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2011
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4
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ζ M{y2 (t)} M{y(t)y? (t)} M{y(t)y??(t)}χφ ζ
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ηη
χ
χχ ηη
2
P = ηηM{y(t)y? (t)} M{y? (t)} M{y? (t)y??(t)}χχ = η 0
0 χχχ.
-R ’’(0)
χχ
χχ ηη
ηη
ηηM{y(t)y??(t)} M{y? (t)y??(t)} M{y??2 (t)} χχ ηθηR ’’(0)
0
R IV (0)χχψ
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T
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(5)
0
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6
T
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2
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T
T2 φχχ
T
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7
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????????????? ?????? ???????????? ??????? ? ????? ???????????? ??????? ? ? ????? ???????????? ?????????;
9
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1.5.???????????? ???????
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2.???????????? ???????? ?????????????? ?????????????? ???????????? ????????? ?????????. ??? ??? ??????? ????? ??????
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7.???????? ????????? ????????? ????????????? ??????????
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8.???? ??????? ???????? ?????? ???????????? ??? ???????????? ????????????? ???????????? ????????? ??????????
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10.?????????, ??? ?? ????????? ?????????? ????????? ??????
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10
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2.1.????????? ????????????? ????????
??? ??????? ????? ????????? ????????????? ?????????? ??????? ??????????????? ???????? ????????? ???????????? ??????????. ???????????? ????? ????? ??????????? ?????????????? ????????? ? ???????? ??????? ???????????? ?????? ?????????????
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???????????? ????? ???????? ??????? ???????-????? [2], ????????? ???????? ????? ???? ???????? ? ????
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K (t) = P? (t)HT (t)R -1 (t),
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???????.
???????? ?? ??, ??? ?????? ?????????? ????? ??????????? ????????, ?? ???????, ??? ???????, ?????????????? ? ?????????????? ??????? ?????????????? ??????? ????? ???????? ? ??????????? ???????. ????? ???????, ?????????? ?? ???????? ???????????
?????????, ??????????????? ?????????? ?????????? ???????????????????.
???????????? ????????? ?????????? ??????????? ? ???????????????????? ?????? ???????? ?????? ????????? ??????????????????? ???????????? ????? ????????? ??????????? ???????
??????? [3, 6]. ??? ?? ?????????? ??????????????, ??? ?????? ??
??????? ???? x? k ??????????? ? ?????????????? ???????? ????????? yk, ?????? x? k-1 ? ??????????????? ?? ??????? ??????????
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??????? ?????????
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(11)
y k = Hk xk + v k ,
??? wk ? ?????? ??????????? ?????????? ????? ????? ? ???????? ?????????? Qk; vk ? ?????? ????? ????? ?????????, ?? ??????????????? ? ???????? wk, ? ???????? ?????????? Rk; ?k ? ??????? ???????? ?? k?1-?? ????????? ? k-?; ?k ? ??????? ??????????;
Hk ? ??????? ?????????. ? ??? ??????, ????? ????????? ????????
?????? (11), ????????????? ??????????? ?????? (10), ???????
?k, ?k ????? ???? ??????? ?? ???????? (4), (6), ??????? Hk ??????????? ????? ??????? ????????????? ??????? H, ? ??????? ?????????? ?????????? ????? ????? ?????????????? ??? ?????????????? ??????????????? ?? ??????????? ?????, ???????????
?? ??????? ???????????? T: Qk = Q/T; Rk = R/T.
?????????? ??????????? ?????? ???????, ??????????????
??????? ???????? ???????????? ??????? ?????? ?k = xk ? x? k , ??????????? ???????????
x? k = ? k x? k-1,
T
Sk = ? k Pk-1?T
k + ?k Q k ?k ,
T
-1
K k = Sk H T
k (H kSk H k + R k ) ,
x? k = x? k + K k (y k - H k x? k ),
12
Pk = (E - K k H k )Sk ,
??? x? k ? ?????????????????? ?????? ?????????; Sk ? ??????? ?????????? ?????? ?????????????; Kk ? ????????? ???????????
???????? ??????????? ??????? ???????.
?????????? ????????? ??? ????????? ?????????? ???????????? ??????????, ??? ? ? ??????????? ??????, ???????? ????????? ?????? x? 0, ?????? ?????????? ??????????????? ????????
??????? ?????????, ? ????????? ??????? ?????????? ??????? ?????? P0, ?????? ????????? ??????? ?????????? ??????? ?????????.
2.2.???????? ?????????? ???????????? ??????
1.???????? m-????, ?????????? ????????? ?????????????
????????? ?????????????????? ? ???????????? ? ????????? ???????
? ?????? 1.
2.??? ???????? ?????????? ??????? ? ???????????? ? ?????????
??????? (????. 2) ???????????? ?????????? ????????? ? ???? ????? ???????? ????????????????? ????????? ??????????????????
? ??????????? ?????? ???? ? ??????????????? ???????????????????? ??????? (???) ?????????.
3.????????????? ???????? ????????? ????????? ? ???? ??????????? ??????? ???????.
4.?????????? ??????? ?????? ?????? ?????? ?????????? ??????? ????????? ? ??????????????? ?? ????????? ???????????????????? ???????? (±3?), ??????????? ?? ?????????????? ???????,
?????????????? ? ???????.
?????? ?????????? ??????? ???????? ? ????. 2.
??????? 2
???????? ???????
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????????? (???????) ???????
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1?, 2?, 3?
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2; 4?7
0,1
0,5
0,2
1,0
2.3.??????????? ??????
????? ? ???????????? ????????????? ?????? ?????????:
?????????? ??????;
13
???????? ???????? ? ?????? ????????? ? ????? ????????????
?????????;
?????????? ??????? ???????;
??????? m-?????, ? ??????? ???????? ???????? ?????? ?????????? ?????????;
????????? ?????? ?????? ? ??????????????? ?? ???????? ±3?;
???????? ?? ??????.
2.4.???????????? ???????
1.?????????????? ?????????? ???????? ?????? ?????????? ???????????? ?????????? ????????, ????????? ? ??????? ???????????? ???????.
2.?????????????? ?????????? ???????? ?????? ?????????????
?????????? ?????????? ????????? ??????????????????, ????????
? ??????? ???????????? ???????.
3.???????????? ????-????? ???????????? ??????? ? ???????
???????.
4.?????? ???????? ????? ???????? ???????? ??????????? ??????? ????????
5.?????? ??????? ??????????? ????????? ??????? ??? ????????? ???????????? ???????????
6.?????????, ?????? ???????? ??????? ??????? ???????? ????????????.
7.?????????, ??? ????? ?????? ???????? ? ?????? ??????????.
8.??????? ?????? ?????????? ???????? ?????????? ????????????????????
9.?????? ?? ???????? ?????????? ????? ??? ??????????????
???????????? ?????? ????? ???????
10.?????????? ??????? ????????????? ????????? ??????? ??????? ? ??????? ????????? ????????????? ??????????.
14
????????????????? ??????
1.??????????? ?. ?. ?????? ???????????? ? ?????????????? ??????????. ??????, ?????????? ??????? ? ????????? ? ???????? ?
????? Mathcad. ? ???.: ???. 2008. 528 ?.
2.???????????? ?. ?., ??????? ?. ?. ????????? ????? ?????? ??????????????? ?????????? ? ????????? ?? ????? MATLAB. ? ???.:
?????, 1999. 467 ?.
3.????????? ?. ?. ?????????? ?????? ?????????? ??????????
? ??????? ????????? ????????????? ??????????. ? ???: ??? ?? ?
???? «?????????????». 1998. 370 ?.
4.????????? ?. ?. ???? ?????? ????????? ?????????. ???. 2-?,
???. ? ?.: ????? ? ???????. 1996. 400 ?.
5.?????? ??., ??? ???? ?. ????????? ??????????. ? ?.: ???.
1999. 458 ?.
6.????????? ?. ?. ?????? ?????? ?????????? ? ????????????
? ??????? ????????? ????????????? ??????????. ?. 1. ????????
? ?????? ??????????. ? ???: ??? ?? ? ???? «?????????????».
2009. 496 ?.
15
?????????? 1
????? m-????? ? ??????? ?????????? ?????? ?1
clear; close all;
N = 200000; %????? ???????? ?????????? ????????
M = N/200; %????? ???????? ?????????????? ?-??
%????????? ?????????? ????????
sig = 1.5;
alf = 0.5;
bet = 2;
dt = 0.01; %?????? ????????????
%???????????? ??????????? ?????? ????????
F = [0 1; -(alf^2 + bet^2) -2*alf];
G = [0; sig*sqrt(2*alf)];
H = [sqrt(alf^2 + bet^2) 1];
%????????????? ??????????? ??????
Fi = eye(2) + F*dt;
Gam = G*dt;
%???????????? ?????????? ????????? ???????
P = [sig^2/2/(alf^2 + bet^2) 0; 0 sig^2/2];
x = sqrt(P)*normrnd(0,1,2,1);
%??????????? ??????
y(N) = 0;
w = normrnd(0,1/sqrt(dt),1,N);
for k = 1:N
x = Fi*x + Gam*w(k);
y(k) = H*x;
end;
%????????? ??????????? ?????????????
t = (-M:M)*dt;
%????????????? ?????????????? ???????
r2 = sig^2*exp(-alf*abs(t)).*cos(bet*t);
%?????????? ?????????????? ???????
R2 = xcov(y,?unbiased?);
m1 = 1:N/100;
figure;
plot(m1*dt,y(m1));
xlabel(?t, s?);
title(?Stochastic process?);
figure;
plot(t,R2(N-M:N+M));
hold on;
plot(t,r2,?r--?);
xlabel(?\tau, s?);
ylabel(?R(\tau)?);
title(?Correlation function?);
16
?????????? 2
????? m-????? ? ??????? ?????????? ?????? ?2
clear; close all;
N = 1000; %????? ???????? ?????????? ????????
%????????? ?????????? ????????
sig = 1.5;
alf = 0.5;
bet = 2;
sigv = 0.5; %??? ?????????
dt = 0.01; %?????? ????????????
%???????????? ??????????? ?????? ????????
F = [0 1; -(alf^2 + bet^2) -2*alf];
G = [0; sig*sqrt(2*alf)];
H = [sqrt(alf^2 + bet^2) 1];
H1 = H;
%????????????? ??????????? ??????
Fi = eye(2) + F*dt;
Gam = G*dt;
Q = 1/dt;
%???????????? ?????????? ????????? ???????
P = [sig^2/2/(alf^2 + bet^2) 0; 0 sig^2/2];
x = sqrt(P)*normrnd(0,1,2,1);
xo = [0; 0]; %????????? ??????
%????????????? ????????
%??? ?????? ??????????? ?????????????
y(N) = 0;
Xo(2,N) = 0;
sko(2,N) = 0;
X(2,N) = 0;
%??????????? ??????
w = normrnd(0,1/sqrt(dt),1,N); %??????????? ???
v = normrnd(0,sigv,N,1); %??? ?????????
for k = 1:N
x = Fi*x + Gam*w(k);
y(k) = H*x + v(k);
X(:,k) = x;
end;
%????????? ?????????
R = sigv^2;
Pe = P;
for k=1:N
17
if (k==2/dt || ((k>=4/dt) && (k<=7/dt)))
H = H1;
%????????? ?????????
else H = H1*0;
end;
xp = Fi*xo;
%???????
S = Fi*Pe*Fi? + Gam*Q*Gam?; %?????????? ????????
K = S*H?*(H*S*H? + R)^-1;
%?.?. ??????? ???????
xo = xp + K*(y(k) - H*xp); %??????
Pe = (eye(2) - K*H)*S;
%?????????? ??????
Xo(:,k) = xo;
sko(:,k) = sqrt(diag(Pe));
end;
%?????????? ???????? ?????? ??????????
t = (0:N-1)*dt;
figure;
plot(t,X(1,:) - Xo(1,:));
hold on;
plot(t,3*sko(1,:),?r--?);plot(t,-3*sko(1,:),?r--?);
xlabel(?t, s?);
ylabel(?\epsilon_1?);
title(?Error of x_1 estimation?);
figure;
plot(t,X(2,:) - Xo(2,:));
hold on;
plot(t,3*sko(2,:),?r--?);plot(t,-3*sko(2,:),?r--?);
xlabel(?t, s?);
ylabel(?\epsilon_2?);
title(?Error of x_2 estimation?);
18
??????????
???????????.............................................................................. 1. ????????????? ???????????? ????????? ?????????.................... 1.1. ???????? ????????????? ????????........................................... 1.2. ?????? ?????????? ???????.................................................. 1.3. ??????? ?????????? ???????????? ??????.............................. 1.4.??????????? ??????............................................................... 1.5.???????????? ???????............................................................ 2.???????????? ?????????? ????????? ?????????.......................... 2.1.????????? ????????????? ????????........................................... 2.2.???????? ?????????? ???????????? ??????.............................. 2.3.??????????? ??????............................................................... 2.4.???????????? ???????............................................................ ????????????????? ??????.......................................................... ?????????? 1............................................................................ ?????????? 2............................................................................ 3
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