close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KovalenkoKotlikov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ТЕПЛОФИЗИКА
Лабораторный практикум
Санкт-Петербург
2013
УДК 536.7
ББК 22.317
Т34
Рецензент
доктор физико-математических наук Н.Р. Галль
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве лабораторного практикума
Колл. авт.
Т34 Теплофизика: лабораторный практикум / под ред. И. И. Коваленко. – СПб.: ГУАП, 2013. – 88 с.: ил.
Лабораторный практикум включает порядок проведения лабораторных работ по разделу «Теплофизика», правила написания отчетов, сведения из теории погрешностей и описания лабораторных
работ. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению
28070062Ф.
УДК 536.7
ББК 22.317
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2013
© Колл. авт., 2013
Порядок проведения лабораторных работ
В течение семестра каждый студент в соответствии с рабочей
программой по дисциплине «Теплофизика» должен выполнить
4 лабораторные работы. На каждую лабораторную работу отводится по два занятия: одно – на выполнение измерений, и одно – на защиту отчета. Отчет пишется не во время занятий, а дома или в библиотеке.
До начала занятий студент должен быть проинструктирован
по технике безопасности при проведении лабораторных работ по
теплофизике и по физике. Инструктаж проводится в начале семестра. Прохождение инструктажа фиксируется в специальном журнале; там нужно обязательно расписаться.
ВНИМАНИЕ!
На занятия во все физические лаборатории не допускаются студенты в верхней (уличной) одежде. Не разрешается также раздеваться и складывать верхнюю одежду в лаборатории, ее нужно сдавать в гардероб.
В лабораторию студенты должен приходить подготовленными к
назначенной работе. Необходимо заранее прочитать описание работы и теоретические сведения из соответствующего раздела курса.
Не забывайте о рекомендованной литературе и обязательно получите в библиотеке все пособия, выпускаемые кафедрой.
Выполнять работу студенту разрешается, лишь после допуска,
полученного при собеседовании с преподавателем. Преподаватель
должен убедиться, что студент понимает:
какие явления он будет наблюдать и исследовать;
какая цель перед ним поставлена;
какими приборами и как ведутся измерения;
как следует проводить эксперимент.
Полученный допуск к работе отмечается преподавателем в журнале.
В процессе выполнения лабораторной работы нужно обязательно заполнить протокол измерений (приложение 1). У каждого студента протокол измерений должен быть свой; ведение одного протокола несколькими студентами вместе не допускается. Протокол
ведется на листе формата А4. В протоколе должно быть отражено:
точное полное название и номер лабораторной работы в соответствии с методическим пособием;
фамилия, инициалы студента и номер группы;
фамилия и инициалы преподавателя;
3
таблица технических характеристик измерительных приборов
(название прибора, рабочий диапазон, цена деления, класс точности и др.);
параметры установки, на ней указанные;
результаты измерений;
дата и подпись студента.
Все записи должны вестись авторучкой, шариковой, капиллярной или гелевой ручкой. Запись наблюдений и данных карандашом
не допускается, карандашом можно лишь чертить таблицы и графики. Ведение «черновиков протокола» и переписывание их в конце занятия начисто не рекомендуется; это ненужная трата времени
и возможность допустить ошибку при переписывании. Старательность и аккуратность лучше проявить при оформлении отчета.
По окончании измерений протокол обязательно дается на подпись преподавателю. Без этой подписи протокол считается недействительным. Подпись студента под протоколом обозначает, что он
отвечает за все проведенные измерения, а подпись преподавателя
означает, что работа действительно выполнялась и указанные значения действительно получены именно тем студентом, который составил протокол.
По результатам, зафиксированным в протоколе измерений, студент дома пишет отчет и защищает его на следующем занятии. При
защите отчета могут быть заданы любые вопросы по теории изучаемого явления и по полученным результатам. За принятый отчет
преподаватель выставляет студенту оценку по пятибалльной системе1 и после этого сообщает номер и название следующей лабораторной работы.
Содержание и оформление отчета
Отчет по лабораторной работе должен выполняться на листах
формата А4. Записи на листах ведутся только с одной стороны.
По краям листа должна быть оставлена рамка шириной не менее
20 мм. Эту рамку рисовать на листах не нужно, но и заступать за
нее не следует. В рамке в верхнем поле нужно лишь поставить номер страницы. Пронумерованными должны быть все листы отчета,
1 Оценки за все работы в конце семестра суммируются и пересчитываются в итоговую рейтинговую оценку.
4
начиная с третьего. Первый лист – титульный и второй лист – протокол измерений, не нумеруются.
Отчет следует писать от руки. Если Вы используете чужие заготовки, то будьте готовы отвечать за все «заимствованные» ошибки, которых бывает много. Сказанное в равной мере относится к
формулам, которые Вы подсмотрели у кого-то, а не вывели сами.
Лучше спросить преподавателя. Он подскажет или проверит, правильно ли у Вас получилось.
Титульный лист работы может быть написан от руки или напечатан на принтере. Образец титульного листа приведен в приложении
2. Электронная версия титульного листа находится на сайте ГУАПа.
Отчет должен содержать следующие разделы:
1. Цель работы.
Она сформулирована в описании лабораторной работы, оттуда ее
следует переписать.
2. Описание лабораторной установки.
Описание установки должно быть кратким. Следует ограничиться функциональной или электрической схемой установки. Не нужно приводить внешнего вида приборов. Далее необходимо описать
эксперимент и перечислить измерительные приборы в таблице технических характеристик, перенесенной из протокола измерений.
3. Рабочие формулы.
Рабочими называются только те формулы, по которым непосредственно производятся вычисления исследуемых величин. Слева в формуле должно стоять то, что следует определить, справа – то,
что измерялось в работе или известно. Все приведенные формулы
должны быть пронумерованы.
Вывод формул и промежуточные выражения в этом разделе приводить не нужно. Формулы для вычисления погрешностей и проведения математической обработки результатов измерений в этом
разделе тоже не приводятся.
4. Результаты измерений и вычислений.
В этом разделе отчета должны быть приведены все измеренные
и вычисленные результаты. По возможности, их нужно представлять в виде наглядных таблиц. В приводимых значениях нельзя
оставлять лишние десятичные разряды (подробнее об этом пойдет
речь ниже). В работе может быть несколько заданий, все они должны быть приведены в этом разделе.
5. Примеры вычислений.
В этом разделе отчета должны быть приведены подробные примеры вычислений по каждой рабочей формуле. Не нужно приво5
дить всех вычислений, вполне достаточно одного примера по каждой формуле. Этот раздел нужен для того, чтобы преподавателю
было легче найти ошибку в вычислениях или измерениях, если
таковые встретятся.
6. Вычисление погрешностей.
В этом разделе отчета должны быть представлены формулы, по
которым проводилась математическая обработка результатов измерений. Должны быть выведены формулы, по которым вычислялись систематические и случайные погрешности и представлены
примеры вычислений по каждой из них.
Этот раздел отчета самый сложный для студентов. По нему
больше всего вопросов, в нем больше всего ошибок. Теория погрешностей обычно бывает написана для подготовленного читателя,
знакомого с высшей математикой. В настоящем пособии авторы
постарались оставить лишь самое важное по этой теме и изложить
материал по возможности просто.
7. Графики и рисунки.
Небольшие графики и рисунки размещаются в тексте, а большие – формата А4 – приводятся на отдельном листе. В любом случае они должны быть подписаны и пронумерованы, на них должны
быть ссылки в тексте отчета. Графики выполняются обязательно
на миллиметровой бумаге. На каждой оси должно быть обозначено, какая величина и в каких единицах вдоль нее откладывается.
На самих осях должны быть нанесены только узлы координатной
сетки. Измеренные на опыте значения подписывать на осях не
следует. На график обязательно наносятся все экспериментальные точки, и проводится соединяющая их линия. Около одной
или нескольких точек откладываются систематические погрешности соответствующих измерений (подробнее об этом пойдет
речь ниже).
8. Окончательные результаты, их обсуждение, выводы.
В этом разделе отчета нужно подвести итог проделанной работы.
Следует написать, какие получены величины, и с какими погрешностями.
Если измерения проводились разными методами, то обязательно нужно сравнить эти результаты и их погрешности, сделать заключение, какой метод лучше, точнее, удобнее.
Если известно табличное значение измеренной величины, то
нужно обязательно сравнить его с полученным на опыте значением
и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении.
6
Если в работе значения одной и той же величины получены экспериментально и теоретически, то эти результаты нужно обязательно сравнить и дать аргументированное заключение об их совпадении или несовпадении.
В случае, когда между сравниваемыми величинами имеются недопустимые расхождения, это нужно обязательно отметить в
отчете и высказать предположение о возможных причинах этого
несовпадения.
Если в работе ставилось целью проверить какой-то физический
закон или изучить явление, то в данном разделе необходимо дать
обоснованный ответ на поставленный вопрос.
Вывод должен соответствовать цели работы.
Сведения из теории погрешностей
Измеренное значение любой физической или технической величины отличается от истинного значения, т.е. в любом измеренном
значении содержится ошибка. Сначала остановимся на ошибках
прямых измерений, т.е. таких, в которых искомая величина определяется непосредственно прибором. Такими, например, являются
измерения времени секундомером, длины линейкой, силы тока амперметром, напряжения вольтметром и т.п.
Ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов или обеими причинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по
своей природе, т.е. не имеет точного значения, правильнее говорить
не об ошибках, а о разбросе экспериментально измеренных значений.
Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств,
бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки корректируются введением соответствующих поправок. Случайные
же ошибки приборов и других измерительных средств описываются погрешностями, т.е. интервалами возможного отклонения измеренного значения величины от ее истинного значения.
Систематическая погрешность. Интервал допустимого отклонения измеренной величины от ее истинного значения называется
систематической погрешностью прибора. Обычно систематическая
погрешность обозначается большой греческой буквой q, нижним
индексом около которой указывается измеряемая величина. Например, систематическая погрешность времени обозначается θt,
тока – qI, напряжения – θU, длины – qℓ, массы – θm.
7
Систематическую погрешность прямого измерения можно рассчитать по шкале прибора. Обычно на ней крупной цифрой указывается класс точности. Если эта цифра просто указана на шкале и
никак не выделена, то она показывает, сколько процентов составляет систематическая погрешность от максимального значения по
шкале в выбранном диапазоне. Таким образом, систематическая
погрешность величины θX определяется пределом шкалы прибора
Xmax и его классом точности K:
qX =
Xmax × K
.
100
(1а)
Если эта цифра обведена кружком, то она показывает, сколько
процентов составляет погрешность от измеренного значения, т.е.
она задает относительную погрешность измерений.
qX =
X×K
.
100
(1б)
В некоторых случаях класс точности отмечен на шкале иначе. Тогда нужно пользоваться формулой, указанной в паспорте
прибора.
В тех же случаях, когда класс точности прибора не указан ни на
шкале, ни в паспорте (линейка, секундомер, термометр), систематическую погрешность обычно принимают равной половине цены
деления шкалы.
Отметим еще раз, что по формулам (1а), (1б) или по замечаниям, приведенным сразу за ними, можно найти систематическую погрешность лишь прямого измерения. Чаще приходится проводить
косвенные измерения.
Косвенным называется такое измерение, которое сводится к измерению и вычислению. По прибору измеряются величины x1, x2,
x3 …, которые не являются искомыми, по ним вычисляется искомая величина f, которая является функцией измеренных величин
f = f(x1, x2, x3…).Например, определение электрического сопротивления резистора R, которое сводится к измерению силы тока I и напряжения U и вычислению R = U / I, является косвенным. В дан-
x
ном случае U = x1, I = x2, R = f = 1 .
x2
Систематическая погрешность косвенного измерения θf выражается через систематические погрешности прямых измерений
qX1 , qX2 , qX3 ...:
8
qf =
¶f
¶f
¶f
qx1 +
qx2 +
qx + .... ¶ x1
¶ x2
¶ x3 3
(2)
¶f
– частные производные функции f(x1, x2, x3…) по
¶ xi
соответствующей переменной xi. Частной производной функции
нескольких переменных называется производная по одной из них,
взятая при условии, что другие переменные принимают в этот момент фиксированные значения.
Вычисление погрешности по формуле (2) скорее является оценкой, поэтому полученное значение qf обычно принято округлять до
одной значащей цифры. Вторую цифру допустимо сохранять в промежуточных вычислениях и в некоторых случаях, о которых речь
пойдет позже.
Пример 1.
Измерение электрического тока проводится амперметром, имеющим предел измерения Im = 10 A и класс точности KI = 1. Напряжение измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 250 B и
классом точности KU = 2. Показания приборов: I = 3 A, U = 220 B.
Найти электрическое сопротивление и его систематическую погрешность.
Решение. Электрическое сопротивление вычисляется по известной формуле закона Ома R = U/I. Это выражение обозначает,
что электрическое сопротивление R является функцией двух непосредственно измеряемых величин: R = R(U, I). Систематические
погрешности прямых измерений тока и напряжения находятся по
формуле (1а):
Здесь
qI =
Im × KI 10 ×1
=
= 0,1 ( A);
100
100
qU =
Um × KU 250 × 2
=
= 5 (B).
100
100
Поскольку мы имеем дело с косвенным измерением функции R,
систематическую погрешность сопротивления θR можно выразить через погрешности тока qI и напряжения θU при помощи формулы (2):
¢ × qU .
qR = RI¢ × qI + RU
Найдем частные производные от сопротивления по току и по напряжению:
¶ R ¶ (U I )
æ 1 ö¢
1
1 ¶R ¶ (U I )
-U
=
= × UU¢ = ,
=
= U × çç ÷÷÷ = 2 .
èç I ø
¶U
¶U
I
I ¶I
¶I
I
I
9
Таким образом, получаем окончательное выражение для систематической погрешности электрического сопротивления:
q
Uq
5 220 × 0,1 37
qR = U + 2I ;
qR = +
=
» 4(Îì).
3
9
9
I
I
Теперь найдем электрическое сопротивление округлим его до
U 220
= 73(Î
целых – так же, как и систематическую погрешность R = =
I
3
U 220
R= =
= 73(Îì).
I
3
Ответ: R = (73±4) Ом.
Пример 2.
Измерение электрического тока, текущего через лампу, проводится амперметром, имеющим предел измерения Im = 3 A и класс
точности KI = 1. Падение напряжения на лампе измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 10 B и классом точности KU = 2. Показания приборов: I = 1,27 A, U = 6,2 B. Найти мощность, потребляемую электрической лампой, и ее систематическую погрешность.
Решение. Электрическая мощность вычисляется по известной
формуле P = U·I. Это выражение обозначает, что электрическая
мощность P является функцией двух непосредственно измеряемых
величин: P = P (U, I). Систематические погрешности прямых измерений тока и напряжения находятся по формуле (1а):
I ×K
U ×K
3 ×1
10 × 2
qI = m I =
= 0,03 ( A);
qU = m U =
= 0,2(B).
100
100
100
100
Поскольку мы имеем дело с косвенным измерением функции P, систематическую погрешность сопротивления θP можно выразить через
погрешности тока qI и напряжения θU при помощи формулы (2):
qR =
¶R
¶R
× qI +
× qU .
¶I
¶U
Найдем частные производные от сопротивления по току и по напряжению:
¶P ¶ ( IU )
¶U
¶P ¶ ( IU )
¶I
=
= I×
= I,
=
=U×
= U.
¶U
¶U
¶U
¶I
¶I
¶I
Таким образом, получаем окончательное выражение для систематической погрешности электрического сопротивления:
qP = IqU + UqI ;
qP = 1,27 × 0,2 + 6,2 × 0,03 = 0,25 + 0,19 = 0,44 = 0,5(Âò).
10
Теперь найдем электрическую мощность и округлим ее до десятых – так же, как и систематическую погрешность P = I × U = 1,27 × 6,2 =
P = I × U = 1,27 × 6,2 = 7,9(Âò).
Ответ: Р = (7,9±0,5) Вт.
Пример 3.
Проводится косвенное измерение показателя адиабаты γ для
воздуха. Для этого выполняются два прямых измерения избыточного давления в некотором объеме, полученные в ходе специально
поставленного эксперимента, ΔP = 1450±30 Па и ΔP′ = 340±30 Па.
Требуется найти показатель адиабаты воздуха и его систематическую погрешность.
Решение. Показатель адиабаты вычисляется по формуле:
ΔP
γ=
, и является, таким образом, функцией двух переменΔP - ΔP ¢
ных γ = γ(ΔP, ΔP′). Найдем производные этой функции по каждой
переменной:
æ ΔP ö÷
¶ ççç
÷
è ΔP - ΔP ¢ ø÷ 1× (ΔP - ΔP ¢) -1× ΔP
¶γ
-ΔP ¢
;
=
=
=
2
2
¶ΔP
¶ΔP
(ΔP - ΔP ¢)
(ΔP - ΔP ¢)
æ ΔP ö÷
¶ ççç
÷
è ΔP - ΔP ¢ ÷ø
¶γ
-ΔP
.
=
=
2
¶ΔP ¢
¶ΔP ¢
(ΔP - ΔP ¢)
Теперь нужно выразить систематическую погрешность Qγ через
эти производные и через погрешность измерения избыточного давления qΔP = qΔP ¢ = 30 Ïà :
qγ =
=
qγ =
ΔP × qΔP
2
(ΔP - ΔP ¢)
(1450 + 340)
2
(1450 - 340)
¶γ
¶γ
× qΔP +
×q ¢ =
¶ ΔP
¶ ΔP ¢ ΔP
+
× 30 =
ΔP ¢ × qΔP ¢
2
(ΔP - ΔP ¢)
1790 × 30
2
1110
=
(ΔP + ΔP ¢)
×q .
2 ΔP
(ΔP - ΔP ¢)
» 0,05;
γ=
1450
= 1,31.
1450 - 340
Ответ: γ = 1,31 ± 0,05.
11
Пример 4.
Проводится косвенное измерение коэффициента вязкости
воздуха. Для этого измеряется поток воздуха через капилляр
Q = (1,050 ± 0,025)·10–5 м3/с и перепад давления на концах капилляра ΔР = 540 ± 20 Па. Радиус капилляра R = 0,0050±0,0001 м,
длина капилляра ℓ = 0,1000±0,0005 м.
Решение. Коэффициент вязкости воздуха выражается через измеренные величины и параметры установки по формуле:
πR 4 ΔP
η=
, и является функцией η = η(Q, ΔP, R, ). Предваритель8Q
ное вычисление по этой формуле:
η=
(
π 0,5 ×10-3
4
)
540
8 ×1,05 ×10-5 ×10-1
=
3,14 × 540 ×10-12
16 × 8 ×1,05 ×10-6
» 12,62 ×10-6 Ïà × ñ.
Найдем частные производные функции η(Q, ΔP, R, ) по каждой
переменной:
¶η
πR 3 ΔP
,
= 4×
8Q
¶R
¶η
πR 4
,
=
¶ΔP 8Q
¶η -πR 4 ΔP
,
=
¶Q
8 Q2 
¶η -πR 4 ΔP
.
=
¶
8Q2
Записываем систематическую погрешность коэффициента вязкости и преобразовываем его к более удобному виду:
qη =
= 4×
=
¶η
¶η
¶η
¶η
× qR +
× qΔP +
× qQ +
× q =
¶R
¶ΔP
¶Q
¶
πR 3 ΔP
πR 4
πR 4 ΔP
πR 4 ΔP
× qR +
× qΔP +
× qQ +
× q =
2
8Q
8Q
8Q 
8Q2
æ 4q
qQ q ö÷
q
πR 4 ΔP æç qR qΔP qQ q ö÷
× ç4 ×
+
+
+ ÷÷ = η × çç R + ΔP +
+ ÷÷.
ΔP
ΔP
8Q èç R
Q
 ø÷
Q
 ø÷
èç R
Вычисления дают следующие значения:
æ 4 × 0,00001 20 0,025 0,0005 ö÷
+
+
+
qη = 12,62 ×10-6 × çç
÷=
çè 0,0005
540 1,05
0,1 ÷ø
= 12,62 ×10-6 × (0,08 + 0,037 + 0,024 + 0,005) =
= 12,62 ×10-6 × 0,15 = 1,9 ×10-6 Πa × c.
Окончательное значение коэффициента вязкости нужно округлить до соответствующего десятичного разряда и записать с ис12
пользованием соответствующей десятичной приставки. В данном
случае возможны два варианта записи окончательного ответа.
Ответ: η = 13±2 мкПа·с (допустимо также привести ответ в виде
η = 12,6±1,9 мкПа·с).
Пример 5.
Проводится косвенное измерение коэффициента вязкости масла. Для этого измеряется установившаяся скорость падения υ
свинцового шарика радиусом R. Скорость шарика измеряется по
пройденному пути S и времени t движения. Результаты измерений
R = 1,00±0,05 мм, S = 20±1 см, t = 9 ±1 c. По этим результатам
требуется найти коэффициент вязкости масла η и систематическую
погрешность Qη получившегося значения.
Решение. Коэффициент вязкости масла вычисляется по формуле:
η=
2(ρ - ρñ )R 2 g
× t,
9× S
где ρ = 11,3 г/см3 – плотность свинца, ρж = 1 г/см3 – плотность
жидкости – масла, g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения
у поверхности Земли. Таким образом, η является функцией трех
измеряемых величин: η = η(R, S,t).
Предварительное вычисление дает
(
2(11,3 -1,0) ×103 × 10-3
2(ρ - ρñ )R 2 g
η=
×t =
9× S
9 × 2 ×10-1
2
)
× 9,81× 9
» 1,01 Πa × c
Для вычисления систематической погрешности Qη нужно взять
частные производные функции η(R, S,t) по всем переменным.
¶η 4(ρ - ρñ )Rgt
=
;
¶R
9× S
¶η -2(ρ - ρñ )R 2 gt
=
;
¶S
9 × S2
¶η 4(ρ - ρñ )Rg
=
.
¶t
9× S
Получаем окончательную формулу для систематической погрешности:
qη =
=
¶η
¶η
¶η
× qR +
× qS +
× qt =
¶R
¶S
¶t
4(ρ - ρñ )Rgt
2(ρ - ρñ )R 2 gt
4(ρ - ρñ )Rg
× qR +
× qS +
× qt .
2
9× S
9× S
9× S
æ 2q
q
q ö
qη = ηçç R + S + t ÷÷÷.
çè R
S
tø
13
Погрешность коэффициента вязкости Qη свелась к вычислению
трех относительных погрешностей. Дроби в скобках являются безразмерными, поэтому числитель и знаменатель можно вычислять
в любых одинаковых единицах. Проведем вычисления и запишем
окончательный результат, округлив его до соответствующего десятичного разряда:
æ 2 × 0,05 1 1 ö÷
æ 2q
q
q ö
qη = ηçç R + S + t ÷÷÷ = 1,01× çç
+
+ ÷=
çè 1,00
èç R
20 9 ÷ø
S
tø
= 1,01× 0,26 = 0,3 Πa × c
Ответ: η = 1,0 ± 0,3 Πa × c.
Пример 6.
Проводится косвенное измерение постоянной Стефана – Больцмана σ. Для этого измеряются падение напряжения U на лампе
накаливания, ток через эту лампу I и температура нити накаливания Т. Диапазон измерения напряжения 0 – 30 В, класс точности
KU = 1; т.е. QU = 0,3 В. Диапазон измерения тока 0 – 3 A, класс точности KI = 0,5; т.е. QI = 0,015 A. Диапазон измерения температуры
1000 – 2000 К, класс точности KТ = 1; т.е. QТ = 20 К. Коэффициент серости вольфрама a = 0,4; площадь излучающей поверхности
S = 2·10–5 м2. Запишем результаты прямых измерений и данные с
установки:
U = 6,3 ± 0,3 B; I = 0,750 ± 0,015 A;
T = 1860 ± 20 K;
a = 0,4;
S = 10-5 ì2 .
Решение. Формула Стефана – Больцмана для серого тела:
R = a × σT 4 , ãäå R - ýíåðãåòè÷åñêàÿ ñâåòèìîñòü;
R = IU / S, Þ σ =
IU
aST 4
.
Таким образом, σ является функцией σ = σ(I,U,T). Погрешность Qσ выражается через погрешности величин QI, QU, QТ и через
значения частных производных функции σ по этим переменным.
Сначала найдем все частные производные:
¶σ
I
σ
=
= ;
4
¶U aST
U
¶σ
U
=
;
¶I aST 4
¶σ -4IU -4σ
=
=
.
¶T aST5
T
Теперь получим окончательную формулу для погрешности Qσ:
14
¶σ
¶σ
¶σ
× qU +
× qI +
× qT =
¶U
¶I
¶T
æq
q
4q ö
σ
¶σ
4σ
= × qU +
× qI +
× qT = σçç U + I + T ÷÷÷.
ç
èU
¶I
U
T
I
T ø
qσ =
Таким образом, систематическая погрешность Qσ выражается
через значение σ и относительные погрешности прямых измерений:
æ 0,3 0,015 4 × 20 ö÷
æq
q
4q ö
qσ = σçç U + I + T ÷÷÷ = 4,9 ×10-8 × çç
+
+
÷=
çè U
çè 6,3 0,75 1860 ÷ø
I
T ø
= 4,9 ×10-8 × (0,048 + 0,020 + 0,043) = 4,9 ×10-8 × 0,111 =
(
= 0,6 ×10-8 Âò/ì2 × Ê4
(
)
)
Ответ: σ = (4,9 ± 0,6)×10-8 Âò/ ì2 × Ê4 .
Пример 7.
Проводится косвенное измерение коэффициента теплопроводности меди λ. Для этого измеряются температура кипящей воды Т0 и
температура холодной воды до – Т1 и после – Т2 теплопередачи через
медный стержень. Результаты прямых измерений: Т0 = (100,0±0,1)°С,
Т1 = (20,0±0,5)°С, Т2 = (30,0±0,5)°С, время теплопередачи τ = 600±10 с.
Данные с установки: диаметр стержня d = 16 мм (S = 201 мм2), длина
стержня ℓ = 35±1 см, теплоемкость С = 900 Дж/К.
C(T2 - T1 )
λ=
×
Sτ(T0 - 0,5 × (T2 + T1 ))
Таким образом, λ является функцией λ = λ(T0 ,T1,T2 , τ, ). Погрешность Qλ выражается через погрешности величин QТо, QТ1,
QТ2, Qτ, Qℓ и через значения частных производных функции λ по
этим переменным. Сначала найдем все частные производные:
¶ (T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
-C(T2 - T1 )
¶λ
=
×
=
2
¶T0 Sτ(T - 0,5 × (T + T ))
¶T0
0
1
=
2
-λ
;
(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
-C(T2 - T1 )
¶λ
-λ
=
=
;
τ
¶τ Sτ2 (T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
C(T2 - T1 )
λ
¶λ
=
= .
¶  Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 )) 
15
¶λ
C
=
´
¶T1 Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))2
ì ¶ (T2 - T1 )
ü
¶ (T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
ï
ï
´ï
× (T0 - 0,5 × (T1 + T2 )) × (T2 - T1 )ï
í
ý=
ï
ï
¶T1
ï ¶T1
ï
î
þ
C
=
× (-(T0 - 0,5 × (T1 + T2 )) - 0,5 × (T2 - T1 )) =
2
Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
=
C(-T0 + T1 )
2
Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
¶λ
C
´
=
¶T2 Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))2
;
ì ¶ (T2 - T1 )
ü
¶ (T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
ï
ï
´ï
× (T0 - 0,5 × (T1 + T2 )) × (T2 - T1 )ï
í
ý=
ï
ï
¶T2
ï ¶T2
ï
î
þ
C
=
× (T0 - 0,5 × (T1 + T2 ) - 0,5 × (T2 - T1 )) =
2
Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
=
C(-T0 + T2 )
2
Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
.
Принимая во внимание, что систематические погрешности QТ1
и QТ2 тождественно равны друг другу, обозначим их, как QТ и найдем сумму частных производных этим переменным:
C(-T0 + T1 )
C(-T0 + T2 )
¶λ
¶λ
+
=
+
=
¶T1 ¶T2 Sτ(T - 0,5 × (T + T ))2 Sτ(T - 0,5 × (T + T ))2
0
1
2
0
1
2
=
C(-2T0 + T1 + T2 )
2
Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
=
=
-2C (T0 - 0,5(T1 + T2 ))
2
Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
=
(T - T1 )
-2C
-2λ
× 2
=
.
Sτ(T0 - 0,5 × (T1 + T2 )) (T2 - T1 ) (T2 - T1 )
Окончательная формула для погрешности косвенного измерения Qλ:
qλ =
¶λ
¶λ
¶λ
¶λ
λ
× qT0 +
× qT +
× qT +
× q τ + × q =
¶T0
¶T1
¶T2
¶τ

=
λqT0
(T0 - 0,5 × (T1 + T2 ))
Окончательно имеем:
16
+
λq
λq
2λqT
+ τ + .
τ
(T2 - T1 )

æ
qT0
q
2qT
q ö÷
qλ = λ × ççç
+
+ τ +  ÷÷.
τ
 ÷ø
èç(T0 - 0,5 × (T1 + T2 )) (T2 - T1 )
Вычисляем λ и Qλ:
λ=
0,35 × 9 ×102 (30 - 20)
2,01×10-4 × 6 ×102 (100 - 25)
» 348(Äæ ì·ñ·Ê).
æ
qT0
q
q ÷ö
2qT
qλ = λ × ççç
+
+ τ +  ÷÷ =
çè(T0 - 0,5 × (T1 + T2 )) (T2 - T1 )
τ
 ÷ø
æ 0,1 2 × 0,5 10
1ö
= 348 × çç
+
+
+ ÷÷÷ =
çè100
10
600 35 ø
= 348 × (0,001 + 0,10 + 0,017 + 0,029) =
= 348 × 0,147 = 50(Äæ ì·ñ·Ê)
Округляем результат до десятков и записываем окончательно
Ответ: λ = 350 ± 50(Äæ ì·ñ·Ê).
Пример 8.
Проводится косвенное измерение мощности лазера. Лазерное излучение попадает в калориметр, измерительная схема которого выдает сигнал U, пропорциональный поглощаемой мощности W. Если
подать в тот же калориметр другую известную мощность W0, то
сравнивая сигналы U и U0 можно найти неизвестную мощность W:
W=
UW0
×
U0
Известная мощность W0 – это мощность, выделяющаяся на резисторе R при протекании по нему электрического тока (падении
напряжения V):
W0 =
UV 2
V2
×
, следовательно, W =
U0 R
R
Измеренные значения: U = 0,07 ± 0,01 мВ; U0 = 0,45 ± 0,01 мВ;
V = 2,00 ± 0,01 В; R = 249 ± 1 Ом.
Предварительное вычисление дает: W = 0,025 Âò.
W = W (U,U0 , V , R ), qW =
¶W
¶W
¶W
¶W
× qU +
× qU0 +
× qV +
× qR .
¶U
¶U0
¶V
¶R
17
V2
¶W
=
,
¶U
U0 R
qW =
UV 2
¶W
= 2 ,
¶U0
U0 R
¶W 2UV
=
,
¶V
U0 R
UV 2
¶W
=
.
¶R
U0 R 2
V2
UV 2
2UV
UV 2
× qU + 2 × qU0 +
× qV +
× qR .
U0 R
U0 R
U0 R
U0 R 2
Преобразуем получившееся выражение к более удобному виду:
UV 2 qU UV 2 qU0 2UV 2 qV UV 2 qR
×
+
×
+
×
+
×
=
U0 R U
U0 R U0
U0 R V
U0 R R
æq
q
q ö
2q
UV 2 çæ qU qU0 2qV qR ö÷
÷÷ = W ×çç U + U0 + V + R ÷÷÷.
=
×çç
+
+
+
ç
U0 R èç U
U0
V
R ø÷
U0
V
R ø÷
èç U
æ1 1
1
1 ÷ö
+
+
= 0,004 Bò.
qW == 0,025 × çç +
çè7 45 100 249 ÷÷ø
qW =
Ответ: W = 25 ± 4 мВт.
Пример 9.
Проводится косвенное измерение коэффициента поглощения
стали. Нагревается середина стального диска и исследуется передача тепла на его край. Через некоторое время центр диска нагревается до температуры Т, а край имеет температуру окружающей
среды Т0. Постоянная времени (время релаксации) этого процесса – τ определяется экспериментально. Коэффициент теплопроводности – λ выражается через нее и через параметры установки: внутренний – r1 и внешний – r2 радиусы пластины, ее толщину – h и
теплоемкость – С нагреваемого в центре пластины тела:
λ=
c × ln (r2 r1 )
2πh × τ
.
Известно, что r1 = 11 ± 1 мм, r2 = 33 ± 1 мм, h = 2,0 ± 0,05 мм,
С = 27 ± 1 Дж/К, τ = 92 ± 2 с.
Предварительное вычисление дает λ = 25,7Вт/(м К). Получим
формулу для систематической погрешности qλ :
qλ =
=
18
¶λ
¶λ
¶λ
¶λ
¶λ
× qC +
× qr1 +
× qr2 +
× qh +
× qτ =
¶C
¶r1
¶r2
¶h
¶τ
ln (r2 r1 )
2πh × τ
+
+
× qC +
-c × ln (r2 r1 )
2
2πh × τ
¶ ln (r1 )
-c ¶ ln (r1 )
c
×
× qr1 +
×
× qr2 +
2πh × τ ¶r1
2πh × τ ¶r2
× qh +
-c × ln (r2 r1 )
2
2πτ × τ
× qτ =
c × ln(r2 r1 ) qC
2πh × τ
c
+
c qr1
c qr2 c × ln (r2 r1 ) qh c × ln (r2 r1 ) qτ
+
=
+
+
h
2πh × τ
τ
2πh × τ r
2πh × τ r
2πh × τ
¶C
=
ln (r2 r1 )
2πh × τ
+
¶r1
× qC +
-c × ln (r2 r1 )
2
2πh × τ
¶r2
¶τ
¶h
¶ ln (r1 )
-c ¶ ln (r1 )
c
×
× qr1 +
×
× qr2 +
2πh × τ ¶r1
2πh × τ ¶r2
× qh +
-c × ln (r2 r1 )
2
2πτ × τ
× qτ =
c × ln (r2 r1 ) qC
2πh × τ
c
+
c qr1
c qr2 c × ln (r2 r1 ) qh c × ln (r2 r1 ) qτ
+
+
+
=
h
2πh × τ
τ
2πh × τ r1 2πh × τ r2
2πh × τ
qr1
qr2
c × ln (r2 r1 ) çæ qC
q ÷ö
q
çç +
=
+
+ h + τ ÷÷ =
r1 × ln (r2 r1 ) r2 × ln (r2 r1 ) h
2πh × τ çè c
τ ÷÷ø
æq
qr1
qr2
q ÷ö
q
= λ × ççç C +
+
+ h + τ ÷÷.
çè c
r1 × ln (r2 r1 ) r2 × ln (r2 r1 ) h
τ ÷÷ø
+
Вычисляем погрешность по этой формуле:
æ1
1
1
5
2ö
+
+
+
+ ÷÷÷ = 25,7 × 0,15 = 4 Âò/(ì Ê).
è 27 11×1,1 33 ×1,1 200 92 ø
qλ = 25,7 × ççç
Округляем λ до целых и записываем окончательный ответ.
Ответ: λ = 25 ± 4 Вт/(м К).
Случайная погрешность. При многократном повторении измерений полученные результаты будут отличаться друг от друга.
В качестве результата серии из N измерений (как прямых, так и
косвенных) в таком случае разумно взять среднее арифметическое:
N
X=
X1 + X2 + X3 + ... + XN
=
N
å Xi
i=1
.
(3)
Средняя квадратичная погрешность отдельно взятого измерения Xi обычно обозначается SX и вычисляется по формуле:
N
N
2
SX =
2
(X1 - X ) + (X2 - X )
2
+ ... + ( XN - X )
N -1
2
å (Xi - X )
= i=1
N -1
. (4а)
Эта величина показывает стандартное отклонение результата
отдельного опыта Xi от получившегося среднего значения X. Для
вычисления по этой формуле нужно иметь известное значения X.
Таким образом, обработку экспериментальных данных приходится
проводить дважды: сначала по формуле (3) для нахождения X, а
затем по формуле (4a) для нахождения SX. При обработке большого
числа данных пользуются другой формулой:
19
2
SX = X2 - X . (4б)
Преимущество этой формулы состоит в том, что величины X и
X2 можно вычислять одновременно.
С увеличением числа измерений N величины X и SX не должны сильно меняться, они должны лишь уточняться. Однако если
провести несколько серий измерений X, в каждой из них получится свое среднее значение X k . Разброс этих средних значений определяется средним квадратичным отклонением SX . Интуитивно
ясно, что эта величина должна быть существенно меньше, чем SX .
С увеличением числа измерений N в каждой серии средние значения X k будут определяться точнее. Следовательно, они будут
меньше отличаться друг от друга, и их разброс станет меньше. Таким образом, с увеличением числа измерений среднее квадратичное отклонение должно уменьшаться, а достоверность полученного
результата – увеличиваться. Как следует из теории,
SX =
SX
N
.
(5)
Окончательная формула для среднего квадратичного отклонения:
N
2
å (Xi - X )
SX =
i=1
N ( N -1)
.
(6)
Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номером i измеряются величины x1i, x2i, x3i …, по которым вычисляется
искомая величина – функция f(x1i, x2i, x3i…). Следует различать
два случая при проведении таких измерений.
Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения
каждой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок
измерений. В таком случае по формуле (3) находят средние значения каждой переменной – X1, X2 , X 3 ..., а по формулам (4-6) – их
случайные погрешности. Среднее значение величины f вычисляют
по формуле:
f = f (x1, x2 , x3 ...). (7)
Среднее квадратичное отклонение этой величины можно выразить
через средние квадратичные отклонения каждой из переменных:
20
Sf =
2
(f ¢ ) ( S
x1
x1
2
)
2
( ) (S
+ fx2 ¢
2
x2
)
2
( ) (S
+ fx3 ¢
x3
2
)
+ .... (8)
Отметим, что эта формула получена в предположении, что все
случайные ошибки прямых измерений независимы, т.е. ошибка измерения одной величины не влечет за собой автоматически
ошибки другой.
Кроме описанного метода обработки серии косвенных измерений существует и другой, применимый в случае проведения серии
измерений как при неизменных, так и при меняющихся внешних
условиях. Состоит он в том, что по результатам i-го измерения сначала находится величина fi = f(x1i, x2i, x3i…), а затем получившийся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых
измерений. Это значит, что по формуле (3) находится среднее значение величины f, а по формулам (4–6) – средняя квадратичная
погрешность Sf и среднее квадратичное отклонение Sf .
В случае, когда число измерений N невелико (∼10 или меньше),
среднее квадратичное отклонение округляют по тем же правилам,
что и систематическую погрешность, т.е. сохраняют одну значащую цифру, вторую иногда сохраняют лишь в случае, когда первая
равна единице или двойке. При записи средней квадратичной погрешности SX сохраняют тот же десятичный разряд, что и в среднем квадратичном отклонении SX .
Результатами математической обработки серии измерений, как
прямых, так и косвенных, являются: среднее значение, вычисленное по формуле (3) или (7), среднее квадратичное отклонение, вычисленное по формулам (5), (6) или (8) и полное число измерений N.
Пример 10.
Определяется жесткость пружины k. Для этого измеряется деформация пружины x в зависимости от приложенной к ней силы F.
В таблице 1 приведена серия измеренных значений F от x.
Таблица 1
F(H)
x(мм)
577
108
643
121
740
136
771
142
824
161
855
166
972
185
1045
191
1100
208
Требуется найти жесткость пружины k и среднее квадратичное
отклонение Sk в единицах Н/мм.
Решение. Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся внешних условиях, т.е. при измерениях сила намеренно
21
менялась в широком диапазоне значений. Применим лишь второй
метод обработки результатов измерений.
Сначала найдем серию значений ki, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой: ki = Fi/ xi.
Таблица 2
k, Н/мм
5,34 5,31
5,44
5,43
5,12
5,15
5,25
5,47 5,29
Теперь найдем среднее значение жесткости пружины:
k=
5,34 + 5,31 + 5,44 + 5,43 + 5,12 + 5,15 + 5,25 + 5,47 + 5,29
=
9
æ Í ö÷
.
= 5,31çç
çè ìì ÷÷ø
Зная его, можно вычислить среднее квадратичное отклонение
Sk :
Sk =
N
2
å (k - ki )
N (N -1) .
i=1
æ (5,31 - 5,34)2 + (5,31 - 5,31)2 + (5,31 - 5,44)2
+
Sk = ççç
9(9 -1)
çè
+
(5,31 - 5,43)2 + (5,31 - 5,12)2
+
9(9 -1)
1
(5,31 - 5,15)2 + (5,31 - 5,25)2 + (5,31 - 5,47)2 + (5,31 - 5,29)2 ö÷÷2
+
÷÷ =
÷ø
9(9 -1)
= (0,032 + 02 + 0,132 + 0,22 + 0,192 + 0,162 + 0,062 +
2
+0,16
1
2 2
+ 0,02 )
æ Í ö÷
/ 72 = 0,04 çç
.
çè ìì ÷ø÷
Ответ: k = 5,31 Í/ìì, Sk = 0,04 Í/ìì, N = 9.
Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше,
ошибки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несовершенством измерительных приборов, несовершенством
методики эксперимента или несколькими причинами сразу. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности полностью исключить невозможно. Можно лишь априори установить их
22
границы с помощью систематической погрешности. Погрешности,
обусловленные всеми возможными причинами вместе, называют
полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой D,
нижним индексом около которой указывают измеряемую величину или записывают рядом с измеренным значением через знак “±”.
Договоримся считать, что полная погрешность задает интервал,
в который с вероятностью 95% попадает истинное значение измеряемой величины.
В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся
измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений которых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных приборов. В таком случае средняя квадратичная погрешность
измеряемой величины должна оказаться сравнимой или меньше
интервала, определяемого систематической погрешностью
Sx £ qx . (9)
Среднее квадратичное отклонение должно всегда получаться
меньше этого интервала.
Sx < qx . (10)
Невыполнение этих условий обычно бывает связано с промахами, т.е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях.
И наоборот, знак строгого неравенства в условии (9) и выполнение
условия (10) в более жестком виде
(10а)
Sx << qx , свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора и о надежности полученных результатов. В описываемом случае
полная погрешность среднего значения определяется только систематической погрешностью:
(11)
Δ x = qx . В случае проведения технических испытаний обычно имеют
дело с величинами, случайными по своей природе. Разброс измеряемых параметров при таких испытаниях связан с немного различными характеристиками испытуемых образцов и с ошибками,
вносимыми измерительными приборами. Средняя квадратичная
погрешность и среднее квадратичное отклонение, определенные по
формулам (4), (5), (6), (8), включают в себя обе названные причины
и поэтому не ограничены интервалом систематической погрешно
23
сти. В этой ситуации случайную погрешность серии измерений и
систематическую погрешность, связанную с несовершенством измерительных приборов объединяют в полную погрешность:
(12)
Δ X = qX + k × SX . В этой формуле k – коэффициент Стьюдента, зависящий от количества проведенных измерений в серии. Более полная таблица
коэффициентов Стьюдента приведена в приложении 4.
N=5
N = 10
N = 20
k = 2,5
k = 2,3
k = 2,0.
Обработка серии измерений и представление результатов. По
результатам серии измерений нужно при помощи формулы (3) или
(7) найти среднее значение. После этого по формулам (4), (5), (6)
нужно найти среднюю квадратичную погрешность и среднее квадратичное отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных значений по формулам (1), (2) рассчитать систематическую погрешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений
зависит от того, какие величины измеряются, случайные или неслучайные1.
Если измеряемая величина по своей природе не является случайной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измерительных приборов на процесс измерений, систематические и
случайные погрешности нужно сравнить по критериям (9) и (10).
В качестве полной погрешности, в соответствие с формулой (11),
следует взять систематическую погрешность.
Если измеряемая величина является случайной по своей природе, то случайную и систематическую погрешность следует объединить в полную по формуле (12).
Результатом серии измерений при любом способе обработки
должны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой
величины. Кроме того, приводится среднее квадратичное отклонение и полное число измерений.
Для единичного измерения указывается полученное значение и
его систематическая погрешность.
1 Измеряемую величину следует считать случайной по своей природе, если при
ее измерении возникают неконтролируемые экспериментатором факторы или физический процесс протекает так быстро, что экспериментатор не успевает провести
достоверные измерения.
24
Окончательная запись и округление полученных результатов
с учетом погрешности измерений. Все полученные результаты
должны приводиться с погрешностями.
Погрешность записывается после измеренной величины через
знак ±. Единицы измерения результата и погрешности должны быть
одинаковыми. Они указываются после погрешности. Если при расчете значения величин, подставляемых в формулу, приводятся без
наименования, то итоговое значение имеет наименование в скобках.
Если результат приводится в нормированном виде, то есть числом, умноженным на 10 в некоторой степени, то и погрешность
нужно привести в виде числа, умноженного на 10 в той же степени.
НЕПРАВИЛЬНО
ПРАВИЛЬНО
V = 10,6 м/с ± 20 см/с
V = 10,6 ± 0,2 м/с
D = 11,3см ± 5 мм
D = 11,3 ± 0,5 см
S = 2,26·10–6 ± 7·10–8м2
S = (2,26 ± 0,07)·10–6м2
Полученный результат и погрешность должны быть обязательно округлены. Нужно оставить лишь те цифры, которые известны.
Лишние цифры – это «мусор», их приводить нельзя.
Сначала округляют погрешность, затем измеренную величину.
Погрешность округляют до одной значащей цифры, т.е. до первой
слева цифры, не равной 0.
В полученном результате сохраняют последним тот десятичный
разряд, до которого округлена погрешность.
НЕПРАВИЛЬНОПРАВИЛЬНО
R = 10,627319 ± 0,666666 Ом
R = 10,6 ± 0,7 Ом
С = 389,45 ± 21,33 нФ
С = 390 ± 20 нФ
R = 10,63 ± 0,7 Ом
R = 10,6 ± 0,7 Ом
R = 11 ± 0,07 Ом
R = 11,14 ± 0,07 Ом
Вторую цифру в погрешности можно сохранить (можно и не сохранять) лишь в случаях, когда первая цифра равна 1 или 2, причем,
если речь идет о цифре после 2, то ее следует округлить до 0 или 5.
Если первая цифра в погрешности 8 или 9, то ее можно округлить
(можно и не округлять) до единицы старшего десятичного разряда.
НЕПРАВИЛЬНО
ПРАВИЛЬНО
ПРАВИЛЬНО
ℓ = 621,54 ± 11,7 м
ℓ = 622 ± 12 м
ℓ = 620 ± 10 м
ℓ = 1,273 ± 0,023 м
ℓ = 1,273 ± 0,025 м ℓ = 1,27 ± 0,03 м
ℓ = 4,316 ± 0,086 м
ℓ = 4,3 ± 0,1 м
ℓ = 4,32 ± 0,09 м
q = (384,7 ± 8,1)⋅10–9Кл q = (380 ± 10)⋅10–9 Кл q = (384 ± 8)⋅10–9Кл
В погрешности округление проводится в большую сторону если
старшая отбрасываемая цифра – 3 и более.
25
В измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меняется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается
на 1, если – больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все
последующие цифры – нули или неизвестны, то последнюю сохраненную цифру при округлении нужно сделать четной.
НЕПРАВИЛЬНО
ПРАВИЛЬНО
t = 16,33333 ± 0,33333 c
t = 16,3 ± 0,4 c
m1 = 18,350 ± 0,287 кг
m1 = 18,4 ± 0,3 кг
m2 = 33,450 ± 0,287 кг
m2 = 33,4 ± 0,3 кг
m3 = 33,451 ± 0,287 кг
m3 = 33,5 ± 0,3 кг
На стадии предварительных, промежуточных вычислений допустимо и даже полезно сохранять одну лишнюю цифру (не больше),
чтобы не накапливать вычислительную ошибку. При окончательной записи нужно строго соблюдать правила сохранения последней цифры. Сохранение лишних цифр, равно как и несохранение
известных цифр при окончательной записи результата измерения
или его погрешности, является ошибкой, свидетельствующей о неграмотности экспериментатора. Такая ошибка влечет за собой снижение оценки за работу.
Допустимые расхождения между результатами измерений.
В тех случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное
экспериментально значение Õ с теоретическим или табличным
ХТ. В тех случаях, когда выполняется условие
Õ - ÕÒ £ Δ X , (13)
расхождение величин Õ и ХТ следует считать допустимым и не
требующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в
отчете.
Если же условие (13) нарушается, то это свидетельствует об
ошибках в проведении, постановке эксперимента или в расчетах
величин Õ и Δ X . В этом случае нужно обязательно еще раз проверить свои измерения, расчеты и в отчете попытаться объяснить
причину имеющихся расхождений или хотя бы выдвинуть правдоподобную гипотезу.
Графическая обработка результатов измерений
Графики нужно обязательно строить на миллиметровой бумаге,
которая выступает в роли одного из измерительных инструментов.
26
Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет
функцией, и какая аргументом. В соответствии со сделанным выбором график нужно озаглавить.
После этого следует разумно выбрать масштаб по обеим осям.
Его нужно выбирать с учетом значений тех величин, которые по
этим осям будут откладываться. Единица масштабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т.д. единицам измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значений должны быть
такими, чтобы, по возможности использовать все поле графика.
В некоторых случаях координатные оси разумно изобразить с разрывом.
После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и
подписать, какие величины и в каких единицах вдоль них откладываются. На осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под
осью абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать.
Подписываются только числа; единицы их измерения указываются на осях. Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются.
На график обязательно наносятся все экспериментальные точки. Около них двумя вертикальным и двумя горизонтальным отрезками откладываются систематические погрешности измеряемых величин.
Для большей наглядности, для возможности получения параметров функциональной зависимости и для получения градуировочных графиков через экспериментальные точки проводят линию.
Ее следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи
lпр
3
Экспериментальная проверка
закон Стефана–Больцмана
2
1

7,0
7,5
lnT
Рис. 1. Образец оформления рисунка
27
них, избегая изломов и пересекая “крестики” погрешностей. Если
известен теоретический закон, связывающий измеряемые величины, то линия на графике должна ему подчиняться.
Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины x и f, записывается в виде
f = k⋅x + b,
(14)
то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести по линейке через имеющийся набор точек. Разумеется, все
точки не могут попасть на прямую, поэтому нужно проводить прямую таким образом, чтобы она проходила по возможности ближе к
максимальному числу точек. Проводя прямую линию через набор
экспериментальных точек (рис. 2) нужно руководствоваться следующими правилами:
Прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначающие систематические погрешности отложенных величин;
Число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой,
должно быть примерно одинаковым.
Иногда получается, что через набор точек невозможно провести
прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2 г,
д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2 г), то
ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если
же сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейа)
f
б)
f
в)
х
х
г) f
х
д) f
х
х
Рис. 2.
28
f
ность (рис. 2 д), то следует сделать вывод, что экспериментальные
данные противоречат теоретической зависимости (14). Если же наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или 2 г, то можно говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают теоретическую зависимость.
В случае, когда через экспериментальные точки удалось провести
прямую линию, по графику находят параметры k и b уравнения (14).
Параметр b равен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой
коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой, который можно найти по катетам треугольника, изображенного на рис. 3.
Обратим внимание на то, что катеты Dх иDf измеряются не между экспериментальными точками, а по проведенной линии.
Оценка погрешностей величин k и b, определенных графически.
Систематическую погрешность величины b разумно принять равной значению систематической погрешности qf при наименьшем х.
Систематическую погрешность величины k можно принять равной
æ qf
q ö÷
+ x ÷÷, qk = k × ççç
(15)
èç(Δf ) (Δx)ø÷
где Df и Dх – катеты треугольника на рис. 3, а qf и qx – систематические погрешности величин f и х.
f
∆f
ƒ
α
∆x
f
k = tgα = ∆ ;
∆x
b = f(x=0) .
b
х
Рис. 3. Графическое определение параметров прямой
Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следующие действия:
– по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую,
– для нее находят новые значения величин k′ и b′,
– считают, что Sk = |k – k′|, а Sb = |b – b′|.
Очень часто изучаемые величины теоретически прямо пропорциональны друг другу:
f = k⋅x.
(16)
29
Прямая пропорциональность является частным случаем линейной зависимости (14) при b = 0. График функции (16) должен обязательно проходить через начало координат. Проводя прямую линию
через набор экспериментальных точек (рис. 4), нужно руководствоваться следующими правилами:
Прямая должна обязательно проходить через начало координат.
Прямая должна пересечь максимальное количество крестиков,
обозначающих систематические погрешности отложенных величин.
Число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой,
должно быть примерно одинаковым.
В некоторых случаях (рис. 4 д, е) через имеющиеся экспериментальные точки невозможно провести прямую (16). Если из общего
набора выбивается только одна точка (рис. 4 г), то ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же таких точек
несколько или наблюдается нелинейность (рис. 4 д), или очевидно, что экспериментальная зависимость проходит мимо начала
координат (рис. 4 е), то следует сделать вывод, что данные опыта
противоречат теоретической формуле (16). Если наблюдаются слуа)
f
б)
f
х
г)
f
д)
х
в)
f
х
f
е)
х
х
f
х
Рис. 4. Прямая f = k·x, проведенная через экспериментальные точки,
а – неправильно, б – неправильно, в – правильно, г – промах,
д и е – прямую провести невозможно
30
чаи, показанные на рис. 4 в или 4 г, то можно говорить о том, что
экспериментальные данные подтверждают эту теоретическую зависимость.
Если через имеющийся набор данных прямую провести удалось,
то величину b определять не нужно, поскольку она в этом случае
обязана равняться нулю. Угловой коэффициент = tga находится
так же, как и в прошлом случае (рис. 3).
Графическая обработка экспоненциальной зависимости.
На практике очень часто приходится иметь дело с теоретическими зависимостями, которые сводятся к формуле
-
f (t) = A × e
t
τ,
(17)
в которой t – время, а t – константа, которая обычно называется постоянной времени или временем релаксации. Обработка экспериментальных данных может быть проведена одним из двух методов.
Метод 1. Измеренные значения f(t) откладываются на графике.
Через них проводится плавная кривая, как это показано на рис. 5.
Эта линия не обязана проходить через все точки, она должна лишь
пересекать крестики, обозначающие систематические погрешности.
По проведенной линии нужно определить или уточнить значение параметра А, как это показано на рисунке. Кроме того нужно
провести горизонтальную линию f = А/е и найти точку ее пересечения с построенной кривой. Из найденной точки нужно опустить
перпендикуляр на ось t и найти значение t.
К достоинствам этого метода, несомненно, следует отнести его
простоту и наглядность. Его недостатками являются отсутствие
корректной процедуры оценки погрешностей и необходимость
вручную проводить экспоненту. Проведенный вручную график
f
A
A/e
τ
t
Рис. 5. Определение параметров
экспоненциальной зависимости
31
функции часто слишком тяготеет к отдельным экспериментальным точкам. Второй метод свободен от этих недостатков, но более
громоздок.
Метод 2. Получившиеся значения f логарифмируются; на графике откладывается набор точек lnf от t, как это показано на рис. 6.
Теоретически эта зависимость должна оказаться линейной
( )
lnf = ln A - 1 τ × t, (18)
поэтому через экспериментальные точки нужно провести прямую
линию по уже знакомым правилам.
Определив по графику длину отрезка ln А, отсекаемого прямой
на оси ординат, найдем параметр А уравнения (18). Экстраполируя (продолжая) получившуюся прямую до пересечения с осью абсцисс, находим время t0, угловой коэффициент k = tga и постоянную времени t:
τ=
t0
.
ln A (19)
Отметим, что по оси ординат около каждой точки откладывается систематическая погрешность не самой величины Df, а ее логарифма
q(Δf )
qlnΔf =
(20)
Δf
Достоинством этого метода является то, что через набор точек
нужно проводить не экспоненту “твердым движением руки”, а прямую линию по линейке. Эта линия опирается сразу на весь набор
экспериментальных точек. Вторым важным достоинством описанного метода является возможность оценить погрешности найденных параметров.
ln f
k = tgα =
ln A
ln A
t0
α
t0 t
Рис. 6. Определение параметров уравнения (18)
32
Систематическую погрешность величины А разумно принять
равной значению систематической погрешности qf для значений,
полученных при наименьшем значении времени t
qА = qf при min t.
(21)
Систематическую погрешность величины t можно принять равной
æq
q A ö÷
÷÷ qτ = τ × ççç t +
è t0 A × ln A ÷ø
(22)
Для оценки случайных погрешностей SА и St поступают следующим образом:
– по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую,
– для нее находят новые значения величин А′ и t′,
– принимают SА = |А – А′|, а St = |t – t′|.
Графическое дифференцирование
К графическому отысканию производной прибегают тогда, когда
аналитическое выражение для функции неизвестно, и она задается
графически (например, на основании измерений). Графическое отыскание производной называется графическим дифференцированием.
Поясним, как выполнить графическое дифференцирование.
Известно, что производная от функции y = f(x) равна угловому
коэффициенту касательной, построенной к кривой f(x) при том
y
∆y
∆x
x
Рис. 7. Графическое дифференцирование
33
же самом значении аргумента x, при котором вычисляется dy/dx
(рис. 7). Поэтому после графического отображения экспериментальной кривой для вычисления производной в некоторой точке
достаточно провести на графике касательную к кривой в этой точке
и вычислить ее угловой коэффициент. Производная тогда найдётся
по формуле
Δy
y¢ =
,
(23)
Δx
где Δy и Δx – длины отрезков в единицах величин x и y, отложенных по осям. Эти элементы не должны быть обязательно равными;
их следует брать меньшими в тех частях, где функция изменяется
быстрее.
Точность метода графического дифференцирования зависит от
точности построения исходной кривой. Это означает, что экспериментальную кривую следует строить очень тщательно. Описанная
процедура совпадает с методикой графической обработки линейной зависимости f = k⋅x + b уравнение (14).
Графическое интегрирование
x2
Определенный интеграл
ò f (x)dx
от неотрицательной функции
x1
f(x) может быть найден как площадь плоской геометрической фигуры, ограниченной на графике прямой x = x1 слева, прямой x = x2
справа, кривой f(x) сверху и прямой y = 0 снизу. Такое представление является удобным при вычислении интеграла от любой экспериментально полученной зависимости. Площадь фигуры, дающая
количественное значение интеграла, находят посредством подсчета
составляющих ее клеток миллиметровки с последующим умножением результата подсчета на цену деления по каждой из двух осей.
Графическое интегрирование можно использовать, например,
при определении пути, пройденного телом при сложном характере движения. Путь находят интегрированием экспериментальной
кривой, отображающей зависимость скорости тела от времени
t2
S = ò υdt.
t1
34
y
0
x1
x2
x
Рис. 8. Графическое интегрирование
Аналогично можно найти работу, совершенную газом в ходе
сложного процесса, откладывая по оси x объем газа, а по оси y –
давление
A = ò pdV.
Метод наименьших квадратов
Часто экспериментально определяются величины x и y, связанные функциональной зависимостью
у = f(x, A, B, …).
(24)
Вид этой функции бывает обычно известен из физических законов, а коэффициенты A, B, … должны быть определены по результатам эксперимента (табл. 3).
x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
Таблица 3
x4
y4
……
…....
xn
yn
Практически вид приближающей функции можно определить
визуально: по таблице 3 строится точечный график функции, а затем проводится кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек (рис. 9). По полученной
кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из
35
числа простых по виду аналитических функций: линейная, степенная, экспоненциальная или показательная, логарифмическая,
гипербола, дробно-рациональная и т.д.). Чтобы формула не оказалась слишком сложной, число параметров не должно быть велико.
Обычно берут два-три параметра. При сравнении обращают внимание на наличие максимумов и минимумов, поведение функции при
больших и малых значениях аргумента, выпуклость кривой вверх
или вниз на отдельных участках и т.д. Выбрав среди известных
функций подходящую, следует подобрать такие значения параметров в формуле, чтобы разница между опытными значениями величины и значениями, найденными по формуле, не превышала ошибок эксперимента. Если эта разница получается слишком большой,
берут другой подходящий график и повторяют попытку.
Формула (24) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x и позволяет находить значения функции
f (x) для нетабличных значений x, «сглаживая» результаты измерений величины y.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
А. Если x и y связаны линейной зависимостью
у = b+kx,
(25)
то для нахождения b и k достаточно двух абсолютно точных измерений величин x и y. В действительности, измеренные экспериментальные значения xi и yi содержат ошибку, поэтому, по ним можно
получить только оценки параметров функции b и k.
y
x
Рис. 9. Построение линейной функции
по методу наименьших квадратов
36
Чтобы получить наиболее достоверные оценки, производят многократные изменения, и в результате эксперимента получается набор из пар значений {xi, yi} (табл. 3).
Теперь необходимо найти метод подбора эмпирической формулы, который позволит не только найти саму формулу, но и оценить
погрешность подгонки. Будем искать такую функцию y = f(x, k,
b), чтобы в точках {xi,} она принимала значения как можно более
близкие к табличным значениям {yi}. То есть будем искать минимум функции
n
F (k, b) = å (b + kxi - yi )2 . (26)
i=1
Условие минимума выполняется при равенстве нулю частных
производных по параметрам k и b:
n
¶F
= å 2(b + kxi - yi ) = 0,
¶b i=1
n
¶F
= å 2(b + kxi - yi )xi = 0.
¶k i=1
Таким образом, для искомых коэффициентов получаем систему
уравнений
n
n
ìï
ïïb × n + k x =
yi
å
å
i
ïï
i=1
i=1
ï
.
í n
n
n
ïï
2
ïïbå xi + kå xi = å yi xi
ïï
i=1
i=1
î i=1
Решая эту систему относительно b и k получаем следующие выражения
n
n
n
n
i=1
i=1
i=1
n
å xi2 å yi - å xi å xi yi
k = i=1`
æ n ö÷2
2 çç
nå xi - çå xi ÷÷÷
çèi=1 ø÷
i=1
n
n
n
i=1
i=1
nå xi yi - å xi å yi
,
b=
i=1
æ n ÷ö2
2 çç
nå xi - çå xi ÷÷÷
çèi=1 ÷ø
i=1
n
. (27)
Найденные значения A и B определяют точку экстремума функции F(A, B). Используя неравенство Коши – Буняковского, можно доказать, что в этой точке функция принимает минимальное значение.
37
Метод наименьших квадратов позволяет также оценить погрешности найденных значений параметров b и k:
Sy
Sb =
n
n
å xi2
i=1
æ n ö÷2
2 çç
nå xi - çå xi ÷÷÷
èçi=1 ø÷
i=1
n
n
n
nå yi2 - (å yi )2
где Sy2 = i=1
i=1
n(n - 2)
, Sk =
Sy n
æ n ö÷2
2 çç
nå xi - çå xi ÷÷÷
èçi=1 ø÷
i=1
,
(28)
n
n
n
i=1
i=1
n
(nå xi yi - å xi å yi )2
-
i=1
n
n(n - 2)(nå
i=1
xi2 - (
.
2
å xi )
)
i=1
Пример 1. Проверка закона Стефана – Больцмана:
R = σ·T4,
где R– энергетическая светимость (выражается через мощность Р
излучения и площадь S поверхности – R = P/S), Т – абсолютная
температура в Кельвинах, σ – константа Стефана – Больцмана. Для
серой (не абсолютно черной) поверхности в правой части уравнения
появится еще множитель а – коэффициент серости. С учетом всего
вышесказанного запишем:
P
= a × σ × T 4 ; Þ P = (aσS)× T 4 = const × T 4 .
S
Логарифмируем
получившееся
выражение
и
обозначаем
n(Ñonst) = C :
nP = nConst + nT 4 = C + 4nT.
Вводя обозначение nP = y, nT = x, получаем в координатах
(х; у) уравнение прямой с угловым коэффициентом k = 4:
y = C + 4·x
Экспериментальная проверка закона Стефана – Больцмана состоит в проверке именно этого коэффициента. Для этого нужно
провести серию измерений электрической мощности лампы в зависимости от температуры нити накаливания P(T).
Мощность лампы измеряется косвенно: непосредственно измеряются падение напряжения U и ток через лампу I, затем вычис38
ляем P = I·U. Температура нити накала измеряется пирометром.
Этот прибор измеряет яркостную температуру в градусах Цельсия.
Показания прибора нужно перевести в кельвины и пересчитать яркостную температуру в истинную. Эта процедура описана в лабораторной работе: Проверка законов теплового излучения.
Считаем, что все сказанное уже проделано, имеется серия измерений P(T). Результаты приведены в таблице 4. Там же приведены
натуральные логарифмы ℓnP и ℓnT. Требуется проанализировать
имеющиеся данные и сделать заключение о их соответствии закону
Стефана – Больцмана.
Таблица 4
T, K
P, Вт
ℓn T
ℓn P
1010
1,65
6,90
0,50
1180
3,63
7,07
1,29
1350
5,70
7,21
1,74
å nPi × nTi
å nPi
1570
9,97
7,35
2,30
1820
18,0
7,51
2,89
2000
26,0
7,60
3,26
88,50
11,98
2
å(nTi )
å(nTi )
317,76
k
3,9
Sk
0,2
43,64
Мы экспериментально получили угловой коэффициент – он же
показатель степени в Стефана – Больцмана k = 3,9 при Sk = 0,2.
Получившееся значение в пределах погрешности измерений равно
теоретическому.
Таким образом, представленные результаты измерений подтверждают закон R = σ·T4.
Пример 2. Проверка распределения Планка:
f (λ,T) =
2πhc2
λ
5
1
hc
λ
e kT
,
-1
где f (λ,T) – излучательная способность абсолютно черного тела.
Если на фотоприемник попадает свет от лампы, прошедший через
светофильтр, то возникающий ток оказывается пропорциональным изучаемой функции:
39
i = D × λ-5 ×
1
.
hc
λ
e kT
-1
В этой формуле D – константа установки, зависящая от спектральной чувствительности приемника, от коэффициента и полосы
пропускания светофильтра. Получаем набор экспериментальных
данных i, мкА от Т, K.
Таблица 5
i, мкА
T, K
2
1010
14
1180
110
1350
730
1570
4500
1820
11000
2000
Для температур, которые обычно имеет нить накаливания, единицей в знаменателе можно пренебречь. Переписываем форму-hc
лу: i = D × λ-5 × e λkT , логарифмируем и получаем ni = L -
hc -1
×T ,
λk
где L = ℓn (Dλ–5).
В этой формуле h – постоянная Планка, с – скорость света, λ –
длина волны света, которую выделяет светофильтр, k – постоянная
Больцмана.
Получаем линейную зависимость у = L – A·х в координатах
ó = ni, õ = T-1. Преобразуем данные табл. 5 и находим величины
A и L.
ℓn i
T–1·1000
–13,1
0,990
–11,2
0,847
–9,1
0,741
–7,2
0,637
å(ni) T i
–0,03900
å ni
–50,5
-2
3,204·10–6
-1
4,264·10–3
åTi
åTi
L
A
–5,4
0,549
–4,5
0,500
3,36
18,0·10–3
По угловому коэффициенту А можно найти константу Планка h.
h = Aλk c = 18,0 ×10-3 × 0,66 ×10-61,38 ×10-23 3 ×108 = 5,5 ×10-34 Äæ·ñ
40
Лабораторная работа № 1
ПРОВЕРКА ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Цель работы: проверка основных законов теплового излучения,
определение постоянной Стефана – Больцмана, постоянной Планка.
Теоретические сведения
Излучение электромагнитных волн, возникающее за счет внутренней (тепловой) энергии излучающего объекта, называется тепловым излучением. Все виды излучения, возбуждаемые любой
другой энергией, кроме тепловой, называются общим термином
«люминесценция». Понятие «тепловое излучение» применимо
только к излучению объекта (тела), состоящего из большого числа
атомов или молекул, т. е. когда это тело является макрообъектом.
Тепловое излучение присуще нагретым телам вне зависимости от
их природы и агрегатного состояния.
Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума которого зависит от температуры (рис. 1).
Если тело путем излучения теряет столько же энергии, сколько
поглощает, то процесс излучения называется равновесным. При
этом нагретое тело находится в термодинамическом равновесии с
окружающей средой, а его состояние может быть охарактеризовано определенной температурой.
Мощность, излучаемую с единицы поверхности нагретого тела
во всех направлениях во всем диапазоне частот, называют интегральной энергетической светимостью R или интегральной излучательной способностью тела. Мощность, испускаемая с единицы
поверхности нагретого тела в интервале частот от ν до ν+dν, пропорциональна величине интервала dν
dR
,
(1)
dR = rν,T dν, rν,T =
dν
где rν,T – спектральная плотность энергетической светимости или
спектральная излучательная способность тела.
Интегральная энергетическая светимость связана со спектральной излучательной способностью тела соотношениями
¥
¥
R = ò rν,T dν или R = ò rλ,T dλ, rλ,T =
0
0
dR
.
dλ
(2)
41
Все тела в той или иной степени поглощают энергию падающих
на них электромагнитных волн. Спектральной характеристикой
поглощения является спектральная поглощательная способность
тела a(ν), которая определяет долю поглощенной энергии в интервале частот от ν до ν+dν
a(ν) =
dWν¢
dWν
(3)
где dWν – энергия излучения (в интервале частот от ν до ν+dν), падающего на тело; dWν¢ – часть этой энергии, поглощенная телом.
Законы, которым подчиняется тепловое излучение
Закон Кирхгофа. Отношение излучательной способности тела к
его поглощательной способности одинаково для всех тел и является
универсальной функцией частоты и температуры f(ν,T)
æ rν,T ö÷ æ rν,T ö÷
ç
ççç
÷÷ = ç
÷÷ = ... = f (ν,T), è a(ν) ÷ø1 èç a(ν) ø÷2
(4)
где индексы 1, 2,... относятся к разным телам.
Тело, которое поглощает все падающее на него излучение, называют абсолютно черным (АЧТ). Поглощательная способность
абсолютно черного тела равна единице при любой частоте и температуре, a(ν) = 1.
Из (4) следует, что функция Кирхгофа f(ν,T) равна излучательной способности абсолютно черного тела
f (ν,T) = rν,T äëÿ À×Ò. (5)
Закон Стефана – Больцмана. Интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры
R = σT4,
(6)
где σ – постоянная Стефана–Больцмана, σ = 5,67·10–8 Вт/(м2·K4).
Реальные тела не являются абсолютно черными и их поглощательная способность меньше единицы. Поэтому энергетическая
светимость нечерного тела R меньше энергетической светимости
абсолютно черного тела
42
¥
¥
R = ò a(ν)f (ν,T)dt = a ò f (ν,T)dt = aσT 4 , 0
(7)
0
где a – среднее значение поглощательной способности тела по всему
спектральному интервалу (коэффициент серости).
Закон Вина. Длина волны излучения λm, соответствующая
максимуму спектральной излучательной способности абсолютно
черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре
тела
λm =
b
, где b = 2,9·10–3м·К.
T
(8)
Значение излучательной способности абсолютно черного тела в
максимуме ελm пропорционально пятой степени абсолютной температуры
f(λ,T)max = CT5,
где C = 1,29·10–5 Вт/(м3·К5).
(9)
Вт
м 3 · стерад
Видимый свет
12
5 ·10
f(λ,T);
0,72 мкм
4
3
4000 K
2
0,96 мкм
1
3000 K
2000K
1,44 мкм
0
1
2
3 λ, мкм
Рис. 1. Спектр излучения абсолютно черного тела
43
В 1900 году М. Планк, исходя из квантовых представлений о
природе излучения, нашел аналитическое выражение для функции излучательной способности АЧТ
f (ν,T) =
2πh
2
ñ
×
ν3
hν
e kT
, f (λ,T) =
-1
2πhc2
λ
5
1
hc
e λkT
,
(10)
-1
где h – постоянная Планка (h = 6,625·10–34Дж·с); c – скорость света
в вакууме, k – постоянная Больцмана (k = 1,38·10–23Дж·К). Зависимость f (λ,T) от длины волны для разных температур приведена
на рис. 1.
Зная функцию распределения Планка, можно получить закон
Стефана – Больцмана, подставив функцию (10) в формулу (2), и
найти значение константы σ. Закон смещения Вина легко получить
из формулы Планка, исследуя функцию f (λ,T) на экстремум.
Лабораторная установка
В работе исследуется тепловое излучение вольфрамовой нити
лампы накаливания. Электрическая схема включения лампы приведена на рис. 2, где Л – исследуемая лампа; А – амперметр; V –
вольтметр; R – реостат.
Измерения температуры нити лампы производят неконтактным
способом с помощью оптического пирометра, схема которого представлена на рис. 3. Прибор состоит из тубуса (Т), внутри которого находится лампа накаливания Лп с тонкой вольфрамовой нитью, и двух
оптических систем – объектива Об и окуляра Ок. Нить лампы пирометра нагревается электрическим током. Величина тока, а, следователь-
R
Л
V
A
Рис. 2. Электрическая схема включения лампы
44
T
OБ
Лп
0
ОК
0¢
Л
T, C
Rп
+U–
K
Рис. 3. Схема включения пирометра
но, и температура нити лампы Лп регулируется реостатом Rп. Пирометр имеет прибор, который измеряет силу тока, протекающего через
нить. Он проградуирован в шкале температур в градусах Цельсия.
Нить лампы расположена в плоскости, перпендикулярной оси
прибора 00›. С помощью объектива в той же плоскости можно получить изображение нити исследуемого источника излучения.
Наблюдая оба источника излучения, внешний и внутренний, через окуляр со светофильтром красного цвета (λ = 0,65 мкм) и регулируя силу тока нити лампы пирометра (при нажатой кнопке К
в цепи накала лампы), можно добиться одинаковой яркости свечения нити исследуемой лампы и нити лампы пирометра. При достижении одинаковой яркости прибор пирометра покажет значение
яркостной температуры Tя исследуемого объекта. Истинная (термодинамическая) температура T нити исследуемой лампы связана
с яркостной температурой Tя соотношением
λ
1
1
=
+ ln a, (11)
T Tÿ p
где p = 1,44·10–2м·К; λ = 0,65 мкм; a = 0,4 – поглощательная способность вольфрама.
Порядок выполнения работы
1. Проверка закона Стефана–Больцмана.
Для вольфрамовой нити лампы накаливания, не являющейся
абсолютно черным телом, закон Стефана–Больцмана дается вы45
ражением (7). При протекании электрического тока в цепи накала
лампы имеются потери тепловой энергии нити на теплоотвод и изза наличия активного сопротивления токоведущих проводов. Поэтому в тепловое излучение преобразуется лишь некоторая часть α
электрической мощности P, расходуемой на накал нити. С учетом
потерь выражение (7) может быть переписано в виде
aP = a × σ × T 4 S, (12)
где S – площадь излучающей поверхности.
Проверка закона состоит в получении опытного значения показателя степени температуры в формуле (12) и значения постоянной
Стефана–Больцмана. Для этого:
1.1. Собирают электрическую схему (рис. 2). Устанавливают
наименьшее значение напряжения, при котором наблюдается свечение нити лампы.
1.2. При неизменном значении тока и напряжения измеряют
яркостную температуру Tя нити лампы. Измерение яркостной температуры проводят пять раз при каждом значении силы тока. Затем увеличивают силу тока в цепи накала лампы и измеряют снова
пять раз соответствующую яркостную температуру. Всего значений тока, при которых производятся измерения Tя, должно быть
не менее 5–6.
Результаты измерений U, I и Tя и вычислений заносят в табл. 1.
Таблица 1
№ U,B I, A P, Вт
ℓnP
Tя, К
Т, К
ℓnТ
Т4, К4 σ·108, Вт/(м2К4)
1
2
3
4
5
6
1.3. Для каждого значения мощности накала лампы P = UI
определяют среднее значение яркостной температуры Tя и термодинамическую температуру T нити (11).
1.4. По формуле (12) для каждой пары значений P и T определяют σ и находят среднее значение. Величины a, S и α указаны на
лабораторном столе.
46
lni
lпр
0,5
1,0
1000
T
3

2
1
–5

7,0
–10
7,5 lnT
Рис. 4. Экспериментальная
проверка закона
Стефана – Больцмана
Рис. 5. Экспериментальная
проверка распределения
Планка
1.5. Строят график зависимости ℓnP от ℓnТ, анализируют его на
линейность, и определяют тангенс угла наклона полученной прямой к горизонтальной оси (с учетом масштаба). Сравнивают полученное значение с показателем степени в законе Стефана–Больцмана. На рис. 4 показан типичный вид такого графика.
1.6. Оценивают систематическую Qσ, случайную Sσ.
2. Проверка распределения Планка.
Постоянную Планка можно найти, используя формулу (10) для
f (λ,T), если измерить, изучая излучения лампы при различных
температурах нити накала. Монохроматический поток можно выделить, используя светофильтр. При облучении фотоприемника
монохроматическим световым потоком в цепи приемника возникает фототок i, величина которого пропорциональна величине падающего потока ΔΦλ и спектральной чувствительности γλ приемника:
i  γ ×Φ  f (λ,T). Следовательно,
i = B × a( λ ) ×
2πhc2
λ
5
×
1
hc
λ
e kT
,
(13)
-1
где В – константа установки, зависящая от коэффициента пропускания и ширины полосы пропускания светофильтра. Для температур, которые обычно имеет нить накаливания, единицей в формуле
(13) можно пренебречь. Вводя новую константу D = B × a( λ ) × 2πhc2 ,
переписываем эту формулу:
47
-5
i = D×λ
-hc
λ
× e kT ,
логарифмируем и получаем
n i = L -
hc -1
×T , λk
(14)
где L = ℓn (Dλ–5). Графиком получившегося уравнения (14) будет
прямая линия в координатах n i от T-1. Если экспериментальные данные действительно укладываются на прямую линию, то
это свидетельствует о справедливости распределения Планка.
По тангенсу угла наклона этой прямой можно найти константу h
h=
kλ n i
×
.
c  T -1
(
(15)
)
Для выполнения второй части работы поступают следующим образом:
2.1. Измеряют, темновой ток iтем фотоприемника. Дело в том,
что даже при отключенной лампе накаливания в фотоприемнике
может существовать некоторый ток, который обусловливается его
внутренними свойствами и наличием рассеянного света.
2.2. Для тех же значений мощности накала лампы, а, следовательно, и температур, что и в первой части работы измеряют значения фототока iизм с использованием светофильтра перед фотоприемником. Определяют значения фототока i = iизм – iтем для всех значений температуры нити. Результаты вычислений заносят в табл. 2.
2.3. Строят график зависимости ℓni от 1/T. Анализируют его на
линейность и делают заключение о справедливости распределения
Планка
Таблица 2
№
1
2
3
4
5
6
Т, К
Т–1, К–1
iизм, мкА
iтем, мкА
i, мкА
ℓni
tg β
2.4. Из тангенса угла наклона графика (с учетом масштаба)
определяют по формуле (15) значение h. λ – длина волны, соответ48
ствующая максимуму пропускания светофильтра. Сравнивают полученное значение с табличным значением константы Планка.
Таблица 3
Результаты измерений *
U,B
2В
3В
4В
5В
6В
7В
I,A
Tя,°С
Т1
Т2
Т3
Т4
Т5
ТСР
Т1
Т2
Т3
Т4
Т5
ТСР
Т1
Т2
Т3
Т4
Т5
ТСР
Т1
Т2
Т3
Т4
Т5
ТСР
Т1
Т2
Т3
Т4
Т5
ТСР
Т1
Т2
Т3
Т4
Т5
ТСР
iизм, мкА
iтем, мкА
* Таблица 3 заполняется и остается в протоколе измерений.
49
Лабораторная работа № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
МЕТАЛЛА
Цель работы: Ознакомиться с явлением теплопроводности и
определить опытным путем коэффициент теплопроводности.
Оборудование: Прибор для определения коэффициента теплопроводности твердых тел; калориметр; термометр; мензурка; стакан; часы.
Теоретические сведения
Теплопроводность – это передача тепла от одной части тела к
другой без переноса вещества. Молекулярно-кинетическая теория
вещества объясняет этот процесс следующим образом. Температура – мера средней кинетической энергии молекул, поэтому различие температур двух участков тела свидетельствует о том, что средние кинетические энергии молекул в этих участках различны. Молекулы двух соприкасающихся слоев, сталкиваясь, передают свою
кинетическую энергию от слоя к слою.
В настоящей работе изучается теплопроводность металлов. Возьмем металлический стержень и направим вдоль него ось (ох), как
это показано на рис. 1. Если один конец этого стержня нагревать до
температуры T0, а другой поддерживать при температуре Т1, то нач-
Рис. 1. Распределение температуры вдоль металлического стержня
50
нется перенос энергии, и температура других его участков тоже будет
меняться. Через некоторое время в стержне установится квазистационарное температурное поле Т(х) со значениями T0 и Т1 на концах.
Для длинного тонкого однородного стержня функция Т(х) будет линейной. Заметим, что получившаяся картина не является статичной,
поскольку происходит перенос тепла из точки 0 в точку 1. Этот поток
является установившимся или стационарным. Количество теплоты,
получаемой данным участком от соседнего теплого, равно количеству теплоты, отдаваемой соседнему холодному участку.
Явление теплопроводности описывается законом Фурье: количество тепла, переносимого от горячего слоя к холодному, пропорционально площади сечения, разности температур слоев, между
которыми переносится тепловой поток, и обратно пропорционально расстоянию между слоями:
Q=
T0 - T
× λSτ,

(1)
где S – площадь сечения стержня, м2; ℓ – длина стержня, м; Т0 –
температура горячего слоя, °С; Т – температура холодного слоя, °С;
τ – время, в течение которого происходит перенос энергии.
Коэффициент пропорциональности λ является коэффициентом
теплопроводности данного вещества, измеряется в Вт/м·К. Величина
ΔT T0 - T
=
Δx

представляет собой изменение температуры на единицу длины в направлении теплопередачи и называется градиентом температуры.
Анализируя формулу (1) приходим к выводу, что коэффициент
теплопроводности численно равен количеству теплоты, протекающей через единицу площади поперечного сечения тела в единицу
времени при градиенте температуры, равном единице.
λ=
Q × Δx
.
Sτ × ΔT (2)
Лабораторная установка
Для определения коэффициента теплопроводности используется прибор, представленный на рис. 2. Электрический нагреватель
поддерживает кипение воды в левом сосуде. В правый сосуд (кало51
Рис. 2. Внешний вид лабораторной установки
риметр) теплота подается через металлический стержень. Температура в калориметре измеряется термометром.
Во время измерений вода в левом сосуде должна кипеть. Добившись стационарного потока через стержень, нужно измерить температуру воды в калориметре в начале Т1 и в конце Т2 опыта. Кроме того нужно измерить время τ, в течение которого произошло это
повышение температуры. Обратим внимание на то, что тепловой
поток в этом случае стационарен лишь приблизительно, поскольку
температура холодного конца стержня во время опыта повышается, т.е. меняется.
За время измерения τ в калориметр поступит некоторое количество тепла Q. Это количество теплоты, пренебрегая потерями во
внешнюю среду, можно выразить формулой (1). С другой стороны,
все полученное тепло пойдет на нагревание калориметра и воды, поэтому, обозначив буквой С полную теплоемкость системы, запишем:
Q = C (T2 - T1 ). (3)
Нужно иметь в виду, что температура конца стержня, находящегося в калориметре, за время наблюдения изменяется от Т1 до
Т2. Поэтому, за температуру конца стержня в калориметре принимаем T = 0,5 × (T1 + T2 ). Температура Т0 кипящей воды определяется по атмосферному давлению и соответствующим таблицам. С учетом всех замечаний приравниваем формулы (1) и (3), и получаем:
C(T2 - T1 ) =
52
T + T1 ÷ö
λSτ çæ
× çT0 - 2
÷,
ç
 è
2 ÷ø
откуда:
λ=
C(T2 - T1 )
.
Sτ(T0 - 0,5 × (T2 + T1 ))
(4)
Порядок выполнения работы
1. Налить в кипятильник воды до отмеченного уровня.
2. Включить нагреватель в сеть, дождаться кипения и уменьшить мощность.
3. Через 5 мин. после начала кипения воды в кипятильнике налить в калориметр мензуркой 200 см3 холодной водопроводной воды.
Перемешав воду в калориметре, измерить ее температуру Т1. Этот
момент считать началом опыта. Начать отсчет времени по часам.
4. Когда температура воды в калориметре повысится на 8–10 °С,
прекратить отсчет времени и записать конечную температуру Т2.
В процессе нагревания воду в калориметре перемешивать.
5. Слить нагретую воду, промыть калориметр и, влив снова
200 см3 холодной водопроводной воды, повторить опыт для другого
стержня. По окончании опытов выключить нагреватель.
6. Определить температуру кипения воды по соответствующим
таблицам и атмосферному давлению.
7. Примечание: Вода в кипятильнике должна присутствовать и
должна кипеть до конца измерений. Температура Т0 должна быть
постоянной.
8. Результаты опытов занести в таблицу и поместить в протокол
измерений.
Результаты наблюдений
Температура, °С
№ опыта
Материал
стержня
Время τ, с
Температура
кипения
Т0
Показания
термометра
Т1
Т2
9. По результатам измерений найти коэффициент теплопроводности.
53
10. Вычислить систематическую погрешность θλ коэффициента
теплопроводности, принимая
q = 1 ñì, qT0 = 0,1°C, qT1 = qT2 = 0,5°C.
D = 0,016 м (диаметр стержня); теплоемкость С указана на установке.
Контрольные вопросы
1. Объясните явление теплопроводности в рамках молекулярнокинетической теории.
2. Какой физический смысл имеет коэффициент теплопроводности?
3. Опишите порядок проведения работы и обработки результатов.
4. Для чего при измерении необходимо непрерывно перемешивать жидкость в сосуде калориметра?
Приложение
Температура кипения воды в зависимости от атмосферного давления
Давление пара, ТемпеДавление
ТемпеДавление пара, Темпемм.рт.ст.
ратура,°С пара, мм.рт.ст. ратура,°С
мм.рт.ст.
ратура,°С
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
54
98,91
98,95
98,99
99,03
99,07
99,10
99,14
99,18
99,22
99,26
99,29
99,33
99,37
99,41
99,44
99,49
99,52
99,56
99,59
99,63
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
99,67
99,70
99,74
99,78
99,82
99,85
99,89
99,93
99,96
100,00
100,04
100,07
100,11
100,15
100,18
100,22
100,26
100,29
100,33
100,37
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
100,40
100,44
100,48
100,51
100,55
100,58
100,62
100,66
100,69
100,73
100,76
100,80
100,84
100,87
100,91
100,94
100,98
101,02
101,05
101,09
Лабораторная работа №3
ИЗУЧЕНИЕ КАЛОРИМЕТРА
Цели работы: 1. Изучение калориметра.
2. Определение времени релаксации.
3. Измерение коэффициента теплопроводности стали.
Теоретические сведения
Для точного измерения поглощенной теплоты, а также исключения неконтролируемых тепловых потоков, образец помещается в
калориметр. Однако, в любом реальном калориметре всегда имеются утечки тепла во внешнюю среду. Поэтому, энергия, поглощенная образцом, частично идет на его нагревание и частично рассеивается во внешнюю среду. Уравнение теплового баланса поглощающего образца в калориметре записывается следующим образом:
Wdt = CdT + dQ. (1)
где W – поглощаемая мощность, С – теплоемкость образца с оправкой, dt – промежуток времени, dT – нагрев образца за этот промежуток времени, dQ – утечка тепла за этот промежуток времени.
В этом уравнении слева стоит поглощенная за время dt энергия, первое слагаемое в правой части есть теплота, которая пошла
на нагревание образца, второе слагаемое – потери тепла за счет теплопроводности деталей крепежа и излучения нагретого образца.
В используемом калориметре оправка с образцом закрепляется на
металлической мембране в форме кольца с внутренним радиусом
r1 и внешним радиусом r2. На внутренней части мембраны поддерживается температура нагретого образца Т, на наружной – температура окружающей среды Т0. Утечка тепла через такую мембрану
за счет теплопроводности на один-два порядка превышает потери
на излучение. Поэтому, величину dQ в уравнении (1) можно найти,
решив уравнение теплопроводности для тонкой круглой пластины:
dQ =
2πhλdT
.
ln (r2 r1 )× (T - T0 )
(2)
Здесь h – толщина пластины, λ – коэффициент теплопроводности материала этой пластины, остальные обозначения уже введены.
55
Формулы (2) и (3) получены в случае равномерного прогрева образца, когда все его точки имеют одинаковую температуру, а величина dT относится ко всему образцу в целом. Решением уравнения
(1) с учетом (2) будет функция
2πhλt ö
æ
÷
W × ln (r2 r1 ) çç
×
ln
c
(r2 r1 ) ÷÷÷.
T - T0 =
ççç1 - e
÷÷
2πhλ
çç
÷÷
è
ø
Введем обозначение время релаксации τ =
шем:
T - T0 =
W × τ æç
çç1 - e
c è
t
c × ln (r2 r1 )
2πhλ
ö
÷ø
τ ÷÷. и перепи-
(3)
Выражение (3) получено без учета теплопроводности самого образца, т.е. в нем не учтено время, за которое тепло доходит от центра образца до оправки. Реальная зависимость T(t) заметно отличается от
выражения (3) лишь при малом времени наблюдения. Для образцов
небольшого размера (диаметром до 30 мм) при t>τ зависимость (3) становится достаточно точной. В используемом калориметре τ ¸ 100c.
Нагрев образца измеряется с помощью мостиковой схемы,
рис. 1. Одно плечо этой схемы собрано на терморезисторах, закре-
Рис. 1. Измерительная схема в калориметре
56
пленных на нагреваемой оправе и на “холодном” корпусе. В другое
плечо включен регулировочный резистор для балансировки моста.
Напряжение с источника подается на точки a и b. Если температура на элементах 1 и 2 одинакова, то и сопротивления резисторов
R1 и R2 будут одинаковыми. Если контакт d на переменном резисторе установить точно в среднее положение, то напряжение между
точками c и d будет равно нулю. На самом деле, конечно же, R1 и R2
будут равны лишь приблизительно, и нулевой сигнал между точками c и d устанавливается резистором регулировкой R3. Таким образом, при равенстве температур в точках 1 и 2 измерительная схема
выдает нулевой сигнал
Если образец 3 нагреть, то вместе с ним нагреется оправка 2 и терморезистор R2. Сопротивления терморезисторов R1 и R2 сильно зависят от температуры, поэтому, нагрев R2 приведет к разбалансировке
схемы; между точками c и d возникнет напряжение U, однозначно
связанное с разностью температур оправки и окружающей среды T –
T0 = U/æ. Формулу (3) можно переписать в компактном виде:
(
)
-t τ
U = Um × 1 - e ( ) , (4)
Um = W × γ, (5)
где γ = τ·æ/С – чувствительность установки. Получается, что для измерения поглощаемой неизвестной мощности W достаточно измерить сигнал, соответствующий максимальному разогреву образца.
Для этого нужно знать чувствительность установки γ. Ее можно най0
ти, проведя измерение Um
для образца с известным поглощением.
В качестве образца, имеющего известное поглощение, берется
имитатор, т.е. тело, геометрически тождественное образцу, внутри
которого помещен небольшой резистор. Нагрев имитатора производится пропусканием через этот резистор электрического тока I. Выделяющаяся в резисторе тепловая мощность W0 находится по формуле:
W0 = I 2 × R = I × U. (6)
Таким образом, процесс измерения поглощаемой мощности W
разбивается на два этапа: измерение чувствительности γ установки
и непосредственное измерение поглощения.
Порядок действий при обоих измерениях одинаковый, снимают0
ся одни и те же показания. Сначала измеряется сигнал Um
для известной мощности W0. По формуле (5) находим чувствительность γ.
После этого измеряется сигнал Um, для неизвестной мощности W.
57
U
W= m γ
(7)
Фактически, результат находится сравнением двух сигналов с
измерительной схемы:
U
W= m
× W0 .
(8)
0
Um
Если измерить не только максимальный сигнал Um , но и несколько промежуточных данных U (t), то по найденному времени
релаксации τ можно определить коэффициент теплопроводности
λ:
λ=
c × ln (r2 r1 )
2πh × τ
.
(9)
Лабораторная установка
Лабораторная установка включает в себя:
– калориметр с образцом, поглощающим лазерное излучение,
– источник питания измерительной схемы – батарея 2 В,
– источник напряжения, подаваемого на имитатор 2 В,
– вольтметр, измеряющий выходной сигнал.
Кроме названных приборов студент пользуется любым собственным секундомером. На рис. 2 показано устройство калориметра.
Порядок выполнения работы
Подать напряжение 2 В питания измерительной схемы.
Измерить вольтметром напряжение на выходе измерительной
схемы, подождать, пока сигнал U0 не стабилизируется (7 –10 мин.),
записать в табл. получившееся значение и время, когда оно было
измерено.
Подать на имитатор напряжение V = 2 В.
Через 7–10 мин, когда выходной сигнал перестанет меняться,
записать в протокол получившееся значение U1 и время, когда оно
было измерено.
Выключить напряжение V на имитаторе, и измерять сигнал U(t)
через каждые 60 с, результат заносить в протокол.
58
Рис. 2. Устройство калориметра
Через 7 – 8 мин., когда сигнал перестанет меняться, измерить
U02 и внести в протокол, измерения прекратить.
В таблице приведен примерный вид результатов измерений и
вычислений. Три первые столбца заполняются во время измерений, три последние – при написании отчета.
59
Таблица
Результаты измерений и вычислений
Время
t, мин
12.33
…
12.42
–
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
10
12.49
…
12.52
Определение времени релаксации
U(t), мВ
U0(t), мВ
ΔU(t), мВ
3,63
…
4,38
4,12
3,96
3,79
3,71
3,66
3,64
3,63
…
3,61
3,63
…
3,63
3,63
3,63
3,63
3,62
3,62
3,62
3,62
…
3,61
0
…
0,75
0,49
0,33
0,16
0,09
0,04
0,02
0,01
…
0
ℓnΔU(t)
–
…
–0,3
–0,7
–1,1
–1,8
–2,4
–3,2
–3,9
–4,6
…
–
По текущему времени интерполированием найти U0(t) – каким был
бы сигнал U0 в момент t, если бы тепло в калориметр не подавалось.
Вычислить ΔU(t) = U(t) –U0(t) и ℓnΔU(t).
Построить график в координатах ℓnΔU от t, и найти время релаксации τ.
Время релаксации – это такое время, за которое функция ΔU(t)
убывает в е раз, а функция ℓnΔU(t) уменьшается на 1.
График, построенный по данным таблицы, приведен на рис. 3.
Рис. 3. Определение времени релаксации
60
График ℓnΔU(t) обычно получается нелинейным при малых t.
Начальный нелинейный участок графика связан с передачей тепла
от центра имитатора (образца) к его краю. Этот процесс занимает
некоторое время. На графике нужно найти прямолинейный участок и обрабатывать только его. Время измерений должно быть не
меньше 6 минут, иначе линейный участок не обнаружится.
Из приведенного демонстрационного графика находим τ = 92 ±
2 с.
Используя параметры, указанные на установке – С, r1, r2, h, по
формуле (9) найти коэффициент теплопроводности λ для стали, из
которой сделана пластина 8 на рис. 2. Не забудьте оценить систематическую погрешность qλ *и*сравнить результат с табличным значением λ = 31 Âò/(ì·Ê).
61
Лабораторная работа №4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ ЛАЗЕРА
Цели работы: 1. Калибровка калориметра, 2. Измерение мощности лазера.
Теоретические сведения
Для точного измерения поглощенной теплоты, а также исключения неконтролируемых тепловых потоков, образец помещается в
калориметр. Однако, в любом реальном калориметре всегда имеются утечки тепла во внешнюю среду. Поэтому, энергия, поглощенная образцом, частично идет на его нагревание и частично рассеивается во внешнюю среду. Уравнение теплового баланса поглощающего образца в калориметре записывается следующим образом:
Wdt = CdT + dQ. (1)
где W – поглощаемая мощность, С – теплоемкость образца с оправкой, dt – промежуток времени, dT – нагрев образца за этот промежуток времени, dQ – утечка тепла за этот промежуток времени.
В этом уравнении слева стоит поглощенная за время dt энергия, первое слагаемое в правой части есть теплота, которая пошла
на нагревание образца, второе слагаемое – потери тепла за счет теплопроводности деталей крепежа и излучения нагретого образца.
В используемом калориметре оправка с образцом закрепляется на
металлической мембране в форме кольца с внутренним радиусом
r1 и внешним радиусом r2. На внутренней части мембраны поддерживается температура нагретого образца Т, на наружной – температура окружающей среды Т0. Утечка тепла через такую мембрану
за счет теплопроводности на один-два порядка превышает потери
на излучение. Поэтому, величину dQ в уравнении (1) можно найти,
решив уравнение теплопроводности для тонкой круглой пластины:
2πhλdT
.
dQ =
(2)
ln (r2 r1 )× (T - T0 )
Здесь h – толщина пластины, λ – коэффициент теплопроводности материала этой пластины, остальные обозначения уже введены.
Формулы (2) и (3) получены в случае равномерного прогрева образца, когда все его точки имеют одинаковую температуру, а вели62
чина dT относится ко всему образцу в целом. Решением уравнения
(1) с учетом (2) будет функция
2πhλt ö
æ
÷
W × ln (r2 r1 ) çç
×
ln
c
(r2 r1 ) ÷÷÷
T - T0 =
ççç1 - e
÷÷.
2πhλ
çç
÷÷
è
ø
c × ln (r2 r1 )
Введем обозначение время релаксации τ =
и перепи2πhλ
шем:
T - T0 =
W × τ æç
ç1 - e
c èç
t
ö
÷ø
τ ÷÷. (3)
Выражение (3) получено без учета теплопроводности самого образца, т.е. в нем не учтено время, за которое тепло доходит от центра образца до оправки. Реальная зависимость T(t) заметно отличается от выражения (3) лишь при малом времени наблюдения. Для
образцов небольшого размера (диаметром до 30 мм) при t>τ зависимость (3) становится достаточно точной. В используемом калориметре τ ¸ 100c.
Нагрев образца измеряется с помощью мостиковой схемы,
рис. 1. Одно плечо этой схемы собрано на терморезисторах, закре-
Рис. 1. Измерительная схема в калориметре
63
пленных на нагреваемой оправе и на “холодном” корпусе. В другое
плечо включен регулировочный резистор для балансировки моста.
Напряжение с источника подается на точки a и b. Если температура на элементах 1 и 2 одинакова, то и сопротивления резисторов
R1 и R2 будут одинаковыми. Если контакт d на переменном резисторе установить точно в среднее положение, то напряжение между
точками c и d будет равно нулю. На самом деле, конечно же, R1 и R2
будут равны лишь приблизительно, и нулевой сигнал между точками c и d устанавливается резистором регулировкой R3. Таким образом, при равенстве температур в точках 1 и 2 измерительная схема
выдает нулевой сигнал
Если образец 3 нагреть, то вместе с ним нагреется оправка 2 и
терморезистор R2. Сопротивления терморезисторов R1 и R2 сильно зависят от температуры, поэтому, нагрев R2 приведет к разбалансировке схемы; между точками c и d возникнет напряжение U,
однозначно связанное с разностью температур оправки и окружающей среды T – T0 = U/æ. Формулу (3) можно переписать в компактном виде:
(
)
-t τ
U = Um × 1 - e ( ) , (4)
Um = W × γ, (5)
где γ = τ·æ/С – чувствительность установки. Получается, что для
измерения поглощаемой неизвестной мощности W достаточно измерить сигнал, соответствующий максимальному разогреву образца. Для этого нужно знать чувствительность установки γ. Ее можно
0
найти, проведя измерение Um
для образца с известным поглощением.
В качестве образца, имеющего известное поглощение, берется
имитатор, т.е. тело, геометрически тождественное образцу, внутри
которого помещен небольшой резистор. Нагрев имитатора производится пропусканием через этот резистор электрического тока I.
Выделяющаяся в резисторе тепловая мощность W0 находится по
формуле:
W0 = I 2 × R = I × U. (6)
Таким образом, процесс измерения поглощаемой мощности W
разбивается на два этапа: измерение чувствительности γ установки
и непосредственное измерение поглощения.
64
Порядок действий при обоих измерениях одинаковый, снимают0
ся одни и те же показания. Сначала измеряется сигнал Um
для известной мощности W0. По формуле (5) находим чувствительность γ.
После этого измеряется сигнал Um, для неизвестной мощности W.
U
W= m γ
(7)
Фактически, результат находится сравнением двух сигналов с
измерительной схемы:
W=
Um
o
Um
× W0 . (8)
Если измерить не только максимальный сигнал Um , но и несколько промежуточных данных U (t), то по найденному времени релаксации τ можно определить коэффициент теплопроводности λ :
λ=
c × ln (r2 r1 )
2πh × τ
.
(9)
Лабораторная установка
Лабораторная установка включает в себя:
– калориметр с образцом, поглощающим лазерное излучение,
– источник питания измерительной схемы – батарея 2 В,
– источник напряжения, подаваемого на имитатор 2 В,
– вольтметр, измеряющий выходной сигнал.
Кроме названных приборов студент пользуется любым собственным секундомером. На рис. 2 показано устройство калориметра.
Порядок выполнения работы
Задание 1. Калибровка (определение чувствительности установки).
Подать напряжение 2 В питания измерительной схемы.
Измерить вольтметром напряжение на выходе измерительной
схемы, подождать, пока сигнал U0 не стабилизируется (7–10 мин.),
записать в протокол получившееся значение и время, когда оно
было измерено.
65
Рис. 2. Устройство калориметра
Подать на имитатор напряжение V = 2 В и, зная R – сопротивление резистора в имитаторе, рассчитать мощность, которая на нем
выделяется
66
W0 =
V2
.
R
(10)
Через 7–10 мин, когда выходной сигнал перестанет меняться,
записать в протокол получившееся значение U1 и время, когда оно
было измерено.
Выключить напряжение V на имитаторе, и дождаться времени
(7–8 мин.), когда сигнал U(t) перестанет меняться.
Измерить U02 и внести в протокол.
В табл. 1 показано, как должны быть оформлены результаты измерений для первой части работы.
Таблица 1
Результаты измерений и вычислений для Калибровки калориметра
Выходной сигнал, мВ
Калибровка калориметра
ΔU, мВ
текущее время, час., мин.
U0 = 3,63
U1 = 4,37
U02 = 3,61
0
0.75
0
12.33
12.42
12.49
Интерполированием по времени найти U01 – каким был бы сигнал U0 в момент измерения U1, если бы тепло в калориметр не подавалось. Вычислить ΔU = U1– U01.
Найти чувствительность установки γ:
γ=
ΔU
W0
=
U1 - U01
W0
.
(11)
V2
22
=
= 0,016 Âò – мощность на
Примеры вычислений: W0 =
R
249
имитаторе.
Значение U01 находим интерполированием: фоновый сигнал за
16 мин. – время измерений от 12.33 до 12.49 изменился от
U0 = 3,63 мВ до U02 = 3,61 мВ. Следует полагать, что в момент измерения сигнала U1 в 12.42, т.е. через 9 мин. после начала измерения
фоновый сигнал был U01 = 3,62 мВ.
γ=
U1 - U01
W0
=
4,37 - 3,62
= 47 ìÂ/Âò
0,016
Не забудьте вычислить погрешности величин W0 и γ.1
Задание 2. Определение мощности лазера.
Еще раз проверить напряжение U02 и отметить текущее время.
1 Систематическая погрешность величин ΔU и U(t) –U0(t) равна единице
младшего разряда, измеряемого вольтметром.
67
Включить лазер. Подать лазерное излучение в калориметр.
Подождать не менее 7 мин., измерить сигнал U3, выключить лазер.
Подождать не менее 7 мин. и измерить сигнал U04,
Если значения U02 и U04 сильно различаются, результат следует
считать сомнительным, а измерения (пункты [10–12]) повторять,
пока сигналы U0,k и U0,k+2 не станут близки друг к другу.
Таким образом, если не придется повторять п.п.[10–12], то в
табл. 2 будет 3 строки, а если придется – то 5, 7, 9 и т.д.
В табл. 2 показано, как должны быть оформлены результаты измерений для второй части работы.
Таблица 2
Результаты измерений и вычислений мощности лазера
Измерение мощности лазера
Выходной сигнал, мВ
ΔU, мВ
текущее время, час., мин.
U02 = 3,61
U3 = 3,64
U04 = 3,54
U5 = 3,62
U06 = 3,52
0
0,07
0
0.09
0
12.52
13.02
13.09
13.16
13.23
Значения U02 и U04 сильно различаются, поэтому проведены повторные измерения – U5 и U06. Обработку проводим для всех данных от U02 до U06. Нанесем все имеющиеся данные на график U(t).
На рис. 4 показан примерный вид графика, построенного по данным табл. 2. Аналогичный график на миллиметровой бумаге должен быть в отчете.
Рис. 3. Определение величин ΔU3 и ΔU5
68
По графику находим: U03 = 3,57 мВ, → ΔU3 = 0,07 мВ;
U05 = 3,53 мВ, → ΔU5 = 0,09 мВ.
Результат ΔU03 получен при быстро меняющемся фоне, поэтому
считаем его сомнительными будем использовать только для оценки
погрешности.
По (7) находим:
W3 =
ΔU3
γ
=
ΔU5
0,07
0,09
= 0,0015 Âò, W5 =
=
= 0,0019 Âò.
47
47
γ
Таким образом, получаем: мощность лазера W = 1,9 мВт,
Случайная погрешность мощности лазера SW = 0,4 мВт.
Не забудьте вычислить систематическую погрешность мощности лазера.1
69
Лабораторная работа №5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ
ЖИДКОСТЕЙ
Цель работы: определение коэффициентов вязкости касторового масла и глицерина.
Теоретические сведения
На шарик, движущийся в вязкой жидкости, действуют три силы:
сила тяжести mg, сила Архимеда FА и сила сопротивления среды FС;
®
®
®
®
m g + FA + FC = m a . (1)
Сила Архимеда выражается через объем тела V, плотность жидкости rж и ускорение свободного падения g:
FA = ρñ gV . (2)
Сила сопротивления среды, действующая на тело при малых
скоростях движения u, по закону Стокса равна:
FC = –c × υ, (3)
где с – коэффициент сопротивления среды, который для тела сферической формы связан с его радиусом R и коэффициентом вязкости h:
c = 6πR × η Рис. 1. Силы, действующие
на шарик в жидкости
70
(4)
Массу тела можно выразить через его объем V и плотность r:
m = ρ V. (5)
Будем считать, что шарик движется в жидкости вертикально
вниз. Перепишем уравнение (1) в скалярной форме, учитывая направление сил, и преобразуем его:
dυ
mg - FA - FC = ma; Þ mg - FA - c × υ = m × ; Þ
dt
dυ
dt
= ;Þ
mg - FA - c × υ m
t
=
m
υ(t)
ò
υ0
t
ò
0
υ(t)
dt
dυ
=
;Þ
m ò mg - FA - c × υ
υ0
dυ
.
mg - FA - c × υ
(6)
Найдем первообразную и подставим ее значения на пределах:
υ(t)
t
1
= - ln(mg - FA - c × υ)
;Þ
m
c
υ0
-
ct
= ln (mg - FA - cυ(t) ) - ln(mg - FA - cυ0 ); Þ
m
ct
æ mg - FA - c × υ(t) ö÷
mg - FA - c × υ(t)
ct
÷÷ ; Þ e m =
= ln ççç
;Þ
çè mg - FA - c × υ0 ÷ø
m
mg - FA - c × υ0
-
υ(t) = υ0 × e
Введем обозначения:
ct
m
ct ö
æ
- ÷÷
(mg - FA ) çç
m
+
× çç1 - e
÷÷÷. c
çèç
÷ø
(7)
t = m/c,
(8)
υ* =
(mg - FA )
,
c
и перепишем выражение (7) в виде:
-
υ(t) = υ0 × e
t
τ
tö
æ
- ÷÷
çç
+ υ * ×çç1 - e τ ÷÷. ÷÷
ççè
ø
(9)
(10)
На рис. 2 показана зависимость (10) скорости шарика от времени при различных значениях начальной скорости.
71
υ
υ*
τ
t
Рис. 2. Скорость падения шарика в вязкой среде
Как видно из рисунка, движение шарика в вязкой жидкости по
истечении времени t становится практически равномерным. Величина u* имеет смысл скорости установившегося движения тела.
Подставим выражения (2), (4), (5) в (8) и (9), а также учтем, что объем шара V = 4/3⋅πR3:
2 R 2ρ
(11)
τ= ×
,
9 η
υ* =
2(ρ - ρñ )R 2 g
.
9× η
(12)
Сравнивая эти две формулы, замечаем, что время установления t
связано со скоростью установившегося движения u* соотношением
τ=
ρ
υ*
×
.
ρ - ρñ g
(13)
Установившуюся скорость падения шарика в жидкости можно измерить экспериментально по времени падения t и пройденному пути
S. Зная ее величину легко определить коэффициент вязкости среды
η=
2(ρ - ρñ )R 2 g
× t. 9× S
(14)
Лабораторная установка
Схема лабораторной установки приведена на рис. 3. Здесь 1 –
стеклянный цилиндр, заполненный касторовым маслом или глицерином 2. За цилиндром помещена линейка 3, при помощи кото72
рой измеряется расстояние, пройденное
4
шаром 4. Шар 4 опускается в цилиндр через отверстие в пробке 5.
1
5
Диаметр шара измеряется штангенциркулем или специальным микроскопом. Время движения шара измеряется 2
при помощи наручных часов, имеющих
секундную стрелку.
Справочные данные:
3
плотность свинца – 11,3 г/см3,
плотность стали – 7,8 г/см3,
плотность касторового масла – 0,97 г/см3, 4
плотность глицерина – 1,26 г/см3.
Измерения высоты, на которой находится шарик, нужно проводить одним
глазом, располагая его на одном уровне с Рис. 3. Схема установки
шариком. Таким способом можно уменьшить ошибку измерения, связанную с так называемым параллаксом, происхождение которой понятно из рис. 4.
Порядок выполнения работы
До начала измерений нужно получить у преподавателя 6–10 шариков, измерить их диаметры и выяснить из какого металла они
сделаны, из свинца или стали. Измеренные шарики следует положить таким образом, чтобы в дальнейшем их не потерять и не перепутать.
h2
глаз
1
ошибка
шарик
h1
2
1 – правильно
2 – неправильно
линейка
сосуд
Рис. 4. Измерение положения шарика
73
Задание. Определение коэффициента вязкости.
Измерить время падения и пройденный шариком путь. Измеряемый путь шарика должен начинаться ниже отметки S0, найденной в прошлом задании.
По формуле (14) определить коэффициент вязкости.
Измерения и вычисления повторить для всех шариков.
В случае, если измерение пути в пробном измерении задания 1
начиналось ниже получившейся величины S0, то это измерение
можно учитывать наравне с остальными.
Найти среднее значение коэффициента вязкости, оценить его
систематическую, случайную и полную погрешности.
Систематические погрешности измерений принять равными:
пройденного шариком пути θS = 0,5 см,
времени падения шарика θt = 1 с,
диаметра шарика θD – половина цены деления прибора.
Сравнить среднее значение с табличными
h = 0,987 Па·с – касторовое масло при комнатной температуре,
h = 1,48 Па·с – глицерин при температуре +20°С,
h = 0,6 Па·с – глицерин при температуре +30°С.
Контрольные вопросы
1. Какие силы действуют на тело в вязкой среде?
2. Почему в вязкой среде по истечении некоторого времени тело
движется равномерно?
3. Какой смысл имеют величины υ0, u* и t?
4. Получите выражение для начальной скорости υ0.
74
Лабораторная работа №6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА
Цель работы: определение коэффициента вязкости воздуха капиллярным методом.
Теоретические сведения
Воздуху, как и всем реальным газам, присуща вязкость, или
внутреннее трение, которое проявляется в том, что возникшее
движение среды после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно останавливается. Течение газа или жидкости может быть ламинарным (слоистым) или турбулентным (вихревым).
При ламинарном течении слои газа или жидкости скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, а при турбулентном – в среде
образуются вихри. Обычно ламинарное движение наблюдается при
малых скоростях, а турбулентное – при больших. Сила вязкого трения в случае турбулентного движения существенно больше, чем в
случае ламинарного.
Рассмотрим ламинарное движение газа в круглой трубе. Скорость газа максимальна на оси трубы и равна нулю у ее стенок.
При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорости
газа во всех точках остаются неизменными. Следовательно, сумма
внешних сил, приложенных к любому объему газа, равна нулю.
Выделим воображаемый цилиндрический объем газа радиусом
r и длиной l. На основания этого объема действуют силы давления,
сумма которых равна
F = ( P1 - P2 )× πr 2 . (1)
Эта сила действует в направлении движении жидкости. Здесь Р1
и Р2 давления на левом и правом торцах цилиндра. На боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна 2πr⋅l, действует сила
трения
dQ = C·dT. (2)
где h-коэффициент вязкости (внутреннего трения), зависящий от
dυ
природы и состояния газа, u-скорость газа, производная
беретdr
ся на расстоянии r от оси выделенного цилиндра.
75
Скорость течения газа будет неизменной, если сумма всех сил,
приложенных к этому цилиндру, будет равна нулю, т.е. две названные силы равны друг другу:
dU = CV ·dT.
(P – P2 )
dυ = – 1
·rdr . 2ηl
(3)
Проинтегрируем это выражение с учетом граничного условия:
u = 0 при r = R (скорость газа на поверхности трубы равна нулю).
υ(r )
ò
0
r
dυ = –
(P1 – P2 )
(P – P )
· rdr ;Þ υ = 1 2 · R 2 - r 2 ;Þ
2ηl ò
4ηl
(
)
R
υ=
(P1 – P2 ) 2 æç
r 2 ö÷
·R çç1 - 2 ÷÷÷. 4ηl
çè
R ø÷
(4)
Скорость течения газа на оси трубы оказалась равной
υ0 =
(P1 – P2 ) 2
·R . 4ηl
(5)
С учетом этого перепишем уравнение (4)
æ
r 2 ö÷
υ = υ0 × ççç1 - 2 ÷÷÷. çè
R ø÷
(6)
Таким образом, скорость газа уменьшается при удалении от оси
трубы по квадратичному закону.
Вычислим поток газа Q, т.е. объем газа, протекающий через поперечное сечение трубы за единицу времени. Для этого разобьем
поперечное сечение трубы на кольца шириной dr. Площадь этого кольца dS равна длине окружности, умноженной на ширину:
dS = 2πr⋅dr. Поток dQ через эту площадь равен произведению скорости газа на dS:
æ
r 2 ö÷÷
dQ = υ0 × ççç1 ÷× 2πr × dr . çè
R 2 ø÷÷
(7)
Поток Q через полное сечение трубы найдем интегрированием
этого выражения в пределах от 0 до R.
76
R
R
R 3
æ
r 2 ö÷÷
r dr πR 2
ç
ç
×
×
=
×
×
×
=
Q = ò υ0 × ç1 π
r
dr
πυ
r
dr
πυ
υ0 .
2
2
2
÷
0
0
ò
ò
çè
2
R 2 ø÷÷
R2
0
0
0
С учетом (5) перепишем получившееся выражение и получим:
Q=
(P1 – P2 )
·πR 4 . 8 ηl
(8)
Получилась формула Пуазейля. Она справедливо как газа, так
и для жидкости. С ее помощью можно рассчитать объем жидкости,
поступающий через эту трубу в единицу времени, по размерам трубы и перепаду давления на ее концах. Для газа ее можно использовать для определения коэффициента вязкости. Пропуская газ
через капилляр радиуса R и длиной l, измеряют перепад давления
∆P и расход газа Q. По измеренным данным можно найти коэффициент вязкости газа:
η=
πR 4 Δ P
.
8Ql
(9)
Лабораторная установка
Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 1.
Приборный блок 1 состоит из двух модулей: модуль питания
“СЕТЬ” с тумблером включения и лампой индикации и модуль
“ВОЗДУХ” с тумблером включения микрокомпрессора, лампой ин3
4
5
2
1
воздух вкл
сеть
Рис. 1. Внешний вид лабораторной установки
77
дикации и регулятором расхода воздуха. Блок рабочего элемента 2
включает в себя металлический капилляр 3, закрепленный между
отборными камерами. Через капилляр прокачивается воздух от
микрокомпрессора. Перепад давления в капилляре измеряется манометром 4, который подсоединен к отборным камерам. Расход воздуха измеряется реометром 5. Расход воздуха лучше регулировать
так, чтобы показания реометра были в центральной части шкалы.
Размеры капилляра:
длина l = 10 см,
диаметр 2R = 0,928 мм.
Порядок выполнения работы
Определение перепада давления ∆P проводится водяным манометром. Его показания отградуированы непосредственно в Паскалях. Расход воздуха Q измеряется реометром. Единица измерения,
отложенная на его шкале составляет 10–5 м3/с.
Измерение перепада давления ∆P, также как и расхода воздуха
Q, нужно проводить одним глазом, обязательно поместив его на одном уровне с верхней кромкой водяного столба. Если глаз окажется выше или ниже этого уровня, то возникнет ошибка, связанная с
так называемым параллаксом.
Происхождение этой ошибки показано на рис. 2. В связи с невозможностью полностью исключить параллакс при измерениях,
систематическую погрешность перепада давления ∆P нужно взять
равной тройной цене деления прибора, а систематическую погрешность расхода воздуха Q на данной конкретной установке – 0,4
цены деления.
q( p) = 30 Ïà, θQ = 10–6 м3/с, θR = 2 мкм, θl = 1 мм.
Δ
h2
глаз
1
2
ошибка
h1
1 – правильно
2 – неправильно
вода
шкала
Рис. 2. Внешний вид лабораторной установки
78
Задание. Определение коэффициента вязкости воздуха.
Нужно провести измерения перепада давления ∆P для 10 различных значений расхода воздуха Q. При измерениях расхода воздуха
нужно учесть возможное смещение нуля реометра и манометра.
В каждом случае вычислить значение коэффициента вязкости.
Найти среднее значение h оценить его случайную погрешность.
Для одного из значений коэффициента вязкости вычислить систематическую погрешность θh.
Записать окончательный результат и его полную погрешность,
приняв ее равной систематической. Сравнить получившееся значение коэффициента вязкости с табличным h = 17,2 мкПа·с.
Контрольные вопросы
1. Какое движение газа называется ламинарным?
2. Что называется коэффициентом вязкости?
3. Какие силы действуют на мысленно выделенный фрагмент
газа, текущего в круглой трубе?
4. От чего зависит скорость течения газа?
5. Что называется потоком газа? Как его найти?
6. Как записывается формула Пуазейля?
7. Как можно исключить параллакс при измерениях манометром и реометром?
79
Лабораторная работа №7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ ДЛЯ ВОЗДУХА
Цель работы: определение показателя адиабаты
Cp
Cν
для воздуха.
Теоретические сведения
Элементарная механическая работа, совершаемая газом в термодинамическом процессе, может быть вычислена по формуле
dA = P·dV , (1)
в которой Р – давление газа, а dV – изменение его объема. Полученная газом элементарная теплота d Q зависит от приращения температуры dT, и от теплоемкости С газа в этом процессе:
dQ = C·dT. (2)
Существенно, что величины d А и d Q являются функциями не
состояния, а термодинамического процесса.
Приращение внутренней энергии dU идеального газа является
функцией состояния, т.е. зависит лишь от начального и конечного
состояний газа, т.е. от приращения температуры dT:
dU = CV ·dT. (3)
В этой формуле СV – теплоемкость идеального газа при постоянном объеме. Она зависит от количества вещества v и от числа степеней свободы i молекул газа:
i
CV = νR. (4)
2
Здесь R = 8,314 Дж/Моль·К – универсальная газовая постоянная.
Первый закон термодинамики, который фактически является
законом сохранения энергии для термодинамических систем, записывается в виде
(5)
dQ = dU + dA. Процесс изменения состояния идеального газа при котором его
давление остается постоянным, называется изобарическим, элементарная работа газа в этом процессе равна dA = P·dV = νRdT.
Теплоту, полученную газом в этом процессе, найдем, принимая
во внимание формулы (5), (3) и (4)
80
i
i +2
dQ = dU + dA = νRdT + νRdT =
·νRdT.
2
2
Сравнивая получившееся выражение с (2), найдем теплоемкость
идеального газа при постоянном давлении C p
æ i + 2 ö÷
C p = çç
× νR . çè 2 ø÷÷
(6)
Отношение теплоемкости идеального газа при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном давлении будет равно
γ=
Cp
Cν
=
i +2
i
(7)
Процесс изменения состояния термодинамической системы без
ее теплообмена с окружающей средой называется адиабатическим.
На практике адиабатическими могут считаться процессы, протекающие настолько быстро, что теплообмен с окружающей средой не
успевает произойти. Как это следует из определения, в адиабатическом процессе dQ = 0, следовательно, dU + dA = 0. Сказанное означает, что работа совершается лишь за счет изменения внутренней
энергии газа:
dA = -dU. (8)
Подставим выражения (1), (3) и (4) в только что полученную
формулу (15.6) и получим:
i
-P × dV = νR × dT. 2
(9)
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева, которое является
уравнением состояния идеального газа:
PV = νRT. (10)
Продифференцируем его, домножим на i 2 и получим:
i
i
i
×V d P + × PdV = × νR × dT. 2
2
2
(11)
Поскольку у выражений (9) и (11) равны правые части, должны
быть равны и левые. Приравниваем их и получаем:
æ i + 2 ö÷
i
dP çæ i + 2 ö÷ dV
× VdP = -çç
+ç
= 0.
÷÷× PdV ; Þ
÷×
ç
è
ø
2
2
P èç i ø÷ V
81
Учтем формулу (15.7) и продолжим выкладки
(
)
d (ln P ) + γ × d (lnV ) = 0; Þ d ln P + lnV γ = 0 ; Þ
(
)
(
)
d ln PV γ = 0 ; Þ ln PV γ = const; Þ
P × V γ = const. (12)
Получилось уравнение Пуассона, связывающее давление и объем газа в адиабатическом процессе. Теперь выведем уравнение адиабаты, связывающее давление и температуру газа, для чего возведем
уравнение Клапейрона-Менделеева в степень g и поделим на (15.12)
æ PV ö÷γ
PV
Pγ V γ
= const; Þ çç
= const; Þ γ
= const; Þ
÷
÷
çè T ø
T
T PV γ
P1-γ × Ò γ = const. (13)
Постановка эксперимента
Величину g можно определить экспериментально на установке,
блок – схема которой показана на рис. 1.
Если в стеклянный сосуд 1 быстро, в течение времени ∆t1, накачать воздух насосом 2, то в этом процессе над ним будет совершена
работа А′, вследствие чего температура газа Т увеличится по сравнению с комнатной Т0. Давление воздуха в сосуде Р1 тоже станет
больше атмосферного Р0. На рис. 2 приведена зависимость избы5
4
2
3
1
Рис. 1. Блок схема экспериментальной установки
82
∆P
1
1
2
4
3
0
∆ t1
τ
τ
t
∆ t2
Рис. 2. Зависимость избыточного давления от времени
точного давления (DP = P – P0) воздуха в сосуде от времени в описываемых процессах.
После прекращения накачки вследствие теплообмена с окружающей средой температура и давление воздуха в сосуде начнут
уменьшаться. Через некоторое время t, которое называется временем релаксации, температура станет равной температуре окружающей среды Т0, избыточное давление при этом уменьшится не до
нуля, а до некоторого нового значения DР2.
Если теперь быстро открыть кран 5, и таким образом за очень
короткое время Dt2 уменьшить избыточное давление до нуля, то
одновременно уменьшится и температура газа до значения Т3. Этот
процесс является адиабатическим, поэтому температура и давление в его начале и конце связаны уравнением (13):
P21-γ × Ò0γ = P01-γ × Ò3γ . (14)
После закрытия крана 5 происходит медленное изохорическое
нагревание воздуха в сосуде 1. За время t его температура сравняется с температурой окружающей среды Т0. Вследствие этого нагрева
давление газа возрастает и принимает значение Р4. Это значение
будет меньше, чем Р2, поскольку в сосуде уменьшилось количество
воздуха. Для процесса изохорического нагревания воздуха (3 → 4)
запишем:
P0 P4
= .
(15)
T3 T0
Подставим (15) в (14) и получим:
æ P4 ö÷γ æ P0 ö÷1-γ
çç ÷ = çç ÷ . ÷
çè P0 ø÷÷
èç P2 ø÷
(16)
83
Логарифмируем получившееся выражение и, сделав алгебраические преобразования, получаем:
γ=
ln P2 - ln P0
.
ln P2 - ln P4
(17)
В формуле (17) перейдем от давлений к избыточным давлениям:
γ=
ln P2 - ln P0
=
ln P2 - ln P0 - (ln P4 - ln P0 )
æ
P ö
ln ççç1 + Δ 2 ÷÷÷
P0 ø÷
èç
=
=
P
P
æ
ö
æ
ö
ln 2 - ln 4 ln çç1 + Δ P2 ÷÷ - ln çç1 + Δ P4 ÷÷
÷÷
÷
ççè
ç
P0
P0
P0 ø
P0 ø÷
èç
ln
P2
P0
Поскольку ∆P<<P, используя соотношение ln(1+x) = x при х<<1,
имеем
γ=
Δ P2
.
P
Δ 2 - Δ P4
(18)
Лабораторная установка
Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 3. Она
состоит из сосуда 1 с воздухом, приборного блока 2 с насосом и водяного манометра 3. На лицевой панели блока управления имеются
1
3
2
Рис. 3. Внешний вид лабораторной установки
84
три кнопки: “СЕТЬ”, подключающая установку к электрической
сети, “ВКЛ.”, включающая насос, и “АТМОСФЕРА”, соединяющая сосуд 1 с атмосферой.
Порядок выполнения работы
До начала измерений необходимо сделать следующее:
Если манометр показывает какое-то избыточное давление, то его
необходимо установить на ноль. Для этого нужно включить прибор, нажать кнопку “Атмосфера” и держать ее нажатой не меньше
минуты. Эту процедуру следует повторять после каждого опыта.
Определить уровень жидкости ho в левом и правом коленах манометра, когда давление в сосуде равно атмосферному, т.е. при нажатой кнопке “Атмосфера”.
Избыточное давление DР в дальнейшем следует определять в одном из колен, например в левом, как показано на рис. 4:
(19)
DР = 2(Р–Рo).
Измерение этой величины нужно проводить одним глазом, обязательно поместив его на одном уровне с верхней кромкой водяного
столба. Если глаз окажется выше или ниже этого уровня, то возникнет ошибка, связанная с так называемым параллаксом. Происхождение этой ошибки показано на рис. 5.
Задание. Определение показателя адиабаты для воздуха.
Для выполнения этого задания нужно:
Включить насос на 10−20 с и, выключив его, через ~1 мин. измерить избыточное давление D Р.
hδ
ha
h
h –ho
ho
a
∆h
δ
h a – правильно
h δ – ошибка
Рис. 4. Показания манометра
Рис. 5. Ошибки при измерении
высоты водяного столба
85
Нажать кнопку “Атмосфера” и отпустить ее через D t@ 3-5 с, сразу же, как уровни жидкости в обоих коленах выровняются.
Через ~1 мин, измерить новое избыточное давление DР′.
Нажать на кнопку “Атмосфера” и не отпускать ее ~1 мин.
По формуле (18) вычислить показатель адиабаты для воздуха:
g = DР/(DР–DР′)
Описанную выше процедуру следует повторить не менее 5 раз
при различных начальных избыточных давлениях. Найти среднее
значение показателя адиабаты, систематическую, случайную и
полную погрешности измерений.
При вычислении систематической погрешности θg считать,
что систематическая погрешность разности уровней составляет 30 Па. При вычислении полной погрешности считать, что производится измерение неслучайной по своей природе величины.
Полученное значение g сравнить с теоретическим, найденным по
формуле (7) для газа, состоящего из жестких двухатомных молекул.
Контрольные вопросы
1. Что называется теплоемкостью газа при постоянном давлении и при постоянном объеме?
2. Чему равны эти теплоемкости для идеального газа, состоящего из жестких одно-, двух- и трехатомных молекул?
3. Какой процесс называется адиабатическим? В каком случае
реальный процесс является адиабатическим?
4. Рассчитайте показатель адиабаты для идеального газа, состоящего из жестких одно-, двух- и трехатомных молекул.
5. Получите уравнение адиабаты, связывающее объем и температуру идеального газа.
6. Какие процессы происходят с воздухом в сосуде во время опыта?
7. В чем отличие процессов 1-2 и 3-4?
8. С чем связано избыточное давление воздуха в состояниях 1,2,4?
9. Почему в состояниях 1 и 3 температура газа в сосуде отличается от температуры окружающего воздуха?
10. Почему перед началом опыта нужно обязательно выпустить воздух и в течение минуты подержать клапан “Атмосфера” открытым?
11. Можно ли начинать новый опыт не из состояния 0, а из 4?
12. Как можно исключить параллакс при измерении уровня
жидкости в манометре?
86
СОДЕРЖАНИЕ
Порядок проведения лабораторных работ..............................
Содержание и оформление отчета.........................................
Сведения из теории погрешностей........................................
Графическая обработка результатов измерений......................
Графическое дифференцирование........................................
Графическое интегрирование...............................................
Метод наименьших квадратов..............................................
Лабораторная работа № 1. Проверка законов
теплового излучения..........................................................
Лабораторная работа № 2. Определение коэффициента
теплопроводности металла..................................................
Лабораторная работа №3. Изучение калориметра...................
Лабораторная работа №4. Определение мощности лазера.........
Лабораторная работа №5. Определение коэффициента
вязкости жидкостей...........................................................
Лабораторная работа №6. Определение коэффициента
вязкости воздуха...............................................................
Лабораторная работа №7. Определение показателя
адиабаты для воздуха.........................................................
3
4
7
26
33
34
35
41
50
55
62
70
75
80
87
Учебное издание
Коваленко Иван Иванович
Котликов Евгений Николаевич
Смирнова Влада Олеговна
Фадеев Сергей Павлович
ТЕПЛОФИЗИКА
Лабораторный практикум
В авторской редакции
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 16.09.13. Подписано к печати 22.10.13.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 5,1.
Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ № 505.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
3 088 Кб
Теги
kovalenkokotlikov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа