close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

lavrovsvin 2

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ТЕОРИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Электромагнитное поле в инженерных задачах
Методические указания к заданию № 2
Санкт-Петербург
2010
Составители В. Я. Лавров, Л. Б. Свинолобова
Рецензент
кандидат технических наук, доцент М. А. Волохов
В методических указаниях содержится расчет электромагнитных
полей на основе дифференциальных уравнений. Приводятся примеры решения задач и набор прикладных заданий к практическим занятиям.
Предназначены для студентов специальности 200102 «Приборы и
методы контроля качества и диагностики», подготовлены кафедрой
электротехники и технической диагностики.
Редактор А. А. Гранаткина
Верстальщик А. Н. Колешко
Сдано в набор 15.12.09. Подписано к печати 15.03.10. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,8.
Тираж 50 экз. Заказ № 108.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университетаэрокосмического
приборостроения, 2010
Задание № 2
Расчет полей на основе
дифференциальных уравнений
1. Теоретическая часть
1.1. Электростатическое поле
Электростатическое поле создается зарядами, неизменными во
времени и неподвижными в пространстве.
Уравнения электростатического поля можно получить из системы уравнений электромагнитного поля, которые в дифференциальной форме имеют вид

rotE = 0,

divD = ρ,


D = εE.
Безвихревой характер поля позволяет ввести вспомогательную
функцию – скалярный электрический потенциал u, которая удовлетворяет либо уравнению Пуассона в области с зарядами
ρ
Du = - ,
ε
либо уравнению Лапласа в области, свободной от зарядов
∆u = 0. (1.1)

Напряженность электрического поля E находится из выражения

E = -gradu. (1.2)
Полученное решение будет единственным, если оно удовлетворяет граничным и краевым условиям.
Граничные условия определяют поведение составляющих векторов поля на границе раздела сред, где значения параметров меняются скачком.
3
В электростатическом поле на границе раздела сред при отсутствии поверхностных
зарядов непрерывны касательные

 составляющие вектора E и нормальные составляющие вектора D, т. е.
Et1 = Et2, Dn1 = Dn2. (1.3)
При наличии на поверхности раздела заряда с поверхностной
плотностью s граничные условия имеют вид
Et1 = Et2, Dn1 – Dn2 = s. (1.4)
Краевые условия определяют поведение векторов поля в регулярных точках (в нуле и на бесконечности), а также на определенным
образом выбранной поверхности.
1.2. Стационарное магнитное поле
Стационарное магнитное поле в области с электрическими токами имеет вихревой характер и описывается следующими уравнениями в дифференциальной форме:
 
rotH = δ,

divB = 0,


B = µH.


В области без электрических токов, где δ = 0 и rotH = 0, данное
поле принято называть потенциальным, так как для его расчета
можно ввести функцию – скалярный магнитный потенциал uм, который находится из уравнения Лапласа
∆uм = 0.
При этом напряженность магнитного поля получаем в виде

H = -graduì .
Граничные условия на поверхности раздела сред с различными
магнитными проницаемостями состоят в том, что
Ht1 = Ht2, Bn1 = Bn2,
где Bn1, Bn2 – нормальные составляющие вектора магнитной индукции.
Если на такой
поверхности протекают токи с поверхностной

плотностью K, то граничные условия изменяются и принимают
следующий вид:
Ht1 – Ht2 = Kn, Bn1 = Bn2.
4
1.3. Операции векторного анализа
в ортогональных криволинейных координатах
Произвольная точка P в пространстве задана
тремя независимы
ми координатами x1; x2 ; x3. Расстояние dl между любыми двумя

точками – это приращение радиуса вектора dr , при этом в ортогональной системе координат приращению каждой координаты dxk
соответствует перемещение вдоль этой координатной линии на элемент длины dlk:
dlk = hk dxk, k = 1, 2, 3,
где hk – метрический коэффициент, или коэффициент Ламе.
z
Декартовая система координат
Все координаты точки P (x; y; z)
(рис. 1.1) в этой системе прямолинейные:
x1 = x, x2 = y, x3 = z
Р
ez e
0 y
ex
y
z
Орты осей
 

 

ex = i , ey = j , ez = k
Коэффициенты Ламе
h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1
x
x
y
Рис. 1.1. Декартовая система
координат
Z
Цилиндрическая
система координат
ez
r
P
Система имеет одну криволинейную j и две прямолинейные координаты r и z (рис. 1.2):
eφ
er
Z
x1 = r, x2 = j , x3 = z.
Орты осей

 
 

e1 = er , e2 = eϕ , e3 = ez .
Коэффициенты Ламе
h1 = 1, h2 = r, h3 = 1.
y
0
x
φ
Рис. 1.2. Цилиндрическая система
координат
5
Сферическая система координат
Система имеет две криволинейные q и j, и одну прямолинейную
координату R (рис. 1.3):
x1 = R, x2 = q , x3 = j.
Z
er
R
P
θ
eθ
eφ
y
x
Орты осей
 

 

e1 =eR , e2 = eθ , e3 = eϕ .
Коэффициенты Ламе
h1 = 1, h2 = R, h3 = Rsinq.
φ
Рис. 1.3. Сферическая система
координат
Представление операций векторного анализа в ортогональных
криволинейных координатах имеет вид
1 ¶u 
1 ¶u 
1 ¶u 
e1 +
e2 +
e3, h1 ¶x1
h2 ¶x2
h3 ¶x3
(1.5)
(1.6)
1 çæ ¶(h2 h3 B1 ) ¶(h3h1 B2 ) ¶(h1h2 B3 ) ÷ö
÷÷, +
+
ç
¶x2
¶x3
h1h2h3 çè ¶x1
ø÷
 
 
 

rotH = e1rot1 H + e2 rot2 H + e3 rot3 H. (1.7)
gradu =
  
где e1, e2 , e3 – орты осей

divB =
Проекции ротора на соответствующие оси находим через определитель третьего порядка



h1e1 h2e2
h3e3

¶
¶
¶
1
rotH =
.
¶x2
¶x3
h1h2h3 ¶x1
h1 H1 h2 H2 h3 H3
И записываем выражениями
6

1 çæ ¶(h3 H3 ) ¶(h2 H2 ) ÷ö
÷, rot1 H =
ç
¶x3 ÷ø÷
h2h3 çè ¶x2
(1.8)

1 çæ ¶(h1 H1 ) ¶(h3 H3 ) ÷ö
÷,
rot2 H =
ç
¶x1 ÷ø÷
h1h3 çè ¶x3

1 çæ ¶(h2 H2 ) ¶(h1 H1 ) ÷ö
÷,
rot3 H =
ç
¶x2 ÷÷ø
h1h2 çè ¶x1
Du = divgradu, Du =
(1.9)
(1.10)
¶ çæ h3h1 ¶u ÷ö
¶ æç h1h2 ¶u ÷öö÷÷
1 çæ ¶ çæ h2h3 ¶u ÷ö
÷+
÷+
÷÷. (1.11)
ç
ç
ç
ç
÷
÷
ç
ç
ç
h1h2h3 èç¶x1 è h1 ¶x1 ø÷ ¶x2 è h2 ¶x2 ø÷ ¶x3 èç h3 ¶x3 ø÷÷ø÷
2. Расчетные задания
2.1. Расчет поля плоского конденсатора
Задача А. Имеем плоский однослойный конденсатор (рис. 2.1) с
площадью пластин S и расстоянием между ними d. Пространство
между пластинами заполнено диэлектриком (парафином) с диэлектрической проницаемостью e1 = 4,3e0, где e0 – диэлектрическая
Ô
проницаемость вакуума, равная 8,85·10–12 . Потенциал нижней
ì
пластины принят равным U1, верхней U2.
Задача Б. Имеем плоский двухслойный конденсатор (рис. 2.2) с
площадью пластин S и расстоянием между ними d. Пространство
между пластинами частично заполнено парафином с диэлектрической проницаемостью e1 = 4,3e0, частично воздухом с диэлектрической проницаемостью e0 (см. рис. 2.2). Потенциал нижней и верхней
пластин U1 и U2 соответственно.
y
y
d
d2 Воздух ε2 =ε0
ε 1 = 4,3ε0
Парафин
0
x
Рис. 2.1. Плоский однослойный
конденсатор
d
d1
Парафин 0 ε 1 = 4,3ε0
x
Рис. 2.2. Плоский двухслойный
конденсатор
7
Для варианта задачи, приведенного в табл. 2.1, необходимо выполнить следующее:
1. Найти выражения для потенциала u, напряженности электрического поля E, электрического смещения D конденсатора с воздушным слоем и без него в средах диэлектрика.
2. Построить графики зависимости от расстояния по оси y для
потенциала u, напряженности электрического поля E и электрического смещения D в конденсаторе с воздушным слоем и без него.
3. Найти выражение для емкости конденсатора с воздушным
слоем и без него. Вычислить значение емкости заданных конденсаторов.
4. Определить величину напряжения, которое выдержит конденсатор без дефекта и с зазором, если пробивная напряженность составляют: для парафина Eпр1 = 15·103 кВ/м, для воздуха
Eпр2 = 3·103 кВ/м.
Таблица 2.1
8
Номер
варианта
d, см
d1, см
d2, см
S, см2
U1, кВ
U2, кВ
1
0,6
0,5
0,1
100
–1
3
2
2
1,5
0,5
300
–5
5
3
4
3
1
600
5
30
4
5
3
2
500
10
40
5
6
5
1
300
20
50
6
7
5
2
400
–10
30
7
8
6
2
300
–30
30
8
9
7
2
150
10
70
9
10
9
1
250
20
70
10
12
10
2
200
10
80
11
1
0,8
0,2
150
2
4
12
3
2
1
200
–5
15
13
5
4
1
300
–15
15
14
6
4
2
200
20
80
15
11
9
2
500
–30
30
16
12
9
3
600
10
60
17
7
6
1
500
–5
25
18
10
8
2
300
–20
20
Методические указания
Для определения функции потенциала u во внутренней области,
находящейся между пластинами, воспользуемся уравнением Лапласа (1.1) в декартовой системе координат, которое с учетом выражения операции векторного анализа (1.11) в этой системе принимает вид
¶2u
¶x
+
2
¶2u
¶2u
+
= 0.
¶y2 ¶z2
При достаточно малом расстоянии между пластинами плоского конденсатора представляется возможным пренебречь краевыми
эффектами, и поле конденсатора можно считать плоскопараллельным. Потенциал между пластинами в декартовой системе координат (см. рис. 2.1, 2.2) зависит только от координаты y, так как
¶u ¶u
=
= 0.
¶x ¶z
В этом случае вместо уравнения в частных производных получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
d2u
dy2
= 0,
где 0 ≤ y ≤ d.
Для однослойного конденсатора решение имеет вид
u = Ay + B.
Постоянные интегрирования А и В можно найти из уравнений,
оставленных на основе условий задания величины потенциала на
нижней и верхней границах (рис. 2.1):
u(y)
y=0 = U1,
u(y)
y=d
= U2 .
При наличии воздушного слоя (см. рис. 2.2) конденсатор становится двухслойным. Решение для каждой из сред отличаются только постоянными интегрирования. Так для среды с парафином, где
0 ≤ y ≤ d1,
u1 = A1y + B1,
для воздушного слоя, где d1 ≤ y ≤ d1 + d2,
u2 = A2y + B2.
9
Потенциал u1(y) в среде парафина имеет две постоянные: А1, В1, в
воздушном слое u2(y) – еще две постоянные: А2, В2. Таким образом,
в двухслойном конденсаторе требуется определить четыре постоянные интегрирования.
Для их определения надо составить систему из четырех уравнений.
Два уравнения остаются такими же, как в однослойном конденсаторе:
u1 (y)
y=0 = U1,
u2 (y)
y=d
= U2 .
Третье уравнение формируется по условию (1.3) на границе раздела сред парафин–воздух и имеет вид
Dn1(d1) = Dn2(d1),




где D1 = ε1 E1; D2 = ε2 E2,
причем нормальной составляющей является y-составляющая
Dn = Dy .

Напряженность электрического поля E связана с потенциалом
формулой (1.2):

E = -gradu,
где выражение градиента в декартовой системе координат может
быть определено из формулы (1.5)
Четвертое уравнение – это условие непрерывности потенциала в
любой точке, в том числе и на поверхности раздела сред:
u1(d1) = u2(d1)
Емкость определяется как коэффициент пропорциональности
между зарядом q и напряжением, приложенным к конденсатору:
q
C=
.
U1 - U2
Заряд q на пластине конденсатора можно вычислить из граничного условия (1.4)
Dy(d) = s,
так как поле в металлической среде отсутствует, значит Dn0 = 0.
Поверхностная плотность зарядов s связана с зарядом q через
площадь поверхности пластины S.
10
2.2. Расчет поля цилиндрического конденсатора
Задача А. Имеем двухслойный цилиндрический конденсатор,
состоящий из двух проводящих цилиндров радиусов R1, R3 и длиной l (рис. 2.3). Наполнителем является двухслойный диэлектрик,
слои которого разделены цилиндрической поверхностью радиуса
R2. Абсолютная диэлектрическая проницаемость слоев диэлектрика e1 и e2. Заряд конденсатора принят равным q. Точки нулевого потенциала распределены по поверхности цилиндра радиусом R1.
y
ε1
1
ε2
2
R3
x
0
R2
R1
Рис. 2.3. Двухслойный
цилиндрический конденсатор
в поперечном сечении
Для варианта задачи, приведенного в табл. 2.2, необходимо выполнить следующее:
1. Найти выражения для зависимостей потенциала u, напряженности электрического поля E, электрического смещения D от координат r для внутреннего и внешнего слоев диэлектрика.
2. Построить графики этих зависимостей.
3. Вычислить напряжение, приложенное к конденсатору.
4. Вывести формулу для вычисления емкости. Найти связь между емкостью двухслойного конденсатора С и емкостями, его отдельных слоев С1 и С2.
Задача Б. Имеем двухслойный цилиндрический конденсатор
(рис. 2.3), с проводящими цилиндрами с радиусами R1, R3 и длиной
l. Двухслойный диэлектрик, абсолютная диэлектрическая проницаемость слоев которого e1 и e2, разделен цилиндрической поверх11
Таблица 2.2
Номер
Тип
R1,
варианта задания см
R2,
см
R3,
см
l, см
e1/e0 e2/e0 q·10–10 К U1, В
U2, В
1
А
8
5
2
50
2
4
60
–
–
2
А
9
6
3
40
1
3
60
–
–
3
А
4
2
1
60
2
1
180
–
–
4
А
5
4
2
30
2
4
90
–
–
5
А
3
2
1
20
3
1
420
–
–
6
А
8
4
2
40
1
3
120
–
–
7
А
9
6
3
50
3
2
120
–
–
8
Б
8
5
2
50
2
4
–
100
0
9
Б
9
6
3
40
1
3
–
0
100
10
Б
4
2
1
60
2
1
–
200
–100
11
Б
5
4
2
30
2
4
–
150
0
12
Б
3
2
1
20
3
1
–
500
–200
13
Б
8
4
2
40
1
3
–
150
–50
14
Б
9
6
3
50
3
2
–
0
200
15
Б
5
3
1
40
2
1
–
–100
200
16
Б
4
3
1
30
3
1
–
100
–100
17
Б
6
4
2
50
1
2
–
0
100
18
В
5
3
–
40
2
–
180
–
–
19
В
4
3
–
30
3
–
120
–
–
20
В
6
4
–
50
1
–
60
–
–
21
В
8
5
–
50
2
–
80
–
–
22
В
4
2
–
60
3
–
150
–
–
23
В
7
4
–
20
4
–
90
–
–
24
В
9
5
–
60
2
–
100
–
–
25
В
10
6
–
80
1
–
110
–
–
ностью радиусом R2. Потенциалы внешнего и внутреннего проводящего цилиндров равны U1 и U2 соответственно.
Для варианта задачи, приведенного в табл. 2.2, необходимо выполнить следующее:
1. Найти выражения зависимости для потенциала u, напряженности электрического поля E и электрического смещения D от координаты r для обоих слоев диэлектрика.
12
2. Построить графики этих зависимостей.
3. Определить заряд q на внутреннем проводящем цилиндре,
применяя постулат Максвелла
 
q=ò
 DdS,
S
где поверхностью интегрирования S является боковая поверхность
цилиндра радиусом R3
4. Вывести формулу емкости двухслойного конденсатора, найти
связь с емкостями его отдельных слоев С1 и С2.
Задача В. Имеем однослойный цилиндрический конденсатор
(рис. 2.4), состоящий из двух проводящих цилиндров с радиусами
R1, R2 и длиной l. Наполнитель – однослойный диэлектрик с абсолютной диэлектрической проницаемостью e1. Заряд конденсатора
равен q. Точки нулевого потенциала расположены на поверхности
цилиндра радиуса R1.
y
ε1
1
R2
x
0
R1
Рис. 2.4. Однослойный
цилиндрический конденсатор
в поперечном сечении
Для варианта задачи, приведенного в табл. 2.2 необходимо выполнить следующее:
1. Найти выражения для потенциала u, напряженности электрического поля E, диэлектрического смещения D в зависимости от
координат r для слоя диэлектрика.
13
2. Построить графики этих зависимостей.
3. Вычислить напряжение, приложенное к конденсатору.
4. Вывести формулу для вычисления емкости.
Методические указания
Для определения функции потенциала u в областях 1 и 2 используется уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат
∆uk = 0, k = 1, 2,
которое с учетом выражения операции векторного анализа (1.11) в
этой системе принимает вид
1 ¶ æç ¶uk ö÷ 1 ¶2uk ¶2uk
+
= 0.
÷+
çr
r ¶r çè ¶r ÷ø r 2 ¶ϕ2
¶z2
В силу симметрии поля
¶u ¶u
=
= 0,
¶ϕ ¶z
поэтому потенциал зависит только от координаты r, и уравнение
Лапласа принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
1 d æç duk ÷ö
÷ = 0,
çr
r dr çè dr ÷ø
интегрирование которого дает
r
duk
duk Ak
= Ak ,
=
, uk = Ak ln r + Bk .
dr
dr
r
В однослойном конденсаторе (см. задача В) потенциал диэлектрического слоя определяется как
u = Alnr + B, (2.1)
где R2 ≤ r ≤ R1, а напряженность электрического поля определяется
согласно (1.2):

E = -gradu.
Записав градиент в цилиндрической системе координат в соответствии с формулой (1.5) получаем

du 
E = - er
dr
14
и окончательно выражение для величины напряженности электрического поля имеет вид
Er = -
A
A 
, E = - år .
r
r
(2.2)
Полученное решение (2.1), (2.2) содержит две постоянные интегрирования A и B, для определения которых необходимо составить
два уравнения.
Первое уравнение получаем из условия задания точек нулевого
потенциала:
u(r )
r =R1
= 0,
(2.3)
второе – из граничного условия на поверхности раздела сред
диэлектрик–проводник на цилиндрической поверхности радиусом
R2.
Так как в металлической среде при r < R2 поле отсутствует
(D2 = 0), а нормальной составляющей вектора D является Dr, то
граничное условие имеет вид
Dr (r )
r =R2
= σ, (2.4)
где σ – поверхностная плотность зарядов, которая определяется
как заряд на единицу площади боковой цилиндрической поверхности радиусом R2:
q
σ= .
S

Вектор электрического
смещения D связан с вектором напря
женности E электрического поля соотношением


D = εE.
В двухслойном конденсаторе (см. задачи А и Б) поле в среде 1
определяется выражениями
u1 = A1lnr + B1
(2.5)
Er1 = -
A1
A 
, E1 = - 1 er
r
r
(2.6)
где R2 ≤ r ≤ R1;
15
поле в среде 2 – выражениями
u2 = A2lnr + B2 Er 2 = -
(2.7)
A2
A 
, E2 = - 2 er r
r
(2.8)
где R3 ≤ r ≤ R2.
Полученные решения содержат четыре постоянные интегрирования A1, A2, B1, B2, для определения которых необходимы четыре
уравнения.
Для задачи А два уравнения берем из условий, аналогичных (2.3)
и (2.4), которые принимают вид
u1 (r )
r =R1
Dr 2 (r )
= 0,
r =R3
= σ.
Третье уравнение определяется граничным условием на поверхности раздела диэлектриков с разными e, т. е. на цилиндрической
поверхности радиусом R2:
Dr1 (r )
r =R2
= Dr 2 (r )
r =R2 .
(2.9)
Четвертое уравнение определяется из условия непрерывности
потенциала в любой точке, в том числе и на границе раздела сред:
u1 (r )
r =R2
= u2 (r )
r =R2 .
(2.10)
Для задачи Б уравнения для определения постоянных интегрирования составляются следующим образом:
– два уравнения выбирают из условия задания потенциала на поверхности внешнего и внутреннего проводящих цилиндров:
= U1,
u1 (r )
r =R1
u2 (r )
r =R3 = U2 ;
– третье и четвертое уравнения получают из таких же условий,
как и в задаче А (см. формулы (2.9) и (2.10)).
Найденные значения для постоянных интегрирования следует
подставить в решение для потенциала u (в формулы
 (2.1) или (2.5),
(2.7)) и для напряженности электрического поля E в формулы (2.2)
или (2.6), (2.8)).
16
Емкость определяется как коэффициент пропорциональности
между зарядом q и напряжением, приложенным к конденсатору:
q
C=
.
U1 - U2
Заряд q на металлической поверхности цилиндра радиусом R3
можно вычислить из граничного условия (1.4)
Dn2(R3)–Dn0(R3) = s.
Так как поле в металлической среде
 поля отсутствует (Dn0 = 0) и
нормальной составляющей вектора D является радиальная составляющая, то граничные условия принимают вид
Dr2(R3) = s.
Поверхностная плотность зарядов связана с зарядом q через площадь поверхности внутреннего цилиндра радиусом R3.
2.3. Расчет поля сферического конденсатора
Задача А. Имеем двухслойный сферический конденсатор (рис.
2.5), который имеет радиус внешней сферы R1 и радиус внутренней
сферы R3. Изоляция представляет собой двухслойный диэлектрик,
слои которого разделены сферической поверхностью радиусом R2.
Внешний и внутренний слои имеют диэлектрическую проницаемость e1 и e2 соответственно. Заряд конденсатора равен q. Принять
потенциал равным нулю на поверхности сферы радиусом R1.
z
R1
R2
θ
R2
R3
y
R3
R1
ε2
ϕ
ε1
x
Рис. 2.5 Сечения двухслойного сферического конденсатора
17
Для варианта задачи, приведенного в табл. 2.3, необходимо выполнить следующее:
1. Найти выражения потенциала u, напряженности электрического поля E, электрического смещения D в зависимости от координаты R для внутреннего и внешнего слоев диэлектрика.
2. Построить графики этих зависимостей.
3. Найти напряжение, приложенное к конденсатору.
4. Вывести выражение емкости через параметры конденсатора.
5. Найти связь емкости двухслойного конденсатора С с емкостью
его слоев С1 и С2.
Задача Б. Имеем однослойный сферический конденсатор (рис
.2.6) с радиусами внешней R1 и внутренней R2 сферы. Изоляция
однослойная, диэлектрическая проницаемость равна e1. Заряд конденсатора равен q, потенциал принят равным нулю на поверхности
сферы радиуса R1.
y
E1
1
R2
x
0
R1
Рис. 2.6 Экваториальное сечение
однослойного сферического конденсатора
Для варианта задачи, приведенного в табл. 2.3 выполнить следующее:
1. Найти выражения u, E, D в зависимости от координаты R для
слоя диэлектрика.
2. Построить графики этих зависимостей.
3. Найти напряжение, приложенное к конденсатору.
4. Вывести выражение емкости через параметры конденсатора.
18
Таблица 2.3
Номер
варианта
Тип
задачи
R1,см
1
А
2
А
3
ε1
ε0
ε2
ε0
q·10–8, К
R2, см
R3, см
3
2
1
2
4
1
4
3
1
3
1
1,5
А
6
4
2
1
2
2
4
А
9
6
3
3
2
3
5
А
8
4
2
1
3
3
6
А
5
3
1
2
1
2
7
А
8
5
2
2
4
3
8
А
4
2
1
2
1
2
9
А
5
4
2
2
4
1,5
10
А
8
4
2
3
1
3
11
Б
2
1
–
2
–
1
12
Б
4
3
–
3
–
0,5
13
Б
6
4
–
2
–
1
14
Б
8
4
–
1
–
2
15
Б
5
3
–
2
–
1
16
Б
8
6
–
4
–
1
17
Б
6
3
–
3
–
1,5
18
Б
3
1
–
1
–
1
19
Б
5
2
–
4
–
1,5
20
Б
4
2
–
2
–
1
Методические указания
Для определения функции потенциала u в области 1 и 2 используем уравнение Лапласа в сферической системе координат
∆uk = 0, k = 1, 2,
которое с учетом выражения операции векторного анализа (1.11) в
этой системе принимает вид
duk ÷ö
¶2uk
1 ¶ æç 2 ¶uk ö÷
1
1
¶ æç
sin
R
+
θ
+
= 0.
÷
÷
ç
ç
¶R ÷ø R 2 sin θ ¶θ èç
dθ ÷ø R 2 sin θ ¶ϕ2
R 2 ¶R çè
В силу симметрии поля
¶u ¶u
=
= 0,
¶θ ¶ϕ
19
поэтому потенциал зависит только от координаты R и уравнение
Лапласа принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
1 d æç 2 duk ö÷
÷ = 0,
çR
dR ø÷
R 2 dR çè
интегрирование которого дает
du
duk Ak
A
R 2 k = Ak ,
= 2 , uk = - k + Bk .
dR
dR
R
R
В однослойном конденсаторе (задача Б) потенциал диэлектрического слоя определяется как
u =-
A
+ B,
R
(2.11)
где R2 ≤ R ≤ R1.
Напряженность электрического поля находится через градиент
потенциала в сферической системе координат:

du 
E = -gradu = eR ,
dR
Значит,
Er = -
du
A
=- 2 dR
R
(2.12)
Полученное решение (2.11) и (2.12) содержит две постоянные интегрирования А и В, для определения которых надо составить два
уравнения.
Первое уравнение получаем из условия задания поверхности нулевого потенциала
u(R)
R =R1
= 0.
(2.13)
Второе уравнение вытекает из граничного условия на поверхности раздела сред диэлектрик-проводник на сфере радиусом R2, где
нормальная составляющая вектора электрического смещения DR
равна поверхностной плотности заряда
20
DR (R)
R =R2
= σ.
(2.14)


Вектор D связан с вектором E соотношением


D = εE,
а поверхностная плотность заряда определяется как
q
σ= ,
S
где S – площадь поверхности сферы, по которой распределен заряд.
В двухслойном конденсаторе (задача А) поле во внешнем слое
определяется выражениями
A
u1 = - 1 + B1,
(2.15)
R
E1 = -
A1
,
R2 (2.16)
где R2 ≤ R ≤ R1.
Во внутреннем слое, где R3 ≤ R ≤ R2, потенциал u2 и напряженность E2 имеют вид:
u2 = -
A2
+ B2 ,
R
E2 = -
(2.17)
A2
.
R2 (2.18)
Полученные решения для двухслойного конденсатора содержат
четыре постоянные интегрирования A1, A2, B1, B2, для определения
которых необходимы четыре уравнения.
Два уравнения берутся из условий, аналогичных (2.13) и (2.14),
которые принимают вид
u1 (R)
R =R1
DR 2 (R)
= 0,
(2.19)
R =R3 = σ .
(2.20)
Третье уравнение определяется из граничного условия на сферической поверхности радиуса R2, разделяющей диэлектрики с разными e, которое имеет вид
ε1 ER1 (R)
R =R2
= ε2 ER2 (R)
R =R2 .
(2.21)
21
Четвертое уравнение получается из условия непрерывности
функции потенциала в любой точке, в том числе и на границе раздела сред:
u1 (R)
R =R2
= u2 (R)
R =R2 .
(2.22)
Из решения уравнений (2.19)–(2.22) определяем постоянные интегрирования и подставляем в выражения для потенциала u и напряженности электрического поля E в формулы (2.11) и (2.12) для
однослойного и в формулы (2.15)–(2.18) для двухслойного конденсаторов.
Емкость определяется как коэффициент пропорциональности
между зарядом и напряжением, приложенным к конденсатору:
q
C=
.
U1 - U2
Заряд q на внутренней металлической сфере конденсатора можно вычислить из граничного условия (1.4). Так как в металлической

среде поле отсутствует и нормальной составляющей вектора D в диэлектрике является радиальная составляющая, то граничное условие принимает вид
DR2 (R)
R =R3 = σ .
Поверхностная плотность зарядов связана с зарядом q через площадь поверхности.
2.4. Расчет магнитного поля коаксиального кабеля
Задан коаксиальный кабель (рис. 2.7, 2.8), который имеет длину
l, радиус центрального проводника R1, внутренний и внешний радиус проводящей оболочки соответственно R2 и R3. Магнитная проницаемость материала проводников и изоляции одинакова и составляет µ0 = 4π ×10-7 Ãí/ì. Ток, протекающий по кабелю, равен I.
Для варианта задачи, приведенного в табл. 2.4, необходимо выполнить следующее:

1. Найти выражения для напряженности
магнитного поля H и

векторного магнитного потенциала A во всех средах кабеля (1, 2, 3
рис. 2.8).
2. Построить графики этих зависимостей.
3. Определить индуктивность коаксиального кабеля.
22
l
I
B1
B2
I
B3
z
R1
r
dr
R2
R3
Рис. 2.7. Коаксиальный кабель
R2
R3
1
R1
2
r
φ dr
x
3
Рис. 2.8. Коаксиальный кабель в поперечном сечении
23
Таблица 2.4
Номер
варианта
R1, мм
R2, мм
R3, мм
I, А
l, км
Номер среды
1
5,4
14
15
20
1
1, 2
2
5,0
10
11,5
30
2
2, 3
3
6,5
12
13,2
100
4
1, 2
4
8,0
18
20
150
5
2, 3
5
10
40
45
250
1
1, 2
6
15
40
45
450
2
2, 3
7
18
80
90
800
4
2, 3
8
20
50
60
1000
5
2, 3
9
20
80
90
900
1
2, 3
10
22
50
60
800
2
1, 2
11
25
80
90
1000
4
2, 3
12
25
50
60
900
5
2, 3
13
30
60
70
1000
1
2, 3
14
35
100
110
1200
2
2, 3
15
40
100
110
1500
4
2, 3
16
42
105
115
1300
5
2, 3
Методические указания
Расчет поля коаксиального кабеля выполняется в цилиндрической системе координат, так как координатные поверхности этой
системы совпадают с поверхностями раздела сред.
 В проводящих средах, центральной жиле и оболочке (1, 3), где
δ ¹ 0, магнитное поле имеет вихревой характер. В качестве вспомогательной функции, упрощающей расчет, вводится векторный магнитный потенциал A с помощью выражения
 1

H = rotA,
µ
(2.23)
которое для среды 1 определяется из векторного уравнения


(2.24)
DA1 = -µδ1.


В коаксиальном кабеле вектор плотности тока δ1 = δ z1ez , имеет
только одну z-составляющую, значит, векторный потенциал имеет
24


вид A1 = Az1ez , и векторное уравнение (2.24) переходит в скалярное
уравнение
DAz1 = -µδ z1.
В силу симметрии Az зависит только от координаты r, поэтому
уравнение Пуассона принимает вид
1 d dAz1
) = -µ0 δ z1,
× (r
r dr
dr
(2.25)
где 0 £ r £ R1
Плотность тока dz1 определяется как ток, проходящий через единицу площади поперечного сечения кабеля круга радиуса R1:
I
δ z1 =
.
πR12
Уравнение (2.25) можно преобразовать и проинтегрировать следующим образом:
µ Ir
dA
µ I 2
d æç dAz1 ö÷
÷÷ = - 0 2 Þ r z1 = - 0 2 r + C1,
ççr
è
ø
dr
dr
dr
πR1
2πR1
dAz1
µ I
C
µ I
= - 0 2 r + 1 Þ Az1 = - 0 2 r 2 + C1 ln r + C2 . (2.26)
dr
r
2πR1
4πR1


В соответствии с (2.23) и, учитывая, что H1 = Hϕ1eϕ , имеем

1
Hϕ1 =
rotϕ A1.
µ0
Развернув выражение ротора вцилиндрической системе координат (1.7)–(1.10) и учитывая, что A имеет только z составляющую,
получаем выражения для j, составляющей напряженности магнитного поля:
Hϕ1 = -
C
1 dAz1
I
, Hϕ1 =
r- 1 .
2
µ0 dr
µ
2πR1
0r
Так как Hϕ1 – конечная величина в любой точке, в том числе и
при r = 0. то постоянная С1 = 0.
25
Векторный потенциал – величина относительная, может быть
приравнена к нулю в любой точке. Для упрощения расчетов принимаем А1 = 0 при r = 0, тогда из выражения (2.26) получаем С2 = 0.
Таким образом, в центральном проводнике (среда 1),  где
0 £ r £ R1, выражения для напряженности
магнитного поля H1 и

векторного магнитного потенциала A1, принимает вид
H1 =
A1 = I
2πR12
µ0 I
4πR12

reϕ , (2.27)

r 2ez . (2.28)
Для расчета поля в диэлектрике (среда 2), где δ = 0, используем
уравнение Лапласа
∆Az2 = 0, (2.29)
где R1 £ r £ R2, которое в цилиндрической системе координат с учетом того, что
¶Az2 ¶Az2
=
= 0,
¶ϕ
¶z
принимает вид
1 d æç dAz2 ö÷
÷ = 0.
çr
r dr çè dr ø÷
Интегрируя это уравнение, получаем выражение
z-составляющей векторного магнитного потенциала


A2 = Az2 ez ,
для
где
Az2 = C3 ln r + C4 . (2.30)

Напряженность магнитного поля H2 в среде диэлектрика определяется в соответствии с (2.23)


H2 = Hϕ2eϕ ,

1 dAZ2
,
где Hϕ2 = µ0 dr
26
значит

C
Hϕ2 = - 3
µ 0r
(2.31)
Полученные решения (2.30) и (2.31) содержат две постоянные интегрирования, для определения которых необходимо составить два
уравнения.
Первое уравнение получаем из граничного условия на поверхности раздела центральная жила–диэлектрик
Hϕ1 (r )
r =R1
= Hϕ2 (r )
r =R1 ,
(2.32)
Используя выражения (2.27) и (2.31), где r = R1, составляем первое уравнение, из которого находим С3. Второе уравнение является
выражением условия непрерывности функции потенциала Az в любой точке, в том числе и на границе раздела сред:
Az2 (r )
r =R1
= Az1 (r )
r =R1 ,
(2.33)
Подставляя в (2.28) и в (2.30) значение r = R1 в соответствии с
(2.33) составляем уравнение для определения С4. Найденные значения постоянных интегрирования С3 и С4 подставляем в (2.30) и
(2.31).
Таким образом, в диэлектрике (среда 2), где
 R1 £ r £ R2, выражения для напряженности
магнитного
поля
H
2 и векторного магнит
ного потенциала A2 имеют вид

C 1
H2 = - 3 × × eϕ
(2.34)
µ0 r


A2 = (C3 ln r + C4 )ez . (2.35)
Выражения С3, С4, найденные через параметры кабеля, должны
быть подставлены в формулы (2.34) и (2.35) после нахождения их из
уравнений (2.33) и (2.32).
В проводящей оболочке (среда 3), для которой R2 £ r £ R3, плотность тока постоянна и равна


I
δ3 = e,
2
2 z
π(R3 - R2 )
27
поэтому для расчета вновь применяем уравнение Пуассона
µ0 I
1 d dAz3
(r
)=
.
r dr
dr
π(R32 - R22 )
Интегрируя, получаем выражения для векторного магнитного
потенциала
Az3 =
µ0 I
4π(R32 - R22 )
r 2 + C5 ln r + C6
(2.36)
и для напряженности магнитного поля
C 1
I
Hϕ3 = r- 5 × . (2.37)
2
2
r
µ
2
(
R
R
)
π
0
3
2
Постоянные интегрирования С5 и С6 определяем из граничных
условий на цилиндрической поверхности радиусом R2, которые
имеют вид
Hϕ2 (r )
r =R2
= Hϕ3 (r )
r =R2 ,
Az2 (r )
r =R2
= Az3 (r )
r =R2 .
(2.54)
(2.55)
Используя выражения (2.31) и (2.37), а также (2.30) и (2.36), где
r заменяем на R2, получаем два уравнения, решение которых дает
выражение для C5 и C6.
Таким образом, в проводящей оболочке (среда 3),где R2 £ r £ R3,
выражения для напряженности
магнитного поля H3 и векторного

магнитного потенциала A3 имеют вид
æ

C
I
ç
H3 = ççr- 5
2
2
µ0
èç 2π(R3 - R2 )
1 ö÷÷ 
÷eϕ ,
r ÷ø÷
(2.56)
æ
ö÷ 

µ0 I
ç
A3 = çç
r 2 + C5 ln r + C6 ÷÷÷ez ,
2
2
÷ø
çè 4π(R3 - R2 )
(2.57)
где выражения, найденные для C5 и C6 через параметры кабеля,
должны быть подставлены в эти формулы.
Статическую индуктивность определяем по формуле
ψ
L= ,
I
где I – сила тока.
28
Магнитное потокосцепление y коаксиального кабеля состоит из
суммы трех потокосцеплений:
R1
R2
R3
0
0
0
ψ = ψ 1 + ψ 2 + ψ 3 = ò dψ 1 + ò dψ 2 + ò dψ 3
где y1 – потокосцепление в центральном проводнике (см. рис. 2.7);
y2 – между проводниками; y3 – внутри оболочки.
Элементарный магнитный поток dФ через площадку шириной dr
и длиной l (см. рис. 2.7) составляет
dÔ = BdS = µ0 Hldr .
При интегрировании надо учитывать, сцеплен ли поток со всем
током или только его частью для каждой среды.
В результате вычислений можно получить выражения индуктивности коаксиального кабеля через его параметры.
Библиографический список.
1. Кирпанев А. В., Лавров В. Я. Электромагнитное поле. Теория
идентификации и ее применение. М.: Вузовская книга, 2002. 280 с.
2. Бессонов Л. А., Галатеева В. И. (и др.) Сборник задач по теоретическим основам электротехники. М.: Высшая школа, 1975. 487
с.
3. Теория физических полей. Теория электромагнитного поля:
метод. указания к практическим занятиям / В. Я. Лавров, Л. Б.
Свинолобова, СПб.: ГУАП, 2005. Ч. 1. 21 с.
29
Содержание
Задание № 2. Расчет полей на основе дифференциальных
уравнений................................................................... 1. Теоретическая часть.............................................. 1.1. Электростатическое поле................................. 1.2. Стационарное магнитное поле.......................... 1.3. Операции векторного анализа в ортогональных
криволинейных координатах.......................... 2. Расчетные задания................................................ 2.1. Расчет поля плоского конденсатора.................. 2.2. Расчет поля цилиндрического конденсатора...... 2.3. Расчет поля сферического конденсатора............ 2.4. Расчет магнитного поля коаксиального кабеля... Библиографический список........................................... 30
3
3
3
4
5
7
7
11
17
22
29
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 119 Кб
Теги
lavrovsvin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа