close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Makarova 00096B21E6

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
М. В. Макарова
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2012
УДК 517.5
ББК 22.12
М15
М15
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Ю. А. Пичугин;
доктор физ.-мат. наук, профессор В. Г. Фарафонов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Макарова М. В.
Исследование функции и построение графиков: учеб.-метод. пособие / М. В. Макарова. – СПб.: ГУАП, 2012. – 48 с.: ил.
Даются необходимые сведения о свойствах функций и методах
их исследования. Приводятся примеры построения графиков функций и задачи для самостоятельного решения.
Учебно-методическое пособие рекомендуется студентам естественнонаучных и экономических специальностей, может быть использовано преподавателями для подготовки лекций и организации
самостоятельной работы студентов.
УДК 517.5
ББК 22.12
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
© М. В. Макарова, 2012
ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение количественной стороны различных явлений природы приводит к установлению и исследованию функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными
величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, т. е. в виде одной или нескольких формул, то
мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Удобным отражением функциональной зависимости является график. Для успешного
построения графика функции необходимо уметь грамотно находить производные и знать их свойства. Так монотонность функции
(промежутки возрастания и убывания), а также экстремум функции есть свойства производной первого порядка. Для того чтобы
установить является ли функция выпуклой или вогнутой на рассматриваемом промежутке, необходимо учитывать знак ее второй
производной. Важной характеристикой графика функции является наличие у нее асимптот. Чтобы учесть все указанные характеристики составляют алгоритм построения графика функции, согласно которому проводят полное ее исследование, результатом которого является получение графика данной функции.
3
РАЗДЕЛ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
1.1. Простейшие свойства функций
Определение. Функция y = f(x) называется четной, если при изменении знака аргумента на противоположный, функция сохраняет первоначальное значение, т. е. f(–x) = f(x).
Примеры четных функций:
y = x2 , y = 5x4 + 1, y = ln(x6 + 3), y = x8 + 9, y = (x2 + 4) / x4 .
График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy. Особенностью исследования четной функции является тот
факт, что можно сначала рассмотреть поведение функции на интервале (–;0), а затем полученные результаты продублировать на
интервале (0;+).
Определение. Функция y = f(x) называется нечетной, если при
изменении знака аргумента на противоположный, функция также
изменяет свое значение на значение противоположного знака, т. е.
f(–x) = –f(x).
Примеры нечетных функций:
2
y = x3 , y = x ⋅ ex , y = x5 / (x4 + 1).
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат. Особенностью исследования нечетной функции является тот факт, что ее характеристики, выявленные на интервале
(–;0) с заменой их на противоположные по свойствам, можно перенести на интервал (0;+).
Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если
при увеличении (уменьшении) аргумента на определенное число Т, называемое периодом, значение функции не меняется, т. е.
f(x+T) = f(x).
Примеры периодических функций:
æxö
y = sin x, y = cos 2x, y = tg çç ÷÷÷.
çè 4 ø
График периодической функции, построенный на отрезке [0;T],
в дальнейшем повторяется влево и вправо от указанного отрезка на
величину его длины.
Определение. Функция y = f(x) называется функцией общего вида,
если она не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
4
Примеры функций общего вида:
y = 3x5 + 2x4 , y = (x3 + 5)2 , y = (x + 1) / (x2 + 4).
Таким образом, если функция обладает простейшими свойствами четности, нечетности или периодичности, то пользуясь соответствующими свойствами, можно упростить ее исследование и
быстрее построить график. При этом нужно обращать внимание на
область определения функции, т. е. множество всех тех значений
аргумента, при которых функция имеет смысл.
1.2. Возрастание и убывание функции
Определение. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для всех x1 и x2, таких, что x1 < x2, из этого отрезка,
будет выполняться неравенство f(x1) < f(x2).
Определение. Функция f(x) называется убывающей на отрезке
[a, b], если для всех x1 и x2, таких, что x1 < x2, из этого отрезка,
будет выполняться неравенство f(x1) > f(x2).
ТЕОРЕМА 1.
1. Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b],
возрастает на этом отрезке, то её производная на отрезке [a, b] не
отрицательна, т. е. f(x)  0.
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в промежутке (а, b), причём f(x) > 0 для a < x < b, то эта
функция возрастает на отрезке [a, b].
Доказательство.
1. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [a, b]. Придадим аргументу x приращение x и рассмотрим отношение
[f(x + x) – f(x)] /x.
Так как f(x) – функция возрастающая, то
f(x + x) > f(x) при x > 0,
f(x + x) < f(x) при x < 0.
В обоих случаях [f(x + x) – f(x)] / x > 0, а следовательно,
f (x + x) - f (x)
³ 0.
x
x0
f ¢(x) = lim
То есть f(x)  0, что и требовалось доказать.
5
2. Докажем теперь вторую часть теоремы.
Пусть f(x) > 0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2, таких, что
x1 < x2, принадлежащих отрезку [a, b]. По теореме Лагранжа (см.
приложение, теорема о конечных приращениях) имеем
f(x2) – f(x1) = f(с) (x2 – x1), x1 < c < x2.
По условию f(с) > 0, следовательно, f(x2) – f(x1) > 0, т. е.
f(x1) < f(x2), а это значит, что f(x) возрастает на отрезке [a, b] по
определению.
Теорема доказана полностью.
Замечание. Аналогичная теорема имеет место и для убывающей
дифференцируемой функции.
ТЕОРЕМА 2 (об убывающей функции).
1. Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b],
убывает на этом отрезке, то её производная на отрезке [a, b] не положительна, т. е. f(x)  0.
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в промежутке (а, b), причём f(x) < 0 для a < x < b, то эта
функция убывает на отрезке [a, b].
Доказательство проводится аналогично.
Геометрическая интерпретация
Если на отрезке [a, b] функция f(x) возрастает, то касательная
к кривой y = f(x) в каждой точке на этом отрезке образует с осью
Ox острый угол , или в отдельных точках горизонтальна. Действительно, f(x) = tg  0.
Если на отрезке [a, b] функция f(x) убывает, то касательная к
кривой y = f(x) в каждой точке на этом отрезке образует с осью Ox
тупой угол , или в отдельных точках горизонтальна. Действительно, f(x) = tg   0.
1.3. Экстремум функции
Определение. Функция f(x) имеет максимум в точке х1, если
существует такая окрестность точки х1, что для всех точек этой
окрестности, отличных от х1, выполняется неравенство f(x) < f(x1).
Замечание. Используя математическую символику, определение
максимума можно записать следующим образом: функция f(x) имеет
максимум при х = х1, если f(x1 + x) < f(x1) при любых х (положительных и отрицательных) достаточно малых по абсолютной величине.
6
Определение. Функция f(x) имеет минимум в точке x2, если
существует такая окрестность точки х2, что для всех точек этой
окрестности, отличных от х2, выполняется неравенство f(x) > f(x2).
Замечание. Приведенное определение аналогично следующему:
функция f(х) имеет минимум при х = х2, если f(x2 + x) > f(x2) при
любых х достаточно малых по абсолютной величине.
Определение. Максимумы и минимумы функции называют экстремумами или экстремальными значениями функции. Значения
аргумента, при которых достигаются экстремумы функции, называются точками экстремума функции.
ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования экстремума).
Если дифференцируемая функция y = f(x) имеет в точке x = x0
экстремум (максимум или минимум), то её производная в этой точке обращается в нуль, т. е. f(x0) = 0.
Доказательство.
Предположим, для определённости, что в точке x = x0 функция
имеет максимум. Тогда при достаточно малых по абсолютному
значению приращениях x (x  0) будет иметь место неравенство
f(x0 + x) < f(x0), т. е.
f(x0 + x) – f(x0) < 0.
Но в таком случае знак отношения определяется знаком x, а
именно
f (x0 + x) - f (x0 )
> 0 ïðè x < 0,
x
f (x0 + x) - f (x0 )
< 0 ïðè x > 0.
x
Согласно определению производной, имеем:
f ¢(x0 ) = lim
x  0
f (x0 + x) - f (x0 )
.
x
Если f(x) имеет производную при x = x0, то предел, стоящий
справа, не зависит от того, как x стремится к нулю (оставаясь положительным или отрицательным).
Однако, если x  0, оставаясь отрицательным, то f(x0)  0.
Если же x  0, оставаясь положительным, то f(x0)  0.
Так как f(x0) есть определённое число, не зависящее от способа
стремления x к нулю, то два полученных неравенства совместимы
только в том случае, если f(x0) = 0.
7
Аналогичным образом теорема доказывается и для случая минимума функции.
Геометрическая интерпретация
Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция
f(x) имеет производную, то касательная к кривой y = f(x) в этих точках параллельна оси Ох.
Действительно, из того, что f(x0) = tg = 0, где  – угол между
касательной и осью Ох, следует, что  = 0.
Следствие. Если при всех рассматриваемых значениях аргумента х функция f(x) имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум) только при тех значениях, при
которых производная обращается в нуль.
Замечание. Иногда в учебной литературе формулировка необходимого условия существования экстремума называется теоремой
Ферма.
Замечание. Обратное утверждение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно
существует максимум или минимум.
Замечание. В точках экстремума производная функции либо обращается в нуль, либо не существует.
Пример 1. Функция y = x3 (см. рис. 1) при x = 0 имеет производную, равную нулю: y = 3x2, y(0) = 0. Однако, в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума.
Пример 2. Функция y = |x| (см. рис. 2) при х = 0 не имеет производной (в этой точке кривая не имеет определённой касательной), но в
этой точке х = 0 данная функция имеет минимум y(0) = 0.
Пример 3. Функция y = 3 x (см. рис. 3) при x = 0 не имеет про3
изводной, поясним: ( y ¢ = 1 / 3 x2 , y  ¥ ïðè x  0 ). В этой точке
x = 0, функция не имеет ни максимума, ни минимума.
x w3
y
2
y
2
1
1
1
–2 –1
01
–1
8
2 x
y
x3w
2
x w
–2 –1
0 1 2 x
–1
–2
–2
Рис. 1
Рис. 2
–3 –2 –1
01
–1
–2
2
3 x
Рис. 3
Определение. Точки, в которых производная равна нулю, не
существует или равна бесконечности, называют стационарными
(или критическими).
ТЕОРЕМА 2 (первое достаточное условие существования экстремума).
Если дифференцируемая функция y = f(x) непрерывна в окрестности стационарной точки x0, и производная f(x) меняет свой знак
при переходе слева направо через x0, то функция f(x) имеет экстремум при x = х0, причём:
1) функция f(x) имеет максимум при x = x0, если изменение знака производной происходит с плюса на минус;
2) функция f(x) имеет минимум при x = x0, если изменение знака производной происходит с минуса на плюс.
Доказательство.
Докажем первую часть теоремы. Предположим, что производная функции меняет знак с плюса на минус, т. е. для всех x, достаточно близких к x0, имеем
f(x) > 0 при x < x0; f(x) < 0 при x > x0.
Применяем теорему Лагранжа (см. приложение)
f(x) – f(x0) = f(с) (х – х0), где с  (х, х0).
Пусть x < x0, тогда с < x0, f(с) > 0, следовательно f(с) (х – х0) < 0,
откуда f(x) – f(x0) < 0 и f(x) < f(x0).
Пусть x > x0, тогда с > x0, f(с) < 0, следовательно f(с) (x – x0) < 0,
откуда f(x) – f(х0) < 0 и f(x) < f(х0).
Таким образом, для всех значений х, достаточно близких к x0,
значения функции меньше, чем значение функции в точке x0. Следовательно, по определению в точке x0 функция f(x) имеет максимум.
Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы.
ТЕОРЕМА 3 (второе достаточное условие существования экстремума).
Если для дифференцируемой функции y = f(x) в некоторой точке
x0 её первая производная f(x) равна нулю, а вторая производная
f(x) существует и отлична от нуля, т. е. f(x0) = 0, f(x0) < 0, то в
этой точке функция f(x) имеет экстремум, причём:
1) функция f(x) имеет максимум при x = x0, если f(x0) < 0;
2) функция f(x) имеет минимум при x = x0, если f(x0) > 0.
Доказательство.
Докажем первую часть теоремы. Пусть f(x0) = 0, f(x0) = 0. Так
как вторая производная есть производная от первой производной,
то по определению производной имеем
9
f ¢¢(x0 ) = (f ¢(x)) ¢
x = x0
= lim
x  0
f ¢(x0 + x) - f ¢(x0 )
x
=
f ¢(x0 + x)
< 0 (ïî óñëîâèþ).
x
x  0
= lim
Далее обозначим x = x – x0. Слева от x0 при x < x0 будет x < 0,
следовательно, f(x) > 0 и функция f(x) возрастает. Справа от x0 при
x > x0 будет x > 0, следовательно, f(x) < 0, функция f(x) убывает.
Таким образом при переходе через х = х0 слева направо производная f(x) меняет знак с плюса на минус, следовательно по теореме 2
(п. 1.3) при x = x0 функция f(x) имеет максимум.
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Замечание. Первое достаточное условие существования экстремума иногда называется условием первого порядка. Соответственное, второе достаточное условие – условие второго порядка.
Пример. Найти экстремум функции
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 5.
Решение 1. Применение первого условия существования экстремума.
Найдём первую производную
f(x) = 3x2 – 12x + 9 = 3 (x2 – 4x +3) = 0.
Стационарные точки: x1 = 1, x2 = 3.
Тогда f(x) = 3 (x – 1) (x – 3),
f(x) > 0 при х  (– ; 1), f(x) < 0 при х  (1; 3),
f(x) > 0 при х  (3; +).
Следовательно, в точке x = 1 функция f(x) имеет максимум, а в
точке x = 3 будет минимум. Причём f(1) = 9, f(3) = 5.
Решение 2. Применение второго условия существования экстремума.
Найдём последовательно первую и вторую производные от данной функции.
f(x) = 3(x2 – 4x +3), f(x) = 6 (x – 2).
Первая производная обращается в нуль в точках x1 = 1, x2 = 3.
Вычислим значения второй производной в этих точках, получим:
f(1) = 0, f(1) = –6 < 0, в точке x1 = 1 максимум
f(3) = 0, f(3) = 6 > 0, в точке x2 = 3 минимум.
График функции f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 5 приведен на рис. 4.
10
y
12
10
8
6
4
2
–4
–2
0
2
4
x
–2
Рис. 4
1.4. Наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке
Если функция y = f(x) задана и непрерывна на отрезке [a, b], то
наименьшее и наибольшее значение функции может быть либо на
концах отрезка, либо в стационарных точках внутри него.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения
1. Найти производную от заданной функции.
2. Найти стационарные точки внутри данного отрезка.
3. Найти значение функции в стационарных точках и на концах
отрезка.
4. Путём перебора выбрать наибольшее и наименьшее значения
функции на данном отрезке.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 5:
На отрезке [–1, 5]
11
f(x) = 3 (x2 – 4x +3), стационарные точки x1 = 1, x2 = 3.
Значения в стационарных точках f(1) = 9, f(3) = 5.
Значения на концах отрезка: f(–1) = – 11, f(5) = 25.
Наибольшее значение f(5) = 25.
Наименьшее значение f(–1) = –11.
В этом случае наибольшее и наименьшее значения достигаются
на концах отрезка.
На отрезке [2, 4]
Внутри этого отрезка находится лишь одна стационарная точка
x = 3, значение f(3) = 5.
Значения на концах отрезка: f(2) = 7, f(4) = 9.
Наибольшее значение f(4) = 9.
Наименьшее значение f(3) = 5.
В этом случае наибольшее значение достигается на правом конце отрезка, а наименьшее в стационарной точке внутри него.
1.5. Выпуклость и вогнутость графика функции
Рассмотрим на плоскости кривую y = f(x), являющуюся графиком дифференцируемой функции f(x).
Определение. Кривая называется выпуклой на интервале (а; b),
если все её точки лежат ниже любой касательной на этом интервале.
Определение. Кривая называется вогнутой на интервале (а; b),
если все её точки лежат выше любой касательной на этом интервале.
ТЕОРЕМА 1. Если во всех точках интервала (а; b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т. е. f(x) < 0, то кривая y = f(x)
на этом интервале выпукла.
Доказательство.
Пусть x = х0 произвольная точка интервала (а; b). Проведём касательную к кривой y = f(x) в точке с абсциссой x = х0. Покажем, что
все точки кривой на интервале (а; b) лежат ниже этой касательной.
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке x = х0 имеет вид
y = f(x0) + f(x0) (x – x0).
Рассмотрим разность правых частей уравнений кривой и касательной, обозначим её символом .
 = f(x) – f(x0) – f(x0) (x – x0).
12
По теореме Лагранжа (см. приложение)
f(x) – f(x0) = f(c) (x – x0), где с  (x0, x).
Тогда  = f(с) (x – x0) – f(x0) (x – x0) = (f(с) – f(x0)) · (x – x0).
К разности производных опять применим теорему Лагранжа:
f '¢ (c) – f '¢ (x0 ) = f ¢¢(c )(ñ – õ0 ), ãäå c Î (õ0 ; ñ).
Получим:  = f ¢¢(c )(ñ – õ0 )(x – x0 ).
Пусть x > x0, тогда õ0 < c < c < x. Так как x – x0 > 0, с – x0 > 0, по
условию f ¢¢(c ) < 0, следовательно,  < 0.
Пусть x < x0, тогда x < c < c < x0 . Так как x – x0 < 0, с – x0 < 0, по
условию f ¢¢(c ) > 0, следовательно,  < 0.
Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит
ниже касательной к кривой для произвольных значений x и x0 на
интервале (a, b). Следовательно, по определению, кривая является
выпуклой.
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2. Если во всех точках интервала (а; b) вторая производная функции f(x) положительна, т. е. f(x) > 0, то кривая y = f(x)
на этом интервале вогнута.
Доказательство производится тем же способом, как и в предыдущей теореме.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной
кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.
ТЕОРЕМА 3. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x).
Если вторая производная f(x) в точке x = x0 обращается в нуль или
не существует и при переходе через точку x = x0 вторая производная f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x = x0 является
точкой перегиба.
Доказательство.
Пусть f(х) > 0 при х < x0 (кривая вогнута) и f(х) < 0 при х > x0
(кривая выпукла).
Следовательно, точка с абсциссой x = x0 является для кривой
f(x) точкой перегиба.
Теорема доказана.
Пример.
Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и
2
вогнутости кривой Гаусса f (õ) = e-x .
Решение. Находим первую и вторую производные.
2
2
f ¢(x) = – 2õe-x , f ¢¢(x) = 2e-x (2õ2 – 1).
13
Вторая производная существует всюду, найдём значения x, при
которых она обращается в нуль.
f ¢¢(x) = 0 ïðè õ1 = 1
2 , õ2 = 1
2.
Исследуем полученные значения:
при x <-1 2 èìååì f ¢¢(x) > 0;
при x > -1 2 èìååì f ¢¢(x) < 0.
Таким образом, вторая производная меняет знак при переходе
через точку х1, следовательно, при õ1 = -1 2 на кривой имеется
точка перегиба, её координаты (-1 2 ,1 e ).
Аналогично определяем знак второй производной
при x < 1
2 èìååì f ¢¢(x) < 0;
при x > 1
2 èìååì f ¢¢(x) > 0.
Следовательно, при õ2 = 1
2 на кривой также имеется точка
перегиба, её координаты (1 2 ,1 e ).
По знаку второй производной определяем:
при x Î (– ¥,-1
2) кривая вогнута;
при x Î (-1 / 2,1 / 2) кривая выпукла;
при x Î (1 / 2,+¥) кривая вогнута.
Из выражения первой производной следует, что
при x < 0, f(x) > 0, т. е. функция возрастает;
при x > 0, f(x) < 0, т. е. функция убывает;
при x = 0, f(x) = 0 и функция имеет максимум, причём f(0) = 1.
На основании проведённого исследования построим график кривой Гаусса (см. рис. 5).
y
1
1/ d
1 / 2
1/ 2
Рис. 5
14
x
1.6. Асимптоты
Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой,
если при удалении точки по кривой на бесконечность расстояние от
этой точки до данной прямой стремится к нулю.
1. Вертикальные асимптоты.
Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения х = а, при приближении к которым функция y = f(x) стремится к бесконечности, т. е.
lim
xa+0
f (x) = ¥ или
lim
x  a-0
f (x) = ¥.
Тогда прямая х = а будет вертикальной асимптотой.
Пример. Рассмотрим (см. рис. 6) функцию, заданную уравне2
нием y =
.
x -5
2
2
Имеем lim
= +¥, lim
= -¥.
x  5 + 0 x -5
x5-0 x - 5
Прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
2. Горизонтальные асимптоты.
Кривая y = f(x) имеет горизонтальные асимптоты, если существуют конечные пределы:
lim f (x) = b1,
lim f (x) = b2 .
x  +¥
x  -¥
Тогда уравнения горизонтальных асимптот y = b1, y = b2.
Замечание. Значения b1 и b2 могут совпадать, тогда функция
имеет единственную горизонтальную асимптоту.
y
3
2
1
–1–
0
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 x
–2
–3
Рис. 6
15
Пример. Рассмотрим (см. рис. 7) функцию, заданную уравнени1
ем y = e x .
Имеем: lim
x  -¥
1
ex
0
= e = 1, lim
x¥
1
x
e
= e0 = 1.
Прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.
lim
x  0+
1
ex
+¥
=e
= +¥,
lim
x  0-
1
ex
= e-¥ = 0.
Прямая х = 0 является вертикальной асимптотой при х  0+.
3. Наклонные асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b. Определим числа k и b. Пусть М(х, y) – точка, лежащая на кривой y = f(x),
а N(x, y) – точка на асимптоте, MP – отрезок, длина которого равна
расстоянию от точки М до асимптоты (см. рис. 8).
y
4
3
2
1
–4
–3
3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
Рис. 7
y
у =f
(x )
M
у=
0
N
M
Q
Рис. 8
16
кx
+
b
P
x
По условию lim MP = 0.
x¥
Обозначим через  угол наклона асимптоты к оси Ох.
Рассмотрим  NMP.
NM
Найдём MP =
.
cos 

Так как  – постоянный угол (не равный ), то в силу предыду2
MP
0
щего равенства, lim NM = lim
=
= 0.
cos 
x  +¥
x  ¥ cos 
Таким образом,
lim NM = 0.
x  +¥
Однако NM = | QM – QN | = |f(x) – (kx + b)|.
Следовательно, lim [f (x) – kx – b] = 0.
x  +¥
Полученное равенство выполняется тогда и только тогда, когда
прямая y = kx + b является асимптотой для кривой y = f(x).
Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
é f (x)
bù
lim x ⋅ ê
- k - ú = 0.
ê
x úû
x  +¥
ë x
Так как х  , то x  0, поэтому
é f (x)
bù
b
lim ê
- k - ú = 0, ïðè÷åì lim = 0.
x ûú
x  +¥ ëê x
x¥ x
Окончательно:
é f (x)
ù
- kú = 0, откуда находим
lim ê
ûú
x  + ¥ ëê x
f (x)
,
x  +¥ x
k = lim
тогда
b = lim [f (x) - kx ].
x  +¥
Замечание 1. Для дифференцируемой функции y = f(x) для нахождения k можно использовать формулу, полученную по правилу
Лопиталя:
k = lim f ¢(x).
x  +¥
17
Замечание 2. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k = 0.
Пример. Найти асимптоты кривой, заданной уравнением (см.
рис. 9)
y=
x2 + 2x -1
.
x
1. Вертикальные асимптоты.
x2 + 2x -1 -const
=
= -¥.
x
+0
x  0+
lim
x2 + 2x -1 -const
=
= +¥.
x
-0
x  0lim
Следовательно, x = 0. Это вертикальная асимптота.
2. Наклонные асимптоты ищем в виде y = kx + b.
æ
f (x)
x2 + 2x -1
2 1ö
= lim
= lim çç1 + - ÷÷÷ = 1.
x x2 ø
x  ¥ x
x¥
x¥çè
x2
k = lim
y
5
4
3
2
1
–3
–2
–1
0
–1
Рис. 9
18
1
2
3
x
æ x2 + 2x -1
÷ö
- x÷÷ =
b = lim (f (x) -1⋅ x) = lim ççç
÷÷
x
x¥
x  ¥çè
ø
æ 2x -1ö÷
æ
ö
1
= lim çç
÷ = lim çç2 - ÷÷÷ = 2.
xø
x¥çè x ÷ø x  ¥çè
Следовательно, k = 1, b = 2.
Уравнение y = x + 2 (наклонная асимптота).
Замечание. При построении графика функции в приведенном
выше примере мы воспользовались лишь информацией о поведении функции вблизи точки разрыва x = 0 и наличием у нее наклонной асимптоты y = x + 2. По графику (рис. 9) видно, что эта функция не имеет экстремумов и может быть построена без применения
производной, хотя в большинстве случаев для построения графика
функции осуществляется ее полный анализ.
19
РАЗДЕЛ 2. ОБЩАЯ СХЕМА
ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
2.1. Алгоритм построения графика функции
При исследовании функции обычно применяется следующий
алгоритм:
1) нахождение области определения функции;
2) исследование на непрерывность, нахождение точек разрыва
функции и характера разрыва;
3) нахождение точек пересечения графика функции с осями координат;
4) исследование на чётность, нечётность, периодичность;
5) исследование функции на экстремум, нахождение интервалов возрастания и убывания;
6) нахождение точек перегиба кривой и интервалов выпуклости
и вогнутости;
7) нахождение асимптот кривой y = f(x).
По полученным данным строим график функции.
2.2. Примеры построения графиков функций
Пример 1. Исследовать функцию методами дифференциального
1
исчисления и построить график y = - (x3 - 3x2 + 4).
4
Решение.
1. Область определения функции – вся числовая прямая, т. е.
D(y) = (–;+).
2. Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.
3. Точки пересечения с осями координат:
1
Îõ : y = - (x3 - 3x2 + 4) = 0,  x1 = -1, x2 = 2, òî÷êè (–1,0), (2,0).
4
1
Îy : x = 0,  y = - (0 - 0 + 4) = -1, òî÷êà (0,–1).
4
4. Функция общего вида, так как:
1
1
y(-x) = - ((-x)3 - 3(-x)2 + 4) = - (-x3 - 3x2 + 4) ¹ y(x).
4
4
5. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
æ 1
ö¢
1
3
y ¢(x) = çç- (x3 - 3x2 + 4)÷÷÷ = - (3x2 - 6x) = - x(x - 2) = 0.
çè 4
ø
4
4
20
Находим критические точки: x1 = 0, x2 = 2.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.
y'
–
+
–
ŷŷŷƔŷŷŷƔŷŷŷŹ
y
0
2
Функция убывает на интервалах от (–; 0)  (2; +), возрастает
на интервале (0;2). В точке x = 0 функция имеет минимум y(0) = –1;
в точке x = 2 функция имеет максимум y(2) = 0.
6. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:
æ 1
ö¢
1
3
y ¢¢(x) = çç- (3x2 - 6x)÷÷÷ = - (6x - 6) = - (x -1) = 0.
çè 4
ø
4
2
Исследуем знак второй производной в окрестности точки х = 1.
Функция выпукла на интервале (1;+), вогнута на интервале
(–;1).
Точка перегиба; x = 1, y(1) = –0,5.
y''
+
y
‰
–
ŷŷŷƔŷŷŷŹ
1
ˆ
7. Асимптоты.
Так как функция является многочленом, то асимптот она не
имеет.
1
Строим (см. рис. 10) график функции y = - (x3 - 3x2 + 4).
4
Пример 2. Исследовать функцию методами дифференциального
x2
исчисления и построить график y =
.
x -3
Решение.
1. Область определения функции х 3, т. е. D(y) = (–;3)  (3;+).
2. Функция непрерывна всюду, за исключением точки х = 3, являющейся точкой разрыва второго рода. Действительно,
x2
const
=
= +¥.
+0
x3+0 x - 3
lim
y = lim
lim
y = lim
x3+0
x  3-0
x2
const
=
= -¥.
-0
x3-0 x - 3
21
y
1
0
–1
1
2
3
4
x
–1
–2
–3
Рис. 10
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической, т. е. является функцией общего вида.
4. Пересечение с осями координат:
Ох: y = 0 при х = 0,
Оy: х = 0 при y = 0.
Таким образом, график функции проходит через начало координат О(0, 0).
5. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
æ x2 ö÷¢ 2x(x - 3) - x2 x2 - 6x x(x - 6)
÷÷ =
y ¢ = ççç
=
=
.
çè x - 3 ÷÷ø
(x - 3)2
(x - 3)2 (x - 3)2
Находим критические точки:
y = 0 при x(x – 6) = 0, т. е. при x1 = 0, x2 = 6. y не определена
при x3 = 3.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.
y' +
–
–
+
ŷŷŷƔŷŷŷżŷŷŷƔŷŷŷŹ
y
0
3
6
Функция возрастает на интервалах от (–; 0)  (6; +), убывает
на интервалах (0;3)  (3;6). В точке x = 0 функция имеет максимум
y(0) = 0; в точке x = 6 функция имеет минимум y(6) = 12.
22
6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Вычисляем вторую
производную:
æ x2 - 6x ö÷¢
÷÷ = 18 .
y ¢¢ = (y ¢) ¢ = ççç
çè (x - 3)2 ø÷÷ (x - 3)3
Исследуем знак второй производной в окрестности точки х = 3.
При х < 3, y < 0, кривая выпукла.
При х > 3, y > 0, кривая вогнута.
Точек перегиба кривая не имеет.
y '' – +
ŷŷŷżŷŷŷŹ
y
3
ˆ
‰
7. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты
x2
= ¥,
x30 x - 3
lim
следовательно, х = 3 является вертикальной асимптотой.
Горизонтальные асимптоты
x2
x
= lim
= ¥,
x¥ x - 3 x¥ 1 - 3 / x
lim
следовательно, горизонтальных асимптот нет.
Наклонные асимптоты
Уравнение y = kx + b
f (x)
x2
x
1
= lim
= lim
= lim
= 1.
x¥ x
x¥ x(x - 3)
x¥ x - 3 x¥ 1 - 3 / x
k = lim
æ x2
ö÷
b = lim [f (x) - kx ] = lim ççç
- x÷÷÷ =
÷ø
x¥
x¥çè x - 3
3x
3
= lim
= lim
= 3.
x¥ x - 3 x¥ 1 - 3 / x
Итак: k = 1, b = 3, следовательно, уравнение наклонной асимптоты y = х + 3.
x2
Строим (см. рис. 11) график функции y =
.
x -3
23
y
15
10
5
0
–5
5
10
x
–5
–10
Рис. 11
Пример 3. Исследовать функцию методами дифференциального
x3 - 1
исчисления и построить график y =
.
4 x2
Решение.
1. Область определения функции x  0, т. е. D(y) = (–;0) 
(0;+).
2. Точка разрыва x = 0. Вычислим односторонние пределы:
lim
x0
x3 - 1
4x
2
=
-1
= -¥.
+0
Получаем, что x = 0 – вертикальная асимптота.
3. Точки пересечения с осями координат:
x3 - 1
Îõ : y =
= 0,  x1 = 1, òî÷êà (1,0).
4 x2
Îy : x = 0 Ï D(y).
4. Функция общего вида, так как:
y(-x) =
24
(-x)3 -1
4(-x)2
=-
x3 + 1
4 x2
¹ y(x).
5. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
æ x3 -1÷ö¢ 1 3x2 ⋅ x2 - (x3 -1) ⋅ 2x
÷÷ =
=
y ¢(x) = ççç
çè 4x2 ÷÷ø 4
x4
=
1 3x4 - 2x4 + 2x x4 + 2x x3 + 2
.
=
=
4
x4
4x4
4x3
Находим критические точки: x1 = -3 2 » -1,3, x2 = 0.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.
y'
+
–
+
ŷŷŷƔŷŷŷżŷŷŷŹ
y
–1,3
0
Функция возрастает на интервалах от (–; –1,3)  (0; +), убывает на интервале (–1,3;0). В точке x = -3 2 » -1,3 функция имеет
максимум, y(–1,3)  –0,47.
6. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:
æ x3 + 2 ö÷¢ æ 1
ö¢
÷÷ = çç + 1 ÷÷ = - 3 < 0, на каждом интервале
y ¢¢(x) = ççç
÷
3
3
÷
ç
2x4
èç 4x ø÷ è 4 2x ø
области определения, поэтому функция выпукла на каждом интервале области определения, точек перегиба нет.
7. Наклонные асимптоты вида y = kx+b.
y
x3 - 1
1 - 1 / x3 1
= lim
= lim
= ,
4
4
x¥ x
x¥ 4x3
x¥
æ x3 -1 1 ö÷
- x÷÷ =
b = lim (y - kx) = lim ççç
4 ÷ø÷
x¥
x¥èç 4x2
k = lim
=
-1
1
x3 - 1 - x3 1
= lim
= 0.
lim
2
4 x¥
4
x
¥
x
x2
Наклонная асимптота y = x/4.
Строим (см. рис. 12) график функции y =
x3 - 1
4 x2
.
25
y
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
–2
–3
–4
–5
Рис. 12
Пример 4. Исследовать функцию методами дифференциального
x3
исчисления и построить график y =
.
x2 - 1
Решение.
1. Область определения функции x  ±1, т. е.
D(y) = (–;–1)  (–1;1)  (1;+).
2. Точки разрыва x = 1 и x = –1. Вычислим односторонние пределы:
lim
x3
x-1-0 x2 - 1
lim
x3
x1-0 x2 - 1
=
-1
x3
-1
= -¥, lim
=
= +¥,
2
+0
x-1+0 x - 1 -0
=
1
x3
1
= -¥, lim
=
= +¥.
2
-0
x1+0 x - 1 +0
Получаем, что x = 1 и x = –1 – вертикальные асимптоты.
3. Точки пересечения с осями координат:
x3
Îõ : y =
= 0, x = 0, òî÷êà (0,0).
2
x -1
Îy : x = 0  y = 0, òî÷êà (0,0).
4. Функция нечетная, так как:
y(-x) =
(-x)3
(-x)2 -1
=-
x3
x2 - 1
= -y(x).
График симметричен относительно начала координат.
26
5. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
æ x3 ÷ö¢ 3x2 (x2 -1) - x3 ⋅ 2x 3x4 - 3x2 - 2x4
÷÷ =
y ¢(x) = ççç
=
=
çè x2 -1÷÷ø
(x2 -1)2
(x2 -1)2
=
x4 - 3x2
(x2 -1)2
=
x2 (x2 - 3)
(x2 -1)2
x2 (x - 3)(x + 3)
=
(x -1)2 (x + 1)2
.
Находим критические точки: x =  3, x = 0, x =
1.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.
y'
+
–
–
–
–
+
ŷŷŷƔŷŷŷżŷŷŷƔŷŷŷżŷŷŷƔŷŷŷŹ
y
–
–1
3
0
1
3
Функция возрастает на интервалах от (-¥;- 3) È ( 3;+¥),
убывает на интервалах (- 3;-1) È (-1;0) È (0;1) È (1; 3). Функция
3 3
= 2,6. Функция име2
3 3
= -2,6.
ет максимум при x = - 3 » -1,73, y(- 3) = 2
6. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:
имеет минимум при x = 3 » 1,73, y( 3) =
æ x4 - 3x2 ÷ö¢ (4x3 - 6x)(x2 -1)2 - (x4 - 3x2 )2x2(x2 -1)
÷÷ =
y ¢¢(x) = ççç
=
çè (x2 -1)2 ÷÷ø
(x2 -1)4
=x
=x
(4x2 - 6)(x2 -1) - 4(x4 - 3x2 )
(x2 -1)3
4x4 - 6x2 - 4x2 + 6 - 4x4 + 12x2 )
(x2 -1)3
=x
=
6 + 2x2
(x2 -1)3
.
Приравниваем к нулю вторую производную, получаем x = 0.
В точках x = 1 и x = –1 вторая производная не определена. Исследуем знак второй производной на полученных интервалах.
– +
– +
ŷŷŷżŷŷŷƔŷŷŷżŷŷŷŹ
y ''
y
ˆ
–1
‰ 0
ˆ
1
‰
27
Функция выпукла на интервалах (–;–1)  (0;1), вогнута на интервалах (–1;0)  (1;+). Точка перегиба: x = 0, f (0) = 0.
7. Наклонные асимптоты вида y = kx+b.
y
x3
x2
1
= lim
= lim
= lim
= 1,
x¥ x
x¥ x(x2 - 1)
x¥ x2 - 1 x¥ 1 - 1 / x2
k = lim
æ x3
x3 - x3 + x
÷ö
- x÷÷÷ = lim
=
b = lim (y - kx) = lim ççç
÷ø x¥ (x2 -1)
x¥
x¥çè (x2 - 1)
= lim
x
x¥ (x2 - 1)
= lim
1
x¥ (x - 1 / x)
= 0.
Наклонная асимптота y = x.
Строим (см. рис. 13) график функции y =
x3
.
x2 - 1
Пример 5. Исследовать функцию методами дифференциального
x
исчисления и построить график y =
.
2
x +x
Решение.
1. Область определения функции
x2 + x > 0, x(x + 1) > 0, x1 ¹ 0, x2 ¹ -1.
x
+
–
+
ŷŷŷżŷŷŷżŷŷŷŹ
–1
0
y
3
2
1
–3
–2
–1
0
–1
–2
–3
Рис. 13
28
1
2
3
x
Получаем D(y) = (–;–1)  (0;+).
2. Точки разрыва x = –1, x = 0. Рассмотрим пределы:
x
lim
=
2
x-1-0
-1
= -¥, +0
x +x
æ
æ1ö
0ö
1
x
= çç ÷÷÷ = lim
= çç ÷÷÷ = 0.
ç
ç
x2 + x è 0 ø x+0 1 + 1 / x è ¥ ø
lim
x+0
Получаем, что x = –1 – односторонняя вертикальная асимптота.
3. Точки пересечения с осями координат:
x
Îõ : y =
= 0,  x = 0 Ï D(y),
2
x +x
Îy : x = 0 Ï D(y).
4. Функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно начала координат.
5. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
1
x2 + x - x
(2x + 1)
æ
ö÷¢
2
x
çç
2
x
+
x
÷÷ =
y ¢(x) = ç
=
÷
çç 2
è x + x ø÷
( x2 + x )2
=
2x2 + 2x - x(2x + 1)
2
2( x + x )
3
=
2x2 + 2x - 2x2 - x
2
2( x + x )
3
=
x
2
2( x + x )3
.
Находим критические точки: x1 = 0, x2 = 1.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.
y'
–
+
ŷŷŷżŷŷŷżŷŷŷŹ
y
–1
0
Функция возрастает на интервале (0; + ¥), убывает на интервале (-¥;-1). Экстремумов нет.
6. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:
1
( x2 + x )3 - x ⋅ 3( x2 + x )2 ⋅
(2x + 1)
æ
ö÷¢
x
1 çç
2( x2 + x )
÷
÷ =
=
y ¢¢(x) = ç
2 ççè ( x2 + x )3 ÷÷÷ø
2( x2 + x )6
29
=
1 2( x2 + x )2 - x ⋅ 3(2x + 1) 1 2x2 + 2x - 6x2 - 3x 1 -4x2 - x
=
=
=
4
4
4 ( x2 + x )5
( x2 + x )5
( x2 + x )5
=-
1 x(4x + 1)
1 x(4x + 1)
=.
4 ( x2 + x )5
4 ( x x + 1)5
Приравниваем к нулю и находим критические точки x1 = 0,
x2 = –1 и x3 = –1/4.
Исследуем знак второй производной, учтем область определения функции
– –
ŷŷŷżŷŷŷƔŷŷŷżŷŷŷŹ
y ''
y
ˆ –1
–1 /4
0 ˆ
Функция выпукла на интервалах (–;–1)  (0;+). Точек перегиба нет.
7. Наклонные асимптоты вида y = kx+b.
y
1
= lim
= 0,
x¥ x
x¥ x2 + x
æ¥ö
x
1
b1 = lim (y - kx) = lim
= çç ÷÷÷ = lim
= 1.
ç
è ¥ ø x+¥ 1 + 1 / x
x+¥
x+¥ x2 + x
k = lim
b2 = lim (y - kx) = lim
x-¥
= lim
x+¥
x-¥
-1
1 -1 / x
x
x2 + x
= lim
x+¥
æ¥ö
= çç ÷÷÷ =
ç
x2 - x è ¥ ø
-x
= -1.
Таким образом, y = 1 и y = –1 – горизонтальные асимптоты.
x
Строим (см. рис. 14) график функции y =
.
x2 + x
Пример 6. Исследовать функцию методами дифференциального
исчисления и построить график y =
ex
.
x
Решение.
1. Область определения функции x  0, т. е. D(y) = (–;0) 
(0;+).
30
y
2
1
–4
–3
–1 0
–2
1
2
3
4
5
x
–1
–2
–3
Рис. 14
2. Точка разрыва x = 0. Вычислим односторонние пределы в x = 0:
ex
1
ex
1
=
= -¥, lim
=
= +¥.
-0
+0
x-0 x
x+0 x
lim
Получаем, что x = 0 – вертикальная асимптота.
3. Точки пересечения с осями координат:
ex
Îõ : y =
= 0, íåò ðåøåíèé.
x
Îy : x = 0 Ï D(y).
Нет точек пересечения с осями координат.
4. Функция общего вида, так как:
y(-x) =
e-x
e-x
=¹ y(x).
x
-x
5. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
æ ex ö÷¢ ex x - ex ex (x -1)
y ¢(x) = ççç ÷÷÷ =
=
.
çè x ø÷
x2
x2
Находим критические точки: x1 = 0, x2 = 1.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.
y'
–
–
+
ŷŷŷżŷŷŷƔŷŷŷŹ
y
0
1
31
Функция возрастает на интервале от (1; + ¥), убывает на интервалах (-¥;0) È (0;1). Функция имеет минимум в точке x = 1,
y(1) = e  2,7.
6. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:
æ ex (x -1) ÷ö¢ ex (x -1 + 1)x2 - ex (x -1) ⋅ 2x
÷÷ =
y ¢¢(x) = ççç
=
çè x2 ÷÷ø
x4
= ex
(x)x - (x -1) ⋅ 2
x3
= ex
x2 - 2x + 2
x3
.
Вторая производная не определена в точке x = 0. Исследуем знак
второй производной.
– +
ŷŷŷżŷŷŷŹ
y ''
y
ˆ
0
‰
Функция вогнута на интервале (0;+), выпукла на интервалах
(–;0).
7. Найдем наклонные асимптоты вида y = kx+b. Применим правило Лопиталя.
y
ex
ex
ex
= lim 2 = lim
= lim
= ¥,
x+¥ x
x+¥ x
x+¥ 2x
x+¥ 2
k1 = lim
y
ex
ex
ex
= lim
= lim
= lim
= 0,
x-¥ x
x-¥ x2
x-¥ 2x
x-¥ 2
k2 = lim
ex
ex
= lim
= 0.
x-¥ x
x-¥ 1
b2 = lim (y - k2 x) = lim
x-¥
Получили горизонтальную асимптоту y = 0.
ex
Строим (см. рис. 15) график функции y = .
x
Пример 7. Исследовать функцию методами дифференциального
x +1
исчисления и построить график y = ln
.
x +2
Решение.
1 Область определения функции
x +1
> 0, (x + 1)(x + 2) > 0, x1 = -1, x2 = -2.
x +2
32
y
4
3
2
1
–3
–2
0
–1
1
2
3
x
–1
–2
–3
Рис. 15
x
+
–
+
ŷŷŷżŷŷŷżŷŷŷŹ
–2
–1
т. е. D(y) = (–;–2)  (–1;+).
2. Вычислим односторонние пределы:
æ –const ö÷
x +1
= ln çç
= ln(+¥) = +¥, çè -0 ÷÷ø
x-2-0 x + 2
æ +0 ö÷
x +1
lim ln
= ln çç
= ln(+0) = -¥.
çè +const ÷ø÷
x-1+0 x + 2
lim ln
Получаем, что x = –1 и x = –2 – вертикальные асимптоты.
3. Точки пересечения с осями координат:
æ x + 1 ö÷
x +1
Îõ : y = ln çç
= 0, 
= 1, x + 1 = x + 2, íåò ðåøåíèé.
çè x + 2 ø÷÷
x +2
æ 0 + 1 ö÷
= -ln 2 » -0,69. Òî÷êà (0,-0,69).
Îy : x = 0,  y = ln çç
çè 0 + 2 ø÷÷
4. Функция общего вида, так как:
y(-x) = ln
-x + 1
x -1
= ln
¹ y(x).
-x + 2
x -2
33
5. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
æ x + 1 ÷ö¢ x + 2 æ x + 1 ÷ö¢ x + 2 x + 2 - (x + 1)
çç
=
y ¢(x) = ççln
÷ =
÷ =
èç x + 2 ÷ø
x + 1 èç x + 2 ÷ø
x + 1 (x + 2)2
=
1 x + 2 - x -1
1
=
.
x + 1 (x + 2)
(x + 1)(x + 2)
Находим критические точки: x1 = -1, x2 = -2.
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения функции.
y'
+
+
ŷŷŷżŷŷŷżŷŷŷŹ
y
–2
–1
Функция возрастает на интервалах (-¥;-2) È (-1;+¥). Экстремумов нет.
6. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:
æ
ö÷¢
1
x +1 + x + 2
2x + 3
÷ =y ¢¢(x) = çç
=.
2
2
çè (x + 1)(x + 2) ÷÷ø
(x + 1) (x + 2)
(x + 1)2 (x + 2)2
Находим критические точки: x1 = -1, x2 = -2, x3 = -1,5. Исследуем знак второй производной с учетом области определения
функции.
y ''
+
y
‰
–
ŷŷŷżŷŷŷƔŷŷŷżŷŷŷŹ
–2
–1,5
–1
ˆ
Функция вогнута на интервале (–;–2), выпукла на интервалах
(–1;+).
y
3
2
1
–6
–5
–4
–3 –2
–1
0
–1
–2
–3
Рис. 16
34
1
2
3
4
x
7. Горизонтальная асимптота:
lim y = lim ln
x¥
x¥
x +1
1 +1 / x
= lim ln
= ln1 = 0.
x + 2 x¥ 1 + 2 / x
Асимптота y = 0.
x +1
Строим (см. рис. 16) график функции y = ln
.
x +2
35
РАЗДЕЛ 3. ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1. Построить графики.
1.1. y = 2x3 - 9x2 + 12x - 9.
1.2. y = 3x - x3 .
1.3. y = x2 (x - 2)2 .
1.4. y = (x3 - 9x2 ) / 4 + 6x - 9.
2
3
2
2
1.5. y = 2 - 3x - x .
1.6. y = (x + 1) (x - 1) .
1.7. y = 2x3 - 3x2 - 4.
1.8. y = 3x2 - 2 - x3 .
1.9. y = (x - 1)2 (x - 3)2 .
1.10. y = (x3 + 3x2 ) / 4 - 5.
1.11. y = 6x - 8 x3 .
1.12. y = 16x2 (x - 1)2 .
1.13. y = 2x3 + 3x2 - 5.
1.14. y = 2 - 12x2 - 8 x3 .
1.15. y = (2x + 1)2 (2x - 1)2 .
1.16. y = 2x3 + 9x2 + 12x.
1.17. y = 12x2 - 8 x3 - 2.
1.18. y = (2x - 1)2 (2x - 3)2 .
1.19. y = 27(x3 - x2 ) / 4 - 4.
1.20. y = x(12 - x2 ) / 8.
1.21. y = x2 (x - 4)2 / 16.
1.22. y = 27(x3 + x2 ) / 4 - 5.
1.23. y = (16 - x3 - 6x2 ) / 8.
1.24. y = -(x2 - 4)2 / 16.
1.25. y = 16x3 - 36x2 + 24x - 9.
1.26. y = (6x2 - x3 - 16) / 8.
1.27. y = -(x - 2)2 (x - 6)2 / 16.
1.28. y = 16x3 - 12x2 - 4.
1.29. y = (11 + 9x - x3 - 3x2 ) / 8.
1.30. y = 16x3 + 12x2 - 5.
Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезках.
2.1. y = x2 +
16
x
- 16, [1, 4].
2
2.3. y = 3 2(x - 2) (8 - x) - 1, [0, 6].
36
2.2. y = 4 - x -
2.4. y =
4
x
2
, [1, 4].
2(x2 + 3)
x 2 - 2x + 5
, [-3, 3].
2.5. y = 1 + 3 2(x - 1)2 (x - 7), [-1,5]. 2.6. y = 2 x - x, [0, 4].
10x
, [0, 3].
2.7. y = x - 4 x + 5, [1, 9].
2.8. y =
2.9. y = 3 2x2 (x - 3), [-1, 6].
2.10. y = 2x2 +
2.11. y = -
2.13. y =
10x + 10
x 2 + 2x + 2
2(-x2 + 7x - 7)
x 2 - 2x + 2
2.17. y = -
x2
2
é1 ù
- 15, ê ,2ú .
ëê 2 ûú
x
2
+
8
x
+ 8, [-4,-1].
-2x(2x + 3)
2
x + 4x + 5
2.21. y = -
, [1, 4].
4
2.15. y = 8 x +
2.19. y =
, [-1,2].
, [1, 4].
2(x2 + 3)
2
x + 2x + 5
, [-5,1].
2.23. y = 2 x - 1 - x + 2, [1,5].
2.25. y =
4x
4+x
2
, [-4,2].
2.27. y = 3 2x2 (x - 6), [-2, 4].
2.29. y =
é
1ù
- 8 x - 15, ê-2,- ú .
2 ûú
ëê
x
4
2
1 + x2
108
x
- 59, [2, 4].
2.12. y = 3 2(x + 1)2 (5 - x) - 2, [-3, 3].
2.14. y = x - 4 x + 2 + 8, [-1,7].
2.16. y = -
x2
2
+ 2x +
8
x -2
+ 5, [-2,1].
2.18. y = 3 2(x + 2)2 (x - 4) + 3, [-4,2].
2.20. y = 3 2(x - 1)2 (x - 4), [0, 4].
2.22. y = x2 - 2x +
16
x -1
- 13, [2,5].
2.24. y = 3 2(x + 2)2 (1 - x), [-3, 4].
2.26. y = 3 2(x - 2)2 (5 - x), [1,5].
2.28. y = x2 + 4x +
2.30. y = 3 - x -
16
x +2
4
(x + 2)
2
- 9, [-1,2].
, [-1,2].
37
Задача 3. Провести полное исследование функций и построить
их графики.
3
2
2
3.1. y = (x + 4) / x .
3.2. y = (x - x + 1) / (x - 1).
3.3. y = 2 / (x2 + 2x).
3.4. y = 4x2 / (3 + x2 ).
3.5. y = 12x / (9 + x2 ).
3.6. y = (x2 - 3x + 3) / (x - 1).
3.7. y = (4 - x3 ) / x2 .
3.8. y = (x2 - 4x + 1) / (x - 4).
3.9. y = (2x3 + 1) / x2 .
3.10. y = (x - 1)2 / x2 .
3.11. y = x2 / (x - 1)2 .
3.12. y = (1 + 1 / x)2 .
2
2
2
2
3.13. y = (12 - 3x ) / (x + 12).
3.14. y = (9 + 6x - 3x ) / (x - 2x + 13).
3.15. y = -8 x / (x2 + 4).
3.16. y = ((x - 1) / (x + 1))2 .
4
3
2
3.17. y = (3x + 1) / x .
3.18. y = 4x / (x + 1) .
3.19. y = 8(x - 1) / (x + 1)2 .
3.20. y = (1 - 2x3 ) / x2 .
3.21. y = 4 / (x2 + 2x - 3).
3.22. y = 4 / (3 + 2x - x2 ).
3.23. y = (x3 - 4) / x2 .
3.24. y = 1 / (x4 - 1).
3.25. y = -(x / (x + 2))2 .
3.26. y = (x3 - 32) / x2 .
3.27. y = 4(x + 1)2 / (x2 + 2x + 4). 3.28. y = (3x - 2) / x3 .
3.29. y = (x2 - 6x + 9) / (x - 1)2 .
3.30. y = (x2 + 2x - 7) / (x2 + 2x - 3).
Задача 4. Провести полное исследование функций и построить
их графики.
4.1. y = (x + 1) / ( 4x - 3 ).
4.2. y = (2x3 + 2x2 - 3x - 1) / (2 - 4x2 ).
4.3. y = (4x2 + 9) / (4x + 8).
4.4. y = (x3 - 4x) / (3x2 - 4).
4.5. y = (x2 - 3) / ( 3x2 - 2 ).
4.6. y = (4x3 + 3x2 - 8 x - 2) / (2 - 3x2 ).
4.7. y = (2x2 - 1) / ( x2 - 2 ).
4.8. y = (2x3 + 2x2 - 9x - 3) / (2x2 - 3).
2
38
2
4.9. y = (3x2 - 7) / (2x + 1).
4.10. y = (2x2 - 6) / (x - 2).
4.11. y = (4x3 - 3x) / (4x2 - 1).
4.12. y = (2 - x2 ) / ( 9x2 - 4 ).
4.13. y = (x2 + 16) / ( 9x2 - 8 ).
4.14. y = (2x2 - 6x + 4) / (3x - 2).
4.15. y = (21 - x2 ) / (7x + 9).
4.16. y = (x3 + 3x2 - 2x - 2) / (2 - 3x2 ).
2
2
4.17. y = (x - 11) / (4x - 3).
4.18. y = (17 - x ) / (4x - 5).
4.19. y = (2x2 - 9) / ( x2 - 1).
4.20. y = (2x3 - 3x2 - 2x + 1) / (1 - 3x2 ).
4.21. y = (x2 + 2x - 1) / (2x + 1).
4.22. y = (x3 - 2x2 - 3x + 2) / (1 - x2 ).
4.23. y = (x2 + 6x + 9) / (x + 4).
4.24. y = (x3 + x2 - 3x - 1) / (2x2 - 2).
4.25. y = (x2 - 2x + 2) / (x + 3).
4.26. y = (3x2 - 10) / ( 4x2 - 1).
4.27. y = (3x2 - 10) / (3 - 2x).
4.28. y = (x3 - 5x) / (5 - 3x2 ).
4.29. y = (9 - 10x2 ) / ( 4x2 - 1).
4.30. y = (-x2 - 4x + 13) / (4x + 3).
Задача 5. Провести полное исследование функций и построить
их графики.
5.1. y = (2x + 3)e-2( x+1) .
5.3. y = 3 ln
5.5. y =
x
x-3
e2-x
2- x
- 1.
5.7. y = (x - 2)e3-x .
5.11. y =
5.4. y =
e2( x+1)
2(x + 1)
e2( x-1)
2(x - 1)
5.6. y = ln
.
5.9. y = 3 - 3 ln
5.2. y =
x
x+4
e2( x+2)
2(x + 2)
.
x
x +2
.
.
+ 1.
5.8. y = (3 - x)e x-2 .
.
5.10. y = -(2x + 1)e2( x+1) .
5.12. y = ln
x
x -2
- 2.
39
5.13. y = (2x + 5)e-2( x+2) .
5.15. y = 2 ln
5.17. y = -
x
x +1
- 1.
e-2( x+2)
2(x + 2)
.
5.19. y = (2x - 1)e2(1-x) .
5.21. y = 2 ln
5.23. y =
x
x-4
e x +3
x+3
- 3.
5.29. y =
40
x -5
x
e x-3
x-3
.
e3-x
3- x
+ 2.
.
5.16. y = (4 - x)e x-3 .
5.18. y = 2 ln
5.20. y = -
x+3
x
e-( x+2)
x +2
- 3.
.
5.22. y = -(x + 1)e x+2 .
5.24. y = ln
.
5.25. y = -(2x + 3)e2( x+2) .
5.27. y = ln
5.14. y =
5.26. y = -
x
x +5
- 1.
e-2( x-1)
2(x - 1)
.
5.28. y = (x + 4)e-( x+3) .
5.30. y = ln
x+6
x
- 1.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э. Функции и графики (основные приемы построения). М.: МЦНМО, 2006.
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Мир и образование, 2009.
3. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). СПб.: Лань, 2005.
4. Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. М.: АйрисПресс, 2008.
5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. СПб.: Лань, 2005.
6. Соболь Б. В. Практикум по высшей математике. М.: Феникс,
2006.
7. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах. М.:
Политехника, 2003.
41
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ (Теорема о корнях производной)
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, а на концах отрезка принимает равные значения, т. е. f(a) = f(b), то существует по
крайней мере одна точка x = с, a < c < b, в которой производная f(x)
обращается в нуль, т. е. f(с) = 0.
Доказательство.
Так как функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то согласно теореме Вейерштрасса она принимает на этом отрезке наибольшее значение M и наименьшее значение m.
Если значения M и m достигаются на концах отрезка, то M = m
в силу того, что по условию значения на концах отрезка равны. Это
возможно лишь в случае, когда f (x) = const, т. е. является постоянной для всех x  [a, b]. Тогда f(x) = 0 в любой точке отрезка. Таким
образом, за точку x = c можно взять любую точку из интервала (а, b).
Если хотя бы одно из значений M или m функция y = f (x) принимает внутри отрезка [a, b], то М  m.
Пусть для определённости функция y = f(x) принимает своё наибольшее значение при x = c, т. е. f(с) = M, причем а < c < b. Так как
f(с) – наибольшее значение функции, то f(с + x) – f(с)  0 как при
x > 0, так и при x < 0.
Следовательно, соотношение
f f (c + x) - f (c)
=
£ 0 ïðè x > 0,
x
x
f f (c + x) - f (c)
=
³ 0 ïðè x < 0.
x
x
Так как по условию теоремы производная при x = c существует,
то, переходя к пределу при x  0, получим
lim
f
x0 x
= lim
x0
f (c + x) - f (c)
= f ¢¢(c) £ 0 ïðè x > 0,
x
f
f (c + x) - f (c)
= lim
= f ¢(c) ³ 0 ïðè x < 0.
x
x0 x
x0
lim
42
у
f (a) = f(b)
a
с
b
х
Рис. 17
Неравенства f(с)  0 и f(с)  0 совместимы лишь в том случае,
если f(с) = 0.
Следовательно, внутри отрезка [а, b] имеется точка с, в которой
производная f(х) равна нулю.
Теорема доказана.
Теорема о корнях производной имеет простое геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках с абсциссами a и b, то на этой
кривой найдётся по крайней мере одна точка с абсциссой c, такая,
что a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox (см. рис. 17).
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА (Теорема о конечных приращениях)
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то найдётся по
крайней мере одна такая точка с, a < c < b, что
f (b) - f (a) = f ¢(c) ⋅ (b - a).
Доказательство.
Введём в рассмотрение вспомогательную функцию
é
ù
f (b) - f (a)
F (x) = f (x) - ê f (a) +
⋅ (x - a)ú .
êë
úû
b-a
Эта функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
Действительно, F(x) – непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема внутри отрезка [a, b], причём
43
у
В
С
у = f(x)
А
D
D
0
а
с
b
x
Рис. 18
F ¢(x) = f ¢(x) -
f (b) - f (a)
.
b-a
На концах отрезка [a, b] функция F(x) принимает равные нулю
значения F(a) = F(b) = 0.
Тогда, по теореме Ролля существует хотя бы одна точка с  (a, b),
f (b) - f (a)
в которой F(с) = 0, т. е. f ¢(c) =
, что соответствует искомоb-a
му равенству f(b) – f(a) = f(с)  (b – a).
Теорема доказана.
Проиллюстрируем геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Заметим, что величина (f (b) – f (a)) / (b – a) представляет собой тангенс угла  наклона хорды, проходящей через точки А и В графика
функции y = f(x) с абсциссами a и b. С другой стороны, f(с) есть
тангенс угла наклона касательной к кривой в точке С абсциссой с.
Таким образом, если во всех точках дуги АВ существует касательная к графику функции у = f(x), то на этой дуге найдётся точка
С между А и В, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки А и В (см. рис. 18).
ТЕОРЕМА КОШИ
(Теорема об отношении приращений двух функций)
Если f(x) и (x) – две функции, непрерывные на отрезке [a, b] и
дифференцируемые внутри него, причём (x) нигде внутри отрезка не обращается в нуль, то найдётся такая точка x = с, a < c < b, что
44
f (b) - f (a) f ¢(c)
=
.
(b) - (a) ¢(c)
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = f (x) - f (a) -
f (b) - f (a)
⋅ ((x) - (a)).
(b) - (a)
Эта функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
Действительно, F(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема внутри [a, b], причём
F ¢(x) = f ¢(x) -
f (b) - f (a)
⋅ ¢(x).
(b) - (a)
На концах отрезка [a, b] функция принимает равные нулю значения F(a) = F(b) = 0.
Тогда, по теореме Ролля существует хотя бы одна точка с  (a, b),
в которой F(с) = 0, т. е.
f ¢(c) =
f (b) - f (a)
⋅ ¢(c),
(b) - (a)
откуда
f ¢(c) f (b) - f (a)
=
.
¢(c) (b) - (a)
Теорема доказана.
45
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ....................................................................
Раздел 1. Исследование функции ........................................
1.1. Простейшие свойства функций .................................
1.2. Возрастание и убывание функции .............................
1.3. Экстремум функции ................................................
1.4. Наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке ....................................................................
1.5. Выпуклость и вогнутость графика функции ...............
1.6. Асимптоты.............................................................
Раздел 2. Общая схема построения графика функции .............
2.1. Алгоритм построения графика функции ....................
2.2. Примеры построения графиков функций ...................
Раздел 3. Задачи для самостоятельного решения ...................
Рекомендуемая литература ................................................
Приложение .....................................................................
46
3
4
4
5
6
11
12
15
20
20
20
36
41
42
Учебное издание
Макарова Мария Валентиновна
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Учебно-методическое пособие
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 22.10.12. Подписано к печати 30.10.12.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,8.
Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 200 экз. Заказ № 568.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Для заметок
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
413 Кб
Теги
makarov, 00096b21e6
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа