close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Modelirov v ELCUT k labor rab

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ"ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ELCUT
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Санкт"Петербург
2007
Составитель кандидат технических наук, доцент И. А. Салова
Рецензент доктор технических наук, профессор В. В. Хрущев
Рассматриваются основы метода конечных элементов и програм"
мный комплекс ELCUT для моделирования двумерных краевых задач.
Приведено подробное решение стационарных и нестационарных задач
теплопроводности.
Методические указания предназначены для студентов специально"
сти «Управление и информатика в технических системах» и смежных
специальностей.
Подготовлены кафедрой управления и информатики в техниче"
ских системах и рекомендованы к изданию редакционно"издатель"
ским советом Санкт"Петербургского государственного университе"
та аэрокосмического приборостроения.
Редактор А. Г. Ларионова
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 01.03.07. Подписано к печати 03.04.07.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,4.
Уч."изд. л. 2,31. Тираж 100 экз. Заказ № 182
Редакционно"издательский центр ГУАП
190000, Санкт"Петербург, Б. Морская ул., 67
©
2
ГУАП, 2007
Целью лабораторных работ по дисциплине «Автоматизация про"
ектирования систем и средств управления» является:
– закрепление теоретических знаний, полученных при изучении
курса «Автоматизация проектирования систем и средств управле"
ния»;
– освоение пакета конечномерного моделирования ELCUT.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ
НА МИКРОУРОВНЕ
Математическая модель технического объекта на микроуровне –
это система дифференциальных уравнений в частных производных,
описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми ус"
ловиями.
Примеры уравнений
• Определение прочности узлов и элементов конструкции при раз"
личных видах нагрузки. В общем виде
∂ϕ ⎞ ∂ ⎛
∂ϕ ⎞ ∂ ⎛
∂ϕ ⎞
∂ ⎛
⎜ Kx
⎟ + ⎜ Ky ⎟ + ⎜ Kz ⎟ + Q = 0,
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠ ∂z ⎝
∂z ⎠
(1.1)
где x, y, z – пространственные координаты; ϕ – искомая непрерывная
функция; Kx, Ky, Kz – коэффициенты; Q – внешнее воздействие
В двумерном случае: задача напряженного состояния, возникаю"
щего в поперечном сечении упругого однородного стержня под воз"
действием крутящего момента при Kx = Ky = 1 имеет вид
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+
+ 2Eθ = 0,
∂x2 ∂y2
∂ϕ
∂ϕ
и τy = ;
∂x
∂y
E – модуль сдвига материала стержня; θ – угол закручивания на еди"
ницу длины.
где ϕ – функция, связанная с напряжениями сдвига τx =
Крутящий момент M = 2∫ ϕdS, где S – площадь сечения, в явном
S
виде не входит в уравнение.
3
• Расчет тепловых режимов деталей и узлов конструкции
λx
∂ 2T
∂2T
∂2T
+ λ y 2 + λ z 2 + Q = 0,
2
∂x
∂y
∂z
(1.2)
где λx, λy, λz – коэффициенты теплопроводности материала по осям x,
y, z; Q – источник тепла внутри тела, который считается положи"
тельным, если тепло подводится к телу.
Уравнения (1.1) и (1.2) имеют множество решений. Для получе"
ния единственного решения задаются граничные условия. Исходное
дифференциальное уравнение в частных производных вместе с крае"
выми условиями называется краевой задачей.
Для решения таких уравнений используется метод конечных эле"
ментов.
2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой эффектив"
ный численный метод решения инженерных и физических задач.
Область его применения простирается от анализа напряжений в кон"
струкциях самолетов и автомобилей до расчета таких сложных сис"
тем как атомная электростанция. С его помощью исследуются теп"
ловые процессы, магнитные и электрические поля, анализируются
колебания систем. Первоначально МКЭ появился в строительной
механике.
Конечным элементом называется некоторая малая область тела в
совокупности с заданными в ней функциями формы, аппроксимиру"
ющими геометрию конечного элемента и неизвестные величины.
Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную вели"
чину, такую как, например, температура, можно аппроксимировать
дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно"непре"
рывных функций, определенных на конечном числе подобластей.
Кусочно"непрерывные функции определяются с помощью значений
непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой об"
ласти.
В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и нуж"
но определить значения этой величины в некоторых внутренних точ"
ках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить,
если сначала предположить, что числовые значения этой величины в
каждой внутренней точке области известны. После этого можно пе"
рейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели
непрерывной величины поступают следующим образом.
1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек.
Эти точки называются узловыми точками, или просто узлами.
4
2. Значение непрерывной величины в каждой узловой точке счи"
тается переменной, которая должна быть определена.
3. Область определения непрерывной величины разбивается на
конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элемен"
ты имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют
форму области.
4. Непрерывная величина апроксимируется на каждом элементе
полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой
величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но
полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непре"
рывность величины вдоль границ элемента.
Свойства материалов смежных элементов не должны быть обяза"
тельно одинаковыми. Это позволяет применять метод к областям,
составленным из нескольких материалов.
Криволинейная область может быть аппроксимирована с помо"
щью прямолинейных элементов или описана точно с помощью кри"
волинейных элементов. Размеры элементов могут быть переменны"
ми. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения облас"
ти на элементы, если в этом есть необходимость.
2.1. Дискретизация области
Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг
на пути к решению задачи, и именно этот шаг не имеет теоретическо"
го обоснования. Искусство разбиения области зависит от имеющих"
ся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение бу"
дет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные эта"
пы метода осуществляются с достаточной точностью.
Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров
и формы подобластей, которые используются для построения диск"
ретной модели реального тела. С одной стороны, элементы должны
быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые
результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных
элементов сокращает процесс вычислений.
При решении задач МКЭ используются элементы различных ти"
пов. Для построения дискретной модели двумерной области использу"
ются два основных семейства элементов: треугольники и четырех"
угольники. Стороны линейных элементов каждого семейства пред"
ставляют собой прямые линии. Квадратичные и кубические элемен"
ты могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны
или те и другие. Возможность моделирования криволинейных гра"
ниц достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба
семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри
5
области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне.
Толщина элемента может быть или постоянной или являться функ"
цией координат.
Процесс дискретизации может быть разделен на два этапа: разби"
ение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. Рассмотрим
случай разбиения двумерной области на линейные треугольные эле"
менты.
При разбиении любой двумерной области на элементы сначала тело
делится на четырехугольные и треугольные подобласти, или зоны,
которые затем подразделяются на треугольники (построение сетки).
Границы между подобластями должны проходить там, где изменя"
ются геометрия, приложенная нагрузка или свойства материала.
2.2. Линейные интерполяционные полиномы
(двумерный симплекс,элемент)
Двумерный симплекс"элемент (рис. 2.1) – это треугольник с пря"
молинейными сторонами и тремя узлами, по одному в каждой вер"
шине. Необходима логическая нумерация узлов элемента.
Здесь используется последовательная нумерация узлов против
часовой стрелки, начиная от некоторого i"го узла, который выбира"
ется произвольно. Узловые значения скалярной величины ϕ обозна"
ϕ
ϕ = α1 + α2x + α3y
1
1
1
3
1
2
13123414
2
6
7
5
13223424
Рис. 2.1. Двумерный симплексэлемент
6
1
13323434
чаются через Фi, Фj и Фk, а координатные пары трех узлов – через (Xi,
Yi), (Xj, Yj), (Xk, Yk).
Интерполяционный полином имеет вид
ϕ = α1 + α2x + α3y.
(2.1)
В узлах выполняются следующие условия:
ϕ=Фi при x=Xi, y=Yi,
ϕ=Фj при x=Xj, y=Yj,
ϕ=Фk при x=Xk, y=Yk.
Подстановка этих условий в формулу (2.1) приводит к системе
уравнений
⎧Фi = α1 + α2Xi + α3Yi,
⎪
⎨Ф j = α1 + α2 Xj + α3Yj ,
⎪
⎩Фk = α1 + α2Xk + α3Yk,
(2.2)
решая которую получаем
α1 =
1
[(Xj Yk − XkYj )Фi + (XkYi − XiYk )Ф j + (XiYj − Xj Yi )Фk ],
2A
α2 =
1
[(Yj − Yk )Фi + (Yk − Yi )Ф j + (Yi − Yj )Фk ],
2A
α3 =
1
[(Xk − Xj )Фi + (Xi − Xk )Ф j + (Xj − Xi )Фk ],
2A
где площадь треугольника
A = 0,5 ⋅ [Xi (Yj − Yk ) + Xj (Yk − Yi ) + Xk (Yi − Yj )].
(2.3)
При подстановке значений α1, α2, α3 в формулу (2.1) выражение
для ϕ преобразуется к виду
ϕ = NiФ i + Nj Ф j + NkФ k,
(2.4)
где Ni, Nj, Nk – функции формы:
⎧ Ni = (0,5/ A)(ai + bix + ci y),
⎪
⎨ Nj = (0,5/ A)(aj + bjx + cj y),
⎪
⎩ Nk = (0,5/ A )(ak + bkx + cky),
(2.5)
7
ai = Xj Yk − XkYj ,
aj = XkYi − Yk Xi,
ak = XiYj − Xj Yi,
bi = Yj − Yk,
bj = Yk − Yi,
bk = Yi − Yj ,
ci = Xk − Xj ,
cj = Xi − Xk,
ck = Xj − Xi .
Значение Ni в i"м узле с координатами Xi, Yi:
Ni =
=
1
[ai + bi Xi + ciYi ] =
2A
1
( XjYk − XkYj + Yj Xi − Yk Xi + XkYi − XjYi ).
2A
(2.6)
Очевидно, что выражение в круглых скобках (2.6) и выражение в
квадратных скобках (2.3) одинаковы, поэтому в узле с номером i
1
(2 A) = 1.
2A
Значение Ni в j"м узле с координатами Xj, Yj:
Ni =
Ni =
=
1
[ai + bi Xj + ciYj ] =
2A
1
( XjYk − XkYj + Yj Xj − XjYk + XkYj − Yj Xj ) = 0.
2A
(2.7)
Значение Ni в k"м узле с координатами Xk, Yk:
Ni =
=
1
[ai + bi Xk + ciYk ] =
2A
1
( Xj Yk − XkYj + XkYj − XkYk + XkYk − Xj Yk ) = 0.
2A
(2.8)
Таким образом, значения функции формы Ni, Nj, Nk равны 1 в
узлах с соответствующими номерами и 0 в остальных узлах эле"
мента.
Скалярная величина ϕ определяется внутри элемента функциями
формы, линейными по x и y. Это означает, что градиенты этой вели"
чины в направлениях x и y будут постоянны. Градиент в направле"
нии x определяется соотношением
∂Nj
∂Nk
∂ϕ ∂Ni
=
Фi +
Фj +
Фk,
∂x ∂x
∂x
∂x
но
8
(2.9)
∂Nβ
∂x
=
1
bβ,
2A
β = i, j, k.
Поэтому
∂ϕ 1
=
( biФi + bjФ j + bkФk ).
(2.10)
∂x 2 A
Так как bi, bj, bk постоянны (они фиксированы, как только зада"
ны узловые координаты) и Фi, Фj и Фk не зависят от координат про"
странства, частная производная в (2.10) имеет постоянное значение.
Постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что необ"
ходимо использовать очень малые по величине элементы, чтобы ап"
проксимировать быстро меняющуюся функцию ϕ. Однако с умень"
шением геометрических размеров элементов увеличивается их коли"
чество, и, следовательно, увеличивается время вычислений.
Следует отметить два полезных свойства треугольного элемента.
Во"первых, функция ϕ изменяется линейно между двумя любыми уз"
лами. Так как узлы определяют границы элемента, ϕ меняется ли"
нейно вдоль каждой из трех его сторон. Отсюда следует второе полез"
ное свойство: любая линия, вдоль которой ϕ принимает одинаковые
значения, есть прямая, пересекающая две стороны элемента. Исклю"
чением будет случай, когда во всех узлах значения ϕ одинаковые.
2.3. Объединение конечных элементов в ансамбль
Основу этого этапа составляет замена произвольно назначенных
выше номеров узлов i, j, k на номера, присвоенные узлам в процессе
разбиения рассматриваемой области.
На рис. 2.2 показана треугольная область, рабитая на 4 конеч"
ных двумерных симплекс"элемента. Здесь i, j, k – локальные номера
16
4
14
3
1
11
2
1
15
2
12
13
Рис. 2.2. Область, разбитая на конечные элементы
9
узлов для каждого элемента, а индексы 1, 2, 3, 4, 5, 6 – глобальные
номера. Соответствие локальных и глобальных номеров представле"
но в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Элемент
i
j
k
1
1
2
4
2
2
3
5
3
2
5
4
4
4
5
6
Подставив значения номеров узлов в (2.4), получим ансамбль функ"
ций
⎧ϕ(1) = N1(1)Ф1 + N2(1)Ф2 + N4(1)Ф4,
⎪
(2)
(2)
(2)
(2)
⎪⎪ϕ = N2 Ф2 + N3 Ф3 + N5 Ф5,
⎨ (3)
(3)
(3)
(3)
⎪ϕ = N2 Ф2 + N4 Ф4 + N5 Ф5,
⎪ (4)
(4)
(4)
(4)
⎪⎩ϕ = N4 Ф4 + N5 Ф5 + N6 Ф6,
(2.11)
где верхние индексы в скобках относятся к номеру элемента.
Система (2.11) называется сокращенной формой математическо"
го описания модели.
Расширенная форма имеет вид
⎧ϕ(1) = N1(1)Ф1 + N2(1)Ф2 + 0Ф3 + N4(1)Ф4 + 0Ф5 + 0Ф6,
⎪
(2)
⎪ϕ
= 0Ф1 + N2(2)Ф2 + N3(2)Ф3 + 0Ф4 + N5(2)Ф5 + 0Ф6,
⎪
⎨ (3)
(3)
(3)
(3)
⎪ϕ = 0Ф1 + N2 Ф2 + 0Ф3 + N4 Ф4 + N5 Ф5 + 0Ф6,
⎪ (4)
(4)
(4)
(4)
⎪⎩ϕ = 0Ф1 + 0Ф2 + 0Ф3 + N4 Ф4 + N5 Ф5 + N6 Ф6
или в матричной форме
ϕ=NФ.
(2.12)
Следующим этапом является определение вектора узловых значе"
ний функций Ф. Его определение – наиболее сложная процедура в
МКЭ. Для этого существуют вычислительные методы. Найденные
значения вектора Ф подставляются в (2.12), после чего значение фун"
кции легко вычисляется в любой точке заданной области.
10
2.4. Граничные условия для решения уравнений
в частных производных
На границе рассматриваемой области можно задавать:
• значения искомой функции – граничное условие 1"го рода;
• значения производных по пространственным координатам от ис"
комой функции – граничное условие 2"го рода;
• уравнение баланса потоков – граничное условие третьего рода.
Для уравнений теплопроводности чаще задают граничные усло"
вия 1"го и 3"го рода, т. е. либо задается температура (T(x)=Tenv),
либо условие теплообмена с внешней средой.
Если на границе области имеет место конвективный теплообмен,
то граничное условие 3"го рода записывается в виде
∂T
∂T
(2.13)
+ λy
+ α(T − Tenv ) = 0.
∂x
∂y
Если на границе задана величина потока q теплоты (q считается
положительным, если теплота отводится от рассматриваемого объек"
та), то граничное условие имеет вид
λx
∂T
∂T
(2.14)
+ λy
+ q = 0.
∂x
∂y
Поток q и конвективный теплообмен не могут задаваться одно"
временно на одном и том же участке границы.
В частном случае, когда граница теплоизолирована , т. е. конвек"
тивный теплообмен отсутствует и поток теплоты равен 0 , имеет ме"
сто граничное условие 2"го рода
λx
∂T
∂T
= 0.
= 0;
∂y
∂x
(2.15)
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ELCUT
Анализ тепловых полей играет заметную роль при проектирова"
нии многих механических и электромагнитных систем. Как прави"
ло, интерес представляют распределение температуры, температур"
ного градиента и теплового потока. ELCUT может выполнять линей"
ный и нелинейный стационарный и нестационарный температурный
анализ в плоской и осесимметричной постановке.
3.1. Этапы работы в ELCUT
ELCUT использует следующие типы документов.
Описание задачи соответствует каждой физической задаче, реша"
емой при помощи ELCUT. Этот документ содержит такие общие ха"
11
рактеристики как тип задачи («Теплопередача», «Электростатика»,
«Магнитостатика» и пр.), класс модели (плоская или осесимметрич"
ная), а также имена других документов, ассоциированных с данной
задачей.
Геометрическая модель содержит полное описание геометрии за"
дачи, метки различных ее частей и расчетную сетку конечных эле"
ментов. Разные задачи могут использовать общую модель (это, в ча"
стности, полезно при решении связанных задач).
Физические свойства или данные различаются для разных типов за"
дач (свойства для теплопередачи, свойства для вихревых токов и т. д.).
Эти документы содержат значения свойств материалов, источников
поля и граничных условий для разных помеченных геометрических
объектов модели. Документ свойств может быть использован как
библиотека материалов для различных задач.
Чтобы решить задачу, нужно связать с ней имена двух докумен"
тов: модели и физических свойств. Для большего удобства задача
может ссылаться на два документа свойств одновременно: один из
них, называемый справочник свойств, содержит свойства часто ис"
пользуемых материалов (библиотека материалов), а другой документ
содержит данные, специфичные для конкретной задачи или группы
задач.
12345678 6292
35457
123242123456
924 55829 35457
792
545678 828771282 2829 7 228678 87
567869
462 8736
924 4566 2 58755126535 7 5676 297
466 792
88678 35457
69 2324
22 83529 7 978678 76856 98776
2 69297
Рис. 3.1. Блоксхема последовательности шагов при решении задачи
в ELCUT
12
Между сеансами работы ELCUT документы сохраняются в фай"
лах по одному файлу. В ходе сеанса можно создавать новые докумен"
ты и открывать и сохранять существующие.
Типичная последовательность шагов при решении новой задачи
представлена на блок"схеме (рис. 3.1).
3.2. Объект моделирования
Рассмотрим моделирование тепловых процессов на примере элек"
тромеханического преобразователя с электромагнитным возбужде"
нием (рис. 3.2). В пазах статора 1 уложены две обмотки: обмотка
возбуждения 3 и обмотка управления 2. Каждая обмотка в модели
состоит из нескольких эквивалентных медных проводников, суммар"
ная площадь которых соответствует площади меди в реальном объек"
те. Кроме эквивалентных проводников пазы заполнены изоляцией 6
(изоляция проводников, пазовая изоляция). Статор и ротор 5 изго"
товлены из электротехнической стали. Позицией 4 обозначен воз"
душный зазор.
3.3. Подготовка геометрической модели
Построение геометрии объекта моделирования проводится в
AutoCad. В идеальном случае в пазу необходимо поместить сечения
всех витков с изоляцией. Однако сетка конечных элементов оказы"
вается слишком плотной, что приводит к невозможности расчета в
1
2
3
4
5
6
Рис. 3.2. Объект моделирования
13
среде ELCUT из"за большого числа узлов. Поэтому все витки в реаль"
ном объекте следует заменить n эквивалентными витками.
Суммарная площадь, занимаемая неизолированным проводом в
каждом полупазе, может быть определена двумя способами:
• если известно количество витков wk в полупазе и диаметр d не"
изолированного провода, то суммарная площадь вычисляется по фор"
муле
πd2
;
(3.1)
4
• если известна площадь полупаза S и коэффициент заполнения
медью kзп (обычно kзп=0,3–0,4), то суммарная площадь вычисляет"
ся по формуле
S∑ = wk
S∑ = Skзп.
(3.2)
Площадь полупаза S можно определить с помощью команды AREA
(Площадь) в среде AutoCad. Для этого вначале дуги и отрезки, обра"
зующие полупаз, следует объединить в область посредством коман"
ды REGION (Область) в AutoCad и затем применить команду AREA с
опцией Object (Объект).
Затем при заданном числе эквивалентных проводников n необхо"
димо найти диаметр dэ эквивалентного проводника по выражению
4S∑
.
(3.3)
πn
Далее в геометрической модели следует равномерно разместить
эквивалентные проводники с диаметром dэ, как показано на рис. 3.2.
Готовая модель должна быть сохранена в AutoCad в стандартном
формате обмена графической информации в .dxf"файле для последу"
ющего его использования в ELCUT.
dэ =
3.4. Некоторые сведения по основам теплопередачи
Теплоотдача посредством лучеиспускания
Переход тепла от тела к окружающей среде называется внешней
теплопроводностью. Она состоит из двух различных процессов:
1) часть теплоты отдается посредством лучеиспускания, т. е. из"
лучается прямолинейно из поверхности тела в окружающее простран"
ство;
2) другая часть тепла отводится при посредстве граничащего с те"
лом вещества – окружающих тело воздуха и жидкости. Этот процесс
называют теплоотдачей посредством теплопроводности и конвекции.
В вакууме теплоотдача равна 0.
14
Согласно закону Стефана – Больцмана, в абсолютно пустом про"
странстве излучение с единицы поверхности абсолютно черного тела
составляет в единицу времени ws = σT 4, где σ – коэффициент луче"
испускания абсолютно черного тела; T – абсолютная температура
тела, К.
Согласно экспериментальным данным, σ лежит в пределах при"
близительно между 5,45 и 5,85e–8 Вт/град4·м2. Можно приближен"
но считать σ=5,7e–8 Вт/град4·м2
Количество теплоты, излучаемое в секунду с 1 м2 поверхности тела:
⎡ ⎛ T ⎞4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤
ws = 5,7 γ ⎢⎜ 0 ⎟ − ⎜ R ⎟ ⎥ = hsϑ ⎡⎣ Вт/м2 ⎤⎦ ,
(3.4)
⎢⎣⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎥⎦
где T0 и TR – абсолютные температуры поверхности тела и окружаю"
щей среды; γ – относительный коэффициент, учитывающий род по"
верхности излучающего тела (для абсолютно черного тела γ=1; для
электромеханических преобразователей обычно используется
γ=0,85); hs – коэффициент теплоотдачи посредством лучеиспуска"
ния – зависит от температуры в помещении и от превышения темпе"
ратуры; ϑ = T0 − TR – разность температур между поверхностью тела
и средой – превышение температуры.
Среднее превышение температуры на поверхности можно принять
приблизительно 40 °С, температуру помещения – равной примерно
20 °С. Тогда hs=6 Вт/м2.
Излучающей поверхностью можно считать только ту поверхность,
которая испускает лучи в свободное пространство.
Теплоотдача посредством теплопроводности и конвекции
Согласно данным опытов с герметически закрытыми машинами,
коэффициент теплоотдачи посредством теплопроводности и конвек"
ции в воздухе можно выразить как
(3.5)
hk ≈ 6,5 + 0,05ϑ ⎡⎣ Вт/град ⋅ м2 ⎤⎦ .
Если для ϑ подставить среднее значение 35 °С, то получается
hk ≈ 8 Вт/град ⋅ м2. Суммарный коэффициент теплоотдачи за счет
лучеиспускания и конвекции можно выразить формулой
h = hs + hk ≅ 14 Вт/град ⋅ м2.
3.5. Моделирование стационарных тепловых процессов в ELCUT
Моделирование начинается с создания новой задачи (рис. 3.3),
присвоения ей имени и указания пути сохранения в папке (рис. 3.4).
Затем (рис. 3.5) выбирается тип задачи, которую необходимо ре"
шить (в данном случае Теплопередача стационарная). В этом диа"
15
Рис. 3.3. Создание новой задачи
Рис. 3.4. Сохранение новой задачи
16
Рис. 3.5. Задание типа задачи
логовом окне автоматически создаются файлы геометрии и свойств с
расширениями .mod и .dht соответственно. Для подключения встро"
енного справочника свойств материалов необходимо задать полный
путь к нему (рис. 3.6), поместив курсор в поле Справочник свойств и
выбрав кнопку Обзор. Справочник свойств находится в библиотеке c
именем Matlib. В поле Справочник свойств (см. рис. 3.5) отобразит"
ся полный путь доступа к библиотеке.
Далее выбираются единицы длины и система координат (декарто"
ва или полярная). Соответствующее диалоговое окно показано на
рис. 3.7. После нажатия на кнопку Готово появляется окно с заго"
товкой для ввода данных модели (рис. 3.8). В графическом поле от"
сутствует геометрия модели. Для ее создания можно воспользовать"
ся встроенным графическим редактором, если геометрия имеет про"
стые формы, или импортировать .dxf,файл.
Для импорта .dxf"файла используется пункт меню FILE / DXF и
указывается путь к нужному файлу. Модель появляется в окне гео"
метрии (рис. 3.9):
17
Рис. 3.6. Выбор справочника свойств
Рис. 3.7. Задание единиц длины и системы координат
18
Рис. 3.8 Заготовка для ввода данных
Рис. 3.9. Геометрия модели в графическом окне
19
Следующий этап – присвоение свойств блокам модели. В табл. 3.1
приведены термины, используемые в ELCUT.
Рис. 3.10 соответствует ситуации, когда метки блоков еще не со"
зданы.
Для присвоения меток блокам необходимо сделать следующее.
• Дважды щелкнуть мышью на магнитопровод статора (рис. 3.11).
Блок станет выделенным и появится диалоговое окно Свойства вы,
деленных объектов. В поле Метка этого окна вводится произвольное
имя метки (в данном случае Статор). В этом диалоговом окне спра"
вочно указывается площадь выделенного блока. В левой части экра"
на в разделе метки блоков появляется имя введенной метки со зна"
ком вопроса, который означает, что свойства для данной метки еще
не заданы.
Таблица 3.1
Термин
Определение
Это точка на плоскости, координаты которой введены поль"
Вершина зователем или вычислены автоматически как результат пе"
ресечения ребер
Ребро
Отрезок прямой или дуга окружности, соединяющая две
вершины и не пересекающая другие ребра модели
Блок
Область, граница которой образована ребрами и, возможно,
изолированными вершинами
Метка
Текстовая строка длиной от 1 до 16 символов, служащая
для установления соответствия между геометрическими эле"
ментами модели и приписанными им физическими пара"
метрами
Рис. 3.10. Метки блоков еще не созданы
20
Рис. 3.11. Задание метки для статора
• Дважды щелкнуть мышью по имени метки со знаком вопроса.
Появится окно (рис. 3.12). В нем необходимо задать теплопровод"
ность стали, ее теплоемкость С и плотность ρ. Эти данные выбирают"
ся из физических справочников, в том числе из подключенного спра"
вочника Мatlib.dht. Последние два свойства не нужны для стацио"
нарной тепловой задачи, они требуются для определения переходных
процессов, т. е. решения нестационарной задачи. Данный блок не
является источником выделения тепла, поэтому объемная плотность
тепловыделений Q=0.
Аналогичные действия производятся для остальных блоков мо"
дели. Значения, задаваемые для блоков данной модели, приведены в
табл. 3.2.
При назначении нескольким блокам одинаковой метки (напри"
мер, Изоляция) следует щелкнуть мышью по одному из указанных
блоков, а затем, удерживая нажатой клавишу CTRL, щелкнуть по
другому и далее блокам. Все блоки окажутся выделенными.
Для задания свойств виткам необходимо рассчитать объемные
тепловыделения.
21
Рис. 3.12. Задание свойств для метки Статор
Таблица 3.2
Название блока Материал
Kоэффициент
теплопроводности
l, Вт/K·м
Плотность
r, кг/м3
Удельная
теплоемкость С,
Дж/кг·K
Статор
Сталь
86
7900
460
Ротор
Сталь
86
7900
460
Медь
390
8700
380
Медь
390
8700
380
Медь
390
8700
380
Изоляция
–
0,15
1300
1800
Воздушный
зазор
Воздух
0,028
1,2
1000
J
Обмотки
управле"
ния
J/2
Jв
22
Обмотка
возбуж"
дения
В каждом реальном витке диаметром d0 тепловыделения состав"
ляют
ρl
ρl
p = i2r = i2 = i2 2 = j2ρl,
(3.6)
s
πd0
4
где i – ток в витке, А; ρ – удельное сопротивление меди, при t=20 °C
ρ = 17,5e −9 Ом ⋅ м; l – длина витка, м; s – площадь поперечного сече"
2
2
ния витка, м ; j – плотность тока в витке, А/м .
Объемная плотность тепловыделений для одного витка составляет
ρl
ρ
(3.7)
= i2
= j2ρ.
2
2
πd02 πd02
⎛
⎞
π
d
l
⎜⎜ 0 ⎟⎟
4 4
⎝ 4 ⎠
Эта величина справедлива и для эквивалентного витка. На рис. 3.13
номерами 0–5 обозначены полюса p электромеханического преобразо"
вателя.
При моделировании тепловых процессов будем рассматривать пус"
ковой режим двигателя. В этом случае в p/3 пазах следует задавать
объемные тепловыделения, рассчитанные при j0=j , а в остальных
пазах – при j1=j/2. Например, для полюса 0 в полупазах слева и справа
от него эквивалентным виткам следует задать одинаковые имена и зна"
чения метки. Положим, что j=5 A/мм2=5 000 000 А/м2. В табл. 3.3
приведены расчетные значения объемных тепловыделений для этой
Q = i2
1
5
2
6
3
4
Рис. 3.13. Нумерация полюсов
23
плотности тока. Здесь же указаны объемные плотности тепловыде"
лений для обмотки возбуждения, рассчитанные при плотности тока
jв=3 A/мм2. Все расчеты производятся в системе Cи. На рис. 3.14
показано задание метки блоков с именем J, а на рис. 3.15 – задание
свойств метки блока J. Следует отметить, что величину объемных
тепловыделений можно вводить как в виде числа, так и в виде выра"
жения, что и показано на рис. 3.15.
Последним шагом перед построением сетки является задание гра"
ничных условий на ребрах модели (метки ребер). В рассматриваемой
модели необходимо задать два граничных условия 3"го рода на на"
ружном и внутреннем ребрах (рис. 3.16):
Таблица 3.3
Источник тепловыделения
Имя метки
Значение метки
№ полюса
0
1
2
3
4
5
Обмотки возбуждения
J/2
J
J/2
J/2
J
J/2
Jв
109 375
437 500
109 375
109 375
437 500
109 375
157 500
Рис. 3.14. Задание метки блоков с именем J
24
Рис. 3.15. Задание свойств метки блока J
Граничное условие rebro
Граничное условие rebro 1
Рис. 3.16. Задание граничных условий
25
• условие конвективного потока Fn = α(T − T0 ), α – коэффициент
конвекции; T0 – температура окружающей среды. Для примера по"
ложим α=6 Вт/К·м2, что соответствует естественной конвекции, и
T0=293 К (20 °С) ;
• условие радиации Fn = βkSB (T 4 − T04 ), β = 0,85; kSB – константа
Стефана–Больцмана (уже учтена в ELCUT и вводить ее не требует"
ся); T0=293 К.
Чтобы присвоить метки ребрам, следует:
Рис. 3.17. Автоматически построенная сетка конечных элементов
26
• Указать мышью внешние полуокружности, удерживая нажатой
клавишу CTRL. Эти два выделенных ребра будут подсвечены. Если
случайно оказались выделенными другие блоки, ребра или верши"
ны, то нужно щелкнуть по ним еще раз, чтобы снять выделение.
• Щелкнуть правой кнопкой мыши в пределах выделенного, что"
бы вывести контекстное меню, не меняя выделения объектов.
• В контекстном меню выбрать Свойства и присвоить метку rebro
выделенным ребрам.
• Нажать OK, чтобы завершить диалог.
Для построения сетки конечных элементов следует выбрать кноп"
ку
на верхней панели. Сетка построится автоматически. Для
рассматриваемой модели сетка приведена на рис. 3.17.
Для запуска на решение надо выбрать пункт меню Задача → Ре,
шить. Результат решения показан на рис. 3.18.
Анализ изображения и его числовые параметры позволяют опре"
делить максимальные температуры в различных частях конструк"
ции объекта моделирования. Используя пункт меню Вид → Картина
Рис. 3.18. Результат решения задачи
27
поля, можно задать различные варианты отображения результата
(рис. 3.19).
Как следует из рисунка, можно задавать режим отображения с
показом изотерм и векторов теплового потока с разным масштабом.
Для получения распределения температуры вдоль некоторого кон"
(Задание контура) и задать контур в
тура надо нажать кнопку
виде линии или дуги. Например, если провести контур, как показано
на рис. 3.20, то становится доступной кнопка
(График), нажав
на которую, получим распределение температуры вдоль контура
(рис. 3.21).
Рис. 3.19. Окно задания параметров отображения результатов модели
рования
Рис. 3.20. Задание контура
28
Рис. 3.21. Распределение температуры вдоль контура
Контур
Рис. 3.22. Интегральные характеристики
29
ELCUT предоставляет возможность получить некоторые интеграль"
ные характеристики, такие как тепловой поток, средняя температура
поверхности и др. (рис. 3.22). Здесь контур, по которому вычисляют"
ся интегральные характеристики, проведен по внешней окружности.
3.6. Моделирование нестационарных тепловых
процессов в ELCUT
Моделирование нестационарных тепловых процессов позволяет
получить распределение температур в разные отрезки времени с мо"
мента начала процесса нагревания. Например, для рассматриваемой
модели можно получить допустимое время работы электромашинно"
го преобразователя при перегрузке по плотности тока.
Для моделирования нестационарного теплового процесса требу"
ется сначала решить стационарную задачу в той же последователь"
ности, как в п. 3.5, с той разницей, что для меток J и J/2 следует
задать нулевые значения объемных тепловыделений. В результате
решения задачи получается первый слайд в начальный момент вре"
мени t=0 при отсутствии тока в витках при температуре окружаю"
щей среды T0=293 К (рис. 3.23). Температура всей поверхности при"
нимает значение T0=293 К. Далее создается новая задача, как в
п. 3.5 c другим именем (рис. 3.24). В окне Создание задачи как обра,
зец указывается имя стационарной задачи, рассчитанной при нуле"
вых значениях плотности тока. Далее в окне (рис. 3.25) вводятся
Рис. 3.23. Результат решения в начальный момент времени t=0 (Q=0)
30
Рис. 3.24. Создание нестационарной задачи
Рис. 3.25. Ввод параметров нестационарной задачи
31
параметры новой задачи. При задании файла геометрии указывается
тот же, что использовался для создания стационарной задачи. Затем
задаются система координат и единицы измерения (как на рис. 3.7).
Для получения распределения температур в зависимости от времени
следует задать конечное время и шаг моделирования, а также вре"
менные параметры для сохранения результатов моделирования
(рис. 3.26). Все параметры задаются в секундах.
Далее необходимо в окне задачи elmpt_ns выбрать пункт Геомет,
рия, и на графическом экране появится геометрическая модель зада"
чи с сеткой конечных элементов. Кроме этого, надо задать свойства
блоков и ребер. Эти свойства можно перенести из окна задачи elmpt.
Для этого необходимо с помощью левой клавиши мыши выбрать нуж"
ную метку и, не отпуская ее, перенести на соответствущую метку в
окне задачи elmpt_ns. Все свойства данной метки будут скопирова"
ны. Остается только отредактировать метки J и J/2, в которых сле"
дует задать соответствующие объемные тепловыделения. Для дан"
ной задачи рассчитаем величины объемных тепловыделений при по"
вышенных плотностях тока: j=9 A/мм2 и jв=5 A/мм2. Рассчитанные
значения указаны в табл. 3.4.
На следующем этапе подготовки к решению обе задачи связыва"
ются. Для этого вызывается диалоговое окно Свойства задачи из
Рис. 3.26. Окно задания временных параметров
32
Таблица 3.4.
Источник выделения
Имя метки
Значение метки
№ полюса
0
1
2
3
4
5
Обмотки возбуждения
J/2
J
J/2
J/2
J
J/2
Jв
354 375
1 417 500
354 375
354 375
1 417 500
354 375
437 500
меню Правка → Свойства. В этом окне на закладке Связь задач в
строке Задача следует указать имя стационарной задачи (можно вос"
пользоваться кнопкой Обзор), а в строке Тип данных выбрать из от"
крывающегося списка Распределение температуры. Далее в этом
окне нажать кнопку Добавить, при этом в окне Источники данных
должна появиться надпись Распределение температуры:
eltmp.pbm (рис. 3.27).
Затем следуют стандартные этапы разработки задачи: задание гра"
ничных условий, построение сетки, включение задачи на решение. В
итоге получаем некоторое количество решений, которые можно вы"
бирать из открывающегося списка Время и помещать каждое в новое
. На рис. 3.28, а–г
окно, которое создается с помощью кнопки
Рис. 3.27. Окно связи стационарной и нестационарной задач
33
а)
б)
Рис. 3.28. Распределение температур в модели спустя 60 с (а),
34
в)
г)
180 с (б), 360 с (в), 600 с (г) после начала работы
35
представлены результаты решения нестационарной задачи в опреде"
ленные интервалы времени.
3.7. Применение средства LabelMover
для параметрического анализа
В задаче, описанной в п. 3.5, при задании свойств материалов
(табл. 3.2) в качестве «изоляции» не был выбран какой"то конкрет"
ный материал, однако в качестве коэффициента теплопроводности
был взят усредненный коэффициент. Это объясняется тем, что под
понятием «изоляция» в данном случае подразумевалась совокупность
изоляции собственно проводников (витков), пазовой изоляции и ком"
паунда. В общем случае каждый из указанных видов изоляции имеет
свой коэффициент теплопроводности, и он может отличаться от за"
данного в модели. Если в действительности такой усредненный ко"
эффициент теплопроводности будет больше, чем задан в модели, то
температура в пазах (именно там она максимальна) снизится. Но если
на самом деле коэффициент теплопроводности будет ниже, то увели"
чение температуры паза неизбежно, что может привести к перегреву
электромеханического преобразователя и потере его работоспособ"
ности. Использование встроенного в ELCUT средства LabelMover по"
зволяет задать коэффициент теплопроводности для изоляции в ши"
роких пределах и оценить изменение максимальной температуры.
Для начала использования LabelMover необходимо загрузить в
ELCUT решенную стационарную задачу, например eltmp.pbm (cм.
п. 3.5), и загрузить это средство нажатием на кнопку
. На экран
выводится окно (рис. 3.29). В поле Исходная задача указывается
полный путь доступа к задаче eltmp.pbm. Далее требуется задать
значения тех меток, локальные или интегральные характеристики
которых желательно получить в зависимости от изменения какого"
либо параметра. На рис. 3.30 показано добавление метки J со значе"
нием температуры. Поскольку для одного полупаза, в котором для
всех эквивалентных витков определена одна и та же метка J, темпе"
ратура в витках отличается, то необходимо активизировать условие
вывода максимального и минимального значения температуры для
данной метки. Завершить добавление выделенных метки и значения
нажатием кнопки Добавить. При желании можно добавить другие
пары меток и значений.
Следующим этапом является запись шагов, для которых выпол"
няется решение задачи. Под записью шагов понимаются следующие
действия. Выбирается метка (Изоляция), определенный параметр
которой (коэффициент теплопроводности) будет изменен на некото"
рую величину, заданную пользователем. Таких действий может быть
36
Рис. 3.29. Главное окно LabelMover
Рис. 3.30. Добавление значений
достаточно много, при этом величина приращения может изменять"
ся от шага к шагу. На рис. 3.31 показаны 5 шагов.
Нулевой шаг – исходное значение коэффициента теплопроводно"
сти, назначенное в eltmp.pbm. Далее надо нажать кнопку Получить
результаты, и программа начинает решать последовательность за"
дач с измененным коэффициентом теплопроводности изоляции. После
завершения вычислений на экране будет выведен столбец с макси"
37
Рис. 3.31. Запись шагов
Рис. 3.32. Вывод результатов по шагам вычислений
38
Рис. 3.33. Зависимость максимальной температуры для метки J от
шага вычислений
мальными и минимальными температурами для эквивалентных про"
водников с меткой J (рис. 3.32). Выбрав закладку График, можно
увидеть график зависимости максимальной температуры от шага
вычислений (рис. 3.33). Действительно, с уменьшением коэффици"
ента теплопроводности растет температура в проводниках с меткой J.
Для каждого полученного результата (см. рис. 3.32) можно про"
смотреть картину теплового поля. Все полученные данные можно
сохранить в файле с расширением .qlm.
4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для определения точности МКЭ необходимо рассмотреть задачи,
которые имеют аналитическое решение, и сравнить результаты это"
го решения с результатами моделирования в пакете ELCUT.
4.1. Расчет температурного поля с граничными условиями
1,го рода
Предположим, что имеется труба, которая снаружи и изнутри
омывается потоками жидкости или газа с разными постоянными тем"
пературами. Требуется определить распределение температуры по
сечению трубы. Эту задачу сведем к плоской модели. Пусть дано коль"
цо (рис. 3.34), изготовленное из материала с коэффициентом тепло"
проводности λ, с внутренним радиусом R1, наружным радиусом R2 и
центром в точке с координатами (0,0). Известно, что на внутренней и
внешней окружностях заданы постоянные температуры T1 и T2 соот"
ветственно (граничные условия 1"го рода). Рассмотрим аналитиче"
39
12
11
21
22
3
Рис. 3.34. Кольцо
ское решение этой задачи. Поскольку внутренние источники тепла в
этой задаче отсутствуют и коэффициенты теплопроводности по осям
x и y одинаковы, то уравнение (1.2) сводится к уравнению Лапласа, т. е.
∂2T ∂2T
+
= 0.
∂x2 ∂y2
Выразим x и y через полярные координаты
x = r cos θ; y = r sin θ
и найдем частные производные
(4.1)
(4.2)
∂T ∂T
∂T
=
cos θ +
sin θ,
∂r ∂x
∂y
(4.3)
∂2T ∂2T
∂2T
∂2T
2
cos
2
sin
cos
sin2 θ,
=
θ
+
θ
θ
+
∂x∂y
∂r 2 ∂x2
∂y2
(4.4)
∂T
∂T
∂T
=−
r sin θ +
r cos θ,
∂θ
∂x
∂y
(4.5)
∂2T ∂2T 2
∂2T 2
= 2 r sin2 θ − 2
r sin θ cos θ +
2
∂x∂y
∂θ
∂x
+
40
∂ 2T 2
∂T
∂T
r cos2 θ −
r cos θ −
r sin θ.
2
∂x
∂y
∂y
(4.6)
Домножим выражение (4.3) на r, а выражение (4.4) на r2 и затем
сложим получившиеся выражения с (4.6). Получим
r2
2
∂2T
∂T ∂ 2T
∂ 2T ⎞
2⎛ ∂ T
+
r
+
=
r
+
⎜
⎟=0
2
∂r
∂θ
∂r 2
∂y2 ⎠
⎝ ∂x
или
∂2T 1 ∂T 1 ∂2T
+
+
= 0.
(4.7)
∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ
Уравнение (4.7) – это уравнение Лапласа в полярных координа"
тах. Целесообразно искать решение, не зависящее от угла θ. Тогда
уравнение (4.7) сведется к уравнению
∂2T 1 ∂T
+ ⋅
= 0.
∂r 2 r ∂r
Интегрируя это уравнение, найдем решение в виде
T = C1 ln r + C2.
(4.8)
(4.9)
Определим С1 и С2 из заданных граничных условий:
при r=R1 T(r)=T1=C1lnR1+C2;
при r=R2 T(r)=T2=C1lnR2+C2.
Отсюда находим
С1 =
ln R1
T2 − T1
.
, C2 = T1 − (T2 − T1)
R
R2
ln 2
ln
R1
R1
Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (4.9), получим
аналитическое решение в виде
⎛ r ⎞
ln ⎜ ⎟
R
(4.10)
T ( r ) = T1 + ⎝ 1 ⎠ (T2 − T1 ),
⎛ R2 ⎞
ln ⎜
⎟
⎝ R1 ⎠
где T(r) – текущее значение температуры по радиусу r; r изменяется
от R1 до R2 c некоторым шагом.
Решение стационарной задачи в ELCUT производится в соответствии
с последовательностью действий, изложенной в п. 3.5. На рис. 4.1 при"
веден пример результата решения этой задачи при следующих исход"
ных данных:
R1=10 мм, R2=30; T1=273 К, T2=300 К;
41
Рис. 4.1. Решение задачи теплопроводности
Рис. 4.2. Вычисление локальных значений
42
Рис. 4.3. Распределение температуры внутри кольца от внутреннего
радиуса к наружному
материал кольца – сталь 10 с коэффициентом теплопроводности
λ=83 Вт/К·м.
Для получения значений температур в точках, соответствующих
текущему значению r , следует воспользоваться кнопкой
Локаль,
ные значения.
В окне (рис. 4.2) задаются координаты конца радиуса"вектора r, и
калькулятор локальных значений вычисляет температуру в задан"
ной точке. Распределение температуры внутри кольца от внутренне"
го радиуса к наружному представлено на рис. 4.3.
Для каждой точки погрешность метода может быть получена по
формуле
∆T =
Tа − Tм
⋅ 100%,
Tа
(4.11)
где Tа – температура в точке, вычисленная по формуле (4.10); Tм –
температура в точке, полученная при моделировании в ELCUT.
43
4.2. Расчет температурного поля с граничными
условиями 3,го рода
Предположим, что имеется плоская пластина толщиной L, высо"
той H>>L и с коэффициентом теплопроводности λ, которая разделя"
ет две области (рис. 4.4). Известно, что с одной стороны пластины
температура окружающей среды T1 и коэффи"
1
циент конвекции α1, а с другой стороны – T2 и
α2, т. е. заданы граничные условия 3"го рода.
21
22
Для моделирования в ELCUT примем высоту
пластины Н=10L. Рассмотрим аналитичес"
α1
α2
кое решение этой задачи.В данном случае
имеем дело с одномерным температурным по"
лем, когда температура зависит от одной ко"
1
3
ординаты (x).
Решение задачи имеет вид
T=C1x+C2.
(4.12)
В случае граничного условия 3"го рода
уравнения потоков на границах имеют вид:
Рис. 4.4. Стенка
при x = 0
при x = L
Учитывая, что
при x = 0
при x = L
dT
+ α1(T1 − T(x)) = 0, ⎫⎪
⎪
dx
⎬
dT
λ
+ α2 (T(x) − T2 ) = 0.⎪
⎪⎭
dx
λ
(4.13)
dT
= C1, получим
dx
λ
С1 + T1,
α1
⎫
⎪⎪
⎬ (4.14)
λ
λ
T(x) = T2 −
C1 = C1L + C2 = C1L + C1 + T1.⎪
α2
α1
⎭⎪
T(x) = С2 =
Отсюда определяются коэффициенты C1 и C2:
С1 = −
44
T1 − T2
, C2 = T1 + λ C1.
⎛ 1 L 1 ⎞
α1
λ⎜
+ +
⎟
⎝ α1 λ α2 ⎠
(4.15)
Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (4.12), полу"
чим аналитическое решение такой задачи:
Т(x) = T1 −
T1 − T2 ⎛ x 1 ⎞
+
.
1 L 1 ⎜⎝ λ α1 ⎟⎠
+ +
α1 λ α2
(4.16)
Решение стационарной задачи в ELCUT производится в соответствии
с последовательностью действий, изложенной в п. 3.5. На рис. 4.5 при"
веден пример результата решения этой задачи при следующих исход"
ных данных:
L=10 мм;
T1=370 К, α1=12 Вт/К·м2;
T2=293 К, α2=6 Вт/К·м2;
материал пластины – фарфор c коэффициентом теплопроводности
λ=1,68 Вт/К·м.
Рис. 4.5. Результат решения задачи теплопроводности
45
Рис. 4.6. Распределение температуры внутри стенки по направлению x
Для получения значений температур в точках, соответствующих
текущему значению x, используется инструмент определения локаль"
ных значений, как это описано в п. 4.1. Для каждой точки погреш"
ность метода определяется по формуле (4.2). На рис. 4.6 показано
распределение температуры внутри стенки по направлению x.
4.3. Влияние плотности сетки на результаты моделирования
в ELCUT
Рассмотрим модель, описанную в п. 4.1. Сетка конечных элемен"
тов (рис. 4.7) строилась автоматически. Она содержит 520 узлов.
В ELCUT предусмотрена возможность задания плотности сетки «вруч"
ную» по желанию пользователя. Для этого требуется выделить одно
или несколько ребер и нажать правую кнопку мыши.
На экране появится контекстное меню, из которого надо выбрать
пункт Свойства. Откроется новое окно (рис. 4.8). В поле Шаг дискре,
тизации следует выбрать пункт Задан и ввести нужное значение.
В данном примере значение 2,4, полученное автоматически, заменено
на 1,2, т. е. коэффициент уплотнения сетки K=2. В результате число
узлов сетки увеличилось до 2023. Новая сетка приведена на рис. 4.9.
46
Рис. 4.7. Сетка конечных элементов, построенная автоматически
Рис. 4.8. Задание шага дискретизации сетки
47
Рис. 4.9. Сетка конечных элементов, построенная по заданному пользо
вателем шагу дискретизации
Далее следует решить задачу c теми же условиями, что в п. 4.1, и
определить, как изменится погрешность метода при более плотной
сетке конечных элементов.
5. ЭТАПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЦИКЛА ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Цикл лабораторных работ состоит из следующих этапов.
1. По заданному преподавателем чертежу с помощью пакета
AutoCad выполняется построение геометрических моделей. Вычис"
ляется площадь паза и вычерчиваются эквивалентные проводники
при n=1 и n=3. Модели сохраняются в .dxf"формате.
2. Моделирование тепловой задачи в среде ELCUT для двух гео"
метрических моделей при нескольких (3–5) значениях плотности
тока в пазу. Результат моделирования представляется в виде графи"
ков зависимости максимальной температуры в объекте от плотности
тока.
3. Исследование нестационарного процесса в модели при задан"
ных плотности тока, времени и шаге моделирования.
4. С помощью средства LabelMover исследуется зависимость мак"
симальной температуры в модели от заданного преподавателем изме"
нения коэффициента теплопроводности одного или нескольких ма"
териалов.
48
5. Определяется точность МКЭ при моделировании кольца и пла"
стины при заданных преподавателем исходных данных (см. прило"
жение).
Лабораторные работы выполняются в компьютерном классе с ис"
пользованием сетевой версии лицензионно чистого программного
продукта ELCUT 5.4.
Отчет по циклу лабораторных работ должен содержать:
1. Цель работы.
2. Чертеж объекта моделирования с размерами и указанием ис"
пользованных материалов.
3. Формулы и таблицы с вычисленными значениями объемных
тепловыделений для различных значений плотности тока.
4. Графики (2–3) распределения температуры по сечению модели
для различных вариантов.
5. Графики зависимости максимальной температуры в объекте от
плотности тока для вариантов n=1 и n=3.
6. График зависимости температуры от времени моделирования.
7. График зависимости максимальной температуры от коэффици"
ента теплопроводности одного из материалов.
8. Таблицы с результатами аналитического решения уравнений
теплопроводности и моделирования с помощью ELCUT для кольца и
пластины, а также вычисленных погрешностей.
9. Таблицу погрешности метода при различной плотности сетки
конечных элементов.
10. Выводы.
49
50
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
1
2
3
№
Медь
Латунь Л65
Лавсан
Kобальт
Kварц
Бронза
алюминиевая
Алюминий
D16
Акрил
Материал
55
2
2
2,5
2
1,5
1,5
60
55
30
20
35
45
60
2
1,5
40
30
60
55
45
40
50
40
R1
45
45
20
10
25
35
45
45
30
20
55
45
35
30
35
30
R2
Радиус, мм
1,5
2
2,5
1,5
2
2
2,5
1,5
K
Kоэффи"
циент
сетки
Kольцо
400
450
350
340
330
310
370
390
420
400
420
340
370
400
350
350
T1
283
293
283
273
293
293
273
293
300
300
20
14
12
15
12
10
12
14
15
12
15
14
263
293
12
10
12
10
L
Толщина,
мм
293
283
273
273
T2
Температура
окружающей
среды, K
Модель
400
450
350
340
330
310
370
390
420
400
420
340
370
400
350
350
T1
283
293
283
273
293
293
273
293
300
300
293
263
293
283
273
273
T2
Пластина
Температура
окружающей
среды, K
Индивидуальные задания для определения точности МКЭ
20
25
20
18
12
15
12
25
15
12
25
20
15
15
20
12
a1
10
12
6
8
8
6
8
12
8
6
6
6
8
6
12
6
a2
Kоэффициент
конвекции,
Вт/K·м2
Приложение
51
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
№
Слюда
Серебро
Резина
Полистирол
Поливинил"
хлорид
Никель
Нейлон
Мельхиор
Материал
2
2,5
2,5
1,5
2,5
1,5
2,5
2
2
1,5
2
2,5
2
1,5
2
1,5
K
Kоэффи"
циент
сетки
28
53
25
43
36
38
46
48
55
45
43
33
30
45
40
30
R1
18
43
15
33
26
28
36
38
45
35
33
23
15
30
30
20
R2
Радиус, мм
Kольцо
420
400
420
460
340
320
410
420
460
450
395
375
350
370
400
380
T1
28 0
270
293
300
293
293
273
293
300
293
283
275
273
283
293
3 00
T2
Температура
окружающей
среды, K
10
12
11
13
15
12
10
15
12
10
15
12
15
12
10
15
L
Толщина,
мм
Модель
420
400
420
460
340
320
410
420
460
450
395
375
350
370
400
380
T1
280
270
293
300
293
293
273
293
300
293
283
275
273
283
293
300
T2
Пластина
Температура
окружающей
среды, K
11
28
24
21
12
25
20
13
15
10
12
16
12
15
25
15
a1
7
16
10
12
6
8
6
8
8
6
6
9
6
7
8
6
a2
Kоэффициент
конвекции,
Вт/K·м2
Продолжение прил.
52
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
№
Титан
Стекло"
текстолит
Стекло
Сталь нержавеющая
Сталь 65Г
Материал
2
2,5
2,5
1,5
1,5
2
2
2,5
2,5
1,5
K
25
43
22
21
23
35
41
39
44
33
R1
15
33
12
11
13
25
21
29
34
23
R2
Kоэффи"
циент
Радиус, мм
сетки
Kольцо
315
397
436
415
420
460
330
310
395
375
T1
296
287
310
300
293
300
293
293
283
275
T2
Температура
окружающей
среды, K
14
12
15
11
10
11
15
10
11
12
L
Толщина,
мм
Модель
315
397
436
415
420
460
330
310
395
375
T1
296
287
310
300
293
300
293
293
283
275
T2
Пластина
Температура
окружающей
среды, K
12
18
26
16
19
18
15
16
25
20
a1
6
8
10
8
10
12
7
11
8
6
a2
Kоэффициент
конвекции,
Вт/K·м2
Окончание прил.
Рекомендуемая литература
1. Cегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.:
Мир, 1979. 389 c.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир,
1975. 538 c.
3. Трудоношин В. А., Пивоварова Н. В. Математические модели
технических объектов. М.: Высш. шк., 1986. 157 с.
4. ELCUT v.5.3– комплекс программ для моделирования двумер"
ных краевых задач. CПб.: TOR, 2006.
5. Пискунов Н. C. Дифференциальное и интегральное исчисления
для втузов. М.: Интеграл"Пресс, 1998. 544 c.
6. Лыков А. В. Тепломассобмен: Справочник. М.: Энергия, 1978.
480 с.
7. Мишичев А. И., Мартьянова А. Е. Решение задач теплопровод"
ности методом конечных элементов в CAE"системе ELCUT. Астра"
хань, 2001.
53
Содержание
1. Математические модели объектов на микроуровне ...........
2. Метод конечных элементов ...........................................
3. Моделирование тепловых процессов в ELCUT ..................
4. Оценка точности метода конечных элементов ..................
5. Этапы выполнения цикла лабораторных работ ................
Приложение ..................................................................
Рекомендуемая литература ..............................................
54
3
4
11
39
48
50
53
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 101 Кб
Теги
labor, elcut, modelirov, rab
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа