close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Mogilevsky

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Д. Ш. Могилевский
ЭЙНШТЕЙН
И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
УДК 530.145(075)
ББК 22.31я73
М74
Рецензенты:
доктор физико-математических наук М. М. Попов
доктор физико-математических наук, профессор В. Г. Фарафонов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Могилевский, Д. Ш.
М74 Эйнштейн и квантовая физика: учебное пособие / Д. Ш. Могилевский. — СПб.: ГУАП, 2014. — 43 с.
ISBN 978-5-8088-0903-1
В учебном пособии, помимо изложения вопросов квантовой теории, в изучение которых внес большой вклад Эйнштейн, приводятся исторические сведения, показывающие ход мысли великого ученого. Сообщаются также интересные сами по себе биографические
сведения в связи с его научными достижениями. Для понимания
изложения требуется знание математики в объеме программы технического вуза.
Предназначено для студентов, обучающихся по техническим
специальностям и интересующихся историей важнейших научных
открытий.
УДК 530.145(075)
ББК 22.31я73
ISBN 978-5-8088-0903-1
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2014
© Могилевский Д. Ш., 2014
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие является продолжением упрощенного изложения сущности квантовой физики, а также истории великих открытий в этой части естествознания. Первая часть предполагаемой
серии – «Предыстория квантовой физики и ее первые шаги» [1], где
рассматриваются достижения периода с 1860 до 1900 года, связанные с именами Г. Кирхгофа, Й. Стефана, Л. Больцмана, В. Вина,
Рэлея и, наконец, Макса Планка. Данная вторая часть полностью
посвящена тому вкладу, который внес в создание квантовой физики Альберт Эйнштейн в период с 1905 по 1917 год. Те учащиеся,
интерес которых к изучаемым предметам не сводится к минимальным баллам в зачетке, знают, в принципе, что им было бы очень
полезно изучение оригинальных работ первооткрывателей. Только
в редких случаях, однако, интереса хватает для того, чтобы пересилить лень и самостоятельно ознакомиться с работами великих
ученых. Последнее, конечно, намного труднее, чем просто выучить
учебник. В предисловии к написанной им совместно с Леопольдом
Инфельдом популярной книге «Эволюция физики» [2] сам Эйнштейн предупреждал, что научная, хотя бы и популярная, книга, не может читаться так же, как новелла. Зато уровень понимания фундаментальных проблем науки у тех, кто читал Эйнштейна,
принципиально выше, чем у тех, кто его не читал.
Предлагаемое пособие предназначено для тех, кто сознает ценность изучения первоисточников, но не решается взяться за это
самостоятельно. Всего более рационально было бы параллельное
прочтение нижеследующего изложения и цитируемых работ Эйнштейна. Не хуже для результата, хотя и труднее, сначала прочитать данное пособие, а с Эйнштейном самостоятельно разбираться
потом. По поводу доступности оригинальных текстов уместно следующее замечание. При невысоком уровне математической подготовки основополагающие работы 1905–1906 годов по теории относительности понять не труднее, а легче, чем изложение в стандартных современных учебниках. С работами по квантовой теории
дело обстоит иначе. Квантовое объяснение фотоэффекта одинаково
просто и в оригинальной работе Эйнштейна, и в современных учебниках. Соответственно одинаково непросто понять что-то о природе света вообще из работ Эйнштейна и теперешней учебной литературы. Поскольку, как было уже отмечено, уровень понимания
существа дела у тех, кто читал Эйнштейна, намного выше, чем
у тех, кто ограничился учебниками, интересующимся рекоменду3
ется приложить определенные усилия и прочитать оригинальные
работы великого ученого. Дальнейшее изложение призвано помочь
этим смелым людям.
Эйнштейн до квантовой физики
Эйнштейн начал с того, что родился 14 марта 1879 года. Самый
главный фундамент его общепризнанной гениальности – конечно,
гены, которые были в наличии уже до рождения, то есть в утробе.
Правда, в этой части жизненного пути до реализации познавательных способностей еще весьма далеко. Да и в последующем способности такого рода нуждаются в длительном развитии. Масштаб гениальности великого ученого не проявлялся до самого 1905 года,
в котором были опубликованы его основополагающие работы сразу по трем разным направлениям (теория относительности, теория
броуновского движения и «эвристическая» работа о квантовой природе света). Необыкновенные природные способности не могли бы
реализоваться, если бы внешние обстоятельства не оказались исключительно благоприятными. Началось развитие способностей,
конечно, в семье. Семья была небогатая, но с приличным уровнем
образованности. Папа и дядя занимались мелким предпринимательством последовательно в Германии и Италии, причем предпринимательство было связано с техникой (мастерская электроприборов, электротехнический магазин). С семьей связаны эпизоды, которые Эйнштейн впоследствии отметил в своих воспоминаниях.
Когда малышу было 5 лет, отец показал ему компас. Это чудо произвело на ребенка неизгладимое впечатление. В 12 лет он испытал
сильнейшее переживание от знакомства с книжкой по евклидовой
геометрии. (Это тот предмет, который организаторы ЕГЭ выбросили из перечня значимых для современного школьного образования.) Еще до этой «священной» книжки дядя показал подростку
теорему Пифагора, впечатление от которой запомнилось будущему
преобразователю естествознания на всю жизнь.
Несомненно, важная роль в его духовном развитии принадлежит религиозному опыту. Вот буквальная цитата из «Творческой
автобиографии» [3]. «Еще будучи довольно скороспелым молодым
человеком, я живо осознал ничтожество тех надежд и стремлений, которые гонят сквозь жизнь большинство людей, не давая им
отдыха. Скоро я увидел и жестокость этой гонки… Выход отсюда
указывался прежде всего религией, которая ведь насаждается всем
4
детям традиционной машиной воспитания. Таким путем я, хотя
и был сыном совсем нерелигиозных (еврейских) родителей, пришел
к глубокой религиозности, которая, однако, уже в возрасте 12 лет
резко оборвалась. Чтение научно-популярных книжек привело меня вскоре к убеждению, что в библейских рассказах многое не может быть верным. Следствием этого было прямо-таки фанатическое
свободомыслие, соединенное с выводами, что молодежь умышленно обманывается государством; это был потрясающий вывод. Такие переживания породили недоверие ко всякого рода авторитетам
и скептическое отношение к верованиям и убеждениям, жившим
в окружавшей меня тогда социальной среде. Этот скептицизм никогда меня уже не оставлял, хотя и потерял свою остроту впоследствии, когда я лучше разобрался в причинной связи явлений».
На самом деле, как видно, в частности, из приведенных цитат,
по крайней мере некоторые стороны гениальности проявились
уже в очень раннем возрасте. Непосредственное окружение, однако, совсем не было от этого в восторге и не могло оценить истинное
значение «проявлений». Первым образовательным учреждением
Эйнштейна была католическая школа в Мюнхене, куда его определили вместо еврейской школы по причине удаленности и финансовой неподъемности последней. Начально-школьное воспитание наверняка было одним из главных факторов, повлиявших на эволюцию религиозных взглядов ученика. Далее была гимназия. В ней
вокруг Эйнштейна сложилась конфликтная ситуация, и развивалась она в сторону обострения – чем дальше, тем сильнее. В немецких гимназиях царил дух прусского солдафонства. По воспоминаниям ученого, в младших классах учителя обращались с учениками как фельдфебели, в старших – в лучшем случае как лейтенанты. Фанатическое свободомыслие, скептически-критическое, то
есть научное в точном смысле этого слова мировоззрение, сложившееся у Эйнштейна как раз в гимназические годы, было абсолютно несовместимо с гимназическими нравами. Тем более, что свободомыслящий ученик не приобрел еще мудрости зрелого возраста,
естественно для взрослеющего мальчишки держал себя недипломатично, вступал в пререкания с учителями и не скрывал своего
скептицизма по отношению к «общепринятым» взглядам, ценностям и людям, которые их проповедовали. Не сумевший и не желавший подчиняться казарменной дисциплине строптивый гимназист вынужден был расстаться с престижным учреждением досрочно, не получив аттестата. В смысле духовного развития он достиг в эти годы очень многого, причем не столько путем усвоения
5
гимназической программы, сколько за счет самообразования в математике и физике, которые были ему интересны. По части же прочей гимназической премудрости он не преуспел, да и занимался ею
очень мало.
Недоучившийся гимназист желал, тем не менее, получить высшее образование в соответствии со сложившимися у него интересами. Семья же настаивала на прикладном техническом образовании, которое позволило бы зарабатывать на жизнь. В любом случае о престижном университете нечего было и думать. Решили пытаться поступить в цюрихский Политехникум, что было в принципе возможно в той ситуации, хотя и это не было простым делом.
С первой попытки поступить не удалось. Абитуриент великолепно
справился с экзаменами по физике и математике, но провалил ботанику и французский. Впоследствии цивилизованное человечество явно недооценило заслугу директора Политехникума Альбина
Герцога, который в тот момент в принципе правильно, хотя, конечно, не в полной мере, оценил потенциальные возможности неудачника. Он рекомендовал Эйнштейну завершить среднее образование
в школе города Аарау по соседству с Цюрихом и повторить попытку поступления. Молодой человек последовал мудрому совету и обнаружил в швейцарской школе невозможную в Германии степень
терпимости к самостоятельности учащихся, и даже поощрение независимой мысли. Успешно закончив выпускной класс, он получил
право на поступление в Политехникум без вступительных экзаменов. В октябре 1896 года Эйнштейн стал студентом педагогического
факультета цюрихского Политехникума.
В этом не очень престижном учреждении условия для развития
необыкновенных способностей оказались исключительно благоприятными. Хотя взаимоотношения студента с непосредственным
окружением и в этой ситуации оказались очень не простыми. Вероятно, отношения гения с окружающими без проблем не обходятся никогда. В Политехникуме студентов учили великолепные профессора, в том числе Адольф Гурвиц и Герман Минковский. А Эйнштейн в большом количестве прогуливал занятия, предпочитая самообразование и работу в физической лаборатории. Впоследствии
он сильно сожалел о некоторых из пропущенных лекций, в особенности Минковского. (После появления теории относительности
именно Минковский развил четырехмерную геометрию, которая
намного лучше всего, что было раньше, соответствовала бессмертному творению его нерадивого студента.) В общем же, конечно, сам
Эйнштейн лучше всех наставников и советчиков знал, чем ему сле6
дует заниматься. Политехнической терпимости хватило на то, чтобы довести нетипичного студента до благополучного окончания заведения, но не хватило для того, чтобы оставить его у себя после получения диплома – в отличие от многих его однокурсников. Практически все преподаватели признавали выдающиеся способности
выпускника, но никто не знал, что с ними делать.
Сам Эйнштейн знал, конечно, что ему делать, но имел такую
возможность лишь в пределах, которые допускали внешние обстоятельства. А обстоятельства сложились трудные. Непризнанный
гений не мог устроиться на постоянную работу. Он считал (скорее
всего, не без оснований), что ему мешал политехнический профессор Г. Ф. Вебер, с которым в годы учебы у Эйнштейна сложились
напряженные отношения. Почти два года он жил впроголодь в буквальном смысле, а вынужденно свободное время помимо продолжения самообразования и размышлений об очень серьезных научных проблемах приходилось тратить на поиски работы. Конечно,
это не способствовало научной продуктивности, но безработный не
унывал. В письмах этого периода он называл себя «веселым зябликом», не способным отчаиваться и предаваться меланхолии. Никто
не знает, сколько еще времени такой неустроенности он был в состоянии выдержать. Слава богу, это испытание закончилось в июле
1902 года. Эйнштейн и человечество обязаны этим двоим его современникам – другу и однокурснику математику Марселю Гроссману
и директору патентного бюро в Берне Фридриху Галлеру. Первый
рекомендовал Эйнштейна второму через своего отца, который был
хорошим знакомым директора, а второй принял великого ученого
на постоянную работу на должность патентного эксперта 3 класса. Работа эксперта поглощала, конечно, много времени и сил, зато способствовала расширению кругозора. При этом она оставляла
ему немало свободного времени, которое эксперт 3 класса сумел использовать наилучшим для науки и человечества образом.
Получив постоянное рабочее место, патентный эксперт оказался в состоянии устроить семейные дела. В январе 1903 года он женился на своей однокурснице Милеве Марич (сербского происхождения). Существует легенда, будто идея теории относительности
была якобы подсказана Эйнштейну Милевой. Разумеется, это только легенда, и притом неправдоподобная. Эйнштейн добился в науке
очень многого и после расставания с Милевой, а она за всю жизнь
не прославилась ничем, кроме того, что более десяти лет была женой великого человека. Тем не менее, человечество должно быть
сильно благодарно ей уже за это. Многовековой опыт человече7
ства надежно свидетельствует, что семейная жизнь нередко бывает
хуже холостяцкой. Слава богу, в этом смысле Эйнштейну повезло.
Если бы его первая семья оказалась конфликтной, это отметили бы
все биографы, а они не заметили ничего подобного. Вклад Милевы
в прогресс человечества ценен тем, что она не мешала мужу заниматься наукой и взяла на себя его бытовое устройство, к уровню которого «веселый зяблик», впрочем, не был требовательным.
После окончания Эйнштейном Политехникума произошло поистине эпохальное событие, которого, однако, никто не заметил.
Его статьи стали появляться в научных журналах, прежде всего
в самом солидном немецком журнале «Анналы физики». Первая
статья «Следствия из явлений капиллярности» была подготовлена
на основе работ, выполненных еще в Политехникуме. Наверняка
по рекомендации кого-то из профессоров этого вуза. Для дальнейшего хватило минимального престижа безработного специалиста
в глазах редакции по впечатлению от первой публикации. В академическом «Собрании научных трудов» [4] гениальной работе
1905 года по теории излучения предшествуют шесть более ранних
работ 1900–1905 годов. Они относятся к термодинамике, включая
ее статистическое обоснование, и молекулярной физике. Помимо
прочего, Эйнштейна, как и почти всех физиков тех лет, очень интересует числоe Авогадро, которое позволяет представить масштаб
микромира, то есть размеры и массу атомов и молекул. Все ранние
работы Эйнштейна (до 1905 года) не оказали никакого влияния на
развитие науки, и попали в Собрание сочинений только потому, что
последующие работы того же автора двинули науку с такой силой,
которая не имеет прецедента в истории человечества. В сравнении
с в высшей степени основательными работами Дж. Гиббса, которых Эйнштейн тогда не знал, его ранние работы по термодинамике и статистической физике выглядят бледно, почти ученически.
Но это было самостоятельное ученичество гения, которое привело
к радикальному повышению уровня понимания этих дисциплин,
что очень пригодилось в дальнейшем. В частности, при изучении
проблем излучения, а также броуновского движения.
Квантовая физика до Эйнштейна
Заголовки «Эйнштейн до квантовой физики» и «Квантовая физика до Эйнштейна» следует трактовать в смысле «до 1905 года»,
то есть до того, как Эйнштейн опубликовал свою первую работу,
8
имеющую отношение к квантовым представлениям. В буквальном
смысле до 1905 года никакой квантовой физики не было. Была предыстория, которая полностью исчерпывалась одной только задачей
о тепловом излучении. Сравнительно подробно (и упрощенно) эта
самая предыстория изложена в первой части предполагаемой серии
учебных пособий по этой теме [1]. Задача была впервые сформулирована Густавом Кирхгофом в 1860 году. Связь между теплом и светом известна с незапамятных времен. С одной стороны, тепло вместе со светом исходит от Солнца. С другой – от огня исходит свет,
и тепло тоже. Сильно нагретые тела светятся, причем цвет их меняется при изменении накала. Однако не только раскрыть связи между давно известными фактами, но хотя бы правильно поставить вопросы не было возможности, пока не было понято, что теплота – это
движение, а свет – волновое явление. То есть до XIX века. Познавательная ситуация созрела как раз к 1860 году. Накануне Кирхгоф
и Роберт Бунзен открыли спектральный анализ. Волновая теория
света достигла высокого уровня после работ О. Френеля в первой
четверти XIX века, а термодинамика создавалась Рудольфом Клаузиусом и Вильямом Томсоном (он же лорд Кельвин) с 50-х годов
того же XIX века. Самое первоначальное положение термодинамики состоит в том, что с течением времени всякая изолированная система приходит в состояние теплового равновесия, после чего переход теплоты от одних частей системы к другим прекращается. Это
происходит всегда, в том числе тогда, когда передача теплоты происходит только через излучение. Для того чтобы при теплообмене
через излучение могло установиться тепловое равновесие, все материальные тела должны поглощать часть падающей на них энергии
излучения, а также излучать энергию сами. В состоянии установившегося теплового равновесия количество поглощенной энергии
должно быть в точности равно количеству излученной. Это значит,
что «излучательная способность» (термин Кирхгофа) должна быть
пропорциональна «поглощательной» для любого материального
тела, а отношение первой ко второй (излучательная способность
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА, которое поглощает всю падающую
на него лучистую энергию) от природы конкретного тела не зависит, а является универсальной функцией температуры и частоты.
Задача, поставленная Кирхгофом, состояла в том, чтобы установить вид этой функции.
Проблема оказалась очень крепким орешком. Четыре десятилетия ее штурмовали лучшие физики мира. Решение в конце концов было найдено, но не сразу, а в несколько этапов. В 1879 году
9
Йозеф Стефан эмпирически установил, что полная энергия излучения (в сумме по всем частотам) пропорциональна четвертой степени
абсолютной температуры. Правда, его вывод относился к нечерным
телам. В 1884 году Людвиг Больцман обосновал эту зависимость
теоретически. Для этого пришлось рассматривать не излучательную способность, а пропорциональную ей плотность энергии излучения. Больцман ссылается на работу итальянского физика Адольфо Бартоли, который обратил внимание на связь существования
светового давления со вторым началом термодинамики. Если бы
светового давления не было, можно было бы представить себе передачу теплоты через излучение от холодного тела к горячему без
компенсации, то есть вопреки второму началу. Поскольку световое
давление существует, можно (конечно, в принципе, а не практически) рассмотреть тепловую машину с тепловым излучением в качестве рабочего тела. Уравнение состояния этого своеобразного рабочего тела Больцман выводит из установленной Максвеллом пропорциональности светового давления и плотности энергии электромагнитного излучения. В сущности (хотя сам Больцман этого не
отмечает) дело сводится к рассмотрению изотермического расширения излучения с совершением работы силой светового давления.
Получается очень простое дифференциальное уравнение, интегрирование которого дает пропорциональность плотности энергии излучения четвертой степени абсолютной температуры, то есть закон
Стефана (r = sT4).
Вывод Больцмана основан на самых общих термодинамических
соотношениях, а из волновых представлений использует только
связь светового давления с плотностью энергии. Никакой информации о спектральном распределении энергии он поэтому дать не может. Первый (и важнейший) шаг к выяснению распределения энергии излучения по частотам сделал Вилли Вин в 1893 году. Любой
процесс сжатия-расширения волнового поля в объеме с зеркальными стенками включает отражение волн от движущихся стенок.
А отражение волны от движущейся стенки сопровождается изменением ее длины и, соответственно, частоты. Таким образом, адиабатическое расширение поля излучения в изменяющемся объеме
приводит к переходу энергии из одного интервала частот в другой.
Подробно разобравшись с адиабатическим расширением теплового излучения на простом примере, Вин получил «закон смещения»,
согласно которому можно получить распределение по частотам при
любой температуре, если хотя бы для какой-то одной температуры
оно известно. Закон смещения записывается формулой
10
ænö
r(n, T) = n3f çç ÷÷÷,
çè T ø
ænö
где f çç ÷÷  – неизвестная пока еще функция одной переменной. Таçè T ÷ø
ким образом, Вину удалось свести задачу к определению функции
одной переменной (n/T), а не двух (n, T), что намного проще. Тем
не менее, и с этой задачей справились далеко не сразу. Эмпирически построенный на основании не слишком точных тогдашних измерений график явно был похож на распределение Максвелла, во
всяком случае, для высоких частот. (По Максвеллу распределены
скорости газовых молекул при тепловом равновесии.) В 1896 году
Вин представил коллегам угаданную им на основании аналогии
с распределением Максвелла формулу, попытавшись обосновать
ее предположением о взаимодействии волнового поля с находящимися в том же объеме газовыми молекулами, распределенными по
Максвеллу. Обоснование было не слишком убедительным, но при
тогдашней точности измерений «закон излучения Вина» удовлетворительно согласовывался с данными эксперимента
-b
r(n, T ) = An3e
n
T.
В 1900 году важнейшее обстоятельство обнаружил английский
физик Рэлей, крупнейший специалист по теории колебаний и волновых движений. Он применил к расчету плотности энергии излучения основной принцип статистической механики – принцип
равномерного распределения энергии по степеням свободы. Этот
принцип великолепно работает для механических систем с большим, но конечным, числом степеней свободы. К примеру, для идеального газа. И позволяет объяснить термодинамические свойства
подобных систем на основе очень простых моделей. Рэлей отважно
применил принцип равномерного распределения к волновому полю, число степеней свободы которого бесконечно. Его гениальная
идея состояла в том, как именно сосчитать бесконечность. Он представил произвольное волновое поле в кубе большого размера в виде
суперпозиции стоячих волн в этом объеме (собственных функций
оператора Лапласа при нулевых граничных условиях). Согласно
теории рядов Фурье, это можно сделать при весьма общих условиях. Вообще говоря, ряды получаются бесконечные. Если каждую
из стоячих волн считать за независимую от других степень свободы и согласно принципу равномерного распределения определить
11
для нее, как принято в статистической механике, среднюю энергию kT, где k – постоянная Больцмана, а T – абсолютная температура, можно арифметическим сложением подсчитать полную энергию волнового поля. Поскольку количество слагаемых бесконечно
и они равны друг другу, энергия получается бесконечной. Самое
удивительное, однако, то, что эта бессмысленная бесконечность получается за счет неограниченно высоких частот, а для каждого конечного интервала частот получается конечная величина, и (в предельном случае низких частот) даже близкая к тому, что показывает эксперимент. Логически безукоризненно выведенная из волновой теории и принципа равномерного распределения формула
Рэлея–Джинса такова
r(n,T ) =
8πn2
kT.
c3
Здесь k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура,
c – скорость света. На самом деле Рэлей не решился опубликовать
точную бессмысленную формулу, а ограничился формулой с невычисленными точно коэффициентами, зато добавленным без всяких
обоснований виновским экспоненциальным множителем
-
r(λ, T ) = c1Tλ-4 e
c2
λT .
Спасительный множитель избавлял от бессмысленной бесконечности ценой фактического отказа от принципа равномерного распределения, но никак не объяснял, почему этот всеобщий принцип
«каким-то непостижимым образом» неприменим к волновому полю
при не очень низких частотах.
Предыстория закончилась в конце 1900 года, когда Макс Планк
открыл квантовую эру в двух сообщениях, причем в последнем
употребил слово «квант». 19 октября Планк доложил коллегам угаданную им правильную формулу для спектрального распределения
плотности энергии теплового излучения, а 14 декабря представил
ее квантовое истолкование. Формально догадка Планка выглядит
простой интерполяцией между формулами Вина и Рэлея–Джинса, которые оказались ее предельными случаями соответственно
для высоких и низких частот. Однако угадать такую интерполяцию, глядя на эти формулы сами по себе, совершенно невозможно. Планку помогло обращение к самым основным принципам
термодинамики. Из формулы закона излучения Вина можно выразить 1/T
12
1
1
= - lnU + const.
T
bn
В то же время непосредственно из первого и второго начал термодинамики получается, что 1/T есть производная от энтропии по
¶S
. Планк догадался рассмотреть
энергии при постоянном объеме
¶U
ВТОРУЮ производную энтропии по энергии. Получилось, что согласно закону Вина
¶2 S
¶U
2
=-
1 1
· .
bn U
Предельная простота этой зависимости сильно подкрепила уверенность Планка в безусловной правильности закона Вина. Работу Рэлея Планк в 1900 году еще не знал. Однако за несколько дней
до заседания физического общества в Берлине экспериментаторы
сообщили ему, что отклонения от закона Вина при низких частотах нельзя игнорировать, причем зависимость плотности энергии
от температуры для этих частот похожа на прямо пропорциональ1 1
ную ~ . Такой зависимости соответствовала пропорциональT U
¶2 S
1
~. В этот
ность второй производной энтропии по энергии
2
¶U
U2
момент человечеству сильно повезло, поскольку до того, как разочароваться во второй производной, Планк перепробовал несколько
предположительных зависимостей ее от энергии, в том числе простейшую интерполяцию между –1/U и –1/U2. Простейшую интерполяцию дает формула
k
,
U (U + e)
где k и e – постоянные. При U << e можно пренебречь U по сравнению с e. Тогда
¶2 S
1
~- .
U
¶U
2
Если же e << U, можно пренебречь e по сравнению с U, и получится
¶2 S
¶U
2
~-
1
U2
.
13
Интегрируя вторую производную по U, восстанавливаем первую
производную
¶S 1
= =¶U T
kdU
ò U (U + e),
которая, как мы помним, равна 1/T. Учитывая эту зависимость,
а также закон смещения Вина, Планк получил правильную формулу для спектрального распределения плотности энергии теплового
излучения
r(n, T ) =
8πn2
c
3
×
hn
hn
kT
e
.
-1
В формулу Планка входят две фундаментальные постоянные.
Одну из них (постоянную k) Планк назвал именем Больцмана.
Никто не возразил против того, что другую, еще более фундаментальную (h – размерности действия) стали впоследствии называть
постоянной Планка. Используя угаданную формулу, Планк сумел
вычислить входящие в нее постоянные. Он установил их связи с измеренными экспериментально постоянными закона Стефана и закона смещения максимума спектрального распределения по длинам волн (частный случай закона смещения Вина).
Расшифровать смысл остававшейся загадочной, но надежно
подтвержденной экспериментом, формулы удалось самому Планку спустя «несколько недель самой напряженной работы в моей
жизни». На самом деле Планк напряженно работал над труднейшей ­задачей с 1897 года и испытал в этой работе несколько разных подходов. Один из них (зависимость от энергии второй производной энтропии) неожиданно завершил сорокалетнюю борьбу с задачей, поставленной Кирхгофом еще в 1860 году. Чтобы двигаться
дальше, снова приходилось испытывать разные подходы. На этот
раз к успеху привело возвращение к подходу, не принесшему удачи на более раннем этапе. Пытаясь свести неподдававшуюся задачу к более простой, Планк рассматривал взаимодействие поля
излучения с «осцилляторами», то есть материальными объектами,
способными обмениваться энергией с волновым полем каждый на
своей строго определенной частоте колебаний. Ему удалось вычислить, что распределение энергии волнового поля пропорционально распределению по энергиям соответствующей системы осцилляторов
14
r(n,T ) =
8πn2
× u.
c3
Здесь u – средняя энергия осциллятора частоты n.
Сама по себе эта пропорциональность не помогла угадать правильный закон распределения. Но после того, как он был угадан
с помощью второй производной, появилась возможность, идя в обратном направлении, сделать определенное заключение по поводу
самих осцилляторов. Зависимость энтропии от энергии для системы осцилляторов предельно проста. Планк вычислил ее энтропию,
буквально воспроизведя схему Больцмана, которую тот применил
для вывода равновесного распределения по энергиям большого, но
конечного, числа молекул (распределение Больцмана). Предпочитая, в отличие от Гиббса, максимально наглядный подход, Больцман рассмотрел простейшую дискретную модель распределения
множества малых, но конечных, «элементов энергии» по большому, но тоже конечному, количеству молекул. В этой модели легко
вычислить «вероятность макросостояния с определенной энергией», пользуясь классическим определением вероятности. (Строго
говоря, в этой модели речь идет не о вероятности в точном математическом смысле, а о «статистическом весе», то есть просто о количестве «комплексий» (вариантов распределения), возможных при
данной полной энергии.) Зная же эту самую «термодинамическую
вероятность», можно определить энтропию, используя соотношение Больцмана S = k ln W.
Поскольку на самом деле молекулы могут иметь любые значения энергии, а не только целые кратные какой-то малой величины
e (конечного малого «элемента энергии»), схема Больцмана подразумевает после «приближенного» вычисления энтропии с конечным
ε предельный переход при e → 0. Результат такого предельного перехода в точности совпадает со значением энтропии, вычисленным
чисто термодинамически на основании ее «макроскопического»
определения. Это совпадение подтверждает правильность молекулярно-кинетической модели и дает обоснование применению статистических методов к системам, состоящим из большого количества
частиц. Применение же схемы Больцмана к осцилляторам, взаимодействующим с тепловым излучением, привело к выводу, удивительному в самой превосходной степени. Если провести все рассуждения до конца, включая предельный переход, получится средняя
энергия осциллятора kT, что соответствует физически бессмысленной формуле Рэлея–Джинса. Однако получить из этой схемы
15
правильную формулу Планка тоже возможно! Для этого последним шагом вместо предельного перехода при e → 0 следует положить ε конечной величиной hn, пропорциональной частоте n, причем коэффициентом пропорциональности должна быть постоянная
Планка h. Приходится признать, что «осцилляторы» НА САМОМ
ДЕЛЕ могут иметь только дискретные значения энергии, кратные
hn. Или, по меньшей мере, только такими порциями могут обмениваться энергией с волновым полем. Планк назвал такие неделимые
элементы энергии «квантами» и поделился этими удивительными
выводами с коллегами 14 декабря 1900 года. Этот день и стал днем
рождения квантовой физики.
Эвристическая точка зрения
Итак, квантовая физика началась в октябре-декабре 1900 года.
Но она ограничивалась исключительно тепловым излучением,
ни к чему иному не имела никакого отношения вплоть до марта
1905 года, когда высказал свою «эвристическую» точку зрения патентный эксперт 3 класса. Его статья, напечатанная в «Анналах
физики», называлась «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света». Эта статья гениальна, однако совсем не так, как работы того же автора того же
1905 года по теории относительности. С теорией относительности
основные вопросы были решены в первых же статьях. В принципе автору все стало ясно. По поводу же квантовых представлений
почти все осталось неясным, хотя был сделан шаг принципиальной
важности. Научное сообщество, наоборот, с удовлетворением приняло объяснение фотоэффекта, а теорию относительности усваивало очень долго и с большой натугой. Авторская оценка уровня понимания проблемы великолепно отражена в заголовке. «Эвристическая» точка зрения – значит предположительная, гипотетическая. Принципиальная ценность ее состоит в установлении связи
между совершенно разнородными, как до того думали, явлениями, и объяснении их на основе совсем необычных для того времени
представлений. Причем путь, который привел к великому достижению, оказался очень не простым и, с позиций математической
корректности, совершенно безбожным. В самом начале статьи гениальная точка зрения изложена настолько точно, что лучше сформулировать невозможно. Вот буквальная цитата, которую стоит
внимательно прочитать, хотя она сравнительно длинная.
16
«Между теоретическими представлениями физиков о газах или
других весомых телах и максвелловской теорией электромагнитных процессов в так называемом пустом пространстве существует
глубокое формальное различие. Состояние любого тела мы считаем
полностью определенным, если известны координаты и скорости
хотя бы и очень большого, но все же конечного числа атомов и электронов; напротив, для определения электромагнитного состояния
пространства мы используем непрерывные функции в этом пространстве, так что для полного описания электромагнитного состояния пространства недостаточно конечного числа величин. Согласно теории Максвелла, во всех электромагнитных, а значит и световых явлениях, энергию следует считать величиной, непрерывно
распределенной в пространстве, тогда как энергия весомого тела,
по современным физическим представлениям, складывается из
энергий атомов и электронов. Энергия весомого тела не может быть
раздроблена на сколь угодно большое число произвольно малых частей, тогда как энергия пучка света, испущенного точечным источником, по максвелловской (или вообще по любой волновой) теории
света, непрерывно распределяется по все возрастающему объему.
Волновая теория света, оперирующая с непрерывными функциями точки, прекрасно оправдывается при описании чисто оптических явлений и, вероятно, едва ли будет заменена какой-либо иной
теорией. Но все же не следует забывать, что оптические наблюдения относятся не к мгновенным, а к средним по времени величинам. Поэтому, несмотря на полное подтверждение экспериментом
теории дифракции, отражения, преломления, дисперсии и т. д.,
может оказаться, что теория света, оперирующая непрерывными
пространственными функциями, приведет к противоречию с опытом, когда ее будут применять к явлениям возникновения и превращения света.
Я и в самом деле думаю, что опыты, касающиеся «излучения
черного тела», фотолюминесценции, возникновения катодных лучей при освещении ультрафиолетовыми лучами и других групп явлений, связанных с возникновением и превращением света, лучше
объясняются предположением, что энергия света распределяется
по пространству дискретно. Согласно этому сделанному здесь предположению, энергия пучка света, вышедшего из некоторой точки,
не распределяется непрерывно во все возрастающем объеме, а складывается из конечного числа локализованных в пространстве неделимых квантов энергии, поглощаемых или возникающих только
целиком».
17
Материальный мир, который изучает наука, состоит из двух совершенно разных частей. Есть «весомая материя», которая состоит из атомов и молекул, и есть «поле», «эфир», непрерывная среда,
в которой распространяются волновые движения. «Возникновение и превращение света» – это переход энергии от «весомой материи» к «эфиру» и обратно. Очевидная дискретность распределения
энергии между атомами-молекулами и непрерывное ее распределение в «эфире» плохо увязываются между собой. Поэтому такая
волновая теория, какая есть, может оказаться неприменимой к явлениям «возникновения и превращения». Возможный выход Эйнштейн видит в использовании представления о дискретном распределении энергии света в пространстве, не отрицая в то же время
волновых его свойств. Это было в высшей степени смелое решение!
Никаких попыток увязать дискретность с интерференцией автор
сумасшедшей идеи не делает, понимая безнадежность такой задачи
в то время. Он концентрирует усилия на анализе известных к тому
моменту явлений, которые могли бы подтвердить «эвристическую»
догадку.
Один параграф из девяти
Гениальная работа содержит девять параграфов. Собственно,
«возникновению и превращению света» посвящены три последних.
А из этих трех только один (восьмой) удостоился высокой оценки
со стороны научного сообщества. Нобелевская премия за 1921 год
была присуждена Эйнштейну именно за объяснение фотоэффекта.
Правда, нобелевские эксперты дипломатично упомянули «и другие работы». Хотя к тому времени уже были осуществлены астрономические наблюдения, полностью подтвердившие предсказания общей теории относительности. «Эта работа послужила началом квантовой теории излучения. В ней сформулирован закон
Эйнштейна для фотоэффекта». Так оценивают значение «эвристической» статьи редакторы академического «Собрания научных
трудов» Эйнштейна [4]. Знаменитый параграф называется «О возбуждении катодных лучей при освещении твердых тел». «Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта» в теперешних учебниках записывается так:
hn = P + eV.
18
Смысл такой, что вся энергия кванта излучения hn поглощается одним электроном, частично расходуется на преодоление работы выхода его из твердого тела P, а оставшаяся часть остается при
электроне в виде кинетической энергии, которая записывается как
eV, где V – задерживающий потенциал. В таком виде, однако, сам
Эйнштейн свое уравнение в 1905 году не писал. Вместо привычного
нам hn он пишет Rbn/N, где R – газовая постоянная, N – число Авогадро, а b – коэффициент из формулы Планка в том виде, в каком
ее записывает Эйнштейн, а не сам Планк. То есть на тот момент
он не признает ни постоянной Больцмана, ни постоянной Планка, и не сознает, очевидно, их фундаментального значения, особенно последней. Туго, однако, соображал великий ученый… Фотоэффект был открыт в 1887 году Генрихом Герцем. Ведущие физики,
в том числе московский профессор А. Г. Столетов, очень быстро разобрались с основными закономерностями. Но до работы Эйнштейна оставалась непонятной зависимость энергии фотоэлектронов от
спектрального состава излучения. Существовала «красная граница» – предельная частота, ниже которой фототока не было совсем
при любой интенсивности освещения. С другой стороны, при более
высокой частоте эффект наблюдался даже при очень слабой освещенности. Получалось, что энергия освобожденных электронов никак не зависела от интенсивности освещения, а исключительно от
частоты падающего излучения. Теперешние студенты и школьники считают это естественным, поскольку заучили, что свет состоит
из неделимых квантов, энергия которых пропорциональна частоте, а интенсивность определяется количеством квантов. Если энергии кванта не хватает для отрыва электрона от поверхности, как
угодно большое их количество не может вырвать из твердого тела
ни одного электрона. До 1905 года лучшие физики мира не знали
того, что знают теперешние школьники, и потому никак не могли
понять, почему так происходит. Спасибо, Эйнштейн разобрался…
Седьмой параграф статьи Эйнштейна объясняет правило Стокса, которое состоит в том, что при фотолюминесценции частота вторичного излучения ниже, чем возбуждающего. Эйнштейн объясняет, предполагая, что квант возбуждающего излучения поглощается целиком, после чего его энергия, перешедшая к микрочастицам
вещества, постепенно рассеивается, но может быть излучена тоже
в виде одного кванта меньшей энергии, то есть меньшей частоты.
Известные редкие случаи нарушения правила Стокса объясняются тем, что квант вторичного излучения может получить энергию от двух квантов возбуждающего. Последний параграф посвя19
щен ионизации газов ультрафиолетовым светом. Объяснение буквально такое же, как для фотоэффекта. Распад молекулы на ионы
происходит при поглощении ею одного кванта излучения, для чего этот квант должен иметь достаточную энергию, то есть частоту
выше красной границы, которая для ионизации имеет место точно так же, как для фотоэффекта. В изложении Эйнштейна фотолюминесценция и фотоионизация совершенно равноправны с фотоэффектом, поскольку одинаково успешно объясняются «эвристическим» предположением о том, что «превращение света» происходит
не любыми порциями, а неделимыми квантами, энергия которых
пропорциональна частоте. Научное сообщество, однако, впечатлилось фотоэффектом, именно его посчитав достойным Нобелевской
премии, а остальные два параграфа, посвященные «превращению»
света, просто приняло к сведению.
Мы помним, что в статье, посвященной «возникновению и превращению света», к этим вещам имеют отношение последние три
параграфа. А остальные шесть? Гениальная преамбула в самой
превосходной степени точно формулирует проблему двух разных
видов материи. Далее первые шесть параграфов последовательно
демонстрируют движение мысли, на основании известного к тому
времени обосновывающее предложенное в преамбуле безумно смелое решение. К тому времени из нужного для этого была только задача о тепловом излучении с загадочным решением Макса Планка.
Первый параграф называется «Об одной трудности в теории черного тела». Следуя за Планком и его предшественниками, Эйнштейн
рассматривает модель, в которой тепловое излучение в изолированном объеме находится в динамическом равновесии с осцилляторами-резонаторами в том же объеме. Он воспроизводит выведенное
Планком с помощью теории Максвелла соотношение между плотностью энергии излучения и средней энергией осциллятора
r(n,T ) =
8πn2
× u.
c3
Считая среднюю энергию осциллятора равной kT, как положено в статистической механике (что эквивалентно равномерному
распределению энергии по степеням свободы), Эйнштейн получает в точности бессмысленную формулу Рэлея–Джинса. Сам Планк
упустил шанс другим способом (в отличие от самого Рэлея) получить эту формулу, поскольку двигался в противоположном направлении, которое спустя непродолжительное время привело его к отказу от равномерного распределения в пользу квантовых представ20
лений. Впоследствии Эйнштейн неоднократно возвращался к этой
«трудности» и всегда убеждался, что как ни крути, с какой стороны ни подойди к проклятому вопросу, ничего другого, кроме формулы Рэлея–Джинса, получиться не может, если придерживаться электродинамики Максвелла и принципа равномерного распределения. В первом параграфе он просто констатирует «трудность».
Второй параграф называется «О планковском определении элементарных квантов». Начинается параграф с обещания. «Теперь мы
покажем, что определение элементарных квантов, данное Планком, является до известной степени независимым от созданной им
теории излучения черного тела». Фактически в данном параграфе
НИЧЕГО не говорится о планковском определении элементарных
квантов. Воспроизводится формула Планка с другими по сравнению с оригиналом обозначениями коэффициентов, констатируется, что она «согласуется со всеми проведенными до сих пор экспериментами», и далее рассматривается предельный переход в формулу Рэлея–Джинса при низких частотах. Из этой предельной формулы Эйнштейн вычисляет число Авогадро. Поскольку он использует найденные Планком коэффициенты, у него получается точно
такое же значение, какое получил Планк. Отличие от планковского вычисления то, что в принципе оказывается возможным вычислить число Авогадро непосредственно из измерений длинноволнового хвоста спектрального распределения энергии, не привлекая
постоянные закона Стефана и закона смещения Вина.
Математическая корректность
Заголовок третьего параграфа короткий, но принципиальный –
«Об энтропии излучения». В этом параграфе и в трех следующих
проводится аналогия между зависимостью энтропии от объема для
равновесного теплового излучения и для идеального газа (или разбавленного раствора). В итоге в конце шестого параграфа формулируется вывод: монохроматическое излучение малой плотности
(в пределах области применимости закона излучения Вина) в смысле теории теплоты ведет себя так, как будто оно состоит из независимых друг от друга квантов энергии величиной Rbn/N. К сожалению, аргументы Эйнштейна с точки зрения математической
корректности недостаточно обоснованы. Сто лет никто не обращал на это внимания. Но в XXI веке американец Майкл Науенберг
«к своему удивлению» обнаружил «пробел» (GAP по англо-амери21
кански) в рассуждениях Эйнштейна по поводу теплового излучения [5]. Вскоре на него сослался другой американец, Ханс Оханиан, включив этот «GAP» в собранную им коллекцию «ошибок Эйнштейна» [6]. В русском переводе «ошибки Эйнштейна» (Einstein’s
Mistakes) превратились в «настоящую историю великих открытий», а Hans Ohanian в Оханьяна. Науенберг заметил, что из аналогии между идеальным газом и «тепловым излучением в пределах применимости закона Вина» не получается такой связи между
давлением света и плотностью энергии, какая должна быть согласно теории Максвелла (p = r/3). По мнению Науенберга, «парадокс»
объясняется изменением частоты света при отражении волны от
движущейся стенки в реальном процессе расширения излучения
как рабочего тела тепловой машины в цилиндре под поршнем.
(Эйнштейн ограничился чисто формальным вычислением зависимости энтропии от объема, не рассматривая вовсе соответствующий реальный процесс.) Увы, предложенное Науенбергом объяснение неубедительно. Изменение частоты получается только в случае
идеально зеркального отражения волны от движущейся стенки, то
есть при адиабатическом процессе. Однако изменению объема при
ПОСТОЯННОЙ ЭНЕРГИИ соответствует (для излучения) НЕ адиабатический процесс (при котором нет теплообмена) и НЕ изотермический, а довольно-таки экзотический с точки зрения тепловой машины, при котором температура абсолютно черных стенок изменяется согласованно с изменением объема. То есть «парадокс» никуда
не делся.
Попробуем разобраться. Начнем с идеального газа. Из самого
первоначального определения дифференциала энтропии известно, что
dS =
dQ 1
p
= dU + dV ,
T
T
T
æ
ö
æ
ö
çç ¶S ÷÷ = 1 ; çç ¶S ÷÷ = p .
÷
÷
çè ¶U ø
T çè ¶V øU T
V
Для идеального газа прямо из уравнения Клапейрона получается
æ ¶S ö÷
p R
çç
= = .
çè ¶V ÷÷ø
T V
U
Энтропия восстанавливается по своей производной интегрированием по V при постоянной энергии, что соответствует изотерми22
ческому процессу, поскольку энергия идеального газа пропорциональна температуре
S =
æ ¶S ö
ò çççè ¶V ÷÷÷ø
dV =
U
R
ò V dV = R ln V.
Эйнштейн обосновывает то же самое в пятом параграфе, используя молекулярно-кинетическую модель и связь энтропии с вероятностью. Перейдем к тепловому излучению. Полная плотность
энергии излучения (по всем частотам) описывается законом Стефана–Больцмана (r = sT4). Вычислим из этой формулы 1/T, учитывая
(r = U/V)
U
= sT 4 ;
V
1
æ U ö÷4
çç
= T;
çè sV ÷÷ø
1
æ
ö
æ
ö
çç ¶S ÷÷ = 1 = çç sV ÷÷4 .
÷
çè ¶U ÷ø
ç
T èU ø
V
Дифференцируя последнее равенство по V, найдем вторую смешанную производную энтропии
1
3
¶ çæ ¶S ÷ö
¶ 1 1 çæ s ö÷4 - 4
= ç ÷ V .
÷÷ =
çç
¶V è ¶U øV ¶V T 4 çè U ø÷
С другой стороны, посмотрим на производную энтропии по объему, учитывая соотношение Максвелла (p = r/3).
1
3
1
æ
ö
æ
ö
æ ö
çç ¶S ÷÷ = p = r = U çç sV ÷÷4 = 1 s 4 çç U ÷÷4 .
ç
èç ¶V ø÷U T 3T 3V èç U ø÷
è
V ø÷
3
Дифференцируя ее по U, получим вторую смешанную производную в другом порядке
1
3
¶ æç ¶S ö÷
¶ p 1 æç s ö÷4 - 4
= ç ÷ V .
÷÷ =
ç
ç
¶U è ¶V øU ¶U T 4 èç U ø÷
Результаты дифференцирования в разном порядке совпали. Это
означает, что 1/T и p/T, вычисленные из формулы Стефана–Больцмана и соотношения Максвелла, действительно являются первыми производными функции двух переменных (U, V), то есть энтропии своеобразной упругой среды – равновесного теплового излучения в замкнутой полости. Поскольку известны обе частные производные, энтропия стандартно восстанавливается интегрированием
по своему полному дифференциалу
23
1
1
3
4
S = s 4 V 4 U 4 .
3
Полученную формулу легко проверить дифференцированием.
На формулу энтропии идеального газа она нисколько не похожа.
Рассмотрим, наконец, энтропию части энергии излучения, приходящейся на спектральный интервал (n, n + dn). Чтобы меньше загромождать формулы, объединим в символические коэффициенты величины, по которым не производится дифференцирование,
а также будем подразумевать под r и U их части, соответствующие
выделенному спектральному интервалу. Частные производные
­энтропии, как и прежде, будем вычислять как 1/T и p/T. 1/T возьмем из закона излучения Вина, а p – из соотношения Максвелла
B
r(n, T ) =
U
1 1 A
= Ae T ;
= ln V ;
V
T B U
p
1 U A
ln V .
=
T 3B V U
Вычислим вторую смешанную производную в различном порядке, дифференцируя 1/T по V, а p/T – по U. Из первого дифференцирования получится просто 1/BV, а из второго –
ù
1 é A
êln V -1ú .
3BV êë U
ûú
Каков смысл несовпадения результатов дифференцирования?
Это значит, что 1/T и p/T НЕ МОГУТ БЫТЬ производными ОДНОЙ
функции переменных (U, V). Только что они благополучно выдержали проверку на совпадение результатов дифференцирования
в различном порядке, и при посредстве стандартного интегрирования получилась очень простая формула для энтропии. В чем разница? В первом случае речь шла о производных энтропии излучения
в целом, суммарно по всем частотам. Во втором – об энтропии части
излучения, соответствующей выделенному спектральному интервалу. Выходит, «энтропия части излучения в выделенном интервале частот» не имеет смысла. Это вполне соответствует самому первоначальному определению энтропии, которая (как и температура)
определялась для системы (или хотя бы «подсистемы»), находящейся в состоянии теплового равновесия. В то время как выделенная
спектральным интервалом часть излучения не является «подсистемой в состоянии теплового равновесия», подобно тому, как не нахо24
дится в тепловом равновесии часть распределенных по Максвеллу
молекул газа в «выделенном интервале скоростей».
Таким образом, выведенная Эйнштейном для части излучения
в выделенном интервале частот «в пределах применимости закона
Вина» формула зависимости энтропии от объема при постоянной
энергии
S1 - S0 =
V
U
ln 1 ,
bn
V0
как выяснилось, НЕ ИМЕЕТ СМЫСЛА. Соответственно, повисает в воздухе усмотренная им аналогия термодинамического поведения высокочастотной части излучения с идеальным газом.
Наверное, было бы справедливо обругать Эйнштейна за то, что не
проверил выполнение условий полного дифференциала. С другой
стороны, однако, без аналогии с идеальным газом прийти к выводу о квантовой структуре излучения было бы намного труднее.
В принципе хорошо то, что некорректное рассуждение помогло не
отвергнуть парадоксальную идею. Но при этом приходится признать, что в работе 1905 года смелая гипотеза о движущихся в пространстве световых квантах так и не была убедительно обоснована. Что, впрочем, совсем не умаляет значимости великого открытия, сущность которого в том, что «возникновение и превращение»
света, то есть обмен энергией между полем и «весомой» материей,
происходит именно неделимыми квантами, пропорциональными частоте (hn). Последовательность изложения свидетельствует о том, что Эйнштейн усвоил идею квантов Планка, распространил ее с «осцилляторов» на само электромагнитное поле и применил к «возникновению и превращению», очень просто объяснив то,
что оставалось загадочным в продолжении десятилетий. Конечный
­результат получился великолепный, а «эвристические» промежуточные шаги никого не заинтересовали.
Теория теплоемкости
Вслед за «возникновением и превращением света» квантовые представления нашли себе применение в объяснении теплоемкости, и начало этому положил опять-таки Эйнштейн в конце
1906 года. Классическая теория теплоемкости основывалась на молекулярно-кинетических представлениях и принципе равномерного распределения энергии по степеням свободы. Молекула одно25
атомного газа имеет три степени свободы (соответственно трем компонентам вектора скорости). Считая на каждую степень свободы
kT/2, получаем для одного моля одноатомного идеального газа кинетическую энергию молекул 3RT/2, что соответствует теплоемкости при постоянном объеме 3R/2, то есть 3 кал/град. Для двухатомных молекул к трем «поступательным» степеням свободы добавляются две «вращательные». Соответственно молярная теплоемкость
должна быть 5 кал/град. Эксперимент с большой точностью подтверждает такие величины молярных теплоемкостей для газов при
температурах, заметно превышающих критическую (и невысоких
давлениях). В газах тепловое (неупорядоченное) движение молекул
сводится к поступательному и, если молекулы неодноатомны, также и вращательному. В твердых телах тепловое движение, согласно классическим представлениям, должно сводиться к колебаниям
атомов (молекул) вокруг положений равновесия в узлах кристаллической решетки. Поскольку независимые смещения в трехмерном пространстве возможны в трех разных направлениях, одному атому соответствуют три колебательные, то есть энергетически
двойные, степени свободы. Если считать колебания разных атомов
независимыми друг от друга, а распределение энергии между ними равномерным, то есть на одну колебательную степень свободы
kT, молярная теплоемкость простого вещества (все атомы которого одинаковы) должна составить 3R, то есть 6 кал/град. Согласно
эмпирически найденному правилу Дюлонга и Пти теплоемкости
твердых тел, как правило, действительно близки к 6 кал/град при
температурах, близких к комнатной. Однако отклонения от ожидаемой величины, в общем, существенно больше, чем для газов. Для
легких элементов и их соединений молярные теплоемкости намного меньше предсказанных, для алмаза – в несколько раз. Кроме того, при низких температурах теплоемкости намного уменьшаются,
чего в классической модели не должно быть. В своей первой (и основополагающей) работе «Теория излучения Планка и теория удельной теплоемкости» (1906) Эйнштейн указывает путь преодоления трудностей классической теории через применение квантовых
представлений. В самом простом варианте мы представляем себе
тепловое движение в твердом теле как совокупность колебаний гармонических осцилляторов со случайными амплитудами и фазами,
причем на один осциллятор в среднем должна приходиться энергия
kT. Однако Планк еще в 1900 году показал, что правильная формула для плотности энергии теплового излучения получается в предположении, что осцилляторы, обменивающиеся энергией с полем
26
излучения, могут иметь не любые значения энергии, а только целые кратные кванта hn. В таком случае средняя энергия колеблющегося осциллятора будет не kT, а
hn
hn
e kT
.
-1
Если предположить, что энергия осцилляторов твердого тела квантована точно так же, как у планковских осцилляторов, то
есть может принимать только дискретные значения, целые кратные hn, для тепловой энергии твердого тела и, соответственно, для
его теплоемкости, получится значение, близкое к классическому,
при достаточно высокой температуре (kT >> hn), но при низких температурах (kT << hn) будет намного меньше. А при приближении
к абсолютному нулю теплоемкость и вовсе будет стремиться к нулю. В классической теории частоты осцилляторов не имеют значения, при любой частоте средняя энергия одна и та же (kT). Если
же считать возможные значения энергии кратными hn, теплоемкость зависит от соотношения hn и kT. Для вычисления теплоемкости конкретных веществ нужно знать соответствующие частоты осцилляторов. Эйнштейн пробует оценить их по связи с оптическими свойствами, предположив резонансное поглощение света
веществом при этих частотах. Впоследствии он уточнил, учитывая
также упругие свойства веществ. Самая первоначальная теория,
изложенная в первой же статье Эйнштейна по теории теплоемкости, очень неплохо качественно объяснила экспериментально измеренные значения теплоемкостей, включая зависимость от температуры. Понятно, в частности, почему отклонения от классического
правила Дюлонга и Пти при комнатной температуре велики именно у легких элементов. Частота упругого маятника тем выше, чем
сильнее упругость и чем меньше масса. Стало быть, упругие атомные осцилляторы имеют более высокую частоту для легких элементов, что и объясняет их среднюю энергию существенно меньше
kT. С самого начала было ясно, что высокой точности конкретных
расчетов от первоначальной теории ожидать не стоило. Уже потому, что исходная модель слишком грубая. Считать осцилляторы
гармоническими можно только в самом грубом приближении. Еще
менее обосновано предположение о независимости их друг от друга. Соседние осцилляторы, во всяком случае, связаны между собой
очень сильно. Дальнейшее развитие теории теплоемкости шло по
линии уточнения в обоих направлениях. Впоследствии не однаж27
ды занимался этими вопросами и сам Эйнштейн. Однако наиболее принципиальный следующий шаг сделал в 1912 году голландский физик Петер Дебай. С целью учета связей между колебаниями разных атомов он предложил рассматривать тепловое движение
в твердом теле в виде суммы волновых возмущений, которые должны подчиняться квантовым ограничениям. То есть энергия каждой
такой бегущей или стоячей волны должна быть кратной hn, или
­содержать целое число «фононов». Подробности квантовой теории
теплоемкости выходят далеко за пределы нашей темы. Достаточно
уяснить ее основные идеи и роль Эйнштейна как первооткрывателя
и активного участника дальнейшего развития этой теории.
Флуктуации в поле излучения
Основополагающая работа 1905 года только положила начало квантовой теории излучения. Принципиально неясные вопросы остались. Конечно, Эйнштейн последовательно стремился выяснить все, что возможно. Его внимание привлекли флуктуации
в поле излучения, то есть случайные отклонения от некоего среднего состояния. Он был хорошо вооружен для изучения флуктуаций, поскольку ранее, да и параллельно, много занимался статистической физикой, в том числе броуновским движением. Тепловое движение вообще – это неупорядоченное, хаотическое движение атомов и молекул, составляющих макроскопическое тело. Для
волновых движений, в том числе для теплового излучения, соответственно, хаотическое наложение волн со случайными фазами
и амплитудами. Первый вопрос по поводу флуктуаций поля излучения – распределение энергии волнового поля в пространстве.
В макроскопических объемах энергия распределяется в среднем
равномерно. Начиная с Кирхгофа, ведущие физики искали зависимость от температуры и частоты именно средней плотности энергии излучения. На расстояниях же, соизмеримых с длиной волны,
энергия распределяется в пространстве сильно неравномерно при
любых волновых движениях, то есть отклонения от средней плотности примерно такие же, как она сама. Для статистического изучения интерес представляют промежуточные объемы между такими совсем микроскопическими и макроскопическими, в которых
отклонения от среднего пренебрежимо малы по сравнению с самим
средним значением. Эйнштейн берется разобраться с отклонениями от средних значений энергии именно в таких промежуточных
28
объемах. Он делает это в работе 1909 года «К современному состоянию проблемы излучения».
В несколько упрощенном виде его рассуждение можно изложить так. Выделим в поле излучения небольшой объем n. В условиях теплового равновесия энергия излучения в этом объеме в интервале частот (n, n + dn) в среднем равна r(n, T)×n. Однако в силу
хаотичности теплового излучения она будет со временем колебаться около этого среднего значения. Естественно, вероятность отклонений будет тем меньше, чем больше отклонения. Для того чтобы
вычислить средний квадрат отклонения (то есть флуктуации энергии), нужно знать закон распределения. При полной хаотичности
закон должен быть близок к нормальному, в котором плотность
­вероятности описывается кривой Гаусса
1
2πs
-
e
x2
2s2 .
Средний квадрат отклонения при нормальном распределении
определяется дисперсией (в смысле теории вероятностей) s2. Эйнштейн делает два нетривиальных хода. Во-первых, использует
больцмановское соотношение между энтропией и вероятностью
в противоположном традиционному направлении, то есть не вычисляет энтропию по предполагаемой вероятности, а наоборот, выражает закон распределения через энтропию
S = k ln W;
1
S
W = Be k .
В таком случае W есть плотность вероятности распределения отклонений от среднего значения энергии в выделенном объеме. Второй ход – замена энтропии S в показателе ее разложением в ряд по
степеням dU = e (флуктуации энергии)
1 ¶2 S
¶S
dU +
dU 2 + ...
¶U
2 ¶U 2
В этом разложении он оставляет только первые члены, до квадратичного включительно. Коэффициенты разложения – это производные энтропии по энергии, причем первая производная должна быть равна нулю в максимуме функции распределения. Дисперсия, то есть средний квадрат флуктуации, определяется (в первом
приближении) ВТОРОЙ производной энтропии по энергии. Точнее,
величиной, обратной этой второй производной. А вторая производ­
S = S0 +
29
ная – это то, что угадал Планк при самом первом выводе своей знаменитой формулы. Согласно догадке Планка, величина, обратная
второй производной, такова
1
- (Uhn + U 2 ).
k
Эйнштейн берет именно ту зависимость, которую угадал Планк,
и получает для среднего квадрата флуктуации энергии формулу
в виде арифметической суммы двух слагаемых (с точностью до множителя и обозначений)
Uhn + AU 2 .
Можно торжествовать. Получилась формула, которую легко интерпретировать. Первое слагаемое соответствует «корпускулярным» флуктуациям, которые получились бы, если бы световое поле
состояло из движущихся независимо друг от друга частиц с кинетической энергией hn. А второе – «интерференционным» флуктуациям, соответствующим суперпозиции волн со случайными амплитудами и фазами. Эйнштейн заключает, что флуктуации вызываются двумя независимыми друг от друга свойствами светового
поля – волновым и корпускулярным. Аналогично получается два
слагаемых для флуктуаций давления света на зеркальную поверхность. Рассуждения и выводы Эйнштейна по поводу флуктуаций
в световом поле в высшей степени остроумны, но недостаточно обоснованы и с точки зрения математической корректности, и с точки зрения интерпретации. Независимость причин флуктуаций получилась, в частности, за счет пренебрежения всеми членами разложения в степенной ряд за исключением квадратичного. Можно
говорить, пожалуй, о разделении флуктуаций на «корпускулярные» и «интерференционные» только в самом грубом приближении. ­Неправильно представлять себе ситуацию так, что высокие
частоты корпускулярные, а низкие волновые. Одна и та же частота может быть сравнительно высокой при низкой температуре,
а при высокой – наоборот. Это мелочи, однако, в сравнении с главной некорректностью, которую Эйнштейн формулирует в самом начале. Предлагая рассмотреть два сообщающихся объема (большой
и маленький), ограниченные диффузно отражающими стенками,
он пишет буквально следующее: «Пусть в этих объемах находится тепловое излучение, частоты которого заключены в интервале dn». Под вопросом, так же, как в работе 1905 года, осмысленность ­самого понятия «энтропии части теплового излучения в ма30
лом спектральном интервале», но этот «аспект» просто не замечается. Проверить экспериментально формулы флуктуаций светового
поля никто никогда, похоже, и не пытался. Значение эйнштейновской теории состояло в том, что она послужила дополнительным
аргументом в пользу представления о сочетании волновых и корпускулярных свойств в природе света.
Спонтанное и вынужденное излучение
Важнейшим достижением в познании природы стало создание ядерной модели атома и ее квантовое истолкование. Ядерную
структуру атома открыл в 1911 году Эрнест Резерфорд, правильно
истолковав эксперименты по рассеянию альфа-частиц. После чего в 1913 году Нильс Бор сумел объяснить остававшиеся загадочными с самого начала изучения спектров отдельные линии в спектре атома водорода на основе модели атома, включающей квантовые представления. Модель Бора была вопиюще противоречивой. С одной стороны, она была планетарной – предполагалось,
что электрон вращается вокруг ядра по круговой орбите как планета вокруг Солнца, в соответствии с законами классической механики. С другой – Бору пришлось предположить, во-первых, что
устойчивы не любые допустимые механикой орбиты, а только такие, в которых момент импульса имеет значения, целые кратные
постоянной Планка. А во-вторых, что, вращаясь по таким устойчивым ­орбитам, электрон ничего не излучает, – вопреки классической электродинамике Максвелла. Представление о дискретности возможных значений энергии «весомых» материальных объектов, впервые введенное Планком в 1900 году для гипотетических «осцилляторов», и использованное, в частности, Эйнштейном
в 1906 году для объяснения теплоемкостей, получило конкретное
подтверждение в боровской модели атома водорода. Опираясь на
него, Эйнштейну вскоре удалось добиться важнейшего продвижения в теории из­лучения.
Так же, как Бор в теории атома, Эйнштейн сумел в теории излучения выжать все возможное из соединения совершенно разнородных классических и квантовых представлений. «Возникновение
и превращение света» – это элементарный процесс взаимодействия
«весомого» материального объекта с полем излучения. «Возникновение» – это переход энергии от «весомого» объекта к излучению,
«превращение» – в обратном направлении. Спустя полтора деся31
тилетия после открытия Планка лучшие физики планеты прочно усвоили, что «весомые» объекты могут иметь не любые, а только дискретные значения энергии, связанные с постоянной Планка,
причем обмен энергией между «объектами» и полем происходит неделимыми квантами строго определенной частоты величиной hn.
Будем считать наш «весомый» объект «молекулой». Она может
иметь дискретный набор возможных значений энергии E1, E2, E3….
Если никаких других взаимодействий, помимо взаимодействия
с полем, молекула не испытывает, переход от какого-либо состояния к другому должен сопровождаться обменом энергией с полем.
Переход с высокого уровня на более низкий – излучением, с низкого на высокий – поглощением энергии поля. Поскольку обмен
энергией происходит квантами величиной hn, каждой паре уровней должна соответствовать определенная частота, причем обмен
энергией должен иметь резонансный характер. Теперь посмотрим
на классическую аналогию. Аналогом нашей молекулы будет «резонатор» или «осциллятор» в поле излучения. Осциллятор начнет
колебаться, когда к нему подойдет волна, частота которой совпадает с его собственной частотой. Произойдет поглощение энергии
волны осциллятором. А что будет, если к моменту подхода волны
осциллятор уже колебался? Все зависит от соотношения фаз его
собственных колебаний и фазы подошедшей волны. Может быть,
всего проще посмотреть на «детский» пример. Пусть кто-то раскачался на качелях. Я подхожу к качелям и аккуратно подталкиваю
их в такт их собственным качаниям. Качели раскачиваются еще
сильнее, поглощая энергию от внешнего источника (то есть от меня). А если я буду толкать качели в противофазе? Они будут тормозиться, отдавая мне энергию. Возможно, даже болезненно для
тормозильщика, если он не осторожен. Последний вариант – аналог ВЫНУЖДЕННОГО излучения, при котором осциллятор отдает энергию подошедшей волне в случае подходящего для этого соотношения фаз. Возможен и такой вариант, когда осциллятор колеблется в отсутствие волн соответствующей частоты. Пример – звучание струны после удара молоточком. В этом случае происходит
переход энергии колебаний струны в энергию звуковых волн. Эйнштейн находит этому варианту аналогию для квантовой системы.
Молекула, имеющая энергию выше самого нижнего из возможных
уровня, может с некоторой вероятностью СПОНТАННО (самопроизвольно) перейти на более низкий энергетический уровень, излучив при этом квант энергии, соответствующий данному переходу. Аналогом такого спонтанного излучения естественно считать
32
РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД, который испытывают с вполне
определенной для каждого радиоактивного элемента вероятностью
ядра его атомов. Стало быть, каждой паре устойчивых энергетических состояний молекулы соответствует число, определяющее вероятность спонтанного излучения, – аналогично постоянной радиоактивного распада. Эйнштейн называет это число коэффициентом
n
Am
. Поскольку при тепловом равновесии фазы подходящих к нашей молекуле волн также полностью хаотичны, переходам между
теми же двумя уровнями под действием излучения тоже естественно соответствуют вероятности, которые определяются коэффициn
ентами Bnm для поглощения и Bm
для вынужденного излучения.
Конечно, вероятность переходов под действием излучения пропорциональна плотности энергии излучения, а вероятность спонтанных переходов от имеющегося излучения никак не зависит. Впоследствии эти коэффициенты стали называть «коэффициентами
Эйнштейна» для переходов между уровнями Em и En. Естественно
предположить также, что распределение молекул по уровням энергии в условиях теплового равновесия определяется общим термодинамическим принципом Больцмана
Wn
E
- n
kT
= Be
.
Оказывается, из перечисленных допущений можно чисто логически вывести формулу Планка. Эйнштейн делает это очень просто, выписав условие статистического равновесия. Итак, пусть молекула может иметь два устойчивых состояния с энергиями Em, En.
Допустим, Em > En. В условиях равновесия на уровне Em находится
(в среднем) Nm молекул, на уровне En – Nn молекул. В единицу вреn
Nm молемени с уровня Em спонтанно переходит на уровень En Am
кул (спонтанное излучение). В том же направлении за то же время
n
Nm r молекул (вынужденное излу«индуцированно» переходит Bm
чение). В противоположном направлении в тот же промежуток времени переходит Bnm Nn r молекул (поглощение). Условие равновесия
состоит в том, что количество переходов с верхнего уровня на нижний в точности равно количеству переходов в обратном направлении
n
n
Am
Nm + Bm
Nm r = Bnm Nn r.
Согласно принципу Больцмана
Nn
=e
Nm
Em -En
kT .
33
Подставляя в уравнение равновесия соотношение
ципа Больцмана, получаем
Nn
из принNm
E -E
æ
ö
çç m m n
n
n ÷÷÷
kT
ç
Am = rè Bn e
- Bm ø.
n
m
n
Am , Bn , Bm не зависят ни
Коэффициенты
от температуры, ни
от плотности энергии излучения, условие равновесия справедливо при любой температуре. При T → ∞ левая часть остается постоянной, а правая неограниченно растет. Стало быть, в этом случае
можно пренебречь левой частью по сравнению с правой, а экспонента стремится к единице. Отсюда следует, что коэффициенты Bnm
n
и Bm
равны. Обозначим
следует
n
Am
n
Bm
= αmn . Тогда из уравнения равновесия
r=
αmn
,
hn
e kT -1
то есть формула Планка с точностью до коэффициента. (Вспоминая
закон смещения Вина, вместо Em – En пишем hn.) Значение эйнштейновского вывода, конечно, не в обосновании формулы Планка, а в подтверждении существования спонтанного и вынужденного излучения и представления об их коэффициентах, аналогичных
постоянной радиоактивного распада. Спустя несколько десятилетий открытие спонтанного и вынужденного излучения получило
внушительное экспериментальное подтверждение и практическое
применение с изобретением лазеров. Рассуждения Эйнштейна соответствовали «заселенности» уровней энергии при тепловом равновесии. Если же создать каким-то образом «инверсию заселенностей», то есть превышение количества молекул на верхнем уровне
по сравнению с равновесным, то равновесие нарушится и количество излучательных переходов будет превышать количество поглощательных. Если же это будет происходить в резонаторе, выход
из которого для квантов соответствующей частоты маловероятен,
«процесс» восстановления равновесия через переход энергии верхнего уровня в излучение примет лавинообразный характер. Запасенная энергия «высвечивается» кратковременным почти монохроматическим световым импульсом большой мощности и узкой направленности. В наше время мало кто не слыхал о многообразных
применениях лазерной техники. Куда меньше, увы, тех, кто имеет
34
представление о принципе ее действия, и еще меньше тех, кто осведомлен о значении работ Эйнштейна по этому вопросу.
Направленность элементарных процессов
С самого начала научной деятельности внимание Эйнштейна
привлекал в высшей степени принципиальный вопрос – о природе «элементарных процессов» возникновения и превращения света и, в частности, о направленности этих процессов. В самой первой работе «Об одной эвристической точке зрения…» 1905 года он
высказал предположение, что «энергия пучка света, вышедшего
из некоторой точки, не распределяется непрерывно во все возрастающем объеме, а складывается из конечного числа локализованных в пространстве неделимых квантов энергии, поглощаемых или
возникающих только целиком». Это предположение несовместимо с представлением о волновой природе света. От колеблющейся
струны, например, звуковые волны расходятся во всех направлениях, и энергия их распределяется с течением времени на неограниченный объем. То же самое справедливо и для электромагнитных
волн, излучаемых «осциллятором», подчиняющимся классической
электродинамике. Волновые представления великолепно объясняют дифракцию и интерференцию, но никак не могут объяснить фотоэффект, фотоионизацию и все вообще варианты «возникновения
и превращения». Зато эти явления хорошо объясняются в рамках
квантовых, дискретных представлений. Последовательная волновая точка зрения плохо увязывается также со статистическим истолкованием термодинамики. Молекулярно-кинетическая теория
исходит из полной механической обратимости «элементарных процессов», то есть столкновений между молекулами. В то же время
«возникновение» волновых возмущений не является обратимым.
От «точечного источника» расходится по всем направлениям сферически симметричная волна. Формально математически обратный процесс (сходящуюся в точку сферически симметричную волну) представить себе можно, и соответствующее решение волнового
уравнения существует. Однако реальность такого рода «естественно фокусирующейся» волны крайне сомнительна. В том, что обмен
энергией между полем и «весомой» материей происходит дискретно, неделимыми квантами, после открытий Планка, Эйнштейна
и Бора, сомнений уже не было. Но вопрос о направленности элементарных процессов еще долго был предметом обсуждения.
35
Впервые, по-видимому, Эйнштейн формулирует свое представление в 1909 году в статьях «К современному состоянию проблемы
излучения» и, вслед за ней, «О развитии наших взглядов на сущность и структуру излучения». Формулировка 1909 года довольнотаки осторожная. «Элементарные процессы излучения являются,
по-видимому, направленными». Представление о направленности
естественно позволяет считать элементарные процессы обратимыми. Оно соответствует также найденным тогда же формулам для
флуктуаций светового давления, объясняемым хаотичными неравномерностями количества движения (импульса) в тепловом излучении, которые получились в конечном счете из формулы Планка.
В работе 1916 года «К квантовой теории излучения» сразу же после
введения «коэффициентов Эйнштейна» для спонтанного и вынужденного излучения уже категорически утверждается: «При поглощении и испускании имеет место также передача импульса». Испытывает ли молекула отдачу при испускании кванта света? ­Ответ
зависит от представления о направленности. Да, если все количество движения уходит в одном направлении. Нет, в случае сферически симметричной излученной волны. Вывод однозначный.
«К непротиворечивой теории мы придем только в том случае, если
все элементарные процессы будем считать полностью направленными». «Непротиворечивая теория» должна соответствовать, конечно, гипотезам о спонтанном и индуцированном излучении. Все
получается, если кванту света соответствует «пучок лучей определенного направления». Если на молекулу одновременно воздействует несколько пучков лучей, энергия и импульс переходят только
от одного из них. Спонтанное излучение тоже должно быть направленным.
В заключение Эйнштейн формулирует выводы. «Если пучок
­лучей воздействует на встретившуюся ему молекулу так, что она
посредством элементарного процесса получает или отдает в форме
излучения некоторое количество энергии hn (индуцированное излучение), то молекула всегда будет получать и импульс hn/c, при
поглощении энергии – в направлении движения пучка, а при испускании – в противоположном направлении. Если молекула находится под воздействием нескольких направленных пучков лучей,
то в элементарном процессе индуцированного излучения принимает участие только один из них; тогда только этот пучок определяет направление полученного молекулой импульса. Если молекула
теряет энергию без внешнего возбуждения (спонтанное излучение),
то этот процесс также является направленным. Спонтанного излу36
чения в виде сферических волн не существует. В элементарном процессе спонтанного излучения молекула получает импульс отдачи,
величина которого равна hn/c, а направление определяется, согласно современному состоянию теории, лишь “случайностью”». Прошло без малого сто лет после того, как Эйнштейн поделился с научным сообществом своими выводами по поводу направленности
элементарных процессов. Никаких изменений и уточнений не потребовалось, хотя очень много нового было открыто наукой, в том
числе в познании микромира.
Квантовый скачок
От начала квантовой эры (открытия Макса Планка в октябредекабре 1900 года) до создания квантовой механики прошло ровно
25 лет. На рубеже 1925–1926 годов за несколько месяцев состоялся прорыв в познании природы, сопоставимый по значению с великими достижениями античного мира и созданием современной науки в XVII столетии. Он был подготовлен развитием физики в первую четверть XX века, причем наиболее существенный вклад в это
развитие, наряду с Планком и Бором, внес Эйнштейн. Завершающий этап прорывного развития сложился для Эйнштейна драматически. Двадцать лет он штурмовал труднейшую проблему, в свои
лучшие творческие годы. Едва ли не больше всех внес вклад в подготовку прорыва. Но в самом завершающем этапе больше повезло
другим. Практически одновременно прорыв состоялся по двум направлениям. Пытаясь отыскать сколько-нибудь последовательное
математическое обоснование принципиально непоследовательной
теории атома Бора–Зоммерфельда, очень молодой теоретик Вернер
Гейзенберг (тогда ему было 23 года) выдумал свое собственное алгебраическое исчисление с некоммутативным умножением. Более
компетентный в математике Макс Борн узнал в этом изобретении
хорошо известное математикам матричное исчисление. Формальная математическая основа для построения квантовой механики
была найдена. Однако никаких наглядных представлений этому
подходу не соответствовало, а математический аппарат был сложен и непривычен для физиков. К этому направлению Эйнштейн
не имел никакого отношения.
Другое направление прорыва без Эйнштейна не обошлось.
Ничем до того не прославившийся молодой французский физик Луи де Бройль, размышляя о том общем, что есть в движении
37
­ атериальных частиц в силовом поле и волновыми движениями,
м
в 1922 году догадался вспомнить аналогию между оптикой и механикой, на которую еще в середине XIX века обратил внимание
ирландский математик У. Р. Гамильтон. Де Бройль пробовал использовать аналогию в обоих направлениях. Попытка построить
на основе механической аналогии теорию световых квантов не принесла успеха (хотя сам де Бройль поначалу этого не знал). А ход
в противоположном направлении привел к представлению о волновых свойствах «весомой» материи. Эти выводы были изложены
в 1923–1924 годах в нескольких заметках, а после собраны в диссертации. Все признавали остроумие и оригинальность идеи, но
в реальность «волн материи» никто не поверил. Исключение составил Поль Ланжевен, который был лично знаком с Эйнштейном. По его рекомендации де Бройль послал экземпляр диссертации Эйнштейну. Ответ был в высшей степени обнадеживающий.
«Он приподнял угол большого занавеса». Де Бройль пытался добиться экспериментальной проверки дифракции медленных электронов, которая предсказывалась его теорией, но ему не удалось
никого заинтересовать. Дифракция электронов была открыта
­Дэвисоном и Джермером в 1927 году, уже после создания квантовой механики. Впоследствии выяснилось, правда, что это явление
наблюдалось и раньше, но результаты опытов не были правильно
­поняты.
Эйнштейн не ограничился предельно краткой оценкой в личном письме. В то время он был занят квантовой теорией идеального газа. В 1924 году молодой индийский физик Шатьендранат
Бозе прислал Эйнштейну оригинальную работу по этому вопросу. Эйнштейн восхитился до такой степени, что сам перевел ее
с английского на немецкий язык и опубликовал вместе со своей
статьей в престижном журнале. В следующем году он опубликовал «второе сообщение» по этой теме. И в этом втором сообщении
Эйнштейн предельно кратко изложил основную идею де Бройля.
«Каким образом материальной частице или системе материальных частиц можно сопоставить (скалярное) волновое поле – показал Л. де Бройль в своей работе, заслуживающей всяческого внимания». И в сноске добавил: «В этой диссертации имеется также
очень интересная геометрическая интерпретация квантовых правил Бора–Зоммерфельда». Значение этого кусочка статьи Эйнштейна высоко оценил вскоре Эрвин Шредингер (в письме Эйнштейну
от 23 апреля 1926 года). «Впрочем, все это дело не возникло бы ни
теперь, ни когда-либо позже (я имею в виду свое участие), если бы
38
Вы в Вашей второй статье о квантовой теории газов не щелкнули
меня по носу, указав на важность идей де Бройля». «Все это дело» –
ни много, ни мало – создание квантовой механики. Первооткрыватель, вероятно, преувеличивает. И тем не менее… Решенная Эйнштейном совместно с Бозе задача о квантовой статистике объектов
с целым спином – важнейшее достижение сама по себе. Намного
важнее этого крупнейшего достижения, однако, «щелчок по носу» одного конкретного читателя, имя которого Эрвин Шредингер.
Отрывки из тогдашней переписки великих ученых, помимо прочего, вызывают улыбку у теперешнего читателя обращениями.
К Эйнштейну Шредингер обращается «глубокоуважаемый профессор», а к Планку «глубокоуважаемый господин тайный советник».
Эйнштейн обращается к Шредингеру менее церемонно: «дорогой
коллега». Все участники небывалого в истории человечества «процесса» в высшей степени эмоционально переживают происходящее. «Ваше и Планка одобрение больше значат для меня, чем одобрение полсвета», – сообщает Эйнштейну Шредингер.
Шредингер «получил щелчок» от Эйнштейна в возрасте 38 лет.
Интересы его были очень разносторонними, он успел немало сделать в науке, но не был в первой шеренге первооткрывателей.
Зато у него было очень существенное, как оказалось, преимущество
перед большинством коллег-физиков – хорошее знание математики и интерес к новому в ней. Как раз в 1924 году вышел первый
том ставшей вскоре классической книги Р. Куранта и Д. Гильберта «Методы математической физики». Это издание буквально переполнено задачами о собственных значениях. Самый, пожалуй, простой, вариант задачи о собственных значениях – определение дискретного набора частот колебаний струны. Ее собственные частоты соответствуют целому числу укладывающихся на ее длине полуволн. Конечно, Курант и Гильберт рассматривали в своей книге
намного более сложные задачи, но принцип определения собственных колебаний тот же самый. Одному господу богу известно, как именно в голове одного человека, ознакомившегося с классикой математической физики и идеей де Бройля о волновой природе «весомой» материи, соединились те и другие идеи. Результат
же был сформулирован им в трех словах. «Квантование как задача о собственных значениях». По-немецки – три слова буквально.
Quantisierung als Eigenwertproblem. Правда, последнее немецкое
слово стóит четырех русских…
Эти три слова стали заголовком серии статей, опубликованных
в первой половине 1926 года, и содержащей, помимо общей идеи,
39
решение ряда конкретных задач, в том числе задачи об атоме водорода. Принципиальное преимущество перед прежней внутренне противоречивой квантовой теорией состояло в том, что дискретность возможных уровней энергии состояний не вводилась искусственно извне, а естественно возникала «сама собой» подобно дискретности собственных частот звучащей струны. Помимо прочего,
важнейшее преимущество Шредингера, который в это время трудился в цюрихском университете, состояло в близком личном знакомстве с крупнейшим математиком Германом Вейлем, профессором того самого цюрихского Политехникума, студентом которого был когда-то сам Эйнштейн. В своих пионерских статьях Шредингер особо отмечает содействие Вейля в преодолении математических трудностей, которые оказались серьезными даже в самых
простых конкретных задачах.
Итак, на завершающем этапе создания квантовой механики Эйнштейн внес-таки очень ценный вклад «в это дело», но скорее в роли координатора, чем первооткрывателя. Первооткрывателями оказались, с одной стороны, Гейзенберг и Борн, с другой –
де Бройль и Шредингер. В том же 1926 году Шредингер доказал
эквивалентность обоих вариантов квантовой механики. Еще более
драматическая, чем в переломные дни, ситуация сложилась впоследствии. Создатели квантовой механики принципиально разошлись во мнениях о смысле того, что они открыли. Долго спорили
о смысле волновой функции, которая получается решением разных задач для уравнения Шредингера. Все согласились с предложенной Максом Борном трактовкой, согласно которой квадрат
модуля волновой функции пропорционален плотности вероятности обнаружить «объект» в соответствующей точке пространства.
Большинство, возглавляемое Нильсом Бором, посчитало эту трактовку исчерпывающей. По их мнению, никакого другого физического смысла у волновой функции нет. Эйнштейн оказался в меньшинстве вместе с де Бройлем и Шредингером. Эта группа считала,
что волновая функция описывает все-таки реальные волновые движения некоей материальной среды. В общем, разногласия не преодолены до сих пор. Большинство, как и в 20-е годы, придерживается позиции Бора и Гейзенберга, но сторонники точки зрения
Эйнштейна тоже остались. На этом, пожалуй, можно закончить
изложение основных сведений, касающихся вклада Эйнштейна
в развитие квантовой физики, и рекомендовать интересующимся
самостоятельно ознакомиться с работами великого ученого по этой
тематике.
40
Библиографический список
1. Могилевский Д. Ш. Предыстория квантовой физики и ее первые шаги. СПБ.: ГУАП, 2012. 36 с.
2. Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики. М.: Молодая
гвардия, 1966. 272 с.
3. Эйнштейн А. Физика и реальность. М.: Наука, 1965. 360 с.
4. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 3. М.: Наука, 1966.
632 с.
5. Nauenberg M. “Gap in Einstein’s early argument for existence of
photons”. Physics Today, October 2005, vol. 58, N 10, p. 17.
6. Оханьян Х. Эйнштейн: настоящая история великих открытий, с. 153. М.: Эксмо, 2009. 384 с.
41
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.......................................................................... 3
Эйнштейн до квантовой физики............................................... 4
Квантовая физика до Эйнштейна.............................................. 8
Эвристическая точка зрения.................................................. 16
Один параграф из девяти....................................................... 18
Математическая корректность............................................... 21
Теория теплоемкости............................................................ 25
Флуктуации в поле излучения............................................... 28
Спонтанное и вынужденное излучение.................................... 31
Направленность элементарных процессов................................ 35
Квантовый скачок................................................................ 37
Библиографический список................................................... 41
42
Учебное издание
Могилевский Давид Шулимович
ЭЙНШТЕЙН И КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Учебное пособие
Корректор Звертановская Т. В.
Верстальщик И. Н. Мороз
Сдано в набор 01.04.14. Подписано к печати 08.04.14.
Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,56.
Уч.-изд. л. 2,75. Тираж 75 экз. Заказ № 177.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
43
ДЛЯ ЗАМЕТОК
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
466 Кб
Теги
mogilevsky
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа