close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Golovachev Gusman Zinger

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ.ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания
Санкт.Петербург
2014
Составители: Г. М. Головачев, Ю. А. Гусман, А. А. Зингер
Рецензент – доктор физ..мат. наук, профессор В. Г. Фарафонов
Методические указания к решению контрольной работы по инте.
гральному исчислению предназначены для студентов 1.го курса всех
направлений подготовки и специальностей для всех форм обучения
технических и экономического факультетов ГУАПа. В пособии со.
держатся основные теоретические сведения и приведены примеры
как ответов на теоретические опросы, так и подробные решения ха.
рактерных задач контрольных работ по модулю «Интегральное ис.
числение».
Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики и реко.
мендованы к изданию редакционно.издательским советом Санкт.
Петербургского государственного университета аэрокосмического при.
боростроения.
Печатается в авторской редакции
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 17.09.14. Подписано к печати 22.09.14. Формат 60×84 1/16.
Усл..изд. л. 3,12. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,9. Тираж 100 экз. Заказ № 474.
Редакционно.издательский центр ГУАП
190000, Санкт.Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт.Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2014
2
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Неопределенный интеграл
1.1. Определение неопределенного интеграла
Задача, состоящая в определении функции F(x) по ее известной
производной F′(x) = f(x), представляет собой основную задачу ин.
тегрального исчисления.
Первообразной функции f(x), определенной на некотором про.
межутке называется функция F(x), определенная на том же про.
межутке и удовлетворяющая условию F′(x) = f(x). Процесс нахож.
дения первообразной называется интегрированием.
Если функция F(x) является первообразной функции f(x), то
функция F(x) + C, где C – произвольная постоянная, также явля.
ется первообразной функции f(x).
Множество всех первообразных F(x) + C называется неопреде.
ленным интегралом от функции f(x) и обозначается символом
∫f(x)dx = F(x) + C,
(1.1)
где знак ∫ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной
функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
1.2. Простейшие свойства неопределенного интеграла
1) Если a – постоянная величина, то
∫af(x)dx = a∫f(x)dx.
(1.2)
2) ∫(f(x) + g(x)) = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.
(1.3)
3) (∫f(x)dx)′ = f(x).
(1.4)
4) ∫dF(x) = F(x) + C.
(1.5)
3
1.3. Таблица основных интегралов
Интегралы, помещенные в таблице, называются основными.
1) ∫dx = x + C.
(1.6)
xa+1
+ C, (a ≠ −1).
a +1
2)
∫
x a dx =
3)
∫
dx
= ln x + C.
x
∫
a x dx =
4)
(1.7)
(1.8)
ax
+ C, (a > 0, a ≠ 1).
ln a
(1.9)
5) ∫e dx = e + C.
x
(1.10)
6) ∫sinxdx = .cosx + C.
(1.11)
7) ∫cosxdx = sinx + C.
(1.12)
x
dx
8)
∫ cos2 x = tgx + C.
9)
∫ sin2 x = −ctgx + C.
(1.13)
dx
dx
10)
∫ 1 + x2 = arctgx + C.
11)
∫
12)
∫ x2 − a2 = 2a ln x + a + C.
13)
∫
4
dx
1 − x2
dx
dx
2
x ±b
= arcsin x + C.
1
(1.14)
(1.15)
(1.16)
x −a
(1.17)
= ln x + x2 ± b + C.
(1.18)
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле
Если интеграл не может быть вычислен непосредственно при
помощи простейших свойств и формул из таблицы, то во многих
случаях вводят новую переменную t:
x = ϕ(t)→dx = ϕ′(t)→∫f(x)dx = ∫f(ϕ(t))ϕ′(t)dt,
(1.19)
которая позволяет преобразовать подынтегральное выражение к
более простому виду, интегрирование которого можно провести
при помощи простейших свойств интеграла и формул из таблицы.
После нахождения первообразной в окончательном результате
нужно выразить переменную t через переменную x.
dx
.
Пример 1.4.1. Вычислить интеграл ∫
1 + ex
Решение.
2tdt
Делаем замену t = ex + 1,→ x = ln(t2 −1),→ dx =
,
t2 − 1
∫
dx
1 + ex
=∫
Ответ: ln
2tdt
t(t2 −1)
= 2∫
dt
t2 − 1
= ln
t −1
+ C = ln
t +1
ex + 1 − 1
ex + 1 + 1
+ C.
ex + 1 −1
+ C.
ex + 1 + 1
Если подынтегральное выражение может быть представлено в
виде
f(ϕ(x))ϕ′(x)dx = f(ϕ(x))d(ϕ(x)),
то обозначив ϕ(x) = t, получим
∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx = ∫f(ϕ(x))d(ϕ(x)) = ∫f(t)dt.
(1.20)
Если полученный интеграл является табличным:
∫f(t)dt = F(t) + C,
то ответ будет иметь вид
∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx = F(ϕ(x) + C.
(1.21)
5
Такой метод вычисления интеграла называется методом подве.
дения под знак дифференциала.
Пример 1.4.2. Вычислить интеграл
∫
3
sin 4
x cos xdx.
Решение.
∫
3
sin 4
x cos xdx =∫
3
4
sin
7
4
xd(sin x) = sin 4 x + C.
7
7
Ответ:
4
sin 4 x + C.
7
1.5. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Формула
∫udv = uv.∫vdu,
(1.22)
называется формулой интегрирования по частям и применяется
тогда, когда интеграл, стоящий в правой части, проще, чем перво.
начальный интеграл.
Метод интегрирования по частям обычно используется в сле.
дующих случаях:
1) Если подынтегральное выражение имеет вид
ax
Pn(x)cosaxdx, Pn(x)sinaxdx, Pn(x)e dx,
где Pn(x) – многочлен степени n, то в качестве функции u нужно вы.
брать Pn(x), а в качестве дифференциала dv – произведение триго.
нометрической или показательной функции на дифференциал dx.
Тогда после интегрирования по частям получится интеграл то.
го же типа, но степень многочлена уменьшится на единицу. Инте.
грируя по частям несколько раз, получим один из табличных ин.
тегралов.
2) Если подынтегральное выражение имеет вид
Pn(x)lnxdx, Pn(x)arctgxdx, Pn(x)arcsinxdx,
где Pn(x) – многочлен степени n, то в качестве функции u нужно
выбрать функцию lnx, arctgx arcsinx, соответственно, а в качестве
дифференциала dv – произведение Pn(x) dx.
6
Тогда после интегрирования по частям для функций lnx и
arctgx получится интеграл от рациональной, а для arcsinx – инте.
грал от простой иррациональной функции.
Пример 1.5.1. Вычислить интеграл
∫ x ln xdx.
Решение.
Принимая u = ln x → du =
∫
Ответ:
x ln xdx =
dx
x2
, dv = xdx → v =
, имеем
x
2
x2
x2 dx x2
x2
ln x − ∫
⋅
=
ln x −
+ C.
2
2 x
2
4
x2
x2
⋅ ln x −
+ C.
2
4
1.6. Интегрирование рациональных дробей
P (x)
, где Pn(x) и Qm(x) – многочлены сте.
Функция вида f (x) = n
Qm (x)
пени n и m, соответственно, называется рациональной дробью. Ес.
ли m > n, то дробь называется правильной. Если m ≤ n, то дробь
называется неправильной. Неправильную дробь всегда можно
представить в виде суммы многочлена и правильной дроби деле.
нием числителя на знаменатель.
Следовательно, интегрирование рациональной дроби всегда
может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной
дроби.
Сформулируем теорему о разложении правильной дроби на
сумму простейших дробей.
Пусть знаменатель правильной несократимой дроби после раз.
ложения на множители имеет вид
Qm (x) = a0 (x − x1 )α1 (x − x2 )α2 ...(x2 + p1x + q1 )β1 (x2 + p2 x + q2 )β2 ...
p12 − 4q1 < 0, p22 − 4q2 < 0.
Тогда дробь может быть представлена в виде суммы простей.
ших дробей. В этой сумме каждому множителю вида (x – a)α в зна.
7
менателе, где a – один из вещественных корней, а α – его крат.
ность, соответствует сумма из α слагаемых вида
Aα
A1
A2
+
+ ... +
,
2
x − a (x − a)
(x − a)α
(1.23)
а каждому множителю (x + px + q)β в знаменателе – выражение
вида
2
M1x + N1
(x2 + px + q)
+
Mβ x + Nβ
+
+
...
,
(x2 + px + q)2
(x2 + px + q)β
M2 x + N2
(1.24)
где A1,A2,…,M1,M2,…,N1,N2,… – некоторые вещественные числа,
значения которых могут быть найдены после дополнительных вы.
числений (методом неопределенных коэффициентов).
Простейшими дробями называются – дроби вида
1)
2)
3)
4)
A
,
x−a
A
(x − a)n
(1.25)
, (n > 1),
Mx + N
2
x + px + q
,
Mx + N
2
(1.26)
(x + px + q)n
(1.27)
, (n > 1),
(1.28)
2
где a, p, q, A, M, N – вещественные числа, а трехчлен x + px + q не
имеет вещественных корней (дискриминант меньше нуля).
Итак, правильная рациональная несократимая дробь может
быть разложена на сумму простейших дробей четырех типов с не.
определенными коэффициентами.
Неопределенные коэффициенты могут быть найдены следую.
щим образом. Запишем искомую дробь (в левой части равенства)
в виде суммы вида (1.23) и (1.24) (в правой части). Приведя пра.
вую часть к наименьшему общему знаменателю, получим равен.
ство двух дробей с одинаковыми знаменателями и получим равен.
ство знаменателей.
8
Таким образом, получено тождественное (при всех x) равенство
двух многочленов степени n; причем многочлен в левой части ра.
венства с определенными значениями коэффициентов, а в пра.
вой – с неопределенными.
Так как два многочлена одинаковой степени могут быть тожде.
ственно равны, если равны их коэффициенты при одинаковых
степенях, то приравнивая их, получаем линейную систему, решив
которую, найдем неопределенные коэффициенты.
Таким образом, интегрирование правильной рациональной несо.
кратимой дроби сводится к интегрированию простейших дробей.
Проведем интегрирование простейших дробей первых трех ти.
пов (четвертую – оставим без внимания, как более сложную и ред.
ко используемую).
A
1)
∫ x − a dx = A ln x − a + C.
2)
∫ (x − a)n dx = − (n −1)(x − a)n−1 + C.
A
(1.29)
A
(1.30)
3)Дробь 3.го вида проинтегрируем с помощью метода выделе.
ния полного квадрата и введения новой переменной t:
⎧
p⎫
⎪
⎪t = x + ⎪
⎪
⎪
p 2
p2 ⎪
⎪
⎪ 2
2
2
=⎨
x + px + q = (x + ) + q −
⎬=t +a .
⎪
D
2
4 ⎪
⎪
a2 = − ⎪
⎪
⎪
⎪
4⎪
⎪
⎪
⎩
⎭
2
Mx + n
∫ x2 + px + q dx = ∫
(1.31)
M(x + p / 2) + N − Mp / 2
d(x + p / 2) =
(x + p / 2)2 + q − p2 / 4
tdt
Mp
dt
)∫
= M∫ 2
+ (n −
=
2
2
2
t +a
t + a2
(1.32)
2N − Mp
M
t
ln t2 + a2 +
arctg + C =
=
2
2a
a
2
2x + p
M
N
Mp
−
ln(x2 + px + q) +
arctg
=
+ C.
2
2
4q − p
4q − p2
Пример 2.1.4.Вычислить интеграл
∫
3x2 − 4x + 4
x(x2 + 4)
dx.
9
Решение. Так как подынтегральная функция является пра.
вильной рациональной несократимой дробью, то разложим ее на
сумму простейших дробей первого и третьего типа:
3x 2 − 4 x + 4
x(x2 + 4)
=
A Bx + C A (x2 + 4) + x(Bx + C)
+
=
.
x
x2 + 4
x(x2 + 4)
Из тождественного равенства дробей при равных знаменателях,
тождественно равны числители:
2
2
3x – 4x + 4 = (A + B)x + Cx + C, откуда
⎧ A + B = 3, ⎪
⎧ A = 1,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ C = −4, → ⎪
⎨ B = 2,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩C = −4.
⎪
⎩ 4 A = 4,
Тогда
∫
3x2 − 4x + 4
2
x(x + 4)
dx = ∫
2xdx
= ln x + ∫ x + 4
2
= ln x + ∫
dx
2x − 4
+
dx =
x ∫ x2 + 4
− 4∫
dx
2
x +4
=
d(x2 + 4)
1
x
x
− 4 ⋅ arctg = ln x(x2 + 4) − 2arctg + C.
2
2
2
x +4
2
Ответ: ln x(x2 + 4) − 2arctg
x
+ C.
2
1.7. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
Интегрирование иррациональных функций путем непосред.
ственного применения табличных формул и простейших методов
интегрирования возможно лишь в исключительных случаях. Ча.
сто для того, чтобы проинтегрировать функции, содержащие ир.
рациональные выражения, применяют подстановки, которые
10
приводят к интегрированию рациональных выражений от нового
аргумента.
При интегрировании рациональной функции от радикалов ви.
да n x :
∫ R(x,
m
x ,n x ,..., k x )dx лучше всего применять подста.
новку
N
x=t ,
(1.33)
где N – наименьшее общее кратное чисел m,n,…k.
dx
.
Пример 1.7.1. Вычислить интеграл ∫
x +3 x
23
6
5
Решение. Делаем замену переменной x = t ⋅ = t , →dx = 6t dt:
∫
dx
x +3 x
=∫
6t5dt
t 3 + t2
= 6∫
t3
t3 + 1 −1
dt = 6 ∫
dt =
t +1
t +1
⎛
dt ⎟⎞
= 6⎜⎜ ∫ t2 − t + 1 dt − ∫
⎟=
⎜⎝
t + 1⎟⎠
⎛ t3 t2
⎞⎟
= 6⎜⎜⎜ − + t − ln(t + 1)⎟⎟⎟ + C = 2t3 − 3t2 + 6t − 6 ln(t + 1) + C =
⎜⎝ 3
2
⎠⎟
(
)
= 2 x − 33 x + 66 x − 6 ln(6 x + 1) + C.
Ответ: 2 x − 33 x + 66 x − 6 ln(6 x + 1) + C.
В некоторых стандартных случаях удобно применять тригоно.
метрические подстановки.
Если в подынтегральное выражение входит
подстановку x = asint и тогда
a2 − x2 , делаем
a2 − x2 = a 1 − sin2 t = a cos t .
(1.34)
Если в подынтегральное выражение входит
подстановку x = atgt и тогда
a2 + x2 = a 1 + tg2t =
a
.
cos t
a2 + x2 , делаем
(1.35)
11
Если в подынтегральное выражение входит
a
и тогда
подстановку x =
sin t
x2 − a2 = a
1
sin2 t
x2 − a2 , делаем
−1 = a ctgt .
(1.36)
1.8. Интегрирование тригонометрических функций
Рациональная функция от синуса и косинуса в общем случае
может быть проинтегрирована с помощью универсальной триго.
нометрической подстановки tg(x/2) = t. Тогда
x = 2arctgt, dx =
2dt
1 + t2
, sin x =
2t
1 + t2
2t
, cos x =
1 − t2
1 − t2
1 + t2
2dt
∫ R (sin x,cos x)dx = ∫ R (1 + t2 ,1 + t2 ) 1 + t2 .
Пример 1.8.1.Вычислить интеграл
, и
(1.37)
dx
∫ sin x .
Решение.
Делаем универсальную
тригонометрическую подстановку
2dt
2t
, sin x =
,
tg(x/2) = t. Тогда: x = 2arctgt, dx =
2
1+ t
1 + t2
∫
2dt
2
dx
dt
x
= ∫ 1+ t = ∫
= ln t + C = ln tg + C.
t
2
t
2
sin x
1 + t2
x
+ C.
2
При интегрировании тригонометрических функций удобно ис.
пользовать следующие формулы:
Ответ: ln tg
12
1 − cos 2x
1 + cos 2x
, cos2 x =
,
2
2
1
cos mx ⋅ cos nx = (cos(m + n)x + cos(m − n) x),
2
1
sin mx ⋅ cos nx = (sin(m + n)x + sin(m − n) x),
2
1
sin mx ⋅ sin nx = (cos(m + n)x − cos(m − n) x).
2
sin2 x =
(1.38)
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1.Определение определенного интеграла
Пусть задана функция y = f(x), непрерывная на промежутке
[a,b].
Рис. 2.1. К определению определенного интеграла
Разобьем промежуток [a,b] на n частей точками (рис. 2.1)
a = x0<x1<x2<…<xi.1<xi<…<xn.1<xn = b.
Обозначим через ∆xi = xi.xi.1.На каждом интервале [xi.1,xi] про.
извольным образом выберем точку ci, составим сумму
n
Sn = ∑ f (ci )xi ,
i=1
и осуществляем предельный переход при n→∞ и ∆xi→0.
13
Если существует предел S = lim Sn , то он будет равен площади
n→∞
под кривой y = f(x).
Если существует предел при n→∞ последовательности Sn, кото.
рый не зависит от способа разбиения промежутка [a,b] на части и
от выбора точек ci, то он называется определенным интегралом и
обозначается
b
S = lim Sn = ∫ f (x)dx.
n→∞
(2.1)
a
2.2. Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла будут теми же, что и не.
определенного интеграла:
1) Если c – постоянная величина, то
b
b
a
a
∫ cf (x)dx = c∫ f (x)dx,
b
b
b
∫ (f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx.
2)
a
(2.2)
a
(2.3)
a
Кроме того, для определенного интеграла будет выполняться
свойство
3)
b
c
b
a
a
c
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx.
(2.4)
2.3. Формула Ньютона – Лейбница
Основная формула математического анализа – формула Нью.
тона – Лейбница:
Если известен неопределенный интеграл
∫ f (x)dx = F(x) + C,
14
(2.5)
b
∫ f (x)dx = F (b) − F (a).
то
(2.6)
a
Разность F(b).F(a) называется двойной подстановкой и обозна.
чается
F (b) − F (a) = F (x)ba .
5
Пример 2.3.1. Вычислить интеграл
(2.7)
xdx
∫ x2 + 1 .
0
Решение.
5
xdx
∫ x2 + 1
5
=
0
Ответ:
1 d(x2 + 1) 1
1
= ln(x2 + 1)50 = ln 26.
∫
2
2
2
2
x +1
0
1
ln 26.
2
2.4. Формулы замены переменной и интегрирования по частям
в определенном интеграле
Формулы замены переменной и интегрирования по частям в
определенном интеграле выглядят несколько иначе, чем в случае
неопределенного интеграла.
Пусть нужно выполнить замену переменной x = ϕ(t), где ϕ(t) –
обратимая на [a,b] функция. Пусть при t = α, x = a и при t = β,
x = b. Тогда
b
∫
a
β
f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.
(2.8)
α
Подчеркнем, что в отличие от неопределенного интеграла, к
старой переменной возвращаться не нужно.
1
Пример 2.4.1. Вычислить интеграл
∫
2
2
1 − x2
x2
dx.
15
Решение.
Делаем замену переменной x = sint, dx = costdt. Тогда
2
π
π
,→ t = , x = 1,→ t = ,
2
4
2
x=
1
∫
2
2
1− x
x
2
2
π
2
dx = ∫
π
4
π
2
= (−ctgt − t) π
4
cos t ⋅ cos t
2
sin t
π
2
dt =∫
2
⎞
1
dt =∫ ⎜⎜ 2 −1⎟⎟⎟dt =
⎜⎝
⎠
sin t
π sin t
1 − sin t
π
4
π
2⎛
2
4
π
π
π
= − +1 + = 1− .
2
4
4
π
Ответ: 1 − .
4
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
b
b
a
a
имеет вид: ∫ udv = uvab − ∫ vdu.
e
Пример 2.4.2. Вычислить интеграл ∫ ln xdx.
1
Решение. Принимая u = ln x → du =
e
e
1
1
e
∫ ln xdx = x ln x1 − ∫ x ⋅
dx
, dv = dx → v = x, имеем
x
dx
= e − (e −1) = 1.
x
Ответ: 1.
2.5. Площадь плоской фигуры
Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций y = f1(x), y = f2(x) и двумя прямыми x = a,x = b (рис. 2.2),
вычисляется по формуле
b
S = ∫ (f2 (x) − f1 (x))dx.
a
16
(2.9)
Рис. 2.2. Площадь плоской кривой
Пример 2.2.6. Вычислить площадь, заключенную между кри.
выми
2
2
y=2–x ,иy=x .
Решение.
Находим точки пересечения кривых (рис.2.3):
2
⎧
⎪
⎧ y = 1,
⎪y = 2 − x , ⎪
→⎪
⎨
⎨
2
⎪
⎪
⎪
⎪ x = ± 1.
⎩
⎪
⎩ y=x ,
Рис. 2.3. Область, ограниченная параболами
17
Область интегрирования [.1;1], поэтому:
1
1
⎛
⎛
2x3 ⎞⎟⎟
2⎞ ⎛
2⎞ 8
S = ∫ (2 − x2 − x2 )dx = ⎜⎜⎜2x −
⎟ = ⎜⎜⎜2 − ⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜−2 + ⎟⎟⎟ = .
⎝
3 ⎟⎟⎠
3⎠ ⎝
3⎠ 3
⎜⎝
−1
−1
Ответ:
8
.
3
3. ПОДРОБНЫЕ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА
ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ,
ИМЕЮЩИХ 1 ЧАС ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ В НЕДЕЛЮ
Интегралы
Вариант № 0
Работа № 1. Простейшее интегрирование
1. Найдите неопределенный интеграл
⎛
3⎞
3
∫ ⎜⎜⎝⎜sin 2x + cos 8x − x + x ⎠⎟⎟⎟dx.
Решение.
Используя свойства неопределенного интеграла (1.2), (1.3),
формулы замены переменной (1.19) и табличных интегралов
(1.11), (1.12), (1.7), (1.8), получаем:
⎛
∫ ⎜⎜⎜⎝sin 2x + cos 8x −
+∫
3
3⎞
x + ⎟⎟⎟dx = ∫ sin 2xdx + ∫ cos 8xdx − ∫ 3 xdx +
x⎠
1
⎛1
⎞
⎛1
⎞
3
dx =∫ sin 2x ⎜⎜ d (2x )⎟⎟⎟ + ∫ cos 8 x ⎜⎜ d (8 x )⎟⎟⎟dx − ∫ x 3 dx +
⎜
⎜
⎝2
⎠
⎝8
⎠
x
4
+3∫
dx 1
x3
1
1
= ∫ sin tdt + ∫ cos udu −
+ 3 ln x + C = (−cos t ) +
4
x
2
8
2
3
4
4
1
3
cos 2x sin 8 x 3 3
+ (sin u) − x 3 + 3 ln x + C = −
+
− x + 3 ln x + C.
8
4
2
8
4
1
1
33 4
Ответ: − cos 2x + sin 8 x −
x + 3 ln x + C.
2
8
4
18
2. Найдите неопределенный интеграл
⎛
⎛
5
10 ⎞⎟
π⎞
∫ ⎜⎝⎜⎜ 4x − 3 + sin⎜⎝⎜⎜5x + 4 ⎟⎠⎟⎟ −(7x −11)
⎟⎟dx.
⎠
Решение.
Используя свойства неопределенного интеграла (1.2), (1.3),
формулы замены переменной (1.19) и табличных интегралов (1.8),
(1.11), (1.7), получаем:
⎛
⎛
5
10 ⎟⎞
π⎞
∫ ⎜⎜⎜⎝ 4x − 3 + sin⎜⎜⎝⎜5x + 4 ⎟⎟⎟⎠ −(7x −11)
⎛
5 ⋅ dx
π⎞
⎟⎟dx = ∫
+ ∫ sin ⎜⎜5x + ⎟⎟⎟dx −
⎜
⎝
4x − 3
4⎠
⎠
1
⋅ d (4x − 3)
⎛
π⎞ 1 ⎛
π⎞
−∫ (7x −11) dx = 5∫ 4
+ ∫ sin ⎜⎜5x + ⎟⎟⎟⋅ d ⎜⎜5x + ⎟⎟⎟ −
⎜
⎜
⎝
4x − 3
4⎠ 5 ⎝
4⎠
1
5
dt
1
1
10
−∫ (7x −11) ⋅ d (7x −11) = ∫
+
sin udu − ∫ v10dv =
7
4 t 5∫
7
10
5
1
1 v11
= ln t − cos u − ⋅
+C =
4
5
7 11
11
⎛
5
1
π ⎞ 1 (7x −11)
= ln 4x − 3 − cos⎜⎜5x + ⎟⎟⎟ − ⋅
⎜
⎝
4
5
4⎠ 7
11
Ответ:
+ C.
⎛
5
1
π⎞ 1
11
ln 4x − 3 − cos⎜⎜5x + ⎟⎟⎟ − (7x −11) + C.
⎜
⎝
4
5
4 ⎠ 77
3. Найдите неопределенный интеграл
⎛
⎜
∫ ⎜⎜⎜⎜
5
⎝ 4x + 5
+
⎞⎟
⎟⎟⎟dx.
2
⎠
4x + 1 ⎟⎟
3
Решение.
Используя свойства неопределенного интеграла (1.2), (1.3),
формулы замены переменной (1.19) и табличных интегралов (1.7),
(1.18), получаем:
⎛
⎞⎟
5
3
⎜⎜
⎟⎟dx =
+
∫ ⎜⎜⎜ 4x + 5
∫
⎟
2
⎝
4x + 1 ⎠⎟⎟
5 ⋅ dx
4x + 5
+∫
3 ⋅ dx
4x2 + 1
=
19
= 5∫
1
⋅ d (4x + 5)
3
4
+ ∫
2
4x + 5
dx
x2 +
1
4
=
5 dt 3 ⎛⎜
1⎞
+ ⋅ ln ⎜⎜x + x2 + ⎟⎟⎟ + C =
∫
4
4 ⎟⎠
t 2 ⎜⎝
5
3 ⎛
1⎞
= ⋅ 2 t + ⋅ ln ⎜⎜⎜x + x2 + ⎟⎟⎟ + C =
4
2 ⎜⎝
4 ⎟⎠
=
Ответ:
5
3 ⎛
1⎞
4x + 5 + ⋅ ln ⎜⎜⎜ x + x2 + ⎟⎟⎟ + C.
2
2 ⎜⎝
4 ⎟⎠
5
3 ⎛
1⎞
4x + 5 + ⋅ ln ⎜⎜⎜x + x2 + ⎟⎟⎟ + C.
2
2 ⎜⎝
4 ⎟⎠
Работа № 2. Внесение производной под знак дифференциала
В случаях, когда замена переменной очевидна, возможно инте.
грирование непосредственно путем внесения соответствующей
функции под знак дифференциала.
1. Найдите неопределенный интеграл
∫ (x
Решение.
(
2
7
)
+ 5 xdx.
)
Так как: d x2 + 5 = 2xdx, то (1.7)
∫ (x
2
(
7
7 1
7
1
+ 5 xdx =∫ x2 + 5 ⋅ ⋅ (2xdx ) = ∫ x2 + 5 d x2 + 5 =
2
2
)
(
8
)
2
1 x +5
= ⋅
2
8
)
(
8
x2 + 5)
(
+C =
16
+ C.
8
x2 + 5)
(
Ответ:
16
+ C.
2. Найдите неопределенный интеграл
∫
20
8 + ln x
dx.
x
) (
)
Решение.
Так как: d (8 + ln x ) =
8 + ln x
dx
dx = ∫ 8 + ln x ⋅
= ∫ 8 + ln x ⋅ d (8 + ln x) =
x
x
∫
3
=
dx
, то (1.7)
x
(8 + ln x)2
Ответ:
3
2
+C=
2
(8 + ln x )3 + C.
3
2
(8 + ln x)3 + C.
3
3. Найдите неопределенный интеграл
x2
∫ 1 + x6 dx.
Решение.
( )
Так как: d x3 = 3x2 dx, то (1.15)
x2
∫ 1+ x
Ответ:
dx =
6
( ) = 1 arctg x3 + C.
( )
2
( ) 3
d x3
1 3x2dx 1
=
3 ∫ 1 + x6 3 ∫
1 + x3
1
arctg x3 + C.
3
( )
Работа № 3. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям
1. Найдите неопределенный интеграл
∫ 4+
dx
1+ x
.
21
Решение.
Чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном
2
выражении, сделаем замену переменной: 1 + x = t , тогда dx = 2tdt
и (1.8)
⎛
2tdt
4 ⎞⎟
t + 4−4
dt = 2∫ ⎜⎜1 −
= 2∫
⎟dt =
⎜
⎝
4+t
t +4
t + 4 ⎟⎠
1+ x
⎛
⎞
⎛
dt ⎞⎟
⎜⎜t − 4 d (t + 4)⎟⎟ = 2t − 8 ln t + 4 + C =
2
= 2⎜⎜ ∫ dt − 4 ∫
=
⎟
⎟
∫
⎜⎜⎝
⎜⎝
t + 4 ⎟⎠
t + 4 ⎟⎠
∫ 4+
dx
=∫
= 2 1 + x − 8 ln ( 1 + x + 4) + C.
Ответ: 2 1 + x − 8 ln
(
1 + x + 4) + C.
2. Найдите неопределенный интеграл
∫ (3x + 4)sin(2x + 5)dx.
Решение.
Подобные выражения интегрируются при помощи формулы
интегрирования по частям:
∫ udv = uv − ∫ vdu, поэтому, приняв
u = 3x + 4, du = 3dx,
dv = sin (2x + 5)dx, v =
∫ (3x + 4)sin(2x + 5)dx =
−(3x + 4)cos(2x + 5)
− cos(2x + 5) получаем (1.12):
,
2
−(3x + 4)cos(2x + 5)
2
−∫
(−cos(2x + 5))
3
cos(2x + 5)dx =
2
2∫
−(3x + 4)cos(2x + 5) 3
=
+ sin(2x + 5) + C.
2
4
=
Ответ:
22
+
−(3x + 4)cos(2x + 5)
2
3
+ sin (2x + 5) + C.
4
2
(3dx) =
Работа № 4. Интегрирование рациональных функций.
Определенный интеграл
1. Найдите неопределенный интеграл
x2 + 4 x + 5
∫ (x −1)(x + 2)(x − 3) dx.
Решение.
Подынтегральное выражение является правильной рациональ.
ной несократимой дробью, поэтому может быть записано в виде
суммы простейших дробей первого типа (тема 1.6), так как корни
выражения в знаменателе – простые (однократные):
x2 + 4 x + 5
A
B
C
=
+
+
=
( x −1)(x + 2)( x − 3) x −1 x + 2 x − 3
=
A ( x + 2)(x − 3) + B(x −1)(x − 3) + C ( x −1)(x + 2)
(x −1)( x + 2)(x − 3)
.
Неизвестные A, B, C найдем методом неопределенных коэффи.
циентов из условия тождественного равенства полиномов второй
степени:
x2 + 4x + 5 = A (x + 2)( x − 3) + B(x −1)( x − 3) + C (x −1)(x + 2).
При x = .2
1 = 15B,
При x = 1
10 = .6A,
При x = 3
26 = 10C,
1
.
15
5
A =− .
3
13
C= .
5
B=
Поэтому
∫
⎛
5
1
13 ⎟⎞
⎜⎜
⎟⎟
x2 + 4 x + 5
⎜⎜
3
15
+
+ 5 ⎟⎟⎟dx =
dx = ∫ ⎜−
⎜⎜ x −1 x + 2 x − 3 ⎟⎟
( x −1)(x + 2)( x − 3)
⎟⎟⎠
⎜⎝
5
dx
1
dx
13
dx
=− ∫
+
+
=
3 x −1 15 ∫ x + 2 5 ∫ x − 3
23
5
1
13
= − ln x −1 + ln x + 2 + ln x − 3 + C.
3
15
5
5
1
13
Ответ: − ln x −1 + ln x + 2 + ln x − 3 + C.
3
15
5
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 3x2 + 3x −18 и y = −3x2 + 9x + 18.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения парабол:
3x2 + 3x −18 = −3x2 + 9x + 18 → 6x2 − 6x − 36 = 0 →
x2 − x − 6 = 0 → x1 = −2, x2 = 3.
Данная фигура сверху ограничена нисходящей параболой
y = −3x2 + 9x + 18, а снизу восходящей y = 3x2 + 3x −18. (смот.
ри аналогичные рисунки 2.2 и 2.3).
Площадь фигуры, ограниченной параболами по полученной об.
ласти [.2;3] равна соответствующему определенному интегралу от
верхней (нисходящей) и нижней (восходящей) параболам:
b
S = ∫ (f1 (x ) − f2 (x ))dx.
a
3
((
))
) (
3
(
)
S = ∫ −3x2 + 9x + 18 − 3x2 + 3x −18 dx = ∫ −6x2 + 6x + 36 dx =
−2
−2
3
3
⎛ x 3 x2
⎟⎞
= 6 ∫ −x2 + x + 6 dx = 6⎜⎜⎜−
+
+ 6x⎟⎟ =
⎟⎟
2
⎜⎝ 3
⎠−2
−2
(
)
⎛
⎞
3
⎛
⎜ 33 32
⎟⎞⎟
(−2)2
⎜ (−2)
= 6⎜⎜⎜− +
+ 6 ⋅ 3 − ⎜⎜−
+
+ 6(−2)⎟⎟⎟⎟⎟⎟ =
⎜
⎟⎟
2
3
2
⎝⎜
⎠⎟⎠⎟
⎝⎜⎜ 3
⎛
⎞
⎛
9
8
9 8⎞
= 6⎜⎜−9 + + 18 − − 2 + 12⎟⎟⎟ = 6⎜⎜19 + − ⎟⎟⎟ = 114 + 27 −16 = 125.
⎝⎜
⎠
⎝⎜
2
3
2 3⎠
Ответ: 125.
24
4. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВОГО КУРСА
ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ,
ИМЕЮЩИХ 1 ЧАС ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ В НЕДЕЛЮ
Работа № 1. Почти табличное интегрирование.
Вариант № 1
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 4x + cos7x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
2.
3.
⎛
4
⎛
π⎞
11 ⎞⎟
∫ ⎜⎜⎝⎜ 3x − 8 + cos⎜⎝⎜⎜5x + 3 ⎟⎠⎟⎟ −(6x −13)
⎟⎟dx
⎠
⎛
⎞⎟
7
5
⎜⎜
⎟⎟dx
+
∫ ⎜⎜⎜ 3x + 4
⎟
2
⎝
9x + 3 ⎠⎟⎟
Вариант № 2
Найдите неопределенный интеграл
⎛
3⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 5x + cos 6x − 5 x + 3 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
⎛
5
⎛
π⎞
12 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 4x −7 + cos⎜⎝⎜⎜4x − 3 ⎟⎠⎟⎟ − (2x − 23)
3.
⎛
⎞⎟
7
5
⎜⎜
⎟⎟dx
+
⎜
∫ ⎜⎜
⎟
2
2
⎝ 1 − 4x
6x + 3 ⎠⎟⎟
⎟dx
⎟⎠
Вариант № 3
Найдите неопределенный интеграл
⎛
4⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 6x + cos 5x − 7 x + 4 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
⎛
6
⎛
π⎞
13 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 9x − 8 + cos⎜⎜⎜⎝15x + 4 ⎟⎟⎟⎠ + (3x −13)
3.
⎛
⎞⎟
6
⎜⎜ 7
⎟
+
⎟
⎜
∫ ⎜⎜ 4x2 + 1
⎟⎟dx
2
⎟
⎝
9x + 18 ⎠
⎟⎟⎠dx
25
Вариант № 4
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 7x + cos 4x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
5
π⎞
9 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 6x − 8 + cos⎜⎜⎜⎝14x + 4 ⎟⎟⎟⎠ −(2x −13)
3.
∫ ⎜⎜⎝⎜
⎛
5
2x + 5
+
⎟dx
⎟⎠
15 ⎟⎞
⎟⎟dx
x + 4 ⎟⎠
2
Вариант № 5
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 8 x + cos 3x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
⎛
6
⎛
π⎞
10 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝7x − 8 + cos⎜⎜⎜⎝13x + 4 ⎟⎟⎟⎠ −(3x −12)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎝⎜
⎛
⎜
⎟dx
⎟⎠
9
5
⎟⎟⎞
+
⎟⎟dx
2x + 14
1 − 9x2 ⎟⎠
Вариант № 6
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 9x + cos 2x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
7
⎛
π⎞
8 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 8x − 9 + cos⎜⎜⎝⎜12x + 5 ⎟⎟⎟⎠ −(4x −12)
3.
⎛
⎞⎟
8
9
⎜⎜
+
⎟⎟⎟dx
⎜
∫ ⎜⎜ 4x + 5
2
⎝
9x + 9 ⎠⎟⎟
Вариант № 7
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 2x + cos 9x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
26
⎟⎟dx
⎠
⎛
⎛
8
7 ⎞⎟
π⎞
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 9x −10 + cos⎜⎜⎜⎝11x + 6 ⎟⎟⎠⎟ − (5x −11)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎜
⎛
⎜
8
⎝ 1 − 9x2
⎟dx
⎠⎟
⎞⎟
⎟⎟⎟dx
5x2 + 3 ⎠⎟⎟
6
+
Вариант № 8
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 7x + cos7x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
10
⎛
⎜
7
⎛
12 ⎞⎟
π⎞
2.
∫ ⎜⎝⎜⎜11x −12 + cos⎜⎜⎝⎜7x + 7 ⎟⎠⎟⎟ −(4x − 9)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎜ 2x2 + 4 +
⎝
⎟dx
⎠⎟
⎞⎟
⎟⎟dx
⎟
2
⎠
9x + 6 ⎟⎟
5
Вариант № 9
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 5x + cos11x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
⎛
11
⎛
6
⎛
13 ⎞⎟
π⎞
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝10x − 9 + cos⎜⎜⎜⎝10x + 8 ⎟⎟⎠⎟ −(5x − 8)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎝
5x + 4
+
⎟dx
⎠⎟
15 ⎟⎞
⎟⎟dx
x + 9 ⎟⎠
2
Вариант № 10
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 6x + cos 8 x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛ 10
⎛
π⎞
14 ⎟⎞
2.
∫ ⎜⎜⎝⎜ 9x − 8 + cos⎜⎝⎜⎜9x + 9 ⎠⎟⎟⎟ −(6x − 9)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎜⎝
⎛
⎜
⎟dx
⎟⎠
6
8
⎟⎟⎞
+
⎟⎟dx
4x + 14
1 − 4x2 ⎟⎠
27
Вариант № 11
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 7x + cos14x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
9
15 ⎟⎞
π⎞
2.
∫ ⎝⎜⎜⎜10x −11 + cos⎜⎜⎜⎝8x + 8 ⎠⎟⎟⎟ −(7x −11)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎝⎜
⎛
⎜
⎟dx
⎠⎟
⎞⎟
6
8
⎟⎟dx
+
⎟
2x − 4
4x2 − 3 ⎠⎟
Вариант № 12
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 8 x + cos16x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
8
⎛
π⎞
10 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝7x − 8 + cos⎜⎝⎜⎜7x + 7 ⎟⎠⎟⎟ −(8x −10)
3.
⎛
⎞
9
8
⎜⎜
⎟⎟⎟dx
+
∫ ⎜⎜⎜
⎟
⎝ 1 −16x2
3x2 + 3 ⎟⎟⎠
⎟dx
⎟⎠
Вариант № 13
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 9x + cos 8 x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
7
⎛
π⎞
11 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎝⎜ 6x −7 + cos⎜⎝⎜⎜6x + 6 ⎠⎟⎟⎟ − (9x −11)
3.
⎛
⎞⎟
2
⎜⎜ 5
⎟⎟dx
+
⎜
∫ ⎜⎜ 3x2 + 6
⎟
2
⎝
4x + 3 ⎠⎟⎟
⎟⎟dx
⎠
Вариант № 14
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 3x + cos 2x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
28
⎛
6
⎛
11
⎛
12 ⎞⎟
π⎞
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 5x − 6 + cos⎜⎜⎝⎜4x + 4 ⎟⎟⎠⎟ −(10x −12)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎝
8x − 3
+
⎟dx
⎟⎠
⎟⎟⎞dx
⎟
x + 16 ⎟⎠
2
2
Вариант № 15
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 2x + cos 4x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
5
13 ⎞⎟
π⎞
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 4x − 5 + cos⎜⎜⎝⎜3x + 3 ⎟⎟⎠⎟ −(11x −13)
3.
⎛
8
⎟⎟⎞
⎜⎜ 11
+
⎟⎟dx
⎜
∫ ⎜⎜⎝ 5x + 4
1 −16x2 ⎟⎠
⎟dx
⎠⎟
Вариант № 16
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 5x + cos7x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
4
14 ⎞⎟
π⎞
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 3x − 4 + cos⎜⎝⎜⎜2x + 4 ⎠⎟⎟⎟ − (12x −14)
3.
⎛
⎞
3
5
⎜⎜
⎟⎟⎟dx
+
∫ ⎜⎜⎜⎝ 7x + 4
⎟
16x2 − 3 ⎟⎠
⎟dx
⎠⎟
Вариант № 17
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin11x + cos 3x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
3
π⎞
11 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 2x − 3 + cos⎜⎝⎜⎜3x + 5 ⎟⎠⎟⎟ −(11x − 9)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎜⎝
⎛
⎜
2
1 − 3x 2
+
⎟dx
⎟⎠
⎟⎟⎞
⎟⎟dx
9x2 − 9 ⎟⎠
15
29
Вариант № 18
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 9x + cos 8 x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
4
π⎞
10 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 5x −7 + cos⎜⎝⎜⎜4x + 6 ⎟⎠⎟⎟ −(10x − 8)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎜ 3x2 + 7 +
⎛
⎜
9
⎝
⎟dx
⎟⎠
⎞⎟
⎟⎟⎟dx
2
2x + 3 ⎠⎟⎟
6
Вариант № 19
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 3x + cos 33x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
5
⎛
12
⎛
π⎞
9 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 6x − 8 + cos⎜⎜⎝⎜5x + 7 ⎟⎟⎠⎟ −(9x −7)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎝
7x + 4
+
⎟⎟dx
⎠
⎞
⎟⎟⎟dx
x2 + 25 ⎟⎠
11
Вариант № 20
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 44x + cos 5x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
⎛
6
⎛
π⎞
11 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎝⎜⎜7x − 9 + cos⎝⎜⎜⎜6x + 8 ⎟⎠⎟⎟ −(10x + 8)
3.
⎛
3
13
⎟⎟⎞
⎜⎜
+
⎟⎟dx
⎜
∫ ⎜⎝⎜ 8x + 5
1 − 25x2 ⎟⎠
⎟⎟dx
⎠
Вариант № 21
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin13x + cos12x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎝⎜
x ⎠
30
⎛
⎛
7
π⎞
11 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 8x −10 + cos⎜⎜⎜⎝7x + 9 ⎠⎟⎟⎟ −(11x + 9)
3.
⎛
⎞⎟
5
15
⎜⎜
⎟⎟dx
+
∫ ⎜⎜⎜⎝ 7x + 4
⎟
2
9x − 7 ⎠⎟
⎟dx
⎠⎟
Вариант № 22
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 7x + cos 4x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
8
12 ⎟⎞
π⎞
2.
∫ ⎝⎜⎜⎜ 9x −10 + cos⎝⎜⎜⎜8x − 3 ⎠⎟⎟⎟ −(12x + 13)
3.
⎛
⎟⎟⎞
6
25
⎜⎜
+
⎟
∫ ⎜⎜⎜
⎟dx
⎝ 1 − 6x2
25x2 + 3 ⎟⎟⎠
⎟dx
⎠⎟
Вариант № 23
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 2x + cos12x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
⎛
9
15 ⎞⎟
π⎞
2.
∫ ⎜⎝⎜⎜10x −12 + cos⎜⎜⎝⎜7x − 3 ⎟⎟⎠⎟ −(13x −13)
3.
⎛
⎞⎟
15
⎜⎜ 8
⎟
+
⎟
∫ ⎜⎜⎜ 9x2 + 4
⎟⎟dx
2
⎝
16x + 3 ⎠⎟
⎟⎟dx
⎠
Вариант № 24
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin12x + cos 2x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛
7
⎛
19
⎛
π⎞
14 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝7x − 8 + cos⎜⎝⎜⎜5x − 4 ⎠⎟⎟⎟ −(14x + 14)
3.
∫ ⎜⎜⎝⎜
9x + 4
+
⎟dx
⎟⎠
⎟⎟⎞dx
⎟
x + 36 ⎟⎠
13
2
31
Вариант № 25
Найдите неопределенный интеграл
⎛
2⎞
1. ∫ ⎜⎜sin 9x + cos19x − 4 x + 2 ⎟⎟⎟dx
⎜⎝
x ⎠
⎛ 11
⎛
π⎞
15 ⎞⎟
2.
∫ ⎜⎜⎜⎝ 3x + 8 + cos⎜⎜⎜⎝3x − 3 ⎟⎟⎠⎟ −(15x + 15)
3.
∫ ⎜⎜⎜⎝⎜
⎛
⎜
12
14
⎟⎟⎞
+
⎟⎟dx
7x + 1
1 − 36x2 ⎟⎠
Работа № 2. Внесение производной
под знак дифференциала.
Вариант № 1
Найдите неопределенный интеграл
∫ (x
2
8
)
−5
xdx
9 + ln x
dx
x
x
∫ 1 + x4 dx
∫
Вариант № 2
Найдите неопределенный интеграл
8
∫ (x − 5) x dx
∫ 2 + sin x cos xdx
3
∫
x
1 − x4
2
dx
Вариант № 3
Найдите неопределенный интеграл
1.
32
∫ (2x
2
7
)
− 5 xdx
⎟dx
⎟⎠
2.
∫ 3 3 + cos x ⋅ sin xdx
3.
∫ 2 + x2 dx
x
Вариант № 4
Найдите неопределенный интеграл
1.
∫ (3x
3
8
)
−15 x2dx
ex
2.
∫
3.
∫ 4 + x6 dx
3 + ex
dx
x2
Вариант № 5
Найдите неопределенный интеграл
10
1.
2
∫ (5 − x )
2.
∫
3.
∫
xdx
ln x − 9
dx
x
x2
dx
4 − x6
Вариант № 6
Найдите неопределенный интеграл
11 2
1.
∫ (4x
2.
∫ (1 + 2 sin x)2 dx
3.
3
)
− 25
x dx
cos x
x2
∫ 1 + 4x3 dx
33
Вариант № 7
Найдите неопределенный интеграл
1.
2.
3.
13
∫ (4x − 5) xdx
∫ sin x3 3 + 2 cos xdx
2
x
∫ 1 + 4x4 dx
Вариант № 8
Найдите неопределенный интеграл
1.
∫ (5x
2.
∫
3.
∫
3
13 2
)
−5
ex
(
2 + ex
3
)
x
9 − x4
x dx
dx
dx
Вариант № 9
Найдите неопределенный интеграл
14
1.
2
∫ (2 − x )
2.
∫
3.
∫
xdx
3 + 2ln x
dx
x
x
dx
4 + 9x2
Вариант № 10
Найдите неопределенный интеграл
1.
2.
3.
34
3 10
∫ (5 − x ) xdx
∫ 4 sin x + 3 ⋅ cos xdx
x2
∫ 9 + x6 dx
Вариант № 11
Найдите неопределенный интеграл
11
1.
∫ (x
2.
∫ (3 − cos x)4 dx
3.
2
)
−11
sin x
x2
∫
xdx
dx
16 − x6
Вариант № 12
Найдите неопределенный интеграл
1.
∫ (x
2.
∫
3.
3
12
)
−5
ex
xdx
dx
x 5
(1− e )
x2
∫ 9 + 4x3 dx
Вариант № 13
Найдите неопределенный интеграл
1.
13
2
∫ (2 − x )
xdx
5
1 − ln x
dx
x
x
dx
3. ∫
1 + 9x 4
2.
∫
Вариант № 14
Найдите неопределенный интеграл
14
1.
∫ (x
2.
∫ 3 3 − sin x dx
3.
∫
3
)
− 25
x2dx
cos x
x
25 − x4
dx
35
Вариант № 15
Найдите неопределенный интеграл
1.
2.
3.
15
∫ (3x + 5) xdx
∫ sin x3 5 + cos xdx
2
x
∫ 3 + 5x2 dx
Вариант № 16
Найдите неопределенный интеграл
16
1.
3
∫ (8 − x )
2.
∫
3.
∫ 16 + x6 dx
9 + ex
x2dx
dx
e−x
x2
Вариант № 17
Найдите неопределенный интеграл
1.
∫ (x
2.
∫x
3.
2
∫
17
)
− 25
1
1 + ln x
x2
xdx
dx
dx
2 − x6
Вариант № 18
Найдите неопределенный интеграл
18
1.
∫ (2x
2.
∫ 4 2 + sin x dx
3.
∫ x3 + 2 dx
36
3
)
−5
cos x
x2
x2dx
Вариант № 19
Найдите неопределенный интеграл
1.
19
2
∫ (3 − x )
xdx
sin x
2.
∫ (3 + cos x)6 dx
3.
∫ x4 + 8 dx
x
Вариант № 20
Найдите неопределенный интеграл
20
1.
3
∫ (4 − x )
2.
x
x
∫ e (3 − e )
3.
∫
x2dx
5
x
36 − x2
dx
dx
Вариант № 21
Найдите неопределенный интеграл
21
1.
∫ (4x
2.
∫ x4 5 + ln x dx
3.
∫ 2x2 + 5 dx
2
)
−5
xdx
1
x
Вариант № 22
Найдите неопределенный интеграл
22 2
1.
∫ (7x
2.
∫ sin x(2 − cos x)
3.
3
)
−5
x dx
10
dx
x2
∫ x6 + 25 dx
37
Вариант № 23
Найдите неопределенный интеграл
1.
23
2
∫ (17 − x )
xdx
sin x
2.
∫ (cos x − 5)9 dx
3.
∫
x
1 − 4x2
dx
Вариант № 24
Найдите неопределенный интеграл
1.
∫ (4x
2.
∫e
3.
3
x3
24
)
−13
x2dx
3 − ex dx
x2
∫ 7 + 3x3 dx
Вариант № 25
Найдите неопределенный интеграл
18
1.
2
∫ (5 − x )
2.
∫
3.
∫
38
xdx
19 + 2ln x
dx
x
x
dx
4
2x + 7
Работа № 3. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям.
Вариант № 1
Найдите неопределенный интеграл
1
1. ∫
dx
2+ 4+ x
2.
∫ (2x + 3)sin(3x + 4)dx
Вариант № 2
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
3
1+ 4 + x
2.
∫ (2x + 3)cos(3x − 4)dx
Вариант № 3
Найдите неопределенный интеграл
3+x
dx
1. ∫
2+ 3+ x
2.
∫ (2x + 3)e
x
dx
Вариант № 4
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
3+ 5+ x
2.
∫ x ln xdx
Вариант № 5
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
3
4+ 5+x
2.
∫ (3x + 3)sin(2x + 4)dx
39
Вариант № 6
Найдите неопределенный интеграл
6+x
dx
1. ∫
3+ 6+ x
2.
∫ (x − 3)cos(2x + 4)dx
Вариант № 7
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
7+ 6+x
2.
−x
∫ (2x + 3)e
dx
Вариант № 8
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
3
5+ 6+ x
2.
∫x
3
ln xdx
Вариант № 9
Найдите неопределенный интеграл
9+x
1. ∫
dx
4+ 9+x
2.
∫ (4x − 3)sin(2x + 4)dx
Вариант № 10
Найдите неопределенный интеграл
1
1. ∫
dx
9+ 8+x
2.
∫ (4x + 6)cos(2x + 3)dx
Вариант № 11
Найдите неопределенный интеграл
1
1. ∫
dx
3
3+ 7+x
2.
40
∫ (3x + 4)e
x
dx
Вариант № 12
Найдите неопределенный интеграл
5+x
dx
1. ∫
5+ 5+ x
2.
∫ (x + 3)ln xdx
Вариант № 13
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
5+ x +5
2.
∫ (5x + 3)sin(5x + 4)dx
Вариант № 14
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
3
5+ 6+ x
2.
∫ (3x + 3)cos(2x + 2)dx
Вариант № 15
Найдите неопределенный интеграл
7+x
1. ∫
dx
6+ 7+x
2.
−x
∫ (5x − 3)e
dx
Вариант № 16
Найдите неопределенный интеграл
1
1. ∫
dx
3+ 7+x
2.
∫x
2
ln xdx
Вариант № 17
Найдите неопределенный интеграл
1
1. ∫
dx
3
7+ 7+x
2.
∫ (6x + 6)sin(3x + 3)dx
41
Вариант № 18
Найдите неопределенный интеграл
9+x
dx
1. ∫
3+ 9+ x
2.
∫ (7x + 3)cos(3x + 7)dx
Вариант № 19
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
6+x +4
2.
2x
∫ xe
dx
Вариант № 20
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
3 x +5 +3
2.
∫x
4
ln xdx
Вариант № 21
Найдите неопределенный интеграл
2− x
1. ∫
dx
2+ 2−x
2. ∫ (x − 3)sin (3x − 4)dx
Вариант № 22
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
9+ 6+x
2.
∫ (5x − 3)cos(3x − 4)dx
Вариант № 23
Найдите неопределенный интеграл
1
dx
1. ∫
3
2− x +4
2. ∫ xe3x dx
42
Вариант № 24
Найдите неопределенный интеграл
1.
∫ 6+
2.
∫x
5
x −3
x −3
dx
ln xdx
Вариант № 25
Найдите неопределенный интеграл
1
1. ∫
dx
11 + x + 13
2.
∫ (8x + 3)sin(5x − 4)dx
Работа № 4. Интегрирование рациональных функций.
Определенный интеграл
Вариант № 1
1. Найдите неопределенный интеграл
2x2 + 41x − 91
∫ (x −1)(x + 3)(x − 4) dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = x2 − 8 x − 3 и y = −5x2 − 2x − 3.
Вариант № 2
1.
Найдите неопределенный интеграл
x2 − 3 x + 2
∫ x x2 + 2x + 1 dx
(
2.
)
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 3x2 + 57x + 111 и y = −3x2 + 3x + 3.
43
Вариант № 3
Найдите неопределенный интеграл
6x2 − 7x −1
∫ (x −1)(x + 3)(x − 4) dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 3x2 − 50x + 74 и y = −3x2 − 2x + 2.
Вариант № 4
1.
Найдите неопределенный интеграл
∫
2.
x2 + 4x + 4
( x −1)2 x
dx
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 13x2 −13x −11 и y = 7x2 − 7x + 1.
Вариант № 5
Найдите неопределенный интеграл
6x2 − x − 1
∫ x x2 −1 dx
(
2.
)
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 7x2 + 11x + 5 и y = x2 + 5x + 5.
Вариант № 6
1.
Найдите неопределенный интеграл
x2
∫ (x + 1) x2 + 4x + 4 dx
(
2.
)
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 11x2 − 28 x + 27 и y = 5x2 + 2x + 3.
Вариант № 7
1. Найдите неопределенный интеграл
∫
44
6x2 −10x + 2
dx
x( x −1)(x − 2)
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 11x2 + 83x + 251 и y = 5x2 + 5x −1.
Вариант № 8
1.
Найдите неопределенный интеграл
2x2 + 2x + 1
∫ x2 (x + 1) dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 4x2 − 66x + 217 и y = −2x2 + 6x + 7.
Вариант № 9
1.
Найдите неопределенный интеграл
7 x2 − x − 2
∫ x2 −1 x dx
(
2.
)
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 12x2 + 6x − 28 и y = 6x2 + 6x − 4.
Вариант № 10
1.
Найдите неопределенный интеграл
∫
2.
x2 + 4x + 1
2
x (x + 1)
dx
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = −x2 − 7x −19 и y = −7x2 − x − 7.
Вариант № 11
1.
Найдите неопределенный интеграл
5x2 − 9x + 2
∫ x(x −1)(x − 2) dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 13x2 + 29x + 19 и y = 7x2 + 5x + 1.
45
Вариант № 12
1.
Найдите неопределенный интеграл
x2 + 1
∫ (x −1)2 x dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 2x2 + 34x + 42 и y = −4x2 + 4x + 6.
Вариант № 13
1.
2.
Найдите неопределенный интеграл
2x2 + 9x − 2
∫ x(x −1)(x + 2) dx
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 10x2 + 50x + 70 и y = 4x2 + 2x − 2.
Вариант № 14
1.
Найдите неопределенный интеграл
∫
2.
3x 2 + 2x − 2
dx
x2 (x −1)
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 8 x2 − 54x + 70 и y = 2x2 − 6x − 2.
Вариант № 15
1.
2.
Найдите неопределенный интеграл
9x2 + 16x + 4
∫ (x + 1)x(x + 2) dx
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = x2 + 21x + 2 и y = −5x2 − 3x + 2.
Вариант № 16
1.
Найдите неопределенный интеграл
2x2 − 5x + 11
∫ (x + 1)(x − 2)2 dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 7x2 − 43x + 31 и y = x2 − x − 5.
46
Вариант № 17
1.
2.
Найдите неопределенный интеграл
2x2 + 2x + 2
∫ x(x + 1)(x + 2) dx
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 12x2 − 59x + 174 и y = 6x2 + 7x + 6.
Вариант № 18
1.
Найдите неопределенный интеграл
∫
2.
3x2 −16x + 27
dx
2
x (x − 3)
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 8 x2 + 19x − 7 и y = 2x2 + 7x − 7.
Вариант № 19
1.
2.
Найдите неопределенный интеграл
2x2 − 6x − 2
∫ x(x −1)(x + 2) dx
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = x2 − 43x + 58 и y = −5x2 − x − 2.
Вариант № 20
1.
Найдите неопределенный интеграл
7x2 −15x + 5
∫ (x + 1)(x − 2)2 dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 13x2 − 2x − 27 и y = 7x2 − 2x − 3.
Вариант № 21
1.
Найдите неопределенный интеграл
3x2 + 4x + 4
∫ x(x + 1)(x + 2) dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 10x2 − 49x + 106 и y = 4x2 + 5x − 2.
47
Вариант № 22
1.
Найдите неопределенный интеграл
∫
2.
x2 − 6 x − 8
( x + 4) x2
dx
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 5x2 + 47x + 55 и y = −x2 + 5x − 5.
Вариант № 23
1.
Найдите неопределенный интеграл
x2 + 12x − 4
∫ x(x −1)(x + 2) dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 11x2 + 43x + 47 и y = 5x2 + 7x −1.
Вариант № 24
1.
Найдите неопределенный интеграл
x2 −10x + 27
∫ x(x − 3)2 dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = 5x2 + 10x −10 и y = −x2 + 4x + 2.
Вариант № 25
1.
Найдите неопределенный интеграл
5x2 + 15x + 6
∫ x(x + 1)(x + 2) dx
2.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами
y = −x2 − 37x + 18 и y = −7x2 − 7x − 6.
48
5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического
анализа / Г.Н.Берман // СПб., 2005. 604 с.
2.
Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчис.
ления / Н.С.Пискунов // Учебник для втузов в 2.х т. Т.II.М.: Ин.
теграл.Пресс, 2009. 544 с.
3.
Бугров С.Я., Никольский С.М. Высшая математика: Диф.
ференциальное
и
интегральное
исчисление
/
С.Я.Бугров,
С.М.Никольский // Издательство Дрофа, 2004. 318 с.
4.
Виленкин Н.Я. Алгебра и начала математического анализа /
Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев.Мусатов, С.И.Шварцбурд // М.:
Мнемозина, 2011. 351 с.
49
СОДЕРЖАНИЕ
1. Неопределенный и определенный интеграл ....................... 3
1. Неопределенный интеграл ........................................... 3
1.2. Простейшие свойства неопределенного интеграла ........ 3
1.3. Таблица основных интегралов ................................... 4
1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле .......... 5
1.5 Интегрирование по частям в неопределенном
интеграле ......................................................................... 6
1.6. Интегрирование рациональных дробей ....................... 7
1.7. Интегрирование некоторых иррациональных
выражений ..................................................................... 10
1.8. Интегрирование тригонометрических функций ......... 12
2. Определенный интеграл ............................................ 13
2.1.Определение определенного интеграла ...................... 13
2.2. Свойства определенного интеграла ........................... 14
2.3. Формула Ньютона – Лейбница ................................ 14
2.4. Формулы замены переменной и интегрирования
по частям в определенном интеграле ................................... 15
2.5. Площадь плоской фигуры ....................................... 16
3. Подробные решения типовых контрольных работ
для студентов первого курса технических специальностей,
имеющих 1 час практических занятий в неделю ...................... 18
4. Варианты контрольных работ для студентов первого курса
технических специальностей,имеющих 1 час практических
занятий в неделю ................................................................ 25
5. Список литературы...................................................... 49
50
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 738 Кб
Теги
golovachev, gusman, zingel
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа