close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KrukovaPokrovsky1

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
УПРАВЛЕНИЕ
В БИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ № 1–4
Санкт-Петербург
2012
Составители: Л. К. Крюкова, Ю. П. Покровский
Рецензент доцент О. И. Красильникова
Методические указания предназначены для выполнения лабораторных работ по курсу «управление в биотехнических системах»
с использованием вычислительной техники. Методические указания соответствуют материалу, читаемому студентам по направлению «Биотехнические системы и технологии (201000.62Ф)».
Студенты знакомятся с векторно-матричным описанием систем
с обратной связьюв условиях воздействия случайных помех. Проводится синтез регуляторов и наблюдателей в системах с модальным
управлением, а также синтез стохастического наблюдателя (Калмана). Указания предназначены для студентов дневной формы обучения.
Подготовлены кафедрой моделирования электронных и вычислительных систем и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
В авторской редакции
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 14.12.12. Подписано к печати 19.12.12.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,38.
Уч.-изд. л. 1,28. Тираж 50 экз. Заказ № 671.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
Лабораторная работа № 1
ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ МОДЕЛИ
МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ
В ОРГАНИЗМЕ
Цель работы: знакомство с методом описания подсистемы дыхательного хемостата на базе концепции пространства состояний.
Векторно-матричное описание систем управления применяется
для синтеза и исследования многомерных связанных систем управления в медицинских электронных комплексах. Например, в барокамере давление и температура связаны друг с другом уравнением
Менделеева – Клапейрона. Поэтому системы стабилизации этих
параметров связаны и должны рассматриваться как многомерная
система. Для полного описания дыхательного хемостата (модель
Гродинза) необходимо учесть до 20 переменных. Размерность матрицы состояния при векторно-матричном описании определяется
порядком исходной системы дифференциальных уравнений. Размерность векторов управления и наблюдения равна, соответственно, числу управляющих и наблюдаемых (измеряемых) параметров.
1. Описание модели подсистемы транспорта углекислого газа
В модели [1] рассматриваются легочный и тканевый резервуары
неизменного объема (Kа и KT, соответственно). Основными регулируемыми параметрами являются концентрации углекислого газа
а и Т (г/дм3) в легочном и тканевом резервуарах.
Углекислый газ поступает в легкие с венозной кровью со скоростью q3 (г/мин) и с вдыхаемым воздухом со скоростью Vа.F (г/мин),
Vа – скорость вентиляции (дм3/мин) и F – концентрация СО2 (г дм3).
Удаление СО2из легких идет со скоростью q1 с выдыхаемым воздухом и со скоростью q2 с артериальной кровью.
В тканевом резервуаре СО2 образуется со скоростью МT, и поступает с артериальной кровью со скоростью q2. Удаление СО2 из
тканевого резервуара проходит со скоростью q3.
3
Скорость изменения концентрации СО2 при сделанных предположениях описывается системой уравнений следующего вида
1
ïìï da
= ( Va F + q3 - q1 - q2 ),
ïï
Ka ï dt
(1.1)
í
ïï dT
1
= ( MT + q2 - q3 ), ïï
KT
ïî dt
Из условия равновесия потоков СО2можно найти выражение
для q1, q2, q3 [1]:
q1 = a Va ; q2 = Cí RT a + Cí ST ; q3 = Cí T ,
где Сн– минутный объем сердца, дм3/мин; RT и ST – постоянные,
связанные с процессом поглощения СО2, г/дм3.
После подстановки в (1.1) получим
2
ì
ïïï çæ Ka KT ö÷÷ d a + æç Ka + KT RT + KT ö÷÷ da +  =
ç
çç
a
ïï çè C V ÷ø÷ 2
Va
Cí ø÷÷ dt
è
dt
í a
ïï
ïï
K æ
d ö M
ïï = F + T çç dF - T ÷÷ + T ,
ç
ï
Cí è dt
dt ø÷ Va
(1.2)
íï
ïïæ K K ö d2
æ
ö
T + ç Ka + ( KT + 1) RT + KT ÷÷ dT +  =
ïïçç a T ÷÷÷
çç
T
÷
ïïçè Cí Va ÷ø dt2
Va
Cí ø÷ dt
èç
ïï
ïï
RT MT MT
+
+ ST , ïï= RT ( F - a ) +
Va
Cí
ïî
Эта модель подсистемы циркуляции углекислого газа в дыхательном хемостате организма. Изменять состояние данной подсистемы можно путем изменения параметров Va и F (скорость вентиляции и концентрация СО2 в выдыхаемом воздухе) и MT (скорость
образования СО2 в тканях).
Опишем модель в терминах пространства состояний по следуюdF
= 0.
щему алгоритму [2], полагая Va и MT = const и
dt
1. Введем векторы состояния, управления и наблюдения
é x1ù é a + fa ù
ê ú ê
ú
ê x2ú ê da / dt ú
ê ú=ê
ú
ê x3ú ê  + f ú ,
ê ú ê T Tú
ê x4ú êd / dtú
êë úû êë T
úû
где fa и fT – постоянные, равные:
4
fa = -
æR M
ö
MT
M
; fT = -ççç T T + T + ST ÷÷÷, ÷ø
Va
Cí
è Va
2. Матрица состояния А будет иметь размерность 4´4 .
A = [aij],
C V
где а12 = 1; à21 = - í a ;
Ka KT
a23 =
KT
;
Cí
C V
a43 = - í a ;
Ka KT
i = 1, … 4,
j = 1, …, 4,
C K + Cí RT KT + Va KT
a22 = - í a
;
Ka KT
a34 = 1;
a41 = RT
C K + Cí RT (KT + 1) + Va KT
a44 = - í a
;
Ka KT
Остальные коэффициенты равны нулю.
Так как определитель матрицы A0, то ее ранг равен четырем.
3. Матрица управления B в данном случае является векторомстолбцом b
é 0 ù
ê ú
ê b21 ú
C V
R C V
b = êê úú ;
b21 = í a ;
b41 = T í a .
0
Ka KT
Ka KT
ê ú
êb ú
ëê 41 ûú
4. Матрица наблюдения C в данном случае вектор-строка:
c = [1, 0, 0, 0].
В соответствии с положениями теории автоматического управления [2, 3] объект, заданный матрицами А, B, C описывается векторно-матричной моделью в пространстве состояний
ìïïdx / dt = Ax + Bu;
(1.3)
í
ïïî y = Cx. Для синтеза регуляторов и наблюдателей системы управления
данным объектом необходимо оценить управляемость и наблюдаемость этого объекта [2].
Управляемость гарантируется, если матрица
Dy = éê B, AB, A2 B, ..., An–1Bùú
ë
û
имеет ранг, равный n.
5
Аналогично наблюдаемость гарантируется, если матрица
n –1
é
ù
Dí = ê CT , AT , ..., AT CT ú
ëê
ûú
также имеет ранг, равный n.
Матрицы А, B, C, могут быть преобразованы в различные формы, называемые каноническими [2].
Каноническая управляемая форма имеет вид
é 0
1
0
¼ 0
ê
ê 0
0
1
¼ 0
ê
ê
.
.
.
.
Ay = ê .
ê 0
0
0
¼ 0
ê
ê-a -a
êë n
n-1 -an-2 ¼ -a2
каноническая наблюдаемая форма имеет вид
é0
ê
ê1
ê
Aí = êê0
ê.
ê
ê0
êë
0
0
1
.
0
0
0
0
.
0
¼
¼
¼
.
¼
0 ù
ú
0 ú
ú
. úú , By , C y ,
1 úú
-a1 úúû
0 -an ù
ú
0 -an-1 ú
ú
0 -an-2 úú , Bí ,Cí ,
.
. úú
1 -a1 úúû
где ai, (i = 1, …, n) – коэффициенты характеристического уравнения исходной матрицы А при a0=1:
I - A = 0; f ( ) = a1n + a1n-1 +¼= 0.
Матрица P линейного преобразования к заданной форме находится по следующему правилу:
Py = éê by , A y , by ,A2y by , …, Any –1by ùú ⋅ [b, Ab, A2 b, …, An–1b]–1. (1.4)
ë
û
Данное преобразование находится корректно в случае, когда матрица В является вектором и система является управляемой (в случае приведения к канонической управляемой форме) или наблюдаемой (в случае приведения к канонической наблюдаемой форме).
Если преобразование P невырожденно (т. е. существует обратная матрица P–1), то исходная форма записи объекта А, b, c, приводится к канонической по формулам:
A y = Py APy–1, by = Py b, c y = cT Py–1
6
(1.5)
Приведение к канонической наблюдаемой форме делается по
аналогичному алгоритму. В частности
Ò(n–1) Ò ù
T n–1
é
Ò Ò
Pí = ê cÒ
cí ú ⋅ [cÒ , AT cT , …, A ( )cT ]–1. (1.6)
í , A í , cí , …, A í
ë
û
Числовые значения элементов матриц А, b, c, можно получить
на основе следующих данных.
Постоянные:
3
3
RT = 0,15; ST = 0,03ã/äì
; F = 0,005ã/äì
.
Остальные параметры выбираются из таблицы вариантов 1.1.
Таблица 1.1
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Объем
легких
Ka, дм3
Объем
тканевого
резервуара
KT, дм3
Минутный
объем сердца
Cн, дм3/мин
3,5
4,0
3,7
5
3,6
4,5
3,8
3,6
5,5
3,8
4
3,7
6,0
3,9
Скорость
Скорость
образования вентиляции
CO2MT, г/мин Va, дм3/мин
0,015
0,02
0,025
0,012
0,018
0,024
0,016
0,021
0,026
0,014
0,020
0,026
0,011
0,016
0,021
0,013
0,020
0,027
0,015
0,022
0,029
0,016
0,023
0,030
3,0
3,5
4,0
2,5
3,0
3,5
3,2
4,5
5,7
3,1
3,8
4,5
3,3
3,8
4,3
3,4
4,0
4,6
3,6
4,0
4,4
3,8
4,3
4,8
7
2. Порядок проведения работы
1. Вычисление коэффициентов матриц А, b, c. Используя пакеты MathCAD или MathLab, вычислить коэффициенты матриц А, b,
c, постоянные fa и fT а также коэффициенты характеристического
уравнения матрицы A по формулам (1.1)–(1.6)
(åñëè a0 ¹ 1, òî ai = ai / a0 ïðè i = 1, …, 4).
2. Оценка управляемости и наблюдаемости матрицы Dу и Dн вычисление их ранга по формулам (1.3)–(1.6).
3. Приведение их к каноническому виду.
4. Найти преобразования Pу, приводящее к канонической управляемой форме, и преобразование Pн, приводящее к канонической
наблюдаемой форме.
5. Получение собственных значений матрицы A. Используя
функцию EigenVals из пакета MathCAD, найти собственные значения матрицы A.
3. Содержание отчета
В отчете о лабораторной работе необходимо привести:
структуру модели с интеграторами;
формулы вычислений;
матрицы A, b, c, A y by c y , Aí bí cí , Py Pí ;
собственные значения матрицы A;
выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
1. Как формируется модель объекта в пространстве состояний?
2. Размерность матриц А, b, c, в модели дыхательного хемостата?
3. Как определяется управляемость и наблюдаемость объекта?
4. Какие переменные входят в модель дыхательного хемостата?
5. Как связаны собственные значения матриц А, Ау, Ан?
8
Лабораторная работа № 2
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА МОДЕЛИ ДЫХАТЕЛЬНОГО ХЕМОСТАТА
МЕТОДОМ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: знакомство с алгоритмом синтеза регулятора системы стабилизации подсистемы дыхательного хемостата методом
модального управления.
1. Описание алгоритма
Для стабилизации концентрации СО2 в системе, моделирующей
дыхательный хемостат, возможно использование линейных обратных связей [2]. Управляющий сигнал (вектор u(t)) при этом формируется по закону
(2.1)
u = –Kx ¢(t),
где x′(t) – оценка вектора состояния объекта; K – матрица обратных
связей с постоянными коэффициентами.
Подставляя (2.1) в первое уравнение (1.3) получим
dx ¢(t) / dt = Ax ¢(t)–bKx ¢(t).
(2.2)
Если оценка вектора состояния x′(t) сходится с заданной разработчиком скоростью к вектору x(t) или вектор x′(t) измеряется
непосредственно, то динамика управления объектом будет определяться уравнением:
(2.3)
dx ¢ / dt = (A – bK)x ¢(t)
и, следовательно, выбором собственных значений матрицы A–bK.
Синтез управления в этом случае называется синтезом модального
управления, так как выбранные разработчиком собственные значения матрицы A–bK (моды) будут определять движение всей системы
[3]. Таким образом, модальное управление может обеспечивать устойчивость и быстродействие многомерной системы. Точность в данном
случае проверяется при моделировании синтезированной системы.
Зададим собственные значения
i ( i = 1, ¼, n ) è Re i < 0. Тогда характеристический многочлен матрицы A–bK будет
иметь вид
JA-bK ( ) = ( - 1 )( - 2 )¼( - n ).
9
Сопровождающая матрица многочлена имеет вид, совпадающий
с видом матрицы состояния в канонической управляющей форме:
é 0
ê
ê 0
A y – by Ky = êê
ê ¼
ê-
êë n
1
0
0
1
¼
¼
-n-1 -n-2
¼ 0 ù
ú
¼ 0 ú
ú,
¼ ¼ úú
¼ -1 úúû
(2.4)
где i (i=1,…n) – коэффициенты характеристического многочлена
при 0=1; A, b – матрицы в канонической управляемой форме, т.е.
é 0
ê
ê 0
A y = êê
ê ¼
ê-a
ëê n
1
0
0
1
¼
¼
-an-1 -an-2
é0ù
¼ 0 ù
ú
ê ú
ú
ê0ú
¼ 0
ú , by = ê ú
ê¼ú
¼ ¼ úú
ê ú
ú
ê1ú
¼ -a1 ûú
êë úû
и
k y = éê ky1 , ky2 , …, kyn ùú . ë
û
(2.5)
Тогда, подставляя (2.5) в (2.4) получим
é
0
1
0
ê
ê
0
0
1
A y – by Ky = êê
¼
¼
¼
ê
ê-a - k
yn -an-1 - kyn-1 -an-2 - kyn-2
ëê n
é 0
¼ 0 ù
1
0
ê
ú
ê 0
¼ 0 ú
0
1
ê
ú,
=ê
ú
¼
¼
¼
¼
¼
ê
ú
ê
ú
ëê-n -n-1 -n-2 ¼ -1 ûú
ù
0
¼
ú
ú
¼
0
ú=
¼
¼ úú
¼ -a1 - ky1 úú
û
откуда ky1 = ai -  i (i = 1,…, n); и, преобразуя к исходному базису по
формуле
K = Ky ⋅ Py–1,
получим матрицу линейных обратных связей, обеспечивающую
работу системы стабилизации с заданной динамикой.
Для случая непосредственного измерения вектора состояния
(C = I, где I – единичная матрица) получим структуру системы,
приведенную на рис. 1.
10
b
+
х
1/P
х
C =I
ОУ
х
+
A
u
K
Рис. 1. Структура системы управления
Импульсную реакцию такой системы можно определить по формуле [3]
x(t) = exp éë(A – bK)tùû ⋅ (t).
(2.6)
Матричную экспоненту в формуле [2.6] можно вычислить по
следующему алгоритму [3]:
1) По набору известных собственных чисел найдем все собственные вектора матрицы. Составим из этих векторов модальную матрицу М;
2) Найдем матрицу M–1 обратную M;
3) Обозначим через  диагональную матрицу, в которой на диагонали расположены собственные числа
i (i = 1,¼, n);
4) Найдем матрицу:
é exp(1t)
0
ê
ê
0
exp(2t)
exp t = êê
¼
ê ¼
ê
¼
0
ëê
0
0
¼
0
ù
¼
0
ú
ú
¼
0
ú;
¼
¼ úú
¼ exp(n t)úûú
5) На основе теоремы Гамильтона – Кэли [3], запишем
exp éë(A – bK)tùû = M ⋅ exp[ t ]⋅ M–1.
11
Набор собственных значений выбирается из таблицы вариантов
2.1.
Таблица 2.1
№ варианта
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
–0,80
–0,82
–0,84
–0,86
–0,88
–0,90
–0,81
–0,83
–0,85
–0,87
–0,89
–0,80
–0,82
–0,84
–0,81
–0,83
–0,85
–0,87
–0,81
–0,83
–0,85
–0,87
–0,82
–0,84
–0,82
–0,84
–0,86
–0,88
–0,90
–0,92
–0,83
–0,85
–0,87
–0,89
–0,91
–0,84
–0,86
–0,90
–0,85
–0,87
–0,89
–0,90
–0,84
–0,86
–0,88
–0,91
–0,84
–0,86
–0,84
–0,86
–0,88
–0,90
–0,92
–0,94
–0,85
–0,87
–0,89
–0,91
–0,93
–0,88
–0,90
–0,94
–0,91
–0,91
–0,93
–0,92
–0,87
–0,89
–0,91
–0,93
–0,86
–0,88
–0,86
–0,88
–0,90
–0,92
–0,94
–0,95
–0,87
–0,89
–0,91
–0,93
–0,95
–0,92
–0,94
–0,96
–0,95
–0,94
–0,95
–0,94
–0,90
–0,92
–0,94
–0,95
–0,88
–0,90
2. Прядок проведения работы
1. Синтез вектора обратных связей в канонической форме. Для
системы, заданной в лабораторной работе № 1, и в соответствии с
заданным вариантом набора собственных значений вычислить коэффициенты вектора обратных связей ky1, ky2, ky3, ky4 в каноническом базисе.
2. Приведение вектора обратных связей в исходную форму. Найти вектор обратных связей в заданном базисе (K = Ky ⋅ P–1 ).
3. Вычисление модальной матрицы для A–bK. Найти собственные вектора для A–bK. Составить из них модальную матрицу М.
Вычислить обратную матрицу M–1.
12
4. Получение матричной экспоненты. Вычислить exp éë(A – bK)tùû .
5. Оценка динамики системы. Получить функции ay , day (t) / dt,
y
y
T (t), dT
(t) / dt и на их основе графики. Полагаем
x1 (t) = ay (t) + fa ; x2 (t) = day (t) / dt ;
y
x3 (t) = T
(t) + fT ; x4 (t) = dTy (t) / dt;
3. Содержание отчета
В отчете необходимо привести:
структуру синтезированной системы;
формулы для вычислений матрицы М, М–1;
exp éë(A – bK)tùû ;
y
y
графики функций ay , day / dt(t), T , dT (t) / dt(t);
выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
1. Что такое каноническая форма (базис)?
2. Как вычисляется матричная экспонента?
3. Что такое модальное управление?
4. Чем определяется динамика замкнутой системы с линейными
обратными связями?
5. Как связаны векторы u(t) и x(t) в управляемой системе?
13
Лабораторная работа № 3
СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ В МОДЕЛИ ДЫХАТЕЛЬНОГО
ХЕМОСТАТА С ОБЩИМ ВЫХОДОМ
Цель работы: знакомство с алгоритмом синтеза наблюдателя
в системе с общим выходом.
1. Оценка вектора состояния в системе с одним выходом
На вход регулятора системы управления должен поступать вектор состояния системы x(t). Если реально число выходов объекта
меньше размерности вектора состояния, то необходимо получить
оценку вектора состояния x′(t) по значению выхода y(t). Для решения этой задачи синтезируется устройство, называемое наблюдателем. Задача имеет единственное решение, если пара матриц (A, cT)
является наблюдаемой [2]. Тогда уравнение наблюдателя имеет вид:
dx ¢(t) / dt = Ax ¢(t) + Bu(t) + L(y (t) – Cx ¢(t)),
(3.1)
где L – матрица наблюдателя.
Коэффициенты матрицы L могут быть вычислены, если заданы
собственные числа 1 матрицы (A–LcT), определяющие динамику
сходимости оценки вектора состояний x(t) к истинному значению
вектора x′(t). Полагая, что преобразование Рн матрицы А к канонической наблюдаемой форме вычислено, получим две системы с
одним выходом:
é 0 0 0 ¼ 0 - pn ù
ê
ú
ê 1 0 0 ¼ 0 - pn-1 ú
ê
ú
A – LCT = êê 0 1 0 ¼ 0 - pn-2 úú =
ê¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¼ úú
ê
ê0 0 0 ¼ 1
- p1 úûú
ëê
(3.2)
é 0 0 0 ¼ 0 -an ù
ê
ú él ù
ê 1 0 0 ¼ 0 -an-1 ú ê 1 ú
ê
ú ê l2 ú
= êê 0 1 0 ¼ 0 -an-2 úú - êê úú ⋅[0 0 ¼ 1],
¼
ê¼ ¼ ¼ ¼ ¼
¼ úú êê úú
ê
êl ú
ê0 0 0 ¼ 1
-a1 úûú ë n û
ëê
где i(i=1, …, n) – коэффициенты характеристического уравнения
матрицы A–LcT (с заданными собственными числами i(i=1, …, n),
при 0=1.
14
Из уравнения (3.2) получим
li = n-i+1 - an-i+1,
(3.3)
где i = 1, ¼
, n.
Полная структурная схема системы модального управления с
наблюдателем приведена на рис. 2.
Структура наблюдателя соответствует следующей системе уравнений:
ì
ï
dx ¢(t) / dt = éê A - lcT ùú x ¢(t) + ly (t) + bu(t),
ï
ï
ë
û
í
ï
T ¢
ï
=
u
t
k
x
t
. ()
ï ( )
î
(3.4)
В соответствии с принципом разделения [3], динамика наблюдателя независима от динамики регулятора. В этом случае импульсная реакция полной системы определяется произведением матричных экспонент вида:
(
)
x (t) = exp ëé(A - bk)tûù ⋅ exp êé A - lcT túù (t),
ë
û
где (t) – импульсная функция.
Используя модальные матрицы для (A–bK) и (A–LcT) можно
получить импульсные реакции для компонент вектора состояния
xi(t), (i=1, …n).
x
+
b
1
Р
+
ОУ
x
у
C
A
+
l
b
+
+
+
xa 1
Р
A
u
xa
–
C
у
наблюдатель
K
Рис. 2. Структура системы с наблюдением
15
Набор собственных значений матрицы наблюдателя выбирается
из таблицы вариантов 3.1.
Таблица 3.1
№
варианта
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0
21
22
23
24
–0,90
–0,91
–0,92
–0,93
–0,905
–0,915
–0,925
–0,935
–0,9
–0,915
–0,92
–0,925
–0,905
–0,91
–0,915
–0,92
–0,925
–0,93
–0,935
–0,94
–0,945
–0,95
–0,90
–0,91
–0,91
–0,92
–0,93
–0,94
–0,915
–0,925
–0,935
–0,945
–0,915
–0,93
–0,94
–0,93
–0,91
–0,915
–0,92
–0,925
–0,93
–0,935
–0,94
–0,945
–0,95
–0,955
–0,92
–0,93
–0,92
–0,93
–0,94
–0,95
–0,925
–0,935
–0,945
–0,955
–0,93
–0,945
–0,95
–0,935
–0,915
–0,920
–0,925
–0,93
–0,935
–0,94
–0,945
–0,95
–0,955
–0,96
–0,94
–0,95
–0,93
–0,94
–0,95
–0,96
–0,935
–0,945
–0,955
–0,965
–0,945
–0,96
–0,965
–0,94
–0,92
–0,925
–0,93
–0,935
–0,94
–0,945
–0,95
–0,955
–0,996
–0,965
–0,96
–0,965
2. Порядок выполнения работы
1. Нахождение матрицы наблюдателя в каноническом базисе.
Для системы, заданной в лабораторной работе № 1, и для набора
собственных значений i(i=1, …, n) из таблицы вариантов вычислить коэффициенты матрицы Lн в каноническом базисе.
2. Нахождение матрицы наблюдателя в исходном базисе. Вычислить матрицу L в исходном базисе по формуле
–1
lT = lT
í ⋅ Pí ,
где Pн – преобразование из базиса (Aн, CTн) в базис (A, CT).
16
3. Получение модальной матрицы. Найти модальную матрицу
для (A–LcT).
4. Вычисление матрицы реакции на импульс. Вычислить матрицу exp éê A – lcT ⋅ tùú .
ë
û
5. Вычисление реакций компонент вектора состояния.
(
)
í
ía (t), día / dt, T
(t), dTí / dt, x1¢ (t) = ía (t) + f0 ; í
x2¢ (t) = día / dt; x3¢ (t) = T
(t) + fT ; x4¢ (t) = dTí / dt.
6. Получение графиков найденных функций.
3. Содержание отчета
В отчете необходимо привести:
структурную схему системы с объектом, наблюдателем и регулятором;
формулы вычислений матрицы наблюдателя;
модальные матрицы;
матрицу exp éê A – lcT tùú ;
ë
û
í
графики функций ía (t), día / dt, T
(t), dTí / dt;
выводы по работе.
(
)
4. Контрольные вопросы
1. Чем отличается управляемый канонический базис от наблюдаемого?
2. Как влияет наблюдатель на динамику полной системы?
3. Что такое наблюдатель?
4. Можно ли получить точную оценку вектора состояния за конечный промежуток времени?
17
Лабораторная работа № 4
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО
НАБЛЮДАТЕЛЯ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
(ФИЛЬТР КАЛМАНА)
Цель работы: знакомство с методом синтеза оптимального стохастического наблюдателя (фильтр Калмана).
1. Синтез оптимального стохастического наблюдателя в многомерной системе управления
Задача оценки вектора состояния в реальных условиях всегда
осложняется из-за наличия помех. Если полагать, что шумы состояния и управления приложены ко входу объекта, в шум наблюдения суммируется с вектором наблюдения, то объект можно описать
следующей системой уравнений:
ìdx (t)/dt=Ax (t)+b é u(t)+(t)ù ,
ï
ë
û
ï
í
T
ï
ï
ï
î y (t)=c x (t)+(t), (4.1)
где (t) – шум состояния и управления, проведенный к входу;
(t) – шум наблюдения.
Оба шума являются стационарными случайными процессами
типа белого шума при:
M {(t)} = M {(t)} = 0;
{
}
M {(t)T (t + )} = R(),
M T (t)(t + ) = Q();
где Q и R – положительные симметрические матрицы. Если матрицы A, B, C, R, Q известны, то можно построить наблюдатель, обеспечивающий сходимость оценки вектора состояния к истинному его
значению с минимальной среднеквадратичной ошибкой в классе
линейных систем. Оптимальный в указанном смысле наблюдатель
называется фильтром Калмана и описывается системой уравнений
dx ¢(t) / dt = Ax (t) + L êé y (t) - cT x ¢(t) + bu(t)úù ; x ¢(0) = 0,
ë
û
(4.2)
где L = S0cTR–1, S0 – положительно определенная симметрическая
матрица, являющаяся решением алгебраического матричного
уравнения Риккати [3]:
18
AS + SAT – ScT R–1cS + bQbT = 0; S(0 ) = R.
(4.3)
Методы решения такого уравнения даны в литературе [4]. Кроме того, в пакете MathCAD имеется типовой пример его решения
(в разделе “Решение матричных уравнений”). Структура такого
наблюдателя в точности совпадает со структурой наблюдателя в
детерминированной системе (см. работу № 3). Если единственное
решение уравнения Риккати существует и положительно, то синтезированный наблюдатель устойчив. Для синтеза матрицы A, B,C
берутся из работы № 1.
Матрица Q=q0I, где I – единичная матрица; q0 и R приведены
в таблице вариантов 4.1, полагая, что система имеет один вход и
один выход.
Таблица 4.1
№ варианта
q0
R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
1,05
1,1
1,15
1,20
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
19
2. Порядок проведения работы
1. Решение уравнения Риккати. Для системы A, B, C из работы
№ 1 и в соответствии с заданными q0 и R получаем решение уравнения Риккати S.
2. Вычисление матрицы наблюдателя. Вычислить матрицу L по
формуле L=S0cTR–1.
3. Нахождение модальной матрицы. Найти собственные значения и модальную матрицу для матрицы (A–LcT).
4. Вычисление реакции наблюдателя на импульс. Вычислить
функцию exp éê A – lcT tùú .
ë
û
5. Получение реакции оценок компонент вектора состояния на
¢ (t), dT
¢ / dt.
импульс. Вычислить функции a¢ (t), da¢ / dt, T
(
)
3. Содержание отчета
В отчете необходимо привести:
структуру фильтра Калмана;
формулы для вычислений;
решение уравнений Риккати;
собственные значения и модальную матрицу (A–LcT), функцию
exp éê A – lcT tùú ;
ë
û
¢ (t), dT¢ / dt;
графики функций a¢ (t), da¢ / dt, T
выводы по работе.
(
)
4. Контрольные вопросы
1. Чем отличается модальное наблюдение от оптимального?
2. Какие характеристики шумов используются для вычисления
матрицы наблюдения оптимального фильтра?
3. Какие методы можно использовать для решения уравнения
Риккати?
4. Можно ли применять оптимальный фильтр в системе с модальным уравнением?
Библиографический список
1. Библиографическая кибернетика / под ред. А. Б. Коган. М.:
Высш. школа, 1977.
2. Андреев Ю. Н. Управление конечномерным линейным объектом. М.: Наука, 1976.
20
3. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории
управления. М.: Наука 1970.
4. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы
уравнений. М.: Мир, 1977.
21
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа № 1. Построение векторно-матричной
модели многомерной системы управления процессом
в организме ........................................................................ 3
Лабораторная работа № 2. Синтез регулятора модели дыхательного хемостата методом модального управления ...................... 9
Лабораторная работа № 3. Синтез наблюдателя в модели дыхательного хемостата с общим выходом ..................................... 14
Лабораторная работа № 4. Синтез оптимального стохастического наблюдателя многомерной системы управления (фильтр
Калмана) ........................................................................... 18
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
171 Кб
Теги
krukovapokrovsky1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа