close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KazakovKorchevsky

код для вставкиСкачать
???????????? ??????????? ? ????? ?????????? ?????????
??????????? ??????????????? ?????????? ??????????????? ??????????
??????? ????????????????? ???????????
?????-????????????? ??????????????? ???????????
???????????????? ???????????????
???????? ? ?????????????? ????.
??????? ?????????? ??????????.
??????? ? ????????????? ?????????
???????????? ???????? ? ??????????? ?????? ? 3,
??? ????????? 1 ????? ??????? ????? ????????
??????????? ??????????????
?????-?????????
2012
???????????: ?. ?. ???????, ?. ?. ??????????
?????????: ?????? ???.-???. ????, ????????? ?. ?. ?????????
???????????? ???????? ?????????????? ??? ????????? 1
????? ??????? ????? ???????? ??????????? ??????????????.
?????????? ?????? ?????? ? ?????? ???????? ???????,
?????????
??????????????? ??????????? ???????. ???
??????? ???????? ??????? ???????????? ??? ??????? ? ???
??????? ?????????? ???????????? ???????.
? ????????? ????????
?????????? ? ?????? ?. ?. ???????
????????? ? ?????? 28.12.12. ?????? 60 Ч 84 1/16.
?????? ????????. ???. ???. ?. 2,9. ????? 250 ???. ????? ? 682.
???????????­???????????? ????? ????
190000, ?????­?????????, ?. ??????? ??., 67
© ?????­????????????? ???????????????
??????????? ????????????????
??????????????? (????), 2012
.
1
Указания по выполнению контрольных работ
Студент выполняет контрольные работы по варианту, номер которого получается из следующей формулы: следует разделить номер учебного шифра на
20, остаток от деления - номер варианта (если остаток 0, то номер варианта
- 20).
При оформлении и выполнении контрольных работ следует:
1. В начале работы ясно написать фамилию студента, инициалы, номер
студенческого билета, шифр, номер контрольной работы.
2. Контрольная работа выполняется в тетрадке, а не на листах, обязательно чернилами или шариковой ручкой (но не красными) с полями для
замечаний рецензента.
3. Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров,
указанных в контрольных заданиях. Перед решением задачи должно быть
полностью переписано ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует заменить данные задачи конкретными из
своего варианта.
4. Решения задач и пояснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращений слов. Чертежи можно выполнять от руки.
Контрольные работы, выполненные с нарушениями изложенных правил
или выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются
без проверки.
Получив из университета прорецензированную работу, студент должен
исправить в ней все отмеченные ощибки и недочеты. Если работа не зачтена, она должна быть в короткий срок либо выполнена заново целиком, либо
должны быть заново решены задачи, не зачтенные рецензентом. Зачтенные
контрольные работы предъявляют преподавателю на экзамене.
2
Числовые ряды
Пусть {an }, n = 1, 2, 3, ... последовательность действительных чисел.
Определение. Выражение a1 + a2 + . . . + an + . . . обозначают символом
?
?
n=1
1
an
(1)
и называют числовым рядом. При этом элементы последовательности {an }
называют членами ряда. Центральный вопрос данного раздела анализа - вопрос о сходимости ряда, т.е. о смысле выражения (1).
?n
Определение. Сумму Sn = a1 + a2 + ... + an = k=1 ak называют частичной суммой ряда.
Определение. Если последовательность {Sn } частичных сумм ряда
имеет конечный предел, то ряд называют сходящимся.
? При этом предел
limn?? Sn = S называют суммой ряда и записывают ?
n=1 an = S .
Если последовательность {Sn } не имеет предела, или предел бесконечен,
ряд называют расходящимся.
Пример.
Рассмотрим последовательность an = ?n , известный как геометрическая
n+1
прогрессия. Для нее известно: Sn = ???
1?? . Таким образом, если |?| < 1, последовательность Sn имеет конечный предел при n ? ?, Sn ? ?(1 ? ?)?1 . Если
|?| ??1, последовательность Sn не имеет конечного предела, соответственно,
n=?
ряд n=1 ?n сходится при |?| < 1 и расходится при |?| ? 1.
Ранее в курсе анализа обсуждалось понятие предела последовательности
и свойства, которыми обладают сходящиеся последовательности. Как следует
из приведенных выше определений, аналогичными свойствами обладают и
сходящиеся ряды.
??
??
Предложение.
?? Пусть ряды n=1 an , n=1 bn сходятся,
?? ?, ? - два числа.?Тогда ряд ? n=1 (?an + ?bn ) тоже сходится, причем
n=1 (?an + ?bn ) =
?
? ?
n=1 an + ?
n=1 bn .
??Предложение (Необходимый признак сходимости ряда). Если ряд
следует: если limn?? an ?= 0
n=1 an сходится, то limn?? an = 0. (Отсюда
??
или этот предел не существует, то ряд n=1 an расходится).
Заметим, что обратное утверждение,
вообще говоря, неверно. Например,
?? 1
члены гармонического ряда
стремятся
к нулю при n ? ?, но этот
n=1 n
ряд расходится.
Пример. Рассмотрим ряд
?
?
2 + 3n
n=1
1 ? 4n
.
2+3n
В данном случае an = 1?4n
и при n ? ? имеем: an ? ? 34 ?= 0. Следовательно,
по необходимому признаку ряд расходится.
Определение. Ряд называется положительным, если все его члены положительны.
??
??
Предложение. (первый признак сравнения) Пусть n=1 an и n=1 bn два положительных ряда и существует такой номер N ? N, что при любом
n > N имеет место неравенство an 6 bn . Тогда
2
??
??
1) если ряд ?n=1 bn сходится, то сходится и ряд n=1?
an ,
?
?
2) если ряд n=1 an расходится, то расходится и ряд n=1 bn .
??
??
Предложение. (второй признак сравнения) Пусть
n=1 an и
n=1 bn два положительных ряда. Если существует
и
отличен
от
нуля
и
бесконечности
??
??
предел limn?? an /bn , то ряды
n=1 an и
n=1 bn сходятся или расходятся
одновременно.
??
Предложение. (радикальный признак Коши) Пусть
n=1 an положи?
тельный ряд и существует?предел limn?? n an = C . Тогда:
?
1) если C < 1, то ряд ?n=1 an сходится;
?
2) если C > 1, то ряд n=1 an расходится;
??
Предложение. (признак Даламбера) Пусть для ряда n=1 an существуan+1
ет предел limn?? an = C . Тогда справедливы следующие утверждения:
??
1) если C < 1, то ряд ?n=1 an сходится;
?
2) если C > 1, то ряд n=1 an расходится;
Предложение. (интегральный признак Коши) Пусть функция f (x),
определенная
при x > 1 неотрицательна и не возрастает. Тогда для того,
??
чтобы ряд?
n=1 f (n) сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился
?
интеграл 1 f (x)dx.
Определение. Пусть {an } последовательность положительных чисел.
Тогда ряд
a1 ? a2 + a3 ? a4 + . . . + (?1)n?1 an + . . . =
?
?
(?1)n?1 an
n=1
называют знакопеременным. Другими словами, знакопеременным называют
ряд, члены которого поочередно имеют то положительный, то отрицательный
знаки.
Теорема. (Лейбниц)
Если
1) члены знакопеременного ряда монотонно убывают по абсолютной величине, an+1 < an (n = 1, 2, . . .) и
2) limn??
??an = 0,
то ряд n=1 (?1)n?1 an сходится.
??
Пример. Рассмотрим ряд n=1 (?1)n /n. В данном случае an = 1/n, так
что an монотонно убывает, причем limn?? an = 0. Следовательно, по теореме
Лейбница этот ряд сходится.
??
Определение.
Ряд n=1 an называют абсолютно сходящимся, если схо??
дится ряд n=1 |an |.
Предложение. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
3
Обратное, вообще говоря, неверно: существуют сходящиеся ряды, которые не являются абсолютно сходящимися (такие ряды называют условно
?? (?1)n?1
сходящимися). Например, ряд
сходится (по теореме Лейбниn=1
n
ца), однако,
этот ряд не является абсолютно сходящимся, поскольку ряд
?? (?1)n?1 ?? 1
= n=1 n расходится (гармонический ряд).
n=1 n
Примеры.
??
n
1) Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = n2 4
Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Вычисляем:
lim
n??
?
n
2
an = lim ?
=2>1
n
n?? ( n)4
?
(поскольку limn?? n n = 1), следовательно, ряд расходится.
??
2) Исследовать сходимость числового ряда n=2 an , где an = n ln1 n
Решение. Функция 1/(xlnx) положительна при x > 1 и монотонно убывает при x > e, так что можно воспользоваться интегральным признаком.
Получаем:
?
2
?
1
dx =
x ln x
?
2
?
1
d(ln x) = ln ln x|?
lim ln ln x ? ln ln 2 = ?,
2 = x??
ln x
таким образом, интеграл расходится, следовательно, ряд расходится.
3
Последовательности и ряды функций.
Рассмотрим последовательность функций {fn (x)}, n = 1, 2, . . ., определенных на множестве E ? R.
Определение. Последовательность функций {fn (x)} называется сходящейся (поточечно) к функции f на множестве E (обозначается: fn ? f ), если числовая последовательность {fn (x)} сходится к f (x) при каждом x ? E .
Другими словами, для любого x ? E и любого ? > 0 найдется такое N ? N,
что для любого n > N выполнено |fn (x) ? f (x)| < ?. (Здесь число N зависит
от x ? E ).
Определение. Последовательность функций {fn } называется равномерно сходящейся к функции f на множестве E (обозначается: fn ? f ), если
для любого ? > 0 найдется такое N ? N, что для любого n > N и любого
x ? E выполнено |fn (x) ? f (x)| < ?. (В этом определении число N уже не
зависит от x).
4
Предложение. Равномерно сходящаяся последовательность функций
сходится поточечно.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Если у нас есть последовательность функций {fn (x)}, n = 1, 2, . . ., заданных на множестве E ? R, то мы можем построить
новую последовательность
?n
функций {Sn (x)}, n = 1, 2, . . ., Sn (x) = k=1 fk (x), x ? E .
??
Определение. Говорят, что ряд n=1 fn (x) сходится (равномерно сходится) на множестве E , если на множестве E сходится (равномерно сходится)
последовательность {Sn (x)}.
??Функции Sn (x), n ? N называются частичными суммами ряда
n=1 fn (x). Функция
??S(x) такая, что Sn (x) ? S(x) на множестве E называется суммой ряда n=1 fn (x).
??
??Определение. Говорят, что ряд n=1 fn сходится абсолютно, если ряд
n=1 |fn (x)| сходится для любого x ? E .
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
?
?
an (y ? y0 )n ,
y ? R,
y0 ? R.
(2)
n=0
Числа an ? R, n = 0, 1, 2, . . . называются коэффициентами ряда (2). С помощью замены переменного (y ? y0 ) 7? x ряд (2) может быть преобразован к
виду
?
?
an xn .
(3)
n=0
Поэтому мы ограничимся рассмотрением рядов вида (3).
Теорема. (Абель) Если степенной ряд (3) сходится при некотором значении x = x1 , то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях, для
которых |x| < |x1 |. Если степенной ряд расходится при x = x1 , то он расходится и при всех x, для которых |x| > |x1 |.
Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число R ? 0,
что при |x| > R ряд сходится, а при |x| > R ряд расходится.
Число R называется радиусом сходимости ряда. Если интервал сходимости вырождается в точку, то R = 0. Если же ряд всюду сходится, то есть
сходится при любом значении x, то R = ?.
Радиус сходимости R степенного ряда (3) можно определить через его
коэффициенты.
5
Отдельного обсуждения требуют точки x = R, x = ?R: ряд может в них
сходиться или расходиться, в зависимости от поведения коэффициентов ряда.
Таким образом, для степенного ряда интервал сходимости включает отрезок
(?R, R) и, может быть, одну или обе точки x = ?R, x = R.
an+1 an = ?, то радиус сходимо?1
сти ряда (3) равен R = ? . (При этом если ? = 0, то R = +?, если ? = +?,
то R = 0).
?
Теорема. (Коши-Адамар) Если ? = limn?? n |an |, то радиус сходимости
степенного ряда (3) равен R = ??1 . (При этом если ? = 0, то R = +?, если
? = +?, то R = 0).
Теорема. Если существует предел limn?? Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.
В этом разделе мы будем рассматривать функции, представимые в виде
степенного ряда, то есть функции вида
f (x) =
?
?
an (x ? x0 )n ,
an ? R, n = 0, 1, 2, . . . ,
x0 ? R.
(4)
n=0
Такие функции называют аналитическими.
Теорема.
Если функция f (x) представима в виде степенного ряда,
?
f (x) = ?
a
(x
? x0 )n , с радиусом сходимости R > 0, то
n
n=0
1) функция f (x) имеет на интервале (x0 ? R, x0 + R) производные всех
порядков, которые могут быть найдены из ряда (4) почленным дифференцированием:
f (m) (x) =
?
?
n(n ? 1) . . . (n ? m + 1)an (x ? x0 )n?m ,
m = 1, 2, . . . ; (5)
n=m
2) для любого x ? (x0 ? R, x0 + R)
?
x
f (t)dt =
x0
?
?
an
(x ? x0 )n+1 ,
n
+
1
n=0
(6)
таким образом, ряд (4) можно почленно интегрировать на интервале (x0 ?
R, x0 + R);
3) ряды (4), (5) и (6) имеют одинаковые радиусы сходимости.
Теорема. Если функция f (x)
в некоторой окрестности
?раскладывается
?
точки x0 в степенной ряд f (x) = n=0 an (x ? x0 )n , то
6
f (n) (x0 )
,
n = 0, 1, 2, . . . ,
n!
и, следовательно, справедлива формула
an =
f (x) =
?
?
f (n) (x0 )
n!
n=0
(x ? x0 )n .
Определение. Ряд
?
?
f (n) (x0 )
n!
n=0
(x ? x0 )n
(7)
называют рядом Тейлора функции f в точке x0 . При x0 = 0 ряд (7) называют
рядом Маклорена функции f .
Пусть функция f имеет в точке x0 производные до порядка n включительно. Тогда можно записать
f (x) =
n
?
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x ? x0 )k + rn (x0 ; x).
(8)
Формула (8) называется формулой Тейлора. Функция rn (x0 ; x) называется
n-м остаточным членом формулы Тейлора.
Предложение. Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема в
некоторой окрестности точки x0 . Для того, чтобы функция f равнялась сум?? f (n) (x )
ме своего ряда Тейлора в некоторой точке x, то есть f (x) = n=0 n! 0 (x ?
x0 )n , необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора (8)
стремился к нулю при n ? ?: limn?? rn (x0 ; x) = 0.
Теорема. Если функция f (x) имеет производную порядка n + 1 на интервале (x0 ? h, x0 + h), h > 0, то остаточный член rn (x0 ; x) ее формулы
Тейлора (8) для всех x ? (x0 ? h, x0 + h) можно записать в виде:
f (n+1) (x0 + ?(x ? x0 ))
(x ? x0 )n+1 ,
(9)
(n + 1)!
где 0 < ? < 1. Формула (9) называется остаточным членом в форме Лагранжа.
rn (x0 ; x) =
Пример.
??
Найти интервал сходимости степенного ряда n=1 an xn , где an =
Решение. Воспользуемся теоремой Коши-Адамара:
? = lim
n??
?
n
?
|an | = lim
n??
7
n
ln n
= 1,
n
ln n
n
??
следовательно, R = ?1 = 1. При x = ?1 получаем ряд n=1 (?1)n lnnn , который
??
сходится (по теореме Лейбница). При x = 1 получаем ряд n=1 lnnn , который
расходится. Таким образом, интервал сходимости нашего ряда [?1, 1).
Ряды Фурье.
Определение. Ряды вида
n?x )
a0 ? (
n?x
+
an cos
+ bn sin
,
2
l
l
n=1
?
an ? R, n = 0, 1, 2, . . . ,
l > 0,
(10)
bn ? R, n = 1, 2, . . .
называют тригонометрическими рядами. Числа an , bn называют коэффициентами тригонометрического ряда (10).
Определение. Система функций
?x
?x
n?x
n?x
1
, cos , sin , . . . , cos
, sin
,...,
l>0
2
l
l
l
l
называется основной тригонометрической системой на интервале (?l, l).
Определение. Пусть функция f задана на интервале (?l, l). Числа
?
?
1 l
1 l
n?x
f (x)dx,
an =
f (x) cos
a0 =
dx,
(11)
l ?l
l ?l
l
?
1 l
n?x
bn =
f (x) sin
dx,
n = 1, 2, . . .
l ?l
l
называются коэффициентами Фурье функции f (x) по основной тригонометрической системе.
Замечание. Чаще всего в приложениях используют вариант, когда l =
? . При этом и формулы (11) становятся несколько проще:
1
a0 =
?
?
?
f (x)dx,
??
1
bn =
?
?
1
an =
?
?
?
f (x) cos(nx)dx,
??
(12)
?
f (x) sin(nx)dx,
n = 1, 2, . . .
??
Определение. Тригонометрический ряд (10), коэффициенты которого
определяются по формулам (11), называется рядом Фурье функции f (x).
Определение. Говорят, что функция f (x), заданная на интервале (?l, l),
удовлетворяет условиям Дирихле, если она
1) ограничена на этом интервале;
8
2) имеет на этом интервале не более, чем конечное число точек разрыва
первого рода;
3) имеет на этом интервале не более, чем конечное число точек экстремума.
Теорема. Если на интервале (?l, l) функция f удовлетворяет условиям
Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого интервала. Сумма
этого ряда равна
1) f (x), если x точка непрерывности функции f ;
2) 12 [f (x ? 0) + f (x + 0)], если x точка разрыва функции f ;
3) 12 [f (?l + 0) + f (l ? 0)] на концах этого интервала.
Теорема. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [?l, l] и имеет на
этом отрезке не более, чем конечное число точек экстремума. Если выполнено
равенство f (?l) = f (l), то ряд Фурье функции f сходится равномерно на
этом отрезке, и сумма его в произвольной точке x ? [?l, l] равна значению
функции f в этой точке.
Замечание. Из определений следует, что если f (x) четная функция,
то ее ряд Фурье имеет вид
?
a0 ?
n?x
+
an cos
.
2
l
n=1
Ряд Фурье нечетной функции имеет вид
?
?
bn sin
n=1
n?x
.
l
Определение. Число T > 0 называют периодом функции f , если для любого числа x, принадлежащего области определения E ? R функции f , числа
x + T и x ? T также принадлежат E и для любого x ? E выполнено условие
f (x + T ) = f (x). Функция, имеющая период T , называется T -периодической.
Если функция f определена на промежутке [?l, l) то ее можно продолжить на всю числовую ось так, чтобы получилась 2l-периодическая функция.
Следует положить
g(x + 2lk) = f (x),
x ? [?l, l),
k = 0, ±1, ±2, . . . .
Функция g , очевидно, 2l-периодическая и на промежутке [?l, l) совпадает с
функцией f . Поэтому функции f и g , рассматриваемые только на интервале
(?l, l) имеют один и тот же ряд Фурье.
Замечание. Если функция f является T -периодической, интегрируемой
на отрезке [0, T ] (в собственном или несобственном смысле), то для любого
числа a имеет место равенство
9
?
?
a+T
f (x)dx =
a
T
f (x)dx.
0
Таким образом, для коэффициентов Фурье 2l-периодической функции, удовлетворяющей на интервале (?l, l) условиям Дирихле, справедливы формулы
1
a0 =
l
?
2l
1
an =
l
?
2l
n?x
f (x) cos
dx,
l
0
? 2l
1
n?x
bn =
f (x) sin
dx,
l 0
l
f (x)dx,
0
n = 1, 2, . . . (13)
Теорема. Если f (x) 2l-периодическая функция и на интервале (?l, l)
удовлетворяет условиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке
x ? R. Сумма этого ряда равна
1) f (x), если x точка непрерывности функции f ;
2) 12 [f (x ? 0) + f (x + 0)], если x точка разрыва функции f .
Пример.
Разложить функцию f (x) = x2 в ряд Фурье на интервале (??, ?).
Решение. Продолжим функцию f на всю числовую ось так, чтобы получилась 2? -периодическая функция. Положим
g(x + 2?k) = f (x),
x ? (??, ?),
k = 0, ±1, ±2, . . . ,
k = 0, ±1, ±2, . . . .
g((2k + 1)?) = 0,
На интервале (??, ?) функции f и g имеют один и тот же ряд Фурье. Найдем
коэффициенты этого ряда:
a0 =
an =
1
?
?
?
x2 cos nxdx =
??
1
?
1
?
?
?
x2 dx =
??
2? 2
,
3
(
)?
2
2
4
sin nx
x2
+ 2 x cos nx ? 3 sin nx = 2 (?1)n .
n
n
n
n
??
Поскольку функция g четная, коэффициенты bn равны нулю. Таким образом, на интервале (??, ?)
?
?
?2
(?1)n
+4
cos nx.
x =
3
n2
n=1
2
10
Контрольная работа.
Пример 1.
Исследовать сходимость числового ряда
ра:
??
n=1 an ,
где an =
n!
(n+1)!2n
Решение. Это положительный ряд, воспользуемся признаком Даламбе-
an+1
(n + 1)!/((n + 2)!2n+1 )
(n + 1)2
1
= lim
=
lim
= < 1,
n?? an
n??
n?? n(n + 2)2
n!/((n + 1)!2n )
2
lim
следовательно, ряд сходится.
Пример 2.
Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
где an =
(4n+3)n
(5n+2)n
Решение. Это положительный ряд, воспользуемся радикальным при-
знаком Коши:
lim
n??
?
n
an = lim
следовательно, ряд сходится.
n??
4n + 3 4
= < 1,
5n + 2 5
Пример 3.
??
2
+8
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = 3nn4 +n+1
Решение. Это положительный ряд. Воспользуемся признаком?
сравне?
ния. Сравним данный ряд с положительным рядом (сходящимся)
n=1 bn ,
1
где bn = n2 .
an
(n2 + 8)/(3n4 + n + 1)
n4 + 8n2
1
= lim
=
= .
n?? bn
n??
1/n2
3n4 + n + 1 3
??
Данный предел конечен и отличен от нуля, следовательно, ряды
n=1 an и
?
?
b
ведут
себя
одинаково.
Значит,
исследуемый
ряд
сходится.
n=1 n
lim
Пример 4.
Найти интервал сходимости степенного ряда
??
n
n=1 an x ,
где an =
1
n 10n?1
Решение.
n?1
an+1 1
= lim n 10
= ,
? = lim n?? an n?? (n + 1) 10n
10
??
1
следовательно, R = ? = 10. При x = ?10 получаем ряд n=1 (?1)n 10
, кото?? n
рый сходится (по теореме Лейбница). При x = 10 получаем ряд n=1 10
n , который расходится. Таким образом, интервал сходимости нашего ряда [?10, 10).
11
Пример 5.
? 0.2
?x
Вычислить определенный интеграл I = 0.1 ex3 dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001.
Решение. Разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав его почленно, получим
)
? 0.2 (
n
x2
e?x
1
nx
+
.
.
.
+
(?1)
+
.
.
.
dx =
dx
=
1
?
x
+
3
3
2
n!
0.1 x
0.1 x
(
)
? 0.2
n?3
1
1
1
1
x
nx
=
?
+
?
+
+
.
.
.
+
(?1)
+ . . . dx =
x3 x2 2x 6 24
n!
0.1
(
)0.2
1
1 1
x
xn?2
= ? 2 + + ln x ? + . . . + (?1)n
+ . . . ;
2x
x 2
6
(n ? 2)n!
0.1
?
I=
(
?
? 2x1 2
0.2
0.2n?2 ?0.1n?2
<
(n?2)n!
)
1
1
x 0.2
x + 2 ln x ? 6 0.1 ?
0.001 при n
<
+
4. Следовательно, I
=
?
32.831.
Пример 6.
Разложить функцию f (x) = x2 в ряд Фурье на интервале (0, 2?).
Решение. Продолжим функцию f на всю числовую ось так, чтобы получилась 2? -периодическая функция. Положим
x ? (0, 2?),
g(x + 2?k) = f (x),
k = 0, ±1, ±2, . . . ,
k = 0, ±1, ±2, . . . .
g(2?k) = 0,
На интервале (0, 2?) функции f и g имеют один и тот же ряд Фурье. Найдем
коэффициенты этого ряда:
1
a0 =
?
1
an =
?
1
bn =
?
?
?
2?
1
x cos nxdx =
?
2
0
2?
1
x sin nxdx =
?
2
0
?
2?
x2 dx =
0
8? 2
,
3
(
)2?
2
2
4
2 sin nx
x
+ 2 x cos nx ? 3 sin nx = 2 ,
n
n
n
n
0
(
)2?
2
2
4?
2 cos nx
?x
+ 2 x sin nx + 3 cos nx = ? .
n
n
n
n
0
Таким образом, на интервале (0, 2?)
12
)
? (
?
4? 2
1
?
x =
+4
cos nx ? sin nx .
3
n2
n
n=1
2
Контрольная работа 3.
Вариант 1
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(n+6)5n
(2n2 +2n+3)3n .
(4n?1)3n
(5n+1)3n .
3n2 +n
2n2 +1 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
(n+1)n/3
.
n!
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
2
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = e?x /3 ; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = x?1;
a = ?1; b = 1.
Вариант 2
2.
3.
4.
??
2n2 +5
n=1 an , где an = (2n2 +n)4n .
??
(3n2 ?2n+3)n
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = (2n3 +2n?3)n .
??
n+7
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = n4 +2n+1
.
??
2n
Найти интервал сходимости степенного ряда n=1 an xn , где an = n(n+1)
.
?b
Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной по-
1. Исследовать сходимость числового ряда
5.
грешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x ln(1 + x2 ); b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = 2+|x|;
a = ?1; b = 1.
Вариант 3
2.
3.
4.
??
(2n+4)3n
n=1 an , где an = (n2 +8)5n .
??
(5n2 +2n+7)2n
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = (7n+5)2n .
??
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = 3n3n+5
3 +n+3 .
??
(2n)!
n
Найти интервал сходимости степенного ряда n=1 an x , где an = nn .
?b
Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной по-
1. Исследовать сходимость числового ряда
5.
грешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
2
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = sinx2x ; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = |x|;
a = ?? ; b = ? .
Вариант 4
1. Исследовать сходимость числового ряда
13
??
n=1 an ,
где an =
3n (n+1)!n!
(2n)! .
3.
4.
??
(n2 ?n+5)n
n=1 an , где an = (2n+1)n .
??
n3 +2n2 ?2n+3
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = 4n
3 ?2n2 +3n+2 .
??
3n n!
n
Найти интервал сходимости степенного ряда n=1 an x , где an = (n+1)
n.
?b
Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной по-
2. Исследовать сходимость числового ряда
5.
грешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = arctan(x2 ); b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = x2 +1;
a = ?2; b = 2.
Вариант 5
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(3n?2)5n
(2n3 +1)2n .
(2n2 +n?1)n
(n2 ?n+1)n .
2n2 ?3n+4
n5 +2 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
n
.
n
3 (n+1)
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x sin(x2 ); b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = |1?x|;
a = ?2; b = 2.
Вариант 6
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
?n=1
?
an , где an =
n=1 an ,
??
где an =
2n
n4 +n+1 .
(5n+6)3n
(4n?1)3n .
2n2 +n?1
3n2 ?n+1 .
3. Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an =
??
4. Найти интервал сходимости степенного ряда n=1 an xn , где an =
?b
5n
.
n1/n
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x2 ln(1 + x1/2 ); b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = x +1;
a = ?? ; b = ? .
Вариант 7
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
где an =
n=1 an ,
где an =
??
??
(2n?1)!
(n+1)!(n+2)! .
(5n?1)n
(4n+2)n .
2n2 +5n?2
8n+1 .
3. Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an =
??
4. Найти интервал сходимости степенного ряда n=1 an xn , где an = (1 +
1 n
n) .
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
14
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = sin(x2 ); b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = ?/4?
x/2; a = 0; b = ? .
Вариант 8
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(n+2)6n
(n3 +1)4n .
(2n3 ?2n?3)n
(3n2 +5n+1)n .
5n2 +2n+3
n3 +4 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
n+1
.
3n (n+2)
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную
функцию в степенной
?
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = 1 + x2 ; b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = (? ?
x)/2; a = ?? ; b = ? .
Вариант 9
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(2n2 +7n)4n
(n+1)3n .
(5n+7)2n
(3n2 +7n+5)2n .
5n2 +6
4n2 +1 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
3n
.
(3n (3n?1))1/2
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x1/2 cos x; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b).
{
f (x) =
0, ?? 6 x 6 0
x, 0 6 x 6 ?
a = ?? ; b = ? .
Вариант 10
2.
3.
4.
??
(n+3)!(n+4)!
.
n=1 an , где an =
(2n)!
??
(2n+10)n
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = (n2 +n+7)n .
??
2n2 +1
Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = 4n
4 +n .
??
n+2
n
Найти интервал сходимости степенного ряда n=1 an x , где an = n(n+1)
.
?b
Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной по-
1. Исследовать сходимость числового ряда
5.
грешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = xe?x ; b = 0.5.
15
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b).
{
f (x) =
2, ?? 6 x 6 0
1, 0 6 x 6 ?
a = ?? ; b = ? .
Вариант 11
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
an ,
?n=1
?
n=1 an ,
где an =
где an =
(5n+2)4n
(n3 +1)6n .
(n2 +n?6)n
(5n2 +n+2)n .
n?1
2n4 +2n2 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
n+2
.
3
n
(3n +n)2
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x1/3 cos x; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = ??x
2 ;
a = 0; b = 2? .
Вариант 12
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
an ,
?n=1
?
n=1 an ,
где an =
где an =
(n2 +2n)3n
(n2 +n+3)4n .
(5n?3)2n
(3n+2)2n .
2n+3
n3 +4n2 +2n .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
2n+3
(n2 +3)3n .
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
x
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = arcsin
x ; b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = 2x;
a = ?? ; b = ? .
Вариант 13
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(2n)!
(n!)2 .
(3n2 +1)n
(2n+7)2n .
3n2 +5n+3
2n2 ?n+5 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
n+1
.
(n2 +2)2n
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = cos x2 ; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = 2x;
a = 0; b = 2? .
16
Вариант 14
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
an ,
?n=1
?
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(2n2 ?n+2)4n
4n3 ?2n+3 .
(n+2)2n
(3n2 ?1)n .
n2 ?2n+3
2n2 +n+2 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
(n2 +4n)4n
2n+5 .
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
x
; b = 0.5.
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = arctan
x
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = 2x;
a = ?2; b = 2.
Вариант 15
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
an ,
?n=1
?
n=1 an ,
где an =
где an =
(n?1)2n
(n2 +1)3n .
(4n2 +2n?7)2n
(6n+5)2n .
n+2
n3 +2n+2 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
(n2 ?3)4n
3n2 +n .
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x cos x2 ; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = |x|;
a = ?2; b = 2.
Вариант 16
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(2n+1)!
n!(n+2)! .
(n2 +n?5)n
(n+7)n .
3n2 +n+6
3n+7 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
(n2 +3)3n
.
3
2
n +4n
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ln(1+x)
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x ; b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = |x+1|;
a = ?? ; b = ? .
Вариант 17
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
3. Исследовать сходимость числового ряда
17
??
an ,
?n=1
?
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
где an =
(2n2 +5n)3n
.
n3 +8
(4n2 +3n?1)n
(n2 +n+1)n .
n2 +4n+3
2n3 +n2 .
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
(n+5)3n
4n2 +n .
??
n
n=1 an x ,
где an =
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ln(1+x2 )
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x2 ; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = ? +x;
a = ?? ; b = ? .
Вариант 18
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
(n2 +3n+5)5n
(n+2)4n .
(3n+4)2n
(5n+6)2n .
2n2 +3n+4
n2 +4n .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
(n+1)4n
.
n4 +3n2
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
2
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = xe?x ; b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b).
{
f (x) =
?2x, ?? 6 x 6 0
0,
06x6?
a = ?? ; b = ? .
Вариант 19
1. Исследовать сходимость числового ряда
2. Исследовать сходимость числового ряда
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
??
n=1 an ,
где an =
где an =
n!(n?1)!
(2n+2)! .
(5n2 +2)n
(4n+2)2n .
n2 ?6
n4 +6 .
3. Исследовать сходимость числового ряда
где a =
?? n n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
(n+1)4n
.
3
2n +4n
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
x
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = ln cos
x2 ; b = 1.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b).
{
f (x) =
1, ?? 6 x 6 0
3, 0 6 x 6 ?
a = ?? ; b = ? .
Вариант 20
1. Исследовать сходимость числового ряда
18
??
n=1 an ,
где an =
3n2 +7n
(n+3)3n .
??
(n+4)2n
an , где an = (4n
2 +1)n .
?n=1
?
3. Исследовать сходимость числового ряда n=1 an , где an = 3n2n+1
4 +n3 .
??
n
4. Найти интервал сходимости степенного ряда
n=1 an x , где an =
(n+4)2n
(2n2 +3)5n .
?b
5. Вычислить определенный интеграл I = 0 f (x)dx с абсолютной погрешностью ? = 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной
ряд и проинтегрировав его почленно. f (x) = x ln(1 + x1/3 ); b = 0.5.
6. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на интервале (a, b). f (x) = |x?1|;
a = 0; b = 2? .
2. Исследовать сходимость числового ряда
4
4.1
Функции нескольких переменных
Начальные определения
Здесь будут обсуждаться функции двух переменных - обобщения приводимых результатов на случай трех и больше переменных могут быть найдены в более продвинутых руководствах. На плоскости стандартным образом
вводится декартова система координат - две ортогональные друг другу оси,
одна из которых традиционно обозначается X, вторая Y. Координаты точки
M обозначаются, соответственно, x и y, см. рис.1. Точку на плоскости мы
Рис. 1: Декартовы координаты на плоскости.
будем обозначать или M или (x,y) или M(x,y).
? Для задания расстояния между точками M и N используется ?(M, N ) = (xM ? xN )2 + (yM ? yN )2 . Для
19
фиксированной точки N множество точек M , удовлетворяющих неравенству
?(M, N ) < r называют (открытым) шаром радиуса r с центром в точке N .
Кривую y = f (x) (или x = g(y) ) будем называть гладкой, если соответствующая функция f (x) (или g(y)) дифференцируема (необходимое число раз) во
всей области определения. Областью ? на плоскости мы будем называть множество точек на плоскости, ограниченное конечным набором гладких кривых
(на рис. 2 область ограничена 3 кривыми). Границей области ? мы будем
называть совокупность кривых, ее ограничивающих, обычно ее обозначают
??. Область называется замкнутой, если она содержит ограничивающие ее
кривые. Область называется открытой, если вместе с любой своей точкой
N она содержит и некоторый шар с центром в этой точке (отсюда следует,
что она не содержит ограничивающие ее кривые). Такой шар с центром в
точке N называют окрестностью точки N . Область называется ограниченной, если существует такая конечная положительная константа A, что
для всех ее точек M выполняется неравенство ?(M, O) < A, O = (0, 0). Если
вместе с точкой в область входит и некоторый шар с центром в этой точке,
она называется внутренней точкой области (точка M на рис.2). Если точка принадлежит области, и никакой шар с центром в этой точке, не входит в
область, точку называют граничной ( и она принадлежит границе области
??, точка N на рис.2).
Рис. 2: Область на плоскости.
Способы задания функции .
Если каким-либо способом каждой точке M ? ?, M = (x, y), сопоставлено число z , то говорят, что в области ? задана числовая функция z = f (x, y).
Этот способ может быть словесным описанием, явным аналитическим опи20
санием, например, f (x, y) = sin(x + 2y) или неявным - как решение какогонибудь уравнения, например, sinz + x2 ? y 2 = 0. Обычно при этом подразумевается и какое-либо описание области определения функции - например,
множество точек плоскости, для которых допустимы операции, необходимые
для вычисления значения функции. Если M = (x, y), то можно для краткости вместо f (x, y) использовать обозначение f (M ).
Предел функции .
Будем сначала считать, что M0 - внутренняя точка области ?.
Определение. Говорят, что функция f (x, y) имеет в точке M0 пределом
конечное число A, если для любого конечного ? > 0 найдется такое ? > 0,
то для всех точек M , удовлетворяющих условию ?(M, M0 ) < ? справедливо
неравенство | f (M ) ? f (M0 ) |< ?.
Обозначение.
Этот
факт
обозначают
следующим
образом:
limM ??M0 f (M ) = A или limx??x0 ,y??y0 f (M ) = A.
Это определение можно переделать и в том случае, когда точка M0 - граничная точка области, для этого достаточно рассматривать только те точки
M , которые принадлежат области ?.
Определение. Говорят, что функция f (x, y) имеет в точке M0 ? ?? пределом конечное число A, если для любого конечного ? > 0 найдется такое
? > 0, то для всех точек M ? ?, удовлетворяющих условию ?(M, M0 ) < ?
справедливо неравенство | f (M ) ? f (M0 ) |< ?.
Обозначение.
Этот
факт
обозначают
следующим
образом:
limM ?M0 ,M ?? f (M ) = A.
Как и для функции одной переменной можно определить и бесконечный
предел (A = ?), а также определить предел (конечный или бесконечный) и
в бесконечно удаленной точке M .
Разумеется, если limx?x0 ,y?y0 f (M ) = A, то limx?x0 f (x, y0 ) =
A,limy?y0 f (x0 , y) = A, однако обратное неверно: из существования и равенства двух последних пределов НЕ СЛЕДУЕТ существование предела limx?x0 ,y?y0 f (M ) и его равенство A. Стандартный пример: f (x, y) =
xy
x2 +y 2 в точке O = (0, 0): существуют и равны пределы limx?0 f (x, 0) =
0,limy?0 f (0, y) = 0, однако если мы будем приближаться к точке O по пря?
мой x = ?y , мы получим значение 1+?
2 , зависящее от ? . Это показывает, что
данная функция при M ? O не имеет предела.
Непрерывные функции.
Пусть M0 - внутренняя точка области ?.
Определение. Функцию f (x, y) называют непрерывной в точке M0 , если
существует конечный предел limM ??M0 f (M ) = A, причем A = f (M0 ).
Аналогично определяют и непрерывность в граничной точке.
Определение. Функцию f (x, y) называют непрерывной в области ?, если
она непрерывна в каждой точке этой области.
21
Для непрерывных функций нескольких переменных справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть ? - ограниченная замкнутая область, f (x, y) - функция,
непрерывная в области ?. Тогда существует пара конечных чисел m ? M со
следующими свойствами:
1. m ? f (x, y) ? M для всех (x, y) ? ?.
2. Для любого значения c, m ? c ? M найдется точка N ? ? такая, что
f (N ) = c.
Число m называется наименьшим значением f (x, y) в области ? (глобальным минимумом). Число M называется наибольшим значением f (x, y)
в области ? (глобальным максимумом).
4.2
Дифференциальные свойства
Частные производные
Определение. Если существует предел
f (x0 + ?x, y0 ) ? f (x0 , y0 )
,
?x?0
?x
lim
он называется частной производной функции f (x, y) по x в точке (x0 , y0 )
и обозначается ?f
?x (x0 , y0 ) или fx (x0 , y0 ). Можно сказать, что при дифференцировании по x мы "замораживаем"переменную y и наоборот. Аналогично
определяется и частная производная по y , ?f
?y (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ). Если в точке (x0 , y0 ) существуют обе первые производные функции f (x, y), то говорят,
что эта функция дифференцируема в этой точке. При вычислении частных
производных справедливы те же формулы, что и при дифференцировании
одной переменной, для дифференцирования суммы, произведения, частного.
Пример. Вычислим частные производные первого порядка для функции
f (x, y) = cos(x2 y + 5y). Согласно правилам дифференцирования имеем:
?f
= ?2xy sin(x2 y + 5y),
?x
?f
= ?(x2 + 5) sin(x2 y + 5y).
?y
Как и для функции одной переменной, справедливо следующее
Утверждение. Пусть L ? ? - некоторая окрестность точки (x0 , y0 ) =
N , и функция f (x, y) имеет во всех точках L обе частные производные (т.е.
fx (x, y), fy (x, y)) и их значения в этой области ограничены, существует такая
конечная константа A, что |fx (x, y)| < A, |fy (x, y)| < A при (x, y) ? L. Тогда
функция f (x, y) непрерывна в точке N .
Дифференцирование сложной функции.
22
Рассмотрим сначала следующую ситуацию: пусть задана функция z =
f (x, y), дифференцируемая во всех интересующих нас точках, причем x =
x(t, s), y = y(t, s) - сами являются дифференцируемыми функциями независимых переменных t, s. Таким образом возникает сложная функция z(t, s) =
f (x(t, s), y(t, s)). Для ее частных производных по t и s имеем:
?f
?f ?x ?f ?y
=
·
+
· ,
?t
?x ?t
?y ?t
?f ?x ?f ?y
?f
=
·
+
· .
?s
?x ?s ?y ?s
Сложную функцию можно организовать и другим способом: переменные x, y могут быть функциями одной переменной t, так что z = z(t) =
f (x(t), y(t)). В этом случае z является функцией одной переменной t и мы
имеем частный случай предыдущей формулы:
df
?f dx ?f dy
=
·
+
· .
dt
?x dt
?y dt
Первый дифференциал
Для функции z = f (x, y) можно, как и для функции одной переменной,
?z
?z
определить первый дифференциал dz = ?x
dx+ ?y
dy , это выражение (его обозначают также df ) называется первым полным дифференциалом, в отличие
?z
?z
от выражений ?x
dx и ?y
dy , которые называются первыми частными дифференциалами функции z = f (x, y). Первый полный дифференциал связан
с полным приращением функции при изменении ее аргументов. Рассмотрим
эту связь поподробнее. Запишем полное приращение функции при изменении
значений аргументов с (x0 , y0 ) на (x0 +?x, y0 +?y), предполагая, что частные
производные функции f (x, y) существуют и непрерывны в интересующих нас
точках:
?f = f (x0 + ?x, y0 + ?y) ? f (x0 , y0 ) = [fx (x0 , y0 + ?y) + ?(?x)] ?x+
+ [fy (x0 , y0 ) + ?(?y)] ?y = fx (x0 , y0 )]?x+fy (x0 , y0 )?y+?(?x, ?y) = dz+?(?x, ?y),
?(?x,?y)
?(?x,?y)
причем
? 0,
? 0 при ?x ? 0 и ?y ? 0. Таким образом,
?x
?y
при достаточно малых ?x, ?y можно полагать: ?f ? df . Это соотношение
является базовым при реализации приближенных вычислений - правую часть
довольно часто намного легче вычислить, чем левую.
Первый полный дифференциал обладает инвариантностью : при вычислении его значения не играет роль, являются ли аргументы функции f (x, y)
независимыми переменными или, в свою очередь, являются функциями других переменных (обозначим их t, s).
23
Частные производные неявной функции
Функция двух аргументов z = f (x, y) может быть задана неявным образом, например, как решение уравнения F (x, y, z) = 0. Возникает вопрос: как
в этом случае вычислить ее частные производные? Выпишем сначала первый
полный дифференциал F (x, y, z) в предположении, что F = 0. В этом случае,
очевидно, dF = 0 и мы получаем:
?F
?F
?F
dx +
dy +
dz = 0,
?x
?y
?z
откуда следует:
dz = ?
?F
?x dx
+
?F
?z
?F
?y dy
.
Вспоминая выражение для первого полного дифференциала (на этот раз для
функции z = f (x, y)), получаем:
?F
?z
?x
= ? ?F
|F (x,y,z)=0 ,
?x
?z
?F
?z
?y
= ? ?F |F (x,y,z)=0 .
?y
?z
Выражение |F (x,y,z)=0 означает, что надо подставить в эти формулы вместо z
решение уравнения F (x, y, z) = 0 относительно этой переменной.
Градиент и производная по направлению Пусть M0 = (x0 , y0 ) внутренняя точка области ?, в которой задана дифференцируемая функция
?
f (x, y). Выпустим из точки M0 вектор ?
s = (cos?, sin?) единичной длины
(см. рис.3) и отложим вдоль этого вектора вектор длины ?s, так что его
компоненты будут ?x = ?s · cos?, ?y = ?s · sin?. Рассмотрим выражение
[
]
f (x0 + ?x, y0 + ?y) ? f (x0 , y0 )
1 ?f
?f
=
?x +
?y + ?(?x, ?y) ,
?s
?s ?x
?y
?(?x,?y)
? 0 при ?s ? 0. Переходя к пределу при ?s ? 0, получаем:
причем
?s
предел левой части существует (он обозначается ?f
?s ) и равен:
?f
?f
?f
= cos?
+ sin? .
?s
?x
?y
?
Этот предел называется производной f (x, y) по направлению ?
s . Введем обо?f ?f
значение: gradf (x, y) = ( ?x , ?y ), это вектор размерности 2 (каково число аргументов функции f (x, y)). Тогда последнюю формулу можно записать в виде:
?f
?
=< ?
s , gradf (x, y) >,
?s
24
Рис. 3: Направление дифференцирования.
где < a, b > означает скалярное произведение векторов a, b.
Определение. Вектор gradf (x, y) называется градиентом функции
f (x, y), вычисленным в точке (x, y).
?
Напомним, что вектор ?
s имеет единичную длину, так что | ?f
?s | =
?
|gradf (x, y)|·|cos?|, где ? - угол между векторами ?
s и gradf (x, y). Из последнего соотношения следует, что наибольшее значение | ?f
?s | принимает тогда, ко?
гда направление векторов ?
s и gradf (x, y) совпадает. Иными словами, градиент "указывает"направление наибыстрейшего возрастания функции. Кроме
?
?
того, ?f
?s = 0 если вектора s и gradf (x, y) ортогональны друг другу.
Пример. Найти производную функции z = x3 ? 3x2 y + 3xy 2 + 1 в точке
M (3, 1) в направлении, идущем из этой точки к точке (6,5).
Вычислим сначала частные производные z(x, y):
?z
?z
= 3x2 ? 6xy + 3y 2 ,
= ?3x2 + 6xy.
?x
?y
Подставляя x = 3, y = 1, получаем: в точке M
?z
?z
= 27 ? 18 + 3 = 12,
= ?27 + 18 = ?9,
?x
?y
так что gradz(3, 1) = (12, ?9). Далее, вектор, идущий из точки M в конеч?
?
ную точку, равен: b = (3, 4). Для вычисления производной по направлению
?
надо вычислить вектор единичной длины ?
n , идущий в том же направлении.
?
? ?
?
?
?
Получаем: n = b /| b | = (3, 4)/5 = (0.6, 0.8). После этого находим:
?z
?
= (gradz, ?
n ) = 0.6 · 12 + 0.8 · (?9) = 0.
?s
Частные производные высшего порядка Если функция f (x, y) диф?f
ференцируема в области ?, то ее частные производные ?f
?x , ?y можно в области
25
? рассматривать как новые функции и пытаться их продифференцировать.
Если это возможно, возникают частные производные высших порядков. Для
них приняты следующие обозначения:
(
)
? 2 f (x, y) ??
? 2 f (x, y)
? ?f (x, y)
??
fxx
(x, y) =
,
f
(x,
y)
=
=
,
xy
?x2
?x?y
?x
?y
(
)
? 2 f (x, y)
? ?f (x, y)
? 2 f (x, y)
??
??
fyx
(x, y) =
=
,
, fyy
(x, y) =
?y?x
?y
?x
?y 2
и т.д.
Теорема Пусть f (x, y) имеет в области ? непрерывные частные производные fyx (x, y), fxy (x, y). Тогда эти частные производные совпадают во всех
внутренних точках области.
Эта теорема означает, что при справедливости ее условий порядок дифференцирования по переменным x и y можно менять. Аналогичные утверждения справедливы и для более высоких производных. С учетом этого функция
2 переменных имеет 2 различные частные производные первого порядка, 3
различные частные производные второго порядка и т.д.
Формула Тейлора и дифференциалы высшего порядка
Для функций двух переменных справедлива следующая форма теоремы
Тейлора (формула Тейлора).
Теорема Пусть в области ? задана функция f (x, y), которая имеет в
этой области непрерывные производные вплоть до порядка m включительно,
M0 = (x0 , y0 ), M = (x, y) - внутренние точки этой области. Тогда
f (x, y) =
k
m
?
1 ? k ?kf
C
(x0 , y0 )(x ? x0 )i (y ? y0 )k?i + o(?m (M, M0 )),
k! i=0 i ?xi ?y k?i
k=0
k!
где Cik = i!(k?i)!
, причем для функции o(?) справедливо:
Выражение
o(?)
?
? 0 при ? ? 0.
1 ? i ?kf
C
(x0 , y0 )(x ? x0 )i (y ? y0 )k?i
k! i=0 k ?xi ?y k?i
k
d(k) f =
называют полным дифференциалом k -го порядка. При k = 1 это выражение
дает первый полный дифференциал.
Выпишем в качестве примера формулу Тейлора второго порядка:
?f
?f
1 [ ? 2f
(x0 , y0 )(x?x0 )+ (x0 , y0 )(y?y0 )+
(x0 , y0 )(x?x0 )2 +
?x
?y
2 ?x2
(14)
]
? 2f
? 2f
2
2
2
(x0 , y0 )(x ? x0 )(y ? y0 ) + 2 (x0 , y0 )(y ? y0 ) + o(? (M, M0 )).
?y?x
?y
f (x, y) = f (x0 , y0 )+
26
4.3
Локальные экстремумы, максимумы и минимумы
Пусть в области ? задана функция f (x, y).
Определение. Пусть в области ? существует внутренняя точка N =
(x0 , y0 ) такая, что для всех точек M некоторой ее окрестности выполняется неравенство: f (M ) ? f (N ) (f (M ) ? f (N )). Тогда точка N называется
точкой локального максимума (минимума), а само значение f (N ) называется локальным максимумом (минимумом).
Многие прикладные задачи сводятся к поиску точек локального максимума (минимума).
Теорема (необходимое условие локального максимума и минимума).
Пусть f (x, y) дифференцируема в области ?. Если во внутренней точке области N = (x0 , y0 ) функция f (x, y) имеет локальный максимум (минимум),
то выполняются равенства:
?f
(N ) = 0,
?x
?f
(N ) = 0.
?y
(15)
Определение . Точки, в которых выполняются условия (15), называются
экстремальными (точками экстремума).
Множество экстремальных точек (эти точки также называются стационарными точками) содержит объединение множеств точек локального минимума и точек локального максимума, но не обязательно совпадает с ним.
Пример. Функция f (x, y) = x2 ? y 2 имеет экстремальную точку O =
(0, 0), однако эта точка не является ни точкой локального максимума, ни
точкой локального минимума, она является т.н. седловой точкой.
4.4
Достаточное условие локального максимума и минимума
Если функция f (x, y) дважды дифференцируема в области ? , то можно
привести достаточное условие локального максимума и минимума. Вывод
соответствующей теоремы базируется на формуле Тейлора порядка 2.
Теорема Пусть f (x, y) имеет в окрестности точки N = (x0 , y0 ) непрерывные производные до 2-го порядка включительно,
A=
? 2f
(x0 , y0 ),
?x2
B=
? 2f
(x0 , y0 ),
?y?x
C=
? 2f
(x0 , y0 ),
?y 2
и выполняются следующие условия:
?f
(N ) = 0,
?x
?f
(N ) = 0,
?y
27
(16)
Рис. 4: Локальный максимум.
Рис. 5: Локальный минимум.
Рис. 6: Окрестность седловой точки.
28
AC ? B 2 > 0,
A < 0.
(17)
Тогда в точке N функция f (x, y) имеет локальный максимум. Если вместо
(17) выполняется
AC ? B 2 > 0, A > 0,
(18)
в точке N функция f (x, y) имеет локальный минимум. Если вместо (17) выполняется
AC ? B 2 < 0,
(19)
в точке N функция имеет седловую точку.
Пример. Найти точки экстремума функции z = x3 +y 3 ?3xy и определить
их характер.
Вычисляем сначала первые частные производные функции, приравниваем их нулю и получаем пару уравнений для нахождения точек экстремума
z(x, y):
?z
?z
= 3x2 ? 3y = 0,
= 3y 2 ? 3x = 0.
?x
?y
Решая эту пару уравнений, находим точки: M1 = (1, 1), M2 = (0, 0). Далее
вычисляем вторые частные производные:
? 2z
= 6x,
? 2x
? 2z
= ?3,
?x?y
? 2z
= 6y.
? 2y
Для точки M1 имеем: A = 6, B = ?3, C = 6, AC ? B 2 = 27 > 0, так что это
точка минимума. Для M2 : A = 0, B = ?3, C = 0, AC ? B 2 = ?9 < 0, так что
M2 - седловая точка.
4.5
Глобальные максимумы и минимумы (наибольшие
и наименьшие значения)
Определение . Точка N ? ? называется точкой глобального максиму-
ма функции f (x, y), заданной в области ?, если для всех M ? ? верно:
f (M ) ? f (N ). При этом само значение f (N ) называется глобальным максимумом (наибольшим значением) функции f (x, y) в области ?.
Аналогично определяется глобальный минимум (наименьшее значение)
функции f (x, y) в области ?.
Пусть функция f (x, y) задана в ограниченной замкнутой (т.е. содержащей
свою границу) области ?, причем функция имеет в этой области непрерывные
производные. При этом для поиска экстремумов можно применять уравнения
(15). Глобальный максимум f (x, y) в области ? существует, согласно теореме
о свойствах непрерывных функций. Пусть граница ?? состоит из конечного
набора гладких кривых вида y = h(x) или x = g(y), заданных на каких-то интервалах [a, b]. Глобальный максимум может находиться либо во внутренней
29
точке области ?, либо лежать на одной из кривой, ограничивающих область,
либо в точках сочленения этих кривых. В связи с этим создается набор точек,
состоящий из трех множеств.
1. Ищем набор экстремальных точек внутри области, решения пары уравнений для двух неизвестных - координат точки:
?f
(N ) = 0,
?x
?f
(N ) = 0.
?y
Пусть точки N1 , N2 , N3 , ..., Nk составляют множество решений этих уравнений, принадлежащих области ?.
2. Для каждой кривой, ограничивающей ?, находим "сужение"функции
f (x, y) на эту кривую. Если уравнение кривой, например, y = h(x), причем
переменная x принадлежит интервалу [a, b], мы получаем функцию одной
переменной F (x) = f (x, h(x)), заданную на этом интервале. Ищем экстремальные точки функции F (x) на этом интервале, т.е. решения уравнения
dF (x)/dx = 0, принадлежащие этому интервалу. Вторую координату точки
находим согласно y = h(x). В итоге находим набор точек M1 , M2 , .... Взяв
объединение этих множеств по всем кривым, ограничивающим область, находим второе множество точек.
3.
Третье
множество
"подозрительных"точек
составляют
точки L1 , L2 , ...Lm , в которых стыкуются разные кривые, ограничивающие
область.
Объединение найденных множеств составляет полный набор "подозрительных"точек - N1 , N2 , ...., M1 , M2 , ..., L1 , L2 , .... Это будет конечный набор
точек. Вычисляем значение функции f (x, y) в каждой из точек этого набора
и находим наибольшее значение - это будет искомый глобальный максимум,
и наименьшее значение - это будет глобальный минимум функции f (x, y) в
этой области. Соответствующие точки будут точками глобального максимума
и минимума соответственно.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 ?2y 2
в круге x2 + y 2 ? 4.
Найдем сначала экстремальные точки. Составим уравнения:
?z
= 2x = 0,
?x
?z
= 0,
?y
откуда находим экстремальную точку N1 = (0, 0). Далее, рассмотрим "сужение"функции на границу. Для этого достаточно подставить y 2 = 4 ? x2
в выражение для z(x, y) и получить: g(x) = z(x, y(x)) = 3x2 ? 8. Здесь
x ? [?2, 2]. Выписываем уравнение для экстремальных точек функции g(x):
dg(x)
= 6x = 0, откуда находим еще 2 точки: M1 = (0, 2), M2 = (0, ?2).
dx
Граница состоит из 2 кусков: при y > 0 и y < 0 соответственно. Точки их
30
смыкания L1 = (2, 0), L2 = (?2, 0). Вычисляя значения функции z(x, y) в
точках N1 , M1 , M2 , L1 , L2 , находим: наибольшее значение равно 4, достигается в точках L1 , L2 , наименьшее значение равно -8, достигается в точках
M1 , M 2 .
5
5.1
Интегрирование функций двух переменных.
Двойной интеграл.
Пусть в плоскости (x, y) задана ограниченная область ?, граница которой
состоит из конечного числа гладких кривых. Пусть в этой области задана
функция f (x, y). Для этой функции можно построить объект, аналогичный
определенному интегралу в одномерной ситуации. А именно, разобъем непрерывными кривыми область ? на n частей ?S1 , ?S2 , ..., ?Sn , в каждой части
выберем точку Mk (см. рис. 7). Определим интегральную сумму, соответствующую этому разбиению (обозначим ? способ разбиения и выбора точек Mk ),
Рис. 7: Разбиение области интегрирования.
I? =
?
f (Mk )?Sk ,
(20)
k
где ?Sk - площадь соответствующей части области. Пусть ? - наибольший
диаметр областей ?S1 , ?S2 , ..., ?Sn .
Определение . Если существует конечный предел lim??0 I? , не зависящий
от ? , этот предел называется
двойным интегралом
функции f (x,
??
?
? y) по области ? и обозначается
f
(x,
y)dxdy
или
f
(x,
y)dxdy
или
?
?
? f (x, y)dS .
Область ? называется областью интегрирования. Функция f (x, y) называется при этом интегрируемой в области ?.
31
Теорема. Пусть функция f (x, y) непрерывна в области ?, причем граница этой области состоит из конечного набора непрерывных кривых. Тогда
f (x, y) интегрируема в области ?.
Основные свойства двойного интеграла
Линейность по функции. Пусть f1 (x, y), f2 (x, y) - интегрируемые в ?
функции. Тогда для любых чисел c1 , c2 функция [c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)] тоже
интегрируема в ?, причем
? ?
? ?
? ?
[c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)]dS = c1
f1 (x, y)dS + c2
?
?
f2 (x, y)dS.
?
?
?2 , причем ?1 ?2 = ?,
f (x, y) интегрируема в ?1 и в ?2 . Тогда f (x, y) интегрируема в ?, причем
? ?
? ?
? ?
f (x, y)dS =
f (x, y)dS +
f (x, y)dS.
Аддитивность по области. Пусть ? = ?1
?
?
?1
?2
Монотонность интеграла. Пусть f (x, y) интегрируема в области ?,
причем f (x, y) ? 0 в области ?. Тогда
? ?
f (x, y)dS ? 0
.
?
Площадь
области. Если f (x, y) ? 1 интегрируема в области ?, то ин??
теграл
5.2
?1
· dS равен площади области ?.
Повторный интеграл
Определение. Пусть x1 < x2 , функции y = g1 (x), y = g2 (x) непрерывны на
интервале [x1 , x2 ], причем g1 (x) < g2 (x) при x ? [x1 , x2 ]. Область ? = {x ?
[x1 , x2 ], g1 (x) < y < g2 (x)} называется правильной в y -направлении, см. рис.
8.
Рассмотрим область, правильную в y -направлении. Для нее можно определить интеграл
?
g2 (x)
F (x) =
f (x, y)dy.
g1 (x)
Теорема. Пусть f (x, y) непрерывна в ?, g1 (x), g2 (x) непрерывны на интервале [x1 , x2 ]. Тогда F (x) непрерывна на интервале [x1 , x2 ].
Тогда функцию F (x)
? x можно интегрировать на интервале [x1 , x2 ], и построить величину I = x12 F (x)dx.
Определение. Интеграл
?
?
x2
I=
F (x)dx =
x1
?
x2
g2 (x)
dx
x1
32
f (x, y)dy
g1 (x)
Рис. 8: Область, правильная в y -направлении.
называется повторным интегралом от функции f (x, y) по области ?, правильной в y -направлении.
Аналогичным образом можно определить область правильную в xнаправлении и соответствующий повторный интеграл. Существуют области,
правильные в обоих направлениях. Известные свойства одномерных интегралов приводят к соответствующим свойствам повторных интегралов.
Основные свойства повторного интеграла
Линейность по функции. Пусть ? - правильная в y -направлении об-
ласть, f1 (x, y), f2 (x, y) - интегрируемые в ? функции. Тогда для любых чисел
c1 , c2 функция [c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)] тоже интегрируема в ?, причем
?
?
x2
x1
?
g2 (x)
dx
g1 (x)
?
x2
[c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)]dy = c1
f1 (x, y)dy+
x1
?
?
x2
c2
g2 (x)
dx
g1 (x)
g2 (x)
dx
f2 (x, y)dy.
x1
g1 (x)
?
?2 , причем ?1 ?2 =
?, f (x, y) интегрируема в ?1 и в ?2 , области ?, ?1 , ?2 - правильные в y направлении. Пусть, например, ?1 = {x ? [x1 , x2 ], g1 (x) < y < g2 (x)}, ?2 =
{x ? [x2 , x3 ], g1 (x) < y < g2 (x)}, ? = {x ? [x1 , x3 ], g1 (x) < y < g2 (x)}. Тогда
f (x, y) интегрируема в ?, причем
Аддитивность по области. Пусть ? = ?1
?
?
x3
x1
?
g2 (x)
dx
g1 (x)
?
x2
f (x, y)dy =
x1
?
g2 (x)
dx
?
g1 (x)
33
?
x3
f (x, y)dy +
g2 (x)
dx
x2
f (x, y)dy.
g1 (x)
Монотонность интеграла. Пусть f (x, y) интегрируема в области ?,
причем f (x, y) ? 0 в области ?, ? - правильная в y -направлении. Тогда
?
?
x2
g2 (x)
dx
x1
.
f (x, y)dy ? 0
g1 (x)
Пример. Вычислим интеграл:
?
?
4
2x
dx
2
5.3
x
? 4
? 2x
? 4
y
1
1 y 2 2x
dy =
dx
ydy =
dx |x =
x
2
2 x
x
2 x
? 4
3x
3x2 4
dx =
| = 12 ? 3 = 9.
4 2
2 2
(21)
Связь повторного и двойного интеграла
В области, правильной в каком-нибудь направлении, можно определить для
одной и той же функции двойной и повторный интегралы. Между ними существует связь.
Теорема. Пусть ? - правильная в y -направлении область с кусочно гладкой границей, ? = {x ? [x1 , x2 ], g1 (x) < y < g2 (x)} , f (x, y) - непрерывная в
этой области функция. Тогда
? ?
?
?
x2
f (x, y)dS =
g2 (x)
dx
?
x1
f (x, y)dy.
g1 (x)
Аналогичное соотношение справедливо и для областей, правильных в xнаправлении. Эта теорема дает возможность аналитического вычисления
двойного интеграла в том случае, если исходную область ? можно представить как объединение правильных (в каком-нибудь направлении) областей.
Далее, если область правильна в обоих направлениях, эта теорема дает возможность заменить порядок повторного интеграла.
Пример. Поменяем порядок интегрирования в интеграле:
?
?
1
dy
0
?
y
f (x, y)dx.
y
?
Исходная область интегрирования: {y ? [0, 1], y < x < y}. Ее можно представить в виде: {x ? [0, 1], x2 < y < x}, т.е. она правильна в обоих направлениях, см. рис. 9. Соответственно, получаем:
?
?
1
dy
0
?
?
y
f (x, y)dx =
y
x
dx
0
34
?
1
f (x, y)dy.
x2
Рис. 9: Замена порядка интегрирования в области, правильной в обоих направлениях.
5.4
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в ограниченной области ?, граница которой составлена из конечного
числа гладких кривых, задана
непрерывная функция f (x, y), так что суще?
ствует двойной интеграл ? f (x, y)dS , и пара непрерывно дифференцируемых
функций x = ?(u, v), y = ?(u, v) реализует взаимно-однозначное преобразование области ? на плоскости переменных u, v в область ? на плоскости
переменных x, y . Тогда справедливо следующее соотношение, реализующее
замену переменных в двойном интеграле:
? ?
? ?
f (x, y)dxdy =
?
f (?(u, v), ?(u, v))|J(u, v)|dudv,
?
где выражение
J(u, v) =
??(u, v) ??(u, v) ??(u, v) ??(u, v)
?
?u
?v
?v
?u
называется якобианом замены переменных. Замена переменных применяется тогда, когда область интегрирования (и/или подинтегральная функция)
упрощается после перехода к новым переменным.
Пример. Вычислим интеграл:
? ?
x2 y 2 dxdy
?
по области ? - кругу радиуса R. Перейдем в плоскости интегрирования к
полярным координатам: x = r cos ?,y = r sin ?. Исходная область интегрирования превратится в новых координатах в ? = {0 ? r ? R, 0 ? ? ? 2?} 35
правильную в обоих направлениях область. При этом
?x
?y
?y
?x
= ?r sin ?,
= cos ?,
= r cos ?,
= sin ?,
??
?r
??
?r
так что
?x ?y
?x ?y
?
= r.
?r ?? ?? ?r
Эта формула дает якобиан перехода от декартовых координат к полярным.
Переходя в двойном интеграле к новым переменным, получаем:
? ?
? ?
? R
? 2?
2 2
4
2
2
5
x y dxdy =
r cos ? sin ?rdrd? =
r dr
cos2 ? sin2 ?d? =
J(r, ?) =
?
?
r6 R
|
6 0
6
6.1
?
0
2?
0
6 ?
sin2 2?
R
d? =
4
48
0
2?
(1 ? cos 4?)d? =
0
?R6
.
24
Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Пусть функция f (x, y) задана в области ?, рассмотрим гладкую кривую L,
лежащую в этой области, рис. 10. Для кривой может использоваться различ-
Рис. 10: Кривая L, вдоль которой интегрируется функция f (x, y).
ная параметризация. Параметрическое описание кривой задается 2 функциями: x = ?(t), y = ?(t), t1 ? t ? t2 . Иногда в качестве параметра t выступает переменная x, так что для описания кривой достаточно одной функции:
y = ?(x). Если в качестве t выступает y , имеем: x = ?(y).
В приложениях возникает следующая конструкция. Разобъем кривую L
на N достаточно малых частей, в каждой части выберем точку Mk , 1 ? k ?
36
N, и пусть ?sk - длина отрезка, разбивающего последовательные концы куска
кривой. Построим интегральную сумму
I? =
k=N
?
f (Mk )?sk ,
k=1
где ? обозначает способ разбиения кривой и выбора точек Mk . Пусть ? наибольшее расстояние между последовательными точками разбиения.
Определение. Если существует конечный предел
e
lim I? = I,
??0
не зависящий от способа разбиения кривой, то говорят, что функция f (x, y)
интегрируема по кривой L, этот предел обозначают
Ie =
?
f (x, y)ds
L
и называют криволинейный интеграл первого рода от функции f (x, y) по
кривой L.
Этот интеграл обладает всеми стандартными свойствами интеграла (линейность по функции, аддитивность по кривой, монотонность). Если кривая
L имеет параметризацию x = ?(t), y = ?(t), t1 ? t ? t2 , этот интеграл может
быть сведен к одномерному интегралу:
?
?
t2
f (x, y)ds =
L
?
f (?(t), ?(t)) ?2 (t) + ? 2 (t)dt.
t1
Пример.
?
Вычислим интеграл L (x+4y)ds, где L - правая петля кривой r2 = cos(2?),
x ? 0.
Будем использовать полярные координаты, коль скоро сама кривая записана в этих координатах. Из условия следует, что правая ветвь?кривой соответствует?углам ??/4 ? ? ? ?/4. Для
?этой кривой имеем: r = cos(2?), x =
rcos? = cos(2?)cos?, y = r sin ? = cos(2?)sin?,
?
sin(2?)d?
d?
, ds = (dr)2 + r2 (d?)2 = ?
,
dr = ? ?
cos(2?)
cos(2?)
(напомним, что в полярной системе
cos ?dr ? r sin ?d?,dy =
? кординат dx = ?
r cos ?d? + sin ?dr, так что ds = (dx)2 + (dy)2 = (dr)2 + r2 (d?)2 .) Подставляя в интеграл, получаем:
?
?
?/4
(x + 4y)ds =
L
??/4
?/4
[cos ? + 4 sin ?]d? = (sin ? ? 4 cos ?)|??/4 =
37
?
2.
6.2
Криволинейные интегралы второго рода
Пусть функции P (x, y), Q(x, y) заданы в области ?, гладкая кривая L лежит в этой области, рис. 10. В приложениях также возникает следующая
конструкция, связанная с этими функциями и кривой.
Разобъем кривую L на N достаточно малых частей, в каждой части выберем точку Mk , 1 ? k ? N, и пусть ?xk ?yk - длины соответствующих
приращений отрезка разбиения. Построим интегральную сумму
I? =
k=N
?
(P (Mk )?xk + Q(Mk )?yk ),
k=1
где ? обозначает способ разбиения кривой и выбора точек Mk . Пусть ? наибольшее расстояние между последовательными точками разбиения.
Определение. Если существует конечный предел
e
lim I? = I,
??0
не зависящий от способа разбиения кривой, то говорят, что что пара функций
P (x, y), Q(x, y) интегрируема по кривой L, этот предел обозначают
Ie =
?
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy)
L
и называют криволинейный интеграл второго рода от пары функций
P (x, y), Q(x, y) по кривой L.
Отметим, что при этом у кривой L следует указывать направление обхода (т.е. мы рассматриваем ориентируемые кривые), так как знак интеграла
зависит от выбора направления обхода кривой.
?????
?
Если ввести вектор-функцию f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), и вектор d?
s =
(dx, dy), то криволинейный интеграл второго рода можно записать с помощью скалярного произведения,
Ie =
?
????? ?
(f (x, y), d?
s ).
L
Криволинейный интеграл второго рода также обладает стандартными
свойствами обычных интегралов: линейность по функции (точнее, по вектор-
?????
функции f (x, y) ), аддитивность по кривой (с учетом ориентации). Если криe отличается от L только ориентацией, то
вая L
?
????? ?
(f (x, y), d?
s)=?
L
38
?
e
L
????? ?
(f (x, y), d?
s ).
Связь криволинейных интегралов первого и второго рода. Если
L - ориентированная гладкая кривая, n(x, y) = (cos(?(x, y)), sin(?(x, y)) единичный вектор, касательный к L и направленный в соответствии с ее
ориентацией, то
?
?
????? ?
(f (x, y), d?
s ) = [P (x, y) cos(?(x, y)) + Q(x, y) sin(?(x, y))]ds,
L
L
где слева - криволинейный интеграл второго рода, справа - соответствующий
криволинейный интеграл первого рода.
Пример.
Вычислим
?
[(y 2 + 2xy)dx + (x2 ? 2xy)dy],
L
?
где L - дуга параболы y = x2 от точки (1,1) до точки (2,4).
Сведем этот интеграл к интегралу первого рода и, тем самым, к обычному
одномерному интегралу. На кривой y = x2 имеем: dy = 2xdx, так что
?
[(y 2 +2xy)+(x2 ?2xy)dy] =
L
?
2
[x4 +2x3 +(x2 ?2x3 )2x]dx =
1
2
(4x3 ?3x4 )dx = ?18/5.
1
Связь криволинейных и двойных интегралов.
Теорема (формула Грина).
Пусть ограниченная область ? имеет в качестве границы конечный набор гладких кривых, обозначим L объединение этих кривых, ориентированное так, что при обходе вдоль L область ? остается слева. Пусть функции
P (x, y), Q(x, y) непрерывны в ? вместе со своими частными производными
?P ?Q
?y , ?x . Тогда
? ? [
?
[P (x, y)dx + Q(x, y)dy] =
L
?
Контрольная работа.
]
?Q(x, y) ?P (x, y)
?
dxdy.
?x
?y
?
Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a =
(a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в
?
?
точке A по направлению ?
a , z = 4x2 ? xy , A(?1, 1), ?
a = (4, 3).
?z ?z
,
)
=
(8x
? y, ?x), подставляя
Решение. Вычисляем gradz(x, y) = (
?x ?y
координаты точки A, находим: gradz(A)
? = (?9, 1). Далее, вектор единичной
?
?
?
?
длины вдоль ?
a :?
e =?
a /|?
a | = (4, 3)/ 42 + 32 = (4/5, 3/5). Соответственно,
?
?
?z
?s = (gradz, e ) = (?9 · 4 + 1 · 3)/5 = 7.
Задание 2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки
функции f (x, y), f (x, y) = 9 ? 6x + 8xy ? x2 ? 4y 2 .
?f
?f
Решение. Вычисляем частные производные
?x = ?6 + 8y ? 2x, ?y = 8x ?
8y . Приравниваем их нулю - ищем точки экстремума, для которых получаем
Задание 1.
39
систему уравнений: ?6 + 8y ? 2x = 0, 8x ? 8y = 0. Решаем эту систему:
x1 = y1 = 1. Далее, вычисляем вторые частные производные в точке (x1 , y1 ):
?2f
?2f
?2f
?2f ?2f
?2f 2
2
?x2 = ?2, ?x?y = 8, ?y 2 = ?8. Следовательно, AC ? B = ?x2 ?y 2 ? ( ?x?y ) =
(?2) · (?8) ? 82 = ?48 < 0, так что это седловая точка функции f (x, y).
Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 ? xy + 2x, ?4x2 + 4 ? y ? 0.
Решение. Область представлена на рисунке 11, нижняя граница - прямая
y = 0, верхняя - парабола y = 4 ? 4x2 . Ищем экстремальные точки функции,
?z
решая систему ?x
= 2x ? y + 2 = 0, ?f
?y = ?x = 0, откуда находим: x1 = 0,
y1 = 2. Она принадлежит указанной области.
Рис. 11: Область, ограниченная параболой и прямой
Далее, рассмотрим сужение функции z(x, y) на нижнюю границу. Для
этого подставляем в z(x, y) значение y = 0, так что z1 (x) = x2 + 2x, при этом
?1 ? x ? 1. Находим экстремальную точку функции z1 (x) из уравнения
dz1
dx = 2x + 2 = 0, так что x2 = ?1, соответственно y2 = 0. Рассмотрим сужение функции z(x, y) на верхнюю границу, для чего подставим y = 4 ? 4x2 .
При этом z2 (x) = 4x3 + x2 ? 2x, ?1 ? x ? 1. Ищем экстремальные точки:
?
?
z2 (x)
2
dx = 12x + 2x ? 2 = 0, находим: x3,4 = (?1 ± 13)/12, y3,4 = (65 ± 13)/18.
Добавляем еще пару точек (тех, где смыкаются линии, ограничивающие область): x5 = ?1, y5 = 0, x6 = 1, y = 0, причем пятая точка совпадает со
второй. Итого имеем 5 "подозрительных"точек. Вычисляя значения z(x, y) в
этих точках, находим: zmax = z(1, 0) = 3, zmin = z(?1, 0) = ?1.
Задание 4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
x2 ? y 2
dxdy,
2
2
? x +y
40
где ? = {(x, y) : x2 + y 2 ? a2 }.
Решение. Перейдем к полярным координатам, x = rcos?, y = rsin?, в
этих координатах наша область имеет вид: 0 ? ? ? 2? , 0 ? r ? a, причем
якобиан замены переменных равен r. Следовательно, в полярных координатах наш интеграл имеет вид:
? ?
? 2? ? a 2
x2 ? y 2
r (cos2 ? ? sin2 ?)
dxdy
=
rdrd? =
2
2
r2
? x +y
0
0
? 2?
? a
a2 sin(2?) 2?
cos(2?)d?
rdr =
·
= 0.
0
2
2
0
0
? ds
Задание 5.
L x+2y , где L - отрезок AB , A=(1,2), B=(4,5).
Решение. Выпишем сначала уравнение прямой, на которой лежит отрезок L. Нетрудно установить, что это y?
= x + 1. Подставляем
это выражение
?
в интеграл, причем y ? (x) = 1, так что 1 + (y ? (x))2 = 2. Получаем:
?
?
?
? 4
? ? 4 dx
ds
2dx
2
=
= 2
=
ln(14/5).
x
+
2y
x
+
2(x
+
1)
3x
+
2
3
L
1
1
Контрольная работа 4.
Вариант 1
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 2x2 + xy , A(?1, 2), ?
a = (3, 4).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = 9 ? 2x + 4y ? x2 ? 4y 2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + xy , ?1 ? x ? 1; 0 ? y ? 3.
4. Вычислить
?
?
2
4
dx
5. Вычислить
?
ds
L x?y ,
1
3
dy
.
(x + y)2
где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,0).
Вариант 2
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arctg(xy 2 ), A(2, 3), ?
a = (4, ?3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = xy(1 ? x ? y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
3 ? 2x2 ? xy ? y 2 , x ? 1; y ? 0; y ? x.
41
4. Вычислить
? 1?
1?x
xydy.
5. Вычислить
?
ds
L x2 ?2y ,
0
x2 ?1
где L - отрезок AB , A=(-1,-2), B=(4,0).
Вариант 3
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 5x2 + 6xy , A(2, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
2 2
f (x, y), f (x, y) = x y ?8x+y
.
xy
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + xy ? 2, 4x2 ? 4 ? y ? 0.
4. Вычислить
? ?
xydxdy,
?
где область ? ограничена осями координат и кривой x = acos3 t, y =
asin3 t, 0 ? t ? ?/2?.
5. Вычислить L (x2 + y)ds, L отрезок AB , A=(0,1), B=(-2,3).
Вариант 4
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = ln(2x + 3y), A(2, 2), ?
a = (2, ?3).
2. Найти локальные
максимумы,
минимумы
и седловые точки функции
?
f (x, y), f (x, y) = y x ? y 2 ? x + 6y .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 ? xy + y 2 ? 4x, x ? 0; y ? 0; 2x + 3y ? 12.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
cos(x2 + y 2 )dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x2? + y 2 ? a2 }.
5. Вычислить L xyds, L есть контур квадрата, ограниченного линиями
x ± y = 1, x ± y = ?1.
Вариант 5
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arctg(xy), A(2, 3), ?
a = (4, 3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 .
42
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
2x + y ? xy , 0 ? x ? 4; 0 ? y ? 4.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
x2
dxdy,
2
2
? x +y
где ? = {(x, y) : x?2 + y 2 ? a2 }.
5. Вычислить L xyds, L есть четверть окружности x2 + y 2 = 1, лежащая
в первом квадранте.
Вариант 6
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arctg(y/x), A(?1, 1), ?
a = (1, ?1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = exp(4y ? x2 ? y 2 ).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 + x2 y + 4, |x| ? 1; |y| ? 1.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
ln(1 + x2 + y 2 )dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x?2 + y 2 ? a2 }.
5. Вычислить L (x2 ? y 2 )ds, где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,2).
Вариант 7
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arcsin(x2 /y), A(1, 2), ?
a = (5, ?12).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x3 y + 12x2 ? 8y .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + 3y 2 + x ? y , x ? 1; y ? 1; x + y ? 1.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ? ?
x2 + y 2 dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x ? + y ? ay }.
5. Вычислить L yds, L есть дуга параболы y 2 = 2x от точки (2,-2) до
точки (8,4).
2
2
43
Вариант 8
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = x3 + xy 3 , A(1, 3), ?
a = (?5, 12).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = exp(y) cos(x).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 /2 ? xy , y ? x2 /3; y ? 3.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
y2
?
a2 ? x2 dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x? + y ? a }.
5. Вычислить L (x + y)ds, L = {(x, y) : x = acost, y = asint, 0 ? t ? ?/2.}
2
2
2
Вариант 9
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 3x/y 2 , A(3, 4), ?
a = (?3, ?4).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x2 + y 2 + x21y2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 ? xy + x + y , x ? 0; y ? 0; x + y ? ?3.
4. Вычислить
?
?
1
1
dx
5. Вычислить
?
L (2x
0
0
xdy
.
(1 + + y 2 )3 /2
x2
+ 3y)ds, где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,4).
Вариант 10
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 5x2 ? 2xy + y 2 , A(1, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (2x ? x2 )(2y ? y 2 ).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
xy ? 2x ? y , 0 ? x ? 3; 0 ? y ? 4.
4. Вычислить
?
?
?/2
x
dx
.
0
cos(x + y)dy
0
44
5. Вычислить
?
L (x
2
? 2y)ds, где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,0).
Вариант 11
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 5x + 10x2 y + y 5 , A(1, 2), ?
a = (4, ?3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x2 y 2 ? 2xy 2 ? 6x2 y + 12xy .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 ? 4x, ?2 ? x ? 1; ?1 ? y ? 3.
4. Вычислить
? ?
dxdy
,
(x
+
y + 1)2
?
? = {0 ? x ? 1, 0 ?? y ? 1}.
5. Вычислить L x2 ds, L = {x2 + y 2 = R2 , y ? 0}
Вариант 12
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 1 + x2 y 3 , A(?1, 1), ?
a = (1, 3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x4 + y 4 ? 2x2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x3 + 8y 3 ? 6xy + 1, 0 ? x ? 2; ?1 ? y ? 1.
4. Вычислить
? ?
ydxdy
,
x2
?
? = {x ? 0, x3 ? y? ? x2 }.
5. Вычислить L (2xydx + x2 dy), L = {(x, y) : y = x2 /4, 0 ? x ? 2.}
Вариант 13
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = yxy , A(2, 1), ?
a = (1, ?1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x4 + y 4 ? 2(x ? y)2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 ? 2y + 3, y ? x ? 1, x ? 0; y ? 0.
4. Вычислить
? ?
x2 y 2 dxdy,
?
45
? = {y 2 ? x ? 1}.?
5. Вычислить L (yx?1 dx + dy), L = {(x, y) : y = ln x, 1 ? x ? e.}
Вариант 14
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = x sin(x + y), A(?/4, ?/4), ?
a = (?1, 1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = 2x4 + y 4 ? x2 ? 2y 2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 y ,
x2 + y 2 ? 1.
4. Вычислить
? ?
xy 2 dxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? a2?, x ? 0}.
5. Вычислить L (xdy ? ydx), L = {(x, y) : y = x3 , 0 ? x ? 2.}
Вариант 15
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 3x4 + y 3 + xy , A(1, 2), ?
a = (?1, 1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = xy 2 (12 ? x ? y), x > 0, y > 0.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 ? xy ? x ? y , x + y ? 3; y ? 0; x ? 0.
4. Вычислить
? ?
(x3 + y 3 )dxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? R2?, y ? 0}.
5. Вычислить L (x ? 1/y)dy , L = {(x, y) : y = x2 , 1 ? x ? 2.}
Вариант 16
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке
A
,
2)
производную
в точке A по
?
?
?
направлению ?
a , z = arctg(y/x), A(1/2, 3/2), ?
a = (1, 1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x2 y 3 (6 ? x ? y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
xy(6 ? x ? y), x + y ? 12, y ? 0; x ? 0.
4. Вычислить
? ?
(x + 2y)dxdy,
?
46
? = {2 ? x ? 3, x?? y ? 2x}.
5. Вычислить L (xydx ? y 2 dy), L = {(x, y) : y 2 = 2x, 0 ? x ? 2.}
Вариант 17
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение
в
точке
A
,
2)
производную
в точке A по
?
?
?
направлению ?
a , z = x ? 3y + 3xy , A(3, 1), ?
a = (1, 0).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (x + y)x?1 y ?1 ? xy .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x + 3y , x + y ? 6; x + 4y ? 4, y ? 2.
4. Вычислить
? ?
(x + y)dxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? R2?, x ? y}.
5. Вычислить L xdy , L = {(x, y) : y 2 + x2 = a2 , 0 ? x, ?a ? y ? a.}
Вариант 18
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
?
направлению ?
a , z = (x + y)y ?1 , A(2, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (x + y 2 ) exp(x/2).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
(y 2 ? x2 ) exp(1 ? x2 + y 2 ), x2 + y 2 ? 4.
4. Вычислить
? ?
xydxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? 25,? 3x + y ? 5}.
?
5. Вычислить L (2xydx ? x2 dy), L = {(x, y) : y = x/2, 0 ? x ? 2.}
Вариант 19
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 3x2 y + 5xy 2 , A(1, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (5 ? 2x + y) exp(x2 ? y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x3 + y 3 ? 3xy , 0 ? x ? 2; ?1 ? y ? 2.
4. Вычислить
? ?
(2y ? x)dxdy,
?
47
? = {y(y ? x) ? 2,? x(x + y) ? 3}.
?
5. Вычислить L ((xy ? y 2 )dx + xdy), L = {(x, y) : y = 2 x, 0 ? x ? 1.}
Вариант 20
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) п??оизводную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = x3 + 7xy 2 , A(?1, 1), ?
a = (?1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x2 + xy + y 2 ? 4 ln x ? 10 ln y .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
y 4 ? x4 , x2 + y 2 ? 9.
4. Вычислить
? ?
exp(x ? y)dxdy,
?
? = {?1 ? x ? 1,?x ? y ? 2x}.
5. Вычислить L (x2 + y 2 )n ds, L = {(x, y) : x2 + y 2 = R2 }
Список литературы
[1] Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1. Издательство "Интеграл-Пресс 2009.
[2] Бугров С.Я., Никольский С.М. Высшая математика: Дифференциальное
и интегральное исчисление. Издательство Дрофа, 2004.
[3] Булдырев В.С., Павлов Б.С. Линейная алгебра и функции многих переменных. Издательство ЛГУ, 1985.
[4] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.Н. Сборник
задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных.
СПб., Кристалл, 2009.
[5] Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу, ч.2. М.:МГУ, 2007.
48
??????????
1. ???????? ?? ?????????? ??????????? ????? ...........................................
2.???????? ???? .......................................................................................................
3.?????????????????? ? ???? ???????.............................................................
4.??????? ?????????? ??????????....................................................................
5. ?????????????? ??????? ???? ??????????. ..............................................
6. ????????????? ?????????................................................................................
?????? ??????????...................................................................................................
3
1
1
4
19
31
36
48
?риантностью : при вычислении его значения не играет роль, являются ли аргументы функции f (x, y)
независимыми переменными или, в свою очередь, являются функциями других переменных (обозначим их t, s).
23
Частные производные неявной функции
Функция двух аргументов z = f (x, y) может быть задана неявным образом, например, как решение уравнения F (x, y, z) = 0. Возникает вопрос: как
в этом случае вычислить ее частные производные? Выпишем сначала первый
полный дифференциал F (x, y, z) в предположении, что F = 0. В этом случае,
очевидно, dF = 0 и мы получаем:
?F
?F
?F
dx +
dy +
dz = 0,
?x
?y
?z
откуда следует:
dz = ?
?F
?x dx
+
?F
?z
?F
?y dy
.
Вспоминая выражение для первого полного дифференциала (на этот раз для
функции z = f (x, y)), получаем:
?F
?z
?x
= ? ?F
|F (x,y,z)=0 ,
?x
?z
?F
?z
?y
= ? ?F |F (x,y,z)=0 .
?y
?z
Выражение |F (x,y,z)=0 означает, что надо подставить в эти формулы вместо z
решение уравнения F (x, y, z) = 0 относительно этой переменной.
Градиент и производная по направлению Пусть M0 = (x0 , y0 ) внутренняя точка области ?, в которой задана дифференцируемая функция
?
f (x, y). Выпустим из точки M0 вектор ?
s = (cos?, sin?) единичной длины
(см. рис.3) и отложим вдоль этого вектора вектор длины ?s, так что его
компоненты будут ?x = ?s · cos?, ?y = ?s · sin?. Рассмотрим выражение
[
]
f (x0 + ?x, y0 + ?y) ? f (x0 , y0 )
1 ?f
?f
=
?x +
?y + ?(?x, ?y) ,
?s
?s ?x
?y
?(?x,?y)
? 0 при ?s ? 0. Переходя к пределу при ?s ? 0, получаем:
причем
?s
предел левой части существует (он обозначается ?f
?s ) и равен:
?f
?f
?f
= cos?
+ sin? .
?s
?x
?y
?
Этот предел называется производной f (x, y) по направлению ?
s . Введем обо?f ?f
значение: gradf (x, y) = ( ?x , ?y ), это вектор размерности 2 (каково число аргументов функции f (x, y)). Тогда последнюю формулу можно записать в виде:
?f
?
=< ?
s , gradf (x, y) >,
?s
24
Рис. 3: Направление дифференцирования.
где < a, b > означает скалярное произведение векторов a, b.
Определение. Вектор gradf (x, y) называется градиентом функции
f (x, y), вычисленным в точке (x, y).
?
Напомним, что вектор ?
s имеет единичную длину, так что | ?f
?s | =
?
|gradf (x, y)|·|cos?|, где ? - угол между векторами ?
s и gradf (x, y). Из последнего соотношения следует, что наибольшее значение | ?f
?s | принимает тогда, ко?
гда направление векторов ?
s и gradf (x, y) совпадает. Иными словами, градиент "указывает"направление наибыстрейшего возрастания функции. Кроме
?
?
того, ?f
?s = 0 если вектора s и gradf (x, y) ортогональны друг другу.
Пример. Найти производную функции z = x3 ? 3x2 y + 3xy 2 + 1 в точке
M (3, 1) в направлении, идущем из этой точки к точке (6,5).
Вычислим сначала частные производные z(x, y):
?z
?z
= 3x2 ? 6xy + 3y 2 ,
= ?3x2 + 6xy.
?x
?y
Подставляя x = 3, y = 1, получаем: в точке M
?z
?z
= 27 ? 18 + 3 = 12,
= ?27 + 18 = ?9,
?x
?y
так что gradz(3, 1) = (12, ?9). Далее, вектор, идущий из точки M в конеч?
?
ную точку, равен: b = (3, 4). Для вычисления производной по направлению
?
надо вычислить вектор единичной длины ?
n , идущий в том же направлении.
?
? ?
?
?
?
Получаем: n = b /| b | = (3, 4)/5 = (0.6, 0.8). После этого находим:
?z
?
= (gradz, ?
n ) = 0.6 · 12 + 0.8 · (?9) = 0.
?s
Частные производные высшего порядка Если функция f (x, y) диф?f
ференцируема в области ?, то ее частные производные ?f
?x , ?y можно в области
25
? рассматривать как новые функции и пытаться их продифференцировать.
Если это возможно, возникают частные производные высших порядков. Для
них приняты следующие обозначения:
(
)
? 2 f (x, y) ??
? 2 f (x, y)
? ?f (x, y)
??
fxx
(x, y) =
,
f
(x,
y)
=
=
,
xy
?x2
?x?y
?x
?y
(
)
? 2 f (x, y)
? ?f (x, y)
? 2 f (x, y)
??
??
fyx
(x, y) =
=
,
, fyy
(x, y) =
?y?x
?y
?x
?y 2
и т.д.
Теорема Пусть f (x, y) имеет в области ? непрерывные частные производные fyx (x, y), fxy (x, y). Тогда эти частные производные совпадают во всех
внутренних точках области.
Эта теорема означает, что при справедливости ее условий порядок дифференцирования по переменным x и y можно менять. Аналогичные утверждения справедливы и для более высоких производных. С учетом этого функция
2 переменных имеет 2 различные частные производные первого порядка, 3
различные частные производные второго порядка и т.д.
Формула Тейлора и дифференциалы высшего порядка
Для функций двух переменных справедлива следующая форма теоремы
Тейлора (формула Тейлора).
Теорема Пусть в области ? задана функция f (x, y), которая имеет в
этой области непрерывные производные вплоть до порядка m включительно,
M0 = (x0 , y0 ), M = (x, y) - внутренние точки этой области. Тогда
f (x, y) =
k
m
?
1 ? k ?kf
C
(x0 , y0 )(x ? x0 )i (y ? y0 )k?i + o(?m (M, M0 )),
k! i=0 i ?xi ?y k?i
k=0
k!
где Cik = i!(k?i)!
, причем для функции o(?) справедливо:
Выражение
o(?)
?
? 0 при ? ? 0.
1 ? i ?kf
C
(x0 , y0 )(x ? x0 )i (y ? y0 )k?i
k! i=0 k ?xi ?y k?i
k
d(k) f =
называют полным дифференциалом k -го порядка. При k = 1 это выражение
дает первый полный дифференциал.
Выпишем в качестве примера формулу Тейлора второго порядка:
?f
?f
1 [ ? 2f
(x0 , y0 )(x?x0 )+ (x0 , y0 )(y?y0 )+
(x0 , y0 )(x?x0 )2 +
?x
?y
2 ?x2
(14)
]
? 2f
? 2f
2
2
2
(x0 , y0 )(x ? x0 )(y ? y0 ) + 2 (x0 , y0 )(y ? y0 ) + o(? (M, M0 )).
?y?x
?y
f (x, y) = f (x0 , y0 )+
26
4.3
Локальные экстремумы, максимумы и минимумы
Пусть в области ? задана функция f (x, y).
Определение. Пусть в области ? существует внутренняя точка N =
(x0 , y0 ) такая, что для всех точек M некоторой ее окрестности выполняется неравенство: f (M ) ? f (N ) (f (M ) ? f (N )). Тогда точка N называется
точкой локального максимума (минимума), а само значение f (N ) называется локальным максимумом (минимумом).
Многие прикладные задачи сводятся к поиску точек локального максимума (минимума).
Теорема (необходимое условие локального максимума и минимума).
Пусть f (x, y) дифференцируема в области ?. Если во внутренней точке области N = (x0 , y0 ) функция f (x, y) имеет локальный максимум (минимум),
то выполняются равенства:
?f
(N ) = 0,
?x
?f
(N ) = 0.
?y
(15)
Определение . Точки, в которых выполняются условия (15), называются
экстремальными (точками экстремума).
Множество экстремальных точек (эти точки также называются стационарными точками) содержит объединение множеств точек локального минимума и точек локального максимума, но не обязательно совпадает с ним.
Пример. Функция f (x, y) = x2 ? y 2 имеет экстремальную точку O =
(0, 0), однако эта точка не является ни точкой локального максимума, ни
точкой локального минимума, она является т.н. седловой точкой.
4.4
Достаточное условие локального максимума и минимума
Если функция f (x, y) дважды дифференцируема в области ? , то можно
привести достаточное условие локального максимума и минимума. Вывод
соответствующей теоремы базируется на формуле Тейлора порядка 2.
Теорема Пусть f (x, y) имеет в окрестности точки N = (x0 , y0 ) непрерывные производные до 2-го порядка включительно,
A=
? 2f
(x0 , y0 ),
?x2
B=
? 2f
(x0 , y0 ),
?y?x
C=
? 2f
(x0 , y0 ),
?y 2
и выполняются следующие условия:
?f
(N ) = 0,
?x
?f
(N ) = 0,
?y
27
(16)
Рис. 4: Локальный максимум.
Рис. 5: Локальный минимум.
Рис. 6: Окрестность седловой точки.
28
AC ? B 2 > 0,
A < 0.
(17)
Тогда в точке N функция f (x, y) имеет локальный максимум. Если вместо
(17) выполняется
AC ? B 2 > 0, A > 0,
(18)
в точке N функция f (x, y) имеет локальный минимум. Если вместо (17) выполняется
AC ? B 2 < 0,
(19)
в точке N функция имеет седловую точку.
Пример. Найти точки экстремума функции z = x3 +y 3 ?3xy и определить
их характер.
Вычисляем сначала первые частные производные функции, приравниваем их нулю и получаем пару уравнений для нахождения точек экстремума
z(x, y):
?z
?z
= 3x2 ? 3y = 0,
= 3y 2 ? 3x = 0.
?x
?y
Решая эту пару уравнений, находим точки: M1 = (1, 1), M2 = (0, 0). Далее
вычисляем вторые частные производные:
? 2z
= 6x,
? 2x
? 2z
= ?3,
?x?y
? 2z
= 6y.
? 2y
Для точки M1 имеем: A = 6, B = ?3, C = 6, AC ? B 2 = 27 > 0, так что это
точка минимума. Для M2 : A = 0, B = ?3, C = 0, AC ? B 2 = ?9 < 0, так что
M2 - седловая точка.
4.5
Глобальные максимумы и минимумы (наибольшие
и наименьшие значения)
Определение . Точка N ? ? называется точкой глобального максиму-
ма функции f (x, y), заданной в области ?, если для всех M ? ? верно:
f (M ) ? f (N ). При этом само значение f (N ) называется глобальным максимумом (наибольшим значением) функции f (x, y) в области ?.
Аналогично определяется глобальный минимум (наименьшее значение)
функции f (x, y) в области ?.
Пусть функция f (x, y) задана в ограниченной замкнутой (т.е. содержащей
свою границу) области ?, причем функция имеет в этой области непрерывные
производные. При этом для поиска экстремумов можно применять уравнения
(15). Глобальный максимум f (x, y) в области ? существует, согласно теореме
о свойствах непрерывных функций. Пусть граница ?? состоит из конечного
набора гладких кривых вида y = h(x) или x = g(y), заданных на каких-то интервалах [a, b]. Глобальный максимум может находиться либо во внутренней
29
точке области ?, либо лежать на одной из кривой, ограничивающих область,
либо в точках сочленения этих кривых. В связи с этим создается набор точек,
состоящий из трех множеств.
1. Ищем набор экстремальных точек внутри области, решения пары уравнений для двух неизвестных - координат точки:
?f
(N ) = 0,
?x
?f
(N ) = 0.
?y
Пусть точки N1 , N2 , N3 , ..., Nk составляют множество решений этих уравнений, принадлежащих области ?.
2. Для каждой кривой, ограничивающей ?, находим "сужение"функции
f (x, y) на эту кривую. Если уравнение кривой, например, y = h(x), причем
переменная x принадлежит интервалу [a, b], мы получаем функцию одной
переменной F (x) = f (x, h(x)), заданную на этом интервале. Ищем экстремальные точки функции F (x) на этом интервале, т.е. решения уравнения
dF (x)/dx = 0, принадлежащие этому интервалу. Вторую координату точки
находим согласно y = h(x). В итоге находим набор точек M1 , M2 , .... Взяв
объединение этих множеств по всем кривым, ограничивающим область, находим второе множество точек.
3.
Третье
множество
"подозрительных"точек
составляют
точки L1 , L2 , ...Lm , в которых стыкуются разные кривые, ограничивающие
область.
Объединение найденных множеств составляет полный набор "подозрительных"точек - N1 , N2 , ...., M1 , M2 , ..., L1 , L2 , .... Это будет конечный набор
точек. Вычисляем значение функции f (x, y) в каждой из точек этого набора
и находим наибольшее значение - это будет искомый глобальный максимум,
и наименьшее значение - это будет глобальный минимум функции f (x, y) в
этой области. Соответствующие точки будут точками глобального максимума
и минимума соответственно.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 ?2y 2
в круге x2 + y 2 ? 4.
Найдем сначала экстремальные точки. Составим уравнения:
?z
= 2x = 0,
?x
?z
= 0,
?y
откуда находим экстремальную точку N1 = (0, 0). Далее, рассмотрим "сужение"функции на границу. Для этого достаточно подставить y 2 = 4 ? x2
в выражение для z(x, y) и получить: g(x) = z(x, y(x)) = 3x2 ? 8. Здесь
x ? [?2, 2]. Выписываем уравнение для экстремальных точек функции g(x):
dg(x)
= 6x = 0, откуда находим еще 2 точки: M1 = (0, 2), M2 = (0, ?2).
dx
Граница состоит из 2 кусков: при y > 0 и y < 0 соответственно. Точки их
30
смыкания L1 = (2, 0), L2 = (?2, 0). Вычисляя значения функции z(x, y) в
точках N1 , M1 , M2 , L1 , L2 , находим: наибольшее значение равно 4, достигается в точках L1 , L2 , наименьшее значение равно -8, достигается в точках
M1 , M 2 .
5
5.1
Интегрирование функций двух переменных.
Двойной интеграл.
Пусть в плоскости (x, y) задана ограниченная область ?, граница которой
состоит из конечного числа гладких кривых. Пусть в этой области задана
функция f (x, y). Для этой функции можно построить объект, аналогичный
определенному интегралу в одномерной ситуации. А именно, разобъем непрерывными кривыми область ? на n частей ?S1 , ?S2 , ..., ?Sn , в каждой части
выберем точку Mk (см. рис. 7). Определим интегральную сумму, соответствующую этому разбиению (обозначим ? способ разбиения и выбора точек Mk ),
Рис. 7: Разбиение области интегрирования.
I? =
?
f (Mk )?Sk ,
(20)
k
где ?Sk - площадь соответствующей части области. Пусть ? - наибольший
диаметр областей ?S1 , ?S2 , ..., ?Sn .
Определение . Если существует конечный предел lim??0 I? , не зависящий
от ? , этот предел называется
двойным интегралом
функции f (x,
??
?
? y) по области ? и обозначается
f
(x,
y)dxdy
или
f
(x,
y)dxdy
или
?
?
? f (x, y)dS .
Область ? называется областью интегрирования. Функция f (x, y) называется при этом интегрируемой в области ?.
31
Теорема. Пусть функция f (x, y) непрерывна в области ?, причем граница этой области состоит из конечного набора непрерывных кривых. Тогда
f (x, y) интегрируема в области ?.
Основные свойства двойного интеграла
Линейность по функции. Пусть f1 (x, y), f2 (x, y) - интегрируемые в ?
функции. Тогда для любых чисел c1 , c2 функция [c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)] тоже
интегрируема в ?, причем
? ?
? ?
? ?
[c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)]dS = c1
f1 (x, y)dS + c2
?
?
f2 (x, y)dS.
?
?
?2 , причем ?1 ?2 = ?,
f (x, y) интегрируема в ?1 и в ?2 . Тогда f (x, y) интегрируема в ?, причем
? ?
? ?
? ?
f (x, y)dS =
f (x, y)dS +
f (x, y)dS.
Аддитивность по области. Пусть ? = ?1
?
?
?1
?2
Монотонность интеграла. Пусть f (x, y) интегрируема в области ?,
причем f (x, y) ? 0 в области ?. Тогда
? ?
f (x, y)dS ? 0
.
?
Площадь
области. Если f (x, y) ? 1 интегрируема в области ?, то ин??
теграл
5.2
?1
· dS равен площади области ?.
Повторный интеграл
Определение. Пусть x1 < x2 , функции y = g1 (x), y = g2 (x) непрерывны на
интервале [x1 , x2 ], причем g1 (x) < g2 (x) при x ? [x1 , x2 ]. Область ? = {x ?
[x1 , x2 ], g1 (x) < y < g2 (x)} называется правильной в y -направлении, см. рис.
8.
Рассмотрим область, правильную в y -направлении. Для нее можно определить интеграл
?
g2 (x)
F (x) =
f (x, y)dy.
g1 (x)
Теорема. Пусть f (x, y) непрерывна в ?, g1 (x), g2 (x) непрерывны на интервале [x1 , x2 ]. Тогда F (x) непрерывна на интервале [x1 , x2 ].
Тогда функцию F (x)
? x можно интегрировать на интервале [x1 , x2 ], и построить величину I = x12 F (x)dx.
Определение. Интеграл
?
?
x2
I=
F (x)dx =
x1
?
x2
g2 (x)
dx
x1
32
f (x, y)dy
g1 (x)
Рис. 8: Область, правильная в y -направлении.
называется повторным интегралом от функции f (x, y) по области ?, правильной в y -направлении.
Аналогичным образом можно определить область правильную в xнаправлении и соответствующий повторный интеграл. Существуют области,
правильные в обоих направлениях. Известные свойства одномерных интегралов приводят к соответствующим свойствам повторных интегралов.
Основные свойства повторного интеграла
Линейность по функции. Пусть ? - правильная в y -направлении об-
ласть, f1 (x, y), f2 (x, y) - интегрируемые в ? функции. Тогда для любых чисел
c1 , c2 функция [c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)] тоже интегрируема в ?, причем
?
?
x2
x1
?
g2 (x)
dx
g1 (x)
?
x2
[c1 f1 (x, y) + c2 f2 (x, y)]dy = c1
f1 (x, y)dy+
x1
?
?
x2
c2
g2 (x)
dx
g1 (x)
g2 (x)
dx
f2 (x, y)dy.
x1
g1 (x)
?
?2 , причем ?1 ?2 =
?, f (x, y) интегрируема в ?1 и в ?2 , области ?, ?1 , ?2 - правильные в y направлении. Пусть, например, ?1 = {x ? [x1 , x2 ], g1 (x) < y < g2 (x)}, ?2 =
{x ? [x2 , x3 ], g1 (x) < y < g2 (x)}, ? = {x ? [x1 , x3 ], g1 (x) < y < g2 (x)}. Тогда
f (x, y) интегрируема в ?, причем
Аддитивность по области. Пусть ? = ?1
?
?
x3
x1
?
g2 (x)
dx
g1 (x)
?
x2
f (x, y)dy =
x1
?
g2 (x)
dx
?
g1 (x)
33
?
x3
f (x, y)dy +
g2 (x)
dx
x2
f (x, y)dy.
g1 (x)
Монотонность интеграла. Пусть f (x, y) интегрируема в области ?,
причем f (x, y) ? 0 в области ?, ? - правильная в y -направлении. Тогда
?
?
x2
g2 (x)
dx
x1
.
f (x, y)dy ? 0
g1 (x)
Пример. Вычислим интеграл:
?
?
4
2x
dx
2
5.3
x
? 4
? 2x
? 4
y
1
1 y 2 2x
dy =
dx
ydy =
dx |x =
x
2
2 x
x
2 x
? 4
3x
3x2 4
dx =
| = 12 ? 3 = 9.
4 2
2 2
(21)
Связь повторного и двойного интеграла
В области, правильной в каком-нибудь направлении, можно определить для
одной и той же функции двойной и повторный интегралы. Между ними существует связь.
Теорема. Пусть ? - правильная в y -направлении область с кусочно гладкой границей, ? = {x ? [x1 , x2 ], g1 (x) < y < g2 (x)} , f (x, y) - непрерывная в
этой области функция. Тогда
? ?
?
?
x2
f (x, y)dS =
g2 (x)
dx
?
x1
f (x, y)dy.
g1 (x)
Аналогичное соотношение справедливо и для областей, правильных в xнаправлении. Эта теорема дает возможность аналитического вычисления
двойного интеграла в том случае, если исходную область ? можно представить как объединение правильных (в каком-нибудь направлении) областей.
Далее, если область правильна в обоих направлениях, эта теорема дает возможность заменить порядок повторного интеграла.
Пример. Поменяем порядок интегрирования в интеграле:
?
?
1
dy
0
?
y
f (x, y)dx.
y
?
Исходная область интегрирования: {y ? [0, 1], y < x < y}. Ее можно представить в виде: {x ? [0, 1], x2 < y < x}, т.е. она правильна в обоих направлениях, см. рис. 9. Соответственно, получаем:
?
?
1
dy
0
?
?
y
f (x, y)dx =
y
x
dx
0
34
?
1
f (x, y)dy.
x2
Рис. 9: Замена порядка интегрирования в области, правильной в обоих направлениях.
5.4
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в ограниченной области ?, граница которой составлена из конечного
числа гладких кривых, задана
непрерывная функция f (x, y), так что суще?
ствует двойной интеграл ? f (x, y)dS , и пара непрерывно дифференцируемых
функций x = ?(u, v), y = ?(u, v) реализует взаимно-однозначное преобразование области ? на плоскости переменных u, v в область ? на плоскости
переменных x, y . Тогда справедливо следующее соотношение, реализующее
замену переменных в двойном интеграле:
? ?
? ?
f (x, y)dxdy =
?
f (?(u, v), ?(u, v))|J(u, v)|dudv,
?
где выражение
J(u, v) =
??(u, v) ??(u, v) ??(u, v) ??(u, v)
?
?u
?v
?v
?u
называется якобианом замены переменных. Замена переменных применяется тогда, когда область интегрирования (и/или подинтегральная функция)
упрощается после перехода к новым переменным.
Пример. Вычислим интеграл:
? ?
x2 y 2 dxdy
?
по области ? - кругу радиуса R. Перейдем в плоскости интегрирования к
полярным координатам: x = r cos ?,y = r sin ?. Исходная область интегрирования превратится в новых координатах в ? = {0 ? r ? R, 0 ? ? ? 2?} 35
правильную в обоих направлениях область. При этом
?x
?y
?y
?x
= ?r sin ?,
= cos ?,
= r cos ?,
= sin ?,
??
?r
??
?r
так что
?x ?y
?x ?y
?
= r.
?r ?? ?? ?r
Эта формула дает якобиан перехода от декартовых координат к полярным.
Переходя в двойном интеграле к новым переменным, получаем:
? ?
? ?
? R
? 2?
2 2
4
2
2
5
x y dxdy =
r cos ? sin ?rdrd? =
r dr
cos2 ? sin2 ?d? =
J(r, ?) =
?
?
r6 R
|
6 0
6
6.1
?
0
2?
0
6 ?
sin2 2?
R
d? =
4
48
0
2?
(1 ? cos 4?)d? =
0
?R6
.
24
Криволинейные интегралы
Криволинейные интегралы первого рода
Пусть функция f (x, y) задана в области ?, рассмотрим гладкую кривую L,
лежащую в этой области, рис. 10. Для кривой может использоваться различ-
Рис. 10: Кривая L, вдоль которой интегрируется функция f (x, y).
ная параметризация. Параметрическое описание кривой задается 2 функциями: x = ?(t), y = ?(t), t1 ? t ? t2 . Иногда в качестве параметра t выступает переменная x, так что для описания кривой достаточно одной функции:
y = ?(x). Если в качестве t выступает y , имеем: x = ?(y).
В приложениях возникает следующая конструкция. Разобъем кривую L
на N достаточно малых частей, в каждой части выберем точку Mk , 1 ? k ?
36
N, и пусть ?sk - длина отрезка, разбивающего последовательные концы куска
кривой. Построим интегральную сумму
I? =
k=N
?
f (Mk )?sk ,
k=1
где ? обозначает способ разбиения кривой и выбора точек Mk . Пусть ? наибольшее расстояние между последовательными точками разбиения.
Определение. Если существует конечный предел
e
lim I? = I,
??0
не зависящий от способа разбиения кривой, то говорят, что функция f (x, y)
интегрируема по кривой L, этот предел обозначают
Ie =
?
f (x, y)ds
L
и называют криволинейный интеграл первого рода от функции f (x, y) по
кривой L.
Этот интеграл обладает всеми стандартными свойствами интеграла (линейность по функции, аддитивность по кривой, монотонность). Если кривая
L имеет параметризацию x = ?(t), y = ?(t), t1 ? t ? t2 , этот интеграл может
быть сведен к одномерному интегралу:
?
?
t2
f (x, y)ds =
L
?
f (?(t), ?(t)) ?2 (t) + ? 2 (t)dt.
t1
Пример.
?
Вычислим интеграл L (x+4y)ds, где L - правая петля кривой r2 = cos(2?),
x ? 0.
Будем использовать полярные координаты, коль скоро сама кривая записана в этих координатах. Из условия следует, что правая ветвь?кривой соответствует?углам ??/4 ? ? ? ?/4. Для
?этой кривой имеем: r = cos(2?), x =
rcos? = cos(2?)cos?, y = r sin ? = cos(2?)sin?,
?
sin(2?)d?
d?
, ds = (dr)2 + r2 (d?)2 = ?
,
dr = ? ?
cos(2?)
cos(2?)
(напомним, что в полярной системе
cos ?dr ? r sin ?d?,dy =
? кординат dx = ?
r cos ?d? + sin ?dr, так что ds = (dx)2 + (dy)2 = (dr)2 + r2 (d?)2 .) Подставляя в интеграл, получаем:
?
?
?/4
(x + 4y)ds =
L
??/4
?/4
[cos ? + 4 sin ?]d? = (sin ? ? 4 cos ?)|??/4 =
37
?
2.
6.2
Криволинейные интегралы второго рода
Пусть функции P (x, y), Q(x, y) заданы в области ?, гладкая кривая L лежит в этой области, рис. 10. В приложениях также возникает следующая
конструкция, связанная с этими функциями и кривой.
Разобъем кривую L на N достаточно малых частей, в каждой части выберем точку Mk , 1 ? k ? N, и пусть ?xk ?yk - длины соответствующих
приращений отрезка разбиения. Построим интегральную сумму
I? =
k=N
?
(P (Mk )?xk + Q(Mk )?yk ),
k=1
где ? обозначает способ разбиения кривой и выбора точек Mk . Пусть ? наибольшее расстояние между последовательными точками разбиения.
Определение. Если существует конечный предел
e
lim I? = I,
??0
не зависящий от способа разбиения кривой, то говорят, что что пара функций
P (x, y), Q(x, y) интегрируема по кривой L, этот предел обозначают
Ie =
?
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy)
L
и называют криволинейный интеграл второго рода от пары функций
P (x, y), Q(x, y) по кривой L.
Отметим, что при этом у кривой L следует указывать направление обхода (т.е. мы рассматриваем ориентируемые кривые), так как знак интеграла
зависит от выбора направления обхода кривой.
?????
?
Если ввести вектор-функцию f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), и вектор d?
s =
(dx, dy), то криволинейный интеграл второго рода можно записать с помощью скалярного произведения,
Ie =
?
????? ?
(f (x, y), d?
s ).
L
Криволинейный интеграл второго рода также обладает стандартными
свойствами обычных интегралов: линейность по функции (точнее, по вектор-
?????
функции f (x, y) ), аддитивность по кривой (с учетом ориентации). Если криe отличается от L только ориентацией, то
вая L
?
????? ?
(f (x, y), d?
s)=?
L
38
?
e
L
????? ?
(f (x, y), d?
s ).
Связь криволинейных интегралов первого и второго рода. Если
L - ориентированная гладкая кривая, n(x, y) = (cos(?(x, y)), sin(?(x, y)) единичный вектор, касательный к L и направленный в соответствии с ее
ориентацией, то
?
?
????? ?
(f (x, y), d?
s ) = [P (x, y) cos(?(x, y)) + Q(x, y) sin(?(x, y))]ds,
L
L
где слева - криволинейный интеграл второго рода, справа - соответствующий
криволинейный интеграл первого рода.
Пример.
Вычислим
?
[(y 2 + 2xy)dx + (x2 ? 2xy)dy],
L
?
где L - дуга параболы y = x2 от точки (1,1) до точки (2,4).
Сведем этот интеграл к интегралу первого рода и, тем самым, к обычному
одномерному интегралу. На кривой y = x2 имеем: dy = 2xdx, так что
?
[(y 2 +2xy)+(x2 ?2xy)dy] =
L
?
2
[x4 +2x3 +(x2 ?2x3 )2x]dx =
1
2
(4x3 ?3x4 )dx = ?18/5.
1
Связь криволинейных и двойных интегралов.
Теорема (формула Грина).
Пусть ограниченная область ? имеет в качестве границы конечный набор гладких кривых, обозначим L объединение этих кривых, ориентированное так, что при обходе вдоль L область ? остается слева. Пусть функции
P (x, y), Q(x, y) непрерывны в ? вместе со своими частными производными
?P ?Q
?y , ?x . Тогда
? ? [
?
[P (x, y)dx + Q(x, y)dy] =
L
?
Контрольная работа.
]
?Q(x, y) ?P (x, y)
?
dxdy.
?x
?y
?
Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a =
(a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в
?
?
точке A по направлению ?
a , z = 4x2 ? xy , A(?1, 1), ?
a = (4, 3).
?z ?z
,
)
=
(8x
? y, ?x), подставляя
Решение. Вычисляем gradz(x, y) = (
?x ?y
координаты точки A, находим: gradz(A)
? = (?9, 1). Далее, вектор единичной
?
?
?
?
длины вдоль ?
a :?
e =?
a /|?
a | = (4, 3)/ 42 + 32 = (4/5, 3/5). Соответственно,
?
?
?z
?s = (gradz, e ) = (?9 · 4 + 1 · 3)/5 = 7.
Задание 2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки
функции f (x, y), f (x, y) = 9 ? 6x + 8xy ? x2 ? 4y 2 .
?f
?f
Решение. Вычисляем частные производные
?x = ?6 + 8y ? 2x, ?y = 8x ?
8y . Приравниваем их нулю - ищем точки экстремума, для которых получаем
Задание 1.
39
систему уравнений: ?6 + 8y ? 2x = 0, 8x ? 8y = 0. Решаем эту систему:
x1 = y1 = 1. Далее, вычисляем вторые частные производные в точке (x1 , y1 ):
?2f
?2f
?2f
?2f ?2f
?2f 2
2
?x2 = ?2, ?x?y = 8, ?y 2 = ?8. Следовательно, AC ? B = ?x2 ?y 2 ? ( ?x?y ) =
(?2) · (?8) ? 82 = ?48 < 0, так что это седловая точка функции f (x, y).
Задание 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =
f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 ? xy + 2x, ?4x2 + 4 ? y ? 0.
Решение. Область представлена на рисунке 11, нижняя граница - прямая
y = 0, верхняя - парабола y = 4 ? 4x2 . Ищем экстремальные точки функции,
?z
решая систему ?x
= 2x ? y + 2 = 0, ?f
?y = ?x = 0, откуда находим: x1 = 0,
y1 = 2. Она принадлежит указанной области.
Рис. 11: Область, ограниченная параболой и прямой
Далее, рассмотрим сужение функции z(x, y) на нижнюю границу. Для
этого подставляем в z(x, y) значение y = 0, так что z1 (x) = x2 + 2x, при этом
?1 ? x ? 1. Находим экстремальную точку функции z1 (x) из уравнения
dz1
dx = 2x + 2 = 0, так что x2 = ?1, соответственно y2 = 0. Рассмотрим сужение функции z(x, y) на верхнюю границу, для чего подставим y = 4 ? 4x2 .
При этом z2 (x) = 4x3 + x2 ? 2x, ?1 ? x ? 1. Ищем экстремальные точки:
?
?
z2 (x)
2
dx = 12x + 2x ? 2 = 0, находим: x3,4 = (?1 ± 13)/12, y3,4 = (65 ± 13)/18.
Добавляем еще пару точек (тех, где смыкаются линии, ограничивающие область): x5 = ?1, y5 = 0, x6 = 1, y = 0, причем пятая точка совпадает со
второй. Итого имеем 5 "подозрительных"точек. Вычисляя значения z(x, y) в
этих точках, находим: zmax = z(1, 0) = 3, zmin = z(?1, 0) = ?1.
Задание 4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
x2 ? y 2
dxdy,
2
2
? x +y
40
где ? = {(x, y) : x2 + y 2 ? a2 }.
Решение. Перейдем к полярным координатам, x = rcos?, y = rsin?, в
этих координатах наша область имеет вид: 0 ? ? ? 2? , 0 ? r ? a, причем
якобиан замены переменных равен r. Следовательно, в полярных координатах наш интеграл имеет вид:
? ?
? 2? ? a 2
x2 ? y 2
r (cos2 ? ? sin2 ?)
dxdy
=
rdrd? =
2
2
r2
? x +y
0
0
? 2?
? a
a2 sin(2?) 2?
cos(2?)d?
rdr =
·
= 0.
0
2
2
0
0
? ds
Задание 5.
L x+2y , где L - отрезок AB , A=(1,2), B=(4,5).
Решение. Выпишем сначала уравнение прямой, на которой лежит отрезок L. Нетрудно установить, что это y?
= x + 1. Подставляем
это выражение
?
в интеграл, причем y ? (x) = 1, так что 1 + (y ? (x))2 = 2. Получаем:
?
?
?
? 4
? ? 4 dx
ds
2dx
2
=
= 2
=
ln(14/5).
x
+
2y
x
+
2(x
+
1)
3x
+
2
3
L
1
1
Контрольная работа 4.
Вариант 1
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 2x2 + xy , A(?1, 2), ?
a = (3, 4).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = 9 ? 2x + 4y ? x2 ? 4y 2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + xy , ?1 ? x ? 1; 0 ? y ? 3.
4. Вычислить
?
?
2
4
dx
5. Вычислить
?
ds
L x?y ,
1
3
dy
.
(x + y)2
где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,0).
Вариант 2
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arctg(xy 2 ), A(2, 3), ?
a = (4, ?3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = xy(1 ? x ? y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
3 ? 2x2 ? xy ? y 2 , x ? 1; y ? 0; y ? x.
41
4. Вычислить
? 1?
1?x
xydy.
5. Вычислить
?
ds
L x2 ?2y ,
0
x2 ?1
где L - отрезок AB , A=(-1,-2), B=(4,0).
Вариант 3
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 5x2 + 6xy , A(2, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
2 2
f (x, y), f (x, y) = x y ?8x+y
.
xy
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + xy ? 2, 4x2 ? 4 ? y ? 0.
4. Вычислить
? ?
xydxdy,
?
где область ? ограничена осями координат и кривой x = acos3 t, y =
asin3 t, 0 ? t ? ?/2?.
5. Вычислить L (x2 + y)ds, L отрезок AB , A=(0,1), B=(-2,3).
Вариант 4
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = ln(2x + 3y), A(2, 2), ?
a = (2, ?3).
2. Найти локальные
максимумы,
минимумы
и седловые точки функции
?
f (x, y), f (x, y) = y x ? y 2 ? x + 6y .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 ? xy + y 2 ? 4x, x ? 0; y ? 0; 2x + 3y ? 12.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
cos(x2 + y 2 )dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x2? + y 2 ? a2 }.
5. Вычислить L xyds, L есть контур квадрата, ограниченного линиями
x ± y = 1, x ± y = ?1.
Вариант 5
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arctg(xy), A(2, 3), ?
a = (4, 3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 .
42
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
2x + y ? xy , 0 ? x ? 4; 0 ? y ? 4.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
x2
dxdy,
2
2
? x +y
где ? = {(x, y) : x?2 + y 2 ? a2 }.
5. Вычислить L xyds, L есть четверть окружности x2 + y 2 = 1, лежащая
в первом квадранте.
Вариант 6
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arctg(y/x), A(?1, 1), ?
a = (1, ?1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = exp(4y ? x2 ? y 2 ).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 + x2 y + 4, |x| ? 1; |y| ? 1.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
ln(1 + x2 + y 2 )dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x?2 + y 2 ? a2 }.
5. Вычислить L (x2 ? y 2 )ds, где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,2).
Вариант 7
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = arcsin(x2 /y), A(1, 2), ?
a = (5, ?12).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x3 y + 12x2 ? 8y .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + 3y 2 + x ? y , x ? 1; y ? 1; x + y ? 1.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ? ?
x2 + y 2 dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x ? + y ? ay }.
5. Вычислить L yds, L есть дуга параболы y 2 = 2x от точки (2,-2) до
точки (8,4).
2
2
43
Вариант 8
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = x3 + xy 3 , A(1, 3), ?
a = (?5, 12).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = exp(y) cos(x).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 /2 ? xy , y ? x2 /3; y ? 3.
4. Вычислить c помощью полярных координат
? ?
y2
?
a2 ? x2 dxdy,
?
где ? = {(x, y) : x? + y ? a }.
5. Вычислить L (x + y)ds, L = {(x, y) : x = acost, y = asint, 0 ? t ? ?/2.}
2
2
2
Вариант 9
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 3x/y 2 , A(3, 4), ?
a = (?3, ?4).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x2 + y 2 + x21y2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 ? xy + x + y , x ? 0; y ? 0; x + y ? ?3.
4. Вычислить
?
?
1
1
dx
5. Вычислить
?
L (2x
0
0
xdy
.
(1 + + y 2 )3 /2
x2
+ 3y)ds, где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,4).
Вариант 10
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 5x2 ? 2xy + y 2 , A(1, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (2x ? x2 )(2y ? y 2 ).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
xy ? 2x ? y , 0 ? x ? 3; 0 ? y ? 4.
4. Вычислить
?
?
?/2
x
dx
.
0
cos(x + y)dy
0
44
5. Вычислить
?
L (x
2
? 2y)ds, где L - отрезок AB , A=(0,-2), B=(4,0).
Вариант 11
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 5x + 10x2 y + y 5 , A(1, 2), ?
a = (4, ?3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x2 y 2 ? 2xy 2 ? 6x2 y + 12xy .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 ? 4x, ?2 ? x ? 1; ?1 ? y ? 3.
4. Вычислить
? ?
dxdy
,
(x
+
y + 1)2
?
? = {0 ? x ? 1, 0 ?? y ? 1}.
5. Вычислить L x2 ds, L = {x2 + y 2 = R2 , y ? 0}
Вариант 12
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 1 + x2 y 3 , A(?1, 1), ?
a = (1, 3).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x4 + y 4 ? 2x2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x3 + 8y 3 ? 6xy + 1, 0 ? x ? 2; ?1 ? y ? 1.
4. Вычислить
? ?
ydxdy
,
x2
?
? = {x ? 0, x3 ? y? ? x2 }.
5. Вычислить L (2xydx + x2 dy), L = {(x, y) : y = x2 /4, 0 ? x ? 2.}
Вариант 13
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = yxy , A(2, 1), ?
a = (1, ?1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x4 + y 4 ? 2(x ? y)2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 ? 2y + 3, y ? x ? 1, x ? 0; y ? 0.
4. Вычислить
? ?
x2 y 2 dxdy,
?
45
? = {y 2 ? x ? 1}.?
5. Вычислить L (yx?1 dx + dy), L = {(x, y) : y = ln x, 1 ? x ? e.}
Вариант 14
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = x sin(x + y), A(?/4, ?/4), ?
a = (?1, 1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = 2x4 + y 4 ? x2 ? 2y 2 .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z = x2 y ,
x2 + y 2 ? 1.
4. Вычислить
? ?
xy 2 dxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? a2?, x ? 0}.
5. Вычислить L (xdy ? ydx), L = {(x, y) : y = x3 , 0 ? x ? 2.}
Вариант 15
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 3x4 + y 3 + xy , A(1, 2), ?
a = (?1, 1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = xy 2 (12 ? x ? y), x > 0, y > 0.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x2 + y 2 ? xy ? x ? y , x + y ? 3; y ? 0; x ? 0.
4. Вычислить
? ?
(x3 + y 3 )dxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? R2?, y ? 0}.
5. Вычислить L (x ? 1/y)dy , L = {(x, y) : y = x2 , 1 ? x ? 2.}
Вариант 16
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке
A
,
2)
производную
в точке A по
?
?
?
направлению ?
a , z = arctg(y/x), A(1/2, 3/2), ?
a = (1, 1).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = x2 y 3 (6 ? x ? y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
xy(6 ? x ? y), x + y ? 12, y ? 0; x ? 0.
4. Вычислить
? ?
(x + 2y)dxdy,
?
46
? = {2 ? x ? 3, x?? y ? 2x}.
5. Вычислить L (xydx ? y 2 dy), L = {(x, y) : y 2 = 2x, 0 ? x ? 2.}
Вариант 17
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение
в
точке
A
,
2)
производную
в точке A по
?
?
?
направлению ?
a , z = x ? 3y + 3xy , A(3, 1), ?
a = (1, 0).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (x + y)x?1 y ?1 ? xy .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x + 3y , x + y ? 6; x + 4y ? 4, y ? 2.
4. Вычислить
? ?
(x + y)dxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? R2?, x ? y}.
5. Вычислить L xdy , L = {(x, y) : y 2 + x2 = a2 , 0 ? x, ?a ? y ? a.}
Вариант 18
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
?
направлению ?
a , z = (x + y)y ?1 , A(2, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (x + y 2 ) exp(x/2).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
(y 2 ? x2 ) exp(1 ? x2 + y 2 ), x2 + y 2 ? 4.
4. Вычислить
? ?
xydxdy,
?
? = {x2 + y 2 ? 25,? 3x + y ? 5}.
?
5. Вычислить L (2xydx ? x2 dy), L = {(x, y) : y = x/2, 0 ? x ? 2.}
Вариант 19
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) производную в точке A по
?
?
направлению ?
a , z = 3x2 y + 5xy 2 , A(1, 1), ?
a = (1, 2).
2. Найти локальные максимумы, минимумы и седловые точки функции
f (x, y), f (x, y) = (5 ? 2x + y) exp(x2 ? y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области ?, заданной системой неравенств. Сделать чертеж. z =
x3 + y 3 ? 3xy , 0 ? x ? 2; ?1 ? y ? 2.
4. Вычислить
? ?
(2y ? x)dxdy,
?
47
? = {y(y ? x) ? 2,? x(x + y) ? 3}.
?
5. Вычислить L ((xy ? y 2 )dx + xdy), L = {(x, y) : y = 2 x, 0 ? x ? 1.}
Вариант 20
?
1. Даны функция z = f (x, y), точка A(x0 , y0 ) и вектор ?
a = (a1 , a2 ). Найти: 1) gradz(x, y) и его значение в точке A, 2) п?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
509 Кб
Теги
kazakovkorchevsky
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа