close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

makar

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
М. В. Макарова
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
учебное пособие
Санкт-Петербург 2009
УДК 517.9
ББК 22.161
М15
Рецензенты:
доктор педагогических наук, профессор Л. В. Медведева;
доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Фарафонов
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Макарова М. В.
М15 системы дифференциальных уравнений: учеб. пособие / М. В. Макарова. – СПб.: ГУАП, 2009. – 76 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0456-2
Даются необходимые сведения об основных видах систем дифференциальных уравнений. Изложение материала сопровождается примерами, даются задания для самостоятельного решения
с ответами для самоконтроля.
Учебное пособие рекомендуется студентам естественнонаучных специальностей, может быть использовано преподавателями для подготовки лекций и руководства научной работой магистрантов.
УДК 517.9
ББК 22.161
Учебное издание
Макарова Мария Валентиновна
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Учебное пособие
Редактор В. А. Черникова
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 28.05.09. Подписано к печати 23.06.09.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ л. 4,75.
Уч.-изд. л. 4,2. Тираж 150 экз. Заказ № 451.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
ISBN 978-5-8088-0456-2
© ГУАП, 2009
© М. В. Макарова, 2009
Предисловие
В предлагаемом пособии представлены сведения об основных
видах систем дифференциальных уравнений: нормальных, линейных однородных и неоднородных с постоянными и периодическими коэффициентами, а также автономных системах. Раскрываются важные понятия качественной теории дифференциальных уравнений: точки покоя, предельный цикл, динамический
хаос. Часть пособия посвящена вопросам устойчивости решений
по Ляпунову, представлены методы исследования устойчивости
по первому приближению и при помощи построения функций
Ляпунова. Также рассмотрены линейные дифференциальные
уравнения в частных производных первого порядка, которые эквивалентны системе дифференциальных уравнений в симметрической форме.
материал пособия будет полезен студентам при изучении
темы «Системы дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости» в рамках дисциплины «Математика».
3
§ 1. Нормальные системы
дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему n дифференциальных уравнений первого порядка с n неизвестными функциями y1, y2,..., yn от независимой переменной x, разрешенных относительно производных
этих функций. Такая система дифференциальных уравнений называется нормальной и имеет следующий вид:
ìï dy1
ïï
= f1 (x, y1, y2 ,..., yn )
ïï dx
ïï dy
ïï 2 = f (x, y , y ,..., y )
2
1 2
n
,
í dx
ïï
................................
ïï
ïï dy
ïï n = f (x, y , y ,..., y )
1 2
n
n
ïîï dx
(1.1)
dyk
= fk (x, y1, y2 ,..., yn ), k=1, 2, …, n.
dx
Здесь f1, f2,..., fn – известные функции n+1 независимых переменных, относительно которых мы будем предполагать, что они
определены и непрерывны в рассматриваемой области. Число
уравнений системы называется ее порядком.
Систему (1.1) можно записать в векторной форме, если ввести
в рассмотрение неизвестный вектор y = {y1, y2 ,..., yn } и вектор
f (x, y ) = {f1, f2 ,..., fn }.
Определим производную от вектора y как вектор, у которого каждая составляющая есть производная соответствующей составляющей вектора y, тогда
или
dy ü
dó ìï dy1 dy2
=í
,
,..., n ïý.
dx ïîï dx dx
dx ïþï
Система (1.1) в векторной форме примет вид
dy
= f (x, y ). dx
(1.2)
Решением системы (1.1) в интервале (а, b) называется совокупность n функций y1=y1(x), y2=y2(x),..., yn=yn(x), определенных и непрерывно дифференцируемых в этом интервале и обращающих все уравнения системы (1.1) в тождества, справедливые
для всех значений x ∈ (a, b).
4
Решение векторного уравнения (1.2), соответствующего системе (1.1), определяется как вектор y = y (x) с составляющими
y1(x), y2(x),..., yn(x), обращающий векторное уравнение (1.2) в
dy (x)
тождество
º f [x, y (x)], (a < x < b).
dx
Кривая в (n+1)-мерном пространстве (x, y1, y2,..., yn), соответствующая решению нормальной системы (1.1), называется
интегральной кривой.
Дадим механическое истолкование нормальной системы, для
этого запишем ее в виде
ìï dx1
ïï
= X1 (t, x1, x2 ,..., xn )
ïï dt
ïï dx
ïï 2 = X (t, x , x ,..., x )
2
1 2
n
(1.3)
,
í dt
ïï
ïï.................................
ïï dx
ïï n = X (t, x , x ,..., x )
1 2
n
n
îïï dt
dx
или в векторной форме:
= X(t, x), где x = {x1, x2 ,..., xn };
dt
X(t, x) = {X1, X2 ,..., Xn }; здесь независимая переменная – время
t, а искомые функции x1, x2,..., хn – координаты точки n-мерного
пространства, которое называется фазовым.
dx
dy
Для системы двух уравнений
= X(t, x, y);
= Y (t, x, y)
dt
dt
роль фазового пространства играет плоскость (x, y), которая называется фазовой плоскостью.
Всякое решение системы (1.3) – x1=x1(t), x2=x2(t),...,
xn=xn(t) – представляет собой некоторый закон движения точки
M(x1, x2,..., xn) в фазовом пространстве и называется движением, определяемым системой (1.3), а путь, описываемый точкой
М в фазовом пространстве (на фазовой плоскости), – траекторией этого движения.
Решение системы (1.3) задает уравнения движения, являющиеся вместе с тем и параметрическими уравнениями его траектории. Таким образом, траектория движения есть проекция движения из пространства (t, x1, x2,..., xn) в фазовое пространство
(x1, x2,..., xn).
Если существует точка (x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ), такая, что
k=1,2,..., n, при всех t или
Xk (t, x1(0) , x2(0) , ..., xn(0) ) = 0,
5
при всех t ≥ t0, то система (1.3) определяет движение
x1 º x1(0) , x2 º x2(0) ,..., xn º xn(0) .
Такое движение называется состоянием покоя. Траекторией этого движения будет точка (x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ) – точка покоя,
или точка равновесия.
Движение, определяемое уравнениями x1=x1(t), x2=x2(t),...,
xn=xn(t), являющимися решением системы (1.3), обладает
тем свойством, что составляющие скорости этого движения
dx1 dx2
dx
,
,..., n в момент времени t равны значениям правых
dt dt
dt
частей системы (1.3) в точке [t, x1(t), x2(t),..., xn(t)].
Таким образом, система (1.3) задает некоторое поле скоростей. Задача интегрирования системы (1.3) состоит в нахождении движений по заданному полю скоростей.
В случае, когда время t не входит явно в правые части системы (1.3), такая система называется автономной:
ìï dx1
ïï
= X1 (x1, x2 ,..., xn )
ïï dt
ïï dx
ïï 2 = X (x , x ,..., x )
2 1 2
n
. (1.4)
í dt
ïï
ïï...............................
ïï dx
ïï n = X (x , x ,..., x )
n 1 2
n
ïîï dt
dx
= X(x).
dt
Для автономных систем скорость движения в данной точке
(x1, x2 ,..., xn ) с течением времени не изменяется. Вследствие этого движения, определяемые автономной системой, обладают следующим важным свойством: если есть движение, определяемое
системой (1.4), то x1=x1(t+τ), x2=x2(t+τ),..., xn=xn(t+τ) (τ=const)
тоже будет движением, определяемым этой системой.
dx
dy
Пример:
= -y,
= x.
dt
dt
Система определяет движение: x=cos t, y=sin t.
Траекторией этого движения является окружность: x2+y2=1.
Установим направления движения по траекториям: для точки
(x, y), лежащей в I четверти, имеем: dx/dt < 0, dy/dt > 0, таким
образом, абсцисса движущейся точки убывает, а ордината воз-
Систему (1.4) можно записать в векторной форме:
6
растает, в результате чего движение происходит против часовой
стрелки.
Движение x=cos (t+τ), y=sin (t+τ).
dyk
Задача Коши для системы (1.1)
= fk (x, y1, y2 ,..., yn ), где
dx
k=1, 2,..., n ставится так. Среди всех решений системы (1.1) найти решение y1=y1(x), y2=y2(x),..., yn=yn(x), удовлетворяющее на-
dyk
dx
чальным условиям y1 = y1(0) , y2 = y2(0) ,..., yn = yn(0) при x=x0.
dy
Если систему (1.1) переписать в векторной форме
= f (x, ó ),
dx
то задача Коши состоит в нахождении вектора y = y (x), удовлетворяющего начальным условиям y (x) = y (0) при x=x0.
Геометрически задача Коши состоит в том, чтобы из всей совокупности интегральных кривых системы (1.1) найти кривую,
проходящую через заданную точку (x0 , y1(0) , y2(0) ,..., yn(0) ).
dx
dy
Для системы двух уравнений
= P(t, x, y);
= Q(t, x, y)
dt
dt
задача Коши состоит в нахождении движения x=x(t), y=y(t),
определяемого этой системой и удовлетворяющего начальным
условиям x=x0, y=y0 при t=t0, т. е. ищется движение, в котором
движущаяся точка занимает положение (x0, y0) на фазовой плоскости (x, y) в момент времени t=t0.
Чтобы гарантировать существование хотя бы одного решения
нормальной системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющего поставленным начальным условиям, как и в случае одноdy
го уравнения первого порядка в нормальной форме
= f (x, y),
dx
достаточно предположить, что правые части системы непрерывны в окрестности начальной точки (x0 , y1(0) , y2(0) ,..., yn(0) ).
dyk
Теорема Пеано. Если правые части системы (1.1)
= fk (x, y1 , y2 , ..
dx
= fk (x, y1 , y2 , ..., yn ), где k=1, 2,..., n, определены и непрерывны в
параллелепипеде x - xk £ à; yk - yk(0) £ b (a > 0, b > 0, k=1,2,...,
n) и, следовательно, ограничены в нем: fk (x, y1, y2 ,..., yn ) £ M
(M > 0, k=1, 2,..., n), то система (1.1) имеет хотя бы одно решение yk = yk (x), удовлетворяющее заданным начальным условиям yk = yk(0) при x=x0 (k=1, 2,..., n), заведомо определенное
и непрерывно дифференцируемое в интервале x - x0 £ h, где
æ bö
h = min çça, ÷÷÷.
çè M ø
7
Чтобы гарантировать не только существование, но и единственность решения задачи Коши для системы (1.1), нужно наложить на правые части этой системы дополнительные ограничения. Простейшим из таких ограничений является требование
существования ограниченных частных производных от правых
частей системы (1.1) по y1, y2,..., yn.
dyk
Теорема Пикара. Если правые части системы (1.1)
= fk (x, y1, y2 ,.
dx
dyk
= fk (x, y1, y2 ,..., yn ) (k=1, 2,..., n) определены в области x - x0 £ à;
dx
yk - yk(0) £ b и удовлетворяют в ней двум условиям:
1) fk (x, y1, y2 ,..., yn ) непрерывны;
2) частные производные ¶fk / ¶ól (k, l=1, 2,..., n) существуют
и ограничены ¶fk / ¶ól £ K,
то система (1.1) имеет единственное решение yk = yk (x), удовлетворяющее начальным условиям yk = yk(0) при х=х0, заведомо определенное и непрерывно дифференцируемое в интервале
x - x0 £ h, где h = min(a, b / K).
Условия теоремы Пикара заведомо выполнены, если правые
части системы (1.1) суть полиномы относительно всех аргументов x, y1, y2,..., yn или хотя бы относительно y1, y2,..., yn.
При этом начальные значения искомых функций y1, y2,..., yn
можно задать совершенно произвольно. Что касается начального значения независимой переменной х, то в первом случае его
можно тоже задать совершенно произвольно, а во втором случае
за начальное значение х можно брать любое число из интервала
непрерывности всех коэффициентов указанных полиномов. Однако даже в случае, когда правые части системы (1.1) являются
полиномами, существование решения задачи Коши гарантируется лишь в некоторой окрестности начального значения независимой переменной.
Рассмотрим область D изменения переменных x, y1, y2,..., yn,
через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная кривая системы (1.1). Совокупность n функций
8
ìy1 = ϕ1 (x, C1, C2 ,..., Cn )
ï
ï
ï
ï
ïy2 = ϕ2 (x, C1, C2 ,..., Cn ) í
ï
...............................
ï
ï
ï
ï
ï
îyn = ϕn (x, C1, C2 ,..., Cn )
(∗)
называется общим решением системы (1.1) в области D, если она
удовлетворяет двум условиям:
1) система (∗) разрешима в области D относительно произвольных постоянных С1, С2,..., Сn;
2) совокупность функций (∗) является решением системы (1.1)
при всех значениях произвольных постоянных, когда точка (х,
у1, у2,..., yn) пробегает область D.
Значение общего решения дает возможность решить любую
задачу Коши с начальными данными из области D.
dx
dy
Пример:
= -y,
= x.
dt
dt
Общее решение: x=C1 cos t+C2 sin t;
y=C1 sin t – C2 cos t.
D: t < +¥, x < +¥, y < +¥.
Выполнены условия:
1) С1=x cos t+y sin t, C2=x sin t – y cos t;
dx
dy
2) = -y,
= x при любых С1 и С2.
dt
dt
Решение называется частным, если через любую точку его
не проходит никакое другое решение системы, так что в каждой
точке этого решения имеет место единственность решения задачи Коши.
Решение называется особым, если в каждой точке его нарушена единственность решения задачи Коши. Система с полиномиальными правыми частями не может иметь особых решений.
Функция y(x, y1, y2,..., yn) называется интегралом системы
(1.1), если она ни в какой области не вырождается в тождественную постоянную и если она принимает одно и то же значение во
всех точках каждого решения.
dx
dy
Пример:
= -y,
= x;
dt
dt
два интеграла:
y1=х cos t+у sin t;
y2=х sin t – y cos t.
Действительно, подставляя в функции y1 и y2 вместо x и y
частное решение
x = C1(0) cos t + C2(0) sin t, y = C1(0) sin t - C2(0) cos t,
находим: ψ1 (x, y) º C1(0) , ψ2 (x, y) º C2(0) .
Соотношение y=(х, у1, y2,... yn)=C, где y – интеграл системы
(1.1), а С – произвольная постоянная, называется первым интегралом этой системы.
9
Нормальная система n уравнений не может иметь более чем
n независимых интегралов. Если правые части системы (1.1) непрерывны вместе с частными производными по всем аргументам,
то она имеет ровно n независимых интегралов, определенных и
непрерывно дифференцируемых в некотором параллелепипеде с
центром в начальной точке (x0 , y1(0) , y2(0) ,..., yn(0) ).
Если для нормальной системы (1.1) найден первый интеграл
y1=(х, у1, y2,... yn)=C, то, разрешив его относительно одной из переменных у1, y2,... yn, например, относительно у1, получим у1=j
(х, y2,..., yn). Подставив это значение у1 в последние n–1 уравнения системы (1.1), придем к нормальной системе n–1 уравнений
ì
dy2
ï
ï
= f2* (x, y2 ,..., yn )
ï
ï
dx
ï
ï
í............................ .
ï
ï
ï
dyn
ï
= fn* (x, y2 ,..., yn )
ï
ï
dx
ï
î
Таким образом, знание одного первого интеграла нормальной
системы дает возможность понизить ее порядок на единицу.
Систему n уравнений иногда можно свести к одному уравнению n-го порядка.
dy
d2 x
dx
= x Þ 2 + x = 0.
= -y,
dt
dt
dt
Общее решение: x=С1 cos t+C2 sin t.
Из условия dx/dt=– y получаем
Пример:
y=С1 sin t – C2 cos t.
Задание 1. Решить системы уравнений в нормальной форме:
ì
dy
ï
2
ï
ï dx = 2xy
ï
1.1) í
;
ï
dz z - x
ï
=
ï
ï
x ï dx
î
ì
dy
2x
ï
ï
=
y
ï
2
ï
dx
+
x
1
ï
1.3) í
;
ï
dz
z
ï
y
x
=
+
+
ï
ï
x
ï
î dx
10
ì
dy
ï
ï
= ex-y
ï
ï dx
ï
1.2) í
;
dz
2z
ï
ï
=
ï
2
ï
ï
î dx 2x - z
ì dy
ï
ï
=z
ï
ï dx
1.4) ï
;
í
ï
dz z2
ï
=
ï
ï
y
ï
î dx
1.5)
1.7)
dx dy dz
=
= ;
x
y
z
1.6)
dx
x
dx dy dz
=
= ;
0
x
z
1.8)
dx dy
dz
1.9)
;
=
=
x
y
x+y
dy
y
=
dz
;
1/ 2
dx dy dz
=
= ;
0
y
z
1.10)
dx
dy
dz
1.11)
=
= .
z(x + z) -y(y + z)
0
=
dx
dy
dz
=
=
;
cos y cos x cos x × cos y
§ 2. Линейные системы
дифференциальных уравнений
2.1. Общие свойства линейных систем
Рассмотрим линейную систему n-го порядка
n
dyk
= å Pkl (x)yl + fk (x) (k = 1, 2,..., n). dx l=1
(2.1.1)
Если все fk(x) ≡ 0, то система (2.1.1) называется однородной и
принимает вид
n
dyk
= å Pkl (x)yl (k = 1, 2,..., n). dx l=1
(2.1.2)
Запишем систему (2.1.1) в векторной форме, с этой целью будем рассматривать решение
у1=у1(х), у2=у2(х),...., уn=уn(х)
(2.2)
как вектор y = {y1, y2 ,..., yn }. Определим производную векdy
тора
= {y1¢ , y2¢ ,..., yn¢ }. Введем в рассмотрение вектор
dx
f = {f1, f2 ,...., fn }. Обозначим матрицу коэффициентов системы
(2.1.1) через Р:
P11
P21
Ð=
...
Pn1
P12
P22
...
Pn2
... P1n
... P2n
.
... ...
... Pnn
11
dy
Тогда (2.1.1) примет вид
= Py + f , однородная система
dx
(2.1.2) запишется так:
dy
= Py.
dx
Предположим, что коэффициенты Рkl(х) и функция fk(х) непрерывны в интервале (a, b). Тогда система (2.1.1) имеет единственное
решение (2.2), определенное во всем интервале (a, b) и удовлетворяющее начальным условиям y1 = y1(0) , y2 = y2(0) ,..., yn = yn(0)
при х=х0, где х0 ∈ (a, b), а y1(0) , y2(0) ,..., yn(0) могут быть заданы
произвольно. В частности, единственным решением однородной линейной системы (2.1.2) с нулевыми начальными условиями y1 = 0, y2 = 0,..., yn = 0 при х0 ∈ (a, b) будет нулевое решение
y1 º 0, y2 º 0,..., yn º 0.
В векторной форме эти утверждения формулируются так. Если
матрица Р(х) непрерывна в интервале (a, b), т. е. все ее элементы
dy
непрерывны в этом интервале, то уравнение
= Py + f имеет
dx
единственное решение y = y (x), удовлетворяющее начальным
{
условиям y = y (0) при х=х0 ∈ (a, b), где y (0) = y1(0) , y2(0) ,..., yn(0)
}
есть произвольный заданный вектор (начальный вектор).
dy
Единственным решением однородного уравнения
= Py
dx
с начальными условиями y = 0 при х=х0 ∈ (a, b) будет нулевой
вектор y º 0 (а < x < b).
Линейная система остается линейной при любой замене независимой переменной х. В самом деле, положим, х=j(t) (t0 < t <
< t1), где j(t0)=a, j(t1)=b, j’(t) существует, непрерывна и сохраняет знак в (t0, t1). Тогда
dy dy dt dy 1
dy 1
.
=
=
=
dx dt dx dt dx dt ϕ¢(t)
dt
dy
= Py + f подстановdx
dy
dy
ку х=j(t), находим
= (Py + f ). j′(t) или
= P1y + f1, где
dt
dt
P1=P[j(t)]j′(t), f1 = f [ϕ(t)ϕ¢(t)].
Поэтому, выполняя в уравнении
12
Очевидно, что при описанном преобразовании однородная система останется однородной.
Линейная система остается линейной при любом линейном
n
преобразовании искомых функций: zi = å α ik (x)yk (i=1, 2,...,
k=1
n), где aik(х) непрерывно дифференцируемы на (a, b), причем
указанное преобразование неособенное, т. е. определитель маæα11 α12 ... α1n ö÷
çç
÷
ççα21 α22 ... α2n ÷÷
÷÷ отличен от нуля (det A ≠ 0) во
трицы À = çç
çç ...
... ... ... ÷÷÷
÷
çç
çèαn1 αn2 ... αnn ÷÷ø
всем интервале (a, b).
Действительно, запишем это преобразование в векторной
форме: z = Ay. Покажем, что оно не нарушает вида уравнения
dy
= Py + f . Прежде всего, отметим, что существует обратное
dx
преобразование y = A-1z , где А–1 – матрица, обратная матрице
А (det A ≠ 0).
Продифференцируем z = Ay по переменной х, получаем
dz dA
dy dA
dA -1
=
y+A
=
y + A (Py + f ) =
A z + APA-1z + Af ,
dx dx
dx dx
dx
dz
dA -1
= A1z + f1, где À1 =
A + APA-1, f1 = Af , т. е. при лиdx
dx
нейном неособенном преобразовании искомых функций линейная система остается линейной.
или
2.2. Однородные линейные системы
с переменными коэффициентами
Рассмотрим однородную линейную систему
n
dyk
= å Pkl (x)ye (k = 1, 2,..., n), dx l=1
(2.3)
где коэффициенты Рkl(х) непрерывны на (a, b). Покажем, что она
всегда имеет n частных решений, из которых можно построить
общее решение. С этой целью отметим сначала следующие свойства решений системы (2.3):
13
1) если y1=y1(x), y2=y2(x),..., yn=yn(x) есть частное решение
системы (2.3), то y1=С y1(x), y2=С y2(x),..., yn=С yn(x), где С – произвольная постоянная – тоже будет решением;
2) если известно m частных решений
ü
y11, y12 , ..., y1n -1-å ðåøåíèå ï
ï
ï
y21, y22 , ..., y2n - 2-å ðåøåíèå ï
ï ý,
ï
...
...
...
... ... ...
ï
ï
ym1, ym2 , ..., ymn - m-å ðåøåíèåï
ï
ï
þ
(*)
то их линейная комбинация с произвольными постоянными коm
эффициентами С1, С2,... Сm y =
(k=1, 2,..., n) тоже будет
k å Ci yik
решением.
i=1
Совокупность (∗) представляет собой m систем функций,
определенных и непрерывных на (a, b). Эти системы называются линейно независимыми в интервале (а, b), если тождества
m
å αi yik º 0
(k=1, 2,..., n, a < x < b) могут выполняться только
i=1
при a1=a2=... am=0. В противном случае, системы функций называются линейно зависимыми в интервале (а, b).
Докажем две теоремы, устанавливающие признаки линейной
зависимости любых n систем функций и линейной независимости n решений однородной системы (2.3).
Пусть имеется n систем функций
y11, y12 , ..., y1n ü
ï
ï
ï
y21, y22 , ..., y2n ï
ï ý.
...
... ... ... ï
ï
ï
yn1, yn2 , ..., ynn ï
ï
ï
þ
(2.4)
Введем в рассмотрение определитель Вронского:
y11
y21
W (x) =
...
yn1
y12
y22
...
yn2
... y1n
... y2n
.
... ...
... ynn
Теорема 1. Если системы функций (2.4) линейно зависимы в
интервале (a, b), то W(x) ≡ 0 – в (a, b).
14
n
Доказательство. Действительно,
å αi yik º 0
i=1
мы
имеем
тождества
(k=1, 2,..., n, a < x < b), где не все ai равны нулю, а
это возможно только в том случае, когда W(x) ≡ 0 в (a, b).
Теорема 2. Если системы функций (2.4) суть решения однородной линейной системы (2.3), линейно независимые в (a, b), то
W(x) не обращается в нуль ни в одной точке х∈ (a, b).
Доказательство. В самом деле, пусть W(x0)=0, х ∈ (a, b). Составим систему уравнений
n
å Ñi yik (õ0 ) = 0. Эта система имеет не-
i=1
(0)
Ñ1 = Ñ1 , Ñ2
нулевое решение
шение системы (2.3):
= Ñ2(0) ,..., Ñn = Cn(0) . Построим ре-
n
yk = å Ñi(0) yik (õ) (k=1, 2,..., n).
i=1
Это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям
yк(x)=0 при х=х0, а тогда, в силу теоремы единственности, оно
является нулевым, т. е. имеют место тождества
n
å Ñi(0) yik (õ) º 0
i=1
(k=1, 2,..., n; a < x < b), где не все Ñi(0) равны нулю, что невозможно, ибо решения (2.4) линейно независимы в (а, b).
Из доказанных теорем следует, что для того, чтобы n частных
решений (2.4) были линейно независимы в (a, b), необходимо и
достаточно, чтобы W(x) не обращался в нуль в (a, b).
На самом деле, достаточно проверить, что W(x) отличен от
нуля в какой-нибудь одной точке х=х0 из (a, b), ибо если W(x0) ≠ 0,
х0 ∈ (a, b), то W(x) ≠ 0 при всех х ∈ (a, b).
Определитель Вронского n частных решений однородной линейной системы (2.3) выражается через сумму диагональных
элементов матрицы коэффициентов этой системы формулой
Остроградского–Лиувилля–Якоби:
æx n
ö÷
çç
÷
W (x) = W (x0 )expçç ò å Pii (x)dx÷÷.
÷
ççèx0 i=1
ø÷÷
Следствия из формулы:
1) если W(x0)=0, х0 ∈ (a, b), то W(x)=0 V х ∈ (a, b);
2) если W(x0) ≠ 0, х0 ∈ (a, b), то W(x) ≠ 0 V х ∈ (a, b).
15
Совокупность n линейно независимых в (a, b) частных решений однородной линейной системы (2.3) называется фундаментальной системой решений.
Фундаментальную систему решений можно записать в виде
матрицы, предполагая, что каждая строка этой матрицы есть решение системы (2.3):
æ y11 y12 ... y1n ö÷
çç
÷
ççy21 y22 ... y2n ÷÷
÷÷.
çç
çç ... ... ... ... ÷÷÷
÷
çç
çèyn1 yn2 ... ynn ÷÷ø
Теорема 1. Если коэффициенты системы (2.3) непрерывны
в интервале (a, b), то фундаментальная система решений существует.
Доказательство. Действительно, построим, пользуясь теоремой Пикара, n решений, удовлетворяющих следующим начальным условиям:
y1k : y11 = 1, y12 = 0, ..., y1n = 0 ü
ï
ï
ï
y2k : y21 = 0, y22 = 1, ..., y2n = 0 ï
ï
ý ïðè x = x0 Î (a, b).
................. ............ ... ...........ï
ï
ï
ynk : yn1 = 0, yn2 = 0, ..., ynk = 1 ï
ï
ï
þ
Эти решения образуют фундаментальную систему решений
(ФСР), ибо W(x0)=1≠ 0.
Теорема 2. Если система функций (2.4) есть ФСР однородной
линейной системы (2.3), то
n
yk = å Ñi yik (ê = 1, 2,..., n), (2.5)
i=1
где Ci – произвольные постоянные, есть и общее решение системы
(2.3) в области
a < x < b; |уk| <+∞ (к=1, 2,..., n).
(2.6)
Доказательство. В самом деле, вспоминая определение общего решения нормальной системы, заметим, прежде всего, что
указанная область есть область существования и единственности решения задачи Коши для системы (2.3) и что функции (2.5)
определены в области a < x < b, |C1| <+∞, |C2| <+∞,..., |Cn| <+∞ и
непрерывно дифференцируемы по х.
16
Проверим теперь выполнение обоих пунктов определения общего решения:
1) система (2.5) разрешима в области (2.6) относительно произвольных постоянных Сi;
2) функции (2.5) образуют решение системы (2.3) при всех
значений произвольных постоянных Сi. Следовательно, (2.5)
есть общее решение системы (2.3) в области (2.6).
Для решения задачи Коши с начальными данными
x0 , y1(0) , y2(0) ,..., yn(0) из области (2.6) нужно подставить их в общее
n
решение (2.5) и разрешить полученную систему yk(0) = å Ñi yik (x0 )
i=1
(k=1, 2,..., n) относительно Сi. Подставляя найденные значения
Ci = Ñi(0) в общее решение (2.5), мы получим искомое решение
n
yk = å Ñi(0) yik (x) (k = 1, 2,..., n). (2.7)
i=1
Других решений нет.
Если фиксировать x0, а y1(0) , y2(0) ,..., yn(0) считать произвольными, то Ñi(0) будут линейными функциями от y1(0) , y2(0) ,..., yn(0) и
формула (2.7) дает общее решение системы (2.3) в форме Коши.
Все решения однородной линейной системы (2.3) содержатся
в формуле общего решения (2.5) или (2.7). Система (2.3) не может иметь более чем n линейно независимых частных решений.
Задание 2. Решить системы уравнений, сведя их к линейному
дифференциальному уравнению второго порядка:
ìïx = x - y
2.1) ïí
; ïïîy = -4x + y
ïìx = 5x + 3y
2.3) ïí
;
ïïîy = -3x - y
ïìïx = 2x - y
2.5) í
;
ïïîy = 4x - 2y
ïìx = -x - 5y
2.7) ïí
;
ïïîy = x + y
ìïïx = x + y,
x(0) = 0
2.9) í
;
ïïîy = -2x + 4y, y(0) = -1
ìïx = -x + 8y
2.2) ïí
;
ïïîy = x + y
ïìx = x - y
2.4) ïí
;
ïïîy = -4x + 4y
ïìx = x - 3y
2.6) ïí
;
ïïîy = 3x + y
ìx = 2x + y, x(0) = 0
ï
2.8) ï
;
í
ï
ï
îy = x - 3y, y(0) = 0
ìïx = 4x - 5y, x(0) = 0
2.10) ïí
;
ïïîy = x,
y(0) = 1
17
ìïx = -2x + 4y
2.11) ïí
;
ïïy = -x + 3y + 3t2
î
ìïïx = y - 5 cos t
2.13) í
;
ïïîy = 2x + y
ìïx = 2x + y + et
2.15) ïí
;
ïïy = -2x + 2t
î
ìïx = 3x + 2y + 4e5t
2.12) ïí
;
ïïy = x + 2y
î
ïìx = 2x - y
2.14) ïí
;
ïïy = -x + 2y - 5et sin t
î
ìx = 5x - 3y + 2e3t
ï
ï
2.16) í
.
-t
ï
ï
ï
îy = x + y + 5e
§ 3. Линейные однородные системы
с постоянными коэффициентами
3.1. Метод Эйлера
n
dyk
= å akl ye + fk (õ), коэфdx l=1
фициенты которой акl суть постоянные вещественные числа, а
правая часть f(x) непрерывна в интервале (a,b). Если f(x)≡ 0, то
линейная система называется однородной:
Рассмотрим линейную систему
n
dyk
= å akl ye . dx l=1
(3.1)
Следуя Эйлеру, покажем, что существует фундаментальная
система решений, состоящая из элементарных функций. Тем самым будет доказано, что любая линейная система с постоянными
коэффициентами всегда может быть проинтегрирована.
Будем искать решение системы (3.1) в виде
y1 = γ1åλõ , y2 = γ2 eλx ,..., yn = γn eλx , (3.2)
где g1, g2,..., gn, l – постоянные числа, причем числа g1, g2,..., gn не
равны нулю одновременно (так как наша цель – построить фундаментальную систему решений, а нулевое решение не может
входить в нее). Подставляя (3.2) в систему (3.1) и сокращая на
еlх, получим
ì(a11 - λ) γ1 + a12 γ2 + ... + a1n γn = 0
ï
ï
ï
ï
ïa21 γ1 + (a22 - λ) γ2 + ... + a2n γn = 0 (3.3)
.
í
ï
.............................................
ï
ï
ï
ï
ï
îan1 γ1 + an2 γ2 + ... + (ann - λ) γn = 0
18
Эта система имеет ненулевое решение относительно g1, g2,..., gn
тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы этой
однородной системы алгебраических уравнений равен нулю, т. е.
l является корнем уравнения
a11 - λ
a12
a21
a22 - λ
∆(λ) =
...
...
an1
an2
...
a1n
...
a2n
= 0. ...
...
... ann - λ
(3.4)
Уравнение (3.4) называется характеристическим уравнением, а его корни – собственными числами (3.1). Полином n-й
степени D(l), стоящий в левой части уравнения (3.4), называется
характеристическим полиномом.
Структура фундаментальной системы решений зависит от
вида корней характеристического уравнения.
Случай 10. Рассмотрим сначала случай, когда все корни l1, l2,
…, ln характеристического уравнения (3.4) различные. В этом
случае, полагая в системе (3.3) l=li (i=1, 2, …, n), получим следующую алгебраическую однородную линейную систему относительно g1, g2, …, gn:
ì(a11 - λ i ) γ1 + a12 γ2 + ... + a1n γn = 0
ï
ï
ï
ï
ïa21 γ1 + (a22 - λ i ) γ2 + ... + a2n γn = 0
.
í
ï
...............................................
ï
ï
ï
ï
ï
îan1 γ1 + an2 γ2 + ... + (ann - λ i ) γn = 0
Ранг матрицы коэффициентов этой системы равен n – 1. Действительно, вычисляя производную от D(l) (дифференцируя при
этом поочередно каждый столбец определителя D(l) и складывая
полученные определители), найдем
n
∆ ¢(λ) = -å ∆ ii (λ),
i=1
где ∆ ii (λ) – алгебраическое дополнение диагонального элемента
aii - λ.
Так как ∆ ¢(λ) ¹ 0, то хоть один из ∆ ii (λ i ) ¹ 0, так что ранг системы (3.5) равен n – 1. Поэтому система (3.5) имеет бесчисленное множество ненулевых решений, определенных с точностью
до постоянного множителя.
19
Пусть g1=gi1, g2=gi2, …, gn=gin есть одно из этих решений. Заметим, что в качестве gik можно взять алгебраические дополнения
элементов любой строки определителя системы (3.5), если все
они не равны одновременно нулю, а такая строка всегда найдется.
Выполняя указанные вычисления для каждого li, подставляя
найденные значения чисел g1, g2,..., gn в формулы (3.2) и заменяя
l на li, получим n решений системы (3.1):
ì
ï
y11 = γ11eλ1x , y12 = γ12 eλ1x ,
ï
ï
ï
λ x
λ x
ï
ï y21 = γ21e 2 , y22 = γ22 e 2 ,
í
ï
...
...
ï
ï
ï
λn x
λn x
ï
ï
ï
îyn1 = γn1e , yn2 = γn2e ,
...,
y1n = γ1n eλ1x
..., y2n = γ2n eλ2x
. (3.5)
...,
...;
..., ynn = γnn eλn x
Эти решения линейно независимы в интервале (–∞,+∞). Если
все li вещественны, то эти решения будут вещественными и образуют фундаментальную систему решений.
n
Поэтому yk = å Ci γ ik åλi x (k=1, 2, …, n) будет общим решением
i=1
системы (3.1) в области x < +¥, yk < +¥ (k=1, 2, …, n).
Случай 20. Если корни характеристического уравнения различны, но среди них имеются комплексные.
Тогда комплексные корни будут входить сопряженными парами. Укажем вид вещественных частных решений, соответствующих паре корней а ± ib. Корню а ± ib отвечает комплексное
решение
y1 = (γ1(1) + iγ1(2) )e(a+ib) x ,..., yn = (γn(1) + iγn(2) )e(a+ib) x .
Отделяя вещественные и мнимые части, получим два вещественных линейно независимых частных решения:
ìïy = eax (γ (1) cos bx - γ (2) sin bx),...
ïï 11
1
1
ïï
ïïy1n = eax (γn(1) cos bx - γn(2) sin bx)
.
í
ïïy = eax (γ (1) sin bx - γ (2) cos bx),...
1
1
ïï 21
ïï
ax (1)
(2)
ïîy2n = e (γn sin bx + γn cos bx)
(3.6)
Вещественные решения, соответствующие корню a – bi, и решения, соответствующие корню a+bi, будут линейно зависимы.
20
Таким образом, паре сопряженных комплексных корней a ± ib
соответствуют два вещественных линейно независимых частных
решения вида (3.6). Построив вещественные линейно независимые частные решения, соответствующие всем вещественным
корням и каждой паре сопряженных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными даст общее
решение (3.1).
Случай 30. Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть l1 – корень кратности К. Тогда можно доказать, что ему соответствует семейство
решений, зависящее от К произвольных постоянных вида
y1 = P1 (x)eλ1x , y2 = P2 (x)eλ1x ,..., yn = Pn (x)eλ1x , (3.7)
где Р1(х), Р2(х),..., Рn(х) – полиномы от х степени не выше К – 1,
причем К коэффициентов этих полиномов произвольно, а остальные выражаются через них. Коэффициенты этих полиномов
можно определить подстановкой (3.7) в систему (3.1).
Если l1 вещественно и К=n, то семейство (3.7) и является общим решением системы (3.1).
Формулы (3.7) дают возможность найти К линейно независимых частных решений, соответствующих корню l1 (кратности
К). Для этого нужно положить поочередно один из произвольных
коэффициентов полиномов Р1(х), Р2(х),…, Рn(х) равным единице,
а остальные – равными нулю. Если l1 вещественно, то эти К решений вещественны.
Если l1=a+ib – комплексный корень кратности К, то ему и сопряженному с ним корню l2=a – ib той же кратности соответствуют 2К вещественных линейно независимых частных решения.
Чтобы их найти, рассмотрим семейство комплексных решений,
соответствующих корню l1=a+ ib.
y1 = éê P1(1) (x) + iP1(2) (x)ùú e(a+ib) x ,..., yn = éê Pn(1) (x) + iPn(2) (x)ùú e(a+ib) x .
ë
û
ë
û
Отделяя вещественные и мнимые части, получим два вещественных семейства, соответствующих корню a+ib.
y1(1) = eax éê P1(1) (x)cos bx - P1(2) (x)sin bxùú ,...,
ë
û
(1)
(2)
ax é (1)
yn = e ê Pn (x)cos bx - Pn (x)sin bxùú ,
ë
û
21
y1(2) = eax éê P1(1) (x)sin bx + P1(2) (x)cos bxùú ,...,
ë
û
(2)
(2)
ax é (1)
yn = e ê Pn (x)sin bx + Pn (x)cos bxùú .
ë
û
Отсюда тем же приемом, что и выше, наедем 2К вещественных линейно независимых частных решений. Эти 2К решений
можем считать соответствующими паре а ± ib, ибо решения, отвечающие соответственно корням а+ib и а – ib, линейно зависимы.
Построив линейно независимые частные решения, соответствующие всем простым и кратным корням по указанным выше
правилам, получим фундаментальную систему решений. Как и
в случае простых корней характеристического уравнения, она
будет состоять из элементарных функций. По найденной фундаментальной системе решений известным образом строится общее
решение.
Пример 1. Найти общее решение системы уравнений
ì
dy
ï
ï
= 4y - z
ï
dx
ï
.
í
ï
dz
ï
=
y
+
z
2
ï
ï
ï dx
î
Решение. Характеристическое уравнение:
4-λ
1
= 0 Û λ2 - 6λ + 9 = 0 êîðåíü λ1 = λ2 = 3.
1
2-λ
Следовательно, существует решение вида
y = ( A1x + A2 )e3x , z = (B1x + B2 )e3x .
Подставим его в исходную систему и сократим на е3х, получим
3( A1x + A2 ) + A1 = 4( A1x + A2 ) - (B1x + B2 )ïüï
ý,
3(B1x + B2 ) + B1 = A1x + A2 + 2(B1x + B2 ) ïïþ
или
(- A1 + B1 )x + A1 - A2 + B2 üïï
ý.
(B1 - A1 )x + B1 + B2 - A2 = 0ïïþ
Отсюда получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных А1, А2, В1, В2.
22
–А1+ В1=0, А1 – А2+В2=0, В1 – А1=0, В1+ В2 – А2=0, среди которых независимых лишь два: В1 – А1=0, А1 – А2+В2=0.
Из этих уравнений находим: В1=А1, В2=А2 – А1, причем, как
и следовало ожидать, два коэффициента (А1 и А2) остаются произвольными.
Таким образом, система имеет общее решение:
у=(А1х+А2) е3х, z=(A1x+ A2 – A1) e3x.
В качестве фундаментальной системы решений можно взять
3x
3x
ì
ï
ïy1 = xe , z1 = (x -1)e
.
í
3x
3x
ï
ï
ï
îy2 = e , z2 = e
Пример 2. Найти общее решение системы уравнений
ìï dy1
ïï
= -y1 + y2 + y3
ïï dx
ïï dy
ïí 2 = y - y + y .
1
2
3
ïï dx
ïï dy
ïï 3 = y + y - y
1
2
3
ïïî dx
Решение. Характеристическое уравнение:
-1 - λ
1
1
1
-1 - λ
1 = 0 ⇔ l3+2l2 – 4=0 корни l1=1, l2=l3=–2.
1
1
-1 - λ
Пусть l=l1=1, тогда решение ищем в виде у11=g1 ех, у12=g2 ех,
у13=g3 ех.
-2γ1 + γ2 + γ 3 = 0ïüï
ý Þ γ1 = 1, γ2 = 1, γ 3 = 1,
γ1 - 2γ2 + γ 3 = 0 ïïþ
тогда у11=ех, у12=ех, у13=ех.
Пусть l=l2,3=–2, тогда решение ищем в виде
у1=(А1х+ А2)е–2х, у2=(В1х+В2) е–2х, у3=(С1х+С2)е–2х.
Подставим выражение для у1, у2, у3 в соответствующую систему уравнений:
-2( A1x + A2 ) + A1 = (- A1 + B1 + C1 )x - A2 + B2 + C2 ü
ï
ï
ï
-2(B1x + B2 ) + B1 = ( A1 - B1 + C1 )x + A2 - B2 + C2 ï
ý.
ï
ï
-2(C1x + C2 ) + C1 = ( A1 + B1 - C1 )x + A2 + B2 - C2 ï
ï
þ
23
Приравняем коэффициенты при х и свободных членах:
ü
- A1 - B1 - C1 = 0, -A2 + A1 - B2 - C2 = 0ï
ï
ï
-B1 - A1 - C1 = 0, -B2 + B1 - A2 - C2 = 0 ï
ý.
ï
ï
-C1 - A1 - B1 = 0, -C2 + C1 - A2 - A2 = 0 ï
ï
þ
Выполнив преобразования, получим:
A1 + B1 + C1 = 0, A1 - B1 = 0, B1 - C1 = 0üïï
ý.
ïïþ
A1 = B1 = C1 = 0, C2 = -( A2 + B2 )
Тогда y1=A2e–2x, y2=B2e–2x, y3=–(A2+B2)e–2x, где А2 и В2 произвольны.
Фундаментальной системой решений будет
ü
ex
ex
ex ï
ï
ï
-2 x
2x ï
0
e
-e ï
ý.
ï
-2 x
-2 x ï
ï
0
e
-e
ï
ï
þ
Общее решение системы имеет вид
ìy = C ex + Ñ e-2x
ï
ï
1
1
2
ï
ï
x
-2 x
ï
.
íy2 = C1e + Ñ3 e
ï
ï
x
2
x
2
x
ï
y = C1e - Ñ2 e
- C3 e
ï
ï
î 3
Задание 3. Решить системы уравнений методом Эйлера:
ïìx = -x - 2y
ïìx = 2x + y
ïìx = x - 4y
3.1) ïí
;
3.2) ïí
;
3.3) ïí
;
ïïîy = 3x + 4y
ïïîy = -x + 4y
ïïîy = x + y
ì
 = 3x - y + z
x
ï
ï
ï
3.4) ï
(λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 5);
íy = x + y + z
ï
ï
ï
ï
îz = 4x - y + 4z
ì
x = 4x - y - z
ï
ï
ï
3.5) ï
íy = x + 2y - z (λ1 = 2, λ2 = λ3 = 3);
ï
ï
ï
ï
îz = x - y + 2z
ì
x = -x + y - 2z
ï
ï
ï
3.6) ï
(λ1 = 1, λ2 = λ3 = -1);
íy = 4x + y
ï
ï
ï
ï
îz = 2x + y - z
24
ì
ï
x = 2x + y
ï
ï
ï
3.7) íy = x + 3y - z
(λ1 = 2, λ2,3 = 3 ± i).
ï
ï
ï

2
3
z
x
y
z
=
+
+
ï
î
3.2. Матричный метод
Введем понятие экспоненты матрицы, это есть сумма ряда
eA = E +
¥
1
1
1
1
A + A2 + A 3 + ... = å À k ,
k!
1!
2!
3!
k=0
где Е – единичная матрица.
Свойства матричной экспоненты:
1) если АВ=ВА, то еА+В=еАеВ=еВеА;
2) если А=Т–1JТ, то еА=Т–1 eJТ;
3) матрица Х(t)=eAt является решением матричной задачи
dX
Коши:
= AX, X (0) = E, т. е. является фундаментальной маdt
трицей однородной системы (3.1):
dx
= A (x).
dt
Из свойства 3) следует, что решение x(t) системы (3.1), удовлетворяющее условию х(0)=х0, определяется выражением
х(t)=eAtx0.
Таким образом, задача нахождения решений системы уравнений (3.1) эквивалентна задаче отыскания матрицы eAt по матрице А.
Для вычисления матрицы eAt удобно представить матрицу А
в виде
А=Т–1JT,
где J – жорданова форма матрицы А, так как
eAt=Т–1еJtT.
Справедлива формула Остроградского–Лиувилля:
t
det e
At
ò Sp Adr
=e0
.
25
Пример 3. Найти общее решение системы уравнений
dx
dy
= -3x + 4y,
= -x + y.
dt
dt
Решение. Характеристическое уравнение:
-3 - λ
4
= 0 Û λ2 + 2λ + 1 = 0.
-1
1- λ
Собственные числа матрицы А: l1=l2=–1.
æ-3 - (-1)
4 ö÷ æç-2 4ö÷ æç1 -2ö÷
÷=ç
÷»ç
÷
Ранг
матрицы
( A - λE) = çç
1 - (-1)÷ø÷ èç-1 2÷ø÷ èç0 0 ÷ø÷
èç -1
ö æ-2 4÷ö æ1 -2÷ö
÷÷÷ = çç
÷ » çç
÷ равен 2, следовательно, жорданова форма матрицы А
1)÷ø çè-1 2÷÷ø çè0 0 ÷÷ø
æ-1 1 ö÷
÷.
есть J = çç
çè 0 -1÷÷ø
æa b ÷ö
÷, для которой А=Т–1JT, определим из
Матрицу T = çç
çè c d÷÷ø
æa b öæ
÷÷çç-3 4ö÷÷ = æçç-1 1 öæ
÷÷çça b ö÷÷, которое эквивалентно
условия ççç
÷
÷
÷÷ç c d÷÷
ç
ç
÷ -1 1ø÷ è 0 -1øè
è c døè
ø
системе алгебраических уравнений: 2а+b+c=0, 2c+d=0.
Одно из решений этой системы уравнений есть а=–1, b=1, c=1,
d=–2, поэтому
æ-2 -1ö÷
æ-1 1 ö÷
÷.
÷÷, T-1 = çç
T = çç
çè-1 -1÷÷ø
çè 0 -2÷ø
Таким образом,
æç-1
æ-2 -1ö÷ çççè 0
e At = çç
÷÷e
èç-1 -1÷ø
æç-1 1 ö÷
÷
ççèç 0 -1÷ø÷t
Поскольку e
æ-2 -1ö÷æçe-t
÷÷çç
e At = ççç
è-1 -1ø÷çèç 0
26
1 ö÷
÷t
-1ø÷÷ çæ-1
ç
çè 1
1 ÷ö
÷.
-2÷÷ø
æ1 t ö÷
÷
çè0 1÷÷ø, окончательно имеем
te-t ö÷÷æç-1 1 ö÷ æç-2e-t -e-t (1 + 2t)ö÷÷æç-1 1ö÷
÷÷ = çç
÷÷ =
÷÷çç
÷÷çç
-e-t (1 + t) ø÷è 1 2ø÷
e-t ÷øè 1 -2ø÷ çèç -e-t
-t
æ
4te-t ö÷÷
ç(1 - 2t)e
= çç
÷÷.
çç te-t
(1 + t)e-t ø÷
è
= e-t çç
Общее решение:
х(t)=C1 (1 – 2t)e–t+4C2 te –t, y(t)=C1 te–t+C2(1+t)e –t.
Частное решение. Задача Коши: х(0)=1, y(0)=0.
æx(t)ö÷
æ1ö æç(1 - 2t)e-t
çç
÷÷ = e At çç ÷÷÷ = çç
çè y(t) ÷ø
çè0÷ø çç
-t
è te
4te-t ö÷÷æç1ö÷ çæ(1 - 2t)e-t ö÷÷
÷÷çç ÷÷ = çç
÷÷.
(1 + t)e-t ÷øè0÷ø ççè te-t ø÷
Тогда х(t)=(1 – 2t)e–t, y(t)=te–t.
Задание 4. Решить системы уравнений матричным методом:
ïìx = x + y
ïìx = x + y
ïìx = 4x - y
4.1) ïí
;
4.3) ïí
;
4.2) ïí
;
ï
ïïîy = -2x + 3y
ï


ïîy = -2x + 4y ïîy = x + 2y ì
x = 2x - y + z
ï
ï
ï
4.4) ï
íy = x + 2y - z (λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3);
ï
ï
ï
ï
îz = x - y + 2z
ìx = -2x + y - 2z
ï
ï
ï
4.5) ï
(λ1 = 3, λ2 = λ3 = -1);
íy = x - 2y + 2z
ï
ï

ï
z
3
x
3
y
5
z
=
+
ï
î
ì
ï
x = x - y - z
ï
ï
ï
4.6) íy = x + y
(λ1 = 1, λ2,3 = 1 ± 2i);
ï
ï
ï

ï
îz = 3x + z
ì
x = x - 2y - z
ï
ï
ï
ï
4.7) íy = -x + y + z (λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = -1);
ï
ï
ï
ï
îz = x - z
ì
ïx = 2x - y + 2z
ï
ï
ï
(λ1 = 1, λ2,3 = ±i).
4.8) íy = x + 2z
ï
ï
ï
ï
îz = -2x + y - z
§ 4. Линейные неоднородные системы
с постоянными коэффициентами
4.1. Метод Лагранжа
Рассмотрим неоднородную линейную систему
n
dyk
= å Pkl yl + fk (õ) (k=1, 2, …, n),
dx l=1
(4.1)
27
или в векторной форме:
dy
= Py + f , (4.1′)
dx
где коэффициенты Рkl(x), или, что то же, матрица Р(х), непрерывны в интервале (а, b).
Если известно частное решение системы (4.1) или (4.1′), то интегрирование ее может быть приведено к интегрированию соответствующей однородной системы
n
dZk
= å Pkl(x) Zl (k=1, 2, …, n),
dx l=1
(4.2)
или в векторной форме:
dZ
= PZ. (4.2′)
dx
{
Действительно, пусть y (1) = y1(1) , y2(1) ,..., yn(1)
шение уравнения (4.1′), т. е.
} есть частное ре-
dy (1)
= Py (1) + f (а < x < b).
dx
Тогда, полагая в уравнении (4.1′) y = y (1) + Z, где Z = {Z1, Z2 ,..., Z
Z = {Z1, Z2 ,..., Zn },
dy (1) dZ
+
= Py (1) + PZ + f ,
dx
dx
получим
или
dZ
= PZ.
dx
Если Zik (i, k=1, 2,..., n) – фундаментальная система решений
однородной системы (4.2), то
n
yk = yk(1) + å Ci Zik (k = 1, 2,..., n) (4.3)
i=1
будет общим решением системы (4.1) в области а < x < b, ók < +¥
(k=1, 2, …, n). Все решения неоднородной системы содержатся в
(4.3).
Теорема. Общее решение y(x) неоднородной линейной системы (4.1) равно сумме общего решения соответствующей однородной системы (4.2) и любого частного решения данной неоднородной системы (4.1).
Метод Лагранжа. Метод вариации произвольных постоянных дает возможность всегда найти общее решение неоднород28
ной линейной системы (4.1), если известна фундаментальная система решений соответствующей однородной системы.
Пусть Zik (i, k=1,2,..., n) – ФСР однородной системы (4.2). Тогда ее общее решение имеет вид
n
Zk = å Ci Zik (k = 1, 2,..., n),
i=1
где Сi – произвольные постоянные.
Будем искать общее решение неоднородной системы (4.1) в
виде
n
yk = å Ci (õ) Zik (k = 1, 2,..., n), (4.4)
i=1
где Сi(х) – некоторые непрерывно дифференцируемые функции
от х.
Подставляя (4.4) в (4.1), находим
n
å
i=1
n
n
n
i=1
l=1
i=1
¢ =å Pkl (õ) å Ci (õ) Zil + fk (õ) (k = 1, 2,..., n),
Ci¢(õ) Zik + å Ci¢(õ) Zik
или
n
n
n
i=1
i=1
l=1
å Ci¢(õ)Zik + å Ci (õ)[Zik¢ -å Pkl (õ)Zil ] = fk (õ),
n
так как выражения в квадратных скобках=0, то
n
å Ci¢(õ)Zik = fk (õ).
i=1
å Ci¢(õ)Zik = fk (õ). Решая эту систему относительно Ñi¢(x), получаем:
i=1
Ñi¢(x) = ϕi (x) (i=1, 2, …, n),
где ji(x) непрерывны в (а, b). Проинтегрировав, находим:
Ci (x) = ò ϕi (x)dx + Ci .
Подставляя эти значения Сi (х) в (4.4), получим
n
n
n
i=1
i=1
i=1
yk = å Zik ò ϕi (x)dx + å Ci Zik = ók(1) + å Ci Zik .
Это есть общее решение системы (4.1).
29
Пример 1. Решить систему уравнений
dx
dy
= y + tg2t -1;
= -x + tg t.
dt
dt
Решение. Сначала находим общее решение соответствующей
однородной системы (ОС):
dx
dy
= y,
= -x.
dt
dt
Общее решение ОС:
х=С1 сos t+C2 sin t,
y=–C1 sin t+С2 сos t.
Решение неоднородной системы (НС) ищем в виде
х=С1 (t) cos t+C2 (t) sin t,
y=–C1 (t)sin t+С2 (t)cos t.
Для определения функций С1(t) и C2(t) имеем уравнения
2
ì
ïíïÑ1¢ (t)cos t + C2¢ (t)sin t = tg t -1.
ïï-Ñ ¢ (t)sin t + C ¢ (t)cos t = tg t
2
î 1
Отсюда
C1¢ (t) = - cos t, C2¢ (t) =
sin3 t
cos2 t
.
Интегрируя, находим:
C1 (t) = C1 - sin t, C2 (t) = C2 +
1
+ cos t.
cos t
Следовательно, общее решение НС:
х(t)=С1 cos t+C2 sin t+tg t;
y(t)=–C1 sin t+С2 cos t+2.
Задание 5. Решить системы уравнений методом Лагранжа:
ì
x = -x + 2y
ï
ì
1
ï
ï
ï
ï
ïx = x - y + cos t ;
ï
3t ;
5
.
2
)
5.1) í
í
e
ï
ï
y = -3x + 4y +
ï
ï
2t
ï
ï
îy = 2x - y
e + 1 ï
î
30
ïìx = 3x - 2y
5.3) ïí
;
ïïy = 2x - y + 15et t
î
ïìïx = x - y + 8t
5.5) í
;
ïïîy = 5x - y
ìïx = -2x + y - e2t
ï
5.4) í
;
ïïy = -3x + 2y + 6e2t
ïî
ïìx = x - y + 2 sin t
5.6) ïí
.
ïïîy = 2x - y
4.2. Метод неопределенных коэффициентов
В том случае, если функция fk(х) состоит из сумм и произведе-
ний функций à0 + à1õ + ... + àm xm , eαx , cos bx, sin bx для нахождения частного решения НС можно использовать метод Эйлера
(метод неопределенных коэффициентов). Это делается по тем же
правилам, что для одного линейного уравнения с постоянными
коэффициентами со следующим изменением.
Если fk (õ) = Ðòk (õ)å γõ , где Ðòk (õ) – многочлен степени mk, то
частное решение системы (4.1) ищется в виде
i
γx
(i=1, 2, …, n), (4.5)
yi = Qm
+s (x)e
i
где Qm
+s (x) – многочлен степени m+s c неизвестными коэффициентами, m=max mi, s=0, если g не корень характеристического
уравнения, а если g – корень, то s можно взять равным кратности этого корня (или, точнее, s на 1 больше наибольшей из степеней многочленов, на которые умножаются egx в общем решении
однородной системы). Неизвестные коэффициенты многочленов
определяются путем подстановки (4.5) в данную систему (4.1) и
сравнения коэффициентов подобных членов.
Аналогично определяются степени многочленов и в случае,
когда fk (õ) содержит комбинации еaхсоs bx и еaхsin bx, а число
g=a+bi является корнем характеристического уравнения.
Пример 2. Решить систему уравнений
ì
dx
ï
ï
= y - 5 cos t
ï
dt
ï
.
í
ï
dy
ï
= 2x + y
ï
ï
ï
î dt
Решение. Сначала находим общее решение соответствующей
однородной системы:
dx
dy
= y,
= 2x + y.
dt
dt
31
Общее решение ОС имеет вид
x = C1e-t + C2e2t , y = -C1e-t + 2C2e2t .
Частное решение НС найдем методом Эйлера неопределенных
коэффициентов, полагая
x=A1sin t+B1cos t, y=A2sin t+B2cos t.
Подставляя эти выражения в данную систему уравнений,
получим уравнения для определения коэффициентов А1, В1,
А2, В2:
А1 – В2=–5, В1+ А2=0, А2 – 2В1 – В2=0, 2А1+В2+А2=0.
Решая эти уравнения, найдем А1=–2, В1=–1, А2=1, В2=3.
Общее решение НС имеет вид
x(t) = C1e-t + C2e2t - 2 sin t - cos t,
y(t) = -C1e-t + 2C2 e2t + sin t + 2 cos t.
Задание 6. Решить системы уравнений методом неопределенных коэффициентов:
ìïx = 4x + y - e2t
ìïx = 2x - 3y
6.1) ïí
;
6.2) ïí
;
ïïy = -2x + y
ïïîy = x - 2y + 2 sin t
î
ìïx = 2x - 4y + 4e-2t
ìïïx = 2x - y
6.4) ïí
;
6.3) í
;
ïïy = 2x - 2y
ïïîy = -2x + y + 18t
î
ìïx = -5x - y + et
ïìx = 4x - 3y + sin t
ï
6.5) ïí
;
6.6) í
;
ïïîy = 2x - y - 2 cos t
ïïy = x - 3y + e2t
ï
î
ïìïx = 2x + y - 2z - t + 2
ï
6.7) ïíy = -x + 1
.
ïï
ïïîz = x + y - z - t + 1
§ 5. Автономные системы
дифференциальных уравнений
5.1. Точки покоя
Рассмотрим уравнение
32
dy
= f (x, y). (5.1)
dx
Всякую точку (х0, у0), в которой правая часть уравнения (5.1)
определена и в некоторой окрестности которой выполнены оба
условия теоремы Пикара для самого уравнения (5.1) и для «перевернутого» уравнения
dx
1
=
,
(5.1′)
dy f (x, y)
будем называть обыкновенной точкой дифференциального уравнения (5.1). Всякую другую точку будем называть особой.
Через обыкновенную точку (х0, у0) проходит одно и только
одно решение у=у(х) уравнения (5.1) или решение х=y(у) уравнения (5.1′).
Если точка (х0, у0) особая, то в общем случае нельзя гарантировать даже существования решений с начальными данными х0,
у0, не говоря уже о единственности.
Вопрос о расположении особых точек и поведении интегральных кривых в окрестности особых точек есть один из основных
вопросов качественной теории дифференциальных уравнений, в
которой изучается геометрическая картина интегральных кривых, независимо от возможности проинтегрировать уравнение в
конечном виде.
Обычно изучают изолированные особые точки, т. е. особые
точки, в достаточно малой окрестности которых нет других особых точек.
Наиболее важным типом особых точек является точка неопределенности типа [0/0]. Это такая точка (х0, у0), в которой правая
часть уравнения (5.1) обращается в неопределенность [0/0].
Например, для уравнения
dy Y (x, y)
(5.2)
=
dx X(x, y)
всякая точка (х0, у0), в которой Х и Y одновременно обращаются
в нуль, будет особой точкой такого типа.
В частности, уравнение с однородной дробно-линейной правой
частью
dy ax + by
=
,
(5.3)
dx cx + dy
где а, b, c, d – постоянные вещественные числа, причем аd – bc ≠
≠ 0, имеет единственную изолированную особую точку типа [0/0].
Этой точкой будет начало координат х=0, у=0.
33
Для нормальной системы n-го порядка
dyk
= fk (x, y1, y2 ,..., yn ) (k = 1, 2,..., n) (5.4)
dx
понятия вводятся аналогично случаю одного уравнения (5.1).
Для автономной системы
dxk
= Xk (õ1, õ2 ,..., õn ) (k = 1, 2,..., n), (5.5)
dt
где t – время, а õ1, õ2 ,..., õn – координаты точки в фазовом пространстве (õ1, õ2 ,..., õn ), представляет интерес рассмотрение точек, в которых правые части этой системы одновременно обращаются в нуль.
Такие точки называются точками равновесия (покоя) системы (5.5). Исследование поведения траекторий системы (5.5) в
окрестности точек равновесия является важной задачей для
качественной теории дифференциальных уравнений. При этом
обычно предполагают, что в окрестности точки покоя выполняются условия теоремы Пикара, и точку покоя называют особой
точкой системы (5.5).
Например,
dx
dy
= cx + dy,
= ax + by. (5.6)
dt
dt
Единственной точкой покоя системы (5.6) является точка х=0,
у=0. Эта точка является также особой точкой уравнения (5.3).
Рассмотрим уравнение (5.3). Исследуем вопрос о возможном
поведении интегральных кривых уравнения (5.3) в окрестности особой точки х=0, у=0 в зависимости от коэффициентов а,
b, c, d.
Для этого уравнение (5.3) при помощи неособенного линейного преобразования
x=aх+bу, i=gх+δу,
(5.7)
где a, b, g, d – вещественные числа и ad – bg ≠ 0, приводят к некоторым простейшим формам. Вид этих форм зависит от характера
корней уравнения
ñ-λ
d
(5.8)
= 0, à
b-λ
которое называется характеристическим уравнением для (5.3), а
его корни – собственными числами уравнения (5.3).
34
Пуанкаре показал, что возможны следующие случаи, каждому из которых отвечает свое расположение интегральных кривых в окрестности особой точки.
Случай 10. Если корни характеристического уравнения l1 и
l2 различны, то уравнение (5.3) приводится к виду
dι λ1ι
.
=
dξ λ2 ξ
(5.9)
При этом различают четыре случая:
1) пусть l1 > l2 > 0.
Тогда интегральными кривыми уравнения (5.9) будут
λ1
ι = Ñ ξ λ2 (ξ ¹ 0); ξ = 0 (ι ¹ 0).
Все они примыкают к особой точке x=0, i=0. Причем интеλ1
λ2
гральные кривые ι = C | ξ | (ξ ¹ 0) примыкают к точке ζ=0, i=0,
касаясь в ней оси Оx, так как ιξ¢ ® 0 при x → 0. Полуоси оси Оi
x=0, (i ≠ 0) примыкают к особой точке x=0, i=0 со своим направлением касательной.
Особая точка такого типа называется узлом.
Так как линейное преобразование (5.7) не особое, то в окрестности особой точки х=0, у=0 мы будем иметь ту же качественную
картину расположения интегральных кривых.
Имеет место узел (рис. 1);
2) l1 и l2 вещественны и противоположных знаков.
Тогда к особой точке примыкает только конечное число интегральных кривых, а именно – четыре:
i=0, x ≠ 0; x=0 (i ≠ 0).
Всякая другая интегральная кривая обладает тем свойством,
что при x > 0 точка (x, i), лежащая на ней, сначала приближается
к особой точке x=0, i=0, а затем начинает удаляться от нее. Особая точка x=0, i=0 такого типа называется седлом. В этом случае
особая точка х=0, у=0 – тоже седло (рис. 2);
3) l1 и l2 – комплексные: l1=р+iq, l2=p – iq.
Тогда уравнение (5.9) будет комплексным:
dι ( p + iq)ι
=
.
dξ ( p - iq)ξ
35
Z
Z
Y
Рис. 1. Узел
Y
Рис. 2. Седло
Коэффициенты преобразования (5.7) можно выбрать так, что
оно примет вид
ξ = αx + β y, ι = αx + β y,
где α, β – комплексные числа, сопряженные с числами a, b. Тогда ι = ξ. Полагая,
x=и+iv, i=и – iv,
где и и v – вещественные переменные, получим
dv pv - qu
=
.
du pu + qv
(5.10)
P
v
- arctg
q
u
Интегрируя это уравнение, находим u2 + v2 = Ce
.
Перейдем к полярным координатам по формулам и=rcosj,
p
- ϕ
q
v=rsinj, получаем r = Ce
. Это логарифмические спирали на
плоскости (и, v).
В этом случае все интегральные кривые уравнения (5.10) примыкают к особой точке и=0, v=0 при j >+∞, если pq > 0, и при
j > –∞, если pq < 0, но не имеют в ней определенного направления.
Все интегральные кривые обходят бесконечное число раз особую точку и=0, v=0 в одном и том же направлении, асимптотически приближаясь к ней.
Та же качественная картина будет иметь место и в окружности точки х=0, у=0.
Особая точка такого типа называется фокусом (рис. 3);
36
Z
Z
Y
Рис. 3. Фокус
Y
Рис. 4. Центр
4) l1 и l2 – чисто мнимые: l1=iq, l2=–iq. В этом случае уравнение (5.10) примет вид
dv
u
=- .
du
v
Интегральными кривыми будут являться окружности
и2+v2=С2 с центром в особой точке и=0, v=0, а интегральными
кривыми уравнения (5.3) – эллипсы с центром в точке х=0, у=0.
В этом случае особая точка называется центром (рис. 4).
Случай 20. Корни характеристического уравнения кратные.
Возможны два случая:
b-c
1) уравнение (5.3) при помощи подстановки ξ = ax +
y, ι = y
2
dι ξ + λ1ι
b-c
b+c
, где l1=l2=
ax +
y, ι = y приводится к уравнению вида
.
=
2
2
dξ
λ1ξ
æ
ö
1
Интегральными кривыми будут ι = ξççC + ln ξ ÷÷÷ (x ≠ 0); x=0
÷ø
çè
λ1
(i ≠ 0).
Все они примыкают к особой точке ζ=0, i=0, касаясь в ней оси
Оi, так что все интегральные кривые примыкают к особой точке с
одним и тем же направлением касательной. Особая точка такого
типа называется вырожденным узлом (рис. 5);
dy y
2) уравнение (5.3) имеет вид
= . Интегральные кривые:
dx
x
у=С (х ≠ 0); х=0 (у ≠ 0).
х
37
Z
Z
Y
Y
Рис. 5. Вырожденный узел
Рис. 6. Дикритический узел
Все они примыкают к особой точке х=0, у=0, причем каждая
из них имеет свое направление касательной в этой точке. Особая
точка такого типа называется дикритическим узлом (рис. 6).
Пример. Определить тип особой точки х=0, у=0 для
dy 2x - y
=
. Соответствующая автономная система:
dx
x-y
dx
dy
= x - y;
= 2x - y.
dt
dt
Характеристическое уравнение:
-1
1- λ
= 0 Û λ2 + 1 = 0, λ1,2 = ±i Þ (0, 0) - öåíòð.
-1 - λ
2
Вопрос о типе особой точки х=0, у=0 для уравнения
dy ax + by + ϕ(x, y)
=
,
dx cx + dy + ψ(x, y)
(5.11)
где j(0, 0)=y(0, 0)=0, в некоторых случаях может решаться по
укороченному уравнению
dy ax + by
=
.
dx cx + dy
Оказывается, что если j и y имеют непрерывные частные производные в окрестности точки х=0, у=0 и
38
lim
ϕõ¢ + ϕó¢ + ψ õ¢ + ψ ó¢
x + y ®0
(x + y )
2
= 0 (α > 0),
то точка х=0, у=0 будет для уравнения (5.11) особой точкой того
же типа, что и для уравнения (5.3), если только для последнего
уравнения она не является центром.
Если же для уравнения (5.3) особая точка х=0, у=0 является центром, то для полного уравнения (5.11) она не всегда будет
центром.
Пуанкаре и Ляпунов показали, что для уравнения
dy -x + Q(x, y)
=
,
dx
y + P(x, y)
(5.12)
где P и Q – полиномы, не содержащие свободных и линейных членов, или функции, разложения которых в ряды по степеням х и
у начинаются членами не ниже второго измерения, особая точка
х=0, у=0 может быть (в зависимости от выбора P и Q) как цент- ром, так и фокусом, в то время как для укороченного уравнения
dy
x
= - точка х=0, у=0 будет особой точкой типа «центр».
dx
y
В связи с этим возникает проблема установления аналитического критерия для отличия центра от фокуса. Эта проблема в
качественной теории дифференциальных уравнений называется
проблемой центра и фокуса.
Задание 7. Определить тип точки покоя системы уравнений и
характер устойчивости:
ìïx = -2x + y
7.1) ïí
;
ïïîy = x - 2y
ìïx = -4x - 2y
7.2) ïí
;
ïïîy = 6x + 3y
ìïx = -7x + 4y
7.3) ïí
;
ïïîy = -2x - 5y
ìïx = 2x + y
7.4) ïí
;
ïïîy = 3x + 4y
ïìx = 3x + 2y
7.5) ïí
;
ïïîy = -x + y
ïìx = x - y
7.6) ïí
;
ïïîy = -4x + y
ìïx = -2x + y - 2z
ïï
7.8) ïíy = x - 2y + 2z ;
ïï
ïïîz = 3x - 3y + 5z
ìïx = 5x + 3y
7.7) ïí
;
ïïîy = -3x - y
ìïx = 2x - y - z
ïï
7.9) ïíy = 3x - 2y - 3z.
ïï
ïïîz = -x + y + 2z
39
5.2. Предельные циклы
Уравнение (5.11) эквивалентно автономной системе
ì
dx
ï
ï
= cx + dy + ψ(x, y)
ï
dt
ï
.
í
ï
dy
ï
=
+
+
ϕ
ax
by
x
y
(
,
)
ï
ï
ï dt
î
(5.13)
Предположим, что система первого приближения для системы (5.13)
ì
dx
ï
ï
= cx + dy
ï
ï dt
í
ï
dy
ï
=
ax
+
by
ï
ï
ï dt
î
(5.14)
имеет точку покоя типа «центр» в начале координат. Предположим, что нелинейные члены j(x, y) и y(x, y) имеют порядок
выше первого относительно x2 + y2 .
Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но
все же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой, поэтому выходящая из некоторой точки (х0, у0) траектория после обхода начала координат немного смещается по сравнению с проходящей через ту же точку траекторией линейной системы и, вообще говоря, не попадает в точку (х0, у0), т. е. траектория не замыкается.
Если после такого обхода начала координат все траектории
приближаются к началу координат, то в начале координат возникает устойчивый фокус; если же траектории удаляются от начала координат, возникает неустойчивый фокус.
В виде исключения возможен также случай, при котором все
траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности
начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типичным надо считать случай, при котором лишь некоторые замк- нутые кривые остаются замкнутыми, а остальные превращаются
в спирали.
Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.
40
а
Z
б
Z
в
Z
Y
Y
Y
Рис. 7. Предельные циклы: а – устойчивый;
б – неустойчивый; в – полуустойчивый
Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающимися при t → ∞ к предельному циклу, то
предельный цикл устойчивый (рис. 7, а).
Если близкие к предельному циклу траектории являются
спиралями, удаляющимися от предельного цикла при t → ∞, то
предельный цикл неустойчивый (рис. 7, б).
Если с одной стороны предельного цикла при t → ∞ спирали
приближаются к нему, а с другой стороны удаляются от него, то
предельный цикл полуустойчивый (рис. 7, в).
ì
dx
ï
ï
= -x - y + x(x2 + y2 )
ï
ï dt
Пример: í
.
ï
dy
ï
= x - y + y(x2 + y2 )
ï
ï
ï
î dt
Перейдем к полярной системе координат: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ:
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ:
ì
dρ
dϕ
ï
ï
= -ρ cos ϕ - ρ sin ϕ + ρ3 cos ϕ
ï cos ϕ - ρ sin ϕ
dt
dt
ï
.
í
ï
dρ
dϕ
3
ï
= ρ cos ϕ - ρ sin ϕ + ρ sin ϕ
sin ϕ + ρ cos ϕ
ï
ï
dt
ï dt
î
dρ
dϕ
Разрешая эти уравнения относительно
и
, получим:
dt
dt
dρ
dϕ
= -ρ(1 - ρ2 ),
= 1.
dt
dt
Уравнение фазовых кривых:
dρ
= -ρ(1 - ρ2 ).
dϕ
41
Следовательно, имеется одна замкнутая фазовая кривая ρ=1
(х2+у2=1). Для остальных фазовых кривых ρ как функция j возрастает при ρ > 1 и убывает при 0 < ρ < 1.
Вывод: система уравнений имеет особую точку (0, 0) – устойчивый фокус; предельный цикл (неустойчивый) х2+у2=1.
5.3. Динамический хаос
Как показывает повседневный опыт, для многих физических
систем малые изменения начальных условий приводят к малым
изменениям результата. Так, например, путь автомобиля мало
изменится, если руль лишь слегка поворачивать. Но есть ситуации, для которых справедливо противоположное. Сторона, на
которую упадет монета, поставленная на ребро, зависит от слабого прикосновения. Последовательность «орлов» и «решек» при
подбрасывании монеты проявляет нерегулярное, или хаотическое, поведение во времени, так как крайне малые изменения
начальных условий могут привести к совершенно различным
результатам.
В последние годы стало ясно, что высокая чувствительность
к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению
во времени, никоим образом не исключение – это типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в
периодически стимулируемых клетках сердца, в электронных
цепях, при возникновении турбулентности в жидкостях и газах,
в химических реакциях, в лазерах.
С точки зрения математики, во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше 2 можно обнаружить хаос, и, следовательно, на достаточно больших временах
их поведение становится непредсказуемым.
Метеоролог Е. Н. Лоренц в 1963 г. обнаружил, что даже простая система из трех связанных нелинейных дифференциальных
уравнений первого порядка может привести к совершенно хаотическим траекториям:
x = -σx + σy, y = rx - y - xz, z = xy - bz.
Эта система уравнений моделирует эксперимент Бенара, где
слой жидкости подогревается снизу в поле тяготения. Нагретая
жидкость вблизи дна «стремится» подняться, а холодная вблизи крышки – опуститься, но этим движениям противодействуют
вязкие силы. Тогда при малых разностях температур ∆T преоб42
ладает вязкость, жидкость покоится и тепло переносится постоянной теплопроводностью. Это состояние становится неустойчивым при критическом значении Ra числа Рэлея R (пропорционального ∆Т), и появляются стационарные конвективные валы.
С дальнейшим ростом R после второго порога Rс наблюдается
переход к хаотическому движению.
В математической модели s и b – безразмерные константы,
характеризующие систему; r – управляющий параметр, пропорциональный ∆Т. Переменная x пропорциональна скорости циркулирующей жидкости, у характеризует разность температур
между восходящими и нисходящими потоками жидкости; z пропорциональна отклонению вертикального профиля температуры
от равновесного значения. Численный анализ этой системы показывает, что ее переменные могут проявлять хаотическое поведение при превышении порога Rc.
Причина хаотического поведения определяется свойством
нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового
пространства. Лоренц назвал эту чувствительность к начальным
условиям «эффектом бабочки», так как решение его уравнений
(приближенно описывающих также потоки воздуха в атмосфере
Земли, т. е. задачу предсказания погоды) может изменить «взмах
крыльев бабочки».
Интересным свойством нелинейных систем является возможность траекторий притягиваться к ограниченной области фазового пространства, в которой первоначально близкие траектории
экспоненциально расходятся, так, что движение становится хаотическим. Эти особые области фазового пространства называются странными аттракторами.
§ 6. Устойчивость по Ляпунову
6.1. Постановка задачи. Основные понятия
Для возможности математического описания какого-нибудь
реального явления неизбежно приходится упрощать, идеализировать это явление, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно возникает вопрос
о том, удачно ли выбраны упрощающие предположения. Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют на изучаемое
43
явление, значительно меняя его количественные и даже качественные характеристики. В конечном счете, этот вопрос решается практикой – соответствием полученных выводов с опытными
данными, но все же во многих случаях можно указать условия,
при которых некоторые упрощения заведомо невозможны.
Если некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений
dyi
= fi (t, y1, y2 ,..., yn ) (i = 1, 2,..., n) dt
(6.1)
с начальными условиями yi(t0)=yi0, которые обычно являются
результатами измерений и, следовательно, неизбежно получены
с некоторой погрешностью, то, естественно, возникает вопрос о
влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение.
Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то решение,
определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже
приближенно не может описывать изучаемое явление.
Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о
нахождении условий, при которых достаточно малое изменение
начальных значений вызывает сколь угодно малое изменение решения. Если t изменяется на конечном отрезке t0 < t < T, то ответ
на этот вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений. Если же t может принимать сколь
угодно большие значения, то этим вопросом занимается теория
устойчивости.
Решение ji(t) (i=1,2,..., n) называется устойчивым (по Ляпунову), если для любого e > 0 можно подобрать δ(e) > 0, такое, что
для всякого решения yi(t), где i=1, 2,..., n той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенству
yi (t0 ) - ϕi (t0 ) < δ(ε) (i = 1, 2,..., n),
для всех t ≥ t0 справедливы неравенства
(6.2)
yi (t) - ϕi (t) < ε (i=1, 2, …, n),
т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех t ≥ t0.
44
Если при сколь угодно малом δ > 0 хотя бы для одного решения yi(t) (i=1, 2,...,,n) неравенства (6.2) не выполняются, то решение ji(t) называется неустойчивым.
Если решение ji(t) (i=1, 2,..., n) не только устойчиво, но, кроме того, удовлетворяет условию
(6.3)
lim yi (t) - ϕi (t) = 0, t®¥
если yi (t0 ) - ϕi (t0 ) < δ1, δ1 > 0 , то решение ji(t) (i=1, 2,..., n) называется асимптотически устойчивым.
Пример 1. Исследовать на устойчивость решение дифференdy
циального уравнения
= -a2 y, a ¹ 0, определяемое начальным
dt
условием у(t )=y .
0
2 (t-t )
0
ется функция y = y0 e-a
так как
y0 e-a
-a
me
¥
0
Решение. Решением дифференциального уравнения явля- 2
2
(t-t0 )
- y0 e-a
2
, оно асимптотически устойчиво,
(t-t0 )
= e-a
2
(t-t0 )
y0 - y0 < ε
2
при значениях t ≥ t0, если y0 - y0 < εe-a t
(t-t0 )
´´ y0 - y0 = 0.
-a2 (t-t0 )
и lim e
t®¥
´´ y0 - y0 = 0
Пример 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения
dy
= a2 y, a ¹ 0, определяемое условием y(t0)=y0.
dt
2
Решение. Решение y = y0 ea (t-t0 ) неустойчиво, так как нельзя
подобрать столь малое δ > 0, чтобы из неравенства y0 - ó0 < δ(ε)
2
2
2
следовало y0 ea (t-t0 ) - ó0 ea (t-t0 ) < ε или ea (t-t0 ) y0 - ó0 < ε при
всех t ≥ t0.
Исследование на устойчивость некоторого решения yi = yi (t)
(i=1, 2,..., n) системы уравнений (6.1) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат. Действительно, преобразуем систему уравнений (6.1) к новым переменным, полагая
xi = yi - yi (t) (i = 1, 2,..., n). (6.4)
Новыми неизвестными функциями xi являются отклонения
yi - yi (t) прежних неизвестных функций от функций yi (t), опре-
45
деляющих исследуемое на устойчивость решение. В силу (6.4), в
новых переменных система (6.1) примет вид
dxi
dy
= - i + fi (t, x1 + y1 (t),..., xn + yn (t)). dt
dt
(6.5)
Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению
yi = yi (t) системы (6.1), в силу зависимости xi = yi - yi (t), соответствует тривиальное решение xi=0 системы (6.5), причем исследование на устойчивость решения yi = yi (t) системы (6.1) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального
решения системы (6.5).
Сформулируем условия устойчивости в применении к точкам
покоя xi º 0 (i=1, 2, …, n).
Точка покоя xi º 0 системы (6.5) устойчива по Ляпунову,
если Ve > 0 ∃ δ(e) > 0 такое, что из õi (t0 ) < δ(ε) следует õi (t) < ε
при t ≥ T ≥ t0, и асимптотически устойчива, если сверх того
lim x(t) = 0, если x(0) < δ1.
t®¥
Устойчивость тривиального решения допускает удобную геометрическую интерпретацию на фазовой плоскости: тривиальное решение – точка покоя (начало координат).
Траектория, начинающаяся в δ-окрестности начала координат, не выйдет из e-окрестности начала координат при всех t > 0; в случае асимптотической устойчивости траектория при t > ∞
бесконечно приближается к началу координат.
Рассмотрим систему n линейных однородных уравнений с поæ a11 ... a1n ö÷
çç
÷
dx
стоянными коэффициентами
= Ax, где A = çç ... ... ... ÷÷÷.
çç
÷÷
dt
èçan1 ... ann ø÷
Система имеет тривиальное решение x º 0. Пусть li (i=1, 2,...,
n) – собственные числа матрицы А. Тогда x º 0 устойчиво, причем асимптотически, если Rе li < 0 для всех i, и неустойчиво,
если Rе li > 0 хотя бы для одного i.
При наличии собственных чисел с равной нулю действительной частью ситуация является более сложной.
Если собственные числа с равными нулю действительными
частями не являются кратными, то при условии, что прочие l
удовлетворяют требованию Rе l < 0, будет иметь место устойчивость, но не асимптотическая. Если же среди l с нулевыми дей46
ствительными частями имеются кратные, то устойчивости, вообще говоря, не будет.
Пример 3. Определить тип точки покоя системы уравнений
dx
dy
= x - y,
= 2x + 3y.
dt
dt
1 - λ -1
= 0, l2 –
2
3-λ
– 4l+5=0, l1,2=2 ± i. Вывод: (0, 0) – неустойчивый фокус.
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
Решение. Характеристическое уравнение
dx
dy
dz
= x - y + z,
= x + y - z,
= 2x - y.
dt
dt
dt
Решение. Характеристическое уравнение:
1 - λ -1
1
1
1 - λ -1 = 0, l3 – 2l2 – l+2=0, l1=–1, l2=1, l3=2.
2
-1 -λ
Вывод (0, 0, 0) – неустойчивая точка покоя.
Пример 5. Уравнение упругих колебаний с учетом трения или
сопротивления среды (при b > 0) имеет вид
 = -a2 x - 2bx.
x
Определить тип точек покоя в зависимости от параметров.
Решение. Уравнение равносильно системе двух уравнений
õ = y, ó = -a2 x - 2bó.
Характеристическое уравнение:
-λ
1
= 0, ⇔l2+2bl+a2=0.
2
-à
-2b - λ
Собственные числа: λ1,2 = -b ± b2 - a2 . Возможны следующие варианты:
1) b=0 (сопротивление среды не учитывается). Все движения
периодические. Точка покоя – центр;
2) b2 – a2 < 0, b > 0 – устойчивый фокус (колебания затухают);
3) b2 – a2 ≥ 0, b > 0 – устойчивый узел (все решения затухающие, неколеблющиеся). Сопротивление среды велико (b > а);
47
4) b < 0, b2 – a2 < 0 – неустойчивый фокус (случай отрицательного трения);
5) b < 0, b2 – a2 ≥ 0 – неустойчивый узел (большое отрицательное трение).
6.2. Устойчивость по первому приближению
Рассмотрим автономную систему
dxi
= fi (x1,..., xn ) (i = 1, 2,..., n). dt
(6.6)
Так как понятие устойчивости тривиального решения связано с малой окрестностью начала координат в фазовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения системы
(6.6) будет определяться главными членами разложения f по х
в окрестности х=0. Так как fi(0,..., 0)=0, то главными членами
будут линейные члены разложения f по х или, как их иначе называют, члены первого приближения.
По формуле Тейлора, учитывая, что fi(0, …, 0)=0, будем иметь
n
fi (x1,..., xn ) = å aik õk + Ri ,
ê=1
где aik =
n
¶fi
¶2fi
(0,..., 0); Ri = å
(θx1,..., θxn )xj xl .
¶õk
¶õj äõl
j, l=1
Если отбросить остаток ряда Ri, то получим линейную систему вида
n
dxi
= å aik õk (i = 1, 2,..., n). (6.7)
dt ê=1
Систему (6.7) будем называть системой первого приближения
для системы (6.6).
Сформулируем теорему, обеспечивающую возможность судить об устойчивости (неустойчивости) тривиального решения
системы (6.6) по собственным числам матрицы первого приближения системы (6.7).
Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки х1=0, …, хn=0
функции fi(х1, …, хn) (i=1, …, n) непрерывны вместе с производными до второго порядка включительно. Тогда, если все собствен48
äfi
(0,..., 0) удовлетäõk
воряют условию Re li < 0, то тривиальное решение системы (6.6)
устойчиво, причем асимптотически.
Если же Re li > 0 хотя бы для одного i, то тривиальное решение системы (6.6) неустойчиво.
Пример 6. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
ные числа li матрицы А с элементами aik =
dx
dy
= -sin(x + ay),
= bx + ln(1 - y).
dt
dt
Решение. Применим разложение в ряд Тейлора:
sin z = z -
z3
+ ...,
3!
y2
- ...
2
dx
dy
Система первого приближения:
= -x - ay,
= bx - y.
dt
dt
Соответствующее характеристическое уравнение:
где z=x+ay; ln(1 - y) = -y +
-λ
-a
= 0, Û λ2 + 2λ + 1 + ab = 0.
b -1 - λ
Оба корня имеют отрицательную вещественную часть, если
1+ab > 0, т. е. если ab > –1.
При этом условии нулевое решение асимптотически устойчиво.
В противном случае, при ab < –1 нулевое решение неустойчиво.
Если ab=–1, то l1=0, l2=–2, в этом случае нулевое решение
устойчиво, но не асимптотически.
Задание 8. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя системы
ìïx = x2 + y2 - 2x
ïìx = 2xy - x + y
ïí
8.1) ïí
;
8
.
2
)
;
ïïy = 5x4 + y3 + 2x - 3y
ïïy = 3x2 - x + 3y
î
ïî
-3 x
ì
ìïx = ex+2y - cos 3x
ï
)
ïx = ln(4y + e
ï
8.4) í
;
8.3) í
;
3
ï
ïïy = 4 + 8x - 2ey

y
2
y
1
1
6
x
=
+
ï
ï
î
ïî
49
ìïx = ln(3ey - 2 cos x)
ïìïx = x + 2y - sin y2
ï
8.6) ïí
;
8.5) í
;
ïïy = -x - 3y + x(ex2 /2 -1)
ïïy = 2ex - 3 8 + 12y
ïî
ï
î
ìïx = 7x + 2 sin y - y4
ìïx = 3x - 22 sin y + x2 - y3
ïï
ï
;
8.7) í
; 8.8) í
x
ïïy = ex - 3y -1 + 5 x2
ïïy = sin x - 5y + e -1
ïî
2
ïïî
ïìïx = tg(y - x)
ï
8.9) í
æπ
ö;
ïïy = 2y - 2 cosçç - x÷÷
ç
è
ø÷
ïïî
3
в задачах 8.10–8.12 требуется определить, при каких значениях
параметров нулевое решение будет асимптотически устойчиво:
ìïx = αx - 2y + x2
ìïx = y + sin x
8.11) ïí
;
8.10) ïí
;
ïïy = x + y + xy
ïïîy = αx + βy
î
ïìïx = tg(z - y) - 2x
ìïx = ln(e + αx) - ey
ï
8.12) ïí
;
8.13) ïíy = 9 + 12x - 3ey ;
ïïy = βx + tgy
ïï
î
ïïz = -3y
î
ìïx = ex - e-3x
ïï
8.14) ïíy = 4z - 3 sin(x + y);
ïï
ïïz = ln(1 + z - 3x)
î
найти все положения равновесия и исследовать их на устойчивость:
ìïx = x2 - y2 - 5
ìïx = ln(1 - x + y2 )
ï
8.15) í
;
8.16) ïí
;
ïïy = x - y -1
ïïy = x2 + y2 -13
î
ïî
ìïx = ey - ex
ìïx = y - x2 - x
ï
ï
8.17) í
;
8.18) ïí
.
2
ïïy = 3x + y2 - 2
ïïy = 3x - x - y ïî
îï
§ 7. Метод функций Ляпунова
В этом методе заданной системе уравнений сопоставляется некоторая функция от аргументов х1, …, хn, называемая функцией
Ляпунова, и по ее свойствам можно делать вывод об устойчивости решения. Проиллюстрируем идею метода на примере:
dx1
dx
= -x1 + x2 = f1; 2 = -2x2 = f2 . (7.1)
dt
dt
50
Воспользовавшись предыдущими рассуждениями и учитывая, что собственные числа этой системы l1=–1 < 0, l2=–2 < 0
(отрицательны), заключаем, что нулевое решение устойчиво. Однако чтобы убедиться в устойчивости нулевого решения, можно
рассуждать и по-другому.
Рассмотрим функцию V (x1, x2 ) = 2x12 + x22 . Эта функция положительна всюду, кроме точки х1=0, х2=0, где она обращается в
нуль. В пространстве переменных х1, х2, V уравнение V = 2x12 + x22
определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии
уровня этой поверхности на плоскости (х1, х2) представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое e. Построим на плоскости (х1, х2) круг we радиуса e. Возьмем одну из линий уровня – эллипс, целиком лежащий внутри круга we. Построим другой круг
wδ, целиком лежащий внутри эллипса. Пусть начальная точка
А(х1,0, х2,0) лежит внутри wδ.
äV
äV
Рассмотрим функцию двух переменных
W (x1, x2 ) =
f1 +
äx1
äx2
äV
äV
W (x1, x2 ) =
f1 +
f2 . Легко видеть, что если вместо x1, x2 подставить
äx1
äx2
решение x1 (t), x2 (t) системы (7.1), то полученная таким образом
функция от t будет представлять собой полную производную dV/dt от V (x1 (t), x2 (t)) вдоль траектории решения (7.1).
Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в wδ, неположительна, то это будет означать, что такая траектория не сможет покинуть we, так как иначе между
t=0 и значением t=t1, при котором она попадает на границу
we, найдется значение t=t*, для которого dV/dt > 0, поскольку
V (x1 (t), x2 (t)) > V (x1,0 , x2,0 ).
То, что ни одна траектория, начинающаяся в wδ, не покидает
ни при одном t > 0 круг we, означает устойчивость нулевого решения.
Итак, мы должны проверить знак dV/dt вдоль траектории.
Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере
это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему
общего вида, для которой x1 (t), x2 (t) нельзя выписать явно и тем
самым проверить нужное неравенство.
Поэтому мы будем требовать, чтобы функция W (x1, x2 ) была
неположительной как функция двух независимых переменных
x1, x2, по крайней мере, в некоторой окрестности (0, 0). Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы, не зная решения.
51
Действительно, в нашем случае будет выполняться
2
W (x1, x2 ) = -2 éê(x1 - x2 ) + x12 + x22 ùú £ 0 всюду на плоскости (x1,
ë
û
x2), а тем самым вдоль любой траектории, что и гарантирует
устойчивость нулевого решения.
Функция V(x1, x2), участвующая в этих рассуждениях, и есть
функция Ляпунова для рассматриваемой системы. Она имеет
вид квадратичной формы 2x12 + x22 , хотя, в принципе, вместо
2x12 + x22 можно было бы взять и другую функцию, лишь бы она
была положительной всюду, кроме точки (0, 0), где она обращаdV
ется в нуль, а выражение W (x1, x2 ) = (gradV , f ) =
было непоdt
ложительным.
Теорема 1 (Ляпунова об устойчивости). Рассмотрим систему
дифференциальных уравнений
dxi
= fi (t, x1, x2 ,..., xn ) (i = 1, 2,..., n). dt
(7.2)
Если существует дифференциальная функция V(x1, x2, …, xn),
называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:
1) V(x1, x2, …, xn) ≥ 0, причем V=0 лишь при xi=0 (i=1, 2, …, n),
т. е. функция
V имеет строгий минимум в начале координат;
 
2)
n
dV
äV
fi (t, x1,..., xn ) £ 0 при t ≥ t0,
=å
dt i=1 äxi
то точка
покоя xi ≡ 0 (i=1, 2, …, n) устойчива.
 
Замечание. Если функция V зависит от t, т. е. V=V(t, х1, х2,
…, хn), то для устойчивости точки покоя требуется выполнение
следующих условий:
1) V(t, х1, х2, …, хn) ≥ U(х1, х2, …, хn) ≥ 0 в окрестности начала
координат при t ≥ t0, где непрерывная функция U имеет строгий
минимум в начале координат, V(t, 0, 0, …, 0)=U(0, 0, …, 0)=0;
n
dV äV
äV
fi (t, x1, õ2 ,..., xn ).
=
+å
dt
ät i=1 äxi
Пример. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
2)
dx1
dx
= 2x2 - x13 sin2 t; 2 = -3x1 - x25 .
dt
dt
52
Решение. Функция Ляпунова: V = 3x12 + 2x22 . Производная
dV
в силу системы
= -6x14 sin2 t - 4x26 £ 0. Следовательно, по
dt
теореме Ляпунова об устойчивости, точка покоя устойчива. Заметим, что у этой системы собственные числа матрицы первого
приближения чисто мнимые (λ1 = i 3, λ2 = -i 3), что не позволяет установить устойчивость точки покоя другим методом.
Теорема 2 (Ляпунова об асимптотической устойчивости).
Если существует дифференцируемая функция Ляпунова V(х1,
х2, …, хn), удовлетворяющая условиям:
1) V(х1, х2, …, хn) имеет строгий минимум в начале координат:
V(0, 0, …,0)=0;
2) производная функции V, вычисленная вдоль интегральных
n
dV
äV
fi (t, x1,..., xn ) £ 0, причем вне
кривых системы (7.2)
=å
dt i=1 äxi
сколько угодно малой окрестности начала координат, т. е. при
n
dV
£-β < 0,
dt
i=1
где b – постоянная, тогда точка покоя системы (7.2) асимптотически устойчива.
Замечание. Если V=V(t, х1, х2, …, хn), то точка покоя асимптотически устойчива, когда первое условие заменить следующим:
условии, что
å xi2 ³ δ12 > 0, t ³ T0 ³ t0 ,
производная
V(t, х1, х2, …, хn) ≥ U(х1, х2, …, хn) ≥ 0,
где функция U имеет строгий минимум в начале координат, и,
кроме того, потребовать, чтобы функция V(t, х1, х2, …, хn) равномерно относительно t стремилась к нулю при
dx1
dx2
= -x2 - x13 ;
= x1 - x23 .
dt
dt
Функция Ляпунова: V (x1, x2 ) = x12 + x22 :
n
å xi2 ® 0.
i=1
Пример.
1) V (x1, x2 ) ³ 0, V (0, 0) = 0;
dV
2) = 2x1 (-x2 - x13 ) + 2x2 (x1 - x23 ) = -2(x14 + x24 ) £ 0.
dt
dV
Вне окрестности начала координат
£-β < 0, следовательdt
но, решение х ≡ 0, у ≡ 0 (точка покоя) асимптотически устойчива.
53
Теорема 3 (Ляпунова о неустойчивости). Пусть для системы
дифференциальных уравнений (7.2) существует дифференцируемая в окрестности начала координат функция V(х1, х2, …, хn), такая, что V(0,0,…,0)=0. Если ее полная производная dV/dt, составленная в силу системы (7.2), есть определенно-положительная
функция и сколь угодно близко от начала координат имеются
точки, в которых функция V(х1, х2, …, хn) принимает положительные значения, то точка покоя xi=0 (i=1,2,…,n) системы (7.2)
неустойчива.
dx1
dx2
Пример:
= x1,
= -x2 .
dt
dt
Функция Ляпунова: V (x, ó) = x12 - x22 .
Найдем производную в силу системы
dV
äV dx1 äV dx2
=
+
= 2x1x1 + (-2x2 )(-x2 ) = 2x12 + 2x22 .
dt äx1 dt
äx2 dt
Эта производная dV/dt есть функция определенноположительная. Так как сколь угодно близко к началу координат найдутся точки, в которых V > 0 (например, V= x12 > 0 вдоль
прямой х2=0), то выполнены все условия теоремы Ляпунова о
неустойчивости и точка покоя О(0, 0) неустойчива (седло).
Теорема 4 (Четаева o неустойчивости). Если существует такая дифференцируемая функция V(х1, х2, …, хn), которая удовлетворяет в некоторой замкнутой δ-окрестности начала координат условиям:
1) в сколь угодно малой окрестности Ω начала координат существует область (V > 0), в которой V > 0, причем V=0 на лежащий в Ω части границы области (V > 0);
2) в области (V > 0) производная, найденная в силу системы
n
dV
äV
fi (t, x1,..., xn ) > 0, причем в области (V ≥ a),
(7.2),
=å
dt i=1 äxi
dV
³ β > 0, то точка покоя хi ≡ 0 (i=1, …, n)
dt
системы (7.2) неустойчива.
Замечание. Если V зависит от t, то необходимо требовать
ограниченности функции V в области (V > 0), в рассматриваемой
δ-окрестности начала координат.
dx1
dx
Пример:
= x15 + x23 ; 2 = x13 + x25 .
dt
dt
a > 0, производная
54
Функция Четаева: V = x14 - x24 :
1) V > 0 при x1 > x2 ;
dV
= 4x13 (x15 + x23 ) - 4x23 (x13 + x25 ) = 4(x18 - x28 ) > 0 при x1 > x2 ,
dt
dV
x1 > x2 , причем при V ≥ a > 0,
³ β > 0.
dt
Следовательно, точка покоя x1=0, x2=0 неустойчива.
Задание 9. Исследовать на устойчивость точку покоя системы,
используя метод функций Ляпунова:
2) 
3
ì
ï
ïx = -3y - 2x
9.1) í
;
3
ï
ï
ï
îy = 2x - 3y
2
ì
ï
ïx = x + 2xy
9.3) í
;
2
ï
ï
ï
îy = -2y + 4x y
3
ì
ï
ïx = y + x
9.5) í
;
3
ï

y
x
y
=
+
ï
ï
î
4
ì
ï
ïx = -xy
9.2) í
;
4
ï
ï
ï
îy = x y
ì
ï
x x3
ï
ï
x = -y - ï
2
4 ;
9.4) ï
í
ï
y
1
ï
ï
y = x - - y3
ï
2 4
ï
î
ì
ï
2 2 1 5
ï
ïx = y + x y - x
4
ï
9.6) í
;
ï
1 3
3
ï

y = -2x - x y - y
ï
ï
2
ï
î
ïìx = -x
9.7) ïí
;
ïïîy = -y
4
3
ì
ï
ïx = xy - 2x - y
9.9) í
;
2 3
7
ï

y
2
x
y
y
2
x
=
+
ï
ï
î
3
ì
ï
ïx = x + x
9.8) í
;
3
ï

y
y
y
=
ï
ï
î
ïìx = -2x - 3y
9.10) ïí
;
ïïîy = x - y
5
3
ì
ï
ïx = x + y
9.11) í
;
3
5
ï

y
x
y
=
ï
ï
î
3
ì
ï
ïx = xy - x + y
9.12) í
;
4
2
3
ï

y
x
x
y
x
=
ï
ï
î
3
2
ì
ï
ïx = x + 2xy
9.13) í
;
2
ï

y
x
y
=
ï
ï
î
ì
ï
x = -2y - x(x - y)2
ï
ï
.
9.14) í
3
ï
y = 3x - y(x - y)2
ï
ï
2
ï
î
55
§ 8. Линейные однородные
дифференциальные уравнения
в частных производных первого порядка
Рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка
æ
äè äè
äè ö÷
÷ = 0, Ôçççx1, x2 ,..., xn , u,
,
,...,
äx1 äx2
äxn ÷÷ø
è
(8.1)
здесь u = u(x1, x2 ,..., xn ) – искомая функция от независимых
переменных x1, x2, …, xn; Ф – известная функция своих аргументов. Если в уравнение (8.1) частные производные от искомой
функции входят линейно, то уравнение (8.1) называется линейным.
Линейное уравнение можно записать следующим образом:
äè
äè
+ Õ2 (x1, x2 ,..., xn , u)
+ ...
äx1
äx2
(8.2)
äè
+Õn (x1, x2 ,..., xn , u)
= R (x1, x2 ,..., xn , u).
äxn
Õ1 (x1, x2 ,..., xn , u)
В случае, когда правая часть R тождественно равна нулю, а
коэффициенты Х1, Х2, …, Хn не зависят от переменной и (т. е. от
искомой функции), линейное уравнение (8.2) называется однородным и принимает вид
äè
äè
+ Õ2 (x1, x2 ,..., xn )
+ ...
äx1
äx2
äè
+Õn (x1, x2 ,..., xn )
= 0.
äxn
Õ1 (x1, x2 ,..., xn )
В противном случае, оно называется неоднородным.
Примеры:
äz
äz
1) x
+y
= 0 (однородное);
äx
äy
56
2) x
äz
äz
+y
= 2z (неоднородное);
äx
äy
3) x
äz
äz
+ zy
= 0 (неоднородное),
äx
äy
(8.3)
где z=z(x, y) – неизвестная функция от х и у.
Рассмотрим однородное уравнение (8.3). Предположим, что
Х1, Х2, …, Хn определены и непрерывны вместе со своими частными производными по всем аргументам в некоторой окрестности начальной точки x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) и не обращаются в этой
точке одновременно в нуль. Пусть, например,
(
)
(
Xn x1(0) , x2(0) ,..., xn(0)
) ¹ 0. (*)
Мы будем рассматривать вопрос о нахождении решений уравнения (8.3), определенных в некоторой окрестности указанной
точки, т. е. будем искать функции, определенные и непрерывно
дифференцируемые в окрестности точки x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) , которые обращают уравнение (8.3) в тождество.
Заметим, прежде всего, что однородное уравнение (8.3) всегда
имеет решение вида и=С, где С=const. Такое решение будем называть тривиальным. Покажем, что при сделанных предположениях относительно коэффициентов уравнения (8.3) оно имеет
бесчисленное множество нетривиальных решений.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме:
(
)
dx1
dx2
dxn
=
= ... =
. (8.4)
X1 (x1, x2 ,..., xn ) X2 (x1, x2 ,..., xn )
Xn (x1, x2 ,..., xn )
Знаменателями (8.4) являются коэффициенты уравнения
(8.3). Эта система называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме, соответствующей однородному уравнению с частными производными (8.3).
Теорема:
1) если функция j(x1, x2, …, xn) есть непрерывно дифференцируемый интеграл системы (8.4), то и=j(x1, x2, …, xn) является
решением уравнения (8.3);
2) если u = u1 (x1, x2 ,..., xn ) º
/ const – решение уравнения (8.3),
то и1(x1, x2, …, xn) – интеграл (8.4).
Доказательство. Первое утверждение следует из определения интеграла системы дифференциальных уравнений в симмет- рической форме.
Для доказательства второго утверждения нужно показать,
что полный дифференциал функции и1(x1, x2, …, xn) тождественно равен нулю в силу системы (8.4), т. е.
57
du1
(8.4)
=
du1
äè
dè
X1 + 1 Õ2 + ... + 1 Õn º 0,
dx1
äx2
äxn
это следует из того, что и=и1(x1, x2, …, xn) есть решение уравнения (8.3).
Следствие. Из установленной теоремы вытекает, что задачи
интегрирования уравнения (8.3) и системы (8.4) равносильны.
При сделанных предположениях система (8.4) имеет ровно
n – 1 независимых интегралов:
j1(x1, x2, …, xn); j2(x1, x2, …, xn); …; jn – 1(x1, x2, …, xn), (8.5)
определенных и непрерывно дифференцируемых в некоторой
окрестности начальной точки x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) , так как при
этих предположениях система (8.4) равносильна нормальной системе n – 1 уравнений
(
)
dx1 X1 dx2 X2
dx
X
=
,
=
,..., n-1 = n-1 , dxn Xn dxn Xn
dxn
Xn
(8.6)
правые части которых определены и непрерывно дифференци-
(
)
руемы в некоторой окрестности точки x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) , а тогда
система (8.6) имеет ровно n – 1 независимых интегралов, непрерывно дифференцируемых в некоторой окрестности этой точки.
Любая непрерывно дифференцируемая функция от интегралов (8.5)
è = F (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn-1 ) (8.7)
также будет интегралом системы (8.4) и, следовательно, решением уравнения (8.3).
Решение (8.7), где F – произвольная непрерывно дифференцируемая функция от своих аргументов, будем называть общим
решением уравнения (8.3).
Рассмотрим случай двух независимых переменных. В этом
случае уравнение (8.3) обычно записывают в виде
P(x, y)
äz
äz
+ Q(x, y) = 0, äx
äy
(8.8)
где z – неизвестная функция от х и у. Каждому решению уравнения (8.8) соответствует в пространстве (x, y, z) некоторая поверхность – интегральная поверхность уравнения (8.3).
58
В рассматриваемом случае система (8.4) вырождается в одно
уравнение:
dx
dy
=
.
(8.9)
P(x, y) Q(x, y)
Пусть j(х, у) – интеграл этого уравнения (8.9), тогда общим
решением уравнения (8.8) будет
Z = F éë ϕ(x, y)ùû , (8.10)
где F – произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Геометрически общему решению (8.10) соответствует семейство
интегральных поверхностей, зависящее от произвольной функции F.
¶u
¶u
¶u
+y
+z
= 0.
Пример 1. x
¶x
¶y
¶z
Соответствующая ему система дифференциальных уравнений
в симметрической форме
dx dy dz
=
=
x
y
z
имеет два независимых интеграла:
y
z
ϕ1 = , ϕ2 = .
x
x
æy zö
Общим решением исходного уравнения будет u = F çç , ÷÷÷.
çè x x ø
äz äz
dx dy
Пример 2.
соответствует
=
=
, Û x + y = C, откуäx äy
1
-1
да j=х+у.
Общее решение: z=F(x+y).
Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка (8.1) состоит в нахождении решения
u = u(x1, x2 ,..., xn ), (8.11)
которое при фиксированном значении одной из независимых
переменных, например, хn, обращается в заданную непрерывно
дифференцируемую функцию от остальных переменных, т. е.
u = ψ(x1, x2 ,..., xn-1 ) ïðè xn = xn(0) . (8.12)
Условие (8.12) называется начальным условием решения
(8.11).
В случае двух независимых переменных, т. е. для уравнения
59
æ
äz äz ö
Ô ççx, y, z, , ÷÷÷ = 0, çè
äx äy ÷ø
(8.13)
задача Коши состоит в нахождении решения
z=z(x, y),
удовлетворяющего начальному условию
(8.14)
z=y(y) при x=x0,
(8.15)
т. е. ищется интегральная поверхность (8.14), которая проходит через заданную кривую z=y(y), x=x0, лежащую в плоскости
x=x0.
При постановке задачи Коши для однородного линейного
уравнения (8.3), чтобы было обеспечено существование решения, фиксируют значение той независимой переменной, для
которой коэффициент при соответствующей частной производ- ной от искомой функции отличен от нуля в начальной точке
(x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ). В нашем случае в силу условия (*) нужно
фиксировать хn.
Итак, будем искать решение уравнения (8.3), удовлетворяющее начальному условию (8.12).
Для этого воспользуемся независимыми интегралами (8.5) системы (8.4). Положим в них xn = xn(0) и обозначим полученные
функции через ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn :
ü
ï
ï
ï
ï
(0)
ï
ϕ2 (x1, x2 ,..., xn-1, xn = ϕ2
ï ý.
.......................................... ï
ï
ï
ï
(0)
ϕn-1 (x1, x2 ,..., xn-1, xn = ϕn-1 ï
ï
ï
þ
ϕ1 (x1, x2 ,..., xn-1, xn(0) = ϕ1
(8.16)
Система (8.16) разрешима относительно x1, x2 ,..., xn-1 в не-
(
)
которой окрестности начальной точки x1(0) , x2(0) ,..., x(0)n . Найдем:
60
ü
x1 = ω1 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn-1 )
ï
ï
ï
ï
x2 = ω2 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn-1 )
ï ý.
.................................... ï
ï
ï
xn-1 = ωn-1 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn-1 )ï
ï
ï
þ
(8.17)
Построим функцию:
è = ψ[ω1 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn-1 ), ω2 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn-1 ),...,
ωn-1 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn-1 ) ].
(8.18)
Функция (8.18) и является решением поставленной задачи
Коши.
В случае двух независимых переменных получаем
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
dx
dy
, ϕ = (x, y)ï
=
ý. ï
P(x, y) Q(x, y)
ï
ï
ï
ï
ϕ(x0 , y) = ϕ, y = ω(ϕ)
ï
ï
ï
ï
ï
z = ψ {ω[ϕ(x, y) ]
ï
ï
þ
äz
äz
+ Q(x, y)
=0
äx
äy
z = ψ(y) ïðè x = x0
P(x, y)
(8.19)
Пример 3. Рассмотрим уравнение
x
äu
äu
äu
+y
+z
= 0.
äx
äy
äz
Поставим начальное условие и=y+z при х=2.
Здесь Х1(х, у, z)=х. Имеем Х1(2, у0, z0) ≠ 0 (при любых значениях y0, z0).
Таким образом, существование решения задачи Коши обеспечено.
ó
z
Ранее получены два независимых интеграла: ϕ1 = , ϕ2 = ;
õ
x
y
z
положим в них х=2, тогда = ϕ1, = ϕ2 , откуда y = 2ϕ1, z = 2ϕ2 .
2
2
2(y + z)
Искомым решением будет u = 2ϕ1 + 2ϕ2 , или u =
.
x
Пример 4. Найти интегральную поверхность уравнения
äz
äz
y
-x
= 0, проходящую через кривую z=y2 при х=0.
äx
äy
Решение. В начальном условии фиксировано значение х. Коэффициент при ∂z/∂x, равный у, будет отличен от нуля в любой
точке (0, у0), где у0 ≠ 0.
61
Такую точку и возьмем за начальную. В окрестности этой точки решение задачи Коши обеспечено. Соответствующее уравнение в симметрической форме
dx dy
=
y
-x
имеет интеграл ϕ = x2 + y2 . Полагая в нем х=0, находим y2 = ϕ,
откуда y = ± ϕ. Искомым решением уравнения будет z=j(x, y),
т. е. z=x2+y2. Геометрически ему соответствует параболоид вращения с осью вращения Оz.
Задание 10. Найти решения линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка:
¶z
¶z
+y
= 0;
10.1) (x + 2y)
¶x
¶y
10.2) x
10.3)
¶z
¶z
-y
= 0; z = 2x ïðè y = 1;
¶x
¶y
¶z
¶z
+ (2ex - y)
= 0; z = y ïðè x = 1;
¶x
¶y
10.4) 2 x
¶z
¶z
-y
= 0; z = y2 ïðè x = 1;
¶x
¶y
10.5) (x - z)
10.6)
¶u
¶u
¶u
+ (y - z)
+ 2z
= 0;
¶x
¶y
¶x
¶u
¶u
¶u
- (y + 2z)
+ (3y + 4z)
= 0;
¶x
¶y
¶z
10.7) (z - y)2
10.8) y
¶u
¶u
¶u
+z
+y
= 0; u = 2y(y - z) ïðè x = 0;
¶x
¶y
¶z
¶u
¶u
1
+z
= 0; u = ln z - ïðè x = 1;
¶x
¶z
y
¶u
¶u
+ yz
= 0; u = x y ïðè z = 1;
¶x
¶z
¶u
¶u
¶u
+ 2y3
+ 2y2z
= 0;
10.10) (x3 + 3xy2 )
¶x
¶y
¶z
10.9) x
10.11) x
62
¶u
¶u
¶u
+y
+ (z - x2 + y2 + z2 )
= 0;
¶x
¶y
¶z
10.12) x(y2 - z2 )
¶u
¶u
¶u
- y(x2 + z2 )
+ z(x2 + y2 )
= 0.
¶x
¶y
¶z
§ 9. Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения
в частных производных первого порядка
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение (8.2). Предположим, что коэффициенты Х1, Х2, …, Хn и правая часть R определены и непрерывны вместе с частными производными в некоторой окрестности начальной точки x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ,u(0) , причем
(
Xn x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) , u(0)
) ¹ 0.
(
)
Будем искать решение неоднородного уравнения в неявном
виде
V (x1, x2 ,..., xn , u) = 0, (9.1)
где V – некоторая непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, причем
¶V (x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) , u(0) )
¹ 0. (9.2)
¶è
Продифференцируем соотношение (9.1) по хk, считая и функцией от x1, x2, …, xn, определяемой (согласно теореме о неявной
функции) уравнением (9.2).
Находим
¶V ¶V ¶è
+
= 0 (k = 1, 2,..., n), ¶xë ¶u ¶õk
откуда (9.3)
¶V
¶xk
¶è
(9.4)
=(k = 1, 2,..., n). ¶V
¶õk
¶u
¶V
Подставляя (9.4) в уравнение (8.2), умножая на
и пере¶u
нося все члены в левую часть, получим
Õ1
¶V
¶V
¶V
¶V
+ Õ2
+ ... + Õn
+R
= 0. ¶x1
¶õ2
¶õn
¶u
(9.5)
63
Уравнение (9.5) есть однородное линейное уравнение с искомой функцией V.
Соответствующая ему система в симметричной форме имеет
вид
dx1 dx2
dx
du
,
=
= ... = n =
X1
X2
Xn
R
(9.6)
j1(х1, х2, …, хn, u), …, jn(х1, х2, …, хn, u).
(9.7)
имеет n независимых интегралов
Поэтому
V=F(j1, j2, …, jn)
(9.8)
будет общим решением уравнения (9.5).
Подставляя (9.8) в (9.1), получим искомое решение уравнения
(8.2) в виде
F(j1, j2, …, jn)=0.
(9.9)
Это соотношение, где F – произвольная непрерывно дифференцируемая функция, будем называть общим решением линейного неоднородного уравнения (8.2).
Если удастся фактически разрешить уравнение (9.9) относительно и, то получим общее решение в явном виде:
и=f (х1, х2, …, хn),
где f – произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
В случае двух переменных имеем уравнение
P(x, y, z)
¶z
¶z
+ Q(x, y, z)
= R (x, y, z),
¶x
¶y
где z=z(x, y). Система (9.6) принимает вид dx P = dy Q = dz R .
Если j1(x, y, z), j2(x, y, z) – независимые интегралы этой системы, то общее решение имеет вид F(j1, j2)=0.
Задача Коши для неоднородного линейного уравнения (8.2)
состоит в нахождении решения
64
и=и (х1, х2, …, хn),
(9.10)
удовлетворяющего начальному условию и=y (х1, х2, …, хn – 1)
при xn = xn(0) , где y – заданная непрерывно дифференцируемая
функция.
Для решения задачи Коши воспользуемся независимыми интегралами (9.7) системы (9.6).
Полагая в них xn = xn(0) , получаем
(
(
)
)
(
)
ϕ1 x1, x2 ,..., xn-1, xn(0) , u = ϕ1 üïï
ïï
ï
(0)
ϕ2 x1, x2 ,..., xn-1, xn , u = ϕ2 ïïï
ý. ......................................... ïïï
ïï
ϕn x1, x2 ,..., xn-1, xn(0) , u = ϕn ïï
ïþ
(9.11)
Разрешая эту систему относительно х1, х2, …, хn – 1, u, находим
x1 = ω1 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn )
ïüï
ïï
x2 = ω2 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn )
ïï
.................................. ïý. ï
xn-1 = ωn-1 (ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn )ïïï
ïï
u = ω(ϕ1, ϕ2 ,..., ϕn ).
ïþ
(9.12)
Подставляя эти значения х1, х2, …, хn – 1, u в равенство и=y
(х1, х2,..., хn – 1) и заменяя ϕ на j, получим
ω(ϕ1,..., ϕn ) = ψ[ω1 (ϕ1,..., ϕn ),..., ωn-1 (ϕ1,..., ϕn )]. (9.13)
Это уравнение (9.13) и определяет искомое решение (в неявном виде). В случае двух независимых переменных имеем
ü
ï
¶z
¶z
ï
+ Q(x, y, z)
= R (x, y,z)ï
ï
ï
¶x
¶y
ï
ï
ï
z = ψ(y) ïðè x = x0
ï
ï
ï
ï
dx dy dz
=
= ; ϕ1 (x, y, z), ϕ2 (x, y, z) ï
ý. ï
P
Q
R
ï
ï
ï
ü
ü
y
ω
ϕ
ϕ
(
,
)
=
ϕ1 (x0 , y, z) = ϕ1 ï
ï
ï
1
2
1
ï
ï
ï
ý
ý
ï
ï
ï
ï
ϕ2 (x0 , y, z) = ϕ2 þ
z
ω
ϕ
ϕ
(
,
)
=
ï
1
2
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ω(ϕ1, ϕ2 ) = ψ[ω1 (ϕ1, ϕ2 )]
ï
þ
P(x, y, z)
(9.14)
65
äz
äz
- z = 0.
äx
äy
Решение. Это уравнение является неоднородным, ибо хотя
правая часть тождественно равна нулю, искомая функция z входит в один из коэффициентов уравнения.
Следуя общему правилу, составляем систему в симметричеdx dy dz
ской форме
=
= . Интегрируя ее, имеем
0
x
-z
dx
dy
y
y
dz=0, z=C1;
=
, ln x = - + C2 , ln x + = C2 ,
x
-C1
C1
z
Пример 1. Найти общее решение уравнения x
y
.
x
Следовательно, общим решением исходного уравнения будет
так что j1=z, j2= ln x +
æ
yö
Ôççz, ln x + ÷÷÷ = 0.
çè
xø
¶z
¶z
+ ( y + x2 )
=
Пример 2. Найти общее решение уравнения
x
¶x
¶y
¶z
2 ¶z
+ (y + x )
= z и выделить решение, удовлетворяющее начальx
¶x
¶y
ным условиям: z=y – 4 при x=2.
Решение. Составим соответствующую данному уравнению систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симмет- рической форме:
dx
dy
dz
=
= .
2
x
z
y+x
Найдем ее независимые интегралы. Интегрируем уравнение
dx
dy
, получаем
=
x
y + x2
y - x2
y - x2
= C1, ϕ1 =
у=х(С1+х),
.
x
x
dx dz
z
z
Уравнение
дает = C2 , ϕ2 = .
=
æ y - x2 z ö÷
x
x
x
z
Общим решением исходного уравнения будет Ôççç
, ÷÷ = 0,
x
x ø÷÷
ç
è
или, разрешая относительно z, имеем
æ y - x2 ö÷
÷÷.
z = xf ççç
çè x ø÷÷
66
Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Полагая в интегралах j1 и j2 значение х=2, получим
ó -4
z
= ϕ1, = ϕ2 , откуда y = 2ϕ1 + 4, z = 2ϕ2 .
2
2
Подставляя эти значения у и z в формулу z=y – 4, заменяя ϕ1
и ϕ2 на j1 и j2, имеем
2ϕ2 = 2ϕ1 + 4 - 4, ϕ2 = ϕ1,
z y - x2
,
=
x
x
так что искомым решением будет z=y – x2.
Это решение содержится в общем решении при f(t) ≡ t.
¶è
¶è
¶u
+ ó2
+ z2
= u.
Пример 3. Решить уравнение x2
¶õ
¶ó
¶z
Решение. Соответствующая система в симметрической форме:
dx
x
2
=
dy
2
y
=
dz
2
z
=
du
.
u
Из этих уравнений находим независимые интегралы:
1 1
1 1
- = C1; - = C2 ; ue1/x = C3 .
x y
x z
Все решения данного уравнения определяются из уравнения
æ 1
ö
ç
1 1 1 1÷
Ô çççèå õ , - , - ÷÷÷ = 0,
x y x z ÷÷
ççè
ø
или окончательно:
-
u(x, y, z) = å
1
æ
ö
õ f çç 1 - 1 , 1 - 1 ÷÷.
çè x
y x
z ø÷÷
Задание 11. Найти решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
¶z
¶z
1
+y
=
11.1) x
;
¶x
¶y xy
67
11.2)
¶z
¶z
+ (2y - z)
= y + 2z;
¶x
¶y
11.3) x
¶z
¶z 1
+ y
= ;
¶x
¶y 2
11.4) (z - y)
11.5) yz
¶z
¶z
+ (x - z)
= y + x;
¶x
¶y
¶z
¶z
+x
= 0; z = x2 ïðè ó = 1;
¶x
¶y
11.6) x
¶z
¶z
+z
= 0; z = -y ïðè x = 1;
¶x
¶y
11.7) x
¶z
¶z
+y
= 2z; z = y ïðè x = 1.
¶x
¶y
ОТВЕТЫ к заданиям
Задание 1:
1.1) y = -1 / (x2 + C1 ), z = x(C2 - ln | x |);
1.2) ey - ex = C1, x = z(C2 -1 / 2z);
1.3) y = C1 (1 + x2 ), z = C2 / x + C1x / 2 + C1x3 / 4 + x2 / 3;
1.4) y = C2 eC1x , z = C1C2 eC1x ;
1.5) y / x = C1, z / x = C2 ;
1.6) y - x = C1, z - x = C2 ;
1.7) y = C1, z / x = C2 ;
1.8) y = C1, z × e-x/y = C2 ;
1.9) y / x = C1, z - x - y = C2 ;
1.10) sin x - sin y = C1, sin x - z = C2 ;
1.11) z = C1, (x + z)y / (y + z) = C2 .
Задание 2:
2.1) x = C1e-t + C2 e3t , y = 2C1e-t - 2C2 e3t ;
2.2) x = 2C1e3t - 4C2 e-3t , y = C1e3t + C2 e-3t ;
68
2.3) x = (C1 + 3C2t)e2t , y = (C2 - C1 - 3C2t)e2t ;
2.4) x = C1 + C2 e5t , y = C1 - 4C2e5t ;
2.5) x = C1 + C2t, y = 2C1 + C2 (2t -1);
2.6) x = et (C1 cos 3t + C2 sin 3t), y = et (C1 sin 3t - C2 cos 3t);
2.7) x = (2C2 - C1 )cos 2t - (2C1 + C2 )sin 2t, y = C1 cos 2t + C2 sin 2t;
2.8) x = 0, y = 0;
2.9) x = e2t - e3t , y = e2t - 2e3t ;
2.10) x = -5e2t sin t, y = e2t (cos t - 2 sin t);
2.11) x = C1e-t + C2 e2t - 6t2 + 6t - 9,
y = C1e-t / 4 + C2 e2t - 3t2 - 3;
2.12) x = C1et + 2C2 e4t + 3e5t , y = -C1et + C2 e4t + e5t ;
2.13) x = C1e2t + C2 e-t - 2 sin t - cos t,
y = 2C1e2t - C2 e-t + sin t + 3 cos t;
2.14) x = C1et + C2 e3t + et (2 cos t - sin t),
y = C1et - C2 e3t + et (3 cos t + sin t);
t
t
t
ì
ï
ïx = C1e cos t + C2 e sin t + e - t -1
2.15) í
;
t
t
t
ï
ï
ï
îy = -C1e (cos t + sin t) + C2 e (cos t - sin t) - 2e - 2t -1
2.16) x = C1e2t + 3C2 e4t - e-t - 4e3t , y = C1e2t + C2 e4t - 2e-t - 2e3t .
Задание 3:
3.1) x = C1et - 2C2 e2t , y = -C1et + 3C2 e2t ;
3.2) x = (C1 + C2t)et , y = (2C1 - C2 + 2C2t)et ;
3.3) x = -2et (C1 sin 2t - C2 cos 2t), y = et (C1 cos 2t + C2 sin 2t);
3.4) x = C1et + C2 e2t + C3 e5t , y = C1et - 2C2 e2t + C3 e5t ,
z = -C1et - 3C2 e2t + 3C3 e5t ;
3.5) x = C1e2t + (C2 + C3 )e3t , y = C1e2t + C2 e3t ,
z = C1e2t + C3e3t ;
69
3.6) x = (C2 + C3t)e-t , e = 2C1et - (2C2 + C3 + 2C3t)e-t ,
z = C1et - (C2 + C3 + C3t)e-t ;
ì
ï
x = C1e2t + e3t (C2 cos t+„3 sin t)
ï
ï
ï
3t
3.7) ï
.
íy = e [(C2 + C3 )cos t + (C3 - C2 )sin t]
ï
ï
ï
z = C1e2t + e3t [(2C2 - C3 )cos t + (2C3 + C2 )sin t]
ï
ï
î
Задание 4:
4.1) x = C1e2t + C2 e3t , y = C1e2t + 2C2 e3t ;
4.2) x = C1e3t + C2 (t + 1)e3t , y = C1e3t + C2te3t ;
4.3) x = e2t (C1 – ost + C2 sin t),
y = e2t ((C1 + C2 )cos t + (C2 - C1 )sin t);
4.4) x = C2 e2t + C3 e3t , y = C1et + C2 e2t , z = C1et + C2 e2t + C3 e3t ;
4.5) x = C1e3t + C2 e-t , y = -C1e3t + (C2 + 2C3 )e-t ,
z = -3C1e3t + C3 e-t ;
ì
ï
x = et (2C2 sin 2t + 2C3 cos 2t)
ï
ï
ï
t
4.6) ï
;
íy = e (C1 - C2 cos 2t + C3 sin 2t)
ï
ï
t
ï
z = e (-C1 - 3C2 cos 2t + 3C3 sin 2t)
ï
ï
î
4.7) x = C1 + 3C2 e2t , y = -2C2 e2t + C3 e-t , z = C1 + C2e2t - 2C3e-t ;
ì
x = C2 cos t + (C2 + 2C3 )sin t
ï
ï
ï
ï
4.8) íy = 2C1et + C2 cos t + (C2 + 2C3 )sin t.
ï
ï
t
ï
ï
ïz = C1e + C3 cos t - (C2 + C3 )sin t
î
Задание 5:
ì
ïx = C1et + 2C2 e2t - et ln(e2t + 1) + 2e2t arctget
5.1) ï
;
í
t
2t
t
2t
2t
t
ï
ï
ï
îy = C1e + 3C2 e - e ln(e + 1) + 3e arctge
ïìx = C1 cos t + C2 sin t + t(cos t + sin t) + (cos t - sin t)ln | cos t |
5.2) ïí
;
ïïy = (C1 - C2 )cos t + (C1 + C2 )sin t + 2 cos t × ln | cos t | +2t sin t
î
5.3) x = (C + 2C t - 8t5/2 )et , y = (C + 2C t - C - 8t5/2 + 10t3/2 )et ;
1
70
2
1
2
2
5.4) x = 2C1et + C2 e-t + (8 / 3)e2t , y = 3C1et + C2 e-t + (29 / 3)e2t ;
5.5) x = C1 cos 2t - C2 sin 2t + 2t + 2, y = (C1 + 2C2 )cos 2t +
+(2C1 - C2 )sin 2t + 10t;
ïìx=C1 cos t+„2 sin t+t sin t-t cos t
5.6) ïí
.
ïïîy=C1 (sin t+cos t)+C2 (sin t-cos t)-2t cos t+sin t+cos t
Задание 6:
6.1) x = C1e2t + C2 e3t + (t + 1)e2t , y = -2C1e2t - C2 e3t - 2te2t ;
6.2) x = 3C1et - C2 e-t + 3 sin t, y = C1et + C2 e-t - cos t + 2 sin t;
6.3) x = C1e3t + C2 + 3t2 + 2t, y = -C1e3t + 2C2 + 6t2 - 2t - 2;
6.4) x = C1 (cos 2t - sin 2t) + C2 (cos 2t + sin 2t),
y = C1 cos 2t + C2 sin 2t + e-2t ;
6.5) x = C1et + 3C2 e2t + cos t - 2 sin t,
y = C1et + 2C2 e2t + 2 cos t - 2 sin t;
- 4t
ì
ï
+ (4 / 25)et - (1 / 36)e2t
ïx = (C1 + C2t)e
6.6) í
;
- 4t
ï
+ (1 / 25)et + (7 / 36)e2t
ï
ï
îy = -(C1 + C2 + C2t)e
6.7) x = C1et + C2 sin t + C3 cos t, y = -C1et + C2 cos t - C3 sin t + t,
z = C2 sin t + C3 cos t + 1.
Задание 7:
7.1) λ1 = -1, λ2 = -3, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûé óçåë;
7.2) λ1 = -1, λ2 = -3, óñòîé÷èâûé óçåë;
7.3) λ1 = -6 + i, λ2 = -6 - i, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûé ôîêóñ;
7.4) λ1 = 1, λ2 = 5, íåóñòîé÷èâûé óçåë;
7.5) λ1 = 2 + i, λ2 = 2 - i, íåóñòîé÷èâûé ôîêóñ;
7.6) λ1 = -1, λ2 = 3, ñåäëî íåóñòîé÷èâî;
7.7) λ1 = 2, λ2 = 2, íåóñòîé÷èâûé óçåë;
7.8) λ1 = 3, λ2 = λ3 = -1, íåóñòîé÷èâàÿ òî÷êà ïîêîÿ;
7.9) λ1 = 0, λ2 = λ3 = 1, íåóñòîé÷èâàÿ òî÷êà ïîêîÿ.
Задание 8:
8.1) óñòîé÷èâî;
71
8.2) íåóñòîé÷èâî;
8.3) íåóñòîé÷èâî;
8.4) óñòîé÷èâî;
8.5) íåóñòîé÷èâî;
8.6) íåóñòîé÷èâî;
8.7) óñòîé÷èâî;
8.8) íåóñòîé÷èâî;
8.9) óñòîé÷èâî;
8.10) α < β <-1;
8.11) - 2 < α <-1;
8.12) - βe < α <-e;
8.13) óñòîé÷èâî;
8.14) íåóñòîé÷èâî;
8.15) А(–3; –2) – асимптотически устойчивый фокус,
В(–3; –2) – седло (неустойчиво),
С(3; 2) – неустойчивый фокус,
D(3; –2) – седло (неустойчиво);
8.16) А(3; 2) – неустойчива; В(0; –1) – устойчива;
8.17) А(0; 0) – неустойчива; В(1; 2) – устойчива;
8.18) А(1; 1) – неустойчива; В(–4; –4) – устойчива.
Задание 9:
9.1) V=2x2+3y2, асимптотически устойчиво;
9.2) V=x4+y4, устойчиво; 9.3) V=x2 – y2/2, неустойчиво;
9.4) V=x2+y2, асимптотически устойчиво; 9.5) V=x2+y2, неустойчиво;
9.6) V=2x2+y2, устойчиво;
9.7) V=x2+y2, асимптотически устойчиво;
9.8) V=x2 – y2, неустойчиво; 9.9) V=x2+y2/2, устойчиво;
9.10) V=x2+3y2, асимптотически устойчиво;
9.11) V=x4 – y4, неустойчиво;
9.12) V=x4+2y2, устойчиво;
9.13) V=x2 – y2, неустойчиво;
9.14) V=3x2+2y2, устойчиво.
72
Задание 10:
10.1) z=F(xy+y2);
10.2) z = 2xy;
10.3) z = yex - e2x + 1;
10.4) z = y2 e2
x -2
;
10.5) u = F ((x - y) / z, (x + y + 2z)2 / z);
10.6) u = F (e-2x (y + z), e-x (3y + 2z));
10.7) u = F (y2 - z2 ,2x + (z - y)2 ), u = 2(y(y - z) + x);
10.8) u = F (y, ln z - x / y), u = ln z - x / y;
10.9) u = F (y, x y / z), u = x y / z;
2
2
10.10) u = F (z / y, y + y / x );
10.11) u = F (y / x, z + x2 + y2 + z2 );
10.12) u = F (x2 + y2 + z2 , yz / x).
Задание 11:
11.1) Ô(y / x, z + 1 / (2xy)) = 0;
11.2) Ô(e-2x (z sin x + y cos x), e-2x (y sin x - z cos x)) = 0;
11.3) Ô(z - x , x - y ) = 0; 11.4) Ô(x + y + z, x2 + y2 + z2 ) = 0;
11.5) Ô(z, x2 - y2z) = 0, z = x2 / y2 ;
11.6) Ô(z, xe-y/z ) = 0, z = y / (ln x -1);
11.7) Ô(y / x, z / x2 ) = 0, z = xy.
73
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Андреев А. Ф. Введение в локальную качественную теорию
дифференциальных уравнений. СПб.: СПГУ, 2003.
2. Андреев А. Ф. Особые точки дифференциальных уравнений.
Минск: Высшая школа, 1979.
3. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.
М.: Наука, 1981.
4. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.:
Наука, 1990.
5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
6. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972.
7. Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1997.
8. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука,
1966.
9. Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла
и ее приложения. М.: Мир, 1980.
10. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения. Минск:
Высшая школа, 1968.
11. Матросов В. М. Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1986.
12. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения.
М.: Наука, 1971.
13. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.
14. Ортега Д., Пул У. Введение в численные методы решения
дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.
15. Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения. М.: Наука, 1988.
16. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.: Высшая школа,
1989.
17. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2002.
18. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
19. Хессард Б., Козаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.
74
20. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990.
21. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.
22. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965.
23. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир,
1986.
75
Содержание
Предисловие..................................................................
§ 1. Нормальные системы дифференциальных уравнений.....
§ 2. Линейные системы дифференциальных уравнений ........
2.1. Общие свойства линейных систем ...........................
2.2. Однородные линейные системы с переменными коэф- фициентами...............................................................
§ 3. Линейные однородные системы с постоянными коэффи- циентами.......................................................................
3.1. Метод Эйлера.......................................................
3.2. Матричный метод.................................................
§ 4. Линейные неоднородные системы с постоянными коэф- фициентами...................................................................
4.1. Метод Лагранжа...................................................
4.2. Метод неопределенных коэффициентов....................
§ 5. Автономные системы дифференциальных уравнений.....
5.1. Точки покоя.........................................................
5.2. Предельные циклы...............................................
5.3. Динамический хаос...............................................
§ 6. Устойчивость по Ляпунову.........................................
6.1. Постановка задачи. Основные понятия....................
6.2. Устойчивость по первому приближению...................
§ 7. Метод функций Ляпунова...........................................
§ 8. Линейные однородные дифференциальные уравнения в
частных производных первого порядка..............................
§ 9. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка............................
Ответы к заданиям..........................................................
Рекомендуемая литература..............................................
76
3
4
11
11
13
18
18
25
27
27
31
32
32
40
42
43
43
48
50
56
63
68
74
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
2 357 Кб
Теги
maka
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа