close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Kovalenko 0DCAC741E1

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
механика.
Колебания и волны.
электричество
Сборник задач
под редакцией Н. П. Лавровской, Ю. Н. Царева
Санкт-Петербург
2015
УДК [531+534+537](076.1)
ББК 22.3я7
М55
Рецензент –
доктор физико-математических наук профессор В. С. Иванов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве сборника задач
Авторы: Коваленко И. И., Котликов Е. Н., Лавровская Н. П.,
Литвинова Н. Н., Новикова Ю. А., Прилипко В. К., Рутьков Е. В., Царев Ю. Н.
М55 Механика. Колебания и волны. Электричество: сб. задач /
И. И. Коваленко, Е. Н. Котликов, Н. П. Лавровская и др.; под
ред. Н. П. Лавровской, Ю. Н. Царева. – СПб.: ГУАП, 2015. –
70 с.: ил.
В сборник включены задачи по нескольким разделам физики (механика, колебания и волны, электричество). По материалам сборника составляются домашние задания для студентов, изучающих физику в течение
двух семестров.
УДК [531+534+537](076.1)
ББК 22.3я7
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2015
© Коллектив авторов, 2015
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник задач состоит из трех частей: механика, колебания
и волны, электричество. Каждая часть включает в себя несколько разделов. В начале каждого раздела приведены краткие теоретические сведения и основные формулы с комментариями. В конце задачника приведены численные ответы, справочные материалы
и список рекомендованной литературы.
Решение задачи предполагает подробное рассмотрение основных
законов, вывод итоговой формулы в обозначениях, предложенных в
теоретическом разделе, и правильный численный ответ. Если в задаче имеются векторные величины, то необходим рисунок с обозначением направлений векторов.
Сборник подготовлен коллективом авторов кафедры физики
Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
3
МЕХАНИКА
1. Кинематика
Теоретические сведения
Положение материальной точки (частицы) задается радиус-век
тором r . В декартовой системе координат




r (t=
(1.1)
) x(t) ⋅ i + y(t) ⋅ j + z(t) ⋅ k,   

где i , j , k – орты осей x, y, z; x(t), y(t), z(t)– проекции r (t) на ось координат. Зависимость x, y, z от времени называется уравнениями движения частицы по осям координат.
Вектор мгновенной скорости – производная по времени от перемещения

 dr
.
v=
(1.2)
dt
Модуль численного значения скорости v и проекции вектора скорости на оси координат определяются соотношениями
v
=
ds
dx
dy
dz
=
, vx
=
, vy =
, vz
,
dt
dt
dt
dt
(1.3)
где s – путь, пройденный телом.
Мгновенное ускорение и проекции ускорения на оси координат
определяется формулами

dvy
dvx
dvz

=
a dv
=
, ax
=
, ay
=
, az
.
(1.4)
dt
dt
dt
dt
При плоском криволинейном движении по траектории радиуса
кривизны R ускорение можно представить в виде суммы двух перпендикулярных составляющих:
 

=
a an + aτ , (1.5)
v2
dv
an2 + aτ2 . =
, aτ
=
,a
(1.6)
R
dt

Нормальное ускорение an направлено по нормали к траектории

к центру кривизны. Касательное ускорение aτ направлено по каса
тельной к траектории. Направление aτ совпадает по направлению

с вектором скорости v (t) для ускоренного движения (УД) и проти
воположно v (t) для замедленного движения (ЗД).
an
=
4
Для прямолинейного равномерного движения частицы (v = const)
вдоль оси х уравнение движения имеет вид
x(=
t) x0 + vx t, (1.7)
где x0 – начальная координата.

При равнопеременном движении ( a = const ) уравнение материальной точки вдоль оси х приобретает вид
x=
x0 + v0x t +
ax t2
,
2
(1.8)
где v0x – начальная скорость. Для этого типа движения также справедливы формулы
=
v v0x ± ax t,=
S v0x t ±
ax ⋅ t2
, ±2aS =v2 - v02x , 2
(1.9)
где знак (+) относится к УД, а знак (-) – к ЗД.
Заметим, что формулы (1.9) можно применять к криволинейно
му равнопеременному движению (aτ = const), заменив a на aτ.
Для вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси или движения материальной точки по окружности уравнением движения является зависимость угла поворота от време
ни ϕ(t).
Вращательное движение характеризуется угловой скоростью и
угловым ускорением



 dϕ  dω d2 ϕ
ω= , =
(1.10)
b =
.
dt
dt dt2
Векторы угла поворота и угловой скорости направлены вдоль оси
вращения по правилу правого винта. Вектор углового ускорения направлен так же, как угловая скорость при ускоренном движении, и
в противоположную сторону – при замедленном вращении.
Для равномерного вращательного движения
ϕ = ϕ0 + ωt, (1.11)
где ϕ0 – начальное угловое перемещение.
Для равнопеременного вращательного движения (b =const)
уравнение имеет вид
ϕ = ϕ0 + ω0t ±
b t2
.
2
(1.12)
5
Частота вращения
ν =N / t, где N – число оборотов, совершаемых телом за время t.
Угловая скорость при равнопеременном движении
ω = ω0 ± bt. (1.13)
(1.14)
Задачи
1.1. Самолет летит из пункта А к пункту В, расположенному на
расстоянии 300 км к востоку. Определить продолжительность полета, если: 1) ветра нет; 2) ветер дует с севера на юг; 3) ветер дует
с запада на восток. Скорость ветра 20 м/с, скорость самолета относительно воздуха 600 км/ч.
1.2. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3 с. 1. Какова была начальная скорость тела? 2. На какую высоту поднялось тело? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.3. С аэростата, находящегося на высоте 300 м, упал камень. Через сколько времени камень достигнет земли, если: 1) аэростат поднимается со скоростью 5 м/с; 2) аэростат опускается со скоростью
5 м/с; 3) аэростат неподвижен? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.4. Свободно падающее тело в последнюю секунду падения проходит половину своего пути. Найти: 1) с какой высоты падает тело;
2) продолжительность его падения.
1.5. Расстояние между двумя станциями метрополитена 1,5 км.
Первую половину этого расстояния поезд проходит равноускоренно, вторую – равнозамедленно. Максимальная скорость поезда
50 км/ч. Найти: 1) величину ускорения, считая его численно равным замедлению; 2) время движения поезда между станциями.
1.6. Вагон движется равнозамедленно (a = 0,5 м/с2). Начальная
скорость вагона 54 км/ч. Через сколько времени и на каком расстоянии от начальной точки вагон остановится?
1.7. Зависимость пройденного телом пути от времени дается
уравнением s = At – Bt2 + Ct3, где А = 2 м/с, В = 3 м/c2 и С = 4 м/c3.
Найти: 1) зависимость скорости и ускорения от времени; 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения. Построить график пути, скорости и ускорения для
0 ≤ t ≤ 3 с через 0,5 с.
1.8. Зависимость пройденного телом пути от времени дается
уравнением s = A – Bt + Ct2, где А = 6 м, В = 3 м/c и С = 2 м/c2. Найти среднюю скорость и среднее ускорение тела в интервале време6
ни от 1 с до 4 с. Построить график пути, скорости и ускорения для
0 ≤ t ≤ 5 с через 1 с.
1.9. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти: 1) сколько времени камень будет в движении;
2) на каком расстоянии от основания башни он упадет на землю;
3) с какой скоростью он упадет на землю; 4) какой угол составит
траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.10. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через
0,5 с на расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. 1. С какой высоты был брошен камень? 2). С какой начальной скоростью
он был брошен? 3. С какой скоростью он упал на землю? 4). Какой
угол составляет траектория камня с горизонтом в точке его падения
на землю? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.11. Камень брошен горизонтально со скоростью 15 м/с. Найти
нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.12. Мяч бросили со скоростью 10 м/с под углом 40° к горизонту.
Найти: 1) на какую высоту поднимется мяч; 2) на каком расстоянии
от места бросания мяч упадет на землю; 3) сколько времени он будет
в движении. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.13. С башни высотой 25 м бросили камень со скоростью 15 м/с
под углом 30° к горизонту. Найти: 1) время полета камня; 2) на каком расстоянии от основания башни он упадет на землю; 3) с какой
скоростью он упадет на землю. Сопротивление воздуха не учитывать.
1.14. Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м
друг от друга, вращается с угловой скоростью, соответствующей частоте 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при
этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол 12°. Найти максимальную скорость пули.
1.15. Маховое колесо через 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным.
1.16. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через
2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60 ° с направлением линейной скорости этой точки.
1.17. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/c2.
Через 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало
равно 13,6 м/c2. Найти радиус колеса.
7
1.18. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ξ(t) = А + Bt +
+ Ct2 + Dt3, где В = 1 рад/c, С = 1 рад/c2 и D = 1 рад/c3. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно
3,46·102 м/c2.
1.19. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Найти этот
угол, если горизонтальная дальность полета тела в четыре раза
больше максимальной высоты траектории.
1.20. Снаряд, выпущенный из орудия под углом 30 ° к горизонту,
дважды был на одной и той же высоте h спустя 10 с и 50 с после выстрела. Определить начальную скорость и высоту h.
1.21. Самолет, летевший на высоте 2940 м со скоростью 360 км/ч,
сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.22. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении
с начальной скоростью 30 м/с. Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорения камня в конце второй секунды после
начала движения.
1.23. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси,
имеют линейную скорость 2 м/с. Определить частоту вращения
диска.
1.24. Диск радиусом 20 см вращается согласно уравнению
ϕ = А + Вt + Ct3, где А = 3 рад, В = –1 рад/с, С = 0,1 рад/c3. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорение точек на
окружности диска для момента времени t = 10 с.
1.25. Маховик начал вращаться равноускоренно и за время 10 с
достиг скорости, соответствующей 300 об/мин. Определить угловое ускорение маховика и число оборотов, которое он сделал за это
время.
2. Динамика поступательного движения
Теоретические сведения
Основными законами динамики являются законы Ньютона.
Первый закон Ньютона (закон инерции) выделяет из всех систем отсчета инерциальные системы отсчета (ИСО).
8
Второй закон Ньютона является основным уравнением динамики материальной точки. В ИСО он имеет вид
 


 
dv = F или dp = F, m
(2.1)
ma
=
F
,
dt
dt



где m – масса тела, F – результирующая сила, p = mv – импульс тела.
Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения импульса: сумма импульсов N частиц есть величина постоянная

∑ Pi = const или
N
1
N

∑ mivi = const. (2.2)
1
Задачи
2.1. Материальная точка массой 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиуса 1,2 м в течение 2 с. Найти модуль вектора изменения импульса точки за это время.
2.2. Тело массой 5 кг брошено под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
1) импульс силы, действующей на тело за время полета; 2) модуль
вектора изменения импульса тела за время полета.
2.3. Шарик массой 100 г упал с высоты 2,5 м на горизонтальную
плиту, масса которой много больше массы шарика, и отскочил от
нее вверх. Считая удар абсолютно упругим, найти импульс, полученный плитой.
2.4. Шарик массой 0,3 кг ударился о стену и отскочил от нее.
Определить импульс, полученный стеной, если в последний момент
перед ударом шарик имел скорость 10 м/с, направленную под углом
30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим.
2.5. Шарик массой 0,1 кг соскальзывает без трения по желобу
высотой 2 м. Начальная скорость шарика равна нулю. Найти модуль вектора изменения импульса шарика и импульс, полученный
желобом при движении шарика.
2.6. При равномерном движении по окружности со скоростью
10 м/с тело массой 2 кг переместилось на угол 120°. Найти модуль
вектора изменения импульса тела.
2.7. Железнодорожная платформа массой 20 т движется со скоростью 9 км/ч. Из орудия, установленного на платформе, выпущен снаряд массой 25 кг со скоростью 700 м/с относительно орудия. Определить скорость платформы после выстрела в двух случаях: 1) когда
9
выстрел произведен в направлении движения платформы; 2) когда выстрел произведен в противоположном направлении. Трением
платформы о рельсы пренебречь.
2.8. Граната, летевшая со скоростью 10 м/с, разорвалась на два
осколка. Больший осколок, масса которого составляла 60% массы
всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении со скоростью 25 м/с. Найти скорость меньшего осколка.
2.9. Шар массой 10 кг, движущийся со скоростью 4 м/с, сталкивается с шаром массой 4 кг, движущимся со скоростью 12 м/с. Считая удар прямым и неупругим, найти скорость шаров после удара
в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар; 2) шары движутся навстречу друг другу.
2.10. В лодке массой 240 кг стоит человек массой 60 кг. Лодка движется со скоростью 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4 м/с (относительно лодки). Найти
скорость движения лодки после прыжка человека в двух случаях:
1) человек прыгает вперед по движению лодки; 2) человек прыгает
в сторону, противоположную движению лодки.
2.11. Два конькобежца массами 80 и 50 кг, держась за концы
длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его
со скоростью 1 м/с. С какими скоростями будут двигаться по льду
конькобежцы? Трением пренебречь.
2.12. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти скорость и абсолютное значение
скорости новой частицы,
  m2 = 2m1 , а их скорости перед стол если

2i 3j ,v2 =5i 3j (компоненты скорости дакновением равны v1 =+
ны в м/с).
2.13. Ствол пушки направлен под углом 45° к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в 50 раз
меньше массы пушки, равна 180 м/с. Найти скорость пушки сразу
после выстрела, если колеса ее освободить.
2.14. Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался
на два осколка, больший осколок массой 3 кг полетел в обратном
направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго,
меньшего осколка.
2.15. Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью v0, разорвался
на два осколка в верхней точке траектории на расстоянии l (по горизонтали) от места выстрела. Один из осколков полетел в обратном
направлении со скоростью движения снаряда до разрыва. Прене10
брегая сопротивлением воздуха, определить, на каком расстоянии
s (по горизонтали) от орудия упадет второй осколок.
2.16. Платформа с песком общей массой 2 т стоит на рельсах на
горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой 8 кг
и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление – сверху вниз под углом 30°
к горизонту.
2.17. Снаряд в верхней точке траектории на высоте 100 м разорвался на две части: m1=1 кг и m2=1,5 кг. Скорость снаряда в этой
точке была 100 м/с. Скорость большего осколка v2 оказалась горизонтальной, совпадающей по направлению с v0, и равной 250 м/c.
Определить расстояние между точками падения обоих осколков.
Сопротивление воздуха не учитывать.
2.18. Материальная точка массой 0,1 кг, двигаясь равномерно,
описывает половину окружности радиусом 1 м за 5 с. Найти модуль
вектора изменения импульса точки за это время.
2.19. Шарик массой 0,2 кг ударился о стену и отскочил от нее.
Определить модуль вектора изменения импульса шарика, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость 10 м/с, направленную под углом 30° к поверхности стенки. Удар считать абсолютно упругим.
2.20. Снаряд, вылетевший из орудия под некоторым углом к горизонту, в верхней точке траектории разрывается на два осколка равной массы. Один осколок возвращается к орудию по прежней траектории. На каком расстоянии от места, где должен был бы упасть
снаряд, упадет второй осколок?
2.21. Снаряд массой 10 кг обладал скоростью 200 м/с в верхней
точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой 3 кг получила скорость 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость второй части после взрыва.
2.22. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием 5 т. Орудие стреляет вверх под углом 60°
к горизонту в направлении железнодорожного пути. С какой скоростью покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда
20 кг, и он вылетает со скоростью 600 м/с?
2.23. Снаряд массой 10 кг имел скорость 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая
часть с массой 3 кг полетела вперед под углом 60° к горизонту, получив начальную скорость 400 м/с. С какой скоростью и под каким
углом к горизонту полетит больший осколок?
11
2.24. Тележка, масса которой 12 кг, движется по инерции по горизонтальной плоскости со скоростью 6 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом 30° к направлению ее движения в горизонтальной плоскости. Скорость тележки уменьшается
до 5 м/с. Какова была скорость человека во время прыжка относительно земли?
2.25. Тело массой m1, движущееся со скоростью v, налетает на
покоящееся тело и после упругого соударения отскакивает от него
под углом 90° к первоначальному направлению своего движения со
скоростью v1 = v/2. Определить массу второго тела.
3. Энергия. Работа. Мощность
Теоретические сведения
Кинетическая энергия материальной точки или тела, движущегося поступательно:
Åê
=
mv2 p2
=
.
2
2m
(3.1)
Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины)
Åï =
kx2
.
2
(3.2)
Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле
силы тяжести на высоте h
Åï = mgh. (3.3)
Для изменения механической энергии необходимо, чтобы была
совершена работа внешних сил над телами системы
ΔÅìåõ =
A âíåø. (3.4)
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
Eêèí =
Iω2
,
2
(3.5)
где I – момент инерции тела относительно оси вращения; ω – угловая скорость тела.
12
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без проскальзывания:
Eêèí
=
Iω2 mv2
+
,
2
2
(3.6)
где v – скорость движения центра масс тела.
Задачи
3.1. Пуля, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в вал и проходит до остановки 0,5 м. Определить силу сопротивления вала движению пули, если ее масса равна 24 г.
3.2. Два груза массами 10 кг и 15 кг подвешены на нитях длиной
2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был
отклонен на угол 60° и отпущен. Определить высоту, на которую
поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать неупругим.
3.3. Два неупругих шара массами 2 кг и 3 кг движутся со скоростями соответственно 8 м/с и 4 м/с. Определить увеличение
внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях:
1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары движутся навстречу
друг другу.
3.4. Шар массой m1, летящий со скоростью 5 м/с, сталкивается
с неподвижным шаром массой m2. Удар прямой, неупругий. Определить скорость шаров после удара, а также долю кинетической
энергии летящего шара, израсходованную на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) m1 = 2 кг,
m2 = 8 кг; 2) m1 = 8 кг, m2 = 2 кг.
3.5. Шар массой 1,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы. В результате прямого упругого удара шар потерял 0,36
своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.
3.6. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров больший
шар покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял 0,75
своей кинетической энергии. Определить отношение масс шаров.
3.7. Шар массой 200 г, движущийся со скоростью 10 м/с, ударяется о неподвижный шар массой 800 г. Удар прямой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости шаров после удара?
3.8. Баба копра массой 400 кг падает на сваю массой 100 кг, вбитую в грунт. Определить среднюю силу сопротивления грунта, если
известно, что при каждом ударе свая погружается в грунт на 5 см,
а высота подъема копра 1,5 м. Удар неупругий.
3.9. Небольшое тело начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2. Прене13
брегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).
3.10. Велосипедист должен проехать по «чертову колесу», радиус
которого 8 м. С какой высоты велосипедист должен начать разгон,
чтобы не упасть в верхней точке колеса?
3.11. Тело массой m соскальзывает с горы высотой h и останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять тело обратно на гору?
3.12. Небольшое тело начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол между вертикалью и радиусвектором, характеризующим положение тела относительно центра сферы, в момент отрыва от нее, а также скорость тела в этот
момент.
3.13. Вагон массой 12 т двигался со скоростью 1 м/с. Налетев на
пружинный буфер, он остановился, сжав пружину буфера на 10 см.
Найти жесткость пружины.
3.14. В пружинном ружье пружина сжата на 20 см. При взводе
ее сжали еще на 30 см. С какой скоростью вылетит из ружья стрела
массой 50 г, если жесткость пружины равна 120 Н/м?
3.15. При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх
пуля массой 15 г поднялась на высоту 7 м. Определить жесткость
пружины пистолета, если она была сжата на 10 см. Массой пружины пренебречь.
3.16. С какой скоростью вылетит из пружинного пистолета шарик массой 10 г, если пружина была сжата на 5 см? Жесткость пружины равна 200 Н/м.
3.17. Ящик с песком массой 10 кг удерживается пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью
500 м/с, попадает в ящик и застревает в нем. Определить, на сколько при этом сожмется пружина.
3.18. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули
в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара 1 м. Найти скорость пули, если известно, что
стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10°. Удар считать центральным.
3.19. Тонкий прямой стержень длиной 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на
угол 60° от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость нижнего конца стержня в момент прохождения через
положение равновесия.
14
3.20. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой 1 м.
3.21. Сколько времени будет скатываться (без скольжения) обруч
с наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 10 см?
3.22. Однородные цилиндр и шар начинают одновременно скатываться без скольжения с вершины наклонной плоскости. Какой
предмет быстрее достигнет основания плоскости?
3.23. Карандаш длиной 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорости будет иметь в конце падения: 1)середина карандаша? 2) верхний его конец? Считать,
что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.
3.24. На какую высоту над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость ракеты равна первой космической скорости?
3.25. Математический маятник (груз малых размеров на легком
подвесе длины l) находится в положении равновесия. Какую наименьшую скорость надо сообщить грузу, чтобы он мог совершить
полный оборот? Рассмотреть два случая: 1) груз подвешен на жестком стержне; 2) груз подвешен на нерастяжимой нити.
4. Динамика вращательного движения
Теоретические сведения
Моментом импульса частицы относительно точки отсчета называют псевдовектор, равный векторному произведению
  
L= r × p, (4.1)

где r – радиус-вектор, связывающий начало отсчета и положение


частицы; p = mv – импульс частицы; m – масса; v – скорость.
Момент импульса частицы в скалярном виде
 
(4.2)
L = mvr sin(v,r ). 
Момент импульса L тела, вращающегося вокруг оси с угловой

скоростью ω:


L = Iω, (4.3)
где I – момент инерции тела относительно оси.
Момент силы относительно точки отсчета
  
M= r × F. (4.4)
15
Момент силы, действующей на тело, относительно оси вращения
(4.5)
M = F⊥ l, где F – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l – плечо силы (кратчайшее расстояние от линии действия
силы до оси вращения).
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

 dL (4.6)
M=
,
dt
или


M=
dt d ( Iω) (4.7)
В случае постоянного момента инерции


M= Ib ,
(4.8)

где b – угловое ускорение тела.
Теорема Гюйгенса–Штейнера: момент инерции тела относительно некоторой заданной оси
=
I I0 + ma2 , (4.9)
где I0 – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей
через центр масс тела параллельно заданной оси; a – расстояние
между осями.
Если для рассматриваемой в задаче системы сумма проекций моментов внешних сил на некоторое направление равна нулю, то выполняется закон сохранения момента импульса:
N 
(4.10)
∑ Li = const. 1
Таблица моментов инерции
Тело массы m
Положение оси
Материальная точка на
невесомом подвесе длиной r
Ось перпендикулярна
стержню и проходит через
его конец
Однородный прямой тонкий
стержень длиной l
Ось перпендикулярна
стержню и проходит через
его середину
16
Момент
инерции
mr 2
1
12
ml2
окончание табл.
Тело массы m
Положение оси
Момент
инерции
Однородный прямой тонкий
стержень длиной l
Ось перпендикулярна
стержню и проходит через
его конец
Однородный сплошной
прямой цилиндр или диск
радиусом R
Ось симметрии
Полый тонкостенный
прямой цилиндр или обруч
радиусом R
Ось симметрии
Однородный шар радиусом R
Ось проходит через центр
шара
2
Сфера радиусщм R
Ось проходит через центр
сферы
2
1
3
1
2
ml2
mR 2
mR 2
5
3
mR 2
mR 2
Задачи
4.1. Расположенный вертикально однородный тонкий стержень
АВ массой 0,2 кг и длиной 1 м может свободно вращаться вокруг
горизонтальной оси, проходящей через точку O, лежащую между А
и В. В нижнюю точку A на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси вращения) со
скоростью 10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика равна 10 г.
Определить угловую скорость стержня и линейную скорость точки В в начальный момент времени. Расстояние между точками A
и O равно 1/2 м.
4.2. Расположенный вертикально однородный тонкий стержень
АВ массой 0,2 кг и длиной 1 м может свободно вращаться вокруг
горизонтальной оси, проходящей через точку O, лежащую между А
и В. В нижнюю точку A на стержне попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси вращения) со
скоростью 10 м/с и прилипает к стержню. Масса шарика равна 10 г.
Определить угловую скорость стержня и линейную скорость точки В в начальный момент времени. Расстояние между точками A и
O равно 2/3 м.
4.3. Расположенный вертикально однородный стержень длиной l
может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через
верхний его конец. В точку, отстоящую от оси вращения на 2l/3,
17
ударяется шарик массой m, летящий перпендикулярно к стержню
и к оси. После удара стержень отклоняется на угол ϕ, а шарик отскакивает назад со скоростью v. Найти начальную скорость шарика v0. Масса стержня М.
4.4. Платформа в виде диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он
перейдет на край платформы?
4.5. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска
радиусом 2 м, стоит человек массой 80 кг. Масса платформы равна
240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти
вдоль ее края со скоростью 2 м/с относительно платформы.
4.6. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой
60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет
вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на
платформе? Масса платформы равна 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
4.7. Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции,
совершая 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого равна 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен
120 кг·м2. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
4.8. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной 2,4 м и массой 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения. Скамья с человеком совершает 60 об/мин.
С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент
инерции человека и скамьи равен 6 кг·м2.
4.9. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения. Стержень
служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце
стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается, делая 600 об/мин.
Радиус колеса равен 20 см, его масса 3 кг. Определить частоту вращения скамьи, если человек повернет стержень на угол 180°. Суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг ·м2. Массу
колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.
18
4.10. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч
массой 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции человека и скамьи равен 6 кг ·м2?
4.11. Деревянный стержень массой 6 кг и длиной 2 м может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной
оси, проходящей через его верхний конец. В нижний конец стержня попадает пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 10 м/с перпендикулярно стержню и оси, и застревает в нем. Определить кинетическую энергию системы после удара.
4.12. Деревянный стержень массой 6 кг и длиной 2 м может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной
оси, проходящей через его верхний конец. В середину стержня попадает пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 10 м/с перпендикулярно стержню и оси, и застревает в нем. Определить кинетическую
энергию системы после удара.
4.13. Горизонтальная платформа в виде сплошного диска массой
200 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, проходящей
через центр платформы, делая 10 об/мин. Человек массой 70 кг стоит
при этом на краю платформы. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Момент
инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
4.14. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м
вращается, совершая 20 об/мин. В центре платформы стоит человек
и держит в расставленных руках гири. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 кг ·м2 до 0,98 кг ·м2. Считать платформу однородным диском.
4.15. Человек массой 60 кг находится на неподвижной платформе массой 100 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом 5 м вокруг оси
вращения? Скорость движения человека относительно платформы
4 км/ч. Радиус платформы 10 м. Считать платформу однородным
диском, а человека – материальной точкой.
4.16. Тонкий однородный стержень длиной 1 м может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Стержень отклонили от вертикали на угол 60° и отпустили. Определить для начального момента времени угловое и тангенциальное ускорения нижнего конца стержня.
19
4.17. Тонкий однородный стержень длиной 1 м может свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через него на
расстоянии 1/3 м от его верхнего конца. Стержень отклонили от
вертикали на угол 60° и отпустили. Определить для начального момента времени угловое и тангенциальное ускорения нижнего конца
стержня.
4.18. На барабан радиусом 0,4 м намотан шнур, к концу которого
привязан груз массой 15 кг. Найти момент инерции барабана, если
известно, что груз опускается с ускорением 2,8 м/с2.
4.19. На барабан массой 15 кг намотан шнур, к концу которого
привязан груз массой 3 кг. Найти ускорение груза. Барабан можно
считать однородным цилиндром. Трением пренебречь.
4.20. Маховое колесо, момент инерции которого 245 кг·м2, вращается, совершая 120 об/мин. Через 1 мин оно останавливается.
Найти момент сил трения. Колесо считать однородным диском.
4.21. Маховое колесо, момент инерции которого 245 кг·м2, вращается, совершая 120 об/мин. Через 1 мин оно останавливается.
Найти число оборотов, которое сделало колесо за это время. Колесо
считать однородным диском.
4.22. Маховик радиусом 0,3 м и массой 15 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без
скольжения, постоянно и равно 19,8 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.
4.23. Диск массой 0,5 кг и диаметром 400 мм вращается с угловой скоростью 157 рад/с. При торможении он останавливается в течение 10 с. Найти среднюю величину тормозящего момента.
4.24. Блок, который можно считать однородным диском массой
200 г, укреплен на горизонтальной оси. Через него перекинута нить
с укрепленными на ее концах грузами 325 г и 225 г. Нить не скользит по блоку. С каким ускорением будут двигаться грузы?
4.25. Через неподвижный блок массой 0,2 кг перекинут шнур, к
концам которого подвесили грузы массами 0,3 и 0,5 кг. Определить
силы натяжения шнура по обе стороны блока во время движения
грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.
20
5. Смешанные задачи
Теоретические сведения находятся в предыдущих разделах сборника задач.
Задачи
5.1. Частица движется вдоль оси x по закону x = at2 – bt3 , где a
и b – положительные постоянные. В момент t = 0 сила, действующая на частицу, равна F. Найти значения силы в точках поворота и
в момент, когда частица опять окажется в точке x = 0.
5.2. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол 15° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в 2 раза меньше времени
спуска.
5.3. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость v0. Коэффициент трения
между шайбой и плоскостью равен k. При каком значении угла наклона шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние?
Чему оно равно?
5.4. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами m1 и m2.
Кабина начинает подниматься с ускорением a. Пренебрегая массами
блока и нити, а также трением, найти: 1) ускорение груза m1 относительно кабины; 2) силу, с которой блок действует на потолок кабины.
5.5. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной
плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях
равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.
5.6. Два бруска с массами m1 и m2, соединенные недеформированной легкой пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен k. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном
направлении к бруску с m1, чтобы другой брусок сдвинулся с места?
5.7. Частица массы m движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону
an = αt2, где α – постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение
этой мощности за первые t секунд после начала движения.
5.8. Брусок массой 1 кг находится на горизонтальной плоскости с
коэффициентом трения k = 0,27. В некоторый момент ему сообщили
начальную скорость 1,5 м/с. Найти среднюю мощность силы трения
за все время движения бруска.
21
5.9. Какую мощность развивают двигатели ракеты массой M, которая неподвижно висит над Землей, если скорость истечения газов
равна u? Ускорение свободного падения известно.
5.10. Частица массой 4 г движется в двумерном поле, где ее потенциальная энергия U = axy, a = 0,19 мДж/м2. В точке 1 (3 м, 4 м)
частица имела скорость 3 м/с, а в точке 2 (5 м, –6 м) скорость 4 м/с.
Найти работу сторонних сил на пути между точками 1 и 2.
5.11. Небольшой шарик массой 50 г прикреплен к концу упругой
нити, жесткость которой 63 Н/м. Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя нити, и осторожно отпустили.
Когда нить проходила вертикальное положение, ее длина оказалась
равной 1,5 м, а скорость шарика составила 3 м/с. Найти силу натяжения нити в этом положении.
5.12. Гладкий легкий горизонтальный стержень AB может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его
конец A. На стержне находится небольшая муфточка массой m, соединенная невесомой пружинкой длиной l с концом A. Жесткость
пружинки равна k. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ω?
5.13. Гладкий резиновый шнур, длина которого l и жесткость k,
подвешен одним концом к точке O. На другом конце имеется упор.
Из точки O начинает падать небольшая муфточка массой m. Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжение
шнура.
5.14. Небольшая шайба массой 5 г начинает скользить, если ее
положить на шероховатую поверхность полусферы на высоте 60 см
от горизонтального основания полусферы. Продолжая скользить,
шайба отрывается от полусферы на высоте 25 см. Найти работу сил
трения, действующих на шайбу при ее соскальзывании.
5.15. Шарик массой бросили под углом α к горизонту с начальной
скоростью v. Найти модуль момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени. Сопротивлением воздуха пренебречь.
5.16. Шарик массой m падает без начальной скорости с высоты h
над поверхностью Земли. Найти модуль приращения момента импульса шарика за время падения относительно точки O системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью v в горизонтальном
направлении. В момент начала падения точка O совпадала с центром масс шарика. Сопротивление воздуха не учитывать.
5.17. Человек массой m стоит на краю горизонтального однородного диска массой M и радиусом R, который может свободно вра22
щаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через
его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю
диска, совершил перемещение на угол ϕ относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол, на который
повернулся диск к моменту остановки человека.
5.18. Однородный шар массой 5 кг скатывается без скольжения
по наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через 1,6 с после начала движения.
5.19. Однородный шар радиусом r скатывается без скольжения
с вершины сферы радиусом R. Найти угловую скорость шара после
отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.
5.20. Однородный сплошной цилиндр радиуса R и массой М может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси.
На цилиндр в один ряд намотан тонкий шнур длиной l и массой m.
Найти угловое ускорение цилиндра в зависимости от длины x свешивающейся части шнура. Считать, что центр масс намотанной части шнура находится на оси цилиндра.
5.21. Найти момент инерции тонкой прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через одну из вершин пластинки
перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны a
и b, а ее масса – m.
5.22. Из сплошного однородного цилиндра сделали полый, удалив половину массы. Во сколько раз уменьшится момент инерции
цилиндра относительно его оси?
5.23. На диск радиусом 0,1 м и массой 2 кг действует касательная сила 20 Н, вызывающая его вращение. Найти угловое ускорение диска, если момент трения в оси диска 0,5 Н·м.
5.24. Четыре маленьких шарика по 50 г каждый расположены
в вершинах квадрата, образованного жесткими невесомыми стержнями длиной 1 м. Определить момент инерции относительно оси,
перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его
центр.
5.25. Цилиндр радиусом 0,1 м и массой 5 кг вращается под действием касательной силы 10 Н. Найти нормальное, тангенциальное
и полное ускорения точек на поверхности цилиндра через 1 с после
начала движения.
23
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
6. Кинематика и динамика гармонических колебаний
Теоретические сведения
Уравнение гармонических колебаний
=
x A cos(ωt + ϕ), (6.1)
где x – смещение точки из положения равновесия; t – время, A – амплитуда, ω – циклическая частота и ϕ – начальная фаза колебаний.
При этом
ω= 2πν= 2π / T (ðàä/ñ), (6.2)
где ν – частота (Гц) и Т – период колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
v = x = - Aωsin(ωt + ϕ). (6.3)
Ускорение точки, совершающей гармонические колебания:
 = - Aω2 cos(ωt + ϕ). a=x
(6.4)
Если складываются два колебания с одинаковыми частотами,
происходящие вдоль одного направления, то амплитуда А и начальная фаза ϕ результирующего колебания определяются по формулам
=
A
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 - ϕ1 ) , (6.5)
где A1 и A2 – амплитуды складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 – их начальные фазы.
Начальная фаза результирующего колебания определяется из
выражения
A sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
tgϕ = 1
.
(6.6)
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2
Если точка участвует в двух колебаниях одной частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, то уравнение траектории точки имеет вид
x2
24
A12
+
y2
A22
-
2xy
cos(ϕ2 -=
ϕ1 ) sin2 (ϕ2 - ϕ1 ). A1 A2
(6.7)
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки
 = -kx mx
(6.8)
или
 + ω20 x =0, x
(6.9)
где m – масса точки; k –коэффициент упругости.
Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания:
=
E
1
1 2
mA 2=
ω2
kA .
2
2
(6.10)
Период колебаний тела, подвешенного на пружине:
T = 2π
m
.
k
(6.11)
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука. Масса пружины мала по сравнению
с массой тела.
Период малых колебаний математического маятника
l
,
g
(6.12)
L
I
=
2π
,
g
mga
(6.13)
T = 2π
где l – длина маятника; g – ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
T=
2π
где I – момент инерции тела относительно оси колебаний; a – расстояние от точки подвеса тела до его центра масс; L = I/(ma) – приведенная длина физического маятника.
Период крутильных колебаний
T = 2π
I
,
c
(6.14)
где I – момент инерции тела относительно оси, совпадающей
с упругой нитью; c – жесткость упругой нити, равная отношению
упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу,
на который нить закручивается.
25
Задачи
6.1. Колебания материальной точки массой 0,1 г происходят по
закону x = 0,05cos(20t) (м). Определить максимальные значения
возвращающей силы и кинетической энергии.
6.2. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 30 мкДж. Максимальная сила, действующая на тело, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза ϕ = π/6.
6.3. Материальная точка массой 0,01 кг совершает колебания
=
x 0,2 cos(2πt / 3) (м). Найти возвращающую силу через
по закону
1 с после начала движения и полную энергию материальной
точки.
6.4. Колебания материальной точки происходят согласно уравне=
нию x 0,08 cos(πt / 6) (м). Когда возвращающая сила равна 5 мН,
потенциальная энергия точки равна 100 мкДж. Найти соответствующий момент времени и фазу колебаний.
6.5. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Период колебаний 2 с, амплитуда 0,5 м, начальная фаза равна
нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 0,25 м.
6.6. Материальная точка совершает гармонические колебания по
закону синуса с частотой 500 Гц и амплитудой 0,02 см. Определить
средние значения скорости <v> и ускорения <a> точки на пути от ее
крайнего положения до положения равновесия, а также найти максимальные значения этих величин.
6.7. Наибольшее смещение и наибольшая скорость точки, совершающей гармонические колебания, равны соответственно 5 см и
12 см/с. Каково наибольшее ускорение? Каковы скорость и ускорение
точки в тот момент, когда смещение точки от положения равновесия
равно 3 см?
6.8. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний равен 0,5 с. После того как на чашку
весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равен 0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза?
6.9. Математический маятник длиной 1 м установлен в лифте.
Лифт поднимается с ускорением, равным 2,5 м/с2. Определить период колебаний маятника.
6.10. Определить период малых колебаний шарика, подвешенного на нити длиной 0,2 м, если он находится в жидкости, плотность
26
которой в 3 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.
6.11. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее
смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость равна 20 см/с.
Найти угловую частоту колебаний и максимальное ускорение точки.
6.12. Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение равно
100 см/с2. Найти угловую частоту колебаний, их период и амплитуду.
6.13. Точка совершает колебания по закону
=
x A sin(ωt) . В некоторый момент времени смещение точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение стало равным 8 см.
Найти амплитуду колебаний.
6.14. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом 8 с и одинаковой амплитудой 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями равна π/4.
Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.
6.15. Два одинаково направленных гармонических колебания
одного периода с амплитудами 10 см и 6 см складываются в одно
колебание с амплитудой 14 см. Найти разность фаз складываемых
колебаний.
6.16. Шар, радиус которого равен 5 см, подвешен на нити длиной
0,1 м. Определить относительную погрешность, которую допускают, если, вычисляя период колебаний маятника, принимают его за
математический маятник длиной 0,15 м.
6.17. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний
с одинаковыми направлениями и периодами: x1 = 0,01sin(ωt) м и
x2 = 0,01sin(ωt + 0,5) м. Найти уравнение результирующего колебания.
6.18. На концах тонкого стержня длиной 0,3 м укреплены грузики одинаковой массы по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через
точку, удаленную на 0,1 м от одного из концов стержня. Определить
приведенную длину и период колебаний такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.
6.19. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами, равными 1,5 с, и амплитудами, равными 2 см. Начальные фазы колебаний π/2 и π/3. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.
Найти его уравнение.
27
6.20. На стержне длиной 0,3 м укреплены два одинаковых грузика: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов.
Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную
длину и период колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.
6.21. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча равен 0,3 м. Вычислить период колебаний обруча.
6.22. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания
x = 2sin(ωt)см и y = cos(ωt + π/6) см. Найти уравнение траектории.
6.23. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = 2sin(ωt) м и y = 2cos(ωt) м. Найти траекторию движения точки.
6.24. Однородный диск радиусом 0,3 м колеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период его колебаний?
6.25. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = sin (ωt) и y = 2sin(ωt + π/2). Найти траекторию движения точки.
7. Затухающие колебания
Теоретические сведения
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
 =
mx
-kx - rx (7.1)
или
 + 2bx + ω20 x =0, x
(7.2)
где k – коэффициент упругости; r – коэффициент сопротивления
среды; β – коэффициент затухания
b=
r
.
2m
(7.3)
Циклическая частота затухающих колебаний
28
ω=
ω20 - b2 . (7.4)
Уравнение затухающих колебаний
=
x A0 e-bt cos ( ωt + ϕ ), где A0 – амплитуда в момент времени t = 0.
Логарифмический декремент колебаний
θ = ln
(7.5)
A (t)
= bT, A (t + T)
(7.6)
где А(t) и A(t + T) – амплитуды двух последовательных колебаний,
отстоящих друг от друга на период.
Время релаксации τ соответствует времени убыванию амплитуды в e раз.
Задачи
7.1. Уравнение затухающих колебаний
=
x 2exp(-bt)sin(ωt) (см).
Логарифмический декремент затухания 1,6. Найти смещение x точки из положения равновесия в момент времени T/4.
7.2. Уравнение затухающих колебаний дано в виде x =
= 5e–0,25t sin(π/2), где х – в см. Найти скорость колеблющейся точки
в моменты времени: 0, Т, 2Т, 3Т.
7.3. Логарифмический декремент затухания математического
маятника 0,2. Во сколько раз изменится амплитуда колебаний за
время, равное периоду Т?
7.4. Математический маятник длиной 1 м совершает затухающие колебания. За 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два
раза. Определить логарифмический декремент затухания.
7.5. Логарифмический декремент затухания математического
маятника 0,5, длина нити 1 м. Определить коэффициент затухания β и частоту затухающих колебаний ω.
7.6. Определить логарифмический декремент затухания математического маятника θ, если за время 2Т амплитуда колебаний
уменьшилась в два раза.
7.7. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,2. Во сколько раз
уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении
за время, равное периоду Т?
7.8. Математический маятник совершает затухающие гармонические колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,2.
Во сколько раз уменьшится скорость маятника при прохождении
положения равновесия за время 2T?
29
7.9. Математический маятник длиной l = 0,5 м, выведенный из
положения равновесия, отклонился при первом колебании на 5 см
из положения устойчивого равновесия, а через время T – на 4 см.
Определить время релаксации.
7.10. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз амплитуда уменьшится за 3 мин?
7.11. Материальная точка совершает затухающие колебания.
Коэффициент затухания 0,5 с–1. Определить период и логарифмический декремент затухания, если известно, что за время T, амплитуда колебаний уменьшилась в два раза.
7.12. Математический маятник совершает колебания по закону
синуса в вязкой среде. Длина нити маятника 9,81 м, коэффициент
затухания 0,6 с–1, начальное значение амплитуды 0,05 м. Определить скорость материальной точки в момент времени 0,25Т, если начальная фаза колебаний равна нулю.
7.13. Период затухающих колебаний 4 с, начальная амплитуда
2 см, начальная фаза π/2, логарифмический декремент затухания 1,6. Найти смещение точки из положения равновесия в момент
времени T/4.
7.14. Материальная точка совершает колебания с коэффициентом затухания 0,5 с–1. Начальная амплитуда равна 0,2 м, начальное
отклонение равно нулю. Определить скорость материальной точки в
момент времени 2Т, если период затухающих колебаний 1 с.
7.15. Масса металлического шарика, закрепленного на конце горизонтально расположенной пружины, равна 0,1 кг. Коэффициент
жесткости пружины равен 0,2 Н/м, логарифмический декремент
затухания 0,395. Определить коэффициент затухания и период затухающих колебаний. Трением и массой пружины пренебречь.
7.16. За время, равное одному периоду, амплитуда затухающих колебаний, совершаемых материальной точкой, уменьшилось
в е раз. Определить скорость материальной точки в момент времени
Т/2, если коэффициент затухания 0,5 с–1, начальное значение амплитуды 0,2 м, начальное отклонение равно нулю.
7.17. Определить скорость материальной точки, совершающей
затухающие колебания, в момент времени 0,5 с, если известно, что
период затухающих колебаний 2 с, логарифмический декремент затухания 2, начальное значение амплитуды 0,3 м, начальное отклонение равно нулю.
7.18. Тело массой 0,1 кг совершает затухающие колебания с частотой 0,25π с–1 и начальное отклонение равно нулю. Начальное зна30
чение амплитуды 0,04 м. Определить кинетическую энергию затухающих колебаний в момент времени 0,5Т, если коэффициент затухания 0,05 с–1.
7.19. Определить потенциальную энергию материальной точки
массой 0,1 г, совершающей затухающие колебания, в момент времени Т/6. Частота затухающих колебаний 4 с–1, коэффициент затухания 3 с–1, начальное значение амплитуды колебаний 0,02 м. Начальное отклонение равно нулю.
7.20. Определить скорость материальной точки, совершающей
затухающие колебания с коэффициентом затухания 0,4 с–1 и периодом 2 с в момент времени 0,125 Т, если начальное значение амплитуды 4,4 см. Начальное отклонение равно нулю.
7.21. Математический маятник совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания 0,16 с–1. Длина нити маятника
2,45 м. Определить тангенциальное ускорение aτ маятника в момент времени 0,125 Т, если начальное значение амплитуды равно
0,15 м и начальное отклонение равно нулю.
7.22. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,8. Длина нити
маятника 2,45 м. Определить нормальное ускорение маятника an
в момент времени 0,25 Т, если начальное отклонение равно нулю,
а начально значение амплитуды 0,1 м.
7.23. Материальная точка совершает затухающие колебания с
начальным значением амплитуды 10 см и логарифмическим декрементом затухания 1,2. Определить смещение материальной точки
из положения устойчивого равновесия за время Т/6, если начальное
отклонение равно нулю.
7.24. Определить координату x материальной точки относительно положения равновесия в момент времени 1,3 с, если известно, что
амплитуда затухающих колебаний 20 см, логарифмический декремент затухания 7,564, начальное отклонение равно нулю, циклическая частота собственных колебаний 1,26 с–1.
7.25. Период затухающих колебаний 4 с, логарифмический декремент затухания 1,6, начальное отклонение равно нулю. Смещение точки при времени 0,25 Т равно 4,5 см. Написать уравнение
движения этого колебания.
31
8. Вынужденные колебания
Теоретические сведения
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
или
 =
mx
-kx - rx + F0 cos Ωt (8.1)
2
 + 2bx + ω
x
=
0 x f0 cos Ωt, (8.2)
F0
; F0 cos Ωt – внешняя периодическая сила, действующая
m
на колеблющуюся материальную точку с циклической частотой Ω
и вызывающая вынужденные колебания.
Амплитуда вынужденных колебаний
где f0 =
A=
(
f0
ω20
)
2 2
-Ω
.
(8.3)
2 2
+ 4b Ω
Резонансная частота и амплитуда колебаний в резонансе
Ωðåç =
ω20 - 2b2 ;
Aðåç =
f0
2b ω20 - b2
.
(8.4)
Сдвиг фазы ϕ между вынуждающей силой и смещением:
tgϕ =
2bΩ
ω20
- Ω2
.
(8.5)
Задачи
8.1. Твердое тело совершает затухающие колебания с частотой
1 рад/с. В некоторый момент времени на тело подействовала вынуждающая сила на частоте резонанса. Определить резонансную частоту вынужденных колебаний, если коэффициент затухания 0,6 рад/с.
8.2. Определить коэффициент затухания колебаний математического маятника длиной 1 м, если резонансная частота вынужденных колебаний равна 2,41 рад/с.
8.3. Определить начальную фазу вынужденных колебаний математического маятника длиной 4,9 м, если частота вынуждающей
силы равна 0,8 рад/с, а коэффициент затухания 0,6 рад/с.
8.4. Центр инерции твердого тела массой 0,1 кг расположен на
расстоянии 0,4 м от горизонтальной оси вращения. Момент инер32
ции тела относительно оси вращения равен 0,08 кг·м2. Определить
резонансную частоту вынужденных колебаний твердого тела, если
коэффициент затухания 1,2 рад/с. Ускорение свободного падения
принять равным 10 м/с2.
8.5. Под действием внешней вынуждающей силы твердое тело,
закрепленное на оси вращения, совершает вынужденные колебания. Масса тела равна 0,1 кг, максимальное значение вынуждающей силы 0,06 Н. Определить амплитуду вынужденных колебаний
на частоте резонанса, если известно, что при отсутствии вынуждающей силы частота затухающих колебаний 12 рад/с, а коэффициент
затухания 0,4 рад/с.
8.6. Ось вращения металлического стержня расположена горизонтально и проходит через один из его концов. Длина стержня
0,5 м. Стержень совершает вынужденные колебания на частоте 5 рад/с. Определить начальную фазу вынужденных колебаний
стержня, если коэффициент затухания 0,5 рад/с. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
8.7. Математический маятник длиной 0,5 м совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания 0,3.
Под действием периодической вынуждающей силы на частоте резонанса амплитуда установившихся вынужденных колебаний стала равной 0,0318 м. Определить максимальное значение вынуждающей силы, рассчитанной на единицу массы маятника.
8.8. Твердое тело массой 0,01 кг совершает вынужденные колебания с амплитудой 0,1 м и частотой 0,78 рад/с. Максимальное значение вынуждающей силы равно 0,005 Н. Определить коэффициент затухания, если известно, что собственная частота колебаний 1,9 рад/с.
8.9. Металлический шарик, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 2 м, совершает вынужденные колебания. Определить
резонансную частоту колебаний, если известно, что логарифмический декремент затухания равен 3,07. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
8.10. Масса металлического шарика, закрепленного на конце горизонтально расположенной пружины, равна 0,03 кг. Коэффициент
жесткости пружины равен 0,27 Н/м, логарифмический декремент
затухания 4,308. Определить резонансную частоту вынужденных
гармонических колебаний.
8.11. Уравнение колебаний материальной точки массой
1,6·10–2 кг имеет вид x = 0,1sin(πt/8 –π/4) (м). Определить максимальное значение вынуждающей силы, действующей на точку. Коэффициент затухания равен 1/(2π) рад/c.
33
8.12. На резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний тела равна 0,04 м. Масса тела 0,1 кг. Определить максимальное
значение вынуждающей силы, если известно, что коэффициент затухания 0,5 рад/с и частота затухающих колебаний 25 рад/с.
8.13. Определить резонансную частоту вынужденных колебаний
математического маятника длиной 1м, совершающего затухающие
колебания с частотой 3 рад/с. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
8.14. Тело массой 0,01 кг, закрепленное на пружине жесткостью
0,16 Н/м, совершает вынужденные колебания. Частота вынуждающей силы 3 рад/с, а ее максимальное значение равно 0,02 Н. Определить амплитуду вынужденных колебаний, если известно, что коэффициент затухания 0,5 рад/с.
8.15. Металлический шарик массой 0,2 кг подвешен на вертикально расположенной пружине. При этом длина пружины увеличилась на величину 0,2 м. Под действием гармонической вынуждающей силы с амплитудой 0,2 Н шарик начинает совершать
вынужденные колебания. Пренебрегая массой пружины, определить циклическую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, а также значение этой амплитуды, если известно, что коэффициент затухания
1 рад/с.
8.16. Амплитуды вынужденных колебаний при частотах 400 и
600 рад/с равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна, если известно, что максимальное значение вынуждающей силы остается постоянным.
8.17. Металлический шарик массой 0,01 кг, подвешенный на
практически невесомой и нерастяжимой нити длиной 0,5 м, совершает вынужденные колебания на резонансной частоте. Максимальное значение вынуждающей силы 0,016 Н. Определить начальную
фазу и максимальную амплитуду вынужденных колебаний, если
коэффициент затухания равен 2 рад/с.
8.18. Тело массой 0,05 кг, подвешенное на невесомой пружине
с коэффициентом жесткости 20 Н/м, совершает вынужденные колебания с частотой 25 рад/с. При этом смещение центра инерции тела
отстает по фазе от вынуждающей силы на 0,75π. Определить коэффициент затухания.
8.19. Тело массой 0,02 кг совершает затухающие колебания с циклической частотой 4,5 рад/с и коэффициентом затухания 1,5 рад/с.
В некоторый момент времени на тело стала действовать гармоническая вынуждающая сила, амплитуда которой 0,02 Н, а цикличе34
ская частота 3,47 рад/с. Найти среднюю за период колебаний мощность вынуждающей силы.
8.20. Твердое тело, момент инерции которого относительно оси
вращения 0,02 кг·м2, совершает вынужденные колебания, задаваемые уравнением x = 1,5cos(3t/2 –π/3) (см). Масса тела 0,2 кг, расстояние от центра инерции до оси вращения 10 см. Определить коэффициент затухания и максимальное значение вынуждающей силы.
8.21. Металлический стержень длиной 0,2 м закреплен на горизонтально расположенной оси, проходящей через один из его концов. Масса стержня 0,4 кг. Стержень совершает вынужденные колебания с циклической частотой 6 рад/с под действием гармонической
силы, максимальное значение которой равно 0,32 Н. Определить
амплитуду колебаний стержня, если коэффициент затухания
1,6 рад/с.
8.22. Шар радиусом 0,154 м закреплен на горизонтальной оси,
проходящей через середину радиуса. Коэффициент затухания равен 2,48 рад/с. Найти резонансную частоту и начальную фазу вынужденных колебаний на этой частоте.
8.23. Ось вращения стержня длиной 0,4 м проходит на расстоянии 0,25l от его центра инерции. Масса стержня 0,1 кг, коэффициент затухания 2,48 рад/с. Найти амплитуду вынужденных колебаний на резонансной частоте, если максимальное значение вынуждающей силы равно 0,14 Н.
8.24. Металлический шар массой 1,3 кг и радиусом 0,05 м совершает вынужденные колебания с частотой 10,2 рад/с. Ось вращения
шара совпадает с касательной к его поверхности. Максимальная амплитуда вынужденных колебаний 0,4 см. Определить максимальное значение вынуждающей силы, если коэффициент затухания
2,23 рад/с.
8.25. Металлический шарик массой 0,02 кг, закрепленный на
конце вертикально расположенной пружины, совершает вынужденные колебания на частоте резонанса. Определить резонансную
частоту колебаний и коэффициент затухания, если коэффициент
жесткости пружины 0,54 Н/м и начальная фаза π/4. Массой пружины и трением пренебречь.
35
9. Основные характеристики волн
Теоретические сведения
Основными характеристиками волн являются:
а) фазовая скорость волны
v=
λ /T =
ω / k, где k – волновое число k = 2π / λ; T –период колебаний;
б) длина волны λ и частота ν
ν=
1 ω v
=
= .
T 2π λ
(9.1)
(9.2)
Разность фаз колебаний волны Δϕ = ϕ2 - ϕ1 – в двух точках среды, расстояние между которыми Δx = x2 - x1 равняется
Δϕ =
2πΔõ
.
λ
(9.3)
Интерференция – это процесс наложения нескольких волн, в результате которого происходит перераспределение интенсивности
в волновом поле. Максимумы интенсивности наблюдаются при условии, что разность фаз
Δϕ
= 2nπ, где n = 0, 1, 2, ….
Минимумы интенсивности образуются при разности фаз
где n = 0, 1, 2, ….
Δϕ
= (2n + 1)π, (9.4)
(9.5)
Задачи
9.1. По водной поверхности распространяется волна со скоростью
6 м/c. Определить период волны и ее частоту, если длина волны 3 м.
9.2. Найти длину волны основного тона ноты «ля». Частота
435 Гц, скорость звука в воздухе 340 м/с.
9.3. Взрыв произошел в воде вблизи ее поверхности. Звук от
взрыва пришел к регистрирующему прибору по воде на 15 с раньше,
чем по воздуху. Скорость звука в воде 1450 м/с, в воздухе 340 м/с.
Определите расстояние, на котором произошел взрыв.
9.4. При измерении глубины моря под кораблем при помощи эхолота оказалось, что между моментами, когда посылается и прини36
мается звуковой сигнал, проходит 0,6 с. Определить по этим данным глубину моря под кораблем. Скорость звука в воде 1450 м/с.
9.5. В безветренную погоду с лодки в воду озера бросили якорь.
Возникшая волна дошла до берега через 50 с. При этом расстояние
между соседними горбами волн составляло 0,5 м, и за 5 с наблюдалось 20 всплесков волн о берег. Определить расстояние от лодки до
берега.
9.6. Стальную деталь проверяют ультразвуковым дефектоскопом, работающим на частоте 1 МГц. Отраженный от дефекта сигнал
возвратился на поверхность металла через 8 мкс после испускания.
Зная, что длина ультразвуковой волны 5 мм, определить, на какой
глубине находится дефект.
9.7. Эхо ружейного выстрела дошло до стрелка через 4 с после выстрела. Определить расстояние между стрелком и преградой, от которой звук отразился. Скорость звука в воздухе 340 м/с.
9.8. Определить скорость звука в металле, если известно, что
расстояние между ближайшими точками звуковой волны, отличающимися по фазе на π, равно 2 м. Считать частоту звуковой волны
равной 1,25 кГц.
9.9. В упругой среде распространяется механическая волна со
скоростью 6 м/с и периодом колебаний точек среды относительно
положения равновесия 0,5 с. Определить минимальное расстояние
между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе.
9.10. Две точки находятся на расстоянии 50 см друг от друга на
прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью 50 м/с.
Период колебаний 0,05 с. Найти разность фаз колебаний в этих
точках.
9.11. Определить разность фаз колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м от
источника. Частота колебаний равна 5 Гц. Волны распространяются со скоростью 40 м/с.
9.12. Волна распространяется в упругой среде со скоростью
100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту
колебаний.
9.13. Волна распространяется в упругой среде со скоростью
150 м/с. Определить частоту колебаний, если минимальное расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0,75 м.
9.14. Звуковые колебания с частотой 450 Гц и амплитудой 0,3 мм
распространяются в упругой среде. Длина волны 0,8 м. Определить
37
скорость распространения волны и максимальную скорость частиц
среды.
9.15. При переходе звука частотой 1 кГц из воздуха в воду длина
волны увеличивается на 1,11 м. Скорость звука в воздухе 340 м/с.
Какова скорость звука в воде?
9.16. На поверхности океана длина волны достигает 300 м, а ее
циклическая частота 0,46 с–1. Определить скорость распространения волны.
9.17. Наблюдатель услышал звуковой сигнал через 4 с после начала работы источника. На каком расстоянии от источника находится наблюдатель, если частота звука 1 кГц, а длина звуковой волны 32 см?
9.18. Источник с частотой 1000 Гц и амплитудой 0,5 мм возбуждает в упругом шнуре волну длиной 0,35 м. Найти скорость распространения колебаний и максимальную скорость колеблющихся точек шнура.
9.19. Выстрел произведен вертикально вверх. Определить начальную скорость пули, если звук выстрела и пуля достигают высоты 850 м одновременно. Скорость звука принять равной 340 м/с.
9.20. Рыболов заметил, что за 10 с поплавок его удочки совершил
на волнах 20 колебаний, а расстояние между соседними гребнями
волн 1,2 м. Определить скорость распространения волн в озере.
9.21. Определить частоту звуковых колебаний в стали, если расстояние между ближайшими точками бегущей звуковой волны, фазы колебания которых отличаются на π, равно 2,5 м. Скорость звука
в стали принять равной 5000 м/с.
9.22. Волна распространяется со скоростью 6 м/с и частотой 4 Гц.
Определить разность фаз колебаний точек среды, отстоящих друг
от друга на расстояние 50 см.
9.23. Два когерентных источника колеблются в одинаковой фазе с частотой 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде
1 км/с. Определить, при какой наименьшей разности хода будет наблюдаться максимальное ослабление волн.
9.24. Два когерентных источника колеблются в одинаковой фазе с частотой 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде
1 км/с. Определить, при какой наименьшей разности хода будет наблюдаться максимальное усиление волн.
9.25. Найти разность фаз колебаний двух точек среды, в которой
распространяется упругая волна длиной 2 см, если первая точка находится на расстоянии 50 см от источника колебаний, а вторая – на
расстоянии 60 см от источника.
38
10. Уравнение волны. Энергия и интенсивность волны.
Эффект Доплера
Теоретические сведения

Уравнением плоской волны называется величина ζ(r ,t) , определяющая смещение точек среды, которые находятся на расстоя
нии r от источника в момент времени t
 

ξ ( r=
,t ) A cos(ωt - k ⋅ r ), (10.1)

где A – амплитуда волны; k – волновой вектор,
 определяющий
направление распространения волны. Модуль k равен волновому
числу.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х:
ξ ( x=
,t ) A cos(ωt - kx). (10.2)
Уравнение сферической незатухающей монохроматической волны
ξ=
(r ,t)
A0
cos(ωt - kr ). r
(10.3)
Амплитуда сферической незатухающей волны описывается выражением
A
A (r ) = 0 , (10.4)
r
где A0 – начальная амплитуда, определяемая мощностью источников.
При затухании волны в среде уравнение плоской волны будет
иметь вид
=
ξ ( x,t ) A0 e-γx cos(ωt - kx), где γ – коэффициент затухания волны.
Уравнение сферической волны с затуханием
=
ξ(r ,t)
A0 -γr
e cos(ωt - kr ). r
(10.5)
(10.6)
Амплитуда затухающей волны, плоской и сферической, соответственно, имеет вид
A (x) = A0 e -γx и A (r ) =
A0 -γr
e .
r
(10.7)
39
Энергия волны W, заключенной в некотором объеме V:
=
W
w
=
V, w
ρω2 A2
,
2
(10.8)
где <w> – средняя объемная плотность энергии волны; ρ – плотность среды.
Интенсивность звуковой волны I (энергия, переносимая звуком
в единицу времени через единичную площадь, перпендикулярную
к направлению распространения волны) связана со скоростью волны v и средней объемной плотностью энергии w соотношением
I = w v. (10.9)
Мощность N точечного изотропного источника звука связана с интенсивностью I звука на расстоянии r от источника соотношением
N
= I 4πr 2 . (10.10)
Формула (10.10) справедлива при отсутствии затухания волны
в среде.
Акустический эффект Доплера заключается в изменении частоты принимаемого звукового сигнала
vçâ ± uïð
=
ν
ν0 , (10.11)
vçâ  uèñò
где ν – частота звука, воспринимаемая движущимся приемником;
vзв – скорость звука в среде (не зависит от скорости источника!);
uпр – скорость приемника относительно среды; uист – скорость источника звука относительно среды; ν0 – частота звука, испускаемого источником. Знаки (+) или ( –) в формуле выбираются из соображения, что при встречном движении частота принимаемого сигнала
увеличивается (верхний знак формулы и в числителе и в знаменателе соответствует встречному движению).
Стоячие волны возникают вблизи границы раздела двух сред
в результате интерференции падающей и отраженной волны. При
этом возникают так называемые узлы и пучности стоячей волны:
в узлах колебания отсутствуют, а в пучностях амплитуда колебаний максимальна. Расстояния Δx между соседними узлами и пучностями стоячей волны одинаковы и равны половине длины волны.
Δõ =
λ v
=
,
2 2ν
где v – фазовая скорость волны, а ν – ее частота в герцах.
40
(10.12)
Задачи
10.1. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль
оси х, имеет следующий вид: ξ(x,t) = Acos(ωt –kx). Период колебаний
точек среды равен 1 мс, длина волны 34 см, амплитуда колебаний
5 мкм. Найти смещение точек среды, находящихся от источника на
расстоянии 51 см, через 2 мс после начала колебаний.
10.2. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль
оси х, имеет следующий вид: ξ(x,t) = Acos(ωt –kx). Период колебаний
точек среды равен 1 мс, длина волны 34 см, амплитуда колебаний
5 мкм. Найти скорость точек среды, находящихся от источника на
расстоянии 51 см, через 2 мс после начала колебаний.
10.3. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль
оси х, имеет следующий вид: ξ(x,t) = Acos(ωt –kx). Период колебаний
точек среды равен 1 мс, длина волны 34 см, амплитуда колебаний
5 мкм. Найти ускорение точек среды, находящихся от источника на
расстоянии 51 см, через 2 мс после начала колебаний.
10.4. Плоская звуковая волна имеет период 3 мс, амплитуду
0,2 мм, длину волны 1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние 2 м, найти смещение ξ(x,t) в момент времени 7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.
10.5. Плоская звуковая волна имеет период 3 мс, амплитуду
0,2 мм, длину волны 1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника
колебаний на расстояние 2 м, найти скорость точек среды в момент
времени 7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.
10.6. Плоская звуковая волна имеет период 3 мс, амплитуду
0,2 мм, длину волны 1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника
колебаний на расстояние 2 м, найти ускорение точек среды в момент
времени 7 мс. Начальную фазу колебаний принять равной нулю.
10.7. Волна с периодом 1,2 с и амплитудой колебаний 2 см распространяется со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение ξ(x,t) точки, находящейся на расстоянии 45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний прошло 4 с?
10.8. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура
со скоростью 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура 5 см, а период колебаний 1 с. Найти смещение точки, расположенной на расстоянии 9 м от источника колебаний, в момент времени 2,5 с.
10.9. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура
со скоростью 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура 5 см, а период колебаний 1 с. Найти скорость точки, расположенной на расстоянии 9 м от источника колебаний в момент времени 2,5 с.
41
10.10. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура 5 см,
а период колебаний 1 с. Найти ускорение точки, расположенной на
расстоянии 9 м от источника колебаний в момент времени 2,5 с.
10.11. Чему равна интенсивность волны, уравнение которой
ξ(x,t)=10cos(1020t –3x), ξ – в микрометрах , t – в секундах, х – в метрах? Плотность среды 1,2 кг/м3.
10.12. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид
ξ = 60cos(1800t –5,3x) мкм, t – в секундах, x – в метрах. Найти отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны, амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости
распространения волны.
10.13. По цилиндрической трубе диаметром 20 см и длиной 5 м,
заполненной сухим воздухом, распространяется звуковая волна со
средней за период интенсивностью 50 мВт/м2. Найти энергию волны в трубе. Скорость звука в воздухе 332 м/с.
10.14. Интенсивность звука 1 Вт/м2. Определить среднюю объемную плотность энергии звуковой волны. Скорость звука в воздухе
332 м/с.
10.15. Мощность изотропного точечного источника звуковых
волн 10 Вт. Найти среднюю объемную плотность энергии на расстоянии 10 м от источника. Скорость звука 225 м/с.
10.16. Найти мощность точечного изотропного источника звука,
если на расстоянии 25 м от него интенсивность звука 20 мВт/м2. Какова средняя объемная плотность энергии <w> на этом расстоянии?
Скорость звука 332 м/с.
10.17. Найти коэффициент затухания звуковой волны, если на
расстояниях 10 и 20 м от точечного изотропного источника звука
значения интенсивности звуковой волны отличаются друг от друга
в 4,5 раза.
10.18. Определить длину бегущей волны, если в стоячей волне
расстояние между первой и седьмой пучностями равно 15 см.
10.19. Определить длину бегущей волны, если в стоячей волне
расстояние между первым и четвертым узлами равно 15 см.
10.20. Мимо неподвижного электровоза, гудок которого дает сигнал с частотой 300 Гц, проезжает поезд со скоростью 40 м/с. Какова
кажущаяся частота тона для пассажира, когда поезд: 1) приближается к электровозу; 2) удаляется от него? Скорость звука 340 м/с.
10.21. Мимо железнодорожной платформы проходит электропоезд. Наблюдатель, стоящий не платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука 1100 Гц,
42
когда удаляется – 900 Гц. Найти скорость поезда и частоту звука,
издаваемого сиреной. Скорость звука 340 м/с.
10.22. Поезд проходит мимо станции со скоростью 36 км/ч . Частота тона гудка электровоза равна 300 Гц. Определить скачок частоты тона гудка для человека стоящего на платформе, при прохождении поезда. Скорость звука в воздухе 340 м/с.
10.23. На шоссе сближаются две автомашины со скоростями
108 км/ч и 72 км/ч. Первая из них подает звуковой сигнал частотой
600 Гц. Найти кажущуюся частоту звука, воспринимаемого водителем второй автомашины, в двух случаях: 1) до встречи; 2) после
встречи. Скорость звука 340 м/с.
10.24. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного
приемника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частоты 53 Гц. Скорость звука 340 м/с. Определить частоту тона
звукового сигнала гудка поезда.
10.25. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со скоростью 10 м/с, посылается сигнал частотой 50 кГц. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с частотой 52 кГц. Найти скорость второго катера.
Скорость звука в воде 1500 м/с.
43
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
11. Взаимодействие электрических зарядов.
Напряженность электрического поля
Теоретические сведения
Закон Кулона
F=
k q1q2
, (11.1)
er 2
где F – сила взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2; r – расстояние между ними; e – диэлектрическая проницаемость среды;
k=
1
= 9 ⋅ 109 ì Ô ;
4πe0
e0 = 8,85 ⋅ 10-12 Ô / ì.
Напряженность электрического поля
→
E=
→
F
,
q
(11.2)
→
где F – сила, действующая на точечный электрический заряд q, помещенный в электрическое поле.
Сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле:
→
→
F= q ⋅ E.
(11.3)
Напряженность электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него
kq
E= 2.
(11.4)
er Принцип суперпозиции для напряженности электрического поля от N точечных источников
→
→
→
→
→
N →
E = E1 + E2 + E3 + ... + EN = ∑ Ei .
i
(11.5)
Напряженность электрического поля от длинной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда l на расстоянии r
от нее
λ
2k λ
(11.6)
=
E =
.
er
2πee0r
44
Напряженность электрического поля равномерно заряженной
плоскости с поверхностной плотностью заряда s
E=
s
.
(11.7)
Напряженность электрического поля внутри плоского конденсатора с разноименно заряженными обкладками с поверхностной
плотностью заряда s
2ee0
E=
s
ee0
.
(11.8)
Задачи
11.1. Два одинаковых шарика массами по 0,5 г, подвешенные на
нитях длиной 1 м, разошлись на 4 см друг от друга. Найти заряды
шариков, считая их одинаковыми.
11.2. Два одинаковых заряженных шарика, подвешенные на нитях одинаковой длины, разошлись на некоторый угол. После того,
как шарики погрузили в масло плотностью 800 кг/м3, этот угол не
изменился. Плотность материала шариков 1600 кг/м3. Найти диэлектрическую проницаемость масла.
11.3. Расстояние между двумя одинаковыми разноименными точечными зарядами величиной 1 мкКл равно 10 см. Какая сила будет действовать на третий заряд 0,1 мкКл, помещенный на расстояниях 6 см от одного и 8 см другого заряда?
11.4. На двух одинаковых капельках воды имеется по одному
лишнему электрону. При этом сила электрического отталкивания
капелек равна силе их взаимного тяготения. Найти радиусы капелек.
11.5. Три одинаковых электрических заряда по 1 нКл каждый
помещены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд
нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы система зарядов оказалась в равновесии?
11.6. В вершинах правильного шестиугольника со стороной
10 см расположены точечные заряды q, 2q, 3q, 4q, 5q и 6q, где
q = 0,1 мкКл. Найти силу, действующую на точечный заряд
q' = 0,1 мкКл, помещенный в центр этого шестиугольника.
11.7. Два точечных заряда q и 2q находятся на расстоянии 20 см
от друга. На каком расстоянии от первого заряда надо поместить
третий заряд другого знака, чтобы он оказался в равновесии?
45
11.8. Два одинаковых маленьких металлических шарика, находящиеся на расстоянии 60 см, отталкиваются с силой 70 мкН. После
соприкосновения и удаления на прежнее расстояние шарики стали отталкиваться с силой 160 мкН. Найти начальные заряды шариков.
11.9. Два одинаковых точечных заряда находятся на расстоянии
20 см от друга. На каком расстоянии от первого заряда надо поместить третий заряд другого знака вдвое больший по величине, чтобы второй заряд оказался в равновесии?
11.10. По представлениям Бора электрон в атоме водорода движется по круговой орбите радиусом 50 пм. Найти скорость электрона.
11.11. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды
0,3 нКл. Какой заряд нужно поместить в центр квадрата, чтобы вся
система оказалась в состоянии равновесия?
11.12. Длинный тонкий стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 10 мкКл/м. На расстоянии 20 см от его середины находится точечный заряд 10 мкКл. С какой силой взаимодействуют стержень и заряд?
11.13. Тонкое кольцо радиусом 10 см несет равномерно распределенный заряд 0,1 мкКл. На перпендикуляре к его плоскости на расстоянии 20 см от центра находится точечный заряд 10 нКл. Найти
силу взаимодействия кольца и заряда.
11.14. Два одинаковых маленьких металлических шарика, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, притягиваются с некоторой силой. После соприкосновения и удаления шариков
на прежнее расстояние они стали отталкиваться с такой же силой.
Найти заряд второго шарика, если заряд первого -100 нКл.
11.15. Два точечных заряда 6,7 и -13,2 нКл находятся на расстоянии 5 см друг от друга. Найти напряженность электрического поля
в точке на расстоянии 3 см от первого заряда и 4 см от второго.
11.16. Бесконечно длинный тонкий прямой заряженный стержень (λ = 1 мкКл/см) расположен параллельно бесконечной заряженной плоскости (σ = 8,85 мкКл/м2). Найти силу, действующую
на единицу длины стержня.
11.17. В трех вершинах квадрата со стороной 40 см находятся
одинаковые заряды по 5 нКл каждый. Найти напряженность поля
в четвертой вершине.
11.18. Два точечных заряда q и 2q находятся на расстоянии
20 см от друга. На каком расстоянии от первого заряда надо поместить третий заряд -2q, чтобы второй заряд оказался в равновесии?
46
11.19. Два одноименных заряда q и 9q разнесены на расстояние
8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, напряженность электрического поля в которой равна нулю?
11.20. Под каким углом установятся нити, образующие ромб, если в его вершины поместить 4 заряда q, q, 2q и 2q, причем в противоположные углы одинаковые заряды?
11.21. Под каким углом установятся жесткие непроводящие
стержни, образующие ромб, если в его вершины поместить 4 заряда
q, q, –2q и –2q, причем в противоположные углы одинаковые заряды?
11.22. Под каким углом установятся нити, образующие ромб, если в его вершины поместить 4 заряда q, q, q и 2q? Ответ дать для угла
при вершине с большим зарядом.
11.23. Два разноименных заряда q и -9q разнесены на расстояние
8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, напряженность электрического поля в которой равна нулю?
11.24. Считая, что три координатные плоскости равномерно заряжены с поверхностными плотностями 1, 2 и 3 нКл/м2 соответственно, найти напряженность электрического поля в точке (1; 1; 1).
11.25. Тонкое полукольцо радиусом 20 см несет равномерно распределенный заряд 0,7 нКл. Найти величину напряженности электрического поля в центре этого полукольца.
12. Потенциальная энергия и потенциал электрического поля
Теоретические сведения
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов
q1 и q2 на расстоянии r друг от друга
W=
kq1q2
,
er
(12.1)
где e – диэлектрическая проницаемость среды;
k=
1
= 9 ⋅ 109 ì Ô ;
4πe0
e0 = 8,85 ⋅ 10-12 Ô ì.
Потенциал электрического поля
ϕ=
W
,
q (12.2)
где W – потенциальная энергия точечного электрического заряда q,
помещенного в электрическом поле.
47
Потенциальная энергия точечного заряда q в электрическом поле
W = qϕ. (12.3)
Потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него
kq
ϕ= .
(12.4)
r Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля от
N точечных источников
N
ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ... + ϕN = ∑ ϕi .
(12.5)
i
Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля непрерывно распределенного заряда
ϕ =∫
dq
.
r (12.6)
В этой формуле интегрирование ведется по всей заряженной области.
Связь между напряженностью и потенциалом электрического
поля:
→
 → ∂ϕ → ∂ϕ → ∂ϕ 
+ j
+k
E = - gradϕ = -  i
(12.7)
;
∂y
∂z 
 ∂õ
(2) → →
ϕ1 - =
ϕ2 ∫ E⋅ d r .
(1)
(12.8)
Потенциал электрического поля заряженной сферы радиусом R:
для точек вне сферы, т.е. при r > R, ϕ =
kq
;
r
для точек внутри сферы, т.е. при r ≤ R, ϕ =
(12.9)
kq
.
R
(12.10)
Разность потенциалов электрического поля от длинной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда l на расстояниях r1 и r2 от нее
48
=
ϕ1 - ϕ2
( )
( )
2kλ
λ
ln r2
ln r2 .
=
r
r1
1
2πee0
e
(12.11)
Напряжение между обкладками плоского конденсатора, расстояние между которыми равно d:
U = E d.
(12.12)
Задачи
12.1. Электрическое поле создано точечным зарядом 1 нКл. Найти потенциал в точке, удаленной от заряда на 20 см.
12.2. Заряды 1 и -1 мкКл находятся на расстоянии 10 см друг от
друга. Найти потенциал поля в точке, лежащей на перпендикуляре
к отрезку, соединяющему заряды, из конца этого отрезка. Расстояние от первого заряда до точки наблюдения 10 см.
12.3. Вычислить потенциальную энергию двух точечных зарядов 100 и 10 нКл, находящихся на расстоянии 10 см друг от
друга.
12.4. Найти потенциальную энергию системы трех точечных зарядов 10, 20 и -30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной 10 см.
12.5. Найти потенциальную энергию системы четырех одинаковых точечных зарядов по 10 нКл каждый, расположенных в вершинах квадрата со стороной 10 см.
12.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами
2q и -q, находящимися на расстоянии 12 см друг от друга. В каких
точках на прямой, проходящей через заряды, потенциал поля равен
нулю. Указать расстояния до второго заряда.
12.7. На тонком кольце радиусом 10 см равномерно распределен
заряд с линейной плотностью 10 нКл/м. Найти потенциал в точке,
лежащей на оси кольца, на расстоянии 5 см от его центра.
12.8. Тонкий стержень длиной 1 м несет равномерно распределенный по длине заряд 1 нКл. Определить разность потенциалов
электрического поля в точках, лежащих на серединном перпендикуляре к стержню на расстояниях 2 мм и 16 мм.
12.9. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равномерно
распределенный по ее длине заряд с линейной плотностью 10 нКл/м.
Найти разность потенциалов в двух точках, удаленных от нити
на 2 и 4 см.
12.10. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости
с поверхностной плотностью 10 нКл/м2. Найти разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости,
а другая удалена от нее на 10 см.
49
12.11. На двух концентрических сферах с радиусами 10 см и
20 см находятся одинаковые заряды по 2 нКл. Найти разность потенциалов между этими сферами.
12.12. В центре полой металлической сферы радиусом 1 м и зарядом 3,34 нКл находится точечный заряд 6,67 нКл. Найти потенциалы точек поля на расстояниях 0,5; 1 и 10 м от центра сферы.
12.13. Имеются две концентрические сферы с радиусами 10 см и
20 см. На внутренней сфере находится заряд 2 нКл, внешняя сфера
заземлена. Найти разность потенциалов между этими сферами.
12.14. Металлический шар радиусом 10 см заряжен до потенциала 300 В. Определить потенциал этого шара после того, как его
окружат сферической проводящей оболочкой радиусом 15 см и на
короткое время соединят с ней проводником.
12.15. Незаряженный металлический шар радиусом 10 см окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиусом 15 см с потенциалом 300 В. Чему будет равен потенциал оболочки, если незаряженный шар заземлить.
12.16. Определить потенциал точки поля, находящейся на расстоянии 9 см от поверхности металлического шара радиусом 1 см,
заряженного равномерно с поверхностной плотностью 10 нКл/м2.
12.17. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на
расстоянии 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 0,2 и -0,3 мкКл/м2.
Найти разность потенциалов между плоскостями.
12.18. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на
расстоянии 1 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 0,2 и 0,5 мкКл/м2.
Найти разность потенциалов между плоскостями.
12.19. Два шара с радиусами 5 и 8 см и потенциалами 120 и 50 В
соответственно, соединяют проводом. Найти потенциалы шаров после этого.
12.20. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала 20 В, сливаются в одну большую. Найти потенциал этой капли.
12.21. Две круглые металлические пластины радиусом 10 см
каждая, заряженные разноименно, расположенные на расстоянии
1 см друг от друга, притягиваются с силой 2 мН. Найти разность потенциалов между пластинами. Считать радиус пластин много больше расстояния между ними.
12.22. Найти потенциал электрического поля в центре полусферы радиусом 0,5 м, заряженной с поверхностной плотностью заряда
1 нКл/м2.
50
12.23. Тонкий стержень, заряженный равномерно с линейной
плотностью 4,425 нКл/м, согнут в кольцо. Найти потенциал в его
центре.
12.24. Электрическое поле создано положительным точечным
зарядом. Потенциал поля на расстоянии 12 см от заряда равен 24 В.
Найти величину и направление градиента потенциала в этой точке.
12.25. Расстояние между зарядами 1 мКл и 6,67 мкКл равно
10 см. Какую работу совершат силы электрического поля при увеличении расстояния между зарядами до 1 м?
13. Движение заряженных частиц в электрическом поле
Теоретические сведения
Сила, действующая на заряд в электрическом поле:
→
→
F= q ⋅ E. (13.1)
Потенциальная энергия точечного заряда q в электрическом поле
WΠ = qϕ. (13.2)
Потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него
ϕ=
kq
,
er
(13.3)
где e – диэлектрическая проницаемость среды;
k=
1
= 9 ⋅ 109 ì Ô ;
4πe0
e0 = 8,85 ⋅ 10-12 Ô ì.
Потенциал электрического поля заряженной сферы радиусом R
для точек вне сферы, т.е. при r > R, ϕ =
kq
;
er
для точек внутри сферы, т.е. при r ≤ R, ϕ =
(13.4)
kq
.
eR
(13.5)
Разность потенциалов электрического поля от длинной равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда l на расстояниях r1 и r2 от нее
=
ϕ1 - ϕ2
( )
( )
2kλ
λ
ln r2
ln r2 .
=
r
r1
1
2πee0
e
(13.6)
51
Напряженность электрического поля равномерно заряженной
плоскости с поверхностной плотностью заряда s
E=
s
2ee0
.
(13.7)
Напряженность электрического поля внутри плоского конденсатора с разноименно заряженными обкладками с поверхностной
плотностью заряда s
E=
s
ee0
.
(13.8)
Связь напряженности поля плоского конденсатора с напряжением между его обкладками, расстояние между которыми равно d:
U = Ed. (13.9)
Задачи
13.1. Какой путь пройдет электрон в однородном электрическом
поле напряженностью 200 кВ/м за 1 нс, если его начальная скорость была равна нулю?
13.2. Пылинка массой 10–12 кг, имеющая пять лишних электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов 3 МВ.
Какую скорость при этом она приобрела?
13.3. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов
600 кВ, имеет скорость 5,4 Мм/с. Определить удельный заряд частицы.
13.4. Протон, начальная скорость которого 100 км/с, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью 300 В/см вдоль вектора напряженности. На каком пути скорость протона удвоится?
13.5. Бесконечная плоскость заряжена равномерно отрицательно
с поверхностной плотностью 35,4 нКл/м2. Электрон приближается
к этой плоскости вдоль силовой линии поля. На какое минимальное
расстояние он подойдет к плоскости, если на расстоянии 5 см от нее
он имел кинетическую энергию 80 эВ?
13.6. Электрон, летевший горизонтально со скоростью 1,6 Мм/с,
влетел в вертикальное однородное электрическое поле с напряженностью 90 В/см. Какой будет скорость электрона через 1 нс?
13.7. В однородное электрическое поле с напряженностью 1 кВ/м
вдоль силовой линии влетает электрон со скоростью 1 Мм/с. На каком пути скорость электрона уменьшится в два раза?
52
13.8. Какую минимальную скорость должен иметь протон, чтобы достигнуть поверхности заряженного до 400 В металлического шара, если начальное расстояние до его поверхности в три раза
больше радиуса?
13.9. Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического поля. В точке с потенциалом 100 В его скорость 6 Мм/с.
Найти потенциал точки поля, в которой скорость электрона уменьшится вдвое.
13.10. Электрон влетел в однородное электрическое поле с напряженностью 150 В/м перпендикулярно силовым линиям с начальной
скоростью 3 Мм/с. Какой будет скорость электрона через 0,1 мкс?
13.11. Электрическое поле создается равномерно положительно заряженной бесконечной нитью. Двигаясь в этом поле из точки,
удаленной от нити на 1 см, в точку, удаленную на 4 см, a –частица
изменила свою скорость от 0,2 до 3 Мм/с. Найти линейную плотность заряда нити.
13.12. Электрическое поле создается равномерно положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотностью заряда
2 нКл/см. Какую скорость приобретет покоящийся электрон, переместившись с расстояния 1 см до 0,5 см от нити?
13.13. Электрон влетел в плоский конденсатор со скоростью
10 Мм/с вдоль обкладок. На какое расстояние электрон приблизится к одной из них за время движения в конденсаторе, если длина
пластин 6 см, расстояние между ними 16 мм, а разность потенциалов 30 В?
13.14. Электрон влетел в плоский конденсатор со скоростью
10 Мм/с вдоль обкладок. Из конденсатора электрон вылетел под
углом 35° к своему первоначальному направлению. Найти разность
потенциалов между обкладками, если их длина 10 см, а расстояние
между ними 2 см.
13.15. Электрон влетел в плоский конденсатор со скоростью
10 Мм/с вдоль обкладок на равном расстоянии от них. При какой разности потенциалов между обкладками электрон не вылетит из конденсатора, если длина пластин 10 см, а расстояние между ними 2 см?
13.16. В расположенном горизонтально плоском конденсаторе
с зазором между обкладками 10 мм находится заряженная капелька массой 6,4·10–16 кг. В отсутствие электрического поля капелька
падает с постоянной скоростью 0,078 мм/с. При подаче на конденсатор напряжения 95 В капелька равномерно поднимается со скоростью 0,016 мм/с. Считая силу сопротивления пропорциональной
скорости, найти заряд капельки.
53
13.17. В расположенном горизонтально плоском конденсаторе
с зазором между обкладками 1 см находится заряженная капелька массой 5·10–11 г. Без электрического поля капелька падает с постоянной скоростью. При подаче на конденсатор напряжения 600 В
капелька падает вдвое медленнее. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, найти заряд капельки.
13.18. Между двумя вертикальными пластинами на равном
расстоянии от них падает пылинка. Сила сопротивления движению пропорциональна скорости пылинки, вследствие чего эта скорость постоянна и равна 2 см/с. Через какое время после подачи
на пластины напряжения 3 кВ пылинка достигнет одной из них?
Зазор между пластинами 2 см, масса пылинки 2×10–9 г, ее заряд
6,4·10–17 Кл.
13.19. Между двумя вертикальными пластинами на равном расстоянии от них падает пылинка. Сила сопротивления движению
пропорциональна скорости пылинки, вследствие чего эта скорость
постоянна и без электрического поля равна 2 см/с. Зазор между обкладками 2 см, масса пылинки 2·10–9 г, заряд 6,4·10–17 Кл. Какое
расстояние по вертикали пролетит пылинка до падения на обкладку после подачи на конденсатор напряжения 3 кВ?
13.20. Расстояние между обкладками плоского конденсатора
4 см. Электрон начинает движение от отрицательной пластины
в тот момент, когда от положительной начинает двигаться протон.
На каком расстоянии от положительной пластины они встретятся?
Кулоновским взаимодействием протона с электроном пренебречь.
13.21. Расстояние между обкладками плоского конденсатора
1 см. От положительной пластины одновременно начинают двигаться протон и a-частица. Какое расстояние пролетит a-частица
за время движения протона до отрицательной обкладки? Кулоновским взаимодействием протона с a-частицей пренебречь.
13.22. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь 5,3 мм от
одной обкладки до другой, разгоняется от 0 до 1 Мм/с. Найти напряженность электрического поля в конденсаторе.
13.23. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь 5,3 мм от
одной обкладки до другой, разгоняется от 0 до 1 Мм/с. Найти поверхностную плотность заряда на обкладках конденсатора.
13.24. Электрическое поле создается двумя параллельными пластинами на расстоянии 2 см друг от друга; разность потенциалов между ними 120 В. Какую скорость приобретет электрон,
начав двигаться в направлении действия силы поля и пройдя
путь 3 мм?
54
13.25. Электрон влетает в плоский конденсатор вдоль обкладок на равном расстоянии от них. Напряжение между обкладками
300 В, их длина 10 см, а расстояние между ними 2 см. При какой предельной начальной скорости электрон не вылетит из конденсатора?
14. Электрическая емкость. Конденсаторы
Теоретические сведения
Электроемкость уединенного проводника
q
C= ,
ϕ
(14.1)
где q – электрический заряд, сообщенный проводнику; j – созданный этим зарядом потенциал.
Электроемкость уединенного проводящего шара радиусом R
C=
eR
= 4πee0 R, k
(14.2)
где e – диэлектрическая проницаемость среды;
k=
1
= 9 ⋅ 109 ì Ô ;
4πe0
e0 = 8,85 ⋅ 10-12 Ô ì.
Энергия заряженного проводника
W=
1
1 2 q2
qϕ
=
Cϕ=
.
2
2
2C (14.3)
Два близко расположенных проводника, несущих одинаковые
по величине разноименные заряды ±q, образуют конденсатор. Электроемкость конденсатора
C=
q
,
U (14.4)
где U – напряжение (разность потенциалов) между его обкладками.
Электроемкость плоского конденсатора
C=
ee0 S
,
d (14.5)
где S – площадь обкладок; d – расстояние между ними.
55
Электроемкость цилиндрического конденсатора (коаксиального
кабеля)
2πee0 
e
=
C =
,
(14.6)
ln ( R2 R1 ) 2k ln ( R2 R1 )
где l – длина кабеля; R1 и R2 – его внутренний и внешний радиусы.
Электроемкость сферического конденсатора
=
C
4πee0 R1R2
R1R2
=
, R2 - R1
k ( R2 - R1 )
(14.7)
где R1 и R2 – радиусы его внутренней и внешней сфер.
Электроемкость N параллельно соединенных конденсаторов:
(14.8)
в общем случае C = C1 + C2 + C3 + ... + CN ;
(14.9)
в случае одинаковых конденсаторов C = C1 N.
Электроемкость N последовательно соединенных конденсаторов:
1 1
1
1
1
;
в общем случае =
+
+
+ ... +
(14.10)
C C1 C2 C3
CN
в случае двух конденсаторов C =
C1C2
;
C1 + C2
в случае N одинаковых конденсаторов C = C1 N .
Энергия заряженного конденсатора
=
W
2
1
1
2 q
=
qU
CU
=
.
2
2
2C (14.11)
(14.12)
(14.13)
Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема)
w=
1
1
ED=
ee0 E2 , 2
2
(14.14)
где E и D – напряженность и индукция электрического поля в среде
с диэлектрической проницаемостью e.
Задачи
14.1. Батарея состоит из четырех одинаковых последовательно
соединенных конденсаторов. Во сколько раз изменится электроемкость батареи, если конденсаторы соединить параллельно?
14.2. Два одинаковых металлических диска диаметрами по 12 см
расположены параллельно друг другу и разделены диэлектриком
с проницаемостью, равной 2, и толщиной 2 мм. Диски сдвинуты
56
так, что центр одного находится напротив края другого. Найти
электроемкость конденсатора.
14.3. Найти силу взаимодействия обкладок плоского воздушного
конденсатора емкостью 20 мкФ, если расстояние между ними 1 мм,
а поверхностная плотность зарядов 2 мкКл/м2.
14.4. Определить электроемкость коаксиального кабеля длиной
10 км, радиус внутренней жилы которого равен 1 мм, а внешней
оболочки – 2 мм. Кабель заполнен веществом с диэлектрической
проницаемостью, равной 2.
14.5. Напряжение между обкладками плоского конденсатора
25 В, расстояние между ними 5 мм. Определить объемную плотность энергии электрического поля внутри конденсатора.
14.6. В зазор 5 мм между обкладками плоского воздушного конденсатора емкостью 9 пФ вводят металлическую пластину толщиной
2 мм параллельно обкладкам. Найти емкость получившегося конденсатора и показать, что она не зависит от положения пластины.
14.7. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью 2. Напряжение между обкладками равно 100 В и постоянно в этом процессе.
Найти работу по удалению диэлектрика из конденсатора, если расстояние между обкладками 4 мм, а их площадь – 200 см2.
14.8. Конденсатор, заполненный веществом с диэлектрической
проницаемостью, равной 2, зарядили до 220 В и отключили от источника. Диэлектрик удалили из конденсатора и вдвое увеличили расстояние между обкладками. Найти напряжение на конденсаторе.
14.9. Между обкладками плоского конденсатора приложено напряжение 100 В. Расстояние между ними равно 0,5 мм. Конденсатор заполнен парафином (e = 2). Определить давление, оказываемое
обкладками конденсатора на поверхность диэлектрика.
14.10. Напряжение между обкладками плоского воздушного конденсатора 25 В, расстояние между ними 5 мм, их площадь
200 см2. Определить энергию электрического поля, заключенную
внутри конденсатора.
14.11. Радиус внутренней обкладки сферического воздушного конденсатора 2 см, внешней – 6 см. Между сферами приложена
разность потенциалов 400 В, пространство между обкладками заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью, равной 2.
Определить энергию этого конденсатора.
14.12. Определить работу, которую нужно совершить, чтобы
увеличить расстояние между обкладками плоского конденсатора
57
от 0,5 до 0,8 см. Площадь обкладок 400 см2, заряды на них ±8 нКл,
конденсатор отключен от источника.
14.13. Последовательно соединенные пять одинаковых конденсаторов подключены к источнику постоянного напряжения. Во сколько раз изменится энергия конденсаторов, если их подключить к тому же источнику параллельно?
14.14. Энергия заряженного плоского конденсатора 2 мкДж.
Площадь обкладок 200 см2, расстояние между ними 0,7 мм, диэлектрическая проницаемость среды равна 7. Определить поверхностную плотность зарядов на обкладках.
14.15. К сферическому конденсатору приложена разность потенциалов 200 В. Радиус внутренней сферы 0,1 м, внешней - 0,3 м.
Определить поверхностную плотность зарядов на каждой обкладке.
14.16. Параллельно трем последовательно соединенным конденсаторам по 0,36 мкФ включены два последовательно соединенных
конденсатора 0,2 и 0,3 мкФ. Найти электроемкость этой батареи.
14.17. Определить электроемкость Земли, считая ее проводящим
шаром. Длина земного экватора равна 40000 км.
14.18. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено двумя диэлектриками равной толщины с диэлектрическими проницаемостями равными e1 = 2 и e2 = 4. Площади обкладок равны 200 см2, зазор между ними – 0,885 мм. Найти электроемкость конденсатора.
14.19. На два последовательно соединенных конденсатора емкостями 10 и 100 нФ подано напряжение 220 В. Определить падение
напряжения на первом конденсаторе.
14.20. Конденсатор емкостью 3 мкФ выдерживает напряжение
1,5 кВ; другой конденсатор емкостью 6 мкФ – напряжение 2 кВ. Какое напряжение выдержит система этих двух конденсаторов, соединенных последовательно?
14.21. Конденсатор емкостью 5 мкФ выдерживает напряжение
2 кВ; другой конденсатор емкостью 8 мкФ – напряжение 1 кВ. Какое напряжение выдержит система этих двух конденсаторов, соединенных последовательно?
14.22. На два последовательно соединенных конденсатора емкостями 10 и 50 нФ подано напряжение 12 В. Определить падение напряжения на втором конденсаторе.
14.23. К обкладкам цилиндрического конденсатора приложено
напряжение 20 В. Радиусы коаксиальных цилиндров, образующих
конденсатор, равны 4 и 16 мм. Найти поверхностные плотности зарядов на каждой обкладке.
58
14.24. Определить электроемкость заряженной металлической
сферы, если на расстоянии 20 см от центра потенциал поля равен
500 В, а на расстоянии 50 см от поверхности равен 300 В.
14.25. Определить электроемкость заряженной металлической
сферы, если в ее центре потенциал поля равен 300 В, а на расстоянии 45 см от поверхности равен 50 В.
15. Диэлектрики
Теоретические сведения
Индукция электрического поля (электрическое смещение)
→
→
→ →
D = ee0 E = e0 E + P, (15.1)
→
где e – диэлектрическая проницаемость; P – вектор поляризован-12
Ô ì.
ности среды, а e=
0 8,85 ⋅ 10
→
→
P =e0 c E, (15.2)
где c – диэлектрическая восприимчивость среды;
c = e - 1.
→
(15.3)
→
Условия для векторов D и E на границе раздела диэлектриков
показаны на рис.15.1 и сформулированы в выражениях (15.4)–(15.6).
E1τ =
E2τ ;
e1 E1n =
e2 E2n ; (15.4)
D1τ D2τ
=
=
;
D1n D2n ;
e1
e2
tg α1 E2n D1τ e1
= = =
.
tg α2 E1n D2τ e2
E1τ
E1
(15.6)
ε1 ε2
ε1 ε2
E2τ
(15.5)
D2τ
D2
E2
D1τ
D1


Рис. 15.1. Граничные условия для векторов E и D
59
Напряженность поля электрических зарядов, равномерно распределенных по плоскости с поверхностной плотностью s:
E=
s
2e0
.
(15.7)
Граница раздела диэлектриков в электрическом поле оказывается заряженной. Поверхностная плотность связанных поляризационных зарядов на границе раздела диэлектриков
s′ =P1n - P2n =e0 c ( E2n - E1n ).
(15.8)
Напряженность поля связанных (фиктивных) зарядов, равномерно распределенных по плоскости с поверхностной плотностью s':
s′
(15.9)
E′ =
.
2e0
Задачи
15.1. В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью e электрическая индукция имеет величину D. Чему равна поляризованность Р среды в этой точке?
15.2. Перпендикулярно однородному электрическому полю с напряженностью 100 В/м помещена плоскопараллельная диэлектрическая пластина с проницаемостью, равной 2. Найти поляризованность диэлектрика.
15.3. Перпендикулярно однородному электрическому полю с напряженностью 100 В/м помещена плоскопараллельная диэлектрическая пластина с проницаемостью, равной 2. Найти плотность связанных зарядов на поверхности пластины.
15.4. В плоский конденсатор с зазором между обкладками 10 мм,
заряженный до 280 В и отключенный от источника, ввели стеклянную (e = 7) пластину толщиной 3 мм. Найти плотность связанных
зарядов на поверхности стекла.
15.5. Стеклянная (ε = 7) пластина внесена в однородное электрическое поле. Угол между направлением вектора напряженности поля в воздухе и нормалью к пластине равен 30°. Во сколько раз электрическая индукция в стекле больше, чем в воздухе?
15.6. Стеклянная (ε = 7) пластина внесена в однородное электрическое поле. Угол между направлением вектора напряженности поля в воздухе и нормалью к пластине равен 30°. Найти угол между
направлением вектора напряженности поля в стекле и нормалью
к пластине.
60
15.7. Стеклянная (ε = 7) пластина внесена в однородное электрическое поле напряженностью 10 В/м. Угол между направлением вектора напряженности поля в воздухе и нормалью к пластине
равен 30°. Найти величину напряженности электрического поля
в пластине.
15.8. Стеклянная (ε = 7) пластина внесена в однородное электрическое поле. Угол между направлением вектора напряженности
поля в воздухе и нормалью к пластине равен 30°. Найти угол между направлениями векторов напряженности электрического поля
в воздухе и в пластине.
15.9. Стеклянная (ε = 7) пластина внесена в однородное электрическое поле напряженностью 10 В/м. Угол между направлением вектора напряженности поля в воздухе и нормалью к пластине равен 30°. Найти плотность связанных зарядов на поверхности
стекла.
15.10. Найти отношение напряженностей Е2/Е1 электрического
поля по разные стороны от границы раздела диэлектриков с проницаемостями e1 = 3 и e2 = 4, если вектор напряженности в первой среде
направлен под углом 45° к нормали.
15.11. Напряженность электрического поля вблизи границы раздела диэлектриков в воздухе в 2 больше чем в среде. Найти диэлектрическую проницаемость среды, если вектор напряженности
в воздухе направлен под углом 30° к нормали.
15.12. Однородное электрическое поле с напряженностью 1 МВ/м
пересекает плоскопараллельную фарфоровую пластину с диэлектрической проницаемостью 5 под углом 60° к нормали в воздухе.
Найти плотность поверхностных поляризационных зарядов на пластине.
15.13. Однородное электрическое поле с напряженностью 1 МВ/м
пересекает плоскопараллельную фарфоровую пластину толщиной
1 мм с диэлектрической проницаемостью 5 под углом 60° к нормали
в воздухе. Найти разность потенциалов между ближайшими точками на разных поверхностях пластины.
15.14. Однородное электрическое поле пересекает плоскопараллельную фарфоровую пластину с диэлектрической проницаемостью 5 под углом 60° к нормали в воздухе. Во сколько раз эта пластина ослабляет напряженность электрического поля?
15.15. В воде (ε = 81) создано однородное электрическое поле, в которое помещена стеклянная (ε = 7) пластина. Во сколько раз напряженность поля в стекле больше, чем в воде, если вектор напряженности в воде направлен под углом 45° к нормали?
61
15.16. Точечный заряд q находится в центре диэлектрического
шара с проницаемостью e1 и радиусом R. Шар помещен в безграничный диэлектрик с проницаемостью e2. Найти поверхностную плотность заряда на границе раздела диэлектриков.
15.17. Силовые линии на границе воздух–диэлектрик со стороны
воздуха направлены под углом 30° к нормали. Найти угол между
направлениями вектора напряженности в воздухе и в веществе, если его диэлектрическая проницаемость 3.
15.18. Напряженность электрического поля в воде (ε = 81) вблизи границы со стеклом равна 100 В/м и направлена под углом 60°
к нормали. Найти напряженность электрического поля в стекле, если диэлектрическая проницаемость в нем 7.
15.19. Силовые линии на границе диэлектрик–воздух со стороны диэлектрика направлены под углом 60° к нормали. Найти угол
между направлениями вектора напряженности в веществе и в воздухе, если его диэлектрическая проницаемость 3.
15.20. Определить плотность связанных зарядов на поверхности
слюдяной пластинки (ε = 7) толщиной 0,2 мм, служащей изолятором в плоском конденсаторе, заряженном до напряжения 400 В.
15.21. У поверхности фарфора (ε = 5) напряженность электрического поля в воздухе направлена под углом 40° к нормали. Определить угол между направлением электрического поля и нормалью
в фарфоре.
15.22. Вектор напряженности электрического поля в воде (ε = 81)
вблизи границы со стеклом направлен под углом 60° к нормали.
Найти угол между нормалью и направлением электрического поля
в стекле, если диэлектрическая проницаемость в нем 7.
15.23. Напряженность электрического поля в воздухе в 3,5 раза
больше, чем в среде, а электрическая индукция – в 2 раза меньше.
Найти диэлектрическую проницаемость среды.
15.24. В керосине (ε = 2) создано однородное электрическое поле с напряженностью 300 В/м, в которое помещена стеклянная
(ε = 6) пластина. Найти напряженность поля в стекле, если силовые
линии на границе со стороны воздуха направлены под углом 30°
к нормали.
15.25. К двум диэлектрическим пластинам с проницаемостями 5
и 7, прижатым друг к другу, приложено напряжение 1200 В. Найти
поверхностную плотность связанных электрических зарядов на границе раздела, если толщины обоих слоев одинаковы и равны 1 см.
62
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1. Кинематика
1.1. 30 мин., 30,2 мин., 28,8 мин.. 1.2. 14,7 м/с, 11 м. 1.3. 8,4 с,
7,3 с, 7,8 с. 1.4. 57 м, 3,4 с. 1.5. 0,13 м/с2, 216 с. 1.6. 30 с, 225 м. 1.7.
24 м, 38 м/с, 42 м/с2. 1.8. 7 м/с, 4 м/с2. 1.9. 2,26 с, 33,9 м, 26,7 м/с,
55°48′. 1.10. 1,22 м, 10 м/с, 11,1 м/с, 26°12′. 1.11. 8,2 м/с2, 5,4 м/с2.
1.12. 2,1 м, 10,0 м, 1,3 с. 1.13. 3,16 с, 41,1 м, 26,7 м/с. 1.14. 400 м/с.
1.15. 1,26 рад/с2, 360 об. 1.16. 0,43 рад/с2 1.17. 6,1 м. 1.18. 1,2 м.
1.19. 45°. 1.20. 588 м/с, 2,45 км. 1.21. 24,5 с, 2,45 км. 1.22. 35,8 м/с,
5,37 м/с2, 8,22 м/с2. 1.23. 1,59 с–1. 1.24. 1,2 м/с2, 168 м/с2, 168м/с2.
1.25. 3,14 рад/с2, 25об.
2. Импульс. Сила. Импульс силы
2.1. 1,33 Н·с. 2.2. 100 Н·с, 100 Н·с. 2.3. 1,4 Н·с. 2.4. 3 Н·с. 2.5. 0,63 Н·с,
–0,63 Н·с. 2.6. 34,6 Н·с. 2.7. 1,62 м/с, 3,39 м/с. 2.8. –12,5 м/с.
2.9. 6,3 м/с, –0,57 м/с. 2.10. 1 м/с, 3 м/с. 2.11. 0,385 м/с, –0,615 м/с.
2.12. 4,12 м/с 2.13. 2,54 м/с. 2.14. 900 м/с. 2.15. S = 4l . 2.16. 0,156 м/с.
2.17. 1694 м. 2.18. 0,1256 Н·с. 2.19. 2 Н·с 2.20. S = 2l . 2.21. 114 м/с.
2.22. 0,4 м /с. 2.23. 250 м/с, 36°. 2.24. 8,67 м/с. 2.25. m2 = 5 3m1.
3. Энергия. Работа. Мощность
3.1. 3,8 кН. 3.2. 16 см. 3.3. 9,6 Дж, 86,4 Дж. 3.4. 1) 1 м/с, 0,8,
2) 4 м/с, 0,2.. 3.5. 16,2 кг. 3.6. 3. 3.7. 6 м/с, 4 м/с. 3.8. 99 кН.
3.9. v = 2 3 gh 3. 3.10. 20 м. 3.11. 2mgh. 3.12. 480 , 2gR 3 .
3.13. 1,2 МН/м. 3.14. 22,5 м/с. 3.15. 206 Н/м. 3.16. 7,07 м/с. 3.17. 0,03 м.
3.18. 546 м/с. 3.19. 3,84 м/с. 3.20. 3,74 м/с. 3.21. 4,04 с. 3.22. vø > v ö .
3.23. 14 рад/с, 1,05 м /с, 2,1 м/с. 3.24. 6400 км. 3.25. 4gl; 5gl.
4. Момент импульса. Момент силы
4.1. 2,6 рад/с; 1,3 м/с. 4.2. 2,5 рад/с; 1,67 м/с. 4.3. –. 4.4. 0,942 м/с.
4.5. 0,4 рад/с. 4.6. 2π/3. 4.7. 0,167 об/с. 4.8.0,904 об/с. 4.9. 0,392 об/с.
4.10. 1,02 рад/с. 4.11. 0,00249 Дж. 4.12. 0,000624 Дж. 4.13. 0,283 об/с.
4.14. 0,349 об/с. 4.15.0,00816 рад/с. 4.16.12,73 рад/с2; 12,73 м/с2.
4.17.5,67 рад/с2; 3,78 м/с2. 4.18. 6 кг·м2. 4.19. 2,8 м/с2. 4.20.51,3 Н·м.
4.21.120π. 4.22. 10 об/с. 423.0,157 Н·м. 4.24.1,4 м/с2. 4.25.3,528 Н;
3,92 Н.
5. Смешанные задачи
5.1. F=
1 F=
2 F; F=
3 2F.
5.4. F= 2m2 ( g + a - a1 ), a1=
5.2.
0,082.
5.3. α =arctgk.
5.5. 1 рад.
( m2 - m1 )( g + a ) ( m1 + m2 ) .
63
5.6.
=
F kg ( m1 + m2 ) .
5.7. N ( t ) = α3 2 R1 2mt3 ; 〈 N 〉 = mα3 2 R1 2t3 4.
5.8. N = - kmgV0 2 . 5.9. N = Mgu 2 . 5.10. 10,6 мДж. 5.11. 0,195 Н.
2
2



mω2 L2 
k
mω2 L
1
 .
1 +
 + 
5.12. A =
2 
2  k 1 - mω2 k 
k mω2 - 1 


(
5.13. xmax =
mg k +
(mg k )2 + 2mgl
)
k. 5.14. 11,25 мДж.
5 .=
1 5 . L mg2t3 2 - mv0 g ( sin α 2 + cos α ) t2 + mv02 sin α ( cos α - sin α ) t .
5.16. L = 2mvh . 5.17. α äèñê =α
m ÷åë (M + m) .
=
5.18. Eê 4,375mg(sin α)2 t2 . 5.19.
=
ω

0,7r 2 
g ( R + r ) +
.
( R + r ) 

(
)
m
h  
 MR

. 5.21. I 0,29m a2 + b2 .
gh 
+ m 1  R =
2πR
2
2
π
R

 

5.22. I1 I2 = 4 3. 5.23. 150 рад/с2. 5.24. 0,1 кг·м2. 5.25. 4 м/с2,
160 м/с2, 160 м/с2.
5.20. b
=
6. Кинематика и динамика гармонических колебаний
=
õ 0,04 cos(πt + π 6) . 6.3. 4,4 мН,
6.1. 2 мН, 50 мкДж. 6.2.
0,88 мДж. 6.4. 4 с, 2π/3. 6.5. 1,36 м/с. 6.6. 0,4 м/с, 1260 м/с2,
0,63 м/с, 1974 м/с2. 6.7. 0,29 м/с2, 0,096 м/с, 0,17 м/с2. 6.8. 2,8 см.
6.9. 1,79 с. 6.10. 1,09 с. 6.11. 2 рад/с, 0,4 м/с2. 6.12. 10 рад/с, 0,628 с,
0,01 м. 6.13. 8,3 см. =
6.14. x 0,037 cos ( πt 4 + π 8 ) ì. 6.15. π/3.
6.16. 2,14%.=
6.17. x 0,0194 sin ( πt + 0.08 π ) ì . 6.18. 1,42 с, 0,5 м.
=
õ 0,04 sin ( 4πt 3 + 5π 12 ) ì . 6.20. 0,99 с;
6.19. 0,04 м, ϕ=5π/12,
0,75 . 6.23. x2 4 + y2 4 =
0,25 м. 6.21. 1,55 с. 6.22. x2 4 + y2 + xy 2 =
1.
2
2
1.
6.24. 1,35 c. 6.25. y 4 + x =
7. Затухающие колебания
7.1. 1,34 см. 7.2.7,85 м/с; 2,89 м/с; 1,06 м/с; 0,39 м/с. 7.3. 1,22.
7.4.0,024. 7.5. 0,25 с–1; 3,12 рад/с.7.6. 0,347. 7.7. 1,22. 7.8.1,49.
7.9.6,37 с. 7.10. 8. 7.11. 1,38 с, 0,69. 7.12. –0,097 м/с. 7.13.0,4 см.
7.14. –0,46 м/с. 7.15.4,48 с;0,088 с–1. 7.16. –0,38 м/с. 7.17.0 м/с.
7.18.1,25·10–6 Дж. 7.19.1,06·10–6 Дж. 7.20. –7,74 см/с. 7.21.0,4 м/с.
7.22.1,6·10–4 м/с. 7.23. – 0,07 м. 7.24. –0,054 м.
π
7.25.
=
x 0,067 ⋅ exp(-0.4t)cos(1,57 ⋅ t + ) .
2
64
8. Вынужденные колебания
8.1. 0,8 рад/с. 8.2. 1,41 рад/с. 8.3. 40°. 8.4. 1,45 рад/с. 8.5. 6,25 см
8.6. –45°. 8.7. 0,06 Н/м. 8.8. 2,56 рад/с. 8.9. 1,76 рад/с. 8.10. 1,8 рад/с.
8.11. 0,28 мН. 8.12. 0,1 Н. 8.13. 2,83 рад/с. 8.14. 0,26 м. 8.15. 6,86
рад/с, 0,072 м. 8.16. 510 рад/с. 8.17. 0,1 м, 0,54π. 8.18. 4,5 рад/с. 8.19.
0,83 мВт. 8.20. 4,36 рад/с, 45 мН. 8.21. 1,97 м. 8.22. 6,06 рад/с, –67,5°.
8.23. 0,08 м. 8.24. 0,27 Н. 8.25. 3 рад/с.
9. Основные характеристики волн
9.1. 0,5 с; 2 Гц. 9.2. 0,78 м. 9.3. 6662 м. 9.4. 435 м. 9.5. 100 м.
9.6. 20 мм. 9.7. 680 м. 9.8. 5000 м/с. 9.9. 3 м. 9.10. 1,26 рад. 9.11. 1,57 рад.
9.12. 50 Гц. 9.13. 100 Гц. 9.14. 360 м/с, 0,85 м/с. 9.15. 1450 м/с.
9.16. 22 м/с. 9.17. 1280 м. 9.18. 350 м/с, 3,14 м/с 9.19. 353 м/с. 9.20. 2,4 м/с.
9.21. 1000 Гц. 9.22. 2,1 рад. 9.23.1,25 м. 9.24. 2,5 м. 9.25. 31,4 рад.
10. Уравнение волны. Энергия и интенсивность волны. Эффект
Доплера
10.1. –5 мкм. 10.2. 0. 10.3. 197,4 м/с2. 10.4. –0,1 мм. 10.5. 0,36 м/с
10.6. 439 м/с2. 10.7. 1 см. 10.8. –4 см. 10.9. 18,5 см/с. 10.10. 1,6 м/с2.
10.11. 0,021 Вт/м2. 1.12. 0,5·10–4, 3·10–4. 10.13. 23,7 мкДж.
10.14. 3 мДж/м3. 10.15. 3,5 мкДж/м3. 10.16. 157 Вт, 60 мкДж/м3.
10.17. 0,081 м–1. 10.18. 5 см. 10.19. 10 см. 10.20. 335 Гц, 265 Гц.
10.21. 34 м/с, 990 Гц. 10.22. 17,66 Гц. 10.23. 697 Гц, 519 Гц.
10.24. 600 Гц. 10.25. 19,4 м/с.
11. Взаимодействие электрических зарядов. Напряженность
электрического поля
11.1. 4,2 нКл. 11.2. 2. 11.3. 287 мН. 11.4. 0,076 мм. 11.5. -0,58 нКл.
11.6. 54 мН. 11.7. 8,3 см. 11.8. 140 нКл; 20 нКл. 11.9. 8,3 см.
11.10. 2,25 Мм/с. 11.11. -0,287 нКл. 11.12. 9 Н. 11.13. 161 мкН.
11.14. 583 нКл или 17 нКл. 11.15. 100 кВ/м. 11.16. 50 Н. 11.17. 535 В/м.
11.18. 8,3 см. 11.19. 2 см. 11.20. 64°24′. 11.21. 64°24′. 11.22. 76°54′.
11.23. 4 см. 11.24. 204 В/м. 11.25. 100 В/м.
12. Потенциальная энергия и потенциал электрического поля
12.1. 45 В. 12.2. 26,4 кВ. 12.3. 90 мкДж. 12.4. –63 мкДж.
12.5. 48,8 мкДж. 12.6. 4 см и 12 см. 12.7. 505 В. 12.8. 37,4 В. 12.9. 125 В.
12.10. 56,6 В. 12.11. 90 В. 12.12. 150 В, 90 В, 9В. 12.13. 90 В.
12.14. 200 В. 12.15. – . 12.16. 1,13 В. 12.17. 141 В. 12.18. 170 В.
12.19. 77 В. 12.20. 432 В. 12.21. 1,2 кВ. 12.22. 28,26 В. 12.23. 250 В.
12.24. 200 В/м. 12.25. 540 Дж.
65
13. Движение заряженных частиц в электрическом поле
13.1. 1,76 см. 13.2. 2,19 м/с. 13.3. 24,3 МКл/кг. 13.4. 5,19 мм.
13.5. 1 см. 13.6. 2,25 Мм/с. 13.7. 2,13 мм. 13.8. 0, 24 Мм/с. 13.9. 23,3 В.
13.10. 4,0 Мм/с. 13.11. 3,7 мкКл/м. 13.12. 29,7 Мм/с. 13.13. 5,9 мм.
13.14. 79,6 В. 13.15. 22,5 В. 13.16. 8·10–19 Кл. 13.17. 4,1·10–18 Кл.
13.18. 1 с. 13.19. 0,02 м. 13.20. 22 мкм. 13.21. 5 мм. 13.22. 537 В/м.
13.23. 4,75 нКл/м2. 13.24. 2,53 Мм/с. 13.25. 36,4 Мм/с.
14. Электрическая емкость. Конденсаторы
14.1. 16. 14.2. 39 пФ. 14.3. 511 Н. 14.4. 1,6 мкФ. 14.5. 0,11 мДж/м3.
14.6. 15 пФ. 14.7. 220 нДж. 14.8. 880 В. 14.9. 0,354 Па. 14.10. 1,1 нДж.
14.11. 530 нДж. 14.12. 270 нДж. 14.13. 25. 14.14. 4,2 мкКл/м2.
14.15. 26,55 нКл/м2, 2,95 нКл/м2. 14.16. 40 нФ. 14.17. 0,71 мФ.
14.18. 533 пФ. 14.19. 200 В. 14.20. 2250 В. 14.21. 2600 В. 14.22. 2 В.
14.23. 31,92 нКл/м2, 7,98 нКл/м2. 14.24. 83,3 пФ. 14.25. 60 пФ.
15. Диэлектрики
15.1. – 15.2. 0,442 нКл/м2. 15.3. 0,442 нКл/м2. 15.4. 212 нКл/м2.
15.5. 3,606. 15.6. 75°59′. 15.7. 5,15 В/м. 15.8. 45°59′. 15.9. 65,7 пКл/м2.
15.10. 0,88. 15.11. 1,73. 15.12. 3,54 мкКл/м2. 15.13. 100 В. 15.14. 1,15.
15.15. 8,21. 15.16. – . 15.17. 30°. 15.18. 585 В/м. 15.19. 30°. 15.20. 106
мкКл/м2. 15.21. 76°35′. 15.22. 8°30′. 15.23. 7. 15.24. 173 В/м. 15.25.
17,7 нКл/м2.
Библиографический список
1. Савельев И. В. Курс общей физики: в 5 т. М.: Лань, 2011. Т. 1, 2.
2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: ФМЛ, 2013. Т. 1, 3.
3. Иродов И. Е. Физика. Основные законы. М.: Бином, 2014. Т. 1, 3.
4. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Academia, 2010.
66
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Значения физических постоянных
Скорость света в вакууме
c = 2,9979·108 м/с
Гравитационная постоянная
G = 6,67·10–11 м3/(кг·с2)
Стандартное ускорение свободного
падения
g = 9,81 м/с2
Элементарный заряд
e = 1,6·10–19 Кл
Масса электрона
me = 9,11·10–31 кг
Масса протона
mp = 1,67·10–27 кг
Электрическая постоянная
ε0 = 8,85·10–12 Ф/м
Магнитная постоянная
μ0 = 4·π·10–7 Гн/м
Масса α-частицы
mα = 6,64·10–27 кг
2. Некоторые внесистемные единицы измерения
Время
1 сутки = 24 часа = 86400 с
Длина
1 ангстрем (Å) = 10–10 м
Масса
1 атомная единица массы (а.е.м.) = 1,66·10–27 кг
1 тонна (т) = 1000 кг
Энергия
1 эВ = 1,6·10–19 Дж
Мощность
1 лошадиная сила (л.с.) = 736 Вт
Давление
1 атмосфера (атм.) = 101,3 кПа
1 миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.) =
= 1 Торр = 133,3 Па
67
3. Десятичные приставки к названиям единиц измерения
атто
фемто
пико
нано
микро
милли
санти
деци
гекто
кило
мега
гига
тера
пета
экса
68
а
ф
п
н
мк
м
с
д
г
к
М
Г
Т
П
Э
10–18
10–15
10–12
10–9
10–6
10–3
10–2
10–1
102
103
106
109
1012
1015
1018
Содержание
Предисловие............................................................... Механика................................................................... 1. Кинематика................................................... 2. Динамика поступательного движения............... 3.Энергия. Работа. Мощность.............................. 4. Динамика вращательного движения................. 5. Смешанные задачи......................................... Колебания и волны....................................................... 6. Кинематика и динамика
гармонических колебаний.......................... 7. Затухающие колебания................................... 8. Вынужденные колебания................................ 9. Основные характеристики волн........................ 10. Уравнение волны. Энергия
и интенсивность волны. Эффект Доплера...... Электричество............................................................. 11. Взаимодействие электрических зарядов.
Напряженность электрического поля........... 12. Потенциальная энергия и потенциал
электрического поля. ................................ 13. Движение заряженных частиц
в электрическом поле................................ 14. Электрическая емкость. Конденсаторы............ 15. Диэлектрики................................................ Ответы к задачам......................................................... Библиографический список........................................... Приложение................................................................ 1. Значения физических постоянных.................... 2. Некоторые внесистемные единицы измерения.... 3. Десятичные приставки к названиям
единиц измерения..................................... 3
4
4
8
12
15
21
24
24
28
32
36
39
44
44
47
51
55
59
63
66
67
67
67
68
69
Учебное издание
Коваленко Иван Иванович,
Котликов Евгений Николаевич,
Лавровская Наталья Павловна и др.
механика.
Колебания и волны.
электричество
Сборник задач
под редакцией Н. П. Лавровской, Ю. Н. Царева
Редактор А. В. Подчепаева
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 28.05.15. Подписано к печати 05.11.15.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,0.
Уч.-изд. л. 4,3. Тираж 100 экз. Заказ № 383.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
70
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
851 Кб
Теги
kovalenko, 0dcac741e1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа