close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Higher Mathematics series

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
санкт-петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
HIGHER MATHEMATICS
SERIES
A textbook with a solution
of a typical test
Санкт-Петербург
2007
Составители:
Ю. А. Гусман, А. О. Смирнов, В. И. Франк
Рецензент:
д-р физ.-мат. наук, проф. В. Г. Фарафонов
Методические указания и варианты индивидуальных заданий по теме «Ряды»
предназначены для иностранных студентов первого курса ГУАП.
Подготовлены кафедрой высшей математики и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Редактор
Компьютерная вёрстка
Подписано к печати
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Уч.-изд. л. Усл. печ. л.
Тираж 200 экз. Заказ №
Редакционно-издательский отдел
Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки
Отдел оперативной полиграфии ГУАП
190000, Санкт-Петербург, ул. Б.Морская, 67
c
ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский
государственный университет
аэрокосмического
приборостроения», 2007
Глава 1
Числовые ряды
1.1
Number series
Сходимость числовых рядов
Convergence of number
series
Пусть задана некоторая бесконечная
последовательность чисел
Let the infinite sequence of numbers be
given
a1 , a2, a3 , . . . , an , . . .
Выражение
The expression
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
is called as series, and numbers
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . – as its terms. It’s
useful to use the sum sign and write
instead of (1)
называется рядом, а сами числа
a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . – членами ряда.
Удобно также вместо (1) , пользуясь
знаком суммы, писать
∞
n=1
(1)
an = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
Обозначим
(1’)
Denote
S1 = a1 ,
Sn =
S2 = a1 + a2 ,
n
S3 = a1 + a2 + a3 , . . .
aj = a1 + a2 + a3 + . . . + an
j=1
то есть Sn есть частичная сумма
ряда (1).
so, Sn is a partial sum of series (1).
Definition. If the following limit exists
and is finite
Определение. Если существует конечный предел
lim Sn = S
n→∞
1
то мы говорим, что ряд (1) сходится
и его сумма равна S. Если же этого
предела не существует или он равен
бесконечности, то мы говорим, что
ряд (1) расходится и суммы не имеет.
we will say, that series (1) converges
and has sum S. If that limit does not
exists or equals to infinity, we will say,
that series (1) diverges and has no sum.
Пример 1. Простейшим примером
ряда может служить геометрическая
прогрессия:
Example 1. The simpliest example of
series is the geometric progression:
a + aq + aq 2 + . . . + aq n + . . .
Его частичные суммы при q = 1
вычисляются по формуле
(2)
Its partial sums, if q = 1, may be
calculated using formula
a − aq n
Sn =
1−q
.
Если |q| < 1, то
If |q| < 1, then
a
a − aq n
lim Sn = lim
=
n→∞
n→∞ 1 − q
1−q
Поэтому при |q| < 1 ряд (2) сходится
a
, а при |q| 1
и его сумма равна 1−q
имеем расходящийся ряд.
So, series converges if |q| < 1 and has
a
in this case, and diverges if
sum 1−q
|q| 1.
Пример 2. Легко установить расходимость ряда
Example 2. It is easy to see, that
following series diverges:
∞
1
1
1
1
√ = 1+ √ + √ +...+ √ + ...
n
n
2
3
n=1
В самом деле, так как члены его убывают, то n-ая частичная сумма оценивается как
Indeed, its terms decreases, hence n-th
partial sum may be estimated as
√
1
1
1
1
Sn = 1 + √ + √ + . . . + √ n × √ = n
n
n
2
3
Поэтому lim Sn = ∞, и ряд расхоn→∞
дится.
So, lim Sn = ∞, and the series diverges.
n→∞
Lets state three simple, but important
theorems about convergent series.
Изложим три простые, но важные
теоремы о сходящихся рядах.
Theorem 1. If the series
Теорема 1. Если ряд
2
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
сходится и его сумма равна S, то ряд
(3)
converges and has sum S, then the series
ca1 + ca2 + ca3 + . . . + can + . . .
где c – какое-либо фиксированное
число, также сходится и его сумма
равна σ = cS
(4)
where c – some fixed number, converges
too and has sum σ = cS
Proof. Let Sn be n-th partial sum of
series (3) and σn – n-th partial sum of
series (4). Because of
Доказательство. Пусть Sn есть n-ая
частичная сумма ряда (3), а σn – n-ая
частичная сумма ряда (4). Так как
σn = ca1 + ca2 + ca3 + . . . + can = c(a1 + a2 + a3 + . . . + an ) = cSn
получаем
we have
lim σn = lim cSn = c lim Sn = cS.
n→∞
n→∞
n→∞
Таким образом, ряд (4) сходится и его
сумма равна cS
Hence, series (4) converges and has sum
cS
Теорема 2. Если ряды
Theorem 2. If series
и
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
and
b1 + b2 + b3 + . . . + bn + . . .
сходятся и их суммы равны, соответственно, S и S , то ряды
converge and their sums are equal,
respectively, to S and S , then series
и
and
(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 ) + . . . + (an + bn ) + . . .
(a1 − b1) + (a2 − b2 ) + (a3 − b3 ) + . . . + (an − bn ) + . . .
также сходятся и их суммы равны,
соответственно, S + S и S − S .
converge too and their sums are equal,
respectively, to S + S and S − S .
Теорема 3. Если ряд
Theorem 3. If the series
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
сходится (соотв. расходится), то ряд,
полученный из него отбрасыванием
или добавлением конечного числа членов, также сходится (соотв. расходится).
converges (resp. diverges), then the
series, obtained from it by erasing
or appending finite number of terms,
converges (resp. diverges) too.
3
1.2
Необходимый признак
сходимости
рядов
Necessary condition of
convergence of series
При исследовании рядов одним из
основных вопросов является вопрос
о том, сходится данный ряд или
расходится. Рассмотрим необходимый
признак сходимости, т.е. установим
условие, при невыполнении которого
ряд расходится.
While studying series, one of most
important questions is whether the
given series converges or diverges.
Lets state the neccecary condition of
convergence (also known as "Divergence
Test"), i.e. the condition, that series
diverges if it is not satisfied.
Теорема 4. Если ряд
Theorem 4. If the series
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
(5)
сходится, то его n-ый член стремится
к нулю, т. е. lim an = 0.
converges, then its n-th term converges
to zero, i.e lim an = 0.
Доказательство. Пусть Sn есть n-ая
частичная сумма ряда (5). Поскольку
он сходится, имеем lim Sn = S. Но тоn→∞
гда и lim Sn−1 = S. Вычитая из одноn→∞
го равенства другое, получаем
Proof. Let Sn be the n-th partial sum
of series (5). Due to its convergence, we
have lim Sn = S. Hence, lim Sn−1 = S.
n→∞
n→∞
Substracting of those equalities gives
n→∞
n→∞
lim an = lim (Sn − Sn−1) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Что и требовалось доказать.
We are done.
Следствие. Если n-ый член ряда не
стремится к нулю, то ряд расходится.
Corollary. If n-th term of series does
not converge to zero, then the series
diverges.
Пример 3. Ряд
Example 3. The series
1
2
+ 23 + . . . +
расходится, так как
lim
n
n→∞ n+1
n
n+1
+ ...
diverges, because of
= lim 1 −
n→∞
1
n+1
1
n→∞ n+1
= 1 − lim
Замечание. Рассмотренный признак
является только необходимым, но не
достаточным, т.е. из того, что n-ый
член стремится к нулю, еще не следует, что ряд сходится — он может и
расходиться. Так, ряд
= 1 − 0 = 1 = 0
Note. Given condition is only
neccecary, but not sufficient, i.e. if
n-th term converges to zero, the series
does not need to be convergent — it
may diverge. For example, series
4
∞
1
1
1
1
√ = 1+ √ + √ +...+ √ + ...
n
n
2
3
n=1
рассмотренный в примере 2, расходится, хотя lim √1n = 0.
considered in example 2, diverges,
although lim √1n = 0.
1.3
Сходимость положительных рядов
Convergence of positive
series
Займемся вопросом об установлении
сходимости или расходимости ряда.
Проще всего этот вопрос решается
для рядов, члены которых неотрицательны; для краткости такие ряды мы
будем называть положительными.
Сходимость или расходимость многих
положительных рядов чаще всего
устанавливается путем сравнения с
другими рядами, заведомо сходящимися или расходящимися. В основе
такого сравнения лежат теоремы
сравнения рядов.
Lets study the question whether series
converges or diverges. The easiest
case is the series containing only nonnegative terms; for brevity we will call
such series as positive. Convergence or
divergence of many positive series may
be often proved using comparision with
other series, known to be convergent
or divergent. Such proves are based on
comparison test.
n→∞
n→∞
Теорема 5. Пусть даны два положительных ряда:
∞
n=1
Theorem 5. Let two positive series be
given:
an = a1 + a2 + . . . + an + . . .
и
(6)
and
∞
n=1
bn = b1 + b2 + . . . + bn + . . .
Если an bn для любого n, то из сходимости ряда (7) следует сходимость
ряда (6), а из расходимости ряда (6)
следует расходимость ряда (7).
(7)
If an bn for all n, then convergence
of (7) gives convergence of (6), and
divergence of (6) gives divergence of (7).
5
Доказательство. Сначала докажем
первую часть теоремы, т.е. докажем,
что из сходимости ряда (7) следует
сходимость ряда (6). Пусть Sn есть
n-ая частичная сумма ряда 6, а σn
– ряда (7). Учитывая, что an bn
при всех n, получаем Sn σn . Так
как ряд (7) сходится, то существует предел lim σn = σ, а так как
n→∞
члены ряда неотрицательны, то
σn σn+1 и σn σ. Таким образом,
последовательностьSn возрастает и
ограничена: Sn σn σ, поэтому
она имеет предел lim Sn = S и он
n→∞
удовлетворяет неравенству ;S σ.
Вторая часть теоремы следует из
того, что последоваттельность Sn
возрастает, и, поскольку не имеет предела, неограничена. Значит, и σn §n
неограничена. Следовательно, она не
имеет конечного предела и ряд (7)
расходится.
Proof. We start with the first part
of the theorem, i.e we will prove, that
convergence of (7) leads to convergence
of (6). Let Sn be the n-th partial sum
of series (6), and σn – of series (7).
Using an bn for all n, we obtain
Sn σn . Convergence of series (7)
leads to the existence of the limit
lim σn = σ, and positivity of terms
n→∞
gives the inequalities σn σn+1 and
σn σ. Hence, the sequence Sn is
increasing and bounded: Sn σn σ,
so it has a limit lim Sn = S and it
n→∞
satisfies the inequality S σ.
Пример 4. Исследовать сходимость
ряда
Example 4.determine if the series is
convergent or not
∞
n=0
The second part follows from the fact,
that the sequence Sn is increasing and
has ho limit, hence is unbounded. Hence
, σn Sn is unbounded too. So, it
cannot have finite limit and series (7)
diverges.
1
1
1
1
+
=
1
+
+
.
.
.
+
+ ...
(n + 1)5n
2 · 5 3 · 52
(n + 1)5n
Решение. Сравним данный ряд с
"бо́льшим" рядом
(8)
Solution. We compare this series with
"bigger" one
∞
1
1
1
1
+
=
1
+
+
.
.
.
+
+ ...
n
2
n
5
5
5
5
n=0
Так как данный ряд сходится
(см.пример 1) и его сумма равна
1
= 54 , то сходится и ряд (8) и его
1−1/5
сумма не превосходит 54 .
This series converges (see example 1)
1
and has sum 1−1/5
= 54 , hence, series (8)
converges too and has sum less or equal
to 54 .
Пример 5. Исследовать сходимость
ряда
Example 5.Determine if the series is
convergent or not
6
∞
1
1
1
1
√
=1+ √
+ ...
+√
+ ...+ √
3
3
3
3
n
n
2
3
n=0
Решение. Сравним данный ряд с
"меньшим"рядом
√
√
3
n n ⇒
И, так как ряд из примера 2 расходится, то расходится и "бо́льший" ряд (9).
(9)
Solution. Compare this series with
"smaller" one
1
√
3n
√1
n
And because of divergence of series
from example 2 the "bigger" series (9)
diverges.
Другими признаками, более простыми и чаще применяемыми, являются
признаки Даламбера и Коши
Other tests, more simply and more
often usable, are called D’Alambert and
Cauchy tests.
Теорема 6 (Признак Даламбера).
Если для ряда с положительными членами
Theorem 6. (D’Alambert test). If
for series with positive terms
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
существует конечный предел (l) отношения n + 1-ого члена к n-ому:
(10)
exists finite limit (l) of the ratio of n+1th term to n-th:
lim an+1
n→∞ an
= l.
то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1
ряд расходится
then the series converges if l < 1 and
diverges if l > 1.
Замечание. В случае l = 1 ответа на
вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
Note. If l = 1 D’Alamber test gives no
answer about convergence or divergence
of series.
Доказательство. Пусть l < 1. Рассмотрим число q, удовлетворяющее
условию l < q < 1.По определению
предела найдется такое N, что при
всех n N имеем an+1
< q. Запишем
an
это неравенство для всех значений n,
начиная с N:
Proof. Let l < 1. Consider number q,
satisfuing l < q < 1. Due to definition
of limit we may find N, such that for
all n N we have an+1
< q. Writing
an
this inequality for all n, starting from
N, gives:
aN +1 < qaN ,
aN +2 < qaN +1 < q 2 aN ,
aN +3 < qaN +2 < q 3 aN , . . .
Теперь рассмотрим два ряда
Now consider two series
a1 + a2 + a3 + . . . + aN + aN +1 + . . .
7
aN + qaN + q 2 aN + . . .
Последний ряд, очевидно, сходится
(см. пример 1). Тогда по теореме сравнения сходится ряд aN + aN +1 + . . ., a
по теореме 3 и ряд (10) сходится.
Если l > 1, то начиная с некоторого
номера N будем иметь an+1
> 1,
an
т.е.an+1 > an для всех n > N. Поэтому
общий член ряда не будет стремиться
к нулю. Следовательно, в этом случае
ряд (10) будет расходиться по теореме
4.
The last series, obviously, converges (see
exapmle 1). Then, due to comparision
test series aN +aN +1 +. . . also converges,
hence, due to theorem 3, series (10)
converges.
If l > 1, then, starting from some N we
will have an+1
> 1, i.e.an+1 > an for all
an
n > N. Hence, terms of series do not
converge to zero. So, in this case series
(10) diverges due to theorem 4.
Пример 6. Исследовать сходимость
∞ n
2
ряда
с помощью признака
n!
n=1
Даламбера.
Example 6. Using D’Alambert test,
∞ n
2
determine if series
converges or
n!
n=1
not.
Решение:
Solution:
an+1
n→∞ an
lim
2n+1 /(n+1)!
2n /n!
n→∞
= lim
2n+1 ·n!
n
n→∞ 2 ·(n+1)!
= lim
2
n+1
n→∞
= lim
= 0 < 1.
Ряд сходится.
The series converges.
Аналогичным образом может быть
доказан и признак Коши.
Similarly the Cauchy test may be
proved.
Теорема 7 (Признак Коши). Если
для ряда с положительными членами
Theorem 7. (Cauchy test). If for
series with positive terms
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
существует
конечный
предел
√
n
lim an = l, то при l < 1 ряд
n→∞
сходится, а при l > 1 ряд расходится
√
the limit lim n an = l exists and is
n→∞
finite, then the series converges if l < 1
and diverges if l > 1.
Замечание. В случае l = 1 ответа на
вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
Note. If l = 1 Cauchy test gives no
answer about convergence or divergence
of series.
Пример 7. Исследовать сходимость
∞
n n
ряда
( 2n+1
) с помощью приn=1
знака Коши.
Example
7.
Using
determine
if
series
converges.
Решение. Так как
Solution. Because of
8
Cauchy
∞
n=1
test,
n n
( 2n+1
)
lim
n→∞
√
n
n
an = lim n ( 2n+1
)n = lim
n
n→∞ 2n+1
n→∞
=
1
2
<1
то ряд сходится
the series converges
Несмотря на то, что признаки Даламбера и Коши наиболее просты и
удобны при выяснении сходимости
или расходимости рядов с положительными членами, они часто не дают
ответа. Более сложным, но всегда дающим ответ, является интегральный
признак
Although D’Alambert and Cauchy
tests are most simple and usable while
proving convergence or divergence
of positive series, they often give
no answer. Integral test is more
complicated, but always gives the
answer.
Теорема 8 (Интегральный признак). Пусть дан ряд
Theorem 8 (Integral test). Let she
series be given:
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
Члены которого монотонно убывают.
Предположим, что существует функция f (x), удовлетворяющая следующим условиям:
1. f (x) определена и непрерывна при
x1
2. f (x) > 0 и монотонно убывает при
x1
3. f (n) = an для всех натуральных n.
Тогда данный ряд и несобственный
интеграл
such that its terms are monotone
decreasing. Suppose, that there is
function f (x), satisfying following
conditions:
1. f (x) is defined and continious for
x1
2. f (x) > 0 and monotone decreases
for x 1
3. f (n) = an for all natural n.
Then the given series and improper
integral
∞
A
f (x)dx = lim
1
A→∞
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
f (x)dx
1
either both converge or both diverge.
Proof.
Доказательство.
9
y
6
a1
a2
y
6
s
a1
s
s
a2
s
a3
s
s
a3
s
an
an+1
y = f (x)
s
an
an+1
s
-x
1
n n+1
1 2 3
Рис.2
График функции f (x), удовлетворяющей условиям теоремы, изображен
на рис.1 и 2.
Учитывая геометрический смысл
определенного интеграла, имеем (см.
рис. 1):
n+1
s
-x
n n+1
1 2 3
Рис.1
y = f (x)
The graph of function f (x) satisfying
theorems conditions, is presented on
pictures 1 and 2.
Using the geometrical meaning of
definite integral, we have (see fig. 1):
< a1 + a2 + . . . + an = Sn
(11)
and (see fig.2)
и (см.рис.2)
n+1
1
> a2 + a3 + . . . + an+1 = Sn+1 − a1 .
Или, иначе говоря
Or, in other words
n+1
1
f (x)dx + a1 > Sn+1
(12)
Если исходный ряд сходится, то существует предел lim Sn = S, Sn If the series converges then there is limit
lim Sn = S, Sn S for all n. Hence
S при всех n. Тем самым (по
неравенству 11), последовательность
n+1
{ f (x)dx} ограничена числом S и
(due to inequality 11) the sequence
n+1
{ f (x)dx} is bounded by S and the
n→∞
n→∞
1
improper integral
1
несобственный интеграл
∞
1
f (x)dx = lim
A
A→∞ 1
10
f (x)dx
существует.
Если же существует
∞
exists.
∞
If the integral
f (x)dx exist, then
f (x)dx, то из
1
1
(12) получаем ограниченность частичных сумм Sn и, так как Sn образуют
возрастающую последовательность,
то существует предел lim Sn = S и
n→∞
ряд сходится.
from (12) we obtain, that partial sums
Sn are bounded and because of they
form increasing sequence, there is limit
lim Sn = S and series converges.
Если ряд расходится, то по второй
части доказательства сразу получаем,
что интеграл не может существовать.
Наконец, если не существует интеграл, то по первой части доказательства ряд не может сходиться. Теорема
полностью доказана.
If the series diverges, then due to second
part of the proof we see immediately,
that integral can not exist.
Finally, if integral does not exist, then
due to first part of the proof series
can not be convergent. The theorem is
proved completely
Пример 8. Продемонстрируем применение этого признака на примере
ряда
Example 8. Lets demonstrate using of
this test on the series
∞
n=1
1
np
=1+
1
2p
+
n→∞
1
3p
+ ...+
Пусть p > 0 (в противном случае
не выполняется необходимый признак
сходимости рядов). Рассмотрим интеграл
∞
1
dx
= lim
xp A→∞
A
1
1
np
+ ...
(13)
Let p > 0 (in other case the neccecasry
condition of convergence fails). Consider
the integral
⎧
A dx
⎪
⎪
⎪
⎨ lim xp , p = 1
dx
A→∞ 1
=
=
A
xp ⎪
⎪
⎪
lim dx
⎩A→∞
x, p =1
1
⎧
A
−p+1
⎪
⎨ lim x−p+1 , p = 1
A
1−p 1
1−p −
A
= A→∞
=
⎪
ln(A),
⎩ lim ln(x) , p = 1
A→∞
1
Итак,
Hence
11
1
1−p ,
p = 1
p=1
A
p<1:
lim
A→∞
1
A
p=1:
lim
A→∞
1
A
p>1:
lim
A→∞
1
dx
1
(A1−p − 1) = ∞
=
lim
p
A→∞ 1 − p
x
dx
= lim ln(A) = ∞
A→∞
x
1
dx
1
1
−
=
lim
=
xp A→∞ 1 − p (p − 1)A1−p
p−1
откуда следует, что ряд (13) сходится
при p > 1 и расходится при p 1.
that leads to the series (13) converges if
p > 1 and diverges if p 1.
Замечание. Получающийся при p =
1 ряд
Note. The series obtained for p = 1
∞
n=1
1
n
= 1 + 12 + 13 + . . . +
1
n
+ ...
называется гармоническим рядом.
is called as harmonic series.
1.4
Sign-changing series
Знакопеременные
ряды
Ранее рассматривались ряды, члены
которых были положительны. Рассмотрение рядов, члены которых имеют различные знаки, начнем со знакочередующихся рядов, т.е. рядов, которые имеют вид
In previous sections we considered series
with posititive terms. We start to
consider series with terms of different
signs and, at first, alternating series, i.e.
series of type
u1 − u2 + u3 − . . . + (−1)n+1un + . . .
где u1 , u2 , . . . , un , . . . положительны.
При исследовании знакочередующихся рядов полезным является
следующее утверждение:
(14)
with positive u1 , u2, . . . , un , . . .. While
considering alternating series the
following statement is useful:
Theorem 9 (Leibnitz test). If terms of
alternating series (14) satisfy
Теорема 9 (Признак Лейбница). Если
члены знакочередующегося ряда (14)
таковы, что
u1 > u2 > u3 > . . .
(15)
lim un = 0
(16)
n→∞
12
тогда ряд (14) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого
члена.
then series (14) converges, its sum is
positive and does not exceed the first
term.
Доказательство. Рассмотрим сумму
первых 2m членов ряда (14):
Proof. Consider the sum of first 2m
terms of (14):
S2m = (u1 − u2) + (u3 − u4) + . . . + (u2m−1 − u2m)
Из условия (15) следует, что все выражения в скобках положительны, поэтому частичные суммы S2m положительны и монотонно возрастают. Кроме того,
It follows from (15) that all expressions
in brackets are positive, hence partial
sums S2m are positive and monotone
increase. Moreover,
S2m = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − . . . − (u2m−2 − u2m−1) − u2m
поэтому S2m ограничена сверху величиной u1 . Отсюда следует существование предела lim S2m = S u1. Учи-
hence S2m is upperbounded by u1 . This
leads to existing of limit lim S2m = S m→∞
u1 . Using (16) we obtain, that for odd
numbers the limit will be the same:
m→∞
тывая (16), получаем, что и для нечетных номеров предел равен той же величине:
lim S2m+1 = lim (S2m + u2m+1) = lim S2m + lim u2m+1 = S + 0 = S.
m→∞
m→∞
m→∞
m→∞
Таким образом, доказано, что ряд (14)
сходится, его сумма положительна и
не превосходит первого члена.
So, it is proved, that series (14)
converges, its sum is positive and does
not exceed the first term.
Пример 9. Рассмотрим ряд
Example 9. Consider the series
∞
(−1)n+1 ·
n=1
1
n
= 1 − 12 + 13 − 14 + . . .
(17)
По теореме Лейбница этот ряд сходится , его сумма положительна и не
превосходит 1.
Due to Leibnitz test this series
converges, its sum is positive and
does not exceed 1.
При рассмотрении произвольного
знакопеременного ряда теорема Лейбница не работает. Однако в этом
случае можно воспользоваться следующим утверждением, верным для
любого знакопеременного ряда, в том
числе и для знакочередующегося.
While consider given sign-changing
series Leibnitz test does not help. But
in that case it is possible to use
the following statement, which is true
for all sign-changing series, including
alternating series.
Theorem 10.If sign-changing series
Теорема 10. Если знакопеременный
ряд
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
13
(18)
Таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов
is such that the series of absolute values
of its terms
|a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |an | + . . .
converges, then
converges too.
сходится, то и данный ряд сходится.
Пример 10. Исследовать сходимость
ряда
sin α
12
+
sin 2α
22
the
given
series
Example 10. Determine if the series
converges or not:
+ ...+
sin nα
n2
+...
(20)
Solution. Consider the series
Решение. Рассмотрим ряд
| sin α|
12
(19)
+
| sin 2α|
22
+...+
Поскольку ряд
| sin nα|
n2
+ ...
Because the series
1
12
+
1
22
+
1
32
+ ...+
1
n2
+...
сходится (см. пример 8), то по теореме
10 сходится и ряд (20).
converges (see. example 8), hence due to
theorem 10 the series (20) converges too.
Признак сходимости, изложенный выше, является достаточным, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, а ряды, составленныые из абсолютных величин их членов, расходятся.
В связи с этим удобно ввести понятия абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов и на их
основе классифицировать знакопеременные ряды. Определение. Знакопеременный ряд
This convergence test is only sufficient,
but not neccecary to hold for series to
be convergent. There are sign-changing
series such that they converge, but
series of absolute values of its terms
diverges. So, it is useful to introduce
notions of absolute and conditional
convergence and classify series using
those notions.
Definition. Sign-changing series
a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .
(21)
is called absolutely convergent, if the
series of absolute values of its terms
converges:
называется абсолютно сходящимся,
если сходится ряд, составленный из
абсолютных величин его членов:
|a1 | + |a2 | + |a3 | + . . . + |an | + . . .
(22)
Если же ряд (21) сходится, а ряд (22)
расходится, то ряд (21) называется
условно сходящимся.
If series (21) converges and series (22)
diverges, then series (21) is called
conditionally convergent.
Пример 11. Ряд
Example 11. The series
1 − 12 + 13 − 14 + . . . + (−1)n+1 n1 + . . .
14
сходится условно (по теореме Лейбница) но не абсолютно (поскольку гармонический ряд расходится, см. пример
8). А ряд
1−
1
2!
+
1
3!
1
4!
−
converges conditionally (due to Leibnitz
test) but not absolutely (Harmonic
series diverges, see example 8). And the
series
+ . . . + (−1)n+1 n!1 + . . .
сходится абсолютно, так как ряд
1+
1
2!
+
converges absolutely, because the series
1
3!
+
1
4!
+ ...+
сходится по признаку Даламбера:
un+1
= lim
n→∞ un
n→∞
lim
1
(n+1)!
1
n!
1
n!
+...
converges due to D’Alambert test:
n!
1
= lim
= 0 < 1.
n→∞ (n + 1)!
n→∞ n + 1
= lim
15
Глава 2
Функциональные Functional series
ряды
2.1
Область сходимости функционального ряда
Domain of convergence
of functional series
Ряд f1 +f2 +f3 +. . .+fn +. . . называется
функциональным, если его члены являются функциями от некоторой переменной. Рассмотрим функциональный ряд
The series f1 + f2 + f3 + . . . + fn +
. . . is called functional, if its terms are
functions in some variable. Consider the
functional series
∞
n=1
fn (x) = f1(x) + f2(x) + . . . + fn (x) + . . .
(23)
Puting instead of x some real values
gives different number series, convergent
or divergent. The set X of all x, for
witch the functional series is convergent,
is called domain of convergence of this
series.
Придавая x определенные числовые
значения, получаем различные числовые ряды, которые могут как сходиться, так и расходиться. Множество X
тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Очевидно, что в области сходимости
ряда его сумма является некоторой
функцией от x, т.е. lim Sn = S(x) для
n→∞
x ∈ X.
Так, например, для |x| < 1 ряд
1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . сходится
1
и для этих x сумма S(x) = 1−x
.
Обозначим через rn (x) остаток ряда
Evidently, in the domain of convergence
of series its sum is a function in variable
x, i.e. lim Sn = S(x) для x ∈ X.
n→∞
For example, for |x| < 1 the series
1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . . converges
1
and for that x the sum is S(x) = 1−x
Denote the remainder of series as rn (x)
rn(x) = fn+1(x) + fn+2(x) + fn+3(x) + . . .
16
Тогда
в
области
S(x) = Sn (x) + rn (x) и
сходимости
Then in the domain of convergence
S(x) = Sn (x) + rn (x) and
lim rn (x) = lim (S(x) − Sn (x)) = S(x) − lim Sn (x) = S(x) − S(x) = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
Таким образом, остаток сходящегося ряда стремится к нулю при n → ∞.
Hence, the remainder of convergent
series converges to zero if n → ∞.
Наиболее
распространенными
функциональными рядами являются степенные ряды.
Most often usable among functional
series are power series.
2.2
Степенные ряды
Определение. Степенным
называется ряд вида
Power series
Definition. Power series is a series of
type
рядом
c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + cn xn + . . .
где c0 , c1 , c2 , . . . , cn , . . . — некоторые
числа.
Областью сходимости степенного
ряда всегда является некоторый интервал, что следует из теоремы Абеля:
(24)
where c0 , c1 , c2 , . . . , cn , . . . — some
constants.
Domain of convergence for power series
always is an interval, because of Abel
theorem:
Теорема Абеля.
1. Если степенной ряд (24) сходится
при некотором значении переменной
x0 , то он абсолютно сходится при
всяком значении x, для которого
|x| < |x0 |;
2.Если степенной ряд (24) расходится
при некотором значении переменной
x0 , то он расходится при всяком
значении x, для которого |x| > |x0 |;
Abel theorem.
1.If power series (24) converges for
some value of variable x0 , then it
converges absolutely for every x such
that |x| < |x0 |;
2.If power series (24) diverges for some
value of variable x0 , then it diverges for
every x such that |x| > |x0 |;
Таким образом, областью сходимости
степенного ряда является интервал с
центром в начале координат.
Hence, the domain of convergence of
power series is an interval with center
at origin.
Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется
такой интервал (−R, R), что для
всякой точки x лежащей внутри
этого интервала, ряд (24) сходится,
и притом абсолютно, а для x, лежащих вне его, ряд расходится. Число
R называют радиусом сходимости
степенного ряда.
Definition. Convergence interval of
power series is the interval (−R, R),
such that for all x in this interval series
(24) is absolutely convergent, and for x
not in this interval the series diverges.
The number R is called convergence
radius of power series.
17
На концах интервала (при x = ±R)
вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.
Отметим, что у некоторых рядов
интервал сходимости вырождается в
точку (R = 0), у других охватывает
всю числовую ось (R = ∞).
Укажем несколько способов определения радиуса сходимости степенного
ряда.
Пусть имеется ряд (24). Рассмотрим
ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
On ends of interval (for x = ±R)
the question about convergence or
divergence of given series must be solved
individually for each series.
Для определения сходимости последнего ряда (с положительными членами) приме́ним признак Даламбера.
Допустим, что существует предел
To determine, if this series converges
or not, we will use D’Alambert test.
Suppose, that there exists finite limit
Note, that some series convergence
interval may become a point (R = 0),
for other — be the whole axis (R = ∞).
Lets state several ways to determine the
convergence radius of power series.
Let the series (24) be given. Consider the
series of absolute values of its terms:
|c0 | + |c1 ||x| + |c2 ||x2| + . . . + |cn ||xn | + . . .
|cn+1 xn+1 |
n
n→∞ |cn x |
lim
= lim | cn+1
cn ||x| = L|x|
n→∞
Тогда по признаку Даламбера ряд
Then due to D’Alambert test series of
из абсолютных величин сходится при
absolute values converges for L|x| < 1
L|x| < 1, т.е. при |x| < 1/L, и расхоi.e for |x| < 1/L and diverges for L|x| >
дится при L|x| > 1, т.е. при |x| > 1/L.
1 i.e. for |x| > 1/L. Hence, for |x| <
Следовательно, ряд (24) сходится аб1/L the series (24) converges absolutely,
солютно при L|x| < 1 и расходится
and for |x| > 1/L the series diverges
при |x| > 1/L (так как при L|x| > 1
(because terms of (24) in that case do
общий член ряда (24) не стремится к
not converge to zero). So, we have
нулю). Таким образом, получаем
1
cn
R = = lim |
|
L n→∞ cn+1
Аналогично для определения интервала сходимости можно пользоваться
признаком Коши. При этом для радиуса сходимости получаем следующую
формулу:
R=
Similary, it is possible to use Caushy test
to determine the convergence radius.
It gives the following formula for
convergence radius:
lim
n→∞
Пример 11. Найти область сходимости ряда
1
n
|cn |
Example 11. Determine the domain of
convergence for the series
(2x)n
2x (2x)2 (2x)3
−
+
− . . . + (−1)n+1
+ ...
1
2
3
n
18
Решение. Применим формулу, выведенную из признака Даламбера
Solution. Lets use formula, dedicated
from D’Alambert test
(−1)n+1 2n 1
n+1
n R = lim =
n+1 = lim
2
n+2
n→∞ (−1)
n→∞ 2n
2
n+1
При x = 1/2 имеем числовой ряд
1−
For x = 1/2 we have number series
1 1
1
+ − . . . + (−1)n+1 + . . .
2 3
n
and it converges due to Leibnitz
theorem. For x = −1/2 we have
harmonic series, multiplyed by (-1):
который сходится по теореме Лейбница. При x = −1/2 получаем гармонический ряд, умноженный на (-1):
−1 − 12 − 13 − . . . −
1
n
− . . .,
который расходится. Таким образом,
заданный степенной ряд сходится при
− 12 < x 12
and it diverges. So, the given series
converges for − 12 < x 12
2.3
General power series
Степенные
ряды
общего вида
Определение. Степенным рядом общего вида или рядом по степеням (x−
a) называется функциональный ряд
Definition. General power series or
power series in (x − a)-powers is the
functional series of type
c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + . . . + cn (x − a)n + . . .
где числа c0 , c1 , c2 , . . . , cn , . . . называются коэффициентами ряда.
При a = 0 получаем степенной ряд
(24), который является частным случаем ряда (25). После замены x−a = y
ряд (25) принимает вид
(25)
where numbers c0 , c1 , c2 , . . . , cn , . . . are
called series coefficients.
For a = 0 we obtain the power series
(24), which is the particular case of (25).
After changing variable x − a = y series
25 becomes
c0 + c1 y + c2 y 2 + . . . + cn y n + . . .
(24’)
i.e. we obtain series (24), but for variable
y. If R is the convergence radius of series
(24’), then the series (25) converges
inside the interval a − R < x < a + R
and diverges outside this interval. As for
series (24), we need individual solutions
for ends of convergence interval (x =
a ± R).
т.е. получается ряд (24), но от переменной y. Если R есть радиус сходимости ряда (24’), то ряд (25) сходится
внутри интервала a − R < x < a + R
и расходится вне его. Так же, как и
для ряда (24), для концов (x = a ± R)
интервала сходимости ряда (25) надо
проводить в каждом случае отдельное
исследование.
19
2.4
Ряды Тейлора
Маклорена
и
Taylor and Mac Laurin
series
Известно, что в интервале сходимости степенной ряд является функцией,
имеющей призводные любого порядка. Возможна и обратная постановка
задачи: представить заданную функцию, имеющую производные любого
порядка как сумму некоторого степенного ряда.
Чтобы это сделать, сначала для функции f (x), имеющей производные любого порядка в окрестности точки x =
a, напишем формулу Тейлора:
It is known, that the power series in its
convergence interval is a function having
derivatives of every order. It is possible
to state inverse problem: to present
given function having derivatives of
every order as sum of some power series.
To do it for f (x) – function having all
derivatives in the neighborhood of point
x = a — lets write Taylor formula at
first:
f (x) = f (a) + f 1!(a) (x − a) + f 2!(a) (x − a)2 + . . . + f
где
(n)
(a)
(x − a)n
n!
+ ρn (x), (26)
where
ρn (x) =
f (n+1) (a+θx)
(x
(n+1)!
− a)n+1, 0 < θ < 1 –
остаточный член в форме Лагранжа.
remainder in Lagrange form.
Если допустить, что остаточный член
ρn (x) формулы Тейлора в интервале
сходимости a−R < x < a+R стремится к нулю, то переходя в (26) к пределу при n → ∞, получим
If we suppose, that remainder ρn (x)
of Taylor formula converges to zero in
convergence interval a − R < x < a + R,
then taking limits in (26) for n → ∞ we
obtain
f (x) = f (a) + f 1!(a) (x − a) + f 2!(a) (x − a)2 + . . . + f
Выражение справа называется рядом
Тейлора функции f (x) в точке a. При
a = 0 ряд (27)
(n)
(a)
n
n! (x − a) + . . .
(27)
The expression in the right side is called
Taylor series of function f (x) at point
a. For a = 0 the series (27)
f (x) = f (0) + f 1!(0) x + f 2!(0) x2 + . . . + f
20
(n)
(0)
n!
xn + . . .
(28)
называется рядом Маклорена для
функции f (x), а его коэффициенты
- коэффициентами Маклорена функции f (x).
is called Mac Laurin series for f (x) and
its coefficients - Mac Laurin coefficients
of f (x).
Итак, чтобы функцию f (x), имеющую
в окрестности точки x = a производные всех порядков, записать в виде ряда Тейлора (или Маклорена при
a = 0), надо найти коэффициенты
Тейлора(Маклорена), определить область сходимости получившегося ряда
и проверить, что в области сходимости
ряда его остаточный член стремится к
нулю.
So, to write function f (x) having
derivatives of all orders in neighborhood
of point x = a as Taylor (or Mac Laurin
for a = 0) series, we need to find Taylor
(Mac Laurin) coefficients, determine the
convergence domain of obtained series
and check, that in the convergence
domain its remainder converges to zero.
2.5
Разложение
элементарных функций в степенные
ряды
Expanding of elementary
functions to power series
Найдем разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.
1. f (x) = ex
dn
x
x
Поскольку dx
и e0 = 1, форn (e ) = e
мула Маклорена для ex имеет вид
Lets find Mac Laurin expansions of basic
elementary functions.
1. f (x) = ex
dn
x
x
Note, that dx
and e0 = 1,
n (e ) = e
hence Mac Laurin formula for ex is
ex = 1 +
1
1
1
x + x2 + . . . + xn + ρn (x).
1!
2!
n!
Convergence radius of series
Радиус сходимости ряда
1+
1
1
1
x + x2 + . . . + xn + . . .
1!
2!
n!
Due to D’Alambert test is equal to
по признаку Даламбера равен
1
n!
1
n→∞
(n+1)!
R = lim
(n + 1)!
= lim (n + 1) = ∞.
n→∞
n→∞
n!
= lim
Remainder in Mac Laurin formula
Остаточный член формулы Маклорена
ρn (x) =
f (n+1) (θx) n+1
eθx
=
x
xn+1 ,
(n + 1)!
(n + 1)!
21
0<θ<1
n+1
e|x|
n+1
|x| |x|
|x|
ρn (x) =e
(n + 1)!
(n + 1)!
converges to zero while n → ∞,
because e|x| is bounded, and second
factor converges to zero.
Hence
стремится к нулю при n → ∞, поскольку e|x| ограничено, а второй сомножитель стремится к нулю
Таким образом
1
1
1
x + x2 + . . . + xn + . . . − ∞ < x < ∞ (29)
1!
2!
n!
Similary expansions of other elementary
Аналогично можно получить разлоfunctions to power series may be
жения в степенные ряды и для других
obtained:
элементарных функций:
1. ex = 1 +
x3 x5
(−1)m 2m+1
+
− ...+
x
+ ...
3!
5!
(2m + 1)!
x2 x4
(−1)m 2m
3.
cos x = 1 −
+
−...+
x + ...
2!
4!
(2m)!
1
1
(−1)n+1
4. ln(1 + x) = x − x2 + x3 + . . . +
+ ...
2
3
n
α(α − 1) 2
x + ...+
5.
(1 + x)α = 1 + αx +
2!
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − (n − 1)) n
x + ...
+
n!
5 . (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − . . . + (−1)n xn + . . .
2.
sin x = x −
Покажем, как пользоваться стандартными разложениями (29)-(33’)
для нахождения разложений в ряды
Тейлора и Маклорена некоторых
других функций.
.
2
.
−∞<x<∞
(31)
−1<x<1
(32)
−1<x<1
(33)
−1<x<1
(33)
Example 12. Find Mac Laurin series of
2
the function f (x) = e−x .
Solution. We know already Mac Laurin
series of the function ex :
1
1
1
x + x2 + . . . + xn + . . .
1!
2!
n!
Подставляя −x2 вместо x, получаем
e−x = 1 −
(30)
Lets demonstrate, how to use standart
expansions (29)-(33’) to find Taylor
and Mac Laurin series of some other
functions.
Пример 12. Разложить в ряд Макло2
рена функцию f (x) = e−x .
Решение. Нам уже известно разложение в ряд Маклорена функции ex :
ex = 1 +
−∞<x<∞
−∞<x<∞
Substitution of −x2 instead of x gives
1 2 1 4
(−1)n 2n
x + x + ...+
x + ...
1!
2!
n!
22
−∞<x<∞
Пример 13. Разложить по степеням
x − π/4 функцию f (x) = sin2 x.
Решение. Сделав замену переменной
y = x − π/4,x = y + π/4, получим
2
sin x = sin
2
Example 13. Expand the function
f (x) = sin2 x to series in powers of x −
π/4. Solution. after changing of variable
y = x − π/4,x = y + π/4 we have
π
π 1 1
y+
= − cos
+ 2y =
4
2 2
2
Теперь воспользуемся разложением
(30):
1
2
+
1
sin 2y.
2
Now using expansion (30):
(−1)m
(2y)3 (2y)5
+
−. . .+
(2y)2m+1 +. . .
sin 2y = 2y −
3!
5!
(2m + 1)!
Окончательно, имеем
−∞ < y < ∞
Finally we obtain
22 y 3 24 y 5
(−1)m 22m 2m+1
1
+y−
+
− ...+
y
+ ... =
2
3!
5!
(2m + 1)!
π 22 1 (−1)m 22m π 3
π 2m+1
= + x−
+...+
+...
−
x−
x−
2
4
3!
4
(2m + 1)!
4
sin2 x =
2.6
− ∞ < x < ∞.
Приближенные
вычисления с помощью степенных
рядов
Approximate
calculations using power
series
Приведем еще один пример использования степенных рядов
Пример 14. Вычислить интеграл
1
sin x
dx с точностью до 0.0001.
x
Lets give one more example of using
power series
Example 14. Compute the integral
1
sin x
dx with precision 0.0001.
x
Решение. Так как первообразная
от sinx x не является элементарной
функцией, то нельзя воспользоваться
формулой Ньютона-Лейбница, и нужно получить приближенное значение
интеграла, используя разложение
подынтегральной функции в ряд
Маклорена. Имеем
Solution.the indefinite integral of sinx x
is not an elementary function, hence
we cannot use Newton-Leibnitz formula
and need to compute this definite
integral approximately using Mac
Laurin series of integrand. We have
0
0
23
x3 x5
(−1)m 2m+1
+ ...
+
− ...+
x
sin x
3!
5!
(2m + 1)!
=
=
x
x
(−1)m 2m
x2 x4
+
− ...+
x + ...,
=1−
3!
5!
(2m + 1)!
x−
причем разложение справедливо для
всех x.
this holds for all x
Note one property of power series:
If the series
S(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
has the convergence radius R, then
term-by-term integration is possible:
Отметим свойство степенных рядов:
Если ряд
S(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
имеет радиус сходимости R, то возможно почленное интегрирование:
β
S(x)dx =
α
β
α
a0 dx +
β
a1 xdx +
α
β
α
при α, β ∈ (−R, R).
Поэтому
2
a2 x dx + . . . +
β
an xn dx + . . .
α
for α, β ∈ (−R, R).
Hence
1 sin x
x2 x4
(−1)m 2m
1−
I=
dx =
+
− ...+
x + . . . dx =
x
3!
5!
(2m + 1)!
0
0
1
x5
(−1)m x2m+1
x3
+
− ...+
+ . . . =
x−
3 · 3! 5 · 5!
(2m + 1) · (2m + 1)!
0
1
(−1)m
1
+
− ...+
+ ...
1−
3 · 3! 5 · 5!
(2m + 1) · (2m + 1)!
1
(−1)m
1
1
+
− ...+
−...
= 1−
±
3 · 3! 5 · 5!
(2m + 1) · (2m + 1)!
(2m + 3) · (2m + 3)!
1
Остаток ряда (выражение во вторых
скобках) представляет собой знакочередующийся ряд, который по теореме Лейбница сходится и имеет сумму,
не превосходящую первого члена. Поэтому для достижения нужной точности нам достаточно, чтобы выполнялось неравенство
1
(2m+3)(2m+3)!
The remainder (expression is second
brackets) is an alternating series, due to
Leibnitz test it converges and has sum
less or equal to the first term. So, to
approach the needed precision, it will be
enough to have
< 0.0001, (2m + 3)(2m + 3)! > 10000.
m = 1 : (2m + 3)(2m + 3)! = 5 · 5! = 5 · 120 = 600 < 10000.
m = 2 : (2m + 3)(2m + 3)! = 7 · 7! = 7 · 5040 = 35280 > 10000.
24
Итак, достаточно взять m = 2 и вычислить для него первое слагаемое.
I ≈1−
1
3·3!
+
1
5·5!
=1−
1
18
+
So, it suffices to take m = 2 and
compute the first summand for this m.
1
600
Ответ. 0.9461
=
1800−100+3
1800
=
1703
1800
Answer. 0.9461
25
≈ 0.9461
Приложение A
Решение
типового
варианта
индивидуального
задания.
Вариант 26
Solution of typical
test. Variant 26
1. Найти сумму ряда
1. Compute the sum of series
Решение. Запишем выражение для
n-ой частичной суммы ряда:
Solution. Lets write n-th partial sum of
our series:
1
1
1
+
+...+
+ . . ..
1·3 3·5
(2n − 1) · (2n + 1)
Sn =
1
1
1
+
+ ...+
.
1·3 3·5
(2n − 1) · (2n + 1)
Так как
Because of
1
1
=
(2n − 1) · (2n + 1) 2
получаем
1
1
1−
Sn =
2
3
1
1
1−
.
2
2n + 1
+
1
2
1
1
−
,
2n − 1 2n + 1
we have 1 1
1
1
1
−
+ ...+
−
=
3 5
2 2n − 1 2n + 1
Вычисляя предел
Computing the limit
1
1
1
1−
=
S = lim Sn = lim
n→∞
n→∞ 2
2n + 1
2
мы получаем, что ряд сходится и его
сумма равна 0,5.
Ответ. 0,5.
we obtain, that the series converges and
its sum is equal to 0,5
Answer. 0,5.
26
2. Установить сходимость или расходимость ряда
2. Determine if series converges or
diverges
∞
1
.
2
n=1 n + 1 − cos nα
Решение. Заметим, что необходимыое условие сходимости выполнено. Воспользуемся признаком сравнения рядов, для чего преобразуем общий член ряда: увеличим знаменатель, уменьшив тем самым дробь:
Solution.
Note,
that neccecary
condition of convergence holds. Lets use
comparision test. To do it, transform,
at first, terms of our series: increase
the denominator, decreasing the whole
fraction:
1 1
1
+ +...+
расхо2 3
n+1
дится (гармонический ряд без первого
члена), то и "больший"ряд расходится.
Ответ. Ряд расходится.
1 1
1
+ + ...+
diverges
2 3
n+1
(harmonic series without the first term),
hense, the "greater"series diverges too.
Answer. Series diverges.
3. Установить сходимость или расходимость ряда
3. Determine if series converges or
diverges
Решение. Приме́ним признак Даламбера
Solution. Lets use D’Alambert test
1
1
.
n + 1 − cos2 nα
n+1
Так как ряд
The series
∞
n3
.
n
n=1 3 (n + 1)
an+1
n→∞ an
lim
(n + 1)3
(n + 1)4
1
1
3n+1(n + 2)
=
lim
=
< 1.
= lim
3
n→∞
3 n→∞ n3 (n + 2) 3
n
3n (n + 1)
Ответ. Ряд сходится.
Answer. Series converges.
4. Установить сходимость или расходимость ряда
4. Determine if series converges or
diverges
Решение. Приме́ним признак Коши
Solution. Lets use Cauchy test
∞ 32n+1
.
3n−1
n=1 2
lim
n→∞
√
n
2n
2n
√
32n+1
3
·
3
n 3
n
n
an = lim
=
lim
=
lim
6
=
n→∞
23n−1 n→∞ 1/2 · 23n n→∞
23n
√
9
9
9
n
= lim 6 lim = 1 · = > 1.
n→∞
n→∞ 8
8
8
n
27
Ответ. Ряд расходится.
Answer. Series diverges.
5. Установить сходимость или расходимость ряда
5. Determine if series converges or
diverges
Решение. Приме́ним интегральный
признак, согласно которому данный ряд и несобственный интеграл
∞ dx
√
одновременно сходятся или
2 x ln x
расходятся. Вычислим интеграл:
Solution. Lets use integral test, which
states that our series and impromer
∞ dx
√
both converge of both
integral
2 x ln x
diverge. Compute the integral:
∞
1
√
.
n=2 n ln n
A
√
A dx
A d(ln x)
dx
√
√
√
= lim
= lim
= lim (2 ln x) =
A→∞ 2 x ln x
A→∞ 2
A→∞
2
ln x
√ 2 x ln√x
2 lim ( ln A − ln 2) = ∞.
∞
A→∞
Ответ. Ряд расходится.
Answer. Series diverges.
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно(условно):
6. Determine if series
absolutely(conditionally):
converges
∞ (−1)n
√
n+1
n=0
Решение. Сначала выясним, сходится ли ряд абсолютно. Для этого составим ряд из абсолютных величин его
∞
∞ 1
1
√
√ . Это ряд
членов:
=
n + 1 k=0 k
n=0
(13) для p = 1/2, поэтому он расходится. С другой стороны, исходный ряд
сходится по теореме Лейбница. Таким
образом, ряд сходится условно.
Ответ. Ряд сходится условно.
Solution. We start with determining
if series converges absolutely. To
determine∞ it we take series
of absolute
∞ 1
1
√
√ . This is
values:
=
n+1
k
n=0
k=0
series (13) for p = 1/2, hence it diverges.
On the other side, the initial series
converges due to Leibnitz theorem. So,
series converges conditionaly.
Answer.
The
series
converges
conditionally.
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
∞
(−1)
xn
n+1
n+1 √
n=1
Решение. Вычислим радиус сходимости ряда по формуле
Solution. Compute convergence radius
using formula
1
√
√
cn = lim n + 1 = lim √n + 2 = 1.
R = lim 1
n→∞ cn + 1 n→∞
n→∞
n+1
√
n+2
28
∞
−1
,
n+1
n=1
который расходится (см. пример (13)
для p = 1/2).
∞ (−1)n+1
√
При x = 1 получаем
, коn+1
n=1
торый сходится по теореме Лейбница.
Ответ: (−1; 1]
При x = −1 получаем ряд
√
For x = −1 we obtain the series
∞
−1
√
, which diverges (see example
n+1
n=1
(13) for p = 1/2).
∞ (−1)n+1
√
, which
For x = 1 we have
n+1
n=1
converges due to Leibnitz theorem.
Answer: (−1; 1]
8. Разложить функцию f (x) = ln(2 −
x) в ряд Маклорена и найти область
сходимости полученного ряда.
Решение. Воспользовавшись известным разложением (32):
8. Find McLoren series for the function
f (x) = ln(2 − x) and determine the
convergence domain of obtained series.
Solution. Using known expansion (32):
и преобразуя данную функцию получим
(y = −x/2):
and transforming the given function, we
obtain (y = −x/2):
Так как разложение (32) справедливо
при |y| < 1, то должно быть | − x/2| <
1, |x| < 2.
∞
xn
Ответ. f (x) = ln 2 −
, |x| < 2.
2n n
n=1
Expansion (32) is true for |y| < 1, hence
we need | − x/2| < 1, |x| < 2.
∞
xn
, |x| < 2.
Answer.f (x) = ln 2 −
2n n
n=1
9. Разложить функцию f (x) = e2x
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 2 и найти область сходимости полученного ряда.
Решение. Воспользуемся формулой
(29):
9. Find Taylor series for the function
f (x) = e2x at point x = 2 and
determine the convergence domain of
obtained series.
Solution. Using known expansion (29):
1
1
(−1)n+1 n
y + ...
ln(1 + y) = y − y 2 + y 3 + . . . +
2
3
n
x
ln(2 − x) = ln 2 + ln(1 − ) = ln 2 + ln(1 + y) =
2
1 2 1 3
(−1)n+1 n
ln 2 + y − y + y + . . . +
y +... =
2
3
n
x
1 x
1 x
(−1)n+1 x n
ln 2 + (− ) − (− )2 + (− )3 + . . . +
(− ) + . . . =
2
2 2
3 2
n
2
∞
xn
1
x2 x3
(−1)2n+1xn
ln 2 − x −
−
− ...+
+ . . . = ln 2 −
2
8
24
2n n
2n n
n=1
yn
y2
+ ...+ .
e =1+y+
2!
n!
y
Искомый ряд — это степенной ряд по
степеням (x−2). Сделав замену x−2 =
y, x = y + 2, получим
Series
to
find
is
a
power
series
in
powers
of
(x − 2).
Changing
variable
x − 2 = y, x = y + 2, we obtain
29
2
n
2y
(2y)
(2y)
f (x) = e2x = e2y+4 = e4 · e2y = e4 · 1 +
+
+ ...+
+... =
1
2!
n!
2
n
2
2
2
= e4 · 1 + y + y 2 + . . . + y n + . . . =
1
2!
n!
22e4 2
2e4
2n e4 n
e4 +
y+
y + ...+
y +... =
1
2!
n!
4
2 4
n 4
e
e
2
2e
2
e4 +
(x − 2) +
(x − 2)2 + . . . +
(x − 2)n + . . . =
1
2!
n!
∞
2n e4
(x − 2)n.
n!
n=0
Так как разложение (29) справедливо
при любых y, то и полученное разложение справедливо при любых x.
∞
2n e4
Ответ. f (x) =
(x − 2)n ,−∞ <
n!
n=0
x < ∞.
Expansion (29) is true for all y, hence
the obtained expansion is true for all x.
10.
Вычислить
интеграл
1 e−x − 1 + x
dx с точностью до
x2
0
0.001, разлагая подынтегральную
функцию в ряд Маклорена.
Решение. Так как (29)
10.
Compute
the
integral
1 e−x − 1 + x
dx with presicion 0.001,
x2
0
expandind integrand to McLoren series.
Answer.
f (x)
=
2)n ,−∞ < x < ∞.
∞
2n e4
n=0
n!
(x −
Solution. Due to (29)
xn
x2 x3
+
+...+
+...
e =1+x+
2!
3!
n!
x
при всех x. Поэтому также при всех x
for all x. So, for all x too
n
x2 x3
nx
−
+ . . . + (−1)
+ . . ..
e =1−x+
2!
3!
n!
x
Поэтому
Hence
1 e−1 − 1 + x
I=
dx =
x2
0
n
x2 x3
nx
1 1 − x + 2! − 3! + . . . + (−1) n! + . . . − 1 + x
dx =
x2
0
n
x2 x3
nx
1 2! − 3! + . . . + (−1) n! + . . .
dx =
x2
0
30
1 0
n−2
x
1 x x2
− +
− . . . + (−1)n
+ . . . dx.
2 3! 4!
n!
Интегрируя почленно (см. пример 14),
получаем
Term-by-term integration (see example
14) gives
n−2
x
1 x x2
− +
− . . . + (−1)n
+ . . . dx =
I=
2
3!
4!
n!
0
1
n−1
x
x2
x3
x
−
+
− . . . + (−1)n
+ . . . =
2 2 · 3! 3 · 4!
(n − 1)n!
0
1
1
1
1
1
−
+
− . . . + (−1)n
+... =
2 2 · 3! 3 · 4!
(n − 1)n!
1
1
1
1
−
+
− . . . + (−1)n
+ r n = Sn + r n
2 2 · 3! 3 · 4!
(n − 1)n!
Чтобы вычислить I с точностью
до 0.001, нужно, чтобы выполнялось
неравенство|rn | < 0.001. Так как rn
– знакочередующийся ряд, по теореме
Лейбница его модуль не превосходит
модуля первого члена.
To compute I with precision 0.001, we
need inequality|rn | < 0.001 to hold. The
series rn is alternating, hence due to
Leibnitz theorem its absolute value is
less than absolute value of the first term.
выполняется уже при n = 5 (5 · 6! =
5 · 720 = 3600). Поэтому достаточно
вычислить S5 .
holds even for n = 5 (5 · 6! = 5 · 720 =
3600). Hence it suffices to compute S5 .
Ответ. 0.345
Answer. 0.345
(−1)n+1 n(n + 1)! < 0.001, n(n + 1)! > 1000
1
1
1
1
1
1
1
1
+
−
= −
+
−
=
I ≈ S5 = −
2 2 · 3! 3 · 4! 4 · 5! 2 12 72 480
720 − 240 + 20 − 3
497
=
≈ 0.345.
1440
1440
31
Приложение B
Индивидуальные
задания
Tests
Вариант 1
Variant 1
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+ ...+
+ ...
1·3 2·4
n(n + 2)
1
1
1
+
+ ...+
+ ...
1·3 2·4
n(n + 2)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
∞
∞
n3
1
2.
sin 2 . 3.
n
(2n + 1)!
n=1
n=1
4.
n
∞ 2n − 1
n=1
5n + 3
. 5.
∞
n=2
1
.
n ln n
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
(−1)n
.
2−n
n
n=2
∞
(−1)
n+1 2
n=1
n
(x − 3)2n−1
n(n + 1)
.
8. Разложить функцию f (x) =
2x − 3
в ряд Маклорена и найти об(x − 1)2
ласть сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
2x − 3
and determine the
f (x) =
(x − 1)2
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = sin 2x в
ряд Тейлора в окрестности точки x =
π
и найти область сходимости полу4
ченного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
and
f (x) = sin 2x at point x =
4
determine the convergence domain of
obtained series.
32
1/2
1/2
1
dx
1 + x3
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1
dx
1 + x3
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 2
Variant 2
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
2·3 3·4
(n + 1)(n + 2)
1
1
1
+
+...+
+...
2·3 3·4
(n + 1)(n + 2)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
√
10. Compute the integral
∞
∞
n+1
n2 + 2n
2.
. 3.
10
n
+
10
3n · (n + 1)
n=1
n=1
4.
∞
n=1
√
∞
1
1
. 5.
n
2 .
ln (n + 2)
n
ln
n
n=2
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
sin nα
.
n
(ln
3)
n=1
∞
(−1)
− 1)n
3n2
n n!(x
n=1
.
8. Разложить функцию f (x) = sin2 x
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = sin2 x and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = cos 3x в
ряд Тейлора в окрестности точки x =
π
и найти область сходимости полу3
ченного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
and
f (x) = cos 3x at point x =
3
determine the convergence domain of
obtained series.
1 sin x2
dx с
x2
0
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1 sin x2
dx
x2
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
10. Вычислить интеграл
10. Compute the integral
33
Вариант 3
Variant 3
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
1·4 4·7
(3n − 2)(3n + 1)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
1·4 4·7
(3n − 2)(3n + 1)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
n
∞
∞
∞ ∞
2n2 + 3
1+n
1
π
2.
n
sin
4.
.
5.
.
3.
.
2+1
n+1
2+2
n
2
3n
n
ln
n
ln
ln
n
n=1
n=1
n=1
n=3
converges
∞
(−1)n+1
√
√
.
3
n
−
n
n=2
∞
(x − 2)n
lnn (n + 1)
n=1
.
8. Разложить функцию f (x) = cos2 x
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = cos2 x and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = e4x
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 3 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = e4x at point x = 3 and
determine the convergence domain of
obtained series.
10. Вычислить интеграл
1
2
e−x dx с
10. Compute the integral
0
1
2
e−x dx with
0
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
presicion 0.001, expandind integrand to
Maclaurin series.
Вариант 4
Variant 4
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+ ...+
+ ...
1·4 2·5
n(n + 3)
1
1
1
+
+ ...+
+ ...
1·4 2·5
n(n + 3)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
34
2.
∞
n=1
∞
1
4
. 3.
(n + 2)(n + 4)
3n + 1
n=1
∞
∞
1
1
√
arcsin . 5.
4.
.
3
2
n
n
ln
n
n=1
n=2
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
∞
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
sin
n=1
converges
πn
.
3
7. Найти область сходимости степенного ряда
∞
n
7. Determine the convergence domain of
power series
102nx2n−1
.
n=1
8. Разложить функцию f (x) = ln(4 +
x2 ) в ряд Маклорена и найти область
сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = ln(4 + x2 ) and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = ln(2 +
x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 2 и найти область сходимости
полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = ln(2 + x) at point x = 2 and
determine the convergence domain of
obtained series.
1/2
1/2
1
dx
1 − x4
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1
dx
1 − x4
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 5
Variant 5
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
1·7 3·9
(2n − 1)(2n + 5)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
1·7 3·9
(2n − 1)(2n + 5)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
2.
∞
n=1
√
10. Compute the integral
∞
n+2
2n + 1
. 3.
(n + 1)(n + 3)
3n − 1
n=1
∞
1+n 2
(
).
2
1
+
n
n=1
35
4.
∞ n=1
n
3n − 1
√
2n−1
. 5.
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
cos 2nα
√ .
1
+
n3
n=1
∞
n!x2n
n=1
8. Find Maclaurin
series for the function
√
3
3
8 + x and determine the
f (x) =
convergence domain of obtained series.
8.
Разложить функцию f (x) =
√
3
8 + x3 в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
√
9. Разложить функцию f (x) = x3
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 1 и найти область сходимости полученного ряда.
10. Вычислить интеграл
1/2
√
3
.
n4
9. Find Taylor
series for the function
√
f (x) =
x3 at point x = 1 and
determine the convergence domain of
obtained series.
1 + x3 dx
10. Compute the integral
0
1/2
√
3
1 + x3 dx
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 6
Variant 6
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
2·4 3·5
(n + 1)(n + 3)
1
1
1
+
+...+
+...
2·4 3·5
(n + 1)(n + 3)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
1
π
2
.
3.
n
·
tg
n2 + 4
2n+2
n=1
4.
n
∞ 3n − 2
n=1
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
n=2
1
√
.
3
n ln n
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
∞
(−1)n+1
n=1
7n + 4
. 5.
∞
(2n)3
7. Найти область сходимости степенного ряда
converges
.
7. Determine the convergence domain of
power series
36
∞
(x − 2)n
√
n+1
n=1
.
8.
Разложить функцию f (x) =
1 − x2
ln
в ряд Маклорена и найти об1 + x2
ласть сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
1 − x2
f (x) = ln
and determine the
1 + x2
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = sin 3x в
ряд Тейлора в окрестности точки x =
π
и найти область сходимости полу3
ченного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
and
f (x) = sin 3x at point x =
3
determine the convergence domain of
obtained series.
1/2
1/2
1
dx с
5
0 1−x
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1
dx
5
0 1−x
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 7
Variant 7
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
3·4 4·5
(n + 2)(n + 3)
1
1
1
+
+...+
+...
3·4 4·5
(n + 2)(n + 3)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
2.
∞
n=1
∞
1
n2 + 1
. 3.
4n − 3
(2n − 1)!
n=1
10. Compute the integral
4.
∞
n=1
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
∞
cos nα
n=0
2n + 1
7. Найти область сходимости степенного ряда
∞
nxn
n2 + 1
n=1
2
8. Разложить функцию f (x) = e1−2x
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
∞
4
1
√
. 5.
.
n 2
3
4
ln (n + 4)
n
ln
n
n=2
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
converges
.
7. Determine the convergence domain of
power series
.
8. Find Maclaurin series for the function
2
f (x) = e1−2x and determine the
convergence domain of obtained series.
37
9. Разложить функцию f (x) = cos 2x в
ряд Тейлора в окрестности точки x =
π
и найти область сходимости полу4
ченного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
and
f (x) = cos 2x at point x =
4
determine the convergence domain of
obtained series.
10.√
Вычислить
интеграл
1/3
4 1 + x4 − 1
dx с точностью до
x2
0
0.001, разлагая подынтегральную
функцию в ряд Маклорена.
10.√
Compute
the
integral
1/3
4 1 + x4 − 1
dx with presicion 0.001,
x2
0
expandind integrand to Maclaurin
series.
Вариант 8
Variant 8
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
4 · 7 7 · 10
(3n + 1)(3n + 4)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
4 · 7 7 · 10
(3n + 1)(3n + 4)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
n=2
∞
1
2n2 − 1
. 3.
ln(n + 3)
2n(n + 2)
n=1
4.
∞ n=1
3n2 − 2
7n2 − 3n + 4
n
. 5.
1
.
n ln n ln2 ln n
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
√
∞
(−1)n+1 n
√
.
3
1
+
n
n
n=1
∞
(−1)
n=1
n+1
(x − 1)n
n2 + n + 3
.
8. Разложить функцию f (x) =
sin2 x cos2 x в ряд Маклорена и найти
область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = sin2 x cos2 x and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = e5x
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 1 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = e5x at point x = 1 and
determine the convergence domain of
obtained series.
38
1 sin x3
dx с
x3
0
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1 sin x3
dx
x3
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 9
Variant 9
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
2·5 3·6
(n + 1)(n + 4)
1
1
1
+
+...+
+...
2·5 3·6
(n + 1)(n + 4)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
∞
10. Compute the integral
∞
π
π
2.
sin 2 . 3.
n2 sin n
n
3
n=1
n=1
∞
∞
n
1
√
.
4.
arctg
.
5.
4
2
1
+
n
n
ln
n
n=1
n=2
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
n
∞
(−1)n · n
n=1
2n
7. Найти область сходимости степенного ряда
∞
(−1)n+1
n=1
converges
.
7. Determine the convergence domain of
power series
xn
(n + 1)(n + 2)
.
8. Разложить функцию f (x) =
2
1 − x2
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
2
and determine the
f (x) =
1 − x2
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = ln(3 +
2x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 1 и найти область сходимости
полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = ln(3 + 2x) at point x = 1 and
determine the convergence domain of
obtained series.
1 e−x
dx с
0.1 x
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1 e−x
dx with
0.1 x
presicion 0.001, expandind integrand to
Maclaurin series.
10. Вычислить интеграл
10. Compute the integral
39
Вариант 10
Variant 10
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
1·5 3·7
(2n − 1)(2n + 3)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
1·5 3·7
(2n − 1)(2n + 3)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
∞
∞
n+9
3
2.
.
3.
n + 99
4n + 1
n=1
n=1
4.
2n+1
∞ n+1
n=1
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
∞
cos
n=1
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
converges
π(n + 1)
.
3
7. Найти область сходимости степенного ряда
∞
2n
∞
1 + 2n 2
. 5.
(
).
2
1
+
4n
n=1
7. Determine the convergence domain of
power series
n(n − 1)xn
.
n=1
8. Разложить функцию f (x) = e2+3x в
ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = e2+3x and determine the
convergence domain of obtained series.
1
9. Разложить функцию f (x) =
в
x
ряд Тейлора в окрестности точки x =
3 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
1
f (x) = at point x = 3 and determine
x
the convergence domain of obtained
series.
1/2
1/2
1
dx
1 − x6
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1
dx
1 − x6
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 11
Variant 11
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
3·5 4·6
(n + 2)(n + 4)
1
1
1
+
+...+
+...
3·5 4·6
(n + 2)(n + 4)
10. Вычислить интеграл
√
10. Compute the integral
40
√
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
∞
∞
n+2
3n−1
.
3.
2.
n2 + 4
2 · 2n − 1
n=1
n=1
∞
n=1
4.
n
∞ 4n + 5
9n − 6
n=1
. 5.
1
.
(n + 1) ln(n + 1)
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
∞
(−1)n+1
n=1
(n/3)2
7. Найти область сходимости степенного ряда
.
7. Determine the convergence domain of
power series
∞
xn
(−1) √
n
n=1
n
x9
1−x
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
πx
9. Разложить функцию f (x) = sin
4
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 2 и найти область сходимости полученного ряда.
1/2
√
.
8. Find Maclaurin series for the function
x9
f (x) =
and determine the
1−x
convergence domain of obtained series.
8. Разложить функцию f (x) =
10. Вычислить интеграл
converges
9. Find Taylor series for the function
πx
at point x = 2 and
f (x) = sin
4
determine the convergence domain of
obtained series.
1/2
√
10. Compute the integral
1 + x4 dx
1 + x4 dx
0
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 12
Variant 12
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
4·5 5·6
(n + 3)(n + 4)
1
1
1
+
+...+
+...
4·5 5·6
(n + 3)(n + 4)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
1
2π
. 3.
n · tg n+1
(n + 3)(n + 5)
3
n=1
41
4.
∞
n=1
3
. 5.
lnn (3n3 − 1)
∞
n=2
1
.
n ln3 n
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
cos nα
√ .
3
+
n
n=0
∞
2n − 1
n=1
2n + 1
xn
.
8.
√ Разложить функцию f (x) =
1 − x2 в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin
series for the function
√
f (x) =
1 − x2 and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = cos 6x в
ряд Тейлора в окрестности точки x =
π
и найти область сходимости полу12
ченного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
and
f (x) = cos 6x at point x =
12
determine the convergence domain of
obtained series.
1/2
1/2
1
dx с
7
0 1−x
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1
dx
7
0 1−x
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 13
Variant 13
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
6 · 7 9 · 10
(3n + 3)(3n + 4)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
6 · 7 9 · 10
(3n + 3)(3n + 4)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
2.
∞
n=1
∞
n=2
√
10. Compute the integral
∞
n+3
n2 − 1
. 3.
(n + 2)(n + 4)
n!
n=1
1
n ln3 n
.
42
4.
n
∞ 4n2 − 4n + 5
n=1
9n2 + 6
. 5.
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
√
sin n √
( n + 1 − n − 1).
n
n=1
∞ n=1
n
2n + 1
2n−1
(x − 2)n
.
8. Разложить функцию f (x) = cos x2
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = cos x2 and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = e3x
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 2 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = e3x at point x = 2 and
determine the convergence domain of
obtained series.
10.√
Вычислить
интеграл
1 3 1 + x3 − 1
dx с точностью до
x3
0
0.001, разлагая подынтегральную
функцию в ряд Маклорена.
10.√
Compute
the
integral
1 3 1 + x3 − 1
dx with presicion 0.001,
x3
0
expandind integrand to Maclaurin
series.
Вариант 14
Variant 14
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
3·6 4·7
(n + 2)(n + 5)
1
1
1
+
+...+
+...
3·6 4·7
(n + 2)(n + 5)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
n=1
∞
1
3n4 − 1
.
3.
n2 + 9
4n(n + 3)
n=1
4.
∞
n=1
arcsinn
n
. 5.
2n + 1
1
.
(n + 1) ln2 (n + 1)
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
43
converges
∞
(−1)n
√
.
6
n
n=1
7. Найти область сходимости степенного ряда
∞
n=1
n
n+1
7. Determine the convergence domain of
power series
x+3
2
n
.
8. Разложить функцию f (x) = ln(8 −
x3 ) в ряд Маклорена и найти область
сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = ln(8 − x3 ) and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = ln(4 −
3x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 1 и найти область сходимости
полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = ln(4 − 3x) at point x = 1 and
determine the convergence domain of
obtained series.
1 sin x4
dx с
x4
0
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1 sin x4
dx
x4
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 15
Variant 15
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
3 · 9 5 · 11
(2n + 1)(2n + 7)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
3 · 9 5 · 11
(2n + 1)(2n + 7)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
2.
∞
n=1
10. Compute the integral
∞
1
2π
. 3.
(n + 1) sin n
5n − 4
3
n=1
4.
∞ n=1
n2
2n2 − 1
n+1
. 5.
∞
1 + 3n 2
(
).
2
1
+
9n
n=1
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
∞
cos πn
n=1
n2
7. Найти область сходимости степенного ряда
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
converges
.
7. Determine the convergence domain of
power series
44
∞
(−1)
n+1 x
n=1
n
.
n
8. Разложить функцию f (x) = sin x2
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = sin x2 and determine the
convergence domain of obtained series.
√
3
9. Разложить функцию f (x) = x4
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 1 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor
series for the function
√
3
4
x at point x = 1 and
f (x) =
determine the convergence domain of
obtained series.
1 e−x2 − 1
10. Вычислить интеграл
dx
x2
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1 e−x2 − 1
10. Compute the integral
dx
x2
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 16
Variant 16
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
4·6 5·7
(n + 3)(n + 5)
1
1
1
+
+...+
+...
4·6 5·7
(n + 3)(n + 5)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
n=1
∞
e
2
. 3.
ln(n + e)
2 · 5n − 1
n=1
4.
n
∞ 2n + 7
n=1
n + 18
. 5.
1
.
(n + 1) ln2 (n + 1)
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
∞
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
converges
3
cos n · ( n + 1 − n3 − 1).
n=1
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
45
∞
n=1
3n xn
(3n − 2)2n
.
8. Разложить функцию f (x) =
1 1+x
ln
в ряд Маклорена и найти
4 1−x
область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
1 1+x
and determine the
f (x) = ln
4 1−x
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = sin2 2x
в ряд Тейлора в окрестности точки
π
x = и найти область сходимости по8
лученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
f (x) = sin2 2x at point x =
and
8
determine the convergence domain of
obtained series.
1/2
1/2
1
dx
1 − x5
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1
dx
1 − x5
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 17
Variant 17
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
5·6 6·7
(n + 4)(n + 5)
1
1
1
+
+...+
+...
5·6 6·7
(n + 4)(n + 5)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
√
10. Compute the integral
∞
∞
2 · 4n + 3
4
2.
sin 2 . 3.
3n
5n + 1
n=1
n=1
∞
n=1
4.
∞
√
5
. 5.
ln (n + e)
n
n=1
1
.
(n + 1) ln(n + 1)
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
∞
n=1
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
converges
(−1)n
√
.
3
10n2 + 1
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
46
∞
n=1
2n
xn
n(n + 1)
.
8. Разложить функцию f (x) =
x
x−4
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
x
and determine the
f (x) =
x−4
convergence domain of obtained series.
πx
9. Разложить функцию f (x) = cos
4
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 2 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
πx
at point x = 2 and
f (x) = cos
4
determine the convergence domain of
obtained series.
10. Вычислить интеграл
1/2
√
1 + x3 dx
10. Compute the integral
0
1/2
√
1 + x3 dx
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 18
Variant 18
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
7 · 10 10 · 13
(3n + 4)(3n + 7)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
7 · 10 10 · 13
(3n + 4)(3n + 7)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
n
∞ 5n2 − 4
4.
. 5.
2 + 11
4n
n=1
∞
∞
n+6
π
2.
.
3.
(n
+
1)
·
tg
n + 66
4n−1
n=1
n=1
∞
n=1
1
.
(n + 2) 3 ln(n + 2)
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
(−1)n(n + 1)
.
3/2 − 1
(n
+
1)
n=1
47
∞
(−1)
n+1 x
n=1
n
.
n!
8.
Разложить функцию f (x) =
1
в ряд Маклорена и найти
2
x − 5x + 6
область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
1
f (x) = 2
and determine the
x − 5x + 6
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = e2x
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 3 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = e2x at point x = 3 and
determine the convergence domain of
obtained series.
1
1
1
dx с
6
0 1+x
точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1
dx
6
0 1+x
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 19
Variant 19
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
4·7 5·8
(n + 3)(n + 6)
1
1
1
+
+...+
+...
4·7 5·8
(n + 3)(n + 6)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
10. Compute the integral
∞
∞
n+3
(n + 2)2
. 3.
2.
2+9
n
(2n − 1)!
n=1
n=1
∞
n=1
4.
∞
n=1
arctgn
n
. 5.
n+8
1
.
6
5
(n + 1) ln (n + 1)
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
converges
πn
3 .
(ln 3)n
∞ sin
n=1
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
48
∞
(n + 1)(x − 1)n
.
n2 + 1
n=1
8. Разложить функцию f (x) = sin x3
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
f (x) = sin x3 and determine the
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = ln(x +
3) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 5 и найти область сходимости
полученного ряда.
√
1/2
3 1 + x5
10. Вычислить интеграл
dx
x5
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = ln(x + 3) at point x = 5 and
determine the convergence domain of
obtained series.
√
1/2
3 1 + x5
10. Compute the integral
dx
x5
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 20
Variant 20
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
3·7 5·9
(2n + 1)(2n + 5)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
3·7 5·9
(2n + 1)(2n + 5)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
1
4n5
. 3.
(n + 1)(n + 5)
5n (n + 4)
n=1
4.
∞ n=1
n3
3n3 + 4
2n+1
. 5.
∞
1 + 5n 2
(
).
2
1
+
25n
n=1
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
(−1)n
√
.
3+1
n
n=1
∞
(x + 1)3n
√
n n+2
8
n=1
.
8. Find Maclaurin
series for the function
√
2 4
f (x) = x 1 + x and determine the
convergence domain of obtained series.
8. √ Разложить функцию f (x) =
x2 4 1 + x в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
49
1
9. Разложить функцию f (x) = 2 в
x
ряд Тейлора в окрестности точки x =
1 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
1
f (x) = 2 at point x = 1 and determine
x
the convergence domain of obtained
series.
1/2
sin 2x2
10. Compute the integral
dx
x2
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
1/2
sin 2x2
dx
x2
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
10. Вычислить интеграл
Вариант 21
Variant 21
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
5·7 6·8
(n + 4)(n + 6)
1
1
1
+
+...+
+...
5·7 6·8
(n + 4)(n + 6)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
n=1
∞
n+5
π
. 3.
(n − 1)2 sin n
(n + 4)(n + 6)
4
n=1
n
∞ 5n − 4
4.
. 5.
4n
+
81
n=1
1
.
6
7
(n + 1) ln (n + 1)
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
∞
(−1)n+1
n=1
n+1
7. Найти область сходимости степенного ряда
∞
n=1
converges
.
7. Determine the convergence domain of
power series
xn
(2n + 1)3n
.
8.
Разложить функцию f (x) =
x2
√
в ряд Маклорена и найти об4 − 5x
ласть сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
x2
f (x) = √
and determine the
4 − 5x
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = sin 4x в
ряд Тейлора в окрестности точки x =
π
и найти область сходимости полу8
ченного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
and
f (x) = sin 4x at point x =
8
determine the convergence domain of
obtained series.
50
1 1 − e−2x2
dx
x2
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
1 1 − e−2x2
dx
x2
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 22
Variant 22
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
6·7 7·8
(n + 5)(n + 6)
1
1
1
+
+...+
+...
6·7 7·8
(n + 5)(n + 6)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
10. Вычислить интеграл
2.
∞
n=1
∞
1
7
.
3.
n2 + 16
6n + 2
n=1
4.
10. Compute the integral
∞
2
ln (n2 + e2 )
n
n=1
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
n=3
1
.
n ln n ln3 ln n
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
∞
(−1)n ln n
n=1
. 5.
∞
n
7. Найти область сходимости степенного ряда
converges
.
7. Determine the convergence domain of
power series
∞
(x − 3)2n
(2n + 1)3n
n=1
.
8.
Разложить функцию f (x) =
x
в ряд Маклорена и най(1 − x)(1 + x)
ти область сходимости полученного
ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
x
and determine
f (x) =
(1 − x)(1 + x)
the convergence domain of obtained
series.
9. Разложить функцию f (x) = cos2 2x
в ряд Тейлора в окрестности точки
π
x = и найти область сходимости по8
лученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
π
and
f (x) = cos2 2x at point x =
8
determine the convergence domain of
obtained series.
1/2
1
dx
1 − x4
1/4
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
10. Вычислить интеграл
1/2
1
dx
1 − x4
1/4
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
√
10. Compute the integral
51
√
Вариант 23
Variant 23
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
2·5 5·8
(3n − 1)(3n + 2)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
2·5 5·8
(3n − 1)(3n + 2)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
2.
∞
n=1
∞
2
2n · 3n + 5
. 3.
6n − 5
5n + 6
n=1
4.
n
∞ 2n2 + 7
n2 + 99
n=1
. 5.
∞
n=2
1
√
.
5
n ln4 n
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
(−1)n+1
√ .
n
n
n=1
∞
n
n x
(−1) √
3
n
n=1
.
8. Разложить функцию f (x) =
1 + x2
1 + x3
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
1 + x2
f (x) =
and determine the
1 + x3
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = e6x
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 1 и найти область сходимости полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = e6x at point x = 1 and
determine the convergence domain of
obtained series.
10. Вычислить интеграл
1/2
√
5
1+
10. Compute the integral
x5 dx
0
1/2
√
5
1 + x5 dx
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
Вариант 24
Variant 24
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+...+
+...
5·8 6·9
(n + 4)(n + 7)
1
1
1
+
+...+
+...
5·8 6·9
(n + 4)(n + 7)
52
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2.
∞
n=1
∞
n=2
√
4
2-5. Determine if series converges or
diverges
∞
10
π
. 3.
(n + 2)2 · tg n+1
ln(n + 10)
2
n=1
1
n ln3 n
4.
∞
n+1
arcsinn √ . 5.
2n
n=1
.
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
∞
(−1)nn3
3n
n=1
7. Найти область сходимости степенного ряда
∞
converges
.
7. Determine the convergence domain of
power series
xn
(−1)
(2n − 1)2n
n=1
n
.
8. Разложить функцию f (x) =
x2
x4 − 1
в ряд Маклорена и найти область сходимости полученного ряда.
8. Find Maclaurin series for the function
x2
f (x) =
and determine the
x4 − 1
convergence domain of obtained series.
9. Разложить функцию f (x) = ln(6 −
2x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 2 и найти область сходимости
полученного ряда.
9. Find Taylor series for the function
f (x) = ln(6 − 2x) at point x = 2 and
determine the convergence domain of
obtained series.
10.
Вычислить
интеграл
1
1
dx с точностью до
2
4
0 1+x +x
0.001, разлагая подынтегральную
функцию в ряд Маклорена.
10.
Compute
the
integral
1
1
dx with presicion 0.001,
2
4
0 1+x +x
expandind integrand to Maclaurin
series.
Вариант 25
Variant 25
1. Найти сумму ряда
1. Find the sum of series
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
(−1) · 3 1 · 5
(2n − 3)(2n + 1)
1
1
1
+
+. . .+
+. . .
(−1) · 3 1 · 5
(2n − 3)(2n + 1)
2-5. Установить сходимость или расходимость ряда
2-5. Determine if series converges or
diverges
∞
∞
√
√
2π
2.
( n + 1 − n). 3.
sin 2
n
n=1
n=1
53
4.
2n−1
∞ 2n + 1
n=1
n+1
. 5.
∞
1 + 4n 2
(
).
2
1
+
16n
n=1
6. Выяснить сходится ли ряд абсолютно (условно):
6. Determine if series
absolutely (conditionally):
7. Найти область сходимости степенного ряда
7. Determine the convergence domain of
power series
converges
∞
(−1)n
√
.
2+4
n
n=0
∞
n=1
n
nx
(−1) n
4
8. Find Maclaurin series for the function
x
f (x) =
and determine the
1 − 8x3
convergence domain of obtained series.
8.
Разложить функцию f (x) =
x
в ряд Маклорена и найти об1 − 8x3
ласть сходимости полученного ряда.
√
9. Разложить функцию f (x) =
x
в ряд Тейлора в окрестности точки
x = 2 и найти область сходимости полученного ряда.
1/2
9. Find Taylor
series for the function
√
x at point x = 2 and
f (x) =
determine the convergence domain of
obtained series.
1
dx
1 + x4
0
с точностью до 0.001, разлагая подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
10. Вычислить интеграл
.
1/2
1
dx
1 + x4
0
with presicion
0.001, expandind
integrand to Maclaurin series.
√
10. Compute the integral
54
√
Библиографический
список
Bibliography
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2: Наука (издания разных лет).
2. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. М.:Лань 2005.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука (издания
разных лет).
4. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов.
М.: Наука (издания разных лет).
5. Черняк Ж.А., Черняк А.А., Феденя О.А., Серебрякова Н.Г., Булдык Г.М. Контрольные задания по общему курсу высшей математики. М.: Питер 2006.
55
Оглавление
1 Числовые ряды. Number series
1.1 Сходимость числовых рядов. Convergence of number series . . . . .
1.2 Необходимый признак сходимости рядов. Necessary condition
convergence of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Сходимость положительных рядов. Convergence of positive series .
1.4 Знакопеременные ряды. Sign-changing series . . . . . . . . . . . . .
. .
of
. .
. .
. .
2 Функциональные ряды. Functional series
2.1 Область сходимости функционального ряда. Domain of convergence of
functional series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Степенные ряды. Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Степенные ряды общего вида. General power series . . . . . . . . . . .
2.4 Ряды Тейлора и Маклорена. Taylor and Mac Laurin series . . . . . . .
2.5 Разложение элементарных функций в степенные ряды. Expanding of
elementary functions to power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Approximate
calculations using power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
1
1
. 4
. 5
. 12
16
.
.
.
.
16
17
19
20
. 21
. 23
A Решение типового варианта индивидуального задания. Вариант 26.
Solution of typical test. Variant 26
26
B Индивидуальные задания. Tests
32
Библиографический список. Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
56
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
424 Кб
Теги
series, mathematica, higher
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа