close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KroukOsipov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
А. Е. Крук, Л. А. Осипов
СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Монография
Санкт-Петербург
2014
УДК 004.9
ББК 32.973
К84
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор С. Е. Душин;
кандидат технических наук, профессор В. В. Касаткин
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве монографии
Крук, А. Е.
К84
Синтез систем управления при случайных возмущениях методом ортогональных проекций: монография / А. Е. Крук, Л. А. Осипов. – СПб.: ГУАП,
2014. – 114 с.
ISBN 978-5-8088-0957-4
Рассматриваются методы синтеза непрерывных нелинейных и импульсных
(линейных и нелинейных) систем автоматического управления при случайных
возмущениях. В основу разработанных методов синтеза положено обращение
прямого вариационного метода – метода ортогональных проекций – на решение
задачи синтеза. Параметры системы определяются из условия приближенного
обеспечения заданных показателей качества переходного режима. При этом
безусловно обеспечивается устойчивость системы и грубость системы по
варьируемым параметрам.
Издание предназначено для студентов, слушателей и преподавателей
технических направлений обучения.
УДК 004.9
ББК 32.973
ISBN 978-5-8088-0957-4
© Крук Е. А., Осипов Л. А., 2014
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...................................................................................................................................... 5
1. Синтез непрерывных нелинейных систем управления ...................................................... 7
1.1. Постановка задачи синтеза и общая схема решения ................................................ 7
1.2. Каноническое разложение случайных процессов................................................... 10
1.3. Построение переходного желаемого процесса,
выбор координатных функций ................................................................................. 15
1.4. Кусочно-линейная аппроксимация характеристик нелинейных элементов ........ 21
1.5. Синтез параметров нелинейных систем автоматического управления ................ 25
1.6. Обеспечение абсолютной устойчивости системы .................................................. 32
1.7. Сведение задачи синтеза к задаче нелинейного программирования .................... 35
1.8. Системы с несколькими нелинейными элементами............................................... 40
1.9. Определение желаемых процессов на входах нелинейных элементов ................ 45
1.10. Оценка погрешности воспроизведения в системе заданного движения .............. 50
1.11. Примеры синтеза нелинейных САУ ....................................................................... 54
2. Синтез импульсных систем автоматического управления .............................................. 66
2.1. Синтез линейных импульсных систем при случайных воздействиях ................. 66
2.2. Синтез нелинейных импульсных систем при случайных воздействиях ............. 74
2.3. Устойчивость нелинейных импульсных систем .................................................... 79
2.4. Сведение задачи синтеза к задаче нелинейного программирования ................... 82
2.5. Импульсные системы с несколькими нелинейными элементами ........................ 84
3. Параметрический синтез регулятора системы управления торможением
колес самолета .................................................................................................................... 89
3.1. Построение математической модели системы управления торможением
колес самолета ........................................................................................................... 89
3.2. Синтез параметров регулятора системы управления торможением колес ......... 99
Список использованных источников ................................................................................... 110
Введение
Традиционные методы синтеза нелинейных непрерывных и импульсных систем управления либо применимы к достаточно простым системам невысокого порядка, либо имеют ряд особенностей
и недостатков, ограничивающих их применение синтеза широкого
класса систем высокого порядка с несколькими нелинейностями
по единым методикам.
Основным содержанием книги являются методы синтеза непрерывных нелинейных и импульсных (линейных и нелинейных) автоматических систем при случайных воздействиях, построенные
на решении обратных задач динамики: обращение на задачу синтеза прямого вариационного метода анализа - метода ортогональных проекций.
Впервые обращение на решение задачи синтеза нелинейных
систем управления прямого вариационного метода - метода наименьших квадратов, было предложено И.А. Орурком в работе
[1]. Л.А. Осиповым и И.А. Орурком была показана возможность
обращения метода Галеркина и метода ортогональных проекций
(обобщенного метода Галеркина) на решение задачи синтеза нелинейных САУ [2][3]. Параметры системы определяются из условия
приближенного обеспечения заданных показателей качества САУ
в переходном режиме работы. По сравнению с классическими методами, данные методы позволяют существенно уменьшить затраты машинного времени.
В работе Л.Г. Петухова [4] метод Галеркина доведен до его
практической реализации при расчете сложных нелинейных систем управления телескопом.
Недостатком метода Галеркина по сравнению с методом ортогональных проекций является зависимость числа координационных функций, с помощью которых представляются протекающие
в системе процессы, от числа искомых параметров.
В [5] В.Ф. Шишлаковым метод ортогональных проекций был
распространен на САУ с различными видами модуляции сигнала и САУ с неоднозначными нелинейными характеристиками, а
5
также системы с дискретными регуляторами при синхронной и
несинхронной работах импульсных элементов с одинаковыми и
различными периодами прерывания.
Однако в данных работах как метод Галеркина, так и метод ортогональных проекций разработаны для систем, находящихся под
воздействием детерминированных сигналов. В В [6] А.Д. Жуковым решена задача синтеза нелинейных (линеаризованных) САУ
методом ортогональных проекций при наличии случайных возмущений.
В работах А.Е. Крука и Л.А Осипова [7][8] метод ортогональных проекций распространен на синтез непрерывных нелинейных
и импульсных (линейных и нелинейных) систем управления при
случайных возмущениях. В книге излагаются оригинальные методы синтеза непрерывных и импульсных систем управления при
случайных возмущениях, имеющих общую методологическую основу, методом ортогональных проекций.
Обратные задачи в разделах 1 и 2 приводят к полной алгебраизации целевых функций и к решению задачи нелинейного программирования в конечномерном пространстве параметров.
Это определяет существенное сокращение объема вычислений
по сравнению с традиционным методом синтеза. В третьем разделе разработанным методом решается задача синтеза закона управления системы торможения колес тяжелого самолета, что подтверждает эффективность разработанного метода.
6
1
1.1
Синтез непрерывных нелинейных систем
управления
Постановка задачи синтеза и общая схема решения
Структура САУ предполагается заданной. Часть параметров
системы также известна. Параметры изменяемой части САУ могут варьироваться в определенных пределах. Эти параметры σk ,
k = 1, ..., m, относящиеся в общем случае как к линейной, так
и нелинейной частям системы подлежат определению из условия
приближенной минимизации интегральной ошибки воспроизведения системой заданного движения (по оценкам математического ожидания и дисперсии). Минимизация интегральной ошибки
осуществляется при безусловном обеспечении абсолютной устойчивости системы и ограничений, накладываемых на варьируемые
параметры.
Приведем общую схему решения задачи [2], [9], параметрического синтеза САУ с одним нелинейным элементом методом ортогональных проекций. Будем предполагать, что входное воздействие представляет собой сумму среднего значения ḡ(t) и центрированной случайной стационарной помехи δg(t) [6]
g(t) = ḡ(t) + δg(t).
(1)
Уравнение движения такой нелинейной системы будет описываться уравнением
Q(p, σk )x(t) + R(p, σk )y(t) = S(p, σk )ḡ(t) + S(p, σk )δg(t),
(2)
y(t) = F [x(t)] ,
где
Q(p, σk ) =
n
ai (σk )p ,
R(p, σk ) =
i
i=0
u
j=0
7
bj (σk )pj ,
(3)
S(p, σk ) =
v
eν (σk )pν ,
ν=0
а
d
.
(4)
dt
Требуется определить параметры системы σk из условия воспроизведения в системе желаемого переходного процесса x0 (t) с
минимальной интегральной ошибкой.
Задачу синтеза параметров нелинейной САУ рассмотрим при
среднем внешнем воздействии ḡ(t) = H1(t) и нулевых начальных условиях для времени t = −0, то есть нулевых начальных
условиях до приложения к системе скачкообразного воздействия
величины H
p=
(n−1)
x−0 = 0, ẋ−0 = 0, ..., x−0
= 0.
(5)
Из необходимости обеспечения устойчивости системы можно
получить второй набор граничных условий:
x(∞) = H0 , ẋ(∞) = 0, ..., x(n−1) (∞) = 0,
(6)
где H0 определяется статизмом системы.
Зададимся системой линейно- независимых непрерывно дифференцируемых координатных функций ϕq (t) (q = 1...m), удовлетворяющих нулевым граничным условиям
ϕ1 (t), ϕ2 (t), ..., ϕm (t).
(7)
В соответствии с требуемыми показателями качества зададимся желаемым переходным процессом x0 (t) в виде
x0 (t) = W0 (t) +
l
ai Wi (t), i = 1, 2, ..., l,
(8)
i=1
где ai - набор постоянных коэффициентов, W0 (t) = w0 (t)1(t) функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, Wi =
8
wi (t)1(t) - функции, удовлетворяющие нулевым граничным условиям.
Подставим желаемый процесс в уравнение движения системы
и образуем невязку Ψ(σk , t)
Ψ(σk , t) = S(p, σk )ḡ(t) + S(p, σk )δg(t) − R(p, σk )F [x0 (t)]
(9)
−Q(p, σk )x0 (t).
Варьируемые параметры σk , k = 1, ..., m определяются из условия ортогональности невязки Ψ(σk , t) координатным функциям
ϕq (t)
∞
Ψ(σk , t)ϕq (t)dt = 0,
q = 1, 2, ...m.
(10)
0
Подставляя значение Ψ(σk , t) получим
0
∞
0
∞
S(p, σk )ḡ(t)ϕk (t)dt +
∞
0
R(p, σk )F [(x0 (t)] ϕk (t)dt −
S(p, σk )δg(t)ϕk (t)dt−
0
∞
(11)
Q(p, σk )x0 (t)ϕk (t)dt = 0.
Эти интегралы будем называть интегралами Галеркина.
Если предположить, что с синтезированными параметрами система будет устойчива, то решив данную систему алгебраических
уравнений можно определить значения параметров σk . Однако в
общем случае такое предположение не обосновано, поэтому ниже
будет приведена процедура обеспечения устойчивости системы.
Таким образом, прямой вариационный метод ортогональных
проекций обращается на решение задачи параметрического синтеза системы.
9
1.2
Каноническое разложение случайных процессов
Случайная функция представляет собой математический объект большой сложности, поэтому широкое распространение получили представления случайных функций в форме детерминированных функций случайных величин. В приложениях часто применяются представления, имеющие аддитивную форму (Карунена [10], Пугачева [11]). Представление В.С.Пугачева практически
более простое, чем представление Карунена, и имеет более общую
форму. Оба эти представления имеют большое число членов в разложении. Использование неканонических разложений [12] позволяет сократить количество используемых случайных величин до
трех и даже до двух [12](В.И.Чернецкий), однако они применимы
только для стационарных случайных процессов, тогда как каноническое разложение В.С. Пугачева распространяется и на нестационарные случайные процессы [11]. Поэтому в данной работе используется разложение В.С.Пугачева.
Векторный случайный процесс g(t) может быть представлен
каноническим разложением его компонент. Для k-ой компоненты
вектора справедливо равенство
gk (t) = ḡk (t) +
∞
l
Viν Ωikν (t), k = 1..l,
(12)
i=1 ν=−∞
где ḡk (t) - математическое ожидание случайного процесса gk (t);
Ωikν (t) - ν-ая координатная функция разложения, являющаяся
неслучайной функцией времени;
Viν - центрированная случайная величина (с дисперсией Diν ), для
которой справедливо равенство:
M [Viν Vjμ ] = Diν δij δνμ ,
(13)
где δij - символ Кронекера- принимает значение 1 при i = j и 0 в
других случаях.
Рассмотрим каноническое разложение стационарного случайного процесса g(t). Здесь и ниже под стационарным случайным
процессом g(t) понимается стационарный в широком смысле (по
10
Пугачеву) процесс, у которого вектор математических ожиданий
ḡ(t) не является функцией времени, а матрица взаимных корреляционных функций K(t, t ) является функцией разности аргументов τ = t − t .
Каноническое разложение векторной случайной функции g(t)
может быть получено, используя каноническое разложению матрицы корреляционных функций K(τ ).
В простейшем случае векторной стационарной функции g(t),
компоненты которой некоррелированы между собой, k-ую компоненту диагональной матрицы корреляционных функций K(τ )
можно представить рядом Фурье с периодом 2T :
∞
Kk (τ ) =
Dkν eıδν t dt,
(14)
ν=−∞
где δν = πν
T - ν-ая частота канонического разложения вектора
случайных процесов g(t), ı мнимая единица;
T - период канонического разложения случайного процесса g(t);
Dkν
1
=
2T
T
−T
Kk (τ )e−ıδν τ dτ,
(15)
ν = 0..∞- коэффициенты, полученные по известным формулам
теории рядов Фурье.
В этом случае k-ая компонента вектора g(t) может быть представлена следующим каноническим разложением:
gk (t) = ḡk +
∞
Vkν eıδν t ,
(16)
ν=−∞
где ḡk - математическое ожидание стационарного случайного процесса gk (t);
Vkν - взаимно некоррелированые центральные случайные величины, дисперсии которых равны соответствующим коэффициентам
Dkν . Ограничимся первыми (2nk + 1) членами разложения так,
11
чтобы выполнялось условие
k =
(Dk −
nk
ν=−nk
Dkν )
Dk
≤ ∗k ,
(17)
где ∗k - допустимая погрешность канонического разложения;
Dk - дисперсия k-ой составляющей случайного процесса g(t).
Таким образом, центрированная случайная составляющая компоненты gk (t) может быть записана в виде
gk0 (t)
=
nk
Vkν eıδν t .
(18)
ν=−nk
В случае корреляционной связи между компонентами вектора
g(t) рассматривается матрица взаимных корреляционных функций K(τ ), элементы которой Kkq (τ ) - взаимные корреляционные
функции случайных функций gk (t) и gq (t); диагональные элементы матрицы Kkk (τ ) являются автокорреляционными функциями
случайных функций gk (t). В этом случае также все корреляционные функции Kkq (τ ) могут быть разложены в ряд Фурье в интервале −T < τ < T
Kkq (τ ) =
∞
Akqν eıδν t ,
(19)
ν=−∞
где δν = πν
T - ν-ая частота канонического разложения вектора случайных процессов g(t);
T - период канонического разложения вектора случайных процессов g(t);
Akqν =
T
−T
Kkq (τ )e−ıδν τ dτ,
k = 1..l,
q = 1..l, ν = −∞..0..∞
(20)
Akqν - коэффициенты, известные в теории рядов Фурье.
12
Они могут быть приведены к виду
Akqν =
l
Diν Λikν Λ∗ikν ,
(21)
i=1
где звездочкой обозначено комплексное сопряжение.
Покажем наиболее простой способ приведения коэффициентов
Akqν к такому виду [11]. Пусть для любого заданного ν:
Λiiν = 1,
i = 1..l;
Λikν = 0,
(22)
i > k;
тогда для коэффициента Akqν можно написать:
A11ν = D1ν , A1qν = D1ν Λ∗1qν
Akkν =
k−1
Drν |Λrkν |2 + Dkν
(q = 2..l),
(23)
(k = 2..l),
r=1
Akqν =
k−1
Drν Λrkν Λ∗rqν + Dkν Λ∗kqν
(q = k + 1..l, k = 2..l).
r=1
Из этих выражений последовательно вычисляются величины
D1ν , Λ1qν (q = 2..l), D2ν , Λ2qν (q = 3..l), .., Dlν .
Теперь мы можем построить каноническое разложение компонент вектора случайных процессов g(t) в форме
gk (t) = ḡk +
∞ l
Viν Λikν eıδν t .
(24)
ν=−∞ i=1
Используя ограничение на число членов в каноническом разложении, запишем центрированную случайную составляющую компоненты gk (t) следующим образом:
gk0 (t) =
nk l
ν=−nk i=1
13
Vij Λikν eıδν t .
(25)
Теперь мы можем объединить выражения (18) и (25) в одно:
gk0 (t)
=
nk l
Viν Ωikν (t),
(26)
ν=−nk i=1
где для выражения (18)
Ωikν (t) = eıδν t , i = k;
Ωikν (t) = 0, i = k,
(27)
а для выражения (25)
Ωikν (t) = Λikν eıδν t .
(28)
Итак, получена центрированная случайная составляющая kой компоненты вектора стационарных случайных процессов g(t).
Подводя итоги, имеет место два варианта канонического разложения случайных величин. В случае, если компоненты раскладываемого вектора некоррелированы между собой каноническое
разложение имеет вид
gk (t) = ḡk +
∞
Vkν eıδν t ,
(29)
ν=−∞
В случае корреляционной связи между компонентами вектора
g(t) это выражение примет вид
gk (t) = ḡk +
∞ l
ν=−∞ i=1
14
Viν Λikν eıδν t .
(30)
1.3
Построение переходного желаемого процесса, выбор координатных функций
При синтезе системы с заданными переходными характеристиками (или с заданными характеристиками переходного режима) необходимо задать желаемый процесс, к которому нужно осуществлять приближение.
В первом приближении в качестве такого процесса можно взять
процесс, протекающий в системе второго порядка (затухающая
гармоника или сумма двух экспонент), что равносильно аппроксимации системы звеном второго порядка, или иначе - аппроксимации сложного процесса основной составляющей второго порядка. В ряде случаев для сложных нелинейных систем может
понадобиться задать более сложный процесс высокого порядка.
Рассмотрим построение желаемого процесса для статической
и астатической САУ, а так же выбор координатных функций[2].
Статические системы. Желаемый процесс в нелинейной статической САУ, уравнение движения которой записано относительно
координаты ошибки (n = ν), в первом приближении для затухающего колебательного процесса может быть принят в виде
x0 (t) = H0 + H ∗ e−αt cos(βt − ϕ0 ) 1(t),
(31)
1 −H0
где H ∗ = Hcosϕ
, H0 - определяет статизм системы, т.е. значение
0
X0 (t) при t = ∞, H1 - амплитуда желаемого процесса при t =
+0, т.е. x0 - начальное значение исследуемой координаты, а ϕ0 фазовый сдвиг, определяемый выражением
α(H1 − H0 ) + ẋ0
,
(32)
ϕ0 = arctg
β(H1 − H0 )
где ẋ0 - начальное значение скорости изменения исследуемой координаты при t = +0. Выражение (31) для желаемого процесса
1 −H0
,
x0 (t) получено из (8) в предположении W0 = H0 1(t) и a1 = Hcosϕ
0
тогда
W1 (t) = e−αt cos(βt − ϕ0 ) 1(t).
15
(33)
Амплитуда H1 желаемого процесса (31) при t = +0 и статизм
системы H0 определяются по формулам
H1 =
eν H
, H0 = f [H, a0 , b0 , e0 , F (x, px)] ,
an
(34)
где eν и an - коэффициенты при старших производных соответственно правой и левой частей уравнения движения системы (2),
a0 , b0 , e0 - свободные члены полиномов Q(σk , p), R(σk , p), S(σk , p)
соответственно.
Если eν и an являются функциями неизвестных параметров
σk , то H1 принимается равным H = ḡ(t), t > 0. В тех случаях, когда H0 не зависит от F (x, px), а свободные члены a0 , b0 , e0 зависят
от неизвестных параметров σk , H0 принимается равным нулю.
Отметим так же, что полученные соотношения позволяют иногда определить или исключить часть неизвестных параметров системы.
Процесс (31) построен исходя из того, что приближенно время
переходного процесса определяется соотношением
tn ≈
k
,
α
(35)
а перерегулирование
0 π +ϕ +arctgμ
xmax 0
μ
−2
μ
=
,
Dm =
e
2
H1 − H0
μ +1
(36)
где k изменяется в диапазоне от 3 до 4, μ = αβ - колебательность,
x0max - первый экстремум процесса (31) x0 (t), определяемый формулой
x0max
π
+ϕ0 +arctgμ
μ
H1 − H 0
−2
μ
=−
.
e
2
cosϕ0
μ +1
(37)
Задаваясь параметрами α и β, можно строить процессы разной длительности, колебательности и перерегулирования. Если
16
начальное значение скорости изменения исследуемой координаты
ẋ0 = 0, выражение для перерегулирования упростится до
μ
Dm = μ2 + 1
−π
μ
e
.
(38)
В более общем случае, в частности, когда уравнение движения
нелинейной системы записано относительно выходной координаты системы, степень полинома левой части уравнения (2) будет
больше степени полинома правой части (n > V ), поэтому желаемый процесс x0 (t) задается в виде
x0 (t) = H0 − H ∗ e−αt cos(βt − ϕ0 ) 1(t),
(39)
H0
где H ∗ = cosϕ
.
0
В этом случае
−αt
a1 = H, l = 1 и W0 (t) = H0 1(t), W1 (t) =
e cos(βt − ϕ0 ) 1(t), а H0 определяется из уравнения (2) при
t = ∞, т.е.
H0 = f [H, a0 , b0 , e0 , F (x, px)] .
(40)
При рассмотрении свободного движения системы желаемый
процесс задается в виде
x0 (t) = H0 + H ∗ e−αt cos(βt − ϕ0 ),
(41)
1 −H0
где H ∗ = Hcosϕ
, H1 определяется начальным отклонением систе0
мы от положения равновесия, H0 - статизм системы.
Астатические системы. Желаемый процесс в нелинейной астатической САУ, уравнение движения которой записано относительно координаты ошибки (n = ν), принимается в виде (31) при
H0 = 0, то есть
x0 (t) = H ∗ e−αt cos(βt − ϕ0 ) 1(t),
17
H∗ =
H1
,
cosϕ0
(42)
где H1 определяется аналогично статическим процессам. Если
уравнение движения нелинейных САУ записано относительно выходной координаты системы (n > ν), то
x0 (t) = H − H ∗ e−αt cos(βt − ϕ0 ) 1(t),
(43)
H
.
где H ∗ = cosϕ
0
При свободном движении системы желаемый переходный процесс задается в виде
x0 (t) = H ∗ e−αt cos(βt − ϕ0 )1(t),
(44)
Приведение желаемого процесса к экспоненциальной форме.
Для дальнейших вычислений желаемый процесс (31) удобно привести к экспоненциальной форме. После разложения косинуса по
формуле косинуса суммы, получается:
x0 (t) = [H0 + (B cos βt + C sin βt)e−αt ]1(t),
(45)
где
B = H ∗ cos ϕ0 ;
C = H ∗ sin ϕ0 .
(46)
После разложения синуса и косинуса по формулам Эйлера,
выражение для желаемого процесса принимает вид:
eıβt + e−ıβt
eıβt − e−ıβt −αt
x0 (t) = [H0 + (B
+C
)e ]1(t).
2
2ı
(47)
Обозначив
B
C
+
2
2ı
получим окончательно:
c1 =
c2 =
B
C
− ,
2
2ı
x0 (t) = [H0 + c1 e−(α−ıβ)t + c2 e−(α+ıβ)t ]1(t).
18
(48)
(49)
Аналогично, для астатических систем (42), выражение в экспоненциальной форме будет иметь вид:
x0 (t) = [c1 e−(α−ıβ)t + c2 e−(α+ıβ)t ]1(t).
(50)
Для желаемых процессов, записанных относительно выходной координаты системы, выражения сохраняются с точностью
до знака коэффициентов c1 и c2 .
При решении задачи параметрического синтеза иногда возникает необходимость задаться желаемым процессом высокого порядка. Желаемый процесс порядка z можно представить в виде
суммы:
x0 (t) = [H0 +
z
(c1s e−(αs −ıβs )t + c2s e−(αs +ıβs )t )]1(t),
(51)
s=1
где
z
(c1s + c2s ) = H0∗ .
(52)
s=1
В дальнейшем мы будем пользоваться именно этой формулой.
Выбор координатных функций. Система из m непрерывно дифференцируемых линейно-независимых координатных функций выбирается в виде ряда экспонент:
e−α1 t , e−α2 t , ..e−αm t .
(53)
Из практики применения данного подхода, коэффициент затухания α1 этого ряда целесообразно выбирать в виде
α1 ≈ α ≈
k
,
tpp
(54)
где tpp - время переходного процесса, коэффициет k изменяется
в пределах от 3 до 4, а остальные коэффициенты следует выбрать так, чтобы время затухания любой из этих экспонент было
бы меньше времени затухания первой. Как показывает практика
19
применения метода ортогональных проекций, наименьшая ошибка воспроизведения системой желаемого процесса получается при
выборе коэффициента затухания ряда в виде геометрической прогрессии со знаменателем r = 2.
αq = α1 rq−1 = α1 2q−1 .
20
(55)
1.4
Кусочно-линейная аппроксимация характеристик
нелинейных элементов
Точный учет характеристик нелинейности приводит к значительному усложнению расчета. Часто бывает целесообразнее провести аппроксимацию характеристик элементов системы прямолинейными отрезками, то есть использовать кусочно-линейную
аппроксимацию.
Каждый отрезок кусочно-линейной функции может быть записан по формуле
ai x + bi = F (x), i = 1, ..r,
(56)
так как является элементом прямой. Тогда можно записать кусочно линейную функцию в виде [13]:
F (x) = a1 x + b1 + ((a2 − a1 )x + (b2 − b1 ))Θ(x − x1 ) + ... =
= a1 x + b1 +
r
(57)
((ai+1 − ai )x + (bi+1 − bi ))Θ(x − xi ).
i=1
Если обозначить
(ai+1 − ai ) = Ci ;
(bi+1 − bi ) = Bi
(58)
и дополнить множества Ci и Bi элементами
C0 = a1 ;
B0 = b1 ,
(59)
получится окончательный вид уравнения кусочно-линейной функции:
F (x) =
r
(Ci x + Bi )Θ(x − xi ).
i=0
21
(60)
Рис. 1: Прохождение процесса через нелинейный элемент
22
Пусть на входе нелинейного элемента действует непрерывная
функция времени x0 (t), соответствующая процессу (рисунок 1).
Используя полученное выражение для кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейного элемента, запишем аналитическое выражение для выходной функции y(t) = F [x0 (t)]:
F [x0 (t)] =
r
(Ci x0 (t) + Bi )Θ(t − ti ),
(61)
i=0
где ti - моменты переключения нелинейности.
При случайном входном сигнале под моментами переключения нелинейного элемента будем понимать такие моменты времени, в которые вероятность переключения нелинейного элемента с
одного линейного участка на другой максимальна. Эти моменты
определяются из условия совпадения математического ожидания
x̄(t) случайного процесса на входе нелинейного элемента с координатой точки излома характеристики этого нелинейного элемента.
Применение кусочно-линейной аппроксимации допустимо не
для любого случайного входного сигнала, имеющего математическое ожидание x̄(t). При больших значения дисперсии реализации
случайного процесса могут с большой вероятностью находиться на двух (а иногда и более) линейных участках представления
нелинейного элемента, что, при использовании кусочно-линейной
аппроксимации, приведет к появлению существенной погрешности. Оценить эффективность применения данной аппроксимации
при случайном процессе на входе нелинейного элемента можно
следующим образом: на всех интервалах времени между моментами переключения нелинейности средняя вероятность нахождения
случайного процесса на одном линейном участке аппроксимации
нелинейного элемента должна не менее, чем на порядок превышать данный показатель для любого другого участка нелинейного
элемента (на данном временном интервале).
Под средней на интервале времени ti , ti+1 вероятностью нахождения случайного процесса на участке b1 < x̄(t) ≤ b2 понима-
23
ется интеграл
ti+1
1
Ξi =
P (t)dt =
ti+1 − ti ti
ti+1 b2 − x̄(t)
1
b1 − x̄(t)
ϕ(
=
) − ϕ(
) dt,
ti+1 − ti ti
σ(t)
σ(t)
(62)
где P (t) -вероятность того, что случайный процесс на входе нелинейного элемента находится в интервале (b1 , b2 ], ϕ()- интеграл
вероятности, σ(t) - среднеквадратическое отклонение случайного процесса.
В случае не выполнения сформулированного выше условия
кусочно-линейная аппроксимация нелинейного элемента является
нецелесообразной. В этом случае необходимо использовать линеаризацию нелинейного элемента.
24
1.5
Синтез параметров нелинейных систем автоматического управления
Задача синтеза решается при технических ограничениях на
значения варьируемых параметров:
σk− ≤ σk ≤ σk+ ,
(63)
где σk− минимальные значения параметров, а σk+ максимальные
значения. При этом безусловно должна обеспечиваться устойчивость системы. Ограничения наложены так же на грубость системы по варьируемым параметрам σk
Δ=
δσk
≤ Δ0 ,
σk
(64)
где Δ0 заданное значение грубости системы, δσk - вариации параметров, в пределах которых обеспечивается абсолютная устойчивость системы.
Пусть система содержит один кусочно-линейный элемент или
нелинейный элемент, допускающий кусочно-линейную аппроксимацию. Уравнение динамики кусочно-линейной системы, записанное относительно координаты ошибки имеет вид
Q(p, σk )x(t) + R(p, σk )F [x(t)] = Q(p, σk )ḡ(t) + Q(p, σk )δg(t), (65)
где
Q(p, σk ) =
n
ai (σk )pi ,
R(p, σk ) =
i=0
u
bj (σk )pj ,
(66)
j=0
x(t) = x1 (t) + δg(t) = ḡ(t) − z(t) + δg(t) содержит случайную составляющую δg(t), а z(t) выходная координата системы.
В соответствии с требуемыми показателями качества задается
желаемый регулярный переходный процесс z0 (t) на выходе систе-
25
мы. Тогда желаемый переходный процесс на входе нелинейного
элемента будет иметь вид
x0 (t) = ḡ(t) − z0 (t) + δg(t) = x1 (t) + δg(t).
(67)
Подставим желаемый процесс в уравнение движения и образуем невязку:
Ψ(σk , t) = Q(p, σk )ḡ(t) + Q(p, σk )δg(t) − R(p, σk )F [x0 (t)] − (68)
−Q(p, σk )(x0 (t)).
Потребуем ортогональности невязки координатным функциям, в результате получим систему уравнений вида:
0
∞
−
∞
0
−αk t
Q(p, σk )ḡ(t)e
dt +
−αk t
R(p, σk )F [x0 (t)] e
∞
0
Q(p, σk )δg(t)e−αk t dt−
dt −
∞
0
(69)
Q(p, σk )(x0 (t))e−αk t dt = 0.
Получим аналитическое значение для каждого из этих интегралов. Для этого найдем значения для свободных членов полиномов Q(p) и R(p) и определим оставшиеся с учетом свойств преобразования Лапласа. Для представления случайного возмущения воспользуемся 2n первыми членами канонического разложения случайной величины:
n
δg(t) =
Vi e−δi t .
(70)
i=−n
1.
0
∞
−αk t
a0 ḡ(t)e
e−αk t ∞ a0 ḡ(t)
| =
,
dt = a0 ḡ(t)
−αk 0
αk
откуда
0
∞
−αk t
Q(p)ḡ(t)e
=
i=m
(ai ḡ(t)αki−1 ).
i=0
26
(71)
2.
∞
0
a0 δg(t)ϕk dt =
n ∞
(−δi −αk )t
a0 Vi e
i=−n 0
dt =
n
i=−n
a0 Vi
δi + αk
откуда
0
∞
−αk t
= a0
∞
0
∞
0
(
n
j=0 i=−n
3.
=
Q(p)δg(t)e
j=m
aj Vi j
α ).
δi + αk k
(72)
a0 x0 (t)ϕk (t)dt =
z
(H0 + (c1s e−(αs −ıβs )t +c2s e−(αs +ıβs )t )+δg(t))ϕk (t)dt.
s=1
Вычислим по отдельности значения интеграла для регулярной составляющей
∞
0
a0 (H0 +
z
(c1s e−(αs −ıβs )t + c2s e−(αs +ıβs )t ))ϕk (t) =
s=1
H0 c1s
c2s
+
(
= a0 (
+
))
αk
(αs + αk − ıβs ) (αs + αk + ıβs )
z
s=1
и случайного возмущения
0
∞
a0 δg(t)ϕk (t)dt =
n ∞
i=−n 0
(−δi −αk )t
a0 Vi e
dt =
n
i=−n
a0 Vi
.
δi + αk
Сложив и обобщив эти результаты получим
0
∞
−αk t
Q(p)x0 (t)e
=
j=m
j=0
27
n
H0
Vi
+
aj ((
+
αk
δi + αj
i=−n
(73)
z
(αs + αk ) cos ϕs + βs sin ϕs )
j
+
(
))α
k ).
(αs + αk )2 + βs2
s=1
4.
∞
0
b0 F [x0 (t)] ϕk (t)dt =
используя кусочно-линейное представление нелинейного элемента получим
=
+
z
∞
b0
0
u
(Bi + Ci (H0 +
i=1
(c1s e−(αs −ıβs )t + c2s e−(αs +ıβs )t ) + δg(t))1(t − ti )e−αk t dt.
s=1
Далее вычислим значения интеграла для постоянной состовляющей и случайного возмущения
0
∞
b0
u
(Bi + Ci (H0 +
z
(c1s e−(αs −ıβs )t + c2s e−(αs +ıβs )t ))×
s=1
i=1
×1(t − ti )e−αk t dt =
избавимся от ступеньчатой функции, изменив пределы интегрирования
=
u
i=1
+Ci
z
b0
∞
ti
(Bi e−αk t + Ci e−αk t H0 +
(c1s e−(αs −ıβs )t + c2s e−(αs +ıβs )t )e−αk t dt =
s=1
28
=
u
i=1
c1s e−(αs +αk −ıβs )ti
Bi + Ci H0 e−αk ti
(b0
+ Ci b0
(
+
αk
αs + αk − ıβs
z
s=1
c2s e−(αs +αk +ıβs )ti
+
)) =
αs + αk + ıβs
откуда по формулам Эйлера
=
u
i=1
Bi + Ci H0 −αk ti
2e(αs +αk )ti
(b0
e
+ Ci b0
(
×
αk
(αs + αk )2 + βs2
z
s=1
×((αs + αk )cos(βs ti + ϕs ) − βs sin(βs ti + ϕs )))).
Для случайного возмущения имеем
∞ u
b0
Ci δg(t)1(t − ti )e−αk t dt =
0
i=1
= b0
u
Ci
ti
i=1
= b0
u
Ci
i=1
= b0
u
Ci
i=1
n
j=−n
∞
(
n
Vj e−δj t )e−αk t dt =
j=−n
n
∞
Vj
e−δj t−αk t dt =
ti
j=−n
u
n
e−δj t−αk t ∞
e−δj ti −αk ti
Vj
| = b0
Ci
Vj
.
−δj − αk ti
δj + αk
i=1
j=−n
В итоге получаем
0
∞
−αk t
R(p)F (x0 (t))e
=
u
i=m
bi ((
i=0 j=1
+Cj
n
z=−n
Vz
e−δz ti −αk ti
δz + αk
+ Cj
z
s=1
29
Bj + Cj H0 −αk tj
e
+
αk
(74)
(
2eαs +αk
(αs + αk )2 + βs2
×
×((αs + αk )cos(βs tj + ϕs ) − βs sin(βs tj + ϕs ))))αki ).
При наличии корреляционной связи между компонентами вектора g(t) эти интегралы примут вид
∞ l
δg(t) =
Vin Λikn eıδn t .
n=−∞ i=1
∞
0
=
a0 δg(t)ϕk dt =
a0 Vin Λikn
0
−αk t
Q(p)δg(t)e
t
a0 Vin Λikn eıδn t e−αm dt =
l
∞ eıδn t−αm t dt =
0
n=−∞ i=1
∞
∞
∞
0
n=−∞ i=1
l
∞ ∞ l n=−∞ i=1
=
i=m
(
∞ l
−
i=0 n=−∞ i=1
∞
0
i=m
i=0
a0 Vin Λikn
1
.
ıδn − αm
ai Vin Λikn (ıδn + αk ) i
αk ).
δn2 + αk2
(75)
Q(p)x0 (t)e−αk t =
(76)
i=m
∞ l
Vin Λikn (ıδn + αk ) i
H0 ai ((
+
(−
αk )+
2 + α2
αk
δ
n
k
n=−∞
i=0
i=1
z
(αs + αk ) cos ϕs + βs sin ϕs )
i
(
))α
).
+
k
(αs + αk )2 + βs2
s=1
∞
0
= b0
u
i=1
Ci
b0
Ci δg(t)1(t − ti )e−αk t dt =
i=1
l ∞ n=−∞ i=1
u
∞
ti
ıδn t−αm t
e
dt = b0
u
i=1
30
l
∞ eıδn ti −αm ti
Ci
.
ıδ
−
α
n
m
n=−∞
i=1
0
∞
−αk t
R(p)F (x0 (t))e
=
u
i=m
i=0 j=1
bi ((
Bj + Cj H0 −αk tj
e
−
αk
(77)
l
∞ z
eıδn ti −αm ti (ıδn + αk )
2eαs +αk
+ Cj
(
×
−Cj
2 + α2
2 + β2
δ
(α
+
α
)
s
k
n
m
s
n=−∞
z=1
s=1
×((αs + αk )cos(βs tj + ϕs ) − βs sin(βs tj + ϕs ))))αki ).
Эти выражения позволяют свести задачу определения ортогональности невязки координатным функциям к простым арифметическим операциям, значительно ускоряя процесс поиска параметров.
31
1.6
Обеспечение абсолютной устойчивости системы
Поскольку рассматриваемый метод является приближенным,
целесообразно введение ограничений на устойчивость системы.
Для обеспечения абсолютной устойчивости системы будем использовать частотный критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова, представленный в алгебраической форме, что позволит исключить перебор по частоте [2], [3].
Для САУ c несколькими нелинейными элементами условие абсолютной устойчивости формулируется следующим образом. Пусть
нелинейные элементы имеют однозначные непрерывные характеристики, которые удовлетворяют следующим условиям:
Fi (0) = 0,
0<
Fi (xi )
≤ KFi , i = 1..r.
xi
(78)
Тогда для обеспечения абсолютной устойчивости системы достаточно подобрать такую действительную диагональную матрицу q, что при всех ω положительна эрмитова матрица
H(ıω) = G(ıω) + GT (ıω) > 0,
(79)
где G(ıω) = k −1 + (I + ıωq)W (ıω)- вспомогательная матрица, Kдиагональная матрица размера (r, r) с элементами KFi ; I- единичная матрица размера (r, r), W (ıω) - квадратная передаточная матрица размера (r, r), элементы которой Wik (ıω) устойчивые частотные передаточные функции от выхода k-го нелинейного элемента
ко входу i-го нелинейного элемента. Эрмитова матрица H(ıω) положительна, если положительны r ее главных миноров:
Δ1 = Re((1 + ıωq11 )W11 ) +
Δ2 = 4(Re((1 + ıωq11 )W11 +
1
> 0,
KF1
(80)
1
1
)(Re((1 + ıωq22 )W22 ) +
)−
KF1
KF2
mod [(1 + ıωq11 )W12 + (1 − ıωq22 )W21 )]2 > 0,
. . . . . . . . .
32
Δr = detH(ıω) > 0.
Данные неравенства могут быть представлены в виде полиномов четных степеней ω с действительными коэффициентами:
Pi (ω 2 ) =
nj
di,2s ω 2s > 0,
ω ≥ 0,
i = 1..r.
(81)
s=0
Задача анализа абсолютной устойчивости САУ с r нелинейными элементами таким образом сводится к исследованию положительности полиномов, которое может быть проведено с использованием схем Рауса. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в
первых столбцах схем Рауса, составленных для полиномов
Li (ω) = gi,2ni ω 2ni + gi,2ni−1 ω 2ni−1 + .. + gi,1 ω + gi,0 ,
(82)
где
gi,2s = (−1)s di,2s ; gi,2s−1 = 2sgi,2s ,
s = 0..ni ,
имело место ni перемен знака и gi0 > 0.
Перебор действительных значений q производится при этом по
рекуррентным соотношениям
qi+ =
1
l−i
tg( π2 l+i
)
−
, qi+1
= −qi+ , q0 = 0, i = 1, 3, 5, .., l − 1,
где l- четное число для перебора значений q.
Для определения абсолютной устойчивости процессов в САУ
с несколькими нелинейными элементами может использоваться
круговой критерий, формулируемый следующим образом. Если
полюсы передаточной матрицы W (p) расположены в левой полуплоскости, а нелинейные элементы Fi (xi )(i = 1..r)- стационарные
функции, удовлетворяющие условиям
γi ≤
δFi (xi )
≤ βi , i = 1..r,
δxi
33
(83)
где γi , βi - некоторые известные числа, то достаточным условием
абсолютной устойчивости процессов является выполнение неравенства
Re((I + γW (ıω))∗ τ (I + βW (ıω))) > 0,
(84)
где звездочкой обозначено комплексное сопряжение, а γ, β, τ - диагональные матрицы размера (r, r) с диагональными элементами
γi , βi , τi (τi -некоторые положительные числа).
Для САУ с нелинейными элементами, удовлетворяющим условиям (83), критерий (84) (полагая γi = 0,τi = 1(i = 1..r)), совпадает с критерием абсолютной устойчивости положения равновесия
(79) (если положить qi = 0(i = 1..r)). Поэтому для исследования
абсолютной устойчивости процессов в САУ может использоваться критерий абсолютной устойчивости положения равновесия при
нулевых параметрах qi .
При исследовании устойчивости САУ с одним нелинейным элементом, исследование устойчивости по схеме(81) сводится к исследованию положительности одного полинома
P (ω 2 ) =
nj
d2s ω 2s > 0,
ω ≥ 0.
s=0
В общем случае при рассмотрении САУ, содержащих три или
более нелинейных элементов, использование критерия В.М.Попова
вызывает значительные вычислительные трудности, поэтому в
этих случаях представляется целесообразным введение ограничений на устойчивость системы для статистически линеаризованной
САУ.
34
1.7
Сведение задачи синтеза к задаче нелинейного
програмирования
Согласно общей схеме решения задачи синтеза методом ортогональных проекций задается система из m координатных функций. Варьируемые параметры сисемы σk определяются из условия
ортогональности невязки Ψ(σk , t) координатным функциям e−αk t ,
что приводит к системе из m алгебраических уравнений. Так как
задача синтеза решается при ограничениях на параметры (63), абсолютную устойчивость системы (81) и на грубость системы (64),
безусловная ортогональность невязки координатным функциям,
достигнута не будет. Поэтому, параметры σk , удовлетворяющие
заданным ограничениям, будем определять из условия минимизации целевой функции J:
m (
J=
q=1
0
∞
Ψ(σk , t)e−ρq t dt)2 .
(85)
Таким образом, задача синтеза нелинейной САУ сведена к задаче нелинейного программирования, в которой целевая функция
построена при помощи метода ортогональных проекций. При этом
ортогональность невязки координатным функциям будет обеспечена приближенно. Для решения данной задачи нелинейного програмирования требуется определить глобальный минимум целевой функции при рассмотренных выше ограничениях. Ввиду сложности ограничений решение указанной задачи градиентными методами является нецелесообразным, поскольку нахождение частных производных целевой функции и ограничений связано с большим объемом вычислений. Алгебраизация целевой функции сокращает время счета, требуемое для выполнения шага оптимизации, что делает достаточно эффективным применение методов
случайного поиска, не требующих информации о производных от
целевой функции и ограничений.
Применение процедуры сжимающегося случайного поиска позволяет [14] определить оптимальные значения вектора варьируемых параметров σ opt при выполнении ограничений на значения
35
этих параметров.
Стратегия поиска оптимума минимизируемого функционала
заключается в следующем. Задается исходная точка поиска (при
отсутствии информации о ее возможном положении точка выбирается произвольным образом), вводится вектор δ нормированных варьируемых параметров, компоненты которого определяются по формуле:
σk − σkmin
δk = max
, k = 1..m,
σk − σkmin
(86)
где σk - физическое значение варьируемого параметра, σkmin , σkmax минимальное и максимальное возможные значения варьируемого
параметра σk , заданные из условия возможности его технической
реализации.
Поиск проводится в несколько этапов; на каждом этапе область интенсивного поиска сжимается. Нахождение текущей точки оптимума целевой функции производится по одной из формул
(для k-ой компоненты вектора δ на j-ом этапе поиска):
δkj =
δkj =
1 j
ξ ,
hj k
j
0 ≤ ξkj < hj (δ0k
− qj )
(87)
1 j
j
j
j
[ξk +(δ0k
−qj )(Hj −hj )], hj (δ0k
−qj ) ≤ ξkj < hj (δ0k
+qj −1)+1
Hj
δkj =
1 j
(ξ − 1 + hj ),
hj k
j
hj (δ0k
+ qj − 1) + 1 ≤ ξkj ≤ 1,
где ξkj - равномерно распределенная на [0, 1] случайная величина;
Hj , hj - плотности распределения вероятностей внутри и вне интервала Jj , в котором нахождение оптимального значения параметров δk наиболее вероятно, соответственно, определяемые по
выражениям
Hj =
|0.25 − qj | + 0.75
;
2qj
36
(88)
hj =
0.25 − |0.25 − qj |
;
1 − 2qj
(89)
qj - половина ширины интервала Jj (на первом этапе поиска qj =
0.5, то есть поиск с одинаковой интенсивностью ведется во всем
единичном кубе пространства параметров δ;
j
δ0k
- значение k-го параметра, при котором достигнут текущий
минимум функционала.
Этап поиска заканчивается, если выполнено определенное число шагов поиска или найден вектор параметров, при котором
значение целевой функции меньше, чем значение с параметрами
j
(k = 1..m).
δ0k
На следующем этапе поиска ширина интервала Jj+1 сжимается по формуле
qj+1 =
0.5
1 j,
(1 + m
)
(90)
где m - размерность вектора δ.
В результате работы алгоритма определяется такой вектор
σopt варьируемых параметров, при котором с достаточной вероятностью достигается глобальный минимум целевой функции.
После решения задачи параметрической оптимизации возможно решение задачи ограниченного синтеза (упрощения) структуры регулятора. Для этого в целевую функцию J подставляется
вектор σopt , полученный в результате поиска, отдельные компоненты которого полагаются равными нулю (σi = 0); вычисляется
новое значение целевой функции Ji . Если при этом выполняется
условие
|Ji − Jopt | < ΔJ,
(91)
где Jopt - значение целевой функции в точке σopt , ΔJ - допустимое
изменение целевой функции, то, в случае выполнения всех ограничений, компоненты σi можно исключить из вектора найденных
параметров σopt , что приводит к упрощению регулятора, то есть
синтезу его структуры.
37
Укрупненная блок- схема алгоритма синтеза параметров по
рассмотренному методу представлена на рисунке 2. Исходными
данными для работы алгоритма являются коэффициенты ai (σk ),
bj (σk ), eν (σk ) полиномов Q(p, σk ), R(p, σk ), S(p, σk ) дифференциального уравнения (2), заданные показатели качества переходного режима системы, параметры нелинейного элемента, амплитуда
внешнего входного воздействия H, статистические характеристики помехи. Результатом решения задачи будут искомые параметры регулятора.
38
Рис. 2: Блок-схема алгоритма синтеза параметров
39
1.8
Системы с несколькими нелинейными элементами
Метод ортогональных проекций можно распространить на системы с несколькими нелинейными элементами. Для системы с r
нелинейными элементами задача синтеза решается в следующей
постановке. Предпологается, что часть параметров системы задана. Остальные параметры, относящиеся к одному или нескольким
звеньям подлежат определению из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества: быстродействия, перерегулирования, колебательности. При этом безусловно обеспечивается абсолютная устойчивость и грубость системы. Задача решается при наличии помехи, наложенной на вектор управляющих
воздействий.
Динамика такой системы может быть описана следующим уравнением
X(p) = W(p)Y(p) + ϕ(p)G(p),
(92)
где X(p), Y(p), G(p) - изображения по Лапласу векторов x(t),
y(t),g(t), соответственно. x(t)- вектор длины r координат входов
нелинейных элементов; y(t)- вектор длины r координат выходов
нелинейных элементов; g(t) вектор длины l управляющих сигналов. W(p)- квадратная матрица размера r составленная из передаточных функций Wij от выхода j-го нелинейного элемента ко
входу i-го нелинейного элемента; ϕ(p) матрица размера r на l, элементы ϕik которой являются передаточными функциями от k-го
управляющего входа ко входу i-го нелинейного элемента.
Пусть компоненты этих матриц являются дробно- рациональными функциями вида
Wip (p) =
Hip (p)
,
Lip (p)
i = 1..r,
p = 1..r;
ϕik (p) =
Mik (p)
,
Nik (p)
i = 1..r,
k = 1..l;
40
(93)
Переходя в (92) от изображений функций к оригиналам, получим:
Q(p)x(t) + R(p)y(t) = Sg (p)g(t),
(94)
где Q(p), R(p), Sg (p) матрицы размера (r,r), (r,r) и (r,l) соответственно, причем матрица Q(p) диагональна.
Подставив (93) в (92), получим
Qi xi +
r
Riρ yρ =
ρ=1
l
g
Sik
gk
+
s
f
Sin
fn ,
(95)
n=1
k=1
где
Qi =
r
l
Lif
j=1
Riρ = Hiρ
r
Lij
= Mik
r
ρ=1
l
Nik
(96)
l
s
Tin
n=1
k=1
Liρ
Tin
n=1
k=1
j=1,j=ρ
g
Sik
Nik
s
Nij
j=1,j=k
s
Tin .
n=1
В ряде случаев может быть получено уравнение (94) в котором
Q(p) не диагональна. В этом случае строка матричного уравнения
будет иметь вид
r
ρ=1
(Qiρ xρ + Riρ yρ ) =
l
g
Sik
gk
k=1
+
s
f
Sin
fn .
(97)
n=1
Элементы матриц уравнения (94) являются полиномами оператора дифференцирования p и в общем случае нелинейными
функциями вектора варьируемых параметров σ.
Введем вектор ошибок системы, определяемый равенством
= νg − z,
41
(98)
где ν- заданный оператор преобразования вектора управляющих
сигналов g, который в дальнейшем будем считать линейным, zвектор процессов на выходах системы.
В случае равенства нулю вектора ошибок , вектор процессов
на выходах системы будет определяться выражением
z0 = νg.
(99)
Назовем этот вектор желаемым вектором процессов на выходах системы.
Если вектор z0 задан, можно определить вектора x0 и y0 желаемых процессов на входах и выходах нелинейных элементов.
После подстановки этих векторов в (94) образуется вектор невязок
Ψ(σ, t) = Sg (σ, p)g(t) − Q(σ, p)x0 (t) − R(σ, p)y0 (t),
(100)
равенство нулю которого соответствует точному выполнению векторного преобразования (99). В результате решения задачи параметрического синтеза с помощью метода ортогональных проекций
определяется такой вектор варьируемых параметров, при котором
интегральная оценка ошибки выполнения заданного векторного
преобразования (99) минимальна.
Применим теорию канонических разложений к векторным случайным функциям входящим в (100)
x0 = x̄0 + δx0
(101)
y0 = ȳ0 + δy0
g = ḡ + δg.
Здесь первые слагаемые представляют собой векторы математических ожиданий соответствующих случайных функций (f̄=0),
а вторые слагаемые- векторы центрированных случайных составляющих этих же случайных функций, которые представляются в
42
виде сумм элементарных случайных функций. Подставив эти выражения в (100) выделим также детерминированную и случайную
составляющие невязки
Ψ̄ = Sg ḡ − Qx̄0 − Rȳ0 ,
(102)
δΨ = Sg δg − Qδx − Rδy.
(103)
При этом отдельные строки матричных уравнений будут иметь
вид
Ψ̄i =
l
g
Sik
ḡk
−
δΨi =
(Qiρ x̄0ρ + Riρ ȳρ0 )
(104)
(Qiρ δx0ρ + Riρ δyρ0 ).
(105)
ρ=1
k=1
l
r
g
Sik
δgk
−
r
ρ=1
k=1
Согласно методу ортогональных проекций для минимизации
невязок Ψ̄ и δΨ потребуем их ортогональности системам координатных функций. Условия ортогональности могут быть записаны
в виде
∞
Ψ̄i ϕq dt = 0; i = 1..r, q = 1..N
(106)
0
0
∞
δΨi ϕΔ dt = 0;
i = 1..r,
Δ = 1..N.
Системы уравнений (106) не могут быть решены в общем случае в замкнутой форме из-за необходимости вводить ограничения
на параметры. Поэтому решение данной задачи предлагается проводить приближенно, путем сведения этой задачи к задаче нелинейного программирования при наличии ограничений со следующей целевой функцией
J = J1 + ξJ2 ,
43
(107)
где
J1 =
r N i=1 q=1
J2 =
r N
∞
Ψ̄i ϕq dt
0
M mod
0
i=1 Δ=1
2
;
(108)
2
∞
δΨi ϕΔ dt
.
(109)
ξ - некоторый весовой коэффициент.
Задача решается при ограничениях на значения параметров
σk , абсолютную устойчивость синтезируемой системы и грубость
системы. Таким образом, метод ортогональных проекций синтеза систем с одним нелинейным элементом, рассмотренный выше,
распространяется на системы, содержащие несколько нелинейных
элементов.
Алгоритм синтеза параметров САУ с несколькими нелинейными элементами полностью совпадает с алгоритмом синтеза САУ
с одним нелинейным элементом. Однако, следует помнить, что
динамика такой системы описывается матричным дифференциальным уравнением (94). Кроме того, при проверке устойчивости
используется критерий абсолютной устойчивости с несколькими
нелинейными элементами и изменяется формула, используемая
при вычислении целевой функции.
44
1.9
Определение желаемых процессов на входах нелинейных элементов
Для формирования вектора невязок должен быть определен
вектор желаемых процессов на входах нелинейных элементов x0 (t).
Наиболее очевидный путь определения вектора x0 (t) - статистическая линеаризация системы с использованием далее линеаризованной модели. Тем не менее, этот путь обладает несколькими
недостатками.
• В передаточную функцию замкнутой системы входят варьируемые параметры регулятора, поэтому вектор x0 (t) является функцией вектора σ варьируемых параметров и будет
различен в каждой точке пространства варьируемых параметров.
• Для определения коэффициентов статистической линеаризации необходима организация достаточно сложной итерационной процедуры, вопрос о сходимости которой в общем
случае не решен.
В связи с этим для определения x0 (t) рассмотрим следующую
процедуру.
С учетом заданного желаемого процесса на выходе системы
z0 (t) определим вектор x0 (t) желаемых процессов на входах нелинейных элементов. Компоненты вектора x0 (t) в общем случае последовательно определяются в результате движения от выходов
ко входам системы по компонентам вектора z0 (t), вектора g(t)
входных управляющих сигналов, а также по полученным ранее
компонентам векторов x0 и y0 желаемых процессов на входах
и выходах нелинейных элементов. Все случайные процессы при
этом представляются своими каноническими разложениями. Рассмотрим вопрос определения этого вектора на примере одномерной нелинейной САУ, представленной на рисунке 3, что, не умаляя
общности, существенно упростит рассуждения.
По заданному желаемому процессу на выходе системы (для
идеальных следящих систем он совпадет с вектором управляю45
Рис. 3: Структурная схема нелинейной САУ
щих сигналов g) желаемые процессы на входах четвертого (F4 ) и
пятого (F5 ) нелинейных элементов определяются непосредственно
и однозначно. Желаемый процесс на входе четвертого нелинейного элемента совпадет с z0 :
x04 = z 0
(110)
Для определения процесса x05 можно использовать преобразование Лапласа. Для изображения x5 получим в итоге:
x05 = W5 z0 ,
(111)
где z0 - изображение желаемого процесса на выходе системы.
По изображению можно получить оригинал желаемого процесса на входе пятого нелинейного элемента. Если процесс z0 гармонический, для определения желаемого процесса может быть использован символический метод. В случае, когда желаемый процесс z0 стохастический, по его каноническому разложению может быть определено каноническое разложение процесса x05 также символическим методом. Желаемые процессы на выходах рассматриваемых нелинейных элементов y4 и y5 могут быть определены либо с помощью статистической линеаризации нелинейных
46
элементов [15], либо с помощью их кусочно-линейной аппроксимации, подробно рассмотренной в разделе 1.4. В случае статистической линеаризации нелинейных элементов с нечетной характеристикой справедливы следующие выражения:
yi0 = ki x̄0i + ki x0i ,
(112)
где ki и ki - коэффициенты статистической линеаризации, являющиеся функциями математических ожиданий и дисперсий процессов на входе i-го нелинейного элемента.
Выходная координата третьего нелинейного элемента так же
совпадает с выходной координатой системы, поэтому
y30 = z0 .
(113)
Для определения желаемого процесса x03 следует построить
обратную зависимость x3 = F3 (y3 ). Если эта характеристика однозначна, определение x3 по y3 не отличается от рассмотренных
выше. В случае неоднозначности характеристики F3 (y3 ), необходима организация итерационной процедуры. Нелинейная характеристика F3 (x3 ) аппроксимируется в первом приближении касательной или секущей; математическое ожидание x̄03 и дисперсия
Dx03 определяются выражениями
x̄03 = (k3 )−1 ȳ30 ;
(114)
Dx03 = (k3 )−2 Dy30 ,
где k3 = k3 - коэффициенты линеаризации третьего нелинейного
элемента по детерминированной составляющей и помехе, в первом приближении равные тангенсу угла наклона касательной или
секущей. По найденному математическому ожиданию x̄03 и дисперсии Dx30 определяются коэффициенты статистической линеаризации второго приближения, которые снова подставляются в
(114). Итерационная процедура заканчивается, когда коэффициенты линеаризации будут вычислены с заданной точностью. Вопрос о сходимости данной итерационной процедуры в общем случае остается открытым.
47
Если желаемый процесс z0 задан таким образом, что амплитуда его значительно превышает полку нелинейного элемента F3 ,
то есть он нереализуем физически, необходима соответствующая
коррекция процесса или включение в систему усилителя.
К нелинейному элементу F1 можно подойти с двух сторон.
Более рациональным является нахождение сперва x01 , поскольку
в этом случае необходима линеаризация только одного нелинейного элемента (F3 ) вместо трех (F2 ,F3 ,F4 ). Поскольку нелинейный
элемент F5 статистически линеаризован, нахождение x01 по z0 может быть выполнено, как ранее для F5 .
К нелинейному элементу F2 так же можно подойти с двух
сторон, причем в обоих случаях необходима линеаризация двух
нелинейных элементов. Тем не менее предпочтительнее движение
"справа", т.к. в этом случае в уравнение связи не входит передаточная функция регулятора. Вопрос о неоднозначности обратной зависимости x2 = F2 (y2 ) в данном случае может быть решен кардинально: при движении к данной характеристике "слева"неоднозначности не возникает.
При последовательном определении желаемых процессов на
входах нелинейных элементов при движении "от выхода системы", желаемые процессы для F4 и F5 определяются точно, для
F1 ,F2 и F3 приближенно, с точностью до погрешности метода статистической линеаризации. В то же время, при движении "от входа"системы необходима одновременная линеаризация всех нелинейных элементов совместно, что потребует трудоемкой итерационной процедуры. Кроме того, приближенное определение процессов на входах всех нелинейных элементов должно проводиться в
каждой точке пространства варьируемых параметров.
Анализ получения вектора x0 для системы достаточно общего
вида позволяет сделать ряд выводов:
• для нелинейных элементов, находящихся в цепях обратных
связей, эта процедура затруднений не вызывает;
• для нелинейных элементов, находящихся в прямой цепи, в
общем случае необходим пересчет желаемого процесса с вы48
хода нелинейного элемента на его вход;
• в случае пересчета желаемого процесса с выхода нелинейного элемента на его вход для ряда нелинейных элементов возможна неоднозначность обратной зависимости xi = Fi (yi ).
В этом случае необходимо применение итерационной процедуры, рассмотренной выше;
• к нелинейным элементам, находящимся в прямой цепи до
звеньев с варьируемыми параметрами, целесообразнее приближаться "слева", то есть определять желаемый процесс
сначала на входе нелинейного элемента, а затем- на его выходе;
• на выходах нелинейных элементов, если приближаться к
ним "справа", могут получаться физически нереализуемые
процессы, что приводит к необходимости введения дополнительных звеньев в систему. Если это невозможно, следует
скорректировать желаемые процессы на выходах системы с
целью получения реализуемых процессов на выходах всех
нелинейных элементов. Таким образом уже на этом этапе
можно получить информацию о принципиальной невозможности реализовать предъявленные к системе требования.
Как следует из изложенного выше, в общем случае вектор желаемых процессов на входах нелинейных элементов является линейным преобразованием вектора управляющих сигналов:
x0 = N g,
где N - матрица передаточных функций размера (r, l).
49
(115)
1.10
Оценка погрешности воспроизведения в системе заданного движения
При синтезе и оптимизации вектора искомых параметров системы σ обращением прямых вариационных методов, необходимо иметь оценку точности воспроизведения заданного движения,
которое, как правило, воспроизводится приближенно. В [1], [2]
приведена приближенная мажорантная оценка. Рассмотрим более точную оценку погрешности, предложенную И.А. Орурком
и Л.А. Осиповым [16], [17] для линейной системы и приближенную для системы с линеаризованными звеньями, которая может
быть использована не только для оценки точности воспроизведения системой желаемого процесса, но и в качестве ограничений
при поиске оптимума целевых функций.
Пусть имеется линейная система (в общем случае она может
быть многосвязной). Ее уравнение, записанное относительно любой координаты x будет иметь вид:
N (p)x(t) = S(p)f(t),
(116)
где f(t) - вектор входов, N(p) - скалярный полином, S(t) - матрицастрока полиномов оператора дифференцирования p. Пусть
N (p) =
n
ai pi .
(117)
i=0
Погрешность воспроизведения системой желаемого движения
определяется выражением
(t) = x0 (t) − x(t),
(118)
где x0 (t) - желаемое движение. Подставив эти значения в уравнение движения системы (116), получим невязку:
Ψ=
n
ai pi (t).
i=0
50
(119)
Если же рассматривается нелинейная система, описываемая
уравнением (векторным или скалярным)
Q(p)x(t) + R(p)F [x(t)] = S(p)f (t),
(120)
то, после линеаризации нелинейного звена y = F [x] = (g + g p)x
(как уже говорилось выше может рассматриваться обобщенная
или гармоническая линеаризация) это уравнение так же прийдет
к виду (116), в котором
N (p, g, g ) = Q(p) + R(p) g + g p ,
(121)
где коэффициенты ai полинома N (p) зависят от g и g’. Для получения оценки для разложим ее и невязку Ψ в ряды Фурье
в интервале T, подразумевая, что они удовлетворяют условиям
Дирихле. Этот интервал равен периоду для периодического процесса x0 , а для переходных процессов он равен времени затухания
свободной составляющей x0 до величины, равной нескольким процентам от ее максимального значения.
Ряд Фурье для ошибки (t) имеет вид
(t) = A0 +
m
Bk sinkβt +
k=1
m
Dk coskβt,
(122)
k=1
а для ее производной порядка i:
π
π
(t) = A0 +
Bk (kβ) sin(kβt + i ) +
Dk (kβ)i cos(kβt + i ).
2
2
k=1
k=1
(123)
Подставив эти значения в (119), получим
(i)
m
m
i
m
π
π i
ai ( (kβ) Bk sin(kβt + i ) + Dk cos(kβt + i ) ).
Ψ = a0 A0 +
2
2
i=0
k=1
(124)
n
51
В выражении (124) невязка выражена через коэффициенты
Фурье ошибки . С другой стороны невязку можно выразить через
заданное желаемое движение
Ψ = N (p)x0 − S(p)f.
(125)
Определим коэффициенты разложения A0 , Bk , Dk ошибки ,
используя выражение невязки через эти коэффициенты (124) и
ее выражение через известные параметры системы N (p) и S(p),
воздействие f (t) и желаемое движение x0 (125).
Из (125) можно получить коэфициенты Фурье невязки:
Δks
2
=
T
Δkc
2
=
T
T
0
T
0
[N (p)x0 − S(p)f] sinkβt dt
(126)
[N (p)x0 − S(p)f] coskβt dt.
(127)
С другой стороны, используя (124) и обычную процедуру выделения коэффициентов при ортогональных функциях, получаем
те же коэффициенты в виде функции искомых коэффициентов
Фурье для ошибки:
Δks = Bk λk + Dk ξk ,
(128)
Δkc = −Bk ξk + Dk λk ,
(129)
λk = a0 − a2 (kβ)2 + a4 (kβ)4 − ...
(130)
где
ξk = −a1 (kβ) + a3 (kβ)3 − ...
Коэффициент A0 определяется из (124) в виде
1
A0 =
a0 T
0
T
[N (p)x0 − S(p)f] dt.
52
(131)
Уравнения (128) и (129) образуют систему для определения
коэффициентов Фурье Bk и Dk (k=1,...,m) ошибки Bk =
Δks λk − Δkc ξk
,
λ2k + ξk2
k = 1, ..., m,
(132)
Dk =
Δkc λk + Δks ξk
,
λ2k + ξk2
k = 1, ..., m,
(133)
где Δks и Δkc определяются формулами (126) и (127), а λk и ξk формулами (130).
Амплитуды гармоник ошибки имеют вид
Δ2ks + Δ2kc
2
2
, k = 1, ...m.
(134)
Ak = Bk + Dk =
λ2k + ξk2
Результирующую ошибку можно оценить по ее среднеквадратическому значению, используя формулу Парсеваля
1 2
1 Δ2ks + Δ2kc
2
cp
[(t)] dt =
+
Ak = A0 +
2
2
λ2k + ξk2
0
k=1
k=1
(135)
и среднеквадратическое значение производной ошибки из (123)
равно
1
= ¯ =
T
2
T
2
˙cp
m
A20
m
2 β
= ¯˙2 =
A2k k 2 .
2
m
(136)
k=1
Следует отметить, что полученные выражения для ошибки и
ее производных могут использоваться не только для оценки точности воспроизведения x0 (t) и в качестве ограничений при решении задач синтеза методом ортогональных проекций, но и в
качестве целевых функций (для линейных или линеаризованных
систем), непосредственно оценивающих ошибку, как было использовано Грибковым В.Н.[18].
53
Рис. 4: Структурная схема синтезируемой нелинейной САУ
1.11
Примеры синтеза нелинейных САУ
Приведем примеры, иллюстрирующие эффективность метода
параметрического синтеза нелинейных САУ, работающих в условиях действия стационарных случайных помех.
Пример 1. Рассмотрим задачу синтеза параметров регулятора нелинейной САУ, структурная схема которой представлена на
рисунке 4.
Динамический процесс в системе относительно координаты
ошибки может быть описан нелинейным дифференциальным уравнением
(T1 T2 T3 k5 p5 + (T1 T2 T3 + k5 (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 ))p4 + (T1 T3 + T2 T3 +
(137)
3
2
+T1 T2 +k5 (T1 +T2 +T3 ))p +(T1 +T2 +T3 +k5 )p +p)x+(k4 p+k3 )F (x) =
= (T1 T2 T3 k5 p5 +(T1 T2 T3 +k5 (T1 T2 +T1 T3 +T2 T3 ))p4 +(T1 T3 +T2 T3 +
+T1 T2 + k5 (T1 + T2 + T3 ))p3 + (T1 + T2 + T3 + k5 )p2 + p)g(t),
где F (x)-нелинейный элемент системы типа "переменный коэффициент усиления"(смотри рисунок 5) имеет следующие значения
параметров: k1 = 0.5, k2 = 1, b = 0.2.
Заданы значения некоторых параметров системы: k = 5, T1 =
0.1с, T2 = 0.01с, T3 = 0.15с.
54
Рис. 5: Нелинейный элемент типа переменный коэффициент усиления
55
Требуется определить параметры регулятора системы k3 , k4 ,
k5 при следующих условиях:
• переходный процесс в системе при ḡ(t) = 1(t) должен быть
монотонным, причем время переходного процесса должно
составлять t0pp ≈ 4с;
• должна безусловно обеспечиваться абсолютная устойчивость
системы и грубость Δ0 по искомым параметрам 10%;
• задача решается при наличии наложенного на входной сигнал случайного возмущения δg, имеющего нормальное распределение с с.к.о. dG=0.1.
В результате решения задачи были получены значения варьируемых параметров k3 = 0.239, k4 = 0.0598, k5 = 0.0232. Моделирование системы с синтезированными параметрами с использованием пакета Simulink (рисунок 6) показало, что при заданном
значении с.к.о. помехи dG = 0.1, обеспечивается заданное значение tpp = 3.855с (рисунки 7 а,б), а коэффициент ослабления шума
(отношение с.к.о на выходе и входе системы) составляет 17.33.
Для значения с.к.о. помехи dG = 0.2, время переходного процесса
составляет tpp = 3.413с (рисунки 8 а,б), коэффициент ослабления
шума 12.73.
Таким образом, выполнены ограничения на переходный процесс, а коэффициент ослабления шума превышает 12.
Увеличение и уменьшение найденных значений параметров k3 ,
k4 , k5 на 10% дало следующие результаты. При увеличении варьируемых параметров время переходного процесса остается в допустимых границах tpp = 3.50с, однако коэффициент ослабления
шума падает до 4.28; при уменьшении варьируемых параметров
коэффициент ослабления шума остается на уровне 17.02, однако время переходного процесса увеличивается до tpp = 4.40с, что
выходит за допустимые границы. Эти результаты показывают эффективность работы программы синтеза.
Пример 2. Рассмотрим САУ, структурная схема которой приведена на рисунке 9. Дифференциальное уравнение движение дан56
Рис. 6: Модель следящей системы
57
Рис. 7: Результаты моделирования при dG = 0.1
58
Рис. 8: Результаты моделирования при dG = 0.2
59
Рис. 9: Структурная схема синтезируемой нелинейной САУ
ной системы, записанное относительно выходной координаты будет иметь вид
(T1 Tm p3 + (T1 + Tm )p2 + (1 + ke k2 ) + ke k1 )x + ke k3 pF (x) = (138)
(ke k1 + ke k2 p)f (t),
где ke = kem km kred .
Зададим значения параметров системы: Tm = 0.5с, T1 = 0.165с,
1
kred = 360
, ke = kem km kred = 240.
Нелинейный элемент типа "зона нечувствительности"(смотри
рисунок 10) имеет следующие значения параметров:
b = 0.4, k = tgα = 1.0.
Требуется определить положительные значения параметров
нелинейной системы k1 , k2 , k3 таким образом, чтобы удовлетворить следующие требования:
• при скачкообразном внешнем воздействии ḡ(t) = 1(t) время
переходного процесса в системе должно составлять t0pp ≈ 1с,
0 ≈ 20%;
а перерегулирование Dm
• должна безусловно обеспечиваться абсолютная устойчивость
системы и грубость Δ0 по искомым параметрам 10%;
60
Рис. 10: Характеристика элемента вида зона нечувствительности
61
Рис. 11: Simulink модель следящей системы
• задача решается при наличии наложенного на входной сигнал случайного возмущения δg, имеющего нормальное распределение с с.к.о. dG = 0.1.
В результате решения задачи синтеза были получены следующие значения искомых варьируемых параметров: k1 = 0.0302, k2
= 0.34, k3 = 0.0574. Моделирование системы с синтезированными
параметрами с использованием пакета Simulink (рисунок 11) показало, что при значении с.к.о. помехи dG = 0.1, обеспечивается
заданное значение для времени переходного процесса tpp = 0.977с
(рисунки 12 а,б), а коэффициент ослабления шума (отношение
с.к.о на выходе и входе системы) составляет 23.4. Для значения
с.к.о. помехи dG = 0.2, время переходного процесса составляет
tpp = 1.325с (рисунки 13 а,б) при том же самом коэффициенте
ослабления шума 23.4.
Попытка увеличить и уменьшить найденные значения параметров k3 , k4 , k5 на 10% дала следующие результаты. При уменьшении время переходного процесса немного выходит за допусти62
Рис. 12: Результаты моделирования при dG = 0.1
Рис. 13: Результаты моделирования при dG = 0.2
63
Рис. 14: Результаты моделирования при уменьшении синтезированных параметров на 10% при dG = 0.1
Рис. 15: Результаты моделирования при увеличении синтезированных параметров на 10% при dG = 0.1
64
мые границы и составляет tpp =1.027с (рисунки 14 а,б), коэффициент ослабления шума вырастает до 24.5; при увеличении коэффициент ослабления шума падает до 22.8, а время переходного
процесса увеличивается до tpp =1.26с (рисунки 15 а,б). Эти результаты показывают эффективность работы программы синтеза.
Решение приведенных примеров с помощью предлагаемых алгоритма и программы подтверждает их эффективность и достаточную для инженерных рассчетов точность при решении задач
синтеза нелинейных САУ.
Разработанные алгоритмы и программа требуют небольших
объемов памяти и затрат машинного времени.
65
2
2.1
Синтез импульсных систем автоматического управления
Синтез линейных импульсных систем при случайных воздействиях
Линейной системой импульсного регулирования называется система [23], состоящая из линейных непрерывных и импульсных
звеньев. К линейным импульсным элементам относятся, в частности, элементы, вырабатывающие на выходе равностоящие по
времени импульсы, осуществляющие амплитудную модуляцию по
линейному закону (рисунок 16). Импульсный элемент на этой схеме изображен в виде ключа, который замыкается с периодом T , а
непрерывная часть системы представлена звеном с передаточной
функцией WH (p), определяемой формулой
WH (p) =
R(p)
.
Q(p)
(139)
Если время замыкания ключа мало по сравнению с периодом T , реальный импульсный элемент [24] можно представить в
виде идеального, считая что он генерирует с периодом T последовательность бесконечно коротких импульсов, имеющих вид δфункции, площадь которых пропорциональна непрерывному сигналу на входе импульсного элемента в момент времени t = nT , то
есть
∗
x (t) =
∞
∞
x(nT )δ(t − nT ),
(140)
n=0
где x(nT ) = 0 x(t)δ(t−nT )dt - величина n-го дискретного значения, δ(n−nT ) - задержанная импульсная функция, существующая
при t = nT .
Таким образом, данный импульсный элемент эквивалентен модулятору, в котором в качестве модулирующего сигнала используется входной сигнал x(t), а в качестве несущей - последовательность единичных импульсов ∞
n=0 δ(t − nT ) [25].
66
Рис. 16: Линейные импульсные системы
67
Представление импульсного элемента по формуле (140) является идеализацией и не соответствует действительности, так как
никакой импульсный элемент не может генерировать бесконечно
короткие и бесконечные по амплитуде импульсы. Тем не менее,
такой подход позволяет существенно упростить математическое
описание импульсных систем автоматического управления и, поэтому, широко используется в теории импульсных (цифровых) систем [26].
Динамика импульсной системы автоматического управления,
схема которой приведена на рисунке 16а, может быть описана следующим дифференциальным уравнением:
Q(p)x(t) + R(p)x∗ (t) = Q(p)g(t),
(141)
где p - оператор обобщенного дифференцирования, R(p), Q(p) полиномы оператора p, x∗ (t) -сигнал на выходе импульсного элемента, определяемый выражением (140).
Уравнение (141) записано относительно координаты ошибки
системы x(t). В результате эквивалентного преобразования, структурная схема системы (рисунок 16а) может быть представлена как
система автоматического управления с импульсными элементами
в цепи сигнала обратной связи и в цепи внешнего воздействия
(рисунок 16б). Тогда дифференциальное уравнение движения системы, записанное относительно выходной координаты z(t) будет
иметь вид
Q(p)z(t) + R(p)z ∗ (t) = R(p)g ∗ (t),
(142)
где z ∗ (t) и g ∗ (t) - импульсные сигналы обратной связи и внешнего
воздействия соответственно.
Динамика линейных импульсных систем автоматического управления различных структур и порядков, как обобщение (141) и
(142), может быть описана дифференциальным уравнением вида
Q(p)x(t) + Q∗ (p)x∗ (t) = S(p)g(t) + S ∗ (p)g ∗ (t),
68
(143)
где Q(p), Q∗ (p), S(p), S ∗ (p) - полиномы оператора обобщенного дифференцирования p, x(t) - координата системы (ошибка
или выходная), относительно которой ведется синтез, x∗ (t) - импульсный сигнал исследуемой координаты системы, задаваемый
формулой (140).
Задача параметрического синтеза линейных импульсных систем решается в следующей постановке. Предполагается, что часть
параметров импульсной системы автоматического управления известна. Параметры оператора управления, структура которого задана в общем виде, подлежат определению из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества переходного
процесса, при безусловном обеспечении устойчивости системы и
грубости системы по варьируемым параметрам σk (k = 1, 2...m).
Причем внешнее управляющее воздействие представляет собой
сумму среднего значения ḡ(t) и случайной составляющей δg(t) (в
виде помехи).
В общем виде уравнение движения такой системы, по аналогии
с (143), может быть записано в виде
Q(σk , p)x(t) + Q∗ (σk , p)x∗ (t) = S(σk , p)g(t) + S ∗ (σk , p)g ∗ (t), (144)
∗
где Q(σk , p) = ni=0 ai (σk )pi , Q∗ (σk , p) = ni=0 a∗i (σk )pi ,
ν
ν ∗ ∗
v , S ∗ (σ , p) =
v
S(σk , p) =
e
(σ
)p
k
v=0 ev (σk )p - полиномы
v=0 v k
оператора обобщенного дифференцирования p с вещественными
постоянными коэффициентами степеней n, n∗ , ν, ν ∗ соответственно, x(t) - координата системы, относительно которой ведется синтез, g(t) - внешнее скачкообразное воздействие амлитуды H со
стационарной случайной
помехой, то есть g(t) = ḡ(t)+δg(t), ḡ(t) =
∗
∗
H1(t), ḡ (t) = H1 (t) = ∞
n=0 Hδ(t − nT ).
Для решения задачи синтеза используется метод ортогональных проекций, подробно изложенный в разделе 1. Согласно общей
схеме решения задачи синтеза методом ортогональных проекций в
соответствии с заданными показателями качества необходимо задаться желаемым переходным процессом на выходе системы z0 (t).
Будем полагать, что непрерывная часть импульсной системы
69
обладает достаточными фильтрующими свойствами. В этом случае импульсному сигналу ошибки x∗ (t) соответствует непрерывный сигнал на выходе системы z(t) (например рисунок 16а).
Желаемый переходный процесс x0 (t) на входе импульсного
элемента с учетом (1) может быть принят в виде
x0 (t) = [H0 +
z
(c1s e−(αs −ıβs )t + c2s e−(αs +ıβs )t )]1(t) + δg(t). (145)
s=1
Желаемый переходный процесс x∗0 (t) на выходе импульсного
элемента с учетом (140) будет иметь вид
x∗0 (t)
=
∞
(H0 +
n=0
z
(c∗1s e−(αs −ıβs )nT + c∗2s e−(αs +ıβs )nT ))δ(t − nT )+
s=1
(146)
∗
+δg (t).
Систему из m непрерывно дифференцируемых линейно- независимых координатных функций выбираем в виде ряда экспонент
e−αq t (см. подраздел 1.3). Подставим процессы x0 (t) и x∗0 (t) в уравнение движения системы и образуем невязку:
Ψ∗ (σk , t) = Q(σk , p)x0 (t) + Q∗ (σk , p)x∗0 (t) − S(σk , p)ḡ(t)−
(147)
−S(σk , p)δg(t) − S ∗ (σk , p)ḡ ∗ (t) − S ∗ (σk , p)δg ∗ (t).
Условие ортогональности невязки координатным функциям
примет вид
0
−
∞
−αk t
S(σk , p)ḡ(t)e
0
∞
dt +
−αk t
Q(σk , p)x0 (t)e
∞
0
dt +
70
S(σk , p)δg(t)e−αk t dt−
0
∞
S ∗ (σk , p)ḡ ∗ (t)e−αk t dt+
(148)
+
0
∞
∗
∗
−αk t
S (σk , p)δg (t)e
dt −
∞
Q∗ (σk , p)x∗0 (t)e−αk t dt = 0;
0
Значения для трех из этих интегралов были получены в разделе 1. Таким образом нам осталось получить значения оставшихся
трех.
1.
∞
∞
Dv H ∗
0
∞
H
∗
δ(t − nT ) e−αk t dt =
n=0
∞
0
n=0
Dv [δ(t − nT )] e−αk t dt
при v = 0
∞
H∗
n=0
∞
δ(t − nT )e−αk t dt =
0
∞
H ∗ e−αk nT
n=0
далее (v = 0)
∞
H
∗
=
∞
0
n=0
∞
δ (v) (t − nT )e−αk t dt =
H ∗ αkv e−αk nT
n=0
H∗
=
αkv
−α
T
k
1−e
таким образом
0
∞
∗
∗
−αk t
S (p, σk )ḡ (t)e
=
∗
v=ν
v=0
e∗i H ∗
(
αkv ).
−α
T
k
1−e
(149)
2. Использованная для представления случайного возмущения
в непрерывных системах формула (70)
n
δg(t) =
i=−n
71
Vi e−δi t
в импульсных системах принимает вид
j
∞ ∗
δg (t) =
Vi∗ e−δi nT δ(t − nT )
n=0 i=−j
таким образом
∞
0
=
i=j
∞ Dv δg ∗ (t)eαk t dt =
Vi∗ e−δi nT
n=0 i=−j
=
i=j
∞ 0
∞
δ (v) (t − nT )e−αk t dt =
Vi∗ e−δi nT αkv e−αk nT
i=j
=
n=0 i=−j
i=−j
Vi∗
αkv
1 − e−(αk +δi )T
в итоге
∞
0
∗
∗
−αk t
S (p, σk )δg (t)e
dt =
∗
v=ν
v=0
((
i=j
i=−j
e∗v Vi∗
)αkv ).
(−δ
−α
)T
v
k
1−e
(150)
3. Желаемый процесс на выходе импульсного элемента может
быть записан в виде
x∗0 (t)
=
∞
(H0 +
n=0
z
(c∗1s e−(αs −ıβs )nT + c∗2s e−(αs +ıβs )nT )+
s=1
+
i=j
Vi∗ e−δi nT )δ(t − nT )
i=−j
кроме того,
72
∞
0
D(
i
∞
(H0 +
n=0
+
z
(c∗1s e−(αs −ıβs )nT + c∗2s e−(αs +ıβs )nT )+
s=1
i=j
Vi∗ e−δi nT )δ(t − nT )) × e−αk t dt =
i=−j
= αki
∞
(H0 e−αk nT +
n=0
z
(c∗1s e−(αs −ıβs +αk )nT +
s=1
+c∗2s e−(αs +ıβs +αk )nT )
+
i=j
∗
Vi∗ e−δi nT −αk nT ) =
i=−j
H0
c∗1s
+
(
+
1 − e−αk T
1 − e−(αs −ıβs +αk )T
z
=
αki (
s=1
+
c∗2s
1 − e−(αs +ıβs +αk )T
)+
j
i=−j
Vi∗
1 − e−(δi +αk )T
)
в итоге
0
+
j
i=−j
∞
Q∗ (p, σk )x∗0 (t)e−αk t =
∗
i=n
i=0
Vi∗
1 − e−(δi +αk )T
a∗i (σk )((
H0
+
αk
(151)
z
(αs + αk ) cos ϕ∗s + βs sin ϕ∗s )
+
(
))αkν ).
2
2
(αs + αk ) + βs
s=1
73
2.2
Синтез нелинейных импульсных систем при
случайных воздействиях
Постановка задачи параметрического синтеза нелинейных импульсных систем автоматического управления аналогична постановке задачи в подразделе 1.1, то есть задана структура системы, требуется определить параметры оператора управления из
условия приближенного обеспечения показателей качества переходного процесса при безусловном обеспечении абсолютной устойчивости системы. Поиск ведется при ограничениях на искомые
параметры σk (63), абсолютную устойчивость и на грубость системы (64). Для простоты изложения рассмотрим сначала синтез
импульсной системы с одним нелинейным элементом. Дифференциальное уравнение движения нелинейной импульсной системы,
структура которой приведена на рисунке 17а, может быть представлена в виде
Q1 (p, σk )x(t) + R1 (p, σk )y ∗ (t) = Q1 (p, σk )g(t),
y ∗ (t) = F [x∗ (t)] ,
(152)
где R1 (p, σk ), Q1 (p, σk )- полиномы оператора обобщенного дифференцирования p, y ∗ (t) - импульсный сигнал выхода нелинейного
элемента, g(t) = ḡ(t) + δg(t) - внешнее воздействие.
Система, структурная схема которой изображена на рисунке
17б, описывается дифференциальным уравнением
Q1 (p, σk )Q2 (p, σk )x(t) + R1 (p, σk )R2 (p, σk )y ∗ (t) =
(153)
= R1 (p, σk )Q2 (p, σk )g ∗ (t),
y ∗ (t) = F [x∗ (t)] ,
где Q1 (p, σk ), Q2 (p, σk ), R1 (p, σk ), R2 (p, σk ) - полиномы оператора
p, g ∗ (t) - импульсный сигнал внешнего воздействия.
Динамика системы, изображенной на рисунке 17в будет описываться дифференциальным уравнением вида
Q1 (p, σk )Q2 (p, σk )x(t) + R1 (p, σk )R2 (p, σk )x∗ (t)+
74
(154)
Рис. 17: Структурные схемы нелинейных импульсных САУ
75
+Q1 (p, σk )R2 (p, σk )y(t) = R1 (p, σk )R2 (p, σk )g ∗ (t),
y(t) = F [x(t)] .
Обобщив эти уравнения, динамику импульсной системы автоматического управления с одним нелинейным элементом можно
описать нелинейным дифференциальным уравнением
Q(σk , p)x(t)+Q∗ (σk , p)x∗ (t)+R(σk , p)y(t)+R∗ (σk , p)y ∗ (t) = (155)
= S(σk , p)ḡ(t) + S(σk , p)δg(t) + S ∗ (σk , p)ḡ ∗ (t) + S ∗ (σk , p)δg(t),
где
Q(σk , p) =
R(σk , p) =
n
∗
ai (σk )pi ,
Q∗ (σk , p) =
i=0
i=0
u
u
ν
a∗i (σk )pi
∗
bj (σk )pj ,
R∗ (σk , p) =
j=0
S(σk , p) =
n
b∗j (σk )pj
j=0
∗
ev (σk )pv ,
S ∗ (σk , p) =
v=0
ν
e∗v (σk )pv −
v=0
полиномы оператора обобщенного дифференцирования p с вещественными постоянными коэффициентами, x(t) - координата
системы, относительно которой ведется синтез, ḡ(t) = H1(t) скачкообразное внешнее воздействие, σk (k = 1, 2, ..., m) - варьируемые (искомые) параметры системы, δg(t) - центрированная случайная помеха.
Для решения задачи синтеза методом ортогональных проекций в соответствии с заданными показателями качества задаемся
желаемым переходным процессом и системой непрерывно дифференцируемых линейно-независимых координатных функций аналогично разделу 1.
Подставляем желаемый процесс в уравнение движения системы (155) и образуем невязку:
Ψ(σk , t)∗ = S(σk , p)ḡ(t) + S(σk , p)δg(t) − R(σk , p)F [x0 (t)] − (156)
76
−Q(σk , p)x0 (t)+S ∗ (σk , p)ḡ ∗ (t)+S ∗ (σk , p)δg ∗ (t)−R∗ (σk , p)F [x∗0 (t)] −
−Q∗ (σk , p)x∗0 (t).
Условие ортогональности невязки координатным функциям
принимает вид
∞
∞
−αk t
S(σk , p)ḡe
dt +
S(σk , p)δge−αk t dt−
(157)
0
−
∞
0
−
∞
∗
Q
0
−αk t
R(σk , p)F (x0 (t))e
+
0
∞
0
dt −
S ∗ (σk , p)ḡ ∗ e−αk t dt +
(σk , p)x∗0 (t)e−αk t dt
−
∞
0
0
0
∞
∞
Q(σk , p)x0 (t)e−αk t dt+
S ∗ (σk , p)δg ∗ e−αk t dt−
R∗ (σk , p)F [(x∗0 (t))] e−αk t dt = 0.
Значения для семи из этих интегралов уже были получены нами ранее. Рассмотрим последний интеграл, приняв количество интервалов кусочно-линейного представления нелинейного элемента
за w
∞
0
D (
j
w
∞ (Bi + Ci (H0 +
n=0 i=1
z
(c∗1s e−(αs −ıβs )nT + c∗2s e−(αs +ıβs )nT +
s=1
+δg(t))))δ(t − nT ))1(nT − ti )e−αk t dt =
ступенчатая функция теперь меняет диапазон суммирования
=
0
∞
∞
w z
D (
(Bi +Ci (H0 + (c∗1s e−(αs −ıβs )nT +c∗2s e−(αs +ıβs )nT +
j
i=1 n≥ ti
T
s=1
+δg(t))))δ(t − nT ))e−αk t dt =
вынесем независящие от t члены из-под интеграла
77
w =
z
(Bi + Ci (H0 +
i=1 n≥ ti
T
(c∗1s e−(αs −ıβs )nT +
s=1
−(αs +ıβs )nT
+c2s e
+ δg(t))))
∞
0
δ (j) (t − nT )e−αk t dt =
и в итоге получим
=
w
αkj ((Bi
+ Ci H0 )
∞
−αk nT
e
+ Ci
t
i=1
+c∗2s
(c∗1s
s=1
n≥ Ti
∞
z
e−(αs +ıβs +αk )nT ) +
t
o=h
o=−h
n≥ Ti
Vo∗
∞
e−(αs −ıβs +αk )T n +
t
n≥ Ti
∞
e−(δo +αk )nT ),
t
n≥ Ti
таким образом
∞
0
R(p, σk )F
+Ci
[x∗0 (t)] e−αk t
=
j=u
j=0
z
w
∞
bj (( (
(Ci H0 e−αk nT +
i=1 n≥ tm
T
(158)
(c∗1s e−(αs +αk −ıβs )nT + c∗2s e−(αs +αk +ıβs )nT )) +
s=1
+
o=h
o=−h
Vo∗
∞
e−(δo +αk )T n )αkj ).
n= tTo
78
Bi
+
αk
2.3
Устойчивость нелинейных импульсных систем
В своих работах Джури Е.И. и Ли В.В. [27], [28] получили критерий абсолютной устойчивости импульсных систем с несколькими нелинейными элементами различных классов. Для импульсной
системы с произвольным числом нелинейных элементов, характеристики которых удовлетворяют
ϕi (0) = 0,
0<
ϕi (σi )
< k,
σi
i = 1, 2, ..., r,
(159)
где σi - входная координата i-го нелинейного элемента, ki - тангенс
угла наклона прямой, ограничевающей сектор, в котором расположена характеристика ϕi (σi ). Абсолютная устойчивость положения равновесия будет обеспечиваться, если
T
H(z) = G(z) + Ḡ (z) > 0.
(160)
G(z) = k−1 + W(z)
(161)
Здесь
вспомогательная матрица, k−1 - диагональная rxr матрица с элеT
ментами k1i , Ḡ (z) - транспонированная по отношению к G(z)
матрица, состоящая из комплексно-сопряженных элемнтов, W(z)
- квадратная rxr матрица импульсная передаточная матрица zпреобразований линейных импульсных частей. Элементы Wig (z)
этой матрицы- устойчивые импульсные передаточные функции от
g-го нелинейного элемента к i-му нелинейному элементу.
Для абсолютной устойчивости процессов имульсной системы
с несколькими нелинейными элементами, так же должно выполняться неравенство (160), но характеристики нелинейных элементов помимо (159) должны удовлетворять условиям
0<
δϕi (σi )
< ki ,
δσi
i = 1, 2, ..., r.
(162)
Данные критерии абсолютной устойчивости импульсных систем с несколькими нелинейными элементами дают достаточные
79
условия, которые, в некоторых случаях, оказываются не очень
широкими. Один из путей расширения этой области состоит в
сужении класса нелинейных характеристик. Это приводит к появлению в критерии абсолютной устойчивости дополнительных
свободных параметров [28], что делает их практическое применение неудобным.
Непосредственное использование (160) для анализа абсолютной устойчивости импульсных систем связано со значительными трудностями вычислительного характера. Анализ абсолютной
устойчивости импульсных систем удобно проводить на компьютере, используя w-преобразование импульсных передаточных функций Wig (z) и получить функции Wig (w)|w=ıλ .
Тогда неравенство (160) примет вид
T
H(ıλ) = G(ıλ) + Ḡ (ıλ) > 0,
λ > 0,
(163)
где λ = tg ωT
2 - псевдочастота.
Так как H(ıλ) - эрмитова матрица, требование (163) приводит
к необходимости исследования системы из r неравенств.
Δ1 = ReW11 (ıλ) +
1
>0
k1
(164)
1
1
Δ2 = 4 ReW11 (ıλ) +
ReW22 (ıλ) +
−
k1
k2
2
− W12 (ıλ) + W̄21 (ıλ) > 0
...
Δr = detH(ıλ) > 0.
Таким образом, требование (163) приводит к исследованию
данной системы из r неравенств. Непосредственное исследование
данной системы связано, в общем случае, со значительными трудностями, так как при этом необходимо осуществить перебор частот ω от нуля до бесконечности. Для решения задачи на компьютере, более целесообразно представить каждое из этих неравенств
80
в виде полиномов четных степеней λ > 0 с действительными коэффициентами; тогда получим
Si (λ2 ) =
ni
gi(2S) λ2S > 0,
i = 1, 2, ...r.
(165)
S=0
Необходимое и достаточное условие положительности данных
полиномов (теорема Рауса) подробно рассматривалось в разделе
1.6.
Условие абсолютной устойчивости импульсной системы с одним нелинейным элементом имеет вид [29]
1
> 0, 0 < λ < ∞.
(166)
k
Это условие может быть представлено в алгебраической форReW (ıλ) +
ме
2
S(λ ) =
n
g2S λ2S > 0,
λ > 0.
(167)
s=0
Далее может быть использован алгоритм для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического управления [3].
81
2.4
Сведение задачи синтеза к задаче нелинейного
программирования
Согласно общей схеме решения задачи параметрического синтеза методом ортогональных проекций задается система из m координатных функций. Условие ортогональности невязки Ψ(σk , t)
координатным функциям e−ρq t приводит к системе из m алгебраических уравнений. Так как задача синтеза решается при ограничениях на параметры σk , то безусловная ортогональность невязки
координатным функциям достигнута не будет. Поэтому, параметры σk , удовлетворяющие заданным ограничениям и требуемым
показателям качества определяются из условия минимизации целевой функции J:
m (
J=
q=1
0
∞
Ψ(σk , t)e−ρq t dt)2 dt
(168)
при ограничениях, наложенных на значения варьируемых параметров σk (63), абсолютную устойчивость системы (167), грубость
системы по параметрам σk (64).
Ввиду сложности ограничений и целевой функции целесообразно использование методов случайного поиска.
Таким образом, задача параметрического синтеза нелинейных
САУ решается как задача нелинейного программирования, в которой целевая функция построена с помощью метода ортогональных проекций и минимизация которой приближенно обеспечивает
заданные показатели качества синтезируемой системы: время переходного процесса, перерегулирование, колебательность.
Алгоритмы синтеза линейных и нелинейных импульсных систем полностью совпадают с алгоритмом синтеза непрерывных
САУ, описанным в 2.7. При этом следует помнить, что в блоке
2 (смотри рисунок 2) должен быть использован либо критерий
устойчивости линейных импульсных систем, либо нелинейных импульсных систем, а при вычислении целевой функции по формуле
(168) в блоке 3, для представления невязки должны использоваться формулы (147) или (156).
82
Как уже отмечалось выше, эта задача может быть так же решена классическим методом. Но при этом необходимо интегрировать нелинейное уравнение высокого порядка (уравнение движения системы), т.е. метод будет иметь высокую сложность и,
соответственно, значительно более низкую скорость вычислений,
чем разработанный метод.
83
2.5
Импульсные системы с несколькими нелинейными элементами
Будем решать задачу для импульсной системы с r нелинейными элементами в следующей постановке. Часть параметров системы предполагаются заданными. Остальные параметры, относящиеся в общем случае к нескольким звеньям, подлежат определению из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества переходного режима. Абсолютная устойчивость
и грубость системы по параметрам обеспечиваются безусловно.
Динамика такой системы может быть описана смешанным уравнением.
X(p) + X∗ (p) = W(p)Y(p) + ϕ(p)G(p)+
(169)
+W∗ (p)Y∗ (p) + ϕ∗ (p)G∗ (p).
Здесь X(p), Y(p), G(p),- изображения по Лапласу векторов
x(t), y(t),g(t), соответственно. x(t)- вектор длины r координат
входов нелинейных элементов; y(t)- вектор длины r координат выходов нелинейных элементов; g(t) вектор длины l управляющих
сигналов. W(p) - квадратная матрица размера r составленная из
передаточных функций Wij от выхода j-го нелинейного элемента ко входу i-го нелинейного элемента; ϕ(p) - матрица размера r
на l, элементы ϕik которой являются передаточными функциями
от k-го управляющего входа ко входу i-го нелинейного элемента. X∗ (p), Y∗ (p), G∗ (p)- изображения по Лапласу векторов x∗ (t),
y∗ (t),g∗ (t) соответственно. x∗ (t) - импульсная часть вектора координат входов нелинейных элементов; y∗ (t) - импульсная часть
вектора выходов нелинейных элементов; g∗ (t) - вектор импульсных частей управляющих сигналов; ϕ(p) матрица размера r на l,
элементы ϕik которой являются передаточными функциями от kго управляющего входа ко входу i-го нелинейного элемента. Мы
будем рассматривать помехи, имеющие импульсную составляющую. Аналогично непрерывному случаю, представим компоненты
матриц в виде дробно рациональных функций. Тогда мы сможем
84
перейти в (169) от изображений к оригиналам.
Q(p)x(t) + Q∗ (p)x(t) + R(p)y(t) + R∗ (p)y(t) =
(170)
= A(p)g(t) + A∗ (p)g(t).
Это равенство достигается только тогда, когда выполняются
его непрерывная и импульсная части. Так как непрерывный случай мы подробно рассмотрели в 2.8, рассмотрим теперь импульсную часть равенства. Тогда, подставив в это выражение рациональные представления коэффициентов, получим
Q∗i xi
+
r
∗
Riρ
yρ
=
ρ=1
l
A∗ik gk ,
(171)
k=1
где
Q∗i
r
=
l
L∗if
j=1
L∗ij
j=1,j=ρ
A∗ik
=
∗
Mik
r
l
∗
Nik
∗
Tin
(172)
l
s
∗
Tin
n=1
k=1
L∗iρ
ρ=1
s
n=1
k=1
r
∗
∗
= Hiρ
Riρ
∗
Nik
Nij∗
j=1,j=k
s
∗
Tin
.
n=1
Если в полученном уравнении Q∗ (p) не диагональна, строка
матричного уравнения примет вид
r
(Q∗iρ xρ
+
∗
Riρ
yρ )
ρ=1
=
l
A∗ik gk ,
(173)
k=1
Элементы матриц уравнения (171) являются полиномами оператора дифференцирования p и в общем случае нелинейными
функциями вектора варьируемых параметров σ. Введем вектор
ошибок системы, определяемый равенством
∗ = ν g − z ∗ .
85
(174)
В случае равенства нулю вектора ошибок ∗ , вектор процессов
на выходах системы будет задаваться равенством
z∗0 = ν ∗ g.
(175)
Назовем этот вектор вектором желаемых процессов на выходах системы. После определения вектора желаемы процессов на
выходах системы, можно определить вектора x∗0 и y∗0 желаемых
процессов на входах и выходах нелинейных элементов. После подстановки этих векторов получается вектор невязок
Ψ∗ (σ, t) = Q∗ (σ, p)x∗0 + R∗ (σ, p)y∗0 − A∗ (σ, p)g∗ (t),
(176)
равенство которого нулю соответствует точному выполнению векторного преобразования (175). В результате решения задачи параметрического синтеза с помощью метода ортогональных проекций определяется такой вектор варьируемых параметров, при
котором минимальна векторная ошибка преобразования (175).
Применим к случайным функциям, входящим в невязку, теорию канонических разложений.
x∗0 = x̄∗0 + δx∗0
(177)
y∗0 = ȳ∗0 + δy∗0
g∗ = ḡ∗ + δg∗ .
Здесь первые слагаемые представляют собой векторы математических ожиданий соответствующих случайных функций (ū∗ =0),
а вторые слагаемые- векторы центрированных случайных составляющих этих же случайных функций, которые представляются
в виде сумм элементарных случайных функций. Подставив эти
выражения в (176) выделим так же детерминированную и случайную составляющие невязки
∗
Ψ̄ = Q∗ x̄∗0 + R∗ ȳ∗0 − A∗ ḡ∗ ,
86
(178)
δΨ∗ = Q∗ δx∗ + R∗ δy∗ − A∗ δg∗ .
(179)
При этом отдельные строки матричных уравнений будут иметь
вид
Ψ̄∗i
=
r
(Q∗iρ x̄0∗
ρ
+
∗ 0∗
Riρ
ȳρ )
l
−
ρ=1
δΨ∗i =
r
A∗ik ḡk∗
(180)
k=1
∗
0∗
(Q∗iρ δx0∗
ρ + Riρ δyρ ) −
ρ=1
l
A∗ik δgk∗ .
(181)
k=1
Согласно методу ортогональных проекций для минимизации
∗
невязок Ψ̄ и δΨ∗ потребуем их ортогональности системам координатных функций. Условия ортогональности могут быть записаны
в виде
∞
Ψ̄∗i ϕq dt = 0; i = 1..r, q = 1..N
(182)
0
0
∞
δΨ∗i ϕΔ dt = 0;
i = 1..r,
Δ = 1..N.
Системы уравнений (182) не могут быть решены в общем случае в замкнутой форме из-за необходимости вводить ограничения
на параметры. Поэтому решение данной задачи предлагается проводить приближенно, путем сведения этой задачи к задаче нелинейного программирования при наличии ограничений со следующей целевой функцией
J = J1 + ξJ2 ,
(183)
где, учитывая наличие непрерывной составляющей,
r N J1 =
(
i=1 q=1
0
∞
Ψ̄∗i ϕq dt
87
2
+
0
∞
2
Ψ̄i ϕq dt );
(184)
J2 =
N
r i=1 Δ=1
M ( mod
0
∞
δΨ∗i ϕΔ dt
2
+ mod
0
∞
2
δΨi ϕΔ dt ),
(185)
ξ - некоторый весовой коэффициент.
Задача решается при ограничениях на значения параметров
σk , абсолютную устойчивость синтезируемой системы и грубость
системы. Таким образом, метод ортогональных проекций синтеза
импульсных систем с одним нелинейным элементом, рассмотренный выше, распространяется на системы, содержащие несколько
нелинейных элементов.
Алгоритм синтеза параметров САУ с несколькими нелинейными элементами полностью совпадает с алгоритмом синтеза САУ с
одним нелинейным элементом. Однако, следует помнить, что динамика такой системы описывается матричным дифференциальным уравнением. Кроме того, при проверке устойчивости используется критерий абсолютной устойчивости с несколькими нелинейными элементами и изменяется формула, используемая при
вычислении целевой функции.
88
3
3.1
Параметрический синтез регулятора системы управления торможением колес самолета
Построение математической модели системы управления торможением колес самолета
В настоящем разделе рассматривается решение задачи параметрического синтеза регулятора системы автоматического управления торможением колес (САУ ТК) среднемагистрального самолета ТУ-134А-3 (Б-3)[32]. Приводятся результаты математического моделирования синтезируемой системы.
Рассмотрим решение задачи синтеза регулятора САУ ТК тяжелого самолета методом ортогональных проекций.
В работах [33], [34], [35] были даны обоснования возможности
использования упрощенных моделей объекта управления и исполнительной части (системы дистанционного управления давлением и многодискового фрикционного тормоза) для решения задачи
синтеза регулятора. Следует отметить, что данные модели были
получены путем упрощения более полных математических моделей элементов и устройств системы торможения тяжелого самолета, разработанных в [36], [37]; при этом сохранены основные физические закономерности нагруженности колеса в процессе движения самолета по земле.
В качестве синтезируемого регулятора САУ ТК была использована структура типового аналогового блока управления процессом торможения с некоторыми упрощениями, а именно: отсутствует релейный канал защиты от блокировок, т.е. в рассматриваемом регуляторе есть лишь медленно действующий канал аналогового управления, а формирователь опорной скорости заменен кусочно-линейным сигналом, которая позволяет учесть существенную неравномерность замедления самолета на различных
скоростях послепосадочного пробега.
Структурная схема синтезируемой САУ ТК, представленна на
рисунке 18. На рисунке 18 приняты следующие обозначения: 1 -
89
Рис. 18: Структурная схема синтезируемой САУ ТК
объект управления (ОУ) (жесткое тормозное колесо); 2 - исполнительное устройство (ИУ); 3 - регулятор (Р), W1 (p) - передаточная функция преобразователя входного сигнала; W2 (p) - передаточная функция режекторного фильтра; W3 (p) - передаточная
функция дифференциатора; W4 (p) - передаточная функция интегратора; W5 (p) - передаточная функция исполнительной части;
W6 (p) - передаточная функция объекта управления (тормозного
колеса); W7 (p) - передаточная функция запаздывания исполнительной части; Pk - нагрузка, приведенная к тормозному колесу,
Н; Rk - радиус тормозного колеса, м; F1 (x) = μ(Δωk ) - характеристика сцепления (зависимость коэффициента трения скольжения
от разности угловых скоростей Δωk «свободного» и тормозного);
U1 внешнее задающее воздействие, c−1 ; Uy - сигнал управления,
поступающий с выхода регулятора на исполнительное устройство,
В; MT - тормозной момент, Нм; Msz - момент сцепления, Нм; ωk
- угловая скорость тормозного колеса, c−1 ; Δωk = ωc − ωk - разность угловых скоростей «свободного» и тормозного колес (абсолютное проскальзывание), c−1 . Передаточные функции на рисунке 18 имеют вид, представленный на рисунке 19.
90
Рис. 19: Передаточные функции
Решение задачи синтеза параметров регулятора САУ ТК проводилась для самолета ТУ-134, параметры объекта управления
которого имеют следующие значения: Rk = 0,414 м , Pk = 32875
Н. Для решения задачи синтеза необходимо определить 14 параметров регулятора, ограничения на значения которых заданы в
пределах от 0 до 1.
Задача синтеза рассматривалась при внешнем скачкообразном
входном воздействии при наличии помехи.
U1 = ωc (t)1(t) + δωc (t),
(186)
где ωc - угловая скорость "свободного"колеса; δωc (t) - центрированная случайная составляющая угловой скорости "свободного"колеса, представленная в виде стационарного случайного процесса.
Тормозное колесо, находясь под действием нерегулярных возмущений (геометрические неровности ВПП, атмосферные возмущения и т.п.) движется по случайному закону. Так как сам объект
имеет определенную, свойственную ему частоту колебаний, он обладает свойством подчеркивать те частоты возмущений, которые
91
близки к его собственной частоте колебаний. Получающееся в результате этого процесса случайное движение объекта называют
нерегулярной качкой (в отличие от регулярной качки, представляющей собой переодическое движение) [24].
На практике корреляционную функцию нерегулярной качки
часто аппроксимируют выражением
R(τ ) = De−μ|τ | cosβτ,
(187)
где β - резонансная частота, μ - параметр затухания, D - дисперсия.
Корреляционной функции (187) соответствует спектральная
плотность
1
1
S(ω) = μD 2
.
(188)
+
μ + (β − ω)2 μ2 + (β + ω)2
В [24] показано, что аппроксимация (187) неудобна, хотя может быть изпользована для описания поведения нескольких параметров нерегулярной качки (угла, угловой скорости, углового
ускорения). В этом случае величина D будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения. Однако, если, например, записать данную формулу для угла, ей будет соответствовать нерегулярная качка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся
к бесконечности, т.е. физически нереальный процесс. Воспользуемся более удобной формулой:
R(τ ) = De−μ|τ | (cosβτ +
μ
sinβ |τ |).
β
Соответствующая спектральная плотность
2β + ω
2β − ω
μ
,
+
S(ω) = D 2
β
μ + (β − ω)2 μ2 + (β + ω)2
(189)
(190)
где D - дисперсия для угловой скорости. При такой аппроксимации дисперсия углового ускорения получается конечной.
92
Рис. 20: Значения коэффициентов аппроксимации характеристики параметров желаемого программного движения
Значение β принимается приблизительно равным собственной
частоте колебаний колеса. На основе обработки экспериментальных данных значения β, μ и D принимаются равными
β = 30c−1 ;
μ = 0.8;
D = 10c−2 .
(191)
В рассматриваемой САУ ТК характеристика сцепления μ(s),
где s- относительное проскальзывание, аппроксимирована двумя
отрезками прямой, значения коэффициентов аппроксимации которой представлены на рисунке 20, а вид кривых на рисунке 21,
где приняты следующие обозначения: кривые 1 - 3 — характеристика μ(Δωk ) для "мокрой"взлетно-посадочной полосы (ВПП) и
ωc = 96,3 c−1 , 64,2 c−1 32,1 c−1 , соответственно; кривые 4 - 6 характеристика μ(Δωk ) для "сухой"ВПП и ωc = 96,3 c−1 , 64,2 c−1
32,1 c−1 .
Как следует из осциллограмм испытаний реальных систем торможения движение объекта управления (тормозящегося колеса)
имеет сложный вид, что обусловлено высоким порядком дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы, нали-
93
Рис. 21: Зависимости F1 = μ(Δωk ) для "мокрой"и "сухой"ВПП
при различных значениях ωc
94
чием в ней большого числа нелинейных элементов, а также переменным коэффициентом сцепления.
Кроме того, опыт исследований тормозных систем показывает, что характер работы САУ ТК и характер движения объекта
управления принципиально различен для режимов торможения
на "сухой"и "мокрой"ВПП. Это различие заключается в следующем.
При торможении объекта на "сухой"ВПП номинальный тормозной момент меньше, чем располагаемый момент сцепления,
поэтому САУ ТК работает таким образом, что рабочая точка постоянно находится на левом склоне характеристики μ(s) , обеспечивая так называемый потребный коэффициент трения скольжения, меньший, чем располагаемый. Это приводит фактически
к отключению САУ ТК: на ТС подается тормозное давление, задаваемое педалями летчика. Срабатывания САУ ТК возможны
лишь при очень раннем начале торможения, когда нагрузка на
колеса еще очень мала.
При торможении на "мокрой"ВПП номинальный тормозной
момент становится больше располагаемого, что приводит к увеличению скольжения колеса s. Рабочая точка заходит за область экстремума характеристики μ(s), попадает на правый склон и стремится к блокировочному значению μb . САУ ТК, препятствуя юзу
колеса, совершает автоколебательные движения в районе экстремума; при этом амплитуда колебаний относительного проскальзывания s охватывает значение sM , которому соответствует максимальный коэффициент сцепления μM .
Эти обстоятельства создают определенные трудности при решении задачи синтеза параметров регулятора САУ ТК, так как
не представляется возможным задать заведомо реализуемое программное движение для широкого спектра входных воздействий
и различных режимов работы САУ. Однако в результате синтеза
регулятора САУ ТК необходимо определить такие значения его
параметров, которые обеспечивали бы удовлетворительное качество работы системы торможения, как на "сухой", так и на "мокрой"ВПП.
95
В рассматриваемой структуре САУ ТК (см. рисунок 18) исследуемой координатой является сигнал разности угловых скоростей
свободно катящегося и тормозящегося колес Δωk = ωc − ωk , относительно которого записывается уравнение движения синтезируемой системы. Синтез параметров регуляторов САУ ТК возможен
лишь при рассмотрении режима торможения с постоянной угловой скоростью свободно катящегося колеса ωc . Это объясняется
тем, что в данном случае справедлива принятая замена характеристики μ(s) характеристикой μ(Δωk ) , поскольку лишь при
условии ωc = const экстремумы указанных характеристик постоянны и совпадают. При этом реализация в САУ с синтезированными параметрами желаемого программного движения Δωk0 (t) будет
означать, что такой же характер будет носить изменение величины относительного проскальзывания s.
Исходя из выше изложенного, в первом приближении, в качестве желаемого программного движения Δωk0 (t) был принят процесс следующего вида:
0
(t) + H ∗ e−αt cos(βt − φ0 ) 1(t) + δω(t),
Δωk0 (t) = Δωky
(192)
где Δωk∗ = Δωk0 (∞) - установившееся значение желаемого процесса при t → ∞, α - коэффициент
затухания процесса, β - частота,
0 − Δω 0 ) 1 + 1 , φ = arctg( 1 ), здесь Δω 0 - начальH ∗ = (Δωk0
0
k0
ky
μ
μ2
ное значение процесса Δωk0 (t) при t = 0, μ = αβ - колебательность, δω(t) - центрированная случайная составляющая желаемого движения. Поскольку вопрос грубости полученных результатов
к вариациям параметров как САУ ТК, так и объекта управления
остался за рамками нашего рассмотрения, введение случайной составляющей позволяет нам увеличить достоверность полученных
результатов.
При выборе коэффициента затухания α и частоты β желаемого процесса Δωk0 (t) необходимо учитывать требования, предъявляемые к работоспособности САУ ТК тяжелых самолетов. В
соответствии с данными требованиями максимальное время выхода САУ ТК в экстремум характеристики μ(s) (т.е. подача мак96
симально возможного в том или ином режиме работы системы
торможения давления) не должно превышать 1 - 1,5 с. Минимально возможное время выхода в экстремум определяется характеристикой гидравлической исполнительной части и соответствует
≈ 0, 3 с. Максимально быстрая подача давления нецелесообразна,
так как это может привести к юзу колеса и последующему сбросу
тормозного давления, что в целом может увеличить время торможения объекта из-за потерь времени на заполнение тормоза.
Реализация заданного программного движения должна обеспечивать приближенное воспроизведение режима работы САУ ТК
на "мокрой"ВПП. При этом выход рабочей точки в область экстремума характеристики μ(Δωk ) , что соответствует, как было
отмечено выше, выходу рабочей точки в экстремум характеристики μ(s) , должен осуществляться за 1 с; амплитуда колебаний
в районе экстремума, затухающих за 3 - 4 с, не должна превышать 30% от значения Δωk , соответствующего μM . Тогда требуемым показателям качества желаемого процесса Δωk0 (t) соответствуют следующие значения коэффициента затухания и частоты
α = 1, β = 3. Если заданное программное движение в САУ с
синтезированными параметрами будет реализовано, то есть система будет удовлетворительно работать в режиме торможения
на "мокрой"ВПП, то можно предположить, что будет обеспечиваться удовлетворительная работа данной системы при торможении на "сухой"ВПП. Это связано с тем, что при торможении на
"сухой"ВПП момент сцепления обычно превышает максимально
реализуемый САУ ТК тормозной момент, то есть система фактически исключается из контура управления и работает только на
левом склоне характеристики сцепления μ(s).
Так как решение задачи синтеза параметров регулятора САУ
ТК было необходимо произвести для трех значений ωc , а именно
0 , определяемые экс96,4 1/с, 64,2 1/с, 32,1 1/с, то значения Δωky
тремумом кривой сцепления μ(Δωk ), для каждой ωc будут различны и их величины приведены на рисунке 20.
В соответствии со структурной схемой, приведенной на рисунке 18, уравнение движения САУ ТК относительно координаты
97
Δωk (t) в изображениях будет иметь вид
Jk pL {Δωk (t)} + Pk Rk L {F Δωk (t)} − WT (p)WP (p)L {Δωk (t)} =
(193)
= WT (p)L {U1 (t)} ,
где WT (p) = W5 (p)W7 (p) - передаточная функция исполнительной части САУ ТК, WP (p) - передаточная функция регулятора,
имеющая следующий вид:
G1 p4 + G2 p3 + G3 p2 + Gp4 + G5
WP (p) =
,
p(C1 p6 + C2 p5 + C3 p4 + C4 p3 + C5 p2 + C6 p + 1
где коэффициенты G1 − G5 и C1 − C6 , зависящие от варьируемых
параметров, приведены ниже:
G1 = kpbc (k4 kf ku b1 a3 − ku b1 a3 − kd k5 b1 ),
G2 = kpbc (k4 kf ku (b1 a1 + b2 a2 ) − b1 k3 kd ku − ku (b1 a4 + b3 a3 ) − kd k5 b2 ),
G3 = kpbc (k4 kf ku (b1 +b2 a4 +a3 )−k2 k3 kd ku −ku (b1 +b3 a4 +a3 )−kd k5 ),
G4 = kpbc (k4 kf ku (b2 + a4 ) − k3 kd ku − ku (b3 + a4 )),
G5 = kpbc (k4 kf ku − ku ),
C1 = a1 a3 b1 ,
C2 = a3 a2 b1 + a3 a1 b3 + a4 a1 b1 ,
C3 = a3 b1 + a3 a2 b3 + a3 a1 + a4 a2 b1 + a4 a1 b3 + a1 b1 ,
C4 = a3 b3 + a3 a2 + a4 b1 + a4 a2 b3 + a4 a1 + a2 b1 + a1 b3 ,
C5 = a3 + a4 b3 + a4 a2 + b1 + a2 b3 + a1 ,
C6 = a4 + b3 + a2 ,
где в свою очередь
a1 = T12 ;a2 = T1 ξ1 ;a3 = T3 T4 ;a4 = T3 + T4 ;
b1 = T22 ;b2 = 2T2 ξ21 ;b3 = 2T2 ξ22 .
Таким образом, упрощенным математическим описанием системы торможения колес самолета ТУ-134А-3 является уравнение (193), по которому осуществляется синтез регулятора системы
торможения.
98
3.2
Синтез параметров регулятора системы управления торможением колес
Приведем уравнение движения САУ ТК (193) к операторному
виду:
Q(σk , p)Δωk0 (t)+Qγ (σk , p)Δωk0 (t−τ )+Q(σk , p)F Δωk0 (t) = (194)
= Sγ (σk , p)(ωc 1(t) + δω(t)), p =
d
,
dt
где
δω(t) - центрированная случайная составляющая помехи,
Q(σk , p) =
n
ai (σk )p ;
Qγ (σk , p) =
i
i=0
R(σk , p) =
u
nγ
aγi (σk )pi ;
i=0
bi (σk )pi ;
Sγ (σk , p) =
i=0
νγ
eγi (σk )pi −
i=0
полиномы оператора дифференцирования p с вещественными
постоянными коэффициентами ai , aγi , bi , eγi , степеней n = 9,
nγ = 4, u = 8, νγ = 7, соответственно. Выражения, определяющие
зависимость коэффициентов полиномов от варьируемых параметров приведены на рисунке 22.
На основе полученного уравнения движения САУ ТК была составлена Simulink – программа iSNSAS. Данная программа является универсальной в том смысле, что она может быть использована для параметрического синтеза САУ произвольной структуры
и порядка методом ортогональных проекций.
Синтез параметров регулятора рассматриваемой САУ ТК осуществлялся на ЭВМ для отмеченных выше режимов работы системы.
99
Рис. 22: Зависимость коэффициентов полиномов от варьируемых
параметров
В результате решения были определены значения 14 варьируемых параметров регулятора САУ ТК, доставляющие минимум
целевой функции. Следует отметить, что минимум целевой функции при всех режимах работы синтезируемой САУ ТК доставляется при близких значениях варьируемых параметров, которые
приведены на рисунке 23.
Оценка качества функционирования САУ ТК с синтезированными параметрами регулятора осуществлялась в следующих режимах: режим торможения тяжелого самолета ТУ-134А-3 при
фиксированной скорости свободно катящегося колеса (ωc = const:
96.3 c−1 , 64.2 c−1 , 32.1 c−1 ) на "сухой"и "мокрой"ВПП и режим
торможения ТУ-134А-3 на "мокрой"ВПП при послепосадочном
пробеге.
Интегрировалась модель САУ ТК, приведенная на рисунке 18,
при внешнем скачкообразном входном воздействии U1 = ωc 1(t) +
δω(t).
Результаты интегрирования представлены на рисунках 24 - 30.
На рисунках 24 - 26 показаны кривые изменения скорости тормозящегося колеса ωk на "сухой"ВПП при ωc = const: 96.3 c−1 , 64.2
c−1 , 32.1 c−1 ) соответственно.
Из рисунков видно, что в САУ ТК с синтезированными параметрами происходит уменьшение ωk до значения, обеспечивающего разность ωc − ωk скоростей, близкую к экстремуму харак100
Рис. 23: Значения варьируемых параметров регулятора САУ ТК
самолета ТУ-134А-3
теристики μ(Δωk ). Положение рабочей точки на характеристике
μ(Δωk ) для данных режимов работы системы показано на рисунке 27.
На рисунках 28 — 30 Δωk относительно экстремума отмечена
на характеристике μ(Δωk ) для рассмотренных режимов работы
САУ ТК, приведенной на рисунке 31.
Из рисунков также видно, что отказ от высокочастотной случайной составляющей приводит к существенно лучшей работе системы. Это еще раз подтверждает целесообразность рассмотрения
данной задачи с учетом случайных внешних воздействий.
Проведенное исследование показывает эффективность применения разработанного метода синтеза нелинейных САУ при случайных возмущениях на основе метода ортогональных проекций
при решении практических задач.
101
Рис. 24: Графики для "сухой"ВПП при ωc = 96.3−1
102
Рис. 25: Графики для "сухой"ВПП при ωc = 64.2−1
103
104
Рис. 26: Графики для "сухой"ВПП при ωc = 32.1−1
Рис. 27: Зависимости F1 = μ(Δωk ) для "сухой"ВПП при различных значениях ωc
105
Рис. 28: Графики для "мокрой"ВПП при ωc = 96.3−1
106
Рис. 29: Графики для "мокрой"ВПП при ωc = 64.2−1
107
Рис. 30: Графики для "мокрой"ВПП при ωc = 32.1−1
108
Рис. 31: Зависимости F1 = μ(Δωk ) для "мокрой"ВПП при различных значениях ωc
109
Список использованных источников
1. Орурк И.А. Новые методы синтеза линейных и некоторых нелинейных динамических систем. - М.-Л.: Наука, 1965.
2. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления /
Под. ред. А.А. Воронова и И.А. Орурка. - М.: Наука, 1984.
3. Алгоритмы динамического синтеза нелинейных автоматических
систем / Под ред. А.А. Воронова и И.А. Орурка. - СПб.: Энергоатомиздат, 1992.
4. Петухов Л.Г. Синтез нелинейных систем автоматического управления на основе прямых вариационных методов. Диссертация на
соискание ученой степени кандидата технических наук. - Л., 1983.
5. Шишлаков В.Ф. Синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции: Монография. СПбГУАП. - СПб., 1999.
6. Жуков А.Д. Параметрическая оптимизация нелинейных САУ
при случайных воздействиях методом ортогональных проекций.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических
наук. - Л., 1985.
7. Крук А.Е, Осипов Л.А.. Синтез непрерывных нелинейных систем управления при случайных воздействиях // Информационноуправляющие системы. 2012. №2 (57).
8. Крук А.Е, Осипов Л.А.. Синтез нелинейных импульсных систем
управления при случайных воздействиях // Информационно- управляющие системы. 2012. №3 (58).
9. Орурк И.А., Осипов Л.А. Синтез параметров нелинейных САУ
методом ортогональных проекций // Автоматика и телемеханика,
1978. №8. С. 5-15.
10. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы.
- М.: Изд-во иностр.лит., 1961. – 165 с.
11. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к
задачам автоматического управления. - М.: Физматгиз, 1962. - 780
с.
12. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. - М.: Машиностроение, 1968. – 246 с.
13. Розенфельд А.С., Яхинсон Б.И. Переходные процессы и обоб-
110
щенные функции. - М.: Наука, 1966.
14. Сушков Ю.А. Об одном способе организации случайного поиска // Исследование операций и статистическое моделирование:
Межвуз.сб.науч.тр. - Л.:ЛГУ, 1972. Вып. 1.
15. Казаков И.Е. Расчет процессов управления в нелинейных системах методом статистической линеаризации.: В кн.: Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Доступова Б.Г. - М.: Машиностроение, 1970. - с. 24-67.
16. Орурк И.А., Осипов Л.А. Формирование и оценка воспроизведения программных траекторий при синтезе нелинейных САУ. Л.:ЛИАП, 1990. Деп. в ВИНИТИ 05.01.90, № 90-B90.
17. Орурк И.А., Осипов Л.А. Программные траектории в методах синтеза нелинейных САУ. Методы исследований и проектирования автоматических систем и приборов: Межвуз.сб.науч.тр. Л.:ЛИАП, 1990.
18. Грибков В.Н.Синтез нелинейных систем автоматического управления методом ортогонального разложения невязки. Диссертация
на соискание научной степени кандидата технических наук / СПбГААП. - Л, 1993.
19. Крук А.Е. Синтез непрерывных нелинейных систем управления при случайных воздействиях вариационным методом //Научная сессия ГУАП: сб. докл.: в 3ч. Ч.1. Технические науки.- СПб.:
ГУАП. 2012.
20. A.E. Krouk, L.A. Osipov. Synthesis of Continuous and Pulsed
Nonlinear Control Systems. Proceedings of XI International Symposium
on Problems of Redudancy in Information and Control Systems. St.
Petersburg, Russia. 2-6 july 2007.
21. Synthesis of Continuous and Pulsed Nonlinear Control Systems.
Proceedings from the Second International Exchange Program. Indiana
State University College of Technology. Saint-Petersburg State University
of Aerospace Instrumentation. October 27- November 5. Terre Haute,
Indiana. 2006.
22. Крук А.Е. Синтез нелинейных систем управления методом ортогональных проекций. XVII Международный научно-технический
111
семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", Сборник трудов. г. Алушта,
2008г.
23. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. - М: Наука, 1977.
24. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. - М.:
Наука, 1988.
25. Ту Ю.Т. Цифровые и импульсные системы автоматического
управления. - М.: Машиностроение, 1964.
26. Федоров С.М., Литвинов А.П. Автоматические системы с цифровыми управляющими машинами. - М.-Л.: Энергия, 1965.
27. Джури Е.И., Ли В.В. Абсолютная устойчивость системы со
многими нелинейностями // Автоматика и телемеханика, 1965.
Т.XXVI, № 6.
28. Джури Е.И., Ли В.В. Теория устойчивости автоматических
систем со многими нелинейностями // Дискретные, самонастраивающиеся и обучающиеся системы. - М.: Наука,1971.
29. Цыпкин Я.З. Об устойчивости в целом нелинейных импульсных автоматических систем // ДАНСССР.1962.Т.145. № 1.
32. Крук А.Е. Синтез нелинейных импульсных систем управления
при случайных воздействиях методом ортогональных проекций
//Научная сессия ГУАП: сб. докл.: в 3ч. Ч.1. Технические науки.СПб.: ГУАП. 2012.
31. Крук А.Е. Синтез нелинейных импульсных систем управления при случайных воздействиях прямым вариационным методом. XXI Международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", Сборник трудов. г. Алушта, 2012г.
32. Лигун Т.И. Аэродинамика самолета ТУ-134А-3(В-3). М: Транспорт, 1987.
33. Автоматизированный синтез электронных регуляторов систем
управления тормозами транспортных средств // И.А. Орурк, Л.А.
Осипов, Ю.В. Бородин, Л.Г. Петухов. Системы и элементы оборудования летательных аппаратов: Межвуз. сб. науч. тр. КАИ.
Казань, 1987.
112
34. Осипов Л.А., Шишлаков В.Ф., Сидоров С.В. Идентификация параметров исполнительной части системы автоматического
управления торможением колес. Безопасность полетов и профилактики авиационных происшествий: Тезисы доклада V всесоюзной научной конференции. Л., 1988.
35. Осипов Л.А., Шишлаков В.Ф. Синтез многорежимных систем
автоматического управления торможением колес (САУТК) транспортного средства на основе решения обратной задачи динамики.
Контроль управления и автоматизация в современном производстве: Тезисы доклада II Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов. Минск, 1990.
36. Разработка прикладного программного обеспечения для блочной модели процесса торможения на ПЭВМ и расчет режимов
торможения: отчет о НИР-540/ЛИАП; Руководитель Л.А. Осипов. № ГРУ 57560, Л., 1992.
37. Разработка модели для оперативного моделирования системы
торможения колес самолета для IBM/PC: Отчет о НИР-607/ЛИАП;
Руководитель Л.А. Осипов. № ГРУ 75947, Л., 1993.
113
Научное издание
Крук Андрей Евгеньевич
Осипов Леонид Андроникович
СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
Монография
Публикуется в авторской редакции
Отпечатано с оригинал-макета авторов
Подписано в печать 01.12.2014. Формат бумаги 60×841/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 6,7. Тираж 100 экз. Заказ № 635.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 800 Кб
Теги
kroukosipov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа