close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KazakovMakarovaDik

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
АНАЛИТИЧЕСКая ГЕОМЕТРИя
етодические указания
к сборнику по индивидуальным заданиям
и решениям
Санкт-Петербург
2011
Составители: А. Я. Казаков, М. В. Макарова, О. Е. Дик
Рецензент кафедра прикладной математики ГУАП, доктор физикоматематических наук профессор В. Г. Фарафонов
Индивидуальные задания предназначены для студентов 1-го
курса очной формы обучения.
Подготовлено к изданию кафедрой высшей математики по рекомендации методической комиссии факультета ИБМП С.-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Отпечатано в авторской редакции
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 10.10.11. Подписано к печати 11.10.11.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,9.
Уч.-изд. л. 2,8. Тираж 100 экз. Заказ № 517.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2011
1. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
1.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРОВ И ДЕЙСТВИЙ НАД НИМИ
Вектором размерности n называется столбец из n чисел. Любой
вектор a единственным образом раскладывается по координатным
ортам i, j, k прямоугольной декартовой системы координат OXYZ:
a = xi + yj + zk,
где x, y, z – вещественные числа, называемые координатами вектора a. Тот факт, что числа x, y, z – координаты вектора а, записывается так: a = {x,y,z}.
В геометрической интерпретации вектору можно сопоставить
направленный отрезок прямой, один из концов которого объявлен началом, а другой – концом вектора. Если известны начало
A(x1,y1,z1) и конец B(x2,y2,z2) вектора AB, то его координаты вычисляются по формулам:
x = x2 - x1, y = y2 - y1, z = z2 - z1.
Длина вектора вектора a = {x,y,z} вычисляется по формуле:
a = x2 + y2 + z2 .
Векторы a и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Векторы a = {x1,y1,z1}, b = {x2,y2,z2} коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты
пропорциональны:
x1 / x2 = y1 / y2 = z1 / z2 .
Векторы a, b и с называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Условие компланарности векторов
a = {x1,y1,z1}, b = {x2,y2,z2}, c = {x3,y3,z3} заключается в равенстве
нулю определителя, построенного по их координатам:
3
x1
x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2 = 0.
z3
Проекция pua вектора а на ось u выражается через его модуль и
угол j между вектором и осью формулой:
pu a = a × cos j.
Скалярным произведением двух векторов а и b, a = {x1,y1,z1},
b = {x2,y2,z2}, называется число
(a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 .
Угол j между векторами а и b определяется формулой:
cos j =
x1x2 + y1y2 + z1z2
(a, b)
=
.
2
a×b
x1 + y12 + z12 × x22 + y22 + z22
Таким образом, скалярное произведение векторов a, b равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
(a, b) = a × b × cos j.
Есл вектора ненулевые и их скалярное произведение равно 0,
они называются перпендикулярными (ортогональными).
Если векторы а и b заданы своими координатами a = {x1,y1,z1},
b = {x2,y2,z2}, то векторное произведение вектора а на вектор b
определяется формулой:
ìï y
[a,b] = ïí 1
ïï y2
î
z1
x1
, z2
x2
z1
x1
,
z2
x2
i
y1 üïï
ý или [a, b ] = x1
y2 ïïþ
x2
j
y1
y2
k
z1 .
z2
Из определения следует, что длина вектора с равна: │c│ = │a│∙
│b│∙sinj, то есть произведению длины перемножаемых векторов на
синус угла j между ними. Таким образом, длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и
b. Этот вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора а и b, и направлен в соответствии с правилом “правого винта”
при вращении вектора а к вектору b.
4
Площадь треугольника, построенного на двух заданных векторах а, b исходящих из одной точки, выражается по формуле:
S=
1
[a,b] .
2
Смешанным произведением трех векторов а, b и c называется
число, равное векторному произведению [a, b], умноженному скалярно на вектор с, то есть ([a, b],c).
Имеет место тождество ([a, b],c) = (а,[b, с]), поэтому для обозначения смешанного произведения употребляется более простой символ: (a,b,c).
Геометрическое истолкование: абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на
векторах а, b и c.
Если векторы а, b, c заданы своими координатами a = {x1,y1,z1},
b = {x2,y2,z2}, c = {x3,y3,z3}, то смешанное произведение определяется формулой:
x1 y1 z1
(a, b, c) = x2 y2 z2 .
x3 y3 z3
Объем пирамиды, образующими которой являются вектора а, b
и c, равен │(a,b,c) │/6.
Необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, b и c является равенство нулю их смешанного произведения.
1.2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнением прямой на плоскости называется такое уравнение
первой степени с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой прямой.
Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением
прямой.
Уравнение прямой, которое разрешено относительно переменной y, то есть уравнение вида y = kx + b, называется уравнением
с угловым коэффициентом. Параметр k называется угловым коэффициентом и равен тангенсу угла j наклона прямой к оси OX,
k = tgj. Параметр b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси
OY, считая от начала координат.
5
x y
+ = 1 называется уравнением прямой в отa b
резках, здесь а и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на
осях координат,
Углом между двумя прямыми y = k1x + b1 и y = k2x + b2 вычисляется по формуле:
Уравнение вида
tgα =
k2 - k1
.
1 + k1k2
Условие параллельности двух прямых: k1 = k2.
Условие перпендикулярности:: k1 ∙k2 = –1.
Если прямые даны уравнениями в общем виде A1x + B1y + C1 =
= 0, A2x + B2y + C2 = 0, то условие параллельности прямых можно записать так: A1/A2 = B1/B2; а условие перпендикулярности
A1A2 + B1B2 = 0.
Если прямая имеет угловой коэффициент k и проходит через
данную точку (x0, y0), то ее уравнение имеет вид: y – y0 = k(x – x0).
Если прямая проходит через две данные точки (x1, y1) и (x2, y2),
то уравнение
y - y1
x - x1
=
y2 - y1 x2 - x1
называется уравнением прямой, проходящей через две данные
точки.
Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 находится по формуле:
d=
Ax0 + By0 + C
A 2 + B2
.
Деление отрезка в заданном отношении λ.
Пусть М(x1, y1), N(x2, y2), тогда координаты точки Р(x0, y0),
x + λx2
такой что АС/СВ = λ, вычисляются по формулам: x0 = 1
,
1+ λ
y1 + λy2
y0 =
.
1+ λ
Тогда длина отрезка MN находится по формуле:
2
2
MN = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) .
6
1.3. ПЛОСКОСТЬ
В декартовых координатах каждая плоскость в трехмерном пространстве определяется уравнением первой степени относительно
координат точки и каждое такое уравнение первой степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной
плоскости, называется ее нормальным вектором.
Уравнение A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 определяет плоскость, проходящую через точку M(x0, y0, z0) и имеющую нормальный вектор n = {A,B,C} (вектор, который перпендикулярен любой
прямой на этой плоскости).
Введя обозначение D = – Ax0 – By0 – Cz0, получаем общее уравнение плоскости:
Ax + By + Cz = 0.
Если в общем уравнении плоскости D = 0, то плоскость проходит
через начало координат.
Если какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю, то плоскость параллельна той координатной оси, которая одноименна с
отсутствующей координатой; если, кроме того, D = 0, то плоскость
проходит через эту ось.
Если какие-либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю, то
плоскость параллельна той координатной плоскости, которая проходит через оси, одноименные с отсутствующими координатами;
если, кроме того, D = 0, то плоскость совпадает с этой координатной
плоскостью.
Если в общем уравнении плоскости ни один из коэффициентов
А, В, С, D не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду x/a + y/b + z/c = 1, где величины a, b, c равны величинам
отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях, это
уравнение плоскости “в отрезках”.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной
прямой, имеет вид:
x - x1
x2 - x1
x3 - x1
y - y1
y2 - y1
y3 - y1
z - z1
z2 - z1 = 0.
z3 - z1
Расстояние от точки M0 (x0, y0, z0) до плоскости, заданной общим уравнением:
7
d=
Ax0 + By0 + Cz0 + D
A 2 + B2 + C2
.
Пусть две плоскости заданы общими уравнениями:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0.
Условие параллельности двух плоскостей:
A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2 .
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
A1 × A2 + B1 × B2 + C1 × C2 = 0.
Угол между двумя плоскостями определяется как угол между
нормалями к этим плоскостям: cos j = (n1,n2 ) / n1 × n2 .
1.4. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямая в трехмерном пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей:
ïìï A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
í
ïïî A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0.
Каноническое уравнение прямой:
x - x0 y - y0 z - z0
=
=
,
m
n
p
где x0, y0, z0 – координаты точки М0 на прямой;
x, y, z
– текущие координаты точек прямой;
m, n, p – координаты направляющего вектора а прямой.
Параметрическое уравнение прямой:
ïìïx = x0 + mt,
ïï
í y = y0 + nt,
ïï
ïïî z = z0 + pt,
где t – переменный параметр, отмечающий точку прямой.
8
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (x1,
y1, z1) и N (x2, y2, z2):
x - x1
y - y1
z - z1
=
=
.
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
Если прямая задана как пересечение двух плоскостей, то направляющий вектор прямой определяется из соотношения:
i
a = [n1,n2 ] = A1
A2
j
B1
B2
k
C1 .
C2
Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
x - x1 y - y1 z - z1 x - x2 y - y2 z - z2
=
=
;
=
=
.
m1
n1
p1
m2
n2
p2
Условие параллельности: m1 / n1 = n1 / n2 = p1 / p2 .
Условие перпендикулярности: m1 · m2 + n1· n2 + p1 · p2 = 0.
Угол между прямыми определяется как угол между направляющими векторами этих прямых: cos j = (a1, a2 ) / a1 × a2 .
1.5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТИ
Пусть в пространстве заданы: прямая
x - x0 y - y0 z - z0
=
=
;
m
n
p
и плоскость Ax + By + Cz + D = 0.
Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между
направляющим вектором прямой a = {m,n,p} и вектором нормали к
плоскости n = {A,B,C}.
Тогда: sin j = (n, a) / n × a .
В координатной форме: sin j =
Am + Bn + Cp
.
A2 + B2 + C2 × m2 + n2 + p2
Условие параллельности прямой и плоскости есть условие перпендикулярности векторов n и а:
9
Am + Bn + Cp = 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости есть условие
коллинеарности векторов n и а:
A / mn = B / n = C / p.
Условие принадлежности данной прямой данной плоскости:
ïìï Am + Bn + Cp = 0,
í
ïïî Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.
Условие принадлежности одной плоскости двух прямых
x - x1 y - y1 z - z1
x - x2 y - y2 z - z2
=
=
и
=
=
m1
n1
p1
m2
n2
p2
можно записать в координатной форме:
x2 - x1
m1
m2
y2 - y1
n1
n2
z2 - z1
p1 = 0.
p2
Если это условие выполняется, то прямые лежат в одной плоскости, то есть они или параллельны, если координаты направляющих
векторов пропорциональны, или пересекаются, если координаты
направляющих векторов не пропорциональны.
В противном случае, если сформулированное условие не выполняется, то прямые скрещиваются.
Если даны две плоскости
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0,
то уравнение всякой плоскости, проходящей через линию пересечения заданных плоскостей, имеет вид: A1x + B1y + C1z + D1 +
+ λ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, где λ – переменный параметр. Это
уравнение называется уравнением пучка плоскостей.
10
2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2.1. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
НА ПЛОСКОСТИ
Алгебраической кривой второго порядка на плоскости называется кривая, уравнение которой в декартовой системе координат на
плоскости имеет вид:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
В общем случае может оказаться, что это уравнение определяет
так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку,
прямую, пару прямых).
Если же кривая невырожденная, то для нее найдется такая декартова прямоугольная система координат на плоскости, в которой
уравнение этой кривой имеет один из следующих трех видов, так
называемое каноническое уравнение:
1)  x2 / a2 + y2 / b2 = 1, a ³ b > 0, эллипс;
2)  x2 / a2 - y2 / b2 = 1, a, b > 0, гипербола;
3) y2 = 2px, p > 0, парабола.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду может быть осуществлено одним из методов: поворот осей координат, выделение полных квадратов, матричный
способ. Эти методы подробно рассмотрены в курсе линейной алгебры. Нашей целью является изучение основных геометрических
свойств невырожденных кривых второго порядка на основе их канонических уравнений.
Во всех задачах индивидуальных заданий предполагается, что
уравнение кривых записано в канонической форме.
2.2. ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от одной и той же точки, называемой ее центром.
В прямоугольной декартовой системе координат уравнение
окружности имеет вид:
(x - xc )2 + (y - yc )2 = r 2 ,
где (xc, yc) – координаты ее центра, а r – ее радиус.
11
Если центр окружности находится в начале системы координат,
то ее уравнение имеет более простой вид:
x2 + y2 = r2.
Параметрические уравнения окружности имеют вид:
x = xc + r cos t, y = yc + r sin t, 0 £ t £ 2p.
Уравнение касательной к окружности в произвольной ее точке с
координатами (x0, y0) имеют вид:
xx0 + yy0 = r2.
Общее уравнение кривой второго порядка представляет окружность, если коэффициенты при квадратах координат равны между
собой и если отсутствует член с произведением координат xy.
2.3. ЭЛЛИПС
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,
сумма расстояний которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным
осям, имеет вид:
(x - xc )2 / a2 + (y - yc )2 / b2 = 1,
где (xc, yc) – координаты центра эллипса.
Если центр эллипса находится в начале системы координат, то
имеем каноническое уравнение эллипса:
x2 / a2 + y2 / b2 = 1.
Ниже подразумевается, что используется каноническое уравнение эллипса.
Координаты фокусов эллипса: F1(– c, 0), F2(c, 0), где c2 = a2 – b2.
Вершины эллипса: А1(– а, 0), А2(a, 0), B1(0, – b), B2(0, b).
Отрезки A1A2 = 2a, B1B2 = 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса, величины a, b – большой (малой) полуосями эллипса.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния
между фокусами к длине большой оси эллипса, обозначается буквой ε: ε = с/а (ε < 1).
12
Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные
малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии, равном а/ε;
уравнения директрис: x = ± а/ε.
Фокальными радиусами называются расстояния r1 и r2 от произвольной точки М(x, y) эллипса до его фокусов F1 и F2 соответственно. Фокальные радиусы находятся по формулам:
r1 = a + εx, r2 = a – εx.
Отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса:
r1/d1 = ε, r2/d2 = ε.
Эти соотношения позволяют дать другое определение эллипса:
эллипс – геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой
(директрисы) есть величина постоянная, меньшая единицы.
Касательная к эллипсу в точке М(x0, y0) определяется уравнением:
xx0/a2 + yy0/b2 = 1.
Условие касания прямой Ax + Bx + C = 0 эллипса x2/a2
2
b = 1 записывается в виде соотношения A2a2 + B2b2 = C2.
+ y2/
Параметрическое уравнение эллипса:
x = acost, y = bsint, 0 ≤ t ≤ 2p,
где t – величина угла между осью OX и прямой ОМ, соединяющей
центр эллипса с его точкой М(x, y).
Если фокусы эллипса расположены на оси OY, тогда уравнение
эллипса имеет тот же канонический вид: x2/a2 + y2/b2 = 1, однако
при этом b >a и c2 = b2 – a2; ε = с/b, директрисы y = ± b/ε.
2.4. ГИПЕРБОЛА
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости,
разность расстояний которых до двух данных точек (фокусов) есть
величина постоянная, положительная и меньше расстояния между
фокусами.
Уравнение гиперболы с осями, параллельными осям координат,
имеет вид:
13
(x – xc)2/a2 – (y – yc)2/b2 = 1,
где (xc, yc) – координаты центра гиперболы.
Если центр гиперболы находится в начале системы координат,
то имеем каноническое уравнение гиперболы:
x2/a2 – y2/b2 = 1.
Координаты фокусов гиперболы: F1(– c, 0), F2(c, 0), где c2 = a2 +
+ b2.
Вершины гиперболы: А1 (– а, 0), А2 (a, 0).
Вещественной осью гиперболы называется отрезок A1A2 = 2a.
Мнимой осью гиперболы называется отрезок B1B2 = 2b, где
B1(0, – b), B2(0, b).
Фокальной осью гиперболы называется прямая F1F2.
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси гиперболы, обозначается буквой ε = с/а (ε < 1).
Директрисами гиперболы называются две прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстояние, равное а/ε; уравнения директрис: x = ± а/ε.
Фокальными радиусами называются расстояния r1 и r2 от произвольной точки М(x, y) гиперболы до ее фокусов F1 и F2 соответственно. Фокальные радиусы находятся по формулам:
1) для точек М(x, y), лежащих на левой ветви гиперболы:
r1 = – a – εx, r2 = a – εx;
2) для точек М(x, y), лежащих на правой ветви гиперболы:
r1 = a + εx, r2 = – a + εx.
Асимптотами гиперболы являются диагонали прямоугольника, центр которого находится в центре гиперболы, а стороны равны
и параллельны осям гиперболы. Уравнение асимптот гиперболы:
y = ± (b/a)x.
Отношение расстояния r1 (или r2) от любой точки гиперболы до
фокуса F1 (или F2) к соответствующему расстоянию d1 (или d2) от
нее до директрисы равно эксцентриситету:
r1/d1 = ε, r2/d2 = ε.
Эти соотношения позволяют дать другое определение гиперболы: гипербола – геометрическое место точек плоскости, отношение
14
расстояний от которых до данной точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная, большая единицы.
Касательная к гиперболе в точке М(x0, y0) определяется уравнением:
xx0/a2 – yy0/b2 = 1.
Условие касания прямой Ax + Bx + C = 0 гиперболы x2/a2 – y2/
b2 = 1 записывается в виде соотношения:
A2a2 – B2b2 = C2.
Сопряженной называется гипербола, фокусы которой расположены на оси OY; уравнение сопряженной гиперболы имеет вид:
–x2/a2 + y2 = с/b;
асимптоты: y = ± (b/a)x, директрисы: y =/b2 = 1;
эксцентриситет сопряженной гиперболы: ε ± b/ε;
касательная в точке (x0, y0): – xx0/a2 + yy0/b2 = 1.
Равносторонней называется гипербола с равными полуосями
(a = b).
2.5. ПАРАБОЛА
Параболой называется геометрическое место точек плоскости,
равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в этой же плоскости.
Фокус параболы принято обозначать буквой F, директрису –
буквой – l, расстояние FB от фокуса до директрисы – буквой p;
точка А, являющаяся серединой отрезка FB, называется вершиной
параболы.
Координаты фокуса параболы F (p/2, 0).
Уравнение директрисы параболы: x = – p/2.
Каноническое уравнение параболы, в случае, когда ее вершина
расположена в начале координат: y2 = 2px, если вершина параболы
расположена в точке A(xc, yc), то уравнение параболы записывается в виде:
(y – yc)2 = 2p(x – xc).
Фокальным радиусом называется расстояние r от произвольной
точки М(x, y) параболы до ее фокуса F.
Фокальный радиус находятся по формуле:
r = x + p/2.
15
Уравнение касательной к параболе в точке М(x0, y0) имеет вид:
yy0 = p(x + x0).
Отношение расстояния r от любой точки М(x, y) параболы до
фокуса F к расстоянию d от нее до директрисы называется ее эксцентриситетом, и он равен ε = r/d = 1 (в силу определения параболы).
Уравнение параболы, симметричной относительно оси OY и проходящей через начало системы координат, имеет вид: x2 = 2qy.
Фокус ее расположен в точке F(0, q/2), директриса: y = – q/2.
Фокальный радиус точки М(x,y) такой параболы вычисляется
по формуле:
r = y + q/2.
Уравнение касательной в точке М0 (x0, y0) к параболе x2 = 2qy
имеет вид: xx0 = q (y + y0).
16
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 1.
Даны вершины треугольника А(2, – 2), В(3, – 5) и С(5, 1). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на
биссектрису внутреннего угла при вершине В.
Решение:
Чтобы составить уравнение перпендикуляра СD, опущенного на
биссектрису угла B, необходимо знать угловой коэффициент этой
биссектрисы, или (что то же самое) ее направляющий вектор. Направляющий вектор биссектрисы равен сумме направляющих векторов сторон угла. Направляющий вектор стороны BA: (–1,3), стороны BC: (2,6). Соответствующие единичные вектора: (-1,3) 10,
(1,3) / 10, значит, направляющий вектор биссектрисы равен
(0,6) / 10 или (т.к. направляющий вектор определяется с точностью до множителя) (0,1). Тогда направляющий вектор перпендикуляра к биссектрисе будет (1,0), т. е. эта прямая параллельна оси
OX, откуда следует ее уравнение y = 1.
Ответ: Уравнение перпендикуляра: y – 1 = 0.
ПРИМЕР 2.
Даны вершины треугольника А(12, – 4), В(0, 5) и С(– 12, – 11).
Найти: а) длины сторон, б) уравнения сторон, в) уравнение высоты, проведенной из вершины В, г) уравнение медианы, проведенной из точки А, д) уравнение биссектрисы угла С, е) площадь треугольника.
Решение:
а) Длины сторон треугольника определяем по формуле расстоя2
2
ния между двумя точками d = (x2 - x1 ) + (y2 - y1 ) .
Ответ: АВ = 15, АС = 25, ВС = 20.
б) Каждая сторона треугольника проходит через две точки, поэтому для составления уравнений сторон нужно воспользоваться
y - y1
x - x1
формулой
=
.
y2 - y1 x2 - x1
Ответ: АВ: 3x + 4y – 20 = 0,
AC: 7x – 24y – 180 = 0,
BC: 4x – 3y + 15 = 0.
в) Чтобы составить уравнение высоты, проведенной из точки В
на сторону AC, необходимо знать угловой коэффициент этой высоты. Прежде всего следует определить угловой коэффициент АС и из
17
условия перпендикулярности k1 · k2 = – 1 можно будет определить
угловой коэффициент прямой BD, перпендикулярной к АС. Уравнение высоты составить, пользуясь формулой y – y0 = k(x – x0).
Ответ: 3x + 4y – 20 = 0.
г) Чтобы составить уравнение медианы, нужно сначала найти
координаты точки М, являющейся серединой отрезка ВС, для этого применим формулу
хм = (хв + хс)/2, yм = (yв + yс)/2, М(– 6, – 3).
Далее можно написать уравнение медианы АМ, используя
формулу нахождения уравнения прямой, проходящей через две
точки.
Ответ: АМ: x + 18y + 60 = 0.
д) Для составления уравнения биссектрисы угла С, необходимо
использовать свойство биссектрисы угла. А именно, направляющий вектор биссектрисы равен сумме (единичных) направляющих
векторов сторон. Направляющий вектор стороны CA: (24,7), стороны CB: (12,16). Соответствующие единичные вектора: (24,7)/25,
(3,4)/5. Складывая их, получаем направляющий вектор биссектрисы: (39,27)/25. Тогда уравнение биссектрисы угла C имеет вид:
x + 12 y + 11
=
или 9x = 13y + 35.
39
27
Ответ: СK: 9x – 13y – 35 = 0.
е) Площадь треугольника находится по формуле:
S = (1 / 2) [ AB, AC ] ,
причем сторонам треугольника соответствуют вектора АВ = {– 12,
9, 0}, АC = {– 24, – 7, 0}. Вычисляя длину векторного произведения,
приходим к ответу.
Ответ: SABC = 150 кв. единиц.
ПРИМЕР 3.
Написать каноническое и параметрическое уравнения прямой,
ìï3x - 4y + 5z -10 = 0,
заданной пересечением плоскостей: ïí
ïïî6x - 5y + z -17 = 0.
Решение:
Найдем координаты направляющего вектора данной прямой:
a = [n1, n2], где n1, n2 – векторы нормали к данным плоскостям,
n1 = {3, – 4, 5}, n2 = {6, – 5, 1}.
18
По правилу нахождения векторного произведения:
i
j k
ìï -4 5
3 5 3 -4 üïï
, ,
a = 3 -4 5 = ïí
ý=
ïï -5 1
6 1 6 -5 ïþï
î
6 -5 1
= {21, 27, 9} = (1 / 3)× {7, 9, 3}.
В качестве направляющего вектора можно взять а = {7, 9, 3}.
Выберем теперь какую-нибудь точку на данной прямой. Для этого нужно придать конкретное значение одной из координат, тогда
значение двух других определяется системой уравнений.
Положим, например z = 0, тогда исходные уравнения примут
вид: 3x – 4y – 10 = 0, 6x – 5y – 17 = 0. Решая эту систему, получим
x0 = 2, y0 = – 1. Следовательно, на прямой выбрана точка М0(2, – 1,
0). Зная направляющий вектор а и точку М0, можно составить каноническое уравнение прямой: (x – 2)/7 = (y + 1)/9 = z/3.
Тогда параметрическое уравнение прямой примет вид: x = 2 +
+ 7t, y = – 1 + 9t, z = 3t.
Ответ: Каноническое уравнение: (x – 2)/7 = (y + 1)/9 = z/3.
Параметрическое уравнение: x = 2 + 7t, y = – 1 + 9t, z = 3t.
ПРИМЕР 4.
Написать уравнение проекции прямой
(x – 2)/6 = (y + 1)/(– 5) = (z – 5)/4 на плоскость x – 3y + 2z – 7 = 0.
Решение:
Проекция прямой на плоскость представляет собой линию пересечения этой плоскости и плоскости, проходящей через данную
прямую перпендикулярно данной плоскости. Составим уравнение
плоскости, проходящей через прямую (x – 2)/6 = (y + 1)/(– 5) =
= (z – 5)/4 перпендикулярно плоскости x – 3y + 2z – 7 = 0. Пусть
M(x, y, z) – произвольная точка искомой плоскости, М0(2, – 1, 5) –
принадлежащая ей точка прямой, тогда векторы М0М = {x – 2,
y + 1, z – 5}, а = {6, – 5, 4}, n = {1, – 3, 2} лежат в одной плоскости, поэтому их смешанное произведение равно нулю, то есть
М0М ·а ·n = 0 или в координатах:
x -2 y +1 z -5
6
-5
4 = 0.
1
-3
2
19
Раскладывая определитель по первой строке, получим уравнение плоскости: (x – 2) · 2 – (y + 1) · 8 + (z – 5) (– 13) = 0, которое после
упрощений примет вид: 2x – 8 – 13z + 53 = 0.
Таким образом, искомая проекция определяется уравнениями:
x – 3y + 2z – 7 = 0, 2x – 8y – 13z + 53 = 0.
Ответ: Уравнение проекции, заданное пересечением плоскостей:
x – 3y + 2z – 7 = 0, 2x – 8y – 13z + 53 = 0.
ПРИМЕР 5.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2, –
3, 5), перпендикулярно двум данным прямым:
(x – 1)/(– 1) = (y – 3)/2 = (z + 5)/2, (x – 2)/6 =
= (y + 1)/3 = (z + 7)/(– 2).
Решение:
Уравнение прямой ищем в виде (x – 2)/m = (y + 3)/n = (z – 5)/p.
Коэффициенты m, n, p, определяемые с точностью до постоянного множителя, в силу условия перпендикулярности прямых должìï(-1)m + 2n + 2 p = 0,
ны удовлетворять системе двух уравнений: ïí
ïïî 6m + 3n - 2 p = 0.
Складывая и вычитая почленно эти уравнения получим 5m +
+ 5n = 0, 3m – 2n = 0, откуда m = – n, m = (2/3) p. Полагая, например, р = 3, получим m = 2, n = – 2. Следовательно, уравнение прямой принимает вид: (x – 2)/2 = (y + 3)/(– 2) = (z – 5)/3.
Ответ: Уравнение прямой (x – 2)/2 = (y + 3)/(– 2) = (z – 5)/3.
ПРИМЕР 6.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(4,
ìï2x - 3y + 5z - 7 = 0,
– 1, 1) и прямую ïí
ïïî4x + 2y - 6z - 5 = 0.
Решение:
Напишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую: (2x – 3y + 5z – 7) + λ (4x + 2y – 6z – 5) = 0. Подставляя
в это уравнение координаты точки Р(4, – 1, 1), будем иметь 9 + 3λ =
0, откуда λ = – 3. Из уравнения пучка при λ = – 3 находим уравнение искомой плоскости: 10x + 9y – 23z – 8 = 0.
Ответ: Уравнение плоскости: 10x + 9y – 23z – 8 = 0.
20
ПРИМЕР 7.
Окружность задана общим уравнением x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0.
Найти координаты центра и радиус этой окружности.
Решение:
Приведем данное уравнение окружности к каноническому виду,
для этого выделим полные квадраты по переменным x и y, соответственно. Будем иметь:
x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = (x2 + 6x + 9) + (y2 – 8y + 16) – 9 – 16 – 11 =
= (x + 3)2 + (y – 4)2 – 6 = 0.
Каноническое уравнение данной окружности имеет вид (x + 3)2 +
+ (y – 4)2 = 36. Следовательно, координаты центра С(– 3, 4), радиус
r = 6.
Ответ: С(– 3, 4), r = 6.
ПРИМЕР 8.
Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(5,
0) и В(1, 4), если ее центр лежит на прямой x + y – 3 = 0.
Решение:
Найдем координаты точки М – середины хорды АВ.
Имеем xм = (5 + 1)/2 = 3, yм = (4 + 0)/2 = 2, то есть М(3, 2). Центр
окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
Уравнение прямой АВ имеет вид: (y – 0)/(4 – 0) = (x – 5)/(1 – 5),
то есть x + y – 5 = 0. Так как угловой коэффициент прямой АВ равен – 1, то угловой коэффициент перпендикуляра к ней равен 1, а
уравнение этого перпендикуляра: y – 2 = x – 3, то есть x – y – 1 = 0.
Центр искомой окружности С есть точка пересечения прямой АВ с
указанным перпендикуляром, то есть координаты центра определяются путем решения системы уравнений x + y – 5 = 0, x – y – 1 = 0.
Следовательно, x = 2, y = 1, то есть С (2, 1). Радиус окружности
2
2
равен длине отрезка СА, то есть r = (5 - 2) + (1 - 0) = 10.
Зная центр окружности и ее радиус, можно написать уравнение:
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 10.
Ответ: Уравнение окружности (x – 2)2 + (y – 1)2 = 10.
ПРИМЕР 9.
Большая ось эллипса равна 12, а директрисами этого эллипса
служат прямые x = ± 12. Найти уравнение эллипса и его эксцентриситет.
Решение:
Каноническое уравнение эллипса имеет вид х2/a2 + y2/b2 = 1.
Для составления уравнения необходимо знать его полуоси a, b. По
21
условию 2а = 12, а = 6. Полуось b находим из соотношения b2 =
= a2– c2, а с можно найти, использовав уравнения директрис эллипса x = ± a2/c. Взяв первую директрису, получим a2/c = 12, откуда
с = a2/12, с = 36/12 = 3, с = 3; b2 = 36 – 9 = 27, b2 = 27.
Имеем уравнение эллипса х2/36 + y2/27 = 1. Эксцентриситет эллипса ε = с/а, ε = 3/6 = 0,5.
Ответ: х2/36 + y2/27 = 1, ε = 0,5.
ПРИМЕР 10.
На эллипсе х2/25 + y2/16 = 1 найти точку, расстояние которой
от правого фокуса в четыре раза меньше расстояния от левого фокуса.
Решение:
Из уравнения эллипса: а2 = 25, b2 = 16, поэтому a = 5, b = 4;
с2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9, с = 3, эксцентриситет ε = с/а = 3/5.
Расстояние до фокусов вычисляется по формулам:
r1 = a + εx = 5 + (3/5) x, r2 = a – εx = 5 – (3/5) x.
По условию r1 = 4r2; следовательно, х = 5. Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим y = 0. Искомая точка М (5, 0).
Ответ: Точка М (5, 0).
ПРИМЕР 11.
Написать уравнение касательной к эллипсу х2/30 + y2/24 = 1,
параллельной прямой 2x – y + 17 = 0.
Решение:
Поскольку касательная параллельна прямой 2x – y + 17 = 0, то
ее угловой коэффициент k = 2, тогда ее уравнение можно записать в
виде y = 2x + C. Значение С определим из условия касания прямой
эллипса. Учитывая, что а2 = 30, b2 = 24, А = 2, В = – 1, будем иметь:
А2а2 + В2b2 = C2, откуда 4 · 30 + 1 · 24 = С2, и С = ± 12.
Следовательно, условию задачи удовлетворяют две касательные:
y = 2x + 12, y = 2x – 12.
Ответ: Уравнение касательных: y = 2x + 12, y = 2x – 12.
ПРИМЕР 12.
Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы 9x2 – 16y2 = 144.
Решение:
Приведем данное уравнение к каноническому виду, для чего необходимо разделить обе его части на 144. Выполняя деление, по22
лучим х2/16 – y2/9 = 1. Теперь можем выписать а2 = 16, b2 = 9.
Таким образом, а = 4 есть действительная полуось, b = 3 – мнимая
полуось. Далее, c = a2 + b2 = 16 + 9 = 5, фокусы: F1 (– 5, 0), F2 (5,
0). Эксцентриситет ε = с/а = 5/4. Уравнения асимптот находятся
по формулам y = ± (b/a) x, в нашем случае y = ± (3/4) x. Уравнения
директрис находятся из соотношения x = ± a/ε, имеем x = ± 16/5.
Ответ: а = 4, b = 3, F1 (– 5, 0), F2 (5, 0), ε = 5/4, y = ± (3/4) x,
x = ± 16/5.
ПРИМЕР 13.
Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между
ее вершинами равно 8, а фокусы находятся в точках F1 (– 3, 3) и
F2 (7, 3).
Решение:
Так как по условию ординаты фокусов равны 3, то фокусы гиперболы лежат на прямой y = 3, следовательно, центр гиперболы
также находится на прямой y = 3 и делит расстояние между фокусами F1 F2 пополам. Таким образом: x0 = (– 3 + 7)/2 = 2, y0 = 3,
координаты центра гиперболы М(2, 3). Далее, согласно условию
2а = 8, тогда а = 4 и расстояние между фокусами:
2
2
F1 F2 = 2C = (7 + 3) + (3 - 3) = 10,
С = 5. Так как b2 = c2 – a2, то b2 = 25 – 16 = 9, b = 3. Теперь, зная
а, b и центр М(2, 3) можно составить уравнение гиперболы.
Ответ: Уравнение гиперболы (x – 2)2/16 – (y – 3)2/9 = 1.
ПРИМЕР 14.
К гиперболе х2/8 – y2/9 = 1 провести касательные через точку
N(2, 0).
Решение:
Точка N(2, 0) гиперболе не принадлежит, поэтому непосредственно формулой уравнения касательной пользоваться нельзя. Уравнение касательной будем искать в виде y – 0 = k (x – 2)
или – kx + y + 2k = 0.
Воспользуемся условием А2а2 – В2b2 = C2 касания прямой
Ax + By + C = 0 данной гиперболы. В нашем случае: А = – k, B = 1,
C = 2k, a2 = 8, b2 = 9. Подставим значения постоянных в формулу,
получим 8k2 – 9 = 4k2, откуда k = ± 3/2. Следовательно, условию
задачи удовлетворяют две прямые y = ± (3/2) (x – 2).
Ответ: Уравнение касательных: – 3x + 2y + 6 = 0 и 3x + 2y – 6 = 0.
23
ПРИМЕР 15.
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы
y2 = 8x. Вычислить длину фокального радиуса точки М(2, 4).
Решение:
Парабола задана каноническим уравнением y2 = 2рx. Следовательно, 2р = 8, р = 4. Тогда координаты фокуса F(2, 0), уравнение
директрисы: х = – 2. Длину фокального радиуса точки М(2, 4) вычислим по формуле: r = x + p/2 = 2 + 2 = 4.
Ответ: F(2, 0), х = – 2, r = 4.
ПРИМЕР 16.
Написать уравнения параболы и ее директрисы, если парабола
проходит через точки пересечения прямой x + y = 0 и окружности
x2 + y2 – 4x = 0 и симметрична относительно оси OY.
Решение:
Найдем точки пересечения заданных прямой и окружности, для
этого решим совместно уравнения:
ìïy = -x,
æ x1 = 0,
x2 = 2,
ï
çç
í 2
çè y1 = 0, y2 = -2.
ïïx + y2 - 4x = 0;
î
Точки пересечения О(0, 0) и А(2, – 2). Так как парабола проходит через начало координат О(0, 0) и симметрична относительно оси
OY, то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому
уравнение параболы имеет вид: х2 = 2рy. Так как парабола проходит через точку А(2, – 2), то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению параболы: 22 = 2р (– 2), – 4р = 4, р = – 1. Таким образом, уравнением параболы будет: х2 = – 2y. Уравнение директрисы:
y = – p/2, так как р = – 1, то y = 1/2 или 2y – 1 = 0.
Ответ: х2 = – 2y, 2y – 1 = 0.
ПРИМЕР 17.
Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых 2x + y – 5 = 0 и 2x + y + 15 = 0, причем одной из них в
точке А(2, 1).
Решение:
Определим диаметр окружности, для чего используем формулу
расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой 2x + y + 15 = 0,
точка А(2, 1), поэтому
d = 2 × 2 + 1×1 + 15 / 4 + 1 = 20 / 5 = 4 5,
тогда радиус окружности r = 2 5.
24
Так как искомая окружность проходит через точку А(2, 1), то ее
уравнение имеет вид: (2 – xc)2 + (1 – yc)2 = 20, где С(хс, yc) – центр
этой окружности. Для нахождения неизвестных хс, yс запишем
второе уравнение, определив расстояние от точки С до первой прямой, причем, поскольку точка С лежит по одну сторону от прямой
вместе с началом координат, то это расстояние будет со знаком минус:
-2 5 = (2xc + yc - 5)/ 5.
Решая совместно полученные два уравнения, находим: xc = – 2,
yc = – 1.
Ответ: Уравнение окружности (x + 2)2 + (y + 1)2 = 20.
ПРИМЕР 18.
Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси
ОХ, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды
этой параболы, перпендикулярной оси ОХ, равна 16, а расстояние
этой хорды от вершины равно 6.
Решение:
Так как известны длина хорды и расстояние ее от вершины, то,
следовательно, известны координаты конца этой хорды – точки М,
лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид y2 = 2px; полагая в нем x = 6, y = 8, находим 82 = 2р · 6, откуда 2р = 32/3.
Ответ: Уравнение искомой параболы y2 = (32/3)x.
25
4. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ЗАДАНИЯ
1. Найти угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекаемый
ею на оси ординат, если прямая проходит через точки А(2; – 8) и
В(– 1; 7).
Решение:
Уравнение прямой, проходящей (на плоскости) через две заданные точки:
y - y1
x - x1
=
y2 - y1 x2 - x1
Подставляя наши значения, получаем: y = – 5x + 2. Значит,
угловой коэффициент равен – 5, а отрезок, отсекаемый на оси ординат равен 2.
2. Провести через точку M(– 1;4) прямую, отстоящую от точки
Q(– 2; – 1) на расстояние 5.
Решение:
Расстояние от искомой прямой y + Ax + C = 0 до нашей точки Q
равно d =
-1 - 2 A + C
1 + A2
= 5.
К тому же искомая прямая проходит через точку M, так что 4 –
A + C = 0.
Z
.
E
E
Y
2
Исключая C, приходим к квадратному уравнению для A:
24A2 = 10A.
Решая, находим два ответа нашей задачи: y = 4 и 12y + 5x –
– 43 = 0.
3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(3; 5; 4), B(8;
7; 4), C(5; 10; 4), D(4; 7; 8). Найти уравнения ребер AB, BC, CD и
угол ABС.
26
Решение:
Уравнения ребер можно написать, выписав уравнение прямой,
проходящей (в пространстве) через 2 заданные точки:
x - x1
y - y1
z - z1
=
=
.
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
Получаем: для стороны AB:
x -3 y -5 z -4
=
=
,
5
2
0
откуда следует:
z = 4,
x -3 y -5
=
.
5
2
Для стороны BC:
x - 8 y -7 z - 4
=
=
,
-3
3
0
откуда следует: z = 4, x = 15 – y.
Для стороны CD:
x - 5 y -10 z - 4
=
=
.
-1
-3
4
[
#
$
%
Y
"
Z
Для того, чтобы найти угол ABC найдем направляющие вектора
сторон BA и BC:
qBA = (– 5, – 2,0), qBC = (– 3,3,0).
27
Тогда угол между ними равен
æ (q ,q ) ö
æ
ö÷
æ 3 ÷ö
15 - 6
÷÷ = arccosçç
α = arccosççç BA BC ÷÷÷ = arccosççç
÷.
÷
èç 58 ø÷
è 25 + 4 9 + 9 ø÷
èç qBA qBC ø
4. Через точку (1; 5; – 1) провести прямую, перпендикулярную
прямым x + 1 = y/3 = – z – 2 и x = 2 – 3t, y = – 1 + t, z = – 2t.
Решение:
Направляющие вектора этих прямых равны соответственно
N1 = (1,3, – 1) и N2 = (– 3,1, – 2). Вычислим направляющий вектор искомой прямой. Он равен векторному произведению этих векторов, N3 = [N1, N2 ] = (-5,5,10).
Тогда уравнение искомой прямой:
x - x1 y - y1 z - z1
x -1 y - 5 z + 1
=
=
, т. е.
=
=
.
m
n
k
-1
1
2
5. Вычислить угол между плоскостями 4x – 5y + 3z – 1 = 0 и
x – 4y – z + 9 = 0.
/ / Решение:
Вектор нормали к первой плоскости: N1 = (4, – 5,3), ко второй
плоскости: N2 = (1, – 4, – 1). Тогда угол между ними (и одновременно угол между плоскостями) равен:
α = arccos
(N1, N2 )
4 + 20 - 3
= arccos
=
N1 N2
16 + 25 + 9 1 + 16 + 1
21
7
= arccos
= arccos .
30
10
6. Дан тетраэдр A(– 1; 2; 5), B(0; – 4; 5), C(– 3; 2; 1), D(1; 2; 4). Написать уравнение плоскости, проходящей через вершину D и перпендикулярной стороне BC.
28
Решение:
Направляющий вектор стороны BC равен: N1 = (– 3,6, – 4). Этот
вектор одновременно является нормалью к искомой плоскости.
Уравнение искомой плоскости A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
или, в нашем случае, – 3(x – 1) + 6(y – 2) – 4(z – 4) = 0.
7. Даны вектора a = (3;1;2), b = (2;7;4), c = (5; – 8;10). Вычислить
вектор (a,b)c
Решение:
(a,b) = 6 + 7 + 8 = 21, тогда (a,b)c = 21c = (105, – 168,210).
8. Найти угол между двумя биссектрисами плоских углов прямого трехгранного угла.
[
F Y
Z
F Решение:
Выпишем направляющие вектора биссектрис плоских углов
прямого трехгранного угла (достаточно только двух в силу симметрии). Это вектора e1 = (1,1,0) и e2 = (0,1,1). Тогда угол между ними
равен
α = arccos
(e1, e2 )
1
1 p
= arccos
= arccos = .
e1 e2
2 3
2 2
9. Составить уравнение гиперболы, зная уравнение асимптот
y = ±4x / 3 и расстояние между фокусами 2c = 20.
Решение:
Из уравнения асимптот гиперболы извлекаем: b/a = 4/3. Далее,
c = a2 + b2 = 10.
29
Получаем два уравнения для двух неизвестных. Решая, находим: a2 = 36, b2 = 64, так что уравнение гиперболы: x2/36 – y2/
64 = 1.
10. Написать уравнение эллипса, проходящего через точки
А(6; – 3) и B(-4;2 6 ).
Z
#
Y
"
Решение:
Каноническое уравнение эллипса: x2/a2 + y2/b2 = 1.
Подставляя в него наши точки, получаем два уравнения для
двух неизвестных 1/a2, 1/b2:
36
a
2
+
9
2
b
= 1,
16
a
2
+
24
b2
= 1.
Решая, находим искомое уравнение эллипса:5x2/240 + y2/
36 = 1.
30
5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание 1.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
4) и параллельной прямой x – 2y + 5 = 0.
2. Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2),
C(0; 2; 7), D(1; 5; 0). Найти уравнения высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
3. На прямой 2x – y = 14 найти точки, равноудаленные от прямых x + y = 6, 7x – y = 12.
4. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми 4y = 3x и 5x + 12y = 10.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Р(– 1; 5; – 7) и отсекающей на осях координат равные отрезки.
6. Даны две вершины параллелограмма ABCD: C(– 2; 3; – 5) и
D(0; 4; – 7) и точка пересечения диагоналей М(1; 2; – 3,5). Найти
уравнения стороны АВ.
7. Определить точки пересечения прямой x + y – 3 = 0 и параболы x2 = 4y.
8. Составить уравнение окружности, проходящей через точки
А(3, 1) и В(– 1, 3), центр которой лежит на прямой 3x – y – 2 = 0.
9. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса x2 + 5y2 = 20, а две другие совпадают с
концами его малой оси.
10. Найти расстояние от фокуса параболы x2 + 20y = 0 до прямой, соединяющей центр окружности x2 + y2 = 2х с точкой А(0, 5).
Задание 2.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (–3,
x -1 y + 2
4) и параллельной прямой
=
.
2
3
2. На прямой x + 2y = 12 найти точки, равноудаленные от прямых x + y = 5, 7x – y = 11.
3. Даны координаты вершин пирамиды А(4; 4; 10), В(4; 10; 2),
C(2; 8; 4), D(9; 6; 9). Найти уравнения высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Р(– 1; 5; – 7) и отсекающей на осях координат равные отрицательные отрезки.
31
5. Показать, что прямая x = (y – 1)/3 = (z + 2) параллельна плоскости x – 2y + 5z = 6.
6. Написать уравнение плоскости. проходящей через точки М(0;1; 1) и N(2; 0;1) перпендикулярно плоскости 2x – y + z +
+ 1 = 0.
7. Даны вектора p = (3; – 2;1), q = (– 1;1; – 2), r = (2;1; – 3). Разложить c = (11; – 6;5) по базису векторов p,q,r.
8. Эксцентриситет эллипса ε = 2/5, расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М
до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
9. Составить уравнение эллипса, если даны точка эллипса
(– 2,2) и его большая полуось a = 4.
10. Определить точки пересечения прямой 3x + 4y – 12 = 0 и параболы y2 = – 9x.
Задание 3.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
4) и параллельной прямой x = 2.
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1;-4) и
равноотстоящей от точек (3;4), (3; – 1).
3. Даны координаты вершин пирамиды: A(3; 5; 4), B(8; 7; 4),
C(5; 10; 4), D(4; 7; 8). Найти уравнения высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
4. Показать, что прямая x – 1 = y/3 = z – 1 лежит в плоскости
x – 2y + 5z = 6.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OZ
и образующей с плоскостью 2x + y – 50,5z – 7 = 0 угол 60 градусов.
6. Вычислить внутренний угол при B у треугольника A(– 1; – 2;
4), B(– 4; – 2;0), C(3; – 2;1).
7. Задан тетраэдр OABC. Выразить вектор DE, где D и E середины ребер ОА и ВС, через векторы, совпадающие с ребрами из вершины О.
8. Составить уравнение эллипса, если даны 2 точки эллипса
(4;- 3), (2 2;3).
9. Определить точки пересечения прямой 3x – 2y + 6 = 0 и параболы y2 = 6x.
10. Найти уравнения прямых, параллельных прямой, проходящей через фокус параболы y2 + 4х = 0 и центр окружности x2 + y2 +
+ 4х – 8y + 3 = 0, касающихся этой окружности.
32
Задание 4.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
4) и параллельной прямой y = – 1.
2. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми 3y = 4x и 5x + 12y = 10.
3. Даны координаты вершин пирамиды: А(3; 5; 4), В(8; 7; 4), С(5;
10; 4), D(4; 7; 8). Найти уравнения высоты, опущенной из вершины
D на грань АВС.
4. Доказать, что прямая (x + 2)/3 = (y + 1)/(– 2) = z параллельна
прямой x + y – z = 0, x – y – 5z – 8 = 0.
5. Через точку (2; 3; 4) провести плоскость, перпендикулярную
прямой 2x-y + 4z + 9 = 0, x + 2y – z + 3 = 0.
6. Даны вектора a = (3; – 1), b = (1;-2), c = (– 1;7). Разложить
p = a + b + c по базису векторов a,b.
7. Вычислить углы треугольника A (2;1; 2), B(1; 0; 0),
C(1 + 3; 3;- 6 ).
8. Составить уравнение эллипса, если даны точка эллипса
( 15;-1) расстояние между фокусами 2c = 8.
9. На параболе y2 = 16x найти точки, фокальный радиус которых равен 13.
10. Дана точка М(2, – 5/3) на эллипсе x2/9 + y2/5 = 1; составить
уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М.
Задание 5.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
4) и параллельной прямой x = 3 + t, y = 4 – 7t.
2. Найти угол между прямыми x = 7 и y = 2x + 8.
3. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
Р(3; – 2; 4) на плоскость 5x + 3y – 7z + 1 = 0
4. Через точку (1;5; – 1) провести прямую, перпендикулярную
прямым: 2x – y + 3z + 4 = 0 и x – y – z + 1 = 0, – x + 2y + 2z – 2 = 0,
2x + y + 4z = 0.
5. Вычислить расстояние плоскости 15x – 10y + 6z – 190 = 0 от
начала координат.
6. Показать, что плоскости x – y + z + 1 = 0, 2x – y – 3z = 2, 4x –
– 3y = z пересекаются по одной прямой.
7. Вычислить угол между диагоналями четырехугольника A(1;
– 2; 2), B(1;4;0),C(– 4;1;1),D(– 5; – 5;3).
33
8. Составить уравнение эллипса, если даны точка эллипса (2,
– 5/3) и его эксцентриситет ε = 2/3.
9. Вычислить фокальный радиус точки M параболы y2 = 12x,
если ордината этой точки равна 6.
10. Вычислить расстояние от фокуса гиперболы x2/5 – y2/4 = 1
до ее асимптоты. Найти эксцентриситет этой гиперболы.
Задание 6.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
4) и перпендикулярной прямой x – 2y + 5 = 0.
2. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми x – 7y = 1 и x + y = – 7.
3. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
M(2; – 4; – 3) на плоскость 3x – 7y + 5z + 3 = 0.
4. Доказать, что прямые x + y – 3z – 1 = 0, и 2x + y + 2z – 2 = 0,
2x – y – 9z – 2 = 0, 2x – 2y – z – 2 = 0, пересекаются.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.
6. Для пирамиды с вершинами A(– 1; 2; 3), B(3; 3; 6), C(5; 1; 3),
D(1; 7; 4) вычислить угол между гранями ABC и ABD.
7. Дан треугольник A (2;1; 2), B(1;0;0), C(1 + 3; 3;- 6 ). Найти
угол при вершине A.
8. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Разложить по векторам OA, OB, OC вектор OK, где К – середина стороны
AD.
x2
y2
9. Определить точки эллипса
+
= 1, расстояние от кото100 36
рых до правого фокуса равно 14.
10. Убедившись, что точка М(– 5; 9/4) лежит на гиперболе
x2 y2
= 1, найти ее расстояния от фокусов (фокальные радиусы).
16 9
Задание 7.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
x -1 y + 2
4) и перпендикулярной прямой
=
.
2
3
2. Найти угол между прямыми 2x + y = 1 и y = x – 2.
3. Написать уравнения ребер тетраэдра с вершинами в точках
A(0; 0; 2), B(4; 0; 5), C(5; 3; 0), D(– 1; 4; – 2).
34
4. Написать параметрические уравнения прямой x + 2y + z – 1 =
= 0, x – y + 1 = 0.
5. Вычислить расстояние от плоскости 2x – y + 2z – 90 = 0 до начала координат.
6.Даны точки A(4; – 5; 2) и B(– 2; 3; 2). Провести через середину
отрезка AB плоскость, перпендикулярную ему.
7. Доказать, что треугольник ABC, A(1; 1; 1), B(5; 3; 0), C(2; 0; 1)
прямоугольный.
x2 y2
8. Определить точки эллипса
+
= 1, расстояние от кото16
7
рых до левого фокуса равно 5/2.
9. Эксцентриситет эллипса ε = 2/3, фокальный радиус точки М
эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
10. Составить уравнение прямой, которая касается параболы
y2 = 8х и параллельна прямой 2x + 2y – 3 = 0.
Задание 8.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
4) и перпендикулярной прямой x = 2.
2. Составить уравнение биссектрисы острого угла между прямыми 3y = 4x и 4y = 3x.
3. Координаты вершин пирамиды ABCD: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2),
C(0; 2; 7), D(1; 5; 0). Найти уравнения ребер AB, BC, CD и угол
АВС.
4. Вычислить угол между прямыми y + 1 = 0, и x = 0, x + 2z – 1 =
= 0, z = 1.
5. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(3; – 6; 2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
6. Вычислить расстояние между плоскостью 3x + 4y + 12z = 5 и
прямой (x – 1)/4 = (y – 2)/3 = – z/2.
7. Дан треугольник A (2;1; 2), B(1;0;0), C(1 + 3; 3;- 6 ). Найти
угол при вершине A.
8. Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.
9. Вычислить фокальные радиусы точки M(– 4;12/5), лежащей
на эллипсе
x2 y2
+
= 1.
25 16
35
10. Через фокус эллипса x2/25 + y2/15 = 1 проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.
Задание 9.
1.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,4)
и перпендикулярной прямой y = – 1.
2. Составить уравнения прямых, проходящих через точку (3; 1)
и образующих с прямой 3x = y + 2 угол в 45 градусов.
3. Вершины пирамиды ABCD имеют координаты A(4; 4; 10),
B(4; 10; 2), C(2; 8; 4), D(9; 6; 9). Найти уравнения ребер AB, BC, CD
и угол ABС.
4. Найти расстояние от точки (7; 9; 7) до прямой (x – 2)/4 =
= (y – 1)/3 = z/2.
5. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(– 2; – 3; 6) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1;
4; 4) и прямую 4x – 3y + 5z + 6 = 0, 2x + y – z – 2 = 0.
7. Дан треугольник A (2;1; 2), B(1;0;0), C(1 + 3; 3;- 6 ). Найти
угол при вершине C.
8. Найти точки пересечения прямой x + 2y – 7 = 0 и эллипса x2
+ 4y2 = 25.
9. Написать уравнения окружностей, касающихся данных прямых 4x – 3y – 10 = 0, 3x – 4y – 5 = 0 и 3x – 4y – 15 = 0.
10. Эксцентриситет эллипса ε = 1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (– 2, 0). Вычислить расстояние от
точки М эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.
Задание 10.
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(– 3,
4) и перпендикулярной прямой x = 3 + t, y = 4 – 7t.
2. Написать уравнение прямой, удаленной на 5 от прямой 12x +
+ 5y = 39.
3. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(4; 6; 5), B(6; 9;
4), C(2; 10; 10), D(7; 5; 9). Найти уравнения ребер AB, BC, CD и угол
АВС.
36
4. Найти проекцию точки (2; 4; 5) на прямую 2x – y + 2z – 7 = 0,
3x + 4z – 9 = 0.
5. Вычислить расстояние от точки Р(4; 3; – 2) до плоскости 3x –
– y + 5z + 1 = 0.
6. Дан тетраэдр A(– 1; 2; 5), B(0; – 4; 5), C(– 3; 2; 1), D(1; 2; 4). Написать уравнение плоскости, проходящей через вершину D и перпендикулярной стороне AB.
7. Даны вектора a = (3; – 2), b = (– 2;1), c = (7; – 4). Разложить
b по базису векторов a,c.
8. Вычислить углы четырехугольника A(4; 0; 8), B(5; 2; 6),
C(3; 1; 4), D(2; – 1; 6).
9. Составить уравнение гиперболы, зная ось 2a = 16 и эксцентриситет ε = 5/4.
10.Составить простейшее уравнение эллипса, проходящего через точки M ( 3;-2) и N (-2 3;1).
Задание 11.
1. Проверить, что прямые 2х + 51/2у – 15 = 0 и 111/2х – 5у +
+ 30 = 0 касаются одной и той же окружности с центром в начале
координат и вычислить ее радиус.
2. Основания трапеции лежат на прямых 2x + 5y - 24 = 0,
2x + 5y + 6 = 0. Найти ее высоту.
3. Найти расстояние от точки (2; – 1;0) до прямой (x – 7)/3 =
= (y – 1)/4 = (z – 3)/2.
4. Найти угол между плоскостью 4x + 4y – 7z + 1 = 0 и прямой
(x – 1)/11 = (y + 1)/(– 4) = (z + 3)/4.
5. Можно ли провести плоскость через точки (0; 0; 2), (3; 0; 5),
(1; 1;0), (4; 1; 2)?
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Р(– 1; 5; – 7) и отсекающей на осях координат равные отрицательные отрезки.
7. Вершины четырехугольника A(2; – 3; 1), B(– 1; 1; 1), C(– 4; 5;
6), D(2; – 3; 6). Вычислить его площадь.
8. Зная разложения векторов, служащих сторонами треугольника, по двум взаимно перпендикулярным ортам: AB = 5a + 2b,
BC = 2a – 4b и CA = – 7a + 2b, вычислить длину медианы АМ и высоты AD треугольника АВС.
x2 y2
9. Дан эллипс
+
= 1. Найти длину его диаметра, направ16
9
ленного по биссектрисе координатного угла.
37
10. Задана окружность x2 + y2 + 4х – 6y – 17 = 0. Составить уравнение диаметра этой окружности, перпендикулярного к прямой
5x + 2y – 13 = 0.
Задание 12.
1. На расстоянии 5 единиц от точки А(4; 3) провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.
2. Для треугольника ABC, A(6; 2), B(8; 8), C(14; 5) написать уравнение медианы CM.
3. Найти расстояние от точки (2; – 1; 0) до прямой 2x + y – z +
+ 1 = 0, x + y + z + 2 = 0.
4. Найти угол между плоскостью 4x + 4y – 7z + 1 = 0 и прямой
(x – 1)/3 = (y + 2)/2 = z/(– 6)
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OY параллельно вектору P(1; – 2; 3).
6. Для пирамиды ABCD, A(– 1; 2; 3), B(3; 3; 6), C(5; 1; 3),
D(1; 7; 4) вычислить двугранный угол между основанием ABC и
гранью CDB.
7. Даны вектора a(2; – 1; 3), b(1; – 3; 2), c(3; 2; – 4). Вычислить
вектор x из условий (x,a) = 10, (x,b) = 22, (x,c) = – 40.
8. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами треугольника
АВ{2; 1; – 2} и BC{3; 2; 6}, вычислить углы этого треугольника.
9. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся
x2 y2
+
= 1.
в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса
8
5
10. Найти расстояние от центра окружности x2 + y2 + 4х + 6y +
+ 9 = 0 до прямой, проходящей через фокус параболы y2 = 12x, и
параллельной прямой, соединяющей точки А(– 1, 6) и В(5, 2).
Задание 13.
1. На оси ординат найти точку, равноудаленную от начала координат и от прямой 3х – 4у + 12 = 0.
2. Написать уравнение прямой, проходящей на одинаковом расстоянии от прямых 2x + 5y -12 = 0, 2x + 5y + 18 = 0.
3. Найти расстояние от точки (2; – 1; 0) до прямой x = 1 + 2t,
y = 2 – 2t, z = – 3 + t.
4. Найти угол между плоскостью 4x + 4y – 7z + 1 = 0 и прямой
(x – 2)/4 = (y – 1)/4 = (z + 3)/(– 7).
38
5.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX параллельно вектору P(1; – 2; 3).
6. Вычислить расстояние между плоскостями x – y + 5z + 27 = 0
и x – y + 5z – 54 = 0.
7. Вершины четырехугольника A(2; – 3; 1), B(– 1; 1; 1), C(– 4; 5;
6), D(2; – 3; 6). Вычислить косинусы его углов.
8. Зная одну из вершин треугольника А(2; – 5; 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами АВ(4; 1; 2) и ВС(3; – 2; 5), найти
остальные его вершины и сторону СА.
9. Составить уравнение гиперболы проходящей через точку
М(9; 8), если асимптоты гиперболы имеют уравнения у = (21,5/3)x и
y = – (21,5/3)x.
10. Дана парабола y2 = 12х. Провести к ней касательную, образующую с прямой 4x – 2y + 9 = 0 угол p/4.
Задание 14.
1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; – 1) и
составляющей с осью х угол, вдвое больший, чем прямая у = х/3 +
+ 4/3.
2. Через точку пересечения прямых 2x – y = 2 и x + y = 1 провести прямую, параллельную прямой y = 3x – 1.
3. Даны координаты вершин пирамиды A(4; 6; 5), B(6; 9; 4),
C(2; 10; 10),D(7; 5; 9). Найти уравнения прямых АВ и CD и угол
между ними.
4.Найти расстояние между прямыми (x – 2)/4 = (y + 1)/5 =
= (z – 3)/2 и (x + 5)/4 = (y + 2)/5 = (z + 3)/2.
5.На оси у найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
4x – 3y + z – 2 = 0 и 5z + y + 8 = 0.
6.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 3;
7) и прямую x/2 = (y – 3)/5 = – z + 5.
7. Даны вектора AB(3; – 1; 2), AC(5; 1; 0). Вычислить площадь
треугольника ABC.
8. Вычислить фокальный радиус точки M, лежащей на параболе
y2 = 8x, если ее абсцисса равна 8.
9. Точка F(– 6, 2) является одним из фокусов эллипса, точка
А(2, 2) – концом большой оси, эксцентриситет равен 2/3. Составить
уравнение эллипса.
10. Найти расстояние от фокуса параболы y = (1/8) х2 до прямой
3x + 4y + 2 = 0.
39
Задание 15.
1. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы у = 3х + 5 и вершину
прямого угла с(4; – 1).
2. Вычислить координаты вершин ромба, Если известны две его
стороны 2х – 5у – 1 = 0 и 2х – 5у – 34 = 0 и уравнение одной из диагоналей х + 3у – 6 = 0.
3. Даны координаты вершин пирамиды: A(3; 5; 4), B(8; 6; 4),
C(5; 10; 4),D(4; 7; 8). Найти уравнения прямых АВ и CD и угол между ними.
4. Составить параметрическое уравнение прямой 2x + 3y – z –
– 5 = 0, 3x – 5y + 2z + 1 = 0.
5. Вычислить расстояние между плоскостями 2x + 10y – 11z –
– 15 = 0 и 2x + 10y – 11z + 45 = 0.
6. Написать уравнение плоскости проходящей через точку (3; 2;
4) и отсекающей на осях координат отрезки равной длины.
7. Вычислить скалярное произведение ab, если a = – 3p – 2q,
b = p + 4q, p и q – единичные взаимно перпендикулярные векторы.
8. Вычислить фокальные радиусы для точки (– 5;9/4), лежащей
x2 y2
на гиперболе
= 1.
16 9
9. Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая
3
полуось равна 3, а эксцентриситет равен
.
3
10. Составить уравнение эллипса, если точки F1(– 1, 1) и F2(5, 1)
являются фокусами, а прямая х = 31/3 – одна из директрис.
Задание 16.
1. Даны вершины треугольника А(4; 6), В(– 4; 0) и С(– 1; – 4).
Составить уравнения его сторон.
2. Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми х + 7у – 6 = 0 и 5х – 5у + 1 = 0.
3. Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2),
C(0; 2; 7),D(1; 5; 0). Найти уравнения ребер AC и BD и угол между
ними.
4. Составить параметрическое уравнение прямой x + 2y – z – 6 =
= 0, 2x – y + z + 1 = 0.
5. На расстоянии трех единиц от плоскости 3x – 6y – 2z + 14 = 0
проведена параллельная ей плоскость. Написать ее уравнение.
40
6. Лежат ли точки (3; 1; 0), (0; 1; 2), (– 1; 0; 5), (4; 1; 5) на одной
плоскости?
7. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 7i + 2.5j + 2.5k, b = 5i + 0.5j + 1.5k.
x2 y2
8. Определить точки гиперболы
= 1, расстояние от кото64 36
рых до правого фокуса равно 9/2.
9. Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся
в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса x2/15 + y2/6 = 1.
10. Написать уравнение параболы, вершина которой находится
в начале координат, а осью симметрии является ось ОХ, если известно, что расстояние от фокуса параболы до центра окружности
x2 + y2 – 10х – 8y + 25 = 0 равно 5.
Задание 17.
1. Даны вершины треугольника А(4; 6), В(– 4; 0) и С(– 1; – 4). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины С.
2. Составить уравнения сторон квадрата, если дана его вершина
А(2; – 4) и точка пересечения диагоналей М(5; 2).
3. Даны координаты вершин пирамиды A(4; 4; 10), B(4; 10; 2),
C(2; 8; 4), D(9; 6; 9) Найти уравнения плоскости ABD, прямой АС и
угол между ними.
4. Доказать перпендикулярность прямых (x + 2)/3 = (1 – y)/2 = z
и x + y – z = 0, x – y – 5z – 8 = 0.
5. Проверить, что три плоскости 2x – 2y + z – 3 = 0, 3x – 6z + 1 =
= 0 и 4x + 5y + 2z = 0 попарно перпендикулярны.
6. Лежат ли точки (2; 1; 0), (1; – 1; 2), (0; 4; – 2), (3; 1; 2) на одной
плоскости? Если да, то на какой?
7. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах A = 2n + 3m, B = m – 4n, если длина n равна 3, длина m равна
2, угол между ними 45 градусов.
x2 y2
8. Определить точки гиперболы
= 1, расстояние от кото9 16
рых до левого фокуса равно 7.
9. Написать уравнение эллипса, если расстояние между дирек2
трисами равно 4 15, а эксцентриситет равен
.
2
10. На эллипсе x2/100 + y2/36 = 1 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в 4 раза больше расстояния ее от левого
фокуса.
41
Задание 18.
1. Даны вершины треугольника А(4; 6), В(– 4; 0) и С(– 1; – 4).
Составить уравнение биссектрисы угла В.
2. Написать уравнения сторон равнобочной трапеции, зная, что
ее основания 10 и 6, а боковые стороны образуют с основанием угол
в 60 градусов. За оси координат взяты большее основание и ось симметрии трапеции.
3. Проверить, лежит ли прямая (x + 2)/3 = (y – 5)/4 = z на плоскости 3x – 2y – z + 15 = 0
4. Доказать перпендикулярность прямых x + y – 3z – 1 = 0, и
2x + y + 2z + 5 = 0, 2x – y – 9z = 2, 2x – 2y – z + 2 = 0.
5. Убедиться, что плоскости – x + 2y – z + 1 = 0 и y + 3z – 1 = 0 не
параллельны и найти угол между ними.
6. Дан тетраэдр A(4; 0; 2), B(0; 5; 1), C(4; – 4; 3), D(3; – 1; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро AB и параллельной ребру CD.
7. Вычислить площадь треугольника A(1;2;0), B(3;0; – 3),
C(5;2;6).
8. На окружности 16x2 + 16y2 + 48х – 8y – 43 = 0 найти точку М,
ближайшую к прямой 8x – 4y + 73 = 0, и вычислить расстояние от
точки М до этой прямой.
9. Эллипс, симметричный относительно координатных осей,
проходит через точку (3, 12/5) и касается прямой 4x + 5y – 25 = 0.
Найти его уравнение.
10. Эксцентриситет гиперболы ε = 3, расстояние от точки М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М
до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
Задание 19.
1. Даны вершины треугольника А(4; 6), В(– 4; 0) и С(– 1; – 4). Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А на сторону
ВС.
2. При каком значении параметра а прямые (3а + 2)х + (1 – 4а)у +
+ 8 = 0 и (5а – 2)х + (а + 4)у – 7 = 0 перпендикулярны друг к другу?
3. Проверить, лежит ли прямая (x – 1)/2 = (y + 3)/ – 1 = (x + 2)/5
на плоскости 4x + 3y – z + 3 = 0.
4.Даны вершины треугольника A(3; 6; – 7), B(– 5; 2; 3), C(4; – 7;
– 2). Написать параметрическое уравнение медианы, проведенной
из вершины C.
42
5. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости
2x + 6y – 3z – 14 = 0 и отстоящей от нее на расстоянии пяти единиц.
6. Через прямую 3x + 2y – z + 1 = 0, x – y + 5z + 2 = 0 провести
плоскость, параллельную плоскости x + y + z + 5 = 0.
7. Найти длину высоты AH тетраэдра ABCD с вершинами A(2; –
4; 5), B(– 1; – 3;4), C(5;5;1), D(1; – 2;2).
8. Написать простейшее уравнение эллипса, полуоси которого
равны,соответственно 3 и 2.
9. Найти касательные к эллипсу x2/169 + y2/25 = 1, перпендикулярные к прямой 13x + 12y2 – 115 = 0.
10. Найти уравнение параболы и ее директрисы, если парабола
проходит через точки пересечения прямой y – x = 0 с окружностью
x2 + y2 + 8х = 0 и симметрична относительно оси ОХ.
Задание 20.
1. Проверить, что точки А(– 2; – 2), В(– 3; 1), С(7; 7) и D(3; 1)
служат вершинами трапеции, и составить уравнение средней линии этой трапеции.
2. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан х – 2у + 1 = 0 и
у – 1 = 0.
3. Найти проекцию точки А(4; – 3; 1) на плоскость x + 2у – z –
– 3 = 0.
4. Даны вершины треугольника A(3; – 1; – 1), B(1; 2; – 7), C(– 5;
14; – 3). Написать каноническое уравнение биссектрисы, проведенной из вершины C.
5. Даны координаты вершин пирамиды A(4; 6; 5), B(6; 9; 4),
C(2; 10; 10),D(7; 5; 9). Найти уравнения плоскости ABD, прямой
АС и угол между ними.
6. Через прямую 3x + 2y + z + 1 = 0, x + 2y + 5z + 3 = 0
провести плоскость, перпендикулярную плоскости x – 2y + z +
+ 7 = 0.
7. Вычислить площадь треугольника A(2;1;0), B(– 3; – 6;4),
C(– 2;4;1).
8. Написать простейшее уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6 и расстояние между фокусами равно 6.
9. Вычислить расстояние от центра окружности x2 + y2 – 2х = 0
до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей
x2 + y2 + 5х – 8y + 1 = 0 и x2 + y2 – 3х + 7y – 25 = 0.
43
10. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = 5/4, фокус F(5, 0) и уравнение соответствующей директрисы.
Задание 21.
1. Даны две точки А(– 3; 8) и В(2; 2). На оси абсцисс найти такую
точку М, чтобы ломаная АМВ имела наименьшую длину.
2. Найти угол между прямыми x – 2 = 3y/2 – 5 и x – 1 = – 2y +
+ 4.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1;
– 5; 3) и образующей с осями координат углы, соответственно равные 60, 45 и120 градусов.
4. Даны вершины треугольника A(2; – 1; – 3), B(5; 2; – 7), C(– 7;
11; 6). Написать уравнение биссектрисы, проведенной из вершины A.
5. Убедиться, что плоскости 2x – y + z – 1 = 0 и – 4x + 2y – 2z –
– 1 = 0 параллельны и найти расстояние между ними.
6. Найти расстояние от точки (7; 5; 0) до плоскости 4x – 3y –
– 12z + 26 = 0.
7. В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; – 1),
AC(2; – 1; 4) определяют основание, а вектор AD(– 3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Вычислить объем призмы.
8. Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его большой оси соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого
эллипса.
9. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с
x2 y2
+
= 1 и проходящей через точку (4 2;3).
эллипсом
35 10
10. Составить уравнение окружности, проходящей через точку
А(1, – 1) и точки пересечения окружности x2 + y2 + 2х – 2y – 23 = 0,
x2 + y2 – 6х + 12y – 35 = 0.
Задание 22.
1. Найти уравнение прямой, параллельной прямой 12х + 5у –
– 52 = 0 и отстоящей от нее на расстоянии d = 2.
2. Найти угол между прямыми 2x – 1 = y + 11 и 2x + 6 = y – 9.
3. Найти проекцию точки А(6; – 1; 1) на плоскость x – 2y + z – 3 =
= 0.
44
4. Даны вершины треугольника A(1; – 2; – 4), B(3; 1; – 3), C(5; 1;
– 7). Написать параметрические уравнения высоты, проведенной
из вершины B на противоположную сторону.
5. На оси z найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
x + 4y – 3z – 2 = 0 и 5x + z + 8 = 0.
6. Вычислить расстояние между плоскостями 2x - y - 2 30z + 10 = 0
- y - 2 30z + 10 = 0 и 4x - 2y - 4 30z + 15 = 0.
7. В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; – 1), AC(2;
– 1; 4) определяют основание, а вектор AD(– 3; 2; 2) направлен по
боковому ребру. Вычислить площадь граней.
9. Дано уравнение эллипса 25x2 + 169y2 = 4225. Вычислить длину его осей, координаты фокусов и эксцентриситет.
10. Написать уравнение гиперболы, полуось которой равна поx2
y2
+
= 1, а фокусное
169 144
расстояние гиперболы равно большой оси эллипса.
ловине фокусного расстояния эллипса
Задание 23.
1. Составить уравнение прямой, параллельной прямым 4х – 6у –
– 3 = 0 и 2х – 3у – 7 = 0, проходящей посредине между ними.
2. Найти угол между прямыми 3y – 4 = – 4x + 2 и y + 6 = 4x/
3 + 7.
3. Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3; 2; –
1) и пересекающей ось х под прямым углом.
4. Найти угол между прямыми x - 3 = -y - 2 = z / 2, x + 2 = y - 3 = (z +
x + 2 = y - 3 = (z + 5) / 2.
5. На оси у найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
4x – 3y + z – 2 = 0 и 5z + y + 8 = 0.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1;
4; 4) и прямую 4x – 3y + 5z + 6 = 0, 2x + y – z – 2 = 0.
8. В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; – 1),
AC(2; – 1; 4) определяют основание, а вектор AD(– 3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Вычислить угол между ребрами EF и AD.
9. Составить простейшее уравнение эллипса, у которого сумма
полуосей и расстояние между фокусами равны 8.
10. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса x2/25 +
+ y2/9 = 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет
ε = 2.
45
Задание 24.
1. Дан треугольник с вершинами А(1; 2), В(3; 7) и С(5: – 13). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану из вершины А.
2. Найти угол между прямыми x = 7 и y = 2x + 8.
3. Найти проекцию точки М(1; 1; 1) на плоскость x + y – 2z –
– 6 = 0.
4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей
через точку (2; 0; – 3) параллельно прямой (x – 1)/5 = (y + 2)/2 =
= – z – 1.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось z и через точку (– 3;1; – 2)
6. Вычислить расстояние между плоскостями 12x + 4y + 3z –
– 52 = 0 и 12x + 4y + 3z + 39 = 0.
7. В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; – 1),
AC(2; – 1; 4) определяют основание, а вектор AD(– 3; 2; 2) направлен по боковому ребру. Вычислить высоту призмы.
8. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с
x2 y2
эллипсом
+
= 1, эксцентриситет которой равен 1,25.
49 24
9. Написать уравнение эллипса, если расстояние между директрисами равно 12, а большая полуось равна 2 3.
10. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в
вершинах эллипса x2/100 + y2/64 = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
Задание 25.
1. Даны вершины треугольника А(4; 6), В(– 4; 0) и С(– 1; – 4).
Составить уравнения его сторон.
2. При каком значении параметра a прямые 3ах – 8у + 13 = 0 и
(а + 1)х – 2ау – 21 = 0 параллельны?
3. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(3;
0; – 1), В(1; 2; – 4) и С(0; 7; – 2). Найти уравнения сторон AD и CD.
4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2; 0; – 3) параллельно оси OY.
5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси OX и проходящей через две точки (4; 0; – 2) и (5; 1; 7).
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (– 1;
0; 2), (3; 1; 4), (2; 3; 0).
46
7. Дан треугольник A(1; 3; 5), B(3; 5; 6), C(2; 1; 7). Вычислить
вектор, коллинеарный биссектрисе угла A.
x2 y2
+
= 1 вписан прямоугольник, противополож8. В эллипс
49 24
ные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить его площадь.
9. Составить простейшее уравнение гиперболы, зная ее фокусы
F1(10; 0) и F2(– 10; 0) и одну из точек M (12;3 5).
10. Прямая x – y – 5 = 0 касается эллипса, фокусы которого находятся в точках F1(– 3, 0) и F2(3, 0). Составить уравнение этого
эллипса.
Задание 26.
1. Даны две точки А(– 3; – 1) и В(3; – 7). На оси ординат найти
такую точку М, чтобы прямые АМ и МВ были перпендикулярны
друг к другу.
2. Найти угол между прямыми 2x + y – 1 = 0 и y = x – 2
3. Написать уравнения ребер AB, BC, AC тетраэдра с вершинами
в точках A(0; 0; 2), B(4; 0; 5), C(5; 3; 0), D(1; 4; – 2).
4. Даны координаты вершин пирамиды: A(3; 5; 4), B(8; 7; 4), C(5;
10; 4), D(4; 7; 8). Найти уравнения высоты, опущенной из вершины
D на грань АВС.
5. Можно ли провести плоскость через точки (0; 0; – 1), (1; 3; 4),
(5; 0; – 3), (4; 4; 1)?
6. Написать уравнение плоскости. проходящей через точки М(0;
1; 1) и N(2; 0; 1) перпендикулярно плоскости 2 x – y + z + 1 = 0.
x2 9y2
+
= 1 найти точку, расстояние которой от
7. На эллипсе
30 24
малой оси равно пяти.
8. Написать простейшее уравнение гиперболы, зная, что расстояние между фокусами ее равно 20 и уравнения асимптот
y = ±4x / 3.
9. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если
известны уравнение касательной к эллипсу 3x + 10y – 25 = 0 и его
малая полуось b = 2.
10. Найти эксцентриситет гиперболы, имеющей в данной системе координат каноническое уравнение, если сумма расстояний от
точки N(– 5, – 4) до асимптот гиперболы равна 20/3.
47
Задание 27.
1. Даны две прямые: 3х + 4у – 10 = 0 и 5х – 12у + 26 = 0. Найти
точку, находящуюся на расстоянии 5 единиц от каждой из них.
2. Для треугольника ABC, A(6; 2), B(8; 8), C(14; 5) написать уравнение высоты BH и вычислить ее длину.
3. Найти расстояние между ребрами AD и BC тетраэдра A(– 1;
– 3; 1), B(5; 3; 8), C(– 1; – 3; 5), D(2; 1; – 4).
4. Найти угол между плоскостью 4x + 4y – 7z + 1 = 0 и прямой
x + y + z + 1 = 0, 2x + y + 3z + 2 = 0.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OZ параллельно вектору P(1; – 2; 3).
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (1;
2; 3) и (2; – 1; 3) параллельно вектору P(1; 2; 3)
7. Вычислить угол между диагоналями четырехугольника
A(– 4; – 4; 4), B(– 3; 2; 3), C(2; 5; 1), D(3; – 2; 2).
8. Эллипс, оси которого совпадают с осями координат, проходит
через точки М(2; 30,5) и N(0; 2). Написать его уравнение и найти
фокальные радиусы точки М.
9. Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей
которого равна 8, а расстояние между фокусами равно 3.
10. Составить уравнение гиперболы, если точка F(0, 0) является
одним из фокусов, а прямые x ± y + 2 = 0 – асимптотами.
Задание 28.
1. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом в 60 градусов к прямой у = х – 1.
2. Через точку M(2; – 1) провести прямую, отсекающую на осях
координат равные отрезки.
3. Даны координаты вершин пирамиды A(4; 4; 10), B(4; 10; 2),
C(2; 8; 4), D(9; 6; 9) Найти уравнения прямых AB и CD и угол между
ними.
4. Найти проекцию точки (2; – 3; 4) на прямую 2x – 3y + z – 2 =
= 0, 3x – 2y – z + 7 = 0.
5. На оси z найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:
x + 4y – 3z – 2 = 0 и 5x + z + 8 = 0.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
A(1; 1; – 2) и перпендикулярной плоскостям 2x + 3z = 0 и x – y +
+ z – 1 = 0.
7. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a(2; – 3; 1), b(1; 1; 2), c(3; 1; – 1).
48
8. Составить уравнение гиперболы, зная расстояние между фокусами 2c = 10 и эксцентриситет ε = 5/3.
9. Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояние
между фокусами равно 8, а эксцентриситет равен 0.5.
10. Большая ось эллипса втрое больше его малой оси. Составить
каноническое уравнение этого эллипса, если ось проходит через
точку M (3, 3).
Задание 29.
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(– 1;
– 1) и образующей угол 45 градусов с прямой у = 2х + 5.
2. Написать уравнение прямой проходящей на расстоянии 2 от
прямой 3x + 4y + 15 = 0.
3. Даны координаты вершин пирамиды: A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0;
2; 7), D(1; 5; 0). Найти уравнения прямых AB и CD и угол между
ними.
4. Вычислить угол между линией пересечения плоскостей 2x –
– y + 4z + 9 = 0, x + 2y – z + 3 = 0 и прямой x – 2 = (y + 1)/2 =
= (z – 3)/5.
5. Вычислить угол между плоскостями 3x – y + 2z + 15 = 0 и
5x + 9y – 3z – 1 = 0.
6. Дан тетраэдр A(– 1; 2; 5), B(0; – 4; 5), C(– 3; 2; 1), D(1; 2; 4). Написать уравнение плоскости, проходящей через вершину D и перпендикулярной стороне AC.
7. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 3i + 2j + k, b = i + 2j.
8. Составить уравнение гиперболы, зная расстояние между фокусами 2c = 10 и ось 2b = 8.
9. Через точку М(2, 1) провести окружность, касающуюся
окружности x2 + y2 – 8х – 4y + 19 = 0 и имеющую радиус, равный
единице.
10. Составить уравнение гиперболы с асимптотами y = ± 3, касающейся прямой 2x – y – 3 = 0.
Задание 30.
1. Найти угол между прямыми x = 7 и y = 2x + 8.
2. Дан треугольник с вершинами А(1; 2), В(3; 7) и С(5; – 13). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану из вершины А.
49
3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей
через точку (2; 0; – 3) параллельно прямой (x – 1)/5 = (y + 2)/2 =
= – z – 1.
4. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось z и через точку (– 3;1; – 2)
5. Даны вершины треугольника А(4; 6), В(– 4; 0) и С(– 1; – 4).
Составить уравнения его сторон.
6. Через прямую 3x + 2y + z + 1 = 0, x + 2y + 5z + 3 = 0 провести
плоскость, перпендикулярную плоскости x – 2y + z + 7 = 0.
7. В треугольной призме ABCDEF векторы AB(0; 1; – 1), AC(2;
– 1; 4) определяют основание, а вектор AD(– 3; 2; 2) направлен по
боковому ребру. Вычислить высоту призмы.
8. Дана окружность x2 + y2 – 4х – 5 = 0 и точка С(5, 4). Написать
уравнение окружности, имеющей центр в точке С и касающейся
данной окружности внешним образом.
9. Написать каноническое уравнение эллипса, у которого эксцентриситет равен 0,8, а большая полуось больше малой полуоси
на две единицы.
10. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в
вершинах эллипса x2/100 + y2/64 = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
50
Содержание
1. Прямая и плоскость................................................................. 1.1. Понятие векторов и действий над ними............................... 1.2. Прямая на плоскости........................................................ 1.3. Плоскость....................................................................... 1.4. Прямая в пространстве...................................................... 1.5. Взаимное расположение прямой и плоскости....................... 2. Кривые второго порядка........................................................... 2.1. Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости......... 2.2. Окружность..................................................................... 2.3. Эллипс............................................................................ 2.4. Гипербола....................................................................... 2.5. Парабола......................................................................... 3. Примеры решения задач........................................................... 4. Решение типового задания........................................................ 5. Индивидуальные задания ........................................................ 3
3
5
7
8
9
11
11
11
12
13
15
17
26
31
51
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
710 Кб
Теги
kazakovmakarovadik
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа