close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ivanova

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ.ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ФИЗИКА
Методические указания
к выполнению контрольных работ
Санкт.Петербург
2015
Составитель – И. В. Иванова
Рецензент – кандидат технических наук, доцент В. П. Попов
Содержатся варианты и общие требования к выполнению кон.
трольных работ по дисциплина «Физика».
Издание предназначено для студентов Ивангородского гумани.
тарно.технического института (филиал) Санкт.Петербургского госу.
дарственного университета аэрокосмического приборостроения»,
обучающихся по направлению 230100.62.
Подготовлено кафедрой прикладной математики и информатики
Ивангородского гуманитарно.технического института (филиал) ГУАП.
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 17.12.14. Подписано к печати 22.02.15. Формат 60×84 1/16.
Усл..изд. л. 6,75. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 6,28. Тираж 100 экз. Заказ № 58.
Редакционно.издательский центр ГУАП
190000, Санкт.Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт.Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2015
2
1. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольные работы выполняются в обычной школьной тетра.
ди. На обложке указывается фамилия и инициалы студента,
шифр и номер контрольной работы.
Условия задач переписываются полностью, без сокращений.
Решения задач должны сопровождаться краткими, но исчерпы.
вающими пояснениями с обязательным использованием рисун.
ков. Для замечаний преподавателя на страницах тетради остав.
ляются поля и интервалы между задачами (не менее 5 см).
Решение задач рекомендуется выполнять в следующей после.
довательности:
1. Ввести буквенные обозначения всех используемых физиче.
ских величин.
2. Под рубрикой «Дано» кратко записать условие задачи с пе.
реводом значений всех величин в одну систему единиц – СИ.
3. Сделать (если это необходимо) чертеж, поясняющий содер.
жание задачи и ход решения.
4. Сформулировать физические законы, на которых базируется
решение задачи, и обосновать возможность их использования.
5. На основе сформулированных законов составить уравнение
или систему уравнений, решая которую можно найти искомые
величины.
6. Решить уравнение и получить в общем виде расчетную фор.
мулу, в левой части которой стоит искомая величина, а в правой –
величины, данные в условии задачи.
7. Проверить единицы измерения полученных величин по рас.
четной формуле и тем самым подтвердить ее правильность.
3
8. Произвести вычисления. Для этого необходимо все значения
величин в единицах СИ подставить в расчетную формулу и выпол.
нить вычисления (с точностью не более 2–3 значащих цифр).
9. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи
ответа числовые значения величин следует записывать как произ.
ведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой
на соответствующую степень десяти. Например, вместо 3150,86
3
надо записать 3,15⋅10 .
Выполненные контрольные работы сдаются на рецензию пре.
подавателю по крайней мере за одну недели до экзамена по физи.
ке. После рецензирования вносятся исправления в решение задач
в соответствии с замечаниями преподавателя. Исправленные ре.
шения помещаются в конце тетради с контрольными работами.
Зачет по каждой контрольной работе принимается преподава.
телем в процессе собеседования по правильно решенной и проре.
цензированной контрольной работе.
В каждой контрольной работе следует решить восемь задач.
Номера задач определяются по таблицам 1 и 2 в соответствии
с номером своего варианта. Номер варианта соответствует послед.
ней цифре шифра студента.
4
2. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ.
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН. ТЕРМОДИНАМИКА.
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
2.1. Методические указания
к выполнению контрольной работы № 1
В контрольную работу № 1 включены задачи на следующие
темы:
1. По разделу «Физические основы механики» – кинематика и
динамика поступательного и вращательного движения; работа
постоянной и переменной силы, закон сохранения механической
энергии; закон сохранения импульса, совместное применение за.
конов сохранения импульса и механической энергии; закон со.
хранения момента импульса; кинетическая энергия вращающего.
ся тела.
2. По разделу «Физика колебаний и волн» – механические ко.
лебания и волны, уравнение гармонических колебаний, сложение
гармонических колебаний, уравнение плоской синусоидальной
волны, энергия гармонических колебаний.
3. По разделу «Термодинамика» – уравнение состояния иде.
ального газа; внутренняя энергия идеального газа; первое начало
термодинамики, циклы, КПД цикла, цикл Карно.
4. По разделу «Электричество и магнетизм» – электростатика,
постоянный электрический ток, магнитостатика, электро.
магнитная индукция.
Для решения задач по кинематике необходимо знать закон
(уравнение) движения точки, усвоить понятия средних и мгно.
венных скоростей и ускорений, а также выяснить направление
этих величин в каждой конкретной задаче.
Решение задач динамики требует составления уравнения дви.
жения материальной точки, выражающего второй закон Ньютона.
При этом рекомендуется следующая последовательность действий:
1. Вначале необходимо сделать чертёж и показать все силы,
действующие на тело.
2. Записать второй закон Ньютона в векторной форме.
3. Если силы действуют не по одной прямой, то выбирают две
взаимно перпендикулярные оси Х и У, лежащие в плоскости дей.
5
ствия сил. Спроецировать все векторы, входящие во второй закон
Ньютона, и записать этот закон в виде двух скалярных уравнений.
4. В случае прямолинейного движения одну из осей (Х) следует
направить в направлении движения, а другую (У) – перпендику.
лярно к ней.
5. Если все силы, действующие на тело, лежат вдоль одной
прямой, то сразу можно представить второй закон Ньютона в ска.
лярной форме.
Решение задач по теме «Динамика вращательного движения»
требует знания основного уравнения динамики вращательного
движения и физического смысла входящих в него величин – мо.
мента силы, момента инерции, момента импульса.
Решение задач на законы сохранения (импульса, механической
энергии и момента импульса) требует усвоения понятия замкну.
той (изолированной) системы тел. Решая конкретную задачу,
необходимо выяснить, является ли система тел замкнутой.
Следует помнить, что закон сохранения импульса можно при.
менить и для незамкнутых систем, когда внутренние силы значи.
тельно больше внешних.
Составляя уравнения, описывающие законы сохранения, сле.
дует рассматривать движение всех тел системы в одной и той же
инерциальной системе отсчета.
Закон сохранения механической энергии следует применять
в тех задачах, когда в замкнутой системе между её телами дей.
ствуют консервативные силы (например, гравитационные силы,
силы упругости). Применение закона сохранения механической
энергии, связывающего начальное и конечное состояния системы
взаимодействующих тел, существенно упрощает решение задач,
так как позволяет не рассматривать конкретный вид действую.
щих между телами сил.
Другой тип задач: в системе действуют неконсервативные силы
(например, силы трения). В этом случае изменение кинетической
энергии системы равно работе всех сил.
При решении задач по теме «Механические колебания и вол.
ны» рекомендуется учитывать, что колебания различной физиче.
ской природы описываются математически одинаково. Различные
характеристики колебаний можно получить из уравнений колеба.
ний, применяя дифференцирование или интегрирование. Обра.
щать внимание на фазовые сдвиги между различными характери.
стиками, например, между смещением и скоростью, ускорением.
6
При решении задач на сложение колебаний следует обращать
внимание на разность фаз складываемых колебаний.
При работе над задачами по темам: «Идеальный газ. Уравнение
состояния идеального газа», «Основное уравнение молекулярно.
кинетической теории газов. Внутренняя энергия идеального газа»
и «Первое и второе начала термодинамики» и необходимо выпол.
нить общие методические рекомендации.
Решение этих задач требует усвоения основных понятий: моль,
молярная масса, параметры состояния (р, V, Т), уравнение состоя.
ния, число степеней свободы молекул газа, понимания того, какое
число степеней свободы описывает движение молекул одноатом.
ного, двухатомного и многоатомных газов и как эти характери.
стики влияют на внутреннюю энергию и теплоемкость газов. Не.
которые задачи контрольной работы посвящены изучению цикли.
ческих процессов, вычислению работы цикла, КПД цикла, работы
расширения и сжатия газа, определению КПД идеальной тепловой
машины, работающей по циклу Карно.
Последние четыре задачи контрольной работы включают в себя
разделы: электростатика, постоянный электрический ток, магни.
тостатика, электромагнитная индукция.
Перед выполнением контрольной работы необходимо прорабо.
тать материал соответствующих разделов рекомендованной лите.
ратуры, внимательно ознакомиться с основными законами и фор.
мулами, а также справочными материалами, приведенными в
приложениях данной учебно.методической разработки. После это.
го надо разобрать примеры решения типовых задач из данной
учебно.методической разработки и других пособий.
Тема «Электростатика» представлена задачами по расчету про.
стейших электрических полей с помощью принципа суперпози.
ции, на определение напряженности и разности потенциалов, и
задачами, в которых рассматривается движение заряженных ча.
стиц в электрическом поле.
Если электростатическое поле создано несколькими зарядами,
то для нахождения напряженности Е и потенциала ϕ результи.
рующего поля используют принцип суперпозиции. Напряжен.
ность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженно.
стей полей Еi , созданным каждым зарядом в отдельности. При
решении задачи делают чертёж и для данной точки поля указы.
вают направление векторов Еi , векторы складывают по правилу
7
сложения векторов. При расчёте напряженности знак заряда не
учитывают.
Потенциал результирующего поля системы зарядов равен ал.
гебраической сумме потенциалов полей ϕi, созданных отдельными
зарядами. Потенциал – скалярная величина, поэтому при расчёте
потенциала знак заряда учитывается.
Если заряженное тело не является точечным зарядом, сферой,
бесконечно длинным цилиндром, бесконечной плоскостью, то тело
разбивается на бесконечно малые элементы (в случае нити или
стержня элемент dr), которые можно считать точечными зарядами
и по формуле для точечного заряда найти dЕ и dϕ. Напряжен.
ность и потенциал находят интегрированием (интегрирование
проводится по всей длине нити)
Е = ∫ dE
(l)
и
ϕ = ∫ dϕ.
( l)
Силы взаимодействия точечных зарядов можно найти либо по
закону Кулона и затем сложить силы по правилу сложения векто.
ров, либо, используя соотношение
F = q0 E.
Один из зарядов q0 можно рассматривать как заряд, находя.
щийся в электрическом поле, созданном другими зарядами.
Если в условии задачи не указывается среда, в которой нахо.
дятся заряды, то подразумевается вакуум (ε = 1) или воздух, ди.
электрическая проницаемость которого близка к единице.
Для расчётов электрических полей при наличии диэлектрика
вводят вспомогательный вектор – вектор электрической индукции
(электрического смещения) D , который во всех точках поля как
внутри, так и вне диэлектрика останется без изменения. Вектор
напряженности Е электрического поля внутри диэлектрика
уменьшится в ε раз.
Приступая к решению по теме «Постоянный электрический
ток». следует учитывать, что на участке цепи, не содержащей
ЭДС, напряжение U и разность потенциалов (ϕ1 – ϕ2) совпадают.
8
Если в цепи имеется батарея из n одинаковых источников тока, то
в законе Ома для замкнутой цепи надо использовать ЭДС батареи
и внутреннее сопротивление батареи.
В задачах на определение работы и мощности тока следует
иметь в виду, что полезная мощность выделяется во внешней цепи
(на сопротивлении нагрузки), а полная мощность во всей цепи (на
сопротивлении нагрузки и внутреннем сопротивлении источника).
При решении задач по теме «Магнитостатика» следует иметь
ввиду, что магнитное поле, созданное несколькими проводниками
с током, рассчитывается с помощью принципа суперпозиции по.
лей. Для решения задачи необходимо сделать чертёж, изобразить
силовые линии для каждого проводника так, чтобы они проходи.
ли через точку, в которой надо определить индукцию. Векторы Вi
направлены по касательным к силовым линиям. Затем необходи.
мо сложить векторы Вi по правилу сложения векторов.
Задачи 171 … 180 относятся к теме «Электромагнитная индук.
ция». Если в задаче требуется найти разность потенциалов на
концах проводника, движущегося в магнитном поле, то надо
иметь в виду, что искомая разность потенциалов численно равна
ЭДС, индуцируемой в проводнике.
Таблица 1
Вариант
Номера задач
0
101
111
121
131
141
151
161
171
1
102
112
122
132
142
152
162
172
2
103
113
123
133
143
153
163
173
3
104
114
124
134
144
154
164
174
4
105
115
125
135
145
155
165
175
5
106
116
126
136
146
156
166
176
6
107
117
127
137
147
157
167
177
7
108
118
128
138
148
158
168
178
8
109
119
129
139
149
159
169
179
9
110
120
130
140
150
160
170
180
9
2.2. Основные законы и формулы. Примеры решения задач
2.2.1. Кинематика поступательного
и вращательного движения
1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси X
х = f (t),
где f(t) – некоторая функция времени.
2. Средняя скорость за промежуток времени Δt
Δx
< vx >=
,
Δt
где Δx = x2 – x1; x1 – положение точки в момент времени t1; x2 –
положение точки в момент t2; Δt = t2 – t1.
3. Мгновенная скорость
dx
vx = .
dt
4. Среднее ускорение
Δv
< ax >= x .
Δt
5. Мгновенное ускорение
a x = dv x .
dt
6. Уравнение движения точки при вращательном движении
твёрдого тела
ϕ = ϕ(t),
где ϕ – угловое положение точки в момент времени t.
7. Среднее значение угловой скорости
Δϕ
,
Δt
где Δϕ – угол поворота твёрдого тела за время Δt.
8. Мгновенное значение угловой скорости
dϕ
ω= .
dt
9. Угловая скорость при равномерном движении по окружности
< ω >=
ω = 2πn,
где n – число оборотов в секунду.
10
10. Среднее значение углового ускорения
Δω
< β >=
,
Δt
где Δω = (ω2 − ω1 ) – изменение угловой скорости за промежуток
времени Δt.
11. Мгновенное значение углового ускорения
dω
.
dt
12. Связь между линейными и угловыми величинами, характе.
ризующими движение точки по окружности
β=
v = ωR,
aτ = βR,
2
an = ω R,
где v – линейная скорость точки (направлена по касательной
к окружности), aτ – тангенциальное ускорение (направлено по ка.
сательной), an – нормальное ускорение (направлено к центру
окружности), R – радиус окружности.
Полное ускорение
а = аτ2 + аn2 .
2.2.2. Динамика. Законы Ньютона
1. Импульс материальной точки массой m, движущейся посту.
пательно со скоростью v
p = mv.
2. Второй закон Ньютона в общем случае
dp = F,
dt
где F – результирующая всех сил, приложенных к материальной
точке.
3. Второй закон Ньютона в случае средней силы, действующей
за время Δt:
Δp = F.
Δt
11
4. Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть
записан в виде:
F
а= .
m
5. Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости
F = –kx,
где k – коэффициент жесткости пружины; x – абсолютная дефор.
мация;
б) сила гравитационного взаимодействия
mm
F = G 12 2 ,
r
где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодей.
ствующих материальных точек; r – расстояние между материаль.
ными точками;
в) сила трения скольжения
F = fN,
где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального
давления.
2.2.3. Работа постоянной и переменной силы.
Закон сохранения механической энергии
1. Работа постоянной силы
A = FS cos α,
где α – угол между вектором силы и перемещением.
2. Работа переменной силы
A = ∫ FS dS,
S
где Fs – проекция силы на направление перемещения dS.
3. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно
Ek =
12
mv 2
2
или
Ek =
p2
.
2m
4. Потенциальная энергия:
а) упруго деформированной пружины
kx2
,
2
где k – коэффициент жесткости пружины; x – абсолютная дефор.
мация;
б) гравитационного взаимодействия
EП =
EП = −G m1m 2 ,
r
где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 – массы взаимодей.
ствующих тел; r – расстояние между ними (данные тела считаются
материальными точками);
в) тела, находящегося вблизи поверхности Земли (в однородном
поле силы тяжести)
EП = mgh,
где g – ускорение свободного падения тела; h – высота тела над
уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии
h<<R, где R – радиус Земли).
5. Работа, совершаемая внешними силами, определяется как
мера изменения энергии системы
A = ΔE = E 2 − E1.
6. Закон сохранения механической энергии
E = Ek + EП = const.
2.2.4. Закон сохранения импульса.
Совместное применение законов сохранения импульса
и механической энергии
1. Закон сохранения импульса
n
pc = ∑ mi vi = const,
i=1
13
то есть суммарный импульс замкнутой системы тел pc сохраняет.
ся постоянным.
2. Закон сохранения импульса для системы из двух тел
m1v1 + m 2 v 2 = m1u1 1 + m 2u2 ,
где v1 и v2 – скорости тел в короткий момент до взаимодействия;
u1 и u2 – скорости тех же тел после взаимодействия.
3. Применение законов сохранения энергии и импульса к пря.
мому центральному удару шаров:
а) неупругий удар
– закон сохранения импульса
m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u,
– скорость шаров после неупругого удара
m v ± m2 v2
u= 1 1
,
m1 + m2
знак «минус» соответствует движению шаров навстречу;
б) упругий удар
скорости упругих шаров после удара
u1 =
±2m2 v2 + (m1 − m2 ) v1
u2 =
m1 + m2
2m1 v1 ± (m2 − m1 ) v2
m1 + m2
,
,
где v1 и v2 – скорости шаров до удара, u1 и u2 – после удара.
2.2.5. Динамика вращательного движения твёрдого тела
1. Основной закон (основное уравнение) динамики вращатель.
ного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси
dL
М=
,
dt
где M – результирующий момент всех внешних сил относительно
оси вращения; L – момент импульса (момент количества движе.
ния) твёрдого тела относительно оси вращения
L = J ⋅ ω,
14
где J – момент инерции твёрдого тела относительно той же оси
вращения.
2. Основной закон динамики вращательного движения при
J = const
М = J ⋅ β,
где
dω
β=
dt
– угловое ускорение тела.
3. Основной закон динамики вращательного движения для
среднего значения момента силы
Δω
М=J
,
Δt
где
Δω = ω2 − ω1
– изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.
4. Момент силы относительно оси вращения:
М = Fr sin α = Fl,
где l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до ли.
нии действия силы F); α– угол между направлением действия си.
лы и радиус.вектором r , проведённым от оси вращения к точке
приложения силы.
5. Момент инерции материальной точки относительно заданной
оси:
J = mr 2 ,
где m – масса материальной точки; r – расстояние её до оси вращения.
6. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно
оси, проходящей через центр симметрии:
а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной
стержню
1
J = ml 2;
12
б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно
оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью
цилиндра)
1
J = = mR2 ;
2
15
в) диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плос.
кости диска
1
J = mR2 ;
2
г) шара радиуса R относительно оси, проходящей через центр
шара
2
J = mR2 .
5
2.2.6. Закон сохранения момента импульса.
Кинетическая энергия вращающегося тела
1. Закон сохранения момента импульса в случае замкнутой си.
стемы ( М = 0 – момент внешних сил равен нулю)
n
n
∑ Li = ∑ Ji ω i = const,
i=1
i=1
где Li – момент импульса тела с номером i, входящим в состав си.
стемы.
2. В случае системы из двух тел закон сохранения момента им.
пульса запишется в виде
J1ω1 + J2 ω2 = J1′ ω1′ + J2′ ω2′ ,
где J1, J2; ω1 и ω2 – моменты инерции и угловые скорости тел до
взаимодействия; J′1, J′2; ω′1 и ω′2 – те же величины после взаимо.
действия.
3. Работа постоянного момента силы, действующего на враща.
ющееся тело,
А = Мϕ,
где ϕ – угол поворота тела.
4. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,
N = М ⋅ ω.
5. Кинетическая энергия вращающегося тела
ЕK =
16
Jω2
.
2
6. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без
скольжения,
ЕK =
mv2c Jc ω2
+
,
2
2
где
mv2c
2
– кинетическая энергия поступательного движения тела; vc–
скорость центра инерции тела;
Jc ω2
2
– кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг
оси, проходящей через центр инерции.
7. Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его
кинетической энергии связаны соотношением
А=
Jω22 Jω12
−
.
2
2
2.2.7. Гармонические механические колебания
1) Кинематическое уравнение гармонических колебаний мате.
риальной точки
x = Acos(ωt + ϕ),
где x – смещение от положения равновесия; A – амплитуда коле.
баний; (ωt + ϕ) – фаза; ϕ – начальная фаза; ω – круговая частота.
2) Скорость и ускорение материальной точки, совершающей
гармонические колебания:
υ = –Aωsin(ωt + ϕ),
2
a = –Aω cos(ωt + ϕ).
3) Период колебаний:
а) тела, подвешенного на пружине,
T = 2π
m
,
к
где m – масса тела; к – жесткость пружины;
17
б) математического маятника
T = 2π
l
,
g
где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.
2.2.8. Сложение гармонических колебаний
1) Сложение гармонических колебаний одного направления и
одинаковой частоты:
– амплитуда результирующего колебания
A = A12 + A22 + 2 A1 ⋅ A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ),
– начальная фаза результирующего колебания
ϕ = arctg
A1sinϕ1 + A2sinϕ2
.
A1cosϕ1 + A2 cosκ2
2) Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпенди.
кулярных колебаниях (x=A1cos(ωt), y=A2cos(ωt+ϕ)):
а) y = (A1/A2)x (если разность фаз ϕ = 0);
б) y = –(A2/A1)x (если разность фаз ϕ = ±π);
2
2
2
2
в) x /A1 + y /A2 = 1 (если разность фаз ϕ = ±π/2).
2.2.9. Упругие волны
1) Уравнение плоской бегущей волны
y = Acosω(t – x/v),
где y – смещение любой из точек среды с координатой x в момент
t; v – скорость распространения колебаний в среде.
2) Связь разности фаз Δϕ колебаний с расстоянием между точ.
ками среды, отсчитанным в направлении распространения коле.
баний:
Δϕ = (2π/λ)Δx,
где λ – длина волны, Δх – расстояние между точками среды.
3) Связь длины волны с периодом Т и скоростью распростране.
ния волны v частотой ν:
λ = v⋅T или λ = v/ν.
18
2.2.10. Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа
(уравнение КлапейронаBМенделеева)
1. Уравнение Клапейрона.Менделеева
m
рV = RT,
µ
где р – давление газа; V – его объем; T – термодинамическая тем.
пература; m – масса газа; μ – молярная масса; R – универсальная
газовая постоянная; R = 8,31 Дж/(моль К); m/μ – количество ве.
щества.
2. Количество вещества (в моль)
ν=
N
NA
или
ν=
m
,
μ
.
23
где N – число молекул в данной массе газа; NA = 6,02 10
число Авогадро (число молекул в одном моле).
3. Объединённый газовый закон
–1
моль
–
рV
= const.
T
В случае двух состояний
р1V1 р2 V2
=
,
T1
T2
где р1, V1, Т1 – параметры, определяющие начальное состояние;
р2, V2, Т2 – параметры, определяющие конечное состояние.
4. Уравнение состояния изотермического процесса
рV = const при Т = cоnst.
5. Уравнение состояния изобарного процесса (р = cоnst)
V
= const,
T
или
V1 V2
=
T1 T2
.
19
6. Уравнение состояния изохорного процесса (V = cоnst)
р
= const,
T
р1 р2
= .
T1 T2
7. Плотность вещества
рμ
ρ=
.
RT
2.2.11. Основное уравнение молекулярноBкинетической
теории газов. Внутренняя энергия идеального газа
1. Основное уравнение молекулярно.кинетической теории иде.
альных газов
2
2 m < v2 >
р = n < εn >= n
,
3
3
2
где n – концентрация молекул газа; <εn> – средняя энергия по.
ступательного движения одной молекулы; m – масса молекулы;
2
<v > – среднее значение квадрата скорости.
2. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну сте.
пень свободы
1
< ε1 >= kT.
2
3. Средняя кинетическая энергия молекулы
i
< ε >= kT,
2
23
где k = R/NА = 1,38 ⋅ 10 Дж/К – постоянная Больцмана; i – число
степеней свободы молекулы.
Для одноатомного газа i = 3; для двухатомного газа i = 5; для
трёх и более атомных газов i = 6.
4. Внутренняя энергия произвольной массы идеального газа:
mi
U=
RT.
µ2
5. Зависимость давления газа от концентрации молекул и абсо.
лютной температуры
р = nkT.
20
2.2.12. Первое начало термодинамики.
Теплоёмкость идеального газа
1. Первое начало термодинамики
Q = ΔU + A,
где Q – количество теплоты, сообщенное системе; ΔU – изменение
внутренней энергии системы; A – работа.
2. Молярная теплоемкость газа при постоянном объёме
i
СV µ = R.
2
3. Молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении
СPµ =
i +2
R,
2
где i – число степеней свободы молекулы газа.
4. Связь между удельной (c) и молярной Cµ теплоемкостями
Cµ = cμ.
5. Внутренняя энергия идеального газа
U=
mi
m
RT = СV µ T.
µ2
µ
6. Работа расширения газа в изотермическом процессе
А=
V
m
RT ln 2 .
µ
V1
7. Работа расширения газа в изобарном процессе
А = рΔV =
m
RΔT.
μ
8. Работа расширения в адиабатном процессе
A = −ΔU =
m
СV µ ΔT
μ
или
A=
γ−1 ⎤
⎡
RT1 m ⎢ ⎛⎜ V2 ⎞⎟ ⎥
⋅ ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ,
γ −1 μ ⎢ ⎝ V1 ⎠⎟ ⎥
⎣
⎦
21
где
γ=
сP i + 2
=
сV
i
– показатель адиабаты.
9. Уравнение состояния адиабатного процесса (уравнение Пуас.
сона).
PV γ = const.
2.2.13. Круговые процессы. КПД цикла. Цикл Карно
1. Коэффициент полезного действия тепловой машины
A Q1 − Q2
η=
=
,
Q1
Q1
где А – работа, совершенная в цикле, А = Q1 – Q2; Q1 – количество
теплоты, полученное рабочим телом от теплоотдатчика; Q2 – ко.
личество теплоты, отданное рабочим телом теплоприемнику.
2. КПД цикла Карно
T − T2
η= 1
,
T1
где T1 – температура теплоотдачика; T2 – температура теплопри.
емника.
3. Так как
Q − Q2 T1 − T2
η= 1
=
,
Q1
T1
то
Q1 Q2
=
,
T1 T2
то есть приведенная теплота Q/T для любых изотермических пе.
реходов между двумя адиабатами есть величина постоянная.
2.2.14.Электростатика
1. Закон Кулона
F=
22
1 q1q2
,
4πε0 εr 2
где F – модуль силы взаимодействия точечных зарядов q1 и q2; r – рас.
стояние между зарядами; ε – относительная диэлектрическая прони.
12
цаемость среды; ε0 – электрическая постоянная (ε0 = 8,85 ⋅ 10− Ф/м).
2. Напряженность и потенциал электростатического поля
F
W
E= , ϕ= ,
q
q
где F – сила, действующая на точечный положительный (проб.
ный) заряд q, помещенный в данную точку поля; W – потенциаль.
ная энергия этого заряда.
3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой
зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),
n n
E = ∑ Ei ; ϕ = ∑ ϕi ,
i =1
i =1
где Ei ,ϕi – напряженность и потенциал в данной точке поля, со.
здаваемого i.м зарядом.
4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным
зарядом,
E=
1 q
1 q
, ϕ=
,
2
4πε0 εr
4πε0 εr
где r – расстояние от заряда q до точки, в которой определяются
напряженность и потенциал.
5. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно
заряжен.ной плоскостью
E=
σ
2εε0
,
где σ – поверхностная плотность заряда (заряд единицы площади).
6. Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно
заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром (вне ци.
линдра),
E=
1 τ
,
2πε0 εr
где τ – линейная плотность заряда, r – расстояние от нити или от
оси цилиндра до точки, в которой вычисляется напряженность.
Внутри цилиндра Е = 0.
23
7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого металличе.
ской заряженной сферой радиусом R на расстоянии r от центра
сферы:
а) внутри сферы (r < R)
1 q
E = 0;
ϕ=
;
4πε0 εR
б) вне сферы (r ≥ R)
E=
q
1
;
4πε 0 εr 2
ϕ=
1 q
,
4πε0 εr
где q – заряд сферы.
8. Связь потенциала с напряженностью в случае однородного
поля
E = (ϕ1 – ϕ2)/d,
где d – расстояние между точками с потенциалами ϕ1 и ϕ2.
9. Работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точ.
ки поля с потенциалом ϕ1 в точку поля с потенциалом ϕ2
A= q (ϕ1 – ϕ2).
2.2.15. Постоянный электрический ток
1. Сила и плотность постоянного тока
I = q/t, j = I/S,
где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за
время t; S – площадь поперечного сечения.
2. Закон Ома:
а) для участка цепи, не содержащего ЭДС:
ϕ − ϕ2 U
I= 1
= ,
R
R
где I – сила постоянного тока; ϕ1 – ϕ2 = U – разность потенциалов
на концах участка цепи; R – сопротивление участка цепи;
б) для замкнутой цепи:
ε
I=
,
R + R0
где ε – ЭДС источников тока; R – сопротивление внешней цепи;
R0 – внутреннее сопротивление источника тока.
24
3. Сопротивление R и проводимость G однородного цилиндри.
ческого проводника постоянного диаметра
l
S
R =ρ , G = γ ,
S
l
где ρ – удельное сопротивление проводника; γ = 1/ρ – удельная
электропроводность; l – длина проводника; S – площадь попереч.
ного сечения проводника.
4. Работа и мощность тока
A= IUt, P = IU.
5. Закон Джоуля.Ленца
t2
Q = ∫ I 2 Rdt;
t1
для постоянного тока
2
Q = I Rt,
где Q – количество теплоты, выделяющейся на участке цепи со.
противлением R за время t, когда по проводнику течет ток силой I.
7. Закон Ома в дифференциальной форме
1 j = E = γE,
ρ
где j = I/S – плотность тока в проводнике; E – напряженность
электрического поля в проводнике.
8. Закон Джоуля.Ленца в дифференциальной форме
w = γE2 ,
где w = Q/(V ⋅ t) – удельная тепловая мощность тока (количество
теплоты, выделяющейся в единице объема проводника за единицу
времени).
2.2.16. Магнитостатика
1. Связь магнитной индукции B с напряженностью H маг.
нитного поля
B = µµ0 H,
где μ – относительная магнитная проницаемость изотропной среды
–7
(в вакууме μ = 1); μ0 – магнитная постоянная (μ0 = 4π ⋅ 10 Гн/м).
25
2. Магнитная индукция в центре кругового витка с током
µµ I
B= 0 ,
2R
где R – радиус кругового витка; I – сила тока.
3. Магнитная индукция поля длинного прямого проводника
с током
μμ I
B= 0 ,
2πr0
где r0 – расстояние от оси проводника до точки, в которой опреде.
ляется магнитная индукция.
4. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода
с током (рис. 1)
μμ I
B = 0 (cos α1 − cos(π − α2 )).
4πr0
→
В
α1
r0
α2
I
Рис. 1
Обозначения ясны из рисунка. Направление вектор B обозна.
чен точкой – это значит, что вектор B направлен перпендикуляр.
но плоскости рисунка "к нам".
При симметричном расположении концов провода относитель.
но точки, в которой определяется индукция: cosα1 = –cos(π – α2) =
= cosα. Тогда
μμ I
B = 0 cos α.
2πr0
4. Закон Ампера
dF = I ⎡⎣⎢dlB ⎤⎦⎥
или
dF = IBdlsinα,
где α – угол между направлением
тока в элементе проводника и
вектором магнитной индукции B .
26
В случае однородного магнитного поля и прямого отрезка про.
водника длиной l модуль силы Ампера
F = IBl sinα.
5. Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины
каждого из двух длинных прямолинейных параллельных прово.
дов с токами I1 и I2,
μμ I I
F= 0 1 2,
2πd
где d – расстояние между проводами.
6. Сила (сила Лоренца), действующая на движущийся заряд
в магнитном поле:
F = q ⎡⎢⎣ vB ⎤⎥⎦
или F=⎜q⎜vBsinα,
где v – скорость заряженной частицы; α – угол между векторами
v и B.
7. Магнитный поток:
а) через произвольную поверхность S, помещенную в неодно.
родное поле,
Φ = ∫ BdS = ∫ Bn dS,
( S)
( S)
где dS = dSn ; n – единичный вектор нормали к элементу поверх.
ности dS; Bn = B cosα – проекция вектора B на направление
нормали n ; α – угол между вектором B и нормалью n ;
б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное маг.
нитное поле,
Ф = Bn S = BScosα.
8. Потокосцепление катушки индуктивности (полный магнит.
ный поток)
Ψ = NΦ,
где N – число витков катушки; Ф – магнитный поток через один
виток.
Формула верна для соленоида и тороида, когда N витков плотно
прилегают друг к другу.
27
9. Работа по перемещению замкнутого контура с током в маг.
нитном поле
А = IΔФ = I(Ф2 – Ф1),
где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки через контур в начальном и ко.
нечном положениях.
2.2.17. Электромагнитная индукция
1. Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):
мгновенное значение ЭДС индукции
dФ
εi =−
dt
среднее значение ЭДС индукции
ΔФ
εi = −
.
Δt
2. Разность потенциалов на концах прямого проводника, дви.
жущегося со скоростью v в однородном магнитном поле
U = ϕ1 − ϕ2 = Blvsinα,
где l – длина проводника; α – угол между векторами v и B .
3. Индуктивность контура
Ф
L= .
I
Мгновенное значение ЭДС самоиндукции
dI
εs = −L
dt
среднее значение ЭДС самоиндукции
ΔI
εs = −L .
Δt
Индуктивность соленоида
2
L = μμ0n V,
где n = N/l – число витков N, приходящееся на единицу длины l
соленоида; V – объем соленоида.
6. Энергия магнитного поля контура с током
W=
28
LI 2
.
2
7. Объемная плотность энергии магнитного поля
w=
BH µµ0 H2
B2
=
=
.
2
2
2µµ0
Для однородного поля
w=
W
.
V
Примеры решения задач
Задача 1
о
Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30 под
действием силы 7 кН. Коэффициент трения между шинами авто.
мобиля и поверхностью шоссе равен 0,1. Определить ускорение
автомобиля.
Y
→
N F
т
→
Fтр
α
α
X
α
→
mg
Рис. 2
Дано:
3
m = 1 т = 10 кг
3
FT= кН = 7⋅10 Н
α=30°
f = 0,1
a=?
Решение:
На автомобиль действуют сила тяжести mg,
сила нормальной реакции шоссе N, сила тяги
FТ , сила трения Fтр . По условию задачи век.
тор a направлен вверх по наклонной плоскости.
Запишем второй закон Ньютона в векторной
форме:
ma = mg + FТ + N + Fтр .
29
Спроецируем обе части этого уравнения на выбранные направ.
ления осей Х и У (см. рис. 2)
ma = −mg sin α + FТ − Fтр ,
(1)
−mg cos α + N = 0.
(2)
Из уравнения (2) находим:
N = mg cos α.
Учитывая, что
Fтр = fN = fmg cos α,
запишем уравнение (1) в виде:
ma = −mg sin α + FТ − fmg cos α,
откуда
a=
F − mg (sin α + f cos α )
.
m
Подставив в формулу (3) числовые значения, получим:
a=
7 ⋅ 103 −103 ⋅ 9,81(0,52 + 0,1⋅ 0,87) м
3
2
10
с
= 1,2
м
с2
(3)
.
Задача 2
Частота вращения маховика, момент инерции которого равен
2
120 кг⋅м , составляет 240 об/мин. После прекращения действия на
него вращающего момента маховик под действием сил трения
в подшипниках остановился за π секунд. Считая трение в подшип.
никах постоянным, определить момент сил трения.
Дано:
n1 об/мин = 4 об/с
2
J = 120 кг ⋅ м
t=πс
М=?
Решение:
Изменение кинетической энергии махо.
вика равно работе сил трения:
ΔЕК = А, т.е.
Jω12
= M ⋅ ϕ,
2
где ϕ – угол поворота за промежуток времени t.
30
0−
(1)
Из формулы (1) момент сил трения
М=
Jω12
.
2ϕ
(2)
Для равнозамедленного движения маховика угол поворота ϕ:
ϕ = ω1t −
βt2
,
2
(3)
где β – угловое ускорение.
По условию задачи тело останавливается через промежуток
времени t, т.е.
ω1 − βt = 0,
откуда
β=
ω1
,
t
(4)
где
ω1 = 2πn1.
Подставим выражение (4) в формулу (3), получим:
ωt ωt
ϕ = ω1t − 1 = 1 .
2
2
(5)
После подстановки выражения для ϕ и ω1 в формулу (2) момент
сил трения М имеем
М=
Jω12 J ⋅ 4π2n12 ⋅ 2 2πn1 J
=
=
,
2φ
2 ⋅ 2πn1
t
т.е.
М1 =
2πn1 J
.
t
(6)
Проведём вычисления в формуле (6)
М=
2π ⋅ 4 ⋅1,2 ⋅ 102
= 16 Н ⋅ м.
π
31
Задача 3
Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска,
может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной
оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза
меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз из.
менится угловая скорость вращения платформы, если человек пе.
рейдёт ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса
платформы.
Дано:
m
3
R
r1 =
2
ω2
−?
ω1
m1 =
Решение:
В системе человек–платформа сумма момен.
тов сил тяжести и реакции опоры равна нулю.
Тогда для решения задачи можно применить
закон сохранения момента импульса:
J1ω1 = J2ω2 ,
(1)
отсюда
ω2 J1
= ,
ω 1 J2
(2)
где
J1 =
J2 =
mR2 m 2 5
+ R = mR2 ;
2
3
6
(3)
2
mR2 m ⎛⎜ R ⎟⎞
7
+ ⎜ ⎟⎟ = mR 2
2
3 ⎜⎝ 2 ⎠
12
(4)
J1 – момент инерции системы человек–платформа в начальном
состоянии, J2 – в конечном состоянии.
Подставим выражения (3) и (4) в формулу (2) и получим:
ω2 5mR2 ⋅12 10
=
=
= 1,43.
ω1
7
6 ⋅ 7mR 2
Задача 4
Пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с,
попадает в мешок с песком массой 4 кг, висящий на длинной не.
растяжимой нити и застревает в нем. Найти высоту, на которую
поднимется мешок после попадания в него пули.
32
Дано:
–2
m1= 10 г = 10
v1 = 400 м/с;
m2= 4 кг;
кг;
Решение:
Решение задачи основано на использо.
вании двух законов: закона сохранения
энергии и закона сохранения импульса.
После попадания пули мешок с песком
движется вместе с застрявшей в нем пулей
со скоростью u.
v2 = 0
h=?
На основе закона сохранения энергии запишем:
(m1 + m 2)u 2
2
= (m1 + m 2) gh.
(1)
Для определения скорости совместного движения мешка и пу.
ли используем закон сохранения импульса. Запишем его в проек.
ции на ось Х:
m1 v1 + 0 = (m1 + m2 )u
(2)
откуда
u=
m1
v1.
m1 + m 2
(3)
Подставим выражение (3) в формулу (1) и тогда высота h равна
2
⎛ m1 ⎞⎟ v12
⎟ ⋅ .
h = ⎜⎜⎜
⎜⎝ m1 + m 2 ⎟⎠⎟ 2g
(4)
Выполним вычисления по формуле (4)
⎛10−1 ⎞⎟2 16 ⋅104
⎟⎟ ⋅
≈ 5,1⋅10−2 м = 5,1 см.
h = ⎜⎜⎜
⎜⎝ 4,01 ⎟⎟⎠ 2 ⋅ 9,81
Задача 5
К невесомой пружине, коэффициент упругости которой
200 Н/м, прикреплен груз массой 1 кг. Груз смещен на 10 см от
положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить
наибольшее и наименьшее ускорения груза. Трением пренебречь.
33
Дано:
k = 200 Н/м
m = 1 кг
А0 = 10 см = 0,1 м
amax = ? amin = ?
Решение:
Под действием силы упругости груз со.
вершает свободные гармонические колеба.
ния, уравнение которых запишем в виде
x = A0 cos ωt,
(1)
где А0 – амплитуда колебания; ω – циклическая частота.
Продифференцировав выражение (1) по времени, определим
скорость груза:
dx
v=
= − A0 ω sin ωt,
(2)
dt
а после дифференцирования скорости по времени – ускорение
dv
a=
= − A0 ω2 cos ωt = −ω2 x.
(3)
dt
Так как
k
ω2 = ,
m
то ускорение а можно записать в виде
k
a = −ω2 x = − x.
(4)
m
Ускорение имеет максимальное значение при x = A0 то есть при
наибольшем отклонении от положения равновесия
k
amax = A0 .
(5)
m
В положении равновесия, при x = 0, ускорение a = 0. Подстав.
ляя числовые значения в выражение (5), получим:
amax = (200 / 1)⋅ 0,1 = 20 м/с2 .
Задача 6
Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно пер.
пендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:
x= A1cos ω1t ,
(1)
y = A2cos ω2t ,
–1
(2)
–1
где А1 = 1 см; ω1=π с ; А2 = 2 см; ω2 = π/2 с .
34
Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с
соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Решение:
Дано:
Чтобы определить траекторию точки, ис.
x = A1cos ω1t
ключим время из уравнений (1) и (2). Заме.
y = A2 cos ω2t
тив, что y = A2cos(ω1/2)t, применим формулу
А1 = 1 см = 0,01 м
А2 = 2 см = 0,02 м
косинуса половинного угла:
y = f(x) = ?
соs(α 2) = ± (1 + cosα) / 2.
Используя это соотношение и отбросив размерности x и y, мож.
но написать:
y = 2 cos
ω1t
1 + cosω1t
=2
2
2
х = cosω1t,
откуда
y = ±2 (1 + x) / 2 или y = ± 2x + 2.
Выражение (3) есть уравнение
параболы, ось которой совпадает
с осью ОХ. Как показывают урав.
нения (1) и (2), амплитуда коле.
баний точки по оси OX равна 1,
а по оси ОУ –2. Следовательно,
абсциссы всех точек траектории
заключены в пределах от –1 до
+1, а ординаты – от –2 до +2.
Для построения траектории
найдем из уравнения (3) значе.
ния y, соответствующие ряду
значений x, удовлетворяющих
условию ⎜x ⎜ ≤ 1:
(3)
Y
2
l
−1
l
X
−2 −
1
Рис. 3
2x + 2
х
–1
0
0
±1,41
–0,75
±0,71
0,5
±1,73
–0,5
±1
1
±2
x
y=
l||
y=
2x + 2
35
Начертив координатные оси и выбрав единицу длины (санти.
метр), построим точки. Соединив их плавной кривой, получим
траекторию результирующего колебания точки, которая пред.
ставляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоуголь.
ника амплитуд.
Далее определим направление движения точки. Из уравнений
(1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной
оси Тх = 2 с, а по вертикальной оси Ту = 4 с.
Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание
по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по
оси OУ. В начальный момент (t = 0) имеем: х = 1, у = 2 (точка
находится в положении 1) при t = 1 с получим: х = –1 и у = 0 (точ.
ка находится в вершине параболы); При t = 2 с получим: х = 1
и у = –2 (точка находится в положении 2). После этого она будет
двигаться в обратном направлении.
Задача 7
Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью
100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы ко.
лебаний которых противоположны, равно 1м. Определить период
колебаний и частоту.
Дано:
Δх = 1 м
v = 100 м/с
Т=?ν=?
Решение:
Точки, находящиеся друг от друга на рассто.
янии, равном длине волны, колеблются с разно.
стью фаз, равной 2π. Точки, находящиеся друг
от друга на любом расстоянии, колеблются с
разностью фаз, равной
Δϕ =
2π
Δх.
λ
(1)
Решая это равенство относительно λ, получаем
λ = 2πΔх / Δϕ.
(2)
По условию задачи Δϕ = π. Подставляя значения величин, вхо.
дящих в выражение (2), получим:
λ=
36
2π ⋅ 1
= 2 м.
π
Скорость v распространения волны связана с λ и Т отношением
λ = v ⋅ Т = v / ν,
(3)
где ν – частота колебаний.
Из выражения (3) получаем
ν=v .
λ
Произведем вычисления:
ν = (100 / 2) = 50 Гц, Т = 1/50 с = 0,02 с.
Задача 8
Азот массой 7 г находится под давлением 0,1 МПа и температу.
ре 290 К. Вследствие изобарного нагревания азот занял объем
10 л. Определить: 1) объем газа до расширения; 2) температуру
газа после расширения; плотность газа до и после расширения.
Дано:
μ = 28 ⋅10−3 кг/моль
.
–3
m = 7 г = 7 10 кг
5
р = 0,1 МПа = 10 Па
Т1 = 290 К
–2 3
V2 = 10 л = 10 м
R = 8,31 Дж/К⋅моль
1) V1 – ?
2) Т2 – ?
3) ρ1 – ?
4) ρ2 – ?
Решение:
Для решения задачи воспользуемся
уравнением Клапейрона.Менделеева.
Запишем его для начального и конеч.
ного состояния газа:
m
(1)
рV1 = RT1
µ
рV2 =
m
RT2 .
µ
(2)
Из уравнения (1) можно определить
V1 =
m RT1
µ р
(3)
V2 =
m RT2
.
μ р
(4)
из уравнения (2)
Из уравнения состояния изобарного процесса:
V ⋅Т
Т2 = 2 1 .
V1
37
Плотность газа до расширения
m
ρ1 = ,
V1
(5)
а после расширения
ρ2 =
m
.
V2
(6)
Проведём вычисления требуемых величин по формулам (3), (4),
(5) и (6), подставив в них числовые значения исходных данных,
получим:
V 1=
7 ⋅10−3
−3
28 ⋅10
ρ1 =
⋅
8,31⋅ 290
5
10
7 ⋅10−3
6,02 ⋅10−3
= 6,02 ⋅10−3 м3 ; Т2 =
= 1,16 кг/м3 ; ρ1 =
10−2 ⋅ 290
6,02 ⋅10−3
7 ⋅ 10−3
10−2
= 481 К;
= 0,7 кг/м3 .
Задача 9
Кислород массой 1 кг находится при температуре 320 К. Опре.
делить 1) внутреннюю энергию газа; 2) среднюю кинетическую
энергию вращательного движения молекул кислорода. Газ счи.
тать идеальным.
Дано:
Решение:
Выражение для внутренней энергии
m = 1 кг
идеального газа имеет вид
Т = 320 К
µ = 32 ⋅10−3 кг/моль
U=
mi
RT.
µ2
(1)
U=?
<Eвр> = ?
Кислород – двухатомный газ, для него полное число степеней
свободы его молекул i = 5, из них 3 степени свободы приходятся на
поступательное, а две – на вращательное движение
1
< Евр >= 2 ⋅ kТ = kT
(2)
2
в данной массе газа содержится N молекул, которое можно вычислить по
формуле:
m
(3)
N = ⋅ NA .
μ
38
Средняя кинетическая энергия вращательного движения всех
N молекул
m
m
(4)
< Евр >= kT ⋅ ⋅ NA = RT.
µ
µ
Проведем вычисления внутренней энергии по формуле (1), под.
ставив в неё исходные данные:
1
5
⋅ ⋅ 8,31⋅ 3,2 ⋅102 = 2,08 ⋅105 Дж = 208 кДж.
U=
−3 2
32 ⋅10
Проведем вычисление <Eвр> по формуле (4):
< Евр >=
1
32 ⋅10−3
⋅ 8,31⋅ 3,2 ⋅ 102 = 0,831⋅ 105 Дж = 83,1 кДж.
Задача 10
3
Кислород массой 2 кг занимает объем 1 м и находится под дав.
лением 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении
3
до объема 3 м , а затем при постоянном объеме до давления 0,5 МПа.
Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им рабо.
ту и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.
Дано:
О2
m = 2 кг
3
V1 = 1 м
5
P1 = 0,2 МПа = 2⋅ 10 Па
3
1) P = const, V2 = 3 м
2) V = const, P3 =
5
= 0,5 МПа = 5⋅ 10 Па
Решение:
Изменение
газа
ΔU =
внутренней
iR
mΔT,
2μ
энергии
(1)
где i – число степеней свободы мо.
лекул газа (для двухатомных моле.
кул кислорода i = 5); ΔT = T3 – T1 –
ΔU – ? A – ? Q – ?
разность температур газа в конечном
(третьем) и начальном состояниях.
Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения
Менделеева.Клапейрона
⎛m ⎞
рV = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ RT
⎜⎝ µ ⎟⎠
откуда
Т=
рV µ
.
mR
39
Работа расширения газа при постоянном давлении выражается
формулой
m
A1 = ⋅ RΔT.
μ
Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю
A2 = 0.
Следовательно, полная работа, совершаемая газом,
A = A1 + A2 = A1.
Согласно первому началу термодинамики, теплота Q1, пере.
данная газу, равна сумме изменения внутренней энергии ΔU и ра.
боты A
Q = ΔU + A.
Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода
–3
μ = 32⋅10 кг/моль
T1 =
2 ⋅ 105 ⋅1⋅ 32 ⋅10−3
2 ⋅105 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅10−3
K = 385 K; T2 =
K = 1155 K;
2 ⋅ 8,31
2 ⋅ 8,31
T3 =
A1 =
5 ⋅105 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅10−3
K = 2887 K;
2 ⋅ 8,31
8,31⋅ 2 ⋅ (1155 − 385)
32 ⋅10−3
Дж = 0,4 ⋅106 Дж = 0,4 МДж;
A = A1 = 0,4 МДж;
5 8,31⋅ 2(2887 − 385)
ΔU =
Дж = 3,24 ⋅106 Дж = 3,24 МДж;
2
32 ⋅10−3
Q = (3,24 + 0,4) МДж = 3,64 МДж.
График процесса приведен на рис. 4.
P
P2
P1
0
3
1
2
V1
V2
Рис. 4
40
Задача 11
Идеальный газ совершает цикл Карно. Газ получил от теплоот.
датчика количество теплоты 5,5 кДж и совершил за цикл работу
1,1 кДж. Определить: 1) термический КПД цикла; 2) отношение
температур теплоотдатчика и теплоприёмника.
Дано:
3
Зная
цикла
Q1 = 5,5 кДж = 5,5⋅10 Дж
3
А = 1,1 кДж = 1,1⋅10 Дж
η=?
Т1
=?
T2
Решение:
общее определение
η=
КПД
A Q1 − Q2
=
,
Q1
Q1
вычислим КПД цикла
η=
1,1
= 0,2
5,5
КПД цикла Карно
ηK =
T1 − T2
T
= 1− 2 ,
T1
T1
так как газ совершает цикл Карно, то
T
η = ηK = 0,2; 1 − 2 = 0,2.
T1
Тогда
T1
= 1,25,
T2
то есть температура теплоотдатчика в 1,25 раз выше температуры
теплоприёмника.
Задача 12
Два точечных заряда 2 нКл и –1 нКл находятся в воздухе на
расстоянии 5 см друг от друга. Определить напряженность и по.
тенциал электростатического поля в точке, удаленной от первого
заряда на расстояние 6 см и от второго заряда на 4 см.
41
Дано:
–9
q1 = 2 нКл = 2⋅ 10 Кл
–9
q2 = –1 нКл = –10 Кл
9
ε = 1; 1/4πε0 = 9⋅ 10 м/Ф
–2
d = 5 см = 5⋅ 10 м
–2
r1 = 6 см = 6⋅ 10 м
–2
r2 = 4 см = 4⋅ 10 м
Е–?ϕ–?
Решение:
Согласно принципу суперпозиции
электрических полей, каждый заряд
создает поле независимо от присут.
ствия в пространстве других заря.
дов. Напряженность результирующе.
го поля:
E = E1 + E2
Напряженности полей, создаваемых в воздухе (ε = 1) зарядами
q1 и q2:
1 q1
E1 =
;
(1)
4πε0 εr12
1 q2
.
(2)
4πε0 εr22
Направления векторов E1 и E2 указаны на рис.5 Модуль век.
тора E найдем по теореме косинусов:
E2 =
E = (E12 + E22 + 2E1 E2 cos α)1/2
где α – угол между векторами E1 и E2 . Из рис. 5 видно, что β =
π – α. Тогда cosβ = – cosα.
Следовательно,
E = ( E12 + E22 − 2E1 E2 cos β)1/2 .
α
β
→
E1 r2
r1
q1
q2
Рис. 5
42
→
E2
→
E
(3)
Из треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов
находим
2
2
2
cos β = ( r1 + r2 – d )/(2r1r2).
(4)
Произведя вычисления по формулам (1), (2), (4), получим:
E1 = 9 ⋅109
E2 = 9 ⋅109
2 ⋅10−9
−2 2
(6 ⋅10 )
10−9
−2 2
(4 ⋅10 )
= 5 ⋅ 103 В/м,
= 5,62 ⋅ 103 В/м,
62 + 42 − 52
= 0,565.
2⋅ 6 ⋅ 4
При вычислении Е2 знак заряда q2 опущен, так как знак
минус
определяет направление вектора E2 , а направление E2 было
учтено при его графическом изображении (cм. рис.5).
Напряженность результирующего поля будет равна
cos β =
E = (5 ⋅103 )2 + (5,62 ⋅103 )2 − 2 ⋅ 5 ⋅103 ⋅ 5,62 ⋅103 ⋅ 0,565 =
= 4,97 ⋅103 В/м.
По принципу суперпозиции потенциал результирующего поля,
создаваемого зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потен.
циалов ϕ1 и ϕ2, т. е. ϕ = ϕ1 + ϕ2 или
ϕ=
1 q1
1 q2
1 ⎛⎜ q1 q2 ⎞⎟
+
=
⎜ + ⎟.
4πε0 εr1 4πε0 εr2 4πε0 ε ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠⎟
(5)
Произведя вычисления, получим:
⎛ 2 ⋅ 10−9 −10−9 ⎟⎞
+
ϕ = 9 ⋅ 109 ⎜⎜⎜
⎟⎟ = 75 В.
⎜⎝ 6 ⋅ 10−2 4 ⋅10−2 ⎟⎟⎠
Задача 13
Тонкий прямой стержень длиной 10 см равномерно заряжен
с линейной плотностью заряда 1 нКл/см. На продолжении оси
стержня, на расстоянии 20 см от ближайшего конца, находится
точечный заряд 20 нКл. Определить силу взаимодействия стержня
и точечного заряда.
43
Дано:
Решение:
Так как заряженный стержень не
q1 = 20 нКл = 2⋅ 10 Кл
7
является
точечным зарядом, то закон
τ = 1нКл/см = 10 Кл/м
Кулона
непосредственно
применить
l = 10 cм = 0,1 м
нельзя.
Разобьём
стержень
на малые
а = 20 см = 0,2 м
элементы
и
выделим
на
стержне
(рис. 6)
ε =1
элемент
dr
с
зарядом
dq
=
τ⋅
dr.
Этот
F=?
заряд можно рассматривать как то.
чечный. Тогда по закону Кулона
1 q1dq
1 q1τdr
dF =
=
.
(1)
4πε0 εr 2
4πε0 εr 2
Так как силы dF взаимодействия заряда q1 и зарядов dq на
разных элементах стержня направлены в одну сторону, то геомет.
рическую сумму сил можно заменить алгебраической. Силу взаи.
модействия точечного заряда и стержня найдём интегрированием
выражения (1):
–8
F=
q τ ⎛1
q1τl
1 q1τ a + l dr
1 ⎞⎟
.
= 1 ⎜⎜ −
⎟⎟ =
∫
2
⎜
4πε0 ε
4πεε0 ⎝ a a + l ⎠ 4πε0 ε(a + l)a
a r
Проверим, даёт ли расчётная формула единицу силы. Для этого
в правую часть формулы вместо символов величин подставим их
единицы измерений
1 Кл ⋅1 Кл/м ⋅ 1 м 1 Кл ⋅1 Кл
[q1 ][ τ][l]
=
=
=
1 Ф ⋅1 м
[ε0 ][a + l][a ] 1 Ф/м ⋅1 м ⋅ 1 м
=
1 Кл ⋅1 Кл
= 1 Кл ⋅1 В/м = 1 Н.
1 Кл/В ⋅1 м
Произведем вычисления с учётом того, что
1 / 4πε0 = 9 ⋅109 м/Ф:
F = 9 ⋅109
2 ⋅ 10−8 ⋅10−7 ⋅ 0,1
= 3 ⋅ 10−5 Н.
1⋅ (0,2 + 0,1) ⋅ 0, 2
r
a
l
Рис. 6
44
q1
Задача 14
Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом
1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью заряда
20 нКл/м. Определить работу сил поля по перемещению точечного
заряда 25 нКл из точки, находящейся на расстоянии 1 см, в точку,
находящуюся на расстоянии 3 см от поверхности цилиндра в сред.
ней его части.
Дано:
Решение:
–2
R = 1 см = 1⋅ 10 м
–8
τ = 20 нКл/м = 2⋅ 10 Кл/м
–8
q = 25 нКл = 2,5 ⋅10 Кл
–2
a1 = 1 см = 1⋅ 10 м
–2
a2 = 3 см = 3⋅ 10 м
ε =1
А–?
Работа сил поля по перемещению
заряда равна А = q(ϕ1 – ϕ2). Для по.
ля с осевой симметрией, каким яв.
ляется поле цилиндра, можно запи.
сать:
dϕ
или dϕ = −Edr .
dr
Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов
между двумя точками, отстоящими на расстояниях r1 и r2 от оси
цилиндра,
E =−
r2
ϕ2 − ϕ1 = − ∫ Edr,
r1
(1)
где r1 = a1 + R, r2 = a2 + R.
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней
части, то можно воспользоваться формулой напряженности поля,
создаваемого бесконечно длинным цилиндром,
E=
1 τ
.
2πε0 εr
(2)
Подставив (2) в (1), получим:
r2
r
τ
dr
τ
ϕ2 − ϕ1 = −
=−
ln 2
∫
2πε0 ε r
2πε0 ε r1
r1
или
ϕ1 − ϕ2 =
r
τ
ln 2 .
2πε0 ε r1
(3)
45
Таким образом,
A = q (ϕ1 − ϕ2 ) =
R + a2
qτ
ln
.
2πε0 ε R + a1
Проверим, дает ли расчетная формула единицу работы. Для
этого в правую часть вместо символов величин подставим их еди.
ницы
[q][τ] 1 Кл ⋅ 1 Кл/м 1 Кл ⋅ 1 Кл 1 Кл ⋅1 Кл
=
=
=
= 1 Кл ⋅1 В = 1 Дж.
[ε0 ]
1 Ф/м
1Ф
1 Кл/В
Произведем вычисления с учетом того, что
1 / 2πε0 = 2 ⋅ 9 ⋅109 м/Ф.
Так как величины r2 и r1 входят в формулу (3) в виде отноше.
ния, их можно выразить в сантиметрах.
Таким образом,
1+3
A = 2,5 ⋅ 10−8 ⋅ 2 ⋅ 9 ⋅109 ⋅ 2 ⋅ 10−8 ln
= 6,2 ⋅ 10−6 Дж.
1 +1
Задача 15
ЭДС батареи аккумуляторов 12 В. Наибольшая сила тока, ко.
торую может дать батарея, 5 А. Определить максимальную мощ.
ность, которая может выделиться во внешней цепи.
Дано:
Решение:
ε = 12 В
Imax = 5 А
Pmax = ?
По закону Ома для полной цепи
ε
I=
,
R0 + R
(1)
где R0 – внутреннее сопротивление аккумулятора; R – сопротив.
ление внешней цепи (сопротивление нагрузки).
Максимальная сила тока будет при коротком замыкании (R = 0)
Imax =
ε
.
R0
(2)
Из формулы (2) находим внутреннее сопротивление:
R0 =
46
ε
.
Imax
(3)
Мощность, которая выделяется во внешней цепи (полезная
мощность),
2
(4)
P = I R.
C учетом закона Ома (1) получим:
P=
ε2 R
(R + R0 )2
.
(5)
Исследуя функцию (5) на максимум, найдем сопротивление
нагрузки, при котором мощность максимальна:
dp ε2 (R − R0 )
=
= 0.
dR (R + R0 )3
(6)
Из равенства (6) следует, что
R = R0.
(7)
Подставив (7) в формулу (5), найдем выражение для макси.
мальной мощности:
Pmax =
ε2
.
4R0
(8)
C учетом формулы (3) получим:
Imax
.
4
Произведя вычисления, получим:
12 ⋅ 5
Pmax =
= 15 Вт.
4
Pmax =
Задача 16
Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом равномерно
нарастает от 0 до 4 А в течение 2 с. Определить количество тепло.
ты, выделившейся в проводнике за первые полторы секунды.
Дано:
Решение:
R = 20 Ом
I1 = 0 А, I2 = 4 А
t1 = 0, t2 = 2 c, t3 = 1,5 c
Согласно закону Джоуля.Ленца,
тепловая мощность, выделяющаяся
на сопротивлении R, равна
Q–?
2
Р=I R.
47
Количество тепла dQ, выделяющегося за время dt на сопротив.
лении R, равно
2
dQ = Pdt = I Rdt .
(1)
По условию задачи сила тока равномерно нарастает, т. е. явля.
ется линейной функцией времени
I = at + b .
(2)
В начальный момент t1 = 0 ток I1 равен нулю, поэтому в урав.
нении (2) имеем b = 0. Таким образом,
I = at .
(3)
Коэффициент "а" найдем из условия, что I2 = 4 А при t2 = 2 с:
I2 = at2 . Откуда получаем
a=
I2 4
= = 2 A/c.
t2 2
Подставляя в формулу (1) выражение (3) и интегрируя по вре.
мени от 0 до t3, найдем количество выделившегося тепла:
t3
t3
a2 R 3
Q = ∫ I 2 Rdt = a2 R ∫ t2dt =
t3 − t13 .
3
t1
(
t1
)
(4)
Подставляя в формулу (4) значения входящих в нее парамет.
ров, получим:
Q=
22 ⋅ 20
1,53 − 0 = 90 Дж.
3
(
)
Задача 17
По двум бесконечно длинным параллельным проводам текут в
одинаковом направлении токи силой 15 и 10 A. Расстояние между
проводами 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А
(рис.7), удаленной от первого провода на расстояние r1 = 10 см и от
второго провода на расстояние r2 = 15 см.
48
Дано:
I1 = 15 A
I2 = 10 A
μ =1
d = 10 см
r1 = 10 см = 0,1 м
r2 = 15 см = 0,1 м
В–?
Решение:
Согласно принципу суперпозиции магнит.
ных полей магнитная индукция B в точке А
равна сумме векторов магнитных индукций
полей B1 и B2 , созданных каждым током в
отдельности
B = B1 + B2 ,
(1)
где B1=μμ0I1/(2πr1) и B2=μμ0I2/(2πr2). На рис.7 проводники с то.
ками I1 и I2 перпендикулярны плоскости
чертежа (токи направле.
ны от наблюдателя). Векторы B1 и B2 изображены на рисунке
так, что их направление связано с направлением
соответствующих
токов правилом правого винта. Векторы B1 и B2 в точке А
направлены по касательной к силовым линиям.
Модуль вектора B на основании теоремы косинусов равен
B = (B12 + B22 + 2B1 B2cos )1/2 ,
(2)
где α – угол между векторами B1 и B2 . Из рис.7 видно, что углы α
и β равны как углы с соответственно перпендикулярными сторо.
нами. Из треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косину.
сов находим cosα:
cosα =
r12 + r22 − d2
.
2r1r2
→
B
→
B2
→
B1
α
β
r2
r1
d
I1
I2
Рис. 7
49
Вычислим отдельно
102 + 152 − 102
≈ 0,75.
2 ⋅ 10 ⋅15
Подставляя выражения для B1 и B2 в формулу (2) и вынося
μμ0/(2π) за знак корня, получаем
cos α = cos β =
В=
μμ 0 I12 I12 2I1 I2
cosα .
⋅ 2+ 2+
2π
r1r2
r1
r1
Произведем вычисления
В=
152
102
1⋅ 4π ⋅10−7
2 ⋅10 ⋅15 ⋅ 0,75
⋅
+
+
= 4,1⋅10−5 Тл.
2π
(10−1 )2 (1,5 ⋅10−1 )2 10−1 ⋅1,5 ⋅10−1
Задача 18
По проводнику, согнутому в виде прямоугольника со сторонами
8 см и 12 см, течет ток силой 5 А. Определить магнитную индук.
цию в точке пересечения диагоналей прямоугольника.
Дано:
–2
a = 8 см = 8⋅ 10 м
–1
b = 12 см = 1,2 ⋅ 10 м
I = 5 A;
B=?
Решение:
Согласно принципу суперпозиции
магнитных полей
B = B1 + B2 + B3 + B4 ,
(1)
где B1, B2, B3, B4 – магнитные индукции
полей, создаваемых токами, протекаю.
щими по каждой стороне прямоугольни.
ка (рис.8 ).
Рис. 8
50
В точке 0 пересечения диагоналей все векторы индукции Bi
направлены перпендикулярно плоскости прямоугольника. Кроме
того, из соображений симметрии следует, что B1 = B3 и B2 = B4 .
Поэтому векторное равенство (1) заменим скалярным
B = 2B1 + 2B2,
(2)
где B1 и B2 – индукции магнитных полей, создаваемых соответ.
ственно токами, текущими по проводникам со сторонами длиной b
и а.
Используя формулу для магнитной индукции поля, создавае.
мого отрезком прямого проводника с током,
μμ I
B = 0 cosα
2π r0
получим:
B1 =
μμ 0 I
μμ
I
cosα1 , B2 = 0
cosα2 .
2π a / 2
2π b / 2
(3)
Из рис. 8 следует, что
cos α1 =
b
2
2
a +b
и cosα2 =
a
2
a + b2
.
(4)
Подставив формулы (3) и (4) в равенство (2), после алгебраиче.
ских преобразований получим:
B=
⎛ b a ⎞ 2μμ0 I a2 + b2
.
⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟ =
πab
π a2 + b2 ⎝ a b ⎠
2μμ0 I
Проверим, дает ли расчетная формула единицу магнитной ин.
дукции. Для этого в правую часть формулы вместо символов вели.
чин подставим их единицы измерений:
µ 0 [ a2 ][I ] 1 Гн/м ⋅1 м ⋅1 А 1 Гн ⋅1 А 1 Вб 1 Тл ⋅ 1 м2
=
=
=
=
= 1 Тл.
1 м ⋅1 м
[a][b]
1 м2
1 м2
1 м2
B=
(
2 ⋅1⋅ 4 ⋅ 3,14 ⋅10−7 ⋅ 5 8 ⋅10−2
2
2
) + (1,2 ⋅10−1 )
3,14 ⋅ 8 ⋅10−2 ⋅1, 2 ⋅10−1
=
= 6 ⋅ 10−5 Тл = 60 мкТл.
51
Задача 19
Виток радиусом 3 см, по которому течёт ток силой 5 А, свобод.
но установился в однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл.
Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте
о
витка на угол 90 вокруг оси, совпадающей с диаметром витка.
Считать, что при повороте витка сила тока в нем поддерживается
постоянной.
Дано:
Решение:
–2
R = 3 см = 3⋅ 10 м
I = 5 A = const
–2
B = 20 мТл = 2⋅ 10 Тл
π
α=
2
A=?
На виток с током, помещённый в
магнитное поле, действует вращающий
момент
M = pm Bsinα,
где
pm = IS = IπR 2 .
– магнитный момент витка; α – угол между векторами pm и B .
В начальном положении согласно условию задачи виток сво.
бодно установился в магнитном поле, следовательно, pm и B сов.
падают по направлению, т. е. α = 0 и M = 0. Чтобы повернуть ви.
ток на некоторый угол α, внешние силы должны совершить работу
против момента сил Ампера, так как он стремится возвратить ви.
ток в исходное положение. Так как момент сил переменный и за.
висит от угла поворота α, то
dA = Mdα
или
dA = pm Bsinα dα = IπR 2 Bsinα dα.
Взяв интеграл от этого выражения, найдём работу, совершае.
мую при повороте витка на конечный угол:
α2
A = IπR 2 B ∫ sinαdα = Iπ ⋅ R 2 B(cosα1 − cosα2 ).
(1)
α1
Так как α1 = 0 и α2 = π/2, то
А = IπR2 B.
52
(2)
Проверим, даёт ли расчётная формула единицу работы. Для
этого в правую часть формулы вместо символов величин подста.
вим их единицы измерений
[ I ]⎡⎢ R 2 ⎤⎥ [ B ] = 1 А ⋅1 м2 ⋅1 Тл = 1 А ⋅1 м2
⎣
⎦
= 1 Н ⋅1 м
1Н
=
1 м/с ⋅1 Кл
1 А ⋅1 с
= 1 Н ⋅1 м = 1 Дж.
1 Кл
Произведём вычисления
A = 5 ⋅ 3,14 ⋅ (3 ⋅ 10−2 )2 ⋅ 2 ⋅10−2 = 2,83 ⋅10−4 Дж.
Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил
по перемещению контура с током в магнитном поле равна
A = I (Ф1 − Ф2 ).
где Ф1 – магнитный поток, пронизывающий контур до перемеще.
ния, Ф2– то же после перемещения.
С учётом того, что в однородном магнитном поле
Ф = BScosα
получим
Ф1 = BScos0 = BS;
Ф2 = BScos900 = 0.
Следовательно,
A = IBS = IBπR2 ,
что совпадает с (2).
Задача 20
Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 200 В,
попал в однородное магнитное поле с индукцией 5 мТл. Вектор
о
скорости направлен под углом 60 к линиям индукции (рис. 9).
Определить радиус и шаг винтовой линии, по которой будет дви.
гаться электрон в магнитном поле.
53
Ζ
→
ϑ
→
ϑ2
0
→
B
2R
α
→
ϑ1
X
→
B
h
Рис. 9
Дано:
Решение:
U = 200 B
–3
B = 5мТл = 5⋅ 10 Тл
о
α = 60
–31
m = 9,1 ⋅ 10
кг
–19
q = −e = −1,6 ⋅ 10
Кл
R=?h=?
На электрон, движущийся в магнит.
ном поле, действует сила Лоренца
F = −e ⎡⎢ v B⎤⎥
⎣ ⎦
F = evB sin α.
или
(1)
2
Кинетическую энергию W=mv /2 электрон приобретает за счет
работы А сил электрического поля (A=eU), поэтому имеем
mv2 / 2 = eU
Отсюда
2eU
.
(2)
m
Разложим вектор скорости v на две составляющие: v1 и v2 .
Вектор v1 направлен по линиям индукции; v2 – перпендикулярно
им. Тогда
(3)
F = −e ⎡⎣⎢( v1 + v2 ) B ⎤⎦⎥ = −e ⎡⎣⎢ v2 B ⎤⎦⎥ или F = ev2 B
так как ⎡⎢ v1 В ⎤⎥ = 0 .
⎣
⎦
Составляющая скорости v1 не изменяется ни по модулю, ни по
направлению. Составляющая скорости v2 изменяется по направ.
лению, так как сила F , расположенная в плоскости, перпендику.
лярной линиям индукции, сообщает электрону нормальное уско.
рение an = v22 / R. . Следовательно, электрон участвует в двух дви.
v=
54
жениях: равномерном вдоль оси ОХ со скоростью v1 = v⋅cosα и рав.
номерном по окружности в плоскости ZOY со скоростью v2=v⋅sinα,
то есть будет двигаться по винтовой
линии.
Так как сила Лоренца F сообщает электрону нормальное уско.
рение аn, то по второму закону Ньютона имеем
F = man или ev2 B =
mv22
.
R
Отсюда радиус винтовой линии
mv2 mv sin α
R=
=
.
eB
eB
Учитывая формулу (2), получаем
R=
(4)
msinα 2eU sinα 2mU
=
.
eB
m
m
e
Шаг винтовой линии (смещение вдоль оси ОХ за время Т одно.
го оборота)
h = v1T = vcosαT,
где T = 2πR/v2 – период вращения электрона.
Учитывая формулу (4), получаем
2πm
.
eB
Следовательно, шаг винтовой линии равен
vcosα2πm
h=
.
(5)
eB
Подставив в выражение (5) формулу для скорости (2), получим:
T=
h=
2πcosa 2mU
.
B
e
Произведем вычисления:
R=
h=
0,5
2 ⋅ 9,1⋅ 10−31 ⋅ 200
5 ⋅10−3
1, 6 ⋅10−19
= 4,77 ⋅10−3 м;
2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,865 2 ⋅ 9,1⋅10−31 ⋅ 200
5 ⋅10−3
1,6 ⋅ 10−19
= 5,2 ⋅10−2 м.
55
Задача 21
В центре плоской круговой рамки, состоящей из 50 витков ра.
диусом 20 см, находится маленькая рамка, состоящая из 100 вит.
2
ков площадью 1 см . Маленькая рамка вращается вокруг одного
из диаметров большой рамки с постоянной угловой скоростью 300
рад/с. Найти максимальное значение ЭДС индукции, если в об.
мотке рамки течет ток силой 10 А.
Дано:
N1 = 50
N2 = 100
R = 20 см = 0,2 м
2
–4 2
S =1 см = 10 м
ω = 300 рад/с
I = 10 А
εimax = ?
Решение:
При вращении маленькой рамки непре.
рывно изменяется угол α между вектором B и
нормалью к плоскости рамки и, следователь.
но, изменяется магнитный поток Ф, пронизы.
вающий маленькую рамку. В рамке возникает
ЭДС индукции, мгновенное значение которой
по закону Фарадея равно
dΨ
dФ
= −N2
,
(1)
dt
dt
где Ψ = N2Ф – потокосцепление.
Так как размеры маленькой рамки малы по сравнению с разме.
рами большой рамки, то поле в пределах маленькой рамки можно
считать однородным. Магнитную индукцию В этого поля можно
выразить через индукцию поля в центре рамки
εi = −
I
.
(2)
2R
Для однородного поля магнитный поток, пронизывающий ма.
ленькую рамку, равен Ф = ВScosα. С учетом того, что при враще.
нии рамки с постоянной угловой скоростью мгновенное значение
угла α = ωt, получим:
B = N1μμ0
Ф = ВS cosα = BS cosωt.
Подставив в формулу (1) выражение для Ф и продифференци.
ровав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции
εi = N2BSωsinωt.
Максимальное значение ЭДС индукции равно
εimax = N2BSω.
56
Учитывая формулу (2), получим:
εi max = N1 N2μμ0
I
Sω.
2R
Произведя вычисления, получим:
10
εi max = 50 ⋅100 ⋅1.4 ⋅ 3,14 ⋅10−7
10−4 ⋅ 300 = 4,7 ⋅ 10−3 B.
2 ⋅ 0,2
Задача 22
Контур в виде квадрата со стороной 10 см находится в однород.
ном магнитном поле с индукцией 0,5 мТл, причем его плоскость
о
составляет угол 60 c силовыми линиями поля. Какой заряд про.
течет по контуру при выключении магнитного поля? Сопротивле.
ние контура 1 мОм.
Дано:
–1
а = 10 см = 10 м
–4
В = 0,5 мТл = 5⋅ 10 Тл
о
β = 60
–3
R = 1 мОм = 1⋅ 10 Ом
q=?
Решение:
При выключении магнитного поля
магнитный поток Ф, пронизывающий
контур, меняется. В контуре возника.
ет ЭДС индукции, мгновенное значе.
ние которой по закону Фарадея равно
dФ
.
dt
Мгновенное значение силы индукционного тока определяется
по закону Ома
ε
1 dФ
I = i =−
.
R
R dt
S
За время dt по контуру протечет
заряд
1
dq = Idt = − dФ
β
→
R
B
α
Проинтегрировав это выражение,
найдем полный заряд:
→
εi = −
1
q =−
R
Ф2
∫
Ф1
n
1
dФ = (Ф1 − Ф2 ).
R
Рис. 10
Для однородного магнитного поля начальный магнитный поток
равен
Ф1 = BS cosα,
57
где α – угол между вектором B и нормалью к плоскости контура
2
(рис.10 ); S = а – площадь контура.
о
Из рис.10 видно, что α = 90 – β. Следовательно, cosα = sinβ. Ко.
нечный магнитный поток Ф2 = 0.
Таким образом,
BSsinβ Ba2sinβ
=
.
R
R
Произведя вычисления, получим:
q=
q=
5 ⋅10−4 ⋅ 0,12 3
−3
2 ⋅1⋅10
= 4,3 ⋅10−3 Кл.
Проверим, дает ли расчетная формула единицу заряда. Для
этого в правую часть формулы вместо символов величин подста.
вим их единицы измерений:
[q] =
[B][a]2 Тл ⋅ м2
=
.
[R ]
Ом
Но из закона Ампера
Тл =
H
,
А⋅м
а из закона Ома
В
А
[R ] = .
Таким образом,
Тл ⋅ м 2
H ⋅ м2
Дж
=
=
.
В
Ом
В
А⋅м⋅
А
Из определения потенциала
Дж
= Кл.
В
2.3. Задание на контрольную работу № 1
101. На горизонтальном участке пути длиной 3 км скорость ав.
томобиля увеличилась от 36 км/ч до 72 км/ч. Масса автомобиля 3
58
т, коэффициент трения 0,01. Напишите уравнение, описывающее
закон изменения пройденного расстояния от времени. Чему равна
работа, совершенная двигателем автомобиля?
102. Автомобиль массой 2 т движется в гору, уклон которой со.
ставляет 2 м на каждые 100 м. Определить: 1) работу, совершен.
ную двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент тре.
ния равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если извест.
но, что этот путь был преодолён за 5 минут.
103. Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно согласно урав.
2
3
2
3
нению Х = А + Вt + Ct + Dt , где С = 5 м/с ; D = 1 м/с . Найти ве.
личину силы, действующей на тело в конце первой секунды дви.
жения.
104. Масса автомобиля 2 т. Во время движения на автомобиль
действует сила трения, равная 0,1 его веса. Определить силу тяги,
развиваемую мотором автомобиля, если он движется в гору
с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.
105. Масса поезда равна 3000 т. Коэффициент трения равен
0,02. Какова должна быть сила тяги локомотива, чтобы поезд
набрал скорость 60 км/ч через 2 минуты после начала движения?
106. Два различных груза подвешены на невесомой нити, пере.
кинутой через блок радиусом 0,4 м, момент инерции которого ра.
2
вен 0,2 кг ⋅ м . Блок вращается с постоянным угловым ускорением
2
2,5 рад/с , причем момент сил трения равен 4 Н·м. Найти разность
натяжений нити с обеих сторон блока.
107. Стержень массой 6 кг и длиной 40 см вращается вокруг
оси, проходящей через его середину, перпендикулярно длине
стержня. Угол поворота стержня изменяется во времени по закону
2
3
ϕ = 6 + 4t – t +3t . Определить вращающий момент, действующий
на стержень через 2 с после начала вращения.
108. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении
уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин.
Момент инерции колеса равен 2 кг ⋅ м2 . Найти: 1) угловое ускоре.
ние колеса; 2) тормозящий момент; 3) работу сил торможения;
4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.
109. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, со.
общили одинаковую угловую скорость 63 рад/с и предоставили их
самим себе. Под действием сил трения один маховик остановился
через одну минуту, а второй сделал до полной остановки 360 обо.
59
ротов. У какого маховика тормозящий момент больше и во сколь.
ко раз?
110. На барабан диаметром 0,8 м намотан трос с закрепленным
на конце грузом массой 3 кг. Вращаясь равноускоренно под дей.
ствием силы натяжения троса, барабан за 4 секунды приобрел уг.
ловую скорость 16 рад/с. Определить момент инерции барабана.
111. Стержень длиной 1,2 м и массой 1 кг закреплен на верти.
кальной оси, проходящей через его центр перпендикулярно длине
стрежня. В конец стержня попадает пуля массой 8 г, летящая го.
ризонтально со скоростью 100 м/с, и застревает в стержне. С ка.
кой угловой скоростью начнет вращаться стержень?
112. На краю горизонтальной платформы стоит человек массой
80 кг. Платформа представляет собой круглый однородный диск
массой 160 кг, вращающийся вокруг вертикальной оси, проходя.
щей через её центр, с частотой 6 об/мин. Сколько оборотов в мину.
ту будет делать платформа, если человек перейдет от края плат.
формы к её центру? Момент инерции человека рассчитывать как
для материальной точки.
113. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках
стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с челове.
ком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой угловой ско.
ростью начнет вращаться скамья с человеком, если повернуть
стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Сум.
марный момент инерции человека и скамьи 5 кг ⋅ м2 . Длина
стержня 1,8 м, его масса 6 кг. Считать, что центр тяжести стержня
с человеком находится на оси вращения скамьи.
114. Цилиндрический вал вращается вокруг оси, проходящей
через центры оснований, с частотой 6 об/с. Диаметр вала 0,6 м, мас.
са 200 кг. Определить, какое количество теплоты выделилось при
трении, если из.за этого частота вращения уменьшилась в 2 раза.
115. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна
1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик
начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остано.
вился. Определить момент сил торможения.
116. Вагон массой 3 т, движущийся по горизонтальному пути
со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с непо.
движным вагоном массой 2 т. С какой скоростью движутся вагоны
после сцепки?
117. Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью
500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т, движущуюся
60
со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду, и застревает в песке.
Определить скорость, которую получит платформа.
118. Движущийся шар массой 5 кг ударяется о неподвижный
шар массой 0,5 кг. Кинетическая энергия обоих шаров непосред.
ственно после удара равна 6 Дж. Определить кинетическую энер.
гию первого шара до удара. Удар считать центральным, неупругим.
119. В деревянный шар массой 5 кг, подвешенный на нити, по.
падает горизонтально летящая пуля массой 5 г и застревает в нём.
Найти скорость пули, если шар с застрявшей в нем пулей поднял.
ся на высоту 10 см.
120. Шар массой 1,8 кг упруго сталкивается с покоящимся ша.
ром большей массы. В результате прямого центрального упругого
удара шар потерял 36 % своей кинетической энергии. Определить
массу покоящегося шара.
121. Точка совершает гармонические колебания с периодом 2 с.
Амплитуда колебаний 10 см. Найти смещение, скорость и ускоре.
ние точки спустя 0,2 с после ее прохождения через положение
равновесия. Начало колебаний связано с положением равновесия.
122. Пружинный маятник совершает гармонические колеба.
ния с амплитудой смещения 0,04 м. При смещении 0,03 м сила
упругости равна 9 ⋅ 10−5 Н. Определить потенциальную и кинети.
ческую энергии, соответствующие данному смещению, и полную
энергию маятника.
123.Материальная точка массой 0,1 г совершает гармонические
колебания с амплитудой 2 см и периодом 2 с. Начальная фаза ко.
лебаний равна нулю. Написать уравнение этих колебаний и опре.
делить максимальное значение скорости, а также максимальную
силу, действующую на точку.
124. Полная энергия тела, совершающего гармонические коле.
бания, равна 9 ⋅ 10−7 Дж. Амплитуда колебаний 2 ⋅10−2 м. Опре.
делить смещение, при котором на тело действует сила 2,25 ⋅10−5 Н,
и максимальную силу.
125. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода
с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний 3 см
и 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) коле.
бания совершаются в одном направлении; 2) колебания взаимно пер.
пендикулярны.
126. Материальная точка участвует одновременно в двух вза.
имно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения
61
которых имеют вид х = sin(t/2), y = соst. Найти уравнение траек.
тории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и
указать направление движения точки.
127. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди.
кулярных колебаниях х = sinπt, y = 4sin(πt + π). Найти траекто.
рию движения точки, построить ее с соблюдением масштаба.
128. Уравнение плоской звуковой волны, распространяющейся
вдоль оси х, имеет вид у = 60cos(1800t – 5,3x), где смещение у –
в микрометрах. Определить длину волны, скорость распростране.
ния волны и максимальную скорость колебаний частиц среды.
129. Звуковые колебания, имеющие частоту 500 Гц и амплиту.
ду 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны 70 см.
Найти скорость распространения волны и максимальную скорость
колебаний частиц воздуха.
130. В воздухе распространяется плоская акустическая волна
со скоростью 340 м/с. Смещение точек волны описывается урав.
нением y(x,t) = 0,005sin(1256t − 3,8x) см. Определить длину вол.
ны, амплитуду колебаний, скорость колебаний молекул воздуха.
131. На сколько изменится давление воздуха в шине автомоби.
ля при повышении температуры до 30 °С, если при температуре
10 °С давление равно допустимому значению 238 кПа?
132. Сосуд объемом 10 л содержит гелий под давлением 1 МПа
и при температуре 300 К.После того, как из баллона выпущено 10 г
гелия, температура в баллоне понизилась до 290 К.Определить
давление гелия, оставшегося в баллоне.
133. В сосуде ёмкостью 5 л при нормальных условиях находит.
ся азот. Определить: 1) количество вещества; 2) массу азота;
3) концентрацию его молекул в сосуде.
134. Баллон с водородом двигался со скоростью 50 м/с и вне.
запно остановился. На сколько градусов нагреется при этом газ?
135. Определить внутреннюю энергию 1 кг воздуха в шине ав.
томобиля при допустимом давлении 5,5 ⋅105 Па и плотности воз.
3
духа в шине 4 кг/м . Воздух считать двухатомным газом.
136. Средняя энергия поступательного движения молекул азо.
3
та, находящегося в баллоне объёмом 2 ⋅10−2 м равна 5,0 ⋅103 Дж,
а средняя квадратичная скорость его молекул 2,0 ⋅103 м/с. Опре.
делить: 1) количество молекул в баллоне; 2) давление, под кото.
рым находится азот.
62
137. В ходе цикла Карно рабочее вещество получает от теплоот.
датчика количество теплоты 300 кДж. Температуры теплоотдат.
чика и теплоприемника равны соответственно 480 К и 280 К.
Определить термический КПД цикла и работу, совершаемую ра.
бочим веществом за цикл.
138. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно,
термический КПД которого 40 %. Температура теплоприемника
0 °С. Найти температуру теплоотдатчика и работу изотермическо.
го сжатия, если работа изотермического расширения 8 Дж.
139. Идеальной тепловой машиной за счет каждого килоджоу.
ля теплоты, полученной от теплоотдатчика, за цикл совершается
работа 300 Дж. Определить термический КПД машины и темпера.
туру теплоотдатчика, если температура теплоприемника 280 К.
140. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 70% количе.
ства теплоты, полученного от теплоотдатчика, отдаёт теплоприём.
нику. Количество теплоты, полученное от теплоотдатчика, равно
5 кДж. Определить: 1) термический КПД цикла; 2) работу цикла.
141. Три одинаковых точечных заряда 50 нКл находятся в вер.
шинах равностороннего треугольника со стороной 6 см. Найти си.
лу, действующую на один из зарядов со стороны двух остальных.
142. На продолжении оси тонкого прямого стержня, равномер.
но заряженного с линейной плотностью заряда 400 нКл/см, на
расстоянии 30 см от конца стержня, находится точечный заряд
20 мкКл. Второй конец стержня уходит в бесконечность. Опреде.
лить силу взаимодействия стержня и точечного заряда.
143. Четыре одинаковых точечных заряда 20 нКл закреплены
в вершинах квадрата со стороной 10 см. Найти силу, действую.
щую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.
144. На продолжении оси тонкого прямого равномерно заря.
женного стержня длиной 20 см на расстоянии 10 см от его бли.
жайшего конца находится точечный заряд 10 нКл. Определить
линейную плотность заряда на стержне, если сила взаимодействия
стержня и точечного заряда 6 мкН.
145. Поверхностная плотность заряда бесконечно протяженной
2
вертикальной плоскости 200 мкКл/м . К плоскости на нити под.
вешен заряженный шарик массой 15 г. Определить заряд шарика,
если нить образует с плоскостью угол 30°.
146. Две длинные прямые параллельные нити находятся на
расстоянии 10 cм друг от друга. На нитях равномерно распределе.
ны заряды с линейными плотностями 0,4 и –0,3 нКл/см. Опреде.
63
лить напряженность электрического поля в точке, удаленной от
первой нити на расстояние 6 см и от второй – на расстояние 8 см.
147. В вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см
находятся одинаковые точечные заряды величиной 5 нКл. Найти
напряженность и потенциал электростатического поля в центре
шестиугольника.
148. Определить напряженность и потенциал электростатическо.
го поля, создаваемого зарядом – 3 нКл, равномерно распределенным
по тонкому прямому стержню длиной 10 см, в точке, лежащей на
продолжении оси стержня на расстоянии 10 см от его конца.
149. На расстоянии 2 см от бесконечно длинной равномерно за.
ряженной нити находится точечный заряд 0,4 нКл. Под действием
сил поля заряд переместился до расстояния 4 см; при этом совер.
шается работа 0,5 мкДж. Найти линейную плотность заряда нити.
150. Протон влетел в однородное электрическое поле с напря.
женностью 300 В/см в направлении силовых линий со скоростью
100 км/с. Какой путь должен пройти протон, чтобы его скорость
удвоилась?
151. При каком внешнем сопротивлении потребляемая мощ.
ность будет максимальна, если два одинаковых источника с ЭДС 6
В и внутренним сопротивлением 1 Ом каждый соединены последо.
вательно? Чему равна эта мощность?
152. Решить предыдущую задачу для случая, когда источники
тока соединены параллельно.
153. ЭДС аккумулятора автомобиля 12 В. При силе тока 3 А его
КПД 0,8. Определить внутреннее сопротивление аккумулятора.
154. Два одинаковых источника тока соединены в одном случае
последовательно, в другом – параллельно и замкнуты на внешнее
сопротивление 1 Ом. При каком внутреннем сопротивлении ис.
точника тока, сила тока во внешней цепи будет в обоих случаях
одинакова?
155. В проводнике за время 10 с при равномерном возрастании
силы тока от 0 до 2 А выделилось количество теплоты 6 кДж.
Найти сопротивление проводника.
156. При замыкании аккумуляторной батареи на резистор со.
противлением 9 Ом в цепи идет ток силой 1 А. Сила тока коротко.
го замыкания равна 10 А. Какую наибольшую полезную мощность
может дать батарея?
157. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от нуля
до некоторого максимального значения за 20 с. За это время в про.
64
воднике выделилось количество теплоты 4 кДж. Определить ско.
рость нарастания тока в проводнике, если его сопротивление 6 Ом.
2
158. По алюминиевому проводу сечением 0,2 мм течет ток си.
лой 0,3 А. Определить силу, действующую на отдельные свобод.
ные электроны со стороны электрического поля.
2
159. В медном проводнике площадью поперечного сечения 4 мм
и длиной 6 м ежеминутно выделяется количество теплоты 18 Дж.
Вычислить напряженность электрического поля, плотность и силу
электрического тока в проводнике.
160. Сила тока в проводнике сопротивлением 8 Ом за время
10 секунд равномерно возрастает от нуля до 12 А. Определить ко.
личество теплоты, выделившейся за это время в проводнике.
161. Бесконечно длинный провод образует круговой виток, каса.
тельный к проводу, по проводу идет ток силой 3 А. Найти радиус
витка, если напряженность магнитного поля в центре витка 20 А/м.
162. По двум одинаковым круговым виткам радиусом 6 см,
плоскости которых взаимно перпендикулярны, а центры совпа.
дают, текут одинаковые токи силой 3 А. Найти напряженность
и индукцию магнитного поля в центре витков.
163. По двум бесконечно длинным параллельным проводам,
находящимся на расстоянии 10 см друг от друга в воздухе, текут
в одном направлении токи силой 20 и 30 А. Определить индукцию
магнитного поля в точке, лежащей на прямой, соединяющей оба
провода, и находящейся на расстоянии 2 см от первого провода.
164. Решить предыдущую задачу при условии, что токи в про.
водниках текут в противоположных направлениях.
165. По двум длинным параллельным проводам, находящимся
на расстоянии 4 см в воздухе, текут в одном направлении одина.
ковые токи силой 5 А. Определить индукцию и напряженность
магнитного поля в точке, удаленной от каждого провода на рас.
стояние 4 см.
166. Определить индукцию и напряженность магнитного поля
в центре проволочной квадратной рамки со стороной 8 см, если по
рамке проходит ток силой 3 А.
167. По двум тонким длинным параллельным проводам, рас.
стояние между которыми 10 см, текут в одном направлении токи
силой 3 и 2 А. Определить индукцию и напряженность магнитного
поля в точке, удаленной на расстояние 6 см от первого провода и
на расстояние 8 см от второго провода, если провода находятся
в воздухе.
65
168. Бесконечно длинный прямой проводник согнут под пря.
мым углом. По проводнику течет ток силой 2 А. Найти напряжен.
ность и магнитную индукцию в точке, расположенной на биссек.
трисе угла на расстоянии 5 см от сторон проводника.
169. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольни.
ка с длиной стороны 10 см, течет ток силой 5 А. Найти напряжен.
ность и магнитную индукцию в центре шестиугольника.
170. Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым
углом. Расстояние между проводами равно 10 см. По проводам
текут одинаковые токи силой 10 А. Найти индукцию и напряжен.
ность магнитного поля в точке, находящейся на середине расстоя.
ния между проводами.
171. Сила взаимодействия двух параллельных проводов, по кото.
рым текут одинаковые токи, равна 1 мН. Найти силу тока в прово.
дах, если расстояние между ними 1 см, а длина каждого провода 1 м.
172. В однородном магнитном поле с индукцией 20 мТл нахо.
дится прямоугольная рамка длиной 6 см и шириной 2 см, содер.
жащая 100 витков проволоки. Сила тока в рамке 1 А, а плоскость
рамки параллельна линиям магнитной индукции. Определить
магнитный момент рамки и механический вращающий момент,
действующий на рамку.
173. Каким образом надо расположить прямой алюминиевый
проводник в однородном горизонтальном магнитном поле с ин.
дукцией 50 мТл и какой силы ток надо пропустить по нему, чтобы
он находился в равновесии? Плотность алюминия 2,7 ⋅103кг/м3 ,
а радиус проводника 1 мм.
174. Электрон, двигаясь со скоростью 4 Мм/с, влетает под уг.
о
лом 60 к силовым линиям однородного магнитного поля с индук.
цией 1 мТл. Определить радиус и шаг винтовой линии, по которой
будет двигаться электрон в магнитном поле.
175. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией 0,02 Тл
возбуждено электрическое поле с напряженностью 20 кВ/м. Пер.
пендикулярно обоим полям прямолинейно движется заряженная
частица. Определить скорость частицы.
176. Индукция магнитного поля между полюсами двухполюс.
2
ного генератора 0,8 Тл. Ротор имеет 100 витков площадью 400 см .
Определить частоту вращения ротора, если максимальное значе.
ние ЭДС индукции 200 B.
177. В однородном магнитном поле с индукцией 10 мТл равно.
мерно с частотой 5 оборотов в секунду вращается стержень длиной
66
40 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям
индукции магнитного поля, а ось вращения проходит через один
из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня раз.
ность потенциалов.
178. Какой силы ток течет через гальванометр, присоединен.
ный к железнодорожным рельсам, расстояние между которыми
152 см, когда к нему со скоростью 72 км/ч приближается поезд?
Вертикальную составляющую индукции магнитного поля Земли
принять равной 50 мкТл; сопротивление гальванометра 50 Ом.
179. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому
галь.ванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи про.
шел заряд 50 мкКл. Определить изменение магнитного потока че.
рез кольцо, если сопротивление цепи гальванометра 10 Ом.
180. Тонкий провод сопротивлением 0,2 Ом согнут в виде квад.
рата со стороной 10 см и концы его замкнуты. Квадрат помещен
в однородное магнитное поле с индукцией 4 мТл так, что его плос.
кость перпендикулярна силовым линиям поля. Определить заряд,
который протечет по проводнику, если квадрат, потянув за проти.
воположные вершины, вытянуть в линию.
67
3. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА.
КВАНТОВАЯ, АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА.
3.1. Методические указания
к выполнению контрольной работы № 2
В контрольную работу № 2 включены задачи на следующие
темы:
1. По разделу «Волновая оптика» – интерференция, дифрак.
ция и поляризация света.
2. По разделу «Квантовая оптика» – тепловое излучение; фото.
эффект.
3. По разделу «Физика атома и атомного ядра» – строение ато.
ма, спектры атомов, элементы квантовой механики, физика атом.
ного ядра, радиоактивность.
При решении задач на волновые свойства света (интерферен.
ция, дифракция, поляризация) помнить, что за световой вектор
принимается вектор напряжённости электрического поля; все
энергетические характеристики света аналогичны таковым для
электромагнитных волн.
Для решения задач по теме «Тепловое излучение» необходимо
изучить его основные характеристики: энергетическая свети.
мость, спектральная поглощательная и излучательная способ.
ность тел. Особенно важно усвоить законы излучения абсолютно
черного тела как оптимального излучателя для тепловых источ.
ников.
Приступая к решению задач, посвященных внешнему фотоэф.
фекту и его закономерностям необходимо предварительно ознако.
миться с данным явлением, рассмотреть вольт.амперную и свето.
вую характеристики, изучить уравнение Эйнштейна для фотоэф.
фекта и его эмпирические законы.
Квантовая природа спектров изучения атомов рассматривается
в данной работе на примере атома водорода. Следует уяснить, что
излучение атомом света происходит при переходе электрона с выс.
шего энергетического уровня на более низкий. При этом излучает.
ся один квант (фотон), частота которого определяется разностью
энергий соответствующих уровней. Если в задаче не указаны но.
мера каких.либо энергетических уровней, то их можно опреде.
68
лить по принадлежности излучения к той или иной части спектра.
Задачи на тему «Элементы квантовой механики» требуют пони.
мания корпускулярно.волнового дуализма микрочастиц (знание
волн де Бройля и их свойств), а также знание соотношения не.
определенностей как границы применимости классических пред.
ставлений к микрочастицам квантовой природы.
Таблица 2
Вариант
Номера задач
0
201
211
221
231
241
251
261
271
1
202
212
222
232
242
252
262
272
2
203
213
223
233
243
253
263
273
3
204
214
224
234
244
254
264
274
4
205
215
225
235
245
255
265
275
5
206
216
226
236
246
256
266
276
6
207
217
227
237
247
257
267
277
7
208
218
228
238
248
258
268
278
8
209
219
229
239
249
259
269
279
9
210
220
230
240
250
260
270
280
3.2. Основные законы и формулы.
Примеры решения задач
3.2.1. Интерференция света
1) Скорость света в среде
v = с / n,
где с – скорость света в вакууме; n – показатель преломления среды.
2) Оптическая длина пути световой волны
L = nl,
где l – геометрическая длина пути световой волны в среде с пока.
зателем преломления n.
3) Оптическая разность хода двух световых волн
Δ = L 1 – L2 .
69
4) Связь разности фаз колебаний Δϕ с оптической разностью
хода
Δϕ = 2π(Δ / λ),
где λ – длина световой волны в вакууме.
5) Условие максимального усиления света при интерференции
λ
Δ = ±2к = ±кλ,
2
где к = 0, 1, 2…
Условие максимального ослабления света при интерференции
λ
Δ = ±(2к + 1) .
2
6) Оптическая разность хода световых волн, возникающая при
отражении монохроматического света от тонкой пленки:
λ
λ
Δ = 2d n2 − sin2i1 − = 2dn cos i2 − .
2
2
где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i1 –
угол падения; i2 – угол преломления света в пленке.
Разность хода – λ/2 возникает при отражении света от оптиче.
ски более плотной среды.
7) Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете
(2к −1) Rλ
,
к = 1, 2, 3…,
2n
где κ – номер кольца; R – радиус кривизны; n – показатель пре.
ломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пла.
стинкой.
Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете
кRλ
rκ =
,
к = 0, 1, 2… .
n
rκ =
3.2.2. Дифракция света
1) Радиус к.й зоны Френеля:
– для сферической волны
rκ =
70
ab
кλ ,
a+b
где a – расстояние между диафрагмой с круглым отверстием и то.
чечным источником света; b – расстояние между диафрагмой и
экраном, на котором ведется наблюдение дифракционной карти.
ны; к – номер зоны Френеля; λ – длина волны.
– для плоской волны
rκ = bкλ
2) Дифракция света на одной щели при нормальном падении
света (дифракция Фраунгофера).
Угол ϕ отклонения лучей, соответствующих минимуму интен.
сивности света, определяется из условия
λ
a sin ϕ = ±2к = ±кλ,
2
к = 0, 1, 2...
где a – ширина щели; к – порядковый номер минимума; λ – длина
волны.
Угол ϕ отклонения лучей, соответствующий максимуму интен.
сивности света, определяется из условия
λ
a sin ϕ = (2к + 1) ,
2
к = 0, 1, 2...,
где ϕ – приближенное значение угла дифракции.
3) Дифракция света на дифракционной решетке при нормаль.
ном падении лучей.
Условие главных максимумов интенсивности
d sin ϕ = ±кλ,
к = 0, 1, 2...,
где d – период (постоянная решетки); к – номер главного дифрак.
ционного максимума в случае монохроматического света или по.
рядок спектра в случае белого света; ϕ – угол отклонения лучей,
соответствующий максимуму интенсивности.
4) Разрешающая способность дифракционной решетки
λ
R=
= кN,
Δλ
где Δλ – наименьшая разность длин волн двух соседних спек.
тральных линий (λ и λ + Δλ), при которой эти линии могут быть
видны раздельно в спектре, полученном посредством данной ре.
шетки; N – число щелей решетки.
5) Формула Вульфа.Брэггов:
2d sin θ = кλ,
71
где θ – угол скольжения (угол между направлением параллельного
пучка рентгеновского излучения, падающего на кристалл, и атом.
ной плоскостью в кристалле); d – расстояние между атомными
плоскостями кристалла.
3.2.3. Поляризация света
1) Закон Брюстера
tg i1 = n21,
где i1 – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика
луч полностью поляризован; n21 = n2/n1 – относительный показа.
тель преломления второй среды относительно первой.
2) Закон Малюса
2
I = In cos α,
где In – интенсивность плоскополяризованного света, падающего
на анализатор; I – интенсивность этого света после анализатора;
α – угол между направлением колебаний светового вектора волны,
падающей на анализатор и плоскостью пропускания анализатора
(плоскостью поляризации).
3) Угол поворота плоскости поляризации монохроматического
света при прохождении через оптически активное вещество:
– в твердых телах
ϕ = αd,
где α – постоянная вращения; d – длина пути, пройденного светом
в оптически активном веществе;
– в растворах
ϕ = [α0 ]ρd,
где α0 – удельное вращение; ρ – массовая концентрация оптиче.
ски активного вещества в растворе.
3.2.4. Тепловое излучение
1. Энергетическая светимость тела Re – это энергия, излучае.
мая единицей поверхности тела за единицу времени в диапазоне
длин волн от 0 до ∞
Re =
72
Ф
.
t
2. Поток Ф, излучаемый (поглощаемый) телом, равен
W
Ф= ,
t
где W – энергия, излучаемая (поглощаемая) телом; t – время.
3. Закон Стефана.Больцмана
4
Re = σT ,
где Re – энергетическая светимость (излучательность) абсолютно
4
черного тела; σ = 5,67 ⋅10−8 Вт/( м2 ⋅ К ) – постоянная Стефана.
Больцмана; Т – термодинамическая температура.
4. Первый закон Вина (закон смещения Вина)
λm = b/T,
где λm – длина волны, на которую приходится максимум излуче.
–3
ния абсолютно черного тела; b = 2,9⋅10 м⋅К – постоянная первого
закона Вина.
5. Второй закон Вина
(rλ,T)max = b ′ ⋅ T5 ,
где (rλ,T)max – максимальная спектральная плотность энергетиче.
5 3
ской светимости абсолютно черного тела; b′ = 1,3 ⋅10−5 Вт / (К м ) –
постоянная второго закона Вина.
3.2.5. Фотоэффект
Энергия фотона
E= hν или E=ħ ω ,
где h – постоянная Планка; ħ = h/2π – приведенная постоянная
Планка; ν – частота фотона; ω=2πν – циклическая частота.
Импульс фотона
p = h/λ.
Формула Эйнштейна для фотоэффекта
2
mvmax
,
2
где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А –
2
mvmax
работа выхода электрона;
– максимальная кинетическая
2
энергия фотоэлектронов.
hν = A +
73
Красная граница фотоэффекта
νo = A/h или λo = hc/A,
где νo и λo – минимальная частота света и соответствующая длина
волны, при которых еще возможен фотоэффект.
3.2.6. Физика атома. Спектры атомов
1. Полная энергия электрона в состоянии, характеризуемом
главным квантовым числом n
E Z2
En = − i 2 ,
n
где Ei = Rhc – энергия ионизации атома водорода; Z – порядковый
номер элемента в таблице Менделеева; Еi = 13,5 эВ.
2. Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом водорода или
водородоподобным ионом
E = hν = En2 − En1
⎛1
1 ⎞⎟
− ⎟⎟⎟,
2
n2 ⎠⎟
⎝⎜ n
= Z2 Ei ⎜⎜⎜
1
2
где n1 и n2 – главные квантовые числа, соответствующие энерге.
тическим состояниям, между которыми совершается переход
электрона.
3. Сериальная формула для определения длины волны спектра
излучения атома водорода (или водородоподобного иона)
⎛1
1
1 ⎟⎞
= RZ 2 ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟,
λ
⎜⎝ n12 n22 ⎟⎠
где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга.
3.2.7. Элементы квантовой механики
1. Длина волны де Бройля
λ=
где p – импульс частицы.
74
h 2π
=
,
p
p
2. Если кинетическая энергия частицы много меньше энергии
покоя (Еk << E0), то для определения импульса частиц можно
пользоваться классическим выражением, т.е.
p = mv = 2mo Ek ,
где кинетическая энергия частицы
mv2
.
2
3. Если кинетическая энергия частицы Ek ≥ E0, то импульс части.
цы следует вычислять по формуле релятивистской механики, т.е.
1
р = (2Е0 + Ek ) Ek ,
с
где Ео – энергия покоя частицы; Ек – кинетическая энергия ча.
стицы, равная
⎛
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
1
Ek = m0 c2 ⎜⎜⎜
−1⎟⎟⎟,
⎟⎟
2
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜ 1 − v
⎟⎟
⎜⎝
⎠
c2
Еk =
где m0 – масса покоя частицы; v – скорость частицы.
4. Соотношения неопределенностей:
а) для координаты и импульса ∆px∆x ≥ ћ/2, где Δpx – неопреде.
ленность проекции импульса на ось x, Δx – неопределенность ко.
ординаты x;
б) для энергии и времени ∆E∆t≥ћ/2, где ΔE – неопределенность
энергии; Δt – время жизни квантовой системы в данном энергети.
ческом состоянии.
3.2.8. Физика атомного ядра. Радиоактивность
1. Обозначение ядра химического элемента:
A
Z X,
где Х – химический символ элемента; А – массовое число (число
нуклонов в ядре)
А = (Z + N);
Z – зарядовое число (число протонов); N – число нейтронов.
75
2. Закон радиоактивного распада
N = Noexp(–λt),
где N – число ядер, нераспавшихся к моменту времени t; N0 – число
ядер в начальный момент времени (t = 0); λ – постоянная распада.
3. Связь периода полураспада с постоянной распада
Т1/2 =
ln 2 0,693
=
.
λ
λ
Число ядер, распавшихся за время t,
(
)
ΔN = N0 − N = N0 1 − e−λt .
4. В случае если интервал времени Δ t, за который определяет.
ся число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада
T1/2 то
,
ΔN ≈ λN Δt.
5. Среднее время жизни τ радиоактивного ядра, т.е. интервал
времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается
в е раз,
1
τ= .
λ
6. Число атомов N, содержащихся в радиоактивном изотопе,
m
N = ⋅ NA ,
µ
где m – масса изотопа; μ – молярная масса; NA – постоянная Аво.
гадро.
7. Активность А радиоактивного изотопа
dN
А =−
= λN = λN0 e−λt = A0 e−λt ,
dt
где dN – число ядер, распавшихся за интервал времени dt; А0 –
активность изотопа в начальный момент времени.
В системе СИ единица активности препарата – беккерель (Бк)
1 Бк = 1 распад/с.
Внесистемная единица активности – кюри (Ки)
10
1 Ки = 3,7 ⋅ 10 Бк.
1 Кюри – это активность препарата изотопа радия.226 массой 1 г.
76
8. Дефект массы ядра
Δ m = Zmp + Nmn – mя,
где mp – масса протона; mn – масса нейтрона; mя – масса ядра.
9. Энергия связи ядра
2
Есв =Δmc ,
где Δm – дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.
Есв = 931,5 ⋅ Δm
МэВ,
где дефект массы Δm выражен в атомных единицах массы (а.е.м.),
931,5 – энергетический эквивалент 1 а.е.м.
10. Удельная энергия связи равна Есв / А [МэВ/нуклон].
Примеры решения задач
Задача 1
Расстояние между двумя когерентными источниками равно
0,9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с дли.
ной волны 640 нм, расположены на расстоянии 3,5 м от экрана.
Определить число светлых полос, которые наблюдаются на 1 см
длины экрана.
Дано:
Решение:
d
S II
S1
O1
S2
O
L
O2
x – d/2
SI
X
В точке О на экране (рис. 11) будет
максимальная освещенность: точка О
I
равноудалена от обоих источников S
II
I
и S , поэтому разность хода волн S О
II
и S О равна нулю.
x – d/2
–8
λ = 640 нм = 64⋅ 10 м
–4
d = 0,9 мм = 9⋅ 10 м
L = 3,5 м
κ
=?
х
Рис. 11
77
В произвольной точке экрана Ок максимум освещенности будет
наблюдаться, если оптическая разность хода когерентных волн
равна целому числу длин волн:
(1)
Δ= S2 – S1 = кλ,
где S2, S1 – оптические пути интерферирующих волн; λ – длина
волны падающего света; к – номер светлой полосы (центральная
светлая полоса принята за нулевую). Оптическая разность хода
волн Δ = xd/L, где x – расстояние от центральной светлой полосы
до к.й светлой полосы.
Учитывая выражение (1), получим:
Δ=
хd
= κλ.
L
Из выражения (2) определяем искомую величину
(2)
κ
– число
x
светлых интерференционных полос на 1 см длины:
κ
d
=
.
x Lλ
Подставим в это выражение числовые значения и получим:
κ
9 ⋅ 10−4
=
= 400 м−1,
x 3,5 ⋅ 64 ⋅ 10−8
откуда
κ
на 1 см равно 4.
x
Задача 2
Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее
наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления
(n = 1,26), меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При ка.
кой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны
0,55 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 30°?
Дано:
Решение:
n = 1,26
–7
λ = 0,55 мкм =5,5·10 м
о
i1 = 30
κ
=?
х
78
Оптическая разность хода лучей,
отраженных от верхней и нижней по.
верхностей пленки (рис. 12), равна
Δ = 2d n2 − sin2i1 ,
(1)
где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i1 –
угол падения лучей.
В выражении (1) учтено, что отражение лучей на верхней и
нижней поверхностях пленки происходит от оптически более
плотной среды и поэтому потери полуволны в обоих случаях ком.
пенсируют друг друга.
1
i1
2
n1
d
n2 >n1
Рис. 12
Условие интерференционного минимума
λ
Δ = (2к + 1) .
2
(2)
Из (1) и (2) находим
dk =
(2k + 1)λ
4 n2 − sin 2i1
.
(3)
Полагая к = 0, 1, 2, 3...., получим ряд возможных значений
толщины пленки. Минимальная толщина пленки будет при к = 0.
Подставим в расчетную формулу (3) числовые значения входя.
–7
о
щих величин: n = 1,26; λ = 0,55 мкм = 5,5 ⋅10 м; i1 = 30 ; к = 0.
Произведем вычисления:
d=
5,5 ⋅ 10−7
2
2
o
4 (1,26) − sin 30
= 1,2 ⋅10−7 м = 0,12 мкм.
Задача 3
На дифракционную решетку длиной 10 мм, имеющую 400 штри.
хов на 1 мм, падает нормально свет от разрядной трубки. Поме.
щенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную кар.
79
тину (рис. 13) на плоский экран Э, удаленный от линзы на рассто.
яние 1м. Определить: 1) ширину спектра первого порядка, если
границы видимого спектра составляют 780 нм (красный край
спектра) и 400 нм (фиолетовый край спектра); 2) число спектраль.
ных линий красного цвета, которые теоретически можно наблю.
дать с помощью данной дифракционной решетки; 3) в спектре ка.
кого порядка эта решетка может разрешить две линии с длиной
волны, равной 500 нм и 500,1 нм?
Дано:
Решение:
Угол ϕ отклонения лучей, со.
ответствующий максимуму фио.
летового цвета при дифракции
света на решетке, определяется из
условия
–2
l0 = 10 мм = 10 м
–1
5 –1
n = 400 мм = 4⋅ 10 м
L=1м
–7
λ кр = 780 нм = 7,8 ⋅ 10 м
–7
λ ф = 400 нм = 4⋅ 10 м
–7
λ 1 = 500 нм = 5⋅ 10 м
–7
λ 2 = 500,1 нм = 5,001 ⋅ 10 м
l1 = ? ккр = ? к = ?
d sinϕ1 =k λ ф (к = 1),
(1)
следовательно,
sin ϕ1 =
λф
.
(2)
d
Аналогично для дифракционного максимума красного цвета
получим:
sin ϕ2 =
λ кр
d
.
(3)
l0
линза
ϕ1
L
ϕ2
Э
l1
l2
Рис. 13
80
Из рис. 13 следует, что расстояние от центра дифракционной
картины до фиолетовой спектральной линии равно
l1 = Ltgϕ1
(4)
соответственно для красной спектральной линии
l2 = Ltgϕ2.
(5)
Ширина спектра первого порядка будет Δl = l2 – l1 или с учетом
формул (4) и (5)
Δl = L (tgϕ2 – tgϕ1).
(6)
В случае малых углов ϕ, что имеет место для спектра первого
порядка
tgϕ ≅ sinϕ.
Поэтому, подставив выражения (2) и (3) в формулу (6), получим:
⎛λ
⎞
⎜ кр λф ⎟⎟
Δl = L⎜⎜
−
⎟⎟.
⎜⎜ d
d ⎟⎟⎠
⎝
(7)
Зная число штрихов n на 1 мм решетки, найдем период решетки:
1
d= .
n
(8)
Подставляя (8) в формулу (7), получим:
Δl = nL(λкр − λф ).
(9)
Произведем вычисления
(
)
Δl = 1⋅ 4 ⋅105 7,8 ⋅10−7 − 4 ⋅10−7 = 1,52 ⋅10−1 м = 15,2 см.
Для определений числа спектральных линий красного цвета
найдем максимальное значение кmах, исходя из того, что максималь.
ный угол отклонения лучей не может превышать 90° (sin 90° = 1).
Из формулы (1) напишем:
k=
d sin ϕ
λкр
следовательно,
kmax ≤
d
.
λ кр
81
С учетом (8) получим:
1
1
кmax ≤
=
= 3,3.
5
nλкр 4 ⋅10 ⋅ 7,8 ⋅10−7
Так как число кmах должно быть обязательно целым, то кmах= 3.
Влево и вправо от центра картины будет наблюдаться одинаковое
число спектральных линий, равное 2кmах. Таким образом, общее
число спектральных линий равно 2кmах = 6.
Так как разрешающая способность дифракционной решетки
R=
λ
= kN,
Δλ
(10)
то минимальная разница длин волн двух спектральных линий,
разрешаемых решеткой,
λ2 − λ1 = Δλ =
λ
.
кN
(11)
Две спектральные линии разрешены, если
λ2 − λ1 ≥
λ
.
кN
(12)
λ1
.
кN
(13)
Полагая λ = λ1, получаем
λ2 − λ1 ≥
Из выражения (13) следует, что спектральные линии разреше.
ны в спектрах с порядком
к≥
λ1
.
(λ2 − λ1 )Ν
(14)
Число щелей решетки определяется выражением
Ν=
l0
,
d
или с учетом формулы (8)
N = l0 n.
(15)
Подставляя (15) в (14), получим:
к≥
82
λ1
.
(λ2 − λ1 )l0 n
(16)
Произведем вычисления
к≥
5 ⋅10−7
(5,001 − 5) ⋅10−7 ⋅10−2 ⋅ 4 ⋅ 105
= 1,25.
Так как к – целое число, то к ≥ 2.
Задача 4
Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света
при прохождении через две призмы Николя, угол между плоско.
o
стями поляризации которых равен 60 . Потери света в каждой
призме составляют 10 % (рис. 14).
A
I1
e
O
e
O
I0
I2
N2
N1
Рис. 14
Дано:
Решение
о
В результате двойного лучепреломления есте.
α = 60
ственный
луч света, попадая на первую призму Ни.
к = 0,1
коля
(поляризатор),
раздваивается на обыкновен.
Ι0
=?
ный «о» и необыкновенный «е» лучи. Оба луча по.
Ι2
ляризованы во взаимно перпендикулярных плоско.
стях.
Обыкновенный луч, подчиняясь закону преломления, прелом.
ляется и, подойдя к слою канадского бальзама в призме (граница
АВ), испытывает полное отражение и поглощается зачерненной
боковой гранью призмы. Необыкновенный луч проходит через
призму. Таким образом, на выходе поляризатора получается пло.
скополяризованный свет, интенсивность которого с учетом потерь
на отражение и поглощение света поляризатором равна
1
Ι1 = Ι0 (1 − к),
2
(1)
83
где I0 – интенсивность естественного света, падающего на поляри.
затор; к – коэффициент, учитывающий потери на отражение и по.
глощение.
Плоскополяризованный луч света, падая на вторую призму
Николя (анализатор), также расщепляется на обыкновенный и
необыкновенный лучи. Обыкновенный луч полностью поглощает.
ся призмой. Необыкновенный луч проходит через призму. После
прохождения анализатора интенсивность света уменьшается как
за счет отражения и поглощения света анализатором, так и из.за
несовпадения плоскости поляризации света с плоскостью пропус.
кания анализатора. В соответствии с законом Малюса и с учетом
потерь на отражение и преломление света интенсивность равна
Ι2 = Ι1 (1 − к)cos2α, (2)
где α – угол между плоскостями поляризации поляризатора и
анализатора. Подставляя выражение (1) в (2), имеем
1
Ι2 = Ι0 (1 − к)2 cos2α.
2
(3)
Относительное уменьшение интенсивности света при прохож.
дении света через 2 призмы Николя равно
Ι0
2
=
.
Ι2 (1 − к)2 cos2 α
(4)
о
Подставив в расчетную формулу (4) значение к = 0,1; α = 60 ,
получим:
I0
Ι2
=
2
(1 − 0,1) cos2 60o
2
= 9.88.
Задача 5
Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спек.
тре излучения черного тела, 0,58 мкм. Определить энергетиче.
скую светимость поверхности тела.
84
Дано:
Решение:
–7
λm=0,58 мкм = 5,8 ⋅ 10
м
Re – ?
Энергетическая светимость Re аб.
солютно черного тела в соответствии
с законом Стефана.Больцмана про.
порциональна четвертой степени
термодинамической температуры и
выражается формулой
4
Re = σT ,
(1)
где σ – постоянная Стефана.Больцмана; Т – термодинамическая
температура.
Температуру Т можно вычислить с помощью закона Вина:
(2)
λm = b / T,
где b – постоянная закона смещения Вина.
Используя формулы (2) и (1), получаем
4
Re = σ(b/λm) .
Произведем вычисления
−3 ⎞4
⎛
⎟⎟
−8 ⎜⎜ 2,90 ⋅10
Re = 5,67 ⋅10 ⎜
−7 ⎟⎟⎟
⎜
⎝ 5,8 ⋅ 10
⎠
Вт/м2 =
= 3,54 ⋅107 Вт/м2 = 35,4 МВт/м2 .
Задача 6
Работа выхода материала фотокатода равна 3,4 эВ. Какова
должна быть максимальная длина волны излучения, падающего
на фотокатод, если фототок прекращается при разности потенциа.
лов 1,2 В?
Дано:
Решение:
Авых = 3,4 эВ
UЗ = 1,2 В
λmax − ?
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэф.
фекта
2
mvmax
,
2
где ε – энергия фотонов, падающих на поверх.
ность фотокатода;
ε = Авых +
85
Авых – работа выхода электрона;
mv2max
2
– максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.
Максимальная кинетическая энергия фотонов равна работе сил
задерживающего электрического поля, т.е.
Wmax =
2
mvmax
= eUз ,
2
где е – заряд электрона; U3– задерживающая разность потенциа.
лов. Минимальная энергия фотонов, при которой возможен фото.
c
эффект, равна ε = h
, где λmax – максимальная длина волны
λ max
фотонов.
Подставим полученные соотношения в уравнение Эйнштейна,
получим:
c
h
= Aвых + eUз
λmax
откуда находим λmax:
λmax =
hc
.
Aвых + eUз
Подставим числовые значения
λmax =
6,610−34 ⋅ 3108
5,4 ⋅10−19 + 1,6 ⋅ 10−191,2
= 2,710−7 м.
Задача 7
Атом водорода перешел из возбужденного состояния, характе.
ризуемого главным квантовым числом, равным трем, в основное.
Определить возможные спектральные линии в спектре излучения
водорода. Найти максимально возможную энергию фотона.
Дано:
n1 = 1
n2 = 3
λ–?
εф – ?
86
Решение:
Из рисунка 15 видно, что при переходе атома
из состояния, характеризуемого главным кван.
товым числом n = 3, в основное (n = 1), возмож.
но излучение трех спектральных линий.
n=3
n=2
n=1
1
2
3
Рис. 15
Для определения длины волны воспользуемся сериальной фор.
мулой для водородоподобных ионов
⎛1
1
1 ⎞⎟
⎜
= RZ2 ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ ,
2
λ
⎜⎝ n1 n22 ⎟⎠
где λ – длина волны фотона; R – постоянная Ридберга; Z – заряд
ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит
в сериальную формулу для водорода); n1 – главное квантовое чис.
ло состояния, в которое перешел атом; n2 – главное квантовое чис.
ло исходного состояния.
Найдем длину волны линии, излученной при переходе атома из
состояния n2 = 3 в состояние n1 = 2, приняв постоянную Ридберга
R = 1,1⋅107 м−1;
⎛
⎞
⎜1
1
1⎟
= 1,1⋅107 ⎜⎜ − ⎟⎟⎟;
⎜⎜ 22 32 ⎟⎟
λ1
⎝
⎠
λ1 =
36 10−7
⋅
= 0,65 ⋅ 10−6 м = 0,65 мкм.
5 1,1
Аналогично находим длину волны спектральной линии, излу.
ченной атомом при переходе из состояния n2 = 2 в состояние n1 = 1
⎛
⎞
⎜1
1
1⎟
= 1,1⋅107 ⎜⎜ − ⎟⎟⎟;
⎜⎜12 22 ⎟⎟
λ2
⎝
⎠
4 10−7
λ2 = ⋅
= 0,12 ⋅10−6 м = 0,12 мкм.
3 1,1
87
При переходе из состояния n2 = 3 в состояние n1 = 1 длина вол.
ны линии равна
⎛
⎞
⎜1
1
1⎟
= 1,1⋅ 107 ⎜⎜ − ⎟⎟⎟;
⎜⎜12 32 ⎟⎟
λ3
⎝
⎠
λ3 =
9 10−7
= 0,1⋅10−6 м = 0,1 мкм/
8 1,1
Энергия фотона определяется из выражения
εф=hc/λ,
–34
где h – постоянная Планка, h = 6,62 ⋅ 10
Дж·с, с – скорость света
8
в вакууме, с = 3·10 м/с.
Максимальная энергия фотона соответствует минимальной
длине волны, следовательно
εф = hc / λ min =
6,6 ⋅ 10−34 ⋅ 3 ⋅108
−7
10
= 2 ⋅ 10−18 Дж = 12,3 эВ.
Задача 8
Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь,
прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны
де Бройля для двух случаев: 1) U1 = 51 B; 2) U2 = 510 кВ.
Дано:
Решение:
U1 = 51 B
5
U2 = 510 кВ = 5,1 ⋅ 10 В
λ −?
Длина волны де Бройля λ для ча.
стицы зависит от ее импульса р и опре.
деляется формулой
h
(1)
λ= ,
p
где h – постоянная Планка.
Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетиче.
ская энергия Ек. Связь импульса с кинетической энергией различна
для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия части.
цы много меньше энергии ее покоя) и для релятивистского случая
(когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы):
– в нерелятивистском случае
р = 2mEk ;
88
(2)
– в релятивистском случае
1
p = (2E0 + Ek ) Ek ,
c
где
E0 = m0 c2 ;
– энергия покоя частицы.
Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:
– в нерелятивистском случае
h
λ=
;
2mEk
(3)
(4)
– в релятивистском случае
h
(5)
.
1
(2E0 + Ek ) Ek
c
Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего задан.
ные в условии задачи разности потенциалов U1 = 51 В и U2 = 510 кВ,
с энергией покоя электрона и, в зависимости от этого, решим, ко.
торую из формул – (4) или – (5) следует применить для вычисле.
ния длины волны де Бройля.
Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего
ускоряющую разность потенциалов U, равна
Eк = eU.
λ=
–4
В первом случае Ек = eU1 = 51 эВ = 0,51 ⋅ 10
меньше энергии покоя электрона, равной
МэВ, что много
Е = m 0 c2 = 0,51 МэВ.
Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4).
–4
2
Для упрощения расчетов заметим, что Ек = 10 m0c . Подставив
это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде
λ1 =
h
−4
2m0 ⋅10
2
m0 c
=
102
h
.
m
2
0c
⋅
Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина волны λк, по.
лучим:
λ1 =
102
2
λk .
89
Так как λк = 2,43 пм, то
λ1 =
102
2
2,43 пм = 171 пм.
Во втором случае кинетическая энергия
Eк = eU2 = 510 кэВ = 0,51 МэВ,
т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо
применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что Ек =
2
= 0,51 МэВ = m0c , по формуле (5) найдем
λ2 =
1
c
h
(2m0c2 + m0 c2 )m0 c2
=
h
3m02 c2
,
или
λ2 =
λk
3
.
Подставив значение λк и произведя вычисления, получим:
2,43
λ2 =
пм = 1.4 пм.
3
Задача 9
Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет
величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенно.
стей, оценить минимальные размеры атома.
Дано:
Ек = 10 эВ
lmin – ?
Решение:
Соотношение неопределенностей для коорди.
наты и импульса имеет вид ∆px∆x ≥ ħ/2, где ∆px –
неопределенность импульса частицы (электрона);
∆x – неопределенность
координаты частицы (в данном случае электрона); ħ = h/2π – при.
веденная постоянная Планка h.
Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее
определяется положение частицы в пространстве, тем более неопре.
деленным становится импульс, а следовательно, и энергия части.
цы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома
будет находиться где.то в пределах области с неопределенностью
Δx = l/2.
90
Cоотношение неопределенностей можно записать в этом случае
в виде
l
Δp ≥
2
2
откуда
l≥
.
Δp
Физически разумная неопределенность импульса Δp, во всяком
случае, не должна превышать значение самого импульса p, т. е. Δp ≤ p.
Импульс р связан с кинетической энергией Ек соотношением
p = 2mEk .
Заменим Δр значением
2mEk (такая замена не увеличит l).
Перейдем к равенству
lmin =
2
2mE
.
Подставив числовые значения и произведя вычисления, полу.
чим:
2 ⋅1,05 ⋅10−34
lmin =
м = 1.16 ⋅10−10 м = 116 пм.
−
−
31
19
⋅10
2 ⋅ 9,1⋅ 10
1,6 ⋅ 10
Задача 10
Определить начальную активность радиоактивного препарата
магния.27 массой 0,2 мкг, а также его активность через 6 часов.
Дано:
Решение:
m = 0,2 мкг = 2⋅1010 кг
t = 6 ч = 2,16 ⋅104 с
Т1/2 =10 мин = 600 с
Ао – ? A – ?
Активность А изотопа характеризует
скорость радиоактивного распада и опре.
деляется отношением числа dN ядер,
распавшихся за интервал времени dt,
к этому интервалу
dN
(1)
dt
знак "–" показывает, что число N радиоактивных ядер с течением
времени убывает.
A =−
91
Чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного
распада
N = N0 e−λt ,
(2)
где N – число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе в мо.
мент времени t; N0
ни, принятый за начальный (t = 0); λ – постоянная распада.
Продифференцируем выражение (2) по времени
dN / dt = −λN0 e−λt .
(3)
Исключив из формул (1) и (3) dN/dt, находим активность пре.
парата в момент времени t
A = λN0 e−λt .
(4)
Начальную активность А0 препарата получим при t = 0
А0 =λN0 .
(5)
Постоянная радиоактивного распада λ связана с периодом по.
лураспада Т1/2 соотношением
ln 2
λ=
.
Т1/2
(6)
Число N0 радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно
произведению постоянной Авогадро NA на количество вещества ν
данного изотопа
N0 = νNA = m/μ⋅NA,
(7)
где m – масса изотопа; μ – молярная масса.
С учетом вырaжений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид:
m ln 2
(8)
A0 =
NA ;
µ T1/2
⎛ ln 2 ⎟⎞
m ln 2
⎜
A=
N A exp⎜⎜−
t⎟⎟.
(9)
⎜⎝ T1/2 ⎟⎟⎠
µ T1/2
Произведя вычисления и учитывая, что Т1/2 = 600 с; ln2 = 0,693;
t = 6 ч = 63,6 ⋅103 с = 2,16 ⋅104 с, получим:
А0 =
0,2 ⋅ 10−9 0,693
5,13 ⋅1012
23
12
6
,
02
⋅
10
Бк
=
5
.
13
⋅
10
Бк
=
= 138 Ku.
27 ⋅ 10−3 600
3,7 ⋅1010
⎛ ln 2 ⎟⎞
⎛ 0,693
⎞
⎜
А = А0 exp⎜⎜−
t⎟⎟ = 138 exp⎜⎜−
⋅ 2,16 ⋅104 ⎟⎟⎟ = 1,4 Ku.
⎜⎝ T1/2 ⎟⎟⎠
⎝⎜ 600
⎠
92
3.3. Задание на контрольную работу № 2
201. Расстояние от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м.
Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной 1
см укладывается 10 темных интерференционных полос. Длина
волны монохроматического света равна 0,7 мкм.
202. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается
монохроматическим светом с длиной волны 590 нм. Свет падает по
нормали к поверхности пластины. Между линзой и пластинкой
находится жидкость с показателем преломления 1,33. Определить
толщину зазора в том месте, где в отраженном свете наблюдается
третье светлое кольцо.
203. В опыте Юнга расстояние между щелями равно 0,8 мм,
длина волны света 0,7 мкм. На каком расстоянии от щелей следу.
ет расположить экран, чтобы ширина интерференционной полосы
оказалась равной 2 мм?
204. Радиус второго темного кольца Ньютона в отраженном
свете равен 0,4 мм. Определить радиус кривизны плосковыпуклой
линзы, взятой для опыта, если она освещается монохроматиче.
ским светом с длиной волны 0,5 мкм.
205. Расстояние между двумя когерентными источниками све.
та равно 0,2 мм. Они удалены от экрана на расстояние 2 м. Найти
длину волны, излучаемую когерентными источниками, если рас.
стояние на экране между третьим и пятым минимумами интерфе.
ренционной картины равно 1,2 см.
206. Между стеклянной пластиной и лежащей на ней плоско.
выпуклой линзой находится жидкость. Найти показатель прелом.
ления жидкости, если радиус третьего темного кольца Ньютона
при наблюдении в отраженном свете с длиной волны 0,5 мкм ра.
вен 0,85 мм. Радиус кривизны линзы равен 0,64 м.
207. В опыте Юнга на пути одного из лучей помещена тонкая
стеклянная пластинка, вследствие чего центральная полоса сме.
стилась в положение занятое 5.й светлой полосой (не считая цен.
тральной). Луч падает на пластинку перпендикулярно. Показа.
тель преломления пластинки 1,5. Длина волны 6 ⋅10−7 м. Какова
толщина пластинки?
208. На стеклянную пластинку нанесен слой прозрачного веще.
ства с показателем преломления 1,3. На пластинку падает нор.
мально параллельный пучок монохроматического света с длиной
волны 640 нм. Какую минимальную толщину должен иметь слой,
93
чтобы отраженные лучи были максимально ослаблены в результа.
те интерференции?
209. Входное окно фотоприемника покрыто тонкой пленкой,
материал которой имеет показатель преломления 1,25. Толщина
пленки равна 0,20 мкм. На какой наибольшей длине волны дости.
гается максимальное просветление входного окна фотоприемника?
210. На пути одного из лучей в опыте Юнга поставлена трубка
длиной 2 м с плоскопараллельными основаниями. При заполне.
нии трубки хлором вся интерференционная картина на экране
сместилась на 20 полос. Вычислить показатель преломления хло.
ра, считая, что показатель преломления воздуха 1,000276. Длина
волны 589 нм.
211. Точечный источник света с длиной волны 0,5 мкм распо.
ложен на расстоянии 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием
радиусом 1 мм. Найти расстояние от диафрагмы до точки наблю.
дения, находящейся на оси отверстия, для которой число зон Фре.
неля в отверстии равно 3. Темное или светлое пятно получится
в центре дифракционной картины, если в месте наблюдения поме.
стить экран?
212. На щель шириной 0,1 мм нормально падает параллельный
пучок света от монохроматического источника (длина волны равна
0,5 мкм). Определить ширину центрального максимума в дифрак.
ционной картине, наблюдаемой на экране, удаленном от щели на
расстояние 3 м.
213. На дифракционную решетку, содержащую 250 штрихов на
1 мм, падает нормально свет с длиной волны 0,6 мкм. Найти общее
число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка.
Определить угол, под которым наблюдается последний дифракци.
онный максимум.
214. Диафрагма с круглым отверстием диаметром 2,4 мм рас.
положена на расстоянии 1 м от точечного источника света и 1,5 м
от экрана. Длина волны источника света 0,6 мкм. Сколько зон
Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно по.
лучится в центре дифракционной картины?
215. Дифракционная решетка имеет такой период, что макси.
мум первого порядка для длины волны 0,7 мкм соответствует углу
о
30 . Какова длина волны света, который в спектре второго поряд.
о
ка имеет максимум под углом 45 ?
216. На грань кристалла каменной соли падает параллельный
пучок рентгеновского излучения. Расстояние между атомными
94
плоскостями равно 280 пм. Под углом 65° к атомной плоскости
наблюдается дифракционный максимум первого порядка. Опре.
делить длину волны рентгеновского излучения.
217. Какую разность длин волн может разрешить дифракцион.
ная решетка длиной 2 см и периодом 5 мкм в области красных лу.
чей (длина волны 0,7 мкм) в спектре второго порядка? Сколько
дифракционных максимумов можно наблюдать с помощью этой
решетки в случае падения на решетку монохроматического света
с длиной волны 0,7 мкм?
218. На дифракционную решетку, содержащую 600 штрихов на
1 мм, падает нормально белый свет. Спектр проецируется поме.
щенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину спек.
тра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана
1,2 м. Границы видимого спектра составляют 0,4 мкм – 0,78 мкм.
219. Расстояние между атомными плоскостями кристалла каль.
цита равно 0,3 нм. Определить, при какой длине волны рентгенов.
ского излучения второй дифракционный максимум будет наблю.
даться при отражении лучей под углом 30° к поверхности кристалла.
220. На дифракционную решетку падает нормально парал.
лельный пучок белого света. Спектры третьего и четвертого по.
рядков частично накладываются друг на друга. На какую длину
волны в спектре четвертого порядка, накладывается красная гра.
ница (длина волны 0,78 мкм) спектра третьего порядка?
231. Чему равен угол между плоскостями поляризации двух
николей, если интенсивность естественного света, прошедшего
через эту систему, уменьшилась в 5,4 раза? Считать, что каждый
николь поглощает и отражает 14 % падающего на него света.
232. Угол максимальной поляризации при отражении света от
кристалла каменной соли равен 60°. Определить скорость распро.
странения света в этом кристалле.
233. Угол между плоскостями поляризации николей равен 30°.
Интенсивность естественного света, прошедшего такую систему,
уменьшилась в 5 раз. Пренебрегая потерей света при отражении,
определить коэффициент поглощения света в каждом из николей,
считая их одинаковыми.
3
234. Раствор сахара с концентрацией, равной 200 кг/м , нали.
тый в стеклянную трубку, поворачивает плоскость поляризации
света, проходящего через раствор, на угол 45°. Другой раствор,
налитый в такую же трубку, поворачивает плоскость поляризации
на угол 30°. Определить концентрацию этого раствора.
95
235. Между двумя параллельными николями помещают квар.
цевую пластинку толщиной 1 мм, вырезанную параллельно опти.
ческой оси. При этом плоскость поляризации монохроматического
света, падающего на поляризатор, повернулась на угол 20°. При
какой минимальной толщине пластинки свет не пройдет через
анализатор?
236. При прохождении естественного света через два николя,
угол между плоскостями поляризации которых составляет 45°,
происходит ослабление света. Коэффициенты поглощения света
в поляризаторе и анализаторе соответственно равны 0,08 и 0,1.
Найти, во сколько раз изменилась интенсивность света после про.
хождения этой системы.
237. Предельный угол полного внутреннего отражения луча на
границе жидкости с воздухом равен 45°. Каким должен быть угол
падения луча из воздуха на поверхность жидкости, чтобы отра.
женный луч был полностью поляризован?
238. Пластинку кварца толщиной d1 = 2 мм, вырезанную пер.
пендикулярно оптической оси, поместили между параллельными
николями, в результате чего плоскость поляризации света повер.
о
нулась на угол ϕ = 53 . Определить толщину d2 пластинки, при
которой данный монохроматический свет не проходит через ана.
лизатор.
239. Между двумя николями установлена кварцевая пластинка
толщиной 1 мм. Какой угол между главными плоскостями нико.
лей нужно установить, чтобы интенсивность света после прохож.
дения через николи уменьшилась в 10 раз? Поглощением света
в николях и кварцевой пластинке пренебречь. Постоянная враще.
ния кварца равна 27 град/мм.
240. Луч света переходит из воды в алмаз так, что луч, отра.
женный от границы раздела этих сред, оказывается максимально
поляризованным. Определить угол между падающим и прелом.
ленным лучами.
241. Абсолютно черное тело имеет температуру 500 К. Какова
будет температура тела, если в результате нагревания поток излу.
чения увеличится в 5 раз? Исходя из формулы Планка, изобразить
графически начальный и конечный спектры излучения.
242. Температура абсолютно черного тела равна 2000 К. Опре.
делить длину волны, на которую приходится максимум спектра
энергии излучения, и спектральную плотность энергетической
светимости для этой длины волны.
96
243. Определить температуру и энергетическую светимость аб.
солютно черного тела, если максимум энергии спектра излучения
приходится на длину волны 600 нм.
244. Из смотрового окошечка печи излучается поток 4 кДж/мин.
Определить температуру печи, если площадь окошечка равна
2
8 см .
245. Поток излучения абсолютно черного тела равен 10 кВт,
а максимум спектра излучения приходится на длину волны
0,8 мкм. Определить площадь излучающей поверхности.
246. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно
черного тела, если максимум видимого спектра излучения переме.
стится с красной границы спектра 780 нм на фиолетовую 390 нм?
247. Вычислить энергию (в кВт·ч), излучаемую за сутки с пло.
2
щади 0,5 м нагревателя, температура которого 70 °С. Считать,
что нагреватель излучает как серое тело с коэффициентом погло.
щения 0,3.
248. Печь, потребляющая мощность 1 кВт, имеет отверстие пло.
2
щадью 100 см . Определить долю мощности, рассеиваемую стенками
печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1000 К.
249. При остывании абсолютно черного тела максимум его
спектра излучения сместился на 500 нм. На сколько градусов
остыло тело? Начальная температура тела 2000 К.
250. Определить мощность, необходимую для накаливания
вольфрамовой нити электролампы длиной 10 см и диаметром нити
1 мм до температуры 3000 К. Коэффициент поглощения нити 0,34.
251. Красная граница фотоэффекта для цинка составляет 310
нм. Определить максимальную кинетическую энергию (в элек.
трон.вольтах) фотоэлектронов и задерживающую разность потен.
циалов, если на цинк падает ультрафиолетовое излучение с дли.
ной волны 200 нм.
252. Фотоэлектроны, вылетающие с поверхности серебряной
пластины, полностью задерживаются при приложении задержи.
вающей разности потенциалов, равной 8 В. Найти длину волны
излучения, падающего на фотокатод.
253. Фотон с энергией 10 эВ выбивает электроны из серебряной
пластины. Определить импульс, полученный пластиной, если
принять, что направления импульсов фотона и фотоэлектрона
перпендикулярны поверхности пластины.
254. На поверхность фотокатода падает ультрафиолетовое излу.
чение с длиной волны 0,3 мкм. Задерживающая разность потенци.
97
алов, при которой фототок прекращается, равна 1,6 В. Определить
красную границу фотоэффекта.
255. Какова должна быть длина волны излучения, падающего
на платиновую пластину, если максимальная скорость фотоэлек.
тронов равна 3 Мм/с?
256. Ультрафиолетовое излучение с длиной волны 0,25 мкм,
направленное на металлическую пластину, вызывает фототок, ко.
торый прекращается при минимальной задерживающей разности
потенциалов 0,96 В. Определить работу выхода электрона из ме.
талла.
257. На поверхность металла падает ультрафиолетовое излуче.
ние с длиной волны 0,1 мкм. Красная граница фотоэффекта равна
0,3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение
электрону кинетической энергии?
258. На поверхность лития падает рентгеновское излучение
с длиной волны 1 нм. Определить максимальную скорость фото.
электронов. Можно ли пренебречь работой выхода электрона?
259. Две пластины, одна из которых медная, а другая из неиз.
вестного материала, освещаются ультрафиолетовым излучением
из одного и того же источника. Для фотоэлектронов из медной
пластины задерживающая разность потенциалов равна 2,4 В, а для
неизвестной пластины она равна 4,2 В. Найти работу выхода элек.
тронов из неизвестного материала.
260. Красная граница фотоэффекта для вольфрама равна 275 нм.
Определить задерживающую разность потенциалов для электро.
нов, вырываемых из вольфрама светом с длиной волны 180 нм.
261. Фотон, соответствующий длине волны 0,020 мкм, выбил
электрон из невозбужденного атома водорода. Вычислить скорость
электрона за пределами атома.
262. Определить все возможные спектральные линии, возни.
кающие при переходе атома водорода из возбужденного состояния
с главным квантовым числом, равным 3, в основное.
263. Атом водорода в основном состоянии поглотил фотон с дли.
ной волны 0,1215 мкм. Определить главное квантовое число воз.
бужденного состояния атома водорода.
264. В водородоподобном ионе лития электрон перешел из со.
стояния с главным квантовым числом, равным четырем, в состоя.
ние, характеризуемое главным квантовым числом, равным двум.
Определить энергию кванта и длину волны излучения, испущен.
ного ионом.
98
265. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе
электрона в атоме водорода из возбужденного состояния с глав.
ным квантовым числом, равным трём, в основное состояние.
266. Определить неопределенность координаты электрона,
6
движущегося в атоме водорода со скоростью 2,0 ⋅ 10 м/сек, если
относительная неопределенность скорости равна 0,1. Сравнить
полученную неопределенность с диаметром атома водорода, вы.
численным по теории Бора для основного состояния, и указать,
применимо ли понятие траектории в данном случае.
267. Электрон с кинетической энергией 10 эВ находится в ме.
таллической пылинке диаметром 1 мкм. Оценить (в процентах)
относительную неопределенность скорости электрона.
268. Диаметр пузырька в жидководородной пузырьковой каме.
ре составляет величину порядка 10−7 м. Рассчитать неопределен.
ность в измерении скоростей электрона и α .частицы в такой ка.
мере, если неопределенность координаты принять равной диамет.
ру пузырька.
269. α .частица движется в однородном магнитном поле с ин.
дукцией 5 мТл по окружности радиусом 0,8 м. Определить длину
волны де Бройля α .частицы.
270. Длина волны де Бройля протона равна 2 нм. Какую уско.
ряющую разность потенциалов прошел протон?
271. Определить, какая доля радиоактивного изотопа 225
89 Ас
распадается в течение 6 суток.
272. Активность некоторого изотопа за 10 суток уменьшилась
на 20 %. Определить период полураспада этого изотопа.
273. Определить массу изотопа 131
53 I , имеющего активность,
равную 37 ГБк.
274. Найти среднюю продолжительность жизни атома радио.
активного изотопа кобальт 60
27 Co .
275. Счетчик α.частиц, установленный вблизи радиоактивного
изотопа, при первом измерении регистрировал 1400 частиц в ми.
нуту, а через 4 часа только 400 частиц. Определить период полу.
распада изотопа.
276. Во сколько раз уменьшится активность изотопа 32
15 P через
20 суток?
99
277. На сколько процентов уменьшится активность изотопа
27
12 Mg
за 7 минут?
278. Определить число ядер, распадающихся в течение време.
ни: 1) t1 = 1 мин; 2) t2 = 5 сут, – в радиоактивном изотопе фосфора
32
15 P
массой, равной 1 мг.
279. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа
каждую секунду распадается 200 атомов. Определить период по.
лураспада изотопа.
280. Найти период полураспада радиоактивного изотопа, если
его активность за 10 суток уменьшилась на 24 % по сравнению с
первоначальной.
100
Библиографический список
Основной:
1. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.:
Изд.центр «Академия»., 2007 [и др. г. изд.].
2. Трофимова, Т. И., Фирсов А. Ф./ Курс физики. Задачи и ре.
шения.
Изд.центр «Академия»., 2004 [и др. г. изд.].
Дополнительный:
3. Савельев, И. В. Курс общей физики/ И. В. Савельев. – М.:
Наука, 2002 [и др. г. изд.].
4. Иродов И. Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория
базовых знаний., 2002
5. Иродов И. Е. Электромагнетизм. М.: Лаборатория базовых
знаний., 2002
6. Иродов И. Е. Физика макросистем. М.: Лаборатория базовых
знаний., 2001
7. Иродов И. Е. Волновые процессы. М.: Лаборатория базовых
знаний., 2002
8. Иродов И. Е. Квантовая физика. М.: Лаборатория базовых
знаний., 2001
9. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. М.: Лаборатория ба.
зовых знаний., 2003
101
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Некоторые физические постоянные
(округленные значения)
Физическая постоянная
Обозначе.
ние
Значение
−11
6,67 ⋅ 10
(
м3 / кг ⋅ с2
Гравитационная постоянная
G
Ускорение свободного падения
g
9,81 м/с2
Постоянная Авогадро
NA
6,02 ⋅1023 моль–1
Универсальная газовая постоянная
R
8,31 Дж/(моль ⋅К )
Постоянная Больцмана
k
1,38 ⋅ 10−23 Дж/К
Элементарный заряд
е
1, 6 ⋅ 1019 Кл
Скорость света в вакууме
с
3,0 ⋅ 108 м/с
Электрическая постоянная
ε0
8,85 ⋅10−12 Ф/м
Магнитная постоянная
µ0
4π ⋅10−7 Гн/м
Постоянная Стефана.Больцмана
σ
5,67 ⋅ 10−8 Вт /м2 ⋅ К 4
Постоянная Вина
b
2,90 ⋅ 10−3 м ⋅ Кл
Постоянная Планка
⎧
h
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Постоянная Ридберга
R
1,10 ⋅107 м−1
Энергия ионизации атома водорода
Еi
2,18 ⋅10−18 Дж
102
6,62 ⋅10−34 Дж
1,05 ⋅10−34 Дж ⋅ с
)
2. Некоторые астрономические величины
(округленные значения)
Наименование
Значение
Радиус Земли
6,37 ⋅ 106 м
Масса Земли
5,98 ⋅ 1024 кг
Радиус Луны
1,74 ⋅ 106 м
Масса Луны
7,33 ⋅ 1022 кг
3,84 ⋅ 108 м
Расстояние от центра Земли до центра Луны
3. Относительные атомные массы некоторых элементов
(округленные значения)
Элемент
Химический символ
А
Азот
N
14
Аргон
Ar
40
Водород
H
1
Гелий
He
4
Кислород
O
16
Неон
Ne
20
C
12
Углерод
4. Масса, заряд и энергия покоя некоторых частиц
Частица
Масса, кг
Электрон
9,11 ⋅ 10–31
α.частица
6,64 ⋅ 10
Протон
1,67 ⋅ 10
Заряд, Кл
–1,60 ⋅ 10
–27
3,2 ⋅ 10
–27
1,60 ⋅ 10
–19
Энергия покоя, МэВ
0,511
–19
–19
938
103
5. Относительная диэлектрическая проницаемость
Вещество
Проницае.
мость
Парафиновая
Проницае.
мость
Вещество
Масло
2,0
бумага
2,2
трансформаторное
Стекло
7,0
Эбонит
3,0
Слюда
7,0
Резина
2,5
6. Удельное сопротивление металлов
Металл
Удельное
сопротивление (Ом·м)
Металл
Удельное
Сопротивление (Ом·м)
Алюминий
2,8 ⋅10−8
Медь
1,7 ⋅10−8
Железо
9,8 ⋅10−8
Серебро
1,6 ⋅10−8
Нихром
1,1 ⋅10−6
Никелин
4,0 ⋅10−7
7. Показатели преломления
Вещество
Показатель
Вещество
Показатель
Вода
1,33
Алмаз
2,42
Стекло
1,5
Кварц
1,54
8. Работа выхода электрона из металла
Металл
Работа выхода
(Т = 293 К); эВ
Металл
Работа выхода
(Т = 293 К); эВ
Золото
4,3
Натрий
2,4
Калий
2,2
Платина
6,3
Литий
2,3
Серебро
4,7
Медь
4,4
Цезий
2,0
104
9. Некоторые соотношения
между единицами измерения физических величин
Физическая
величина
Соотношение между единицами измерения
3
Масса
1 тонна = 10 кг
1 а.е.м. = 1,66 ⋅ 10−27 кг
Сила
1 кГ = 9,81 Н
Время
1 сутки = 8,64 ⋅ 105 с
1 год = 3,16 ⋅ 107 с
Работа, энергия,
1 кал = 4,19 Дж
теплота
1 кВт ⋅ч = 36 ⋅ 105 Дж
1эВ = 1, 6 ⋅ 10−19 Дж
Давление
1 мм. рт. ст. = 1, 33 ⋅ 102 Па
1 атм. = 1, 014 ⋅ 105 Па
Угловые величины
о
1 град = 1 = 1,75 ⋅ 10−2 рад
о
1 рад = 57,3
10. Характеристики некоторых радиоактивных изотопов
Элемент
Обозначение
Период
полураспада
Ионизационная
постоянная
гамма.излучения
2
(P·м )/(час· Кu)
Магний
27
12 Mg
10 минут
–
Кобальт
60
27 Co
5,3 года
1,35
131
5I
8 суток
–
Йод
105
11. Множители и приставки для образования десятичных
кратных и дольных единиц и их наименования
Приставка
Наимено.
вание
Обозна.
чение
Приставка
Множитель
Наимено.
вание
Обозна.
чение
Множитель
экса
Э
10
18
Деци
д
10
–1
пэта
П
10
15
Санти
с
10
–2
тера
Т
10
12
Милли
м
10
–3
гига
Г
10
9
Микро
мк
10
–6
мега
М
10
6
Нано
н
10
–9
кило
К
10
3
Пико
п
10
–12
гекто
Г
10
2
Фемто
ф
10
–15
Дека
Да
10
1
Атто
а
10
–18
12. Греческий алфавит
Обозначения
букв
106
Названия букв
Обозначения
букв
Названия букв
Α, α
альфа
Ν, ν
ню
Β, β
бета
Ξ, ξ
кси
Γ, γ
гамма
Ο, ο
омикрон
Δ, δ
дельта
Π, π
пи
Ε, ε
эпсилон
Ρ, ρ
ро
Ζ, ζ
дзета
Σ, σ
сигма
Η, η
Эта
T, τ
тау
Θ, θ
тхэта
Υ, υ
ипсилон
Ι, ι
йота
Φ, ϕ
фи
Κ, κ
каппа
Χ, χ
хи
Λ, λ
ламбда
Ψ, ψ
пси
Μ, μ
мю
Ω, ω
омега
Оглавление
1. Общие требования к оформлению контрольных работ............... 3
2. Контрольная работа № 1. Физические основы
механики. Физика колебаний и волн. Термодинамика.
Электричество и магнетизм .................................................................... 5
2.1. Методические указания к выполнению контрольной
работы № 1 ................................................................................. 5
2.2. Основные законы и формулы. Примеры решения задач ....... 10
2.2.1. Кинематика поступательного и вращательного
движения ................................................................................. 10
2.2.2. Динамика. Законы Ньютона .......................................... 11
2.2.3. Работа постоянной и переменной силы. Закон
сохранения механической энергии .............................................. 12
2.2.4. Закон сохранения импульса. Совместное применение
законов сохранения импульса и механической энергии ................. 13
2.2.5. Динамика вращательного движения твёрдого тела ........... 14
2.2.6. Закон сохранения момента импульса. Кинетическая
энергия вращающегося тела ....................................................... 16
2.2.7. Гармонические механические колебания ........................ 17
2.2.8. Сложение гармонических колебаний .............................. 18
2.2.9. Упругие волны............................................................. 18
2.2.10. Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа
(уравнение Клапейрона.Менделеева) ........................................... 19
2.2.11. Основное уравнение молекулярно.кинетической
теории газов. Внутренняя энергия идеального газа ........................ 20
2.2.12. Первое начало термодинамики. Теплоёмкость
идеального газа ......................................................................... 21
2.2.13. Круговые процессы. КПД цикла. Цикл Карно ................ 22
2.2.14.Электростатика........................................................... 22
2.2.15. Постоянный электрический ток ................................... 24
2.2.16. Магнитостатика ......................................................... 25
2.2.17. Электромагнитная индукция ....................................... 28
Примеры решения задач ........................................................ 29
2.3. Задание на контрольную работу № 1.................................. 59
3. Контрольная работа № 2. Волновая оптика.
Квантовая, атомная и ядерная физика. .............................................. 68
3.1. Методические указания
к выполнению контрольной работы № 2 ....................................... 68
3.2. Основные законы и формулы. Примеры решения задач ...... 69
3.2.1. Интерференция света ................................................... 69
107
3.2.2. Дифракция света ......................................................... 70
3.2.3. Поляризация света ....................................................... 72
3.2.4. Тепловое излучение ...................................................... 72
3.2.5. Фотоэффект ................................................................. 73
3.2.6. Физика атома. Спектры атомов ...................................... 74
3.2.7. Элементы квантовой механики ...................................... 74
3.2.8. Физика атомного ядра. Радиоактивность ........................ 75
Примеры решения задач ........................................................ 77
3.3. Задание на контрольную работу № 2.................................. 93
Библиографический список........................................................... 101
Приложения ................................................................................... 102
1. Некоторые физические постоянные
(округленные значения) ........................................................... 102
2. Некоторые астрономические величины
(округленные значения) ........................................................... 103
3. Относительные атомные массы некоторых элементов
(округленные значения) ........................................................... 103
4. Масса, заряд и энергия покоя некоторых частиц ................. 103
5. Относительная диэлектрическая проницаемость ................. 104
6. Удельное сопротивление металлов ..................................... 104
7. Показатели преломления ................................................. 104
8. Работа выхода электрона из металла .................................. 104
9. Некоторые соотношения между единицами измерения
физических величин ................................................................ 105
10. Характеристики некоторых радиоактивных изотопов ........ 105
11. Множители и приставки для образования десятичных кратных
и дольных единиц и их наименования ........................................ 106
12. Греческий алфавит......................................................... 106
108
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
3 459 Кб
Теги
ivanovo
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа