close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

IvanovKnyazskiy

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ОЦЕНКА ЦЕЛОСТНОСТИ
НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
С ПОМОЩЬЮ ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОГО
МЕТОДА
Методические указания
по выполнению лабораторной работы
Санкт-Петербург
2017
Составители: Ю. П. Иванов, А. Ю. Княжский
Рецензент – кандидат технических наук, доцент А. И. Панфёров
Изучается понятие целостности навигационной системы, графоаналитический метод ее оценки и использование программного пакета MathCAD15 для выполнения данной задачи.
Предназначены для бакалавров направления 12.03.01 «Приборостроение», выполняющих лабораторные работы по курсу «Контрольно-диагностические вычислительные комплексы» и магистров направления 12.04.01, выполняющих лабораторные работы
по дисциплине «Проектирование систем контроля и диагностики».
Публикуется в авторской редакции.
Верстальщик И. Н. Мороз
Сдано в набор 04.09.17. Подписано к печати 12.09.17.
Формат 60×841/16. Усл. печ. л. 0,93.
Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 50 экз. Заказ № 366.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2017
ОЦЕНКА ЦЕЛОСТНОСТИ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
С ПОМОЩЬЮ ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА
Цель работы: изучение графо-аналитического подхода оценки
целостности и освоение компьютерного моделирования марковских
процессов. После выполнения задания студент должен понимать,
что такое целостность системы, уметь выделять необходимые состояния системы для ее анализа, формировать граф состояний системы и соответствующую ему систему дифференциальных уравнений и на их основе оценивать целостность. Рекомендуемым программным пакетом для выполнения работы является MathCad 15,
или более поздняя версия.
1. Введение
Важной задачей аэрокосмического приборостроения является оценка безопасности полетов, которую можно получить, основываясь на показателе целостности системы. Одним из подходов
к оценке целостности является графо-аналитический. Он заключается в построении графа системы, вершинами которого являются
состояния оцениваемой системы, а ребрами интенсивности, полученные экспериментальным путем, или из статистики наблюдений. Необходимо учитывать, что система в процессе работы может
находиться только в одном состоянии.
2. Понятие целостности
Контроль целостности характеризует способность системы обнаруживать свое неправильное функционирование и своевременно
исключать возможность использования ее данных пользователями
3
при недопустимых отклонениях рабочих характеристик. Целостность определяет меру доверия к правильности навигационной информации, получаемой потребителем.
Возможны два варианта контроля целостности системы, основанные на автономных и внешних методах контроля.
Автономные методы предполагают использование избыточной
информации навигационных датчиков потребителя, которую они
получают, принимая навигационные сигналы от большего, чем
минимально необходимо, числа навигационных спутников, а также других измерителей, имеющихся на борту ВС. С помощью специальных алгоритмов автономного контроля целостности [RAIM]
можно обнаружить нарушения целостности информации. К сожалению, RAIM позволяет обнаружить отказы только при больших
погрешностях измерений псевдодальностей, в несколько раз превышающих среднеквадратическое отклонение (СКО) в штатной
ситуации.
Внешние методы основаны на создании сети станций для обеспечения контроля за работоспособностью навигационных спутников в режиме реального времени. В этом случае узел сети – региональный вычислительный центр – осуществляет обработку данных, получаемых от наземных станций слежения, и формирует
сообщение о целостности системы. Процедура внешнего контроля
является более сложной, поскольку требует создания наземной сети. Однако такое решение задачи целостности позволяет получить
более полную информацию о системе, которой принципиально не
может располагать отдельный потребитель при автономном контроле целостности.
3. Описание графо-аналитического метода
Рассмотрим оценку показателя целостности рассматриваемой
спутниковой навигационной системы посадки на основе использования динамической модели изменений её состояний, определяемой дискретныфм марковским процессом [2]. Случайные марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством
состояний достаточно точно описывают динамику изменения состояний навигационной системы. Погрешность рассматриваемой
математической модели соответствует точности исходной информации, а получаемые оценки являются оценками снизу. Известно [3], если процесс, протекающий в системе, является марковским
с непрерывным временем и дискретным множеством ­состояний,
4
то все потоки, переводящие систему из одного состояния в другое,
являются пуассоновскими. Пуассоновский поток, переводящие
систему из состояния Hi в состояние Hj характеризуется одной
функцией – интенсивностью потока событий Hjλij(t), которая может быть любой неотрицательной функцией времени, i, j = 1, n, где
ni конечное множество возможных состояний системы.
Изменение безусловных вероятностей Pi(t), i = 1, n нахождения
системы в различных состояниях во времени определяются системой линейных уравнений Колмогорова при известном распределении вероятностей состояний системы в начальный момент времени Pi(t0), [1]
dP(t)
= ΛT (t) P(t),
dt
(1)
где P(t) – вектор размерности n×1, компонентами которого являются вероятности Pi(t), ΛT(t) – транспонируемая матрица размерности
n×n, компонентами которой являются интенсивности λij(t).
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением наиболее часто используемого на практике случая, когда интенсивность пуассоновского потока, переводящего систему из состояния Hi в Hj, постоянна во времени λij(t) = λij. В этом случае пуассоновский поток будет
простейшим, дискретный марковский процесс однородным, а дифференциальное уравнение (1) можно представить в следующем виде:
dP(t)
(2)
= ΛT P(t),
dt
решение, которого имеет следующий вид [11]:
P(t) = {exp[ΛT× (t - t0 )]} P(t0 )
(3)
при этом выполняется условие нормировки
n
å Pi (t) = 1.
(4)
i=1
Приближённое решение уравнения (3) может быть получено
при разложении матричной экспоненты в ряд Тэйлора и ограничении ряда m < ∞ членами
m
{exp éëêΛT (t - t0 )ùûú} » å (ΛT )
k=0
k
(t - t0 )k
.
k!
Для эргодического дискретного марковского процесса существует стационарное распределение вероятностей состояний P, которое определяется системой алгебраических n – 1 уравнений
5
ΛT P(t) = I
(5)
и условием нормировки для вероятностей состояний системы
n
å Pi = 1,
(6)
i=1
где I – единичная матрица n×n. Модель динамики состояний рассматриваемой системы и уравнения Колмогорова для безусловных
вероятностей её состояний удобно составлять на основе графа состояний системы. Для синтеза и анализа модели динамики состояний системы необходимо выявить всевозможные их состояния Bi,
которые должны быть несовместными и составлять полную группу
событий, при этом должно выполняться следующее условие
r
å Pi (Bi ) = 1,
(7)
i=1
где Pi(Bi) – вероятность нахождения системы в состоянии Bi, r –
число возможных состояний системы.
На основании логического анализа и цели исследований можно
сократить число рассматриваемых состояний, объединив некоторые из них в соответствии с поставленной задачей. Обозначим новые состояния после объединения Hi , i = 1, n, n £ r , данная система
в любой момент времени может находиться в одном из возможных
состояний H = { H1, Hn }.
В процессе эксплуатации система может переходить из одного
состояния в другое. Будем считать, что переход системы из одного состояния в другое осуществляется мгновенно, поэтому время
перехода из состояния в состояние равно нулю. Рассматриваемый
комплекс можно интерпретировать как некоторую точку, которая в случайные моменты времени переходит из одного состояния
в другое, определяя динамический характер самой системы.
Множество всех состояний системы H можно рассматривать
как множество вершин некоторого графа, а процесс перехода из
состояния в состояние – как процесс блуждания точки по вершинам этого графа. Вершина графа Hi может быть либо соединена,
либо не соединена с вершиной Hj, i, j = 1, n. Это эквивалентно тому,
что система, попав в состояние Hi, либо может непосредственно
перейти из этого состояния в состояние Hj, либо такого перехода
осуществить не может. Линии, соединяющие вершины графа, называются рёбрами. Схематически возможность непосредственного перехода из состояния Hi в Hj отображается ориентированным
6
ребром, которое представляет собой стрелку, выходящую из вершины Hi и входящую в вершину Hj. Таким образом, дискретная система характеризуется ориентированным графом состояний, определяющим схему возможных переходов из состояния в состояние,
на котором нанесены вершины (состояния), соединённые ориентированными рёбрами. Если из любого состояния Hi существует,
необязательно непосредственная, возможность перехода в другие
состояния Hj, i, j = 1, n, то в этом случае система характеризуется
графом с эргодическим множеством состояний. Множество состояний H называется эргодическим, если оно является замкнутым
и связным одновременно. Подмножество состояний H называется
связанным, когда любые два состояния Hi ∈ H и Hj ∈ H являются
связанными, и из состояния Hi путём последовательного перехода
по ориентированным рёбрам графа всегда можно перейти в состояние Hj. Подмножество H называется замкнутым, если не существует перехода по ориентированным рёбрам графа из состояния
H в состояние H, являющееся дополнением множества H. Множество состояний системы, составляющих полную группу состояний,
является замкнутым.
Каждому существующему ориентированному ребру графа, соединяющему состояния Hi и Hj, можно сопоставить интенсивность
потока событий λij(t) или в случае стационарного потока λi. Граф,
на котором помимо направлений перехода, указаны и интенсивности потоков событий, называют размеченным графом состояний.
Каждому размеченному графу состояний соответствует система
дифференциальных уравнений Колмогорова [4, 5] для вероятностей состояний Pi, i = 1, n. Правило для написания системы дифференциальных уравнений по графу состояний приведено в [6, 7].
dPi (t)
В левой части каждого уравнения стоит производная
,
dt
i = 1, n, а в правой части столько членов, сколько стрелок непосредственно связано с рассматриваемым состоянием, если стрелка ведёт в данное состояние, член имеет знак плюс; если ведёт из данного состояния – знак минус. Каждый член равен интенсивности
потока событий, умноженной на вероятность того события, из которого исходит стрелка. Число уравнений может быть уменьшено
на единицу, если учесть соотношение (4).
Решение системы дифференциальных уравнений при заданном
начальном условии P(t0), это решение известной задачи Коши, которое в данных условиях существует и является единственным [4].
В случае рассмотрения графа с эргодическим множеством состоя7
ний и однородными потоками событий по истечению некоторого
промежутка времени (теоретически t → ∞) вероятности состояний
системы практически не зависят от того, в каком состоянии система находилась в начальный момент времени t0, и не зависит от самого промежутка времени [5]. В этом случае в системе существует
стационарный (предельный) режим работы при t → ∞. Он характеризуется вероятностями Pi, i = 1, n. Чтобы найти эти вероятности,
приравнивают нулю левые части уравнений для вероятностей состояний (полагают все производные dPi (t) , i = 1, n, равными нулю)
dt
и решают полученную систему линейных алгебраических уравнений (5). К ним добавляют нормировочное условие (6). Поскольку
ранг матрицы, составленный из постоянных коэффициентов при
неизвестных системы уравнений (5) и нормирующего условия (6)
равен числу неизвестных, а определитель системы отличен от
­нуля, то система уравнений является системой Крамера. Решение
системы можно осуществить аналитически методом Гаусса исключением неизвестных или с использованием ЦВМ.
Рассмотрим метод оценки показателя целостности спутниковой
навигационной системы посадки (СНСП), структурная схема бортового функционального дополнения СНСП приведена на (рис. 1).
Спутниковая
антенна
РВ1
РВ2
БВ1
БВ2
ССЛО
ИНС1
ИНС2
Прм ЛПД1
Прм ЛПД2
БМС
1
ARINC-453
(служебная
информация
для резервирования)
БМС
2
Спутниковая
антенна
Рис. 1. Блок схема СНСП
8
Решающее
устройство
(ПНК)
Устройства
индикации
САУ
СНСП содержит следующие основные компоненты:
–– АСНС и ЛСВ-канал передачи данных от антенны спутниковой навигационной системы до бортового приемного устройства;
–– АПДД-аппаратура приёма и преобразования дифференциальных данных;
–– ИНС-дублированная инерциальная навигационная система;
–– БВ-дублированный баровысотомер;
–– РВ-дублированный радиовысотомер;
–– БМС-бортовая микропроцессорная система.
Как видно из состава системы посадки на борту имеется избыточность навигационной информации за счет использования дублированных инерциальной системы, баро- и радиовысотомеров.
Учитывая, что целью исследования является оценка показателя целостности спутниковой навигационной системы посадки (СНСП) и анализ зависимости изменения его в течение времени ­посадки самолёта, то на основании логического анализа и исходной информации, можно выделить следующие состояния рассматриваемой системы и интенсивности переходов λij(t) из одного
­состояния Hi в другое Hj:
H1 – состояние полной работоспособности СНСП, т. е. это такое
состояние системы, при которой навигационная информация, выдаваемая потребителю, удовлетворяет техническим требованиям
и может обеспечить точный заход на посадку;
H2–H7 – состояния СНСП, соответствующие обнаруживаемым
отказам одной её компоненты (1–7) или несвоевременностью поступления сигналов, при которых навигационная информация,
выдаваемая потребителю не удовлетворяет техническим требованиям и не может обеспечить точный заход на посадку;
H8 – состояние СНСП, при которой навигационная информация, выдаваемая потребителю удовлетворяет техническим требованиям точного захода на посадку самолёта, но вследствие ложных отказов принято решение, что получаемая навигационная информация недостоверна и экипаж не может пользоваться данной
системой;
H9 – состояние СНСП, при которой навигационная информация, выдаваемая потребителю не удовлетворяет техническим
требованиям и не может обеспечить точный заход на посадку, но
вследствие необнаруженных отказов принято решение о том, что
получаемая навигационная информация соответствует техническим требованиям точного захода на посадку по первой категории.
Предположим, что интенсивности потока событий равны (1/ч)
9
λ12 = 10·10–7, λ13 = 4·10–7, λ14 = 5·10–7, λ15 = 5·10–7,
λ16 = 5·10–7, λ17 = 96·10–7, λ18 = 1·10–7, λ19 = 10·10–7,
λ41 = 30, λ51 = 30, λ61 = 30, λ29 = 1·10–2, λ39 = 1·10–2, λ49 = 1·10–2,
λ59 = 1·10–2, λ69 = 1·10–2, λ79 = 1·10–2.
Размеченный граф состояний рассматриваемой системы представлен на рис. 2.
Система дифференциальных уравнений, соответствующая рассматриваемому графу состояний (рис. 2), может быть представлена в следующем виде:
dP1 (t)
= -(λ12 + λ13 + λ14 + λ15 + λ16 + λ17 + λ18 ) +
dt
+ λ41 + λ51 + λ61;
dP2 (t)
= λ12 - λ29 ;
dt
dP3 (t)
= λ13 - λ39 ;
dt
(8)
Н3
Н2
Н1
Н5
Н4
Н6
Н9
Н8
Рис. 2. Граф состояний системы
10
Н7
dP4 (t)
= λ14 - (λ49 + λ41 );
dt
dP5 (t)
= λ15 - (λ59 + λ51 );
dt
dP6 (t)
= λ16 - (λ69 + λ61 );
dt
dP7 (t)
= λ17 - λ79 ;
dt
dP8 (t)
= λ18 - λ89 ;
dt
dP9 (t)
= λ29 + λ39 + λ49 + λ59 + λ69 + λ79 .
dt
R (t) = P1 (t).
(9)
4. Решение дифференциальных уравнений в MathCAD
Дифференциальные уравнения в MathCAD решаются с помощью функции Obesolve.
Применение функции Odesolve требует записи вычислительного блока, состоящего из трех частей:
1) ключевого слова Given (Дано);
2) дифференциального уравнения и начальных или граничных
условий к нему;
3) функции оdesolve(x, t, tmax) (решение ОДУ), где x – имя переменной, относительно которой решается уравнение; t – переменная интегрирования, tmax – максимальное значение интервала интегрирования.
Работу функции odesolve можно продемонстрировать на примере решения системы дифференциальных уравнений, описывающей 7-вершинный граф, являющийся упрощенным описанием динамики системы, по сравнению с 9-вершинным графом.
Пример кода, используемого для решения дифференциального
уравнения:
=
λ : 10−2 , λ õð
=
: 10−5 , =
µ: 0,3,=
γ: 10−1 ν=
k : 0,2
=
γ1: 10−2=
, ρ: 10−5=
, η: 10, tmax
=
: 500.
11
Given:
d
P1 (t) = − ν k + λ xp + γ1 ⋅ P1 (t) + µ ⋅ P2 (t) + η⋅ P4 (t) + η⋅ P5 (t),
dt
(
)
d
P2 (t) = − ( µ + λ + γ1 ) ⋅ P2 (t) + ν k ⋅ P1 (t) + η⋅ P4 (t) + η⋅ P6 (t),
dt
d
P3 (t) = −(γ + ρ) ⋅ P3 (t) + λ xp ⋅ P1 (t),
dt
d
P4 (t) = −2η⋅ P4 (t) + λ ⋅ P3 (t) + γ ⋅ P7 (t),
dt
d
P5 (t) = −2η⋅ P5 (t) + γ1 ⋅ P1 (t) + γ1 ⋅ P2 (t),
dt
d
P6 (t) = −2η⋅ P6 (t) + ρ ⋅ P3 (t) + ρ ⋅ P7 (t),
dt
d
P7 (t) = − (γ + ρ) ⋅ P7 (t) + λ ⋅ P2 (t).
dt
Решение системы алгебраических уравнений в MathCAD
Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде
Ax = b,
(11)
где
é a11 a12
ê
ê a21 a22
A = êê
ê ... ...
êa
ëê n1 an1
é x1 ù
é b1 ù
... a1n ù
ê ú
ê ú
ú
ê
ú
êb ú
ú
x2
... a2n
ú, x = ê ú, b = ê 2 ú.
ê... ú
ê... ú
... ... úú
ê ú
ê ú
ê
ú
êb ú
ú
... ann ûú
x
ëê n ûú
ëê n ûú
(12)
Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые
части уравнений системы, называется матрицей правой части или
12
просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой – искомые неизвестные, называется решением системы.
Если матрица А – неособенная, то есть det A не равен 0, то матричное уравнение (11), имеет единственное решение.
В самом деле, при условии det A не равно 0 существует обратная
матрица А–1. Умножая обе части уравнения (11) на матрицу А–1
получим:
À-1 Àx = À-1 b ,
x = À-1 b.
(13)
Формула (13) дает решение уравнения (11) и оно единственно.
Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.
lsolve(А, b)
Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.
Аргументы:
А – квадратная, не сингулярная матрица.
b – вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.
5. Контрольные вопросы
1. Что понимается под целостностью системы?
2. Какие существуют методы контроля целостности?
3. Какие процессы позволяют описать динамику изменения состояний системы?
4. Как определить безусловную вероятность нахождения системы в некотором состоянии?
5. С помощью каких методов решаются системы дифференциальных и алгебраических уравнений в MathCAD? Опишите порядок действий, при использовании этих методов.
6. Что такое дискретный марковский процесс?
7. Как записать систему линейных уравнений в матричном виде?
8. Опишите принцип построения графа состояний системы.
6. Варианты заданий
Лабораторная оценивается по результатам моделирования работы навигационной системы на основе исходных данных, приведенных в таблице.
13
Н2
Н3
Н1
Н5
Н4
Н6
Н9
Н7
Н
Н8
Рис. 3. Первый граф
Н2
Н3
Н5
Н1
Н4
Н6
Н7
Рис. 4. Второй граф
14
Вариант
Номер
графа
1
1
λ13 = 5·10–7, λ14 = 5·10–7, λ15 = 5·10–7, λ16 = 5·10–7,
λ17 = 93·10–7, λ18 = 10–7, λ19 = 9,8·10–7, λ41 = 30, λ51 = 30,
λ61 = 33, λ29 = 1·10–2, λ39 = 1·10–2, λ49 = 1·10–2,
λ59 = 1·10–2, λ69 = 1,2·10–2, λ79 = 1·10–2.
2
1
λ12 = 10·10–7, λ13 = 4·10–7, λ14 = 5·10–7, λ15 = 5·10–7,
λ16 = 5,1·10–7, λ17 = 96·10–7, λ18 = 10–7, λ19 = 10·10–7,
λ41 = 30, λ51 = 30, λ61 = 30, λ29 = 1·10–2, λ39 = 0,9·10–2,
λ49 = 1·10–2, λ59 = 1·10–2, λ69 = 1·10–2, λ79 = 1·10–2.
3
2
λ12 = 8·10–7, λ13 = 3,5·10–7, λ14 = 5·10–7, λ15 = 91·10–7,
λ16 = 1,6·10–8, λ21 = 3600, λ31 = 3585, λ41 = 3621,
λ51 = 3600, λ27 = 5, λ37 = 5, λ47 = 5, λ57 = 5, λ61 = 0,
λ71 = 0.
4
2
λ13 = 5·10–7, λ12 = 10·10–7, λ13 = 4·10–7, λ14 = 5·10–7,
λ15 = 96·10–7, λ16 = 1·10–8, λ21 = 3600, λ31 = 3600,
λ41 = 3600, λ51 = 3600, λ27 = 5, λ37 = 5, λ47 = 5, λ57 = 5,
λ61 = 0,4, λ71 = 0,5.
Интенсивности 1/ч
Библиографический список
1. Brown R. G. A Baseline GPS RAIM Scheme and a Note on the
Equiva-lence of Three RAIM Methods, Navigation, Vol. 39, No 3, Fall
1992.
2. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез
радиотех-нических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.
608 с.
3. Тараканов К. В., Овчаров Л. А., Гарышкин А. Н. Аналитические методы исследования систем. М.: Советское радио, 1980.
С. 460.
4. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и её приложения. М.: Советское радио, 1971. С. 520.
5. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложение. М.: 1965. С. 340.
6. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. М.: Наука,
1969. С. 360.
7. Иванов Ю. П., Никитин В. Г. и др. Метод оценки целостности спутниковой навигационной системы. Известия вузов России.
Радиоэлектроника. 2006. Вып. 5. С. 69–77.
СОДЕРЖАНИЕ
Оценка целостности навигационной системы
с помощью графоаналитического метода................................... 3
1. Введение............................................................................ 3
2. Понятие целостности........................................................... 3
3. Описание графо-аналитического метода................................. 4
4. Решение дифференциальных уравнений в MathCAD.............. 11
5. Контрольные вопросы....................................................... 13
6. Варианты заданий............................................................ 13
Библиографический список................................................... 15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
360 Кб
Теги
ivanovknyazskiy
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа