close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Karamajkin izm sistemy

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
А. С. Карамайкин
ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОУПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
МОДЕЛИ, СТРУКТУРЫ, МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов
Российской Федерации по образованию в области приборостроения
и оптотехники для студенов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки 200100 –
«Приборостроение»
Санкт-Петербург
2012
УДК 681.518.3(075)
ББК 32.973.2
К21
Рецензенты: кафедра процессов управления Балтийского государственного
технического университета (Военмех);
доктор технических наук, профессор Б. И. Марченко (ВМА им. Н. Г. Кузнецова);
доктор технических наук, профессор С. В. Богословский (ОАО «НПП Радар ММС»).
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Карамайкин, А. С.
К21
Измерительно-вычислительно-управляющие системы: модели, структуры, моделирование: учеб. пособие / А. С. Карамайкин. – СПб.: ГУАП, 2012. – 178 с.
ISBN 978-5-8088-0702-0
В учебном пособии рассматриваются методические основы построения моделей функционирования измерительно-вычислительно-управляющих систем
(ИВУС), предназначенных для решения широкого круга задач. Приводятся
рекомендации по выбору математических моделей, основные методы их разработки. Изучаются вопросы, связанные с математическим обоснованием
структур ИВУС как условия совершенствования их характеристик, выбора
критериев оптимизации, использования информационной избыточности данных критериев для задач оценивания и идентификации.
Пособие знакомит с основными идеями и концепциями теории ИВУС применительно к моделированию на ПЭВМ с использованием интегрированных
сред прикладных программ.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности
«Аэрокосмические приборы и измерительно-вычислительные комплексы»,
как по основному учебному плану, так и по планам бакалаврской и магистерской подготовки направления «Приборостроение».
УДК 681.518.3(075)
ББК 32.973.2
ISBN 978-5-8088-0702-0
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
© Карамайкин А. С., 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последнее время понятие «модель» достаточно широко используется в самых разных областях науки, техники, гуманитарных областях знания, искусстве и даже в художественной литературе.
Воспользуемся значительно более ограниченным понятием модели – модели математической – описанием изучаемого объекта на
формальном языке, т. е. с помощью чисел, различных уравнений:
конечных, дифференциальных, интегральных, интегродифференциальных, операторных, а также неравенств или логических соотношений.
Под термином «математическое моделирование» часто понимают некоторое упрощенное и весьма приближенное математическое
описание сложной системы. Понятие «модель» в этом случае противопоставляют закону науки, когда предполагают, что он описывает
явление природы некоторым «безусловным» образом.
Одна и та же сложная система может описываться разными моделями, каждая из которых отражает только какую-то одну сторону
изучаемой системы. Это, если угодно, взгляд на сложную систему
или комплекс в некотором определенном и заведомо узком ракурсе. В подобном случае, естественно, не возникает дискриминации –
разные модели могут иметь право на одновременное существование.
Модель в этом понимании ведет себя в каком-то смысле так же, как
и описываемая ею система, а в некоторых ситуациях – иначе, ибо
она не полностью идентична (адекватна) описываемой системе или
комплексу. Точнее было бы сказать, что математическая модель
есть просто метафора.
Напомним, что под словом «метафора» понимают оборот речи,
состоящий в употреблении выражений в переносном смысле на основе какой-либо аналогии, сходства, сравнения, контраста.
Зачем же нужно строить метафоры столь сложных систем,
как измерительно-вычислительно-правляющие комплексы (ИВУС)
3
летательных аппаратов, тем более что построение таких моделей
дается не даром: приходится преодолевать трудности, подчас весьма значительные, и научного, и организационного, и психологического характера.
Просто так, в свое удовольствие, строить математические модели не стоит. В то же время основным после изучения реальных явлений и объектов методом познания служит построение моделей,
но не каких-либо, а содержательных, дающих возможность объемно увидеть какие-то интересные или нужные исследователю стороны изучаемого явления, объекта, процесса, игнорируя другие
его аспекты. С иных позиций они могут оказаться более важными,
и тогда необходимо строить другую модель.
В практике работы с ПЭВМ следует различать техническую процедуру решения поставленной задачи и решение задачи по существу.
Нельзя сводить постановку задачи и получение решения лишь к программированным в том или ином виде процедурам: записи или представлению математической модели в форме, удобной для использования в интегрированном комплексе прикладных программ, вводу
модели в ПЭВМ, выбору численного метода решения исходя из соображений реально достижимой точности и длительности решения, регистрации решения и т. д. Между тем человек, следуя формальному
подходу, часто считает, что его задача «должна решаться», и разочаровывается в противном случае в вычислительной технике.
Где ошибка, как ее найти, корректно ли поставлена задача? Ответ на эти вопросы лучше всего дает физический подход, при котором проектируемый комплекс или систему представляют в виде совокупности заданных физических элементов, агрегатов, подсистем.
Комплекс или система делится на части, для которых известны точные решения или экспериментальные характеристики, а соединение этих частей в модели дает новые искомые зависимости. Модель
анализируют и корректируют по частям, как бы ставя дополнительные эксперименты для частных систем, которые можно анализировать в отдельности.
Для получения достоверных результатов необходимо связать
процесс моделирования с физическим смыслом задачи, чтобы убедиться в правильности этих результатов, либо получить неопровержимые доказательства неправильности постановки задачи
и знать, где искать ошибку.
Таким образом, моделирование на ПЭВМ – это не формальная
процедура, а экспериментальный поиск. Поэтому можно говорить об
искусстве моделирования так же, как и об искусстве эксперимента.
4
Существенно упростить общение с компьютером позволяет использование универсальных пакетов прикладных программ и интегрированных сред. В последние годы в научно-техническом мире
получила широкое распространение известная еще с начала 80-х годов интегрированная среда для проведения математических расчетов, проектирования и моделирования – MATLAB.
Формализация задач синтеза и анализа измерительно-вычислительно-управляющих систем и комплексов (ИВУС и К), а также
применение численных методов решения задач позволяют использовать хорошо изученные приемы решения и стандартное (универсальное) математическое обеспечение ПЭВМ. Применение ЭВМ
повышает эффективность научных исследований, позволяет проводить моделирование сложных объектов и явлений.
Математическое моделирование включает в себя следующие шаги (этапы моделирования):
1) выбор расчетной схемы и определение необходимой детализации;
2) математическое описание (составление системы уравнений);
3) выбор метода решения;
4) приведение модели (включающей в себя уравнения, метод, исходные данные и начальные условия) к виду, удобному для решения
на ЭВМ;
5) составление программы для ЭВМ;
6) проведение расчетов (моделирование);
7) при необходимости повторение шагов 3–6;
8) анализ полученных результатов;
9) при необходимости повторение шагов 1–8;
10) оформление документации (описание, схемы, рисунки, графики, формулы и т. д.);
11) при необходимости повторение шагов 1–10, 3–10, 8–10.
Совершенствование ПЭВМ и программного обеспечения приводит к ускорению и облегчению выполнения каждого шага моделирования.
До недавнего времени преобладал традиционный подход, отработанный на «больших» ЭВМ. При этом каждый этап был изолирован от других и рассчитан на работу специализированной группы.
Так, постановкой задачи занимались «постановщики», методы решения и программирования разрабатывали математики и программисты, работой на ЭВМ и построением графиков решения занимались операторы и т. д. Много времени (человеческого и машинного)
требовалось на отладку программ. Решение на ЭВМ проводилось
5
в основном в пакетном режиме. При традиционном подходе хорошо
решаются многовариантные задачи на хорошо отработанных моделях. Многомодельные системы широко используются в системах
автоматизированного проектирования (САПР).
Увеличение быстродействия ЭВМ и развитие графического интерфейса позволило получать и отображать результаты в графическом виде по ходу решения, что значительно сократило объем промежуточных распечаток и бумажных отчетов.
На шаге 3 широко используются стандартные пакеты прикладных программ, которые содержат обоснование применения и контрольные примеры.
Пользователи средств ЭВМ со стажем наверняка помнят широко известный пакет прикладных научных программ SSPLIB для
ЕС ЭВМ, значительно расширивший вычислительные возможности языка Фортран, пакет TUTSIM, обеспечивавший возможность
моделирования любой нелинейности, пакет SIAM c удобной и наглядной графической оболочкой, а также пакеты СС 3.0 и СС 4.0,
разработанные в Калифорнийском технологическом институте для
промышленных и учебных целей. Модульный состав пакета соответствовал модульной структуре используемых подходов к программированию задач и широко используемого в то время подхода, связанного с наработкой необходимого набора методов решения
и ряда моделей для определенного класса задач.
При системном подходе к моделированию должен рассматриваться весь комплекс вопросов проектирования: планирование, проведение вычислительного эксперимента и обработка результатов.
Важной задачей является обработка результатов вычислений. На
этом этапе используются методы, хорошо зарекомендовавшие себя
в экспериментах с реальными объектами. Результаты, полученные
на математических моделях, должны быть сопоставимы с результатами натурного эксперимента.
Первые персональные компьютеры в основном облегчали процесс оформления результатов моделирования (шаг 10). На этом этапе использовались текстовые и графические редакторы, программы
построения графиков.
Наверное, нет смысла перечислять все текстовые редакторы, которые в разное время использовались для оформления научно-технических отчетов. Однако, на наш взгляд, особое (историческое)
место занимает «Лексикон», с помощью которого можно было получить печатный текст, похожий на машинописный, как это требовалось по ГОСТ.
6
Для построения графиков-результатов использовался известный
многим пакет GRAPHER, первые версии которого работали еще под
MS DOS.
Современные пакеты подготовки печатной продукции включают в себя средства оформления текста, подготовки математических
формул, графиков, схем, таблиц. Современные технологии позволяют подготовить документ, содержащий как объекты-документы
других типов или гиперссылки на другие документы, так и программы обработки.
В настоящее время наибольшее применение в задачах моделирования как этапа проектирования получили персональные компьютеры. Изначально широкое их использование определялось не
быстродействием, а возможностью гармонично настроить рабочее
место исследователя, организовать передачу данных между задачами, получить законченный отчет.
Современные программы численного моделирования систем
и процессов становятся все более автоматизированными, облегчая пользователю процесс постановки и решения широкого класса
сложных задач. Еще больший эффект обеспечивают современные
возможности качественного визуального представления результатов.
Среди таких программ одно из лидирующих мест, безусловно,
занимает система MATLAB + Simulink компании MathWorks, на основе которой разработано большое число профессиональных приложений (так называемых тулбоксов) для применения в конкретных
областях. Эти приложения, объединившие достижения численного моделирования определенного круга задач, являются не просто
набором методов и команд, а без преувеличения последним словом
в исследованиях в данном направлении. Профессиональное овладение специализированным тулбоксом позволит разработчику подняться на уровень мировых достижений и на равных конкурировать с лидерами в этой области.
Для проектирования систем регулирования и управления, цифровой обработки сигналов, коммуникационных систем широко используется блок инструментов Simulink, позволяющий моделировать динамические системы, оценивать их работу, модифицировать
проект с помощью графических блок-диаграмм. Блок Simulink –
это интерактивная среда моделирования и анализа широкого класса динамических систем. Благодаря тесной интеграции с MATLAB
блок Simulink имеет непосредственный доступ к широкому спектру
средств проектирования и анализа.
7
Традиционный подход к проектированию систем обычно заключается в создании прототипа, за которым следуют всестороннее
тестирование и внесение соответствующих изменений. Этот подход
требует больших временных и финансовых затрат. Эффективной
и общепринятой альтернативой является имитационное моделирование.
Блок Simulink – мощный инструмент моделирования, обеспечивающий быстрое построение и тестирование виртуальных прототипов и доступ к любому уровню детализации проекта с минимальными усилиями. Используя Simulink для итеративного исправления
проекта до построения прототипа, инженер может разработать проект быстро и эффективно.
Построение моделей как одна из сторон диалектической пары
противоположностей анализ–синтез имеет множество аспектов, из
которых тот или иной (в зависимости от поставленных целей) выдвигается на передний план. Особенно существенным при построении моделей является отражение, понимаемое в смысле теории познания.
8
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ
МОДЕЛЕЙ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОВЫЧИСЛИТЕЛЬНО-УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
Построение моделей органически связано с оптимизацией, образуя с ней главные направления междисциплинарных работ, дающих возможность надежного описания систем и процессов. Оно
является предпосылкой целенаправленного использования свойств
последних при решении практических задач.
Главная цель построения модели при заданных входных и выходных наблюдениях – добиться понимания реальных процессов.
Отвлекаясь от множества аспектов целевого назначения моделирования, остановимся на задаче моделирования в процессе проектирования (синтеза) технических систем.
Следует иметь в виду, что моделирование, по существу, основано
на использовании динамической аналогии и предполагает построение
действующей, или реальной, модели, обладающей свойствами или
характеризуемой отношениями, которые подобны свойствам или отношениям рассматриваемой естественной или технической системы.
Поэтому первым шагом исследований с использованием методов моделирования является разработка модели функционирования системы.
Обычно под моделью понимают объект, связанный определенными отношениями с моделируемой системой. Отношения между
моделью и моделируемым объектом могут носить характер тождественного подобия, нетождественного подобия, аналогии, изоморфизма, изофункционализма и т. п.
Математические модели подразделяют на вещественно-математические и логико-математические. Вещественно-математические
модели имеют одинаковое с физическим оригиналом математическое описание, логико-математические носят абстрактный характер и выражаются формулами.
Процесс построения модели в общем случае имеет иерархическую
структуру со сложным поисковым характером достижения цели.
Это обусловлено тем, что, поставив задачу изучения той или иной
системы, модель ее строят не только на основе предварительных
знаний об объекте исследований, но и по результатам моделирования выделяют в изучаемой системе свойства и отношения, которые
могут быть использованы для дальнейшего ее совершенствования. Этот процесс исследований от объекта к модели и наоборот
присутствует на всех этапах моделирования.
9
После разработки модели в нее необходимо ввести определенную
информацию, чтобы проверить, насколько воспроизводимые ее данные приближаются к ранее зарегистрированным экспериментальным данным, соответствующим введенной информации. Таким образом, экспериментальное изучение реальной системы является
необходимым условием при решении задачи построения модели, и в
то же время процесс моделирования выступает как необходимое условие оптимального построения экспериментальных исследований.
Одной из главных проблем, стоящих перед исследователем, занимающимся моделированием систем, является построение моделей, которые, с одной стороны, наиболее полно отражают процессы
в реальной системе и в этом смысле являются достаточно сложными, а с другой – достаточно просты, чтобы их можно было исследовать и получать результат в обозримое время. Другими словами,
проблема состоит в создании содержательной и адекватной модели
системы, позволяющей ставить и решать различные задачи, возникающие при разработке данных систем и управлении ими. Это
тем более важно, что для управления сложной технической системой обычно необходимо знать ее свойства, такие, как надежность,
устойчивость, точность, помехозащищенность и другие.
Контроль адекватности модели заключается в сопоставлении получаемых результатов моделирования с результатами теоретических или экспериментальных исследований системы и устранении
их противоречий. Современные сложные технические системы, как
правило, характеризуются многими параметрами, значения которых могут отклоняться по случайному закону, а эффективность
функционирования этих систем зависит от ряда случайных воздействий. Нет нужды говорить о том, что при исследованиях таких систем необходимо использовать модели, позволяющие применять аппарат статистического моделирования.
Очевидно, что достижение необходимой достоверности и точности
моделирования зависит от инструментальной точности приборов, позволяющих реализовать модель, и статистической точности получаемых результатов. Модель, как известно, отражает лишь те стороны объекта, которые интересуют исследователя. Поэтому в процессе
проектирования модель изучаемого явления претерпевает некоторые
изменения, и обычно лишь на заключительной стадии удается приблизиться к формированию рабочей модели, отражающей главное.
Однако существуют определенные эвристические приемы, позволяющие выделить общие свойства, которыми должна обладать построенная модель, и методы обеспечения нужных свойств модели.
10
При использовании того или иного способа описания реальных
процессов моделирующий алгоритм может быть записан с помощью операторного уравнения
æ
öïü
ïì
Li (t) =  i ïít, t0 , Li (t0 ), ççt, xi t ÷÷÷ïý,
çè
t0 øïþï
ïîï
где Li (t) – текущее состояние i-й подсистемы в момент t; Li (t0 ) – наæ
ö
чальное состояние i-й подсистемы; ççt, xi tt ÷÷÷ – входное сообщение
çè
0ø
для i-й подсистемы, которое характеризуется упорядоченной совокупностью (t, xi ) для всех t Î Ti (Ti – множество моментов времени,
в которые рассматривается функционирование i-й подсистемы);
xi – вектор-функция, определяющая входной процесс i-й подсистемы. Тогда модель как эквивалент системы при фиксированном входном сообщении по некоторому показателю качества ее работоспособности R (t) = My(t), может быть охарактеризована выражением
æ
öïü
ïì
R (t) = My ïít, t0 , Li (t0 ), çççt, xi tt ÷÷÷ïý, x(t) = {x1 (t), x2 (t),..., xn (t)},
ïîï
è
0 øï
ïþ
а процессы смены состояний описываются соотношениями
ïì
L(t) =  ïít,t0 , Li (t0 ),
îïï
æ
öü
ççt, xi t ÷÷ïïý,
t0 ÷øï
çè
þï
L(t) = {L1 (t), L2 (t),..., Ln (t)},
где  – оператор функционирования сложной системы, определяющий алгоритм взаимодействия ее подсистем.
Таким образом, при разработке моделей сложных систем целесообразно отдавать предпочтение блочному принципу их представления при минимальном обмене информацией между блоками.
В модели не должно быть блоков, слабо влияющих на принятый
критерий интерпретации результатов моделирования. Блок, воздействующий на исследуемую часть системы, целесообразно заменить множеством упрощенных его эквивалентов, не зависящих от
исследуемой части. Каждый эквивалент в пределах заданного диапазона формирует одно из возможных воздействий, а моделирование проводится для каждого из этих воздействий.
При упрощении блока, воздействующего на исследуемую часть
системы, следует сопоставить прямое упрощение замкнутого контура, образуемого этим блоком и исследуемой частью системы без
11
разрыва обратной связи, построение вероятностного эквивалента
с оценкой его статистических характеристик путем частичного моделирования упрощенного блока и замену блока с наихудшим по
отношению к исследуемой части системы воздействием.
Моделирование как метод исследований широко применяется
не только при подготовке технических предложений и формировании технических требований к создаваемому образцу, но и на этапах эскизного и технического проектирования, при отработке образцов в замкнутых системах, в составе которых предполагается их
использование. При этом оно расширяется путем организации различных видов натурных испытаний, определяющих характеристики объектов и их изучение.
Приведем некоторые примеры эффективности этого направления моделирования. Так, в авиации моделирование сложных бортовых систем требует затрат до 2 % от общей стоимости разработки,
но позволяет сэкономить 15–20 % этой стоимости.
1.1. Цели и задачи моделирования ИВУС
Проблема автоматизации проектирования не только неразрывно связана с возможностью построения адекватных моделей, но и в
наибольшей степени определяет ее эффективное решение. От того,
насколько удачен как в смысле конструктивности, так и в смысле
адекватности используемый для моделирования математический
аппарат, зависит качество выходного продукта САПР – проектируемого изделия. Поэтому в представленной на рис. 1.1 блок-схеме системы автоматизированного проектирования введена, кроме того,
автоматизированная система исследования и моделирования проектируемого объекта (ПО) и его подсистем.
Связано это с тем, что в процессе проектирования весьма часто
возникают ситуации, при которых в силу тех или иных причин необходимо заменить какую-либо модель или провести исследование с целью получения дополнительных сведений о проектируемом объекте.
Обратим внимание еще на одну особенность блок-схемы: она предусматривает возможность построения такой модели ПО, при которой часть ее в виде отдельных подсистем может содержать реальные
устройства, входящие в проектируемое изделие как неизменяемые,
заранее известные элементы. Во многих случаях такая структура
модели может быть наиболее целесообразной, так как позволяет
усилить ее адекватность. Однако это обусловливает определенные
требования к используемому для описания математическому аппа12
Модели
подсистем
Оптимизация
структуры
Параметрическая
структура
Техническое и
математическое
обеспечение
САПР
Проектировщик
Формирование
структуры
Средства взаимодействия системы
«ЭВМ –
проектировщик»
Модель ПО
САПР
Реальные подсистемы
проектируемого объекта
Автоматизированная система
моделирования и исследования
проектируемого объекта и его подсистем
Рис. 1.1
рату, так как он должен обеспечивать в реальном масштабе времени
возможность совместной работы посредством аппаратуры согласования с реальными подсистемами ПО.
Сам процесс проектирования заключается в том, что разбитое
на блоки проектируемое изделие компонуется из имеющихся в распоряжении проектировщика моделей подсистем (функциональных
узлов), и, если это необходимо, реальных устройств. Все эти модели подсистем объединяются в соответствии с их функциональными
назначением и связями, формируются необходимые воздействия
и организуется исследование всей модели проектируемого объекта.
Реализация такого процесса решает задачу первого уровня проектирования – формирование структуры ПО.
Второй уровень проектирования предполагает проведение оптимизации структуры проектируемого объекта. Это означает, что модель и средства работы с ней в соответствии с выбранным критерием качества должны обеспечивать оптимизацию ПО относительно
отдельных подсистем и связей между ними, определять желаемое
состояние системы и ее подсистем.
13
Поиск значений параметров элементарных звеньев ПО и его подсистем осуществляется на третьем уровне проектирования при проведении параметрической оптимизации полученной структуры.
Очевидно, что реализация всех этих задач требует использования подходящего математического аппарата, обеспечивающего
адекватное описание широкого класса объектов, и решения их на
всех трех уровнях проектирования. Легко заметить, что задачи, решаемые на этих уровнях проектирования, тесно связаны с видом
математического описания.
1.2. Требования и правила моделирования
Одному и тому же объекту-оригиналу в зависимости от целей моделирования может соответствовать большое число моделей, отражающих разные его стороны и поэтому имеющих, как правило, разную структуру. Математическая модель (ММ) объекта управления
включает в себя математическое описание связей между основными переменными и ограничения, накладываемые на их изменение.
Математические модели должны быть предельно простыми, иметь
стандартную форму и обеспечивать достаточную точность.
Построение математической модели состоит из следующих основных этапов: выделение объекта моделирования (в пространстве, во
времени и в координатах его поведения), выбор вида модели и метода ее построения, разработку модели, включая идентификацию.
Практика теоретических и экспериментальных исследований выработала ряд требований и правил математического моделирования.
Эти требования и правила можно представить следующим образом:
1. Выделение объекта исследования для моделирования должно соответствовать цели его функционирования с позиции данной задачи.
2. Переменные, константы и отношения, составляющие ММ,
должны отражать свойства одноуровневого объекта лишь как интегрированного целого или зависеть от этих свойств. Такая модель
должна отражать только существенные связи объекта со средой.
3. Построение модели должно быть процессом представления бесконечного многообразия связей объекта со средой конечной схемой,
соответствующей не только данной цели функционирования объекта, но и возможности дальнейшего конкретного применения ММ.
4. Метод моделирования должен содержать условие, которое
ставит модель в зависимость от цели функционирования объекта,
а следовательно, и от условий его наблюдения.
14
5. Метод построения ММ должен давать возможность строгой постановки математических задач как следствия определенной идеализации свойств объекта.
6. Метод должен позволять строить модель преимущественно на
измеримых численных оценках рассматриваемых свойств. Поэтому
измеримость величин желательно положить в основу метода.
Этот пункт выражает скорее пожелание, чем требование, ибо не
всегда реальные явления можно представить в необходимом объеме
в численном отображении. Во многих случаях нечисловые модели,
например, графические или словесные, дают лучшее представление
об объекте.
7. Неизмеримые процессы желательно формализовать до степени получения численных оценок (экспертных, вероятности поступления некоторого наперед оговоренного события, логических
переменных, представленных в виде чисел, и т. п.). Такое численное представление свойств объекта позволяет автоматизировать
различные процедуры оперирования моделями и использовать для
этого ЭВМ.
8. Полученная модель должна доставлять количество информации, необходимое и достаточное для решения задач в соответствии
с поставленной целью. Это требование вытекает не только из содержательности и конкретной цели функционирования объекта,
но и из возможности восприятия и переработки этой информации
в определенных условиях.
9. Модель должна явно отражать ту неопределенность в представлении реального объекта, которая имеет место на рассматриваемом уровне.
10. В пределах относительности и неопределенности представления реального объекта модель должна доставлять достоверную информацию, имеющую определенный качественный смысл.
11. Модель должна быть экспериментально проверяема. Это значит, что должен существовать такой эксперимент (наблюдение), хотя
бы гипотетический, результаты которого могут быть сопоставлены
определенным образом с результатами, полученными на модели.
При выделении объекта моделирования во времени выбирается
временной интервал функционирования модели, который должен
совпадать с расчетным интервалом времени, на котором задан критерий качества функционирования.
При выделении объекта моделирования в пространстве координат его поведение тесно связано с выбранной целью управления, так
как из всей совокупности входных воздействий, влияющих на ход
15
процесса, и выходных переменных, характеризующих его протекание, необходимо выбрать те величины, которые будут изменяться
при решении задачи исследования или управления. К таким величинам относятся управляющие воздействия u1, u2, …, um, которые
целенаправленно изменяются в процессе управления входными
воздействиями, и управляемые переменные x1, x2, …, xn, принадлежащие к тем входным переменным, информация об изменении которых используется для формирования управляющих воздействий.
Остальные входные воздействия z1, z2, …, zl относят к возмущающим, а выходные переменные – к неуправляемым.
Возмущающие воздействия могут быть контролируемыми (наблюдаемыми) и неконтролируемыми (ненаблюдаемыми), внутренними и внешними. Для описания совокупностей управляющих,
возмущающих и управляемых переменных часто используют векторную форму записи:
õ = (x1, x2 ,..., xn ), u = (u1, u2 ,..., um ), z = (z1, z2 ,..., zl ).
Наиболее общей формой представления состояния объекта является изображение его положения в виде точки в фазовом многомерном пространстве координат. Если состояние объекта меняется
с течением времени, то в фазовом пространстве это эквивалентно
движению точки, характеризующей состояние объекта, по некоторой траектории.
Математические модели объектов управления должны удовлетворять определенным требованиям. Во-первых, зависимости, описываемые моделью, должны быть справедливы для всего расчетного интервала времени, на котором решается задача управления. Модель
должна охватывать все входные переменные (управляющие и возмущающие воздействия), а также выходные управляемые величины
õ(t) =  {u(t), z(t)},
где { ⋅ } – вектор-функция управляющих u(t) и возмущающих z(t)
воздействий.
Математическую модель определяют так же, как функциональный оператор, отображающий функциональные преобразования пространства входных переменных {u, z} в пространство оценок
ˆ :X
ˆ = Aˆ (u, z) . Причем вектор истинных
выходных переменных X
выходных переменных x не совпадает с выходом модели X̂ , так как
оператор Â является приближенной характеристикой соответствующего технологического оператора A.
{ }
16
При использовании теоретического подхода модель строится
на основе соотношений, вытекающих из физических законов, при
формальном подходе в основе его лежит принципа «черного ящика». Поэтому первый подход применяют в тех случаях, когда известны законы, которым подчиняются процессы, протекающие
в объекте моделирования, второй – в случае отсутствия такой информации.
1.3. Методические рекомендации по выбору вида
математической модели и способа ее разработки.
Классификация моделей
Существует большое число классификаций моделей, применяемых в разных науках. Математический язык моделей также может
быть разным. В символьных моделях используют совокупность математических соотношений в виде формул, уравнений, операторов,
логических условий или неравенств, в графических – графики, номограммы, схемы. Классификация моделей приведена на рис. 1.2.
Математические модели, представленные в виде схем, иногда называют математическими иконографическими (топологическими)
моделями. Статическая модель описывает связи между основными
переменными в установившемся (статическом) режиме, динамическая – при переходе от одного режима к другому. Статическая и динамическая модели входят как составные части в полную математическую модель процесса.
Детерминированные модели, построенные с использованием теоретического подхода, имеют ряд существенных преимуществ: их
можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта,
как это часто бывает при проектировании, они качественно более
правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте, даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении
параметров модели. Такие модели пригодны для изучения общих
свойств объектов определенного класса и прогнозирования поведения объекта.
Если априорная информация об объекте моделирования не обладает достаточной полнотой или из-за его значительной сложности
невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты объекта
существенно, то выбирают стохастическую модель.
Наиболее полное представление о поведении объекта дают динамические модели. Однако их использование приводит к довольно
17
Основание
деления
Модели
По способу
деления
Символьные
По совпадению
природы объекта
и модели
Физические
По назначению
Гносеологические
По способу
построения
Теоретические
По типу языка
описания
Текстовые
Вещественные
Приборные
Информационные
Эргатические
Формальные
Комбинированные
Графические
По зависимости
переменных модели С распределенными
в пространстве
переменными
состояний
По зависимости
параметров модели
от переменных
По принципу
построения
Независимые
Стохастические
Смешанные
С сосредоточенными
переменными
Зависимые
Детерминированные
По изменению
выходных переменных во времени
Статические
Динамические
По приспособляемости
Адаптивные
Неадаптивные
По способу
приспособления
(настройки)
Поисковые
Беспоисковая
По входному
воздействию
на объект
Переходная Импульсная Частотная Передаточная
функция
функция
функция
функция
Рис. 1.2
18
Математические
сложным вычислительным задачам, поэтому для объектов, инерционностью которых можно пренебречь по сравнению с временным
интервалом, на котором решается задача управления, или при сравнительно малом спектре возмущений ограничиваются выбором статических моделей.
В случае если можно пренебречь пространственной неравномерностью переменных, используют модели с сосредоточенными переменными, в противном случае – модели с распределенными
переменными. Последние можно построить только при теоретикофизическом подходе. При этом вычислительная задача еще больше
усложняется.
Идентификация модели основывается на активном или пассивном экспериментальном методе. При использовании активного метода исследователь сам выбирает нужное регулярное воздействие,
которое поступает на вход объекта. При этом фиксируется реакция
объекта на указанные входные воздействия. В пассивном эксперименте исследователь лишь регистрирует случайные входные воздействия, возникающие при нормальной эксплуатации объекта, и
реакцию его на эти воздействия. Активные методы требуют меньше времени на наблюдение и обработку результатов, чем пассивные.
Учитывая статистическую природу изменения основных переменных объекта, а также конечность экспериментальных данных
при идентификации модели, удается определить не сам оператор A,
а оценку этого оператора Â , которая служит его характеристикой.
Для построения теоретических моделей используют конечные
алгебраические или трансцендентные уравнения, обыкновенные
дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения
в частных производных.
Конечные уравнения применяют для построения статических
моделей, обыкновенные дифференциальные уравнения – для создания динамических моделей объектов с сосредоточенными переменными или статических моделей объектов с распределенными
переменными, зависящими только от одной пространственной координаты.
Дифференциальные уравнения в частных производных используют для математического описания динамики объектов с распределенными переменными и стационарных режимов тех же объектов,
но с распределенностью более чем по одной пространственной координате. В первом случае математическая модель наряду с начальными условиями должна содержать условия, задаваемые в общем
случае функциями времени, во втором случае – граничные условия,
19
которые могут зависеть от координаты. В ряде случаев от непрерывного объекта с распределенными переменными переходят к дискретному объекту с сосредоточенными переменными, производя замену
дифференциальных уравнений разностными соотношениями.
Стохастические модели содержат вероятностные элементы и
представляют собой систему эмпирических зависимостей, полученных в результате статистического обследования действующего
объекта, детерминированные – систему функциональных зависимостей. Если параметры (коэффициенты) модели зависят от переменных или если последние мультипликативны, то модель является нелинейной. При непрерывном отклике на входные воздействия,
аддитивности переменных и независимости параметров модели от
ее переменных модель считают линейной. У модели с нестационарными параметрами последние являются функциями времени, у модели со стационарными параметрами они неизменны во времени.
Динамическую модель записывают как функцию непрерывного t или дискретного S=t/t времени. Динамическая модель в зависимости от способа построения может быть представлена в виде
переходной, импульсной или частотной характеристики, а также
в виде передаточной функции.
Переходная функция (характеристика) h(t) определяет изменение выходной величины объекта (элемента системы) при скачкообразном изменении входной величины на единицу 1(t) и при нулевых начальных условиях.
Импульсная (импульсная переходная) функция (характеристика), или функция веса h(t), определяет изменение выходной величины при приложении ко входу объекта дельта-функции (t) или единичного импульса при нулевых начальных условиях.
Частотная (амплитудно-фазовая) функция (характеристика)
W(j) определяет изменение амплитуды и фазы выходной величины в установившемся режиме при приложении ко входу объекта (элемента, системы) гармонического воздействия. Передаточная
функция W(p) – это отношение изображения по Лапласу выходной
величины объекта (элемента, системы) к изображению по Лапласу
входной величины при нулевых начальных условиях.
Адаптивные модели в зависимости от способа определения их параметров делят на поисковые и беспоисковые. Во-первых, автоматический оптимизатор варьирует параметры модели так, чтобы получить наименьшую меру ошибки между выходами модели и объекта,
во-вторых, параметры модели рассчитывают, используя значения
управляющих воздействий и выходных переменных.
20
1.4. Теоретический метод разработки
детерминированных моделей статики и динамики
При использовании теоретического метода построения модели необходимо реализовать выбранный метод ее формирования,
разработать моделирующий алгоритм и проверить адекватность
объекту.
Моделирующий алгоритм представляет собой последовательность операций, которые необходимо выполнить над математической моделью, чтобы найти значения выходных ее переменных при
заданных значениях входных.
Возможно решение на модели и обратной задачи. Однако при этом
необходимо учитывать физическую реализуемость режима, задаваемого значениями выходных переменных. Необходимость в разработке специального моделирующего алгоритма отпадает в тех
несложных случаях, когда возможно аналитическое решение системы уравнений математического описания. Если математическое
описание представляет собой сложную систему конечных и дифференциальных уравнений, то его практическая применимость зависит от эффективности моделирующего алгоритма, особенно при решении задач оптимизации.
Завершается разработка модели проверкой ее адекватности объекту моделирования, при которой результаты экспериментальных
исследований сравниваются с результатами вычислений при решении уравнений модели с идентичными условиями. По результатам
экспериментальных исследований возможна корректировка значений параметров модели (параметрическая идентификация) для повышения ее точности.
Для количественной оценки адекватности модели, полученной
при теоретико-физическом подходе, используют функцию
n
 = å  i (xi - xi ) 2,
i=1
где xi – значение переменной в модели; xi – значение ее, полученное
в результате измерения на объекте;  i – весовой коэффициент, который выбирают из соображений важности тех или иных переменных для последующего использования модели. Оценка адекватности модели тем точнее, чем больше измеряемых переменных.
Функцию  можно использовать и для корректировки параметров модели, определяя такую совокупность их значений, которая минимизировала бы .
21
1.5. Формальные методы разработки статических моделей
Наибольшее распространение среди формальных методов разработки статических моделей получили экспериментально-статистические методы, основанные на корреляционном и регрессионном анализе, при использовании которых математическую модель
представляют в виде полинома – отрезка ряда Тейлора, являющегося результатом разложения неизвестной функции связи выходной
и входной переменных.
Учитывая статистическую природу исследуемых процессов и
выборку экспериментальных данных, оценку выходной переменной
можно получить в виде уравнения регрессии
n
xˆâûõ = 0 + å  i xâõi +
i=1
n
n
j, i=1
i=1
2
å ij xâõi xâõj + å ii xâõ
i + ...,
где  0 – свободный член уравнения регрессии;  i ,  ij ,  ii – коэффициенты регрессии, характеризующие соответственно линейные
эффекты, эффекты взаимодействия и квадратичные эффекты; n –
число входных переменных.
Значения коэффициентов, получаемые при обработке экспериментальных данных, являются оценками соответствующих теоретических коэффициентов. При использовании экспериментальностатистических методов входные переменные xâõ1, xâõ2 , ..., xâõn
называют факторами, координатное пространство с координатами
xâõ1, xâõ2 , ..., xâõn – факторным пространством, а геометрическое
изображение искомой функции (функции отклика) в факторном
пространстве – поверхностью отклика.
Статическая модель в виде уравнения регрессии удобна для выполнения математических операций, дает возможность использовать при обработке экспериментальных данных ЭВМ, однако не несет почти никакой информации о физико-химических механизмах
процесса.
Экспериментально-статистические методы разработки статических моделей включают в себя выбор экспериментального (пассивного или активного) метода, предварительный выбор вида уравнения регрессии, планирование активного эксперимента, проведение
эксперимента, включая сбор исходного статистического материала
в режиме нормальной эксплуатации в случае использования пассивного метода проведения эксперимента, определение коэффициентов регрессии, статистический анализ результатов. Последние
две операции составляют обработку экспериментальных данных,
22
которую проводят методами корреляционного и регрессионного
анализа.
Пассивный эксперимент применяют в случаях, когда входные
переменные не поддаются целенаправленному изменению. Это связано с целым рядом недостатков пассивных методов:
– при проведении эксперимента чаще всего поддерживается
стабильный режим, при котором колебания входных переменных
сводят к минимуму. Поэтому изменения выходов в этих условиях
определяются прежде всего влиянием неконтролируемых входов.
Математическая модель, полученная при обработке таких опытных
данных, естественно, не может быть использована для управления;
– ошибки измерения входных сигналов, значительно большие
при пассивных экспериментах, чем при активных, искажают модель существеннее, чем ошибки измерения выходных переменных.
Эти искажения могут оказаться настолько большими, что полученные уравнения станут непригодными для анализа и управления;
– корреляция между факторами приводит к корреляции между
коэффициентами уравнения регрессии, и ошибка в оценке влияния
одного фактора приводит к ошибочной оценке влияния других, которые коррелируют с первыми.
Вид уравнения регрессии выбирают на основе анализа априорной информации исходя из возможности использования линейной
модели. При планировании эксперимента опыты проводят по заранее составленной программе, что позволяет свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции.
Выбор плана проведения эксперимента определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта моделирования.
При проведении эксперимента обращают внимание на точность поддержания планируемых значений факторов и измерения выходной
переменной. Особое внимание должно быть уделено исключению
влияния временного фактора путем одновременной фиксации переменных в установившемся режиме.
Коэффициенты уравнения регрессии определяют методом наименьших квадратов из условия
N
N
k=1
k=1
2
 = å (xâûõk - xˆâûõk )2 = å [ xâûõk - (xâûõk , b0 , b1,...) ] = min,
где N – объем выборки из всей совокупности выходной переменной.
Разность между объемом выборки N и числом связей, наложенных
23
на эту выборку l (для уравнения регрессии это число определяемых
коэффициентов), равно числу степеней свободы выборки:
f = N – l.
Необходимым условием минимума (b0 , b1, ...) является уравнение
¶ ¶ ¶
,
,
= 0, ...,
¶b0 ¶b1 ¶b2
что после преобразований приводит к системе нормальных уравнений
N
å xâûõk
k=1
N
å xâûõk
k=1
¶(xâûõk ) N
¶(xâûõk )
- å (xâûõk , b0 , b1, b2 , ...)
= 0,
¶b0
¶b0
k=1
¶(xâûõk ) N
¶(xâûõk )
- å (xâûõk , b0 , b1, b2 , ...)
= 0,
¶b1
¶b1
k=1
…..............................................................................................
Так как решение системы нормальных уравнений в общем виде отсутствует, ее решают, задав конкретный вид функции . Регрессионный анализ полученного уравнения сводится к оценке значимости коэффициентов уравнения и проверке его адекватности.
Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивают по
критерию Стьюдента
tj =  j Sj ,
где  j – значение j-го коэффициента уравнения регрессии; Sj –
выборочное среднеквадратическое его отклонение.
Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а оставшиеся рассчитываются заново. Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера:
2
2
F = Sîñò
Sâîñïð
,
2
2
где Sîñò
– остаточная дисперсия; Sâîñïð
– дисперсия воспроизводимости.
1.6. Формализованное представление моделей
На современном этапе развития техники управления и обработки
информации особое значение приобретает создание сложных приборных комплексов, предназначенных как для получения и преоб24
разования информации, так и для ее использования при управлении каким-либо объектом как процессом.
Исходя из единства задач преобразования информации и управления введем обобщенное понятие «измерительно-вычислительноуправляющая система», под которой будем понимать систему, осуществляющую преобразование информации и ее использование для
управления некоторым объектом (процессом) на основе априорных
и текущих сведений об объекте управления и характеристиках воздействия на систему (задающих, возмущающих и т. д.).
При анализе и синтезе ИВУС необходимо располагать ее математической моделью, т. е. математическим ее описанием. Сложность
современных ИВУС, как правило, не позволяет рассчитывать на непосредственное использование аналитических моделей (научных
законов, теорий), связывающих характеристики системы с оценочными функционалами – показателями качества системы. В этих условиях широкое применение находят имитационные модели (ИМ),
описывающие процесс функционирования исследуемых систем.
При построении ИМ широко используются аналитические модели в виде соответствующих научных теорий (механики, электротехники, гидродинамики и т. д.). Вместе с тем в таких моделях могут
быть использованы экспериментальные данные в форме графиков,
таблиц и т. п.
Реальные ИВУС многообразны. В простых случаях построение
их имитационных моделей осуществляется на микроуровне, оно
включает в себя описание свойств входящих в систему элементов
с учетом их физической природы, принципа действия и т. д. Однако в сложных ИВУС на первый план выступают их системные свойства, характеризующие систему как целое, т. е. отражающие связи между ее элементами. Сами же элементы рассматриваются лишь
с точки зрения преобразования ими информации в системе при полном абстрагировании их от физического содержания, конструктивных особенностей и т. п.
Двум возможным направлениям использования преобразуемой
информации соответствуют два варианта структуры обобщенной
модели ИВУС.
Первый вариант (рис. 1.3) харакz(t)
теризует случаи, когда ИВУС предx(t)
хвх(t)
C(t)
назначается для обработки поступаюF[·]
щей в нее информации и представления ее в виде выходной величины
x(t) = [ x1 (t), ..., xn (t) ], называемой
Рис. 1.3
25
вектор-функцией состояния системы. Составляющие вектора xi(t),
i = 1, ..., n, представляют собой физические величины (механические перемещения, напряжения, ток, температура и т. п.) и их производные по времени.
Преобразуемая информация (истинное значение измеряемой величины, действительное состояние контролируемого оборудования
и т. д.) представлена вектор-функцией входного (полезного) воздействия
xâõ (t) = [xâõ1 (t), ..., xâõm (t)].
Внешние возмущающие воздействия (помехи, изменения нагрузки, приведенные к соответствующему входу внутренние шумы)
выражены вектор-функцией возмущений
z(t) = [z1 (t), ..., zi (t)].
Наконец, вектор-функция C(t) = [C1 (t), ..., Ck (t)] характеризует
совокупность Ci , i = 1, ..., k, контролируемых (управляемых) параметров ИВУС, изменяя которые разработчик или исследователь
системы осуществляет ее синтез и оптимизацию.
Модель ИВУС отражает формальную зависимость вектора состояния системы от ее входного и возмущающего воздействий и параметров. В наиболее общем виде эта зависимость имеет вид
x(t) = F [xâõ (t), z(t), C(t)],
(1.1)
где F[·] – оператор системы, представленный в явной форме. Неконтролируемые параметры, которые не может изменять конструктор,
входят в оператор F.
Явная форма задания оператора обычно присуща относительно простым устройствам обработки информации. В более сложных ИВУС используется неявная форма их задания в виде уравнений (дифференциальных, тригонометрических, трансцендентных
и т. п.), которые в векторной форме имеют вид
[x(t), xâõ (t), z(t), C(t)] = 0.
(1.2)
Включение в оператор системы вектора контролируемых параметров имеет принципиальное методологическое значение. Поясним это положение.
В тех случаях, когда имеют дело с «готовой» системой (существующей реально или в виде законченного проекта), C(t) = const.
26
Из уравнений (1.1), (1.2) получают более простые, достаточно широко распространенные выражения вида
x(t) = F [xâõ (t), z(t)],
(1.3)
(t)[x(t), xâõ (t), z(t)] = 0,
(1.4)
которые используются при исследовании (натурном или модельном)
различных режимов работы для определения точности, быстродействия, характера переходных процессов при изменении преобразуемых величин и возмущений.
В частных случаях из (1.3), (1.4) могут быть получены еще
более простые операторы. Так, в измерительных приборах или
функциональных преобразователях, конструктивное исполнение
которых обеспечивает надежную защиту от помех (путем экранирования элементов и соединений, температурной компенсации, амортизации и т. п.), можно принять z(t) = 0 и вместо (1.3), (1.4) рассматривать более простые выражения операторов:
x(t) = F [xâõ (t)],
[x(t), xâõ (t)] = 0.
В системах стабилизации (поддержания постоянных значений
напряжения, температуры, давления) можно, считая входное воздействие постоянным (x âõ (t) = const), записать
x(t) = F [z(t)],
[x(t), z(t)] = 0,
где величина xâõ отражена символами F и.
Однако при разработке и проектировании новых ИВУС возможность изменения вектора контролируемых параметров C(t) является основным средством, с помощью которого разработчик или
конструктор добивается придания системе необходимых свойств,
удовлетворяющих требованиям технического задания. В этом случае принятие на системном уровне проектирования в качестве исходных более простых моделей ИВУС (1.3), (1.4) лишит пользователя возможности уже на ранних стадиях проектирования четко
определять в удобной форме содержание и последовательность проектных процедур и создаст трудности при переходе к построению
конкретных моделей на уровне элементов и подсистем.
27
Первый вариант модели ИВУС (см. рис. 1.3) охватывает широкий
класс систем обработки информации от простых измерительных
устройств до сложных функциональных преобразователей, систем
фильтрации, контроля и т. п.
Так, для простейшего измерителя медленно изменяющейся (квазистационарной) физической величины при отсутствии учитываемых возмущений оператор системы имеет вид
x = Kxâõ ,
где xâõ – истинное значение измеряемой величины; x – ее значение,
фиксируемое в виде отклонения подвижной шкалы, цифрового кода на экране электронно-лучевой трубки и т. п.
Здесь размерность векторов xâõ и x равна единице (m = 1, n = 1),
оператор системы имеет вид пропорциональной статической характеристики с единственным параметром K, являющимся коэффициентом передачи (масштабным коэффициентом). Выбирая значения K, конструктор влияет на чувствительность прибора.
Если проектируемый измеритель во время эксплуатации подвержен влиянию возмущающих воздействий (колебания напряжения
сети, изменение окружающей температуры, вибрация и т. п.), то модель системы может быть представлена в виде
x = K1 (z1 )xâõ + K2 (z2 ),
где z1 и z2 – соответственно мультипликативная и аддитивная составляющие вектора возмущений z = (z1, z2); K1, K2 – коэффициенты
передачи по входному (полезному) и возмущающему воздействию.
При разработке такого измерителя конструктор, осуществляя синтез структуры принципиальной схемы размещения элементов и выбирая значения управляемых параметров Ci, стремится в пределах
возможного стабилизировать K1(z1) и свести к нулю K2(z2). В этом
случае модель системы принимает вид
x = K1¢ (z1, C ¢)xâõ + K2¢ (z2 , C ¢¢),
где C ¢ = (C1, ..., Cj ); C ¢¢ = (Cj+1, ..., Ck ).
Операторы K1¢ , K2¢ , естественно, отличаются от операторов
K1, K2 вследствие иной структуры и явной зависимости от составляющих вектора управляемых параметров C.
28
Другим примером модели ИВУС по первому варианту (см. рис. 1.3)
может служить модель контроля (техническая диагностика) работающей ИВУС с оператором вида
x(t) =  [xâõ (t), z(t), C(t)],
где
ïì0 ïðè C Î  N (C),
Z [⋅] = ïí
ïïî1 ïðè C Ï  N (C)
– логическая бинарная функция, принимающая значения «0», если
вектор контролируемых параметров Ci , i = 1, ..., k, не выходит за
пределы области  N допустимых значений, и значение «1» –
в противном случае.
При разработке подобной системы задачей проектировщика являются выбор компонент вектора С и их предельных (пороговых)
значений, а также установление и аппаратурная реализация функциональной связи между С(t) и воздействиями xâõ (t), z(t). При этом
вектор состояния системы x(t) очевидно также может принимать
два дискретных значения: x1(t) = 0 и x2 (t) = 1, которые используются для подачи соответствующего сигнала об исправности или неисправности контролируемой системы, ввода резерва и т. д.
Заметим, что данная модель в виде логического оператора выражает только одну контрольную функцию ИВУС. Ее функционирование в нормальном режиме должно быть отражено другими моделями вида (1.1) или (1.2). Наличие моделей, описывающих разные
стороны реальной системы, соответствующие конкретным целям
исследователя или проектировщика, является одним из основных
системных принципов построения и использования моделей.
Перейдем к рассмотрению второго варианта структуры обобщенной модели ИВУС (рис. 1.4).
Здесь поступающая в систему информация преобразуется и используется для управления (автоматического или автоматизиро-
У
xз(t)
O
b(t)
a(t)
u(t)
Fy [·]
z(t)
x(t)
F0 [·]
Рис. 1.4
29
ванного) некоторым динамическим объектом (процессом) О, обычно
называемым объектом управления.
Непосредственным предметом деятельности разработчика ИВУС
является управляющая часть (управляющее устройство, регулятор) У,
являющаяся подсистемой ИВУС. Именно ее структуру, оператор и параметры синтезирует разработчик. Однако свойства и поведение замкнутой (с обратной связью) системы зависят от сочетания свойств О
и У. Поэтому при исследовании и проектировании такой ИВУС необходимо располагать моделью объекта, которая входит в состав априорной (исходной) информации при разработке подобной системы.
На рис. 1.4 вектор-функция состояния системы x(t) = [x1(t), ...,
xn(t)] является выходом объекта и системы в целом, z(t) = [z1(t), ...,
zi(t)] – возмущающее воздействие на объект. Другим – входным (полезным) – воздействием служит управляющее воздействие – векторная функция u(t) = [u1 (t), ..., ur (t)], поступающая на вход
объекта с выхода управляющей части (вектор управления). Составляющими вектора параметров объекта a(t) = [a1 (t), ..., ak (t)] являются ai (t), i = 1, ..., k, – неуправляемые (неконтролируемые) параметры объекта, изменяющиеся в процессе работы системы под
действием внешних и внутренних факторов (например, изменение
аэродинамических коэффициентов летательного аппарата при разных режимах полета, состояниях атмосферы и т. д.). Неуправляемость (неконтролируемость) в данном случае понимается в том
смысле, что разработчик или исследователь ИВУС не может изменять эти параметры – они являются для него априорно заданными.
Однако это не означает их ненаблюдаемость (неизмеримость) при
эксплуатации системы. Как раз возможность их текущей идентификации с помощью специальных методов и средств лежит в основе
реализации важного принципа адаптации (самонастройки) ИВУС
в процессе их работы.
Управляющее воздействие u(t) вырабатывается управляющей
подсистемой У в соответствии с ее алгоритмом (алгоритмом управления, заложенным в нее в виде априорной информации) на основании текущей информации о действительном x(t) и предписанном
(задаваемом) состоянии системы xç (t) = [xç1 (t),..., xçn (t)]. Векторфункция xç (t) называется задающим воздействием.
Таким образом, главной задачей системного проектирования
ИВУС, предназначенной для управления динамическим объектом,
является синтез алгоритма управляющей подсистемы У, формирующей требуемый закон управления в виде управляющего воздействия u(t).
30
Модель управляющей подсистемы может быть представлена
оператором в явной форме, выражающим зависимость
u(t) = F y [xç (t), x(t), b(t)],
(1.5)
где Fy [⋅] – оператор управляющей подсистемы; b(t) = [b1 (t),..., bó (t)] –
вектор управляемых параметров.
В тех случаях, когда модель управляющей подсистемы не может
быть выражена в аналитическом виде, Fy [⋅] представляет собой управляющий алгоритм, описывающий последовательность вычислительных и логических операций по формированию вектора управления u(t).
В рассматриваемой модели ИВУС отсутствуют какие-либо возмущения, воздействующие на У, равно как и неконтролируемые
параметры, подобные ai(t), из модели О. Иными словами, управляющая подсистема принимается идеальной. Такое допущение оправдывается следующими обстоятельствами.
Во-первых, управляющая часть У, осуществляющая преобразование информации с относительно малыми затратами энергии,
«находится в руках конструктора» и может быть достаточно хорошо защищена от внешних воздействий в отличие от объекта управления, неизбежно испытывающего влияние окружающей среды.
Во-вторых, главной и наиболее трудной задачей при проектировании ИВУС является разработка алгоритма управления, т. е. синтез
структуры и выбор в том или ином смысле оптимальных значений
параметров подсистемы управления. Поэтому на стадии системного
проектирования нецелесообразно усложнять модель системы введением второстепенных (на этой стадии) факторов, которые могут
быть учтены при последующем техническом проектировании на
уровне элементов. Следует заметить, что имеющие принципиальное значение помехи, проникающие в ИВУС по каналу управления
(на входе системы), могут быть в необходимых случаях учтены их
наложением на задающее воздействие xç (t) или его соответствующей модуляцией.
Включение в оператор Fy [⋅], описываемый выражением (1.5), вектора управляемых параметров b(t) необходимо при исследовании
и разработке адаптивных ИВУС, в которых управляемое изменение b(t) позволяет осуществлять в процессе работы перенастройку
управляющей подсистемы при изменении характеристик объекта
и(или) внешних воздействий путем использования текущей информации, вырабатываемой специальными устройствами (идентификаторами, эталонными моделями и т. п.).
31
Модель объекта может быть задана в разной форме – в виде аналитических выражений, таблиц, графиков (в том числе частотных
характеристик), полученных на основе соответствующих теорий
(законов аэродинамики, электротехники и т. д.) или экспериментальным путем. В общем случае модель объекта представляет собой
закон соответствия между множествами функций, выраженный
в виде оператора
x(t) = F0 [u(t), z(t), a(t)],
(1.6)
где F0 [⋅] – оператор объекта.
Для динамических объектов оператор F0 обычно задается
в неявной форме в виде системы уравнений. В зависимости от формы представления переменных величин используют уравнения разного вида.
Модели объектов, представляющие собой непрерывные динамические системы, описывают объект в виде системы дифференциальных (в общем случае нелинейных нестационарных) уравнений.
В векторной форме эти уравнения имеют вид
dx(t)
= f [x(t), u(t), z(t), a(t), t],
dt
где
dxn (t) ù
dx(t) é dx1 (t)
ú , f = (f1,..., fi );
=ê
,...,
êë dt
dt
dt úû
fi – нелинейные функции своих аргументов i = 1, …, n.
При заданном векторе начальных условий
x(0) = [x1 (0),..., xn (0)],
где xi (0) = [xi (t)]t = 0 , i = 1, ..., n, решение (1.6) дает вектор-функцию x(t), определяющую траекторию изображающей точки (конца
вектора x)в n-мерном пространстве состояний.
Модели линейных стационарных динамических объектов могут
быть выражены системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В векторно-матричной форме
эти уравнения имеют вид
dx(t)
= A · x(t) + B · (t) + C · z(t),
dt
(1.7)
где A, B, C – матрицы состояния, управления и возмущения соответственно.
32
При небольшой размерности векторов u и z (малом числе входов)
вместо моделей линейных объектов в области вещественной переменой t (1.7) широко используется их представление в области комплексной p =  ± j и мнимой j переменных.
Пусть составляющие векторов x(t), u(t), z(t) суть последовательные производные по времени одномерных функций x(t), u(t), z(t)
(в том числе производные нулевого порядка – сами функции). Тогда
вместо (1.7) модель объекта можно представить в виде
где Wu ( p) =
r
X ( p) = Wu ( p) U ( p) + Wz ( p) Z ( p),
b0 p + ... + br
n
-1 p + br
a0 p + ... + an -1 p + an
та по управлению, r  n;
Wz ( p) =
– передаточная функция объек-
c0 pl + ... + cl -1 p + cl
– передаточная функция объекта
a0 pn + ... + an -1 p + an
по возмущению, l  n;
X(p), U(p), Z(p) – лапласовы изображения функций x(t), u(t), z(t)
соответственно (в данном случае векторы x, u, z имеют размерности
n+1, r+1, l+1, так как одна из составляющих каждого вектора представляет собой соответствующую нулевую производную).
Заменив в выражениях для передаточных функций объекта p
на j, получим комплексные частотные функции вида
W ( j) = Ae j() = P() + jQ(),
по которым могут быть построены различные частотные характеристики объекта: амплитудно-фазовая частотная W(j), амплитудночастотная A(), фазочастотная (), вещественная P(j) и мнимая
Q(j). Все эти характеристики широко применяются при анализе
и синтезе линейных динамических систем.
Модели объектов, являющихся дискретными и дискретно-непрерывными системами, задаются уравнениями в конечных разностях, которые в векторной форме имеют вид
x(m + 1) = g [x(m), u(m), z(m), a(m), m],
где g = (g1, …, gn); gi – нелинейная функция своих аргументов,
i = 1, …, n;
xi (m) = [xi (t)]t = m , i = 1, ..., n;
ui (m) = [ui (t)]t = m , i = 1, ..., r ;
33
zi (m) = [zi (t)]t = m , i = 1, ..., l;
ai (m) = [ai (t)]t = m , i = 1, ..., k;
tm = mt;
t = const – дискретный интервал (шаг) времени, m = 0, 1, 2, …
Модели линейных дискретных и дискретно-непрерывных объектов могут быть выражены также в матричной форме и в виде дискретных передаточных функций.
Совокупность взаимосвязанных моделей объекта и управляющей подсистемы представляет собой модель ИВУС.
Системные модели, методология построения которых рассмотрена ранее, успешно используются при решении различных задач, связанных с разработкой и исследованием ИВУС, таких, как анализ
устойчивости и качества переходных процессов, синтез управляющих алгоритмов, параметрическая оптимизация, адаптация, оценка точности преобразования информации, оценка эффективности.
34
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. Теоретические основы моделирования
динамических систем. Понятия состояния
и формальной системы
Одним из базовых понятий современной теории систем является
понятие «состояние», которое достаточно детально освещено в литературе [1–3]. Здесь приведем сведения, необходимые нам в дальнейшем.
Под состоянием в общем случае понимается совокупность признаков, характеризующих объект с определенной точки зрения. Такое чисто качественное определение понятия состояния является
для большинства задач недостаточным, чтобы можно было определять состояние в будущем или прошлом на основании знания настоящего. Поэтому развитие данного понятия рассматривается от
выделения первоначальных качественных признаков объекта до их
точной количественной оценки, что связано с необходимостью описания состояния объекта значениями переменных, характеризующих его в определенной системе.
В ходе развития теории моделирования потребовалось строго
определить анализируемое понятие так, чтобы это позволило единственным образом вычислять значения переменных для разных
моментов времени по некоторым исходным данным. Так возникла
задача связать понятие «состояние» с условием единственности поведения исследуемого объекта, что весьма важно для задач моделирования.
Рассмотрим некоторый объект, характеризуемый переменными
x1 и x2. Свойства такого объекта в самом общем виде могут быть записаны выражением вида
F (x1, x2 ) = 0.
Подобное представление называется неориентированным. Этот
же объект можно представить в виде
x1 = f1 (x2 )
(2.1)
x2 = f2 (x1 ),
(2.2)
или
т. е. придав ему разную ориентацию «вход–выход» (2.1) или (2.2).
Такое представление объекта называется ориентированным.
35
При конструктивном моделировании имеем дело с ориентированным объектом, четко выделяя вход u = {ui } и выход y = {yi } .
В этом случае свойства объекта представляют отображением
j : u ´ y, u Ì U, y Ì Y.
(2.3)
Это отображение не всегда однозначно, поскольку одному значению входа ui в общем случае может соответствовать несколько значений выхода: yi, yj, yk, …
Неоднозначность отображения выразится, например, в том, что
ui = uj при yi ¹ yj . Одним из способов, с помощью которого можно
выполнить такое отображение однозначным, является приписывание каждой паре «вход–выход» u, y значения некоторого параметра x Î X , где X – пространство значений этого параметра.
Параметризация пар позволяет составить своеобразный каталог возможных сочетаний входных и выходных величин так, чтобы каждому значению x соответствовало однозначное соотношение u и у [3].
Параметр x, введенный для какого-либо объекта, фиксирующий
строго определенную пару «вход–выход», назовем состоянием этого объекта в данный момент времени t. Если параметр x однозначен в любой
момент времени, то с его помощью возможно установить однозначное соответствие между входом и выходом. В таком случае состояние системы
можно рассматривать как некоторую внутреннюю характеристику, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины и оказывает влияние на ее будущее.
Определение 1. Переменные состояния (ПС) объекта – это некоторый набор численных составляющих вектора х, значение которого в момент t0 необходимо для определения значения этого же
вектора в моменты t > t0 с помощью заданной операции  при воздействии на входе u, т. е.
x(t) = (t,t0 , x0 ,u).
Термин ПС вводится для того, чтобы отличать понятие «переменное состояние» от некоторого, часто интуитивного и привычного
термина «состояние».
Определение 2. Совокупность всех возможных значений переменных состояний {xi} называется пространством состояний объекта X, x Î X .
Параметризация модели позволяет провести ее редактирование
и представить в форме упорядоченных четверок
{tj}, {uj}, {xj}, {yj}, j = 1, 2, …, n,
36
где j – номер упорядоченных четверок tj , uj , xj , yj , обеспечивающих единственность отображения X в X  Y в отличие от (2.3).
Для представления свойств объекта в математической модели
с помощью ПС используют два векторных уравнения:
x = f (x,u,t),
(2.4)
y = g(x,u,t).
(2.5)
Первое уравнение по начальному состоянию x0 и входу u(t) однозначно определяет вектор-функцию x(t), второе по полученному
значению ПС x(t) и входу u(t) однозначно определяет выход объекта
y(t). Представление ММ объекта в виде двух векторных уравнений
является следствием параметризации пар «вход–выход».
Однозначность определения ПС вытекает из единственности
решения дифференциального уравнения (2.4), признаком которого
является удовлетворение условиям Липшица его правой части на конечном интервале наблюдения t Î T , T < . Для реальных объектов
с ограниченными ресурсами это условие почти всегда выполняется.
Итак, система (объект) определяется полностью n переменными x,
где n – размерность пространства состояния X. От ПС не требуется
определенной содержательности. Здесь важна только параметризация содержательных пар «вход–выход». Возможность содержательной интерпретации x Î X является желательным, но второстепенным фактором. Качественное содержание ПС может быть достигнуто
благодаря целенаправленности системы, ее конкретизации.
Существуют системы, для исчерпывающего описания состояния
которых требуется бесконечное множество переменных. Такие системы имеют бесконечномерное пространство состояний.
О системах, представление которых может быть найдено через
состояние (конечномерное или бесконечномерное), говорят, что они
допускают описание с помощью пространства состояний.
Заметим, что в соответствии с данными нами определениями
знания настоящего состояния системы x(t0) и настоящего и будущего
входного воздействия [u(t),t ³ t0 ] достаточно для того, чтобы найти
настоящее и будущее значения выходной характеристики системы
[y(t), t ³ t0 ] . Следовательно, будущее значение выходной характеристики системы не зависит от способа, которым система достигает
своего настоящего состояния. Другими словами, можно утверждать, что настоящее состояние системы отделяет прошлое от будущего ее поведения или все прошлое поведение системы сконцентрировано в ее настоящем состоянии.
37
Системы, которые допустимо описывать с помощью конечномерного пространства состояний, известны как конечномерные системы, или системы с сосредоточенными параметрами. В общем случае
ничего нельзя сказать о том, сколько переменных состояния требуется для описания таких систем. Вероятно, набор их может оказаться
«перенасыщенным» вследствие некоторого множества фиксированных состояний. Поэтому мы должны рассматривать возможность существования двух или более эквивалентных состояний.
Исследуем систему с пространством состояний X и положим, что
y1(t) – ее реакция на начальное состояние x1(t), u() – входное воздействие при t0    t, а y2(t) – реакция на начальное состояние x2(t) и то
же самое входное воздействие u() при t0    t. Состояния x1 и x2 будем называть эквивалентными, если y1() = y2() при t0    t для
всех возможных начальных моментов времени t0 и всех допустимых входных воздействий u. Другими словами, состояния x1 и x2
являются эквивалентными, если выходные сигналы систем совпадают для всех допустимых входных функций u() при t0    t независимо от того, в каком состоянии (x1 или x2) находится система
в момент начала ее функционирования. Конечномерную систему,
не имеющую эквивалентных состояний, будем называть приведенной. Кроме того, если эквивалентная система с сосредоточенными
параметрами является приведенной, соответствующие дифференциальные уравнения состояния x = f (x, u, t) и соотношение вход–
состояние–выход y = g(x, u, t) называют каноническими.
В общем виде гипотетическая процедура моделирования может
быть представлена блок-схемой, приведенной на рис. 2.1.
Начальный этап построения математической модели исследуемой системы состоит в выборе аппарата формализации. Выбор его
осуществляется исследователем и зависит от многих факторов,
в частности, от цели моделирования, априорной информации относительно рассматриваемой системы (статической или динамической, линейной или нелинейной, стандартной или нестандартной,
с сосредоточенными или распределенными параметрами и т. п.), от
имеющихся средств формализации и полученных ранее экспериментальных данных, характеризующих свойства системы. С учетом выбранного аппарата формализации производится идентификация системы с целью получения внешней модели 0.
Идентификация при этом может сводиться к описанию динамики системы, определению размерности пространства состояний, оценке содержательных связей между множествами объектов
и т. п. Решаемая задача зависит от цели моделирования, а ее ре38
Пространство
входных
воздействий
u(t)
Моделируемая
система
y(t)
Исследователь
Выбор
аппарата
формализации
Идентификация
внешнего
описания
Адекватность
описания
Внутреннее
описание
системы
Идентификация
параметров
системы
Структура
выбрана
верно
Реализация
Рис. 2.1
зультаты – от выбранного для описания математического аппарата. Очевидно, что процесс идентификации является итерационным:
вначале выбирается математическое описание, затем проводится
процедура идентификации и оцениваются полученные результаты.
Если они не удовлетворяют исследователя (полученная модель оказалась не адекватной реальной системе), производится изменение
математического описания. Весь процесс повторяется до тех пор,
пока не будет построена адекватная математическая модель внеш39
него описания системы. Например, при решении задачи построения динамической модели системы в предположении ее линейности
и стационарности задача идентификации сводится к определению
элементов матрицы весовых функций системы G(t).
Описание математической модели такой системы представляет
собой реализацию свертки вида
0
y (t) = ò G(t) ⋅ u(t - )dt,
(2.6)
¥
где u(t) – r-мерный вектор-столбец входных сигналов; y(t) – l-мерный
вектор-столбец выходных сигналов; G(t) – матрица весовых функций размером (r  l). Представление (2.6) называют также описанием типа «вход–выход» системы 0. Если проверка на адекватность
моделирования показывает, что она не удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям и причиной этого является более сложный
характер поведения системы, то выбирают новый вид математического описания.
В случае удачно построенного внешнего описания производится
переход к внутреннему описанию системы, т. е. решается задача реализации. Так, пусть при ограничениях, сделанных относительно
системы (2.6), внутреннее описание задается с помощью дифференциального уравнения
dx
= F ⋅ x(t) + C ⋅ u(t),
dt
(2.7)
а выход системы – с помощью выражения
y (t) = H ⋅ x(t).
(2.8)
Здесь x(t) – n-мерный вектор состояний, а F, C, H – матрицы соответствующего порядка.
Если внутреннее описание , заданное уравнениями (2.7), (2.8),
согласуется с внешним (2.6), то задача реализации (в данном случае линейной динамической системы) сводится к нахождению
матриц F, C, H при известной матрице весовых функций G(t). При
этом размерность внутреннего пространства состояний n должна
быть минимальной. Последнее свидетельствует о том, что полученная модель является наиболее компактной, т. е. имеет каноническую структуру.
К настоящему времени задача реализации решена [4] для систем, у которых отображение «вход–выход» линейно. Для нелиней40
ных систем общего решения пока не найдено, поскольку их внешнее описание связано с многочисленными трудностями. Как и при
построении внешнего описания, решение задачи реализации носит
итерационный характер, при котором исследователь в случае необходимости изменяет вид математических соотношений (2.7), (2.8),
дающих внутреннее описание модели в пространстве состояний.
Решение задачи реализации означает правильность выбора
внутреннего описания модели, адекватно представляющей исследуемую систему. На рис. 2.1 отражен еще один этап построения математической модели – проведение идентификации параметров системы.
Среди представленных видов идентификации методы идентификации параметров наиболее хорошо разработаны. При их использовании предполагается, что структура системы известна (априори или
в результате решения задачи реализации), не известны только значения параметров. Задача идентификации в этом случае сводится
к поиску значений параметров, обеспечивающих минимизацию некоторой функции ошибки. Например, задача идентификации системы, внутреннее математическое описание которой задается в виде
dy(t)
+ ay(t) = u(t),
dt
где u(t) – входной сигнал, поступивший на систему; y(t) – ее выход,
сводится к поиску оценки параметра a из некоторой области возможных значений.
Решение большого числа практических задач требует использования всех трех типов моделей, полученных исходя из внешнего и
внутреннего представлений и параметрической идентификации.
При этом математические описания моделей в целом ряде задач должны быть такими, чтобы результаты моделирования можно было связать между собой. Выполнение этого требования очень важно для систем автоматизированного проектирования динамических объектов.
Одним из основных математических средств, используемых при
построении моделей динамических систем, является аппарат дифференциальных (или разностных для дискретных систем) уравнений. Его применение предполагает задание внутреннего описания
системой дифференциальных уравнений
x (t) = f [x(t), u(t),t],
x(0) = x0 ,
y (t) = H[x(t), u(t),t].
41
Здесь x(t) – n-мерный вектор, характеризующий состояние системы в момент времени t; y(t) – l-мерный вектор наблюдаемых выходных сигналов системы; u(t) – r-мерный вектор входных сигналов системы; x0 – начальное ее состояние.
Такое описание дает представление о поведении системы в некоторой локальной окрестности текущего ее состояния, и задача моделирования, по существу, сводится к построению множества состояний и «вход-выходного» отображения на основе имеющихся
экспериментальных данных, т. е. к решению задачи реализации.
Что касается современного развития теории систем, то задача реализации достаточно хорошо разработана только применительно
к линейным системам, описание которых задается в виде уравнений (2.7) и (2.8).
В этом, казалось бы, простейшем случае пространство состояний
считается априорно заданным, методы его построения в формальной теории систем отсутствуют, поскольку предполагается [4], что
разработка конкретных моделей входит в компетенцию специалистов той предметной области, к которой относится моделируемый
объект или физическое явление. Таким образом, возможность адекватного описания системы на языке дифференциальных уравнений
в большой степени зависит от того, насколько хорошо сам исследователь знаком с физической сущностью изучаемого вопроса.
Если оказывается, что построенная модель недостаточно полно
отражает свойства моделируемой системы, то применение даже самых современных методов теории систем, используемых при решении задач анализа и синтеза, изучении устойчивости, управляемости и наблюдаемости, связности и сложности, не дает на практике
желаемых результатов. Таково неизбежное свойство математической модели: получаемые при ее исследовании результаты отражают уже свойства самой модели. После того как модель построена,
она начинает жить своей собственной жизнью [4].
Отметим еще одну особенность, обусловленную применением аппарата дифференциальных уравнений для моделирования. В общем
случае они дают лишь неявную связь между входом и выходом системы, а само их задание всегда требует априорного знания объекта
исследования. Последнее же при рассмотрении сложных и особенно нелинейных систем представляет собой чрезвычайно трудную,
а в ряде случаев неразрешимую проблему.
Именно отсутствие практических методов построения пространства состояний системы, а также методов построения дифференциальных уравнений по информации, содержащейся в экспери42
ментальных данных, во многих слу- u(t)
y(t)
S
чаях затрудняет или делает невоз6
можным использование метода моРис. 2.2
делирования систем в пространстве
состояний.
С несколько иных позиций решение задачи моделирования
оценивают при операторном подходе, которому, в частности,
соответствует и метод, использующий для описания поведения
системы ряды из функционалов. Динамическую систему при
таком подходе представляют в виде некоторого отношения R
аналогично 0. Однако в этом случае решение задачи моделирования состоит только в построении «вход-выходного» отображения S. Здесь S – некоторый оператор, задающий явную аналитическую зависимость между двумя пространствами функций,
элементами которых являются входные и выходные сигналы
(рис. 2.2).
На первый взгляд может показаться, что при использовании второго подхода нет необходимости во введении и построении пространства состояний системы. Однако это необходимо
и при операторном подходе, если его понимать в смысле теории
систем [1].
В самом деле, непосредственный переход от представления системы в виде отношения R к оператору S возможен только тогда,
когда это отношение функционально.
Роль состояния как понятия формальной теории систем и заключается [4] в обеспечении такого перехода, в чем нетрудно убедиться, если обратиться к определению состояния системы. В соответствии с этим определением, если для данной системы R: V  Y
может быть указано такое произвольное множество С, что отношение R: V C  Y есть функция, причем если
(u, y) Ì R,
R(u, C) = y,
то это множество C называется множеством (глобальным) состояний системы R.
Таким образом, в рамках обоих подходов абстрактная формулировка задачи моделирования состоит в построении пары C, S , где
С – множество состоянии системы; а S – ее «вход-выходное» отображение, задающее аналитическую зависимость между входными
и выходными величинами.
43
2.2. Методы конструирования математических моделей
Рассмотрим основные методы конструирования математической
модели реальных объектов, применяемых в автоматизированных
системах научных исследований (АСНИ).
Аксиоматический метод. Суть этого метода состоит в том, что
сначала формулируют (постулируют) некоторые утверждения относительно реальных объектов, которые представляют в виде набора математических выражений-аксиом. Применяя этот метод, как
правило, не указывают, что данное выражение y = (x) есть аксиома, а просто утверждают: «пусть свойство некоторого объекта представлено в виде y = (x)», после чего делают определенные выводы.
При таком утверждении неявно предполагают, что аксиомы являются концентрированным выражением обобщенного опыта, отражающего свойства реального моделируемого объекта.
Несомненным достоинством аксиоматического метода является то, что он в пределах принятых аксиом обеспечивает непротиворечивые выводы о «существенных» свойствах объекта. Основным
недостатком метода служит то, что модели, как и сами аксиомы, не
проверяют непосредственно в эксперименте.
Метод уравнений элементов. Обычно этим методом предпочитают пользоваться тогда, когда необходимо сформировать ММ объекта на основе его частей или когда из заданного набора элементов
необходимо составить сложный объект и определить его свойства.
Рассмотрим этот метод в виде некоторой общей процедуры.
Ш а г 1. Проводят декомпозицию объекта на простые функциональные элементы. В результате получают m простых элементов.
Ш а г 2. Последовательно рассматривают все m элементов и для
каждого составляют уравнения. Например, для некоторого i-го элемента записывают дифференциальные уравнения в канонической
форме:
x ij = fi (xi1,..., xin ), j = 1, 2,..., n,
(2.9)
где n – число степеней свободы i-го элемента. При вероятностном
подходе составляют соответствующие уравнения относительно законов или моментов распределения.
Ш а г 3. Полученные на основании идеализированных законов
функционирования уравнения элементов являются, как правило,
достаточно сложными и часто нелинейными. Поэтому на данном
шаге проводят упрощение уравнений (2.9) и без ущерба для представления существенных свойств элементов их линеаризацию.
44
После такого упрощения записывают выражение для i-го элемента
в векторно-матричной форме:
x i = F ⋅ xi ,
(2.10)
где F – матричный оператор.
Ш а г 4. Синтезируют модель объекта из уравнений его элементов типа (2.10) и приводят ее к желаемому виду. Этим шагом и завершается построение искомой модели.
Подобная многошаговая процедура выполняется и при вероятностном подходе к построению ММ, когда общий закон распределения координат объекта представляют композицией законов распределения
координат его элементов. В этом методе, на первый взгляд, учтено все.
В действительности же объект проявляет ряд свойств, которые несводимы к совокупности свойств его элементов. Например, производные
выше второго порядка вряд ли могут иметь достаточно убедительную содержательную интерпретацию, не говоря уже о том, что они
практически не могут быть измерены. Что касается выделения существенных свойств элементов и их существенных связей в объекте, то
здесь они также обоснованы, как и в аксиоматическом методе.
Метод идентификации. Этот метод приобретает в последнее время широкое распространение. Суть его состоит в том, чтобы по данным, полученным в условиях нормальной эксплуатации или путем
специально организованного эксперимента, построить такую математическую модель, которая бы оптимально описывала изучаемый объект с учетом заданного критерия. При использовании этого метода на объекте на конечном интервале времени наблюдают
и фиксируют входные и выходные сигналы и по измеренным данным на основе специально разработанных процедур конструируют
ММ. При этом никаких априорных условий на ММ не накладывается. Это идентификация в широком смысле слова.
Общий метод решения данной задачи пока не получен, вследствие чего успешно разрабатываются частные методы идентификации в узком смысле, т. е. такие, в которые кроме массива входных
и выходных данных добавляется априорный вид структуры некоторой математической модели. В этом случае определению подлежат
только параметры принятого математического выражения.
Рациональная идентификация требует понимания существа
идентифицируемого объекта и стоящей перед системой задачи, но
как бы ни был удачен выбор параметров ММ, полученных рассматриваемым методом, конструирование модели всегда проводится
при многих явных и неявных допущениях и ограничениях.
45
Рассмотрим основные аспекты математического моделирования.
1. Для того чтобы представить реальный объект в виде математической модели, проводят его идеализацию по «существенным
свойствам». Именно с неопределенности и нестрогости понятия «существенное свойство», его условности и начинается расхождение
весьма строгой математической модели с ее реальным прототипом.
В большинстве случаев ММ отражают количественную сторону
поведения объекта, а через полученные количественные характеристики выявляют и некоторые качественные аспекты. В общем виде ММ не отражает непосредственно качественных свойств объекта.
Связь между количественными и качественными характеристиками устанавливает исследователь в меру своей компетентности.
2. Не всегда представляется возможным описать «существенные
свойства» реального объекта традиционным математическим языком. Для сложных объектов иногда применяют общие выражения
типа y = f (u, x), которые, имея «научный» вид, не несут необходимой смысловой нагрузки и уступают по информативности обычному содержательному описанию.
Другой крайностью метода является стремление получить достаточно подробные и точные формулы с большим числом аргументов
и сложными соотношениями между ними. К этому добавляют еще
большое число значащих цифр в значениях переменных в расчете
на использование ЭВМ.
Очевидно, что реальная исследуемая ММ лежит между общим
выражением и весьма «точной» формулой. Найти критерий выбора
такой модели и предложить на его основе общую процедуру решения этого конфликта моделирования сложно, но возможно. Обычно
он решается на эвристическом уровне при постановке конкретной
задачи.
3. Для того чтобы целенаправленно строить и использовать математическую модель, обычно сужают задачу, рассматривая определенный аспект функционирования реального объекта. Такой подход может дать нетривиальные решения. Эта целенаправленность
позволяет выделить в пространствах переменных ММ и наблюдаемых координат объекта области интерпретации, в которых модель
конструктивно работает.
Практика теоретических и экспериментальных исследований
выработала ряд требований и правил математического моделирования, которые можно сформулировать следующим образом:
1. Выделение объекта исследования для моделирования должно соответствовать цели его функционирования согласно данной задаче.
46
2. Переменные, константы и отношения, составляющие ММ,
должны отражать свойства одноуровневого объекта как интегрированного целого или зависеть от этих свойств. Такая модель должна
отражать только существенные связи объекта со средой.
3. Построение модели должно быть процессом представления
бесконечного многообразия связей объекта со средой конечной схемой, соответствующей не только данной цели функционирования
объекта, но и возможности дальнейшего применения ММ.
4. Метод моделирования должен содержать условия, которые ставят модель в зависимость от цели функционирования объекта, а следовательно, от условий его наблюдения.
5. Метод построения ММ должен давать возможность строгой постановки математических задач как следствия определенной идеализации свойств объекта.
6. Метод должен позволять строить модель преимущественно на
измеримых численных оценках рассматриваемых свойств. Поэтому в его основу желательно положить измеримость величин. Этот
пункт выражает, скорее, пожелание, чем требование, ибо не всегда реальные явления можно представить в необходимом объеме
в численном отображении. Во многих случаях нечисловые модели,
например, графические или лингвистические, дают лучшее представление об объекте.
7. Неизмеримые процессы желательно формализовать до стадии получения численных (экспертных) оценок вероятности наступления некоторого наперед оговоренного события, логических
переменных, представленных в виде чисел, и т. п. Такое численное
представление свойств объекта позволяет автоматизировать разные процедуры оперирования моделями и использовать для этого
ПЭВМ.
8. Полученная модель должна предоставлять количество информации, необходимое и достаточное для решения задач в соответствии с поставленной целью. Это требование вытекает не только из
содержательности и конкретной цели функционирования объекта,
но и из возможности восприятия и переработки такой информации
в определенных условиях.
9. Модель должна явно отражать ту неопределенность в представлении реального объекта, которая существует на рассматриваемом уровне.
10. В пределах относительности и неопределенности представления реального объекта модель должна доставлять достоверную информацию, имеющую определенный качественный смысл.
47
11. Модель должна быть экспериментально проверяемой. Это
значит, что должен существовать такой эксперимент (наблюдение),
хотя бы гипотетический, результаты которого могут быть сопоставимы определенным образом с результатами, полученными с помощью модели.
Анализ приведенных требований показывает, что их удовлетворение в рамках «классической математики» становится весьма
сложным. Наиболее трудно совместить такое требование, как выделение из бесконечного многообразия конечной схемы, характеризующей именно «существенные свойства» объекта, численная
оценка, учет неопределенности этих свойств и в то же время оценка
совпадения теоретических и экспериментальных данных. Согласование этих требований частично удовлетворяется благодаря содержательному толкованию формулы, а также опыта и интуиции специалистов.
Подготовка задачи к исследованию методом моделирования начинается с составления концептуального описания. Концептуальным описанием системы называется вся совокупность сведений,
достаточная для установления предполагаемого или фактического
алгоритма ее работы. Указанное описание системы должно содержать информацию, достаточную для ее проектирования. Последняя служит основой для разработки формального описания, из которого далее можно получить желаемую математическую модель
системы.
Описание системы с использованием определенного базиса операторов, позволяющих по входным воздействиям найти реакцию
системы в общем виде, называют обобщенной математической моделью, или формальным описанием.
Для составления формального описания модели необходимо
ввести множество характеризующих ее параметров и базис операторов, которые устанавливают отношения между данными параметрами. Поэтому первым шагом при построении формального
отношения системы является определение множества ее параметров
(2.11)
Q = {qi}, i = 1, 2,…, n,
и базиса операторов
F = {Fi}, i = 1, 2,…, m.
Под параметрами системы далее понимают постоянные или
переменные во времени величины, которые определяют ее состояние в данный момент времени, задают ее свойства и характери48
стики. При этом структура системы определяется ее функциональной схемой, элементы которой должны быть описаны соответствующими операторами из множества F. Все параметры (2.11) системы
можно разбить на четыре подмножества:
Q = {V, Z, C, Г},
где V = {vi}, i = 1, 2, …, k, – фазовые переменные (координаты) системы; Z = {zi}, i = 1, 2, …, l, – внешние ее параметры; Г = {i}, i = 1,
2, …, n, – выходные параметры; C = {ci}, i = 1, 2, …, m, – внутренние
параметры.
Фазовыми переменными системы называются функции времени
vi, которые определяют состояние системы в любой заданный момент времени t. В состав множества фазовых переменных V входят
U = {ui}, i = 1, 2, …, q, внешние и входные фазовые переменные, образующие вектор входных воздействий; y = {yl}, l = 1, 2, …, p, – выходные фазовые переменные, образующие вектор реакций системы;
x = {xj}, j = 1, 2, …, k, – внутренние фазовые переменные.
Оператор Fi, i = 1, 2,…, m, представляет собой правило, по которому каждому элементу ui множества U входных фазовых переменных (случайных или детерминированных) ставится в однозначное
или взаимнооднозначное соответствие элемент yi множества Y выходных фазовых переменных. При этом справедливо следующее
операторное уравнение:
Y = F ⋅ V.
(2.12)
Число различных функциональных звеньев, из которых можно составить функциональную схему системы на любом иерархическом уровне, конечно. Поэтому для формального описания систем
на заданном иерархическом уровне достаточно ввести конечное
множество – алфавит операторов
F = {Fi}, i = 1, 2, …, m.
Это множество обычно называют базисом операторов.
Внешними параметрами системы называют физические величины, численные значения которых определяют характеристики
входных фазовых переменных V. Вектор входных воздействий, таким образом, можно описать следующим соотношением:
u = u(z, t).
(2.13)
Внутренними параметрами системы С называют физические
величины, численные значения которых характеризуют свойства
функциональных звеньев, образующих систему и описываемых
49
x(z, t)
y(z, t)
F(C)
С
y(t)
операторами множества F. При
этом операторы можно представить следующим соотношением:
F = F(C).
(2.14)
Сформулированные определения позволяют ввести понятие
формального описания системы и ее математической модели. В общем случае формальное описание системы определяется операторным уравнением (2.12). С учетом введенных внешних (2.13) и внутренних (2.14) параметров это уравнение принимает вид
Рис. 2.3
Y(t) = F(C) · u(z, t),
где С и z, в свою очередь, могут быть функциями времени t. Формальная схема системы, отображающей это описание, показана
на рис. 2.3.
50
3. ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ЦИФРОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Согласно таким методам подлежащую моделированую непрерывную систему представляют как соединение звеньев с известным
передаточными функциями. Затем в каждую из этих функций вместо (1/p) подставляют тот или иной дискретный оператор и по полученным дискретным передаточным функциям составляют линейные разностные уравнения.
Преимущество операционных методов состоит в том, что непрерывная передаточная функция переводится в дискретную с помощью простых алгебраических операций.
Методы позволяют моделировать сложную систему или комплекс с точностью, сравнимой с точностью, достигаемой при использовании численных методов высокого порядка, но при меньшем объеме расчетной работы. Это делает операционные методы
ценными при моделировании в реальном масштабе времени.
3.1. Моделирование стационарных систем
Рассмотрим моделирование стационарной системы на следующем примере:
b p4 + b3 p3 + b2 p2 + b1 p + b0
W ( p) = 4 4
.
a4 p + a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0
Построим дискретную модель. С этой целью:
1) разделим числитель и знаменатель приведенного выражения
на наибольшую степень при p в знаменателе, т. е. на p4:
1
+ b2
p
W ( p) =
1
a4 + a3 + a2
p
b4 + b3
1
2
p
1
p2
+ b1
+ a1
1
3
p
1
p3
+ b0
+ a0
1
p4
;
1
p4
2) воспользовавшись подстановочным методом z-преобразований
(оператор Тастина), получим
b4 + b3
G (z) =
Tz
T2z
T 3 z2 + z
T 4 z3 + 4z2 + z
·
·
+ b2
+
b
+
b
1
0
z -1
2 (z -1)3
6
(z -1)2
(z -1)4
Tz
T2z
T 3 z2 + z
T 4 z3 + 4z2 + z
a4 + b3
+ a2
+ a1
·
+ a0
·
2
3
2 (z -1)
6
z -1
(z -1)
(z -1)4
где Т – период дискретизации (рис. 3.1).
,
51
u(t)
u(k + 1)
·
u(k)
·
u(z)
y(z)
G(z)
[yk]
[uk]
0
(k + 1)T
kT
N
Рис. 3.2
t
T
Рис. 3.1
После упрощений приходим к дискретной передаточной функции вида (рис. 3.2)
G (z) =
B4 z4 + B3z3 + B2z2 + B1z + B0
4
3
2
A4 z + A3z + A2z + A1z + A0
=
y(z)
,
u(z)
где B4 = 6 b3T + 6 b4 ;
B3 = b0T 4 + 3 b1T 3 + 6 b2T2 -18 b3T - 24 b4 ;
B2 = 4 b0T 4 -12 b2T2 + 18 b3T + 36 b4 ;
B1 = b0T 4 - 3 b1T 3 + 6 b2T2 - 6 b3T - 24 b4 ;
B0 = 6 b4 .
Аналогично для А4, А3, А2, А1, А0:
3) находим разностное уравнение, связывающее входной и выходной сигналы:
A4 z4 y(z) + A3z3 y(z) + A2z2 y(z) + A1zy(z) + A0 y(z) =
= B4 z4u(z) + B3 z3u(z) + B2 z2u(z) + B1zu(z) + B0u(z).
Умножая это уравнение на z–4 и переходя во временную область,
получаем
y(k) =
52
1
[B4u(k) + B3u(k -1) + B2u(k - 2) + B1u(k - 3) + B0u(k - 4) A4
- A3 y(k -1) - A2 y(k - 2) - A1y(k - 3) - A0 y(k - 4)];
4) выбираем период дискретизации Т;
5) составляем программу вычислений, т. е. моделирования.
П р и м е ч а н и е. Если передаточная функция W(p) высокого порядка, то такой подход оказывается очень трудоемким.
В этом случае функцию W(p) представляют в виде произведения
простых сомножителей и в каждом из них производят подстановку оператора Тастина. Затем для каждого сомножителя получают свое разностное уравнение. Таким образом, моделируемую непрерывную систему записывают системой связанных разностных уравнений.
Процесс дискретизации непрерывной передаточной функции
можно рассматривать как процесс отображения полюсов и нулей
этой функции на плоскость.
В зависимости от дискретного оператора интегрирования отображение может происходить с сохранением и без сохранения устойчивости исходной системы. Из всех дискретных операторов интегрирования свойством инвариантности в отношении устойчивости,
т. е. сохранения устойчивости системы после дискретизации, обладает только метод Тастина.
3.2. Моделирование нестационарных систем
Линейная нестационарная непрерывная система с одним входом
и одним выходом описывается линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:
[an (t) pn + an-1 (t) pn-1 + ... + a1 (t) p + a0 (t)]y(t) =
= [bm (t) pm + bm-1 (t) pm-1 + ... + b1 (t) p + b0 (t)] ut),
где m £ n.
Цифровое моделирование этой системы не отличается от моделирования стационарной системы и сводится к следующим действиям:
1) записываем передаточную функцию
W ( p,t) =
bm (t) pm + bm-1 (t) pm-1 + ... + b0 (t)
an (t) pn + am-1 (t) pn-1 + ... + a0 (t)
;
2) производя дискретизацию по времени t = kT и подставляя вместо p обратный дискретный оператор интегрирования Тастина, приходим к дискретной передаточной функции
B (kT)zn + Bn-1 (kT)zn-1 + ... + B0 (kT)
y(z)
= W (z,nT) = n
;
u(z)
An (kT)zn + An-1 (kT)zn-1 + ... + A0 (kT)
53
3) от этой функции переходим к линейному разностному уравнению с переменными коэффициентами:
y(k) = [Bn (k)u(k) + Bn-1 (k -1)u(k -1) + ... +
+B0 (k - n)u(k - n) - An-1 (k -1)y(k -1) 1
- An-2 (k - 2)y(k - 2) - ... - A0 (k - n)y(k - n)] ⋅
;
An (k)
4) составляем программу моделирования, при этом учитываем,
что Ai и Bi представляют собой функции от ai и bi, а также зависят
от периода дискретизации Т.
54
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО МОДЕЛИРОВАНИЮ ИВУС ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ.
ПОСТРОЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ
Моделирование работы бортовой измерительно-вычислительноуправляющей системы проводится путем включения ее в замкнутый
имитационно-вычислительный комплекс, содержащий математические модели летательного аппарата (ЛА), внешней среды и системы
управления. Для решения задачи моделирования информационноизмерительной системы, входящей в состав измерительно-вычислительно-управляющей, комплекс должен содержать ряд имитаторов,
способных функционировать в динамическом режиме внешнего управления.
Моделирование информационно-измерительной системы в динамическом режиме требует физического и математического моделирования целого ряда сигналов. Необходимый при этом набор
имитаторов определяется прежде всего типом исследуемой системы, типом ЛА и видом моделируемого режима полета. Для исследования (анализа и синтеза) информационно-измерительной системы ЛА комплекс должен содержать следующие имитаторы:
положения центра масс ЛА в пространстве и параметры движения его вокруг центра масс, а также имитаторы приборного оборудования, обеспечивающего данный режим полета летательного
аппарата.
Среди основных режимов полета как наиболее сложный можно выделить режим посадки. Известно, что более трети всех летных происшествий имели место при заходе на посадку и посадке.
Если считать, что продолжительность захода на посадку и посадки составляет в среднем 2–3 % от всего времени полета, то аварийность на этих этапах оказывается в 10–15 раз больше, чем средняя
аварийность в течение полета. Указанные цифры объективно иллюстрируют известную истину, что заход на посадку и посадка являются сложнейшими этапами полета.
Устройства, применяемые для задания траекторий захода на
посадку, весьма различны по принципу действия. Траектория захода на посадку может задаваться с помощью радиотехнических,
светотехнических, акустических и других устройств. В настоящее
время широкое применение получили радиотехнические устройства. Это объясняется, в первую очередь, меньшей зависимостью их
точностных характеристик и радиуса действия от метеорологических условий.
55
Радиомаячная
система
посадки
Система
ближней
навигации
Летательный
аппарат,
исполнительные
системы
Корректор
высоты
Доплеровский
измеритель
путевой скорости
и угла сноса
Внешняя среда,
атмосферные
возмущения
Рис. 4.1
На рис. 4.1 приведена упрощенная функциональная схема информационно-измерительного комплекса, обслуживающего этап посадки ЛА.
В состав радиотехнических систем посадки и навигации кроме
установленных на земле радиомаяков, задающих посадочные траектории, входят также бортовые радиоприемные устройства, воспринимающие излучение радиомаяков (РМ). В этих системах траекторией захода на посадку является линия пересечения плоскостей
курса и глиссады снижения, создаваемых курсовым и глиссадным
РМ соответственно. Обычно эти плоскости представляют собой равносигнальные зоны или в ряде случаев зоны минимума излучения
частот модуляции.
Отклонения самолета от равносигнальной зоны курсового РМ
(курсовой линии) определяются курсовым радиоприемником (РП),
а отклонения от равносигнальной зоны глиссадного РМ (глиссады
снижения) – глиссадным РП. Кроме того, для обозначения (маркировки) нескольких (обычно двух-трех) контрольных точек на земле
устанавливают маркерные РМ, момент пролета над которыми определяется с помощью маркерного РП.
Имитационно-моделирующий комплекс для исследования информационно-измерительной системы летательного аппрата в режиме посадки кроме имитаторов пространственного положения ЛА
должен содержать имитаторы сигналов курсовых и глиссадных радиомаяков (ИКГРМ), радиомаяков системы ближней навигации,
доплеровского измерителя скорости и угла сноса (ДИСС), сигналов
о барометрической высоте и моделирующих перегрузки и атмосферные возмущения.
Первый из названных имитаторов кроме использования математической модели ЛА, хранящейся в ЭВМ (ЦВМ, АВМ, гибридных
56
комплексах АВМ–ЦВМ), может быть реализован на базе управляющей ЭВМ и динамического трехкоординатного стенда. Алгоритмы
моделирования сигналов барометрической высоты (корректора высоты) просты в реализации на ЭВМ, так как описываются простыми
математическими зависимостями.
4.1. Моделирование при алгоритмическом исследовании
и проектировании ИВУС ЛА
Центральными задачами при исследовании и проектировании
ИВУС ЛА являются задачи оптимизации алгоритмов обработки информации, получаемой с помощью датчиков, т. е. путем оценивания
параметров процессов синтеза оптимальных и квазиоптимальных
фильтров и законов управления. В конечном счете они являются задачами синтеза оптимальных технических устройств, работающих
в условиях помех.
Можно выделить несколько основных типов задач оптимизации.
Так, при наблюдении и измерении случайного процесса возникает задача оценки полезного сигнала. Сам полезный сигнал может
представлять собой векторный процесс, например, вектор фазовых
координат ИВУС. Задачу оценивания можно рассматривать как
оценивание состояния динамической системы по наблюдениям некоторого выходного сигнала вместе с шумом. В более общей математической трактовке – это задача фильтрации полезного сигнала
при наблюдении его в смеси с шумом или при неточном измерении.
Задача оценивания, или фильтрации, сигнала случайной структуры по существу та же, однако дополнительно следует оценивать
вероятность структуры, которую имеет наблюдаемый сигнал.
Другим классом задач являются задачи идентификации. Это
процедура определения оценок характеристик или параметров динамических систем по результатам наблюдения их выходных сигналов. Полученный сигнал при идентификации представляет собой вектор неизвестных параметров динамической системы. Задача
идентификации в иерархической системе также состоит в оценке
вероятности структуры и параметров.
Все перечисленные классы задач составляют основную проблематику статической теории оптимальных решений, получившей к настоящему времени достаточное развитие. Однако случайная структура сигналов и систем приводит к усложнению этих традиционных
задач и требует дополнительного развития методов исследования,
и в первую очередь математического моделирования.
57
Несмотря на разнообразие перечисленных задач, их решение основывается на единой теории статистически оптимальных решений
с использованием априорных и апостериорных модельных представлений о соответствующем случайном процессе. Для исследования таких задач применяют математическое описание процессов и
динамических систем в фазовом пространстве состояний и теоретико-вероятностные методы оптимальных статистических решений.
Решение задач фильтрации (оценивания) и идентификации
достигается применением теории условных марковских процессов.
Однако практические инженерные алгоритмы для исследования
нелинейных структур процессов могут быть получены только в квазилинейном приближении.
Решение задач определения оптимальных управлений достигается путем применения современных вариационных методов в сочетании со статистическим осреднением критериев оптимизации. Эти
задачи являются комплексными и моделируются в виде задач при
использовании методики формирующего фильтра.
Приближенные квазиоптимальные алгоритмы могут быть получены статистической линеаризацией и гауссовой аппроксимацией распределения вероятностей. При этом допущении в задаче определения
оптимальных управлений в сложных иерархических системах для получения оценки вектора состояния и синтеза управлений может быть
формально применена теорема разделения. Фактически же подобным образом получают структуры фильтров и законов управления,
на основании которых в последующем путем численного конкретного решения соответствующих обыкновенных уравнений для оценки
вектора состояния, корреляционной матрицы ошибки фильтрации
и вероятностей структур определяют неизвестные параметры.
4.2. Исходные предпосылки алгоритмического исследования
и проектирования
Для решения задачи обработки информации в ИВУС требуется
найти оценку x̂(t) n-мерной векторной случайной функции x(t) по
результатам наблюдения другой m-мерной векторной случайной
функции y(t), статистически связанной с функцией x(t).
Будем рассматривать сформулированную задачу оценивания
(фильтрации) с «временной» интерпретацией параметра t. При этом
будем предполагать, что наблюдение y(t) осуществляется на интервале (t0, t1). В основном будем исследовать точечные оценки, т. е.
оценки функции x(t) на заданный момент времени t.
58
На практике задачи оценивания условно подразделяются на
фильтрацию (t = t1), экстраполяцию, или предсказание (t < t0,
t > t1), и интерполяцию, или сглаживание (t0  t < t1).
При отыскании оценки x(t) естественным является стремление
получить наилучшую (оптимальную) в некотором смысле оценку.
Для этого необходимо задать критерий качества. Выбор критерия
качества зависит от особенностей конкретной задачи и производится на основе анализа последствий, к которым может привести та
или иная ошибка оценивания.
Вся статистическая информация, представляющая интерес при
решении задачи оценивания, содержится в апостериорной плотности вероятности p[ x(t) y (t) ] распределения вектора x(t) при реализованном наблюдении y(t) на заданном интервале (t0, t1).
Эта функция характеризует степень знаний о векторе x(t) после обработки всех измерений y(t) на интервале наблюдения. Знание апостериорной плотности вероятности p[ x(t) y (t) ] позволяет найти разные оптимальные оценки, соответствующие разным критериям качества. Для
конкретизации критерия качества вводят функцию потерь C[ x(t), xˆ (t) ],
называемую также функцией штрафов и функцией стоимости.
В общем случае оптимальные оценки, полученные при разных критериях качества, различаются. Однако если апостериорная плотность
вероятности унимодальна и симметрична относительно моды, то для
всех симметричных функций потерь C[x(t), xˆ (t) ] = Ñ[x(t), x(t) ], являющихся неубывающими функциями ошибки оценки | x(t) - xˆ (t) |,
оптимальные оценки совпадают. Такой случай возможен, например, при гауссовом апостериорном распределении.
Получение оптимальных оценок в практических задачах, решаемых ИВУС, часто оказывается чрезмерно трудоемким. В этих случаях иногда удается найти приближенные, так называемые субоптимальные оценки, которые, незначительно уступая по качеству
оптимальным оценкам, значительно проще в реализации. Особенно
важно определение приближенных оценок в нелинейных задачах.
Для решения задачи фильтрации необходимо задать связь между измерением y(t) и подлежащей оценке функцией x(t). Вектор x(t) –
это вектор состояния в момент t, а вектор y(t) – вектор измерения.
Далее везде предполагаем, что вектор состояния x(t) имеет размерность n, а размерность вектора измерения m.
Предположим, что вектор состояния x(t) и вектор измерения y(t)
связаны соотношением
y (t) = h[x(t), t] + V(t).
(4.1)
59
Здесь h[·] – известная m-мерная функция; V(t) – m-мерная случайная векторная функция, представляющая слобой ошибки измерений.
В уравнении (4.1) ошибки измерений V(t) входят аддитивно. В более общем случае
y (t) = h[x(t), t, V(t)].
(4.2)
Далее рассмотрим случай аддитивных ошибок измерений. Если
измерения производятся в дискретные моменты времени tk, то уравнение (4.1) примет вид
y (tk ) = h[x(tk ), tk ] + V(tk ), k = 1, 2, 3,...
(4.3)
Во многих приложениях предполагают линейную связь между
вектором измерения и вектором состояния. В этом случае уравнения (4.2) и (4.3) переходят соответственно в уравнения
y (t) = H(t) · x(t) + V(t),
(4.4)
y (tk ) = H(tk ) · x(tk ) + V(tk ),
(4.5)
где H – известная матрица размером m ´n . Уравнения (4.2)–(4.5)
обычно называют уравнениями измерения.
Остановимся на рассмотрении векторной функции x(t). Эта функция может быть как квазидетерминированной, т. е. зависящей от
множества неизвестных параметров, так и случайной.
Квазидетерминированная функция x(t) может быть представлена, например, в виде
x(t) =
n
å Ci i (t),
(4.6)
i =1
где  i – известные n-мерные векторные функции, а Ci – неизвестные
коэффициенты. К этому же случаю относится описание x(t) посредством n-мерного нелинейного дифференциального уравнения
dx
= f [x(t), t], t ³ t0 ,
dt
(4.7)
где f[·] – известная n-мерная векторная функция.
В задачах с дискретным временем дифференциальное уравнение
(4.7) заменяется разностным:
x(tk ) = Ô[x(tk-1 ), tk ].
60
(4.8)
В линейном случае уравнения (4.7), (4.8) заменяют уравнениями
dx
= F(t) · x(t),
dt
(4.9)
x(tk ) = Ô(tk ) · x(tk-1 ) .
(4.10)
Здесь F(t) и Ô(tk ) – известные матрицы размером m ´n .
Уравнения (4.7)–(4.9) называются уравнениями состояния, и их
можно интерпретировать как уравнения наблюдаемых динамических систем с непрерывным (4.7) и дискретным (4.10) временем. При
известном начальном векторе состояния x(t0) интегрирование уравнений состояния позволяет получить вектор состояния x(t) на произвольный момент времени t  t0. Очевидно, что в этом случае задача оценивания теряет смысл. Обычно точное значение вектора состояния в начальный момент времени t0 не известно, а известно
только его априорное распределение или некоторые характеристики этого распределения. Очевидно, что при dx dt = 0 получаем статическую модель системы. При этом задача оценивания сводится
к определению неизвестного постоянного вектора x.
В большинстве задач, решаемых ИВУС, функцию x(t) можно
рассматривать только как случайный процесс (в задачах с непрерывным временем) или как случайную последовательность (в задачах с дискретным временем). В такой ситуации необходимо статистическое описание векторной функции x(t). Это описание может быть произведено, например, путем включения в уравнение
состояния случайных составляющих (шумов системы). При этом
уравнение состояния для задач с непрерывным временем принимает вид
dx
= f [x(t), t] +G(t) (t),
dt
(4.11)
а для задач с дискретным временем – вид
x(tk ) = F[x(tk-1, tk )] + G(tk ) (tk ).
В этих уравнениях G(t), G(tk) – известные матрицы размером n ´ k ,
где k – размерность векторов возмущения (t) и (tk ) . Принято
предполагать [6], что математическое ожидание (t) равно нулю,
так как если E[(t)] известно, его можно непосредственно включить в функцию F[·]. Аналогичное утверждение справедливо для
ошибок измерений V(t).
61
Корректность применения приведенной методики моделирования состояния динамических систем при проектировании ИВУС
может быть установлена путем следующих рассуждений.
Многомерная плотность вероятности процесса xi в (4.11) полностью определяется заданием одномерной плотности вероятности
p(x) и условной плотности вероятности p(x, xT) для случайной величины xT = x(t + T) в момент t + Т (при условии, что значение x = x(t)
в момент t фиксировано), называемой плотностью вероятности
перехода из состояния x в состояние xT за время T. В частности,
для моментов t1, t2 , ..., tm , (tk+1 - tk ) = T и выборочных значений
x(1) , x(2) , ..., x(m) совместная плотность вероятности равна
(
m
) ( )  p(x(k) , x(k+1) ).
p x(1) , x(2) , ..., x(m) = p x(1)
k=2
Оказывается, что лишь для процесса, описанного в виде
dx
+ x = (t),
dt
(4.12)
где  – известная постоянная; (t) – «белый» шум с дисперсией , ве-
(
роятность перехода P x(k) , x(k+1)
)
может быть вычислена точно.
Тогда x(t) является гауссовым марковским процессом.
Решение уравнения (4.12) имеет вид
x(k+1) = x(k) exp(-T) +
tk +T
ò
() exp {-(tk + T - )}d,
tk
(k)
откуда следует, что при фиксированном x
среднее значение и
дисперсию нормально-распределенной случайной величины x(k+1)
определяют соотношениями
x(k+1) = x(k) (1 - ),
é(k+1) - (k+1)
êë
ù 2 = 2 b,
úû
x
где  = 1 - exp(-T); b = 1 - exp(-2T);
са x(t).
62
2x – дисперсия процес-
Плотность вероятности перехода, таким образом, определяется
соотношением
(
P x
(k)
,x
(k+1)
)
2ï
ì é (k+1)
ü
ï
ï
-êx
- (1 - )x(k) ùú ï
ï
ë
û ï
ï
exp ï
=
⋅
í
ý.
2
ï
ï
2
2  b
2

b
ï
ï
x
x
ï
ï
ï
ï
î
þ
1
1
Одномерная плотность вероятности имеет вид
P(x) =
1
x
ìï x2 üï
ï.
exp ïíý
ïï 2 x ïï
2
î
þ
Возможность вероятностного аналитического описания динамики процесса в приведенной методике моделирования эволюции состояний является основополагающей.
4.3. Методика применения математических моделей
для исследования и проектирования ИВУС ЛА
Несмотря на большое разнообразие подсистем бортового оборудования современного летательного аппарата, имеются общие подходы к использованию для исследования этих подсистем математических моделей на основе концепции ЛА-платформа.
Математические модели, применяемые при исследовании работы бортового оборудования с учетом влияния движения ЛА,
должны включать в себя не только модели соответствующих подсистем оборудования, но и модель ЛА и действующих на него возмущений. Так как параметры движения ЛА в существенной степени определяются работой его систем управления (автопилот,
система активного управления, летчик), ММ формирующего фильтра (ФФ) состоит из модели движения неуправляемого самолета, алгоритмов законов управления, моделей датчиков и приводов
рулей.
Исследование работы бортового оборудования на основе концепции ФФ проводится в двух основных направлениях. При этом концепция ЛА-платформа реализует системный принцип моделирования на основе ФФ:
1. Для подсистем бортового оборудования, не оказывающих влияния на движение ЛА, – анализ влияния его на их эффективность
и точностные характеристики, а также синтез способов и алго63
ритмов компенсации вредного влияния нестабильности платформы ФФ.
2. Для подсистем бортового оборудования, оказывающих влияние на движение ЛА (системы управления, двигатель и т. п.), –
оценка этого влияния и разработка способов и алгоритмов улучшения характеристик движения.
Исследования в данных направлениях предполагают решение
следующих задач:
– идентификация и проверка достоверности исследуемых математических моделей ЛА и бортового оборудования, включая разработку и проверку (испытание) алгоритмов идентификации;
– исследование устойчивости движения ЛА с системами управления, определение возможных автоколебаний и их параметров;
– синтез алгоритмов управления, оценивания и идентификации
бортовых систем управления, разработка способов и алгоритмов
компенсации вредного влияния нестабильности платформы на работу бортового оборудования;
– планирование и проведение численных экспериментов, полунатурных и летных испытаний с целью анализа эффективности
и точностных характеристик бортового оборудования и получения
данных для идентификации;
– оптимизация перечисленных алгоритмов, а также состава и
размещения бортового оборудования на ФФ.
Решение этих задач невозможно без применения ММ, причем
используемые модели отличаются большой размерностью и сложностью структуры.
Летательный аппарат в общем виде представляет собой упругий
нестационарный, обтекаемый, меняющий в процессе полета свои
характеристики и подверженный неизмеряемым случайным возмущениям объект. В этих условиях при составлении ММ всегда существует вероятность не принять во внимание какую-либо из сторон
физического процесса движения ЛА.
Одной из основных причин несостоятельности оценок идентификации является структурная неполнота ММ. Это обстоятельство легко пояснить, пользуясь аппаратом метода наименьших квадратов (МНК).
Применение МНК предполагает приведение ММ объекта к алгебраическому виду:
y = X ⋅ a + ,
64
(4.13)
где y – q-мерный наблюдаемый вектор; X – неизвестная регрессионная матрица размером q ´n ; a – n-мерный вектор оцениваемых параметров;  – N-мерный случайный вектор, причем
E[ ] = 0,
E[T ] = 2 I (n ´n),
где I – единичная матрица.
Значения вектора y и элементов X при идентификации ЛА зависят от параметров его движения, а несмещенная оценка â вектора
параметров определяется соотношением
aˆ = (XT · X)-1 XT · y.
Представим вектор параметров aв виде двух составляющих (a1
é ù
и a2): a = ê a1 ú . Пусть оценивается вектор а1, а вектор a2 и соответê a2 ú
ë û
ствующая ему структура модели (4.13) игнорируется, т. е. для идентификации используется усеченная модель
y = X1 ⋅ a1 + ,
(4.14)
где X1 – подматрица матрицы X, X = [X1  X2 ]. Тогда оценка определяется соотношением
aˆ 1 = (X1T , X 1)-1 X1T .
Определим математическое ожидание оценки â1 :
E[aˆ 1 ] = (X1T X 1 )-1 X1T ,
E[X0 +  ] = (X1T X 1 )-1 X1T X1a1 + (X1T X 1 )-1 X1T X2a2 ,
E[X0 +  ] = a1 + a1,
a1 = (X1T X 1 )-1 X1T X2a2 .
Смещение оценки a1 зависит от элементов матрицы X, т. е. от
вида движения ЛА, и остается для исследователя, применяющего
модель (4.14), неизвестным.
Радикальным средством структурно-параметрической регуляризации проблемы идентификации ЛА является использование
априорной расчетной математической модели его движения. Априорная информация позволяет выбрать структуру ММ с необходимой
степенью полноты, обеспечивающей несмещенность оценок иденти65
фикации, а также локализовать область возможных значений оцениваемых параметров.
Таким образом, первым требованием, которому должен удовлетворять метод идентификации ЛА, является возможность использовать априорную информацию. При этом нецелесообразно придавать алгоритму идентификации функцию уточнения структуры
модели. Данный неформальный процесс требует логико-аналитических исследований с привлечением теории нескольких авиационных наук. От алгоритма идентификации необходимо потребовать
лишь выдачу оценки достоверности предполагаемой структуры ММ
в соответствии с данными эксперимента до идентификации. Следовательно, второе требование состоит в том, что метод идентификации должен быть параметрическим с оценкой достоверности структуры используемой ММ самолета.
По-иному решается вопрос внутренней регуляризации методов
идентификации с целью повышения их вычислительной устойчивости. Потеря вычислительной устойчивости происходит обычно
при обращении плохо обусловленных положительно-определенных
симметричных матриц вследствие недостаточной длины разрядной
сетки ЭВМ. Эта чисто вычислительная проблема может быть решена, например, приведением обращаемых матриц к матрицам диагонального вида с помощью ортогональных преобразований, использования метода квадратного корня, а также других специальных
вычислительных приемов.
Существующие методы идентификации используют как статические, так и детерминированные подходы. Идентификация ЛА
осуществляется на основе сигналов датчиков бортовых измерительных систем, кроме того, могут привлекаться также данные внешнетраекторных измерений. Показания датчиков, как правило, содержат случайные ошибки. Неучет статистических свойств этих
ошибок может приводить к заметным смещениям оценок параметров модели. Таким образом, оценка параметров ММ ЛА должна
выполняться статистическими методами идентификации, учитывающими характеристики ошибок датчиков, а также характеристики внешних возмущений, действующих на ЛА в полете.
Поскольку математическая модель ЛА, используемая в алгоритме идентификации, может быть достаточно сложной, а требования к точности оценивания ее параметров высоки, конструктивная
реализация идентификации возможна только на цифровой ЭВМ.
Вычислительная машина обеспечивает наибольшую эффективность вычислительного процесса при использовании дискретных
66
методов оценивания. Более того, применение для записи параметров
полета бортовых регистраторов приводит к тому, что данные, поступающие на идентификацию, имеют дискретный во времени вид.
Вместе с тем ЛА и его бортовые датчики, а также турбулентность атмосферы описываются моделями непрерывного типа – системами
интегродифференциальных и дифференциальных уравнений.
Методы идентификации, применяемые в зависимости от типа
ММ объекта в настоящее время, изложены в работах [7–9 и др.].
Для идентификации ЛА с использованием цифровой ЭВМ необходим такой дискретный метод, который позволяет оценивать
непосредственно параметры непрерывной ММ летательного аппарата. Перечисленным требованиям достаточно полно удовлетворяет дискретно-непрерывный метод идентификации по максимуму
функции правдоподобия [8]. Он применим для идентификации ММ,
описываемых нелинейными обыкновенными стохастическими дифференциальными уравнениями с аддитивными случайными процессами типа «белого» шума.
Идентификация ЛА при наличии случайных возмущений и шумов датчиков является задачей совместного оценивания параметров
движения ЛА и коэффициентов (параметров) его математической
модели. Иначе говоря, происходит объединение задач фильтрации и
собственно идентификации. Расширение вектора состояния ММ ЛА
путем включения в него оцениваемых коэффициентов приводит
к тому, что обобщенная система даже для линейной математической модели ЛА становится нелинейной. Таким образом, задача
совместной фильтрации и идентификации всегда сводится к проблеме нелинейной фильтрации.
При решении проблемы идентификации ЛА, а также его бортового оборудования с целью повышения конструктивности алгоритмов
обработки используется ряд допущений. Как правило, правомочно предположение гауссовости случайных процессов и достаточной
«гладкости» нелинейностей ММ. В основу метода идентификации
может быть положен дискретный метод максимального правдоподобия, рекуррентный алгоритм которого получают инвариантным
погружением, а дискретно-непрерывное обобщение выполняется методом условного среднего [8]. Рассмотрим основные соотношения
алгоритма этого метода.
Пусть система уравнений, объединяющая математическую модель ЛА, турбулентности и ошибки датчиков, имеет вид
y = f (y, a, t) + W(t), a = 0,
(4.15)
67
где y – p-мерный вектор состояния; a – q-мерный вектор оцениваемых параметров; W(t) – нормальный случайный процесс типа «белого» шума с нулевым средним и матрицей интенсивности SW(t).
Вектор-функция f(y, a, t) непрерывно дифференцируема по аргументам y и a. Относительно вектора оцениваемых параметров, как
это следует из (4.15), сделано предположение о его постоянстве
в течение времени выполнения идентификации. Определим также
n-мерный вектор x, обобщающий состояние системы (4.15):
é y (t)ù
ú , n = p + q.
x(t) = ê
ê a ú
ë
û
Система (4.15) контролируется в соответствии с уравнением
наблюдений
zk = h(x(tk ), tk ) + Vk ,
где zk – r-мерный вектор наблюдений (измерений); h(·) – r-мерная
непрерывно дифференцируемая вектор-функция; Vk – независимая последовательность r-мерных нормальных векторов с нулевым
средним и корреляционной матрицей Rk.
Начальные условия работы алгоритма идентификации задаются
предполагаемым состоянием систем yˆ 0 = y (t0 ), априорным значением вектора оцениваемых параметров â0 и их корреляционными
матрицами V11(t0) и V22(t0). Принято считать, что
æ
é y (t0 )ù
ê
ú Î N çç
çç
ê a ú
è
ë
û
é yˆ 0 ù
ê ú
ê aˆ 0 ú
ë û
éV11 (t0 )
0 ù
ê
ú
ê 0
V22 (t0 )úû
ë
ö÷
÷÷.
÷ø
Алгоритм идентификации рекуррентный. Он сводится к наполнению на каждом шаге обработки следующих вычислительных
операций:
– определение прогноза вектора состояния и параметров
é æ tk+1 öù
÷÷ú
ê óˆ çç
æ tk+1 ö÷ êê çè tk ÷ø÷úú
xˆ k+1/k = xˆ ççç
ú,
÷÷ = ê
è tk ø÷ ê æç tk+1 ö÷ú
÷ú
ê aˆ çç
êë è tk ÷ø÷úû
æ tk+1 ö÷
÷ – решение уравнения
где yˆ çç
çè tk ÷÷ø
ætö
dyˆ ççç ÷÷÷
æ ætö
ö
è tk ø÷
= f çççyˆ ççç ÷÷÷, aˆ (tk ), t÷÷÷
÷ø
÷
dt
èç è tk ø
68
æ t ö÷
ç
для момента времени t = tk+1 при yˆ çç ÷÷÷ = yˆk и aˆ (tk ) = aˆk ;
è tk ø
– вычисление переходной матрицы Ô1 (tk+1, tk ) размером p ´ h
интегрированием уравнения
d1 (t, tk )
= A11 (t,tk )1 (t, tk ) + éêë 0( p´p) A12 (t,tk )ùúû
dt
на отрезке [tk , tk+1 ] с начальным условием
1 (tk , tk ) = [Y( p´p)  0( p´q) ],
где 0(·) – нулевая матрица.
Здесь
æ ætö
ö
¶f çççyˆ çç ÷÷÷, aˆ (tk ), t÷÷÷
÷ø
çè çè tk ÷ø
A11 (t,tk )( p´p) =
,
æ t ÷ö
ç
¶yˆ çç ÷÷
è tk ø÷
æ ætö
ö
¶f çççyˆ ççç ÷÷÷, aˆ (tk ), t÷÷÷
÷ø
çè è tk ø÷
A12 (t,tk )( p´q) =
;
¶aˆ(tk )
– определение корреляционной матрицы W(tk+1, tk) эквивалентного дискретного шума объекта путем решения уравнения
dW (t, tk )
T
= A11 (t,tk )W (t, tk ) + W (t, tk ) A11
(t,tk ) + SW (t)
dt
при t Î [tk , tk+1 ] и W (tk , tk ) = 0( p´p) ;
– определение блочной матрицы ошибки прогноза
é p11 (k + 1)( p´p)
pk+1 = êê T
êë p12 (k + 1)(q´p)
p12 (k + 1)( p´q) ù
ú
p22 (k + 1)(q´q) úúû
на основе разностных соотношений
p11 (k + 1) = 1 (tk+1, tk ) · Vk · 1T (t k+1 , tk ) + W (tk+1, tk ),
éV12 (tk ) ù
ú,
p12 (k + 1) = 1 (tk+1, tk ) ê
êV22 (tk )ú
ë
û
p22 (k + 1) = V22 (tk );
69
– вычисление матричного коэффициента усиления нелинейного
фильтра
Kk+1 = Pk+1 · HkT+1 (Hk+1 · Pk+1 · HkT+1 + Rk+1 )-1,
где Hk+1 =
¶h(xˆ k+1/k , tk+1 )
¶xˆ k+1/k
– матрица наблюдений размером r ´n ;
– вычисление корреляционной матрицы ошибки текущей оценки состояния и параметров
Vk+1 = (Kk+1 · Hk+1 - I)T + Kk+1 · Rk+1 · KkT+1
и представление ее в виде блоков
éV11 (tk+1 )( p´p)
Vk+1 = êê T
ëêV12 (tk+1 )(q´p)
V12 (tk+1 )( p´q) ù
ú;
V22 (tk+1 )(q´q) úûú
– определение текущей оценки вектора состояния и идентифицируемых параметров
xˆ k+1 = xˆ k+1/k + Wk+1 éêëzk+1 - h(xˆ k+1/k , tk+1 )ùúû ,
é yˆ k+1 ù
ú;
где xˆ k+1 = ê
ê aˆ k+1 ú
ë
û
– вычисление взвешенного скалярного квадрата 2k+1 вектора

невязки Z
k+1/k
T
-1  T

2k+1 = Z
· Zk+1/k ,
k+1/k (Hk+1 · Pk+1 · Hk+1 + Pk+1 )

ˆ k+1/k ,tk+1 ).
где Z
k+1/k = Zk+1 - h(x
Величина 2k+1 проверяется на выполнение условия 2k+1 Î 2 и
используется для вычисления меры достоверности J идентифицируемой математической модели ЛА. Мера J может быть вычислена,
например, по критерию Пирсона:
(l1 - Npi )2
,
Npi
i=1
L
J=å
N = k,
где L – число интервалов, на которые разбивается область возможных значений величины 2k+1 ; pi – вероятность попадания слу70
чайной величины, имеющей 2 -распределение, в i-й интервал; li –
число значений 2k+1, попавших в i-й интервал.
В уравнении объекта (4.15) и уравнении наблюдений воздействие
u(t) на процессы y(t) и {zk} предполагалось через зависимость функций f и h от аргументов t и tk.
Для решения задачи синтеза алгоритмов компенсации вредного влияния внешних возмущений, управления, оценивания,
идентификации наиболее эффективны следующие методы упрощения и понижения порядка математической модели:
– более грубый учет нестационарности обтекания путем использования гипотез квазистационарности, гармоничности или уменьшения числа экспонент, используемых при аппроксимации аэродинамической переходной функции [7];
– отказ от учета инерционности датчиков;
– переход к линейным моделям приводов, органов управления;
– усечение модели путем отбрасывания непосредственно измеряемых фазовых координат с учетом их влияния посредством дополнительно вводимых измеряемых фиктивных внешних возмущений.
Применение тех или иных методов редукции определяется конкретными задачами. Так, например, в задачах оптимального управления можно использовать гипотезу о квазистационарности
аэродинамических сил, и допускается отказ от учета динамических
свойств датчиков, а в задачах идентификации, напротив, учет инерционности датчиков является желательным.
Полученная путем редукции ММ летательного аппарата дополняется упрощенной моделью исследуемой подсистемы бортового
оборудования. Затем назначаются критерии качества, по которым
производится синтез алгоритма (например, назначение квадратичного функционала для систем активного управления), и выполняется собственно синтез тем или иным выбранным методом.
Исследование влияния нестабильности ЛА и среды на эффективность бортового оборудования может быть выполнено с помощью
линейной ММ вида
y = F · y + G · u + V.
Здесь y – вектор состояния линейной модели летательного аппарата yT = éêFT · T · rT · DT ùú , где q, G, r, D – подвекторы состояния
ë
û
соответственно модели ЛА (F), органов управления (G), датчиков (r)
и формирующих фильтров случайных внешних возмущений (D);
u – вектор управляющих сигналов, подаваемых на входы приводов;
71
V – векторный случайный процесс типа «белого» шума, компоненты которого являются входными сигналами фильтров, формирующих стационарные случайные процессы турбулентной атмосферы
и ошибок датчиков. Уравнение наблюдения состояния модели имеет вид
z = H · r.
При использовании цифровых вычислительных систем следует
учитывать дискретность наблюдений по времени и ошибки квантования по уровню
z(ti ) = Hr (ti ) + e(ti ),
где е(t) – ошибки квантования по времени.
При исследовании ЛА с включенными системами управления
уравнения объекта и наблюдений замыкаются с помощью алгоритма управления:
u = A(zt),
где zt – совокупность всех измерений, используемых для вычисления управляющих сигналов, применяемых в момент t.
Уравнения подвекторов линейной математической модели ЛА
имеют вид
F = Fq · F + C · G + C  · D,
r = Fr · r + xr + Vr ,
 = F · G + C · u,
G


 =F ·D+V .
D


(4.16)
Здесь вектор xr является вектором входных сигналов моделей
датчиков; Vr, V – векторы независимых случайных процессов типа
«белого» шума.
В качестве упрощенной модели ЛА обычно используют нестационарную или квазистационарную модель. Упрощенные модели
приводов представляют элементарными звеньями второго порядка
с постоянными коэффициентами (линейные модели) или с коэффициентами, зависящими от уровня входного сигнала (нелинейные
модели).
Упрощенные ММ датчиков представляют стохастическими дифференциальными уравнениями второго порядка. Вектор входных
сигналов датчиков линейных и угловых ускорений, а также датчиков угловых скоростей, с помощью которых измеряют параметры
движения ЛА, выражают соотношением
x2 = Dy · y + Dy ·y .
72
Здесь Dy, Dy – прямоугольные матрицы коэффициентов влияния
фазовых координат модели и их производных на входные сигналы
датчиков.
Для ЛА с работающими системами управления при использовании линейного закона управления вида
u(t) = K(t) · yˆ (t), yˆ = y + y ,
где K(t) – матричный коэффициент усиления обратной связи; y –
ошибки оценивания фазовых координат; вектор входных сигналов
моделей датчиков представляют в виде
x2 = Dy · y + [Dy · (F + G ⋅ K) ⋅ y ] + Dy · G · K · y + Dy · V.
Упрощенную модель турбулентной атмосферы представляют
стохастическими дифференциальными уравнениями, которые
строят с учетом описания спектральных плотностей составляющих скоростей x, y, z турбулентного ветра эмпирическими
формулами. При реализации математической модели ЛА на ЭВМ
выполняется переход от стохастических непрерывных уравнений, содержащихся в (4.16), к стохастическим разностным уравнениям.
4.4. Математическое моделирование задачи алгоритмического
обеспечения ИВУС. Фильтр Калмана
Рассмотрим задачу оценивания вектора состояния нестационарного линейного динамического объекта, моделируемого векторным
дифференциальным уравнением
dx
= F(t) ⋅ x(t) + G(t) ⋅ w(t),
dt
(4.17)
где x(t) – n-мерный вектор состояния, априорное распределение которого в момент времени t = 0 является гауссовским со средним значением x0 и ковариационной матрицей K0; w(t) – k-мерный вектор
независимых гауссовских возмущений с нулевым математическим
ожиданием E[w(t)] и ковариационной матрицей Q(t)
E éê w(t1 ) wT (t2 )ùú = Q(t1 )(t1 - t2 ),
ë
û
F(t), G(t), Q(t) – неизвестные матрицы размером n ´n, n ´ k, k´ k соответственно.
73
Предполагается, что вектор измерения y(t) связан с вектором
состояния x(t) соотношением, называемым моделью канала наблюдения:
y (t) = H(t) · x(t) + V(t).
(4.18)
Здесь V(t) – m-мерный вектор независимых гауссовых ошибок измерений с нулевыми математическими ожиданиями и ковариационной матрицей R(t), т. е. E[V(t)] = 0, E éê V(t1 ) · V-T (t2 )ùú = R(t1 )(t1 - t2 ),
ë
û
H(t), R(t) – известные матрицы размером n ´m и m ´n соответственно.
Ошибки измерений V(t) и шум системы w(t) предполагаются независимыми друг от друга (т. е. E éê V(t)wT (t)ùú = 0) и от априорной
ë
û
T
é
ù
оценки x0 вектора состояния E ê x0 · V (t)ú = 0, E éê x0 · wT (t)ùú = 0 .
ë
û
ë
û
Матрицы Q(t) и R(t) предполагаются неотрицательно определенными и имеющими обратные матрицы. На основе уравнений (4.17)
и (4.18) можно найти оптимальную по среднему квадратическому
критерию С несмещенную (т. е. E[ xˆ (t) ] = E[ x(t) ] ) оценку текущего
вектора состояния. Эта оценка соответствует оценке апостериорного среднего. В работах [6, 27, 46, 50] показано, что при оговоренных
ранее условиях оптимальная оценка подчиняется следующему дифференциальному уравнению:
(
dxˆ
= F(t) · x(t) + W (t) · [y (t) - H(t) · xˆ (t)]
dt
)
(4.19)
с начальным условием x(t0) = x0. Весовую матрицу W(t) находят по
соотношению
W (t) = K(t) · H(t) · R-1 (t) .
(4.20)
Здесь «–1» обозначена операция обращения матрицы.
Ковариационная матрица K(t) ошибок оценки вектора состояния динамической системы x(t) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению Риккати
dK(t)
= F(t) · K(t) + K(t) · FT (t) dt
- K(t) · HT (t) · R-1 (t) · H(t) · K(t) + G(t) · Q(t) · GT (t)
с начальным условием K(t0) = K0.
74
(4.21)
Уравнения (4.18)–(4.20) описывают так называемый «фильтр
Калмана» с непрерывным временем.
Большой практический интерес представляет фильтр Калмана
с дискретным временем. В этом случае уравнения состояния и измерения принимают вид соотношений (4.12) и (4.6) соответственно.
При предположениях, аналогичных приведенным для фильтра
Калмана с непрерывным временем, уточнение оценки вектора состояния с учетом последнего поступившего измерения y (tk+1 ) выполняют по рекуррентному соотношению
xˆ (tk+1 )k+1 = xˆ (tk+1 )k + W (tk+1 ) éë y (tk+1 ) + H(tk+1 ) · xˆ (tk+1 )ùû . (4.22)
Здесь индекс k указывает на то, что оценка получена по предыдущим kизмерениям. Поэтому xˆ (tk+1 )k – оценка вектора состояния,
найденная по всем измерениям кроме последнего и прогнозированная к моменту tk+1 поступления этого измерения.
Весовую матрицу W (tk+1 ) вычисляют по формуле, аналогичной
(4.20), т. е.
W (tk+1 ) = K(tk+1 )k+1 · HT (tk+1 ) · R-1 (tk+1 ) .
(4.23)
Здесь K(tk+1 )k+1 – ковариационная матрица ошибок вектора состояния, полученная по предыдущим k измерениям и прогнозированная к моменту t поступления последнего измерения. Прогнозирование предыдущей оценки на момент последнего поступившего
измерения y (tk+1 ) производят по формуле
xˆ (tk+1 )k = (tk+1 ) · xˆ (tk )k .
(4.24)
Прогнозирование ковариационной матрицы выполняют по формуле
K(tk+1 )k = (tk+1 ) · K(tk ) · T (tk+1 ) + G(tk+1 ) · Q(tk ) · GT (tk+1 ).
Для вычисления (4.23) может быть использовано следующее
матричное тождество [6], которым часто пользуются на практике
при получении удобных с точки зрения вычисления алгоритмов нахождения оценок:
(A + B · C · BT )-1 =
= A-1 · - A-1 · B · C · (C + C · BT · A-1 · B · C)-1 · C · BT · A-1 =
= A-1 · - A-1 · B · (C-1 + BT · A-1 · B)-1 · BT · A-1.
75
Тогда
–1
K(tk+1 )k+1 = éê K-1 (tk+1 )k + HT (tk+1 ) · R–1 (tk+1 ) · H(tk+1 )ùú =
ë
û
–1
= K(tk+1 )k · HT (tk+1 ) · éë H(tk+1 ) ⋅ K(tk+1 ) + R(tk+1 )ùû · H(tk+1 ) · K(tk+1 )k .
Предполагается, что матрицы A, B, C имеют обратные матрицы.
Если динамическую систему описывают дифференциальным
уравнением (4.11), а измерения производят в дискретные моменты
времени (4.5), то оценку вектора состояния производят по соотношениям (4.22)–(4.24). При этом прогнозирование оценки вектора состояния и ковариационной матрицы ошибок оценки к моменту времени tk+1 поступления очередного измерения осуществляют путем
интегрирования уравнений (4.17) и (4.21) при éê R-1 (t) = 0, (t) = 0ùú
ë
û
с начальными условиями xˆ (tk )k и K(tk )k соответственно. Прогнозирование оценки и ковариационной матрицы ошибки этой оценки
можно выполнять также по соотношениям [6]
xˆ (tk+1 )k = (tk+1 ) · xˆ (tk )k ,
K(tk+1 )k = (tk+1, tk ) · K(tk )k · T (tk+1, tk ) +
tk+1
+
ò
(tk+1, ) · G() · Q() · GT () · T (tk+1, )d.
tk
Здесь Ô(tk+1, tk ) – переходная матрица динамической системы,
удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению
d(t, )
= F(t) · (t, )
dt
при дополнительном условии  (, ) = I.
Таким образом, нахождение оптимальной оценки вектора состояния при измерениях с дискретным временем разбивается на следующие операции:
– прогнозирование оценки xˆ (tk )k , полученной по предыдущим k измерениям к моменту поступления очередного измерения
y (tk+1 );
– прогнозирование к моменту tk+1 ковариационной матрицы
K(tk )k ошибок оценки вектора состояния, полученной по предыдущим измерениям;
76
– вычисление ковариационной матрицы K(tk+1 )k+1 ошибок
оценки xˆ (tk+1 )k+1 вектора состояния с учетом очередного измерения;
– вычисление весовой матрицы W (tk+1 );
– получение уточненной оценки xˆ (tk+1 )k+1 вектора состояния
с учетом очередного измерения.
Из формул (4.19) и (4.22) видно, что коррекция оценки производится по разности между измерением y (tk+1 ) и его ожидаемым значением
yˆ (tk+1 )k = H(tk+1 ) · xˆ (tk+1 )k .
При выводе соотношений фильтра Калмана предполагалось,
что ошибки измерений моделируются либо в виде чисто случайной
последовательности при измерениях в дискретные моменты времени, либо как «белый» шум при измерениях с непрерывным временем. Очевидно, что такая модель ошибок измерений – идеализированная, и в ряде практических задач необходимо учитывать
коррелированность ошибок измерений во времени.
Более точными моделями ошибок измерений являются марковская последовательность (в задачах с дискретным временем) и марковский процесс (в задачах с непрерывным временем). Для таких
моделей ошибок измерений могут быть синтезированы также рекуррентные оптимальные линейные алгоритмы оценивания вектора состояния [8, 10].
Уравнения динамической системы (модель системы), используемой в фильтре Калмана, могут не соответствовать реальной динамической системе как из-за плохого знания ее характеристик, так и
из-за преднамеренного использования упрощенных уравнений этой
системы с целью уменьшения объема вычислений, необходимых для
реализации фильтра. Такое несоответствие ухудшает качество оценки и в ряде случаев может привести к так называемой «расходимости» фильтра, при которой с увеличением числа обрабатываемых измерений возрастает ошибка оценивания вектора состояния [8, 10].
Это явление можно наблюдать при малых ошибках измерений и малых возмущениях динамической системы. При этом вычисляемая
в фильтре ковариационная матрица ошибок оценивания вектора
состояния при больших интервалах измерения становится малой и
может не соответствовать реализовавшимся ошибкам оценивания.
Фильтр Калмана часто применяют на практике для синтеза
приближенных алгоритмов оценивания вектора состояния в нелинейных задачах, при этом производят линеаризацию функций, вхо77
дящих в уравнения состояния и измерения, относительно номинальной заранее выбранной траектории x0 (t) или относительно
оценки xˆ (t), полученной к текущему моменту времени [6, 10].
4.5. Линейная оптимальная фильтрация – алгоритмическое
обеспечение информационно-измерительных систем.
Метод формирующих фильтров
Задача оптимальной фильтрации состоит в наилучшем выделении передаваемого сообщения из принимаемой смеси сигнала с шумом. Применительно к измерительным устройствам подобные процессы часто называют входными, или полезными, воздействиями.
Объединяет такие понятия, как сообщение и полезное воздействие,
то, что их можно рассматривать в качестве отдельных реализаций
некоторого случайного процесса.
Существуют различные модели задания случайного процесса.
Чаще всего измеряемый параметр отождествляют с выборочной
функцией х(t) гауссова процесса. Это строго не вполне правомерно,
но эксперименты показывают, что если при проектировании исходят из допущения о нормальности фильтруемого процесса, то полученная система работает вполне удовлетворительно и при некоторых отклонениях входного процесса от гауссова.
В качестве статистической модели движения часто используют
выборки некоторого стационарного случайного процесса. Наряду
с этим рассматривают и полиномиальную модель, в которой измеряемую координату х(t) представляют в виде полинома
n
õ(t) = å  i ti .
(4.25)
i=0
Для каждой реализации процесса коэффициенты полинома  i
остаются постоянными. Но они меняются по случайному закону
при переходе от одного цикла к другому. Статистические характеристики коэффициентов считаются известными. Аналогичным образом задаются законы изменения координат при радионавигационных измерениях.
В теории фильтрации фундаментальное значение имеет синтез
частотно-избирательных цепей, обеспечивающих оптимальное выделение сообщения х(t) из смеси его с шумом.
Значение оптимальной линейной фильтрации формулируется
следующим образом. Фильтруемый процесс х(t) совместно с шумом
(помехами) V(t) образует аддитивную смесь y(t) = x(t) + V(t). Как от78
дельные слагаемые, так и в сумме они представляют собой реализации некоторых случайных процессов. В соответствии с условием
составляющие выражения (4.25) следовало бы обозначить индексом
«в» (выборки). Однако в данном разделе не будут фигурировать законы распределения, и, следовательно, исключается опасность путаницы выборочных значений и аргументов функций распределения.
В процессе фильтрации воспроизведению подлежит либо само
сообщение х(t), либо некоторое воздействие х*(t), связанное с х(t) заданным функциональным преобразованием. Таким функциональным преобразованием является, например, дифференцирование
или интегрирование х(t). В этом случае на выходе фильтра воспроизводятся производная или интеграл от х(t). Воспроизведение х(t)
может осуществляться в момент поступления данных (собственно
задача фильтрации), спустя время t0 после их поступления (задача
интерполяции, или сглаживания). Наряду с этим возможно предсказание будущего поведения процесса х(t) на время t0 от момента
поступления данных (задача эктраполяции, или предсказания).
Критерием оптимальности процедуры обработки является минимум среднеквадратической ошибки. Если воспроизводится сам
процесс х(t), то должно обеспечиваться условие
{
}
{
2
Ì x2 = Ì [ x(t) - xˆ (t) ]
} = min,
где xˆ(t) – процесс на выходе фильтра, а М { · } – операция статистического усреднения.
Наиболее завершенные результаты в теории линейной фильтрации получены для процесса х(t), являющегося стационарным, и,
в частности, для того практически важного случая, когда спектральная плотность процесса описывается дробно-рациональной
функцией частоты. Представление о получении таких процессов
дает метод формирующего фильтра.
Суть метода состоит в том, что процесс х(t) образуется на выходе
линейного фильтра, на вход которого подается «белый» шум.
На рис. 4.2 показаны процедура формирования сообщения х(t)
и выделение его из смеси с шумом V(t) с помощью оптимального
V(t)
n(t)
Формирующий
фильтр
hφ(τ), фφ(jω)
Оптимальный
фильтр
h0(t,τ), ф0(t, jω)
x(t)
Рис. 4.2
79
фильтра. Для простоты будем полагать, что шум V(t) «белый» и не
коррелирован с х(t). Учет отличия данного шума от «белого» не вносит в процедуру отыскания оптимального фильтра ничего нового,
но делает синтез более громоздким.
Формирующий фильтр характеризуется весовой функцией h ()
или комплексной частотной характеристикой ô ( j). Для оптимального фильтра имеем соответственно весовую (в общем случае
нестационарную) функцию h0(t,  ) или комплексную частотную характеристику ô0 (t, j), которые должны быть определены в процессе синтеза.
Шумовые воздействия h(t) и V(t) задают корреляционными функциями
N
N
Kn () = n  (), KV () = V  ()
2
2
со спектральными плотностями Sn () = Nn , SV () = NV .
Корреляционная функция Kx () и спектральная плотность
Sx () процесса х(t) связаны с характеристиками формирующего
фильтра h () и ô ( j) следующими соотношениями:
N
Kx () = n
2
¥
ò h()h ( + )d,
0
(4.26)
2
Sx () = Nn ô ( j) .
Задачу определения структуры и параметров оптимального
фильтра в рассматриваемых условиях решал Винер. Было установлено, что весовая функция h0 (t, ) должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:
t
ò [ Kx (, ) + KV (, )] h0 (t, )d = Kx (t, ),
(4.27)
0
или, учитывая, что шум «белый», имеем
t
NV
h0 (t, ) + ò Kx (, ) h0 (t, )d = Kx (t, ).
2
(4.28)
0
Как следует из (4.28), структура оптимального фильтра зависит
от вида корреляционной функции Kx () фильтруемого процесса,
а та, в свою очередь, определяется весовой функцией h () формирующего фильтра (4.26). Однако связь между весовыми функциями
80
достаточно сложная, и определить функцию h0 (t, ) непосредственно по виду функции h () , не решая интегральных уравнений (4.27)
или (4.28), невозможно.
При решении уравнения (4.27) возникают значительные трудности, особенно если рассматривается неустановившийся режим, т. е.
учитывается момент включения оптимального фильтра, а комплексный коэффициент передачи формирующего фильтра представляет собой отношение полиномов высокого порядка. Некоторые примеры вычисления весовой функции оптимального фильтра
для разных корреляционных функций Kx () представлены в работе [11]. Проще определить характеристики фильтра в установившемся режиме, когда верхние пределы интегралов в (4.27), (4.28)
принимают бесконечными. В этом случае уравнения (4.27), (4.28)
решают методом преобразования Фурье, а результатом решения
является комплексная частотная характеристика ô0 ( j) оптимального фильтра.
После определения функции h0 (t, ) или ô0 (t, j) возникает задача воспроизведения (моделирования) фильтра в виде алгоритма
работы вычислительной машины либо активного фильтра на операционных усилителях. При современном развитии авиационной техники, когда некоторые устройства имеют выход на вычислительные
машины, задание фильтра в виде алгоритма предпочтительнее. Поэтому необходимо перейти от h0 (t, ) к дифференциальным уравнениям, которые описывают процессы в оптимальном фильтре. Хотя
такой переход, в принципе, всегда возможен, он сопряжен с громоздкими вычислениями.
Названные ранее трудности, связанные с решением уравнений
(4.27), (4.28) и моделированием винеровского фильтра, явились одной из причин ограниченного применения его в практических разработках. Эти же трудности послужили стимулом для поиска новых подходов к решению задачи оптимальной фильтрации. Весьма
плодотворной оказалась идея задания формирующего фильтра
в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, что
позволило получить очень простую связь между структурами формирующего и оптимального фильтров. На этой идее основана методика синтеза, предложенная Р. Калманом и Р. Бьюси. Фильтры,
построенные по этой методике, носят название фильтров Калмана
[2, 12, 27, 30, 46].
Для уяснения существа вопроса рассмотрим основные понятия
теории фильтров Калмана на простейшем примере. Предположим,
что фильтруемый процесс х(t) формируется путем прохождения
81
«белого» шума через низкочастотный фильтр с комплексной частотной характеристикой
ô ( j) =
20
( j)2 + 20 j + 20
,
(4.29)
где 0 – собственная частота фильтра;
 – коэффициент затухания.
Частотной характеристике (4.29) соответствует весовая функция
h () =
0
1- 
2
exp (-0 ) sin 0  1 - 2 .
(4.30)
Для нахождения винеровского оптимального фильтра необходимо из (4.26) определить корреляционную функцию Kx () по заданной выражением (4.30) весовой функции формирующего фильтра,
а затем решить интегральное уравнение (4.28). Нетрудно представить сложность подобной задачи.
Рассматриваемый формирующий фильтр может быть задан также дифференциальным уравнением второго порядка
d2 x
dt
2
+ 20
dx
+ 20 x = 20n,
dt
(4.31)
где n – мгновенное значение «белого» шума, подаваемого на формирующий фильтр. Здесь и далее для упрощения записи аргумент t
у функции времени опускаем.
Вместо уравнения (4.31) запишем систему из двух уравнений
первого порядка, обозначив х1 = х, х2 = dx/dt:
dx1
= x2 ,
dt
(4.32)
dx2
= - 20 x1 - 2 0 x2 + 20n.
dt
Векторная форма системы уравнений (4.32) имеет вид
dx1
1
dt = 0
2
dx2
-0 -20
dt
82
0 0
x1
+
x2
0 20
0
n
или
dx
= F · x + C · n.
dt
(4.33)
Применительно к рассматриваемому примеру х представляет собой вектор-столбец с элементами х1, х2, матрицы F и C равны соответственно
0
1
0 0
F=
, Ñ=
.
2
-0 -20
0 20
Наконец, вектор шумов n состоит из элементов 0, n.
На рис. 4.3 изображена модель образования смеси полезного воздействия процесса x и шума V при задании формирующего фильтра
в виде дифференциальных уравнений. Элементы вектора x характеризуют состояние модели, поэтому их называют переменными состояния. Как правило, в качестве переменных состояния выбирают
выходные сигналы интегратора [12].
Уравнение (4.33) описывает формирующий фильтр достаточно
высокого порядка. Более того, матрицы F и C в общем случае могут быть нестационарными, т. е. состоять из элементов, зависящих
от времени. При этом процесс x будет также нестационарен. Для
построения общей модели смеси фильтруемого процесса с шумом
уравнение (4.33) должно быть дополнено соотношением
ó = H ⋅ x + V.
Это соотношение иногда называют уравнением наблюдения, так
как матрица H означает, какая из переменных состояния должна
фильтроваться (наблюдаться) в оптимальном устройстве.
Так, если в рассматриваемом примере Í = 1 0 , фильтруется
процесс õ = õ1. При Í = 0 1 фильтрации подлежит производ-
n
Z20
+
+
–
–
d2x
dt2
³
dx =x
2
dt
³
V
x = x1 +
+
2[Z0
Z20
Рис. 4.3
83
ная x = õ 2 этого процесса. Наконец, при Í =
1 0
фильтруется
0 1
как сам процесс, так и его производная. В последнем случае вектор
шумов V должен состоять из двух элементов, т. е. необходимо использовать два источника шумов или один источник с двумя выходами.
Общая схема воспроизведения вектора y представлена на
рис. 4.4. (левая часть рисунка).
Оптимальный фильтр, обеспечивающий воспроизведение процесса x с минимальной среднеквадратической ошибкой, описывается следующим векторным уравнением [12]:
dõˆ
= F ⋅ õˆ + K(y - H ⋅ õˆ )
dt
(4.34)
с начальными условиями õˆ (0) = õ0 , характеризующими априорные
данные о процессе õ̂ на выходе фильтра в момент t = 0. Если такие
данные отсутствуют, принимают õˆ (0) = 0. В (4.34) K – матричный
коэффициент передачи оптимального фильтра.
Структурная схема оптимального фильтра показана на рис. 4.4
(правая часть рисунка). Обрабатываемая смесь y и отфильтрованный процесс õ̂ подаются на устройства сравнения. Получаемая
в результате сравнения разность определяет отличие вновь поступивших данных от данных на выходе синтезируемого фильтра. Эта
разность с весовым коэффициентом К поступает на инерционную
часть фильтра, вид которой полностью аналогичен виду формирующего фильтра. Поэтому нахождение структуры оптимального фильтра не представляет труда. Напомним, что связь весовых функций
формирующего и оптимального фильтров (4.26), (4.28) в винеровской задаче была не столь простой.
n
C
+
³
+
H
V
+
x
+
+
+
K
+
³
F
F
H
Рис. 4.4
84
ŵ
Основной проблемой, которая возникает при построении калмановского фильтра, является определение матричного коэффициента передачи К. Он задается следующей системой уравнений [12]:
æ N ö-1
K = 2x · ÍT · çç V ÷÷÷ ,
çè 2 ø
d2x
dt2
= F · 2x + 2x · FT -
æ N ö-1
N
- 2x · HT · çç V ÷÷÷ · H · 2x + C · n · CT .
çè 2 ø
2
{
T
Здесь  2x = M (õ - õˆ )(õ - õˆ )
(4.35)
} – симметричная матрица диспер-
сий, определяющая точность фильтрации. При этом NV/2 и
Nn/2 характеризуют корреляционные матрицы «белых» шумов V
и n, т. е.
N
KV (t, ) = M V, VT = V (t - ),
2
{
}
{
}
Kn (t, ) = M n, nT =
Nn
(t - ).
2
При записи выражений корреляционных функций шумов учитывалось, что эти шумы могут быть нестационарными, а следовательно, элементы матриц NV, Nn могут зависеть от времени. Уравнение дисперсий (4.35) представляет собой матричное нелинейное
уравнение Риккати.
Если рассматривается установившейся режим, то для определения 2x вместо дифференциального уравнения (4.35) решают алгебраическое уравнение
æ N ö-1
N
F · 2x + 2x · FT - 2x · HT · çç V ÷÷÷ · H · 2x + C · V · CT = 0. (4.36)
çè 2 ø
2
Матрица дисперсий, а следовательно, и коэффициент передачи
не зависят от поступающих данных, содержащихся в обрабатываемой смеси y, поэтому их рассчитывают заранее, до начала самой процедуры фильтрации. Для расчета необходимо располагать
параметрами формирующего фильтра и характеристиками шумов n и V.
85
Для иллюстрации методики синтеза фильтра Калмана продолжим рассмотрение примера. Из (4.35) найдем коэффициент передачи фильтра
K=
K11
K21
2x11
K12
=
K22
2x21
2x12
2x22
22x11
NV
1
2
·
=
.
0 NV
22x21
NV
(4.37)
Отсюда следует, что
K11 =
22x11
22
, K21 = x21 , K12 = K22 = 0.
NV
NV
С учетом (4.36) и (4.37) уравнение (4.34) оптимального фильтра
приобретают вид
dxˆ1
1
dt = 0
2
dxˆ2
-0 -20
dt
dxˆ1
0
dt =
dxˆ2
-20 xˆ
dt
x1
K11
+
(y - xˆ ),
x2
K22
xˆ2
-20 xˆ2
+
K 11 (y - xˆ1 )
.
K21 (y - xˆ1 )
(4.38)
Матричному уравнению (4.38) соответствует система двух скалярных уравнений:
dxˆ1
= xˆ2 + K 11(y - xˆ1 ),
dt
dxˆ2
= -20 xˆ1 - 20 xˆ2 + K 21(y - xˆ1 ).
dt
На основе этих уравнений сформулирована структурная схема
фильтра (рис. 4.5)
Часть схемы, обведенная пунктирной линией, полностью повторяет структуру формирующего фильтра. В исходной постановке задачи из смеси полезного воздействия и шума требовалось получить
оптимальное значение õ1 = xˆ процесса õ . В синтезированном филь86
y
+
–
K21
K11
+
–
+
³
–
x^ 2
+
+
³
x^ 1
x^
]Z0
Z20
Рис. 4.5
тре попутно формируется и оптимальная оценка x̂2 производной
этого процесса. Такое свойство фильтра Калмана носит достаточно
общий характер, т. е. фильтр выдает оптимальные оценки всех переменных состояния независимо от того, какой из этих процессов
непосредственно измеряется.
На частотно-избирательные цепи фильтра, которым принадлежит основная роль в выделении полезного воздействия, подаются
отфильтрованные переменные состояния x̂1 , x̂2 и вновь поступающие данные о процессе x, содержащиеся в обрабатываемой смеси y.
Переменные x̂1 и x̂2 характеризуют априорные сведения (заключенные в начальных условиях) и результаты предшествующих измерений. Вновь поступающие данные обновляют эти результаты
в соответствии с фактическим состоянием фильтруемого процесса õ .
Как следует из (4.37), весовые коэффициенты К11 и К21, с которыми
вновь поступающие данные подают на частотно-избирательные цепи, обратно пропорциональны спектральной плотности шумов NV,
сопровождающих полезное воздействие. Благодаря такой структуре этих коэффициентов происходит перераспределение значимости
имеющихся и вновь поступающих данных в зависимости от величины NV. Так, при возрастании шумов доля новых данных в формировании оптимального значения фильтруемого процесса уменьшается. В пределе при NV  ¥ фильтр обходится без них, ориентируясь
лишь на априорные сведения. Если NV  0 , то роль вновь поступающих данных возрастает в пределе, если NV  0 коэффициенты
К11 и К21 становятся бесконечно большими. Это означает, что филь87
трации не требуется, а в качестве оптимального значения выделяемого процесса следует принять входные воздействия, т. е. xˆ1 = y.
Дисперсии 2x11 и 2x21, определяющие коэффициенты передачи К11 и К21, находят, решая уравнение (4.37).
Ранее отмечаловь, что наряду с заданием полезного воздействия
(сообщения) в виде случайного процесса с дробно-рациональной относительно частоты спектральной плотностью используют также
полиномиальную модель входного воздействия. Подобную модель
часто применяют при синтезе радионавигационных измерителей
координат подвижных объектов. В этом случае коэффициенты  0 ,
1 и 2 полинома (4.25) характеризуют соответственно начальное
значение координаты объекта, его скорость и ускорение.
Формирующий фильтр для полиномиальной модели входного
воздействия представлен на рис. 4.6.
Коэффициенты полинома в такой модели являются случайными величинами, которые представляют собой начальные условия
на выходах соответствующих интегралов. Для приведенной модели
нетрудно записать уравнение состояния
dx
=F·x
dt
с начальными условиями õ1 (0) =  0 , õ2 (0) = 1, õ3 (0) = 2 и матрицей
0 1 0
F= 0 0 1 .
0 0 0
Основное достоинство методики синтеза линейных фильтров,
разработанной Р. Калманом и Р. Бьюси, состоит в том, что она дает
решение задачи об оптимальной фильтрации непосредственно в форме уравнений (4.34)–(4.36), для которой сравнительно несложно
смоделировать фильтр на аналоговой или цифровой ЭВМ. Поэтому
калмановские фильтры нашли широкое применение в практичеα
O
°
Y
°
Y
Рис. 4.6
88
α
α
°
YY
7
Z
ских приложениях и особенно в радиолокационных и навигационных системах [13].
Важным преимуществом этой методики является также возможность решения нестационарной задачи, в которой элементы
матрицы F и интенсивности шумов n и V изменяются во времени.
Кроме того, теория допускает обобщение на случай «небелых» шумов [12].
Используя основные положения теории калмановской фильтрации, несложно синтезировать многомерный оптимальный фильтр,
в котором осуществляется обработка результатов измерений одного и того же процесса x несколькими измерителями, и оценить выигрыш, обеспечиваемый применением такого фильтра [12]. Оказывается, что величина выигрыша зависит от статистических свойств
процесса x. Для воздействий, наиболее часто употребляемых в исследованиях (марковский и винеровский процессы, «черный» шум),
выигрыш по среднеквадратической ошибке не превосходит m1/4, где
m – число измерителей, а для марковского процесса он меньше m1/4.
В задачах нелинейной фильтрации фильтруемый процесс может
быть представлен в виде напряжения на выходе некоторой модели
(рис. 4.7)
В отличие от ранее рассмотренной модели сигнала здесь введен
модулятор, в котором осуществляется модуляция несущего колебания u0 sin t с сообщением x.
Фильтруемый процесс uy(t) представляет собой смесь полезного
сигнала uc(t, x) и шума uш(t):
uy(t) = uc(t, x) + uш (t).
Полезный сигнал uc(t, x) является известной функцией времени
и случайного процесса x, статистические свойства которого определяются видом формирующего фильтра. Если сообщение x связано
с сигналом uc(t, x) нелинейной зависимостью, то имеем задачу нелинейной фильтрации.
VÑU
OU
­ÇÉÅÁÉÌ×ÒÁÂ
ÍÁÄÕËÉ
YU
¥Ç½ÌÄØËÇÉ
VDUY
VËU
VTJOWU
Рис. 4.7
89
OU
ÁÊÃÉÁÅÁƹËÇÉ
[
¤ÁƾÂÆÔ¾
йÊËÇËÆÇÁÀºÁɹ˾ÄÕÆԾϾÈÁ
Y^ Рис. 4.8
В ряде практически важных случаев допустимо представление оптимального нелинейного фильтра в форме, приведенной на рис. 4.8.
На выходе безынерционного демодулятора формируется процесс z,
который линейно связан с процессом x. Поэтому последующая фильтрация осуществляется в линейных частотно-избирательных цепях
в соответствии с рассмотренной ранее теорией линейной оптимальной фильтрации. Представленный фильтр обеспечивает минимальное
среднеквадратическое значение ошибки в каждый момент времени.
Операция формирования процесса z при оптимальной нелинейной фильтрации описывается следующим выражением:
z=-
¶Q(t, uy , x)
¶x
.
(4.39)
x=xˆ
Входящая в выражение (4.39) функция Q(t, uy, x) для случая,
когда сигнал uc(t, x) является детерминированным, т. е. известным полностью, за исключением процесса х, а аддитивная помеха uш(t) представляет собой «белый» шум со спектральной плотностью G() = N0, выражается формулой
Q(t, uy , x) =
1 é
uy (t) - uc (t, x)ùú 2.
û
N0 êë
Тогда
z=
2 ¶ uc (t, xˆ ) é
·
u (t) - uc (t, xˆ )ùú .
ëê y
û
N0
¶xˆ
(4.40)
Здесь для краткости обозначено
¶ uc (t, xˆ ) ¶uc (t, x)
=
.
¶xˆ
¶x
x=xˆ
На рис. 4.9 изображена структурная схема, построенная на основании формулы (4.40).
Основными элементами демодулятора являются вычитающее устройство, умножитель (синхронный детектор) и два генератора Г1 и Г2,
90
uy
–
uс(t, x)
Г1
2
N0
uс (t, ŵ)
x
z
Г2
ŵ
Рис. 4.9
вырабатывающих функции uc (t, xˆ ) и ¶uc (t, xˆ ) / ¶xˆ. На входы генераторов подается отфильтрованное сообщение x̂ , которое формируется на выходе частотно-избирательных цепей оптимального фильтра. Существенно нелинейными элементами демодулятора являются генераторы Г1 и Г2.
В качестве примера рассмотрим прохождение через описанный
дискриминатор смеси, состоящей из полезного сигнала, промодулированного по фазе, и шума
uy (t) = U0 sin(t + Kx x) + uø (t),
(4.41)
где амплитуда U0 и частота сигнала  считаются известными, а коэффициент Кх служит для согласования размерности фазы и сообщения х. Из (4.41) следует, что сообщение х входит в полезный сигнал нелинейно.
Подставим (4.40) в (4.41) и, выполнив несложные преобразования, найдем
z=
Kx V02
2Kx V0
sin Kx (x - xˆ ) +
uø (t)cos(t + Kx xˆ ) +
N0
N0
+ слагаемое с двойной частотой.
(4.42)
Поскольку следующие за дискриминатором частотно-избирательные цепи не пропускают сигналов с двойной частотой несущих
колебаний, эти слагаемые в дальнейшем не рассматриваются.
При оптимальной фильтрации значения x̂ будут близки к значениям x, следовательно, допустима замена синуса в (4.42) его аргументом.
91
Введем обозначения
õ¢ =
V¢=
Kx2 V02
K2 V 2
x, xˆ ¢ = x 0 xˆ ,
N0
N0
2Kx V0
uø (t)cos(t + Kx xˆ ), y ¢ = x ¢ + V ¢.
N0
Тогда (4.42) можно записать в виде
z = y ¢ - xˆ ¢.
Отсюда следует, что по отношению к фильтруемому процессу y ¢
и оценке сообщения x̂ ¢ демодулятор оптимального нелинейного
фильтра выполняет операцию, аналогичную той, которая выполняется элементом сравнения, стоящим на входе линейного оптимального фильтра. Поэтому нахождение сглаживающих цепей фильтра
осуществляется по методике линейной фильтрации.
4.6. Программное обеспечение фильтра Калмана
Выполним расчет фильтра Калмана для непрерывных и дискретных систем управления в MATLAB.
Непрерывный фильтр Калмана. Процедура для непрерывной системы имеет вид
[kest, L, P] = kalman (sys, Qn, Rn, Nn)
и рассчитывает непрерывный фильтр: выполняет синтез фильтра
Калмана для оценки переменных состояния объекта управления на
основе данных о случайных внешних возмущениях и ошибках измерений.
Исходные модели:
x = A · x + B · u + G · W – уравнение состояний с возмущениями,
y V = C · x + D · u + H · W + V – уравнение измерений с шумами,
где W – шумы, воздействующие на объект по входам u (возмущения);
V – шумы измерений.
Шумы W и V являются «белыми» со следующими характеристиками:
M{W} = M{V} = 0,
{
}
M V(t) · V()T = R(t - ),
92
{
}
M {W(t) · W()T } = N(t - ).
M W(t) · W()T = Q(t - ),
Требуется синтезировать наблюдатель для оценивания вектора
переменных состояния объекта, минимизирующий установившуюся ошибку оценивания:
{
T
P = lim M (x - xˆ )(x - xˆ )
t¥
}.
Оптимальным решением является фильтр Калмана
ìï
ïï dxˆ
ïï = A · xˆ + B · u + L(y - C · xˆ - D · u),
ïí dt
ïïé yˆ ù é Cù
é Dù
ïïê V ú = ê ú · xˆ + ê ú · u + H · W + V,
ê
ú
ê
ú
ê0ú
ïïë xˆ û ë I û
ë û
î
где L – матрица коэффициентов обратных связей.
Матрицу коэффициентов обратных связей L определяют на основе решения алгебраического матричного уравнения Риккати.
Наблюдатель объединяет фильтр Калмана и объект управления,
использует известные входы и результаты измерений yV, искаженные случайными помехами (рис. 4.10).
Если матрица N = 0, то последний входной аргумент Nn можно
опустить.
Дискретный фильтр Калмана. Процедура проектирования имеет вид
[kest, L, P, M, Z] = kalman (sys, Qn, Rn, Nn)
Наблюдатель Калмана
Фильтр
Калмана
V
yV
u
W
Объект
управления
y
Рис. 4.10
93
Для дискретной модели объекта управления
x [n + 1] = A · x[n] + B · u[n] + G[n]· W[n] – уравнение состояний,
yV [n + 1] = C · x[n] + D · u[n] + H · W[n] + V[n] – уравнение измерений c известными входами u и возмущениями по входам W и измерениям V, которые являются «белым» шумами со следующими
характеристиками:
M {W } = M {V } = 0,
{
}
M {V [n] V [m]T } = Rnm,
M {V [n] V [m]T } = Nnm.
M W [n] W [m]T = Qnm,
Требуется выполнить синтез наблюдателя для оценки вектора состояния, минимизирующего установившуюся ошибку оценивания:
{
}
P = lim M (x - xˆ )(x - xˆ )T .
t¥
Оптимальное решение является фильтром Калмана вида
ìï é n + 1 ù
æ
ö
é n ù
é n ù
ïïxˆ ê
ú = A · xˆ ê
ú + B · u[n] + Lççy V - C · xˆ ê
ú - D · u[n]÷÷÷.
ïï êë n úû
êë n -1 úû
êë n -1 úû
èç
ø
ïï
ïïé é n ù ù
íê yˆ V ê ú ú
ïïê êë n úû ú é C · (I - M · C)ù é n ù é(I - C · M) · D C · M ù é u[n] ù
ú · xˆ ê
úê
ú.
ú=ê
ïïê
ú+ê
M úû êë y V [n]úû
ïïêê é n ù úú êë I - M · C úû ëê n -1 ûú êë -M · D
ïïê xˆ êê úú ú
ïîë ë n û û
Матрица коэффициентов обратных связей L и новая матрица
коэффициентов обратных связей M определены путем решения
матричного алгебраического уравнения Риккати.
Обновленная матрица коэффициентов обратных связей M приé n ù
ú на основе измеременяется для уточнения предсказания x ê
êë n -1 úû
ния yV [n].
Ковариационные матрицы ошибок оценивания P и Z в установившемся режиме определяются выражениями
ìï é n ù é n ùT üï
ï
úeê
ú ïý,
P = lim M íe ê
ïï êë n -1 úû êë n -1 úû ïï
n¥
ïî
ïþ
94
é n ù
é n ù
é n ù
ú = xê
ú - xˆ ê
ú;
где e ê
ëê n -1 ûú
ëê n -1 ûú
ëê n -1 ûú
ìï é n ù é n ùT üï
ï
Z = lim M íe ê ú e ê ú ïý;
ïï ëê n ûú ëê n ûú ïï
n¥
îï
þï
énù
énù
énù
e ê ú = x ê ú - xˆ ê ú .
êë n úû
êë n úû
êë n úû
Общий случай проектирования фильтра Калмана. Процедуры
[kest, L, P] = kalman (sys, Qn, Rn, Nn, sensors, known)
[kest, L, P, M, Z] = kalman (sys, Qn, Rn, Nn, sensors, known)
применяют для объектов управления sys более общего вида, в которых могут быть найдены известные и случайные неизвестные и
не все выходы измеряются. Векторы индексов sensor и known определяют, какие входы известны. Все другие входы предполагаются
случайными и неизвестными.
4.7. Пример синтеза формирующего фильтра
Пусть случайный полезный сигнал S(t) описан спектральной
плотностью Sss(). Сигнал S(t) с заданной спектральной плотностью
можно представить как результат прохождения «белого» шума n(t)
через формирующий фильтр с передаточной функцией Wф(p), которую определяют из выражения
Sss() = Wф(j)W(–j)N0,
где N0 – спектральная плотность «белого» шума n(t);
Wô ( j) =
bm ( j)m + bm-1 ( j)m-1 + ... + b0
an ( j)n + an-1 ( j)n-1 + ... + a0
– частотная характе-
ристика формирующего фильтра;
 2k + 2k-22k-2 + ... + 0
– спектральная плотность
Sss () = 2k
2k 2k + 2k-22k-2 + ... + 0
сигнала на выходе формирующего фильтра.
95
Приравнивая коэффициенты в числителе и знаменателе при
одинаковых степенях частоты  в выражении (4.6), находим коэффициенты aj и bj передаточной функции формирующего фильтра по
известным значениям коэффициентов j и j.
П р и м е р. Пусть
Sss () =
S0
2
 (1 + 2T2 )
, N0 = S0.
Выберем
Wô ( p) =
b0
.
p(a2 + pa2 )
Тогда найдем
Sss () =
b0
b0
b2
·
N0 = 2 2 0 2 2 S0 .
j(a1 + ja2 ) (-j)(a1 - ja2 )
 (a1 +  a2 )
Отсюда получим b0 = 1, a1 = 1, a2 = T, и, следовательно,
Wô ( p) =
1
.
p(1 + pT)
Таким образом, формирующий фильтр содержит последовательно соединенные инерционное звено с постоянной времени T и интегрирующее звено (рис. 4.11).
Теперь формирование полезного сигнала можно представить
в виде решения стохастической дифференциальной системы уравнений (марковская модель сигнала), если в качестве переменных соT
стояния z(t) = [ z1 (t)z2 (t) ]
ных звеньев:
выбрать сигналы на выходах элементар-
ïìïz(t) = A · z(t) + B · n(t),
í
ïïS(t) = CT · z(t),
î
n(t)
1
1 + pT
z2(t)
Рис. 4.11
96
1
p
z1(t) = S(t)
é0 1 ù
é0ù
é1 ù
ê
ú
ê ú
ú
;
где матрицы A = ê
-1 B = ê 1 ú ; C = êê úú .
ê0
ú
ê ú
ë 0û
êë
êë T úû
T úû
4.8. Пример синтеза законов и структур систем управления
и отображения информации
Конкретные (под режим полета) измерительно-вычислительноуправляющие системы летательного аппарата обусловливают различные требования к системам управления и отображения информации.
На человека-оператора в контуре управления ЛА возлагаются
функции принятия решений в сложных и непредвиденных ситуациях, управления, контроля за состоянием систем и другие операции, тогда как техническая часть систем выполняет те функции,
которые заранее можно запрограммировать.
Бортовые системы отображения информации занимают существенное место в процессе управления с участием оператора, реализуя информационную, а часто и концептуальную модель полета.
Поэтому процессы управления системой отображения информации,
реализующие своевременность поступления требуемой для управления полетом информации, определяющие частоту смены кадра,
поток, характер и значимость отображаемой информации и другое,
играют на борту ЛА важную роль.
Поведение человека-оператора в системе управления, а следовательно, и его математическая модель определяются следующими
основными характеристиками: временем реакции (транспортного
запаздывания), свойством фильтрации низких частот, зависимостью от времени и задачи, возможностью предвидения ситуации,
нелинейностью, детерминированностью, стохастичностью и адаптивностью поведения и другими. Различные модели являются попыткой адекватно математически описать эти характеристики.
Наиболее полно поведение человека-оператора, по мнению некоторых исследователей, характеризуется самонастраивающейся моделью с фильтром Калмана по переменным состояния ЛА.
Рассмотрим задачу совместного синтеза системы повышения
устойчивости и управляемости ЛА и системы отображения информации с учетом характеристик человека-оператора в структуре
управления путем решения задачи аналитического конструирования оптимальных систем.
97
Представим динамическую систему (ЛА–система управления–
система отображения информации–человек-оператор) системой линейных стационарных дифференциальных уравнений:
A3
x 3
=
0
x 2
0 x3
B3
B1
0
D3
+
u3 +
u1 +
u2 +
W,
A2 x2
0
0
B2
0
где x3 Î R n ; u3 Î R3m ; u1 Î R1m ; W – возмущающее на ЛА воздействие, представленное как гауссовский «белый» шум с нулевым
средним и интенсивностью W; x2 Î R d ; u2 Î R md ; u2 – управление
отображением информации (закон формирования).
В этой системе уравнений два управления u3 и u1 формируются
двумя физически независимыми регуляторами: человеком-оператором (регулятор 2) и системой управления (регулятор 1).
Пусть оба регулятора используют обратную связь по выходу
в виде
u3 = G1 · y 3 ,
u1 = G2 · y1.
Далее предполагаем, что в регуляторе 2 наблюдаемые переменные (измерения) имеют вид
y 3 = Ñ3 · x3 + C2 · x2 + Cu · u2 + V,
где V – гауссовский «белый» шум с нулевым средним и интенсивностью V. Этот регулятор имеет структуру компенсатора и реализует обратную связь по всем переменным состояния.
Предположим, что регулятор 1 и закон формирования отображения u2 используют измерения, свободные от шума:
y1 = Ñ2 ·
x3
x2
,
y2 = C1 · x3 .
Регуляторы 1 и 2 должны быть оптимальны в смысле критериев
T
ìï
1
T
T
J1 = E ïí lim ò xT
3 · Q10 · x3 + x2 · Q12 · x2 + u3 · R1 · u3 +
ïït¥ T
î
0
üï
ï
+u1T · F1 · u1 + uT
2 · F22 · u2 dtý,
ïïþ
(
)
98
ì
æT
ö÷
ï
ï
1ç
T
T
T
T
÷
J2 = E ï
í lim ççç ò x3 · Q10 · x3 + x2 · Q22 · x2 + u3 · R2 · u3 + u1 · F2 · u1 ÷÷dt
ï
÷
T
¥
t
ç
ï
è0
ø÷
ï
î
при управлениях u3 и u1, u2 соответственно. Здесь E{·} – оператор
математического ожидания, весовые матрицы
Q10 ³ 0, Q12 ³ 0, R1 ³ 0, F1 > 0, F22 ³ 0, R2 > 0, F2 ³ 0.
Для некоррелированных шумов возмущения W и измерений V
(при V > 0 ) данную задачу решают как невырожденную линейную
задачу оптимального управления при гауссовских шумах для регулятора u3:
u3 = Ê3 · xˆ 3 ,
где xˆ 3 – оценка вектора состояния x3 ; Ê3 = -R2-1 · B2T · P – матрица коэффициентов усиления, P ³ 0 – симметричная матрица, определяемая по решению алгебраического уравнения Риккати:
A3T · P + P · A3 + Q2 - P · B1T · R2-1 · B1 · P = 0.
(4.43)
Динамику фильтра низких частот (фильтра Калмана) описывают уравнением

xˆ 3 = A3 · xˆ 3 + B1 · u3 + K1 · (y 3 - C1 · xˆ 3 ),
в котором матрицу коэффициентов усиления K1 = K · C1T · V-1,
K ³ 0, определяют путем решения алгебраического уравнения
Риккати:
A3T · K + K · A3 + D3 · FW · D3T - K · C1T · V-1 · C1 · K = 0.
(4.44)
Матрицы G1 и G2 коэффициентов усиления, которые обеспечивают оптимальность регуляторов u3 и u1 , равны
G1 = -F1-1
-1
G2 = -F12
·
B1T
CT
0 ·H·L· 1
0
B2
·
K1 · Cu
T
é
êC
ê 1
êë
CT
·H·L· 2
0
é
êC
ê 2
ëê
CT
0 ·L· 1
0
ù -1
ú ,
ú
úû
CT
0 ·L· 2
0
ù -1
ú ,
ú
ûú
99
ïìï x x T ïüï
3 3 ï
где матрицу L = E ïí
ý определяют по уравнению Ляпунова
ïï xˆ 3 xˆ 3 ïï
îï
þï
AkT · L + L · Ak + D3¢ · FW · (D3¢ )T = 0, FW = F1 · F22 ,
(4.45)
а матрицу Н – по уравнению Ляпунова вида
AkT · H + H · Ak +
где Ak =
0
Q1
0
K3T
· R1 · K3
= 0,
(4.46)
A3
B1 · K3
.
K1 · C
A2
Таким образом, решение задачи синтеза систем отображения информации и управления с человеком-оператором в представленной
постановке сводится к решению уравнений (4.43)–(4.46) [34].
100
5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО СИНТЕЗУ МОДЕЛЕЙ, ПРИМЕНЯЕМЫХ
ПРИ АНАЛИТИЧЕСКОМ КОНСТРУИРОВАНИИ
ПРИБОРНЫХ СИСТЕМ
5.1. Входные сигналы
Характерной особенностью работы авиационных систем является использование предельных режимов. Максимальные или минимальные значения скоростей и ускорений, температур и давлений,
токов и напряжений, времени работы и уровней полезных входных
сигналов – таков далеко не полный перечень условий, при которых роль случайных факторов становится все более заметной и существенной. Отсюда следует, что общая модель входных сигналов,
описывающих действующие возмущения, может быть описана случайной функцией. В частном случае, когда роль случайных факторов становится пренебрежимо малой, входные сигналы можно рассматривать как детерминированные (неслучайные) функции.
Все многообразие входных сигналов можно разделить на полезные сигналы и помехи. Полезные сигналы – такие сигналы, преобразование которых является задачей ИВУС. Помехи – это мешающие сигналы. Влияние помех проявляется в возникновении
случайных сил и моментов в механических системах и случайных
токов и напряжений в электронных системах.
Различают внешние и внутренние помехи. Примером внешних
помех могут служить турбулентность атмосферы, приводящая к болтанке ЛА, шумы в радиоэлектронном устройстве, обусловленные
физическими условиями распространения и отражения электромагнитных волн. Внутренние помехи возникают от флуктуаций носителей заряда в элементах электронных схем (транзисторах, резисторах и т. д.), трения в механических соединениях и на границах
разных сред.
Деление входных сигналов на полезные и помехи является условным и зависит от решаемой задачи. Например, с позиции общего
движения ЛА или пассажира, влияние турбулентности атмосферы
рассматривают как помеху. С позиции системы стабилизации ЛА
относительно центра масс, турбулентность атмосферы рассматривают как полезный сигнал, на который система стабилизации должна вырабатывать компенсирующий сигнал в виде поворота рулей.
Отклонение рулей создает моменты, парирующие моменты от турбулентности атмосферы. С позиции работы системы стабилизации,
101
помехами являются всевозможные ошибки измерения фактического положения ЛА.
Входной сигнал ИВУС в общем случае представляет собой некоторую комбинацию полезного сигнала и помехи. Математически
это описывается функциональной зависимостью
y(t) = (S(t), u(t)),
где  – нелинейная функция полезного сигнала S(t) и помехи u(t);
y(t) – входной сигнал.
Наиболее часто встречаются аддитивная, мультипликативная и
смешанная комбинации сигнала и помехи. При аддитивной комбинации полезный сигнал и помеха складываются:
y(t) = S(t) + u(t).
Аддитивность сигналов обусловлена независимостью источников полезного сигнала и помехи. Мультипликативная комбинация
означает перемножение полезного сигнала и помехи:
y(t) = S(t)z(t),
где z(t) – мультипликативная помеха.
Мультипликация сигналов возникает при прохождении полезного сигнала через флуктуирующую среду. Смешанная комбинация сигнала и помехи включает в себя аддитивную и мультипликативную помехи, т. е.
y(t) = S(t)z(t) + u(t).
Часто встречается другое представление смешанной комбинации:
y(t) = S(t)[1 + z(t) + u(t)].
Нередко полезный сигнал – это случайная функция времени,
имеющая в общем случае регулярную и нерегулярную части:
S(t, u) = (t, u) + S0(t).
Нерегулярная часть полезного сигнала S0(t) есть случайная
функция времени с нулевым математическим ожиданием. Регулярная часть полезного сигнала (t, u) представляет собой нелинейную функцию известной структуры и вектора случайных параметров u. Во многих практических задачах регулярная часть полезного
сигнала может быть представлена в виде линейной функции параметров
(t, u) = urr(t),
где r(t) – известные функции времени; ur – случайные величины.
102
В частном случае, когда r(t) = tr–1, получаем полиномиальную модель регулярной части полезного сигнала. Подобные модели
используют, например, при описании элементов движения летательных аппаратов на ограниченном интервале времени.
В радионавигационных устройствах регулярная часть полезного
сигнала представляется как модулированное колебание:
(t, U) = U1sin(U2t + U3)sinU4t,
где U1 – амплитуда; U2 – частота огибающей; U3 – фаза огибающей;
U4 – частота несущей сигнала. Это случайные величины, описывающие разброс параметров полезного сигнала.
Помеха так же, как и полезный сигнал, является случайной
функцией времени и может иметь математическое ожидание. Помеха в ряде случаев может содержать регулярную и нерегулярную
части. Примером регулярной части помехи может служить случайное постоянное смещение нуля измерителя.
5.2. Характеристики сигналов и помех
Случайные полезные сигналы и помехи могут быть охарактеризованы лишь в вероятностном смысле. Детерминированные сигналы определяются непосредственно формой и параметрами.
Полное описание регулярной части полезного сигнала или помехи задается законом распределения вероятности вектора случайных параметров. Полное описание нерегулярной части полезного
сигнала или помехи осуществляется с помощью функционала распределения вероятности.
Как известно, наблюдаемые микроскопические явления, например, флуктуации сил и моментов, токов и напряжений, являются
следствием многочисленных микроскопических событий. Это значит, что вероятностные характеристики макроскопических явлений можно получить, рассматривая совокупность отдельных актов
взаимодействия.
Достаточно общей моделью этих актов взаимодействия является
положение независимых элементарных импульсов, имеющих случайные параметры (амплитуду, фазу, длительность) и возникающих
в случайные равномерно распределенные моменты времени. Если число импульсов в единицу времени (интенсивность появления импульсов) мало и имеет порядок единицы, то закон распределения вероятности макроскопической величины, представляющей собой результат
действия импульсов, значительно отличается от нормального закона.
103
Если интенсивность появления импульсов в единицу времени составляет 10–104, то закон распределения вероятности близок
к нормальному. Наконец, если интенсивность появления импульсов имеет порядок более 104, то закон распределения вероятности
суммарного события является нормальным.
Примером случайных процессов, относящихся к этому классу,
могут служить тепловой и дробовой шумы, фотонные шумы, турбулентность атмосферы, флуктуации радиолокационного сигнала,
шумы фотоумножителя и фоторезистора и т. п.
Как известно, нормальный закон распределения вероятности
случайного процесса полностью характеризуется математическим
ожиданием и корреляционной функцией. Для стационарных случайных процессов кроме корреляционной функции удобно рассматривать ее преобразование Фурье – спектральную плотность.
5.3. Пример формирования модели входного сигнала
измерителя системы воздушных сигналов
Рассмотрим режим стабилизации высоты полета. Линеаризованные относительно программной траектории уравнения движения
самолета в продольной плоскости имеют вид
H = u,  ¢ = A ( – T ) +
 ¢¢ + C ¢  ¢ + C  = C0 + C  –
A¢ Wy
C¢ Wy
u
u
-
,
C¢ ¢ Wy
u
,
где Н – отклонение высоты полета от программного значения; u –
скорость полета;  – отклонение угла наклона вектора скорости от
программного значения; А, А¢, C, C, C0, C, C¢, C¢ – аэродинамические коэффициенты, характеризующие конструкцию самолета
и условия полета; Т – теоретическое (программное) значение угла
атаки;  – угол отклонения руля высоты; Wy – вертикальная составляющая вектора скорости ветра.
Считая за выходную величину отклонение высоты Н, а за входную – угол отклонения руля высоты , самолет как объект управления можно представить структурной схемой, показанной на рис. 5.1.
На рис. 5.1
C¢ ¢ Wy¢ C¢ Wy C0
A¢ Wy
B1 =
–
- , B2 =
– T .
C u
C u
C
A u
104
Преобразуем структурную схему, приведя все возмущения к выходу (рис. 5.2, а).
Для некоторого упрощения задачи все коэффициенты в уравнениях будем считать постоянными и аппроксимируем возмущение
от турбулентности выражением
S1 =
A¢¢
2
p Wy
,
(5.1)
C¢ A
; p – оператор дифференцирования.
C
C
В выражении (5.1) принято W¢y = 0, T = 0 , а динамика двиC
жения самолета относительно центра масс не учитывается. Представление (5.1) соответствует отсутствию стабилизации самолета по
углу тангажа. При наличии высококачественной системы стабилизации по углу тангажа следует положить А¢¢ = A¢.
При аппроксимации выражения (5.1) структурная схема объекта управления принимает вид схемы, изображенной на рис. 5.2, где
где A¢¢ = A¢ –
–Ñ A u
;
C
C
1
T1 =  ¢ , T22 = ;
C
C
C¢
A¢¢ = A¢ –
.
C A
Ê1 =
В2
В1
G
–СG
D
p2+ СD p + СD
AD
p
y
p
[
'Н
Рис. 5.1
а)
б)
AccD
p2
В
–СG
G
'Н
K
G
2
p + СD p + СD
p
1
(T22 p2 + T1p + 1)
W
'Н
2
Рис. 5.2
105
Наблюдаемый сигнал представлен в виде y(t) = S(t) + u(t). Полезный сигнал можно выразить в виде суммы регулярной и нерегулярной частей:
S(t) = Sпр(t) + S1(t),
где Sпр(t) = U0 + U1t + U2t2 – программа изменения высоты полета,
а функция S1(t) определяется формулой (5.1). Величины U0, U1, U2
будем считать некоррелированными между собой и с нерегулярной частью сигнала случайными величинами с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями D0, D1, D2 соответственно.
Составляющая скорости ветра Wy(t) является случайной функцией времени. Для ее определения необходимо описать аналитически
турбулентность атмосферы.
Атмосфера всегда находится в непрерывном случайном движении относительно Земли. Это движение проявляется в виде ветра.
Скорость ветра W является случайной функцией времени t и координат точки пространства R:
W = W(R, t).
Скорость ветра представляют в виде суммы двух составляющих:
постоянной и переменной. Составляющую скорости ветра считают
постоянной, если за время движения летательного аппарата она мало изменяется по направлению и по величине. Модуль постоянной
составляющей скорости обычно рассматривают как случайную величину. Экспериментальные данные показывают, что эта величина
изменяется по закону распределения вероятности Релея. Плотность
вероятности постоянной составляющей скорости ветра имеет вид
F (W ) =
æ –W 2 ö÷
÷÷.
expççç
çè 22 ÷ø÷
2
W
В этой формуле среднеквадратическое отклонение постоянной
составляющей скорости ветра зависит от высоты полета над земной
поверхностью. В приземном слое атмосферы среднеквадратическое
отклонение выражается следующей зависимостью от высоты:
æ H ö÷n
2
÷÷ ,
 = mW0 ççç

è H0 ø÷
где H – текущая высота; n – показатель степени, величину которого рекомендуется выбирать в пределах 0,15–0,20; H0 – опорная
высота. При опорной высоте H0 = 10 м рекомендуется принимать
mW = 3–4 м · с–1.
0
106
Переменная составляющая скорости ветра характеризует турбулентное движение атмосферы, выражающееся в хаотическом случайном перемещении частиц воздуха. По масштабу различают три
интервала турбулентного движения: крупномасштабный, инерционный и вязкий. Крупномасштабная турбулентность обусловлена нарушением равновесного состояния атмосферы в результате неравномерного нагревания ее Солнцем. Это движение носит асимметричный
характер вследствие влияния поверхности Земли и ее вращения.
В инерционном интервале происходит передача энергии от крупномасштабного движения сравнительно небольшим массам воздуха. При этом турбулентность носит изотропный характер. Предельные величины вихрей в этом диапазоне имеют порядок нескольких
сотен метров.
В вязком интервале турбулентность также носит изотропный характер и охватывает наиболее высокие частоты движения воздуха.
Размеры вихрей в этом диапазоне составляют несколько сантиметров.
При статистическом описании турбулентности обычно принимают гипотезы о неизменности поля скоростей по отношению к летательному аппарату («гипотеза о замороженности» Тейлора), а также об однородности и изотропности в вероятностном смысле поля
скоростей. В соответствии с первой гипотезой вследствие большой
скорости ЛА время полета этого аппарата в интервале корреляции
турбулентного движения очень мало. Поэтому за указанное время мгновенное значение поля скоростей практически не изменяется, оно остается как бы застывшим, замороженным. На основании
данной гипотезы вероятностные характеристики турбулентности,
полученные как функции координат для одного момента времени,
можно использовать для любого момента времени.
Вторая гипотеза об однородности и изотропности при статическом описании позволяет ограничиться одной корреляционной
функцией проекции вектора скорости ветра на направление, соединяющее две точки пространства Кr(r), где r – расстояние между этими точками. Вследствие изотропности и однородности данная корреляционная функция зависит лишь от модуля расстояния между
указанными точками. Корреляционная функция проекции вектора
скорости ветра на нормаль к направлению между двумя точками
связана с корреляционной функцией Kr(r) соотношением, полученным для общей турбулентности:
Kn (r ) = Kr (r ) +
1 dKr (r )
r
.
2
dr
107
Kr(r) Kn(r)
,
2
2
σW
σW
Аналитические выражения корреляционных функций, найденные путем аппроксимации экспериментальных кривых, имеют следующий вид
(рис. 5.3):
æ | r |ö
Kr (r ) = 2W expççç- ÷÷÷ =
è Lr ø÷
Kr(r)
1,0
2
σW
0,8
0,6
Kn(r)
0,4
2
σW
æ uDr ö÷
= 2W expççç÷÷,
è Lr ÷ø
0,2
0
1
2
3
4
r
L
(5.3)
æ
æ | r |ö
| r | ö÷
÷÷expçç- ÷÷÷. (5.4)
Kn (r ) = 2W ççç1 è 2Ln ø÷
èç Ln ø÷
Рис. 5.3
Масштабы турбулентности характеризуют длины интервалов,
на которых сохраняются корреляционные связи случайного процесса. Эти масштабы определяют как интервалы от нормированных
корреляционных функций:
1
Lr = 2 ò Kr (r )dr ,
W
Ln =
1
2W
ò Kn (r )dr.
Масштабы турбулентности связаны соотношением Lr = 2Ln.
Для перехода от корреляционных функций, зависящих от
координат, к корреляционным функциям, зависящим от времени, следует воспользоваться соотношением, вытекающим из гипотезы заторможенности поля скоростей r = u, где u – скорость
полета ЛА.
Подставляя это выражение в (5.3), получаем
Kr (r ) = 2W exp(– | r |),
æ  | r | ö÷
Kn (r ) = 2W (1 –  | r |)expçç–
÷,
çè 2 ÷ø
где введено обозначение  =
108
u
u
=
.
Lr 2Ln
Корреляционным функциям соответствуют спектральные плотности, аргументом которых является пространственная частота :
Sr () =
Sn () =
2Lr 2W
1
·
,

1 + (Lr )2
Ln 2W 1 + 3(Ln )2
·
.

é1 + (L )2 ù 2
n úû
êë
На рис. 5.4 представлены спектральные плотности тангенциальной (а) и нормальной (б) составляющей скорости ветра.
Корреляционным функциям (5.3) и (5.4) соответствуют спектральные плотности временной угловой частоты  = u:
Sr () =
Sn () =
22W 
1
· 2
,

 + 2
22W  2 + 32
· 2
.

( + 2 )2
(5.5)
Рассмотренные экспериментальные корреляционные функции
и спектральные плотности достаточно хорошо описывают характеристики турбулентности в инерционном интервале и значительно
хуже в крупномасштабном и вязком интервалах. Несмотря на это,
а)
б)
2
W
Sr(Ω)/σW2, м/рад
Sn(Ω)/σ , м/рад
102
102
L = 200 м
10
L = 200 м
10
300
300
1
1
10–1
10–1
L = 500 м
10–2
L = 500 м
10–2
10–3
10–3
–1
10
–2
10
–3
10
Ω, рад/м
10–1
10–2
10–3
Ω, рад/м
Рис. 5.4
109
простота аналитических выражений данных функций служит
веским основанием для широкого использования их в практических расчетах.
Случайный процесс Wy, корреляционная функция которого имеет вид (5.3), может быть получен при подаче «белого» шума на формирующий фильтр, состоящий из трех звеньев: двух одинаковых
апериодических звеньев с постоянной времени L u и форсирующеL
го звена с постоянной времени 3 . Случайный процесс Wx (u, t),
u
корреляционная функция которого имеет вид (5.4), эквивалентен
«белому» шуму, профильтрованному апериодическим звеном с постоянной времени L/u.
При аналитическом конструировании систем управления с учетом случайных воздействий эти воздействия удобно представлять
в виде «белых» шумов и уравнений формирующих фильтров в форме уравнений Коши. В соответствии с выражениями (5.3)–(5.5)
можно записать
æ n ö÷
æuö
÷÷n ,
+ çç ÷÷÷uy¢ = ( 3 – 1)ççç
ç
çè L ø÷ y
dt è L ø
duy¢
æ 3V ö÷
duy æ V ö
æV ö
÷÷n ,
+ çç ÷÷÷uy¢ + çç ÷÷÷uy = ççç
èç L ø
çè L ø÷ y
dt çè L ø
æ 2V ö÷
dux çæ V ÷ö
÷÷n ,
+ ç ÷÷ux = ççç
ç
çè L ÷ø x
dt è L ø
где nx = nx(t), ny = ny(t) – «белые» шумы.
Обычно значение параметров в формулах для корреляционных функций и спектральных плотностей соответственно
Lr = 200 – 300 м, W= 2 – 3 м · c–1 для ясной погоды, W = 8 – 12 м · с–1
для кучевых облаков и W = 18 – 25 м · с–1 для грозовых условий.
При Lr = 200 м, как это следует из графиков, спектральные плотности флуктуации скорости ветра по нормали и направлению вектора скорости полета очень близки. Поэтому можно пользоваться
спектральной плотностью
2 L
1
SW () = W V ·
.
V
1 + 2 L2V
V2
110
Преобразуем это выражение, представив его в следующем виде:
SW () =
DW 
1
·
,
 2 + 2
(5.6)
V
. Корреляционная функция, соответствующая спекLV
тральной плотности (5.6), имеет вид
где  =
æ – ÷ö
÷.
KW (,  ¢) = DW expçç
çè |  –  ¢ | ÷÷ø
Используя связь между составляющей скорости ветра и нерегулярной частью полезного сигнала (5.1), можно вычислить корреляционную функцию сигнала x1(t):
Kx 1 (,  ¢)=
+
ìï 2
DW
( A¢¢ )2 í min 3 , ( ¢)3 +
ïïî 3

(
)
1 é
¢
1 – et (1 + ) – e– (1 +  ¢) + e–|– ¢| 1 +  |  –  ¢ | –2  ¢
3 êë

(
üï
)úûùýïï,
ïþ
где функция min(3, (¢)3) равна 3 при 3 < (¢)3 и (¢)3 при
3 > (¢)3.
Корреляционная функция всего полезного сигнала
Kx(, ¢) = D0 + D1¢ + D22(¢)2 + Kx1(, ¢).
Измеритель системы стабилизации высоты определяет полезный сигнал S(t) с ошибками, обусловленными случайным смещением нуля n0 и наличием широкополосной помехи n1(t). Суммарная
помеха
n(t) = n0 + n1(t).
Случайная величина n0 имеет математическое ожидание mn0 = 0
и дисперсию Dn0, случайная функция времени n1(t) не коррелирована с величиной n0 и с достаточной точностью может быть аппроксимирована «белым» шумом с нулевым математическим ожиданием и интенсивностью Gn. Корреляционная функция помехи n(t)
имеет вид
Kn(, ¢) = Dn0 + Gn( – ¢).
111
Будем считать, что полезный сигнал и помеха некоррелированы.
В этом случае
ìï 2
DW
( A¢¢ )2 í min 3 , ( ¢)3 +
ïïî 3

üï
1
¢
¢
+ 3 éê1 – et (1 + ) – e– (1 +  ¢) + e–|–  | (1 + ( –  ¢) – 2 ( ¢)ùï
ý+
ú
û ïï
 ë
þ
+Dn 0 + Gn ( –  ¢).
Kx (,  ¢) = D0 + D1 ¢ + D2 2 ( ¢)2 +
(
)
Оптимальный измеритель должен с наибольшей точностью выделять из наблюдаемого сигнала полезный сигнал. За критерий оптимальности принимают минимум среднего квадрата ошибки
M éê(x(t) – xˆ (t))2 ùú = min,
ë
û
где x̂ (t) – оптимальная оценка.
112
6. МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ИВУС
6.1. Особенности использования ЦВМ
в задачах синтеза и анализа
Рассмотрим проблемы, с которыми сталкивается проектировщик при использовании средств вычислительной техники. Под использованием средств вычислительной техники понимают не только
аспекты, касающиеся технической реализации спроектированных
алгоритмов, но и применение вычислительных комплексов (ВК)
как современного инструмента проектировщика. Причем понятие
«инструмент» охватывает не только вычислительные проблемы,
но и, прежде всего, является средством отладки алгоритмов и имитационного моделирования.
Отлаженные алгоритмы (результат проектирования) могут реализовываться как в виде устройств, так и в виде некоторой программы
в специализированных ЦВМ, в том числе на базе микропроцессоров.
Под ВК понимается комплекс аппаратно-программных средств на
базе ЭВМ (аналоговых и цифровых). Программные средства включают в себя проблемно-ориентированное математическое обеспечение,
позволяющее решать задачи в конкретно-предметных областях.
Иногда высказывается мнение, что ВК избавляет пользователя от
всякой необходимости думать над решением его задачи. Для некоторого класса вычислительных задач эта цель достижима в пределах
погрешности машинной арифметики (например, вычисление корней собственной матрицы). Однако задачи проектирования являются задачами оптимизационными, характеризующимися значительной свободой выбора алгоритмов, реализующих тот или иной метод.
Выбор модели, ее размерность, критерий оптимальности и прочее
относятся к компетенции проектировщика и зависят от его инженерного опыта, машина же в рамках этих ограничений производит
выбор конкретных зависимостей.
Использование при решении задач проектирования ВК имеет
ряд особенностей, связанных, прежде всего, с конечным быстродействием и ограниченной точностью вычислений ЦВМ, входящей
в его состав.
Быстродействие ЦВМ зависит от объема постоянной и оперативной памяти. Неучет этого фактора, с одной стороны, влечет за собой
«растягивание» во времени процесса вычисления, а следовательно,
машинного времени, что приводит к увеличению стоимости показателей проектируемых алгоритмов, с другой, делает невозможным
113
функционирование алгоритма в реальном масштабе времени, означающее невозможность его технической реализации (например,
в контуре управления летательными аппаратами).
Устранить эти трудности возможно, если:
– использовать любую возможность и свести к минимуму число переменных состояния (вычислительные требования в задачах фильтрации пропорциональны третьей степени размерности
системы);
– выбирать, по возможности, такой вектор состояния, который
обеспечивает постоянство матриц коэффициентов модели ОУ (к примеру, переходную матрицу вычисляют непосредственно);
– провести декомпозицию вектора состояния, ведущую к проектированию независимых блоков пониженного порядка. Например, если вектор состояния x можно представить в виде
æx ö
x = çç 1 ÷÷÷,
çè x2 ÷ø
где вектор переменных x1 не зависит от вектора переменных x2, то
переходную матрицу разбивают следующим образом:
æÔ11
Ô = ççç
è 0
Ô12 ö÷
÷;
Ô22 ø÷÷
– выбирать (аналитически или экспериментально) шаг дискретизации в соответствии с достижимой точностью вычисления либо
использовать алгоритмы с автоматическим выбором шага по заданной точности;
– выбирать соответствующую реализацию алгоритма (последовательность рекуррентных соотношений), доставляющую поставленную цель проектирования.
Необходимо отметить, что вычислительный комплекс как инструмент отладки алгоритмов допускает использование и полных
моделей. Характеристики подобных решений могут быть мерой для
оценки алгоритмов, подлежащих технической реализации (например, алгоритм субоптимального фильтра). Гипотетически быстродействие алгоритма можно оценить по числу элементарных операций (умножение, сложение), выполняемых ЦВМ.
Погрешности ВК как инструмента проектирования обусловливаются следующими причинами [15]:
1. Неточность информации о решаемой задаче. Ошибки в начальных данных определяет ту часть погрешности решения, которая не
114
зависит от математической постановки и носит название неустранимой погрешности.
2. Погрешности аппроксимации. Погрешность этого типа состоит из погрешностей численных методов (например, замена операции интегрирования на операцию суммирования) и погрешности
дискретизации (при замене непрерывных процессов дискретными).
Погрешность дискретной аппроксимации y(k) непрерывных систем обусловливается отличием истинных значений y(k) непрерывных процессов у(t) в точках tk = kt от вычисленных значений y(t) на
выходе дискретной системы y(k) = y(k) - y * (k), причем при t  0
y(k)  0. Вместе с тем уменьшение шага дискретизации увеличивает объем вычислений, ограниченный быстродействием ЦВМ.
Пока не существует общего метода выбора оптимального (в смысле быстродействия и точности) шага дискретизации. Частное решение дает теорема Котельникова, но для ее использования необходимы априорные сведения о спектральных характеристиках процесса
и объекта.
Другим путем решения этой задачи является имитационное
моделирование, позволяющее при стандартных входных воздействиях (например, единичный скачок, стационарный случайный
процесс с известными характеристиками) сопоставить результаты
моделирования при конкретном шаге с реальными характеристиками или аналитическим решением задачи, если это решение нетрудно получить. Вариация шага позволяет наилучшим образом
выбрать шаг дискретизации t , соответствующий наименьшей погрешности дискретной аппроксимации.
3. Погрешность округления. Такая погрешность обусловливается формой представления чисел в ЦВМ и определяется длиной
разрядной сетки, специфичной для каждого типа ЦВМ. Число 
в ЦВМ записывают приближенным выражением (в представлении
по основанию 2)
m
 = 2 p å  k · 2-k = 2 p (1,..., m ) = *,
k=1
где параметры р и m зависят от типа ЦВМ. Погрешность округления
определяется как  -  * =  £ 2 p-m =  и является абсолютной погрешностью, верхней границей которой считается . Погрешность
округления чисел влечет за собой погрешности простейших действий (сложение, умножение, вычисление функций). Определение
этих погрешностей проблематично и зависит от размера (числа операторов) конкретного алгоритма.
115
Необходимо отметить, что особо остро встает вопрос о погрешностях округления в плохо обусловленных задачах (когда малое
отклонение входного сигнала приводит к значительному отклонению выходного). В этом случае можно рекомендовать:
– применять небольшие по объему операторов программы;
– производить проверку путем решения обратных задач, если такое решение существует;
– использовать разные методы решения для сравнения результатов.
Общей рекомендацией для обнаружения погрешности округления может служить практический вывод о необходимости разбиения алгоритма на автономные части. В этом случае имеется возможность анализа промежуточных результатов.
6.2. Общие требования
к проблемно-ориентированному программному обеспечению
вычислительного комплекса
Как уже отмечаловь в предыдущем разделе, проблемно-ориентированное математическое обеспечение направлено на решение задач в конкретной предметной области. Опыт разработки и эксплуатации комплексов программ и пакетов прикладных программ
(ППП) позволяет сформулировать следующие общие требования
к проблемно-ориентированному математическому обеспечению в области анализа и синтеза динамических систем, а также автоматизации научного эксперимента:
1. Комплекс должен иметь развитую модульную структуру, что
позволит заменять отдельные модули, добавлять новые, вводить
в них изменения, не влияя на другие программные модули.
2. Комплекс должен обеспечивать работу в диалоговом режиме
и выдавать результаты в удобном для пользователя виде.
3. Библиотека прикладных модулей должна содержать следующие разделы:
– синтез алгоритмов управления и оценивания (выбор состава
датчиков, параметрический синтез и т. д.);
– анализ систем управления (исследование устойчивости, управляемости, наблюдаемости и т. п.);
– решение оптимизационных задач;
– решение задач идентификации параметров математических
моделей;
– обработка результатов натурных и стендовых испытаний.
116
4. Комплекс должен иметь предметно-ориентированную базу
данных.
5. Библиотека управляющих модулей должна обеспечивать взаимосвязь прикладных модулей и базы данных в соответствии со
стратегией решения конкретных задач или проведения научно-технического эксперимента, т. е. обладать достаточной гибкостью.
До сих пор из-за сложности задач, требующих решения, не существует примеров реализации в полном объеме вышеуказанных требований, но действующего предметно-ориентированного
математического обеспечения вполне достаточно для удовлетворения этих требований [15–18].
Использование вычислительного комплекса существенно повышает эффективность труда проектировщика, освобождая его от рутинных вычислений и предоставляя возможность выбора и проверки большого числа решений и реализаций.
6.3. Алгоритм синтеза
Структура алгоритма проектирования должна быть подчинена
определенной цели, т. е. удовлетворять требованиям, предъявляемым к характеристикам ИВУС по выбранному критерию качества.
Это обусловливает структуру алгоритма проектирования ИВУС,
представленную на рис. 6.1.
Из рисунка видно, что процесс проектирования состоит из взаимосвязанных этапов, причем каждый этап характеризуется отысканием оптимальных или приемлемых решений формальными или
неформальными методами. При этом результаты решения, полученного на предыдущем этапе, используются в качестве исходных
данных для постановки задачи оптимизации на следующем, благодаря чему выбор априорных данных производится путем соответствующего обоснования. Результатом проектирования ИВУС является программный модуль, реализующий алгоритм достижения
указанных целей.
Рассмотрим основные этапы проектирования ИВУС.
1. Формирование вектора состояния. Вектор состояния формируется на основе аналитического (детерминированного или стохастического) описания физических зависимостей. Причем при первом обращении к данному этапу сформированный вектор состояния
носит предварительный характер. Уточнение конкретного наполнения вектора состояния и определение его размерности происходят
по выполнении последующих этапов.
117
Техническое
задание
Аналитическое
решение
Выбор вектора
состояния
Тезаурус вектора
параметров
Построение
модели
Тезаурус
моделей
Программирование алгоритмов
Предметноориентированное
математическое
обеспечение
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ ОПТИМИЗАЦИИ
Выбор оценки
(критерия)
Программирование алгоритмов
Тезаурус
алгоритмов
оценок (методов)
Предметноориентированное
математическое
обеспечение
Имитационное
моделирование
Техническая
реализация
Рис. 6.1
2. Формирование модели объекта и процесса измерения. Данный
этап характеризуется представлением аналитического описания
объекта наблюдения (управления), первичных преобразователей
и наблюдаемых (измеряемых) процессов перехода в форме, удобной
для машинного погружения. Выбор подходящей модели предъяв118
ляет определенные требования к вектору состояния, которые учитывают при его корректировании.
3. Анализ исходных моделей. Задача анализа состоит в выявлении основных источников погрешности модели и определении ее
составляющих, т. е. во вкладе, вносимом каждым источником и его
произвольной комбинацией. Такими источниками погрешностей
в общем виде являются:
– несовершенство теории (неполнота модели);
– неоптимальность решений, применяемых на всех предыдущих
этапах проектирования ИВУС;
– ограничения, регламентирующие множество возможных решений;
– ошибки вычислительного комплекса как инструмента проектирования, реализующего подмножество решений.
4. Синтез алгоритма оптимизации. Этап выбора алгоритма оценивания включает в себя выбор эвристических (неформальных) и формальных методов. Неформальным, а поэтому представляющим наибольшую трудность, является выбор критерия оценивания. Необходимо
отметить, что большинство классических оценок, таких, как методы
наименьших квадратов, максимума правдоподобия, среднего риска
и т. п., взаимосвязано и различается конкретными наборами априорных данных и конкретным видом оператора динамической системы.
5. Имитационное моделирование. На этапе имитационного моделирования осуществляется проверка соответствия полученных
результатов (структуры, параметров структуры и т. д.), предусмотренных техническим заданием с учетом всех ограничений (технических, экономических, точностных и т. п.), причем понятие «моделирование» предполагает как чисто машинное моделирование,
так и полунатурное. В последнем случае реальные устройства могут
выступать как декомпозиционные составляющие общей структуры
ИВУС и в качестве меры.
Рассмотренная процедура проектирования ИВУС имеет итерационный характер, так как результаты каждого последующего этапа позволяют уточнить или целенаправленно изменить исходные
данные предыдущих этапов. Предложенный алгоритм делает возможным получение ответов на основные вопросы, встающие перед
инженером при проектировании и организации измерительного
процесса, и охват всего круга проблем. Он отвечает важнейшим для
практики требованиям:
1. Требование преемственности состоит в том, что процедура
должна развиваться в направлении усложнения, пополнения, уточ119
нения исходной модели процесса измерения и уточнения полученных результатов, и, наоборот, при надлежащих упрощениях из него
должны следовать результаты известных алгоритмов.
2. Требование замкнутости должно отражать стремление обосновать исходные данные, используемые при решении задач. Действительно, для того чтобы обеспечить оптимальность системы, необходимо рассматривать последнюю в неразрывной связи с внешним
окружением (средой). К числу таких внешних факторов относятся,
например, структурные модели (внутренние механизмы) исследуемого объекта и неконтролируемых возмущений, особенности системы (структура, критерий оптимума, ресурсы) и средства метрологического обеспечения (предназначенные для проведения основных
метрологических операций – проверка, регулировка и т. д. – на этапах производства и эксплуатации).
3. Требование конструктивности заключается в том, что структура процедуры проектирования должна не только описывать процессы, происходящие в ИВУС, но и давать рекомендации по управлению этими процессами. Фактически этот принцип отражает
стремление к переходу от формальных моделей к структурным,
обеспечивающим возможность изменения свойств ИВУС в желаемом направлении. Соблюдение этого принципа обеспечивается использованием структурных моделей ИВУС, а также метода эволюции пространств состояний.
120
7. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИВУС И КОМПЛЕКСОВ ЛА
В технике и прикладной математике известны две близкие задачи, связанные с оптимальными оценкой и управлением физическими процессами при воздействии случайных возмущений и
случайных ошибок измерения. Задача оценки заключается в аппроксимации поведения процесса по данным зашумленных измерений.
Поведение, или состояние системы, наблюдается с помощью соответствующего набора датчиков, называемого измерительной информационной системой (ИИС). Датчики подвержены случайным
и систематическим инструментальным и методическим ошибкам.
Можно утверждать, что измерения дают только грубую информацию о поведении системы, и их может оказаться недостаточно для
изучения ее характеристик.
Если вводится критерий качества для определения качества аппроксимации или оценки и оценку следует выбирать так, чтобы
этот критерий качества был максимальным или минимальным, то
задачу формулируют как задачу оптимальной оценки. Таким образом, задача состоит в построении алгоритма для обработки данных
измерения.
Задача управления представляет собой задачу определения метода, с помощью которого следует формировать входные сигналы управления, чтобы заставить управляемую систему действовать определенным образом. Если так же, как и в задаче оценки,
для оценки качества поведения системы вводят критерий качества
и сигналы управления используют с целью минимизировать или
максимизировать этот критерий, задача называется задачей оптимального управления.
Как и в задаче оценки, здесь предполагается разработка алгоритма (управления). При решении последней задачи ее удобно разделить на две: задачу оценки отклика системы и задачу построения
алгоритма управления с использованием полученных оценок. Такое деление качественно понятно, так как ясно, что следует определять поведение системы, прежде чем можно будет рассчитывать
управляющее воздействие, которое должно изменить это поведение. Однако до сих пор не доказано, что подобное деление во всех
случаях математически обосновано.
Если в задачах оценки и управления возмущающий процесс
и процесс, вызывающий ошибки измерения, рассматривают как
случайные явления, можно использовать термин «задача статисти121
чески оптимального управления» или «стохастическая задача оптимального управления». Далее если модели динамической системы и связанной с ней измерительной системы линейные, можно
использовать понятие «линейная стохастическая задача оптимальной оценки и управления».
Общую методику, принимаемую в дальнейшем за основу при исследовании указанного класса задач, можно представить в следующем виде:
1. Построение моделей. Используются различные модели динамической измерительной системы, возмущающего процесса и ошибок измерения. Как и при формировании любой математической
модели физического процесса, задача состоит в построении моделей, дающих достаточно полное описание явлений, представляющих интерес, но не настолько сложных, чтобы их нельзя было использовать для аналитических и вычислительных целей.
2. Выбор критериев качества. Этот этап относится к определению целей работы. Как и на предыдущем этапе, выбранные критерии качества должны отражать физический смысл изучаемого явления, а также легко описывать их математически.
3. Формулировка задачи. Информацию, полученную на первых
двух этапах, объединяют с наложением всех ограничений, необходимых для постановки задачи.
4. Разработка алгоритмов оценки и управления. Задача этого
этапа известна. Однако не следует ограничиваться синтезом алгоритмов. Полученные результаты важно проверить на практике.
Первоочередной задачей является оценка сложности алгоритмов
при их реализации.
7.1. Методика описания измерительных преобразователей
и структур измерительных систем
Развитие измерительной техники характеризуется расширением
применения технических средств, позволяющих получать все более полную информацию о состоянии исследуемого или управляемого объекта на основе одновременных измерений многих (часто
разнородных) физических величин, определяющих этот объект.
Целью точных наук является установление объективных закономерностей материального мира и выражение их в количественной форме. Количественная информация представляет собой основу
научного знания. Главный источник получения количественной
информации – измерительный эксперимент, дающий непосред122
ственно числовую характеристику исследуемого предмета или явления – измерительную информацию. «Наука начинается с тех пор,
как только начинают измерять», – эти слова Д. И. Менделеева точно характеризуют значение измерительной информации в процессе
познания.
Результатом выполняемых измерений являются не только отдельные числа, соответствующие истинным значениям параметров
объекта, но и большие массивы числовых данных, нарастающие во
времени и составляющие поток информации измерительной информационной системы.
Измерительная информационная система – это средство измерения, предназначенное для получения измерительной информации
об объекте исследования (контроля или управления) и состоящее из
нескольких взаимосвязанных функционально самостоятельных подсистем (измерительных каналов или блоков), воспринимающих измеряемые физические величины, преобразующих, накапливающих
и выдающих измерительную информацию в соответствующей форме.
Приемником потока измерительной информации от ИИС могут
быть оператор, вычислительные и логические устройства обработки
данных или каналы связи.
Измерительная информация, выдаваемая ИИС, может состоять
из результатов как прямых, так и косвенных или совокупных измерений, т. е. ИИС может включать в себя вычислительные блоки для
получения обобщенных результатов прямых измерений некоторых
величин.
Основой унификации блоков измерительных систем является
представление, что процесс измерения любой физической величины можно рассматривать как совокупность ряда последовательных
измерительных преобразований. Измерительные преобразования
составляют этапы процесса измерения от восприятия физической
величины до формирования и представления ее численного значения в той или иной форме. В связи с этим можно указать следующие
основные виды измерительных преобразований [19]:
– первичное восприятие и выделение (селекция) измеряемой
физической величины и формирование измерительного сигнала;
– функциональное или операторное преобразование измерительного (промежуточного) сигнала в нормированный измерительный
сигнал (при таком преобразовании может изменяться информативная характеристика сигнала);
– квантование измерительного сигнала по уровню и дискретизация во времени;
123
– цифровое кодирование (преобразование кодов, например, из
унитарного в двоичный);
– представление измерительной информации в форме тех или
иных сообщений (число, масштабная диаграмма, простая или обобщенная информационная модель, кодированный сигнал).
Измерительный канал представляет собой последовательную
цепь измерительных преобразователей (ИП) – устройств, в которых
с известной точностью реализуется однозначная функциональная
связь между двумя физическими величинами (сигналами).
Особую группу составляют так называемые первичные ИП –
датчики измерительных сигналов. К первичным ИП относят только часть датчика, иногда называемую чувствительным элементом
(пружина или мембрана датчика давления, термопара, тензометр,
болометр, феррозонд, счетчик Гейгера, фотоэлемент, трансформатор
тока, пьезоэлемент и т. п.).
В результате взаимодействия с чувствительным элементом измеряемая физическая величина преобразуется в промежуточный
измерительный сигнал (разность потенциалов, перемещение, ток,
изменение сопротивления, емкости, индуктивности, усилие и т. п.),
который часто еще не может быть непосредственно использован
для передачи и цифрового кодирования. Поэтому обычно чувствительный элемент органически связан (схемно, конструктивно) с дополнительным преобразователем, формирующим выходной сигнал
датчика (мост, усилитель, дифференциальный трансформатор, фазовый детектор и т. п.).
Таким образом, измерительный прибор (система) является источником измерительной информации. В процессе измерения исходная, как правило, непрерывная, физическая величина преобразуется в непрерывный измерительный сигнал (в виде тока,
напряжения, светового потока, давления жидкости, угла отклонения стрелки и т. д.), несущий информацию об измеряемой физической величине. Но поскольку конкретный результат измерения
зависит от выбранной единицы и погрешности сравнения с мерой,
измерительный сигнал в виде изменения положения указателя
на индикаторе зачастую отражается в сознании оператора в виде числа (измерительной информации) только при сопоставлении
со шкалой.
С учетом сказанного можно привести следующие определения [20].
Измерительная информация – количественные сведения о каком-либо свойстве материального объекта (явления, тела, вещества), получаемые опытным путем с помощью технических средств
124
(измерительного прибора или системы) в результате их взаимодействия с материальным объектом.
Измерительная информация может быть представлена и передаваться в форме различных конкретных сообщений: числа, кодированные сигналы, масштабные диаграммы и т. п.
Количество (объем) измерительной информации – численная мера степени уменьшения неопределенности количественной оценки
какого-либо свойства материального объекта, получаемой из возможного разнообразия его значений путем измерения.
Для получения оценок качества измерения и выработки требований к измерительной аппаратуре прибегают к моделям измерительного процесса, выделяя главные явления и факторы.
Каноническая модель измерительного процесса, понимаемого
как эксперимент, условия которого строго определены и соблюдаются, строилась в метрологии при следующих ограничениях:
– измеряемая физическая величина сохраняет неизменным на
протяжении всего цикла измерения истинное значение, которое
можно охарактеризовать одним, так называемым действительным,
значением, лежащим внутри интервала остаточной неопределенности (доверительного интервала);
– время измерения не ограничено, и сравнение с мерой можно
выполнять принципиально сколь угодно долго и тщательно;
– внешние условия и влияющие на результат измерения факторы точно определены.
Однако практические задачи измерительной техники в настоящее время все более отличаются от идеализированного метрологического эксперимента сравнения с мерой. Это заставляет пересмотреть условия построения модели измерительного процесса.
Отличительными чертами другой, вероятностной (информационной), модели измерительного процесса являются:
– измеряемую физическую величину рассматривают как случайный процесс, содержащий интересующую исследователя информацию о состоянии исследуемого или контролируемого объекта, и описывают случайной последовательностью действительных
значений или обобщенными характеристиками такой последовательности (математическим ожиданием, дисперсией); истинное
(мгновенное) значение измеряемой величины может оставаться неопределенным на данном интервале процесса измерения;
– измерение в общем случае рассматривают как последовательность операций, время выполнения которых ограничено и конечно;
непосредственное сравнение с мерой в общем случае неосуществимо;
125
– характеристики измерительного устройства могут изменяться во времени и под действием внешних факторов, переменных по
природе (эти изменения рассматриваются как случайные процессы,
влияющие на конечную неопределенность результатов измерения).
Очевидно, что указанные основные черты классической модели являются частным случаем новой модели и входят в нее.
С учетом сказанного информационный подход представляется
наиболее общим и последовательным, хотя он связан с необходимостью описания сложных вероятностных связей между всеми влияющими на результат измерения факторами.
Рассмотрение процесса измерения как совокупности последовательных преобразований, а измерительного устройства как соответствующей цепи из измерительных преобразователей позволяет использовать развитые методы теории управления, оценивания
и фильтрации для анализа прохождения сигнала, несущего измерительную информацию, по звеньям измерительной цепи.
7.2. Методические рекомендации
по формализованному (модельному) представлению
измерительного процесса
Модель процесса измерения (как, впрочем, и всякая другая)
весьма уязвима для критики, выходящей за рамки исходных предположений. Однако требования практики, заставляющие оценивать модель именно с этих позиций, в данном случае оказываются
минимальными. «Узость» модели, «жесткость» ее исходных предпосылок проявляются в следующем. Предполагая, что на измерительный прибор поступает неизвестная величина, мы игнорируем
тот факт, что в действительности прибор взаимодействует не с физической величиной, а с некоторым реальным исследуемым объектом. Такие значения физических величин без указания их связи
с моделью объекта не позволяют интерпретировать или использовать результаты измерения.
Проектирование измерительного комплекса должно охватывать
не только точность измерения данной физической величины (или
даже совокупности таких величин), но и обоснование самого выбора
этих величин, т. е. решения, что именно следует измерять. Данный
вопрос должен решаться с учетом цели измерения. При этом желательно использовать такой способ выражения (представления) погрешности, при котором ее значение характеризует степень достижения поставленной цели.
126
Одному и тому же исследуемому объекту мы ставим в соответствие ту или иную модель исходя из условий применения и необходимой точности, при этом характеристики объекта, подлежащие
измерению, полностью определяются выбранной моделью.
Совершенно очевидно, что точность реальной измерительной системы в значительной степени определяется теми решениями, которые принимает проектировщик на всех этапах эволюции системы –
от ее замысла до технического воплощения и эксплуатации. В свою
очередь свобода выбора этих решений регламентируется заданными
извне требованиями, имеющимися ресурсами и другими ограничениями. В частности, эти ограничения при исследовании объектов,
имеющих вероятностную природу, лимитируют время наблюдения
или число доступных наблюдений реализаций исследуемого процесса, из-за чего метод (алгоритм) измерения выбирают на основе
статистического подхода, т. е. с использованием аппарата математической статистики, теории игр и статистических решений.
Отсюда следует, что результат измерения нельзя получить иначе
как путем обработки результатов наблюдений, т. е. измерение неразрывно связано с обработкой (вычислениями), и противопоставлять
эти две стороны единого процесса неправомерно. В действительности
специфика процесса измерения по сравнению с процессом «чистого»
вычисления заключается в том, что измерение представляет собой
экспериментальную процедуру, в которой непременное участие принимает реальный исследуемый объект, а не только абстрактные математические объекты (числа, векторы, функции и т. п.).
Очевидно также, что результат измерения является статистической оценкой, т. е. представляет собой случайную величину. Отсюда следует, что погрешность является случайной величиной, вследствие чего эффективность алгоритма измерения должна оперировать
не самой величиной погрешности, а ее вероятностными характеристиками, например, средним квадратическим отклонением или доверительными границами результата измерения.
Для формализации процесса измерения рассмотрим понятия «исследуемый объект», «цель измерения» и «модель».
Исследуемыми объектами принято называть [20] реально существующие объекты (вещи, явления, системы, процессы, поля и т. п.)
материального мира, а также взаимодействия и связи между ними,
изучаемые данной наукой или в данном эксперименте.
Каждая конкретная наука изучает закономерности, присущие
определенному множеству (классу) исследуемых объектов. В то же
время в каждом измерительном процессе имеют дело с вполне кон127
кретным объектом – элементом этого множества (представителем
класса) или, в крайнем случае, несколькими такими объектами (каналами связи, системами управления и т. п.). Все множество объектов, изучаемых данной наукой, будем обозначать М, а конкретный
(фиксированный) объект, исследуемый в данном измерительном
эксперименте, – x. Целью измерения, таким образом, является получение информации об исследуемом объекте, существенной для
вполне конкретного применения.
Языком теории в точных науках является язык математики.
Считают, что «физические теории» – это, прежде всего, понимаемые содержательно системы математических соотношений. При
этом объекты реального мира и взаимодействия между ними заменяют абстрактными математическими объектами (числом, вектором, тензором, множеством, группой и т. д.) и математическими
соотношениями (такими, как функция, эквивалентность, порядок,
истинность и т. д.).
Математические объекты и отношения между ними, используемые в данной теории и приведенные в систему, образуют тезаурус
этой теории. Тезаурус М представляет собой [19] множество математических моделей, упорядоченных и классифицированных по
некоторой системе признаков. Тезаурус – это «запас» моделей либо
имеющихся в распоряжении исследователя при данном состоянии
теории, либо выбранных им исходя из практических соображений
с учетом имеющихся ограничений. Тезаурус можно рассматривать
как словарь языка, используемого для формирования количественных, математически точных утверждений о реальных объектах.
Математическая модель m – элемент тезауруса М, соответствующий фиксированным значениям признаков.
Для описания процесса измерения в теории измерительных систем необходимо располагать тезаурусом, включающим в себя модели исследуемых объектов, результатов измерения, внешних влияющих факторов, измерительной системы и ее подсистем.
Пользуясь понятиями «объект», «модель», «тезаурус», «сравнение», рассмотрим задачу измерения («фиксированный объект –
управляемая модель»): заданы фиксированный объект x0 Î X и тезаурус М. Необходимо, сравнивая x0 c m Î M, выбрать с помощью
управления u из множества М модель m̂ , наиболее близкую к x0
в смысле критерия сравнения r.
Сказанное можно записать в виде
(7.1)
ˆ = arg min r (x0 , m).
m
mÎM
128
Сразу же заметим, что выражение «сравнивая x0 с m» означает,
что либо объект x представлен моделью и действительная модель
объекта сравнивается с моделями, содержащимися в тезаурусе, что
представляет интерес в теории точности, либо объект сравнивается
с помощью компаратора с другим объектом – физической моделью,
что встречается в процессе измерительного эксперимента.
Учитывая это замечание, можно каждый раз не оговаривать,
о какой ситуации идет речь. Тогда можно записать
r (a) = grad(a) = ai+1 = ai -  i r (a),
(7.2)
где  i – элементы квадратной n-мерной матрицы, которые зависят
от шага i.
Поскольку предполагают, что r – некоторый статистический
функционал, последнее выражение описывает известную процедуру стохастической аппроксимации [20], обеспечивающую (при выполнении определенных требований к элементам матрицы) сходимость «почти наверное»
P = {lim éër (ai ) - r (aˆ )ùû = 0} = 1,
где Р{ · } – вероятность; â – экстремальные значения параметров.
Известны и другие методы поиска экстремума в выражении (7.1):
метод градиента, метод случайного поиска и другие.
Выражение (7.2) можно записать и в виде дифференциального уравнения аналогично тому, как это делается в [19, 20]. Как и ранее, параметры ak представляют собой физические величины, так что их
значения, полученные в результате измерения, должны быть выражены в соответствующих единицах, воспроизводимых с помощью
эталонов, исключая случаи, когда эти величины являются безразмерными.
Таким образом, выражения (7.1), (7.2) представляют собой формулу измерения, записанную в общем виде.
В данном случае мы рассматриваем чисто познавательный аспект
измерения, связанный с задачей математического описания исследуемого объекта, т. е. с получением модели, достаточно адекватной
исследуемому объекту. Заметим, что записать формулу измерения
в виде m̂ = x0 некорректно, поскольку это означает возможность получить модель, абсолютно адекватную исследуемому объекту. На
практике же можно говорить лишь об определенной степени адекватности, смысл и количественное значение которой определяются
на основе некоторого критерия.
129
В связи с этим представляет интерес задача оптимизации («фиксированная модель – управляемый объект»), в которой заданы фиксированная модель m0 , отождествленная с некоторым предписанием (алгоритмом, процессом и т. п.), и допустимое множество X
состояний объекта x. Необходимо, сравнивая x с m0 и воздействуя
на объект с помощью управления u, перевести его в состояние x̂ ,
наиболее близкое к m0 в смысле критерия сравнения r.
Это можно записать так:
xˆ = arg min r (x, m0 ).
xÎX
(7.3)
Сравнивая (7.3) и (7.1), видим, что в процессе измерения происходит управление моделью, но сам объект остается неизменным,
в процессе оптимизации происходит управление объектом, т. е. его
видоизменение.
В задаче оптимизации, как видно из (7.3), минимизируется различие между текущим состоянием объекта и его фиксированным
(желательным, предписанным) состоянием, описываемым моделью
m0 . Но если текущее состояние объекта отождествить с его моделью (совокупностью характеристик, результатом измерения), соответствующей данному моменту, то выражение (7.3) следует переписать следующим образом:
é
ù
ˆ (x), m0 ùú = arg min r êarg min r (x, m), m0 ú ,
xˆ = arg min r éêm
û
úû
xÎX ë
xÎX êë
mÎM
где m
ˆ (x) = arg min r (x, m) – текущее состояние объекта (результат
mÎM
изменения), изменяющееся в процессе управления объектом.
7.3. Развитие модели измерительного процесса при системном
подходе к синтезу алгоритмов управления
Для решения задачи оптимизации в первую очередь необходимо
определить целевую, или стоимостную, функцию оптимизируемого
процесса. При этом требуется дать соответствующую формулировку задачи в физической форме и осуществить перевод этого физического описания на язык математики.
Для осуществления эффективного управления процессом необходимо знать его текущее состояние. Это задача оценки состояния.
Кроме того, необходимо охарактеризовать процесс с помощью адекватной модели, зависящей от различных внешних факторов. Такая задача называется идентификацией системы. Зная функцию
130
стоимости, состояние и параметры системы, можно определить
наилучшее управление, минимизирующее (или максимизирующее) функцию стоимости. Таким образом, формулируют пять взаимосвязанных задач, решение которых дает возможность построить
наилучшую, или оптимальную, систему.
1. Задача управления. Рассматривается система с заданной связью между входным управляющим воздействием и состояниями системы. Требуется найти управление, изменяющее состояние х так,
чтобы была достигнута некоторая заданная цель. На рис. 7.1 показаны основные особенности задачи управления. Это может быть задача с замкнутым или разомкнутым контуром в зависимости от того, является ли управление функцией состояния системы.
2. Задача оценки состояния. Рассматривается известная система
со случайным входным воздействием и шумом измерения, так что
измеренный выходной сигнал y(t) и представляет собой, как показано на рис. 7.2, искаженное состояние x(t). Известны законы распределения шума устройства n(t) и шума измерения V(t). Требуется
найти «наилучшую» оценку xˆ(t) истинного состояния системы x(t)
по известному y(t).
3. Задача стохастического управления. Как показано на рис. 7.3,
эта задача может быть получена путем объединения задач 1 и 2.
Требуется определить такое управление u(t), чтобы выходное состояние х(t) изменялось желаемым образом. Присутствуют шум
устройства n(t) и шум измерения V(t). Известны законы распределения этих шумов. Требуется найти наилучшую оценку xˆ(t) состояния x(t) по наблюдаемому выходному состоянию y(t), прежде чем
u(t)
Управление
Известный
объект
x(t)
Состояние
Рис. 7.1
V(t)
Шум
измерения
n(t)
Шум
объекта
Известный
объект
x(t)
y(t)
Измерительное
Состояние устройство Наблюдаемое
состояние
системы
Рис. 7.2
131
7U
±ÌÅ
ÁÀžɾÆÁØ
OU
±ÌÅ
ǺӾÃ˹ VU
¬Èɹ»Ä¾ÆÁ¾
¡À»¾ÊËÆÔÂ
ǺӾÃË
YU
ZU
¡ÀžÉÁ˾ÄÕÆǾ
¦¹ºÄ×½¹¾ÅǾ
ªÇÊËÇØÆÁ¾ ÌÊËÉÇÂÊË»Ç
ÊÇÊËÇØÆÁ¾
Рис. 7.3
можно будет определить «наилучшее» управление, которое может
быть управлением с разомкнутым или замкнутым контуром.
4. Задача оценивания параметра. Во многих задачах приходится
вводить некоторые методы идентификации параметров систем, которые могут меняться в зависимости от окружающих условий. Дана
система, показанная на рис. 7.4, в которой, как и раньше, известны статистические характеристики шумов устройства и измерения.
Требуется определить наилучшую оценку некоторых параметров
устройства, основываясь на знании детерминированного входного сигнала u(t), измеренного выходного сигнала y(t) и, если это возможно, некоторой априорной информации о структуре устройства.
Для получения оценки параметра требуется произвести оценку
состояния.
5. Задача адаптивного управления. Эта задача может быть составлена путем комбинации задач 1–4. При этом задаются статистические характеристики шумов n(t) и V(t) или некоторые методы определения этих характеристик. Параметры устройства случайные.
Требуется найти управление u(t), зависящее от шумов измерения и
устройства, а также такое изменение динамики системы, чтобы наилучшим образом выполнялись некоторые заданные условия. Если
управление u(t) определено в виде функции от измеряемого выходного сигнала у(t), то имеем адаптивную систему с замкнутым контуром.
OU
±ÌÅ
ǺӾÃ˹ VU
¬Èɹ»Ä¾ÆÁ¾
ZU
YU
¦¾ÁÀ»¾ÊËÆÔÂ
¡ÀžÉÁ˾ÄÕÆǾ
ÌÊËÉÇÂÊË»Ç
ǺӾÃË
¦¹ºÄ×½¹¾ÅǾ
ªÇÊËÇØÆÁ¾
ÊÇÊËÇØÆÁ¾
ÊÁÊ˾ÅÔ
Рис. 7.4
132
7U
±ÌÅ
ÁÀžɾÆÁØ
Рассмотрим общую постановку задачи статистической теории
оптимальных систем. Обозначим через y(t) действительный наблюдаемый векторный сигнал, содержащий вектор полезного сигнала
х(t) и помеху V(t). Наблюдаемый сигнал y(t) представляет собой сумму векторных переменных х(t) и V(t), причем полезный сигнал и помеха в общем случае являются случайными функциями или случайными дискретными последовательностями.
Обозначим через y (t) требуемый выходной векторный сигнал,
связанный с полезным сигналом х(t) некоторым заданным оператором. В частности, в задаче фильтрации y (t) совпадает с полезным
сигналом х(t). Фактический выходной сигнал y * (t) системы представляет собой результат преобразования данной системой входной
случайной функции y (t). Отличие фактического выходного сигнала y * (t) системы от y (t) состоит в том, что первый представляет собой результат преобразования полного входного сигнала, включая
и помеху, а второй – результат только полезного сигнала.
Основная задача статистической теории оптимальных систем состоит в нахождении алгоритма, с помощью которого можно с наивысшей точностью получить оценку требуемого сигнала y(t). Эта
задача остается определенной без выбора критерия качества (точности) оценки, который может быть сформулирован на основе понятия ошибки.
Ошибкой системы назовем векторную функцию
E(t) = y * (t) - y (t),
являющуюся случайной функцией времени. В силу случайности
она не может служить непосредственно оценкой точности системы. За характеристику точности оптимальной системы или ошибки фильтрации удобно принять математическое ожидание квадрата ошибки
 = M éê ET (t) E(t)ùú .
ë
û
Положительный квадратный корень из этой величины есть средняя квадратическая ошибка. Системы, обладающие минимальной
среднеквадратической ошибкой, являются оптимальными.
Критерий минимума среднеквадратической ошибки является
простейшим и приводит к наиболее простым алгоритмам определения оптимальных оценок. При введении этого критерия задача нахождения оптимальной системы и оценки может быть решена путем
использования двух первых вероятностных моментов случайных
133
функций. При этом такая система оказывается линейной. Вместе
с тем при нормальном законе распределения случайных функций,
учитываемых при формулировке задачи оптимизации, оптимальной системой в классе всех возможных систем по отношению к любому критерию от функции модуля ошибки E(t) является линейная
система. Но задание только математических ожиданий и взаимных
корреляционных функций, наблюдаемых и требуемых (полезных)
сигналов равносильно аппроксимации их истинного распределения
нормальным. На основе критерия минимума среднеквадратической
ошибки и корреляционной теории можно получить только оптимальную линейную систему и оптимальную линейную оценку полезных сигналов или координат состояния динамической системы
в присутствии случайных возмущений. Это означает, что случайный алгоритм обработки измеряемого сигнала является линейным,
а сам измеряемый сигнал y(t) должен быть связан с полезным сигналом x(t) линейной зависимостью.
Постановка задачи вероятностной оценки состояния некоторой
динамической системы, характеризуемой вектором x(t), тесно связана с понятием наблюдаемости системы. В детерминированной теории динамических систем понятие наблюдаемости впервые было
введено в 1961 г. и подготовлено всем ходом развития теории. В настоящее время это понятие играет важную роль и получило дальнейшее развитие, так как характеризует основные свойства динамической системы и помогает оценить возможные состояния
и поведение системы. С физической точки зрения, система называется наблюдаемой, если по измерениям части или всех ее координат
или переменных, связанных с координатами, можно за конечное
время определить полностью ее состояние [27, 46, 50].
Аналогичные понятия стохастической наблюдаемости существуют и для стохастических систем и процессов и оказываются
связанными с асимптотическим поведением апостериорных распределений вероятностей или корреляционных матриц оценок. Находят наблюдаемость стохастической системы с помощью условий
существования оценки вектора состояния этой системы (полезного сигнала), обладающей определенными асимптотическими свойствами и представляющей собой функцию результатов наблюдений
вектора y(t). Стохастическая наблюдаемость системы гарантирует
сходимость по вероятности к нулю или конечному значению ошибки оценки вектора состояния (полезного сигнала) по мере увеличения числа наблюдений для дискретных процессов или времени наблюдения для непрерывных.
134
В связи с введением определения стохастической наблюдаемости
различают стохастическую наблюдаемость детерминированных систем в узком и широком смысле.
Стохастическая наблюдаемость детерминированной системы в
узком смысле имеет место в случае, если на детерминированный
объект управления помехи не действуют (т. е. полезный сигнал является детерминированным), но измерения засорены шумами. Такая
система называется стохастически наблюдаемой в узком смысле,
если корреляционная матрица условного распределения вероятностей вектора x(t) сходится к нулевой матрице. Это означает сходимость по вероятности к нулю ошибки оценки вектора состояния.
Стохастическая наблюдаемость детерминированной системы
в широком смысле имеет место в случае, если на детерминированный объект управления действует случайный сигнал (т. е. полезный сигнал является случайным), а измерения также засорены
шумами. Такая система называется стохастически наблюдаемой
в широком смысле, если корреляционная матрица условного распределения вероятностей вектора x(t) относительно вектора y(t)
остается в определенном смысле ограниченной. Это означает, что
ошибка оценки вектора состояния не превосходит некоторой заданной величины.
Понятие стохастической наблюдаемости позволяет установить
общие свойства динамических систем при наблюдении доступных
изменению сигналов в условиях действия помех. При этом для линейных систем удается установить необходимые и достаточные условия стохастической наблюдаемости, связанные с внутренней
структурой динамических систем.
7.4. Методические особенности задачи синтеза
оптимальных операторов и систем
Все практические задачи, отличаясь друг от друга исходными
предпосылками, в то же время объединены формальной общностью
математических постановок и методом решения. Они относятся
к синтезу оптимальных операторов и систем оценивания. Поэтому
начнем рассмотрение с определения того, что мы понимаем под оператором и системой оценивания и в чем состоит задача их синтеза.
Понятие оператора. В функциональном анализе оператором называется математический объект, устанавливающий соответствие
между элементами двух множеств. Оператор соотносит каждому
элементу одного множества некоторый элемент другого множества.
135
В частном случае оператор устанавливает соответствие между двумя множествами скалярных функций, так что всякой функции
одного множества соответствует определенная функция другого
множества. Если обозначить такой оператор символом А, то его действие можно представить в виде
y k (t) = A · xk (t),
где y k (t), xk (t) – функции, являющиеся элементами множеств
{Xk (t)} и {Yk (t)} соответственно.
Большую роль в задачах оценивания играют линейные операторы. Признаком линейности оператора является выполнение следующих соотношений:
A (xk + x ) = Axk + Ax , A (xk ) = A (xk ),
где xk = xk (t), x = x (t) – произвольные элементы множества;  –
произвольное число (скалярное).
В более общем случае можно рассматривать оператор А, который
устанавливает соответствие между двумя множествами векторфункций так, что всякой n-мерной вектор-функции одного множества соответствует определенная m-мерная вектор-функция другого. Такой оператор можно представить в виде
y k (t) = A · xk (t),
где A = { Aij }
m´n
(7.4)
– матрица-оператор; xk = xk (t) = {xik }n´1 , yk = yk(t) =
{yik }m´1 – вектор-функции, являющиеся элементами множеств
{Xk } и {Yk } соответственно. Признаком линейного оператора, как
и в одномерном случае, является выполнение соотношений
A(xk + x ) = A · xk + A · x , A(xk ) = A(xk ).
Понятие системы. Оператор, заданный соотношением (7.4), является математической моделью системы, схематическое изображение которой приведено на рис. 7.5, а, а в более компактном виде – на
рис. 7.5, б.
Характерным для такой системы является наличие входов и выходов (рис. 7.5, а) или, что то же самое, наличие n-мерного входа
и m-мерного выхода (рис. 7.5, б). Вход системы воспринимает внеш136
а)
Входные
воздействия
x1(t)
Система
x2(t)
.
.
.
xn(t)
Выходные
величины
y1(t)
y2(t)
A(t)
.
.
.
yn(t)
б)
Входное
Выходная
Система m-мерная
n-мерное
воздействие
величина
A(t)
y(t)
x(t)
Рис. 7.5
ние входные воздействия, математической моделью которых является n-мерная входная вектор-функция xk (t). Выход системы представляет собой те или иные физические величины, математической
моделью которых является m-мерная выходная вектор-функция
y(t). Ту часть входных воздействий, которая содержит информацию,
полезную для формирования системой требуемой выходной функции, будем называть сигналом и обозначать x(t). Мешающие входные воздействия будем называть помехой (шумом) и обозначать V(t).
Очевидно, что если оператор является математической моделью
некоторой системы, то последняя является физической моделью
этого оператора.
Задача синтеза оптимальных операторов и систем. Если требуется, чтобы соотношение между множествами {Xk } и {Yk } удовлетворяло некоторому заданному условию, то согласно выражению (7.1) возникает задача построения такого оператора А, который
обеспечивал бы требуемое соотношение между множествами, – задача синтеза оптимального оператора по заданному критерию (по
заданному критерию качества).
Оптимальный оператор обычно реализуют с помощью той или иной
системы. В этом случае будем говорить о задаче синтеза оптимальной системы. При синтезе оптимальной системы необходимо учитывать требование достаточно простой ее реализуемости, а также требования, предъявляемые к динамическим свойствам системы, которые
характеризуются длительностью и формой ее переходного процесса.
Предположим, что в некотором классе операторов требуется найти оптимальную систему. Входной векторный сигнал оптимальной
системы обозначим через y * (t), а оптимальный оператор многомерной системы – через А (рис. 7.5, б).
137
По определению оптимальная оценка y * (t), требуемого вектора
y (t) связана с входным сигналом формулой
y * (t)) = A · x(t).
(7.5)
Аналогично записываем выражение для неоптимальной оценки:
y *1 (t) = B · x(t),
(7.6)
где В – неоптимальный оператор, принадлежащий тому же линейному пространству.
Условие оптимальности системы (7.5), записанное для каждой
компоненты, формально можно представить в векторном виде [27]:
(
)
M éê y * (t) - y (t) y1*T (t)ùú = 0.
ë
û
Если в условии (7.3) выходные переменные y * и y 1* оптимальной
и неоптимальной систем соответственно заменить выражениями
(7.5) и (7.6), то получим векторное уравнение, определяющее линейный или нелинейный оператор оптимальной системы по критерию
минимума средней квадратической ошибки
Tù
é
M ê( A · x(t) - y (t))( B · x(t)) ú = 0.
ë
û
(7.7)
В последней формуле условие B Î L означает, что выражение (7.7)
должно быть выполнено для оптимального оператора А и произвольного оператора В из класса L. Уравнение (7.7) определяет
оптимальный оператор, для которого мгновенное значение среднеквадратической ошибки для каждого текущего момента времени t
имеет наименьшее возможное значение. Это условие является общим, которому должен удовлетворять оптимальный оператор, принадлежащий некоторому линейному пространству L. В частности,
ему удовлетворяет линейный оператор.
Не претендуя на строгость изложения, можно утверждать, что
практически во всех случаях измерительный процесс организуется
для управления (объектом, процессом, экспериментом, производством, планированием и т. п.).
В задачах управления необходимо знать наиболее вероятное состояние системы, подверженной действию случайных возмущений.
Это состояние необходимо оценить на основе измерений всех или
части фазовых переменных на интервале (t0, t), производимых
с ошибками.
138
Оценка параметров является одной из классических задач
математической статистики. Суть ее состоит в том, что по конечному числу выборочных значений некоторой случайной величины,
вид распределения которой предполагают известным, определяют
(оценивают) значения параметров этого распределения.
В приложениях подобная задача состоит в определении некоторых характеристик (параметров) принимаемого сигнала. Предполагается, что измеряемая величина закодирована в одном из
параметров сигнала, принимаемого совместно с шумами. При оптимальной оценке параметры должны быть измерены (оценены) наилучшим образом в смысле принятого критерия качества.
Из общей формулировки задачи оценки параметров следует, что
для ее решения необходимо знать вид закона распределения принимаемой смеси сигнала и шума. Помимо этого одним из основных
допущений, которое делается при оценке параметра, является условие его постоянства в течение времени измерения или, как часто
говорят, времени наблюдения. Это условие сильно снижает прикладное значение оценки параметров.
От указанного допущения свободна оптимальная фильтрация.
Фильтрация позволяет наилучшим образом выделить из смеси полезного воздействия и шума само полезное воздействие, которое
представляет собой в общем случае реализацию некоторого случайного процесса. Если выделяемое воздействие является постоянной,
но неизвестной величиной, получают результаты, аналогичные
тем, которые дает теория оценки параметров. Поэтому фильтрацию
иногда называют оценкой процесса.
Фильтрацией называется операция определения наиболее вероятных значений переменных состояния в момент времени t или выделения полезной информации о сигналах при наличии случайных
помех. Задача фильтрации состоит в получении наиболее правдоподобной оценки полезного сигнала при наличии помех. К ней примыкает задача предсказания наиболее вероятного состояния системы
или значения полезного сигнала в момент времени t1 > t, т. е. экстраполяции сигнала, а также задача сглаживания измерений, т. е.
определение значения сигнала при t1 < t.
Общей задачей, принадлежащей к рассматриваемому классу, является задача получения наиболее вероятной, оптимальной в определенном смысле оценки сигнала, связанного с полезным сигналом
некоторой заданной операцией, например, дифференцированием,
интегрированием, их комбинацией или другими операциями.
139
8. ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ
8.1. Особенности обработки наблюдений
в автоматизированных системах научных исследований
Появление автоматизированных систем научных исследований
(АСНИ) обусловлено необходимостью изучения все более сложных
объектов и явлений. Одним из наиболее перспективных направлений в области разработки АСНИ является создание унифицированных средств, обеспечивающих связь систем с объектами автоматизации и внутрисистемные информационные связи между
отдельными вычислительными машинами сети или комплекса.
Для АСНИ основным источником информации служат сигналы
о физических процессах независимо от их назначения и средств получения информации.
Полезная информация о процессе содержится в выходных сигналах первичных датчиков. Эти сигналы, как правило, искажены помехами и ошибками наблюдения (измерения). Поэтому очень важна
фильтрация сигналов: выделение из них полезной составляющей,
используемой на последующих этапах обработки.
К задачам вторичной обработки относятся определение параметров измеряемых процессов (например, скоростей и ускорений их
протекания), совместное решение линейных и нелинейных систем
уравнений, в том числе рекуррентного типа, решение систем дифференциальных уравнений, в том числе в частных производных,
численными методами, прогнозирование развития процессов, обращение матриц и вычисление определителей, интерполирование
и экстраполирование вычислительных функций, цифроаналоговое
преобразование и т. п.
Математическая основа решения задач этого уровня – численные методы. Согласно им разрабатываются алгоритмы и программы решения для конкретных ЭВМ. Критерии выбора того или иного численного метода обусловлены особенностями использования
в АСНИ ЭВМ.
Следующим этапом обработки информации, как правило, является задача оптимизации, т. е. поиск экстремума некоторой функции одной или нескольких переменных, на которые наложены определенные ограничения.
Из перечисленных задач нетрудно сделать вывод, что основой
АСНИ является информационно-измерительный комплекс (ИИК)
140
на базе ЭВМ. Математическое обеспечение ИИК должно быть универсальным и при этом отражать тонкую специфику задач АСНИ.
На первый взгляд, методы решения задач, стоящих перед ИИК
в АСНИ, ничем не отличаются от рассмотренных ранее. Однако это
не так. Обработка информации в АСНИ характеризуется крайне
высоким уровнем априорной неопределенности, и это естественно,
так как любая АСНИ направлена на изучение процессов и явлений
или на снижение уровня априорной неопределенности при решении
последующих практических задач, например, управления.
В тех случаях, когда отсутствуют какие-либо сведения об априорном распределении Р(х) (что эквивалентно Р(x) = const), рекомендуется в качестве оценки x̂ выбирать такое значение, которое с наибольшей вероятностью обусловливает появление именно заданного
вектора наблюдения y.
æyö
Ранее мы уже отмечали, что P çç ÷÷÷ есть функция правдоподобия,
çè xˆ ø
где x̂ – оценка максимального правдоподобия. В случае линейного
уравнения наблюдения и нормального шума  y оценку максимального правдоподобия находят из системы алгебраических уравнений
HT · R-1 · H · xˆ = HT · R-1 · y.
y
y
Такая оценка является несмещенной и эффективной при конечном объеме наблюдений.
Проектирование ИВУС нового поколения возможно лишь благодаря применению современной теории систем, включающей в себя
количественное описание процесса измерения с помощью адекватного математического аппарата. В детерминированной постановке
качество системы задавали в виде таких показателей отдельных измерительных преобразователей (баровысотомеров, акселерометров
и т. п.), как коэффициент затухания, собственная частота и т. д.
Эта широко используемая форма требований к качеству определяет, главным образом, вид передаточных функций датчиков, входящих в состав ИИК, и первичных преобразователей независимо
от характера конкретных сигналов, возникающих в системе. Указанные требования имеют значение только в математическом смысле и применимы лишь для линейных инвариантных по времени
систем. Характеристика качества, используемая в статистическом
представлении, связана с аппроксимирующими свойствами системы, т. е. с возможностью достижения наилучшего по критерию качества при заданных условиях расчета.
141
Можно утверждать, что использование вероятностной (информационной) модели измерительного процесса и статистического
представления результатов измерения требует от проектировщика
ИИК использования концепции хорошо развитых методов современной теории систем. При этом рассмотрение функционирования
исследуемого объекта и процесса измерения (управления, контроля), его параметров с единых методологических позиций позволяет применять системный подход к проектированию систем в целом.
Описание формальных математических конструкций, образующих математическую связанную схему, сводится лишь к представлению отдельных составляющих блоков. Это, в свою очередь,
порождает возможность использования для задач проектирования
универсального математического аппарата, реализованного, например, независимо от назначения проектируемой системы в виде
предметно-ориентированного математического обеспечения вычислительного комплекса (ВК) проектировщика.
Таким образом, модельное представление объекта наблюдения
самих измерителей (первичная обработка) и процедуры оценивания (вторичная обработка) позволяет трактовать процесс проектирования ИИК как проектирование алгоритмов, реализующих тот
или иной метод обработки измерений, направленных на уменьшение полной погрешности оценки (инструментальной, методической,
случайной).
8.2. Постановка задачи алгоритмизации процедуры оценки
как вторичной обработки. Основные характеристики
и классификация методов оценки
Важной составной частью обобщенного алгоритма управления
процессами (рис. 8.1) является алгоритм оценки переменных из
пространства состояний управляемого процесса (УП) (переменных
состояния) по измерениям (наблюдениям), реализуемым датчиками
информации.
Поскольку наблюдения содержат случайные и систематические ошибки, процедура оценки должна быть эффективной в смысле снижения влияния ошибок на точность получаемых оценок. Во
многих случаях повышение точности оценок может быть достигнуто путем организации значительного числа избыточных измерений
с последующей их обработкой каким-либо статистическим методом.
Другой путь реализации высокоточных оценок состоит в использовании для получения оценок наблюдений только тех необ142
]
-
d
Объект
(процесс)
u
x
P
Измерительная
система
(датчики
информации)
y
u
Управляющее
устройство
u
K
Устройство
оценивания
состояния
объекта
(процесса)
^
x
U
xd , u d
В КОНТУРЕ УПРАВЛЕНИЯ
ВНЕ КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ
Система
идентификации
управляемого
процесса
D~x
Система
настройки
параметров
управляющего
устройства
y
D~x
D~x
^
x
Система настройки параметров y
устройства
оценки состояния объекта
(процесса)
y
D~x
Оптимизация
режима работы
(процесса)
– подсистемы
ИИК
Рис. 8.1
ходимых параметров, точность определения которых относительно
высока. В этом случае остается лишь обеспечить наблюдение состояния УП: рассчитать состояние по известным закономерностям.
Последнее для сложных объектов, как правило, невозможно.
Гипотетически число измерений может быть равно числу параметров, полностью определяющих состояние ОУ, лишь при обеспечении неизмеримо высоких требований к точности датчиков первичной информации. Например, для обеспечения потребной точности простого алгоритма счисления пути летательного аппарата
143
требуется обеспечить относительную погрешность акселерометра,
равную 10–5 %.
Оба названных подхода – статистический и детерминированный – позволяют создать большое число алгоритмов оценки, разных по структуре и основным вычислительным процедурам.
Обобщенный алгоритм получения оценок можно представить
рядом условных блоков, выполняющих определенные автономные
задачи и соответствующих в большинстве случаев основным этапам преобразования информации в информационно-измерительном
комплексе. Алгоритм оценки включает в себя, как минимум, блоки
первичной и вторичной обработки измерительной информации.
Первичная обработка в реальных ИИК состоит в простейшей
фильтрации с целью выделения полезного сигнала из выходного
сигнала датчика. Результатом первичной обработки является сглаженное за сравнительно короткий отрезок времени измерение, используемое для последующей обработки.
Вторичная обработка может объединять задачи получения оценок переменных состояния ОУ, их прогнозирования и другие. В некоторых случаях одной из первых процедур вторичной обработки является отбраковка измерений, содержащих большие (аномальные)
ошибки. Отбраковка осуществляется путем сравнения результатов
измерений с априорной информацией о них, полученной на основании знания моделей ошибок измерений и ожидаемых значений
переменных состояния. Процедура отбраковки позволяет повысить
точность используемых измерений и исключить влияние отдельных выбросов на точность оценок.
После рассмотрения крупных блоков обобщенного алгоритма
оценки видно, что алгоритм вторичной обработки выполняет важную роль не только в обеспечении точности оценок, но и в преобразовании информации из одного вида в другой с учетом потребностей
общего алгоритма управления. Ввиду того, что алгоритм первичной
обработки измерений строится в основном с учетом особенностей
характеристик датчиков информации, блок первичной обработки,
как правило, является составной частью датчика и чисто конструктивно с ним совмещается.
Основное внимание при дальнейшем изложении будет уделено методам вторичной обработки информации и получению оценок переменных состояния по результатам первичных измерений. Все рассматриваемые методы ориентированы на применение
ЦВМ. В дальнейшем задачу вторичной обработки измерений для
упрощения изложения будем называть задачей оценки перемен144
ных состояния, а алгоритм вторичной обработки – алгоритмом
оценки.
Различные измерительные системы в зависимости от принципа действия, структуры, наличия блоков обработки первичных измерений и т. д. могут обеспечить наблюдение не необходимого для
управления, а большего или меньшего числа переменных состояния. Если число измеряемых параметров меньше числа состояний
переменных состояния, наблюдаемая система является недоопределенной, и для получения недостающей информации следует повторить измерения в разные моменты времени, дополнив их уравнениями динамики ОУ. Если число измеряемых параметров больше числа
определяемых величин, то система переопределена, и возникает
необходимость в наилучшем использовании результатов избыточных измерений. Поскольку относительное влияние ошибок измерений разных параметров на точность искомых оценок существенно
неодинаково, решение о выборе полной или неполной совокупности
первичных измерений для использования в алгоритме оценки оказывает решающее влияние на некоторые его важнейшие характеристики – точностные и вычислительные. Таким образом, в основу
одной из классификаций алгоритмов оценки может быть положен
признак использования полной или неполной информации о совокупности измеряемых параметров (не следует путать с проблемой
наблюдаемости в теории систем).
По числу измерений, используемых при расчете оценок, алгоритмы делятся на детерминированные и статистические. В детерминированных алгоритмах общее число измеренных параметров
равно числу определяемых величин. Статистические алгоритмы
используют большое число избыточных измерений, результаты которых обрабатывают каким-либо статистическим методом. Как детерминированные, так и статистические алгоритмы могут использовать полный или неполный состав первичных измерений.
Статистические алгоритмы могут быть классифицированы по
критериям оценки с минимальной дисперсией, максимальной
вероятностью (максимального правдоподобия) и минимальной
ошибкой.
По методу обработки измерительной информации алгоритмы
делятся на рекуррентные и групповой обработки. В рекуррентных методах текущая оценка формируется заново после каждого
измерения и является функцией предыдущей оценки и нового измерения. В методах групповой обработки оценка является результатом обработки серии измерений и может быть получена только
145
после завершения этой серии. Рекуррентные методы дают оценки
на каждом такте (шаге) измерений, поэтому они чувствительны
к появлению больших единичных ошибок. В противоположность
этому методы групповой обработки мало чувствительны к таким
ошибкам, но не дают текущих оценок до завершения всех измерений.
По характеру вычислительных процедур алгоритмы делят на
итерационные и аналитические. Это деление относится как к детерминированным, так и к статистическим алгоритмам.
Итерационные алгоритмы включают в себя различные итерационные процедуры: решение краевых задач с частично заданными
граничными условиями, расчет корней трансцендентных уравнений, решение систем нелинейных алгебраических уравнений и т. д.
Аналитические алгоритмы не содержат итерационных процедур – все расчеты в них проводятся по конечным формулам.
В большинстве случаев реализация на ПЭВМ аналитических алгоритмов существенно проще, чем итерационных, однако их возможности (точностные, логические, структурные) по сравнению с итерационными более ограничены.
В зависимости от описания модели УП алгоритмы оценки делят
на алгоритмы, использующие уравнения динамики УП, и алгоритмы, использующие различные способы аппроксимации искомых
параметров системы (ПС). Первую группу, в свою очередь, по виду
уравнений динамики подразделяют на подгруппы: с линейными,
квадратичными и полными нелинейными уравнениями. Вторая
группа объединяет разные методы аппроксимации искомых параметров: временными полиномами, ортогональными функциями
времени и т. д.
Охарактеризуем некоторые основные алгоритмы оценки.
Важнейший показатель итерационных алгоритмов – их область
сходимости, которая в общем случае может зависеть от начальных
условий задачи.
Другой важной характеристикой статистических алгоритмов
является зависимость точности оценок от числа и интервала наблюдений при заданной (или принятой) их частоте. По этой характеристике (или семейству характеристик) определяют необходимое число наблюдений для получения заданной точности оценок.
Еще одним важным свойством алгоритмов является их реакция на разные ошибки измерений разного вида (знакопеременные,
знакопостоянные, медленно меняющиеся, случайные), т. е. зависимость, или инвариантность, ошибок оценок от модели ошибок измерений.
146
Гибкость и эффективность алгоритмов оценки, а также простота их практической реализации во многом зависят от ограничений, которые они налагают на интервал измерений сверху и снизу,
поэтому значения максимального и минимального интервалов наблюдений представляют собой существенный показатель.
Важными характеристиками методов оценки, не использующих уравнения динамики процессов в ОУ, являются зависимости
методической погрешности принятой аппроксимации от интервала
наблюдений при разных начальных условиях, а также зависимости
точности оценок от числа членов аппроксимирующих функций при
разных интервалах измерений.
Для методов оценки, использующих решение приближенных
уравнений динамики, одной из важнейших характеристик алгоритма является оптимальное число уравнений, соответствующее
минимуму ошибки оценки, или оптимальный интервал измерений,
определяемый по числу измерений и шагу их повторений.
Наконец, алгоритм оценки можно характеризовать требованиями,
предъявляемыми к ПЭВМ, с помощью которой он реализуется: необходимое быстродействие, объем постоянной и оперативной памяти, влияние разрядности ПЭВМ на точность оценки и ряд других факторов.
Перечисленные показатели должны быть положены в основу при
сравнительном анализе методов оценивания.
8.3. Задача оценки состояний реального наблюдаемого объекта
Фактическое состояние любой реальной системы может быть
полностью описано лишь бесконечным (или практически бесконечным) числом параметров. Однако в нашем распоряжении, как уже
отмечалось ранее, всегда имеется только конечное число независимых измерений, искаженных неизбежными ошибками. Поэтому
полное определение состояния реальной системы по данным наблюдений практически невозможно. Речь может идти лишь о получении некоторой его оценки. При этом реальная система фактически
заменяется ее наблюдаемой (информационной) моделью, зависящей
от конечного числа параметров.
При решении разных прикладных задач одна и та же реальная
система может быть представлена различными информационными моделями наблюдения. Так, при нахождении положения ЛА
мы можем ограничиться слежением за одной его точкой. При этом
необходимо определять только три составляющие вектора состояния, а именно, координаты рассматриваемой точки.
147
Вместе с тем при построении модели движения летательного аппарата задача сводится к описанию движения его центра масс. При
этом возникают методические погрешности, связанные с несовпадением центра масс ЛА и точек, за которыми ведется наблюдение.
Кроме того, необходимо знать силы, действующие на него, и определять по этим силам его движение. Это существенно усложняет модель и вносит дополнительные погрешности, связанные с точностью
знания сил, а также ошибками решения системы уравнений движения. Размерность вектора состояния должна быть не ниже шести
(числа координат и составляющих вектора скорости материальной
точки). Если в процессе оценки движения ЛА приходится уточнять действующие силы, то эта размерность дополнительно увеличивается на число переменных, определяющих силы.
Выбор используемой информационной модели наблюдения зависит от природы объекта управления и существа решаемой задачи. Однако во всех случаях существуют состояния x1, x2 ,..., xn ,
совокупность которых принято называть вектором состояния
x = {x1, x2 ,..., xn }. Число n составляющих вектора x определяет размерность модели.
В тех случаях, когда при построении информационных моделей
наблюдения возникает необходимость в определении некоторых
«пространственных» структур (различных тел, полей сил и т. п.),
их представляют в виде конечного числа членов разложений в ряды
по некоторым функциям либо в виде таблиц, включающих в себя
конечное число величин.
Для определения вектора х в большинстве практических случаев
используют измерения некоторых величин (наблюдения), зависящие от состояния системы. Совокупность всех используемых измерений образует вектор наблюдений
y = {y1, y2 ,..., ym },
где m – число измерений.
Для того чтобы по зафиксированному значению вектора y оценить соответствующий вектор x, необходимо знать зависимость
между ними. Для сформулированной модели процесса наблюдения
она имеет вид
y = (x).
(8.1)
В действительности значения составляющих вектора y получают в результате наблюдений за состоянием реальной системы, в то
время как зависимость (8.1) соответствует принятой за основу информационной модели наблюдения.
148
Обозначим через  = {1, 2 ,..., n } вектор ошибок этой модели:
 = y - (x),
(8.2)
где x и y – истинные значения соответствующих векторов; погрешности  называют методическими ошибками [21].
Пусть у – значение вектора y , полученное в результате измерений. Оно связано с y соотношением
y = y + ,
(8.3)
где  = {1, 2 ,..., m } – вектор ошибок измерений.
Из (8.2) и (8.3) следует
y = (x) +  +
 .
(8.4)
При решении рассматриваемой задачи точные значения векторов x и y остаются неизвестными. Их обычно рассматривают как
случайные векторы с заданными вероятностными характеристиками (законами распределения, моментами и т. п.). При этом зависимость (8.4) заменяют системой условных уравнений
(x) = y,
(8.5)
представляющей собой систему из m уравнений относительно n
неизвестных x1, x2 ,..., xn . Эта система не имеет решения, поэтому
ее и принято называть системой условных уравнений.
Основная за дача обработки измерительной информации заключается в определении с помощью системы условных уравнений
некоторого подходящего значения x, которое обычно называют
оценкой (или статической оценкой). Обозначим эту величину через xˆ. Она является некоторой функцией (решающим правилом) [22]
(8.6)
xˆ = (y),
позволяющей находить оценку x̂ по конкретному значению у.
Стоящая в правой части этого равенства функциональная зависимость представляет собой математический алгоритм вычисления
(получения) оценки x̂ по результатам наблюдений. Ее и принято
называть алгоритмом оценивания. Задача построения этого алгоритма не имеет однозначного решения. На практике используют
разные алгоритмы оценивания. Выбор того или иного из них зависит от конкретных условий решения рассматриваемой зада149
чи (имеющихся сведений об ошибках  i , i = 1, 2,..., m, требований
к точности и оперативности определения оценки xˆ, используемой
вычислительной техники и т. п.). Более подробно этот вопрос будет
рассмотрен далее.
Полученная в результате оценка xˆ, как правило, не удовлетворяет системе условных уравнений (8.5). После подстановки этой
оценки в левую часть указанной системы получаем зависимость
вида
y = F (xˆ ) +  xˆ .
(8.7)
Очевидно, что абсолютно точное определение вектора x практически невозможно. Всегда возникает некоторая остаточная погрешность  xˆ , т. е.
xˆ = x +  xˆ .
Одной из основных задач обработки наблюдений (вторичной обработки информации) является возможное улучшение вероятностных характеристик ошибки  xˆ . По крайней мере, они должны
быть лучше соответствующих характеристик ошибок  i измерений. В противном случае вся работа по определению теряет
смысл.
Следовательно, задача построения алгоритма оценивания является неоднозначной. Поэтому возникает вопрос о выборе, в некотором смысле, оптимального алгоритма оценивания. Данный вопрос
будет рассмотрен далее. При этом будем исходить из того, что любой
используемый на практике алгоритм оценивания должен обладать
следующими свойствами:
1. Определенная зависимость (8.7) должна быть однозначной
(для данного алгоритма).
2. В предположении отсутствия ошибок измерения и модели он
должен давать истинные значения вектора состояния. Иначе говоря, должно удовлетворяться условие, называемое условием несмещенности алгоритма оценивания:
x =  éë ô(xˆ )ùû
x=xˆ
.
Наряду с задачей нахождения оценки x̂ возникает проблема
оценки точности полученного результата, т. е. оценки погрешности
 xˆ = xˆ - x.
150
Последняя зависит от алгоритма, описанного в уравнении (8.6),
а также от ошибок  и  . Если при некоторых условиях, наложенных на указанные ошибки, справедливы равенства
E[ xˆ ] = 0  E(xˆ ) = x,
то оценка x̂ является несмещенной.
Заметим, что в большинстве прикладных задач вектор x можно
рассматривать как случайную величину. В этих условиях представляет интерес либо задача оценки конкретной частной реализации этого
вектора, либо определение его математического ожидания E(x).
8.4. Постановка задачи обработки наблюдений
при определении характеристик динамической системы
Под идентификацией объекта принято понимать построение математической модели, устанавливающей закономерность между
выходными и входными переменными объекта, которая дает возможность определять с заданной точностью выходную переменную
объекта-оригинала по ее входным переменным. Основой для создания модели данного объекта служат результаты наблюдений входных и выходных его переменных.
Решение задачи идентификации связано с обработкой указанных экспериментальных (статистических) данных, полученных
в условиях нормального функционирования объекта и охватывающих весь диапазон изменения входных сигналов и его состояния.
При этом не существенно, какие воздействия (естественные или искусственные) подаются на объект идентификации, важно лишь то,
что изменения входных и выходных переменных производят синхронно при выполнении условий нормальной работы объекта.
В общем случае построение модели для конкретного объекта требует отнесения данного объекта к определенному классу систем по
результатам наблюдений входной и выходной переменных. При этом
исходят из статистической постановки задачи идентификации, считая, что возмущение (входная переменная) u(t) и реакция (выходная
переменная) у(t) представляют собой случайные функции или случайные величины.
Если динамические характеристики объекта описывают оператором А, то при наличии результатов измерений входной и выходной
случайных функций (переменных) задача идентификации сводится
к определению некой оценки Â оператора А, например, к оценке
коэффициентов в дифференциальном уравнении или к оценке
151
импульсной характеристики по имеющейся статистике функций u(t) и y(t). В такой ситуации естественно потребовать близости
оценки Â к истинному значению оператора А, что равносильно требованию близости случайной функции на выходе модели
ˆ (t)
yˆ(t) = Au
(8.8)
к случайной функции y(t), являющейся реакцией системы на входное возмущение и(t).
Для количественной оценки степени близости Â и А вводится
функция потерь [ yt , yˆt ], выбор которой зависит от принятого критерия оптимальности оценки Â неизвестного оператора А. Сама
функция [ yt , yˆt ] не зависит от типа оператора, а является лишь
функцией значений выходных переменных объекта и модели (8.8)
в каждый момент времени t. При решении задачи идентификации
по-прежнему минимизируют средний риск, т. е. математическое
ожидание функции
E {[ yt , yˆt ]}  min,
(8.9)
Aˆ
и близость оценки Â к истинному значению оператора А определяют по критерию минимума среднего риска. Условие (8.9) выполняется, если искать некий минимум E {[ yt , yˆt ]} при заданной
реализации случайной функции
E { éêë yt , yˆt us , t; S Î T ùúû }  min,
Aˆ
где Т – область наблюдения случайных функций u(t) и y(t).
Самым распространенным критерием, по которому описывается
оптимальный оператор, в задачах идентификации является критерий
минимума среднего квадрата ошибки оценки оператора А [17, 22].
2
В этом случае за функцию потерь принимают [ yt , yˆt ] = (yt - yˆt ) .
Из условия (8.9) вытекает уравнение, определяющее по критерию
минимума среднего квадрата ошибки оптимальную оценку оператора А:
ˆ (S) = E {y(t) us , t; S Î T} .
(8.10)
yˆ(t) = Au
Уравнение (8.10) дает оптимальный оператор объекта в классе всех возможных операторов по критерию минимума среднего
квадрата ошибки. Этот оптимальный оператор называется оператором условного математического ожидания, или регрессией выходной переменной y(t) относительно входной переменной u(t).
152
Если ограничиться рассмотрением класса линейных моделей,
оптимальный оператор следует искать в классе линейных операторов.
Умножим обе части уравнения (8.10) на входную случайную
функцию
ˆ () u(S) = E {y(t) us , t; S Î T} u()
Au
и найдем математическое ожидание обеих частей:
ˆ () u(S)} = E {Ey(t) u(S) u()}
E { Au
или
ˆ () u(S)} = E {y(t) u()}.
E { Au
В классе линейных операторов при самых общих предположениях оператор математического ожидания E коммутативен с оператором А, вследствие этого уравнение для определения оптимальной оценки оператора А (по критерию минимума среднего квадрата
ошибки) записывают как
E {u() u(S)} = E{y(t) u()}.
(8.11)
Не ограничивая общности, можно предположить, что E {u(t)} = 0
и E {y(t)} = 0. Тогда уравнение (8.11) примет вид
ˆ uu (, S) = Ryu (t, ),
AR
(8.12)
где Ruu(, S) – корреляционная функция случайного сигнала u(t);
Ryu(t, ) – взаимная корреляционная функция случайных процессов y(t), u(t).
Уравнению (8.12) соответствует линейное интегральное уравнение, в котором свойства оператора описываются импульсной характеристикой g(t, S):
T
Ryu (t, ) =
ò
g(t, )Ruu (S, )dS,
(8.13)
t-T
где T – интервал времени наблюдения.
Таким образом, для модели линейного объекта оптимальную
оценку импульсной характеристики по критерию минимума среднего квадрата ошибки определяют из уравнения (8.13). В частном
153
случае, когда случайные функции u(t) и y(t) являются стационарными и стационарно связанными, оптимальную оценку оператора
находят из уравнения
ˆ uu (t - ),
Ryu (t) = AR
а импульсную характеристику стационарной линейной системы –
из интегрального уравнения Фредгольма первого рода
¥
Ryu (t) = ò g()Ruu (t - )d, –¥ < t < ¥ ,
0
или интегрального уравнения Винера–Хопфа
¥
Ryu (t) = ò g()Ruu (t - )d, t ³ 0,
(8.14)
0
что непосредственно следует из уравнения (8.13).
Уместно отметить, что относительная простота класса стационарных в широком смысле линейных моделей послужила основной
причиной их частого использования как в теории, так и в аналоговой практике. Уравнение Винера–Хопфа (8.14) длительное время
служило для решения задач фильтрации, прогнозирования, а также идентификации. Накоплен практический опыт получения его
устойчивого решения [28, 46].
Метод представления объекта с помощью весовой функции
для линейных систем является наиболее общим. Пользуясь этой
характеристикой, легко перейти к другому описанию линейных систем: дифференциальным уравнениям, передаточным функциям,
частотным характеристикам [28].
8.5. Представление задач идентификации моделью
в пространстве состояний
Рассмотрим возможные случаи применения оценки вектора
состояния для определения параметров линейных систем, параметрических корреляционных функций, мощностей спектральных
плотностей, которые являются задачами одного класса. Проблема оценки параметров также часто возникает при необходимости
уточнения модели канала наблюдения. Исследуем случай, когда
параметры являются фиксированными во времени (т. е. случайны154
ми величинами), но методику можно применять и в случае параметров, являющихся функциями времени (случайными процессами). Приводимый далее алгоритм можно использовать в реальном
времени, т. е. независимые параметры можно оценивать одновременно (в ходе процесса).
Пусть x – вектор состояния линейной системы, определяемой соотношением
x = A ⋅ x(t) + G ⋅ çx (t),
где Зx(t) – интенсивность гауссовского шума с равномерным спектром.
Эта величина может быть либо известным естественным источником случайного процесса, применяемым в лаборатории, либо искусственным, который используется для моделирования процесса
в канале. Наблюдаемый сигнал определяется соотношением
y (t) = H ⋅ x(t) + çy (t).
(8.15)
Будем считать, что G и H известны, а А имеет неизвестные элементы, которые должны быть определены вместе с x.
Пусть a – множество неизвестных элементов матрицы А. Тогда
для простейшего случая фиксированных параметров
a = 0.
æaö
Теперь очевидно, что расширенный вектор состояния z = çç ÷÷÷
çè x ø
удовлетворяет дифференциальному уравнению
æ 0 ö÷ æ 0 ö
÷ + ç ÷÷ ç (t).
z (t) = f [z(t) + Gz · çx (t)] = çç
çè Ax (t) ÷÷ø çèç G ø÷ x
Из произведений компонент z и Ax ясно, что процесс z является
негауссовским.
Таким образом, задачу оценки a можно рассматривать как применение нелинейной процедуры идентификации. Если параметры
не являются фиксированными, то необходимо использовать уравнение состояния для марковского вектора состояния. Если имеются
неизвестные компоненты в матрице G, то они могут быть включены
в множество Q, однако в этом случае интенсивность шума зависит
от вектора состояния.
155
8.6. Основные методы решения задачи оценивания
в условиях априорной неопределенности
При решении задачи оценивания неизвестных статистических
характеристик динамических систем сначала налагают ограничения на систему и решают ограниченную задачу, а затем ограничения ослабляют и решают более общую. Цель идентификации может
быть сформулирована как отыскание вероятностного распределения, которым описывается поведение системы.
При решении задачи идентификации обычно полагают, что
первых два момента распределения весьма ограниченно изменяются во времени, а вид распределений состояния, шума состояния и шума измерений заданы заранее. Разработанные методы
сходятся и дают несмещенные оценки моментов. Скорость сходимости и точность оценок уменьшаются при ослаблении ограничений на шум в системе, а сложность алгоритмов полученных оценок
возрастает.
В случаях, когда статистические характеристики рассматривают как неизвестные константы, используют метод максимального
правдоподобия или метод наименьших квадратов для оценивания
только параметров ковариаций.
Отметим, что метод максимального правдоподобия не только
точнее, но и сложнее метода наименьших квадратов.
Классический алгоритм МНК, несмотря на сложность записи,
прост в реализации и не требует априорного установления распределений случайных переменных [30, 31]. Основной недостаток этого
метода заключается в медленной сходимости.
Для стационарных статистических характеристик классический
метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия обычно сходятся. В обоих методах предполагается, что параметры ковариаций постоянны на определенных интервалах времени, вследствие чего для моментов, медленно меняющихся во времени, получают точные оценки.
8.7. Методы исследования эффективности алгоритмов
оценивания. Задачи анализа ИВУС
Все рассмотренные задачи получения алгоритмов оценки носят
название задач синтеза. Найденные в результате синтеза алгоритмы являются достаточно общими, и можно сказать, что они образуют банк алгоритмов пользователя (разработчика) ИВУС. Это опре156
деление становится особенно актуальным при реализации ИВУС
на основе ЦВМ (в том числе и специализированных). Рассуждая
по аналогии с концепцией классической «метрологии», определяющей «паспортизацию» измерительных приборов по точности, требуется «паспортизировать» алгоритмы оценки по обеспечиваемой ими
погрешности. Так как распределения вероятностей случайных величин – единственные и полные характеристики данных величин,
собственная плотность распределения вероятностей оценок P(xˆ )
есть единственная и исчерпывающая характеристика этих оценок.
На практике, однако, аналитическое или экспериментальное определение P(xˆ ) часто связано с непреодолимыми трудностями, поэтому приходится ограничиваться знанием некоторых свойств плотности распределения P(xˆ ), в частности, знанием ее некоторых
числовых характеристик (например, моментов).
Для того чтобы составить представление об эффективности произвольного метода, обычно используют три основных признака
оценивания характеристик P(xˆ ) :
– проверка закона распределения P(xˆ ). Желательно проводить
по нормальному закону распределения;
– определение смещений xs = E[xˆ ] - xs для S = 1,..., s. Желательно отсутствие смещения (xs = 0) при каких бы то ни было
ожидаемых неизвестных величинах xs;
– определение матрицы ковариаций R = (Rss¢ ) оценок xˆs . ЭлеT
é ˆ ù Желаˆ
ˆ
ˆ
менты этой матрицы равны Rss
¢ = ( xs - E[ xs ])( xs¢ - E ë xs¢ û ).
тельно выбирать возможно меньшие значения дисперсий Rss¢ оценок xˆs и при этом обеспечивать состоятельность указанных оценок
при любых возможных неизвестных параметрах x.
Для случайных x рассматриваемые признаки сохраняют значение, однако понятия смещения и ковариации оценок нуждаются
в уточнении в связи со случайностью x. Определяющей по-прежнему
является разность между реализациями случайной оценки и неизвестного x: x̂ - x . Эта разность случайна, поэтому целесообразно
определить ее среднее значение по всем возможным x и З. Если средняя по ансамблю разность x̂ - x равна нулю, то оценку x̂ принято
считать несмещенной. Для того чтобы охарактеризовать разброс
оценки x̂ относительно неизвестного случайного x, найдем матрицу ковариаций R, составленную из элементов:
Rss¢
=
é(xs - x) - (xˆs - xs )ù éê(xs¢ - x) - (xˆs¢ - xs¢ )ùú .
ë
ûë
û
157
При S = S ¢ коэффициенты Rss¢ характеризуют разброс случайных разностей xˆs - xs вокруг их средних или для несмещенных
оценок – разброс xˆs вокруг неизвестных действительных xs . Можно выделить два характерных направления исследования эффективности алгоритмов оценивания – экспериментальное и аналитическое.
При использовании экспериментальных методов анализа попрежнему руководствуются приведенными условиями, однако все
необходимые суждения делаются по достаточно представительным
экспериментальным данным, полученным в результате многократных опытов относительно заведомо известных состояний объекта.
Имея множество реализаций y возможных ожидаемых x и отбирая
подмножество для конкретного x, можно определить множество
оценок x̂ , а в результате выборочного усреднения найти выборочные значения E[ xˆ ] , xs и Rss¢ для этого x. Имея такие значения
для разных ожидаемых x, можно получить представление о зависимости эффективности от неизвестных ожидаемых x. Аналогично поступают при экспериментальном исследовании зависимости
эффективности от других параметров. Возможности подхода,
естественно, сильно ограничены значимостью исходного материала, а также разнообразием условий проведния опытов. Поэтому
экспериментальные оценки эффективности не позволяют составить достаточно полного суждения об особенностях допустимых
условий решений. Представляет интерес применение полунатурных моделей и метода статистических испытаний (метод МонтеКарло).
Для аналитических методов исследования характерно использование приведенных ранее признаков с привлечением аппроксимированных представлений ошибок моделей и шумов. Суждение
о типе закона распределения осуществляется, как правило, на основе двух известных положений теории вероятностей. Первое из
них состоит в том, что всякая линейная комбинация нормально
распределенных случайных величин распределена нормально.
Второе положение представляет собой центральную предельную
теорему, согласно которой закон распределения суммы независимых случайных величин неограниченно приближается к нормальному, если число слагаемых неограниченно возрастает, а влияние
отдельных слагаемых на эту сумму неограниченно уменьшается.
Из этих положений следует, что если последней операцией данной процедуры оценивания является суммирование случайных
слагаемых, полученных на предшествующих этапах, то оценки
158
точно нормальны при нормальных слагаемых или приближенно
нормальны, если слагаемые ненормальны, но их число достаточно
велико.
При определении смещений xs = E[ xˆ ]- xs для неслучайных xs
и коэффициентов ковариации Rss¢ используют аналитическое
выражение оценки xˆs = ˆ s (y) как функции результатов наблюдения y, где ˆ s (⋅) – процедура оценивания. Величину y исключают
с помощью модели (например, y = y (x) + ç ), после чего усреднение,
необходимое для получения E[ xs ] и Rss¢ , осуществляют по реализациям случайной компоненты З.
При усреднении используется понятие числовых характеристик
случайных величин. В результате получаем аналитические зависимости xs и Rss¢ (S = 1,..., s, S ¢ = 1,..., s ¢) от неизвестных модельных значений x, параметров распределения случайной величины З,
от параметров канала наблюдения и алгоритма оценивания.
Смещение xs = E[ xˆ ]- xs и коэффициенты Rss¢ для случайных xs
получают аналогично, однако вследствие того, что усреднение
производится по x и З, величины xs и Rss¢ зависят от параметров распределения случайных средних E[ xˆs ] и матрицы ковариаций Rxx .
Аналитические выражения для xs и Rss¢ можно использовать
при прогнозировании эффективности оценивания любых ожидаемых значений неизвестных параметров объекта, исследовании пороговых условий оценивания данных методом сопоставления
ожидаемых xs и Rss¢ с заранее назначенными предельно допустимыми значениями, определении эффективности данного решения задачи путем подстановки в качестве неизвестных значений
в выражения для xs и Rss¢ найденных значений оценок xˆ, т. е.
при условии, что неизвестные x равны полученным оценкам.
Наконец, эти выражения можно использовать для коррекции
процедуры оценивания путем вариации соответствующих параметров схемы и алгоритма до достижения оптимальных значений xs и Rss¢ .
Заметим, что эти исследования представляют собой специальный и очень важный для практики раздел теории оценивания. Их
можно выполнять на основе ожидаемых модельных представлений,
и поэтому они являются эффективным средством прогнозирования
рациональных условий и возможностей алгоритмов. Следовательно, во многих случаях проведение таких исследований не менее
важно, чем построение алгоритмов оценивания и получение конкретных реализаций оценок неизвестных параметров.
159
8.8. Параметризация модельного представления
канала наблюдения измерительной системы
Для решения всех рассмотренных ранее задач необходимо иметь
в составе информационно-измерительных комплексов датчики первичной информации, аналого-цифровые преобразователи (АЦП),
нормализаторы, масштабирующие усилители. Все эти устройства
образуют канал наблюдения ИИК. На рис. 8.2 представлена обобщенная схема дискретного канала наблюдения цифрового ИИК.
Напомним общую постановку задачи ИИК, конечная цель которой заключается в оценивании вектора состояния x динамической
системы. Достижимая точность зависит в основном от:
– качества данных наблюдений;
– вида используемого алгоритма оценивания;
– степени точности реализации выбранного алгоритма.
Качество данных наблюдений y зависит от матрицы наблюдений
H, а также статистических характеристик шума наблюдений Зy
в уравнении (8.15). Обычно предполагают, что уравнение наблюдений задано точно, т. е. отсутствует неопределенность в величинах
элементов матрицы H. Несмотря на предположение, что существует
неопределенность в величинах элементов матрицы шумов измерений RÇy , фактические величины элементов матрицы RÇy считают
заданными. Практика показывает, что предположение точного знания матрицы наблюдений H не нереалистично, так как из всех матриц только эта матрица «метрологически обеспечена» благодаря
метрологическому обеспечению датчиков.
Следовательно, все датчики первичной информации в модельном
представлении практически могут быть отнесены к классу линейных стационарных динамических систем. При этом, как правило,
x(t)
Датчик
Фильтр
y нижних
частот
Блок
выборки u
и
фиксации
Мультиплексор yk
Синхронизация
Рис. 8.2
160
АЦП
ЦВМ
x(t)
они могут быть описаны дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, например:
y + 20 y + 02 y = xB (t),
(8.16)
где y – выходная переменная;  – степень успокоения; 0 – собственная частота датчика;
xB (t) – частные решения данного неоднородного уравнения.
Общее решение уравнения (8.16) имеет вид
x(t) = Be-0t sin(1t + ç) + xB (t),
(8.17)
где 1 = 0 1 - 2 ; В, З – постоянные величины, определяемые из
начальных условий.
Первое слагаемое в уравнении (8.17) является общим решением
уравнения (8.16) при x = 0 (собственные колебания измерительной
A (t)
= e-t/x ,
системы). Так, если x(t) = aA (t) при a = const и A (t) =
A (0)
имеем
(t) + 20 x (t) + 20 x(t) = ae-t/x ,
x
где  x – характерное время процесса, например, интервал корреляции.
Будем искать решение последнего уравнения в виде
xB (t) = Ke-t/x = A (t).
(8.18)
Тогда, подставив выражение (8.18) в выражение (8.16), получим
1
Если
1
£ 1, то
x 0
2x 20
-
2
a
+1 =
.
2
 x 0
0 K
K = K0 =
a
20
,
где K0 – статическая чувствительность датчика. Если условие не соæ 1 ö÷2
блюдается, но все же ççç
÷÷ £ 1, то
è x 0 ø÷
K=
где ä =
2
.
0
K0
,
1 – ä / x
161
После затухания собственных колебаний
xB (t) =
K0 A (t)x
,
x - ä
или в другой форме,
xB (t) = K0 A (t - t0 ),
где t0 =

x ln x
= ä , так как для датчиков обычно ä £ 0,1 - 0,2.
x - ä
x
В тех случаях, когда характер x(t) и динамические параметры
датчика (0 , 0 ) в совокупности с параметрами ФНЧ на его выходе
(см. рис. 8.2) не позволяют пренебречь собственными колебаниями
в уравнении (8.17), интегральное уравнение необходимо решать тем
или иным способом. Результат решения необходимо искать в виде,
обеспечивающем алгебраическое представление матрицы Н. Рассматривая уравнение (8.16), можно найти способ учета динамических характеристик датчика при расширении вектора состояния
дискретной задачи оценивания.
162
9. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
СИНТЕЗА И АНАЛИЗА СИСТЕМ И КОМПЛЕКСОВ
9.1. Основные понятия
При работе с одномерными динамическими моделями невысокого (до пятого-седьмого) порядка на ПЭВМ в интегрированной среде
MATLAB трудностей обычно не возникает. В случае моделей высокого порядка или многомерных систем получение численного решения может вызвать определенные трудности, так как точность вычисления ограничена длиной мантиссы при представлении чисел
в арифметике с плавающей запятой (точкой).
Для нахождения достаточно точного численного решения необходимо выполнить следующие условия [23, 36]:
1) обеспечить хорошую обусловленность задачи;
2) обеспечить численную устойчивость решения;
3) выполнить высококачественную реализацию алгоритма в арифметике конечной точности.
Введем некоторые формулировки:
– задача считается хорошо обусловленной, если малые изменения исходных данных вызывают малые изменения решения;
– если малые изменения исходных данных вызывают большие
изменения решения, задача классифицируется как плохо обусловленная;
– алгоритм называется численно устойчивым, если полученное
на его основе решение зависит от возмущений не в большей мере,
чем сама задача, т. е. обусловленность алгоритма не хуже обусловленности исходной задачи;
– многие алгоритмы линейной алгебры устойчивы с точки зрения обратного анализа ошибок, т. е. найденное с их помощью решение совпадает с точным решением при малом возмущении первоначальной задачи;
– устойчивый алгоритм не может обеспечить более точного решения, чем это обусловлено исходными данными;
– однако неустойчивый алгоритм может выдать неточное решение даже для хорошо обусловленной исходной задачи.
Большинство инструментальных средств MATLAB использует надежные алгоритмы, однако в некоторых случаях возможно
использование неустойчивых алгоритмов. Неустойчивые алгоритмы можно применять для решения задач с моделями невысокого порядка, и они неприменимы для моделей высокого порядка.
163
Тем не менее такие инструментальные средства используют в силу
ряда причин:
1) они эффективны в моделях низкого порядка, которые описывают значительную долю реальных технических задач;
2) многие инженеры действуют в терминах этих инструментальных средств;
3) в состав алгоритма, как правило, включают альтернативный
и более надежный метод;
4) такие средства часто применяют при обучении.
9.2. Обусловленность вычислительной задачи
Рассмотрим задачу решения системы линейных алгебраических
уравнений:
А · х = b,
где А = [0.7800, 0.5630; 0.9130, 0.6590];
b = [0.2170; 0.2540];
Точное решение этой системы с помощью MATLAB имеет вид
x=
x = A\b,
т. е. А–1 · b
1.0000
–1.0000
Однако при изменении формата ввода результата для учета большего числа значащих цифр получаем
format long g, x
x=
0.999 999 999 890 254
–0.999 999 999 847 955
На основании этого можно сделать вывод: при решении реальных
задач никогда нельзя быть уверенным, что полученное решение является истинным. К тому же эта задача является плохо обусловленной. В этом можно убедиться, если возмутить элементы матрицы A
в третьем десятичном знаке, добавляя матрицу возмущений Е:
Е = [0.0010 0.0010; –0.0020 –0.0010];
Теперь найдем решение возмущенной системы:
(A + E) · x = b
xe = (A + E)\b
xe =
–5.0000
7.3085
164
Таким образом, относительно малые возмущения исходных данных вызвали значительные изменения решения, что свидетельствует о плохой обусловленности данной задачи.
Одним из способов связать погрешность решения с погрешностью задания исходных данных в задаче отыскания решения системы линейных уравнений является введение коэффициента пропорциональности между этими погрешностями
К(А) = ||А|| · ||А–1||,
называемого числом обусловленности по отношению к задаче обращения матрицы.
Число обусловленности характеризует потерю точности, которая возникает из-за погрешностей округления при решении систем
уравнений методом исключения Гаусса. Число обусловленности может быть использовано для оценки точности операций обращения
матрицы и решения линейных уравнений. Это понятие появляется в теории возмущений, когда возмущенное решение (А + Е)–1 · b
сравнивают с истинным решением A–1 · b.
В MATLAB для оценки чисел обусловленности используется
функция cond, которая вычисляет число обусловленности относительно второй нормы. Число cond(А) – это отношение наибольшего
сингулярного числа матрицы А к наименьшему, а значение
log10(cond(A))
определяет число десятичных знаков, которые могут быть потеряны из-за ошибок округления компьютера.
Для рассмотренного примера
log10(cond(A))
ans = 6.3411
Число десятичных знаков, которые могут быть потеряны из-за
ошибок округления, более шести.
Согласно IEEE-стандарту числа удвоенной точности имеют приблизительно 16 десятичных разрядов. Таким образом, если матрица имеет число обусловленности порядка 1010, то можно ожидать,
что результат ее обращения будет точным только в пределах шести разрядов. Если число обусловленности превышает величину
1/sqrt(eps), то выдается предупреждение. Для компьютеров, отвечающих стандарту, машинная точность составляет eps  2,2 · 10–6,
а величина 1/sqrt(eps) = 6,7 · 108.
Другой важный аспект проблемы обусловленности заключается
в том, что невязки являются достоверными индикаторами точности
решения, только если задача хорошо обусловлена.
165
П р и м е р. Вычислим вектор невязки r = A · x – b для двух вариантов решения:
x=
0.999
-1.001
и x=
0.341
.
-0.087
Второе, менее точное, решение даст меньшую невязку, чем первое. Делаем вывод: невязки не являются надежными индикаторами
точности решения для плохо обусловленных задач. Это необходимо
иметь в виду при их решении.
Существует проблема обусловленности матриц по отношению
к задаче на собственные значения. Заметим, что матрица может
быть плохо обусловлена по отношению к задаче обращения, но хорошо обусловлена по отношению к задаче на собственные значения,
и наоборот.
9.3. Численная устойчивость моделей и задач
Обратимся к примеру, который позволит пояснить свойства численной устойчивости и обусловленности. Из литературы известно,
что метод исключения Гаусса без выбора главного элемента при решении системы линейных уравнений А · х = b является численно
неустойчивым.
Пусть
A=
1
0.001
1
, b=
0
1
-1
и все вычисления выполняются в десятичной арифметике с тремя
значащими цифрами. В этом случае точное решение для вектора
х = А–1 · b равно
x=
0.999
.
0.999
Используя первую строку матрицы в качестве ведущей строки,
умножаем ее элементы на 1000 и вычитаем из элементов второй
строки. В результате получаем эквивалентную треугольную систему вида
0.001
-1 õ1
1.000
=
.
0
-1000 õ2
-1000
166
Диагональный элемент матрицы во второй строке должен быть
равен –1001, но из-за округления до трех значащих цифр получается равным –1000. Поэтому из второго уравнения имеем х2 = 1, что
является хорошей аппроксимацией решения, но после подстановки
в первое уравнение
0.001х1 = 1.000 – (1.000)(1.000)
находим х1 = 0.
Полученный ошибочный результат вызван численной неустойчивостью решения задачи при выполнении вычислений с конечной разрядностью, хотя сама задача является хорошо обусловленной.
В MATLAB реализован алгоритм метода исключения Гаусса
с выбором главного элемента.
9.4. Выбор типа моделей
В MATLAB используются три типа lti-моделей:
– SS-модели в пространстве состояний;
– tf-модели в виде передаточных функций;
– zpk-модели в виде нулей, полюсов и коэффициента передачи.
Представление динамической системы в пространстве состояний
(SS-модели) – наиболее надежная по выполнению модель линейной
системы. Это одна из причин популярности современной теории
управления, использующей динамические модели в пространстве
состояний. Однако получение точных результатов не гарантируется
даже для этих моделей из-за ограниченной разрядности машинного слова. Однако если модель хорошо обусловлена, то получаем точный результат.
Модели динамических систем в виде передаточной функции
(tf-модели) широко распространены в практике проектирования
систем регулирования и управления. Однако в вычислительном
отношении они, как правило, плохо обусловлены. Для моделей
порядка более 10 и имеющих большой разброс значений коэффициентов многочленов, возникают проблемы при использовании
функций
roots
conv
bade
step
а также при преобразовании их в SS- или zpk-модели.
167
Назовем основные трудности при работе с tf-моделями (в виде передаточных функций), а следовательно, и вычислений, связанных
с многочленами:
1) высокий порядок и большой разброс значений коэффициентов
многочлена приводит к плохо обусловленным задачам на собственные значения;
2) положение полюсов системы весьма чувствительно к изменению коэффициентов знаменателя передаточной функции;
3) масштабированная присоединенная форма, реализуемая командой SS, предпочтительнее, чем каноническая присоединенная
форма, которая часто приводит к плохо обусловленным задачам,
особенно для моделей высокого порядка.
Необходимость вычисления всех корней многочлена или, что
эквивалентно, полюсов передаточной функции, или собственных
значений матрицы в управляемой или наблюдаемой канонической форме – частная задача теории управления, но в вычислительном отношении это весьма чувствительная к возмущениям
проблема [56].
Третье представление – это zpk-модели, описываемые нулями,
полюсами и коэффициентом передачи. В некоторых применениях (параметры в методе корневого годографа) такое представление
крайне удобно, хотя большинство подходов к расчету систем управления основано на использовании tf- и SS-моделей.
В отличие от tf-представления zpk-представление может оказаться более надежным при выполнении вычислений.
Представление SS-модели из пространства состояний в подкласс
zpk является устойчивой операцией, хотя обработка бесконечных
нулей может иногда привести к сложностям, а кратные корни могут
вызвать значительные вычислительные проблемы.
Общая рекомендация при работе с моделями состоит в том, чтобы избегать неоправданных многократных преобразований моделей, так как некоторые из них являются численно неустойчивыми,
что ведет к потере точности вычислений.
9.5. Масштабирование моделей, представленных
в пространстве состояний
Модель динамической системы в пространстве состояний является наиболее предпочтительной при проведении вычислительных
расчетов. Однако из-за ограничений, связанных с представлением
чисел в арифметике с плавающей точкой, точные результаты не мо168
гут быть гарантированы даже при использовании моделей в пространстве состояний. Основой для получения точного результата
является масштабирование, которое приводит к нормализации соответствующих матриц.
Примером плохо масштабированной матрицы может служить
матрица динамической системы, для которой две составляющие
вектора состояния имеют размерность, например, тысячи километров и микрометров. В этом случае следует ожидать большого
разброса значений элементов матрицы. Такие матрицы часто плохо
обусловлены как относительно операции обращения, так и относительно вычисления собственных значений, поэтому в итоге можно
получить неточные результаты.
Процедуру нормализации четверки матриц {A, B, C, D} выполняют с использованием диагональных масштабирующих матриц Nu,
Nx, Ny, предназначенных для масштабирования входов u, переменных вектора состояния х и выходов у:
u = Nu · un, x = Nx · xn, y = Ny · yn.
Новую нормированную систему описывают четверкой матриц
{An, Bn, Cn, Dn}:
ìï dxn
ïï
= An ⋅ xn + Bn ⋅ un ,
í dt
ïï
îï yn = Cn ⋅ xn + Dn ⋅ un ,
где Аn = Nx–1 · A · Nx; Bn = Nx–1 · B · Nu;
Cn = Ny–1 · C · Nx; Dn = Ny–1 · D · Nu.
Выбор масштабирующих матриц проводят с помощью специальной процедуры нормализации. Один из подходов заключается
в обеспечении максимально возможных значений сигналов по каждому входу, переменным состояниям и каждому выходу в некоторых определенных пределах. Этот подход был впервые применен
при моделировании на аналоговых ЭВМ. Второй подход состоит
в формировании таких масштабирующих матриц, которые обеспечивают близость значений грамианов наблюдаемости и управляемости для преобразованной системы (процедура balreal MATLAB).
В MATLAB входит функция ssbal, которая выполняет масштабирование вектора состояния автоматически. Она минимизирует
норму матрицы
Nx-1 · A · Nx
C · Nx
Nx-1 · B
.
0
169
Масштабирование с помощью диагональной матрицы представляет собой эффективный метод сокращения диапазона изменения
переменных состояния и тем самым улучшения обусловленности
решаемой задачи.
Система MATLAB включает в себя лучшие из известных алгоритмов, связанных с решением матричных задач.
Основные правила, которыми следует руководствоваться при
проектировании и моделировании, можно сформулировать следующим образом:
1) SS-модели являются наиболее надежными при выполнении
вычислений;
2) использование процедур масштабирования повышает точность решения;
3) численные расчеты – это виртуальная задача, но, в принципе,
любая программа при определенных условиях может оказаться неудачной.
170
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Моделирование ИВУС на ПЭВМ – это не формальная процедура,
а экспериментальный поиск. Поэтому можно говорить об искусстве
моделирования так же, как и об искусстве эксперимента.
Существенно упростить общение с компьютером позволяет использование универсальных пакетов прикладных программ и интегрированных сред. В последние годы в научно-технических кругах
мира получила широкое распространение известная еще с начала
1980-х годов интегрированная среда для проведения математических расчетов, проектирования и моделирования – MATLAB (версии 7.х и более поздние).
В настоящее время проблемы построения и исследования математических моделей систем разного назначения и сигналов разнообразной природы занимают одно из видных мест среди проблем современной науки. Проникновение математических методов
в технику, естествознание и гуманитарные науки идет по пути
математического проектирования и моделирования соответствующих объектов, а все более возрастающие возможности вычислительной техники обеспечивают большой успех этому научному
направлению.
Важный аспект построения моделей заключается в том, что
модель должна быть адекватным заменителем реального положения вещей, реальной системы. При этом речь идет не только
об уменьшающем избыточность запоминании информации, но и
о такой семантике модели (величинах, соответствующих реальному объекту и характеризующих его, которые должны согласовываться в ней, например, в виде входных и выходных величин и
состояний), и таком ее синтаксисе (описании отношений между согласованными величинами в виде формул), при которых поведение
данной модели оказывается сравнимым с поведением реального
объекта.
Для множества специалистов, занятых инженерными и научными исследованиями, MATLAB обеспечила интеллектуальную среду
для организации вычислений.
Одним из важных достоинств этой среды является возможность
ее расширения с целью решения новых научно-технических задач.
Это достигается прежде всего созданием целого ряда пакетов расширений, охватывающих все новые и полезные практически направления компьютерных технологий.
171
Не следует обольщаться простотой прочитанного в данном пособии. Вопросам корректности постановки и решения ряда задач проектирования и моделирования, использования того или иного математического аппарата, тех или иных численных методов решения
в настоящее время посвящены многие новые отечественные и зарубежные статьи и работы.
Перечень приведенных литературных источников несколько
шире рамок учебного пособия и предназначен для любознательных
студентов.
172
ЛИТЕРАТУРА
1. Месарович М., Такахара И. Общая теория систем. М.: Мир, 1978. 311 с.
2. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970. 620 с.
3. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974, 464 с.
4. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы.
М.: Мир, 1982. 216 с.
5. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем – искусство и наука. М.: Мир, 1978. 420 с.
6. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966. 156 с.
7. Введение в аэроупругость / С. М. Белоцерковский, Ю. А. Кочетков,
А. А. Красовский и др.. М.: Наука, 1980. 383 с.
8. Статистическая динамика и оптимальное управление летательным аппаратом / А. А. Лебедев, В. Т. Бронников, М. Н. Красильщиков и др.
М.: Машиностроение, 1985. 280 с.
9. Исследование сверхзвуковой аэродинамики самолетов на ЭВМ /
С. М. Белоцерковский, С. А. Попыталов, В. Г. Табачников и др. М.: Наука,
1983. 335 с.
10. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные
системы. М.: Наука, 1985. 559 с.
11. Чуич В. Г., Арсенова Е. Е. Системное проектирование приборных
комплексов ЛА. Л.: ЛИАП, 1983. 80 с.
12. Медич Дж. Статистически оптимальные оценки и управление. М.:
Энергия, 1973. 440 с.
13. Красовский А. А. Системы автоматического управления и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 558 с.
14. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные
методы. В 2 т. М.: Наука, 1976. Т. 1. 312 с. Т. 2. 214 с.
15. Верлань В. Ф., Ефимов Е. И., Латышев А. В. Вычислительные процессы в системах управления и моделирования. Л.: Судостроение. 1981. 256 с.
16. Черемных С. И., Ириков В. А., Мазурик В. П. Диалоговые процедуры
анализа динамических свойств космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1984. 256 с.
17. Автоматизация проектирования систем управления / Под ред.
В. А. Трапезникова. М.: Финансы и статистика, 1981. 206 с.
18. Пакеты прикладных программ. Функциональное исполнение. Новосибирск: Наука, 1985. 142 с.
19. Шастова Г. А., Коскин А. И. Выбор и оптимизация структуры информационных систем. М.: Энергия, 1972. 255 с.
20. Кавалеров Г. И., Мандельштам С. М. Введение в информационную
теорию измерений. М.: Энергия, 1974. 375 с.
21. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов. М.: Советское радио, 1978. 272 с.
173
22. Федотов А. М. Линейные некорректные задачи со случайными
ошибками. Новосибирск: Наука, 1982. 189 с.
23. Петров Ю. П., Петров Л. Ю. Неожиданное в математике и его связь
с авариями и катастрофами. СПб.: СПбГУ, 1999. 108 с.
24. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при не полностью известных возмущающих силах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987.
289 с.
25. Катков М. С. Непрерывные системы адаптивного управления
с идентификаторами. М.: Мир книги, 1992. 386 с.
26. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.
27. Калман Р., Фальб П., Арбиб М. Очерки по математической теории
систем. М.: Мир, 1971. 312 с.
28. Иванов Ю. П. Комплексная фильтрация и классификация сигналов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-ва, 1986. 212 с.
29. Основы статистической теории систем управления / В. С. Пугачев
и др.. М.: Машиностроение, 1984. 367 с.
30. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 632 с.
31. Дисперсионная идентификация / Н. С. Райбман и др. М.: Наука,
1981. 336 с.
32. Карамайкин А. С., Полубояров В. М. Математическое моделирование информационно-управляющих систем. Л.: ЛИАП, 1985. 80 с.
33. Карамайкин А. С., Полубояров В. М., Тарасова И. Л. Информационно-измерительные комплексы. Задачи, структуры, алгоритмы. Л.: ЛИАП,
1986. 86 с.
34. Карамайкин А. С., Мясоедов В. Б. Проектирование систем отображения информации. СПб.: ГААП. 1995. 84 с.
35. Карамайкин А. С. Моделирование процессов и систем. Использование программного обеспечения. СПб.: ГУАП, 2005. 108 с.
36. Control System Toolbox / Под ред. В. Г. Потемкина. М.: ДиалогМИФИ, 1999. 287 с.
37. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование.
Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит, 1997. 320 с.
38. Маковецкий П. В. Смотри в корень. М.: Наука, 1984. 286 с.
39. Сейдж Э., Мелса Дж. Теория оценивания и ее применение
в связи и управлении. М.: Связь, 1976. 496 с.
40. Сейдж Э., Мелса Дж. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. 248 с.
41. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир,
1975. 684 с.
42. Волковский С. А., Оноприенко Е. И., Савинов В. А. Радиоустройства систем управления летательных аппаратов. М.: Машиностроение,
1982. 408 с.
43. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 248 с.
174
44. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1. 406 с. Вып. 2. 196 с.
45. Пешель М. Моделирование сигналов и систем. М.: Мир, 1981. 302 с.
46. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Оптимизация, оценка и управление. М.: Мир, 1972. 544 с.
47. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир,
1986. 416 с.
48. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970. 704 с.
49. Хемминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1968. 400 с.
50. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.
51. Никифоров В. О., Ушаков А. В. Управление в условиях неопределенности. Чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: ГИТМО, 2002.
232 с.
52. Андриевский Б. Р., Козлов Ю. М. Управление в условиях неопределенности. Л.: ЛМИ, 1989. 88 с.
53. Капица П. Л. Эксперимент. Теория. Практика. М.: Наука, 1981. 496 с.
54. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К. Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. 407 с.
55. Современная теория систем управления / Под ред. К. Т. Леондеса.
М.: Наука, 1970. 512 с.
56. Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. 564 с.
57. Андриевский Б. Р., Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб.: Наука,
2001. 286 с.
175
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .......................................................................
1. Методические основы построения моделей функционирования измерительно-вычислительно-управляющих систем летательных аппаратов ...............................................................
1.1. Цели и задачи моделирования ИВУС ............................
1.2. Требования и правила моделирования ..........................
1.3. Методические рекомендации по выбору вида математической модели и способа ее разработки. Классификация
моделей ...................................................................
1.4. Теоретический метод разработки детерминированных
моделей статики и динамики ......................................
1.5. Формальные методы разработки статических моделей ....
1.6. Формализованное представление моделей .....................
3
9
12
14
17
21
22
24
2. Моделирование динамических систем .................................
2.1. Теоретические основы моделирования динамических систем. Понятия состояния и формальной системы...........
2.2. Методы конструирования математических моделей .......
35
44
3. Операционные методы цифрового моделирования стационарных и нестационарных линейных систем ................................
3.1. Моделирование стационарных систем ..........................
3.2. Моделирование нестационарных систем .......................
51
51
53
4. Методические рекомендации по моделированию ИВУС летательных аппаратов. Построение и применение моделей .............
4.1. Моделирование при алгоритмическом исследовании и проектировании ИВУС ЛА ..............................................
4.2. Исходные предпосылки алгоритмического исследования
и проектирования .....................................................
4.3. Методика применения математических моделей для исследования и проектирования ИВУС ЛА ......................
4.4. Математическое моделирование задачи алгоритмического обеспечения ИВУС. Фильтр Калмана .......................
4.5. Линейная оптимальная фильтрация – алгоритмическое
обеспечение информационно-измерительных систем. Метод формирующих фильтров .......................................
4.6. Программное обеспечение фильтра Калмана .................
4.7. Пример синтеза формирующего фильтра ......................
4.8. Пример синтеза законов и структур систем управления и
отображения информации ..........................................
5. Методические рекомендации по синтезу моделей, применяемых при аналитическом конструировании приборных систем ....
5.1. Входные сигналы ......................................................
5.2. Характеристики сигналов и помех ...............................
5.3. Пример формирования модели входного сигнала измерителя системы воздушных сигналов .............................
176
35
55
57
58
63
73
78
92
95
97
101
101
103
104
6. Моделирование специализированных ИВУС ........................
6.1. Особенности использования ЦВМ в задачах синтеза
и анализа .................................................................
6.2. Общие требования к проблемно-ориентированному программному обеспечению вычислительного комплекса ....
6.3. Алгоритм синтеза ......................................................
7. Моделирование ИВУС и комплексов ЛА ..............................
7.1. Методика описания измерительных преобразователей
и структур измерительных систем ...............................
7.2. Методические рекомендации по формализованному (модельному) представлению измерительного процесса.......
7.3. Развитие модели измерительного процесса при системном подходе к синтезу алгоритмов управления ..............
7.4. Методические особенности задачи синтеза оптимальных
операторов и систем ..................................................
8. Обработка информации при решении задач идентификации ...
8.1. Особенности обработки наблюдений в автоматизированных системах научных исследований ...........................
8.2. Постановка задачи алгоритмизации процедуры оценки
как вторичной обработки. Основные характеристики
и классификация методов оценки................................
8.3. Задача оценки состояний реального наблюдаемого объекта ........................................................................
8.4. Постановка задачи обработки наблюдений при определении характеристик динамической системы...................
8.5. Представление задач идентификации моделью в пространстве состояний ..................................................
8.6. Основные методы решения задачи оценивания в условиях априорной неопределенности..................................
8.7. Методы исследования эффективности алгоритмов оценивания. Задачи анализа ИВУС .....................................
8.8. Параметризация модельного представления канала наблюдения измерительной системы...............................
9. Корректность постановки и решения задач синтеза и анализа
систем и комплексов.............................................................
9.1. Основные понятия .....................................................
9.2. Обусловленность вычислительной задачи .....................
9.3. Численная устойчивость моделей и задач......................
9.4. Выбор типа моделей ...................................................
9.5. Масштабирование моделей, представленных в пространстве состояний ..........................................................
113
113
116
117
121
122
126
130
135
140
140
142
147
151
154
156
156
160
163
163
164
166
167
168
Послесловие ........................................................................ 171
Литература ......................................................................... 173
177
Учебное издание
Карамайкин Анатолий Степанович
ИЗМЕРИТЕЛЬНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОУПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ
МОДЕЛИ, СТРУКТУРЫ, МОДЕЛИРОВАНИЕ
Учебное пособие
Редактор А. А. Гранаткина
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 08.11.11. Подписано к печати 03.04.12.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 10,35.
Уч.-изд. л. 11,5. Тираж 100 экз. Заказ № 152.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
178
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 251 Кб
Теги
izm, sistemy, karamajkin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа