close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KrygOvchinnikov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Е. А. Крук, А. А. Овчинников
МНОГОАНТЕННАЯ ПЕРЕДАЧА ДАННЫХ
В БЕСПРОВОДНЫХ СЕТЯХ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2013
УДК621.391.2(075)
ББК 32.88я73
К84
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор
кафедры вычислительной техники НИУ ИТМО В. А. Богатырев;
кандидат технических наук, доцент
кафедры распределенных вычислений и компьютерных сетей
СПбГПУ П. В. Трифонов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Крук, Е. А.
К84 Многоантенная передача данных в беспроводных сетях: учеб. пособие/ Е. А. Крук, А. А. Овчинников. – СПб.: ГУАП, 2013. – 84 с.:
ил.
ISBN 978-5-8088-0863-8
В учебном пособии рассмотрены вопросы кодирования в каналах
со многими передающими и принимающими антеннами (MIMO).
Описаны математические модели таких каналов, сформулированы
критерии построения пространственно-временных кодов для передачи информации по каналам MIMO. Рассматриваются разнообразные конструкции пространственно-временных кодов для получения
выигрыша как по вероятности ошибки, так и по скорости передачи,
в том числе технология BLAST.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
направлению 210700 "Инфокоммуникационные технологии и системы связи". Может быть использовано для самостоятельной работы студентов и при выполнении заданий по НИР.
УДК 621.391.2(075)
ББК 32.88я73
ISBN 978-5-8088-0863-8
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2013
© Е. А. Крук, А. А. Овчинников, 2013
ВВЕДЕНИЕ
В данном пособии рассматривается передача по каналам, для
которых классическая модель канала с аддитивным белым гауссовским шумом (AWGN), где помехи статистически независимы и
их основной причиной является тепловой шум в приемнике, оказывается неадекватной и малополезной, так как не учитывает основные типы помех, возникающие в таких каналах и в основном
влияющие на ухудшение качества приема. В первую очередь, это
беспроводные радиоканалы, в которых влияние интерференции
оказывается более значительным, чем влияние теплового шума
приемника. Основной причиной ухудшения качества связи в таких
каналах является многолучевое распространение, когда сигнал
при передаче вследствие отражения от препятствий либо движения
объектов достигает приемника в виде интерференции множества
откликов, отличающихся по амплитуде, фазе, углу прибытия, задержке и т.д., что приводит к появлению таких эффектов в канале,
как замирание и рассеяние [3, 7, 33, 38, 46].
Причиной замирания является интерференция множества сигналов со случайными относительными фазами. Такая интерференция вызывает случайные изменения амплитуды полученного
сигнала. Это увеличивает вероятность ошибки в системе, так как
уменьшается отношение сигнал-шум.
Рассеяние возникает вследствие разницы в задержке различных
лучей, что приводит к рассеиванию во времени передаваемых импульсов. Если разница в задержке сопоставима с периодом символа,
то пришедшие с опозданием сигналы от одного символа могут наложиться на следующий сигнал, вызывая межсимвольную интерфенцию (i.s.i., intersymbol interference). В данном пособии методы борьбы
с дисперсией в канале не будут подробно рассматриваться.
В классической теории помехоустойчивого кодирования рассматривается построение кодов, свойства которых позволяют добиться
так называемого выигрыша от кодирования, которое обеспечивается, в основном, за счет максимизации минимального расстояния
кода или оптимизации спектральных характеристик. Такие коды
хорошо работают на модели каналов с независимыми ошибками,
однако для каналов с замираниями такие модели «без памяти» неадекватны, а коды, построенные в рамках этих моделей, не могут
обеспечить требуемой надежности передачи.
Вместе с тем известно, что эффективным методом борьбы с замираниями является наличие нескольких разнесенных антенн,
3
принимающих различные отклики одного и того же сигнала и
комбинирующие их тем или иным образом с целью выделения полезной информации. Такую модель можно обобщить и до наличия
нескольких передающих антенн, что приводит к совершенно новой
постановке задачи построения кодов для полученной многоантенной модели, с новыми критериями, где кодом фактически является
правило передачи того или иного сигнала в пространстве и времени, что и привело к использованию термина «пространственно-временные коды». Именно такие коды и описываются в настоящем
пособии.
Необходимо отметить, что пространственно-временные коды,
призванные обеспечить, в отличие от классических кодов, не выигрыш от кодирования, а выигрыш от разнесения, не являются заменой традиционных помехоустойчивых кодов и могут являться
частью звена передачи между модулятором и демодулятором, улучшая характеристики вероятности ошибки на выходе демодулятора
для последующего декодирования помехоустойчивым кодом.
Данное пособие построено следующим образом. Первый раздел
посвящен описанию моделей каналов связи с несколькими передающими и принимающими антеннами. Второй раздел содержит
определение пространственно-временных кодов, описание их основных характеристик и критериев построения. Третий раздел посвящен описанию блоковых пространственно-временных кодов,
основанных на ортогональных конструкциях. Четвертый раздел
рассматривает пространственно-временные коды, задаваемые с помощью решеток. Пятый раздел основан на дифференциальной модуляции, идея которой может быть распространена и на пространственно-временные коды. Шестой раздел рассматривает вопросы не только получения выигрыша от разнесения по вероятности
ошибки, но также и увеличения пропускной способности системы
связи при одновременной передаче по нескольким антеннам. Здесь
же описываются широко используемые системы BLAST. Последний, седьмой раздел посвящен вопросам так называемого «цифрового формирования луча».
Данное пособие может быть рекомендовано студентам и аспирантам, обучающимся по направлениям и профилям, связанным с
передачей информации и инфокоммуникационными системами, в
том числе по направлению 210700 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи». Предполагается, что читатели знакомы
с базовыми понятиями цифровой обработки сигналов, теории информации, теории помехоустойчивого кодирования.
4
1. МОДЕЛЬ КАНАЛА MIMO
1.1. Каналы с замираниями и рассеянием
Причины многолучевого распространения могут быть различны в различных каналах. Это может быть, к примеру, отражение
от строений, объектов, поверхности земли в каналах беспроводной
связи (в том числе мобильной связи, когда прием дополнительно
усложняется движением объектов), отражение от стен и предметов
в беспроводных локальных сетях, отражение от слоев ионосферы
при высокочастотной радиопередаче и т.д. Схематично многолучевое распространение изображено на рис. 1. Потенциально замирание и рассеяние могут происходить даже при передаче по кабелю.
Существуют различные математические модели, описывающие
каналы с многолучевым распространением [22, 46]. Эти модели
как помогают лучше понять влияние канала на сигнал, получать
математические результаты для анализа этих эффектов, так и облегчают компьютерное моделирование канала в случаях, когда математический анализ слишком сложен.
Одной из наиболее общих моделей для рассматриваемых каналов
является представление канала линейным фильтром. Он описывается изменяющимся во времени импульсным откликом h(τ,t), задаю-
Рис. 1. Многоуровневое распространение
5
щим отклик канала в момент времени t на импульс, поданный в момент времени t – τ. Таким образом, модель определяет импульсный
отклик канала и его изменение со временем. Преобразование Фурье,
примененное к h(τ,t) по переменной τ, дает изменяющийся во времени
частотный отклик H(f,t), а преобразование Фурье от h(τ,t) по переменной t дает функцию рассеяния S(τ,v). Так как v может рассматриваться как доплеровский сдвиг, функция рассеяния определяет доплеровский спектр полученного сигнала как функцию от задержки.
Если изменения канала во времени происходят медленно (квазистационарный или кусочно стационарный канал), параметры
линейной системы могут рассматриваться как константные на
протяжении нескольких передаваемых символов. Тогда параметр
задержки τ может рассматриваться отдельно от времени t. Если
далее предположить, что сигналы, распространяемые по различным лучам, некоррелированы и имеют гауссовское распределение,
получим модель гауссовского стационарного в широком смысле
некоррелированного рассеяния (GWSSUS – Gaussian wide-sense
stationary uncorrelated scatterers) [3]. В этой модели импульсный
отклик может рассматриваться как сумма последовательности импульсов с задержками τi, представляющих различные пути, и комплексными амплитудами hi, изменяющимися во времени:
n-1
h(τ) = å hi (t)δ(τ - τi ), (1)
i=0
где n – количество путей распространения, а δ(·) обозначает
δ-функцию. Квадраты амплитуд этого импульсного отклика задают профиль мощности задержек канала, пример такого профиля
приведен на рис. 2.
Важнейшим параметром профиля мощности задержек является
разброс задержки Δ, равный среднеквадратичному отклонению задержки:
Δ=
å i (τi - D)2 | hi |2 ,
å i | hi |2
(2)
где D – средняя задержка. Обратная величина 1/Δ называется полосой когерентности, так как она задает диапазон частот, в рамках
которого распространение изменяется в пределах около 3 дБ, другими словами, в рамках которого частотный отклик канала остается приблизительно плоским. Дуальным к полосе когерентности мо6
h (τ)
hi
τ
τi
Рис. 2. Импульсный отклик для модели GWSSUS
жет считаться время когерентности, являющееся мерой времени,
в течение которого замирание в канале остается примерно постоянным. Оно может быть получено обратным преобразованием Фурье
от доплеровского спектра и примерно равно обратной величине от
ширины полосы доплеровских частот.
Наконец, предположим, что период T символа много больше,
чем разброс задержки канала, T >> 1/ Δ, или, эквивалентно, что
полоса частот сигнала много меньше полосы когерентности. При
этих условиях рассеяние пренебрежимо мало, и такая модель может быть названа узкополосной. Тогда под «широкополосными’’
сигналами будем понимать такие, у которых полоса частот сравнима с полосой когерентности или превышает ее. Узкополосные
сигналы не подвержены рассеянию, но подвержены замиранию, в
то время как широкополосные сигналы подвержены обоим этим
эффектам. Узкополосные каналы обладают частотным откликом,
плоским на протяжении полосы частот сигнала, такие каналы называются частотно-неселективными. Напротив, широкополосные каналы являются частотно-селективными.
1.2. Замирание в узкополосных каналах
Рассмотрим теперь эффект замирания при передаче узкополосных сигналов. Для передачи сигнала по каналу связи используется
модулированная информационными символами несущая частота
fc, и такой модулированный сигнал называется высокочастотным. Те же символы, которыми модулируется несущая, называют7
ся эквивалентным низкочастотным сигналом [7, 33]. Низкочастотный и высокочастотный сигналы связаны следующей моделью.
Пусть имеется пара низкочастотных сигналов x(p)(t) и x(q)(t), которые можно условно записать в виде комплексной величины, называемой комплексной огибающей:
x(t) = x( p) (t) + jx(q) (t) =| x(t) | e jθ(t) = R (t)e jθ(t) , (3)
где R(t) – амплитуда огибающей,
R (t) =| x(t) |= x( p) (t)2 + x(q) (t)2 ,
а θ(t) – фаза,
θ(a) = arctan
x(q) (t)
x( p) (t)
.
Предположим, что для модуляции несущей используется квадратурная фазовая модуляция (QPSK – quadrature phase-shift
keying). В этом случае немодулированный высокочастотный сигнал
представляет из себя сумму синфазной несущей и квадратурной
несущей, сдвинутой относительно синфазной по фазе на π/2. Тогда
величинами x(p)(t) и x(q)(t) модулируются соответственно синфазная
и квадратурная компоненты такого высокочастотного сигнала [7]:
æ
πö
s(t) = x( p) (t)cos(fc t) + x(q) (t)cosççfc t + ÷÷÷ =
çè
2ø
= x( p) (t)cos(fc t) - x(q) (t)sin(fc t).
Можно легко показать, что модулированный сигнал s(t) с учетом комплексного представления низкочастотного сигнала из (3)
можно записать как
s(t) = x( p) (t)cos(fc t) - x(q) (t)sin(fc t) = Re{x(t)e2πjfct }, (4)
где fc – частота несущей, а x(t) – низкочастотная огибающая.
Тогда при передаче сигнала s(t) по каналу с замиранием, вызванным многопутевым распространением, принятый сигнал r(t),
с учетом (1):
(5)
r (t) = å hi (t)s[t - τi (t)], i
где hi(t) – коэффициент замирания, а τi(t) – задержка i-го пути.
Здесь мы пренебрегаем аддитивным тепловым шумом. Подставляя
(4) в (5), получим
8
ìæ
ü
ö÷ 2πjf ét-τ (t)ù ï
ï
ç
c êë
i
úû ï =
r (t) = Re ï
íççå hi (t)x[t - τi (t) ]÷÷÷e
ý
ï
ï
ç
÷ø
ï
ï
ïè i
ï
î
þ
ìæ
ü
ö
ï
ï
÷
ïç
ï
-2πjfc τi (t)
x[t - τi (t) ]÷÷÷e2πjfct ý.
= Re íççå hi (t)e
ï
ï
ç
÷
ø
ï
ï
ïè i
ï
î
þ
Тогда соответствующий низкочастотный сигнал будет иметь вид
z(t) = å hi (t)e-2πjfc τi (t) x[t - τi (t)]. (6)
i
Для простоты предположим, что передается немодулированная
несущая на частоте fc, то есть g(t) = 1 для любого t. Тогда (6) упростится до
(7)
z(t) = å hi (t)e-2πjfc τi (t) = å hi (t)e-jθi (t) . i
i
Таким образом, низкочастотный сигнал z(t) состоит из суммы
переменных во времени комплексных векторов, имеющих амплитуду hi(t) и фазу θi(t). Заметим, что фаза θi изменится на 2π, когда
задержка τi изменится всего на 1/fc. Например, при работе передатчика на частоте fc = 900 МГц задержка 1/fc равна 1.1 наносекунд. Это соответствует изменению пути распространения сигнала
на 33 см (в свободном пространстве). Таким образом, фаза θi в (7)
может значительно измениться при относительно небольших изменениях задержки распространения.
Векторная трактовка из (7) помогает изобразить эффект замирания графически с помощью комплексной единичной окружности.
На рис. 3 изображен передаваемый сигнал (который можно считать
Потеря
амплитуды
Результирующий
сигнал
Отраженный
сигнал
xi( q)
Ожидаемый
сигнал
xi( p)
Рис. 3. Влияние отраженного сигнала на ожидаемый сигнал
9
ожидаемым сигналом), с учетом наличия отраженного сигнала
xi( p) (t) + jxi(q) (t) = hi (t)e-jθi (t) с синфазной и квадратурной компонентами x(p) и x(q) соответственно, прошедшего при многолучевом
распространении по пути i. Вследствие произошедших отражений
на пути i амплитуда отраженного сигнала уменьшается, что учитывает коэффициент hi(t), а из-за увеличения расстояния распространения отраженный сигнал запаздывает по фазе по сравнению
с ожидаемым. В результате векторного сложения ожидаемого сигнала с отраженным, результирующий сигнал как ослабляется по
амплитуде, так и сдвигается по фазе.
В действительности на приемную сторону приходит не один отраженный сигнал, а множество сигналов по разным путям. Все они
складываются друг с другом, конструктивно или деструктивно, что
приводит к сложению соответственно синфазных и квадратурных
компонент xi( p) (t) и xi(q) (t), и после всех сложений в (7) по всем отраженным путям будут получены результирующие xr( p) (t) и xr(q) (t).
Так как обычно количество таких путей велико, и обычно они предполагаются независимыми, то xr( p) (t) и xr(q) (t), по центральной предельной теореме, будут иметь в фиксированный момент времени
гауссову функцию распределения вероятностей. При передаче немодулированной несущей, как в (7), принятым сигналом будет
z(t) = r0 (t)e-jθ(t) ,
где r0(t) – результирующая амплитуда огибающей, которая равна
модулю z(t) (3):
r0 (t) =| z(t) |= xr( p) (t)2 + xr(q) (t)2 ,
а θ(t) – результирующая фаза.
Таким образом, амплитуда r0 комплексной огибающей будет
иметь релеевское распределение (распределение амплитуды комплексного гауссовского процесса):
æ r 2 ö÷
r
ç
p(r0 ) = 02 expçç- 02 ÷÷÷,
çè 2σ ø÷
σ
где σ2 – общая мощность многолучевого сигнала. Описанная модель замираний называется релеевскими замираниями. Если при
распространении сигнала среди множества отраженных лучей есть
один ярко выраженный сигнал, передающийся в прямой видимо10
сти и не подверженный многолучевости, то амплитуда принятого
сигнала будет иметь распределение Райса:
æ r 2 + s2 ö÷ æ r s ö
r
ç
p(r0 ) = 02 expçç- 0 2 ÷÷÷ I0 çç 02 ÷÷÷,
ç
σ
è 2σ ø÷ èç σ ø÷
здесь s2 – мощность компоненты прямой видимости, а I0 обозначает модифицированную функцию Бесселя первого рода нулевого
порядка. Можно видеть, что распределение Райса сходится к релеевскому при s ® 0, т.е. при исчезновении доминирующего сигнала
прямой видимости.
Если рассмотреть не аналоговый сигнал r(t) на входе приемника, а дискретный выход после согласованного фильтра и блока
выборки, а также учесть влияние теплового шума, который будем
считать имеющим гауссовское распределение с нулевым средним,
получим общеизвестную (дискретную) формулу для канала с релеевскими замираниями:
yt = hxt + ηt , (8)
где xt – переданный символ, yt – принятый символ, h – характеризующая замирание комплексная гауссовская случайная величина
(ее вещественная и мнимая части являются гауссовскими случайными величинами с нулевым средним), чей модуль |μ| распределен
по релеевскому закону, а ηt – аддитивный белый гауссовский шум.
1.3. Борьба с замираниями: разнесение
Здесь мы рассмотрим общие подходы, обычно используемые
для борьбы с замираниями, описанными в предыдущих разделах.
Одним из главных способов противодействия замираниям в радиоканале является разнесение [25]. Принцип разнесения заключается в предоставлении двух или более каналов для одного и того же
информационного сигнала, подверженных статистически независимым замираниям. Тогда, если один из путей находится в замирании, можно ожидать, что это не произойдет со вторым, и следовательно, поддерживать приемлемую вероятность ошибок. Таким
образом, разнесение используется для увеличения надежности
принятого сигнала. Условие статистической независимости организуемых разнесенных каналов является критично важным для
обеспечения выигрыша от разнесения.
В сущности, многие методы разнесения представляют собой
просто использование кода с повторением. Помимо методов разне11
сения, необходимо рассматривать также и методы комбинирования
сигналов, пришедших по разнесенным каналам. Методы разнесения классифицируются как по способу организации дополнительных каналов, так и по способам комбинирования многократных
принятых сигналов.
Основными методами разнесения являются разнесение в пространстве, по частоте и во времени. Схематически эти типы разнесений представлены на рис. 4 [6, 7].
а) Пространственное разнесение
Антенна 1
Канал 1
Антенна 2
Несколько
длин волны
Канал 2
б) Частотное разнесение
Полоса частот 1
Полоса частот 2
Канал 1
Канал 2
Полоса
когерентности
в) Временное разнесение
Временное окно 1
Временное окно 2
Канал 1
Канал 2
Время
когерентности
Рис. 4. Типы разнесений
12
1. Пространственное разнесение. В подразд. 1.2 уже отмечалось, что релеевское замирание вызвано сложением откликов
переданного сигнала, отличающихся фазой (что вызывает и изменение амплитуды, см. рис. 3), и что при релеевском замирании
небольшое изменение задержки (а значит, и пройденного сигналом
расстояния) может вызвать значительное изменение фазы, и, следовательно, можно ожидать, что при пространственном разнесении принимающих антенн на расстояние нескольких длин волны
(в литературе [33, 39] рекомендуется расстояние в 10 длин волны)
замирающие каналы будут полностью некоррелированы. В этом
пособии будут рассмотрены системы MIMO, основанные именно на
таком типе разнесения.
2. Частотное разнесение. Если по каким-то причинам пространственное разнесение нереализумо, может быть осуществлено
разнесение по частоте. Здесь копии сигнала передаются по разным
частотам, и снова нужно обеспечить, чтобы замирания таких различных частотных каналов были независимы, для этого разнос частот должен быть в несколько раз больше, чем полоса когерентности 1/Δ (см. (2)).
3. Временное разнесение. Этот тип разнесения реализуется с помощью передачи сигнала в различные моменты времени (временные окна). Для обеспечения независимости каналов их разнос во
времени должен в несколько раз превышать время когерентности.
При любом типе разнесения на приемной стороне получены различные отклики одного и того же сигнала, испытавшие на себе различное (в идеальном случае независимое) замирание. Для принятия
по этому избыточному набору откликов решения о переданном сигнале принятые сигналы должны быть скомбинированы по какомуто либо критерию. Ниже перечислены три наиболее часто используемых метода комбинирования, каждый из которых может применяться для любого из перечисленных выше методов разнесения.
Схематически методы комбинирования представлены на рис. 5 [25].
1. Комбинирование с максимальным отношением (MRC – maximum ratio combining). Этот метод комбинирования будет подробно
рассмотрен позднее, поэтому здесь отметим лишь, что этот метод
является оптимальным с точки зрения обеспечения детектирования по максимуму правдоподобия. Все принятые сигналы взвешиваются по их личному отношению SNR и затем суммируются. Взвешивание минимизирует шум, произошедший вследствие замирания (то есть максимизирует отношение SNR). Если предположить,
что разнесение осуществляется по n каналам и в каждом канале i
13
одно и то же среднее SNR γi = ξ, то тогда суммирование взвешенных сигналов дает общее среднее SNR γ [5, 39]:
n
n
i=1
i=1
γ = å γi =å ξ =nξ,
то есть, даже если в каждом канале среднее SNR ξ меньше приемлемого (для заданного уровня вероятности ошибки), то комбинирование с максимальным отношением может, тем не менее, дать приемлемое общее среднее SNR. Сложение сигналов при этом методе
должно выполняться синфазно (когерентно).
2. Комбинирование с равным усилением (EGC – equal gain
combining). Этот метод комбинирования аналогичен MRC, но приа) Комбинирование с максимальным отношением (MRC)
Канал 1
Оценивание
канала
| Канал 1|
| Канал 2|
Канал 2
б) Комбинирование с равным усилением (EGC)
Канал 1
1
1
Канал 2
в) Комбинирование с выбором (SC)
Канал 1
Выбор
наибольшей
амплитуды
Канал 2
Рис. 5. Методы комбинирования
14
нятые сигналы не взвешиваются (что можно считать взвешиванием
с одинаковым коэффициентом 1 для всех каналов), а сразу складываются. Этот метод используется, если нет возможности обеспечить
отслеживание амплитуд принятых сигналов и их своевременное
изменение, и конечно, он дает худший результат по сравнению с
MRC, но тем не менее, способен обеспечить выигрыш от разнесения
по сравнению с системой, в которой разнесение отсутствует. Этот
метод также требует когерентного сложения сигналов. Среднее
SNR на выходе EGC составит
æ
ö
π
γ = çç1 + (n -1)÷÷÷ξ.
çè
ø
4
3. Комбинирование с выбором (SC – selection combining). При
комбинировании с выбором (или с переключением – switched
combining) сигналы фактически не комбинируются, а происходит
только переключение между разнесенными каналами по критерию
выбора самого сильного сигнала. То есть принятым считается сигнал с максимальным SNR. Такой метод комбинирования очевидно
не требует когерентности сигналов, но также проигрывает MRC,
так как не учитывает информации, кроме  как полученной из одного наилучшего на данный момент канала. Если замирание релеевское, то SNR γi в канале i имеет экспоненциальное распределение с
функцией плотности
fγ i (γ) = γi-1e-γ / γi , γ > 0,
и если все принятые сигналы независимы и имеют одинаковое
среднее SNR γi = ξ, то вероятность Pn(γ) того, что хотя бы один принятый сигнал будет иметь SNR, больший γ, составит
Pn (γ) = 1 - (1 - e-γ /ξ )n ,
и соответствующая плотность распределения
f (γ) = nξ-1 (1 - e-γ /ξ )n-1 e-γ /ξ .
Тогда среднее SNR на выходе SC составит
¥
n
0
i=1
γ = ò γf (γ)dγ = ξå i-1.
Таким образом, SC не обеспечивает такого выигрыша, как MRC,
однако обладает меньшей сложностью.
15
В дальнейшем будем предполагать, что мы рассматриваем систему с пространственным разнесением для передачи по частотнонеселективному каналу с релеевскими замираниями.
1.4. Модель канала MIMO
Теперь, после того, как мы в подразд. 1.2 определили дискретную во времени модель канала с релеевскими замираниями (8) и в
качестве одной из основных мер борьбы с замираниями в подразд.
1.3 описали методы разнесения и комбинирования, можно перейти
к формулировке модели для системы со множественным входом и
множественным выходом (MIMO – multiple-input multiple-output).
В подразд. 1.3 мы описали пространственное разнесение, предполагая, что для борьбы с замираниями организуется несколько
независимых каналов, и такие каналы получаются с помощью использования нескольких принимающих антенн и одной передающей. Однако этот подход можно обобщить, рассматривая пространственное разнесение не только при приеме сигнала, но и при его передаче. Это требует не только метода комбинирования различных
пришедших откликов одного и того же сигнала на приемной стороне, но организации (возможно, нетривиальной) передачи сигнала
по многим передающим антеннам. В этом разделе мы рассмотрим
модель канала для таких MIMO-систем.
Предположим, имеется N передающих и M принимающих антенн. В момент времени t одновременно с N передающих антенн отправляются сигналы xt,n, n = 1, …, N. Каждый переданный сигнал
подвержен воздействию канала с замираниями, и отклик от каждого сигнала с каждой из N передающих антенн принимается на
каждой из M принимающих антенн. Будем рассматривать частотно-неселективный канал с плоскими релеевскими замираниями
(раздел 1.1), то есть будем предполагать отсутствие в канале рассеяния, приводящего к межсимвольной интерференции.
Для каждой пары (n,m) передающей антенны n и принимающей
антенны m на сигнал воздействует коэффициент замирания hn,m.
Тогда на антенне m в момент времени t принимается сигнал rt,m [16]:
N
rt,m = å hn,m xt,n + ηt,m , (9)
i=1
где ηt,m – аддитивный гауссовский шум (тепловой шум) на принимающей антенне m в момент времени t. Графически модель (9) изображена на рис. 6.
16
h 1,1
xt,1 1
h 1,M
1
h1,2
xt,2 2
2
ηt,1
rt,1
ηt,2
rt,2
...
...
hN,1
hN,2
M
ηt,M
hN,M
rt,M
xt,N N
Рис. 6. Канал со множественным входом
и множественным выходом (MIMO)
Будем предполагать, что канал является квазистационарным
(подразд. 1.1), то есть, что коэффициенты замирания hn,m постоянны в течение некоторого временного окна T’, а от окна к окну меняются независимо. Тем не менее существуют модели, принимающие
во внимание корреляцию между временными окнами, например
модель Джейкса [19].
Величина T’ определяет скорость замирания. Замирание медленно, если блок данных передается за время T, меньшее T’. Тогда
коэффициенты hn,m постоянны в течение всего времени передачи.
С другой стороны, если T >> T ¢, то коэффициенты hn,m изменяются одновременно с передачей блока данных.
Представим передаваемые в течение временного окна T сигналы
с N передающих антенн с помощью (T × N)-матрицы X:
æ x1,1
çç
çç x
2,1
× = çç
çç 
çç
èçxT,1
x1,2
x2,2

xT,2
 x1,N ö÷
÷
 x2,N ÷÷÷
÷÷. 
 ÷÷
÷÷
 xT,N ÷÷ø
(10)
17
Аналогично представим принятые
матрицы R:
æ r1,1 r1,2 
çç
çç r
2,1 r2,2 
R = çç
çç 


çç
çèrT,1 rT,2 
сигналы в виде (T × M)r1,M ÷ö
÷
r2,M ÷÷÷
÷÷.
 ÷÷
÷÷
rT,M ÷÷ø
Предположив T < T’, то есть, что в течение времени передачи
коэффициенты замирания постоянны, их также можно свести в (N
× M)-матрицу канала H:
æ h1,1 h1,2  h1,M ö÷
÷÷
ççç
çç h2,1 h2,2  h2,M ÷÷÷
(11)
H =ç
÷. çç 


 ÷÷
÷÷
çç
çèhN,1 hN,2  hN,M ÷ø÷
Тогда можно записать (9) в матричном виде:
R = X× H +  , (12)
где  – матрица шума:
æ η1,1
çç
çç η
2,1
 = çç
çç 
çç
çèηT,1
 
η1,2
η2,2

ηT,2
 η1,M ö÷
÷
 η2,M ÷÷÷
÷÷.

 ÷÷
÷÷
 ηT,M ÷÷ø
Будем считать, что шум  , коэффициенты замирания H и сигналы X не зависят друг от друга. Элементы H (точнее, их огибающие |hn,m|) будем считать распределенными по релеевскому закону.
Рассмотрим пропускную способность MIMO-канала с N передающими и M принимающими антеннами [16, 23, 43]. Будем различать случай, когда передатчику не известно состояние канала (система с открытым циклом), и случай, когда информация о канале
(матрице H) передатчику доступна (система с закрытым циклом).
Если KX – матрица ковариации входа X, а Hd – конкретная (детерминистическая) реализация матрицы канала H, то пропускная
способность канала MIMO с N передающими и M принимающими
антеннами является случайной величиной
C(K × ) =
18
max
Tr(KX )£N
log2 (det[I M + (γ / N)H H × KX × Hd ]) áèò/(ñ Ãö).
Здесь IM – (M × M)-единичная матрица, γ – SNR на приемнике,
Tr(·) – след матрицы, а оператор (·)H обозначает эрмитово сопряжение, то есть матрицу, транспонированную и поэлементно комплексно-сопряженную с исходной матрицей.
В случае, когда канал не известен на передатчике, можно попробовать равномерно распределять входную мощность по передающим антеннам. В этом случае KX = IN, и мы получим следующее
выражение:
Cˆ = log2 (det[I M + (γ / N)HdH ·Hd ]) áèò/(ñ Ãö),
которое не является, строго говоря, пропускной способностью в
шенноновском смысле, так как в некоторых случаях величину Ĉ
можно превзойти за счет иного распределения мощности. Однако
для некоррелированного релеевского канала без памяти равномерное распределение мощности оптимально.
Если r = rank(Hd), и λi, i = 1, 2, …, r – ненулевые собственные
значения матрицы HdH ·Hd , то
r
Cˆ = å log2 [1 + (γ / N)λ i ].
i=1
В случае системы с закрытым циклом, когда матрица Hd известна передатчику, можно перераспределить входную мощность
таким образом, чтобы больше мощности тратить на каналы с хорошим состоянием, и меньше – на каналы с плохим. Для этого известна так называемая процедура «заливки воды» (water-filling)
[9]. Если суммарная мощность γ перераспределяется по r антеннам
в виде мощностей γi, то пропускная способность для системы с закрытым циклом составит
r
C = max å log2 [1 + γ i λ i ].
r
å i=1 γ i =γ i=1
В случае недетерминированной (случайной) природы матрицы
H случайная пропускная способность (при равном распределении
мощности) может быть выражена как
Cˆ = log2 (det[I M + (γ / N)H H ·H]) áèò/(ñ Ãö). (13)
Можно показать, что при M = N пропускная способность растет
линейно от количества антенн.
19
Заметим, что рассматривая канал SISO (single-input singleoutput), то есть при M = N = 1, выражение (13) становится
C = log2 (1 + γ | α |2 ),
что совпадает с шенноновской пропускной способностью для гауссовского канала с коэффициентом замирания α.
Теперь рассмотрим два частных случая: канал SIMO (singleinput multiple-output) с одной передающей антенной, N = 1, и канал MISO (multiple-input single-output) с одной принимающей антенной, M = 1. В обоих случаях ограничимся рассмотрением детерминистических каналов [20].
В случае SIMO с учетом M > N (13) можно записать как
C = log2 (det[I N + (γ / N)HdH ·Hd ]).
M
При N = 1 произведение HdH ·H = å i=1| hi |2 , и тогда
M
æ
ç
C = log2 çç1 + å | hi |2
çè i=1
ö÷
γ ÷÷÷.
÷ø
В этом случае знание канала на передатчике не дает выигрыша.
N
В случае MISO M = 1 и Hd ·HdH = å j=1| hj |2 , отсюда
æ
ö÷
N
ç
C = log2 çç1 + å | hj |2 (γ / N)÷÷÷.
çç
÷÷
j=1
è
ø
Если канал известен на передатчике, и так как rank(Hd) = 1, существует только одно ненулевое собственное значение
N
λ = å | hj |2 ,
j=1
следовательно, пропускная способность
æ
N
ç
C = log2 çç1 + å | hj |2
ç
j=1
èç
ö÷
γ ÷÷÷.
÷
ø÷
Таким образом, с ростом количества принимающих и передающих антенн в каналах SIMO и MISO, соответственно, пропускная
способность растет логарифмически (в случае MISO – при условии
того, что матрица канала известна на передатчике).
20
2. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ КОДИРОВАНИЕ
2.1. Комбинирование с максимальным
отношением (MRC)
В этом разделе более подробно рассмотрим комбинирование разнесенного сигнала с помощью технологии MRC, кратко описанной
в подразд. 1.3. Хотя этот метод, строго говоря, и не относится к системам MIMO, так как подразумевает одну передающую антенну,
рассмотрение MRC является удобным и наглядным первым шагом
перед введением понятия пространственно-временного кодирования.
Рассмотрим простейшую ситуацию пространственного разнесения (подразд. 1.3), когда в системе есть одна передающая и две принимающих антенны (рис. 4, a). Таким образом, с помощью разнесения принимающих антенн в пространстве организуются два (независимых) канала, по которым передается один и тот же сигнал x,
подверженный релеевскому замиранию в соответствии с моделью
(8) в подразд. 1.2.
Предположим, что коэффициент замирания в одном канале
описывается с помощью величины h1, а в другом – h2, являющихся
комплексными величинами:
h1 =| h1 | e jθ1 ,
h2 =| h2 | e jθ2 .
В дополнение к замиранию канала каждая из принимающих
антенн добавляет к принятому сигналу тепловой шум η1 и η2, соответственно. Тогда принятыми из двух разнесенных каналов сигналами являются
y1 = h1x + η1,
y2 = h2 x + η2 .
При условии, что нам доступно идеальное знание канала (коэффициентов h1 и h2, оценить их значение можно, к примеру, с помощью передачи пилотных обучающих последовательностей [33]),
замирание можно компенсировать (оптимальным с точки зрения
отношения сигнал-шум образом) умножением каждого принятого
сигнала на величину, комплексно сопряженную с коэффициентом
замирания соответствующего канала. После этого сигналы обоих
каналов комбинируются с помощью операции сложения:
21
x = h1* y1 + h2* y2 =
= h1* h1x + h1* η1 + h2* h2 x + h2* η2 = 2
2
= (| h1 | + | h2 |
(14)
)x + h1* η1 + h2* η2 .
Затем комбинированный сигнал x поступает на вход детектора
по максимуму правдоподобия. Описанный способ комбинирования показан на рис. 7. При таком приеме детектор по максимуму
правдоподобия совпадает с детектором по минимуму расстояния
Евклида, то есть принимает решение x’ о переданном символе, находя ближайший (в метрике Евклида) из возможных переданных
сигналов xi к полученному комбинированному символу x :
dE (x , x ¢) £ dE (x , xi ) äëÿ âñåõ i,
где dE(a,b) – расстояние Евклида между сигналами a и b.
x
h1
h2
η1
Оценивание
канала
h 1∗
η2
y1 = h1x + η1
y2 = h2x + η2
h∗2
Оценивание
канала
x
Детектор по
максимуму
правдоподобия
x¢
Рис. 7. Технология MRC для двух принимающих антенн
22
Можно показать [7, 33], что вероятность ошибки на символ для
MRC с L принимающими антеннами составляет
öL
æ1 - µ ö÷L L-1çæL -1 + k÷öæ1 + µ ö÷k çæ2L -1÷öçæ
1
÷
ç
÷
÷
Pe = çç
»
ç
÷ åç
÷
֍
÷÷ççç 4 E / N ÷÷÷ ,
k
èç 2 ø÷ k=0èçç
ø÷èç 2 ø÷
èçç L øè
c
0ø
где µ = (Ec / N0 ) / (1 + Ec / N0 ), Ec обозначает энергию принятого
сигнала на бит на антенну, и, следовательно, общая энергия на бит
составляет Eb = LEc.
2.2. Определение пространственно-временных кодов
Теперь, после того, как мы подробно описали прием при использовании одной передающей и двух принимающих антенн, мы можем
рассмотреть более общий случай, когда разнесение происходит не
только с помощью нескольких принимающих, но и нескольких передающих антенн. Модель такого MIMO-канала мы описывали в разделе 1.4. Когда использовалась только одна передающая антенна, по
ней передавался просто заданный сигнал x, но при наличии нескольких передающих антенн появляется не только возможность оперирования несколькими откликами, комбинируя их в один сигнал,
возможно, лучший, чем каждый из пришедших откликов, но также возможность организовать некоторую процедуру, позволяющую
улучшить качество системы за счет распределения передающихся
сигналов по передающим антеннам в некоторый момент времени.
В сущности, такое правило, описывающее, какой сигнал передается
по какой антенне в заданный момент времени (то есть, задание матрицы X (10)), и является пространственно-временным кодом [31].
Более точно, предположим, что за время T нам необходимо передать по N антеннам k (комплексных) символов x1, x2, …, xk. Если
каждый символ xi соответствует b информационным битам, то на
вход пространственно-временного кодера подаются блоки по k×b
бит. Эти биты кодируются в матрицу
æ g1,1
çç
çç g
2,1
 = çç
çç 
çç
çè gT,1
g1,2
g2,2

gT,2
 g1,N ö÷
÷
 g2,N ÷÷÷
÷÷, 
 ÷÷
÷÷
 gT,N ø÷÷
(15)
где элементами gi,j матрицы  являются линейные комбинации
символов xi, i = 1, …, k, и комплексно сопряженных с ними. Факти23
чески матрица  является матрицей сигналов X (10) для передачи
по MIMO-каналу (12). Так как размерностями матрицы  являются пространство (антенны) и время, полученный таким образом код
и называется пространственно-временным. Скорость такого кода
определяется как
R = k/T.
(16)
Таким образом, скорость пространственно-временного кода
ограничена сверху R £ 1. При R = 1 имеем пространственно-временные коды с максимальной скоростью (они предпочительны, так
как не приводят к расширению полосы пропускания).
На приемной стороне отклики переданных сигналов принимаются M антеннами, после чего можно применить комбинирующую
технологию, аналогичную MRC из подразд. 2.1. Подробно декодирование пространственно-временных кодов описано в подразд. 3.1.
2.3. Пространственно-временные коды
с двумя передающими антеннами
Простейшая схема пространственно-временного кодирования
была предложена Аламути [2] для случая двух передающих антенн, N = 2. Матрица кода определяется как
æ x1 x2 ö÷
÷÷. G2 = ççç *
(17)
çè-x2 x1* ÷÷ø
Таким образом, количество передаваемых в одном блоке символов также равно двум, k = 2. Передача осуществляется за T = 2 временных отрезка, то есть скорость R (16) такого кода равна единице.
В течение первого временного окна, T = 1, первая антенна передает
символ x1, а вторая антенна передает символ x2. В течение следующего временного окна, T = 2, первая и вторая антенны передают
соответственно -x2* и x1* .
Вначале рассмотрим случай, когда на приемной стороне используется только одна антенна, M = 1, и опишем для этого случая декодирование пространственно-временного кода G2. Затем обобщим
это на случай большего количества принимающих антенн. Схема
приема для этого случая изображена на рис. 8.
Предположим, что коэффициенты замирания каналов остаются
неизменными в течение передачи, то есть одинаковыми для обоих
временных окон. С учетом (17), принятыми сигналами y1 в момент
T = 1 и y2 в момент T = 2 являются
24
x1
x2
− x∗
x1∗
2
h2
h1
η1
η2
h1
Оценивание
канала
h2
Блок
объединения
x1
x2
Детектор по
максимуму
правдоподобия
Рис. 8. Пространственно-временной код G2
с двумя передающими и одной принимающей антеннами
y1 = h1x1 + h2 x2 + η1,
y2 = -h1x2* + h2 x1* + η2 ,
где η1 и η2 – тепловой шум на приемной антенне соответственно в
моменты времени T = 1 и T = 2. Для определения передаваемых
символов необходимо извлечь сигналы x1 и x2 из y1 и y2. Для этого
они подаются в блок объединения, который использует также информацию о канале. Выходом блока объединения являются оценки
x1 и x2 сигналов x1 и x2. Для сигнала x1 оценка вычисляется как
x1 = h1* y1 + h2 y2* =
= h1* h1x1 + h1* h2 x2 + h1* η1 - h2h1* x2 + h2h2* x1* + h2 η*2 = 2
2
= (| h1 | + | h2 |
(18)
)x1 + h1* η1 + h2η*2 .
Аналогично для сигнала x2 оценка вычисляется как
25
x2 = h2* y1 - h1y2* =
= h2* h1x1 + h2* h2 x2 + h2* η1 + h1h1* x2 - h1h2* x1 - h1η*2 = 2
2
= (| h1 | + | h2 |
(19)
)x2 + h2* η1 - h1η*2 .
Вследствие ортогональности кода G2 [41] при оценивании символа
x1 в уравнении (18) второй символ x2 сокращается, а в (19) аналогичным образом сокращается x1. Затем оценки x1 и x2 поступают на вход
детектора по максимуму правдоподобия, как и на рис 7, определяющего наиболее вероятные символы, соответствующие этим оценкам.
Теперь для этого же пространственно-временного кода G2 рассмотрим случай двух принимающих антенн, M = 2. Одновременно покажем, как можно обобщить приведенные методы приема до
случая произвольного количества антенн M [13]. Этот случай изображен на рис. 9. Здесь индекс i в hij, ηij и yij обозначает номер принимающей антенны, индекс j в hij обозначает номер передающей
антенны, а в ηij и yij индекс j обозначает номер временного окна.
x1
− x∗
x2
x∗1
2
h11
h21
h12
η 11
η 12
η 21
η 22
y12 = h12x1 + h22x2 + η12
y11 = h11x1 + h21x2 + η11
y22 = -h12x2* + h22x1* + η22
y21 = -h11x2* + h21x1* + η21
Оценивание
канала
h22
h 11
h21
Блок объединения
x1
x2
h12
h22
Оценивание
канала
Детектор по максимуму
правдоподобия
Рис. 9. Пространственно-временной код G2
с двумя передающими и двумя принимающими антеннами
26
Тогда на первой принимающей антенне мы имеем
y11 = h11x1 + h21x2 + η11,
y21 = -h11x2* + h21x1* + η21,
а на второй принимающей антенне имеем
y12 = h12 x1 + h22 x2 + η12 ,
y22 = -h12 x2* + h22 x1* + η22 .
Эти выражения можно обобщить как
y1i = h1i x1 + h2i x2 + η1i ,
y2i = -h1i x2* + h2i x1* + η2i ,
где i = 1, …, M, а M – количество принимающих антенн.
Оценки x1 и x2 для символов x1 и x2 получаются в блоке объединения как
*
*
*
*
(20)
x1 = h11
y11 + h21y21
+ h12
y12 + h22 y22
,
*
*
*
*
x2 = h21
y11 - h21y21
+ h22
y12 - h12 y22
.
(21)
Cнова эти выражения можно обобщить до
M
(
)
(
)
x1 = å h1*i y1i + h2i y2*i ,
i=1
M
x2 = å h2*i y1i + h1i y2*i .
i=1
Наконец, (20) и (21) можно упростить до
x1 = (| h11 |2 + | h21 |2 + | h12 |2 + | h22 |2 )x1 +
*
*
+h11
η11 + h21η*21 + h12
η12 + h22 η*22 ,
x2 = (| h11 |2 + | h21 |2 + | h12 |2 + | h22 |2 )x2 +
*
*
+h21
η11 - h11η*21 + h22
η12 - h12 η*22 ,
что в обобщенном виде дает
M
(
)
M
(
)
x1 = å éê | h1i |2 + | h2i |2 x1 + h1*i η1i + h2i η*2i ùú,
ë
û
i=1
x2 = å éê | h1i |2 + | h2i |2 x2 + h2*i η1i - h1i η*2i ùú.
ë
û
i=1
27
Наконец, оценки x1 и x2 подаются на вход детектора по максимуму правдоподобия, как и ранее.
2.4. Критерии построения
пространственно-временных кодов
В этом разделе кратко рассмотрим некоторые свойства, которые
могут использоваться при построении пространственно-временных
кодов для улучшения их качества (уменьшения вероятности ошибки) при использовании в MIMO-системе.
Классическая теория помехоустойчивого кодирования [4, 30,
32] рассматривает использование избыточности кодов для получения выигрыша от кодирования, под которым в практической
системе обычно понимается уменьшение вероятности ошибки после операции декодирования. Для достижения этой цели для множества кодовых слов задается некоторая метрика, позволяющая
вычислить расстояние d(xi,xj) между любой парой кодовых слов xi
и xj. Функция метрики должна удовлетворять следующим свойствам:
1)  d(xi , xj ) = d(xj , xi );
2)  d(xi , xj ) ³ 0, и d(xi,xj) = 0 тогда и только тогда, когда i = j;
3)  d(xi , xj ) £ d(xi , xk ) + d(xk , xj ) для любых xi, xj, xk.
Если метрика согласована с каналом связи, то тогда нахождение кодового слова, ближайшего по расстоянию в данной метрике
к принятому слову, совпадает с нахождением наиболее вероятного
переданного слова для данного принятого слова. То есть декодирование по минимуму расстояния в данной метрике совпадает с декодированием по максимуму правдоподобия.
На практике в качестве такой метрики чаще всего используется
метрика Хэмминга или метрика Евклида. Параметром кода, связанным с выбранной метрикой, является минимальное расстояние
кода d0, то есть минимальное расстояние среди всех попарных расстояний между кодовыми словами: d0 = mini¹ j d(xi , xj ). Максимизация параметра d0 при других фиксированных параметрах кода
ведет к снижению вероятности ошибочного декодирования и может быть использована как критерий при построении кода.
Далее мы приведем некоторые аналогичные критерии для построения пространственно-временных кодов. В таких кодах также
используется избыточность, но эта избыточность позволяет достичь
не только выигрыша от кодирования, но также выигрыша от разнесения. Ниже даны оценки вероятности ошибки и связанные с этой
28
вероятностью требуемые параметры пространственно-временных
кодов. Будем предполагать, что передача осуществляется по частотно-неселективному MIMO-каналу с релеевскими замираниями, коэффициенты замирания канала описываются матрицей H (11).
Напомним (подразд. 1.4 и 2.2), что слово C(i) пространственновременного кода задается (T × N)-матрицей
æ c( i )
çç 1,1
çç
ç ( i)
(i) çç c2,1
C =ç
çç 
çç
çç (i)
çècT,1
 c1(,i)N ö÷÷
÷÷
÷
c2(i,)2  c2(i,)N ÷÷
÷÷.


 ÷÷÷
÷÷
cT(i,)2  cT(i,)N ÷÷÷ø
c1(,i2)
Если вероятность того, что в результате декодирования переданное слово C(i) декодировалось в слово C(j), i ¹ j, равна P(C(i) ® C( j) ),
то общая вероятность ошибки при декодировании может быть оценена как [16]
P(îøèáêè|ïåðåäàâàëîñü C(i) ) £ å P(C(i) ® C( j) ).
j ¹i
Здесь суммирование производится по всем кодовым словам,
кроме передававшегося.
Определим матрицу
(22)
D(C(i) , C( j) ) = C( j) - C(i) и матрицу A(C(i) , C( j) ) = D(C(i) , C( j) ) H × D(C(i) , C( j) ), здесь (·)H обозначает оператор эрмитова сопряжения. Тогда по теореме о сингулярном разложении
A(C(i) , C( j) ) = V H × Λ × V,
где Λ = diag(λ1, λ2 ,, λ N ), и λi, i = 1, …, N – собственные числа матрицы A(C(i), C(j)). Опуская теоретический вывод (более подробно
его можно найти, например, в [16]), и обозначив через βi,j элементы
матрицы V × H, вероятность ошибочного декодирования для данной
пары переданного кодового слова C(i) и получившегося в результате
декодирования C(j) после передачи по каналу H составит [16]
æ γ
ö÷
P(C(i) ® C( j) | H) = Q ççç
|| (C( j) - C(i) ) × H ||F ÷÷, çè 2
ø÷
(23)
29
где
|| A ||F = Tr(A H × A) = Tr(A × A H ) (24)
– норма Фробениуса матрицы A, Tr(B) – след матрицы B, а
Q-функция задается как
Q(x) =
1
2π
¥
òx
-y2
e 2 dy.
Вычисление нормы Фробениуса в (23) дает [16]
|| (C( j) - C(i) ) × H ||F =
M
N
å å λn | βn,m |2 ,
m=1 n=1
и подставляя это в (23), получим
æ
ö
ç γ M N
2 ÷÷÷
P(C(i) ® C( j) | H) = Q ççç
λ
|
β
|
å å n n,m ÷÷÷.
çè 2 m=1n=1
ø
2
-x
Используя верхнюю оценку Q(x) £ 12 e 2 , можно получить
оценку
æ γ M N
ö÷
1
ç
P(C(i) ® C( j) | H) £ expçç- å å λn | βn,m |2 ÷÷÷.
2
÷ø
çè 4 m=1n=1
Так как |βn,m| имеют релеевское распределение, можно вычислить ожидаемое значение попарной вероятности ошибки
P(C(i) ® C( j) ) = E[P(C(i) ® C( j) | H)] £
1
Õ
N
[1 + (γλn
n=1
/ 4)]M
, (25)
где γ – SNR на приемнике. Если r = rank(A(C(i) , C( j) )) £ N, будем
считать, что λ1 ³ λ2 ³  ³ λr > 0, а λr+1 = … = λN = 0. При высоких
SNR можно пренебречь единицей в знаменателе (25) и выписать
верхнюю границу для вероятности ошибки, основываясь на ненулевых собственных числах:
4rM
(26)
P(C(i) ® C( j) ) £
= (Gc γ)-Gd , M
N
rM
Õn=1λn γ
(
)
где Gc – выигрыш от кодирования, связанный с произведением собr
ственных чисел Õn=1 λn , а Gd = rM – выигрыш от разнесения, или
30
разнесение пространственно-временного кода. То есть, разнесение
определяется рангом матрицы A(C(i),C(j)), или, эквивалентно, рангом матрицы D(C(i),C(j)), умноженным на количество принимающих антенн M.
Из (26) видно, что верхняя граница вероятности ошибки может
быть уменьшена как увеличением выигрыша от кодирования, так
и увеличением выигрыша от разнесения. С учетом (22) разнесение
пространственно-временного кода максимально и равно
(27)
M × rank(D(C(i) , C( j) ))=NM, когда для всех возможных пар кодовых слов С(i) и С(j), i ¹ j, матрица ошибки D(C(i),C(j)) = C(j) – C(i) имеет полный ранг N. Это требование называется критерием ранга [40].
Для кодов с полным разнесением можно использовать дополнительный критерий на основе выигрыша от кодирования, равного в
N
этом случае Õn=1 λn , или, определителю матрицы A(C(i),C(j)). Определим расстояние кодового выигрыша (CGD, coding gain distance)
между словами C(i) и C(j) как CGD(C(i),C(j)) = det(A(C(i),C(j))) (если
r < N, можно определить расстояние как произведение ненулевых
собственных чисел A(C(i),C(j))). Это позволяет сформулировать критерий детерминанта как максимизацию минимального детерминанта матриц A(C(i),C(j)) для всех пар i ¹ j.
Для примера рассмотрим код Аламути (17). Пусть сигналы
(s1,s2) образуют кодовое слово
æ s1 s2 ö÷
C = ççç * * ÷÷÷, èç-s2 s1 ø÷
а сигналы (s1¢ , s2¢ ) образуют другое кодовое слово
æ s1¢
ç
C ¢ = çç *
çè-s2¢
s2¢ ÷ö
÷÷.
s1¢* ø÷÷
Тогда
æ s1¢ - s1
ç
D(C, C ¢) = çç *
çès2 - s2¢*
s2¢ - s2 ö÷
÷÷.
s1¢* - s1* ÷÷ø
2
2
Определитель этой матрицы det[D(C, C ¢)] = s1¢ - s1 + s2¢ - s2 .
Он равен нулю тогда и только тогда, когда s1 = s1¢ и s2 = s2¢ . Следо31
вательно, при C ¹ C ¢ матрица D(C, C ¢) всегда имеет полный ранг, и
код Аламути удовлетворяет критерию детерминанта. Кроме того,
этот код обеспечивает разнесение 2M для M принимающих антенн,
и, следовательно, является кодом с полным разнесением.
В заключение этого раздела заметим, что функция D(C(i) , C( j) )
F
(см. (24) для определения нормы Фробениуса) обладает всеми приведенными выше свойствами метрики. Эта метрика может использоваться для слов пространственно-временного кода так же, как
для классических помехоустойчивых кодов используется метрика
Хэмминга. Можно показать, что
2 γö
æ
1
÷÷,
P(C(i) ® C( j) ) £ expçç-M D(C(i) , C( j) )
ç
F 4 ø÷÷
4
è
то есть попарная вероятность ошибочного декодирования связана с
метрикой D(C(i) , C( j) )
F
– большее значение расстояния между C(i)
и C(j) в этой метрике соответствует меньшей вероятности продекодировать переданное слово C(i) в слово C(j). Таким образом, еще одним
критерием может являться максимизация минимального расстояния D(C(i) , C( j) )
F
среди всех пар i ¹ j [8, 15]. Этот критерий на-
зывается критерием следа, так как D(C(i) , C( j) )
32
2
F
= Tr[A(C(i) , C( j) )].
3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
В этом разделе рассмотрим подходы к получению блоковых пространственно-временных кодов, обобщающие примерную схему,
описанную в разделе 2.3. Выделим для рассмотрения два случая.
В одном случае матрица (15) пространственно-временного кода 
является вещественной и может быть использована для модуляций
с вещественными сигналами. В другом случае  состоит из комплексных чисел (как, например, рассмотренная в (17)), и соответственно, может использоваться для пространственно-временного
кодирования комплексных сигналов. И в том, и в другом случае
построение матрицы пространственно-временного кода  основано
на так называемых ортогональных конструкциях, которые кратко и опишем в дальнейшем. Свойство ортогональности этих конструкций позволяет достичь максимального разнесения и осуществлять простое раздельное декодирование для принятых символов
пространственно-временного кода (см., например, (18) и (19)).
3.1 Вещественные ортогональные конструкции
Рассмотрим вначале случай, когда число передающих антенн N
и принимающих антенн M совпадает, N = M. Определим ортогональную конструкцию размера N как N×N матрицу  с вещественными элементами ±x1, ± x2 , , ± xN , для которой выполняется условие
æ N 2
ö÷
ççå xi
0
0

÷÷
=
1
i
çç
÷÷
N
ç
÷ æN
2
ö
ç
÷
0
x
0

å i=1 i
÷÷ = çç x2 ÷÷I ,  T  = ççç
(28)
÷
å
i ÷ N
÷÷ ç
çç
÷ çèi=1 ÷ø




÷
çç
÷÷
N
çç
2 ÷÷
0
0
x

çè
å i=1 i ø÷
где IN – N×N-единичная матрица.
Фактически выполнение условия (28) означает, что скалярное
произведение любых двух различных строк матрицы  равно 0,
то есть строки этой матрицы ортогональны друг другу. Скалярное
произведение строки саму на себя, очевидно, должно быть равно
N
å i=0 xi2.
Можно показать [16, 41], что вещественные ортогональные конструкции существуют только для N = 2, 4 или 8. На рис. 10 представлены матрицы  соответствующих размеров. Надо отметить,
33
что матрицы, представленные на рис. 10, не единственны. Для любой ортогональной конструкции  и любой унитарной матрицы U
(то есть такой, что UTU = I), матрица U также будет являться ортогональной конструкцией.
Покажем, что вещественный пространственно-временной код,
задаваемый матрицами из рис. 10, будет обладать полным разнесением.
æ x1
2 = ççç
çè-x
2
x2 ö÷
÷
x1 ÷÷ø
æ x1 x2
çç
çç -x x
2
1
çç
çç-x3 x4
çç
ç-x4 -x3
8 = ççç
çç-x5 x6
çç
çç-x6 -x5
çç-x -x
8
çç 7
çç-x
x
è 8
7
x3
-x4
x1
x2
-x7
-x8
x5
x6
æ x1
x2
x3
çç
çç-x
x1 -x4
2
4 = çç
çç-x3 x4
x1
çç
èç-x4 -x3 x2
x4 ö÷
÷
x3 ÷÷÷
÷÷
-x2 ÷÷
÷÷
x1 ø÷
x4
x3
-x2
x1
-x8
x7
-x6
x5
x8 ö÷
÷
-x7 ÷÷÷
÷÷
-x6 ÷÷
÷÷
-x5 ÷÷÷
÷
x4 ÷÷÷
÷
x3 ÷÷÷
÷
x2 ÷÷÷
÷÷
x1 ÷ø
x5
-x6
x7
x8
x1
x2
-x3
-x4
x6
x7
x5
x8
x8
-x5
-x7
x6
x3
-x2
x1
-x4
x4
x1
-x3 -x2
Рис. 10. Ортогональные конструкции
Кодовым словом пространственно-временного кода, задаваемого матрицей , является матрица C =  (s1,, sN ), то есть фактически матрица , в которой элементы (переменные) xi заменены на
соответствующие сигналы si.
В соответствии с (27) разнесение пространственно-временно-
(j
го кода определяется рангом матрицы D(C(i) , C( j) ) = C( j) - C(i) =  (s1( j) ,, sN
( j)
( i)
= C( j) - C(i) =  (s1( j) ,, sN
) -  (s1(i) ,, sN
) для двух различных кодовых слов C(i)
и C(j), i ¹ j. Очевидно,
( j)
( i)
( j)
( i)
 (s1( j) ,..., sN
) -  (s1(i) ,..., sN
) =  (s1( j) - s1(i) ,...,sN
- sN
).
Детерминант ортогональной матрицы 
éN
ù N /2
det  = det( T )1/2 = êê å xi2 úú
.
ëê i=1 ûú
34
Отсюда
é
( j)
( i)
det( (s1( j) - s1(i) ,..., sN
)) = êê
- sN
N
å
êë i=1
ù N /2
| si( j) - si(i) |2 úú
úû
,
что не равно нулю, так как элементы sk(i) и sk( j) двух различных кодовых слов различаются хотя бы для одного значения k Î {1,, N }. Следовательно, пространственно-временные коды, задаваемые ортогональными конструкциями, обеспечивают полное разнесение NM [41].
Кроме указанного свойства полного разнесения, матрицы, основанные на ортогональных конструкциях, позволяют осуществлять раздельное декодирование принятых символов, аналогично
тому, как это было показано для кода Аламути в подразд. 2.3, что
упрощает процедуру декодирования. Подробнее декодирование
пространственно-временных кодов, основанных на ортогональных
конструкциях, рассмотрено в подразд. 3.3.
В соответствии с (16) скорость таких ортогональных кодов равна
R = 1, так как количество передаваемых сигналов K = N и количество временных интервалов T совпадают. Таким образом, такие
коды обладают максимальной достижимой скоростью.
Как уже было отмечено, вещественные ортогональные конструкции (для квадратных матриц) существуют только для размерностей 2, 4 и 8. Как теоретический, так и практический интерес
представляет построение пространственно-временных кодов для
другого количества передающих антенн, использующих все привлекательные черты ортогональных конструкций:
1) полное разнесение;
2) раздельное декодирование принятых символов;
3) высокая (или максимальная) скорость;
1. минимальная задержка (то есть величина T).
Последний пункт не имел смысла, когда рассматривались квадратные матрицы , но в других случаях параметр T желательно
минимизировать, так как он влияет на задержку при декодировании. Конструкции с наименьшим T из возможных поэтому называются «оптимальными по задержке».
Чтобы получить коды с желаемыми свойствами, рассмотренные
ортогональные конструкции можно обобщить [41] до случая, когда
матрица  не является квадратной. Такой обобщенной вещественной ортогональной конструкцией будем называть T×N матрицу 
с вещественными элементами ±x1, ± x2 , , ± xK , у которой любые
два столбца ортогональны, то есть для которой выполняется
35
æ K 2
ççå xi
çç i=1
çç
0
 T  = cççç
çç

çç
çç
0
çè
ö÷
÷÷÷
÷÷
K
2
÷÷
0
å i=1 xi 
÷÷÷ = c



÷÷÷
÷
K
2 ÷÷
0
 å i=1 xi ø÷
0

0
(å
K
x2
i=1 i
)I
N , (29)
где IN – (N×N) единичная матрица, а c – константа. Скорость соответствующего пространственно-временного кода, как и ранее,
определяется как R = K/T. Можно показать, что такие обобщенные
вещественные ортогональные конструкции также обеспечивают
полное разнесение и раздельное декодирование.
Было показано [41], что ортогональные вещественные пространственно-временные коды со скоростью R = 1 на основе обобщенных
вещественных ортогональных конструкций существуют для любого N и T = min{c,d³0|8c+2d ³N } {24c+d }. Такие коды оптимальны по задержке. Тогда, например, для N = 3 передающих антенн получим
T = K = 4, для N = 9 антенн T = K = 16 и т.д.
æ x1
x2
x3
x4
x5 ö÷
çç
÷
çç-x2 x1 -x4 x3 -x6 ÷÷
÷
ç
çç-x3 x4
æ x1
x2
x3 ö÷
x1 -x2 x7 ÷÷÷
çç
÷
ç
÷
ç-x2 x1 -x4 ÷÷
x1
x8 ÷÷÷
ççç-x4 -x3 x2
ç
÷
4´3 = çç
8´5 = ç
÷
x1 ÷÷÷
çç-x5 x6 -x7 -x8 x1 ÷÷÷
çç-x3 x4
÷÷
ç
çè-x4 -x3 x2 ÷ø
çç-x6 -x5 -x8 x7
x2 ÷÷÷
÷÷
çç
çç-x7 -x8 x5 -x6 -x3 ÷÷÷
x6
x5 -x4 ø÷
èç-x8 x7
æ x1
ö
x2
x3
x4
x5
x6 ÷
çç
÷
çç-x2 x1 -x4 x3 -x6 x5 ÷÷
÷
çç
x1 -x2 x7
x8 ÷÷÷
çç-x3 x4
÷
x1
x8 -x7 ÷÷÷
çç-x -x3 x2
8´6 = çç 4
÷÷
çç-x5 x6 -x7 -x8 x1 -x2 ÷÷
ç
x2
x1 ÷÷÷
ççç-x6 -x5 -x8 x7
÷÷
ççç-x7 -x8 x5 -x6 -x3 x4 ÷÷÷
çè-x8 x7
x6
x5 -x4 -x3 ø÷
æ x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7 ö÷
çç
÷÷
ç
x
x
x
x
x
x
x
2
1
4
3
6 конструкции
5
8 ÷÷
Рис. 11.
ортогональные
çç Обобщенные
çç-x3 x4
x1 -x2 x7
x8 -x5 ÷÷÷
÷
çç
36
x1
x8 -x7 x6 ÷÷÷
çç-x4 -x3 x2
8´7 = ç
÷
çç-x5 x6 -x7 -x8 x1 -x2 x3 ÷÷÷
÷
çç-x -x -x
x7
x2
x1 -x4 ÷÷
5
8
çç 6
÷
ç-x7 -x8 x5 -x6 -x3 x4
x1 ÷÷
6
7
8
1
2÷
çç 5
x2
x1 ÷÷÷
ççç-x6 -x5 -x8 x7
÷÷
ççç-x7 -x8 x5 -x6 -x3 x4 ÷÷÷
çè-x8 x7
x6
x5 -x4 -x3 ø÷
æ x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7 ö÷
çç
÷
çç-x2 x1 -x4 x3 -x6 x5
x8 ÷÷÷
çç
x1 -x2 x7
x8 -x5 ÷÷÷
çç-x3 x4
÷
çç-x4 -x3 x2
x1
x8 -x7 x6 ÷÷÷
8´7 = çç
÷
çç-x5 x6 -x7 -x8 x1 -x2 x3 ÷÷÷
çç-x -x -x
x7
x2
x1 -x4 ÷÷÷
5
8
çç 6
÷
çç-x7 -x8 x5 -x6 -x3 x4
x1 ÷÷÷
ç
÷
x6
x5 -x4 -x3 -x2 ø÷
èç-x8 x7
æ x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
çç
çç x2 -x1
x4
x6
x7
-x3
-x5 -x8
çç
x
x
x
x
x
x
x
x
4
1
2
7
8
5
6
çç 3
çç x4
x3
x7
x5
-x2 -x1 -x8
-x6
çç
x7
x8
x2
-x1
-x3 -x4
çç x5 -x6
çç x
x
x
x
x
x
x4
-x3
5
8
7
2
1
çç 6
çç x7
x8
x6
x3
-x5
-x4 -x1 -x2
çç
x
x4
x3
x2
-x7 -x6 -x5
-x1
16´9 = ççç 8
çç x9 -x10 -x11 -x12 -x13 -x14 -x15 -x16
ççx
x9
x16 -x15
-x12 x11 -x14 x13
çç 10
çç x11 x12
x9
x16 -x13 -x14
-x10 x15
ç
x9
x16 -x15 x14 -x13
çççx12 -x11 x10
çç x13 x14 -x15 -x16
x9
x12
-x10 x11
ç
x10
x9
-x12 x11
çççx14 -x13 -x16 x15
çç x
x9
x10
çç 15 -x16 x13 -x14 -x11 x12
çèx16 x15
x14
x13 -x12 -x11 -x10
x9
x9 ö÷
÷
x10 ÷÷÷
x11 ÷÷÷
÷
x12 ÷÷÷
÷
x13 ÷÷
÷
x14 ÷÷÷
÷
x15 ÷÷÷
÷
x16 ÷÷
÷
-x1 ÷÷÷
÷
-x2 ÷÷÷
÷
-x3 ÷÷
÷
-x4 ÷÷÷
÷÷
-x5 ÷÷
-x6 ÷÷÷
÷
-x7 ÷÷÷
÷
-x8 ÷ø
Рис. 11. Окончание
Примеры оптимальных по задержке матриц вещественных пространственно-временных кодов со скоростью R = 1 для разного количества передающих антенн приведены на рис. 11.
3.2. Комплексные ортогональные конструкции
Теперь рассмотрим аналогичную концепцию ортогональных
конструкций для случая, когда передаваемые сигналы представлены комплексной модуляцией.
Определим комплексную ортогональную конструкцию размера N как N×N матрицу  с комплексными элементами
*
±x1, ± x2 , , ± xN , их сопряжениями ±x1* , ± x2* , , ± xN
и произведениями указанных элементов на ± -1, для которой выполняется
37
æ N
ççå | xi |2
çç i=1
çç
0
 H  = çç
çç

çç
çç
0
çè
=
0
N
å i=1| xi |2

0
(å
N
| x |2
i=1 i
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷
0

÷÷ =
÷÷


÷÷ ÷
N
2 ÷÷
 å i=1| xi | ø÷

)I
0
(30)
N,
где IN – (N×N) единичная матрица.
Однако доказано [41], что такие комплексные ортогональные
конструкции существуют только для размерности N = 2, и фактически, такая конструкция и лежит в основе кода Аламути (17). По
аналогии со случаем вещественных элементов, рассмотрим неквадратные матрицы с комплексными элементами.
Обобщенной комплексной ортогональной конструкцией будем
называть T×N матрицу , элементы которой являются линейными
комбинациями переменных x1, x2, …, xK и их сопряжений, в которой любые два столбца ортогональны, то есть выполняется
æ K
ççå | xi |2
çç i=1
çç
0
 H  = cçç
çç

çç
çç
0
çè
0
K
å i=1| xi |2

0
æK
ö÷
ç
= cççå | xi |2 ÷÷÷I N ,
÷ø
çèi=1
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷

0
÷÷÷ =
÷÷


÷÷ K
÷
 å i=1| xi |2 ø÷÷

0
(31)
где IN – (N×N) единичная матрица, а c – константа.
Как и в случае вещественных сигналов, пространственно-временные коды, построенные на основе комплексных (обобщенных)
ортогональных конструкций, позволяют достичь полного разнесения NM и раздельного декодирования принятых символов.
Можно заметить, что если  – (T×N) матрица вещественного ортогонального пространственно-временного кода со скоростью R, и
 * – матрица, в которой вместо соответствующих элементов xi из
 записаны xi* , то матрица
æ  ö÷
complex = ççç * ÷÷÷ (32)
çè ÷ø
38
размерности 2T×N задает комплексный ортогональный пространственно-временной код со скоростью R/2 [16]. Примеры построения такой матрицы для N = 3 и N = 4 передающих антенн приведены на рис. 12 и рис. 13.
æ x1
çç
çç-x
çç 2
çç-x3
çç
ççç x4
8´3 = çç x*
çç 1
çç *
ççç x2
çç *
çç-x3
çç *
èç-x4
x2
x1
x4
-x3
x2*
x1*
x4*
-x3*
x3 ö÷
÷
-x4 ÷÷÷
÷÷
x1 ÷÷
÷÷
x2 ÷÷÷
÷÷
x3* ÷÷÷
÷÷
-x4* ÷÷÷
÷÷
x1* ÷÷÷
÷÷
x2* ÷ø
Рис. 12. Построение комплексной ортогональной конструкции
из вещественной с помощью (32) для N = 3
æ x1
x2
x3 x4 ö÷
çç
÷
çç-x
x1 -x4 x3 ÷÷÷
çç 2
÷÷
ççç-x3 x4 x1 -x2 ÷÷÷
÷
çç-x -x
x2 x1 ÷÷÷
3
çç 4
÷÷
8´4 = çç x*
x2*
x3* x4* ÷÷÷
çç 1
÷
çç *
*
*
* ÷÷
ççç x2 x1 -x4 x3 ÷÷÷
ç *
*
*
*÷
ççç-x3 x4 x1 -x2 ÷÷÷
÷÷
çç *
çè-x4 -x3* x2* x1* ÷ø
Рис. 13. Построение комплексной ортогональной конструкции
из вещественной с помощью (32) для N = 4
Так как в подразд. 3.1 было отмечено, что для любого количества N передающих антенн существует вещественный ортогональный пространственно-временной код со скоростью R = 1, следовательно, для любого количества N передающих антенн существует
комплексный ортогональный пространственно-временной код со
скоростью R = 1/2.
Надо отметить, что указанная конструкция построения из вещественного кода со скоростью R комплексного кода со скоростью R/2
39
не является единственной [16] и не является лучшей с точки зрения
оптимальности по задержке. Например, на рис. 14 приведена матрица для N = 8, K = 8, полученная с помощью (32). Здесь T = 16, и скорость кода R = 1/2. В то же время матрица, приведенная на рис. 15
для N = 8, также имеет скорость R = 1/2, но для нее K = 4 и T = 8.
æ x1
çç
çç-x2
çç
çç-x3
çç-x4
çç
çç-x5
çç-x
çç 6
çç-x7
çç
çç-x8
ç *
16´8 = ççç x1
çç *
çç-x2
çç *
çç-x3
çç *
çç-x4
çç *
çç-x5
çç-x*
çç 6
çç-x*
çç 7
çç-x*
è 8
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8 ö÷
÷
x1
x4 -x3 x6 -x5 -x8 x7 ÷÷÷
-x4 x1
x2
x7
x8 -x5 -x6 ÷÷÷
÷
x3 -x2 x1
x8 -x7 x6 -x5 ÷÷÷
÷
-x6 -x7 -x8 x1
x2
x3
x4 ÷÷
÷
x5 -x8 x7 -x2 x1 -x4 x3 ÷÷÷
÷
x8
x5 -x6 -x3 x4
x1 -x2 ÷÷÷
÷
-x7 x6
x5 -x4 -x3 x2
x1 ÷÷
÷÷
x2*
x3*
x4*
x5*
x6*
x7*
x8* ÷÷÷
÷÷
x1*
x4* -x3* x6* -x5* -x8* x7* ÷÷
÷÷
-x4* x1*
x2*
x7*
x8* -x5* -x6* ÷÷÷
÷÷
x3* -x2* x1*
x8* -x7* x6* -x5* ÷÷
÷÷
-x6* -x7* -x8* x1*
x2*
x3*
x4* ÷÷÷
÷÷
x5* -x8* x7* -x2* x1* -x4* x3* ÷÷
÷÷
x8*
x5* -x6* -x3* x4*
x1* -x2* ÷÷÷
÷
-x7* x6*
x5* -x4* -x3* x2*
x1* ÷÷ø
Рис. 14. Построение комплексной ортогональной конструкции
из вещественной с помощью (32) для N = 8
æ x1
çç
ççç-x2*
çç *
çç x3
ç
çç 0
ç
8´8 = çç *
çç x4
çç
0
ççç
çç 0
çç
çèç 0
x2
x1*
x3
0
x4
0
0
0
x3
0
x4
0
x2
0
0
x3*
-x1*
-x2*
x4
-x1
0
0
0
0
0
0
x4*
x2
-x3
0
0
-x1
0
x4*
0
-x1*
-x2*
-x3*
0
x1
0
0
0
0
x4*
0
-x3*
-x2*
0 ö÷
÷÷
0 ÷÷
÷÷
0 ÷÷÷
÷÷
x4 ÷÷
÷÷
0 ÷÷÷
÷÷
-x3 ÷÷
÷÷
x2 ÷÷÷
÷÷
x1* ø÷
Рис. 15. Другая комплексная ортогональная конструкция для N = 8
40
В литературе [27] показано, что для N > 2 (то есть для случая
более, чем двух передающих антенн) не существует комплексных
ортогональных конструкций, дающих пространственно-временной
код со скоростью R = 1, и конструкция, используемая в коде Аламути, уникальна и в этом смысле.
Кроме того, показано [44], что для N > 2 обобщенная комплексная ортогональная конструкция не может дать код со скоростью,
превышающей 3/4. На рис. 16 приведены матрицы для кодов со
скоростью 3/4 для 3 и 4 передающих антенн [41]. Еще один пример
матриц для кодов со скоростью 3/4 для N = 3 и N = 4 приведен на
рис. 17 [16].
Для N > 4 вопрос о верхних границах скоростей и о построении
(комплексных) пространственно-временных кодов на скоростях
в интервале (1/2; 3/4] (или доказательство их несуществования)
в общем случае остается открытым. Некоторые примеры см. в литературе [16].
æ
çç x1
çç
çç
ç *
ççç-x2
çç
4´3 = ççç *
çç x3
çç
çç 2
çç
çç x*
çç 3
çè 2
æ
çç x1
çç
çç
çç *
çç-x2
çç
4´4 = ççç *
çç x3
çç
çç 2
ç
ççç x*
3
ççç
è 2
-
x3*
2
2
(
-x1 - x1*
x3*
+ x2 - x2*
2
2
2
x3
(
+ x2 - x2*
2
x2 + x2*
+ x1 - x1*
2
2
x3
-
2
(
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷÷
÷÷
÷
÷÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷÷
÷ø
x3
2
x2
-x1 - x1*
)
(x2 + x2* + x1 - x1* )
x*
- 3
2
x1*
2
2
x2
x1*
x2
x3*
x3
x2
2
) (
)
-x2 - x2*
(
-
+ x1 - x1*
2
x1 + x1*
+ x2 - x2*
2
)
)
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷÷
÷ø÷÷
Рис. 16. Конструкции со скоростью R = 3/4
для N = 3 и N = 4 передающих антенн
41
æ x1
çç
çç *
ç-x2
4´3 = çç
çç x*
çç 3
çè 0
æ x1
çç
çç *
ç-x2
4´4 = çç *
çç x
çç 3
ç
èç 0
ö÷
÷÷
÷÷
÷÷
-x1* ÷÷÷
÷÷
-x2* ÷÷ø
x2
x3
0
x1*
0
x3*
x2
x3
x1*
0
0
-x1*
x3* -x2*
0 ö÷
÷÷
x3 ÷÷÷
÷÷
x2 ÷÷÷
÷÷
-x1 ÷÷ø
Рис. 17. Другие конструкции со скоростью R = 3/4
для N = 3 и N = 4 передающих антенн
3.3. Декодирование пространственно-временных кодов
Пусть для передачи по каналу связи используется пространственно-временной код, использующий N передающих, M принимающих антенн, и осуществляющий передачу в течение T временных отрезков.
Обозначим через  пространственно-временной код, задаваемый матрицей . Тогда словами кода  будут матрицы
æ s1  s N ö÷
çç 1
1 ÷
÷
ç
 = çç    ÷÷÷. çç
÷÷
1
ççèsT
 sTN ø÷÷
(33)
Если в момент времени t с антенны i передается сигнал sti , то на
антенну j принимается сигнал [41]
N
rtj = å hi,j sti + ηtj ,
i=1
где hi,j – коэффициент передачи канала от антенны i к антенне j, и
ηtj – независимая комплексная гауссовская случайная величина.
Если известны коэффициенты передачи канала, то декодирование по максимуму правдоподобия будет совпадать с декодированием по минимуму метрики
42
ì
ï
ïT M j N
i
 = arg min ï
íå å rt - å hi,j st
 Î ï
ï
i=1
ït=1 j=1
î
2ü
ï
ï
ï
ý
ï
ï
ï
þ
(34)
по всем кодовым словам  Î .
Рассмотрим в качестве кода  пространственно-временной код с
вещественными сигналами, матрица которого  квадратна, T = N,
и представляет собой ортогональную конструкцию (подразд. 3.1).
Примеры пространственно-временных матриц для таких кодов
приведены на рис. 10.
Как видно из рис. 10, первую строку матриц  формируют символы x1, …, xN, в то время как все остальные строки являются перестановкой первой строки, причем некоторые символы xi в перестановке могут поменять свой знак. Обозначим перестановку, соответствующую строке k как πk, тогда элемент xi находится в строке k на
позиции πk(i). Знак этого элемента обозначим через sgnk(i).
Тогда принятый сигнал может быть оценен по максимуму правдоподобия (см. комбинирование с максимальным отношением (14)
и схему Аламути (18) и (19)) как
N M
si = åå sgnt (i) × rtj × hπ*t (i),j .
t=1 j=1
Вследствие ортогональности матрицы  минимизация в (34) эквивалентна
ìNæ
ï
æN M
ï çç
2 ç
 = arg min ï
íå çç| si - si | +ççç å å ht,j
ï ç
 Î ï
èçt=1 j=1
ïi=1èç
î
2
ö÷
-1÷÷÷ si
÷
ø÷
öü
ï
÷÷ý. ÷ï
ø÷ï
ï
þ
2 ÷÷ï
ï
(35)
Опять же вследствие ортогональности матрицы  оценка сигнала si не зависит от оценок других сигналов, и, следовательно,
минимизация в (35) может выполняться не для всей суммы, а для
каждого слагаемого независимо:
ì
ü
æN M
ö÷
ï
ï
ï
2
2ï
2 çç
÷
ï
ï. 
÷
si = arg min í| si - si | +ç å å ht,j -1÷ si ý
ï
÷÷
si ï
ççèt=1 j=1
ï
ï
ø
ï
ï
î
þ
(36)
Заметим, что в случае использования модуляции, в которой
энергия всех символов одинакова, величина
43
æN M
ö÷
2
ç
2
ψ i = çç åå ht,j -1÷÷÷ si
çç
÷÷
èt=1 j=1
ø
одинакова для всех si, и, следовательно, ее можно исключить из
(36), что даст просто
si = arg min{| si - si |2 }.
si
Для пространственно-временных кодов с неквадратной матрицей  (то есть для T ¹ N ) декодирование полностью аналогично, с
учетом очевидной модификации для оценки сигнала
si =
N
M
å å sgnt (i) × rtj × hπ* (i),j , tÎρ(i) j=1
t
(37)
где ρ(i) – множество строк матрицы , в которых встречается si.
Декодирование для пространственно-временных кодов с комплексными сигналами полностью аналогично описанной схеме.
Приведем лишь примерные схемы декодирования для некоторых
из рассмотренных в подразд. 3.2 матриц [20, 42].
Для кодов, полученных с помощью конструкции (32), декодированным сигналом является
ì
ü
æ N M
ö÷
ï
ï
ï
2
2 ç
÷ 2 ï,
si = arg min ï
í| si - si | +ççç2åå ht,j -1÷÷ si ï
ý
ï
si ï
çè t=1 j=1
÷÷
ï
ï
ø
ï
ï
î
þ
что почти совпадает с (36) за исключением умножения |ht,j| на 2, так
как для данных конструкций константа в (31) очевидно равна с = 2.
Оценка принятого сигнала для таких конструкций также очевидно получается из (37) как
si =
N
M
å å sgnt (i) × rtj (i) × hπ (i),j ,
tÎρ(i) j=1
t
где
ìï r j , åñëè â t-é ñòðîêå  íàõîäèòñÿ x
ï
i
rtj = ïí t
ïï(r j )* , åñëè â t-é ñòðîêå  íàõîäèòñÿ x *
i
ïî t
и
hπ
t (i), j
44
*
ì
ï
ï hπt (i),j , åñëè â t-é ñòðîêå  íàõîäèòñÿ xi
=ï
í
ï
h
, åñëè â t-é ñòðîêå  íàõîäèòñÿ xi*
ï
ï πt (i),j
î
Например, для кодов, задаваемых матрицами 8´3 и 8´4 на
рис. 12 и рис. 13 соответственно, оценки принятых символов вычисляются как показано на рис. 18 и 19.
M
s1 = å (r1j h1*,j + r2j h2*,j + r3j h3*,j + (r5j )* h1,j + (r6j )* h2,j + (r7j )* h3,j )
j=1
M
s2 = å (r1j h2*,j - r2j h1*,j + r4j h3*,j + (r5j )* h2,j - (r6j )* h1,j + (r8j )* h3,j )
j=1
M
s3 = å (r1j h3*,j - r3j h1*,j - r4j h2*,j + (r5j )* h3,j - (r7j )* h1,j + (r8j )* h2,j )
j=1
M
s4 = å (-r2j h3*,j + r3j h2*,j - r4j h1*,j - (r6j )* h3,j + (r7j )* h2,j - (r8j )* h1,j )
j=1
Рис. 18. Оценка принятых символов для кода,
задаваемого матрицей 8´3 (рис. 12)
M
s1 = å (r1j h1*,j + r2j h2*,j + r3j h3*,j + r4j h4*,j +
j=1
+ (r5j )* h1,j + (r6j )* h2,j + (r7j )* h3,j + (r8j )* h4,j )
M
s2 = å (r1j h2*,j - r2j h1*,j - r3j h4*,j + r4j h3*,j +
j=1
+ (r5j )* h2,j - (r6j )* h1,j - (r7j )* h4,j + (r8j )* h3,j )
M
s3 = å (r1j h3*,j + r2j h4*,j - r3j h1*,j - r4j h2*,j +
j=1
+ (r5j )* h3,j + (r6j )* h4,j - (r7j )* h1,j - (r8j )* h2,j )
M
s4 = å (r1j h4*,j - r2j h3*,j + r3j h2*,j - r4j h1*,j +
j=1
+ (r5j )* h4,j - (r6j )* h3,j + (r7j )* h2,j - (r8j )* h4,j )
Рис. 19. Оценка принятых символов для кода,
задаваемого матрицей 8´4 (рис. 13)
45
Для кодов, задаваемых матрицами 4´3 и 4´4 на рис. 16, декодирование символа si осуществляется как
ì
ü
æN M
ö÷
ï
ï
ï
2
÷÷ s 2 ï
ï| s - s |2 +çç
ï
si = arg min í
h
1
çç å å t,j
i
i
i ý,
÷
ï
÷
si ï
çèt=1 j=1
ï
ï
ø÷
ï
ï
î
þ
что полностью совпадает с (36), так как для данных конструкций
константа в (31) равна с = 1. Оценки принятых символов для этих
кодов вычисляются, как показано на рис. 20 и 21 [42].
M æç
*
(r j - r3j )h3*,j (r3j + r4j )* h3,j ö÷÷
÷÷
s1 = å ççr1j h1*,j + r2j h2,j + 4
ç
÷
2
2
j=1çè
ø÷
M çæ
*
(r j + r4j )h3*,j (r4j - r3j )* h3,j ö÷÷
÷÷
s2 = å ççr1j h2*,j - r2j h1,j + 3
+
ç
÷
2
2
j=1çè
ø÷
M æç (r j + r j )h*
(r3j )* (h1,j + h2,j ) (r4j )* (h1,j - h2,j ) ö÷÷
2 3,j
÷÷
s3 = å çç 1
+
+
ç
÷÷
2
2
2
ç
j=1è
ø
( )
( )
Рис. 20. Оценка принятых символов для кода,
задаваемого матрицей 4´3 (16)
M çæ
*
(r j - r3j )(h3*,j - h4*,j ) (r3j + r4j )* (h3,j + h4,j ) ÷÷ö
÷÷
s1 = å ççr1j h1*,j + r2j h2,j + 4
ç
÷÷
2
2
ç
j=1è
ø
j
j
j
j
*
*
*
æ
Mç
*
(r + r4 )(h3,j - h4,j ) (r4 - r3 ) (h3,j + h4,j ) ö÷÷
÷÷
s2 = å ççr1j h2*,j + r2j h1,j + 3
+
ç
÷÷
2
2
j=1çè
ø
( )
( )
M æç (r j + r j )h*
(r j - r2j )h4*,j (r3j )* (h1,j + h2,j ) (r4j )* (h1,j - h2,j ) ö÷÷
2 3,j
÷÷
s3 = å çç 1
+ 1
+
+
ç
÷
2
2
2
2
j=1çè
ø÷
Рис.21. Оценка принятых символов для кода,
задаваемого матрицей 4´4 (16)
3.4. Вероятность ошибки ортогональных
пространственно-временных кодов
В подразд. 2.4 при формулировании критериев для построения
пространственно-временных кодов мы рассматривали вероятность
46
ошибочного декодирования в кодовое пространственно-временное
слово С(j) при передаче кодового слова С(i) по каналу с коэффициентами передачи, задаваемыми матрицей H.
Теперь рассмотрим аналогичную вероятность для случая, когда
в качестве пространственно-временного кода используются ортогональные конструкции, а точнее – обобщенные комплексные ортогональные конструкции, определяемые (31). Условную вероятность (23) можно переписать как
æ γ é
H
ù ö÷
ç
P(C(i) ® C( j) | H) = Q çç Tr ê H H × C( j) - C(i) × C( j) - C(i) × Hú ÷÷÷,
úû ÷
çç 2 êë
è
ø
(
) (
)
тогда с учетом свойства ортогональности кодовых слов (31), получим
æ
ö÷
2
ç γ K
P(C(i) ® C( j) H) = Q ççç c å sk( j) - sk(i) Tr êé H H × Húù ÷÷÷ =
ë
û ÷÷
çè 2 k=1
ø
(38)
æ
ö÷
N M
2
çç γ K ( j)
2
= Q çç c å sk - sk(i) å å hn,m ÷÷÷.
÷÷
çè 2 k=1
n=1m=1
ø
Заметим, что
dE =
K
å sk( j) - sk(i)
2
k=1
есть не что иное, как расстояние Евклида между переданными и
продетектированными символами, с учетом этого можно переписать (38) как
æ
ö
ç γ 2 N M
2 ÷÷
(39)
P(C(i) ® C( j) H) = Q ççç c dE
h
å å n,m ÷÷÷÷. çè 2 n=1m=1
ø
Вычисление безусловной вероятности на основе условной из
(39) требует дополнительных шагов вычислений, которые можно
найти в литературе [16, 38]. Здесь приведем только окончательный
результат попарной вероятности ошибки для ортогональных пространственно-временных кодов:
1 ïì
a MN-1æç2iöé
1 ùú ïüï
P(C(i) ® C( j) ) = ïí1 çç ÷÷÷ ê
ý,
å
2 ïï
1 + a i=0 çè i ÷ø êë 4(1 + a) úû ïï
î
þ
γ 2
где a = c dE . Константа c определяется структурой ортогонально4
го пространственно-временного кода.
47
4. РЕШЕТЧАТЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ КОДЫ
4.1. Решетчатые пространственно-временные коды
В разделе 3 мы рассматривали пространственно-временные коды,
основанные на ортогональных конструкциях. Эти коды использовали выигрыш от разнесения, обладая при этом простыми методами
декодирования. Предлагается идея объединения пространственновременного кода с сигнально-кодовой конструкцией (кодированной
модуляцией) для получения помимо выигрыша от разнесения также
и выигрыша от кодирования [40].
Предположим, что в системе связи с N передающими антеннами используется модуляция L-PSK, и на вход кодера подается
m = log2L информационных бит c1,..., cm. Тогда на выходе кодера должно быть N L-PSK модулированных сигналов x1, …, xN для
одновременной параллельной передачи по N антеннам.
Каждый информационный бит ck, k = 1, …, m, предназначенный для кодирования пространственно-временным решетчатым
кодом (STTC, space-time trellis code) для передачи по антенне i,
i = 1, …, N, подается на вход регистра сдвига с прямой связью
(FFSR, feedforward shift register) FFSRki (рис. 22). Здесь Σ L обозначает суммирование по модулю L.
Регистр сдвига с прямой связью состоит из элементов задержки, определяющих его текущее состояние, и работает по тактам. На
рис. 23 изображен регистр FFSRki с νk – 1 элементами задержки,
на вход которого поступает символ ck для кодирования и передачи по антенне i. При тактировании регистра для определения выходного символа входной символ и значения элементов задержки
умножаются на соответствующие коэффициенты (элементы созвездия L-PSK) gjk,i , j = 0, …, νk и складываются по модулю L. Регистр
с прямой связью может быть полностью задан многочленом связей
Gik (D) = g0k,i + g1k,i D +¼+ gνk ,i D νk . k
(40)
Так как выходной символ зависит от νk предыдущих входных
символов, использование регистра вносит некоторую “память’’, и
фактически входной поток символов c1, …, cm на рис. 22 может рассматриваться как mпараллельных потоков
ck = (c1k , c2k ,¼, ctk ,¼),
k = 1, ¼, m,
где t обозначает момент времени. Тогда выход кодера xti в момент t
для передающей антенны i вычисляется как
48
m νk
xti = å å gjk,i ctk-j mod L,
i = 1,2, ¼, N.
k=1 j=0
Так как каждый регистр FFSRki может быть в 2νk состояниях,
общее количество состояний пространственно-временного решетчатого кодера составляет 2ν, где
m
ν = å νk .
k=1
FFSR
1
1
FFSR
2
1
c1
x1
Антенна 1
x2
Антенна 2
xN
Антенна N
...
c2
...
cm
ΣL
FFSR
m
1
FFSR
1
2
FFSR
2
2
ΣL
...
FFSR
m
2
...
1
FFSR N
2
FFSR N
ΣL
...
m
FFSR N
Рис. 22. Кодер для пространственно-временных
решетчатых кодов (STTC)
49
ΣL
k
g0,
i
ΣL
...
gνk ,i
k
k
g1,
i
ck
...
Рис. 23. Регистр с прямой связью FFSRki
для кодирования и передачи по антенне i символа ck
Значения νk определяются из значения общей памяти кодера
как
ê ν + k -1 ú
ú.
νk = ê
êë m úû
Переходы между состояниями при различных входных последовательностях длины m, а также выходы кодера для всех входов
и состояний можно традиционно изобразить с помощью решетки.
Развернув решетку во времени, получим, что кодовому слову пространственно-временного решетчатого кода соответствует путь по
этой решетке, и, следовательно, для декодирования по максимуму
правдоподобия можно применить декодер Витерби [43].
Например, рассмотрим построение пространственно-временного решетчатого кода для двух передающих антенн (N = 2), и модуляции QPSK (L = 2). Тогда m = log2L = 2, и входные биты разобьются на два параллельных потока. Представим каждый такой поток
как многочлены
ck (D) = c0k + c1k D + c2k D2 +¼,
k = 1, 2,
где cjk Î {0,1}, и пусть регистры с прямой связью для потока k и антенны i задаются многочленами Gik (D) (40), причем для модуляции
QPSK gjk,i Î {0,1,2,3}. Тогда выходом антенны i является
xi (D) = c1 (D)Gi1 (D) + c2 (D)Gi2 (D) mod 4,
или в матричном виде
50
é G1 (D) ù
i
ú mod 4. xi (D) = éêc1 (D) c2 (D)ùú êê
ë
û ê G 2 (D)úú
ë i
û
(41)
В качестве простого примера возьмем
G11 (D) = 2D,
G21 (D) = 2
G12 (D) = D,
G22 (D) = 1
Кодер для такого кода изображен на рис. 24. Так как ν1 = 1 и ν2 = 1,
общая память кодера равна ν = 2, то есть кодер может находиться в
22 = 4 состояниях. В каждый момент времени t на вход кодера поступают два бита c1 и c2, кодер производит два выходных сигнала x1 и
x2 и переходит в новое состояние. Эту процедуру можно изобразить
ΣL
0
2
ΣL
x1
Антенна 1
x2
Антенна 2
G11 (D)
ΣL
c1
0
1
G12 (D)
ΣL
c2
2
0
ΣL
G21 (D)
ΣL
1
0
G22 (D)
Рис. 24. Пример STTC для QPSK и 2 передающих антенн
51
в виде одной секции решетки (рис. 25). Каждой ветке решетки (переходу из состояние в состояние) соответствует метка вида c1c2/x1x2.
Пусть на вход кодера, находящегося в состоянии 00, поступила последовательность 10 11 01 10 00 …. Тогда на выходе кодера
окажется последовательность 02 23 31 12 20 …, и этому слову пространственно-временного решетчатого кода будет соответствовать
путь на решетке, как показано на рис. 26. Задача декодирования
может быть сформулирована как задача поиска пути на решетке,
ближайшего (например, в метрике Евклида) к принятой последовательности.
В литературе [43] приведены таблицы STTC кодов, оптимальных
по критериям ранга, детерминанта и следа, для разного количества
00
00/00
00
01/01
11/03
01
10/02
00/10
01/11
01
10/12
11/13
00/20
01/21
10/22
10
10
11/23
01/31
00/30
11
10/32
11
11/33
Рис. 25. Решетка STTC для QPSK и 2 передающих антенн
52
00
10/02
11/23
01/31
10/12
00/20
01
10
11
Рис. 26. Кодовое слово на решетке
передающих антенн N и «глубины» решетки ν. Коды, построенные
по критериям ранга и детерминанта, приведены в табл. 1, коды, построенные по критерию следа, приведены в табл. 2. Для потока информационных бит ck многочлены Gik (D), для передающих антенн
от 1 до N и задающие соответствующие регистры сдвига FFSRki ,
приведены в виде коэффициентов [g0k,i , g1k,i ,¼, gνk ,i ].
k
Таблица 1
STTC коды, построенные по критериям ранга и детерминанта
Модуляция
FFSRki
N
ν
2
3
2
4
5
QPSK
6
4
3
5
6
4
6
Антенна i
k
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
[0,1]
[2,0]
[0,2]
[2,1,0]
[0,1,2]
[2,1,0]
[2,2,0]
[2,1,1,2]
[1,2,0,2]
[2,2,1,0]
[0,0,2]
[2,1,2]
[0,2,0]
[3,3,3,2]
[1,2,1,2]
[0,0,2,0]
[0,2,2,2]
[3,2,0,0]
[2,0]
[2,1]
[2,0]
[1,2,2]
[2,2,2]
[0,1,2]
[0,3,2]
[2,0,2,2]
[2,2,3,0]
[0,0,3,2]
[0,1,3]
[0,2,3]
[2,0,0]
[1,2,2,0]
[1,1,2,0]
[3,3,2,2]
[3,3,1,2]
[0,2,0,2]
[2,2,1]
[0,0,3]
[1,0,2]
[0,1,2,0]
[2,2,0,0]
[0,2,1,2]
[0,0,1,2]
[2,0,3,2]
[2,2,1,0]
[0,2,2,0]
53
Окончание табл. 1
Модуляция
FFSRki
N
ν
3
8-PSK
2
4
5
Антенна i
k
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
[0,2]
[0,4]
[4,5]
[0,4]
[0,2]
[2,6,1]
[0,4]
[0,2,2]
[3,0,4]
[2,0]
[4,0]
[1,4]
[4,0]
[2,0]
[0,5,4]
[4,4]
[2,2,0]
[5,0,0]
3
4
Таблица 2
STTC коды, построенные по критерию следа
Модуляция
FFSRki
N
ν
2
3
2
4
5
QPSK
6
2
3
3
4
5
6
54
Антенна i
k
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
[0,1]
[2,2]
[2,2]
[2,1,0]
[1,1,3]
[2,2,2]
[0,2,1]
[2,1,2,2]
[0,3,3,3]
[2,2,0,2]
[0,1]
[2,2]
[2,2]
[2,1,0]
[1,1,3]
[2,2,2]
[0,2,1]
[2,1,2,2]
[0,3,3,3]
[2,2,0,2]
[2,2]
[3,0]
[2,1]
[0,2,2]
[2,3,2]
[0,2,0]
[2,3,2]
[2,2,3,0]
[2,1,3,2]
[2,2,0,0]
[2,2]
[3,0]
[2,1]
[0,2,2]
[2,3,2]
[0,2,0]
[2,3,2]
[2,2,3,0]
[2,1,3,2]
[2,2,0,0]
[2,3]
[3,2]
[2,1]
[3,0,2]
[1,2,1]
[2,0,2]
[2,3,2]
[0,2,1,0]
[2,0,2,1]
[0,2,3,1]
4
Окончание табл. 2
Модуляция
FFSRki
N
ν
2
3
4
4
5
6
8-PSK
3
2
4
5
3
3
4
5
3
4
4
5
Антенна i
k
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
[0,1]
[2,2]
[2,2]
[2,1,0]
[1,1,3]
[2,2,2]
[0,2,1]
[2,1,2,2]
[0,3,3,3]
[2,2,0,2]
[2,3]
[4,2]
[0,4]
[2,3]
[4,6]
[7,0,4]
[0,4]
[0,2,2]
[4,4,3]
[2,3]
[4,2]
[0,4]
[2,3]
[4,6]
[7,0,4]
[0,4]
[0,2,2]
[4,4,3]
[2,3]
[4,2]
[0,4]
[2,3]
[4,6]
[7,0,4]
[0,4]
[0,2,2]
[4,4,3]
[2,2]
[3,0]
[2,1]
[0,2,2]
[2,3,2]
[0,2,0]
[2,3,2]
[2,2,3,0]
[2,1,3,2]
[2,2,0,0]
[1,4]
[6,0]
[4,0]
[4,7]
[0,6]
[2,7,4]
[4,4]
[2,3,2]
[2,2,7]
[1,4]
[6,0]
[4,0]
[4,7]
[0,6]
[2,7,4]
[4,4]
[2,3,2]
[2,2,7]
[1,4]
[6,0]
[4,0]
[4,7]
[0,6]
[2,7,4]
[4,4]
[2,3,2]
[2,2,7]
[2,3]
[3,2]
[2,1]
[3,0,2]
[1,2,1]
[2,0,2]
[2,3,2]
[0,2,1,0]
[2,0,2,1]
[0,2,3,1]
[0,2]
[2,1]
[2,2]
[1,3,1]
[1,2,3]
[2,0,2]
[2,2,1]
[1,0,0,2]
[1,2,2,3]
[2,0,1,2]
[3,0]
[2,4]
[4,2]
[2,2]
[4,4]
[2,6,0]
[0,4]
[4,7,7]
[6,0,2]
[3,0]
[2,4]
[4,2]
[2,2]
[4,4]
[2,6,0]
[0,4]
[4,7,7]
[6,0,2]
[7,5]
[2,4]
[4,0]
[2,4]
[4,0]
[0,3,2]
[3,3]
[2,1,5]
[5,7,6]
55
4.2. Решетчатые пространственно-временные турбо-коды
В подразд. 4.1 были рассмотрены пространственно-временные
коды, для построения которых и получения выигрыша от кодирования использовались регистры сдвига. Основываясь на данной
конструкции, можно определить рекурсивные STTC-коды, добавив
в прямой регистр сдвига обратную связь. Это эквивалентно делению соответствующего многочлена связей Gik (D) (40) на двоичный
неприводимый многочлен q(D).
Для простоты рассмотрим снова случай QPSK для двух передающих антенн и регистров с памятью ν1 и ν2, ν1 £ ν2 . Тогда процедура
кодирования (41) будет выглядеть как
é G1 (D) ù
ê i
ú
ê q(D) ú
i
1
2
ê
ú mod 4,
é
ù
x (D) = êc (D) c (D)ú ê
ë
û ê G2 (D) úú
ê i
ú
êë q(D) úû
ν
1
q D j – многочлен с двоичными коэффициентами qj.
где q(d) = å j=
0 j
Структура кодера полностью аналогична рис. 22, только регистр
сдвига выглядит как на рис. 27. Здесь Å обозначает суммирование
по модулю 2.
Воспользовавшись полученным рекурсивным STTC-кодом как
компонентным кодом, можно построить схему турбо-кодера для
пространственно-временного кодирования аналогично известным
схемам турбо-кодирования с использованием нескольких компонентных кодов и интерливеров между ними. Схема подобного
турбо-STTC-кода приведена на рис. 28 [29, 34].
ΣL
k
g0,
i
...
gνk ,i
k
g1,
i
k
ck
...
q
1
qν1
q
2
...
Рис. 27. Регистр, задаваемый Gik (D) / q(D)
56
ΣL
Рекурсивный
L-PSK STTC
c1
Вход
c2
...
cm
x11
Антенна 1
...
...
Антенна 2
x1N
MUX
...
...
Антенна N
...
Интерливер
Деинтерливер
...
Рекурсивный
L-PSK STTC
...
x21
...
x2N
Рис. 28. Кодер для турбо STTC кода
Антенна 1
Декодер 1
Антенна 2
...
Интерливер
DEMUX
Деинтерливер
Антенна M
Интерливер
Декодер 2
Деинтерливер
Решение
Рис. 29. Декодер для турбо-STTC-кода
Для декодирования таких турбо-STTC-кодов можно применить
итеративные схемы аналогично тому, как это происходит в обычных турбо-кодах, например, используя посимвольный итеративный MAP-алгоритм [43]. Структурная схема декодера для M принимающих антенн приведена на рис. 29.
57
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ КОДЫ
До сих пор, рассматривая передачу и прием в многоантенных
системах, предполагалось, что при приеме доступна информация о
состоянии канала (CSI – channel side information), которую можно
использовать при декодировании. Эта информация доступна с помощью использования методов оценивания канала, например добавления пилотных символов. Однако в некоторых ситуациях, например при быстрых изменениях канала, корректно оценить канал может быть трудно, и в этом случае требуется построение схемы приема, не использующей информацию о текущем состоянии канала.
В области построения пространственно-временных кодов такие
схемы основываются на так называемой дифференциальной фазовой модуляции (DPSK), которую вначале и рассмотрим.
Предположим, что в момент времени t необходимо передать сигнал st, выбранный из созвездия L-PSK модуляции. Вместо передачи
st будем передавать сигнал ct = ct–1st, приняв в качестве начального значения c0 некоторую заранее известную величину, например
c0 = 1. Сигнал ct также будет принадлежать созвездию L-PSK. Тогда принятый сигнал
rt = ht ct + ηt ,
где h – коэффициент передачи, и ηt – гауссовский шум. Предположив, что за время передачи двух последовательных символов состояние канала изменяется не сильно, то есть ht » ht-1 » h, можно
показать [16], что
rt rt*-1 »| h |2 st +  , (42)
где  – гауссовский шум. Для получения оценки st сигнала st необходимо найти в созвездии L-PSK точку, ближайшую к rt rt*-1, то есть
2
st = argmin rt rt*-1 - | h |2 st , st
(43)
но в модуляции L-PSK умножение st на масштабирующий коэффициент |h|2 не меняет геометрии области детектирования, а следовательно, задача (43) эквивалентна
2
st = argmin rt rt*-1 - st , st
(44)
а решение (44) не зависит от состояния канала, а только от двух соседних принятых символов.
58
Можно показать [16], что при использовании такой DPSKмодуляции (то есть игнорирование коэффициента |h|2) при той же
мощности передатчика приводит к уменьшению SNR на приемнике вдвое (при передаче по релеевскому каналу), а следовательно, к
потере около 3 дБ.
Ниже рассмотрим простое обобщение подобного подхода на случай пространственно-временного кодирования. Будем рассматривать случай двух передающих антенн.
Предположим, что k-й кодируемый с помощью блокового пространственно-временного кода (STBC – space-time block code) блок
представляет собой вектор сигналов
æsk ö÷
ç1
Sk = çç ÷÷÷.
ççsk ÷÷
è 2ø
Этот вектор будет определяться предыдущим вектором Sk–1 и
2m входными информационными битами. Сигнал S0 будем предполагать фиксированным и известным заранее. Заметим, что векторы
æsk ÷ö
ç1
V1 (Sk ) = çç ÷÷÷,
ççsk ÷÷
è 2ø
æ k * ö
ç (s2 ) ÷÷
÷
V2 (Sk ) = çç
çç-(sk )* ÷÷÷
è 1 ø
образуют ортогональный базис. Если вектор Sk имеет единичную
длину, длины V1(Sk) и V2(Sk) также будут равны единице (в противном случае эти векторы можно отнормировать).
Далее рассмотрим множество , состоящее из 22m различных
(2×1)-векторов единичной длины P1, P2 ,¼, P22m . Предположим, задано взаимно однозначное отображение  из 2m-битных двоичных последовательностей в элементы . Тогда кодирование выглядит следующим образом.
Для 2m входных бит с помощью отображения  получим вектор Pk = (P1k , P2k )T Î . Тогда
Sk = P1k V1 (Sk-1 ) + P2k V2 (Sk-1 ).
Так как V1(Sk) и V2(Sk) образуют ортогональный базис,
P1k = [V1 (Sk-1 )]H ·Sk = s1k (s1k-1 )* + s2k (s2k-1 )*
P2k = [V2 (Sk-1 )]H ·Sk = s1k s2k-1 - s2k s1k-1.
59
Полученный сигнал Sk передается далее с помощью ортогональной конструкции STBC, например с помощью кода Аламути. Схема
кодера изображена на рис. 30.
Например, зададим дифференциальную пространственно-временную модуляцию для m = 2 бит/(с Гц) с использованием QPSKсимволов {1 / 2, j / 2,-1 / 2,-j / 2 } в качестве S0. Определим
множество  как
ïìæ1÷ö æ0÷ö æ 0 ÷ö æ-1÷ö æ j ÷ö æ0ö÷ æ 0 ö÷ æ-jö÷
 = ïç
íçç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,ççç ÷÷,
ïç
ïîè0÷ø çè1÷ø çè-1÷ø çè 0 ÷ø çè0÷ø çè j ø÷ èç-jø÷ èç 0 ø÷
öæ
ö
æ
öæ
öæ
çç 0.5 + 0.5j ÷÷,çç-0.5 + 0.5j÷÷,çç-0.5 - 0.5j÷÷,çç 0.5 - 0.5j ÷÷,
÷
÷
÷
ççè-0.5 + 0.5j÷ø ççè 0.5 + 0.5j ÷ø ççè 0.5 - 0.5j ø÷ ççè-0.5 - 0.5jø÷÷
æ0.5 - 0.5j ö÷ æ-0.5 - 0.5j ö÷ æ-0.5 + 0.5jö÷ æ0.5 + 0.5jö÷ïïü
ç
֍
֍
֍
÷ý,
ççèç0.5 + 0.5j÷÷ø,ççèç-0.5 + 0.5j÷÷ø,ççèç-0.5 - 0.5j ÷÷ø,ççèç0.5 - 0.5j ÷÷ï
øïþ
а отображение  как отображение всех 4-битных последовательностей на множество  так, что  (0000) = (1,0)T ,  (0001) = (0,1)T , ,
 (1000) = (0.5 + 0.5j,-0.5 + 0.5j)T , ,
 (1111) = (0.5 + 0.5 j,0.5 - 0.5j)T .
T
+ 0.5 j,0.5 - 0.5j) . Тогда вектор Sk может быть вычислен, следуя схеме на
рис. 30.
Процедуру декодирования рассмотрим для случая одной принимающей антенны. В подразд. 2.3 было показано, что принятые
сигналы можно записать как
r1k = h1s1k + h2s2k + η1k
r2k = -h1 (s2k )* + h2 (s1k )* + η2k ,
где h1, h2 – коэффициенты передачи канала, η1k , η2k – гауссовский
шум. Определим вектор  как
é(r k-1 )* r k + r k-1 (r k )* ù
1
1
2
2 ú
2
2 k
 = êê
ú = (| h1 | + | h2 | )P +  .
êë (r2k )* r1k-1 - r1k (r2k-1 )* úû
Задержка
2m бит
Pk

Sk-1
Вычисление
символа
Sk
STBC
Рис. 30. Кодер для дифференциального пространственно-временного кода
60
(r1k , r2k )
Задержка
Вычисление 

Детектирование
 −1
2m бит
(r1k-1, r2k-1)
Рис. 31. Декодер для дифференциального
пространственно-временного кода
Полученное выражение, по сути, напоминает (42) для DPSK с
одной передающей антенной. Как и в случае с DPSK, умножение
вектора Pk на коэффициент (|h1|2 + |h2|2) не меняет геометрии обла k для переданности детектирования, и для нахождения оценки P
го вектора Pk нужно найти в множестве  вектор, ближайший к
. Обратное отображение  -1 завершает декодирование. Схема
декодера приведена на рис. 31.
Как и для DPSK, описанная дифференциальная пространственно-временная схема приводит к потере 3 дБ вследствие игнорирования коэффициента при детектировании.
Конкретные примеры для выбора множеств  и отображений
 , позволяющие упростить декодер, а также обобщения для большего числа антенн можно найти в литературе [12, 14, 1618].
61
6. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ
6.1. Общие положения
В разделах 2 и 3 мы рассматривали передачу по каналу MIMO с
помощью пространственно-временного кодирования. Главной задачей пространственно-временного кода при многоантенной передаче и
приеме является обеспечение выигрыша от разнесения, то есть предоставление приемнику различных откликов одних и тех же сигналов,
что должно улучшать надежность приема в условиях передачи по каналам с замираниями и рассеянием. Как было указано в разделе 2,
скорость пространственно-временного кода (16) составляет R = K/T, то
есть характеризует количество символов K, которые могут быть переданы за T временных отсчетов. В разделе 3 рассматривались ортогональные пространственно-временные коды, скорость которых оценивалась как R £ 1, то есть максимальная пропускная способность
таких кодов (при R = 1) составляла один символ на один отсчет времени (так называемое использование канала). При таком ограничении на пропускную способность схемы кодирования ортогональные
пространственно-временные коды позволяли достичь максимального
разнесения и простого декодирования по максимуму правдоподобия.
Вместе с тем архитектура системы MIMO может быть использована и для достижения других целей: например, увеличения
пропускной способности до более, чем одного символа на одно использование канала, за счет снижения выигрыша от разнесения,
и, следовательно, вероятности ошибки. Это может быть допустимо
и желательно, к примеру, в приложениях, оперирующих на сравнительно больших SNR, где ошибки относительно редки, но зато
требуется (и это возможно) обеспечить высокую скорость передачи.
Примером решения данной задачи может быть использование
техники пространственного разделения (spatial multiplexing).
Идея этого принципа крайне проста и изображена на рис. 32. Передаваемые символы s1, …, sm разбиваются на N параллельных потоков, которые модулируются (и, возможно, кодируются) и затем
передаются по некоторой выделенной антенне или по N антеннам
одновременно. С точки зрения рассматриваемой архитектуры операции модуляции и кодирования не играют принципиальной роли,
и в дальнейшем мы их не будем принимать во внимание.
Если для приема используется M антенн и s = (s1, …, sN) – вектор, предназначенный для передачи по N антеннам в некоторое
фиксированное время, то принятым вектором r = (r1, …, rM) будет
62
r = s × H + η, (45)
где H – (N×M)-матрица, составленная из коэффициентов передачи
канала (11), а η – M-компонентный вектор гауссовского шума.
Декодирование по максимуму правдоподобия (совпадающее в
гауссовском канале с декодированием по минимуму расстояния Евклида) будет заключаться в нахождении вектора s, минимизирующего dE (r, s × H) , где dE(a,b) – расстояние Евклида между векторами
a и b. Так как, в отличие от ортогональных пространственно-временных кодов, мы не задали структуры (например, ортогональной
матрицы) кодовых слов s, декодирование может быть осуществлено полным перебором по всем сигналам модуляции. Если сигнальное созвездие состоит из B символов, то декодирование потребует
экспоненциального перебора BN вариантов вместо линейного перебора из BN вариантов, требовавшегося для кодов из раздела 3. На
практике такая сложность декодирования является неприемлемой
в большинстве случаев, и для декодирования используются более
простые процедуры, дающие приемлемую вероятность ошибки, но
не обеспечивающие максимума правдоподобия.
Примером такого упрощения может быть декодирование внутри
сферы – подход, традиционно применяемый в теории помехоустойчивого кодирования. В этом случае перебор осуществляется не по
всем кодовым словам, а лишь по тем, которые лежат внутри какимлибо образом заданной сферы некоторого радиуса с принятым вектором r в качестве центра.
Далее рассмотрим несколько примеров пространственного
разделения, основанных на различных версиях пространственно-временных архитектур BLAST (Bell Labs Layered Space-Time
architectures) [11].
s1
s2
{s1, s2,, sN }
Антенна 1
Модуляция/Кодирование
Антенна 2
Модуляция/Кодирование
DEMUX
...
sN
Антенна N
Модуляция/Кодирование
Рис. 32. Пространственное разделение
63
6.2. V-BLAST
Вначале опишем архитектуру вертикального BLAST (V-BLAST)
[45]. Структура кодера фактически совпадает с изображенной на
рис. 32, а принятое слово описывается соотношением (45). Можно
заметить, что фактически при схеме кодирования как на рис. 32,
когда передача происходит, в сущности, независимо по N антеннам, задача декодирования эквивалентна задаче детектирования
на приеме сигналов от N независимых пользователей, поэтому
здесь применимы методы, использующиеся в системах со многими
пользователями.
Пошаговый декодер [45] последовательно обрабатывает символы (слои) и называется SIC (succesive interference cancellation).
Этот алгоритм работает следующим образом (см. рис. 33).
1. Символы кодового слова s = (s1, …, sN) должны быть упорядочены по убыванию мощности соответствующих принятых сигналов
(убыванию соответствующих SNR). В дальнейшем предположим,
что искомое упорядочение совпадает с исходным.
2. Предположим, что для некоторого 2 £ i £ N символы s1, …,
si–1 уже продетектированы, и получены их соответствующие оценки s1,, si-1. Тогда перед детектированием символа si для принятого вектора r учитывается влияние уже продетектированных символов как
i-1
r(i) = r - å sj × h( j) ,
j=1
h(j)
где
– j-й столбец матрицы канала H. Детектирование символа
si производится по вектору r(i). Фактически этот шаг напоминает
работу эквалайзера с обратной связью по решению (DFE, decision
feedback equalizer). Для детектирования s1 этот шаг опускается,
r(1) = r. Можно показать, что в этом случае принятый вектор после
i шага алгоритма детектирования равен
r (i+1) = r (i) - si h(i) .
упорядо- r
чение
декодирование s1
{порядок
символов}
s1
компен- r (2)
сация
s1
декодирование s2
s2
компен- r (3)
...
сация
s2
Рис. 33. Декодер V-BLAST
(предполагается, что порядок (s1,…,sN) оптимален)
64
На следующем шаге по обновленному принятому вектору r(i)
производится детектирование соответствующего символа si.
3. По вектору r(i) производится детектирование символа si с помощью процедуры, называемой обнуление интерференции. В детектируемом векторе r(i) учтены уже продетектированные символы, поэтому детектирование сводится к учитыванию еще не продетектированных символов, влияние которых рассматривается
просто как шум. Такое детектирование может быть произведено с
помощью эквалайзеров с обращением в нуль (ZF, zero-force) или с
минимальной среднеквадратической ошибкой (MMSE – minimum
mean square error).
a. ZF-обнуление
В случае ZF-обнуления для выделения sih(i) из r(i) вектор r(i)
можно умножить на столбец h (i) , ортогональный столбцам h(j) для
j = i + 1, i + 2, …, N, но не ортогональный столбцу h(i). Такой h (i)
можно получить, взяв в его качестве i-й столбец обнуляющей ма + , вычисленной следующим образом. Заменим строки 1,
трицы H
 (то есть матри2, …, i – 1 матрицы H нулями, получив матрицу H
 + будет явцу, не учитывающую влияние других антенн), тогда H
 , т.е.:
ляться псевдо-обратной к матрице H
 + =H
 H ·(H
 ·H
 H )-1
H
Тогда
r (i) ·h (i) = si +  ·h (i) ,
( i)
где  ·h
является гауссовым шумом, и следовательно, символ si
может быть продетектирован как символ si , ближайший (в заданном созвездии) к r (i) ·h (i) .
b. MMSE-обнуление
В случае MMSE-обнуления детектирование производится аналогично, но в соответствии с MMSE критерием обнуляющая матрица
 + вычисляется как
H
æ
ö-1
 + =H
 H ·çç IN + H
 ·H
 H ÷÷ ,
H
÷÷
çè γ
ø
где γ – SNR на приемнике.
Для проведения описанного декодирования на первом его шаге
необходимо определить порядок детектирования символов. Эта процедура может быть различна для различных методов эквализации,
используемых для детектирования. Например, предлагается при ис65
пользовании ZF-эквалайзера (который при детектировании не учитывает шум и может его увеличить, но при этом может быть вычислен соответствующий коэффициент усиления шума) упорядочение,
минимизирующее максимальный коэффициент усиления шума
[45]. Там же доказывается, что глобальный оптимум по этому критерию может быть достигнут, если на каждом шаге из оставшихся
символов выбирать для декодирования локально оптимальный символ, то есть дающий наименьший коэффициент усиления шума.
Чтобы преодолеть необходимость выбора оптимального упорядочивания, можно рассмотреть алгоритм параллельной компенсации интерференции (PIC, parallel interference cancellation) [35].
Этот алгоритм можно описать следующим образом.
1. В отсутствие упорядочивания алгоритма SIC все символы
(слои) детектируются одновременно как
s = H+ ·r,
где H+ = H H ·(H·H H )-1 – псевдообратная к матрице канала H.
2. Компенсация интерференции в принятом векторе осуществляется как
r(i) = r - å sj × h( j) ,
j ¹i
где r(i) – вектор принятых символов с компенсацией интерференции во всех символах, кроме i, h(j) – j-й столбец матрицы канала H.
3. На этапе обнуления интерференции соответствующая обнуля + вычисляется в соответствии с критерием ZF или
ющая матрица H
MMSE аналогично алгоритму SIC, но для ее вычисления при детектировании символа si в матрице канала обнуляются не строки, соответствующие предыдущим продетектированным символам, как
в алгоритме SIC, а все строки, кроме i.
Алгоритм PIC, не учитывающий упорядочивания, в общем случае проигрывает по вероятности ошибки алгоритму SIC с оптимальным упорядочиванием, однако его можно скомбинировать с
алгоритмом SIC, что может дать выигрыш по сравнению с исходным алгоритмом SIC.
6.3. D-BLAST
Другой вариант архитектуры BLAST, называемый диагональным BLAST (D-BLAST) [10] отличается от рассмотренного V-BLAST
66
процедурой сопоставления входных символов организуемым параллельным потокам. В архитектуре V-BLAST поступающие символы последовательно распределялись по передающим антеннам
«сверху вниз» (см. рис. 33), что и дало системе название. В случае
D-BLAST входные символы распределяются по потокам, называемым «слоями», и в каждый следующий момент передачи сопоставление этих потоков передающим антеннам циклически сдвигается,
образуя некую диагональную структуру.
Поясним работу такой системы на примере. Пусть у нас имеется N = 3 передающих антенны. Тогда входной поток символов разбивается на три слоя, и передача осуществляется, как показано на
рис. 34.
В первый отсчет времени t = 1 с первой антенны передается символ первого слоя. Во второй отсчет символ первого слоя передается
со второй антенны, а с первой передается символ Слоя 3, и так далее. Можно заметить, что в N – 1 начальных и N – 1 заключительных моментов времени не все антенны задействованы для передачи. Это немного снижает пропускную способность системы.
Как видно из рис. 34, символы, принадлежащие одному и тому
же слою, передаются в пространственно-временной матрице по
диагонали. Фактически, такая схема представляет собой метод интерливинга, и ее смысл – избежать группирования ошибок в пакеты в случае, если одна из антенн оказывается в замирании.
Антенна 1
Антенна 2
Антенна 3
t= 1
Слой 1
t= 2
Слой 3
Слой 1
t= 3
Слой 2
Слой 3
Слой 1
t=4
Слой 1
Слой 2
Слой 3
t= 5
Слой 3
Слой 1
Слой 2
t= 6
Слой 2
Слой 3
Слой 1
Слой 2
Слой 3
t= 7
t= 8
Слой 2
Рис. 34. Диагональная передача с помощью слоев в D-BLAST
67
Декодирование осуществляется во многом аналогично декодированию в системе V-BLAST, но с учетом присущей D-BLAST диагональности. Сначала производится декодирование первой (верхней) диагонали из N символов Слоя 1. Так как в первый момент времени передача ведется только с одной антенны – принятый символ
не интерферирует с другими сигналами других антенн, и детектирование может быть произведено, например, с помощью обычной
процедуры MRC (подразд. 2.1). Во второй момент времени сигнал
с первой антенны (передающей символ Слоя 3) рассматривается
как шум, и сигнал со второй антенны (Слой 1) декодируется как
в V-BLAST. В третий момент времени для декодирования Слоя 1
должен быть компенсирован шум Слоев 2 и 3. После этого декодируется N символов диагонали Слоя 3, но с учетом того, что сигналы Слоя 2 еще не продекодированы и воспринимаются как шум, а
сигналы Слоя 1 уже известны и могут быть скомпенсированы как
в V-BLAST. Далее декодирование продолжается аналогично, «спускаясь» по диагоналям рис. 34 сверху вниз, компенсируя принятые
сигналы уже продекодированными значениями диагоналей, располагающихся выше текущей, и воспринимая сигналы с нижележащих диагоналей как шум.
Отличием в процедуре декодирования от V-BLAST является то,
что в случае D-BLAST нет необходимости в упорядочении поседовательности сигналов для детектирования – этот порядок здесь задается схемой интерливинга.
6.4. Turbo-BLAST
Еще один вариант BLAST [36] описывает совместное использование пространственного разделения с помехоустойчивым кодированием получающихся потоков. Схема кодера для Turbo-BLAST
изображена на рис. 35. Данные, разбитые на N потоков, кодируются помехоустойчивым блоковым кодом, после чего подвергаются
пространственно-временному интерливингу. В качестве пространственного интерливера рассматривается модификация схемы на
рис. 34, изображенная на рис. 36, где распределение слоев по антеннам в момент времени t является, как и в случае D-BLAST, просто циклическим сдвигом распределения в момент времени t – 1, но
отсутствует простой антенн в начале и в конце передачи. В качестве
временного интерливинга используется случайный интерливинг.
Там же показывается, что предложенная схема позволяет получить
из квази-статического канала связи с замираниями искусственный
68
69
входные символы
...
...
Слой 2
Слой 1
Слой 3
Слой 2
Слой 1
Слой 1
Слой 3
Слой 2
Слой 1
Слой 3
...
t= 1
t= 2
t= 3
t= 4
t= 5
...
...
Антенна 2
...
Слой 2
Слой 3
Слой 1
Слой 2
Слой 3
Антенна 3
Рис. 35. Схема кодирования Turbo-BLAST
Блоковый код
Кодирование
...
Антенна 1
...
Пространственный
интерливер
Модуляция
Модуляция
Модуляция
Рис. 36. Пространственный интерливинг в Turbo-BLAST
DEMUX
Кодирование
Кодирование
Временной
интерливер
Антенна N
Антенна 2
Антенна 1
70
входные символы
DEMUX
Интерливинг
Внутренний код
Искусственный
изменяющийся
во времени
канал
Каскадный код с интерливером (турбо-код)
Внешний код
Кодирование
...
Интерливинг
Кодирование
...
Рис. 37. Эквивалентная схема кодирования Turbo-BLAST
...
Интерливинг
Кодирование
Модуляция
Модуляция
Модуляция
Антенна N
Антенна 2
Антенна 1
r1
...
rM
+
Детектор
SISO
–
...
+
–
Интерливер
Деинтерливер
...
SISO декодер
SISO декодер
+
+
–
s1
–
...
sN
Внешний SISO декодер
...
Оценивание
канала
Внутренний
SISO декодер
Рис. 38. Итеративный декодер для Turbo-BLAST
канал с изменяющимися во времени параметрами, причем пространственно-временной интерливинг выступает в этом случае как
еще одна схема кодирования канала (со скоростью 1), помимо блокового помехоустойчивого кода. Такая эквивалентная трактовка
кодирования для Turbo-BLAST приведена на рис. 37.
Фактически мы имеем последовательный каскадный код, в котором внешний и внутренний кодеры разделены интерливером,
что является классической схемой турбо-кода. К такому коду может быть применена итеративная схема декодирования, где в качестве внутреннего декодера выступает детектор с мягким выходом
(SISO – soft in/soft out), а в качестве внешнего декодера – декодеры соответствующих помехоустойчивых блоковых кодов. Как и
в обычной схеме итеративного турбо-декодирования, внешний и
внутренний декодеры обмениваются друг с другом информацией.
Схема такого декодера приведена на рис. 38.
71
7. ФОРМИРОВАНИЕ ЛУЧА
В случае системы с закрытым циклом (см. подразд. 1.4), когда
на передающей стороне доступна информация о канале (эта информация передается от принимающей стороны по обратному каналу),
производительность системы может быть улучшена, если «лучи»,
по которым передаются данные, подстраивать под известное (оцениваемое) текущее состояние канала. Такая процедура называется
формированием луча (beamforming) и может быть выполнена как в
аналоговом домене, так и с цифровыми данными. В данном разделе
кратко рассмотрим «цифровое формирование луча» [16, 28].
Так как информация о состоянии канала, приходящая по обратной связи (CSI, channel side information), обычно не является идеальной, это может ухудшить эффект применения формирования
луча, однако в этом случае полезным может оказаться комбинирование средств пространственно-временных кодов и методов цифрового формирования луча [21] (см. рис. 39). Тогда вместо кодового
слова С (представляющего собой матрицу) пространственно-временного кода на передающие антенны будет подаваться линейно
преобразованное слово
C ¢ = C × W,
где W – матрица формирования луча. Выбор матрицы W может
производиться в соответствии с разными критериями. Например
[16, 21], критерием построения может являться минимизация
максимального значения попарной условной вероятности ошибки
P(Ck ® Cl | hˆ ) того, что при передаче кодового слова Ck пространСостояние канала (CSI)
Канал обратной связи
Антенна 1
Вход
Пространственновременной
кодер
Антенна 1
Линейное
преобразование
Антенна 2
Обработка Выход
при приеме
Антенна M
Антенна N
Рис. 39. Комбинирование пространственно-временного кодирования
и формирования луча
72
ственно-временного кода и оценке реализации канала ĥ декодирование по максимуму правдоподобия принимает решение в пользу
кодового слова Cl. Если обозначить верхнюю границу этой вероятности как
ˆ)
V (Ck , Cl ) ³ P(Ck ® Cl | h
то показано [21], что
log V (Ck , Cl ) = f (mh|hˆ ) - log det(g(A(Ck , Cl )))
где f (mh|hˆ ) – некоторая функция от условного среднего коэффициента передачи при данном CSI, то есть определяется каналом и
его оценкой, а g(A(Ck,Cl)) – некоторая функция от введенной в подразд. 2.4 матрицы A(Ck,Cl) = (Cl – Ck)H(Cl – Ck), то есть определяется пространственно-временным кодом и фактически представляет
собой критерий детерминанта.
Тогда, в случае отсутствия CSI, мощность передачи равномерно
распределяется по всем лучам. В случае идеальной CSI в полученном критерии доминирует первое слагаемое, и энергия концентрируется на лучшем луче. В случае неидеальной CSI доминирует второе слагаемое и матрица W оптимизируется так, чтобы увеличить
уровень пространственного разнесения (фактически это осуществляется через критерий детерминанта, см. подразд. 2.4).
В качестве еще одного примера рассмотрим использование формирования луча в стандарте WCDMA/HSDPA [1]. В режиме 1 с закрытым циклом (CL1) для передачи используются две антенны,
каждой из которых соответствует свой «вес» w1 и w2 [24, 26]. Фактически эти значения являются комплексными величинами, умножение на которые подстраивает фазу передаваемых сигналов.
Вычисление фазы подстройки производится таким образом,
чтобы максимизировать принятую мощность
P = w H ·H H ·H·w
где w = (w1, w2)T, и H = [h1, h2] – оценка импульсного отклика канала для первой и второй передающих антенн размерности, равной
размерности импульсного отклика канала. Во время мягкого переключения между базовыми станциями мобильное устройство вычисляет подстройку фазы, максимизируя общую полученную им
энергию от базовых станций. Это может быть сделано максимизацией следующей функции:
73
æ K
ö÷
ç
P = w H çç å HnH Hn ÷÷÷ w,
÷ø
çèn=1
где K – количество базовых станций, Hn – матрица канала для соты
n. Вес w1 является константой, равной 1 / 2, а значение w2 может
принимать значения
1 + j 1, 1 - j 1,
2
2 2
2
- 12 + j 12 и - 12 - j 12 . Вычислен-
ное оптимальное значение w2 передается по обратной связи базовой
станции.
В многоканальном режиме 2×2 MIMO D-TxAA (Dual-stream
Transmit Antenna Adaptive Array) с двумя передающими и двумя
принимающими антеннами возможна одновременная передача
двух потоков данных. Каждый поток передается по обеим транслирующим антеннам. Как и в режиме CL1, для каждого потока
используются прекодирующие векторы с весовыми коэффициентами. Для передачи потока 1 используется вектор (w1, w2), а для
передачи потока 2 – вектор (w3, w4). Весовые коэффициенты определяются следующим образом:
ïì1 + j 1 - j -1 + j -1 - j ïü
w1 = w3 = 1 / 2,w4 = -w2 ,w2 Î í
,
,
,
ý. (46)
ïîï 2
2
2
2 ïþï
Эти векторы ортогональны:
w1 × w3* + w2 × w4* = w3 × w1* + w4 × w2* = w12 - w22 = 0. (47)
Вследствие ортогональности становится возможным разделить
на приемнике потоки данных. Приемная сторона вычисляет весовые коэффициенты и сообщает их базовой станции. Получатель выбирает одну из четырех возможных комбинаций весовых коэффициентов (фактически значение w2 задает оба прекодирующих вектора), максимизирующую пропускную способность для следующей
передачи. В отличие от CL1, формирование луча в MIMO D-TxAA
используется более полно, так как максимизация полученной
энергии одного потока не обязательно приводит к максимизации
кумулятивной пропускной способности обоих потоков.
Теоретически, за счет пространственного разнесения двух потоков схема D-TxAA может удвоить пропускную способность по
сравнению с передачей одного потока. На стороне приемника разделение потоков может быть выполнено либо с помощью так называемой «потоковой эквализации», с результатом непосредственно
74
на выходе эквалайзера, либо с помощью постобработки выхода
«антенного эквалайзера».
Рассмотрим схему на рис. 40, где s11 и s12 соответствуют потоку
1 и s21, s22 соответствуют потоку 2.
Полученный сигнал может быть записан как
r = H1T x1 + H2T x2 + n = éê H1T
ë
é
ù
é
ùT éx ù
ê 1 ú + n = HT x + n,
êx ú
û ë 2û
x1
H1
H2T ùú ê ú + n = êê úú
û êë x2 úû
ê H2 ú
ë
где xi – последовательность элементарных сигналов (чипов), передаваемая с антенны i, n – вектор шума, и Hi – матрица канала
для i-й передающей антенны. Hi представляет собой ((F + L)×2F)матрицу, где F – длина фильтра эквалайзера и L – разброс задержки канала (в чипах).
w1
x11 = w1s11 + w3s21, x12 = w1s12 + w3s22
s11, s12
w2
w3
s21, s22
w4
x21 = w2s11 + w4s21, x22 = w2s12 + w4s22
h11
x11, x12
r11, r12
h12
Tx
Rx
h21
x21, x22
h22
r21, r22
Рис. 40. Передача данных в режиме 2x2 D-TxAA
75
С учетом обозначений на рис. 40, принятый сигнал может быть
записан в виде
T
T
r = (w1H1 + w2H2 ) s1 + (w3H1 + w4 H2 ) s2 + n, (48)
где si – данные i-го потока. Выражение (48) может быть записано
как
r = êéH1T
ë
é
ù
é
ùT
é s1 ù
WT ê ú + n,
ês2 ú
ë û
û
s1
H1
H2T úù WT ê ú + n = êê úú
ê s2 ú
û
êH2 ú
ë û
ë
где
é w1 w2 ù
ú,
W=ê
ê w3 w4 ú
ë
û
и wi = wiI – диагональная матрица, I – ((F + L)×(F + L))-единичная
матрица. Теперь рассмотрим матрицу
 = W éH H ù = éH

 ù
H
2 ú ê 1 H2 ú
êë 1
û ë
û
в качестве модифицированной матрицы канала. Тогда можно вычислить коэффициенты эквализирующего фильтра так, чтобы на
выходе эквалайзера получить символы разделенных потоков, т.е.
обеспечить эквализацию потоков.
В случае, когда фильтр эквалайзера вычисляется на основе матрицы H, то в результате антенной эквализации на выходе эквалайзера получаются оценки [x1 x2]T, а не [s1 s2]T. Далее эти величины
должны быть обработаны, чтобы разделить потоки. Однако это может быть легко сделано вследствие ортогональности прекодирующих векторов.
К сожалению, взаимная ортогональность потоков может быть
легко нарушена вследствие замираний в канале. В этом случае потоки не могут быть корректно разделены ни с помощью потоковой,
ни с помощью антенной эквализации. Предполагается, что использование адаптивной модуляции и кодирование может противостоять данной проблеме. Однако при потере ортогональности потоков
такие методы обычно приводят к значительному снижению скорости передачи, и сравнимая или даже большая пропускная способность может быть достигнута путем передачи одного потока с более
высокоскоростным кодом, чем в режиме MIMO. В этом случае одним из подходов может быть использование пространственно-временного кода для уменьшения влияния замираний (например, модификация схемы D-TxAA [37]).
76
ЗАДАЧИ
1. Пусть R – релеевская случайная величина, полученная как
огибающая двух гауссовских случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией.
a. Какова вероятность того, что R < 0.1?
b. Если две независимые случайные величины R1 и R2 имеют релеевское распределение, какова вероятность того, что R1 < 0.1 и R2
< 0.1?
2. Распределение Накагами имеет следующую функцию плотности распределения:
fR (r ) =
æ -mr 2 ö÷
ç
÷÷, r ³ 0,m ³ 0.5,
expçç
çè A ÷÷ø
Γ(m) Am
2mm r 2m-1
где A = E[R2] и Г(·) – гамма-функция.
a. Покажите, что при m = 1 распределение Накагами сходится к
релеевскому.
b. Нарисуйте графики функции плотности распределения Накагами для A = 1 и m = 0.5, 1, 1.5, 2, 10.
3. Пусть на приемной стороне получено n независимых откликов переданного сигнала с одинаковой средней SNR ξ = 1. Нарисуйте функцию плотности распределения на выходе процедуры
комбинирования с выбором и комбинирования с максимальным
отношениям для n = 1, 2, 3, 4.
4. Для BPSK вероятность ошибки при SNR, равном γ, составляет
0.5 erfc( γ ), где дополнительная функция ошибок erfc(x) определяется как
erfc(x) =
2
¥
ò exp(-t
π
2
)dt.
x
Если сигнал на приемной стороне принят по двум независимым
путям с одинаковым SNR ξ = 1, определите вероятность ошибки
на выходе комбинирования с выбором и комбинирования с максимальным отношениям.
5. Для передачи используется система с QPSK и ортогональным
блоковым пространственно-временным кодом (БПВК). Каковы
передаваемые символы с каждой антенны для входной последовательности 101101001001 для случаев:
a. Двух передающих антенн.
b. Трех передающих антенн (выбрать наиболее эффективный БПВК)
77
6. Выведите метрику для раздельного декодирования по максимуму правдоподобия для кода из рис. 15.
7. Выведите метрику для раздельного декодирования по максимуму правдоподобия для кодов из рис. 17.
8. Рассмотрим блоковый пространственно-временной код
æ x*
-x4* ö÷÷
0
0
çç 1
÷
çç
*
x1
0
x3* ÷÷÷
çç 0
÷
çç 0
x1*
x2* ÷÷÷
0
çç
÷÷
 = çç 0
-x2* x3*
0 ÷÷.
çç
÷÷
çç x2*
0
x4*
0 ÷÷÷
çç *
÷
çç-x3 -x4*
0
0 ÷÷÷
çç x
÷
è 4 -x3 -x2 x1 ÷ø
a. Какова скорость этого кода?
b. Возможно ли раздельное декодирование по максимуму правдоподобия для этого кода? Является ли он ортогональным?
9. Проведите компьютерное моделирование для оценки вероятности ошибки на бит (BER) при различных SNR. Используйте ортогональный блоковый пространственно-временной код с четырьмя передающими антеннами и модуляции 16-PSK и 16-QAM для
передачи 3 бит/(с Гц). Приведите полученные кривые вероятности
ошибки для одной приемной антенны на одном графике и обоснуйте полученные результаты.
10. Проведите компьютерное моделирование для оценки вероятности ошибки на бит (BER) при различных SNR для кода Аламути с одной принимающей антенной и модуляцией BPSK.
11. Проведите компьютерное моделирование и сравните вероятность ошибки кодов из рис. 14 и 15.
12. Пусть решетчатый пространственно-временной код задан полным двудольным графом с 8 состояниями (для 8-PSK), где вес ребра
из вершины i в вершину j задан элементом vij следующей матрицы:
é00 01 02 03 04 05 06 07ù
ê
ú
ê50 51 52 53 54 55 56 57ú
ê20 21 22 23 24 25 26 27ú
ê
ú
ê70 71 72 73 74 75 76 77ú
ú.
V =ê
ê40 41 42 43 44 45 46 47ú
ê10 11 12 13 14 15 16 17 ú
ê
ú
ê60 61 62 63 64 65 66 67ú
ê
ú
êë30 31 32 33 34 35 36 37úû
78
Для данного кода с помощью компьютерного моделирования
оцените вероятность ошибки на блок (FER) при различных SNR,
если каждый блок состоит из 130 символов.
13. Пусть решетчатый пространственно-временной код задан
двудольным графом с 8 состояниями, и каждая вершина смежна с
4 другими вершинами (для QPSK). Пусть вес ребра из вершины i в
вершину j задан элементом vij следующей матрицы:
é00
ê
êê20
ê
êV =ê
ê22
êê
ê02
ê
êë -
01
21
23
03
-
02
22
20
00
-
03
23
21
01
-
10
30
32
12
11
31
33
13
12
32
30
10
-ù
ú
13ú
- úú
33ú
ú.
-ú
31úú
- úú
11úû
Каковы передаваемые символы с каждой антенны для входной
последовательности 01110010?
14. Для примера дифференциальной пространственно-временной модуляции, приведенного в разделе 5, определить передаваемые символы с каждой антенны для входной последовательности
01110010.
79
ЛИТЕРАТУРА
1. 3GPP RAN WG1, “TS25.201: Physical layer – general description,” 3GPP, Tech. Rep., June 2000.
2. Alamouti S. A Simple Transmit Diversity Technique for Wireless
Communications. IEEE Journal on Selected Areas in Communications,
16:1451–1458, Oct. 1998.
3. Bello P. Characterization of randomly time-variant linear channels. IEEE Transactions on Communication Systems, CS-11:36–393,
1963.
4. Blahut R. Theory and Practice of Error Control Codes. AddisonWesley, 1984.
5. Brennan D. G. Linear diversity combining techniques. Proc. IRE,
vol.47, no.1, pp.1075–1102, June 1959.
6. Burr A. The multipath problem: an overview. IEE Colloquium
on Multipath Countermeasures. London, 23 May 1996, Colloquium
Digest 1996/120.
7. Burr A. Modulation and Coding for Wireless Communication.
Prentice Hall, 2001.
8. Chen Z., Yuan J., Vucetic B. Improved space-time trellis coded
modulation scheme on slow fading channels. Electronic Letters, 37(7):
440–441, Mar. 2001.
9. Cover T. M., Thomas J. A. Elements of Information Theory.
Wiley, 1991.
10. Foschini G. Layered space-time architecture for wireless
communication in a fading environment when using multi-element
antennas. Bell Labs Technical Journal, pp. 41–59, 1996.
11. Foschini G., Chizhik D., Gans M., C. Papadias, Valenzuela
R. Analysis and performance of some basic space-time architectures.
IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 21(3):303–320,
Apr. 2003.
12. Ganesan G., Stoica P. Differential modulation using space-time
block codes. IEEE Signal Processing Letters, 9(2):57–60.
13. Hanzo L., Liew T., Yeap B. Turbo Coding, Turbo Equalisation
and Space-Time Coding. Wiley-IEEE Press, 2002.
14. Hochwald B., Marzetta T. Unitary space-time modulation
for multiple-antenna communications in Rayleigh flat fading. IEEE
Trans. on Information Theory, 46(2):543–564.
15. Ionescu D. New results on space-time code design criteria. IEEE
Wireless Communications and Networkin Conference (WCNC),
pp. 684–687, 1999.
80
16. Jafarkhani H. Space-time coding. Theory and Practice. Cambridge University Press, 2005.
17. Jafarkhani H. Tarokh V. A differential detection scheme for
transmit diversity. IEEE Journal on Selected Areas in Communications,
18(7):1169–1174.
18. Jafarkhani H., Tarokh V. Multiple transmit antenna differential detection from generalized orthogonal designs. IEEE Trans. on
Information Theory, 47(6):2626–2631.
19. Jakes W. Microwave Mobile Commumication. Wiley, 1974.
20. Jankiraman M. Space-Time Codes and MIMO Systems. Artech
House, 2004.
21. Jongren G., Skoglund M., Ottersten B. Combining beamforming
and orthogonal space-time block coding. IEEE Trans. on Information
Theory, 48(3): Mar. 2002, 611–27.
22. Krouk E., Ovchinnikov A., Poikonen J. Channel models and
reliable communication. Chapter in “Modulation and Coding Techiques
in Wireless Communications”, Wiley, 2011.
23. Kühn V. Wireless Communications over MIMO Channels.
Applications to CDMA and Multiple Antenna Systems. Wiley, 2006.
24. Kurjenniemi J., Leino J., Kaipainen Y., Ristaniemi T. Closed
Loop Mode 1 Transmit Diversity with High Speed Downlink Packet
Access, ICCT 2003, Beijing, China, Apr, 2003.
25. Lee W. Mobile Communications Engineering. McGraw Hill, 1982.
26. Leino J., Kurjenniemi J., Rinne M. Analysis of Fast Alpha
Switching for Closed Loop Mode 1 Transmit Diversity with High
Speed Downlink Packet Access. In Proceedings of IEEE Vehicular
Technology Conference (VTC) fall 2004 LA, USA, 26–29 Sept. 2004.
27. Liang X., Xia X. On the nonexistence of rate-one generalized
complex orthogonal designs. IEEE Transactions on Information
Theory, 49(11):2984–2989, Nov. 2003.
28. Litva J., Lo T. K.-Y. Digital Beamforming in Wireless Communications. Artech House Publishers, 1996.
29. Liu Y., Fitz M. Space-time turbo codes. 13th Annual Allerton
Conf. on Commun. Control and Computing, Sept. 1999.
30. MacWilliams F., Sloane N. The Theory of Error-Correcting
Codes. North-Holland publishing company, 1977.
31. Ovchinnikov A., Semenov S. MIMO. Chapter in “Modulation
and Coding Techiques in Wireless Communications”, Wiley, 2011.
32. Peterson W., Weldon E. Error-Correcting codes. MIT Press,
1972.
33. Proakis J. Digital communications. McGraw Hill, 1995.
81
34. Robertson P., Worz T. Bandwidth-efficient turbo trellis coded
modulation using punctured component codes. IEEE Journal on
Selec. Areas in Communications, 16(2):206–218, Feb. 1998. 
35. Sellathurai M., Haykin S. A simplified diagonal blast
architecture with iterative parallel interference cancelation receivers.
IEEE International Conference on Communications, vol. 10, pp. 3067–
3071, 2001.
36. Sellathurai M., Haykin S. TURBO-BLAST for wireless communications: theory and experiments. IEEE Trans. on Signal Processing,
50(10):2538–2546, Oct. 2002.
37. Semenov S. Modification of the D-TxAA Scheme for Fading
Channel. Proceedings of the Fourth Advanced International Conference on Telecommunications 2008. Athens, June 2008, pp. 138–142.
38. Simon M. Evaluation of average bit error probability for spacetime coding based on a simpler exact evaluation of pairwise error prob
ability. Int. Jour. Commun. and Networks, 3(3):257–264, Sept. 2001.
39. Sklar
B. Digital
Communications. Fundamentals
and
Applications. Prentice Hall, 2001.
40. Tarokh H., Seshadri V., Calderbank A. Space-time codes for
high data rate wireless communication: performance analysis and code
construction. IEEE Transactions on Information Theory, 44:744–765,
Mar. 1998.
41. Tarokh V., Jafarkhani H., Calderbank A. Space-time block codes
from orthogonal designs. IEEE Transactions on Information Theory,
45:1456–1467, 1999.
42. Tarokh V., Jafarkhani H., Calderbank A. Space-Time Block
Coding for Wireless Communications: Performance Results. IEEE
J. Select. Areas Commun., 17(3):451–460, Mar. 1999.
43. Vucetic B., Yuan J. Space-Time Coding. Wiley, 2003.
44. Wang H., Xia X. Upper bounds of rates of space-time block codes
from complex orthogonal designs. IEEE Transactions on Information
Theory, 49(10):2788–2796, Oct. 2003.
45. Wolniansky P., Foschini G., Golden G., Valenzuela R. V-BLAST:
an architecture for realizing very high data rates over the richscattering wireless channel. International Symposium on Signals,
Systems and Electronics (ISSSE), pp. 295–300, Sept. 1998.
46. Zhang W. Simulation and modeling of multipath mobile channels. Proceedings of the 44th IEEE Vehicular Technology Conference.
Stockholm, June, pp. 160–4.
82
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...........................................................................
1. Модель канала MIMO......................................................
1.1. Каналы с замираниями и рассеянием..........................
1.2. Замирание в узкополосных каналах...........................
1.3. Борьба с замираниями: разнесение.............................
1.4. Модель канала MIMO...............................................
2. Пространственно-временное кодирование..........................
2.1. Комбинирование с максимальным отношением (MRC)..
2.2. Определение пространственно-временных кодов..........
2.3. Пространственно-временные коды с двумя передающими антеннами.........................................................
2.4. Критерии построения пространственно-временных
кодов. ..........................................................................
3. Ортогональные конструкции............................................
3.1 Вещественные ортогональные конструкции..................
3.2. Комплексные ортогональные конструкции..................
3.3. Декодирование пространственно-временных кодов.......
3.4. Вероятность ошибки ортогональных пространственновременных кодов...........................................................
4. Решетчатые пространственно-временные коды...................
4.1. Решетчатые пространственно-временные коды............
4.2. Решетчатые пространственно-временные турбо-коды...
5. Дифференциальные пространственно-временные коды........
6. Пространственное разделение ..........................................
6.1. Общие положения....................................................
6.2. V-BLAST.................................................................
6.3. D-BLAST................................................................
6.4. Turbo-BLAST...........................................................
7. Формирование луча........................................................
Задачи..............................................................................
Литература.......................................................................
3
5
5
7
11
16
21
21
23
24
28
33
33
37
42
46
48
48
56
58
62
62
64
66
68
72
77
80
83
Учебное издание
Крук Евгений Аврамович
Овчинников Андрей Анатольевич
МНОГОАНТЕННАЯ ПЕРЕДАЧА ДАННЫХ
В БЕСПРОВОДНЫХ СЕТЯХ
Учебное пособие
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 5.11.13. Подписано к печати 5.12.13.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,8.
Уч.-изд. л. 5,2. Тираж 300 экз. Заказ № 624.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
4 032 Кб
Теги
krygovchinnikov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа