close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Mikhailov1

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ПЛАНИРОВАНИЕ
ИНЖЕНЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
ДЛЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ
СИСТЕМ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Санкт-Петербург
2014
Составитель – В. Ф. Михайлов
Рецензент – доктор технических наук, профессор Б. С. Гуревич
Методические указания содержат описания лабораторных работ
по федеральной дисциплине «Планирование инженерного эксперимента».
Указания предназначены для магистров направления 210700
инфокоммуникационные технологии и системы связи.
Подготовлены кафедрой медицинской радиоэлектроники и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом СанктПетербургского государственного университета аэрокосмического
приборостроения.
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка И. Н. Мороз
Сдано в набор 25.06.2014. Подписано к печати 02.09.14. Формат 60×841/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,15. Уч.-изд. л. 2,31.
Тираж 100 экз. Заказ № 447
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2014
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Цель работы: ознакомление с основными положениями статистического планирования эксперимента и построением планов проведения эксперимента.
1. Методические указания
1.1. Полный факторный эксперимент
Под экспериментом понимают совокупность действий, направленных на выяснение свойств некоторого объекта или его модели,
в том числе и математической. Важность эксперимента в современной науке и технике не вызывает сомнений. Последовательность
измерений при проведении эксперимента, варьирование переменными параметрами и т. д. определяется в основном интуицией
экспериментатора. Однако происходящее постоянное усложнение
экспериментальных установок, увеличение объема и удорожание
экспериментов привели к необходимости разработки теории, позволяющей при ограниченных затратах извлекать наибольшее
­количество информации за счет оптимального построения самого
эксперимента.
Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность
воздействовать на поведение исследуемого объекта или его модели. Все способы такого воздействия будем называть факторами
и обозначать x1, x2, …, xk. При изменении факторов будут меняться и свойства исследуемого объекта, которые в теории статистического планирования эксперимента (СПЭ) называют функциями
3
отклика. При экспериментальном исследовании радиоэлектронной аппаратуры функциями отклика, как правило, являются выходные параметры радиотехнического объекта, а факторами – первичные параметры (параметры активных и пассивных элементов
­схемы и источников питания, геометрические размеры и т. п.).
В общем случае можно выделить два больших класса задач, решаемых методами СПЭ. К первому относятся исследования, направленные на выявление механизма явления и называемые
­интерполяционными. Результатом эксперимента в этом случае является математическая модель исследуемого явления (объекта).
Ко второму типу относятся задачи на оптимизацию или экстремальные. Результатом эксперимента в этом случае является определение такого набора значений факторов, при которых функция
отклика принимает оптимальное значение, т. е. имеет место экстремум функции отклика.
Как правило, аналитическое выражение функции отклика (выходного параметра) неизвестно, поэтому приходится ограничиваться представлением ее в виде полинома
k
k
y = A0 + å Aj ∆xj + å Aju ∆xj ∆xu + å Ajj ∆x2j ,
j=1
j<u
(1)
j=1
где y – оценка действительного значения выходного параметра Y,
полученная по результатам эксперимента; ∆xj = (xj – xj0) – изменение (интервал варьирования) j-го фактора; xj0 – значение j-го фактора на основном уровне; A0, A1 – коэффициенты, получаемые по
результатам проведения эксперимента.
При представлении неизвестной функции отклика полиномом
(1) эта функция еще остается не найденной потому, что в выражении (1) неизвестны коэффициенты A0, …, Aj, …Aju, …, Ajj. Задачей
постановки и проведения числового эксперимента является получение данных для определения числового значения коэффициентов
A0, A1. При известных числовых значениях коэффициентов A0, A1.
функция отклика, определяемая выражением (1), имеет конкретный вид и считается найденной.
Простейшим, часто используемым полиномом, является полином первого порядка, когда определяются только коэффициенты
A0 и Aj. Используется также неполный полином второго порядка,
когда определяются коэффициенты Aju, т. е. находятся слагаемые
второй суммы выражения (1). В более сложных случаях используют полный квадратичный полином (определяют Ajj).
4
Чем более простым полиномом описывается неизвестная функция отклика, тем меньше необходимо определять коэффициентов
полинома и тем меньше нужно поставить опытов в эксперименте.
Если функция отклика описывается полиномом первого порядка, то такая функция отклика является линейной.
Для проведения эксперимента необходимо выбрать начальные значения фактора xj и отклонения факторов от их начальных значений Dхj. Выбор этих величин является неформализованной задачей, и, как правило, экспериментатор, выбирая их,
руководствуется интуицией и опытом. Задача упрощается, если
факторами в эксперименте являются первичные параметры радиоаппаратуры. Тогда за начальные значения факторов целесообразно взять номинальные значения параметров, а интервалами варьирования будут отклонения параметров от значения номинального.
В дальнейшем в работе рассмотрено только планирование первого порядка. При этом факторы могут принимать лишь два возможных значения
xjo + ∆xj и xjo – ∆xj.
(2)
Обычно при планировании эксперимента от полинома в натуральном масштабе (1) переходят к нормированным безразмерным
переменным Xj, что позволяет упростить запись плана экспери­
мента, обработку наблюдения и оценку результатов.
Нормированные значения факторов получаются из следующего
выражения:
∆xj
Xj = ±
= ±1 . (3)
∆xj
При этом уравнение (1) можно переписать в виде
k
k
y = b0 + åbj Xj + åbju Xj Xu + +åbjj Xj2 .
j=1
j<u
(4)
j=1
Это уравнение называют уравнением регрессии, а числовые коэффициенты b0, b1, … , bj, входящие в него, – коэффициентами регрессии, причем bj = Aj |∆xj| имеет размерность величины y.
В методе статистического планируемого эксперимента в каждом
опыте одновременно варьируются все факторы, при этом опыт дает существенно большую информацию, чем при последовательном
­варьировании только одним фактором, затем другим и т. д.
5
Условия проведения эксперимента записываются в таблице,
которая называется матрицей планирования или просто планом.
План эксперимента для двух факторов представлен в табл. 1.
Знаки (+) или (–) подразумевают значения нормированного фактора, равные +1 или –1, причем для простоты записи символ 1 опущен. Тогда знак (+) означает, что в данном опыте данный фактор
должен иметь значение, соответствующее его верхнему уровню,
а (–) означает, что фактор находится на нижнем уровне.
Как видим, план, представленный в табл. 1, состоит из опытов, включающих все возможные сочетания уровней фактора. Такой эксперимент называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).
При этом число проводимых опытов N = 2k, где k – число факторов. Для случая, показанного в табл. 1, N = 2k = 4.
Если увеличить число факторов до трех, то необходимо выполнить 8 опытов. Тогда матрица планирования для трехфакторного
эксперимента может быть получена на основании табл. 1, например, следующим образом: план эксперимента, приведенный в таблице, надо записать дважды – один раз для X3 = +1, второй – для
X3 = –1.
Как отмечалось выше, результаты эксперимента должны быть
использованы для расчета коэффициентов регрессии уравнения
регрессии (4). При аппроксимации функции отклика полиномом
первого рода необходимо рассчитать коэффициенты регрессии при
факторах bj и коэффициент регрессии b0. Для расчета этого коэффициента вводится фиктивная переменная X0, этой переменной
в матрице планирования отводится специальный столбец и знаки (+) в любом из опытов.
При аппроксимации функции отклика неполным полиномом
второго рода необходимо рассчитать коэффициенты регрессии bju
Таблица 1
Матрица планирования
6
№ опыта
X1
X2
Результат
наблюдений
1
+
+
y1
2
–
+
y2
3
+
–
y3
4
–
–
y4
при так называемых взаимодействиях факторов XjXu. Для расчета
этих коэффициентов регрессии по результатам эксперимента в матрицу планирования вводятся столбцы для взаимодействий, причем знаки, например, для взаимодействия X1X2 получаются простым перемножением знаков X1 и X2 в соответствующей строке.
Полная матрица планирования для двух факторов с учетом
фиктивной переменной и взаимодействий представляется в таблице 2.
Еще раз отметим, что для проведения эксперимента достаточно только условий, задаваемых в столбцах при факторах X1 и X2,
остальные столбцы матрицы планирования введены не для задания условий проведения эксперимента, а для расчета коэффициентов регрессии в дальнейшем.
Остановимся на физическом смысле коэффициентов регрессии.
Коэффициенты регрессии при факторах X1, X2 и т. д. показывают
степень влияния данных факторов на функцию отклика. Причем
величина коэффициента регрессии при факторе Xj будет определяться степенью влияния фактора Xj на функцию отклика и интервалом варьирования этого фактора. Коэффициенты регрессии
при взаимодействиях имеют несколько иной смысл. Так, например, ­коэффициент регрессии bju показывает, как влияет на функцию ­отклика фактор Xj, когда изменяется уровень фактора Xu,
и наоборот, степень влияния фактора Xu при изменении уровня Xj .
На основании приведенных правил можно строить планы ПФЭ
не только для трех факторов, но и для большего числа. Например,
план для четырехфакторного полного эксперимента можно получить, повторив дважды план 23 – одни раз для X4 = +1, другой –
для Х4 = –1. Знаки в столбцах для эффектов взаимодействия находятся так же, как и в табл. 2 перемножением знаков соответствующих строк.
Таблица 2
Матрица планирования для двух факторов
№ опыта
X0
X1
X1
X1X2
Результаты
наблюдений
1
+
+
+
+
y1
2
+
–
+
–
y2
3
+
+
–
+
y3
4
+
–
–
–
y4
7
1.2. Дробные реплики
При проведении ПФЭ число опытов быстро возрастает с увеличением числа факторов. Так, например, при пяти факторах необходимо провести 64 опыта. При этом оценка коэффициентов регрессии
и при линейных эффектах, и при эффектах взаимодействия, определяемых по результатам ПФЭ, оказывается несмешанной. Символически этот факт записывается следующим образом:
b1 ® β1, ¼ bj ® β j , ¼ b12 ® β12 , bju ® β ju и т. д., где буквами греческого алфавита обозначены действительные значения коэффициентов регрессии, которые можно получить при бесконечном числе опытов, а латинскими буквами – приближенные значения коэффициентов регрессии, получаемые в результате эксперимента при конечном числе опытов, и называемые
оценки. В то же время, как правило, нет необходимости получать
оценки коэффициента регрессии при эффектах взаимодействия
несмешанными, т. е. точными, т. к. коэффициенты регрессии при
тройных взаимодействиях более высоких порядков обычно незначимы; в ряде случаев оказываются незначимыми и коэффициенты
регрессии при двойных взаимодействиях. Таким образом, в ПФЭ
получаем избыточную информацию, ибо не нужно точно определять незначимые коэффициенты регрессии, т. к. они практически
не влияют на вид искомой функции отклика, и поэтому представляется возможность сократить число опытов.
Сокращение числа опытов возможно при использовании дробных реплик от ПФЭ или дробных факторных экспериментов (ДФЭ).
Рассмотрим принцип построения матрицы планирования ДФЭ.
Обратимся вновь к табл. 2, где приведена матрица планирования
ПФЭ типа 22. Используя эту таблицу, можем построить матрицу
планирования ДФЭ для трех факторов. Для этого будем считать
взаимодействие Х1Х2 третьим фактором; матрица планирования,
соответствующая этому случаю, представлена в табл. 3.
Нетрудно заметить, что в приведенной в табл. 3 матрице планирования для трехфакторного эксперимента нормированный фактор
X3 принимает такие же значения, как взаимодействие X1X2, фактор X1 как взаимодействие X2X3, фактор X2 – как взаимодействие
X1X3.
Таким образом, как видно из табл. 3, полученные в результате
ДФЭ коэффициенты регрессии для линейных эффектов оказались
смешанными с коэффициентами регрессии эффектов парных вза8
Таблица 3
Матрица планирования ДФЭ типа 23 – 1
№ опытов
X0
X1
X2
Х3(X1X2)
X2X3
X1X3
y
1
+
+
+
+
+
+
y1
2
+
–
+
+
–
+
y2
3
+
+
–
–
+
–
y3
4
+
–
–
–
–
–
y4
имодействий (знаки в матрице у фактора X1 совпадают со знаками
взаимодействия X2X3, у фактора X2 с X1X3, а у фактора X3 с X1X2),
что символически показывается следующим образом:
b1 ® β1 + β23 , b2 ® β2 + β13 , b3 ® β3 + β12 .
Очень часто влияние взаимодействия на функцию отклика гораздо меньше линейных эффектов. В этом случае можно считать,
что β12 = β13 = β23 = 0, тогда
b1 ® β1, b2 ® β2 , b3 ® β3 .
Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы
воспользовались половиной ПФЭ 23, который имел бы число опытов N = 8. Такой уменьшенный в два раза эксперимент называется
полурепликой. Если бы мы приравняли X3 к (–X1X2), то получили
бы вторую половину матрицы 23. В этом случае оценки коэффициентов регрессии при линейных членах и парных взаимодействиях
также были бы смешаны
b1 ® β1 - β23 , b2 ® β2 - β13 , b3 ® β3 - β12 .
Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный
эксперимент 23, который дает раздельные опенки для линейных
эффектов и эффектов взаимодействия.
Найденное правило получения матриц планирования дробных
реплик на основе матрицы планирования ПФЭ для (k – 1) факторов
можно сформулировать следующим образом: новому фактору присваивается столбец матрицы, принадлежащий наименее значимому взаимодействию (обычно взаимодействие наивысшего порядка).
Для обозначения дробных реплик, в которых l линейных эффек9
тов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются обозначением 2k – l.
Так, рассмотренная нами полуреплика от ПФЭ 23 запишется
как 23 – 1, а четверть реплики от 25 – 25 – 2 и т. д.
1.3. Определяющий контраст. Генерирующее отношение
При построении полуреплики 23 – 1 существует всего две возможности: приравнять X3 к X1X2 или к (–X1X2) (табл. 4). Как видно
из табл. 4, для построчного произведения трех столбцов матрицы 1
выполняется соотношение X1X2X3 = +1, а матрицы 2 X1X2X3 = –1.
Символическое обозначение произведения столбцов, равное +1
или –1, называется определяющим контрастом (ОК). Контраст помогает определять смешанные эффекты или систему смешивания.
Для того чтобы определить, какие эффекты смешаны с данным,
нужно помножить обе части ОК на данный эффект. Так, если
1 = X1X2X3,
то для X1 имеем
то
X1 = X21X2X3
а так как X21 = 1,
X1 = X2X3.
Аналогично
X2 = X1 X3 ,
X3 = X1 X2 .
Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут смешаны
b1 ® β1 + β23 , b2 ® β2 + β13 , b3 ® β3 + β12 .
Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением (ГС). Например, для полуреплики 1 (табл. 4а), ГС имеет вид
X3 = X1X2,
для полуреплики 2 (табл. 4б) имеет вид
X3 = –X1X2.
10
Таблица 4а
Матрица планирования типа
23 – 1
№ опытов
X1
X2
X3
X1X2X3
1
+
+
+
+
2
–
+
–
+
3
+
–
–
+
4
–
–
+
+
Таблица 4б
Матрица планирования типа 23 – 1
№ опытов
X1
X2
X3
X1X2X3
1
+
+
–
–
2
–
+
+
–
3
+
–
+
–
4
–
–
–
–
1.4. Разрешающая способность дробных реплик.
Реплики высокой дробности
При выборе полуреплики 24 – 1 возможны уже восемь вариантов:
1. X4 = X1X2,
5. X4 = X1X3,
2. X4 = –X1X2,
6. X4 = –X1X3,
3. X4 = X2X3,
7. X4 = X1X2X3,
4. X4 = –X2X3,
8. X4 = –X1X2X3.
Разрешающая способность полуреплик определяет систему смешивания, которая будет различна в соответствии с восемью приведенными ГС. Разрешающая способность будет максимальной,
если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия
наибольшего возможного порядка, поскольку чем выше порядок
взаимодействия, тем меньше его значимость и тем меньшая ошибка вносится в определение коэффициентов регрессии.
Для определения разрешающей способности ДФЭ необходимо написать систему смешивания, воспользовавшись ОК или ГС.
11
Определим разрешающую способность первого и седьмого вариантов дробных полуреплик 24 – 1, для чего вначале по ГС найдем ОК:
1. X24 = X1X2X4,
1 = X1X2X4.
7. X24 = X1X2X3X4,
1 = X1X2X3X4.
Затем, домножая левую и правую части ОК на соответствующий
эффект, получим систему смешивания
1. b1 ® β1 + β24 ,
7. b1 ® β1 + β234 ,
b2 ® β2 + β14 ,
b2 ® β2 + β134 ,
b3 ® β3 + β1234 ,
b3 ® β3 + β124 ,
b4 ® β4 + β12 ,
b4 ® β4 + β123 .
Как видим, при выборе ГС седьмого варианта все линейные эффекты оказались смешанными с тройными взаимодействиями,
а в первом случае – в основном с двойными. Таким образом, полуреплика 7 имеет максимальную разрешающую способность. Такая
полуреплика называется главной. Среди полуреплик 25 – 1 главным
будут полуреплики, имеющие ОК
1 = X1X2X3X4X5, и –1 = X1Х2Х3X4Х5,
cреди полуреплик 26 – 1
1 = X1X2X3X4X5X6, –1 = X1X2X3X4X5X6.
Таким образом, при построении главных полуреплик в ОК следует включать все факторы.
При количестве факторов больше пяти использование полуреплик оказывается недостаточно эффективным способом уменьшения числа опытов. В этом случае можно использовать реплики более высокой дробности (1/4 реплики, 1/8 реплики и т. д.).
Рассмотрим 1/4 реплику 25 – 2. Здесь возможно очень большое число вариантов, в частности, если приравнивать X4 к парному, а X5 –
к тройному взаимодействию, возможны 12 различных решений:
X4 = X1X2, X5 = X1X2X3,
X4 = X1X2, X5 = –X1X2X3,
X4 = –X1X2, X5 = X1X2X3,
X4 = –X1X2, X5 = –X1X2X3,
X4 = X1X3, X5 = X1X2X3,
X4 = X1X3, X5 = –X1X2X3,
12
Допустим, выбран пятый вариант:
X4 = X1Х3 и X5 = X1Х2Х3.
Тогда определяющими контрастами являются
1 = X1X3X4 и 1 = X1X2X3X5.
Если перемножить эти определяющие контрасты, то получится третье соотношение l = X1X3X4. Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать
так называемый обобщающий определяющий контраст (ООК),
­который получается путем приравнивания всех ОК и их произве­
дений. Получаем
1 = X1X3X4 = X1X2X3X5 = X2X4X5.
В этом случае система смешивания определяется умножением
ООК последовательно на X1, Х2, Х3 и т. д. Аналогичным образом
находятся ООК и система смешивания для реплик более высокой
дробности.
В заключение покажем, как строится матрица планирования
ДФЭ на примере главной полуреплики 24 – 1.
1. Запишем генерирующее соотношение для одного из факторов.
X4 = X1X2X3.
2. Строим матрицу ПФЭ типа 23 для трех факторов X1, X2, Х3,
исключая фактор X4, который варьируется в соответствии с генерирующим соотношением (см. табл. 5).
3. Добавляем к построенной матрице ПФЭ 23 столбец X4, варьируя X4 в соответствии с ГС.
Эффективность применения дробных реплик возрастает с ростом количества факторов. Так, при наличии 15 факторов для постановки ПФЭ 215 потребовалось бы проделать 32 768 опытов,
применение же дробной реплики 215 – 11 позволяет снизить число
опытов в 2048 раз, доведя их до 16.
Таким образом, использование ДФЭ вместо ПФЭ позволяет существенно сократить число опытов, причем выигрыш в числе опытов тем больше, чем выше дробность реплики. Однако не следует забывать, что коэффициенты регрессии при ДФЭ определяются
с погрешностью, так как они всегда при линейных эффектах оказываются смешанными с коэффициентами регрессии при взаимодействиях. Причем система смешивания усложняется (точность
определения коэффициентов регрессии падает) при повышении
13
Таблица 5
Матрица планирования 23
№
опыта
X1
X2
X3
X4 = X1X2X3
1
+
+
+
+
2
–
+
+
–
3
+
–
+
–
4
–
–
+
+
5
+
+
–
–
6
–
+
–
+
7
+
–
–
+
8
–
–
–
–
дробности реплики матрицы планирования. Следовательно, ДФЭ
позволяет существенно сократить число опытов, но при этом снижается точность определения коэффициентов регрессии, а значит
и искомой функции отклика.
1.5. Параллельные опыты
Результаты эксперимента всегда сопровождаются ошибками.
В реальных условиях, особенно применительно к радиоаппаратуре, погрешность, характеризующая опыт, неизвестна, и должна быть выработана методика вычисления погрешности из самого
опыта. Очевидно, что числа опытов даже ПФЭ для этого недостаточно. В таких случаях применяют разные методики. Применительно к радиоаппаратуре наиболее эффективна методика, которая
предполагает n-кратное повторение каждой из строк ПФЭ и ДФЭ,
т. е. применение параллельных опытов.
Параллельными опытами называются опыты, которые произ­
водятся при одном и том же наборе уровней факторов. Постановка
параллельных опытов, как правило, не дает полностью совпадающих результатов из-за ошибки опыта. Для оценки этой ошибки
и ставятся параллельные опыты. В табл. 6 приведена матрица планирования 23 – 1 для трех параллельных опытов.
14
Таблица 6
Матрица 23 – 1 с параллельными опытами
№
опытов
X0
X1
X2
X3(X1X2)
y
y
y
1
+
+
+
+
y11
y12
y13
2
+
–
+
–
y21
y22
y23
3
+
+
–
–
y31
y32
y33
4
+
–
–
+
y41
y42
y43
2. Порядок выполнения работы
2.1. Построить матрицу планирования для полуреплики 25 – 1.
Выбрать ГС для полуреплики с наибольшей разрешающей способностью. Записать ОК. Определить систему смешивания для линейных эффектов и всех взаимодействий. Построить матрицу планирования.
2.2. Построить матрицу планирования для четверть реплики
25 – 2. Выбрать ГС (обосновать выбор). Записать ОК. Записать ООК.
Определить систему смешивания для линейных эффектов и всех
взаимодействий. Построить матрицу планирования.
3. Содержание отчета
Цель работы.
Матрица планирования 25 – 1.
Генерирующее соотношение, определяющий контраст и система
смешивания для матрицы 25 – 1.
Матрица планирования 25 – 2.
Генерирующее соотношение, определяющий контраст, обобщающий определяющий контраст и система смешивания для матрицы 25 – 2.
Выводы по работе.
4. Контрольные вопросы
На скольких уровнях варьируются факторы в планировании
эксперимента первого порядка?
15
Каким образом строится матрица планирования ПФЭ?
Число опытов для случая, когда факторы принимают три уровня (число факторов равно 3)?
Проверьте, обладает ли полученная матрица свойствами симметрии, ортогональности и рототабельности.
5. Библиографический список
1. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю. П. Адлер, Е. В. Марков, Ю. В. Грановская.
М.: Наука, 1971.
2. Михайлов В. Ф. Применение метода планируемого инженерного эксперимента к конструированию РЭА / В. Ф. Михайлов. Л.:
ЛЭТИ, I960.
16
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ
МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПЛАНИРУЕМОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА
Цель работы: ознакомление со статистической обработкой результатов эксперимента, а также определение коэффициентов влияния погрешностей элементов радиотехнического устройства по результатам статистического планируемого эксперимента.
1. Методические указания
1.1. Определение дисперсии опыта
В предыдущей работе были приведены основные положения для
составления плана статистического планируемого эксперимента.
После составления плана непосредственно выполняется сам эксперимент. Следующим этапом после выполнения эксперимента является обработка его результатов и проведение необходимых расчетов
для определения искомой функции отклика. В предыдущей работе
было показано, что любую неизвестную функцию отклика можно
представить уравнением регрессии
k
y = b0 + åbj Xj +¼¼+ åbju Xj Xu . j=1
(1)
j<u
Коэффициенты регрессии, входящие в это выражение, должны
быть рассчитаны по результатам эксперимента.
При статистической обработке результатов эксперимента в первую очередь необходимо определить ошибку каждого опыта, для
чего проводятся так называемые параллельные опыты. После проведения параллельных опытов можно рассчитать среднее арифметическое значение всех результатов (среднее значение в каждой
строке), равное сумме всех-n отдельных результатов, деленной на
количество параллельных опытов
n
y + yi2 +¼+ yin å q=1yiq
yi = i1
=
,
n
n
(2)
где q – номер повторных (параллельных) опытов в i-й строке.
17
После нахождения среднего арифметического значения можно
определить строчную дисперсию
2
Si2
=
n
å q=1(yqi - yi )
.
(3)
n -1
Очевидно, что строчная дисперсия определяется только ошибками эксперимента.
Среднее значение и дисперсия могут быть вычислены по формулам (2) и (3) только в том случае, если среди результатов измерений
yq нет грубых ошибок (брака), т. е. результатов, заметно отклоняющихся от среднего. Для обнаружения брака используют ряд методов, в частности, оценку по статистике Стьюдента. Если какойто результат действительно окажется браком, он отбрасывается
и в вычислениях среднего значения и дисперсии не участвует. Проверка по статистике Стъюдента ведется следующим образом: отбрасывая подозрительный результат, вычисляют среднее yi (2) и дисперсию S2i (3). Далее подсчитывают экспериментальное значение
статистики Стьюдента
týêñï =
yqi - yi
Si
,
(4)
где yqi – подозрительный результат.
Если при сравнения с табличным значением tтабл статистики
Стъюдента (Приложение А, табл. А1) tтэксп > tтабл, то опыт считается бракованным. Число степеней свободы, которое необходимо
знать при использовании таблиц t-статистики, определяется как
полное количество параллельных опытов минус число подозрительных опытов и минус 1. Причём наличие грубых ошибок можно проверять с различной вероятностью. Вероятность проверки зависит от уровня значимости табличного значения статистики Стьюдента, с которым сравнивается экспериментальный. Наиболее часто применяют статистику Стьюдента при уровне значимости, равным 0,05, т. е. проверка будет выполнена тогда с вероятностью 0,95.
1.2. Определение дисперсии воспроизводимости
Мы рассмотрели, как подсчитывается дисперсия в каждом опыте, т. е. в каждой горизонтальной строке матрицы планирования.
Матрица планирования состоит из серии опытов и дисперсия всего
эксперимента получается в результате усреднения дисперсий всех
18
опытов. В терминологии планирования эксперимента речь идет
о вычислении дисперсии функции отклика S2b или, что тоже самое,
дисперсии воспроизводимости эксперимента. Дисперсия воспроизводимости является средней строчной дисперсией
Sb2 =
1
N
N
åSi2.
(5)
i=1
Такой формулой можно воспользоваться в случае, когда число
параллельных опытов одинаково в каждой строке матрицы планирования. На практике весьма часто приходится сталкиваться со случаями, когда число параллельных опытов различно. Это
происходит вследствие отброса грубых наблюдений, желания еще
раз повторить опыт, результаты которого кажутся сомнительными и т. д.
При неравном числе параллельных опытов усреднение строчных дисперсий следует производить с весовыми коэффициентами, в качестве которых берется число степеней свободы fi в данном
опыте, равное числу параллельных опытов ni минус 1 (одна степень
свободы использована на подсчете среднего)
fi = ni -1.
Формула для расчета дисперсии воспроизводимости выглядит
для этого случая следующим образом:
N
Sb2
S2 f
å
1 i i
=
i
=
. N
å i=1fi
(6)
Следует отметить, что выражения (5) и (6) применимы только
при усреднении однородных дисперсий опыта. Однородность дисперсии означает, что среди всех суммируемых дисперсий опыта нет
таких, которые бы значительно превышали все остальные.
Проверка однородности дисперсии производится с помощью
различных статистик: Бартлета, Кохнера, Фишера. Простейшей
из них является статистика Фишера (F-статистика). F-статистика
представляет собой отношение большой дисперсии к меньшей. Полученная величина сравнивается с табличным значением (Приложение А, табл. А2). Если полученное значение дисперсионного отношения больше приведенного в таблице для соответствующих степеней свободы и выбранного уровня значимости, то дисперсии значительно отличаются друг от друга, т. е. они неоднородны.
19
Приведенная в Приложении А таблица F-статистики дает значения ее при наиболее часто используемом уровне значимости, равном 0,05. В верхней горизонтальной строке даются значения степеней свободы для большей дисперсии, а в левом вертикальном столбце для меньшей. На пересечении соответствующих строк и столбца
можно найти значение F-статистики.
Рассмотрим на примере применение F-статистики для проверки однородности дисперсий. Пусть при известных значениях числа
­параллельных опытов экспериментальные данные дают
S12 = 8,12 n1 = 7,
S22 = 0,7
n2 = 12.
Тогда мы получим следующее отношение дисперсий:
Fýêñï = 8,12 0,7 = 11,6.
Для числа степеней свободы f1 = n1 – 1 = 6 и f2 = n2 – 1 = 11, из
таблицы А2 (Приложение А) получаем Fтабл = 3,1, Fэксп > Fтабл.
Это говорит о том, что с вероятностью 0,95 дисперсии однородны.
На этом примере показано, как определять однородность дисперсий в случае двух опытов. Практические задачи имеют число
опытов безусловно больше двух. В таких случаях следует пользоваться статистиками Кохнера или Бартлета. Последняя – более
универсальна, однако при пользовании ей приходится выполнять
достаточно громоздкие вычисления.
Для их упрощения можно использовать следующий простой
прием: из всех дисперсий, рассчитанных для каждого опыта, выбирается наибольшая и наименьшая. По F-статистике проверяют,
значимо ли они отличаются между собой. Ясно, что если наибольшая и наименьшая дисперсии не отличаются значимо, то дисперсии, имеющие промежуточное значение, также не могут сильно
­отличаться друг от друга, и всю группу дисперсий можно считать
однородной.
Если проверка покажет, что какие-то дисперсии неоднородны,
то используют специальные приемы обеспечения однородности,
­которые в данной работе приводиться не будут.
Таким образом, очевидно, что тщательная разработка матрицы планирования, выбор соответствующих приборов и методов
измерения еще не достаточные условия для успешного проведения ­эксперимента. Исследователю следует критически подходить
20
к полученным экспериментально результатам, оценивая их по
строгим, статистически обоснованным критериям.
Так, следует отбраковать результаты, значительно отличающиеся от средних, пользуясь при этом, например, t-статистикой Стъюдента. Особое внимание следует уделять проверке однородности
дисперсий. Для проверки можно воспользоваться статистикой Фишера.
1.2. Обработка результатов эксперимента
Определение коэффициентов регрессии
После окончания эксперимента следует приступить к обработке его результатов с целью расчета коэффициентов регрессии.
­Наибольшую и при этом статистически обоснованную информацию из результатов эксперимента можно извлечь, пользуясь регрессионным анализом. Не рассматривая детально этот метод, приведем лишь три основных постулата, имеющих значение в приложении регрессионного анализа к планированию эксперимента.
Первый постулат. Функция отклика y – есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. Дисперсия воспроизводимости – одна из характеристик этого закона распределения.
В том, что y – случайная величина, сомневаться не приходится.
Однако для того, чтобы проверить характер закона распределения,
пришлось бы собирать чрезмерно большой экспериментальный
­материал. Поэтому гипотезу о нормальном распределении приходится, как правило, принимать на веру.
Второй постулат. Дисперсия Sb2 не зависит от абсолютной величины y. Выполнимость этого постулата проверяется с помощью
критериев однородности дисперсий опыта в различных точках факторного пространства. С такой проверкой мы познакомились ранее.
Третий постулат. Значения факторов суть неслучайные величины. Это утверждение практически означает, что установка в поддержание на выбранном уровне любого фактора существенно точнее, чем ошибка определения функции отклика y.
Нарушение этого постулата приводит к трудностям при реализации матрицы планирования.
Регрессионный анализ дает следующую формулу для вычисления коэффициентов регрессии в случае ортогональных планов,
­которые и используются при статистическом планировании эксперимента:
21
N
å i=1Xji yi , =
(7)
N
где yi – среднее значение функции в опыте i-й строке; i-номер опыта (строки матрицы планирования); N – число опытов (строк) в матрице планирования; Xji – нормированный фактор j-го линейного
эффекта или взаимодействия в i-ом опыте.
bj
Проверка значимости коэффициентов регрессии
После расчета коэффициентов регрессии необходимо произвести
проверку их значимости. Вопрос о значимости найденных по результатам эксперимента коэффициентов регрессии возникает потому, что значение коэффициентов регрессии находится с ошибкой,
определяемой ошибкой эксперимента. При проверке используют
статистику Стьюдента
tðàñ÷.j =
bj
S {bj }
,
(8)
где среднеквадратическая ошибка коэффициента регрессии определяется следующим образом:
S {bj} = +
Sb2 .
N
(9)
Если полученное по формуле (8) значение tрасч.j больше табличного, коэффициент регрессии значим. Число степеней свободы, при
котором определяется табличное значение tтабл-статистики, равно
числу степеней свободы, использованному при расчете Sb2.
После проверки значимости все незначимые коэффициенты регрессии исключаются из модели. При более строгом подходе необходимо добиться значимости всех коэффициентов регрессии при
линейных эффектах, имея в виду, что значимость коэффициентов
регрессии может быть вызвана малым значением интервала варьирования данного фактора. В этом случае необходимо повторить эксперимент, увеличивая интервал варьирования у факторов, с незначимыми коэффициентами регрессии.
Пример. В результате проведения ПФЭ 22, выполненного при
­дублировании всех опытов, были рассчитаны коэффициенты регрессии и получена следующая модель:
22
y = 10 + 12X1 - 0,3X2 .
Расчет показал, что S2b  = 0,4.
Определим среднеквадратическое значение коэффициентов регрессии по формуле (9)
Sb2 =
0,4
= 0,316.
4
Далее определим число степеней свободы, при котором было
­вычислено значение Sb2. f = N(n – 1), тогда f = 4(2 – 1) = 4.
По табл. А1 (Приложение А) находим значение tтабл для четырех
степеней свободы. Получаем tтабл = 2,776. В соответствии с формулой (8) определим
t0 = 10
0,316
= 31,6,
t1 = 12
= , ,
0,316 38 0
t2 = 0,3
= 0,95,
0,316
Следовательно, незначимым оказался лишь коэффициент регрессии при втором факторе.
Проверка адекватности математической модели
Первый вопрос, который возникает после вычисления коэффициентов регрессии, это проверка адекватности модели, т. е. проверка того, насколько точно соответствуют значения y рассчитанные
по модели, значениям y, полученным в эксперименте.
Вопрос о соответствии полученной математической модели и реального объекта возникает из-за нескольких причин.
Во-первых, по результатам планирования первого порядка (факторы варьируются только на двух уровнях) можно получить только
линейную функцию отклика. Если исследуемый объект, описывается нелинейной функцией отклика, то совершенно очевидно, что
полученная модель будет неадекватна.
Во-вторых, неправильный выбор интервалов варьирования факторов. В этом случае можно перейти к исследованию объекта в более узкой области, т. е. уменьшить интервалы варьирования, при
этом для малых интервалов изменения факторов линейная функция отклика может адекватно описывать исследуемый объект или
явление.
23
В-третьих, неточность определения коэффициента регрессии
при применении ДФЭ.
Для проверки адекватности модели необходимо вначале найти дисперсию адекватности, которую в самом общем случае можно
определить как сумму квадратов невязок, рассчитанную с учетом
числа параллельных опытов в каждой строке матрицы, деленную
на число степеней свободы дисперсии адекватности
2
å i=1ni (yi - yi)
N
2
Sàä
=
fàä
,
(10)
 – среднее число значений функции отклика, вычисляемое по
где yi
полученной модели для комбинации факторов i-й строки; fад – число степеней свободы дисперсии адекватности, равное количеству
опытов, использованных при определении коэффициентов регрессии, минус число, вычисленных по ним значимых линейных коэф – невязка.
фициентов регрессии, yi - yi
2
После расчета Sад не представляет труда определить, адекватна
ли полученная модель. Для этого воспользуемся уже ранее введенной F-статистикой Фишера
2
Sàä
Fðàñ÷ = 2 .
(11)
Sb
Если рассчитанное по формуле (11) значение Fðàñ÷ не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью
­можем модель считать адекватной.
Таким образом, практическая обработка результатов эксперимента сводится к следующим вычислениям и проверкам:
1) вычисление коэффициентов регрессии;
2) проверка значимости коэффициентов регрессии;
3) вычисление дисперсии адекватности;
4) проверка адекватности модели.
1.3. Определение коэффициентов влияния
по уравнению регрессии
Рассмотренный ранее материал служит изучению основных положений планирования и проведения эксперимента для получения
математической модели какого-либо объекта. Однако, как отмечалось ранее, целью данной лабораторной работы является определение коэффициентов влияния на основе результатов планируемо24
го эксперимента. Данный раздел показывает, как это может быть
достигнуто.
После планирования и проведения эксперимента, обработки его
результатов получаем адекватную математическую модель в виде
полинома
k
y = b0 + åbj Xj +¼+ å Xj Xu .
j=1
j<u
(12)
Теперь от нормированных факторов Xj перейдем к переменным
в натуральном масштабе xj. Сделать это можно, воспользовавшись
формулой нормирования
∆xj
Xj = ±
,
∆xj
подставив которую в (12), получим
y = b0 +
+
bj
∆x1
∆x1 +
b2
b12
∆x2 +¼+
∆x1∆x2 +
∆x2
∆x1 ∆x2
b13
∆x1∆x3 + =¼= A0 + A1∆x1 + A2 ∆x2 +¼+
∆x1∆x3
+ A12 ∆x1∆x2 + A13 ∆x1∆x3 ,
(13)
где
A0 = b0 , A1 =
b1
b
, A2 = 2 .
∆x1
∆x2
Уравнение (13) представляет собой разложение функции выходного параметра в ряд Тейлора, которое, однако, является неполным, поскольку не содержит членов вида A11∆x12 , A22 ∆x22 ,¼.. Однако этими членами уравнения в большинстве случаев можно пренебречь. Из (13) получаем уравнение для абсолютной погрешности
∆y = y - A0 = A1∆x1 +¼+ A12 ∆x1∆x2 , (14)
где
Aj =
bj
∆xj
(15)
есть не что иное, как коэффициент влияния абсолютной погрешности.
25
Из уравнения (15) как раз видно, что значимость коэффициента регрессии определяется степенью влияния фактора на функцию
отклика Aj и величиной интервала варьирования фактора Dxj.
Коэффициент влияния относительной погрешности можно
определить из очевидного выражения
Bj =
bj xj
∆xj b0
.
(16)
Таким образом, имея уравнение регрессии (12), по формулам (15),
(16) рассчитываются коэффициенты влияния.
Если сравнить данный способ определения коэффициентов
влияния с другим экспериментальным, наиболее распространенным – методом малых приращений, то можно заключить, что способ определения коэффициентов влияния по результатам планируемого эксперимента безусловно сложнее как в части проведения
эксперимента, так и в части обработки его результатов, но он позволяет при этом определить коэффициенты влияния взаимодействующих факторов, что невозможно сделать в методе малых приращений.
2. Описание лабораторной установки
В качестве объекта исследований выбран двухкаскадный транзисторный усилитель низкой частоты, принципиальная схема которого представлена на рис. 1.
R1
R1
R3
R3
T2
T2
T1
T1
Ñ1С1
Ñ2
С2
UUâõ
U
вх
U вых
âûõ
R2
R2
R4
R4
R5
R5
RRH
H
Рис. 1. Схема принципиальная электрическая УНЧ
26
Räîá.
Rдоб.
+
Rîñí.
R осн.
–
Рис. 2. Схема варьирования величины сопротивления резисторов
Цель исследования – определить коэффициенты влияния погрешностей резисторов R1...R5 на коэффициент усиления. Варьирование факторов (величин сопротивлений резисторов) осуществляется при помощи добавочных сопротивлений, как это показано
на рис. 2.
Величина основного сопротивления Rjосн соответствует номинальному значению Rjном минус интервал варьирования
Rjîñí = Rjíîì - ∆Rj .
Величина добавочного сопротивления
Rjäîá = 2∆Rj .
Включение в схему одного резистора Rjосн соответствует нижнему уровню (–), включение последовательно Rjосн и Rjдоб – верхнему
уровню (+). Таким образом, реализация строки матрицы планирования состоит в соответствующей установке переключателей для
каждого резистора. Интервалы варьирования DRj выбраны, исходя
из допусков на величины резисторов, и равны примерно 10% для
всех резисторов. Точные значения основных уровней и интервалов
варьирования приведены в табл. 1.
Таблица 1
Исходные данные
Факторы
Основной уровень
Интервал варьирования
R1
30,150 кОм
3,05 кОм
R2
1,504 кОм
149 Ом
R3
993 Ом
94 Ом
R4
195,7 Ом
20 Ом
R5
2,769 кОм
225 Ом
27
SFG-71003
SFG-71003
Uвх
Uâõ
U
Uвых
âõ
Усилитель
Вход
Выход
П1
GDM-8245
GDM-8245
Рис. 3. Схема функциональная электрическая лабораторной
установки
На рис. 3 приведена функциональная схема лабораторной установки.
В качестве источника выходного сигнала используется генератор типа SFG-71003. Эффективные значения входного и выходного напряжения измеряются вольтметром типа GDM-8245, который
может поочередно подключаться ко входу или выходу исследуемого усилителя с помощью переключателя П 1 «Вход–Выход».
3. Порядок проведения работы
В данной работе собственно эксперимент сводится к установке
пяти тумблеров в положения, соответствующие строке матрицы
планирования, измерению входного и выходного напряжения. Эта
операция повторяется Nn раз, где N – число строк в матрице планирования, n – число параллельных опытов в каждой строке. В работе необходимо производить четыре параллельных опыта, т. е. n = 4.
Рабочей матрицей планирования эксперимента является матрица, построенная в предыдущей работе для 25 – 2.
Передняя панель генератора SFG-71003 представлена на рис. 4.
Органы управления и индикации имеют следующий смысл.
1. Включение (выключение) прибора.
2. Ручка плавной перестройки частоты сигнала.
28
Рис. 4. Передняя панель генератора SFG-71003
3. Регулировка скважности сигнала.
4. Контроль постоянного смещения.
5. Контроль амплитуды и аттенюатора.
6. Разъем выхода сигналов ТТЛ.
7. Основной выход сигналов.
8. Кнопка и индикатор включения (отключения) выхода генератора.
9. Кнопка выбора вспомогательных функций.
10. Основные функциональные клавиши:
wave-устанавливает форму основного сигнала генератора (синус,
меандр, треугольник),
клавиши единиц (0–9) используются для выбора соответствующих единиц и установки значения частоты (МГц, кГц, Гц),
кнопка 3 включает добавочное ослабление.
11. Дисплей прибора.
Передняя панель вольтметра GDM-8245 показана на рис. 5.
1. Включение/выключение питания.
2. Выбор режима измерения постоянного напряжения.
3. Выбор режима измерения постоянного тока.
4. Выбор режима измерения переменного напряжения.
5. Выбор режима измерения переменного тока.
29
Рис. 5. Передняя панель цифрового вольтметра GDM-8245
6. Выбор режима измерения сопротивления.
7. Выбор режима измерения переменного сигнала со смещением.
8. Выбор режима прозвона цепи.
9. Выбор режима измерения емкости.
10. Включение режима регистрации максимальных/минимальных значений.
11. Включение режима удержания показаний.
12. Выбор большего предела измерения в ручном режиме.
13. Выбор меньшего предела измерения в ручном режиме.
14. Переключение автоматический/ручной выбор предела измерения.
15. Кнопка-префикс.
16. Предохранитель измерительной цепи по току.
17. Измерение напряжения, сопротивления, емкости.
18. Основная цифровая шкала.
19. Дополнительная цифровая шкала.
1. Рабочую матрицу планирования эксперимента внести в сводную матрицу планирования (табл. 2).
2. Включить генератор SFG-71003 и вольтметр GDM-8245 и прогреть их в течение 10 мин, при этом порядок работы с генератором
и вольтметром следует из рис. 4 и рис. 5.
3. Провести опыты в соответствии с условиями матрицы планирования, внося в табл. 2 измеренные (yi1, yi2, yi3 и yi4) значения
коэффициента усиления. При измерениях входное напряжение не
должно превышать 0,1 В и должно поддерживаться постоянным,
а частота равняется 20 кГц.
4. Рассчитать среднее значение yi и занести в табл. 2.
30
31
bj
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
№
п.п.
R3R4
R2R5
R3R4
R2R4
R2R3
R1R5
R1R4
R1R3
R1R2
yi
yi1 yi2 yi3 yi4
Квадратичная ошибка коэффициента регрессии S{bj}
R3R5
R5
R4
R3
R2
R1
R0
_
yi
S2b
Si2

yi
2
Sад
 )2
(yi - yi
Таблица 2
5. По формуле (3), принимая n = 4, определить строчную дисперсию S2i и занести полученные результаты в табл. 2.
6. Выполнить проверку однородности дисперсий Si2, используя
статистику F,
S2
Fðàñ÷ = i2ìàêñ .
Siìèí
Определить Fтабл для f = 3 и сравнить с расчетным значением
Fрасч.
7. Рассчитать дисперсию функции отклика (дисперсию воспроизводимости) по формуле (5) и результат занести в табл. 2
8. По формуле (7) рассчитать коэффициенты регрессии bj, bju
и занести в табл. 2.
9. По формуле (9) вычислить квадратичную ошибку коэффициента регрессии S{bj}, занести в табл. 2.
Табличное значение t – статистики tтабл =
Расчетное значение F – статистики для проверки адекватности
модели Fрасч =
Табличное значение F-статистики для проверки адекватности
модели Fтабл
Вывод: модель (не) адекватна.
10. По формуле (8) находим расчетное значение tрасч критерия
Стьюдента для каждого из 16 коэффициентов регрессии и занести
их значения в табл. 2.
11. Сравнивая с табличным значением t-статистики (Приложение А, табл. 1) расчетные значения tрасч, делаем вывод о значимости
коэффициентов регрессии. Число степеней свободы для определения tтабл рассчитываем по формуле f = N(n – 1).
12. Записываем уравнение регрессии в виде (12), подставляя
в него численные значения только значимых коэффициентов регрессии.
13. Вычисляем значения функции отклика у^ по уравнению регрессии для каждой строки и заносим эти значения в табл. 2.
14. В каждой строке матрицы планирования вычисляем раз и усредненным экспериментальным yi ность между расчетным yi
 - yi ), возводим эту разность во
значениями функции отклика (yi
всех строках в квадрат и, суммируя, определяем по формуле (10)
дисперсию адекватности. Число степеней свободы fад принимаем равным числу опытов N = 16 минус число значимых линейных
­коэффициентов регрессии, включая b0.
15. По формуле (11) находим расчетное значение Fрасч статистики и, сравнивая его с табличным при соответствующих степенях
свободы, делаем вывод об адекватности уравнения регрессии.
32
16. По формуле (15) вычисляем коэффициенты влияния абсолютной погрешности (только для значимых коэффициентов регрессии)
и записываем выражение для абсолютной погрешности в виде (14),
17. По формуле (16) вычисляем значения коэффициентов влияния относительной погрешности и записываем для относительной
погрешности уравнение погрешности.
Весь рассмотренный расчет может быть выполнен по разработанной для этих целей программы «Матрица планирования», загруженной в лабораторный компьютер.
4. Содержание отчета
1. Принципиальная схема исследуемого усилителя низкой частоты.
2. Сводная матрица планирования в форме табл. 2.
3. Уравнение регрессии.
4. Числовые значения коэффициентов влияния.
5. Уравнение абсолютной и относительной погрешности коэффициента усиления.
6. Выводы по работе.
5. Контрольные вопросы
1. Зачем проводят параллельные опыты?
2. Как определяются грубые ошибки (брак) в опытах?
3. Как определяется число степеней свободы дисперсии функции отклика?
4. Как проверяется однородность дисперсий опытов?
5. Как проверяется значимость коэффициентов регрессии?
6. Какие причины могут вызвать неадекватность полученной
модели?
7. Как осуществляется переход от уравнения регрессии с нормированными факторам к уравнению с реальным масштабом переменных?
8. Достоинства и недостатки способа определения коэффициентов влияния по результатам планируемого эксперимента.
6. Библиографический список
1. Адлер, Ю. П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных
условий / Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановская, М.: Наука, 1971.
2. Яншин, А. А. Теоретические основы конструирования, технологии
и надежности ЭВА / А. А. Яншин, М.: Радио и связь, 1983.
3. Михайлов, В. Ф. Применение метода планируемого инженерного эксперимента к конструированию РЭА / В. Ф. Михайлов. Л.: ЛЭТИ, I960.
33
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Таблица А1
Таблица А2
34
Продолжение таблицы А2
35
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа № 1.............................................................3
Методы статистического планирования эксперимента......................3
1. Методические указания............................................................3
1.1. Полный факторный эксперимент.........................................3
1.2. Дробные реплики..............................................................8
1.3. Определяющий контраст. Генерирующее отношение............. 10
1.4. Разрешающая способность дробных реплик.
Реплики высокой дробности.................................................... 11
1.5. Параллельные опыты ...................................................... 14
2. Порядок выполнения работы .................................................. 15
3. Содержание отчета................................................................. 15
4. Контрольные вопросы............................................................ 15
5. Библиографический список..................................................... 16
Лабораторная работа № 2........................................................... 17
Определение коэффициентов влияния методом
статистического планируемого эксперимента................................ 17
1. Методические указания.......................................................... 17
1.1. Определение дисперсии опыта........................................... 17
1.2. Определение дисперсии воспроизводимости......................... 18
1.2. Обработка результатов эксперимента.................................. 21
1.3. Определение коэффициентов влияния
по уравнению регрессии......................................................... 24
2. Описание лабораторной установки........................................... 26
3. Порядок проведения работы.................................................... 28
4. Содержание отчета................................................................. 33
5. Контрольные вопросы............................................................ 33
6. Библиографический список..................................................... 33
Приложение А.......................................................................... 34
36
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 882 Кб
Теги
mikhailov1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа