close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

GolovachevGuasman

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ.ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНАЯ
Методические указания
к решению дистантной контрольной работы
Санкт.Петербург
2014
Составители: Г. М. Головачёв, Ю. А. Гусман, А. Б. Плаченов,
А. О. Смирнов.
Рецензент – доктор физико.математических наук,
профессор В. Г. Фарафонов
Содержатся основные теоретические сведения и решения основ.
ных типовых задач по модулю «Пределы и производная». Приво.
дятся задания для проведения аудиторных контрольных работ.
Предназначено для студентов I курса технических и экономиче.
ских специальностей.
Подготовлено кафедрой высшей математики и рекомендованы к
изданию редакционно.издательским советом Санкт.Петербургского
государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 17.11.14. Подписано к печати 29.12.14. Формат 60×84 1/16.
Усл..изд. л. 2,75. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,5. Тираж 100 экз. Заказ № 691.
Редакционно.издательский центр ГУАП
190000, Санкт.Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт.Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2014
2
1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Определение. Число a называется пределом функции f(x) в точ.
ке если для любого положительного числа ε существует число δ,
такое, что для всех x из промежутка ( x0 − δ; x0 ) ∪ ( x0 ; x0 + δ ) вы.
полняется неравенство f (x) − a < ε.
Это записывают как lim f (x) = a.
x →x0
Определение. Число a называется пределом функции f(x) на
бесконечности, если для любого положительного числа ε су.
ществует положительное число M, такое, что для всех x, удов.
летворяющих неравенству x > M, выполняется неравенство
f (x) − a < ε.
Это записывают как lim f (x) = a.
x→∞
На практике при вычислении пределов используют следующие
теоретические сведения.
Теорема 1. Предел функции, непрерывной в некоторой точке
x0 , равен значению функции в этой точке, т.е.
lim f (x) = f (x0 ).
x→ x0
Таким образом, вычисление предела сводится к вычислению
значения функции.
Теорема 2. Известные элементарные функции непрерывны на
своей области определения. Это функции:
f (x) = x p , (p – любое число)
f (x) = sin x,
3
f (x) = cos x,
f (x) = tg x,
f (x) = ctg x,
f (x) = arcsin x,
f (x) = arctg x,
f (x) = a x ,
f (x) = log a x.
Теорема 3. Функции, полученные из элементарных функций с
помощью действий сложения, умножения, деления, умножения
на число, непрерывны на своей области определения. Сложная
функция, составленная из элементарных функций, также непре.
рывна на своей области определения. Это позволяет вычислять
пределы в простых случаях (когда отсутствует неопределенность)
простой подстановкой x0 в данную функцию. Например,
x+2 3
lim
= .
x→1 x + 3 4
Теорема 4. Теоремы об арифметических действиях с пределами.
Пусть существуют пределы lim f (x) = a и lim f (x) = b. Тогда
x→ x0
x →x0
существуют следующие пределы и выполняются следующие ра.
венства:
lim ( p ⋅ f (x) ) = pa, (p – произвольное число)
x→ x0
lim ( f (x) + g(x) ) = a + b,
x→ x0
lim ( f (x) ⋅ g(x) ) = a ⋅ b,
x→ x0
lim
x→x0
f (x) a
= , b ≠ 0.
g(x) b
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Эти теоремы также являются верными в случае вычислений
пределов функций на бесконечности (т.е. можно заменить x0 на ∞).
Бесконечно малой функцией (в точке x0 или на ∞) называется
функция, предел которой равен 0. Бесконечно большой функцией
4
(в точке x0 или на ∞) называется функция, предел которой равен
бесконечности.
Приведенные теоремы об арифметических действиях с преде.
лами могут оказаться неприменимыми, если функции, входящие
в выражения, не имеют конечных пределов, или, в случае отно.
шения функций, в числителе и знаменателе стоят бесконечно ма.
лые или бесконечно большие величина. В этом случае может воз.
никнуть ситуация неопределенности.
Раскрытие неопределенностей.
Неопределенностью вида [∞ –∞] называется сумма двух беско.
нечно больших разных знаков (или разность двух бесконечно
больших одного знака).
Неопределенностью вида [0⋅∞] называется произведение беско.
нечно малой величины на бесконечно большую.
⎡0⎤
Неопределенностью вида ⎢ ⎥ называется отношение двух бес.
⎣0⎦
конечно малых величин.
⎡∞ ⎤
Неопределенностью вида ⎢ ⎥ называется отношение двух бес.
⎣∞ ⎦
конечно больших величин.
Неопределенность означает, что в результат вычисления преде.
ла может оказаться любым – ноль, ненулевое число, бесконеч.
ность. Без вычисления предела этот результат заранее определить
невозможно. Нахождение конкретного ответа в случае неопреде.
ленности называется раскрытием неопределенности. Раскрыть
неопределенность в некоторых случаях удается с помощью со.
кращения числителя и знаменателя на бесконечно малый или бес.
конечно большой множитель. Примеры приводятся ниже. Также
неопределенности могут быть раскрыты, если удается применить
“замечательные” пределы.
Теорема 5. Замечательные пределы.
lim
x →0
lim
x→0
sin x
= 1,
x
1 − cos x
2
x
1
= ,
2
(1.5)
(1.6)
5
lim
x →0
tg x
= 1,
x
(1.7)
arcsin x
= 1,
x
x →0
(1.8)
arctg x
= 1,
x
x →0
(1.9)
lim
lim
x
1⎞
⎛
lim ⎜ 1 + ⎟ = e,
x⎠
x→∞ ⎝
(1.10)
1
lim (1 + x ) x = e,
x →0
ex − 1
= 1,
x →0 x
(1.11)
lim
lim
x →0
ln(1 + x)
= 1,
x
(1 + x) p − 1
= p,
x
x →0
(p – произвольное число).
(1.12)
(1.13)
lim
6
(1.14)
2. ПРОИЗВОДНЫЕ
Определение. Производной функции f(x) в точке x0 называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумен.
та, при стремлении приращения аргумента к нулю:
f ′(x0 ) = lim
x → x0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
(2.1)
На практике пользуются таблицей производных, которая по.
лучается применением определения к элементарным функциям.
Таблица производных должна быть выучена наизусть.
Теорема 1. Таблица производных.
(C)′=0, (C – произвольное число, константа),
(2.2)
(x)′=1,
(2.3)
(x )′=p x , (p – произвольное число),
(2.4)
k
p.1
x
x
(a )′=a ln a, (a>0, a≠1),
(2.5)
( ex )′ = ex ,
(2.6)
( loga x )′ =
1
, (a>0, a≠1),
x ln a
( ln x )′ =
1
,
x
(2.7)
(2.8)
(sinx)′=cosx,
(2.9)
(cosx)′= – sinx,
(2.10)
( tg x )′ =
1
cos2 x
( ctg x )′ = −
( arcsin x )′ =
,
1
sin2 x
(2.11)
,
1
1 − x2
(2.12)
,
(2.13)
7
1
( arccos x )′ = −
( arctg x )′ =
1 − x2
1
1 + x2
( arcctg x )′ = −
,
,
1
1 + x2
(2.14)
(2.15)
.
(2.16)
Теорема 2. Производные суммы, произведения, частного двух
функций.
При всех значениях аргументов, при которых существуют про.
изводные функций f(x) и g(x), справедливы следующие формулы :
(kf(x))′ = kf′(x), (k – произвольное число),
(2.17)
(f(x)+g(x))′ = f ′(x)+g(x)′,
(2.18)
(f(x)·g(x))′ = f′(x)·g(x))+f (x)·g(x)′,
(2.19)
⎛ f (x) ⎞′ f ′(x) ⋅ g(x) − f (x) ⋅ g ′(x)
, при g(x) ≠ 0.
⎜ g(x) ⎟ =
g2 (x)
⎝
⎠
(2.20)
Теорема 3. Производная сложной функции.
Пусть f(g(x)) – сложная функция, и существуют производные
g′(x) в точке x и f′(t) в точке t = g(x). Тогда производная сложной
функции вычисляется по правилу
(f(g(x)′=f′(g(x))·g′(x),
(2.21)
где производная f ′(t) = f ′(g(x))·обычно берется из таблицы произ.
водных, и в табличную производную в качестве аргумента под.
ставляется функция g(x).
Теорема 4. Достаточное условие экстремума функции.
Пусть f ′(x0 ) = 0, f ′(x) > 0 при x < x0 , f ′(x) < 0 при x > x0 . Тогда
x0 – точка максимума функции f(x).
Пусть f ′(x0 ) = 0, f ′(x) < 0 при x < x0 , f ′(x) > 0 при x > x0 . Тогда
x0 – точка минимума функции f(x).
8
Теорема 5. Достаточное условие экстремума функции, выра*
женное через вторую производную.
Пусть f ′(x0 ) = 0, f ′′(x0 ) < 0. Тогда x0 – точка максимума функ.
ции f(x).
Пусть f ′(x0 ) = 0, f ′′(x) > 0. Тогда x0 – точка минимума функции f(x).
Теорема 6. Достаточное условие возрастания (убывания)
функции.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференци.
руема на интервале (a;b), причем f′(x) ≥ 0 на (a;b), и число точек,
в которых f′(x) = 0, конечно. Тогда f(x) возрастает на [a;b].
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференци.
руема на интервале (a;b), причем f′(x) ≤ 0 на (a;b), и число точек,
в которых f′(x) = 0, конечно. Тогда f(x) убывает на [a;b].
Теорема 7. Достаточное условие выпуклости функции.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет произ.
водные первого и второго порядков на интервале (a;b), причем
f′′(x) < 0 на (a;b). Тогда f(x) выпукла вверх на [a;b].
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и имеет произ.
водные первого и второго порядков на интервале (a;b), причем
f′′(x) > 0 на (a;b). Тогда f(x) выпукла вниз на [a;b].
Теорема 8. Достаточное условие точки перегиба функции.
Пусть функция f ′′(x0 ) = 0, и вторая производная меняет знак
при переходе через точку x0 . Тогда x0 является точкой перегиба
графика функции f(x).
Теорема 9. Поиск наибольшего и наименьшего значения функ*
ции на отрезке.
Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке дости.
гается либо в точке экстремума, либо на конце отрезка. Это же
верно и для наименьшего значения. Из этого утверждения выте.
кает схема поиска наибольшего и наименьшего значений функции
на отрезке.
1. Проверяем, что функция непрерывна на заданном отрезке
[a;b] и имеет производную внутри этого отрезка. Находим произ.
водную f′(x).
2. Решаем уравнение f′(x)=0.
3. Отбираем корни производной, принадлежащие отрезку [a;b].
9
4. Вычисляем значение функции в отобранных корнях произ.
водной и на концах отрезка.
5. Выбираем из полученного набора значений наибольшее и
наименьшее.
При поиске наибольшего и наименьшего значения функции на
некотором множестве можно использовать дополнительные сведе.
ния о функции. В частности, если требуется найти наибольшее
значение, можно не рассматривать значения функции в точках
минимума.
Теорема 10. Схема исследования функции.
При исследовании функции и построении ее графика можно
находить свойства функции в следующем порядке.
1. Область определения.
2. Точки разрыва.
3. Корни.
4. Промежутки знакопостоянства функции.
5. Четность, нечетность.
6. Периодичность.
7. Пределы в точках разрыва и на бесконечности.
8. Вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты.
9. Производная.
10. Корни производной. Промежутки знакопостоянства произ.
водной.
11. Точки экстремума.
12. Промежутки возрастания и убывания функции.
13. Вторая производная.
14. Корни второй производной. Промежутки знакопостоянства
второй производной.
15. Точки перегиба.
16. Промежутки выпуклости функции.
17. Значения функции в точках экстремума и перегиба. Точки
пересечения с осями координат. Вспомогательные точки, облег.
чающие построения графика.
18. График.
Отдельные пункты этой схемы могут быть пропущены в зави.
симости от вида функции, также порядок изучения свойств функ.
ции может быть выбран с учетом целесообразности. В частности,
при изучении многочленов можно не проводить исследование на
периодичность, и т.п.
10
3. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ВАРИАНТОВ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Работа № 1
Пределы функции в точке и на бесконечности
1. Вычислите предел lim
x3 + 2x2 + 4x + 5
x→∞ 6x 3
+ 7x2 + 8 x + 9
.
Решение:
При подстановке бесконечно больших значений переменной x в
числитель и знаменатель получим, что этот предел представляет
⎡∞ ⎤
собой неопределенность вида ⎢ ⎥ . В таких случаях определяю.
⎣∞ ⎦
щим являются старшие степени числителя и знаменателя – если
степени равны, то предел равен отношению коэффициентов при
старших степенях:
2 4
5 ⎞
⎛
x3 ⎜ 1 + + 2 + 3 ⎟
x
⎝
x
x ⎠=
= lim
lim
7 8
9 ⎞
x →∞ 6x 3 + 7x2 + 8 x + 9 x →∞ 3 ⎛
x ⎜6 + + 2 + 3 ⎟
x
⎝
x
x ⎠
x 3 + 2x2 + 4 x + 5
2 4
5 ⎞
⎛
⎜1 + x + 2 + 3 ⎟ 1
x
x ⎠= .
= lim ⎝
7 8
9 ⎞ 6
x →∞ ⎛
⎜6 + x + 2 + 3 ⎟
⎝
x
x ⎠
1
= 0.
x→∞ x
Здесь использовано, что lim
Ответ:
1
.
6
2. Вычислите предел lim
x→1 x2
x3 − 1
− 6x + 5
.
Решение:
Подставим x = 1 в числитель и знаменатель этой дроби. Полу.
чим, что значение числителя и знаменателя равны 0. В данном
11
⎡0 ⎤
примере имеем неопределенность вида ⎢ ⎥ . В таких случаях чис.
⎣0 ⎦
литель и знаменатель надо разделить на возможную высшую сте.
пень (x.1). Для этого необходимо числитель и знаменатель разло.
жить на множители. В нашем примере делим числитель и знаме.
натель на (x.1):
lim
x3 − 1
x→1 x2
− 6x + 5
(x − 1)(x2 + x + 1)
(x2 + x + 1) 3
= lim
=
= −0,75.
−4
x →1 (x − 1)(x − 5)
x →1 (x − 5)
= lim
Здесь использовано, что функция x2 + x + 1 является непрерыв.
ной (см. теорему 1 первого раздела) и lim ( x2 + x + 1) = 3, аналогич.
x→1
но и lim ( x − 5 ) = −4.
x→1
Ответ: –0,75.
(
3. Вычислите предел lim
x →0
)(
1 + 3x − 1 ⋅ e4 x − 1
ln (1 + 8 x ) ⋅ sin 5x
).
Решение:
Подставляем x=0 и получаем, что в этой задаче мы имеем не.
⎡0 ⎤
определенность вида ⎢ ⎥ .
⎣0 ⎦
Воспользуемся замечательными пределами (см. (1.5), (1.12)–
(1.14))
ln (1 + x )
sin x
= 1, lim
= 1,
x
x→0 x
x→0
lim
α
(1 + x ) − 1
ex − 1
= 1, lim
= α.
x
x→0 x
x →0
lim
Также воспользуемся теоремой о том, что предел произведения
равен произведению пределов, если они существуют (см (1.3)).
(
lim
x →0
12
)(
1 + 3x − 1 ⋅ e4 x − 1
ln (1 + 8 x ) ⋅ sin 5x
)=
(
= lim
x
x →0
= lim
(
) ⋅ lim
1 + 3x − 1
x
x →0
)⋅
1 + 3x − 1
(
)
e4 x − 1
x
x
⋅
⋅
=
ln (1 + 8 x )
x
sin 5x
(
)
e4 x − 1
x
x
⋅ lim
⋅ lim
.
x
x →0 ln (1 + 8x ) x →0
x →0 sin 5x
Так как
lim
(
1 + 3x − 1
x
x →0
lim
x
x →0 ln (1 + 8x )
) = lim 3(
3x
x →0
= lim
1
) = 3 lim (
1 + 3x − 1
x →0 ln (1 + 8x )
3x
x →0
= lim
1
x →0 8 ln (1 + 8x )
x
1 + 3x − 1
=
1
⋅
8
8x
) = 3 ⋅ 1 = 3,
2
2
1
1
= ,
ln (1 + 8x ) 8
lim
8x
x →0
e4 x − 1
4(e4 x − 1)
(e4 x − 1)
= lim
= 4 lim
= 4,
x
4x
4x
x →0
x →0
x →0
lim
x
1
1
1
1
1
1
= lim
=
=
=
= ,
sin
5
x
sin
5
x
5
sin
5
x
sin
5
x
5 lim
5
x →0 sin 5x x →0
lim
lim
x
x →0 x
x → 0 5x
x → 0 5x
lim
то
(
lim
x →0
)(
1 + 3x − 1 ⋅ e4 x − 1
ln (1 + 8 x ) ⋅ sin 5x
) = 3 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 1 = 3 = 0,15.
2 8
5
20
Ответ: 0,15.
Работа № 2
Производные суммы, произведения,
частного, сложной функции
1. Вычислите производную функции
y = 28x2 − 11x + 4 − 3 6x − 8 + 2 arctg 2x.
13
Решение:
Пользуясь правилами вычисления производной суммы (см.
(2.18)) и производной сложной функции (см. (2.21)), получаем:
(
) (
)
′
′
y′ = 28x2 − 11x + 4 − 3 6x − 8 + 2 arctg 2x = 28x2 − (11x )′ + ( 4 )′ −
1 ⎞′
1
⎛
1
2
−1
− ⎜ ( 6x − 8 ) 3 ⎟ + ( 2 arctg 2x )′ = 28 ⋅ 2x − 11 − ⋅ ( 6x − 8 ) 3 ⋅ 6 + 2 ⋅
=
2
⎜
⎟
3
1 + ( 2x )
⎝
⎠
= 56x − 11 − 2( 6x − 8 )
Ответ: 56x − 11 − 2 ( 6x − 8 )
−
2
3
+
−
2
3
4
1 + 4x2
+
4
1 + 4x2
.
.
2. Вычислите производную функции y = sin ( 4x + 3 ) ⋅ ln ( 5x − 1).
Решение:
Пользуясь правилами вычисления производной произведения
и производной сложной функции (см. (2.19) и (2.21)), получаем:
y ′ = (sin ( 4x + 3 ) ⋅ ln ( 5x − 1))′ = ( sin ( 4x + 3 ) )′ ⋅ ln ( 5x − 1) +
+ sin ( 4x + 3 ) ⋅ ( ln ( 5x − 1) )′ = cos ( 4x + 3 ) ⋅ 4 ⋅ ln ( 5x − 1) +
+ sin ( 4x + 3 ) ⋅
5 sin ( 4x + 3 )
5
= 4 cos ( 4x + 3 ) ⋅ ln ( 5x − 1) +
.
5x − 1
5x − 1
Ответ: 4 cos ( 4x + 3) ⋅ ln ( 5x − 1) +
5sin ( 4x + 3)
5x − 1
3. Вычислите производную функции
y=
14
ctg 7x
3
x +1
.
.
Решение:
Пользуясь правилами вычисления производной частного (см.
(2.20)) и производной сложной функции (см. (2.21)), получаем:
( 3 x + 1) − ctg7x ⋅ ( 3 x + 1)′ =
2
( 3 x + 1)
2
7
1
1 −
⋅ ( 3 x + 1) −
ctg 7x
⋅ ( 3 x + 1) − ctg 7x ⋅ x 3 −
2
3
2
sin 7x
3
′
⎛ ctg 7x ⎞′ ( ctg7x ) ⋅
=
y′ = ⎜ 3
⎟
⎝ x +1⎠
−
7
2
= sin 7x
( 3 x + 1)
−
Ответ:
=
2
7
2
sin 7x
(
)
⋅ 3 x +1 −
(
3
x +1
)
1
( 3 x + 1)
3 x
2
.
ctg 7x
3
3 x2
.
2
Работа № 3
Вычисление производных сложных функций
и логарифмическое дифференцирование
(
)
1. Вычислите производную функции y = sin tg ( ln ( 2x + 1) ) .
Решение:
Пользуясь последовательно правилом вычисления производной
сложной функции (см (2.21)), получаем:
y ′ = sin tg ln 2x + 1 ′ = cos tg ln 2x + 1 ⋅ tg ln 2x + 1 ′ =
( ( (
(
))))
( (
(
)
= cos tg ( ln ( 2x + 1) ) ⋅
(
)
= cos tg ( ln ( 2x + 1) ) ⋅
(
1
2
cos
( ln (2x + 1) )
1
cos ( ln ( 2x + 1) )
2
)
= cos tg ( ln ( 2x + 1) ) ⋅
(
)))
(
1
2
cos
)
= cos tg ( ln ( 2x + 1) ) ⋅
⋅
)))
1
⋅ ( 2x + 1)′ =
2x + 1
⋅
1
⋅2 =
2x + 1
cos ( ln ( 2x + 1) )
2
(
⋅ ( ln ( 2x + 1) )′ =
( ln (2x + 1) )
1
( (
⋅
2
.
2x + 1
15
(
)
Ответ: cos tg ( ln ( 2x + 1) ) ⋅
1
2
.
⋅
cos2 ( ln ( 2x + 1) ) 2x + 1
2. Вычислите производную функции
(
y = x3 + 1
)(
).
x2 +1
Решение:
Сначала проиллюстрируем понятие логарифмического диффе.
ренцирования.
Если необходимо продифференцировать функцию вида y = uv ,
то можно прологарифмировать эту функцию, а потом взять произ.
водную от логарифма и из полученного равенства выразить иско.
мую производную y′ .
Дана функция y = uv .
Логарифмируем: ln y = v ln u.
Вычислим
производные
обеих
частей
равенства:
( ln y )′ = (v ln u )′ .
1
1
y′ = v ′ ln u + v u′.
y
u
1 ⎞
⎛
Выражаем искомую производную: y′ = uv ⎜ v ′ ln u + v u′ ⎟.
u ⎠
⎝
Также поступим и в нашей задаче.
(
)
y = x3 + 1
(
x2 +1
.
) (
)
ln y = x2 + 1 ln x3 + 1 .
)
(
′
( ln y )′ = ( x2 + 1) ln ( x3 + 1) .
(
) (
)
1
1
y ′ = 2x ⋅ ln x3 + 1 + x2 + 1 3
⋅ 3x2 .
y
x +1
16
(
)
y ′ = x3 + 1
(
Ответ: x3 + 1
)
3x 2 ⎞
3
2
⎜ 2x ⋅ ln x + 1 + x + 1 3
⎟.
⎜
x + 1 ⎟⎠
⎝
x2 +1 ⎛
(
) (
)
3 x2 ⎞
3
2
⎜ 2x ⋅ ln x + 1 + x + 1 3
⎟.
⎜
x + 1 ⎟⎠
⎝
x2 +1 ⎛
(
) (
)
Работа № 4
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
График функции
Задача: Дана функция f ( x ) = x4 − 2x2 + 5.
а) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f ( x )
на отрезке [–2;2].
б) Исследуйте функцию и постройте ее график.
Решение а).
Наибольшее значение функции f(x) на отрезке может суще.
ствовать либо в точке экстремума, либо на конце отрезка. Точно
также и наименьшее значение функции может получиться либо в
точке экстремума, либо на конце отрезка. Поэтому сначала
найдем экстремумы функции на искомом отрезке. Отметим, что
данная функция является четной, поэтому будем пользоваться ее
симметричностью относительно x = 0. Для того, чтобы опреде.
лить, является ли точка, в которой производная равна 0, точкой
минимума или точкой максимума, вычислим вторую производную
в этой точке, и посмотрим на ее знак.
Вычисляем производную: y′ = 4x3 − 4x.
Приравниваем производную к 0 и находим стационарные точ.
ки: 4x3 − 4x = 0.
x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1.
Вычисляем вторую производную: y ′′ = 12x2 − 4.
Так как вторая производная при x = 0 отрицательна, то в этой
точке функция имеет максимум. Так как вторая производная при
x = –1 и x = 1 положительна, то в каждой из этих точек функция
имеет минимум.
17
Найдем значения функции в точках экстремумов и в гранич.
ных точках данного нам отрезка.
f ( −2 ) = f ( 2 ) = 13,
f ( −1) = f (1) = 4,
f ( 0 ) = 5.
Получаем, что наименьшее значение функции на f(x) отрезке
[–2;2] равно 4, а наибольшее равно 13.
Ответ: Наименьшее значение равно 4, наибольшее значение
равно 13.
Решение б).
Проведем исследование по известной схеме (см. теорему 10 вто.
рого раздела) и построим график функции.
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.
2) Функция не имеет корней. Она принимает положительные
значения на всей области определения. График функции пересе.
кает ось OY в точке (0;5), т.к. y(0) = 5.
3) Функция является четной.
4) Так как функция непрерывна в каждой точке, ее график не
может иметь вертикальных асимптот.
lim ( x4 − 2x2 + 5 ) = ∞, поэтому график не имеет горизонтальной
x→∞
асимптоты.
x 4 − 2x 2 + 5
= ∞,
x
x →∞
асимптоты.
lim
поэтому график не имеет наклонной
5) Вычислим производную: y′ = 4x3 − 4x.
Определим промежутки возрастания и убывания функции.
Точки экстремумов x = 0 – точка максимума, x = –1 и x = 1 точки
минимума, они были определены в предыдущем пункте. Значения
функции в точках экстремума:
при x = 0 y(0) = 5;
при x = –1 и x = 1 y(–1) = y(1) = 4.
Найдем, на каких промежутках производная положительна.
4x3 − 4x > 0 ⇔ ( x + 1) x ( x − 1) > 0.
Решаем это неравенство и получаем, что функция возрастает на
каждом из промежутков [ −1;0] и [1; ∞ ).
18
Найдем, на каких промежутках производная отрицательна.
4x3 − 4x < 0 ⇔ ( x + 1) x ( x − 1) < 0. Решаем это неравенство и по.
лучаем, что функция убывает на каждом из промежутков ( −∞; −1]
и [ 0;1].
6) Вычислим вторую производную и определим промежутки
выпуклости вверх и вниз, а также точки перегиба.
y′′ = 12x2 − 4.
Найдем, на каких промежутках вторая производная имеет по.
ложительный знак.
1 ⎞⎛
1 ⎞
⎛
Решим неравенство 12x2 − 4 > 0 ⇔ ⎜ x −
⎟⎜ x +
⎟ > 0.
3 ⎠⎝
3⎠
⎝
1 ⎞
⎛
⎛ 1
⎞
; +∞ ⎟.
Это неравенство выполняется на ⎜ −∞; −
⎟ и на ⎜
3⎠
⎝
⎝ 3
⎠
На каждом из этих промежутков функция выпукла вниз.
Найдем, на каких промежутках вторая производная имеет от.
рицательный знак.
1 ⎞⎛
1 ⎞
⎛
Решим неравенство 12x2 − 4 < 0 ⇔ ⎜ x −
⎟⎜ x +
⎟ < 0.
3 ⎠⎝
3⎠
⎝
⎛ 1 1 ⎞
;
Это неравенство выполняется на ⎜ −
⎟.
3 3⎠
⎝
На этом промежутке функция выпукла вверх.
1
1
Точки x = −
и x=
являются точками перегиба.
3
3
Таблица
−1; −
–
0
+
y″
+
+
4
4
−
1
3
;0
)
0
( )
0;
1
1
4
1
( 1; +∞ )
+
4
+
1
3
3
( )
4
;1
3
+
5
+
+
+
0
.
–
–
0
+
+
0
–
.
.
0
+
+
+
9
9
т. min
возрастает,
выпукла
вниз
y′
3
(
убывает,
выпукла
вниз
+
1
т. перегиба
4
−
убывает,
выпукла
вверх
+
)
т. max
3
y
убывает,
выпукла
вниз
т. min
1
возрастает,
выпукла
вверх
(
т. пере.
гиба
–1
возрастает,
выпукла
вниз
( −∞; −1 )
19
4
2
Рис. 1. График функции f ( x ) = x − 2x + 5.
20
4. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ
Работа № 1
Пределы функции
Вариант 1
1. Вычислите предел lim
x5 + 2x3 + 13x2 + 5
8 x5 + 2x2 + 2x + 9
x→∞
.
x3 − 1
.
2. Вычислите предел lim 2
x →1 x − 6x + 5
( 1 + 3x − 1) ⋅ (e4 x − 1)
.
x →0 ln(1 + 8 x) ⋅ sin 5x
3. Вычислите предел lim
Вариант 2
x3 + 2x2 + 9x + 1
1. Вычислите предел lim
x→∞ 9x3
2. Вычислите предел lim
+ 7x2 + 8 x + 9
x2 + x − 6
.
x → 2 x3 − 4x
3. Вычислите предел lim
tg 3x ⋅ arcsin 8 x
x →0 (1 − e
−5 x
) ⋅ ( 1 − 6x − 1)
Вариант 3
1. Вычислите предел lim
3x4 + 8x3 + 6x2 + 1
x→∞ 12x4
2. Вычислите предел lim
x3 + 1
2
x→−1 x
3. Вычислите предел lim
x →0
+ 2x2 + 5x + 7
− 6x − 7
.
.
(1 − e7x ) ⋅ ln(1 + 3x)
ctg 2x ⋅ arctg 4x3
.
21
Вариант 4
1. Вычислите предел lim
4x4 + 7x2 + 6x + 10
x→∞ 12x4
.
x2 − 4
2. Вычислите предел lim
x→−2 x
3. Вычислите предел lim
+ 3x3 + 15x + 1
3
+ 3x2 + 2x
ln(1 − 4x) ⋅ sin 2x2
x
2
x →0 (1 − cos 3x) ⋅ (2
− 1)
.
Вариант 5
1. Вычислите предел lim
x→∞
2. Вычислите предел lim
2x6 + 4x5 + 6x3 + 9x
7x6 + 3x3 + 15x + 1
x3 − 9 x
x→−3 x
3. Вычислите предел lim
x →0
2
.
.
+ x−6
arcsin 4x ⋅ (e3x − 1)
ln 1 − 3x ⋅ sin 2x
.
Вариант 6
1. Вычислите предел lim
x→∞
2. Вычислите предел lim
x →3
3. Вычислите предел lim
x →0
9x5 + x4 + x3 + x2 + 1
3x5 + 3x3 + 15x + 10
x2 − 4x + 3
x3 − 27
.
(3− x − 1) ⋅ ln(1 − 3x)
sin 4x3 ⋅ ctg 2x
Вариант 7
1. Вычислите предел lim
10x4 + 4x3 + 6x2 + 7
x→∞ 15x4
2. Вычислите предел lim
x3 − x
2
x→1 x
3. Вычислите предел lim
+ 3x3 + 15x + 3
− 5x + 4
.
tg 3x ⋅ ln 5 1 + 5x
x →0 arcsin 2x ⋅ (1 − e
22
−6x
)
.
.
.
Вариант 8
1. Вычислите предел lim
8 x5 + 3x3 + 4x2 + 2
x→∞ 4x5
2. Вычислите предел lim
+ 10x3 + 11x + 3
x2 − 6 x − 7
3
2
x →−1 x − 4x
−x
− 5x
.
.
(e − 1) ⋅ arcsin 9x
3. Вычислите предел lim 3
.
x →0 ( 1 + 4x − 1) ⋅ tg 3x
Вариант 9
1. Вычислите предел lim
9x5 + 3x4 + 4x + 2
x→∞ 6x5
2. Вычислите предел lim
.
+ 5x4 + 17x + 13
x3 − 2x2 − 2x + 4
x2 + x − 6
ln(1 + 4x) ⋅ tg 3x
x →2
3. Вычислите предел lim
x →0 (1 − e
−2 x
) ⋅ (1 − 1 + 6x )
Вариант 10
1. Вычислите предел lim
5x3 + 3x2 + 4x + 2
x→∞ 16x3
2. Вычислите предел lim
.
x2 + 3x + 2
+ 5x2 + 6x
arctg 2x ⋅ sin 3x
x→−2 x
3. Вычислите предел lim
+ 5x2 + 8 x + 11
3
5x
x → 0 (e
− 1) ⋅ ln(6x + 1)
Вариант 11
1. Вычислите предел lim
6x3 + 3x2 + 4x + 2
x→∞ 24x3
2. Вычислите предел lim
x →3
+ 5x2 + 8 x + 11
.
x3 − 3x2 − 2x + 6
x2 − 7x + 12
( 1 + 7x3 − 1) ⋅ ctg 2x
x →0 ln(1 − x) ⋅ arctg 3x
3. Вычислите предел lim
23
Вариант 12
1. Вычислите предел lim
11x4 + 3x3 + 4x2 + 13
22x4 + 5x3 + 8 x + 11
x→∞
.
x2 − 2x − 8
2. Вычислите предел lim
x3 + 8
x→−2
ln 3 1 + 4x ⋅ sin 9x
3. Вычислите предел lim
x →0 (e
8x
− 1) ⋅ arcsin 3x
Вариант 13
12x4 + 3x2 + 4x + 2
1. Вычислите предел lim
x→∞ 24x4
2. Вычислите предел lim
.
x3 − 2x2 − x + 2
x2 + 3x − 10
x →2
3. Вычислите предел lim
+ 5x3 + 8 x2 + 11
(cos2 2x − 1) ⋅ ln(1 + 6x)
(e4x − 1) ⋅ arcsin 2x2
x →0
Вариант 14
1. Вычислите предел lim
10x5 + 6x3 + 5x2 + 3
15x5 + 5x2 + 6x + 2
x→∞
2. Вычислите предел lim
x →3
3. Вычислите предел lim
.
x2 + 5x + 6
x3 + 27
(1 − cos 2x) ⋅ arcsin 5x
(23x − 1) ⋅ ln(1 − x2 )
x →0
Вариант 15
1. Вычислите предел lim
15x5 + 7x3 + 7x2 + 9x + 3
5x5 + 9x3 + 3x2 + 2
x→∞
2. Вычислите предел lim
x3 + 2x2 − 3x
x→−3
3. Вычислите предел lim
x→0
24
x2 + 4x + 3
ln(3x + 1) ⋅ (1 − 1 + 2x2 )
arcsin 4x2 ⋅ arctg 5x
.
Вариант 16
12x7 + 6x6 + 5x5 + 2
1. Вычислите предел lim
8 x7 + 5x5 + 4x2 + 4
x→∞
.
x2 + 7x + 10
2. Вычислите предел lim
x3 − 4x
x→−2
3
ctg 2x ⋅ (e2x − 1)
3. Вычислите предел lim
x →0 ln(1 + 4x) ⋅ sin 6x
Вариант 17
14x6 + 6x5 + 8 x4 + 2x3 + x2
1. Вычислите предел lim
7x6 + 14x3 + 1
x→∞
.
x3 − 8
2. Вычислите предел lim
x →2 x
2
− 6x + 8
(1 − cos 3x) ⋅ (e4x − 1)
3. Вычислите предел lim
2
x →0 arcsin 6x ⋅ ln(1 − 5x)
Вариант 18
14x6 + 6x5 + 8 x4 + 2x3 + x2
1. Вычислите предел lim
7x6 + 14x3 + 1
x→∞
.
x2 + 4 x + 3
2. Вычислите предел lim
x→−1 x
3
+ x2 − 2x − 2
ln(1 − 4x) ⋅ sin2 2x
x→0 (1 − cos 3x) ⋅ tg 7x
3. Вычислите предел lim
Вариант 19
1. Вычислите предел lim
x6 + 2x5 + 3x4 + 4x3 + 5x2
x→∞
2. Вычислите предел lim
x→1
3. Вычислите предел lim
x→0
25x6 + 10x3 + 1
.
x3 − x2 − x + 1
x2 − 2x + 1
( 1 + 2x2 − 1) ⋅ (e3x − 1)
ln(1 − 4x) ⋅ sin 5x2
25
Вариант 20
5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1
1. Вычислите предел lim
x4 + 6x2 + 9
x→∞
x2 − x − 6
2. Вычислите предел lim
x →3 x
3. Вычислите предел lim
3
− 4x2 + 3x
tg 3x ⋅ (1 − e−2x )
2
x →0 ln(1 − x) ⋅ arctg 4x
Вариант 21
x3 + 3x2 + 3x + 1
1. Вычислите предел lim
x3 + x2 + x + 1
x→∞
2. Вычислите предел lim
.
x3 − 9x
2
x→−3 x
3. Вычислите предел lim
− x − 12
(cos 2x − 1) ⋅ ln(1 − 3x)
2
(ex − 1) ⋅ sin 5x
x →0
Вариант 22
x4 + 12x3 + 13x + 14
1. Вычислите предел lim
x→∞ 16x4
2. Вычислите предел lim
.
x2 − 3x + 2
x →2 x
3. Вычислите предел lim
+ 5x2 + 24x + 10
3
− x2 − 2x
arctg x2 ⋅ (1 − 3x )
2
x →0 ln (1 + 4x) ⋅ sin 5x
Вариант 23
1. Вычислите предел lim
x5 + 10x4 + 13x + 16
x→∞ 17x5
2. Вычислите предел
lim
x →−2
3. Вычислите предел
lim
x →0
26
+ 5x4 + 24x + 17
.
x3 + 2x2 + 3x + 6
x2 − x − 6
ln(1 + 8 x) ⋅ (1 − cos 3x)
sin 6x ⋅ tg2 2x
.
Вариант 24
1. Вычислите предел lim
6x5 + x3 + 6x + 1
x→∞ 5x5
.
x2 − 7x − 8
2. Вычислите предел lim
x→−1 x
3. Вычислите предел lim
+ 8x4 + 5x + 8
3
+ x2 − 6x − 6
(e4 x − 1) ⋅ sin 6x
x→0 ln
1 + 5x ⋅ arctg 2x
Вариант 25
1. Вычислите предел lim
6x5 + x3 + 6x + 1
x→∞ 5x5
2. Вычислите предел lim
x→1
3. Вычислите предел lim
+ 8x4 + 5x + 8
.
x3 + x2 − x − 1
x2 − 7x + 6
arcsin 5x ⋅ ln(1 − 2x)
x →0 (1 − e
x
) ⋅ (1 − 3 1 + 4x )
Работа № 2
Производные суммы, произведения, частного,
сложной функции
Вариант 1
1. Вычислите производную функции
y = 4 − 7x − 11x2 − 4 4 − 7x + 5 ln(5x).
2. Вычислите производную функции y = (3x − 2)4 · arctg(5x − 1).
3. Вычислите производную функции y =
3 − 2x
.
cos 5x
Вариант 2
1. Вычислите производную функции
y = 7x + 8 − 11x2 + 5 2 − 7x − 3tg3x.
2. Вычислите производную функции y = (5x − 1)2 ·cos(4x + 3).
3. Вычислите производную функции y =
e2x +1 + 5
3x2 + 1
.
27
Вариант 3
1. Вычислите производную функции
y = 3 − x2 + 13x + 55 3x − 5 + 7ctg7x.
2. Вычислите производную функции y = (5x − 1)7 ·arcsin(4x + 3).
3. Вычислите производную функции y =
x x
.
ln(2x + 3)
Вариант 4
1. Вычислите производную функции
y = x2 − 7x + 5 − 3 1 − 7x + 3 arcsin 3x.
2. Вычислите производную функции y = sin(9x + 2)·ln(4x − 1).
tg3x
.
3. Вычислите производную функции y =
2x3 + 5
Вариант 5
1. Вычислите производную функции
y = −3x2 + 8x + 17 + 3 5 − 7x + 5 arccos 5x.
2. Вычислите производную функции y = arccos(7x + 1)·e5x −1.
3. Вычислите производную функции y =
2x + x
.
arctg4x
Вариант 6
1. Вычислите производную функции
y = 23x2 − 10x + 7 − 4 4x − 5 + 7tg7x.
2. Вычислите производную функции y = 10x4 · tg(6x − 1).
sin7x
3. Вычислите производную функции y =
.
1 − 6x
Вариант 7
1. Вычислите производную функции
y = −17x2 + 11x − 3 − 7 1 − 7x + 3arctg3x.
2. Вычислите производную функции y = sin(7x − 5)·ln(4x + 5).
ln(−3x + 2)
3. Вычислите производную функции y =
.
x3 − 5x
28
Вариант 8
1. Вычислите производную функции
y = 2x2 − 3x − 9 − 3 5 − 6x + 5arcctg5x.
2. Вычислите производную функции y = (−2x + 3)3 · ctg(−8x + 4).
3. Вычислите производную функции y =
3
x· x2
e − 3x + 2
.
Вариант 9
1. Вычислите производную функции
y = −27x2 − 13x + 8 − 5 5x − 11 + 6 ln 6x.
2. Вычислите производную функции
y = (5x3 − 2x)·arcsin(8x + 3).
3. Вычислите производную функции y =
arcctg6x
3x2 − x
.
Вариант 10
1. Вычислите производную функции
y = x2 − 5x − 7 + 4 7 − 4x + 2 arcsin 2x.
2. Вычислите производную функции y = cos(2x)·e−4x .
cos 2x
3. Вычислите производную функции y =
.
5 − 4x
Вариант 11
1. Вычислите производную функции
y = −3x2 − 11x + 17 − 3 1 − 9x + 2 arccos 2x.
2. Вычислите производную функции
y = (−5x + 1)3 · arcctg(2x − 3).
3. Вычислите производную функции y =
−4x3 + 2x
.
arcsin5x
Вариант 12
1. Вычислите производную функции
y = 11x2 + 10x + 7 − 5 13 − 10x + 3arctg3x.
2. Вычислите производную функции y = arcsin(4x + 3)·e9x+5 .
3. Вычислите производную функции y =
arccos2x
x−3x
.
29
Вариант 13
1. Вычислите производную функции
y = −15x2 + 2x − 5 + 7 14x − 3 + 11ln11x.
π
2. Вычислите производную функции y = sin(6x + )·ln(3x − 7).
3
2x + x2
.
3. Вычислите производную функции y =
sin 9x
Вариант 14
1. Вычислите производную функции
y = 13x2 − 11x + 17 − 3 6x − 19 + 3arcctg3x.
2. Вычислите производную функции y = (4x2 + 6)·ln(8x − 6).
3. Вычислите производную функции y =
3 + 8x
3x − x 3
.
Вариант 15
1. Вычислите производную функции
y = x2 + x − 8 − 4 5 − 8x + 4 arccos 4x.
2. Вычислите производную функции y = cos(4x + 3)·e2x .
cos 3x
3. Вычислите производную функции y =
.
4 + 3x
Вариант 16
1. Вычислите производную функции
y = −5x2 + 11x − 11 − 5 15x − 7 + 4 arcsin 4x.
π
2. Вычислите производную функции y = sin(4x + )·ln(5x + 2).
6
5x3 − 1
3. Вычислите производную функции y =
.
e3 x − 2
Вариант 17
1. Вычислите производную функции
y = 2x2 − x + 3 + 3 6x − 5 + 2tg2x.
2. Вычислите производную функции y = 4(x + 2)3 ·ln(−x + 2).
ln(5x − 1)
3. Вычислите производную функции y =
.
x· 2x
30
Вариант 18
1. Вычислите производную функции
y = −21x2 − 11x + 12 − 5 13 − 5x + 3 cos 3x.
2. Вычислите производную функции y = tg(4x + 3)·ln(5x + 1).
3. Вычислите производную функции y =
4x2 + 1
.
tg9x
Вариант 19
1. Вычислите производную функции
y = 8x2 + 4x − 1 − 4 17 − 8x + 2 arccos 2x.
2. Вычислите производную функции y = (6x4 + 7)· ctg(5x + 2).
3. Вычислите производную функции y =
arctg (2x)
5x − x
.
Вариант 20
1. Вычислите производную функции
y = −4x2 + 17x − 14 + 3 8 − 9x + 5 ln 5x.
2. Вычислите производную функции y = (x3 + 4x)·arcsin(4x + 3).
3. Вычислите производную функции y =
1 + 7x
.
sin 3x
Вариант 21
1. Вычислите производную функции
y = −6x2 − 11x + 1 + 5 13 − 15x + 7ctg7x.
2. Вычислите производную функции
y = (12x2 + 7x)· arctg(4x + 3).
3. Вычислите производную функции y =
x2 + 4x
.
ln(9x + 1)
Вариант 22
1. Вычислите производную функции
y = 3x2 + x − 5 − 3 11 − 6x + 3arcctg3x.
2. Вычислите производную функции y = e4x+3 ·(4x2 + 2x + 1).
3. Вычислите производную функции y =
4
x −1
.
ctg2x
31
Вариант 23
1. Вычислите производную функции
y = 6x2 − 11x − 13 + 7 11 − 7x + 3arctg3x.
2. Вычислите производную функции y = ln(5x − 9)·(5x2 + 7x + 6).
3. Вычислите производную функции y =
e5x − 1
3x2 · x
.
Вариант 24
1. Вычислите производную функции
y = 14x2 − 17x + 7 − 4 3x − 7 + 2arcctg2x.
2. Вычислите производную функции
y = (7x2 + 2x)·sin(4x − 11).
3. Вычислите производную функции y =
2x 3 + x
.
arcctg5x
Вариант 25
1. Вычислите производную функции
y = 4 + 6x − 8x2 − 4 5 − 7x + 6 ln(6x).
2. Вычислите производную функции y = (8x2 + 5x)·cos(4x − 2).
3. Вычислите производную функции y =
1 + 7x
.
cos 3x
Работа № 3
Вычисление производных сложных функций и логарифмиче*
ское дифференцирование
Вариант 1
1. Вычислите производную функции y = ln(tg (sin(3x + 1))).
2
2. Вычислите производную функции (x3 + 1)(x +1) .
Вариант 2
1. Вычислите производную функции y = tg (sin(ln(4x + 1))).
2
2. Вычислите производную функции (x2 − 3x)(x −x) .
32
Вариант 3
1. Вычислите производную функции y = tg (ln(sin(2x + 1))).
2
2. Вычислите производную функции (x4 − 1)(3x +1) .
Вариант 4
1. Вычислите производную функции y = cos(ln(tg (3x + 1))).
2
2. Вычислите производную функции (x3 + 9)( x −4x) .
Вариант 5
1. Вычислите производную функции y = ln(cos(tg (4x + 1))).
2
2. Вычислите производную функции (2x3 + 1)(− x +8) .
Вариант 6
1. Вычислите производную функции y = ln(tg (cos(2x + 1))).
3
2. Вычислите производную функции (x2 − 8)(x −1) .
Вариант 7
1. Вычислите производную функции y = tg (cos(ln(3x − 1))).
2
2. Вычислите производную функции (x3 + x2 )(2x −1) .
Вариант 8
1. Вычислите производную функции y = tg (ln(cos(4x − 1))).
4
2. Вычислите производную функции (3x2 + 2)(x +1) .
Вариант 9
1. Вычислите производную функции y = arctg (ln(tg (2x − 1))).
2
2. Вычислите производную функции (2x3 − x)( x −4) .
Вариант 10
1. Вычислите производную функции y = arcsin(tg (ln(3x − 1))).
2
2. Вычислите производную функции (x3 − x2 )(x +3) .
33
Вариант 11
1. Вычислите производную функции
2. Вычислите производную функции
y = ln(tg (arcsin(4x − 1))).
2
(3x2 − 1)(x +5) .
Вариант 12
1. Вычислите производную функции y = tg (ln(arcctg (2x − 1))).
3
2. Вычислите производную функции (x3 − 6x)(x +1) .
Вариант 13
1. Вычислите производную функции y = arctg (ln(tg (3x − 1))).
3
2
2. Вычислите производную функции (5x2 + 1)( x +3x ) .
Вариант 14
1. Вычислите производную функции y = ln(arccos(tg (4x + 2))).
2
2. Вычислите производную функции (4x3 + 1)( x −2x) .
Вариант 15
1. Вычислите производную функции y = tg (arcctg (ln(2x + 2))).
2
2. Вычислите производную функции (2x4 − 3)( x −1) .
Вариант 16
1. Вычислите производную функции y = tg (ln(arccos(3x + 2))).
3
2. Вычислите производную функции (x2 − x)(x −4) .
Вариант 17
1. Вычислите производную функции y = sin(ln(ctg (4x + 2))).
3
2. Вычислите производную функции (3x2 − 1)(x +1) .
Вариант 18
1. Вычислите производную функции y = sin(ctg (ln(2x + 2))).
2
2. Вычислите производную функции (2x3 + 1)(− x +5) .
34
Вариант 19
1. Вычислите производную функции y = ln(sin(ctg (3x + 2))).
2
2. Вычислите производную функции (x4 + 1)(x −8) .
Вариант 20
1. Вычислите производную функции y = ln(ctg (sin(4x + 2))).
3
2. Вычислите производную функции (5x − 7)(x −3x) .
Вариант 21
1. Вычислите производную функции y = ctg (ln(sin(2x − 2))).
2
2. Вычислите производную функции (x3 − 1)(x + x) .
Вариант 22
1. Вычислите производную функции y = cos(ln(ctg (3x − 2))).
2
2. Вычислите производную функции (4x2 + 1)(− x +1) .
Вариант 23
1. Вычислите производную функции y = cos(ctg (ln(4x − 2))).
2
2. Вычислите производную функции (x2 − 3x)( x −2) .
Вариант 24
1. Вычислите производную функции y = ln(cos(ctg (2x − 2))).
2
2. Вычислите производную функции (3x4 + 1)(x −6x) .
Вариант 25
1. Вычислите производную функции y = ln(ctg (cos(3x − 2))).
2
2. Вычислите производную функции (x3 − 4x)(x −1) .
35
Работа № 4
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
График функции
Вариант 1
Дана функция f (x) = x4 − 2x2 + 5 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–2,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 2
Дана функция f (x) = −2x4 + 3x2 + 36x − 58 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–5,4].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 3
Дана функция f (x) = −x4 + 18x2 + 48 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,5].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 4
Дана функция f (x) = −3x4 + 8x3 − 6x2 + 7 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–2,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 5
Дана функция f (x) = 3x4 + 8x3 − 5 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–3,1].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
36
Вариант 6
Дана функция f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 − 2 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,3].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 7
Дана функция f (x) = x4 − 8x2 + 6 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [1,3].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 8
Дана функция f (x) = 3x4 + 4x3 − 6x2 − 12x − 3 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–2,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 9
Дана функция f (x) = 4x4 + 3x3 − 12x2 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 10
Дана функция f (x) = −x3 + 6x2 − 12x − 2 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,3].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 11
Дана функция f (x) = −3x4 + 8x2 + 7 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,3].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
37
Вариант 12
Дана функция f (x) = x4 + 4x3 − 8x2 + 55 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–5,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 13
Дана функция f (x) = −x4 + 2x2 + 25 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [0,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 14
Дана функция f (x) = −2x3 − 3x2 + 12x + 15 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–4,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 15
Дана функция f (x) = x4 + 4x3 − 10 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–4,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 16
Дана функция f (x) = −x4 + 32x2 − 35 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–5,6].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 17
Дана функция f (x) = 3x4 − 8x3 − 18x2 − 98 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–3,5].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
38
Вариант 18
Дана функция f (x) = 2x3 − 9x2 − 24x + 55 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–4,6].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 19
Дана функция f (x) = x4 − 18x2 + 38 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–4,1].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 20
Дана функция f (x) = x4 − 4x3 − 8x2 + 15 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–2,5].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 21
Дана функция f (x) = −3x4 + 4x3 + 36x2 − 57 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–3,4].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 22
Дана функция f (x) = 3x4 − 16x3 − 6x2 + 48x + 15 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,4].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 23
Дана функция f (x) = −x4 + 4x3 − 9 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,4].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
39
Вариант 24
Дана функция f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 13 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–2,2].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
Вариант 25
Дана функция f (x) = −x4 + 8x2 − 8 .
а) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x)
на отрезке [–1,3].
б) Исследуйте функцию и постройте график.
40
Рекомендуемая литература
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического ана.
лиза. – СПб., 2005. – 604 с.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисле.
ния: учеб. для втузов: в 2 т. Т. II. – М.: Интеграл.Пресс, 2009. –
544 с.
3. Бугров С. Я., Никольский С. М. Высшая математика: диффе.
ренциальное и интегральное исчисление. – Дрофа, 2004.– 318 с.
4. Виленкин, Н. Я., Ивашев*Мусатов О. С., Виленкин Н. Я.,
Шварцбурд С. И. Алгебра и начала математического анализа.– М.:
Мнемозина, 2011. – 351 с.
5. Вешев Н. А., Головачев Г. М., Губкин И. А., Иванова О. Ю.
Пределы и производная. Методические указания к решению кон.
трольной работы № 1 по математическому анализу. – СПб.: ГУАП,
2012. – 27 с.
41
Оглавление
1. Теория пределов ............................................................... 3
2. Производные ................................................................... 7
3. Решение типовых вариантов контрольных работ ................. 11
Работа № 1 .................................................................. 11
Работа № 2 .................................................................. 14
Работа № 3 .................................................................. 15
Работа № 4 .................................................................. 17
4. Варианты контрольных работ для самостоятельного
решения на практических занятиях ...................................... 21
Работа № 1 .................................................................. 21
Работа № 2 .................................................................. 27
Работа № 3 .................................................................. 32
Работа № 4 .................................................................. 36
Рекомендуемая литература .................................................. 41
42
Для заметок
43
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 202 Кб
Теги
golovachevguasman
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа