close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

GusmanPomatkin

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Ю. А. Гусман, С. П. Помыткин, А. О. Смирнов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.
РЯДЫ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2015
УДК 517.521(075.8)
ББК 22.16я73
Г 96
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Пичугин;
доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Фарафонов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Гусман, Ю. А.
Г 96 Высшая математика. Ряды: учеб. пособие. / Ю. А. Гусман, С. П. Помыткин, А. О. Смирнов. – СПб.: ГУАП, 2015. –
77 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-1038-9
Рассматривается теория числовых и функциональных рядов. Особое внимание уделено степенным рядам. Даются приближенные вычисления, проводимые с помощью рядов.
Учебное пособие предназначено для студентов 1-го курса технических и экономических специальностей дневной формы обучения.
УДК 517.521(075.8)
ББК 22.16я73
ISBN 978-5-8088-1038-9
©
©
Гусман Ю. А., 2015
Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2015
ВВЕДЕНИЕ
Параллельно с созданием в XVII веке дифференциального и интегрального исчисления в математическую практику вошли и бесконечные ряды.
Непростой для понимания термин «ряды» начнем с формирования простейших школьных понятий.
Пусть дана некоторая последовательность чисел a1, a2,…an,…
В школьном курсе рассматриваются два конкретных вида последовательностей: арифметическая и геометрическая прогрессии.
Арифметической прогрессией называется такая последовательность чисел, в которой разность между последующим и предыдущем членами остается неизменной. Эта разность называется разностью прогрессии. Например, натуральный ряд чисел 1, 2, 3, …, n, …
есть арифметическая прогрессия с разностью 1.
Любой член арифметической прогрессии можно вычислить по
формуле
an =a1 + d ( n − 1),
здесь a1 – первый член прогрессии; d – разность прогрессии; n – номер взятого члена.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается формулой
( a1 + an )n 2a1 + d (n − 1)
=
sn =
n.
2
2
Геометрической прогрессией называется последовательность
чисел, в которой отношение между последующим и предыдущем
членами остается неизменным. Это отношение называется знаменателем прогрессии. Например, числа 5, 10, 20, 40, … образуют
прогрессию со знаменателем 2.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по
формуле
bn = b1qn −1,
здесь b1 – первый член прогрессии, q – разность прогрессии, n – номер взятого члена.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии выражается
формулой
(
)
n
bn q − b1 b1 q − 1
=
sn =
.
q −1
q −1
3
Если q = 1, то прогрессия состоит из равных членов и тогда имеем
sn = nb1.
Более сложна для понимания школьников бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, т. е. геометрическая прогрессия
при q < 1.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма
первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии выражается формулой
b
s= 1 .
1−q
Напомним и метод математической индукции, полезный при
доказательстве утверждений, часто встречающийся при суммировании конечного числа слагаемых.
Если нам дано предполагаемое утверждение, то оно будет считаться доказанным по методу математической индукции, если будет выполнено два положения.
Итак, нам дана гипотеза: sn = f ( n ).
Пусть, во-первых, выполнена гипотеза при некотором конкретном номере, например n = 1 (это так называемое базовое условие).
Заметим, что базовое условие возможно проверять и при n > 1,
например, для многоугольников базовое условие целесообразно
проверять при n = 3.
Во-вторых, предположим, что гипотеза выполнена при некотором n = k (индуктивное предположение), тогда, если утверждение
выполнено и при n = k + 1, то считается, что утверждение доказано
по методу математической индукции (это так называемый индуктивный переход).
Проиллюстрируем вышеизложенное на простом примере суммирования первых чисел натурального ряда чисел.
Допустим, что
(1 + n )n
sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =
.
2
Базовое предположение выполнено. При n = 1
=
s1
4
(1 + 1) ⋅1
= 1.
2
Далее допустим, что утверждение верно при n = k, т. е.
sk = 1 + 2 + 3 + ... + k =
(1 + k ) ⋅ k
2
.
Если же n = k + 1, то
sk+1 = (1 + 2 + 3 + ... + k) + ( k + 1) =
(1 + k ) k
2
+ k+ 1 =
(1 + k )( k + 2)
2
.
Значит, индуктивный переход выполнен, и утверждение доказано методом математической индукции.
5
Глава 1
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1. Основные определения
Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел
(1.1.1)
a1, a2 , a3 ,..., an ... Составленный из этих чисел символ
(1.1.2)
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... называется бесконечным рядом (или просто – рядом), а сами числа (1.1.1) – членами ряда. Вместо (1.1.2), пользуясь знаком суммы,
часто пишут:
∞
∑ an ,
(1.1.3)
n =1
указатель n пробегает здесь все значения от 1 до ∞ .
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда:
(1.1.4)
sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . Если существует конечный предел частичной суммы
s = lim sn ,
(1.1.5)
n →∞
то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.
Если lim sn не существует или равен бесконечности, то говорят,
n →∞
что ряд расходится и суммы не имеет.
Пример 1. Рассмотрим ряд
a + aq + aq2 + ... + aqn −1 + ... (1.1.6)
Это геометрическая прогрессия с первым членом a и знаменателем q ( a ≠ 0 ). Сумма n первых членов геометрической прогрессии
равна (при q ≠ 1 )
a − aqn
a
aqn
sn =
sn
−
.
или=
(1.1.7)
1−q
1−q 1−q Рассмотрим возможные случаи.
a
1. Если q < 1, то lim sn =
.
1−q
n →∞
6
Значит, в случае q < 1 ряд сходится и его сумма
s=
2. Если q > 1, то qn → ∞
a
.
1−q (1.1.8)
при n → ∞ и тогда sn → ±∞ при
n → ∞.
Таким образом, в случае q > 1 ряд расходится.
3. Если q = 1, то sn = na, lim sn = ∞. И ряд расходится.
n →∞
4. Если q = –1, то ряд имеет вид
a − a + a − a + ...
В этом случае
0 ïðè n ÷åòíîì,
sn = 
a ïðè n íå÷åòíîì.
Следовательно, sn sn предела не имеет и ряд расходится.
Таким образом, геометрическая прогрессия (с первым членом,
отличным от нуля) сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы.
Пример 2. Рассмотрим ряд
∞
1
∑ n ( n + 1) =
n =1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ...
1⋅2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
n ( n + 1)
n-я частичная сумма данного ряда
sn =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
n ( n + 1)
1⋅2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
Воспользуемся очевидным тождеством
sn =
1
1
1
=
−
. Тогда
n ( n + 1) n n + 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
n ( n + 1)
1⋅2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4
1 
1
 1 1 1 1 1
1
.
=
1−
 1 −  +  −  +  −  + ... +  −
=
n +1
 2 2 3 3 4
 n n +1 
7
1 

Так как lim sn = lim  1 −
 = 1, то ряд сходится и его сумма
n +1 
n →∞
n →∞ 
равна единице.
Подытожим изложенное. Основной вопрос теории рядов – это
вопрос сходится ряд или расходится. Если нам удается просуммировать n-ю частичную сумму, то обычно такая задача решается легко.
Однако из-за отсутствия общих методов суммирования произвольных сумм непосредственно воспользоваться определением
сходимости рядов удается довольно редко. Поэтому приведем ряд
теорем и утверждений, которые позволяют решать задачу о сходимости или расходимости рассматриваемых рядов.
1.2. Теоремы о сходящихся рядах
Приведем несколько простых теорем для сходящихся рядов, которыми будем часто пользоваться в дальнейшем.
Теорема 1.
Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд.
Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного путем отбрасывания нескольких его членов.
Иными словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.
Доказательство.
Пусть sn – сумма n первых членов ряда; ck – сумма k отброшенных членов (при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в sn); σn −k – сумма членов ряда, входящих в сумму sn и
не входящих в ck.
Тогда имеем sn= ck + σn −k , где ck – постоянное число, не зависящее от n.
Из последнего соотношения следует, что если существует
lim σn −k , то существует и lim sn , если же существует lim sn , то суn →∞
ществует и lim σn −k .
n →∞
n →∞
n →∞
Теорема доказана.
Теорема 2.
Если ряд a1 + a2 + a3 + ... + an + ... сходится и его сумма равна s, то
ряд ca1 + ca2 + ca3 + ... + can + ..., где c – какое-либо фиксированное
число, также сходится и его сумма равна cs.
8
Доказательство.
Обозначим n-ю частичную сумму первоначального ряда через
sn, а последующего ряда через σn . Тогда
σn = ca1 + ca2 + ca3 + ... + can = c(a1 + a2 + a3 + ... + an ) = csn .
=
σn lim
=
csn c lim
=
sn cs.
Ясно, что lim
n →∞
n →∞
n →∞
Следовательно, второй ряд сходится и его сумма равна cs. Теорема доказана.
Обычно говорят, что второй ряд получен почленным умножением первоначального ряда.
Теорема 3.
Если ряды
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...,
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
сходятся и их суммы соответственно равны s и σ , то ряды
(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 ) + ... + (an + bn ) + ...,
(a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) + (a3 − b3 ) + ... + (an − bn ) + ...
также сходятся и их суммы соответственно равны ( s + σ ) и ( s − σ ).
Доказательство.
Проведем доказательство для ряда, полученного почленным
сложением первоначальных рядов (для разности доказывается
аналогично). Обозначая n-ю частичную сумму полученного ряда
через ωn , имеем
ωn= (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 ) + ... + (an + bn )=
= (a1 + a2 + a3 + ... + an ) + (b1 + b2 + b3 + ... + bn ) = sn + σn .
Переходя к пределу, получаем, что
lim ωn = lim ( sn + σn ) = lim sn + lim σn = s + σ.
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
Таким образом, ряд сходится и его сумма равна ( s + σ ).
1.3. Необходимый признак сходимости рядов
Как уже было отмечено в п. 1.1, при исследовании рядов одним
из основных вопросов является вопрос о том, сходится ли данный
ряд или расходится. Ниже будут установлены достаточные при9
знаки, на основании которых можно решить этот вопрос. Здесь
же будет рассмотрен необходимый признак сходимости ряда, т. е.
будет установлено условие, при невыполнении которого ряд расходится.
Теорема.
Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.
Доказательство.
Пусть ряд a1 + a2 + a3 + ... + an + ... сходится, т. е. lim sn = s, где
n →∞
s – сумма ряда, но тогда и lim sn −1 = s.
n →∞
Вычитая, получаем
lim sn − lim sn −1 =
0 → lim (sn − sn −1 ) =
0.
n →∞
n →∞
n →∞
Но sn − sn −1 =
an и поэтому
lim an = 0.
n →∞
(1.3.1)
Что и требовалось доказать.
Следствие.
Если n-й член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
∞
Пример 1. Ряд
1
n
2
3
n
∑ n + 1 = 2 + 3 + 4 + ... + n + 1 + ... расходится, так
n =1
n
= 1 ≠ 0.
n →∞ n + 1
как lim
Подчеркнем, что рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т. е. из того, что n-й член
ряда стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится, ряд может и расходится.
∞
Пример 2. Ряд
∑
n =1
1
n
=
1
1
+
1
2
1
+
3
+ ... +
1
n
+ ... расходится,
так как хотя члены ряда и убывают, но его n-я частичная сумма
sn =1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
растет до бесконечности вместе с n.
10
1
n
>n
1
n
= n
1.4. Сходимость положительных рядов
Вопрос об установлении сходимости или расходимости рядов
проще всего решается для рядов, члены которых неотрицательны,
для краткости такие ряды будем называть положительными.
1.4.1. Теоремы сравнения рядов
Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.
Теорема 1.
Пусть имеем два ряда с положительными членами:
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...,
(1.4.1)
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
(1.4.2)
Если члены ряда (1.4.1) не больше соответствующих членов
ряда (1.4.2), т. е. an ≤ bn (n =
1, 2, 3, ...) и ряд (1.4.2) сходится, то
сходится и ряд (1.4.1).
Доказательство.
Обозначим через sn è σn , соответственно, частичные суммы
первого и второго рядов. Из условия теоремы вытекает, что sn ≤ σn .
Так как ряд (1.4.2) сходится, то существует предел его n-й частичной суммы lim σn =σ. Из того, что члены рядов (1.4.1) и (1.4.2) по
n→∞
ложительны, следует σn < σ и тогда sn < σ.
Итак, показано, что частичные суммы sn ограничены. При увеличении n частичная сумма sn возрастает, а из того, что последовательность частичных сумм ограничена и возрастает, следует, что
она имеет предел lim sn = s, причем очевидно, что s ≤ σ.
n →∞
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
∞
∑
n =0
1
( n + 1) 5
n
=1 +
1
1
1
+
+ ... +
+ ...
2
2⋅5 3⋅5
(n + 1) 5n
Сравним данный ряд с бесконечно убывающей геометрической
1
прогрессией, общий член которой an =
. Для всех n выполняется
5n
1
1
неравенство
≤ n.
n
1
5
5
n
+
(
)
11
∞
Так как ряд (см. (1.1.8))
1
∑=
5n
n =0
1
5
=
сходится, то соглас1 4
1−
5
∞
1
но предыдущей теореме сходится и ряд ∑
и сумма его
n
n = 0 ( n + 1) 5
менее 1,25.
Теорема 2.
Если члены ряда (1.4.1) не меньше соответствующих членов
ряда (1.4.2), т. е. an ≥ bn (n =
1, 2, 3, ...) и ряд (1.4.2) расходится,
то расходится и ряд (1.4.1).
Доказательство.
Из условия теоремы следует sn ≥ σn . Так как члены ряда (1.4.2)
положительны, то его n-я частичная сумма σn возрастает при возрастании n, а так как он расходится, то lim σn =∞. Но тогда в силу
n→∞
неравенства sn ≥ σn , и lim sn = ∞, т. е. ряд (1.4.1) расходится.
n →∞
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
∞
1
1
1
1
∑ 3 n =1 + 3 2 + 3 3 + ... + 3 n + ...
n =1
Сравним данный ряд с рядом
∞
∑
n =1
1
n
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
+ ... ,
рассмотренным в предыдущем пункте. Так как
1
3n
≥
1
n
, и второй
ряд расходится, то расходится и искомый ряд.
Оба доказанных признака сравнения справедливы только для
рядов с положительными членами. Они остаются в силе и для того
случая, если некоторые члены рядов нули. Однако признаки неверны, если среди членов ряда имеются отрицательные.
Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из теорем 1 и 2, которую дадим без доказательства (см. [1]).
Теорема 3.
an
=
K (bn ≠ 0, 0 ≤ K ≤ ∞), то из
Если существует предел lim
n →∞ bn
сходимости ряда (1.4.2) при K < ∞, вытекает сходимость ряда
(1.4.1), а из расходимости первого ряда, при K > 0, вытекает расходимость второго. Таким образом, при 0 < K < ∞ оба ряда сходятся
12
или расходятся одновременно. Справедливо аналогичное утверждение и в непредельной форме.
Теорема 4.
Если, хотя бы начиная с некоторого места (n > N), выполняется
неравенство
an +1 bn +1
≤
,
an
bn
то из сходимости ряда (1.4.2) вытекает сходимость ряда (1.4.1) или
из расходимости ряда (1.4.1) вытекает расходимость ряда (1.4.2).
Отметим, что применение признаков сравнения возможно лишь
при знании сходимости или расходимости некоторых модельных
рядов, с которыми проводятся сравнения.
Приведем более простые в применении достаточные признаки
сходимости рядов.
1.4.2. Признак Даламбера
Теорема (признак Даламбера).
Если в ряде с положительными членами
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
отношение (n + 1)-го члена к n-му при n → ∞ имеет (конечный) преa
дел l , т. е. lim n +1 = l, то:
n →∞ an
1) ряд сходится в случае L < 1;
2) ряд расходится в случае L > 1.
(В случае L = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости
ряда теорема не дает).
Доказательство.
1. Пусть L < 1.
Рассмотрим число q, удовлетворяющее L < q < 1. Из определения
предела следует, что для всех значений n, начиная с некоторого N,
a
т. е. n ≥ N, будет иметь место неравенство n +1 < q, (действительan
но, достаточно взять ε = q − l и вспомнить определение предела).
Запишем это неравенство для различных значений n, начиная с N:
aN +1 < qaN ,
aN +2 < qaN +1 < q2aN ,
13
aN +3 < qaN +2 < q 3aN ,
……………………………..
Рассмотрим теперь два ряда:
a1 + a2 + a3 + ... + aN + aN +1 + ... + ... ,
aN + qaN + q2aN + ...
Второй ряд есть геометрическая прогрессия с 0 < q < 1. Следовательно, этот ряд сходится. Члены первого ряда, начиная с некоторого ( aN +1 ), меньше членов второго ряда. На основании теоремы 1
п. 1.2 и признака сравнения искомый ряд сходится.
2. Пусть теперь L > 1.
a +1
l (l > 1) следует, что, начиная
Тогда из равенства lim n=
n →∞ an
с некоторого номера N, т. е. для n ≥ N, будет иметь место неравенство
an +1
> 1, или an + 1 > an для всех n ≥ N. Но это означает, что все
an
члены ряда возрастают, начиная с N + 1, и поэтому общий член
ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится. Теорема доказана.
Пример 1. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда
∞
2n
∑ n! .
n =1
2n +1
( n + 1) !
a
2
lim n +1= lim
= lim
= 0 < 1.
n
n →∞ an
n →∞ 2
n →∞ n + 1
n!
Следовательно, ряд сходится.
Пример 2. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда
∞
3n
.
n =1 n
∑
14
3n +1
( n + 1)
a
3n
lim n +1= lim
= lim
= 3 > 1.
n
n →∞ an
n →∞ 3
n →∞ n + 1
n
Следовательно, ряд расходится.
Пример 3. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда
∞
∑
1
n
n =1
.
1
an +1
n
n + 1 lim
=
=
= 1.
lim
lim
1
n →∞ an
n →∞
n →∞ n + 1
n
Данный признак ответа не дает, хотя нам известно, что ряд расходится (см. пример 2 п. 1.3).
Пример 4. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда
∞
1
∑ n ( n + 1) .
n =1
1
(n + 1)(n + 2)
an +1
n
lim
lim
=
= lim
= 1.
1
an
n →∞
n →∞ n + 2
n ( n + 1)
n →∞
Данный признак ответа не дает, хотя нам известно, что ряд сходится (см. пример 2 п. 1.1).
1.4.3. Признак Коши
Теорема (признак Коши).
Если в ряде с положительными членами
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
величина n an имеет (конечный) предел L, т. е. lim n an = l, то:
n →∞
1) ряд сходится в случае L < 1;
2) ряд расходится в случае L > 1.
(В случае L = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости
ряда теорема не дает).
15
Доказательство.
1. Пусть L < 1.
Рассмотрим число q, удовлетворяющее L < q < 1. Из определения предела следует, что для всех значений n, начиная с некоторого N, т. е. n ≥ N, будет иметь место неравенство n an или an < qn
для всех n ≥ N.
Рассмотрим теперь два ряда
a1 + a2 + a3 + ... + aN + aN +1 + ... + ... ,
q N + q N +1 + q N +2 + ...
Второй ряд есть геометрическая прогрессия с 0 < q < 1. Следовательно, этот ряд сходится. Члены первого ряда, начиная с некоторого (aN + 1), меньше членов второго ряда. На основании теоремы 1
п. 1.2 и признака сравнения искомый ряд сходится.
2. Пусть L > 1.
an l (l > 1) следует, что, начиная с неТогда из равенства lim n=
n →∞
которого номера N, т. е. для n ≥ N, будет иметь место неравенство
n a > 1, или a > 1 для всех n ≥ N. Но это означает, что все члены
n
n
ряда, начиная с aN > 1, и поэтому общий член ряда не стремится
к нулю. Следовательно, ряд расходится. Теорема доказана.
Пример 1. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда
n
∞
 n 
∑  2n + 1  .
n =1
n
n
1
 n 
lim n an= lim n 
=
< 1.
 = lim
n →∞
n →∞  2n + 1 
n →∞ 2n + 1 2
Следовательно, ряд сходится.
Пример 2. Ряд
∞
1
1 1
1
∑ n =1 + 2 + 3 + ... + n + ...
n =1
(1.4.3)
будем называть гармоническим. Исследуем его на сходимость по
признаку Коши:
1
na
n
lim
lim
1.
=
=
n
n →∞
n →∞ n
16
Вычисление этого предела целесообразно провести по правилу
Лопиталя. Как и при использовании признака Даламбера при l = 1 ,
признак Коши ответа не дает.
Отметим, что вопрос сходимости гармонического ряда, как и
других рядов Дирихле
∞
1
1
1
1
∑ n p =1 + 2 p + 3 p + ... + n p + ...
n =1
(1.4.4)
будет решен в подп. 1.4.5, в котором будет показано, что при p > 1
ряд сходится, а при p ≤ 1 – расходится.
1.4.4. Признак Раабе
В тех случаях, когда простые признаки (такие, например, как
признаки Даламбера и Коши) не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам. Один из таких признаков – признак Раабе. Этот признак осуществляет сравнение данного ряда
(1.4.1) с гармоническими рядами – сходящимися (1.4.4) и расходящимися (1.4.3).
Рассмотрим ряд с положительными членами
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

an +1 
=
и обозначим через R
.
n n 1 −
an 

Теорема (признак Раабе).
Если при достаточно больших n выполняется неравенство
Rn ≥ r , где r – постоянное число, большее единицы, то ряд сходится, если же, начиная с некоторого места, Rn ≤ r , то ряд расходится.
Доказательство.
Пусть при достаточно больших n имеем


a
a
r
n  1 − n +1  ≥ r > 1 → n +1 ≤ 1 − .
a
a
n
n 
n

Возьмем какое-нибудь число p: 1 < p < r. Из известного замечательного предела
lim
x →∞
(1 + x )α − 1
x
= α,
17
имеем, что
p
1

1 −  − 1
n
= p,
lim 
1
n →∞
−
n
тогда для достаточно больших n получаем
p
1

p
1 −  − 1
r
1

 n
< r → 1 −  > 1 − ,
1
n
n


−
n
а следовательно, и
p
an +1 
1
< 1 −  .
an
n


Это неравенство перепишем в следующем виде:
p
1
an +1  n − 1 
np .
<
 =
1
an
 n 
( n − 1) p
В правой части неравенства мы имеем отношение двух последовательных членов сходящегося ряда (1.4.4) (p > 1). Применяя теорему 4 в подп. 1.4.1, убеждаемся в сходимости ряда (1.4.1).
Если же, начиная с некоторого места, выполняется неравенство


a
n  1 − n +1  ≤ 1,
an 

то отсюда сразу находим, что
1
an +1 n − 1
n
≥
= ,
1
an
n
n
( − 1)
и, применяя для ряда (1.4.1) и для расходящегося ряда (1.4.3) теорему 4 подп. 1.4.1, делаем вывод о расходимости ряда (1.4.1). Теорема доказана.
18
Признак Раабе так же, как признаки Даламбера и Коши, применяется преимущественно в предельной форме. Пусть выражение

an +1 
R
=
 имеет предел (конечный или нет) lim Rn = R.
n n 1 −
an 
n →∞

Тогда при R > 1 ряд сходится, а при R < 1 ряд расходится.
Сравнивая признаки Даламбера и Раабе, можно видеть,
что последний значительно сильнее первого. Если предел
a
=
=
D lim
Dn lim n +1 существует и отличен от единицы, то для
n →∞
n →∞ an


a
Rn =
n  1 − n +1  =
n (1 − Dn )
an 

существует предел R, равный +∞ при D < 1 и −∞ при D > 1.
Таким образом, если признак Даламбера дает ответ на вопрос о
поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает. Более того, все такие случаи охватываются всего двумя из возможных
значений R, а именно ±∞. Все остальные значения R (исключая
R = 1), также дающие ответ на вопрос о сходимости рядов, соответствуют случаям, когда признак Даламбера заведомо ответа не дает,
потому что D = 1.
Пример. Рассмотрим ряд
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1)
1 1 1⋅ 3 1 1⋅ 3 ⋅5 1
1
⋅ +
⋅ + ... +
⋅
+ ...
1+ ⋅ +
2 3 2⋅4 5 2⋅4⋅6 7
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 2n
2n + 1
Признак Даламбера неприменим, так как
(2n − 1)2
=
n →∞ 2n ( 2n + 1)
=
D lim
=
Dn lim
n →∞
1.
По признаку Раабе

(2n − 1)2 
6n − 1
3

=
=
R=
lim Rn =
lim n 1 −
lim
.


2
n
2
n
1
2
2
n
1
2
+
+
n →∞
n →∞
(
)  n→∞ (
)

Так как R= lim Rn=
n →∞
3
> 1, то ряд сходится.
2
Однако при R = 1 мы все же опять не имеем ответа на вопрос о
сходимости ряда.
19
1.4.5. Интегральный признак Коши
Если простые признаки сходимости рядов (такие, например,
как признаки Даламбера и Коши, или даже признак Раабе) не дают
ответа, используются более сложные признаки, один из которых –
интегральный признак Коши.
Теорема (интегральный признак Коши).
Пусть члены ряда
u1 + u2 + u3 + ... + un + ...
положительны и не возрастают, т. е. u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ ... ≥ un ≥ ..., и
пусть f ( x ) – такая непрерывная невозрастающая функция, что
=
f (1) u=
=
f ( n ) un , ...
1, f ( 2 ) u2 , ...,
Тогда справедливы следующие утверждения.
∞
1. Если несобственный интеграл
∫ f ( x ) dx
сходится, (т. е. имеет
1
конечное значение), то сходится и ряд (I). Здесь
∞
∫ f ( x ) dx = lim
A →∞
1
A
∫ f ( x ) dx.
1
2. Если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (I).
Доказательство.
Изобразим члены ряда геометрически (рис. 1). Отложим на оси
абсцисс номера 1, 2, 3,…, n, n + 1,… членов ряда, а на оси ординат –
y
y
u1
0
1
u2
2
u3
3
u1
y = f(x)
n n+1 x
0
1
y = f(x)
u2
un u
n+1
2
u3
3
Рис. 1. Входящие и выходящие прямоугольники
интегральной кривой
20
un un+1
n n+1
x
соответствующие значения членов ряда u1, u2, …,un, … Строим
y = f ( x ).
Сумма прямоугольников (выходящих)
sn = u1 + u2 + u3 + ... + un .
С другой стороны, ступенчатая фигура, образованная этими
прямоугольниками, заключает область, ограниченную кривой
1, x =
n + 1, y =
0. Площадь этой области
y = f ( x ) и прямыми x =
n +1
равна
∫ f ( x ) dx. Следовательно,
1
sn >
n +1
∫ f ( x ) dx.
1
(1.4.5)
Рассмотрим правую часть рис. 1, где первый из построенных
прямоугольников имеет высоту u2. Площадь второго прямоугольника – u3 и т. д.; площадь последнего из построенных прямоугольников un + 1. Следовательно, сумма всех площадей прямоугольников (входящих) равна сумме всех членов ряда, начиная от второго
до (n + 1)-го, т. е. равна ( sn +1 − u1 ).
С другой стороны, как легко видеть, ступенчатая фигура, образованная этими треугольниками, содержится внутри криволинейной фигуры, ограниченной кривой y = f ( x ) и прямыми
x=
1, x =
n + 1, y =
0, а значит,
sn +1 − u1 <
n +1
∫
f ( x ) dx → sn +1 <
1
n +1
∫ f ( x ) dx + u1.
1
(1.4.6)
Рассмотрим варианты.
∞
1.
Пусть
∫ f ( x ) dx < ∞,
т.е.
имеет
конечное
значение.
1
n +1
Так
∫
как
∞
1
∞
f ( x ) dx < ∫ f ( x ) dx,
то
из
(1.4.6)
следует,
что
1
sn < sn +1 < ∫ f ( x ) dx + a1, т. е. частичная сумма ряда sn остается огра1
ниченной при всех значениях n. Но при увеличении n она будет
21
возрастать, так как все члены ряда положительны. Следовательно,
sn имеет конечный предел lim sn = s, т. е. ряд сходится.
n →∞
∞
∫ f ( x ) dx = ∞.
2. Предположим теперь, что
Это значит, что
1
n +1
∫ f ( x ) dx
неограниченно возрастает при возрастании n. Но тогда
1
из неравенства (1.4.5) следует, что sn неограниченно возрастает при
возрастании n, т. е. ряд расходится.
Теорема доказана.
Пример 1. Исследуем сходимость ряда (Дирихле):
∞
1
1
1
1
∑ n p =1 + 2 p + 3 p + ... + n p + ...
n =1
(1.4.7)
Применим интегральный признак Коши, положив f ( x ) =
1
.
xp
Эта функция удовлетворяет всем условиям предыдущей теоремы.
Рассмотрим
(
)
1
 1
1− p N
)1 =
N1− p − 1 , ïðè
 1 − p (x
1
p
−
∫ p =
 ln x N ln
1 x
N, ïðè p 1.
=
=
1

N
dx
p ≠ 1,
Устремляя N к ∞, выясним, сходится ли интеграл в различных
случаях. На основе этого можно судить о сходимости или расходимости ряда при различных значениях p.
В случае, когда p > 1, получаем
∞
dx
1
∫ x p = p − 1.
1
Интеграл конечен, и ряд сходится.
В случаях, когда p ≤ 1
∞
dx
∫ x p = ∞.
1
Интеграл бесконечен, и ряд расходится.
22
∞
Напомним, что ряд Дирихле при p = 1
1
1 1
1
∑ n =1 + 2 + 3 + ... + n + ...
n =1
называют гармоническим.
Заметим также, что ни признак Даламбера, ни признак Коши не
решают вопрос о сходимости рядов Дирихле (1.4.7).
1.5. Сходимость знакопеременных рядов
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Изучение вопросов сходимости таких рядов начнем со знакочередующихся рядов.
1.5.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Рассмотрим числовые ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т. е. ряды вида
n +1
a1 − a2 + a3 − a4 + ... + ( −1)
an + ...,
(1.5.1)
где a1, a2 , a3 , a4 ,..., an ... положительны.
Теорема Лейбница.
Если в знакочередующемся ряде (1.5.1) члены таковы, что
a1 > a2 > a3 > a4 > ... > an > ..., (1.5.2)
lim an = 0,
(1.5.3)
и
n →∞
то ряд (1.5.1) сходится, его сумма положительна и не превосходит
первого члена.
Доказательство.
Рассмотрим сумму n = 2m первых членов ряда
s2m = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2m −1 − a2m ).
Из условия (1.5.2) следует, что выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, сумма s2m положительна и возрастает с возрастанием m.
Запишем эту же сумму так:
s2m =a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − ... − (a2m −2 − a2m −1 ) − a2m .
23
В силу условия (1.5.2) каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из a1 получим число меньшее, чем a1, т. е. s2m < a1.
Таким образом, установлено, что s2m при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что s2m имеет предел s,
причем 0 < s < a1.
Докажем, что и нечетные частичные суммы стремятся к s.
Рассмотрим сумму n = 2m + 1 первых членов ряда
s2m=
+1 s2m + a2m +1.
Учитывая условие (1.5.3), получим
lim s2m +1 =
lim s2m + lim a2m +1 =
lim s2m =
s.
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
Следовательно, ряд (1.5.1) сходится.
Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теоремы
Лейбница, то можно оценить ошибку, которая получится, если заменить сумму s частичной суммой sn. При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с an + 1. Эти числа сами образуют
знакочередующийся ряд, сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда (меньше an + 1).
Вообще, если в ряде отбросить первые n членов, то получится
ряд
an +1 + an +2 + an +3 + ... + an + k=
+ ...
∞
am
∑=
m= n +1
rn ,
называемый остатком ряда (остаточным членом) после n-го члена.
В данном случае rn < an +1.
Пример 1. Ряд
∞
∑
n =1
( −1)n+1
n
n +1
( −1)
1 1 1
=1 − + − + ... +
2 3 4
n
+ ...
сходится по теореме Лейбница. Его сумма 0 < s < 1. Если вычислить
1
s100, то r100 < a101. Поэтому, s − s100 <
.
101
1.5.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная
и условная сходимость
Рассмотренные в предыдущем подпункте знакочередующиеся
ряды являются частным случаем знакопеременных рядов, любые
24
члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.
В п. 1.4, рассматривая положительные ряды, были даны удобные признаки сходимости этих рядов. Поэтому естественно начать
с тех случаев, когда вопрос о сходимости данного знакопеременного ряда сводится к вопросу о сходимости положительного ряда.
Например, если члены ряда не все положительны, но, начиная
с некоторого места, становятся положительными, то, отбросив
достаточное количество начальных членов ряда (см. теорему 1
п. 1.2), сведем дело к исследованию положительного ряда. Аналогично, если члены ряда отрицательны или, по крайней мере, начиная с некоторого места, становятся отрицательными, то можно
вернуться к уже рассмотренным случаям путем изменения знаков
всех членов.
Существенно новым случаем (кроме знакочередующихся рядов) является тот, когда среди членов ряда есть бесконечное количество как положительных, так и отрицательных членов. Для
таких знакопеременных рядов дадим важный достаточный признак сходимости, основанный на применении методов, изученных ранее.
Теорема 1.
Если знакопеременный ряд
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
(1.5.4)
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
(1.5.5)
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Доказательство.
Пусть sn è σn – суммы n первых членов рядов (1.5.4) и (1.5.5).
Пусть также wn – сумма положительных, а vn – сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых n членов
ряда (1.5.4), тогда sn = wn − vn , σn = wn + vn .
По условию σn имеет предел σ, а wn è vn – положительные
возрастающие величины, меньшие σ. Следовательно, они имеют
пределы w è v. Из соотношения s=
n wn − vn следует, что sn тоже
имеет предел и он равен w − v, т. е. знакопеременный ряд (1.5.4)
сходится. Теорема доказана.
Доказанная теорема дает возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование вопроса о сходи25
мости знакопеременного ряда сводится в таком случае к исследованию ряда с положительными членами.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
sin α
2
1
+
sin 2α
2
2
+
sin 3α
2
3
+ ... +
sin nα
n2
+ ...,
где α – любое число.
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов искомого
ряда
sin α
2
1
+
sin 2α
2
2
+
sin 3α
2
3
+ ... +
sin nα
n2
+ ...
Этот ряд сходится, так как его члены не превосходят членов ряда
1
2
1
+
1
2
2
+
1
2
3
+ ... +
1
n2
+ ...
Последний ряд сходится (см. (1.4.3)),тогда по признаку сравнения рядов сходится и ряд, составленный из модулей членов искомого ряда, а тогда по доказанной теореме и сам ряд сходится.
Признак сходимости, доказанный выше, является только достаточным признаком сходимости, но не необходимым. Существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, а
ряды, составленные из абсолютных величин, расходятся. В связи
с этим вводят понятия абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов и на их основе классифицируют знакопеременные ряды.
Определение.
Знакопеременный ряд
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из
абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся
рядом.
26
Пример 2. Знакопеременный ряд
n +1
( −1)
1 1 1
1 − + − + ... +
2 3 4
n
+ ... –
условно сходящийся (он сходится по теореме Лейбница), а ряд из
абсолютных величин (гармонический ряд) расходится.
Пример 3. Знакопеременный ряд
n +1
1−
( −1)
1 1 1
+ − + ... +
2! 3! 4 !
n!
+ ... –
абсолютно сходящийся, так как ряд из абсолютных величин
1+
1 1 1
1
+ + + ... + + ...
2! 3! 4 !
n!
сходится (легко проверить, например, по признаку Даламбера).
1.6. Свойства сходящихся рядов
Сходящиеся ряды обладают рядом свойств, к которым мы привыкли в школьном курсе математики.
1.6.1. Сочетательное свойство
Понятие суммы бесконечного ряда существенно отличается от
понятия суммы конечного числа слагаемых (рассматриваемых
в арифметике и алгебре) тем, что включает в себя предельный переход. Хотя некоторые свойства обычных сумм переносятся и на
суммы бесконечных рядов, но чаще всего лишь при выполнении
определенных условий, которые и подлежат уточнению. В иных
же случаях привычные свойства сумм разительным образом нарушаются, так что, вообще, в этом вопросе надлежит соблюдать осторожность.
Рассмотрим сходящийся ряд
∞
∑ an = a1 +a2 + ... + an + ...
n =1
(1.6.1)
Последовательность его частичных сумм
s1, s2 , ..., sn , ...,
cходится к сумме ряда s.
27
Станем объединять члены ряда произвольным образом в группы, не меняя при этом их расположения:
a1 + ... + an1 , an1 +1 + ... + an2 ,..., ank −1 +1 + ... + ank ...
Здесь {nk } есть некоторая, извлеченная из натурального ряда,
частичная возрастающая последовательность номеров. Можно доказать следующее утверждение.
Теорема.
Ряд, составленный из этих сумм:
(a1 + ... + an1 ) + (an1 +1 + ... + an2 ) + ... + (ank −1 +1 + ... + ank ) + ... (1.6.2)
всегда сходится и имеет ту же сумму s, что и исходный ряд. Иными
словами, сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.
Пока мы имеем полную аналогию с обычными суммами. Но
эта аналогия нарушается, если мы попытаемся применять сочетательное свойство, так сказать, в обратном порядке. Если дан сходящийся ряд (1.6.2), члены которого каждый в отдельности представляют собой сумму конечного числа слагаемых, то, опустив
скобки, получим новый ряд (1.6.1), который может оказаться и
расходящимся.
Приведем простой пример, иллюстрирующий этот тезис. Ряд
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ...,
очевидно, сходится. Между тем полученный из него опусканием
скобок ряд
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
будет расходящимся.
Конечно, если, опустив скобки, мы получим сходящийся ряд
(1.6.1), то его сумма та же, что и у ряда (1.6.2).
Отметим, что при некоторых условиях можно заранее гарантировать, что ряд (1.6.1) будет сходится. Простейшим случаем этого
рода является тот, когда все слагаемые в (1.6.2) внутри одних и тех
же скобок будут одного знака.
1.6.2. Переместительное свойство
Рассмотрим и переместительное свойство, изучаемое в школьном курсе, для конечных сумм.
28
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов
Пусть дан сходящийся ряд (1.6.1), имеющий сумму s. Переставив в нем члены произвольным образом, получим новый ряд
∞
∑ ak′ = a1′ +a2′ + ... + ak′ + ...
k =1
(1.6.3)
Каждый член ak′ этого ряда отождествляется с определенным
членом ank исходного ряда.
Возникает вопрос, сходится ли ряд (1.6.3) и, в случае сходимости, будет ли его сумма равна сумме s исходного ряда. При рассмотрении этого вопроса придется провести резкое различие между абсолютно и неабсолютно сходящимися рядами.
Теорема (Дирихле).
Если ряд (1.6.1) абсолютно сходится, то ряд (1.6.3), полученный
из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму
s, что и исходный ряд. Иными словами, абсолютно сходящийся ряд
обладает переместительным свойством.
Не будем останавливаться на доказательстве теоремы, так как
в случае, если члены исходного ряда положительны, то результат
очевиден, а в случае членов ряда с разными знаками, доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 1 подп. 1.5.2.
Обратимся теперь к рассмотрению неабсолютно сходящихся рядов и установим, что они переместительным свойством не обладают.
Это следует из теоремы Римана, достаточно сложной для осознания, которую приведем здесь без доказательства (см., например, [2]).
Теорема.
∞
Если ряд
∑ an = a1 +a2 + ... + an + ...
n =1
cходится неабсолютно, то какое бы ни взять наперед число L (конечное или равное ±∞, ), можно так переставить члены в этом ряде,
чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно L.
Установленный в теореме результат подчеркивает тот факт, что
неабсолютная сходимость осуществляется лишь благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов и именно потому существенно зависит от порядка, в котором они следуют
один за другим. Между тем как абсолютная сходимость основана на
быстроте убывания этих членов и от порядка их не зависит.
29
Вопросы для самопроверки
1. Условия сходимости числового ряда.
2. Необходимый признак сходимости рядов.
3. Признаки сходимости положительных числовых рядов.
4. Признак Даламбера.
5. Признак Коши.
6. Интегральный признак сходимости рядов.
∞
1
7. Сходимость рядов Дирихле ∑ p .
n =1 n
8. Теорема Лейбница для знакочередующихся рядов.
9. Оценка остаточного члена для знакочередующихся рядов.
10. Абсолютная и условная сходимость произвольных рядов.
30
Глава 2
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2.1. Основные определения
Рассмотрим ряд, членами которого являются функции от одной
и той же переменной x в некоторой области X:
∞
∑ un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
(2.1.1)
При конкретном x = x1 получаем числовой ряд
∞
∑ un ( x=
1)
n =1
u1 ( x1 ) +u2 ( x1 ) + ... + un ( x1 ) + ...,
(2.1.2)
который может сходится или расходится.
Множество x, для которых ряд (2.1.1) сходится, будем называть
областью сходимости функционального ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от x.
Поэтому сумму функционального ряда обозначают через s(x).
∞
∑ xn =1 + x + x2 + ... + xn + ...
Пример 1. Ряд
сходится (сумма
n =0
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см.
(1.1.8)) при 1 < x < 1, для этих x – s ( x ) =
1
.
1− x
Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда
∞
xn
∑ 1 + x2=
n
n =1
x2
xn
+
+
+
+ ...
...
1 + x2 1 + x 4
1 + x2n
x
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда:
∞
∑
x
n
n =1 1 + x
=
2n
x
x
2
x
n
+
+ ... +
+ ...
1 + x2 1 + x 4
1 + x2n
Пусть x < 1, тогда члены данного ряда меньше членов ряда
31
2
n
x + x + ... + x + ...,
который сходится (как бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия), а по теореме сравнения тогда сходится и предыдущий
ряд (см. теорему 1 п. 1.4).
Аналогично, при x > 1, ряд
1
1
1
+
+ ... + n + ...
x x2
x
сходится (как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия),
и по теореме сравнения тогда сходится и предыдущий ряд (см. теорему 1 п. 1.4).
Если же x = ±1, то ряд расходится (по невыполнению необходимого признака). Таким образом, искомый ряд сходится (абсолютно) при любых x ≠ ±1.
Обозначим через sn(x) сумму n первых членов ряда (2.1.1). Если
ряд сходится и сумма его равна s(x), то
=
s ( x ) sn ( x ) + rn ( x ),
где rn ( x ) – остаток ряда.
rn ( x ) = un +1 ( x ) + un +2 ( x ) + ...
Для всех значений x в области сходимости ряда имеет место соотношение lim sn ( x ) = s ( x ), поэтому lim rn ( x=
) lim (s ( x ) − sn ( x )=) 0,
n →∞
n →∞
n →∞
т. е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при n → ∞.
2.2. Равномерно сходящиеся ряды. Мажорируемые ряды
Как было дано в определении области сходимости функционального ряда в п. 2.1, при любом x1 ∈ X ряд (2.1.1) сходится и
∞
=
=
sn ( x1 ) s ( x1 ).
∑ un ( x1 ) lim
n =1
n →∞
(2.2.1)
По определению предела последовательности для любого ε > 0
можно найти N1 (ε), такое, что для всех n > N1 выполняется неравенство s ( x1 ) − sn ( x1 ) < ε. Так как для каждого x ∈ X величина
N может быть различна, то не всегда из данного множества мож32
но выбрать наибольшее. Если же это возможно, то ряд называется
равномерно сходящимся. Дадим строгое определение.
Ряд (2.1.1), сходящийся для всех x ∈ X, называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого числа ε > 0 существует такой независящий от x номер N, что при всех n > N неравенство
s ( x ) − sn ( x ) < ε или rn ( x ) < ε
(2.2.2)
выполняется одновременно для всех x ∈ X .
Данное определение можно геометрически проиллюстрировать
следующим образом. Рассмотрим график функции y = s(x). Построим около этой кривой полосу шириной 2ε, т. е. построим (параллельные) кривые
=
y s ( x ) ± ε.
Тогда при любом ε график функции sn ( x ) будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе будут лежать
и графики всех последующих частичных сумм рассматриваемого
ряда (рис. 2).
Так как проверка условия равномерной сходимости функционального ряда часто бывает затруднительна, то обычно используют
более простой достаточный признак равномерной сходимости рядов.
Введем некоторые определения. Функциональный ряд
∞
∑ un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
(2.2.3)
y
εn
y = s(x)
εn
0
a
b
x
Рис. 2. К определению равномерной сходимости рядов
33
называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если
существует такой сходящийся числовой ряд
α1 + α2 + α3 + ... + αn + ...
(2.2.4)
с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения
u1 ( x ) ≤ α1, u2 ( x ) ≤ α2 , ..., un ( x ) ≤ αn , ...
(2.2.5)
Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его
член по абсолютной величине не больше соответствующего члена
некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.
Например, ряд
sin x sin 2x sin 3x
sinn x
+
+
+ ... +
+ ...
1
22
32
n2
есть ряд, мажорируемый на всей оси OX. Действительно, для всех
значений x выполняется соотношение
sin nx
2
n
≤
1
n2
1, 2, 3,
(n =
...),
а ряд
1 1
1
1
+
+
+ ... + 2 + ...,
1 22 32
n
как известно, (см. пример 1 подп. 1.4.4) сходится.
Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой
области. Кроме того, справедлива следующая теорема.
Теорема (признак Вейерштрасса).
Пусть функциональный ряд
∞
∑ un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
(2.2.6)
мажорируем на отрезке [a,b]. Пусть s ( x ) – сумма этого ряда,
sn ( x ) – сумма n первых членов этого ряда. Тогда для каждого
сколь угодно малого числа ε > 0 найдется число N > 0 такое, что при
всех при n > N будет выполняться неравенство
34
s ( x ) − sn ( x ) < ε,
каково бы ни было x из [a,b].
Доказательство.
Обозначим через σ сумму ряда
σ = α1 + α2 + α3 + ... + αn + αn+1 + ...,
тогда σ = σn + εn , где σn – сумма первых n членов ряда, а
εn = αn +1 + αn +2 + ...
0.
Так как ряд сходится, то lim σn =σ и, следовательно, lim εn =
n→∞
n→∞
Представим теперь сумму функционального ряда в виде
=
s ( x ) sn ( x ) + rn ( x ),
где
sn ( x=
) u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ),
rn ( x ) = un +1 ( x ) + un +2 ( x ) + un +3 ( x ) + ...
Из того, что ряд мажорируем, следует, что
un +1 ( x ) ≤ αn +1, un +2 ( x ) ≤ αn +2 , ...,
и поэтому rn ( x ) ≤ εn для всех x из рассматриваемой области.
Таким образом, s ( x ) − sn ( x ) < εn для всех x из отрезка [a,b], причем εn → 0 ïðè n → ∞. Теорем доказана.
На основании доказанной теоремы следует, что мажорируемый
ряд является одновременно равномерно сходящимся рядом.
Теперь изучим некоторые свойства мажорируемых (равномерно
сходящихся) рядов.
2.3. Непрерывность суммы ряда
Пусть имеем ряд из непрерывных функций
∞
∑ un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...,
(2.2.7)
cходящийся на некотором отрезке [a,b].
35
Ранее в курсе математического анализа была доказана теорема о том, что сумма конечного числа непрерывных функций есть
функция непрерывная. Для суммы ряда (подчеркнем – состоящего из бесконечного числа слагаемых) это свойство необязательно
сохраняется. Некоторые функциональные ряды с непрерывными
членами имеют в качестве суммы непрерывную функцию, у других
функциональных рядов с непрерывными членами сумма является
разрывной функцией. Для мажорируемых же рядов справедлива
следующая теорема.
Теорема.
Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [a,b], есть функция, непрерывная на этом отрезке.
Доказательство.
Пусть имеем мажорируемый на отрезке [a,b] ряд непрерывных
функций
∞
∑ un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...
Представим, как и ранее, его сумму в виде
=
s ( x ) sn ( x ) + rn ( x ),
где
sn ( x=
) u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ),
rn ( x ) = un +1 ( x ) + un +2 ( x ) + un +3 ( x ) + ...
Возьмем на отрезке [a,b] произвольное значение аргумента x и
придадим ему такое приращение x , чтобы точка лежала тоже на
x +x отрезке [a,b].
Введем обозначения
s = s ( x +x ) − s ( x ), sn = sn ( x +x ) − sn ( x ),
откуда
s ≤ sn + rn ( x +x ) + rn ( x ) .
Это неравенство справедливо для любого номера n.
Чтобы доказать непрерывность s(x), нужно показать, что при
любом наперед заданном и как угодно малом ε > 0 найдется число
δ > 0 такое, что при всех x < δ будет s < ε.
36
Так как данный ряд мажорируемый, то при любом наперед заданном ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n ≥ N, и в частε
ности при n = N, будет выполняться неравенство rn ( x ) <
при
3
любом x из отрезка [a,b]. Значение x +x лежит на отрезке [a,b] и
потому выполняется неравенство
ε
rn ( x +x ) < .
3
Далее, при выбранном N частичная сумма sN ( x ) есть функция
непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и,
следовательно, можно подобрать такое положительное число δ, что
для всякого x, удовлетворяющего условию x < δ, выполняется
ε
неравенство sn < .
3
На основании полученных неравенств получаем:
s <
ε ε ε
+ + =
ε,
3 3 3
т. е.
s < ε ïðè
x < δ,
а это и означает, что s(x) является непрерывной функцией в точке x (и, следовательно, в любой точке отрезка [a,b]). Теорема доказана.
Отметим, что сумма ряда из непрерывных функций является непрерывной функцией и в случае равномерной сходимости функционального ряда (мажорируемость необязательна).
2.4. Интегрирование и дифференцирование рядов
Ранее в курсе математического анализа была доказана теорема
о том, что определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Для суммы, состоящей из бесконечного числа слагаемых,
это свойство необязательно сохраняется. А для мажорируемых рядов оно сохраняется.
37
Теорема 1.
Пусть имеем ряд из непрерывных функций
∞
∑ un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...,
(2.4.1)
мажорируемый на отрезке [a,b], и пусть s(x) есть сумма этого ряда.
Тогда интеграл от s(x) в пределах от α äî x, принадлежащих отрезку [a,b], равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т. е.
x
( t ) dt
∫ s=
α
x
x
x
∫ u1 ( t ) dt + ∫ u2 ( t ) dt + ... + ∫ un ( t ) dt +...
α
α
α
(2.4.2)
Доказательство.
Функцию s(x) можно представить в виде
=
s ( x ) sn ( x ) + rn ( x ),
или
s ( x=
) u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ) + rn ( x ).
Тогда
x
x
x
x
x
α
α
α
α
α
( t ) dt
∫ s=
∫ u1 ( t ) dt + ∫ u2 ( t ) dt + ... + ∫ un ( t ) dt + ∫ rn ( t ) dt (2.4.3)
(интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых).
Так как исходный ряд мажорируем, то при любом x имеем
rn ( x ) < εn , ãäå εn → 0 ïðè n → ∞.
Поэтому (считая, для определенности, что α < x ) получим оценку
x
x
x
α
α
α
∫ rn ( t ) dt ≤ ∫ rn ( t ) dt < ∫ εndt = εn ( x − α ) ≤εn ( b − a ).
Так как εn → 0, òî
лучаем, что
38
x
lim ∫ rn ( t ) dt =
0. Но из равенства (2.4.3) по-
n →∞
α
x
x
x
x
x
α
α
α
α
α
) dt
∫ rn ( t=
∫ s ( t ) dt − ( ∫ u1 ( t ) dt + ∫ u2 ( t ) dt + ... + ∫ un ( t ) dt).
Следовательно,
x
x
x
x
α
α
α
α
lim ( ∫ s ( t ) dt − ( ∫ u1 ( t ) dt + ∫ u2 ( t ) dt + ... + ∫ un ( t ) dt)) =
0,
n →∞
или
x
x
x
x
α
α
α
α
lim ( ∫ u1 ( t ) dt + ∫ u2 ( t ) dt + ... + ∫ un ( t ) dt) =
∫ s ( t ) dt.
n →∞
(2.4.4)
Сумма, стоящая в скобках, есть частичная сумма ряда
x
x
x
α
α
α
∫ u1 ( t ) dt + ∫ u2 ( t ) dt + ... + ∫ un ( t ) dt + ...
Поскольку частичные суммы этого ряда имеют предел, этот ряд
x
сходится, и его сумма в силу равенства (2.4.4) равна
∫ s ( t ) dt, т. е.
α
x
x
x
x
α
α
α
α
( t ) dt
∫ s=
∫ u1 ( t ) dt + ∫ u2 ( t ) dt + ... + ∫ un ( t ) dt +...,
а это и есть равенство, которое требовалось доказать.
Отметим, что результат теоремы справедлив и в случае равномерной сходимости ряда (2.4.1). Обычно эту теорему называют теоремой о почленном интегрировании функционального ряда.
Докажем теперь теорему о почленном дифференцировании
функционального ряда.
Теорема 2.
Если ряд
∞
∑ un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...,
(2.4.5)
составленный из функций, имеющих непрерывные производные
на отрезке [a,b], сходится на этом отрезке к сумме s(x) и ряд
39
∞
∑ un′ ( x=)
u1′ ( x ) +u2′ ( x ) + ... + un′ ( x ) + ...,
n =1
(2.4.6)
cоставленный из производных его членов, мажорируем на том же
отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы
первоначального ряда, т. е.
s′ ( x=
) u1′ ( x ) + u2′ ( x ) + ... + un′ ( x ) + ...
(2.4.7)
Доказательство.
Обозначим сумму ряда (2.4.6) через
F ( x=
) u1′ ( x ) + u2′ ( x ) + ... + un′ ( x ) + ...
и докажем, что F ( x ) = s′ ( x ).
Так как ряд (2.4.6) мажорируем, то на основании предыдущей
теоремы
x
x
x
x
α
α
α
α
( t ) dt
∫ F=
∫ u1′ ( t ) dt + ∫ u2′ ( t ) dt + ... + ∫ un′ ( t ) dt +...
Производя интегрирование, будем иметь
x
) dt ( u1 ( x ) − u1 ( α ) ) + ( u2 ( x ) − u2 ( α ) ) + ... + ( un ( x ) − un ( α ) ) + ...
∫ F (t=
α
Но по условию теоремы
s ( x=
) u1 ( x ) + u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ...,
s( α=
) u1 ( α ) + u2 ( α ) + ... + un ( α ) + ...,
каковы бы ни были числа x и α на отрезке [a,b]. Поэтому
x
∫ F ( t ) dt= s ( x ) − s ( α ).
α
Дифференцируя по x обе части последнего равенства, получим
F ( x ) = s′ ( x ) .
40
Таким образом, мы доказали, что при выполнении условий теоремы, производная от суммы ряда равна сумме производных от
членов ряда.
Все теоремы этой главы о непрерывности, почленном интегрировании и дифференцировании устанавливают аналогию между
функциональными рядами и суммами конечного числа функций.
Аналогия эта, однако, ограничена известными условиями, в характеристике которых мажорируемость (равномерная сходимость) занимает исключительное место.
Вопросы для самопроверки
1. Область сходимости функционального ряда.
2. Мажорируемые ряды.
3. Непрерывность суммы функционального ряда.
4. Почленное интегрирование функционального ряда.
5. Почленное дифференцирование функционального ряда.
41
Глава 3
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Вопрос разложения искомой функции по системе некоторых
однотипных более простых функций серьезно привлекает исследователей с XVII века. В частности возникает задача представления
непрерывной функции через систему целых многочленов. Остановимся на простых базовых понятиях.
3.1. Основные определения. Интервал сходимости
Рассмотрим обстоятельно один из простейших случаев функциональных рядов – степенные ряды. Степенным рядом называется
функциональный ряд вида
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ...,
(3.1.1)
где a0 , a1, a2 ,..., an ,... – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.
Убедимся в этом, доказав теорему.
Теорема (Абеля).
1. Если степенной ряд сходится при некотором значении x0, не
равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении x,
для которого x < x0 .
2. Если ряд расходится при некотором значении x0′ , то он расходится при всяком значении x, для которого x > x0′ .
Доказательство.
1. Так как по предположению числовой ряд
a0 + a1x0 + a2 x02 + ... + an x0n + ... (3.1.2)
сходится, то его общий член an x0n → 0 при n → ∞, а это значит, что
существует такое положительное число M, что все члены ряда по
абсолютной величине меньше M.
Перепишем ряд (3.1.1) в виде
2
42
n
 x 
2 x 
n x 
(3.1.3)
a0 + a1x0 
 + a2 x0 
 + ... + an x0 
 + ...
 x0 
 x0 
 x0 
и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов
a0 + a1x0
x
x
+ a2 x02
x0
x0
2
+ ... +
an x0n
x
x0
n
+ ...
(3.1.4)
Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда
x
x
M+M
+M
x0
x0
При x < x0
2
x
+ ... + M
x0
n
+ ...
(3.1.5)
последний ряд представляет собой геометрическую
прогрессию со знаменателем
x
< 1 и, следовательно, сходится.
x0
Так как члены ряда (3.1.4) меньше соответствующих членов ряда
(3.1.5), то ряд (3.1.4) тоже сходится, а это и значит, что ряд (3.1.3)
или (3.1.1) сходится абсолютно.
2. Нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть в некоторой точке x0′ ряд (3.1.1) расходится. Тогда он будет расходится при
всяком значении x, для которого x > x0′ .
Действительно, если бы в какой-либо точке x, удовлетворяющей
этому условию, ряд сходился, то в силу первой части теоремы он
должен был бы сходиться и в точке x0′ , так как x0′ < x . Но это противоречит условию, что в точке x0′ ряд расходится. Следовательно,
ряд расходится и в точке x. Теорема доказана.
Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если x0
есть точка сходимости, то весь интервал ( − x0 , x0 ) заполнен точками абсолютной сходимости. Если x0′ – точка расходимости, то
вся бесконечная полупрямая вправо от точки x0′ и вся полупрямая влево от точки − x0′ состоят из точек расходимости.
Можно заключить, что существует такое число R, что при x < R
мы имеем точки абсолютной сходимости и при x > R – точки расходимости. Итак, областью сходимости степенного ряда является
интервал с центром в начале координат.
Определение.
Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от –R до + R, что для всякой точки x, лежащей внутри этого
интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек x, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.
43
На концах интервала (т. е. при x = R и при x = –R) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально
для каждого конкретного ряда.
Заметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), а у других охватывает всю ось OX ( R = ∞ ).
Укажем некоторые способы определения радиуса сходимости
степенного ряда. Пусть имеем степенной ряд (3.1.1). Рассмотрим
ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
2
3
n
a0 + a1 x + a2 x + a3 x + ... + an x + ...
(3.1.6)
Сначала для определения сходимости последнего ряда (с положительными членами) применим признак Даламбера. Допустим,
что существует предел
u
an +1xn +1
an +1
=
lim n +1 lim=
lim
=
x L x.
n
an
n →∞ un
n →∞
n
→∞
an x
Тогда по признаку Даламбера ряд (3.1.6) сходится, если L x < 1,
1
1
, и расходится, если L x > 1, т. е. если x > . Из
L
L
 1 1
предыдущего следует, что интервал  − ;  есть интервал сходи L L
мости степенного ряда (3.1.1), т. е.
т. е. если x <
R=
a
1
= lim n .
L n→∞ an +1
Аналогично для определения интервала сходимости можно
пользоваться признаком Коши, и тогда
R=
1
lim n an
.
n →∞
Пример 1. Определить интервал сходимости ряда
∞
∑ xn =1 + x + x2 +x3 + ... + xn + ...
n =0
Применяя непосредственно признак Даламбера, получаем
44
lim
xn +1
n →∞
xn
= x.
Следовательно, ряд сходится при x < 1 и расходится при x > 1.
На границах интервала (–1;1) исследование сходимости ряда с помощью признака Даламбера невозможно. Однако непосредственно
видно, что при x = 1 и при x = –1 ряд расходится (например, по невыполнению необходимого признака).
Пример 2. Определить интервал сходимости ряда
∞
∑
n =0
( −1)n ( 3x )n
n +1
2
=1 −
n
n
( −1) ( 3x )
3x ( 3x )
+
+... +
+ ...
2
3
n +1
Применяя признак Даламбера, получаем
( 3x )n+1
n +1
n+2
=
lim
3=
x lim
3x.
n
+2
n
n
→∞
( 3x )
n →∞
n +1
1
и расходится при
3
1
1
1
x > . При x = ряд сходится (по теореме Лейбница). При x = −
3
3
3
ряд расходится (гармонический ряд).
Пример 3. Определить интервал сходимости ряда
Следовательно, ряд сходится при
x<
∞
xn
x2 x 3
xn
x
=
+
+
+
+
+ ...
...
∑
2! 3!
n!
n =1 n !
Применяя признак Даламбера, получаем
lim
n →∞
xn +1
( n + 1) !
n
x
n!
= lim
n →∞
x
= 0 < 1.
n +1
Так как предел не зависит от x и меньше единицы, то, значит,
ряд сходится при всех значениях x.
45
∞
Пример
4.
Ряд
∑ (nx )
n
2
3
n
=x + ( 2x ) + ( 3x ) + ... + ( nx ) + ...
n =1
расходится при всех значениях x, кроме x = 0, так как
(nx )n → ∞ ïðè n → ∞, каково бы ни было x, отличное от нуля.
Рассмотрим теперь свойства суммы степенного ряда.
3.2. Непрерывность суммы степенного ряда
Сначала докажем теорему.
Теорема 1.
Степенной ряд
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ...
(3.2.1)
мажорируем на любом отрезке [−ρ;ρ], целиком лежащем внутри
интервала сходимости.
Доказательство.
По условию ρ < R, а потому числовой ряд (с положительными
членами)
a0 + a1 ρ + a2 ρ2 + ... + an ρn + ...
(3.2.2)
сходится. Но при x < ρ члены ряда (3.2.1) по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда (3.2.2). Следовательно,
ряд (3.2.1) мажорируем на отрезке [−ρ;ρ].
Теперь можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 2.
На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.
Действительно, на этом отрезке ряд мажорируем, а члены его
являются непрерывными функциями от x. Следовательно, на основании теоремы п. 2.3 сумма этого ряда есть непрерывная функция.
Дадим без доказательства и более тонкое утверждение.
Если степенной ряд (3.2.1) сходится (хотя бы неабсолютно) при
x = R, то его сумма s(x) при этом значении непрерывна слева, т. е.
=
s( R − 0)
∞
lim
=
∑ an xn
∞
∑ an Rn .
x →R −0 n 0=
n 0
=
(Аналогичное утверждение можно сформулировать и для x = –R.)
46
3.3. Почленное интегрирование и дифференцирование
степенного ряда
По отношению к интегрированию и дифференцированию степенные ряды – в пределах их промежутка сходимости – ведут себя,
как обыкновенные целые многочлены.
Теорема 1 (о почленном интегрировании степенных рядов).
Если пределы интегрирования α,β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме
интегралов от членов ряда.
Действительно, так как область интегрирования можно заключить в отрезок [−ρ;ρ], где ряд мажорируем, то возможно почленное
интегрирование (см. теорему 1 п. 2.4).
Пример 1. Известно (по формуле суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии), что
1
n −1 n −1
= 1 − x + x2 − ... + ( −1)
x
+ ...
1+ x
в промежутке [0;x], где x < 1.
Тогда
x
n
dx
x2 x 3
n −1 x
x
=
−
+
−
...
+
−
1
+ ...
(
)
∫1+ x
2
3
n
0
(3.3.1)
Теорема 2 (о почленном дифференцировании степенных рядов).
Если степенной ряд
s ( x ) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + ...
(3.3.2)
имеет интервал сходимости (–R;R), то ряд
ϕ ( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + nan xn −1 + ...,
(3.3.3)
полученный почленным дифференцированием ряда (3.3.2), имеет тот же интервал сходимости (–R;R), при этом ϕ ( x ) =
s′ ( x ), если
x < R, т. е. внутри интервала сходимости производная от суммы
степенного ряда (3.3.2) равна сумме ряда, полученного почленным
дифференцированием ряда (3.3.2).
Доказательство.
Докажем, что ряд (3.3.3) мажорируем на любом отрезке [−ρ;ρ],
целиком лежащем внутри интервала сходимости.
47
Возьмем точку такую, что ρ < c < R. В этой точке ряд (3.3.2) сходится, следовательно, lim an cn = 0, поэтому можно указать такое
n →∞
постоянное число M, что an cn < M (n =
1, 2, 3, ...).
x ≤ ρ, òî
Если
где q=
nan xn −1 ≤=
nan ρn −1 n an cn −1
ρ
c
n −1
<n
M n −1
q ,
c
ρ
< 1.
c
Таким образом, члены ряда (3.3.3) при x ≤ ρ по абсолютной величине меньше членов числового положительного ряда с постоянными членами
M
(1 + 2q + 3q2 + ... + nqn −1 + ...).
c
Но последний ряд сходится, в чем можно убедиться, применяя
признак Даламбера:
lim
n →∞
( n + 1) q n
nqn −1
= q < 1.
Следовательно, ряд (3.3.3) мажорируем на отрезке [−ρ;ρ], и на
основании теоремы о почленном дифференцировании степенных
рядов его сумма есть производная от суммы данного ряда на отрезке [−ρ;ρ], т. е.
ϕ( x ) =
s′ ( x ) .
Так как всякую внутреннюю точку интервала (–R;R) можно заключить в некоторый отрезок [−ρ;ρ], то отсюда следует, что ряд
(3.3.3) сходится в любой внутренней точке интервала (–R;R).
Докажем, что вне интервала (–R;R) ряд (3.3.3) расходится.
Допустим, что ряд (3.3.3) сходится при x1 > R. Интегрируя его
почленно в интервале (0;x2), где R < x2 < x1, мы получили бы, что
ряд (3.3.2) сходится в точке x2, а это противоречит условиям теоремы. Таким образом, интервал (–R;R) есть интервал сходимости
ряда (3.3.3). И теорема доказана полностью.
48
Ряд (3.3.3) снова можно почленно дифференцировать и продолжать так сколько угодно раз. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3.
Если степенной ряд сходится в интервале (–R;R), то его сумма
представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, получающегося в результате почленного дифференцирования данного ряда соответствующее число раз; при этом интервал
сходимости каждого ряда, получающегося в результате дифференцирования, есть тот же интервал (–R;R).
3.4. Ряды по степеням (x–a)
Степенным рядом также называется функциональный ряд вида
2
n
a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) + ... + an ( x − a ) + ...,
(3.4.1)
где постоянные a0,a1,…,an,… также называются коэффициентами
ряда. Это степенной ряд, расположенный по степеням двучлена
(x–a).
При a = 0 получим степенной ряд, расположенный по степеням
x, который является частным случаем ряда (3.4.1).
Для определения области сходимости ряда (3.4.1) сделаем замену переменной x–a = X.
После замены ряд (3.4.1) примет вид
a0 + a1 X + a2 X2 + ... + an Xn + ..., (3.4.2)
т. е. получили степенной ряд, расположенный по степеням X.
Пусть интервал –R < X < R есть интервал сходимости ряда (3.4.2).
Тогда ряд (3.4.1) будет сходиться при значениях x, удовлетворяющих неравенству –R < X–a < R или a–R < X < R + a.
Соответственно, ряд (3.4.1) будет расходится вне интервала
a–R < X < R + a.
Следовательно, интервалом сходимости ряда (3.4.1) будет интервал (a–R;a + R) с центром в точке a. Все свойства степенного
ряда, расположенного по степеням x, внутри интервала сходимости
(–R;R) полностью сохраняются для степенного ряда, расположенного по степеням (x-a), внутри интервала сходимости (a–R;a + R).
Понятно, что после почленного интегрирования степенного
ряда (3.4.1), если пределы интегрирования лежат внутри интерва49
ла сходимости (a–R;a + R), получается ряд, сумма которого равняется соответствующему интегралу от суммы данного ряда (3.4.1).
При почленном дифференцировании степенного ряда (3.4.1) при
всех x, лежащих внутри интервала сходимости (a–R;a + R), получается ряд, сумма которого равняется производной от суммы данного
ряда (3.4.1).
Пример. Найти область сходимости ряда
( x − 3) + ( x − 3)2 + ( x − 3)3 + ... + ( x − 3)n + ...
Решение. Положив x − 3 =
X, получим ряд
X + X2 + X 3 + ... + Xn + ...
Ряд сходится при –1 < X < 1. Следовательно, данный ряд сходится при всех x, для которых –1 < x–3 < 1, т. е. при 2 < x < 4.
Вопросы для самопроверки
1. Область сходимости степенных рядов.
2. Нахождение радиуса сходимости степенных рядов.
3. Непрерывность суммы степенного ряда.
4. Почленное интегрирование степенного ряда.
5. Почленное дифференцирование степенного ряда.
50
Глава 4
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
Вопрос разложения функции, обладающей определенными
дифференциальными свойствами, в ряд по некоторой системе элементов является сложным и многогранным. В данной работе мы
рассмотрим простейшие подходы к этой проблеме, с которой исторически началось систематическое изучение теории рядов.
4.1. Формулы Тейлора и Маклорена
Начнем тему со вспомогательных формул, изучаемых в начальных разделах математического анализа.
Предположим, что функция y = f(x) имеет все производные до
(n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку x = a.
Найдем многочлен y = Pn(x) степени не выше n, величина которого в точке x = a равняется значению функции f(x) в этой точке, а
значения его производных до n-го порядка в точке x = a равняются значениям соответствующих производных функции f(x) в этой
точке:
=
Pn ( a ) f=
( a ), Pn′ ( a ) f ′ ( a ),
′′ ( a ),..., Pn(n ) ( a ) fn(n ) ( a ).
=
Pn′′( a ) f=
(4.1.1)
Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле
«близок» к функции f(x).
Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням
(x–a) c неопределенными коэффициентами:
2
Pn ( x ) = C0 + C1 ( x − a ) + C2 ( x − a ) +
3
n
+C3 ( x − a ) + ... + Cn ( x − a ) .
(4.1.2)
Неопределенные коэффициенты C1, C2 ,..., Cn определим так,
чтобы удовлетворились условия (4.1.1).
Предварительно найдем производные от Pn(x):
2
n −1
Pn′ ( x ) = C1 + 2C2 ( x − a ) + 3C3 ( x − a ) + ... + nCn ( x − a )
,
51
n −2
Pn′′ ( x ) = 2 ⋅ 1 ⋅ C2 + 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ C3 ( x − a ) + ... + n ( n − 1) Cn ( x − a )
,
………………………………………………………………………
n
Pn( ) ( x ) = n ( n − 1)...2 ⋅ 1 ⋅ Cn = n !⋅ Cn .
(4.1.3)
Подставляя в левые и правые части равенств (4.1.2) и (4.1.3)
вместо x значение a и заменяя на основании равенств (4.1.1) Pn(a)
через f ( a ), Pn′ ( a ) = f ′ ( a ) и т. д., получим
n
f ( a ) = C0 , f ′ ( a ) = C1, f ′′ ( a ) = 2 ⋅ 1 ⋅ C2 ,..., f ( ) ( a ) = n !⋅ Cn ,
откуда находим
1
1 (n )
=
C0 f=
f ′′ ( a )=
f ( a ). (4.1.4)
,..., Cn
( a ), C1 f ′=
( a ), C2
⋅
n
1
2
!
Подставляя найденные значения
в (4.1.2), получим искомый многочлен
Pn ( x )= f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) +
+
f ′′′ ( a )
3!
( x − a )3 + ... +
коэффициентов
f ′′ ( a )
2!
n
f( ) (a)
n!
(4.1.4)
( x − a )2 +
( x − a )n .
(4.1.5)
Обозначим через Rn(x) разность значений данной функции f(x) и
построенного многочлена Pn(x):
Rn ( x ) = f ( x ) − Pn ( x ), → f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x ).
Итак, формула Тейлора для функции f(x) приобретает вид
f ( x )= f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) +
+
f ′′′ ( a )
3!
( x − a )3 + ... +
n
f( ) (a)
n!
f ′′ ( a )
2!
( x − a )2 +
( x − a )n + Rn ( x ).
(4.1.6)
Rn(x) – принято называть остаточным членом. Для тех значений
x, для которых остаточный член Rn(x) мал, многочлен Pn(x) дает
приближенное представление функции f(x).
52
Если в формуле Тейлора положить a = 0, то она запишется в виде
f (x) =
f (0) + f ′(0) x +
+
f ′′′ ( 0 )
3!
3
x + ... +
n
f ( ) (0)
n!
f ′′ ( 0 )
2!
x2 +
x n + Rn ( x ) .
(4.1.7)
Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.
Выпишем и вид остаточного члена формулы Тейлора (форма Лагранжа):
f(
=
Rn ( x )
n +1)
( a + θ( x − a ))
( n + 1) !
( x − a )n+1 ,
(4.1.8)
где θ – число, заключенное между 0 и 1, т. е. 0 < θ < 1.
Для формулы Маклорена остаточный член принимает вид
f(
n +1)
( θx ) n+1
x .
( n + 1) !
Rn ( x ) =
(4.1.9)
Иногда пользуются и остаточным членом в форме Коши, для
формулы Маклорена он принимает вид
=
Rn ( x )
f(
n +1)
( θx )
n!
(1 − θ )n f (n+1) ( θx ).
(4.1.10)
4.2. Ряды Тейлора и Маклорена
В предыдущем пункте было показано, что для функции y = f(x),
имеющей все производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку x = a, справедлива формула Тейлора
f ( x )= f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) +
+
n
f( ) (a)
n!
f ′′ ( a )
2!
( x − a )2 + ... +
( x − a )n + Rn ( x ),
(4.2.1)
53
где так называемый остаточный член Rn(x) можно вычислять по
формуле (форма Лагранжа)
=
Rn ( x )
f(
n +1)
( a + θ( x − a ))
( n + 1) !
( x − a )n+1 .
(4.2.2)
Если функция f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки x = a, то в формуле Тейлора число n можно брать сколь
угодно большим. Если в рассматриваемой окрестности остаточный
член Rn(x) стремится к нулю при n → ∞ :
lim Rn ( x ) = 0,
n →∞
(4.2.3)
то переходя в формуле (4.2.1) к пределу при n → ∞, получим справа
бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:
f ( x )= f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) +
+
n
f( ) (a)
f ′′ ( a )
2!
( x − a )2 + ... +
( x − a )n + ...
(4.2.4)
Равенство (4.2.4) справедливо лишь в том случае, если Rn ( x ) → o
при n → ∞.
В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x).
Действительно, имеем =
f ( x ) Pn ( x ) + Rn ( x ), где
n!
Pn ( x )= f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) +
f ′′ ( a )
2!
2
(x − a)
+ ... +
n
f( ) (a)
n!
( x − a )n .
Так как по условию lim Rn ( x ) = 0, то f ( x ) = lim Pn ( x ).
n →∞
n →∞
Но Pn ( x ) есть n-я частичная сумма ряда (4.2.4), ее предел равен сумме ряда, стоящего в правой части равенства (4.2.4). Следовательно, равенство (4.2.4) справедливо.
Подчеркнем, что ряд Тейлора представляет данную функцию
f(x) только тогда, когда lim Rn ( x ) = 0. Если lim Rn ( x ) ≠ 0, то ряд
n →∞
54
n →∞
не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).
Если в ряде Тейлора a = 0, то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:
f (x) =
f (0) + f ′(0) x +
f ′′ ( 0 ) 2
x +
2!
n
f ′′′ ( 0 ) 3
f ( ) (0) n
+
x + ... +
x + ...
3!
n!
(4.2.5)
Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию, надо либо доказать, что остаточный член стремится
к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.
Отметим, что для каждой элементарной функции существует
такое a и такое R, что в интервале (a–R;a + R) функция разлагается
в ряд Тейлора или (если a = 0) в ряд Маклорена.
4.3. Разложение элементарных функций в ряды
Естественно, ограничимся рядами Маклорена.
1. Разложение функции f (x) = ex в ряд Маклорена.
Находя последовательные производные, получим
x
=
f ( x ) e=
, f ( 0 ) 1,
x
=
f ′ ( x ) e=
, f ′ ( 0 ) 1,
.....................................
x
, f ( ) ( 0 ) 1.
=
f ( ) ( x ) e=
n
n
Подставляя в (4.1.7), будем иметь
ex =1 +
x x2 x 3
xn
+
+
+ ... +
+ Rn ( x ).
1 2! 3!
n!
Покажем, что, каково бы ни было x, остаточный член
Rn ( x )
=
eθx
xn +1 → 0 ïðè n → ∞.
( n + 1) !
55
θx
Действительно, так как θ < 1, то величина e при фиксированx
ном x ограничена (она меньше, чем e , при x > 0 и меньше, чем 1,
при x < 0).
Докажем, что каково бы ни было фиксированное число x,
xn +1
→ 0 при n → ∞. Действительно,
( n + 1) !
xn +1
x x x
x x
=
⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ ⋅
.
n n +1
( n + 1) ! 1 2 3
Если x есть фиксированное число, то найдется такое целое положительное число N, что x < N.
Введем обозначение
чить
x
N
= q, тогда, так как 0 < q < 1, можем полу-
xn +1
x x x
x x
x x
x
x
x
x
=
⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ... ⋅
⋅
⋅ ... ⋅ ⋅
<
n n +1 1 2
N −1 N
n n +1
( n + 1) ! 1 2 3
<
Величина
x
1
⋅
x
2
x
⋅
x
3
N −1
( N − 1) !
⋅ ... ⋅
N −1
x
x
⋅ q ⋅ q ⋅ ... ⋅ q =
q n − N +2 .
N −1
( N − 1) !
постоянная, т. е. не зависит от n, а qn − N +2
xn +1
= 0. Следоваn →∞ ( n + 1) !
стремится к нулю при n → ∞. Поэтому lim
=
тельно,
и Rn ( x )
ex = 1 +
eθx
xn +1 → 0 при n → ∞. И, окончательно,
( n + 1) !
x x2 x 3
xn
+
+
+ ... +
+ ... ïðè − ∞ < x < ∞. (4.3.1)
n!
1 2! 3!
2. Разложение функции f (x) = sin x в ряд Маклорена.
Находим последовательно производные от f (x) = sin x :
=
f ( x ) sin
=
x, f ( 0 ) 0,
56
π

f ′ ( x ) ==
cosx sin  x + , f ′ ( 0 ) =
1,
2


π

f ′′ ( x ) =
− sin x =
sin  x + 2 , f ′′ ( 0 ) =
0,
2

π

f ′′′ ( x ) =
−cosx =
sin  x + 3 , f ′′′ ( 0 ) =
−1,
2

π

f IV ( x ) =
sin x =
sin  x + 4 , f IV ( 0 ) =
0,
2

………………………………………………………..
π
πn

n
n
f( ) (x) =
sin  x + n , f ( ) ( 0 ) =
sin ,
2
2

f(
n +1)
( x )=
π
π


n +1
sin  x + ( n + 1) , f ( ) ( θx )= sin  θx + ( n + 1) .
2
2


Подставляя в (4.1.7), будем иметь
π

sin  θx + ( n + 1) 
x
x
x
πn
2  n +1

x .
+
− ... +
+
sin x =x −
sin
3! 5!
n!
2
( n + 1) !
3
5
n
π

Так как sin  θx + ( n + 1)  ≤ 1, òî lim Rn ( x ) =
0 (аналогично
2
n →∞


выводу в предыдущем пункте) при всех значениях x.
И, окончательно,
sin x= x −
2k −1
x 3 x5
k −1 x
+
− ... + ( −1)
+ ... ïðè − ∞ < x < ∞. (4.3.2)
3! 5!
(2k − 1) !
3. Разложение функции f (x) = cos x в ряд Маклорена.
Аналогично предыдущему получаем
cos x = 1 −
2k
x2 x 4
kx
+
− ... + ( −1)
+ ... ïðè − ∞ < x < ∞. (4.3.3)
2! 4 !
2k !
57
Отметим, что (4.3.3) можно получить и почленным дифференцированием (4.3.2) (см. теорему 2 п. 3.3).
4. Формула Эйлера.
Воспользуемся полученными результатами для доказательства
формулы Эйлера.
Действительно, определим eiy, положив в равенстве (4.3.1) вместо x выражение iy:
eiy =1 +
(iy)n
iy (iy)2 (iy)3 (iy)4
+
+
+
+ ... +
+ ...
n!
1!
2!
3!
4!
Так как i2 = –1; i3 = -i; i4 = 1; i5 = i; i6 = –1 и т. д., получим
eiy =1 +
iy y2 iy3 y4 iy5
−
−
+
+
− ...
1! 2 ! 3 ! 4 ! 5 !
Отделяя в этом ряде действительную и мнимую части, найдем

  y y3 y5

y2 y4
eiy = 1 −
+
− ...  + i  −
+
− ... .

  1! 3 ! 5 !

2! 4 !

 

В скобках стоят степенные ряды, суммы которых равны соответственно cosy и siny (см. формулы (4.3.3) и (4.3.2)). Следовательно,
=
eiy cos y + i sin y.
И мы подтвердили формулу Эйлера.
m
5. Разложение функции f (x=
) (1 + x ) в ряд Маклорена.
Находим последовательно производные от биномиальной функm
ции f (x=
) (1 + x ) :
m
f (x) =
1,
(1 + x ) , f ( 0 ) =
m −1
f ′( x ) =
m (1 + x )
m −2
f ′′ ( x ) = m ( m − 1)(1 + x )
, f ′(0) =
m,
, f ′′ ( 0 ) = m ( m − 1),
m −3
f ′′′ ( x ) = m ( m − 1)( m − 2 )(1 + x )
, f ′ ( 0 ) = m ( m − 1)( m − 2 ),
………………………………………………………..
58
n
f ( ) ( x=
) m (m − 1)(m − 2) ⋅ ... ⋅ (m − (n − 1) ) (1 + x )m−n ,
n
f ( ) ( 0=
) m (m − 1)(m − 2) ⋅ ... ⋅ (m − (n − 1) ).
Подставляя в (4.1.7), будем иметь
(1 + x )m =1 + mx +
m ( m − 1) ⋅ ... ⋅ ( m − ( n − 1) ) n
m ( m − 1) 2
x + ... +
x + Rn ( x ).
1⋅2
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n
Доказательство стремления остаточного члена к нулю при
n → ∞ при x < 1 исследованием остаточного члена в форме Коши,
рассматриваемое в классических курсах математического анализа,
мы не приводим.
Окончательно,
(1 + x )m =1 + mx +
m ( m − 1) ⋅ ... ⋅ ( m − ( n − 1) ) n
m ( m − 1) 2
x + ... +
x + ...
1⋅2
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n
при –1 < x < 1. (4.3.4)
В частности, при m = –1 получаем
1
n
= 1 − x + x2 − x3 + ... + ( −1) xn + ... 1+ x
(4.3.5)
При m = 0,5 получим
1
1 2
1⋅ 3 3
1⋅ 3 ⋅5 4
1 + x =1 + x −
x +
x −
x + ... (4.3.6)
2
2⋅4
2⋅4⋅6
2⋅4⋅6⋅8
При m = –0,5 получим
1
1 ⋅ 3 2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 3 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅7 4
=−
x+
x −
x +
x − ... (4.3.7)
1
2
2⋅4
2⋅4⋅6
2⋅4⋅6⋅8
1+ x
1
Применим формулу (4.3.4) для получения рядов Маклорена для
некоторых других элементарных функций.
6. Ряд Маклорена для функции f ( x ) = arcsin x получим, подставляя в (4.3.7) вместо x выражение (–x2):
1
1⋅ 3 4 1⋅ 3 ⋅ 5 6 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅7 8
= 1 + x2 +
x +
x +
x + ... − 1 < x < 1.
2
2⋅4
2⋅4⋅6
2⋅4⋅6⋅8
1− x
1
2
59
Проинтегрируем (см. теорему 2 п. 3.3) теперь этот ряд почленно
в промежутке [0;x] (–1 < x < 1). Получим разложение f ( x ) = arcsin x
в ряд Маклорена:
x
∫
0
1 x3 1 ⋅ 3 x5 1 ⋅ 3 ⋅ 5 x7
= arcsin x = x + ⋅
+
⋅
+
⋅
+ ... +
2 3 2⋅4 5 2⋅4⋅6 7
1 − t2
dt
+
1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1) x2n +1
⋅
+ ... − 1 < x < 1.
2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ ( 2n ) 2n + 1
(4.3.8)
7. Ряд Маклорена для функции f ( x ) = arctg x получим, подставляя в (4.3.5) вместо x выражение (x2):
1
1+ x
n
2
= 1 − x2 + x4 − x6 + ... + ( −1) x2n + ... − 1 < x < 1.
Интегрируя (см. теорему 2 п. 3.3) теперь этот ряд почленно
в промежутке [0;x] (–1 < x < 1), получим разложение f ( x ) = arctg x
в ряд Маклорена:
x
∫
dt
01+ t
2
=arctgx =x −
n −1
+ ( −1)
x 3 x5
+
− ... +
3
5
x2n −1
+ ... − 1 < x < 1.
2n − 1
(4.3.9)
8. Ряд Маклорена для функции f =
( x ) ln (1 + x ) получим, интегрируя (4.3.5) (см. теорему 2 п. 3.3) этот ряд почленно в промежутке [0;x] (–1 < x < 1):
x
dt
x2 x 3
ln
x
x
=
1
+
=
−
+
− ... +
(
)
∫1+ t
2
3
0
n −1
+ ( −1)
xn
+ ... − 1 < x < 1.
n
(4.3.10)
Отметим, что в пунктах 4–7 вопрос сходимости на концах интервала сходимости требует специального рассмотрения.
9. Разложения функции в ряд Тейлора по формуле (4.2.4) с дальнейшим исследованием остаточного члена зачастую можно избежать, пользуясь известными разложениями в ряд Маклорена.
60
Продемонстрируем эту методику на следующем стандартном
примере.
Разложим в ряд Тейлора функцию f ( x ) = sin2 x по степеням
π

 x − .
4


Первоначально преобразуем искомую функцию, чтобы избежать возведения ряда в квадрат:
f ( x )= sin2 x=
1 − cos 2x 1 1
=
− cos 2x.
2
2 2
Сделаем замену переменной, чтобы раскладывать функцию
в ряд Маклорена по новой переменной:
π
π

 x −  =t → x =t + .
4
4

1 1
1 1
 π 1 1
π
 1 1
f (x) =
− cos 2x =
− cos 2  t +  =
− cos  + 2t  =
+ sin 2t.
2 2
2 2
4
2
2
2



 2 2
Пользуясь формулой (4.3.2), получаем ряд Маклорена

(2t )3 (2t )5 (2t )7
1 1
1 1
+ sin 2t = +  2t −
+
−
+ ...  =

2 2
2 2
3!
5!
7!


1
22
24
26
=
+ t − t3 + t5 − t7 + ...
2
3!
5!
7!
Возвращаясь к старой переменной, получаем ряд Тейлора
3
5
7
1 
24 
π  22 
π
π  26 
π
f ( x ) = +  x −  −  x −  +  x −  −  x −  + ...
2 
4  3! 
4
5! 
4
7! 
4
Как и в формуле (4.3.2) разложение справедливо при −∞ < x < ∞.
Вопросы для самопроверки
1. Формулы Тейлора и Маклорена.
2. Ряды Тейлора и Маклорена.
3. Ряд Маклорена для функции f ( x ) = ex .
61
4. Ряд Маклорена для функции
5. Ряд Маклорена для функции
6. Формула Эйлера.
7. Ряд Маклорена для функции
8. Ряд Маклорена для функции
9. Ряд Маклорена для функции
62
f ( x ) = sin x.
f ( x ) = cos x.
m
f ( x=
) (1 + x ) .
f=
( x ) ln (1 + x ).
f ( x ) = arctgx.
Глава 5
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
5.1. Общие замечания
Предварительно разъясним, как ряды могут быть использованы
для целей приближенных вычислений.
Обычно неизвестное число A разложено в ряд:
A = a1 + a2 + ... + an + ...,
где a1, a2, a3,… – легко вычисляемые (обыкновенно рациональные)
числа, и мы положим приближенно:
A ≈ An = a1 + a2 + ... + an ,
то поправка на отбрасывание всех остальных членов ряда выразится остатком rn = an +1 + an +2 + ...
При достаточно большом n эта погрешность станет сколь угодно
малой, так что An воспроизведет A с любой наперед заданной точностью.
Важно иметь возможность просто производить оценку остатка
rn; это позволило бы вовремя остановиться при вычислении частичных сумм, когда уже будет получено приближение требуемой точности.
Если рассматриваемый ряд оказывается знакопеременным и
притом с монотонно убывающими по абсолютной величине членами («лейбницевского типа»), то остаток имеет знак своего первого
члена и по абсолютной величине меньше его. Эта оценка в смысле
простоты не оставляет желать лучшего.
Несколько сложнее в случае положительного ряда.
Тогда обыкновенно стараются найти легко суммируемый положительный же ряд, члены которого были бы больше членов интересующего нас остатка, и оценивают остаток суммой этого ряда.
∞
Например, для ряда
1
∑ m2
можно получить
m =1
∞
∑
1
2
m=
n +1 m
∞
1
∑ m (=
m − 1)
m=
n +1
<
∞
1 1
 1
=
− 
.

m=
n +1  m − 1 m  n ∑
(5.1.1)
63
(Смотри пример 2 п. 1.1).
Обыкновенно ищется десятичное приближение числа, в то время как члены ряда могут и не быть выражены десятичными дробями. При обращении их в десятичную дробь, округление их служит
источником новой погрешности, которую также следует учесть.
Отметим и то, что далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число A, пригоден для фактического вычисления
этого числа (даже если его члены просты, и оценка остатка производится легко).
Вопрос – в быстроте сходимости, т. е. в быстроте приближения
частичной суммы к числу A.
Приведем простые примеры.
Подставляя в формулу (4.3.9) x = 1, получаем ряд для вычисления числа π :
π
1 1 1 1
=1 − + − + − ...
4
3 5 7 9
(5.1.2)
Для того чтобы вычислить число π с точностью до 0,00001, нужно было бы сложить пятьдесят тысяч членов.
Подставляя в формулу (4.3.10) x = 1, получаем ряд для вычисления числа ln 2 :
ln 2 =1 −
1 1 1 1
+ − + − ...
2 3 4 5
(5.1.3)
Для того чтобы вычислить число ln 2 с точностью до 0,00001,
нужно было бы сложить сто тысяч членов.
Очевидно, что хотя это и возможно с помощью современной вычислительной техники, но вряд ли целесообразно.
5.2. Вычисление универсальных постоянных
1. Начнем с числа π .
Воспользуемся рядом для арктангенса (4.3.9):
arctgx = x −
Если взять x =
64
2n −1
x 3 x5
n −1 x
+
− ... + ( −1)
+ ... − 1 ≤ x ≤ 1.
3
5
2n − 1
1
3
π
, то arctgx = , и мы получаем ряд
6
π
=
6
1  1 1 1 1 1 1 1 1
1 − ⋅ + ⋅ 2 − ⋅ 3 + ⋅ 4 −
3 3 5 3
7 3
9 3
3
−
1 1
1 1
1 1

⋅
+
⋅
− ⋅
+ ... ,
11 35 13 36 15 37

(5.2.1)
уже пригодный для вычисления. Действительно, чтобы вычислить
по (5.2.1) число π с точностью до 0,00001, достаточно взять восемь
(выписанных) слагаемых. Итак, число π =3,14159 (с пятью знаками после запятой).
Еще более удобные ряды для нахождения числа π смотри в литературе [1].
2. Вычислим число e.
Воспользуемся рядом для ex (4.3.1):
ex =1 +
x x2 x 3
xn
+
+
+ ... +
+ ...
1 2! 3!
n!
При x = 1 имеем
1 1 1
1
e =1 + + + + ... + + ...
1 2! 3!
n!
(5.2.2)
Оценим остаточный член в (5.2.2).
∞
1
1 ∞
1
1 ∞
1
1
=
<
=
.
∑
∑
m −n n !⋅ n (5.2.3)
m
n
n
+
⋅
⋅
m
n
!
!
1
...
!
(
)
m=
n +1
m=
n +1
m=
n +1 ( n + 1)
∑
1
1
1
n +1
В (5.2.3) учтено, что ∑
(по форму= =
m −n
1
n
m= n +1 ( n + 1)
1−
n +1
ле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см.
(1.1.8)).
И, чтобы вычислить по (5.2.2) число e с точностью до 0,00001,
достаточно взять восемь слагаемых. Итак, число e = 2,71828. (с пятью знаками после запятой).
3. Вычисление логарифмов.
Вспомним формулу (4.3.10):
∞
ln (1 + x ) = x −
n
x2 x 3
n −1 x
+
− ... + ( −1)
+ ... − 1 < x < 1. (5.2.4)
n
2
3
65
Если в этой формуле заменить x на –x, то получается ряд
ln (1 − x ) =−x −
x2 x 3
xn
−
− ... −
− ... − 1 < x < 1.
n
2
3
(5.2.5)
С помощью рядов (5.2.4) и (5.2.5) можно вычислять логарифмы
чисел, заключенных между нулем и двумя.
Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов
любых целых чисел.
Так как при почленном вычитании двух сходящихся рядов получается сходящийся ряд (см. теорему 3 п. 1.2), то, вычитая почленно равенство (5.2.5) из равенства (5.2.4), находим
ln (1 + x ) − ln (1 − x )= ln
Положим


1+ x
x 3 x5
= 2 x +
+
+ ... .


1− x
3
5

 (5.2.6)
1+ x n +1
1
=
→=
x
.
1− x
n
2n + 1
При любом n > 0 имеем 0 < x < 1, поэтому
ln
 1

1+ x
n +1
1
1
=
ln
=
2
+
+
+ ... ,
 2n + 1 3 ( 2n + 1)3 5 ( 2n + 1)5

1− x
n


откуда
 1

1
1
+
+
+ ... . (5.2.7)
ln ( n + 1) −=
lnn 2 
 2n + 1 3 ( 2n + 1)3 5 ( 2n + 1)5


 При n = 1 получаем
1
1
1
1
1

ln 2 =2  +
+
+
+
+ ... .
3
5
7
9
5⋅3
7⋅3
9⋅3
 3 3⋅3
 Оценим остаточный член в (5.2.8).
66
(5.2.8)
∞
∞
2
1
∑ 2m + 1 32m+1 (2n + 1) ∑ 32m+1 =
)
m=
n +1 (
m=
n +1
2
<
1
=
2
2n +1
(2n + 1)
1
⋅3
=
.
1 4 ( 2n + 1) 32n −1
1−
9
(5.2.9)
В (5.2.9) воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (см. (1.1.8)).
И, чтобы вычислить по (5.2.8) ln2 с точностью до 0,00001, достаточно взять пять слагаемых. Итак, число ln2 = 0,69315 (с пятью
знаками после запятой).
Полагая в формуле (5.2.7) n = 2, получим
1
1
1
1

ln 3 =ln 2 + 2  +
+
+
+ ... .
3
5
7
5
3⋅5
5⋅5
7 ⋅5

 (5.2.10)
Число ln3 = 1,09861 (с пятью знаками после запятой).
Таким образом можем получить натуральные логарифмы любых целых чисел.
Чтобы перейти к вычислению десятичных логарифмов, вычислим еще и ln5.
Полагая в (5.2.7) n = 4, найдем
2 1 1 1 1

ln=
5 2 ln 2 +  1 + ⋅
+ ⋅
+ ... .
9
3 81 5 812

Число ln5 = 1,60944 (с пятью знаками после запятой).
Пользуясь известной формулой связи десятичных и натуральных логарифмов: lg =
x
да M:
=
M
1
ln =
x M ⋅ ln x, найдем модуль перехоln10
1
1
=
= 0,43429...
ln10 ln 2 + ln 5
Таким образом можем получить и десятичные логарифмы любых целых чисел.
Например, lg 2 =M ⋅ ln 2 =0,43429 ⋅ 0,69315 =0,30103.
67
5.3. Вычисление определенных интегралов
с помощью рядов
Как известно, существуют определенные интегралы, которые
как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов.
Рассмотрим несколько стандартных примеров.
1. Пусть требуется вычислить интеграл (вероятностей)
a
∫e
− x2
dx.
0
2
Здесь первообразная от e− x не является элементарной функцией.
Для вычисления этого интеграла разложим подынтегральную
функцию в ряд, заменяя в разложении ex (4.3.1) x на –x2:
2
e− x = 1 −
2n
x2 x 4 x 6
nx
+
−
+ ... + ( −1)
+ ...
n!
1! 2 ! 3 !
Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 0 до a, получим
a
∫e
0
− x2
a
 x x3

x5
x7
dx = −
+
−
+ ...  =
 1 3 ⋅ 1! 5 ⋅ 2 ! 7 ⋅ 3 !


0
a a3
a5
a7
=−
+
−
+ ...
1 3 ⋅ 1! 5 ⋅ 2 ! 7 ⋅ 3 !
(5.3.1)
C помощью этого равенства можно при любом a вычислить данный интеграл с любой степенью точности.
2. Пусть требуется вычислить интеграл (интегральный синус)
a
∫
0
sin x
dx.
x
Разложим подынтегральную функцию в ряд. Из равенства (4.3.2):
sin x= x −
68
2k −1
x 3 x5
k −1 x
+
− ... + ( −1)
+ ... ïðè − ∞ < x < ∞.
3! 5!
(2k − 1) !
Получаем
2k −2
sin x
x2 x 4 x 6
k −1 x
... + ( −1)
= 1−
+
−
+ ...,
3! 5! 7 !
x
(2k − 1) !
причем последний ряд сходится при всех значениях x. Интегрируя
почленно, получим
a
sin x
a3
a5
a7
dx
a
=
−
+
−
+ ...
∫ x
3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! 7 ⋅ 7 !
0
(5.3.2)
Сумма ряда легко вычисляется с любой степенью точности при
любом a.
3. Пусть требуется вычислить эллиптический интеграл
π
2
∫
1 − k2 sin2 ϕdϕ (k < 1).
0
Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, положив
1
m ==
, x −k2 sin2 ϕ (см. формулу (4.3.4)).
2
1
1 1
1 1 3
1 − k2 sin2 ϕ = 1 − k2 sin2 ϕ − ⋅ k4 sin4 ϕ − ⋅ ⋅ k6 sin6 ϕ − ...
2
2 4
2 4 6
Этот ряд сходится при всех значениях ϕ и допускает почленное
интегрирование, так как он мажорируем на любом интервале.
Поэтому
ϕ
∫
0
ϕ
ϕ
0
ϕ
0
1
1 1
1 − k2 sin2 ϕdϕ = ϕ − k2 ∫ sin2 tdt − ⋅ k4 ∫ sin4 tdt −
2
2 4
1 1 3
− ⋅ ⋅ k6 ∫ sin6 tdt −...
2 4 6
0
Интегралы, стоящие справа, вычисляются элементарно. При
π
ϕ = имеем
2
69
π
2
π
2
π
π

2
2

 1 π
cos
−
ϕ
1
2
1
2

=
sin
d
d
d
cos
d
2
ϕ
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
−
ϕ
ϕ
⋅ ,
∫
∫ 2
∫
2 ∫
 2 2
0
0
0
0




π
2
π
2
π
π
π

2
2
2


(1 − cos 2ϕ)
1
4
2
 ∫ dϕ − 2 ∫ cos 2ϕdϕ + ∫ cos 2ϕd=
dϕ ∫
dϕ
=
ϕ
∫ sin ϕ=
4
4

0
0
0
0
0



π


 1 π 1 π
1 π 1 2

 1⋅ 3 π
 + ∫ (1 + cos 4ϕ ) dϕ=

⋅ ,
 + ⋅ =

4 2 2
 4  2 2 2  2⋅4 2
0




2
………………………………………………………………………………….
π
2
1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( 2n − 1) π
⋅ , и, следовательно,
2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ 2n
2
2n
=
∫ sin ϕdϕ
0
π
2
∫
1 − k2 sin2 ϕdϕ =
0
2
2
2

π   1  2  1 ⋅ 3  k4  1 ⋅ 3 ⋅ 5  k6
1 −   k − 
. (5.3.3)
...
=
−
−




2 2
 2⋅4  3  2⋅4⋅6  5


5.4. Простейшие методы суммирования
Во введении были изложены наиболее простые методы суммирования.
Покажем на простых примерах, как можно пользоваться свойствами степенных рядов для их суммирования. Другими словами,
если в 4-й главе функциям мы сопоставляли степенные ряды, то,
как в некоторых случаях, степенным рядам обратно можно сопоставлять функции.
70
x5 x 9
x4n −3
+
+ ... +
+ ... x < 1.
5
9
4n − 3
Данный ряд абсолютно сходящийся и поэтому возможно почленное дифференцирование (см. теорему 2 п. 3.3).
Пример 1. Пусть f ( x ) =x +
f ′ ( x ) =1 + x4 + x8 + ... + x4n −4 + ... x < 1.
Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (1.1.8), получаем
=
f ′( x )
1
1 − x4
x < 1.
Интегрируя для x < 1 , получим
f (x) =
x
1
∫
01−t
4
dt =
x
1  1
1 
1 1 1+ x

+
+ arctgx .

 dt =  ln
∫
2
2
2 1−t
2 2 1− x

1+ t 
0
Пример 2. Пусть f ( x ) =1 + 2x + 3x2 + ... + nxn −1 + ...
x < 1.
Данный ряд абсолютно сходящийся и поэтому возможно почленное интегрирование (см. теорему 1 п. 3.3).
x
∫ f ( t ) dt =x + x
0
2
x
+ x3 + ... + xn + ... =
1− x
x < 1.
Дифференцируя по переменному верхнему пределу, получаем
 x ′ 1 − x + x
=
f ( x ) =
=

 1 − x  (1 − x )2
1
(1 − x )2
.
5.5. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью рядов
Если интегрирование дифференциального уравнения не приводится к квадратурам, то прибегают к приближенным методам
интегрирования уравнения. Одним из таких методов является
представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма ко71
нечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению.
Проиллюстрируем вышеизложенное на простых примерах.
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения
первого порядка
y′ = F ( x, y ),
(5.5.1)
удовлетворяющее начальному условию y = y0 при x = x0, и пусть
F(x,y) имеет в точке (x0,y0) и ее окрестности производные всех порядков по x и y.
Допустим, что решение существует и представимо в виде ряда
Тейлора:
y = f ( x ) = f ( x0 ) +
f ′ ( x0 )
1!
( x − x0 ) +
f ′′ ( x0 )
2!
( x − x0 )2 + ...
(5.5.2)
Значения f ( x0 ), f ′ ( x0 ), f ′′ ( x0 ), ... найдем из самого уравнения
с учетом начального условия.
′ F ( x0 , y0 ).
Действительно, f ( x0=
) y0 , f ′ ( x0=) y=
0
Продифференцировав (5.5.1), получим
y′′ =
∂F ( x0 , y0 ) ∂F ( x0 , y0 )
∂F ∂F
+
+
y′ → y0′′ =
y0′ .
∂x ∂y
∂x
∂y
Находя последовательно производные и подставляя в (5.5.2),
получим в области сходимости ряда решение задачи Коши (5.5.1)
в виде ряда Тейлора.
1
Пример 1.=
Пусть y′ =
xy, y ( 0 ) 1.
2
Решение.
Найдем решение задачи Коши для данного уравнения в виде
ряда Тейлора (Маклорена).
Найдем последовательно коэффициенты ряда Маклорена.
f ( x0=
) f ( 0=) y=
) y0=′ 0.
0 0, f ′ ( 0=
1
1
1
1
y′′ =
y + xy′, y′′ ( 0 ) =
y (0) =
.
2
2
2
2
72
1
1
1
1
y′′′ = y′ + y′ + xy′′ =
y′ + xy′′, y′′′ ( 0 ) =
0.
2
2
2
2
1
1
3
1
3
y IV =
y′′ + y′′ + xy′′′ = y′′ + xy′′′, y IV ( 0 ) = и т. д.
2
2
2
2
4
В итоге получаем
1
3
1
1 4
y =1 + 2 x2 + 4 x4 + ... =1 + x2 +
x + ...
2!
4!
4
32
Данный ряд сходится при любом x.
Если уравнение линейное, то удобнее искать коэффициенты разложения частного решения по методу неопределенных коэффициентов. Для этого непосредственно подставляем ряд
y = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ...
в дифференциальное уравнение и приравниваем коэффициенты,
стоящие при одинаковых степенях x в разных частях уравнения.
Пример 2. Найти решение уравнения
=
y′′ 2xy′ + 4y,
удовлетворяющее начальным условиям
=
y ( 0 ) 0=
, y′ ( 0 ) 1.
Решение.
Полагаем y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + ...
На основании начальных условий находим a0 = 0, a1 = 1.
Следовательно, y =x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + ...,
y′ =1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + nan xn −1 + ...,
y′′= 2a2 + 3 ⋅ 2a3 x + ... + n ( n − 1) an xn −2 + ...
Подставляя написанные выражения в заданное уравнение и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим
2a2 = 0, откуда a2 = 0,
73
3 ⋅ 2a3 =+
2 4, откуда a3 = 1,
4 ⋅ 3a4 = 4a2 + 4a2 , откуда a4 = 0,
……………………………………………….
n ⋅ ( n − 1) an = ( n − 2 ) ⋅ 2an −2 + 4a2 , откуда an =
2an −2
,
n −1
………………………………………………...
Следовательно,
1
1
2
2⋅
k
−
1) ! 1
(
2 ⋅1 1
1
2 1, =
a5 =
a7
a9
=
=
=
, =
,..., a2k=
,...,
+1
k!
4
2!
6
3!
4!
2k
=
a4 0=
, a6 0, ...=
, a2k 0, ...
Подставляя найденные коэффициенты, получаем искомое решение
y =x +
x3 x5 x7
x2k+1
+
+
+ ... +
+ ...
k!
1! 2 ! 3 !
Полученный ряд сходится при всех значениях x.
Отметим, что найденное частное решение можно выразить через элементарные функции: вынося x за скобку, получим в скобках
2
разложение функции ex (см. (4.3.1). Следовательно,
2
y = xex .
Вопросы для самопроверки
1. Вычисление числа π.
2. Вычисление числа e.
3. Вычисление натуральных логарифмов.
4. Вычисление интеграла вероятностей.
5. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов.
74
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В завершение отметим, что данное учебное пособие является
лишь фундаментом для изучения одного из важнейших разделов
высшей математики.
Первые две главы посвящены базовым понятиям теории произвольных рядов. Третья глава конкретизирует вопросы сходимости
и расходимости для степенных рядов. Четвертая глава посвящена аппроксимации функций, имеющих любое число непрерывных
производных, степенными рядами, т. е. разложению функций
в ряд по степеням самых простых по возможности элементов. Это
самый элементарный и исторически первый метод аппроксимации
функций.
В зависимости от свойств функций и необходимости их представления в определенном виде других типовых функций возможны разные методы аппроксимации. В качестве развития поставленных задач сформулируем определенную идею разложения
функций, на которые наложены меньшие требования, чем на функции (имеющие любое число непрерывных производных), которые
мы раскладывали в степенные ряды.
Пусть
мы
имеем
систему
ортогональных
функций
ϕ1, ϕ2 , ϕ3 ,..., ϕn ,..., т. е. ( ϕi , ϕk ) =0, i ≠ k; ( ϕi , ϕi ) =λ i > 0.
Допустим, что искомая функция f может быть разложена в ряд:
f = c1ϕ1 + c2ϕ2 + c3ϕ3 + ... + cn ϕn + ...
Домножая предыдущее равенство скалярно на ϕi , получим
(f, ϕi ) = c1 (ϕ1, ϕi ) + c2 (ϕ2 , ϕi ) + c3 (ϕ3 , ϕi ) + ... + ci (ϕi , ϕi ) + ... + cn ϕn + ...
Учитывая ортогональность системы функций, получаем
(f, ϕ )
(f, ϕi ) =
ci (ϕi , ϕi ) =
λ i ci , ci = i .
λi
Это так называемые коэффициенты Фурье.
Указанный подход к методу разложения функций предваряет
важный раздел разложения функций в ряды Фурье, которому будет посвящено следующее пособие.
75
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник для втузов: в 2 т. М.: Интеграл-Пресс, 2009. 560 с.
Т. 2.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3 т. СПб.: Лань, 2009. 800 с. Т. 2.
3. Осипов А. В. Лекции по высшей математике: учеб. пособие.
СПб.: Лань, 2014. 320 с.
4. Казаков А. Я., Корчевский В. М. Числовые и функциональные
ряды: метод. указ. СПб.: ГУАП, 2012. 49 с.
5. Макарова М. В., Щербакова И. В. Ряды: метод. указ. СПб.:
ГУАП, 2014. 43 с.
76
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...................................................................................
3
Глава 1. Числовые ряды..............................................................
6
Глава 2. Функциональные ряды...................................................
31
Глава 3. Степенные ряды.............................................................
42
Глава 4. Ряды Тейлора и Маклорена.............................................
51
Глава 5. Приближенные вычисления с помощью рядов...................
63
Заключение..............................................................................
75
Список литературы....................................................................
76
Учебное издание
Гусман Юрий Аронович,
Помыткин Сергей Павлович,
Смирнов Александр Олегович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.
РЯДЫ
Учебное пособие
Редактор А. В. Подчерпаева
Компьютерная верстка Ю. В. Умницына
Сдано в набор 14.10.15. Подписано к печати 12.11.15. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,6. Уч.-изд. л. 4,9.
Тираж 100 экз. Заказ №. 442
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 385 Кб
Теги
gusmanpomatkin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа