Так же, как и в предыдущих случаях вместо неизвестной дисперсии σ2α следует использовать ее оценку Sα2 , вычисленную по
данным N* прогонов модели. И еще: обратим внимание, что в данном случае достоверность α участвует в формулах в явном виде.
Итак, в выражениях (3) мы вместо неизвестной дисперсии σ2α
используем ее оценку Sα2 . В этом случае вместо аргумента функции
Лапласа tα надо использовать параметр распределения Стьюдента
16
tα* , значения которого зависят не только от уровня достоверности
α, (читается àëüôà {у Стьюдента – уровень значимости, используемый для вычисления доверительного уровня} иногда так и пишется « àëüôà » или « alpha »), но и от числа так называемых степеней
свободы k = N -1. Здесь, как и прежде, N – число прогонов модели.
Вообще-то, при N ® ¥ распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, но при малом числе прогонов модели tα*
заметно отличается от tα .
Для практических целей значения tα* можно взять из табл. 2.
Таблица 2
α
k
10
20
30
40
60
120
0.8
0.9
0.95
0.99
0.999
1.37
1.33
1.31
1.3
1.3
1.29
1.81
1.73
1.7
1.68
1.67
1.66
2.23
2.1
2.04
2.02
2.0
1.98
3.17
2.85
2.75
2.7
2.67
2.62
4.6
3.73
3.65
3.55
3.41
3.37
При k = N -1 > 120 значения tα* и tα практически совпадают.
Но при меньших значениях N следует пользоваться величиной tα*
из табл. 2.
Рассмотрим задачу определения оценки дисперсии S2 случайной величины a с заданными точностью и достоверностью [9].
Опустим вывод и приведем окончательный вид формул для расчета N и ε:
N = tα2
(µ4 - σ4 ); ε = t (µ4 - σ4 ),
ε2
α
ε2
где µ4 – эмпирический центральный момент четвертого порядка:
µ4 =
1 N
4
å(ai - a ) .
N i=1
Неизвестное значение σ заменяется оценкой S, как было рассмотрено ранее.
Если определяемая случайная величина имеет нормальное распределение, то µ4 = 3a4 » 3S4 и выражения для N и ε принимают
вид [9]
17
N = tα2
2S4
ε2
; ε = tα
S2 2
N
.
Как и ранее при малых значениях N ( N < 120) следует использовать параметр распределения Стьюдента tα* .
Следовательно, одно и то же количество реализаций модели обеспечит разное значение ошибки ε при оценке матожидания случайной величины a и ее дисперсии – при одинаковой достоверности.
И иначе: одинаковую точность определения оценок матожидания
и дисперсии случайного параметра при одинаковой достоверности
обеспечит разное число реализаций модели.
Пример 3. В результате предварительных прогонов модели
N* = 2500 определена оценка дисперсии S2 = 25 åä2 .
Определить число реализаций модели N1 и N2 для определения
оценок матожидания и дисперсии случайной величины a соответственно с точностью ε = 0,1 и достоверностью àlpha = 0,9.
Что изменится, если N* = 20 ?
Дано: N* = 2500, S2 = 25 åä2 , ε = 0,1, àlpha = 0,9.
Определить: N1 и N2.
Решение. (Используется табл. 2.1 для подстановки значений
tα = 1.65 при достоверности àlpha = 0,9 ).
Проведем расчет прогонов модели исходя из оценки матожидания:
N1 = tα2
S2
2
ε
= 1.652
25
0.12
= 2.7225 × 2500 = 6806.25.
Проведем расчет прогонов модели исходя из оценки дисперсии:
N2 = tα2
2S4
2
ε
= 1.652
1250
0.12
= 2.7225 ×125000 = 340312.5.
При N* = 20 будет использоваться табл. 2 для подстановки значений tα* . Соответственно изменятся значения N1 и N2.
Ответ: N1 = 6806.25, N2 = 340312.5.
4. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ
Рассмотрим случай, когда в качестве показателя эффективности
выступает вероятность свершения (или несвершения) какого-ли18
бо события, например запуска космического аппарата, выхода из
строя техники, завершения комплекса работ в заданное время и др.
В качестве оценки вероятности P события a выступает частота
его свершения [9]:
m
(4)
P= ,
N
где N – число реализаций модели; m – число свершений данного
события.
Использование частоты P в качестве оценки искомой вероятности P основано на теореме Я. Бернулли [13], которую в данном
случае можно в формализованном виде записать так:
m
lim
= P.
N ®¥ N
Точность и достоверность этой оценки связаны уже с известным
определением достоверности:
(
)
P P - P < ε = α.
Задача сводится к нахождению такого количества реализаций
N, чтобы оценка P отличалась от искомого значения P менее, чем
на ε с заданной достоверностью. Здесь, как и ранее, ε – абсолютное
значение, характеризующее точность оценки.
Для нахождения функциональной связи между точностью, достоверностью и числом реализаций модели введем переменную xi –
результат исхода i-й реализации модели:
ìï1, ñîáûòèå ñâåðøèëîñü, âåðîÿòíîñòü Ð,
xi = ïí
ïïî0, ñîáûòèå íå ñâåðøèëîñü,âåðîÿòíîñòü 1 - Ð.
Тогда частота свершения события (оценка искомой вероятности) будет определяться следующим выражением:
N
å xi
P = i=1 .
N
Величина
N
å xi
– случайная и дискретная. Она при таком зада-
i=1
нии xi имеет биномиальное распределение (распределение Бернулли) с характеристиками [13]:
19
éN ù
− матожидание M êê å xi úú = NP;
ëê i=1 ûú
éN ù
− дисперсия D êê å xi úú = NP (1 - P ).
ëê i=1 ûú
Из этого следует:
éN ù
ê x ú
êå i ú
ê
ú 1
é
ù
M ê P ú = M ê i=1 ú = NP = P;
ë û
ê N ú N
ê
ú
ê
ú
ë
û
éN ù
ê x ú
êå i ú
P (1 - P )
1
ê
ú
é
ù
;
D ê P ú = D ê i=1 ú = 2 NP (1 - P ) =
ë û
N
ê N ú N
ê
ú
ê
ú
ë
û
P (1 - P )
σ P = D éê P ùú =
.
ë û
N
В теории вероятностей есть теорема Лапласа (частный случай
центральной предельной теоремы), сущность которой состоит в
том, что при больших значениях числа реализаций N биномиальное распределение достаточно хорошо согласуется с нормальным
распределением.
Следовательно, можно записать:
(
)
P P - P < tα σ P = 2Ô(tα ),
æ
P (1 - P ) ÷÷ö
ç
÷÷ = 2Ô (tα ).
P çç P - P < tα
çç
N
è
ø÷÷
Следуя рассуждениям, приведенным ранее, получим искомые
формулы:
20
N = tα2
P (1 - P )
2
ε
; ε = tα
P (1 - P )
N
.
(5)
æαö
Как и ранее, tα – аргумент функции Лапласа, tα = Ô-1 çç ÷÷÷.
çè 2 ø
Если априорные сведения хотя бы о порядке искомой вероятности P неизвестны, то использование значения абсолютной ошибки
ε может не иметь смысла. Например, может быть так, что исследователь задал значение абсолютной ошибки ε = 1, а искомое значение вероятности оказалось P = 0.01. Очевидно явное несоответствие. Поэтому целесообразно оперировать относительной погрешε
ностью: d = .
p
В этом случае формулы (5) принимают вид:
N = tα2
1- P
Pd
2
; d = tα
1- P
.
PN
(6)
Из формул (6) следует, что при определении оценок малых вероятностей с приемлемо высокой точностью необходимо выполнить
очень большое число реализаций модели. При отсутствии высокопроизводительного компьютера применение статистического моделирования становится проблематичным.
Пример 4. Вероятность P = 0.1.
Определить число реализаций модели и затраты машинного времени для оценки данной вероятности с относительной точностью
d = 0.01 и достоверностью α = 0.9. На выполнение одной реализации модели требуется 5 с.
Дано: P = 0.1, d = 0.01, α = 0.9, t p = 5 ñ.
Определить: N и T.
Решение.
Из табл. 1 находим tα = 1.65.
Тогда
N = tα2
1- P
Pd
2
= 1.652
1 - 0.1
2
0.1× 0.01
T = N × t p = 245025
= 2.7225
0.9
10-5
= 245025.
5
» 340 ÷.
3600
Ответ: N = 245025 ðåàëèçàöèé, T » 340 ÷.
21
5. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ИМИТАЦИОННОЙ  
МОДЕЛИ
В формулах (5) и (6) для вычисления N или ε(d ) присутствует та
же неопределенность, которую мы обсуждали ранее: вычисления
требуют знания вероятности P, а она до эксперимента неизвестна.
Эта неопределенность снимается так.
Выполняется предварительно прогонов модели. Обычно
N* = 1000. По данным этих прогонов вычисляют ориентировочное
*
значение оценки вероятности P , которую и подставляют в формулу вместо вероятности P.
Если окажется N > N* , моделирование следует продолжить до
выполнения N реализаций.
Если окажется N £ N* , то моделирование заканчивается. При
этом если N < N* , то следует определить действительную точность
ε или d для реализаций. Очевидно, в этом случае N = 1000 достигнутая точность будет выше заданной (ошибка меньше заданной).
Но более удобно рассчитывать число реализаций на так называемый наихудший случай.
P (1 - P )
.
Вернемся к формуле (5) N = tα2
ε2
Анализ формулы показывает, что число реализаций модели в
зависимости от вероятности P изменяется от 0 (при P = 0) до 0 (при
P = 1), проходя через максимум. Максимальное значение N принимает при P = 0.5:
N tα2
= (1 - 2P ) = 0.
P ε2
То есть наибольшее число реализаций модели будет тогда, когда
искомая вероятность равна 0.5.
В этом случае число реализаций определяется так:
Nm = tα2
P (1 - P )
ε2
= tα2
0,5(1 - 0,5)
ε2
=
tα2
4ε2
.
Если в результате моделирования окажется, что искомая вероятность значительно отличается от 0,5 (в любую сторону), то точность моделирования будет выше заданной (ошибка ε меньше).
Для определения этой точности следует воспользоваться уже известной формулой (5), но при N = Nm :
22
ε = tα
P (1 - P )
Nm
.
Многие планы экспериментов в настоящее время стандартизованы. Они имеются в справочниках, математических пакетах программ и системах моделирования. Однако исследователь должен
быть готов к модификации имеющихся планов и приспособлению
их к специфическим условиям конкретных задач.
С полным факторным экспериментом мы уже знакомы. Это,
как отмечалось ранее, самый информативный план, понятный по
структуре, но и самый неэкономичный. Поэтому ПФЭ применяют, когда число факторов невелико. В приведенном примере 1 при
k = 2, q = 5, p = 25000, t p = 1 ÷ затраты времени на проведение
компьютерного эксперимента ожидаются T = 625000 ÷. Поэтому
актуальной становится проблема более или менее обоснованного
сокращения плана эксперимента (числа наблюдений). Способов
сокращения плана и, следовательно, уменьшения затрат времени
на проведение экспериментов много, но все они, в конечном счете,
основаны на пренебрежении эффектами парных, тройных и более
взаимодействий факторов. Естественно, это снижает точность моделирования, но во многих случаях допустимо.
Например, необходимо провести эксперимент с моделью, имеющей три двухуровневых фактора ( k = 3, q = 2 ), с целью построения математической модели («вторичной модели») процесса в виде
[14]
y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1x2 + b13 x1x3 + b23 x2 x3 + b123 x1x2 x3 .
Уравнение имеет восемь коэффициентов, следовательно, достаточно провести восемь наблюдений. Это уравнение соответствует
ПФЭ типа N = 23 = 8 .
Полный факторный эксперимент [6] дает возможность определить не только коэффициенты b1, b2 , b3 , соответствующие так называемым линейным эффектам (их также называют главными), но
и коэффициенты b12 , b13 , b23 , b123 , соответствующие всем эффектам
взаимодействия факторов, а также свободный член b0.
Эффекты взаимодействия двух и более факторов проявляются,
если влияние каждого из них на отклик зависит от уровней, на которых установлены другие факторы.
Теперь допустим, что число наблюдений в эксперименте, равное
восьми, неприемлемо и план надо сократить.
23
Вполне естественно предположить, что эффекты взаимодействия оказывают на реакцию системы существенно меньшее влияние, чем линейные, или даже отсутствуют вовсе, если факторы обладают свойством независимости.
Исключим их и тогда модель процесса (уравнение отклика,
уравнение реакции, «вторичная модель») принимает вид
y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 .
Теперь число неизвестных коэффициентов bi сократилось вдвое
и число необходимых наблюдений для их определения стало равно
четырем.
Что это за наблюдения?
Четыре наблюдения достаточны для проведения ПФЭ при двухфакторной модели N = 2. Этими факторами, например, могут быть
x1, x2 или другая двухфакторная комбинация из трех факторов.
Уровни третьего фактора x3 получают из первых двух с помощью, так называемого генерирующего соотношения: x3 = x1 × x2 .
Поскольку факторы двухуровневые, то в общем виде уровни
принято обозначать так:
− верхний уровень: +1;
− нижний уровень: -1.
Новый, сокращенный план эксперимента называют полурепликой и обозначают 23–1. План приведен в табл. 3.
Единичный столбец x0 обеспечивает вычисление свободного
члена b0 в модели процесса.
Таким же образом можно проводить дальнейшее сокращение
планов типа 2k-1, получая четверть реплики 2k-2 и более мелкие
реплики.
Естественно, такое сокращение числа экспериментов приводит
к «огрублению» коэффициентов bi. Следовательно, полученную
модель процесса y = f (x) нужно проверять на адекватность, используя для этого «сэкономленные» наблюдения.
Таблица 3
№ п/п
x0
2
План ПФЭ 2 .
x1
x2
1
2
3
4
1
1
1
1
–1
+1
–1
+1
24
–1
–1
+1
+1
x3 = x1x2
Отклик
y1
+1
–1
–1
+1
y1
y2
y3
y4
Рассмотренное планирование является основой и составной частью для разработки более сложных – несимметричных многоуровневых планов.
Не менее часто целью экспериментов является проверка разного
рода гипотез о природе сравниваемых объектов. Например, однородны ли выходы двух систем в смысле законов распределения,
характеристик этих законов. Поскольку обработка данных эксперимента ведется методами дисперсионного анализа, то и планы в
данном случае называются планами дисперсионного анализа.
Планы дисперсионного анализа могут быть полные, если используются все возможные сочетания условий (аналогично ПФЭ),
и неполные, которые применяются тогда, когда полные планы оказываются громоздкими и неэкономичными. Сокращение планов
происходит, как и ранее, за счет исключения некоторых сочетаний
факторов (взаимодействий) и уровней случайным или традиционным образом.
Наиболее популярным из неполных планов является симметричный план «латинский квадрат» или его вариации. Этот план
целесообразно применять, когда из всех существенных факторов
можно выделить один доминирующий (самый существенный).
В планах дисперсионного анализа [6] часто факторы обозначают
латинскими буквами À, Â, Ñ,... , а уровни – индексами при соответствующих факторах: À1, À2 , À3 , Â1, Â2 , Â3 , Ñ1,...
Например, необходимо построить план «латинский квадрат»
симметричного трехфакторного четырехуровневого эксперимента
k = 3 , q = 4 . Доминирующий фактор À .
Введем обозначения факторов и уровней:
À1, À2 , À3 , À4 – уровни доминирующего фактора À ;
Â1, Â2 , Â3 , Â4 – уровни фактора Â ;
Ñ1, Ñ2 , Ñ3 , Ñ4 – уровни фактора Ñ .
План приведен в табл. 4.
Таблица 4
План «латинский квадрат»
Уровни B
Уровни C
C1
C2
C3
C3
B1
A1
A2
A3
A4
B2
A2
A3
A4
A1
B3
A3
A4
A1
A2
B4
A4
A1
A2
A3
25
В этом плане число наблюдений N = 4 × 4 = 16. В полном плане их
было бы N = 43 = 64. Сокращение произошло за счет исключения
некоторых комбинаций: À1, B2 , C1, À1, B2 , C2 и др.
Заметим, что план может быть и несимметричным. В этом случае вместо квадрата будет прямоугольник. И еще: выделение доминирующего фактора не является существенным, то есть, внутри
квадрата можно располагать уровни любого из действующих факторов.
В практике планирования экспериментов встречаются и такие
неполные планы: один из факторов меняет свои значения при фиксированных значениях других. То есть исследуется поочередно
влияние каждого фактора в отдельности.
Иногда применяются и так называемые рандомизированные
планы. В таких планах сочетания факторов и уровней для каждого прогона модели выбираются случайно. Вид случайности и объем
выборки определяется исследователем.
Пример 5. Сервер обрабатывает запросы, поступающие с автоматизированных рабочих мест (АРМ) с интервалами, распределенными по экспоненциальному закону со средним значением
T1 = 2 ìèí. Вычислительная сложность запросов распределена по
нормальному закону с математическим ожиданием S1 = 6 ×107 îï.
и среднеквадратическим отклонением S2 = 4 ×105 îï. Производительность сервера по обработке запросов Q = 2 ×105 îï./ ñ, ε = 0,01,
α = 0,95. Построить алгоритм имитационной модели с целью определения вероятности обработки запросов за время Ò = 1 ÷. Построить план ПФЭ. Исследовать зависимость вероятности обработки запросов от интервалов их поступления, вычислительной сложности
и производительности сервера. Рассчитать число прогонов для наихудшего случая.
Дано: T1 = 2 ìèí., S1 = 6 ×107 îï., S2 = 2 ×105 îï., Q = 5 ×105 îï./ ñ,
Ò = 1 ÷.
Построить алгоритм, исследовать зависимость.
Решение.
Для построения алгоритма имитационной модели введем следующие идентификаторы:
t1 – текущее время поступления запроса;
t2 – интервал поступления запросов;
t3 – текущее время окончания обработки запроса;
t4 – время обработки запроса;
k – счетчик количества прогонов модели (реализаций);
P – вероятность обработки запросов;
26
M – счетчик количества обработанных запросов;
N – заданное количество прогонов модели (реализаций);
R – количество запросов за N прогонов модели;
T – время моделирования.
Алгоритм модели приведен на рис. 2, который построен в следующей последовательности.
Н
1
7
k = 0, M = 0,
R = 0N = 1000
11
нет
8
2
T4 = Nor(S1,S2)/Q
t 3 = t1+ t4
t1 = 0
t3 = 0
10
да
t1< t3
3
9
k = k +1
R = R +1
M = M +1
4
10
t 2 = exp(T1)
t1 = t1+ t2
t1 >T
нет
3
да
11
5
k =1
нет
нет
k= N
2
да
да
12
6
t4 = Nor(S1,S2)/Q
t3 = t1+ t4
P = M/R
К
Рис. 2. Алгоритм имитационной модели
27
Блок 1. Перед началом поступления запросов обнуляются значения: счетчика количества обработанных запросов (M); количества
запросов за N прогонов модели (R). Устанавливается первоначальное заданное число прогонов модели N = 1000.
Блок 2. Обнуляются текущие времена t1 и t3, а также счетчик
количества прогонов модели (k).
Блок 3. Организуется цикл по увеличению числа прогонов модели ( k = k + 1 ) и числа запросов за N прогонов модели ( R = R + 1 ).
Блок 4. В цикле каждый раз вычисляется интервал поступления
запросов (t2) исходя из экспоненциального закона распределения и
текущее время поступления запроса ( t1 = t1 + t2 ).
Блок 5. Выставляется условие первого прогона модели.
Блок 6. Рассчитываются время обработки запроса (t4) и текущее
время окончания обработки запроса (t3) для первого прогона.
Блок 7. Выставляется условие, что текущее время (t1) должно
быть меньше текущего времени окончания обработки запроса (t3).
Блок 8. Рассчитываются время обработки запроса (t4) и текущее
время окончания обработки запроса (t3) для второго и далее прогонов.
Блок 9. Организуется цикл по увеличению числа обработанных
запросов ( M = Ì + 1 ).
Блок 10. Выставляется условие, что текущее время (t1) должно
быть больше установленного времени моделирования (T).
Блок 11. Выставляется условие равенства числа прогонов модели ( k ) заданному числу прогонов модели N.
Блок 12. Рассчитывается вероятность обработки запросов.
Для составления плана ПФЭ выберем интервалы варьирования уровней факторов. T1 = 120 ± 60 c – средний интервал поступления запросов. Для изменения математического ожидания и среднеквадратического отклонения целесообразно ввести
коэффициент, принимающий два значения, например, h1 = 0.5
и h2 = 1.5. Тогда S1 = 6 ×107 ± 3 ×107 îï., S2 = 4 ×105 ± 2 ×105 îï.,
Q = 5 ×105 ± 2 ×105 îï./ ñ – производительность сервера.
В соответствии с интервалами варьирования представим уровни
факторов табл. 5. В табл. 5 индексы «н» и «в» – нижний и верхний
уровни факторов соответственно.
Составим план факторного эксперимента.
Методом перебора возможных значений нижних и верхних границ факторов создадим план ПФЭ в виде табл. 6.
Вычислим вероятность обработки запросов для каждого сочетания. Используем формулу для нормального закона распределения
28
Таблица 5
T1
Q
S1 S2
(S1
S2 )Í
T1Í
T1Â
60
180
3 ×107 2 ×105
–1
+1
–1
(S1
S2 )Â
QÍ
QÂ
9 ×107 6 ×105
1×105
3 ×105
+1
–1
+1
Таблица 6
№ п/п
1 
2 
3 
4 
x1
x2
Y
S1 S2
Q
P
–1
–1
+1
+1
–1
+1
–1
+1
0,38292
0,13498
0,86638
0,38292
æδö
P = 2Ôçç ÷÷÷, где δ – заданная производительность сервера по обраçè σ ø
ботке запросов Q.
Проведем вычисления по строкам табл. 6.
æ 1×105 ö÷
æδö
ç
÷÷ = 2Ô (0,5) = 2 × 0,19146 = 0,38292;
P-1-1 = 2Ôçç ÷÷÷ = 2Ô çç
çè 2 ×105 ÷÷ø
èç σ ø
æ 1×105 ö÷
æδö
ç
P-1+1 = 2Ôçç ÷÷ = 2Ô çç
÷÷ = 2Ô (0,17) = 2 × 0,06749 = 0,13498;
çè σ ÷ø
çè 6 ×105 ø÷÷
5ö
æ
æδö
ç 3 ×10 ÷÷
P+1-1 = 2Ôçç ÷÷ = 2Ôçç
= 2Ô (1,5) = 2 × 0,43319 = 0,86638;
5 ÷÷
çè σ ÷ø
èç 2 ×10 ø÷
æ 3 ×105 ö÷
æδö
ç
÷ = 2Ô (0,5) = 2 × 0,19146 = 0,38292.
P+1+1 = 2Ô çç ÷÷ = 2Ô çç
5 ÷÷
èç σ ø÷
èç 6 ×10 ø÷
Значения функции Лапласа приведены в приложении 1 к настоящему методическому пособию.
При ε = 0,01, α = 0,95 по таблице значений функции Лапласа
найдем ее аргумент tα = 1,96. Тогда
29
N0* "-1-1" = tα2
P (1 - P )
2
ε
= 1,962
= 3,8416
0,38292(1 - 0,38292)
0,012
=
0,2363
= 9077.
0,0001
Рассчитаем число прогонов для наихудшего случая.
NÐ=0,5 = tα2
P (1 - P )
2
ε
= tα2
0.5(1 - 0.5)
2
ε
=
tα2
2
4ε
=
3,8416
= 9604.
0,0004
6. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ
Задание № 1
Требуется провести компьютерный эксперимент, в котором на
отклик модели влияют k факторов. Для каждого фактора установлены q уровней. Требования по точности и достоверности требуют p
прогонов модели на каждом уровне. Время одного прогона модели
равно tp. Оценить затраты времени T в часах на проведение компьютерного эксперимента.
Значения параметров приведены в приложении 2.
Задание № 2
Проводится исследование возможности запуска космических
аппаратов при наличии в ней определенного количества технических и людских ресурсов. Для этого рассматривают действие на
вход модели части запуска следующих факторов:
− количество пусковых установок q;
− количество боевых расчетов запуска q;
− количество исправных ракет-носителей q;
− количество исправных космических аппаратов q.
В каждом наблюдении требуется не менее p прогонов модели.
Полный факторный эксперимент потребует qk наблюдение. Такие
затраты ресурсов в реальности неприемлемы.
Требуется определить, какой из аргументов k, q или p следует
уменьшить, чтобы достичь наиболее существенного уменьшения
числа реализаций N. Провести обоснованную проверку.
Значения параметров приведены в приложении 2.
Задание № 3
В результате предварительных прогонов модели N* определена
оценка дисперсии S2.
30
Определить число реализаций модели N1 и N2 для определения
оценок матожидания и дисперсии случайной величины a соответственно с точностью ε и достоверностью α. Значения параметров
приведены в приложении 2.
Задание № 4
Определить число реализаций модели и затраты машинного времени для оценки данной вероятности с относительной точностью
d = 0.026 и достоверностью α = 0.85. На выполнение одной реализации модели требуется 2,5 минуты. Значения параметров приведены в приложении 2.
Задание № 5
Сервер обрабатывает запросы, поступающие с автоматизированных рабочих мест (АРМ) с интервалами, распределенными по
экспоненциальному закону со средним значением T1. Вычислительная сложность запросов распределена по нормальному закону
с математическим ожиданием S1 и среднеквадратическим отклонением S2. Производительность сервера по обработке запросов Q.
Построить алгоритм имитационной модели с целью определения
вероятности обработки запросов за время T. Исследовать зависимость вероятности обработки запросов от интервалов их поступления, вычислительной сложности и производительности сервера.
Значения параметров приведены в приложении 2.
31
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выполнение контрольной работы необходимо начинать с изучения теоретического материала по пп. 1–5 настоящих указаний.
В теоретическом материале приводится описание примеров 1–5,
объясняющих как выполнять задания контрольной работы. Только после изучения теоретического материала можно приступать к
выполнению заданий .
Контрольная работа выполняется по вариантам, указанным
преподавателем для каждого студента. Варианты приведены в приложении 2.
После выполнения контрольной работы студент ставит дату,
свою подпись и фамилию на титульном листе и сдает работу преподавателю для проверки и выставления оценки.
32
Список литературы и интернет-ресурсов
1. http://ru.wikipedia.org/wiki/Модель.
2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Эксперимент.
3. Спирин Н. А., Лавров В. В. Методы планирования и обработки
результатов инженерного эксперимента: конспект лекций. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ –УПИ, 2004.
4. Налимов В. Н. Логические основания планирования эксперимента: учебник. М.: Колос, 2001.
5. http://ru.wikipedia.org/wiki/Полный_факторный_экспкримент.
6. Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных: пер. с англ. Л.: Судостроение, 1980.
7. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: учебник
для вузов. М.: Высш. шк., 2001.
8. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических
систем: учебник для вузов. М.: Наука, 1997.
9. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. Задачи и
упражнения. М.: Наука, 1969.
10. Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: МГИУ, 1998.
11. Ивановский Р. И. Теория вероятности и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в
среде Mathcad. СПб.: БХВ-Петербург, 2008.
12. Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений. Т. 2. Математический анализ. М.: Лет Ме Принт, 2013.
13. Малышев В. А., Синай Я. Г. Теория вероятностей и ее применения. Т. 34. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1989.
14. Белова И. М. Компьютерное моделирование. Учебно-методическое пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика» и специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». М.: МГИУ,
2007.
33
34
0,52
0,03188
0,08
0,06356
0,16
0,64
0,05567
0,05962
0,14
0,15
0,63
0,05172
0,13
0,66
0,65
0,62
0,61
0,04380
0,04776
0,12
0,60
0,59
0,58
0,57
0,56
0,11
0,03586
0,02790
0,07
0,03983
0,02392
0,10
0,55
0,01994
0,05
0,06
0,09
0,54
0,01595
0,04
0,53
0,00798
0,01197
0,02
0,03
0,50
0,51
0,00000
0,00399
0,00
0,01
x
Ф(x)
x
0,24537
0,24215
0,23891
0,23565
0,23237
0,22907
0,22575
0,22240
0,21904
0,21566
0,21226
0,20884
0,20540
0,20194
0,19847
0,19497
0,19146
Ф(x)
1,16
1,15
1,14
1,13
1,12
1,11
1,10
1,09
1,08
1,07
1,06
1,05
1,04
1,03
1,02
1,01
1,00
x
0,37698
0,37493
0,37286
0,37076
0,36864
0,36650
0,36433
0,36214
0,35993
0,35769
0,35543
0,35314
0,35083
0,34849
0,34614
0,34375
0,34134
Ф(x)
1,66
1,65
1,64
1,63
1,62
1,61
1,60
1,59
1,58
1,57
1,56
1,55
1,54
1,53
1,52
1,51
1,50
x
0,45154
0,45053
0,44950
0,44845
0,44738
0,44630
0,44520
0,44408
0,44295
0,44179
0,44062
0,43943
0,43822
0,43699
0,43574
0,43448
0,43319
Ф(x)
Таблица значений функции Лапласа Ô( Õ ) =
ПРИЛОЖЕНИЯ
-
z
x
å 2
2,32
2,30
2,28
2,26
2,24
2,22
2,20
2,18
2,16
2,14
2,12
2,10
2,08
2,06
2,04
2,02
2,00
0
x
ò
2π
1
2
dz
0,48983
0,48928
0,48870
0,48809
0,48745
0,48679
0,48610
0,48537
0,48461
0,48382
0,48300
0,48214
0,48124
0,48030
0,47932
0,47831
0,47725
Ф(x)
3,80
3,75
3,70
3,65
3,60
3,55
3,50
3,45
3,40
3,35
3,30
3,25
3,20
3,15
3,10
3,05
3,00
x
0,49993
0,49991
0,49989
0,49987
0,49984
0,49981
0,49977
0,49972
0,49966
0,49960
0,49952
0,49942
0,49931
0,49918
0,49903
0,49886
0,49865
Ф(x)
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
35
0,77
0,78
0,09095
0,09483
0,09871
0,10257
0,10642
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,81
0,82
0,11791
0,12172
0,30
0,31
0,84
0,85
0,13307
0,13683
0,14058
0,14431
0,34
0,35
0,36
0,37
0,87
0,86
0,83
0,12552
0,12930
0,32
0,33
0,80
0,79
0,11026
0,11409
0,28
0,29
0,76
0,75
0,74
0,73
0,72
0,71
0,08317
0,08706
0,22
0,70
0,69
0,68
0,67
x
0,21
0,07535
0,07926
0,07142
0,18
0,20
0,06749
0,17
0,19
Ф(x)
x
0,30785
0,30511
0,30234
0,29955
0,29673
0,29389
0,29103
0,28814
0,28524
0,28230
0,27935
0,27637
0,27337
0,27035
0,26730
0,26424
0,26115
0,25804
0,25490
0,25175
0,24857
Ф(x)
1,37
1,36
1,35
1,34
1,33
1,32
1,31
1,30
1,29
1,28
1,27
1,26
1,25
1,24
1,23
1,22
1,21
1,20
1,19
1,18
1,17
x
0,41466
0,41309
0,41149
0,40988
0,40824
0,40658
0,40490
0,40320
0,40147
0,39973
0,39796
0,39617
0,39435
0,39251
0,39065
0,38877
0,38686
0,38493
0,38298
0,38100
0,37900
Ф(x)
1,87
1,86
1,85
1,84
1,83
1,82
1,81
1,80
1,79
1,78
1,77
1,76
1,75
1,74
1,73
1,72
1,71
1,70
1,69
1,68
1,67
x
0,46926
0,46856
0,46784
0,46712
0,46638
0,46562
0,46485
0,46407
0,46327
0,46246
0,46164
0,46080
0,45994
0,45907
0,45818
0,45728
0,45637
0,45543
0,45449
0,45352
0,45254
Ф(x)
2,74
2,72
2,70
2,68
2,66
2,64
2,62
2,60
2,58
2,56
2,54
2,52
2,50
2,48
2,46
2,44
2,42
2,40
2,38
2,36
2,34
x
0,49693
0,49674
0,49653
0,49632
0,49609
0,49585
0,49560
0,49534
0,49506
0,49477
0,49446
0,49413
0,49379
0,49343
0,49305
0,49266
0,49224
0,49180
0,49134
0,49086
0,49036
Ф(x)
4,85
4,80
4,75
4,70
4,65
4,60
4,55
4,50
4,45
4,40
4,35
4,30
4,25
4,20
4,15
4,10
4,05
4,00
3,95
3,90
3,85
x
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,49999
0,49999
0,49999
0,49999
0,49999
0,49998
0,49998
0,49997
0,49997
0,49996
0,49995
0,49994
Ф(x)
Продолжение табл.
36
0,17364
0,17724
0,45
0,46
0,18793
0,17003
0,44
0,49
0,16640
0,43
0,18082
0,16276
0,42
0,18439
0,15910
0,41
0,48
0,95
0,15542
0,40
0,47
0,94
0,15173
0,39
x
0,99
0,98
0,97
0,96
0,93
0,92
0,91
0,90
0,89
0,88
Ф(x)
0,14803
x
0,38
Ф(x)
0,33891
0,33646
0,33398
0,33147
0,32894
0,32639
0,32381
0,32121
0,31859
0,31594
0,31327
0,31057
x
1,49
1,48
1,47
1,46
1,45
1,44
1,43
1,42
1,41
1,40
1,39
1,38
Ф(x)
0,43189
0,43056
0,42922
0,42785
0,42647
0,42507
0,42364
0,42220
0,42073
0,41924
0,41774
0,41621
x
1,99
1,98
1,97
1,96
1,95
1,94
1,93
1,92
1,91
1,90
1,89
1,88
Ф(x)
0,47670
0,47615
0,47558
0,47500
0,47441
0,47381
0,47320
0,47257
0,47193
0,47128
0,47062
0,46995
x
2,98
2,96
2,94
2,92
2,90
2,88
2,86
2,84
2,82
2,80
2,78
2,76
Ф(x)
0,49856
0,49846
0,49836
0,49825
0,49813
0,49801
0,49788
0,49774
0,49760
0,49744
0,49728
0,49711
5,00
4,95
4,90
x
0,50000
0,50000
0,50000
Ф(x)
Окончание табл.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Варианты контрольной работы
Для задания № 1
№ варианта
k
q
p
tp(ч)
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
11
10
9
8
7
6
4
3
2
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
4
3,2
2,8
2,5
2
1,6
1,5
1
0,5
0,2
Для задания № 2
№ варианта
q
p
qk
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
5500
16
81
256
625
1296
1296
625
256
81
16
Для задания № 3
№ варианта
N*
S2
α
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
10
1000
20
1500
30
2000
40
5000
60
120
9
19
25
36
49
9
19
25
36
49
0,9
0,8
0,999
0,9
0,8
0,95
0,95
0,99
0,99
0,999
ε = 0,1
37
Для задания № 4
№ варианта
P = 0.1.
α
tp , ñ
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,999
0,999
0,99
0,99
0,95
0,95
0,9
0,9
0,8
0,8
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
d = 0.01
Для задания № 5
№ варианта
Q
α
S2 = 2 ×105 îï.
1 
2 ×105
0,9
6 ×105
2 
3 ×105
0,8
5 ×105
3 
4 ×105
0,999
4 ×105
0,9
3 ×105
0,8
2 ×105
0,95
2 ×105
38
T1 = 60 ñ,
4 
5 ×105
5 
6 ×105
6 
6 ×105
7 
5 ×105
0,95
3 ×105
8 
4 ×105
0,99
4 ×105
9 
3 ×105
0,99
5 ×105
10 
2 ×105
0,999
6 ×105
7
S1 = 6 ×10 îï.,
ε = 0,01,
Ò = 1 ÷.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.............................................................................. 1. Основные положения стратегического планирования
эксперимента............................................................................. 2. Сокращение общего числа прогонов........................................... 3. Определение оценок матожидания и дисперсии........................... 4. Оценка вероятности................................................................. 5. Построение алгоритма имитационной модели.............................. 6. Задания на контрольную работу................................................ Задание № 1........................................................................... Задание № 2........................................................................... Задание № 3........................................................................... Задание № 4........................................................................... Задание № 5........................................................................... Заключение............................................................................... Список литературы и интернет-ресурсов........................................ Приложения.............................................................................. Приложение 1. Таблица значений функции Лапласа
Ô( Õ ) =
1
2π
x
-
òå
z2
dz
2
3
4
10
12
18
22
30
30
30
31
31
31
31
32
33
................................................................... 33
0
Приложение 2. Варианты контрольной работы............................... 36
39
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
980 Кб
Теги
gamow, 00648de1cd
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа