close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

GusmanDik

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
(Математика – 1)
ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2017
УДК 517.37(075.8)
ББК 22.1я73
В937
Рецензент – доктор физ.-мат. наук, профессор В. Г. Фарафонов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Авторы:
Гусман Ю. А., Дик О. Е., Иванова О. Ю., Островский А. В.
В937 Высшая математика (математика 1). Пределы и производные:
учебно-метод. пособ. / Ю. А. Гусман, О. Е. Дик, О. Ю. Иванова,
А. В. Островский. – СПб.: ГУАП, 2017. – 43 с.
Пособие предназначено для студентов 1-го курса технических и экономических специальностей ГУАП дневной формы обучения.
УДК 517.37(075.8)
ББК 22.1я73
© Гусман Ю. А., Дик О. Е., Иванова О. Ю.,
Островский А. В., 2017
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2017
ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛЫ
1.1. Определение и арифметические свойства
предела последовательности
Как известно, последовательностью называется бесконечный набор чисел, занумерованных натуральными числами x1, x2 ,….
Обычное обозначение для последовательности: {xn }. Будем рассматривать последовательности, заданные формулами.
Например, последовательность 1,2,3,… задается формулой
1 1
1
, −
xn = n, последовательность 1, − ,
задается формулой
2 4
8
( −1)n−1
xn = .
2n −1 Если с ростом номера n члены последовательности приближаются к некоторому числу a, то говорят, что последовательность стремится к числу a, или что число a является пределом последовательности {xn }. Приведем формальное определение.
Определение. Число a называется пределом последовательности
{xn }, если для любого ε > 0 существует натуральное число N, такое,
что для любого n > N выполнено xn − a < ε.
Обозначения:
lim xn = a
n →∞
xn → a
Примеры
1
1) Рассмотрим последовательность xn = . Предел этой последоваn
1
тельности равен 0: если в качестве N взять любое число, большее ,
ε
то для любого n > N будет выполнено
1
1 1
1
xn − 0 = − 0 = < <
=
ε.
n
n N 1
ε
3
2) Рассмотрим последовательность xn =
3 + 2n
. Предел этой поn
следовательности равен 2: если в качестве N взять любое число,
3
большее , то для любого n > N будет выполнено
ε
3 + 2n
3 3
3
−2 = < <
=
ε.
xn − 2 =
n
n N 3
ε
n
3) Последовательность xn = ( −1) , то есть −1,1, −1,1, не имеет предела.
Для вычисления пределов используются следующие свойства.
Свойства пределов последовательностей.
1) (Предел постоянной последовательности.) Если для некоторого числа c при всех n выполнено равенство xn = c, то предел последовательности равен c . То есть
lim c = c.
n →∞
2) (Предел суммы.) Предел суммы двух последовательностей,
имеющих пределы, равен сумме пределов этих последовательностей. То есть если
=
lim xn a=
, lim yn b, n →∞
n →∞
и z=
n xn + yn для любого n, то
lim zn= a + b .
n →∞
3) (Предел разности.) Предел разности двух последовательностей, имеющих пределы, равен разности пределов этих последовательностей. То есть если
=
lim xn a=
, lim yn b, n →∞
n →∞
и z=
n xn − yn для любого n, то
lim zn= a − b.
n →∞
4
4) (Предел произведения.) Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, равен произведению пределов этих
последовательностей. То есть если
=
lim xn a=
, lim yn b, n →∞
n →∞
и zn = xn yn для любого n, то
lim zn = ab.
n →∞
В частности, если одна из последовательностей – постоянная,
получается утверждение о том, что постоянный множитель можно
выносить за знак предела. То есть
lim cxn = c lim xn . n →∞
n →∞
5) (Предел частного.) Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя отличен от нуля. То есть если
=
lim xn a=
, lim yn b, n →∞
x
и zn = n для любого n, то
yn n →∞
a
lim zn = .
b
n →∞
Пример.
Найдем предел последовательности {xn }, заданной формулой
3n2 + 5
xn =
.
n2
Сначала преобразуем формулу для xn , выделив целую часть:
xn= 3 +
5
n2
.
Первое слагаемое – постоянная последовательность, предел этой
последовательности равен 3. Второе слагаемое равно произведению
5
1 1
=5 ⋅ ⋅ .
n n
n
2
5
Мы уже видели, что предел последовательности
5
1
равен 0, слеn
равен 5 ⋅ 0 ⋅ 0 =
0.
n2
Получаем, что предел последовательности {xn } равен 3 + 0 = 0.
Запишем это решение в виде цепочки равенств:
довательно,
предел
последовательности
3n2 + 5
5 

= lim  3 +
=

2
n →∞ n
n →∞ 
n2 
5
1
1
= 3 + lim 2 = 3 + lim 5 ⋅ lim ⋅ lim = 3 + 5 ⋅ 0 ⋅ 0 = 3.
n →∞ n
n →∞ n →∞ n n →∞ n
lim
1.2. Бесконечные пределы
Можно рассматривать пределы, равные не только числам, но и
∞, +∞, −∞. Приведем соответствующие определения.
Определение.
1) Последовательность {xn } имеет предел, равный ∞, если для
любого числа m > 0 существует натуральное число N, такое, что для
любого n > N выполнено xn > m.
2) Последовательность {xn } имеет предел, равный +∞, если для
любого числа m > 0 существует натуральное число N, такое, что для
любого n > N выполнено xn > m.
3) Последовательность {xn } имеет предел, равный −∞, если для
любого числа m > 0 существует натуральное число N, такое, что для
любого n > N выполнено xn < −m.
Заметим, что если последовательность имеет предел, равный +∞
или −∞, то она также имеет предел, равный ∞. Обратное неверно:
последовательность может иметь предел, равный ∞, но не иметь
пределов, равных +∞ и −∞.
Примеры. 1) Последовательность 1, 2, 3, 4,…., заданная формулой
xn = n, имеет предел, равный ∞, а также предел, равный +∞.
2) Последовательность −1, −2, −3, −4, заданная формулой xn = −n,
имеет предел, равный ∞, а также предел, равный −∞.
n
3) Последовательность −1, 2, −3, 4, заданная формулой xn = ( −1) n,
имеет предел, равный ∞, но не имеет предела ни +∞, ни −∞.
6
В задачах из контрольных работ ответ ∞, считается достаточным, исследовать знак бесконечности не требуется.
Для бесконечных пределов верны те же арифметические свойства, что и для конечных пределов.
Однако эти свойства применяются только в ситуации, когда сумма, разность, произведение или
частное пределов последовательностей определены. Например,
если
lim xn = a, lim yn = ∞, n →∞
где a – число, то
n →∞
lim ( xn + yn ) = a + ∞ = ∞. n →∞
Однако, если
lim xn = +∞, lim yn = −∞, n →∞
n →∞
воспользоваться свойством предела суммы нельзя: последовательность {xn } может иметь любой конечный предел a, предел равный
+∞, предел, равный −∞, а также не иметь предела. Получить примеры таких последовательностей можно, рассматривая в качестn
2n a, xn =
3n, xn =
n, xn =
2 ( −1) n,
ве {xn } последовательности xn =+
а в качестве {yn } – последовательность 2n.
В ситуации, когда арифметическое свойство не применимо, говорят, что имеет место неопределенность.
Неопределенности в арифметических свойствах.
1) Сумма и разность:
( +∞ ) + ( −∞ ), ( +∞ ) − ( +∞ ), ( −∞ ) − ( −∞ ).
Если не учитывать знак бесконечности, то неопределенностями
следует считать
∞ + ∞, ∞ − ∞.
2) Произведение:
0 ⋅ ∞.
3) Частное:
0 ∞
, .
0 ∞
7
Отметим, что при использовании бесконечных пределов, деление на 0 не всегда является неопределенностью: для ненулевого числа выполнено
a
 0  = ∞,  
кроме того,
∞
 0  = 0.
 
Пример вычисления предела.
Найдем предел последовательности {xn }, заданной формулой
xn =
2n3 − 3n + 5
n2 + 4
.
Числитель и знаменатель этой формулы стремятся к ∞ , поэтому
применить формулу предела частного нельзя, появляется неопреде∞
ленность   . Чтобы избавиться от неопределенности, преобразу∞
ем формулу для xn , разделив числитель и знаменатель на n3 :
3
5
2− 2 + 3
n
n .
xn =
1 4
+
n n3
Теперь числитель и знаменатель имеют конечные пределы, и предел последовательности {xn } можно найти с помощью арифметических свойств:
3
5 

lim  2 − 2 + 3 
3
5
n
→∞
−
+
2
n
n


2
3
2n3 − 3n + 5
n
n
= lim
=
= lim
1 4
n →∞
n →∞
1 4 
n2 + 4
+ 3
lim  + 3 
n n
n →∞  n n 
2
3
1
1


lim 2 + lim 3  lim  + lim 5  lim 
1 + 3 ⋅ 02 + 5 ⋅ 03 
n →∞
n →∞  n →∞ n 
n →∞  n →∞ n 
=
= 
 = ∞.
3
3
0 + 4⋅0

1
1


lim + lim 4  lim 
n →∞ n n →∞  n →∞ n 
8
1.3. Определение и свойства предела функции
Пределом функции в точке называется такое число, к которому
приближаются значения этой функции, когда аргументы приближаются к данной точке. Есть два эквивалентных определения.
Определение на языке окрестностей. Число b называется пределом функции f ( x ) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки
a, и для каждого ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех x,
удовлетворяющих условию
x − a < δ, x ≠ a,
выполняется неравенство f ( x ) − b < ε.
Напомним, что окрестностью точки называется открытый интервал, содержащий эту точку.
Определение на языке последовательностей. Число b называется пределом функции f ( x ) в точке a, если эта функция определена
в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности аргументов {xn }, предел которой равен a, предел соответствующей последовательности
значений {f ( xn )} равен b.
Обозначение:
lim f ( x ) = b.
x →a
Примеры. 1) Предел функции f ( x )= 2 + 3x при x, стремящемся к 1,
равен 5, т.е.
lim ( 2 + 3x ) =
5.
x →1
x2 − 25
при x, стремящемся к 5, раx −5
вен 10, так как во всех точках, кроме a = 5, выполнено f ( x )= x + 5.
3) Предел функции f ( x ) = cos x при x, стремящемся к 0, равен
cos 0, т.е 1.
1
4) Функция f ( x ) = cos при x, стремящемся к 0, не имеет предеx
ла, так как в любой окрестности точки 0 она принимает как значе-
2) Предел функции f ( x ) =
9
ние 1, так и значение –1, и, следовательно, ее значения не приближаются ни к какому числу.
Пределы на бесконечности и бесконечные пределы.
Понятие предела функции
lim f ( x ) = b.
x →a
определено также для случаев, когда a или b равно ∞, +∞, или −∞.
Определение на языке последовательностей остается неизменным.
В определении на языке окрестностей при замене a на ∞, +∞, −∞
условие x − a < δ заменяется на условие x > m, x > m, x < −m соответственно; при замене b на ∞, +∞, −∞ условие f ( x ) − b < ε заменяется на условие
f ( x ) > M, f ( x ) > M, f ( x ) < − M
соответственно.
Напомним, что окрестностью +∞ называется открытый луч вида ( x0 ; +∞ ); окрестностью −∞ называется открытый луч вида
( −∞;x0 ); окрестностью ∞ называется объединение лучей
( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ ).
Например, определение по того, что
lim f ( x ) = ∞.
x →+∞
формулируется так: предел функции f ( x ) при x → +∞ , равен ∞ ,
если эта функция определена на некотором интервале вида ( x0 ; +∞ ) ,
и для каждого M > 0 существует такое m > 0, что для всех x , удовлетворяющих условию x > m, выполняется неравенство f ( x ) > M.
Предел степенной функции.
Рассмотрим предел степенной функции f ( x ) = xa , где a – ненулевое число.
1) Если x0 – ненулевое число, то
lim xa = x0a .
x →x0
2) Предел степенной функции в точке 0 зависит от знака числа a:
lim
=
xa 0 ïðè a > 0,
x →0
10
lim xa =
∞ ïðè a < 0.
x →0
Например,
3 x 0 ,
=
lim x 0=
, lim x2 0 , lim
=
x →0
x →0
x →0
1
−
1
1
1
=
∞, lim 2 =
∞, lim 3 =
lim x 3 =
∞.
x →0 x
x →0 x
x →0 x x →0
lim
Можно также рассматривать пределы
lim x = 0 , lim
x →0
1
x →0
x
= ∞ .
1
определены не в окрестности точки 0,
x
а только при x > 0; для ситуаций, когда функция определена в полуокрестности точки, используются понятия “предел справа” и
“предел слева”.
3) Предел степенной функции на бесконечности также зависит
от знака числа a:
Однако функции
x и
lim xa =
∞ ïðè a > 0,
x →∞
lim
=
xa 0 ïðè a < 0.
x →∞
Например,
lim x3 = ∞ ,
x →∞
причем
lim x3 = +∞ , lim x3 = −∞ ;
x →+∞
x →−∞
lim x2 = ∞ ,
x →∞
причем
lim x2 = +∞ , lim x2 = +∞ ,
x →+∞
то есть
lim x2 = +∞;
x →∞
x →−∞
1
−
1
lim
lim
=
=
x 3 0.
3
x →∞ x x →∞
11
Свойства пределов функций.
Во всех свойствах допускаются пределы на бесконечности и бесконечные пределы.
1) (Предел постоянной функции) Если для некоторого числа c при
всех x выполнено равенство f ( x ) = c, то
lim f ( x ) = c.
x →a
2) (Предел суммы) Предел суммы двух функций, имеющих пределы, равен сумме пределов этих функций. То есть если
=
lim f ( x ) b=
, lim g ( x ) c,
x →a
x →a
и h=
( x ) f ( x ) + g ( x ) для любого x, то
lim h ( x )= b + c.
x →a
3)  (Предел разности) Предел разности двух функций, имеющих
пределы, равен разности пределов этих функций. То есть если
=
lim f ( x ) b=
, lim g ( x ) c,
x →a
x →a
и h=
( x ) f ( x ) − g ( x ) для любого x, то
lim h ( x )= b − c.
x →a
4)  (Предел произведения) Предел произведения двух функций,
имеющих пределы, равен произведению пределов этих функций.
То есть если
=
lim f ( x ) b=
, lim g ( x ) c,
x →a
x →a
и h ( x ) = f ( x ) g ( x ) для любого x, то
lim h ( x ) = bc.
x →a
В частности, если одна из функций – постоянная, получается утверждение о том, что постоянный множитель можно выносить за
знак предела, то есть
lim cf ( x ) = c lim f ( x ).
x →a
12
x →a
5)  (Предел частного) Предел частного двух функций, имеющих
пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если
предел знаменателя отличен от нуля. То есть если
=
lim f ( x ) b=
, lim g ( x ) c,
h(x) =
f (x)
g(x)
x →a
x →a
для любого x, и c ≠ 0, то
b
lim h ( x ) = .
c
x →a
1.4. Пределы рациональных функций
Рациональной функцией называется частное двух многочленов,
P(x)
, где
то есть функция вида f ( x ) =
Q(x)
P=
( x ) an xn + an−1xn−1 +…+ a1x + a0 , Q
=
( x ) bm xm + bm−1xm−1 +…+ b1x + b0 . Рассмотрим пределы рациональных функций на бесконечности
и в точке.
Предел многочлена на бесконечности.
Предел непостоянного многочлена P ( x ) на бесконечности равен
бесконечности, а ее знак определяется знаком старшего члена.
Примеры.
1) Найдем предел многочлена P ( x=
) x3 − 5x.
Если не учитывать знак бесконечности, то
(
)
lim x3 − 5x =
∞.
x →∞
Знак определяется знаком x3 . При x > 0 число x3 положительно, а при x < 0 – отрицательно, поэтому
(
)
(
)
lim x3 − 5x = +∞, lim x3 − 5x = −∞.
x →+∞
x →−∞
13
2) Найдем предел многочлена P ( x ) =
−2x2 + 3x − 5.
Если не учитывать знак бесконечности, то
(
)
lim −2x2 + 3x − 5 =
∞.
x →∞
(
)
(
)
Знак определяется знаком числа −2x2 . При x ≠ 0 число −2x2 отрицательно, поэтому
(
)
lim −2x2 + 3x − 5 = −∞.
x →∞
Предел частного двух непостоянных многочленов на бесконечности.
При вычислении предела
lim
P(x)
x →∞ Q
(x)
,
где P ( x ) и Q ( x ) – непостоянные многочлены, возникает неопреде∞
ленность   . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нужно
∞
разделить числитель и знаменатель на xk , где k – наибольшая из
степеней многочленов P ( x ) и Q ( x ).
Примеры. 1) Найдем
lim
6x4 + x3 + 8
2x4 + x
x →∞
.
Числитель и знаменатель – многочлены степени 4, значит, нужно их разделить на x4 :
(
)
1
1 8
6x4 + x3 + 8
6+ + 4
4
6x4 + x3 + 8
x x
x
=
=
lim
lim
lim
.
1
1
x →∞ 2x4 + x
x →∞
x →∞
4
+
+
x
x
2
2
x4
x3
(
)
1 1 1
, , , стремятся к 0 при x , стремяx x4 x3
щемся к бесконечности, функция
Степенные функции
8
x
14
4
= 8⋅
1
x4
также стремится к 0 следовательно,
6x4 + x3 + 8
6+0+0
= 3.
lim =
lim
4
x →∞ 2x + x
x →∞ 2 + 0
2) Найдем
lim
x+5
x →∞ 3x2
+4
.
Степень многочлена в числителе равна 1, степень многочлена
в знаменателе – 2,значит, нужно разделить числитель и знаменатель на x2 :
1 5
+
0+0
x+5
x x2
=
= 0.
lim=
lim
lim
4
x →∞ 3x2 + 4 x →∞
x →∞ 3 + 0
3+ 2
x
3) Найдем
−3x4 − 2x + 1
lim
.
x →∞ 3x3 + x2
Разделим числитель и знаменатель на x4 :
lim
x →∞
−3x4 − 2x + 1
3x3 + x2
2
1
−3 − 3 + 4
x
x .
= lim
3 1
x →∞
+
x x2
Знаменатель дроби в правой части стремится к 0, а числитель –
к ненулевому числу -3, значит,
−3x4 − 2x + 1  −3 
=   = ∞.
x →∞ 3x3 + x2
0
lim
4) Найдем
lim
1
x →∞ x2
+x
.
В данном случае неопределенности нет:
lim
1
1
= =
 0.
+ x ∞
x →∞ x2
Можно найти этот предел и тем же способом, что предыдущие, то
есть разделив числитель и знаменатель на x2 .
15
Предел рациональной функции в точке
Предел многочлена P ( x ) в точке a равен его значению в этой точке, то есть P ( a ).
P(x)
. Если хотя бы
Рассмотрим предел рациональной функции
Q(x)
один из многочленов P ( x ) и Q ( x ) не обращается в точке a в 0, то
P(a)
. Если же P=
предел частного равен частному
( a ) Q=
( a ) 0, то
 0  Q(a)
возникает неопределенность   . В этом случае числитель и знаме0
натель делятся на линейный многочлен x − a. Для вычисления предела нужно их оба разделить на x − a , и рассматривать предел нового частного.
Примеры. 1) Найдем
x2 + 2x − 15
.
x+4
x →3
Значение знаменателя в точке 3 не равно 0, поэтому неопределенности не возникает:
lim
x2 + 2x − 15 32 + 2 ⋅ 3 − 15 0
=
= = 7.
3+4
7
x+4
x →3
lim
2) Найдем
lim
x →−2
2x2 + 3x − 2
x3 − 4x
.
Значения числителя и знаменателя в точке -2 равны 0, поэтому
нужно разделить многочлены
P ( x ) = 2x2 + 3x − 2, Q ( x=
) x3 − 4x
на x + 2. Многочлен P ( x ) является квадратным трехчленом, его
1
корни равны -2 и , следовательно, он раскладывается на множите2
ли как
1

P ( x ) =2 ( x + 2 )  x − .
2

Для разложения на множители многочлена Q ( x ) сначала вынесем
множитель x, а затем воспользуемся формулой разности квадратов:
(
)
Q ( x )= x x2 − 4 = x ( x − 2 )( x + 2 ).
16
Получаем, что
1

2( x + 2)  x − 
2x2 + 3x − 2
2

lim
lim
=
=
3
x →−2 x − 4x
x →−2 x ( x − 2 )( x + 2 )
1
1


2 x − 
2  −2 − 
5
2
2
 = lim

= lim 
= − .
8
x →−2 x ( x − 2 ) x →−2 ( −2 )( −2 − 2 )
3) Найдем
lim
x3 + x2 − 5x + 3
x →1 x3
− 3x2 + 3x − 1
.
Числитель и знаменатель в точке 1 обращаются в 0, поэтому
нужно разделить их на x − 1 :
x3 + x2 − 5x + 3 =
( x − 1) ( x2 + 2x − 3),
x3 − 3x2 + 3x − 1 =
( x − 1) ( x2 − 2x + 1).
Получаем, что
lim
x3 + x2 − 5x + 3
x →1 x3
− 3x2 + 3x − 1
= lim
x2 + 2x − 3
x →1 x2
− 2x + 1
.
У функции в правой части числитель и знаменатель также обращаются в 0 в точке 1, поэтому их нужно еще раз разделить
на x − 1 :
x2 − 2x + 3 =
( x − 1)( x + 3),
x2 − 2x + 1 =
( x − 1)2 .
Следовательно,
lim
x3 + x2 − 5x + 3
x →1 x3
2
− 3x + 3x − 1
= lim
x+3
x →1 x − 1
4
=   = ∞.
0
17
1.5. Пределы иррациональных функций
Рассмотрим несколько примеров вычисления пределов иррациональных функций, то есть функций, содержащих радикалы.
При вычислении будет использоваться свойство предела, связанное с возведением в степень: если предел функции f ( x ) в точке a раs
вен b, то для любого числа s предел функции ( f ( x ) ) равен bs .
1
В частности, при s = получаем равенство
2
lim f ( x ) = lim f ( x ),
x →a
при s =
x →a
1
получаем равенство
3
lim 3 f ( x ) = 3 lim f ( x ).
x →a
x →a
Примеры. 1) Найдем
lim
x →+∞
(
)
x +1 − x .
В этом примере имеет место неопределенность ( +∞ ) − ( +∞ )  . Для
того, чтобы от нее избавиться, умножим и разделим функцию на соx + 1 + x . Преобразуем полученпряженную к ней, то есть на
ную формулу:
(
=
x +1 − x
=
(
(
)(
) ( )
2
)
)
x +1 − x
x +1 + x
=
x +1 + x
2
( x + 1) − x
=
x +1 + x
x +1 − x
=
x +1 + x
1
x +1 + x
.
Получаем, что
(
x →+∞
lim
)
x +1 − =
x
lim
x →+∞

  1 
1
0.
= 
=
  =
x + 1 + x  ( +∞ ) + ( +∞ )   +∞ 
1
2) Найдем
lim  x2 + x − x .

В этом примере, также как и в предыдущем, имеет место неопределенность ( +∞ ) − ( +∞ )  , однако ответ в нем другой.
x →+∞ 
18
Также, как и в предыдущем примере умножим и разделим функцию на сопряженную к ней:
 2
 2

 x + x − x  x + x + x 



x +x −x
=
=
x2 + x + x
2
2
x2 + x ) − x2
(=
 x2 + x  − x2



=  =
2
x +x +x
x
2
2
x +x +x
x +x +x
.
∞
Теперь имеет место неопределенность   . Для того, чтобы от
∞
нее избавиться, разделим числитель и знаменатель на x при x > 0 :
1
=
2
x +x
+1
x2
x
=
2
x +x +x
1
1+
1
+1
x
Получаем, что
x − x  lim
lim  x2 + =

 x →+∞
x →+∞
1
=
1
1+ +1
x
1
1
= .
1+ 0 +1 2
3) Найдем
lim
x →0
3 x +1 −1
x
.
0
В этом примере имеет место неопределенность   . Воспользо0
вавшись формулой разности кубов, запишем равенство
( 3 x + 1 − 1) ( 3 x + 1 )
2

+ 3 x + 1 + 1=


(3 x + 1)
3
− 1= x.
Из него следует, что
3 x +1 −1
x
=
(
3 x +1
)
2
1
+ 3 x +1 +1
,
19
и
3 x +1 −1
1
=
lim
lim =
2
x
x →0
x →0 3
x +1 + 3 x +1 +1
(
)
1
1
= .
2
3 0 +1 + 3 0 +1 +1 3
(
)
1.6. Замечательные пределы
При вычислении пределов используются следующие равенства,
которые носят название «замечательных пределов».
Первый замечательный предел:
sin x
= 1.
x →0 x
lim
Следствия первого замечательного предела:
tgx
arcsin x
arctgx
1 − cos2 x 1
=
lim
1, lim
= 1=
, lim
1, lim
= .
2
x
x
x
x →0 x
x →0
x →0
x →0
Второй замечательный предел:
x
1

lim  1 +  =
e.
x
x →∞ 
Следствия второго замечательного предела:
ln (1 + x )
log a (1 + x )
ex − 1
ax − 1
=
lim
1, lim
= ln=
a, lim
1=
, lim
ln a, x
x
x
x →0
x →0
x →0 x
x →0
lim
(1 + x )k
x
x →0
= k.
Примеры. 1) Найдем
lim
sin 2x
.
(1 + 3x )
x →0 ln
Если xстремится к 0, то 2x и 3x тоже стремятся к 0. Следовательно, для них тоже имеют место замечательные пределы:
ln (1 + 3x )
sin 2x
lim
, lim
=
1=
1. 3x
x →0 2x
x →0
20
Умножим эти равенства на 2 и на 3:
ln (1 + 3x )
sin 2x
=
lim
2=
, lim
3. x
x →0 x
x →0
Теперь вычислим предел, разделив числитель и знаменатель на x :
2) Найдем
sin 2x
sin 2x
2
x
lim
.
= lim
=
x →0 ln (1 + 3x ) x →0 ln (1 + 3x ) 3
x
lim
( ).
− 1 + arctg ( x3 )
1 − cos x + tg 3x2
x →0 ex
2
0
Для того чтобы избавиться от неопределенности   в этом при0
мере, нужно разделить числитель и знаменатель на x2 . Применяя
замечательные пределы, получаем, что
2
1 − cos x 1
ex − 1
lim
, lim
=
=
1 .
2 x →0 x2
x →0
x2
( )
( )
Функцию tg 3x2 нужно разделить на
на 3:
 tg 3x2
tg 3x2
= lim  3 ⋅
lim
2
x →0
x →0 
x
3x2

3x2 , а затем умножить
( )  = 3 ⋅1 = 3.
( )
( )



Функцию arctg x3 нужно разделить на
на x:
 arctg x3
arctg x3
lim
= lim  x ⋅
x →0
x →0 
x2
x3

( )  = 0 ⋅1 = 0.
Теперь вычисляем искомый предел:
( )
( )
x3 , а затем умножить
1 − cos x



( )
tg 3x2
1
+
+3
1 − cos x + tg 3x
2
2
x
x = 2= 7 .
lim 2
= lim
3
1+ 0 2
x →0 ex − 1 + arctg x3
x →0 x2
e − 1 arctg x
+
x2
x2
2
( )
21
3) Найдем предел
1+ x − 31− x
lim
2x + 3x2
x →0
.
Для того, чтобы воспользоваться замечательным пределом, запишем числитель как
1+ x
− 31− x =
1
1

 

 (1 + x ) 2 − 1  −  (1 − x ) 3 − 1 .

 

Получаем, что числитель равен разности двух функций, стремящихся к 0. Разделим их на x, и вычислим получившиеся пределы:
1
lim
(1 + x ) 2 − 1
x →0
1
lim
(1 − x ) 3
x
x →0
x
1
= ,
2
1


 (1 + ( −x ) ) 3 − 1 
1
=
lim  −
− .
=
−x
3
x →0 




Вычисляем искомый предел, разделив числитель и знаменатель
на x :
1
lim
x →0
1+ x
1
(1 + x ) 2 − 1 (1 − x ) 3 − 1
− 31− x
= lim
x →0
2x + 3x2
1  1
−− 
2  3 5
x
x
=
=
.
2+0
12
2x 3x2
+
x
x
−
1.7. Возведение в степень
Для возведения в степень верно следующее свойство: если
=
lim f ( x ) b=
, lim g ( x ) c, x →a
x →a
то
g x
lim f ( x ) ( ) = bc . x →a
22
Пример. Найдем
 1 − x2 
lim 

x →−1  x + 1 


3x +1
. Вычислим предел основания и предел степени:
− ( x − 1)( x + 1)
1 − x2
= lim
= lim ( − ( x − 1) ) =− ( −1 − 1) =2. x +1
x →−1 x + 1
x →−1
x →−1
lim
lim ( 3x + 1) =3 ⋅ ( −1) + 1 =−2.
x →−1
Теперь вычислим предел исходной функции:
3x +1
 1 − x2 
−2 1
lim 
.  = 2=
4
x →−1  x + 1 


Можно вычислять предел степени и в случае, когда a , b или c
равно бесконечности, если при этом не появляется неопределенность.
Примеры. 1) Найдем
(
lim 1 + x2
x →∞
)
x +1
2x +1 . Предел основания равен +∞. Вычислим предел степени:
1
1+
x +1
+0 1
x 1=
lim = lim =
.
1 2+0 2
x →∞ 2x + 1 x →∞
2+
x
Предел степени – положительное число, следовательно
(
lim 1 + x2
x →∞
)
x +1
2x +1 =
1

( +∞ ) 2  = +∞. 

2) Найдем
(
lim 1 + x
x →+∞
)
1−3x2
x + x2 . 23
Предел основания равен +∞ . Вычислим предел степени:
lim
x →+∞
1 − 3x
2
x + x2
1
−3
2
0−3
= lim x
=
= −3.
x →+∞ 1
+1 0 +1
x
Предел степени – отрицательное число, следовательно
(
)
1−3x2
−3
lim 1 + x x + x2 = ( +∞ ) = 0.


x →+∞
3) Найдем
1
 tg ( 2x )  x2
lim 
 . x 
x →0 
Применяя следствие к первому замечательному пределу, получаем, что предел основания равен 2. Следовательно,
1
 tg ( 2x )  x2
+∞
lim 
 = 2  = +∞ . x 
x →0 
4) Найдем
 1 − cos3 x 
lim 

2

x →0 
 3x

( )
ctg x2
. Вычислим предел основания, применяя формулу разности кубов
и замечательный предел:
lim
x →0
1 − cos3 x
3x
2
(
)
1
 1 1 − cos x
 1 1
= lim  ⋅
1 + cos x + cos2 x  = ⋅ (1 + 1 + 1) = .
2
2
x →0  3
x
 3 2
Найдем предел степени. Функция ctgx стремится к ∞ , если ее
аргумент стремится к 0, поэтому
( )
lim ctg x2 = ∞.
x →0
При этом, если x <
24
( )
lim ctg ( x2 ) = +∞.
x →0
π
, то ctg x2 > 0. Следовательно,
2
Получаем, что
 1 − cos3 x  ( )
lim 
=

2

x →0 
 3x

ctg x2
5) Найдем
(
x →−∞
)
 1 +∞ 
=
   0.  2  
1− x lim 1 + x2
. Предел основания равен +∞, предел степени тоже равен +∞ , следовательно,
(
x →−∞
lim 1 + x2
)
1− x +∞
= ( +∞ )( )  = +∞. 

∞
1.8. Неопределенность 1
В случае неопределенности типа 1∞ часто используется второй
замечательный предел
x
1

lim  1 +  =
e.
x
x →∞ 
1
Сделав замену t = , можно записать этот замечательный предел
x
по-другому:
1
lim (1 + t ) t =
e.
t →0
Чтобы воспользоваться этим пределом при вычислении предела
функции f ( x ) g( x ) , где f ( x ) стремится к 1, а g ( x ) стремится к ∞,
нужно проделать следующие вычисления.
1) Представить f ( x ) в виде f ( x )= 1 + h ( x ).
2) Представить f ( x )
f (x)
g( x )
в виде
1 

=  (1 + h ( x ) ) h( x ) 




g( x )
g ( x )h ( x )
.
3) Вычислить предел g ( x ) h ( x ).
25
Так как предел функции f ( x ) равен 1, то предел функции h ( x )
равен 0, и следовательно, предел функции
1
(1 + h ( x ) ) h( x )
равен e.
Примеры. 1) Найдем
 2x + 4 
lim 

x →∞  2x + 3 
Так как
4 x +5
. 2x + 4
1
−1 =
,
2x + 3
2x + 3
то основание степени равно 1 +
1
. Следовательно,
2x + 3
4 x +5
4 x +5
2x + 3  2x + 3

1 
 2x + 4 



1
. =
+


 

2x + 3 
 2x + 3 


1
При x, стремящемся к ∞, выражение
стремится к 0, сле2
x
+3
довательно,
2x + 3
1 

lim  1 +

2x + 3 
x →∞ 
Вычислим предел выражения
=
e.
4x + 5
:
2x + 3
5
4+
4x + 5
+0
x 4=
lim = lim =
2.
3
2+0
x →∞ 2x + 3 x →∞
2+
x
Получаем, что
 2x + 4 
lim 

x →∞  2x + 3 
2) Найдем
26
4 x +5
= e2 . x
 x2 + x 
lim  2
 . x →∞  x + x + 3 


3
,и
Основание степени равно 1 − 2
x +x+3
x2 + x + 3 
x 
−
 x2 + x 


3
3

1−
=
 2







x2 + x + 3 
 

 x +x+3


−
3
x2 + x + 3
x
.
3
x:
Вычисляем предел − 2
x +x+3
3
3
3x
0


x
x =
lim  −
0.
− lim
=
− lim
=
−
=
1 3
1
0
+
+0
x →∞  x2 + x + 3 
x →∞ x2 + x + 3
x →∞
1+ + 2
x x
Получаем, что
x
 x2 + x 
0
lim  2
1. = e=
x →∞  x + x + 3 


3) Найдем
 x4 + 2x2 + 3 
lim  4

x →∞  x + x2 + 1 


x4
. Проделаем вычисления, аналогичные вычислениям из предыдущих примеров.
Преобразуем формулу:
x2 + 2
x4 + x2 +1  x4 + x2 +1

x4
2
4
2
2

 x + 2x + 3 

x + 2  x +2 
 1 +

=
 4


2


 

x4 + x2 + 1 
 x + x +1 




x6 +2x4
x + x +1  x4 + x2 +1
 x2 + 2 


x2 + 2
=
=  1 + 4

 
x + x2 + 1 


4
x4
=
2




.
27
Найдем предел степени. Вычисляя предел рациональной функции, получаем, что
2
1+ 2
1 
x
lim
= lim
=   = ∞.
4
2
1
1 0
x →∞ x + x + 1 x →∞ 1
+
+
x2 x 4 x 6
x6 + 2x4
Заметим, что
x6 + 2x4
x 4 + x2 + 1
≥0
при всех значениях x , следовательно,
lim
x6 + 2x4
x →∞ x4
+ x2 + 1
= +∞.
Таким образом,
 x4 + 2x2 + 3 
lim 

x →∞  x4 + x2 + 1 


28
x4
= e+∞  = +∞. 

2. ПРОИЗВОДНЫЕ
2.1 Определение и арифметические свойства производной
Определение. Предположим, что функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 . Если существует предел
lim
t →0
f ( x0 + t ) − f ( x0 )
t
,
то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 , а сам
предел называется производной функции f ( x ) в точке x0 . То есть
значение производной в точке – это предел отношения приращения
функции к приращению её аргумента при стремлении приращения
аргумента к нулю.
Обозначение: f ′ ( x0 ).
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Из определения производной легко видеть, что производная постоянной функции равна 0. Действительно, приращение постоянной функции равно 0 при любом приращении аргумента; следовательно, при вычислении производной рассматривается предел
функции, равной 0.
Также легко заметить, что производная возрастающей дифференцируемой функции в любой точке положительна или равна 0,
а производная убывающей дифференцируемой функции – отрицательна или равна 0. Для возрастающей функции приращения
функции и аргумента – это два числа одного знака; для убывающей функции – разных знаков. Получаем, что, при вычислении
производной возрастающей или убывающей функции рассматривается соответственно предел положительной или отрицательной
функции.
Арифметические свойства производной.
Предположим, что функции f ( x ) и g ( x ) дифференцируемы.
Тогда выполняются следующие свойства.
1) (Производная суммы.) Функция f ( x ) + g ( x ) дифференцируема и
( f ( x ) + g ( x ) )' =f ′( x ) + g′( x ).
29
2) (Производная разности.) Функция f ( x ) − g ( x ) дифференцируема и
f ′ ( x ) − g ′ ( x ).
( f ( x ) − g ( x ) )′ =
3) (Производная произведения.) Функция f ( x ) g ( x ) дифференцируема и
x ) g ( x ) )′ f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ).
( f (=
В частности, если c – число, то
( cf ( x ) )′ = cf ′( x ).
4) (Производная частного.) Если функция
дифференцируема и
f (x)
g(x)
определена, то она
 f ( x ) ′ f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x )
.

 =
g2 ( x )
 g(x) 
В частности,
 f ( x ) ′
g′( x )
.

 = − 2
g (x)
 g(x) 
Таблица основных производных
c′ = 0 для любой константы c;
′
( xa )′ = axa−1, в частности, x′ = 1,  1x  = − x12 , ( x )′ = 2 1x ;
( loga x )′ =
( ax=)′
1
1
, в частности, для a = e получается ( ln x )′ = ;
x
ln a ⋅ x
( )′ = ex ;
ln a ⋅ a x , в частности, для a = e получается ex
( sin x )′ = cos x;
( cos x )′ =
30
− sin x;
( tg x )′ =
( ctg x )′ =
1
cos2 x
−
1
sin2 x
( arcctg x )′ =
1 − x2
−
( arctg x )′ =
;
1
( arcsin x )′ =
( arccos x )′ =
;
1
1 − x2
1
1 + x2
−
;
;
;
1
1 + x2
.
2.2. Примеры вычисления производных
1) Найдем производную многочлена f ( x=
) 3x3 − 4x2 + x + 5.
Найдем производные степенных функций:
3 ′
( x=
)
( )
2 ′
3x2 , x=
2x, =
x′ 1=
, 5′ 0.
Из арифметических свойств производной следует, что
(3x3 )′ =3 ⋅ 3x2 =9x2, (4x2 )′ =4 ⋅ 2x =8x, (3x3 − 4x2 + x + 5)=′ (3x3 )′ − (4x2 )′ + x′ + 5=′
9x2 − 8x + 1.
5
x) 3 x +
.
2) Найдем производную функции f ( =
x
x)
Запишем f ( x ) в виде f ( =
1
1
−
3
x + 5x 2 .
31
Найдем производную функции f(x), дифференцируя степенные
функции с дробными показателями:
1
2
 1 ′
1 3 −1 1 − 3
1
3
=

x
x
x
,
=
=
3

 3
3
3 x2


1
3
 − 1 ′
1 − −1
1 −
1
x 2  =
,
− x 2 =
− x 2=
−


2
2
2x x


f ′( x
=
)

1 
1
5
+ 5 −
=
−
.

3
 2x x  3 x2 2x x
3 x2
1
3
3) Найдем производную функции f ( x ) = x2ex .
Применяя свойство производной произведения и таблицу производных, получаем, что
′( x )
f=
′
ex )
( x2 )′ ex + x2 (=
2xex + x2ex .
ln x
.
sin x
Применяя свойство производной частного и таблицу производных, получаем, что
4) Найдем производную функции f ( x ) =
f ′( x )
1
sin x − ln x cos x
sin x − x ln x cos x
= x
=
.
2
2
sin x
sin x
x sin2 x
( ln x )′ sin x − ln x ( sin x )′
2.3. Производная сложной функции
Если функция f ( x ) является сложной функцией, то есть представляется в виде f ( x ) = u ( v ( x ) ), то ее производная находится по
формуле
f ′ ( x ) = u ′ ( v ( x ) ) v ′ ( x ).
32
( )
Примеры. 1) Найдем производную функции f ( x ) = tg x2 .
В этом примере u ( x ) = tg x и v ( x ) = x2 . Их производные равны
′
1
′
и x2 = 2x. Следовательно,
tg x =
2
cos x
1
2x
=
f ′( x ) =
⋅ 2x
⋅
2 2
cos x
cos2 x2
( )
( )
( )
( )
( )
2) Найдем производную функции f ( x ) = arctg 23x .
Данная функция представляется в виде
(
)
f ( x ) = u v (w ( x ) ) ,
где
x
=
u ( x ) arctg=
x, v ( x ) 2=
, w ( x ) 3x.
Применим сначала формулу сложной функции к функциям
u ( x ) и v ( w ( x ) ) :
=
f ′( x )
1
( )
1 + 23x
2
( )
′
3x
⋅ 2
′
23x )
(
.
=
1 + 26x
Теперь найдем производную функции 23x , применяя формулу
сложной функции к функциям v ( x ) и w ( x ) :
(23x )′ = ln 2 ⋅ 23x ⋅ (3x )′ = 3ln 2 ⋅ 23x.
Получаем, что
f ′( x ) =
3 ln 2 ⋅ 23x
1 + 26x
.
Возведение в степень.
Важный частный случай производной сложной функции – это
функция вида
f ( x ) = (v ( x ) ) ,
a
33
где a – число. В данном случае u ( x ) = xa . Для такой функции f ( x )
производная равна
f ′( x ) = a (v ( x ) )
a −1
v′ ( x ). Пример. Найдем производную функции
=
f ( x ) cos 10 ( x + 1).
По формуле для производной функции, возведенной в степень,
получаем
=
f ′ ( x ) 10 cos9 ( x + 1) ⋅ ( cos ( x + 1) )′ .
Функция cos ( x + 1) также является сложной функцией, ее производная равна
− sin ( x + 1) ⋅ ( x + 1)′ =
− sin ( x + 1) ⋅ 1 =
− sin ( x + 1).
( cos ( x + 1) )′ =
Таким образом,
f ′( x ) =
−10 cos9 ( x + 1) ⋅ sin ( x + 1).
2.4. Логарифмическое дифференцирование
Применив формулу производной сложной функции к функции
ln f ( x ), можно легко получить равенство
f ′ ( x ) = f ( x ) ( ln f ( x ) )′ .
Нахождение производной с помощью этой формулы называется
логарифмическим дифференцированием. Его можно применять
для нахождения производных функций вида f ( x ) = u ( x )v( x ) , а также для нахождения производных произведения и частного. При
этом для упрощения выражения ln f ( x ) используются свойства логарифма:
a
b ln a, ln ( ab ) =
ln ab =
ln a + ln b, ln =
ln a − ln b.
b
Примеры. 1) Найдем производную функции
( )
f ( x ) = ( arcsin x )
34
x2 + x
.
Упростим выражение ln f ( x ) :
( x2 + x )ln ( arcsin x ).
Найдем производную функции ( x2 + x ) ln ( arcsin x ),
x2 + x 

ln  ( arcsin x ) =



((
По формуле производной произведения выполнено
′
′
′
x2 + x ln ( arcsin x ) = x2 + x ln ( arcsin x ) + x2 + x ( ln ( arcsin x ) ) .
) (
)
)
(
)
Первое слагаемое в правой части равно ( 2x + 1) ln ( arcsin x ) . Для
того, чтобы найти второе слагаемое, применим формулу производной сложной функции:
=
( ln ( arcsin x ) )′
(
1
1
=
,
( arcsin x )′
arcsin x
arcsin x 1 − x2
x2 + x
x2 + x ( ln ( arcsin x ) )′ =
.
arcsin x 1 − x2
)
Следовательно,
x +x
(2x + 1) ln ( arcsin x ) +
(( x + x )ln ( arcsin x ))′ =
arcsin x 1 − x
2
2
2
.
Применяя формулу логарифмического дифференцирования, находим f ′ ( x ) :
f ′=
(x)
( arcsin x )x
2
+x 
x2 + x
 ( 2x + 1) ln ( arcsin x ) +

arcsin x 1 − x2


.


2) Найдем производную функции
x2 + 1 )
(
f (x) =
4
2x − 3
x6
.
Упростим выражение ln f ( x ) :
(
)
4
 2

2x − 3 
 x +1
1
2
ln 
=
 4 ln x + 1 + ln ( 2x − 3 ) − 6 ln x.
6
2
x




(
)
35
Найдем производную полученной функции:
1

′
2
 4 ln x + 1 + ln ( 2x − 3 ) − 6 ln x  =
2


1
1 1
1
8x
1
6
= 4 2
⋅ 2x +
⋅2 −=
6
+
− .
2
2
2
3
2
3
x
−
x
x
−
x
x +1
x +1
(
)
Применяя формулу логарифмического дифференцирования, находим f ′ ( x ) :
( x2 + 1)
4
=
f ′( x )
2x − 3  8x
1
6
+
− .
 2
6
x
 x + 1 2x − 3 x 
Полученный ответ можно упростить, раскрыв скобки:
=
f ′( x )
36
(
8 x2 + 1
)
3
x5
2x − 3
( x2 + 1)
+
4
x6 2x − 3
−
(
6 x2 + 1
)
4
x7
2x − 3
.
3. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1. Найдите производную функции
=
y 6 sin ( 5 + 5x ) + 4 8x − 5.
Решение. Найдем производную функции sin ( 5 + 5x ), используя
формулу производной сложной функции:
( sin (5 + 5x ) )′ = cos (5 + 5x ) ⋅ (5 + 5x )′=
cos ( 5 + 5x ) ⋅ 5= 5 cos ( 5 + 5x ).
Найдем производную функции 4 8x − 5, используя формулу для
производной функции, возведенной в степень:
( 4 8x − 5 )′ =
1 ′

 ( 8x − 5 ) 4  =


1
3
1
1
⋅8
( 8x − 5) 4 −1 ⋅ ( 8x − 5=
)′ ( 8x − 5)− 4 =
4
4
2
4
( 8x − 5)3
.
Теперь найдем y′ с помощью свойств производной функции, умноженной на число и производной суммы:
6 ( sin ( 5 + 5x ) )′ =
6 ⋅ 5 cos ( 5x + 5 ) =
30 cos ( 5x + 5 ),
( 6 sin (5 + 5x ) )′ =
=
y′
′
5)
( 6 sin (5 + 5x ) )′ + ( 4 8x − =
30 cos ( 5 + 5x ) +
2
4
3
( 8x − 5)
.
Задача 2. Найдите производную функции
y=
−3tg
( 8 + 3x ) log3 ( 5x − 4 ).
Решение. Найдем производные функций tg ( 8 + 3x ) и log3 ( 5x − 4 ) ,
используя формулы производной
сложной функции:
8 + 3x ) )′
( tg (=
x − 4 ) )′
( log3 (5=
1
2
cos
( 8 + 3x )
⋅=
( 8 + 3x )′
3
2
cos
( 8 + 3x )
,
1
5
⋅ (=
5x − 4 )′
.
ln 3 ⋅ ( 5x − 4 )
ln 3 ⋅ ( 5x − 4 )
37
Воспользуемся формулой производной произведения:
=
( tg ( 8 + 3x ) log3 (5x − 4 ) )′ =
( tg ( 8 + 3x ) )′ log3 (5x − 4 ) + tg ( 8 + 3x ) ( log3 (5x − 4 ) )′ .
Подставим найденные производные и упростим слагаемые в правой части:
x ) )′ log3 ( 5x − 4 )
( tg ( 8 + 3=
3
=
log3 ( 5x − 4 )
cos ( 8 + 3x )
2
tg ( 8 + 3x ) ( log3 ( 5x − 4 ) )′ = tg ( 8 + 3x )
3 log3 ( 5x − 4 )
cos2 ( 8 + 3x )
,
5tg ( 8 + 3x )
5
.
=
ln 3 ⋅ ( 5x − 4 ) ln 3 ⋅ ( 5x − 4 )
Получаем, что
5x − 4 ) )′
( tg ( 8 + 3x ) log3 (=
3 log3 ( 5x − 4 )
2
cos
( 8 + 3x )
+
5tg ( 8 + 3x )
ln 3 ⋅ ( 5x − 4 )
.
Теперь воспользуемся производной функции, умноженной на
число, и получим ответ:
9 log3 ( 5x − 4 ) 15tg ( 8 + 3x )


−3  ( tg ( 8 + 3x ) log3 ( 5x − 4 ) )′  =
−
−
.
y′ =


cos2 ( 8 + 3x ) ln 3 ⋅ ( 5x − 4 )
Задача 3. Найдите производную функции
y=
(2x − 7 )5
54x +3 .
Решение. Найдем производные числителя и знаменателя данной
дроби:
((2x − 7) =)′
5
(54x+3 )′=
38
5 ( 2x − 7 ) ( 2x − 7=
⋅ 2 10 ( 2x − 7 ) ,
)′ 5(2x − 7 ) =
4
4
4
ln 5 ⋅ 54x +3 ( 4x + 3 )′= ln 5 ⋅ 54x +3 ⋅ 4= 4 ln 5 ⋅ 54x +3 .
Теперь найдем y′ с помощью свойства производной частного:
′
− ( 2x − 7 ) ( 5
(2x − 7 ) ) 5
)′
(=
5
y′
5
4x +3
(54x+3 )
2
4
=
4x +3
5
10 ( 2x − 7 ) ⋅ 54x +3 − ( 2x − 7 ) ⋅ 4 ln 5 ⋅ 54x +3
(
54x +3
)
2
.
Полученный ответ можно упростить, если в числителе вынести
за скобку сомножитель
4
54x +3 ( 2x − 7 )
и сократить дробь:
54x +3 ( 2x − 7 ) (10 − 4 ln 5 ( 2x − 7 ) )
=
2
54x +3
4
y′
(
)
(2x − 7 )4 (10 − 4 ln 5(2x − 7 ) )
54x +3
.
Задача 4. Найдите производную функции y =
ln ( 2 + 5 cos ( 6 + 4x ) ).
Решение. Воспользуемся формулой для производной сложной
функции и арифметическими свойствами производной. Сначала
найдем производную функции
=
y1 cos ( 6 + 4x ) :
y1′ =
− sin ( 6 + 4x )( 6 + 4x )′ =
− sin ( 6 + 4x ) ⋅ 4 =
−4 sin ( 6 + 4x ).
Теперь найдем производную функции y2 =
2 + cos ( 6 + 4x ) :
−20 sin ( 6 + 4x ).
y2′ =
0 + 5y1′ =
5 ( −4 sin ( 6 + 4x ) ) =
(2 + 5y1 )′ =
Наконец, найдем производную функции y:
20 sin ( 6 + 4x )
1
1
y′ =( ln y2 )′ = y2′ =
.
⋅ ( −20 sin ( 6 + 4x ) ) =−
2 + cos ( 6 + 4x )
2 + cos ( 6 + 4x )
y2
Задача 5. На промежутке [ −8;4] найдите наибольшее и наименьшее значение функции
14x + 140
y=
.
( x + 9 )( x − 6 )
39
Решение. Функция yопределена на всем промежутке [–8;4] и непрерывна на нем. Поэтому ее наибольшее значение достигается либо на одном из концов промежутка, либо в такой точке, которая
принадлежит промежутку [–8;4] и является корнем y′; то же верно
и для наименьшего значения.
Найдем производную функции y. Сначала упростим функцию,
записав ее как
x + 10
y = 14
.
2
x + 3x − 54
Теперь воспользуемся свойством производной частного и производной функции, умноженной на число: производная числителя
дроби равна 1, производная знаменателя дроби равна 2x + 3, следовательно,
y′ = 14
(
)
1 ⋅ x2 + 3x − 54 − ( x + 10 )( 2x + 3 )
( x2 + 3x − 54)
2
Производная обращается в 0 в тех точках, в которых обращается
в 0 числитель полученной дроби. Упростим его:
(
)
1 ⋅ x2 + 3x − 54 − ( x + 10 )( 2x + 3 ) =
(
) (
)
=+
x2 3x − 54 − 2x2 + 23x + 30 =
−x2 − 20x − 84.
Корнями квадратного уравнения
−x2 − 20x − 84 =
0
являются числа x1 = −6 и x2 = −14 . Интервалу [–8;4] принадлежит
корень x1 . Следовательно, наибольшее значение функция y принимает в одной из трех точек: a =
−8, b =
4, x1 =
−6. Наименьшее значение также достигается в одной из этих трех точек.
Вычислим y ( a ), y ( b ), y ( x1 ) :
y ( −8 ) =
14 ⋅
y ( 4 ) =⋅
14
40
−8 + 10
2
( −8 )
+ 3 ⋅ ( −8 ) − 54
4 + 10
=
−2,
98
7
=
−
=
−7 ,
13
13
4 + 3 ⋅ 4 − 54
2
y ( −6 ) =
14 ⋅
−6 + 10
2
( −6 )
14
5
=
−
=
−1 .
9
9
+ 3 ⋅ ( −6 ) − 54
Сравним полученные числа: −7
7
5
< −2 < −1 .
13
9
Следовательно, наименьшее значение функции y на данном интер7
5
вале равно ymin = −7 , а ее наибольшее значение равно ymax − 1 .
13
9
Задача 6. Найдите интервалы выпуклости и вогнутости функции
y=
−3x2 + 4x − 9
.
x −2
Решение. Область определения функции y равна ( −∞;2 ) ∪ ( 2; +∞ ).
Интервалы выпуклости и вогнутости находятся с помощью второй производной: функция y выпукла на тех интервалах, для которых выполнено y′′ ≥ 0 , и вогнута на тех интервалах, для которых выполнено y′′ ≤ 0.
Найдем y′:
y′
′
−3x2 + 4x − 9 ) ( x − 2 ) − ( −3x2 + 4x − 9 ) ( x − 2 )′
(=
=
( x − 2)2
( −6x + 4 )( x − 2) − ( −3x2 + 4x − 9 ) ⋅1
( x − 2)2
.
Упростим числитель:
(
( −6x + 4 )( x − 2) − ( −3x2 + 4x − 9 ) ⋅1 =
) (
)
=
−6x2 + 16x − 8 − −3x2 + 4x − 9 =
−3x2 + 12x + 1.
Получаем, что
y′ =
−3x2 + 12x + 1
( x − 2)2
.
41
Теперь найдем y′′:
 −3x2 + 12x + 1 ′

=
y′′ =
2


x
−
2
(
)


′
2
2 ′
−3x2 + 12x + 1) ( x − 2 ) − ( −3x2 + 12x + 1) ( ( x − 2 ) )
(
=
.
(
( x − 2)2
)
2
2
Продифференцируем ( x − 2 ) , пользуясь свойством производной
функции, возведенной в степень:
(( x − 2) )=′
2
2( x − 2) ⋅1
= 2 ( x − 2 ).
Подставляя полученное выражение в формулу для y′′, получаем, что
y′′ =
( −6x + 12)( x − 2)2 − ( −3x2 + 12x + 1) ⋅ 2( x − 2)
( x − 2)4
.
Упростим полученную формулу. Сначала сократим дробь на x − 2 :
y′′ =
( −6x + 12)( x − 2) − 2( −3x2 + 12x + 1)
( x − 2)3
.
Теперь упростим числитель полученной дроби:
(
( −6x + 12)( x − 2) − 2( −3x2 + 12x + 1) =
) (
)
=
−6x2 + 24x − 24 − −6x2 + 24x + 2 =
−26.
Получаем, что
y′′ = −
42
26
( x − 2)3
.
Функция y′′ положительна на интервале ( −∞;2 ) и отрицательна
на интервале ( 2; +∞ ). Следовательно, функция y выпукла на интервале ( −∞;2 ) и вогнута на интервале ( 2; +∞ ).
Замечание. Дифференцировать функцию y будет проще, если
представить ее в виде
13
y =−3x − 2 −
.
x −2
Список литературы
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н .Берман // М.: Транспортная компания, 2015. 432 с.
2. Виленкин Н. Я. Алгебра и начала математического анализа /
Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд // М.: Мнемозина, 2014, 351 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 1. Пределы.................................................................. 1.1. Определение и арифметические свойства
предела последовательности........................................ 1.2. Бесконечные пределы................................................. 1.3. Определение и свойства предела функции...................... 1.4. Пределы рациональных функций................................. 1.5. Пределы иррациональных функций............................. 1.6. Замечательные пределы.............................................. 1.7. Возведение в степень................................................... 1.8. Неопределенность 1∞................................................... 3
3
6
9
13
18
20
22
25
2. Производные.................................................................... 2.1 Определение и арифметические свойства производной...... 2.2. Примеры вычисления производных.............................. 2.3. Производная сложной функции.................................... 2.4. Логарифмическое дифференцирование.......................... 29
29
31
32
34
3. Пример решения контрольной работы.................................. Список литературы........................................................... 37
43
43
Учебное издание
Гусман Юрий Аронович
Дик Ольга Евгеньевна
Иванова Ольга Юрьевна
Островский Алексей Владимирович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
(Математика -1)
ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ
Учебно-методическое пособие
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 02.06.17. Подписано к печати 29.06.17.
Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 2,6. Уч.-изд. л. 2,7.
Тираж 50 экз. Заказ № .291
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
494 Кб
Теги
gusmandik
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа