close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Kozlov

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
В. В. Козлов, В. П. Макарычев
ДИАГНОСТИКА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
ОБОРУДОВАНИЯ НА ОСНОВЕ
ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2008
УДК 004.896
ББК 32.816
К59
Рецензенты:
профессор физико-технического факультета Санкт-Петербургского
государственного политехнического университета,
доктор физико-математических наук А. А. Липовский;
доцент факультета компьютерных технологий и управления
Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики,
кандидат технических наук А. В. Любимов
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Козлов В. В., Макарычев В. П.
К59 диагностика функционирования оборудования на основе
идентификационных алгоритмов / В. В. Козлов, В. П. Макарычев.– СПб.: ГУАП, 2008. – 88 с: ил.
ISBN 978-5-8088-0330-5
Настоящее учебное пособие посвящено функциональной
диагностике роботов и других робототехнических систем (РТС).
Рассматриваются общие принципы диагностики технических
устройств, среди которых выделяется функциональная диагностика в реальном времени РТС. Приводится классификация систем диагностики РТС, рассматривается форма уравнений динамики РТС линейная относительно ее параметров, исследуются
методы идентификации параметров механической системы РТС
и приводов на основе метода наименьших квадратов. Анализируется конкретный манипулятор методом компьютерного имитационного моделирования.
Чтение книги требует знания разделов математики в объеме
технических высших учебных заведений: дифференциального
и интегрального исчисления, линейной алгебры, теоретической
механики, теории управления. Предназначено для студентов,
специализирующихся в робототехнике и близких областях.
УДК 004.896
ББК 32.816
ISBN 978-5-8088-0330-5
© ГУАП, 2008
© В. В. Козлов,
В. П. Макарычев, 2008
Содержание
Предисловие.......................................................................... 1. Обзор принципов и методов диагностики................................ 1.1. Общие принципы диагностики....................................... 1.2. Методы диагностики технических систем........................ 1.3. Методы диагностики роботов......................................... 1.4. Контрольные вопросы................................................... 2. Построение системы диагностики манипулятора
на основе идентификационного подхода .................................... 2.1. Уравнения динамики РТС............................................. 2.2. Принципы построения системы диагностики РТС............. 2.3. Струтура системы диагностики РТС на основе
идентификационного подхода................................................... 2.4. Контрольные вопросы................................................... 3. Линейная относительно параметров форма уравнений
динамики механической системы манипулятора......................... 3.1. Компактная форма уравнений динамики робота............... 3.2. Подробная форма уравнений динамики робота................. 3.3. Линейная относительно параметров форма уравнений
динамики робота..................................................................... 3.4. Контрольные вопросы................................................... 4. Идентификация параметров манипулятора методом
наименьших квадратов............................................................ 4.1. Вывод формул идентификации для метода наименьших
квадратов.............................................................................. 4.2 Рекурсивная форма МНК............................................... 4.3. Выделение составляющих сил........................................ 4.4. Выражение внешней силы через моменты в шарнирах....... 4.6. Модель манипулятора с приводом .................................. 4.7. Пример двухстепенного манипулятора............................ 4.8. Контрольные вопросы................................................... 5. Система диагностики отдельной степени подвижности............. 5.1. Структурная схема отдельной степени подвижности......... 5.2. Перечень идентифицируемых параметров....................... 5.3. Линеаризованные уравнения отдельной степени
подвижности.......................................................................... 5.4. Идентификация параметров отдельной степени
подвижности с помощью метода наименьших квадратов .............. 5.5. Получение физических параметров отдельного шарнира
робота................................................................................... 5.6. Контрольные вопросы................................................... 6. Экспериментальное исследование системы диагностики........... 6.1. Описание программного продукта................................... 6.2. Описание манипулятора и стенда.................................... 6.3. Методика проведения экспериментов ............................. 6.4. Результаты и выводы.................................................... 6.5. Контрольные вопросы................................................... Заключение....................................................................... Библиографический список................................................. 4
5
5
6
11
15
16
16
17
19
23
25
25
26
28
29
31
31
34
36
37
39
40
47
48
48
50
51
53
56
59
60
60
64
68
73
83
83
83
3
Предисловие
В пособии рассматриваются вопросы функциональной диагностики роботов и других робототехнических систем.
В первой главе приведен обзор принципов и методов диагностики. Сначала рассмотрены общие принципы диагностики, затем методы диагностики технических систем и, наконец, методы
диагностики роботов.
Вторая глава посвящена построению системы диагностики
манипулятора на основе идентификационного подхода. Приведена структура алгоритма диагностики.
В третьей главе получено и проанализировано уравнение динамики механической системы манипулятора линейное относительно его параметров. Данное уравнение является ключевым
элементом для идентификации параметров манипулятора.
Четвертая глава является основной в пособии и посвящена
идентификации параметров манипулятора на основе метода наименьших квадратов (МНК). Получены формулы идентификации, в том числе рекурсивная форма метода наименьших квадратов, эффективная с точки зрения вычислительных ресурсов:
памяти и количества вычислений. Также в этой главе произведено определение внешней силы на основе ее связи с моментами в
шарнирах манипулятора и его эталонной модели. В заключении
главы приведен пример двухстепенного манипулятора.
В пятой главе исследована система диагностики отдельного
шарнира манипулятора, также построенная на основе метода наименьших квадратов.
В шестой главе проведено подробное экспериментальное исследование системы диагностики механической системы манипулятора.
Седьмая глава является заключительной и содержит общие
выводы по системе диагностики.
Список литературы содержит 50 наименований и покрывает весь
спектр рассмотренных в настоящем учебном пособии вопросов.
В конце каждой главы приведены вопросы, упражнения и задачи. Вопросы носят контрольный характер и напоминают об основных общих положениях изучаемого материала. Упражнения
и задачи, по-существу, различаются только сложностью – упражнения совсем простые, в то время как задачи значительно
сложнее и иногда даже требуют проведения небольшого исследования.
4
1. Обзор принципов и методов диагностики
1.1. Общие принципы диагностики
Вопросы технической диагностики занимают важное место в
процессах разработки и эксплуатации технических систем. Повышение их надежности связано, в большой степени, с созданием комплексного технического диагностирования системы в целом. Процесс диагностики при этом многообразен и охватывает
различные аспекты жизни системы: настройку и сдачу системы,
специализированные тестирования в процессе эксплуатации и,
наконец, наиболее оперативную и гибкую функциональную диагностику.
В последние годы на основе сильного развития вычислительной техники и применения ее в системах управления (СУ) технических устройств именно системы функциональной диагностики
стали играть главную роль, охватывая при этом все новые области применения. При функциональной диагностике осуществляется контроль состояния технической системы в процессе
непосредственного функционирования, а в случае обнаружения
неисправности система диагностики может осуществлять детализацию этой неисправности, выдавать рекомендации по ее устранению или компенсации и даже автоматически осуществлять
эту компенсацию. Именно функциональной диагностике посвящено настоящее пособие.
Существуют два основных способа контроля технического состояния системы:
− анализ в пространстве параметров;
− анализ в пространстве сигналов.
В первом случае измеряются текущие значения параметров
(геометрические и массо-инерционные величины, коэффициенты передаточных функций или дифференциальных уравнений,
постоянные времени и т. п.) и оцениваются отклонения их от
номинальных значений. Во втором случае проверяются отклонения выходных сигналов блоков от их теоретических значений.
Каждый из методов обладает своими достоинствами и недостатками.
Методы диагностирования в пространстве параметров особенно хороши для нахождения места неисправности, возможной ее
коррекции и прогноза состояния объекта. Диагностирование в
5
пространстве сигналов, в свою очередь, более непосредственно
связано с целевой функцией объекта, заключающейся в отработке определенных сигналов: траекторий в случае робототехнических систем. Настоящее пособие, посвященное использованию
методов идентификации в диагностике, естественно ориентировано на диагностику в пространстве параметров.
1.2. Методы диагностики технических систем
Общетеоретические методы диагностики можно разбить на
несколько групп, связанных с диагностикой конкретных технических систем. Среди основных методов диагностики технических систем можно выделить следующие [1]:
− квалиметрический метод;
− метод эталонных осциллограмм и вибродиагностика;
− использование графов признак-отказ;
− разбиения признаков на группы в пространстве состояний;
− байесовские методы оценивания;
− анализ алгебраических инвариантов;
− идентификация параметров.
Одним из наиболее часто используемых подходов является квалиметрический, заключающийся в экспериментальном
предварительном тестировании образца рассматриваемой технической системы, получении номинальных значений диагностических характеристик и дальнейшем определении степени
работоспособности системы по отклонению этих характеристик
относительно номинальных значений [2–6]. Процедуры контроля, как правило, осуществляются при плановых или внеплановых тестовых проверках, однако принципиально возможно использование и функциональной диагностики непосредственно в
процессе эксплуатации.
Применение внешних для системы датчиков и другой аппаратуры позволяет регистрировать, а затем подвергать анализу обширный перечень снимаемых при разных режимах динамических параметров: положений, скоростей, ускорений механизмов,
мощностей, потребляемой электродвижущей силы. В результате
таких исследований [7–10] были введены комплексные динамические критерии качества электромеханических механизмов в
виде простых функциональных (как правило, алгебраических)
выражений.
6
Разновидностью квалиметрического метода является метод
эталонных осциллограмм, т. е. применение физического экспериментального исследования для определения критических
значений признаков. В этом случае в качестве тестового номинального образца принимается график некоторой динамической
характеристики, например момента нагрузки на валу двигателя
[11, 12]. Снимаются графики (осциллограммы) изменения тех
или иных величин для номинальных режимов функционирования и сравниваются с текущими величинами (для станков, в том
числе и для роботов). В случае появления неисправности системы отдельные элементы этого графика приобретают количественные и качественные изменения как в локальном поведении,
так и в частотном спектре. Так может возрасти в несколько раз
пиковый момент, что является проявлением ударной нагрузки в
системе и предвестником скорой поломки.
Одним из важнейших разделов диагностики с точки зрения
теории и практики диагностики технических систем является
тесно связанная с методом эталонных осциллограмм вибродиагностика. Для механических и электромеханических систем
выписываются линеаризованные параметрические уравнения,
описывающие собственные вибрации объекта. Неисправности
приводят к появлению возмущений и, соответственно, возможности спектрального или временного анализа уравнений возмущенного движения [13, 14].
Достаточно частой является ситуация, когда имеется большое
количество диагностических параметров и диагностических ситуаций (десятки и сотни) и требуется по конкретному значению
вектора параметров определить диагноз и локализовать место
неисправности. Так, в теории радиоэлектронной аппаратуры (в
том числе компьютеров) [15] применяются методы математической логики и теории графов: строятся экономичные булевские
функции, позволяющие вычислить точный диагноз и локализацию неисправности по вектору признаков-битов. Основным математическим аппаратом здесь являются булевы (логические)
функции, позволяющие при заданных значениях логических
переменных сделать вывод о наступлении того или иного диагностического состояния.
Поскольку основной причиной изменения технического состояния объекта является изменение структурных параметров,
которые трудно или даже невозможно определить без разборки,
7
предметом рассмотрения служат либо непосредственно измеряемые функциональные характеристики (мощность, скорость,
удельный расход энергии, продолжительность операции), либо
сопутствующие (динамические параметры, параметры вибрации, изменения тока).
В случае полной определенности, как, например, при диагностировании ЭВМ [15, 16], дело сводится к словарю дефектов и
построению логических решающих правил: возможно, достаточно сложных, но полностью детерминированных. В простейшем
случае возникает ситуация однозначного суждения по какомуто одному признаку: выход признака за диапазон, например аварийное превышение температуры или превышение допустимой
ошибки позиционирования (что особенно актуально для РТС).
Намного более сложная ситуация возникает, когда признаков
много и сами значения признаков не являются вполне однозначными. Тогда возникает нетривиальная задача распознавания образов: построение графов существенных связей признак-отказ,
позволяющих существенно сократить размерность пространства
признаков [17], построение классифицирующих функций, т. е.
функций, разделяющих диагностические состояния [1], применение методов обучения и байесовского подхода в распознавании
диагностируемого состояния [1, 17], вывод уравнений статистической регрессии [18, 19].
Обширная группа методов диагностирования классических
технических объектов, например двигателей внутреннего сгорания [19, 20], заключается в нахождении логического соответствия между многомерным вектором диагностических признаков
и множеством диагностических состояний, главными из которых являются «полностью исправен» и «неисправен». В этой
ситуации используются вероятностные методы распознавания
образов – по вектору параметров выбирается диагноз на основании априорной и апостериорной информации. Используются
методы Байеса, максимального правдоподобия и т. п. Учитывая
вероятность появления определенного признака при конкретном диагнозе с помощью формулы Байеса, получают вероятность
конкретного диагноза при полученном векторе признаков и выбирают диагноз с максимальной вероятностью. Могут использоваться процедуры обучения в распознавании образов, когда
имеется предварительный набор конкретных ситуаций с известными признаками и диагнозами и требуется новый набор признаков отнести к тому или иному диагнозу.
8
В методе анализа алгебраических инвариантов проверяются определенные алгебраические соотношения для получаемых
величин, как правило, сигналов [21]. Примером таких соотношений могут быть соотношения, получаемые с помощью математических моделей объекта. Другие соотношения состоят в известных алгебраических тождествах, связывающих измеряемые
величины объекта (например, измеряемые независимо его координаты и скорости, декартовы и обобщенные).
Заметим, что общим серьезным недостатком в практической
реализации почти всех рассмотренных методов является то, что
они не являются методами функциональной диагностики, а осуществляются в тестовых стендовых режимах, как правило, требующих частичного разбора системы и подключения дополнительных специальных датчиков.
В последние годы для диагностики конкретных технических
систем стали предлагаться методы, основанные на их математических моделях. При этом модель диагностируемого блока может
быть непрерывной или дискретной; представлена передаточными функциями или частотными характеристиками, уравнениями в пространстве состояний или обыкновенными дифференциальными уравнениями (нелинейными или линеаризованными).
Функциональное диагностирование в этом случае будет заключаться в сравнении реальных, получаемых в процессе функционирования, величин (координат, параметров) и разнообразных функций от них (критериев нормального функционирования), от аналогичным, получаемых из модели. При этом имеют
место следующие проблемы:
− построение наиболее удобных и информативных (эффективных) критериев нормального функционирования: в простейшем
случае в качестве таковых могут выступать измеряемые координаты и идентифицируемые параметры;
− определение величин допусков нормального функционирования, т. е. допустимых отклонения реальных величин (и функций от них) от модельных: в частности, величина допустимого
отклонения обобщенной координаты от модельной или область
допустимого нахождения идентифицируемого параметра;
− обоснование адекватности структуры модели, что позволяет
далее ограничиться только нахождением действительных параметров для достижения адекватности;
9
− нахождение действительных параметров модели, т. е. решение задачи идентификации параметров (по значениям измеряемых величин);
− в случае нарушения правильности функционирования, необходимо с максимальной степенью подробности указать неисправность – отказавший элемент, либо хотя бы дать рекомендации по его поиску;
− возможно автоматическое исправление дефекта (например,
программным путем) или переход на функционирование «частично исправного объекта», если он по-прежнему может выполнить возлагаемую на него задачу.
Определения реальных параметров объекта, необходимых
при диагностировании с помощью модели, может быть осуществлено рядом способов:
− аналитическим предварительным расчетом параметров, в
том числе коэффициентов уравнений динамики объекта [22, 23];
− проведением специализированных предварительных испытаний объекта, возможно используя специальную оснастку, специальные режимы функционирования, специальные настройки
объекта [5–8, 24–26];
− идентификация параметров объекта, в том числе в процессе
рабочего функционирования – функциональное диагностирование [27].
Использование методов идентификации параметров является
одним из самых сложных, но и обещает значительные выгоды,
поскольку позволяет в реальном времени осуществить контроль
параметров объекта до наступления аварийного состояния, которое может быть зафиксировано контролем сигналов непосредственно с датчиков технической системы. Кроме того, эта группа
методов является новой в диагностике и может привести к новым
теоретическим и практическим результатам.
Суть методов идентификации заключается в сборе и информационной, как правило, статистической, обработке получаемых при функционировании системы переменных – показаний
датчиков. Целью обработки является получение оценок параметров диагностируемого объекта, представленного некоторой
математической моделью. Для получения эффективной оценки
идентификации вводится некоторый критерий качества аппроксимации моделью исходных данных [28]. Критерий либо постулируется, либо строится на основании некоторых вероятностных
10
характеристик, при наличии оправданных статистических гипотез. Часто этот критерий выбирается в виде квадратичной формы
от ошибки выхода объекта. Однако возможен и другой выбор, в
том числе используемый в настоящем пособии для обеспечения
линейности идентификационной модели ошибки – выбор квадратичной формы от ошибки входного сигнала.
Возможны различные методы идентификации, среди которых
можно выделить методы наименьших квадратов (МНК) и максимального правдоподобия (ММП) [28]. Ни с точки зрения теории,
ни с точки зрения практики не существует наилучшего для всех
случаев метода. Более того, выбор метода часто не является определяющим и в большинстве случаев успешно работают многие
из них, в том числе классические: корреляционный и спектральный анализ, МНК и его обобщения, ММП.
1.3. Методы диагностики роботов
Диагностика РТС стоит несколько особняком среди других
технических систем вследствие значительной агрегативности
объекта РТС. Обычно реально существующие системы диагностики РТС [29] построены исключительно на очень простом принципе проверки принадлежности получаемых с датчиков величин
(углов, скоростей, токов, температур) номинальному диапазону.
Кроме того, могут контролироваться и диагностироваться отдельные компоненты РТС, принятыми для них обычными методами: логические проверки элементов для электронной аппаратуры и т. п. Именно так, на основе проверки логических условий
или неравенств, были построены созданные в середине 70-х годов системы ЧПУ на базе мини-ЭВМ американских фирм «Kerny
and Treker» и «MTIRA» [30]. Аналогичным образом в состав СУ
отдельных сложных роботов (промышленных или специального
назначения – например, бортового манипулятора орбитального
корабля «Буран» [29]) входят построенные на традиционных основах подсистемы контроля и диагностики аналоговой и цифровой компонент аппаратных элементов СУ, в том числе электромеханического привода и вычислительных средств (компьютера,
микрокомпьютера).
Диагностика роботов и манипуляторов с момента своего появления в 60-х годах развивалась вначале в рамках традиционной
диагностики их элементов, среди которых можно выделить следующие:
11
− механика отдельных степеней подвижности;
− аналоговых электронных блоков СУ;
− компьютерных и микрокомпьютерных цифровых блоков.
В диагностике РТС накоплен достаточный опыт конкретного
применения вышеизложенных подходов и методов. Так одним
из основных направлений исследований является развиваемое
в Институте машиноведения им. А. А. Благонравова РАН школой Е. Г. Нахапетяна применение квалиметрического подхода
[7–9, 31], в том числе метода эталонных осциллограмм [32]. В результате проведения широкого спектра тестовых исследований
находятся штатные (номинальные) значения динамических параметров конкретной модели РТС, которые являются далее контрольными при тестовых проверках в процессе эксплуатации.
Результаты этих и других работ нашли отражение в ГОСТах [33],
где были определены разнообразные испытания промышленных
роботов: предварительные, приемо-сдаточные и т. п.
Другой подход, предложенный М. Б. Игнатьевым, Л. А. Мироновским и В. С. Юдовичем [21] в диагностике РТС, основан на
контроле с использованием моделей [28]. Используя математическое описание исполнительной и управляющей системы РТС в
виде передаточных функций или линейных дифференциальных
уравнений в пространстве состояния, авторы предложили и исследовали ряд алгоритмов, основанных на методе избыточных
переменных, ранее предложенного для диагностики вычислительных устройств в машиностроении. Главная идея этого метода
заключается в том, чтобы пропустить часть или все измеряемые
входные и выходные сигналы системы через блоки диагностики
и подставить их в выбранное контрольное условие (векторное или
даже часто скалярное), содержащее кроме преобразованных сигналов и часть из них в непреобразованном виде. Предложенные
алгоритмы были направлены, в первую очередь, на упрощение
устройства диагностики, с целью упрощения и удешевления его
изготовления и удовлетворения требования функционирования
в реальном времени. Однако данное обстоятельство, крайне важное в предыдущие годы, в последнее время в большой степени потеряло свое значение вследствие бурного развития вычислительной техники. В то же время ограничение предлагаемых методов
линейными динамическими моделями достаточно оправдано для
электронных блоков РТС, но плохо приспособлено для диагностики принципиальных для РТС нелинейностей: механической
12
системы (порожденных ее антропоморфностью) и существенных
нелинейностей привода (люфт, сухое трение).
К настоящему времени появился ряд работ, посвященных
идентификации параметров роботов для целей анализа их конструкции и диагностики. Однако, как правило, речь идет о предварительной идентификации, но не использовании ее непосредственно в процессе диагностирования, т. е. определения текущих
значений параметров с целью поиска их отклонений от номинальных значений.
Среди разнообразных методов идентификации параметров
[28] в случае математического описания РТС следует остановиться на детерминированных оценках, поскольку речь идет о
технических параметрах электромеханической системы, которые при нормальном функционировании либо постоянны, либо
крайне медленно меняются со временем. Учитывать случайную
составляющую нет никакого смысла. Широко используемая для
случая линейного по параметрам объекта группа таких методов
представляет разнообразные модификации метода весовых функций (МВФ) [21].
Рассмотрим описание объекта в следующем, линейном относительно параметров виде, к которому может быть приведено
любое описание в виде системы дифференциальных, разностных,
интегральных линейных или нелинейных уравнений [28], в том
числе описание РТС:
m
∑ g ij (x,u )ξ j = g i0 (x,u ),
i = 1,n, (1.1)
j =1
или
Gξ = G0,
(1.2)
где x, u – вектора координат объекта и управления соответственно, ξ = (ξ1,..., ξm)* – вектор параметров объекта, а gij, gi0, i = 1,n;
j = 1,m – вектор-функции.
Пусть далее существует набор весовых линейно независимых
функций {fi}, i = 1,n. Умножим систему уравнений (1.1) почленно скалярно на вектор F= =(f1,..., fn)* и получим следующую систему n линейных уравнений с m неизвестными:
Cξ = D,
(1.3)
где
C = {<gij,fi> | i = 1,n; j = 1,m}, D = (<g10,f1>,..., <gn0,fn>)*. (1.4)
13
Конкретные значения набора весовых функций дают разнообразные модификации метода. В таком же виде при специальных значениях весовых функций можно представить и группу
методов, связанную с минимизацией некоторого функционала
качества соответствия идентифицируемых параметров экспериментальным данным. В том числе и МНК, для которого можно
считать весовыми функциями значения результатов измерений
функций gij. В эту же группу методов попадает и примененный
В. Ф. Бурдаковым [24–26] к РТС метод инструментальной погрешности (МИП), который в этом случае, однако, не дает больших выгод, вследствие высокой точности датчиков положения и
скорости РТС.
В работах С. Ф. Бурдакова [24–26] производилась идентификация параметров приводов с теоретической и практической
точек зрения. При этом идентификация производилась в стендовых условиях, с использованием внешних датчиков (например,
тензометрических), подчас с изменением конструкции робота
(например, разрыв обратной связи по скорости в приводе). Были
построены соответствующие математические модели и проведена
экспериментальная отработка по идентификации наиболее важных, существенно-нелинейных параметров приводов роботов:
зоне нечувствительности (люфту) редуктора, зоне нечувствительности и насыщению усилителя, сухому трению, жесткости
шарнира, моментам инерции, постоянным времени. Было проведено рассмотрение при условии, когда указанные нелинейные
элементы находились в линейной зоне и полученное линейное
уравнение двухмассовой системы одной степени подвижности
робота приведено к форме идентификационной задачи.
В основном использовался частотный подход, но была построена модель и в пространстве состояний в виде линейного дифференциального (и разностного) уравнения динамики, записанного
в виде векторного уравнения 2-го порядка. Наряду с классическим методом наименьших квадратов в данном случае лучшие результаты дал метод инструментальной погрешности.
Другой способ решения задачи был рассмотрен А. В. Тимофеевым [34–39]. Метод был основан на прямом (без линеаризации)
применении уравнения динамики механической системы манипулятора (без учета динамики приводов и СУ). Возможность
эффективного применения метода была основана на полученной
форме уравнения с выделенным в линейном виде векторе τ(ξ) па14
раметров манипулятора. Далее был применен метод В. А. Якубовича решения конечно-сходящейся системы неравенств [36, 40]
для определения допустимой зоны нахождения вектора параметров, исходя из множества отдельных условий на составляющие
его простые элементы (длины, массы и т. п.). И в такой форме
он может быть использован для диагностики: проверяя невыход
вектора τ (ξ) параметров манипулятора за определенные для него
границы.
Нелинейные методы идентификации стали исследоваться, в
том числе для случая роботов, только в последние годы. Они основаны, как правило, на параметрическом представлении уравнений Вольтерра [41, 42].
В то же время область диагностирования РТС как системы остается еще малоисследованной как вследствие сложности проблемы, так и сложности самой РТС, которая требует такой системы
диагностики. По-существу, такая система диагностики является
серьезной адаптивной, возможно с элементами искусственного
интеллекта, подсистемой РТС, которая и в остальном должна обладать этими качествами. Настоящее пособие посвящено исследованию возможности построения такой системы диагностики
на основе идентификационного подхода.
1.4. Контрольные вопросы
1. Чем функциональная диагностика выделяется среди других методов диагностики?
2. Какие существуют основные методы диагностики технических систем? Кратко охарактеризуйте их.
3. Перечислите основные проблемы функционального диагностирования.
4. Какова роль идентификации параметров в функциональной диагностике?
5. В чем состоят особенности диагностики роботов?
6. Каковы основные методы диагностики роботов?
7. В чем заключаются основные методы идентификации параметров роботов?
15
2. Построение системы диагностики
манипулятора на основе
идентификационного подхода
2.1. Уравнения динамики РТС
РТС представляет из себя комплексную систему, в которой
собраны элементы различной физической сущности (электронные блоки, приводы, механическая система), совместно выполняющие функциональную задачу. В достаточно общем виде ее
можно описать следующей системой уравнений [34, 42, 43,44]:
 + b(q,q ) = u, A(q)q
(2.1)
u = Wv ( p)v + Wq ( p)q, (2.2)
(2.3)
v = W∆ ( p)(q − q p ), где уравнения (2.1), (2.2), (2.3) описывают, соответственно, динамику механической системы, исполнительные привода, систему
управления, которая формирует управляющие сигналы на вход
приводов, согласно принятому алгоритму управления. Здесь, как
и всюду, q – вектор обобщенных координат механической системы РТС; qp – вектор программных обобщенных координат; A(q),
b(q, q ) – матрица и вектор размерности n×n и n соответственно;
u – вектор моментов на выходах приводов; v – вектор управлений
на входах приводов; Wv(p), Wq(p), W∆(p) – матрицы обобщенных
передаточных функций, которые могут включать в свой состав и
нелинейные элементы.
Прежде всего, скажем несколько предварительных слов о методах получения и структуре этих уравнений. Уравнение (2.1)
механической системы можно получить одним из известных в
робототехнике методов: Даламбера – Ньютона [42, 43], Лагранжа [34], Гаусса [44]. Оно представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, а именно элементы матрицы A и вектора b являются нелинейными дифференцируемыми
функциями своих аргументов q, q .
Уравнение приводов (2.2) связывает управляющие напряжения на входах приводов с выходными моментами с учетом влияния координат перемещения привода (как правило, в виде его
скорости), обусловленного физической противоЭДС двигателя,
тахогенератора и корректирующих звеньев. Основные элементы привода обладают важными особенностями, в том числе су16
щественными нелинейностями, среди которых можно выделить
следующие: разнообразные последовательные и параллельные
корректирующие звенья, усилитель со своими зонами нечувствительности и насыщения, обладающий ощутимыми упругостью и люфтом редуктор.
Как правило, управляющим сигналом на привод является задаваемая скорость. В современных цифровых приводах возможный вид задаваемого сигнала управления стал более сложным,
но всегда можно ограничиться заданием только скорости. Именно такая точка зрения принята в настоящем пособии и, следовательно, уравнение системы управления (2.3) связывает формируемый системой управления сигнал с этой, желаемой, скоростью.
2.2. Принципы построения системы диагностики РТС
При построении структуры системы диагностики РТС примем во внимание, что РТС обладают специфической, присущей
только им особенностью: многосвязной нелинейной многокоординатностью (как правило, антропоморфной): кинематической
и динамической. Поэтому логично строить систему диагностики
РТС из двух отдельных подсистем: диагностика механической
системы РТС, диагностика компонентов РТС [51, 52].
В настоящем пособии предлагается в подсистеме «диагностика механической системы РТС» и сосредоточить специфический
робототехнический элемент, связанный с ее многозвенностью и
описываемый специфическими для манипуляторов векторными
нелинейными уравнениями кинематики и динамики [34, 42]. В
то же время, подсистема «диагностика компонентов РТС» может представлять из себя иерархическую подсистему из многих
компонент для проверки различных отдельных элементов РТС –
электронных, механических, гидравлических и т. п., построенных на основе разных методов диагностики (см. гл. 1). Однако,
с точки зрения структуры, главным компонентом многозвенной
РТС естественно является степень подвижности (или шарнир).
Кроме того, для такого выделения обоснованием служит первоочередная необходимость диагностики исполнительных устройств. Ведь конечным критерием эффективности и надежности
служит вероятность выполнения задания. Для функциональной
диагностики в обоих подсистемах – диагностика механической
системы РТС и диагностика отдельного шарнира РТС, предлагается применить построенную на принципах параметрической
17
идентификации систему. Естественно, такая система диагностики предполагается как часть реализованной на современном
компьютере СУ РТС.
Все величины, связанные с роботом можно разделить на следующие группы:
− фазовые координаты системы (сигналы, переменные состояния): q, q , Iя, и т. д.;
− геометрические и массо-инерционные параметры: длины и
массы звеньев li, mi; элементы матрицы инерции i-звена антропоморфного робота Hi, i=1,n; n – число звеньев;
− моменты, силы, внешние моменты и силы;
− внутренние параметры приводов и СУ;
− внешние геометрические и механические величины: визуальные кадры, признаки касания и т. п.
Для осуществления идентификации необходимо наличие датчиков, основными из которых при функциональной диагностики являются конструктивно встроенные в РТС датчики: положения, скорости, тока, момента и т. п. Кроме того, конкретные РТС
могут дооснащаться и рядом внешних датчиков, среди которых
следует выделить, прежде всего, систему технического зрения,
силомоментные, тактильные. В условиях стендов, кроме того,
могут измеряться и некоторые входные и выходные параметры
блоков и узлов шарнира: источников питания, узлов преобразователя, усилителя мощности, электродвигателя, дополнительного контрольного тракта. В этом случае, например для привода,
осуществляются следующие действия: оценивается состояние
кинематической цепи, контролируется отсутствие недопустимых изменений аналоговых сигналов, контролируется нахождение эксплуатационных параметров в допустимых пределах. Наиболее частым и стандартным вариантом датчиков РТС, на который ориентируется и настоящее исследование, будет наличие в
каждом шарнире датчика скорости на выходе двигателя (входе
редуктора) и датчика положения выходного звена редуктора.
Кроме того, естественно, будем считать известными и сигналы
управления, поступающие из СУ на входы исполнительных приводов.
В системах диагностики часть получаемых информационных
сигналов от датчиков используется непосредственно: например,
контроль выхода координат qi, скоростей двигателей ϕ i , токов
двигателей Iя,i, потребляемой мощности (равной интегралу от
18
модуля тока), динамических ошибок координат ∆qi и скоростей
∆ϕ i за границы:
qi,min ≤ qi ≤ qi,max,
ϕ i,min ≤ ϕ i ≤ ϕ i,max,
|Iя,i| < Iя,i,max,
|Iя,i| < Mя,i,max,
|∆qi| < εi,
∆ϕ i < ε i.
(2.4)
Другая часть информационных сигналов, а также и те из них,
которые используются непосредственно, подвергается предварительной обработке разной степени сложности. Например, суждение о динамической ошибке в декартовом пространстве или
о местоположении робота в декартовом пространстве требует
решения, так называемой, «обратной кинематической задачи»
(ОКЗ).
2.3. Струтура системы диагностики РТС на основе
идентификационного подхода
Группа методов обработки посвящена идентификации параметров робота. Можно выделить два типа идентифицируемых
параметров:
− сигналы (координаты);
− конструктивные параметры.
Непосредственной причиной неисправностей являются именно изменения физического состояния робота, т. е. изменения
конструктивных параметров робота, которые, в свою очередь,
приводят к тем или иным изменениям показаний датчиков, т. е.
сигналов.
Таким образом, диагностирование на основе методов идентификации должно включать предварительную стадию идентификации сигналов или конструктивных параметров. При этом простейший способ диагностики может заключаться, как и в случае
необработанных показаний датчиков (сигналов), просто в проверке невыхода величин за границы.
Предложим следующую структуру системы диагностики РТС
на основе идентификационного подхода (рис. 2.1) и рассмотрим
логику ее функционирования. Обозначенные на схеме основные
модули (подсистемы) выполняют свои функции под управле19
Диспетчер
системы диагностики
Режим
настройки
Формирование
номинальных
значений вектора
параметров механической
системы
τ (ξ )
Формирование
номинальных значений
вектора параметров
отдельных шарниров
Проверка совпадения
теоретических и
фактических значений
Рабочее
функционирование
Анализ текущих
отклонений сигналов от их
программных или
ожидаемых значений
∆q, ∆ϕ� и др.
Анализ текущих
отклонений сигналов от их
моделируемых значений
Идентификация
параметров механической
системы (РТС в целом):
груз, внешняя сила и т. п.
Идентификация параметров
отдельных шарниров:
упругость, люфт и т. п.
Проверка допустимости
отклонений параметров
Коррекция математической
модели и алгоритма
управления
Рис. 2.1. Блок-схема системы диагностики РТС
нием «Диспетчера системы диагностики», который в нужные
моменты времени их запускает, обрабатывает получаемые ими
результаты (возможно с помощью других модулей) и формирует итоговые диагностические команды типа остановки процесса.
«Режим настройки» запускается хотя бы один раз в начале работы РТС, а также в любой другой момент по желанию оператора.
Два основных подблока этого режима осуществляют «Формирование номинальных значений векторов параметров механической системы t(ξ)» и «Формирование номинальных значений
параметров отдельных шарниров» соответственно изложенными
ниже методами идентификации. Прежде всего, для определения
20
номинальных параметров робота используются предварительные тестовые движения:
− сухое и вязкое трение определяются при движении одним
шарниром;
− находящийся в схвате груз (все 10 его массо-инерционных
характеристик) или его отсутствие (при этом идентифицируются
параметры последнего звена) при выбранных тестовых свободных движениях;
− параметры степени подвижности (упругость шарнира, люфт,
постоянная времени двигателя и т. п.).
После проведения этих тестовых движений мы знаем соответствующие составляющие в уравнениях динамики в форме
уравнений Лагранжа при линейной параметризации. Дополнительно для тех параметров, у которых известны их оценочные теоретические значения, производится их сравнение с полученными экспериментальными и в случае непредусмотренного отклонения производятся дальнейшие необходимые диагностические
действия.
При диагностических проверках в режиме «Рабочее функционирование» полученные на этапе настройки номинальные значения будут служить характеристикой нормальной работы. Предлагается многоплановая и многоэтапная процедура диагностики, основанная как на анализе получаемых с датчиков сигналов
РТС (векторов координат звеньев q, скоростей выходных валов
двигателей ϕ , возможно токов якорей двигателей Iя), так и на
процедурах идентификации параметров блоками «Идентификация параметров механической системы» и «Идентификация параметров отдельных шарниров».
Анализ сигналов осуществляется тремя разными блоками,
позволяющими в совокупности с максимальной надежностью
определить нарушение правильности функционирования:
− анализ текущих отклонений сигналов от их программных
значений;
− анализ текущих отклонение сигналов от их моделируемых
значений;
− контроль избыточных переменных.
Проверяемое отклонение от программных значений, в том
числе динамическая ошибка на траектории ∆q(t)=q(t)–qp(t), не
должно превышать величины, полученной на основе предыдущего опыта эксплуатации данной РТС в данных условиях. Кро21
ме ошибок координат могут анализироваться отклонения скоростей, токов от их ожидаемых значений и характер поведения
этих величин (скачки, колебания и т. п.).
Кроме проверки отклонений от программных значений производится проверка отклонений координат (переменных состояния) от математической модели РТС – диагностирование по
методу эталонной модели. В данном пособии предлагается использовать достаточно полную, но в то же время не чересчур громоздкую математическую модель РТС, построенную на основе
сосредоточенной в шарнирах упругости. Такая математическая
модель может функционировать в реальном времени в составе
системы диагностики и в то же время позволяет с достаточной
точностью учесть основные динамические эффекты. Наряду с
полной моделью можно использовать и ее упрощенный вариант,
лежащий в основе метода избыточных переменных (МИП) [21].
Смысл МИП для случая РТС заключается в следующем: вместо
того, чтобы в реальном времени численно интегрировать полную систему дифференциальных уравнений для n координат qi,
i=1,n, взять их сумму (или некоторую другую функцию или функции), получить одно дифференциальное уравнение и именно его
интегрировать одним из численных методов типа Рунге – Кутта,
что в n раз менее трудоемко. В настоящем пособии для компактности блок «Контроль избыточных переменных» включен в блок
«Анализ текущих отклонение сигналов от их моделируемых значений».
Рассмотрим логику работы основных блоков системы диагностики: «Идентификация параметров механической системы»
и «Идентификация параметров отдельных шарниров». Сначала
первый из них анализирует совокупные шарнирные движения
для определения ситуации, когда наступает отклонение от номинального (ожидаемого) изменения координат или параметров.
Определяются массо-инерционные параметры и внешние силы,
действующие на РТС. Оба блока работают с учетом тех величин,
которые определяет и другой блок.
После того, как выявлено нарушение в каком-то шарнире,
вступает в действие в полном объеме построенная также на основе параметрической идентификации, диагностическая система
«Идентификация параметров отдельных шарниров» для этого
шарнира.
22
После проведения идентификации осуществляется проверка допустимости отклонений параметров и другие необходимые
действия, в том числе производится коррекция математической
модели и алгоритма управления.
Таким образом, можно представить следующую структуру
функционирования системы диагностики на основе идентификационного подхода:
− в результате предварительных тестовых движений манипулятора определяем вектор параметров t(ξ), характеризующий
номинальный находящийся в схвате груз (в том числе его отсутствие) и сухое и вязкое трение;
− в процессе рабочего функционирования манипулятора на
основе полной механической модели манипулятора идентифицируем массо-инерционные параметры груза, сухое и вязкое трение, внешнюю силу;
− система диагностики проверяет выход значений массо-инерционных параметров груза и сухого и вязкого трения за допуски
и, в случае необходимости, корректирует их значения в алгоритме управления или даже останавливает функционирование манипулятора с выдачей диагностического сообщения;
− во всех текущих конфигурациях q(t), кроме вырожденных,
для каждой степени i=1,..., n вычисляются приведенные моменты инерции JM,i и внешние моменты MM,i (силы) от воздействия
«хвоста» манипулятора, для функционирования подсистемы
«Идентификация параметров отдельных шарниров»;
− проводится автономная идентификация параметров степеней подвижности манипулятора.
2.4. Контрольные вопросы
1. Каковы основные элементы РТС?
2. Написать уравнение динамики простейшего робота.
3. Написать уравнение динамики простейшего привода.
4. Написать уравнение системы управления для классического ПИД-регулятора.
5. Выписать передаточные функции в уравнениях (2.1)–(2.3)
для РТС из задач 2–4.
6. В чем заключается основной принцип построения сложной
агрегированной системы, такой как РТС?
7. Какие типы датчиков могут использоваться в функциональной диагностике РТС?
23
8. Какие два основных типа идентифицируемых параметров
РТС?
9. Пусть даны параметры одностепенного шарнира. Написать
уравнения для определения сухого и вязкого трения.
10. Перечислите основные блоки анализа сигналов системы
диагностики.
11. Перечислите сигналы, для которых система диагностики
проверяет отклонения от номинальных значений или характер
поведения.
12. В чем состоит метод избыточных переменных для РТС?
13. Опишите возможную структуру функционирования системы диагностики на основе идентификационного подхода.
24
3. Линейная относительно параметров форма
уравнений динамики механической системы
манипулятора
3.1. Компактная форма уравнений динамики робота
Рассмотрим сначала случай математического описания манипулятора как механической системы, описываемой уравнениями Лагранжа 2-го рода. Этому отвечает управление манипулятора непосредственно моментами, без учета динамики приводов. В
этом случае уравнение динамики механической системы манипулятора коротко можно записать в следующем виде [34]:
 + b(q,q , ξ) = u, A(q, ξ)q
(3.1)
 = q
(t), – вектора размерности n обобщенных
где q = q(t), q = q (t), q
координат, скоростей и ускорений манипулятора, соответственно; x – вектор конструктивных параметров манипулятора (длины
и массы звеньев, тип кинематической схемы, масса и моменты
инерции груза и т. п.); A – матрица размерности n×n коэффициентов при старших (вторых) производных; b – вектор размерности n составляющих от скоростей и положений.
Рассмотрим специальную форму уравнений динамики, с выделенным линейно вектором параметров (разделены координаты
системы и параметры) [34, 35, 38]. Здесь используется представление [34, 38]:
  )τ (ξ ) = u. G(q,q,q
(3.2)
При этом
 + G 1(q,q )q + G 2 (q) + M д (q)q +
G = G 0 (q)q
+M тр (signq )q + M вн (q) + v,
(3.3)
где
(3.4)
M д (q)q = k втq + k внq следующие составляющие диссипативных (зависящих от скорости) моментов в шарнирах: вязкое трение и сила от внешнего
контакта, соответственно;
M тр (signq )q = k стsign(q ) – матрица, зависящая от моментов
сухого трения;
Mвн(q) – матрица, зависящая от внешних моментов, которую
можно считать постоянной;
25
v – матрица, зависящая от случайных моментов.
В литературе [34] получено представление уравнения динамики робота в искомой форме, однако в сильно ограниченных условиях:
− без учета веса, т. е. в беспотенциальном поле;
− без учета массо-инерционных характеристик звеньев, т. е.
только в случае груза.
Получим далее данное представление без указанных ограничений и, кроме того, в существенно более компактном и стройном
виде. Заметим, что хотя в практически важной базовой задаче
идентификации параметров груза параметры звеньев естественно считать известными, как параметры элементов конструкции,
этими значениями, тем не менее, нельзя пренебрегать, и они
должны войти в уравнения в виде известных (постоянных, как
правило) величин.
3.2. Подробная форма уравнений динамики робота
Выпишем уравнение динамики робота в форме уравнений
Лагранжа в более подробном чем (3.1) виде, явно приводя выражения отдельных коэффициентов уравнения [34]:
n
n
i =1
i ≤ j =1
∑ a0i kqi + ∑ alkij q iq j + a2k = uk, где
a0i k =
n
∑
l = max(i,k )
a1ijk =
tr (B ilH lB kl * ) =
n
∑
l = max(i, j,k) )
n
∑ (
l =k
∑
l = max(i, j,k )
tr (B kl *B ilH l ) =
n
∑
l = max(i, j,k )
n
∑
l = max(i,k )
hlik, (3.6)
σ ijtr (B kl *B ijl H l ) =
(3.7)
σ ij hlijk,
n
n
) ∑ gtr (B kl mlrc,lθ *g ) = −∑ gtr (B kl H l,*4θ *g ) =
n
∑ (
l =k
26
n
tr B kl mlrc,lg * = −
=–
l = max(i,k )
σ ijtr (B ijl H lB kl * ) =
=
a2k =
n
∑
(3.5)
l =k
gtr B kl H lθ 4θ *g
l =k
n
n
l =k
l =k
) = –∑ gtr (Θ 4g B kl H l ) = –∑ hlk;
(3.8)
Hl – 4×4-матрица инерции l-го звена (схват и груз относятся к
последнему звену);
Bl= A1 A2…Al – 4×4-матрица преобразования координат из системы координат l-го звена в базовую систему координат (обычно
связанную с корнем манипулятора);
B il = A 1A 2 …DA i …A l – частная производная матрицы Bl по qi;
B ijl = A 1A 2 …DA i …DA j …A l – смешанная производная матрицы Bl по qi,qj;
*
*
*
*
D = (0,1,0,0 ) ,(−1,0,0,0 ) ,(0,0,0,0 ) ,(0,0,0,0 )
– 4×4-матрица;
Hl,*j – j-й столбец матрицы инерции Hl l-го звена;
g – вектор ускорения свободного падения, равный − gθ *3 в случае направленной вертикально вверх оси z0 базовой системы координат (g=9,81 в земных условиях, и g=0 в космосе);
σij=1 (если i=j); σij=2 (если i≠j);
θ4=(0,0,0,1)*, θg=(θg1,θg2,θg3,1)* – орт в направлении силы
тяжести (как правило, совпадающий с ортом одной из осей базовой системы координат), Θ4g=θ4θg* – матрица 4×4, единственной ненулевой строкой которой является 4-я, равная вектору
θg (обычно Θ4g= –Θ4i, где матрица Θ4i состоит из всех нулей и
единственной 1 на пересечении 4-й строки и i-го столбца; i=3 в
случае направленной вертикально вверх оси z0 базовой системы
координат);uk – суммарная обобщенная сила (момент) в k-м шарнире, k=1, …, n;
Все вектора и матрицы заданы в проективных координатах в
R3 и имеют размерность 4 и 4×4.
Матрицы инерции звеньев манипулятора имеют вид l=1,n:
(
 x x dm (x )
 ∫ 11 11
 x 21x11dm (x )
H l = ∫
 ∫ x 31x11dm (x )

 ∫ x11dm (x )
)
∫ x11x21dm (x )
∫ x21x21dm (x )
∫ x31x21dm (x )
∫ x21dm (x )
∫ x11x31dm (x )
∫ x21x31dm (x )
∫ x31x31dm (x )
∫ x31dm (x )
∫ x11dm (x )
∫ x21dm (x ) . (3.9)
∫ x31dm (x )
∫ dm (x )  Для случая твердого тела с массой m и главными моментами
инерции J1, J2, J3 в системе координат с началом в центре масс и
осями, идущими по главным осям инерции, получаем:
27
(− J1 + J 2 + J 3 ) 2

0
Hl = 

0

0

0
(J1 − J2 + J3 ) 2
0
0
0
0
0
0 
(3.10)
(J1 + J2 − J3 ) 2 0 
0
m 
При этом для случая вытянутого тела, например звена манипулятора, и при естественном выборе одной из осей системы координат звена по оси звена, все элементы очень малы, за исключением:
− четвертого диагонального элемента h44, т. е. массы m;
− диагонального элемента hkk, где k (k=1 или 2 или 3) – номер
оси системы координат звена, которая идет по оси звена;
− элементов hk4=h4k, где k – как выше.
3.3. Линейная относительно параметров форма уравнений
динамики робота
Введем вектор
τ(ξ)=τ(ξ,l,s,t) = (τ1,..., τL)*={Hl | l=1,n}={Hl,ij | l=1,n; i≤j=1,4}=
=({h1,11, h1,12,..., h1,14 | h1,22, h1,23, h1,24 | h1,33, h1,34 | h1,44}, …,
{hl,11, hl,12,..., hl,14 | hl,22, hl,23, hl,24 | hl,33, hl,34 | hl,44}, …,
{hn,11, hn,12,..., hn,14 | hn,22, hn,23, hn,24 | hn,33, hn,34 | hn,44})*, (3.11)
который представляет собой последовательно расположенные
матрицы инерции манипулятора Hl, l=1,..., n. Тогда L=n×4(4+1)/
/2=10n с учетом симметричности этих матриц, т. е. их верхние
треугольники. Этот вектор представляет собой наиболее полный
набор массо-инерционных параметров манипулятора (с грузом)
и, следовательно, полностью характеризует массо-инерционные
свойства манипулятора. Обозначим
i,k
k* i
b i,k
l = b l (q ) = B l B l,
k* ij
b ij,k
= b ij,k
l
l (q ) = B l B l ,
b kl,g = b lk,g (q ) = gΘ 34B kl H l.
Преобразуем левую часть уравнения динамики
28
(3.12)
n
n
n
n
n
 i + ∑ ∑ tr (b ij,k
 iq j +∑ tr (b kl,g ) =
l Hl ) q
l Hl ) q
∑∑ tr (b i,k
i =1 l =1
i ≤ j =1 l =k
=

n
n
l =k
n




 i + ∑ b ij,k
 iq j + b lk,g  H l  =
l q
l q
∑ tr  ∑ b i,k
 
  i =1
l =k
=
i ≤ j =1
n
n
4
∑ tr (b lΣ,kH l ) = ∑ ∑ b lΣ,,stkH1,st,
l =k
(3.13)
l =1 s,t =1
,q ,q ) – выражение в квадратных скобках.
где b lΣ,k = b lΣ,k (q
Учтем симметричность матрицы инерции Hl в структуре τ(ξ):
L
L
4
4
*
∑ ∑ (b1,Σ,stk + b1,Σ,tsk ) H l,st =∑ ∑ G l,st (q,q ,q )  τ l (ξ ) =
l =1 s≤t =1
l =1 s≤t =1
*
*
*
,q ,q ) | G 2 (q
,q ,q ) | ... | G L (q
,q ,q )  ×
= G 1 (q


*
*
*
*
×  τ 1 (ξ ) | τ 2 (ξ ) | ... | τ L (ξ )  =


,q ,q )τ (ξ ).
= G (q
(3.14)
Распишем подробнее структуру матрицы G={Gkl}k=1,n; l=1,m,
где n – число строк матрицы, равное числу обобщенных координат qi; m=L – размерность вектора параметров τ(ξ):
G kl =
m
m
j =1
j =1
∑ G kl0 ,jq j +∑ G 1kl,ijq iq j +G 2kl. (3.15)
Таким образом, уравнение (3.3) (или сокращенное (3.1)) принимает вид (3.2).
3.4. Контрольные вопросы
1. Пусть l1, l2, r1, r2, m1, m2 – параметры двухзвенного манипулятора (рис 4.2): длины звеньев, расстояния до точечных масс
и сами массы. Напишите уравнения динамики такого манипулятора в форме уравнений Лагранжа.
2. Пусть l1, l2, r1, r2, m1, m2 – параметры двухзвенного манипулятора. Напишите его уравнения динамики в форме, линейной относительно этих параметров.
3. Пусть l1, l2, l3, r1, r2, r3, m1, m2, m3 – параметры трехзвенного плоского манипулятора. Напишите уравнения динамики
29
такого манипулятора в форме уравнений Лагранжа и в форме,
линейной относительно этих параметров.
4. Пусть l1, l2, l3, r1, r2, r3, m1, m2, m3 – параметры трехзвенного пространственного манипулятора. Напишите уравнения
динамики такого манипулятора в форме уравнений Лагранжа и
в форме, линейной относительно этих параметров.
5. Напишите уравнения динамики манипулятора из задач 1–4
для случая нулевых масс звеньев, кроме последнего звена.
6. Докажите симметричность матрицы инерции звена манипулятора.
30
4. Идентификация параметров манипулятора
методом наименьших квадратов
4.1. Вывод формул идентификации для метода
наименьших квадратов
Одним из наиболее простых и одновременно эффективных
методов идентификации является метод наименьших квадратов (МНК). МНК дает практические хорошие результаты во
многих ситуациях, обладает ясным математическим смыслом и
вычислительной эффективностью. Отказ от него и обращение к
другим, намного более сложным методам, следует делать только
после заведомо неудачного полученного с его помощью и проанализированного результата.
Итак, для получения оценки τ (ξ ) вектора τ(ξ) воспользуемся уравнением динамики механической системы манипулятора
(3.2):
,q ,q )τ (ξ ) = u,
G (q
используя результаты статистической обработки измерений век ,u, – обобщенных координат, скоростей, ускорений
торов q, q , q
и управлений соответственно.
Перейдем к дискретному представлению уравнения. Для
компактности выкладок введем для каждого момента времени
l=1,..., k, в которые производятся измерения, соответствующие
векторы (вектор-столбцы) размерности n:
q(l) = (q1(l), q2(l), …, qn(l))*,
q (l ) = (q 1 (l ),q 2 (l ),...,q n (l )) ,
*
 (l ) = (q
 1 (l ),q
 2 (l ),...,q
 n (l )) ,
q
*
u(l) = (u1(l), u2(l),..., un(l))*,
и матрицу размерности n×m
 G 11 (l ) ... G 1m (l )
(4.1)
 (l ),q (l ),q (l ))=  ...
G (l ) = G (q
...
...  . 

G n1 (l ) ... G nm (l )
Составим из введенных векторов и матрицы тензоры ранга 2
размерности n×k и тензор ранга 3 размерности n×m×k соответственно:
q = (q(1)|q(2) |...|q(k))*,
31
q = (q (1) q (2) ... q (k))*,
 = (q
(1) q
(2) ... q
(k))*,
q
u = (u(1)|u(2)|...|u(k))*,
,q ,q) = (G(1) G(2) ... G(k)) *. G = G(q
(4.2)
Тогда, уравнение динамики (3.2) в точках l=1, 2,..., k, принимает вид
,q ,q)T = u,
G(q
(4.3)
где Τ=τ(ξ)=(τ*|τ*|...|τ*)* – вектор-столбец, элементами которого
являются повторенный k раз вектор-столбец τ.
Если уравнение динамики переписать в координатах, то получим следующую систему n×k уравнений:
m
∑ G ij (q,q ,q )τ j = u i, (4.4)
j=1
где i=1,..., n – число обобщенных координат, j=1,..., m – размерность вектора параметров τ(ξ).
Или с учетом моментов времени измерений
m
∑ G ij (l )(q (l ),q (l ),q (l ))τ j = ui (l ), (4.5)
j =1
l=1,..., k – число моментов времени измерений.
Заметим, что можно рассматривать разные каналы управления i как дополнительные измерения.
Решение по методу наименьших квадратов (МНК) находится
из условия минимума среднеквадратичного отклонения реально измеренных переменных манипулятора от их теоретических
значений согласно уравнению динамики (3.1) [45]. При применении МНК обычно рассматривается выражение переменных состояния объекта через управляющие воздействия, т. е. в случае
манипулятора выражение его вектора обобщенных координат q
относительно вектора управления u. Здесь мы поступим иначе,
так как уравнение (3.2) с линейно входящими параметрами манипулятора, наоборот, выражает вектор управления u через век. Если
тора обобщенных координат q, скоростей q , ускорений q
же использовать уравнения динамики в общепринятой форме
(3.1) и далее приводить их к нормальному виду (и даже затем линеаризовывать), выражая переменные состояния (обобщенные
32
координаты и скорости) описываемые этими нормальными уравнениями динамической системы относительно входных воздействий u, то вектор параметров τ(ξ) будет входить нелинейно.
Во всем остальном поступим обычным образом. При идентификации параметров манипулятора будет минимизировать вектор ошибки
,q ,q)T,
e = u – G(q
(4.6)
между правыми и левыми частями уравнений динамики.
В методе МНК в качестве меры ошибки выбирается равновзвешенное среднеквадратичное отклонение компонентов вектора
ошибки e, полученное в результате измерений, т. е. задача состоит в определении вектора параметров τ(ξ), доставляющего минимум следующей функции:
E = E(τ) = e
=
k
∑ u (l )− G (l )τ (ξ )
l =1
2
2
,q ,q)T
= u – G(q
2
=
2

m

u i (l ) −  G ij (l )τ j (ξ )  , (4.7)
=
 j =1

l =1 i =1 



k
n
∑∑
∑
где
x
2
=
n
∑ x i2 – обычная евклидова норма вектора (длина).
i=1
Условием экстремума (в том числе минимума) по τ функции
E(τ) является, как обычно, равенство 0 вектора частных производных по τ-градиента:
∂E/∂τ=0.
(4.8)
Раскроем выражение (4.8):
E = ||u–Gτ||2= [u–Gτ]*[u–Gτ] = u*u+[Gτ]*[Gτ]–[Gτ]*u–u*[Gτ] =
= u*u+τ*G*Gτ–2τ*G*u.
(4.9)
Продифференцируем и приравняем его 0:
∂E/∂τ=∇τE=2G*Gτ–2G*u=–2G*[u–Gτ]=–2G*e=0. (4.10)
Отсюда в случае неособенности (обратимости) матрицы G*G
находим оценку τ вектора τ:
τ =[G*G]–1G*u.
(4.11)
Так как матрица G*G≥0, т. е. всегда неотрицательно определена, то решение (4.11) обращает выражение в 0 и, значит, яв,q ,q)
ляется минимумом. Как правило, при вычислении G = G(q

обобщенные координаты qi(l), q i (l), i=1,n, определяются из пока33
 i (l) находятся численным дифференцировазаний датчиков, а q
нием.
В том случае, когда матрица G*G оказалась особой, необходимо просто пропустить текущее измерение, так как оно оказалось
лишним и не добавило новой информации.
4.2 Рекурсивная форма МНК
Система диагностирования работает в реальном времени при
непосредственном функционировании манипулятора. В таком
же режиме должен работать и алгоритм идентификации, а следовательно, необходимо использовать рекурсивную форму вычислений МНК, когда для получения оценок на (k+1)-м шаге можно
было бы не пересчитывать все полученные результаты измерений по-новому, а эффективно использовать полученные на k-м
шаге оценки.
Приведем для случая уравнений манипулятора с линейным
выражением вектора параметров τ(ξ) (3.2) формулы соответствующего алгоритма рекурсивной идентификации [28], где они
приведены для общего вида МНК. Для этого добавим в обозначения тензоров G и u формальный параметр l, который обозначает
номер шага вычислений: G(l) и u(l). Кроме того, как уже указывалось и выше, будем включать в рассмотрение только те измерения, при которых матрица [G(l)*G(l)] невырождена.
Тогда, записывая выражение для среднеквадратичной оценки вектора τ на (l+1)-м шаге τ (l + 1) через выражение для оценки
на l-м шаге τ (l ) и некоторой поправки, получаем следующее рекуррентное уравнение [28]:
где
τ (l + 1) = τ (l ) + K (l )u (l + 1) − G (l + 1)τ (l ) , 

(4.12)
K(l) = P(l+1)G*(l+1)=P(l)G*(l+1)[En+G(l+1)P(l)G*(l+1)]–1,
P(l+1) = [Em–K(l)G(l+1)]P(l).
(4.13)
При этом векторы и матрицы имеют следующие размерности:
τ (l ) – m, u(l) – n, K – m×n, P – m×m, G – (n×l)×m, G – n×m, G* –
m×n, G*G – m×m; En, Em – единичные матрицы размерности n и
m соответственно.
Элементы вектора K являются весовыми коэффициентами,
показывающими как должны объединяться предыдущие значения и поправки. А в качестве начального условия для P выбира34
Получено начальное τ0 ?
Да
Нет
l ≥ l0 = m
ВЫХОД
Да
Вычисление G (l), G (l)*
Вычисление G (l)*G (l)
det [G (l)*G (l)]=0 ?
ВЫХОД
Да
Вычисление K (l) =
= P(l)G (l+1)* [E +
l0 = l
m
+G (l+1) P(l) G (l+1)*] –1
Вычисление
P(l+1)=[En–K(l)G (l+1)] P(l)
τ� (l+1) = τ� (l ) + K (l ) [ν (l + 1)]–
–G (l + 1) τ� (l )
Определение
P(l )=[ G (l)*G (l)] –1
0
∗
τ� 0 = τ� (l0 ) = P (l0 )G (l ) ν (l0 )
L = l+1
ВЫХОД
Рис. 4.1. Блок-схема алгоритма рекурсивного МНК для робота в целом
ется его значение в первый момент l0 невырожденности матрицы
[G(l0)*G(l0)] и
P = [G(l0)*G(l0)]–1,
(4.14)
τ (l0 ) = P(l0)G*(l0)y(l0).
(4.15)
На рис. 4.1 приведена блок-схема алгоритма рекурсивного
МНК для робота в целом, т. е. последовательность вычислений
по формулам (4.12–4.15).
35
4.3. Выделение составляющих сил
Рассматрим следующие компоненты сил:
− выделение силы тяжести;
− выражение внешней силы через моменты в приводах;
− отделение сухого трения от внешней силы;
− отделение вязкого трения.
Для выделения составляющей от силы тяжести и внешней
силы можно при малой скорости движения пренебречь величи . В этом случае, похоже, можно записать ошибку
нами q и q
в стандартной форме относительно выходных координат, а не
входных управлений при линейном вхождении вектора параметров τ.
Модифицируем теперь наши рассмотрения с учетом составляющих (3.3) M п (q)q + M тр (signq )q + M вн (q) из основного уравнения (3.2). Дополним вектор параметров τ(ξ) элементами, связанными с этими составляющими. Диссипативные составляющие
от противоЭДС двигателя можно считать известными, так как
соответствующие коэффициенты cl и iред точно известны из паспортных данных (во всяком случае, iред), либо их можно не выделять в отдельный элемент идентификации и включить в вязкое
трение.
В первом приближении, для упрощения, можно считать коэффициенты вязкого и сухого трения одинаковыми для всех
шарниров. В этом случае им будут отвечать по одному элементу
вектора параметров τ(ξ). Иначе, надо считать каждый коэффициент отдельной величиной и идентифицировать в каждом из
шарниров свои оба коэффициента. Тогда размерность каждого из
соответствующих подвекторов τс.тр и τв.тр вектора параметров τ(ξ)
будет n, где n – число шарниров. Для совокупного вектора параметров введем обозначение τ∑={τ(ξ),τс.тр,τв.тр}. Соответствующим
образом скорректируем матрицу G:
G∑= G+GE,
(4.16)
где GE отвечает за сухое и вязкое трение:
G 11 G 1m q 1



GΣ = 



G n1 G nm q n
36
sign (q 1 )





sign (q n )
(4.17)
4.4. Выражение внешней силы через моменты в шарнирах
Пусть в результате идентификации удалось определить вектор моментов в шарнирах, вызванных влиянием внешней силы
или момента силы:
Mвн(q) = τвн= (τвн.,1,..., τвн.,n).
(4.18)
Например, выражая их из выражения при всех уже определенных остальных составляющих:
 − G 1 (q,q )q − G 2 (q ) −
M вн (q ) = G − G 0 (q )q
(4.19)
–M д (q )q − M тр (signq )q + v.
Для удобства введем 8-мерный вектор внешней комплексной
силы F=(P,Q), где P и Q – приложенные к телу (у нас – к звену)
4-мерные вектора силы и момента, соответственно (последние
элементы которых равны 0).
Сделаем некоторые естественные допущения и обозначения,
удобные для строгой постановки задачи. Во-первых, будем считать, что имеется одна внешняя сила, действующая на звено с
максимальным номером «j», для которого момент Mвн,j≠0:
j=max{i=1,..., n | Mвн,i≠0}.
(4.20)
Это условие соответствует нахождению последнего, считая
от основания, звена, на которое оказывает воздействие эта внешняя сила, а значит, она приложена именно к этому звену. Для
однообразия, с учетом того, что у нас при стандартном наборе
датчиков манипулятора нет никакой возможности определить
конкретную точку приложения силы, будем считать этой точкой
приложения середину звена.
Пусть, как обычно (см. (3.9)), Bj(q) = A1(q1)A2(q2)...Aj(qj) –
матрица преобразований координат из j-й системы координат в
нулевую:
Rj = (rj,θ123)
(4.21)
комплексный вектор точки приложения силы и момента силы
к j-му звену, где rj – 4-мерный проективный радиус-вектор этой
точки в системе координат этого звена, а θ123=(1, 1, 1, 1)* – также 4-мерный проективный вектор, отвечающий углу вращения
момента силы. Если считать точкой приложения середину отрезка, то rj=r0j – известный вектор. Далее будет применяться обозначение скалярного произведения (x, y) 4-мерных проективных
векторов, в котором перемножаются только первые три координаты. Вычислим работу
37
i
∑ M вн,iδq i = δA = (F,δR 0j )= (F,δ (B j (q)R j )) =
i =1
j
j

 

∂B j
=  F,
δq iR j  =  F,
B ij R j δq i 




 i =1 ∂q i
  i =1

∑
∑(
)
(4.22)
Отсюда
i
∑ M вн,i = (F,B ijR j ),
i = 1,...., j. (4.23)
i =1
Если раскрыть F и Rj, то получаем выражение следующего
вида
i
∑ M вн,i = (P,B ijrj )+ (Q,B ijθ123 ),
i = 1,...., j. (4.24)
i =1
Используем теперь выражение (4.24) для моментов в шарнире
как систему j линейных уравнений с шестью неизвестными относительно компонент вектора комплексной силы F=(P,Q) с коэффициентами BjiRj и правыми частями Mi, i=1,..., j:
BF=M,
(4.25)
где M = (M1,..., Mj) – вектор размерности j,
B = (B 1j R j , B 2j R j ,..., B jj R j ) – матрица размерности j×6,
F = (F1,..., F6)*= (P1, P2, P3, Q1, Q2, Q3)*.
Теперь найдем ту внешнюю силу (и момент силы), которые
должны вызывать этот вектор моментов в шарнирах. Для этого
приравняем выражение для вариации работ для моментов в шарнирах и для внешней комплексной силы.
Сделаем некоторые замечания по поводу разрешимости этой
системы уравнений. Если rank(B) = 6, в том числе для типического случая 6-степенного манипулятора det(B)=6, то система имеет
решение и комплексный вектор F находится, как правило, однозначно. Неоднозначность возникает для случая j>6.
В противном случае можно определить только часть компонентов вектора F. Так будет, например, когда комплексная сила
приложена к первым звеньям манипулятора и тогда можно определить только проекцию этой силы тангенциальную к оси 1-го
шарнира (для 1-го звена); только проекцию на плоскость, перпендикулярную первым двум шарнирам; только вектор P для
случая 3-го звена и т. д. Остальные составляющие могут быть
38
любыми, но поскольку они перпендикулярны соответствующим
B ij , то это не проявляется в формуле для Mi, i=1,..., j.
Заметим, что для создания момента силы, воздействующего в
точке звена и проявляющегося в моменте в шарнире, необходимо
как минимум четыре степени свободы.
4.6. Модель манипулятора с приводом
В реальных манипуляторах в качестве управлений выступают
не моменты (усилия) в шарнирах, а управляющие напряжения в
приводах. Существуют различные типы приводов и различной
степени подробности их математические модели. В настоящем
пособии ограничимся типическим случаем электропривода на
основе двигателя постоянного тока с независимым возбуждением и двумя типами его описания:
− функциональное уравнение;
− учет постоянной времени якоря двигателя.
Первый случай совсем прост, но позволяет проводить исследования с реальными физическими роботами или их макетами.
Второй случай позволяет принципиально учесть влияние динамики привода на управление. Для этого в математическую модель манипулятора добавляются следующие описывающие привод уравнения [22]:
Tя I я + I я = k (v − c li редq ),
(4.26)

u = c m I я,
где Tя – постоянная времени привода; Iя – ток якоря двигателя;
k – совокупный коэффициент усиления усилителей; v – управляющее напряжение; cl – конструктивный коэффициент двигателя; iред – передаточное отношение редуктора; cm – коэффициент
передачи по моменту.
Тогда
kc m
(4.27)
u=
(v − cliредq ), Tя + 1
В случае функционального описания Tя=0 и уравнение динамики механической системы манипулятора (3.2) сохраняет свой
вид, со скорректированными значениями G и Mд(q): G′=G/(kcm),
и Mд′(q)=Mд′(q)+(cl×iред )/(kcm) (cl, iред, k, cm – векторы параметров приводов).
39
В случае Tя≠0, уравнение (3.2) повышает свой порядок на 1 и
приобретает вид
′ q,q
,q ) + G (q
,q ,q ) τ (ξ ) = v,
(4.28)
TяG (
,q ) = G′ 0 (q )
G′ (
q,q
q+
+
′0
∂G
∂q
∂G′1 (q,q )
∂q
(q )dqq + G′1
(q,q )q +
(4.29)
dqq +….
Уравнение привода может являться предметом совместной
идентификации его с механической системой манипулятора.
Однако в настоящем пособии принят кажущийся практически
более эффективным подход, когда механическая система и привод развязываются и подвергаются раздельной идентификации
по своим отдельным алгоритмам. При этом, при идентификации механической системы в правую часть уравнений динамики
(3.2) вместо управляющих моментов, когда они не измеряются,
подставляются их выражения из того или иного уравнения привода. В простейшем случае – функционального уравнения (4.27)
при Tя=0.
4.7. Пример двухстепенного манипулятора
Матрицы инерции. Рассмотрим теперь пример изображенного на рисунке 4.2 плоского двухстепенного манипулятора (плоский двухзвенник) с двумя расположенными в одной плоскости
вращательными степенями.
x21
x11
q2
x20
x22
x31
q1
x10
x30
Рис. 4.2. Плоский двухзвенник
40
x32
x12
Кинематические (Денавита – Хартенберга) и динамические
параметры в этом случае [34]:
a = (0,0), s = (l1,l2), α = (0,0), γ = (q1,q2),
(4.30)
где l1, l2 – длины звеньев.
Матрицы инерции звеньев H1, H2 симметричны, поэтому значимыми являются только 10 элементов верхнего треугольника
над диагональю. Кроме того, рассмотрим наиболее практически
значимый случай идентификации параметров груза, т. е. учитывающей его матрицу H2, пренебрегая матрицей первого звена
H1.
Выбранные в соответствии с общим методом связанные со звеньями системы координат (x10, x20, x30), (x11, x21, x31), (x12, x22,
x32) и обобщенные координаты q1, q2 (см. рисунок 4.2) приводят
к следующим матрицам преобразования Ai, Bi (размерности 4×4)
координат из системы (i+1) в систему i и в связанную с основанием манипулятора систему координат «0» (инерциальную) соответственно и матрицам частных производных B 11, B 12, B 22. Для
компактности введем обозначения Sq = sinq, Cq = cosq.
cos q1 − sin q1
 sin q1 cos q1
A1 = 
0
 0
0
0

cos q 2
 sin q 2
A2 = 
 0
 0
− sin q 2
cos q 2
0
0
0 l1 cos q1 
0 l1 sin q1 
,
1
0 
0
1 
0 l2 cos q 2 
0 l2 sin q 2 
 , B 1 = A 1,
1
0 
0
1 
B 2 = [F ] =
C (q1 + q 2 ) −S (q1 + q 2 )
S q + q
=  ( 1 2 ) C (q1 + q 2 )
0
0


0
0
0 l1Cq1 + l2C (q1 + q 2 )
0 l1Sq1 + l2S (q1 + q 2 ) ,
1
0


0
1
где
 Cq1Cq 2 − Sq1Sq 2

F = Sq1Cq 2 + Cq1Sq 2
0


0
−Cq1Sq 2 − Sq1Cq 2
−Sq1Sq 2 + Cq1Cq 2
0
0
0 l2 (Cq1Cq 2 − Sq1Sq 2 ) + l1Cq1 
0 l2 (Sq1Cq 2 + Cq1Sq 2 ) + l1Sq1 
1
0


0
1
41
B 11
 −Sq1 −Cq1
 Cq1 −Sq1
=
0
 0
0
 0
 −S (q1 + q 2 ) −C (q1 + q 2 )

B 12 =  C (q1 + q 2 ) −S (q1 + q 2 )
0
0


0
0
0 −l1Sq1 
0 l1Cq1 
,
0
0 
0
0 
0 −l1Sq1 − l2S (q1 + q 2 )
0 l1Cq1 + l2C (q1 + q 2 )  ,
0
0


0
0
 −S (q1 + q 2 ) −C (q1 + q 2 ) 0 −l2S (q1 + q 2 )
 C q +q

B 22 =  ( 1 2 ) −S (q1 + q 2 ) 0 l2C (q1 + q 2 )  ,
0
0
0
0




0
0
0
0
 −C (q1 + q 2 ) S (q1 + q 2 ) 0 −l2C (q1 + q 2 )
 −S q + q

12
2
B 2 = DB 2 =  ( 1 2 ) −C (q1 + q 2 ) 0 l2S (q1 + q 2 )  . (4.31)
0
0
0
0




0
0
0
0
Теперь получаем выражение для коэффициентов уравнений
Лагранжа в форме линейной относительно элементов матрицы
инерции H2 манипулятора.
1
a01
= tr (B 12HB 12* ) = tr (B 12*B 12H ) =


C (q1 + q 2 )
0 0
−S (q1 + q 2 )



0 0
−C (q1 + q 2 )
−S (q1 + q 2 )


×


0
0
0 0

  −l Sq − l S (q + q ) l Cq + l C (q + q ) 0 0 
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2

=
= tr  
  −S (q + q ) C (q + q ) 0 −l Sq − l S (q + q )

1
2
1
2
1
1
2
1
2
 


 ×  −C (q1 + q 2 ) −S (q1 + q 2 ) 0 l1Cq1 + l2C (q1 + q 2 )  × H 
 

0
0
0
0

 


0
0
0
0
 



1
0
0
l1Cq1 + l2




−l1Sq 2
0
1
0
= tr  
 × H =
0
0
0
0



 l Cq + l −l Sq 0 l 2 + l 2 + 2l l Cq 

1
2
1
2
12
2
 1 2 2

= h11 + 2 (l1Cq 2 + l2 )h14 + h22 − 2l1Sq 2h24 + (l12 + l22 + 2l1l2Cq 2 ) h44.
42
1
2
a02
= a01
= tr (B 22HB 12* ) = tr (B 12*B 22H ) =

C (q1 + q 2 )
0 0 
−S (q1 + q 2 )


C
S
0
0  
−
q
+
q
−
q
+
q
( 1 2)
( 1 2)

×

0
0
0 0 
  −l Sq − l S (q + q ) l Cq + l C (q + q ) 0 0  
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
 =
= tr  
  −S (q + q ) −C (q + q ) 0 −l S (q + q )

1
2
1
2
2
1
2

 

 ×  C (q1 + q 2 ) −S (q1 + q 2 ) 0 l2C (q1 + q 2 )  × H 

 
0
0
0
0


 

0
0
0
0


 

1

0
= tr  
0

 l Cq + l
 1 2 2
0
1
0
−l1Sq 2

0
l2



0
0
×H =

0
0


2

0 l2 + l1l2Cq 2 

= h11 + (l1Cq 2 + 2l2 )h14 + h22 − l1Sq 2h24 + (l22 + l1l2Cq 2 ) h44.
2
1* 2
a02
= tr (B 22HB 2*
2 ) = tr (B 2 B 2H ) =
  −S (q1 + q 2 )

  −C (q1 + q 2 )

0
  −l S (q + q )
2
1
2
= tr  
  −S (q + q )
1
2
 
 ×  C (q1 + q 2 )
 
0
 
0
 
 1
0
= tr  
0
 l
 2
0
1
0
0
C (q1 + q 2 )
−S (q1 + q 2 )
0
l2C (q1 + q 2 )
0
0
0
0
−C (q1 + q 2 )
−S (q1 + q 2 )
0
0
0
0
0
0





=

−l2S (q1 + q 2 )


l2C (q1 + q 2 )  × H 

0



0

0
0 
×
0
0 

0 l2 

0 0
× H  = h11 + 2l2h14 + h22 + l22h44.

0 0


0 l22 

43
12
a11
= σ 12tr (B 122HB 12* ) = tr (B 12*B 122H ) =

C (q1 + q 2 )
0 0 
−S (q1 + q 2 )


0 0  
−C (q1 + q 2 )
−S (q1 + q 2 )

×

0
0
0 0 
  −l Sq − l S (q + q ) l Cq + l C (q + q ) 0 0  
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
 =
= 2tr  
  −C (q + q ) S (q + q ) 0 −l C (q + q )

1
2
1
2
2
1
2

 

 ×  −S (q1 + q 2 ) −C (q1 + q 2 ) 0 −l2S (q1 + q 2 ) × H 

 
0
0
0
0

 


0
0
0
0


 
 0
 1
= 2tr  
 0
  −l Sq
 1 2
−1
0
0
−(l1Cq 2 + l2 )

0
0



0
l2
×H =

0
0



0 −l1l2Sq 2 

= − (2l1Sq 2 )h14 − (2l1Cq 2 )h24 − (2l1l2Sq 2 ) h44.
a21 =
2
∑ gtr ((−Θ 42B 1l )H l ) =
l =1
− gtr (Θ 42B 12H ) =
= − gtr (Θ 42 [F ]× H )=

0
0

0
0
= 2tr  
0
0

 C (q1 + q 2 ) −S (q1 + q 2 )


0
0



0
0
 ×H =
0
0



0 l1Cq1 + l2C (q1 + q 2 )
 (4.33)
= − gC (q1 + q 2 ) h14 + gS (q1 + q 2 ) h24 − gl2C (q1 + q 2 ) h44.
где

−S (q1 + q 2 )
−C (q1 + q 2 )

C (q1 + q 2 )
−S (q1 + q 2 )
F=
0
0

 −l Sq − l S (q + q ) l Cq + l C (q + q )
1
2
1
1
2
1
2
 1 1 2
0 −l1Sq1 − l2S (q1 + q 2 )
0 −l1Cq1 + l2C (q1 + q 2 )
.
0
0


0
0

Остальные коэффициенты при смешанных производных получаются вследствие условий антисимметричности (см. [41] )
i
a1ijk = −a1ikkj , k > j ≥ i; akl
= 0, k = j ≥ i;
11
12
11
22
22
a12
= −a11
; a11
= a11
= a12
= 0.
44
(4.34)
Теперь для нашего случая идентификации груза плоского
двухзвенника введем следующий вектор параметров размерности m = 6: τ=(h11, h12, h14, h22, h24, h44). И, таким образом,
(
)
0
a1ijk = G k1,ij (q) = (G k11,ij , …, G km
,ij )τ;
0
a0i k = G k0,i (q) = G k01,i , …, G km
,i τ,
1
при этом G1,12
зависит только от h14, h24, h44.
Внешняя сила. Теперь получим конкретное упрощенное
выражение для внешней силы из формул (4.24, 4.25) в случае
двухзвенника. В случае плоского двухзвенника возможны два
варианта приложения силы: к первому звену или ко второму (в
формуле (4.24) – j=1 или j=2, соответственно). При этом приложение внешнего момента к любому из звеньев в случае плоского
двухзвенника не влияет на величину моментов в шарнирах, а,
следовательно, и не может быть определено. Более того, в случае Mвн,2 = 0, т. е. силы приложенной к 1-му звену, только ортогональная к звену составляющая силы оказывает влияние на
Mвн,1, а значит, только она и может быть определена.
В случае приложенной к 1-му звену силы формула (4.24) даст
уравнение для очевидного из непосредственных соображений
выражения |P| = 2|Mвн,1|l1:
M вн,1 = (P, B 11r1 )=
*

{l1 /2sin q1 − l1 sin q1},  
* 
=  (P1, P2,0,0 ) ,
 =
 {−l /2cos q + l cos q },0,0  

1
1
1
1



(− sin q1 )(−l1 / (2sin q1 ))+ 
=
= P sign (M вн,1 ) 
 + (cos q1 )(l1 / (2cos q1 )) 
(4.35)
= P sign (M вн,1 )l1 /2.
Здесь r1=(–l1/2, 0, 0, 1), матрица B 11 определяется формулой
(4.31):
*
*
B 11 = (− sin q1,cos q1,0,0 ) ,(− cos q1, − sin q1,0,0 ) ,
(0,0,0,0 )* ,(−l1 sin q1,l1 cos q1,0,0 )*  ,
а вектор P равен P=(P1, P2, 0, 0)*=|P|eP=(2|Mвн,1|/l1)eP, где
eP=sign(Mвн,1)(–sinq1, cosq1, 0, 0)* – орт ортогональный 1-му звену.
45
Во втором случае имеем систему двух уравнений
*
*
1
M
 вн,1 = (P1, P2,0,0 ) , B 2 (−l2 /2,0,0,1) 
 M вн,2 = (P1 , P2,0,0 )* , B 22 (−l2 /2,0,0,1)*

(
(
)
)
(4.36)
Выполняя скалярное произведение векторов, получаем
M
=P  –l /2 {B 1 +{B 12 14  +P2 (–l2/2 ){B 12 21 +{B 12 24  ,
 вн,1 1 ( 2 ) 2 11




 M вн,2 =P1 (–l2/2 ){B 22 +{B 22  +P2 (–l2/2 ){B 22 +{B 22  ,
11
14 
21
24 





}
}
}
}
}
}
}
}
и, подставляя конкретные значения элементов матриц B 11, B 22,
получаем
 M вн,1 = P1 l2 /2sin (q1 + q 2 ) − l1 sin q1 − l2 sin (q1 + q 2 ) +

+ P2  −l2 /2cos (q1 + q 2 ) + l1 cos q1 + cos (q1 + q 2 ) ,

 M вн,2 = P1 l2 /2sin (q1 + q 2 ) − l2 sin (q1 + q 2 ) +

+ P2  −l2 /2cos (q1 + q 2 ) + l2 cos (q1 + q 2 ) ,
или
 M вн,1 = P1  −l1 sin q1 − l2 /2sin (q1 + q 2 ) +

(4.37)
+ P2 l1 cos q1 + l2 /2cos (q1 + q 2 ) ,

 M вн,2 = P1  −l2 /2sin (q1 + q 2 ) + P2 l2 /2cos (q1 + q 2 ) .
Обозначая в этой системе двух линейных уравнений относительно двух неизвестных матрицу коэффициентов через
A={aij}i,j=1,2, получаем, что
det A = a11a22 − a12a21 = (−l1 sin q1 )(l2 /2 )cos (q1 + q 2 ) −
– (l12 /4 )sin (q1 + q 2 )cos (q1 + q 2 ) + (l1l2 /2 )cos q1 sin (q1 + q 2 ) + (4.38)
+ (l12 /4 )sin (q1 + q 2 )cos (q1 + q 2 ) = (l1l2 /2 )sin q1,
и, окончательно
 P1 = (a11M вн,1 − a12 M вн,2 )/det A,

 P1 = (−a21M вн,1 + a22M вн,2 )/det A.
46
(4.39)
4.8. Контрольные вопросы
1. Пусть даны параметры отдельного шарнира. Написать выражения для определения параметров манипулятора с помощью
метода наименьших квадратов.
2. Пусть даны параметры l1, l2, r1, r2, m1, m2 двухзвенного манипулятора с нулевой массой первого звена. Написать выражения для определения параметров манипулятора с помощью метода наименьших квадратов.
3. Пусть даны параметры l1, l2, l3, r1, r2, r3, m1, m2, m3 трехзвенного плоского манипулятора с нулевыми массами первого и
второго звеньев. Написать выражения для определения параметров манипулятора с помощью метода наименьших квадратов.
4. Пусть даны параметры l1, l2, l3, r1, r2, r3, m1, m2, m3 трехстепенного пространственного манипулятора с нулевыми массами
первого и второго звеньев. Написать выражения для определения параметров манипулятора с помощью метода наименьших
квадратов.
5. Записать выражения для определения параметров манипулятора в задачах 1–4 в рекурсивной форме, эффективной с точки
зрения затрат вычислительных ресурсов: памяти и времени.
6. Пусть даны параметры одностепенного шарнира. По заданному моменту в шарнире найти создаваемую им силу на конце
звена.
7. Пусть даны параметры l1, l2, r1, r2, m1, m2 двухзвенного манипулятора. По данным моментам в шарнирах найти создаваемые на конце звена силу и момент.
8. Пусть даны параметры l1, l2, l3, r1, r2, r3, m1, m2, m3 трехзвенного плоского манипулятора. По данным моментам в шарнирах найти создаваемые на конце звена силу и момент.
9. Пусть даны параметры l1, l2, l3, r1, r2, r3, m1, m2, m3 трехстепенного пространственного манипулятора. По данным моментам
в шарнирах найти создаваемые на конце звена силу и момент.
10. Напишите функциональное уравнение привода на основе
упрощения модели с учетом постоянной времени якоря двигателя.
47
5. Система диагностики
отдельной степени подвижности
5.1. Структурная схема отдельной степени подвижности
Как было упомянуто выше, чтобы не иметь дела со слишком
сложной многозвенной системой с подробным описанием каждой отдельной степени, при анализе (идентификации параметров и диагностике) отдельной степени будем рассматривать ее
отдельно от остального манипулятора, т. е. автономно. При этом
в качестве влияния остального манипулятора будем рассматривать инерционную нагрузку в виде так называемого приведенного момента инерции рассматриваемой степени, представляющего
собой момент инерции (массу) «хвоста» манипулятора в данной
конфигурации JM. И внешний момент M (силу) от воздействия
«хвоста» манипулятора, определяемый из уравнения Лагранжа
(3.1):
−1
∂M k
 − b k (q,q , ξ ). (5.1)
J M,k =
= { (A −1 )kk } ; M M,k = A k (q )q
∂qk
Обоснованием корректности автономного рассмотрения степеней подвижности может служить тот факт, что постоянная времени механической системы на порядок и более больше постоянной времени привода манипулятора, т. е. переходные процессы в
приводе протекают на порядок и более быстрее и при их анализе
влияние механической системы можно считать постоянным.
Рассмотрим подробную структурную схему отдельной степени подвижности манипулятора (рис. 5.1) для широко распространенного случая электрического привода на основе двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением [22, 42] и соответствующую ей систему обыкновенных дифференциальных
уравнений. отметим следующие особенности данного привода:
− практически все такие приводы имеют конструктивную
обратную связь по скорости двигателя, реализованную посредством встроенного тахогенератора;
− иногда имеется конструктивная управляемая обратная связь
по положению, т. е. система управления может задавать режимы
ее замыкания или размыкания и, соответственно, управление
таким приводом осуществляется управляющим сигналом, который задает уставку (желаемое, программное значение) скорости
или положения;
48
49
Рис. 5.1.Структурная схема отдельной степени подвижности манипулятора
− как правило, степень оснащена двумя датчиками: измеряющем скорость тахогенератором на выходе двигателя (и входном
валу редуктора) и датчиком положения на выходном валу редуктора;
− часто привод содержит в своем составе внутренние конструктивные обратные связи в виде последовательных и параллельных корректирующих устройств.
5.2. Перечень идентифицируемых параметров
Необходимо, прежде всего, определить перечень параметров,
которые могут оказывать существенное влияние на функционирование, и которые следует включить в алгоритм идентификации. Для этого можно использовать следующие соображения:
− часть параметров практически не изменяется на ощутимую
величину, влияющую на функционирование манипулятора, за
исключением случаев резкого катастрофического изменения,
проявляющегося в аварийном поведении манипулятора, легко
определяемом по изменению поведения его координат;
− ограничение перечня необходимо для разумного снижения
размерности идентификационной задачи, получения лучшей
сходимости алгоритма идентификации (например, за счет лучшей обусловленности матрицы коэффициентов линейной системы уравнений) и улучшения качества идентификации оставшихся параметров за счет большего числа измерений в единицу
времени;
− кроме алгоритмов идентификации параметров отдельных
степеней, в системе диагностирования функционируют алгоритмы идентификации механической системы манипулятора в целом и алгоритмы контроля выхода за допустимые границы показаний датчиков (т. е. сигналов).
Для определения перечня идентифицируемых параметров
могут использоваться следующие методы:
− анализ конкретных численных значений различных параметров, их вклад в динамику привода и полученные в результате
практической эксплуатации наблюдения о постоянстве их значений [22, 42];
− результаты экспериментальных исследований по анализу
влияния значений различных параметров на динамику приводов
роботов [24, 25];
50
− анализ функций чувствительности критериев качества функционирования приводов или передаточных функций звеньев
для различных их параметров (аналитический или экспериментальный).
Неисправности конструкции, т. е. элементов степеней подвижности манипулятора, будут проявляться в изменении характера поведения определяемых датчиками выходных координат.
Система диагностики может использовать эти показания датчиков либо непосредственно, например, отслеживая допустимые
диапазоны (например, динамической ошибки по конкретной степени), либо посредством идентификации параметров определять
недопустимые изменения значений этих параметров.
Согласно упомянутым соображениям [22,24,25,42], выберем
следующий перечень идентифицируемых параметров, который
может уточняться после получения выражений для передаточных функций степеней подвижности и соответствующих им функций чувствительности:
− упругость редуктора cу;
− люфт редуктора σл;
− суммарный коэффициент усиления прямой цепи привода
(корректирующего звена, предварительного усилителя, усилителя мощности, конструктивный коэффициент двигателя) kΣ;
− постоянная времени двигателя Tя.
5.3. Линеаризованные уравнения отдельной степени
подвижности
Сделаем три предварительных замечания по поводу идентификации нелинейных параметров степени подвижности: зоны
нечувствительности предварительного усилителя, величины
насыщения усилителя мощности и люфта. Первая из них, как
правило, настолько незначительна по величине, что меньше
значения единицы разряда управляющего сигнала и, следовательно, почти неуловима и, кроме того, не оказывает никакого
практического влияния на управление манипулятором. В любом
случае, попытку ее идентификации следует сделать в тестовом
режиме, подавая на степень сначала управляющий сигнал величиной в 1 разряд и, если вдруг степень останется неподвижной,
постепенно увеличивая этот сигнал еще на 1 и т. д. Кроме того,
чтобы устранить возможное влияние сухого трения, можно пода-
51
вать этот сигнал в 1 разряд не в неподвижном состоянии степени
манипулятора, а добавлять его при равномерном ее движении.
Для идентификации величины насыщения усилителя мощности можно определять максимально возможное значение величины ускорения движения степени и соотносить с ним соответствующие величины ограничений момента, тока и напряжения.
Идентификацию люфта предлагается осуществлять комплексным методом. С одной стороны, накапливая статистику рассогласований заданного (программного) и реального положения
выходных валов звеньев шарниров, когда фиксируемое датчиком реальное положение степени подвижности после остановки
манипулятора может быть произвольным в диапазоне этого люфта. За оценку люфта можно принять максимальное полученное
значение этого рассогласования.
Наряду с этим предлагается, линеаризовав люфт, как основную нелинейность, влияющую на качество функционирования и
работоспособность манипулятора, методом гармонической линеаризации, учесть его среди других параметров линейной системы для идентификации методом наименьших квадратов (МНК).
Сделанному выбору идентифицируемых параметров соответствуют следующая упрощенная конкретизация структурной схемы на рисунке 5.1: тривиальные корректирующее звено
(Wкз(p)=1) и тахогенератор (Tтг=0, kтг=1) и следующая система
уравнений:
vум = Θσy[Ψey[vум]],
Iя = (vя–cl pϕ)/(Rя(Tя p+1)),
Mдв = cmIя,
Jдв p2ϕ = Mдв–Mу/iред,
с у (q у − q − σ л ), если q у − q > σ л,

M у = 0, если q у − q ≤ σ л,

с у (q у − q + σ л ), если q у − q < −σ л,
–qу = ϕ/iред,
∆v = v–vтг = v–kтг pϕ/(Tтг p+1).
(5.2)
Здесь Θσy[.] и Ψey[.] – функции зоны нечувствительности и насыщения соответственно. Управляющий сигнал задания скоро
52
сти v может задаваться в системе управления по положению по
формуле v = cq(vq–q).
Для того чтобы получить в чистом виде линейную систему для
описания степени подвижности манипулятора и применить метод идентификации коэффициентов ее передаточной функции,
подвергнем гармонической линеаризации, например, люфт редуктора. Как указано выше, эту нелинейность мы представляем в
виде зоны нечувствительности (другой вариант – мертвый ход). В
результате получим следующее выражение (передаточную функции – коэффициент усиления, зависящий от величины входного
сигнала) для перехода от ∆qу = qу–q к выходному моменту M:
M = cу,л∆qу,
(5.3)
где cу,л равно коэффициенту гармонической линеаризации kг
[23, 46]
2

2k
a
a
a
c у,л = kг = k −   arcxin   +   1 −    , (5.4)
 π 
 A  A
 A 


где k = cу – наклон упругой характеристики, A = ∆qу – текущая
амплитуда сигнала, a = σл – величина люфта.
5.4. Идентификация параметров отдельной
степени подвижности с помощью метода
наименьших квадратов
Операторное уравнение линейной, т. е. без учета люфта и других нелинейностей, системы для скорости x относительно входного сигнала уу задания v и возмущения M имеет вид [41]
Q(p)x = Pvx(p)v+PMx(p)M,
(5.5)
где
Q ( p ) = TM1 p (T02 p 2 + 1)(Tя + 1) + TM2 (Tя p + 1) + (T02 p 2 + 1) ,
Pvx(p) = kc,
−1
2

PMx ( p ) = −kM (T0 bp 2 + 1)(Tя + 1) + T02TM2 p + 1 ,


TM1 =
J дв R я
J нR я
L
J
, TM2 =
, Tz = я , T02 = н ,
2
R
су
с Lc m
с Lc mi ред
я
kу
Rя
T
kМ =
, kc =
, b = M1 , c L = c l + kΣkтг,
2
T
с Lc mi ред
с Li ред
M2
(5.6)
53
Учет люфта приводит просто к замене cу на cу,л. Влияние механической системы манипулятора на данную степень учитывается за счет того, что момент инерции нагрузки Jн=JМ, а возмущающий момент M=MМ, где JМ, MМ определяются по формулам
(5.1) для приведенного момента инерции и внешнего момента
соответственно.
Преобразуем операторные полиномы Q(p), Pvx(p), PMx(p) к каноническому виду
Q′(p) = p4+a3p3+a2p2+a1p+a0,
P′Mx(p) = b3p3+b2p2+b1p +b0,
(5.7)
P′vx(p) = b0v,
где
a3 =
a1 =
(
J L c + J нс Lc m
1
, a2 = дв я у,д
,
Tя
J дв J н Lя
2
c у,д J дв R zi ред
+ J н Lя
2
J дв J н Lяi ред
b3 =
),
a0 =
(
2
c у,д J н R z + с Lc m i ред
2
J дв J н Lяi ред
),
2
c L + с Lc m i ред
1
1
, b2 =
, b1 = у,д я
,
2
Jн
Tя J н
J дв J н Lяi ред
b0 =
c у,д
J дв J н Lя
, b1 =
kΣc m c у,л
2
J дв J н Lяi ред
.
(5.8)
Для применения МНК перейдем от непрерывной формы представления процесса к его конечно-разностному аналогу:
x (k ) = −a3*x (k − 1) − a2*x (k − 2 ) − a1*x (k − 3 ) −
–a0*x (k − 4 ) − b0*xv (k ) + b3* M M (k − 1) + b2* M M (k − 2 ) +
+b1* M M (k − 3 ) + b0* M M (k − 4 ).
ai*,bi*,
(5.9)
Коэффициенты
i = 0, …, 3, конечно-разностного уравнения (5.9), вообще говоря, находятся с помощью экспоненты
матрицы коэффициентов уравнения в пространстве состояния
линейной системы [46]. Однако в случае малого периода квантования h, что имеет место и в нашем случае (h = 0,05–0,1), их
можно получать по крайне простым приближенным формулам
из коэффициентов дифференциального уравнения. Для этого
воспользуемся разностным представлением производных:
54
px = [x(t+h)–x(t)]/h,
p2x = [x(t+2h)–2x(t+h)+x(t)]/h2,
p3x = [x(t+3h)–3x(t+2h)+3x(t+h)–x(t)]/h3,
p4x = [x(t+4h)–4x(t+3h)+6x(t+2h)–4x(t+h)+x(t)]/h4, (5.10)
что после подстановки, приведения и группировки членов в (5.7)
приводит к соотношению
x[k+4] = (4–a3h)x[k+3]+(–6+3a3h–a2h2)x[k+2]+
+(4–3a3h+2a2h2–a1h3)×x[k+1]+(–1+a3h–a2h2+a1h3–
–a0h4)x[k]+h4+b0vv[k].
(5.11)
Кроме того, в нашем случае разгруженного манипулятора
MМ=0, поэтому ограничимся уравнением с нулевыми коэффициентами b1* , что позволяет идентифицировать пяти параметров
a1*,i = 0, …, 3; b0*v , вместо идентификации всех девяти коэффициентов a1*,b1*, i = 0,…,3; b0*v. Таким образом, после идентификации коэффициентов a1*,i = 0,…,3; b0*v, из формул (5.12) легко
находим и коэффициенты a1 ,i = 0,…,3; b0v :
a3 =
−6 + 3a3 − a2*
4 − a3*
4 − 3a3h + 2a2h 2 − a1*
, a2 =
, a1 =
,
2
h
h
h3
−1 + a3h − a2h 2 + a1h 3 − a0* *
(5.12)
, b0 = h 4b0vv [k].
h4
В форме, удобной для применения МНК, получаем y – оценку
измеряемого вектора y:
y = Φα, (5.13)
a0 =
где
(
α = (α 1, α 2, α 3, α 4, α 5 ) = a1*, a2*, a3*, a4*,b0*x
*
);
*
y = (y1,y2,y3,y4,y5)* = (x(k–1),x(k–2),x(k–3),x(k–4),v(k))*;
 Φ 11  Φ 15 
Φ=  
 ,
Φ

 N1  Φ 1N5 
Φ ij = y j (i ), i = 1,…,5; j = 1, N;
N – число измерений.
(5.14)
Как и выше МНК дает следующее решение для определения
коэффициентов этого конечно-разностного уравнения [45]:
55
 = (Φ *Φ) –1 Φ * y, (5.15)
α
или в рекурсивной форме, удобной для вычислений в реальном
времени:
(l + 1) = α
(l ) + K (l ) y (l + 1) − Φ (l + 1)α
(l ) , α
(5.16))


где
K(l)=P(l+1)Φ*(l+1)=P(l)Φ*(l+1)[E1+Φ(l+1)P(l)Φ*(l+1)]–1,
P(l+1)=[E5–K(l)Φ(l+1)]P(l),
(5.17)
K, P – матрицы, аналогичные матрицам из пункта 4.2, где описан их смысл и свойства. При этом, в данном случае участвующие
в формулах матрицы и вектора имеют следующие размерности:
(l ) – число параметров системы дифференциального уравнения
α
5; y(l) – число входов системы 1; K(l) – 5×1, P(l) – 5×5, Φ(l) – 1×5,
Φ*(l) – 5×1, E5, E1=1 – единичные матрицы размерности 5 и 1 соответственно; l – номер измерения.
5.5. Получение физических параметров
отдельного шарнира робота
После того как идентифицированы коэффициенты, описывающие шарнир разностного уравнения (5.9) ai*, i = 0,…,3; b′0*v; а
из них и соответствующие коэффициенты операторного (дифференциального) уравнения (5.5) ai , i = 0,…,3; b′0v; необходимо
из них найти диагностируемые физические параметры cу,л, k∑,
Tя. Для этого рассмотрим выражение для коэффициентов (5.9)
как уравнение относительно соответствующих величин. При
этом для получения Tя=Lя/Rя будем определять именно Lя и Rя, а
параметр cL непосредственно связан с k∑: cL=cl+kΣkтг. Все остальные физические параметры в уравнениях (5.9) будем считать известными.
Тогда, вводя обозначения x=cу,л, y=Lя, z=Rя, w=kΣ, получаем
следующую систему пяти уравнений относительно четырех неизвестных x, y, z, w:
y = C1z,

y = C2xy + C3w + C4,

y = C5xz + C6xy,
y = C xz + C xw + C ,
7
8
9

y = C10xw.
56
(5.18)
Коэффициенты этой системы уравнений:
C5 =
C1 =
J дв
y Lя
1
1
=
= Tz = , C2 =
=
,
z Rя
a3
a2J дв J н a2J н
C3 =
J нсmkтг сmkтг
J с c
с c
=
, C4 = н m l = m l ,
a2J дв J н a2J дв
a2J дв J н a2J дв
2
J двiред
2
a1J дв J нi ред
C7 =
C8 =
C9 =
=
Jн
1
1
=
, C6 =
,
2
2
a1J н
a1J дв J нi ред a1J двi ред
Jн
1
=
= С6 ,
2
2
a1J дв J нi ред
a1J двi ред
2
kтгсmiред
2
a1J дв J нi ред
2
c lс mi ред
2
a1J дв J нi ред
C10 =
=
kтгс m
= C3C5a2,
a1J дв J н
=
c lс m
a
= C4 2 ,
a1J дв J н
a1J н
aa
1
= C2C6 1 2 .
2
b 0v
b0v J дв J нi ред
(5.19)
Теперь, домножая обе части первого уравнения на x и вводя
новые переменные
X = xy, Y = y, Z = xz, V = xw, W = w,
(5.20)
получаем систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными:
 X = C1Z,

Y = C2X + C3W + C4,

Y = C5Z + C6 X,
Y = C Z + C V + C ,
7
8
9

Y = C10V .
(5.21)
Ввиду крайней простоты ее можно решить непосредственно,
используя 1-е уравнение для выражения Z через X (Z=X/C1), 5-е
уравнение для выражения V через Y (V=Y/C10). Тогда из 3-го и
4-го уравнений находим
57
Y = (C5 / C1 + C6 )X,

Y = C7C10 / C1 (C10 − C8 ) (X − C9 ),. (5.22)
и окончательно, находим
X = С7С9С10/[С7С10–(С5+С1С6)(С10–С8)],
Y = (С5+С1С6)/С1X,
Z = X/С1,
V = Y/С10,
W = (Y–С2X–С4)/С3.
(5.23)
Отсюда и из формул (5.20) находим x, а, следовательно, и идентифицируемые параметры cу,л=x, Lя=y, Rя=z, kΣ=w, Tя=Lя/Rя.
Коэффициент cу,л отражает совместный вклад упругости cу и
люфта σл. Чтобы их разделить воспользуемся уравнением гармонической линеаризации люфта (5.4)
c у,л = c у −
2

2k 
a
a
a
arcsin   +   1 −    .
π 
 A  A
 A 


Если люфт определен из других соображений, например путем тестовых движений и замеров (см. начало настоящего пункта, стр. 52), то определяем cу как усредненное значение из уравнения (5.4).
Иначе, или в дополнение, можно применить МНК для этих
двух параметров упругости cу и люфта σл в том же соотношении
(5.4). При этом для упрощения можно рассматривать только большие сигналы A: скажем, A/Amax >0,8 или 0,9. Тогда отношение
α=a/A мало и sinα ≈ α ≈ arcsinα. Так как (1–a/A)1/2 ≈ 1 – 1/2(a/A),
то уравнение (5.4) после логарифмирования становится линейным относительно logcу и log(1–2π–π/Aσл):
logcу,л = logcу+log(1–2π–π/Aσл),
(5.24)
и МНК успешно работает.
В заключении скажем несколько слов о возможности определения других параметров привода. Для этого можно учитывать
внешнюю силу MM и использовать все девять коэффициентов
a1*,b1*, i = 0,…,3; b0*v. уравнения (5.1). После их идентификации, естественно получается для параметров привода система из
девяти уравнений, позволяющая определить и большее число параметров (как правило, девять).
58
5.6. Контрольные вопросы
1. Перечислить типовые идентифицируемые параметры привода.
2. Как можно идентифицировать основные нелинейности привода: зоны нечувствительности, предварительного усилителя,
величины насыщения усилителя мощности, люфта? Напишите
соответствующие формулы.
3. Выпишете формулы для гармонической линеаризации
зоны нечувствительности предварительного усилителя и насыщения усилителя мощности.
59
6. Экспериментальное исследование
системы диагностики
6.1. Описание программного продукта
Экспериментальное исследование полученных теоретических
результатов и разработанных алгоритмов проводилось на математической модели и физическом стенде. При этом программное
обеспечение управления движением и системы диагностики для
математической модели и физического робота было унифицировано и являлось, по-существу, идентичным. В качестве системы
программирования был выбран Borland 3.1 C++.
Для управления движением робота и его математической модели использовалось унифицированное математическое обеспечение, разработанное В. П. Макарычевым и другими сотрудниками ЦНИИ РТК в рамках создания программного обеспечения
«Системы бортовых манипуляторов» (СБМ) многоразовой космической системы «Буран» [47, 48]. Обобщенная структура программного продукта в целом показана на рис. 6.1.
Моделирование манипулятора заключается в численном интегрировании приведенной к нормальной форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Используется метод
Рунге – Кутта, реализованный переписанной с Фортрана на C
стандартной функцией RKGS. Модуль FCT реализует вычисление правых частей заданного в нормальной форме дифференциального уравнения. Основными его подмодулями являются
следующие: COEFF – вычислений коэффициентов уравнений
Лагранжа вида (3.2), используемое в модели и при управлении;
PRIV – модель привода, более подробная, чем используемая в
алгоритмах управления (CONTROL) и диагностики (DIAGN) и
использующая все основные нелинейности привода и малые постоянные времени двигателя и корректирующих звеньев (см. [49]
и разд. 5, рис. 5.1); AMINV – аналогично RKGS, переписанная с
Фортрана на C стандартная функция обращения симметричной
матрицы, используемая при обращении матрицы A при старших
производных в уравнении (3.2). Программное обеспечение управления движением CONTROL содержит ряд сложных вычислительных модулей: построения траекторий, отслеживания траекторий, вычисления коэффициентов в алгоритмах управления,
а также ряд служебных модулей: DIALOG – диалог с оператором
60
DISPATCH
MODEL
RKGS
CONTROL
DIALOG
OUTPM
INOUTPUT
FCT
COEF
PRIV
AMINV
DIAGN
FRI_TEST
DIA_NORM
MODEL_D
MIP
DIAG_LIM
PRIV
IDENT_T
COEF_T
MNK_REC
MNK
IDENT
GTAU_2
MNK_REC
MNK
DIA_TEST
DATAD
PRIV
IDENT_Q
MNK_REC
COEF_DIF
PAR_COEF
IDEN_Q_T
DECISION
VERIFY
CORRECT
Рис. 6.1. Обобщенная структурная схема программного обеспечения
(вывод на экран текущей информации и ввод команд и оперативных параметров; OUTPM, OUTPM_I – вывод в файл результатов
экспериментальных исследований; INOUTPUT – обмен с реальным манипулятором (в случае работы с реальным манипулятором, а не с моделью).
Приведем функции основных модулей программного обеспечения системы диагностики:
− DISPATCH – диспетчер программного обеспечения в целом,
в том числе управление экспериментами по диагностике;
61
− DIAGN – головной модуль и диспетчер системы диагностики, определяющий, в том числе, режим функционирования;
− DIA_TEST – диспетчер тестового режима диагностики: определяет тестовые движения и последовательность работы модулей;
− DATAD – задание и инициализация начальных данных системы диагностики;
− FRI_TEST – тестовое определение коэффициентов сухого и
вязкого трения;
− IDENT – диспетчер системы идентификации механической
системы манипулятора;
− GTAU_2 – вычисление компонентов G0, G1, G2, Gст, Gвт матрицы коэффициентов линейного по параметрам τ представления
уравнений динамики механической системы манипулятора;
− MNK_REC – оценка τ вектора параметров τ по схеме вычислений рекуррентного МНК;
− MNK – оценка τ вектора параметров τ по схеме вычислений
нерекуррентного МНК;
− QI_TEST – тестовое определение параметров шарнира;
− VER_TEST – проверка допустимости отклонений полученных значений параметров τ(ξ) от их номинальных значений в
тестовом режиме;
− DECISION – модуль принятия решения в системе диагностики: в настоящей работе тривиален и просто останавливает манипулятор при выходе параметров за границы;
− CORRECT – коррекция параметров: модели, алгоритмов управления, системы диагностики;
− DIA_NORM – диспетчер рабочего режима системы диагностики;
− MODEL_D – математическая модель манипулятора в системе диагностики;
− MIP – модуль метода избыточных переменных;
− DIA_LIM – проверка допустимости отклонений координат
(сигналов);
− PRIV – модель привода в системе диагностики;
− MOM_FOR – определения внешней силы по моментам в шарнирах;
− IDENT_QI – идентификация параметров шарнира;
− VERIFY – проверка допустимости отклонений полученных
значений параметров τ(ξ) от их номинальных значений в рабочем
режиме.
62
При тестовом режиме используются более простые алгоритмы
диагностики частного вида, связанные с упрощенным видом тестового сигнала. Это позволяет достичь несколько большей точности идентификации. Так, для определения сухого Mст,i и вязкого Mвт,i трения шарнира, i=1,n, применяется движение одним
шарниром. Тогда уравнение динамики механической системы
манипулятора вырождается в n простых уравнений
Jqi = ui + M ст,i + M вт,i = ui + kст,isignq i + kвт,iq i,
(6.1)
где ui – определяется из уравнений привода (5.2).
Пусть задаваемое движение состоит в движении с постоянной
скоростью q i в течение t0 секунд в прямом, а затем в обратном
направлении. Алгоритм заключается в компактном накоплении
ряда одинакового числа N измерений в обоих направлениях после выхода скорости на постоянное значение. Тогда суммирование уравнений (6.1) для всех измерений по отдельности в обоих
направлениях дает
0=
0=
N
N
l =1
l =1
N
N
l =1
l =1
∑ ui (l) + kст,i N + kвт,i ∑ q i (l),
∑ ui (l) − kст,i N + kвт,i ∑ q i (l). 6.2)
Обозначая суммы управлений и скоростей в этих уравнениях U1, Q1, U2, Q2, соответственно, получаем выражения для kст,i,
kвт,i:
kвт,i = –(U1+U2)/(Q1+Q2); kвт,i = (U1–U2)/[2N(Q1–Q2)].(6.3)
Идентификация матрицы H в тестовом режиме производится
обычным способом, за исключением того, что трение считается
известным.
Применяемая в системе диагностики модель манипулятора
MODEL_D может быть почти идентична математической модели, применяемой при моделировании. А может быть ее упрощенным вариантом для удовлетворения требований реального
времени. Однако в любом случае имеется одно принципиальное
отличие, заключающееся в незнании истинных текущих параметров модели системой диагностики, которая и построена на
их идентификации в реальном времени. Для устранения этого
противоречия необходимо использовать известный прием (см.,
например, [21]), аналогичный фильтру Калмана, основанный на
63
учете текущей информации и коррекции по ней уравнений динамики модели (3.1):
6.4)
 = A −1 u − b(q ,q )  + K1(q − q ) + K 0 (q − q ). q


Здесь q и q – реальный и оценочный, т. е. полученный процедурой идентификации, векторы обобщенных координат. МатриEn 
0
ца n×n K =  n
в отличие от фильтра Калмана, выбирается
 K 0 K1 
Гурвицевой (или устойчивой), а не из условия минимума интеграла критерия качества. Если этого не делать, то с течением времени траектория модели будет уходить от реальной траектории
даже при условии отсутствия вариаций параметров. Для целей
же диагностики важно, чтобы при отсутствии реальных параметрических возмущений в объекте (т. е. его изменении) отклонение переменных состояния (∆q, ∆q ) не превышало некоторого
заданного параметра ε.
Кроме полной модели MODEL_D, модуль MIP реализует «метод избыточных переменных», вводя избыточную переменную
q∑=∑qi, которая также подвергается численному дифференцированию в системе диагностики с помощью модуля RKGS.
Заметим еще, что номинальные значения параметров τ0 формируются следующим образом:
− перед работой системы – исходя из теоретических соображений;
− после очередного включения – значения, полученные на
предыдущем цикле работы;
− после работы тестового модуля – как результат этой работы;
− в рабочем режиме – как результат коррекции параметров.
6.2. Описание манипулятора и стенда
Описание манипулятора. Объектом исследования был выбран
двухзвенный манипулятор, состоящий из 2-го и 3-го длинных
(примерно по 6.5 метров) звеньев СБМ (см. рис. 2.1). При этом в
третье звено включалась и вся кисть манипулятора в вытянутом
состоянии. Именно на нем проводились физические эксперименты на снабженном системой обезвешивания «Комплексном испытательном стенде» (КИС) ЦНИИ РТК [50]. Особенностью данного манипулятора, естественно, являлись большие размеры и
его функционирование в условиях скомпенсированной силы тяжести. Геометрические, массо-инерционные параметры механи64
ческой системы и электрические параметры приводов брались из
документации на СБМ. Рассмотрим расчет матриц инерции H1,
H=H2 двух укрупненных звеньев, первую из которых при экспериментальном исследовании будем считать известной, а вторую
будем определять процедурой идентификации. Кроме свободного манипулятора будем также нагружать схват грузом в виде
такелажного элемента. Относительная масса груза 6 кг будет по
сравнению со всем вторым звеном невелика, но, тем не менее,
оказывает существенное воздействие на манипулятор вследствие нескомпенсированности силы тяжести груза. Заметим еще,
что разгрузка кисти манипулятора осуществляется массовым
инерционным противовесом, полностью массо-инерционно симметричным самой кисти и заменяющим всю кисть на точечную
массу, сосредоточенную в ее начале и равную по значению удвоенной массе кисти.
Как уже указывалось выше, в случае вытянутых звеньев
единственными ненулевыми элементами матриц Hi, i=1,2, кроме равного массе звена элемента h44=m, будут элементы, соответствующие оси системы координат, идущей по этому звену. В
нашем случае это элементы h11, h14=h41. При этом
∫
h11 = x12dm =
∑ x12imi, h14 = ∫ x1x 4dm = ∑ x1ix 4imi, (6.5)
h44 = ∫ dm = ∑ mi,
где суммирование распространяется на все локальные элементы
звена, расположенные по длине звена, для которых заданы их
местоположения на звене и массы. В таблице 6.1 приведены их
конкретные значения, взятые из чертежа «Т72.899.008. МАНИПУЛЯТОР. Распределение массы и жесткости». Под расстоянием понимается расстояние от конца звена, где расположено начало связанной со звеном системы координат до центра тяжести
локального элемента.
Таблица 6.1. Значения масс и длин элементов звеньев
Номер
звена
1
Номер участка
Длина
Расстояние
Масса
1
0,25
6,526
43
2
6,06
3,398
35
3
0,395
0,198
24
4
5
6
65
Окончание табл. 6.1
2
Длина
Расстояние
Масса
0,3
8,195
24
6,06
4,988
29
0,275
1,85
24
0,59
1,42
24
0,73
0,755
33,5
0,39
0,2
26
С учетом того, что для второго участка обоих звеньев необходимо добавить вес кабеля по 37 кг, и для второго звена вес участков 4–6 удваивается и еще добавляется вес телекамеры 9,5 кг и
светильника 3 кг, получаем:
1-е звено:
h11=43×6,5262+(35+37)×3,3982+24×0,1982=1831+831+1=2 663,
h14=–[43×6,526+(35+37)×3,398+24×0,198]=–(280+245+5)=–530,
h44=43+(35+37)+24=139;
2-е звено:
h11=24×8,1952+(29+37)×4,9882+24×1,852+2×(24×1,422+33,5×
×0,7552+26×0,22)+ +(9,5+3) ×0,22=1612+1642+82+2×
×(48+19+2)=3474,
h14=–24×8,195+(29+37)×4,988+24×1,85+2×(24×1,42+33,5×
×0,755+26×0,2)+(9,5+3) ×0,2]=–(197+329+44+2×
×(34+25+8)=704,
h44=24+(29+37)+24+2×(24+33,5+26)+(9,5+3)=294,
В случае наличия груза в схвате, его необходимо идентифицировать только как внешнюю силу, а не как матрицу инерции H,
т. е. в формулах (3.14) величина ускорения свободного падения
g = 0, и соответственно, элементы G21 = G22 = 0.
При появлении груза массой mг в схвате манипулятора в матрице инерции второго звена изменяется только элемент h44 =
= h44+mг (что составляет 300 кг/6 кг ≈ 2 % от массы манипулятора). Кроме того, появляется внешняя нескомпенсированная разгрузкой вертикальная сила величиной mгg ≈ 6 кг. Эта сила весьма значительна для СБМ, так как составляет ≈ 30 % его силовых
возможностей. Возможен, однако, и другой вариант экспериментального исследования, когда эта сила также компенсируется
разгрузкой. В случае нескомпенсированной силы тяжести груза,
эту силу можно рассматривать как внешнюю силу общего вида и
определять ее соответствующим образом. Но можно воспользоваться специальным ее видом, и тогда определять упрощенным
способом, вводя в вектор параметров τ(ξ) дополнительный параметр h′44 , который заменяет h44 в произведении его с составляю66
щей G2 от силы тяжести матрицы G уравнений динамики механической системы манипулятора (3.2).
Для идентификации манипулятора в целом и отдельной степени использовались следующие математические модели приводов:
− моментный привод (воспроизводящий задаваемый момент);
− привод с учетом сосредоточенной упругости и люфта редуктора (см. структурная схема на рис. 5.1, формулы (5.2)).
Значения параметров приводов приведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2. Значения параметров приводов
№
Rя
сm
сl
сl′
iред
сy
k
σл
Tя
1
2,27 0,045 0,05
7,8
7504
196700
244
0,003 0,0037
2
3,12 0,045
7,8
6000
196700
244
0,003 0,0037
10
При этом сl′ = сl+kkтг – с учетом встроенного тахогенератора
(kтг = 0,032,).
Описание стенда. Макетирование системы диагностики проводилось на базе комплексного динамического стенда (КИС)
ЦНИИ РТК [50] созданного для экспериментальных исследований и сдачи СБМ. Основой КИС является система обезвешивания: с помощью тросового подвеса плеча и локтя, массового
инерционного противовеса – кисти. Тросовый подвес с помощью трех следящих приводов: одного вертикального и двух горизонтального перемещения, создает обезвешивающую плечо и
локоть силу f = e|f|. Эту силу можно выбрать постоянной, благодаря тому, что на локте манипулятора существует такая точка,
что уравновешивание плеча и локтя достигается приложением к
ней, не зависящей от конфигурации манипулятора постоянной
вертикальной силы. Вертикальный привод создает необходимые
по величине усилия, а горизонтальные приводы обеспечивают
вертикальность троса.
Конструктивно система разгрузки выглядит так. Манипулятор подвешен на наматываемый приводом грузоподъемного
устройства «барабан-трос». Барабан расположен на тележке,
которая, в свою очередь, расположена на мосту. Тележка и мост
с помощью своих приводов могут перемещаться в двух взаимноперпендикулярных направлениях. Каждый из трех приводов
является следящей системой, оснащенной специализированным
датчиком: пружинным датчиком отклонения силы и двумя оптическими датчиками отклонения от вертикали.
67
В состав стенда входит вычислительная система из двух компьютеров IBM PC, с помощью соответствующего программного
обеспечения управляющая манипулятором и системой обезвешивания, соответственно. В состав обоих программных продуктов
входит и подсистема управления экспериментом. Для целей исследования системы диагностики было доработано программное
обеспечения манипулятора включением в него модуля диагностики и модификацией подсистемы управления экспериментом:
задание режимов, ввод данных и вывод результатов.
6.3. Методика проведения экспериментов
Целями проведения экспериментальной отработки являлись:
− показать функциональную работоспособность разработанных методов, алгоритмов и программ управления;
− получить количественные характеристики предложенных
методов и алгоритмов диагностики робота в целом и отдельного
шарнира;
− показать возможность построения систем диагностики реальных роботов на основе предложенных принципов, методов и
алгоритмов.
Условия экспериментов:
− все указанные эксперименты проводились на математической модели двухзвенного манипулятора СБМ в невесомости или
реальном манипуляторе в условиях стенда;
− исследовалось движение одного или двух шарниров одновременно;
− применялись разные режимы управления: моментное, по
скорости (основной), по положению;
− основное множество экспериментов начинались из точки с
обобщенными координатами манипулятора qbeg = (q1, q2) = (1,
–1); в случае управления по положению или моментного, когда
строится программная траектория, выбиралась конечная точка
qend = (q1, q2) = (0,2; 0);
− при управлении по скорости использовались два типа ее задания: релейный (вперед и назад) или треугольный закон изменения, содержащий участки разгона и торможения;
− при управлении по положению или моментном программная
траектория задавалась с трапецевидным законом изменения скорости;
68
− в экспериментах варьировались следующие условия и значения параметров: траектории движения, величина скорости,
реальное значение идентифицируемых параметров, характер и
частота функционирования процедуры идентификации, наличие и величина возмущающего воздействия.
В режиме моментного управления подаются необходимые для
прохождения этой траектории программные моменты, находимые из уравнений Лагранжа механической системы манипулятора и считается, что привод способен их воспроизвести – моментный привод.
При управлении по скорости у манипулятора предполагалось
наличие стандартных электрических приводов на основе двигателей постоянного тока с независимым возбуждением, с упругим
редуктором, описываемых структурной схемой на рис. 5.1 и соответствующими уравнениями (5.2). На входы таких приводов
подавались задания (уставки) скоростей.
При управлении по положению система управления вычисляла программные координаты, аналогично случаю моментного
управления, и подавала их на привод, используемый при управлении по скорости, дополнительно замкнутый и по положению.
В экспериментах идентифицировались пять основных параметров: три элемента матрицы инерции H – h11, h14, h44, и коэффициенты сухого и вязкого трения kст, kвт. Вектор внешней
возмущающей силы fвозм = (fвозм,1, fвозм,2) идентифицировался
автономно, после определения остальных параметров робота.
В табл. 6.3 приведен перечень, а в табл. 6.4 численные результаты основных экспериментов. Кроме того, на рисунках 6.2–
6.13 приведены графики изменения координат qi, скоростей q′i,
моментов mi, i = 1,2 и графики процесса идентификации значений идентифицируемых параметров для наиболее характерных
случаев.
Первый эксперимент принят за базовый, вокруг изменения
условий которого происходит основное исследование. В этом эксперименте задавалось треугольное управление СБМ по скорости
двумя шарнирами с максимальной величиной скорости 0,5q′max
рад/сек (где q′max – номинальное, т. е. максимальное значение
скорости шарнира) длительностью 10 секунд. Возмущения отсутствовали, т. е. внешняя сила, груз в схвате отсутствовали,
а матрица инерции и коэффициенты трения выбирались номинальными: H=H0, kст= 0,1; kвт=0,0001. Отсутствие значений в
69
Номер эксперимента
Номер рисунка
Вид модели
Режим управления
Вид скорости
Величина скорости
Время движения
Шарнир
Вид возмущения
Таблица 6.3. Перечень экспериментов
1
6.2,
6.5
МНК
рекурсивный
скоростной
треугольный
0,5
20
1,2
–
2
3
4
Релейный
релейный
5
6
7
10
40
20
6.3,
6.6
6.4,
6.7
8
40
Момент1
ный
Позиционный
СкороТреу0,5
стной гольный
25
60
20
9
2
моментный
10
1
11
Позиционный
12
13
Скоростной
14
15
Моментный
17
70
Треу0,2
гольный
31
1
17
2
40
1
30
2
20
1,2
–0,2 20
16
18
1
6.8
Скоростной
0,5
77
2
17
треу0.5
гольный
20
1,2
(H, kст, kвт) =
= 2(H, kст, kвт)
Вид возмущения
–
20
МНК
не6.10,
Моментрекур6.11
ный
сивный
1
21
ИдентифиПозици6.12 кационный
онной
силы
1
22
6.13,
6.14
1
СБМ
Шарнир
Только H
Время движения
Вид модели
6.9
Величина скорости
Номер рисунка
19
Вид скорости
Номер эксперимента
Режим управления
Окончание табл. 6.3
Позиционный
1,2
–
25
1,2
–
60
1,2
–
Таблица 6.4. Результаты экспериментального исследования
Номер
Номер
эксперирисунка
мента
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
h11
3,474
6.2, 6.5 2,94
3,20
3,19
0,4
0,18
6.3, 6.6 3,37
6.4, 6.7 3,51
3,41
0
3,47
0
3,69
h14
h44
kст
kвт
–7,04
–6,74
–6,92
–6,91
–5,05
–4,91
–7,08
–7,10
–7,04
0
–7,03
0
–7,27
2,94
2,92
2,94
2,94
2,83
2,82
2,93
2,95
2,92
0
2,94
0
2,96
1,00
0,93
0,86
0,95
0,76
0,82
1,00
1,00
0,85
0
1,00
0
1,00
1,00
1,06
1,25
1,04
1,61
1,45
0,99
1,00
1,18
0
1,00
0
1,01
Время
Время Время
экспери10 % 20 %
мента
20
10
30
20
30
25
40
20
20
25
17
40
14
–
19
–
–
2
18
–
–
3
–
26
8
7
16
–
–
2
12
15
–
3
–
20
71
Окончание табл. 6.4
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
6.8
6.9
6.10,
6.11
6.12
6.13,
6.14
3,64
3,43
3,44
3,55
3,42
3,60
3,28
1,00
1,01
1,01
1,00
1,00
2,04
–
40
20
20
77
17
20
60
20
11
11
15
2
8
25
7
11
11
12
2
5
12
3,43 –7,00 2,94 1,00 1,00
5
1
1
25
1
1
–
–7,23
–7,01
–7,01
–7,48
–7,04
–8,17
–6,88
–
2,96
2,94
2,94
2,94
2,94
3,52
2,93
–
1,00
0,99
0,99
1,00
1,00
1,96
–
–
–
3,47 –7,04 2,94 0,50 2,03
40
В нулевой графе эксперимента содержатся действительные значения
идентифицируемых параметров.
графе текущей строки означает ее наследование из предыдущего
эксперимента.
Процедура рекурсивной идентификации функционировала с
частотой 10 Гц в течение всего времени движения. Процедура нерекурсивной идентификации из-за ограничений на размер матриц содержала только 50 моментов времени, в которые фиксировались измерения. Как правило, эти моменты в количестве 5–10
штук выбирались в начале, в середине и в конце траектории, что
соответствовало этапам разгона, равномерного движения, торможения. Это делалось для большего разнообразия движений.
Далее рассматривались вариации следующих видов:
− виды управления: управление моментное, по скорости, по
положению, при управлении по скорости – постоянный или треугольный сигнал;
− движение шарнирами по отдельности: только первым или
вторым;
− изменения параметров скорости: v0 = (–0,02; 0,03), t0 = (5; 20);
− возмущения:
матрица инерции H=(H0, 1,2 H0);
kст = (0,1; 0,2);
kвт = (0,0001; 0,0002);
вертикальная внешняя сила в точке подвеса Fвн=6 кгс;
груз в схвате массой mг=6 кг.
Проводились эксперименты по отдельной идентификации параметров при известных остальных: например, матрицы инер72
ции H при известных коэффициентах трения. Исследовалось
применение алгоритма идентификации на основе нерекурсивного МНК.
6.4. Результаты и выводы
Сделаем некоторые предварительные пояснения. Во-первых,
на графиках для нормального визуального восприятия приведены нормированные значения идентифицируемых величин (которые здесь будем обозначать так же):
− h11′= h11/1000, h14′= h14/100, h44′= h44/100, kст′= kст ×10,
kвт′= kвт/1000;
− истинные значения величин при этом: h11= 3,474; h14 =–7,04;
h44= 2,94; kст= 1; kвт= 1.
Во-вторых, для лучшего визуального восприятия для некоторых величин убраны первые 10–50 измерений, имеющие очень
большие всплески.
В третьих, идентификация при моментном управлении отличается от идентификации при скоростном и позиционном
управлении способом определения момента. При этом в случае
моментного управления, по-существу, определяется усредненное значение момента без учета упругих колебаний. В реальной
же системе для измерения моментов могут использоваться либо
внутренние датчики тока, либо внешние датчики момента. Если
же датчики момента отсутствуют, то необходимо в уравнения
идентификации включать уравнение привода, что на порядок
усложняет задачу. В СБМ для определения моментов при макетировании использовались токовые датчики, имеющие погрешность порядка 10–20 %.
Результаты проведенного экспериментального исследования,
как уже говорилось, отражены в табл. 6.4 и на нижеследующих
графиках. В табл. 6.4. приведены величины, оценивающие качество идентификации, а именно: общее время эксперимента и значения идентифицируемых параметров к его концу, а также времена, необходимые для идентификации с точность 10 % и 1 %.
Изменения переменных состояния: обобщенных координат
(углов) q1, q2, скоростей q′1, q′2, моментов m1, m2, при управлении по скорости (в том числе и в базовом эксперименте), моментного и позиционного управления приведены на рис 6.2, а, б, в,
6.3, а, б, в и 6.4, а, б, в соответственно. Отличия заключаются в
наличии колебаний моментов и скоростей при скоростном и по73
а)
б)
в)
Рис. 6.2.Изменение переменных состояния при скоростном управлении: а – координаты; б – скорости; в – моменты
зиционном управлении, связанных с упругостью редуктора привода в этом случае.
На рис. 6.5, (а, б) приведены графики процедуры идентификации параметров в эксперименте № 1 – базовом: h11, h14, h44 и
kст, kвт. Как видно, вполне удовлетворительные значения идентифицируемых параметров с точностью 20 % и 10 % получаются
в результате на 8-й и 14-й секундах соответственно, т. е. в результате 80 и 140 измерений. Особенно хорошо идентифицируется
величина веса звена h44, а хуже всего момент инерции h11. Очень
хорошо идентифицируются коэффициенты сухого трения и вязкого трения kст и kвт. Такой характер идентификации характерен
для многих ситуаций и носит достаточно общий характер.
В экспериментах № 2, 3 исследовалось влияние длительности разгона (а значит, и времени идентификации) на ее качество.
74
а)
б)
в)
Рис. 6.3.Изменение переменных состояния при моментном управлении: а – координаты; б – скорости; в – моменты
Большее время эксперимента в целом способствует некоторому
улучшению конечного результата, однако для одинаковых моментов времени дает худший результат. В экспериментах № 4, 5
исследовался равномерный тип движения: оказалось, что такой
тип движения значительно хуже треугольного (в 2–3 раза), при
этом увеличение времени движения медленно улучшает идентификацию.
Эксперимент № 6 и рисунки 6.3, 6.6 посвящены моментному
управлению, а эксперимент № 7 и рисунки 6.4, 6.7 – позиционному. Результаты показывают, что в целом идентификация в этих
случаях протекает аналогично скоростному управлению, хотя
качество моментного раз в пять лучше, а позиционного несколько
хуже (примерно на 10%). Сильное убыстрение процесса идентификации при моментном управлении объясняется значительно
75
а)
б)
в)
Рис. 6.4.Изменение переменных состояния при позиционном управлении: а – координаты; б – скорости; в – моменты
а)
б)
Рис. 6.5.Идентификация h(а) и kст, kвт (б) при скоростном управлении
76
а)
б)
Рис. 6.6.Идентификация h(а) и kст, kвт (б) при моментном управлении
а)
б)
Рис. 6.7.Идентификация h(а) и kст, kвт (б) при моментном управлении
более детерминированным значением момента, непосредственно
входящего в уравнения идентификации. Замедление при позиционном управлении наличием дополнительной, по сравнению
со скоростным управлением, обратной связи по положению, что
приводит к еще более опосредованному значению момента.
В экспериментах № 8–13 исследовалась идентификация при
движении одним шарниром: q1 или q2. При движении шарниром
q1 получается близкий к общему результат для всех трех способов управления. Несколько худшее, в целом, качество иденти77
фикации в случае одного шарнира объясняется меньшим разнообразием движений. Хотя отдельные параметры могут идентифицироваться и лучше, что полезно использовать в тестовых
режимах. Для случая шарнира q2 положительный аналогичный
результат имеет место только для позиционного управления. В
случае же скоростного и моментного управления результат просто отсутствует, ввиду вырождения уравнений идентификации в
этом случае.
В экспериментах № 14–17 производились модификации значений скорости движения. Видно, что уменьшение скорости движения при скоростном управлении приводило к повышению качества идентификации. Знак значение не имел. При моментном
же управлении, увеличение скорости не играло роли, а уменьшение скорости сильно (раз в пять) затягивало как само движение,
так и процесс идентификации.
В эксперименте № 18 (рис. 6.8) производилась вариация параметров идентификации: H=1,2H0, kст=2kст, kвт=2kвт. Измененные
значения успешно идентифицировались, при этом даже с несколько более высоким качеством. Этот факт объясняется большей величиной идентифицируемых параметром и более отчетливым их
вкладом в уравнения движения и идентификации по сравнению с
остальными (неидентифицируемыми) параметрами.
В эксперименте № 19 (рис. 6.9) рассматривалась идентификация только трех элементов h11, h14, h44 матрицы H без коэффициентов трения при позиционном управлении. Видно небольшое
повышение качества идентификации элемента h11, особенно,
убыстрение в два раза идентификации с погрешностью в 20 %.
а)
б)
Рис. 6.8. Идентификация увеличенных значений h(а) и kст, kвт (б)
78
Рис. 6.9. Идентификация h без идентификации kст, kвт
В эксперименте № 20 (рис. 6.10, 6.11) применялся алгоритм
идентификации на основе нерекурсивного МНК в случае моментного управления. Алгоритм идентификации работал на трех
траекториях в начале, середине и конце каждой траекторий.
Благодаря разнообразию движений идентификация улучшилась
в два раза: для получения параметров с 10 % погрешностью было
достаточно произвести 10 измерений. Это произошло в самом начале 2-го участка первой траектории и соответствовало 1 с чистого времени работы алгоритма идентификации. На графиках
поведения координат отчетливо видны различные участки траекторий.
В эксперименте № 21 (рис. 6.12) идентифицировалась внешняя приложенная к середине 2-го звена манипулятору сила
величиной 6 кг. Показаны графики выходных моментов и процесса идентификации этой силы.
В эксперименте № 22 исследовался процесс идентификации
на реальном объекте. Приведены (рис. 6.13, а, б, в, 6.14, а, б все
пять основных графиков (углы, скорости, моменты, элементы
матрицы H, коэффициенты трения)) в случае физического эксперимента на реальном СБМ. В этом случае процессы изменения
как переменных состояния, так и идентифицируемых параметров несколько отличны, но качественный результат очень близок к результатам математического моделирования и к истинным значениям параметров.
Максимальное отличие в поведении переменных состояния
состоит в пониженной в 2–3 раза частоте колебаний момента, что
79
а)
б)
в)
Рис. 6.10.Примеры качества идентификации параметров при нерекурсивном МНК: а – координаты; б – скорости; в – моменты
а)
б)
Рис. 6.11.Идентификация h(а), kст, kвт(б), f(в) при нерекурсивном
МНК
80
Рис. 6.12. Идентификация внешней силы f
а)
б)
в)
Рис. 6.13.примеры идентификации параметров на реальном манипуляторе: а – координаты; б – скорости; в – моменты
81
а)
б)
Рис. 6.14.Идентификация h(а) и kст, kвт (б) на реальном манипуляторе
обусловлено демпфирующим влиянием системы разгрузки. Однако усредненные значения моментов в математическом и физическом экспериментах близки, а именно они и являются главными для идентификации. Заметим, что полученное в результате
идентификации отклонение значений до 100 % также обусловлено, в основном, влиянием разгрузки.
Анализ графиков позволяет сделать следующие выводы по результатам экспериментальных исследований:
− алгоритмы и программное обеспечение системы диагностики работоспособны и идентифицируют параметры с точностью
10–20 %;
− время удовлетворительной идентификации равно в среднем
около 10 с (при этом число циклов измерений равно 100);
− наилучшим образом идентифицируется сухое трение, а наихудшим – матрица инерции в физическом эксперименте (особенно элемент h11);
– идентификация лучше всего при моментном управлении,
хуже при управлении по скорости и по положению, за счет появления лишних звеньев и сглаживания процессов;
− при управлении по скорости идентификация при треугольном
законе изменения скорости лучше, чем при релейном, что объясняется большей неоднородностью движения в первом случае;
− нерекурсивный МНК обладает близким качеством идентификации к рекурсивному, если учитывать число моментов времени сбора данных;
− вариация параметров робота успешно отслеживается системой диагностики.
82
6.5. Контрольные вопросы
1. Перечислите модули системы диагностики манипулятора.
2. Выпишите уравнение динамики (3.2) в используемой при
компьютерном моделировании нормальной форме, т. е. в форме
y′=f(x,y), разрешенной относительно старших производных.
3. Создайте, например, на MATLAB программу определения
сухого и вязкого трения в шарнире манипулятора. Проведите запуски программы на тестовых наборах данных.
4. Докажите, что на локте двухзвенного манипулятора существует такая точка, что манипулятор можно уравновесить приложенной в этой точке вертикальной силой. Найдите ее.
5. Какие режимы управления можно использовать при исследовании системы диагностики?
6. Какие выводы можно сделать по результатам экспериментального исследования системы диагностики?
Заключение
Проведенные теоретические и экспериментальные исследования позволяют сделать следующие основные выводы:
− предложенное построение системы диагностики на основе
идентификационного подхода логически непротиворечиво и допускает успешную реализацию в виде достаточно стройной системы;
− предложенные алгоритмы идентификации на основе МНК
вполне практически работоспособны с удовлетворительным качеством;
− исследование на модели и макете выявило и позволило проанализировать основные эффекты, возникающие при наступлении возмущений в системе.
Библиографический список
1. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 240 с.
2. Андрианов Ю. М., Субетто А. И. Квалиметрия в приборостроении и машиностроении. Л.: Машиностроение, 1990. 216 c.
3. Глухарев К. К., Фролов К. В. Обратная задача динамики.
Идентификация и диагностика систем механики // Проблемы
прочности. № 12. 1977. С. 32–38.
83
4. Глухарев К. К., Розенберг Д. Е., Чернявский И. Т. Определение параметров уравнений движения механических систем по
методу динамических испытаний // Исследование задачи машиноведения на ЭВМ. М.: Наука, 1977. С. 51–59.
5. Квалиметрия и диагностирование механизмов / Отв. ред.
Е. Г. Нахапетян. М.: Наука, 1979. 132 с.
6. Нахапетян Е. Г. Определение критериев качества и диагностирование механизмов. М.: Наука, 1977. 139 с.
7. Нахапетян Е. Г. Квалиметрия механизмов машин-автоматов и промышленных роботов // Квалиметрия и диагностирование механизмов. М: Наука, 1979. С. 4–32.
8. Надежность и диагностирование технологического оборудования / Под ред. К. В. Фролова, Е. Г. Нахапетяна. М.: Наука,
1987. 226 с.
9. Контроль и диагностирование автоматического оборудования / Отв. ред. Е. А. Цуханова. М.: Наука, 1990. 271 с.
10. Экспериментальное исследование и диагностирование роботов / Под ред. Е. Г. Нахапетяна. М.: Наука, 1981. 183 с.
11. Фишин М. Е. Диагностирование механизмов транспортных систем многопозиционных полиграфических машин, устройств станков-автоматов по их динамическим параметрам //
Диагностирование машин-автоматов и промышленных роботов.
М.: Наука, 1983. С. 50–53.
12. Щербаков В. В. Исследование и диагностирование зажимных и подающих устройств станков-автоматов по их динамическим параметрам // Диагностирование машин-автоматов и промышленных роботов. М.: Наука, 1983. С. 7–13.
13. Явленский А. К. Функциональные методы вибродиагностики исполнительных устройств автоматических систем по их
динамическим параметрам // Диагностирование машин-автоматов и промышленных роботов. М.: Наука, 1983. С. 77–81.
14. Явленский К. Н., Явленский А. К. Вибродиагностика и
прогнозирование качества механических систем. Л.: Машиностроение, 1989. 239 с.
15. Пархоменко П. П., Согомонян Е. С. Основы технической
диагностики: (Оптимизация алгоритмов диагностирования, аппаратурные средства) / Под ред. П. П. Пархоменко. М.: Энергия,
1981. 320 с.
16. Надежность и диагностирование ЭВМ (аппаратуры и
программного обеспечения) в процессе их разработки и эксплу84
атации // Материалы краткосроч. семинара, 16–17 октября
1987 года / Под ред. О. В. Щербакова. Л.: ЛДНТП, 1987. 96 с.
17. Ванник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов. М.: Наука, 1974. 278 с.
18. Калявин В. П. Основы теории надежности и диагностики.
СПб.: Элмор, 1998. 172 с.
19. Томпаков А. Б. Разработка и исследование автоматических систем эксплуатационного диагностирования энергомеханического оборудования, работающего на переменных режимах:
дис. ... канд. техн. наук. ЛПИ. Л., 1983. 240 с.
20. Калявин В. П., Мозгалевский А. В. Технические средства
диагностирования. Л.: Судостроение, 1984. 208 с.
21. Игнатьев М. Б., Мироновский Л. А., Юдович В. С. Контроль и диагностика робототехнических систем / ЛИАП. Л., 1985.
160 с.
22. Чиликин М. Г., Ключев В. И., Сандлер А. С. Теория автоматизированного электропривода. М.: Энергия, 1979. 616 с.
23. Бесекерский В. А, Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966. 992 с.
24. Бурдаков С. Ф. Алгоритмы идентификации механических
параметров в задачах диагностики технического состояния роботов. Математические методы в задачах управления и обработки
данных. Рязань: РРТИ, 1986. С. 20–24.
25. Бурдаков С. Ф. Идентификация механических характеристик манипуляционных роботов в задачах диагностики // Вибродиагностка и идентификация механических систем. Иваново:
ИЭИ, 1988. С. 93–102.
26. Бурдаков С. Ф. Математические модели и идентификация роботов с упругими элементами: учебное пособие. Л.: ЛГТУ,
1990. 96 с.
27. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование
динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1980. № 8.
С. 96–121.
28. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.
Оценивание параметров и состояния. М.: Мир, 1975. 683 с.
29. Сводный отчет по орбитальному кораблю «Буран».
11Ф35.0000 Л1-0 ПЗ.8, часть 9. Система бортовых манипуляторов. СПб.: ЦНИИ РТК, 1994. 73 с.
30. Тимофеев А. В. Адаптивные робототехнические комплексы. Л.: Машиностроение, 1988. 332 с.
85
31. Нахапетян Е. Г. Диагностирование оборудования гибкого
автоматизированного производства / Отв. ред. Е. А. Цуханова.
М.: Наука, 1985. 226 с.
32. Диагностирование оборудования комплексно-автоматизированного производства / Отв. ред. Е. Г. Нахапетян. М.: Наука,
1984. 176 с.
33. Испытания и техническая диагностика промышленных
роботов. (Опыт внедрения ЕСТПП. Вып. 28) М.: Изд-во стандартов. 1986. 64 с.
34. Динамика управления роботами. М.: Наука, 1984. 336 с.
35. Малышев В. А., Тимофеев А. В. Динамика манипулятора
и адаптивное управление // Автоматика и телемеханика. 1981.
№ 8. С. 90–98.
36. Тимофеев А. В. Конечно-сходящиеся локально-оптимальные алгоритмы решения целевых неравенств, возникающих в задачах синтеза адаптивных систем управления // Изв. АН СССР.
Техническая кибернетика. № 4. 1975. С. 9–20.
37. Тимофеев А. В. Построение адаптивных систем управления программным движением. М.: Энергия, 1980. 107 с.
38. Тимофеев А. В. Управление роботами. Л.: Изд-во ЛГУ,
1986. 240 с.
39. Тимофеев А. В. Адаптивное управление робототехническими системами // Вопросы кибернетики. Актуальные задачи
адаптивного управления. М.: 1982. С. 146–163.
40. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.
41. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчански Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. М.:
Мир, 1989. 376 с.
42. Справочник по промышленной робототехнике: В 2 кн. /
Под ред. Ш. Нофа. М.: Машиностроение, 1989. 480 с.
43. Медведев В. С., Лесков А. Г., Ющенко А. С. Системы управления манипуляционных роботов. М.: Наука, 1978. 416 с.
44. Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. М.: Наука, 1978. 400 с.
45. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ.
М.: Мир, 1987. 480 с.
46. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М: Наука, 1986. 616 с.
86
47. Макарычев В. П., Половко С. А., Ступин К. Н. Математическое обеспечение системы управления манипуляторов космического корабля «Буран» // Робототехника и техническая кибернетика: сб. науч. тр. СПб.: СПГТУ, 1993. С. 75–80.
48. Vladimir D. Archipov, Dr. Vladimir L. Vartanov, Vladimir P.
Makarychev. Unified software intended for robot with technical
vision system and artificial intelligence elements // International
Conference on Informatics and Control (ICI&C’97), Proceedings,
v.3 of 3, St. Petersburg, Russia. P. 1315–1323.
49. Макарычев В. П., Архипов В. Д., Байбус И. Г., Майрансаев Е. А., Сукачев М. А. Математическое моделирование системы бортовых манипуляторов корабля «Буран» в реальном времени // Робототехника и техническая кибернетика: сб. науч. тр.
СПб.: СПГТУ, 1993. С. 80–85.
50. Макарычев В. П., Пащенко Б. И., Половко С. А., Сукачев М. А. Перспективные алгоритмы управления системой
обезвешивания для исследования космических манипуляторов // Робототехника и техническая кибернетика: сб. науч. тр.
СПб.: СПГТУ, 1993. С. 90–94.
87
Учебное издание
Козлов Валерий Викторович
Макарычев Владимир Павлович
ДИАГНОСТИКА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
ОБОРУДОВАНИЯ НА ОСНОВЕ
ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ
Учебное пособие
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 28.02.08. Подписано к печати 24.04.08.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ л. 5,1.
Уч.-изд. л. 5,1. Тираж 150 экз. Заказ № .
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
2 410 Кб
Теги
kozlov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа