close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KrukovaPokrovsky

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
АВТОМАТИЗАЦИЯ ОБРАБОТКИ
БИОМЕДИЦИНСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ № 1–4
Санкт-Петербург
2012
Составители: Л. К. Крюкова, Ю. П. Покровский
Рецензент доцент О. И. Красильникова
Методические указания предназначены для выполнения лабораторных работ по курсу «Автоматизация обработки биомедицинской
информации» с использованием вычислительной техники. Методические указания соответствуют материалу,читаемому студентам по
направлению
«Биотехнические
системы
и
технологии
(201000.62Ф)».
Студенты знакомятся с методами построения гистограмм для
выборочных процессов, с выравниванием по теоретическим законам распределения, с методом наименьших квадратов и с быстрым
преобразованием Фурье. Указания предназначены для студентов
дневной формы обучения.
Подготовлены кафедрой моделирования электронных и вычислительных систем и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
В авторской редакции
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 14.12.12. Подписано к печати 19.12.12.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,38.
Уч.-изд. л. 1,28. Тираж 50 экз. Заказ № 672.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
Лабораторная работа № 1
ПОСТРОЕНИЕ ГИСТОГРАММЫ ЭРГОДИЧЕСКОГО
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
1. Общие положения
Для исследования экспериментальных данных, снятых последовательно во времени, используют метод построения выборочного
распределения (гистограммы) при следующих соглашениях:
1. Отсчеты (наблюдения) считаются принадлежащими одной генеральной совокупности, заданной одним теоретическим распределением – условие однородности выборки.
2. Статистические характеристики выборок не меняются за время наблюдения процесса – условие стационарности.
3. Выполняется условие эргодичности, в соответствии с которым
приближение к теоретическому распределению можно получить по
результатам обработки последовательности отсчетов, снятых за некоторый промежуток времени последовательно.
Построение гистограммы начинают с проверки данных.
В процессе проверки проводится обнаружение грубых ошибок и
выбросов в исходных данных.
Под грубым и ошибками (артефактами) понимают отсчеты, которые не укладываются в выборочный ряд по тем или другим признака м. Например, если все отсчеты положительны в силу физики
явления, то отрицательный отсчет будет грубой ошибкой.
Для больших объемов выборки составляют программу подсчета
частоты появления того или другого значения и таблицу выводят
на печать. Появление в таблице одиночных значений, далеко отстоящих от основной группы значений, должно рассматриваться
как наличие грубой ошибки, которая должна быть удалена.
Большие отклонения от центра распределения, соответствующего наибольшей частоте появления отсчетов, называются выбросами
и должны рассматриваться при проверке данных отдельно. Иногда
выброс может появиться из-за случайного попадания в данный ряд
3
наблюдения, принадлежащего другой генеральной совокупности.
Например, в ряд наблюдений пациентов с определенной патологией
может случайно попасть наблюдение пациента с другой патологией.
Дополнительная проверка исходного ряда позволяет исключить отсчеты (выбросы), нарушающие однородность выборки.
Для проверки стационарности выводят часть отсчетов или всю
выборку в виде графика относительно горизонтальной оси. Стационарный процесс не должен «уходить» от оси абсцисс и содержать,
так называемые тренды.
1.1. Построение гистограммы
А. На базе проверенного на грубые ошибки и выбросы статистического ряда (выборки данных) проводится группировка данных.
Для этого весь диапазон изменения данных разбивается на неперекрывающиеся интервалы.
Число интервалов K рекомендуется брать от 5 до 30 (обычно выбирается K = целая часть(10lg N), где N – число наблюдений).
Б. Подсчитываете я частота попадания отсчетов в интервалы.
Строится график в виде столбиков с основаниями на интервалах а
высотой, соответствующей частоте попадания отсчета в интервал.
1.2. Анализ гистограммы
А. По виду гистограммы: также можно обнаружить грубые
ошибки или выбросы.
Б. Нормировка гистограммы:
Обозначим Сi количество значений в i-м интервале.
Тогда fi = Ci/N относительная частота для i-го интервала.
Поскольку
K
K
K
i
i
i
å Ci = N, то å Ci = å Ci / N = 1,
следовательно, площадь нормированной гистограммы близка к
единице и ее можно аппроксимировать теоретическим распределением.
В. Модальность гистограммы.
Форма гистограммы зависит от однородности выборки. Если гистограмма имеет один максимум (унимодальная гистограмма), то
можно предположить, что выборка однородна и теоретическое распределение также унимодально.
4
При бимодальности нужно предположить, что в выборке присутствуют значения из двух разных совокупностей.
2. Порядок проведения работы
2.1. В пакете вычислить по 100 значений двух статистических
рядов, используя функции пакета MathCAD или MatLab:
1) х = rnorm (100, μ, ), где μ = Nвар; 2 = 1;
(1)
и Nвар – номер варианта, заданный преподавателем.
2) х = runif (100, a, b), где а = Nвар; b = a+10.
(2)
Вывести полученные ряды в виде таблиц и графиков.
2.2. Для каждого ряда:
1) найти xmin, xmax и выбрать K (число интервалов);
2) найти значения для границ интервалов xi:
– нижняя граница j-го интервала
xj-1 = xmin + j ⋅ (xmax - xmin ) / K,
– верхняя граница j-го интервала
xj = xj-1 + (xmax - xmin ) / K,
j = 1, …, K.
3) найти Cj – число попаданий значений х в j-й интервал;
4) построить гистограмму Cj(j). Можно использовать функцию
hist (K, x) из пакета MathCAD;
5) построить нормированную гистограмму fj(j).
3. Отчет о работе
3.1. Представить таблицы и график для статистических рядов.
3.2. Сделать заключение об однородности, стационарности и эргодичности.
3.3. Привести построенные гистограммы.
3.4. Сформулировать выводы о распределении случайных величин на основе гистограмм (унимодальность, симметрия).
4. Контрольные вопросы
4.1. Что такое эргодическая гипотеза?
4.2. Как оценить стационарность статистического ряда?
5
4.3. Что такое унимодальность?
4.4. Как проверить данные на грубые ошибки?
Библиографичеекий список
1. Мэнли Р. Анализ и обработка записей колебаний. М.: Машиностроение, 1972,
2. Афифи А. Эйзен С. Статистический.анализ. М.: Мир, 1982.
3. Джонсон Н., Лионе Ф. Статистика и планирование эксперимента в науке и технике. М.: Мир, 1980.
4. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука,
1970.
5. Бесежрский B., Попов Е. Л. Теория автоматического регулирования. М.: Наука, 1977.
6
Лабораторная работа № 2
ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО
И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
1. Общие положения
Выравнивание статистического ряда по теоретическому закону
проводится путем аппроксимации выборочного (экспериментального) распределения заданным теоретическим распределением
плотности вероятности.
1.1. Нормальный закон
Аппроксимация гистограммы нормальным законом может быть
проведена при следующих условиях:
a) гистограмма симметрична относительно центра распределения mx, который рассчитывается как выборочное среднее по формуле
N
mx = å xi / N;
(1)
i=1
b) выборочное среднее близко к моде выборочного распределения, которая определяется как значение случайной величины,
которому соответствует максимальная относительная частота
fmах;
c) для гистограммы справедливо правило трех сигм. Оценивается выборочная дисперсия статистического ряда по формуле:
(xi - mx )2
.
N
i=1
N
D=å
(2)
Среднеквадратическое отклонение (с.к.о.) определяется как
x = D .
(3)
Если диапазон изменения данных приблизительно равен 6x, то
правило 3х считается выполненным.
При выполнении трех условий близости выборочного распределения к нормальному возможно вычислить ординаты нормального
распределения:
hj = (d / x )(tj ),
(4)
7
где d – «шаг» разряда ((xmaх–xmin)/K); (tj) – значение функции
2
(t) = (1 / 2 )e-t /2 для аргумента tj = (xj–mx)/x; xj – границы
разрядов.
Контрольная формула
K
å hj » 1.
j=1
Поскольку значение функции (0) = 0.3989, то ордината вершины кривой нормального распределения
hmax = 0.3989(d/x).
После вычисления hi можно провести кривую теоретического
распределения по нормальному закону.
Отметим, что теоретическая вероятность попадания случайных
значений в j-й разряд должна приблизительно быть равна
(hj+hj+1)/2pjтеор.
(5)
Выборочная частота попадания случайных значений в j-й разряд (высота столбика гистограммы) равна:
pj = nj/N,
где nj – реальное число отсчетов в j-м разряде.
(6)
1.2. Равномерный закон
В этом случае частота попадания в разряды должна быть приблизительно одинаковой. Для равномерного закона нужно вычислить параметры  и  (границы распределения) из условия равенства математического ожидания и с.к.о. теоретического закона
соответствующим выборочным величинам. Рассчитав выборочное
среднее mх, выборочное с.к.о. x например, по формулам (1) и (2),
можно определить  и  по формулам
 = mx - 3x ;
(7)
 = mx + 3x .
(8)
Постоянная вероятность теоретического распределения в данном случае равна
Pconst = (xmax–xmin)/(–)1/K,
где K – число интервалов; хmin и хmax – границы выборки.
8
(9)
1.3. Проверка соответствия выборочного и теоретического
распределений по критерию согласия -квадрат
По указанному критерию мерой расхождения является величина 2, рассчитываемая по формуле
K
2 = å (fj - fjòåîð )2 / fjòåîð ,
(10)
j=1
гдеfj – выборочная частота попадания в j-й ряд; теоретическая частота
fjòåîð = pjòåîð ⋅ N,
(11)
где Рjтеор – теоретическая вероятность попадания j-й ряд, определяемая по формуле (5).
Величина 2подчиняется закону распределения -квадрат (Пирсона) с параметром r:
r = K–q–1,
(12)
где K – число разрядов гистограммы; q – число параметров теоретического закона распределения (для нормального и равномерного
законов q = 2).
Вероятность Р(2) находится из таблиц ко значениям r и 2.
Если Р(2) > (0,05–0,1), то полагают, что данная выборка подчиняется данному теоретическому закону распределения.
2. Порядок проведения работы
2.1. На основе гистограмм, подученных в лабораторной работе
№ 1, получить исходные данные, необходимые для выравнивания
но критерию согласия  -квадрат для соответствующих теоретических законов, применяя формулы:
Нормальный закон – (1)–(6),
Равномерный закон – (1)–(3), (7)–(9).
Можно использовать функции mean(x), stdev(x) из пакета
MathCAD или анапогичные из MatLab.
2.2. Вычислить значения 2, r по формулам (10)–(12) и используя таблицы  – квадрат распределения из справочника или функцию dchisq(x,d) из пакета MathCAD. Найти вероятность Р(2, r) для
сравнения выборочных и теоретических распределений.
2.3. На основе полученных данных сделать заключение о степени близости исследованных распределений к теоретическим.
9
3. Содержание отчета
3.1. Записать формулы и результаты расчетов но работе.
3.2. Привести графики гистограмм и теоретических распределений на основе сделанных расчетов.
3.3. Сделать заключение но полученным данным.
4. Контрольные вопросы
4.1. Какие условия нужно проверить при аппроксимации гистограммы нормальным законом?
4.2. Основные условия для аппроксимации равномерным законом.
4.3. Как определяется параметр закона распределения -квадрат?
4.4. Оценка близости распределений по критерию -квадрат.
10
Лабораторная работа № 3
ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
1. Общие положения
Известно [1], что процессы в организме являются случайными
нестационарными процессами. Самой простой математической моделью случайного нестационарного процесса является модель аддитивно-нестационарного процесса в виде
X(t) = mx(t)+V(t),
(13)
где X(t) – исходный нестационарный случайный процесс; mx(t) –
детерминированная функция (медленно меняющееся среднее);
V(t) – стационарный случайный процесс.
Важной задачей при обработке экспериментальных данных является оценка параметров детерминированной составляющей аддитивно-нестационарного процесса.
Наиболее часто используется в данном случае метод наименьших квадратов.
Условия применения метода:
1. Известно аналитическое описание детерминированной составляющей, например, линейная функция или парабола.
2. Равномерность отсчетов по оси абсцисс.
Метод применим для малого числа отсчетов. Практически рекомендуется не менее пяти отсчетов. Преимуществом метода
являетcя получение оценки разброса экспериментальных данных
относительно детерминированной составляющей.
1.1. Аппроксимация данных линейным отрезком
В стандартном методе наименьших квадратов минимизируется сумма квадратов отклонений экспериментальных точек (xi, yi),
i = 1 N от аппроксимируемой функции. Например, от прямой
y = ax+b.
В методе минимизируется сумма:
N
S(a, b) = å (yi - axi - b)2 ;
(14)
i=1
11
Приравнивая частные производные отS по а и b нулю, получим
систему уравнений
N
N
N
N
N
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
aå xi2 + bå xi = å yi xi , aå xi2 + Nb = å yi .
(15)
Решение системы дает значения aopt и bopt обеспечивающие минимум S(a, b).
1.2. Аппроксимация данных двумя отрезками
при фиксированной точке перегиба
В этом случае предполагается, что детерминированная функция
состоит из двух линейных отрезков, состыкованных в известной
точке (yk, хk), см. рис. 1.
Задача распадается на две подзадачи по определению параметров отрезка a1, b1, на промежутке x1, хk и параметров а2, b2, на
промежутке хk, хN, при условии, что оба отрезка проходят через
точку (уk, хk). Для первой подзадачи минимизируется функция
K
F (a1, b1, ) = å (yi - a1xi - b1 )2 + (yk - a1xk - b1 ).
i=1
Множитель  в правой части называется множителем Лагранжа. Для минимизации приравняем частные производные от F по
a1,b1 и  нулю.
yi
yi =a2xi+b2
yk
yi =a1xi+b1
x1
xk
Рис. 1
12
xN
Получим систему
K
æK
ö÷
æ K ö÷
x + 2çççå xi2 ÷÷÷a1 + 2çççå xi ÷÷÷b1 = 2å xi yi
èçi=1 ø÷
èçi=1 ø÷
i=1
æK
- + 2çççå xi
çèi=1
K
÷÷ö
÷÷a1 + 2Kb1 = 2å yi
÷ø
i=1
(16)
0 ⋅  + xk a1 + b1 = yk
Решение данной системы позволяет найти оптимальную прямую, проходящую через данную точку. Аналогично решается вторая подзадача для промежутка xk, xN (i = k, …, N).
1.3. Аппроксимация данных двумя отрезками
при подвижной ординате точки перегиба
Полагаем, что xk задано, а yk произвольно. В отличие от подраздела 1.2 независимо отрезки рассматривать нельзя.
Составим сумму
K
S = (a1, b1, a2 , b2 ) = å (yi - a1xi - b1 )2 +
1
N
å (y1 - a2 xi - b2 )2 .
(17)
K +1
При условии a1xk+b1–a2xk–b2 = 0 ищем условный экстремум для
функции F(a1, b1, a2, b2, ) = S(a1, b1, a2, b2)+(a1xk+b1–a2xk–b2).
Приравнивая все частные производные по a1, b1, a2, b2 и  от F
к нулю, получим систему:
K
æK
æ K ö÷
÷ö
xk  + 2çççå xi2 ÷÷÷a1 + 2çççå xi ÷÷÷b1 = 2å xi yi
çèi=1 ÷ø
èçi=1 ø÷
i=1
K
æ K ö÷
- + 2çççå xi ÷÷÷a1 + 2Kb1 = 2å yi
çèi=1 ø÷
i=1
N
æ N
ö÷
æ N
ö÷
ç
ç
-xk  + 2çç å xi2 ÷÷÷a2 + 2çç å xi ÷÷÷b2 = 2 å xi yi
çèç
ø÷
èçç K+1 ø÷
K +1
K +1
(18)
N
æ N
÷ö
ç
- + 2çç å xi ÷÷÷a2 + 2(N - K)b2 = 2 å yi
ççè
÷
K +1 ø
K +1
a1xk + b1 - a2 xk - b2 = 0
13
Решив систему, получим значения а1,b1 а2, b2, оптимальные
для заданных условий.
1.4. Пример эксперимента
В качестве примера приведем эксперимент по оценке порога аэробного обмена.
При велоэргометрическом тесте по мере роста мощности нагрузки частота сердечных сокращений (ЧСС) у здорового испытуемого
увеличивается по линейному закону до определенного предела.
Физиологически организм адаптируется к нагрузке, включая
резервные возможности по снабжению мышц за счет анаэробного
обмена. Значение ЧСС при определенной мощности нагрузки, после которого она хотя и продолжает увеличиваться, но по линейному закону с меньшим наклоном, называется порогом аэробного
обмена (ПАНО). Таким образом, экспериментальные данные велоэргометрического теста могут быть аппроксимированы двумя
линейными отрезками с точкой перегиба, определяемой ПАНО.
Варианты экспериментальных данных приведены в таблице,
где хi – мощность, вт/мин; yi – ЧСС ударов в мин; хk – 420; xi, yi,
xk – задаются в таблице вариантов (см. табл. 3.1).
2. Порядок проведения работы
Для заданного варианта данных (см. таблицу):
1.1. Найти a1 и b1 для промежутка X = (200640) методом наименьших квадратов. Построить графики.
2.2. Найти a1, b1, a2, b2 при подвижной точке перегиба (из таблицы). Построить графики.
2.3. Найти а1, b1, а2, b2 при фиксированной точке перегиба. Построить графики.
2.4. Сделать выводы: по построенным графикам.
3. Отчетность
3.1. Привести формулы и графики по результатам решения задачи п. 2.1.
3.2. Привести формулы и графики по п. 2.2.
3.3. При вести формулы и графики по п. 2.3.
3.4. Написать выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
4.1. Сущность метода наименьших квадратов.
14
15
150
55 70 73 85 82 84 105 119 115 131
150
56 69 74 84 83 85 104 118 116 130
150
57 68 75 83 84 86 103 117 117 129
150
58 67 76 82 85 87 102 116 118 128
150
59 66 77 81 86 88 101 115 119 127
150
60 65 78 80 87 89 100 114 120 126
160
59 66 73 85 82 84 99 119 115 131
160
58 67 74 84 83 85 98 118 114 130
160
57 68 75 83 84 87 97 117 113 129
160
56 69 76 82 85 87 96 116 112 128
160
55 70 77 81 86 88 95 115 111 127
160
54 71 78 80 87 89 94 114 110 126
155
55 70 77 85 82 84 99 113 111 125
155
56 69 76 84 83 85 98 112 112 124
155 yi 57 68 75 83 84 86 97 111 113 123
155
58 67 74 82 85 87 95 110 114 122
155
59 66 83 81 86 88 95 109 115 121
155
60 65 72 80 87 89 94 110 116 120
165
59 70 73 81 88 90 95 111 117 121
165
58 69 74 82 89 91 96 112 118 122
165
57 68 75 83 90 92 97 113 119 123
165
56 67 76 84 91 93 98 114 120 124
165
55 66 77 85 92 94 99 115 121 125
165
54 65 78 86 93 95 100 116 122 126
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
xi
145
144
143
142
141
140
145
144
143
142
141
140
139
138
137
136
135
134
135
136
137
138
139
140
140
141
142
143
144
145
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
150
151
152
153
154
155
138
137
138
139
140
141
138
139
140
141
142
143
142
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440
yk
№
460
154
153
152
151
150
149
1154
153
152
151
150
149
150
151
152
153
154
155
154
153
152
151
150
149
173
172
171
170
169
168
173
172
171
170
169
168
167
166
165
164
163
162
163
164
165
166
167
168
180
179
178
177
176
177
180
179
178
177
176
175
180
179
178
177
176
175
174
173
172
171
170
169
156
157
158
159
160
161
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
168
170
171
172
173
164
165
166
167
168
169
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
170
171
172
173
174
175
170
171
172
173
173
175
176
177
178
179
180
171
180
179
178
177
176
175
177
176
175
174
173
172
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
288
187
186
185
184
183
182
183
182
181
180
179
178
183
182
181
180
179
178
177
176
175
174
173
172
173
174
175
176
177
178
184
185
186
187
188
189
184
185
186
187
188
189
188
87
186
185
184
183
184
185
186
187
188
189
189
188
187
186
185
184
189
188
187
186
185
184
183
182
181
180
179
178
179
180
181
182
183
184
480 500 520 540 560 580 600 620 640
Таблица 3.1
4.2. Поиск безусловного экстремума.
4.3. Поиск условного экстремума.
4.4. Оценка точности аппроксимации методом наименьших квадратов.
Библиографический список
1. Биологическая кибернетика / под ред. А. Б. Коган. М.: Высш.
школа, 1977.
2. Колесников А. П. Введение в численный анализ: учеб. пособие. М.: Высш. школа, 2003.
16
Лабораторная работа № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ
1. Общие положения
1.1. Дискретное преобразование Фурье [1].
При анализе непрерывного процесса обычно фиксируют отсчеты Xi (i = –n, ..., р, ..., n–1) через равные промежутки времени .
Преобразование Фурье позволяет оценить амплитуды и фазы гармоник, составляющих исходный сигнал по следующим формулам:
Ar = 1 / N
n-1
å
i=-n
xi cos(2ri / N), Br = 1 / N
n-1
å xi sin(2ri / N), (19)
i=-n
где N – общее число отсчетов, n = N/2; r – номер гармоники.
Частота основной гармоники равна f1 = 1/N.
Частота наивысшей гармоники равна 1/2.
Разложение исходного сигнала по гармоникам имеет следующий вид:
x(t) = R0 + 2
n-1
å ( Ai cos 2if1t + Bi sin 2if1t) + An cos 2nf1t
(20)
i=-n
Используя правила тригонометрии, получим
x(t) = R0 + 2
n-1
å Ri cos(2if1t + 1 ) + Rn cos 2nf1t
(21)
i=-n
где R0 = А0;
Ri = Ai2 + Bi2 , i = arctg(-Bi / Ai ),
Ai = Ri cos i , Bi = -Ri sin i .
2. Результаты можно свести в таблицу.
Компоненты
Среднее
1-я гармоника
2-я гармоника
n-я гармоника
Итого
i
Ai
Bi
Ri
i
Вклад в средник квадрат

17
Средний квадрат (средняя мощность) процесса в соответствии с
теоремой Парсеваля [1]:
n-1
X2 = R02 + 2 å Ri2 + Rn2
(22)
i=1
Дисперсия в этом случае:
n-1
Dx = 2 å Ri2 + Rn2
(23)
i=1
Построив график зависимости мощности гармоник от частоты,
получим линейчатый спектр Фурье.
В комплексном виде ряд Фурье записывается:
X(t) = 2
n-1
å
i=-n
Xi exp[ j(2it / N)],
где Xr = Ar–jBr; X-r = Xr; –nrn–1;
Xr =
n-1
å
i=-n
X2 = 1/ N
Xi exp[-j(2ir / N)].
n-1
å
i=-n
Xi2 =
n-1
å
r =-n
2
Xr .
1.2. Быстрое преобразование Фурье [2]
Для ускорения вычислений ряд данных последовательно расщепляется сначала на два вспомогательных, затем на четыре и так до
тех пор, пока не остается ряд из одного, двух или трех членов.
Наилучшим выбором числа отсчетов является в данном случае
число, равное степени двух.
Пример: Xi, i = 0, ..., 11.
Создаем два ряда:
yt = x0, х2, х4, х6, х8, x10
zt = x1, x3, x5, x7, x9, x11
Затем ряды yt и zt расщепляем еще на два ряда каждый:
yt’ = x0, х4, х8; yt” = x2, x6, x10
zt’ = x1, x5, x9; zt” = x3, x7, x11
18
Для этих рядов легко найти преобразование Фурье по формулам
дискретного преобразования Фурье.
y0’(3) = 1/3(x0+x4+x8); y1’(3) = A1(3)–jB1(3),
где A1(3) = 1/3 (х0соs2/3 + x4соs4/3+x4sin6/3);
B1(3) = 1/3 (x0sin2/3+x4sin4/3).
Аналогично получаем преобразования:
y2’(3),z0’(3),z1’(3),z2’(3);
y0’’(3), y1’’(3), y2’’(3), z0’’(3), z1’’(3), z2’’(3).
Из указанных преобразований формируем гармоники yr(6), zr(6),
r = 0,1... 5; в соответствии с формулой БПФ:
xr(N) = 1/2 exp[j(2ir/N)]yr(N/2) + 1/2 zr(N/2)
xr+(N/2)(N) = –1/2exp[j(2ir/N)]yr(N/2) + 1/2 zr(N/2)
для 0 £ r £ N/2–1.
Используя те же формулы, получим окончательно преобразование х(12), r = 0, 1, … 11.
Сводим вычисления для N = 12 в следующие таблицы:
Номер гармоники
Преобразование Фурье
0
1
2
yr’(3)
zr’(3)
yr’’(3)
zr’’(3)
Для шести промежуточных преобразований:
Номер гармоники
Преобразование
Фурье
0
1
2
3
4
5
6
yr(6)
zr(6)
Для полного преобразования:
Преобразование
Фурье
Номер гармоники
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
xr(13)
Rr2
19
В результате должен получиться спектр Фурье идентичный, полученному с использованием дискретного преобразования Фурье. Отметим, что БПФ для вычислений требует Nlog2N операций вместо
N2 операций в дискретном преобразовании.
2. Порядок проведения работы
2.1. Найти дискретное преобразование Фурье для набора данных,
заданных преподавателем из таблицы вариантов (см. табл. 4.1).
2.2. Построить линейный спектр Фурье.
2.3. Выполнить быстрое преобразование Фурье для того же набора данных.
2.4. Сравнить полученные амплитуды гармоник для ДПФ и
БПФ.
Таблица 4.1
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
20
1
2
3
4
–7
–5
–7
–6
7
5
7
6
–8
–7
–9
–7
8
7
9
7
28
24
29
28
–28
–27
–29
–28
–21
–19
–20
–21
21
19
20
21
–6
–5
–7
–6
8
5
7
6
20
19
21
19
–20
–19
–21
–19
–29
–27
–29
–28
29
27
29
28
12
11
13
11
–12
–11
–13
–11
–19
–18
–20
–19
19
18
20
19
–9
–7
–8
–9
9
7
8
9
–20
–19
–21
–20
20
19
21
20
6
5
6
7
–6
–5
–7
–6
Номер гармоники
5
6
7
8
–2
0
–1
–1
2
0
1
1
7
6
8
6
–7
–6
–8
–6
1
2
0
2
–1
–2
0
–2
8
5
8
8
–8
–5
–8
–8
14
13
15
14
–14
–13
–15
–14
7
8
9
9
–7
–8
–9
–9
–21
–19
–20
–20
21
19
20
20
–28
–27
–29
–28
28
27
29
28
8
7
9
7
–8
–7
–9
–7
–7
–5
–7
–7
7
5
7
7
–20
–19
–21
–19
20
19
21
19
6
5
7
6
–6
–5
–7
–6
9
10
11
12
–8
–6
–7
–8
8
6
7
8
19
18
20
19
–19
–18
–20
–19
–12
–11
–13
–11
12
11
13
11
15
13
15
15
–15
–13
–15
–15
–6
–5
–7
–6
6
5
7
6
20
19
21
20
–20
–19
–21
–20
20
18
20
20
–20
–18
–20
–20
–1
–8
0
–2
1
2
0
2
–7
–6
–8
–6
7
6
8
6
13
11
13
13
–13
11
–13
–13
–7
–8
–9
–9
7
8
9
9
–14
–13
–15
–14
14
13
15
14
3. Отчетность
3.1. Привести расчетные таблицы для ДПФ.
3.2. Нарисовать линейный спектр.
3.3. Привести расчетные таблицы для БПФ.
3.4. Нарисовать линейный спектр для БПФ.
3.5. Сделать выводы по результатам вычислений, включая подсчет числа сложений и умножений в ДПФ и БПФ.
4. Контрольные вопросы.
4.1. Сколько гармоник можно оценить по N отсчетам?
4.2. Почему БПФ называется быстрым?
4.3. Как вычисляются фазы гармоник?
4.4. Сколько отсчетов наиболее целесообразно брать для БПФ?
Библиографический список
1. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложение. Т. 1. М.: Мир, 1971.
2. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложение. Т. 2. М.: Мир, 1971.
21
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа № 1. Построение гистограммы эргодического случайного процесса ................................................... 3
Лабораторная работа № 2. Проверка соответствия экспериментального и теоретического распределений .............................. 7
Лабораторная работа № 3. Обработка экспериментальных
данных методом наименьших квадратов ................................ 11
Лабораторная работа № 4. Исследование экспериментальных
данных частотным методом .................................................. 17
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
157 Кб
Теги
krukovapokrovsky
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа