close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Mayorov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ ПРОЦЕССОВ
Методические указания
Санкт-Петербург
2017
Составитель – доцент, кандидат технических наук Н. Н. Майоров
Рецензент – профессор, кандидат военных наук Н. А. Слободчиков
Содержат комплекс лабораторных работ по курсу «Теория дискретных процессов и систем» для изучения как основ теории дискретизации сигналов и дискретных систем автоматического управления,
так и элементов оценки надежности систем.
Предназначено для бакалавров, специалистов и магистров ГУАП
направления подготовки направления 23.04.01 «Технология транспортных процессов», направления 27.04.04 «Управление в технических системах», 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника».
Пособие может быть полезно для аспирантов и магистров, проводящих
исследования в прикладных областях науки.
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка М. И. Дударева
Подписано к печати 14.03.16.Формат 60 × 84 1/16.
Усл. печ. л. 2,73. Тираж 50 экз. Заказ №80.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2017
ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Окружающий мир представляет собой сложную динамичную,
развивающуюся во времени и пространстве открытую систему,
включающую большое число, находящихся во взаимодействии
подсистем. Любая система (подсистема) развивается в соответствии
с целью ее функционирования. Управление той или иной системой
(подсистемой) осуществляется таким образом, чтобы достичь либо
приблизиться к цели функционирования системы на основе анализа и обработки информации о текущих значениях измеряемых параметров системы, характеризующих динамику развития системы
и ее отклонения от цели функционирования. Причем управление
должно обеспечивать устойчивое развитие во времени и обладать
свойством устойчивостью к изменяющимся условиям внешней среды. При любом исследовании системы основными объектами являются «процесс», «событие» и «состояние процесса», которое на
практике реализуется в виде набора числовых значений.
Процесс – это движение изменяющейся системы, рассматриваемое как имеющее протяженность во времени. Процесс всегда происходит на некотором интервале времени. Либо исследователь может специально выделить отдельный временной интервал наблюдения для выяснения определенных параметров процесса. Процесс
можно рассматривать как объект, представляющий собой движение другого, динамического объекта. В теории систем управления
этим часто пользуются, когда говорят о процессах, протекающих
в объекте управления, или об объекте управления как об управляемом процессе.
Событие – это движение динамического объекта либо состояние
системы, рассматриваемое как в четко заданный момент времени.
Понятие состояния широко используется при организации управления различными объектами, например, для описания движения
систем управления во времени. К примеру, поведение некоторой
3
системы можно представить в виде набора ее состояний в заданные
моменты времени, либо в виде набора уравнений математической
модели системы с учетом заданных граничных условий.
Любые изменения в системе основываются на изменении процессов, как внутренних, так и внешних. Выделяют непрерывные и
дискретные процессы.
Дискретный процесс – это процесс, рассматриваемый как последовательность событий на некотором интервале времени, между
которыми состояние процесс, к примеру, не изменяется.
Непрерывный процесс (на некотором интервале) – процесс такой, при котором на всем интервале не существует ни одного внутреннего интервала, на котором состояние процесса остается неизменным [1,2].
У дискретных процессов состояния четко отделены друг от друга, и для каждого состояния можно указать соседние (предыдущее
и последующее, или только одно из них). Согласно ГОСТ Р 52292–
2004 ( Информационная технология. Электронный обмен информацией. Термины и определения) под дискретными данными определяются относящийеся к данным, которые состоят из отдельных
элементов, таких как cимволы, или к физическим величинам,
имеющим конечное число различных распознаваемыхзначений, а
также к процессам и функциональным блокам, использующим эти
данные.
У непрерывных процессов между двумя любыми состояниями
всегда можно выделить промежуточные, из чего следует, что понятие соседних состояний к такому процессу неприменимо (можно говорить лишь о последовательных состояниях и о близости их
друг к другу во времени).
Отличительной особенностью дискретного процесса является
наличие у него последовательно сменяемых дискретных (т.е. определенных) состояний.
Примером дискретного процесса является работа кассира в магазине (можно выделить состояния получения денег, выдачи сдачи, выдачи чека.), работа в порту по обработке приходящих контейнеров (можно выделить этапы выгрузки контейнеров с судна,
этап размещения контейнера на контейнерной площадке, фазы
оформления контейнера и фазы доставки контейнера с контейнерного терминала клиенту). Примерами непрерывных процессов
являются кипение воды, работа сборочной линии, работа определенного сервиса, как к примеру Daily Maersk и др. Применительно
к задачам управления цепями поставок выделяют непрерывные и
4
дискретные материальные потоки. К непрерывным материальным
потокам относятся, например, потоки сырья и материалов в непрерывных производственных (технологических) процессах замкнутого цикла, потоки перемещаемые с помощью трубопроводного
транспорта и др. Большинство материальных потоков являются
дискретными во времени [3,4,7].
При описании марковских процессов также используют понятия непрерывности и дискретности. Марковский случайный процесс – это такой процесс, в котором вероятность перехода системы
в новое состояние зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, когда и каким образом система
перешла в это состояние. Для исследования системы строится дискретная и непрерывная марковская цепь.
Дискретная марковская цепь, дискретный марковский процесс – это случайный процесс, при котором смена дискретных состояний происходит в определенные моменты времени.
Непрерывный марковский процесс – это случайный процесс,
при котором смена дискретных состояний происходит в случайные
моменты времени.
Отметим следующее:
1. Непрерывный процесс не всегда описывается непрерывной
функцией;
2. Могут быть введены дискретно-непрерывные или непрерывно-дискретные процессы, ведущие себя на различных интервалах
времени попеременно и как непрерывные, и как дискретные.
3. Контроль за поведением или протеканием процесса на некотором интервале времени сводится к контролю текущего состояния
в каждый момент из данного интервала. Для непрерывных процессов необходим, как правило, непрерывный контроль текущего
состояния, для дискретных – можно ограничиться дискретным,
проводимым в отдельно взятые моменты времени. При этом важно,
чтобы на каждый интервал времени между двумя последовательными событиями в дискретном процессе приходился по крайней
мере один момент контроля, и чтобы продолжительность контроля
не выходила за этот базовый интервал.
В любой системе присутствует управление. Управления, используемые в дискретных процессах, обладают следующими двумя
свойствами:
1. рименяются к объектам процесса в дискретные моменты времени, разделенные между собой конечными временными промежутками;
5
2. каждое управление может быть либо мгновенным, либо не
мгновенным, т.е. растянутым во времени до момента приложения
следующего управления.
Тогда можно сформулировать более полное определение дискретного процесса. Дискретным процессом называется процесс последовательного изменения дискретных и аналоговых состояний
для всей совокупности объектов этого процесса под воздействием
последовательно применяемым к ним в дискретные моменты времени мгновенным и не мгновенным управлениям.
Рассмотрим задачу, для которой производится ввод определенных числовых значений в заданные моменты времени (рис. 1)
Системы, сигналы в которых определены лишь в отдельные
дискретные моменты времени, называются дискретными системами.
Линейная система называется дискретной если воздействие и
реакция представляют собой дискретные сигналы X(nT) и Y(nT)
(рис 2).
Начальные условия дискретной системы могут быть нулевым и
или ненулевыми. Признаком нулевых начальных условий является отсутствие реакции (Y(nT)=0) или при отсутствии воздействия
(X(nT)=0).
Дискретная система называется физически реализуемой, если
для нее выполняются следующие условия:
1. при нулевых начальных условиях реакция не может возникнуть раньше воздействия;
y
0
T
2T
3T
4T
t
Рис. 1. Значения системы в определенные
моменты времени
Y(nT)
Воздействие
Линейная
дискретная
система
Y(nT)
Реакция
Рис. 2. Линейная дискретная система
6
2. значения реакции Y(nT) в каждый момент времени n зависят от текущего X(nT) и предшествующих значений воздействия
X[(n–m)T], m>0, но не зависят от его последующих значений
X[(n+m)T], m≥1.
Воздействия на систему изменяются непрерывно во времени и
могут принимать любые значения в некоторой области. Ввести такой сигнал в компьютер и обработать его невозможно, так как на
любом интервале времени он имеет бесконечное множество значений. Поэтому в системах цифровой обработки сигнал представлен
значениями сигнала, взятыми в отдельные дискретные моменты
времени . Эти значения называются отсчетами.
Отсчеты могут быть взяты в произвольные моменты времени
tn, n = 0,1,..., N (рис. 3, а). Тогда сигнал будет представлен двумя
последовательностями чисел: последовательностью t0 , t1,...,tN и
последовательностью отсчетов x(t0 ), x(t1), ... , x(tN) . Меняя длительность интервала между отсчетами в зависимости от свойств
аналогового сигнала, можно повысить точность их сохранения.
Однако в виду сложности реализации данный способ не нашел
широкого применения в системах обработки сигналов.
На практике получил распространение другой способ представления сигнала последовательностью, в которой отсчеты располагаются через равные промежутки времени T (рис. 3, б). В этом случае сигнал определяется последовательностью его значений x(0),
x(T), x(2T), ... . Эту последовательность называют дискретной
последовательностью. Обозначают дискретную последовательность x(n) .
Аналитически дискретная последовательность x(n) может быть
описана функцией, которая называется решетчатой. Интервал
T называют периодом дискретизации, или интервалом дискретиа)
б)
x (t )
x (t )
t
t1
t2
t
T
Рис. 3. Представление сигнала последовательностью отсчетов.
а − в произвольные дискретные моменты времени ti; б − в дискретные
моменты времени T⋅n, n = 0,1,2,..., T = const
7
зации. Величина, обратная периоду дискретизации, называется
частотой дискретизации, или частотой взятия отсчетов fд . Преобразование аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией (квантованием ) по времени [5].
Очевидно, что представление сигнала дискретной последовательностью отсчетов приводит к потере информации о поведении
сигнала в промежутках между отсчетами. Чтобы эти потери были
минимальны, период дискретизации T необходимо уменьшать.
Однако уменьшение периода дискретности приводит к увеличению числа отсчетов и, как следствие, к увеличению объема вычислений. Поэтому при выборе периода дискретизации приходится
искать компромиссное решение. Для точного представления значения сигнала в дискретные моменты времени требуются числа
бесконечной разрядности. В системах обработки сигналов разрядность чисел ограничена.
Представление дискретной последовательности числами конечной разрядности называется квантованием по уровню. Вся
область значений сигнала при этом разбивается на уровни, количество которых зависит от числа разрядов. Эти уровни называются уровнями квантования. Расстояние между ними называется
шагом квантования.
Главной особенностью дискретных процессов x(iTn) является
их неоднозначность [5,6]. Заключается она в том, что одним и тем
же дискретным процессам может соответствовать множество различных огибающих. Для примера на рис. 4 показаны две функции
x1(t) и x2(t), которым соответствует один и тот же процесс х(iТn).
Неоднозначность дискретных функций, в частности выходного
процесса у(iТn) системы (рис. 2), может привести к неправильным
X2(t)
X1(t)
0
Tn
2Tn …… iTn
t
Рис 4. Неоднозначность дискретной функции
8
выводам по результатам работы системы, поэтому предварительно
должны быть изучены те условия, при которых возникающая неоднозначность была бы сведена к минимуму. Возникновение неоднозначности является следствием потери информации на интервалах
между моментами квантования.
Описание и преобразование дискретных последовательностей
Для описания произвольных последовательностей могут быть
использованы различные способы:
1. в виде последовательности отсчетов {x(0), x(1), x(2), ..., x(n),...};
2. суммы взвешенных и задержанных единичных импульсов
x=
(n)
∞
∑ x(v)δ(n − v)
v −0
3. c помощью решетчатой функции x(n) = F(n) .
Пример 1. Пусть последовательность, образованная в результате дискретизации экспоненты x(t) = exp(−0.5t)*1(t) с периодом
T = 0.2 с, можно задать:
1. в виде последовательности отсчетов xn = {x(0), x(1), x(2), ...},
где x(0) = exp(0) =1,x(1) = exp(−0.1) = 0.9048 , x(2) = exp(−0.2) =
0.8187 и т.д.;
2. с помощью единичных импульсов в виде
∞
x(n) =
∑ exp(−0,1v)δ(n − v) =δ(n) + 0,9048δ(ò − 1) + 0,8187(n − 2) + ...
v =0
3. в виде решетчатой функции x(n) = exp(−0.1n) 1(n) .
Цифровая обработка сигналов заключается в преобразовании некоторой дискретной (цифровой) последовательности x(n) в другую
последовательность y(n) с помощью определенного алгоритма.
9
БАЗОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1. Масштабирование. При масштабировании дискретная последовательность y(n) образуется путем умножения каждого элемента
дискретной последовательности x(n) на постоянный множитель λ:
y(n) = λx(n)
2. Смещение. При этом дискретная последовательность y(n) получается смещением каждого элемента дискретной последовательности x(n) на фиксированное значение независимой переменной n0
в ту или другую сторону. При этом
y(=
n) x(n ± n0 ),
здесь знаку «−» соответствует задержка последовательности на n0
интервалов дискретности, а знаку «+» − опережение.
1. Разности дискретной последовательности. Теория непрерывных функций использует понятие дифференцирования, и в результате получают производные различных порядков. В теории дискретных последовательностей аналогичную роль играют понятия
разностей. Аналогом первой производной непрерывной функции
является либо первая прямая разность:
x(n)= x(n + 1) − x(n),
либо первая обратная разность
∇x(n) = x(n) − x(n − 1),
Прямая разность определяется в дискретный момент времени t = n
по будущему значению дискретной последовательности t = n +1. Это
можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно, либо, если это будущее значение можно вычислить. Обратная разность
определяется для момента времени t = n по прошлому значению дискретной последовательности в момент времени t = n −1. Аналогом
второй производной непрерывной функции для дискретной последовательности служат вторые разности.
Прямая и обратная разности m -го порядка определяются формулами:
∆m x(n) =
∆m −1x(n + 1) − ∆m −1x(n − 1);
∇m x(n) = ∇m −1x(n) − ∇m −1x(n − 1).
Из способа образования разностей различных порядков видно, что
разности дискретных последовательностей, являясь аналогами про10
изводной непрерывной функции, характеризуют локальные свойства
дискретной последовательности вблизи некоторой точки.
4. Сумма дискретной последовательности. В теории непрерывных функций используется интегрирование. Аналогами интеграла
непрерывной функции в пределах от 0 до t для дискретной последовательности является сумма
n −1
σ(n) =
∑ x(m).
m =0
Интервал между соседними значениями дискретной последовательности равен единице. Поэтому сумма, по существу, равна площади под ступенчатой огибающей дискретной последовательности.
Математическое описание дискретных систем
Дискретно представляемые входные воздействия описываются
функциями дискретной переменной. Для описания дискретных систем используются решетчатые функции и разностные уравнения.
Решетчатые функции являются аналогами непрерывных функций, описывающих непрерывные системы, а разностные уравнения являются аналогами дифференциальных уравнений.
Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной на дискретную независимую переменную, определенную в дискретные моменты времени
(kТ), k = 0, 1, 2, … Непрерывной функции x(t) соответствует решетчатая функция х(kТ), где Т – период квантования, при этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции.
При заданном значении периода квантования Т непрерывной
функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функция
х(kТ). Однако обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих. Отсчеты по шкале времени удобно вести в целочисленных
единицах периода квантования Т.
t
τ= ,
T
С этой целью вместо переменной t непрерывной функции введем
новую переменную при этом непрерывной функции x(τ) будет соответствовать решетчатая функция х(k)=xk.
Теорема Котельникова-Шеннона. Процедура преобразования
сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному виду, квантованному по времени, называется квантованием. Такая процедура
11
отражает как реальные процессы, проходящие в цифровых системах управления, так и математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации. В результате квантования получается импульсная последовательность x(kT) (решетчатая
функция), которая при t = kT совпадает с исходным сигналом.
Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической возможности точного восстановления исходного сигнала по данной дискретной выборке. Согласно теореме Котельникова-Шеннона, если спектр сигнала x(t) ограничен максимальной
частотой ωmax то точное восстановление функции x(t) теоретически
возможно при условии, что на одном периоде максимальной частоты в сигнале имеется минимум два дискретных отсчета.
Разностные уравнения. Связь между значениями решетчатой
функции при разных значениях аргумента определяется с помощью конечных разностей, которые являются аналогами производных в дифференциальных уравнениях.
Разностью первого порядка (первой разностью) называется разность между последующим дискретным значением решетчатой
функции и ее текущим значением:
∆x(k) = x(k+1) – x(k).
Разность первого порядка характеризует скорость изменения
решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой
производной непрерывной функции.
12
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО СИГНАЛА
ПО ЕГО ДИСКРЕТНЫМ ОТСЧЕТАМ
Целью работы является изучение и практическое применение
теоремы Котельникова при исследовании дискретных сигналов.
Пусть
определен
некоторый
дискретный
процесс
=
X xk ; xk ∈ [−5,5=
]; k 0, K
=
;K 7. Каждый отсчёт xk представляет
собой случайно сгенерированное число. Период дискретизации TÄ
принять равным двум последним цифрам зачётной книжки студента с единицей измерения микросекунда.
Порядок выполнения работы
1. Считая, что дискретизация исходного сигнала проводилась
в соответствии с теоремой Котельникова, найти верхнюю частоту
исходного сигнала FB .
2. Найти значение исходного сигнала в моменты времени между
интервалами дискретизации.
3. Отобразить графики дискретного и восстановленного сигнала.
Согласно теореме Котельникова непрерывный сигнал можно
полностью восстановить по его дискретным отсчётам, если частота
дискретизации в два раза превышает верхнюю частоту непрерыв1
ного сигнала FB ≤
.
2 ⋅ TÄ
Из теоремы Котельникова непосредственно следует, что непрерывный процесс x(t) полностью определяется совокупностью её
дискретных значений амплитуды в отсчётные моменты времени
t = kTÄ . А восстановление непрерывного сигнала производится по
формуле:
sin ωB (t − kTÄ )
K
x(t) = ∑ k=0 xk
,
ωB (t − kTÄ )
где ωB =2πFB – верхняя круговая частота исходного сигнала.
Простейшие сигналы вида
sin ωB (t − kTÄ )
sk (t) =
,
ωB (t − kTÄ )
ортогональные друг другу на интервале времени [−∞, ∞], называются функциями отсчётов, базисными функциями, или функциями
Котельникова (рис. 1). Каждая из базисных функций sk (t) сдвинута относительно подобной соседней функции sk−1 (t) и функции
13
1
0,2
0
–0,2
–0,4
Рис. 1. График базисной функции Котельникова
U,В
6
3
2
0
1
2
4
t,мкс
Рис. 1.1. Дискретный процесс x
sk+1 (t) на интервал дискретизации TÄ . Чем больше таких функций используется для восстановления сигнала, тем более точным
получается результат. Количество таких функций равно количеству отсчётов рассматриваемого дискретного процесса.
Пример. Дискретизированный в соответствии с теоремой Котельникова непрерывный сигнал имеет 3 отсчёта на временной оси
(рис. 1.1).
Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 1 мкс.
Непосредственно из рис. 1.2 видно, что период дискретизации
Tд = 2 мкс. Соответственно
π
1
ωB =2πFB =2π
=
=1570796,33.
2TÄ TÄ
Согласно (1.1) ряд Котельникова имеет вид:
sin ωB t
sin(ωB t − π)
sin(ωB t − 2π)
x(t) =
2
+6
+3
.
ωB t
ωB t − π
ωB t − 2π
Откуда x(10−6 ) =1,273 + 3,829 − 0,637 = 4,456 В.
14
Варианты заданий для работы №1
Вариант № 1. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 3 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 1,5 мкс.
Вариант № 2. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 3 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Значения отсчетов следующие {0,4}, {2,8},{4,6}. Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 1,3 мкс и построить график функции процесса.
Вариант № 3. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 4 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Значения отсчетов следующие {0,2}, {3,8},{6,6}, {9,2}.
Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент
времени t = 2мкс и построить график функции процесса.
Вариант № 4. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 4 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Значения отсчетов следующие {0,2}, {1,5,10},{3,4},
{6,3,5}. Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 1мкс и построить график функции процесса.
Вариант № 5. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 4 отсчёта на временной оси t (рис 1). Значения отсчетов следующие {0,1}, {2,10},{4,4},
{6,3,5}. Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала
в момент времени t = 1мкс и построить график функции процесса.
Вариант № 6. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 3 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 1,1 мкс.
Вариант №7. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 3 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 1,8 мкс.
Вариант № 8. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 4 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Значения отсчетов следующие {0,2}, {3,8},{6,6}, {9,2}.
Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент
времени t = 2,5 мкс и построить график функции процесса.
Вариант № 9. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 3 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Значения отсчетов следующие {0,2}, {3,8},{6,3}. Вычи15
слить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 2,1 мкс и построить график функции процесса.
Вариант № 10. Дискретизированный в соответствии с теоремой
Котельникова непрерывный сигнал имеет 3 отсчёта на временной
оси t (рис 1). Значения отсчетов следующие {0,2}, {3,6},{6,4}. Вычислить мгновенное значение непрерывного сигнала в момент времени t = 1 мкс и построить график функции процесса.
16
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Целью работы является изучение методов частотного анализа дискретных сигналов с помощью дискретного преобразования
Фурье [2,5].
Исходные данные взять из лабораторной работы № 1.
Порядок выполнения
1. Найти коэффициенты Фурье.
2. Представить график частотного спектра сигнала.
3. Найти обратное преобразование Фурье.
Спектральное преобразование функций представляет собой описание функций в новой системе координат, т.е. перевод исходных
функций на новый координатный базис. В радиотехнике наибольшее распространение получило преобразование сигналов в базисах
гармонических функций. Это объясняется тем, что гармонические
колебания являются функциями времени, сохраняющими свою
форму при прохождении через любую линейную цепь, изменяются
только амплитуда и начальная фаза колебаний, что очень удобно
для анализа систем преобразования сигналов.
Как и периодический непрерывный сигнал дискретную функцию x[k]можно разложить в комплексный ряд Фурье
x[k] =
∞
∑
Cn e jnwn kTä
n =−∞
(2.1)
2π
где wn =
интервал дискретизации спектра дискретного сигнала;
NTÄ
Cn – комплексные коэффициенты дискретного преобразования Фурье
(ДПФ), которые находятся по формуле
Ñn =
1 N −1
∑ xk e− j2πnk/N
N k =0
(2.2)
ДПФ обладает следующими свойствами:
1. Линейность – сумме (разности) дискретных сигналов соответствует сумма (разность) их ДПФ.
1 N −1
2. Коэффициент C0 =
∑ Xk представляет собой среднее значеN k =0
ние (постоянную составляющую) всех дискретных отсчётов сигнала.
3. Число определяемых коэффициентов Cn равно числу отсчетов
N сигнала.
17
4. Дискретизация сигнала во временной области приводит к дискретизации спектра и его периодизации, т.е.
C0=
= 0, N − 1 .
+n CN=
+n C2 N=
+n ...,n
Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) представляет собой процедуру нахождения дискретных отсчётов сигнала по
его спектральным составляющим:
xk =
N −1
∑ Cn e j2πnk/N
n =0
(2.3)
Выражения (2.2) и (2.3) показывают, что для нахождения одного
коэффициента или отсчёта необходимо выполнить N операций умножения на комплексное число и столько же операций сложения.
Для определения всех коэффициентов или отсчётов потребуется
около N2 вычислений. При такой вычислительной сложности обработка больших массивов данных в реальном времени является трудно
решаемой задачей и предъявляет высокие требования к вычислительному устройству по быстродействию и объёмам оперативной памяти.
Пример. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного N=4
дискретными отсчётами X = {2, –1, 1, 4}, следующими с периодом
дискретизации Tд=2 мкс.
Решение. Для выполнения ДПФ используется формула (2.2),
где комплексная экспонента заменяется выражением Эйлера
=
C0
1 N −1
∑ Xk [cos(2πnk / N − j sin(2πnk / N)]
N k =0
(2.4)
Подставляя исходные данные в (2.4) найдём
1
C0=
[2 − 1 + 1 + 4] − j0= 1.5;
4
При построении значений необходимо иметь в виде что κ, для
нашего значения, принадлежит значениям [0,1,2,3].
1
C1 = [2 − cos(2π / 4) + 1cos(2π2 / 4) + 4 cos(2π3 / 4)] −
4
1
− j [2 sin 0 − 1sin(2π / 4) + 1sin(2π2 / 4) + 4 sin(2π3 / 4)] = 0.25 + j1,25;
4
C=
2
1
[2 − 1cos(2π2 / 4) + 1cos(2π2 ⋅ 2 / 4) + 4 cos(2π2 ⋅ 3 / 4)] −
4
1
− j [2 sin 0 − 1sin(2π ⋅ 2 / 4) + 1sin(2π2 ⋅ 2 / 4) + 4 sin(2π2 ⋅ 3 / 4)] =0;
4
18
Рис. 2. Спектр дискретного сигнала
C=
3
1
[2 − 1cos(2π3 / 4) + 1cos(2π3 ⋅ 2 / 4) + 4 cos(2π3 ⋅ 3 / 4)] −
4
1
− j [2 sin 0 − 1sin(2π3 / 4) + 1sin(2π3 ⋅ 2 / 4) + 4 sin(2π3 ⋅ 3 / 4)] =
4
= 0,25 − j1.25;
Спектральные составляющие отстоят друг от друга на расстоянии
1
1
=
Fn =
= 125 êÃö
NTÄ 4 ⋅ 2 ⋅ 10−6
При построении графика по оси ординат откладывают модуль
комплексного коэффициента Фурье. Также возможно представлять спектр сигнала в виде двух графиков – для действительной и
мнимой частей коэффициентов. Внешний вид полученного спектра
сигнала в виде модуля комплексного числа представлен на рис. 2.
Показанный на рисунке спектр по сути является аппроксимацией спектра исходного непрерывного сигнала.
Варианты заданий для работы №2
Вариант № 1. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {3, -1, 1, 4}, следующими с периодом дискретизации Tд=3 мкс.
19
Вариант № 2. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {1, -2, 2, 4}, следующими с периодом дискретизации Tд=2 мкс.
Вариант № 3. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {4, -4, 3, 4}, следующими с периодом дискретизации Tд=3 мкс.
Вариант № 4. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {2, -1, 2, 4}, следующими с периодом дискретизации Tд=1,5 мкс.
Вариант № 5. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {2, -1, 2,3}, следующими с периодом дискретизации Tд=2 мкс
Вариант № 6. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {2, -1, 2, 4}, следующими с периодом дискретизации Tд=2 мкс.
Вариант № 6. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {1, -2, 3,1}, следующими с периодом дискретизации Tд=2 мкс
Вариант № 7. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {1, -2, 3,5}, следующими с периодом дискретизации Tд=3 мкс.
Вариант № 8. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {1, -2, 3,1}, следующими с периодом дискретизации Tд=3 мкс
Вариант № 9. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного
N=4 дискретными отсчётами X = {1, -2, 2,5}, следующими с периодом дискретизации Tд=3 мкс
Вариант № 10. Найти ДПФ для дискретного процесса, заданного N=4 дискретными отсчётами X = {1, -1, 3,5}, следующими с периодом дискретизации Tд=3 мкс
20
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Целью работы является исследование практических методов
спектрального анализа.
Порядок выполнения
1. Реализовать алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ).
2. Сравнить данный алгоритм с методом, представленным в лабораторной работе № 2 по скорости и вычислительной сложности.
3. Составить блок-схему реализации БПФ и оценить количество
вычислений данного метода.
Идея БПФ состоит в представлении исходного ДПФ большой
размерности несколькими ДПФ меньшей размерности. В преобразовании участвует массив данных размером N = 2r . Если количество выборок исходного сигнала меньше этой величины, то он искусственно дополняется нулями до заданного количества. Введя обо-
wr
значение=
2π
N
e=
−j
−j
2π
r
e 2 выражение (2.2) запишется в виде:
r
1 2 −1
Cn = r ∑ xkwrnk
2 k =0
(3.1)
Разделим общую сумму выражения (3.1) на две части, одна содержит слагаемые с чётными номерами, а другая с нечётными:
r −1
1 2 −1
nk
Cn = r
xkwr = r
[x2kwr2kn
2
2
=
k 0=
k 0
1
2r −1
∑
∑
+ x2k+1wr(2k+1)n ] =
1
2r −1 −1 ÷ kn
2r −1 −1
=
[ k 0=
xk wr −1 + wrn k 0 xk÷ wrkn
Cn÷ + wrn CnÍ
(3.2)
−1 ] =
=
r
∑
2
r
∑
÷
−=
1; x×
k ∈X
{x0 ,x=
=
n 0.2
где
2 ,...,x2r −2 }
мент массива чётных номеров;
{x0÷ , x1÷ ,...., x÷k −1 } –
2 −1
эле-
H H
H
=
xkH ∈ X ÷ {x0 ,x=
3 ,...,x2r −2 } {x0 , x1 ,...., x k −1 } – элемент мас2
−1
сива нечётных номеров; Cn÷ , Cní – коэффициенты Фурье, соответственно, для массивов чётных и нечётных элементов. То есть
спектр исходного сигнала состоит из двух спектров, образованных прореживанием по времени выборок исходного сигнала. Коэффициенты Cn÷ , Cní являются периодическими с периодом 2r −1
, т.е. Cn÷ = C÷
n +2r −1
и Cní = Cí
n +2r −1
=
n 0.2r −1 − 1 .Учитывая, что
при
21
r −1
w22
−j
2π r −1
(2 +n)
2r
−j
2π
n
2r
=
n 0.2r −1 − 1 выражение
= e
= e e
= −wrn при
(3.2) можно представить в форме:
− jπ
 C= C÷ + wn C H ,
n
n
r n


÷
Cn − wrn CnH ,
1
Cn +2r −=

=
n 0.2r −1 − 1,
(3.3)
Рассмотрим
теперь
массив
чётных
номеров
÷ ÷
÷
X ÷ {x
=
0 ,x2 ,...,x2r −2 } {x0 , x1 ,...., x2k −1 −1 } .Спектр этого массива
также можно представить как сумму спектров четных и нечетных составляющих этого массива размерности 2r -2 . Вычисления производятся по формулам (3.2) и (3.3). Обозначим уровень
разбиения исходного массива l , тогда на каждом уровне необходимо будет находить ДПФ для массива из 2r −1 элементов. Такое
разбиение можно продолжать до тех пор, пока массив не будет
состоять из одного элемента при l=r , ДПФ которого равно, со1
гласно (3.1), Cn = r xn На уровне l=r можно принять, что ДПФ
2
отсчёта равно самому отсчёту Cn = xn однако после выполнения
всех операций (l=0 ), полученные коэффициенты Фурье необходимо разделить на 2r . Для массива нечётных номеров X í поступают аналогично.
Таким образом, алгоритм БПФ состоит из r уровней, на каждом
уровне l формируется массив значений Ñ1 = {Ñ10 , Ñ11,..., Ñ1N −1 } по
формулам:
i=0, тогда
r>1>0, тогда
22
 =
Cn C2In+1 + ωnr C2In+1+1,


C2In+1 − ωnr C2In+1+1,
r −1
Cn +2=


n = 0.2r −1 − 1,
I
I +1
n
I +1

C=
2n C2n + ωr −1 C2n +2I ,

C I = C I +1 − ωn C I +1 ,
2n
r −1 2n +2I
 2n +2r −1
 I
= C2In+1+1 − ωnr −1 C I +1 I
C
2n +1+2r −1
2n +1+2

r −1− I

− 1,
n = 0.2

(3.4)
(3.5)
 I xn
Cn = r
2


r
=
n 0.2 − 1,
1=r, тогда
(3.6)
Пример. Найти БПФ для массива данных X={2,–1,1,4}
Решение. Для данного количества отсчётов принимается r = 2,
задаваясь различными значениями l формируются массивы Cl на
каждом уровне l в соответствии с формулами (3.4–3.6).
l = r = 2, тогда по (3.6)
C2 =
{2 / 4, −1 / 4,1 / 4,4 / 4} =
{0,5, −0,25,0,25,1}.
I=1, тогда C01=

1
C2=

1
C1=
 1
C3=


C20 + ω10 C22 ,
C20 − ω10 C22 ,
C12 + ω10 C23 ,
C12 − ω10 C23 ,
n = 0,
ω10 =
1, C1 = {0,5 + 0,25, −0,25 + 1,0,5 − 0,25, −0,25 − 1} = {0,75,0,75,0,25, −1,25}.
I=1, тогда
I
 C=
C2In + ωn
2 C2n +1,
 n
I
n I
Cn=
+2 C2n − ωr C2n +1,

n = 0,1.

ω20 =1, ω12 =e
−j
2π
4
−j
π
=e 2 =− j, C0 =
{1,5,0,25 + j1,25,0,0,25 − j1,25}.
Сравнивая полученное значение с результатами примера лабораторной работы № 2, можно убедиться в идентичности полученных результатов.
Варианты заданий для работы №3
Все дополнительные параметры берутся как в примерном задании.
Вариант № 1. Найти БПФ для массива данных X={1,–1,1,4}.
23
Вариант № 2. Найти БПФ для массива данных X={1,–2,2,4}.
Вариант № 3. Найти БПФ для массива данных X={2,–2,2,4}.
Вариант № 4. Найти БПФ для массива данных X= {4, –4, 3, 4}.
Вариант № 5. Найти БПФ для массива данных X= {2, –1, 2,3}.
Вариант № 6. Найти БПФ для массива данных X= {1, –2, 3,1}.
Вариант № 7. Найти БПФ для массива данных X= {1, –2, 3,5}.
Вариант № 8. Найти БПФ для массива данных X= {1, –2, 3,1}.
Вариант № 9. Найти БПФ для массива данных X= {1, –2, 2,5}.
Вариант № 10. Найти БПФ для массива данных X= {1, –1, 3,5}.
24
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
НАДЕЖНОСТИ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ
ОБ ОТКАЗАХ ИЗДЕЛИЯ.
Методы прогнозирования состояния технических объектов
(элементов и систем), основанные на изучении происходящих
в них процессов («физика отказов») способны значительно уменьшить влияние случайных (нерегулируемых, неконтролируемых
и непредсказуемых) факторов, более точно описать поведение
объектов и возможность появления отказов. Однако для оценки
надежности элементов по данным о приближении к отказам необходимо составить модели процессов, происходящих в элементах и приводящих к их отказам (модели отказов), которые, как
правило, имеют вероятностный характер. Выбор модели надежности может быть произведен на основании статистического анализа данных о функционировании объектов при испытаниях или
в условиях эксплуатации.
В теории структурной надежности [8] состояния системы в произвольный момент времени рассматриваются как дискретные и
определяются той или иной совокупностью состояний элементов
Xi(t) входящих в состав системы. При этом считается, что каждый
элемент может находиться в одном из двух состояний либо в рабочем x(t)=1 либо в нерабочем x(t)=0.
Параметр t (время) может быть непрерывным или дискретным
(что часто используется для практических расчетов динамических
процессов). Дискретный параметр может принимать конечное или
бесконечное число значений, непрерывный параметр, естественно,
может принимать только бесконечное число значений. Значения,
принимаемые случайными величинами, образуют пространство состояний.
Если каждому возможному множеству работоспособных (неработоспособных) элементов поставить в соответствие множество состояний объекта, то отказы и восстановления элементов будут отображаться переходом объекта из одного состояния в другое:
Пусть, к примеру, объект состоит из двух элементов. Тогда он
может находиться в одном из четырех состояний: n = 2k = 22 = 4.
S1 – оба элемента работоспособны;
S2 – неработоспособен только первый элемент;
S3 – неработоспособен только второй элемент;
S4 – неработоспособны оба элемента.
Множество возможных состояний объекта: S = {S1, S2, S3, S4}.
25
Полное множество состояний исследуемой системы может быть
дискретным, либо непрерывным (непрерывно заполнять один или
несколько интервалов числовой оси). В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с непрерывным временем и процессы с дискретным временем.
В процессах с непрерывным временем переход системы из одного
состояния в другое осуществляется в любой момент времени. Во
втором случае время пребывания системы в каждом состоянии –
фиксировано так, что моменты переходов размещаются на временной оси через равные промежутки.
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об
отказах оценивается выражением
P* ( t ) =
n (t )
(1.1)
,
N где n(t) – число изделий, не отказавших к моменту времени t; Nчисло изделий, поставленных на испытания; Р*(t) – статистическая оценка вероятности безотказной работы изделия.
Для вероятности отказа по статистическим данным справедливо
соотношение
q* ( t ) =
N − n (t )
,
(1.2)
N
где N-n(t)- число изделий, отказавших к моменту времени t; q*(t) –
статистическая оценка
вероятности отказа изделия. Частота отказов по статистическим
данным об отказах определяется выражением
f* (t ) =
∆n ( t )
,
(1.3)
N ⋅ ∆t где Δn(t) – число отказавших изделий на участке времени (t, t+Δt);
f*(t) – статистическая
оценка частоты отказов изделия; Δt – интервал врeмени.
Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах
определяется формулой
∆n ( t )
λ* ( t ) =
,
∆t ⋅ n ( t )
(1.4)
где n(t) – число изделий, не отказавших к моменту времени t;
Δn(t) – число отказавших изделий на участке времени (t, t+Δt);
λ*(t) – статистическая оценка интенсивности отказов изделия.
26
Среднее время безотказной работы изделия по статистическим
данным оценивается выражением
m*t =
1 N
∑ti ,
N i =1
(1.5)
где ti – время безотказной работы i- го изделия; N – общее число изделий, поставленных на испытания; mt* – статистическая оценка
среднего времени безотказной работы изделия.
Для определения mt* по формуле (1.5) необходимо знать моменты выхода из строя всех N изделий. Можно определять mt* из уравнения
m
m*t ≈ ∑ni tñð.i ,
(1.6)
i =1
где ni – количество вышедших из строя изделий в i- ом интервале
времени;
tcр.i = (ti-1+ti)/2 ; m=tk/Δt ; Δt=ti+1-ti ; ti-1 -время начала i- го интервала; ti- время конца i- го интервала; tk – время, в течение которого
вышли из строя все изделия; Δt-интервал времени.
Дисперсия времени безотказной работы изделия по статистическим данным определяется формулой
=
Dt*
1 N
∑ ti − mi*
N − 1 i =1
(
),
2
(1.7)
где Dt*– статистическая оценка дисперсии времени безотказной
работы изделия.
Пример решения задачи.
Задача № 1. На испытание поставлено 1000 однотипных объектов, за 3000 часов отказало 80 объектов. Требуется определить
P*(t), q*(t) при t = 3000 час.
Решeниe. В данном случае N= 1000; n(t)=1000–80=920;
N-n(t)=1000–920=80. По фор мулам (1.1) и (1. 2) определяем
P* ( 3000
=
)
=
q* ( 3000
)
n ( t ) 920
= = 0.92
1000
N
N − n (t )
80
= = 0.08
1000
N
q* ( 3000 )= 1 − P* (3000) =
1 − 0.92 =
0.08
27
Задача №2 На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3000 час отказало 200 изделий, т.е. n(t) = 400–200=200.За
интервал времени (t, t+Δt) , где Δt= 100 час, отказало 100 изделий,
т.е. Δn(t)= 100. Требуется определить Р*(3000), P*(3100), f*(3000),
λ*(3000).
Решение. По формуле (1.1) находим
P* ( 3000
=
)
n ( t ) 200
= = 0.5;
N
400
P* ( 310
=
0)
n ( t ) 100
= = 0.25;
N
400
Используя формулы (1.3) и (1.4), получим
f * (=
t ) f * ( 3000
=
)
∆n ( t )
100
=
= 2,5 ⋅ 10−3 1 / ÷àñ
N ⋅ ∆t 400 ⋅ 100
∆n ( t )
100
5 ⋅ 10−3 1 / ÷àñ
λ* ( t ) =
λ* ( 3000 ) = = =
∆t ⋅ n ( t ) 100 ⋅ 200
Задача № 3.На испытание поставлено 6 однотипных изделий.
Получены следующие значения ti (ti – время 6езотказной работы
i- го изделия) : t1 =280 час; t2 = 350 час; t3 =400 час; t4 =320 час; t5
=380 час; t6=330 час.
Определить статистическую оценку среднего времени безотказной работы изделия.
Решение. По формуле (1.5) имеем
=
mt*
1 N
280 + 350 + 400 + 320 + 380 + 330 2060
=
= = 343,3 ÷àñ
∑ti
6
6
N i =1
Задача № 4. В результате наблюдения за 45 образцами оборудования получены данные до первого отказа всех 45 образцов, сведенные в табл.1. Требуется определить mе*.
Таблица № 1
28
∆ti, час
ni
∆ti, час
ni
∆ti, час
ni
0–5
1
30–35
4
60–65
3
5–10
5
35–40
3
65–70
3
10–15
8
40–45
0
70–75
3
15–20
2
45–50
1
75–80
1
Таблица № 1
∆ti, час
ni
∆ti, час
ni
∆ti, час
ni
20–25
5
50–55
0
–
–
25–30
6
55–60
0
–
–
Решение. В данном случае
=
t1 2=
,5;t2 7=
,5;t3 12=
,5;t4 17=
,5;t5 22,5;
=
t6 27
=
,5;t7 32
=
,5;t8 37
=
,5;t9 42=
,5;t10 47,5;
=
t11 52
=
,5;t12 57
=
,5;t13 62,5;
=
t14 67,5=
;t15 72,5=
;t16 77,=
5; N 45
=
;m 16
Используя формулу (1.6), получим
mt* ≈
1 m
∑ni ⋅ tñði =
N i =1
1 ⋅ 2,5 + 5 ⋅ 7,5 + 8 ⋅ 12,5 + 2 ⋅ 17,5 + 5 ⋅ 22,5 + 6 ⋅ 27,5 + 4 ⋅ 32,5
+
8
3 ⋅ 37,5 + 0 ⋅ 42,5 + 1 ⋅ 47,5 + 0 ⋅ 52,5 +
+
+
8
0 ⋅ 57,5 + 3 ⋅ 62,5 + 3 ⋅ 67,5 + 3 ⋅ 72,5 + 1 ⋅ 77,5
+
=
8
1427,5
= = 31,7 ÷àñ
45
Варианты заданий для работы №4
Вариант 1. На испытание поставлено 100 однотипных изделий.
За 4000 час. Отказало 50 изделий. За интервал времени 4000 – 4100
час. отказало ещё 20 изделий. Требуется определить f*(t),λ*(t) при
t=4000 час.
Вариант 2. На испытание поставлено 100 однотипных изделий.
За 4000 час. отказало 50 изделий. Требуется определить p*(t) и
q*(t) при t=4000 час.
Вариант 3. В течение 1000 час из 10 гироскопов отказало 2. За
интервал времени 1000–1100 час. Отказал еще один гироскоп. Требуется определить f*(t), λ*(t) при t =1000 час.
Вариант 4. На испытание поставлено 1000 однотипных объектов. За первые 3000 час. отказало 80 объектов. За интервал времени 3000 – 4000 час. отказало еще 50 объектов. Требуется определить p*(t) и q*(t) при t=4000 час.
29
Таблица № 1.2
∆ti, час
ni
∆ti, час
ni
∆ti, час
ni
0–10
1
30–40
4
60–70
3
10–20
5
40–50
3
–
–
20–30
8
50–60
0
–
–
Вариант 5. На испытание поставлено 1000 изделий. За время
t=1300 час. вышло из строя 288 штук изделий. За последующий
интервал времени 1300–1400 час. вышло из строя еще 13 изделий.
Необходимо вычислить p*(t) при t=1300час и t=1400 час.; f*(t),
λ*(t) при t =1300 час.
Ваиант 6. На испытание поставлено 45 изделий. За время t=60 час.
вышло из строя 35 штук изделий. За последующий интервал времени 60–65 час. вышло из строя еще 3 изделия. Необходимо вычислить
p*(t) при t=60час. и t=65 час.; f*(t), λ*(t) при t =60 час.
Вариант 7. В результате наблюдения за 45 образцами радиоэлектронного оборудования, которые прошли предварительную
80-часовую приработку, получены данные до первого отказа всех
45 образцов, сведенные в табл.1.2. Необходимо определить mt*.
Вариант 8. На испытание поставлено 8 однотипных изделий. Получены следующие значения ti (ti – время безотказной работы i-го изделия): t1 =560час.; t2=700час.; t3 =800час.; t4=650час.; t5=580час.;
t6=760час.; t7=920час.; t8=850час. Определить статистическую
оценку среднего времени безотказной работы изделия.
Вариант 9. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зарегистрировано 6 отказов. Время восстановления составило: t1 =15мин.; t2=20мин.; t3 =10мин.; t4=28мин.; t5=22мин.;
t6=30мин. Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры mtв* .
Вариант 10. На испытание поставлено 1000 изделий. За время
t=11000 час. вышло из строя 410 изделий. Зв последующий интервал времени 11000–12000 час. вышло из строя еще 40 изделий. Необходимо вычислить p*(t) при t=11000 час. и t=12000 час., а также
f*(t), λ*(t) при t=11000 час.
30
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК НАДЁЖНОСТИ ОБЪЕКТА
Выпишем формулы, по которым определяются количественные
характеристики надежности изделия
 t
  t

p ( t )= exp  − ∫λ ( t ) dt = 1
 − ∫f ( t ) dt 

 

 0
  0
 q ( t )= 1 − p ( t )
 t
  t

p ( t )= exp  − ∫λ ( t ) dt = 1
 − ∫f ( t ) dt 

 

 0
  0
 f (t ) =
dq ( t )
dt
dp ( t )
= − dt f (t )
λ (t ) =
p (t )
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
∞

mt = exp  ∫ p ( t ) dt 
(2.6)




0
где p ( t ) – вероятность безотказной работы изделия на интервале
времени от 0 до t; q ( t ) – вероятность отказа изделия на интервале
времени от 0 до t; f ( t ) –частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия T
λ ( t ) – интенcивность отказов изделия; mt – среднее время безотказной работы изделия. Формулы (2.1)–(2.5) для экспоненциального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид
p ( t ) = e−λt
q ( t )= 1 − e−λt
f ( t ) = λ * e−λt
(2.6)
λ * e−λt
λ ( t ) = −λt =
λ
e
(2.7)
(2.8)
(2.9)
31
1
λ (2.10)
Формулы (2.1) – (2.5) для нормального закона распределения
времени безотказной работы изделия примут вид
mt =
t − mt
σt
p (=
t ) 0.5 − Φ ( U ); U =
1
q (=
t ) 0.5 + Φ ( U ); Ô ( U ) =
2π
(2.11)
2
U U
e2
∫
dU
0
(2.12)
−U 2
ϕ(U )
1
; ϕ ( U ) = e 2 f (t ) = σt
2π
ϕ(U )
1
λ (t ) =
*
σt
0.5 − Ô ( U )
(2.13)
(2.14)
где Ô ( U ) – функция Лапласа, обладающая свойствами.
Ô(0) = 0
Ô ( −U ) =
−Ô ( U )
Ô ( ∞ ) =0.5
p ( t ) = e−at ;
q ( t )= 1 − e−at ;
f ( t ) = aktk−1 * p ( t );
λ (t ) =
aktk−1;
;
(2. 15)
;
(2.16)
(2.17)
2
Здесь mt – среднее значение случайной величины T ; σt – дисперсия случайной величины T ; T – время безотказной работы
изделия.
Формулы (2.1) – (2.5) для закона распределения Вейбулла времени безотказной работы изделия имеют вид
k
(2.18)
k
32
(2.19)
(2.20)
(2.21)
1
1
* Ã*
k
k;
m (t ) =
1
(2.22)
ak
где a,k – параметры закона распределения Вейбулла. Г (x) – гаммафункция.
Формулы (2.1)–(2.5) для закона распределения Релея времени
безотказной работы изделия имеют вид
(2.23)
 t2 
p=
( t ) exp  − 2 
 2σt  (2.24)
 t2 
q (t ) =
1 − exp  −

 2σ2 

t 
=
f (t )
 t2 
exp
− 2 
 2σ 
σ2t

t  t
λ (t ) =
σ2t t
(2.25)
(2.26)
π
(2.27)
2
где σt – мода распределения случайной величины Т; Т – время безотказной работы изделия.
Примеры решений задачи.
Задача 1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ=2.5•10–5 1/час.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента p(t),q(t),f(t),mt для t=1000час.
Решение. Используем формулы (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) для
p(t),q(t),f(t),mt . 1. Вычислим вероятность безотказной работы:
m ( t ) = σt
−5
−λt
p=
e−2.5*10 t
( t ) e=
−5
*1000
−0.025
p (=
1000 ) e−2.5*10 =
e=
0.9753
Вычислим вероятность отказа q(1000).Имеем
q (1000 ) =
1 − p (1000 ) =
0.0247
33
Вычислим частоту отказов
−5
f (t ) =
λ (t ) * p (t ) =
2.5 * 10−5 * e−2.5*10 t
−5
=
f (1000 ) 2.5 *=
10−5 * e−2.5*10 t 2=
.5 * 10−5 * 0.9753 2.439 * 10−5 1/
час.
4.Вычислим среднее время безотказной работы
1
1
mt= = = 40000 час.
λ 2.5 * 10−5
Задача № 2. В результате анализа данных об отказах аппаратуc1λ1e−λ1t + c2 λ2e−λ2t Треры частота отказов получена в виде f ( t ) =
буется определить количественные характеристики надежности:
p(t), λ(t),mt.
Решение. Определим вероятность безотказной работы. На основании формулы (2.1) имеем
t
 t

t

p ( t ) =−
1
 ∫f ( t ) dt  =
1 −  ∫ c1λ1 * e−λ1t dt + ∫ c2λ2 * e−λ2t dt  =


0

 0

0
= 1 − (c1 + c2 ) + c1e−λ1t + c2e−λ2t
∞
Вычислим сумму С1+ С2 Так как
t
t
0
0
−λ t
∫ c1λ1 * e 1 dt + ∫ c2λ2 * e
∫ f (t)dt = 1 ,то
0
−λ2t
dt = c1 + c2 = 1
2.Найдем зависимость интенсивности отказов от времени по
формуле
f ( t ) c λ e−λ1t + c λ2e−λ2t
λ ( t ) = = 1 1 −λ t 2 −λ
p (t )
c1e 1 + c2 e 2t
2.Определим среднее время безотказной работы аппаратуры. На
основании формулы (2.5) будем иметь
m=
t
∞
∞
∞
0
0
0
2t
= c1 ∫ e−λ1t + c2 ∫ e−λ=
∫ p(t)dt
c1 c2
+
λ1 λ2
Задача № 3. Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия p(t),f(t),λ(t),mt для t=1000час
,если параметр распределения σt=1000 час.
34
Решение. Воспользуемся формулами (2.23), (2.25), (2.27),(2.26)
для p(t),f(t), mt ,λ(t).
1.Вычислим вероятность безотказной работы p(t)
 t2 
p=
( t ) exp  − 2 
 2σt 
 10002  −0.5
exp 
0.606
p (1000 ) =−
e
 ==
 2 * 10002 


2.Определим частоту отказа f(t)
 t * p(t) 
 1000 * 0.606 
−3
f (t ) = =


 0.606 * 10 (1 / ÷àñ)
 σ2  f ( t ) =
10002



t

3.Рассчитаем интенсивность отказов
t
λ ( t ) = λ (1000 ) = 1000 = 10−3 (1 / ÷àñ)
σ2t
10002
4.Определим среднее время безотказной работы изделия
m (t ) =
σt
π
=
1000 * 1.253 =
1253(÷àñ)
2
35
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ РАБОТЫ №5
Вариант 1. Вероятность безотказной работы автоматической
линии изготовления цилиндров автомобильного двигателя в течении 120 час равна 0.9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность
отказов и частоту отказов линии для момента времени t =120 час.,
а также среднее время безотказной работы.
Вариант 2. Среднее время безотказной работы автоматической
системы управления равно 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить
вероятность безотказной работы в течение 120 час., частоту отказов
для момента времени t=120 час и интенсивность отказов.
Вариант 3. Время безотказной работы прибора подчинено закону Релея с параметром σt= 1860 час. Требуется вычислить Р(t), f(t),
λ(t) для t = 1000 час и среднее время безотказной работы прибора.
Вариант 4. Вероятность безотказной работы изделия в течение
t=1000 час. Р(1000)=0,95. Время исправной работы подчинено закону Релея. Требуется определить количественные характеристики надежности f(t), λ(t), mt.
Вариант 5. Среднее время исправной работы изделия равно 1260
час. Время исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные характеристики надежности P(t),
f(t), λ(t) для t=1000 час.
Вариант 6. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что частота отказов имеет вид f(t)=2λe-λt (1-e-λt ) . Необходимо
найти количественные характеристики надежности P(t), λ(t), mt.
Вариант 7. В результате анализа данных об отказах изделий
установлено, что вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=3e-λt -3e-2λt+e-3λt. Требуется найти количественные характеристики надежности P(t), λ(t), mt.
Вариант 8. В результате анализа данных об отказах аппаратуры
Aλ1e−λ1t + Bλ2e−λ2t Требуется
частота отказов получена в виде f ( t ) =
определить количественные характеристики надежности: p(t), λ(t),mt.
Вариант 9. В результате анализа данных об отказах изделий
установлено, что вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=6e-λt -4e-2λt+e-3λt. Требуется найти количественные характеристики надежности P(t), λ(t), mt.
Вариант 10. В результате анализа данных об отказах изделий
установлено, что вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=3e-λt -4e-2λt+e-3λt. Требуется найти количественные характеристики надежности P(t), λ(t), mt
36
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТОВ В СИСТЕМУ
Соединение элементов называется последовательным, если отказ
хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система
последовательно соединенных элементов работоспособна тогда, когда
работоспособны все ее элементы. Вероятность безотказной работы системы за время t определяется формулой
Pc ( t ) = P1 ( t ) ⋅ P2 ( t )… Pn ( t ) =
n
∏Pi ( t ) ,
(3.1)
i =1
где Рi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента за время t.
Если Рi (t) =Р(t) то,
Pc ( t ) = Pn ( t )
(3.2)
Выразим Рc(t) через интенсивность отказов λi(t) элементов системы.
n t
Имеем:
Pc ( t ) = exp(− ∑ ∫λ i ( t ) dt),
i =10
(3.3)
t
Или Pc (=
t ) exp(− ∫λ c ( t ) dt),
0
(3.4)
n
λ c ( t ) =∑λ i ( t ),
(3.5)
i =1
Где здесь λi(t) – интенсивность отказов i-го элемента; λс(t) – интенсивность отказов системы.
Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t ) равна
n
qc ( t ) =1 − ∏λ i ( t )
(3.6)
i =1
Частота отказов системы fc(t) определяется соотношением
fc ( t ) = −
dPc ( t )
dt
(3.7)
Интенсивность отказов системы
fc ( t )
λc ( t ) =
Pc ( t )
(3.8)
37
Среднее время безотказной работы системы:
∞
mtc = ∫ Pc ( t ) dt,
0
(3.9)
В случае экспоненциального закона надежности всех элементов
системы имеем
λ i ( t ) =λ i =const
(3.10)
n
λ c ( t ) =∑λ i =λ c
i =1
Pi=
( t ) exp ( −λt )
Pc ( t ) = e−λ0t
fc ( t ) = λ c ⋅ e−λ0t
qc ( t )= 1 − e−λ0t
m=
tc
1
=
λc
mtc =
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
1
∑
n
λ
i =1 i
(3.16)
1
λi
(3.17)
где mti – среднее время безотказной работы i – го элемента.
При расчете надежности систем часто приходится перемножать
вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и извлекать корни. При значениях Р(t), близких
к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам:
n

 P1 ( t ) ⋅ P2 ( t )… Pn ( t ) ≈ 1 − ∑qi ( t ),

i =1

n
Pi ( t )= 1 − Nqi ( t ),


q (t )

n P ( t )= 1 − i
,
i

n

где qi (t) – вероятность отказа i – го элемента.
38
(3.18)
Практические примеры
Задача 1. Система состоит из трех устройств. Интенсивность от–3
казов электронного устройства равна λ=
1 0,16 ⋅ 10 t 1/час = const.
Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами
–4
–6 2,6
λ=
1/час. Необходимо рас2 0,23 ⋅ 10 t 1/час, λ=
3 0,06 ⋅ 10 t
считать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.
Решение. На основании формулы (3.3) имеем
t
t
  t
n t
 
=
Pc ( t ) exp(-∑ ∫ λ i (=
t ) dt) exp -  ∫ λ1dt + ∫ λ2dt + ∫ λ3=
dt  
 
 0
i =1 0
0
0

t2
t3,6  
= exp -  λ1t + 0,23 ⋅ 10-4
+ 0,06 ⋅ 10-6 ⋅

2
3,6  
 

Для t=100 час
Pc (100 ) =
 
1002
1003,6  
=exp –  0,16 ⋅ 10-3 ⋅ 100+0,23 ⋅ 10-4
+0,06 ⋅ 10-6 ⋅
  ≈ 0,33

2
3,6  
 
Задача 2. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно: mt1 =160 час; mt2 =320 час;
mt3 =600 час. Для блоков справедлив экспоненциальный закон
надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.
Решение. Воспользовавшись формулой (3.17) получим
1
1
1
1
1
1
=
λ1 =
λ2
=
λ3 =
;=
;=
.
mt1 160
mt2 320
mt3 600
Здесь λi – интенсивность отказов i -го блока. На основании формулы (3.11) имеем
1
1
1
λ c ( t ) =λ1 + λ2 + λ3 =
+
+
≈ 0,011 1/÷àñ
160 320 600
Здесь λc – интенсивность отказов системы.
На основании формулы (3.16) получим: m=
tc
1
1
=
≈ 91 ÷àñ
λ c 0,011
Задача 3. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ñð= 0,32 ⋅ 10–6 1/час. Требуется определить Pс(t), qс(t), fс(t), mtc, для t=50 час.
39
Здесь Pc(t) – вероятность безотказной работы системы в течение
времени t ;qc(t) – вероятность отказа системы в течение времени t;
fc(t) – частота отказов или плотность вероятности времени T безотказной работы системы; mtc – среднее время безотказной работы
системы.
Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11)
будет
λ c =λ ñð ⋅ n =0,32 ⋅ 10−6 ⋅ 12600 =4,032 ⋅ 10−3 1 / ÷àñ
Из (3.13) имеем
Pc ( t ) = e−λ0t ; Pc ( 50 ) = e−4,032⋅0,001⋅50 ≈ 0,82
Из (3.15) получим
qc ( t ) =
λ c e−λ0t =
λ c Pc (t);qc ( 50 ) =
1 − Pc (50) ≈ 0,18
Из (3.14) имеем
f (t ) =
λ c ⋅ e−λ0t =
λ c Pc (t); fc ( 50 ) =
4,032 ⋅ 10−3 ⋅ 0,82 =
3,28 ⋅ 10−3 1/÷àñ
c
Из (3.16) получим
1
1
=
mtc =
≈ 250 ÷àñ
λ c 4,032 ⋅ 10−3
Задача 4. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P ( t ) = 0,9997 . Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же
элементов.
Решение. Вероятность безотказной работы системы равна
n
P
=
( t ) 0,9997100
c ( t ) P=
воспользуемся формулой (3.18). В нашем случае
q (t ) =
1 − P (t ) =
1 − 0,9997 =
0,0003
Тогда Pc ( t ) ≈ 1 − nq(t) = 1 − 100 ⋅ 0,0003 = 0,97
Задача 5.Вероятность безотказной работы системы в течение
времени t равна Рc(t)=0,95. Система состоит из n=120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы
элемента. Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы
элемента будет Pc ( t ) = n Pc (t)
Так как Р(t) близка к единице, то вычисления Р(t) удобно выполнить по формуле (3.18).
40
В нашем случае
qc ( t ) =
1 − Ðc ( t ) =
1 − 0.95 =
0.05
qc (t)
0.05
=1−
≈ 0.9996
n
120
Задача 6. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенТогда Pc ( t ) = n Pc (t) ≈ 1 −
сивность отказов которых λ ñð =0,32 ⋅ 10–6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час.
Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11)
будет
λ c =λ cð ⋅ n =0,32 ⋅ 10−6 ⋅ 12600 =4,032 ⋅ 10−31 / ÷àñ.
Тогда на основании (3.13)
Pc ( t ) = e−λ0t
или
Pc ( 50 ) = e−4,032⋅0,001⋅50 ≈ 0,82
Варианты заданий для работы №6
Вариант 1. Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя
интенсивность отказов которых λ ñð= 0,33 ⋅ 10–5 1/час. Необходимо
определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течении t
= 200 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.
Вариант 2. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность
отказов которых =
λ 0,2 ⋅ 10–6 1/час . Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течении t = 24 часа и среднее время безотказной работы электронной машины.
Вариант 3. Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ñð= 0,16 ⋅ 10–6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течении t = 50 час и
среднее время безотказной работы.
Вариант 4. Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна:
=
P1 (t) 0=
,98; P2 (t) 0=
,99; P3 (t) 0,998
=
; P4 (t) 0,975
=
; P5 (t) 0,985
.
Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора.
Вариант 5. Система состоит из пяти приборов, среднее время
безотказной работы которых равно: mt1 =83 час; mt2 =220 час;
41
mt3 =280 час; mt4 =400 час; mt5 =700 час . Для приборов справедлив
экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее
время безотказной работы системы.
Вариант 6. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t=50 час равна:
=
P1 (50) 0=
,98; P2 (50) 0=
,99; P3 (50) 0,998
=
; P4 (50) 0,975
=
; P5 (50) 0,985.
Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.
Вариант 7. Система состоит из трех устройств. Интенсивность от-3
казов электронного устройства равна λ=
1 0,19 ⋅ 10 t 1/час = const.
Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами
–4
–6 2,6
λ=
1/час. Необходимо рассчи2 0,23 ⋅ 10 t 1/час, λ=
3 0,08 ⋅ 10 t
тать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.
Вариант 8. Вероятность безотказной работы одного элемента
в течение времени t равна P ( t ) = 0,87 . Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких
же элементов.
Вариант 9. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно : mt1 =140 час; mt2 =120 час;
mt3 =600 час. Для блоков справедлив экспоненциальный закон
надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.
Вариант 10. Система состоит из трех устройств. Интенсивность
–3
отказов электронного устройства равна λ=
1 0,16 ⋅ 10 t 1/час = const.
Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами
–4
–6 2,6
λ=
1/час. Необходимо рассчи2 0,33 ⋅ 10 t 1/час, λ=
3 0,06 ⋅ 10 t
тать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.
42
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Таблица 2.
Вариант задания для
лабораторной работы
ЛР 1
ЛР 2
ЛР 3
ЛР 4
ЛР 5
ЛР 16
Вариант 1
1
2
2
1
4
6
Вариант 2
2
3
3
2
4
8
Вариант 3
3
4
4
1
5
5
Вариант 4
4
5
5
6
2
1
Вариант 5
5
6
6
7
3
2
Вариант 6
6
5
5
3
2
1
Вариант 7
7
4
4
7
7
7
Вариант 8
8
8
8
4
3
8
Вариант 9
9
3
3
3
4
9
Вариант 10
10
10
10
5
4
8
Вариант 11
6
3
3
8
5
2
Вариант 12
7
5
5
2
5
7
Вариант 13
2
3
3
7
8
3
Вариант 14
6
7
7
5
4
2
Вариант 15
2
3
3
4
5
8
Вариант 16
6
2
2
4
7
3
Вариант 17
4
5
5
2
3
6
Вариант 18
1
6
6
3
7
8
43
ТЕСТ
1. Что является примером дискретного процесса ?
a) работа кассира в магазине;
b) движение на транспортном средстве;
c) организация компьютерной сети.
2. Правильно ли положение о том что, одним и тем же дискретным процессам может соответствовать множество различных огибающих
a) Да;
b) Нет.
3. Какой способ используется для описания произвольных дискретных последовательностей
a) На основе использования среднего интеграла;
b) С помощью суммы взвешенных и задержанных единичных
импульсов;
c) На основе решетчатой функции
4. Как можно задать последовательность, образованную в результате дискретизации экспоненты x(t) = exp(−0.5t)*1(t) с периодом T = 0.2 с a)
∞
x(n) =
∑ exp(−0,1v)δ(n − v) =δ(n) + 0,9048δ(ò − 1) + 0,8187(n − 2) + ...
v =0
b) exp(–5vt);
c) x(n)=x(n)t.
5. Чему равна частота дискретизации согласно теореме Котельникова?
1
a) FB ≤
;
2 ⋅ TÄ
1
b) FB ≤
;
TÄ
c) FB ≤ TÄ .
6. Какая формула для выполнения ДПФ заменяется выражением
Эйлера?
1 N −1
=
a) a)C0
∑ Xk [cos(2πnk / N − j sin(2πnk / N)] ;
N k =0
=
b) b)C0
44
1 N −1
∑ Xk [cos(2πnk / N)] ;
N k =0
=
c) c)C0
1 N −1
∑ [j sin(2πnk / N)]
N k =0
;
7. Пусть объект состоит из двух элементов. Сколько состояний
могут его определять ?
a)8;
b) 4;
c) 7.
8. Дискретное преобразование – смещение ?
a) y(n)=x(n-2);
b)y(n)=exp(n-N);
c) y(n)=x(n±n0).
9. Когда сиcтема последовательно соединенных элементов работоспособна ?
a) когда один элемент;
b) когда все элементы;
c) когда только группа элементов.
10. Принято считать, что система с управлением, имеющая нетривиальный входной сигнал x(t) и выходной сигнал y(t), может
рассматриваться как преобразователь информации. В соответствии с типом значений системы делятся на:
a) дискретные и непрерывные.
b) детерминированные и стохастические.
c) физические и абстрактные.
11. К дискретно-событийным системам относятся (укажите описания, не относящиеся к дискретным системам):
a) системы массового обслуживания.
b) сети Петри.
c) цепи Маркова.
g) системы, описываемые дифференциальными уравнениями.
12. В результате анализа данных об отказах аппаратуры частота
c1λ1e−λ1t + c2 λ2e−λ2t Требуется опреотказов получена в виде f ( t ) =
делить количественные характеристики надежности: p(t) ?
a) 1 − (c1 + c2 ) + c1e−λ1t + c2e−λ2t ;
b) c1e−λ1t + c2 e−λ2t
c) 1 − (c1 + c2 ) + c1e−λ1t
45
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Антонов А. В. Системный анализ. М.: Высшая школа, 2004.
454 с.
2. Иванов В. А. Теория дискретных систем автоматического
управления. М. : Наука, 1983. 335 с.
3. Анфилатов В. С., Емельянов А. А., Кукушкин А. А. Системный
анализ в управлении: учебн. пособие / Под ред. А. А. Емельянова.
М.: Финансы и статистика, 2002. 368 с.
4. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа.
М.: Наука, 1981. 488 с.
5. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003. 572 с.
6. Солонина А. И., Улахович Д. А. и др. Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций. СПб: БХВ-Петербург, 2005.
7. Фетисов В. А., Майоров Н. Н. Моделирование транспортных
процессов. СПб.: ГУАП, 2011. 165 c.
8. Надежность технических систем: учеб. пособие для студентов
технических специальностей вузов / под общ. ред. Е. В. Сугака,
Н.В. Василенко. Красноярск: НИИ СУВПТ, 2000. 594 с
46
СОДЕРЖАНИЕ
Дискретные и непрерывные процессы...........................................
3
Базовые преобразования дискретных последовательностей..............
10
Лабораторная работа № 1. Восстановление непрерывного сигнала
по его дискретным отсчетам ........................................................
Варианты заданий для работы №1...........................................
13
15
Лабораторная работа № 2. Дискретное преобразование ФУРЬЕ........
Варианты заданий для работы №2...........................................
17
19
Лабораторная работа № 3. быстрое преобразование фурье................
Варианты заданий для работы №3...........................................
21
23
Лабораторная работа № 4.
Определение количественных характеристик надежности
по статистическим данным об отказах изделия..............................
Варианты заданий для работы №4...........................................
25
29
Лабораторная работа № 5. Аналитическое определение
количественных характеристик надёжности объекта......................
Варианты заданий для работы №5...........................................
31
36
Лабораторная работа № 6. Последовательное соединение
элементов в систему...................................................................
Варианты заданий для работы №6. ..........................................
37
41
Варианты заданий для лабораторных работ...................................
42
Тест.........................................................................................
44
Список литературы....................................................................
46
47
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
733 Кб
Теги
mayorov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа