close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

GusmanSmirnovFrank

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Ю. А. Гусман, А. О. Смирнов, В. И. Франк
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
И УПРАЖНЕНИЯ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2012
УДК 517.93(075.8)
ББК 32.965.4я7
Г96
Рецензент
доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. А. Пичугин;
доктор физ.-мат. наук, профессор В. Г.Фарафонов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Гусман, Ю. А.
Г96 Линейные пространства и линейные операторы. Основные теоретические понятия и упражнения: учеб. пособие/ Ю. А. Гусман,
А. О. Смирнов, В. И. Франк. – СПб.: ГУАП, 2012. – 44 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0695-5
Учебное пособие, содержащее теоретические материалы и проверочные упражнения «Линейные пространства и линейные операторы», предназначено для углубленного изучения курса высшей
математики студентами, бакалаврами и магистрами факультета
информационных систем и защиты информации, развития навыков
самостоятельной работы и контроля усвоенных знаний.
Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом СанктПетербургского государственного университета аэрокосмического
приборостроения.
УДК 517.93(075.8)
ББК 32.965.4я7
Учебное издание
Гусман Юрий Аронович
Смирнов Александр Олегович
Франк Владислав Игоревич
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
И УПРАЖНЕНИЯ
Учебное пособие
Редактор Л. А. Яковлева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 06.02.12. Подписано к печати 22.03.12.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,5.
Уч.-изд. л. 2,6. Тираж 100 экз. Заказ № 100.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
ISBN 978-5-8088-0695-5
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
© Ю. А. Гусман, А. О. Смирнов,
В. И. Франк, 2012
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Основные определения
В курсах аналитической геометрии, математического анализа
и алгебры мы встречались с объектами различной природы: вещественными и комплексными числами, векторами на прямой линии, на плоскости и в трехмерном пространстве, n-мерными векторами, матрицами, функциями, определенными на некотором отрезке. Для каждого типа таких объектов были установлены операции их сложения и умножения на число. Эти операции, несмотря
на различие в их определении, в природе объектов, над которыми
они совершаются, обладают существенными общими свойствами.
Можно отвлечься от конкретной природы этих объектов и построить общую теорию, применимую в любом конкретном случае.
Ограничимся определением линейного пространства и приведем
простейшие примеры.
Основным понятием является понятие линейного пространства,
которое вводится аксиоматически. Рассмотрим множество U элементов x,y,z,…. Будем предполагать, что:
с каждой парой двух элементов x и y [x Î U, y Î U ] каким-то образом сопоставляется третий элемент z (z∈U), называемый их суммой
и обозначаемый z = x + y;
с каждым элементом x∈U и каждым числом l сопоставляется
элемент u Î U, называемый произведением элемента x на число l
и обозначаемый u = lx.
Множество U называется линейным пространством, если установленные для его элементов x,y,z… операции сложения и умножения на число подчинены следующим аксиомам:
а) x + y = y + x для любых x, y Î U;
б) (x + y) + z = x + (y + z) для любых x, y, z∈U;
в) существует элемент «нуль», обозначаемый через 0, и такой,
что x + 0 = x при любом x∈U;
г) для любого элемента x существует противоположный элемент
(–x), такой, что x + (–x) = 0;
д)  1× x = x;
е)  (α × β)x = α × (β x);
ж) α(x + y) = αx + αy;
з) (α + β)x = αx + βx, где α и β – любые числа.
Элементы x,y,z,… линейного пространства U называются векторами. В частности, элемент «нуль» называется нулевым векто3
ром (нуль-вектор), противоположный элемент – противоположным
вектором. В качестве чисел можно брать либо комплексные, либо
вещественные. Линейное пространство называется комплексным,
если для него определено умножение на комплексные числа, и вещественным, если определено умножение только на вещественные
числа.
1.2. Примеры линейных пространств
Отметим, что в данном выше аксиоматическом определении линейного пространства природа векторов безразлична.
А. Множество вещественных чисел составляет вещественное линейное пространство. Аксиомы, приведенные выше, выполняются
в этом случае в силу свойств действий, установленных в арифметике.
Аналогично комплексные числа составляют комплексное линейное пространство.
Б. Пространство, векторами которого являются квадратные матрицы порядка n, также является примером линейного пространства, так как правилам сложения квадратных матриц и умножения их на число подчиняются аксиомы «а» – «з».
В. Векторами пространства C[a, b],] являются вещественные
или комплексные функции x = x(t) вещественного аргумента, непрерывные на отрезке [a, b]. В этом пространстве сумма двух векторов определяется как обычная сумма соответствующих функций,
произведение вектора на число – как обычное произведение соответствующей функции на это число:
x + y = x(t) + y(t); lx = lx(t).
Как известно, сумма двух функций (векторов нашего пространства), непрерывных на [a,b], и результат умножения такой функции (вектора нашего пространства) на число снова представляют
собою функцию, непрерывную на отрезке [a,b].
Роль нулевого вектора в пространстве C[a,b] играет функция,
тождественно равная нулю на отрезке [a,b], а противоположным
вектором (–x) является функция (–1)x(t). Установленные над рассматриваемыми функциями действия удовлетворяют всем аксиомам из определения линейного пространства.
Г. То же относится и к множеству всех полиномов степени, меньшей или равной n, с обычными действиями сложения и умножения
4
на число, представляющих собой линейное пространство. Заметим,
что множество всех полиномов степени, равной n, не будет линейным пространством, так как сумма таких полиномов может оказаться полиномом степени, меньшей чем n.
Например: полиномы 2-й степени x = t2 + t + 1, y = -t2 + t + 1, а
их сумма x + y = 2t + 2 – полином 1-й степени.
1.3. Базис и размерность пространства
Рассмотрим произвольное вещественное линейное пространство U.
Определение. Совокупность линейно-независимых элементов
e1, e2 ,..., en пространства U называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства U найдутся веще-ственные числа x1, x2 ,..., xn такие, что справедливо равенство
x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en .
Напомним, что e1, e2 ,..., en называются линейно-независимыми,
если их нулевая линейная комбинация a1e1 + a2e2 + ... + an en = 0
возможна лишь при нулевых коэффициентах a1 = a2 = ... = an = 0.
При этом равенство называется разложением элемента по базису e1, e2,..., en, а числа x1, x2,..., xn называются координатами элемента x (относительно базиса e1, e2,..., en).
Докажем, что каждый элемент x линейного пространства U может быть разложен по базису e1, e2,..., en единственным способом,
т. е. координаты каждого элемента x относительно базиса e1, e2,...,
en определяются однозначно.
Допустим, что наряду с одним разложением x x = x1e1 + x2e2
+ ... + xnen справедливо и другое разложение по тому же самому
базису:
x = x11e1 + x21e2 + ... + xn1 en .
Почленное вычитание приводит к соотношению
(
)
(
)
(
)
0 = x1 - x11 e1 + x2 - x21 e2 + ... + xn - xn1 en .
В силу линейной независимости базисных элементов e1, e2,..., en
соотношение приводит к равенствам
x1 - x11 = 0, x2 - x21 = 0,
x - xn1 = 0
... n
и единственность доказана.
5
Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса
превращаются в соответствующие операции над числами-координатами этих элементов. При сложении двух любых элементов линейного пространства U их координаты (относительно любого базиса пространства U) складываются, при умножении произвольного
элемента на любое число lвсе координаты этого элемента умножаются на l.
1.4. Размерность линейного пространства
Линейное пространство U называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n + 1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называется размерностью пространства U.
Размерность пространства U обозначают dimU. Линейное пространство U называется бесконечно мерным, если в нем существует
любое число линейно независимых элементов.
Выясним связь между понятием размерности пространства и
введенным понятием базиса.
Теорема. Если U – линейное пространство размерности n, то любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют базис.
Доказательство: пусть e1, e2,..., en – любая система n линейно независимых элементов пространства U. Если x – любой элемент U, то согласно определению, система (n + 1) элементов x,
e1, e2,..., en линейно зависима, т. е. найдутся не все равные нулю
числа a0, a1, a2,..., an, что справедливо a0 x + a1e1 + a2 e2 + an en = 0,
a0 заведомо отлично от нуля (ибо в противном случае элементы e1, e2,..., en были бы линейно зависимыми). Но тогда, подеa
a
a
лив на a0 и положив x1 = - 1 , x2 = - 2 , ..., xn = - n , получим
a0
a0
a0
x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en .
Так как x – произвольный элемент U, то данное равенство показывает, что система элементов e1, e2,..., en является базисом пространства Un.
Дадим без доказательства и обратную теорему.
Теорема. Если линейное пространство U имеет базис, состоящий из n элементов, то размерность U равна n.
6
1.5. Изоморфизм линейных пространств
Покажем, что различные линейные пространства одной и той
же размерности n в смысле свойств, связанных с введенными в
этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг
от друга. Так как в линейных пространствах введены лишь операции сложения элементов и умножения элементов на числа, то естественно следует определение.
Определение. Два произвольных вещественных линейных пространства R и R называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам x и y пространства R отвечают
соответствующие элементы x и y пространства R, то элементу
x + y отвечает элемент x + y, а элементу lx при любом вещественном l отвечает элемент ly.
Заметим, что если линейные пространства R и R изоморфны,
то нулевому элементу R отвечает нулевой элемент R , и наоборот.
Пусть элементу x Î R отвечает x Î R. Тогда элементу 0⋅x пространства R отвечает элемент 0 × x пространства R. Отсюда следует, что
если в случае изоморфизма элементам x,y,…,z пространства R отвечают соответствующие элементы x, y,..., z пространства R, то
линейная комбинация αx + β y + ... + γz является нулевым элементом пространства R тогда и только тогда, когда линейная комбинация αx + βy + ... + γz является нулевым элементом пространства
R. Но это означает, что если пространства R и R изоморфны, то
максимальное число линейно-независимых элементов в каждом из
этих пространств одно и то же. Иными словами, два изоморфных
пространства обязаны иметь одинаковую размерность. Стало быть,
пространства разной размерности не могут быть изоморфны. Сформулируем и следующее утверждение.
Теорема. Любые два n-мерных вещественных линейных пространства R и R изоморфны. В итоге, единственной существенной
характеристикой конечно мерного линейного пространства является его размерность.
1.6. Скалярное произведение. Норма.
Неравенство Коши
Из аналитической геометрии мы знакомы с понятием скалярного произведения двух свободных векторов.
7


Напомним, что скалярным произведениемвекторов

  a и b в
трехмерном пространстве называется скаляр a, b = a b cos j, где j

 

угол между векторами a и b. В декартовом базисе (базис i, j, k состоит из трех взаимно перпендикулярных единичных векторов),



 


 
если a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k, (a, b) = ax bx + ay by + az bz .
Соответствующим образом определим скалярное произведение элементов в линейном пространстве.
Определение. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:
А. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства x и y ставится в соответствие вещественное
число, называемое скалярным произведением этих элементов и
обозначаемое символом (x,y);
Б. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
а) (x,y) = (y,x) (переместительное свойство или симметрия),
б) (x1 + x2,y) = (x1,y) + (x2,y) (распределительное свойство),
в) (lx,y) = l(x,y) для любого вещественного l;
г) (x,x)>0, если x – ненулевой элемент и (x,x) = 0, если x – нулевой элемент 
При введении понятия евклидова пространства абстрагируются не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного
вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь,
чтобы эти правила удовлетворяли 8 аксиомам линейного пространства и 4 аксиомам скалярного произведения). Если природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указан, то евклидово
пространство называется конкретным.
( )
Пример 1.6.1.
Рассмотрим линейное пространство B3 всех свободных векторов. Скалярное произведение определим как в аналитической геометрии (произведение длин на косинус угла между ними). В аналитической геометрии доказывалось соблюдение аксиом «а» – «г».
Отсюда, B3 с введенным скалярным произведением стало евклидовым пространством.
Пример 1.6.2.
Рассмотрим линейное пространство C[a,b] всех функций x(t),
определенных и непрерывных на a ≤ t ≤ b. Это линейное пространство бесконечно мерное, так как для любого номера n система
8
(n + 1) элементов этого пространства 1,t,t2 ,...,tn является линейно независимой (ибо в противном случае некоторый многочлен
c0 + c1t + c2t2 + ... + cn tn , не все коэффициенты которого равны
нулю, оказался бы тождественно равен нулю) на a ≤ t ≤ b.
Скалярное произведение двух функций x(t) и y(t) определим –
b
ò x(t)y(t)dt.
a
Легко проверяется справедливость аксиом, и пространство C[a,b]
с так определенным скалярным произведением представляет собой
бесконечно мерное евклидово пространство.
Пример 1.6.3.
Евклидовым пространством является n-мерное линейное пространство An упорядоченных совокупностей n вещественных чисел,
скалярное произведение двух любых элементов x = (x1, x2 ,..., xn )
и y = (y1, y2 ,..., yn ) определяется (x, y) = x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn .
Легко проверяются аксиомы «а» – «г». Это евклидово пространство часто обозначают En.
Установим важное неравенство Коши (Буняковского).
Теорема. Для любых двух элементов x и y произвольного евкли2
дова пространства справедливо неравенство (x, y) £ (x, x)(y, y), называемое неравенством Коши (Буняковского).
Доказательство: для любого вещественного l в силу аксиомы «г» скалярного произведения справедливо неравенство
(lx - y,lx - y) ³ 0. В силу аксиом «а» – «в» неравенство можно переписать:
(lx - y,lx - y) = (lx,lx - y) - (y,lx - y) = l (lx - y, x) - (lx - y, y) =
= l (lx, x) - l (y, x) - (lx, y) + (y, y) = l2 (x, x) - 2l (x, y) + (y, y) ³ 0.
Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена является неположительность дискриминанта,
2
2
т. е. (x, y) - (x, x)(y, y) £ 0 è (x, y) £ (x, x )(y, y).
Теперь введем в произвольное евклидово пространство понятие
нормы (или длины) каждого элемента. Введем для этого понятие
линейного нормированного пространства.
Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если выполнены два требования:
1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу x
пространства R ставится в соответствие вещественное число, назы9
ваемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое
символом x ;
2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
а)  x > 0, если x – ненулевой элемент, x = 0, если x – нулевой
элемент;
б)  lx = l x для любого x и любого вещественного числа l;
в) для любых двух элементов x и y справедливо следующее неравенство:
x + y £ x + y , называемое неравенством треугольника (или
неравенством Минковского).
Теорема. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента x определить равенством
x = (x, x).
Доказательство: достаточно проверить для нормы условия
«а» – «в».
Справедливость «а» вытекает из аксиомы «г» скалярного произведения. Аксиома «б» справедлива, так как
lx = (lx, lx) = l (x, lx) = l (lx, x) = l2 (x, x) =
= l (x, x) = l x .
Убедимся в справедливости для нормы аксиомы «в», т. е. неравенства треугольника. Неравенство Коши (Буняковского) перепишем в виде
(x, y) £ (x, x) (y, y).
С помощью этого неравенства аксиом «а» – «г» скалярного произведения и определения нормы получим:
x + y = (x + y, x + y) =
= (x, x) + 2(x, y) + (y, y) £ (x, x ) + 2 (x, x ) (y, y) + (y, y) =
=
(
2
(x, x) + (y, y)) = (x, x) + (y, y) = x + y .
Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением x = (x, x), для любых двух
элементов x и y справедливо неравенство треугольника.
10
В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами x и
y этого пространства. По аналогии с векторной алгеброй, назовем углом j между элементами x и y тот (изменяющийся в пределах от 0 до p) угол, косинус которого определяется соотношением
(x, y)
(x, y)
cos j =
=
. Далее будем называть два произвольx y
(x, x) (y, y)
ных элемента x и y евклидова пространства E ортогональными,
если скалярное произведение этих элементов равно нулю (тогда
cosj = 0). По аналогии с векторной алгеброй назовем сумму x + y
двух ортогональных элементов x и y гипотенузой прямоугольного
треугольника, построенного на элементах x и y. Заметим, что во
всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле,
поскольку (x,y) = 0,
x+y
2
= (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) =
= (x, x) + (y, y) = x
2
2
+ y .
Этот результат обобщается на n попарно ортогональных элементов x1, x2 ,..., xn : åñëè z = x1 + x2 + ... + xn , то
2
z = (x1 + x2 + ... + xn , x1 + x2 + ... + xn ) =
= (x1, x1 ) + (x2 , x2 ) + ... + (xn , xn ) = x1
2
+ x2
2
2
+ ... + xn .
Запишем норму, неравенство Коши (Буняковского) и
неравенство треугольника для некоторых уже рассмотренных
нами конкретных евклидовых пространств.
В евклидовом пространстве всех свободных векторов собычным
определением скалярного произведения норма вектора a совпада
ет с его длиной a , неравенство Коши (Буняковского) приводится
к виду
  2
(a,b)
 2  2
 
 
 
£a b
âûòåêàåò èç (a, b) = a b cos j £ a b ,
(
)
   
а неравенство треугольника – к виду a + b £ a + b (если сложить
a и b по правилу треугольника, то это неравенство сводится к
тому, что одна сторона треугольника не превышает суммы двух
других его сторон).
11
В евклидовом пространстве C[a,b] всех непрерывных на a £ t £ b
b
òx
функций x = x(t) норма элемента x = x(t) равна
2
(t)dt , а нера-
a
венство Коши (Буняковского) и треугольника имеют вид
b
æb
ö÷2 b
çç
2
2
÷
çç ò x (t)y(t)dt÷÷ £ ò x (t)dt ò y (t)dt,
÷÷
çè a
ø
a
a
b
2
ò (x(t) + y(t))
a
b
dt £
ò
a
x2 (t)dt +
b
2
òy
(t)dt .
a
В евклидовом пространстве An упорядоченных совокупностей
n вещественных чисел со скалярным произведением (x, y) = x1y1 + x2 y2 + ... +
x, y) = x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn норма любого элемента (x,y) = x1y1 + x2y2 + … +
+ xnyn равна x = x12 + x22 + ... + xn2 , а неравенство Коши (Буняковского) и треугольника имеют вид
(x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn )2 £ (x12 + x22 + ... + xn2 )(y12 + y22 + ... + yn2 ),
(x1 + y1 )2 + (x2 + y2 )2 + ... + (xn + yn )2 £
£ x12 + x22 + ... + xn2 + y12 + y22 + ... + yn2 .
1.7. Тренировочные задачи и упражнения
1.7.1. Является ли линейным пространством множество, состоящее из одного нулевого элемента?
1.7.2. Можно ли во множестве из трех элементов определить
операции сложения и умножения на число так, чтобы это множество стало линейным пространством?
1.7.3. Пусть x,y,z – элементы линейного пространства, причем
x,y линейно зависимы. Будут ли линейно зависимы x,y,z? Обоснуйте утверждение.
1.7.4. Является ли множество векторов (a,a,a), a Î R линейным
пространством, в случае положительного ответа найдите его размерность.
12
1.7.5.  Является ли множество векторов (a,b,b), a, b Î R линейным пространством, в случае положительного ответа найдите его
размерность.
1.7.6. Является ли линейным пространством множество функций, дифференцируемых на [a,b]?
1.7.7. Является ли линейным пространством множество функций, ограниченных на [a,b]?
1.7.8. Является ли линейным пространством множество функций, неотрицательных на [a,b]? Является ли линейным пространством множество многочленов 4-й степени?
1.7.9. Является ли линейным пространством множество функций на [a,b]?, таких, что f(a) = 0?
1.7.10. Является ли линейным пространством множество функций на [a,b]?, таких, что f(a) = 2?
1.7.11. Является ли линейным пространством множество многочленов четной степени не выше n?
1.7.12. Является ли линейным пространством множество многочленов 4-й степени?
1.7.13. Является ли линейным пространством множество функций вида αcosx + βsinx, где α и β – произвольные вещественные
числа?
1.7.14. Является ли линейным пространством множество многочленов степени, не превосходящей n, с неотрицательными коэффициентами?
1.7.15. Существует ли и единственна ли для любых элементов x
и y линейного пространства разность x–y?
13
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
2.1. Основные определения
Введем понятие линейного оператора. Пусть V и W линейные
пространства, размерности которых равны соответственно n и m.
Будем называть оператором A, действующим из V в W, отображение
A: сопоставляющее каждому элементу x пространства V некоторый
элемент y пространства W; будем обозначать его y = A(x) или y = Ax.
Определение. Оператор A, действующий из V в W, называется
линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства V и любого числа l выполняются соотношения:
а)  A (x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 (свойство аддитивности);
б) A(lx) = lAx (свойство однородности).
Если W множество вещественных чисел, то линейный оператор
A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W,
определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр. Пусть A и B – два линейных оператора, действующие из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор
A + B, определяемый равенством (A + B)x = Ax + Bx. Произведением линейного оператора A на скаляр l назовем линейный оператор lA, определяемый равенством (lA)x = l(Ax), а нулевым назовем
оператор, отображающий все элементы пространства V в нулевой
элемент пространства W. Для каждого оператора A определим противоположный оператор – A посредством соотношения A = (–1)A.
Легко проверить справедливость следующего утверждения:
множество L(V,W) всех линейных операторов, действующих из
V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранным нулевым оператором и противоположным оператором, образует линейное пространство.
Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в
V (L(V,V)). Назовем тождественным (или единичным) оператором
линейный оператор I, действующий по правилу Ix = x (x – любой
элемент V). Введем и понятие произведения линейных операторов
из множества L(V,V).
Произведением операторов A и B из L(V,V) называется оператор
AB, действующий по правилу (AB)x = A(BX). Отметим, что, вообще говоря, AB≠BA. Легко проверяется справедливость следующих
свойств линейных операторов из L(V,V):
14
а) l(AB) = (lA)B;
б) (A + B)C = AC + BC;
в) A(B + C) = AB + AC;
г) (AB)C = A(BC).
Замечание. Свойство «г» позволяет определить произведение
AB…C любого конечного числа операторов из L(V,V) и, в частности,
n – степень оператора A с помощью формулы An = 
AA
...
A.

n
2.2. Обратный оператор
Определение. Линейный оператор B из L(V,V) называется обратным для оператора A из L(V,V) если выполняется соотношение
AB = BA = I.
Обратный оператор для A обозначается A–1. Из определения
обратного оператора A-1 следует, что для любого x Î V справедливо соотношение A–1Ax = x. Будем говорить, что линейный оператор A действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум
различным элементам x1 и x2 отвечают различные элементы
y1 = Ax1 è y2 = Ax2 .
Отметим следующее утверждение. Для того, чтобы линейный
оператор A из L(V,V) имел обратный оператор, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Необходимость. Пусть оператор A имеет обратный оператор, но
не действует взаимно однозначно из V в V. Это означает, что некоторым различным элементам x1 и x2, x2-x1≠0 из V отвечает один и
тот же элемент y = Ax1 = Ax2 . Но тогда A (x2 - x1 ) = 0 и поскольку
A имеет обратный оператор, то x2–x1 = 0. Но по условию x2–x1≠0.
Полученное противоречие и доказывает необходимость условия утверждения.
Достаточность. Допустим, что оператор A действует взаимно
однозначно из V в V.Тогда каждому элементу y Î V отвечает элемент xєV такой, что y = Ax. Поэтому имеется оператор A-1, обладающий тем свойством, что A-1y = A-1 ( Ax). Легко убедиться, что
оператор A-1 линейный. По определению A-1 – обратный оператор для оператора A. Достаточность доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов пространства V, для которых Ax = 0. Ядро
линейного оператора A обозначается kerA.
15
Если kerA = 0, то оператор A действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, из условия Ax = 0 вытекает тогда
x = 0, а это означает, что различным x1 è x2 отвечают различные
y = Ax1 è y = Ax2 (если бы y1 = y2 , то A (x2 - x1 ) = 0, т. е. x1 = x2 и
элементы x1 и x2 не были бы различны). Таким образом, согласно
доказанному, условие kerA = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор A имел обратный оператор.
Определение. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства V, представимых в виде
y = Ax. Образ линейного оператора A обозначается ImA.
Отметим, что если kerA = 0, то imA = V и наоборот. Поэтому наряду с условием kerA = 0, условие imA = V также является необходимым и достаточным, для того, чтобы оператор A имел обратный
оператор.
2.3. Матричная запись линейных операторов
Зафиксируем в линейном пространстве V базис e1, e2,..., en.
n
Пусть x – произвольный элемент V и x = x1e1 + x2 e2 + ... + xn en = å xk ek
n
k=1
+ ... + xn en = å xk ek – разложение по данному базису.
k=1
Пусть A – линейный оператор из L(V,V). Тогда
Ax = A (x1e1 + x2e2 + ... + xn en ) =
n
= x1 Ae1 + x2 Ae2 + ... + xn Aen = å xk Aek .
k=1
Но Aek – также элемент пространства V и может быть разложен
по тому же базису: полагая
n
Ae1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en = å ak1ek ;
k=1
n
Ae2 = a12e1 + a22e2 + ... + an2en = å ak2ek ;
k=1
........................................................
n
Aen = a1n e1 + a2n e2 + ... + ann en = å akn ek .
k=1
16
Подставляя образы базисных векторов и группируя, получим:
Ax = (a11e1 + a21e2 + ... + an1en )x1 + (a12e1 + a22e2 + ... +
+an2en )x2 + ... + (a1n e1 + a2n e2 + ... + ann en )xn =
= (a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )e1 + (a21x1 + a22 x2 + ... +
n æ n
ö÷
+a2n xn )e2 + ... + (an1x1 + an2 x2 + ... + ann xn )en = å ççç å aki xk ÷÷÷ei .
ø÷
i=1çèk=1
Если обозначить y = Ax = y1e1 + y2e2 + … + ynen, то из сравнеn
ния получаем: yi = ai1x1 + ai2 x2 + ... + ain xn = å aik xk . В матричk=1
Ax, где
ном виде все эти равенства можно записать: y = Ax = 
æa11 ... a1n ö÷
çç
÷

A = çç ... ... ... ÷÷÷ = {aik }.
çç
÷÷
èçan1 ... ann ø÷
Отметим, что столбцы данной матрицы – это образы базисных
векторов. Данная матрица называется матрицей линейного оператора в заданном базисе e1, e2,..., en.
A
Замечание. Если оператор A нулевой, то все элементы матрицы 
A – нулевая матрица.
этого оператора равны нулю в любом базисе, т. е. 
Замечание. Если оператор A единичный, т. е. A = 1, то матрица
этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами в
A = E, где E – единичная матрица. Итак, мы выясниэтом случае 
ли, что каждому линейному оператору A из L(V,V) при заданном баA этого оператозисе линейного пространства V отвечает матрица 
ра. Естественно возникает обратный вопрос: каждой ли данной маA при заданном базисе в V можно поставить в соответствие
трице 
линейный оператор A, матрицей которого будет данная матрица.
Важен и вопрос о единственности матрицы линейного оператора
в заданном базисе. Справедливо следующее утверждение, которое
дадим без доказательства.
Теорема. Пусть в линейном пространстве V задан базис e1,
e2,..., en и пусть 
A = (aik ) – квадратная матрица, содержащая n
строк и n столбцов. Существует единственный линейный оператор
A,матрицей которого в заданном базисе будет матрица 
A.
Замечание. Обратный оператор A–1 для оператора A существуA оператора A равен n (n =
ет только тогда, когда ранг матрицы 
dimV). Отметим, что в этом случае существует также и обратная матрица A–1 для матрицы 
A.
17
2.4. Преобразование матрицы линейного оператора
при переходе к новому базису
Пусть V – линейное пространство, A – линейный оператор из
A в первом базисе e1, e2,..., en, A в другом
L(V,V), его матрица 
(втором) базисе e1, e2 ,..., e
n в V.
Найдем формулу преобразования для матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Пусть x – произвольный элеn
мент V и X = x1e1 + x2e2 + ... + xn en = å xk ek – разложение по данk=1
n

ному базису; X = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn e
n = å xk ek – разложение по
k=1
другому (второму) базису.
Из курса аналитической геометрии известно, что переход от одного базиса к другому осуществляется по формуле X = CX, где C –
квадратная матрица n на n перехода от одного базиса к другому.
Например, на плоскости в декартовом базисе при повороте на угол
α, старые и новые координаты связаны формулами:
ì
ï
ï x1 = x1 cos α + x2 sin α,
ïx1 = x1 cos α - x2 sin α, ì
иï
í
í
ï
ïx = -x sin α + x cos α.
ï
1
2
ï
îx2 = x1 sin α + x2 cos α, ï
î 2
AX в первом базисе, Y = AX во
Пусть y = Ax, обозначим Y = 
втором базисе.
Так как Y = CY, то Y = C-1 Y = C-1 AX = C-1 ACX.
Из сравнения получаем 
A = C-1 AC.
Умножая обе части слева C и справа на C–1, получим A = C 
AC-1.
 – квадратные матрицы порядка n, A
A и B
Замечание. Пусть 
и B – отвечающие им линейные операторы в базисе {ek }. Матрице

 отвечает линейный оператор A + lB.
A + lB
Пусть A и B – матрицы операторов A и B в базисе e . Тогда по
{ k}
 -1. Матрица линейного оператоAC-1, B = CBC
доказанному: A = C 
 C-1 и по распределительA + lB
ра A + lB в базисе e имеет вид C 
{ k}
(
)
(
)
(
)
 C-1 = C 
 -1 = A + l B
A + lB
AC-1 + l CBC
ному свойству матриц C 
в базисе e .
{ k}
 = B = E и поэтому матрица линейВ частности, если B = I, то B
ного оператора A + lI в базисе e имеет вид A + lE. В качестве
{ k}
18
следствия выясним важное утверждение: det 
A = det A. Действительно, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то из A = C-1 
AC следует, что
det A = det C-1 det 
A det C = det 
A. Мы учли, что det C-1 det C = 1. Таким образом, определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Поэтому можно ввести понятие определителя
A = det A, где 
A – матриdet A линейного оператора A, полагая det 
ца линейного оператора A в любом базисе.
2.5. Собственные значения и собственные векторы
линейных операторов
Пусть A – линейный оператор, а I – тождественный оператор из
L(V,V).
Многочлен относительно l det(A–lI) называется характеристическим многочленом оператора A.
Пусть в пространстве V задан базис {ek } и {aik }, А – матрица оператора в этом базисе. Тогда характеристический многочлен оператора A запишется следующим образом:
a11 - l a12 ... a1n
det( A - lI ) =
a21
...
a22 - l
...
an1
an2
... a2n
.
...
...
... ann - l
Запишем характеристический многочлен, обозначая через dk
коэффициенты при lk det( A - lI ) =
n
å dk lk .
k=0
Замечание. Так как значение определителя det(A–lI) не зависит
от выбора базиса, то коэффициенты dk характеристического многочлена не зависят от выбора базиса.
Определения: уравнение det(A–lI) = 0 называется характеристическим уравнением оператора A; число l называется собственным значением оператора A, если существует ненулевой вектор
x, такой, что Ax = lx; при этом вектор x называется собственным
вектором оператора A.
Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Для того чтобы число l было собственным значением
оператора A, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора A.
19
Следствие. Каждый линейный оператор имеет собственное значение. Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет
корень (в силу основной теоремы алгебры).
Теорема. Для того, чтобы матрица {aik } линейного оператора A
в данном базисе {ek } была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы ek были собственными векторами этого
оператора.
Доказательство: пусть базисные векторы ek являются собственAek = l k ek и поэтому матрица
ными векторами оператора A. Тогда 
{aik } оператора A имеет вид (из определения матрицы линейного
оператора):
æl1 0 ... 0 ö÷
çç
÷
çç 0 l2 ... 0 ÷÷
÷÷, т. е. является диагональной.

A = çç
çç ... ... ... ... ÷÷÷
÷
çç
çè 0 0 ... ln ÷÷ø
Теперь, пусть матрица {aik } линейного оператора A в данном базисе {ek } диагональна, т. е. имеет вид предыдущей матрицы. Тогn
да соотношения Aek = å aik ei примут вид Aek = lkek, это означает,
i=1
что ek – собственные векторы оператора A. Докажем еще одно свойство собственных векторов.
Теорема. Пусть собственные значения l1,l2,…,lp линейного
оператора A различны. Тогда отвечающие им собственные векторы
e1,e2,…,ep линейно независимы.
Доказательство: применим индукцию. Так как e1 – ненулевой вектор, то для одного вектора (p = 1) утверждение справедливо
(один ненулевой вектор является линейно независимым).
Пусть утверждение теоремы доказано для векторов e1,e2,…,em.
Присоединим к этим векторам вектор em + 1 и допустим, что имеет место равенство
m+1
å ak ek = 0.
k=1
ного оператора, получим
Тогда, используя свойства линей-
m+1
å ak Aek = 0.
k=1
векторы, то Aek = lkek и потому
20
Так как ek – собственные
m+1
m+1
k=1
k=1
å ak Aek = å ak lk ek = 0.
Из
m+1
å ak ek = 0
k=1
следует равенство
m+1
å lm+1ak ek = 0.
k=1
венство из предыдущего, получаем:
Вычитая это ра-
m
å (lk - lm+1 )ak ek = 0. По ус-
k=1
ловию все lk различны, т. е. lk–lm + 1≠0. Поэтому из последнего
равенства и линейной независимости векторов e1,e2,…,em следует, что a1 = a2 = … = am = 0. Отсюда и из
m+1
å ak ek = 0,
а также из
k=1
условия, что em + 1 – собственный вектор (em + 1≠0), вытекает, что
am + 1 = 0. Таким образом, из равенства
m+1
å ak ek = 0 получаем, что
k=1
a1 = a2 = … = am + 1 = 0. Это означает, что векторы e1,e2,…,em + 1
линейно независимы. Индукция проведена, и доказательство теоремы завершено.
Следствие. Если характеристический многочлен оператора A
имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица оператора A имеет диагональный вид. Действительно, в рассматриваемом
случае, согласно предыдущей теореме, собственные векторы линейно независимы и потому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда в этом базисе матрица оператора A будет диагональной. Отметим, что в евклидовом пространстве ортонормированная
система векторов линейно независима. (Система векторов называется ортонормированной, если (ei,ei) = 1, (ei,ek) = 0, i≠k.)
Доказательство: пусть e1,e2,…,en – ортонормированная система векторов. Рассмотрим равенство a1e1 + a2e2 + … + anen = 0, отсюда ai = 0 при любом i, так как, умножая на ei скалярно, получим
ai(ei,ei) = 0, и ai = 0.
Дадим теорему без доказательства.
В n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система из n векторов. В силу изложенного выше такая
система векторов является базисом. Следующий параграф более
труден и поэтому при начальном изучении может быть пропущен.
2.6. Жорданова форма и жорданов базис
В предыдущем параграфе мы установили, что если у матрицы
размера n×n есть n линейно независимых собственных векторов
21
(например, если все ее собственные числа различны), то они образуют базис, в котором матрица диагональна (и наоборот). К сожалению, так бывает не всегда.
æ0 1ö÷
÷÷. Его характеристический многочлен
Пример ççç
è0 0÷ø
0-l
1
= l2 .
0
0-l
Оба собственных числа этой матрицы равны нулю. Но в то же
æ0 1öæ
÷÷ççxö÷÷ = æçç0ö÷÷ следует что y = 0, а все векторы с нулевой
время из çç
÷÷ç y ÷÷ ç0÷÷
èç0 0øè
ø è ø
второй координатой образуют одномерное пространство, поэтому
следует задаться вопросом: к какому наиболее простому виду можно привести матрицу невырожденным преобразованием? Ответ на
этот вопрос дается жордановой формой.
Определение: (верхней) жордановой клеткой размера k, соответствующей собственному числу l, называется матрица размером k×k
имеющая вид
æ l
çç
çç 0
çç
çç 0
çç
çç 0
çç
çç...
ç
èç 0
1
l
0
0
...
0
0
0 ...
1
0 ...
1 ...
l
0 l ...
... ... ...
0 0 ...
0 ö÷
÷
0 ÷÷÷
÷
0 ÷÷÷
÷÷.
0 ÷÷
÷÷
...÷÷÷
÷
l ÷ø÷
Определение: (верхней) жордановой матрицей называется блочно-диагональная матрица, блоки которой – жордановы клетки
(возможно с различными k иl).
Определение: жордановым базисом называется базис, при переходе к которому матрица становится жордановой. Оказывается,
любую матрицу можно перевести в жорданову с помощью невырожденного преобразования. При этом возможных преобразований
бесконечно много, но жорданова матрица (с точностью до перестановки жордановых клеток между собой) определена единственным
образом.
Опишем алгоритм поиска жорданова базиса. Зафиксируем
собственное число l. Описанный ниже алгоритм действий нужно проделать для каждого собственного числа. Обозначим далее
22
Bl = A - lE и Ll,i = ker Bli , Ll = ÈLl,i (поскольку конечно мерные
пространства Ll,i вложены друг в друга, их объединение также является подпространством1 и совпадает с одним из них).
Будем называть цепочкой длины k набор векторов e1,e2,…, ek такой, что Bl(e1) = e2, Bl(e2) = e3,…,Bl(ek–1) = ek, Bl(ek) = 0 и при этом
ek≠0. Очевидно, если e1єLk, то векторы e1, B(e1), B2(e1),… образуют
цепочку длины k. Нашей задачей будет выбрать большое количество цепочек векторов так, чтобы они вместе образовывали базис.
Оказывается по размерности пространства Ll,i можно определить
количество и размер жордановых клеток, соответствующих lLl,k
каждого размера по отдельности. Обозначая количество клеток
размера k за ak, будем иметь
a1 + a2 + a3 + a4 + … = dimLl,1;
a1 + 2a2 + 2a3 + 2a4 + … = dimLl,2;
a1 + 2a2 + 3a3 + 3a4 + … = dimLl,3;
a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + … = dimLl,4 и так далее.
Далее можно либо решить систему, либо воспользоваться готовой формулой для ответа: ai = 2dimLl,i–dimLl,i + 1–dimLl,i–1.
Теперь начнем строить цепочки векторов. Начнем с цепочки
максимальной длины (по предыдущим формулам мы можем определить максимальный размер жордановой клетки. Назовем его k.
Выберем произвольный вектор из Ll,k, не лежащий в Ll,k–1, и рассмотрим цепочку, начинающуюся с него. Она будет иметь длину k.
Все ее вектора сразу возьмем в базис. На каждом следующем шаге
рассматриваем максимальный размер еще не построенных цепочек
(он же является размером нерассмотренных жордановых клеток)
и обозначаем его k. Выбираем произвольный вектор из Ll,k, не лежащий в пространстве, натянутом на Ll,k–1, и все уже выбранные
векторы из Ll,k и берем в базис все векторы цепочки, начинающиеся с него. Затем выписываем все векторы каждой цепочки подряд.
Полученный набор векторов будет жордановым базисом.
Для матрицы 3×3 можно полностью описать все возможные ситуации, причем окажется, что уже размерностей пространств Ll,1
достаточно для определения жордановой структуры. Перечислим
все возможные варианты и опишем, что делать с каждым из них.
1 Подмножество M элементов линейного пространства R называется подпространством пространства R, если выполняются два условия: ∀x и y из M сумма x+y
есть элемент из M; ∀x∈M и ∀a (a – число), произведение ax есть элемент из M.
23
1. Матрица имеет три различных собственных числа l1,l2,l3.
В этом случае каждому собственному числу соответствуют клетки
с суммарным размером 1, что возможно только в ситуации «одна
клетка размером 1×1». Цепочки имеют длину 1 и состоят, следовательно, из собственных векторов данной матрицы. Поэтому задача
о поиске жордановой формы превращается просто в задачу о поиске
собственных векторов. Аналогично ниже рассматриваются случаи
2А и 3А.
2. Матрица имеет два различных собственных числа l1,l2,одно
из них (l2) кратно 2.
А. Если для l2 находятся два линейно независимых собственных вектора, то dim Ll2 ,1 = 2, поэтому все клетки имеют размер 1×1
и далее разбор аналогичен случаю 1.
Б. Если же такой собственный вектор только один, то будет одна
клетка размером 2×2.
Покажем дальнейшие действия на примере
æ
ö
çç-9 27 -15÷÷
÷
A = çç-5 14 -6 ÷÷.
çç
÷÷
çè-1 2
2 ÷ø
Найдем собственные числа матрицы A:
-9 - l
27
-15
det( A - lE) = 0, -5
14 - l -6 = 0.
-1
2
2-l
Раскроем определитель по элементам первой строки:
(–9–l)((14–l)(2–l) + 12)–27(–5(2–l)–6) + (–15)(–10 + 14–l) =
=0–l3–7l2 + 16l–12 = 0.
Известно, что если многочлен с целыми коэффициентами имеет
целый корень, то он является делителем свободного члена, поэтому
легко подбираем собственное значение, равное 3, после чего, группируя, получаем: (l–3)(l–2)2 = 0.
Таким образом, матрица A имеет собственное число 3 первой
кратности и собственное число 2 второй кратности.
æ-12 27 -15ö÷
çç
÷
Для собственного числа 3 имеем: A - 3E = çç -5 11 -6 ÷÷÷.
çç
÷
çè -1 2 -1 ø÷÷
24
æ1ö÷
çç ÷
÷
Легко видеть, что вектор ççç1÷÷ является собственным.
çç ÷÷÷
è1ø
æ-11 27 -15ö÷
çç
÷
Для собственного числа 2: A - 2E = çç -5 12 -6 ÷÷÷.
çç
÷÷
çè -1 2
0 ÷ø
Ясно, что ранг этой матрицы равен двум. Возведем ее в квадрат:
æ
öæ
ö æ
ö
çç-11 27 -15÷÷çç-11 27 -15÷÷ çç1 -3 3÷÷
÷
÷
÷
( A - 2E) = ççç -5 12 -6 ÷÷÷ççç -5 12 -6 ÷÷÷ = ççç1 -3 3÷÷÷.
çç
֍
÷ ç
÷
0 ÷øèç -1 2
0 ø÷ èç1 -3 3ø÷
è -1 2
2
В качестве вектора, обнуляемого этой матрицей, можно взять
æ0ö÷
æ12ö÷
çç ÷
çç ÷
÷
ç
v = ç1÷÷. Тогда ( A - 2E)v = çç 6 ÷÷÷. Получился ненулевой вектор и можçç ÷÷
çç ÷÷
çè1÷ø
çè 2 ÷ø
æ1 12 0ö÷
çç
÷
но написать матрицу перехода: C = çç1 6 1÷÷÷.
çç
÷÷
çè1 2 1÷ø
3. Матрица имеет одно собственное число l кратности 3.
А. Если удается найти три различных собственных вектора, то
задача в принципе решается так же, как и в пункте 1. Но это бывает
достаточно редко – для этого матрица должна иметь вид lE и, следовательно, быть приведенной к жордановой форме.
Б. Если собственных векторов два, то и жордановых клеток получается две, размерами 2×2 и 1×1.
æ-11 30 -18ö÷
çç
÷
Разберем такой пример: A = çç -6 16 -9 ÷÷÷.
çç
÷
çè -2 5 -2 ÷÷ø
Характеристический многочлен имеет вид: (l–1)3 = 0,
значит здесь все собственные числа равны 1. Ранг матрицы
æ-12 30 -18ö÷
çç
÷
A - E = çç -6 15 -9 ÷÷÷ равен одному, и мы выбираем вектор, обçç
÷÷
çè -2 5 -3 ÷ø
нуляемый (A–E)2 (это будет выполнено автоматически, поскольку
это нулевая матрица), но не обнуляемый (A–E). Например, можно
25
æ0ö÷
æ-12ö÷
çç ÷
çç
÷
÷
ç
÷
взять v = ç1÷. Тогда ( A - E)v = çç -6 ÷÷÷. На этом цепочка длины 2 заçç
çç ÷÷
÷
çè -2 ø÷÷
çè1÷ø
кончилась и осталось выбрать собственный вектор, линейно незаæ5ö÷
çç ÷
висимый с (A–E)v. Например, подойдет çç2÷÷÷. Матрица перехода буçç ÷÷
çè0ø÷
æ-12 1 5ö÷
çç
÷
дет: C = çç -6 0 2÷÷÷.
çç
÷
çè -2 0 0÷÷ø
В. Если собственный вектор только один, то получается одна
клетка размера 3×3. Разберем следующий пример:
æ-10 21 -9ö÷
çç
÷
A = çç -4 8 -3÷÷÷.
çç
÷÷
çè -1 2 -1÷ø
Характеристический многочлен имеет вид: (l + 1)3 = 0, значит, здесь все собственные числа равны –1. Ранг матрицы
æ-9 21 -9ö÷
çç
÷
A + E = çç-4 9 -3÷÷÷ равен одному. Можно было бы возвести ее
çç
÷÷
çè-1 2
0 ÷ø
в квадрат и потом искать вектор, не обнуляемый этим квадратом,
но поступим проще: выберем произвольный вектор и построим по
нему цепочку. Скорее всего, она окажется именно длины 3. Если же
нет, просто выберем другой вектор. В качестве v берем, например,
æ1ö÷
æ-9ö÷
æ6ö÷
çç ÷
çç ÷
ç ÷
2
÷
÷
çç0÷. Тогда ( A + E)v = çç-4÷ и ( A + E) v = ççç3÷÷. Теперь матрица пере÷
÷
çç ÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷÷
çè0÷ø
çè-1÷ø
çè1÷ø
æ
ö
çç6 -9 1÷÷
÷
ç
хода будет: C = ç3 -4 0÷÷.
çç
÷
çè1 -1 0÷÷ø
Рассмотрим конспективно более сложный пример:
26
æ-2 4 -2 0 1 -1ö÷
çç
÷÷
ççç 5 -2 4 -3 1 1 ÷÷÷
çç
9 -8 8 -4 1 2 ÷÷÷
÷÷.
Пусть матрица A = ççç
÷
ççç 4 4 -2 0 3 -1÷÷÷
çç-4 4 -2 -2 5 -1÷÷
÷÷
çç
çè 5 -4 4 -3 1 3 ÷÷ø
Все ее собственные числа равны 2. Поэтому сразу обозначим
æ-4 4 -2 0 1 -1÷ö
çç
÷
çç 5 -4 4 -3 1 1 ÷÷
÷÷
çç
ç 9 -8 6 -4 1 2 ÷÷÷
ç
÷÷.
B = B2 = A - 2E = çç
÷
ççç 4 4 -2 -2 3 -1÷÷÷
çç-4 4 -2 -2 3 -1÷÷
÷÷
çç
çè 5 -4 4 -3 1 1 ÷÷ø
Решая систему Bx = 0, находим пространство
æ 1 ö÷ æ0ö÷ æ0ö÷
çç ÷ çç ÷ çç ÷
çç 0 ÷÷ çç1÷÷ çç0÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
ç 0 ÷÷ ç0÷÷ ç1÷÷
L2,1 = ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷ .
çç 1 ÷÷ çç0÷÷ çç2÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
çç 1 ÷÷ çç0÷÷ çç2÷÷
ç ÷÷÷ ç ÷÷÷ ç ÷÷÷
èç-3ø èç4ø èç0ø
æ
ö
çç9 -8 6 -3 0 2÷÷
çç9 -8 6 -3 0 2÷÷
÷÷
çç
çç0 0 0 0 0 0÷÷÷
÷÷.
Возводя матрицу в квадрат, получаем: çç
÷
ççç9 -8 6 -3 0 2÷÷÷
çç9 -8 6 -3 0 2÷÷
÷÷
çç
çè9 -8 6 -3 0 2ø÷÷
Очевидно, L2,2 имеет размерность 5 (ранг матрицы равен 1) и состоит из таких векторов:
æ8ö÷ æ-6ö÷ æ3ö÷ æ0ö÷ æ-2ö÷
çç ÷ çç ÷ çç ÷ çç ÷ çç ÷
çç9÷÷ çç 0 ÷÷ çç0÷÷ çç0÷÷ çç 0 ÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
ç0÷÷ ç 9 ÷÷ ç0÷÷ ç0÷÷ ç 0 ÷÷
L2,2 = ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷ .
çç0÷÷ çç 0 ÷÷ çç9÷÷ çç0÷÷ çç 0 ÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
çç0÷÷ çç 0 ÷÷ çç0÷÷ çç1÷÷ çç 0 ÷÷
ç ÷÷÷ ç ÷÷÷ ç ÷÷÷ ç ÷÷÷ ç ÷÷÷
çè0ø èç 0 ø èç0ø èç0ø çè 9 ø
27
Нетрудно убедиться, что B3 = 0 (для этого достаточно перемножить одну из ненулевых строк матрицы B2 на все столбцы матрицы
B). Следовательно, dimL2,3 = 6, и мы можем определить структуру
жордановых клеток. Будет одна клетка размера 3, одна клетка размера 2 и одна клетка размера 1.
æ1ö÷
çç ÷
çç0÷÷
çç ÷÷÷
ç0÷÷
Выберем вектор, не лежащий в L2,2. Например v1,1 = ççç ÷÷. Тогда
çç0÷÷
çç ÷÷÷
çç0÷÷
ç ÷÷÷
çè0ø
æ-4ö÷
æ9ö÷
çç ÷
çç ÷
çç 5 ÷÷
çç9÷÷
çç ÷÷÷
çç ÷÷÷
çç 9 ÷÷
ç0÷÷
2
v1,2 = Bv1,1 = çç ÷÷ и v1,3 = Bv1,2 = B v1,1 = ççç ÷÷.
÷
ççç9÷÷
çç 4÷÷÷
çç ÷÷÷
çç-4÷÷
çç9÷÷
çç ÷÷
ç ÷÷÷
çè 5 ÷÷ø
çè9ø
Теперь нужно выбрать вектор, лежащий в L2,2, но не лежащий в
æ-4ö÷ æ 1 ö÷ æ0ö÷ æ0ö÷
çç ÷ çç ÷ çç ÷ çç ÷
çç 5 ÷÷ çç 0 ÷÷ çç1÷÷ çç0÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
çç 9 ÷÷ çç 0 ÷÷ çç0÷÷ çç1÷÷
çç ÷÷,çç ÷÷,çç ÷÷,çç ÷÷
çç-4÷÷ çç 1 ÷÷ çç0÷÷ çç2÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
çç-4÷÷ çç 1 ÷÷ çç0÷÷ çç2÷÷
ç ÷÷÷ ç ÷÷÷ ç ÷÷÷ ç ÷÷÷
èç 5 ø èç-3ø èç4ø èç0ø
(векторы v1,1 и v1,3 можно не брать, посколь-
ку первый из них не лежит в L2,2 и потому не накладывает ограничений на выбор, а второй все равно лежит в L2,1, потому выражается через базисные векторы этого пространства, которые мы
æ0ö÷
çç ÷
çç0÷÷
çç ÷÷÷
ç0÷÷
взяли). Например, подойдет ççç ÷÷. В самом деле, предположим, что
çç0÷÷
çç ÷÷÷
çç1÷÷
ç ÷÷÷
çè0ø
28
æ0ö÷
æ-4ö÷
æ ö æ ö
æ0÷ö
çç ÷
çç ÷
çç 1 ÷÷ çç0÷÷
çç ÷
çç0÷÷
çç0÷÷
çç 5 ÷÷
çç 0 ÷÷ çç1÷÷
÷
÷
÷
÷
çç ÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷ çç ÷÷
çç ÷÷÷
çç0÷÷
çç 9 ÷÷
çç 0 ÷÷ çç0÷÷
çç1÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
ççç0÷÷ = aççç-4÷÷ + bççç 1 ÷÷ + cççç0÷÷ + d ççç2÷÷. Сравнивая первую и четвертую коçç ÷÷÷
çç ÷÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
çç ÷÷÷
çç1÷÷
çç-4÷÷
çç 1 ÷÷ çç0÷÷
çç2÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷
çç ÷÷ çç ÷÷
çç ÷÷
çè0÷÷ø
çè 5 ø÷÷
çè-3ø÷÷ èç4ø÷÷
çè0÷÷ø
ординаты суммы, мы получаем, что d = 0. Затем, сравнивая третью
координату, находим a = 0. Аналогично из первых двух координат
b = c = 0. Но для нулевого набора равенство неверно.
Примечание. Поскольку нам нужен произвольный вектор из
данного пространства, не лежащий в некотором его собственном
подпространстве, скорее всего произвольно выбранный вектор подойдет (а какой-то из базисных подойдет обязательно). Подходит
он или нет, проверяется любым возможным способом: вычислением ранга матрицы из векторов с включением этого, либо без него,
или решением системы линейных уравнений, как в этом примере.
æ0ö÷
æ1÷ö
çç ÷
çç ÷
çç0÷÷
çç1÷÷
÷
çç ÷÷
çç ÷÷÷
çç0÷÷
ç1÷÷
Итак, берем v2,1 = çç ÷÷ и v2,2 = Bv2,1 = ççç ÷÷.
÷
çç0÷
çç3÷÷
çç ÷÷÷
çç ÷÷÷
çç1÷÷
çç3÷÷
ç ÷÷÷
ç ÷÷÷
çè0ø
çè1ø
æ9÷ö æ1÷ö
çç ÷ çç ÷
çç9÷÷ çç1÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
çç0÷÷ çç1÷÷
çç ÷÷,çç ÷÷ . (УбеТеперь нужно выбрать вектор, не лежащий в
çç9÷÷ çç3÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
çç9÷÷ çç3÷÷
çç ÷÷÷ çç ÷÷÷
è9ø è1ø
дитесь, что включать в это пространство остальные векторы из цеæ 1 ö÷
çç ÷
çç 0 ÷÷
çç ÷÷÷
ç 0 ÷÷
почек нет необходимости!) Подойдет, например, ççç ÷÷, поскольку
çç 1 ÷÷
çç ÷÷÷
çç 1 ÷÷
çç ÷÷÷
è-3ø
29
у любой линейной комбинации тех двух векторов первая и вторая
координаты одинаковы.
Итак, все цепочки найдены, и матрица перехода имеет вид:
æ
ö
çç1 -4 9 0 1 1 ÷÷
çç0 5 9 0 1 0 ÷÷
÷÷
çç
çç0 9 0 0 1 0 ÷÷÷
÷÷.
C = çç
÷
ççç0 -4 9 0 3 1 ÷÷÷
çç0 -4 9 1 3 1 ÷÷
÷÷
çç
çè0 5 9 0 1 -3÷÷ø
2.7. Ортогональные и симметричные матрицы
В евклидовом пространстве от одного ортонормированного базиса к другому можно перейти только с помощью ортогональной
матрицы. Вещественная матрица называется ортогональной, если
сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и суммы произведений соответствующих элементов из двух разных
столбцов равны нулю. В силу определения PTP = E. Ортогональные
матрицы обладают следующими простейшими свойствами:
а) е – ортогональна;
б) если P ортогональна, то P–1 = PT (следует из сравнения
T
с P P = E);
в) если P ортогональна, то PT тоже ортогональна: (PT)TPT =
= PPT = PP–1 = E.
Напомним, что матрица называется симметричной, если
AT = A, т. е.
æ a11 a12 ... a1n ÷ö
çç
÷
çç a12 a22 ... a2n ÷÷
÷÷.
çç
çç ... ... ... ... ÷÷÷
÷÷
çç
èça1n a2n ... ann ÷ø
Симметричные матрицы обладают следующими интересными
свойствами:
• Собственные значения симметричной матрицы вещественны.
Проиллюстрируем это свойство на примере матрицы 2×2. Пусть в
соответствующем базисе оператор A имеет симметричную матрицу
æa11 a12 ö÷

÷÷.
A = ççç
èa12 a22 ÷ø
30
• Характеристическое уравнение имеет вид:
a11 - l
a12
= 0,
a12
a22 - l
2
l2–(a11 + a22)l + (a11a22– a12
) = 0 и дискриминант
2
2
2
2
D = (a11 + a22 ) - 4 a11a22 - a12 = (a11 - a22 ) + 4a12
³ 0,
следовательно, корни характеристического уравнения для симметричной
матрицы 2×2 вещественны.
A существует ортогональ• Для любой симметричной матрицы 
AP = D есть диагональная матрица.
ная матрица P, PT 
Диагональные элементы получаемой матрицы являются собственными значениями матрицы 
A.
(
)
31
3. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
ПРИВЕДЕНИЕ ИХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
3.1. Квадратичные формы
Для лучшего наглядного понимания запишем сначала квадратичную форму от двух переменных: f (x1, x2 ) = a11x12 + 2a12 x1x2 + a22 x22 = a11
+ 2a12 x1x2 + a22 x22 = a11x12 + a12 x1x2 + a12 x1x2 + a22 x22 .
Квадратичная форма n переменных:
f (x1, x2 ,..., xn ) = a11x12 + a12 x1x2 + ... + a1n x1xn +
+a21x2 x1 + a22 x22 + ... + a2n x2 xn +
........................................................
+an1xn x1 + an2 xn x2 + ... + ann xn2 .
При этом по самому построению разложения aik = aki.
Коэффициенты квадратичной формы образуют матрицу, которая по построению симметрична (матрица состоит из вещественных чисел).
Квадратичная форма вида a1x12 + a2 x22 + ... + an x22 называется
канонической квадратичной формой, при этом возможно ai = 0.
Матрица канонической квадратичной формы имеет вид
æa1 0 ... 0 ö÷
çç
÷
çç 0 a2 ... 0 ÷÷
÷÷.
çç
çç ... ... ... 0 ÷÷÷
÷
çç
çè 0 0 ... an ø÷÷
Поставим задачу привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью линейного преобразования координат.
Запишем сначала квадратичную форму в матричном виде:
f (x1, x2 ,..., xn ) = a11x12 + a12 x1x2 + ... + a1n x1xn +
+ a21x2 x1 + a22 x22 + ... + a2n x2 xn +
................................................
+ an1xn x1 + an2 xn x2 + ... + ann xn2 =
x1 (a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) +
x2 (a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ) +
32
................................................
xn (an1x1 + an2 x2 + ... + ann ) =
æ
ö
çç a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ÷÷
çç a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ÷÷
÷
n1 n 1
n2 n 2
nn n
x1 (a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) +
x2 (a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ) +
................................................
xn (an1x1 + an2 x2 + ... + ann ) =
æ
ö
çç a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ÷÷
çç a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn ÷÷
÷÷ =
= (x1, x2 ,..., xn )çç
÷÷
çç
...
÷÷
çç
÷
èçan1x1 + an2 x2 + ... + ann xn ø÷
æ a11 a12
çç
çça21 a22
= (x1, x2 ,..., xn )çç
çç ... ...
çç
çèan1 an2
... a1n öæ
÷÷çç x1 ö÷÷
... a2n ÷÷÷çç x2 ÷÷÷
÷çç ÷ = XT 
AX.
... ... ÷÷÷çç ... ÷÷÷
÷÷çç ÷÷
... ann ÷øèçxn ÷ø
æ x1 ö÷
æ a11 a12
çç ÷
çç
çç x2 ÷÷
çça21 a22
Здесь X = çç ÷÷÷, XT = (x1, x2 ,..., xn ), 
A = çç
çç ... ÷÷
çç ... ...
çç ÷÷
çç
çèxn ÷ø
èçan1 an2
... a1n ö÷
÷
... a2n ÷÷÷
÷.
... ... ÷÷÷
÷÷
... ann ÷ø
Линейное преобразование переменных проводится по формулам:
x1 = c11z1 + c21z2 + … + cn1zn;
x2 = c12z1 + c22z2 + … + cn2zn;
…………………………………
xn = c1nz1 + c2nz2 + … + cnnzn.
Это преобразование записывается в матричной форме: X =
æ z1 ö÷
çç ÷
çç z2 ÷÷
CZ, где Z = çç ÷÷÷. Тогда XT = ZTCT (по правилу транспонироваçç...÷÷
çç ÷÷
çèzn ø÷
ния произведения). И квадратичная форма после преобразования примет вид: f (x , x ,..., x ) = XT 
AX = ZT CT 
ACZ, причем
1
2
n
здесь матрица преобразованной квадратичной формы имеет вид:
A = CT 
AC. Проверим, будет ли полученная матрица симметричT
T
T T
A CT = CT 
AC, что и требовалось доказать.
ной: C AC = CT 
(
)
( )
Квадратичную форму можно связать с некоторым объектом в
n-мерном пространстве, называемом квадратичным функциона33
лом f(x1,x2,…,xn), а переменные (x1,x2,…,xn) – координатами некоторого вектора.
Квадратичным называется функционал, значения которого являются результатом зависимости квадратичной формы от координат вектора. Преобразования квадратичной формы можно рассматривать как один и тот же функционал, но взятый в различных
базисах.
3.2. Приведение квадратичной формы
к каноническому виду
Теорема. Любая квадратичная форма (вещественная) может
быть приведена к каноническому виду линейным преобразованием
переменных с ортогональной матрицей (такие преобразования называются ортогональными).
T
A=
A .
Доказательство. Дана квадратичная форма с матрицей 
AP = D – маТак как существует ортогональная матрица P, то PT 
трица диагональная. Сделав в квадратичной форме преобразование
переменных с матрицей P,придем к квадратичной форме в новых
переменных с матрицей D, т. е. к квадратичной форме канонического вида a1y12 + a2 y22 + ... + an y22 .
Отметим, что a1,a2,…,an, полученные при ортогональном преобразовании квадратичной формы к каноническому виду, являются
собственными значениями матрицы искомой формы.
Определим также, что квадратичная форма называется положительно определенной, если F(x1,x2,…,xn)>0, кроме значения при
x1 = x2 = … = xn = 0. Еще одно важное свойство квадратичных
форм – закон инерции. Дадим, как и последующие утверждения,
без доказательства.
Теорема. Число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов в каноническом представлении квадратичной формы
не зависит от способа приведения.
Если же нужно одновременно привести две квадратичные формы к каноническому виду, это можно сделать одним преобразованием переменных, если хотя бы одна из них положительно определенная.
Приведем простые примеры.
Пример 3.2.1. Привести квадратичную форму 6x12 + 4x1x2 + 3x22
к каноническому виду. Привести формулы перехода к новому базису.
34
Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид
æ6 2ö÷
6-l
2

÷÷, ее характеристическое уравнение:
A = ççç
= 0, l
2
3-l
è2 3÷ø
или l2–9l + 14 = 0, l1 = 2, l2 = 7. Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям:
ì
ï
(6 - l )l + 2m = 0,
ï
í
ï
ï
î2l + (3 - l )m = 0. При l = l = 2 4l + 2m = 0, l = 1, m = –2.
1
1
1
ì 1
ü
2 ï
ï
Нормируя, получаем: e1 = ï
í ,- ï
ý.
ï
5ï
ï 5
ï
î
þ
ì
ü
2
1
ï
ï
Аналогично e2 = ïí , ïý.
ï 5 5þ
ï
ï
ï
î
При переходе к базису e1, e2 ,координаты всех векторов преобраæ 1
2 ö÷
çç
÷
çç 5
5 ÷÷÷
зуются по формулам с матрицей P = çç
÷ и
1 ÷÷÷
çç 2
÷
ççè 5
5 ÷ø
ì
ï
+ 2 x
,
ï x1 = 1 x
ï
1
2
ï
5
5
ï
í
ï
2 
1 
ï
x2 = x1 +
x2 .
ï
ï
5
5
ï
î
ì
ï
ïx =
ï
ï 1
ï
í
ï
=
ï
x
ï
2
ï
ï
î
1
5
2
5
x1 x1 +
2
5
1
5
x2 ,
x2 .
В базисе e1, e2 матрица данного линейного преобразования
æ2 0÷ö
÷. Квадратичная форма приобретает вид:
A = çç
çè0 7÷÷ø
 2 + 7x
 2.
6x12 + 4x1x2 + 3x22 = 2x
1
2
Пример 3.2.2. Привести квадратичную форму 7x12 - 4x1x2 - 4x2 x3 + 6x
к каноническому виду. Привести формулы
перехода к новому базису.
Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид
x12 - 4x1x2 - 4x2 x3 + 6x22 + 5x32
æ 7 -2 0 ÷ö
çç
÷

A = çç-2 6 -2÷÷÷, ее характеристическое уравнение:
çç
÷
çè 0 -2 5 ÷÷ø
35
7 - l -2
0
-2 6 - l -2 = 0
0
-2 5 - l
или l3–18l2 + 99l–162 = 0.
Подбирая целые корни из делителей свободного члена, находим
корень равный 3 и, группируя, остальные корни: (l3–3l2)–(15l2–
45l) + (54l–162) = (l–3)(l2–15l + 54) = (l–3)(l–6)(l–9). Значит,
корни характеристического уравнения: l1 = 3,l2 = 6,l3 = 9.
Найдем собственные векторы с координатами (l,m,n), соответïìï (7 - l )l - 2m = 0,
ï
ствующие собственным значениям: ï
í-2l + (6 - l )m - 2n = 0,
ïï
ïïî -2m + (5 - l )n = 0.
ìï 4l - 2m = 0,
ìï
2l = m,
ïìï l1 = 1,
ïï
ïï
ï
ï
ï
При l = l1 = 3 : í-2l + 3m - 2n = 0, ® í-m + 3m - 2n = 0, ® ïím1 = 2,
ïï
ï
ï
ïï -2m + 2n = 0,
ïïïî
m = n,
ïïîï n1 = 2.
î
ì1 2 2ü
Нормируя, получаем: e1 = ïí , , ïý.
ïïî 3 3 3 ïïþ
ì2 1 2ü
ì2 2 1ü
Аналогично e2 = ïí , ,- ïý, и e3 = ïí ,- , ïý.
ïïî 3 3 3 ïïþ
ïïî 3 3 3 ïïþ
При переходе к базису e1, e2 , e3
координаты всех векторов
преобразуются по формулам с матрицей
ì
1 2 2
ï
ï
x1 = x
ï
1 + x2 + x3 ,
ï
3
3
3
ï
ï
ï
2
1
2
ï
+ x
- x
,
íx2 = x
1
2
3
ï
3
3
3
ï
ï
ï
2 2 1
ï
x3 = x
ï
1 - x2 + x3.
ï
3
3
3
ï
î
36
ì
ï
 = 1x +2x +2x ,
ï
x
1
1
2
3
ï
ï
3
3
3
ï
ï
ï
ï
 = 2x +1x -2x ,
íx
2
1
2
3
ï
3
3
3
ï
ï
ï
 = 2x -2x +1x .
ï
x
ï
3
1
2
3
ï
3
3
3
ï
î
æ1 2
2 ö÷
çç
÷
çç 3 3
3 ÷÷÷
çç
2 1
2 ÷÷
P = ççç
- ÷÷÷
3 ÷÷
çç 3 3
çç 2
÷÷÷
2
1
çç
÷÷
çè 3
3 3 ø÷
и
После преобразования в новом базисе квадратичная форма в
каноническом представлении имеет вид: 7x12 - 4x1x2 - 4x2 x3 + 6x22 + 5x32 =
 2 + 6x
 2 + 9x
 2.
x2 - 4x2 x3 + 6x22 + 5x32 = 3x
1
2
3
3.3. Приведение к каноническому виду уравнения
кривой второго порядка и уравнения поверхности
второго порядка
Воспользуемся результатами предыдущего раздела для приведения к каноническому виду уравнения кривой второго порядка
и уравнения поверхности второго порядка. Рассмотрим сначала
уравнение кривой второго порядка в прямоугольной декартовой
системе координат Oxy:
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2b1x + 2b2y + c = 0
(3.1)
Требуется с помощью поворота и параллельного переноса осей
координат перейти к такой прямоугольной системе координат, в
которой уравнение кривой будет иметь канонический вид. Для
этого рассмотрим квадратичную форму, связанную с уравнением
æa11 a12 ÷ö
÷.
(3.1), a11x2 + 2a12xy + a22y2. Ее матрица имеет вид 
A = çç
çèa12 a22 ÷÷ø
 2 + l y 2
Приведем квадратичную форму к каноническому виду l1 x
2
ортогональным преобразованием переменных
æö
æxö÷
çç ÷ = P ççx÷÷÷. (3.2)
ç
÷
çè y ÷ø
çè y ÷ø÷
A, а
Напомним, что l1, l2 – собственные значения матрицы 
столбцами матрицы P являются ортогональные нормированные
A в силу
собственные векторы (столбцы) матрицы 
A. Матрица 
свойств ортогональных 2×2 матриц имеет вид (см. формулу (3.1)):
æcos j -sin j÷ö
÷, где P – матрица оператора поворота на угол j в
P = çç
çèsin j cos j ÷÷ø
пространстве векторов на плоскости.
 2 + l y 2 + 2b x


Пользуясь формулой (3.2), получаем вместо (3.1) l1 x
2
1 + 2b2 y
2
2




1 x + l2 y + 2b1 x + 2b2 y + c = 0. Далее, выделив полные квадраты по обеим
переменным (или по одной переменной, если одно из чисел li равно
нулю), с помощью параллельного переноса координат переходим к
37
новой декартовой системе координат, в которой уравнение кривой
имеет канонический вид.
Пример 3.3.1. Привести уравнение кривой второго порядка
11x2–20xy–4y2–20x–8y + 1 = 0
(3.3)
к каноническому виду с помощью поворота осей координат и последующего параллельного переноса.
Решение. Приведем квадратичную форму 11x2–20xy–4y2, связанную с уравнением (3.4), ортогональным преобразованием к каæ 11 -10ö÷
÷,
ноническому виду. Матрица квадратичной формы 
A = çç
çè-10 -4 ÷÷ø
ее характеристическое уравнение
11 - l -10
= l2 - 7l -144 = 0,
-10 -4 - l
корни уравнения l1 = –9, l2 = 16.
Аналогично примеру 3.2.1 найдем нормированные собственные
A, и искомое ортогональное преобразование бувекторы матрицы 
дет иметь матрицу
æ
çç
ç
P = ççç
çç
ççè
1
5
2
5
-
2 ö÷
÷
5 ÷÷÷
÷, у которой detP = 1.
1 ÷÷÷
÷
5 ÷ø
Матрица P является матрицей оператора поворота на угол j та1
2
,sin j =
. Повернув оси координат системы
кой, что cos j =
5
5
1
Oxy на угол j = arccos
(против часовой стрелки), получим пря5
 . При этом координаты точки преобразумоугольную систему Oxy
ются по формулам:
1 
1  
x - 2y ), y =
(
(2x + y).
5
5
  уравнение кривой принимает вид
В системе координат Oxy
x=
 2 + 16y 2 - 36 x
 + 32 y + 1 = 0.
-9 x
5
5
Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем
38
2
2
æ
æ
2 ö÷
1 ö÷
-9ççx
+
÷÷ + 16ççy +
÷÷ + 5 = 0.
èç
èç
5ø
5ø
1
, y = y +
, т. е. производя параллельный
5
5
перенос осей координат так, что начало координат переходит в точæ 2
1 ö
ку O çç- ,- ÷÷÷, получаем каноническое уравнение данной криçè 5
5ø
+
Полагая x = x
2
2
2
x
y
= 1.
5
5
9 16
Это – каноническое уравнение гиперболы в системе координат
Oxy. Аналогичным образом можно привести к каноническому
виду уравнение поверхности второго порядка:
вой
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2b1x +
+ 2b2y + 2b3z + c = 0.
ортогональным
преобразованием
Сначала
переменных

æ
ö
x
æxö÷
çç ÷÷
çç ÷
çç y ÷÷ = P ççç y ÷÷÷ приводим квадратичную форму a x2 + a y2 + a z2 +
11
22
33
çç ÷÷÷
çç ÷÷÷
çç z ÷÷
çè z ÷ø
è ø
 2 + l y 2 + l z 2 .
2a12xy + 2a13xz + 2a23yz к каноническому виду l1 x
2
3
При этом система координат Oxyz перейдет в прямоугольную си  . Далее записываем уравнение поверхности
стему координат Oxyz
  , а затем, произведя параллельный перев системе координат Oxyz
  , переходим к системе координос осей координат системы Oxyz
нат Oxyz, в которой уравнение поверхности имеет канонический
вид.
Напомним, что матрица P = (pij) в силу свойства ортогональных матриц 3×3, имеющих определитель, равный единице, является матрицей оператора поворота в пространстве вокруг некоторой прямой [5]. Направляющий вектор прямой – это собственный вектор оператора поворота, соответствующий собственному значению l = 1, а угол поворота определяется из равенства  
cos j =
p11 + p22 + p33 -1
.
2
39
l
Пример 3.3.2. Перейти к такой прямоугольной системе координат, в которой уравнение поверхности
y2–z2 + 4xy–4xz–2x + 6y + 2z + 8 = 0
(3.4)
имеет канонический вид, и определить тип поверхности.
Решение. Приведем квадратичную форму y2–z2 + 4xy–4xz, свяæ 0 2 -2ö÷
çç
÷

занную с уравнением (3.5). Ее матрица A = çç 2 1 0 ÷÷÷.
çç
÷÷
çè-2 0 -1ø÷
Характеристическое
уравнение
-l
2
-2
2 1- l
0 = 0 ® l3 - 9l = 0.
-2
0
-1 - l
= 0 ® l3 - 9l = 0. Его корни l1 = -3, l2 = 0, l3 = 3.
Аналогично примеру 3.2.2 найдем нормированные собственные
A, искомое ортогональное преобразование имевекторы матрицы 
ет матрицу
æ 2 1
2ö
çç- ÷÷÷
çç 3 3
3 ÷÷
çç
1
2
2 ÷÷÷
ç
P = çç
- ÷÷, у которой detP = 1.
3
3 ÷÷
çç 3
÷÷
çç 2
2
1
÷÷
çç÷
çè 3
æö
3 3 ÷ø
æxö÷
ççx÷÷
çç ÷
ç ÷
÷
Ортогональное преобразование переменных çç y ÷÷ = P çç y ÷÷÷ :
çç ÷÷
ç ÷
ççç z ÷÷÷
çè z ø÷
è ø
2 1 2
1 2 2
2 2 1
x =- x
+ y - z, y = x
- y - z, z = - x
- y + z. (3.5)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
   уравнение
С помощью формул (3.6) в системе координат Oxyz
поверхности принимает вид
 2 + 3z 2 + 2x
 - 6y - 2z + 8 = 0.
-3x
(3.6)
Преобразуем (3.7) и, выделяя полные квадраты, получим
2
2
 2 + 3z 2 + 2x
 - 2z = 6y - 8 ® -3æçx
 - 1 ö÷÷ + 3æçz - 1 ö÷÷ = 6y - 8 ®
-3x
çç
çç
è
è
3 ø÷
3 ø÷
40
æ  1 ö÷2 æ  1 ÷ö2
æ
4ö
® ççx
- ÷÷ - ççz - ÷÷ = -2ççy - ÷÷÷.
çè
èç
3 ø çè
3ø
3ø
2
2
 2 + 3z 2 + 2x
 - 2z = 6y - 8 ® -3æçx
 - 1 ö÷÷ + 3æçz - 1 ö÷÷ = 6y - 8 ®
-3x
ççè
ççè
3 ø÷
3 ø÷
æ  1 ö÷2 æ  1 ÷ö2
æ
4ö
® ççx
- ÷÷ - ççz - ÷÷ = -2ççy - ÷÷÷.
çè
ç
ç
è
3ø è
3ø
3ø
 - 1 , y = y - 4 , z = z - 1 , в системе координат
Обозначив x = x
3
3
3
Oxyz после параллельного переноса осей получаем
2
2
x - z = -2y.
В данной системе координат мы получили каноническое уравнение поверхности гиперболического параболоида.
3.4. Тренировочные задачи
3.4.1. Привести квадратичную форму -4x12 + 10x1x2 - 4x22 к каноническому виду. Привести формулы перехода к новому базису.
3.4.2. Привести квадратичную форму 2x12 - 4x1x2 + 4x2 x3 + 9x22 + 2x32
2
2
1x2 + 4x2 x3 + 9x2 + 2x3 к каноническому виду. Привести формулы перехода к
новому базису.
Привести квадратичную форму к каноническому виду:
4
3
3.4.3.  x12 - 2x1x2 + x22 ;
3
4
3.4.4.  47x12 + 4 3x1x2 + 3x22 ;
3.4.5.  41x12 + 24x1x2 + 9x22 ;
3.4.6.  11x12 - 20x1x2 - 4x22 ;
3.4.7.  6x12 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x22 + 4x32 ;
3.4.8.  x12 + 6x1x2 + 8x2 x3 + x22 + x32 ;
3.4.9.  2x12 + 4x1x2 - 2x1x3 - x22 + 2x32 ;
3.4.10.  x12 - 4x1x2 + 2x1x3 + 4x22 + x32 .
41
Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому
виду с помощью поворота осей координат и последующего параллельного переноса. Определить тип кривой:
3.4.11.  5x2 - 2xy + 5y2 + 2x + 2y +
5
= 0;
4
3.4.12.  4x2 - 4xy + y2 - 2 5x + 3 5y +
129
= 0;
20
3.4.13.  5x2 + 6xy + 5y2 -16x -16y -16 = 0.
Перейдите к такой прямоугольной системе координат, в которой
уравнение данной поверхности имеет канонический вид, запишите
его и определите тип поверхности:
4
16
32
3.4.14.  2x2 - 4xy + y2 - 4yz + x - y + z + 10 = 0;
3
3
3
3.4.15.  5x2 - 4xy + 6y2 + 7z2 + 4yz -10x + 8y + 14z - 6 = 0.
42
4. Ответы
1.7.1. да; 1.7.2. нет; 1.7.3. да; 1.7.4. да; размерность равна 1;
1.7.5. да; размерность равна 2; 1.7.6. да; 1.7.7. да; 1.7.8. нет; 1.7.9.
да;1.7.10. нет; 1.7.11. да; 1.7.12. нет; 1.7.13. да; 1.7.14. нет; 1.7.15.
да.
В ответах к примерам 3.4.1.–3.4.15. дается один из возможных
вариантов приведения квадратичной формы к каноническому виду.
ì
ï
ïx1 =
ï
ï
2
2
ï


3.4.1.  x1 - 9x2 ; í
ï
ï
x2 =
ï
ï
ï
î
1 
x1 +
2
1 
x1 2
1 
x2 ,
2
1 
x2 ,
2
 2 + 2x
 2 + 10x
 2;
x
1
2
3
ì
ï
2
1
+
- 1 x
,
ï
x1 = x
x
ï
1
2
3
ï
3
2
3 2
ï
ï
ï
1
4 
3.4.2. ïí
x2 = x
x3 ,
1+
ï
3
3 2
ï
ï
ï
2
1 
1 
ï
ï
x3 = - x
x2 +
x3 ,
1+
ï
3
ï
2
3
2
ï
î
ì
ï
ïx1 =
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
x
ï
2
ï
ï
î
1
2
1
2
x1 +
x1 -
1
2
1
2
x2 ,
x2 ;
ì
ï
ï
 = 2x +1x -2x ,
x
ï
1
1
2
3
ï
3
3
3
ï
ï
ï
ï
= 1 x + 1 x ,
x
í
2
1
3
ï
2
2
ï
ï
ï
ï
 =- 1 x + 4 x + 1 x .
ï
x
3
1
2
3
ï
ï
3 2
3 2
3 2
î
25  2
 2 + 45x
 2;
 2 + 9x
 2 ; 3.4.5. 5x
x1 ; 3.4.4. x
1
2
1
2
12
 2 - 9x
 2 ; 3.4.7. 3x
 2 + 4x
 2 + 6x
 2;
3.4.6. 16x
3.4.3.
1
3.4.8.
2
 2 - 4x
 2 + 6x
 2;
x
1
2
3
1
3.4.9.
2
2
2 -2
3x
1
3
2
2
 + 2 2x
 ;
2x
2
3
2
 2 + 5x
 2 ; 3.4.11. x + y = -1, мнимый эллипс;
3.4.10. x
1
2
1
1
4
6
2
2
2
x
y
3.4.12. y = -0,8x, парабола; 3.4.13.
+
= 1, эллипс;
16
4
2
2
2 z
3.4.14. x + y - = -1, двуполостный гиперболоид;
2
2
2
2
x
y
z
3.4.15.
+
+ = 1, эллипсоид.
6
3
2
43
5. Литература
1. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 8-е изд. М.: Добросвет, Изд-во «КДУ»,2009. 320 с.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т. II. М.: Интеграл-Пресс, 2009,
544 с.
3. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике: Учеб. пособие.
6-е изд. СПб.: Изд-во «Лань», 2009. 688 с.
4. Босс В. Лекции по математике. Т. 5. Функциональный анализ. Изд. 2-е испр. М.: Книжный дом, Либроком, 2009. 216 с.
5. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч. Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие / Под ред. В. Ф.Бутузова.3-е
изд., испр. СПб.: Изд-во «Лань», 2008. 256 с.
6. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. СПб.: Изд-во «Лань», 2008. 227 с.
Содержание
1. Линейные пространства............................................................ 1.1. Основные определения...................................................... 1.2. Примеры линейных пространств........................................ 1.3. Базис и размерность пространства...................................... 1.4. Размерность линейного пространства.................................. 1.5. Изоморфизм линейных пространств.................................... 1.6. Скалярное произведение. Норма. Неравенство Коши............. 1.7. Тренировочные задачи и упражнения................................. 2. Линейные операторы............................................................... 2.1. Основные определения...................................................... 2.2. Обратный оператор........................................................... 2.3. Матричная запись линейных операторов............................. 2.4. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе
к новому базису...................................................................... 2.5. Собственные значения и собственные векторы линейных
операторов............................................................................ 2.6. Жорданова форма и жорданов базис ................................... 2.7. Ортогональные и симметричные матрицы............................ 3. Квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду........ 3.1. Квадратичные формы....................................................... 3.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду....... 3.3. Приведение к каноническому виду уравнения кривой
второго порядка и уравнения поверхности второго порядка.......... 3.4. Тренировочные задачи...................................................... 4. Ответы................................................................................... 5. Литература............................................................................. 44
3
3
4
5
6
7
7
12
14
14
15
16
18
19
21
30
32
32
34
37
41
43
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
652 Кб
Теги
gusmansmirnovfrank
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа