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2014
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????????? ????, ?????????????? ????, ? ??? ????? ?????????????????? ???? ?????. ?????? ????????? ??????? ??????? ?????, ???????? ? ?????????????? ??????? ??? ?????????, ??????????? ? ???????????? ? ???????????? ? ?? ??????????. ?????????? ????????
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?????? ????????. ???. ???. ?. 2,67.
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190000, ?????-?????????, ?. ??????? ??., 67
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??????????? ????????????????
??????????????? (????), 2014
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3
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u1 + u2 + u3 + ? + un + ? (1)
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u1 + u2 + u3 + ? + un + ? =
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4
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u1 + u2 + u3 + ? + un + ? =
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n =1
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II. ??????? ?????????
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5
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IV. ???????????? ??????? ????
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n =1
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1
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1 +1 +? +1 +? ???????? ??? (5) ??????????, ?.?. lim un = 1 ? 0
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3) ??? ?????????????? ??????????
6
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1
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u1 + u2 + u3 + ? + un + ? =
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n =1
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u1 + u2 + ? + un + ? =
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n =1
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n =1
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????????????????? ??? (11) ????????, ???? ??????????? ???????
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2. lim un = 0
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7
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???? ????????? x ???? ???????????? ???????? ???????? x0, ??
?????????????? ??? (12) ???????????? ? ????????
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u1 ( x0 ) + u2 ( x0 ) +? + un ( x0 ) +? =
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n =1
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2
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? an ( x ? a )
n
(14)
n =0
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n =0
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8
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0
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??? x > R ??????????.
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????? R ?????????? ???????? ?????????? ?????????? ????.
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?????????? ????
?????????? ????????? ??? (15).
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lim
an +1
n ??
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= l > 0,
?? ?????? ?????????? ????
a
1
= lim n l n?? an +1
R=
(16)
??????? 2. ???? ?????????? ?????? ????
lim
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n
= l > 0,
?? ?????? ?????????? ????
R=
a
1
= lim n l n?? an +1
(17)
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???? ????????? ??? (15) ????? ??????? ????????????, ?? ???
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(17). ? ???? ?????? ??????? ??????????????? ?????????? ?????????
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9
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( x ? a )n + ?
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1!
2!
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f (x)= f (0) +
f ?(0)
f ??(0) 2
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x +? +
x +?
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2!
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xn
1
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+
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1! 2! 3!
n!
n =0 n !
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sin x=
x x3 x5 x7
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+
?
+ ? + (?1)n
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1! 3 ! 5 ! 7 !
(2n + 1) !
?? < x < +?
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1
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x2n +1
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n =0
n
!
2n
?
x2 x 4 x 6
x2n
n x
+
+
+ ? + (?1)n
+? =
?
1
(
)
?
2! 4 ! 6 !
(2n) !
(2n ) !
n =0
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ln(1 + x) = x ?
x2 x 3 x 4
xn
+
?
+ ? + (?1)n ?1
?? =
n
2
3
4
x ? ( ?1; 1]
?
? (?1)n?1
n =1
xn
,
n
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(1 + x)m =
1+
m
m(m ? 1) 2 m(m ? 1)(m ? 2) 3
x+
x +
x +?
1!
2!
3!
m(m ? 1)?(m ? n + 1) n
+
x +?
(18)
n!
x ? ( ?1; 1)
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10
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1
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??
?
=
bm
1
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? ?
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???? ??? (19) ????????, ?? ??? ????? S(x) ???? ?????????????
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?????? ?? ????? ???????.
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m?x
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l
l
2 m =1
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l
l
?l
?l
1
m?x
1
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?
l
l
l
l
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)
?
m?x
a0
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),
l
2 m =1
11
???
am =
l
2
m?x
f (x)cos
dx.
l?
l
0
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f (x) =
?
? bm sin
m =1
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bm =
l
2
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f (x)sin
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?
l
l
0
12
m?x
,
l
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?????? 1
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?
54
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n =9
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1
A
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+
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1
(n ? 4 )(n ? 7 )
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.
(n ? 4)(n ? 7)
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1= A (n ? 7) + B(n ? 4);
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n = 7 ? 1 = 3B ? B = 1 / 3;
1
54
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?
+
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? n ?7 n ? 4 ?
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(n ? 4 )(n ? 7 )
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Sn =
n
54
n
? 1
1 ?
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n 9
=
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?? 2 ? 5 ? + ? 3 ? 6 ? ? ? 4 ? 7 ? + ? 5 ? 8 ? + ? 6 ? 9 ? + ?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
= 18 ? ?
;
?
?
1
1
1
1
?
?
?
?
+? ? ? +? + ?
?
?
?
?
? 7 10 ?
? n ?7 n ? 4 ?
?
?
1
1
1 ?
1
1
1 ?
?1 1 1
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18 ? ?
Sn =
?
?
?
?
?
?=
?;
? 2 3 4 n ?2 n ?3 n ?4 ?
? 12 n ? 2 n ? 3 n ? 4 ?
13
1
1
1 ? 39
? 13
S = lim Sn = lim 18 ? ?
?
?
?
? = =19,5.
n ??
n ??
? 12 n ? 2 n ? 3 n ? 4 ? 2
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?????? 2
??????????? ???? ?? ??????????:
?
?)
1
? 2n + 1.
n =1
???????.
????? ??????? ???? ?????? ??????????????? ?????? ????
?
n
?
1
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? 2n = ? ?? 2 ?? . ?? ????????? ??? ???????? ??? ??? ??????????????
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n 1=
n 1
?????????? ??? q < 1.
?????????????, ??????????? ??? ???????? ?? ????????
????????? (??????? 1).
?
b)
1
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n =1
???????.
sin
1
n = 1 ? 0,
?
1
?????????? ???
1
n ??
n =1
n
?????????????, ?? ???????????
??? ?????????? ?? ???????? ????????? ( ??????? 2).
???
???
lim
?
???
?n
?????? 3
??????????? ??? ?? ??????????:
?
n ? 4n
? (n + 5)!.
n =1
???????.
????????????? ????????? ?????????:
u
lim n +1= l, 0 ? l < 1 ? ряд сходится,
n ?? un
l > 1 ? ряд расходится.
14
?????
un =
n ? 4n
; u
=
(n + 5) ! n +1
n + 1 ? 4n +1
n + 1 ? 4n ? 4
=
;
(n + 6)!
(n + 5)!? (n + 6)
u
n +1 ?4
=
lim n +1 lim
= 0.
n ?? un
n ?? n ? (n + 6)
????? ???????, ?? ???????? ????????? ??????????? ??? ????????.
?????? 4
??????????? ???? ?? ??????????:
?
2n
? 7n + 1 ?
a) ? ?
? .
n =1 ? 32n + 9 ?
???????.
????????????? ????????? ????:
lim n un= l, 0 ? l < 1 ? ряд сходится,
n ??
l > 1 ? ряд расходится.
2n
? 7n + 1 ?
????? un = ?
?
? 32n + 9 ?
,
2n
2
2
? 7n + 1 ?
? 7n + 1 ? ? 7 ?
nu
lim=
lim n ?
lim ?
=
=
n
?
? ? ? < 1.
n ??
n ?? ? 32n + 9 ?
n ?? ? 32n + 9 ?
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????? ???????, ??????????? ??? ???????? ?? ???????? ????.
?
1
.
2
ln
n
+
) 3 (n + 2)
n =1 (
???????.
????????????? ???????????? ????????? ????.
?????
b)
?
f (x) =
1
( x + 2) ln3 ( x + 2)
,
??? f(x) ???????????, ?????????????? ?? ????????? [1;? ) ???????.
15
?
=
? f (x)dx
1
?
b
b
dx
d ln(x + 2)
ln ?2 (x + 2)
lim
=
lim
=
? ( x=
?
?2
+ 2 ) ln3 ( x + 2 ) b?? 1 ln3 ( x + 2 ) b??
1
1
?
1?
1
1 ??
1?
1 ?
1
=
? ? lim ?
?
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?? =
2 ?
2 ?? b?? ?? ln2 (b + 2) ln2 3 ?? ??
2?
ln 3 ? 2 ln2 3
?
????? ???????, ??? ??? ????????
dx
? ( x + 2) ln3 ( x + 2)
????????, ??
1
??????????? ??? ???? ???????? ?? ????????????? ???????? ????.
?????? 5
??????????? ??? ?? ??????????:
?
n2 + 6
n =1
5n3 + 1
n
? ( ?1)
.
???????:
??????????? ??? ???????? ?????????????????. ?????????????
???????? ???????? (??????????? ????????? ?????????? ?????????????????? ????).
7 10 15
n2 + 6
>
>
>? > 3
> ?.
6 41 136
5n + 1
2
n +6
2. lim
= 0.
n ?? 5n3 + 1
????? ???????, ??? ??????? ??????? ???????? ?????????,
??????? ??????????? ??? ????????.
????? ?????? ? ???? (?????????? ??? ????????) ??????????
????.
?????????? ????
1.
?
?
n2 + 6
?
?
1
? un = ? 5n3 + 1 ? ? vn = ? n.
n 1=
n 1
=
n 1=
n 1
=
?????? ?? ??? ? ??? ???, ???????????? ?? ?????????? ???????
?????? ???????????? ????:
2
?
?
n2 + 6
n n +6
? ( ?1) 5n3 + 1 =
? 5n3 + 1.
n 1=
n 1
=
?????? ??? ?????????????, ??????? ??????????.
16
??? ???
n2 + 6
3
un
n (n2 + 6) 1
= lim 5n + 1= lim
=
? 0,
1
5
n ?? vn n ??
n ?? 5n3 + 1
n
?? ?? ???????? ????????? (??????? 2) ???????????? ????
lim
?
?
1
?n
n =1
n2 + 6
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n =1 5n + 1
????? ???????, ??????????? ???, ???????? ???????????, ???????? ???????.
?????? ???????????? ????
?????? 6
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(x ? 5)n
? (n + 1) ? 3n .
n =1
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??????????? ??? ???????? ?????????. ??????? (x ? 5) ?? X
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? ?????? ??????? ?????????? ????
Xn
? (n + 1)3n .
????????? ???
n =1
1
an
;
. ????? an =
n ?? an +1
(n + 1) 3n
?????? ?????????? ?? ??????? R = lim
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an +1
1
1
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n +1
(n + 2) 3
(n + 2) 3n 3
an
(n + 2) ? 3
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=
=
R lim
n ?? an +1
n ?? n + 1
???????? ?????????? ???? X ? (?3;3) .
?????? ?????? X ?? (x ? 5) , ??????? ?3 < x ? 5 < 3 ,?????????????,
2<x<8 .
????? ???????, ???????? ?????????? ???????????? ????: (2;8) .
?
(x ? 5)n
????????? ??? ?
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n
n =1 (n + 1)3
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17
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1
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a) x = 8. ????? ???????? ???
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n =1
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b) x = 2. ????? ???????? ???
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. ?????? ??? ????????
n =1 n + 1
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?????????????????. ?? ???????? ?? ??????? ????????, ??? ???
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1 1 1
1
1
> > >? > >
>?
2 3 4
n n +1
1
2. lim
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n ?? n + 1
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1
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??????????, ?? ???
n =1 n + 1
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1.
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(?1)n
???????? ??n =1 n + 1
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????? ???????, ??????? ?????????? ???????????? ???? ??2;8 )
?????? 7
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1
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.
4 ? x2
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1
1?
x2 ? 2
(x)
=
= ?1 ?
???????: f =
? .
?
4 ??
4 ? x2
x2 2 ?
2 1?
4
???????????? ??? ????? ???
1
(1 + x)m =1 + mx +
??? m = ?
m(m ? 1) 2
m(m ? 1)?(m ? n + 1) n
x +? +
x +?
2!
n!
1
??????? ?????????? ???? ( ?1,1??
2
(1 + x)
18
1
?
1
2
1
1? 3 2 1? 3 ?5 3
=?
1
x+
x ?
x +?
2
2?4
2?4?6
x2
?????? x, ??????? ?????????? ??????? f(x) ?
4
??????????? ????? a = 0.
????????? ?
1?
x2 ?
=? 1 ?
?
?
4 ??
4 ? x2 2 ?
1
?
1
2
1?
1 2
1? 3
1? 3 ?5
?
=? 1 +
x +
x4 +
x6 + ? ?
2
3
2?
2?4
?
2?4?4
2?4?6?4
??????? ?????????? ??????????? ???? (?2,2) .
?????? 8
????????? ???????? ? ????????? ?? 10?7:
0,2
? sin(4x
2
)dx.
0
???????.
????????, ??? ??????? ?????????????????? ????, ???????????????? ???????? ??????? ????????, ?? ?????????? ???????? ?? ??????????? ??????? ?????? ????? ? ????????? ? ??? ?? ????? S ? Sn ? un +1,
?.?. ?????????? ??????????? ?????????? ?? ?????????? ????????
?? ????? ???????????? ??????? ???????????? ?????.
???????? ??????? ?????????? ??????? sin x ? ??? ?????????,
?????
x3 x5 x7 x9
+
?
+
??;
sin x =x ?
3! 5! 7 ! 9 !
sin(4x2=
) (4x2 ) ?
(4x2 )3 (4x2 )5 (4x2 )7 (4x2 )9
+
?
+
??
=
3!
5!
7!
9!
=
4 x2 ?
32x6 128x10
+
?? .
3
15
?????
0,2
?
0
sin(4x2 )dx=
0,2
?
0
(4x2 ?
32x6 128x10
+
? ?)dx=
3
15
0,2
? 4x3 32x7 128 x11
?
=?
?
+
???
=
? 3
?
3 ?7
15 ? 11
?
?0
=
4 (0,2)3 32 (0,2)7 128 (0,2)11
?
+
? ? ? 0,011 ? 1,95 ? 10?5 ? 0,0110195.
3
3 ?7
15 ? 11
19
??? ???
4 ? (0,2)3
32 ? (0,2)7
128 ? (0,2)11
= 0,011,
= 1,95 ? 10?5 ,
= 1,589 ? 10?8 ,
3
3 ?7
15 ? 11
?? ?????????? ??????????? ?????????? : ? < 0,1589 ? 10?7.
?????:
0,2
? sin(4x
2
)dx ? 0,0110195.
0
?????? 9
????????????? ? ???????? 2? ??????? f(x) ?????? ?????????
???????:
??1, если ? ? ? x < 0
f (x) = ?
.
?1, если 0 ? x < ?
????????? ??? ??????? ? ??? ?????.
???????.
?????? ??????? ???????-??????? ? ??????? ??? ????? ????
????????? ? ??? ?????. ??? ??? ??? ??????? ????????, ??
f (x) =
?
? bn sin nx,
n =1
?
?
2
2
sin nxdx =
cos nx =
bn =
?
??
?n
0
0
?4
при n нечетном,
2
?
(1 ? cos n?) =? ? n
(n = 1,2,?)
?n
? 0 при n четном;
?
????? ???????, ?????????? ??????? f(x) ? ??? ????? ????? ???
f (x)
=
20
4 ? sin x sin 3x
sin(2n ? 1)x
?
+
+? +
+ ? ?.
?
?? 1
3
2n ? 1
?
???????? ?????????????? ???????
??????? ? 1
1.
????? ????? ????
?
1
? (n + 1)(n + 2).
n =1
2.
??????????? ???? ?? ??????????:
?
?
?
n2 2n
1
a)
?
? tg 2n+1 ; b) ? (n + 2) !; c) ? (n + 1) ln (n + 1);
n =1
n =1
n =1
d)
? ( ?1)
?
n =1
3.
1
n +1
(2n ? 1)3
.
????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
n =1
(x + 3)n
n2
.
4. ????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
1
; a = ?1.
4 ? 3x
????????? ???????? ? ????????? ?? 0,001:
2,5
dx
.
?4
4
0 625 + x
f (x) =
5.
6.
????????? ??????? ? ??? ?????:
?4, если 0 ? x < 3
=
f (x) ?=
T 6.
?0, если 3 ? x < 6
??????? ? 2
1.?????? ????? ????
?
54
? (n ? 3)(n ? 6 ).
n =7
21
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
1
?
?
?
n =1
n =1
n =1
? n2 ? 4n + 5; b) ? (3nn+ 22)!; c) ? 1 ; d) ? ( ?1)n 2nn? 1.
n ln n
7
n =1
10 n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x ? 2)n
n =1
n2 2n
?
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
4
f (x) =
3 + 6x ; a =
0.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0.2
? sin(25x
2
)dx.
0
6.?????? ?????????? ? ??? ????? ??? ???????, ???????? ?
????????? [??; ?]:
?0, если ? ? ? x ? 0
f (x) = ?
.
?sin x, если 0 < x ? ?
??????? ? 3
1.?????? ????? ????
?
90
? (n ? 1)(n ? 4 ).
n =5
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
? sin
n =1
?
d)
?
2n
? ( ?1)
n =1
n
; b)
?
1
(n2 + 3n + 1) ? 10n c)
;
;
?
?
(n + 1) !
n =1 ( n + 3 ) ln ( n + 3 )
n =1
?
1
(2n + 3) ? 6n
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x + 1)n
? (3n + 4)2n .
n =1
22
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (x=
) ln(x2 ? 6x + 10); a
= 3.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
1
dx
.
?3
3
0 8+x
6.?????? ?????????? ? ??? ????? ??? ???????, ???????????? ?
????????? [??; ?]:
?
?
?0, если ? ? ? x ? ? 2
?
?
?
?
=
f (x) ?sin x, если ? < x ? .
2
2
?
?
?
??1, если 2 < x ? ?
??????? ? 4
1.?????? ????? ????
?
36
? (n + 2)(n + 5).
n =0
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
?
1
n + 2 c) ?
1
n +1
b)
d)
;
;
;
? n2 + 1 ? 3n
? n ln 2n ? ( ?1) (n + 10)7n .
n =1
n =1
n =1
n =1
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
a)
?
1
?
(x + 5)n
? 3n (n2 + 2).
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (x) =
ln(4 + 3x); a =
1.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
2
dx
.
?4
4
256
+
x
0
23
6.?????? ??? ????? ??? ??????????? ?????, ???????????? ?
????????? [??; ?]
?? + x, если ? ? ? x ? 0
? 2
f (x) = ? ?
.
? ? x, если 0 < x ? ?
?2
??????? ? 5
1.?????? ????? ????
?
1
? (n ? 1)(n + 2).
n =3
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
?
a) ? 1 ; b) ? 2n + 1; c)
n =1 3n ? 1
n =1 n !
n
?
? 3n2 + 4 ?
? ?? 4n2 + 5 ?? ; d)
n =1 ?
?
?
n =1
2n
2n + 1 ?
?
? 3n + 8 ?
n?
? ( ?1) ?
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x ? 4)n n2
n =1
(n4 + 1)2
?
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
?x
=
f (x) sin
=
; a 2,
4
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,5
?
0
dx
3
1 + x3
.
6.????????????, ??? f(x) ???????? ????????????? ???????? ?
???????? 2?. ????? f (x) = x2 ??? x ? [??; ?].
????? ?????????? ????? ??? ???????? ??????????????
???????.
24
??????? ? 6
1.?????? ????? ????
?
72
? (n + 2)(n + 4 ).
n =0
2.???????????? ???? ?? ??????????:
n
?
? ?
2n2 + 4 ?
n n +1
n ? 5n c)
? n + 11 ? (n + 3) !; ? ?? 6n2 + 1 ?? ; d) ? ( ?1) 4n3 + 5 .
n =1
n =1 ?
?
n =1
n =1
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
a)
?
1
?
; b)
?
(x + 7)n ? 2n
? n! .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
x
?
=
f (x) cos
=
;a
.
2
2
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0,001:
2,5
dx
.
?3
3
0 125 + x
6.?????? ?????????? ? ??? ????? ??? ???????????? ???????
f(x)=x, ???????????? ? ????????? [??; ?] ? ??????? ?????? 2?.
??????? ? 7
1.?????? ????? ????
?
12
? (n ? 4 )(n ? 6 ).
n =8
2.???????????? ???? ?? ??????????:
a)
?
?
3n
b)
;
; c)
? 2
? n
n =1 4 ? (n + 2)!
n =1 4n + 3
d)
? ( ?1)
?
n =1
1
n
2
n ? 5n
?
2n
? n2 + 4n + 1 ?
? ;
? ?? 2
?
n =1 ? 3n + 5n + 2 ?
.
25
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
5n ? xn
n =1
n3
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
3+ x
=
=
f (x) ln
; a 0.
6?x
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
1,5
dx
.
?4
4
0 81 + x
6.?????? ?????????? ? ??? ????? ????????????? ??????? ?
???????? 2?, ???????????? ? ????????? [??; ?]:
?0, если ? ? ? x ? 0
f (x) = ?
.
?1, если 0 < x ? ?
??????? ? 8
1.?????? ????? ????
?
60
? (n ? 3)(n ? 5).
n =7
2.???????????? ???? ?? ??????????:
n
?
n
?
1
n ?
?
n
?
7
; b)
a) ?
; c) ? ?
? ;
?
n =1 (n + 1) ? (n + 2) ? (n + 3)
n =1 ? 2n + 1 ?
n =1 (n + 1)!
?
?
d)
n +1
? ( ?1)
n =1
1
(5n ? 1)7
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x ? 3)n
? 5n (n + 1).
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
x
2 ; a 2.
=
f (x) e=
26
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0,001:
2
dx
.
?3
3
64
+
x
0
6.?????????? ??????? ? ??? ?????:
?x, если ? 2 < x ? 0
f (x) = ?
.
?? ? x, если 0 < x < 2
??????? ? 9
1.?????? ????? ????
?
54
? (n + 1)(n + 4 ).
n =0
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
5n
?
3 n
?
? n ?
4
n
; b) ? n ? 3 ; c) ? ?
a) ?
.
? ; d) ? ( ?1) n
3 +9
n =1 ? 3n + 1 ?
n =1 5n + 1
n =1 n !
n =1
1
?
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x ? 2)n
n =1
n2 ? 6n
?
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
?
f (x) = sin(2x + ); a = 0;
6
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
1
dx
.
?4
4
16
+
x
0
6.????? ????????????? ? ???????? 2????????
?0, при ? ? x < 0
f (x) = ?
.
?x, при 0 ? x ? ?
????????? ??? ??????? ? ??? ?????.
27
??????? ? 10
1.?????? ????? ????
?
24
? (n + 1)(n + 3).
n =1
2.???????????? ???? ?? ??????????:
a)
?
?
10n n5 c)
b)
;
;
? 3
?
n =1 (n + 1)!
n =1 5n + 6n + 2
?
n2 + 4n + 1
n
?
1 ? n ?
? 3n .?? n + 1 ??
;
n =1
2n + 1
.
n(( n + 1)
n =1
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
d)
n +1
? ( ?1)
?
?
(x ? 6)n
n
n =1 (n + 2) ? 3
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
x
=
f (x) e=
; a 2.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,1
? sin(100x
2
)dx.
0
6.?????????????? ? ???????? 2? ??????? f(x) ?????? ?????????
???????
??1, при ? ? ? x < 0
f (x) = ?
.
?1, при 0 ? x ? ?
????????? ??? ??????? ? ??? ?????:
??????? ? 11
1.?????? ????? ????
?
18
? (n ? 2)(n ? 5).
n =7
2.???????????? ???? ?? ??????????:
28
n2
?
n +1
?
4n ?1
1? 1
?
a) ?
b)
; c) ? ? 1 + ?
; d) ? (?1)
;
.
?
n
3
2
n? 4
n =1 (n ? 1)!
n =1 ?
n =2 ln(n + 1)
n =1 n + 5n + 8
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
(3n + 4)2
?
(x ? 10)n
? (n + 1)310n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (x) =
(x + ctgx)sin x; a =
0
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,5
?e
?3x2 \25
dx.
0
6.?????????????? ? ???????? 2? ??????? f(x) ?????? ?? ???????
??0; 2??? ?????????? f(x)= x. ????????? ??? ??????? ? ??? ?????.
??????? ? 12
1.?????? ????? ????
?
10
? (n ? 2)(n ? 4 ).
n =5
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
n +1
?
?
n
? 5n2 + n + 3; b) ? 2n ! ; c) ?
n =1
n =1
n =1 ( 2n + 1)
?
?
1
ln(2n + 1)
;
( ?1)n 2n2
.
? n2 + 1
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
d)
n =1 n
4
?
(x ? 2)n
? (3n + 1)2n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (=
x) 2x sin2
x
? x; =
a 0.
2
29
5.?????????? ????????
0,4
?e
?3x2 \4
dx ? ????????? ?? 0.001;
0
6.?????????????? ? ???????? 2l = 2 f (x) =| x | ??? ?1 ? x ? 1 .
????????? ??? ??????? ? ??? ?????.
??????? ? 13
1.?????? ????? ????
?
16
? (n + 1)(n + 3).
n =0
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
n2 + 1
?
3n
n
?
5n ? d)
a) ?
; b) ?
; c) ? ??
? ;
8
n
n =1 4 ? (n + 2)!
n =1 3n + 2
n =1 ? 7n + 1 ?
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x + 5)n
n =1
3n
?
?
( ?1)n+1
? 4 2n + 1 .
n =1
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
1 x ?x
(e + e ); a =
0.
f (x) =
chx =
2
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0,001:
0.1
ln(1 + 3x)
dx
?
x
0
6.???????? f(x)=1 ?????? ?? ??????? [0; ?].
????????? ??? ??????? ? ??? ????? ?? ???????.
??????? ? 14
1.?????? ????? ????
?
18
? (n + 1)(n ? 2).
n =4
2.???????????? ???? ?? ??????????:
30
?
?
n
?
n +1 ? n ?
10n d)
2n (n + 1) c)
;
? ( ?1) ?? 2n + 1 ?? .
;
? 5
?
2
?
n +2
n
n =1
n =1 n + 2
n =1 n
n =1 n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
a)
3
n
; b)
?
?
n
? n2 + 1(x ? 2)n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
=
f (x) x=
sin 2x; a 0.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,1
?
0
ln(1 + 2x)
dx.
x
6.???????? f(x)= x ?????? ?? ??????? ??0; 1??.
????????? ??? ??????? ? ??? ????? ?? ?????????.
??????? ? 15
1.?????? ????? ????
?
30
.
?
n =10 ( n ? 6 )( n ? 8 )
2.???????????? ???? ?? ??????????:
n
?
?
2n
(?1)n
? 2n ?
7
a) ?
c) ? ?
d)
;
; b) ?
.
;
?
?
2
2
n =1 ? 3n + 5 ?
n =1 3n + 1
n =1 n (n + 1)
n =1 (2n ? 1) !
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
2n + 1
?
?
1
? (3n + 1) ? 3n (x + 6)n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (=
x) 2x cos2
x
? x; =
a 0.
2
31
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
1
ln(1 + x \ 5)
dx.
x
?
0
6.?????????? ??????? ? ??? ????? ?? ????????? ???????
f (x) = sin 2x ?? ????????? [0; ?].
??????? ? 16
1.?????? ????? ????
?
18
? (n ? 5)(n ? 8 ).
n =9
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
?5
n =1
1
n2 + 1
; b)
?
n2 + 5
? (2n ? 1) !; c)
n =1
n
?
?
? 2n2 + 1 ?
1
? ?? n2 + 1 ?? ; d) ? ( ?1)n+1 2 .
n +8
n =1 ?
?
n =1
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
(x ? 6)n
n
n =1 (n + 3) ? 2
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
?
f (x) = sin(x2 + ); a = 0.
4
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0.4
?
0
ln(1 + x \ 2)
dx.
x
6.?????? ?????????? ? ??? ????? ??????? f(x) ? ???????? 2?,
???????????? ? ????????? [??; ?]
??x, если ? ? ? x ? 0
f (x) = ?
.
?0, если 0 < x ? ?
32
??????? ? 17
1.?????? ????? ????
?
2
? (n ? 6 )(n ? 8 ).
n =9
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
n2
?
(?1)n
a) ?
c) ? ?? 2n + 1 ?? ; d) ?
; b) ?
.
;
5
n
n ln(2n)
3
n
?
2
?
?
n
n =1 n + 3
3
=
n =1 3 n !
n =1
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
1
n2
?
?
?
(x ? 3)n
2 n
n =1 (n + 7) 2
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
x2
=
; a 0.
4 ? 5x
=
f (x)
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,5
? cos(4x
2
)dx.
0
x
6.?????????? ? ??? ????? ?? ????????? ??????? f (x) = sin ??
2
????????? [0; ?].
??????? ? 18
1.?????? ????? ????
?
6
? (n ? 4 )(n ? 6 ).
n =7
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
?
n 2
a) ?
; b) ? 4 n ; c)
3
n =1 n + 5
n =1 (n + 2) !
1
n3
?
1
? 4n ? 3 ?
n
d)
;
? ( ?1) n + 45 .
? ?? 5n + 1 ??
n =1
n =1
?
33
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x ? 5)n
.
n =1 n + 4
?
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
x
=
f (x) x=
sin ; a 0.
2
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,2
?e
?3x2
dx.
0
6.?????????? ???????f(x) ? ??? ????? ?? [??; ?] ? ????? ???????
?????????? ??????????? ????
?2x ? 1, если ? ? < x < 0
f (x) = ?
.
?1, если 0 ? x ? ?
??????? ? 19
1.?????? ????? ????
?
4
? (n ? 5)(n ? 7 ).
n =8
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
1
a) ?
; b)
n =2 ln(n + 1)
?
?
n+5
n2
n+2
? n ! ? 3n ; c) ? ?? 3n ? 1 ?? ; d)
?
n =1
n =1 ?
?
? ( ?1)
n =1
n
1
n 3n
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
1
? (4n + 1)3n (x + 4)n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (x) =
(x ? 1)shx; a =
0.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
34
1
?5
0
dx
32 + x5
.
6.?????????? ??????? f (x) = e3x ? ??? ????? ?? ?????????,
0<x<?.
??????? ? 20
1.?????? ????? ????
?
36
? (n ? 4 )(n ? 7 ).
n =8
2.???????????? ???? ?? ??????????:
2
n
?
? n
?
? 1 + n2 ?
1
7
3n + 2 ? d)
.
( ?1)n
a) ? ?
; b) ? ; c) ? ??
?
;
?
?
? 1 + n3 ?
2
n =1
n +1
n =1 n !
n =1 ?
?
n =1 ? 4n ? 1 ?
3. ????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
2n
? (3n + 1)3 (x ? 1)n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
2
=
f (x) x=
sin 3x cos 3x; a 0.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,1
?e
?6 x2
dx.
0
6.?????????? ??????? ? ??? ????? ? ????????? ?????? ?????
??2, если ? 3 < x ? 0
=
f (x) ?=
T 6.
?3 ? x, если 0 ? x ? 3
??????? ? 21
1.?????? ????? ????
?
72
? (n ? 2)(n ? 5).
n =6
35
2.???????????? ???? ?? ??????????:
nn +1
a) ?
; b) ?
; c)
2
n =1 (2n + 1) !
n =1 n ? 4n + 5
?
?
d)
?
1
1
n +1
? ( ?1)
n =1
3
n +4
n2
?
? n +1 ?
? ?? 2n ? 3 ?? ;
n =2
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
(x + 2)n
n
n =1 (4n ? 1)2
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (x) =
1
4+x
; a = ?3.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,2
? cos(25x
2
)dx.
0
6.?????????? ??????? f (x) =| x | ? ??? ????? ? ???????? T = 6 .
????????? ?????? ????? ????.
??????? ? 22
1.?????? ????? ????
?
8
? (n ? 3)(n ? 5).
n =6
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
?
n =1
?
d)
n2 + 2n
; b)
n +1
? ( ?1)
n =1
36
1
?
n3
1
c)
;
? (2n + 1) ! ? (3n ? 1) ln(3n ? 1) ;
n =1
n =2
1
2
n ? 5n
?
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x + 1)n
? (n + 2)2 .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (x=
) ln(x2 + 4x + 3); a
= 0.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,4
2
? sin(5x / 2)
dx.
0
6.?????????? ??????? ? ??? ?????:
??1, если ? 1 ? x < 0
f (x) = ?
.
?1, если 0 ? x ? 1
??????? ? 23
1.?????? ????? ????
?
12
? (n ? 1)(n ? 3).
n =4
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
3n + 2 c) ?
n2
; d)
;
?
? 3
4
3
n =1 n + 1
n =1 (4n + 3) !
n =1 (n + 1)ln(n + 1)
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
a)
?
1
; b)
?
?
n2 (x ? 3)n
n =1
3n
?
?
?
n =1
( ?1)n
n2
.
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
x
=
f (x) 3=
; a 1.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,4
?
0
?
1? e
x
x
2
dx.
37
6.?????????? ??????? ? ??? ?????:
?2x ? 1, если ? 1 ? x < 0
f (x) = ?
.
?2x + 1, если 0 ? x ? 1
??????? ? 24
1.?????? ????? ????
?
72
? (n + 4 )(n + 5).
n =1
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
d)
n+3
; b)
n =1 n
?
?
? ( ?1)
n =1
n
?
n2
?
n
;
? 3n (n + 2) !; c) ? 2
(n ? 3)ln2 (n ? 3)
n =1
1
n5 + 1
n =3
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(n + 1)5 xn
.
n =1 2n + 1
?
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
?
f (x=
) x2 cos(x3 + ); =
a 0.
2
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,3
?e
? x2
dx.
0
6.?????????? ? ??? ????? ???????
?1, если ? 1 < x < 0
f (x) = ?
.
?3, если 0 ? x < 2
38
??????? ? 25
1.?????? ????? ????
?
36
? (n ? 1)(n + 2).
n =2
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
n =1
?
d)
22n +1
?
1
?
? n5 + 2n + 1; b) ? (n + 1) !; c) ? 2 3n 2 ;
(2n + 3)ln(2n + 3)
n =1
n =1
1
? ( ?1) (2n + 5) ln(2n + 5) .
n =1
n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
n
? (4n ? 1)3 (x ? 4)n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
5x
=
; a 0.
3x + 4
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
=
f (x)
0.5
? sin(4x
2
)dx
0
6.???????? f (x) = ?, ???????? ?? ????????? (0; ?), ????????? ?
??? ????? ?? ???????.
??????? ? 26
1.?????? ????? ????
?
18
? (n + 1)(n ? 2).
n =3
2.???????????? ???? ?? ??????????:
?
a)
?
1
n!
b)
;
? 2n ? 1 ? 10n ; c)
n =1
n =1
?
?
n
2
n =2 (n
(
2
? 1)ln n ? 1
)
; d)
?
? ( ?1)
n =1
n
1
2 n
n 5
.
39
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
1
? (3n ? 1)2n (x + 3)n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
2
1 ? e? x
=
; a 0.
x2
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
1
dx
.
?4
4
0 16 + x
=
f (x)
2
6.?????????? ? ??? ????? ??????? f (x) = 2x ?? ????????? (0;
?) ?? ???????.
??????? ? 27
1.?????? ????? ????
?
6
? (n ? 1)(n ? 3).
n =5
2.???????????? ???? ?? ??????????:
2
?
?
? 2
1
1
(n + 1)n
n
a) ?
d)
.
; b) ? ; c) ?
;
( ?1)n 3
?
2
n
n n
n+8
n =1 (5n ? 4)(4n ? 1)
n =1
n =1 n 5
n =1 3
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
n +1
? (3n + 1)3 (x ? 4)n .
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
?
f (x) = sin(3x + ); a = 0.
3
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
1,5
dx
.
?3
3
27
+
x
0
40
2
6.?????????? ? ??? ????? ??????? f (x) = 2x ?? ????????? (0; ?)
?? ?????????.
??????? ? 28
1.?????? ????? ????
?
48
? (n ? 2)(n ? 4 ).
n =6
2.???????????? ???? ?? ??????????:
n2
?
? n2 + 4n + 1 ?
(?1)n
a) ? sin ; b) ?
d)
; c) ? ?
? 3 3n .
? ;
n 2
? 5n2 + 8n + 2 ?
n4
n
=1
n =1
n =1 10 n
n =1 ?
?
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
?
?
(3n + 2)!
?
?
?
n2 + 3
(x + 3)n .
n
3
n =1
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
f (x) = 3 3x ; a = ?1.
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,1
? cos(100x
2
)dx.
0
2
6.?????????? ? ??? ????? ??????? f (x) = 2x ?? ????????? (0;
2?).
??????? ? 29
1.?????? ????? ????
?
36
? (n ? 1)(n ? 4 ).
n =6
2.???????????? ???? ?? ??????????:
a)
3
?
?
n n +4
n +1
(n + 1)! c) ? 1 d)
b)
?
1
.
(
)
;
?
? 2 ; ? nn ; ?
5n4 + 1
n =1
n =1 (2n + 4)(3n + 5)
n =1 n
n =1
?
41
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
?
(x ? 1)n
n =1
4n
?
.
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
?
.
3
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0,5
dx
? 4 4.
0 1+ x
=
f (x) cos
=
3x; a
6.?????????? ??????? f (x)= x + 1 ? ??? ????? ?? ??????????
[??; ?].
????????? ?????? f (x)= x + 1 , ?????? ????? ???? S(x) ?
????????? ????? S2 (x) .
??????? ? 30
1.?????? ????? ????
?
36
? (n ? 5)(n ? 7 ).
n =9
2.???????????? ???? ?? ??????????:
a)
?
?
1
(n + 2)!
? 2n ? 1; b) ? 5n ; c)
n =1
n =1
?
? ( ?1)
n
?
?
1
n =3 ( 3n ? 5 ) ln
2
( 3n ? 5)
;
1
.
n
?3?
( n + 1) ? ?
?2?
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????:
d)
n =1
(x ? 5)2n +1
.
?
n =1 3n + 8
?
4.?????????? ??????? f(x) ? ??? ??????? ? ???????????
????????? ????? x=a. ????? ??????? ?????????? ??????????? ????
42
f (x) =
x ? ln(x + x2 + 2).
5.?????????? ???????? ? ????????? ?? 0.001:
0.2
1 ? e? x
? x dx
0
6.?????????? ??????? f (x=
) 2x ? 1 ? ??? ????? ?? ??????????
?2 ? x < 2 ? ????????? ?????? ????? ????.
????????????????? ??????
???????? ?. ?. ???????????????? ? ???????????? ??????????.
?., 2007. ?. 2.
??????????? ?. ?. ?????? ??????????????? ???????. ???., 2005.
?. 2.
????? ?. ?., ????? ?. ?., ??????????? ?. ?. ?????? ?????????? ?
??????????? ? ???????, ??-?? ?????, 2008. ????? 2.
???????? ?. ?. ??????? ????? ?? ?????? ?????????? (???????
???????). ???????? ??? ?????. ? ??-?? ????, 2008.
?????? ?. ?. ??????? ????? ?? ????? ??????????????? ???????.
???., 2005.
??????????
????????..................................................................... 3
???????? ??????? ? ??????????? ?????? ?????................ 4
??????? ?????????? ??????????????? ???????............. 13
???????? ?????????????? ???????............................... 21
????????????????? ??????........................................... 43
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